Olas*l*k Kavram*

Olasılık Kavramı
Olasılık
• Sonlu sayıda tekrarlanabilen bir denemede, olası
sonuçlardan herhangi birinin ortaya çıkma şansı
ilgili sonucun olasılığı olarak adlandırılır.
• Olasılık P( ) simgesi ile gösterilir.
• ( ) içinde olasılığın hangi sonuca ait olduğu belirtilir.
• Örnek:
P ( x1 ), P(A), P( x  1)
• Olasılık, ilgilenilen sonucun oransal sıklığıdır.
• Bir A denemesine ilişkin olası sonuçlar
x1 , x2 ,..., xn
• Her sonuca ilişkin tekrar sayıları
m1 , m2 ,..., mn
olduğunda
P ( x1 ) 
m1
k
m
i 1
P ( x2 ) 
i
0  P( xi )  1
m2
...
k
m
i 1
P ( xk ) 
i
mk
k
m
i 1
k
 P( x )  1
i 1
i
i
Örnek:
• Bir onkoloji kliniğine başvuran göğüs kanseri tanısı
konulmuş 120 hastanın evrelere göre dağılımı
aşağıdadır.
m
75
P ( x1 ) 
Evre (X)
Evre 1 (x1)
Evre 2 (x2)
Evre 3 (x3)
Evre 4 (x4)
Toplam
Sayı (M)
75
25
15
5
120
Yüzde
62,5
20,8
12,5
4,2
100
1
4
 mi

120
 0, 625
i 1
P ( x2 ) 
m1
4
m
i 1
P ( x3 ) 
P ( x4 ) 
4
m

15
 0,125
120
i
m1
4
m
i 1
25
 0, 208
120
i
m1
i 1

i
5

 0, 042
120
Tanımlar
Örneklem Uzayı
Bir olayın olası tüm sonuçlarının bulunduğu kümeye
denir.
Bir Sonucun Tümleyeni
Kendisi dışındaki diğer sonuçların tümüne, ilgili
sonucun tümleyeni denir.
P (A)  1  P(A)
P (A)  P(A)  1
Tanımlar
Yığılımlı Olasılık
P( x  A) olasılıklarına yığılımlı olasılık denir.
k
n   mi
i 1
olmak üzere
P ( x  x1 )  m1 / n
P ( x  x1 )  m1 / n
P ( x  x2 )  m2 / n
P ( x  x2 )  (m1  m2 ) / n
...
P ( x  xk )  mk / n
ise
...
P ( x  xk )  1
Örnek:
• Bir onkoloji kliniğine başvuran göğüs kanseri tanısı
konulmuş 120 hastanın evrelere göre dağılımı
aşağıdadır.
Evre (X)
Evre 1 (x1)
Evre 2 (x2)
Evre 3 (x3)
Evre 4 (x4)
Toplam
Sayı (M)
75
25
15
5
120
Yüzde
62,5
20,8
12,5
4,2
100
• Kliniğe yeni başvuran bir hastanın en çok 2. evrede
olması olasılığı
P ( x  x2 ) 
m1  m2
4
m
i 1
i
75  25

 0,833
120
Tanımlar
Ayrık Olaylar
Aynı anda ortaya çıkması olası olmayan olaylara
denir.
A
B
P( A  B)  0
P( A  B )  P ( A)  P ( B )
Tanımlar
Kesişim
İki ya da daha fazla ayrık olmayan olayın bir arada
ortaya çıkması olayına denir.
A
B
P(A B)
Örnek
• Bir toplumdan rasgele seçilen 50 yaş üstü 100
kişide diyabet ve hipertansiyon dağılımı aşağıda
verilmiştir.
D+ D- T
H+ 20 20 40
H+
H- 15 45 60
T 35 65 100
D+
P(H   D  )
20
P (H  D ) 
100


Birleşim
İki ya da daha fazla olayın herhangi birinin ortaya
çıkması olayına denir.
Ayrık Olmayan Olaylarda
A B
P(A B)  P(A)  P(B)  P(A B)
Ayrık Olaylarda
A
B
P(A B)  P(A)  P(B)
Bağımlı ve Bağımsız Olaylar
Bağımsız Olaylar:
Birinin ortaya çıkma olasılığının diğerine bağlı
olmadığı olaylara bağımsız olaylar denir.
P(A B)  P(A)  P(B)
Bağımlı Olaylar:
Birinin ortaya çıkma olasılığının diğerine bağlı olduğu
olaylara bağımlı olaylar denir.
P(A B)  P(A)  P(B)
Koşullu Olasılık
Aynı anda ortaya çıkması olası, ayrık olmayan
olaylardan birinin ortaya çıkması, diğerinin ortaya
çıkma olasılığını değiştirir.
B olayının gerçekleşmiş olması durumunda, A
olayının olasılığına, A olayının B ye bağlı koşullu
olasılığı denir ve P(A \ B) ile gösterilir.
P (A B)
P (A\ B) 
P (B)
Örnek
• Bir toplumdan rasgele seçilen 50 yaş üstü 100
kişide diyabet ve hipertansiyon dağılımı aşağıda
verilmiştir. Bu toplumda 50 yaş üstü hipertansiyonu
olan bir kişide diyabet görülmesi olasılığı nedir?
D
+
D
-
T
H+ 20 20 40
H- 15 45 60
T 35 65 100
40
P (H ) 
100
35
P (D  ) 
100
20


P (H  D ) 
100



P
(D

H
) 20 /100


P (D \ H ) 

 0,5

P (H )
40 /100