Her hakkı Millî Eğitim Bakanlığı`na aittir. Kitabın metin, soru ve

MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI YAYINLARI ............................................... 3342
DERS KİTAPLARI DİZİSİ ................................................................... 618
01.34.Y.0002.1822
Her hakkı Millî Eğitim Bakanlığı’na aittir. Kitabın metin, soru ve
şekilleri kısmen de olsa hiçbir surette alınıp yayımlanamaz.
GENEL KOORDİNATÖR
Yurdagül GÜNEŞ
İNCELEME KOMİSYONU
Ö. Faruk ERTÜRK, Galip KIR, İsmail BİLGİN
Dizgi Grafik
: Ajans YORUM
Kapak Tasarımı : Ajans YORUM
ISBN 975 - 11 - 1902 - 2
Millî Eğitim Bakanlığı, Talim Terbiye Kurulu’nun ...... / ...... / .... gün ve ..... sayılı
kararı ile ders kitabı olarak kabul edilmiş, Yayımlar Dairesi Başkanlığı’nın ..... / .....
/ ..... gün ve ...... sayılı yazıları ile ...... defa ...... adet basılmıştır.
VI
İÇİNDEKİLER
BÖLÜM 1 :
FONKSİYONLAR
1 - 54
Fonksiyon ..................................................................................................... 1
Ters Fonksiyon ............................................................................................... 2
Artan ve Azalan Fonksiyonlar ...................................................................... 3
Çift ve Tek Fonksiyonlar ............................................................................... 5
Fonksiyonlarda İşlemler ............................................................................... 7
Konu İle İlgili Uygulamalar ............................................................................... 8
Alıştırmalar ................................................................................................... 10
Özel Tanımlı Fonksiyonlar .......................................................................... 11
Parçalı Fonksiyonlar ..................................................................................... 11
Parçalı Fonksiyonların Grafiği ....................................................................... 12
Mutlak Değer Fonksiyonu ............................................................................. 13
Mutlak Değerli Fonksiyonların Grafikleri ........................................................ 13
İşaret (Signum) Fonksiyonu .......................................................................... 22
İşaret Fonksiyonunun Grafiği ........................................................................ 23
Tam Kısım Fonksiyonu ................................................................................. 25
Aralık Uzunluğu ............................................................................................ 31
Tam Kısım Fonksiyonlarının Grafikleri ........................................................... 32
Bir Fonksiyonun En Geniş Tanım Kümesi ................................................. 37
Tanım Kümelerinin Bulunuşu ........................................................................ 37
Alıştırmalar ................................................................................................... 40
Test I • A ....................................................................................................... 44
Test I • B ....................................................................................................... 46
Test I • C ...................................................................................................... 49
Test I • D ...................................................................................................... 52
BÖLÜM 2 :
FONKSİYONLARIN LİMİTİ
55 - 95
Diziler Yardımı ile Limit...............................................................................
Epsilon Tekniği ile Limit .............................................................................
Soldan ve Sağdan Limit ................................................................................
Özel Tanımlı Fonksiyonların Limitleri ........................................................
Parçalı Fonksiyonların Limiti .........................................................................
Mutlak Kısımlı Fonksiyonların Limiti ..............................................................
İşaret (Sgn) Fonksiyonlarının Limiti ...............................................................
Tam Kısım Fonksiyonunun Limiti ...................................................................
Sonsuz için Limit ........................................................................................
Fonksiyonların Limiti ile İlgili Teoremler .........................................................
Alıştırmalar ...................................................................................................
Limitte Belirsizlik Durumları .......................................................................
55
56
58
60
60
60
61
63
65
67
72
75
0
Belirsizliği ............................................................................................... 75
0
Trigonometrik Fonksiyonların Limitleri ........................................................... 77
VII

Belirsizliği ........................................................................................ 80

   Belirsizliği ........................................................................................ 83
0 .  Belirsizliği ........................................................................................ 84
Alıştırmalar ................................................................................................... 86
Test 2 • A ...................................................................................................... 88
Test 2 • B ...................................................................................................... 91
Test 2 • C ..................................................................................................... 93
BÖLÜM 3 :
FONKSİYONLARDA SÜREKLİLİK
96 - 107
Bir Noktada Süreklilik ................................................................................. 96
Soldan ve Sağdan Süreklilik .......................................................................... 97
Kapalı Bir Aralıkta Süreklilik .......................................................................... 98
Tanım Kümesinde Süreklilik ....................................................................... 98
Trigonometrik Fonksiyonların Sürekliliği ...................................................... 101
Süreksizlik Çeşitleri .................................................................................. 101
Kapalı Bir Aralıkta Sürekli Fonksiyonun Özelikleri ........................................ 103
Alıştırmalar ................................................................................................. 105
Test 3 ......................................................................................................... 106
BÖLÜM 4 :
TÜREV
108 - 205
Türev Kavramı .......................................................................................... 108
Soldan ve Sağdan Türev ............................................................................. 109
Türevin Süreklilik ile İlişkisi ........................................................................... 110
Bir Aralıkta Türevlenebilme .......................................................................... 111
Türev Alma Kuralları .................................................................................. 112
Alıştırmalar .................................................................................................. 117
Türevin Geometrik Yorumu ....................................................................... 119
Teğet ve Normal Denklemleri ....................................................................... 119
Türevin Fiziksel Yorumu ........................................................................... 122
Alıştırmalar ................................................................................................. 123
Bileşke Fonksiyonun Türevi (Türevde Zincir Kuralı) ............................... 125
Trigonometrik Fonksiyonların Türevi ...................................................... 127
Özel Tanımlı Fonksiyonların Türevi ......................................................... 130
Mutlak Değer Fonksiyonunun Türevi ........................................................... 130
Tam Kısım Fonksiyonunun Türevi ............................................................... 131
İşaret Fonksiyonunun Türevi ....................................................................... 131
Kapalı Fonksiyonların Türevi ................................................................... 132
Rasyonel Üslü Fonksiyonların Türevi ...................................................... 133
Parametrik Fonksiyonların Türevi ............................................................ 135
Alıştırmalar ................................................................................................. 137
Ters Fonksiyonun Türevi ......................................................................... 140
Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevi ............................................. 141
VIII
Logaritma Fonksiyonunun Türevi ............................................................
Üstel Fonksiyonunun Türevi ....................................................................
Logaritmik Türev Alma .............................................................................
Yüksek Mertebeden Türevler (Ardışık Türevler) ......................................
Alıştırmalar .................................................................................................
Diferansiyel Kavramı ................................................................................
Alıştırmalar .................................................................................................
Artan ve Azalan Fonksiyonlar ..................................................................
Ekstremum Noktalar ve Ekstremum Değerler .........................................
Ekstremum Noktaları ile Türevin İlişkisi .......................................................
İkinci Türevin Yerel Ekstremum Noktalar ile İlişkisi ................................
143
145
147
148
151
153
155
155
158
160
163
Alıştırmalar ................................................................................................. 167
İkinci Türevin Geometrik Anlamı ............................................................. 169
Büküm (Dönüm) Noktası ............................................................................
Rolle (Rol) ve Ortalama Değer Teoremleri ...............................................
Alıştırmalar .................................................................................................
L’Hospital (Lopital) Kuralı .........................................................................
0.
Belirsizliği ........................................................................... 174
Belirsizliği .......................................................................... 175

0 0 , 1 ,
170
171
173
174
 0 Belirsizlikleri ....................................................................... 175
Alıştırmalar .................................................................................................
Fonksiyonların Grafikleri ..........................................................................
Asimptotlar .................................................................................................
Grafik Çizimleri ...........................................................................................
Polinom Fonksiyonların Grafikleri ................................................................
Rasyonel Fonksiyonların Grafikleri ..............................................................
İrrasyonel Fonksiyonların Grafikleri .............................................................
Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri .......................................................
Alıştırmalar .................................................................................................
Test 4 • A ....................................................................................................
Test 4 • B ....................................................................................................
Test 4 • C ...................................................................................................
Test 4 • D ...................................................................................................
Test 4 • E ....................................................................................................
BÖLÜM 5 :
İNTEGRAL
177
178
178
180
181
181
185
187
189
191
193
195
198
201
204 - 272
Belirsiz İntegral .........................................................................................
Belirsiz İntegralin Özelikleri .........................................................................
İntegral Alma Kuralları ..............................................................................
Alıştırmalar .................................................................................................
İntegral Alma Metotları .............................................................................
Değişken Değiştirme (Yerine Koyma) Metodu .............................................
IX
204
204
206
208
209
209
Alıştırmalar ................................................................................................. 214
İntegralde Trigonometrik Dönüşümler ...................................................... 216
Alıştırmalar .................................................................................................. 219
Kısmi İntegrasyon Metodu ............................................................................ 220
Alıştırmalar ................................................................................................. 221
Basit Kesirlere Ayırma Metodu ile İntegral Alma .......................................... 222
Alıştırmalar ................................................................................................. 225
Trigonometrik Özdeşliklerden Faydalanarak İntegral Alma .......................... 226
Alıştırmalar ................................................................................................. 228
Belirli İntegral ........................................................................................... 229
Bir Kapalı Aralığın Parçalanması ................................................................. 229
İncelme Dizisi ............................................................................................. 230
Alt Toplam, Üst Toplam, Riemann (Riman) Toplamı ..................................... 231
Belirli İntegral .............................................................................................. 234
Belirli İntegralin Özelikleri ............................................................................ 237
Alıştırmalar ................................................................................................. 241
Belirli İntegralin Uygulamaları ................................................................. 243
Alan Hesabı ................................................................................................ 243
Alıştırmalar ................................................................................................. 254
Dönel Cisimlerin Hacimleri .......................................................................... 257
Alıştırmalar ................................................................................................. 261
Test 5 • A .................................................................................................... 262
Test 5 • B .................................................................................................... 264
Test 5 • C ................................................................................................... 267
Test 5 • D ................................................................................................... 270
BÖLÜM 6 :
LİNEER CEBİR
273 - 310
Matrisler .................................................................................................... 273
İki Matrisin Eşitliği ....................................................................................... 275
Matrislerde Toplama İşlemi ......................................................................... 276
Matrislerin Skalarla Çarpımı ........................................................................ 278
Matrislerde Çarpma İşlemi ......................................................................... 279
Bir Matrisin Çarpma İşlemine Göre Tersi ..................................................... 285
Bir Matrisin Transpozu (Devriği) .................................................................. 286
Alıştırmalar ................................................................................................. 289
Determinantlar .......................................................................................... 291
Minör ve Kofaktör (Eş Çarpan) .................................................................... 292
Determinant Fonksiyonu ............................................................................. 294
Determinantların Özelikleri .......................................................................... 295
Ek Matris .................................................................................................... 298
Alıştırmalar ................................................................................................. 300
Test 6 • A .................................................................................................... 302
Test 6 • B .................................................................................................... 305
Test 6 • C ................................................................................................... 308
Cevap Anahtarları ..................................................................................... 311
Semboller .................................................................................................. 312
Sözlük ........................................................................................................ 313
X
SEMBOLLER
V
:
Veya

:
Ve

:
İse, gerektirme

:
Ancak ve ancak

:
En az bir, bazı

:
Her

:
Elemanıdır

:
Elemanı değildir

:
Alt küme

:
Alt küme değil

:
Birleşim

:
Kesişim, ara kesit
N
:
Doğal sayılar kümesi
N
:
Sayma sayılar kümesi
Z
:
Tam sayılar kümesi
Q
:
Rasyonel sayılar kümesi
R
:
Reel (Gerçek) sayılar kümesi

:
Sigma (Toplam sembolü)

:
Pi (çarpım sembolü)

:
Epsilon

:
Delta

:
Mutlak değer
Sgn
:
Signum (işaret)
:
Tam kısım
:
f fonksiyonunun diferansiyeli
:
İntegral işareti
(an)
:
an dizisi
P
:
P bölüntüsünün normu
Ek(A)
:
Ek matris
Det(A)
:
A matrisinin determinantı
+
df
z
312
SÖZLÜK
alt matris
: Bir matriste bazı satır veya sütunlar atılarak yapılan matris.
aralık
: Reel sayılar kümesinin bir alt kümesi.
ardışık türev
: Bir fonksiyonun birinci, ikinci, üçüncü, ... n. türevleri.
asimptot
: Bir eğriye sonsuzda teğet olan doğru veya eğri.
büküm noktası
: Eğrinin bükülme yönünün değiştiği nokta.
determinant
: Karesel matrisleri, reel sayılara dönüştüren bir özel fonksiyon.
diferansiyel
: y = f(x) gibi bir fonksiyonun türevi ile dx in çarpımı.
dönel cisim
: Düzlemsel bir bölgenin bir doğru etrafında 360o dönmesinden
oluşan cisim.
ekstremum değerler : Uç değerler.
grafik
: Bir fonksiyonun belirttiği ikililere düzlemde karşılık gelen
noktaların kümesi.
ilkel fonksiyon
: Türevi bilinen bir fonksiyonun aslı.
integrasyon
: Türevi bilinen bir fonksiyonun aslını bulma.
irrasyonel fonksiyon : En az bir terimi kök içinde olan fonksiyon.
kofaktör
: Bir determinantta i. satır ve j. sütunun atılması ile kalan
determinantın (1)i + j ile çarpımı.
Lhospital kuralı
: Türev yardımı ile limit hesaplamalarında kullanılan bir
kural.
maksimum değer
: Belli bir aralıkta en büyük değer.
minumum değer
: Belli bir aralıkta en küçük değer.
normal
: Bir eğrinin teğetine değme noktasında dik olan doğru.
rasyonel fonksiyon : Pay ve paydası polinom olan fonksiyon.
regüler matris
: Determinantı sıfırdan farklı olan matris.
singuler matris
: Determinantı sıfır olan matris.
skalar
: Cisim elemanı
sarrus kuralı
: 3. mertebeden bir determinantın hesaplanmasında
kullanılan bir kural.
ters matris
: Çarpımları birim matrisi veren iki matristen biri.
transpoz
: Matrisin satırlarının sütun yapılması ile elde edilen matris.
yerel ekstremum
: Bir fonksiyonun belli bir aralıkta en büyük veya en küçük
değeri.
313
KAYNAKÇA
1. KOMİSYON, Matematik Lise 3, M.E.B., Ankara 1981.
2. KOMİSYON, Matematik 4, M.E.B., Ankara 1993.
3. KOMİSYON, Matematik 5, M.E.B., Ankara 1993.
4. AYDIN, Seyfettin; Abdullah Demiralp, Analize Giriş 1, Başarı Yayınları 1975.
5. THOMAS, George B., Thomas Matematik, Ayrım Yayınları 1986.
6. KARADENİZ, Prof. Ahmet A., Yüksek Matematik - I, Çağlayan Kitabevi 1988.
7. SÜER, B; H. Demir, Calculus - I, Şirketi Mürettibiye Basımevi 1979.
8. GRANVİLLE, W.A., Diferansiyel ve İntegral Hesap.
314
BÖLÜM
FONKSİYONLAR
1
Bu bölümde, özel tanımlı fonksiyonlar ve bu fonksiyonların özelikleri üzerinde durulacaktır.
FONKSİYON
Tanım : A ve B boş olmayan iki küme olsun. A nın her bir elemanını B nin bir ve yalnız bir
elemanına eşleyen bağıntıya A dan B ye fonksiyon denir.
f :A B
,
f
A  B veya
x  y = f (x)
biçiminde gösterilir..
A kümesine, fonksiyonun tanım kümesi; B kümesine, fonksiyonun değer kümesi; A kümesinin
elemanlarının görüntülerinden oluşan f (A) kümesine görüntü kümesi denir.
Görüntü kümesini, f (A) = { y  B : y = f (x) , x  A } biçiminde gösterebiliriz.
f : A  B ye f (x) = x2 x kuralı ile tanımlı fonksiyon veriliyor.
A = {1, 0, 1} , B = {2 , 0 , 1 , 2}
olmak üzere:
a. f (A) görüntü kümesini bulalım.
b. Fonksiyonu şema ile gösterelim.
c. f (x) = 2 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Örnek :
Çözüm : a. f (1) = (1)2 + 1 = 2
f (0) = 02  0 = 0
f (1) = 12  1 = 0 vef (A) = {0 , 2} dir.
b.
Şemadan görüleceği gibi; x lerin oluşturduğu A = { 1, 0, 1}
tanım kümesidir. y lerin oluşturduğu B = { 2 , 0 , 1 , 2} değer
kümesidir. Tanım kümesindeki x lerin fonksiyondaki görüntüleri
olan, f (x) lerin oluşturduğu f (A) = {0 , 2} görüntü kümesidir.
c. f (x) = 2 x2  x = 2

x2  x  2 = 0  x1 = 2
denklemin çözüm kümesi: Ç = {1} dir.
V
x2 =  1 ve 2  A olduğundan
Örnek : R  R ye, aşağıda grafikleri verilen bağıntılardan fonksiyon olanlarını belirtelim.
a.
b.
y
f
y
h
g
x
0
d.
c.
y
x
0
e.
y
f.
y
k
y
t
0
x
0
l
x
x
0
0
x
Çözüm : Fonksiyon tanımına göre, tanım kümesindeki her elemanın bir ve yalnız bir görüntüsü
olması gerektiğinden, düşey doğrular grafiği bir ve yalnız bir noktada kesmelidir.
Buna göre; a , d ve e şıklarındaki grafikler fonksiyon grafiğidir. b , c ve f şıklarındaki grafikler
fonksiyon grafiği değildir.
1
TERS FONKSİYON
Tanım : f : A  B ye y = f (x) kuralı ile tanımlı bire bir ve örten fonksiyon olmak üzere
1
B  A ya x = f (y) kuralı ile tanımlı fonksiyona, f fonksiyonunun ters fonksiyonu denir. f
ile
gösterilir.
1
f (x) = y  x = f (y) dir..
Yandaki şemayı inceleyiniz.
Yukarıdaki tanıma göre:
1. Bir fonksiyonla ters fonksiyonunun bileşkesi birim fonksiyondur.
efof j(x)  ef ofj(x) =I(x)=x
1
1
dir..
2. y = f (x) kuralı ile verilen bire bir ve örten f fonksiyonunun ters fonksiyonu bulunurken, tanıma
göre, y = f (x) eşitliğinden x yalnız bırakılarak, x = f 1(y) bulunur. Sonra x yerine y, y yerine
x yazılarak, y = f 1(x) bulunur..
e j
3. f 1
1
(x)  f (x) tir..
4.  (x, y)  f  (y, x)  f 1 olduğundan, bir fonksiyonla ters fonksiyonunun grafikleri y = x doğrusuna
göre simetriktir. Yandaki şekilde; y = ex ile y = lnx fonksiyonlarının grafikleri y = x doğrusuna göre simetrik olup,
birbirinin ters fonksiyonudur.
Örnek : f : R 
RS 2 UV  R  RS 1 UV
T3W T3W
, f (x) 
x1
fonksiyonunun ters fonksiyon kuralını bulalım.
3x  2
Çözüm : i. f fonksiyonunun bire bir olduğunu gösterelim: Tanım kümesine ait her x1 , x2 elemanı için, x1  x2  f(x1)  f(x2) olmalı. Bunun olmayana ergi metodu ile f (x1) = f(x2)  x1 = x2
olduğunu görelim.
f (x1) = f (x2)

x1  1
x 1
 2
3 x1  2 3 x 2  2
(x1 + 1) (3x2  2) = (3x1  2) (x2 + 1)

bulunur. O hâlde f bire birdir.
ii. f fonksiyonunun örten olduğunu gösterelim:
f : A  B fonksiyonu için
y  B, x  A için f (x) = y olmalıdır..
FG
H
IJ
K
RS UV
T W
1
x 1
y

3xy 2y = x + 1  x (3y  1) = 2y + 1
3
3x  2
2y  1
1
2
 x=
bulunur. O hâlde, y R 
için, en az bir x  R 
3y  1
3
3
f örtendir.
y
RS UV
T W
iii. f fonksiyonu bire bir ve örten olduğu için, f
y
x1
3x  2
 3 xy  2y  x  1  x 
1
:R

x1 = x2
karşılık geldiğinden
RS 1 UV  R  RS 2 UV bir fonksiyondur..
T3W
T3 W
2y  1
2x  1
1
1
bulunur..
 f ( y) dir. O hâlde, f ( x) 
3y  1
3x  1
2
RS d UV  R  RS a UV
T cW
Tc W
ax  b
fonksiyonu bire bir ve örten olup, ters fonksicx  d
dx  b
yonu; a nın yerine d ve d nin yerine  a konularak, f 1(x) 
bulunur..
cx  a
f : R 
ye
f (x) 
Örnek : f : R  R+ , 0 < a < 1 olmak üzere, f (x) = ax ile tanımlı fonksiyonun, ters fonksiyonunu
bulup, grafiklerini aynı koordinat düzleminde çizelim.
Çözüm : f : R  R+ , f (x) = ax fonksiyonu bire bir ve örten olup ters fonksiyonu vardır.
f (x) = y  x = f 1(y) dir..
f (x) = y 

ax = y
x . log a = log y
a
a
 x = logay
 f 1(x) = logax
bulunur..
O hâlde, f ile f 1 fonksiyonlarının grafiklerinin y = x
birinci açıortay doğrusuna göre simetrik oldukları görülür.
x
Örnek : f : R  (4 , +  ) , f (3  4) = x3  3x2 + 3x + 2 fonksiyonu veriliyor. f (5) + 3 . f 1(5)
değeri kaçtır?
x
x
x
Çözüm : f (3  4) = (x  1)3 + 3 şeklinde yazalım. f (5) için, 3  4 = 5  3 = 9  x = 2
2
bulunur. O hâlde, fonksiyonda x yerine 2 yazalım: f (3  4) = (2  1)3 + 3

f (5) = 4 olur.
f 1( 5) i bulurken, f 1( 5) = a diyelim. Bu durumda, f(a) =  5 olur..
x
Buna göre, 3  4 = a  (x  1)3 + 3 =  5
x
a=3 4
a=3 4
1
a=3
4=4+
(x  1)3 =  8

x
x=1

1 11

3
3
ise
f 1( 5) = 
11
3
bulunur..
FG 11IJ =  7
H 3K
1
Bulunan değerler f (5) + 3 f (5) te yerlerine yazılırsa; f (5) + 3 . f 1(5) = 4 + 3 
olur..
ARTAN VE AZALAN FONKSİYONLAR
Tanım : A  R ve f : A  R fonksiyonu verilsin.
x , x  B  A için;
1
2
x < x 
f (x ) < f (x ) oluyorsa, f fonksiyonuna, B aralığında
x1 < x2 
f (x1) > f (x2) oluyorsa, f fonksiyonuna, B aralığında
x <x

f (x )  f (x ) oluyorsa, f fonksiyonuna, B aralığında

f (x )  f (x ) oluyorsa, f fonksiyonuna, B aralığında
1
2
1
2
artan fonksiyon denir.
x1 , x2  B  A için;
azalan fonksiyon denir.
x , x  B  A için;
1
2
1
2
1
2
azalmayan fonksiyon denir.
x , x  B  A için;
1
2
x <x
1
2
1
2
artmayan fonksiyon denir.
3
Örnek :
f : R  {0}  R  {0} , f ( x) 
1
x
fonksiyonunun artan veya azalan olduğu aralıkları
bulalım.
y
1
f ( x) 
x
Çözüm :
x3 , x4  R
fonksiyonu,
f(x1)
için x4 < x3

f(x2)
1
1

x4
x3
x4
O
için x1 < x2

x2
x
f(x3)
olduğundan fonksiyon R de azalandır.

x1
f(x4)
 f(x4) > f(x3)
x1 , x2  R
x3
1
1

x1
x2
 f(x ) > f(x )
1
2
olduğundan fonksiyon R da azalandır.
Örnek : f : R  R , f (x) = 2mx + 3 fonksiyonunun m nin hangi değerleri için artan veya azalan
olduğunu inceleyelim.
Çözüm : i. f fonksiyonunun artan olması için;
x1 , x2  R
,
x1 < x2

f (x1) < f (x2) olmalı,
x1 < x2

2

mx + 3 < mx + 3

m(x1  x2) < 0
m x1  3
 2
1
m x2  3
2
x  x < 0 olduğundan, m > 0 olmalıdır.
1
ii.
f
2
fonksiyonunun azalan olması için;
x1 , x2  R ,
x1 < x2

f (x1) > f (x2) olmalı,

2

mx1 + 3 > mx2 + 3

m(x1  x2) > 0
m x1  3
 2
m x2  3
x1  x2 < 0 olduğundan, m < 0 olmalıdır.
iii.
m = 0 olması hâlinde f (x) = 23 = 8 sabit fonksiyon olur.
4
ÇİFT VE TEK FONKSİYONLAR
Tanım : f : [ a , a]  R,
x   a , a] olmak üzere:
f (x) =
f (x) ise, f ye çift fonksiyon,
f (x) =  f (x) ise, f ye tek fonksiyon denir.
2
Örnek :
f : [m , 7]  R , f (x) = x  (n + 2) x  3
(m , n) ikilisi ne olmalıdır?
fonksiyonunun çift fonksiyon olması için,
Çözüm :
f nin çift fonksiyon olması için, ilk koşul;
x   A için
x  A olmasıdır..
O hâlde, 7  A   7  A olmalıdır. Bu durumda, m = 7 dir. İkinci koşul;
x  A için,
f (x) = f (x) olmalıdır. Buna göre;
( x)2  (n + 2) ( x)  3 = x2  (n + 2) x  3  x2 + (n + 2) x  3 = x2  (n + 2) x  3 polinom eşitliğinden,
n + 2 =  n  2 olur. Buradan,
n =  2 bulunur. O hâlde; (m , n) = ( 7 ,  2) dir.
d
i
Özelik  : f çift fonksiyon ise, x, f (x) ve
grafiğine ait olduğundan, fonksiyonun grafiği y
dx, f (x)i
noktaları f fonksiyonunun
eksenine göre simetriktir.
Örneğin; şekildeki grafik, y eksenine göre katlandığında
kollar çakıştığından bir çift fonksiyon grafiğidir.
b
g
b
g
Özelik  : f tek fonksiyon ise, x, f (x) ve  x,  f ( x) noktaları f fonksiyonunun
grafiğine ait olduğundan fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir.
y

2

f(x) = sinx
1
0
1

2
x
Örneğin; şekilde f :   ,   1 , 1 , f (x) = sinx
ile tanımlı f fonksiyonunun grafiği orijine göre simetrik olup, tek
fonksiyon grafiğidir.

Örnek : Şekilde R  R ye tanımlı y = f (x) fonksiyonunun grafiği
verilmiştir.
a.
f (x)
b.  f (x)
c.  f (x)
fonksiyonlarının grafiklerini R  R ye çizip, f (x) in tek veya çift fonksiyon
olup olmadığını araştırınız.
Çözüm : a. f (x) in y eksenine göre simetriği f (x) olduğundan,
y = f (x) in y eksenine göre simetriği alınarak f (x) çizilir. f (x) ile
f (x) in grafikleri aynı olmadığından f çift fonksiyon değildir.
5
b. f (x) in x eksenine göre simetriği  f (x) olduğundan, y = f (x) in
x eksenine göre simetriği alınarak  f (x) çizilir.
c. f (x) in orijine göre simetriği  f ( x) olduğundan, y = f(x) in
orijine göre (hem x , hem de y eksenlerine göre) simetriği alınarak
 f (x) in grafiği çizilir. f (x) ile  f (x) in grafikleri aynı olmadığından,
f tek fonksiyon değildir.
Örnek : Aşağıdaki fonksiyonların tek veya çift fonksiyon olup olmadıklarını araştıralım.
a. f : R  R ,
Çözüm :
f (x) = 0
a. f ( x)  0
f ( x)  0
UV
W
b. f : R  R ,
olup,
f (x) = x 2  3x
f ( x)  f (  x) olduğundan,
f ( x)  f ( x) olduğundan,
f
f
çift fonksiyondur.
tek fonksiyondur.
Buna göre, f (x) = 0 fonksiyonu hem çift hem de tek fonksiyondur.
b. f (x) = (x)2  3(x) = x2 + 3x
olup,
f (x)  f (x)
olduğundan, f çift fonksiyon değil,
f (x)  f (x) olduğundan, f tek fonksiyon değildir. O hâlde, f ; ne tek ne de çift fonksiyondur.
Özelik  : Bir fonksiyon tek ve çift fonksiyon olabileceği gibi, tek veya çift fonksiyon
olmayabilir.
Örnek : R den R ye y = f (x) ve y = g (x) fonksiyonları verilsin. f fonksiyonu tek fonksiyon,
g fonksiyonu çift fonksiyon ise, gof fonksiyonu çift fonksiyon, fof nin tek fonksiyon olduğunu gösterelim.
Çözüm : f fonksiyonu tek fonksiyon ise,
fonksiyon ise,
x  R için, f (x) =  f ( x) tir. g fonksiyonu çift
x  R için, g (x) = g ( x) tir..
b g
x  R için, (gof) (x) = g f ( x)
= g  f ( x)
( f tek fonksiyon olduğu için)
= g f (  x)
( g çift fonksiyon olduğu için)
= (gof) ( x) bulunur. O hâlde, gof çift fonksiyondur.
b g
x  R için, (fof) (x) = f f ( x)
= f  f (  x)
( f tek fonksiyon olduğu için)
=  f f (  x)
( f tek fonksiyon olduğu için)
=  (fof) ( x) bulunur. O hâlde, fof tek fonksiyondur.
6
FONKSİYONLARDA İŞLEMLER
Tanımlar : A  R , f : A  R , y = f (x) ; g : A  R , y = g (x)
fonksiyonları için;
1. İki Fonksiyonun Toplamı
t (x) = f (x) + g (x) ile tanımlı t : A  R fonksiyonuna f ve g fonksiyonlarının toplamı
denir ve t = f + g ile gösterilir. Buna göre, (f + g)(x) = f (x) + g (x) tir.
O hâlde;
(f  g)(x) = f(x)  g(x) olur.
2. İki Fonksiyonun Çarpımı
ç (x) = f (x) . g (x) ile tanımlı
denir ve
ç=f.g
ç : A  R fonksiyonuna, f ve g fonksiyonlarının çarpımı
(f . g)(x) = f (x) . g (x) ve f n (x) =
ile gösterilir. Buna göre,
bf(x)g
n
tir..
3. Bir Fonksiyonun Bir Gerçek Sayı İle Çarpımı
a R olsun. k (x) = a . f (x) ile tanımlı k : A  R fonksiyonuna, f fonksiyonunun a gerçek
sayısı ile çarpımı denir ve k = a . f ile gösterilir. Buna göre, (a . f)(x) = a . f (x) tir.
4. İki Fonksiyonun Bölümü
x  A için g(x)  0 ise, b(x) =
f ( x)
g( x)
ile tanımlı b : A R fonksiyonuna, f fonksiyonu-
nun g fonksiyonu ile bölümü denir ve b =
f : A  R , g : B  R
f . g ve
f
ile gösterilir. Buna göre,
g
fonksiyonları için
A B
FG f IJ (x)  f(x)
H gK g(x)
olmak üzere;
tir..
f+g , fg ,
f
fonksiyonlarının tanım kümesinin A  B kümesi olarak alınacağına dikkat edilmeg
lidir.
Örnek : R  R ye f (x) = x3 + x ve g (x) = x2 + 1 ile tanımlı f ve g fonksiyonları veriliyor.
a. f + g
b. f . g
c.
f
g
d. (2 . f  g)
fonksiyonlarını bulalım.
a. (f + g)(x) = f (x) + g (x) = x 3 + x + x2 + 1 = x3 + x2 + x + 1 bulunur.
Çözüm :
b.
(f . g)(x) = f (x) . g (x) = (x 3 + x) (x2 + 1) = x5 + 2x3 + x bulunur.
c.
FG f IJ (x)  x
H gK x
d.
(2 . f  g)(x) = 2 . f (x)  g (x) = 2 . (x3 + x)  (x2 + 1) = 2x3  x2 + 2x  1 bulunur.
3
2
x
1

x( x2  1)
( x2  1)
x
olur.
2
(x + 1  0)
7
KONU İLE İLGİLİ UYGULAMALAR
1. f : N  R , f (2x + 1) = f (2x  1) + x
fonksiyonu tanımlanıyor:
a. f (7) = 3 ise f (1) değerini bulalım.
Çözüm : a. f (2x + 1)  f (2x  1) = x
f (7) ve f (1) elde edilebilsin.
x=1
için ,
f (3)  f (1)
=
x=2
için ,
f (5)  f (3)
=
2
x=3
için ,
f (7)  f (5)
=
3
f (7)  f (1)
=
b. f (1) = 2 ise f (49) değerini bulalım.
biçiminde yazalım. x e 1 , 2 , 3 değerleri verelim ki,
1
6 
3  f (1) = 6 
f (1) =  3
olur.
b. f (2x + 1)  f (2x  1) = x te x yerine sırasıyla 1 , 2 , ...., 23 , 24 değerleri verilirse f (49) ve
f (1) elde edilir.
x=1
için,
f (3)  f (1) = 1
x=2
için,
f (5)  f (3) = 2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x = 23 için,
f (47)  f (45) =
23
x = 24 için,
f (49)  f (47) =
24
f (49)  f (1) =
1 + 2 + ... + 23 + 24
f (49)  2 =
24 . 25
2
 f (49) = 302 bulunur..
2. f : N  R , (x + 2) . f (x) = x . f (x + 1) ile tanımlı f fonksiyonu veriliyor.
a. f (4) = 10 ise, f (1) değerini bulalım.
b. f (100) = 101 ise, 25 . f (3) değerini bulalım.
f ( x)
x

biçiminde yazalım. x e 1 , 2 , 3 vererek; f (1) , f (2) , f (3) , f (4)
f ( x  1) x  2
değerlerini eşitlikte yerine koyup çarpalım.
Çözüm : a.
f (1) f (2) f (3)
1 2 3


  
f (2) f (3) f (4)
3 4 5
f (1)
1

dan f (1)  1
10
10
b.

f (1)
1

f (4) 10
bulunur.
f ( x)
x

de x yerine; 3 , 4 , 5 , ... , 97 , 98 , 99 değerleri verilir. Elde edilenler taraf
f ( x  1)
x2
tarafa çarpılırsa,
f(3 )
elde edilir..
f (100)
f ( 3)
f ( 4)
f ( 5)
f (97)
f (98)
f (99)
3
4
5
97
98
99


...





...


f ( 4)
f ( 5)
f ( 6)
f (98)
f (99)
f (100)
5
6
7
99 100 101
f (3)
3.4
f (3 )
3



f (100)
100 . 101
101
25 . 101
 25 . f (3) = 3
8
bulunur..
f : {1 , 0 , 2}  R , f (x) = x3  2 ve
g : {2 , 1 , 3}  R , g (x) = 2x + 3 fonksiyonları veriliyor.
Buna göre, 3f  2g fonksiyonunun görüntü kümesini bulalım.
3.
Çözüm : 3f  2g fonksiyonu {1 , 0 , 2}  {2 , 1 , 3} = {1} kümesinden R ye tanımlıdır.
Buna göre,
(3f  2g) (1) = 3f(1)  2g(1) = 3 . (3)  2 . 1 = 11 olduğundan 3f  2g fonksiyonunun görüntü
dl1qi = {11} dir..
f : nba , 4g , bb , 3g , bc , 5g s , g  nb3 , 1g , b4 , 7g , b5 , 8g s
kümesi {11} dir. Yani, (3f  2g)
4.
fonksiyonları veriliyor. gof fonk-
siyonunu ve görüntü kümesini belirtelim.
Çözüm :
f
fonksiyonunun tanım kümesi A = {a , b , c} dir. A kümesi gof fonksiyonunun da
tanım kümesidir.
b g
(gof )(b)  g bf (b)g  g(3)  1
(gof )(c)  g bf (c)g  g (5)  8 olduğundan,
gof = nba , 7g , (b , 1) , (c , 8)s dir. gof fonksiyonunun görüntü kümesi de
(gof )(a)  g f (a)  g (4)  7
(gof ) (A) = { 7 , 1 , 8} dir..
f : R  R , f (x) = 2x + m (m  N) , gof : R  R , (gof )(x) = x2  mx
veriliyor. g(2) = 0 olduğuna göre, g(x) fonksiyonunu bulalım.
5.
fonksiyonları
Çözüm : (gof )o f 1 = go(fo f 1) = go = g olduğundan f nin tersi gof fonksiyonunda x yerine
konarak g fonksiyonu elde edilir. Bunun için önce f nin tersi bulunur.
f 1(x) =
xm
2
dir..
FG
H
IJ FG x  m IJ
K H 2 K
g (x) = (x2  mx)o x  m 
2
g(2) = 0
m1 
olduğundan,
g(2) =
2
m
FG x  m IJ
H 2 K

4  8m  3m 2
=0
4

g (x) =
x2  4mx  3m 2
4
3m2  8m + 4 = 0
2
, m 2  2 dir. m  N olduğundan, m = 2 alınır. O hâlde,
3
bulunur..
denklemi çözüldüğünde;
g(x) =
x 2  8 x  12
4
bulunur..
6.  x  R + için, f ( x . y) = f (x) + f (y) dir. f (3) = 3 olduğuna göre,
b. n  N + için, f ( 3 n ) i
a. f (27) değerini bulalım.
Çözüm : a.
x = 3 ve y = 3
için, f (3 . 3) = f (3 ) + f ( 3)
f ( 3 2 ) = 2 . f ( 3)
2
f(3 ) = 6
x = 3  y = 32
için,
f (3 . 3 2 ) = f (3) + f (3 2 )
f ( 3 3 ) = 3 + 6 dan
b.
f (2 7) = 9
olur.
2
k=2
için, f ( 3 ) = f(3 . 3) = f(3) + f(3) = 2 . f(3)
k=3
.
.
.
için, f ( 3 3 ) = f(32 . 3) = f(32) + f(3) = 3 . f(3)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
k=n
için, f ( 3 n ) = f (3 n 1 . 3) = f ( 3 n 1 ) + f (3 ) = n . f (3)
f (3 ) = 3
olduğundan
f ( 3n) = 3 . n
bulunur.
9
n
cinsinden bulalım.
ALIŞTIRMALAR
1.
Yukarıdaki grafikleri verilen fonksiyonların;
a. Tanım ve değer kümelerini bulunuz.
b.
f (2) + h(2)  3 . g(3)
değeri kaçtır?
2.
f : R  R çift fonksiyon olduğuna göre, f (x) + 2 f (x) = 12x2 + 9 fonksiyonu veriliyor. f (x)
fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.
3.
Aşağıdaki fonksiyonların tek fonksiyon veya çift fonksiyon olup olmadıklarını araştırınız.
4.
a.
f (x) = x 3 + 4x
b. f (x) = 7x2  3
c.
f (x) = x . sinx + 3
d. f (x) =
R den R ye
a.
5.
f (x) = 2x3  16
(f  h)(x)
b.
,
x3
2x  1
g (x) = x2 + 2x + 4 , h (x) = 3x3 + 24 fonksiyonları veriliyor:
(f . h)(x)
FG f IJ (x)
H gK
c.
fonksiyonlarını bulunuz.
Aşağıdaki fonksiyonların ters fonksiyonlarını bulunuz.
a.
f:R  R ,
c.
f : R  ( 3 ,  ) ,
e.
f :  , 4  6 , 
2x
4
3
f (x) =
b
b. f : R  {6}  R {2} , f (x) =
f (x) = ex  3
g
(m  2) x 2  2x  6
,
d.
f : ( 3 , )  R ,
f(x) =
7.
f(x) = (m  2) x + n + 3 fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre,
kaçtır?
f ve g uygun kümelerde tanımlı olmak üzere;
1
9.
fonksiyonunun sabit fonksiyon olması için, (m , n) reel sayı ikilisi
4 x2  x  n  3
ne olmalıdır?
efog j(2x  1)  34xx  21
f (x) = log5(2x  6)
f (x) = x2  8x + 10
6.
8.
2x  10
x6
ve g(x) = 3x  1 ise, f
1
mf(n) + nf(m)
değeri
(x) i bulunuz.
a. g çift fonksiyondur. ( f 1og) (x) = g(x) + 3 olduğuna göre, f (3) kaçtır?
1
b. f : R  R , (fof ) (x) = 4x + 1
10. a. f (5x) = 4 . f (x) + 2
b. f (1) = 2
c. f (1) = 1
ve
f (5) = 10
ve
f 1(x) = 1  m . f (x) ise,
ise,
f
FG 1IJ
H 5K
kaçtır?
ve  n  N+ için, f (n + 1) = f(n)  2 ise,
+
ve  n  N
2
için, f (n + 1) = n . f (n)
10
m reel sayısı kaçtır?
f (100)
ise,
f (10)
kaçtır?
kaçtır?
ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
Bu bölümde özel tanımlı fonksiyonlar, bu fonksiyonların özelikleri ve grafikleri incelenecektir.
PARÇALI FONKSİYONLAR
Tanım : Tanım aralığının alt aralıklarında farklı kurallarla tanımlanmış fonksiyonlara, parçalı fonksiyonlar denir.
Örneğin;
f : R  R , f ( x) 
RSf (x) , x  x  x ise
Tf (x) , x  x V x  x
1
1
2
2
1
fonksiyonu parçalı bir fonksiyon olup x = x , ve
1
ve bu noktalara fonksiyonun kritik noktaları denir.
x=x
2
2
ise
noktaları tanım aralıklarının uç noktalarıdır
Örnek
f:Z 
R|4x  1 ,
R ye , f ( x)  S x  1 ,
||x  1 ,
T
2
3
x  0 (Mod 3) ise
x  1 (Mod 3) ise
x  2 (Mod 3) ise
fonksiyonu veriliyor.
a. f (5) + f (6)  2f (7) değerini bulalım.
Çözüm :
a.
b. f (3x  2) fonksiyonunu bulalım.
5  2 (Mod 3)
olduğu için,
f (5) = 53  1 = 124 ;
6  0 (Mod 3)
olduğu için,
f (6) = 4 • 6  1 = 23 ;
7  1 (Mod 3) olduğu için,
f (7) = 72 + 1 = 50 olur.
f (5) + f (6)  2f (7) = 124 + 23  100 = 47 bulunur.
b. 3x  2  1 (Mod 3) olduğu için, f (3x  2) = (3x 2)2 + 1  f (3x  2) = 9x2  12x + 5 bulunur.
Örnek :
R|2x  1 , x  2 ise
f ( x)  S5 x
, 2  x  3 ise
|T4  3x , 3  x ise
R|2x  2x
g ( x)  S
T|1  x
2
ve
2
, x  2 ise
, 2  x ise
parçalı fonksiyonları tanımlanıyor.
a. f (x) + g (x) fonksiyonunu bulalım.
b. 2 f (x)  3 g (x) fonksiyonunu bulunuz.
R|2x  1  2x  2x , x  2 ise
f ( x)  g( x)  S5 x  1  x
, 2  x  3 ise
||4  3x  1  x , 3  x ise
T
R|2x  1 , x  2 ise
f ( x)  g( x)  S x  5 x  1 , 2  x  3 ise
|| x  3 x  5 , 3  x ise
bulunur.
T
2
Çözüm :
a.
2
2
2
2
2
b. Siz bulunuz.
11
Örnek
R|x  1
f ( x )  S2 x  5
|| x
T
3
2
, x  0 ise
, 0  x  4 ise
, 4  x ise
g( x)  x  1 fonksiyonları veriliyor..
ve
a. (fofof)(1) değerini bulalım.
b. (fog)(x) fonksiyonunu bulalım.
b g
e
j
Çözüm : a. (fofof)(1) = (fof) f(1) = (fof) ( 1)3  1 = (fof)(0) = f(2 . 0 + 5) = f(5) =  52 = 25
bulunur.
R|g (x)  1 , g( x)  0
(fog)( x)  S2g( x)  5 , 0  g ( x)  4
||g (x) , 4  g(x)
T
R|( x  1)  1 , x  1  0
(fog)( x)  S2( x  1)  5 , 0  x  1  4
||(x  1) , 4  x  1
T
R|x  3x  3 x , x  1
(fog)( x)  S2x  3
, 1 x  5
||x  2x  1 , 5  x
T
3
b.
2
3
2
3
2
2
ise
ise
ise
ise
ise
ise
ise
ise
ise
bulunur.
PARÇALI FONKSİYONLARIN GRAFİĞİ
Parçalı fonksiyonların grafikleri çizilirken, tanım aralığının her alt aralığındaki farklı
kurallarla tanımlanmış fonksiyonların grafikleri ayrı ayrı çizilerek grafik belirlenir.
R|x  2x , x  1
f ( x)  S 0
, x1
||x  2 , x  1
T
2
Örnek : f : R  R ,
ise
ise
ise
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
i. y = x2 + 2x parabolünün (   , 1) aralığına
karşılık gelen kısmı çizilir.
ii. (1 , 0) noktası işaretlenir.
iii. y = x + 2 doğrusunun (1 ,  ) aralığına karşılık gelen
kısmı alınır. Böylece f parçalı fonksiyonunun grafiği çizilmiş olur.
Çözüm :
Örnek : f : R  R , f ( x) 
RS x ,
T2  x ,
x  0 veya 1  x ise
0  x  1 ise
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
y
2
1
Çözüm : i.
y = x fonksiyonunun (  , 0]  (1 , + )
aralığına karşılık gelen kısmı çizilir.
ii. y = 2  x fonksiyonunun (0 , 1] aralığına karşılık gelen kısmı
çizilir. Böylece f parçalı fonksiyonunun grafiği çizilmiş olur.
12
x
0
1
MUTLAK DEĞER FONKSİYONU
Tanım : A  R ,
B  R olmak üzere
2
f (x)  f (x)  f (x) 
f : A  B ye
RSf(x) , f(x)  0 ise
T f(x) , f(x)  0 ise
şeklinde tanımlı fonksiyona, mutlak değer fonksiyonu denir.
i.
f ( x)  0 olduğundan,
f ( x) fonksiyonunun görüntü kümesi R +  {0} dır..
ii. f ( x) de f (x) = 0 denkleminin reel köklerine kritik noktalar denir.
grafiği bu noktalarda kırılma ya da kıvrılma yapar.
iii. f ( x) in tanımlanabilmesi için,
f ( x)
fonksiyonunun
f (x) in işareti bilinmelidir..
MUTLAK DEĞERLİ FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ
f: A  B
,
f ( x)  f ( x)

RSf (x) , f (x)  0
T f (x) , f (x)  0
ise
ise
dir.
Bu tanıma göre mutlak değerli fonksiyonların grafikleri çizilirken aşağıdaki adımlar izlenmelidir.
1. y = f (x) in grafiği çizilir.
b
g
b
g
2. x , f ( x) noktalarının x eksenine göre simetriği x ,  f ( x) olduğundan, f (x) < 0 olduğu
kısımların (x ekseninin altında kalan parçaların) x eksenine göre simetriği alınır.
3. f (x)  0 olduğu kısımlarda
f ( x)
f ( x) = f (x) olduğundan, fonksiyonun grafiği aynen kalır. Böylece,
grafiği çizilmiş olur..
Örnek : Yanda, g : R  R ye y = g (x) fonksiyonunun grafiği
verilmiştir. R den R ye f (x) = g ( x) fonksiyonunu tanımlayıp grafiğini
çizelim.
y
y = g(x)
Çözüm : x ekseninin üst bölgelerinde g (x) in işareti pozitif, x eksenini kestiği noktalarda g (x) = 0 ve x ekseninin alt
bölgelerinde g (x) in işareti negatiftir.
Buna göre; fonksiyon f ( x)  g ( x)

RSg(x)
T g(x)
a
0
b
x
x  a ise
a  x ise
olarak tanımlanır.
Grafiği çizilirken de g (x) in negatif olduğu kısımların x eksenine göre simetriği alınıp, diğer
kısımları aynen bırakılarak grafik çizilmiş olur.
13
x=a
ve
x=b
g(x) = 0
denklemin kökleri olduğu için,
f (x) = g ( x) in kritik noktaları olup, grafik bu noktalarda bir kıvrılma
yapmıştır.
Örnek : f : R  R , f (x) = 4  2 x
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm : Önce mutlak değer içinin işaretini inceleyelim:
4  2x = 0  x = 2
f(x)  4  2x 
ve tablodan faydalanarak,
RS4  2x , x  2 ise
T2x  4 , 2  x ise
parçalı fonksiyon biçiminde yazılır. Buna göre grafik çizilir.
Örnek : Aşağıdaki mutlak değerli fonksiyonların grafiklerini çizelim.
a. f : R  R
, f (x) = cos x
b. f : R +  R , f (x) = ln x
c. f : R  R
, f (x) = x 2  1
d. f : R  R
e. f : R  R+ , f (x) = 2 x
Çözüm
a.
b.
14
, f (x) = x  2
c.
d.
e.
15
BÖLÜM
FONKSİYONLAR
1
Bu bölümde, özel tanımlı fonksiyonlar ve bu fonksiyonların özelikleri üzerinde durulacaktır.
FONKSİYON
Tanım : A ve B boş olmayan iki küme olsun. A nın her bir elemanını B nin bir ve yalnız bir
elemanına eşleyen bağıntıya A dan B ye fonksiyon denir.
f :A B
,
f
A  B veya
x  y = f (x)
biçiminde gösterilir..
A kümesine, fonksiyonun tanım kümesi; B kümesine, fonksiyonun değer kümesi; A kümesinin
elemanlarının görüntülerinden oluşan f (A) kümesine görüntü kümesi denir.
Görüntü kümesini, f (A) = { y  B : y = f (x) , x  A } biçiminde gösterebiliriz.
f : A  B ye f (x) = x2 x kuralı ile tanımlı fonksiyon veriliyor.
A = {1, 0, 1} , B = {2 , 0 , 1 , 2}
olmak üzere:
a. f (A) görüntü kümesini bulalım.
b. Fonksiyonu şema ile gösterelim.
c. f (x) = 2 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Örnek :
Çözüm : a. f (1) = (1)2 + 1 = 2
f (0) = 02  0 = 0
f (1) = 12  1 = 0 vef (A) = {0 , 2} dir.
b.
Şemadan görüleceği gibi; x lerin oluşturduğu A = { 1, 0, 1}
tanım kümesidir. y lerin oluşturduğu B = { 2 , 0 , 1 , 2} değer
kümesidir. Tanım kümesindeki x lerin fonksiyondaki görüntüleri
olan, f (x) lerin oluşturduğu f (A) = {0 , 2} görüntü kümesidir.
c. f (x) = 2 x2  x = 2

x2  x  2 = 0  x1 = 2
denklemin çözüm kümesi: Ç = {1} dir.
V
x2 =  1 ve 2  A olduğundan
Örnek : R  R ye, aşağıda grafikleri verilen bağıntılardan fonksiyon olanlarını belirtelim.
a.
b.
y
f
y
h
g
x
0
d.
c.
y
x
0
e.
y
f.
y
k
y
t
0
x
0
l
x
x
0
0
x
Çözüm : Fonksiyon tanımına göre, tanım kümesindeki her elemanın bir ve yalnız bir görüntüsü
olması gerektiğinden, düşey doğrular grafiği bir ve yalnız bir noktada kesmelidir.
Buna göre; a , d ve e şıklarındaki grafikler fonksiyon grafiğidir. b , c ve f şıklarındaki grafikler
fonksiyon grafiği değildir.
1
TERS FONKSİYON
Tanım : f : A  B ye y = f (x) kuralı ile tanımlı bire bir ve örten fonksiyon olmak üzere
1
B  A ya x = f (y) kuralı ile tanımlı fonksiyona, f fonksiyonunun ters fonksiyonu denir. f
ile
gösterilir.
1
f (x) = y  x = f (y) dir..
Yandaki şemayı inceleyiniz.
Yukarıdaki tanıma göre:
1. Bir fonksiyonla ters fonksiyonunun bileşkesi birim fonksiyondur.
efof j(x)  ef ofj(x) =I(x)=x
1
1
dir..
2. y = f (x) kuralı ile verilen bire bir ve örten f fonksiyonunun ters fonksiyonu bulunurken, tanıma
göre, y = f (x) eşitliğinden x yalnız bırakılarak, x = f 1(y) bulunur. Sonra x yerine y, y yerine
x yazılarak, y = f 1(x) bulunur..
e j
3. f 1
1
(x)  f (x) tir..
4.  (x, y)  f  (y, x)  f 1 olduğundan, bir fonksiyonla ters fonksiyonunun grafikleri y = x doğrusuna
göre simetriktir. Yandaki şekilde; y = ex ile y = lnx fonksiyonlarının grafikleri y = x doğrusuna göre simetrik olup,
birbirinin ters fonksiyonudur.
Örnek : f : R 
RS 2 UV  R  RS 1 UV
T3W T3W
, f (x) 
x1
fonksiyonunun ters fonksiyon kuralını bulalım.
3x  2
Çözüm : i. f fonksiyonunun bire bir olduğunu gösterelim: Tanım kümesine ait her x1 , x2 elemanı için, x1  x2  f(x1)  f(x2) olmalı. Bunun olmayana ergi metodu ile f (x1) = f(x2)  x1 = x2
olduğunu görelim.
f (x1) = f (x2)

x1  1
x 1
 2
3 x1  2 3 x 2  2
(x1 + 1) (3x2  2) = (3x1  2) (x2 + 1)

bulunur. O hâlde f bire birdir.
ii. f fonksiyonunun örten olduğunu gösterelim:
f : A  B fonksiyonu için
y  B, x  A için f (x) = y olmalıdır..
FG
H
IJ
K
RS UV
T W
1
x 1
y

3xy 2y = x + 1  x (3y  1) = 2y + 1
3
3x  2
2y  1
1
2
 x=
bulunur. O hâlde, y R 
için, en az bir x  R 
3y  1
3
3
f örtendir.
y
RS UV
T W
iii. f fonksiyonu bire bir ve örten olduğu için, f
y
x1
3x  2
 3 xy  2y  x  1  x 
1
:R

x1 = x2
karşılık geldiğinden
RS 1 UV  R  RS 2 UV bir fonksiyondur..
T3W
T3 W
2y  1
2x  1
1
1
bulunur..
 f ( y) dir. O hâlde, f ( x) 
3y  1
3x  1
2
RS d UV  R  RS a UV
T cW
Tc W
ax  b
fonksiyonu bire bir ve örten olup, ters fonksicx  d
dx  b
yonu; a nın yerine d ve d nin yerine  a konularak, f 1(x) 
bulunur..
cx  a
f : R 
ye
f (x) 
Örnek : f : R  R+ , 0 < a < 1 olmak üzere, f (x) = ax ile tanımlı fonksiyonun, ters fonksiyonunu
bulup, grafiklerini aynı koordinat düzleminde çizelim.
Çözüm : f : R  R+ , f (x) = ax fonksiyonu bire bir ve örten olup ters fonksiyonu vardır.
f (x) = y  x = f 1(y) dir..
f (x) = y 

ax = y
x . log a = log y
a
a
 x = logay
 f 1(x) = logax
bulunur..
O hâlde, f ile f 1 fonksiyonlarının grafiklerinin y = x
birinci açıortay doğrusuna göre simetrik oldukları görülür.
x
Örnek : f : R  (4 , +  ) , f (3  4) = x3  3x2 + 3x + 2 fonksiyonu veriliyor. f (5) + 3 . f 1(5)
değeri kaçtır?
x
x
x
Çözüm : f (3  4) = (x  1)3 + 3 şeklinde yazalım. f (5) için, 3  4 = 5  3 = 9  x = 2
2
bulunur. O hâlde, fonksiyonda x yerine 2 yazalım: f (3  4) = (2  1)3 + 3

f (5) = 4 olur.
f 1( 5) i bulurken, f 1( 5) = a diyelim. Bu durumda, f(a) =  5 olur..
x
Buna göre, 3  4 = a  (x  1)3 + 3 =  5
x
a=3 4
a=3 4
1
a=3
4=4+
(x  1)3 =  8

x
x=1

1 11

3
3
ise
f 1( 5) = 
11
3
bulunur..
FG 11IJ =  7
H 3K
1
Bulunan değerler f (5) + 3 f (5) te yerlerine yazılırsa; f (5) + 3 . f 1(5) = 4 + 3 
olur..
ARTAN VE AZALAN FONKSİYONLAR
Tanım : A  R ve f : A  R fonksiyonu verilsin.
x , x  B  A için;
1
2
x < x 
f (x ) < f (x ) oluyorsa, f fonksiyonuna, B aralığında
x1 < x2 
f (x1) > f (x2) oluyorsa, f fonksiyonuna, B aralığında
x <x

f (x )  f (x ) oluyorsa, f fonksiyonuna, B aralığında

f (x )  f (x ) oluyorsa, f fonksiyonuna, B aralığında
1
2
1
2
artan fonksiyon denir.
x1 , x2  B  A için;
azalan fonksiyon denir.
x , x  B  A için;
1
2
1
2
1
2
azalmayan fonksiyon denir.
x , x  B  A için;
1
2
x <x
1
2
1
2
artmayan fonksiyon denir.
3
Örnek :
f : R  {0}  R  {0} , f ( x) 
1
x
fonksiyonunun artan veya azalan olduğu aralıkları
bulalım.
y
1
f ( x) 
x
Çözüm :
x3 , x4  R
fonksiyonu,
f(x1)
için x4 < x3

f(x2)
1
1

x4
x3
x4
O
için x1 < x2

x2
x
f(x3)
olduğundan fonksiyon R de azalandır.

x1
f(x4)
 f(x4) > f(x3)
x1 , x2  R
x3
1
1

x1
x2
 f(x ) > f(x )
1
2
olduğundan fonksiyon R da azalandır.
Örnek : f : R  R , f (x) = 2mx + 3 fonksiyonunun m nin hangi değerleri için artan veya azalan
olduğunu inceleyelim.
Çözüm : i. f fonksiyonunun artan olması için;
x1 , x2  R
,
x1 < x2

f (x1) < f (x2) olmalı,
x1 < x2

2

mx + 3 < mx + 3

m(x1  x2) < 0
m x1  3
 2
1
m x2  3
2
x  x < 0 olduğundan, m > 0 olmalıdır.
1
ii.
f
2
fonksiyonunun azalan olması için;
x1 , x2  R ,
x1 < x2

f (x1) > f (x2) olmalı,

2

mx1 + 3 > mx2 + 3

m(x1  x2) > 0
m x1  3
 2
m x2  3
x1  x2 < 0 olduğundan, m < 0 olmalıdır.
iii.
m = 0 olması hâlinde f (x) = 23 = 8 sabit fonksiyon olur.
4
ÇİFT VE TEK FONKSİYONLAR
Tanım : f : [ a , a]  R,
x   a , a] olmak üzere:
f (x) =
f (x) ise, f ye çift fonksiyon,
f (x) =  f (x) ise, f ye tek fonksiyon denir.
2
Örnek :
f : [m , 7]  R , f (x) = x  (n + 2) x  3
(m , n) ikilisi ne olmalıdır?
fonksiyonunun çift fonksiyon olması için,
Çözüm :
f nin çift fonksiyon olması için, ilk koşul;
x   A için
x  A olmasıdır..
O hâlde, 7  A   7  A olmalıdır. Bu durumda, m = 7 dir. İkinci koşul;
x  A için,
f (x) = f (x) olmalıdır. Buna göre;
( x)2  (n + 2) ( x)  3 = x2  (n + 2) x  3  x2 + (n + 2) x  3 = x2  (n + 2) x  3 polinom eşitliğinden,
n + 2 =  n  2 olur. Buradan,
n =  2 bulunur. O hâlde; (m , n) = ( 7 ,  2) dir.
d
i
Özelik  : f çift fonksiyon ise, x, f (x) ve
grafiğine ait olduğundan, fonksiyonun grafiği y
dx, f (x)i
noktaları f fonksiyonunun
eksenine göre simetriktir.
Örneğin; şekildeki grafik, y eksenine göre katlandığında
kollar çakıştığından bir çift fonksiyon grafiğidir.
b
g
b
g
Özelik  : f tek fonksiyon ise, x, f (x) ve  x,  f ( x) noktaları f fonksiyonunun
grafiğine ait olduğundan fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir.
y

2

f(x) = sinx
1
0
1

2
x
Örneğin; şekilde f :   ,   1 , 1 , f (x) = sinx
ile tanımlı f fonksiyonunun grafiği orijine göre simetrik olup, tek
fonksiyon grafiğidir.

Örnek : Şekilde R  R ye tanımlı y = f (x) fonksiyonunun grafiği
verilmiştir.
a.
f (x)
b.  f (x)
c.  f (x)
fonksiyonlarının grafiklerini R  R ye çizip, f (x) in tek veya çift fonksiyon
olup olmadığını araştırınız.
Çözüm : a. f (x) in y eksenine göre simetriği f (x) olduğundan,
y = f (x) in y eksenine göre simetriği alınarak f (x) çizilir. f (x) ile
f (x) in grafikleri aynı olmadığından f çift fonksiyon değildir.
5
b. f (x) in x eksenine göre simetriği  f (x) olduğundan, y = f (x) in
x eksenine göre simetriği alınarak  f (x) çizilir.
c. f (x) in orijine göre simetriği  f ( x) olduğundan, y = f(x) in
orijine göre (hem x , hem de y eksenlerine göre) simetriği alınarak
 f (x) in grafiği çizilir. f (x) ile  f (x) in grafikleri aynı olmadığından,
f tek fonksiyon değildir.
Örnek : Aşağıdaki fonksiyonların tek veya çift fonksiyon olup olmadıklarını araştıralım.
a. f : R  R ,
Çözüm :
f (x) = 0
a. f ( x)  0
f ( x)  0
UV
W
b. f : R  R ,
olup,
f (x) = x 2  3x
f ( x)  f (  x) olduğundan,
f ( x)  f ( x) olduğundan,
f
f
çift fonksiyondur.
tek fonksiyondur.
Buna göre, f (x) = 0 fonksiyonu hem çift hem de tek fonksiyondur.
b. f (x) = (x)2  3(x) = x2 + 3x
olup,
f (x)  f (x)
olduğundan, f çift fonksiyon değil,
f (x)  f (x) olduğundan, f tek fonksiyon değildir. O hâlde, f ; ne tek ne de çift fonksiyondur.
Özelik  : Bir fonksiyon tek ve çift fonksiyon olabileceği gibi, tek veya çift fonksiyon
olmayabilir.
Örnek : R den R ye y = f (x) ve y = g (x) fonksiyonları verilsin. f fonksiyonu tek fonksiyon,
g fonksiyonu çift fonksiyon ise, gof fonksiyonu çift fonksiyon, fof nin tek fonksiyon olduğunu gösterelim.
Çözüm : f fonksiyonu tek fonksiyon ise,
fonksiyon ise,
x  R için, f (x) =  f ( x) tir. g fonksiyonu çift
x  R için, g (x) = g ( x) tir..
b g
x  R için, (gof) (x) = g f ( x)
= g  f ( x)
( f tek fonksiyon olduğu için)
= g f (  x)
( g çift fonksiyon olduğu için)
= (gof) ( x) bulunur. O hâlde, gof çift fonksiyondur.
b g
x  R için, (fof) (x) = f f ( x)
= f  f (  x)
( f tek fonksiyon olduğu için)
=  f f (  x)
( f tek fonksiyon olduğu için)
=  (fof) ( x) bulunur. O hâlde, fof tek fonksiyondur.
6
FONKSİYONLARDA İŞLEMLER
Tanımlar : A  R , f : A  R , y = f (x) ; g : A  R , y = g (x)
fonksiyonları için;
1. İki Fonksiyonun Toplamı
t (x) = f (x) + g (x) ile tanımlı t : A  R fonksiyonuna f ve g fonksiyonlarının toplamı
denir ve t = f + g ile gösterilir. Buna göre, (f + g)(x) = f (x) + g (x) tir.
O hâlde;
(f  g)(x) = f(x)  g(x) olur.
2. İki Fonksiyonun Çarpımı
ç (x) = f (x) . g (x) ile tanımlı
denir ve
ç=f.g
ç : A  R fonksiyonuna, f ve g fonksiyonlarının çarpımı
(f . g)(x) = f (x) . g (x) ve f n (x) =
ile gösterilir. Buna göre,
bf(x)g
n
tir..
3. Bir Fonksiyonun Bir Gerçek Sayı İle Çarpımı
a R olsun. k (x) = a . f (x) ile tanımlı k : A  R fonksiyonuna, f fonksiyonunun a gerçek
sayısı ile çarpımı denir ve k = a . f ile gösterilir. Buna göre, (a . f)(x) = a . f (x) tir.
4. İki Fonksiyonun Bölümü
x  A için g(x)  0 ise, b(x) =
f ( x)
g( x)
ile tanımlı b : A R fonksiyonuna, f fonksiyonu-
nun g fonksiyonu ile bölümü denir ve b =
f : A  R , g : B  R
f . g ve
f
ile gösterilir. Buna göre,
g
fonksiyonları için
A B
FG f IJ (x)  f(x)
H gK g(x)
olmak üzere;
tir..
f+g , fg ,
f
fonksiyonlarının tanım kümesinin A  B kümesi olarak alınacağına dikkat edilmeg
lidir.
Örnek : R  R ye f (x) = x3 + x ve g (x) = x2 + 1 ile tanımlı f ve g fonksiyonları veriliyor.
a. f + g
b. f . g
c.
f
g
d. (2 . f  g)
fonksiyonlarını bulalım.
a. (f + g)(x) = f (x) + g (x) = x 3 + x + x2 + 1 = x3 + x2 + x + 1 bulunur.
Çözüm :
b.
(f . g)(x) = f (x) . g (x) = (x 3 + x) (x2 + 1) = x5 + 2x3 + x bulunur.
c.
FG f IJ (x)  x
H gK x
d.
(2 . f  g)(x) = 2 . f (x)  g (x) = 2 . (x3 + x)  (x2 + 1) = 2x3  x2 + 2x  1 bulunur.
3
2
x
1

x( x2  1)
( x2  1)
x
olur.
2
(x + 1  0)
7
KONU İLE İLGİLİ UYGULAMALAR
1. f : N  R , f (2x + 1) = f (2x  1) + x
fonksiyonu tanımlanıyor:
a. f (7) = 3 ise f (1) değerini bulalım.
Çözüm : a. f (2x + 1)  f (2x  1) = x
f (7) ve f (1) elde edilebilsin.
x=1
için ,
f (3)  f (1)
=
x=2
için ,
f (5)  f (3)
=
2
x=3
için ,
f (7)  f (5)
=
3
f (7)  f (1)
=
b. f (1) = 2 ise f (49) değerini bulalım.
biçiminde yazalım. x e 1 , 2 , 3 değerleri verelim ki,
1
6 
3  f (1) = 6 
f (1) =  3
olur.
b. f (2x + 1)  f (2x  1) = x te x yerine sırasıyla 1 , 2 , ...., 23 , 24 değerleri verilirse f (49) ve
f (1) elde edilir.
x=1
için,
f (3)  f (1) = 1
x=2
için,
f (5)  f (3) = 2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x = 23 için,
f (47)  f (45) =
23
x = 24 için,
f (49)  f (47) =
24
f (49)  f (1) =
1 + 2 + ... + 23 + 24
f (49)  2 =
24 . 25
2
 f (49) = 302 bulunur..
2. f : N  R , (x + 2) . f (x) = x . f (x + 1) ile tanımlı f fonksiyonu veriliyor.
a. f (4) = 10 ise, f (1) değerini bulalım.
b. f (100) = 101 ise, 25 . f (3) değerini bulalım.
f ( x)
x

biçiminde yazalım. x e 1 , 2 , 3 vererek; f (1) , f (2) , f (3) , f (4)
f ( x  1) x  2
değerlerini eşitlikte yerine koyup çarpalım.
Çözüm : a.
f (1) f (2) f (3)
1 2 3


  
f (2) f (3) f (4)
3 4 5
f (1)
1

dan f (1)  1
10
10
b.

f (1)
1

f (4) 10
bulunur.
f ( x)
x

de x yerine; 3 , 4 , 5 , ... , 97 , 98 , 99 değerleri verilir. Elde edilenler taraf
f ( x  1)
x2
tarafa çarpılırsa,
f(3 )
elde edilir..
f (100)
f ( 3)
f ( 4)
f ( 5)
f (97)
f (98)
f (99)
3
4
5
97
98
99


...





...


f ( 4)
f ( 5)
f ( 6)
f (98)
f (99)
f (100)
5
6
7
99 100 101
f (3)
3.4
f (3 )
3



f (100)
100 . 101
101
25 . 101
 25 . f (3) = 3
8
bulunur..
f : {1 , 0 , 2}  R , f (x) = x3  2 ve
g : {2 , 1 , 3}  R , g (x) = 2x + 3 fonksiyonları veriliyor.
Buna göre, 3f  2g fonksiyonunun görüntü kümesini bulalım.
3.
Çözüm : 3f  2g fonksiyonu {1 , 0 , 2}  {2 , 1 , 3} = {1} kümesinden R ye tanımlıdır.
Buna göre,
(3f  2g) (1) = 3f(1)  2g(1) = 3 . (3)  2 . 1 = 11 olduğundan 3f  2g fonksiyonunun görüntü
dl1qi = {11} dir..
f : nba , 4g , bb , 3g , bc , 5g s , g  nb3 , 1g , b4 , 7g , b5 , 8g s
kümesi {11} dir. Yani, (3f  2g)
4.
fonksiyonları veriliyor. gof fonk-
siyonunu ve görüntü kümesini belirtelim.
Çözüm :
f
fonksiyonunun tanım kümesi A = {a , b , c} dir. A kümesi gof fonksiyonunun da
tanım kümesidir.
b g
(gof )(b)  g bf (b)g  g(3)  1
(gof )(c)  g bf (c)g  g (5)  8 olduğundan,
gof = nba , 7g , (b , 1) , (c , 8)s dir. gof fonksiyonunun görüntü kümesi de
(gof )(a)  g f (a)  g (4)  7
(gof ) (A) = { 7 , 1 , 8} dir..
f : R  R , f (x) = 2x + m (m  N) , gof : R  R , (gof )(x) = x2  mx
veriliyor. g(2) = 0 olduğuna göre, g(x) fonksiyonunu bulalım.
5.
fonksiyonları
Çözüm : (gof )o f 1 = go(fo f 1) = go = g olduğundan f nin tersi gof fonksiyonunda x yerine
konarak g fonksiyonu elde edilir. Bunun için önce f nin tersi bulunur.
f 1(x) =
xm
2
dir..
FG
H
IJ FG x  m IJ
K H 2 K
g (x) = (x2  mx)o x  m 
2
g(2) = 0
m1 
olduğundan,
g(2) =
2
m
FG x  m IJ
H 2 K

4  8m  3m 2
=0
4

g (x) =
x2  4mx  3m 2
4
3m2  8m + 4 = 0
2
, m 2  2 dir. m  N olduğundan, m = 2 alınır. O hâlde,
3
bulunur..
denklemi çözüldüğünde;
g(x) =
x 2  8 x  12
4
bulunur..
6.  x  R + için, f ( x . y) = f (x) + f (y) dir. f (3) = 3 olduğuna göre,
b. n  N + için, f ( 3 n ) i
a. f (27) değerini bulalım.
Çözüm : a.
x = 3 ve y = 3
için, f (3 . 3) = f (3 ) + f ( 3)
f ( 3 2 ) = 2 . f ( 3)
2
f(3 ) = 6
x = 3  y = 32
için,
f (3 . 3 2 ) = f (3) + f (3 2 )
f ( 3 3 ) = 3 + 6 dan
b.
f (2 7) = 9
olur.
2
k=2
için, f ( 3 ) = f(3 . 3) = f(3) + f(3) = 2 . f(3)
k=3
.
.
.
için, f ( 3 3 ) = f(32 . 3) = f(32) + f(3) = 3 . f(3)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
k=n
için, f ( 3 n ) = f (3 n 1 . 3) = f ( 3 n 1 ) + f (3 ) = n . f (3)
f (3 ) = 3
olduğundan
f ( 3n) = 3 . n
bulunur.
9
n
cinsinden bulalım.
ALIŞTIRMALAR
1.
Yukarıdaki grafikleri verilen fonksiyonların;
a. Tanım ve değer kümelerini bulunuz.
b.
f (2) + h(2)  3 . g(3)
değeri kaçtır?
2.
f : R  R çift fonksiyon olduğuna göre, f (x) + 2 f (x) = 12x2 + 9 fonksiyonu veriliyor. f (x)
fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.
3.
Aşağıdaki fonksiyonların tek fonksiyon veya çift fonksiyon olup olmadıklarını araştırınız.
4.
a.
f (x) = x 3 + 4x
b. f (x) = 7x2  3
c.
f (x) = x . sinx + 3
d. f (x) =
R den R ye
a.
5.
f (x) = 2x3  16
(f  h)(x)
b.
,
x3
2x  1
g (x) = x2 + 2x + 4 , h (x) = 3x3 + 24 fonksiyonları veriliyor:
(f . h)(x)
FG f IJ (x)
H gK
c.
fonksiyonlarını bulunuz.
Aşağıdaki fonksiyonların ters fonksiyonlarını bulunuz.
a.
f:R  R ,
c.
f : R  ( 3 ,  ) ,
e.
f :  , 4  6 , 
2x
4
3
f (x) =
b
b. f : R  {6}  R {2} , f (x) =
f (x) = ex  3
g
(m  2) x 2  2x  6
,
d.
f : ( 3 , )  R ,
f(x) =
7.
f(x) = (m  2) x + n + 3 fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre,
kaçtır?
f ve g uygun kümelerde tanımlı olmak üzere;
1
9.
fonksiyonunun sabit fonksiyon olması için, (m , n) reel sayı ikilisi
4 x2  x  n  3
ne olmalıdır?
efog j(2x  1)  34xx  21
f (x) = log5(2x  6)
f (x) = x2  8x + 10
6.
8.
2x  10
x6
ve g(x) = 3x  1 ise, f
1
mf(n) + nf(m)
değeri
(x) i bulunuz.
a. g çift fonksiyondur. ( f 1og) (x) = g(x) + 3 olduğuna göre, f (3) kaçtır?
1
b. f : R  R , (fof ) (x) = 4x + 1
10. a. f (5x) = 4 . f (x) + 2
b. f (1) = 2
c. f (1) = 1
ve
f (5) = 10
ve
f 1(x) = 1  m . f (x) ise,
ise,
f
FG 1IJ
H 5K
kaçtır?
ve  n  N+ için, f (n + 1) = f(n)  2 ise,
+
ve  n  N
2
için, f (n + 1) = n . f (n)
10
m reel sayısı kaçtır?
f (100)
ise,
f (10)
kaçtır?
kaçtır?
ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
Bu bölümde özel tanımlı fonksiyonlar, bu fonksiyonların özelikleri ve grafikleri incelenecektir.
PARÇALI FONKSİYONLAR
Tanım : Tanım aralığının alt aralıklarında farklı kurallarla tanımlanmış fonksiyonlara, parçalı fonksiyonlar denir.
Örneğin;
f : R  R , f ( x) 
RSf (x) , x  x  x ise
Tf (x) , x  x V x  x
1
1
2
2
1
fonksiyonu parçalı bir fonksiyon olup x = x , ve
1
ve bu noktalara fonksiyonun kritik noktaları denir.
x=x
2
2
ise
noktaları tanım aralıklarının uç noktalarıdır
Örnek
f:Z 
R|4x  1 ,
R ye , f ( x)  S x  1 ,
||x  1 ,
T
2
3
x  0 (Mod 3) ise
x  1 (Mod 3) ise
x  2 (Mod 3) ise
fonksiyonu veriliyor.
a. f (5) + f (6)  2f (7) değerini bulalım.
Çözüm :
a.
b. f (3x  2) fonksiyonunu bulalım.
5  2 (Mod 3)
olduğu için,
f (5) = 53  1 = 124 ;
6  0 (Mod 3)
olduğu için,
f (6) = 4 • 6  1 = 23 ;
7  1 (Mod 3) olduğu için,
f (7) = 72 + 1 = 50 olur.
f (5) + f (6)  2f (7) = 124 + 23  100 = 47 bulunur.
b. 3x  2  1 (Mod 3) olduğu için, f (3x  2) = (3x 2)2 + 1  f (3x  2) = 9x2  12x + 5 bulunur.
Örnek :
R|2x  1 , x  2 ise
f ( x)  S5 x
, 2  x  3 ise
|T4  3x , 3  x ise
R|2x  2x
g ( x)  S
T|1  x
2
ve
2
, x  2 ise
, 2  x ise
parçalı fonksiyonları tanımlanıyor.
a. f (x) + g (x) fonksiyonunu bulalım.
b. 2 f (x)  3 g (x) fonksiyonunu bulunuz.
R|2x  1  2x  2x , x  2 ise
f ( x)  g( x)  S5 x  1  x
, 2  x  3 ise
||4  3x  1  x , 3  x ise
T
R|2x  1 , x  2 ise
f ( x)  g( x)  S x  5 x  1 , 2  x  3 ise
|| x  3 x  5 , 3  x ise
bulunur.
T
2
Çözüm :
a.
2
2
2
2
2
b. Siz bulunuz.
11
Örnek
R|x  1
f ( x )  S2 x  5
|| x
T
3
2
, x  0 ise
, 0  x  4 ise
, 4  x ise
g( x)  x  1 fonksiyonları veriliyor..
ve
a. (fofof)(1) değerini bulalım.
b. (fog)(x) fonksiyonunu bulalım.
b g
e
j
Çözüm : a. (fofof)(1) = (fof) f(1) = (fof) ( 1)3  1 = (fof)(0) = f(2 . 0 + 5) = f(5) =  52 = 25
bulunur.
R|g (x)  1 , g( x)  0
(fog)( x)  S2g( x)  5 , 0  g ( x)  4
||g (x) , 4  g(x)
T
R|( x  1)  1 , x  1  0
(fog)( x)  S2( x  1)  5 , 0  x  1  4
||(x  1) , 4  x  1
T
R|x  3x  3 x , x  1
(fog)( x)  S2x  3
, 1 x  5
||x  2x  1 , 5  x
T
3
b.
2
3
2
3
2
2
ise
ise
ise
ise
ise
ise
ise
ise
ise
bulunur.
PARÇALI FONKSİYONLARIN GRAFİĞİ
Parçalı fonksiyonların grafikleri çizilirken, tanım aralığının her alt aralığındaki farklı
kurallarla tanımlanmış fonksiyonların grafikleri ayrı ayrı çizilerek grafik belirlenir.
R|x  2x , x  1
f ( x)  S 0
, x1
||x  2 , x  1
T
2
Örnek : f : R  R ,
ise
ise
ise
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
i. y = x2 + 2x parabolünün (   , 1) aralığına
karşılık gelen kısmı çizilir.
ii. (1 , 0) noktası işaretlenir.
iii. y = x + 2 doğrusunun (1 ,  ) aralığına karşılık gelen
kısmı alınır. Böylece f parçalı fonksiyonunun grafiği çizilmiş olur.
Çözüm :
Örnek : f : R  R , f ( x) 
RS x ,
T2  x ,
x  0 veya 1  x ise
0  x  1 ise
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
y
2
1
Çözüm : i.
y = x fonksiyonunun (  , 0]  (1 , + )
aralığına karşılık gelen kısmı çizilir.
ii. y = 2  x fonksiyonunun (0 , 1] aralığına karşılık gelen kısmı
çizilir. Böylece f parçalı fonksiyonunun grafiği çizilmiş olur.
12
x
0
1
MUTLAK DEĞER FONKSİYONU
Tanım : A  R ,
B  R olmak üzere
2
f (x)  f (x)  f (x) 
f : A  B ye
RSf(x) , f(x)  0 ise
T f(x) , f(x)  0 ise
şeklinde tanımlı fonksiyona, mutlak değer fonksiyonu denir.
i.
f ( x)  0 olduğundan,
f ( x) fonksiyonunun görüntü kümesi R +  {0} dır..
ii. f ( x) de f (x) = 0 denkleminin reel köklerine kritik noktalar denir.
grafiği bu noktalarda kırılma ya da kıvrılma yapar.
iii. f ( x) in tanımlanabilmesi için,
f ( x)
fonksiyonunun
f (x) in işareti bilinmelidir..
MUTLAK DEĞERLİ FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ
f: A  B
,
f ( x)  f ( x)

RSf (x) , f (x)  0
T f (x) , f (x)  0
ise
ise
dir.
Bu tanıma göre mutlak değerli fonksiyonların grafikleri çizilirken aşağıdaki adımlar izlenmelidir.
1. y = f (x) in grafiği çizilir.
b
g
b
g
2. x , f ( x) noktalarının x eksenine göre simetriği x ,  f ( x) olduğundan, f (x) < 0 olduğu
kısımların (x ekseninin altında kalan parçaların) x eksenine göre simetriği alınır.
3. f (x)  0 olduğu kısımlarda
f ( x)
f ( x) = f (x) olduğundan, fonksiyonun grafiği aynen kalır. Böylece,
grafiği çizilmiş olur..
Örnek : Yanda, g : R  R ye y = g (x) fonksiyonunun grafiği
verilmiştir. R den R ye f (x) = g ( x) fonksiyonunu tanımlayıp grafiğini
çizelim.
y
y = g(x)
Çözüm : x ekseninin üst bölgelerinde g (x) in işareti pozitif, x eksenini kestiği noktalarda g (x) = 0 ve x ekseninin alt
bölgelerinde g (x) in işareti negatiftir.
Buna göre; fonksiyon f ( x)  g ( x)

RSg(x)
T g(x)
a
0
b
x
x  a ise
a  x ise
olarak tanımlanır.
Grafiği çizilirken de g (x) in negatif olduğu kısımların x eksenine göre simetriği alınıp, diğer
kısımları aynen bırakılarak grafik çizilmiş olur.
13
x=a
ve
x=b
g(x) = 0
denklemin kökleri olduğu için,
f (x) = g ( x) in kritik noktaları olup, grafik bu noktalarda bir kıvrılma
yapmıştır.
Örnek : f : R  R , f (x) = 4  2 x
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm : Önce mutlak değer içinin işaretini inceleyelim:
4  2x = 0  x = 2
f(x)  4  2x 
ve tablodan faydalanarak,
RS4  2x , x  2 ise
T2x  4 , 2  x ise
parçalı fonksiyon biçiminde yazılır. Buna göre grafik çizilir.
Örnek : Aşağıdaki mutlak değerli fonksiyonların grafiklerini çizelim.
a. f : R  R
, f (x) = cos x
b. f : R +  R , f (x) = ln x
c. f : R  R
, f (x) = x 2  1
d. f : R  R
e. f : R  R+ , f (x) = 2 x
Çözüm
a.
b.
14
, f (x) = x  2
c.
d.
e.
15
Örnek :
f:R  R ,
f (x) = x 2  2x  3
fonksiyonu veriliyor:
a. f fonksiyonunu parçalı biçimde tanımlayalım.
b. f fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm : a. Mutlak değerin içini sıfır yapan x kritik noktalarını bulalım:
x2  2x  3 = 0  x =  1 V x = 3
1
2
tür.
tablodan faydalanarak,
2
f ( x)  x  2x  3

R| x
S|
T x
2
2
 2x  3 , x  1 V x  3 ise
 2x  3 ,
 1 x  3
ise
şeklinde tanımlanır.
b. y = x2  2x  3 fonksiyonunun grafiğini çizelim.
i. Önce grafiğin eksenlerle kesişim noktalarını bulalım:
y=0

x2  2x  3 = 0

y eksenini kestiği nokta, x = 0
x1 =  1 V x2 = 3

y =  3 tür.
ii. Tepe noktasını bulalım:
F
GH
T(r, k )  
b 4ac  b2
,
2a
4a
f(x) = x 2  2x  3
I  (1 ,  4)
JK
fonksiyonunun grafiği, y = x2  2x  3
fonksiyonunun grafiğinin x ekseni altında kalan kısımlarının x eksenine göre simetriğinin alınması ile çizilir.
Örnek : f : R  R , f (x) = x  2  x
fonksiyonu veriliyor..
a. f
fonksiyonunu parçalı biçimde yazalım.
b. f
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm : a. Mutlak değerlerin içini sıfır yapan x = 0 ve x = 2 noktaları kritik noktalardır.
x<0

R| x  2  x
f ( x)  S x  2  x
|T x  2  x
, x  0 ise
, 0  x  2 ise
,
2  x ise
için,
x2<0  x<0;
0x<2
için,
x2<0  x0;
2x
için,
x20  x>0
R|2x  2 ,
f ( x)  S
2
,
|T 2x  2 ,
16
olduğundan;
x  0 ise
0  x  2 ise olur..
2  x ise
b. Fonksiyonun grafiğinin çiziminde:
i. y =  2x + 2 doğrusunun grafiği çizilip, ( , 0) aralığına
karşılık gelen kısmı alınır.
ii. y = 2 doğrusunun grafiği çizilip, [0 , 2) aralığına karşılık
gelen kısmı alınır.
iii. y = 2x  2 doğrusunun grafiği çizilip, [2 , + ) aralığına
karşılık gelen kısmı alınır.
Böylece, f (x) in grafiği çizilmiş olur.
Mutlak değer içleri f(x) = ax + b biçiminde olan, iki mutlak değer toplamından oluşan
fonksiyonların grafikleri aşağıda verilen şekillerdeki gibi oluşur. İnceleyiniz.
1. f : R  R , f (x) = x  a  x  b
fonksiyonunun grafiği x = a ve
x = b de kırılma yapan ve minimum değeri f (a) = f (b) = a  b
yandaki şekli çizer.
2. f : R  R , f (x) = ax  b  mx  n
m  a grafiği, mutlak
n
değerlerinde kırılma yapar. Bu
m
değerlerden küçük olanına x1 ve büyük olanına x2 diyelim. Fonksiyonun f (x ) ya da f (x ) de bir minimum değeri oluşur. Fonksiyonun
değer içlerini sıfır yapan
1
b
a
olan
ve
2
grafiği yanda görüldüğü gibidir.
Örnek : f : R  R , f (x) = x  2  x  1
a. f fonksiyonunu parçalı biçimde tanımlayalım.
fonksiyonu veriliyor:
b. f fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm : a. Mutlak değerlerin içini sıfır yapan x =  1 ve x = 2 noktaları kritik noktalardır. Buna
göre tablo yaparak, mutlak değer içlerinin işaretlerini inceleyip, f fonksiyonunu parçalı biçimde yazalım:
R| 3 ,
f ( x)  S  2x  1 ,
|T  3 ,
x  1 ise
 1  x  2 ise
2 x
ise
b.
f fonksiyonunun grafiği yandaki şekildedir. f fonksiyonunun
grafiğinin kritik noktalarda kırılma yaptığına dikkat ediniz.
17
Mutlak değer içleri f(x) = ax + b biçiminde olan, iki mutlak değer farkından oluşan fonksiyonların grafikleri aşağıda verilen şekillerdeki gibi oluşur. İnceleyiniz.
1. f : R  R , f (x) = x  a  x  b fonksiyonunun
grafiği x = a ve x = b de kırılma yapar. Bu noktaların birinde
minimum değer, diğerinde maksimum değer oluşur.
f (a) =  a  b
(minimum değer)
f (b) = b  a  a  b
(maksimum değer)
2. f : R  R , f (x) = ax  b  mx  n
(m  a) fonksiyonunun grafiği, mutlak değer içlerini sıfır
b
n
ve
değerlerinde kırılma yapar. Bu değerlerden küçük olanına x1 ve büyük olanına x2
a
m
diyelim. Grafik, aşağıdaki üç farklı durumda oluşabilir.
yapan
O hâlde, f (x) = ax  b  mx  n
noktaların birinde oluşur.
f (x) = ax  b  mx  n
aşamalar izlenmelidir.
fonksiyonunun minimum ve maksimum değeri (varsa) kritik
biçimindeki fonksiyonların grafiklerini çizmek için, aşağıdaki
i. Kritik noktalar ve görüntüleri bulunur.
ii. Soldaki kritik noktanın solunda bir nokta seçilip bu noktanın görüntüsü bulunur. Bu iki nokta
birleştirilip grafiğin sol kısmı çizilir.
iii. İki kritik nokta birleştirilir.
iv. Sağdaki kritik noktanın sağında bir nokta seçilip bu noktanın görüntüsü bulunur. Bu iki nokta
birleştirilip grafiğin sağ kısmı çizilir. Böylece grafik tamamlanmış olur.
Örnek : f : R  R
a.
f ( x)  2x  1  x
b.
f ( x)  3  2x  1  x
c. f ( x)  x  1  2x  5
fonksiyonlarının grafiklerini çizip, varsa minimum ve maksimum değerlerini bulalım.
Çözüm : a. f ( x)  2x  1  x in kritik noktaları x = 0 ve x =
kırılma yapar, varsa minimum ve maksimum değerleri bu noktalarda oluşur.
Grafiğin çizimi:
x = 0 
x=
1
2
x<0
x>
1
2

y = 1  0 = 1
y= 0 
1
1

2
2
ve
A (0 , 1)
ve B
FG 1 ,  1 IJ
H 2 2K
olan x = 1 seçelim. f (1) = 3  1 = 2 ve
C (1 , 2) olur.
olan
D(1 , 0) olur..
x = 1 seçelim.
f (1) = 1  1 = 0
ve
18
1
olup grafik bu noktalarda
2
Grafikte görüldüğü üzere fonksiyonun B
Minimum değeri: y = 
FG 1 ,  1 IJ
H 2 2K
de bir minimumu vardır..
1
dir..
2
b.
Kritik noktalar:
A
Seçilen noktalar:
FG 3 ,  1IJ
H 2 2K
C (0 , 2)
, B (1 , 1)
,
D (2 , 0)
Grafik çizilirken sırasıyla;
[BC ışını,
tamamlanır.
[BA]
doğru parçası,
[AD ışını çizilerek grafik
Fonksiyonun minimum değeri: y = 
c.
Kritik noktalar: A
Seçilen noktalar:
FG 5 , 3 IJ
H 2 2K
1
dir..
2
, B (1 ,  3) tür..
C (3 , 1) , D (0 ,  4)
Grafik çizilirken sırasıyla [BD ışını, [BA] doğru parçası
[AC ışını çizilerek grafik tamamlanır.
Fonksiyonun maksimum değeri: y =
3
dir..
2
Örnek : R  R , f (x) = x x 2  4 x  4
Çözüm :
bx  2g
f (x) = x
2
 x x2
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
 x = 2,
kritik
noktadır.
R| x
f ( x)  S
T| x
2
2
 2x , x  2 ise
 2x , 2  x ise
olur. f nin grafiği yanda çizilmiştir. x = 2 de bir kıvrılma olduğu
görülmektedir.
Örnek : f : [ , ]  R , f fonksiyonu, y = f (x) =
cos x  cos x
2
ile tanımlıdır. f fonksiyo-
nunun grafiğini çizelim.
Çözüm :
  x  

2
için,
cos x  0

f ( x) 
cos x  cos x
 0 olur..
2


cos x  cos x
x
için, cos x  0  f ( x) 
 cos x
2
2
2
olur.


cos x  cos x
 x   için, cos x  0  f ( x) 
0
2
2
Buna göre grafik yandaki gibidir.
19
olur..
Örnek :
x  y  3 bağıntısının grafiğini R 2 de
çizelim.
Çözüm :
x0 , y0

x+y=3
x0 , y0

x+y=3
x0 , y0
  x  y = 3
x0 , y0

 x  y = 3 olur.
Bu koşullara uyan bağıntının grafiği yanda çizilmiştir.
Örnek :
Çözüm :
x  y  1  2 bağıntısının grafiğini R 2 de çizelim.
x0 , y10

x  y + 1 = 2 
xy=1
x<0 , y10

 x  y + 1 = 2 
xy=1
x<0 , y1<0

 x + y  1 = 2 
x+y=3
x0 , y1<0

x + y  1 = 2 
x + y = 3 olur.
Bu koşullara uyan bağıntının grafiği yanda çizilmiştir.
Örnek :
x . y  1 bağıntısının grafiğini R 2 de çizelim.
Çözüm :
i. x ve y aynı işaretli ise, x . y > 0
(I. ve III. bölge) olup, bağıntının denklemi x . y = 1 dir.
ii. x ve y ters işaretli ise x . y < 0 (II. ve IV. bölge) olup,
bağıntının denklemi x . y =  1 dir.
x . y  1 bağıntısının grafiği yandaki şekildedir..
20
Örnek : x + y  2  1 bağıntısının grafiğini R 2 de çizelim.
Çözüm :
y < 2  x  y + 2 = 1  x  y =  1  x = y  1
y  2  x + y  2 = 1  x + y = 3  x =  y + 3
f ( y) 
RS y  1 , y  2
T y  3 , y  2
ise
ise
olur..
Grafik çizilirken:
1. aşama : y = 2

y<2
için
x=2+3=1
ve A (1 , 2)
y=1  x=11=0
ve B (0 , 1)
A ve B birleştirilip [AB ışını çizilir.
2. aşama : A (1 , 2) bulunmuştu.
y2
için
y=3  x=3+3
x = 0 ve C (0 , 3) olur.
A ile C birleştirilip
[AC ışını çizilir.
Böylece grafik tamamlanmış olur.
y = 2 noktası kritik nokta olup bu noktada bir kırılma olduğuna dikkat ediniz.
Örnek :
U|V
 0 |W
xy  2
x.y
2
eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini R de gösterelim.
Çözüm : x + y  2   2  x + y  2   x  2  y   x + 2
Bu eşitsizlik sisteminin çözümü,
y =  x  2 doğrusu ve üstünde kalan bölge ile,
y =  x + 2 doğrusu ve altında kalan bölgenin
kesişimidir. ...(1)
x . y < 0 koşulunu sağlayan noktalar II. ve IV.
bölgelerdedir. ...(2)
(1) ve (2) yi sağlayan (x , y) noktaları, yandaki
grafikte gösterilmiştir.
21
İŞARET (SİGNUM) FONKSİYONU
Tanım :
f:R  R ,
y = f (x) fonksiyonu verilsin.
R|1 ,
y = sgn f ( x)  S 0 ,
|T 1 ,
biçiminde tanımlanan fonksiyona,
f ( x)  0 ise
f ( x)  0 ise
f ( x)  0 ise
f nin işaret (signum) fonksiyonu denir.
i. Tanımdan anlaşılacağı gibi, sgn f (x ) fonksiyonu sadece 1 , 0 , 1 değerlerini alabilir. O
hâlde, sgn f (x ) fonksiyonunun görüntü kümesi; {1 , 0 , 1} dir.
ii. sgn f (x ) in tanımlanabilmesi için, f (x) in işareti bilinmelidir.
iii. sgn f (x ) fonksiyonunda, f (x) = 0
fonksiyo-nu bu kritik noktalarda sıçrama yapar.
denkleminin köklerine, kritik noktalar denir. İşaret
Örnek : sgn (x2  3x) = 1 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm : Tanımdan görüleceği gibi, x2  3x fonksiyonunu negatif yapan değerler kümesi bulunma-lıdır.
x2  3x < 0  x (x  3) < 0
x(x - 3) = 0
x=0

V
x=3
O hâlde, çözüm kümesi, Ç = (0 , 3) bulunur.
Örnek : sgn (x2  x  6) < sgn (x2 + 5) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm :
xR
için,
x2 + 5 > 0 olduğundan, sgn (x2 + 5) = 1
olur. Buna göre eşitsizlik,
sgn (x2 x  6) < 1 biçiminde olur. O hâlde, sgn (x2  x  6) fonksiyonu, 1 veya 0 değerini alabilir.
sgn (x2  x  6) = 1  x2  x  6 < 0
(x  3) (x + 2) < 0

sgn (x2  x  6) = 0  x2  x  6 = 0  (x  3) (x + 2) = 0
Buna göre eşitsizliğin çözüm kümesi;
Örnek :
sgn
Ç = { x : 2  x  3
a
+ sgn (a  b) =  2
b
ise,
sgn


2 < x < 3
bulunur.
x1 = 2 V x2 = 3
bulunur.
, x  R } veya Ç = [ 2 , 3] dir.
b
a
+ sgn (b  a)  sgn
1
a.b
işleminin
sonucunu bulalım.
Çözüm :
sgn
a
+ sgn (a  b) = 2
b
sgn

a
=  1
b
a
< 0
b
a < 0
a < 0 ve b > 0

b
<0 , ba>0
a
sgn
O hâlde, sgn
ve
ve
ve
ve sgn (a  b) =  1
ab < 0
b > 0
bulunur.
1
<0
a.b
1
a
= 1 , sgn (b  a) = 1 , sgn
= 1 olur..
a.b
b
1
a
+ sgn (b  a)  sgn
= 1 + 1  (1) = 1 dir..
a.b
b
22
Örnek :
f :R  R ,
Çözüm : sgn
x3
x3
f (x) = x3 . sgn
x3
x3
fonksiyonunu parçalı biçimde tanımlayalım.
fonksiyonunu tanımlamak için,
x3
ün işaretini tablo yaparak belirtelim:
x3
R| x
f ( x)  S 0
||x
T
3
,
x  3 V x  3 ise
,
x  3
3
ise
,  3  x  3 ise
olur.
İŞARET FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ
y = sgn f (x) in grafiğini çizerken aşağıdaki aşamalar izlenmelidir:
i. f (x) fonksiyonunun grafiği çizilir.
ii. f (x) fonksiyonunun grafiğinin;
x ekseninin üstünde kalan kısımlar için, y = 1 doğrusu çizilir.
x ekseninin altında kalan kısımlar için, y =  1 doğrusu çizilir.
x eksenini kestiği noktalar için, y = 0 işaretlenir.
Örnek : f : R  R , y = f (x) fonksiyonunun
grafiği yanda verilmiştir. Buna göre, sgn f (x ) in grafiğini
çizelim.
Çözüm : Soruda verilen grafikten görüldüğü gibi;
x < a  f (x) < 0 ve sgn f (x) =  1 ;
x = a V x = b  f (x) = 0 ve sgn f (x) = 0 ;
x > a , x  b  f (x) > 0 ve sgn f (x) = 1 olur.
Buna göre, sgn f (x ) in grafiği yanda çizilmiştir. Grafiğin
x = a ve x = b kritik noktalarında sıçrama yaptığına dikkat
ediniz.
Örnek : f : R  R ,
f (x) = x + sgn (x  2)
ile tanımlı fonksiyonun grafiğini çizelim.
Çözüm : Önce sgn (x  2) nin alabileceği değerleri inceleyelim. Bunun için, x  2 nin işaretini,
sgn (x  2) nin ve f (x) in alacağı değerleri tablo yaparak belirleyelim:
R| x  1
f ( x)  S 2
|T x  1
olur.
Buna göre grafik, yanda görüldüğü gibi çizilir.
23
, x  2 ise
, x  2 ise
, x  2 ise
Örnek :
f : [ , ]  R ,
f (x) = sgn (sinx)
ile tanımlı fonksiyonun grafiğini çizelim.
Çözüm : Fonksiyonla ilgili tablo aşağıdaki ve grafik yandaki gibidir.
Örnek : f : R +  R , f (x) = 1  sgn log 1 x
ile tanımlı fonksiyonun grafiğini çizelim.
2
Çözüm : Fonksiyonla ilgili tablo aşağıdaki ve grafik yandaki gibidir.
Örnek : f : R  R ,
f (x) = x  2  x . sgn (x  1)
a. f fonksiyonunu parçalı biçimde yazalım.
b. f
fonksiyonu veriliyor:
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm :
a.
Fonksiyonun kritik noktaları
x = 2 ve x = 1 dir. Bu noktalardan x = 2 de grafik bir kırılma,
x = 1 de bir sıçrama yapar.
Buna göre, fonksiyonu parçalı biçimde yazalım.
R| 2
| 1
f ( x)  S
||2x  2
T 2
,
,
x1
x1
ise
ise
, 1  x  2 ise
,
2  x ise
b. Buna göre, grafik yanda görüldüğü gibi çizilir.
f (x) = sgn (x + 2) ve g (x) = x 2  x + 1 fonksiyonları veriliyor. Buna göre, (gof) (x)
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Örnek :
Çözüm :
y
3
2
Tabloya göre, (gof) (x) fonksiyonu parçalı olarak;
R3
(gof )( x)  S
T1
,
,
x  2
x  2
ise
ise
1
gof
x
2
şeklinde yazılır. Buna göre grafik, yandaki gibidir.
24
1 0
TAM KISIM FONKSİYONU
Tanım : x  R olmak üzere, x ten büyük olmayan en büyük tam sayıya, x in tam kısmı
denir ve bu x sembolü ile gösterilir. Yani,
a  Z olmak üzere,
a  x < a + 1 
x = a dır..
O hâlde, x reel sayısı ardışık iki tam sayı arasında değişirken bu tam sayılardan büyük olmayan
tam sayı x in tam kısmıdır. Ayrıca tüm tam sayıların tam kısmı kendisidir.
Örneğin;
Tanım :
log2340 = 3
(log2340 = 3,...)

sin148o = 0
(0 < sin148o < 1)
1
3
cot310o =  1
( 1 < cot310o < 0)
g : A  R  R ,  x  R için;
ile tanımlı f : A  Z , f (x) =
O hâlde,
a Z
g(x)
g(x)
1
3
2
Z ve
=  1,
= 0,
=  2 dir..
g(x)  g(x) <
g(x) + 1
fonksiyonuna, g nin tam kısım fonksiyonu denir..
olmak üzere;
a  g (x) < a + 1  f (x) = g (x) = a olduğundan, f (x) fonksiyonu parçalı biçimde aşağıdaki
şekilde yazılır:
Örnek : f : R  R ,
f (x) =
a. f (1)
Çözüm :
2x  1
5
fonksiyonu veriliyor:
b. f ()
a.
f (1) =
3
5
c. f (e)
= 1 dir..
b. 3 <  < 4  6 < 2 < 8  5 < 2  1 < 7  1 <

c. 2 < e < 3
1
2  1
 14
,  f ( ) 
5
= 1 dir..
 3 < e < 2  6 < 2e  4
7 < 2e 1 < 5  
1,4 <
2  1
5
2  1 7
<
5
5
7
2e  1
<
<1
5
5
2e  1
< 1 f ( e) =
5
2e  1
5
25
=  2 dir..
görüntülerini bulalım.
Örnek :
f:R  R ,
f (x) = x 2  2x  3
fonksiyonu veriliyor:
a. f fonksiyonunu parçalı biçimde tanımlayalım.
b. f fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm : a. Mutlak değerin içini sıfır yapan x kritik noktalarını bulalım:
x2  2x  3 = 0  x =  1 V x = 3
1
2
tür.
tablodan faydalanarak,
2
f ( x)  x  2x  3

R| x
S|
T x
2
2
 2x  3 , x  1 V x  3 ise
 2x  3 ,
 1 x  3
ise
şeklinde tanımlanır.
b. y = x2  2x  3 fonksiyonunun grafiğini çizelim.
i. Önce grafiğin eksenlerle kesişim noktalarını bulalım:
y=0

x2  2x  3 = 0

y eksenini kestiği nokta, x = 0
x1 =  1 V x2 = 3

y =  3 tür.
ii. Tepe noktasını bulalım:
F
GH
T(r, k )  
b 4ac  b2
,
2a
4a
f(x) = x 2  2x  3
I  (1 ,  4)
JK
fonksiyonunun grafiği, y = x2  2x  3
fonksiyonunun grafiğinin x ekseni altında kalan kısımlarının x eksenine göre simetriğinin alınması ile çizilir.
Örnek : f : R  R , f (x) = x  2  x
fonksiyonu veriliyor..
a. f
fonksiyonunu parçalı biçimde yazalım.
b. f
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm : a. Mutlak değerlerin içini sıfır yapan x = 0 ve x = 2 noktaları kritik noktalardır.
x<0

R| x  2  x
f ( x)  S x  2  x
|T x  2  x
, x  0 ise
, 0  x  2 ise
,
2  x ise
için,
x2<0  x<0;
0x<2
için,
x2<0  x0;
2x
için,
x20  x>0
R|2x  2 ,
f ( x)  S
2
,
|T 2x  2 ,
16
olduğundan;
x  0 ise
0  x  2 ise olur..
2  x ise
b. Fonksiyonun grafiğinin çiziminde:
i. y =  2x + 2 doğrusunun grafiği çizilip, ( , 0) aralığına
karşılık gelen kısmı alınır.
ii. y = 2 doğrusunun grafiği çizilip, [0 , 2) aralığına karşılık
gelen kısmı alınır.
iii. y = 2x  2 doğrusunun grafiği çizilip, [2 , + ) aralığına
karşılık gelen kısmı alınır.
Böylece, f (x) in grafiği çizilmiş olur.
Mutlak değer içleri f(x) = ax + b biçiminde olan, iki mutlak değer toplamından oluşan
fonksiyonların grafikleri aşağıda verilen şekillerdeki gibi oluşur. İnceleyiniz.
1. f : R  R , f (x) = x  a  x  b
fonksiyonunun grafiği x = a ve
x = b de kırılma yapan ve minimum değeri f (a) = f (b) = a  b
yandaki şekli çizer.
2. f : R  R , f (x) = ax  b  mx  n
m  a grafiği, mutlak
n
değerlerinde kırılma yapar. Bu
m
değerlerden küçük olanına x1 ve büyük olanına x2 diyelim. Fonksiyonun f (x ) ya da f (x ) de bir minimum değeri oluşur. Fonksiyonun
değer içlerini sıfır yapan
1
b
a
olan
ve
2
grafiği yanda görüldüğü gibidir.
Örnek : f : R  R , f (x) = x  2  x  1
a. f fonksiyonunu parçalı biçimde tanımlayalım.
fonksiyonu veriliyor:
b. f fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm : a. Mutlak değerlerin içini sıfır yapan x =  1 ve x = 2 noktaları kritik noktalardır. Buna
göre tablo yaparak, mutlak değer içlerinin işaretlerini inceleyip, f fonksiyonunu parçalı biçimde yazalım:
R| 3 ,
f ( x)  S  2x  1 ,
|T  3 ,
x  1 ise
 1  x  2 ise
2 x
ise
b.
f fonksiyonunun grafiği yandaki şekildedir. f fonksiyonunun
grafiğinin kritik noktalarda kırılma yaptığına dikkat ediniz.
17
Mutlak değer içleri f(x) = ax + b biçiminde olan, iki mutlak değer farkından oluşan fonksiyonların grafikleri aşağıda verilen şekillerdeki gibi oluşur. İnceleyiniz.
1. f : R  R , f (x) = x  a  x  b fonksiyonunun
grafiği x = a ve x = b de kırılma yapar. Bu noktaların birinde
minimum değer, diğerinde maksimum değer oluşur.
f (a) =  a  b
(minimum değer)
f (b) = b  a  a  b
(maksimum değer)
2. f : R  R , f (x) = ax  b  mx  n
(m  a) fonksiyonunun grafiği, mutlak değer içlerini sıfır
b
n
ve
değerlerinde kırılma yapar. Bu değerlerden küçük olanına x1 ve büyük olanına x2
a
m
diyelim. Grafik, aşağıdaki üç farklı durumda oluşabilir.
yapan
O hâlde, f (x) = ax  b  mx  n
noktaların birinde oluşur.
f (x) = ax  b  mx  n
aşamalar izlenmelidir.
fonksiyonunun minimum ve maksimum değeri (varsa) kritik
biçimindeki fonksiyonların grafiklerini çizmek için, aşağıdaki
i. Kritik noktalar ve görüntüleri bulunur.
ii. Soldaki kritik noktanın solunda bir nokta seçilip bu noktanın görüntüsü bulunur. Bu iki nokta
birleştirilip grafiğin sol kısmı çizilir.
iii. İki kritik nokta birleştirilir.
iv. Sağdaki kritik noktanın sağında bir nokta seçilip bu noktanın görüntüsü bulunur. Bu iki nokta
birleştirilip grafiğin sağ kısmı çizilir. Böylece grafik tamamlanmış olur.
Örnek : f : R  R
a.
f ( x)  2x  1  x
b.
f ( x)  3  2x  1  x
c. f ( x)  x  1  2x  5
fonksiyonlarının grafiklerini çizip, varsa minimum ve maksimum değerlerini bulalım.
Çözüm : a. f ( x)  2x  1  x in kritik noktaları x = 0 ve x =
kırılma yapar, varsa minimum ve maksimum değerleri bu noktalarda oluşur.
Grafiğin çizimi:
x = 0 
x=
1
2
x<0
x>
1
2

y = 1  0 = 1
y= 0 
1
1

2
2
ve
A (0 , 1)
ve B
FG 1 ,  1 IJ
H 2 2K
olan x = 1 seçelim. f (1) = 3  1 = 2 ve
C (1 , 2) olur.
olan
D(1 , 0) olur..
x = 1 seçelim.
f (1) = 1  1 = 0
ve
18
1
olup grafik bu noktalarda
2
Grafikte görüldüğü üzere fonksiyonun B
Minimum değeri: y = 
FG 1 ,  1 IJ
H 2 2K
de bir minimumu vardır..
1
dir..
2
b.
Kritik noktalar:
A
Seçilen noktalar:
FG 3 ,  1IJ
H 2 2K
C (0 , 2)
, B (1 , 1)
,
D (2 , 0)
Grafik çizilirken sırasıyla;
[BC ışını,
tamamlanır.
[BA]
doğru parçası,
[AD ışını çizilerek grafik
Fonksiyonun minimum değeri: y = 
c.
Kritik noktalar: A
Seçilen noktalar:
FG 5 , 3 IJ
H 2 2K
1
dir..
2
, B (1 ,  3) tür..
C (3 , 1) , D (0 ,  4)
Grafik çizilirken sırasıyla [BD ışını, [BA] doğru parçası
[AC ışını çizilerek grafik tamamlanır.
Fonksiyonun maksimum değeri: y =
3
dir..
2
Örnek : R  R , f (x) = x x 2  4 x  4
Çözüm :
bx  2g
f (x) = x
2
 x x2
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
 x = 2,
kritik
noktadır.
R| x
f ( x)  S
T| x
2
2
 2x , x  2 ise
 2x , 2  x ise
olur. f nin grafiği yanda çizilmiştir. x = 2 de bir kıvrılma olduğu
görülmektedir.
Örnek : f : [ , ]  R , f fonksiyonu, y = f (x) =
cos x  cos x
2
ile tanımlıdır. f fonksiyo-
nunun grafiğini çizelim.
Çözüm :
  x  

