yığık sistem çözümlemesi

advertisement
Heat and Mass Transfer: Fundamentals & Applications
Fourth Edition
Yunus A. Cengel, Afshin J. Ghajar
McGraw-Hill, 2011
Bölüm 4
Zamana Bağlı Isı İletimi
Hazırlayan:
Yrd.Doç.Dr. Nezaket Parlak
Bu Bölümün Amaçları:
• Yerel sıcaklık değişiminin ihmal edilebildiği ve zamana göre
değişimi neredeyse üniform olduğunda, basitleştirilmiş yığık
çözümlemenin uygulanabilirliği değerlendirilebilmelidir.
• Değişkenleri ayırma metodu kullanılarak kartezyen,
silindirik ve küresek geometrilerde zamana bağlı tek
boyutlu iletim problemlerinin analitik çözümleri elde
edilebilmeli ve tek terim çözümünün genellikle uygun bir
yaklaşım olduğunun sebebi araştırılabilmelidir.
• Benzerlik değişkenleri kullanılarak büyük ortamlarda
zamana bağlı iletim problemleri çözülebilmeli, zamana ve
açık yüzeye olan uzaklığa bağlı olarak sıcaklık değişimi
tahmin edilebilmelidir.
• Çarpım çözüm yaklaşımı kullanılarak çok boyutlu zamana
bağlı iletim problemlerinie çözüm getirilebilmelidir.
2
YIĞIK SİSTEM ÇÖZÜMLEMESİ
Isı geçişi çözümlemelerinde,
bazı cisimlerin ısı geçişi işlemi
boyunca iç sıcaklığı üniform
kalan bir yığın gibi davrandığı
gözlenir.
Bu tür cisimlerin sıcaklığının
yalnız zamanın fonksiyonu
T(t) olarak değiştiği kabul
edilebilir.
Bu idealleşmeyi kullanan ısı
geçiş çözümlemesi yığık
sistem çözümlemesi olarak
adlandırılır.
Fırına konulmuş bakır bir top,
heryerinde
sıcaklıkları
eşit
olduğundan, yığık sistem olarak
görülebilir fakat bir et parçası
içindeki sıcaklık üniform değildir.
3
dt süresince cisme
olan ısı geçişi
İntegrali ;
t = 0 ‘da
t = t ‘da
T = Ti
T = T(t)
dt süresince
cismin
enerjisindeki
artış
Yığık sistem
çözümlenmesindeki geometri
ve parametreler
Zaman
sabiti
4
• Bu denklem herhangi bir t
anında, belirli bir T(t) sıcaklığa
erişebilmek için gerekli t
zamanını bulma imkanı verir.
• Cismin sıcaklığı T çevre
sıcaklığına üstel olarak yaklaşır.
Farklı zaman sabitleri (b) için
sıcaklığın zamanla değişimi
-Zaman ilerledikçe yığık sistemin
sıcaklığı çevre sıcaklığına yaklaşır.
• Cismin sıcaklığı T başlangıçta
hızlıca değişir, fakat daha
sonraları iyice yavaşlar. Büyük
b değerleri cismin kısa
zamanda çevre sıcaklığına
yaklaşacağını gösterir. B üssü
ne kadar büyük olursa
sıcaklıktaki azalma o kadar
yüksek olur. B üssü yüzey alanı
ile doğru, ancak cismin kütlesi
ve özgül ısısı ile ters orantılıdır.
• Büyük özgül ısıya sahip daha
büyük bir kütleyi ısıtmak veya
soğutmak uzun zaman alır. 5
Bir t anında, T(t) sıcaklığı
bilindiğinde cisim ile çevresi
arasındaki taşınım ısı geçiş hızı;
t = 0’dan t anına kadar olan zaman
aralığı üzerinden cisim ile çevre
ortam arasındaki toplam ısı geçişi:
Cisim ile çevresi arasındaki
maksimum ısı geçiş hızı:
Cisim T sıcaklığına
ulaştığında ısı geçiş miktarı
maksimuma ulaşır.
6
Yığık Sistem Çözümlemesinin Ölçütü
Karakteristik
uzunluk
Biot sayısı
Yığık sistem çözümlemesi
uygulanabilirliği
Eğer Bi  0.1, sıcaklığın cisim
içinde konumunun önemsiz olduğu
(Çevre sıcaklık farkları (T −T)
birbirlerinin %5 içerisinde kalır) ve
üniform olduğu kabul edilir.
