trigonometri - Erguven.net

TRİGONOMETRİ
Yönlü Açı :
Saat yelkovanının dönme yönünün tersine pozitif yön, saat yelkovanının dönme yönüne de negatif
yön denir.
Açı Ölçü Birimleri :
Derece : Bir çemberin 360 da 1 ini gören merkez açının ölçüsü 1 derecedir.
1 derece 60 dakikadır. 1 dakika 60 saniyedir.
1o = 60 , 1= 60
Radyan : Bir çemberin, yarıçapının uzunluğundaki yayı gören merkez açı 1 radyandır.
Grad : Bir çemberin 400 de 1 ini gören merkez açının ölçüsü 1 grattır.
D
R
G
 
180  200
Esas Ölçü :
Derece cinsinden bir açının 360o ye bölümünden kalan, derece cinsinden esas ölçü, radyan
cinsinden bir açının 2 ye bölümünden kalan, radyan cinsinden esas ölçü adını alır.
Trigonometrik Fonksiyonlar :
Açının sinüsü ve kosinüsü:
Birim çember üzerinde, AOP açısını gözönüne alalım. P
noktasının apsisine açının kosinüsü, ordinatına da açının
sinüsü denir.
x0 = cos ,
y0 = sin
Sonuç :
1. P noktası çember üzerinde ve yarıçapı 1 birim olduğu için;
-1  cos  1 veya cos : R  [-1,1] dir.
Yani kosinüs fonksiyonunun tanım kümesi R, görüntü kümesi [-1,1] dir. Aynı şekilde;
-1  sin  1 veya sin : R  [-1,1] dir.
Yani sinüs fonksiyonunun tanım kümesi R, görüntü kümesi [-1,1] dir.
2. x0 = cos ve y0 = sin olduğuna göre;
cos2 + sin2= 1 dir.
Açının tanjantı ve kotanjantı :
Birim çemberin A noktasındaki teğetini inceleyelim. Bu durumda t bir reel sayı olmak üzere, T(1,t)
noktası teğetin üzerindedir. T noktasının ordinatına AOT açısının tanjantı denir. t = tan dir.
Sonuç :
T(1,t) noktası teğet üzerindeki herhangi bir nokta için, t herhangi bir nokta olabilir. Dolayısıyla;
  T={  IR ve /2 +k, k Z } için tan : T  R dir.
Yani tanjant fonksiyonunun tanım kümesi (/2 +k) hariç bütün gerçel sayılar, görüntü kümesi R
dir.
  K={  IR ve k, k Z } için cot : K  R dir.
Yani tanjant fonksiyonunun tanım kümesi (k) hariç bütün gerçel sayılar, görüntü kümesi R dir.
1
BİRİM ÇEMBER :
Merkezi orijinde olan ve yarıçapı 1 birim olan çemberdir.
-1
Cos
1
-1
Sin
1
OAP üçgeninde ;
Cos
= |OA| = Cos ( +k2 ) ve Sin
= |AP| =|OB|= Sin ( +k2 )
x ekseni, Cosinüs ekseni
y ekseni , Sinüs eksenidir.
Analitik düzlemde trigonometrik fonksiyonların işaretleri
Peiyodik Fonksiyonlar :
:AB bir fonksiyon olsun. x A için (x+T) =(x) eşitliğini sağlayan bir T gerçek sayısı varsa, 
fonksiyonuna periyodik fonksiyon, T gerçek sayısına da ’ nin bir periyodu denir. T gerçek
sayısının en küçüğüne ise esas periyodu denir. Buradan hareketle;
k  Z olmak üzere  IR için;
cos( + k.2) = cos ve sin( + k.2) = sin olduğundan sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının
periyodu k.2 ve esas periyodu 2 dir.
Aynı şekilde;
k  Z olmak üzere /2 +k ve   IR için tan( + k.) = tan
k  Z olmak üzere k ve   IR için cot( + k.) = cot olduğundan tanjant ve kotanjant
fonksiyonlarının periyodu k. ve esas periyodu  dir.
*** f ( x)  sin m ( ax  b)
m tek ise T 
ve
2
a
*** f ( x)  tan m(ax  b)
f ( x)  cos m(ax  b)
m çift ise T 
ve