2
için,
cos x  0

f ( x) 
cos x  cos x
 0 olur..
2


cos x  cos x
x
için, cos x  0  f ( x) 
 cos x
2
2
2
olur.


cos x  cos x
 x   için, cos x  0  f ( x) 
0
2
2
Buna göre grafik yandaki gibidir.
19
olur..
Örnek :
x  y  3 bağıntısının grafiğini R 2 de
çizelim.
Çözüm :
x0 , y0

x+y=3
x0 , y0

x+y=3
x0 , y0
  x  y = 3
x0 , y0

 x  y = 3 olur.
Bu koşullara uyan bağıntının grafiği yanda çizilmiştir.
Örnek :
Çözüm :
x  y  1  2 bağıntısının grafiğini R 2 de çizelim.
x0 , y10

x  y + 1 = 2 
xy=1
x<0 , y10

 x  y + 1 = 2 
xy=1
x<0 , y1<0

 x + y  1 = 2 
x+y=3
x0 , y1<0

x + y  1 = 2 
x + y = 3 olur.
Bu koşullara uyan bağıntının grafiği yanda çizilmiştir.
Örnek :
x . y  1 bağıntısının grafiğini R 2 de çizelim.
Çözüm :
i. x ve y aynı işaretli ise, x . y > 0
(I. ve III. bölge) olup, bağıntının denklemi x . y = 1 dir.
ii. x ve y ters işaretli ise x . y < 0 (II. ve IV. bölge) olup,
bağıntının denklemi x . y =  1 dir.
x . y  1 bağıntısının grafiği yandaki şekildedir..
20
Örnek : x + y  2  1 bağıntısının grafiğini R 2 de çizelim.
Çözüm :
y < 2  x  y + 2 = 1  x  y =  1  x = y  1
y  2  x + y  2 = 1  x + y = 3  x =  y + 3
f ( y) 
RS y  1 , y  2
T y  3 , y  2
ise
ise
olur..
Grafik çizilirken:
1. aşama : y = 2

y<2
için
x=2+3=1
ve A (1 , 2)
y=1  x=11=0
ve B (0 , 1)
A ve B birleştirilip [AB ışını çizilir.
2. aşama : A (1 , 2) bulunmuştu.
y2
için
y=3  x=3+3
x = 0 ve C (0 , 3) olur.
A ile C birleştirilip
[AC ışını çizilir.
Böylece grafik tamamlanmış olur.
y = 2 noktası kritik nokta olup bu noktada bir kırılma olduğuna dikkat ediniz.
Örnek :
U|V
 0 |W
xy  2
x.y
2
eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini R de gösterelim.
Çözüm : x + y  2   2  x + y  2   x  2  y   x + 2
Bu eşitsizlik sisteminin çözümü,
y =  x  2 doğrusu ve üstünde kalan bölge ile,
y =  x + 2 doğrusu ve altında kalan bölgenin
kesişimidir. ...(1)
x . y < 0 koşulunu sağlayan noktalar II. ve IV.
bölgelerdedir. ...(2)
(1) ve (2) yi sağlayan (x , y) noktaları, yandaki
grafikte gösterilmiştir.
21
İŞARET (SİGNUM) FONKSİYONU
Tanım :
f:R  R ,
y = f (x) fonksiyonu verilsin.
R|1 ,
y = sgn f ( x)  S 0 ,
|T 1 ,
biçiminde tanımlanan fonksiyona,
f ( x)  0 ise
f ( x)  0 ise
f ( x)  0 ise
f nin işaret (signum) fonksiyonu denir.
i. Tanımdan anlaşılacağı gibi, sgn f (x ) fonksiyonu sadece 1 , 0 , 1 değerlerini alabilir. O
hâlde, sgn f (x ) fonksiyonunun görüntü kümesi; {1 , 0 , 1} dir.
ii. sgn f (x ) in tanımlanabilmesi için, f (x) in işareti bilinmelidir.
iii. sgn f (x ) fonksiyonunda, f (x) = 0
fonksiyo-nu bu kritik noktalarda sıçrama yapar.
denkleminin köklerine, kritik noktalar denir. İşaret
Örnek : sgn (x2  3x) = 1 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm : Tanımdan görüleceği gibi, x2  3x fonksiyonunu negatif yapan değerler kümesi bulunma-lıdır.
x2  3x < 0  x (x  3) < 0
x(x - 3) = 0
x=0

V
x=3
O hâlde, çözüm kümesi, Ç = (0 , 3) bulunur.
Örnek : sgn (x2  x  6) < sgn (x2 + 5) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm :
xR
için,
x2 + 5 > 0 olduğundan, sgn (x2 + 5) = 1
olur. Buna göre eşitsizlik,
sgn (x2 x  6) < 1 biçiminde olur. O hâlde, sgn (x2  x  6) fonksiyonu, 1 veya 0 değerini alabilir.
sgn (x2  x  6) = 1  x2  x  6 < 0
(x  3) (x + 2) < 0

sgn (x2  x  6) = 0  x2  x  6 = 0  (x  3) (x + 2) = 0
Buna göre eşitsizliğin çözüm kümesi;
Örnek :
sgn
Ç = { x : 2  x  3
a
+ sgn (a  b) =  2
b
ise,
sgn


2 < x < 3
bulunur.
x1 = 2 V x2 = 3
bulunur.
, x  R } veya Ç = [ 2 , 3] dir.
b
a
+ sgn (b  a)  sgn
1
a.b
işleminin
sonucunu bulalım.
Çözüm :
sgn
a
+ sgn (a  b) = 2
b
sgn

a
=  1
b
a
< 0
b
a < 0
a < 0 ve b > 0

b
<0 , ba>0
a
sgn
O hâlde, sgn
ve
ve
ve
ve sgn (a  b) =  1
ab < 0
b > 0
bulunur.
1
<0
a.b
1
a
= 1 , sgn (b  a) = 1 , sgn
= 1 olur..
a.b
b
1
a
+ sgn (b  a)  sgn
= 1 + 1  (1) = 1 dir..
a.b
b
22
Örnek :
f :R  R ,
Çözüm : sgn
x3
x3
f (x) = x3 . sgn
x3
x3
fonksiyonunu parçalı biçimde tanımlayalım.
fonksiyonunu tanımlamak için,
x3
ün işaretini tablo yaparak belirtelim:
x3
R| x
f ( x)  S 0
||x
T
3
,
x  3 V x  3 ise
,
x  3
3
ise
,  3  x  3 ise
olur.
İŞARET FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ
y = sgn f (x) in grafiğini çizerken aşağıdaki aşamalar izlenmelidir:
i. f (x) fonksiyonunun grafiği çizilir.
ii. f (x) fonksiyonunun grafiğinin;
x ekseninin üstünde kalan kısımlar için, y = 1 doğrusu çizilir.
x ekseninin altında kalan kısımlar için, y =  1 doğrusu çizilir.
x eksenini kestiği noktalar için, y = 0 işaretlenir.
Örnek : f : R  R , y = f (x) fonksiyonunun
grafiği yanda verilmiştir. Buna göre, sgn f (x ) in grafiğini
çizelim.
Çözüm : Soruda verilen grafikten görüldüğü gibi;
x < a  f (x) < 0 ve sgn f (x) =  1 ;
x = a V x = b  f (x) = 0 ve sgn f (x) = 0 ;
x > a , x  b  f (x) > 0 ve sgn f (x) = 1 olur.
Buna göre, sgn f (x ) in grafiği yanda çizilmiştir. Grafiğin
x = a ve x = b kritik noktalarında sıçrama yaptığına dikkat
ediniz.
Örnek : f : R  R ,
f (x) = x + sgn (x  2)
ile tanımlı fonksiyonun grafiğini çizelim.
Çözüm : Önce sgn (x  2) nin alabileceği değerleri inceleyelim. Bunun için, x  2 nin işaretini,
sgn (x  2) nin ve f (x) in alacağı değerleri tablo yaparak belirleyelim:
R| x  1
f ( x)  S 2
|T x  1
olur.
Buna göre grafik, yanda görüldüğü gibi çizilir.
23
, x  2 ise
, x  2 ise
, x  2 ise
Örnek :
f : [ , ]  R ,
f (x) = sgn (sinx)
ile tanımlı fonksiyonun grafiğini çizelim.
Çözüm : Fonksiyonla ilgili tablo aşağıdaki ve grafik yandaki gibidir.
Örnek : f : R +  R , f (x) = 1  sgn log 1 x
ile tanımlı fonksiyonun grafiğini çizelim.
2
Çözüm : Fonksiyonla ilgili tablo aşağıdaki ve grafik yandaki gibidir.
Örnek : f : R  R ,
f (x) = x  2  x . sgn (x  1)
a. f fonksiyonunu parçalı biçimde yazalım.
b. f
fonksiyonu veriliyor:
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm :
a.
Fonksiyonun kritik noktaları
x = 2 ve x = 1 dir. Bu noktalardan x = 2 de grafik bir kırılma,
x = 1 de bir sıçrama yapar.
Buna göre, fonksiyonu parçalı biçimde yazalım.
R| 2
| 1
f ( x)  S
||2x  2
T 2
,
,
x1
x1
ise
ise
, 1  x  2 ise
,
2  x ise
b. Buna göre, grafik yanda görüldüğü gibi çizilir.
f (x) = sgn (x + 2) ve g (x) = x 2  x + 1 fonksiyonları veriliyor. Buna göre, (gof) (x)
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Örnek :
Çözüm :
y
3
2
Tabloya göre, (gof) (x) fonksiyonu parçalı olarak;
R3
(gof )( x)  S
T1
,
,
x  2
x  2
ise
ise
1
gof
x
2
şeklinde yazılır. Buna göre grafik, yandaki gibidir.
24
1 0
TAM KISIM FONKSİYONU
Tanım : x  R olmak üzere, x ten büyük olmayan en büyük tam sayıya, x in tam kısmı
denir ve bu x sembolü ile gösterilir. Yani,
a  Z olmak üzere,
a  x < a + 1 
x = a dır..
O hâlde, x reel sayısı ardışık iki tam sayı arasında değişirken bu tam sayılardan büyük olmayan
tam sayı x in tam kısmıdır. Ayrıca tüm tam sayıların tam kısmı kendisidir.
Örneğin;
Tanım :
log2340 = 3
(log2340 = 3,...)

sin148o = 0
(0 < sin148o < 1)
1
3
cot310o =  1
( 1 < cot310o < 0)
g : A  R  R ,  x  R için;
ile tanımlı f : A  Z , f (x) =
O hâlde,
a Z
g(x)
g(x)
1
3
2
Z ve
=  1,
= 0,
=  2 dir..
g(x)  g(x) <
g(x) + 1
fonksiyonuna, g nin tam kısım fonksiyonu denir..
olmak üzere;
a  g (x) < a + 1  f (x) = g (x) = a olduğundan, f (x) fonksiyonu parçalı biçimde aşağıdaki
şekilde yazılır:
Örnek : f : R  R ,
f (x) =
a. f (1)
Çözüm :
2x  1
5
fonksiyonu veriliyor:
b. f ()
a.
f (1) =
3
5
c. f (e)
= 1 dir..
b. 3 <  < 4  6 < 2 < 8  5 < 2  1 < 7  1 <

c. 2 < e < 3
1
2  1
 14
,  f ( ) 
5
= 1 dir..
 3 < e < 2  6 < 2e  4
7 < 2e 1 < 5  
1,4 <
2  1
5
2  1 7
<
5
5
7
2e  1
<
<1
5
5
2e  1
< 1 f ( e) =
5
2e  1
5
25
=  2 dir..
görüntülerini bulalım.
Örnek : R de tanımlı aşağıdaki fonksiyonları, karşılarında belirtilen aralıklarda belirleyelim.
2x  1
5
a. f (x) =
,
2<x<4
c. f (x) = x x  2  2
,
b.
f (x) =
2x  1
5
f (x) =
2 x
3
 

3
3
3
 x2 +
x
3
,
x
3
2 <x<
3
 x2 =  3
olur..
bulunur..
x2
= 4
x4
2  x  1   6  x  4  5  5  x  4  6 
f (x) = x x  2  2
f (x) =  4x  2 .
5
=  4x + 10 bulunur..
1
= 5
(x3<0)
2  x  1   5  x  3  4  sgn( x  3 )  1
Bulunan değerler,
2x  1 9

5
5
= 1 bulunur..
= 0
= 3+0=3
c. 2  x  1   4  x  2  3 
 1 
 5 < 2x + 1 < 9
2  x  3  2  x2  3   3   x2  2 
2  x 3 
x
3
+
2 < x < 1
Çözüm : a. 2 < x < 4 4 < 2x < 8

 x2
b. f (x) =
te yerine yazılır..
Örnek : Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulalım.
a.
3x  1
=  5
b.
d.
1
x2
= 3
e.
Çözüm : a  Z ,
a. 3x  1 =  5
b.
c.
= 2
x
2x  1
3
LM
N
d.
1
x2
3x  4
x 1
 7
IJ
K
2x  1
3
= 7
= 5
  4  3 x  3
 2 x 3  4 x9
25
2
c.
f (x) = a  a  f (x) < a + 1 tanımına göre, çözüm kümelerini bulalım:
  5  3x  1   4
= 7
Ç  11 ,
= 2
x

 
LM
N
IJ
K
4
4
 x  1  Ç   ,  1
3
3
g
Ç 4 ,9
2x  1
 8  21  2x  1  24
3
 22  2x  25  11  x 
25
2
bulunur..
= 3  3
1
4
x 2

1
1
 x2
4
3
bulunur.
26
 
7
5
x
4
3

FG
H
Ç 
7
5
,
4
3
OP
Q
e.
3x  4
x 1
1
1
 x  1
3
2

FG
H
Teorem :
3x  4
 6 
x 1
 5
= 5
Ç 
2
1
, 
3
2
xR , aZ
için,
Bu teoreme göre,


OP
Q
1
1
6  2
3
x 1
x1
2
1
x
dir..
3
2
bulunur..
x + a = x + a dır..
x+3 = x +3
x x2
2
53
,
x5 = x 5
= x - x-2 = x -
x - 2 = x - x + 2 = 2 olur..
Örnek :
x +1
= 6 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm :
x2 + 1
= 6
x2 + 1 = 6


5  x2  6

 6  x  5
e
Ç  6, 5 

x2 = 5

5 x  6
veya
5 ,
6
5  x  6 olur..
j
bulunur..
Örnek : Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulalım.
a.
x + x2  x4 =5
Çözüm : a.
b.
x+ x3
x + x2  x4 =5 

b.
x+ x3
=1

c.
3x +
x + x3 =1

3x + 3x  2
2 x =4 
=7 
3x +

=1
c.
3  x  4 olup,

Örneğin;
x
1
n
+ x
2
n
x = 2  2  x  3 olup,
3x + 3x  2
+ ... + x 
1
2
3x = x + x 
1
3
+ x
2
3
4x = x + x 
1
4
+ x
2
4
+ x
=7 
4
3
27
n1
n
3
4
=3
Ç = [3 , 4) bulunur..
Ç = [2 , 3) bulunur..
3x + 3x + 3x  2 = 7
3x + 3x + 3x  2 = 7  3 3x = 9 
x
2x = x +
x

=7
x + x 3=1
n  Z + olmak üzere;
nx = x +
3x + 3x  2
x + x 2 x +4=5
 3  3 x  4  1  x 
Özelik :
3x +
dir..
tür..
olup,
LM
N
Ç= 1,
4
3
IJ
K
3x = 3
bulunur..
Örnek : R de tanımlı aşağıdaki fonksiyonları, karşılarında belirtilen aralıklarda belirleyelim.
2x  1
5
a. f (x) =
,
2<x<4
c. f (x) = x x  2  2
,
b.
f (x) =
2x  1
5
f (x) =
2 x
3
 

3
3
3
 x2 +
x
3
,
x
3
2 <x<
3
 x2 =  3
olur..
bulunur..
x2
= 4
x4
2  x  1   6  x  4  5  5  x  4  6 
f (x) = x x  2  2
f (x) =  4x  2 .
5
=  4x + 10 bulunur..
1
= 5
(x3<0)
2  x  1   5  x  3  4  sgn( x  3 )  1
Bulunan değerler,
2x  1 9

5
5
= 1 bulunur..
= 0
= 3+0=3
c. 2  x  1   4  x  2  3 
 1 
 5 < 2x + 1 < 9
2  x  3  2  x2  3   3   x2  2 
2  x 3 
x
3
+
2 < x < 1
Çözüm : a. 2 < x < 4 4 < 2x < 8

 x2
b. f (x) =
te yerine yazılır..
Örnek : Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulalım.
a.
3x  1
=  5
b.
d.
1
x2
= 3
e.
Çözüm : a  Z ,
a. 3x  1 =  5
b.
c.
= 2
x
2x  1
3
LM
N
d.
1
x2
3x  4
x 1
 7
IJ
K
2x  1
3
= 7
= 5
  4  3 x  3
 2 x 3  4 x9
25
2
c.
f (x) = a  a  f (x) < a + 1 tanımına göre, çözüm kümelerini bulalım:
  5  3x  1   4
= 7
Ç  11 ,
= 2
x

 
LM
N
IJ
K
4
4
 x  1  Ç   ,  1
3
3
g
Ç 4 ,9
2x  1
 8  21  2x  1  24
3
 22  2x  25  11  x 
25
2
bulunur..
= 3  3
1
4
x 2

1
1
 x2
4
3
bulunur.
26
 
7
5
x
4
3

FG
H
Ç 
7
5
,
4
3
OP
Q
e.
3x  4
x 1
1
1
 x  1
3
2

FG
H
Teorem :
3x  4
 6 
x 1
 5
= 5
Ç 
2
1
, 
3
2
xR , aZ
için,
Bu teoreme göre,


OP
Q
1
1
6  2
3
x 1
x1
2
1
x
dir..
3
2
bulunur..
x + a = x + a dır..
x+3 = x +3
x x2
2
53
,
x5 = x 5
= x - x-2 = x -
x - 2 = x - x + 2 = 2 olur..
Örnek :
x +1
= 6 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm :
x2 + 1
= 6
x2 + 1 = 6


5  x2  6

 6  x  5
e
Ç  6, 5 

x2 = 5

5 x  6
veya
5 ,
6
5  x  6 olur..
j
bulunur..
Örnek : Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulalım.
a.
x + x2  x4 =5
Çözüm : a.
b.
x+ x3
x + x2  x4 =5 

b.
x+ x3
=1

c.
3x +
x + x3 =1

3x + 3x  2
2 x =4 
=7 
3x +

=1
c.
3  x  4 olup,

Örneğin;
x
1
n
+ x
2
n
x = 2  2  x  3 olup,
3x + 3x  2
+ ... + x 
1
2
3x = x + x 
1
3
+ x
2
3
4x = x + x 
1
4
+ x
2
4
+ x
=7 
4
3
27
n1
n
3
4
=3
Ç = [3 , 4) bulunur..
Ç = [2 , 3) bulunur..
3x + 3x + 3x  2 = 7
3x + 3x + 3x  2 = 7  3 3x = 9 
x
2x = x +
x

=7
x + x 3=1
n  Z + olmak üzere;
nx = x +
3x + 3x  2
x + x 2 x +4=5
 3  3 x  4  1  x 
Özelik :
3x +
dir..
tür..
olup,
LM
N
Ç= 1,
4
3
IJ
K
3x = 3
bulunur..
Örnek :
Çözüm :
2x =
x =a Z
i. a  x < a +
a+
x +
1
2

1
1
x+ <a+1
2
2
2x = 2a
ii. a +
1
3
<a+
2
2
2x = 2a + 1
1
2
için,
olduğunu gösterelim.
a  x < a + 1 dir. Bu aralığı, iki alt aralığa ayıralım:
2a  2x < 2a + 1
x

2x = a + a

1
x<a+1
2
a+1x+
x

1
2

=a
olur.. Bunlara göre,
2a + 1  2x < 2a + 2
x

1
2
=a+1
olur.. Bunlara göre,
1
2
R de bulalım.
a.
b.
x + 1 = 2x  3

x +
x
7
2
x +
1
2

x
4=

7
9
 x
olur..
2
2
LM 7 , 9 IJ
N 2 2K
x
1
3
2

x +
x
1
2

2x =  7
LM
N
IJ
K
7
, 3
2

x,y R ,
2.
x , y  R+ ,
3.
x , yR ,
x+y  x + y
=4
=7
x = y
ise,
bulunur..
dir..
xy < 1
4.
28

4x+
dir..
x
x +
2x = x +
 7  2x <  6
dir..
x.y  x . y
x
x +4= x +
1
<5
2
bulunur..
Tam Kısım İle İlgili Özelikler
1.
bulunur..
=4

x +
Ç= 
7
2
x + 1 = 2x  3

=4
x

Ç=
b.
x
2x = x +

x + 1 = 2x  3
Çözüm :
bulunur..
2x = 2a + 1 olur..

Örnek : Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümesini
a.
1
2
x
2x = x +
2x = a + (a + 1)

2x = 2a olur..



1
2
+3=4
x
1
2
7
x<3
2
olur..
1
2
Örnek :
xR
için,
x   x
Çözüm : a, b  R için,
x +  x  x + ( x)
Örnek :
olduğunu gösterelim.
a + b  a+b
(Özelik: 2) dir.. Burada a = x ve b =  x alınır..
x + x 0

Buna göre,
 x =  x  1 dir..
2. x   x 1 =7
3 x +1=7

x =2 

O hâlde, Ç = (2 , 3)
a.
2  x  3 ( x  Z)
dır.
Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulalım.
x  3x = 3
Çözüm :
bulunur..
x  R  Z olmak üzere, 2 x   x = 7 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm : x  R  Z olduğu için,
Örnek :
 x  x

a.
b.
2x + 3x = 30
x = a  Z diyelim.
i. 3a  3x < 3a + 1 
x = a  a  x  a  1  3a  3 x  3a  3
olur..
3x = 3a bulunur..
x  3x = 3 denkleminde, bulunanları yerine koyalım:
a  3a = 3  a = 
3
 Z
2
ii. 3a + 1  3x < 3a + 2 
için,
Ç 1   dir..
3x = 3a + 1
bulunur..
x  3x = 3 denkleminde, bulunanları yerine koyalım:
a  3a  1 = 3  a =  2  Z
Buna göre,
3( 2) + 1  3x < 3 ( 2) + 2   5  3x <  4  
iii. 3a + 2  3x < 3a + 3 
3x = 3a + 2
5
4
x

3
3
LM
N
Ç2  
5
4
, 
3
3
IJ
K
dır..
bulunur..
x  3x = 3 denkleminde, bulunanları yerine koyalım:
a  3a  2 = 3  a = 
O hâlde,
5
Z
2
için,
LM
N
Ç  Ç1  Ç 2  Ç 3  
b. a  Z olmak üzere,
2x = 6a
2x = 6a  6a  2x < 6a + 1
i. 9a  3x < 9a + 1 
Ç 3   dir..
5
4
, 
3
3
IJ
K
dır..
diyelim.
3a  x < 3a +
1
3
olur. Buna göre, 9a  3x < 9a +
2
2
bulunur..
3x = 9a bulunur..
2x + 3x = 30 denkleminde, bulunanlar yerine yazılırsa; 6a + 9a = 30  a = 2  Z olur..
Buna göre,
9 . 2  3x < 9 . 2 + 1  18  3x < 19  6  x <
29
19
3

LM
N
Ç1  6 ,
19
3
IJ
K
dır..
Örnek :
Çözüm :
2x =
x =a Z
i. a  x < a +
a+
x +
1
2

1
1
x+ <a+1
2
2
2x = 2a
ii. a +
1
3
<a+
2
2
2x = 2a + 1
1
2
için,
olduğunu gösterelim.
a  x < a + 1 dir. Bu aralığı, iki alt aralığa ayıralım:
2a  2x < 2a + 1
x

2x = a + a

1
x<a+1
2
a+1x+
x

1
2

=a
olur.. Bunlara göre,
2a + 1  2x < 2a + 2
x

1
2
=a+1
olur.. Bunlara göre,
1
2
R de bulalım.
a.
b.
x + 1 = 2x  3

x +
x
7
2
x +
1
2

x
4=

7
9
 x
olur..
2
2
LM 7 , 9 IJ
N 2 2K
x
1
3
2

x +
x
1
2

2x =  7
LM
N
IJ
K
7
, 3
2

x,y R ,
2.
x , y  R+ ,
3.
x , yR ,
x+y  x + y
=4
=7
x = y
ise,
bulunur..
dir..
xy < 1
4.
28

4x+
dir..
x
x +
2x = x +
 7  2x <  6
dir..
x.y  x . y
x
x +4= x +
1
<5
2
bulunur..
Tam Kısım İle İlgili Özelikler
1.
bulunur..
=4

x +
Ç= 
7
2
x + 1 = 2x  3

=4
x

Ç=
b.
x
2x = x +

x + 1 = 2x  3
Çözüm :
bulunur..
2x = 2a + 1 olur..

Örnek : Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümesini
a.
1
2
x
2x = x +
2x = a + (a + 1)

2x = 2a olur..



1
2
+3=4
x
1
2
7
x<3
2
olur..
1
2
Örnek :
xR
için,
x   x
Çözüm : a, b  R için,
x +  x  x + ( x)
Örnek :
olduğunu gösterelim.
a + b  a+b
(Özelik: 2) dir.. Burada a = x ve b =  x alınır..
x + x 0

Buna göre,
 x =  x  1 dir..
2. x   x 1 =7
3 x +1=7

x =2 

O hâlde, Ç = (2 , 3)
a.
2  x  3 ( x  Z)
dır.
Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulalım.
x  3x = 3
Çözüm :
bulunur..
x  R  Z olmak üzere, 2 x   x = 7 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm : x  R  Z olduğu için,
Örnek :
 x  x

a.
b.
2x + 3x = 30
x = a  Z diyelim.
i. 3a  3x < 3a + 1 
x = a  a  x  a  1  3a  3 x  3a  3
olur..
3x = 3a bulunur..
x  3x = 3 denkleminde, bulunanları yerine koyalım:
a  3a = 3  a = 
3
 Z
2
ii. 3a + 1  3x < 3a + 2 
için,
Ç 1   dir..
3x = 3a + 1
bulunur..
x  3x = 3 denkleminde, bulunanları yerine koyalım:
a  3a  1 = 3  a =  2  Z
Buna göre,
3( 2) + 1  3x < 3 ( 2) + 2   5  3x <  4  
iii. 3a + 2  3x < 3a + 3 
3x = 3a + 2
5
4
x

3
3
LM
N
Ç2  
5
4
, 
3
3
IJ
K
dır..
bulunur..
x  3x = 3 denkleminde, bulunanları yerine koyalım:
a  3a  2 = 3  a = 
O hâlde,
5
Z
2
için,
LM
N
Ç  Ç1  Ç 2  Ç 3  
b. a  Z olmak üzere,
2x = 6a
2x = 6a  6a  2x < 6a + 1
i. 9a  3x < 9a + 1 
Ç 3   dir..
5
4
, 
3
3
IJ
K
dır..
diyelim.
3a  x < 3a +
1
3
olur. Buna göre, 9a  3x < 9a +
2
2
bulunur..
3x = 9a bulunur..
2x + 3x = 30 denkleminde, bulunanlar yerine yazılırsa; 6a + 9a = 30  a = 2  Z olur..
Buna göre,
9 . 2  3x < 9 . 2 + 1  18  3x < 19  6  x <
29
19
3

LM
N
Ç1  6 ,
19
3
IJ
K
dır..
ii.
9a + 1  3x < 9a +
3

2
3x = 9a + 1 bulunur..
2x + 3x = 30 denkleminde bulunanlar yerine yazılırsa;
6a + 9a + 1 = 30  a =
29
 Z
15
O hâlde çözüm kümesi
Ç  Ç1  Ç 2  6 ,
için
dir..
Ç2  
LM
N
19
3
IJ
K
dır..
Özelik : f reel değişkenli bir fonksiyon ve a tam sayı olmak üzere;
Örnek : Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulalım.
a.
3 < 2x 1  5
Çözüm : a.
b.
2x 1  5
2x  1  4

2x  1 < 6
2x  5

2x < 7

x<

5
2
(2x  1)
2x  1 > 3 :
2
3
4
(2x  1)
2x  1  5 :
4
5
6
7
2
Ç
RS x : 5  x  7
2
T 2
ve x  R
UV  LM 5 , 7 IJ
W N 2 2K
2x
2 x   3  2  x   3   x   5  x  5
O hâlde çözüm kümesi
x 1
3
2<0
5
7
x<
2
2
O hâlde çözüm kümesi,
c.
x 1
3
c.
3 < 2x 1  5
 2x 1 > 3 
 x 
b.
2 x   3
2<0

O hâlde çözüm kümesi,
Ç 
lx:x  5
x 1
3
Ç 
<2
lx:x  7
ve x  R

q  b  , 5
x 1
<2
3
ve x  R
30
q

dır..
 3 :
3
dır..
x1<6
(  , 7)
(2  x)
dır..

x<7
4
ARALIK UZUNLUĞU
Tanım : Tam değeri alınan fonksiyonu ardışık iki tam sayı arasına getirebilen x reel sayılarının bulunduğu aralığın uzunluğuna aralık uzunluğu denir.
f (x) = g (x) de a  g (x) < a + 1
uzunluğu x lerin aralık uzunluğudur.
(a Z)
eşitsizliğini sağlayan x lerin bulunduğu aralığın
1. m , n  R ve m  0 olmak üzere, f (x) = mx + n
gösterelim:
aZ
dir.. Bunu
olmak üzere,
an
a  1 n
 x
buradan aralık uzunluğu
m
m
Örnek :
a.
1
m
= a  a  mx  n  a  1  a  n  mx  a  1  n (m  R+)
mx + n

ise, aralık uzunluğu,
a  1 n a  n
1
1



m
m
m
m
bulunur..
Aşağıdaki fonksiyonların aralık uzunluklarını bulalım.
f (x) = 2x  3
b.
Çözüm : a. f (x) = 2x  3
f (x) =

1
x+ 2
3
1
1

dir. Buna göre, x de2
2
fonksiyonunda aralık uzunluğu,
1
nin tam sayı katlara sahip aralıklarda seçilirse tam değeri alınacak fonksiyon
2
ardışık iki tam sayı arasına girer.
ğişkeni uç noktaları
b. f (x) =

1
x+ 2
3
fonksiyonunda aralık uzunluğu,
1
1

3
 3 bulunur. O hâlde x değişkeni,
uç noktaları 3 ün tam sayı katlarına sahip aralıklarda seçilmelidir.
2. f (x) = g (x) fonksiyonunda g (x) doğrusal fonksiyon değilse aralık uzunluğu yukarıdaki tanıma göre belirlenir. Aralık uzunluğu seçilecek tam sayıya bağımlı olarak değişir.
Örnek :
a.
f (x) =
Çözüm :
Aşağıdaki fonksiyonların aralık uzunluğu a  Z+  {0} a göre belirleyelim.
b.
x
a.
x
= a
O hâlde, aralık uzunluğu,
+
a  Z  {0}
göre değişir.
x < a+1
a

(a  1)2  a2
f (x) = x2


2
a  x < (a + 1)
2a  1 dir..
olduğundan aralık uzunluğu 2a + 1 olur. Buna göre, aralık uzunluğu seçilecek a ya
a=0
için aralık uzunluğu
1
olduğundan, 0  x < 1 dir.
a=1
için aralık uzunluğu
3
olduğundan, 1  x < 4 tür.
a=2
...
için aralık uzunluğu
5
..
.
olduğundan, 4  x < 9 dur.
..
.
a=n
için aralık uzunluğu 2n+1 olduğundan, n  x < (n + 1) dir.
b.
x
2
2
=
2
 a  x2  a  1 
2
a  x  a 1
O hâlde x ile, x in aralık uzunluğu aynı olduğundan; aralık uzunluğu
Buna göre, aralık uzunluğu seçilecek
a  Z+  {0} a göre değişir.
31
a1 
a
dır..
 0  x < 1
a=0
için
aralık uzunluğu = 1
a=1
için
aralık uzunluğu =
2 1
a=2
.
.
.
için
aralık uzunluğu =
.
.
.
3  2 
2  x <
.
.
.
a=n
için
aralık uzunluğu =
n1 n

n  x <
 1  x <
2
3
n1
dir..
TAM KISIM FONKSİYONLARININ GRAFİKLERİ
f:
A  R  Z , f (x) = g (x)
in grafiğini çizerken aşağıdaki adımlar izlenmelidir..
i. Aralık uzunluğu belirlenir.
ii. Tanım aralığı, aralık uzunluğuna göre ve uç noktalar aralık uzunluğunun tam sayı katı olacak
biçimde, yani g (x) i ardışık iki tam sayı arasına getirebilecek şekilde bölünür.
iii. Her aralıktaki
f (x) = g (x)
ler belirlenip grafik çizilir..
f (x) = g (x) fonksiyonunun grafiği tam kısım içini tam sayı yapan noktalarda sıçrama yapar. (Bazı
özel durumlar hariçtir.)
1
x + 3
2
fonksiyonlarının grafiklerini aynı analitik düzlemde çizelim.
Örnek :
f (x) = 
f : ( 3 , 1]  R ,
fonksiyon veriliyor. f (x) ve
Çözüm : f (x) fonksiyonunun uç noktalarındaki aldığı değerler, f ( 3) =
FG 3 , 9 IJ
H 2K
ve
FG1 , 5 IJ
H 2K
9
2
ve f (1) =
f (x)
5
dir..
2
noktaları birleştirilerek grafik çizilir..
1
 2 dir. Buna göre, uç noktalar 2 nin tam sayı katı olacak biçimde tanım
1

2
i. Aralık uzunluğu
aralığı bölünür. f (x) = 
1
1
x  3 doğrusunun eğimi, m = 
< 0 olduğundan, alt aralıkların bitiş
2
2
noktaları dahil edilir.
ii. İlk aralık seçilirken  3 , 2 nin tam sayı katı olmadığından  3 ü kapsayacak şekilde
 3 ten küçük 2 nin ilk tam sayı katı olan  4 ten başlanır.
 4 < x   2
1 
1
1
x < 2 4   x + 3 < 5 y = 4
2
2
 2 < x  0
0 
1
1
x < 1 3   x + 3 < 4 y = 3
2
2
1
1
x < 0 2   x + 3 < 3 y = 2
2
2
fonksiyon parçalı biçimde belirlenirken ilk ve son aralıkların tanım aralığına uygun olan alt aralıkları alınmalıdır. Buna göre;
0<x2
iii.
f (x)
olur. f (x) ve
  1  
R| 4
= S3
|T 2
f (x)
y
4
5
2
, 3  x  2
ise
, 2  x  0
ise
2
,
ise
1
0 x 1
fonksiyonlarının grafikleri yandaki gibidir..
f (x) fonksiyonunun grafiği x =  2 , x = 0 apsisli noktalarda
32
sıçrama yaptığı görülmektedir.
3
2
1 0
9
2
3 f (x)
f (x)
x
1
Örnek : Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini verilen aralıklarda çizelim.
x
3
a.
f : [ 2 , 3]  R , f (x) = x
b.
f : [ 6 , 5]  R , f (x) =
c.
f : [ 1 , 1]  R , f (x) = 2x  1
d.
f : [ 2 , 2]  R , f (x) = x x  1 + x x
Çözüm : a. i. Aralık uzunluğu 1  1 dir. Buna göre, uç noktalar 1 in tam sayı katı olacak
1
biçimde tanım aralığı alt aralıklara bölünür. Eğim,
noktaları dahil alınmalıdır.
ii. [ 2 , 3]
aralığını bölelim.
2  x   1 
x =2
1  x  0

x =1
0 x 1

x = 0
1x 2

x = 1
2  x 3

x = 2

x = 3
x3
m =1>0
olduğundan alt aralıkların başlangıç
iii. Bulunan değerlere göre, f (x) in parçalı fonksiyon
olarak yazılışı aşağıdaki gibidir.
f (x) =
R|2 ,  2  x   1
||1 ,  1  x  0
S| 10 ,, 01  xx  12
|| 2 , 2  x  3
|T 3 , x  3
ise,
ise,
ise,
ise,
ise,
ise,
f (x) in parçalı fonksiyon biçiminde yazılışından faydalanarak grafik çizilmiştir. Grafikte tam değer içini tam sayı
yapan noktalarda sıçrama olduğuna dikkat ediniz.
b. i.
Aralık uzunluğu
1
 3 tür. Buna göre, uç noktalar 3 ün tam sayı katı olacak biçimde
1
3
1
> 0 olduğundan alt aralıkların başlangıç noktaları dahil alınmalıdır..
3
aralığını bölerek f (x) i parçalı fonksiyon biçiminde tanımlayalım.
tanım aralığı bölünür. Eğim , m =
ii.
[ 6 , 5]
 6  x  3 
x
3
=2
3x 0

x
3
=1
0 x 3

x
3
= 0
3 x 5

x
3
= 1
R|2 ,  6  x   3
|1 ,  3  x  0
f ( x)  S
|| 0 , 0  x  3
T 1 , 3 x 5
f (x) in parçalı biçimde yazılışından
faydalanarak yandaki grafik çizilmiştir.
Grafikte tam kısım içini tam sayı yapan noktalarda sıçrama olduğuna dikkat
ediniz.
33
ise
ise
ise
ise
c.
Önce
f (x) = 2x  1
i.
Aralık uzunluğu
fonksiyonunu,
f (x) = 2x  1
1
1

dir. Buna göre uç noktaları
2
2
1
2
şeklinde yazalım.
nin tam sayı katı olacak biçimde
tanım aralığı bölünür.
Eğim,
m
1
0
2
ii. [ 1 , 1]
aralığını bölerek f (x) i parçalı fonksiyon biçiminde tanımlayalım.
1  x  1 2 

olduğundan alt aralıkların başlangıç noktaları dahil alınmalıdır..
2x
1   2 1   3
1
x
2
0

2x
1  11   2
0 x
12 
2x
1 
0 1  1
1
x
2
1

2x
1 
1 1 
x1

2x
1 
2 1  1

0
R|3 ,  1  x   1
2
||
1
||2 ,  2  x  0
|
1
f ( x)  S  1 , 0  x 
2
||
|| 0 , 21  x  1
|| 1 , x  1
T
ise
ise
ise
ise
ise
f (x) in parçalı fonksiyon biçiminde yazılışından faydalanarak
grafik çizilmiştir. Grafikte tam kısım içini tam sayı yapan noktalarda sıçrama olduğuna dikkat ediniz.
d. Önce f (x) i
düzenleyelim.
f (x) = x x  1 + x x = x
x 1 + x x=x x x+ x x
f (x) = 2 x x  x
bulunur..
Buna göre
parçalı fonksiyon olarak yazalım.
f (x) i
R| 2 . ( 2) x  x   5 x ,  2  x   1
|| 2 . ( 1) x  x   3 x ,  1  x  0
f ( x)  S 2 . ( 0 ) x  x   x , 0  x  1
|| 2 . 1 . x  x  x , 1  x  2
T| 2 . 2 . 2  2  6 , x  2
ise
ise
ise
ise
ise
f (x) in grafiği yanda çizilmiştir.
Grafiğin bir aralıktaki parçasını çizerken aralığın uç noktaları için alınan x değerlerine karşılık fonksiyonda bulunan
y değerleri işaretlenerek elde edilen noktaların doğru parçası
ile birleştirildiğine dikkat ediniz.
34
2
Örnek : f : [  2 , 2 ]  R , f (x) =
2
Çözüm : f (x) =
x 1 = x
2
x  [  2 , 2 ] için f (x) = ( x)
x 1
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
 1 yazabiliriz.
2
1= x
2
 1 = f (x) olduğundan, f (x) çift fonksiyondur..
O hâlde grafiği y eksenine göre simetriktir. Grafiği elde etmek için bu fonksiyonun [ 0 , 2 ] aralığındaki
grafiğini çizip, sonra y eksenine göre simetriğini alırız.
Önce fonksiyonu
[0 , 2]
aralığında parçalı fonksiyon olarak yazalım.
2
0  x  2  0  x  4 olduğundan,
x2 = 0
x
2
=1
x2 = 2
x
2
x
2
=3
=4
0  x2  1
x
2

0 x 1
 1  x2  2 
1 x 2

2  x2  3 
2  x 3

3  x2  4 
3 x 2


2
ifadesi
0,1,2,3,4
y
x  2 dir..
4x 5 
3
Buna göre, f (x) = x2  1 fonksiyonunun,
[ 0 , 2 ] aralığındaki parçalı fonksiyon olarak ifadesi
ve fonksiyonun
[  2 , 2]
aralığındaki grafiği
verilmiştir.
R|1 ,
|| 0 ,
f ( x)  S 1 ,
|| 2 ,
|T 3 ,
0  x  1
ise
1  x 
ise
2  x 
2
3
3  x  2
x2
tam sayı değerlerini alır..
2
1
2  3  2 1
ise
x
0
1
2
3 2
ise
1
ise
Özel durumlar
i. f (x) = x2 , f (x) = x x
x = 0 da sıçrama yapmaz.
fonksiyonların grafikleri tam kısımlarının içini tam sayı yapan
ii. f (x) = sinx fonksiyonunun grafiği, tam kısım içini tam sayı yapan x  

(2k  1) (k  N)
2
de sıçrama yapmaz.
f (x) = cosx
sıçrama yapmaz.
fonksiyonunun grafiği tam değer içini tam sayı yapan x  k  (k  Z  {0}) de
Örnek : f : [  1 , 2 ] den R ye
Çözüm :  1  x < 0 
2y = sgn (x  1) . x
2y =  1 . ( 1)

0  x < 1 
2y =  1 . 0

x = 1 
2y = 0 . 1

1 < x < 2 
2y = 1 . 1

x = 2 
2y = 1 . 2

35
bağıntısının grafiğini çizelim.
1
y<1
2
1
2y = 0  0  2y < 1  0  y <
2
1
2y = 0
 0  2y < 1  0  y <
2
1
2y = 1  1  2y < 2 
y<1
2
3
2y = 2
 2  2y < 3  1  y <
2
2y = 1

1  2y < 2

Buna göre, grafik yandaki gibidir.
Örnek : R 2 de  
Çözüm :
2
x + y
eşitsizliği ikiye ayıralım:
{(x, y)
:
x2 + y2 = 3 x , y  R}
 3  3  x2  y 2  4
2
2
2
i. 3  x2  y 2 eşitsizliği, R 2 de x  y  3
dış bölgesini belirtir (Çember bölgeye dahildir.).
bağıntısının grafiğini çizelim.
olur. Bu
çemberinin
2
2
2
2
2
ii. x  y  4 eşitsizliği de, R de x  y  4 çemberinin iç bölgesini belirtir (Çember bölgeye dahil değildir.).
Buna göre bağıntının gösterdiği grafik, belirlenen iki çemberin
arasında kalan bölge olur.
Örnek :  = {(x, y) : x . y = 3 x , y  R} bağıntısının grafiğini R 2 de çizelim.
Çözüm : Çarpımları 3 olan tam sayıları; 1 . 3 , 3 . 1 , (1) . (3) , (3) . (1) olmak üzere
dört farklı durumda yazabiliriz.
x . y =
1.3

x =1

y
= 3

1  x < 2
3  y < 4
x . y =
3.1

x =3

y
= 1

3  x < 4
1  y < 2
x . y = (1) . (3)

x = 1

y
= 3

1  x < 0
3  y < 2
x . y = (3) . (1)

x = 3

y
= 1

3  x < 2
1  y < 0
Buna göre, grafik yanda görülen 4 bölgeden oluşur.
Örnek : [1 , 4]  R ye
Çözüm : 1  x < 2

2x<3

3x<4

x=4

y
2
 x =2
bağıntısının grafiğini çizelim.
y
y
 1 =  2 
2
2
y
y
 2 =  2 
2
2
y
y
 3 =  2 
2
2
y
y
 4 =  2 
2
2
36
y
< 0  2  y < 0
2
y
= 0 0  < 1 0  y < 2
2
y
= 1 1  < 2 2  y < 4
2
y
= 2 2  < 3 4  y < 6
2
=1
 1 
Buna göre grafik, yandaki gibidir.
Grafiği oluşturan bölgelerin, yatay kenar uzunluğu 1 birim, düşey kenar uzunluğu 2 birim olan dikdörtgensel bölgelerden oluştuğuna dikkat ediniz.
 = { (x , y) : x  y = 1 } bağıntısının grafiğini R 2 de çizelim.
Örnek :
Çözüm :
xy =1
1  x y < 2 dir..

i. x  y < 2 eşitsizliği R 2 de, x  y = 2 doğrusunun O (0 , 0)
tarafındaki bölgesini gösterir. (Doğru grafiğe dahil değildir.)
ii. 1  x  y eşitsizliği R 2 de x  y = 1 doğrusunun (doğru
dahil) O (0 , 0) noktasının ters tarafındaki bölgeyi gösterir. Buna göre,
bağıntının gösterdiği grafik yandaki gibidir.
BİR FONKSİYONUN EN GENİŞ TANIM KÜMESİ
Tanım : x  R olmak üzere y = f (x) kuralı ile verilmiş bir f fonksiyonunda; A  R ve
x  A için, f (x)  R koşulunu sağlayan en geniş A kümesine, f fonksiyonunun en geniş
tanım kümesi denir.
TANIM KÜMELERİNİN BULUNUŞU
1. Polinom Fonksiyonlar
n
f (x) = anx + an1x
n1
+ ... + a1x + a0
gibi polinom fonksiyonları, tüm reel sayılarda tanımlıdır. Çünkü;
x  R için, f (x)  R dir. Buna göre polinom fonksiyonlarının en geniş tanım kümeleri A = R dir..
Örneğin;
f (x) = mx + n
ise,
f (x) = ax 2 + bx + c
A = R dir.
ise,
A=R
dir.
2. Rasyonel Fonksiyonlar
P (x) ve Q (x)
birer polinom fonksiyon olmak üzere
f (x) =
P ( x)
Q ( x)
biçimindeki fonksiyonlar,,
paydayı sıfır yapan x  R için tanımsızdır. Çünkü Q (x) = 0 için, f (x) R dir. O hâlde, bu türdeki
rasyonel fonksiyonların en geniş tanım kümesi;
A= R 
{x
: Q (x) = 0
Örnek : f : A  R
ve
f (x) =
x  R} dir.
3x  7
2
x  4x  3
fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulalım.
Çözüm : f (x) tanımlı isex2  4x + 3  0
olmalıdır.
x  4x + 3  0
(x  1) (x  3)  0  x  1 ve x  3 tür.
O hâlde, fonksiyonun en geniş tanım kümesi : A = R  {1 , 3} olur.
2
37
3. Köklü Fonksiyonlar
n
P (x) polinom fonksiyonu olmak üzere, f (x) =
geniş tanım kümesi;
a. n, tek sayı ise,
A = R dir.
b. n, çift sayı ise,
A=
{x
: P (x)  0
P(x) biçiminde irrasyonel fonksiyonların en
x  R} dir.
ve
Çünkü negatif sayıların tek dereceden kökleri reel sayı iken, çift dereceden kökleri reel sayı değildir.
Örnek : a.
f ( x) 
3
x2  1
b.
f ( x) 
4  x2
x 1
fonksiyonlarının en geniş tanım
kümelerini bulalım.
Çözüm :
a.
kümesi: A = R dir.
b.
4  x2
x 1
f ( x) 
2  x  2
f ( x) 
3
x2  1
fonksiyonunun kök derecesi tek olduğu için en geniş tanım
fonksiyonunun tanımlı olması için,
ve
x  1 olup, en geniş tanım kümesi:
4  x2  0 ve x  1  0 olmalıdır..
A = [2 , 2]  {1} dir.
4. Logaritma Fonksiyonu
P (x) ve h (x) polinom fonksiyonlar olmak üzere f (x) = logh(x)P(x) biçiminde logaritmik fonksiyonun tanımlı olması için P (x) > 0 , h (x) > 0 ve h (x)  1 olmalıdır. Buna göre en geniş tanım kümesi;
A = {x : P (x) > 0 , h (x) > 0
ve
, x  R} dir.
h (x)  1
f (x) = logx2(x2 + 8x + 9) ile belirtilen f : A  R fonksiyonunun en geniş A tanım
Örnek :
kümesindeki tam sayıların toplamı bulalım.
f (x) = logx2(x2 + 8x + 9)
Çözüm :
fonksiyonunun tanımlı olması için
 x2 + 8x + 9 > 0 ,
x  2 > 0 ve x  2  1 olmalıdır. Bu eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini tablo ile bulalım.
x
2
1

9

2
x +8x+9
ve
x  3 tür.
x2
Ortak çözüm
bölgesi
O hâlde, tabloya göre en geniş tanım kümesi :
A tanım kümesinde bulunan tam sayılar,
Örnek :
f (x) =
A = (2 , 9)  {3} olur.
4 , 5 , 6 , 7 , 8 olup, bu tam sayıların toplamı 30 dur.
ile belirtilen
f : A  R ye
fonksiyonunun en geniş tanım
kümesini bulalım.
Çözüm : f (x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi;
A = R  {x :
x2 =0
O hâlde,
x2 . x
V
x
l
=0
= 0 ve x  R} dir..

A = R x : 0  x  1
2  x  3 V 0  x  1 olur..
veya
2  x  3 ve x  R
38
q
dir..
Örnek : f ( x) 
2x  7
fonksiyonu
2
x  (m  1 ) x  ( 3 m  5 )
x  R için tanımlı ise, m reel sayısının
hangi aralıkta olduğunu bulalım.
Çözüm : f (x) in
x  R de tanımlı olması için,
x2  (m + 1) x + (3m  5)  0
Örnek :
x2  (m + 1) x + (3m  5)  0

<0

 = (m + 1)2  4 (3m  5) < 0

 = m2 + 2m + 1  12m + 20 < 0

 = m2  10m + 21 < 0

3 < m < 7 olur. O hâlde,
a  R +  {1} , f (x) = loga x 2  3(m  2) x  2(m  2)
kümesi tüm reel sayılar olduğuna göre, m
olmalıdır..
m  (3 , 7) dır.
fonksiyonunun en geniş tanım
reel sayısının hangi aralıkta olduğunu bulalım.
Çözüm : f (x) in  x  R de tanımlı olması için, x2  3(m  2)x  2(m  2) > 0 olmalıdır. Bunun
için de x2 nin katsayısı pozitif olduğundan,  < 0 gerçeklenmelidir.
<0

(m  2)2 + 8 (m  2) < 0

(m  2) (9m  18 + 8) < 0
 (m  2) (9m  10) < 0

ln
Örnek : f (x) =
FG x  2 IJ
H x  3K
10
<m<2
9

bulunur. O hâlde,
m
FG 10 , 2IJ
H9 K
dır..
kuralı ile verilen f : A  R fonksiyonunun en geniş
A tanım kümesini bulalım.
FG x  2 IJ  0
H x3K
F x  2 IJ  ln1
 ln G
H x  3K
Çözüm : f (x) tanımlı ise; ln
i. ln
FG x  2 IJ  0
H x  3K
,
x2
 0 , x  3  0 ve
x3

x2
 0  Ç 2  (   ,  2)  ( 3 ,   )
x3
iii. x  3  0
iv.
x  3
Ç3 = R  {3}
x  5  0  x  5 Ç4 = R  [5 , 6) olur. O hâlde,
A = (Ç1  Ç2  Ç3)  Ç4 ten,
b
A = (3 , +  )  R  [ 5 , 6 )
A = (3 , 5)  [6 , +  )
g
bulunur.
39
olmalıdır..
x2
5
 1
0
x3
x3
 x  3 > 0 
ii.
x 5 0
x > 3Ç1 = (3 , + )
ALIŞTIRMALAR
1.
Aşağıdaki değerleri bulunuz.
a. sgn 3
2.
3,98 . sgn  398
f.
 7
i.
1 
 . sgn (2  e2)
e.
g.
log 1998
h.
e   e
b
g
. sgn ln (tan 200)
Aşağıdaki ifadelerin karşılarında belirtilen aralıklardaki reel değerlerini bulunuz.
1<x<2
için,
sgnx  sgn (1  x) in değeri kaçtır?
b.  1 < x < 0
için,
sgn(x 2  1) . sgn (x2  3x) in değeri kaçtır?
c. 

<x<
2
için,
sgn(cosx) + 2sgn (sin3x) in değeri kaçtır?
d.
1
<x<1
2
için,
sgn sgn (ln x)  sgn ln
b
FG 1 IJ
H xK
g
in değeri kaçtır?
Aşağıdaki fonksiyonları karşılarında belirtilen aralıklarda x cinsinden bulunuz.
a.  1 < x < 2
b.
4.
c.
d.
a.
3.
b. sgn ( 4)
x<0
c.
x
=1
d.
x 3
için,
f (x) =
x  1  2  x . sgn ( x  1) in sonucunu x cinsinden bulunuz.
için,
f (x) = x x  3  x 2 sgn( x 3 ) ün sonucunu x cinsinden bulunuz.
için,
f (x) = x  2  sgn ( x 2  1) .
için,
in sonucunu x cinsinden bulunuz.
f (x) = sgn (x2  10) . 3  x  x
in sonucunu x cinsinden bulunuz.
Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
x 7
b.
d.
x2  2x  2  1
e. x . x  4  0
f. x . 2  x  3
h.
x1 . x2  4
i.
x 2  x1
x 1  x  1
l.
x2  x  1  7
g.
x2  6 x  9  x2  9  0
2x  5  1
j.
x 5 1  3
k.
m.
3  x  2x  7
n. sgn ( x  5 )  1
3
p. sgn (x + x) = 1
F x  3x  4 I
G x  8 JJ =  1
t. sgn G
H
K
r. sgn
Fx
GH
2
c.
x2  7  2
a.
2
o. sgn (x  x  2) = 0
I
JK
x6
=1
x
F
GH
I
JK
x2  x  1
s. sgn (2  x)( x  3) = 1
2
3
u. sgn (ln2x + 2lnx  3) =  1
40
v.
x  2x  5
. 5  2x = 0
5.
Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
a.
x =5
d.
g.
x2 = 1
c.
3  5x =  7
e.
2x 5 + 3 . 2x + 5 = 18
f.
x =3
h.
2x = 1
i.
log x = 2
3
l.
x  10x =  24
o.
= x
sinx =  1
k.
m.
log (2x  1) = 4
n.
t.
3
1
x1 =2
2
x
=2
+2 x7 =1
r.
=3
3
2
s.
=3
2x + 3 = x + 4
Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz.
a.
x <7
b.
d.
x2  4 x  4  5  x
e.
g.
x 1  x  2  5
h.
2x  1  3
c.
3  2x  1
f. 1  x  1  2
x2  2x  1  x   3
3x  x2  7
i. x x  3
j. ( x  2) x  1
k. x < x  1
l. x 2  x  12
m.
n. 0  x < 2
o.
r. sgnx < sgn (x  3)
s. sgn (x2 + 4x  5)  0
logx  1
p.
+2 x 3
1
u. x2  x sgnx < 6
t. x < sgnx
7.
2x  3 = 7
j.
p.
6.
=8
b.
Aşağıdaki fonksiyonları, parçalı fonksiyon biçiminde yazınız.
a. f (x) = x  3
b. f (x) = x 2  2x  3
c. f (x) = x  3  x
d. f (x) = x + x
e. f (x) = x x  2
f. f (x) =
h. f (x) = x  x
i. f (x) = x  1 + x + 2
g. f (x) = x
2
x
j. f (x) = x  1 + sgnx
x3
x1
2
k. f (x) = x sgn (x  4)
2
8.
sgn (x  4x  21) =  1 denklemini sağlayan kaç tane
9.
f : R  R , f (x) =  x + x + 9 fonksiyonunun
41
x
tam sayısı vardır ?
f (R ) görüntü kümesini bulunuz.
10. Yanda, y = f (x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, aşağıdaki denklemlerin ve
eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz.
11.
a. sgn f ( x ) = 0
b. sgn f ( x ) = 1
c. sgn f ( x ) =  1
d. x . sgn f ( x ) = 1
e. x . sgn f ( x ) < 1
f. (x2 1) . sgn f ( x ) < 0
10. soruda grafiği verilen f (x) fonksiyonuna bağlı olarak aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
a.
d.
f ( x)  f ( x)
b.
2
x . sgn f ( x )
e.
f ( x )  f ( x)
2
b
sgn x . f ( x )
g
c.
sgn f ( x )
f.
f ( x ) . sgn f ( x )
12. Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini, karşılarında belirlenen kümelerde çiziniz.
a.
f : [2 , 1)  R ,
f(x ) = x + 1
b.
f : [1 , 2]  R ,
f ( x ) = 2 2x   x
c.
f : [1 , 1)  R ,
f ( x ) = 2x  1
d.
f : R  R ,
f ( x ) = x  3  x + 1
e.
f : R  R ,
f ( x ) = 2x + 4  x
f.
f : R  R ,
f ( x ) = x . x  2 + 3
g.
f : [1 , 2]  R ,
f ( x ) = (1  x) x
h.
f : (1 , 3]  R ,
f ( x ) = x2 .
i.
f : R  R ,
f ( x ) = sgnx + sgn (x  4)
j.
f : R  R ,
f ( x ) = sgnx + sgn(x  4)
k. f : [2 , 2]  R ,
f ( x ) = 3x  x + sgnx
l.
f ( x ) = x x . sgn (x  2)
f : [0 , 3]  R ,
m. f : R  R ,
f ( x ) = sgn (x  3)  1  x
42
13. Aşağıda verilen bağıntıların R
2
de grafiklerini çiziniz.
a.
x  y 2
b.
x  y 3
d.
x2  y 2  0
e.
g.
x.y =1
h.
j.
x  1 = sgn (y + 1)
k.  = { ( x, y) sgn( x  2)  1 ve
x y y x 0
x
=1
c.
2x  y  3
f.
x+y =0
i.
y  2 = sgn
d x 1i
y =2}
14. Şekilde, R den R ye y = f (x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, aşağıdaki fonksiyonların R den R ye grafiklerini
çiziniz.
a. g (x) = 1  f (x)
b. h (x) =  f
dxi
c. k (x) = f (1  x) + 1
15. R den R ye
f ( x) 
f
RS 2 ,
T x  2 ,
ve
g
fonksiyonları,
x  0 ise
x  0 ise
Buna göre, (fog) (x)
ve g ( x)  x
şeklinde tanımlıdır.
fonksiyonunu tanımlayıp grafiğini çiziniz.
16. Aşağıdaki fonksiyonların en geniş tanım kümelerini bulunuz.
a.
f (x) = 2x  5
d.
f ( x) 
g.
f ( x) 
j.
f ( x) 
3
x 1
2
x  5x
4  4  x2
5
b. f (x) =
e.
f ( x) 
17.
f (x) =
f ( x) 
k. f ( x) 
m. f (x) =
2x  3
2
x  (m  1)x  4
kümesini bulunuz.
x2  4
x2 4
h. f (x) = ln (3  x)
3 x2
l.
x2  1
c. f ( x) 
x7
f. f ( x) 
x3 
i.
f ( x) 
x  12
9  x2
x3
3 x
15
 log (8  x)
5 7x
 x 2  2x  3  log( x 2  x)
fonksiyonu,  x  R için tanımlı ise, m  R nin alacağı değerler
43
TEST 1 • A
1.
f (x + 2) = f 1 (3x  7) olduğuna göre, (fof)(4) kaçtır?
A)  2
2.
B)  1
f ( 3 x  1) = x2  4x + 4 ise, f(2) . f 1(1)
A) 2
3.
B) 3
2
2
B) 9
A) 208
5.
B) 209
E) 5
D) 5
E) 6
kaç olabilir?
D) 12
E) 13
D) 19!
E) 20!
f(20) kaçtır?
C) 210
f : R  R bire bir ve örten fonksiyon olmak üzere f (x) = f 1(x) + 3 olduğuna göre, (fof) (4)
kaçtır?
A) 3
6.
f(1) + f 1(3)
C) 11
f(x) = f(x  1) + x ve f(1) = 1 ise,
D) 4
kaç olabilir?
C) 4
f 1 (1 + log x) = x  2x + 1 ise,
A) 8
4.
C) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
f : R  R , y = f (x) fonksiyonu verilsin.  x1 , x2  R ve x1 > x2 için, f (x1) < f (x2) olduğuna
göre, aşağıda grafikleri verilen fonksiyonlardan hangisi bu kurala uymaktadır?
A)
7.
B)
f (11  x) =
x
11 x
A) 24
8.
D)
E)
ve f (a) = 2 ise, a kaçtır?
B) 26
C) 28
D) 33
E) 35
f (n + 1) = f (n) + 2n ve f (0) = a veriliyor. f (3) = 14 ise, a kaçtır?
A) 6
9.
C)
+
B) 7
b
f : R  R , f x1 . x2
C) 8
g = f (x ) + f (x )
1
2
D) 10
E) 14
veriliyor. f (10) = 1 , f(2) = m , f (3) = n ise, f (15) in
m ve n cinsinden değeri nedir?
A) m  n
B) n  m + 1
10. f (x) = 2x  5 , g(x) =
A)  11
C) m + n
D) m + n + 1
E) m + n  1
1
ve f 1(x) = (fog1) (1) ise, x kaçtır?
x
B)  9
C)  7
D) 5
44
E) 6
11.
f : Z  Z ye f (x) = 2x  1 şeklinde tanımlanan f fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi
doğrudur?
C) f 1(x) fonksiyondur..
A) örtendir
B) f (Z) = Z
D) f (x) bire birdir.
E) f (x) sabittir.
12. f : R  R f (x) = x2  2x + k
fonksiyonu veriliyor.
{x : f
1
}
kümesinin bir
( 2)  x , x  R
elemanlı olması için k değeri ne olmalıdır?
A)  1
B) 0
13. f : R +  R ye f (x) = ln
A)
3
C) 1
FG x IJ
H 3K
fonksiyonu veriliyor. f 1
3
C) 3 e
B) e3
e
D) 2
FG 1IJ
H 3K
E) 3
değeri kaçtır?
D) 3 2
e
E)
14. f : R  R
f (x) = x2  4 fonksiyonu ile A = [  2 , 4] kümesi veriliyor. f (A) görüntü kümesi
aşağıdakilerden hangisidir?
A) [0 , 12]
B) [ 4 , 12]
C) {0 , 12}
15. R den R ye tanımlı f (x) = 3x + 2 , g(x) = 
D) [ 4 , 0]
x
+5
2
E) [ 2 , 2]
fonksiyonları veriliyor. (gof)1(7) değeri
kaçtır?
A)  2
B) 1
C) 2
D) 3
E) 5
16. R den R+ ya tanımlı f (x) = 3x , g(x) = 81x fonksiyonları veriliyor. ( f 1og) (a) = 8 ise, a nın
değeri kaçtır?
A) 0
17. f (x) =
B) 1
3x  1
(m  2) x  4
A) 4
18. f : R 
C) 2
D) 3
E) 4
fonksiyonu veriliyor. f (x) in tanım kümesi R 
B) 6
C) 8
D) 9
RS 4 UV  R  RS 2 UV olmak üzere, f (x) = 2x  1
3x  4
T3 W
T3 W
RS 1 UV
T3 W
ise, m kaçtır?
E) 10
fonksiyonu veriliyor.. f (2x) in f (x) cinsinden
ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
A)
19.
19 f ( x)  2
12 f ( x)  14
f ( x) 
A) 5
13 f ( x)  1
f ( x)  3
x2  6 x  b  6
2
(a  2)x  2x  8
A)  14
20. f (x) =
B)
12 f ( x)  1
2 f ( x)  5
C)  18
fonksiyonu birim fonksiyon ise,
B) 6
D)
fonksiyonu sabit fonksiyon ise,
B)  16
3x
+n3
m2
C)
C) 12
17 f ( x)  2
13 f ( x)  5
b
a
D) 15
45
4 f ( x)  1
3 f ( x)  4
kaçtır?
D)  20
m.n
E)
E)  22
kaçtır?
E) 20
TEST 1 • B
1.
ABCD dik yamuğunda; [FE]  [AB] , DC = BC = 4 birim,
AB = 6 birim ise,
AE = x olmak üzere,
AFE üçgeninin alanı ile ilgili
aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) A(x) = x2
,
1 2
x ,
2
E) A(x) = 2x ,
C) A(x) =
2.
A : (0 , 2)  (0 , 4)
B) A(x) = x
,
A : (0 , 2)  (0 , 2)
A : (0 , 4)  (0 , 8)
D) A(x) = 2x2
,
A : (0 , 2)  (0 , 8)
A : (0 , 2)  (0 , 4)
f : A  [  3 , 5) ile tanımlı bire bir ve örten f (x) =
2x  5
fonksiyonu veriliyor. A kümesindeki
3
tam sayılar toplamı kaçtır?
A) 38
3.
3
x2
4
B)
(x) fonksiyonu aşağıdakilerden
D) 2x  1
E) 
C) 3
D) 4
1
x
6
1
(3) kaçtır?
E) 5
B)
1
8
C)
1
9
D)
1
10
E)
1
12
x2
3x  1
E)
2x  1
x3
Yanda f : R  R ye fonksiyonunun grafiği verilmiştir. (fofof)
( 3) değeri kaçtır?
(fog)(x) =
A)
8.
1
x
3
C) 
B) 2
1
6
A)  4
7.
2
x1
3
1
E) 54
f (x + 1) = 3x2 , g(x) = 9mx , h(x) = f (x) . g(x) ve h(x) sabit fonksiyon ise, g(2) değeri kaçtır?
A)
6.
D) 45
f : R  R bire bir ve örten bir fonksiyondur. f (x3 + x) = x3 + x  6 ise, f (2) + f
A) 1
5.
C) 42
f (x) = ax + b biçiminde bir fonksiyondur. 2f ( x) + f (x) = 6x ise, f
hangisidir?
A)
4.
B) 40
x2
3x  1
B)  3
2x  3
x 1
C) 0
ve
B)
g(x) =
x2
3x  1
1
x2
D) 4
E) 6
ise, f(x) nedir?
C)
x2
3x  1
A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } kümesinde tanımlı fog 
D)
FG1 2 3 4 5IJ
H 4 5 1 3 2K
ve g 
FG1 2 3 4 5IJ
H1 4 5 3 2K
yonları için ( f 1og)(2) kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
46
E) 5
permütas
9.
Uygun kümelerde tanımlı f ( x) 
ax  2
x
ve g( x) 
bx  c
fonksiyonları için, (fog) (x) = (gof) (x) = x
dx  3
ise, a + b + c + d kaçtır?
A) 0
B)  1
C)  2
D)  3
E)  4
10. Uygun kümelerde tanımlı f ve g fonksiyonları bire bir ve örten iki fonksiyondur.
f ( x  1) 
2x  1
x
A) 1
11.
f ( x) 
ve
eg of j( x)  3x2 2
1
B) 2
2x  5
x3
ve g( x) 
x1
x2
A) 1
B)
3
2
ise,
C) 3
D) 4
B) 4
E) 5
olduğuna göre, (f . g)(3) kaçtır?
C) 2
D)
12. R den R ye tanımlı f ve g fonksiyonları için,
(f + g) (a) = 25 ise, a nın değeri kaçtır?
A) 2
g1 ( 1) değeri kaçtır?
5
2
E) 3
f (x + 1) = 3x + 2 , g (2x + 2) = 2x + 4 ve
C) 6
D) 8
E) 10
13. f : [ 2 ,  )  [0 , +  ) ye f (x) = x2 + 4x + 4 fonksiyonu veriliyor. (gof) (x) = 2x + 4 olduğuna
göre, g (x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
A) x2 + 4
B) 4x  1
C) 2 x
D) x  4
E)
x2
14. Uygun kümelerde tanımlı f ve g fonksiyonları için; f (x) = x 2  4x + 1 , (gof) (x) = 2x 2  8x + 3
olduğuna göre, g (x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2x + 1
B) 3x  1
C) 4x + 2
D) 2x  1
E) 3x + 5
15. R de tanımlı f, g, h fonksiyonları için; (gof) (x) = 3x + 5 , (h1of)1 (x) = 2x  6 ise, (goh) (x)
fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3x  4
B) 4x  3
C) 13x  6
D) 6x  13
E) 8x + 3
16.
Yanda f (x) ve g (x) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle yanlıştır?
A) f (1) > g (1)
B) f (4) = g (4)
D) (gof) (5) > f (0)
E) (gof) (1) > 0
47
C) (gof) ( 2) < (fog) (2)
17. Şekildeki l doğrusu, eksenleri (6 , 0) ve
(0 , 3) noktalarında kesmekte; d doğrusu da
Ox eksenine dik olarak hareket etmektedir.
f : [0 , 6]  R ye f : x  “şekildeki taralı
bölgenin alanı” biçiminde f (x) fonksiyonu tanımlanıyor.
Buna göre, f (x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 
1 2
x  3x
4
B) 
1 2
x 3
4
C)
1 2
x  2x
2
D)
1 2
x x
3
E) x2  2x
18. Yanda, f ve g fonksiyonlarının
grafikleri verilmiştir.
 8 < (fog) (x) < 0 eşitsizliğinin en
geniş çözüm aralığı ( 1 , 4), açık
aralığı ise, 2a + 3b kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
19.
Yanda f (x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
(fof)(x) = 1 denkleminin kökü aşağıdakilerden
hangisidir?
A)  3
D) 0
20. Yandaki grafik f (x) fonksiyonuna aittir.
f (x)  0 eşitsizliğini sağlayan kaç
tane farklı x tam sayısı vardır?
A) 3
B) 4
D) 6
E) 7
C) 5
48
B)  2
E) 3
C)  1
ALIŞTIRMALAR
1.
Aşağıdaki değerleri bulunuz.
a. sgn 3
2.
3,98 . sgn  398
f.
 7
i.
1 
 . sgn (2  e2)
e.
g.
log 1998
h.
e   e
b
g
. sgn ln (tan 200)
Aşağıdaki ifadelerin karşılarında belirtilen aralıklardaki reel değerlerini bulunuz.
1<x<2
için,
sgnx  sgn (1  x) in değeri kaçtır?
b.  1 < x < 0
için,
sgn(x 2  1) . sgn (x2  3x) in değeri kaçtır?
c. 

<x<
2
için,
sgn(cosx) + 2sgn (sin3x) in değeri kaçtır?
d.
1
<x<1
2
için,
sgn sgn (ln x)  sgn ln
b
FG 1 IJ
H xK
g
in değeri kaçtır?
Aşağıdaki fonksiyonları karşılarında belirtilen aralıklarda x cinsinden bulunuz.
a.  1 < x < 2
b.
4.
c.
d.
a.
3.
b. sgn ( 4)
x<0
c.
x
=1
d.
x 3
için,
f (x) =
x  1  2  x . sgn ( x  1) in sonucunu x cinsinden bulunuz.
için,
f (x) = x x  3  x 2 sgn( x 3 ) ün sonucunu x cinsinden bulunuz.
için,
f (x) = x  2  sgn ( x 2  1) .
için,
in sonucunu x cinsinden bulunuz.
f (x) = sgn (x2  10) . 3  x  x
in sonucunu x cinsinden bulunuz.
Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
x 7
b.
d.
x2  2x  2  1
e. x . x  4  0
f. x . 2  x  3
h.
x1 . x2  4
i.
x 2  x1
x 1  x  1
l.
x2  x  1  7
g.
x2  6 x  9  x2  9  0
2x  5  1
j.
x 5 1  3
k.
m.
3  x  2x  7
n. sgn ( x  5 )  1
3
p. sgn (x + x) = 1
F x  3x  4 I
G x  8 JJ =  1
t. sgn G
H
K
r. sgn
Fx
GH
2
c.
x2  7  2
a.
2
o. sgn (x  x  2) = 0
I
JK
x6
=1
x
F
GH
I
JK
x2  x  1
s. sgn (2  x)( x  3) = 1
2
3
u. sgn (ln2x + 2lnx  3) =  1
40
v.
x  2x  5
. 5  2x = 0
5.
Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
a.
x =5
d.
g.
x2 = 1
c.
3  5x =  7
e.
2x 5 + 3 . 2x + 5 = 18
f.
x =3
h.
2x = 1
i.
log x = 2
3
l.
x  10x =  24
o.
= x
sinx =  1
k.
m.
log (2x  1) = 4
n.
t.
3
1
x1 =2
2
x
=2
+2 x7 =1
r.
=3
3
2
s.
=3
2x + 3 = x + 4
Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz.
a.
x <7
b.
d.
x2  4 x  4  5  x
e.
g.
x 1  x  2  5
h.
2x  1  3
c.
3  2x  1
f. 1  x  1  2
x2  2x  1  x   3
3x  x2  7
i. x x  3
j. ( x  2) x  1
k. x < x  1
l. x 2  x  12
m.
n. 0  x < 2
o.
r. sgnx < sgn (x  3)
s. sgn (x2 + 4x  5)  0
logx  1
p.
+2 x 3
1
u. x2  x sgnx < 6
t. x < sgnx
7.
2x  3 = 7
j.
p.
6.
=8
b.
Aşağıdaki fonksiyonları, parçalı fonksiyon biçiminde yazınız.
a. f (x) = x  3
b. f (x) = x 2  2x  3
c. f (x) = x  3  x
d. f (x) = x + x
e. f (x) = x x  2
f. f (x) =
h. f (x) = x  x
i. f (x) = x  1 + x + 2
g. f (x) = x
2
x
j. f (x) = x  1 + sgnx
x3
x1
2
k. f (x) = x sgn (x  4)
2
8.
sgn (x  4x  21) =  1 denklemini sağlayan kaç tane
9.
f : R  R , f (x) =  x + x + 9 fonksiyonunun
41
x
tam sayısı vardır ?
f (R ) görüntü kümesini bulunuz.
10. Yanda, y = f (x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, aşağıdaki denklemlerin ve
eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz.
11.
a. sgn f ( x ) = 0
b. sgn f ( x ) = 1
c. sgn f ( x ) =  1
d. x . sgn f ( x ) = 1
e. x . sgn f ( x ) < 1
f. (x2 1) . sgn f ( x ) < 0
10. soruda grafiği verilen f (x) fonksiyonuna bağlı olarak aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
a.
d.
f ( x)  f ( x)
b.
2
x . sgn f ( x )
e.
f ( x )  f ( x)
2
b
sgn x . f ( x )
g
c.
sgn f ( x )
f.
f ( x ) . sgn f ( x )
12. Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini, karşılarında belirlenen kümelerde çiziniz.
a.
f : [2 , 1)  R ,
f(x ) = x + 1
b.
f : [1 , 2]  R ,
f ( x ) = 2 2x   x
c.
f : [1 , 1)  R ,
f ( x ) = 2x  1
d.
f : R  R ,
f ( x ) = x  3  x + 1
e.
f : R  R ,
f ( x ) = 2x + 4  x
f.
f : R  R ,
f ( x ) = x . x  2 + 3
g.
f : [1 , 2]  R ,
f ( x ) = (1  x) x
h.
f : (1 , 3]  R ,
f ( x ) = x2 .
i.
f : R  R ,
f ( x ) = sgnx + sgn (x  4)
j.
f : R  R ,
f ( x ) = sgnx + sgn(x  4)
k. f : [2 , 2]  R ,
f ( x ) = 3x  x + sgnx
l.
f ( x ) = x x . sgn (x  2)
f : [0 , 3]  R ,
m. f : R  R ,
f ( x ) = sgn (x  3)  1  x
42
13. Aşağıda verilen bağıntıların R
2
de grafiklerini çiziniz.
a.
x  y 2
b.
x  y 3
d.
x2  y 2  0
e.
g.
x.y =1
h.
j.
x  1 = sgn (y + 1)
k.  = { ( x, y) sgn( x  2)  1 ve
x y y x 0
x
=1
c.
2x  y  3
f.
x+y =0
i.
y  2 = sgn
d x 1i
y =2}
14. Şekilde, R den R ye y = f (x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, aşağıdaki fonksiyonların R den R ye grafiklerini
çiziniz.
a. g (x) = 1  f (x)
b. h (x) =  f
dxi
c. k (x) = f (1  x) + 1
15. R den R ye
f ( x) 
f
RS 2 ,
T x  2 ,
ve
g
fonksiyonları,
x  0 ise
x  0 ise
Buna göre, (fog) (x)
ve g ( x)  x
şeklinde tanımlıdır.
fonksiyonunu tanımlayıp grafiğini çiziniz.
16. Aşağıdaki fonksiyonların en geniş tanım kümelerini bulunuz.
a.
f (x) = 2x  5
d.
f ( x) 
g.
f ( x) 
j.
f ( x) 
3
x 1
2
x  5x
4  4  x2
5
b. f (x) =
e.
f ( x) 
17.
f (x) =
f ( x) 
k. f ( x) 
m. f (x) =
2x  3
2
x  (m  1)x  4
kümesini bulunuz.
x2  4
x2 4
h. f (x) = ln (3  x)
3 x2
l.
x2  1
c. f ( x) 
x7
f. f ( x) 
x3 
i.
f ( x) 
x  12
9  x2
x3
3 x
15
 log (8  x)
5 7x
 x 2  2x  3  log( x 2  x)
fonksiyonu,  x  R için tanımlı ise, m  R nin alacağı değerler
43
TEST 1 • A
1.
f (x + 2) = f 1 (3x  7) olduğuna göre, (fof)(4) kaçtır?
A)  2
2.
B)  1
f ( 3 x  1) = x2  4x + 4 ise, f(2) . f 1(1)
A) 2
3.
B) 3
2
2
B) 9
A) 208
5.
B) 209
E) 5
D) 5
E) 6
kaç olabilir?
D) 12
E) 13
D) 19!
E) 20!
f(20) kaçtır?
C) 210
f : R  R bire bir ve örten fonksiyon olmak üzere f (x) = f 1(x) + 3 olduğuna göre, (fof) (4)
kaçtır?
A) 3
6.
f(1) + f 1(3)
C) 11
f(x) = f(x  1) + x ve f(1) = 1 ise,
D) 4
kaç olabilir?
C) 4
f 1 (1 + log x) = x  2x + 1 ise,
A) 8
4.
C) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
f : R  R , y = f (x) fonksiyonu verilsin.  x1 , x2  R ve x1 > x2 için, f (x1) < f (x2) olduğuna
göre, aşağıda grafikleri verilen fonksiyonlardan hangisi bu kurala uymaktadır?
A)
7.
B)
f (11  x) =
x
11 x
A) 24
8.
D)
E)
ve f (a) = 2 ise, a kaçtır?
B) 26
C) 28
D) 33
E) 35
f (n + 1) = f (n) + 2n ve f (0) = a veriliyor. f (3) = 14 ise, a kaçtır?
A) 6
9.
C)
+
B) 7
b
f : R  R , f x1 . x2
C) 8
g = f (x ) + f (x )
1
2
D) 10
E) 14
veriliyor. f (10) = 1 , f(2) = m , f (3) = n ise, f (15) in
m ve n cinsinden değeri nedir?
A) m  n
B) n  m + 1
10. f (x) = 2x  5 , g(x) =
A)  11
C) m + n
D) m + n + 1
E) m + n  1
1
ve f 1(x) = (fog1) (1) ise, x kaçtır?
x
B)  9
C)  7
D) 5
44
E) 6
11.
f : Z  Z ye f (x) = 2x  1 şeklinde tanımlanan f fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi
doğrudur?
C) f 1(x) fonksiyondur..
A) örtendir
B) f (Z) = Z
D) f (x) bire birdir.
E) f (x) sabittir.
12. f : R  R f (x) = x2  2x + k
fonksiyonu veriliyor.
{x : f
1
}
kümesinin bir
( 2)  x , x  R
elemanlı olması için k değeri ne olmalıdır?
A)  1
B) 0
13. f : R +  R ye f (x) = ln
A)
3
C) 1
FG x IJ
H 3K
fonksiyonu veriliyor. f 1
3
C) 3 e
B) e3
e
D) 2
FG 1IJ
H 3K
E) 3
değeri kaçtır?
D) 3 2
e
E)
14. f : R  R
f (x) = x2  4 fonksiyonu ile A = [  2 , 4] kümesi veriliyor. f (A) görüntü kümesi
aşağıdakilerden hangisidir?
A) [0 , 12]
B) [ 4 , 12]
C) {0 , 12}
15. R den R ye tanımlı f (x) = 3x + 2 , g(x) = 
D) [ 4 , 0]
x
+5
2
E) [ 2 , 2]
fonksiyonları veriliyor. (gof)1(7) değeri
kaçtır?
A)  2
B) 1
C) 2
D) 3
E) 5
16. R den R+ ya tanımlı f (x) = 3x , g(x) = 81x fonksiyonları veriliyor. ( f 1og) (a) = 8 ise, a nın
değeri kaçtır?
A) 0
17. f (x) =
B) 1
3x  1
(m  2) x  4
A) 4
18. f : R 
C) 2
D) 3
E) 4
fonksiyonu veriliyor. f (x) in tanım kümesi R 
B) 6
C) 8
D) 9
RS 4 UV  R  RS 2 UV olmak üzere, f (x) = 2x  1
3x  4
T3 W
T3 W
RS 1 UV
T3 W
ise, m kaçtır?
E) 10
fonksiyonu veriliyor.. f (2x) in f (x) cinsinden
ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
A)
19.
19 f ( x)  2
12 f ( x)  14
f ( x) 
A) 5
13 f ( x)  1
f ( x)  3
x2  6 x  b  6
2
(a  2)x  2x  8
A)  14
20. f (x) =
B)
12 f ( x)  1
2 f ( x)  5
C)  18
fonksiyonu birim fonksiyon ise,
B) 6
D)
fonksiyonu sabit fonksiyon ise,
B)  16
3x
+n3
m2
C)
C) 12
17 f ( x)  2
13 f ( x)  5
b
a
D) 15
45
4 f ( x)  1
3 f ( x)  4
kaçtır?
D)  20
m.n
E)
E)  22
kaçtır?
E) 20
TEST 1 • B
1.
ABCD dik yamuğunda; [FE]  [AB] , DC = BC = 4 birim,
AB = 6 birim ise,
AE = x olmak üzere,
AFE üçgeninin alanı ile ilgili
aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) A(x) = x2
,
1 2
x ,
2
E) A(x) = 2x ,
C) A(x) =
2.
A : (0 , 2)  (0 , 4)
B) A(x) = x
,
A : (0 , 2)  (0 , 2)
A : (0 , 4)  (0 , 8)
D) A(x) = 2x2
,
A : (0 , 2)  (0 , 8)
A : (0 , 2)  (0 , 4)
f : A  [  3 , 5) ile tanımlı bire bir ve örten f (x) =
2x  5
fonksiyonu veriliyor. A kümesindeki
3
tam sayılar toplamı kaçtır?
A) 38
3.
3
x2
4
B)
(x) fonksiyonu aşağıdakilerden
D) 2x  1
E) 
C) 3
D) 4
1
x
6
1
(3) kaçtır?
E) 5
B)
1
8
C)
1
9
D)
1
10
E)
1
12
x2
3x  1
E)
2x  1
x3
Yanda f : R  R ye fonksiyonunun grafiği verilmiştir. (fofof)
( 3) değeri kaçtır?
(fog)(x) =
A)
8.
1
x
3
C) 
B) 2
1
6
A)  4
7.
2
x1
3
1
E) 54
f (x + 1) = 3x2 , g(x) = 9mx , h(x) = f (x) . g(x) ve h(x) sabit fonksiyon ise, g(2) değeri kaçtır?
A)
6.
D) 45
f : R  R bire bir ve örten bir fonksiyondur. f (x3 + x) = x3 + x  6 ise, f (2) + f
A) 1
5.
C) 42
f (x) = ax + b biçiminde bir fonksiyondur. 2f ( x) + f (x) = 6x ise, f
hangisidir?
A)
4.
B) 40
x2
3x  1
B)  3
2x  3
x 1
C) 0
ve
B)
g(x) =
x2
3x  1
1
x2
D) 4
E) 6
ise, f(x) nedir?
C)
x2
3x  1
A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } kümesinde tanımlı fog 
D)
FG1 2 3 4 5IJ
H 4 5 1 3 2K
ve g 
FG1 2 3 4 5IJ
H1 4 5 3 2K
yonları için ( f 1og)(2) kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
46
E) 5
permütas
9.
Uygun kümelerde tanımlı f ( x) 
ax  2
x
ve g( x) 
bx  c
fonksiyonları için, (fog) (x) = (gof) (x) = x
dx  3
ise, a + b + c + d kaçtır?
A) 0
B)  1
C)  2
D)  3
E)  4
10. Uygun kümelerde tanımlı f ve g fonksiyonları bire bir ve örten iki fonksiyondur.
f ( x  1) 
2x  1
x
A) 1
11.
f ( x) 
ve
eg of j( x)  3x2 2
1
B) 2
2x  5
x3
ve g( x) 
x1
x2
A) 1
B)
3
2
ise,
C) 3
D) 4
B) 4
E) 5
olduğuna göre, (f . g)(3) kaçtır?
C) 2
D)
12. R den R ye tanımlı f ve g fonksiyonları için,
(f + g) (a) = 25 ise, a nın değeri kaçtır?
A) 2
g1 ( 1) değeri kaçtır?
5
2
E) 3
f (x + 1) = 3x + 2 , g (2x + 2) = 2x + 4 ve
C) 6
D) 8
E) 10
13. f : [ 2 ,  )  [0 , +  ) ye f (x) = x2 + 4x + 4 fonksiyonu veriliyor. (gof) (x) = 2x + 4 olduğuna
göre, g (x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
A) x2 + 4
B) 4x  1
C) 2 x
D) x  4
E)
x2
14. Uygun kümelerde tanımlı f ve g fonksiyonları için; f (x) = x 2  4x + 1 , (gof) (x) = 2x 2  8x + 3
olduğuna göre, g (x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2x + 1
B) 3x  1
C) 4x + 2
D) 2x  1
E) 3x + 5
15. R de tanımlı f, g, h fonksiyonları için; (gof) (x) = 3x + 5 , (h1of)1 (x) = 2x  6 ise, (goh) (x)
fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3x  4
B) 4x  3
C) 13x  6
D) 6x  13
E) 8x + 3
16.
Yanda f (x) ve g (x) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle yanlıştır?
A) f (1) > g (1)
B) f (4) = g (4)
D) (gof) (5) > f (0)
E) (gof) (1) > 0
47
C) (gof) ( 2) < (fog) (2)
17. Şekildeki l doğrusu, eksenleri (6 , 0) ve
(0 , 3) noktalarında kesmekte; d doğrusu da
Ox eksenine dik olarak hareket etmektedir.
f : [0 , 6]  R ye f : x  “şekildeki taralı
bölgenin alanı” biçiminde f (x) fonksiyonu tanımlanıyor.
Buna göre, f (x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 
1 2
x  3x
4
B) 
1 2
x 3
4
C)
1 2
x  2x
2
D)
1 2
x x
3
E) x2  2x
18. Yanda, f ve g fonksiyonlarının
grafikleri verilmiştir.
 8 < (fog) (x) < 0 eşitsizliğinin en
geniş çözüm aralığı ( 1 , 4), açık
aralığı ise, 2a + 3b kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
19.
Yanda f (x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
(fof)(x) = 1 denkleminin kökü aşağıdakilerden
hangisidir?
A)  3
D) 0
20. Yandaki grafik f (x) fonksiyonuna aittir.
f (x)  0 eşitsizliğini sağlayan kaç
tane farklı x tam sayısı vardır?
A) 3
B) 4
D) 6
E) 7
C) 5
48
B)  2
E) 3
C)  1
TEST 1 • C
1.
2.
f (x) = 2x  1 
3
x 2
2
A) 10
B) 8
LM
N
9
2
IJ
K
D)  6
FG
H
3
2
IJ
K
LM
N
C) 4 ,
B) [ 4 , 5 )
sgn (sinx) = 1 eşitliğinin
hangisidir?
A)  ,
4.
C) 6
E)  8
2x  1 = 7 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4 ,
3.
olduğuna göre, f ( 2) nin değeri kaçtır?
( 0 , 2 )
B) (  , 2 )
x  R olmak üzere
x2 .
9
2
IJ
K
D)
LM
N
E) 5 ,
IJ
K
11
2
aralığındaki en geniş çözüm aralığı aşağıdakilerden
C) ( 0 , 2 )
x
2
LM 9 , 5IJ
N2 K
D) ( 0 , )
E)
FG  , IJ
H2 K
= 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangi-
sidir?
A) {0 , 2}
1
1
x
5.
FG
H
1 1
A) 7 , 6
6.
B) (0 , 2]
=5
OP
Q
7.
LM
N
1 1
B) 7 , 6
IJ
K
FG
H
C)  ,
1
6
IJ
K
LM
N
IJ
K
1
D) 7 , 
E) [5 , 6)
denkleminin en geniş çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
B)  3 < x < 4
B) 15
f : R  { 0 }  R , f (x) =
A)
9.
E) [2 , 4)
C)  2 < x < 3
D)  2 < x < 0
E) x > 3
R den R ye tanımlı f (x) = 3 x  1 ve g (x) = x  2 + 3 fonksiyonları veriliyor. (gof) ( 7) değeri
kaçtır?
A) 12
8.
D) [0 , 2]
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
sgn (x2 + x + 6) = 1
A)  2 < x < 4
C) [0 , 2)
B)
sgn (x2  5x ) =  1 ise,
A) 6
B) 7
C) 25
x x
x
D) 27
E) 35
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
C)
D)
E)
x in alabileceği tam sayılar toplamı kaçtır?
C) 8
D) 9
49
E) 10
10.
x+2 +x
=8
A) [2 , 3)
11. x <
1
2
B) [3 , 4)
C) [4 , 5)
olmak üzere, f (x) = 1  x  1 x
A) f (x) = 0
12. f (x) =
denkleminin çözüm kümesi nedir?
B) f (x) =  2x
13.
B) [ 2 , 0]
=3
A) 32
E) [6 , 7)
fonksiyonu aşağıdakilerden hangisine eşittir?
C) f (x) = 2x
D) f (x) = 2x  2
E) f (x) = 2
fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
2 x2
A) [ 4 , 0]
D) [5 , 6)
C) [ 2 , 2]
D) [0 , 2]
E) [0 , 4]
denklemini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?
B) 40
C) 55
D) 60
E) 72
FG 5 IJ
H 2K
14. f (x) = 4  x2 + 2x  4 . sgn (1  2x) fonksiyonu veriliyor. Buna göre, f 
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
15. Yanda grafiği verilen fonksiyonunun
aşağıdakilerden hangisidir?
A) f (x) = (x  1) . sgnx
C) f (x) =
x 1
sgn( x  1)
değeri kaçtır?
E) 8
denklemi
B) f (x) =
sgn( x  1)
x 1
D) f (x) =
x1
sgn( x  1)
E) f (x) = (x + 1) . sgn (x + 1)
16. R den R ye tanımlı f (x) ve g (x)
fonksiyonları; f (x) = x  1  1 , g (x) = 2  x olarak
verilmiştir. Buna göre, (fog) (x) fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
C)
D)
E)
50
17. f (x) =
 x2  x  2
fonksiyonunun en geniş tanım aralığı nedir?
2 1
A) (0 , 2)
B) [0 , 2)
C) [0 , 2]
D) (0 , 2]
E) { 1}  [0 , 2]
18. f (x) = x . x  sgnx fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
C)
D)
E)
19. f : [  1 , 1 ]  R , f (x) = x . x
A)
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
B)
C)
D)
E)
20.
Yanda grafiği verilen bağıntının denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x = y
B) y = x
D) x = sgny
E) y = sgnx
51
C) x . y = 1
TEST 1 • D
1.
2.
f (x) =
x 2  4 x  4 . ( x 2  3 x)
fonksiyonu veriliyor.  2 < x < 0
( x 2  5 x  6)
aralıkta eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
2
2
A) x
B)  x
C) x + x
D) x  x
f (x) = x  2  x  3
A) 0
(x  3) x = 4
4.
A) 0
x3 = sgn (x3)
A) 0
5.
6.
5  x < 6 ise, f (x) = 3x + 1
değerleri toplamı kaçtır?
A) 25
B) 27
f (x) =
E) 4
E) 4
fonksiyonunun alabileceği en küçük ve en büyük tam sayı
C) 30
D) 32
E) 35
fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
x
2
B) (   , 6 )
C) (   , 7 )
D) [ 0 , 6 ]
E) ( 6 ,  )
B) 0  x < 1
C) 1  x < 2
D) 2  x < 3
E) 3  x < 4
< 2 eşitsizliğin sağlandığı aralığın uzunluğu kaç birimdir?
2
B) 2 2
C) 1
LM
MN
x < 9 olmak üzere sgn log 1
toplamı kaçtır?
A) 16
10.
E) 5
x  2 . x =  1 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A)
9.
D) 3
B) 1
C) 2
D) 3
denkleminin kaç tane reel kökü vardır?
B) 1
C) 2
D) 3
A)  1  x < 0
8.
C) 2
denkleminin çözüm kümesi kaç elemanlıdır?
A) (   , 5 )
7.
E) Tanımsız
fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun alabileceği en küçük değer kaçtır?
B) 1
3.
olmak üzere, f (x) in bu
B) 17
9
D) 2
FG x  3 IJ OP =  1
H 2 K PQ
E) 4
denklemini sağlayan
C) 19
D) 21
x
tam sayılarının
E) 25
x  1  2x  5 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (   , 2 )
11. f (x) = log(x2  x) +
A) [0 , 1]
B) (   , 1 )
 x 2  2x  3
B) [ 3 , 1]
C) (  2 ,  )
D) (  1 , 2 )
E) ( 1 , 5 )
fonksiyonunun tanım kümesi nedir?
C) (, 0)
D) [0, )
E) [3 , 0)
12.
Yanda grafiği verilen bağıntının denklemi
aşağıdakilerden hangisidir?
x
A) 2x . y = 1
B)
. y =1
2
C) x .
E)
52
x
2
y
2
= 2y
=1
D) 2xy = 1
13. Şekilde, f : R  R ye y = f (x) fonksiyonunun grafiği
verilmiştir. g (x) =  f
dxi
fonksiyonunun grafiği
aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
C)
D)
14.
+
=7
A) 3
E)
denklemini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır?
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
15. Yandaki şekilde, f (x) ve g (x) fonksiyonlarının grafikleri
verilmiştir. 1  x < 2 olmak üzere, f
kaçtır?
A) 3
D) 0
16.
B) 2
E)  2
R| 0
f ( x)  S8 x  2x
|| 0
T
,
3
değeri
C) 1
x   2 ise
,  2  x  2 ise
, x  2 ise
Yukarıda tanımlı f (x) parçalı fonksiyonunu aşağıdakilerden hangisi ile ifade edebiliriz?
A) f (x) = x ( x2  4 )  x3 + 4x
B) f (x) = x  2 x2  x3 + 4x
C) f (x) = x  2 x2  x3 + 4x
D) f (x) = 4  x 2 x + x3  4x
2
3
E) f (x) = x  4 x  x + 4x
17. f (x) =
vardır?
A) 10
8x
+
x3
fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde kaç tane tam sayı
B) 9
C) 8
D) 7
53
E) 6
d
18. f (x) = x . 2  x
i
A)
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
B)
C)
D)
E)
19.
Şekilde, f : R  R ye y = f (x) fonksiyonunun grafiği
verilmiştir. g (x) = 1  f ( x + 1) fonksiyonunun grafiği
aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
20. Şekilde, R den R ye
d
i
C)
D)
E)
y = f (x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
g (x) = f x  1 fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
C)
D)
E)
54
TEST 1 • C
1.
2.
f (x) = 2x  1 
3
x 2
2
A) 10
B) 8
LM
N
9
2
IJ
K
D)  6
FG
H
3
2
IJ
K
LM
N
C) 4 ,
B) [ 4 , 5 )
sgn (sinx) = 1 eşitliğinin
hangisidir?
A)  ,
4.
C) 6
E)  8
2x  1 = 7 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4 ,
3.
olduğuna göre, f ( 2) nin değeri kaçtır?
( 0 , 2 )
B) (  , 2 )
x  R olmak üzere
x2 .
9
2
IJ
K
D)
LM
N
E) 5 ,
IJ
K
11
2
aralığındaki en geniş çözüm aralığı aşağıdakilerden
C) ( 0 , 2 )
x
2
LM 9 , 5IJ
N2 K
D) ( 0 , )
E)
FG  , IJ
H2 K
= 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangi-
sidir?
A) {0 , 2}
1
1
x
5.
FG
H
1 1
A) 7 , 6
6.
B) (0 , 2]
=5
OP
Q
7.
LM
N
1 1
B) 7 , 6
IJ
K
FG
H
C)  ,
1
6
IJ
K
LM
N
IJ
K
1
D) 7 , 
E) [5 , 6)
denkleminin en geniş çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
B)  3 < x < 4
B) 15
f : R  { 0 }  R , f (x) =
A)
9.
E) [2 , 4)
C)  2 < x < 3
D)  2 < x < 0
E) x > 3
R den R ye tanımlı f (x) = 3 x  1 ve g (x) = x  2 + 3 fonksiyonları veriliyor. (gof) ( 7) değeri
kaçtır?
A) 12
8.
D) [0 , 2]
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
sgn (x2 + x + 6) = 1
A)  2 < x < 4
C) [0 , 2)
B)
sgn (x2  5x ) =  1 ise,
A) 6
B) 7
C) 25
x x
x
D) 27
E) 35
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
C)
D)
E)
x in alabileceği tam sayılar toplamı kaçtır?
C) 8
D) 9
49
E) 10
10.
x+2 +x
=8
A) [2 , 3)
11. x <
1
2
B) [3 , 4)
C) [4 , 5)
olmak üzere, f (x) = 1  x  1 x
A) f (x) = 0
12. f (x) =
denkleminin çözüm kümesi nedir?
B) f (x) =  2x
13.
B) [ 2 , 0]
=3
A) 32
E) [6 , 7)
fonksiyonu aşağıdakilerden hangisine eşittir?
C) f (x) = 2x
D) f (x) = 2x  2
E) f (x) = 2
fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
2 x2
A) [ 4 , 0]
D) [5 , 6)
C) [ 2 , 2]
D) [0 , 2]
E) [0 , 4]
denklemini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?
B) 40
C) 55
D) 60
E) 72
FG 5 IJ
H 2K
14. f (x) = 4  x2 + 2x  4 . sgn (1  2x) fonksiyonu veriliyor. Buna göre, f 
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
15. Yanda grafiği verilen fonksiyonunun
aşağıdakilerden hangisidir?
A) f (x) = (x  1) . sgnx
C) f (x) =
x 1
sgn( x  1)
değeri kaçtır?
E) 8
denklemi
B) f (x) =
sgn( x  1)
x 1
D) f (x) =
x1
sgn( x  1)
E) f (x) = (x + 1) . sgn (x + 1)
16. R den R ye tanımlı f (x) ve g (x)
fonksiyonları; f (x) = x  1  1 , g (x) = 2  x olarak
verilmiştir. Buna göre, (fog) (x) fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
C)
D)
E)
50
17. f (x) =
 x2  x  2
fonksiyonunun en geniş tanım aralığı nedir?
2 1
A) (0 , 2)
B) [0 , 2)
C) [0 , 2]
D) (0 , 2]
E) { 1}  [0 , 2]
18. f (x) = x . x  sgnx fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
C)
D)
E)
19. f : [  1 , 1 ]  R , f (x) = x . x
A)
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
B)
C)
D)
E)
20.
Yanda grafiği verilen bağıntının denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x = y
B) y = x
D) x = sgny
E) y = sgnx
51
C) x . y = 1
TEST 1 • D
1.
2.
f (x) =
x 2  4 x  4 . ( x 2  3 x)
fonksiyonu veriliyor.  2 < x < 0
( x 2  5 x  6)
aralıkta eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
2
2
A) x
B)  x
C) x + x
D) x  x
f (x) = x  2  x  3
A) 0
(x  3) x = 4
4.
A) 0
x3 = sgn (x3)
A) 0
5.
6.
5  x < 6 ise, f (x) = 3x + 1
değerleri toplamı kaçtır?
A) 25
B) 27
f (x) =
E) 4
E) 4
fonksiyonunun alabileceği en küçük ve en büyük tam sayı
C) 30
D) 32
E) 35
fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
x
2
B) (   , 6 )
C) (   , 7 )
D) [ 0 , 6 ]
E) ( 6 ,  )
B) 0  x < 1
C) 1  x < 2
D) 2  x < 3
E) 3  x < 4
< 2 eşitsizliğin sağlandığı aralığın uzunluğu kaç birimdir?
2
B) 2 2
C) 1
LM
MN
x < 9 olmak üzere sgn log 1
toplamı kaçtır?
A) 16
10.
E) 5
x  2 . x =  1 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A)
9.
D) 3
B) 1
C) 2
D) 3
denkleminin kaç tane reel kökü vardır?
B) 1
C) 2
D) 3
A)  1  x < 0
8.
C) 2
denkleminin çözüm kümesi kaç elemanlıdır?
A) (   , 5 )
7.
E) Tanımsız
fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun alabileceği en küçük değer kaçtır?
B) 1
3.
olmak üzere, f (x) in bu
B) 17
9
D) 2
FG x  3 IJ OP =  1
H 2 K PQ
E) 4
denklemini sağlayan
C) 19
D) 21
x
tam sayılarının
E) 25
x  1  2x  5 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (   , 2 )
11. f (x) = log(x2  x) +
A) [0 , 1]
B) (   , 1 )
 x 2  2x  3
B) [ 3 , 1]
C) (  2 ,  )
D) (  1 , 2 )
E) ( 1 , 5 )
fonksiyonunun tanım kümesi nedir?
C) (, 0)
D) [0, )
E) [3 , 0)
12.
Yanda grafiği verilen bağıntının denklemi
aşağıdakilerden hangisidir?
x
A) 2x . y = 1
B)
. y =1
2
C) x .
E)
52
x
2
y
2
= 2y
=1
D) 2xy = 1
13. Şekilde, f : R  R ye y = f (x) fonksiyonunun grafiği
verilmiştir. g (x) =  f
dxi
fonksiyonunun grafiği
aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
C)
D)
14.
+
=7
A) 3
E)
denklemini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır?
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
15. Yandaki şekilde, f (x) ve g (x) fonksiyonlarının grafikleri
verilmiştir. 1  x < 2 olmak üzere, f
kaçtır?
A) 3
D) 0
16.
B) 2
E)  2
R| 0
f ( x)  S8 x  2x
|| 0
T
,
3
değeri
C) 1
x   2 ise
,  2  x  2 ise
, x  2 ise
Yukarıda tanımlı f (x) parçalı fonksiyonunu aşağıdakilerden hangisi ile ifade edebiliriz?
A) f (x) = x ( x2  4 )  x3 + 4x
B) f (x) = x  2 x2  x3 + 4x
C) f (x) = x  2 x2  x3 + 4x
D) f (x) = 4  x 2 x + x3  4x
2
3
E) f (x) = x  4 x  x + 4x
17. f (x) =
vardır?
A) 10
8x
+
x3
fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde kaç tane tam sayı
B) 9
C) 8
D) 7
53
E) 6
d
18. f (x) = x . 2  x
i
A)
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
B)
C)
D)
E)
19.
Şekilde, f : R  R ye y = f (x) fonksiyonunun grafiği
verilmiştir. g (x) = 1  f ( x + 1) fonksiyonunun grafiği
aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
20. Şekilde, R den R ye
d
i
C)
D)
E)
y = f (x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
g (x) = f x  1 fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
C)
D)
E)
54
BÖLÜM
FONKSİYONLARIN
2
LİMİTİ
Bu bölümde, reel değişkenli ve reel değerli fonksiyonlarda limit kavramı incelenecektir. Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti;
1. Diziler yardımıyla,
2. Epsilon tekniği ile tanımlanabilir.
DİZİLER YARDIMI İLE LİMİT
Görüntüler Dizisi
Tanım : A  R olmak üzere, f : A  R fonksiyonu verilmiş olsun. Terimleri A kümesinin
elemanı olan bir (xn)
görüntü dizisi denir.
dizisi için,
bf (x )g
dizisine;
n
(xn)
dizisinin f fonksiyonuna göre
bf (x )g görüntü dizisi;
bf (x )g = bf (x ) , f (x ) , f (x ) , ... , f (x ) , ... g dir..
(xn) = (x1 , x2 , x3 , ... , xn , ...) dizisi için,
n
1
2
FG
H
Örnek : (xn) = 1 
a. (xn)
1
n
IJ
K
n
dizisi
ve
dizisinin limitini bulalım.
b f(x )g
c.
3
n
f (x) = 2x + 3 fonksiyonu veriliyor:
( lim ( x n ))
görüntüler dizisinin limitini bulalım.
n
b f(x )g
lim d f (x )i
b.
n
n 
FG 1  1 IJ = 1 dir..
H nK
F F 1 I I F 2 IJ
b. b f ( x )g = b2 ( x )  3g  G 2 G1  J  3J  G 5 
H H nK K H nK
F 2 IJ = 5 bulunur..
c. lim b f ( x )g = lim G 5 
H nK
Çözüm : a.
n 
n
görüntüler dizisini bulalım.
n
lim ( x n )  lim
n
n 
bulunur..
n
n
n
n 
Bir Fonksiyonunun Limiti
Tanım : A  R , a  A , L  R olmak üzere, f : A  R ya da f : A  {a}  R fonksiyonu
verilmiş olsun. Terimleri A  {a} kümesinde bulunan ve a ya yakınsayan her (x n) dizisi için,
b
g
f ( xn ) dizileri bir L sayısına yakınsıyorsa; x , a ya giderken f (x) in limiti L dir, denir
ve aşağıdaki biçimde gösterilir.
lim f (x)  L
xa
Bu tanım matematiksel sembollerle;
(xn)  A  {a}
ve (xn)  a için,
x  a
için,
b f(x )g  L
n
55
f
fonksiyonunun limiti,
ise, lim f(x)  L şeklinde gösterilir..
x a
Burada dikkat edilirse;
1. a, fonksiyonunun tanım kümesinin elemanı olmayabilir.
2. a ya yakınsayan (xn)
dizilerinin terimleri A  {a}
kümesinin elemanı olmalıdır.
Limitin Olmaması
Terimleri
A  {a}
kümesine ait ve
e j
lim f (xn)  lim f xn
Örnek :
ise,
f:R  R ,
Çözüm :
FG
H
a ya yakınsayan en az iki
x  a
için,
f (x) = 3x  4
f
(xn)
ex j

n
ve
fonksiyonunun limiti yoktur..
fonksiyonunun
x 1
için limitini bulalım.
Terimleri 1 den farklı ve 1 e yakınsayan iki dizi
IJ e j FG
K
H
y
IJ
K
1
1
, xn = 1 
dizilerinin f fonksiyonu ile
n
n
elde edilen görüntü dizilerinin limitlerini alalım.
n
n
n
n
ef e x jj
0

n
x
)
1
 4)  3  4   1 dir..
Örnek :
x  2
1
(
f xn
O hâlde, limiti 1 olan her (xn) dizisi için,
bf (x )g  (3x

n
)
bf (x )g  FGH 3 FGH1  n1 IJK  4IJK   1 , FH f (x )IK  FGH 3 FGH1 n1 IJK  4IJK   1 dir..
ex j
xn
(
seçelim. (x n ) = 1 
dizileri için,
için,
f : R  {2}  R , f ( x) 
f
Çözüm :
RS sgn(x  2) , x  2 ise
T 2x , x  2 ise
fonksiyonunun limitinin olup olmadığını belirtelim.
Terimleri
2 den
farklı ve
2 ye
yakınsayan iki dizi seçelim. Görüntü dizilerinin
limitlerini bulalım:
d
i e d ij   1 dir..
FH f (x )IK  FH 2x IK  4 tür..
i.
xn < 2 ve (xn)  2 için, f (x n )  sgn x n  2
ii.
(xn ) > 2 ve (xn )  2 için,
O hâlde,
2
n
n
e j
ı
(x n) ve xn
sayısına yakınsayan en az iki
olduğundan; x  2
için,
f
b
g
e
j
ı
dizileri için, lim f ( x n )  lim f ( xn )
fonksiyonunun limiti yoktur.
EPSİLON TEKNİĞİ İLE LİMİT
Tanım :
AR , f :A  R
x  a    f (x)  L  
yakınsarken f nin
limiti
bir fonksiyon
a  R , L  R ,
önermesine uyan
L dir,
denir ve
 a
bağlı    R +
lim f (x)  L
x a
  R + olmak üzere;
varsa
x,
a ya
biçiminde yazılır..
Bu tanımı şöyle açıklayabiliriz: x ler a nın  komşuluğunda iken f (x) ler
L reel sayısının 
komşuluğunda ise, yani x ler a sayısına yaklaşırken, x lerin ordinatları olan f (x) ler L reel sayısına
yaklaşıyorsa, “ x ler
a ya yakınsarken f (x) ler L ye yakınsar.” denir ve
gösterilir.
56
lim f (x)  L şeklinde
x a
Tanımı aşağıdaki şekiller üzerinde inceleyiniz.
Örnek :
f : R  R , f (x) = 2x  1
fonksiyonu veriliyor.
lim f ( x)  3 olduğunu, epsilon ()
x 2
tekniği ile gösterelim.
Çözüm :
> 0
> 0 için x  2    f ( x)  3  
x2 < 
önermesine uyan   0
bulmalıyız.
< x  2 < 
2< 2x  4 < 2
2< 2x  1  3 < 2
2< f (x)  3 < 2
 f ( x)  3 < 2

alınabilir.  > 0 için,
2
olduğundan tanıma göre, lim f ( x) = 3 olur..
O hâlde,



2
0
x 2
Örnek :
Çözüm :
x1  
lim 2x  4
olduğunu gösterelim.
x 1
 0

sayısı için,
2x  4  
x1  

 < x  1 < 

2 < 2x  2 < 2

22 < 2x  4 < 22

(2+ 2) < 2x  4 < 2+ 2

2 x  4 < 2+ 2

2x  4 < 
O hâlde,  = 2+ 2
O hâlde,  > 0
bulunamaz. Buna göre,
gerektirmesine uyan   0 sayısının bulunmadığını göstermeliyiz.
olup,
için;