Cisim yüzeyinde taşınım
Cisim içerisinde iletim
Cisim içerisindeki iletim direnci
Cismin yüzeyindeki taşınım direnci
7
8
Yüksek ısıl iletkenlikli
ve düşük taşınım
katsayılı küçük
cisimlerin yığık sistem
çözümlemesi ölçütünü
sağlaması gerekir.
Taşınım katsayısı h yüksek ve k düşük
olduğu zaman, büyük bir katı cismin iç
ve dış bölgeleri arasında büyük
sıcaklık farkı oluşur.
Katı bir cisme olan ısı geçişi ile bir
adaya yolcu trafiği arasında benzerlik
bulunur.
9
Örnek: Termokupullarla ölçme
10
Örnek: Termokupullarla ölçme, devamı
11
Örnek: Ölüm saatini tahmin etme
12
BÜYÜK DÜZLEM DUVAR, UZUN SİLİNDİR VE
KÜRELERDE YERE VE ZAMANA BAĞLI ISI İLETİMİ
Bu bölümde düzlem levha, silindir ve küre için
zamana ve konuma bağlı, tek boyutlu problemler
ele alınacaktır.
Yüzeylerinden taşınıma açık bir düzlem
duvarda Ti >T Durumu için zamana
bağlı sıcaklık grafikleri
İçinde ısı geçişinin
tek boyutlu olduğu
basit geometriler
13
Tek boyutlu zamana bağlı ısı iletimi denkleminin
boyutsuzlaştırılması
Diferansiyel denklem:
Sınır şartları:
Başlangıç şartı:
Boyutsuz diferansiyel denklem:
Boyutsuz sınır şartları:
Boyutsuz başlangıç şartı:
14
Boyutsuz sıcaklık
Merkeze olan boyutsuz uzunluk
Boyutsuz ısı geçiş katsayısı, Biot sayısı
Boyutsuz zaman, Fourier sayısı
Boyutsuzlaştırma tek boyutlu
ısı iletim probleminde
bağımsız değişken sayısını
8’den 3’e indirir ve sonuçların
sunumunda büyük kolaylıklar
sağlar.
15
Tek boyutlu zamana bağlı ısı iletimi probleminin
tam çözümü
16
Tek boyutlu zamana bağlı ısı iletimi probleminin
tam çözümü
Düzlem duvar, silindir ve küre için;
17
Zamana bağlı ısı iletim
problemlerinin analitik
çözümleri, genellikle sonsuz
serileri ve dolayısıyla belirli bir
konum ve anda sıcaklığı
hesaplamak üzere sonsuz
sayıda terim bulmayı gerektirir.
Yandaki şekilde görüldüğü gibi n
ve lamda sayısı arttıkça üstel
olarak azalan fonksiyondan
dolayı terimler giderek azalır.
Bu nedenle boyutsuz sıcaklığı
hesaplamak için sonsuz serinin
genellikle ilk birkaç teriminin
bulunması yeterlidir.
18
Yaklaşık analitik ve grafik çözümler
Seri çözümlerinde yer alan terimler zaman arttıkça hızla yakınsar ve
 > 0,2 için serilerin ilk terimi alınıp diğerleri ihmal edildiğinde %2’nin
altında bir hatayla çözüm sonuçlanır.
İlk terim yaklaşımı ile çözüm;
19
20
(a) Orta düzlem sıcaklığı
Zamana bağlı sıcaklık ve ısı geçişi grafikleri
(Heisler ve Grober) Ti başlangıç sıcaklığına sahip iki
tarafında h taşınım katsayısı ile T sıcaklığına sahip 2L
kalınlıklı bir düzlem duvar için zamana bağlı sıcaklık ve ısı
geçişi grafikleri
21
(b) Sıcaklık dağılımı
22
(c) Isı geçişi
23
Düzlem levhada, silindirde ve kürede herhangi bir konumda
boyutsuz sıcaklıklar:
Sonlu taşınım katsayısı
Sonsuz taşınım katsayısı
Belirli yüzey sıcaklığı, sonsuz h taşınım katsayısıylaT sıcaklığındaki bir
çevreye olan taşınım durumuna karşılıktır.
24
Belirlenen bir zamana kadar olan
toplam ısı geçiş kesri Q/Qmaks
Gröber grafikleri kullanılarak
bulunabilir.
25
Fourier sayısının önemi
L3 hacimli cismin L uzunluğu
Boyunca iletilen ısının hızı
L3 hacimli cisimde ısı depolama
hızı
• Fourier sayısı, cisim
içerisinde iletilen ısının
depolanan ısıya oranının
bir ölçütüdür.