a
f ( x)  cot m(ax  b) , T 

a
2
Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar:
ABC dik üçgeninde trigonometrik oranlar
Cos =
= Sin
Sin =
= Cos
Tan =
= Cot
Cot =
= Tan
Sec = = Csc
Csc =
= Sec
30o , 45o , 60o nin trigonometrik oranları
ABC eşkenar üçgeninde; IABI=2br. , [AH] yükseklik olmak
üzere ;
AHC üçgeninde;
Cos60o =
= Sin30o
Sin60o =
= Cos30o
Tan60o =
= Cot30o
Cot60o =
=
=Tan30o
ABC ikizkenar dik üçgeninde ;
Sin45o =Cos45o =
=
Tan45o = Cot45o = 1
açı
sin
cos
tan
cot
0
0
1
0
tanımsız
30
1/2
3 /2
1/3
3
45
2 /2
2 /2
1
1
60
3 /2
1/2
3
1/3
90
1
0
tanımsız
0
180
0
-1
0
tanımsız
270
-1
0
tanımsız
0
360
0
1
0
tanımsız
3
TRİGONOMETRİK FORMÜLLER
Trigonometrik bağıntılar
1) Cos2 +Sin2 = 1
2) Tan
=
3) Cot
=
4) Sec
=
5) Csc
=
6) Tan Cot
=1
7) 1 + Tan2 = Sec2
8) 1 + Cot2 = Csc2
Trigonometrik özdeşlikler
Sin(
- ) = Cos
Sin(
+
) = Cos
Cos(
- ) = Sin
Cos(
+
) = -Sin
Tan(
- ) = Cot
Tan(
+
) = -Cot
Cot(
- ) = Tan
Cot(
+
) = -Tan
Sin(
- ) = -Cos
Sin(
+
) = -Cos
Cos(
- ) = -Sin
Cos(
+
) = Sin
Tan(
- ) = Cot
Tan(
+
) = -Cot
Cot(
- ) = Tan
Cot(
+
) = -Tan
Sin( -
) = Sin
Sin( +
Cos( -
) = -Cos
Tan( -
) = -Tan
Tan( +
) = Tan
Cot( -
) = -Cot
Cot( +
) = Cot
Cos( +
Sin( 2 -
) = Sin(- ) = -Sin
Cos( 2 -
) = Cos(- ) =Cos
Tan( 2 -
) = Tan(- ) = -Tan
Cot( 2 -
) = Cot(- ) = -Cot
) = -Sin
) = -Cos
4
Cos, Sinüs ve Tanjant teoremleri
de :
Cosinüs teoremi : a2 = b2 + c2 -2bcCosA
Sinüs teoremi :
=
=
BC
bc
2
Tanjant teoremi :

BC
bc
tan
2
tan
A(
)=
A(
) = u.r
A(
)=
dir.
.a.b.SinC
(a+b+c=2u olmak üzere)
Trigonometrik fonksiyonlarin birbiri cinsinden ifadesi :
Cos x, Tan x ve Cot x in, Sin x cinsinden ifadesi :
cos x  1  sin 2 x
tan x 
sin x
1  sin 2 x
cot x 
1  sin 2 x
sin x
Sin x, Tan x ve Cot x in, Cos x cinsinden ifadesi :
sin x  1  cos 2 x
tan x 
1  cos 2 x
cos x
cot x 
cos x
1  cos 2 x
Sin x, Cos x ve Cot x in, Tan x cinsinden ifadesi :
sin x 
tan x
1  tan 2 x
cos x 
1
1  tan 2 x
cot x 
1
tan x
tan x 
1
cot x
Sin x, Cos x ve Tan x in, Cot x cinsinden ifadesi :
sin x 
1
cos x 
1  cot 2 x
cot x
1  cot 2 x
Toplam fark formülleri
1) Sin( + ) = Sin Cos
2) Cos( + ) = Cos Cos
± Sin Cos
± Sin Sin
3) Tan( + ) =
Yarım açı formülleri
1) Sin2
= 2Sin Cos
2) Cos2
= Cos2
3) Tan2
=
- Sin2
= 2Cos2
- 1 = 1 - 2Sin2
5
Not :
Sin3x  3Sinx  4Sin 3 x
Cos3x  4Cos 3 x  3Cosx
Dönüşüm formülleri
1) Sin
+ Sin
= 2Sin
.Cos
2) Sin
- Sin
= 2Sin
.Cos
3) Cos
+ Cos
= 2Cos
4) Cos
- Cos
= 2Sin
.Cos
.Sin
Bir üçgenin açılarının, sinüslerinin toplamının dönüşüm formülü :
A
B
C
.Cos .Cos
2
2
2
SinA  SinB  SinC  4Cos
Bir üçgenin açılarının, cosinüslerinin toplamının dönüşüm formülü :
CosA  CosB  CosC  4Sin
A
B
C
.Sin .Sin  1
2
2
2
Ters trigonometrik fonksiyonlar :
Arcsin Fonksiyonu :
Sin : R   1,1
y  sin x
Arc sin  sin 1
  