2
2
x 1   
lim 2x  4
olur. Bu eşitlik ise,
2x  4 
tür..
x 1
57

0<<2
iken
önermesini gerçekleyen

negatif olur..
> 0
sayısı
SOLDAN VE SAĞDAN LİMİT
f : R  R ya da
f : R  {a}  R ye
y = f (x)
şeklinde tanımlı
f
fonksiyonunda:
Tanım 1 : x değerleri a dan küçük değerlerle artarak (soldan) a ya yaklaşırken, f (x)
ler de bir L 1 reel sayısına yaklaşıyorsa; L 1 reel sayısına, f fonksiyonunun a noktasındaki
soldan limiti denir ve lim f (x)  L1 biçiminde gösterilir..
x a 
Tanım 2 : x değerleri a dan büyük değerlerle azalarak (sağdan) a ya yaklaşırken
f (x) ler de bir L 2 reel sayısına yaklaşıyorsa; L 2 reel sayısına, f fonksiyonunun a noktasındaki sağdan limiti denir ve lim f (x)  L 2 biçiminde gösterilir..
x  a+

1. x  a yazılışı; x lerin a ya soldan yaklaştığını, yani daima x < a kaldığını belirtir.
2. x  a+ yazılışı; x lerin a ya sağdan yaklaştığını, yani daima x > a kaldığını belirtir.
Şekildeki grafiklerde, x in a ya soldan
ve sağdan yaklaşması durumunda, soldan ve sağdan limitleri görülmektedir.
Sonuçlar :
lim f ( x)  L 1 ve
xa

lim f ( x)  L 2
x a
1. L 1  L 2  L  R
ise,
için;

lim f ( x)  L dir.
2. L 1  L 2
xa
ise,
lim f ( x)
yoktur.
x a
Yukarıda verilen tanım ve sonuçları aşağıdaki grafiklerle açıklayalım.
y
y
y = f (x)
L
y
y = f (x)
f(a)
L
f(a) = L
x
a
y = f (x)
a
x
x
a
L1 = L2 = L olduğundan,
lim f (x) = L dir.
L1 = L2 = L olduğundan,
lim f (x) = L dir.
L1 = L2 = L olduğundan,
lim f (x) = L dir.
(f (a), tanımsızdır.)
(f (a), tanımlı olup
f (a)  L dir.)
(f (a), = L olup görüntü değeri
aynı olduğu görülür.)
xa
xa
y
xa
y
y
y = f (x)
f(a) = L2
y = f (x)
L2
f(a)
L1
L1
0
a
L1  L2 olduğundan,
lim f (x) yoktur.
xa
(f (a) = L2 dir.)
x
y = f (x)
L2
L1
0
a
L1  L2 olduğundan,
lim f (x) yoktur.
xa
(f (a),
tanımlıdır.)
58
x
0
a
L1  L2 olduğundan,
lim f (x) yoktur.
xa
(f (a),
tanımsızdır.)
x
Aralığının uç noktalarındaki limiti
A. f : [a , b]  R , y = f (x) fonksiyonunun tanım
aralığının uç noktalarındaki limiti araştırılırken;
i. a noktasındaki limit, sadece sağdan limitle belirlenir.
lim f (x) = lim f (x)  P  f (a) dır..
xa 
xa
ii. b noktasındaki limit, sadece soldan limitle belirlenir.
lim f (x) = lim f(x)  K  f (b) dir..
x b
xb
B. f : (a , b)  R , y = f (x) fonksiyonunun tanım
aralığının uç noktalarındaki limiti araştırılırken;
i. a noktasındaki limit, sadece sağdan limitle belirlenir.
lim f (x)  lim f (x) = P dir.
f (a) tanımsızdır..
x  a
xa
ii. b noktasındaki limit, sadece soldan limitle belirlenir.
lim f (x) = lim f (x) = K dır.
x b
f (b) tanımsızdır..
x b
Örnek : R  R , y = f (x) fonksiyonunun grafiği
yanda verilmiştir. x in  3 ,  2 ,  1 , 1, 2 ve 3
değerleri için fonksiyonun limitinin olup olmadığını araştıralım.
U|
V
f ( x)  0 |
W
Çözüm : a. lim f ( x)  1
x  3
lim
x  3


lim f ( x)  lim f ( x)
x  3

x 3

olduğundan, lim f ( x) yoktur..
x 3
b.
lim
x  2
c.

x 1

x 1
U|
V
f ( x)  2 |
W
x  2

x  2

x  2

lim f ( x)  lim f ( x) olduğundan, lim f ( x)  2 dir.

x 1

x 1
x 1
U|
V
f ( x)  1 |
W
 lim f ( x)  lim f ( x) olduğundan, lim f ( x)  1 dir.
U|
V
f ( x)  0 |
W
 lim f ( x)  lim f ( x) olduğundan, lim f ( x) yoktur.
U|
V
f ( x)  0 |
W
 lim f ( x)  lim f ( x) olduğundan, lim f ( x)  0 dır.

x 1

x 1
x 1
lim f ( x)  3
x 2

lim
x 2
f.

 lim f ( x)  lim f ( x) olduğundan, lim f ( x)  1 dir.
lim f ( x)  1

x 1
lim
e.

lim f ( x)  2

x 1
lim
d.
U|
V
f ( x)  1 |
W
lim f ( x)  1
x  2

x 2

x 2

x 2
lim f ( x)  0
x 3

lim
x 3

x 3

x 3

x 3
59
ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ
Bu bölümde, parçalı ve parçalı olarak yazılabilen mutlak değer, sgn ve tam kısım fonksiyonlarının
limitlerini inceleyeceğiz.
PARÇALI FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ
f ( x) 
RS g( x)
T h ( x)
, x  a ise
, x  a ise
fonksiyonu veril sin.
i. Kritik noktada , yani koşuldaki
incelenir.
lim f ( x)  lim g ( x)  L1

xa
( x  a)
xa

lim f ( x)  lim h ( x)  L 2

xa
( x  a)
xa

U|
|V
||
W
x=a
değerinde limit sorulursa, soldan ve sağdan limit
L1 ve L 2 ye göre cevaplama yapılır.
ii. Kritik nokta dışında limit sorulursa, o noktadaki fonksiyon dalı belirlenir. O dalın durumuna göre çalışma yapılır.
x1  a için
lim f ( x)  lim g ( x)
x xı
x2  a için
x xı
lim f ( x)  lim h ( x)
x x2
x x 2
Örnek : f : R  {1}  R
f ( x) 
RSx  1
T x1
, x  1 ise
, x  1 ise
fonksiyonunun; x = 1 , x =  2 ve x = 2 noktalarındaki limitini bulalım.
Çözüm :


x 1
lim f ( x)  lim


x 1
lim
x2
lim
x2


f ( x) 
U|
V
( x  1)  0 |
|W
lim f ( x)  lim (  x  1)  0
x 1
x 1
U|
V
( x  1)  3 |
W
olduğundan, lim f ( x)  0 dır.
x 1
lim (  x  1)  3
x2
f ( x) 
lim
x2


U|
V
f ( x)  lim ( x  1)  1 |
x 2
W
olduğundan, lim f ( x)  3 tür.
x2
lim f ( x)  lim ( x  1)  1
x 2

lim
x 2

x 2

olduğundan, lim f ( x)  1 dir.
x 2

MUTLAK DEĞERLİ FONKSİYONLARIN LİMİTİ
f :R  R ,
i. x = a
lim
x a
f ( x)
in bulunuşunda;
noktası kritik nokta
( f (a) = 0 )
ise, soldan ve sağdan limit incelenmelidir.
ii. Limit sorulan nokta kritik nokta değilse, ( f (a)  0 ) limit değeri ile görüntü değeri eşit
olacağından,
lim f (x)  f (a)
dır..
x a
2
x 4
Örnek : f : R  {  2 , 2}  R , f ( x) 
2 x
x = 4 noktalarında limitinin olup olmadığını araştıralım.
60
fonksiyonunun; x =  2 , x = 0 , x = 2 ve
Çözüm : f (x) fonksiyonunu tablo yardımıyla parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.
R| x  2
| x2
f ( x)  S
|| x  2
T x2
,
,
,
,
x  2
2 x  0
0x2
x2
ise
ise
ise
ise
U|
V olduğundan, lim f(x) yoktur.
lim f ( x)  lim (  x  2)  4 |
|W
lim f ( x)  lim (  x  2)  2 U
| olduğundan, lim f( x)  2 dir.
V
lim f ( x)  lim ( x  2)  2 |
|W
lim f ( x)  lim ( x  2)  4 U
| olduğundan, lim f(x) yoktur.
V
lim f ( x)  lim (  x  2)   4 |
|W
a.
lim
b.
c.
x  2

x  2
f ( x) 
lim
x  2


x  2

x 0

x 0

x 0

x 0

x 2

x 2

x 2

x 2

( x  2)   4
x  2
x 0
x 2
2
x 4
d.
lim
x 4
12
  6 bulunur.
2
 f (4) 
2 x
İŞARET (sgn) FONKSİYONUNUN LİMİTİ
f : R  R , lim sgn f (x) nın bulunuşunda;
x a
i. x = a noktası kritik nokta f (a)  0
ise, bu noktalarda soldan ve sağdan limit incelenme-
lidir.
lim sgn f ( x)  L1 ve
x a

lim sgn f ( x)  L 2 olsun.
x a
Eğer L1 = L2 ise,

lim sgn f ( x)  L 1  L 2 dir..
x a
Eğer L1  L2 ise,
lim sgn f ( x) yoktur..
x a
ii. Limiti sorulan nokta kritik nokta değilse
olacağından,
bf (a)  0g ,
limit değeri ile görüntü değeri eşit
lim sgn f ( x)  sgn f ( a) dır.
x a
Örnek : f : R  R , f (x) = sgn (x  3)2 fonksiyonunun, x = 3 ve x = 2 noktalarındaki limitinin
olup olmadığını araştıralım.
Çözüm :
U|
V
lim (1)  1 |
|W
lim f ( x)  lim (1)  1
x 3

lim f ( x) 
x 3

x 3

x 3

olduğundan,
2
lim f ( x)  f ( 2)  lim sgn( x  3 )  1 dir.
x 2
x 2
61
lim f ( x)  1 dir.
x 3
Örnek : f : R  R , f (x) = sgn (x  3) fonksiyonunun; x = 3 noktasındaki limitini araştıralım.
Çözüm :
U|
V olduğundan,
1|
|W
lim f ( x)  lim ( 1)   1
x 3

x 3

lim f ( x)  lim ( 1) 
x 3

x 3

lim f ( x) yoktur.
x 3
f : R  {3}  R , f (x) = x  2  sgn( x  3)  x 2
noktalarında limitinin olup olmadığını araştıralım.
Örnek :
x=4
Çözüm :
x
2

3
fonksiyonunun x = 2 , x = 3 ve

x2
tablodan faydalanarak;
x3
f(x)
a.
2
2
x x + 1
U|
|V
lim ( x  x  3)  4  2  3  3 |
|W
lim ( x  x  3)  9  3  3  9 U
||
V
lim ( x  x  1)  9  3  1  11 |
|W
2

2
x 2
olduğundan, lim f ( x)  3 tür.
x 2

2
x 3

2
x 3
c.
x +x  1
lim ( x  x  1)  4  2  1  3
x 2
b.
2
x +x3
olduğundan, lim f ( x) yoktur.
x 3

lim f ( x)  f ( 4 )  2  1  16  19 bulunur..
x 4
Örnek : Şekilde grafiği verilen f (x) fonksiyonu için;
a. sgn f (x) in grafiğini çizelim. b. lim sgn f (x)
x  1
c.
d.
lim sgn f (x)
x 3
e.
lim sgn f (x)
lim sgn f (x)
x 4
ifadelerinin eşitlerini bulalım.
x  2
Çözüm :
b.
a.
lim sgn f ( x) 

x1
lim sgn f ( x) 

x1
c.
lim sgn f ( x) 
x 3

lim sgn f ( x) 
x 3

U|
V
1|
|W
lim ( 1)   1

x 1
lim ( 1) 

x 1
U|
V
(1)  1 |
|W
d. lim sgn f (x) = 1 dir..
x 4
olduğundan, lim f ( x) yoktur.
x 1
lim (1)  1
x 3
lim
x 3


e.
olduğundan, lim f ( x)  1 dir.
x 3
62
lim sgn f (x) =  1 dir..
x  2
TAM KISIM FONKSİYONUNUN LİMİTİ
f : R  R , lim
f (x)
in bulunuşunda;
xa
i. x = a için f (a) Z ise, soldan ve sağdan limit incelenir.
Soldan limit incelenirken, x < a olduğundan, yani h =  > 0 olmak üzere, x = a  h yazabiliriz.
Sonra h  0 için limitini alabiliriz.
Sağdan limit incelenirken, x > a olduğundan, yani h =  > 0 olmak üzere, x = a + h yazabiliriz.
Sonra h  0 için limitini alabiliriz.
Eğer
L1 = L2 = L

Eğer
L1  L2

ii. x = a için
lim
x a
f (x) = f (a)
lim
f (x)
= L dir..
lim
f (x)
yoktur..
x a
x a
f (a)  Z ise, limit değeri ile görüntü değeri eşit olacağından;
dır..
Örnek : f (x) = 2x  1 fonksiyonunun x =
araştıralım.
Çözüm : a. x =
1
3
ve x =
noktalarında limitlerinin olup olmadığını
2
5
FG IJ
HK
1
1
için, 2x  1 = 2
 1 = 0 Z olduğundan fonksiyonun soldan ve sağdan
2
2
limitini inceleyelim:
Soldan limit incelenirken, x <
1
1
olduğundan, yani h =  > 0 olmak üzere, x =  h yazalım ve
2
2
h  0 için limitini alalım.
Sağdan limit incelenirken, x >
1
1
olduğundan, yani h =  > 0 olmak üzere, x = + h yazalım ve
2
2
h  0 için limitini alalım.
x=
1
noktasında soldan ve sağdan limitler farklı olduğundan;
2
b. x 
O hâlde,
3
5
lim
x
lim f ( x) yoktur..
x
1
2
FG 3 IJ  1 = 1 Z olduğundan, limit değeri ile, görüntü değeri eşit olur..
H 5K 5
F 3I
6
F 3I
f ( x)  f G J =  2 G J  1 =
 1 = 1  1 = 0 olur..
H 5K
H 5K
5
için , 2x  1 = 2
3
5
Örnek : f : R  R , f (x) = (x  2)2 fonksiyonunun, x = 2 noktasındaki limitini bulalım.
Çözüm : x = 2 için (x  2) = (2  2)2 = 0 Z için, soldan ve sağdan limit inceleyelim:

x = 2 noktasında soldan ve sağdan limitler
eşit olduğundan, lim f ( x)  0 dır.
x 2
63
Örnek : f : R  Z , f (x) =  cosx
fonksiyonunun;
x

3
,
x

2
ve x =  noktala-
rındaki limitlerini araştıralım.
Çözüm : a. x 
lim f ( x)  f

x
3
b. x 
FG  IJ =
H 3K

2

3
 cos
için  cos

3
için  cos
=

Z
2

1
2

3
Z olup, limit değeri ile görüntü değeri eşit olacağından;
=1
bulunur..
olup, soldan ve sağdan limitleri bulalım:
Soldan ve sağdan limitler farklı olduğundan,
lim f ( x)
x

2
yoktur..
c. x =  için  cos Z olup, soldan ve sağdan limitleri inceleyelim:
O hâlde,
lim f ( x)  lim f ( x)  0
x 

x 

olduğundan,
64
lim f ( x)  0 bulunur.
x 
BÖLÜM
FONKSİYONLARIN
2
LİMİTİ
Bu bölümde, reel değişkenli ve reel değerli fonksiyonlarda limit kavramı incelenecektir. Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti;
1. Diziler yardımıyla,
2. Epsilon tekniği ile tanımlanabilir.
DİZİLER YARDIMI İLE LİMİT
Görüntüler Dizisi
Tanım : A  R olmak üzere, f : A  R fonksiyonu verilmiş olsun. Terimleri A kümesinin
elemanı olan bir (xn)
görüntü dizisi denir.
dizisi için,
bf (x )g
dizisine;
n
(xn)
dizisinin f fonksiyonuna göre
bf (x )g görüntü dizisi;
bf (x )g = bf (x ) , f (x ) , f (x ) , ... , f (x ) , ... g dir..
(xn) = (x1 , x2 , x3 , ... , xn , ...) dizisi için,
n
1
2
FG
H
Örnek : (xn) = 1 
a. (xn)
1
n
IJ
K
n
dizisi
ve
dizisinin limitini bulalım.
b f(x )g
c.
3
n
f (x) = 2x + 3 fonksiyonu veriliyor:
( lim ( x n ))
görüntüler dizisinin limitini bulalım.
n
b f(x )g
lim d f (x )i
b.
n
n 
FG 1  1 IJ = 1 dir..
H nK
F F 1 I I F 2 IJ
b. b f ( x )g = b2 ( x )  3g  G 2 G1  J  3J  G 5 
H H nK K H nK
F 2 IJ = 5 bulunur..
c. lim b f ( x )g = lim G 5 
H nK
Çözüm : a.
n 
n
görüntüler dizisini bulalım.
n
lim ( x n )  lim
n
n 
bulunur..
n
n
n
n 
Bir Fonksiyonunun Limiti
Tanım : A  R , a  A , L  R olmak üzere, f : A  R ya da f : A  {a}  R fonksiyonu
verilmiş olsun. Terimleri A  {a} kümesinde bulunan ve a ya yakınsayan her (x n) dizisi için,
b
g
f ( xn ) dizileri bir L sayısına yakınsıyorsa; x , a ya giderken f (x) in limiti L dir, denir
ve aşağıdaki biçimde gösterilir.
lim f (x)  L
xa
Bu tanım matematiksel sembollerle;
(xn)  A  {a}
ve (xn)  a için,
x  a
için,
b f(x )g  L
n
55
f
fonksiyonunun limiti,
ise, lim f(x)  L şeklinde gösterilir..
x a
Burada dikkat edilirse;
1. a, fonksiyonunun tanım kümesinin elemanı olmayabilir.
2. a ya yakınsayan (xn)
dizilerinin terimleri A  {a}
kümesinin elemanı olmalıdır.
Limitin Olmaması
Terimleri
A  {a}
kümesine ait ve
e j
lim f (xn)  lim f xn
Örnek :
ise,
f:R  R ,
Çözüm :
FG
H
a ya yakınsayan en az iki
x  a
için,
f (x) = 3x  4
f
(xn)
ex j

n
ve
fonksiyonunun limiti yoktur..
fonksiyonunun
x 1
için limitini bulalım.
Terimleri 1 den farklı ve 1 e yakınsayan iki dizi
IJ e j FG
K
H
y
IJ
K
1
1
, xn = 1 
dizilerinin f fonksiyonu ile
n
n
elde edilen görüntü dizilerinin limitlerini alalım.
n
n
n
n
ef e x jj
0

n
x
)
1
 4)  3  4   1 dir..
Örnek :
x  2
1
(
f xn
O hâlde, limiti 1 olan her (xn) dizisi için,
bf (x )g  (3x

n
)
bf (x )g  FGH 3 FGH1  n1 IJK  4IJK   1 , FH f (x )IK  FGH 3 FGH1 n1 IJK  4IJK   1 dir..
ex j
xn
(
seçelim. (x n ) = 1 
dizileri için,
için,
f : R  {2}  R , f ( x) 
f
Çözüm :
RS sgn(x  2) , x  2 ise
T 2x , x  2 ise
fonksiyonunun limitinin olup olmadığını belirtelim.
Terimleri
2 den
farklı ve
2 ye
yakınsayan iki dizi seçelim. Görüntü dizilerinin
limitlerini bulalım:
d
i e d ij   1 dir..
FH f (x )IK  FH 2x IK  4 tür..
i.
xn < 2 ve (xn)  2 için, f (x n )  sgn x n  2
ii.
(xn ) > 2 ve (xn )  2 için,
O hâlde,
2
n
n
e j
ı
(x n) ve xn
sayısına yakınsayan en az iki
olduğundan; x  2
için,
f
b
g
e
j
ı
dizileri için, lim f ( x n )  lim f ( xn )
fonksiyonunun limiti yoktur.
EPSİLON TEKNİĞİ İLE LİMİT
Tanım :
AR , f :A  R
x  a    f (x)  L  
yakınsarken f nin
limiti
bir fonksiyon
a  R , L  R ,
önermesine uyan
L dir,
denir ve
 a
bağlı    R +
lim f (x)  L
x a
  R + olmak üzere;
varsa
x,
a ya
biçiminde yazılır..
Bu tanımı şöyle açıklayabiliriz: x ler a nın  komşuluğunda iken f (x) ler
L reel sayısının 
komşuluğunda ise, yani x ler a sayısına yaklaşırken, x lerin ordinatları olan f (x) ler L reel sayısına
yaklaşıyorsa, “ x ler
a ya yakınsarken f (x) ler L ye yakınsar.” denir ve
gösterilir.
56
lim f (x)  L şeklinde
x a
Tanımı aşağıdaki şekiller üzerinde inceleyiniz.
Örnek :
f : R  R , f (x) = 2x  1
fonksiyonu veriliyor.
lim f ( x)  3 olduğunu, epsilon ()
x 2
tekniği ile gösterelim.
Çözüm :
> 0
> 0 için x  2    f ( x)  3  
x2 < 
önermesine uyan   0
bulmalıyız.
< x  2 < 
2< 2x  4 < 2
2< 2x  1  3 < 2
2< f (x)  3 < 2
 f ( x)  3 < 2

alınabilir.  > 0 için,
2
olduğundan tanıma göre, lim f ( x) = 3 olur..
O hâlde,



2
0
x 2
Örnek :
Çözüm :
x1  
lim 2x  4
olduğunu gösterelim.
x 1
 0

sayısı için,
2x  4  
x1  

 < x  1 < 

2 < 2x  2 < 2

22 < 2x  4 < 22

(2+ 2) < 2x  4 < 2+ 2

2 x  4 < 2+ 2

2x  4 < 
O hâlde,  = 2+ 2
O hâlde,  > 0
bulunamaz. Buna göre,
gerektirmesine uyan   0 sayısının bulunmadığını göstermeliyiz.
olup,
için;

2
2
x 1   
lim 2x  4
olur. Bu eşitlik ise,
2x  4 
tür..
x 1
57

0<<2
iken
önermesini gerçekleyen

negatif olur..
> 0
sayısı
SOLDAN VE SAĞDAN LİMİT
f : R  R ya da
f : R  {a}  R ye
y = f (x)
şeklinde tanımlı
f
fonksiyonunda:
Tanım 1 : x değerleri a dan küçük değerlerle artarak (soldan) a ya yaklaşırken, f (x)
ler de bir L 1 reel sayısına yaklaşıyorsa; L 1 reel sayısına, f fonksiyonunun a noktasındaki
soldan limiti denir ve lim f (x)  L1 biçiminde gösterilir..
x a 
Tanım 2 : x değerleri a dan büyük değerlerle azalarak (sağdan) a ya yaklaşırken
f (x) ler de bir L 2 reel sayısına yaklaşıyorsa; L 2 reel sayısına, f fonksiyonunun a noktasındaki sağdan limiti denir ve lim f (x)  L 2 biçiminde gösterilir..
x  a+

1. x  a yazılışı; x lerin a ya soldan yaklaştığını, yani daima x < a kaldığını belirtir.
2. x  a+ yazılışı; x lerin a ya sağdan yaklaştığını, yani daima x > a kaldığını belirtir.
Şekildeki grafiklerde, x in a ya soldan
ve sağdan yaklaşması durumunda, soldan ve sağdan limitleri görülmektedir.
Sonuçlar :
lim f ( x)  L 1 ve
xa

lim f ( x)  L 2
x a
1. L 1  L 2  L  R
ise,
için;

lim f ( x)  L dir.
2. L 1  L 2
xa
ise,
lim f ( x)
yoktur.
x a
Yukarıda verilen tanım ve sonuçları aşağıdaki grafiklerle açıklayalım.
y
y
y = f (x)
L
y
y = f (x)
f(a)
L
f(a) = L
x
a
y = f (x)
a
x
x
a
L1 = L2 = L olduğundan,
lim f (x) = L dir.
L1 = L2 = L olduğundan,
lim f (x) = L dir.
L1 = L2 = L olduğundan,
lim f (x) = L dir.
(f (a), tanımsızdır.)
(f (a), tanımlı olup
f (a)  L dir.)
(f (a), = L olup görüntü değeri
aynı olduğu görülür.)
xa
xa
y
xa
y
y
y = f (x)
f(a) = L2
y = f (x)
L2
f(a)
L1
L1
0
a
L1  L2 olduğundan,
lim f (x) yoktur.
xa
(f (a) = L2 dir.)
x
y = f (x)
L2
L1
0
a
L1  L2 olduğundan,
lim f (x) yoktur.
xa
(f (a),
tanımlıdır.)
58
x
0
a
L1  L2 olduğundan,
lim f (x) yoktur.
xa
(f (a),
tanımsızdır.)
x
Aralığının uç noktalarındaki limiti
A. f : [a , b]  R , y = f (x) fonksiyonunun tanım
aralığının uç noktalarındaki limiti araştırılırken;
i. a noktasındaki limit, sadece sağdan limitle belirlenir.
lim f (x) = lim f (x)  P  f (a) dır..
xa 
xa
ii. b noktasındaki limit, sadece soldan limitle belirlenir.
lim f (x) = lim f(x)  K  f (b) dir..
x b
xb
B. f : (a , b)  R , y = f (x) fonksiyonunun tanım
aralığının uç noktalarındaki limiti araştırılırken;
i. a noktasındaki limit, sadece sağdan limitle belirlenir.
lim f (x)  lim f (x) = P dir.
f (a) tanımsızdır..
x  a
xa
ii. b noktasındaki limit, sadece soldan limitle belirlenir.
lim f (x) = lim f (x) = K dır.
x b
f (b) tanımsızdır..
x b
Örnek : R  R , y = f (x) fonksiyonunun grafiği
yanda verilmiştir. x in  3 ,  2 ,  1 , 1, 2 ve 3
değerleri için fonksiyonun limitinin olup olmadığını araştıralım.
U|
V
f ( x)  0 |
W
Çözüm : a. lim f ( x)  1
x  3
lim
x  3


lim f ( x)  lim f ( x)
x  3

x 3

olduğundan, lim f ( x) yoktur..
x 3
b.
lim
x  2
c.

x 1

x 1
U|
V
f ( x)  2 |
W
x  2

x  2

x  2

lim f ( x)  lim f ( x) olduğundan, lim f ( x)  2 dir.

x 1

x 1
x 1
U|
V
f ( x)  1 |
W
 lim f ( x)  lim f ( x) olduğundan, lim f ( x)  1 dir.
U|
V
f ( x)  0 |
W
 lim f ( x)  lim f ( x) olduğundan, lim f ( x) yoktur.
U|
V
f ( x)  0 |
W
 lim f ( x)  lim f ( x) olduğundan, lim f ( x)  0 dır.

x 1

x 1
x 1
lim f ( x)  3
x 2

lim
x 2
f.

 lim f ( x)  lim f ( x) olduğundan, lim f ( x)  1 dir.
lim f ( x)  1

x 1
lim
e.

lim f ( x)  2

x 1
lim
d.
U|
V
f ( x)  1 |
W
lim f ( x)  1
x  2

x 2

x 2

x 2
lim f ( x)  0
x 3

lim
x 3

x 3

x 3

x 3
59
ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ
Bu bölümde, parçalı ve parçalı olarak yazılabilen mutlak değer, sgn ve tam kısım fonksiyonlarının
limitlerini inceleyeceğiz.
PARÇALI FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ
f ( x) 
RS g( x)
T h ( x)
, x  a ise
, x  a ise
fonksiyonu veril sin.
i. Kritik noktada , yani koşuldaki
incelenir.
lim f ( x)  lim g ( x)  L1

xa
( x  a)
xa

lim f ( x)  lim h ( x)  L 2

xa
( x  a)
xa

U|
|V
||
W
x=a
değerinde limit sorulursa, soldan ve sağdan limit
L1 ve L 2 ye göre cevaplama yapılır.
ii. Kritik nokta dışında limit sorulursa, o noktadaki fonksiyon dalı belirlenir. O dalın durumuna göre çalışma yapılır.
x1  a için
lim f ( x)  lim g ( x)
x xı
x2  a için
x xı
lim f ( x)  lim h ( x)
x x2
x x 2
Örnek : f : R  {1}  R
f ( x) 
RSx  1
T x1
, x  1 ise
, x  1 ise
fonksiyonunun; x = 1 , x =  2 ve x = 2 noktalarındaki limitini bulalım.
Çözüm :


x 1
lim f ( x)  lim


x 1
lim
x2
lim
x2


f ( x) 
U|
V
( x  1)  0 |
|W
lim f ( x)  lim (  x  1)  0
x 1
x 1
U|
V
( x  1)  3 |
W
olduğundan, lim f ( x)  0 dır.
x 1
lim (  x  1)  3
x2
f ( x) 
lim
x2


U|
V
f ( x)  lim ( x  1)  1 |
x 2
W
olduğundan, lim f ( x)  3 tür.
x2
lim f ( x)  lim ( x  1)  1
x 2

lim
x 2

x 2

olduğundan, lim f ( x)  1 dir.
x 2

MUTLAK DEĞERLİ FONKSİYONLARIN LİMİTİ
f :R  R ,
i. x = a
lim
x a
f ( x)
in bulunuşunda;
noktası kritik nokta
( f (a) = 0 )
ise, soldan ve sağdan limit incelenmelidir.
ii. Limit sorulan nokta kritik nokta değilse, ( f (a)  0 ) limit değeri ile görüntü değeri eşit
olacağından,
lim f (x)  f (a)
dır..
x a
2
x 4
Örnek : f : R  {  2 , 2}  R , f ( x) 
2 x
x = 4 noktalarında limitinin olup olmadığını araştıralım.
60
fonksiyonunun; x =  2 , x = 0 , x = 2 ve
Çözüm : f (x) fonksiyonunu tablo yardımıyla parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.
R| x  2
| x2
f ( x)  S
|| x  2
T x2
,
,
,
,
x  2
2 x  0
0x2
x2
ise
ise
ise
ise
U|
V olduğundan, lim f(x) yoktur.
lim f ( x)  lim (  x  2)  4 |
|W
lim f ( x)  lim (  x  2)  2 U
| olduğundan, lim f( x)  2 dir.
V
lim f ( x)  lim ( x  2)  2 |
|W
lim f ( x)  lim ( x  2)  4 U
| olduğundan, lim f(x) yoktur.
V
lim f ( x)  lim (  x  2)   4 |
|W
a.
lim
b.
c.
x  2

x  2
f ( x) 
lim
x  2


x  2

x 0

x 0

x 0

x 0

x 2

x 2

x 2

x 2

( x  2)   4
x  2
x 0
x 2
2
x 4
d.
lim
x 4
12
  6 bulunur.
2
 f (4) 
2 x
İŞARET (sgn) FONKSİYONUNUN LİMİTİ
f : R  R , lim sgn f (x) nın bulunuşunda;
x a
i. x = a noktası kritik nokta f (a)  0
ise, bu noktalarda soldan ve sağdan limit incelenme-
lidir.
lim sgn f ( x)  L1 ve
x a

lim sgn f ( x)  L 2 olsun.
x a
Eğer L1 = L2 ise,

lim sgn f ( x)  L 1  L 2 dir..
x a
Eğer L1  L2 ise,
lim sgn f ( x) yoktur..
x a
ii. Limiti sorulan nokta kritik nokta değilse
olacağından,
bf (a)  0g ,
limit değeri ile görüntü değeri eşit
lim sgn f ( x)  sgn f ( a) dır.
x a
Örnek : f : R  R , f (x) = sgn (x  3)2 fonksiyonunun, x = 3 ve x = 2 noktalarındaki limitinin
olup olmadığını araştıralım.
Çözüm :
U|
V
lim (1)  1 |
|W
lim f ( x)  lim (1)  1
x 3

lim f ( x) 
x 3

x 3

x 3

olduğundan,
2
lim f ( x)  f ( 2)  lim sgn( x  3 )  1 dir.
x 2
x 2
61
lim f ( x)  1 dir.
x 3
Örnek : f : R  R , f (x) = sgn (x  3) fonksiyonunun; x = 3 noktasındaki limitini araştıralım.
Çözüm :
U|
V olduğundan,
1|
|W
lim f ( x)  lim ( 1)   1
x 3

x 3

lim f ( x)  lim ( 1) 
x 3

x 3

lim f ( x) yoktur.
x 3
f : R  {3}  R , f (x) = x  2  sgn( x  3)  x 2
noktalarında limitinin olup olmadığını araştıralım.
Örnek :
x=4
Çözüm :
x
2

3
fonksiyonunun x = 2 , x = 3 ve

x2
tablodan faydalanarak;
x3
f(x)
a.
2
2
x x + 1
U|
|V
lim ( x  x  3)  4  2  3  3 |
|W
lim ( x  x  3)  9  3  3  9 U
||
V
lim ( x  x  1)  9  3  1  11 |
|W
2

2
x 2
olduğundan, lim f ( x)  3 tür.
x 2

2
x 3

2
x 3
c.
x +x  1
lim ( x  x  1)  4  2  1  3
x 2
b.
2
x +x3
olduğundan, lim f ( x) yoktur.
x 3

lim f ( x)  f ( 4 )  2  1  16  19 bulunur..
x 4
Örnek : Şekilde grafiği verilen f (x) fonksiyonu için;
a. sgn f (x) in grafiğini çizelim. b. lim sgn f (x)
x  1
c.
d.
lim sgn f (x)
x 3
e.
lim sgn f (x)
lim sgn f (x)
x 4
ifadelerinin eşitlerini bulalım.
x  2
Çözüm :
b.
a.
lim sgn f ( x) 

x1
lim sgn f ( x) 

x1
c.
lim sgn f ( x) 
x 3

lim sgn f ( x) 
x 3

U|
V
1|
|W
lim ( 1)   1

x 1
lim ( 1) 

x 1
U|
V
(1)  1 |
|W
d. lim sgn f (x) = 1 dir..
x 4
olduğundan, lim f ( x) yoktur.
x 1
lim (1)  1
x 3
lim
x 3


e.
olduğundan, lim f ( x)  1 dir.
x 3
62
lim sgn f (x) =  1 dir..
x  2
TAM KISIM FONKSİYONUNUN LİMİTİ
f : R  R , lim
f (x)
in bulunuşunda;
xa
i. x = a için f (a) Z ise, soldan ve sağdan limit incelenir.
Soldan limit incelenirken, x < a olduğundan, yani h =  > 0 olmak üzere, x = a  h yazabiliriz.
Sonra h  0 için limitini alabiliriz.
Sağdan limit incelenirken, x > a olduğundan, yani h =  > 0 olmak üzere, x = a + h yazabiliriz.
Sonra h  0 için limitini alabiliriz.
Eğer
L1 = L2 = L

Eğer
L1  L2

ii. x = a için
lim
x a
f (x) = f (a)
lim
f (x)
= L dir..
lim
f (x)
yoktur..
x a
x a
f (a)  Z ise, limit değeri ile görüntü değeri eşit olacağından;
dır..
Örnek : f (x) = 2x  1 fonksiyonunun x =
araştıralım.
Çözüm : a. x =
1
3
ve x =
noktalarında limitlerinin olup olmadığını
2
5
FG IJ
HK
1
1
için, 2x  1 = 2
 1 = 0 Z olduğundan fonksiyonun soldan ve sağdan
2
2
limitini inceleyelim:
Soldan limit incelenirken, x <
1
1
olduğundan, yani h =  > 0 olmak üzere, x =  h yazalım ve
2
2
h  0 için limitini alalım.
Sağdan limit incelenirken, x >
1
1
olduğundan, yani h =  > 0 olmak üzere, x = + h yazalım ve
2
2
h  0 için limitini alalım.
x=
1
noktasında soldan ve sağdan limitler farklı olduğundan;
2
b. x 
O hâlde,
3
5
lim
x
lim f ( x) yoktur..
x
1
2
FG 3 IJ  1 = 1 Z olduğundan, limit değeri ile, görüntü değeri eşit olur..
H 5K 5
F 3I
6
F 3I
f ( x)  f G J =  2 G J  1 =
 1 = 1  1 = 0 olur..
H 5K
H 5K
5
için , 2x  1 = 2
3
5
Örnek : f : R  R , f (x) = (x  2)2 fonksiyonunun, x = 2 noktasındaki limitini bulalım.
Çözüm : x = 2 için (x  2) = (2  2)2 = 0 Z için, soldan ve sağdan limit inceleyelim:

x = 2 noktasında soldan ve sağdan limitler
eşit olduğundan, lim f ( x)  0 dır.
x 2
63
Örnek : f : R  Z , f (x) =  cosx
fonksiyonunun;
x

3
,
x

2
ve x =  noktala-
rındaki limitlerini araştıralım.
Çözüm : a. x 
lim f ( x)  f

x
3
b. x 
FG  IJ =
H 3K

2

3
 cos
için  cos

3
için  cos
=

Z
2

1
2

3
Z olup, limit değeri ile görüntü değeri eşit olacağından;
=1
bulunur..
olup, soldan ve sağdan limitleri bulalım:
Soldan ve sağdan limitler farklı olduğundan,
lim f ( x)
x

2
yoktur..
c. x =  için  cos Z olup, soldan ve sağdan limitleri inceleyelim:
O hâlde,
lim f ( x)  lim f ( x)  0
x 

x 

olduğundan,
64
lim f ( x)  0 bulunur.
x 
SONSUZ İÇİN LİMİT
Tanım : f : (x0 , +  )  R bir fonksiyon olsun. Terimleri (x0 , +  ) aralığında bulunan
ve +  a ıraksayan her (xn) dizisi için,
lim f (x n )  L ise; x  +  için, f nin
n  
limiti
L dir, denir ve
limiti
g
biçiminde gösterilir..
lim f (x)  L
x
f : ( , x0)  R bir fonksiyon olsun. Terimleri
Aynı şekilde
ve  a
b
ıraksayan her
K dır, denir ve
(x )
dizisi için,
n
lim
n  
b f (x )g  K
n
( , x0 )
aralığında bulunan
x 
ise;
için,
f nin
biçiminde gösterilir..
lim f (x)  K
x
Bu tanıma göre, aşağıdaki grafikleri inceleyiniz.
Örnek :
R| 1
f (x) = S x
|T 3
f:R  R ,
fonksiyonu veriliyor:
a.
lim f (x)
b.
x  
Çözüm :
lim f (x) 
x  
lim f (x) 
(xn)
n  
dizisi için,
n
, x0
ise
ifadelerinin eşitini bulalım.
lim f (x)
x  
n 
F 1I 
 GH x JK
n
1
olsun.
F 1I 
GH x JK
 0 dır..
n
n 
n
1

olsun.
 0 dır..

lim (x ) =  
lim f (xn ) = lim
n 
lim (x n) = + 
dizisi için,
lim f (xn ) = lim
b. (x )
x  
a.
, x  0 ise
SONSUZ LİMİT
Tanım : A R ve a  A olmak üzere, f : A  R ya da f : A  {a}  R fonksiyonu
için, terimleri;
1.
bf (x )g
n
A  {a}
 
kümesine ait ve
ise,
a
sayısına yakınsayan
lim f (x)    dur.
xa
65
2.
bf (x )g
n
 
(xn)
ise,
dizisi için, (xn  0):
lim f (x)    dur.
xa
Bu tanıma göre, aşağıdaki grafikleri inceleyiniz.
P(x)
fonksiyonunun paydasını
Q (x)
değerlerinde limit sorulursa, soldan ve sağdan limit incelemesi yapılmalıdır.
P (x) ve Q (x) polinom fonksiyonu olmak üzere, f (x) =
sıfır yapan
x
Örnek : a. lim
x3
3 x  1
x3
b.
3x  5
lim
x3
değerlerini bulalım.
( x  3) 2
FG 3x  1IJ  lim 3 (3  h)  1  lim  8  3h   
H x3 K
3 h3
h
F  3x  1IJ  lim 3 (3  h)  1  lim  8  3h   
lim G
H x3 K
3 h3
h
F 3 x  1IJ
x = 3 noktasında soldan ve sağdan limitler farklı olduğundan, lim G
H x3 K
F 3x  5 I  lim 3 (3  h)  5  lim 4  3h   
lim G
b.

H (x  3) JK
( 3  h  3)
h
F 3 x  5 I  lim 3 (3  h)  5  lim 4  3h   
lim G

H (x  3) JK
(3  h  3 )
h
Çözüm :
a.
lim

h0
h0

h0
h 0
x3
x3
x3
x3
2
2
x3
2
h 0
2
h 0
2
h0
2
h0
x = 3 noktasında soldan ve sağdan limitler aynı olduğundan,
Örnek : f (x) =
1
1
5x
3
a.

Çözüm : a.
lim f (x) değerini bulalım.
x 0
lim
x0
lim
3x  5
x3
( x  3) 2
= 
bulunur..
fonksiyonu veriliyor:
lim f (x) değerini bulalım. b.
x 0
yoktur..
1
+
35
1
x
 lim

x 0
1
h0
35
c. lim f (x) değerini bulalım.
1
0 h

66
1
35


1
1

0
3

bulunur..
1
lim
b.
x0

35
c.
1
 lim
1
x
35
lim f (x)  lim f (x)
x  0+
x  0
1
x
1
x
x 0
b.
lim (2  3
x 0

1
x
 x) =
2
x ) =
F
lim G 5
GH
0+h
h0
F
lim G 2
GH
0+h
1
0 h
7
1
0 h

3

x
b. lim (2  3
x0
Çözüm : a. lim (5  7

bulunur..
yoktur..
lim f (x)
 x) değerini bulalım.

x
x
35
1
1

30
3


x 0
lim (5  7
x 0
1

olduğundan
x
Örnek : a.
1
0h
h 0

I
JJ
K
1
x
2
 x ) değerini bulalım.

0
 ( 0  h) = 5 + 7  0 = 1 +  = +  bulunur..
 (0  h)
h0
2
I
JJ = 2
K
0

+3
+0=1+0=1
bulunur..
FONKSİYONLARIN LİMİTİ İLE İLGİLİ TEOREMLER
Teorem 1 : A   R , a  A , b, c  R
A  {a} R ye tanımlı f ve g fonksiyonları için;
lim f (x)  b
xa
ve
lim g(x)  c ise,
x a
b
olmak üzere ,
A  R
ye
ya da
g
lim f (x)  g(x)  b  c dir.
xa
İspat : Teorem 1 in ispatını epsilon tekniği ile yapalım:  > 0 ve  > 0 olmak üzere;
lim f (x)  b
xa

xa   
f ( x)  b 

lim g(x)  c
xa
bf (x)  g(x)g  (b  c)  bf (x)  bg  (g( x)  c)  bf (x)  bg
O hâlde, lim bf ( x)  g ( x)g = b  c dir.
lim bf ( x)  g ( x)g = b  c olduğunu da siz gösteriniz.

xa   
 g(x)  c      2
g ( x)  c 

bulunur..
xa
xa
b
g
Örnek : f (x) = x + 1 ve g (x) = x2 fonksiyonları için, lim f (x)  g(x)
x2
değerini bulalım ve
fonksiyonların grafiği üzerinde gösterelim.
Çözüm :
b
lim f ( x)  3
x2
g
lim g( x)  4
ve
x2
b
olup, teorem 1 e göre;
g
lim f ( x)  g ( x)  7 ve lim f ( x)  g( x)   1 olur..
x2
x2
f ve g nin, x  2 için limitleri yandaki grafiklerde görülmektedir.
67
f + g ve f  g fonksiyonlarının, x 
2 için limitleri yandaki grafiklerde görülmektedir.
Teorem 2 : A  R , a  A , b, c  R olmak üzere, A  R ye ya da A  {a} R ye
tanımlı
f ve g
1.
fonksiyonları için,
b
g
FH f (x) IK 
g(x)
x a
lim f ( x)  b ve
lim g ( x)  c
xa
xa
ise;
lim f (x) . g(x)  lim f (x) . lim g(x) = b . c dir.
xa
lim
2.
xa
xa
xa
lim f (x)
lim g(x)
e lim g(x)  0j
b
c

x a
xa
dir..
İspat : İspatı diziler yardımı ile yapalım:
1.
bf (x )g  b ve
bg(x )g  c dir. Buna göre; lim bf (x) . g(x)g  lim bf (x ) . g(x )g  lim bf (x )g . lim bg(x )g  b . c dir.
lim f ( x)  b ve
lim
xa
a ya
yakınsayan her
xa
n
2.
ise,
lim g ( x)  c
xa
xa
n
lim f ( xn )
f ( xn )
f ( x)
b
n
 lim


n


g( x)
g ( xn )
lim g ( xn )
c
n
n
(xn)
dizisi için;
n
n
n
n
n
dir..
n 
Bu teoremden şu sonuçları çıkartabiliriz:
k  R , n  N+,
lim f (x)  b ve lim g(x)  c  0 olmak üzere;
xa
1.
2.
3.
b
g
x a
lim k . f (x)  k . lim f (x)  k . b
x a
xa
b g  FGH lim f (x)IJK  b
F k IJ  k  k
lim G
H g(x) K lim g(x) c
lim f (x)
n
n
xa
n
x a
xa
xa
4.
n
lim n f (x) 
tek doğal sayı ise,
n çift doğal sayı ve f (x)  0 ise,
Sonuç 1 in ispatı :
k  R olmak üzere,
lim f (x) 
n
xa
n
xa
lim n f (x) 
xa
b
n
lim f (x) 
x a
b
FG lim f (x)  0IJ dır..
H
K
xa
lim f ( x)  b ise, a ya yakınsayan her (xn) dizisi için;
xa
b
g
b
g
lim k . f ( x)  lim k . f( xn )  k . lim f ( xn )  k .b dir..
xa
n
n 
n 
68
bf (x )g  b dir..
n
g (x) = x2  1
Örnek : f (x) = 2x + 1 ,
b
g
b
a. lim 3.f (x)
x2
d.
b. lim f (x) . g(x)
x 1
e
3
lim 2 . f (x) +
x  1
g(x)
j
g
fonksiyonları veriliyor:
c. lim
x 2
FG f (x) IJ
H g(x) K
değerlerini hesaplayalım.
b
g
Çözüm : a. lim 3.(2x  1)  3 . lim (2x  1)  3 . 5  15
x2
e
j
bulunur..
x2
b. lim (2x  1) . ( x 2  1)  lim (2x  1) . lim ( x 2  1)  3 . 0  0
x 1
x 1
FG 2x  1IJ  FG lim (2x  1) IJ  5
H x  1K GH lim ( x  1) JK 3
x 2
c. lim
2
x 2
bulunur..
x 1
bulunur..
2
x 2
FG
H
3
IJ
K
2
d. lim 2 (2x  1)  x  1  lim 2 (2x  1)  lim
x  1
Örnek :
x  1
a 0 , a ,a
n
n
n1
x  1
2
1
0
lim f (x)
b.
lim f (x)
Çözüm : a.
FG
H
lim xn an 
lim x
n
x  
Fa
GH
an . lim x
x  
n
n
lim
x  
n N + olduğuna göre,
f : R  R polinom fonksiyonu veriliyor:
değerlerini bulalım.
(anxn + an1xn1 + ... + a2x2 + a1x + a0 ) ifadesi,
an1
a
a
a
... n22  n11  0n
x
x
x
x
IJ
K
şeklinde yazılabilir..
a n 1
a
a
a
... n 22  n 11  0n
x
x
x
x
x  +  için ;
bulunur..
x 
x 
x  
2
x 1  2 + 0 =  2
, ... , a , a , a R ve
f (x) = anxn + an1xn1 + ... + a2x2 + a1x + a0 ile tanımlı
a.
3

a n 1
a
a
a
... n 22  n11  0n
x
x
x
x

RS   , a
T,a
n
 0 ise
n
 0 ise
ifadelerinin limitleri sıfıra eşit olacağından;
I
JK
n
lim x . an
olur. Buna göre,
x  
bulunur.
b. a şıkkından faydalanarak;
an . lim x
x  
n
 an ( )
n
R|   ,
|  ,
 S
||   ,
T  ,
an  0
ve
n çift sayı ise
an  0
ve
n tek sayı ise
an  0
ve
n çift sayı ise
an  0
ve
n tek sayı ise
bulunur.
x  +  ya da x  için polinom fonksiyonların limiti bulunurken, derecesi büyük
olan terime bakılarak karar verilebilir.
Örnek : a.
lim
x  
FH 2  5x
2
 2x
3
IK
b.
lim
x  
2
c.
2x  5x  1
değerlerini hesaplayalım.
Çözüm :
b.
lim
x  
a.
3
3
lim (2  5 x 2  2x3 ) = lim ( 2x ) =  2 () = + 
x  
x  
2x2  5 x  1  lim
x  
2x2  lim
x  
2 . x    olur.
69
olur..
lim
x  
2x  1
3x  2
c. x    iken 3x + 2 < 0
olduğundan,
 2x  1
 2x  1
lim
 lim
 lim
x    3x  2
x     3x  2
x 
Örnek :
FG
H
3x  2 =  3x  2
1
x
2
x 3 
x
x 2 
FG
H
IJ
K
IJ
K

dir..
2  0
2

3  0
3
a.
bulunur..
b.
limitlerini bulalım.
Çözüm :
a.
=
221
=1
1
bulunur..
b.
 6  5 1

 1 bulunur..
1  0
1
R| x  3x  4 ,
f ( x)  S 2 x
,
|| 3x  4 ,
T
2
Örnek :
x1
ise
1 x  3
3x
ise
ise
fonksiyonu veriliyor. Buna göre, aşağıdaki değerleri hesaplayalım.
a. lim f (x)
b. lim f (x)
x 0
x1
Çözüm : a.
x=0
c. lim f (x)
d. lim f (x)
x 2
kritik nokta değildir.
x 3
x = 0 daki
e. lim f (x)
x 4
fonksiyonu belirtip, limiti hesaplayalım:
lim f ( x)  lim ( x 2  3 x  4 )  4
x0
x0
b. x = 1 kritik nokta olduğundan, soldan ve sağdan limiti inceleyelim:
2
U|
V|
|W
lim f ( x)  lim ( x  3 x  4)  1  3  4  2

x 1

x 1
lim f ( x)  lim (2x)  2

x 1

x 1
 lim f ( x)  2
x 1
dir.
c. x = 2 kritik nokta değildir. Limit değeri, görüntü değerine eşit olur.
lim f ( x)  lim ( 2 x)  4
x2
x2
d. x = 3 kritik nokta olduğundan, soldan ve sağdan limiti inceleyelim:
U|
V
lim (3 x  4)  5 |
W
lim f ( x)  lim (2x)  6
x3

lim f ( x) 
x3

x 3
x 3

soldan ve sağdan limitler farklı olduğundan,

e. x = 4 kritik nokta değildir. Limit değeri, görüntü değerine eşit olur.
lim f ( x)  lim ( 3 x  4)  8
x4
x4
70
lim f ( x)
x3
yoktur.
Örnek : Yanda,
verilmiştir. Buna göre,
y = f (x)
fonksiyonunun grafiği
3
lim
f (x)  3 sgn f (x)
değerini hesaplayalım.
3

x  2  f (x )
x 1
Çözüm
lim
f 3 (x)  3 sgn f (x)
x  2  f (x3 )
x  1
 lim
f 3 (1  h)  3 sgn f (1  h)
h 0
e
1  h  2  f (1  h)3
f 3 (1)  3 . 1
=
3
3  f (1 )

j
03
 1
30
( f (1 + h) > 0
bulunur.
Örnek : a.
c.
olduğundan, sgn f (1 + h) = 1 dir..)
b.
lim
x  2
x2
+ sgn (x  2) + x  x2
x2
d. lim
x  2x  3
x 2
değerlerini hesaplayalım.
Çözüm :
a.
bulunur..
b.
c.
=1
lim
x  2
x2
x2
+ sgn (x  2) + x  x2 = lim
+ lim sgn (x  2) + lim x  lim x2
x2

x

2
x2
x  2
x  2
x  2
x>2
iken,
lim
FG x  2 IJ 
H x  2K
x  2
d. lim
x 2
bulunur..
x2 = x  2
lim 1  lim
x  2
x  2
x  2x  3
= lim
,
sgn (x  2) = 1
,
x =2
x  lim x2 = 1 + 1 + 2  4 = 0
x  2
dir. Buna göre,
bulunur..
x  2x + 3
x 2
O hâlde, x = 2 noktasında soldan ve sağdan limitler eşit olduğu için;
bulunur.
71
lim
x 2
x  2x  3
=1
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıdaki limitleri bulunuz.
a. lim x x
b. lim
d. lim sgn (1  x)
e. lim
x  1
g. lim
x  1
x
x
x 0
x 0
x 3
h. lim 
x  3 + 2x + 1
x 2
F
GH
c. lim
ex
f. lim
FH 2x  3  x
x  2
x3
x3
I
JK
 5x
( x2  2x +
2x
x5
) i.
j.
k.
l.
m.
n.
o.
r.
s.
p.
lim  x . x  2
x2

2
x2
lim
lim
lim
2
j
IK
2
. sgn( x  25)
+ sgn ( x  2) + 3x
x2
x  2 
x  
 3 x  sgn ( x  2)
cosx + sinx
FG 1IJ 
H 2K
x
1
x
x 
2.
R| 3x  1 , x  1
f ( x)  S 4 , x  1
|| x  3 , x  1
T
2
ise
ise
ise
fonksiyonu veriliyor. Buna göre, aşağıdaki limitleri varsa hesaplayınız.
a.
lim f (x)
b. lim f ( x)
x  1
c. lim f ( x)
x  1
x  1
3.
fonksiyonu veriliyor. Buna göre, aşağıdaki limitleri varsa hesaplayınız.
a.
b. lim f (x)
lim f (x)
d.
x  
4. f (x) = x . x  sgn (x  3)
a. lim f ( x)
x  1  sgn ( x 2  25)
lim f ( x)
lim f ( x)
x  5 
c. lim f ( x)
x 4
x2
x  6
d.
fonksiyonu için aşağıdaki limitleri varsa hesaplayınız.
b. lim f ( x )
x  4
a.
lim f ( x)
x  3
e. lim f (x)
lim f ( x)
x  3 
5. f (x) =
c.
x 0
x 1
d.
lim f ( x)
x0
x3
fonksiyonu için aşağıdaki limitleri varsa hesaplayınız.
b. lim f ( x)
c.
x  2
e.
lim f ( x)
x 5
72
lim f ( x)
x  5
f.
lim f ( x)
x 5
6.
fonksiyonu için aşağıdaki limitleri varsa hesaplayınız.
a.
b.
lim f ( x )
x  0
7.
c.
lim f ( x )
x  0
d.
lim f ( x)
x  1

lim f ( x)
x  1
fonksiyonu için aşağıdaki limitleri varsa hesaplayınız.
a. lim f ( x )
b. lim f ( x )
c.
x  1
x1
d.
lim f ( x)
x 0
lim f ( x)
x 0
8.
Yanda, y = f (x) fonksiyonunun grafiði [ 1 , 4]
aralığında verilmiştir. Buna göre, aşağıdaki limitleri varsa
hesaplayınız.
a.
lim f ( x)
b.
x  1
c.
lim f ( x )
x  0
e. lim f ( x)  lim f ( x)  lim f ( x)
x 1
g.
x 3
b
f (x) + 1 f ( x) . sgn 2  f ( x)
lim
x  2
R| x  ax , x  2
f ( x)  S
|T x x a , x  2
2
9.
f.
x 4
d.
lim f ( x )
x  0
lim f ( x)  lim f ( x)
x  2
x  2
b g
lim sgn x . sgn f ( x) . f ( x)
x 0
g
ise
ise
fonksiyonu veriliyor. a  1 için, x = 2 noktasındaki limiti var olduğuna göre, bu değeri
hesaplayınız.
10. Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
a.
lim
x0
x
 3 sgn  x + 2x
x
b.
lim
4x - 5
x+2
x3
11.
Yanda grafiği verilen f (x) fonksiyonuna bağlı olarak, aşağıdaki
limit değerlerini bulunuz.
a.
c.
lim
x  1
f ( x)
sgn f ( x)  2x
b
lim (fofof )( x)
g
d.
x  1
73
lim
x  1
b.
f ( x)
f (2  x)
e.
lim

x 1
x. f ( x)
sgn f (2  x)
12. Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
1
a.
lim 7 x
b.
x  0
d.
e.
x
13. f (x) =
2
+
1 x
limiti yoktur?
x
2
lim 7 x
c.
x  0
lim
x1
x2  4 x  3
x2  2 x  3
. 1999x
lim
x  0
2
 sgn (x  3) + x  4
fonksiyonunun ( 3 , 4) aralığında kaç noktada
14.
Yanda grafiği verilen f (x) fonksiyonuna bağlı olarak,
aşağıdaki limitleri bulunuz.
a.
d.
g.
15.
f: R  R ,
b. lim f ( x)
lim f ( x)
x  1
x  1
e.
lim f ( x)
x 1
lim f ( x)
x  0
lim f ( x)
x  
c.
f.
lim f ( x)
x
lim
x
R| ax  b , x  1 ise
f ( x)  S 2x  1 , x  1 ise
|T x  a , x  1 ise
fonksiyonunun x = 1 de limiti olması için, b  R ne olmalıdır?
16. Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
a.
lim
cosx
b.
x  
17. Şekildeki grafiğe göre,
lim
x
lim
x3
x . f ( x)  6
x3
18. f (x) = 2x+2 , g (x) = x + 1 olmak üzere,
FG  IJ
H 2K
sinx

limitini hesaplayınız.
LM
N
1
OP
Q
lim ( f og)( x) = L R
x2
ardışık iki tam sayı arasındadır?
74
ise, L reel sayısı hangi
SONSUZ İÇİN LİMİT
Tanım : f : (x0 , +  )  R bir fonksiyon olsun. Terimleri (x0 , +  ) aralığında bulunan
ve +  a ıraksayan her (xn) dizisi için,
lim f (x n )  L ise; x  +  için, f nin
n  
limiti
L dir, denir ve
limiti
g
biçiminde gösterilir..
lim f (x)  L
x
f : ( , x0)  R bir fonksiyon olsun. Terimleri
Aynı şekilde
ve  a
b
ıraksayan her
K dır, denir ve
(x )
dizisi için,
n
lim
n  
b f (x )g  K
n
( , x0 )
aralığında bulunan
x 
ise;
için,
f nin
biçiminde gösterilir..
lim f (x)  K
x
Bu tanıma göre, aşağıdaki grafikleri inceleyiniz.
Örnek :
R| 1
f (x) = S x
|T 3
f:R  R ,
fonksiyonu veriliyor:
a.
lim f (x)
b.
x  
Çözüm :
lim f (x) 
x  
lim f (x) 
(xn)
n  
dizisi için,
n
, x0
ise
ifadelerinin eşitini bulalım.
lim f (x)
x  
n 
F 1I 
 GH x JK
n
1
olsun.
F 1I 
GH x JK
 0 dır..
n
n 
n
1

olsun.
 0 dır..

lim (x ) =  
lim f (xn ) = lim
n 
lim (x n) = + 
dizisi için,
lim f (xn ) = lim
b. (x )
x  
a.
, x  0 ise
SONSUZ LİMİT
Tanım : A R ve a  A olmak üzere, f : A  R ya da f : A  {a}  R fonksiyonu
için, terimleri;
1.
bf (x )g
n
A  {a}
 
kümesine ait ve
ise,
a
sayısına yakınsayan
lim f (x)    dur.
xa
65
2.
bf (x )g
n
 
(xn)
ise,
dizisi için, (xn  0):
lim f (x)    dur.
xa
Bu tanıma göre, aşağıdaki grafikleri inceleyiniz.
P(x)
fonksiyonunun paydasını
Q (x)
değerlerinde limit sorulursa, soldan ve sağdan limit incelemesi yapılmalıdır.
P (x) ve Q (x) polinom fonksiyonu olmak üzere, f (x) =
sıfır yapan
x
Örnek : a. lim
x3
3 x  1
x3
b.
3x  5
lim
x3
değerlerini bulalım.
( x  3) 2
FG 3x  1IJ  lim 3 (3  h)  1  lim  8  3h   
H x3 K
3 h3
h
F  3x  1IJ  lim 3 (3  h)  1  lim  8  3h   
lim G
H x3 K
3 h3
h
F 3 x  1IJ
x = 3 noktasında soldan ve sağdan limitler farklı olduğundan, lim G
H x3 K
F 3x  5 I  lim 3 (3  h)  5  lim 4  3h   
lim G
b.

H (x  3) JK
( 3  h  3)
h
F 3 x  5 I  lim 3 (3  h)  5  lim 4  3h   
lim G

H (x  3) JK
(3  h  3 )
h
Çözüm :
a.
lim

h0
h0

h0
h 0
x3
x3
x3
x3
2
2
x3
2
h 0
2
h 0
2
h0
2
h0
x = 3 noktasında soldan ve sağdan limitler aynı olduğundan,
Örnek : f (x) =
1
1
5x
3
a.

Çözüm : a.
lim f (x) değerini bulalım.
x 0
lim
x0
lim
3x  5
x3
( x  3) 2
= 
bulunur..
fonksiyonu veriliyor:
lim f (x) değerini bulalım. b.
x 0
yoktur..
1
+
35
1
x
 lim

x 0
1
h0
35
c. lim f (x) değerini bulalım.
1
0 h

66
1
35


1
1

0
3

bulunur..
1
lim
b.
x0

35
c.
1
 lim
1
x
35
lim f (x)  lim f (x)
x  0+
x  0
1
x
1
x
x 0
b.
lim (2  3
x 0

1
x
 x) =
2
x ) =
F
lim G 5
GH
0+h
h0
F
lim G 2
GH
0+h
1
0 h
7
1
0 h

3

x
b. lim (2  3
x0
Çözüm : a. lim (5  7

bulunur..
yoktur..
lim f (x)
 x) değerini bulalım.

x
x
35
1
1

30
3


x 0
lim (5  7
x 0
1

olduğundan
x
Örnek : a.
1
0h
h 0

I
JJ
K
1
x
2
 x ) değerini bulalım.

0
 ( 0  h) = 5 + 7  0 = 1 +  = +  bulunur..
 (0  h)
h0
2
I
JJ = 2
K
0

+3
+0=1+0=1
bulunur..
FONKSİYONLARIN LİMİTİ İLE İLGİLİ TEOREMLER
Teorem 1 : A   R , a  A , b, c  R
A  {a} R ye tanımlı f ve g fonksiyonları için;
lim f (x)  b
xa
ve
lim g(x)  c ise,
x a
b
olmak üzere ,
A  R
ye
ya da
g
lim f (x)  g(x)  b  c dir.
xa
İspat : Teorem 1 in ispatını epsilon tekniği ile yapalım:  > 0 ve  > 0 olmak üzere;
lim f (x)  b
xa

xa   
f ( x)  b 

lim g(x)  c
xa
bf (x)  g(x)g  (b  c)  bf (x)  bg  (g( x)  c)  bf (x)  bg
O hâlde, lim bf ( x)  g ( x)g = b  c dir.
lim bf ( x)  g ( x)g = b  c olduğunu da siz gösteriniz.

xa   
 g(x)  c      2
g ( x)  c 

bulunur..
xa
xa
b
g
Örnek : f (x) = x + 1 ve g (x) = x2 fonksiyonları için, lim f (x)  g(x)
x2
değerini bulalım ve
fonksiyonların grafiği üzerinde gösterelim.
Çözüm :
b
lim f ( x)  3
x2
g
lim g( x)  4
ve
x2
b
olup, teorem 1 e göre;
g
lim f ( x)  g ( x)  7 ve lim f ( x)  g( x)   1 olur..
x2
x2
f ve g nin, x  2 için limitleri yandaki grafiklerde görülmektedir.
67
f + g ve f  g fonksiyonlarının, x 
2 için limitleri yandaki grafiklerde görülmektedir.
Teorem 2 : A  R , a  A , b, c  R olmak üzere, A  R ye ya da A  {a} R ye
tanımlı
f ve g
1.
fonksiyonları için,
b
g
FH f (x) IK 
g(x)
x a
lim f ( x)  b ve
lim g ( x)  c
xa
xa
ise;
lim f (x) . g(x)  lim f (x) . lim g(x) = b . c dir.
xa
lim
2.
xa
xa
xa
lim f (x)
lim g(x)
e lim g(x)  0j
b
c

x a
xa
dir..
İspat : İspatı diziler yardımı ile yapalım:
1.
bf (x )g  b ve
bg(x )g  c dir. Buna göre; lim bf (x) . g(x)g  lim bf (x ) . g(x )g  lim bf (x )g . lim bg(x )g  b . c dir.
lim f ( x)  b ve
lim
xa
a ya
yakınsayan her
xa
n
2.
ise,
lim g ( x)  c
xa
xa
n
lim f ( xn )
f ( xn )
f ( x)
b
n
 lim


n


g( x)
g ( xn )
lim g ( xn )
c
n
n
(xn)
dizisi için;
n
n
n
n
n
dir..
n 
Bu teoremden şu sonuçları çıkartabiliriz:
k  R , n  N+,
lim f (x)  b ve lim g(x)  c  0 olmak üzere;
xa
1.
2.
3.
b
g
x a
lim k . f (x)  k . lim f (x)  k . b
x a
xa
b g  FGH lim f (x)IJK  b
F k IJ  k  k
lim G
H g(x) K lim g(x) c
lim f (x)
n
n
xa
n
x a
xa
xa
4.
n
lim n f (x) 
tek doğal sayı ise,
n çift doğal sayı ve f (x)  0 ise,
Sonuç 1 in ispatı :
k  R olmak üzere,
lim f (x) 
n
xa
n
xa
lim n f (x) 
xa
b
n
lim f (x) 
x a
b
FG lim f (x)  0IJ dır..
H
K
xa
lim f ( x)  b ise, a ya yakınsayan her (xn) dizisi için;
xa
b
g
b
g
lim k . f ( x)  lim k . f( xn )  k . lim f ( xn )  k .b dir..
xa
n
n 
n 
68
bf (x )g  b dir..
n
g (x) = x2  1
Örnek : f (x) = 2x + 1 ,
b
g
b
a. lim 3.f (x)
x2
d.
b. lim f (x) . g(x)
x 1
e
3
lim 2 . f (x) +
x  1
g(x)
j
g
fonksiyonları veriliyor:
c. lim
x 2
FG f (x) IJ
H g(x) K
değerlerini hesaplayalım.
b
g
Çözüm : a. lim 3.(2x  1)  3 . lim (2x  1)  3 . 5  15
x2
e
j
bulunur..
x2
b. lim (2x  1) . ( x 2  1)  lim (2x  1) . lim ( x 2  1)  3 . 0  0
x 1
x 1
FG 2x  1IJ  FG lim (2x  1) IJ  5
H x  1K GH lim ( x  1) JK 3
x 2
c. lim
2
x 2
bulunur..
x 1
bulunur..
2
x 2
FG
H
3
IJ
K
2
d. lim 2 (2x  1)  x  1  lim 2 (2x  1)  lim
x  1
Örnek :
x  1
a 0 , a ,a
n
n
n1
x  1
2
1
0
lim f (x)
b.
lim f (x)
Çözüm : a.
FG
H
lim xn an 
lim x
n
x  
Fa
GH
an . lim x
x  
n
n
lim
x  
n N + olduğuna göre,
f : R  R polinom fonksiyonu veriliyor:
değerlerini bulalım.
(anxn + an1xn1 + ... + a2x2 + a1x + a0 ) ifadesi,
an1
a
a
a
... n22  n11  0n
x
x
x
x
IJ
K
şeklinde yazılabilir..
a n 1
a
a
a
... n 22  n 11  0n
x
x
x
x
x  +  için ;
bulunur..
x 
x 
x  
2
x 1  2 + 0 =  2
, ... , a , a , a R ve
f (x) = anxn + an1xn1 + ... + a2x2 + a1x + a0 ile tanımlı
a.
3

a n 1
a
a
a
... n 22  n11  0n
x
x
x
x

RS   , a
T,a
n
 0 ise
n
 0 ise
ifadelerinin limitleri sıfıra eşit olacağından;
I
JK
n
lim x . an
olur. Buna göre,
x  
bulunur.
b. a şıkkından faydalanarak;
an . lim x
x  
n
 an ( )
n
R|   ,
|  ,
 S
||   ,
T  ,
an  0
ve
n çift sayı ise
an  0
ve
n tek sayı ise
an  0
ve
n çift sayı ise
an  0
ve
n tek sayı ise
bulunur.
x  +  ya da x  için polinom fonksiyonların limiti bulunurken, derecesi büyük
olan terime bakılarak karar verilebilir.
Örnek : a.
lim
x  
FH 2  5x
2
 2x
3
IK
b.
lim
x  
2
c.
2x  5x  1
değerlerini hesaplayalım.
Çözüm :
b.
lim
x  
a.
3
3
lim (2  5 x 2  2x3 ) = lim ( 2x ) =  2 () = + 
x  
x  
2x2  5 x  1  lim
x  
2x2  lim
x  
2 . x    olur.
69
olur..
lim
x  
2x  1
3x  2
c. x    iken 3x + 2 < 0
olduğundan,
 2x  1
 2x  1
lim
 lim
 lim
x    3x  2
x     3x  2
x 
Örnek :
FG
H
3x  2 =  3x  2
1
x
2
x 3 
x
x 2 
FG
H
IJ
K
IJ
K

dir..
2  0
2

3  0
3
a.
bulunur..
b.
limitlerini bulalım.
Çözüm :
a.
=
221
=1
1
bulunur..
b.
 6  5 1

 1 bulunur..
1  0
1
R| x  3x  4 ,
f ( x)  S 2 x
,
|| 3x  4 ,
T
2
Örnek :
x1
ise
1 x  3
3x
ise
ise
fonksiyonu veriliyor. Buna göre, aşağıdaki değerleri hesaplayalım.
a. lim f (x)
b. lim f (x)
x 0
x1
Çözüm : a.
x=0
c. lim f (x)
d. lim f (x)
x 2
kritik nokta değildir.
x 3
x = 0 daki
e. lim f (x)
x 4
fonksiyonu belirtip, limiti hesaplayalım:
lim f ( x)  lim ( x 2  3 x  4 )  4
x0
x0
b. x = 1 kritik nokta olduğundan, soldan ve sağdan limiti inceleyelim:
2
U|
V|
|W
lim f ( x)  lim ( x  3 x  4)  1  3  4  2

x 1

x 1
lim f ( x)  lim (2x)  2

x 1

x 1
 lim f ( x)  2
x 1
dir.
c. x = 2 kritik nokta değildir. Limit değeri, görüntü değerine eşit olur.
lim f ( x)  lim ( 2 x)  4
x2
x2
d. x = 3 kritik nokta olduğundan, soldan ve sağdan limiti inceleyelim:
U|
V
lim (3 x  4)  5 |
W
lim f ( x)  lim (2x)  6
x3

lim f ( x) 
x3

x 3
x 3

soldan ve sağdan limitler farklı olduğundan,

e. x = 4 kritik nokta değildir. Limit değeri, görüntü değerine eşit olur.
lim f ( x)  lim ( 3 x  4)  8
x4
x4
70
lim f ( x)
x3
yoktur.
Örnek : Yanda,
verilmiştir. Buna göre,
y = f (x)
fonksiyonunun grafiği
3
lim
f (x)  3 sgn f (x)
değerini hesaplayalım.
3

x  2  f (x )
x 1
Çözüm
lim
f 3 (x)  3 sgn f (x)
x  2  f (x3 )
x  1
 lim
f 3 (1  h)  3 sgn f (1  h)
h 0
e
1  h  2  f (1  h)3
f 3 (1)  3 . 1
=
3
3  f (1 )

j
03
 1
30
( f (1 + h) > 0
bulunur.
Örnek : a.
c.
olduğundan, sgn f (1 + h) = 1 dir..)
b.
lim
x  2
x2
+ sgn (x  2) + x  x2
x2
d. lim
x  2x  3
x 2
değerlerini hesaplayalım.
Çözüm :
a.
bulunur..
b.
c.
=1
lim
x  2
x2
x2
+ sgn (x  2) + x  x2 = lim
+ lim sgn (x  2) + lim x  lim x2
x2

x

2
x2
x  2
x  2
x  2
x>2
iken,
lim
FG x  2 IJ 
H x  2K
x  2
d. lim
x 2
bulunur..
x2 = x  2
lim 1  lim
x  2
x  2
x  2x  3
= lim
,
sgn (x  2) = 1
,
x =2
x  lim x2 = 1 + 1 + 2  4 = 0
x  2
dir. Buna göre,
bulunur..
x  2x + 3
x 2
O hâlde, x = 2 noktasında soldan ve sağdan limitler eşit olduğu için;
bulunur.
71
lim
x 2
x  2x  3
=1
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıdaki limitleri bulunuz.
a. lim x x
b. lim
d. lim sgn (1  x)
e. lim
x  1
g. lim
x  1
x
x
x 0
x 0
x 3
h. lim 
x  3 + 2x + 1
x 2
F
GH
c. lim
ex
f. lim
FH 2x  3  x
x  2
x3
x3
I
JK
 5x
( x2  2x +
2x
x5
) i.
j.
k.
l.
m.
n.
o.
r.
s.
p.
lim  x . x  2
x2

2
x2
lim
lim
lim
2
j
IK
2
. sgn( x  25)
+ sgn ( x  2) + 3x
x2
x  2 
x  
 3 x  sgn ( x  2)
cosx + sinx
FG 1IJ 
H 2K
x
1
x
x 
2.
R| 3x  1 , x  1
f ( x)  S 4 , x  1
|| x  3 , x  1
T
2
ise
ise
ise
fonksiyonu veriliyor. Buna göre, aşağıdaki limitleri varsa hesaplayınız.
a.
lim f (x)
b. lim f ( x)
x  1
c. lim f ( x)
x  1
x  1
3.
fonksiyonu veriliyor. Buna göre, aşağıdaki limitleri varsa hesaplayınız.
a.
b. lim f (x)
lim f (x)
d.
x  
4. f (x) = x . x  sgn (x  3)
a. lim f ( x)
x  1  sgn ( x 2  25)
lim f ( x)
lim f ( x)
x  5 
c. lim f ( x)
x 4
x2
x  6
d.
fonksiyonu için aşağıdaki limitleri varsa hesaplayınız.
b. lim f ( x )
x  4
a.
lim f ( x)
x  3
e. lim f (x)
lim f ( x)
x  3 
5. f (x) =
c.
x 0
x 1
d.
lim f ( x)
x0
x3
fonksiyonu için aşağıdaki limitleri varsa hesaplayınız.
b. lim f ( x)
c.
x  2
e.
lim f ( x)
x 5
72
lim f ( x)
x  5
f.
lim f ( x)
x 5
6.
fonksiyonu için aşağıdaki limitleri varsa hesaplayınız.
a.
b.
lim f ( x )
x  0
7.
c.
lim f ( x )
x  0
d.
lim f ( x)
x  1

lim f ( x)
x  1
fonksiyonu için aşağıdaki limitleri varsa hesaplayınız.
a. lim f ( x )
b. lim f ( x )
c.
x  1
x1
d.
lim f ( x)
x 0
lim f ( x)
x 0
8.
Yanda, y = f (x) fonksiyonunun grafiði [ 1 , 4]
aralığında verilmiştir. Buna göre, aşağıdaki limitleri varsa
hesaplayınız.
a.
lim f ( x)
b.
x  1
c.
lim f ( x )
x  0
e. lim f ( x)  lim f ( x)  lim f ( x)
x 1
g.
x 3
b
f (x) + 1 f ( x) . sgn 2  f ( x)
lim
x  2
R| x  ax , x  2
f ( x)  S
|T x x a , x  2
2
9.
f.
x 4
d.
lim f ( x )
x  0
lim f ( x)  lim f ( x)
x  2
x  2
b g
lim sgn x . sgn f ( x) . f ( x)
x 0
g
ise
ise
fonksiyonu veriliyor. a  1 için, x = 2 noktasındaki limiti var olduğuna göre, bu değeri
hesaplayınız.
10. Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
a.
lim
x0
x
 3 sgn  x + 2x
x
b.
lim
4x - 5
x+2
x3
11.
Yanda grafiği verilen f (x) fonksiyonuna bağlı olarak, aşağıdaki
limit değerlerini bulunuz.
a.
c.
lim
x  1
f ( x)
sgn f ( x)  2x
b
lim (fofof )( x)
g
d.
x  1
73
lim
x  1
b.
f ( x)
f (2  x)
e.
lim

x 1
x. f ( x)
sgn f (2  x)
12. Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
1
a.
lim 7 x
b.
x  0
d.
e.
x
13. f (x) =
2
+
1 x
limiti yoktur?
x
2
lim 7 x
c.
x  0
lim
x1
x2  4 x  3
x2  2 x  3
. 1999x
lim
x  0
2
 sgn (x  3) + x  4
fonksiyonunun ( 3 , 4) aralığında kaç noktada
14.
Yanda grafiği verilen f (x) fonksiyonuna bağlı olarak,
aşağıdaki limitleri bulunuz.
a.
d.
g.
15.
f: R  R ,
b. lim f ( x)
lim f ( x)
x  1
x  1
e.
lim f ( x)
x 1
lim f ( x)
x  0
lim f ( x)
x  
c.
f.
lim f ( x)
x
lim
x
R| ax  b , x  1 ise
f ( x)  S 2x  1 , x  1 ise
|T x  a , x  1 ise
fonksiyonunun x = 1 de limiti olması için, b  R ne olmalıdır?
16. Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
a.
lim
cosx
b.
x  
17. Şekildeki grafiğe göre,
lim
x
lim
x3
x . f ( x)  6
x3
18. f (x) = 2x+2 , g (x) = x + 1 olmak üzere,
FG  IJ
H 2K
sinx

limitini hesaplayınız.
LM
N
1
OP
Q
lim ( f og)( x) = L R
x2
ardışık iki tam sayı arasındadır?
74
ise, L reel sayısı hangi
LİMİTTE BELİRSİZLİK DURUMLARI
Limit hesaplamalarında karşılaşılan
0

,
0


,  , 0 .  , 00 , 0 ve 1
biçimindeki
0

,
,  ve 0 .  belirsizliklerini inceleye0

üstel belirsizliklerini de türev konusunda inceleyeceğiz.
ifadelere belirsiz ifadeler denir. Bu bölümde;

ceğiz. 00 , 1
ve 0
0
BELİRSİZLİĞİ
0
0
ın belirsiz olduğunu şöyle açıklayabiliriz:
0
Bölme işlemi yapılınca, bölüme her reel sayı yazılabilir.
(a  R)
Ayrıca bu işlemlerde görülüyor ki kalan hep bölüme eşittir. Halbuki bölme tanımına göre kalan, bölenden mutlak değerce küçük doğal sayı olmalıydı. Bu da bir çelişki oluşturmaktadır.
O hâlde,
lim
xa
0
bir belirsiz ifadedir..
0
lim f ( x)
f ( x) x  a

g ( x) lim g( x)
limiti hesaplanırken; lim f ( x)  0 ve
xa
lim g ( x)  0
xa
0
0
ise,
xa
belirsizliği
oluşur. Bu durumda; f (x) ve g (x) ifadeleri, (x  a) çarpanına sahiptir. Yani f (x) = (x  a) . f 1 (x) ve
( x  a) . f1 ( x)
f ( x)
f ( x)
 lim
 lim 1
g ( x) x  a ( x  a) . g1 ( x) x  a g1 ( x)
belirsizliği varsa, aynı işlemler tekrar ettirilir.
lim
g (x) = (x  a) . g1(x) olacağından,
xa
olur. Bu limitte yine
2
Örnek :
x  4x  4
lim
değerini bulalım.
2
x2
x  5x  6
2
Çözüm :

Örnek :
lim
x2
lim
2
2

x  5x  6
bx  2g
x 2
a.
x  4x  4
lim
2
x2  2
x3  8

2 5 . 26
2
( x  2) ( x  3)
x2
2 4 . 24
 lim
x2
484
0

4  10  6
0
x2
 0 dır.
x3
b.
lim
x 1 3
değerlerini hesaplayalım.
75
x1
x 1
c.
lim
x
FG
H
3
x
3
3
x
IJ
K
2
9
0
0
Çözüm :
x 2  2
lim
a.

3
x 8
x2
0
0
belirsizliği vardır. Limit hesabından önce, eğer soru
köklü hâlde ise; kısaltma yapabilmek için, payını rasyonel hâle getirmek gerekir. Bunun için,
ifadenin pay ve paydasını, payın eşleniği ile çarpalım.
lim
x2  2
lim
x2
b.
3

3
x2
x 2 2
x 2 2
x 8
e
 lim
x2
j
2
2
2
1

2
x 2
x2 2
( x  2) ( x  2x  4)
( x  2)
1
1
1
 2
 lim

2
x

2
( x  2) ( x  2x  4) x  2  2
48
( x  2x  4) x  2  2
e
x1
lim
x 1 3
0
0

x 1
j
e
j
bulunur..
belirsizliği vardır..
x  t diyelim. x  1 iken t  1 dir. Buna göre,
lim
t1
c.
lim
x
t3  1 0

t 1
0
lim
x
FG
H
3
x
3
3
x
IJ
K
( t  1) ( t 2  t  1)
 lim t 2  t  1  3
t 1
( t  1)
e
lim

t 1
0
0

2
9
3
x
lim
Çözüm :
FG
H
 lim
3
3
x3
IJ
K
 lim
x 
1
1
6

3
6
x
bulunur..
değerini hesaplayalım.
x 2 1
x3  3 x2  x  3
lim
3
x
3
3
6
x
x
x
x3  3 x2  x  3
x3
bulunur..
belirsizliği vardır..
FG 3  3  3IJ FG 3  3  3IJ
H x KH x K
Örnek :
j
x  2 1

0
0
belirsizliği vardır..
(a  b) (a2 + ab + b2) = a3  b3 olduğu düşünülerek,
FH
3
IK
x  2  1 in eşleniği
F
H
3
FG
H
3
I
K
3
( x  2) 2  x  2  1 dir..
Buna göre,
3
lim
x3
3
x 2 1
2
lim
x3
3
2
x  3x  x  3

3
2
( x  2) 
2
( x  2) 
( x  3) ( x  1)
 lim
x3
x3
FG
H
3
( x  2)
3
3
2
x2 1
x2 1
2
 lim
x 3
IJ
K
x ( x  3)  ( x  3)
 lim
x3
x3
2
 3 x  2  1  lim ( x  1) . lim
x 3
 (9  1) 
76
x3
e
3
FG
H
3
( x  2)
j
2
( x  2) 
2
3
IJ
K
x  2 1
IJ
K
 3 x 2 1
1  3 1  1  24 bulunur..
x 3  x 2  mx  m
lim
Örnek :
3
x  2
değerinin reel bir sayı olması için
x11
m
reel sayısını ve limit
değerini bulalım.
3
Çözüm :
lim
2
x  x  mx  m
3
x  2

x1 1
8  4  2m  m
3

2  1  1
12  3m
 R olması için,  12 + 3m = 0
0
olmalıdır. Buna göre, m = 4 bulunur. m = 4 için limiti siz bulunuz.
Örnek :
a.
Çözüm :
a.
lim
x 4
x<4
x 2
x4
b.
değerlerini hesaplayalım.
x4 = 4  x

dir. Buna göre,
lim
x 4
x 2
 lim
x4
x 4
belirsizliği vardır.
lim
x 4
x 2
.
4x
x 2
x 2
 lim
x 4
x4
.
4x
b.
1
x 2
1
 lim
x 4
x 2

1
bulunur..
4
belirsizliği vardır..
O hâlde; soldan ve sağdan limitler farklı olduğu için,
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ
Teorem :
1.
2.
3.
a  R olmak üzere:
lim sinx  sina dır..
xa
lim cosx  cosa dır..
xa
lim
x0
sinx
1
x
dir.
İspat : Birim çemberde 1 in ve 2 nin doğruluğu kolayca
görülebilir. Biz 3 ün ispatını yapalım. Şekildeki orijin merkezli
birim çemberde, AOP açısının ölçüsüne x radyan dersek;
PR  sin x ,
OR  cos x ve
AC  tan x olur..
OPR üçgeninin alanı, OAP daire diliminin alanı, OAC üçgeninin
alanı arasındaki sıralama;
A(OPR) < A(OAP) < A(OAC)
1
x
1
2
 . 1 . tan x
sinx . cosx <  . 1 .
2
2
2
sinx . cosx < x < tanx olur.
77
yoktur..
x 2 0

4x
0
i. x  0+ için sinx > 0 dır. Eşitsizliğin her üç yanını sinx ile bölelim: cos x 
x
1

sin x
cos x
olur. Her üç tarafın limitini alalım:
lim cos x  lim
x0

x 0
1  lim
x  0

x
1
sin x

ii. x  0
x
1
 lim

sin x
x  0 cos x
ise,
lim
x 0
(x  0 için alanlar eşitleneceğinden eşitsizlik, eşitlik
durumuna dönüşür.)
x
1
sin x
bulunur.
için, sinx < 0 dır. Eşitsizliğin her üç yanını sinx ile bölelim:
x
1

olur. Her üç tarafın limitini alalım:
sin x cos x
cos x 
1  lim
x0

x
1
sin x
ise,
lim
x0

x
1
sin x
lim cos x  lim
x  0
x  0
x
1
 lim

sin x x  0 cos x
bulunur.
Soldan ve sağdan limitler eşit olduğu için, lim
x0
x
 1 olur..
sin x
sin x
 1 olduğunu gösterelim:
x0 x
lim
lim
x0
sin x
 lim
x0
x
1
1
1

 1
x
x
1
lim
x  0 sin x
sin x
bulunur.
Sonuçlar
1.
2.
sin ax
a

x  0 bx
b
3.
tan ax
a

bx
b
4.
lim
lim
x0
lim
sin ax
a

sin bx
b
ve
lim
sin ax
a

tan bx
b
ve
x0
x0
lim
tan ax
a

tan bx
b
lim
tan ax
a

sin bx
b
x0
x0
Bu sonuçların bazılarını gösterelim:
sin ax
sin ax
. ax
tanax
sin
ax
1
1
 lim cos ax  lim
.
 lim ax
 lim
2. lim
x  0 bx
x0
x

0
x

0
x

0
bx
bx
cos ax
bx
cos ax
=
lim
x0
sin ax a
1
a 1 a
 
 1 

ax
b cos 0
b 1 b
sin ax
. ax
sinax
1. a a
ax
lim

lim


3.
x  0 sinbx
x  0 sin bx
1. b b
bx
bx
bulunur.
bulunur.
Diğerlerini de benzer biçimde siz gösteriniz.
Örnek :
a. lim
x
1
3
cos (3 x  1)
2x  1
tan x
d. lim
x   2 . ( x  )
b. lim
x0
cos 2x
sin x  cos x
9  x2
e. lim
x  3 tan( 3  x)
değerlerini hesaplayalım.
78
c.
lim
x  2
x2  x
cos( x  2)
x
2
sin x
2 cos
f. lim
x 1
cos (3 x  1)

a. lim
1
2x  1
x
Çözüm :
FG
H
3
cos 2x
cos 0
1


 1
sin x  cos x sin 0  cos 0 1
b. lim
x0
x2  x
42 6

 6
cos( x  2) cos 0 1
lim
c.
x  2
tan x
0

2 . ( x  ) 0
d. lim
x 
belirsizliği vardır. tanx =  tan( x) yazalım.
lim
 tan (   x)
1
tan (   x)
1
1
 lim
 lim

.1
x 2 x 
2 (   x)
x
2
2
lim
9  x2
0

tan(3  x)
0
lim
(3  x)(3  x)
3x
 lim
 lim (3  x)  1 . 6  6
x

3
tan(3  x)
tan(3  x) x  3
x 
e.
IJ
K
1
1
cos 0
3
3


1
5
5
2  1
3
3
cos 3
x3
x3
x
2  0
sin x
0
belirsizliği vardır..
2 cos
f. lim
x 1
cos
x
2
 sin
belirsizliği vardır..
FG    x IJ  sin 1 (  x) , sinx = sin (x)
H2 2 K 2
1
(  x)
1
2
2
1
sin(   x)
2
2 . sin
lim
x 1
bulunur. (sinx = 2 . sin
olduğundan;
x
x
 cos
açılımı yapılarak da
2
2
bulunur.)
Örnek :
lim
sin 2 x  sin 2 a
x a
Çözüm : xlim
a
lim
x a
lim
sin 2 x  sin 2 a
x2  a 2

0
belirsizliği vardır..
0
(sin x  sin a)(sin x  sin a)
sin x  sin a
sin x  sin a
 lim
 lim
x a
x a
( x  a)( x  a)
xa
xa
2 . cos
xa
değerini hesaplayalım.
x2  a 2
xa
xa
 sin
2
2  sin a  sin a  2 . cos a  1  2 sin a  1 sin 2a
xa
2a
2
2a
2a
Örnek :
Çözüm :
FG
H
lim
x0
lim
x0
1  cos x
1  cos x
9x
2
x0
9 x2
bulunur..
değerini hesaplayalım.
9 x2
1  1  2 sin 2
lim
IJ
K

0
0
belirsizliği vardır. (cosx = 1  2 . sin2
x
2  lim 2
x0
x
2
3x
sin
79
2
FG  IJ
H 6K
2
x
)
2
2


18
bulunur..

BELİRSİZLİĞİ


un

belirsiz olduğunu şöyle açıklayabiliriz:
1
0




şeklinde yazarsak,
belirsizliğine dönüşür. Bunun için,
da bir belirsiz ifadedir..
1


0


un belirsiz olduğunu başka bir düşünüşle de açıklayalım: Bir sayının  a bölümü 0 ,  un

sıfırdan farklı bir sayıya bölümü  dur. Bu durumda,  un  a bölümü 0 mıdır,  mudur? Kesin

bir şey söylenemediğinden,
bir belirsizliktir..

f (x) = a xn + a
n
xn1 + ... + a
n1
0
m
g (x) = bm x + bm1 x
lim g( x)   
+ ... + b0 birer polinom fonksiyonu olduğuna göre,
f (x)
lim
x    g(x)
ise,
x  
m1
   
,
,
,
   
limitinin hesabında;
Bu belirsizliği yok etmek için, pay ve payda en yüksek dereceli
kısaltmalar yapılarak limit hesaplamasına geçilir.
x
f ( x)
lim
 lim
x    g( x)
x 
x
m
LMa
MN
LMb
MN
belirsizliklerinden
FG 1 IJ  ...  a FG 1 IJ OP
H xK
H x K PQ

FG 1 IJ  ...  b FG 1 IJ OP
H xK
H x K PQ
x
parantezine alınıp,
n
 an  1
n
0
n
an x
lim
m
x  
b x
m
m
Bu durumda,
ve

belirsizliği vardır, denir..

biri ile karşılaşılır. Bu durumda;
n
lim f ( x)   
x  
 bm  1
dir..
m
0
n
an x
f ( x)
lim
 lim

m
x   g ( x)
x
bm x
an
bm
, m  n ise
0
, m  n ise
 veya   , m  n ise olur.
4
Örnek :
a.
2
x  5x
lim
x  
2x
b.
3
lim
x  
2
d.
16 x  3 x  1
4x  3
lim
x  
4
x  5x
Çözüm : a. lim
x  
lim
x  5x
2 x
3
 lim
x  
4

FG 5 IJ
H xK
F 2  1IJ
x G
Hx K
x4 1 
4
x  
2x
3
3
3
x  
( )  5.( )
2  (  )
FG
H
3
x . 1
3
lim
x  
5
x
3
FG  1IJ
Hx K
2

2
3
c.
2
1  x3
80
16 x  3 x  1
4x  3
değerlerini hesaplayalım.


bulunur. Bu durumda
belirsizliği vardır..


IJ
K  ()(1  0)     
3
lim
x  
3 x  4x  5
x2  3 x  5
lim
e.
3
4 x  12x  1
(0  1)
1
bulunur..
4 x 2  12 x 3  1
b. lim
x  
3
3x  4x  5
3
3
x  
2
belirsizliği vardır..
x
2
12x  4 x  1
lim



2
 lim
x  
3x  4x  5
F 12  4  1 I
GH x x JK
F 4 5I
x G3  
H x x JK
3
3

3
12  0  0
 4
300
bulunur..
3
2
c.
16 x  3 x  1


4x  3

lim
x  
x
2
belirsizliği vardır..
2
  x  0 olduğu için
3
1

x x2
3
x 4
x
x .
2
16 x  3 x  1
 lim
4x  3
x  
lim
x  
F16  3  1 I
GH x x JK
F 3I
xG4  J
H xK
16 
FG
H
 lim
x  
IJ
K
x   x olur. Buna göre,
3
1

x x2
16

 1 bulunur..
3
4
x 4
x
 x 16 
FG
H
lim
x 
IJ
K
16x2  3 x  1 

4x  3

lim
d.
x  
belirsizliği vardır..
2
16 x  3 x  1
 lim
4x  3
x  
lim
x  
0  x    olduğu için,
3
1

x x2
3
x 4
x
x
FG
H
lim
FG
H
IJ
K
I
JK
x .
3
1

x x2
3
x 4
x
16 
FG
H
 lim
x  
IJ
K
x  x olur. Buna göre,
IJ
K

16
1
4
2
lim
x  
x  3x  5
1 x
3



2
F
GH
x  3x  5
1 x
3

lim
x  
x
3
bulunur..
belirsizliği vardır..
x 1
2
lim
x  
3
1

x x2
3
x 4
x
16 
x  
e.
F
GH
x 16 
2
3
5
 2
x x
F 1  1I
GH x JK
3
I
JK
F1  3  5 I
GH x x JK
lim

F 1  1I
xG
H x JK
2

x
3
81
0
bulunur..
Örnek :
x2  1
lim
x   2 x  1
a.
Çözüm :
x  
a.
lim
x  
x2  1 

2x  1 
lim
x  1 3 x  1
x  
2

2
x  x x
c.
x2  4 x  3
x  
x2  x2  x
değerlerini bulalım.
belirsizliği vardır.
2
x  3x  1

lim

x   2

x  4x  3
2
c.
x  
x  1  3 x2  1
lim
x  4  x2  5 x
2
b.
b.
x2  3 x  1  7 x
lim
d.
x2  3 x  1
lim
x  
x2  1

2x  1
x
lim
1
x   2
x
2


x  1 3 x  1
lim

x  
2
x2
 
2x
lim
x  
bulunur..
2
x  3x  1
lim

x   2
x  4x  3

lim
 lim
x3 x
x  
2
x  x x
bulunur..
x  x
 lim
x  
4x
2
2x
bu-
lunur.
2
d.
lim
x  
x  3x  1  7x
2



2
x  4  x  5x

x  3x  1  7x
lim
x  
 lim
2
x  4  x  5x
x  
x  7x
x x
 lim
x  
8 x
 4
2x
bulunur.
Örnek :
lim

x
2
tan x
sec x
değerini bulalım.
sin x
tan x
cos
x  lim sin x  1 bulunur..
 lim
belirsizliği vardır. lim
 sec x


1
x
x
x
2
2
2
cos x
tan x 
lim

 sec x

x
Çözüm :
2
5
Örnek :
lim
x 
3
( a  2 ) x  ax  a  5
3
ise, a reel sayısını ve L değerini bulalım.
 L  R  {0}
( a  1) x  ax  2
Çözüm : Sıfırdan farklı reel bir limitin olması için, payın ve paydanın dereceleri eşit olmalıdır. Buna
5
göre, pay kısmındaki x li terimin kat sayısı sıfır olmalıdır. O hâlde, a  2 = 0
Fonksiyonun a = 2
a = 2 dir.
için limitini de siz bulunuz.
Örnek :
değerini bulalım.
Çözüm :

ise

<






belirsizliği vardır.
lim 1  lim
x  
< 1
x  
lim
x  
<
x  
1  lim
x
=1
=2
82
olur..
 x <
lim
x  
x +1
(x  1)
olduğundan;
   BELİRSİZLİĞİ
   un belirsiz olduğunu şöyle açıklayabiliriz:
 ları eşit düşünürsek sonuç 0 , ilk  u daha büyük düşünürsek sonuç pozitif bir değer, ikinci
 u daha büyük düşünürsek sonuç negatif bir değerdir. Bu durumda kesin olarak bir şey söylenemediği
için,    belirsiz bir ifadedir..
b
g
lim f ( x)  g ( x)    
x a


ya da
veya
bf (x)  g( x)g    
lim
x  
0
0
belirsizliği genellikle;
belirsizliklerinden birine dönüştürülür..
FG 2  1 IJ b. lim FG 1  1 IJ değerlerini hesaplayalım.
H x  1 x  1K
H tan x sin xK
F 2  1 I  2  1  2  1     belirsizliği vardır..
Çözüm : a. lim G
2
x  1H x 2  1
x  1 JK
1  1 1 1 0 0
F 2  1 IJ  lim FG 2  x  1 IJ  lim FG 1  x IJ  0 belirsizliğine dönüşür..
lim G
H x  1 x  1K
H ( x  1)( x  1) K
H ( x  1)( x  1) K 0
F 1  x IJ  lim 1   1 bulunur..
lim G
x1
2
H ( x  1)( x  1) K
F 1  1 IJ     belirsizliği vardır..
b. lim G
H tan x sin xK
F 1  1 IJ  lim FG cos x  1IJ  0 belirsizliğine dönüşür..
lim G
H tan x sin xK
H sin x K 0
Örnek :
a. lim
x 1
2
x1
2
x0
x1
x 1
x1
x 1
x0
x0
x0
cos x  1
lim
 lim
x  0 sin x
x0
Özelik :
x
x
1
 sin
0
2
2
 lim

 0 bulunur..
x
x
x 0
x
1
2 sin . cos
cos
2
2
2
1  2 sin2
a > 0 olmak üzere,
lim
x  
2
 x
ax  bx  c  a . lim
x  
b
2a
dır..
Bu özeliği gösterelim:
lim
2
x  
ax  bx  c  lim
x  

Örnek :
a.
lim
a 
x  
lim
x  
F
aG x
H
FG
H
2
b
c
 x
a
a
FG x  b IJ
H 2a K
IJ
K
 lim
x  
a .
2
4 x2  6 x  5 
 lim
x  
a  x
IJ
K
4 x2  x  1
değerlerini hesaplayalım.
83
FG x  b IJ
H 2a K
b

2a
2

b
2
4a
2

a . lim
x
x 
b.
lim
x  
c
a
FG
H
b
2a
olur..
IJ
K
x2  5 x  4  x
Çözüm :
a.
lim
x  
FG
H
Özelikten faydalanarak,
lim
x 
FG
H
2
IJ
K
2
4x  6x  5  4 x  x  1 
x
3
1
 0 ve x   0 olduğundan,
4
8
=
lim
FG 2x  3  2x  1 IJ  lim FG 7 IJ
H 2
H 4K
4K
F
I
lim G x  5 x  4  xJ    
H
K
F
lim G
Özelikten faydalanarak;
 H
x  
5
 0 olduğundan,
2
FG x  5
H 2
x
IJ
K
x  
7
4
4 x2  x  1    
FG 2
H
3
4
x
 2 x
1
8
belirsizliği vardır..
IJ
K
x  + 
yazalım.
iken
bulunur..
belirsizliği vardır..
x  
IJ
K
2
x  5 x  4  x  lim
x
x
lim

x  
2
b.
IJ
K
4 x2  6 x  5 
5
5
 x
2
2
IJ
K
x
yazalım. x    iken
dir.
IJ lim FG 5 IJ  5 bulunur..
K  H 2 K 2
lim e x  3  x j değerini hesaplayalım.
Örnek :

Çözüm :
lim e x  3  x j     belirsizliği vardır..

FH x  3  x IK ifadesinin eşleniği olan FGH (x  3)  x(x  3)  x IJK ifadesi ile çarpalım ve bölelim:
FG (x  3)  x (x  3)  x IJ
H
K
lim e x  3  x j  lim e x  3  x j 


FG (x  3)  x (x  3)  x IJ
H
K
lim
x  
FG
H
x  
FG x  5
H 2
5
 x  lim  x   x 
x  
2
3
3
3
3
x
x 
x 
3
3
3
3
3
3
x 
0.
0.