• Büyük Fourier sayısı,
ısının cisim içerisinde
daha hızlı yayıldığını
gösterir.
t zamanındaki Fourier
sayısı o zamanda iletilen
ısı miktarının depolanan
ısı miktarına oranı olarak
görülebilir.
26
Örnek: Yumurtanın kaynatılması
27
Örnek: Pirinç plakanın fırında ısıtılması
28
Örnek: Pirinç plakanın fırında ısıtılması, devamı
29
Örnek: Uzun silindirik paslanmaz çelik milin soğutulması
30
Örnek: Uzun silindirik paslanmaz çelik milin soğutulması, devamı
31
YARI-SONSUZ KATILARDA ZAMANA
BAĞLI ISI İLETİMİ
Yarı-sonsuz katı: Tek bir düzlem
yüzeyi olan ve diğer doğrultularda
sonsuza uzanan idealleştirilmiş
cisimdir. Bu idealleştirilmiş cisim,
yüzeydeki ısıl şartlar sebebiyle
yüzeye yakın oluşan sıcaklık
değişimini göstermek için kullanılır.
Yerküre, yüzeyinin yakınındaki
sıcaklık değişimleri hesaplanırken
yarı-sonsuz cisim olarak
düşünülebilir.
Yarı-sonsuz bir cisim
Isının cisim içinde derinlere nüfuzu için
yeterli zaman olmadığı için çoğu cisimler
kısa zaman diliminde yarı-sonsuz katı
olarak modellenir, ısı geçişi hesabına
kalınlık katılmaz.
Kalın bir duvarda eğer yüzeylerden
birinin yakınındaki bölgede sıcaklık
değişimiyle ilgileniliyor ve diğer
yüzey herhangi bir etkiye uzak ise,
bu duvar yarı-sonsuz olarak
modellenebilir.
32
Yüzeyde Ts sabit sıcaklığı için analitik çözüm
Diferansiyel denklem:
Sınır şartları:
Başlangıç şartı:
Benzerlik değişkeni:
Hata
fonksiyonu
Tamamlayıcı hata
fonksiyonu
Isı iletimi denkleminin
türevlerindeki değişkenlerin
zincir kuralıyla dönüşümü.
33
Tamamlayıcı hata fonksiyonu
Hata fonksiyonu, değeri 0 ila 1
arasında değişen ve aynen sinüs ve
tanjant gibi standart bir matematiksel
fonksiyondur.
34
Yüzeydeki
farklı sınır
koşulları için
analitik
çözümler
35
Yüzeyi sabit Ts
sıcaklığında tutulan yarısonsuz bir cisimde
zamana bağlı ısı iletimi
için boyutsuz sıcaklık
dağılımı.
36
37
38
Başlangıçta Ti sıcaklığında, yüzeyinden T∞ sıcaklığındaki çevreyle
arasında h ısı geçiş katsayısıyla taşınım yapan yarı-sonsuz bir cisimde
sıcaklığın koordinat ve zamanla değişimi.
39
Örnek: Su borularının donmasını önleyecek minimum gömülme derinliği
40
Örnek: Su borularının donmasını önleyecek minimum gömülme derinliği
41
İki Yarısonsuz Katının Teması
Başlangıçta üniform sıcaklıkları TA,i ve TB,i olan
büyük A ve B cisimleri birbirleri ile temas ettirildiği
zaman, temas yüzeyinde sıcaklıkları hemen
eşitlenir.
Eğer iki cisim aynı sabit özellikli malzemeden ise
ısıl simetri , temas yüzey sıcaklığının
Ts = (TA,i+TB,i)/2 aritmetik ortalama olmasını
gerektirir ve bütün zamanlarda bu değer sabit kalır.
Eğer cisimlerin malzemeleri farklı ise sıcaklıkları Farklı başlangıç sıcaklıklarına
yine eşitlenir; fakat bu durumda Ts yüzey sıcaklığı sahip iki yarısonsuz katının teması
ortalama değerden farklı olur.
Temas yüzeyinde
enerji dengesi
Temas yüzey
sıcaklığı
Temas ettirilen iki cismin ortak
yüzey sıcaklığında , daha büyük
kcp’ye sahip cisim baskın olur.
ÖRNEK: Deri sıcaklığı 35C olan bir insan, alüminyum ve tahta bloklara dokunduğu
zaman, temas yüzeyindeki sıcaklık alüminyum için 15.9C ve tahta blok 30C
olmaktadır.