Arc sin   1,1    ,   1.ve
 2 2
4.
bö lg eler 
Arccos Fonksiyonu :
Cos : R   1,1
x  arcsin y
y  cos x
Arc cos  cos 1
Arc cos   1,1  0,    1.ve
2.
x  arccos y
bö lg eler 
Arctan Fonksiyonu :
Tan : R  R
y  tan x
Arctg  tg 1
  
Arctg  R    ,   1.ve
 2 2
4.
x  arctan y
bö lg eler 
Arccot Fonksiyonu :
Cot : R  R
y  cot x
Arc cot  cot 1
Arc cot  R   0,    1.ve
2.
x  arc cot y
bö lg eler 
Trigonometrik denklemler:
a   1,1 için Cosx  a
denkleminin çözümü

Ç   x x    k.2  x    k.2 , k  Z 

a   1,1
için
Sinx  a
Ç   x x    k.2

denkleminin
çözümü
x       k.2 , k  Z 
6








aR
için
Tanx  a
denkleminin
çözümü
denkleminin
çözümü
Ç   x x    k , k  Z 
aR
için
Cotx  a
Ç   x x    k , k  Z 
Sinx  Sina
denkleminin
Ç   x x  a  k .2
Cosx  Cosa
x    a   k .2 , k  Z 

denkleminin
Ç   x x  a  k .2
Tanx  Tana
çözümü
ve
çözümü
x  a  k .2 , k  Z 

Cotx  Cota
denklemlerinin
çözümü
Ç   x x  a  k . , k  Z 
sin f  x   sin g  x 
denkleminin
f  x   g  x   k.2

cos f  x   cos g  x 
denkleminin
f  x   g  x   k .2

tan f  x   tan g  x 
veya
çözümü
f  x     g  x   k .2 , k  Z
çözümü
f  x    g  x   k .2 , k  Z
cot f  x   cot g  x 
denklemlerinin
çözümü
f  x   g  x   k . , k  Z
Kök formülleri :
Sin  Sin      k 2         k 2
2. Cos  Cos      k 2       k 2
3. Tan  Tan ve Cot  Cot      k
1.
4.


Sin  Cos   Sin  Sin    
2

Sin  Sin  Sin  Sin  
6. Tan  Tan ve Tan  Tan  
7. Cos  Cos ve Cos  Cos     Cos   
5.
Trigonometrik Denklemleri :
a[-1,1] için cosx=a denkleminin çözümü :
Denklemin [0,2) aralığında bir kökü  ise, Ç={xx=+2k veya x= - +2k, kZ} olur.
Örnek:
Cosx=1/2 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
[0,2) aralığında kosinüsü 1/2 olan gerçek sayılar /3 ve -/3 olduğu hatırlanırsa;

 2k
3

x2 
 2k
3
x1 
Ç={xx=/3+2k veya x=-/3+2k, kZ} olarak bulunur.
7
Örnek :
Cosx=2/2 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
[0,2) aralığında kosinüsü 2/2 olan gerçek sayılar /4 ve -/4 olduğu hatırlanırsa;
Ç={xx=/3+2k veya x=-/3+2k, kZ} olarak bulunur.
a[-1,1] için sinx=a denkleminin çözümü :
Denklemin [0,2) aralığında bir kökü  ise, Ç={xx=+2k veya x= ( - ) +2k, kZ} olur.
Örnek:
sinx=3/2 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
[0,2) aralığında sinüsü 3/2 olan gerçek sayılar /3 ve -/3 olduğu hatırlanırsa;
x1 

 2k
3


x 2     2k 
 (2k  1).
3
3
Ç={xx=/3+2k veya x=-/3+2k, kZ} olarak
bulunur.
Örnek :
sinx=0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
[0,2) aralığında sinüsü 0 olan gerçek sayılar 0 ve  olduğu hatırlanırsa;
Ç={xx=k, kZ} olarak bulunur.
aR için tanx=a denkleminin çözümü :
Denklemin [0,2) aralığında bir kökü  ise, Ç={xx=+k, kZ} olur.
Örnek:
tanx=3 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
[0,2) aralığında sinüsü 3/2 olan gerçek sayılar /3 ve /3 + olduğu hatırlanırsa;
Ç={xx=/3+k, kZ} olarak bulunur.
aR için cotx=a denkleminin çözümü :
Denklemin [0,2) aralığında bir kökü  ise, Ç={xx=+k, kZ} olur.
Örnek :
sin
sin
3
x  cos x denklemini n [0,2 ) aralığında ki çözüm kümesini bulun.
2
3
3