3
2
3
3
2
3
2
3
3
2
x3x
x   3
2
3
x 
 lim
3
3
2
2
x 
3
2
x 
3
x
2
 lim
x  
3
3
3 x
2
0
bulunur..
BELİRSİZLİĞİ
un belirsiz olduğunu şöyle açıklayabiliriz: Sıfır çarpma işleminin yutan elemanı oldu-
ğundan, çarpma işlemini sıfıra göre yaparsak; 0 .  = 0 olur. Çarpma işlemini
.0=
b
g
b
g
lim f ( x) . g( x)  0 . 
lim f (x) . g(x)  lim
xa
a göre yaparsak;
olur. Buna göre, çarpma işleminin sonucu sıfır mıdır, sonsuz mudur? Kesin bir şey söyleye-
mediğimiz için, 0 .  belirsiz bir ifadedir.
xa

x a
veya
f (x)
0

1
0
g(x)
rülerek limit hesaplanır. x  

lim
x  
b f (x) . g(x)g  0 . 
ya da
b
belirsizliğinin oluşması durumunda;
g
g(x) 

xa 1

f (x)
lim f (x) . g(x)  lim
xa
olması durumunda da aynı işlem yapılır..
84
biçimine dönüştü-
1
 (3 x  1)
x x  4
Örnek :
c.
lim
lim
F I
xG J
H 2K
lim
x  
x0
a. lim
lim
x
belirsizliği vardır..
3x  1
 3 olarak bulunur..
x4
FG x  sin 4 IJ    sin 4   . sin 0  0 . 
H 2 x K 2 
4
x  0 belirsizliğine dönüşür.
2
0
x
x  +
4
4
sin
x  lim
x  2  1. 2  2
1
2
4
0
x
x
x
bulunur..
sin
lim
x  
FG x  sin 4 IJ
H 2 xK
d. lim ( x . cot x) değerlerini hesaplayalım.
(   2x) . tan 3 x
3x  1 
belirsizliğine dönüşür.

x4

b.
x  
1
 (3 x  1)  0 . 
x x  4
Çözüm :
x
b. lim
a. lim
için,
belirsizliği vardır..
1
 0
x
olduğundan;
sin
lim
x  
lim
c.
F I
xG J
H 2K
(   2x) . tan 3 x  0 .  belirsizliği vardır..
 2x = h diyelim. x 
lim
x
FG  IJ 
H 2K
 h


olur. x 
2 2
2
iken h  0 dır. Değerlerini yerlerine yazalım:
LM FG   h IJ OP 
N H 2 2KQ
(   2 x) . tan 3 x  lim h . tan 3 .
h 0
3h
 lim h . cot
 lim
h 0
h0
2
h
0

3h
0
tan
2
lim h . tan
h 0
x0
FG
H
x0
lim
x0
IJ
K
1
x
0
 lim

x  0 tan x
tan x
0
lim h . tan
h 0
FG   3h IJ
H2 2 K
3h
2
2
2
2

 1.

belirsizliğine dönüşür. lim
h0
3h 3
3
3
tan
2
d. lim ( x . cot x) = 0 .  belirsizliği vardır..
lim x .
FG 3   3h IJ 
H 2 2K
belirsizliğine dönüşür..
x
 1 dir..
tan x
85
bulunur..
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
a. lim
ex
d. lim
2x3  2
x1
x 1
x 1
g.
j.
 2x  3
j
b.
x 2  2ax  3 a 2
lim
x 1
x 1
h.
k.
lim
a x
n.
r.
lim
x  64
i. xlim
1
2
x 2
x 4
3
x 4
x 2  x  12
x2  9
x3  7 x  6
x3  1
FG 1  2 IJ
H x  1 x  1K
2
12 x  12  48
x2  5 x  4
3
x  1  x3  1
o. lim
x 0
x
a
x a
64  x
3
lim
l.
2
lim
3
x 1
a  ax  2 x
xa
x x
x 1
p. lim
2
x
x 3
x1
x3  a 3
lim
lim
f. lim
x2  1
3
x 1 1
c.
x2  3 x  4
x 2
x  4  3x  4
lim
x2
x1
x a
x 0
x2  4
x2
lim
e. lim
x2  a 2
lim
x 1
m.
2
s.
lim
x 1
x 4
(2 x ) 2  4
2x  2
2. Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
a.
x2  3 x  4
lim
x
x2  1
lim
F x  xI
GH x  1 2 JK
b.
lim
x  
2
d.
g.
x
Fx  2 
H
lim
x 
x3  x2  x  1
x3  x2  x  1
F x x I
GH x  1 JK
3
e.
I
K
x2  5x  1
h.
lim
x  
lim
x  
2
2
x  x2  x  1
2x  4 x2  x
2
c.
lim
x  
f.
lim
x  
i.
lim
x  
2
2 x  sin x
x
2
2 x2  2 x  1  2 x
4  3x
1 5 x
3. Aşağıdaki trigometrik fonksiyonların limitlerini hesaplayınız.
sin x  cos x
1  sin x
a. lim
x0
sin 2 x
d. lim
x
x 0
g.
lim
x
j. lim
x0
FG  IJ
H 2K

2
cos x
1  sin x
1  cos x
x
1  cos
2
b.
e.
h.
k.
lim
x / 3
lim
x0
lim
2 cos x  1
sin 7 x
x
sin
7
1  cos  x
2
x
lim
2x  sin x
x  sin x
86
lim
x 0
3 tan x
x0
x0
c.
f.
lim
x0
i.
l.
lim
1  cos x
sin 2 x
x sin x
1  cos x
tan x  sin x
x0
x3
lim
sin x  sin a
sin( x  a)
xa
FG
H

3
1  cos x
sin x 
lim
m.
p.

x
3
IJ
K
n.

x
2
r.
lim
x
3

7
2

7
s.
2
x 

49
lim tan  x . tan
x 1
lim
x0
x
2
FG 1  sin 3x . tan 4 xIJ
Hx
K
2
2
(n  1) x  (2m  6) x  x  1
2
x 
o.
sin x  sin
1
lim x . sin
x
x
4. lim
cos 3 x
  2x
lim
 1
ise, m + n değeri kaçtır?
mx  2 x  5
2
5.
6.
7.
lim
ax  (b  5) . x  3
=0
5x
lim
F
H
x  
x
lim
x  
8. lim
I
K
x2  ax  3  x2  6x  7  6
x3
2x  1
3x
a+b
değeri kaçtır?
ise, a sayısı kaçtır?
değerini hesaplayınız.
x3  3 x2  x  (m  1)
x2
olduğuna göre,
x 4  2x 2  3 x  2
n
dir.
m ve n
F 3x  5x  7  (a  1) x  bI  7
GH 4  3x
JK
reel sayılar olduğuna göre,
m+n
2
9.
10.
11.
lim
x  
2
x
m

x

1
m
1  1
lim
xm
xm
9
lim

x
3
2 . sin x  1
tan x  1
ise,
m  R+
olması için,
a ve b
sayısı kaçtır?
değerini hesaplayınız.
87
reel sayılarını bulunuz.
kaçtır?
TEST 2 • A
1. Aşağıdaki eşitliklerden kaç tanesi doğrudur?
x
lim
I.
x  0
IV.
x
lim
x
FG IJ
H 3K


 1
FG
H
sin x 
A) 1
2.
lim
x 4

3
IJ
K
7
x4
lim
x  0
x
x
x . sgnx 
V..
III.
lim
F 1I 
xG J
H 2K
2x  1 = 0
lim sgn(1  x2 )  0
x  1
C) 3
D) 4
E) 5
C) 0
D) 1
E) 7
D) 1
E) 2
değeri kaçtır?
B)  1
mx  5
2
1
=1
B) 
R|
S| x
T
sgn x
değeri kaçtır?
A)  2
4. f ( x) 
x
x 0
B) 2
A) 
3.
lim
II.
C) 0
, x  1 ise
 mx  2n , x  1 ise
fonksiyonu veriliyor.
Bu fonksiyonun x = 1 noktasında limiti var olduğu bilindiğine göre, m + n kaçtır?
A)  1
5.
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
değeri kaçtır?
A)
24
25
6.
B)
25
24
2
3
D)
3
2
E) 1
C) 0
D)
1
6
E) 
C) 0
D) 1
E) 
C)
değeri kaçtır?
A) 
7.
B) 
1
6
değeri kaçtır?
A) 
B)  1
8.
Yanda, f (x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna
göre, aşağıdaki eşitliklerden kaç tanesi doğrudur?
I.
IV.
lim f ( x)   1
x 0
lim f ( x)
B) 2
C) 3
yoktur. V.
1
2
lim f ( x2 )   1
x  0
D) 4
88
III.
lim f ( x)  1
x
x2
A) 1
II.
E) 5
lim f ( x)  1
x  1
9. f : R  R fonksiyonu aşağıda tanımlanmıştır.
R| 9x  1 ,
f ( x)  S 19 ,
|| x  9 ,
T
x  2 ise
x  2 ise
3
x  2 ise
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) lim f ( x)  17
B) lim f ( x)  17
x  2
C) lim sgn f ( x)   1
x2
D) lim
f (x) = 18
x  2
E) lim
x0

d f (x)  f (x)i  0
x  2
10.
Yanda, f (x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna
göre;
 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 noktalarından limiti var olan
noktalardaki limitler toplamı kaçtır?
A)  1
B) 0
C) 3
D) 4
E) 5
11. Yanda grafiği verilen f (x) fonksiyonu ile ilgili
aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi yanlıştır?
I.
lim f ( x)  0
x  3
II.
III.
IV.
lim f ( x)  2
x  1
lim f ( x)  lim f ( x)  3
x  1
x  1
lim f ( x)  lim f ( x)  4
x 1
A) 0
12.
lim
x0
V.
x 2
lim x2 f ( x  2)  1
x  1
B) 1
x
2x  x + 1
A) 0
C) 2
D) 3
D) 4
C) 1
D) 
E) Yok
değeri kaçtır?
B)  1
13. Aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
I.
lim
x  1
3x  2 . x
III.
A) I, II, IV
2
IV.
B) II, III, V
=1
II.
lim
x  3
F x3 I  0
lim G
H sgn( x  3) JK
x3
C) II, III, IV
89
D) I, II, V
2
4x +x 8 =1
x2  1
V.
lim
x  1
x2  1
0
E) I, II, III, V
14. Aşağıdaki fonksiyonlardan kaç tanesinin x = 4 noktasında limiti vardır?
x
4
I. f (x) =
IV. f (x) =
II. f (x) = (x  4)2 . sgn (x  4)
4x . sgn
A) 1
FG x IJ
H 4K
V. f (x) =
B) 2
C) 3
III. f (x) =
16  x2
x2  16
(x  4)3
x4
D) 4
E) 5
15. f (x) =
Yukarıda verilen f (x) fonksiyonunun x = 5 noktasında limitinin var olabilmesi için, m
tam sayısı kaç olmalıdır?
A)  3
B)  1
C) 1
16.
1
2
B) 
17.
1
2
C) 0
D) 1
E) 2
C) 0
D) 1
E) 
C) 1
D) 4
E) 5
değeri kaçtır?
A)  7
B)  1
6x + 2
lim
x3
değeri kaçtır?
5
A)  1
19. f ( x) 
B) 0
R| 6  x sgn(x  3) , x  3
S|
x
, x3
T
2
parçalı fonksiyonu için;
A)  9
20.
E) 3
değeri kaçtır?
A)
18.
D) 2
lim
x  
A) 9
lim
x  3
B)  3
sin x  1  cos 2x
m
sin 2x
B) 4
ise
ise
f (x)  f (3)
x3
değeri aşağıdakilerden hangisidir?
C)  1
D) 0
ise, (2m + 1)2
değeri kaçtır?
C) 3
D) 2
90
E) 1
E) 1
TEST 2 • B
1. Aşağıdaki eşitliklerden kaç tanesi doğrudur?
I.
lim
x0
x2
0
x
lim
IV.
x
e
II.
j
x 1  x  0
3.
2x  2
x2
x2
A)
1
2
x3
=a
6.
lim
4 x2
1  cos 2x
5x  x
x 2  25
A) 
1
20
lim
x 1
D) 4
C) 2
D) 2
e
2
IK OP  2
Q
E) 5
2
E) 2
kaçtır?
1
10
x2  7 x
x  mx  7
A) 8
E) 
C) 2
D) 4
E) 12
1
5
D)
1
5
E)
1
10
değeri kaçtır?

7
8
C) 4
ise,
m
D) 5
E) 6
C)  6
D) 6
E) 7
C) 1
D) 0
E)  1
C)  1
D) 
değeri kaçtır?
B)  7
sin(8 x  8)
x1
D) 9
C) 
B) 3
2
C) 6
değeri kaçtır?
B) 
A)  8
8.
C) 3
2
değeri kaçtır?
25  x2
lim
x4
x7
3a
B) 0
x 5
lim
ise,
B) 3
A) 2
7.
2 2
x6 3
A)  4
5.
LMln FH e x  1IK  ln FH x
N
2
lim log3
x0
1
B)
x 3
lim
lim
x
değeri kaçtır?
A) 1
4.
V.
B) 2
lim
lim
x
x 1
A) 1
2.
III.
lim ( x  1) . sgn(1  x)  0
değeri kaçtır?
B)
1
8
3
4  x  x3  28
9.
x 1
x 1
lim
A) 
7
9
değeri kaçtır?
B) 
8
9
91
3
2
E) 
5
2
cos x
0
x
10.
lim
x x  16 2
3
x8
değeri kaçtır?
x 2
A) 36 2
B) 18
C) 18 2
D) 9
E) 8
C) 1
D) 2
E) 3
C) 0
D) 6
E) 8
2
11.
12.
x x
x1 x  1
A) - 1
lim
değeri kaçtır?
B) 0
x3  8
lim
değeri kaçtır?
x2  2x
x  2
A)  6
13.
B)  2
x
lim
3
değeri kaçtır?
x3
x3
A)  3
R|
S|
T
14. f ( x) 
1
B) 
3
2
,
x  4 ise
10 x  4
,
x  4 ise
1
D)
2 3
x  10
fonksiyonu veriliyor.
1
C) 
3
E)
2 3
lim f (x) değeri kaçtır?
x4
A) 6
15.
lim
x 
B) 8
x5  x
1  x5
lim
B) 1
cos 4 x  cos 6 x
sin 2 5 x
x0
A) 1
17.
lim
x 
B)
7x  8x
6 x  8 x 1
A) 8
D) 12
E) Yoktur.
C) 0
D)  1
E) 
değeri kaçtır?
A) 5
16.
C) 10
değeri kaçtır?
4
5
C)
6
5
D)
2
5
E) 0
değeri kaçtır?
B) 7
1
7
C) 6
D)
C) 1
D) 4
E)
1
8
18. f (x) = x2 + x + 1 fonksiyonu veriliyor.
f ( 2 x  1)
x   f ( 4  x)
lim
A)  4
19.
lim
F I
xG J
H 2K
B) 0
1  cos 2x
 sin 
sin 2x

A) 30
20.
lim
x
değeri kaçtır?
B) 45
4 . 10 x  3 . 10 2x
3 . 10 x1  2 . 10 2 x 1
A)  15
B)  6
eşitliğinde,
E)
 kaç derece olabilir?
C) 60
D) 90
E) 225
D) 0
E)
değeri kaçtır?
C)  3
92
4
3
TEST 2 • C
3 x 2  5 x  x 2  2x  1
1. lim
x
A)  2
2.
B)
2 x  3  32
lim
B) 0
F
H
lim
1
3
C) 0
D)  3
E) 
C) 1
D) 2
E) 8
D) 2
E) 
değeri kaçtır?
16  4 x
x 2
A)  1
3.
değeri kaçtır?
x 3  2x  x 2  1
I
K
x2  3 x  3
değeri kaçtır?
x3
x  
A) 
B)  3
C)  1
4.
f (x) fonksiyonunun grafiği yandaki doğruyu göstermektedir. Buna
göre,
A)
5.
9
16
B)
5x 
x  
lim
sin( x  1)
x3  1
(x)
f (x)
3
4
değeri kaçtır?
D)
4
3
E) 1
değeri kaçtır?
3
a)  9
x9
C) 1
D)
C) 0
D)
1
3
E) 3
C)  7
D)  6
E) 0
5
E) 5
değeri kaçtır?
B) 
sin x
lim
x0
C)
B) 0
x1
x
1
x
A)  3
7.
3x
lim
A) 
6.
4x 
16
9
f
lim
1
3
değeri kaçtır?
B)  8
93
3
8.
lim
x
n6  n5  2
değeri kaçtır?
n 2  n  1998
A) 1
9.
lim
x1
B) 2
x1998  1
x1997  1
D)
1
3
E) 
D)
1997
1998
E)
değeri kaçtır?
A) 1998
10.
C) 3
B) 1997
C)
( x  2)( x  3)( x  4)( x  5 )  120
x 1
x
lim
A) 0
B) 14
1998
1997
1999
1998
değeri kaçtır?
C) 100
D) 120
E) 240
11.
Yanda, f (x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur?
I.
III.
d i0
II.
lim f ( x  1)  3
IV.
lim f x
x  2
x0
V.
A) 1
B) 2
d i
lim f x 
1
x
2
C) 3
b
g
lim f f ( x)   3
x  1
lim f (1  x2 )  3
x 1
3
4
D) 4
E) 5
x3
biçiminde tanımlanıyor. gof fonksiyonu
x 1
aşağıdaki noktalardan hangisinde süreksizdir?
12. f(x) = 2x + 3 , g : R  {1}  R , g(x) =
A)  2
B)  1
C) 1
D) 2
E) 3
13.
f : [ 1 , 3]  R olmak üzere, f (x) fonksiyonunun grafiği
yanda verilmiştir. Buna göre, aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur?
I.
f [ 1 , 3] = [0 , 3] dir.
II.
f (x) = 0
III. lim
x 1
V.
denkleminin çözüm kümesi: { 1 , 0 , 3} tür.
x
1
f ( x  1)
IV.
FG
H
lim f 1 
x2
lim f ( x) . f ( x  1)  3
x0
A) 1
14. 13. sorudaki
B) 2
f (x)
lim f ( x)  m ,
x  1
A) 0
C) 3
D) 4
E) 5
fonksiyonunun grafiğine göre, aşağıdaki limitler tanımlanıyor.
lim f ( x)  n
x 0
B) 3
dir. Bu durumda,
C) 6
x 2  m2
x  m x  3n
lim
D) 9
94
değeri kaçtır?
E) Yoktur.
IJ
K
x
2
4
15.
lim
x
FG
H
16 x2  15 x  1  16 x2  5 x  16
A)  16
B)  15
IJ
K
değeri kaçtır?
C)  4
5
2
D) 
E) 
15
8
16. Aşağıdaki eşitliklerden kaç tanesi doğrudur?
I.
x15  1
lim
x 
15  x
2
IV.
x2
lim
1
x0
x
15
II.
2
V.
lim
FH
A) 
2
3
18. h   R
IK
x2  3 x  5  x
,
h
x  2  h2
3
x 1
lim x . sin
x  
x
D) 4
C) 
3
2
1 3 2
. x 1
x
E) 5
3
2
D)
koşullarını sağlayan
d doğrusu üzerinde, A ve B
x  2  h3
f
ve
g

f ( x)  3  h ve
fonksiyonları düşünülüyor..

1
10
eşitsizliğini bu tür
III. x = 1,998
D) 4
gibi sabit iki nokta ve
noktası alınıyor.
E) 3
f (x)  3 . g(x)  15
değerlerinden kaç tanesi,
P
lim
x
değeri kaçtır?
g( x)  4  h
dışında değişken bir
III.
1
 
x
(f , g) çiftlerinin tümünü sağlar?
I. x = 2,001
II. x = 1,99
IV. x = 2,99
V. x = 3,99
A) 1
B) 2
C) 3
19. Bir
0
çok küçük bir reel sayı olmak üzere;

Aşağıdaki
1  x  x2
C) 3
B) - 3
+
x  
 1998
2
B) 2
x  
lim
1
A) 1
17.
 1
AB = a ve
E) 5
P  d
PB = x
olmak üzere,
olmak üzere,
[AB] nın
lim
x  
AP
BP
değeri kaçtır?
A) 2
20.
B) 1
C)
1
2
D) 0
E) a
C
D
B
O
Yandaki şekilde yarıçap uzunluğu 1 birim olan çemberin merkezi
P
x
A
E
O dur. m(AOP) = x radyan olmak üzere OD = 2AP dir.
Buna göre,
A) 0
B) 1
C)
3
2
lim OE
x0
nin değeri kaçtır?
D) 2
95
E) 3
BÖLÜM
FONKSİYONLARDA SÜREKLİLİK
3
BİR NOKTADA SÜREKLİLİK
Tanım : A  R , a  A olmak üzere f : A  R ye tanımlanan f (x) fonksiyonunda,
lim f (x)  f (a)
ise,
f
fonksiyonu x = a
noktasında süreklidir,,
denir.
xa
Bu tanıma göre,
f
fonksiyonunun
1.
f
fonksiyonu,
x = a da
2.
f
fonksiyonunun
x=a
x=a
noktasında sürekli olması için;
tanımlı olmalıdır.
için reel bir limiti olmalıdır.
3. f fonksiyonunun a noktasındaki limiti, fonksiyonun
olmalıdır.
x = a noktasındaki görüntüsüne eşit
Bu üç koşuldan herhangi biri sağlanmazsa f fonksiyonu x = a noktasında süreksizdir, denir.
Aşağıdaki grafikleri inceleyiniz.
1. f (a) = L
x = a
2. lim f (x)  f (a) = L olduxa
ğundan,
f
x=a
noktasında
fonksiyonu süreklidir.
Çünkü
da tanımsızdır.
a nın
görüntüsü
yoktur. Bunun için f fonksiyonu,
x=a
noktasın-
da süreksizdir.
Örnek : f (x) =
fonksiyonu
lim f (x) = L
xa
lim f (x)  f (a) için;
xa
f,
x=a
reksizdir.
x = 1 de
sürekli midir?
Çözüm
1.
2. f (1) = 1 +
1 1 = 1
3. lim f (x)  f (1) = 1
x1
olduğundan,
f fonksiyonu
96
x = 1 de
süreklidir..
noktasında sü-
Örnek : Yanda, y = f (x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
a. Fonksiyonun tanım kümesini bulalım.
b. Fonksiyonun tanım kümesinde varsa süreksiz olduğu
noktaları bulalım.
Çözüm : a. Fonksiyon her x reel sayısı için tanımlı
olduğundan, tanım kümesi R dir.
b.
lim f (x)  5
ve
f (1) = 3
olup,
x 1
olduğu için,
f
lim f (x)  f (1)
x 1
fonksiyonu
U|
V
f (x)  0 |
W
x = 1 de
süreksizdir.
lim f (x)  2
x3

lim
x3

olup,
lim f (x) yoktur.
x3
Buna göre, fonksiyon x = 1 , x = 3 te süreksiz; tanım kümesinin diğer noktalarında süreklidir.
Bir fonksiyon
x=a
noktasında sürekli ise, grafiği devamlı çizgi çizer. Atlama (sıçrama)
yapmaz. Buna göre, yukarıdaki örneği bir kez daha inceleyiniz.
SOLDAN VE SAĞDAN SÜREKLİLİK
Tanım : A  R ,
a  A olmak üzere
1.
lim f (x)  f (a)
ise,
f
fonksiyonu
x=a
noktasında soldan süreklidir, denir..
lim f (x)  f (a)
ise,
f
fonksiyonu
x=a
noktasında sağdan süreklidir, denir..
2.
x  a
x  a
f : A  R fonksiyonunda:
Tanımı aşağıdaki grafiklerde inceleyiniz.
R| x  1 ,
S| 2x  1 ,
T
2
Örnek :
f :R  R ,
f ( x) 
x  1 ise
x  1 ise
fonksiyonunun x = 1 de soldan ve sağdan sürekliliğini inceleyelim.
Çözüm
2
lim f (x) = lim ( x  1)  2

x1

x 1
lim f (x) = lim (2x  1)  1

x1

x 1
f (1)  2 . 1  1  1
U|
|
V|
||
W
1. lim f ( x)  f (1)

x 1
olduğundan, fonksiyon
x  1 de soldan
sürekli değildir.
2. lim f ( x)  f (1)  1 olduğundan, fonksiyon

x1
süreklidir.
97
x  1 de
sağdan
R| x  1 ,
S| 2x  1 ,
T
2
f :R  R ,
f ( x) 
x  1 ise
x  1 ise
fonksiyonun grafiği yandaki gibi çizilerek, f fonksiyonunun x = 1 de
soldan süreksiz ve x = 1 de sağdan sürekli olduğu görülür.
KAPALI BİR ARALIKTA SÜREKLİLİK
Tanım : f : [a, b]  R fonksiyonu
kapalı aralığında süreklidir, denir.
1.
x  [a, b]
için sürekli ise, f
fonksiyonu
[a , b]
Bu tanımı yandaki grafiğe göre inceleyiniz.
lim f (x) = lim f ( x)  L (a noktasının solunda fonksiyon tanımx  a
xa
lanmadığı için sağdan limit, a noktasındaki limite eşit olur.)
f (a) = lim f ( x)  L olduğundan, a noktasında f fonksiyonu
xa
süreklidir.
2.
lim f (x) = lim f ( x)  K (b noktasının sağında fonksiyon tanımx  b
xb
lanmadığı için soldan limit, b noktasındaki limite eşit olur.)
f (b) = lim f ( x)  K olduğundan, b noktasında f fonksiyonu süreklidir..
xb
3.
x0  (a , b) için,
O hâlde,
[a , b]
lim f ( x)  f ( x 0 )
x  x0
olur..
kapalı aralığının her noktasında
f fonksiyonu süreklidir.
Örnek : f : [ 1 , 3]  R , f (x) = x2  4 fonksiyonunun [1 , 3] kapalı aralığında sürekli
olduğunu gösterelim.
Çözüm :
olduğundan,
süreklidir.
x  [ 1 , 3]
0
f
fonksiyonu
için
[ 1 , 3]
lim f ( x)  f ( x 0 )
x  x0
kapalı aralığında
TANIM KÜMESİNDEKİ SÜREKLİLİK
Tanım : A R , f : A  R fonksiyonu A
f, tanım bölgesinde süreklidir, denir.
tanım kümesinin her noktasında sürekli ise;
Örnek : an , an1 , ... a1 , a0 birer reel sayı n N olmak üzere f (x) = anxn + an1xn1 + ... + a1x + a0
ile tanımlı
f : R  R fonksiyonunun
Çözüm :
f fonksiyonu
x R
0
R de
için
R de
sürekli olduğunu gösterelim.
n
n 1
lim f ( x)  a n x 0  a n  1 x 0
x  x0
süreklidir.
98
 ...  a 1 x 0  a 0  f ( x 0 )
olduğundan,
R  R ye
polinom fonksiyonları sürekli olup grafikleri devamlı çizgi çizer.
Teorem : A R , a A olmak üzere; A dan R ye tanımlı f ve g fonksiyonları
x=a
noktasında sürekli iseler;
1.
k R için
2.
f+g
3.
f.g
4.
g (a)  0 olmak üzere,
ve
k.f
fg
fonksiyonu
fonksiyonları
fonksiyonu
x=a
x=a
x=a
noktasında süreklidir.
noktasında süreklidir.
noktasında süreklidir.
f
fonksiyonu x = a noktasında süreklidir..
g
İspat : f ve g, x = a noktasında sürekli olduklarından, lim f ( x)  f (a) ve lim g( x)  g(a) dır..
xa
xa
1. lim k . f ( x)  k lim f ( x)  k . f (a) dır. O hâlde, k . f fonksiyonu x = a noktasında süreklidir..
xa
x a
b
g
2. lim f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)  f (a)  g(a) dır. O hâlde, f  g fonksiyonları x = a
x a
noktasında süreklidir.
3.
b
g
xa
x a
lim f ( x) . g ( x)  lim f ( x) . lim g( x)  f (a) . g(a) dır. O hâlde,
x a
x a
xa
f.g
fonksiyonu
x=a
noktasında süreklidir.
4. lim
xa
lim f ( x)
f ( x)
f (a)
xa


g( x)
lim g( x)
g (a)
( lim
xa
g ( x)  0 ) dır. O hâlde,
x a
f
g
fonksiyonu x = a noktasında
süreklidir.
bx  2g
Örnek : f (x) =
2
. x2  1
fonksiyonunun
x = 2 noktasında sürekli olup olmadığını
araştıralım.
bx  2g
Çözüm : f (x) =
lim f ( x)  f ( 2)  0 ve
2
ve g ( x)  x 2  1
lim g ( x)  g ( 2)  3
x2
olmak üzere,
olduğundan;
f ve g,
h (x) = f (x) . g (x)
olur..
x = 2 noktasında süreklidir..
x2
Teoreme göre, f ve g nin çarpımından oluşan h = f . g fonksiyonu da x = 2 noktasında süreklidir.
Örnek :
h ( x) 
sgn (2  x)
x2  1
fonksiyonunun
x = 3 noktasında sürekli olduğunu gösterelim.
Çözüm : f (x) = sgn (2  x) ve g (x) = x 2  1
lim f ( x)  f ( 3)   1 ve
x3
Teoreme göre,
lim g ( x)  g( 3)  8
olmak üzere,
olduğundan;
h ( x) 
f ( x)
g ( x)
olur..
f ve g , x = 3 noktasında süreklidir..
x3
f ve g nin
bölümünden oluşan
99
f
g
fonksiyonu da x = 3 noktasında süreklidir..
Teorem :
(Bileşke fonksiyonunun sürekliliği)
f : A  B , g : B  R fonksiyonları ile a  A , f (a)  B olmak üzere, f fonksiyonu
a noktasında ve g fonksiyonu da f (a) noktasında sürekli ise, gof bileşke fonksiyonu
a noktasında süreklidir.
İspat :
f
fonksiyonu
a noktasında sürekli ise,
lim f ( x)  f ( a) dır..
xa
g fonksiyonu
f (a) noktasında sürekli ise,
b g FGH
IJ b g
K
lim (gof )( x)  lim g f ( x)  g lim f ( x)  g f (a)
xa
xa
xa
b g
lim g ( x)  g f (a)
x  f ( a)
dır..
bulunur. O hâlde, gof fonksiyonu a nokta-
sında süreklidir.
R| 3ax  2 , x  2
f ( x)  S 3 x  8 , x  2
|T bx  a , x  2
Örnek :
fonksiyonu
ise
ise
ise
x R için sürekli ise, (a , b) ikilisi ne olmalıdır?
Çözüm : f1(x) = 3ax + 2 , f2(x) = 3x + 8 , f3(x) = bx + a fonksiyonları
O hâlde,
f
Buna göre,
fonksiyonu eğer
x = 2 de de sürekli olursa,
f fonksiyonu
x  R için süreklidir..
x  R için sürekli olur..
lim f ( x)  f ( 2) olmalıdır..
x2
U|
|V
||
W
lim (3ax  2)  6a  2
x 2

lim (bx  a)  2b  a
x 2

f (2)  3(2)  8  14
O hâlde,
Örnek :
6a  2  14

a  2 dir.
2b  a  14

2b  2  14  b  6 dır.
(a , b) = (2 , 6) bulunur.
R| 2x , x  3 ise
 S x 9
|T x  3 , x  3 ise
2
f : R  R , f ( x)
fonksiyonu x = 3 noktasında sürekli midir?
2
Çözüm :
lim f ( x)  lim
x3
x 3
x 9
 lim ( x  3)  6 , ( x  3)
x3
x3
f (3) = 2 . 3 = 6 Buna göre,
lim f ( x)  f ( 3)  6
olduğundan,
f fonksiyonu x = 3 noktasında
x3
süreklidir.
Teorem :
f:A  B
(Ters fonksiyonun sürekliliği)
ve
f 1 : B  A
A kümesinde sürekli ise,
f
1
birbirlerinin tersi olan iki fonksiyon olsun. Eğer f
fonksiyonu da
B kümesinde süreklidir..
İspat : Bir fonksiyonla bunun tersinin grafiği y = x doğrusuna
göre simetriktir.
f nin
f 1
grafiği devamlı bir eğri ise,
devamlı bir eğri olacaktır. Bunun için f sürekli ise, f
100
1
grafiği de
de sürekli olur..
fonksiyonu
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN SÜREKLİLİĞİ
1. f (x) = sinx
a  R için;
olduğundan,
lim f ( x)  lim sin x  f (a)  sin a
xa
x a
sinx fonksiyonu R de süreklidir. Yandaki grafiğin hiçbir
noktada kesilme ve sıçrama yapmadığı görülmektedir.
2. f (x) = cosx
a  R için;
olduğundan,
lim f ( x)  lim cos x  f (a)  cos a
x a
x a
cosx fonksiyonu R de
süreklidir. Grafiği inceleyiniz.
sinx
olduğundan, tanx fonksicosx
yonu paydayı sıfır yapan değerlerde tanımsız olduğu için
bu noktalarda süreksizdir.
3. f (x) = tanx =
{
}

, k Z
küme2
sinde tanımsız olup, bu nedenle süreksizdir. Bu durum
grafikten de görülebilir.
f (x) = tanx fonksiyonunun
sürekli olduğu küme;
cosx = 0

Ç = x x  ( 2k  1)
{
R  x x  (2k  1)

, k Z
2
}dir..
cosx
olduğundan, cotx fonksiyonu paydayı sıfır yapan değerlerde tanımsız
sinx
olduğu için, bu noktalarda süreksizdir.
4. f (x) = cotx =
Sinx = 0  Ç = { x  x = k , k Z }
f (x) = cotx fonksiyonunun sürekli olduğu küme :
Örnek : f ( x) 
sin x
cos x

1  cos x
2  sin x
kümesinde tanımsız olup, bu nedenle süreksizdir.
R { x  x = k , k Z } dir.
fonksiyonunun sürekliliğini inceleyelim.
Çözüm : f (x) fonksiyonunda paydaları sıfır yapan noktalarda fonksiyon süreksizdir.
1  cosx = 0  cosx = 1  Ç1 = { x : x = 2k , k Z }
2 + sinx = 0  sinx =  2  Ç2 = 
Ç = Ç1  Ç2 olduğundan, Ç = { x : x = 2k , k Z } kümesinde fonksiyon süreksizdir.
O hâlde, R  { x : x = 2k , k Z }
kümesinde fonksiyon süreklidir.
SÜREKSİZLİK ÇEŞİTLERİ
Tanım : f : A  R fonksiyonu için, a A olmak üzere; f (a) tanımlı , lim f ( x)  L ve
xa
f ( a)  L ise,
f
fonksiyonunun
x = a da kaldırılabilir süreksizliği vardır,, denir.
Eğer, f (a) = L olarak tanımlanırsa bu şekilde elde edilen yeni fonksiyon, x = a da
R| x  2x
 S
1
|T x  2
2
Örnek :
f : R  R , f ( x)
,
x  2 ise
, x  2 ise
, x  2 ise
fonksiyonunun x = 2 noktasında kaldırılabilir süreksizliği olduğunu gösterelim.
101
sürekli olur.
Çözüm : f (2) = 1
lim f ( x)  lim ( x 2  2x)  0
x  2
x  2
lim f ( x)  lim ( x  2)  0
x  2
x  2
U|
V|
W
lim f ( x)  0

x 2
lim f ( x)  f ( 2) olduğundan, x = 2 de kaldırılabilir süreksizlik vardır..
x2
f (2) = 1
yerine
f (2) = 0
R| x  2x
f ( x)  S
0
|T x  2
2
olarak tanımlanırsa elde edilen,
, x  2 ise
, x  2 ise
, x  2 ise
fonksiyonu sürekli olur.
Tanım :
f : A  R
fonksiyonu için,
fakat
lim f ( x)  L1  R , lim f ( x)  L 2  R
xa

xa

a  A
L L
1
2
olmak üzere;
ise,
x = a da
f (a)
tanımlı,
sıçrama süreksizliği
vardır, denir.
R| x
f : R  R , f ( x)  S
2
|T  x  4
2
Örnek :
, x  1 ise
, x  1 ise
, x  1 ise
fonksiyonu x = 1 de hangi tür süreksizliğe sahiptir?
Çözüm : f (1) = 2
U|
V
lim (  x  4)  3 |
W
lim f ( x)  lim x 2  1
x  1
lim f ( x) 
x  1
x  1

x  1
lim f ( x)  lim f ( x)
x  1
x  1
f fonksiyonu x = 1 de soldan ve sağdan limitleri farklı
olduğu için bu noktada sıçrama süreksizliği vardır. Bu durumu grafikten inceleyiniz.
Tanım : f : A  R fonksiyonu için, a A olmak üzere; x = a daki soldan ve sağdan
limitlerinden en az biri +  veya  ise, fonksiyonun x = a da sonsuz süreksizliği vardır,
denir.
Örnek :
R| 1
| x
f : R  R , f ( x)  S 2
|| x  1
T
, x  0 ise
, x0
ise
, x0
ise
fonksiyonu x = 0 da hangi tür süreksizliğe sahiptir?
Çözüm :
lim f ( x)  lim
x  0
FG 1 IJ   
H K
x  0 x
olduğundan,
f fonk-
siyonu x = 0 da sonsuz süreksizliğe sahiptir. Bu durumu grafikten
inceleyiniz.
102
KAPALI BİR ARALIKTA SÜREKLİ FONKSİYONUN ÖZELİKLERİ
[a , b] kapalı aralığında tanımlanmış sürekli bir f fonksiyonunun özelikleri ile ilgili olan üç teorem
inceleyeceğiz. Önce sınırlı fonksiyon tanımını yapalım:
Tanım :
A R f : A  R fonksiyonunda:
1. Eğer
x  A için, m  f (x) olacak biçimde en az bir m R sayısı varsa, f fonksiyonu alttan sınırlıdır. Bu m R sayılarının en büyüğüne, f fonksiyonunun en büyük alt
sınırı denir.
2. Eğer
x  A için, f (x)  M olacak biçimde en az bir M R sayısı varsa, f fonksiyonu üstten sınırlıdır. Bu M R sayılarının en küçüğüne, f fonksiyonunun en küçük üst
sınırı denir.
3. Eğer
x  A için, m  f (x)  M
f fonksiyonu sınırlıdır, denir.
olacak biçimde
m
ve
M
reel sayıları varsa,
Teorem : Kapalı bir aralıkta sürekli olan fonksiyon sınırlıdır.
Teoreme göre,
x  [a , b]
f : [a , b]  R fonksiyonu sürekli ise;
için,
f ( x)
 M  IR
olacak biçimde bir
M R sayısı vardır..
Bu teoremin karşıtı doğru değildir. Kapalı bir aralıkta sınırlı olan fonksiyon bu aralıkta sürekli olmayabilir.
Örnek : f : R  R , f (x) = 2cosx + 3 fonksiyonu sınırlı mıdır? Sınırlı ise, fonksiyonun en büyük
alt ve en küçük üst sınırını bulalım.
Çözüm : f : R  R , f (x) = 2cosx + 3 fonksiyonu sürekli olduğundan sınırlı bir fonksiyondur.
x  R için,
 1  cosx  1
 2  2cosx  2

1  f (x)  4
 
O hâlde;
f
fonksiyonun en büyük alt sınırı

1  2cosx + 3  4
olur.
1 , en küçük üst sınırı
4 tür.
Teorem : (Ekstremum değer teoremi)
f : [a , b]  R fonksiyonu sürekli ise; f fonksiyonunun bu aralıkta bir en küçük (minimum),
bir en büyük (maksimum) değeri vardır.
b
g
Teoreme göre, f [a , b]  [m , M] olacak biçimde m ve M
sayıları vardır. f fonksiyonunun [a , b] aralığında aldığı en küçük
(minimum) değer
m , en büyük (maksimum) değer
M dir.
m ve M değerlerine, fonksiyonun [a , b] aralığında ekstremum
değerleri denir.
y
Max
M
f (a)
f (b)
m
Min
Bu durumu, yandaki ve aşağıdaki grafiklerde inceleyiniz.
0
y
y
x
M
a=x1
b=x2
x
x2
0
m
x
Max
M
0
x2 b
Max
M
a=x1
x1
y
Max
Min
a
b
x1
a
m
m
Min
103
x
b=x2
0
Min
Örnek : f : [ 2 , 1]  R , f (x) = x2 fonksiyonunun tanımlandığı aralık içinde sürekli olduğunu
gösterelim. Bu fonksiyonun en küçük ve en büyük değerini bulalım.
f (x) = x2 fonksiyonu, polinom fonksiyon olduğu için süreklidir. [ 2 , 1] kapalı
aralığında fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulmak için, tepe noktasının apsisinin bu aralıkta
olup olmadığına bakmalıyız.
Çözüm :
b
= 0 , 0  [2 , 1] olduğundan; f (r) , f ( 2) , f (1) değerlerinin
2a
en küçüğü fonksiyonun minimum değeri, en büyüğü fonksiyonun maksimum değeridir.
Tepe noktasının apsisi r = 
f (r )  f ( 0 )  0
f ( 2)  4
f (1)  1
U|
V|
W
dir. O hâlde; fonksiyonun en küçük değeri
en büyük değeri 4 tür.
b
g
f [ 2 , 1]  [0 , 4]
0,
olur..
Teorem : (Ara değer teoremi)
f : [a , b]  R fonksiyonu [a , b] aralığında sürekli ve a < x1 < x2 < b ise; f fonksiyonu,
f (x 1 ) ile f (x 2 )
Eğer,
grafiği,
arasındaki her değeri en az bir kez alır.
f (x1) < 0 < f (x2) ise, c(x1 , x2)
Ox
değeri vardır ki
f (c) = 0 dır. Yani fonksiyonun
eksenini bir noktada keser.
Yandaki şekle göre ara değer teoremini yorumlayalım:
f (x1) < f (x0) < f (x2) ise, f (x0 ) = y0 olacak biçimde en az
bir x0 (x1 , x2) vardır. Yani, f (x 0) a karşılık gelebilecek
birden fazla x0 değeri de olabilir.
Örnek : f : [0 , 2]  R f (x) = 4 . cosx + 3 . sinx fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerini
bulalım.
Çözüm :
FG
H
f (x) = 4 . cosx + 3 . sinx = 4 cos x 
f (x) = 4. (cosx + tan . sinx) = 4 . cosx +
= 4
= 4
FG cos x . cos   sin x . sin  IJ
H
K
cos 
cos( x   )
= 5 . cos (x  )
4
5
,
sin 
cos 
•
,
tan =
3
4
olsun.
sinx
3
4
tan =
IJ
K
3
 sin x
4
 cos =
4
5
tir..
elde edilir..
 1  cos (x  )  1 olduğundan,  5  5 . cos (x  )  5 yazılır. Buna göre,  5  f (x)  5 tir.
O hâlde; fonksiyonun en küçük değeri  5 , en büyük değeri 5 tir.
104
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıdaki fonksiyonların sürekli olduğu kümeleri bulunuz.
a. f (x) = x2  2x + 5
b. f (x) =
FG 2x  1IJ
H 7xK
d. f (x) = log
7
c. f (x) =
1
x
f. f (x) =
e. f (x) = x . sin
1  x2
sin x  cos x
1  cos x
x 2  x . sgn ( x 3  27)
x
2
g. f (x) =
x2  7x
x2
2
h. f (x) = x x  sgn (4x  1)
2
2. f : ( 2 , 3)  R , f (x) = 2x  sgn (1  2x)  x x  1
i. f (x) =
x 2  5x
fonksiyonu veriliyor.. Bu fonksiyon,
tanımlandığı kümenin hangi noktalarında süreksizdir?
3. Aşağıdaki fonksiyonların süreksiz oldukları noktaları ve süreksizlik çeşidini bulunuz.
a.
R| x ,
f ( x)  S 3 ,
|T3  1 ,
3
|R x  1 ,
f ( x)  S
|Tx  2x ,
x  1 ise
2
b.
x  1 ise
x
x  2 ise
x  2 ise
x2
ise
4.
fonksiyonunun x = 2 noktasında sürekli olabilmesi için, a ve b değeri kaç olmalıdır?
5.
fonksiyonunun x = 3 noktasında sürekli olabilmesi için, m ve n arasındaki bağıntıyı
bulunuz.
6.
fonksiyonu x = 1 noktasında sürekli ve a . b = 1 ise, a2 + b2 değeri kaçtır?
7.
R|
|
f ( x)  S
||x
|T
2
x3  8
x2
m
,
x2
ise
,
x 2
ise
 x  10
,
x  2
ise
f fonksiyonunun R de sürekli olabilmesi için m kaç olmalıdır?
8.
R| (1  x)
f ( x)  S
|T mx
7
1
, x0
ise
, x0
ise
fonksiyonunun x = 0 noktasında sürekli olabilmesi için, m değeri kaçtır?
9. f : [0 , 4]  R fonksiyonu f (x) = x +
noktasında sürekliliğini araştırınız.
ile tanımlıdır. f (x) fonksiyonunun x = 2
105
TEST 3
1. f : R  R , f (x) =
x2  1
fonksiyonunun süreksiz olduğu noktalar kaç tanedir?
x3  4x
B) 2
A) 1
2. f : R  R
4  x2
, f (x) = x .
kaçtır?
A)  4
C) 3
D) 4
E) 5
fonksiyonunun sürekli olduğu tam sayı değerleri toplamı
B)  2
C) 0
D) 2
E) 4
2
sgn(3 x  x )
fonksiyonunun süreksiz olduğu noktalar kümesi,
x1
aşağıdakilerden hangisidir?
A) { 1 , 0 , 3}
B) { 1 , 0}
C) {0}
D) { 1}
E) {x : x   1, x R}
3. f : R  R
,
f (x) =
4. f : R  R , f (x) = x . x
I.
III.
fonksiyonu için, aşağıdaki önermelerden kaç tanesi yanlıştır?
f (0) = 0
II.
IV.
lim f ( x)  0
x  0
V. f (x)
A) 1
lim f ( x)  0
x  0
f (x) fonksiyonu
fonksiyonunun süreksiz olduğu küme
B) 2
C) 3
R| x  25
S| 5  x
T m
x=0
noktasında süreklidir.
Z dir.
D) 4
E) 5
2
5. f : R  R , f (x) =
, x  5 ise
, x  5 ise
fonksiyonu veriliyor f (x) fonksiyonunun R de sürekli olabilmesi için, m değeri kaç
olmalıdır?
A) 10
B) 5
C) 0
D)  5
E)  10
6. R den R ye tanımlı aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi, x = 0 noktasında sürekli değildir?
A) f (x) = x 3
B) f (x) = sgnx2
7. f : R  R , f ( x) 
C) f (x) = x x
D) f (x) = x2
E) f (x) =
RS 7 ,
Tmx  2n  1 ,
fonksiyonu veriliyor. f (x)
A) 1
B) 2
x  2 ise
x  2 ise
fonksiyonunun R de sürekli olabilmesi için, m + n kaçtır?
C) 3
D) 5
E) 6
8.
fonksiyonu aşağıdaki noktalardan hangisinde süreksizdir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 5
9.
lim
x1
E) 6
x 1
değeri kaçtır?
x1
A)  1
B) 
1
2
C) 0
D) 1
106
E)
1
2
10. Yanda grafiği verilen f (x) fonksiyonunda;  1 , 0 , 1 , 2 , 3
noktalarının kaç tanesinde, sürekli olmadığı hâlde limiti vardır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
11. m R
olmak üzere,
x  10
fonksiyonunun daima sürekli olabilmesi için,
 x  10 x  m
değeri aşağıdaki aralıklardan hangisinde bulunmalıdır?
A) m <  36
B) m <  25
C) m >  10
D) m > 10
E) m > 36
2
12. f (x) = 8  2x 
f (x) =
2
8
 sgn( x  8) fonksiyonu veriliyor. f (x)
x  8x
değeri için süreksizdir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
2
m
fonksiyonu x in kaç tane
E) 5
2
x x9
13. f (x) =
A) 2
3
fonksiyonunun süreksiz olduğu kaç tane tam sayı değeri vardır?
2
x  x  16 x  16
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
14.
fonksiyonu veriliyor. f (x) fonksiyonunun x = 1 noktasında sürekli olabilmesi için m + n
değeri hangi aralıkta bulunur?
A) [ 2 , 0)
B) [3 , 7)
C) [8 , 9)
D) [19 , 20)
E) [21 , 30)
15.
R|
f ( x)  S
|T
2
x  6x  9
, x  3 ise
x3
mx  8
, x  3 ise
fonksiyonu R de süreklidir. Buna göre, m reel sayısı kaçtır?
A) 8
B) 5
C) 3
D) 1
E)3
16.
fonksiyonu veriliyor. f (x) fonksiyonu x = 1 noktasında sürekli olduğuna göre, a reel
sayılarının değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
A) [ 3 , 2]
17.
lim
x 3 
x3
x3
A)  1
B) [ 3 ,  2)
C) [ 2 ,  1]
D) [ 2 , 1)
E) [0 , )
C) 1
D) 
E) 3
değeri kaçtır?
B) 0
R| x  9
f ( x)  S 3  x
|T a  2
2
18. f : R  R ,
, x  3 ise
, x3
ise
fonksiyonunun x = 3 noktasındaki süreksizliğini kaldırabilmek için, a değeri kaç olmalıdır?
A) 8
B) 6
C) 3
D)  6
E)  8
107
BÖLÜM
FONKSİYONLARDA SÜREKLİLİK
3
BİR NOKTADA SÜREKLİLİK
Tanım : A  R , a  A olmak üzere f : A  R ye tanımlanan f (x) fonksiyonunda,
lim f (x)  f (a)
ise,
f
fonksiyonu x = a
noktasında süreklidir,,
denir.
xa
Bu tanıma göre,
f
fonksiyonunun
1.
f
fonksiyonu,
x = a da
2.
f
fonksiyonunun
x=a
x=a
noktasında sürekli olması için;
tanımlı olmalıdır.
için reel bir limiti olmalıdır.
3. f fonksiyonunun a noktasındaki limiti, fonksiyonun
olmalıdır.
x = a noktasındaki görüntüsüne eşit
Bu üç koşuldan herhangi biri sağlanmazsa f fonksiyonu x = a noktasında süreksizdir, denir.
Aşağıdaki grafikleri inceleyiniz.
1. f (a) = L
x = a
2. lim f (x)  f (a) = L olduxa
ğundan,
f
x=a
noktasında
fonksiyonu süreklidir.
Çünkü
da tanımsızdır.
a nın
görüntüsü
yoktur. Bunun için f fonksiyonu,
x=a
noktasın-
da süreksizdir.
Örnek : f (x) =
fonksiyonu
lim f (x) = L
xa
lim f (x)  f (a) için;
xa
f,
x=a
reksizdir.
x = 1 de
sürekli midir?
Çözüm
1.
2. f (1) = 1 +
1 1 = 1
3. lim f (x)  f (1) = 1
x1
olduğundan,
f fonksiyonu
96
x = 1 de
süreklidir..
noktasında sü-
Örnek : Yanda, y = f (x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
a. Fonksiyonun tanım kümesini bulalım.
b. Fonksiyonun tanım kümesinde varsa süreksiz olduğu
noktaları bulalım.
Çözüm : a. Fonksiyon her x reel sayısı için tanımlı
olduğundan, tanım kümesi R dir.
b.
lim f (x)  5
ve
f (1) = 3
olup,
x 1
olduğu için,
f
lim f (x)  f (1)
x 1
fonksiyonu
U|
V
f (x)  0 |
W
x = 1 de
süreksizdir.
lim f (x)  2
x3

lim
x3

olup,
lim f (x) yoktur.
x3
Buna göre, fonksiyon x = 1 , x = 3 te süreksiz; tanım kümesinin diğer noktalarında süreklidir.
Bir fonksiyon
x=a
noktasında sürekli ise, grafiği devamlı çizgi çizer. Atlama (sıçrama)
yapmaz. Buna göre, yukarıdaki örneği bir kez daha inceleyiniz.
SOLDAN VE SAĞDAN SÜREKLİLİK
Tanım : A  R ,
a  A olmak üzere
1.
lim f (x)  f (a)
ise,
f
fonksiyonu
x=a
noktasında soldan süreklidir, denir..
lim f (x)  f (a)
ise,
f
fonksiyonu
x=a
noktasında sağdan süreklidir, denir..
2.
x  a
x  a
f : A  R fonksiyonunda:
Tanımı aşağıdaki grafiklerde inceleyiniz.
R| x  1 ,
S| 2x  1 ,
T
2
Örnek :
f :R  R ,
f ( x) 
x  1 ise
x  1 ise
fonksiyonunun x = 1 de soldan ve sağdan sürekliliğini inceleyelim.
Çözüm
2
lim f (x) = lim ( x  1)  2

x1

x 1
lim f (x) = lim (2x  1)  1

x1

x 1
f (1)  2 . 1  1  1
U|
|
V|
||
W
1. lim f ( x)  f (1)

x 1
olduğundan, fonksiyon
x  1 de soldan
sürekli değildir.
2. lim f ( x)  f (1)  1 olduğundan, fonksiyon

x1
süreklidir.
97
x  1 de
sağdan
R| x  1 ,
S| 2x  1 ,
T
2
f :R  R ,
f ( x) 
x  1 ise
x  1 ise
fonksiyonun grafiği yandaki gibi çizilerek, f fonksiyonunun x = 1 de
soldan süreksiz ve x = 1 de sağdan sürekli olduğu görülür.
KAPALI BİR ARALIKTA SÜREKLİLİK
Tanım : f : [a, b]  R fonksiyonu
kapalı aralığında süreklidir, denir.
1.
x  [a, b]
için sürekli ise, f
fonksiyonu
[a , b]
Bu tanımı yandaki grafiğe göre inceleyiniz.
lim f (x) = lim f ( x)  L (a noktasının solunda fonksiyon tanımx  a
xa
lanmadığı için sağdan limit, a noktasındaki limite eşit olur.)
f (a) = lim f ( x)  L olduğundan, a noktasında f fonksiyonu
xa
süreklidir.
2.
lim f (x) = lim f ( x)  K (b noktasının sağında fonksiyon tanımx  b
xb
lanmadığı için soldan limit, b noktasındaki limite eşit olur.)
f (b) = lim f ( x)  K olduğundan, b noktasında f fonksiyonu süreklidir..
xb
3.
x0  (a , b) için,
O hâlde,
[a , b]
lim f ( x)  f ( x 0 )
x  x0
olur..
kapalı aralığının her noktasında
f fonksiyonu süreklidir.
Örnek : f : [ 1 , 3]  R , f (x) = x2  4 fonksiyonunun [1 , 3] kapalı aralığında sürekli
olduğunu gösterelim.
Çözüm :
olduğundan,
süreklidir.
x  [ 1 , 3]
0
f
fonksiyonu
için
[ 1 , 3]
lim f ( x)  f ( x 0 )
x  x0
kapalı aralığında
TANIM KÜMESİNDEKİ SÜREKLİLİK
Tanım : A R , f : A  R fonksiyonu A
f, tanım bölgesinde süreklidir, denir.
tanım kümesinin her noktasında sürekli ise;
Örnek : an , an1 , ... a1 , a0 birer reel sayı n N olmak üzere f (x) = anxn + an1xn1 + ... + a1x + a0
ile tanımlı
f : R  R fonksiyonunun
Çözüm :
f fonksiyonu
x R
0
R de
için
R de
sürekli olduğunu gösterelim.
n
n 1
lim f ( x)  a n x 0  a n  1 x 0
x  x0
süreklidir.
98
 ...  a 1 x 0  a 0  f ( x 0 )
olduğundan,
R  R ye
polinom fonksiyonları sürekli olup grafikleri devamlı çizgi çizer.
Teorem : A R , a A olmak üzere; A dan R ye tanımlı f ve g fonksiyonları
x=a
noktasında sürekli iseler;
1.
k R için
2.
f+g
3.
f.g
4.
g (a)  0 olmak üzere,
ve
k.f
fg
fonksiyonu
fonksiyonları
fonksiyonu
x=a
x=a
x=a
noktasında süreklidir.
noktasında süreklidir.
noktasında süreklidir.
f
fonksiyonu x = a noktasında süreklidir..
g
İspat : f ve g, x = a noktasında sürekli olduklarından, lim f ( x)  f (a) ve lim g( x)  g(a) dır..
xa
xa
1. lim k . f ( x)  k lim f ( x)  k . f (a) dır. O hâlde, k . f fonksiyonu x = a noktasında süreklidir..
xa
x a
b
g
2. lim f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)  f (a)  g(a) dır. O hâlde, f  g fonksiyonları x = a
x a
noktasında süreklidir.
3.
b
g
xa
x a
lim f ( x) . g ( x)  lim f ( x) . lim g( x)  f (a) . g(a) dır. O hâlde,
x a
x a
xa
f.g
fonksiyonu
x=a
noktasında süreklidir.
4. lim
xa
lim f ( x)
f ( x)
f (a)
xa


g( x)
lim g( x)
g (a)
( lim
xa
g ( x)  0 ) dır. O hâlde,
x a
f
g
fonksiyonu x = a noktasında
süreklidir.
bx  2g
Örnek : f (x) =
2
. x2  1
fonksiyonunun
x = 2 noktasında sürekli olup olmadığını
araştıralım.
bx  2g
Çözüm : f (x) =
lim f ( x)  f ( 2)  0 ve
2
ve g ( x)  x 2  1
lim g ( x)  g ( 2)  3
x2
olmak üzere,
olduğundan;
f ve g,
h (x) = f (x) . g (x)
olur..
x = 2 noktasında süreklidir..
x2
Teoreme göre, f ve g nin çarpımından oluşan h = f . g fonksiyonu da x = 2 noktasında süreklidir.
Örnek :
h ( x) 
sgn (2  x)
x2  1
fonksiyonunun
x = 3 noktasında sürekli olduğunu gösterelim.
Çözüm : f (x) = sgn (2  x) ve g (x) = x 2  1
lim f ( x)  f ( 3)   1 ve
x3
Teoreme göre,
lim g ( x)  g( 3)  8
olmak üzere,
olduğundan;
h ( x) 
f ( x)
g ( x)
olur..
f ve g , x = 3 noktasında süreklidir..
x3
f ve g nin
bölümünden oluşan
99
f
g
fonksiyonu da x = 3 noktasında süreklidir..
Teorem :
(Bileşke fonksiyonunun sürekliliği)
f : A  B , g : B  R fonksiyonları ile a  A , f (a)  B olmak üzere, f fonksiyonu
a noktasında ve g fonksiyonu da f (a) noktasında sürekli ise, gof bileşke fonksiyonu
a noktasında süreklidir.
İspat :
f
fonksiyonu
a noktasında sürekli ise,
lim f ( x)  f ( a) dır..
xa
g fonksiyonu
f (a) noktasında sürekli ise,
b g FGH
IJ b g
K
lim (gof )( x)  lim g f ( x)  g lim f ( x)  g f (a)
xa
xa
xa
b g
lim g ( x)  g f (a)
x  f ( a)
dır..
bulunur. O hâlde, gof fonksiyonu a nokta-
sında süreklidir.
R| 3ax  2 , x  2
f ( x)  S 3 x  8 , x  2
|T bx  a , x  2
Örnek :
fonksiyonu
ise
ise
ise
x R için sürekli ise, (a , b) ikilisi ne olmalıdır?
Çözüm : f1(x) = 3ax + 2 , f2(x) = 3x + 8 , f3(x) = bx + a fonksiyonları
O hâlde,
f
Buna göre,
fonksiyonu eğer
x = 2 de de sürekli olursa,
f fonksiyonu
x  R için süreklidir..
x  R için sürekli olur..
lim f ( x)  f ( 2) olmalıdır..
x2
U|
|V
||
W
lim (3ax  2)  6a  2
x 2

lim (bx  a)  2b  a
x 2

f (2)  3(2)  8  14
O hâlde,
Örnek :
6a  2  14

a  2 dir.
2b  a  14

2b  2  14  b  6 dır.
(a , b) = (2 , 6) bulunur.
R| 2x , x  3 ise
 S x 9
|T x  3 , x  3 ise
2
f : R  R , f ( x)
fonksiyonu x = 3 noktasında sürekli midir?
2
Çözüm :
lim f ( x)  lim
x3
x 3
x 9
 lim ( x  3)  6 , ( x  3)
x3
x3
f (3) = 2 . 3 = 6 Buna göre,
lim f ( x)  f ( 3)  6
olduğundan,
f fonksiyonu x = 3 noktasında
x3
süreklidir.
Teorem :
f:A  B
(Ters fonksiyonun sürekliliği)
ve
f 1 : B  A
A kümesinde sürekli ise,
f
1
birbirlerinin tersi olan iki fonksiyon olsun. Eğer f
fonksiyonu da
B kümesinde süreklidir..
İspat : Bir fonksiyonla bunun tersinin grafiği y = x doğrusuna
göre simetriktir.
f nin
f 1
grafiği devamlı bir eğri ise,
devamlı bir eğri olacaktır. Bunun için f sürekli ise, f
100
1
grafiği de
de sürekli olur..
fonksiyonu
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN SÜREKLİLİĞİ
1. f (x) = sinx
a  R için;
olduğundan,
lim f ( x)  lim sin x  f (a)  sin a
xa
x a
sinx fonksiyonu R de süreklidir. Yandaki grafiğin hiçbir
noktada kesilme ve sıçrama yapmadığı görülmektedir.
2. f (x) = cosx
a  R için;
olduğundan,
lim f ( x)  lim cos x  f (a)  cos a
x a
x a
cosx fonksiyonu R de
süreklidir. Grafiği inceleyiniz.
sinx
olduğundan, tanx fonksicosx
yonu paydayı sıfır yapan değerlerde tanımsız olduğu için
bu noktalarda süreksizdir.
3. f (x) = tanx =
{
}

, k Z
küme2
sinde tanımsız olup, bu nedenle süreksizdir. Bu durum
grafikten de görülebilir.
f (x) = tanx fonksiyonunun
sürekli olduğu küme;
cosx = 0

Ç = x x  ( 2k  1)
{
R  x x  (2k  1)

, k Z
2
}dir..
cosx
olduğundan, cotx fonksiyonu paydayı sıfır yapan değerlerde tanımsız
sinx
olduğu için, bu noktalarda süreksizdir.
4. f (x) = cotx =
Sinx = 0  Ç = { x  x = k , k Z }
f (x) = cotx fonksiyonunun sürekli olduğu küme :
Örnek : f ( x) 
sin x
cos x

1  cos x
2  sin x
kümesinde tanımsız olup, bu nedenle süreksizdir.
R { x  x = k , k Z } dir.
fonksiyonunun sürekliliğini inceleyelim.
Çözüm : f (x) fonksiyonunda paydaları sıfır yapan noktalarda fonksiyon süreksizdir.
1  cosx = 0  cosx = 1  Ç1 = { x : x = 2k , k Z }
2 + sinx = 0  sinx =  2  Ç2 = 
Ç = Ç1  Ç2 olduğundan, Ç = { x : x = 2k , k Z } kümesinde fonksiyon süreksizdir.
O hâlde, R  { x : x = 2k , k Z }
kümesinde fonksiyon süreklidir.
SÜREKSİZLİK ÇEŞİTLERİ
Tanım : f : A  R fonksiyonu için, a A olmak üzere; f (a) tanımlı , lim f ( x)  L ve
xa
f ( a)  L ise,
f
fonksiyonunun
x = a da kaldırılabilir süreksizliği vardır,, denir.
Eğer, f (a) = L olarak tanımlanırsa bu şekilde elde edilen yeni fonksiyon, x = a da
R| x  2x
 S
1
|T x  2
2
Örnek :
f : R  R , f ( x)
,
x  2 ise
, x  2 ise
, x  2 ise
fonksiyonunun x = 2 noktasında kaldırılabilir süreksizliği olduğunu gösterelim.
101
sürekli olur.
Çözüm : f (2) = 1
lim f ( x)  lim ( x 2  2x)  0
x  2
x  2
lim f ( x)  lim ( x  2)  0
x  2
x  2
U|
V|
W
lim f ( x)  0

x 2
lim f ( x)  f ( 2) olduğundan, x = 2 de kaldırılabilir süreksizlik vardır..
x2
f (2) = 1
yerine
f (2) = 0
R| x  2x
f ( x)  S
0
|T x  2
2
olarak tanımlanırsa elde edilen,
, x  2 ise
, x  2 ise
, x  2 ise
fonksiyonu sürekli olur.
Tanım :
f : A  R
fonksiyonu için,
fakat
lim f ( x)  L1  R , lim f ( x)  L 2  R
xa

xa

a  A
L L
1
2
olmak üzere;
ise,
x = a da
f (a)
tanımlı,
sıçrama süreksizliği
vardır, denir.
R| x
f : R  R , f ( x)  S
2
|T  x  4
2
Örnek :
, x  1 ise
, x  1 ise
, x  1 ise
fonksiyonu x = 1 de hangi tür süreksizliğe sahiptir?
Çözüm : f (1) = 2
U|
V
lim (  x  4)  3 |
W
lim f ( x)  lim x 2  1
x  1
lim f ( x) 
x  1
x  1

x  1
lim f ( x)  lim f ( x)
x  1
x  1
f fonksiyonu x = 1 de soldan ve sağdan limitleri farklı
olduğu için bu noktada sıçrama süreksizliği vardır. Bu durumu grafikten inceleyiniz.
Tanım : f : A  R fonksiyonu için, a A olmak üzere; x = a daki soldan ve sağdan
limitlerinden en az biri +  veya  ise, fonksiyonun x = a da sonsuz süreksizliği vardır,
denir.
Örnek :
R| 1
| x
f : R  R , f ( x)  S 2
|| x  1
T
, x  0 ise
, x0
ise
, x0
ise
fonksiyonu x = 0 da hangi tür süreksizliğe sahiptir?
Çözüm :
lim f ( x)  lim
x  0
FG 1 IJ   
H K
x  0 x
olduğundan,
f fonk-
siyonu x = 0 da sonsuz süreksizliğe sahiptir. Bu durumu grafikten
inceleyiniz.
102
KAPALI BİR ARALIKTA SÜREKLİ FONKSİYONUN ÖZELİKLERİ
[a , b] kapalı aralığında tanımlanmış sürekli bir f fonksiyonunun özelikleri ile ilgili olan üç teorem
inceleyeceğiz. Önce sınırlı fonksiyon tanımını yapalım:
Tanım :
A R f : A  R fonksiyonunda:
1. Eğer
x  A için, m  f (x) olacak biçimde en az bir m R sayısı varsa, f fonksiyonu alttan sınırlıdır. Bu m R sayılarının en büyüğüne, f fonksiyonunun en büyük alt
sınırı denir.
2. Eğer
x  A için, f (x)  M olacak biçimde en az bir M R sayısı varsa, f fonksiyonu üstten sınırlıdır. Bu M R sayılarının en küçüğüne, f fonksiyonunun en küçük üst
sınırı denir.
3. Eğer
x  A için, m  f (x)  M
f fonksiyonu sınırlıdır, denir.
olacak biçimde
m
ve
M
reel sayıları varsa,
Teorem : Kapalı bir aralıkta sürekli olan fonksiyon sınırlıdır.
Teoreme göre,
x  [a , b]
f : [a , b]  R fonksiyonu sürekli ise;
için,
f ( x)
 M  IR
olacak biçimde bir
M R sayısı vardır..
Bu teoremin karşıtı doğru değildir. Kapalı bir aralıkta sınırlı olan fonksiyon bu aralıkta sürekli olmayabilir.
Örnek : f : R  R , f (x) = 2cosx + 3 fonksiyonu sınırlı mıdır? Sınırlı ise, fonksiyonun en büyük
alt ve en küçük üst sınırını bulalım.
Çözüm : f : R  R , f (x) = 2cosx + 3 fonksiyonu sürekli olduğundan sınırlı bir fonksiyondur.
x  R için,
 1  cosx  1
 2  2cosx  2

1  f (x)  4
 
O hâlde;
f
fonksiyonun en büyük alt sınırı

1  2cosx + 3  4
olur.
1 , en küçük üst sınırı
4 tür.
Teorem : (Ekstremum değer teoremi)
f : [a , b]  R fonksiyonu sürekli ise; f fonksiyonunun bu aralıkta bir en küçük (minimum),
bir en büyük (maksimum) değeri vardır.
b
g
Teoreme göre, f [a , b]  [m , M] olacak biçimde m ve M
sayıları vardır. f fonksiyonunun [a , b] aralığında aldığı en küçük
(minimum) değer
m , en büyük (maksimum) değer
M dir.
m ve M değerlerine, fonksiyonun [a , b] aralığında ekstremum
değerleri denir.
y
Max
M
f (a)
f (b)
m
Min
Bu durumu, yandaki ve aşağıdaki grafiklerde inceleyiniz.
0
y
y
x
M
a=x1
b=x2
x
x2
0
m
x
Max
M
0
x2 b
Max
M
a=x1
x1
y
Max
Min
a
b
x1
a
m
m
Min
103
x
b=x2
0
Min
Örnek : f : [ 2 , 1]  R , f (x) = x2 fonksiyonunun tanımlandığı aralık içinde sürekli olduğunu
gösterelim. Bu fonksiyonun en küçük ve en büyük değerini bulalım.
f (x) = x2 fonksiyonu, polinom fonksiyon olduğu için süreklidir. [ 2 , 1] kapalı
aralığında fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulmak için, tepe noktasının apsisinin bu aralıkta
olup olmadığına bakmalıyız.
Çözüm :
b
= 0 , 0  [2 , 1] olduğundan; f (r) , f ( 2) , f (1) değerlerinin
2a
en küçüğü fonksiyonun minimum değeri, en büyüğü fonksiyonun maksimum değeridir.
Tepe noktasının apsisi r = 
f (r )  f ( 0 )  0
f ( 2)  4
f (1)  1
U|
V|
W
dir. O hâlde; fonksiyonun en küçük değeri
en büyük değeri 4 tür.
b
g
f [ 2 , 1]  [0 , 4]
0,
olur..
Teorem : (Ara değer teoremi)
f : [a , b]  R fonksiyonu [a , b] aralığında sürekli ve a < x1 < x2 < b ise; f fonksiyonu,
f (x 1 ) ile f (x 2 )
Eğer,
grafiği,
arasındaki her değeri en az bir kez alır.
f (x1) < 0 < f (x2) ise, c(x1 , x2)
Ox
değeri vardır ki
f (c) = 0 dır. Yani fonksiyonun
eksenini bir noktada keser.
Yandaki şekle göre ara değer teoremini yorumlayalım:
f (x1) < f (x0) < f (x2) ise, f (x0 ) = y0 olacak biçimde en az
bir x0 (x1 , x2) vardır. Yani, f (x 0) a karşılık gelebilecek
birden fazla x0 değeri de olabilir.
Örnek : f : [0 , 2]  R f (x) = 4 . cosx + 3 . sinx fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerini
bulalım.
Çözüm :
FG
H
f (x) = 4 . cosx + 3 . sinx = 4 cos x 
f (x) = 4. (cosx + tan . sinx) = 4 . cosx +
= 4
= 4
FG cos x . cos   sin x . sin  IJ
H
K
cos 
cos( x   )
= 5 . cos (x  )
4
5
,
sin 
cos 
•
,
tan =
3
4
olsun.
sinx
3
4
tan =
IJ
K
3
 sin x
4
 cos =
4
5
tir..
elde edilir..
 1  cos (x  )  1 olduğundan,  5  5 . cos (x  )  5 yazılır. Buna göre,  5  f (x)  5 tir.
O hâlde; fonksiyonun en küçük değeri  5 , en büyük değeri 5 tir.
104
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıdaki fonksiyonların sürekli olduğu kümeleri bulunuz.
a. f (x) = x2  2x + 5
b. f (x) =
FG 2x  1IJ
H 7xK
d. f (x) = log
7
c. f (x) =
1
x
f. f (x) =
e. f (x) = x . sin
1  x2
sin x  cos x
1  cos x
x 2  x . sgn ( x 3  27)
x
2
g. f (x) =
x2  7x
x2
2
h. f (x) = x x  sgn (4x  1)
2
2. f : ( 2 , 3)  R , f (x) = 2x  sgn (1  2x)  x x  1
i. f (x) =
x 2  5x
fonksiyonu veriliyor.. Bu fonksiyon,
tanımlandığı kümenin hangi noktalarında süreksizdir?
3. Aşağıdaki fonksiyonların süreksiz oldukları noktaları ve süreksizlik çeşidini bulunuz.
a.
R| x ,
f ( x)  S 3 ,
|T3  1 ,
3
|R x  1 ,
f ( x)  S
|Tx  2x ,
x  1 ise
2
b.
x  1 ise
x
x  2 ise
x  2 ise
x2
ise
4.
fonksiyonunun x = 2 noktasında sürekli olabilmesi için, a ve b değeri kaç olmalıdır?
5.
fonksiyonunun x = 3 noktasında sürekli olabilmesi için, m ve n arasındaki bağıntıyı
bulunuz.
6.
fonksiyonu x = 1 noktasında sürekli ve a . b = 1 ise, a2 + b2 değeri kaçtır?
7.
R|
|
f ( x)  S
||x
|T
2
x3  8
x2
m
,
x2
ise
,
x 2
ise
 x  10
,
x  2
ise
f fonksiyonunun R de sürekli olabilmesi için m kaç olmalıdır?
8.
R| (1  x)
f ( x)  S
|T mx
7
1
, x0
ise
, x0
ise
fonksiyonunun x = 0 noktasında sürekli olabilmesi için, m değeri kaçtır?
9. f : [0 , 4]  R fonksiyonu f (x) = x +
noktasında sürekliliğini araştırınız.
ile tanımlıdır. f (x) fonksiyonunun x = 2
105
TEST 3
1. f : R  R , f (x) =
x2  1
fonksiyonunun süreksiz olduğu noktalar kaç tanedir?
x3  4x
B) 2
A) 1
2. f : R  R
4  x2
, f (x) = x .
kaçtır?
A)  4
C) 3
D) 4
E) 5
fonksiyonunun sürekli olduğu tam sayı değerleri toplamı
B)  2
C) 0
D) 2
E) 4
2
sgn(3 x  x )
fonksiyonunun süreksiz olduğu noktalar kümesi,
x1
aşağıdakilerden hangisidir?
A) { 1 , 0 , 3}
B) { 1 , 0}
C) {0}
D) { 1}
E) {x : x   1, x R}
3. f : R  R
,
f (x) =
4. f : R  R , f (x) = x . x
I.
III.
fonksiyonu için, aşağıdaki önermelerden kaç tanesi yanlıştır?
f (0) = 0
II.
IV.
lim f ( x)  0
x  0
V. f (x)
A) 1
lim f ( x)  0
x  0
f (x) fonksiyonu
fonksiyonunun süreksiz olduğu küme
B) 2
C) 3
R| x  25
S| 5  x
T m
x=0
noktasında süreklidir.
Z dir.
D) 4
E) 5
2
5. f : R  R , f (x) =
, x  5 ise
, x  5 ise
fonksiyonu veriliyor f (x) fonksiyonunun R de sürekli olabilmesi için, m değeri kaç
olmalıdır?
A) 10
B) 5
C) 0
D)  5
E)  10
6. R den R ye tanımlı aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi, x = 0 noktasında sürekli değildir?
A) f (x) = x 3
B) f (x) = sgnx2
7. f : R  R , f ( x) 
C) f (x) = x x
D) f (x) = x2
E) f (x) =
RS 7 ,
Tmx  2n  1 ,
fonksiyonu veriliyor. f (x)
A) 1
B) 2
x  2 ise
x  2 ise
fonksiyonunun R de sürekli olabilmesi için, m + n kaçtır?
C) 3
D) 5
E) 6
8.
fonksiyonu aşağıdaki noktalardan hangisinde süreksizdir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 5
9.
lim
x1
E) 6
x 1
değeri kaçtır?
x1
A)  1
B) 
1
2
C) 0
D) 1
106
E)
1
2
10. Yanda grafiği verilen f (x) fonksiyonunda;  1 , 0 , 1 , 2 , 3
noktalarının kaç tanesinde, sürekli olmadığı hâlde limiti vardır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
11. m R
olmak üzere,
x  10
fonksiyonunun daima sürekli olabilmesi için,
 x  10 x  m
değeri aşağıdaki aralıklardan hangisinde bulunmalıdır?
A) m <  36
B) m <  25
C) m >  10
D) m > 10
E) m > 36
2
12. f (x) = 8  2x 
f (x) =
2
8
 sgn( x  8) fonksiyonu veriliyor. f (x)
x  8x
değeri için süreksizdir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
2
m
fonksiyonu x in kaç tane
E) 5
2
x x9
13. f (x) =
A) 2
3
fonksiyonunun süreksiz olduğu kaç tane tam sayı değeri vardır?
2
x  x  16 x  16
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
14.
fonksiyonu veriliyor. f (x) fonksiyonunun x = 1 noktasında sürekli olabilmesi için m + n
değeri hangi aralıkta bulunur?
A) [ 2 , 0)
B) [3 , 7)
C) [8 , 9)
D) [19 , 20)
E) [21 , 30)
15.
R|
f ( x)  S
|T
2
x  6x  9
, x  3 ise
x3
mx  8
, x  3 ise
fonksiyonu R de süreklidir. Buna göre, m reel sayısı kaçtır?
A) 8
B) 5
C) 3
D) 1
E)3
16.
fonksiyonu veriliyor. f (x) fonksiyonu x = 1 noktasında sürekli olduğuna göre, a reel
sayılarının değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
A) [ 3 , 2]
17.
lim
x 3 
x3
x3
A)  1
B) [ 3 ,  2)
C) [ 2 ,  1]
D) [ 2 , 1)
E) [0 , )
C) 1
D) 
E) 3
değeri kaçtır?
B) 0
R| x  9
f ( x)  S 3  x
|T a  2
2
18. f : R  R ,
, x  3 ise
, x3
ise
fonksiyonunun x = 3 noktasındaki süreksizliğini kaldırabilmek için, a değeri kaç olmalıdır?
A) 8
B) 6
C) 3
D)  6
E)  8
107
BÖLÜM
TÜREV
4
Türev; matematiğin, fiziğin, kimyanın ve mühendislik dallarının tamamında kullanılan önemli bir konudur.
Bağımsız değişkenlerdeki artma veya azalma gibi bazı değişimlerin bağımlı değişkeni etkileyeceği
veya değiştireceği açıktır. Bu iki değişim miktarının oranı, limit durumunda türev adını alır.
TÜREV KAVRAMI
x=a
f (x)  f (a)
xa
noktasındaki türevi denir.
f  (a)
veya
Tanım : f : A  R , y = f (x) fonksiyonu a  A da sürekli olmak üzere,
limiti bir reel sayı ise; bu değere,
f
fonksiyonunun
x=a
f
fonksiyonunun
noktasındaki türevi
df
(a)
dx
lim
xa
sembolleri ile
gösterilir.
y = f (x)
df
in sembolü yerine
dx
olduğuna göre,
dy
dx
sembolü de kullanılabilir.
d
e, türev
dx
alma operatörü denir.
Türev tanımını değişik biçimde şöyle ifade edebiliriz:
h>0
olmak üzere,
x  a 
(x  a)  0
h  0

f  (a)  lim
x a
Eğer,
lim
xa
x = a + h ise x  a = h dir.
olduğundan,
f
f ( x)  f (a)
f (a  h)  f (a)
 lim
h0
xa
h
f ( x)  f (a)
xa
fonksiyonunun
a
noktasındaki türevi;
olur..
ifadesinin bir reel değeri yoksa, fonksiyonun
x=a
noktasında türevi
yoktur.
Örnek :
Çözüm :
f (x) = x2
f:R  R ,
f (x) = x
Türev tanımından,
2
fonksiyonu
f  (2) = lim
x2
fonksiyonunun
x = 2 de
f ( x)  f (2)
x2
x2  4
( x  2) . ( x  2)
 lim
4
x 2 x  2
x 2
x2
f  (2) = lim
x=2
noktasındaki türevini bulalım.
süreklidir.
dir..
bulunur. O hâlde,
Örnek : f : R  R , f (x) = sinx ile tanımlı fonksiyonun x 
Çözüm :
f ( x)  sin x
Türev tanımından,
fonksiyonu
x
F  I F I
f G  hJ  f G J
H 3 K H 3K

F
I
f  G J  lim
H 3K
h

3
de süreklidir.
dir..
h 0
108
df
( 2)  4
dx
f  (2) =

3
(
tür.
noktasındaki türevini bulalım.
lim sin x  sin

x
3

3
tür. )
2
h


F
I
h
3
sin G  hJ  sin
2
cos
. sin
H
K

3
3
F
I
2
2
f  G J  lim
 lim
H 3K
h
h
F  hI h
h
2 cos G  J . sin
sin
H
I
3 2K
2
 hI
F
F
2

f G J  lim
 lim 2 cos G  J . lim
H 3K
H 3 2K
h
h
 1
 1
F  I 1 bulunur..
dir. O hâlde, f  G J 
= 2 . cos   cos 
H 3K 2
3 2
3 2
h 0
h 0
h0
h 0
h 0
SOLDAN VE SAĞDAN TÜREV
Tanım :
1.
A  R , a  A
ve
f : A  R fonksiyonunda;
f ( x)  f (a)
xa
fonksiyonunun a noktasındaki soldan türevi
x = a noktasında ve bunun sol yanında tanımlanan
limitinin bir reel sayı değeri varsa bu değere,

denir ve f  (a ) şeklinde gösterilir..
f
f
fonksiyonu için
2. x = a noktasında ve bunun sağında tanımlanan f fonksiyonu için
lim
x  a
lim
x  a
f ( x)  f ( a)
xa
limitinin
bir reel sayı değeri varsa bu değere, f fonksiyonunun a noktasındaki sağdan türevi denir ve
f  (a  )
şeklinde gösterilir..
f  (a ) = f  (a  ) ise, f
f  (a ) = f  (a ) = f  (a)
f  (a )  f  (a )
Örnek :
fonksiyonu
a
noktasında türevlidir, denir. Bu durumda;
dır..
ise, fonksiyonun
f : R  R , f ( x) 
a
noktasında türevi yoktur..
R| 4x  2 ,
S| x  2 ,
T
2
x2
ise
x2
ise
fonksiyonu veriliyor:

a. f  (2 ) değerini bulalım.
Çözüm :
a.
lim f ( x)  f ( 2)  6 olduğundan, fonksiyon
c.
f  (2) değerini bulalım.
x = 2 de
süreklidir..
x2
f  (2  )= lim 
x2

b. f  (2 ) değerini bulalım.
f ( x)  f ( 2)
x 2  2  ( 4 . 2  2)
x2  4
( x  2)( x  2)
 lim
 lim 
 lim 
x2
x2
x2
x2 x  2
x2
x2

= lim ( x  2)  4 olduğundan f  (2 )  4 tür..
x2

b. f  (2 )  lim
x2

f ( x)  f (2)
4 x  2  (4 . 2  2)
4x  8
4 ( x  2)
 lim
 lim
 lim
x2
x2
x2
x2 x  2
x2
x2
=

lim 4  4 olduğundan, f  (2 )  4 tür..
x2


c. f (2 ) = f (2 ) = 4
olduğundan,
f (2) = 4
109

tür..
Örnek : f : R  R , f (x) = x 2  1

fonksiyonu veriliyor..

a. f  (1 )
b. f  (1 )
Çözüm :
c. f  (1)
değerlerini bulalım.
a. lim f ( x )  f ( 1)  0 olduğundan, fonksiyon
x = 1 de
süreklidir..
x 1
2

f (1 )  lim
x 1

f ( x)  f ( 1)
( x  1)  0
( x  1)( x  1)
 lim
 lim


x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
= lim  ( x  1)   2 dir.
O hâlde,

f (1 ) = 2 dir..
x 1
2
f ( x)  f (1)
x  1 0
( x  1)( x  1)
 lim
 lim


x 1
x 1
x1
x 1
x 1

b. f  (1 )  lim
x 1


= lim ( x  1)  2 dir. O hâlde, f  (1 )  2 dir..

x1


c. f (1 )  f (1 )
olduğundan,
f
fonksiyonunun
x=1
noktasında türevi yoktur..
TÜREVİN SÜREKLİLİK İLE İLİŞKİSİ
Teorem :
A  R , a  A
f : A  R fonksiyonu
İspat :
f
a
fonksiyonunun
olmak üzere;
noktasında türevli ise, bu noktada süreklidir.
a
noktasında sürekli olduğunu göstermek için,
lim f ( x)  f ( a)
xa
olduğunu göstermeliyiz.
f ( x) 
f ( x)  f ( a)
(x  a) + f (a)
xa
lim f ( x)  lim
xa
xa
olduğundan,
şeklinde yazılır. Her iki tarafın,
x  a için limiti alınır..
LM f (x)  f (a) (x  a)  f (a)OP  lim f (x)  f (a)  lim (x  a)  lim f(a) = f (a) . 0 + f (a) = f (a)
xa
N xa
Q
x a
lim f ( x)  f ( a)
bulunur. O hâlde,
xa
f
xa
fonksiyonu
xa
x = a noktasında süreklidir..
Bu teoremin karşıtı her zaman doğru değildir. Yani, bir noktada sürekli olan bir fonksiyon bu noktada
türevli olmayabilir.
Sonuç : Bu teoremin karşıt tersi olan f fonksiyonu a noktasında sürekli değilse,
f fonksiyonu a noktasında türevli değildir, sonucunu yazabiliriz.
Örnek : f ( x) 
x2  2
x2  x  2
fonksiyonu hangi noktalarda türevsizdir?
Çözüm : f fonksiyonu paydanın sıfır olduğu noktalarda tanımsız, dolayısıyla süreksizdir.
x2  x  2 = 0  x =  1
ve
x = 2 noktalarında süreksiz olduğundan,
noktalarda türevsizdir.
110
f fonksiyonu bu
R| 3  ax
S| 2bx  9
T
2
Örnek :
f : R  R , f ( x) 
, x  1 ise
, x  1 ise
fonksiyonunun x = 1 de türevli olması için,
(a , b)
ikilisi ne olmalıdır?
Çözüm : Fonksiyon x = 1 de sürekli olmalıdır.
U|
|
lim (2bx  9)  2b  9 V
||
f (1)  2b  9
W
f ( x)  f (1) )
( xlim
1
2
lim (3  ax )  3  a
x 1
x 1


2b  9  3  a  a  2b   6 ... I
x = 1 deki soldan ve sağdan türevleri eşit olmalıdır.
f ( x)  f (1)
(3  ax2 )  (2b.1  9)
(2  ax2 )  (3  a)
 ax2  a
 lim
 lim
lim
x 1
x1
x 1
x1
x1
x1
x 1
x 1
 a ( x  1)( x  1)
 lim
 lim  a . ( x  1)   2a
x1
x1
x 1
f
(
x
)

f
(
1
)
(
2bx  9)  (2b.1  9)
2bx  2b
f (1 )  lim
 lim
 lim
x 1
x1
x1
x 1
x1
x1
2b . ( x  1)
 lim
 2b
x1
x1
f (1 )  lim
U|
||
||
V|
||
||
W
b   a ... II
I ve II denklemi birlikte çözülürse; a = 6 ve b =  6 bulunur. Bu durumda, (a , b) = (6 ,  6) olur.
BİR ARALIKTA TÜREVLENEBİLME
Tanım : a , b  R olmak üzere, f : (a , b)  R fonksiyonunun (a , b) aralığının her
noktasında türevi varsa, f fonksiyonu (a , b) aralığında türevlidir, denir.
A R olmak üzere, f : A  R fonksiyonu A tanım kümesinin her noktasında türevli
ise, f fonksiyonu tanım kümesinde türevlidir, denir.
Örnek : f : R  R , f ( x) 
RS 2x  1
T x4
, x  1 ise
, x  1 ise
fonksiyonunun türevli olduğu aralığı bulalım.
Çözüm :
x1
için,
f ( x)  lim
h0
 lim
h 0
f
fonksiyonu
x>1
x1
f
için, türevlidir ve
için,
lim ( x  4 )  5
ve
lim ( 2 x  1)  1
x  1
2 ( x  h)  1  (2x  1)
2h
 lim
 2 dir..
h 0 h
h
f ( x )  2 dir..
f ( x  h)  f ( x)
x  h  4  ( x  4)
h
 lim
 lim
1
h0
h 0
h 0 h
h
h
f ( x)  lim
fonksiyonu
x < 1 için, türevlidir ve
x = 1 için de türevli midir?
x  1
f ( x  h)  f ( x)
h
dir..
f ( x)  1 dir..
olduğundan, f fonksiyonu x = 1 de sürekli değildir. Buna
göre, x = 1 de türevli değildir.
Bu durumda, f fonksiyonu R  {1} kümesinde türevlidir.
111
Örnek :
f : R  R , f (x) = 2x 2 + 1
fonksiyonunun tanım kümesinde türevli olduğunu
gösterelim.
Çözüm :
x  R için,
lim
h0
f ( x  h)  f ( x)
h
değerinin bir reel sayı olduğunu göstermeliyiz.
2 ( x  h) 2  1  (2x2  1)
f ( x  h)  f ( x)
lim
 lim
h0
h 0
h
h
2h 2  4hx
 lim ( 2h  4 x)  4 x
h 0
h 0
h
f  (x)  lim
x  R için, f ( x)  4 x
olduğundan,
f
bulunur..
fonksiyonu tanım kümesinde türevlidir..
TÜREV ALMA KURALLARI
Buraya kadar; bir fonksiyonun türevinin, türev tanımından faydalanarak bulunmasını gördük. Türev
alınırken her zaman türev tanımını kullanmak uzun çözümler gerektirir. Bunun için bir fonksiyonun türevini daha kısa yoldan bulmamızı sağlayacak teoremlerden bazılarını göreceğiz.
Sabit Fonksiyonun Türevi
Teorem :
A R
,
f:A  R
f ( x)  c
,
ile tanımlanan sabit fonksiyonun türevi,
f (x)  0 dır..
İspat : Türev tanımı kullanılarak,
f ( x  h)  f ( x)
cc
 lim
 lim 0  0
h 0
h 0
h
h
f ( x)  lim
h 0
dır. Buna göre;
c   R için,
f (x) = c ise,
f (x) = 0 dır..
Örneğin;
f (x) = 5
ise,
f ( x ) = 0 dır..
f (x) =  3
ise,
f ( x ) = 0 dır..
f (x) =
ise,
f ( x ) = 0
2
dır..
n  N+ için, f (x) = xn Fonksiyonunun Türevi
Teorem :
n  N+ için f : R  R , f (x) = xn fonksiyonunun türevi, f (x)  n . x
İspat : Türev tanımı kullanılarak,
f ( x  h)  f ( x)
( x  h) n  x n
 lim
h0
h0
h
h
f (x)  lim
( x  h)  x ( x  h)n1  ( x  h)n 2 x  ( x  h)n 3 x2 ... xn 1
 lim
h
h 0
 lim ( x  h) n1  ( x  h) n 2 x  ( x  h)n  3 x 2 ... xn1
h 0
 xn1  xn1  xn1  ...  xn1
f (x)  n . x
n1
(n tan e
bulunur. Buna göre; n  N+
xn1
için,
112
var dır.)
f (x) = xn ise,
f ( x) = n . x
n1
dir..
n1
dir..
Örneğin;
ise, f  (x)  1
f ( x)  x
f ( x)  x
4
ise, f ( x)  4 x
(x n )   n . x n  1 kuralı,
n
dir.
3
tür.
negatif tam sayı olduğu zaman da geçerlidir..
Örneğin; ( x  6 )    6 . x  6  1   6 . x  7
dir..
Bir Sabitle Bir Fonksiyonun Çarpımının Türevi
Teorem : c R ve f fonksiyonu, x noktasında türevli bir fonksiyon ise,

c . f (x)  c . f (x) tir..
İspat :
c . f ( x)

 lim
h0
c . f ( x  h)  f ( x)
c . f ( x  h)  c . f ( x)
 lim
h

0
h
h
f ( x  h)  f ( x)
 c . f ( x)
h0
h
 c . lim
Örneğin;
f ( x) 
5.x
f ( x)   7 . x
bulunur..
2
ise, f ( x)  5 . 2 . x  10 x
4
ise, f ( x)   7 . 4 x   28 x
3
3
tür.
İki Fonksiyonun Toplamının Türevi
Teorem : f : R  R , g : R  R türevlenebilen iki fonksiyon ise, f + g fonksiyonunun
türevi,
f (x)  g(x)
İspat :

 f (x) + g (x)
tir.
f ( x)  g ( x)  ( f  g)( x) olduğundan,
(f  g) ( x)  lim
h0
 lim
(f  g)( x  h)  (f  g)( x)
h
b
f ( x  h)  g( x  h)  f ( x)  g( x)
 lim
g
h
h 0
f ( x  h)  f ( x)  g ( x  h)  g ( x)
h
h 0
f ( x  h)  f ( x)
g( x  h)  g ( x)
 lim
h 0
h 0
h
h
 lim
 f (x) + g (x)
bulunur..
Bu teoremin sonucu olarak;
f1 ( x)  f2 ( x)  ...  fn ( x)

 f1 ( x)  f2 ( x)  ...  fn ( x)
O hâlde; toplamın türevi alınırken, her fonksiyonun türevi ayrı ayrı alınarak toplanır.
Örneğin;
f ( x) 
3
2
2x  5 x  4
1 2
f ( x)   x  3 x  1
2
ise,
2
f ( x)  6 x  10 x tir.
ise, f ( x)   x  3
113
tür.
yazılabilir..
İki Fonksiyonun Çarpımının Türevi
Teorem : f : R  R , g : R  R türevlenebilen iki fonksiyon ise,
f.g
fonksiyonunun
türevi,
f (x) . g(x)

 f (x) . g(x) + g (x) . f (x)
tir.
İspat : f (x) . g (x) = (f . g) (x) tir. Buna göre,
f ( x) . g ( x)

 (f . g)  ( x)  lim
h0
(f . g)( x  h)  (f . g) x
h
f ( x  h) . g ( x  h)  f ( x) . g ( x)
olur..
h
f (x + h) . g (x) ifadesini ekleyip çıkaralım:
 lim
h 0
Kesrin payına,
f ( x  h) . g ( x  h)  f ( x) . g ( x)  f ( x  h) . g( x)  f ( x  h) . g ( x)
h 0
h
 lim
 lim g ( x) 
h 0
 lim
h 0

f ( x  h)  f ( x)
g ( x  h)  g ( x)
 lim f ( x  h) 
h 0
h
h
f ( x  h)  f ( x)
g ( x  h)  g ( x)
 g( x)  lim
 lim f ( x  h)
h

0
h 0
h
h
f (x) . g(x) + g (x) . f (x)
bulunur.
Bu kural, sonlu sayıda türevli fonksiyonların çarpımı için de uygulanabilir.
fonksiyon ise,
Örnek :
a.
f , g , h
bf . g . hg (x)  f (x) . g(x) . h(x)  g (x) . f (x) . h(x)  h(x) . f (x) . g(x)
f : R  R , f (x) = (x2 + 1) (x3  1)
b. f (1)
f (x)
türevli üç
dir..
fonksiyonu veriliyor.
değerlerini bulalım.
Çözüm : a. Çarpım kuralına göre,
3
2
2
f ( x)  2x . ( x  1)  3 x . ( x  1)
4
2
f ( x)  5 x  3 x  2 x

b. f (1) = 5 + 3  2 = 6
bulunur..
İki Fonksiyonun Bölümünün Türevi
Teorem : f : R  R , g : R  R türevlenebilen iki fonksiyon ve g (x)  0
f
g
fonksiyonunun türevi,
f (x) . g(x)  g (x) . f (x)
g(x)
FG f IJ ( x ) tir. Buna göre,
H gK
FfI
FfI
FG f IJ  ( x)  lim GH gJK (x  h)  GH gJK (x)  lim
H gK
h
İspat :
FG f (x) IJ  
H g(x) K
FG f (x) IJ  
H g(x) K
2
f (x)

g(x)
h 0
 lim
h 0
h0
f ( x  h) f ( x)

g ( x  h) g ( x)
h
f ( x  h) . g ( x)  g ( x  h) . f ( x)
h . g ( x  h) . g ( x)
114
olur..
dir..
olmak üzere,
Kesrin payına f (x) . g (x) ifadesini ekleyip çıkaralım:
FG f (x) IJ   lim
H g(x) K
f ( x  h) . g ( x)  g( x  h) . f ( x)  f ( x) . g ( x)  f ( x) . g( x)
h . g ( x  h) . g ( x)
h 0
f ( x  h)  f ( x) . g( x)  g ( x  h)  g ( x) . f ( x)
 lim
h . g ( x  h) . g ( x)
h 0
LM f ( x  h)  f ( x)  g(x)  g(x  h)  g( x)  f (x) OP
g ( x  h) . g ( x)
h
g ( x  h) . g ( x) Q
N h
 lim
h 0
 f ( x) 
g ( x)
f ( x)
 g ( x) 
g ( x) . g ( x)
g ( x) . g ( x)


f ( x) . g ( x)  g ( x) . f ( x)
g ( x)
bulunur..
2
O hâlde, bölümün türevi; payın türevi çarpı payda, eksi paydanın türevi çarpı pay, bölü paydanın karesine eşittir.
Örnek : f ( x) 
x3  1
3x  2
fonksiyonunun türevini bulalım.
Çözüm : Bölüm türev kuralını kullanarak,
f ( x) 
3 x2 (3 x  2)  3 ( x3  1)

(3 x  2)2
Örnek :
a. f ( x) 


b. f ( x) 

6 x3  6 x2  3
(3 x  2)2
x 2  2x  3
3 x2  x  5
( 2x  1)  . ( x  3)  ( x  3)  . (2 x  1)
( x  3)


(3 x  2) 2
2x  1
x3
Çözüm : a. f  ( x) 
b. f  ( x) 
9 x3  6 x2  3 x3  3
2x  6  2 x  1
( x  3)
2

2
7
( x  3) 2
bulunur.
fonksiyonlarının türevlerini bulalım.

2 . ( x  3)  1 . ( 2x  1)
( x  3) 2
bulunur..
( x2  2 x  3)  . (3 x2  x  5 )  (3 x 2  x  5)  . ( x2  2x  3 )
(3 x 2  x  5) 2
(2x  2) . (3 x2  x  5)  (6 x  1) . ( x2  2x  3)
( 3 x 2  x  5) 2
6 x3  2x2  10 x  6 x2  2x  10  6 x3  12 x2  18 x  x2  2x  3
(3 x2  x  5 )2
7 x2  28 x  7
(3 x2  x  5 )2
bulunur..
115
Örnek : f ( x) 
3
fonksiyonunun türevini bulalım.
x4
Çözüm : Pay sabit olduğundan, f (x) = 3 . x 4 biçiminde yazılır. Buna göre,
f ( x )   3 . 4 . x
5
12

x
Örnek :
f ( x) 
x2  1
2x 2  1
Çözüm : f  ( x) 


f  (0) 
Örnek :
bulunur..
5
fonksiyonunun
x = 0 apsisli noktasındaki türevi kaçtır?
2x (2x2  1)  4 x ( x2  1)
(2x 2  1) 2
4 x 3  2x  4 x 3  4 x
(2x2  1) 2
6 x
olduğundan
(2x2  1)2
6 . 0
2
( 2 . 0  1)
3

0
0
1
bulunur..
f (x) fonksiyonu türevli olmak üzere, f ( x) 
h ( x)
 h ( x) . g ( x) şeklinde tanımlanıyor..
g( x)
g(2) = 1 , g  (2) = 0 ve h (2) = 3 olduğuna göre, f  (2) değerini bulalım.
Çözüm : f ( x)  h ( x)  h ( x) . g( x) fonksiyonunun türevini alalım.
g ( x)
f  ( x) 
h  ( x). g ( x)  g( x) . h ( x)
2
 h ( x) . g ( x)  g ( x) . h ( x)
olur..
g ( x)
x = 2 için, f  (2) 
h (2). g (2)  g(2) . h (2)
2
 h  (2) . g(2)  g (2) . h (2) dir..
g (2)
g(2) = 1 , g  (2) = 0 ve h (2) = 3 değerlerini f  (2) de yerlerine yazalım.
f  (2) 
3 . 1  0 . h (2)
2
1
 3 . 1  0 . h (2) 
3
3  6
1
116
bulunur..
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıdaki limitleri, türev tanımını kullanarak yazınız.
a.
c.
lim
x 1
2
f ( x)  f ( 1)
x 1
b.
lim h ( x)  h (2)  lim
x2
x 2
1
x2
d.
x  1
lim
h 0
2
g ( x)  g ( 1)
x 1
lim
f ( x  h )  f ( x)
5h
2. Aşağıdaki fonksiyonların, karşılarında belirtilen noktalardaki türevlerini bulunuz.
2
a. f (x) = 3x  2 , x = 2
b. f (x) = x  x + 1998 , x = 1
c. f (x) = x1998  x1997 + 2 , x = 1
d. f (x) =
3
2
e. f (x) = (x  2x) . (x + 1) , x = 2
x2 (2x  1)
g. f (x) =
3
x 2
|RS x  4x
|T4 x  7
2
3. f ( x) 
a. f (x)

b. f (1 )
c. f (x)
ve
ise
, x1
ise
R| x . x
S| 1
T

a. f (0 )
h. f (x) =

x 1
x2  2
1
x
2

, x=1
1
1 , x =  2
x
fonksiyonu veriliyor:
x = 1 de
f (1 ) in
fonksiyonu
2
4. f ( x) 
, x=1
, x1
fonksiyonu
f. f (x) =
x3
x2

+x , x=2
3
2
sürekli midir?
değerlerini bulunuz.
x=1
, x0
ise
, x0
ise
noktasında türevli midir?
fonksiyonu veriliyor:
kaçtır?

b. f (0 )
kaçtır?
c. f (x)
fonksiyonu
x=0
noktasında sürekli midir?
d. f (x)
fonksiyonu
x=0
noktasında türevli midir?
5. Aşağıdaki fonksiyonların türevli olduğu en geniş aralıkları bulunuz.
a.
f (x) = x6  6x + 6
d.
6. f (x) =
x
x8
b.
f (x) =
1 x
x  36
f (x) = x . sgn (x  6) + x  6
fonksiyonu için,
f (a) =  8 ise,
117
c.
2
e.
a R
f (x) =
x 6
sayısı kaçtır?
f (x) = x . x
7. Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz.
F x  1I . (1  2x  x )
GH 7 JK
7
7
a. f (x) = x  7
x1
c. f (x) =
e.
b. f (x) =
d. f (x) =
2
x  x 1
f ( x) 
x3  1
f.
x2  1
f (x) =
3
x 2  2x  1
x 2  2x  1
ax2  bx  c
cx2  bx  a
8. Aşağıda verilen fonksiyonların, karşılarında belirtilen limitleri bulunuz.
a. f (x) = 9x  1
c.
f ( x)  f (1)
x 1
x1
f (x) = x3 + x2
e. f (x) = x2 (x  1)3
g. f (x) =
9. y = f (x)
a.
lim
h0
lim
,
x  1
,
f ( 1)  f ( x)
x1
d. f (x) =
f ( x)  f (2)
x2
x2
lim
sin 2 x  cos 2 x
x
,
lim
h0
fonksiyonunun türevi
f ( x)  f (2)
x2
x2
b. f (x) = x2  3x + 9 ,
lim
,
f. f (x) =
x9
x 1
,
x2  x  1
,
x9
lim
lim
x0
f ( x)  f ( 0 )
x
lim
x  2
f ( x)  f ( 2)
x2
f (1  h)  f (1)
h
f  (x) olduğuna göre, aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
f ( x  2h)  f ( x)
h
b.
lim
h 0
f ( x)  f ( x  3h)
2h
10. f (x) = ax2 + bx + c fonksiyonu veriliyor.
f (1) = f (0) = 0
11.
f (1)  f (0) = 2
ve
olduğuna göre,
f (x)
fonksiyonunu bulunuz.
mx  x2
fonksiyonunun gösterdiği grafik A (1 ,  4)
xn
noktasından geçiyor. Fonksiyonun bu noktadaki türevi 9 olduğuna göre, (m , n) ikilisini
bulunuz.
n , 1 den farklı olmak üzere, f (x) =
R|2ax  3 x
S|
Tbx  4x
2
12. f : R  R ,
f (x) =
şeklinde tanımlı
f
3
fonksiyonu
,
x  1 ise
,
x  1 ise
x  R için türevli olduğuna göre,
13. [1 , 5]  R , y = f (x) fonksiyonunun grafiği yanda verilmiştir.
f fonksiyonu kaç noktada türevsizdir?
118
f ( 1)  f (2)
kaçtır?
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU
y
A   R , f : A  R
y = f (x)
fonksiyonu
türevlenebilen bir fonksiyon olsun. Bu fonksiyonun grafiğine
b
g
b
g
f (a)
h  0 için A noktası sabit kalmak üzere, B noktası eğri boyunca A ya doğru yaklaşır ve AB keseni
A noktası etrafında dönerek AT
teğeti ile çakışır. Bu
durumda, AB kirişinin eğimi ile AT teğetinin eğimi eşit
olur. Buna göre, AB kirişinin eğimi;
m
AB
AB
= tan =
BC
AC
kirişinin eğimi;

f ( a  h)  f ( a) f ( a  h)  f ( a)

( a  h)  a
h
h  0
için,
AT
T
f (a+h)
ait birbirine yakın iki nokta A a , f (a) ve B a  h , f (a  h)
olsun. Şekilde, AB doğru parçası bir kiriş, AT doğrusu
f nin grafiğinin A noktasındaki teğetidir.
A
h
B
y = f (x)
C

0 a
a+h
x
kesen
teğet
olur..
teğetinin eğimine eşit olacağından,
f (a  h)  f (a)
 f  (a) dır. O hâlde, y = f (x) fonksiyonunun grafiğinin x = a
h
noktasındaki teğetinin eğimi, f fonksiyonunun x = a noktasındaki türevine eşittir.
mAT  lim
h 0
B noktası,
b
B a  h , f (a  h)
g
şeklinde alınarak da yukarıdaki yorum yapılabilir..
TEĞET VE NORMAL DENKLEMLERİ
b
g
Denklemi y = f (x) olan fonksiyona ait eğrinin A a , f (a)
noktasından çizilen teğet denklemini bulmak için, önce eğim hesaplanır. Türevin geometrik yorumundan eğim, fonksiyonun bu
noktadaki türev değeri olduğundan, m  f  ( a) dır. Bir noktası
t
ve eğimi bilinen doğru denkleminden yararlanarak,
y  f(a)  f  (a) . (x  a)
teğet denklemi bulunur..
b
g
Denklemi y = f (x) olan fonksiyona ait eğrinin A a , f (a)
noktasındaki teğetine değme noktasında dik olan doğruya, eğrinin
A noktasındaki normali denir.
Dik doğruların eğimler çarpımı  1 olduğundan,
m t . m n  1 
y  f(a)  
mn  
1
1


mt
f (a)
1
 (x  a)

f (a)
dır. Buna göre, A noktasındaki normal denklemi,
olur..
Örnek : f (x)  x2 + 2x  3 parabolünün x = 3 apsisli noktasındaki teğetinin ve normalinin
denklemlerini bulalım.
x = 3 noktasına karşılık gelen ordinatı bulalım: f (3) =  32 + 2 . 3  3 =  6,
A (3 ,  6) dır. Bu noktadaki teğetin eğimini bulmak için önce türevi alalım:
Çözüm :
f  (x) =  2 x + 2 olduğundan,
119

mt = f (3) =  2 . 3 + 2 =  4 ,
teğetin eğimi
mn  
normalin eğimi
teğet denklemi,
1
1
1
1



mt
4
4
f (3)
bulunur. Buna göre,
y  ( 6) =  4 (x  3)

y =  4x + 6
1
(x  3)
4

1
27
y =  x 
4
4
normal denklemi, y  ( 6) = 
bulunur..
Örnek : f (x) = x3  3x + 2 fonksiyonunun hangi noktasından grafiğine çizilen teğeti, y = 9x 
7 doğrusuna paraleldir?
Çözüm : Paralel doğruların eğimleri eşit olacağından, teğetin eğimi ile doğrunun eğimi eşit
olmalıdır. Buna göre, doğrunun ve teğetin eğimlerini bulup eşitleyelim.
y = 9x  7 doğrusunun eğimi m = 9 dur.
3
f (x) = x  3x + 2 eğrisinin x = a değme noktasındaki teğetinin eğimi, m t = f (a) dır..
2
2
2
2

f (x) = 3x  3  f (a) = 3a  3  m t = m  f (a) = 9  3a  3 = 9  a = 4
 a=2
veya
a=2
3
f (2) = 2  3 . 2 + 2 = 4
bulunur. O hâlde, aranan değme noktaları;
,
T1 (2 , 4) ;
f ( 2) = ( 2)3  3 . ( 2) + 2 = 0
,
T2 ( 2 , 0)
bulunur.
2
Örnek : f (x) = x + 2x parabolüne, A (0 ,  1) noktasından çizilen teğetlerin denklemlerini
bulalım.
Çözüm : A (0 ,  1) noktasından çizilen teğetin değme noktasının apsisi a olsun. O hâlde,
b
değme noktası T a , f (a)
f ( x ) = 2 x + 2
g
yani
T (a , a2 + 2a)
olur..
m t  f ( a ) = 2a + 2 dir..