42
ÇOK BOYUTLU SİSTEMLERDE ZAMANA BAĞLI
ISI İLETİMİ
•
Zamana bağlı grafikler ve analitik çözümler, geniş düzlem duvar, silindir, küre ve
yarısonsuz ortamlardaki tek boyutlu ısı iletim problemlerinde sıcaklık dağılımını
ve ısı geçişinin bulmak için kullanılır.
•
Bu grafik çözümler çarpım çözümü olarak bilinen bir yaklaşım kullanılarak, kısa
silindir, uzun dörtgen çubuk veya yarısonsuz silindir veya plaka gibi geometrilerde
iki boyutlu zamana bağlı ısı iletim problemlerinde ve hatta katının tüm yüzeyi aynı
akışkanla taşınım yapması durumunda ve ısı üretimi olmaması kaydıyladikdörtgen prizma veya yarısonsuz dikdörtgen çubuk gibi geometrilerde üç
boyutlu problemlere çözüm oluşturmak için kullanılır.
•
Çok boyutlu geometrilerde çözüm, ara kesiti çok boyutlu geometri olan tek
boyutlu geometrilerin çarpımı olarak ifade edilebilir.
Bütün yüzeylerden taşınıma
açık kısa bir silindirdeki
sıcaklık hem radyal hemde
eksenel doğrultuda değişir ve
bu yüzden ısı her iki
doğrultuda aktarılır.
43
Üniform başlangıç sıcaklığı Ti, yüksekliği a ve yarıçapı ro olan kısa bir silindir
dikkate alınsın. Silindirde ısı üretimi yoktur. t=0 anında bütün yüzeylerden, sıcaklığı
T olan bir ortama h ısı taşınım katsayısı ile taşınım söz konusudur. Isı geçişi hem
yanal yüzeylerden hem de alt üst yüzeylerden olur ve sıcaklık T(r,x,t)’dir.
Yüksekliği a ve yarıçapı ro olan kısa bir silindirde çözüm, a kalınlıklı tek boyutlu
düzlem duvar ile ro yarıçaplı uzun silindir için boyutsuz çözümlerin çarpımına eşittir.
Yarıçapı ro ve yüksekliği a
olan kısa bir silindir, a
kalınlıklı düzlem duvar ile
ro yarıçaplı uzun silindirin
ara kesitidir.
44
Şekildeki gibi axb kesit alanlı uzun katı bir çubuk için çözüm a ve b
kalınlıklı iki sonsuz düzlem duvarın ara kesitidir.
a  b dikdörtgen kesitli uzun katı bir
çubuk, kalınlıkları a ve b düzlem
duvarların ara kesitidir.
45
Tek boyutlu iki geometrinin oluşturduğu iki boyutlu bir
geometri için zamana bağlı ısı iletimi,
Tek boyutlu üç cismin ara kesitlerinin oluşturduğu üç
boyutlu bir cisim için zamana bağlı ısı iletimi
46
Ti başlangıç sıcaklığında, bütün yüzeyleri T sıcaklıklı ortamdaki taşınıma
açık cisimler için tek boyutlu çözümlerin çarpımı olarak ifade edilen çok
boyutlu çözümler.
47
Ti başlangıç sıcaklığında, bütün yüzeyleri T sıcaklıklı ortamdaki taşınıma
açık cisimler için tek boyutlu çözümlerin çarpımı olarak ifade edilen çok
boyutlu çözümler.
48
Örnek: Kısa pirinç silindirin soğutulması
49
Örnek: Kısa pirinç silindirin soğutulması
50
Örnek: Uzun bir silindirin suyla soğutulması
51
Örnek: Uzun bir silindirin suyla soğutulması
52
Özet
• Yığık sistem analizi
 Yığık sistem çözümlemesi kriteri
 Yığık sistemlerde ısı geçişi
• Geniş düzlem duvarlarda, silindir ve kürlerde zamana bağlı
ısı iletimi
 Tek boyutlu zamana bağlı ısı iletimi denkleminin
boyutsuzlaştırılması
 Tek boyutlu zamana bağlı ısı iletimi denkleminin tam çözümü
 Yaklaşık analitik ve grafik çözümler
• Yarısonsuz cisimlerde zamana bağlı ısı iletimi denkleminin
 İki yarı sonsuz cismin teması
• Çok boyutlu zamana bağlı ısı iletimi denklemi
53
Download