Uyumlu Titreşicinin Kuantum Mekaniksel Çözümü File

Uyumlu Titreşicinin Kuantum Mekaniksel
Çözümü
Moleküllerdeki atomların titreşim hareketlerinin incelenmesinde model olarak alınan harmonik
ösilatör kimyacılar için büyük önem taşımaktadır.
Denge konumuna göre, genlikleri aynı büyüklükte olan titreşim sistemlerine harmonik osilatör
ya da uyumlu titreşici adı verilir.
Üç boyutlu harmonik osilatör için klasik hamiltonien fonksiyonu, Hamiltonien operatörü,
özdeğer eşitliği ve Schrödinger denklemi ile bu denklemin çözümüyle bulunan enerji dalga
fonksiyonu ve normalizasyon katsayısı aşağıdaki gibi bulunur.
Varsayım 1:
𝐻 =𝑇+𝑉
𝐻=(
1
1
) (𝑝𝑥2 + 𝑝𝑦2 + 𝑝𝑧2 ) + ( ) (𝑘𝑥 𝑥 2 + 𝑘𝑦 𝑦 2 + 𝑘𝑧 𝑧 2 )
2𝑚
2
Varsayım 2:
ℋ=−
ℏ2 𝜕 2
𝜕2
𝜕2
( 2 + 2 + 2 ) + 2𝜋 2 𝑚(𝜈𝑥2 𝑥 2 + 𝜈𝑦2 𝑦 2 + 𝜈𝑧2 𝑧 2 )
2𝑚 𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
Varsayım 3-4:
ℋѰ = 𝐸Ѱ
ℏ2 𝜕 2
𝜕2
𝜕2
[−
(
+
+
) + 2𝜋 2 𝑚(𝜈𝑥2 𝑥 2 + 𝜈𝑦2 𝑦 2 + 𝜈𝑧2 𝑧 2 )] Ѱ = 𝐸Ѱ
2𝑚 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2
2𝑚
∇2 Ѱ + ( 2 ) [𝐸 − 2𝜋 2 𝑚(𝜈𝑥2 𝑥 2 + 𝜈𝑦2 𝑦 2 + 𝜈𝑧2 𝑧 2 )]Ѱ = 0
ℏ
𝐸 = 𝐸𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐸𝑧
1
1
1
𝐸 = (𝑛𝑥 + ) ℎ𝜈𝑥 + (𝑛𝑦 + ) ℎ𝜈𝑦 + (𝑛𝑧 + ) ℎ𝜈𝑧
2
2
2
Ѱ ≡ Ѱ(𝑥, 𝑦, 𝑧) = Ѱ(𝑥)Ѱ(𝑦)Ѱ(𝑧)
1
Ѱ(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑁𝑛𝑥 𝑛𝑦 𝑛𝑧 𝐻𝑛𝑥 𝑛𝑦 𝑛𝑧 𝑒 −(2)(𝛼𝑥 𝑥
2 +𝛼 𝑦 2 +𝛼 𝑧 2 )
𝑦
𝑧
1/2
𝑁𝑛𝑥 𝑛𝑦 𝑛𝑧 = 𝑁𝑛𝑥 𝑁𝑛𝑦 𝑁𝑛𝑧
1/2
(𝛼𝑥 𝛼𝑦 𝛼𝑧 )
= [ 3/2 𝑛𝑥 +𝑛𝑦 +𝑛𝑧
]
) 𝑛𝑥 ! 𝑛𝑦 ! 𝑛𝑧 !
𝜋 (2
Burada, 𝑛 titreşim kuantum sayısını, 𝑁𝑛 normalizasyon katsayısını, 𝐻𝑛 (𝛼𝑥 2 ) ise Hermite
polinomlarını göstermektedir.
𝛼𝑥 = (
2𝜋𝑚
𝑘𝑥 𝑚
) 𝜈𝑥 = √ 2
ℏ
ℏ
𝑘𝑦 𝑚
2𝜋𝑚
𝛼𝑦 = (
) 𝜈𝑦 = √ 2
ℏ
ℏ
2𝜋𝑚
𝑘𝑧 𝑚
𝛼𝑧 = (
) 𝜈𝑧 = √ 2
ℏ
ℏ
olarak tanımlanmıştır.
Titreşim kuantum sayısı yükseldikçe olasılık yoğunluğundaki değişme klasik mekanikten
bulunan olasılık yoğunluğundaki değişmeye yaklaşmaktadır. Böylece, Bohr’un karşılanırlık
ilkesi de sağlanmış olmaktadır.
Hesaplamaların dayandığı temeller ders kitabının 9.13 numaralı başlığı altında detaylı olarak
ele alınmıştır.