İki noktası bilinen doğrunun eğim formülünden faydalanarak,
m AT  m t


a2  2a  1
 2a  2
a
a2  1 
a  1

a2  2a  1  2a 2  2a
veya
a1
bulunur.
Buna göre değme noktaları, T1 ( 1 ,  1) ve T2 (1 , 3) tür. Bu durumda, sırasıyla teğet eğimleri,
m1  f (1) = 0 ve m2  f (1) = 4 bulunur. O hâlde, aranan teğet denklemleri;
t1 : y + 1 = 0 (x + 1)

y=1
t2 : y  3 = 4 (x  1)

y = 4x  1
bulunur.
Örnek :
Şekilde, y = f (x) ve y = g (x) fonksiyonların
2
grafikleri A (2 , 1) noktasında birbirine teğettir. h (x) = f (x) . g (x)  x
ise, h (x) fonksiyonunun grafiğinin x = 2 apsisli noktasındaki
teğetinin eğimi kaçtır?
Çözüm :
h  (x ) i
h (x)
fonksiyonun
x = 2 deki
m t = h (2)
olduğundan, önce
bulalım:
h( x)  f ( x) . g( x)  g( x) . f ( x)  2x
m = 1 . 1 + 1 . 1  4 =  2 dir.
t
teğetinin eğimi

m t  h  ( 2)  f ( 2) . g ( 2)  g(2) . f ( 2)  4
(Grafikten f (2) = 1
120
, g (2) = 1 , f (2) = 1 ve
g (2) = 1 dir..)
Örnek : f : R  R , f (x) = x2  x + 5 parabolünün, y = x  7 doğrusuna en yakın noktasının
koordinatlarını ve uzaklığını bulalım.
Çözüm : Önce doğru ile eğrinin durumunu belirtelim:
x2  x + 5 = x  7  x2  2x + 12 = 0   = 4  48 =  44 < 0 olduğundan doğru ile eğri
kesişmez. Bu durumda, verilen doğruya paralel teğetin değme noktası, aranılan en yakın noktadır.
t // d  mt = md
 f ( x) = 1  2x  1 = 1  x = 1 bulunur..
x = 1  f (1) = 5 dir. Aranan nokta A (1 , 5) noktasıdır. Bu noktanın
d doğrusuna olan uzaklığı, parabolün doğruya en yakın uzaklığıdır.
Analitik geometride, A (x0 , y0) noktasının ax + by + c = 0 doğruax0  by 0  c
h
suna olan uzaklık formülü;
dir..
a2  b2
Buna göre, h 
y 0  x0  7

5  1 7
1 1
11

2

2
11 2
2
bulunur.
f : R  R , g : R  R , f (x) = x2 ile g (x) =  x2 + 8 parabollerinin kesişim
noktalarındaki dar açının tanjantı kaçtır?
Çözüm : İki eğrinin arasındaki açı demek, bu eğrilerin kesim noktalarındaki teğetler arasındaki
açı demektir.
Bunun için, önce eğrilerin kesim noktaları bulunur.
2
x =  x2 + 8  x2 = 4  x = 2 V x =  2
Örnek :
ve buradan
A ( 2 , 4)
y = 4 bulunur. O hâlde, A ( 2 , 4)
,
B (2 , 4)
olur.
noktasından geçen teğetlerin eğimleri;
f (x) = 2x  m1 = f  ( 2) =  4
g (x) =  2 x

m 2  g( 2)  4 olur. A noktasındaki teğetler arasın-
daki dar açı
 ise, tan > 0 olmalıdır. Bunun için m1 =  4 , m2 = 4
olarak alınmalıdır. Buradan, tan  
m1  m 2
1  m1 . m 2
4  4
8

1  16
15

bulunur..
f (x) ve g (x) parabolleri Oy eksenine göre simetrik olduğu için, B noktasındaki teğetler arasındaki dar açının tanjantı da
8
8
tir. O hâlde, f (x) ile g (x) arasındaki dar açının tanjantı
tir..
15
15
Örnek : f (x) = x2 + ax + b ve g (x) = cx  x2 eğrilerinin (1 , 0) noktasında birbirlerine teğet
olmaları için;
a, b, c
reel sayıları ne olmalıdır?
Çözüm : (1 , 0) noktası her iki eğrinin de üzerinde olduğu
için, eğrilerin denklemlerini sağlar.
f (1) = 0

1+a+b=0
g (1) = 0

c1=0
a+b=1


c=1
(1 , 0) noktasında eğriler birbirine teğet oldukları için, bu noktadaki teğetleri ortaktır. Bu ortak teğetin eğimi, f (1) = g (1) dir..
f (x) = 2x + a
f (1) = g (1)
a b  1

f (1) = 2 + a
ve
 2+ a  1 
 3 b  1 
g (x) = c  2x
a   3,
b2

bulunur.
121
g (1) = c  2  1  2   1,
TÜREVİN FİZİKSEL YORUMU
Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin aldığı yolu; t (zaman) ve S (yol) olmak üzere,
S = S(t) hareket denklemiyle ifade edebiliriz. Bu hareketlinin t zamanı içinde aldığı yolu, S = S(t)
denkleminden bulabiliriz.
Bu hareketlinin
t
anındaki
V
hızını bulalım: Bir hareketlinin hızı, birim zamanda alınan yol
olduğundan, eğer hareketli t kadar zamanda S kadar yol alıyorsa, ortalama hızı Vort 
Burada;
S  S( t  t )  S( t) dir. Buna göre,
t
S
S ( t  t)  S ( t)
 lim
 S( t)
t  0
t
t
V  lim
t  0
anındaki
S
dir..
t
V hızı;
bulunur.
Sonuç : t zamanı içinde aldığı yolu S = S (t) denklemiyle verilen bir hareketlinin, t anındaki
hızı
V  S(t)
yani, yolun zamana göre birinci türevidir..
Bir hareketlinin birim zamandaki hız değişikliği ivme olduğundan, a ivmesi;
a  lim
t  0
V
V ( t  t )  V ( t)
 lim
 V ( t )
t  0
t
t
bulunur.
Sonuç : t zamanı içinde hızı V = V (t) olan bir hareketlinin, t anındaki ivmesi a  V (t) ;
yani hızın zamana göre birinci, yolun zamana göre ikinci türevidir.
a  V (t)  S (t) dir.
Örnek :
Bir hareketlinin
t
saniyede aldığı yol denklemi,
S (t) =  10 t2 + 500 t
metre ile
verilmiştir.
a. Hareketlinin 3 saniyede aldığı yolu bulalım.
b. Hareketlinin 3. saniyedeki hızı bulalım.
c. Hareketlinin 5. saniyedeki ivmesini bulalım.
d. Hareketlinin hızı, kaçıncı saniyede sıfır olur?
Çözüm :
a.
S(3) =  10 . 32 + 500 . 3 = 1410 m
b. V(t) = S( t ) =  20 t + 500
V(3) = S( 3) =  20 . 3 + 500 = 440 m/sn
c. a (t) = V ( t) =  20
a (5) = V ( 5) =  20 m/sn
2
d. V (t) = 0 olmalıdır. Yani
t = 25 sn bulunur.
Örnek :
V0
 20 t + 500 = 0
ilk hızıyla aşağı doğru atılan bir cismin
t
zamanı içinde aldığı yol denklemi,
1
g t2 dir. (g : yer çekimi ivmesi) Buna göre hareketlinin;
2
a. t anındaki hız denklemini bulalım.
S = V0 . t +
b. 3. saniyedeki hızını ve ivmesini bulalım.
1
Çözüm : a. V (t) = S( t ) = V0 + . 2 g t = V0 + g t dir..
2
b. V (3) = V0 + 3g
ve
a = V ( t) = g dir..
122
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıdaki fonksiyonların grafikleri, karşılarındaki noktadan geçtiğine göre, bu noktadan çizilen teğetinin ve normalinin denklemini bulunuz.
a. f (x) = 3x  7
x 1
2x  3
c. f (x) =
,
b. f (x) = x  2x + 5
A (x ,  2)
d. f (x) =
,
e. f (x) = (x  1) . x . (x + 1)
2
2. f (x) = x  5x + 7
2
A (1 ,  4)
,
A (1 , y)
f.
parabolünün x + y  2 = 0
3. f (x) = x  x
fonksiyonunun
2x  y = 3
x2  x  2
x2  1
f (x) = 100x + 10x
11
A (1 , y)
,
A (1 , y)
x
111
,
A (0 , y)
doğrusuna;
a. Hangi noktasından çizilen teğeti paraleldir?
3
,
b. Hangi noktasından çizilen teğeti diktir?
doğrusuna;
a. Paralel olan teğetlerinin denklemlerini bulunuz.
b. Dik olan teğetlerinin denklemlerini bulunuz.
4. f (x) =  x2
bulunuz.
parabolüne, dışındaki
A (1 , 0)
5. f (x) = a  x2 parabolüne, O (0 , 0)
değeri kaçtır?
noktasından çizilen teğetlerinin denklemlerini
noktasından çizilen teğetler dik olduğuna göre,
f (1)
6. f (x) = x3 + mx2  nx + 6 fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun gösterdiği grafik A (2 , 8) noktasından geçtiğine ve x =  1 apsisli noktasındaki teğeti x eksenine paralel olduğuna göre,
m ve n değerlerini bulunuz.
7.
Yandaki grafikte, f (x) doğrusu g (x) eğrisine x = 1
apsisli noktada teğettir. Buna göre, aşağıdaki değerleri bulunuz.

a. f (2) + g (1)
b.
bf . gg (1)
FG f IJ  (1)
H gK
d.
eg j (1)
c.
e.
8.
Yandaki grafikte,
f (x)
doğrusu
a. g (x)
parabolünün denklemini,
b. f (x)
doğrusunun denklemini,
g (x)
parabolüne
2

bfogg (1)
(1 , 2)
noktasında teğettir. Buna göre;
c. h (x) = x2 . f (x)  g (x) fonksiyonun grafiğine x = 1 apsisli
noktasından çizilen teğet denklemini,
x  f ( x)
fonksiyonun grafiğine x = 1 apsisli noktax  g( x)
sında çizilen teğet ve normal denklemini bulunuz.
d. k (x) =
9.
f (x) = x3 + ax2 + bx + c fonksiyonunda;
A (1 , 0)
noktasında
x
a, b, c reel sayıları kaç olmalıdır ki fonksiyonun grafiği
eksenine teğet olsun ve
123
B ( 1 , 8)
noktasından geçsin?
10. Yandaki grafikte, f (x) ve g (x) parabolleri (2 , 0)
noktasında birbirine teğettir. f (x) fonksiyonunun, (0 , 0)
noktasındaki normali x + 2y = 0 doğrusu olduğuna göre,
aşağıda istenilenleri bulunuz.
a. f (x) parabolünün denklemini
b. g (x) parabolünün denklemini
c. f (x) parabolünün orijindeki teğetine paralel ve g (x)
fonksiyonuna teğet olan doğrunun denklemini
d. h (x) = f (x2  1).g (x) fonksiyonun grafiğinin x = 1 noktasındaki teğet ve normalinin denklemlerini
11. Bir f (x) fonksiyonunun grafiğine A (2 , 5) noktasından çizilen teğet denklemi y = 5x  5 tir.
g (x) = (x2  1) . f (x) kuralı ile tanımlı g (x) fonksiyonunun grafiğine x = 2 apsisli noktasından
çizilen teğetinin ve normalinin denklemlerini bulunuz.
12. f : R  {1}  R  {0} , f (x) =
x
eğrisine A (1 , 3) noktasından çizilen teğetinin denklemini
x 1
bulunuz.
x 2  ax  5
fonksiyonunun grafiğinin, apsisi x =  1 olan noktadaki teğetinin 3x  4y + 1 = 0
x7
doğrusuna paralel olması için, aR sayısı ne olmalıdır?
13. f ( x) 
14. y = f (x)
eğrisinin,
g (x) = x . f (x) +
A ( 2 , 4)
1
f ( x)
noktasındaki teğeti
Ox
eksenine paraleldir.
ise, g (x) fonksiyonunun grafiğinin x =  2 noktasındaki teğetinin
denklemini bulunuz.
15. Bir hareketlinin
Hareketlinin;
t
saniyede aldığı
S
2
metre yol,
S = 9t  3t + 15 denklemi ile verilmiştir.
a. İlk 3 saniyede aldığı yolu bulunuz.
b. 3. saniyedeki hızını bulunuz.
c. 3. saniyedeki ivmesini bulunuz.
16. Bir hareketlinin aşağıdan yukarı doğru düşey atışta,
S = V0 t 
1
g t2
2
t
saniyede aldığı
S
metre yol
(g = 9,8 m/sn2 yer çekimi ivmesi) denklemiyle verilmiştir:
a. V0 ilk hızı kaç olmalıdır ki hareketli atış noktasına çıkabildiği maksimum yüksekliğe kadar
20 sn süre geçsin?
b. Hareketlinin çıkabildiği maksimum yüksekliği bulunuz.
c. Hareketlinin 30. saniyedeki hızını ve ivmesini bulunuz.
124
BİLEŞKE FONKSİYONUNUN TÜREVİ (TÜREVDE ZİNCİR KURALI)
Teorem : g , x te türevlenebilen; f , g (x) te türevlenebilen birer fonksiyon olmak üzere,
fog
fonksiyonu
x te
türevlenebilir ve
bfogg (x)  df bg(x)gi  f  bg(x)g . g (x)
tir..
bfogg (x)  lim (fog)( x  hh)  (fog)(x)
İspat :
h 0
b
g b g
f g ( x  h)  f g ( x)
 lim
h
h 0
Payı ve paydayı
g (x + h)  g (x) ile çarpalım.
bfogg (x)  lim f b(g  h)gh f bg( x)g  gg(( xx  hh))  gg((xx))
h0
b
g b g  lim
f g( x  h)  f g ( x)
 lim
g( x  h)  g( x)
h 0

b
h 0
g ( x  h)  g ( x)
h
g b g  lim
f g ( x  h )  f g ( x)
lim
g ( x  h)  g ( x)
g ( x  h )  g ( x)
b g
 f  g (x) . g  (x)
h 0
g ( x  h)  g ( x)
h
bulunur..
Bu teorem ikiden fazla fonksiyonların bileşkesinin türevinde de kullanılır.
bfogohg (x)  ef d g b h x gij  f  bg ( h x )g . g ( h
( )
y = f (z)
,
z = g (u)
( )
,
u = h (x)
dy dz du



bfogohg (x)  dy
dx dz du dx
( x )) . h
 ( x ) tir.
Bunu gösterelim:
olsun. Bu durumda
y = (fogoh) (x) tir ve türevi de:
b
g
 f ( z) . g (u) . h ( x)  f  g (h ( x)) . g (h ( x)) . h ( x) olur.
Bu işleme, türevde zincir kuralı da denir.
Sonuç : f ( x)  g ( x)
n
biçiminde verilen üslü fonksiyonunun türevi, bileşke fonksiyonunun türev
kuralı uygulanarak;
f (x) = n . g( x)
n 1

. g (x)
şeklinde de bulunabilir..
Örnek : f (x) = (x3  x2 + 1)1998 fonksiyonunun türevini bulalım.
Çözüm :
f (x) = 1998 . (x3  x2 + 1)1997 . (3x2  2x)
3
2
5
Örnek : f (x) = (x  2x  3)
a. f (x) i
bulunuz.
bulunur..
fonksiyonu veriliyor:
b. f (1)
kaçtır?
Çözüm : a. f (x) = (x3  2x2  3)5 
b. f (x) = 5 (x3  2x2  3)4 . (3x2  4x)
f  (x) = 5 . (x3  2x2  3)4 . (3x2  4x) bulunur..
türevinde
x = 1 koyalım:
f (1) = 5 (13  2 . 12  3)4 . (3 . 12  4 . 1) =  5 . 44 =  1280
125
bulunur..
f  (0) =  2 ise, g (1) değerini bulalım.
Örnek : g (x) = f (x2 + 2x  3) ve
g (x) = f (x 2 + 2x  3) . (x 2 + 2x  3)  = f (x 2 + 2x  3) . (2x + 2)
Çözüm :
bg

2
g 1  = f (1 + 2 . 1  3) . (2 . 1+ 2)  f (0) . 4 =  2 . 4 =  8
2
3
4
Örnek : f (x) = (x + 1)  (x + 1)
bulunur..
fonksiyonunun ( 1 , y ) noktasındaki teğetinin denklemini
bulalım.
f ( x) = 3 (x2 + 1) 2 . 2x  4 (x + 1) 3 . 1
Çözüm :
e
j
2
2
mt = f ( 1) = 3 ( 1)  1 . 2 ( 1)  4 ( 1 + 1)3 . 1 =  24
e
2
j
tür..
3
y = f ( 1) = ( 1)  1  ( 1 + 1)4 = 8 dir. Değme noktası
O hâlde; teğetin denklemi,
y  8 =  24 (x + 1)
Örnek : y = u4  3u2 , u = x2 ise,
dy dy du


dx du dx
Çözüm :
y = u4  3u2
u = x2
du
= 2x
dx

y =  24x  16

olur..
bulunur.
dy
i bulalım.
dx
dy
du
olduğundan önce
dy
= 4u3  6u
du

( 1 , 8)
(y , u ya
ve
du
i bulalım.
dx
bağlı olduğundan)
(u , x e bağlı olduğundan)
dy dy du


eşitliğinde yerlerine yazalım:
dx du dx
Bulunanları
dy
= (4u3  6u) . 2x = 4 ( x2 ) 3  6 . x2 . 2x = (4x6  6x2) . 2x = 8x7  12x3 olur..
dx
Örnek : f (3x) =
Çözüm :
yazalım:
2x
3
x 1
3 . f (3x) =
3 . f (3 . 1) =
fonksiyonu için, f (3) değerini bulalım.
2 . ( x3  1)  3 x2 . 2x
olur. f  ( 3 ) ün değerini bulmak için,
( x3  1) 2
2 . (13  1)  3 . 12 . 2 . 1
3
(1  1)

2
3 . f ( 3) =
4-6
4
 f (3) = 
1
6
x yerine 1
bulunur..
Örnek : Şekilde, y = f (x) fonksiyonunun A (2 ,  3) noktasındaki teğeti,
Ox
eksenini x = 5 apsisli noktada kesmektedir.
2
g (2x + 1) = (x  4x) . f (x) ise, g (x) fonksiyonunun x = 5 apsisli
noktasındaki teğetinin eğimini bulalım.
3
Çözüm : Grafikten, f (2) =  3 ve f (2)  m t  tan  
 1 olur..
3
2
g (2x + 1) = (x  4x) . f (x)

2
2 . g (2x  1)  (2x  4) . f ( x)  ( x  4x) . f ( x)

g (x) fonksiyonun x = 5 apsisli noktasındaki teğetinin eğimi m = g (5 ) olduğundan, yukarıda
bulunan türev ifadesindeki x yerine 2 yazalım:
2 . g (2 . 2  1)  (2 . 2  4) . f (2)  (2 2  4 . 2) . f (2)  0 . f(2)  4 . f (2) olur. Buradan,
2 . g ( 5)   4 . f ( 2)

2 . g( 5)   4 . 1
126

g( 5)   2
bulunur..
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ
Teorem :
f:R  R ,
h 0
ab
ab
 sin
2
2
f (x)  cosx tir..
dönüşüm formülünü kullanarak,
2x  h
h
 sin
2
2
sin (x + h)  sinx = 2 cos
fonksiyonunun türevi
f ( x  h)  f ( x)
sin( x  h)  sin x
 lim
h

0
h
h
İspat : f (x)  lim
sina  sinb = 2 cos
f (x) = sinx
yazılır..
2 . cos
sin( x  h)  sin x
f (x)  lim
 lim
h0
h 0
h
2x  h
h
 sin
2
2
h
h
2  2 cos x  1  cos x
h
2
sin
2x  h
 lim 2 cos
 lim
h 0
h 0
2
bulunur..
Örnek : Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulalım.
a. f (x) = x2  2 sinx
b. f (x) = x . sinx
c. f (x) = sin3 2x
d. f ( x) 
Çözüm :
x3
sin 3 x
f (x) = 2x  2cosx
a.
b. f (x) = 1 . sinx  x . cosx = sinx + x . cosx
c. f (x) = sin3 2x = (sin2x)3 olarak yazılabilir.
b
g
f (x) = 3 sin2x
2
2
. cos2x . 2 = 6sin 2x . cos2x
2
d. f (x) =
2
3
3x . sin3x  3x cos3x
2
=
b
2
sin 3 x
b
Genel olarak: f (x)  sin u (x)
f (x)  sin
Teorem : f : R  R
İspat :
f (x) = lim
cosa  cosb =  2sin
h0
n
sin 3 x
g
bu (x)g
b
g
bu (x)g . cos bu(x)g . u (x)

 f (x) = cos u (x) . u (x)
 f (x) = n . sin
n1
f (x) = cosx fonksiyonunun türevi
f ( x  h)  f ( x)
cos( x  h)  cos x
= lim
h 0
h
h
ab
ab
 sin
2
2
cos (x + h)  cosx =  2 sin
g
3x . sin3x - x cos3x
dönüşüm formülünü kullanarak,
2x  h
h
 sin
2
2
yazılır..
127
yazabiliriz.
f (x) =  sinx tir.
2 sin
cos( x  h)  cos x
f (x) = lim
= lim
h 0
h 0
h
=
2x  h I
F
lim G 2 sin
J
H
2 K
=  2 sin x 
h
2
sin
lim
h 0
h
h 0
1
  sin x
2
2x  h
h
 sin
2
2
h
bulunur.
Örnek : Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulalım.
a. f (x) = x3  3 cosx
b. f (x) = sin2x . cosx
2
d. f ( x) 
c. f (x) = cos (sin3x)
1  cos x
sin x
Çözüm : a. f (x) = 3x 2  3 sin x
2
3
b. f (x) = 2sinx . cosx . cosx  sin x sin x  sin 2x . cos x  sin x
b
g olarak yazılabilir..
f (x) = 2cos(sin3x) b sin(sin 3x)g . cos 3x . 3
c. f (x) = cos2 (sin3x) = cos(sin 3 x)
2
=  6 cos (sin3x) . sin (sin 3x) . cos3x =  3 sin (2 sin 3x) . cos3x
sin x . sin x  cos x (1  cos x)
d. f (x) =
=
2
sin x
1  cos x
2
1  cos x
Genel olarak:
=
sin 2 x  cos x  cos 2 x
=
2
sin x
1  cos x
1
=
(1  cos x)(1  cos x)
1  cos x
b g
f (x)  cos bu (x)g
f (x)  cos u (x)
n
=
1  cos x
sin2 x
bulunur.
b
g
bu (x)g . sin bu (x)g . u (x)

 f (x) =  sin u (x) . u (x)
 f (x) =  n cos
n1
Örnek : f (x) = tanx fonksiyonunun türevini bulalım.
Çözüm : f ( x)  tan x 
sin x
cos x . cos x  (  sin x) . sin x
 f (x) 
cos x
cos 2 x
cos 2 x  sin2 x

cos 2 x  sin 2 x
f (x) 
2
cos x
b
f (x)  tan x

cos 2 x
2
cos x
g  cos1 x  sec
2
2
2
cos x

sin 2 x
2
cos x

1
cos 2 x
 1  tan2 x
x  1  tan2 x
Buradan;
bulunur.
u , x e bağlı türevlenebilen bir fonksiyon olmak üzere;
f (x)  tanu
 f (x) =
u
2
cos u
 u . sec 2u  u . (1  tan2u) dur..
128
 sec 2 x
yazabiliriz.
Örnek : f (x) = cotx fonksiyonunun türevini bulalım.
Çözüm :
f ( x)  cot x 
cos x
 sin x . sin x  cos x . cos x
 f (x) =
2
sin x
sin x
2

2
(sin x  cos x)
2
sin x
2
F
GH
2
2
2
(sin x  cos x)
sin x cos x
f (x) =
= 

2
2
2
sin x
sin x
sin x
I
JK
1

2
2
  cosec x
sin x
2
=  (1+ cot x) bulunur..
u , x e bağlı türevlenebilen bir fonksiyon olmak üzere;
 f (x) =
f (x)  cotu
 u
2
sin u
2
  u . cosec u   u (1+ cot 2u) dur..
Örnek : Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulalım.
a. f ( x)  tan 3 x  cot
Çözüm :
x
2
2
b. f ( x)  tan x  x . cot x
a. f (x)  3 sec 2 3 x 
1
x
cos ec 2
2
2
c. f ( x) 
x  tan 2x
cot 3 x
bulunur..
b. f (x) = 2 tan x .  . sec2 x  (1 . cotx  x . cosec2x) = 2 . tan x . sec2 x  cotx + x . cosec2x
bulunur.
2
c. f (x) 
2
(1  2 sec 2x) . cot 3 x  ( x  tan 2x) . ( 3 cos ec 3 x)
2
cot 3 x

Örnek :
cot 3 x  2 sec 2 2x . cot 3 x  3 x cos ec 2 3 x  3 tan 2x cos ec 2 3 x
cot 2 3 x
f (x) =
x . sin x
x  cos x
fonksiyonunun

2
x =
bulunur..
apsisli noktasından çizilen teğetinin
denklemini bulalım.
Çözüm : Önce f (x) fonksiyonunun türevini bulalım:
f ( x) 
(1 . sin x  x . cos x) . ( x  cos x)  (1  sin x) . x . sin x
( x  cos x) 2
FG1 . 1    0IJ  FG   0IJ  b1  1g    1 
2
 4
2
2
F I H 2 K H 2 K
m  fG J 




H 2K
2 


FG   0IJ
4
H2 K
F I
F I

x=
için, f G J = 1 dir. O hâlde, aranan teğet; A G , 1J noktasından geçen ve eğimi
2
H 2K
H2 K
I
2 F
2
x J  y =
x bulunur..
olan doğrudur. Yani, y  1 =
G
2K
 H

t
2
2
129
2
m=
2

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ
Bu bölümde, daha önce gördüğümüz mutlak değer, tam kısım ve işaret fonksiyonlarının türevlerini
inceleyeceğiz. Hatırlanacağı gibi bu fonksiyonların bazı noktalarda süreksiz olduğunu biliyoruz. Bir fonksiyonun bir noktada türevi hesaplanırken, önce bu noktada sürekli olup olmadığına bakılır. Eğer süreksiz ise,
o noktada türevi yoktur. Sürekli ise türevi olabilir. Bu durumda, fonksiyonun o noktadaki soldan ve sağdan
türevine bakılır. Soldan ve sağdan türevleri eşit ise, fonksiyon o noktada türevlidir.
MUTLAK DEĞER FONKSİYONUNUN TÜREVİ
f : A  R , y = f ( x)
y  = f (x) 
R|  f (x)
S| f (x)
T
,
verilsin. a A , f (a)  0
f (a)  0
olmak üzere fonksiyonunun türevi;
ise
, f (a)  0 ise
f (a) = 0 ise, fonksiyonun bu noktadaki türevi olabilir ya da olmayabilir. Bunu araştırmak için, fonksiyonun soldan ve sağdan türevlerine bakılır. Soldan ve sağdan türevler eşit ise, fonksiyon bu noktada
türevlidir, aksi hâlde, türevi yoktur.
Örnek : f (x) = x2  1
fonksiyonu veriliyor..
b. f (0)
a. f ( 2)
c. f (1)
değerlerini, varsa hesaplayalım.
Çözüm : a. x =  2 için, x2  1 > 0 olduğundan,
f ( 2) = 2 . (  2) =  4
bulunur..
b. x = 0
bulunur.
x2  1 < 0
için,
olduğundan,
f  ( x)  2x = 2x dir. Buna göre,
f (x)=  2x
dir. Buna göre,
f ( 0) =  2 . 0 = 0
x = 1 için, x2  1 = 0 olduğundan, bu noktadaki soldan ve sağdan türevlere bakılır.
c.
2

f (1 )  lim
x 1

f (1  )  lim
x 1



f (1 )  f (1 )
f ( x)  f ( 1)
x  1 0
 ( x  1) ( x  1)
 lim
 lim
 lim  ( x  1)   2



x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
2
f ( x)  f (1)
x  1 0
( x  1) ( x  1)
 lim
 lim
 lim ( x  1)  2



x1
x 1
x1
x 1
x 1
x1
f ( 1)
olduğundan,
Örnek : f (x) = ( x  2) . x  2
Çözüm : f (x ) fonksiyonu,
türevlerine bakalım:
lim
x  2


( x  2) ( x  2)  0

x2
f (2 ) 
lim
x 2



f (2 )  f ( 2 )
lim
x 2
f ( x)  f ( 2)

x2

değeri yoktur..
fonksiyonunun
x =  2 için, türevini hesaplayalım.
x =  2 de süreklidir; fonksiyonun bu noktadaki soldan ve sağdan
 ( x  2)  0
lim
x 2

( x  2) ( x  2)  0

x 2
lim
x  2

( x  2)  0
olduğundan, f (2) = 0 dır. O hâlde, fonksiyonun bu noktada türevi vardır..
130
TAM KISIM FONKSİYONUN TÜREVİ
f:A  R ,
y = f (x)
verilsin. Eğer y = f (x)
fonksiyonu a A noktasında sürekli
ise, fonksiyonun bu noktadaki türevi sıfırdır. Fonksiyon bu noktada sürekli değilse, türevi yoktur.
y = f (x)
y = f (x)
fonksiyonunda f (x) Z ise, y = f (x)
fonksiyonunda
f (x) Z ise, y = f (x)
olmadığına bakılır. Eğer fonksiyon bu noktada sürekli ise,
Örnek : f (x) =
x
3
2
fonksiyonu sürekli olduğundan, y  = 0 dır..
fonksiyonunun bu noktada sürekli olup
y = 0
dır, aksi hâlde, türevi yoktur..
fonksiyonu veriliyor:
a. f (1) değerini bulalım.
b. f (2) değerlerini, varsa hesaplayalım.
c. f (x) fonksiyonunun türevsiz olduğu kümeyi bulalım.
Çözüm :
x
3
2
a. f (x) =
hesaplayalım. Bu değer
x
3
2
FH x  3IK
2
ifadesinin
olur..
fonksiyonunda, x = 2 için,
FH x  3IK
2
ifadesi,
olduğundan, f (x) fonksiyonu x = 2 noktasında süreksizdir. Buna göre,
c.
x =1
için, değerini
1
5
5
3  
dir.   Z olduğundan, f (x) fonksiyonu x = 1 noktasında
2
2
2
süreklidir. Buna göre, f (1) = 0
b. f (x) =
fonksiyonunda,
2
 3   2 dir..  2 Z
2
f (2) değeri yoktur..
FH x  3IK ifadesini tam sayı yapan x değerleri kümesini bulalım: FH x  3IK
2
2
için x , 2 nin katı olmalıdır. O hâlde, fonksiyonun türevsiz olduğu küme;
ifadesi tam sayı olması
{x : x = 2k , k Z } dir.
2
Örnek : f (x) = (x  3)
fonksiyonun x = 3 teki türevinin değerini hesaplayalım.
Çözüm : (x  3)2 ifadesi x = 3 için sıfırdır. Fonksiyonun bu noktada sürekli olup olmadığına
bakalım:
f (3) = 0 dır.
lim f ( x)  f ( 3)  0 olduğundan, fonksiyon x = 3 de süreklidir. O hâlde, f (3)  0 dır..
x3
İŞARET FONKSİYONUNUN TÜREVİ
f : A  R , y = sgn f (x) fonksiyonu verilsin. Eğer y = sgn f (x) fonksiyonu a A
noktasında sürekli ise, türevi bu noktada sıfırdır. Fonksiyon bu noktada sürekli değilse, türevi
yoktur.
y 
RS 0
T Yoktur
,
,
f (a)  0 ise
f (a)  0 ise
dır.
2
Örnek : f (x) = sgn (x  x  6) fonksiyonu veriliyor:
a. f (1) , f ( 3) değerlerini bulalım.
b. f (x) fonksiyonunun türevsiz olduğu noktaları bulalım.
Çözüm : a. x = 1 için x2  x  6 ifadesinin değeri  6  0 olduğundan,
f (1) = 0 dır..
için, x2  x  6 ifadesinin değeri sıfır olduğundan, x = 3 için, f (3) değeri yoktur..
b. f (x) in türevsiz olduğu noktalar, x2  x  6 = 0 denkleminin kökleridir.
Yani, (x  3) (x + 2) = 0

x = 3 veya x =  2 noktalarında fonksiyon türevsizdir.
x=3
1
2
131
KAPALI FONKSİYONLARIN TÜREVİ
Tanım : x ve y değişken olmak üzere, F (x , y) = 0 denklemiyle verilen bağıntılara kapalı
fonksiyon denir.
2
2xy + 3y  x = 0 , y - 2x = 0
fonksiyon ya da kapalı bağıntıdır.
,
2
x y  3x +
y +1=0
, ... şeklindeki ifadeler birer kapalı
F (x , y) = 0 eşitliğinden, bazen y yi x cinsinden çekerek
Bazen de y yi x cinsinden çekmek mümkün olmayabilir.
F (x , y) = 0 denklemiyle verilen bir kapalı fonksiyonda, y  
I. yöntem :
y = f (x)
biçiminde yazabiliriz.
dy
i hesaplarken iki yöntem kullanılır:
dx
F(x , y) = 0 eşitliğinin her iki tarafının zincir kuralından faydalanarak x e göre
türevini alırız. Elde edilen eşitlikten y  bulunur..
Örnek : F (x , y) = x2 + y2  2x  24 = 0 bağıntısı veriliyor:
dy
i hesaplayalım.
b. F (x , y) = 0 denklemiyle verilen eğrinin üzerindeki A (5 , 3)
dx
noktasından geçen teğetin eğimini bulalım.
a.
Çözüm : a. Eşitliğin her iki tarafının x e göre türevini alalım:
d
d
(0)
(x2 + y2  2x  24) =
dx
dx
d
d
d
d
d
(x2) +
(y2) 
(2x) 
(24) =
(0)
dx
dx
dx
dx
dx
2x + 2y
y 
dy
20=0
dx

dy 2 x  2 1  x


dx
2y
y
2y
dy
=  2x + 2
dx
bulunur..
b. A (5 , 3) noktası, yukarıda bulunan türev denkleminde yerine konursa, teğetin eğimi bulunur.
Buna göre,
mt 
1 5
4

3
3
tür.
Örnek : x3 + 2xy2  3 = x2y  x + y olduğuna göre,
dy
i
dx
bulalım.
Çözüm : Önce eşitlik F (x , y) = 0 şekline getirilir. F (x , y) = x3 + 2xy2  x2y + x  y  3 = 0
Her iki tarafın x e göre türevi alınır.
d
d
3
2
2
(x + 2xy  x y + x  y  3) =
(0)
dx
dx
2
2
2
3x + 2 (1 . y + x . 2y y  )  (2xy + x y  ) + 1  y   0 = 0
3x2 + 2y2 + 4xy y   2xy  x2 y   y  + 1 = 0 
y 
3 x2  2y 2  2xy  1
4xy - x2  1

3 x 2  2y 2  2xy  1
4 xy  x2  1
132
y  (4xy  x2  1) =  3x2  2y2 + 2xy  1
II. yöntem : F (x , y ) = 0 kapalı fonksiyonunun türevi hesaplanırken, y sabit düşünülerek x
değişkenine göre türevi; Fx (x , y) , x
şeklinde gösterilir. Buna göre,
F (x , y) = 0
F  (x , y)  F  (x , y) . y   0
x
sabit düşünülerek
değişkenine göre türevi
her terimin x e
F  ( x , y)
dy

y 
 x
dx
F  ( x , y)

y
denkleminde
y
göre türevi alınırsa;
bulunur..
y
Örnek :
3xy  x + y  5 = 0
Çözüm :
Fx (x , y) = 3y  1
olduğuna göre,
F  (x , y)
dy
3y  1 1  3y
 x



dx
3x  1 3x  1
Fy (x , y)
olur. Buna göre,
bulunur..
dy
i bulalım.
dx
Örnek : cos3x + sin2y = 1 ise,
Çözüm :
dy
i bulalım.
dx
Fy (x , y) = 3x + 1
,
Fx ( x , y) =  3 sin3x , Fy ( x , y ) = 2 cos2y
y 
F  ( x , y)
dy
 x
dx
Fy ( x, y)
y 
dy
3 sin 3 x 3 sin 3 x
 

dx
2 cos 2y
2 cos 2y
olduğundan,
bulunur..
RASYONEL ÜSLÜ FONKSİYONLARIN TÜREVİ
+
+
Teorem : x  R
1
y 
1 n
x
n
1
ve n  N olmak üzere, y  x
1
n
fonksiyonunun türevi,
dir..
1
İspat :
y  xn

n
y =x
yazabiliriz.
F (x , y) = yn  x = 0
kapalı bir fonksiyondur.
Fx ( x , y)   1
Fy ( x , y )  ny n1
,
F  ( x , y)

1
y  x
  n 1
Fy ( x , y)
ny
ifadesinde,
dir. Buradan;
yx
1
n
bulunur..
133
değeri yerine konursa;
Fy (x , y)
Örnek : Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulalım.
1
a. f ( x)  x 5
1
a. f  ( x) 
Çözüm :
3
c. f ( x) 
x
f ( x) 

1 3
x

3
1
3.
c. f ( x) 
4
2
x3
1

3
2x  1
2
4 ( x  x  5)
Teorem :
m
x
n
m
n
x R
+
ve
m, n  N
+
2x  1
4
2
4 ( x  x  5)
f (x)
y 
fonksiyonunun türevini kısaca,
f ( x)

3
4
n.
y 
bulunur..
x2
1
3
n
3
x 2  x  5  ( x 2  x  5) 4

1 2
f ( x) 
( x  x  5) 4 . (2x  1) 
4
y
x2  x  5
bulunur..
2
x  x3
4
4
1 5 1 1  5
x
 x
5
5
1
b. f ( x) 
3
b. f ( x) 
n
bf (x)g
n1
yx
olmak üzere,
m
n
3
bulunur..
şeklinde yazabiliriz.
fonksiyonunun türevi,
1
dir..
m
İspat :
y  x n  y n  xm
F (x , y) = yn  xm = 0
Fx ( x , y)   m x
m 1
yazabiliriz.
kapalı bir fonksiyondur.
, Fy ( x, y)  n . y
n 1
Buradan; y   
Fx ( x, y)
Fy ( x, y)
m 1

mx
ny
n 1
m
y  xn
değeri yerine konursa;
bulunur..
Örnek : Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulalım.
2
a. f ( x)  x 3
b. f ( x) 
x3
2
Çözüm : a.
f ( x) 
1
2 3 1 2  3
x
 x

3
3
2
3x
3
b. f ( x) 
x
3
 x2
1
3
2

3
3
bulunur..
x
1

f ( x) 
3 2
3
x 
2
2
x
134
bulunur..
ifadesinde,
Örnek : f ( x)  3 ( x 2  x  2) 2 fonksiyonunun x = 2 noktasındaki türevini bulalım.
2
Çözüm : f ( x) 
3
1

2 2
( x  x  2) 3 (2 x  1)
3
( x2  x  2)2  ( x2  x  2) 3  f ( x) 
2 (2x  1)
f ( x) 

2
3 (x  x 
f ( x) te x yerine 2 yazalım.
y
n
bf (x)g
m
f (2) 
2.5
3.
3
fonksiyonunun türevini kısaca,
8

5
3
n.
2 (2x  1)

3
3
x2  x  2
dir..
bulunur..
m f (x)
y 
1
2) 3
n
bf (x)g
nm
şeklinde yazabiliriz.
PARAMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ
Tanım : y = f (x) fonksiyonunda x ve y değişkenleri, tR olmak üzere, t parametresine
bağlı olarak
x  h ( t)
y  g ( t)
UV
W
biçiminde tanımlanırsa, bu fonksiyona, parametrik fonksiyon denir..
Bu tür fonksiyonlarda, x ile y birbirlerine t parametresi ile bağlıdır.
x = h (t) ve y = g (t) denklemlerinde t parametresi yok edilerek, x ile y arasında
y = f (x) bağıntısı elde edilir. Buradan, y nin x e göre türevi bulunur.
Parametrik fonksiyonların türevi alınırken, t parametresini yok etmek her zaman mümkün olmayabilir. Bu durumda, y nin x e göre türevi zincir kuralı yardımıyla hesaplanır. Buna göre, h ve g
fonksiyonları t değişkenine göre türevli iseler;
dy
dy dy dt
g ( t)


 dt 
dx
dx dt dx
h  ( t)
dt
Örnek :
yt
a. t
U|
V
 t  3 |W
x  t2
2
parametrik fonksiyonu veriliyor:
parametresini yok ederek,
b. Zincir kuralını uygulayarak,
Çözüm : a. x = t  2 
2
olur..
2
y = (x+2)  (x + 2) + 3 = x + 3x + 5
dy
i
dx
bulalım.
dy
i bulalım.
dx
t = x + 2 bulunur. Bu ifadeyi, y de yerine koyalım:

dy
dy
2t  1

b. y 
 dt 
 2t  1
dx
dx
1
dt
y 
dy
= 2x + 3
dx
bulunur..
bulunur.
x = t  2  t = x + 2 değeri türevde t yerine konursa,
135
y 
dy
 2 ( x  2)  1  2x  3 bulunur..
dx
U|
V
 2t  5 W|
x  t3  t
Örnek :
y  t2
parametrik fonksiyonunun t = 1 değerine karşılık gelen A noktasın-
daki teğetin denklemini bulalım.
Çözüm : Bu tür parametrik fonksiyonlarda t
zincir kuralı yardımıyla kolayca bulabiliriz.
dy
dy
2t  2
y 
 dt  2
dx
dx
3t  1
dt
t=1
için
x=0
,
y  ( 2) = 2 (x  0)
y=2
U|V
|W
için,
mt = 2 dir..
A (0 ,  2)
y = 2x  2

x  4 cos 2 2
y  2 sin 2
Örnek :
t=1
parametresini yok etmek zordur. Bu nedenle türevi
noktasındaki teğetin denklemi;
bulunur.
denklemleriyle verilen
y = f (x)
fonksiyonunun
y=1
ordinatlı
noktasındaki teğetinin eğimini bulalım.
dy
dy
4 cos 2
1
 d 

dx
dx
16 cos 2 sin 2
4 sin 2
d
Çözüm :
y = 1 için 1  2 sin 2  sin 2 
mt  
1
1
4.
2
Örnek :

mt  
|UV
 2t |W
x  2t  5
yt
3
1
2
1
2
bulunur.
bulunan bu değeri türevde yerine yazılırsa, teğetin eğimi;
bulunur.
denklemleriyle verilen
y  f ( x) fonksiyonunun,
x3
apsisli
noktasındaki normalinin eğimini bulalım.
Çözüm :
dy 3 t 2  2

dx
2
bulunur. x = 3 için, 3 = 2t 5

t = 4 olup, bu değeri türevde
yerine yazalım.
mt 
3(4) 2  2
 25
2
2
Örnek :
U|
V
 5 t  9|W
x  t  6t  9
yt
3
Normalin eğimi,

mn  
1
25
dir..
parametrik denklemiyle verilen y = f (x) fonksiyonunun üzerindeki
A (1 , 7) noktasından çizilen teğetin denklemini bulalım.
Çözüm : x = 1  t2  6t + 9 = 1
y=7
elde edilir.
y 
dy 3 t 2  5

dx
2t  6
y7  
7
( x  1)
2


mt 
 t1 = 2 V t2 = 4 bulunur. Bu değerlerden;
12  5
7

46
2
7 x  2y  21  0
t=2
bulunur. O hâlde, aranan teğetin denklemi;
bulunur..
136
için,
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz.
a. f (x) = (x  1)2
b. f (x) = (2x + 3)5
c. f (x) = (x2  x + 1)6
d. f (x) = (x2  1) . (2x  1)3
e. f (x) = (x  1)7  (x + 1)7
f. f ( x) 
2
3
g. f (x) = (x  2x + 3) . (x  1)
2
d.
( x  1) 2
2
3
2. f (x) = x + x + 1 ve g (x) = x  x
a.
( 2 x  1) 3
bfogg (x)
bfogg (x  1)
fonksiyonları veriliyor. Aşağıda istenilen türevleri bulunuz.
b g
bfogg (1)
b g
c. gog  ( x)
b. gof  ( x)
2
e.
3. Aşağıda verilenlere karşılık istenilenleri bulunuz.
a. f (x) = x3 + g (3x  1)
ve
g (8) = 3
b. f (x) = x2 + g (4  3x)
,
g (1) =  2
c. f (x) . g (x) = x 3 + 1
d.
f ( x)
g ( x 2  1)
4. y = f (x)
= 3x  5
,
g (1) = 2
,
f (3) = 8
,
,
ise, f  (1 ) kaçtır?
f (1) = 3 ve f  (1) =  1
f  (3) = 1 ise,
fonksiyonunun grafiği üzerindeki
doğrusuna diktir.
g ( x) 
x5
f (4 x  5)
f  (3 ) kaçtır?
ise,
A (1 , 3)
fonksiyonunun
ise,
g (1 ) kaçtır?
g (8 ) kaçtır?
noktasından çizilen teğeti
x=1
x  2y = 3
apsisli noktasından çizilen teğet
denklemini bulunuz.
5. Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz.
a. y = sin5x
b. y = sin2x
c. y = x . sin3x
d. y = sinx . cos2x
e. y = x2 . cosx
f. y =
g. y = (sinx + cosx)3
h. y = sin5(x)
ı. y = cos3(2x4)
x sin 3 x
j. y =
sin x  cos x
k. y = tan 3x
l. y = x tan x + x cotx
m. y = (sinx + cosx  1)
p. y = tan2
FG 1  cot xIJ
Hx K
3
x 1
sin 3 x
2
2
1
n. y = (sinx + cosx) . (sinx  cosx)
o. y = tan
r. y = sin (cos x)
s. y = cos3(sin2x)
137
x2
2
6. Aşağıdaki fonksiyonlarda, belirtilen apsis değerlerine karşılık gelen noktalardan çizilen teğetin
ve normalin denklemlerini bulunuz.
a. y = sin x + cos x
2
c. y = tan
FG 3x IJ
H2K
,
,
x=
x=

2

2
b. y = x sinx
d. y =
,
x=
1  sin 2 x
1  cos x
,
x=

3
7. Aşağıdaki fonksiyonların karşılarında belirtilen limitleri, türev tanımından faydalanarak bulunuz.
a. f (x) = sin
c. f (x) =
x
7
f ( x)
x
lim
,
x0
3
b. f (x) = x cos x
f ( x)  f
1  cos x
1  cos x
lim
,
x
FG  IJ
H 3K
lim

x
2
f ( x)

x
2
f ( x)  f
d. f (x) = tan77x

x
3

3
,
lim
,
x

28
x
FG  IJ
H 28 K

28
8. Aşağıdaki fonksiyonların karşılarında belirtilen değerleri bulunuz.
a. f (x) =
x
2
. x2
c. f (x) =
,
f  (3)
,
f
b. f (x) = x . sgn (x2  2) + 2  x 2
FG 1IJ
H 2K
d. f (x) = x . sin
1
x
,
f
,
f  (1)
FG 4 IJ
H K
9. Aşağıdaki fonksiyonların karşılarında belirtilen değerleri varsa hesaplayınız.
a. f (x) = x . sgn (x  9)
b. f (x) = x . 3x
,
f (9  ) ve f (9  )
,
f (0  ) ve f (0  )
2
c. f (x) = x  2x . x2  4
d. f (x) = x9 . x9 +
e. f (x) =
f (2  ) ve f (2  )
,
. sgn (x9  1)
,
f (1  ) ve f (1  )
3
,
f (3  ) ve f (3  )
+ x . sgn (x  27)
2
2
f. f (x) = x  4 . sgn (x  2x)
g. f (x) = x2 .
x
9
f (2  ) ve f (2  )
,
 1  x 2 . sgnx
10. Aşağıdaki kapalı fonksiyonlar için
,
f (  2) ve f (1  )
dy
dx
i bulunuz.
2
2
2
a. x  y + 3 = 0
b. x  10x + 2y = 5
c. x + y = 25
d. xy = 10
e. xy  x  y  10 = 0
f. x2y3  2xy2 + 3x2y  8xy = 6
g. (x2 + y2)2 = 4xy2
h. 9x2 = 4 (1 + y2)3
ı. x2 + sin y = 0
j. x + y = cos (x . y)
k. x = y  x cos x + y cosx
l. x  y = (cos x  sin y)
138
2
2
2
11.
Aşağıdaki kapalı fonksiyonların üzerinde bulunan, karşılarında belirtilen noktalardaki teğet
ve normal denklemlerini bulunuz.
a. x  2y = 11
2
,
A (3 ,  4)
2
c. (x  1) + y = 100
2
2
e. x + 3xy + y = 5
3
2
,
,
A (7 , y)
2
A
,
3
A ( 3 , 4)
,
A (x , 2)
2
,
A (2 ,  1)
2
A (1 , 2)
h. y . sinx + x . cos y = 
,
A ( , 0)
FG  , 0IJ
H4 K
UV
W
dy
i
dx
b. x  t 2  t
y  t3
x  2t  1
y  t 1
d. x  sin t  1
y  t . cos t
2
3
12. Aşağıdaki parametrik fonksiyonların türevlerini
a.
2
,
f. x + 4y  xy = 2
g. x  2x y + 4xy  8xy + 6x = 3
,
2
d. x  y = 1
A (1 , y)
ı. 4 (x + y) = tan (x + y)
2
b. x + y = 25
UV
W
bulunuz.
c. x 
U|
V
t W|
f. x  t  2sin t
y  cos t
t2  1
t
3
y  t t
x  a cos 3 t
e.
y  a sin 3
U|
V|
W
|UV
|W
UV
W
13. 12. soruda parametrik denklemleriyle verilen y = f (x) fonksiyonların, t = 0 değerine karşılık
gelen noktasındaki teğet ve normal denklemlerini bulunuz.
14. Parametrik denklemleri
a. Sadece x ve y
x = a cos t , y = b + a sin t olan eğrinin:
değişkenine bağlı olan f (x , y) = 0 kartezyen denklemini bulunuz.
b. a şıkkından faydalanarak
dy
i bulunuz.
dx
c. Parametrik denklemleri kullanarak,
dy
i bulunuz.
dx
15. Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz.
a. f (x) =
d. f (x) =
n
g. f (x) = x
j.
f (x) =
x
b. f (x) = x
x
e. f (x) =
2
2
x  1  (x + 1)
FG
H
h. f (x) =
x
IJ
K
x2  1
1
 2 2
x
x
c. f (x) =
x
x
3  2x
ı. f (x) =
(2  3 x)2
4
( x  1) 3
l.
1  x2
3
FG
H
a.
x
y 1
b.
x
3
y 
139
3
3
c.
2
3
x

1  x3
IJ n
K
2
f (x) = x  x  1
16. Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz.
3
x
x2  x  7
f. f (x) =
x x 1
k. f (x) = (3x  4) .
3
2
3
y

2
a3
TERS FONKSİYONUN TÜREVİ
Bir fonksiyonun ters fonksiyonunun kuralını kolayca bulmak mümkün ise, önce ters fonksiyonun
kuralı bulunup sonra türevi alınabilir. Ancak bazı fonksiyonların ters fonksiyonunun kuralını bulmak kolay
değildir. Her iki durumda da bir fonksiyonun türeviyle, tersinin türevi arasındaki ilişkiyi belirtmek için
aşağıdaki teoremi verebiliriz.
f
1
Teorem :
f : A  B , y = f (x)
:B  A
,
xf
1
olsun.
( y)
için, f  (x)
x A
bire bir ve örten fonksiyonunun ters fonksiyonu,
1
( y)
dx
.
d i (y) = dy
dx dy
f (x) . f
1
için yazılan bu teoremi,
(x0 , y0)  f
Örnek :
a. f
b. f
f :R 
1
RS 5 UV
T3W
1
1
olur..
RS 2 UV
T3W
için de yazabiliriz. Buna göre;
df i (y
1
,
f ( x) 
0)
2x  3
3x  5
=
1

f (x0 )
olur..
fonksiyonu veriliyor:
fonksiyonunun türevini bulalım.

ef j (1)
Çözüm :
değerini hesaplayalım.
a.
f ( x) 
2x  3
5x  3
 f 1( x) 
3x  5
3x  2
b.
ef j (x) = 5 (3x (3x2)  2)3 (5x  3)   (3x 1 2)
c.
ef j (1) =  (3 . 11 2)
1
2
1
dir. Buradan,
d i (y) = 1
f (x) . f
olup,
0
 R
1
fonksiyonunun kuralını bulalım.
1
1
d i (y)
x0  A
d i (y ) = 1
f (x0 ) . f

tir..
bulunur..
1
x A
c.
yazılır. Buna göre,
1
1
dx
 f
dy
fonksiyonunun türevi
1
1

df i (y) = f (x)

f df ( y ) i
Böylece,
1
dy
 f (x)
dx
İspat : y = f (x) fonksiyonunun türevi
x=f
1
1

df i (y)  f (x)

f df (y)i
f ( x)  0 ise,
var ve

2
 1
dir..
bulunur..
2
dir..
Örnek : f : R+  R , f (x) = x3 + 2x2  3x + 4 fonksiyonu veriliyor:
a.

ef j (y)
1
değerini bulalım.

e j (4)
b. f
1
140
değerini bulalım.
dir..
df i (y) = f (1x)
1
Çözüm : a. y = f (x) olmak üzere,
f (x) = x3 + 2x2  3x + 4

ef j (4)
1
b.
3
2
x>0
V
x 0  3
olduğundan,
d i (y
f ( x 0 ) . f
1
0)
1
1
2
tür..
 4x  3
ifadesinde, y0 = 4 için, türev istenmektedir. y0 = f (x0) olduğundan, (x0 , 4)  f olur..
x 0  2x 0  3 x 0  4  4
x0  0
df i (y) = 3 x
olduğundan,
tir..
2
x 0  2x 0  3 x 0  0

x 0 . ( x 0  2x 0  3)  0

x 0 . ( x 0  3 )( x 0  1)  0
2
V
x0 = 1
1 
3

x0  1
olur..
alınır. (x0 , y0) = (1 , 4)  f olup,
d i (4)  1
1
f (1) . f

f ( x 0 ) . f  1 ( y 0 )  1 dir.
e j
df i  ( 4 )  3 . 1
1
den,
2
1

 4 . 1 3
Örnek : y = f (x) fonksiyonunun A (5 , 4) noktasındaki teğetinin eğim açısı
x = f (y)
fonksiyonunun
B (4 , 5)
(x0 , y0 )  f
(y0 , x0 )  f 1
(5 , 4)
(4 , 5)  f 1
d i  ( 4)  1
f (5 ) . f
1
2
5
bulunur..
radyandır..
noktasındaki teğetinin eğim açısı kaç radyandır?
Çözüm : y = f (x)  x = f 1( y)
 f
1
4
olduğundan,
olur. Buna göre,
dir..
2
 tan   1
5

tan

tan  



10
FH
1
2
 2
 cot
 tan

2
5
2
5
tan
5
IK  tan 
10
radyan bulunur..
TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ
Teorem :
f (x) =
1
1 x
2
f : [ 1 , 1]
dir.

LM  ,  OP
N 2 2Q
,
f (x) = arcsinx
fonksiyonunun türevi
( 1 < x < 1)
d i
1 
( y)  1
İspat : y = f (x) = arc sinx x = f 1( y)  sin y olup, ters fonksiyon türevinden f (x) . f
idi.
f (x) . cosy  1

f (x) 
1

cos y
1

2
1  sin y
141
1
1 x
bulunur..
2
Teorem :
f : [ 1 , 1]
1
f (x) 
1 x
dir.
2


e j (y)  1
1
f (x) = arccosx
1
 x  f ( y)  cos y
fonksiyonunun türevi
olup, ters fonksiyon türevinden
1

sin y
f (x) . (  sin y )  1  f (x)  
idi.
FG
H
Teorem : f : R  
 
,
2 2
İspat : y = f (x) = arctanx

f (x) . f 1 ( y)  1 idi.
e j
Teorem :
,
( 1 < x < 1)
İspat : y = f (x) = arccosx
f (x) . f
[0 , ]
IJ
K
1
1

2
1  cos y
1 x
bulunur..
2
1
fonksiyonunun türevi f (x) 
, f (x) = arctanx
1 x
1
 x  f ( y)  tan y
2
dir..
olup, ters fonksiyon türevinden
1
f (x) . (1  tan2 y )  1  f (x) 
2
1  tan y

1
bulunur..
1  x2
1
f (x) 
f : R  (0 , ) , f (x) = arccotx fonksiyonunun türevi
1 x
2
dir..
İspat : y = f (x) = arccotx  x = f 1 (y) = coty olup, ters fonksiyon türevinden,
d i ( y)  1
f (x) . f
1
f (x) 
idi.
1

df i ( y)
1

1

2
1

2
 (1  cot y)
1
1  cot y
1 x
2
bulunur..
Bu teoremlerden, bileşke fonksiyonun türevine göre, aşağıdaki sonuçları çıkartabiliriz.
Sonuçlar : u , x e bağlı türevlenebilen bir fonksiyon olmak üzere:
u
1. (arcsinu)  
1 u
2
1 u
 u
3. (arccosu) 
u
2. (arctanu)  
4. (arccotu) 
2
1 u
Örnek : a. f (x) = arcsin (x 3 )
f
olduğuna göre,
2
 u
1  u2
FG 1 IJ
H 3K
ifadesinin değerini hesaplayalım.
b. f (x) = arccos3x
olduğuna göre,
f
FG 1IJ
H 6K
ifadesinin değerini hesaplayalım.
c. f (x) = arctan x
olduğuna göre,
f  (4)
ifadesinin değerini hesaplayalım.
d. f (x) = arccot(cosx)
ve sina =
4
5
f  ( a)
olduğuna göre,
FH x IK 
1  FH x IK
ifadesinin değerini hesaplayalım.
3
Çözüm : a. f (x) = arcsin x3  f ( x) 
3
1
3
yazılırsa,
F
fG
H
IJ 
3 K
1
FG 1 IJ 2
H 3K
F 1 IJ 6
1 G
H 3K
3.
1
3

1
1
27
3.

142
3x

2
1
26
27
2
1 x

olup, bu eşitlikte x yerine
6
3 3
26

3 78
26
bulunur..
b. f (x) = arccos3x  f ( x) 
 (3 x)
1  ( 3 x)
f
FG 1 IJ 
H 6K
3
F 1I
H 6K
1 9 .
2
c. f (x) = arctan
3

2
1  9x
3

1
1 9 
36
x
3

3

1
1
4
FH x IK 
 f ( x) 
1  FH x IK
2

3
4
olup, eşitlikte x yerine
3 . 2
6 3
 2 3
3

3
1
6
yazılırsa,
bulunur.
1
2
2 x
1 x

olup, x yerine 4
yazılırsa,
1
1
1
2
4
f 4 
 4 
1 4
5
20
di
d.
bulunur..
f (x) = arccot(cos x)
 (cos x)
f ( x) 

1  (cos x)
yazılırsa,
bg
f a 
sin a
2
1  cos a
bulunur. sin a 
bg
f a 
f (a) da yerine konursa;
4
5
3
1
5
FG IJ
H K
4
5

2
sin x
olup, eşitlikte x
2
olduğundan,
cos a = 
4
5
2
yerine
4
20 10

 5 

9
34
34 17
1
25
25
3
5
olur. Bu değerler,,
bulunur.
LOGARİTMA FONKSİYONUNUN TÜREVİ
f : R+  R
Teorem :
bg
1
f x 
 log e
a
x
a  R +  {1}
ve
dir..
İspat : Türevin tanımını kullanarak;
bg
f  x  lim
h0
loga ( x  h)  loga x
f ( x  h)  f ( x)
 lim
h0
h
h
loga
 lim
h 0
FG x  h IJ
F hI
H x K  lim log GH1  x JK
a
h
h 0
FG
H
h
IJ
K
FG
H
IJ
K
1
1
h
h h
 lim
 loga 1 
 lim loga 1 
h 0 h
h 0
x
x
 lim loga
h0
 lim
h 0
1
 loga
x
143
a
1  cos x
,
f (x) = logax
fonksiyonunun türevi
x
n
h
dersek,
h  0
FG
H
1
1

 lim loga 1 
x n  
n
n +
için
IJ n 
K
1
 loga
x
olur. (h > 0)
FG
H
IJ n
K
1
lim 1 
n  
n


1 . log e
a
x
bulunur..
e
Bu teoremde özel olarak
f (x) = lnx
a=e
bg
1
x
f x 
ise,
alındığında;
olur..
Bu teoremden, bileşke fonksiyonunun türevine göre aşağıdaki sonuçları çıkartabiliriz.
Sonuçlar : u , x e bağlı türevlenebilen bir fonksiyon olmak üzere;
bg
u
loga e
u
bg
u
u
1.
f (x)  loga u

f x 
2.
f (x)  lnu

f x 
olur..
Örnek : Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini hesaplayalım.
a.
f (x) = ln (sinx)
b.
f (x) = log2 (3x  2)
c.
f (x) = ln log3 ( x2  1)
d.
f (x) = log232x+1
e.
f (x) = lnxx
f.
f (x) = log3 x + lnx
Çözüm : a. f (x) = ln (sinx)
b.
c.
d.
e.
f  ( x) 
f (x) = log2 (3x  2) 
LM
N
2
f (x) = ln log3 ( x  1)

OP
Q
( 3 x  2) 
3
log2 e 
 log2 e
3x  2
3x  2
LMlog (x
N
f  ( x) 
x
2
 1)
3

OP 
Q
2
log3 ( x  1)
f (x) = log232x+ 1 = (2x + 1) . log23 
f (x) = lnx = x . lnx
(sin x)
cos x

 cot x
sin x
sin x
f  ( x) 

2x
log3 e
2x . log3 e
x 1
 2
2
2
log3 ( x  1)
( x  1) log3 ( x  1)
2

f ( x)  ( 2x  1)  . log2 3  ( 2x  1) . (log2 3) 

f ( x)  2 . log2 3  ( 2x  1) . 0

f ( x)  2 . log2 3  log2 9 bulunur..
f ( x) = 1 . lnx + x 
1
= 1 + lnx = lne + lnx = ln (ex) bulunur..
x
1
f.
f (x) = log3 x  ln x

f ( x) 
2 x
•
x
log3e 
144
1
1
1 log3 e 1


• log e 
=
3
2x
x
x 2x
x
dir..
e
Örnek : f (x) = ln 3 sin 5x
j
e
ise,
f
FG 3 IJ
H5K
değerini hesaplayalım.
j
f  ( x) = 5 . cos5x . ln3
Çözüm : f (x) = ln 3 sin 5 x = sin5x . ln3 
f  ( x) = 5 ln3 . cos5x

f
FG 3  IJ  5 . ln 3 . cos FG 5  3  IJ = 5 . ln3 cos (3) =  5 ln3
H5K
H 5K
Örnek : ln (siny) + ln (cos x)  1 = 0 ise,
Çözüm :
f  ( x)  1 . ln x  x 
f  ( x)  ln x

Teğetin eğimi,
m t  f  ( e)  ln e  1
için noktanın ordinatı,
1
dy
değerini bulalım.
dx
fonksiyonunun eğrisine,
Çözüm : f (x) = x . lnx  x 
Eğimi
bulunur..
 sin x
dy
F x
tan x

  cos x 
 tan x . tan y bulunur..

cos
y
dx
cot y
Fy
sin y
Örnek : f (x) = x . lnx  x
denklemini bulalım.
x=e
olur..
olan ve
apsisli noktasından çizilen teğetin
1
 1  ln x  1  1
x
tir..
dir.
f (e) = e . lne  e = 0
(e , 0)
x=e
dır.
noktasından geçen teğetin denklemi,
y=xe
bulunur.
ÜSTEL FONKSİYONUN TÜREVİ
Teorem :
a  R+  {1}
olmak üzere,
f : R  R+
,
f (x) = ax
fonksiyonunun türevi
f  (x)  a x . lna dır..
İspat : y = ax in iki tarafının e tabanına göre logaritmasını alalım. lny = x . lna bulunur. Bu
eşitliğin her iki tarafının x e göre türevini alalım.
y
 1 . ln a  x . 0
y
y   y . ln a


x
y   a . ln a bulunur..
f (x) = ax fonksiyonunda,
f (x) = ex

f ( x) = e
x
a=e
olarak alınırsa;
olur..
Bu teoremden bileşke fonksiyonun türevine göre aşağıdaki sonuçları çıkartabiliriz.
Sonuçlar : u, x e bağlı türevlenebilen bir fonksiyon olmak üzere;
u
1.
f (x) = au

f (x)  a . u . lna
2.
f (x) = eu

f (x)  e . u olur..
u
145
Örnek : Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini hesaplayalım.
a.
f (x) = 3tanx
d.
f (x) = 5
log5 x
b.
f (x) = earc tanx
e.
f (x) = sin (e x )
f (x) = x . e3x
c.
2
2x
f.
3x
f (x) = e  3e  1
Çözüm : a. f (x) = 3tanx  f  (x) = 3 tan x . (tan x) . ln 3
f  (x) = 3

b.
c.
f ( x)  e
arc tan x
f ( x)  x . e
3x
log5 x
d.
f (x) = 5
e.
f (x) = sin (e )
f.
f (x) = e
f  (x) = e

f  (x) = e arc tan x .

f  (x) = 1 . e

f  (x) = e
 3e
3x
3x
3x
1
2x = 3y
3x
x.e .3
3x
3x
= e . (3x + 1)
bulunur..
bulunur..
x2
x2

f ( x)  cos(e ) . e . 2x  2x . e
1

f ( x)  2 . e

f ( x)  2 . e
dy
dx
olduğuna göre,
bulunur..
bulunur..
1  x2
2x
2x
3.3.e
9.e
3x
x2
x2
cos(e )
bulunur..
3x
bulunur..
dy
değerini bulalım.
dx
Örnek : a. e3y = e4x olduğuna göre,
b.
2
. sec x . ln 3
. ( arc tan x) 
 3x . e
f ( x)  1
x 
x2
2x
arc tan x

tan x
değerini hesaplayalım.
4x
dy
F x

dx
F y
Çözüm : a. e3y  e4x = 0 dır.
3y
dy
e . 4
e .4
4
  3y
 3y

dx
3
e .3
e .3
den;
bulunur..
Bu örneği aşağıdaki biçimde de çözümleyebiliriz:
e3y = e4x
b.
3y = 4x

2x  3y = 0
dır.
x

y=
4
x
3
dy
F x

dx
F y
y 

4
3
bulunur..
den;
x
dy
2 . ln 2
2 ln 2
ln 2

 x

 log3 2
y
dx
ln
3
3 ln 3
2 ln 3
olur..
Bu örneği aşağıdaki biçimde de çözümleyebiliriz:
2x = 3y

Örnek : f (x) = x . emx+1
ise,
m
ln 2
dy

 x . log3 2 bulunur..
ln 3
dx
fonksiyonunun x =  1 apsisli noktasındaki teğeti Ox eksenine paralel
x . ln2 = y . ln3

y=x•
reel sayısını bulalım.
x =  1 apsisli noktasındaki teğeti Ox eksenine paralel olduğundan eğimi,
Çözüm :
m t  f ( 1)  0 dır..
f (x) = x . e
mx 1


f ( x)  1 . e
f ( 1)  e
 m 1
Buradan,
mx1
x.e
mx1
.m  e
mx 1
. (1  mx)
m1
 e
0
m = 1 bulunur.
. (1  m)  0
olduğundan,
146
1m=0
dır..
LOGARİTMİK TÜREV ALMA
b g
f (x) > 0  f (x)  1 olmak üzere, y  f ( x) g ( x) biçimindeki fonksiyonların türevini bulurken,
eşitliğin her iki tarafının e tabanına göre logaritması alınır. Logaritması alınan ifadenin x e göre türevi
hesaplanır.
d i
y  f ( x)
g ( x)
d i
ln y  ln f ( x )

g ( x)

ln y  g ( x) . ln f ( x)
Her iki tarafın x e göre türevini alalım:
y
f ( x)
 g ( x) . ln f ( x)  g ( x) .
y
f ( x)
LM
MN
f ( x)
y   y . g ( x) . ln f ( x)  g ( x) 
f ( x)
OP
PQ
L
 O
d i MMg (x) . ln f (x)  g(x)  ff ((xx)) PP
N
Q
y  f ( x )
g ( x)
bulunur..
Örnek : x  R+  {1} olduğuna göre, y = xcosx fonksiyonunun türevini bulalım.
Çözüm : y = xcosx 
ln y  cos x . ln x

y
1
  sin x . ln x  cos x
y
x

y   y .  sin x . ln x 

y   xcos x .  sin x . ln x 
FG
H
FG
H
Örnek : x  R+  {1} olduğuna göre,
x
Çözüm :
(x )
yx

IJ
K
1
cos x
x
y  x(x
x
)
IJ
K
1
cos x
x
fonksiyonunun türevini bulalım.
x
ln y  x . ln x
FH IK
y
d
d
x
x

x . ln x  x .
(ln x) tir..
y
dx
dx

Burada, xx in türevini hesaplayalım:
y  xx 

y
1
 ln x  x 
y
x
ln y  x ln x 
y   xx (ln x  1)
dır..
x
x in bu türev değeri;
y
d
d

x x . ln x  x x .
(ln x)
y
dx
dx
e j
eşitliğinde yerine konulursa,
y
x
x 1
 x . (ln x  1) . ln x  x 
y
x
x
FG
H
y   x( x ) . x x . ln 2 x  ln x 
1
x
IJ
K
bulunur..
147
bulunur..
YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREVLER (ARDIŞIK TÜREVLER)
A R olmak üzere,
olsun.
dy
df
y   f ( x) 

dx dx
A1  A
f:A  R ,
e,
f
d2 y
d2 f
y   f ( x)  2  2
dx
dx
Aynı şekilde,
n  N+
y (n)  f (n) ( x) 
dn y
dxn
ve

Örnek : y  f ( x) 
Çözüm :
fonksiyonu da
ye,
d3 y
d3 f
y   f ( x)  3  3
dx
dx
e,
f
f
n>1
dn f
dxn
fonksiyonu A
kümesinde türevli bir fonksiyon
fonksiyonunun 1. mertebeden türevi denir..
f
olmak üzere,
y = f (x)
e,
A1
kümesinde türevli ise;
fonksiyonunun 2. mertebeden türevi denir..
fonksiyonunun 3. mertebeden türevi denir..
olmak üzere;
f
fonksiyonunun n. mertebeden türevi denir..
1 3 1 2
x  x  4x  5
3
2
fonksiyonunun 4. mertebeden türevini bulalım.
2
y  x  x  4
y   2x  1
y   2
y(4) = 0
bulunur.
Örnek : f (x) = lnx olduğuna göre, f fonksiyonunun 30. mertebeden türevini bulalım.
1
1
x
x

f ( x) 

f ( x)   1 . x

f ( x)   1 . ( 2) . x

f
(4)
( x)  1 . 2 . ( 3 ) . x

f
(5 )
( x)   1 . 2 . 3 . ( 4) . x
Çözüm : f (x) = lnx
2
3
 1. 2 . x
4
3
 1. 2 . 3 . x
5
4
 1. 2 . 3 . 4 . x
5
Bu ilk 5 türevden faydalanarak 30. mertebeden türev kuralını çıkarabiliriz. Yukarıda görüldüğü gibi;
2. , 4. , ... mertebeden türevlerde  1 çarpanı gelmektedir. Ayrıca 1. mertebeden türevde 0! , 2.
mertebeden türevde 1! , 3. mertebeden türevde 2! çarpanı olduğu görülmektedir. Buna göre,
f
( 30 )
( x)   29! . x
 30

29 !
x
30
bulunur..
148
Örnek : f ( x) 
5
3x  7
fonksiyonu veriliyor. Türevli olduğu küme içinde n. mertebeden türevini
bulalım.
Çözüm : Fonksiyonu f (x) = 5 . (3x + 7)1 şeklinde yazıp türevlerini alalım:
f ( x)   1 . 5 (3 x  7) 2 . 3
f ( x)  1 . 2 . 5 . (3 x  7)
3
f ( x)  

.3
2

5 . 1! . 3
(3 x  7 )2
f ( x) 
5 . 2! . 3
(3 x  7)
2
3
3
4
3
f ( x)   1 . 2 . 3 . 5 . (3 x  7) . 3
f
(4 )
( x)  1 . 2 . 3 . 4 . 5 . (3 x  7)
5
.3

4

5 . 3! . 3
f ( x)  
4
( 3 x  7)
f
(4 )
( x) 
5 . 4! . 3
( 3 x  7)
.
..
.
..
4
5
Böylece ardışık türev almaya devam edilirse; tek mertebeden türevlerin işaretinin negatif, çift mertebeden türevlerin işaretinin pozitif olduğu görülür. Ayrıca her mertebeden türevde paya mertebenin faktöriyeli
ve 3 ün o mertebeden kuvveti, paydaya da; paydanın o mertebenin bir fazla kuvveti geldiği görülür. Buna
göre, f (n) ( x)  ( 1)n
5 . n! . 3 n
bulunur. Bu sonucun doğruluğu, tümevarım yöntemiyle ispatlanabilir..
(3 x  7)n1
U|
V
 5 t  3 |W
x  2t 2  3t  1
Örnek :
y  4t 2
parametrik denklemiyle verilen
y = f (x)
fonksiyonu için,
d2 y
dx 2
ifadesini bulalım.
Çözüm :
dy
dy
8t  5
 dt 
tür. Burada dikkat edilirse, 1. türev fonksiyonu da parametriktir..
dx
dx
4t  3
dt
44
dy 
d y
d dy
44
(
4
t
 3) 2
dt 




2
dx
dx dx
dx
( 4 t  3)
dx
( 4 t  3) 3
dt
2
FG IJ
H K
dy 
bulunur. Bulunan 2. türevin de parametrik
olduğuna dikkat ediniz.
Bir fonksiyonun, bir noktadaki ardışık türevlerinin tümü tanımlı olmayabilir. Örneğin, fonksiyonun bir noktada birinci türevi olduğu hâlde; ikinci, üçüncü, ... türevleri tanımlı olmayabilir.
Örnek :
f ( x) 
3
x4
fonksiyonunun x0 = 0 noktasındaki birinci türevi olduğu hâlde; ikinci
türevinin olmadığını gösterelim.
149
Çözüm :
f ( x) 
3
4
x 
4
x3
1
4
 f  ( x) 
x3
3
f  ( x) 
 f (0)  0
4 1 
 x
3 3
2
3

4

9
1
3
x
2
 f (0 )
yoktur..
Yukarıda görüldüğü gibi, f (x) fonksiyonunun, x0 = 0 noktasında birinci türevi olduğu hâlde; ikinci
türevi yoktur.
Teorem : f : R  R , f (x) = anxn + an1xn1 + ... + a1x + a0 bir polinom fonksiyon olsun.
x0 sayısı f (x) fonksiyonunun n katlı bir kökü (sıfır noktası) ise,
f (x 0 )  f (x 0 )  ...  f (n1) (x 0 )  0 dır..
Eğer, x0 sayısı f (x) = 0 denkleminin n katlı bir kökü ise,
f (x) = (x  x0)n . g(x) şeklinde yazılabilir. Bu eşitliğin her iki tarafının (n - 1) defa ardışık türevleri
alınarak teorem ispatlanabilir. Ayrıca, f (x0) = 0 olduğu da unutulmamalıdır.
Örnek :
f:RR
,
f (x) = (2x + 3) . (x  1)3 polinom fonksiyonunun yukarıdaki teoremi
gerçeklediğini gösterelim.
Çözüm : x0 = 1 sayısı f (x) fonksiyonunun 3 katlı bir köküdür.
Yani, f (1) = (2 .1 + 3) . (1  1)3 = 0 dır. Fonksiyonun ardışık iki defa türevini alalım:
f ( x) = 2 . (x  1)3 + 3 . (x  1)2 . (2x + 3) = (x  1)2 . (8x + 7)  f ( 1) = 02 . 15 = 0
f (x) = 2 . (x  1) . (8x+7) + 8 . (x  1)2 = (x  1) . (24x + 6)
 f ( 1) = 0 . 30 = 0 olur..
Yani, 3 katlı x0 = 1 kökü, ilk iki türevi 0 yapar.
Örnek : P (x) = x3  2x2 + ax + b polinomunun (x  2)2 ile bölünebilmesi için, a ve b yi bulalım.
Çözüm : P (x) polinomu (x  2)2 ile bölünebildiğine göre;
P (x) = (x  2)2 . g(x) şeklinde yazılabilir. Burada, P (2) = 0 ve P ( 2) = 0 olmalıdır..
P(2) = 23 - 2 . 22 + 2a + b = 0
P ( x) = 3x2  4x + a

2a + b = 0
 P ( 2) = 3 . 22  4 . 2 + a = 0

a =  4 olur..
a =  4 değeri 2a + b = 0 denkleminde yerine yazılırsa, b = 8 bulunur.
150
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıdaki fonksiyonların karşılarında belirtilen noktalardaki türevlerini bulunuz.

ef j ( 8 )

ef j ( 9 )
1
a.
f : R  R , f (x) = 3x  1 ,
b.
f : R+  R+ , f (x) = x2 ,
c.
f : (, 3]  R+ , f (x) = x2  6x + 9 ,
d.
f : R  {2}  R  {1}
e.
f : [1 , ) 
2,
f.
f : (2 , 5] 
FG  , 4 OP
H 15 Q
j
1

ef j (25)

x 1
, f (x) =
, ef j ( 0 )
x2

, f (x) = x  1 , ef j (2)
 F 2I
x 1
, f (x) =
, ef j G J
H 3K
x  2x
1
1
3
1
2
1
2
2. Aşağıdaki ters trigonometrik fonksiyonların türevlerini bulunuz.
a.
f (x) = arctanx + arccotx
b.
f (x) = arcsin x 2
c.
f (x) = arccos2x 3
d.
f (x) = arctanx (1 + x2)
e.
f (x) = arcsin (cosx)
f.
f (x) = arccos (tan x 3 )
g.
f (x) = x . arcsin
h.
f (x) =
i.
f (x) =
FG 1IJ
H xK
x . arctan x
arccos x
x2  1
arctan x
3. Aşağıdaki fonksiyonların karşılarında belirtilen noktalardaki türev değerlerini bulunuz.
a.
f (x) = arcsin x
c.
f (x) = x . arctanx
f
,
,
FG 1IJ
H 2K
fe 3j
4. f (x) = arctan (2 sin x) fonksiyonunun
a.
x
b.
f (x) = arctan (cosx)
d.
f (x) = arcsin tan( x  1)

6
b
g
,
f  (1)
noktasındaki:
Teğetinin denklemini bulunuz.
b.
Normalinin denklemini bulunuz.
5. Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz.
a. f (x) = ln2x
b. f (x) = ln2 (1 + x2)
d.
f (x) =
x 1
ln x
e.
f (x) = (lnx  x)
g.
f (x) = log (arcsinx)
h.
f (x) = ln
2
FG  IJ
H 2K
f 
,
FH
3
2
c.
f (x) = x3 . lnx
f.
f (x) = arctan (lnx)
IK
x  10
6. Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz.
x
x
x
f ( x)  e e
x
a.
f (x) = e + e
b.
f (x) = x . e
c.
d.
f (x) = x . elnx
e.
f (x) = xe + ex
f.
f (x) =
g.
f (x) = earctanx . (1 + x2)
h.
f (x) = arctan (ex + 1)
i.
f (x) = log
e x  e x
2
gösteriniz.
7. f ( x) 
a.
bg
f  x  g ( x)
,
g( x) 
ex  e x
2
ex  1
5
bcos(x)g
fonksiyonları veriliyor. Buna göre, aşağıdaki eşitlikleri
b.
bg
g x  f ( x)
151
8. Aşağıdaki fonksiyonların karşılarında belirtilen türev değerlerini bulunuz.
a.
c.
f ( x)  arctan (ln x) , f ( e)
b.
f ( x)  esin x , f (0)
, f (1)
d.
f ( x) 
f ( x)  log13 x . e
ln x
e x  e x
, f (ln 2 )
e x  e x
9. Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz.
a.
f (x) = xx
d.
f (x) = (1 + e )
x x
b.
f (x) = (cos x)x
e.
f (x) = (arcsinx)
10. 9. sorudaki fonksiyonların varsa,
11. Aşağıda verilen bağıntılardan,
e2x = ey
a.
2
2
x=1
x
f (x) = (arctanx)x
f.
f (x) = ln x
b gx
2
noktasındaki türev değerlerini bulunuz.
y 
dy
i bulunuz.
dx
b.
3x  y2 = 16
xy
c.
d.
x + y = ln (x + y)
e.
e
=x+y
g.
arctan x + ln (x . y) = 1
h.
ln x + e

y
x
=3
c.
x . y = arcsinx
f.
xy + y x = 2
ı. arctan
12. Aşağıda verilen parametrik fonksiyonların yanlarında belirtilen t
y
 ln
x
değerleri için,
x2  y 2
y 
dy
dx
değerlerini bulunuz.
x e
a.
t
ye
2t
U|
V|
W t1
b.
UV
y  a (1  cos t ) W

t
x  a ( t  sin t )
x  t ln t
ln t
y
t
c.
2
U|
V|
W t1
13. Aşağıdaki kapalı fonksiyonların karşılarında belirtilen noktalardaki teğet ve normal denklemlerini bulunuz.
y . ey = ex+1
a.
14.
3
x2 
3
y2 
3
,
a2
A (0 , 1)
y2 = x + ln
b.
y
x
,
A (1 , 1)
kapalı fonksiyonun gösterdiği eğrinin koordinat düzleminin 1. bölgedeki parçası-
nın üzerinde alınan herhangi bir noktasından çizilen, teğetinin, eksenler arasında kalan parçasının uzunluğunun a olduğunu gösteriniz.
15. Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerinin kesişim noktalarındaki teğetleri arasındaki açıların tanjant değerini bulunuz.
a.
f (x) = x2
g (x) = x3
ile
b.
f (x) = 1  x2
ile
g (x) = (x  1)2
16. Aşağıdaki fonksiyonların karşılarında belirtilen mertebedeki türevlerini bulunuz.
2
a.
y = e2x
d y
y  
,
2
x2
ye
21
e.
y = cos3x ,
2
h.
dx
2
dx
y = sinx
g. x  arctan t
2
y
t
2
d y
,
dx
U|
V|
W
,
d y
dx
2
c.
y  e 2x . sin 3 x , y  
f.
y  ln ( x  1) ,
n
21
d.
d y
, y  
b.
2
xe
yt
t
3
U|
V|
W
152
d y
dx
2
,
d y
dx
2
n
d
1998
dx
ı.
UV
y  5 sin t W
x  5 cos t
2
,
d y
dx
y
1998
2
d2 y
dx2
DİFERANSİYEL KAVRAMI
Teorem : A R , f : A  R , y = f (x) fonksiyonu A da türevlenebilen bir fonksiyon olsun.
x teki değişimi  x , buna karşılık gelen y deki değişimi  y ile gösterelim. x in diferansiyeli
dx =  x olmak üzere, y nin diferansiyeli; dy  f (x) . dx dir..
y = f (x)
eğrisi üzerinde,
x  A
K (x + x , y + y) noktalarını alalım.
ve
x + x  A
y = f (x +  x )  f (x) dir.  x  0 için KT keseni
T noktası etrafında dönerek PT teğetine dönüşür. Bu
mK T
KT
f (x+x)
keseninin eğimi;
K
y
y
f ( x   x)  f ( x)
olur. Bu oranın,  x  0


x
x
ve
y = f (x)
y
Yandaki şekle göre;
durumda,
olmak üzere; T (x , y)
teğet
P
T
f (x)
H
için limitini alalım.
lim mK T  mPT
y

 x  0 x
y
lim

 x  0 x
lim

x 0

Buradan, dy  f (x) . dx
ortaya koymaktadır.
f ( x)
dy
dx
U|
|V
||
W
0
x
x+x
x
x
dy
 f ( x)
dx

olur.
eşitliği elde edilir. Bu eşitlik, türev ile diferansiyel arasındaki ilişkiyi
Bir fonksiyonun x noktalarındaki türevi ile dx in
çarpımı o fonksiyonun diferansiyeline eşittir.
Hata ve yaklaşık değer hesaplarında;
x  0
için;
,
y  dy
alınabilir. Bu durumda:
x  dx
1.
y  dy  f (x) . dx
formülü hata hesaplarında kullanılır..
2.
y  f (x  x)  f(x)

dy  f(x  x)  f (x)

f (x  x)  f(x) + dy

f (x  x)  f (x) + f (x) . dx
formülü de yaklaşık değer hesapların-
da kullanılır.
Örnek :
f : R  R , f (x) = x2 ise, dx  x = 0,1 için; y , dy ve y  dy değerlerini
hesaplayalım.
Çözüm : y = f (x + x)  f (x) = (x + x)2  x2 = x2 + 2xx + (x)2  x2
y = 2xx + (x)2 bulunur.

dy = f ( x) . dx = x2 . dx  2x . dx
e j
dx  x = 0,1
y  2x 
y  dy 
değeri,
FG IJ
H K
1
1

10
10
2

olur..
y ve dy de
x
1

5 100
x
1
x
1

 
5 100 5 100
ve
yazılırsa;
dy  2x 
bulunur..
153
1
x

10 5
bulunur..
2
Yukarıdaki örneği geometrik olarak açıklayalım: Bir kenarı x olan bir karenin alanı, f (x) = x dir.
x te dx  x = 0,1 birimlik bir artış yapıldığında, y ve dy yi aşağıdaki şekillerde görünüz.
Örnek :
5
sayısının diferansiyel yardımıyla yaklaşık değerini bulalım.
Çözüm : f (x) = x , x = 4 ve x = 1 alınırsa,
f ( x  x) 
4 1 
değeri istenmektedir..
5
f ( x  x)  f ( x)  f ( x) dx olduğundan,
x x 
x
FH x IK  dx
Teorem :
c R
x x 

1
x
dx
2 x
1
9

 2,25 (x = 4
4
4

5 2

5  2,25 bulunur..
ve
x = 1
değerleri yazılırsa,)
f , g : R  R fonksiyonları için:
1.
d (c) = 0
2.
4.
d (f . g) = g . df + f . dg
5.
d (c . f) = c . df
d
3.
F f I  g . df  f . dg
GH g JK
g
d (f + g) = df + dg
(g  0)
2
İspat : 1. d (c) = c  . dx = 0 . dx = 0 dır..
2. d ( c . f )  ( c . f ) dx  c . f  . dx  c . df dir..
3. d ( f  g)  ( f  g)  . dx  f  . dx  g . dx  df  dg dir..
e
j
4. d (f . g)  (f . g) . dx  f g  g f dx  f g . dx  g f dx
d ( f . g)  g . f  . dx  f g dx  g . df  f . dg bulunur..
5. 5 in ispatını siz yapınız.
Örnek : Aşağıdaki fonksiyonların diferansiyellerini bulalım.
a.
f (x) = x2 + 2x  3
Çözüm : a.
b.
f (x) = cosx . lnx
c.
f ( x) 
2
df  f  . dx  ( x  2x  3)  . dx  ( 2x  2) . dx tir..
1
b. df  f  . dx  (cos x  ln x)  dx  (  sin x . ln x  cos x) dx tir..
x
F x  1 I  dx  1 . (x  1)  2x (x  1)  dx  x  2x  1 dx tir..
GH x  1JK
( x  1)
FH x  1IK
2
c. df  f  . dx 
2
2
2
2
154
2
2
x1
x2  1
ALIŞTIRMALAR
1.
Aşağıdaki fonksiyonların diferansiyellerini hesaplayınız.
a. y = x3  3x
d.
x 3

3 x
y = arccos 3x
y
b.
2
y = sin (cosx)
e.
2.
Diferansiyelleri kullanarak,
3.
Dış çapı
20 cm
105
3
ve
1
cm
32
ve kalınlığı
c.
y
f.
y = ln (x  x)
9  x2
2
120 nin yaklaşık değerlerini hesaplayınız.
olan küre şeklindeki içi boş bir bilyenin hacmini
yaklaşık olarak hesaplayınız.
4.
Bir küpün bir ayrıtı ölçülürken 0,02 cm lik bir hata yapılırsa, bir ayrıtı 4 cm olan küpün
hacmindeki ve alanındaki yaklaşık hatalar nelerdir?
ARTAN VE AZALAN FONKSİYONLAR
Teorem : f : (a , b) R fonksiyonu sürekli ve türevli olsun:
1.
x  (a , b) için,
f ( x)  0

f
fonksiyonu ( a , b)
aralığında artandır..
2.
x  (a , b) için,
f ( x)  0

f
fonksiyonu ( a , b)
aralığında azalandır..
3.
x  (a , b)
f ( x)  0

İspat :
1.
f
için,
fonksiyonu ( a , b) aralığında sabit fonksiyondur..
f
fonksiyonu
(a , b) aralığında artan ise, türevin
pozitif olduğunu gösterelim:
Yandaki şekillerde görüldüğü
gibi f , (a , b) aralığında artandır.
Bu durumda;
x1 , x2  (a , b)
için, x1 < x2 ise, f (x1) < f (x2) dir.
x1  x2
U|V
y  f ( x )  f ( x )  0W|
 x  x2  x1  0
f ( x1 )  f ( x 2 ) 
2

1
f ( x2 )  f ( x1 )
y

 0
x
x2  x1
olur.
y
 f ( x)  0 yazılabilir. O hâlde;  x  (a , b) için, f ( x)  0 olur..
x
Eğrinin (a , b) aralığının her noktasında teğetlerinin eğim açıları dar açı olduğundan, eğimleri pozitiftir.

O hâlde, f ( x)  0 dır..
Karşıt olarak, türev pozitif iken f fonksiyonunun (a , b) aralığında artan olduğunu gösterelim:
Bu eşitsizlikten,
x  (a , b)
lim
x  0
için, f ( x)  0

lim
x  0
y
 f ( x)  0
x
yazılır.
y
0
olur.
x
aynı işaretli olduğu görülür. Bu durumda,

Buradan,
y ile x in
x = x2  x1 > 0

y = f (x2)  f (x1) > 0
x = x2  x1 < 0
 y = f (x2)  f (x1) < 0
veya
dır. Bu eşitsizlikler, f fonksiyonunun (a , b) açık
aralığında artan olduğunu gösterir.
155
2. x değerleri (a , b) aralığında x den x ye kadar
1
2
artan değerler alırken fonksiyonun alacağı değerler azalmaktadır.
Yani
 y y 2  y1

 0 olur. Buradan,
x x 2  x1
lim
x  0
y
 f ( x)  0
x
dır.
y = f (x) eğrisinin (a , b) aralığının her noktasındaki teğetlerinin
eğim açıları geniş açı olduğundan, eğimleri negatiftir. O hâlde,
f (x)  0 dır..
Karşıt olarak;
x  (a , b) aralığı için,
lim
x  0
y
 f ( x)  0
x
y  y1
y
 2
 0 olur. x değerleri (a , b) aralığında x 1 den x2 ye kadar artan değerler
x
x 2  x1
alırken, fonksiyonun alacağı değerler azalmaktadır. O hâlde fonksiyon (a , b) aralığında azalan bir
fonksiyondur.
iken,
3.
x  (a , b)
için,
f (x) = c
fonksiyondur. Yandaki şekle göre,
ise;
ise, fonksiyon sabit
x1 , x2  (a , b) için, x1 < x2
f (x1) = f (x2) dir. Buna göre,
b g b g
f ( x2)  f ( x1) = 0
f x2  f x1
y
 lim
 f ( x)  0 olur. O hâlde,
x  0 x
x  0
x2  x1
lim
b) için, f  ( x)  0
Ox
ve
x  (a ,
dır. Fonksiyonun bu açık aralıktaki teğetleri
eksenine paralel olup, eğimleri sıfırdır.
Karşıt olarak;  x1 , x2  (a , b) aralığı için, f ( x)  0 ise;
Buradan da f (x2 )  f (x1 ) = 0 ve x2  x1  0
b g b g
f x2  f x1
y
 lim
 0 dır..
x  0 x
x  0
x2  x1
lim
dır. Bu ifadeler, f fonksiyonunun (a , b) aralığında
sabit fonksiyon olduğunu gösterir.
Örnek : f : R  R f (x) = x3  9x2 + 24x  7 fonksiyonunun artan ya da azalan olduğu aralıkları
belirtelim.
Çözüm :
2
f  ( x)  3 x  18 x  24 olduğundan,
f  ( x)  0

2
3 x  18 x  24  0

x1  2
V
x 2  4 tür..
Türevin işaretini inceleyelim:
(  , 2)  (4 , + )
Tablodan görüldüğü gibi,
f (x)
fonksiyonu artandır. (2 , 4)
aralığında
f  ( x)  0
aralığında,
olduğu için,
f  ( x)  0
f (x)
1
m 2
(m  3 ) x 3 
x  x  1 fonksiyonunun
x R
3
2
eğim açısının geniş açı olması için, m reel sayısı hangi aralıkta olmalıdır?
Örnek :
f ( x) 
Çözüm : Fonksiyonun
nun
olduğu için,
fonksiyonu azalandır..
sayısı için teğetlerinin
x  R için teğetlerinin eğim açısının geniş açı olması demek, fonksiyo-
x  R için daima azalan olması demektir. Bunun için,
156
f  ( x)  0
olmalıdır..
2
f  ( x)  (m  3 ) x  mx  1  0
2

2
  m  4 (m  3 )( 1)  m  4m  12  0
m3  0
0
m3  0

sağlanmalıdır..
U|
V|
W
6<m<2
Örnek : m R+ olmak üzere, f : (m, +)  R ,
azalan olması için
Çözüm : f
f  ( x) 
f ( x) 
mx  4
xm
olmalıdır.
fonksiyonunun daima
m nin alabileceği değerleri bulalım.

azalan ise, f ( x)  0 olmalıdır..
m ( x  m)  1 . (mx  4)
( x  m) 2
m 2  4

( x  m) 2
0

 m2  4  0

m  2
V
m2
m  R+ olduğundan, m > 2 bulunur.
Örnek : f : R  R , f (x) =
bir fonksiyon olması için m
FG m  2 IJ x
H 3 K
3
+ (2m  3) x2 + (5m  6) x  7 fonksiyonunun artmayan
reel sayısı hangi aralıkta olmalıdır?
Çözüm : f (x) artmayan (azalan veya sabit)  f ( x)  0 olmalıdır..
f ( x)  (m  2) x2  2 (2m  3) x  5m  6  0
0
ve
olması için de,
m  2 < 0 olmalıdır..
  4 (2m  3)2  4 (m  2) (5m  6)
   m2  4m  3  0
m2  0
|UV
W|
O hâlde,
m 1
olmalıdır.
Örnek : f (x) , 0 < a < x < b aralığında artan ve bu aralıkta
aşağıdaki fonksiyonların artan veya azalan olup olmadıklarını araştıralım.
a. h (x) = f (x) + x
b. g ( x) 
x
f ( x)
Çözüm : Verilen koşullara göre,
şekilde görüldüğü gibidir.
+
x  R ve y = f (x) < 0
f (x) artan  f  ( x)  0 dır.
c. t (x) =  f (x)
f (x) in
f (x) < 0
d. k (x) = f 3(x)
ise, aynı aralıkta
e. p (x) = x2 . f (x)
grafiği yandaki
a. h( x)  f  ( x)  1  0 olduğu için, h (x) artandır..
f ( x)  x . f ( x)
b. g( x) 
 0 olduğu için, g (x) azalandır..
f 2 ( x)
c. t ( x)   f ( x)  0 olduğu için, t (x) azalandır..
d. k ( x)  3 . f 2 ( x) . f ( x)  0
olduğu için,
k (x)
artandır..
2
e. p( x)  2x . f ( x)  x . f ( x) ifadesinde, 2x . f (x) < 0 ve x2 . f  ( x)  0 olduğu için, p ( x)
in işareti bilinemez. O hâlde, p (x) fonksiyonunun artan veya azalan olup olmadığı hakkında bir şey
söyle-nemez.
157
EKSTREMUM NOKTALAR VE EKSTREMUM DEĞERLER
Bu kısımda; fonksiyonlara ait yerel ekstremum noktaları, yerel ekstremum değerleri, mutlak ekstremum noktaları, mutlak ekstremum değerleri incelenecektir.
Mutlak Ekstremum Noktası ve Değeri
Tanım :
f (x)  f (b)
b
g
f : A  R fonksiyonunda
olacak biçimde
b A
x  A için,
sayısı varsa,
b , f (b) noktasına; f fonksiyonunun mutlak maksimum noktası; f (b) değerine de f fonksiyonunun
mutlak maksimum değeri veya en büyük değeri denir.
Şekilde, ((b , f (b)) noktası f
maksimum noktasıdır.
Tanım :
fonksiyonunun mutlak
f : A  R fonksiyonunda
b
g
x A
için,
f (x)  f (a)
olacak biçimde
a  A
sayısı varsa,
a , f (a)
noktasına,
f fonksiyonunun mutlak minimum noktası;
değerine de f fonksiyonunun mutlak minimum değeri veya en küçük değeri denir.
Şekilde,
bc , f (c)g
ve
ba , f (a)g
noktaları f nin mutlak minimum noktalarıdır. f
f (a)
fonksiyo-
nunun f (a) , f (b) aralığındaki mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerine, f fonksiyonunun
bu aralıktaki uç değerleri de denir.
Örnek : f : [1 , 4]  R , f (x) =  x2 + 4x fonksiyonunun mutlak maksimum ve mutlak minimum
değerlerini bulalım.
Çözüm : Şekilde, f fonksiyonunun grafiği görülmektedir.
Buna göre;
f (2) = 4
x  [1 , 4]
için,
f (2) = 4  f (x)
olduğundan,
mutlak maksimum (en büyük) değeridir.
x  [1 , 4]
için,
f (4) = 0  f (x)
olduğundan,
f (4) = 0
mutlak minimum (en küçük) değeridir.
Yerel Ekstremum Noktası ve Değeri
Tanım : f : A  R fonksiyonunda a  A olmak üzere, a noktasını içine alan
x sayısı için, f (x) f (a) ise,
a , f (a)
noktasına,
A  ( a   , a   ) aralığındaki
b
f fonksiyonunun yerel maksimum noktası;
maksimum değeri denir.
f (a)
değerine de
f
g
fonksiyonunun yerel
Tanım : f : A  R fonksiyonunda a  A olmak üzere a noktasını içine alan
x sayısı için, f (x) f (a) ise,
a , f (a)
noktasına,
A  ( a   , a   ) aralığındaki
b
f fonksiyonunun yerel minimum noktası;
minimum değeri denir.
f (a)
158
değerine de
f
g
fonksiyonunun yerel
Aşağıdaki şekle göre, f : [a , b]  R
ekstremum noktalarını belirtelim:
1.
x1 noktasını içine alan
Aynı şekilde,
y = f (x)
( x1   , x1   )
x3 noktasını içine alan
b
,
g
b
fonksiyonunun yerel ekstremum ve mutlak
aralığındaki
( x3   , x3   )
g
x
aralığındaki
sayısı için,
f (x) f (x1) dir..
x sayısı için, f (x) f (x3)
tür. Bu durumda, x1 , f ( x1) ve x3 , f ( x3 )
noktalarına, f fonksiyonunun yerel maksimum
noktaları; f (x1) ve f (x3) değerlerine de yerel maksimum değerleri denir.
2.
Benzer şekilde,
x2
noktasını içine alan
b
g
( x2   , x 2   )
f (x) f (x2) dir. Bu durumda, x2 , f ( x2 ) noktasına,
f (x2) değerine de yerel minimum değeri denir.
3. Tanım aralığının uç noktaları için; a
b
f
aralığındaki
fonksiyonunun
x
sayısı için,
yerel minimum noktası;
noktasını içine alan [a , b]  (a   , a   ) aralığındaki
x sayısı için, f (x) f (a) dır. O hâlde,
a , f (a)
noktası; f (a) değeri de yerel minimum değeridir.
g
noktası,
f
fonksiyonun bir yerel minimum
b noktasını içine alan [a , b]  (b   , b   ) aralığındaki  x sayısı için, f (x) f (b) dir..
b
O hâlde, b , f (b)
minimum değeridir.
Grafikte;
bb , f (b)g
bx
3
g
noktası,
, f ( x3 )
g
f
fonksiyonunun bir yerel minimum noktası;
f (b)
değeri de yerel
noktası, mutlak maksimum noktası; f (x 3 ) de mutlak maksimum değeri ve
noktası, mutlak minimum noktası;
f (b) de
mutlak minimum değeridir..
Örnek : Yandaki şekilde grafiği verilen y = f (x)
fonksiyonunun yerel ve mutlak ekstremum noktalarını ve değerlerini yazalım.
Çözüm : Yerel maksimum noktaları;
( 4 ,  1) , ( 1 , 3) , (3 , 4) tür. Yerel maksimum değerleri;
f ( 4) =  1 , f ( 1) = 3 , f (3) = 4 tür.
Mutlak maksimum noktası (3 , 4) olup fonksiyonunun
en büyük değeri, yani mutlak maksimum değeri f (3) = 4 tür.
Yerel minimum noktaları; ( 3 ,  2) , (2 , 1) , (5 , 2) dir.
Yerel minimum değerleri; f ( 3) =  2 , f (2) = 1 , f (5) = 2 dir.
Fonksiyonun mutlak minimum noktası ( 3 ,  2 ) olup, fonksiyonun en küçük değeri, yani mutlak
minimum değeri f ( 3) =  2 dir. Görülüyor ki mutlak esktremumlar aynı zamanda yerel ekstremumlardır.
159
EKSTREMUM NOKTALAR İLE TÜREVİN İLİŞKİSİ
Teorem (Fermat Teoremi) : f : [a , b]  R fonksiyonu [a , b] aralığında sürekli ve
(a , b) aralığında türevli olsun fonksiyonun, x0  (a , b) noktasında yerel ekstremumu varsa,
f  (x 0 )  0 dır..
İspat : f fonksiyonunun x0 noktasında yerel minimumu olduğunu kabul ederek teoremi ispat
edelim:
x  [a , b] için, f (x)  f (xo)
 f (x)  f (xo)  0 olur..
f ( x)  f ( x 0 )
f ( x)  f ( x 0 )
x  x 0 için,
 0  lim
 f ( x 0 )  0 ve
x  x0
x  x0
x  x0
x  x0
f ( x)  f ( x 0 )
0 
x  x0
için,
f ( x 0 )  0
ve
f ( x 0 )  0

lim
x  x0
f ( x)  f ( x 0 )
 f ( x 0 )  0 dır..
x  x0
f ( x 0 )  0
bulunur..
xo noktasında fonksiyonun yerel maksimumu olması halinde de aynı yol izlenerek ispat yapılabilir.
Bu teoremin karşıtı her zaman doğru değildir. Yani,
noktasında yerel ekstremumu olmayabilir.
f (x 0 )  0 olduğu hâlde,
0
g
, f (x 0 )
y
Örneğin; f : R  R , f (x) = x3 fonksiyonu f (0)  0 olduğu hâlde, (0 , 0) noktası fonksiyonun yerel ekstremum noktası değildir.
Bu teoremde, yerel ekstremum noktasında fonksiyon türevlenebiliyorsa, türev sıfırdır. Fakat fonksiyonun türevlenemediği noktalarda, yerel
ekstremum noktası olabilir.
bx
3
y=x
1
1
0
1
x
1
Örneğin; f : R  R , f ( x)  x
fonksiyonu (0 , 0) noktasında bir yerel minimuma sahip olduğu hâlde,
f  (0  )   1 , f  (0  )  1 soldan ve sağdan türevler farklı olduğu için, f  (0) yoktur..
Teorem : f : [a , b]  R , fonksiyonu [a , b] sürekli, (a , b) aralığında türevlenebilir ve
x0  (a , b) için,
olmak üzere:
f  (x 0 )  0
olsun. Bu durumda,
 yeterince küçük pozitif bir reel sayı
1. x0   < x < x0 için, f (x)  0 ve x0 < x < x0 + 
x = x0 noktasında bir yerel maksimuma sahiptir.
2. x0   < x < x0 için, f (x)  0 ve x0 < x < x0 + 
x = x0 noktasında bir yerel minimuma sahiptir.
için,
f (x)  0
ise; fonksiyon
için,
f (x)  0
ise; fonksiyon
1.
x  (x0   , x0) aralığında f ( x)  0
olduğu için bu aralıkta fonksiyon artandır. Yani,  x  (x0   , x0]
için, f ( x)  f ( x 0 ) dır..
İspat :
x  (x0 , x0 + ) aralığında
aralıkta fonksiyon azalandır. Yani
f ( x)  f ( x 0 ) dır..
b
f ( x)  0
olduğu için, bu
x  [x0 , x0 + ) için,
g
O hâlde, x0 , f ( x0 ) noktası fonksiyonun bir yerel maksimum noktasıdır.
2. 2. nin ispatını da siz yapınız.
Bu teoremden, türevin sıfır olduğu noktanın yerel ekstremum noktası olması için, bu noktada türev fonksiyonu işaret değiştirmelidir.
160
Bir fonksiyonun türevinin sıfır olduğu veya türevinin olmadığı noktalara, fonksiyonun kritik
noktaları denir.
Sürekli bir fonksiyonun yerel ekstremum değerleri varsa, bu değerler, fonksiyonun kritik noktalarda
aldığı değerler içindedir.
Örnek : f : R  R , f (x) = 3x4  4x3 fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarını bulalım.
Çözüm : f (x) = 3x4  4x3 
f ( x)  0
denkleminin kökleri,
3
2
2
f ( x)  12x  12x  12x ( x  1)
x1 = x2 = 0
ve
dir.
x3 = 1 dir..
f (0) = 0 ve f (1) =  1 dir.
Yanda, f ( x) fonksiyonunun işaret tablosu görülmektedir..
f ( x) fonksiyonu x = 0 noktasının solunda ve sağında negatif değerler almaktadır. f ( x) fonksiyonu, x = 0 noktasında işaret değiştirmediği için, yerel ekstremumu yoktur.
f ( x) fonksiyonu x = 1 noktasının solunda negatif, sağında pozitif değer almaktadır. f (x)
fonksiyonu, x = 1 in solunda azalan, sağında artan olduğundan, (1 ,  1) noktası yerel minimum
noktasıdır. Yerel minimum değeri, f (1) =  1 dir.
Örnek : f :  2 , 3
3
 R , f (x) = x  3x
fonksiyonunun ekstremum değerlerini bulalım.
Çözüm : f (x) = x3  3x  f ( x)  3 x2  3  3 ( x2  1) dir..
f ( x)  0 denkleminin kökleri,
e 3j
ve f 
yoktur. O hâlde,
2,1,1,
f
fonksi-
aralığının uç noktalarında türevsizdir. Yani f ( 2)
2 , 3
yonu
x1 =  1 , x2 = 1 olur.
f fonksiyonunun kritik noktaları;
tür..
3
f ( 2) =  2
,
f ( 1) = 2
,
f (1) =  2 ve f
e 3j 0
bulunur.
Yerel maksimum değerleri;
f ( 1) = 2
,
Mutlak maksimum değeri;
f ( 1) = 2
dir.
Yerel minimum değerleri;
f ( 2) =  2
,
Mutlak minimum değeri,
e 3j 0
dır..
f (1) =  2
dir.
f
f ( 2) = f (1) =  2 dir.
R|  x  4
S| x  4
T
2
Örnek :
f : [ 1 , 3]  R , f ( x) 
2
, 1 x  2
ise
,
ise
2 x3
fonksiyonunun yerel ve mutlak ekstremum noktalarını bulalım.
Çözüm : x = 2 de fonksiyonun türevi olmadığından, x = 2 bir
kritik noktadır ve
f (2) = 0 dır. 1  x  2 için , f ( x)   2x tir..
f ( x)  0 denkleminin kökü x = 0 bir diğer kritik noktadır ve f (0) = 4 tür..
f ( x)  2x dir.
f ( x)  0
denkleminin kökü
x = 0 dır. 0  [2 , 3] olduğundan, bu aralıkta kritik nokta yoktur.
O hâlde, f fonksiyonun kritik noktaları;  1 , 0 , 2 , 3 tür.
2  x  3
için,
161
f fonksiyonu [ 1 , 3] aralığında sürekli olduğundan;
Yerel maksimum noktaları,
(0 , 4)
ve
Mutlak maksimum noktası,
(3 , 5) tir.
(3 , 5) tir.
Yerel minimum noktaları, ( 1 , 3) ve (2 , 0) dır.
Mutlak minimum noktası, (2 , 0) dır.
Örnek :
f:
LM  , 2 OP
N3 3 Q
 R
,
sin x
2 sin x  1
f ( x) 
fonksiyonunun yerel ve mutlak ekstremum
noktalarını bulalım.
Çözüm :
sin x
2 sin x  1
f ( x) 
f ( x) 

cos x . (2 sin x  1)  2 cos x . sin x
(2 sin x  1)

f ( x) 
2
2 cos x . sin x  cos x  2 cos x . sin x
(2 sin x  1)

2
 cos x
f ( x) 
(2 sin x  1)
f ( x)  0   cos x  0  cos x  0  x 
2

dir..
2

F I  sin 2  1  1
H K 2 sin   1 2  1


x
 f
2
2
bulunur..
2
f fonksiyonunun
nun kritik noktaları,
F I
H K

f
3
LM  , 2 OP
N3 3 Q


2
,
,
3
2
3
tanım aralığının uç noktalarında fonksiyon türevsizdir. f fonksiyonutür..

3
3
3 3
3
2





4
2 sin  1 2 . 3  1 2 3  2
3
2
sin
2
F 2  I  sin 3 
f
H 3 K 2 sin 2   1
3
3
3 3
2

4
3
2.
1
2
bulunur..
Türevin işaret tablosunu yapalım:
Tablodan görüldüğü gibi:
F  , 1I
H2 K
F
Mutlak maksimum noktaları, G 3
H
Yerel minimum noktası,
4
dir..
,
3 3
4
I
JK
ve
162
F 2
GH 3
,
3 3
4
I
JK
tür..
Örnek : f : R  R , f (x) = x3 + mx2 + nx + p fonksiyonunun x =  1 ve x = 3 de yerel
ekstremumları olması için,
m ve n ne olmalıdır?
2
f ( x)  3 x  2mx  n dir. f ( x)  0
Çözüm :
denkleminin kökleri
x1 =  1
ve
x2 = 3
olduğundan;
x1  x 2  
b
a
  1 3  
2m
3
 2
c
n
  1. 3 
 n  9
a
3
x1 . x 2 
2m
3
 m  3
olur.
f : R  R , f (x) = x 3 + 3 mx2 + 7 fonksiyonunun yerel ekstremum değerlerinden
olması için m reel sayısı ne olmalıdır?
Örnek :
birisinin
3
Çözüm : Fonksiyonun ekstremum değerlerinden birisi
yazılınca y = 3 olmalıdır.
2
f ( x)  3 x  6 m x dir.
f ( x)  0

3
ise, türev denkleminin kökü yerine
3 x ( x  2m)  0
Buradan, x1 = 0 V x2 =  2m bulunur.
x1 = 0  f (0) = 7 olduğundan,
x2 =  2m  f ( 2m) = 3 olmalıdır. Buna göre,
( 2m)3 + 3m ( 2m)2 + 7 = 3   8 m3 + 12 m3 =  4
m =  1 olur.