3

5x 


x  cos x  sin x  sin(  x)  x   x 

 x
 Ç { }
2
2
2
2
2
2
2
5
5
Örnek :
cosx+3sinx=0 denklemini çözün.
1 3
sin x
3
 0  1  3 tan x  0  tan x  
cos x
2
Ç={x: 

6
 2k  ( 

6
olur. Buradan çözüm kümesi;
)  2k , k   }
8
ÖRNEKLER
ÖRNEK:ÖYS-1981
tgx =
A)
olduğuna göre , x+y nin 0 ile arasındaki değeri kaç radyandır ?
B)
C)
D)
E)
Çözüm :(Cevap A)
tgx =
tgx =
x açısının tanjantı y açısının kotanjantına eşit olduğuna göre x+y' nin 0 ile
arasındaki değeri:
ÖRNEK:ÖYS-1981
Yukarıdaki üçgende IADI=IBDI=ICDI ve TgB= 2 dir.
Buna göre CotC nin değeri nedir ?
A)
B)
C)
D) 2
E) 3
Çözüm :(Cevap D)
Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, ayırdığı parçaların uzunluğuna eşit olduğundan
m( ) = 90o dir.
Üçgenin iç açıları toplamı 180o olduğundan m( ) + m( ) = 90o
bulunur. Buna göre
cot C = tg B = 2 dir.
ÖRNEK:ÖYS-1981
I. sin 85o
II. tg 175o
III. cos 260o
IV. cotg 275o
Yukarıdaki trigonometrik değerlerin işaretleri sırasıyla ne olur ?
A) +,-,+,-
B) -,-,-,+
C) +,-,-,+
D) -,-,-,-
E) +,-,-,9
Çözüm :(Cevap E)
I. bölgede sin > 0
II. bölgede tg < 0
III. bölgede cos < 0
IV. bölgede cotg < 0
olduğundan işaretler sırasıyla +,-,-,-
bulunur.
ÖRNEK:ÖYS-1982
Aşağıdakilerden hangisi sin40o a eşittir ?
A) sin220o
B) cos140o
C) sin50o
D) sin(-40o)
E) cos(-50o)
Çözüm :(Cevap E)
sin 220o = sin(180o+40o) = -sin40o
cos 140o = cos(90o+50o) = -sin50o
sin(-40o) = -sin40o
cos(-50o) = cos50o =sin40o
ÖRNEK:ÖYS-1982
tgx = 2 olduğuna göre, cos2x - cosx.sinx ifadesinin değeri nedir ?
A) 1
B)-
C)-
D) 0
E)
Çözüm :(Cevap C)
Dik üçgen çizersek ;
tgx = 2 =
 cos x =
,
sin x =
cos2x - cosx.sinx = (
)2 -
bulunur.
.
=
-
=-
10
ÖRNEK:ÖYS-1983
Yukarıdaki şekilde m(A C) = 30o , m(B A) = 90o , IDBI=IDCI
olduğuna göre tg(D C) nin değeri kaçtır ?
A)
B)
C)
D)
E)2
Çözüm :(Cevap A)
30o nin karşısındaki kenara x dersek ;
tan (D C) =
=
bulunur.
ÖRNEK:ÖYS-1984
Aşağıdakilerden hangisi sin(
- a) ya özdeş değildir ?
A)sin( + a)
C) cos(-a)
B)cos(2 -a)
D) cosa
E) sin(-a)
Çözüm :(Cevap E)
sin( - a) = cos a ,
sin( + a) = cos a
cos(2 -a) = cos(-a) = cos a dır.
Fakat sin(-a) = -sina
cosa
11
ÖRNEK:ÖYS-1983
0<x<
,
tan x =
A)
B)
C)
4
olduğuna göre,
3
D)
ifadesinin değeri kaçtır ?
E) 1
Çözüm :(Cevap A)
tan x =
4
ise
3
sin x =
,
cos x =
bulunur.
=
= sin x - cos x =
-
=
ÖRNEK:ÖYS-1985
a = sin5o
b = sin85o
c = sin105o
olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur ?
A) a < b < c
B) a < c < b
C) b < a < c
D) b < c < a
E) c < b < a
Çözüm :(Cevap B)
sin105o = sin(180o - 75o) = sin75o
0o ile 90o arasında açı artarken açının sinüs değeri de artacağından
sin5o < sin75o = sin105o < sin85o
a < c < b ' dir.
12
ÖRNEK:
cos2(x-y)+sin2(x+y) nin değeri aşağıdakilerden hangisidir ?
A) 1+cos2xsin2y
B) 1+sin2xcos2y
C) 1+sin2xsin2y
D) 1+cos2xcos2y
E) 1-sin2xsin2y
Çözüm :(Cevap C)
sin2(x+y) = 1-cos2(x+y) olduğundan
cos2(x-y)+sin2(x+y) = cos2(x-y)-cos2(x+y)+1
= [cos(x-y)-cos(x+y)]. [cos(x-y)+cos(x+y)]+1
cos a - cos b = -2sin (
).sin(
cos a + cos b = 2cos (
).cos(
)
)
Formülerini uygularsak ;
cos2(x-y)+sin2(x+y) = -2sinx.sin(-y).2cosx.cos(-y) + 1
= 2sinxcosx.2sinycosy + 1
= sin2xsin2y + 1
ÖRNEK:ÖYS-1988
ABCD bir dikdörtgen, E noktası [CD] üzerinde, IABI=15birim,
IADI=6birim, m(D E) = m(C B) =
Yukarıdaki verilere göre tan
A)
B)
C)
D)
nın değerlerinden biri nedir ?
E)
Çözüm :(Cevap B)
IECI=x dersek IDEI=15-x olur.
EBC üçgeninden
=
,
ADE üçgeninden tan
=
bulunur. Buna göre
 36 = 15x - x2 denklemin köklerinden x=12 veya x=3' tür.
=
tan
tan
=
=
veya
tan
=
= 2 dir.
13
ÖRNEK:ÖYS-1988
sin95o , cos190o , tan210o işaretleri aşağıdakilerin hangisinde doğru olarak verilmiştir ?
sin95o cos190o
A)
B)
C)
D)
E)
+
+
+
tan210o
+
+
-
+
+
+
Çözüm :(Cevap E)
II. bölgede sin > 0
III. bölgede cos < 0 , tan > 0
olduğundan işaretler sırasıyla +, - , + ' dır.
ÖRNEK:ÖYS-1989
cos 36o =
A)
olduğuna göre, cos72o kaçtır ?
B)
C)
D)
E)
Çözüm :(Cevap A)
Yarım açı formülünden ;
cos2x = 2cos2x - 1
ise cos72o =2cos236 - 1 =
=
ÖRNEK:ÖYS-1991
=1
olduğuna göre, cos2x aşağıdakilerden hangisine eşittir ?
A)
B)
C)
D)
E)
Çözüm :(Cevap A)
2sin4x = sin2x
cos 2x =
,
 2.2sin2xcos2x=sin2x
2cos2x - 1 =
,
cos2x =
14
ÖRNEK:ÖYS-1992
=2
denklemini sağlayan dar açı x aşağıdakilerden hangisidir ?
A) 15
B) 25
C) 30
D) 35
E) 45
Çözüm :(Cevap C)
=2
Her iki tarafın karesini alırsak ;
1+sin2x = 6sin22x
6sin22x -sin2x-1=0
(3sin2x+1)(2sin2x-1)=0
sin 2x = -
veya

