Sayfa:2 GERİ GERİ Tanım: Bir x0 A = [a,b] alalım. f : A R ye veya f : A -{x0} R ye bir Fonksiyon olsun Terimleri A - {x0} Cümlesine ait ve x0’a yakınsayan her ( xn) dizisi için (f(xn)) fonksiyon değerleri dizisi daima sonlu bir L R sayısına yakınsıyorsa bu L sayısına f f ( x) L şeklinde gösterilir. fonksiyonunun x0 noktasındaki limiti denir ve lim xx0 Tanımdan da görüldüğü gibi limit noktasının Fonksiyonunun tanım cümlesine ait olma zorunluluğu yoktur yani x0 noktasında fonksiyon tanımsız olsa bile bu noktada limit mevcut ola bilir. y 1 2 x Yandaki şekilde x=2 için fonksiyon tanımsız olmasına rağmen aynı noktada fonksiyonun limiti var ve 1’dir. Örnek: lim x3 x 2 2 x 15 ? x 3 Çözüm: x = 3 için f(x) tanımlı değildir. Yani x = 3 için kesrin pay ve paydası sıfır olur ve sıfıt ile bölme tanımlanamaz, bu tanımsızlığı ortadan kaldırdıktan sonra limite geçilir. x 3, x-3 0 olduğundan pay ve paydayı x-3 ile bölelim. x 2 2 x 15 ( x 3)( x 5) lim x3 lim x3 lim x3 ( x 5) 3 5 8 bulunur. x 3 x 3 Sonuç: Bir f(x) fonksiyonunun herhangi bir noktada limitinin olması için o nokta da tanımlı olmak zorunda değildir. y f (x ) 1.X değişkeni bir c noktasına azalan değerlerle (yani sağdan) yaklaştığı zaman bir limiti mevcutsa bu limite fonksiyonun x = c noktasındaki sağdan limiti denir ve lim xc f ( x) şeklinde gösterilir. 2. X değişkeninin c noktasına artan değerlerle (yanı soldan) yaklaştığı zaman bir limiti mevcutsa bu limite fonksiyonun x = c noktasındaki soldan limiti denir ve lim xc f ( x) şeklinde gösterilir. Bir f(x) fonksiyonunun limtinin olabilmesi için sağdan ve soldan limitlerinin birbirine eşit olması gerekir. . L . x c x y L f (x ) x c x Sağdan ve soldan limitler her zaman sürekli olmayan aşağıdaki dört çeşit özel tanımlı fonksiyonlarda uygulanır. 1. Parçalı sürekli fonksiyonlar 2. Mutlak değer fonksiyonlar 3. İşaret fonksiyonlar 4. Tam değer fonksiyomlar bu fonksiyonların dışındaki sürekli fonksiyonlardan sağdan ve soldan limitler birbirine eşit olduğundan doğrudan limit alınır. ÖRNEK1: f :RR f ( x) x 2 2 , x 3ise 3 x 4 , x 3ise 3- 3 3+ Yukardaki fonksiyonun tanımından da görüldüğü gibi 3’ün sağında ve solunda fonksiyon değişik değerler almıştır. Bu kritik noktada limiti bulalım: lim x3 f ( x) lim x3 ( x 2 2) 32 2 11 lim x3 f ( x) lim x3 (3x 4) 3.3 4 5 lim x3 f ( x) lim x3 f ( x) olduğundan lim x3 f ( x)' in limiti mevcut değildir. ÖRNEK2: f :RR 2 x 1, x 3 f ( x) 0, x 3 Fonksiyonunun x = 3 ve x = 4 noktalarında limitleri nedir? ÇÖZÜM: lim x3 f ( x) lim x3 f ( x) lim x3 (2 x 1) 2.3 1 5 lim