SERBEST DÜŞME PROBLEMLERİ: Sadece yer çekimi ve cismin

SERBEST DÜŞME PROBLEMLERİ:
Sadece yer çekimi ve cismin hızı ile doğru orantılı hava direncinin etkisinde dikey
olarak düşen m kütleli bir cisim düşünelim yer çekimi ve kütleyi sabit kabul edip
uygunluk için aşağı yönü pozitif olarak seçelim Newton’un ikinci hareket yasası bir
cisme etki eden net kuvvet, cismin momentumunun zamanla değişim hızına eşittir.
Sabit kütle için
F  ma  m
dv
dt
geçerlidir. Burada F, cisme t anında etki eden net kuvvet, v ise t anındaki hızıdır.
Bu problemde cisme etkiyen iki kuvvet vardır:
1- Yer çekiminden doğan, cismin ağırlığı ile verilen ve mg ’ ye eşit olan kuvvet
2- Hava direncinden doğan k  0 bir orantı sabiti olmak üzere kv ile verilen
kuvvet burada negatiflik kuvvetin seçilen pozitif yönün tersinden etkimesindendir.
Sonuç olarak cisme etkiyen net kuvvet
F  mg  kv
olur.
F  ma  m
dv
 mg  kv
dt
dv k
 vg
dt m
olarak elde edilir.
Bu denklem birinci mertebeden lineer diferensiyel denklemdir ve genel çözümü
kt

mg
v
 Ce m
k
olarak bulunur.
Cismin ilk hızı sıfır olduğundan C  
mg
dır bu değer genel çözümde yerine yazılırsa
k
v
kt
 
mg 
m
1

e


k 

elde edilir. Bu ise cismin t anındaki hızını verir.
Hava direnci cismin hızı ile doğru orantılı olduğundan cismin hızı arttıkça hava
direnci de artacak ve bir süre sonra hava direnci cisme etkiyen yerçekimi kuvvetine
eşit olacaktır. Bu durumda cisme etkiyen net kuvvet sıfır olacaktır ve cismin hızı
sabit kalacaktır.
mg  kv1  0
olacağından son hızın değeri v1 
mg
olur ki bu son hızda genel çözümün (t  )
k
için limit değerine eşittir. Bu yüzden bu son hıza limit hız denir.
Örnek 1.1.2.1: Bir paraşütçü, paraşütü açıldığı anda 55ms 1 hız ile düşmektedir.
Eğer havanın direnci
Wv 2
N (W adam ile paraşütün toplam ağırlığıdır.) ise paraşütün
25
açılmasından t saniye sonraki hızı ne olur?
Çözüm 1.1.2.1: Buna göre hareket denklemi;
sistemin üzerindeki net kuvvet=sistemin ağırlığı-hava direnci
W dv
Wv 2
W 
g dt
25
dv
9.8

dt
v  25
25
2
bulunur ki
denklemin t=0 anında v=25 ve t=t,v=v sınırları arasında integrali alınırsa
v
t
dv
9.8
55 v2  25   25 0 dt
v
v 5
9.8
1
n

 
25 0
 10 v  5  55
n
v 5
5
9.8
 n 
t
v5
6
25
t
v  5 5  98
 e 25
v5 6
v5
6  5e
6  5e
Bulunur.

98
t
25

98
t
25
t