Örnek : f : R  R , f (x) = x3  3x2 + 6x  1 fonksiyonu veriliyor. f ( x) in yerel minimum
noktasını bulalım.
Çözüm : f : R  R türevli olduğu için f ( x) in yerel ekstremumlarını f ( x)  0 denkleminin
kökü belirler.
f ( x)  3 x2  6 x  6

f ( x)  6 x  6  f ( x)  0

x  1 olur. f (1) = 3  6 + 6 = 3 tür..
f ( x) in
Tabloda görüldüğü gibi
(1 , 3) tür.
yerel minimum noktası
İKİNCİ TÜREVİN YEREL EKSTREMUM NOKTALARI İLE İLİŞKİSİ
Teorem : A R , f : A  R fonksiyonu verilsin. x0  A için, f ( x0 ) ve f ( x0 ) var ve
f ( x0 )  0 , f ( x0 )  0
olsun.
1.
f (x 0 )  0
ise,
x  x 0 da
fonksiyonun bir yerel minimum noktası vardır..
2.
f (x 0 )  0
ise,
x  x 0 da
fonksiyonun bir yerel maksimum noktası vardır..
İspat :
b
1.
x  x 0   , x 0
f ( x 0 )  0
dır.
f ( x0 )  0
için,
olsun. Bu durumda,
f ( x )  f ( x 0 )
olduğundan; ( x 0   , x 0 )
(x0 , x0 + )
x  x 0 , x 0  
ve
g
aralığında
için,
aralığında f ( x)  0 , ( x 0 , x 0   )
f ( x)
artandır..
f ( x )  f ( x 0 )
dır..
aralığında f ( x)  0
Buna göre, ( x0   , x0 ) aralığında f azalan, ( x0 , x0  ) aralığında f artandır. O hâlde,
x = x0 apsisli noktada bir yerel minimum noktası vardır.
2.
2. nin ispatını siz yapınız.
163
Örnek : f : R  R , f (x) = 2x3  3x2  12x + 24 fonksiyonunun yerel ekstremum değerlerini
türevin işaret tablosunu yapmadan bulalım.
Çözüm :
2
f ( x )  6 x  6 x  12

f ( x )  0

x1  2 , x 2   1
Bu noktalarda yerel minimum veya maksimum olup olmadığını anlamak için, ikinci türevin bu noktalarda aldığı değerlere bakalım: f ( x)  12x  6 dır..
f (2)  12 . 2  6  18  0
değeri f (2) = 4 tür.
olduğundan, x = 2 de yerel minimum noktası var ve yerel minimum
f ( 1)  12 ( 1)  6   18  0 olduğundan,
maksimum değeri f ( 1) = 31 dir.
x = 1 de
yerel maksimum noktası var ve yerel
Maksimum ve Minimum Problemleri
Değişen bir miktarın minimum ve maksimum değerini bulurken;
1. Maksimum veya minimum olması istenen ifade tek değişken cinsinden yazılır.
2. Yerel ekstremum tanım ve teoremleri kullanılarak istenilenin maksimum veya minimum değeri
bulunur.
Örnek : Toplamları 60 olan öyle iki sayı bulalım ki bu sayılardan birisi ile diğerinin karesinin
çarpımı maksimum olsun.
Çözüm : I. parça : x , II. parça : 60  x , maksimum olması istenen fonksiyon da Ç(x) olsun.
Ç(x) = x2 . (60  x) =  x3 + 60x2
olur.
Ç ( x) = 0
Ç ( x) =  3x2 + 120x tir.
x1 = 0

V x 2 = 40
bulunur..
Ç ( x) =  6x + 120  Ç ( 40) =  120 < 0 olduğundan; x in 40 değeri için, Ç(x) maksimum
olur. Buna göre;
I. parça 40
,
II. parça 20 dir.
Örnek : Yandaki şekilde, ABCD karesinin kenar uzunluğu 2 birimdir.
BE  BF ise, taralı alanı belirten fonksiyonu yazıp, fonksiyonun grafiğini çizelim. Taralı alan en çok kaç birimkaredir?
Çözüm :
x  0
ve
BE  BF = x dersek,
2x  0
A : [0 , 2] 
LM2 , 5 OP
N 2Q

0  x  2
CE  AF = 2  x
olmalıdır. Taralı alana
F x  2 (2  x) I   1 x
GH 2 2 JK 2
2
, A( x)  4 
olur..
2
A (x) dersek,
x2
A ( x)   x  1  A ( x)  0  x  1 dir.
A ( x)   1  A (1)   1  0
olduğundan,
yerel maksimum değeri vardır. Bu değer;
Buna göre taralı alan en çok
5
2
A(x) in
A ( 1)  
x = 1 de
1
5
 1 2 
2
2
bir
dir..
birimkaredir. y = A(x) fonksiyonu-
nun grafiği yandadır.
164
Örnek : Şekildeki ABC üçgeninde, BC  6 cm ve
AH  h a  4 cm dir. Bu üçgenin içine, şekilde görüldüğü gibi
yerleştirilen DEFG dikdörtgenlerin alanı maksimum olan dikdörtgenin alanı kaç cm2 dir?
Çözüm : DEFG dikdörtgeninde; DE  x , EF  y
diyelim. Dikdörtgenin alanı, A (x , y) = x . y olur. Alanı tek
değişkenli yazabilmek için, y nin x cinsinden değerini bulalım:
Şekilde, AGF ~ ABC olduğundan,
GF

BC
AK
x 4y
12  2x

 y
6
4
3

AH
Bu değer, A (x , y) = x . y
elde edilir..
ifadesinde yerine yazılırsa;
A ( x)  x 
12  2x
2
  x2  4 x
3
3
A  ( x)  
4
x  4  A ( x)  0  x  3
3
A  ( x)  
4
4
 A ( 3)    0 olduğundan; x = 3 için, A (x) fonksiyonu yerel maksimum
3
3
olur..
tür..
değerini alır. Buna göre, dikdörtgenin alanının maksimum değeri;
A (3)  
2
 3 2  4 . 3  6 cm 2 dir..
3
Maksimum alanlı dikdörtgenin alanının, üçgenin alanının yarısına eşit olduğuna dikkat ediniz.
Örnek : Kenarları koordinat eksenlerine paralel ve 3y = 12  x2 , 6y = x2  12 parabolleri ile
sınırlı kapalı bölge üzerinde çizilen en büyük alanlı dikdörtgenin alanı kaç birimkaredir?
Çözüm :
Paraboller Oy eksenine göre
simetrik olduğundan, A (ABCD) = 2 . A (FBCE) dir.
FG
H
B x,
IJ
K
1 2
x 2
6
,
FG
H
C x , 
IJ
K
1 2
x 4
3
tür..
A (ABCD) = 2 . FB . BC
B noktasının ordinatını
ordinatını yC ile gösterelim.
yB , C noktasının
FB = x , BC = yC + yB
(yB < 0 için yB =  yB alınır.)
F
H
I F
K H
F 1
A (ABCD) = 2 . x . G  x
H 2
BC  
I
K
1 2
1 2
1 2
x 4   x 2   x 6
3
6
2
2
6
IJ
K

bulunur. Bulunanlar alan ifadesinde yerine yazılırsa;
A ( x)   x3  12 x
2
olur..
A ( x)   3 x  12  A ( x)  0  x1   2 V x 2  2
x>0
olduğu için,
x=2
bulunur..
dir.
A ( x)   6 x  A (2)   12  0 olduğundan; x = 2 için, A (x) fonksiyonu yerel maksimum
değerini alır. Buna göre, dikdörtgenin alanının maksimum değeri; A (2)   23  12 . 2  16
165
birimkaredir.
Örnek :
Şekildeki koninin içine, yan yüzleri ile tabanına teğet ve
yarıçapı 2 cm olan bir küre yerleştiriliyor. Bu koninin hacminin en küçük
olması için, koninin taban yarıçapı kaç cm olmalıdır?
Çözüm :
Yandaki şekilde, koninin içine yerleştirilmiş kürenin dik
kesiti görülmektedir.
HB  r ,
hacmi;
V
1 2
r h
3
ile
r
TBH
TC

BH
TH
2h
r 
dersek,
OT = h  2
2
h  4h
V (h) 
olur. Bu hacim formülünü tek değişkenli yazmak için, h
benzerliğinden,

2

r
 r2 
h 2  4h
h
4h
h4
olur. Buradan,
bulunur. Bulunan r 2 , hacim formülünde yazılırsa;
1
4h
4 h2

h 

3
h4
3 h4
olur..
V  (h) 
4  2h (h  4)  h 2
4  h 2  8h



3
3 (h  4 ) 2
(h  4)2
lunur.
h=0
r2 
olur. Koninin
arasında bir bağıntı bularak hacmi tek değişkenli yazalım.
TOC
OC
TH  h
 V (h)  0  h 2  8h  0  h1  0 , h2  8
olamayacağından, h = 8 cm dir. Buna göre,
4h
32
 r2 
 8  r  2 2 cm olur..
h4
4
166
bu-
ALIŞTIRMALAR
1. Yanda, f : [ 3 , 6]  R , y = f (x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. f fonksiyonunun
yerel ve mutlak ekstremum noktalarını ve
değerlerini bulunuz.
2. f : [ 3 , 0]  R , f (x) = 2x  2  2
ekstremum noktalarını bulunuz.
f (x) = x 2  x 2  1
3. f : ( 2 , 1]  R ,
3
fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Yerel ve mutlak
fonksiyonunun mutlak minimum değerini bulunuz.
4. f (x) = x  3x + 8
fonksiyonunun
[1 , 2]
5. f : R  R , f ( x) 
R| 3  x , x  2 ise
S| 1 x  1 , x  2 ise
T2
aralığında alabileceği en küçük değeri kaçtır?
2
fonksiyonunun yerel minimum noktası
k  R sayısı ne olmalıdır?
2x  y + k + 2 = 0
doğrusu üzerinde olması için,
x2  ax  1
fonksiyonunda, a  R sayısı ne olmalıdır ki fonksiyonun yerel ekstrexa
mum noktalarının apsisleri toplamı 2  3a olsun?
6. f ( x) 
7. Yanda f : R  R , y = f (x) fonksiyonunun
türevinin grafiği verilmiştir. f (x) fonksiyonu hangi
x değeri için yerel maksimum değeri alır?
8. f (x) = x2  4x + m
olmalıdır?
fonksiyonunun yerel minimum değerinin  1 olması için, m reel sayısı kaç
9. f (x) = x3  3ax2 + 2x  1 fonksiyonunun yerel ekstremum değerleri toplamının  2 olması için,
a reel sayısı kaç olmalıdır?
10. f : R  R , f ( x) 
1 4 1 3 3 2
x  x  x  10
12
3
2
fonksiyonu veriliyor.
f (x) in
yerel minimum
değerini bulunuz.
11.
f ( x) 
x2  (a  2) x
x2  3 x  2
olmalıdır?
fonksiyonunun yalnız bir tane yerel ekstremumu olması için,
167
aR
kaç
3
2
12. f (x) = mx + nx + 3 fonksiyonunun A (1 ,  1) de yerel minimumu olması için, (m , n) ikilisi
ne olmalıdır?
13. Bir kare dik prizmanın tabanının bir ayrıtı ile yüksekliğinin toplamı 12 cm dir. Bu prizmanın hacminin en büyük olması için, yüksekliği kaç cm olmalıdır?
2
14. x  (m  1) x + m + 2 = 0
küçük olsun?
denkleminde,
m  R
ne olmalı ki köklerin kareleri toplamı en
15. Şekilde, taban yarıçapı 2 cm ve yüksekliği 6 cm olan dönel koni
içine hacmi en büyük olacak şekilde yerleştirilecek silindirin yüksekliği kaç cm olur?
16. Şekildeki ABCD yamuğunun alanının en büyük olması için
yamuğun yüksekliği kaç birim olmalıdır?
17. Çevresi 12 birim olan daire diliminin alanının maksimum olması için çemberin yarıçapı kaç birim
olmalıdır?
18. Bir üretici haftada tanesi P = 100  0,01 x TL fiyatla x sayıda eşya satıyor. x sayıdaki eşyanın toplam maliyetinin y = 20 x + 40 000 TL olduğunu söylüyor. Üreticinin maksimum kâra
geçmesi için haftada kaç adet mal üretmesi gerekir?
19. 10 cm uzunluğundaki bir tel, iki parçaya ayrılıyor. Parçalardan birinden kare, diğerinden eşkenar
üçgen yapılıyor. Bu iki alan toplamının minimum olması için, karenin bir kenarı kaç cm olmalıdır?
20. 1 litre kapasiteli dik silindir biçiminde kapalı bir yağ kutusu yapılmak isteniyor. Kutunun alanının
minimum olması için, silindirin yüksekliği kaç cm olmalıdır?
21. A noktasında bulunan bir kişi, tabloyu en büyük açı altında görmek
istiyor.
AB
uzaklığı kaç metre olmalıdır?
22. y2 = 8x parabolü ile P (6 , 0) noktası veriliyor. Parabolün
koordinatlarını bulunuz.
P ye
en yakın noktasının
23. Çevresi 14 birim olan şekildeki gibi bir pencere, bir dikdörtgenle yarım
daireden oluşmuştur. Pencereden maksimum ışık geçmesi için dikdörtgenin uzun kenarı kaç birim olmalıdır?
24.
Şekildeki B ile C kentleri arasındaki uzaklık 10 km dir. Bir hareketli
2 km/saat hızla B den A ya doğru, diğer bir hareketli de 6 km/saat
hızla C den B ye doğru aynı anda çıkıyor. Kaç saat sonra aralarındaki uzaklık en küçük olur?
168
İKİNCİ TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI
Tanım : f : [a , b]  R , y = f (x) fonksiyonu [a , b] aralığında sürekli ve (a , b) aralığında
birinci ve ikinci türevleri alınabilen bir fonksiyon olsun:
1. Fonksiyonun grafiği; (a , b) aralığının her noktasındaki teğetlerinin altında kalıyorsa, içbükeylik yönü aşağı doğrudur (içbükeydir, konkavdır.).
2. Fonksiyonun grafiği; (a , b) aralığının her noktasındaki teğetlerinin üstünde kalıyorsa,
içbükeylik yönü yukarı doğrudur (dışbükeydir, konvekstir.).
Aşağıdaki şekillerde eğrilerin içbükeylik yönleri belirtilmiştir. İnceleyiniz.
1. Eğriler teğetlerin alt kısmındadır.
İçbükeylik yönleri aşağıya doğrudur.
2.
Eğriler teğetlerin üst kısmındadır.
İçbükeylik yönleri yukarı doğrudur.
Teorem : A R f : A  R birinci ve ikinci türevleri alınabilen bir fonksiyon olsun.
1.
x  A için,
f ( x)  0

f
2.
x  A için,
f ( x)  0

f fonksiyonunun içbükeylik yönü yukarıya doğrudur..
fonksiyonunun içbükeylik yönü aşağıya doğrudur..
Bu teoreme göre, bir fonksiyonun içbükeylik yönünü belirlemek için ikinci türevin işaretini incelemek
gerekir.
Örnek : f : R  R , f (x) = 2x3  3x2  36x  20 fonksiyonunun içbükeylik yönünü inceleyelim.
Çözüm :
f ( x)  0
2
f ( x)  6 x  6 x  36

12 x  6  0
x

f ( x)  12 x  6 dır.

1
2
olur..
İkinci türevin işaretini inceleyerek fonksiyonun eğrisinin içbükeylik yönünü belirtelim:
x
1
2

f ( x)  0 olduğundan, içbükeylik yönü aşağıya doğrudur..
x
1
2

f ( x)  0 olduğundan, içbükeylik yönü yukarıya doğrudur..
Örnek : Yanda ikinci türevin grafiği verilen fonksiyonun
hangi aralıklarda içbükeylik yönü aşağıya doğrudur?
Çözüm :
Yukarıdaki grafiğe göre
f ( x) in
işaretini
inceleyelim:
O hâlde, (  ,  4)  ( 1 , 3) aralıklarında içbükeylik yönü aşağıya doğrudur.
169
BÜKÜM (DÖNÜM) NOKTASI
Tanım : f : R  R , y = f (x) fonksiyonun eğrisinin içbükeyliğinin yön değiştirdiği ve sürekli
olduğu noktaya, büküm (dönüm) noktası denir.
Yukarıdaki tanımı, yandaki şekil üzerinde belirtelim:
Fonksiyonun iki dönüm noktası görülmektedir.
b
x<a
ise, eğrinin içbükeylik yönü yukarıya doğrudur.
a<x<b
ise, eğrinin içbükeylik yönü aşağıya doğrudur.
x>b
ise, eğrinin içbükeylik yönü yukarıya doğrudur.
x = a
A a , f (a)
talarıdır.
g
ve
b
x = b de eğrinin içbükeylik yönü değiştiğinden
ve B b , f (b)
g
noktaları fonksiyonun büküm (dönüm) nok-
Teorem : A R f : A  R sürekli fonksiyon olsun. x0A için ikinci türev fonksiyonu
x = x0 ın solunda ve sağında farklı işarette ise,
(dönüm) noktasıdır.
bx
0
g
, f ( x0 )
noktası fonksiyonun bir büküm
Yukarıdaki teoremi yandaki şekillerde inceleyiniz.
Dönüm noktasında fonksiyonun ikinci türevi tanımlı olmayabilir.
Bir noktada ikinci türevin sıfır olması, o noktanın dönüm noktası olmasını gerektirmez.
Şekilde, f (x) fonksiyonunun x = x1 de soldan ve sağdan türevleri
birbirinden farklı olduğundan, bu noktada f ( x) tanımsızdır. Birinci türev,,
tanımsız olduğu için, ikinci türev de tanımsızdır. Fonksiyonun eğrisinin
b
g
içbükeylik yönü değiştiği için, A x1 , f ( x1 ) noktası bir dönüm noktasıdır..
Örnek : f : R  R , f (x) = x4 fonksiyonunun dönüm noktasının olup olmadığını araştıralım.
Çözüm :
f ( x)  4 x
3
 f ( x)  12x
2
dir..
f ( x)  0  12x2  0

x1  x2  0
bulunur..
İkinci türev x = 0 da sıfır olduğu hâlde, bu noktanın solunda
ve sağında işaret değişmediğinden, bu nokta dönüm noktası değildir.
Örnek : f : R  R , f (x) = x3  3x2 + x + 1 fonksiyonunun dönüm noktasını bulalım.
Çözüm :
f ( x)  3 x2  6 x  1  f ( x)  6 x  6
f ( x)  0  6 x  6  0  x  1 ve f (1)  0
f (x)
fonksiyonunun dönüm noktası,
(1 , 0) dır.
170
bulunur..
dır..
Örnek : f : R  R , f (x) = x4  (m + 2) x3  nx + 3 fonksiyonunun A (1 , 2) noktası dönüm
noktası olması için,
m ve n reel sayıları kaçtır?
Çözüm :
f ( x)  4 x3  3 (m  2) x2  n  f  ( x)  12x2  6 (m  2) x
f  (1)  0
olacağından,
12  6 (m + 2) = 0
m=0

f (1) =  2  1  2  n + 3 =  2
n = 4 tür. O hâlde, m = 0 ve n = 4
dır.
bulunur..
f (x) = x 4  2x3  nx + 3
olur..
bulunur.
ROLLE VE ORTALAMA DEĞER TEOREMLERİ
Rolle (Rol) teoremi :
f : [a , b]  R
fonksiyonu
aralığında türevlenebilir olsun. Eğer, f (a) = f (b) ise,
[a , b]
 x0
aralığında sürekli ve (a , b)
 (a , b) için f (x 0 )  0 dır.
Rolle teoreminin geometrik anlamını yandaki şekille şöyle
açıklayabiliriz:
f : [a , b]
aralığında sürekli,
(a , b)
aralığında
türevli ve f (a) = f (b) dir. (a , b) aralığında f nin x eksenine
paralel en az bir teğeti vardır. Şekildeki bu teğetlerin eğimleri;
f  ( x )  0 ve f ( x )  0 dır. Bu durumda x ve x apsisli
0
1
0
1
noktalar, Rolle teoremini sağlayan noktalardır.
f (x) in sabit fonksiyon olması durumunda da f (a) = f (b) Rolle
teoremi geçerlidir. Çünkü,
f (a) = f (b)
ve
x  (a , b) için
f ( x)  0 eşitliği sağlanır..
Örnek :
f : [ 2 , 4]  R
uygulanmadığını araştıralım.
Çözüm :
f ( x) 
fonksiyon [ 2 , 4]
RS  x  1
T x1
,
,
,
f (x) = x  1
2 x 1
1 x  4
fonksiyonuna Rolle teoreminin uygulanıp
ise
ise
aralığında sürekli,
( 2 , 4) aralığındaki


x = 1 de türevsiz, yani f (1 )   1 , f (1 )  1 , f (1 )  f (1 )
tir. Bu durumda, fonksiyona Rolle teoremi uygulanmaz.
Örnek : f : [ 1 , 2]  R , f (x) = x3  3x + 8 fonksiyonuna Rolle teoremi uygulanabilir mi?
Uygulanabilirse, Rolle teoremini sağlayan noktayı bulalım.
Çözüm : f (x) , polinom fonksiyonu olup [ 1 , 2] aralığında sürekli, ( 1 , 2) aralığında türevlidir.
f ( 1)  ( 1) 3  3 ( 1)  8  10
f (2)  23  3 . 2  8  10
2
U|
V|
W
olup
f ( 1)  f (2) dir.
2
f ( x)  3 x  3  f ( x)  0  3 x  3  0  x1  1 V x 2   1
bulunur.
1  ( 1 , 2) olduğundan, Rolle teoremi uygulanır.
x = 1 için, f (1) = 6 olup, (1 , 6) noktası da bu teoremi sağlayan noktadır.
171
Ortalama değer teoremi :
f : [a , b]  R
,
fonksiyonu
[a , b]
aralığında sürekli ,
(a , b) aralığında türevli olsun.
Bu durumda en az bir
x0  (a , b)
f (x 0 ) 
için;
f (b)  f(a)
dır.
ba
Ortalama değer teoreminin geometrik anlamını, yandaki
şekille şöyle açıklayabiliriz:
b
g
b
g
m AB 
f ( b)  f ( a)
ba
y = f (x) eğrisinin A a , f (a) ve B b , f (b) noktalarını birleştiren kirişine paralel olan en az bir teğeti vardır.
AB
t
doğrusunun eğimi,
m t  f ( x0 ) dır..
teğetinin eğimi,
AB // t
ve
f ( x 0 ) 
olduğu için,
f (b)  f ( a)
ba
Ortalama değer teoreminde;
olur..
f (x 0 )  0
f (a) = f (b) ise,
olacağından ortalama değer
teoremi, Rolle teoremine dönüşür. Yani, Rolle teoremi ortalama değer teoreminin özel hâlidir.
f : [2 , 5]  R , f (x) = 2x 2  7x + 10
gerçekleyen noktasını bulalım.
Örnek :
Çözüm :
f (x)
fonksiyonu
[ 2 , 5]
fonksiyonunun ortalama değer teoremini
aralığında sürekli,
( 2 , 5)
aralığında türevlidir.
f ( x)  4 x  7 dir..
 x 0  ( 2 , 5 )
x0 
nokta,
f ( x 0 ) 
için,
f ( 5)  f ( 2)
52
FG IJ  4
H K
3
3
 ( 2 , 5) olup, f
2
2
FG 3 , 4IJ
H2 K

4 x0  7 
25  32

7
x0 
3
2
bulunur..
bulunur. O hâlde, ortalama değer teoremini gerçekleyen
noktasıdır..
LM
N
Örnek : f : 0 ,

2
OP  R
Q
f (x) = sinx fonksiyonunun ortalama değer teoremine uyan noktanın
apsisini bulalım.
Çözüm : f fonksiyonu
f (0) = sin0 = 0
f
FG  IJ
H 2K
 sin


1
2
t // OA olduğu için,
f
f  ( x0 ) 
aralığında sürekli,
FG 0 ,  IJ
H 2K
aralığında türevlidir..
O (0 , 0)

A
FG  , 1IJ
H2 K
mt = mOA
FG  IJ  f (0)
H 2K

0
2
LM0 ,  OP
N 2Q

cos x 
2


172
x  arccos
FG 2 IJ  LM0 ,  OP
H K N 2 Q
bulunur..
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıdaki fonksiyonların içbükeylik yönlerini inceleyiniz.
3
2
2
a. f (x) =  x + 2x + 4x  8
2. f : [ , ]  R ,
3
4
b. f (x) = x  4x + 3
f (x) = sinx
c. f (x) =  x + 8
fonksiyonunun içbükeylik yönünü belirtiniz.
2
3. f (x) = x + 2mx + mx + 1 fonksiyonunun x =  4 te içbükeylik yönü yukarı doğru olması için,
mR hangi aralıkta olmalıdır?
4
3
2
4. f (x) =  x + 2x + 2 (m  2) x + 4 fonksiyonunun içbükeylik yönü daima aşağıya doğru olması için,
m reel sayısı hangi aralıkta olmalıdır?
5. a. f (x) = arc cosx
fonksiyonunun içbükeylik yönü yukarı olması için,
x
reel sayısı hangi
aralıkta olmalıdır?
b. f (x) = 3 x eğrisinin içbükeylik yönünün yukarıya doğru olduğunu gösteriniz.
c. f (x) = lnx eğrisinin içbükeylik yönünün aşağıya doğru olduğunu gösteriniz.
6. Aşağıdaki fonksiyonların, varsa büküm (dönüm) noktalarını bulunuz.
a. f (x) = x3 + 6x
b. f (x) = (x  2)4
7. f (x) = mx3  3nx2 + 2x + 3 eğrisinin,
A (1 ,  1)
c. f (x) = x5 + 10x4
noktası dönüm noktası ise,
m ve n
reel
sayıları kaçtır?
8. f (x) = x3 + ax2 + bx + 1
teğetinin eğim açısı
eğrisinin
0
45 dir.
x =  1 de
Buna göre,
içbükeyliği yön değiştirmektedir. Bu noktadaki
a ve b
reel sayıları kaçtır?
9. f (x) =  x3 + 3x2 + 4x  4 fonksiyonunun simetri merkezini bulunuz (3. derece polinom fonksiyonlarda dönüm noktası, fonksiyonun simetri merkezidir.).
10. f : [0 , 1]  R
,
2
f (x) = x + (m + 1)x + 1
fonksiyonunun Rolle teoremine uyan noktasını
bulunuz.
11. f (x) = x3 + (2a  1) x + 8 fonksiyonuna, [ 1 , 2] aralığında Rolle teoremi uygulanabilmektedir.
Buna göre,
a reel sayısını ve Rolle teoremine uyan noktayı bulunuz.
12. f : [0 , 2]  R , f (x) = x3 . (x  2) fonksiyonu için ortalama değer teoremini sağlayan x 0 reel
sayısını bulunuz.
13. f (x) = lnx fonksiyonu için, 1  x  3e aralığında ortalama değer teoremine uyan x sayısını
bulunuz.
173
L’ HOSPİTAL (LOPİTAL) KURALI
Bir fonksiyonun herhangi bir noktasındaki limiti bulunurken;
0

,
, 0 .  ,    ,  0 , 1 , 0 0 belirsizliklerinden biri ile karşılaşılabilir. Bu durumlarda belir0

sizliği giderecek işlemler yapılır. Bu işlemler bazen çok karmaşık olabilir. Bu durumlarda bize kolaylık
sağlayan L’ Hospital kuralı dediğimiz teoremi verelim.
Teorem (L’ Hospital kuralı) : f ve g fonksiyonları [a , b] aralığında sürekli ve (a , b) aralığında türevli iki fonksiyon olsun.
lim f (x)  0 ,
lim g(x)  0 ve
x  x0
x  x0


L’ Hospital kuralı,
lim
x  x0
f (x)
mevcutsa,

g (x)
lim
x  x0
belirsizliğine de uygulanabilir. lim
x  x0
f (x)
f (x)
 lim
g(x) x  x 0 g (x)
olur..
f (x)
0

belirsizlik hâlinin

0
g (x)
devam etmesi durumunda, L’ Hospital kuralı bir kez daha uygulanır. Belirsizlik hâli gideri-linceye
kadar L’ Hospital kuralı arka arkaya uygulanır.
Örnek : Aşağıdaki limitleri hesaplayalım.
a.
x3  1
lim
x1
b.
2
x x2
Çözüm : a. lim
x 1
lim
x3  1
2
x0
x x2
b.
lim
x0
x3  1
2
x x2
 lim
x0

x  ln x
x . ln x
lim
1  cos 2x
x sin x
0
0
belirsizliğini yok etmek için L’ Hospital kuralını uygulayalım:
x0
3 x2
3 .12
3


1
2 x  1 2 .1  1 3
1  cos 2x 1  cos 0 0


x sin x
0 .sin 0
0
c.
lim
x
bulunur..
belirsizliğini yok etmek için L’ Hospital kuralını uygulayalım.
lim
1  cos 2x
2 sin 2x
0
0
 lim


olur. Tekrar L’ Hospital kuralını uygulayalım.
x  0 1.sin x  x .cos x
x.sin x
00 0
lim
4 cos 2x
4 .1
4


 2 bulunur..
cos x  1.cos x  x.sin x 1  1  0 . 0 2
x 0
x 0
c.
lim
x
x  ln x

x . ln x

belirsizliği vardır..

1
x
lim
 lim
 0 bulunur..
x
1
x   ln x  1
ln x  x 
x
1
L’ Hospital kuralına göre,
0 .  BELİRSİZLİĞİ
lim f ( x) . g ( x)  0 . 
xa
0 .  belirsizliği,
ise,

0
ya da
0

1
x
f ( x) . g ( x) 
1
f ( x)
1
g ( x)
veya
f ( x) . g ( x) 
belirsizliklerinden birine dönüştürülür..
174
g ( x)
1
f ( x)
şeklinde yazılarak;
Örnek :
lim (sec 3 x . cos 5 x)
x
Çözüm :

2
lim (sec 3 x . cos 5 x)  sec

x
2
lim (sec 3 x . cos 5 x)  lim

x
2

x
2
L’ Hospital kuralına göre,
 
değerini hesaplayalım.
3
5
 cos
 .0
2
2
cos 5 x 0

cos 3 x 0
lim

x
2
belirsizliği vardır..
belirsizliğine dönüşür..
5 sin 5 x
5

3 sin 3 x
3
bulunur..
BELİRSİZLİĞİ

0
veya
0

lim f ( x)  g ( x)     ise, bu belirsizlik,
xa
belirsizliklerinden birine dönüştürülür..
LM x  1 OP değerini hesaplayalım.
N x  1 ln x Q
x
1 O
Çözüm : lim LM
N x  1  ln x PQ     belirsizliği vardır..
L x ln x  x  1OP  0 belirsizliğine dönüşür. L’ Hospital kuralına göre,
lim M
N ( x  1) . ln x Q 0
Örnek :
lim
x 1
x 1
x 1
1
1
ln x
0
x
lim
 lim

x 1
1
x 1
1
0
ln x  ( x  1)
ln x  1 
x
x
ln x  x 
olur..
Tekrar L’ Hospital kuralını uygulayalım:
lim
x 1
1
x
1 1

x x2

1
2
bulunur..

00 , 1 , 0 BELİRSİZLİKLERİ
f ( x)
takdirde,
g ( x)
bu tür fonksiyonların limitlerinde;
y  f ( x)
g ( x)
lny = g (x) . ln f ( x)
0 0 , 1 ,  0
belirsizlikleri ile karşılaşılabilir. Bu
fonksiyonunun her iki tarafının e tabanlı logaritması alınır..
elde edilir. Böylece, 0 .  belirsizliğine dönüştürülür..
Her iki tarafın limiti alınarak limlny = m değeri bulunur. Buradan limy = em elde edilir.
175
Örnek : Aşağıdaki fonksiyonların limitlerini hesaplayalım.
a.
lim
x0
ex j
x
b.
Çözüm : a.
x
0
x
lny = x . lnx

tan
x
2
c.
x 1
ex j = 0
lim
x0
y=x
lim (2  x)
lim (cot x) sin x
x0
belirsizliği vardır..
lim (ln y)  0 . 

x0
belirsizliği, lim (ln y)  lim
x0
x0
ln x
1
x



belirsizliğine dönüşür. L’ Hospital kuralını uygularsak;
1
x
1
lim (ln y)  lim
x0
x0

x0
tan
lim (2  x)
tan
x
2
lim ln y  lim
x 1

1
x 1
x 1
x1
ln(2  x)
0

x
0
cot
2

lim (cot x)
LM
N
y = (cotx)sinx
x
 ln(2  x)  lim ln y 
x 1
2

2 x
1  cot
2
2
sin x


OP
Q

2

2
lim y  e 
ise,
x0
lim ln y  lim
x 0
lny = sinx . ln (cotx)

lim ln y  lim sin x . ln(cot x)  0 . 

ln (cot x)

cos ec x

belirsizliğine dönüşür..
 cosec 2 x
sin x
cot x
lim ln y  lim
 lim
 0 dır..
x0
x  0  cos ec x . cot x
x  0 cos 2 x
lim ln y  0 
x0
dir..
 0 belirsizliği vardır..
x0
x0
 . 0 belirsizliği,
belirsizliğine dönüşür. L’ Hospital kuralını uygularsak,
1
x2
x 0
lim ( xx )  1 bulunur..
x0
belirsizliği vardır..
 ln y  tan
lim ln y  lim
c.
x
2
x 1
y  (2  x)
x 0
2
lim ( y)  e 0 
lim ln y  0 
x0
b.
x
 lim (  x)  0 ,
0
lim y  e  1 bulunur..
x 0
176
x0
belirsizliği,
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
a.
d.
g.
x3  3 x  2
lim
x 1
x3  x2  x  1
lim
3 x  arc tan x
5 x  arc sin x
x0
b.
e.
h.
x
3 1
x0
x2  1
x 1
c.
lim
eax  ebx
sin x
f.
x1
2x  1
lim
lim
x0
arc sin( x  2)
lim
2
x  2x
x  2
ı.
x 3  2x 2  2x  4
lim
x4  3 x3  2  x
x2
e3 x  1
ln(1  2x)
lim
x0
sin(2x  2a)
lim
x2  a 2
a x
2. Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
a.
d.
2 . arcsin x
3x
lim
x0
b.
lim
x 1
xx  1
x . ln x
c.
FG
H
sin x 
sin x  cos x
lim

  4x
x
e.
lim
x
4

6

6
IJ
K
f.
3  2 . cos x
ln ( x  3)  ln 3
x
lim
x0
4  x  x2  2
lim
x 1
x  1
3. Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
a.
x . ln x
ln(ln x)
lim
x  
b.
lim
x  
ln x
c.
x2
lim
2 x  2x
x  
2 x  2 x
4. Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
a.
arctan x
x  
x
b.
lim
lim
x  
ax
c.
ln (1 4x)
x
5x
bsec x  tan xg
c.
lim
FG 1  1 IJ
H sin x tan x K
F x  xI
GH x  1 JK
c.
lim
FG 1  3 IJ
H 1 x 1 x K
FG 2x . sin 1 IJ
xK
H
c.
x
a 1
(a  1)
lim
5. Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
a.
lim
x 0
FG 1  1 IJ
H x ln(1  x) K
b.
lim
x

2
x0
6. Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
F x  x I
GH 2x  1 2x  1JK
3
a.
lim
x  
2
2
3
b.
lim
x  
2
x 1
3
7. Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
a.
lim
x0

ax . cot xf
b.
lim
x  
lim (   2x) . tan 3 x
x
FG  IJ 
H 2K
8. Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
a.
lim ( x
x0
sin x
)
b.
x
lim (e 
x0
177
1
x) x
c.
lim (sec x) cos x
x

2
FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ
Bir y = f (x) fonksiyonunun grafiği, bir doğru veya eğridir. Bir fonksiyonun grafiği, fonksiyonun
kuralını sağlayan bütün noktaların koordinat düzlemine işaretlenmesiyle elde edilir. Fakat bir fonksiyon
sonsuz çoklukta noktadan oluşabilir. Bu sonsuz çokluktaki noktanın koordinat düzleminde işaretlenmesi
mümkün değildir. Bu nedenle eğrinin karakterini belirten bazı özel noktalarını ve bazı özeliklerini bulursak,
bunlardan faydalanarak eğriyi aslına uygun bir biçimde çizebiliriz. Grafiğe ait özel noktalar; grafiğin eksenleri kestiği noktalar, ekstremum noktaları ve dönüm noktalarıdır. Grafiğin karakterini belirleyen özelikler ise;
artan ya da azalan olması, çukurluğun yönü, sonsuza uzanabilen kolunun bir doğru ya da eğriye (asimptot)
teğet olmasıdır.
Bu açıklamalarda yeni karşılaşılan asimptotları tanıyalım.
ASİMPTOTLAR
Tanım : y = f (x) fonksiyonunun gösterdiği eğrinin sonsuza giden bir kolu varsa, bu kol
üzerindeki herhangi bir P noktası sonsuza doğru gittikçe bu P noktasının sabit doğruya ya da
eğriye olan uzaklığı sıfıra yaklaşıyorsa bu doğruya ya da eğriye, eğrinin bu koluna ait asimptotu denir.
Kısaca, bir eğriye sonsuzda teğet olan doğruya ya da
eğriye asimptot denir.
Yandaki şekilde, y = f (x) grafiği üzerindeki P noktası, eğrinin bir kolu üzerinde sonsuza giderken y = mx + n
doğrusu arasındaki uzaklık sıfıra yaklaşmaktadır. y = mx + n
doğrusu bir asimptottur.
Buna benzer doğrulardan ve eğrilerden olan asimptotların
her biri ayrı ayrı adlandırılıp tanımlanır. Yapılacak olan tanımlar,
ilk asimptot tanımı ile denktir.
Düşey Asimptot
Tanım : y = f (x) fonksiyonunun x = a noktasındaki soldan
ya da sağdan limitlerinden en az biri +  ya da   ise, x =
a doğrusuna, y = f (x) fonksiyonunun bir düşey asimptotu denir.
Örnek :
f ( x) 
3x  4
x2
fonksiyonunun düşey asimptotunun
x=2
relim.
Çözüm :
lim
x  2
3x  4
2
   
x2
0
3x  4
2
     olduğundan, x = 2 doğrusu düşey asimpx2
0
tottur. Şekilde, x = 2 için eğri kollarının sonsuza uzandığı görülmektedir.
Kısaca paydayı sıfıra eşitlersek; x  2 = 0  x = 2 doğrusu
düşey asimptot denklemi olur.
lim
x  2
178
doğrusu olduğunu göste-
Yatay Asimptot
Tanım : y = f (x) fonksiyonu için,
lim f ( x)  b
x  
na,
y = f (x)
veya
ise,
y=b
doğrusu-
fonksiyonunun yatay asimptotu denir.
Örnek : y 
Çözüm :
lim f ( x)  b
x 
3x  2
fonksiyonunun yatay asimptotunun y = 3 doğrusu olduğunu gösterelim.
x1
3x  2
3
x   x  1
lim
olduğundan,
y = 3
x sonsuza uzandıkça,
veya
3x  2
3
x   x  1
lim
doğrusu yatay asimptottur. Şekilde,
y de 3 e yaklaşır.
Eğik ve Eğri Asimptot
Tanım :
lim
x  
y = f (x)
f ( x )  g( x )  0
eğrisi ve y = g (x) doğrusu verilsin.
veya
ise,
lim f ( x )  g( x )  0
x  
y = g (x) doğrusuna, eğrinin eğik asimptotu denir.
Eğer, y = g (x) in grafiği
asimptotu denir.
y  f ( x) 
P ( x)
Q ( x)
bir eğri ise; buna, eğrinin eğri
b
biçiminde rasyonel fonksiyon verilsin P ( x) ve Q ( x)
1. Payın derecesi paydanın derecesinde
yazılabilir. Bu durumda,
1 fazla ise;
lim f ( x)  (mx  n)  lim
x
x
fonksiyonun eğik asimptotu olur.
2. Payın derecesi, paydanın derecesinden
2
f (x) = ax + bx + c +
K ( x)
Q ( x)
x 
y = f (x) = mx + n +
olacağından,
C
Q ( x)
y = mx + n
biçiminde
doğrusu
2 fazla ise;
der K ( x )  der Q ( x )
lim f (x)  (ax2  bx  c)  lim
x 
C
0
Q ( x)
g
polinom fonksiyondur. .
şeklinde yazılabilir..
K ( x)
2
 0 olacağından, y = ax + bx + c
Q ( x)
fonksiyonunun grafiği, eğri
asimptotu olur.
O hâlde, eğik veya eğri asimptotları bulmak için; pay, paydaya bölünür ve bölüm asimptot
denklemi olarak alınır.
179
Örnek : a. f ( x) 
b. f ( x) 
Çözüm :
x 3  2x
x1
3 x 2  2x  1
x 1
fonksiyonunun eğik asimptotunu bulalım.
fonksiyonunun eğri asimptotunu bulalım.
6
olarak yazılır..
x 1
y = 3x  5 doğrusudur.
a. f ( x)  3 x  5 
O hâlde; eğik asimptot,
1
olarak yazılır..
x 1
O hâlde; eğri asimptot, y = x2  x  1 eğrisidir.
2
b. f ( x)  x  x  1 
Örnek : f ( x) 
2x 2  x  1
fonksiyonunun asimptotlarını bulalım.
x2  x  2
Çözüm : Düşey asimptot : Paydanın kökleri düşey asimptot olacağından, paydanın köklerini
bulalım: x2  x  2 = 0  x = 2 ve x =  1 dir. Bu değerler, payı sıfır yapmadıklarından, x = 2 ve
x =  1 doğruları birer düşey asimptottur.
Yatay asimptot;
lim
2x 2  x  1
x  
x2  x  2
 2 dir. O hâlde,
y=2
doğrusu yatay asimptottur..
ax  b
eğrisinin simetri merkezinin koordinatları (2 , 3) olup, fonksiyonun
xc
grafiğinin x eksenini x = 1 de kesmesi için; a, b ve c ne olmalıdır?
Çözüm : Payı ve paydası birinci dereceden olan fonksiyonların simetri merkezi, düşey ve yatay
asimptotların kesim noktasıdır. Buna göre, eğrinin düşey asimptotu x = c = 2 , yatay asimptotu
y = a = 3 olmalıdır.
b
b
Eğri x eksenini x = 1 de kestiğine göre; y = 0 için, x 
 1 olmalıdır. Buradan,
1
a
3
den b = 3 bulunur.
Örnek :
y
GRAFİK ÇİZİMLERİ
Bir fonksiyonun grafiğini çizmek için aşağıdaki sırayı izlemek uygun olur:
1. Tanım kümesi bulunur.
2. Fonksiyon periyodik ise periyodu bulunur. Grafik esas periyot içinde çizilir. Gerekirse diğer aralıklarda grafik tekrar ettirilir.
3. Fonksiyonun tek veya çift fonksiyon olup olmadığına bakılır. Fonksiyon tek ya da çift fonksiyon ise,
x  0 bölgesinde grafik çizilir. Fonksiyon çift fonksiyon ise, x  0 bölgesinde çizilen grafiğin
y eksenine göre simetriği alınarak; tek fonksiyon ise orijine göre simetriği alınarak grafik tamamlanır.
4. Fonksiyon R de tanımlı ise, x  ±  iken lim f (x) değeri hesaplanır.
5. Varsa asimptotları bulunur.
6. Grafiğin koordinat eksenlerini kestiği noktalar bulunur.
7. Fonksiyon kapalı aralıkta tanımlı ise, bu aralığın uç noktalarındaki değerler bulunur.
8. Fonksiyonun birinci türevi bulunur. Birinci türevin işareti incelenir ve ekstremumları bulunur.
9. Gerekirse fonksiyonun ikinci türevi bulunur, işareti incelenir.
10. Elde edilen bütün bilgiler için değişim tablosu yapılır.
11. Değişim tablosuna göre grafik çizilir.
Fonksiyon tiplerine göre bu maddeler azaltılabilir.
180
POLİNOM FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ
Polinom fonksiyonların grafiklerinin çiziminde yukarıdaki adımlardan bazılarına gerek yoktur. Polinom
fonksiyonları;
x  R için tanımlıdır. Asimptotları yoktur ve periyodik değildir..
Örnek : f (x) = 3x  x3 fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm : 1. Fonksiyonun tanım kümesi R dir.
2. Fonksiyon periyodik değildir.
3. f ( x) = 3 ( x)  ( x)3 =  3x + x3 =  (3x  x3) = f (x) olduğundan fonksiyon tek fonksiyondur.
Grafiği orijine göre simetriktir.
4.
lim f ( x)   
x  
,
lim f ( x)   
x  
5. Fonksiyonun asimptotu yoktur.
6. Grafiğin koordinat eksenleri ile kesim noktaları; x = 0  y = 0 olup,
nokta (0 , 0) dır. Bunun için grafik orijinden geçer.
x
y = 0  3x  x3 = 0  x (3  x2) = 0  x1 = 0 V
eksenini bu üç noktada keser.
x2 
3
V
y eksenini kestiği
x3   3
tür. Grafik
7. Birinci türevini inceleyelim:
f ( x)  3  3 x 2
f ( x)  0


3 (1  x 2 )  0
x  1  f (1)  2 , x  1 
yapan değerlerdir.

x1  1 V
f ( 1)   2
x2   1
birinci türevi sıfır
x0
ikinci türevi sıfır
dir..
8. İkinci türevini inceleyelim:
f ( x)  3  3 x2
yapan değerdir.

x0
f ( x)   6 x

f ( x)  0

 6x  0

 f (0)  0 dır..
9. Fonksiyonun değişim tablosunu yapalım:
Bulduğumuz bütün x değerlerini tabloda küçükten büyüğe doğru sıralayıp karşılıklarını yazalım.
10. Grafiğini çizelim.
RASYONEL FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ
Örnek : f ( x) 
x 1
x2
fonksiyonun grafiğini çizelim.
Çözüm : 1. Tanım kümesi E = R  {2} dir. Çünkü, x = 2 değeri için payda sıfır olmaktadır.
2. Bu fonksiyon periyodik değildir.
x  1
dir. f ( x)  f (x) ve f ( x)   f (x) olduğundan; fonksiyon, çift fonksiyon
x  2
ya da tek fonksiyon değildir.
3. f (  x) 
181
4. Asimptotlarını bulalım:
x  2 = 0  x = 2 dir. x = 2 payın kökü olmadığından, x = 2 doğrusu düşey asimptottur.
lim f ( x)   
lim f ( x)    dur..
ve
x  2
x  2
Payın ve paydanın dereceleri aynı olduğundan, yatay asimptot vardır.
x1
 1 olduğundan, y = 1 doğrusu yatay asimptottur. Asimptotların kesim
x  
x   x  2
noktası olan (2 , 1) noktası, fonksiyonun simetri merkezidir.
lim f ( x)  lim
5. Eğrinin eksenleri kestiği noktaları bulalım:
x=0
için
y = 0 için
f (0) =
0 1
1

olduğundan, eğrinin
02
2
y
eksenini kestiği nokta,
FG 0 ,  1IJ
H 2K
dir..
x 1
= 0  x + 1 = 0  x =  1 olduğundan, eğrinin x eksenini kestiği nokta, ( 1 , 0) dır..
x2
6. Birinci türevini inceleyelim:
f ( x) 
1 . ( x  2)  1 . ( x  1)
2
3

dir. Burada görüldüğü gibi;
2
x  R  {2} için,
( x  2)
( x  2)
Bu nedenle fonksiyonun yerel maksimum ya da yerel minimum noktası yoktur.
( , 2) ile (2 , + ) aralıklarında azalan bir fonksiyondur.
7. Değişim tablosu
Örnek : f ( x) 
f (x)
f ( x)  0 dır..
fonksiyonu,
8. Grafik
8
4  x2
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm : 1. Tanım kümesi, E = R  { 2 , 2} dir. Çünkü, x =  2 ve x = 2 değerleri için payda
sıfır olmaktadır.
2. Fonksiyon periyodik değildir.
8
dir. f ( x) = f (x) olduğundan; fonksiyon, çift fonksiyondur. Bunun için fonksi4  x2
yonun grafiği, y eksenine göre simetriktir.
4. Fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulalım:
i. Düşey asimptot; paydanın kökleri olan x = 2 ve x =  2 doğrularıdır.
3. f (  x) 
8
lim
x2

lim
x  2
4x
8

  ,
2
4x
x2
2
8
lim
  ,

lim
x  2
2
 
4x
8

4x
2
 
ii. Yatay asimptotu; payın derecesi, paydanın derecesinden küçük olduğu için yatay asimptotu
vardır.
lim f ( x)  lim
x  
x  
8
4  x2
0
olduğundan,
y=0
182
doğrusu yatay asimptottur..
5. Eğrinin eksenlerle kesişim noktalarını bulalım:
x=0
için,
y
y=0
için,
0
8
2
4
8
4  x2
olduğundan;
y
eksenini
olduğundan;
 80
(0 , 2) noktasında keser..
x
eksenini kesmez.
6. Fonksiyonun birinci türevini inceleyelim:
2x
f ( x) 
 0 olup, x  0 için, f (0)  2 dir..
2 2
(4  x )
7. Değişim tablosu
Örnek : f ( x) 
8. Grafik
x2  x  6
x2
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm : 1. Tanım kümesi,
E = R  { 2} dir.
2. Fonksiyon periyodik değildir.
x2  x  6
dir. f (  x)  f ( x)
x  2
fonksiyon değildir.
3. f (  x) 
ve
f (  x)   f ( x) olduğundan, fonksiyon tek ya da çift
4. Asimptotları bulalım :
i. Düşey asimptot;
x+2=0
2
lim
x  2

x  x6
  ,
x2
x=2

doğrusudur.
2
lim
x  2

x  x6
 
x2
dur..
ii. Eğik asimptot; payın derecesi, paydanın derecesinden bir derece büyük olduğundan eğik asimptot
vardır.
Yandaki bölme işlemine göre,
f ( x)  x  1 
4
x2
yazılabilir. Buna göre, eğik asimptot y = x  1
doğrusudur.
lim f ( x)    ,
x  
lim f ( x)   
olur..
x  
5. Eğrinin eksenlerle kesişim noktalarını bulalım:
x = 0 için, y =  3 olduğundan; y eksenini (0 ,  3) noktasında keser.
2
y = 0 için, x + x  6 = 0  x =  3 V x = 2 olduğundan; x eksenini
(2 , 0) noktalarında keser.
6. Fonksiyonun birinci türevini inceleyelim:
f  ( x) 
x2  4 x  8
2
0

x2 + 4x + 8 = 0
( x  2)
olduğundan; denklemin reel kökleri yoktur.
denklemi elde edilir. Bu denklemde
183
( 3 , 0) ve
 =  16 < 0

Buna göre,
x  R  { 2} için, f ( x)  0 dır. Bu nedenle fonksiyonun yerel maksimum ya da
yerel minimum noktası yoktur. Fonksiyon, ( ,  2) ile ( 2 , + ) aralıklarında artandır.
7. Değişim tablosu
8. Grafik
y = x  1 eğik asimptotu ile x =  2 düşey asimptotunun kesim noktası olan A ( 2 ,  3) noktası, fonksiyonun
simetri merkezidir.
x 2  mx  n
fonksiyonunun simetri
xn
merkezi A (1 ,  2) ise, m ve n kaç olmalıdır?
Çözüm : Bu fonksiyonun düşey asimptotu ile eğik asimptotunun kesim noktası, fonksiyonun
simetri merkezidir.
Örnek :
f ( x) 
Düşey asimptot , x = n = 1 dir. n = 1 değerini fonksiyonda yazalım: f ( x) 
x 2  mx  1
x1
olur..
Eğik asimptotu bulalım:
m
yazıx 1
labilir. Buna göre, eğik asimptot y = x + (1  m) doğrusudur.
A (1 ,  2) noktası eğik asimptot üzerinde olacağından,
 2 = 1 + 1  m  m = 4 bulunur.
Yandaki bölme işlemine göre, f ( x)  x  (1  m) 
Örnek : f ( x) 
Çözüm :
1.
x3
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
x 1
Tanım kümesi, E = R  { 1} dir. Çünkü,
x =  1 değeri için payda sıfır
olmaktadır.
2. Rasyonel fonksiyonlar periyodik değildir.
 x3
dir.
f ( x)  f ( x) ve f (  x)   f ( x) olduğundan, fonksiyon çift ya da tek
x  1
fonksiyon değildir.
4. Asimptotlarını bulalım:
i. Düşey asimptot; paydanın kökü olan x =  1 doğrusu düşey asimptottur.
3. f (  x) 
3
lim

x  1
x
  ,
x 1
3
lim

x  1
x
   dur.
x 1
ii. Eğri asimptot; payın derecesi, paydanın derecesinden iki derece büyük olduğundan, fonksiyonun eğri asimptotu vardır.
1
şeklinde
x1
2
yazılabilir. Buna göre, eğri asimptotu y = x  x + 1 eğrisidir.
2
Yandaki bölme işlemine göre, f ( x)  x  x  1 
lim f ( x)    ,
x  
184
lim f ( x)    olur..
x  
5. Eğrinin eksenlerle kesişim noktalarını bulalım:
x=0
için,
y=0
olduğundan;
y
eksenini
(0 , 0)
noktasında keser.
y=0
için,
x=0
olduğundan;
x
eksenini
(0 , 0)
noktasında keser.
6. Fonksiyonun birinci türevini inceleyelim:
f  ( x) 
2x 3  3 x 2
f (0) = 0
( x  1)
2
0
 x1  x2  0 , x  
FG 3 IJ  27
H 2K 4
f 
ve
tür.
3
2
bulunur..
(0 , 0) noktası aynı zamanda dönüm noktasıdır..
7. Değişim tablosu
8. Grafik
İRRASYONEL FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ
Tanım :
y
n
P ( x)
,
y
P ( x)
Q ( x)
,
y  P ( x)  n Q ( x)
şeklindeki fonksiyonlara, irras-
yonel fonksiyonlar denir.
Eğer
değişirler.
n
tek sayı ise, bunlar
Eğer
n
çift sayı ise;
  ile + 
arasında rasyonel fonksiyonlara benzer şekilde
1. Fonksiyonun hangi aralıklarda tanımlı olduğu, yani tanım aralığı araştırılır.
2. Fonksiyon  değerini alabiliyorsa, eğrinin eğik veya yatay asimptotları vardır. Fonksiyon 
değerini alamaz ise, eğik veya yatay asimptotu yoktur.
3. Tanım aralığı ve asimptotlar bulunduktan sonra, değişimin incelenmesine rasyonel fonksiyonlarda olduğu gibi devam edilir.
Örnek : y  x2  5 x  6 fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm : 1. Tanım aralığı, x2  5x + 6  0 olmalıdır. Tabloya göre fonksiyonun tanım aralığı, E = (  , 2]  [3 , + ) dur.
2. Eğrinin asimptotları;
lim
x  
x2  5 x  6  lim x 
x  
5
2
5
bulunur..
2
x 
için, y  x 
x 
için, y   x 
5
2
bulunur..
3. Birinci türevini inceleyelim: f ( x) 
2x  5
2
2 x  5x  6
185
 f ( x)  0
 x
5
 E dir.
2
x < 2 için, 2x  5 < 0 ve
2x  5
2
x  5 x  6  0 olduğundan, f ( x) 
2
 0 dır..
2
2 x  5x  6
x > 3 için, 2x  5 > 0 ve
2x  5
2
x  5 x  6  0 olduğundan, f ( x) 
2
 0 dır..
2
2 x  5x  6
4. Eğrinin eksenlerle kesişim noktaları : x = 0 için,
bulunur.
5. Değişim tablosu
y
;
6
y = 0 için,
x = 2 ve x = 3
6. Grafik
Yandaki grafiğin x eksenine göre simetriği olan kırmızı
kesik çizgili kısımlar,
x2  5 x  6
f ( x)  
fonksiyonunun
grafiğidir.
x
Örnek : f ( x) 
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
x 1
Çözüm : 1. Tanım aralığı : x  1 > 0  E = (1 , + ) dur.
2. Asimptotları:
a. Düşey asimptotu
x=1
doğrusudur.
b. Eğik asimptotu, y = mx + n olsun. Buradan, m ve n yi bulalım. y = mx + n ile y = f (x)
 da teğet olacağından,
mx  n  f ( x) den
m
f ( x) n

x
x
1
Buna göre; m  lim
x
 m  lim
x 
0
,
f ( x)
ve n  f ( x )  m x
x
x
n  lim
x 
x1
x1
 
 n  lim f ( x )  m x tir..
x 
olup, fonksiyonun y = mx + n gibi
bir asimptotu yoktur.
lim f ( x)   
x  
dur..
x1
3. Türevin incelenmesi :
f ( x)  0

x2  0
f ( x) 

1
x
2 ( x  1)
x 1
x  2 dir. f (2) = 2
x2

bulunur..
2 ( x  1) 3
bulunur..
1 < x < 2 için, x  2 < 0 ve 2 ( x  1) 3  0 olduğundan, f ( x) 
x2
2 ( x  1)
3
x > 2 için, x  2 > 0 ve 2 ( x  1)  0 olduğundan, f ( x) 
x2
2 ( x  1)
 0 dır..
3
 0 dır..
3
4. Eğrinin eksenlerle kesişim noktaları : x = 0  E olduğundan, eğrinin y ekseniyle kesim noktası
yoktur.
186
5. Değişim tablosu
6. Grafik
Örnek : Aşağıdaki fonksiyonların eğik asimptotlarını bulalım.
a. a > 0
olmak üzere,
ax2  bx  c dir..
f ( x) 
b. f ( x)  2x  1  x2  4 x  5
Çözüm : a. a > 0 iken
vardır.
x  
y  a  x
FG
H
için,
y  a x
b
2a
IJ
K
b
2a
gibi,
x  
;
Ox
için,
eksenine göre simetrik iki asimptotu
FG
H
y   a x
b
2a
IJ
K
bulunur..
d
b. f ( x)  2x  1  x2  4 x  5 fonksiyonunun eğik asimptotları, y = lim 2x  1  x  2
x  
y = 2x + 1 
2
x  4 x  5 nin
Aynı biçimde, x +
x 
i
dir..
için, eğik asimptotu y = 3x  1 doğrusudur..
için, eğik asimptotu y = x + 3 doğrusu bulunur.
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ
Örnek : f (x) = sinx + 3 fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm : 1. Tanım kümesi: E = R dir.
2. f (x) = sinx + 3
[0 , 2] nda çizebiliriz.
fonksiyonunun esas periyodu
3. f ( x) =  sinx + 3  sinx + 3 = f (x)
T = 2 dir. Buna göre, fonksiyonun grafiğini
olduğundan, fonksiyon tek ya da çift fonksiyon değildir.
4. Fonksiyonun asimptotu yoktur.
y
5. Eğrinin eksenlerle kesim noktalarını bulalım:
eksenini (0 , 3) noktasında keser.
y=0
için,
sin x =  3
x=0
için,
y = sin0 + 3 = 3
denkleminin kökleri olmadığından grafik
x
olduğundan,
eksenini kesmez.
6. Fonksiyonun artan, azalan ve ekstremum noktalarını bulmak için, birinci türevini inceleyelim:
f ( x)  cos x  0
f

FG  IJ  sin   3  4
H 2K 2
x
ve

2
f
veya
x
3
2
olur..
FG 3 IJ  sin 3  3  2
H 2K
2
dır..
7. Grafiği [0 , 2] nda çizeceğimizden, fonksiyonun x = 0 ve x = 2 için değerlerini bulalım:
f (0) = 3
ve f (2) = 3 tür.
187
Ayrıca, dönüm noktalarını bulmak için, ikinci türevini inceleyelim:
f ( x)   sin x  0  x  0 veya x =  bulunur. f (0) = sin 0 + 3 = 3 ve f () = sin + 3 = 3 tür..
O hâlde, dönüm noktaları (0 , 3) ve ( , 3) olur.
8. Değişim tablosu
Örnek : f ( x) 
Çözüm :
sinx = 0

1.
9. Grafik
cos 2x
sin x
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Tanım kümesi; paydayı sıfır yapan
x=k.
(k Z) olup, E = R  {x :
x
x=k.
değerlerinde tanımsız olduğundan,
ve
k Z } dir.
2. Periyodu T = 2 olduğundan grafiği bir periyot uzunluğundaki aralıkta çizmek yeterlidir. Buna
göre, fonksiyonunun grafiğini
[  , ] nda çizelim.
cos 2x
olduğundan, fonksiyon tek fonksiyondur. Buna göre, fonksiyonu
  f ( x)
sin x
[0 , ] nda çizip, orijine göre simetriğini alırız.
3. f (  x)  
4. Düşey asimptotlar :
x = k .  (k Z) doğrularıdır. [0 , ] aralığında, x = 0 ve x =  gibi
iki düşey asimptot vardır.
5. Birinci türevin işaretini inceleyelim :
f  ( x) 
 cos x (2 sin 2 x  1)
2
sin x
0

x

2
bulunur.
x

2
için, f
6. Eksenlerle kesişim noktalarını bulalım:
y=0

cos 2x = 0 dan,
7. Değişim tablosu
x

4
veya
8. Grafik
188
x
3
4
bulunur..
FG  IJ   1 dir..
H 2K
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
a. f (x) = x3  3x + 2
3
2
2
2
b. f (x) = x  x  x  2
c.
f (x) = x (x  2)
f (x) =  x4 + 2x2  4
d.
f (x) = 3x2  2x  1
e.
f (x) = x3 (2  x)
f.
g.
f (x) = x4  2x2 + 1
h.
f (x) = x (x  1) (x + 1)2
ı. f (x) = (x  1)3 (2x  4)
2. Aşağıdaki rasyonel fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
a.
f ( x) 
x 1
x 1
b.
f ( x) 
2x  4
x
c.
f ( x) 
c.
f ( x) 
f.
f ( x) 
4x  1
2x  3
3. Aşağıdaki rasyonel fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
a.
f ( x) 
d.
f ( x) 
( x  1) 2
2x 2  2x  2
x2  4
2
x 1
b.
f ( x) 
e.
f ( x) 
( x  2)2
( x  1)2
x2  6 x  8
2
x  6x  5
x 2  2x
x 2  2x  1
( x  2)( x  5)
x ( x  3)
4. Aşağıdaki rasyonel fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
a.
f ( x) 
x2  4 x  5
x7
b.
f ( x) 
x 2  2x  3
c.
x 1
f ( x) 
x2  x  2
x3
d.
f ( x) 
x 2  8 x  19
x5
e.
f ( x) 
x2  4 x  4
f.
x4
f ( x) 
x2  8
x 1
5. Aşağıdaki rasyonel fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
a.
f ( x) 
x3  2
2x
b.
f ( x) 
x3 1

8 x
c.
f ( x)  x 2 
6. Aşağıdaki trigonometrik fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
a.
f ( x) 
sin x  1
cos x
b.
f ( x)  cos x  3 sin x  1
c.
f ( x) 
sin x  cos x  1
sin x  cos x  1
d.
f ( x) 
cos 2 x  sin 2 x
cos 2 x  3 sin2 x
7. Aşağıdaki irrasyonel fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
a.
f ( x)  1  x
c.
f ( x) 
x
2
x 1
189
b.
f ( x)   1  x
d.
f ( x) 
x2  4 x
16
4
x
8. y 
2x 2
fonksiyonu veriliyor:
x 2  2x  3
a. Değişimini inceleyiniz ve grafiğini çiziniz.
b. y = mx doğrusu ile eğrinin orijinden farklı kesim noktaları,
OA
doğru parçasını
9. y 
x2  4 x  4
x2  1
OB

1
2
oranında içten bölmesi için,
m
A ve B olsun. Orijinin
AB
reel sayısı ne olmalıdır?
fonksiyonu veriliyor:
a. Değişimi inceleyiniz ve grafiğini çiziniz.
b. x eksenine paralel y = m doğrusu, eğriyi A ve B noktalarında kestiğine göre, AB
doğru parçasının P orta noktasının koordinatlarını, m parametresine bağlı olarak
bulunuz.
c. AB doğrusu x eksenine paralel olarak hareket ettiğinde, P noktasının geometrik yerinin
denklemini bulunuz ve grafiğini çiziniz.
10.
y
x3  1
x2
fonksiyonu veriliyor:
a. Fonksiyonun değişimini inceleyiniz ve grafiğini çiziniz.
b. y = m doğrusu eğriyi üç noktada kestiğine göre, bu noktalardan birisinin diğer ikisini birleştiren
doğru parçasının orta noktası olması için, m reel sayısı kaç olmalıdır?
11.
12.
4 x2  12x  5 fonksiyonunun değişimini inceleyiniz ve grafiğini çiziniz. y = m doğrusu, m nin
x2  3 x  2
hangi değerleri için bu eğriyi iki noktada keser?
y
y
x3  x  p
x2  nx
fonksiyonu veriliyor:
a. x = 1 değeri, fonksiyonun birinci türevinin iki kat kökü olması için p ve n kaç olmalıdır?
b. Bulunan p ve n değerlerini fonksiyonda yerine koyarak grafiğini çiziniz.
13.
x2  5 x  10
fonksiyonu ile y = mx doğrusu veriliyor. Doğru, eğriyi A ve B noktalarında
x3
kesiyor. [AB] nın orta noktası P olduğuna göre, P noktasının geometrik yerini bulunuz.
y
x2  mx  2
14.
fonksiyonunda, x = 0 apsisli noktada x eksenine paralel bir teğet elde
4 x2  5 x  6
edilecek şekilde m yi bulunuz. m yi yerine koyarak değişimini inceleyip grafiğini çiziniz.
15.
y
y
x2  2 (m  1) x  3
x2  6 x  5
fonksiyonu veriliyor:
a.
Fonksiyonun gösterdiği eğri, y = 3 doğrusuyla A ve B noktalarında kesişiyor. Bu
noktaların apsisleri toplamının 8 olması için, m ne olmalıdır?
b.
m=2
c.
y=k
için fonksiyonun değişimini inceleyiniz ve grafiğini çiziniz.
doğrusuyla eğrinin kesim noktalarının sayısını araştırınız.
2
16. y  x  2x  8 fonksiyonu veriliyor:
ax  1
a. Bu fonksiyonun yerel ekstremumlarının olmaması için, a hangi değerleri almalıdır?
b. a = 1 konularak elde edilen fonksiyonun değişimini inceleyiniz ve grafiğini çiziniz.
190
TEST 4 • A
2
1. f : R  R ,
f (x) = x  5x + 7
A)  3
fonksiyonu veriliyor.
B)  2
C)  1
f (x) = x2  2x
2. f : R  R ,
f (x) . f (x)  0
fonksiyonu veriliyor.
denklemini sağlayan
A) 0
B) 1
3. f : R  {3}
 R  {a} ,
f ( x) 
f ( x) 
değerleri toplamı kaçtır?
D) 3
ax
x3
R| x  4x
S| ax  2b
T
2
E) 4
2f (1)  2 f (1)  1
fonksiyonunda
C) 1
2
,
x
C) 2
a nın değeri kaçtır?
A)  2
B)  1
4. f : R  R
f (1  h)  f (1)
değeri kaçtır?
h
D) 0
E) 1
lim
h 0
D) 2
;
x2
ise
;
x2
ise
olduğuna göre,
E) 3
fonksiyonunun x = 2 noktasında türevli ise, (a , b) ikilisi aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?
A) (2 , 2)
B) (1 , 2)
C) ( 2 , 1)
D) ( 1 , 2)
E) ( 2 , 3)
h ( x)
, h (2) = 8 ve h(2) = 4 ise,
3 x2  4
fonksiyonun x = 2 apsisli noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?
5. R  R ye tanımlı, f ve h fonksiyonları için; f ( x) 
f (x)
B) 
A)  1
3
4
C) 
R| x  m
S| nx  3
T
3
6. f : R  R
,
f ( x) 
2
1
2
;
x2
ise
;
x2
ise
fonksiyonu veriliyor. f (x) fonksiyonu
A) 3
D) 
B) 4
x=2
1
4
E) 
noktasında türevli ise,
C) 5
D) 6
1
8
m+n
kaçtır?
E) 7
3
7. f (x) = x  3x fonksiyonu veriliyor. Aşağıdaki önermelerden kaç tanesi doğrudur?
I.
f ( 1)  f ( 1)
IV.
lim
t 0
A) 1
II.
f ( t  x)  f ( x)
 3 x2  3
t
B) 2
8. f : R  R ,
V.
B) 5
III.
lim
h0
f (h)  f (0)
 3
h

f (2)  9
C) 3
f (3x  8) = x3 + 3x
A) 4


f (7 )  f (7 )
D) 4
fonksiyonu için,
C) 6
f (1)
E) 5
değeri kaçtır?
D) 8
E) 10
9. f : R  R , f (x) = x2  2 fonksiyonuna bağlı olarak g (x) = f (x) . f (x2) fonksiyonu tanımlanıyor.
Buna göre, g (1)
A)  9
değeri kaçtır?
B)  8
+
10. f : (10 , + )  R
A)  11
,
C)  7
2
f (x) = x  10x
B)  10
D)  6
fonksiyonu veriliyor.
C) 0
D)
191
1
12
E) 0
df i (11)
1
E)
değeri kaçtır?
1
10
11. f (x) = x3 + mx + n fonksiyonu veriliyor. f (1)  f (1)  3 olduğuna göre, m ve n değerleri
için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
A) m + n = 8
B) m . n = 15 C) m = 3
D) n = 4
E) n = 5
12. f (x) = x3 .
+ sgn (x2  12) fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun gösterdiği eğrinin x =  1
apsisli noktasındaki teğetinin eğimi aşağıdakilerden hangisidir?
A)  3
B)  2
C)  1
D) 1
E) Tanımsız.
4
2
13. f (x) = x + 3x + 5 fonksiyonunun hangi noktasından çizilen teğet, x eksenine paraleldir?
A) (0 , 5)
B) ( 1 , 3)
C) (1 , 3)
D) ( 2 , 9)
E) (2 , 9)
x2  ax  5
fonksiyonunun gösterdiği eğrinin x =  1 apsisli noktasından çizilen teğetinin
x7
3x = 4y doğrusuna paralel olması için, a kaç olmalıdır?
A)  4
B)  3
C)  2
D) 2
E) 4
14. f ( x) 
15.
x
fonksiyonunun üzerindeki
A ( 2 , 2)
x1
aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = x  3
B) y = x + 4
C) y = 2x + 1
y
noktasından çizilen teğetin denklemi
D) y = 3  x
E) y = 4  x
2
16.
y
x 1
2
x 1
4
5
A) 
fonksiyonunun gösterdiği eğrinin, koordinat ekseninin
1. bölgesinde ordinat değeri
olan noktasından çizilen normalin eğimi aşağıdakilerden hangisidir?
25
3
B) 
3
5
C)
3
25
D)
5
3
E)
25
4
17. Yandaki grafikte verilen parabol, A noktasında d doğrusuna
x
3
2
noktasında teğettir. Parabolün denklemi
f (x) =  x2 + mx + n olduğuna göre, m . n değeri kaçtır?
A)  3
B)  2
C) 3
D) 5
E) 6
2
18. Yandaki grafik, f (x) = ax (x + b) fonksiyonuna aittir. Grafiğin
x0 =  1 apsisli noktasından çizilen teğetin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y =  7x  4
B) y =  5x + 1
D) y = 7x + 4
E) y = 7x  5
C) y =  6x + 1
19.
fonksiyonu tanımlanıyor. Bu fonksiyonun, [ 1 , 2] aralığında kaç noktasında sürekli olduğu
halde türevsizdir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
20. t zamanı, S alınan yolu göstermek üzere, bir hareketlinin aldığı yol denklemi; S = 20 t + 5t2 dir.
Bu hareketlinin kaçıncı saniyedeki hızı 50 m/sn dir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
192
TEST 4 • B
1.
 1


şeklinde tanımlı f (x) fonksiyonu için, 4. f     f (1)  f (2) değeri kaçtır?
 2
A) 12
B) 13
2. f : [ 2 , 3]

R ye
C) 14
tanımlı
D) 19
E) 20
2
+ x  2 x . sgn (x2  2)
f (x) =
fonksiyonu için,
aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur?
I.
f ( 1)   4
A) 1
f (0)   2
II.
B) 2
3. f : R  R ,
C) 3
4
B)  8
4. f (x) =
 x . x2  4
5.
f( x ) 
3
f (x) = x  3x + 4x  2
A)  9
A)  33
x
IV.
f ( 2 )  2
D) 4
için,
f (1)
C)  7
C)  55
 sgn (5  x)  ( x2  25) . x  3
V.
 1
4
  
3
3
 
f  
E) 5
değeri kaçtır?
D) 7
f (4  )
fonksiyonu için,
B)  44
2
f (1 )  0
III.
E) 8
değeri kaçtır?
D)  66
E)  72
fonksiyonunun türevsiz olduğu kaç değer var-
x 5
dır?
A) 2
B) 3
6. f (x) = (x6 + 6x + 6)6
6
A)  6
C) 4
f  (1)
fonksiyonu için,
B)  6
D) 5
E) 6
değeri kaçtır?
D) 66
C) 0
E) 5 . 66
7. f : R  R ye tanımlı f (x) = x3 + x fonksiyonunun grafiği üzerindeki A ve B noktalarındaki
teğetlerin eğimleri 4 tür. C noktası y = 2x  4 üzerinde herhangi bir nokta olduğuna göre,
A (ABC) kaç birimkaredir?
A) 2
B) 3
2
8. f (x) = x + k
1
A)  2
parabolünün
C) 4
xy=0
1
B)  8
D) 6
1
D) 4
C) 0
2
9. f (x) = ax + bx + c eğrisi, A (1 , 2) noktasından geçiyor ve
oluyorsa, 2a  b + c değeri kaçtır?
A)  3
B)  2
E) 8
doğrusuna teğet olması için,
C)  1
k
sayısı kaç olmalıdır?
1
E) 2
y=x
D) 0
doğrusuna orijinde teğet
E) 1
10. R de türevli f ve g fonksiyonları için, f (x + 2) = (5x + 4) . g (3x + 1) dir. f (1)  7 ve g( 2)  1
ise, g ( 2) değeri kaçtır?
A)  1
B) 0
C) 1
D) 2
2
E) 3
o
11. y = x + 5x parabolünün x ekseniyle pozitif yönde 45 lik açı yapan normalinin denklemi
aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = x  4
B) y =  x + 2
C) y = x  3
193
D) y =  x  8
E) y = 2x  3
12. f (x) = ax2 + bx + c parabolü, (1 , 3) noktasından geçtiğine ve y = x + 1 doğrusuna x = 2
apsisli noktada teğet olduğuna göre, a  b  c değeri kaçtır?
A)  1
B) 0
C) 2
D) 3
E) 5
3
2
13. f (x) = x + (m + 1) x + 2nx + 16 fonksiyonunun grafiği x eksenini ( 2 , 0) da kestiğine ve
x = 1 apsisli noktadaki teğeti, x ekseni ile 135o lik açı yaptığına göre, m  5 . n değeri
kaçtır?
A)  4
B)  3
C)  2
D) 2
E) 3
14.
f( x ) 
x
x3
1
A) 3
3
2
B) 3
2
3
2
10
A) 23
y  3t  2
A (2 , 2)
1
4
için değeri kaçtır?
E) 7
noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?
4
D) 3
C) 1
E) 2
parametrik denklemleriyle verilen fonksiyonun grafiğinin
t
1
2
değerine
karşılık gelen noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?
1
B)  2
A)  3
17.
|UV
W|
x
16
D) 3
eğrisinin
3
B) 4
x  t 2  2t
fonksiyonun
C) 1
15. x y  5x y + 8x  4y + 24 = 0
16.
d 1
f (x)
dx
fonksiyonu veriliyor.
1
C)  3
1
D)  4
1
E)  6
 x 
f ( x )  sin 
 fonksiyonunun grafiğinin x = 0 apsisli noktasındaki normalinin eğimi kaçtır?
 x2
A) 2
B) 1
C) 0
D)  2
E)  3
18. n  N +
A)
dn (x 1 )
olmak üzere,
1
x
B)
dx n
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
n!
x
C) 
n!
x
n
D)
( 1)n n!
E)
xn
( 1)n n!
xn1
19. Aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır?
A) f ( x )  3 x 2  4  19 ise, f ( 2) 
3
dir.
2
B) f ( x ) 
C) f ( x )  3 x  1 . ( x  2 ) ise, f (0 ) 
5
tür .
3
D) f ( x ) 
3
x2
2
ise, f ( 27 ) 
dur.
9
2
8
 3
x2
x
ise,
f ( 2)  1 dir .
x5
1
 3 x  x ise, f ( 4 ) 
tür.
16
3
20. Aşağıdaki önermelerden kaç tanesi doğrudur?

 f 
5
I. f ( x )  x 3 ve g ( x )  x  1 ise,   ( 1) 
4
g

II. f ( x )  x 3  3 x  1 ve g ( x )x 2 ise, f  g (0 )  0
E) f ( x ) 
III.
f ( x )  x 2  1 ve g ( x )  4 x  3
IV.
f( x ) 
A) 1
ise,
f . g ( 1)  22
3x  1
3
ise, f ( 1) 
4
4
B) 2
C) 3
V. f ( x )  ( 2 x 2  3 x ) 4 ise, f ( 1)   4
D) 4
194
E) 5
TEST 4 • C
1. f : R  R ,
f (x)
f ( x)
y = f (x) fonksiyonunun türevi
ise,
lim
h0
f ( x  ah)  f ( x  bh)
h
limitinin
cinsinden ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?

C) (a  b) f ( x)
B) a f ( x)
A)  f ( x)

E) (b  a) . f ( x)
D) b . f ( x)
2. R de tanımlı ve türevli, f (x) = x3  5x 2 + 7x + 8 ve g (x) = x3 + 2x fonksiyonları için, (fog) ( 1)
değeri kaçtır?
A)  1
B) 0
3. R de tanımlı
A)
4.
1
12
C) 215
3
f ( x) = x + 8
B)
D) 320
fonksiyonu veriliyor.
1
8
C)
1
6
D)
UV
W
x    sin 
parametrik denklemleriyle verilen eğrinin,
y  1  cos 
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x + y = 1
5. f (x) = sin
B) x + y =
FG  cos xIJ
H2 K

2

ef j (0)
1
C) x  y =

2
fonksiyonunun grafiğinin x 
E) 410
değeri kaçtır?
1
4

E)

2
noktasındaki normalinin
D) x  y = 

2
1
2
E) x + y = 
apsisli noktasındaki teğetinin denkle-
mi aşağıdakilerden hangisidir?
2
A) y =  x + 2
B) y =   + 2
6. y = sin (x cosx) fonksiyonu için,
A) cos (x sinx)
C) y  
dy
dx
D) y =  x + 1
7. 2x2 y  3y2  2x + 7 = 0
eğrisinin
doğrusuna paralel olması için,
B) 1
E) y  
x

4
ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
B) (cosx  x sinx) cos (x cosx)
D) (sinx + x cosx) . sin (x cosx)
A)  1
x 

2
4
C) (sinx  x sinx) cosx
E) (sinx  cosx) cos (x sinx)
(2 , 3)
noktasındaki teğeti,
m  R
(m + 4) y  (3m + 4) x + 4 = 0
kaç olmalıdır?
C) 0
D) 3
8. f (x) = x . e2x fonksiyonunun grafiğine, x 
1
2
E) 6
aspisli noktasından çizilen teğetin denklemi
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2 ey = 1
B) y = x + e
C) 2y = e
195
D) ex + y = 1
E) 2ex + 1 = 0
9. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
ax
A) y = e
ise,
y  = a . eax
tir..
y =
2e
x
e 1
C) y =
ise,
x
e 1
E) y = e
x
. ln x
x
x
(e  1)
nx
x
dir.
2
x
D) y =
e1 
e
2x
y 
ise,
B) y = (a e)
x ln x
j
e e
x
e e
y  = n (1 + lna) (a e)nx tir..
ise,
x
x
4e
y 
ise,
x
x
x 2
(e  e )
dir..
tir..
10. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
2
A) y = ln3x
dy 3 ln x
tir..

dx
x
ise,
C) y = ln 1  x 2
2
a x
x
E) y = ln
11. f (x) = sin3x
2
olmak üzere,
y  b sin t
UV
W
ise,
D) y = x lnx
ise,
dy
log e

tir..
dx
x
dy
= x + lnx tir..
dx
dy
a2

dir..
dx
x (a2  x 2 )
d21 f (x)
değeri aşağıdakilerden hangisidir?
dx 21
C)  321 cos3x
lim
n 2
f  (x)
f  (x)
B) 2
x  a cos t
dir..
B) 3 . sin3x
A) 1
13.
ise,
fonksiyonu için,
A)  321 . sin3x
12. f (x) = enx
dy
x

dx 1  x2
ise,
2
x
B) y = log
D)  320 sin3x
E) 321 cos3x
D) 6
E) 8
değeri kaçtır?
C) 4
2
parametrik denklemleriyle verilen fonksiyonun,
d y
dx
2
türevinin
için değeri kaçtır?
A) 
b
a
7
14.
lim
h0
B)
2
b
a
C)
a
b
D) 
2
a
b
E)  a2b
3
(1  h)  1
m
h
A) 7
ise,
7m
B) 3
15. f , g , h fonksiyonları
değeri kaçtır?
C) 2
D) 1
R de sürekli ve türevlidir.
h (x)
fonksiyonunun
x = 2 deki
teğetinin eğimi 3 tür.
g (x)
fonksiyonunun
x = 1 deki
teğetinin eğim açısı
f (x)
fonksiyonunun
x=1
Ayrıca;
A) 3 3
h (2) = 1
ve
E)  7
deki teğetinin eğim açısı
g (1) =  1
B) 3 3
ise,
bfogohg (2)
C)  3
196
135o dir.
150o
dir.
değeri kaçtır?
D)  3
E) 3
t

2
FG
H
16. sin arcsin
3
4
 arc tan
5
3

A) 6
IJ
K
değeri kaçtır?

B) 3

C) 2
D) 1
E) 0
17.
Şekilde,
f (x)
fonksiyonunun A (2 , 3)
eksenini  1 noktasında kesmektedir.
tanımlı
g (x)
fonksiyonunun
noktasındaki teğeti, Ox
x=2
f (x)
kuralı ile
2
x 1
apsisli noktasından
g(x) 
çizilen teğet denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 8x  9y = 16
B) 9x  8y = 9
C) x + y = 1
D) x  y = 1
E) y + x = 3
18.
Yanda,
f (x)
parabolü ile
g (x)
A (2 , 3) noktasında teğettir. h (3 x  1) 
x2
f ( x)
doğrusunun grafikleri,
olduğuna göre, h (x)
fonksiyonunun x = 5 noktasındaki normalinin eğimi kaçtır?
A) 
3
2
C) 
B)  1
19. f (x) = x4 + (2m  1) x2  (n + 1) x + 4
1
2
D)
polinomu
1
2
(x  1)2
E)
2
3
ile bölünebildiğine göre,
m+n
değeri kaçtır?
A) 4
B) 5
20.
C) 6
D) 8
E) 12
y
f (x)
g (x)
Yandaki grafikte, f (x) = x3 eğrisi ile tepe noktası T (1 ,  1)
olan ve
1
2
0
1
A)
2 5
5
x
x
eksenini
(2 , 0)
noktasında kesen
g (x)
parabolü verilmiştir. Her iki fonksiyonun kesişim noktası olan
O(0 , 0) noktasından çizilen teğetler arasında kalan dar açı
T (1, 1)
B)
1
2
 ise, sin  kaçtır?
C)
2
2
197
D)
3
2
E) 1
TEST 4 • D
3
2
1. f : R  R , f (x) = x  (m + 1) x  2nx  4 fonksiyonunun x =  2 apsisli noktasındaki yerel
ekstremum değerinin 4 olması için, (m , n) ikilisi ne olmalıdır?
A) (  1 , 3)
2. f (x) = arc sin
B) ( 2 , 3)
C) (4 ,  2)
fonksiyonunun
x
x
B) 
A)  1
1
2
1
deki
2
D) ( 2 , 4)
E) ( 3 , 2)
normalinin eğimi kaçtır?
C) 0
D)
2
2
E) 1
1 3
x  2mx 2  3 x  7 fonksiyonu veriliyor. f  (x) fonksiyonunun yerel
3
 1 olması için, mR sayısı aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?
f ( x) 
3. f : R  R ,
minimum değerinin
A) 2
B) 1
C) 0
D)  2
E)  3
4. f (x) = arc tan (ln x) fonksiyonu veriliyor. 8 e . f (e) . f (e) değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1
B) 2
5. f ( x)  e
dex i
f (x)
fonksiyonunun
B) e 2 . e( e
A) ex . e(x1)
6. Hacmi
27 cm3
olmalıdır?
A) 2
x
x
E) e
in değeri aşağıdakilerden hangisidir?
(e
C) e
1)
x
x
D) e(e ) . e x
)
E) ex
olan kare dik prizmanın alanının minimum olması için, yüksekliği kaç cm
B) 3
7. f ( x) 

D) 2
C) 
C) 4
D) 5
E) 6
fonksiyonu veriliyor. Aşağıdaki önermelerden kaç tanesi doğrudur?
2
x 1
I.
x=1
noktasındaki teğeti
II.
f (x) ,
( 1 , 1)
aralığında artandır.
III.
f (x) ,
(1 , )
aralığında azalandır.
IV.
f  ( x)  0
V.
x . f (x)
A) 1
x
eksenine paraleldir.
eşitsizliğini sağlayan 3 tane tam sayı değeri vardır..
fonksiyonu daima azalandır.
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
8. Yandaki grafik, (a , b) aralığında f (x) fonksiyonuna aittir. Aşağıdaki
fonksiyonlardan kaç tanesi aynı aralıkta kesin olarak artandır?
I.
x . f (x)
IV.
f (x)
A) 1
3
II.
V.
B) 2
x
f ( x)
III.
x + f (x)
x  f (x)
C) 3
D) 4
198
E) 5
3
9. f (x) = x  12x + 9 fonksiyonunun gösterdiği grafik, aşağıdaki aralıkların hangisinde azalandır?
A) (  ,  2)
B) (  , 2)
C) ( 3 , 4)
E) (2 , )
D) ( 2 , 2)
10. Türevinin grafiği yanda verilen f (x) fonksiyonu için, aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur?
I.
x = 1 de
bir minimum değeri vardır.
II.
x = 2 de bir yerel minimum değeri vardır.
III.
(  , 0)
IV.
(0 , 2)
aralığında azalandır.
V.
(2 , )
aralığında artandır.
aralığında azalandır.
A) 1
B) 2
C) 3
3
D) 4
E) 5
2
11. f : R  R , f (x) = x + (2m + 1) x + nx + 5 eğrisinin x =  1 apsisli noktası, bir dönüm noktası
ve bu noktadaki teğetinin de Ox eksenine paralel olması için, (m , n) ikilisi ne olmalıdır?
A) (1 , 3)
B) (2 ,  3)
C) ( 1 , 4)
D) (0 , 1)
E) (1 , 1)
12. Dikdörtgen biçimindeki bir kartta 50 cm 2 resim bulunacak, üst ve alt boşluklar dörder cm, yan
boşluklar ikişer cm olacaktır. Kartın alanının minimum olması için, çevresi kaç cm olmalıdır?
A) 48
B) 50
C) 54
D) 56
E) 60
13. Yarıçapı 2 2 cm olan bir küre içine, yanal yüz alanı en büyük olacak şekilde yerleştirilecek dik
silindirin hacmi kaç  br3 tür?
A) 18
B) 16
14. Yandaki şekilde bir kenarı
C) 12
y=9
D) 10
E) 8
doğrusu üzerinde, diğer kenarı
Oy ekseni üzerinde ve bir köşesi parabol üzerinde kalmak koşulu ile
oluşturulabilecek en büyük alanlı dikdörtgenin alanı kaç br2 dir?
B) 6 5
A) 18
C) 12
D) 7 2
E) 6 3
15. Aşağıdaki limitlerden kaç tanesi doğrudur?
I.
lim
x 1
x2  1
=2
x 1
II.
lim
sin 2 x
x0
x
2
III.
1
lim
x2
x2
x 2
1
IV.
A) 1
lim x (e x  1)  1
x  
B) 2
V.
lim x x  1
x0
C) 3
D) 4
199
E) 5
2 2
16. Şekilde y = f (x) fonksiyonunun A ( 2 , 3) noktasındaki
teğeti çizilmiştir.
lim
Buna göre,
12 . f (x)  6x . f ( 2)
A)  6
değeri kaçtır?
x 2  5x  6
x  2
B)  2
C) 3
D) 6
E) 9
17. Yandaki şekilde verildiği gibi; iki köşesi Ox , iki köşesi Oy ekseni, bir
x
y

 1 olan doğru üzerinde bulunan dikdört4
8
2
genin alanı en büyük kaç br dir?
köşesi de denklemi
A) 5
B) 6
C) 8
D) 9
E) 12
18. Şekilde, x = y2 parabolünün, A (0 , 3) noktasına en yakın
noktası B olduğuna göre, AB kaç birimdir?
A) 5
B) 2
D)
3
C)
2
E) 1
19. Aşağıdaki limitlerden hangisi yanlıştır?
FG
H
lim 1 
A) x 

1
x
IJ x  e
K
B) lim
x e
e

ln x  1
2
E) lim
FG x  2 IJ x1  e
H x  3K
xe
ln x
1
x  x
D) lim
x  
C) lim
e x  (1  x)
x0
5
20. Yandaki şekilde,
f (x)
fonksiyonunun A ( 2 , 2)
noktasındaki teğeti olan g (x) doğrusu, eksenleri sırasıyla ( 4 , 0) ve (0 , 4) te kesmektedir. Ayrıca, f (x)
fonksiyonunun B (2 ,  1) de bir yerel minimum noktası
vardır.
h(x) 
(fog)(x)
g(x)
yonu için,
A)  4
şeklinde tanımlanan
h (x)
fonksi-
h ( 2) in değeri kaçtır?
B) 
1
4
C) 1
D)
200
1
4
E) 4
x
2

1
2
TEST 4 • E
1.
x
lim (e 
1
x) x
değeri kaçtır?
x0
A) 2
2.
B) 1
F 2 Ic
lim G 1  J
H xK
h
 e2
x
lim
x0
ise,
m R sayısı kaçtır?
B) 2
e( m 2 ) x  1
2
ln(1  x)
A)  1
C) 3
ise,
mR
B) 0
3
E) e2
D) e
2m  3 x
A) 1
3.
C) 0
C) 1
4. f (x) = x  mx + 1 fonksiyonunun gösterdiği eğrinin
mR sayısı kaç olmalıdır?
B) 2
E) 5
D) 2
E) 4
sayısı kaçtır?
2
A) 3
D) 4
C) 1
y=5
doğrusuna teğet olması için
D)  1
E)  3
5.
x2 + y2 = 25
Yandaki şekilde, denklemi
çizilmiştir. Çember üzerinde bir nokta
P
olan çemberin dörtte biri
olduğuna göre,
dikdörtgeninin alanının en büyük olması için,
OAPB
m (AOP) = 
kaç
radyan olmalıdır?
A)
5
12
LM
N
B)

6
C)

12
D)

4
E)

3
OP
Q

 [0 , 1] , f (x) = cosx fonksiyonu veriliyor. Fonksiyonun bu aralıkta ortalama
2
değer teoremine uyan x değeri aşağıdakilerden hangisidir?
6. f : 0 ,
A)  arccos

2
B)  arccos
2

C) arccos
7. f (x) = x2 + (3 + m) x + m fonksiyonunun
apsisi aşağıdakilerden hangisidir?
B) 
A)  1
1
2
2

[ 1 , 2]
D) arcsin
apsisli noktalarda,
kesmektedir.
y
C) 0
eksenini
3
g (a) = g (0) = g (b) = 0
D)
1
2
ordinatlı noktada
olduğuna göre,
aşağıdakilerden hangisi her zaman doğru değildir?
A) g( a)  0
B) f (a) . g(b)  0
D) g(0) . f (1)  0
E) (f . g) (0)  0
C) g(a) . f (b)  0
201
E)  arcsin

2
aralığında Rolle teoremine uyan noktanın
8. Yandaki şekilde, g (x) fonksiyonu ile f  (x) fonksiyonunun
grafikleri verilmiştir. f  ( x) parabolü; x eksenini  1 ve
1
2

E) 1
9.
3
2
Yandaki grafik, f (x) = ax + bx + cx + d fonksiyonuna aittir.
f (x) fonksiyonun x = 3 apsisli noktada bir dönüm noktası
olduğuna göre, aR kaçtır?
A)
1
2
B)
1
6
D)
1
27
E)
1
32
C)
1
18
10. f (x) = (x  1)2 (x  3) fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
C)
D)
E)
11.
Grafiği yanda verilen fonksiyonun denklemi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) y = (x  2) (x  1)2
B) y = (x + 2) (x  1)2
C) y = (2  x) (x  1)2
D) y = ( x  2) (x  1)2
E) y = (x  2) (x + 1)2
12. Yanda grafiği verilen fonksiyonun denklemi,
2
2
f (x) = m (x + n) . (x  4x + p)
12mnp çarpımı kaçtır?
A) 1
B) 2
D) 6
E) 24
ile verilmiştir. Buna göre,
C) 4
2
13. f : R  R , f (x) = x (x  1) (x + 2) fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) f (x) fonksiyonunun grafiği, x eksenini üç noktada keser.
B)  2 < x < 0 aralığında, f (x) fonksiyonunun bir yerel maksimum değeri vardır.
C) 0 < x < 1 aralığında, f (x) fonksiyonunun bir yerel minimum değeri vardır.
D) f (x) fonksiyonu, (1 , + ) aralığında azalandır.
E) f (x)
14. y 
A) 1
fonksiyonu,
ax  b
cx  d
( ,  2)
aralığında azalandır.
eğrisinin asimptotlarının kesim noktası
B) 0
C)  1
202
( 2 , 2)
D)  2
ise,
a
d
oranı kaçtır?
E)  3
x3  x
15. y 
x2  x  2
A)  2
eğrisinin eğik asimptotunun denklemi y = mx + n ise, m + n değeri kaçtır?
B)  1
C) 0
D) 1
E) 2
x 2  2x  8
eğrisiyle y = m doğrularının kesim noktaları A ve B ise, AB doğru
x 1
parçalarının orta noktalarının geometrik yeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = 2x  1
B) y = 2x  2
C) y = x  1
D) y = 1  x
E) y = 2x  3
16. f ( x) 
17. m
negatif ve m ile p aralarında asal olmak üzere; şekildeki
mx  n
fonksiyonunun grafiği olabilmesi için, km
px  k
değeri kaç olmalıdır?
grafiğin, y 
A) 2
B) 0
D)  2
C) 1
E)  4
18.
Yanda grafiği verilen f (x)
aşağıdakilerden hangisidir?
A) f ( x) 
C) y 
E) y 
x 2  2x  3
fonksiyonunun denklemi
B) y 
x 2  2x  3
x2  x  3
D) y 
x 2  2x  3
2x 2  3
x 2  2x  3
x 2  2x  3
x 2  2x  3
x3
2
x  2x  3
19. f : R  (1 , 3)  R ye tanımlı f (x) = 2 x  1 + x 2  4 x  3 fonksiyonunun eğik asimptotlarından birisinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = x  1
B) y = 3x  3
C) y = x + 3
D) y = 2x  1
D) y = 4x  3
20. Aşağıdakilerden hangisi, f ( x) 
A)
x 3 ( x  1) 2
( x  1) 2 ( x  2) 2
fonksiyonunun grafiğinin bir parçası olamaz?
B)
y
C)
0
D)
E)
203
1
x
BÖLÜM
İNTEGRAL
5
Bu bölümde, türev konusu ile yakından ilişkili olan integral konusunu inceleyeceğiz. Türev konusunda; bir fonksiyonun bir noktadaki türevinin bu noktadan çizilen teğetin eğimi olduğunu, bir hareketlinin
hareket denklemi verildiğinde; yolun zamana göre birinci türevi hareketlinin hızını, hızın zamana göre
birinci türevi hareketlinin ivmesini gösterdiğini türev konusunda incelemiştik. Karşıt olarak, eğimi fonksiyon olarak verilen bir eğrinin denklemini, hız denklemi verilen bir hareketlinin konum - zaman hareket
denklemini, ivme denklemi verilen bir hareketlinin hız - zaman denklemini bulmamız söz konusu olabilir.
Bu durumda, türevi bilinen bir fonksiyonun aslını bulmamız gerekir.
İşte, bir fonksiyonun türevi ve fonksiyona ait bir kaç özeliği biliniyorsa, fonksiyonun aslı bulunabilir.
Fonksiyonun aslını bulma işlemi, belirsiz integral ile mümkündür. Yukarıda bahsedilenlerden başka, eğrilerin sınırladığı alanları, çeşitli cisimlerin hacimleri, eğrilerin uzunlukları vb. bulunmasında da belirli integral kullanılır. Bunların dışında integral; fizik, kimya, biyoloji, ekonomi ve birçok mühendislik dallarında da
kullanılır.
BELİRSİZ İNTEGRAL
Tanım : f : [a , b]  R , F : [a , b]  R tanımlı iki fonksiyon olsun. Eğer F (x) in türevi
f (x) veya diferansiyeli f(x) . dx olan F (x) fonksiyonuna, f (x) fonksiyonunun belirsiz integrali
denir ve
z
z
f (x) . dx  F(x)  C
f ( x) . dx  F ( x)  C
biçiminde gösterilir..
eşitliğinde;
z
işaretine, integral işareti, f (x) e integrand (integral
altındaki fonksiyon) , f (x) . dx e diferansiyel , dx e diferansiyel çarpanı, F (x) e f (x) in
ilkel fonksiyonu ve C ye integral sabiti denir.
F (x) + C yi bulma işlemine, belirsiz integral alma işlemi (integrasyon) denir.
F (x) in x e göre türevi f (x) ise, C bir sabit olmak üzere, F (x) + C nin de x e göre
d
d
d
F ( x)  C 
F ( x) 
C  f ( x)  0  f ( x) tir. Buna göre, türevi f (x) olan
dx
dx
dx
sonsuz sayıda F (x) + C fonksiyonları elde edilir. Bu fonksiyonların gösterdiği eğriler kümesine, bir eğri
ailesi denir. Bu eğri ailesinin apsisleri x olan noktalarındaki teğetleri birbirine paraleldir.
türevi f (x) tir. Yani;
Örneğin ;
z
F ( x)  x2  F ( x)  2x  F ( x) . dx  2x. dx
z
F  ( x) . dx 
2x . dx

F ( x)  x 2  C

z
2 x . dx  x 2  C dir..
BELİRSİZ İNTEGRALİN ÖZELİKLERİ
1. Bir belirsiz integralin türevi, integrali alınan fonksiyona eşittir. Yani,
FH
z
IK   bF (x)  Cg  f (x) tir..
f ( x) . dx
2. Bir belirsiz integralin diferansiyeli, integral işaretinin altındaki ifadeye eşittir. Yani,
d
FH
z
IK
f ( x) . dx  f ( x) . dx tir..
3. Bir fonksiyonun diferansiyelinin belirsiz integrali, bu fonksiyon ile bir C sabitinin toplamına
eşittir. Yani,
zb
g
d f ( x) = f ( x)  C dir..
204
Bu özelikleri aşağıdaki örneklerde uygulayalım.
z
Örnek :
5
d
dx
Çözüm :
Örnek :
belirsiz integralinin türevini bulalım.
3 x . dx
z
z
z
z
FH
z
IK
5
3 x . dx  3 x
2
Örnek :
d
x 2  1 . dx 
3
d (sin x)
Çözüm :
dir..
belirsiz integralinin diferansiyelini bulalım.
x  1 . dx
Çözüm :
5
x 2  1 . dx tir..
belirsiz integralini bulalım.
3
3
d (sin x)  sin x  C dir..
Bir Fonksiyonun Bir Sabitle Çarpımının İntegrali
Teorem : İntegral içindeki sabit çarpan, integral dışına alınabilir. Yani,
z
k  R için ,
İspat :
d
dx
FH
z
z
k . f (x) . dx  k
z
FH z
IK
f (x) . dx tir..
eşitliğinin her iki tarafının türevi alınırsa,
k . f ( x) . dx  k f ( x) . dx
k . f ( x) . dx 
z
IK
d
k f ( x) . dx
dx
d
dx
k f ( x)  k . f ( x)
k . f ( x)  k 


FH
z
IK
f ( x) . dx
bulunur..
İki Fonksiyonun Toplamının veya Farkının İntegrali
Teorem : İki fonksiyonun toplamının veya farkının integrali, fonksiyonların integralinin toplamına
veya farkına eşittir. Yani,
i.
ii.
z
z
f (x)  g(x) . dx 
f (x)  g(x) . dx 
z
z
f (x) . dx 
f (x) . dx 
z
z
g(x) . dx tir..
g(x) . dx tir..
İspat : i. Her iki tarafın türevi alınırsa,
d
dx
FH
z
IK
f ( x)  g( x) . dx 
z
d
dx
z
z
FH z
z
FH
f ( x) . dx 
d
d
f ( x) dx 
dx
dx
ii. Her iki tarafın türevi alınırsa,
f ( x)  g ( x) 
d
dx
FH
z
IK
f ( x)  g( x) . dx 
z
d
dx
z
k1 , k2 , ... , kn R olmak üzere,
IK
g ( x) . dx
g ( x) dx  f ( x)  g ( x)
f ( x) . dx 
d
d
f ( x) dx 
dx
dx
Bu iki teoremden faydalanarak,
f ( x)  g ( x) 
z
z
bulunur..
IK
g ( x) . dx
g ( x) dx  f ( x)  g ( x)
z
z
bulunur..
z
k 1 . f1 ( x)  k 2 . f2 ( x)  ...  k n fn ( x) dx  k 1 f1 ( x) dx  k 2 f2 ( x) dx + ... + k n fn ( x) dx
205
elde edilir..
İNTEGRAL ALMA KURALLARI
Türev konusunda gördüğümüz türev alma kurallarından faydalanarak, aşağıdaki integral alma kurallarını yazabiliriz;
1.
3.
5.
7.
9.
10.
11.
z
z
z
z
z
z
z
z
x n dx 
1
x n 1  C
n1
(n  1)
e x dx  ex  C
4.
sin xdx   cos x  C
6.
tanx . secx . dx  secx  C
8.
z
sec 2 x dx 
1
2
cosec x dx 
1
1  x2
z
ze
1
2
1
dx  ln x  C
x
a x dx 
1
 ax  C
ln a
(a  0 , a  1)
cosxdx  sinx  C
cotx . cosecx . dx   cosecx  C
j
1  tan2 x dx  tanx  C
 dx 
cos 2 x
z
z
z
z
2.
 dx 
sin x
ze
j
2
1  cot x dx   cotx  C
dx  arctanx  C1   arccotx  C2
1
dx  arcsinx  C1   arccosx  C2
1  x2
Bu kuralları aşağıdaki örneklerde uygulayalım.
12.
z
Örnek :
Çözüm :
z
Örnek :
Çözüm :
belirsiz integralini bulalım.
(2x  1) dx
z
(2x  1) dx  2
2x 3  3 x
z
x2
dx
2 x3  3 x
x
2
z z
x2
 1 . x  C  x2  x  C
2
xdx  1 dx  2 
belirsiz integralini bulalım.
dx 
z FGH
2x 3
x
2

3x
x
2
I dx 
JK
z
2x dx 
z
z
 2 x dx  3
Örnek :
Çözüm :
z FGH
z
cosx 
1
1  x2
cos x dx 
z
bulunur..
I
JK
3
dx
x
z
1
dx  x2  3 ln x  C
x
 a x dx
belirsiz integralini bulalım.
1
z
dx 
1 x
2
a x dx  sin x  arc sin x 
1 x
a C
ln a
bulunur..
bulunur..
f ( x)  x2  2x  m
Türevi,
olan f (x) fonksiyonunun grafiğinin,
noktasındaki teğetinin eğimi 6 olduğuna göre, f (x) fonksiyonunu bulalım.
Örnek :
Çözüm :
olduğundan,
f ( x) 
z
f (x) fonksiyonunun A (3 , 11) noktasındaki teğetinin eğimi, yani
3 2.3+m=6

m = 3 bulunur.
f ( x)  x2  2x  3 tür..
m=3

A (3 , 11)
f (3)  6
2
f ( x) dx 
ze
j
x3
 x 2  3 x  C dir.
3
C=2
olur. Buna göre,
x 2  2x  3 dx 
f (3) = 11
3
3
2
 3  3 . 3  C  11
3

206
f ( x) 
olduğundan,
1 3
2
x  x  3x  2
3
bulunur..
Örnek : Bir eğrinin her (x , y) noktasındaki teğetinin eğimi, bu noktadaki apsisinin 2 katının
3 eksiğine eşittir. Ayrıca bu eğri A (2 , 1) noktasından geçtiğine göre, eğrinin denklemini bulalım.
Çözüm : Eğrinin herhangi bir
türevine eşit olduğundan,
z
f ( x)  f ( x) dx 
za
22  3 . 2 + C = 1
bx , f (x)g
noktasındaki teğetinin eğimi, fonksiyonun bu noktadaki
m t  f ( x)  2x  3 tür..
f
2x  3 dx  x 2  3 x  C , f (2) = 1
f (x) = x2  3x + 3
C = 3 ve buna göre,

olduğundan,
bulunur.
Örnek : V0 ilk hızıyla yukarıya doğru düşey olarak atılan bir cismin t saniyedeki hız denklemi
V = V0  10 t dir.
a. Hareketlinin ilk 2 saniyede aldığı yol 2V0 olduğuna göre, konum - zaman (hareket) denklemini
bulalım.
b. Çıkış süresini,
V0 ilk hızına bağlı olarak bulalım.
c. Cismin çıkabileceği maksimum yükseklik
100 m
olduğuna göre,
cismin ilk hızını bulalım.
Çözüm : a. Yolun zamana göre birinci türevi, cismin hızına eşit olduğundan;
S  V  V0  10 t
 S
zb
olduğundan; 2V0 = 2V0  5 . 4 + C
S = 20 + V0t  5t
2
g
S = V0t  5t2 + C bulunur.
V0  10 t dt

C = 20
t = 2 için, S = 2V0
olur. Buna göre, hareket denklemi;
bulunur.
b. Yukarıya atılan bir cismin çıkış süresi, cismin hızının sıfır olduğu ana kadar geçen süredir. Buna
göre,
V=0

V0  10 t = 0
c. S = 20 + V0t  5t2
2
100  20 

V0
10
denkleminde,
2
V0
V
5 0
10
100
t
bulunur..
t
V0
10
ve
S = 100
değerleri yerine konursa;
2

80 
5 V0
100
2
 V0  16 . 100
207

V0  40 m / sn
bulunur..
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
e.
ı.
z
z
z
5 . dx
b.
(u2  u) . du
f.
2x . dx
i.
z
z
z
x . dx
c.
3ax . dx
g.
sin x . dx
j.
z
z
z
3
( x  1) dx
d.
5yx . dx
h.
cos x . dx
k.
z
z
z
( t 2  1) . dt
2
 dx
x
(4 x3  3 x2  x) . dx
2. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
d.
g.
i.
z
z FGH
z
z
3
2
( x  3 x  2x). dx
b.
IJ 2 .dt
K
e.
2
1
t
2
x x
 dx
u
h.
2
z
F
z GH
z
z FGH
2
x
3
1


2 x
I  dx
J
xK
1
3
f.
2
IJ
K
4
x
2
 dx
1
3
1
x

3
2
x
x
I . dx
JK
tan 2 x . dx
ı.
x
x
 cos 4
. dx
2
2
5
x x 2
c.
x x
 du
u
sin4
j.
cot x . dx
z
z FGH
z
z FGH
3
x  2x  x  1
 dx
x
k.
sin
x
x
 cos
2
2
IJ
K
2
. dx
3. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
c.
e.
g.
ı.
z
z
z
z
ze
z
z FGH
b.
(2 cos x  sin x). dx
sin
x
x
 cos  dx
2
2
d.
cos
FG   xIJ dx
H2 K
f.
(e x1  x  1) . dx
h.
j
e x 5  2 x1 . dx
i.
z FGH
z
z FGH
z
ze
2
cos
IJ
K
u
2 u
 sin
 du
2
2
(sin t  cos t ) . dt
2 1  cot 2
FG   xIJ IJ . dx
H 2 KK
(e x 2  1) . dx
j
3 x 1  x 2  2x . dx
4. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
d.
2 . dx
b.
1  x2
1
1 t2
IJ
K
 2t dt
e.
z
z
5 . dx
9  9 x2
7  4 1 x
1 x
2
c.
z
f.
z
2
 dx
3 . dx
3  3 x2
1 u
1 u
2
 du
4
5. Herhangi bir noktasındaki teğetinin eğimi, o noktanın apsisinin karesinin 3 katının bir fazlasına
eşit olan ve A (1 , 2) noktasından geçen eğrinin denklemini bulunuz.
208
İNTEGRAL ALMA METOTLARI
İntegral hesaplarında; çarpımın, bölümün, kuvvetin, bileşkenin integrantı toplam hâline getirilemezse
böyle durumlarda integral alma işlemini kolaylaştıracak metotlar geliştirilmiştir. Bu metotları verelim.
DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME (YERİNE KOYMA) METODU
İntegral hesaplarında, uygun bir değişken değiştirmesi yapılarak integrali hesaplanacak ifade, ilkeli
kolaylıkla bulunabilecek bir ifadeye dönüştürülür.
z
1.
z
f (x) . f (x) . dx 
a f
f (x).d f (x)
integralinde fonksiyon ve türevi çarpım şeklinde ise, değişken
değiştirme metodu kullanılmalıdır. Değişken değiştirme yapılırken hem fonksiyonun hem de diferansiyelin değişimi yapılmalıdır.
f (x) = u
dönüşümü yapılırsa;
b g
d f ( x)  d (u)  f  ( x) . dx  du
olur. Bulunan bu değerleri
yerlerine yazalım:
z
f ( x) . f ( x) . dx 
olur.
z
Örnek :
z
2
u . du 
u
1 2
 C  f ( x)  C şeklinde çarpım fonksiyonunun integrali alınmış
2
2
cos 2 x . sin x . dx
integralini hesaplayalım.
Çözüm : u = cosx diyelim. Her iki tarafın diferansiyelini alalım.
du =  sinx . dx 
z
sinx . dx =  du olur. Bu ifadeler integralde yerine konursa,
z
cos 2 x .sin x . dx 
z
2.
f (x)
n
z
u2 . ( du)   u2 du  
. f (x) . dx 
z
n
b g
f (x). d f (x)
dönüşümü yapılır. Fakat türev oluşmazsa, f ( x)
f (x) = u
z
a f
f ( x)
n
z
olur. Bulunan bu değerleri yerine yazalım:
z
n 1
Çözüm :
7
(3 x  1) . dx
z
7
(3 x  1) . dx
d ( 3 x  1)  d (u)

integralini hesaplayalım.
integralinde (3x  1) = u
3 . dx  du

dx 
1
 du
3
diyelim.
olur..
Bunları yerlerine yazalım:
z
7
(3 x  1) . dx 
z
7
u 
f (x) = u
 u denilmelidir. Burada f (x) = u dönüşümü yapılırsa;
n 1
f ( x)
u
n
. f ( x) . dx  u . du 
C 
C
n1
n 1
Örnek :
bulunur..
integralinde, genellikle üssü görmeden
 d f ( x)  d (u)  f ( x) . dx  du
n
u3
cos 3 x
C  
C
3
3
1
1 8
1
8
 du 
u C 
 (3 x  1)  C
3
24
24
209
bulunur..
Örnek :
z
2
x  4 x . ( x  2) . dx
integralini hesaplayalım.
Çözüm : x2  4x = u diyelim. Her iki tarafın diferansiyelini alalım:
d (x2  4x) = d (u)
(2x  4) . dx = du

(x  2) . dx =

1
du olur..
2
Bu değerler integralde yerlerine yazılırsa;
z
2
x  4 x . ( x  2) . dx 
z

3.
z
z
f (x) . dx

f (x)
1
2
z
1
u  du 
2
3
1
2
1 u2
u  du 

C
3
2
2
1
1 2
2
u u  C  ( x  4 x) . x  4 x  C
3
3
b g
bulunur..
d f (x)
f (x)
integralinde,
b g
f (x) = u dönüşümü yapılırsa; her iki tarafın diferansiyelini alalım: d f ( x)  d (u)
olur. Bulunan bu değerleri yerlerine yazalım:
z
f ( x) . dx

f ( x)
z
du
 ln u  C  ln f ( x)  C
u

f ( x) . dx  du
bulunur..
Bölüm şeklindeki integrallerde değişken değiştirme uygulanırken, türevi bölüm şeklinde olanlar hariç genellikle paydaya u denilip, türevi pay kısmında araştırılmalıdır. Soruda logaritmik
veya ters trigonometrik fonksiyon varsa, bunlara da u denilmelidir.
Örnek :
z
integralini hesaplayalım.
tan x . dx
z
z
sin x
dx yazalım:
cos x
cosx = u diyelim. İki tarafın diferansiyelini alalım.
Bulunanları yerlerine yazalım:
Çözüm :
z
tan x . dx 
sin x
dx  
cos x
Örnek :
z
Çözüm :
z
du
  ln u  C   ln cos x  C  ln sec x  C
u
arc tan x
z
1 x
2
 dx
arc tan x
1 x
2
1
arc tan x 
Örnek :
Çözüm :
1 x
z
2
z
1
 dx  arc tan x 
1 x
2
 dx
1
1 x
z
2
 dx  du
integralini hesaplayalım.
2
( x  1) . ln(1  x )
2
d(x )
2
olur.
bulunur..
olur. Bulunanları yerlerine yazarsak;
2
d(x )
z
 sinx . dx = du
yazalım.
1 2
1
2
u C
( arc tan x)  C
2
2
 dx  u . du 
2

integralini hesaplayalım.
arc tanx = u  d (arc tanx) = d (u) 
z
d (cosx) = d (u)
2
( x  1) . ln(1  x )

z
2x . dx
2
2
( x  1) . ln(1  x )
210
yazalım.
bulunur..
Logaritmik ifade içerdiği için logaritmik kısma u denilmelidir.
e
j
ln (1 + x2) = u diyelim. d ln(1  x 2 )  d (u)
z
1
2
2 x . dx

ln(1  x )
Örnek :
Çözüm :
3x
u
2
1 x
z
z
z

2
dx

2
z
dx
F 9x I
4 G1 
H 4 JK

2
FG 3x IJ  d(u)
H 2K
d
diyelim.
2
 dx  du Bu ifadeleri yerlerine yazalım:
integralini hesaplayalım.
2
4  9x
1 x
1
2
 du  ln u  C  ln ln(1  x )  C bulunur..
u
dx
4  9x
2x

1
2
z
dx
F 3x I
1 G J
H2K
yazalım.
2
3
2
dx  du  dx  du
2
3

Bulunan bu değerleri yerlerine yazalım:
2
du
1
3

2
3
1 u
z
1
2
z
a , b  R  {0}
z
dx

2
2 2
a b x
z
Örnek :
z
4.
a
f (x)
1 u

2
FG IJ
H K
1
1
3x
arc sin u  C  arc sin
C
3
3
2
FG IJ
H K
1
bx
 arc sin
C
b
a
9  25 x
dx

9  25 x
2
ea  R
. f (x) . dx
a
f ( x)
. f ( x) . dx 
Örnek :
ze
2
tan 3 x
z
dir..
integralini hesaplayalım.
2
1
 arc sin
5

u
bulunur..
j integralinde,
d bf ( x)g  d (u) 
u
a . du  a 
j
FG 5 xIJ  C
H3K
 { 1}
f (x) = u dönüşümü yapılırsa;
yazalım:
z
bulunur..
olmak üzere,
dx
z
Çözüm :
du
2
f ( x) . dx  du
olur. Bulunanları yerlerine
1
1
f ( x)
C  a

 C bulunur..
ln a
ln a
 1 . sec 3 x . dx
integralini hesaplayalım.
Çözüm : tan 3x = u dersek, 3 . sec23x . dx = du olur. Bulunan değerleri yerlerine yazalım:
zd
i
2 tan 3 x  1 . sec 2 3 x . dx 
1
3
z
(2u  1) du 
1
3
bulunur.
211
FG 1  2
H ln 2
u
IJ
K
u C 
1
1
 2 tan 3 x 
 tan 3 x  C
ln 8
3
1
z
Örnek :
ex
x
 dx
2
integralini hesaplayalım.
1
u
x
Çözüm :
dersek,
1

x
 dx  du
2
1

x
2
 dx   du
olur. Bulunan değerleri
yerlerine yazalım:
1
z
z
ex
x
u
u
 dx   e  du   e  C 
2
1
ex
bulunur..
C
Örnek : m, n  R , m  0 olmak üzere, aşağıdaki integralleri hesaplayalım.
a.
z
e
mxn
z
b.
. dx
a
mxn
ea  R
. dx

 {1}
j
Çözüm : a. mx + n = u diyelim. İki tarafın diferansiyelini alalım:
d (mx + n) = d (u)
z
e
b.
m xn
z
a
. dx 
mxn
z
1
m
2.
z
z
e
mx  n
a
mx n
z
1
 du
m
olur. Bulunan değerleri yerlerine yazalım:
1 u
1 mxn
e C 
e
C
m
m
u
a . du 
m  0
bulunur..
1
u
a C
m . ln a
1
mxn
a
C
m . ln a

1.
u
e . du 
1
m
. dx 
m , nR ,
dx 

bulunur..
olmak üzere;
1
mx n
e
 C dir..
m
. dx 
ea  R
1
mx n
a
C
m . lna
. dx 

 { 1}
j
dir..
Örnek : Aşağıdaki integralleri hesaplayalım.
a.
d.
z
z
3x
2
3 x 5
Çözüm :
b.
c.
d.
e.
f.
z
z
z
z
z
x
e.
. dx
z
a.
2
6.e
( e  1) . dx 
x
2

e e
2
3 x 5
2x
2
2x
dx
e
4 x 1
x
2
 dx 
3.2

1
z
z
z
b.
6 . e . dx
e
z
3x
dx  6 
(e
2x
ee  1j . dx
2
x
3.2
2x
2
2x
1

2. e
x
2
z
z
C
x
2
e e
dx
e
4 x 1
bulunur..
1 2x
x
e  2e  x  C
2
x
. dx = 2 . e
f.
 dx
1 3x
3x
e  C  2e  C
3
 2e  1) . dx 
x
2
c.
bulunur..
bulunur..
1
3 x 5
2
 C bulunur..
ln 8
 dx 
 4x 1
z
(3  2
 dx  
2 x
)  dx  3 x 
1
 2x
2
 C bulunur..
ln 4
1
 4x 1
e
 C bulunur..
4
212

x
2
. dx
5.
zb
g
f g(x) . g (x) . dx
g (x) = u
zb
b g
d g ( x) = d (u)

g
f g( x)  g( x) . dx 
Örnek :
z
z
z
g (x) = u
integralini hesaplayalım.
2
( x  1) . sin ( x  2x  3) dx
2
z
Örnek :
Çözüm :
1
du
2
 ( x  1) . dx 
( x  1) . sin ( x  2x  3 ) dx 
z
2
2
2

x2 + 2x + 3 = u
diyelim.
olur. Bu değerler integralde yerlerine yazılırsa,
bulunur..
integralini hesaplayalım.
2
integralinde
sin (cos x) . sin 2x . dx
d (cos x)  du
integralinde
1
1
1
2
sin u . du   cos u  C   cos ( x  2x  3)  C
2
2
2
sin (cos x) . sin 2x . dx
z
olur. Bulunanları yerlerine yazalım:
gibi basit fonksiyon integrali elde edilir..
f (u)  du
2
(2x + 2) . dx = du
dönüşümü yapılırsa;
g( x) . dx  du

( x  1) . sin ( x  2x  3) dx
Çözüm :
z
integralinde,
 2 . cos x . sin x . dx  du
cos x = u
dersek,
 sin 2x . dx  du olur..