x4 f ( x) lim x4 f ( x) lim x4 (2 x 1) 2.4 1 7 NOT: x’in 3 den farklı bütün değerleri için f(x) = 2x-1 olduğuna ve limitlerinin bulunduğuna dikkat ediniz. ÖRNEK1: f : R 1 R f ( x) 1 x 1 x ÇÖZÜM: Fonksiyonunun x = 1 noktasında sağdan ve soldan limitini bulunuz. x X 1-x - 1 + + - 1-x -(1 - x) lim x1 f ( x) lim x1 (1 x) 1 1 0 lim x1 f ( x) lim x1 (1 x) 1 1 2 ÖRNEK2: f : R R, f ( x ) x 2 4 Fonksiyonun x = 2 noktasında sağdan ve soldan limiti bulunuz. Bu noktadaki f(x)’in limiti var mıdır? ÇÖZÜM: X - x2 - 4 + -2 2 + - + -x2+4 x2-4 lim x2 f ( x) lim x2 ( x 2 4) 22 4 0 lim x2 f ( x) lim x2 ( x 2 4) 22 4 0 lim x2 f ( x) lim x2 f ( x) lim x2 f ( x) 0. Yani x = 2 noktasında f(x)’in limiti vardır ve sıfırdır. ÖRNEK1: f : R R, f ( x) Sgn( x 3) Fonksiyonunun x = 3 noktasında limitini araştıralım. ÇÖZÜM: X x-3 - 3 + - + -1 1 lim x3 f ( x) lim x3 sgn( x 3) lim x3 (1) 1 lim x3 f ( x) lim x3 sgn( x 3) lim x3 (1) 1 NOT: işaret fonksiyonların grafiklerinden de biliyoruz ki fonksiyonlar işaret değiştirdiği kritik noktalarda soçrama yaptığı için sağdan ve soldan limitleri farklıdır. Dolayısıyle bu noktada limitleri yoktur. ÖRNEK2: f : R 3 R x3 f ( x) sgn x3 Fonksiyonunun x = -3 noktasında sağdan limitini bulunuz? ÇÖZÜM: x3 lim x3 1 1 lim x3 f ( x) lim x3 sgn x 3 X - -3 + x+3 - + ÖRNEK3: lim x0 (sgn x x x ) Limitini hesaplayınız ÇÖZÜM: lim x 0 (sgn x x ) 1 (1) 1 1 0 x x lim x 0 (sgn x ) 0 ‘dır. x Tam değer fonksiynu x R için x’den küçük olan en büyük tam sayıya tamdeğer x denir ve x sembolüyle gösterilir. Tamdeğer fonksiyonunda limit bulunurken x x x 1 oldığundan sağdan yaklaşırken aynı değer alınır. Soldan yaklaşırken aynı değerin bir eksiği alınır. NOT: Limit alınıtken önce fonksiyon limit noktasında tanımlanır. Sonra limite geçirilir. Çünkü tamdeğer fonksiyonu sabit fonksiyondur. ÖRNEK1: lim x2 3 3 x ? lim x2 3 3 1,99.. lim x2 3 1,1.. lim x2 3 1 lim x2 2 2 ÖRNEK2: f ( x) x 2 4 sgn( 2 x) x 2 x lim x2 f ( x) ? ÇÖZÜM: Önce fonksiyonu 2’nin sağ tarafındaki değerini bulalım. X -2 2 x2 - 4 + - + 2-x + + - lim f ( x) lim x 2 ( x 2 4 1 0 x) lim x 2 ( x 2 5 x) 2 2 5 2 1dir. LİMİT TEOREMLERİ: f : A R, g : A R Tanımlı iki fonksiyon ve lim xa f ( x) P, lim xa g ( x) q olsun. 