3sin2x+1=0 veya 2sin2x-1=0
sin 2x =
x dar açı olduğundan pozitif değeri alırız.
2x = 30o
2x = 150o
veya
x =15o
x = 75o
ÖRNEK:ÖYS-1994
cos x - sin x =
A)-
B) 1
olduğuna göre, cos2x in değeri aşağıdakilerden hangisidir ?
C)
D)
E)
Çözüm :(Cevap C)
Oranlara göre dik üçgen çizersek ;
Her iki tarafın karesini alırsak ;
(cos x - sin x)2 = (
)2
cos2 x - 2cosxsinx + sin2x =
1 - sin2x =
cos2x =
7
bulunur.
4
 sin2x =
15
ÖRNEK:ÖYS-1997
ABC bir üçgen, m(B C) = 120o , IABI=4cm , |BC| =
IACI= x cm
,
Yukarıdaki verilere göre, IACI = x kaç cm dir ?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
Çözüm :(Cevap A)
Cosinüs teoreminden
(
)2 =42 + x2 - 2.4.x.cos120o
61 = 16 + x2 - 8x. (-
)
x2 + 4x - 45 = 0
x1 = -9
x2 = 5
Uzunluk negatif olamayacağından x = 5 ' tir.
BU ÇALIŞMANIN SİZLERE BAŞARI VE MUTLULUK
GETİRMESİNİ TEMENNİ EDERİZ…
16