Bulunan değerler yerine yazılırsa,
z
z
2
2
sin (cos x) . sin 2x . dx   sin u . du   (  cos u)  C  cos u  C = cos (cos x) + C
m,n R ,
1.
2.
z
z
1
cos(mx  n)  C dir..
m
cos (mx  n) . dx 
1
sin(mx  n)  C dir..
m
z
z
b.
sin (3x  ) . dx
Çözüm : a.
d (3x + ) = du
z
m  0 olmak üzere;
sin (mx  n) . dx  
Örnek : a.
3dx = du
sin (3 x  ). dx 
1
3
z
cos(5 x  1) . dx
integralinde
sin (3x  ) . dx

z

sin u. du  
dx =
du
3
3x +  = u
integralleri hesaplayalım.
diyelim.
olur. Bulunan değerler yerine yazılırsa,
1
1
 cos u  C  
 cos(3 x  )  C
3
3
bulunur..
b. Siz hesaplayınız.
Örnek : Aşağıdaki integralleri hesaplayalım.
a.
c.
z
z FGH
(sin 3 x  cos 3 x) . dx
4 . sin
bulunur..
b.
IJ
K


 3 . cos  1 . d 
2
3
d.
213
z
z FGH
FG
H
IJ
K
1
1
sin x  3 . dx
2
2
IJ
K
3
3 5
5
sin
 cos
 3 . d
2
2 2
2
Çözüm :
a.
z
z FGH
FG
H
b.
c.
z
1
1
cos 3 x  sin 3 x  C bulunur..
3
3
(sin 3 x  cos 3 x) . dx  
IJ
K
FG
H
IJ
K
IJ
K
IJ
K




 3 . cos  1 . d    4 . 2 . cos  3 . 3 sin    C
2
3
2
3
4 . sin


 9 . sin    C bulunur..
3
3
  8 . cos
z FGH
d.
FG
H
1
1
1
1
1
sin
x  3 . dx    2  cos
x  3  C   cos
x  3  C bulunur..
2
2
2
2
2
IJ
K
3
3 5
5
3 2
3 5 2
5
sin
  cos
 3 . d     cos
   cos
 3  C
2
2
2
2
2 3
2
2 5
2
3
5
 cos
 3  C bulunur..
2
2
  cos
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
d.
g.
z
z
z
z
z
z
z
z
3
cos x . d (cos x)
b.
dx
(1  2x)
e.
3
4
h.
sin x . cos x . dx
2. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
d.
g.
2
x . cos (2x  1) . dx
5
1 x
b.
2
e.
. x . dx
cos 2x . e1sin 2 x . dx
h.
3. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
d.
2
3 x 4
e
3x
e
. dx
1
x
b.
dx
e.
z
z
z
z
z
z
z
z
( 2x  1) . dx
c.
2
( x  x  2)
2
3
f.
3 x . ( x  4) . dx
2
10
( x  5 x)
sin x
2
3
3 x . x  1 . dx
2
sin x . sin 2x . dx
. (2x  5) . dx
ln x
 dx
x
e
z
z
c.
. cos x . dx
f.
z
z
e
4 x 1
. dx
2
3
x . cos ( x  1) . dx
2x . dx
4
(1  x ) . arctan x2
e
2 x 1
5
3x
5
. dx
2
3x
c.
z
(2
3x
dx
4. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
z FGH
sin
IJ
K
3y
2y
 2 . cos
. dy
2
3
b.
214
z FGH
sin
IJ
K
2
 1) . dx


 cos
. d
2
3
5. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
6.
d.
g.
d.
2
z
dx
c.
25  4 x
2
z
dx
2x  x2
z
z
z
sin 2x
 dx
2
b.
4  cos x
x2
( x  1)
e.
. dx
2
4
cos x . sin 2x . dx
h.
z
z
z
arc sin x
1 x
 dx
c.
2
cos 2x . dx
2
f.
2
4 . sin x .cos x
3
ı.
sin x . sin 2x . dx
z
z
z
3e
x
1 e
x
 dx
2
sec x . tan x . dx
3
sin 2x . sin 4 x . dx
z
z
x
e 2
 dx
x
b.
e  2x  3
tan 3 x . dx
1  cos 6 x
e.
z
z
2x  sin x
x 2  cos x
 dx
c.
1
 dx
x . ln x
f.
z
z
8 x3
1  x8
 dx
dx
2
x . cos (ln x)
Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
d.
9.
4x
b.
Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
8.
dx
Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
7.
z
z
z
e
sin x
. cos x . dx
arccos 2 x
1 x
2
 dx
b.
e.
z
z
2 x  sin x
x 2  cos x
 dx
c.
x
e . dx
3  4e
f.
x
z
z
8 x3
1  x8
 dx
( x  1) . dx
2
x  2x  5
Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
d.
z
z
x
e . dx
1 e
b.
2x
( x  1) . dx
4x
e.
2
z
z
dx
c.
2
x . 1  ln x
x
2 . dx
1 4
x
10. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
c.
z
z
e x . sin e x . dx
ex
2
 4 x 3
b.
d.
.( x  2) . dx
215
z
z
cot x . dx
ln(sin x)
x . dx
x2  1
z
x . dx
1 x
4
İNTEGRALDE TRİGONOMETRİK DÖNÜŞÜMLER
2
2
2
2
2
2
İntegrandında;
bulunduran integraller, trigonometrik dönüa x ,
x a , a x
şümler yardımıyla hesaplanabilir.
Amaç, yapılacak trigonometrik dönüşümlerle irrasyonel fonksiyon integralini, rasyonel fonksiyon integraline dönüştürmektir.
a 2  x 2 Varsa (a  0)
1. İntegrandında
2
İntegrandında,



t
2
2
2
a x
için x = a . sint
2
2
2
den
başka köklü ifade bulundurmayan integrallerin hesabında
dönüşümü yapılır.
2
2
Buna göre,
2
olur..
a  x  a  a . sin t  a  1  sin t  a . cos t
z
Örnek :
dx
2
x . 9x
integralini hesaplayalım.
2
Çözüm : x = 3sint dönüşümü yapılırsa; x = 3 sint
yerlerine yazalım:
z
3 . cos t . dt

2
2
9 . sin t . 9  9 sin t
z
3 . cos t . dt
1
9

2
2
27 . sin t . 1  sin t
dx = 3 cost.dt olur. Bulunan değerleri

z
cos t . dt
2
sin t . cos t

1
9
z
dt
2
sin t

1
cot t  C
9
elde edilir.
x  3 sin t
9x
x
cot t 
z

dx
x . 9x
x
3
2
değeri yerine yazılırsa;

2
sin t 
2
Genel olarak :
2
1
9
9x
C  
x
z
dx

2
0t
x2  a 2 
2
FG x IJ  C
H aK
den
dir..
Fx
GH a
x 2  a 2 Varsa
2
bulunur..
C
I
K
 1J
başka köklü ifade bulundurmayan integralleri hesaplamak için,
için, x = a . sect
dönüşümü yapılır. Buna göre,
a2 . sec 2 t  a2  a sec 2 t  1  a. tan t
z
Örnek :
2
x a

t
2
veya
 arc sin
a2  x2
2. İntegrandında
İntegrandında,
9x
9x
dx
2
olur..
integralini x > 4 için hesaplayalım.
x . x  16
Çözüm : x = 4 sect dönüşümü yapılırsa, dx = 4 . sect.tant.dt olur. Bulunan değerler integralde
yerine yazılırsa;
z
dx
2
x . x  16

z
4 . sec t . tan t . dt
2
4 sec t . 16 sec t  16

z
tan t . dt
4
2
tan t
bulunur.
216

z
FG IJ  C
H K
1
1
1
4
dt 
tC
arc cos
4
4
4
x
z
Örnek :
Çözüm :
2
x 4
x
integralini x > 2 için hesaplayalım.
 dx
3
x = 2 sect
dönüşümü yapılırsa;
dx = 2 sect .tant .dt
z
z
2
x 4
x
3
 dx 
2 . tan t . 2 sec t . tan t . dt
3
8 sec t
LM
MN
FG
H
a 2  x2
İntegrandında,
IJ OP  C
K PQ
z
FG
H
IJ
K
1  cos 2 t
1
1
 dt 
t  sin 2t  C
2
4
2
bulunur..
a 2  x 2 Varsa (a  0)
3. İntegrandında
den başka köklü ifade bulundurmayan integrallerin hesabında,
için, x = a . tant dönüşümü yapılır..
2
Buna göre,
z
1
1
2
sin t . dt 
2
2
 dt 
1
2
1
2
arc cos

sin 2 . arc cos
4
x
2
x

FG    t   IJ
H 2 2K
olur. Bu değerler integralde yerine yazılırsa;
a x
Örnek :
z
2
2
2
dx
2
2
2
a  a tan t  a . 1  tan t  a . sec t

olur..
integralini hesaplayalım.
2
x . x 4
Çözüm : x = 2 tant dönüşümü yapılırsa;
x = 2tant  dx = 2 . sec2t.dt
z
dx
2

2
x . x 4
z
olur. Bulunan değerler integralde yerine yazılırsa;
2
2 sec t . dt
2

2
4 . tan t . 4 tan t  4
z
2
2 sec t . dt
2
8 . tan t . sec t

z
cos t . dt
sint = u dönüşümü yapılırsa, cost.dt = du olur.
Bulunan değerleri integralde yerine yazalım:
z
cos t dt
2
4 sin t

z

x = 2 tant
du
4u
2

z
1 2
1 1
u . du  

C
4
4 u
1
1

C
4 sin t
olduğundan,
elde edilir..
tan t 
x
2
dir..
sin t 
x
2
x 4
z
dx
2
2
x . x 4
2

x 4
C
4x
bulunur..
217
2
4 sin t
değeri yerine yazılırsa,
olur..
z
f(x) dx integralinde, f(x) fonksiyonu :
A.
f (x) =
m
şeklinde ise,
ax  b
m
ax + b = t dönüşümü yapılarak, irrasyonel fonksiyonun integrali, rasyonel fonksiyonun integ
raline dönüştürülür.
Örnek :
z
4
integralini hesaplayalım.
3 x  7 dx
Çözüm : 3x  7 = t4 dönüşümü yapılırsa;
3 dx = 4 t3 dt

z
z
4
3 x  7 dx 
t  (3 x  7 )
z
4
1
4
z
olur. Bulunanlar yerine yazılırsa,
z
4 3
4 4
4 1 5
4 5
t dt 
t dt 

t C 
t C
3
3
3 5
15
t
elde edilir..
yerine yazılırsa,
3 x  7 dx 
Örnek :
4 3
t dt
3
dx 
4
15
4
5
( 3 x  7)  C
bulunur..
integralini hesaplayalım.
x . x  3 dx
Çözüm : x + 3 = t2 dönüşümü yapılırsa; x = t2  3 ve dx = 2t dt olur. Bu değerler yerlerine
yazılırsa,
z
z
2
x . x  3 dx  ( t  3) . t . 2t . dt 
5
2
Örnek :
z
x . (1 x)
x = t2
Çözüm :
z
dx
2t dt

t 2 . (1  t 2 )
z
z
4
2
(2t  6 t ) . dt
5
3
3
t
t
2
6
 C  ( x  3) 2  2 . ( x  3) 2  C
5
3
5
bulunur..
integralini hesaplayalım.
dönüşümü yapılırsa;
2t dt

t . 1  t2
z
2 dt
dx = 2t dt olur. Bu değerler yerlerine yazılırsa,
 2 . arc sin( t)  C
1  t2
 2 arc sin
m
e xj  C
bulunur..
n
ax  b , ax  b , ... bulunan integraller hesaplanırken; m , n , ... nin en
B. İntegrantında
k
küçük ortak katı k olmak üzere, ax + b = t dönüşümü yapılarak; fonksiyon kökten kurtarılır. Böylece
integral rasyonel fonksiyonun integraline dönüşür.
Örnek :
z
3
2x  1  1
 dx
integralini hesaplayalım.
2x  1
Çözüm : 2x + 1 in kök dereceleri 3 ve 2 dir. 3 ve 2 nin en küçük ortak katı 6 olduğundan
2x + 1 = t6 dönüşümünü yapalım. Eşitliğin iki tarafının diferansiyeli alınırsa; 2dx = 6t5dt olur. Bu
değerleri integralde yerlerine yazalım:
218
z
3
t
6
1
t
5
 3 . t . dt 
6
z
2
t 1
t
z
3
3
5
 3 . t . dt  3
z
2
F t  t I C
 t ) . dt  3 . G
H 5 3 JK
5
(t
4
2
( t  1) . t . dt
3
2
5
1
3
 (2x  1) 6  (2x  1) 2  C
5

3
5
6
5
( 2x  1)  2x  1  C bulunur..
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
z
dx
z
b.
4x
2
dx
z
c.
1  9 x2
dx
16  9 x
d.
2
z
dx
9  (4 x  1)
2
2. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
z
dx
b.
2
x 1
z
dx
z
c.
2
x. x 4
x2  9
 dx
x
d.
z
dx
( x  2)2 . x2  4 x  8
3. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
z
dx
2
b.
2
x . x 1
z
9  x2
x2
c.
 dx
z
dx
x2 . x2  4
4. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
c.
ze
z
x2 
x
3
3
x 1
j
b.
x  2 . dx
d.
dx
x 1
219
z
z
x 1 1
3
x1
x . dx
1  4x
 dx
d.
z
x2  4
x3
 dx
KISMÎ (PARÇALI) İNTEGRASYON METODU
Çarpım şeklinde olup, değişken değiştirme metodu uygulanamayan fonksiyonların integrallerinde
kullanılır.
u ve v türevlenebilen iki fonksiyon olmak üzere, çarpım fonksiyonunun diferansiyeli,
d (u . v) = du . v + dv . u idi.
d (u . v)  du . v = u . dv şeklinde yazıp her iki tarafın integralini alalım:
z
u . dv 
z
d (u . v ) 
z
z
du. v 
u . dv  u . v 
z
v . du
O hâlde, buradan görülüyor ki çarpımın türevindeki terimlerden birinin integrali soruluyorsa, kısmî
integrasyon metodu kullanılmalıdır.
z
u . dv  u . v 
z
v . du
Kısmî integrasyonun en önemli uygulama yerleri;
a.
Çarpımları kapsayan integraller,
b. Logaritmik fonksiyonların integralleri,
c. Ters trigonometrik fonksiyonların integralleridir.
z
Örnek :
integralini hesaplayalım.
x . cos x . dx
Çözüm : Verilen integralde u = x , dv = cosx dx seçelim. Bu durumda, du = dx ve v = sinx
olur. Bunları,
z
z
z
z
eşitliğinde yerine yazarsak,
u . dv  u . v  v . du
Örnek :
z
x 2 . ln x . dx
integralini hesaplayalım.
Çözüm : u = lnx ve dv = x2 dx olsun. Buradan,
z
x 2 . ln x . dx 
Örnek :
z
1 3
1
x ln x 
3
3
arctan x dx
z
x3 .
du 
z
1
1 3
1
. dx 
x . ln x 
x
3
3
1
 dx
x
x 2 dx 
ve
v
1 3
x
3
1
du 
1 x
arctan x . dx  x . arctan x 
 x . arctan x 
z
x
1 x
2
dx  x . arctan x 
1
2
2
z
dx
ve
2x
1  x2
v=x
olur..
dx
1
ln (1  x2 )  C  x . arctan x  ln 1  x2  C
2
220
olur..
1 3
1 3
x ln x 
x  C bulunur..
3
9
integralini hesaplayalım.
Çözüm : u = arctanx ve dv = dx olsun.
z
bulunur..
x . cos x . dx  x . sin x  sin x . dx  x . sin x  cos x  C
bulunur..
Örnek :
z
Çözüm :
4 x2 . e x . dx
z
integralini hesaplayalım.
z
4 x2 . e x . dx  4 x2 . e x . dx
u = x2 ve dv = ex dx
yazılırsa;
z
du = 2x dx ve v = ex olur. Bu değerler verilen ifadede yerlerine
olsun.
z
LM
N
z
OP LM
Q N
4 x2 . e x . dx  4 x2 . e x  2x . e x . dx  4 x2 . e x  2 x. e x . dx
z
x
x . e dx
bulunur..
x
integraline, tekrar kısmî integrasyon metodunu uygulayalım:
x
buradan, du = dx ve v = e
z
LM
N
z
FH
2
z
IK OP  4 x
Q
x
x
x
2
2
ex  2 (x . e x  ex )  C
x
x
x
= 4 (x e  2x e + 2e ) + C = 4x . e  8xe + 8e + C
e x . cos x . dx
u = x ve dv = e dx ;
olur.
4 x 2 . e x . dx  4 x 2 . e x  2 . x . e x  e x . dx
Örnek :
OP
Q
bulunur.
integralini hesaplayalım.
Çözüm : u = cosx ve dv = ex . dx  du =  sinx ve v = ex olur.
z
z
z
z
e x . cos x . dx  e x . cos x  e x . sin x . dx
integrasyon uygulayalım:
bulunur.
z
e x . sin x . dx
integraline, tekrar kısmî
u = sinx , dv = ex dx dersek, du = cosx dx ve v = ex olur. Buradan,
z
e x . cos x . dx  e x . cos x  e x . sin x dx  e x cos x  e x sin x  e x . cos x . dx
z
2 . e x . cos x . dx  e x (cos x  sin x)
z

e x . cos x . dx 
1 x
e (cos x  sin x)  C
2
bulunur..
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
d.
g.
i.
l.
z
z
z
z
z
x. e x . dx
b.
3 x . e 3 x . dx
e.
arc sin x . dx
h.
2
x .cos ec x . dx
x sin2 x. dx
j.
m.
z
z
z
z
z
ln x . dx
c.
(2x  1) . cos 3 x . dx
2
f.
e x .cos x. dx
ı.
log2 x . dx
k.
2
x .sin x . dx
221
n.
z
z
z
zb
z
e 2 x .sin 4 x . dx
x . ln x . dx
x. 2
3x
. dx
g
x  arc tan x . dx
ln(2  3 x). dx
BASİT KESİRLERE AYIRMA METODU İLE İNTEGRAL ALMA
Tanım : Payının derecesi, paydasının derecesinden küçük olan ve paydası çarpanlarına ayrılabilen bir kesrin, önceden hangi kesirlerin toplamı olduğunun bulunması işlemine, basit kesirlere ayırma işlemi denir.
Bu tip rasyonel kesirlerin integrali de fonksiyon ve türevi yoksa, basit kesirlere ayırma yöntemi ile
alınır.
z
Örnek :
3x  2
dx
2
3x  2
Çözüm :
integralini hesaplayalım.
x 4
kesrinde, payın derecesi paydanın derecesinden küçük ve paydası çarpanlara
2
x 4
ayrılabildiğinden,
3x  2
( x  2) ( x  2)
kesrini basit kesirlerin toplamı olarak yazalım:
3x  2
A
B



( x  2) ( x  2) x  2 x  2
x=2
x=2
z
3x  2 = A (x + 2) + B (x  2) olur..
için;
4 = 4A dan,
A = 1,
için;  8 =  4B den, B = 2 bulunur. Bulunan bu değerler, integralde yerine yazılırsa;
3x  2
dx 
( x  2) ( x  2)
z FGH
1
2

x2 x2
IJ dx 
K
z
dx
2.
x2
z
dx
x2
bx  2g
 ln x  2  2 ln x  2  C  ln x  2
z
Örnek :
2
3
x x
2
Çözüm :
 dx
2
C
bulunur..
integralini hesaplayalım.
2
A Bx  C
 2
x
x 1
olacak şekilde; A , B , C reel sayılarını bulalım:
x x
x ( x  1)
Paydalar eşitlenirse,
2
2
2 = A (x + 1) + (Bx + C) x = (A + B) x + Cx + A olur. Bu eşitlikten,
A B  0
C0
A2
lırsa;
z
2
3
3
U|
V|
W
Örnek :
Çözüm :

2
bulunur. Bulunan değerler integralde yerlerine yazı-
 A  2 , B  2 , C  0
dx  2
x x

z
z z
dx

x
2x dx
bulunur..
x 1
5x  1
( x  1) 2 ( x  1)
5x  1
2
2
 2 ln x  ln( x  1)  C
2
( x  1) ( x  1)
 dx

integralini hesaplayalım.
A
( x  1)
2

B
C

( x  1) x  1
paydaları eşitlenirse;
5x + 1 = A (x + 1) + B (x  1) (x + 1) + C (x  1)2
x=1
için;
6 = 2A dan,
A = 3 olur.
x=1
için;
 4 = 4C den,
C =  1 olur.
x=0
için;
1 = A  B + C den, B = 1 bulunur. Bu değerler integralde yerlerine yazılır
ve integrali alınırsa,
222
z
5x  1
 dx  3
2
( x  1) ( x  1)
z
dx
( x  1)
2

z z
dx

x 1
dx
x 1

3
 ln x  1  ln x  1  C
x 1

3
x 1
 ln
 C bulunur..
x 1
x 1
Payın Derecesi, Paydanın Derecesinden Büyük veya Eşit İse
z
P ( x)
dx integralinde, P (x) in derecesi Q (x) in derecesinden büyük veya eşit ise; P (x) in
Q ( x)
Q (x) e bölünmesinden elde edilen bölüm B (x) ve kalan K (x) olmak üzere,
şeklinde yazılabilir.
z
z
P ( x)
 dx  B ( x) dx 
Q ( x)
z
K ( x)
 dx
Q ( x)
P ( x)
K ( x)
 B ( x) 
Q ( x)
Q ( x)
olur..
K ( x)
kesrindeki payın derecesi, paydanın derecesinden küçük olduğundan basit kesirlere ayrılır
Q ( x)
ve her basit kesir ayrı ayrı integrallenir.
Örnek :
z
2
x 2
dx
x1
integralini hesaplayalım.
2
x 2
x 1
Çözüm :
kesrindeki payın derecesi, paydanın derecesinden büyük olduğu için; pay,,
2
paydaya bölündüğünde, bölüm x  1 ve kalan 3 olduğundan,
x 2
3
yazılabilir. Buna
 x  1
x 1
x 1
göre,
z
z FGH
2
x 2
dx 
x 1
dx
x  px  q
2
Paydada
IJ
K
3
dx 
x 1
z
( x  1) dx  3
z
dx
x 1
1 2
x  x  3 ln x  1  C olur..
2

z
x  1
İntegrali
<0
olan
2
x + px + q
biçiminde bir ifade varsa; integral,
dünüştürülerek hesaplanır.
Örnek :
Çözüm :
z
dx
2
x  6 x  10
z
dx
2
x  6 x  10
integralini hesaplayalım.
integrali
z
du
1 u
2
223
şekline getirilir..
z
du
1  u2
şekline
2
2
2
x + 6x + 10 = x + 6x + 9 + 1 = 1 + (x + 3)
z
z
z
dx
1  ( x  3)
du
1 u
şekline dönüşür..
2
u=x+3
şeklinde yazılabilir. Buradan integral,
du = dx den

= arctanu + C dir..
2
dx
1  ( x  3)
= arctan (x + 3) + C
2
z
z
Örnek :
Çözüm :
dx
4  9x
4  9x
integralini hesaplayalım.
2
dx
2
olarak hesaplanır..

z
dx
F 9x I
4 G1 
H 4 JK
2

1

4
z
dx
FG IJ
H K
3x
1
2
2
yazılır.
3x
u
2
diyelim. Her iki tarafın
diferansiyelini alalım:
d
z
FG 3xIJ  du
H 2K
dx
4  9x
2
3
2
dx  du  dx 
du olur. Bulunan bu değerleri yerlerine yazalım:
2
3

z
FG IJ
H K
1 2
du
1
1
3x



 arctan u  C   arctan
C
2
4 3
6
6
2
1 u

a ve b sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere;
z
dx
2

2 2
a b x
Örnek :
z
Örnek :
dx
2
dir..
integralini hesaplayalım.
25 x  16
z
Çözüm :
FG IJ
H K
1
bx
arc tan
C
a.b
a
z
dx
2
25 x  16

1
5x
 arctan
+C
5.4
4
=
1
5x
arctan
C
20
4
cos x . dx
49 sin2 x  25
bulunur..
integralini hesaplayalım.
Çözüm : sinx = t dönüşümü yapılırsa;
cosx . dx = dt olur. Bulunan değerler integralde yerine yazılırsa;
z
dt
49 t 2  25

FG
H
IJ
K
1
7t
1
7 . sin x
arctan  C 
arctan
C
7.5
5
35
5
224
bulunur..
bulunur..
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
e.
z
z
dx
b.
2
x  2x
1  5 x
3
x x
 dx
f.
z
z
dx
1 x
3x  5
2
x 4
z
z
c.
2
g.
 dx
dx
z
z
d.
2
x x2
2x  3
2
 dx
h.
x  3x  4
x  2
3
2
 dx
x x
2 . sin x . dx
cos 2 x  cos x  2
2. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
d.
z
x
 dx
x1
z
x  2x  3
 dx
x 1
2
b.
2
e.
z
z
2
x 1
2
 dx
c.
x 1
z
z
2
x  4x  3
 dx
x2
f.
2
2x  6 x  10
2
 dx
x  4x  3
4x  1
 dx
3x  2
3. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
d.
z
z
x2
2
 dx
x ( x  1)
4 . sin x
4
1  cos x
z
z
b.
e.
 dx
2x  1
 dx
3
c.
x  7x  6
e x . dx
e
2x
x
f.
2.e 3
z
z
3 x2  x  2
( x  1) ( x 2  1)
x
( x  1)
4
 dx
 dx
4. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
z
x
7 .e 8
x
 dx
b.
e 2
z
x
5e  2
e
2x
x
e . dx
c.
1
z
(sin t  4) . cos t
 dt
sin t  2
5. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
z
dx
2
b.
x  4x  5
z
dx
2
c.
9 x  25
z
dx
2
x 4
6. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
z
dx
( x  2)2 . ( x  1)
b.
z
dx
2
x . ( x  2)
c.
z
x
2
1 x
3
 dx
7. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
z
sin x . dx
4  cos 2 x
b.
z
e x . dx
1  e 2x
225
c.
z
3. dx
2
x . (1  ln x)
TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLERDEN FAYDALANARAK İNTEGRAL ALMA
İçinde trigonometrik fonksiyonlardan biri veya birkaçı bulunan bazı fonksiyonların integrallerini buraya
kadar öğrendiğimiz metotlarla hesapladık. Bazı trigonometrik ifadelerin bulunduğu integrallerde, bu metodlar yeterli olmayabilir. Bu tip integrallerde, aşağıdaki metotlarla integral alınır.
z
I.
sinmx . cosnx dx
(m, n N) Şeklindeki İntegraller
A. m veya n den biri tek, biri çift ise; tek kuvvet olan terim, türev elde edilecek şekilde çift
2
2
ve tek kuvvet çarpımı olarak parçalanır. sin x + cos x = 1 özdeşliğinden faydalanarak integral hesaplanır.
z
Örnek :
Çözüm :
olduğundan,
sinx = u
z
2
z
2
3
z
sin2 x . cos 3 x dx 
2
z
sin 2 x . cos 2 x . cos x dx
2

cosx dx = du
z
2
2
4
z
cos2x = 1  sin2x
dur.
(u  u ) . du 
olduğundan,
şeklinde yazılır.
olur..
sin x (1  sin x) . cos x dx
u . (1  u ) . du 
u = sinx
integralini hesaplayalım.
sin x . cos x dx
2
1 3 1 5
u  u C
3
5
3
sin x . cos x dx 
bulunur..
1
1
3
5
sin x 
sin x  C
3
5
bulunur..
B. m ve n nin ikisi de tek kuvvet ise; küçük dereceli olan tek ve çift kuvvet çarpımı olarak
parçalanıp, A daki benzer işlemler yapılır.
Örnek :
z
3
5
sin x . cos x dx
integralini hesaplayalım.
Çözüm : sinx ve cosx in kuvvetlerinin ikisi de tek olduğundan, küçük dereceli olanı ayıralım:
z
z
3
z
5
5
z
2
5
2
sin x . cos x dx  cos x . sin x . sin x dx  cos x . (1  cos x) . sin x dx
cosx = u
5
sinx dx =  du

z
2
5
7
u . (1  u ) (  du)   (u  u ) du  
m
ve
n nin
açılımından oluşan sin2 a 
Örnek :
z
2
sin x dx
Çözüm :
sin 2 x 
z
z
2
sin x dx 
FG 1 u
H6
6

IJ
K
1 8
u C
8
1 8 1 6
1
1
8
6
u 
u C 
cos x 
cos x  C
8
6
8
6

C.
olur..
bulunur..
ikisi de çift kuvvet ise; birinci dereceye indirgemek için, cos2a nın
1
1
2
(1  cos 2a) , cos a 
(1  cos 2a)
2
2
eşitliklerinden faydalanılır..
integralini hesaplayalım.
1
(1  cos 2x)
2
olduğundan,
1
1
(1  cos 2x) dx 
2
2

z
(1  cos 2x) dx 
1
1
x
sin 2x  C
2
4
226
1
2
FG x  1 sin 2xIJ  C
H 2 K
bulunur..
z
z
II. sinax . cosx dx ,
sinax . sinbx dx ve
z
sinax . cosbx dx
(a , b  N) Şeklindeki İntegraller
Bu tip integraller hesaplanırken trigonometri konusundan hatırlayacağımız;
1
2
1
sin a . sin b 
2
sin a . cos b 
1
2
cos a . cos b 
sin (a  b)  sin (a  b)
cos (a  b)  cos (a  b)
cos (a  b)  cos (a  b)
ters dönüşüm formüllerinden faydalanılır.
Böylece çarpım integralleri toplam hâline getirilir.
Örnek :
z
z
Çözüm :
z
sin 3 x . sin 2x . dx 
1
2
(cos x  cos 5 x). dx 
Örnek :
1
2
integralini hesaplayalım.
sin 3 x . sin 2x . dx
Çözüm :
1
2
z
z
z
LMsin x 
N
OP
Q
1
1
1
sin 5 x  C 
sin x 
sin 5 x  C
5
2
10
z
sin x .cos (3 x  1). dx 
1
sin( x  3 x  1)  sin ( x  3 x  1) . dx
2

sinx
x
u
2
Yandaki dik üçgen yardımıyla,
Bu tip integrallerde,
cos x  2 cos
x
u
2
O hâlde,
sinx 
cos ( 4 x  1) 
2
1
1
cos (4 x  1) 
cos ( 2x  1)  C
8
4
ve
cosx in

F
GH
1
1  u2
x  2 arctan u
I
JK
2
1

1  u2
2 du
dx 
1 u
tan
2u
1 u
2
x
u
2
(x = 2 arctan u)
, cosx 
1  u2
2
1 u
, dx 
bulunur..
1  u2
2
dir..
değişken değiştirmesi yapılırsa;
2du
1  u2
227
olur..
tir..
OP
Q
bulunur..
Rasyonel İfadeleri Bulunan
dönüşümü yapılır..
tan
x
1 2
2
bulunur..
1
cos ( 2x  1)  C
2
x
x
u
1
2u
 cos
2


2
2
1  u2
1  u2
1  u2
sin x  2 sin
tan
LM 1
N 4
1
2
sin ( 4 x  1)  sin ( 2x  1) . dx 
III. İntegrandında
İntegraller
tir..
integralini hesaplayalım.
sin x .cos (3 x  1). dx
z
1
cos(3 x  2x)  cos (3 x  2x) . dx
2
z
Örnek :
dx
1 cos x
x
u
2
I. çözüm : tan
z
z
dx

1  cos x
sin x 
2
1 u

1  u2
1
1  u2
z
2 du
1  u2 
2
x
u
2
tan
2
,
z
du  u  C  tan
x
C
2
x
2 x
 1 = 2 cos
2
2

2
1 u
2
ve
dx 
2 du
1 u
2
olur..
bulunur..
z
dx
2 cos 2
x
2
 tan
x
C
2
bulunur..
integralini hesaplayalım.
değişken değiştirmesi yapılırsa;
cos x 
dx

sin x  2 cos x  2
z
1 u
1  u2
dx
sin x  2 cos x  2
2u
1 u
z
2 du
1 + cosx = 1 + 2 . cos
z
Çözüm :
değişken değiştirmesi yapılırsa, cos x 
2
II. çözüm :
Örnek :
integralini hesaplayalım.
1 u
2
1 u
2
ve
1 u
2 du
1  u2

2u
1  u2
2
2
1  u2
1  u2
 ln tan
2 du
dx 
x
2 C
2
z
2
olur..
du
 ln u  2  C
u2
bulunur..
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
d.
z
z
z
z
z
z
z
sin 3 x . dx
b.
sin 3 x . cos 2 x . dx
e.
2. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
d.
g.
cos 2x . cos x . dx
b.
cos 3 x . sin 8 x . dx
e.
d.
cos 4 x . dx
c.
sin 2 3x . dx
f.
cos 4 x . cos 3 x . dx
c.
sin 2x . cos 4 x . dx
f.
dx
2  sin x
c.
dx
1 sin x
f.
z
z
z
z
cos 2 x . dx
cos 3 x . dx
cos 2x . cos 4 x . dx
cos
x
x
 cos  dx
2
3
cos (ax  b) . cos (ax  b) . dx
3. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
z
z
z
z
dx
sin x  cos x
b.
dx
1 sin x  cos x
e.
z
z
228
z
z
dx
1  sin x  2 cos x
dx
sin x
BELİRLİ İNTEGRAL
BİR KAPALI ARALIĞIN PARÇALANMASI
a , b  R ve
a<b
olmak üzere,
[a , b]
aralığı için;
a = x0 < x1 < x2 < ... < xk1 < xk< xk+1 < ... < xn1 < xn = b olacak biçimde alınan x0 , x1 , x2 , ... , xk , ... , xn
reel sayılarını alalım:
a. P = {x0 , x1 , x2 , ... , xk , ... xn} kümesine,
denir.
[a , b] aralığının bir bölüntüsü veya parçalanması
b. k  {1 , 2 , ... , n} için [x k 1 , x k ] aralığına , [a , b]
alt aralığı denir.
c. xk = xk  xk1
sayısına,
[xk1 , xk]
aralığının
P
bölüntüsüne göre bir
alt aralığının uzunluğu denir.
d. [a , b] aralığının P bölüntüsüne ait alt aralık uzunluklarından en büyüğüne, P bölüntüsünün
normu denir ve bu
P
ile gösterilir. Yani,
P = max {x1 , x2 , ... ,  x n } dir..
e. Eğer [a , b] nın P bölüntüsüne ait kapalı alt aralıklarının uzunlukları birbirine eşitse; yani
x1 = x2 = ... = xn ise, P bölüntüsüne, düzgün bölüntü denir ki bu durumda bölüntünün normu;
P
= x k 
ba
dir..
n
RS
T
Örnek : P = 1 ,
a. P
müdür?
4 3 5 14
,
,
,
,3
3 2 2
5
UV
W
kümesi veriliyor:
bölüntüsünün alt aralıklarını ve her birinin uzunluğunu bulalım. Bu bölüntü, düzgün bölüntü
b. P bölüntüsünün normunu bulalım.
Çözüm :
x 4 
a.
x1 
14
5
3


5
2
10
,
4
1
 1
3
3
x 5  3 
,
x 2 
3
4
1


2
3
6
,
x 3 
5
3

1
2
2
14
1

5
5
Burada alt aralıkların uzunlukları eşit olmadığından, P bölüntüsü düzgün bölüntü değildir.
b.
P = max {x1 , x2 , x3 , x4 , x5 } = max
Örnek : [2 , 4]
normunu bulalım.
aralığını
5
RS 1 , 1 , 1 , 3 , 1 UV = 1
T 3 6 10 5 W
bulunur..
tane eşit alt aralığa ayıran düzgün bölüntüyü ve bu bölüntünün
Çözüm : Bulacağımız bölüntüye, P diyelim. Önce P nin normunu bulalım. Bölüntü düzgün
olduğundan,
P 
Buna göre,
RS
T
P  2,
42
2

5
5
RS
T
P  2, 2
tir..
2
4
6
8
10
, 2
, 2
, 2
,2
5
5
5
5
5
12 14 16 18
,
,
,
,4
5 5
5
5
UV
W
bulunur..
229
UV
W
İNCELME DİZİSİ
Tanım : Bir [a , b] aralığının herhangi iki bölüntüsü P1 ve P2 olsun.
P2 bölüntüsü P1 bölüntüsünden daha incedir veya sıktır, denir.
P1  P2 ise,
Bu durumda, P2 nin normu P1 in normundan daha küçük veya eşittir. Yani ,
O hâlde, bölüntü inceldikçe normu küçülecektir.
[a , b] aralığının giderek incelen bölüntülerden oluşan
P2
 P1
dir..
(Pn) = (P1 , P2 , ... , Pn1 , Pn , Pn+1 , ...)
dizisini alalım. Dizinin terim numaraları büyüdükçe, daha incelmiş bölüntüler elde edilir.
Buradaki diziye, bir incelme dizisi denir.
Eğer,
P
bölüntüsü düzgün bölüntü ise,
 x1   x 2  ...   xn 
P1
 P2
lim
P 0
n
ba
n
 ...  Pn
olur.
 ...  0
bulunur. O hâlde,
P 
ba
n
dır..
olduğundan,
P bölüntüsü [a , b] nın düzgün bölüntüsü ise,
sayısı sonsuza doğru artırdıkça, aralıkların uzunlukları sıfıra yakınsar.
RS
T
Örnek : [0 , 1] aralığının P1  0 ,
UV
W
1 1
, ,1
3 2
ve
RS
T
P2  0 ,
UV
W
1 1 1 3
, , ,
,1
4 3 2 4
n bölüntü
iki bölüntüsü
göz önüne alınıyor:
a. Hangi bölüntü daha incedir veya sıktır?
b. Hangi bölüntünün normu daha küçüktür?
c. Aralığı
n
eşit parçaya ayıran düzgün bölüntüyü, normunu ve
lim
n 
P
yi
bulalım.
d. Aralığı 2n1 eşit parçaya ayıran düzgün bölüntülerden oluşan (Pn) = (P1 , P2 , P3 , ... , Pn , ...)
dizisinin ilk üç terimini ve Pn genel terimini yazalım. Bu durumda, bölüntünün normunu n ye bağlı
bulalım.
lim
Pn
n 
için ne söylenebilir?
RS
T
Çözüm : a. P1  0 ,
daha incedir.
UV
W
1 1
, ,1
3 2
RS
T
 P2  0 ,
UV
W
1 1 1 3
, , ,
,1
4 3 2 4
RS 1 , 1  1 , 1  1 UV  1
T3 2 3 2W 2
R 1 1  1 , 1  1 , 3  1 , 1  3 UV 
 max S ,
T4 3 4 2 3 4 2 4 W
olduğundan; P2 , P1 den
P1  max
b.
P2
O hâlde,
c. [a , b]
1
4
P2  P1
dir..
aralığı n eşit parçaya ayrılacağından, düzgün bölüntünün normu;
1 0
1
1

ve
lim P  lim
 0 bulunur..
n
n  n
n
n
11
d. n = 1 için, [0 , 1] aralığı 2 = 1 alt aralıktan oluşur. Buna göre, P1 bölüntüsünün normu,
P

1 0
 1 dir. O hâlde,
1
P1 = {0 , 1}
n = 2 için, aralık 221 = 2 alt aralıktan oluşur. Buna göre, P2 bölüntüsünün normu,
O hâlde,
RS
T
P2  0 , 0 
1
1
,02
2
2
UV  RS0 , 1 , 1UV
W T 2 W
230
olur..
1 0
1

2
2
dir..
1 0
n = 3 için, aralık 231 = 4 alt aralıktan oluşur. Buna göre, P3 bölüntüsünün normu,
O hâlde,
|RS
|T
R| 1
 S0 ,
|T 2
1
P3  0 , 0 
2
2
2
2
,
2
,0
2
2
2
3
,
2
2
2
,0
3
2
4
,
2
2
2
U|
V|
W
4
,0
2
2
|UV  RS0 , 1 , 2 , 3 , 4 UV
|W T 4 4 4 4 W
R|
S|
T
1
Pn  0 ,
2
2
,
n 1
2
n1
, ... ,
2
n 1
2
n 1

1
4
tür.
bulunur..
n için, aralık 2n 1 alt aralıktan oluşur. Buna göre, Pn bölüntüsünün normu,
O hâlde,
2
2
U|
V|
W
Pn
lim Pn  lim
bulunur. Buradan,
n
n

1 0
n 1
2
1
2
n 1
1

0
2
n 1
dir..
olur..
ALT TOPLAM, ÜST TOPLAM VE RIEMANN (RİMAN) TOPLAMI
f : [a , b]  R , sınırlı bir fonksiyon olsun. P bölüntüsüne ait [ x k 1 , x k ]
alt aralığını alalım.
Fonksiyon bu alt aralıkta sınırlı olduğundan bir en büyük alt sınırı
EBAS , en küçük üst sınırı EKÜS değeri vardır. Bu değerlere sırasıyla
mk , Mk diyelim. Yani,
n
 EKÜS nf ( x) : x  x
mk  EBAS f ( x) : x  xk 1 , xk
Mk
k 1
, xk
s
s
olsun.
Ayrıca,
rk  [xk1 , xk] için, m k  f (r k )  Mk olacak biçimde
xk = xk  xk1 aralık uzunluğunu yukarıdaki eşitsizlikle çarpalım:
m k .  x k  f (r k ) .  x k  M k .  x k
f ( r k)
değeri vardır..
olur.
Bu çarpımları geometrik olarak, taban uzunluğu xk ve sırasıyla yükseklikleri mk , f (rk) ve Mk
olan dikdörtgenlerin alanları biçiminde yorumlayabiliriz. Şimdi bu açıklamaları aşağıdaki tanımda kulla
nalım:
Tanım : f : [a , b]  R sınırlı bir fonksiyonuna ait bir bölüntüsü P olsun:
n
a. A (f , P) =
m
k
. xk  m1 . x1  m2 . x 2  ...  mn . x n
toplamına, f fonksiyonunun
k 1
P bölüntüsüne göre alt toplamı denir.
n
b. Ü (f , P) =
M
k
. xk  M1 . x1  M 2 . x 2  ...  M n . x n
toplamına, f fonksiyonunun
k 1
P bölüntüsüne göre üst toplamı denir.
n
c. R (f , P) =
 f (r ). x
k
k
 f (r1). x1  f (r2 ). x 2  ...  f (rn ). x n
k 1
yonunun P bölüntüsüne göre Riemann toplamı denir.
231
toplamına da f fonksi-
Tanımlanan toplamlar arasında,
A (f , P)  R (f , P)  Ü (f , P)
olduğunu kolayca görebiliriz.
Aşağıdaki şekillerde, bu toplam alanları inceleyiniz.
Özet olarak:
Eğer bölüntü sayısını, yani n değerini giderek artırırsak:
• Alt toplamların büyüyerek eğri altındaki alana yaklaştığını görebiliriz.
• Üst toplamların küçülerek eğri altındaki alana yaklaştığını görebiliriz.
• Riemann toplamının da alt ve üst toplamlar arasında kalarak eğri altındaki alana yaklaştığını gö
rebiliriz.
O hâlde, [a , b]
aralığında f (x)
eğrisi altında kalan sınırlı bölgenin alanı
lim A (f , P)  lim R(f , P)  lim Ü(f , P)  S
n 
n
S olmak üzere;
olduğu sonucuna varabiliriz.
n 
Örnek : f : [0 , 1]  [1 , 2] , f (x) = x2 + 1 fonksiyonu veriliyor.
f (x) fonksiyonunun tanımlanan aralıkta
bölüntüsü alınıyor:
n
parçaya bölünerek elde edilen
a. A (f , P)
alt toplamını ve bu toplamın n  + 
b. Ü (f , P)
üst toplamını ve bu toplamın
c. Eğri altında kalan alan
alanını bulalım.
n+
P
düzgün
için limitini bulalım.
için limitini bulalım.
S ise, a ve b şıklarından elde edilen toplamlar yardımıyla S
232
Çözüm
a.
Önce [0 , 1]
aralığına ait düzgün bölüntüyü yazalım:
RS
T
UV
W
1 2 3
n 1 n
,
,
, ... ,
,
1
Her bir alt aralıktaki
n n n
n
n
EBAS değerlerini ve dikdörtgenlerin toplam alanını bulalım:
P  0,
A (f , P) =
n1 
f (0 )  0 2  1  1 
n2 
f
FG 1 IJ  FG 1 IJ
HnK H nK
F 2I F 2I
fG J  G J
H nK H nK
n3 
.
.
.
n2
1
2
1
.
.
.
n  n için,
FG IJ
H K
n2  0 2
2
1
n2
22
n2
1
1
n2  12
n2
n 2  22
n2
.
.
.
F n  1IJ  FG n  1IJ
fG
H nK H nK
FG IJ
H K
2
 1
.
.
.
n 2  (n  1)2
n2
Bulunan değerler A(f , P) de yerine yazılırsa;
F
GG
H

1
n

3
1
n

F n2  22 I
GG 2 JJ     
H n K
LMn 2  0 2  n 2  12  n 2  2 2      n 2  (n  1) 2 OP
N
Q
2
1
n 0

2
n
n
A ( f , P) 
3
I
JJ 
K
1
n
F n 2  12 I
GG 2 JJ 
H n K
1
n
1
n
LM n 2  (n  1)2 OP
MN n 2 PQ
LMn . n 2  12  2 2      (n  1) 2 OP
N
Q
1
n
2
3
O hâlde,
LMn
N
3

(n  1) n ( 2n  1)
6
OP 
Q
S  lim A (f , P)  lim
n
n 
3
3
2
6n  2n  3n  n
6n
3
8n 3  3n 2  n
6n
FG
H
1
1
1
1
2
1
n1
 f ( 0) 
f

f
 ... 
f
n
n
n
n
n
n
n
3
233
3

2
8n  3n  n
6n

4
3
bulunur..
3
tür..
IJ
K
b. Her bir alt aralıktaki EKÜS değerlerini ve dikdörtgenlerin toplam alanlarını bulalım:
FG IJ
FG IJ
FG IJ
HK
H K
H K
1 Fn 1 I 1 Fn  2 I
1 Ln  n
G

  
M
J
G
J
n H n
n MN n
K nH n K
1 1
1
2
1
n
f
 f
     f
n n
n
n
n
n
Ü (f , p) =
2
Ü ( f , P) 



1
n
3
1
n
3
1
n
3
S  lim Ü (f , P)  lim
n 
2
2
2
2
2
2
2
OP
PQ
n2  12  n2  2 2  n 2  3 2      n2  n 2
n . n 2  12  2 2     n 2
LMn
N
3

OP
Q
2
8n  3n  n
n 
3
3
2
3
2
n (n  1) ( 2n  1)
6n  2n  3n  n
8n  3n  n


3
3
6
6n
6n
3
O hâlde,
2
6n
3

4
3
bulunur..
c. Görüldüğü gibi; [0 , 1] aralığında, f (x) = x 2 + 1 fonksiyonunun x
bölgenin alanı, A (f , P) alt toplamının veya Ü (f , P) üst toplamının limitidir.
ekseniyle sınırlı
BELİRLİ İNTEGRAL
Tanım :
fonksiyon ve
f : [a , b]  R ve sürekli ya da süreksiz olduğu nokta sayısı sonlu tane olan bir
[a , b] nın bir bölüntüsü P olmak üzere:
lim A (f , P)  lim Ü(f , P)  S ise, f fonksiyonu, [a , b] aralığında integrallenebilir
P 0
P 0
bir fonksiyondur, denir.
z
b
S reel sayısına da f nin [a , b] aralığındaki belirli integrali denir ve bu, S  f (x) dx
a
biçiminde gösterilir.
Bir önceki bölümde tanımlanan Riemann toplamına göre;
A (f , P)  R (f , P)  Ü (f , P) idi. Eşitsizliğin her üç parçası için P bölüntüsünde n  için
limiti alınırsa;
z
b
S  lim A (f , P)  lim R (f , P)  lim Ü(f , P) 
n 
n 
n 
f (x). dx
olduğu sonucunu çıkarabiliriz.
a
İntegral Hesabın 1. Temel Teoremi
Teorem :
f : [a , b]  R
z
fonksiyonu,
[a , b]
aralığında sürekli ve
F : [a , b]  R
x
fonksiyonu,
F(x) 
f (t) dt
ile tanımlanmış olsun. Bu durumda,
a
aralığında türevlenebilir ve
x  (a , b)
için,
F (x)  f (x)
234
tir..
F (x)
fonksiyonu
(a , b)
BÖLÜM
İNTEGRAL
5
Bu bölümde, türev konusu ile yakından ilişkili olan integral konusunu inceleyeceğiz. Türev konusunda; bir fonksiyonun bir noktadaki türevinin bu noktadan çizilen teğetin eğimi olduğunu, bir hareketlinin
hareket denklemi verildiğinde; yolun zamana göre birinci türevi hareketlinin hızını, hızın zamana göre
birinci türevi hareketlinin ivmesini gösterdiğini türev konusunda incelemiştik. Karşıt olarak, eğimi fonksiyon olarak verilen bir eğrinin denklemini, hız denklemi verilen bir hareketlinin konum - zaman hareket
denklemini, ivme denklemi verilen bir hareketlinin hız - zaman denklemini bulmamız söz konusu olabilir.
Bu durumda, türevi bilinen bir fonksiyonun aslını bulmamız gerekir.
İşte, bir fonksiyonun türevi ve fonksiyona ait bir kaç özeliği biliniyorsa, fonksiyonun aslı bulunabilir.
Fonksiyonun aslını bulma işlemi, belirsiz integral ile mümkündür. Yukarıda bahsedilenlerden başka, eğrilerin sınırladığı alanları, çeşitli cisimlerin hacimleri, eğrilerin uzunlukları vb. bulunmasında da belirli integral kullanılır. Bunların dışında integral; fizik, kimya, biyoloji, ekonomi ve birçok mühendislik dallarında da
kullanılır.
BELİRSİZ İNTEGRAL
Tanım : f : [a , b]  R , F : [a , b]  R tanımlı iki fonksiyon olsun. Eğer F (x) in türevi
f (x) veya diferansiyeli f(x) . dx olan F (x) fonksiyonuna, f (x) fonksiyonunun belirsiz integrali
denir ve
z
z
f (x) . dx  F(x)  C
f ( x) . dx  F ( x)  C
biçiminde gösterilir..
eşitliğinde;
z
işaretine, integral işareti, f (x) e integrand (integral
altındaki fonksiyon) , f (x) . dx e diferansiyel , dx e diferansiyel çarpanı, F (x) e f (x) in
ilkel fonksiyonu ve C ye integral sabiti denir.
F (x) + C yi bulma işlemine, belirsiz integral alma işlemi (integrasyon) denir.
F (x) in x e göre türevi f (x) ise, C bir sabit olmak üzere, F (x) + C nin de x e göre
d
d
d
F ( x)  C 
F ( x) 
C  f ( x)  0  f ( x) tir. Buna göre, türevi f (x) olan
dx
dx
dx
sonsuz sayıda F (x) + C fonksiyonları elde edilir. Bu fonksiyonların gösterdiği eğriler kümesine, bir eğri
ailesi denir. Bu eğri ailesinin apsisleri x olan noktalarındaki teğetleri birbirine paraleldir.
türevi f (x) tir. Yani;
Örneğin ;
z
F ( x)  x2  F ( x)  2x  F ( x) . dx  2x. dx
z
F  ( x) . dx 
2x . dx

F ( x)  x 2  C

z
2 x . dx  x 2  C dir..
BELİRSİZ İNTEGRALİN ÖZELİKLERİ
1. Bir belirsiz integralin türevi, integrali alınan fonksiyona eşittir. Yani,
FH
z
IK   bF (x)  Cg  f (x) tir..
f ( x) . dx
2. Bir belirsiz integralin diferansiyeli, integral işaretinin altındaki ifadeye eşittir. Yani,
d
FH
z
IK
f ( x) . dx  f ( x) . dx tir..
3. Bir fonksiyonun diferansiyelinin belirsiz integrali, bu fonksiyon ile bir C sabitinin toplamına
eşittir. Yani,
zb
g
d f ( x) = f ( x)  C dir..
204
Bu özelikleri aşağıdaki örneklerde uygulayalım.
z
Örnek :
5
d
dx
Çözüm :
Örnek :
belirsiz integralinin türevini bulalım.
3 x . dx
z
z
z
z
FH
z
IK
5
3 x . dx  3 x
2
Örnek :
d
x 2  1 . dx 
3
d (sin x)
Çözüm :
dir..
belirsiz integralinin diferansiyelini bulalım.
x  1 . dx
Çözüm :
5
x 2  1 . dx tir..
belirsiz integralini bulalım.
3
3
d (sin x)  sin x  C dir..
Bir Fonksiyonun Bir Sabitle Çarpımının İntegrali
Teorem : İntegral içindeki sabit çarpan, integral dışına alınabilir. Yani,
z
k  R için ,
İspat :
d
dx
FH
z
z
k . f (x) . dx  k
z
FH z
IK
f (x) . dx tir..
eşitliğinin her iki tarafının türevi alınırsa,
k . f ( x) . dx  k f ( x) . dx
k . f ( x) . dx 
z
IK
d
k f ( x) . dx
dx
d
dx
k f ( x)  k . f ( x)
k . f ( x)  k 


FH
z
IK
f ( x) . dx
bulunur..
İki Fonksiyonun Toplamının veya Farkının İntegrali
Teorem : İki fonksiyonun toplamının veya farkının integrali, fonksiyonların integralinin toplamına
veya farkına eşittir. Yani,
i.
ii.
z
z
f (x)  g(x) . dx 
f (x)  g(x) . dx 
z
z
f (x) . dx 
f (x) . dx 
z
z
g(x) . dx tir..
g(x) . dx tir..
İspat : i. Her iki tarafın türevi alınırsa,
d
dx
FH
z
IK
f ( x)  g( x) . dx 
z
d
dx
z
z
FH z
z
FH
f ( x) . dx 
d
d
f ( x) dx 
dx
dx
ii. Her iki tarafın türevi alınırsa,
f ( x)  g ( x) 
d
dx
FH
z
IK
f ( x)  g( x) . dx 
z
d
dx
z
k1 , k2 , ... , kn R olmak üzere,
IK
g ( x) . dx
g ( x) dx  f ( x)  g ( x)
f ( x) . dx 
d
d
f ( x) dx 
dx
dx
Bu iki teoremden faydalanarak,
f ( x)  g ( x) 
z
z
bulunur..
IK
g ( x) . dx
g ( x) dx  f ( x)  g ( x)
z
z
bulunur..
z
k 1 . f1 ( x)  k 2 . f2 ( x)  ...  k n fn ( x) dx  k 1 f1 ( x) dx  k 2 f2 ( x) dx + ... + k n fn ( x) dx
205
elde edilir..
İNTEGRAL ALMA KURALLARI
Türev konusunda gördüğümüz türev alma kurallarından faydalanarak, aşağıdaki integral alma kurallarını yazabiliriz;
1.
3.
5.
7.
9.
10.
11.
z
z
z
z
z
z
z
z
x n dx 
1
x n 1  C
n1
(n  1)
e x dx  ex  C
4.
sin xdx   cos x  C
6.
tanx . secx . dx  secx  C
8.
z
sec 2 x dx 
1
2
cosec x dx 
1
1  x2
z
ze
1
2
1
dx  ln x  C
x
a x dx 
1
 ax  C
ln a
(a  0 , a  1)
cosxdx  sinx  C
cotx . cosecx . dx   cosecx  C
j
1  tan2 x dx  tanx  C
 dx 
cos 2 x
z
z
z
z
2.
 dx 
sin x
ze
j
2
1  cot x dx   cotx  C
dx  arctanx  C1   arccotx  C2
1
dx  arcsinx  C1   arccosx  C2
1  x2
Bu kuralları aşağıdaki örneklerde uygulayalım.
12.
z
Örnek :
Çözüm :
z
Örnek :
Çözüm :
belirsiz integralini bulalım.
(2x  1) dx
z
(2x  1) dx  2
2x 3  3 x
z
x2
dx
2 x3  3 x
x
2
z z
x2
 1 . x  C  x2  x  C
2
xdx  1 dx  2 
belirsiz integralini bulalım.
dx 
z FGH
2x 3
x
2

3x
x
2
I dx 
JK
z
2x dx 
z
z
 2 x dx  3
Örnek :
Çözüm :
z FGH
z
cosx 
1
1  x2
cos x dx 
z
bulunur..
I
JK
3
dx
x
z
1
dx  x2  3 ln x  C
x
 a x dx
belirsiz integralini bulalım.
1
z
dx 
1 x
2
a x dx  sin x  arc sin x 
1 x
a C
ln a
bulunur..
bulunur..
f ( x)  x2  2x  m
Türevi,
olan f (x) fonksiyonunun grafiğinin,
noktasındaki teğetinin eğimi 6 olduğuna göre, f (x) fonksiyonunu bulalım.
Örnek :
Çözüm :
olduğundan,
f ( x) 
z
f (x) fonksiyonunun A (3 , 11) noktasındaki teğetinin eğimi, yani
3 2.3+m=6

m = 3 bulunur.
f ( x)  x2  2x  3 tür..
m=3

A (3 , 11)
f (3)  6
2
f ( x) dx 
ze
j
x3
 x 2  3 x  C dir.
3
C=2
olur. Buna göre,
x 2  2x  3 dx 
f (3) = 11
3
3
2
 3  3 . 3  C  11
3

206
f ( x) 
olduğundan,
1 3
2
x  x  3x  2
3
bulunur..
Örnek : Bir eğrinin her (x , y) noktasındaki teğetinin eğimi, bu noktadaki apsisinin 2 katının
3 eksiğine eşittir. Ayrıca bu eğri A (2 , 1) noktasından geçtiğine göre, eğrinin denklemini bulalım.
Çözüm : Eğrinin herhangi bir
türevine eşit olduğundan,
z
f ( x)  f ( x) dx 
za
22  3 . 2 + C = 1
bx , f (x)g
noktasındaki teğetinin eğimi, fonksiyonun bu noktadaki
m t  f ( x)  2x  3 tür..
f
2x  3 dx  x 2  3 x  C , f (2) = 1
f (x) = x2  3x + 3
C = 3 ve buna göre,

olduğundan,
bulunur.
Örnek : V0 ilk hızıyla yukarıya doğru düşey olarak atılan bir cismin t saniyedeki hız denklemi
V = V0  10 t dir.
a. Hareketlinin ilk 2 saniyede aldığı yol 2V0 olduğuna göre, konum - zaman (hareket) denklemini
bulalım.
b. Çıkış süresini,
V0 ilk hızına bağlı olarak bulalım.
c. Cismin çıkabileceği maksimum yükseklik
100 m
olduğuna göre,
cismin ilk hızını bulalım.
Çözüm : a. Yolun zamana göre birinci türevi, cismin hızına eşit olduğundan;
S  V  V0  10 t
 S
zb
olduğundan; 2V0 = 2V0  5 . 4 + C
S = 20 + V0t  5t
2
g
S = V0t  5t2 + C bulunur.
V0  10 t dt

C = 20
t = 2 için, S = 2V0
olur. Buna göre, hareket denklemi;
bulunur.
b. Yukarıya atılan bir cismin çıkış süresi, cismin hızının sıfır olduğu ana kadar geçen süredir. Buna
göre,
V=0

V0  10 t = 0
c. S = 20 + V0t  5t2
2
100  20 

V0
10
denkleminde,
2
V0
V
5 0
10
100
t
bulunur..
t
V0
10
ve
S = 100
değerleri yerine konursa;
2

80 
5 V0
100
2
 V0  16 . 100
207

V0  40 m / sn
bulunur..
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
e.
ı.
z
z
z
5 . dx
b.
(u2  u) . du
f.
2x . dx
i.
z
z
z
x . dx
c.
3ax . dx
g.
sin x . dx
j.
z
z
z
3
( x  1) dx
d.
5yx . dx
h.
cos x . dx
k.
z
z
z
( t 2  1) . dt
2
 dx
x
(4 x3  3 x2  x) . dx
2. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
d.
g.
i.
z
z FGH
z
z
3
2
( x  3 x  2x). dx
b.
IJ 2 .dt
K
e.
2
1
t
2
x x
 dx
u
h.
2
z
F
z GH
z
z FGH
2
x
3
1


2 x
I  dx
J
xK
1
3
f.
2
IJ
K
4
x
2
 dx
1
3
1
x

3
2
x
x
I . dx
JK
tan 2 x . dx
ı.
x
x
 cos 4
. dx
2
2
5
x x 2
c.
x x
 du
u
sin4
j.
cot x . dx
z
z FGH
z
z FGH
3
x  2x  x  1
 dx
x
k.
sin
x
x
 cos
2
2
IJ
K
2
. dx
3. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
c.
e.
g.
ı.
z
z
z
z
ze
z
z FGH
b.
(2 cos x  sin x). dx
sin
x
x
 cos  dx
2
2
d.
cos
FG   xIJ dx
H2 K
f.
(e x1  x  1) . dx
h.
j
e x 5  2 x1 . dx
i.
z FGH
z
z FGH
z
ze
2
cos
IJ
K
u
2 u
 sin
 du
2
2
(sin t  cos t ) . dt
2 1  cot 2
FG   xIJ IJ . dx
H 2 KK
(e x 2  1) . dx
j
3 x 1  x 2  2x . dx
4. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
d.
2 . dx
b.
1  x2
1
1 t2
IJ
K
 2t dt
e.
z
z
5 . dx
9  9 x2
7  4 1 x
1 x
2
c.
z
f.
z
2
 dx
3 . dx
3  3 x2
1 u
1 u
2
 du
4
5. Herhangi bir noktasındaki teğetinin eğimi, o noktanın apsisinin karesinin 3 katının bir fazlasına
eşit olan ve A (1 , 2) noktasından geçen eğrinin denklemini bulunuz.
208
İNTEGRAL ALMA METOTLARI
İntegral hesaplarında; çarpımın, bölümün, kuvvetin, bileşkenin integrantı toplam hâline getirilemezse
böyle durumlarda integral alma işlemini kolaylaştıracak metotlar geliştirilmiştir. Bu metotları verelim.
DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME (YERİNE KOYMA) METODU
İntegral hesaplarında, uygun bir değişken değiştirmesi yapılarak integrali hesaplanacak ifade, ilkeli
kolaylıkla bulunabilecek bir ifadeye dönüştürülür.
z
1.
z
f (x) . f (x) . dx 
a f
f (x).d f (x)
integralinde fonksiyon ve türevi çarpım şeklinde ise, değişken
değiştirme metodu kullanılmalıdır. Değişken değiştirme yapılırken hem fonksiyonun hem de diferansiyelin değişimi yapılmalıdır.
f (x) = u
dönüşümü yapılırsa;
b g
d f ( x)  d (u)  f  ( x) . dx  du
olur. Bulunan bu değerleri
yerlerine yazalım:
z
f ( x) . f ( x) . dx 
olur.
z
Örnek :
z
2
u . du 
u
1 2
 C  f ( x)  C şeklinde çarpım fonksiyonunun integrali alınmış
2
2
cos 2 x . sin x . dx
integralini hesaplayalım.
Çözüm : u = cosx diyelim. Her iki tarafın diferansiyelini alalım.
du =  sinx . dx 
z
sinx . dx =  du olur. Bu ifadeler integralde yerine konursa,
z
cos 2 x .sin x . dx 
z
2.
f (x)
n
z
u2 . ( du)   u2 du  
. f (x) . dx 
z
n
b g
f (x). d f (x)
dönüşümü yapılır. Fakat türev oluşmazsa, f ( x)
f (x) = u
z
a f
f ( x)
n
z
olur. Bulunan bu değerleri yerine yazalım:
z
n 1
Çözüm :
7
(3 x  1) . dx
z
7
(3 x  1) . dx
d ( 3 x  1)  d (u)

integralini hesaplayalım.
integralinde (3x  1) = u
3 . dx  du

dx 
1
 du
3
diyelim.
olur..
Bunları yerlerine yazalım:
z
7
(3 x  1) . dx 
z
7
u 
f (x) = u
 u denilmelidir. Burada f (x) = u dönüşümü yapılırsa;
n 1
f ( x)
u
n
. f ( x) . dx  u . du 
C 
C
n1
n 1
Örnek :
bulunur..
integralinde, genellikle üssü görmeden
 d f ( x)  d (u)  f ( x) . dx  du
n
u3
cos 3 x
C  
C
3
3
1
1 8
1
8
 du 
u C 
 (3 x  1)  C
3
24
24
209
bulunur..
Örnek :
z
2
x  4 x . ( x  2) . dx
integralini hesaplayalım.
Çözüm : x2  4x = u diyelim. Her iki tarafın diferansiyelini alalım:
d (x2  4x) = d (u)
(2x  4) . dx = du

(x  2) . dx =

1
du olur..
2
Bu değerler integralde yerlerine yazılırsa;
z
2
x  4 x . ( x  2) . dx 
z

3.
z
z
f (x) . dx

f (x)
1
2
z
1
u  du 
2
3
1
2
1 u2
u  du 

C
3
2
2
1
1 2
2
u u  C  ( x  4 x) . x  4 x  C
3
3
b g
bulunur..
d f (x)
f (x)
integralinde,
b g
f (x) = u dönüşümü yapılırsa; her iki tarafın diferansiyelini alalım: d f ( x)  d (u)
olur. Bulunan bu değerleri yerlerine yazalım:
z
f ( x) . dx

f ( x)
z
du
 ln u  C  ln f ( x)  C
u

f ( x) . dx  du
bulunur..
Bölüm şeklindeki integrallerde değişken değiştirme uygulanırken, türevi bölüm şeklinde olanlar hariç genellikle paydaya u denilip, türevi pay kısmında araştırılmalıdır. Soruda logaritmik
veya ters trigonometrik fonksiyon varsa, bunlara da u denilmelidir.
Örnek :
z
integralini hesaplayalım.
tan x . dx
z
z
sin x
dx yazalım:
cos x
cosx = u diyelim. İki tarafın diferansiyelini alalım.
Bulunanları yerlerine yazalım:
Çözüm :
z
tan x . dx 
sin x
dx  
cos x
Örnek :
z
Çözüm :
z
du
  ln u  C   ln cos x  C  ln sec x  C
u
arc tan x
z
1 x
2
 dx
arc tan x
1 x
2
1
arc tan x 
Örnek :
Çözüm :
1 x
z
2
z
1
 dx  arc tan x 
1 x
2
 dx
1
1 x
z
2
 dx  du
integralini hesaplayalım.
2
( x  1) . ln(1  x )
2
d(x )
2
olur.
bulunur..
olur. Bulunanları yerlerine yazarsak;
2
d(x )
z
 sinx . dx = du
yazalım.
1 2
1
2
u C
( arc tan x)  C
2
2
 dx  u . du 
2

integralini hesaplayalım.
arc tanx = u  d (arc tanx) = d (u) 
z
d (cosx) = d (u)
2
( x  1) . ln(1  x )

z
2x . dx
2
2
( x  1) . ln(1  x )
210
yazalım.
bulunur..
Logaritmik ifade içerdiği için logaritmik kısma u denilmelidir.
e
j
ln (1 + x2) = u diyelim. d ln(1  x 2 )  d (u)
z
1
2
2 x . dx

ln(1  x )
Örnek :
Çözüm :
3x
u
2
1 x
z
z
z

2
dx

2
z
dx
F 9x I
4 G1 
H 4 JK

2
FG 3x IJ  d(u)
H 2K
d
diyelim.
2
 dx  du Bu ifadeleri yerlerine yazalım:
integralini hesaplayalım.
2
4  9x
1 x
1
2
 du  ln u  C  ln ln(1  x )  C bulunur..
u
dx
4  9x
2x

1
2
z
dx
F 3x I
1 G J
H2K
yazalım.
2
3
2
dx  du  dx  du
2
3

Bulunan bu değerleri yerlerine yazalım:
2
du
1
3

2
3
1 u
z
1
2
z
a , b  R  {0}
z
dx

2
2 2
a b x
z
Örnek :
z
4.
a
f (x)
1 u

2
FG IJ
H K
1
1
3x
arc sin u  C  arc sin
C
3
3
2
FG IJ
H K
1
bx
 arc sin
C
b
a
9  25 x
dx

9  25 x
2
ea  R
. f (x) . dx
a
f ( x)
. f ( x) . dx 
Örnek :
ze
2
tan 3 x
z
dir..
integralini hesaplayalım.
2
1
 arc sin
5

u
bulunur..
j integralinde,
d bf ( x)g  d (u) 
u
a . du  a 
j
FG 5 xIJ  C
H3K
 { 1}
f (x) = u dönüşümü yapılırsa;
yazalım:
z
bulunur..
olmak üzere,
dx
z
Çözüm :
du
2
f ( x) . dx  du
olur. Bulunanları yerlerine
1
1
f ( x)
C  a

 C bulunur..
ln a
ln a
 1 . sec 3 x . dx
integralini hesaplayalım.
Çözüm : tan 3x = u dersek, 3 . sec23x . dx = du olur. Bulunan değerleri yerlerine yazalım:
zd
i
2 tan 3 x  1 . sec 2 3 x . dx 
1
3
z
(2u  1) du 
1
3
bulunur.
211
FG 1  2
H ln 2
u
IJ
K
u C 
1
1
 2 tan 3 x 
 tan 3 x  C
ln 8
3
1
z
Örnek :
ex
x
 dx
2
integralini hesaplayalım.
1
u
x
Çözüm :
dersek,
1

x
 dx  du
2
1

x
2
 dx   du
olur. Bulunan değerleri
yerlerine yazalım:
1
z
z
ex
x
u
u
 dx   e  du   e  C 
2
1
ex
bulunur..
C
Örnek : m, n  R , m  0 olmak üzere, aşağıdaki integralleri hesaplayalım.
a.
z
e
mxn
z
b.
. dx
a
mxn
ea  R
. dx

 {1}
j
Çözüm : a. mx + n = u diyelim. İki tarafın diferansiyelini alalım:
d (mx + n) = d (u)
z
e
b.
m xn
z
a
. dx 
mxn
z
1
m
2.
z
z
e
mx  n
a
mx n
z
1
 du
m
olur. Bulunan değerleri yerlerine yazalım:
1 u
1 mxn
e C 
e
C
m
m
u
a . du 
m  0
bulunur..
1
u
a C
m . ln a
1
mxn
a
C
m . ln a

1.
u
e . du 
1
m
. dx 
m , nR ,
dx 

bulunur..
olmak üzere;
1
mx n
e
 C dir..
m
. dx 
ea  R
1
mx n
a
C
m . lna
. dx 

 { 1}
j
dir..
Örnek : Aşağıdaki integralleri hesaplayalım.
a.
d.
z
z
3x
2
3 x 5
Çözüm :
b.
c.
d.
e.
f.
z
z
z
z
z
x
e.
. dx
z
a.
2
6.e
( e  1) . dx 
x
2

e e
2
3 x 5
2x
2
2x
dx
e
4 x 1
x
2
 dx 
3.2

1
z
z
z
b.
6 . e . dx
e
z
3x
dx  6 
(e
2x
ee  1j . dx
2
x
3.2
2x
2
2x
1

2. e
x
2
z
z
C
x
2
e e
dx
e
4 x 1
bulunur..
1 2x
x
e  2e  x  C
2
x
. dx = 2 . e
f.
 dx
1 3x
3x
e  C  2e  C
3
 2e  1) . dx 
x
2
c.
bulunur..
bulunur..
1
3 x 5
2
 C bulunur..
ln 8
 dx 
 4x 1
z
(3  2
 dx  
2 x
)  dx  3 x 
1
 2x
2
 C bulunur..
ln 4
1
 4x 1
e
 C bulunur..
4
212

x
2
. dx
5.
zb
g
f g(x) . g (x) . dx
g (x) = u
zb
b g
d g ( x) = d (u)

g
f g( x)  g( x) . dx 
Örnek :
z
z
z
g (x) = u
integralini hesaplayalım.
2
( x  1) . sin ( x  2x  3) dx
2
z
Örnek :
Çözüm :
1
du
2
 ( x  1) . dx 
( x  1) . sin ( x  2x  3 ) dx 
z
2
2
2

x2 + 2x + 3 = u
diyelim.
olur. Bu değerler integralde yerlerine yazılırsa,
bulunur..
integralini hesaplayalım.
2
integralinde
sin (cos x) . sin 2x . dx
d (cos x)  du
integralinde
1
1
1
2
sin u . du   cos u  C   cos ( x  2x  3)  C
2
2
2
sin (cos x) . sin 2x . dx
z
olur. Bulunanları yerlerine yazalım:
gibi basit fonksiyon integrali elde edilir..
f (u)  du
2
(2x + 2) . dx = du
dönüşümü yapılırsa;
g( x) . dx  du

( x  1) . sin ( x  2x  3) dx
Çözüm :
z
integralinde,
 2 . cos x . sin x . dx  du
cos x = u
dersek,
 sin 2x . dx  du olur..

Bulunan değerler yerine yazılırsa,
z
z
2
2
sin (cos x) . sin 2x . dx   sin u . du   (  cos u)  C  cos u  C = cos (cos x) + C
m,n R ,
1.
2.
z
z
1
cos(mx  n)  C dir..
m
cos (mx  n) . dx 
1
sin(mx  n)  C dir..
m
z
z
b.
sin (3x  ) . dx
Çözüm : a.
d (3x + ) = du
z
m  0 olmak üzere;
sin (mx  n) . dx  
Örnek : a.
3dx = du
sin (3 x  ). dx 
1
3
z
cos(5 x  1) . dx
integralinde
sin (3x  ) . dx

z

sin u. du  
dx =
du
3
3x +  = u
integralleri hesaplayalım.
diyelim.
olur. Bulunan değerler yerine yazılırsa,
1
1
 cos u  C  
 cos(3 x  )  C
3
3
bulunur..
b. Siz hesaplayınız.
Örnek : Aşağıdaki integralleri hesaplayalım.
a.
c.
z
z FGH
(sin 3 x  cos 3 x) . dx
4 . sin
bulunur..
b.
IJ
K


 3 . cos  1 . d 
2
3
d.
213
z
z FGH
FG
H
IJ
K
1
1
sin x  3 . dx
2
2
IJ
K
3
3 5
5
sin
 cos
 3 . d
2
2 2
2
Çözüm :
a.
z
z FGH
FG
H
b.
c.
z
1
1
cos 3 x  sin 3 x  C bulunur..
3
3
(sin 3 x  cos 3 x) . dx  
IJ
K
FG
H
IJ
K
IJ
K
IJ
K




 3 . cos  1 . d    4 . 2 . cos  3 . 3 sin    C
2
3
2
3
4 . sin


 9 . sin    C bulunur..
3
3
  8 . cos
z FGH
d.
FG
H
1
1
1
1
1
sin
x  3 . dx    2  cos
x  3  C   cos
x  3  C bulunur..
2
2
2
2
2
IJ
K
3
3 5
5
3 2
3 5 2
5
sin
  cos
 3 . d     cos
   cos
 3  C
2
2
2
2
2 3
2
2 5
2
3
5
 cos
 3  C bulunur..
2
2
  cos
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
d.
g.
z
z
z
z
z
z
z
z
3
cos x . d (cos x)
b.
dx
(1  2x)
e.
3
4
h.
sin x . cos x . dx
2. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
d.
g.
2
x . cos (2x  1) . dx
5
1 x
b.
2
e.
. x . dx
cos 2x . e1sin 2 x . dx
h.
3. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
d.
2
3 x 4
e
3x
e
. dx
1
x
b.
dx
e.
z
z
z
z
z
z
z
z
( 2x  1) . dx
c.
2
( x  x  2)
2
3
f.
3 x . ( x  4) . dx
2
10
( x  5 x)
sin x
2
3
3 x . x  1 . dx
2
sin x . sin 2x . dx
. (2x  5) . dx
ln x
 dx
x
e
z
z
c.
. cos x . dx
f.
z
z
e
4 x 1
. dx
2
3
x . cos ( x  1) . dx
2x . dx
4
(1  x ) . arctan x2
e
2 x 1
5
3x
5
. dx
2
3x
c.
z
(2
3x
dx
4. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
z FGH
sin
IJ
K
3y
2y
 2 . cos
. dy
2
3
b.
214
z FGH
sin
IJ
K
2
 1) . dx


 cos
. d
2
3
5. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
6.
d.
g.
d.
2
z
dx
c.
25  4 x
2
z
dx
2x  x2
z
z
z
sin 2x
 dx
2
b.
4  cos x
x2
( x  1)
e.
. dx
2
4
cos x . sin 2x . dx
h.
z
z
z
arc sin x
1 x
 dx
c.
2
cos 2x . dx
2
f.
2
4 . sin x .cos x
3
ı.
sin x . sin 2x . dx
z
z
z
3e
x
1 e
x
 dx
2
sec x . tan x . dx
3
sin 2x . sin 4 x . dx
z
z
x
e 2
 dx
x
b.
e  2x  3
tan 3 x . dx
1  cos 6 x
e.
z
z
2x  sin x
x 2  cos x
 dx
c.
1
 dx
x . ln x
f.
z
z
8 x3
1  x8
 dx
dx
2
x . cos (ln x)
Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
d.
9.
4x
b.
Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
8.
dx
Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
7.
z
z
z
e
sin x
. cos x . dx
arccos 2 x
1 x
2
 dx
b.
e.
z
z
2 x  sin x
x 2  cos x
 dx
c.
x
e . dx
3  4e
f.
x
z
z
8 x3
1  x8
 dx
( x  1) . dx
2
x  2x  5
Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
d.
z
z
x
e . dx
1 e
b.
2x
( x  1) . dx
4x
e.
2
z
z
dx
c.
2
x . 1  ln x
x
2 . dx
1 4
x
10. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
c.
z
z
e x . sin e x . dx
ex
2
 4 x 3
b.
d.
.( x  2) . dx
215
z
z
cot x . dx
ln(sin x)
x . dx
x2  1
z
x . dx
1 x
4
İNTEGRALDE TRİGONOMETRİK DÖNÜŞÜMLER
2
2
2
2
2
2
İntegrandında;
bulunduran integraller, trigonometrik dönüa x ,
x a , a x
şümler yardımıyla hesaplanabilir.
Amaç, yapılacak trigonometrik dönüşümlerle irrasyonel fonksiyon integralini, rasyonel fonksiyon integraline dönüştürmektir.
a 2  x 2 Varsa (a  0)
1. İntegrandında
2
İntegrandında,



t
2
2
2
a x
için x = a . sint
2
2
2
den
başka köklü ifade bulundurmayan integrallerin hesabında
dönüşümü yapılır.
2
2
Buna göre,
2
olur..
a  x  a  a . sin t  a  1  sin t  a . cos t
z
Örnek :
dx
2
x . 9x
integralini hesaplayalım.
2
Çözüm : x = 3sint dönüşümü yapılırsa; x = 3 sint
yerlerine yazalım:
z
3 . cos t . dt

2
2
9 . sin t . 9  9 sin t
z
3 . cos t . dt
1
9

2
2
27 . sin t . 1  sin t
dx = 3 cost.dt olur. Bulunan değerleri

z
cos t . dt
2
sin t . cos t

1
9
z
dt
2
sin t

1
cot t  C
9
elde edilir.
x  3 sin t
9x
x
cot t 
z

dx
x . 9x
x
3
2
değeri yerine yazılırsa;

2
sin t 
2
Genel olarak :
2
1
9
9x
C  
x
z
dx

2
0t
x2  a 2 
2
FG x IJ  C
H aK
den
dir..
Fx
GH a
x 2  a 2 Varsa
2
bulunur..
C
I
K
 1J
başka köklü ifade bulundurmayan integralleri hesaplamak için,
için, x = a . sect
dönüşümü yapılır. Buna göre,
a2 . sec 2 t  a2  a sec 2 t  1  a. tan t
z
Örnek :
2
x a

t
2
veya
 arc sin
a2  x2
2. İntegrandında
İntegrandında,
9x
9x
dx
2
olur..
integralini x > 4 için hesaplayalım.
x . x  16
Çözüm : x = 4 sect dönüşümü yapılırsa, dx = 4 . sect.tant.dt olur. Bulunan değerler integralde
yerine yazılırsa;
z
dx
2
x . x  16

z
4 . sec t . tan t . dt
2
4 sec t . 16 sec t  16

z
tan t . dt
4
2
tan t
bulunur.
216

z
FG IJ  C
H K
1
1
1
4
dt 
tC
arc cos
4
4
4
x
z
Örnek :
Çözüm :
2
x 4
x
integralini x > 2 için hesaplayalım.
 dx
3
x = 2 sect
dönüşümü yapılırsa;
dx = 2 sect .tant .dt
z
z
2
x 4
x
3
 dx 
2 . tan t . 2 sec t . tan t . dt
3
8 sec t
LM
MN
FG
H
a 2  x2
İntegrandında,
IJ OP  C
K PQ
z
FG
H
IJ
K
1  cos 2 t
1
1
 dt 
t  sin 2t  C
2
4
2
bulunur..
a 2  x 2 Varsa (a  0)
3. İntegrandında
den başka köklü ifade bulundurmayan integrallerin hesabında,
için, x = a . tant dönüşümü yapılır..
2
Buna göre,
z
1
1
2
sin t . dt 
2
2
 dt 
1
2
1
2
arc cos

sin 2 . arc cos
4
x
2
x

FG    t   IJ
H 2 2K
olur. Bu değerler integralde yerine yazılırsa;
a x
Örnek :
z
2
2
2
dx
2
2
2
a  a tan t  a . 1  tan t  a . sec t

olur..
integralini hesaplayalım.
2
x . x 4
Çözüm : x = 2 tant dönüşümü yapılırsa;
x = 2tant  dx = 2 . sec2t.dt
z
dx
2

2
x . x 4
z
olur. Bulunan değerler integralde yerine yazılırsa;
2
2 sec t . dt
2

2
4 . tan t . 4 tan t  4
z
2
2 sec t . dt
2
8 . tan t . sec t

z
cos t . dt
sint = u dönüşümü yapılırsa, cost.dt = du olur.
Bulunan değerleri integralde yerine yazalım:
z
cos t dt
2
4 sin t

z

x = 2 tant
du
4u
2

z
1 2
1 1
u . du  

C
4
4 u
1
1

C
4 sin t
olduğundan,
elde edilir..
tan t 
x
2
dir..
sin t 
x
2
x 4
z
dx
2
2
x . x 4
2

x 4
C
4x
bulunur..
217
2
4 sin t
değeri yerine yazılırsa,
olur..
z
f(x) dx integralinde, f(x) fonksiyonu :
A.
f (x) =
m
şeklinde ise,
ax  b
m
ax + b = t dönüşümü yapılarak, irrasyonel fonksiyonun integrali, rasyonel fonksiyonun integ
raline dönüştürülür.
Örnek :
z
4
integralini hesaplayalım.
3 x  7 dx
Çözüm : 3x  7 = t4 dönüşümü yapılırsa;
3 dx = 4 t3 dt

z
z
4
3 x  7 dx 
t  (3 x  7 )
z
4
1
4
z
olur. Bulunanlar yerine yazılırsa,
z
4 3
4 4
4 1 5
4 5
t dt 
t dt 

t C 
t C
3
3
3 5
15
t
elde edilir..
yerine yazılırsa,
3 x  7 dx 
Örnek :
4 3
t dt
3
dx 
4
15
4
5
( 3 x  7)  C
bulunur..
integralini hesaplayalım.
x . x  3 dx
Çözüm : x + 3 = t2 dönüşümü yapılırsa; x = t2  3 ve dx = 2t dt olur. Bu değerler yerlerine
yazılırsa,
z
z
2
x . x  3 dx  ( t  3) . t . 2t . dt 
5
2
Örnek :
z
x . (1 x)
x = t2
Çözüm :
z
dx
2t dt

t 2 . (1  t 2 )
z
z
4
2
(2t  6 t ) . dt
5
3
3
t
t
2
6
 C  ( x  3) 2  2 . ( x  3) 2  C
5
3
5
bulunur..
integralini hesaplayalım.
dönüşümü yapılırsa;
2t dt

t . 1  t2
z
2 dt
dx = 2t dt olur. Bu değerler yerlerine yazılırsa,
 2 . arc sin( t)  C
1  t2
 2 arc sin
m
e xj  C
bulunur..
n
ax  b , ax  b , ... bulunan integraller hesaplanırken; m , n , ... nin en
B. İntegrantında
k
küçük ortak katı k olmak üzere, ax + b = t dönüşümü yapılarak; fonksiyon kökten kurtarılır. Böylece
integral rasyonel fonksiyonun integraline dönüşür.
Örnek :
z
3
2x  1  1
 dx
integralini hesaplayalım.
2x  1
Çözüm : 2x + 1 in kök dereceleri 3 ve 2 dir. 3 ve 2 nin en küçük ortak katı 6 olduğundan
2x + 1 = t6 dönüşümünü yapalım. Eşitliğin iki tarafının diferansiyeli alınırsa; 2dx = 6t5dt olur. Bu
değerleri integralde yerlerine yazalım:
218
z
3
t
6
1
t
5
 3 . t . dt 
6
z
2
t 1
t
z
3
3
5
 3 . t . dt  3
z
2
F t  t I C
 t ) . dt  3 . G
H 5 3 JK
5
(t
4
2
( t  1) . t . dt
3
2
5
1
3
 (2x  1) 6  (2x  1) 2  C
5

3
5
6
5
( 2x  1)  2x  1  C bulunur..
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
z
dx
z
b.
4x
2
dx
z
c.
1  9 x2
dx
16  9 x
d.
2
z
dx
9  (4 x  1)
2
2. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
z
dx
b.
2
x 1
z
dx
z
c.
2
x. x 4
x2  9
 dx
x
d.
z
dx
( x  2)2 . x2  4 x  8
3. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
z
dx
2
b.
2
x . x 1
z
9  x2
x2
c.
 dx
z
dx
x2 . x2  4
4. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
c.
ze
z
x2 
x
3
3
x 1
j
b.
x  2 . dx
d.
dx
x 1
219
z
z
x 1 1
3
x1
x . dx
1  4x
 dx
d.
z
x2  4
x3
 dx
KISMÎ (PARÇALI) İNTEGRASYON METODU
Çarpım şeklinde olup, değişken değiştirme metodu uygulanamayan fonksiyonların integrallerinde
kullanılır.
u ve v türevlenebilen iki fonksiyon olmak üzere, çarpım fonksiyonunun diferansiyeli,
d (u . v) = du . v + dv . u idi.
d (u . v)  du . v = u . dv şeklinde yazıp her iki tarafın integralini alalım:
z
u . dv 
z
d (u . v ) 
z
z
du. v 
u . dv  u . v 
z
v . du
O hâlde, buradan görülüyor ki çarpımın türevindeki terimlerden birinin integrali soruluyorsa, kısmî
integrasyon metodu kullanılmalıdır.
z
u . dv  u . v 
z
v . du
Kısmî integrasyonun en önemli uygulama yerleri;
a.
Çarpımları kapsayan integraller,
b. Logaritmik fonksiyonların integralleri,
c. Ters trigonometrik fonksiyonların integralleridir.
z
Örnek :
integralini hesaplayalım.
x . cos x . dx
Çözüm : Verilen integralde u = x , dv = cosx dx seçelim. Bu durumda, du = dx ve v = sinx
olur. Bunları,
z
z
z
z
eşitliğinde yerine yazarsak,
u . dv  u . v  v . du
Örnek :
z
x 2 . ln x . dx
integralini hesaplayalım.
Çözüm : u = lnx ve dv = x2 dx olsun. Buradan,
z
x 2 . ln x . dx 
Örnek :
z
1 3
1
x ln x 
3
3
arctan x dx
z
x3 .
du 
z
1
1 3
1
. dx 
x . ln x 
x
3
3
1
 dx
x
x 2 dx 
ve
v
1 3
x
3
1
du 
1 x
arctan x . dx  x . arctan x 
 x . arctan x 
z
x
1 x
2
dx  x . arctan x 
1
2
2
z
dx
ve
2x
1  x2
v=x
olur..
dx
1
ln (1  x2 )  C  x . arctan x  ln 1  x2  C
2
220
olur..
1 3
1 3
x ln x 
x  C bulunur..
3
9
integralini hesaplayalım.
Çözüm : u = arctanx ve dv = dx olsun.
z
bulunur..
x . cos x . dx  x . sin x  sin x . dx  x . sin x  cos x  C
bulunur..
Örnek :
z
Çözüm :
4 x2 . e x . dx
z
integralini hesaplayalım.
z
4 x2 . e x . dx  4 x2 . e x . dx
u = x2 ve dv = ex dx
yazılırsa;
z
du = 2x dx ve v = ex olur. Bu değerler verilen ifadede yerlerine
olsun.
z
LM
N
z
OP LM
Q N
4 x2 . e x . dx  4 x2 . e x  2x . e x . dx  4 x2 . e x  2 x. e x . dx
z
x
x . e dx
bulunur..
x
integraline, tekrar kısmî integrasyon metodunu uygulayalım:
x
buradan, du = dx ve v = e
z
LM
N
z
FH
2
z
IK OP  4 x
Q
x
x
x
2
2
ex  2 (x . e x  ex )  C
x
x
x
= 4 (x e  2x e + 2e ) + C = 4x . e  8xe + 8e + C
e x . cos x . dx
u = x ve dv = e dx ;
olur.
4 x 2 . e x . dx  4 x 2 . e x  2 . x . e x  e x . dx
Örnek :
OP
Q
bulunur.
integralini hesaplayalım.
Çözüm : u = cosx ve dv = ex . dx  du =  sinx ve v = ex olur.
z
z
z
z
e x . cos x . dx  e x . cos x  e x . sin x . dx
integrasyon uygulayalım:
bulunur.
z
e x . sin x . dx
integraline, tekrar kısmî
u = sinx , dv = ex dx dersek, du = cosx dx ve v = ex olur. Buradan,
z
e x . cos x . dx  e x . cos x  e x . sin x dx  e x cos x  e x sin x  e x . cos x . dx
z
2 . e x . cos x . dx  e x (cos x  sin x)
z

e x . cos x . dx 
1 x
e (cos x  sin x)  C
2
bulunur..
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
d.
g.
i.
l.
z
z
z
z
z
x. e x . dx
b.
3 x . e 3 x . dx
e.
arc sin x . dx
h.
2
x .cos ec x . dx
x sin2 x. dx
j.
m.
z
z
z
z
z
ln x . dx
c.
(2x  1) . cos 3 x . dx
2
f.
e x .cos x. dx
ı.
log2 x . dx
k.
2
x .sin x . dx
221
n.
z
z
z
zb
z
e 2 x .sin 4 x . dx
x . ln x . dx
x. 2
3x
. dx
g
x  arc tan x . dx
ln(2  3 x). dx
BASİT KESİRLERE AYIRMA METODU İLE İNTEGRAL ALMA
Tanım : Payının derecesi, paydasının derecesinden küçük olan ve paydası çarpanlarına ayrılabilen bir kesrin, önceden hangi kesirlerin toplamı olduğunun bulunması işlemine, basit kesirlere ayırma işlemi denir.
Bu tip rasyonel kesirlerin integrali de fonksiyon ve türevi yoksa, basit kesirlere ayırma yöntemi ile
alınır.
z
Örnek :
3x  2
dx
2
3x  2
Çözüm :
integralini hesaplayalım.
x 4
kesrinde, payın derecesi paydanın derecesinden küçük ve paydası çarpanlara
2
x 4
ayrılabildiğinden,
3x  2
( x  2) ( x  2)
kesrini basit kesirlerin toplamı olarak yazalım:
3x  2
A
B



( x  2) ( x  2) x  2 x  2
x=2
x=2
z
3x  2 = A (x + 2) + B (x  2) olur..
için;
4 = 4A dan,
A = 1,
için;  8 =  4B den, B = 2 bulunur. Bulunan bu değerler, integralde yerine yazılırsa;
3x  2
dx 
( x  2) ( x  2)
z FGH
1
2

x2 x2
IJ dx 
K
z
dx
2.
x2
z
dx
x2
bx  2g
 ln x  2  2 ln x  2  C  ln x  2
z
Örnek :
2
3
x x
2
Çözüm :
 dx
2
C
bulunur..
integralini hesaplayalım.
2
A Bx  C
 2
x
x 1
olacak şekilde; A , B , C reel sayılarını bulalım:
x x
x ( x  1)
Paydalar eşitlenirse,
2
2
2 = A (x + 1) + (Bx + C) x = (A + B) x + Cx + A olur. Bu eşitlikten,
A B  0
C0
A2
lırsa;
z
2
3
3
U|
V|
W
Örnek :
Çözüm :

2
bulunur. Bulunan değerler integralde yerlerine yazı-
 A  2 , B  2 , C  0
dx  2
x x

z
z z
dx

x
2x dx
bulunur..
x 1
5x  1
( x  1) 2 ( x  1)
5x  1
2
2
 2 ln x  ln( x  1)  C
2
( x  1) ( x  1)
 dx

integralini hesaplayalım.
A
( x  1)
2

B
C

( x  1) x  1
paydaları eşitlenirse;
5x + 1 = A (x + 1) + B (x  1) (x + 1) + C (x  1)2
x=1
için;
6 = 2A dan,
A = 3 olur.
x=1
için;
 4 = 4C den,
C =  1 olur.
x=0
için;
1 = A  B + C den, B = 1 bulunur. Bu değerler integralde yerlerine yazılır
ve integrali alınırsa,
222
z
5x  1
 dx  3
2
( x  1) ( x  1)
z
dx
( x  1)
2

z z
dx

x 1
dx
x 1

3
 ln x  1  ln x  1  C
x 1

3
x 1
 ln
 C bulunur..
x 1
x 1
Payın Derecesi, Paydanın Derecesinden Büyük veya Eşit İse
z
P ( x)
dx integralinde, P (x) in derecesi Q (x) in derecesinden büyük veya eşit ise; P (x) in
Q ( x)
Q (x) e bölünmesinden elde edilen bölüm B (x) ve kalan K (x) olmak üzere,
şeklinde yazılabilir.
z
z
P ( x)
 dx  B ( x) dx 
Q ( x)
z
K ( x)
 dx
Q ( x)
P ( x)
K ( x)
 B ( x) 
Q ( x)
Q ( x)
olur..
K ( x)
kesrindeki payın derecesi, paydanın derecesinden küçük olduğundan basit kesirlere ayrılır
Q ( x)
ve her basit kesir ayrı ayrı integrallenir.
Örnek :
z
2
x 2
dx
x1
integralini hesaplayalım.
2
x 2
x 1
Çözüm :
kesrindeki payın derecesi, paydanın derecesinden büyük olduğu için; pay,,
2
paydaya bölündüğünde, bölüm x  1 ve kalan 3 olduğundan,
x 2
3
yazılabilir. Buna
 x  1
x 1
x 1
göre,
z
z FGH
2
x 2
dx 
x 1
dx
x  px  q
2
Paydada
IJ
K
3
dx 
x 1
z
( x  1) dx  3
z
dx
x 1
1 2
x  x  3 ln x  1  C olur..
2

z
x  1
İntegrali
<0
olan
2
x + px + q
biçiminde bir ifade varsa; integral,
dünüştürülerek hesaplanır.
Örnek :
Çözüm :
z
dx
2
x  6 x  10
z
dx
2
x  6 x  10
integralini hesaplayalım.
integrali
z
du
1 u
2
223
şekline getirilir..
z
du
1  u2
şekline
2
2
2
x + 6x + 10 = x + 6x + 9 + 1 = 1 + (x + 3)
z
z
z
dx
1  ( x  3)
du
1 u
şekline dönüşür..
2
u=x+3
şeklinde yazılabilir. Buradan integral,
du = dx den

= arctanu + C dir..
2
dx
1  ( x  3)
= arctan (x + 3) + C
2
z
z
Örnek :
Çözüm :
dx
4  9x
4  9x
integralini hesaplayalım.
2
dx
2
olarak hesaplanır..

z
dx
F 9x I
4 G1 
H 4 JK
2

1

4
z
dx
FG IJ
H K
3x
1
2
2
yazılır.
3x
u
2
diyelim. Her iki tarafın
diferansiyelini alalım:
d
z
FG 3xIJ  du
H 2K
dx
4  9x
2
3
2
dx  du  dx 
du olur. Bulunan bu değerleri yerlerine yazalım:
2
3

z
FG IJ
H K
1 2
du
1
1
3x



 arctan u  C   arctan
C
2
4 3
6
6
2
1 u

a ve b sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere;
z
dx
2

2 2
a b x
Örnek :
z
Örnek :
dx
2
dir..
integralini hesaplayalım.
25 x  16
z
Çözüm :
FG IJ
H K
1
bx
arc tan
C
a.b
a
z
dx
2
25 x  16

1
5x
 arctan
+C
5.4
4
=
1
5x
arctan
C
20
4
cos x . dx
49 sin2 x  25
bulunur..
integralini hesaplayalım.
Çözüm : sinx = t dönüşümü yapılırsa;
cosx . dx = dt olur. Bulunan değerler integralde yerine yazılırsa;
z
dt
49 t 2  25

FG
H
IJ
K
1
7t
1
7 . sin x
arctan  C 
arctan
C
7.5
5
35
5
224
bulunur..
bulunur..
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
e.
z
z
dx
b.
2
x  2x
1  5 x
3
x x
 dx
f.
z
z
dx
1 x
3x  5
2
x 4
z
z
c.
2
g.
 dx
dx
z
z
d.
2
x x2
2x  3
2
 dx
h.
x  3x  4
x  2
3
2
 dx
x x
2 . sin x . dx
cos 2 x  cos x  2
2. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
d.
z
x
 dx
x1
z
x  2x  3
 dx
x 1
2
b.
2
e.
z
z
2
x 1
2
 dx
c.
x 1
z
z
2
x  4x  3
 dx
x2
f.
2
2x  6 x  10
2
 dx
x  4x  3
4x  1
 dx
3x  2
3. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
d.
z
z
x2
2
 dx
x ( x  1)
4 . sin x
4
1  cos x
z
z
b.
e.
 dx
2x  1
 dx
3
c.
x  7x  6
e x . dx
e
2x
x
f.
2.e 3
z
z
3 x2  x  2
( x  1) ( x 2  1)
x
( x  1)
4
 dx
 dx
4. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
z
x
7 .e 8
x
 dx
b.
e 2
z
x
5e  2
e
2x
x
e . dx
c.
1
z
(sin t  4) . cos t
 dt
sin t  2
5. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
z
dx
2
b.
x  4x  5
z
dx
2
c.
9 x  25
z
dx
2
x 4
6. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
z
dx
( x  2)2 . ( x  1)
b.
z
dx
2
x . ( x  2)
c.
z
x
2
1 x
3
 dx
7. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
z
sin x . dx
4  cos 2 x
b.
z
e x . dx
1  e 2x
225
c.
z
3. dx
2
x . (1  ln x)
TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLERDEN FAYDALANARAK İNTEGRAL ALMA
İçinde trigonometrik fonksiyonlardan biri veya birkaçı bulunan bazı fonksiyonların integrallerini buraya
kadar öğrendiğimiz metotlarla hesapladık. Bazı trigonometrik ifadelerin bulunduğu integrallerde, bu metodlar yeterli olmayabilir. Bu tip integrallerde, aşağıdaki metotlarla integral alınır.
z
I.
sinmx . cosnx dx
(m, n N) Şeklindeki İntegraller
A. m veya n den biri tek, biri çift ise; tek kuvvet olan terim, türev elde edilecek şekilde çift
2
2
ve tek kuvvet çarpımı olarak parçalanır. sin x + cos x = 1 özdeşliğinden faydalanarak integral hesaplanır.
z
Örnek :
Çözüm :
olduğundan,
sinx = u
z
2
z
2
3
z
sin2 x . cos 3 x dx 
2
z
sin 2 x . cos 2 x . cos x dx
2

cosx dx = du
z
2
2
4
z
cos2x = 1  sin2x
dur.
(u  u ) . du 
olduğundan,
şeklinde yazılır.
olur..
sin x (1  sin x) . cos x dx
u . (1  u ) . du 
u = sinx
integralini hesaplayalım.
sin x . cos x dx
2
1 3 1 5
u  u C
3
5
3
sin x . cos x dx 
bulunur..
1
1
3
5
sin x 
sin x  C
3
5
bulunur..
B. m ve n nin ikisi de tek kuvvet ise; küçük dereceli olan tek ve çift kuvvet çarpımı olarak
parçalanıp, A daki benzer işlemler yapılır.
Örnek :
z
3
5
sin x . cos x dx
integralini hesaplayalım.
Çözüm : sinx ve cosx in kuvvetlerinin ikisi de tek olduğundan, küçük dereceli olanı ayıralım:
z
z
3
z
5
5
z
2
5
2
sin x . cos x dx  cos x . sin x . sin x dx  cos x . (1  cos x) . sin x dx
cosx = u
5
sinx dx =  du

z
2
5
7
u . (1  u ) (  du)   (u  u ) du  
m
ve
n nin
açılımından oluşan sin2 a 
Örnek :
z
2
sin x dx
Çözüm :
sin 2 x 
z
z
2
sin x dx 
FG 1 u
H6
6