1. a)Sabit bir sayının limiti o sayıya eşittir.lim xa c c dir. b)Sabit terim limitin dışına alınabilir. i) t R lim xa (txn ) t lim xa x n ta n ii) lim xa x n a n , lim xa ( x n ) a n n n n iii) lim xa f ( x) (lim xa f ( x)) p 2. Toplamın limiti, limitlerin toplamına eşittir. lim xa ( f g ) ( x ) lim xa f ( x) g ( x) lim xa f ( x) lim xa g ( x) p q ÖRNEKLER: lim x3 (2 x 5) 2 lim x3 x lim x3 5 2.3 5 1 lim x2 7 x 7 lim x2 x 7.2 14 lim x3 ( x 3x 1) lim x3 x 3 lim x3 x lim x3 1 3 3.3 1 1 2 2 2 x 1 lim x2 ( x 1) 2 1 3 lim x2 3 x 1 lim x2 ( x 1) 2 1 1 lim x2 20 x lim x2 (20 x ) 20 2 16 4 2 2 2 1.lim xa sin x sin a; lim xa cos x cos a lim xa tan x tan a; (cos a 0) lim xa cot anx cot ana; (sin a 0) sin x x lim x 0 1 2. lim x 0 x sin x Sonuç: sin Px p sin px p lim x0 ; lim x0 qx q sin qx q tan x x 3.lim lim x 0 1 x 0 x tan x Sonuç: lim x0 tan p p tan px p ; lim x0 qx q sin qx q ÖRNEKLER: sin 3x sin 3x lim x 0 3 lim x 0 3.1 3 x 3x 2 2 2 sin x sin x sin x lim x0 lim x0 lim x0 1 2 x x x lim x0 3 sin 2 x sin 2 x 3 sin 2 x 3 lim x0 . lim x0 lim x0 2.3 6 x. cos 2 x x cos 2 x x cos 2 x sin x sin x x. cos x sin x x. cos x lim x0 lim x0 cos x 1 1 2 lim x0 lim x0 x x x x 1) lim x2 2) lim x 1 x2 4 0 ( x 2)( x 2) lim x2 lim x2 ( x 2) 2 2 4 x2 0 ( x 2) 2( x 1) 0 2( x 1)( x 1) lim x1 0 x 1 ( x 1) lim x1 ( x 1) 2( 1 1).2.2 4 3) lim x 3 lim x 3 x 3 27 0 lim x 3 2 x 9 0 x 3 33 x 2 32 ( x 3)( x 2 3 x 9) 32 3.3 9 ( x 3)( x 3) 33 27 9 3 2 6 2 2 Bu tür belirsizlikleri dizilerdeki gibi sadeleştirme işlemiyle ortadan kaldırabileceğimiz gibi aşağıda göstereceğimiz pratik yolları da kullanabiliriz lim x a1 x p a2 x p 1 .... b1 x q b2 x q 1 .... şeklindeki bir limitte i) Eğer p=q ise yani iki polinomun dereceleri eşitse limitin a1/b1 dir. Başka bir deyişle limit en büyük dereceli terimlerin önündeki katsayıların oranıdır. 2 x 3x 2 3 ÖRNEK: lim x 2x2 5 2 ii) p<q ise yani paydanın derecesi payın derecesinden büyük ise limit sıfır dır. ÖRNEK: lim x 3x 1 3x 1 0 , lim 0 x 3 2 x 2x x x iii) p>q ise yani payın derecesi paydanın derecesinden büyükse limit veya dur. ÖRNEK: lim x x 3 3x ()31 () 2 x 3 ÖRNEK: lim x 2 x 3 6 x 2 5x 2 lim x 3x 4 lim x 5 2 2x 3 x 6 2 x x 3x 4 3 5 2 x 2 6 2 x x x 4 x 3 x 20 600 2 6 30 3 (a b)( a b) a 2 b 2 Bu tür belirsizliklerin giderilmesi için a b eşitliğinden ab ab yararlanacağız. ÖRNEK: lim x 2 x 2 x 2 x 3 lim x 2 2 2x 2x lim x 2 2 x 3 2 x 2 x 2 2 2x2 2x 2x2 3 2 x 2 2 x (2 x 2 3) 2 3 2 x 2 x 2 2 x x 2 2x 3 2 Devamı: lim x lim x 2x 3 2 3 x 2 x 2 2 x x x 3 x 2 x 2 3 2 2 2 x x 20 20 20 2 2 2 2 2 2 2 2 lim x p( x) İfadesinin limitini araştırırken önce p(x)’in derecesi belirlenir. i) p(x)’in derecesi çift ise lim x p( x) ii) p(x)’in derecesi tek ise lim x p( x) lim x p( x) lim x (an x n x n 1 .... a1 a0 ) lim x an x n dir yani sadece en büyük üslü terinim limitini almak yeterlidir. ÖRNEK: lim x (3x 5 2 x 3 x 2 4) lim x 3x 5 lim x 2 1 4 x 3 2 3 5 .3 x x x 5 Tanımı: f(x) fonksiyonu x = a noktasında aşağıdaki 3 şartı sağlıyorsa o noktada süreklidir. i) f(x) fonksiyonu x = a noktasında tanımlı olması ii) lim xa f ( x) L limiti olmalı iii) lim xa f ( x) f (a) L olmalıdır. f ve g fonksiyonları x = a noktsında sürekli iki fonksiyon olduğuna göre: R 1) olmak üzere .f fonksiyonu da x = a noktasında süreklidir. 2) f+g, f-g, f.g fonksiyonlar da x = a noktasında süreklidir. 3) g ( a ) 0 olmak üzere: f/g, 1/g, -g fonksiyonları da x = a noktasında süreklidir. 4) fog, f , n f , f n fonksiyonlarda x = a noktasında süreklidir. ÖRNEK: f :R R fonksiyonu x 1, x 0 Şeklinde tanımlanan f(x) fonksiyonu x = 0 noktasında sürekli olması f ( x ) a , x 0 için a ne olmalıdır. x 3 1, x 0 ÇÖZÜM: i) ii) f ( x), x 0 noktasında tanımlıdır. lim x0 f ( x) lim x0 ( x3 1) 1 lim x0 f ( x) lim x0 ( x 1) 1 f (0) a lim x0 f ( x) 1 eşitliğinde a = 1 dir. SORULAR: 1. 3 lim x 1 5 ? x a)2 b)5 c)6 d)8 e)10 2. x 2 7 x 10 ? lim x2 x2 a)-5 b)-3 c)-2 d)3 e)7 x2 3. lim x 2 ? 3 2x 5 a)-3 b)-1 c)0 d)1/2 e)3 x 1 4. lim x 1 ? 1 x a)2 b)1 c)1/2 d)-1 e)-2 x 3 , x 1 5. f : R R, f ( x) 0, x 1 lim x1 f ( x) lim x1 f ( x) ? 1 , x 1 3 a)-1/3 b)0 c)1/3 d)2/3 e)1 3 x,2 x 1 lim x1 f ( x) lim x1 f ( x) ? 6. f : 2,3 R, f ( x) 0, x 1 2 x 1,1 x 3 a)3 b)2 c)-1 d)0 e)-2 7. 2 x 1, x 0 f : R R, f ( x) 0, x 0 lim x0 f ( x) ? x 2 1, x 0 a)1 b)2 c)1/2 d)0 e)-1 x2 1 8. x 1 , x 1 f ( x ) 1, x 1 x 1, x1 9. f ( x ) x x... limh 0 2 İse lim x1 ifadesinin değeri nedir? a)3 b)2 c)1 d)0 e) f ( x h) f ( x) h İfadesinin eşiti nedir? a)2 b)x-1 c)2x-n d)-2x+1 e)2x-1 10. limx 0 2x 2 x x 3x ? a)0 b)3 c)3/5 d)-2 e)-3 11. lim 2 x x 3 x 3 ? a)0 b)3 c)9 d)18 e)27 4 x 2 sgn( x 2) 2 lim x2 3x ? x2 x x 12. a)23/3 b)45/3 c)27/16 d)1/3 e)16 13. lim x 0 x x 2 x 2 x2 2 ? 3 a)-4 b)-2 c)-1 d)0 e)2 14. lim x2 15. 16. lim x1 sin x 2 ? sin( x 2) sin x 1 ? sin( x 2) 1 lim x1 ? x 1 a)2 b)1 c)0 d)-1/2 e)-2 a)0 b)-1 c)sin1 d)-sin1 e) a)-1/2 b)0 c) d) e)limit yok 17. lim x 3 4x ? 2x 7 lim x x2 2 x 3 ? 3 x x4 a) b)3/2 c)3/7 d)-2 e)-3 18. a)2 b)1 c)0 d)-1 e) 3 3 lim x1 5 5 53 8 x (1) Cevap:D Geri lim x2 x 2 7 x 10 2.2 7.2 10 0 x2 22 0 Belirsizlik olduğundan çarpanlara ayırarak belirsizlikten kurtaralım. ( x 2)( x 5) lim x2 lim x2 ( x 5) 2 5 3 ( x 2) Cevap:B Geri x2 22 0 lim x2 0 3 2 x 5 3 2.2 5 Şeklinde bir belirsizlik vardır. Çarpanlara ayrılmadığından ifadenin pay ve paydasını 3 2 x 5 ile çarparak bu belirsizlikten kurtaralım. lim x2 ( x 2)(3 2 x 5 ) (3 2 x 5 )(3 2 x 5 lim x2 ( x 2)(3 2 x 5) ( x 2)(3 2 x 5 ) lim x2 9 (2 x 5) 2( x 2) 3 2 x 5 3 2.2 5 lim x2 3 2 2 Cevap:A Geri x 1 0 lim x1 0 1 x Belirsizliği var. Çarpanlara ayıralım. x 1 ( x 1)( x 1) lim x1 lim x1 1 x ( x 1) lim x1 ( x 1) ( 1 1) 2 Cevap: E Geri sol 1 sağ f(x)=x/3 f(x)=1/3 1 1 3 3 lim x1 f ( x) lim x1 lim x1 f ( x) lim x1 lim x1 f ( x) lim x1 x 1 3 3 1 1 2 3 3 3 Cevap:D Geri 1 -2 3 3 3-x 2x-1 lim x1 f ( x) lim x1 (2 x 1) 2.1 1 1 lim x1 f ( x) lim x1 (3 x) 3 1 2 lim x1 f ( x) lim x1 f ( x) 1 2 1 Cevap:C Geri 0 f ( x) 2 x 1 0 + x2 1 lim x0 f ( x) lim x0 ( x 2 1) 02 1 1 lim x0 f ( x) lim x0 (2 x 1) 2.0 1 1 X = 0 noktasında sağdan ve soldan limitler eşit olduğundan lim x0 f ( x) 1 Cevap:A Geri - 1 x2 1 f ( x) x 1 1 + x 1 lim x1 f ( x) lim x1 ( x 1) 1 1 2 lim x1 f ( x) lim x1 ( x 1)( x 1) 11 2 ( x 1) X = 1 noktasında sağdan ve soldan limitleri eşit olduğundan lim x1 f ( x) 2 Cevap:B Geri f ( x) x x, 2 f ( x h) ( x h) ( x h) 2 lim h0 f ( x h) f ( x ) ( x h) 2 ( x h) ( x 2 x ) lim h0 h h lim h0 h2 2 xh h x 2 2 xh h2 x h x 2 x lim h0 (h 2 x 1) lim h0 h h 0 2x 1 2x 1' dir. Cevap:D Geri 2x x 2 x x lim lim x0 x0 2 x 3x 2 x 3x 3x lim x0 lim x0 (3) 3 x Cevap:E Geri lim x3 (2 x x ) lim x3 (2 x 3) 3 3 (2.3 3) 3 27' dir . 3 3 ( x 3 iken x 3 Olduğuna dikkat ediniz. Cevap:E Geri 4 x 2 lim x2 x 2 sgn( x 2) 3x 2 x x 4 x 2 1 2 lim x2 3x x 2 x 1 (2 x)( 2 x) 1 2 lim x2 3x x 1 ( x 2) 1 1 23 2 ( 2 2 ) 3 . 4 lim x2 x 2 3x 2 1 3 x 1 2’nin sol tarafında özel tanımlı fonksiyonların nasıl tanımlandığına dikkat ediniz. Cevap:A Geri Sıfırın sol tarafında x x dir. Buna göre 3 2 x 2 lim h0 . lim h0 x 2 x 2 x 2 (1) . 0 2.0 2 1.2 2 3 2 Cevap:B Geri lim x 2 Sin x 2 0 0 sin( x 2) lim x 2 ( x 2) sin x 2 . x2 sin( x 2) lim x 2 sin x 2 . lim x 2 x2 x2 sin( x 2 sin x 2 x2 lim x 2 . lim x 2 1. 1 1' dir sin( x 2) x2 sin x x (lim x0 lim x0 1) x sin x Cevap:B Geri sin x 1 lim x1 sin( x 1) x 1 iken x 1 1 Sin ( 1) Sin1' dir . x 1 iken 1 Sin ( x 1) 0 Sin ( x 1) 1Bunagöre lim x 1 Sin x 1 Sin1 Sin1 Sin ( x 1) 1 Cevap:C Geri y f ( x) 1 x 1 fonksiyonunun grafiği yanda görülmektedir. Buna göre lim x1 f ( x) , lim x1 f ( x) olduğundan, yani f(x) fonksiyonun x = 1 noktasında sağdan ve soldan limitleri farklıdır,dolayısıyla x = 1 noktasında f(x)’in limiti yoktur. 1 -1 Cevap:E x Geri lim x 3 4x lim x 2x 7 II .Yol : n 3 3 x 4 4 4 x 2 7 7 2 x 2 2 x İken pay ve paydanın dereceleri eşitse pratik olarak limitin değeri ;eşit dereceli terimlerin katsayılarının oranıdır. Yani -4/2 =-2’dir Cevap:D Geri 2 3 x 1 2 1 2 3 x x lim x 1 4 1 4 2 x x 2 x x 1 0 0 1 0' dir . 00 2 Cevap: C Geri