IJ
K
1 8
u C
8
1 8 1 6
1
1
8
6
u 
u C 
cos x 
cos x  C
8
6
8
6

C.
olur..
bulunur..
ikisi de çift kuvvet ise; birinci dereceye indirgemek için, cos2a nın
1
1
2
(1  cos 2a) , cos a 
(1  cos 2a)
2
2
eşitliklerinden faydalanılır..
integralini hesaplayalım.
1
(1  cos 2x)
2
olduğundan,
1
1
(1  cos 2x) dx 
2
2

z
(1  cos 2x) dx 
1
1
x
sin 2x  C
2
4
226
1
2
FG x  1 sin 2xIJ  C
H 2 K
bulunur..
z
z
II. sinax . cosx dx ,
sinax . sinbx dx ve
z
sinax . cosbx dx
(a , b  N) Şeklindeki İntegraller
Bu tip integraller hesaplanırken trigonometri konusundan hatırlayacağımız;
1
2
1
sin a . sin b 
2
sin a . cos b 
1
2
cos a . cos b 
sin (a  b)  sin (a  b)
cos (a  b)  cos (a  b)
cos (a  b)  cos (a  b)
ters dönüşüm formüllerinden faydalanılır.
Böylece çarpım integralleri toplam hâline getirilir.
Örnek :
z
z
Çözüm :
z
sin 3 x . sin 2x . dx 
1
2
(cos x  cos 5 x). dx 
Örnek :
1
2
integralini hesaplayalım.
sin 3 x . sin 2x . dx
Çözüm :
1
2
z
z
z
LMsin x 
N
OP
Q
1
1
1
sin 5 x  C 
sin x 
sin 5 x  C
5
2
10
z
sin x .cos (3 x  1). dx 
1
sin( x  3 x  1)  sin ( x  3 x  1) . dx
2

sinx
x
u
2
Yandaki dik üçgen yardımıyla,
Bu tip integrallerde,
cos x  2 cos
x
u
2
O hâlde,
sinx 
cos ( 4 x  1) 
2
1
1
cos (4 x  1) 
cos ( 2x  1)  C
8
4
ve
cosx in

F
GH
1
1  u2
x  2 arctan u
I
JK
2
1

1  u2
2 du
dx 
1 u
tan
2u
1 u
2
x
u
2
(x = 2 arctan u)
, cosx 
1  u2
2
1 u
, dx 
bulunur..
1  u2
2
dir..
değişken değiştirmesi yapılırsa;
2du
1  u2
227
olur..
tir..
OP
Q
bulunur..
Rasyonel İfadeleri Bulunan
dönüşümü yapılır..
tan
x
1 2
2
bulunur..
1
cos ( 2x  1)  C
2
x
x
u
1
2u
 cos
2


2
2
1  u2
1  u2
1  u2
sin x  2 sin
tan
LM 1
N 4
1
2
sin ( 4 x  1)  sin ( 2x  1) . dx 
III. İntegrandında
İntegraller
tir..
integralini hesaplayalım.
sin x .cos (3 x  1). dx
z
1
cos(3 x  2x)  cos (3 x  2x) . dx
2
z
Örnek :
dx
1 cos x
x
u
2
I. çözüm : tan
z
z
dx

1  cos x
sin x 
2
1 u

1  u2
1
1  u2
z
2 du
1  u2 
2
x
u
2
tan
2
,
z
du  u  C  tan
x
C
2
x
2 x
 1 = 2 cos
2
2

2
1 u
2
ve
dx 
2 du
1 u
2
olur..
bulunur..
z
dx
2 cos 2
x
2
 tan
x
C
2
bulunur..
integralini hesaplayalım.
değişken değiştirmesi yapılırsa;
cos x 
dx

sin x  2 cos x  2
z
1 u
1  u2
dx
sin x  2 cos x  2
2u
1 u
z
2 du
1 + cosx = 1 + 2 . cos
z
Çözüm :
değişken değiştirmesi yapılırsa, cos x 
2
II. çözüm :
Örnek :
integralini hesaplayalım.
1 u
2
1 u
2
ve
1 u
2 du
1  u2

2u
1  u2
2
2
1  u2
1  u2
 ln tan
2 du
dx 
x
2 C
2
z
2
olur..
du
 ln u  2  C
u2
bulunur..
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
d.
z
z
z
z
z
z
z
sin 3 x . dx
b.
sin 3 x . cos 2 x . dx
e.
2. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
d.
g.
cos 2x . cos x . dx
b.
cos 3 x . sin 8 x . dx
e.
d.
cos 4 x . dx
c.
sin 2 3x . dx
f.
cos 4 x . cos 3 x . dx
c.
sin 2x . cos 4 x . dx
f.
dx
2  sin x
c.
dx
1 sin x
f.
z
z
z
z
cos 2 x . dx
cos 3 x . dx
cos 2x . cos 4 x . dx
cos
x
x
 cos  dx
2
3
cos (ax  b) . cos (ax  b) . dx
3. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a.
z
z
z
z
dx
sin x  cos x
b.
dx
1 sin x  cos x
e.
z
z
228
z
z
dx
1  sin x  2 cos x
dx
sin x
BELİRLİ İNTEGRAL
BİR KAPALI ARALIĞIN PARÇALANMASI
a , b  R ve
a<b
olmak üzere,
[a , b]
aralığı için;
a = x0 < x1 < x2 < ... < xk1 < xk< xk+1 < ... < xn1 < xn = b olacak biçimde alınan x0 , x1 , x2 , ... , xk , ... , xn
reel sayılarını alalım:
a. P = {x0 , x1 , x2 , ... , xk , ... xn} kümesine,
denir.
[a , b] aralığının bir bölüntüsü veya parçalanması
b. k  {1 , 2 , ... , n} için [x k 1 , x k ] aralığına , [a , b]
alt aralığı denir.
c. xk = xk  xk1
sayısına,
[xk1 , xk]
aralığının
P
bölüntüsüne göre bir
alt aralığının uzunluğu denir.
d. [a , b] aralığının P bölüntüsüne ait alt aralık uzunluklarından en büyüğüne, P bölüntüsünün
normu denir ve bu
P
ile gösterilir. Yani,
P = max {x1 , x2 , ... ,  x n } dir..
e. Eğer [a , b] nın P bölüntüsüne ait kapalı alt aralıklarının uzunlukları birbirine eşitse; yani
x1 = x2 = ... = xn ise, P bölüntüsüne, düzgün bölüntü denir ki bu durumda bölüntünün normu;
P
= x k 
ba
dir..
n
RS
T
Örnek : P = 1 ,
a. P
müdür?
4 3 5 14
,
,
,
,3
3 2 2
5
UV
W
kümesi veriliyor:
bölüntüsünün alt aralıklarını ve her birinin uzunluğunu bulalım. Bu bölüntü, düzgün bölüntü
b. P bölüntüsünün normunu bulalım.
Çözüm :
x 4 
a.
x1 
14
5
3


5
2
10
,
4
1
 1
3
3
x 5  3 
,
x 2 
3
4
1


2
3
6
,
x 3 
5
3

1
2
2
14
1

5
5
Burada alt aralıkların uzunlukları eşit olmadığından, P bölüntüsü düzgün bölüntü değildir.
b.
P = max {x1 , x2 , x3 , x4 , x5 } = max
Örnek : [2 , 4]
normunu bulalım.
aralığını
5
RS 1 , 1 , 1 , 3 , 1 UV = 1
T 3 6 10 5 W
bulunur..
tane eşit alt aralığa ayıran düzgün bölüntüyü ve bu bölüntünün
Çözüm : Bulacağımız bölüntüye, P diyelim. Önce P nin normunu bulalım. Bölüntü düzgün
olduğundan,
P 
Buna göre,
RS
T
P  2,
42
2

5
5
RS
T
P  2, 2
tir..
2
4
6
8
10
, 2
, 2
, 2
,2
5
5
5
5
5
12 14 16 18
,
,
,
,4
5 5
5
5
UV
W
bulunur..
229
UV
W
İNCELME DİZİSİ
Tanım : Bir [a , b] aralığının herhangi iki bölüntüsü P1 ve P2 olsun.
P2 bölüntüsü P1 bölüntüsünden daha incedir veya sıktır, denir.
P1  P2 ise,
Bu durumda, P2 nin normu P1 in normundan daha küçük veya eşittir. Yani ,
O hâlde, bölüntü inceldikçe normu küçülecektir.
[a , b] aralığının giderek incelen bölüntülerden oluşan
P2
 P1
dir..
(Pn) = (P1 , P2 , ... , Pn1 , Pn , Pn+1 , ...)
dizisini alalım. Dizinin terim numaraları büyüdükçe, daha incelmiş bölüntüler elde edilir.
Buradaki diziye, bir incelme dizisi denir.
Eğer,
P
bölüntüsü düzgün bölüntü ise,
 x1   x 2  ...   xn 
P1
 P2
lim
P 0
n
ba
n
 ...  Pn
olur.
 ...  0
bulunur. O hâlde,
P 
ba
n
dır..
olduğundan,
P bölüntüsü [a , b] nın düzgün bölüntüsü ise,
sayısı sonsuza doğru artırdıkça, aralıkların uzunlukları sıfıra yakınsar.
RS
T
Örnek : [0 , 1] aralığının P1  0 ,
UV
W
1 1
, ,1
3 2
ve
RS
T
P2  0 ,
UV
W
1 1 1 3
, , ,
,1
4 3 2 4
n bölüntü
iki bölüntüsü
göz önüne alınıyor:
a. Hangi bölüntü daha incedir veya sıktır?
b. Hangi bölüntünün normu daha küçüktür?
c. Aralığı
n
eşit parçaya ayıran düzgün bölüntüyü, normunu ve
lim
n 
P
yi
bulalım.
d. Aralığı 2n1 eşit parçaya ayıran düzgün bölüntülerden oluşan (Pn) = (P1 , P2 , P3 , ... , Pn , ...)
dizisinin ilk üç terimini ve Pn genel terimini yazalım. Bu durumda, bölüntünün normunu n ye bağlı
bulalım.
lim
Pn
n 
için ne söylenebilir?
RS
T
Çözüm : a. P1  0 ,
daha incedir.
UV
W
1 1
, ,1
3 2
RS
T
 P2  0 ,
UV
W
1 1 1 3
, , ,
,1
4 3 2 4
RS 1 , 1  1 , 1  1 UV  1
T3 2 3 2W 2
R 1 1  1 , 1  1 , 3  1 , 1  3 UV 
 max S ,
T4 3 4 2 3 4 2 4 W
olduğundan; P2 , P1 den
P1  max
b.
P2
O hâlde,
c. [a , b]
1
4
P2  P1
dir..
aralığı n eşit parçaya ayrılacağından, düzgün bölüntünün normu;
1 0
1
1

ve
lim P  lim
 0 bulunur..
n
n  n
n
n
11
d. n = 1 için, [0 , 1] aralığı 2 = 1 alt aralıktan oluşur. Buna göre, P1 bölüntüsünün normu,
P

1 0
 1 dir. O hâlde,
1
P1 = {0 , 1}
n = 2 için, aralık 221 = 2 alt aralıktan oluşur. Buna göre, P2 bölüntüsünün normu,
O hâlde,
RS
T
P2  0 , 0 
1
1
,02
2
2
UV  RS0 , 1 , 1UV
W T 2 W
230
olur..
1 0
1

2
2
dir..
1 0
n = 3 için, aralık 231 = 4 alt aralıktan oluşur. Buna göre, P3 bölüntüsünün normu,
O hâlde,
|RS
|T
R| 1
 S0 ,
|T 2
1
P3  0 , 0 
2
2
2
2
,
2
,0
2
2
2
3
,
2
2
2
,0
3
2
4
,
2
2
2
U|
V|
W
4
,0
2
2
|UV  RS0 , 1 , 2 , 3 , 4 UV
|W T 4 4 4 4 W
R|
S|
T
1
Pn  0 ,
2
2
,
n 1
2
n1
, ... ,
2
n 1
2
n 1

1
4
tür.
bulunur..
n için, aralık 2n 1 alt aralıktan oluşur. Buna göre, Pn bölüntüsünün normu,
O hâlde,
2
2
U|
V|
W
Pn
lim Pn  lim
bulunur. Buradan,
n
n

1 0
n 1
2
1
2
n 1
1

0
2
n 1
dir..
olur..
ALT TOPLAM, ÜST TOPLAM VE RIEMANN (RİMAN) TOPLAMI
f : [a , b]  R , sınırlı bir fonksiyon olsun. P bölüntüsüne ait [ x k 1 , x k ]
alt aralığını alalım.
Fonksiyon bu alt aralıkta sınırlı olduğundan bir en büyük alt sınırı
EBAS , en küçük üst sınırı EKÜS değeri vardır. Bu değerlere sırasıyla
mk , Mk diyelim. Yani,
n
 EKÜS nf ( x) : x  x
mk  EBAS f ( x) : x  xk 1 , xk
Mk
k 1
, xk
s
s
olsun.
Ayrıca,
rk  [xk1 , xk] için, m k  f (r k )  Mk olacak biçimde
xk = xk  xk1 aralık uzunluğunu yukarıdaki eşitsizlikle çarpalım:
m k .  x k  f (r k ) .  x k  M k .  x k
f ( r k)
değeri vardır..
olur.
Bu çarpımları geometrik olarak, taban uzunluğu xk ve sırasıyla yükseklikleri mk , f (rk) ve Mk
olan dikdörtgenlerin alanları biçiminde yorumlayabiliriz. Şimdi bu açıklamaları aşağıdaki tanımda kulla
nalım:
Tanım : f : [a , b]  R sınırlı bir fonksiyonuna ait bir bölüntüsü P olsun:
n
a. A (f , P) =
m
k
. xk  m1 . x1  m2 . x 2  ...  mn . x n
toplamına, f fonksiyonunun
k 1
P bölüntüsüne göre alt toplamı denir.
n
b. Ü (f , P) =
M
k
. xk  M1 . x1  M 2 . x 2  ...  M n . x n
toplamına, f fonksiyonunun
k 1
P bölüntüsüne göre üst toplamı denir.
n
c. R (f , P) =
 f (r ). x
k
k
 f (r1). x1  f (r2 ). x 2  ...  f (rn ). x n
k 1
yonunun P bölüntüsüne göre Riemann toplamı denir.
231
toplamına da f fonksi-
Tanımlanan toplamlar arasında,
A (f , P)  R (f , P)  Ü (f , P)
olduğunu kolayca görebiliriz.
Aşağıdaki şekillerde, bu toplam alanları inceleyiniz.
Özet olarak:
Eğer bölüntü sayısını, yani n değerini giderek artırırsak:
• Alt toplamların büyüyerek eğri altındaki alana yaklaştığını görebiliriz.
• Üst toplamların küçülerek eğri altındaki alana yaklaştığını görebiliriz.
• Riemann toplamının da alt ve üst toplamlar arasında kalarak eğri altındaki alana yaklaştığını gö
rebiliriz.
O hâlde, [a , b]
aralığında f (x)
eğrisi altında kalan sınırlı bölgenin alanı
lim A (f , P)  lim R(f , P)  lim Ü(f , P)  S
n 
n
S olmak üzere;
olduğu sonucuna varabiliriz.
n 
Örnek : f : [0 , 1]  [1 , 2] , f (x) = x2 + 1 fonksiyonu veriliyor.
f (x) fonksiyonunun tanımlanan aralıkta
bölüntüsü alınıyor:
n
parçaya bölünerek elde edilen
a. A (f , P)
alt toplamını ve bu toplamın n  + 
b. Ü (f , P)
üst toplamını ve bu toplamın
c. Eğri altında kalan alan
alanını bulalım.
n+
P
düzgün
için limitini bulalım.
için limitini bulalım.
S ise, a ve b şıklarından elde edilen toplamlar yardımıyla S
232
Çözüm
a.
Önce [0 , 1]
aralığına ait düzgün bölüntüyü yazalım:
RS
T
UV
W
1 2 3
n 1 n
,
,
, ... ,
,
1
Her bir alt aralıktaki
n n n
n
n
EBAS değerlerini ve dikdörtgenlerin toplam alanını bulalım:
P  0,
A (f , P) =
n1 
f (0 )  0 2  1  1 
n2 
f
FG 1 IJ  FG 1 IJ
HnK H nK
F 2I F 2I
fG J  G J
H nK H nK
n3 
.
.
.
n2
1
2
1
.
.
.
n  n için,
FG IJ
H K
n2  0 2
2
1
n2
22
n2
1
1
n2  12
n2
n 2  22
n2
.
.
.
F n  1IJ  FG n  1IJ
fG
H nK H nK
FG IJ
H K
2
 1
.
.
.
n 2  (n  1)2
n2
Bulunan değerler A(f , P) de yerine yazılırsa;
F
GG
H

1
n

3
1
n

F n2  22 I
GG 2 JJ     
H n K
LMn 2  0 2  n 2  12  n 2  2 2      n 2  (n  1) 2 OP
N
Q
2
1
n 0

2
n
n
A ( f , P) 
3
I
JJ 
K
1
n
F n 2  12 I
GG 2 JJ 
H n K
1
n
1
n
LM n 2  (n  1)2 OP
MN n 2 PQ
LMn . n 2  12  2 2      (n  1) 2 OP
N
Q
1
n
2
3
O hâlde,
LMn
N
3

(n  1) n ( 2n  1)
6
OP 
Q
S  lim A (f , P)  lim
n
n 
3
3
2
6n  2n  3n  n
6n
3
8n 3  3n 2  n
6n
FG
H
1
1
1
1
2
1
n1
 f ( 0) 
f

f
 ... 
f
n
n
n
n
n
n
n
3
233
3

2
8n  3n  n
6n

4
3
bulunur..
3
tür..
IJ
K
b. Her bir alt aralıktaki EKÜS değerlerini ve dikdörtgenlerin toplam alanlarını bulalım:
FG IJ
FG IJ
FG IJ
HK
H K
H K
1 Fn 1 I 1 Fn  2 I
1 Ln  n
G

  
M
J
G
J
n H n
n MN n
K nH n K
1 1
1
2
1
n
f
 f
     f
n n
n
n
n
n
Ü (f , p) =
2
Ü ( f , P) 



1
n
3
1
n
3
1
n
3
S  lim Ü (f , P)  lim
n 
2
2
2
2
2
2
2
OP
PQ
n2  12  n2  2 2  n 2  3 2      n2  n 2
n . n 2  12  2 2     n 2
LMn
N
3

OP
Q
2
8n  3n  n
n 
3
3
2
3
2
n (n  1) ( 2n  1)
6n  2n  3n  n
8n  3n  n


3
3
6
6n
6n
3
O hâlde,
2
6n
3

4
3
bulunur..
c. Görüldüğü gibi; [0 , 1] aralığında, f (x) = x 2 + 1 fonksiyonunun x
bölgenin alanı, A (f , P) alt toplamının veya Ü (f , P) üst toplamının limitidir.
ekseniyle sınırlı
BELİRLİ İNTEGRAL
Tanım :
fonksiyon ve
f : [a , b]  R ve sürekli ya da süreksiz olduğu nokta sayısı sonlu tane olan bir
[a , b] nın bir bölüntüsü P olmak üzere:
lim A (f , P)  lim Ü(f , P)  S ise, f fonksiyonu, [a , b] aralığında integrallenebilir
P 0
P 0
bir fonksiyondur, denir.
z
b
S reel sayısına da f nin [a , b] aralığındaki belirli integrali denir ve bu, S  f (x) dx
a
biçiminde gösterilir.
Bir önceki bölümde tanımlanan Riemann toplamına göre;
A (f , P)  R (f , P)  Ü (f , P) idi. Eşitsizliğin her üç parçası için P bölüntüsünde n  için
limiti alınırsa;
z
b
S  lim A (f , P)  lim R (f , P)  lim Ü(f , P) 
n 
n 
n 
f (x). dx
olduğu sonucunu çıkarabiliriz.
a
İntegral Hesabın 1. Temel Teoremi
Teorem :
f : [a , b]  R
z
fonksiyonu,
[a , b]
aralığında sürekli ve
F : [a , b]  R
x
fonksiyonu,
F(x) 
f (t) dt
ile tanımlanmış olsun. Bu durumda,
a
aralığında türevlenebilir ve
x  (a , b)
için,
F (x)  f (x)
234
tir..
F (x)
fonksiyonu
(a , b)
Bu teoremin ispatını yapmayacağız. Ancak, teoremin anlamını
yandaki şekil ile açıklayabiliriz.
Şekilde, f (t) fonksiyonunun gösterdiği eğri altında, x ekseni
ile sınırlı, [a , x] aralığındaki alan fonksiyonu F (x) olmak üzere,
z
x
F(x) 
f (t) dt ise, F  (x)  f (x)
tir..
a
Burada, f (t ) fonksiyonundaki t değişkeni, x değişkeni ile karışmaması için yazılmıştır.
t yerine x değişkeninden başka herhangi bir değişken de yazılabilir. Yani,
z
x
F(x) 
z
z
x
f (t)  dt 
a
z
x
f (z)  dz 
a
f (u)  du da yazılabilir..
a
x
Örnek : F ( x) 
1  t . cos t dt
ise;
3
a. F  ( x)
b. F  ( 0)
ifadesini bulalım.
z
değerini bulalım.
x
Çözüm : a.
F ( x) 
1  t . cos t . dt
ise,
integral hesabın 1. temel teoremine göre,
3
F  ( x)  1  x . cos x
tir..
F  (0)  1  0 . cos 0  1
b.
bulunur..
Örnek : Aşağıdaki F (x) fonksiyonlarının F  ( x) türev fonksiyonlarını bulalım.
z
g ( x)
a. F ( x) 
z
a
c. F ( x) 
f ( t) . dt
f ( t) . dt
g ( x)
g ( x)
z
z
h ( x)
a
b. F ( x) 
f ( t) . dt
g ( x)
Çözüm :
a. F ( x) 
ise,
f ( t) . dt
z = g (x)
dönüşümünü kullanalım. Bu durumda,
a
z
z
G ( z) 
f ( t ). dt
ve
F (x) = G (z)
olur..
a
F ( x) 
b g
dG dz

 G( z) . g( x)  f ( z) . g( x)  f g ( x) . g( x)
dz dx
z
z
b. F ( x) 
z
g ( x)
a
f ( t) . dt  
g ( x)
h ( x)
c. F ( x) 
f ( t) . dt 
g ( x)
f ( t ) . dt

bulunur..
b g
F ( x)   f g( x) . g( x)
bulunur..
a
z
z
h ( x)
a
f ( t ) . dt 
g ( x)
b g
b g
f ( t) . dt  F ( x)  f h ( x) . h ( x)  f g ( x) . g( x) bulunur..
a
235
z
3x
Örnek : f ( x) 
2
fonksiyonu veriliyor. f (x) in grafiğinin x = 1 apsisli noktasın-
(2x  1) . dx
2x
daki teğetinin eğimi kaçtır?
e
2
f  ( x)  36 x  2x  2
3
z
2
Örnek : F (x) =
x2

1
3
ise,
m
b
j
g
f  ( x)  2 . (3 x )  1 . (6 x)  2 . (2x)  1 . 2  36 x  6 x  8 x  2
Çözüm :
3
m t  f (1)  36 . 1  2 . 1  2  32

2mt
2
t 3
3
bulunur..
fonksiyonun grafiğinin x = 1 apsisli noktasındaki normalinin eğimi
 dt
kaçtır?
Çözüm : m t . mn = - 1  m t = 3 olur.
F ( x)  
2mx
2
2m
2 3
4
 F (1)  
 2x
4
x 3
 m   3 bulunur.
İntegral Hesabın 2. Temel Teoremi
Teorem : f : [a , b]  R integrallenebilen bir fonksiyon olsun.
z
Eğer
olacak biçimde
f (x) . dx  F(x)  C , C  R
z
f : [a , b]  R
ye
F (x)
b
fonksiyonu varsa,
f (x) . dx  F(x)
 F (b)  F (a)
dır.
a
Bu teoremin ispatını vermeyeceğiz. Bu teorem yardımıyla, bir aralıkta bir fonksiyonun belirli integralini
b
g
kolayca bulabiliriz. Şöyle ki; önce f (x) fonksiyonunun F (x) belirsiz integralini
f ( x) in ilkelini
bulup, F (x) te önce [a , b] aralığının, F (x) teki F (b) üst sınır değerinden, F (a) alt sınır
değerini çıkarırız.
Örnek : Bir önceki konuda, alt ve üst toplamlar yardımıyla bulduğumuz; f : [0 , 1]  [1 , 2] ,
f (x) = x2 + 1 parabolünün [0 , 1] aralığındaki x ekseniyle sınırlı alanı, belirli integral ve integral
hesabın temel teoremi yardımıyla bulalım.
z
1
Çözüm :
F x  xI
GH 3 JK
3
S  ( x2  1) . dx 
0
F 1  1I  F 0  0I 
GH 3 JK GH 3 JK
3

3
4
4
0 
3
3
Örnek : Aşağıdaki belirli integralleri bulalım.
z
z

1
a.
b.
(2x  1) . dx
sin x . dx
c.
0
0
z
z
1
x
e . dx
1
1
Çözüm : a.
2
(2x  1) dx  ( x  x)
2
2
 (1  1)  ( 0  0)  2 bulunur..
0
z
z

b.
  (cos   cos 0)   ( 1  1)  2 bulunur..
sin x dx   cos x
0
1
c.
2
x
e dx  e
x
1
 e e
1
 e
1
e 1

bulunur..
e
e
1
236
bulunur..
LM d F
MN dx GGH
z z
/ 6
Örnek :
0
z
x
sin 2t . dt
0
/ 6
Çözüm :
0
z
2 x 1
x
2t

FG
H
IJ
K
1

1
cos
 cos 0 
2
3
4
bulunur..
dt fonksiyonu veriliyor. F (x) in x = 1 apsisli noktasındaki teğetinin
2
2
değerini bulalım.
1
 cos 2 x
2
sin 2 x . dx  
Örnek : F ( x) 
I OP
JJ P dx
KQ
t 1
denklemini bulalım.
F  ( x) 
Çözüm :
z
3
F (1) 
1
2t
2
t 1
2 . (2x  1)
2
(2x  1)  1
dt  ln ( t 2  1)
2 
2 x2
12 4
4
 2x  mt  F(1) 


10 2
5
x 1
4
= ln10  ln 2  ln
O hâlde, teğet denklemi; y  ln 5  
4
( x  1)
5
10
 ln 5
2

y
4x 4

 ln 5
5
5
bulunur..
BELİRLİ İNTEGRALİN ÖZELİKLERİ
Tanım : f : [a , b]  R fonksiyonu, [a , b] aralığında integrallenebilirse,
z
a
z
a
f ( x) . dx
ve
a
f ( x) . dx
integrali;
b
z
f (x) . dx  0
z
f (x) . dx  
a
1.
a
b
2.
z
a
a
biçiminde tanımlanır..
f (x) . dx
b
Teorem : f : [a , b]  R , g : [a , b]  R fonksiyonları [a , b] aralığında integrallenebilir
iki fonksiyon olsun.
z
z
zb
b
1.
f (x) . dx 
a
c  [a , b]
z
b
f (x) . dx  f (x) . dx tir..
a
c
z
b
k . f (x) . dx  k . f (x) . dx tir..
a
b
3.
z
c
b
2.
ve k  R olmak üzere;
a
g
f (x)  g(x) . dx 
a
z
b
a
z
b
f (x) . dx  g(x) . dx tir..
a
237
Bu teoremin sadece 1. sini ispatlayalım:
[a , c] nın
bir bölüntüsü
P1 = {a = x0 , x1 , x2 , ... , xm = c}
P2 = {c = xm , xm+1 , ... , xn = b}
P1
 0
z
ve
P2
 0
b
olsun.
P = P 1  P2
P
k 1
P1  0
z
P  0
olduğunda,
P
 f (rk ). xk
lim
P 0
k 1
k  m 1
n

f (rk ). xk 
z
 f (rk ). xk
lim
P2  0
k 1
c
=
bir bölüntüsü
n
 f (rk ). xk 
0
lim
m
lim

bölüntüsünde
m
 f (rk ). xk 
0
lim
a
[c , b] nın
olur. Belirli integralin Riemann toplamından faydalanarak;
n
f ( x). dx 
ve
k  m 1
b
f ( x) . dx 
a
f ( x) . dx
bulunur..
c
Bu teoremin sonucu olarak;
z
b
a.
z
b
f (x)  g(x) . dx 
a
b
z
b
g
f (x)  1 . g(x) . dx 
a
b. m ve n
z
z
b
f (x) . dx 
a
g(x) . dx
a
birer reel sayı olmak üzere;
b
z
z
b
m f (x)  n g(x) . dx 
a
b
m f (x) . dx 
a
z
b
n g(x) . dx  m
a
z
b
f (x) . dx  n
a
g(x) . dx bulunur..
a
Örnek : Aşağıdaki belirli integralleri hesaplayalım.
z
z
2
a.
3
dx
b.
1
z
3
x sgn ( x  2) dx
c.
1
z
4
dx
d.
1
9x
2
dx
2
Çözüm : a.
fonksiyonu, ardışık tam sayı aralıklarında farklı değerler aldığından, [ 1 , 2]
aralığını birer birim uzunluktaki alt aralıklara bölmeliyiz. Yani;
z
2
z z
z z
0
dx =
1
1
1
dx +
0
0

1
1 . dx   x
3
1
z
2

x
2
z
[ 1 , 3]
3
x . ( 1) dx 
1
2
0
b
z
2
0 . dx 
1 . dx
1
g
=  0  (1) + (2  1) =  1 + 1 = 0
olduğundan,
2
x sgn ( x  2) dx 
x
2
1
+x
z
1
1 . dx 
bulunur..
1
b. sgn (x  2) = 0  x = 2
alt aralığa bölmeliyiz. Buna göre,

z
0
dx =
2
1 . dx 
1
z
z
2
dx +
2

22
2
238
3
x dx 
1
F 2  (1) I  F 3
GH 2 2 JK GH 2
2
z z
2
x . 1 . dx  
2
2
 
aralığını [ 1 , 2] ve [2 , 3]
x dx
2
I   F 2  1I  F 9  2I  1
JK GH 2 JK GH 2 JK
bulunur..
olarak iki
z
3
c.
z
z
2
dx =
1
3
dx +
1
2
 (2  1) 
1
x dx
2
F 3  2 I  1 9  2  7
GH 2 2 JK 2
2
2
x
2

z
3
0
x dx 
1
2
= x
z
2
dx =
2
bulunur..
d. 9  x2 = 0  x1, 2   3 bulunur. 3  [2 , 4] olduğundan, istenen belirli integrali
hesaplamak için, [2 , 3] ve [3 , 4] alt aralıklarında ayrı ayrı işlem yapılmalıdır. Yani;
z
F 9x  x I  F x  9xI
GH 3 JK GH 3 JK
LF
I F 3  9 . 3I OP
3 I F
2 I O LF 4
P
 MG 9 . 3 
 G9 . 2 
 MG
 9 . 4J  G
J
J
JK P
3 K H
3 K P MH 3
MNH
K H3
Q N
Q
4
z
3
9  x2 dx 
2
z
4
(9  x2 ) dx 
2
3
3
( x2  9) dx 
3
3
3
3
3
8 64

 36  9  27  6
3
3
 27  9  18 
bulunur..
Teorem : f : [a , b] fonksiyonu, [a , b] de integrallenebilen bir fonksiyon olsun. Buna göre,
z
b
z
b
f (x).dx 
a
tir..
f (x) .dx
a
İspat : [a , b] aralığının bir bölüntüsü, P = {a = x0 , x1 , x2 , ... , xn = b} ve bölüntünün normu
sıfıra yakınsasın, yani
P  0 olsun.
Belirli integral tanımını kullanırsak;
z
b
n
f ( x). dx 
lim
P 0
a
n
 f (rk ). xk

lim
P 0
k 1
 f (rk ). xk
k 1
Üçgen eşitsizliğini kullanarak,
n
 f (rk ). xk
 f (r1).  x1  f (r2 ).  x 2  ...  f (rn ).  xn  f (r1).  x1  f (r2 ).  x 2  ...  f (rn ).  xn
k 1
n
 f (r1) .  x1  f (r2 ) .  x2  ...  f (rn ) .  xn 
 f (rk ) .  xk
yazabiliriz.
k 1
Bu değer yukarıdaki eşitlikte yerine yazılırsa;
z
b
n
f ( x). dx 
a
lim
P 0
z

k 1
b
Buna göre,
a

z
lim
P 0

k 1
z
b
n
f (rk ). xk
f ( x) . xk 
f ( x) . dx tir..
a
b
f ( x) . dx 
f ( x) . dx
bulunur..
a
Bu teorem, bir kapalı aralıkta integrallenebilir bir fonksiyonun; bu aralıktaki integralinin mutlak değeri
ile mutlak değerinin integrali arasındaki ilişkiyi belirtir.
239
Örnek : Aşağıdaki fonksiyonların belirtilen aralıklardaki belirli integralinin mutlak değeri ile mutlak
değerinin belirli integrallerini bulup, bu değerleri karşılaştıralım.
a. f : [ 1 , 2]  R , f (x) = 3x2 + 1
LM  , OP
N6 Q
c. f :
 R , f (x) = cosx
Çözüm : a.
z
2

1
1
z
z
f ( x) dx 
f ( x) dx 
z
1
z
z
z
x >1
1

x
2
z
z

( x 2  1) dx 
F x  xI
GH 3 JK
3
f ( x) dx 
z
f ( x) dx
denkleminin
için,
için,

LM  , OP
N6 Q
f (x) = cosx  0
aralığındaki kökü,
z
z
/6
 

dir. O hâlde;
2
= sin
1
2
1
2
(  cos x) dx
IJ  FG sin   sin  IJ  FG1  1 IJ  b0  1g 
2K H
2K
K H

ve J 

/ 2


 sin
2
6
z
z
1
2

cos x dx 
/ 6
FG
H
 sin x
cos x dx 
z

6
 /2
cos x dx 
 /6


x
dır. Buna göre;
 sin   sin
sin x

f ( x) dx 
= sin x
3
f (x) = cosx > 0 dır..
cos x dx 
/6

20
3
F 3  3I  F 1  1I  20
GH 3 JK GH 3 JK 3
3
3

bulunur..
/6
J
3
1


F 3  3 I  F1  1 I
GH 3 JK GH 3 JK
3
1


x
6
2
Fx  x I
GH 3 JK
1
3
c. cos x = 0
z
bulunur..
1
2
3
1  x 2 dx 
f ( x) dx
1  x < 0 dır..
3
(1  x2 ) dx 
1
Buradan,

z
bulunur..
2
f ( x) dx 
1
2
için,
3
f ( x) dx 
Buradan,
(3 x  1) dx  12 dir.
1
3
z
i  (10  2)  12
2
2
3
f ( x) dx 
d
 ( 2 3  2)  ( 1) 3  ( 1)
1
x  [1 , 3]
3
J
f (x) = 3x2 + 1 > 0 dır..
2
1
b.
z
z
için
(3 x 2  1) dx  ( x 3  x)
2
1

z
x  [ 1 , 2]
2
f ( x) dx 
2
J
b. f : [1 , 3]  R , f (x) = 1  x2
cos x dx 
 /6
240
3
2
bulunur. O hâlde,
 < J dir..
3
dir. Buradan,
2
Sonuç olarak: Örnekteki a ve b şıklarında görüldüğü gibi, bir fonksiyon bir aralıkta devamlı
pozitif değerler veya devamlı negatif değerler alıyorsa, yani işaret değiştirmiyorsa;
z
b
z
b
f (x) dx 
a
f (x) dx
tir..
a
Ancak, c şıkkında görüldüğü gibi, bir fonksiyon bir aralıkta işaret değiştiriyorsa;
z
b
z
b
f (x) dx 
a
f (x) dx
tir..
a
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıdaki belirli integralleri hesaplayınız.
a.
z
z
x3 . dx
b.
( x1998  x1997 ) . dx
c.
1
0
1
d.
z
z

2
1
1
e
dx
1
1 x
e.
2
2
e
z
z
4 sin 2x . dx

2
dx
x
f.
e2 x . dx
1
2. Aşağıdaki belirli integralleri hesaplayınız.
z
z
3
a.
2
1 x
z
z FH
b.
2
2x  1 . dx
c.
1
3 /2
d.
e.
0
ln x . dx
e
I
K
2
9  x2 . dx
z
z
e2
9
2 . dx

x3  2x . dx
1
f.
(cos x  cos 3 x) . dx
0
3. Aşağıdaki belirli integralleri hesaplayınız.
z
z
e3
a.
e

4
ln x  1
. dx
x
b.
x2 sgn ( x  3) . dx
e.
tan x . sec 2 x . dx
c.
0
5
d.
z
z

2
(cos x  2)2 . sin x . dx

2
2
z
z
3
. dx
f.
1
x2  2x . dx
1
4. Aşağıdaki belirli integralleri hesaplayınız.
z
3
a.
b.
1
z
e
d.

2
1
z

. sgn (x  1) . dx
e.
z
c.

2
1  cos 2 x . dx
0
4
. ex . dx
z

cos x sin x . dx
3•
1
241
4
x
z
1
•
dx
f.
3 x2 . (4  arctan x) . dx
1
R| 2x  1
|
f ( x)  S 2 x . e
|| 1
|T x  1
,
x 0
ise
,
0  x 1
ise
1x
ise
2
5.
x
,
2
z
3
fonksiyonu veriliyor:  
f (x) . dx değerini hesaplayınız.
2
6. y = f (x) fonksiyonunun grafiği üzerindeki A (1 , 2) noktasından çizilen teğetinin x ekseniyle
yaptığı açı 45o , B (2 , 1) noktasında çizilen teğetin x ekseniyle yaptığı açı 135o olduğuna
göre, aşağıdaki belirli integralleri bulunuz.
ze
2
a.
z
z
2
j
f ( x)  x f ( x) . dx
b.
1
z
f 2 ( x)
1
8
7.
f ( x)  x f ( x)
z
2
 dx
c.
f ( x) . f ( x) . dx
1
3
f ( x) . dx = 6
veriliyor.
Buna göre,
1
f (3x  1) . dx
belirli integralinin değeri kaçtır?
0
8. Aşağıda verilen
z
F (x)
F (x)
fonksiyonlarının
türev fonksiyonlarını bulunuz.
(sin2 t  cos 2 t) . dt
b. F ( x) 

2
z
e
z
t ln t
1 t2
x2
1
c. F ( x) 
z
x

a. F ( x) 
e 2 t 1 . dt
d. F ( x) 
1
x
x2
 dt
ex
 dx
x1
z
1
9. y = f (x)
fonksiyonunun grafiği
A (1 ,  2)
noktasından geçtiğine ve
f 2 (x) . f (x) . dx  2
1
olduğuna göre,
f ( 1)
değerini bulunuz.
10. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
z
2
a.
1
11.
b.
LM d F
MN dt GGH
z z
/ 6
d
(2x  3) . dx
dx
0
t
0
IO
cos 3 x . dxJ P  dt
JK PQ
c.
d3
dx3
F
GG
H
z
3
x2
I
3 t . dtJ
JK
Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
z
1
a.
0
z
b.
z
e

4 x2 . e x . dx
x . cos x . dx
0
c.
1
242
ln 2 x . dx
BELİRLİ İNTEGRALİN UYGULAMALARI
Belirli integral kavramını kullanarak bazı problemlerin çözümü kolayca yapılabilir. Örneğin; iki eğriyle
sınırlı bölgelerin alanlarını, eğrilerle sınırlı bölgelerin bir eksen etrafında döndürüldüğünde oluşan cisimlerin hacimlerinin veya yüzeylerinin hesabı, bir eğrinin bir aralıktaki yay uzunluğunun hesabı, hız veya
ivme denklemleri verilen hareketli cisimlerin yol denklemleri, bazı cisimlerin ağırlık merkezi veya kütle
merkezi vb. İşte bu bölümde, bu uygulamalardan bazılarını göreceğiz.
ALAN HESABI
Eğrilerle sınırlı düzlemsel bölgelerin alan hesabını yaparken, aşağıdaki teoremleri kullanacağız.
Teorem : f : [a , b]  R , f (x) fonksiyonu pozitif ve integrallenebilen bir fonksiyon olsun.
y = f (x)
eğrisi,
z
x = a , x = b ve y = 0
doğruları tarafından sınırlanan bölgenin alanı,
b
S  f (x).dx
tir..
a
İspat : [a , b] nın bir bölüntüsü P = {a = x0 , x1 , x2 , ... , xn = b} olsun. k  {1 , 2 , ... , n} ve
r k   [ x k 1 , x k ]
olmak üzere,
R (f , P) = f (r 1 )  x 1 + f (r 2 )  x 2 + . . . + f (r n )  x n
Riemann
toplamını düşünelim.
S  lim R (f ,P)
P 0

lim
P 0
bf (r ). x
1
1
f (r2 ). x 2  ...  f (rn ). xn
g
n

lim
P 0
Bölüntünün
P
 f (rk ). xk
k 1
normu, sıfıra yakınsarken taralı dikdörtgenlerin alanları eğri altında kalan alana
yaklaşır. Belirli integral tanımından bu alan, [a , b] kapalı aralığında f fonksiyonunun belirli integral
z
b
değerine eşit olur. Yani,
S  f (x) . dx bulunur..
a
1. Sonuç :
f : [a , b]  R
,
y = f (x)
fonksiyonu
[a , b] aralığında negatif değerler alıyorsa, P bölüntüsünün
[ x k 1 , x k ]
alt aralıklarındaki
f (r k )
değerleri negatif oldu-
ğundan, bu aralıktaki dikdörtgenlerin alanı  f (r k ). x k dir. Buna
göre, [a , b] aralığında y = f (x) eğrisi ile x ekseni arasında
kalan alan;
n
S  lim
P 0
 b f (r ). x g 
k
k 1
k
z
b
n
 lim
P 0

f (rk ). xk   f (x).dx
k 1
a
243
olur..
2. Sonuç : f : [a , b]  R , y = f (x) fonksiyonu, aralığın bir parçasında negatif değerli,
bir parçasında pozitif değerli ise, her bir parçadaki alanlar ayrı ayrı hesaplanır, toplanır. Bunu,
aşağıdaki şekil ile daha iyi görebiliriz.
z
b
S1  f (x).dx tir..
a
z
c
S 2   f (x).dx tir..
b
z
d
S 3  f (x).dx tir..
c
O hâlde,
f (x) eğrisi ve x
z
ekseniyle sınırlı taralı alanlar toplamı;
z
b
z
c
d
a
b
z
b
S  S1  S2  S3  f ( x). dx  f (x). dx  f (x).dx 
c
a
z
z
c
f (x) . dx 
z
z
d
f (x) . dx 
b
d
f (x) . dx 
c
f ( x) . dx tir..
a
d
S alanı için; S 
O hâlde, aranan
f (x) . dx
tir..
a
Örnek : f (x) = 3x2  3 eğrisi ve Ox ekseniyle sınırlı aşağıda belirtilen aralıklardaki alanları
hesaplayalım.
a. [1 , 2]
b. [ 1 , 1]
a. f (x) in verilen aralıkta pozitif veya negatif
değerlikli olup olmadığını araştıralım:
Bunun için, f (x) in işaretini incelemeliyiz.
c. [0 , 3]
Çözüm :
f (x) = 0

Buna göre;
z
3x2  3 = 0
x  [1 , 2]

için,
x12
,  1
f (x)  0
z
2
olduğundan, bu aralıktaki eğri altında kalan alan;
2
S  f ( x). dx  (3 x2  3). dx  ( x3  3 x)
1
= (23  3 . 2)  (13  3 . 1) = 4
birimkare bulunur..
1
b. f (x) , [ 1 , 1]
z
aralığında negatif olduğundan, bu aralıktaki alan;
z
1
1
S   f ( x). dx   (3 x2  3). dx  (  x3  3 x)
1
z
3
j
1
bulunur.
c. f (x) , [0 , 3] aralığının, [0 , 1]
almaktadır. O hâlde, aranan S alanı,
1
e
= ( 13 + 3 . 1)   (1)  3 . ( 1) = 4 birimkare
z
z
3
alt aralığında negatif,
1
[1 , 3]
aralığında pozitif değerler
z
3
S   f ( x) dx  f ( x) dx  (3  3 x ) dx  (3 x2  3) dx
0
= (3x  x3)
1
0
+ (x3  3x)
= 2  0 + 18 + 2 = 22
2
1
= (3 . 1  13)  (3 . 0  03) + (33  3 . 3)  (13  3 . 1)
birimkare bulunur.
244
Örnek : f (x) = 3x2 + 6x eğrisi ile Ox ekseni arasında kalan
kapalı bölgenin alanını hesaplayalım.
Çözüm : Şekilden görüleceği gibi, f (x) = 3x2 + 6x = 0 denkleminin kökleri
arasında
3x (x + 2) = 0
f (x) < 0
x1 =  2

ve
x2 = 0 dır.
Kökler
olduğundan, aranan alan;
z
z
0
0
S   f ( x) dx   (3 x2  6 x) dx   ( x3  3 x2 )
2
3
2
2
3
= (x + 3x )
2
3
2
= ( 2) + 3 . ( 2)  (0 + 3 . 0 )
=  8 + 12  0 = 4
birimkare bulunur.
Örnek : Yandaki grafik, f (x) = lnx fonksiyonuna aittir.
Buna göre, taralý alanlar toplamý S ise, S değeri nedir?
Çözüm : Fonksiyon
LM 1 , 1OP
Ne Q
arasında negatif, [1 , e2]
arasında pozitif değerler aldığı dikkate alınırsa, aranan alan;
z
1
z
e
z
2
z
1
e
2
S   f ( x). dx  f ( x). dx   ln x. dx  ln x. dx
1
e
=  (x lnx  x)
=
1
e
1
+ (x lnx  x)
FG 1 ln 1  1 IJ  (0  1) + (e
H e e eK
=
2
1
= (x lnx  x)
2
+ (x lnx  x)
2
lne  e )  (ln1  1)
2
e 3  2e  2
2
2
2
+ e2 + 2  S 
 1 + 2e  e + 1 = 
e
e
e
245
birimkare bulunur..
3. Sonuç :
f : [a , b]  R ,
g : [a , b]  R integrallenebilen iki fonksiyon olsun.
f (x) ve g (x) fonksiyonlarının her ikisi [a , b] aralığında pozitif, her ikisi de negatif veya biri
negatif, diğeri pozitif değerler alabilir. Şekillerde gösterilen üç durumda da iki eğri arasında kalan alanı
bulmak için aşağıdaki yol izlenir:
x [a , b] için,
f (x) > g (x)
olsun.
f (x) in grafiği ile
x
ekseni arasında kalan alanı
S1, g (x) in grafiği ile x ekseni arasında kalan alanı S2 ile gösterelim. Yani,
z
b
z
b
S1  f ( x). dx
,
a
S 2  g ( x). dx
olsun. Bu durumda, iki eğri arasında kalan taralı alan;
a
z
z
b
b
S = S1  S2  f ( x). dx  g ( x). dx 
a
zb
b
a
g
f ( x)  g( x) . dx
bulunur..
a
4. Sonuç : Eğer iki eğri arasında kapalı bir alan söz konusu ise, önce ortak çözümle eğrilerin kesim noktaları hesaplanır,
sonra ardışık kesim noktaları arasındaki alanlar teker teker hesaplanarak toplanır. Örneğin;
f (x) ve g (x) in
yandaki gibi ise, f (x) = g (x)
grafikleri
denkleminin çözüm kümesi,
{x1 , x2 , x3} olsun.
[x1 , x2] nda
f (x) > g (x),
zb
x2
S = S1  S2 
x1
[x2 , x3] nda
g
f ( x)  g( x) . dx 
zb
x3
g (x) > f (x)
g
g ( x)  f ( x) . dx
olduğundan;
tir..
x2
Örnek : f (x) = sinx ve g (x) = cosx fonksiyonları veriliyor:
a. İki fonksiyonun grafikleri arasında kalan ve x = 0 , x 

6
doğruları ile sınırlı bölgenin alanını
bulalım.
b. İki eğri arasındaki kapalı bölgelerden birisinin alanını hesaplayalım.
Çözüm : a. f (x) = sinx , g (x) = cosx fonksiyonlarının grafikleri şekilde görülmektedir.
246
LM
N
x  0,
OP
Q

6
aralığında cosx > sinx
olduğundan;

6
z
S  (cos x  sin x). dx  (sin x  cos x)
0
FG
H
 sin


 cos
6
6
b. f (x) = g (x)
IJ  (sin 0  cos 0) 
K
 sinx = cosx 
f (x) = sinx , g (x) = cosx
1
3

 0 1
2
2
cos
FG   xIJ  cos x
H2 K
z
FG
H
(sin x  cos x). dx  (  cos x  sin x)
  cos

4
F
GH
I
JK
2
2
2
2

 

2 2
2
2
2
2

birimkare bulunur..
x1 


4
, x2 
5
4
O hâlde,
eğrileri arasındaki sınırlı bölgelerden birinin alanı,
5
4
S
3 1
2
IJ FG
K H
5
5


 sin
  cos  sin
4
4
4
4
IJ
K
birimkare bulunur..
Örnek : f (x) = x3  2x ve g (x) =  x2 fonksiyonları arasında kalan kapalı alanının değerini
bulalım.
Çözüm : Önce, f ve g fonksiyonlarının kesişim noktalarını bulalım. f (x) = g (x) denklemini
çözelim:
x3  2x =  x2 x3 + x2  2x = 0 x (x2 + x  2) = 0 x (x  1) (x + 2) = 0
Bu denklemin kökleri; x1 =  2 , x2 = 0 , x3 = 1 bulunur.
Bu değerleri bir tabloda yerine koyarak, f (x)  g (x) in
işaretini inceleyelim:
Tabloya göre,
x[ 2 , 0]

f (x)  g (x)  0

f (x)  g (x)
x[ 0 , 1]

f (x)  g (x)  0

f (x)  g (x)
yazabiliriz. O hâlde, aranan alan;
z
0
S 
z
1
bf (x)  g(x)g. dx  bg( x)  f ( x)g.dx 
2
Fx  x x I
GH 4 3 JK
4

0
3
2
FG
H
 (0  0  0)  4 
F
GH
3
x
x
2

x
4
3
IJ FG
K H
z
1
3
2
3
2
( x  x  2x). dx  (  x  x  2x). dx
2
4
 
z
0
0
I
JK
IJ
K
8
1 1
37
4   
 1  (0  0  0 ) 
3
4 3
12
247
birimkare bulunur..
Bu teoremin ispatını yapmayacağız. Ancak, teoremin anlamını
yandaki şekil ile açıklayabiliriz.
Şekilde, f (t) fonksiyonunun gösterdiği eğri altında, x ekseni
ile sınırlı, [a , x] aralığındaki alan fonksiyonu F (x) olmak üzere,
z
x
F(x) 
f (t) dt ise, F  (x)  f (x)
tir..
a
Burada, f (t ) fonksiyonundaki t değişkeni, x değişkeni ile karışmaması için yazılmıştır.
t yerine x değişkeninden başka herhangi bir değişken de yazılabilir. Yani,
z
x
F(x) 
z
z
x
f (t)  dt 
a
z
x
f (z)  dz 
a
f (u)  du da yazılabilir..
a
x
Örnek : F ( x) 
1  t . cos t dt
ise;
3
a. F  ( x)
b. F  ( 0)
ifadesini bulalım.
z
değerini bulalım.
x
Çözüm : a.
F ( x) 
1  t . cos t . dt
ise,
integral hesabın 1. temel teoremine göre,
3
F  ( x)  1  x . cos x
tir..
F  (0)  1  0 . cos 0  1
b.
bulunur..
Örnek : Aşağıdaki F (x) fonksiyonlarının F  ( x) türev fonksiyonlarını bulalım.
z
g ( x)
a. F ( x) 
z
a
c. F ( x) 
f ( t) . dt
f ( t) . dt
g ( x)
g ( x)
z
z
h ( x)
a
b. F ( x) 
f ( t) . dt
g ( x)
Çözüm :
a. F ( x) 
ise,
f ( t) . dt
z = g (x)
dönüşümünü kullanalım. Bu durumda,
a
z
z
G ( z) 
f ( t ). dt
ve
F (x) = G (z)
olur..
a
F ( x) 
b g
dG dz

 G( z) . g( x)  f ( z) . g( x)  f g ( x) . g( x)
dz dx
z
z
b. F ( x) 
z
g ( x)
a
f ( t) . dt  
g ( x)
h ( x)
c. F ( x) 
f ( t) . dt 
g ( x)
f ( t ) . dt

bulunur..
b g
F ( x)   f g( x) . g( x)
bulunur..
a
z
z
h ( x)
a
f ( t ) . dt 
g ( x)
b g
b g
f ( t) . dt  F ( x)  f h ( x) . h ( x)  f g ( x) . g( x) bulunur..
a
235
z
3x
Örnek : f ( x) 
2
fonksiyonu veriliyor. f (x) in grafiğinin x = 1 apsisli noktasın-
(2x  1) . dx
2x
daki teğetinin eğimi kaçtır?
e
2
f  ( x)  36 x  2x  2
3
z
2
Örnek : F (x) =
x2

1
3
ise,
m
b
j
g
f  ( x)  2 . (3 x )  1 . (6 x)  2 . (2x)  1 . 2  36 x  6 x  8 x  2
Çözüm :
3
m t  f (1)  36 . 1  2 . 1  2  32

2mt
2
t 3
3
bulunur..
fonksiyonun grafiğinin x = 1 apsisli noktasındaki normalinin eğimi
 dt
kaçtır?
Çözüm : m t . mn = - 1  m t = 3 olur.
F ( x)  
2mx
2
2m
2 3
4
 F (1)  
 2x
4
x 3
 m   3 bulunur.
İntegral Hesabın 2. Temel Teoremi
Teorem : f : [a , b]  R integrallenebilen bir fonksiyon olsun.
z
Eğer
olacak biçimde
f (x) . dx  F(x)  C , C  R
z
f : [a , b]  R
ye
F (x)
b
fonksiyonu varsa,
f (x) . dx  F(x)
 F (b)  F (a)
dır.
a
Bu teoremin ispatını vermeyeceğiz. Bu teorem yardımıyla, bir aralıkta bir fonksiyonun belirli integralini
b
g
kolayca bulabiliriz. Şöyle ki; önce f (x) fonksiyonunun F (x) belirsiz integralini
f ( x) in ilkelini
bulup, F (x) te önce [a , b] aralığının, F (x) teki F (b) üst sınır değerinden, F (a) alt sınır
değerini çıkarırız.
Örnek : Bir önceki konuda, alt ve üst toplamlar yardımıyla bulduğumuz; f : [0 , 1]  [1 , 2] ,
f (x) = x2 + 1 parabolünün [0 , 1] aralığındaki x ekseniyle sınırlı alanı, belirli integral ve integral
hesabın temel teoremi yardımıyla bulalım.
z
1
Çözüm :
F x  xI
GH 3 JK
3
S  ( x2  1) . dx 
0
F 1  1I  F 0  0I 
GH 3 JK GH 3 JK
3

3
4
4
0 
3
3
Örnek : Aşağıdaki belirli integralleri bulalım.
z
z

1
a.
b.
(2x  1) . dx
sin x . dx
c.
0
0
z
z
1
x
e . dx
1
1
Çözüm : a.
2
(2x  1) dx  ( x  x)
2
2
 (1  1)  ( 0  0)  2 bulunur..
0
z
z

b.
  (cos   cos 0)   ( 1  1)  2 bulunur..
sin x dx   cos x
0
1
c.
2
x
e dx  e
x
1
 e e
1
 e
1
e 1

bulunur..
e
e
1
236
bulunur..
LM d F
MN dx GGH
z z
/ 6
Örnek :
0
z
x
sin 2t . dt
0
/ 6
Çözüm :
0
z
2 x 1
x
2t

FG
H
IJ
K
1

1
cos
 cos 0 
2
3
4
bulunur..
dt fonksiyonu veriliyor. F (x) in x = 1 apsisli noktasındaki teğetinin
2
2
değerini bulalım.
1
 cos 2 x
2
sin 2 x . dx  
Örnek : F ( x) 
I OP
JJ P dx
KQ
t 1
denklemini bulalım.
F  ( x) 
Çözüm :
z
3
F (1) 
1
2t
2
t 1
2 . (2x  1)
2
(2x  1)  1
dt  ln ( t 2  1)
2 
2 x2
12 4
4
 2x  mt  F(1) 


10 2
5
x 1
4
= ln10  ln 2  ln
O hâlde, teğet denklemi; y  ln 5  
4
( x  1)
5
10
 ln 5
2

y
4x 4

 ln 5
5
5
bulunur..
BELİRLİ İNTEGRALİN ÖZELİKLERİ
Tanım : f : [a , b]  R fonksiyonu, [a , b] aralığında integrallenebilirse,
z
a
z
a
f ( x) . dx
ve
a
f ( x) . dx
integrali;
b
z
f (x) . dx  0
z
f (x) . dx  
a
1.
a
b
2.
z
a
a
biçiminde tanımlanır..
f (x) . dx
b
Teorem : f : [a , b]  R , g : [a , b]  R fonksiyonları [a , b] aralığında integrallenebilir
iki fonksiyon olsun.
z
z
zb
b
1.
f (x) . dx 
a
c  [a , b]
z
b
f (x) . dx  f (x) . dx tir..
a
c
z
b
k . f (x) . dx  k . f (x) . dx tir..
a
b
3.
z
c
b
2.
ve k  R olmak üzere;
a
g
f (x)  g(x) . dx 
a
z
b
a
z
b
f (x) . dx  g(x) . dx tir..
a
237
Bu teoremin sadece 1. sini ispatlayalım:
[a , c] nın
bir bölüntüsü
P1 = {a = x0 , x1 , x2 , ... , xm = c}
P2 = {c = xm , xm+1 , ... , xn = b}
P1
 0
z
ve
P2
 0
b
olsun.
P = P 1  P2
P
k 1
P1  0
z
P  0
olduğunda,
P
 f (rk ). xk
lim
P 0
k 1
k  m 1
n

f (rk ). xk 
z
 f (rk ). xk
lim
P2  0
k 1
c
=
bir bölüntüsü
n
 f (rk ). xk 
0
lim
m
lim

bölüntüsünde
m
 f (rk ). xk 
0
lim
a
[c , b] nın
olur. Belirli integralin Riemann toplamından faydalanarak;
n
f ( x). dx 
ve
k  m 1
b
f ( x) . dx 
a
f ( x) . dx
bulunur..
c
Bu teoremin sonucu olarak;
z
b
a.
z
b
f (x)  g(x) . dx 
a
b
z
b
g
f (x)  1 . g(x) . dx 
a
b. m ve n
z
z
b
f (x) . dx 
a
g(x) . dx
a
birer reel sayı olmak üzere;
b
z
z
b
m f (x)  n g(x) . dx 
a
b
m f (x) . dx 
a
z
b
n g(x) . dx  m
a
z
b
f (x) . dx  n
a
g(x) . dx bulunur..
a
Örnek : Aşağıdaki belirli integralleri hesaplayalım.
z
z
2
a.
3
dx
b.
1
z
3
x sgn ( x  2) dx
c.
1
z
4
dx
d.
1
9x
2
dx
2
Çözüm : a.
fonksiyonu, ardışık tam sayı aralıklarında farklı değerler aldığından, [ 1 , 2]
aralığını birer birim uzunluktaki alt aralıklara bölmeliyiz. Yani;
z
2
z z
z z
0
dx =
1
1
1
dx +
0
0

1
1 . dx   x
3
1
z
2

x
2
z
[ 1 , 3]
3
x . ( 1) dx 
1
2
0
b
z
2
0 . dx 
1 . dx
1
g
=  0  (1) + (2  1) =  1 + 1 = 0
olduğundan,
2
x sgn ( x  2) dx 
x
2
1
+x
z
1
1 . dx 
bulunur..
1
b. sgn (x  2) = 0  x = 2
alt aralığa bölmeliyiz. Buna göre,

z
0
dx =
2
1 . dx 
1
z
z
2
dx +
2

22
2
238
3
x dx 
1
F 2  (1) I  F 3
GH 2 2 JK GH 2
2
z z
2
x . 1 . dx  
2
2
 
aralığını [ 1 , 2] ve [2 , 3]
x dx
2
I   F 2  1I  F 9  2I  1
JK GH 2 JK GH 2 JK
bulunur..
olarak iki
z
3
c.
z
z
2
dx =
1
3
dx +
1
2
 (2  1) 
1
x dx
2
F 3  2 I  1 9  2  7
GH 2 2 JK 2
2
2
x
2

z
3
0
x dx 
1
2
= x
z
2
dx =
2
bulunur..
d. 9  x2 = 0  x1, 2   3 bulunur. 3  [2 , 4] olduğundan, istenen belirli integrali
hesaplamak için, [2 , 3] ve [3 , 4] alt aralıklarında ayrı ayrı işlem yapılmalıdır. Yani;
z
F 9x  x I  F x  9xI
GH 3 JK GH 3 JK
LF
I F 3  9 . 3I OP
3 I F
2 I O LF 4
P
 MG 9 . 3 
 G9 . 2 
 MG
 9 . 4J  G
J
J
JK P
3 K H
3 K P MH 3
MNH
K H3
Q N
Q
4
z
3
9  x2 dx 
2
z
4
(9  x2 ) dx 
2
3
3
( x2  9) dx 
3
3
3
3
3
8 64

 36  9  27  6
3
3
 27  9  18 
bulunur..
Teorem : f : [a , b] fonksiyonu, [a , b] de integrallenebilen bir fonksiyon olsun. Buna göre,
z
b
z
b
f (x).dx 
a
tir..
f (x) .dx
a
İspat : [a , b] aralığının bir bölüntüsü, P = {a = x0 , x1 , x2 , ... , xn = b} ve bölüntünün normu
sıfıra yakınsasın, yani
P  0 olsun.
Belirli integral tanımını kullanırsak;
z
b
n
f ( x). dx 
lim
P 0
a
n
 f (rk ). xk

lim
P 0
k 1
 f (rk ). xk
k 1
Üçgen eşitsizliğini kullanarak,
n
 f (rk ). xk
 f (r1).  x1  f (r2 ).  x 2  ...  f (rn ).  xn  f (r1).  x1  f (r2 ).  x 2  ...  f (rn ).  xn
k 1
n
 f (r1) .  x1  f (r2 ) .  x2  ...  f (rn ) .  xn 
 f (rk ) .  xk
yazabiliriz.
k 1
Bu değer yukarıdaki eşitlikte yerine yazılırsa;
z
b
n
f ( x). dx 
a
lim
P 0
z

k 1
b
Buna göre,
a

z
lim
P 0

k 1
z
b
n
f (rk ). xk
f ( x) . xk 
f ( x) . dx tir..
a
b
f ( x) . dx 
f ( x) . dx
bulunur..
a
Bu teorem, bir kapalı aralıkta integrallenebilir bir fonksiyonun; bu aralıktaki integralinin mutlak değeri
ile mutlak değerinin integrali arasındaki ilişkiyi belirtir.
239
Örnek : Aşağıdaki fonksiyonların belirtilen aralıklardaki belirli integralinin mutlak değeri ile mutlak
değerinin belirli integrallerini bulup, bu değerleri karşılaştıralım.
a. f : [ 1 , 2]  R , f (x) = 3x2 + 1
LM  , OP
N6 Q
c. f :
 R , f (x) = cosx
Çözüm : a.
z
2

1
1
z
z
f ( x) dx 
f ( x) dx 
z
1
z
z
z
x >1
1

x
2
z
z

( x 2  1) dx 
F x  xI
GH 3 JK
3
f ( x) dx 
z
f ( x) dx
denkleminin
için,
için,

LM  , OP
N6 Q
f (x) = cosx  0
aralığındaki kökü,
z
z
/6
 

dir. O hâlde;
2
= sin
1
2
1
2
(  cos x) dx
IJ  FG sin   sin  IJ  FG1  1 IJ  b0  1g 
2K H
2K
K H

ve J 

/ 2


 sin
2
6
z
z
1
2

cos x dx 
/ 6
FG
H
 sin x
cos x dx 
z

6
 /2
cos x dx 
 /6


x
dır. Buna göre;
 sin   sin
sin x

f ( x) dx 
= sin x
3
f (x) = cosx > 0 dır..
cos x dx 
/6

20
3
F 3  3I  F 1  1I  20
GH 3 JK GH 3 JK 3
3
3

bulunur..
/6
J
3
1


F 3  3 I  F1  1 I
GH 3 JK GH 3 JK
3
1


x
6
2
Fx  x I
GH 3 JK
1
3
c. cos x = 0
z
bulunur..
1
2
3
1  x 2 dx 
f ( x) dx
1  x < 0 dır..
3
(1  x2 ) dx 
1
Buradan,

z
bulunur..
2
f ( x) dx 
1
2
için,
3
f ( x) dx 
Buradan,
(3 x  1) dx  12 dir.
1
3
z
i  (10  2)  12
2
2
3
f ( x) dx 
d
 ( 2 3  2)  ( 1) 3  ( 1)
1
x  [1 , 3]
3
J
f (x) = 3x2 + 1 > 0 dır..
2
1
b.
z
z
için
(3 x 2  1) dx  ( x 3  x)
2
1

z
x  [ 1 , 2]
2
f ( x) dx 
2
J
b. f : [1 , 3]  R , f (x) = 1  x2
cos x dx 
 /6
240
3
2
bulunur. O hâlde,
 < J dir..
3
dir. Buradan,
2
Sonuç olarak: Örnekteki a ve b şıklarında görüldüğü gibi, bir fonksiyon bir aralıkta devamlı
pozitif değerler veya devamlı negatif değerler alıyorsa, yani işaret değiştirmiyorsa;
z
b
z
b
f (x) dx 
a
f (x) dx
tir..
a
Ancak, c şıkkında görüldüğü gibi, bir fonksiyon bir aralıkta işaret değiştiriyorsa;
z
b
z
b
f (x) dx 
a
f (x) dx
tir..
a
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıdaki belirli integralleri hesaplayınız.
a.
z
z
x3 . dx
b.
( x1998  x1997 ) . dx
c.
1
0
1
d.
z
z

2
1
1
e
dx
1
1 x
e.
2
2
e
z
z
4 sin 2x . dx

2
dx
x
f.
e2 x . dx
1
2. Aşağıdaki belirli integralleri hesaplayınız.
z
z
3
a.
2
1 x
z
z FH
b.
2
2x  1 . dx
c.
1
3 /2
d.
e.
0
ln x . dx
e
I
K
2
9  x2 . dx
z
z
e2
9
2 . dx

x3  2x . dx
1
f.
(cos x  cos 3 x) . dx
0
3. Aşağıdaki belirli integralleri hesaplayınız.
z
z
e3
a.
e

4
ln x  1
. dx
x
b.
x2 sgn ( x  3) . dx
e.
tan x . sec 2 x . dx
c.
0
5
d.
z
z

2
(cos x  2)2 . sin x . dx

2
2
z
z
3
. dx
f.
1
x2  2x . dx
1
4. Aşağıdaki belirli integralleri hesaplayınız.
z
3
a.
b.
1
z
e
d.

2
1
z

. sgn (x  1) . dx
e.
z
c.

2
1  cos 2 x . dx
0
4
. ex . dx
z

cos x sin x . dx
3•
1
241
4
x
z
1
•
dx
f.
3 x2 . (4  arctan x) . dx
1
R| 2x  1
|
f ( x)  S 2 x . e
|| 1
|T x  1
,
x 0
ise
,
0  x 1
ise
1x
ise
2
5.
x
,
2
z
3
fonksiyonu veriliyor:  
f (x) . dx değerini hesaplayınız.
2
6. y = f (x) fonksiyonunun grafiği üzerindeki A (1 , 2) noktasından çizilen teğetinin x ekseniyle
yaptığı açı 45o , B (2 , 1) noktasında çizilen teğetin x ekseniyle yaptığı açı 135o olduğuna
göre, aşağıdaki belirli integralleri bulunuz.
ze
2
a.
z
z
2
j
f ( x)  x f ( x) . dx
b.
1
z
f 2 ( x)
1
8
7.
f ( x)  x f ( x)
z
2
 dx
c.
f ( x) . f ( x) . dx
1
3
f ( x) . dx = 6
veriliyor.
Buna göre,
1
f (3x  1) . dx
belirli integralinin değeri kaçtır?
0
8. Aşağıda verilen
z
F (x)
F (x)
fonksiyonlarının
türev fonksiyonlarını bulunuz.
(sin2 t  cos 2 t) . dt
b. F ( x) 

2
z
e
z
t ln t
1 t2
x2
1
c. F ( x) 
z
x

a. F ( x) 
e 2 t 1 . dt
d. F ( x) 
1
x
x2
 dt
ex
 dx
x1
z
1
9. y = f (x)
fonksiyonunun grafiği
A (1 ,  2)
noktasından geçtiğine ve
f 2 (x) . f (x) . dx  2
1
olduğuna göre,
f ( 1)
değerini bulunuz.
10. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
z
2
a.
1
11.
b.
LM d F
MN dt GGH
z z
/ 6
d
(2x  3) . dx
dx
0
t
0
IO
cos 3 x . dxJ P  dt
JK PQ
c.
d3
dx3
F
GG
H
z
3
x2
I
3 t . dtJ
JK
Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
z
1
a.
0
z
b.
z
e

4 x2 . e x . dx
x . cos x . dx
0
c.
1
242
ln 2 x . dx
BELİRLİ İNTEGRALİN UYGULAMALARI
Belirli integral kavramını kullanarak bazı problemlerin çözümü kolayca yapılabilir. Örneğin; iki eğriyle
sınırlı bölgelerin alanlarını, eğrilerle sınırlı bölgelerin bir eksen etrafında döndürüldüğünde oluşan cisimlerin hacimlerinin veya yüzeylerinin hesabı, bir eğrinin bir aralıktaki yay uzunluğunun hesabı, hız veya
ivme denklemleri verilen hareketli cisimlerin yol denklemleri, bazı cisimlerin ağırlık merkezi veya kütle
merkezi vb. İşte bu bölümde, bu uygulamalardan bazılarını göreceğiz.
ALAN HESABI
Eğrilerle sınırlı düzlemsel bölgelerin alan hesabını yaparken, aşağıdaki teoremleri kullanacağız.
Teorem : f : [a , b]  R , f (x) fonksiyonu pozitif ve integrallenebilen bir fonksiyon olsun.
y = f (x)
eğrisi,
z
x = a , x = b ve y = 0
doğruları tarafından sınırlanan bölgenin alanı,
b
S  f (x).dx
tir..
a
İspat : [a , b] nın bir bölüntüsü P = {a = x0 , x1 , x2 , ... , xn = b} olsun. k  {1 , 2 , ... , n} ve
r k   [ x k 1 , x k ]
olmak üzere,
R (f , P) = f (r 1 )  x 1 + f (r 2 )  x 2 + . . . + f (r n )  x n
Riemann
toplamını düşünelim.
S  lim R (f ,P)
P 0

lim
P 0
bf (r ). x
1
1
f (r2 ). x 2  ...  f (rn ). xn
g
n

lim
P 0
Bölüntünün
P
 f (rk ). xk
k 1
normu, sıfıra yakınsarken taralı dikdörtgenlerin alanları eğri altında kalan alana
yaklaşır. Belirli integral tanımından bu alan, [a , b] kapalı aralığında f fonksiyonunun belirli integral
z
b
değerine eşit olur. Yani,
S  f (x) . dx bulunur..
a
1. Sonuç :
f : [a , b]  R
,
y = f (x)
fonksiyonu
[a , b] aralığında negatif değerler alıyorsa, P bölüntüsünün
[ x k 1 , x k ]
alt aralıklarındaki
f (r k )
değerleri negatif oldu-
ğundan, bu aralıktaki dikdörtgenlerin alanı  f (r k ). x k dir. Buna
göre, [a , b] aralığında y = f (x) eğrisi ile x ekseni arasında
kalan alan;
n
S  lim
P 0
 b f (r ). x g 
k
k 1
k
z
b
n
 lim
P 0

f (rk ). xk   f (x).dx
k 1
a
243
olur..
2. Sonuç : f : [a , b]  R , y = f (x) fonksiyonu, aralığın bir parçasında negatif değerli,
bir parçasında pozitif değerli ise, her bir parçadaki alanlar ayrı ayrı hesaplanır, toplanır. Bunu,
aşağıdaki şekil ile daha iyi görebiliriz.
z
b
S1  f (x).dx tir..
a
z
c
S 2   f (x).dx tir..
b
z
d
S 3  f (x).dx tir..
c
O hâlde,
f (x) eğrisi ve x
z
ekseniyle sınırlı taralı alanlar toplamı;
z
b
z
c
d
a
b
z
b
S  S1  S2  S3  f ( x). dx  f (x). dx  f (x).dx 
c
a
z
z
c
f (x) . dx 
z
z
d
f (x) . dx 
b
d
f (x) . dx 
c
f ( x) . dx tir..
a
d
S alanı için; S 
O hâlde, aranan
f (x) . dx
tir..
a
Örnek : f (x) = 3x2  3 eğrisi ve Ox ekseniyle sınırlı aşağıda belirtilen aralıklardaki alanları
hesaplayalım.
a. [1 , 2]
b. [ 1 , 1]
a. f (x) in verilen aralıkta pozitif veya negatif
değerlikli olup olmadığını araştıralım:
Bunun için, f (x) in işaretini incelemeliyiz.
c. [0 , 3]
Çözüm :
f (x) = 0

Buna göre;
z
3x2  3 = 0
x  [1 , 2]

için,
x12
,  1
f (x)  0
z
2
olduğundan, bu aralıktaki eğri altında kalan alan;
2
S  f ( x). dx  (3 x2  3). dx  ( x3  3 x)
1
= (23  3 . 2)  (13  3 . 1) = 4
birimkare bulunur..
1
b. f (x) , [ 1 , 1]
z
aralığında negatif olduğundan, bu aralıktaki alan;
z
1
1
S   f ( x). dx   (3 x2  3). dx  (  x3  3 x)
1
z
3
j
1
bulunur.
c. f (x) , [0 , 3] aralığının, [0 , 1]
almaktadır. O hâlde, aranan S alanı,
1
e
= ( 13 + 3 . 1)   (1)  3 . ( 1) = 4 birimkare
z
z
3
alt aralığında negatif,
1
[1 , 3]
aralığında pozitif değerler
z
3
S   f ( x) dx  f ( x) dx  (3  3 x ) dx  (3 x2  3) dx
0
= (3x  x3)
1
0
+ (x3  3x)
= 2  0 + 18 + 2 = 22
2
1
= (3 . 1  13)  (3 . 0  03) + (33  3 . 3)  (13  3 . 1)
birimkare bulunur.
244
Örnek : f (x) = 3x2 + 6x eğrisi ile Ox ekseni arasında kalan
kapalı bölgenin alanını hesaplayalım.
Çözüm : Şekilden görüleceği gibi, f (x) = 3x2 + 6x = 0 denkleminin kökleri
arasında
3x (x + 2) = 0
f (x) < 0
x1 =  2

ve
x2 = 0 dır.
Kökler
olduğundan, aranan alan;
z
z
0
0
S   f ( x) dx   (3 x2  6 x) dx   ( x3  3 x2 )
2
3
2
2
3
= (x + 3x )
2
3
2
= ( 2) + 3 . ( 2)  (0 + 3 . 0 )
=  8 + 12  0 = 4
birimkare bulunur.
Örnek : Yandaki grafik, f (x) = lnx fonksiyonuna aittir.
Buna göre, taralý alanlar toplamý S ise, S değeri nedir?
Çözüm : Fonksiyon
LM 1 , 1OP
Ne Q
arasında negatif, [1 , e2]
arasında pozitif değerler aldığı dikkate alınırsa, aranan alan;
z
1
z
e
z
2
z
1
e
2
S   f ( x). dx  f ( x). dx   ln x. dx  ln x. dx
1
e
=  (x lnx  x)
=
1
e
1
+ (x lnx  x)
FG 1 ln 1  1 IJ  (0  1) + (e
H e e eK
=
2
1
= (x lnx  x)
2
+ (x lnx  x)
2
lne  e )  (ln1  1)
2
e 3  2e  2
2
2
2
+ e2 + 2  S 
 1 + 2e  e + 1 = 
e
e
e
245
birimkare bulunur..
3. Sonuç :
f : [a , b]  R ,
g : [a , b]  R integrallenebilen iki fonksiyon olsun.
f (x) ve g (x) fonksiyonlarının her ikisi [a , b] aralığında pozitif, her ikisi de negatif veya biri
negatif, diğeri pozitif değerler alabilir. Şekillerde gösterilen üç durumda da iki eğri arasında kalan alanı
bulmak için aşağıdaki yol izlenir:
x [a , b] için,
f (x) > g (x)
olsun.
f (x) in grafiği ile
x
ekseni arasında kalan alanı
S1, g (x) in grafiği ile x ekseni arasında kalan alanı S2 ile gösterelim. Yani,
z
b
z
b
S1  f ( x). dx
,
a
S 2  g ( x). dx
olsun. Bu durumda, iki eğri arasında kalan taralı alan;
a
z
z
b
b
S = S1  S2  f ( x). dx  g ( x). dx 
a
zb
b
a
g
f ( x)  g( x) . dx
bulunur..
a
4. Sonuç : Eğer iki eğri arasında kapalı bir alan söz konusu ise, önce ortak çözümle eğrilerin kesim noktaları hesaplanır,
sonra ardışık kesim noktaları arasındaki alanlar teker teker hesaplanarak toplanır. Örneğin;
f (x) ve g (x) in
yandaki gibi ise, f (x) = g (x)
grafikleri
denkleminin çözüm kümesi,
{x1 , x2 , x3} olsun.
[x1 , x2] nda
f (x) > g (x),
zb
x2
S = S1  S2 
x1
[x2 , x3] nda
g
f ( x)  g( x) . dx 
zb
x3
g (x) > f (x)
g
g ( x)  f ( x) . dx
olduğundan;
tir..
x2
Örnek : f (x) = sinx ve g (x) = cosx fonksiyonları veriliyor:
a. İki fonksiyonun grafikleri arasında kalan ve x = 0 , x 

6
doğruları ile sınırlı bölgenin alanını
bulalım.
b. İki eğri arasındaki kapalı bölgelerden birisinin alanını hesaplayalım.
Çözüm : a. f (x) = sinx , g (x) = cosx fonksiyonlarının grafikleri şekilde görülmektedir.
246
LM
N
x  0,
OP
Q

6
aralığında cosx > sinx
olduğundan;

6
z
S  (cos x  sin x). dx  (sin x  cos x)
0
FG
H
 sin


 cos
6
6
b. f (x) = g (x)
IJ  (sin 0  cos 0) 
K
 sinx = cosx 
f (x) = sinx , g (x) = cosx
1
3

 0 1
2
2
cos
FG   xIJ  cos x
H2 K
z
FG
H
(sin x  cos x). dx  (  cos x  sin x)
  cos

4
F
GH
I
JK
2
2
2
2

 

2 2
2
2
2
2

birimkare bulunur..
x1 


4
, x2 
5
4
O hâlde,
eğrileri arasındaki sınırlı bölgelerden birinin alanı,
5
4
S
3 1
2
IJ FG
K H
5
5


 sin
  cos  sin
4
4
4
4
IJ
K
birimkare bulunur..
Örnek : f (x) = x3  2x ve g (x) =  x2 fonksiyonları arasında kalan kapalı alanının değerini
bulalım.
Çözüm : Önce, f ve g fonksiyonlarının kesişim noktalarını bulalım. f (x) = g (x) denklemini
çözelim:
x3  2x =  x2 x3 + x2  2x = 0 x (x2 + x  2) = 0 x (x  1) (x + 2) = 0
Bu denklemin kökleri; x1 =  2 , x2 = 0 , x3 = 1 bulunur.
Bu değerleri bir tabloda yerine koyarak, f (x)  g (x) in
işaretini inceleyelim:
Tabloya göre,
x[ 2 , 0]

f (x)  g (x)  0

f (x)  g (x)
x[ 0 , 1]

f (x)  g (x)  0

f (x)  g (x)
yazabiliriz. O hâlde, aranan alan;
z
0
S 
z
1
bf (x)  g(x)g. dx  bg( x)  f ( x)g.dx 
2
Fx  x x I
GH 4 3 JK
4

0
3
2
FG
H
 (0  0  0)  4 
F
GH
3
x
x
2

x
4
3
IJ FG
K H
z
1
3
2
3
2
( x  x  2x). dx  (  x  x  2x). dx
2
4
 
z
0
0
I
JK
IJ
K
8
1 1
37
4   
 1  (0  0  0 ) 
3
4 3
12
247
birimkare bulunur..
Örnek : Yarıçapı r olan bir dairenin alanının r2 olduğunu gösterelim.
Çözüm : Yarıçapı r olan çemberin denklemi, x2 + y2 = r2 dir.
x2 + y2 = r2
2
y  r x

2
elde edilir. Bu denklem çemberin
Ox ekseninin üst bölgesinde kalan parçasını gösterir. Dairenin alanı
S olsun. Şekilde taralı bölge,
S

4
z
r
z
r
2
2
r  x . dx  S  4
0
r 2  x2 . dx
0
x = r sint dönüşümünü kullanalım:
x=0
x=r
için,
için,
0 = r sint
r = r sint
z
r 2  x2 . dx  4
0
4r
olur. Bulunan değerler integralde yerlerine yazılırsa;
z

2
z
r 2  r 2 sin2 t . r cos t . dt  4 r 2 1  sin2 t .cos t . dt
0

2
z
2
2

2
0
cos t .cos t . dt  4 r
0
2r
t

2
r
S 4
t = 0 olur.


dx = r cost.dt dir.
z
2
cos t . dt  4 r
2
0
FG t  sin 2t IJ
H 2 K
Örnek :
x2
denklemi
2

2
a2

2
z
1  cos 2t
 dt
2
0
 

sin  
sin 0 

2  
2
 2 r 2 

  0 
  2 r   0   ( 0  0 )   r bulunur..
2 
2 

 2
 2

Asal eksen uzunluğu 2a , yedek eksen uzunluğu 2b olan merkezil elipsin kartezyen

y2
b2
1
olduğuna göre, bu elipsin alanını bulalım.
Çözüm : Şekildeki taralı alan, elipsin S alanının dörtte biridir.
x2
a2

y2
b2
 1  b 2 x 2  a 2 y 2  a 2b 2  y 
1
a
a 2b 2  b 2 x 2 
O hâlde,
S

4
a

0
b
a
b
a
a2  x 2
S alanı için;
a 2  x 2 . dx

S 
Önceki örnekte olduğu gibi,
yapılırsa;
x = a sint
Ayrıca;
x = 0 için, 0 = a sint

t=0 ;
x = a için, a = a sint

t

2
248
dir..

4b
a
a

a 2  x 2 . dx bulunur..
0
x = a sint
dx = a cost . dt dir.
değerlerini yerine koyalım:
dönüşümü
4b
a
S 

2

a 2  a 2 sin 2 t . a cos t . dt 
0

2
4 ab
a

2
 a.
0

2

2
 4ab cos t . cos t . dt  4ab cos 2 t . dt  4ab


0
0

0

2
 sin2t 
 2ab (1  cos 2t ) . dt  2ab  t 

2 

0

1  sin 2 t . cos t . dt
1  cos 2t
 dt
2

= 2ab     ab
2
bulunur..
Teorem : g : [c , d]  R , x = g (y) fonksiyonu [c , d] aralığında pozitif ve integrallenebilen
bir fonksiyon olsun.
x = g (y) eğrisi, y = c , y = d ve x = 0 doğruları tarafından sınırlanan bölgenin alanı,
d
S
 g (y) . dy
dir..
c
İspat : Bir önceki teoremde f : [a , b]  R , y = f (x) eğrisi,
x=a
,
x = b ve
y=c , y=d
ve
y=0
x=0
yerine,
sırasıyla
x = g (y)
eğrisi,
yazılarak bu alanın,
d
S
 g (y) . dy
olduğu ispatlanabilir..
c
Örnek : Yandaki şekilde, x = y2 + 1 eğrisinin x = 1 ile
x = 5 aralığındaki parçası çizilmiştir.
Buna göre, taralı alan kaç birimkaredir?
Çözüm : Önce integral sınırlarını bulalım.
x = 1 için,
1 = y2 + 1
x = 5 için, 5 = y2 + 1
z
2
A
( y 2  1) . dy 
0
y=0


y3
y
3
y  0 olduğundan, y = 2 bulunur.
=
14
birimkare bulunur..
3
5. Sonuç : x = g (y) fonksiyonu [c , d] aralığında
negatif değerler alan integrallenebilen bir fonksiyon olsun. Bu durumda; x = g (y) eğrisi , y = c , y = d ve
x = 0 doğruları ile sınırlı bölgenin alanı;
d
S  
 g (y) . dy
dir..
c
249
Örnek : Yandaki şekilde görülen parabolün denklemi, x = y2  2y dir.
Taralı bölgenin alanının kaç birimkare olduğunu bulalım.
Çözüm : y2  2y = 0  y1 = 0 V y2 = 2 bulunur. Buna göre,
taralı alan;
z
2
z
2
2
A   ( y  2y) . dy 
0
3
2
y
3
2
(2y  y ) . dy  y 
0
4
3
=
birimkare bulunur..
6. Sonuç : Eğer x = g (y) fonksiyonu [c , d] aralığında
hem negatif hem de pozitif değerler alıyorsa, x = g (y) eğrisi,
y = c , y = d ve x = 0 doğruları ile sınırlı bölgenin alanı,
S S  S
1
2
 
e
d
d

g (y) . dy  g (y) . dy 


c
e
g (y) . dy
dir..
c
Örnek : Yandaki şekilde görülen eğrinin denklemi;
x =  y . (y + 1) . (y  2) dir. Buna göre, taralı alanların toplamı kaç birimkaredir?
Çözüm : y (y + 1) (y  2) = 0 
bulunur. Verilen bağıntı denkleminde;
0<y<2
için,
z
0
z

için,
y3
 y2
3
y3 = 2
f (y) < 0
ve
z
0
2
I
JK
1
F
GH
 
y 4 y3

 y2
4
3
0
I
JK

5
8
37


12 3
12
7. Sonuç : x = g (y) , x = f (y) eğrileri arasında kalan
y=c , y=d
doğruları ile sınırlı alanın;
d
S 
,
f ( y) . dy   (  y 3  y 2  2y) . dy  (  y 3  y 2  2y) . dy
0
4
1<y<0
y2 = 0
z
2
1
Fy
GH 4
,
f (y) > 0 olduğundan aranan alanlar toplamı;
A   f ( y) . dy 

y1 =  1
 f (y)  g (y) dy
olduğu kolayca görülebilir..
c
250
birimkare bulunur..
x = y2 parabolü ile x + y = 6
kalan sınırlı bölgenin alanını bulalım.
Örnek :
doğrusu arasında
Çözüm : y2 = 6  y  y2 + y  6 = 0
y1 =  3 V y2 = 2 bulunur.

Buna göre, taralı alan;
z
2
A
(6  y)  y 2 . dy  6 y 
3
y2 y 3

2
3

125
birimkare bulunur..
6
Örnek :
Şekildeki eğrinin denklemi,
alanının değerini;
a. Eğriyle Oy
dalanarak bulalım.
y=x
2
dir. S1
taralı
ekseni arasında kalan alandan fay-
b. Eğriyle Ox ekseni arasında kalan alandan faydalanarak bulalım.
Çözüm :
a. y = x2
4
S1 

4
y dy 
0


1
y 2 dy 
0
y
x=
3
2 2
y
3

b. S1  A ( OABC )  S 2  2.4  S 2 
O hâlde,
16
3
S1 alanı;
birimkare bulunur..
2
2


 x3
y dx  8  x 2 dx  8  
 3
0
0




= 8
8
16

3
3
birimkare bu-
lunur.
Örnek :
Yandaki şekilde,
y = f (x) parabolü
(1 , 1)
noktasından geçmektedir. y = g (x) parabolünün, x eksenini
 1 ve 1 noktalarında kestiği ve tepe noktası (0 , 1) olduğu
bilindiğine göre, taralı alanın değerini bulalım.
Çözüm :
f (x) = x 2 ve
Grafikte verilen bilgilere göre,
g (x) = 1  x2 olduğu bulunur. Bu parabollerin 1. bölgede kalan
parçaların denklemlerini bulalım:
y  x2

y = 1  x2
x

x2 = 1  y
Ortak çözümden,
Paraboller
Oy
y

x2 = 1  x2
x
1 y

x
1
2
, y
1
2
eksenine göre simetrik olduğundan alan,
251
bulunur..
2. (S1 + S2) dir. Buna göre;
1
2
S S1 S 2 


y . dy 
1
2
y .

1

dy  (1 
1
y) 2 .
dy
1
2
0
3
3
3
1  y . dy 
1
2
0
2

(1  y ) 2
3
2 2

y
3
1
2
1
2  1 2
2


  
3 2
3
1
8

2
2 2

6
olup, A = 2 . (S1 + S2) =
3
2 2
3
birimkaredir.
Örnek :
f : [0 , 1]  R integrallenebilen bir fonksiyon olsun:
1  1
2
3
 n 
lim
f    f    f    ...  f   
n   n   n 
n
n
 
 
 n 
a.
1
 f ( x ) . dx
olduğunu gösterelim.
0
b. Bu özelikten faydalanarak,
lim
n
113  213  313 ... n13
n14
Çözüm :
a.
[0 , 1]
ise,
 A
14 A nın
değerini bulalım.
1 2 3
n 1 n 

P  0 , ,
,
, ... ,
, 
n n n
n
n

aralığının bir düzgün bölüntüsü,
P 
olsun. Bölüntü düzgün olduğundan,
1
n
dir.
f (x) in
[0 , 1]
aralığındaki belirli integral
tanımından;
1

n
 f (r
f ( x ) . dx  lim
P 0
k
) .  x k dir. Burada, r k 
k 1
0
k
n
, x k 
1
n
ve
P  0 limiti n 
limitine eşit olduğundan;
1

n
f ( x ) . dx  lim
P 0
0
= nlim

b. f (x) = x
A 
lim
n
13

k 1
1
k 1
f  
 lim
n n
n n
k
 f  n 
k1
1   1
2
3
 n 
 f    f    f    ...  f   
n  n
n
n
 n 
bulunur..
seçilirse, aranan limit için;
113  213  313  ...  n13
14
n
1
= nlim
 n
n

1  113  213  313  ...  n13 
lim


n   n 
n13

13
 1  13  2  13  3  13
n 
         ...     
 n
 n
n 
 n 

1
13
x
0
14
dx = x
14
bulunur.
r
2
Örnek :
 
0
r 2  x 2  3 x  . dx

belirli integralini;
a. Gerekli dönüşümler ve belirli integral tanımını kullanarak bulalım.
b. Uygun şekil çizerek, geometrik yorumla bulalım.
252
=
1
14
 14 A = 1
Çözüm : a. x = r sint dönüşümü yapılırsa, dx = r cost . dt dir. t değişkeninin sınır değerlerini
bulalım:
0  sin t  t  0,
r

 r sin t  t 
2
6
r
2

0
bulunur. Buna göre;

6
 r 2  x 2  3 x  dx 




 r 2  r 2 sin 2 t  3 r sin t  r . cos t . dt



6

6
0
2
r
0
 1  sin 2 t  3 sin t  cos t . dt  r 2



6
 r2
 cos t 
 r2

0
b.
y  r2  x2


3 sin t cos t . dt  r 2
 cos
2

t  3 sin t . cos t . dt
0
 1  cos 2t

3
r2

sin 2 t  . dt 

2
2
2



6
 1  cos 2t 
r2
2

 t  sin 2t 

2


r2
2
 
3
3  
3   r 2
 


 00
4
4  
2 
12
 6

3 cos 2t
2




x 2 + y2 = r2


3 sin 2t . dt
0

y 2 = r2  x 2

3 sin t cos t . dt
0

6
0

6
  cos t 
bulunur..
kapalı
fonksiyonu, r yarıçaplı bir çember belirtir. Bu çember ve
y 3 x
doğrusunun grafiğini aynı koordinat düzleminde çizelim. İstenen belirli
y  r 2  x 2 ile y  3 x fonksiyonları arasında kalan
bölgenin alanını verir. Bu iki fonksiyonun kesim noktasını bulalım:
integral,
r2  x2 
3 x  r 2  x2  3x2
r
2
O hâlde,
 
0
r 2  x 2  3 x  . dx

yayı ile y  3 x

x 
r
2
r

belirli integrali,  0 , 
2

aralığındaki
y  r2  x2
çember
doğrusu arasında kalan alanı belirtir. Bu ise, yarıçapı r olan bir dairenin 30o lik
r
2
daire diliminin alanı demektir. Buna göre,

0
2
2
 r 2  x 2  3 x  . dx   r . 30   r


360
12
253
bulunur..
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıda denklemleri verilen eğri ve doğrularla sınırlı bölgelerin alanlarını hesaplayınız.
a. y = 3x2
eğrisi
3
b. y = x  9x
4
3
3
ile
eğrisi
x = 0 , x = 2 ve y = 0
ile
doğruları
x =  3 , x = 5 ve y = 0
x
eğrisi
ile
x = 1 , x = 8 ve y = 0
d. y = x4  4
eğrisi
ile
y=0
doğrusu
e. y = x3  x
eğrisi
ile
y=0
doğrusu
c. y =
f.
y = 6x  x2
eğrisi
doğruları
doğruları
ile
x =  1 , x = 4 ve y = 0 doğruları


, x
g. y = 2 . sin 2x eğrisi ile x 
ve y = 0 doğruları
6
3
1
h. y  x
eğrisi ile x = 0 , x = ln 3 ve y = 0 doğruları
e
3
ı. y = ln x eğrisi ile x = e ve y = 0 doğruları
4
j. y 
eğrisi ile x = 0 , x = 2 ve y = 0 doğruları
4  x2
k. xy + 7y = 1 eğrisi ile x =  6 , x = e2  7 ve y = 0 doğruları
2. Aşağıda denklemleri verilen fonksiyonların grafikleri arasında kalan kapalı bölgelerin alanlarını bulunuz.
a.
f (x) = x2  1
b.
f (x) = x3  2x + 1
c. f :
ile
LM  , 5 OP 
N6 6 Q
g (x) = 3x  1
ile
R , g:
d.
f (x) = x3 + 2x2  3x ile
e.
f (x) = x
f.
f (x) = x2
2
ile
g (x) = x
ile
g (x) =
g (x) = x 2 + 1
LM  , 5 OP 
N6 6 Q
R , f (x) = cos2x
ile
g (x) = sinx
g (x) = 9x  x3
4
x
3. Aşağıda denklemleri verilen eğri ve doğrularla sınırlı bölgelerin alanlarını hesaplayınız.
a. x = y2  4y
3
b. x = y  9y
c. x = lny
d. x 
eğrisi
ile
x=0
doğrusu
eğrisi
ile
x=0
doğrusu
eğrisi
1
2
y 1
ile
eğrisi
y = 1 , y = e2 ve x = 0 doğruları
ile
y = 0 , y = 1 ve x = 0 doğruları
4. Aşağıda denklemleri verilen fonksiyonların grafikleri arasında kalan kapalı bölgelerin alanlarını bulunuz.
a. x = y2
ile
c. y2 = 4x + 4
x=y+6
b. x = y3  y2
ile
x = 5y + 3
ile
d. x = y2  y3
ile
x=0
4x  y = 16
254
5. Aşağıdaki limitleri, belirli integral tanımından faydalanarak bulunuz.
a.
lim
14  24  3 4  ...  n4
n 
n
b. lim
5
n
1
n

2
n 

sin n  sin n ...sin n 
n
 n

n
n
 2
 ...  2
 2

c. nlim
2
2
2
 n  2
n 4
n  (2n) 

d. nlim

 ln
n 1 k
n
k 1
6. Aşağıdaki belirli integralleri;
i. Uygun trigonometrik dönüşüm kullanarak,
ii. Probleme uygun çizilmiş şeklin geometrik yorumdan faydalanarak bulunuz.
2
a.

0
 4  x 2  x  2  . dx


3
2
b.

0
 4  x 2  x  . dx


c.

 
4  x2 
0
x 
 . dx

3 
7. Yanda, y = f (x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre,
aşağıda istenilenleri bulunuz.
0
a.
  f ( x ) . f ( x ). dx   288

ise,
f ( 2)
kaçtır?
2
e2
b.

1
f (lnx )
. dx
x
değeri kaçtır?
c. y = f (x) eğrisi ile x = 0 , x = 2 ve Ox ekseni arasında kalan alanın değerini bulunuz.
8. Şekilde, y = ax2 + bx + c parabolünün tepe noktası
(r , k)
olduğuna göre, taralı alanın
m.n
3
oldu-
ğunu gösteriniz.
y
9. Şekilde, O merkezli dörtte bir çember ile [AB]
verilmiştir.
Taralı alanı belirten integrali,
yazınız.
doğru parçası
B (1,0)
O
Ox ve Oy eksenine göre
A (0, 2)
255
C (2,0)
x
10. Şekildeki taralı alanı belirten integral ifadesini, Oy eksenine göre yazınız.
11.
Şekilde, f (x) = ax2 + bx + c parabolünün grafiği verilmiştir.
Şekle göre,
z
m
ise,
f ( x) . dx  4
taralı alanların toplamı kaçtır?
m 1
12. Şekildeki taralı alanlar
olduğuna göre,
zd
c
S1 = 12 ve S2 = 13 birimkare
i
f (x)  f (x) . dx integralinin değeri kaçtır?
a
13. Şekilde, tepe noktası A (0 , 16) olan parabol, Ox eksenini
B (4 , 0) ve C (0 , 4) noktalarında kesmektedir. [AE] da
A (0 , 16) ve E (2 , 0) noktalarını birleştiren doğru parçasıdır.
Buna göre, taralı alanı belirten integral ifadesini, Ox ve Oy
eksenine göre yazınız.
14. Şekilde, x = f (y) bağıntısının grafiği verilmiştir.
z
c
z
d
f ( y) . dy  0
a
ve
f ( y) . dy  0 olduğuna göre; S , S ve S
1
2
3
b
değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
15. Şekilde,
f (x) = tanx
eğrisi ile
y = 1 ve x = 0 doğrularının
sınırladığı taralı alan kaç birimkaredir?
256
DÖNEL CİSİMLERİN HACİMLERİ
Belirli integralle değişik biçimlerdeki bir çok dönel cisimlerin hacimleri hesaplanır. Burada, yalnızca
o
eğri ve doğrularla sınırlandırılmış düzlemsel bölgenin, Ox ekseni ve Oy ekseni etrafında 360 döndürülmesiyle oluşan dönel cisimlerin hacimlerinin hesabı yapılacaktır.
Teorem : y = f (x) fonksiyonu [a , b] aralığında integrallenebilen bir fonksiyon olmak
üzere, y = f (x) eğrisi, x = a , x = b ve Ox ekseni ile sınırlanan kapalı bölgenin, Ox
ekseni etrafında 360o döndürülmesi ile oluşan dönel cismin hacmi;
b
V   .
b

y 2 . dx   .
a
  f (x)
2
tir..
. dx
a
İspat
[a , b]
aralığını,
P 
ba
n
olacak şekilde
yaparsak, alt aralıkların uzunlukları eşit olur:
[x
k 1
, x ]
alt aralığına ait bir
k
t
k
n
tane alt aralığa ayıralım. Düzgün bölüntü
x = x = ... = x = ... = x = x =
1
2
k
noktası seçelim. Böylece, tabanı
n
ba
n
 x , yüksekliği
k
f (t )
k
olan bir dikdörtgen oluşur. Bu dikdörtgen Ox ekseni etrafında döndürülürse; yarıçapı f (t k ), yüksekliği
 x k olan bir silindir meydana gelir. Bu silindirin hacmi:


Vk   f ( t k ) 2 .  x k
dir..
Böylece, [a , b] aralığına ait n tane dikdörtgenin Ox ekseni etrafında döndürülmesiyle elde
n
edilen
n
  . f( t )
tane silindirin hacimleri toplamı,
k
2
.  x tir. Bu toplam, dönel cismin hacminin
k 1
yaklaşık değeridir.
P
bölüntüsü ne kadar ince seçilirse, silindirlerin hacimleri toplamı, dönel cismin
n 
hacmine o kadar yaklaşır. O hâlde,
iken,
P  x 0
n  için limit alınırsa;
dönel cismin hacmine daha yakın değer alacağından,
n
V  lim
n

k 1
b
2
 .  f ( t k ) . x 

b
2
2
 .  f ( x) dx   . y . dx

a
a
257
için limit durumunda bu toplam,
olur..
Sonuç :
[a , b] aralığında integrallenebilen iki fonksiyon,
y = f (x) ve y = g (x)
olsun.
x  [a , b] için, f (x)  g (x)  0 ise; y = f (x) ve y = g (x) eğrileri,
o
x = a ve x = b doğruları arasında kalan bölgenin Ox ekseni etrafında 360 döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi;
b


V   . f 2 (x)  g2 (x) . dx
tir..
a
Şekilde görüldüğü gibi oluşan cismin hacmi dıştaki dönel
cisim ile içteki dönel cismin hacimleri farkına eşittir.
V  Vf  Vg
b

b
2

2
V   . f ( x) . dx   . g ( x) . dx
a
a
b


V   . f 2 ( x )  g2 ( x ) . dx
olur..
a
Örnek : f (x) = x2 eğrisi, x = 0 , x = 2 doğruları ve Ox ekseni tarafından sınırlanan kapalı
bölgenin Ox ekseni etrafında 360o döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmini bulalım.
Çözüm : Elde edilen cisim, yandaki şekilde görülmektedir.
2
2
V   . ( x 2 )2. dx   . x 4 . dx


0
= 
0
1 5
x
5
32
br 3
5
=
olur..
3
Örnek :
f (x) = x
eğrisi x = 0 , y = 0 , y = 8 doğruları arasında kalan kapalı bölgenin
o
Ox ekseni etrafında 360 döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmini bulalım.
Çözüm :
hacim,
f (x) = x
Elde edilen cisim yandaki şekilde görülmektedir. Oluşan
g (x) = 8
3
doğrusunun dönmesiyle oluşan silindirin hacminden,
eğrisinin dönmesiyle oluşan cismin hacminin farkına eşittir. Önce,
bu doğru ile eğrinin kesim noktasını bulalım:
x3 = 8
x = 2 dir. O hâlde, dönel cismin hacmi;

2
V  .
2
  g ( x )  f ( x ) . dx    (64 x
2
2
0

1 7
   64 x 
x 

7 
6
) . dx
0

128  768 
  128 
br 3
 

7 
7
258
bulunur..
f (x) = x2
Örnek :
parabolü ve
g (x) = x
doğrusu arasında kalan düzlemsel bölgenin
o
Ox ekseni etrafında 360 döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmini bulalım.
Çözüm : Önce, f (x) ve g (x) fonksiyonlarının belirttiği eğrilerinin kesim noktalarını bulalım:
f (x) = g (x)
2
x =x

x = 0 veya x = 1 bulunur. Oluşan cismin hacmi, doğrunun dönmesi

ile oluşan hacimden, parabolün dönmesi ile oluşan hacmin çıkartılması ile bulunur.
1
V  .
 g ( x)  f
2
2
1

( x ) . dx   ( x 2 x 4 ) . dx

0
0
 1
1 5
   x3 
x 
3

5
x = f (y)
 1
1  2
   
br 3 bulunur..
3
5  15
fonksiyonunun eğrisi,
doğruları ve
Oy
bölgenin
ekseni etrafında
Oy
y=c
,
y
y=d
ekseni ile sınırlanan düzlemsel
360o
döndürülme-
x = f (y)
d
siyle oluşan dönel cismin hacmi;
c
d
V   . x 2 . dy

dir..
x
0
c
y  [c , d] için f (y)  g (y)  0 ise; x = f (y) ve
x = g (y) eğrileri ile
y=a
arasında kalan bölgenin
y
ve
y=b
doğruları
ekseni etrafında
o
360
döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi;
d
V  .
 f
2

(y)  g2 (y) . dy
dir..
c
Örnek : y = x2 parabolü, x = 0 ve y = 2 doğruları
arasında kalan bölgenin Oy
o
ekseni etrafında 360
döndürül2
mesiyle elde edilen dönel cismin hacmini bulalım.
Çözüm :
y = x2

x
y
y
( x  0) dır.
Oluşan
y=2
x= y
cismin hacmi;
2
V .
2
0
2
y
  y  . dy =  .  y . dy =  2
0
2
= 2 br3
bulunur..
0
259
x
Örnek : x = y2 eğrisi ve y = x2 eğrisi arasında kalan düzlemsel bölgenin Oy ekseni etrao
fında 360
döndürülmesiyle elde edilen dönel cismin hacmini bulalım.
Çözüm : Önce, bu iki eğrinin kesim noktalarını bulalım:
y  x2
 
y  y2

2
y  y4

y  y 4  0  y  0 y  1 bulunur..
O hâlde, oluşan dönel cismin hacmi; y  [0 , 1] da y = x2 parabolünün oluşturduğu hacimden,
x = y2 parabolünün oluşturduğu hacim çıkartılarak bulunur.
1
V = .

 y

 2  y 2  2  . dy
1
=  . ( y  y 4 ) . dy

0
0
 y2 y 5 
 .


5
 2
 1
1  3
 .   
br 3
2
5  10
bulunur..
Örnek : Yarıçapı r birim olan kürenin hacmini bulalım.
Çözüm : x2 + y2 = r2 çemberi,
etrafında
küredir.
360o
Ox ya da Oy ekseni
döndürüldüğünde oluşan cisim, r yarıçaplı bir
y  r 2  x 2 eğrisinin [0 , r ] alt aralığına ait parçasının Ox
ekseni etrafında 360o döndürülmesiyle oluşan cismin hacminin 2
katı alınırsa, kürenin hacmi bulunmuş olur.
r
r
V  2 .  . y 2 . dx  V  2 .  .

0
 r
2
0

x3 

 x 2 dx  2  .  r 2. x 
3 


r3 
4

V  2  r 3 
 r 3 birimküp bulunur..
 
3 
3

Örnek :
x 
eğrisinin koordinat eksenleri arasında kalan bölgenin,
y 1
Ox
o
etrafında 360 döndürülmesiye oluşan dönel cismin hacmini bulalım.
Çözüm :
eksenleri
x=1
1
V  .
 1  2
0
1
V  .

0
y  1  x  y  1  2 x  x dir.
ve y = 1 de keser.
2
x  x  dx   .
Eğri,
1
 1  4x  x
2
 4 x  2 x  4 x x  . dx
0
3
1

1  6 x  x 2  4x 2  4 x 2



 . dx


3
5


1
8
8
V   .  x  3 x 2  x3  x 2  x 2 


3
3
5


1 8
8

  .  1  3 

  
3 3
5  15

260
birimküp bulunur..
ekseni
ALIŞTIRMALAR
1. f (x) = x2 + x eğrisi ve Ox ekseni arasında kalan bölgenin Ox ekseni etrafında 360o döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmini bulunuz.
2. f (x) = x3  x eğrisi ve Ox ekseni arasında kalan bölgenin
döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmini bulunuz.
Ox
ekseni etrafında 360o
1
o
eğrisi, x = 2 ve x = 5 doğruları arasında kalan bölgenin Ox ekseni etrafında 360
x
döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmini bulunuz.
3. f (x) =
4. f (x) = 4x  x2 eğrisi ve Ox ekseni arasında kalan bölgenin
döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmini bulunuz.
Ox
ekseni etrafında 360o
5. x  [0 , ] aralığında f (x) = sin x eğrisi ve Ox ekseni arasında kalan bölgenin Ox ekseni
etrafında 360o döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmini bulunuz.
6. y2 = 4x eğrisi, x = 0 ve y = 6 doğruları ile sınırlanan bölgenin Oy
döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmini bulunuz.
ekseni etrafından 360o
7. x2  y2 = 1 eğrisi, y = 0 ve y = 4 doğruları arasında kalan bölgenin Oy ekseni etrafında 360o
döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmini bulunuz.
8. f (x) = x2 eğrisi, y = x doğrusu arasında kalan bölgenin;
a. Ox ekseni etrafında 360o döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmini bulunuz.
b. Oy ekseni etrafında 360o döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmini bulunuz.
9. f (x) = 2x2 , g (x) =  3x2 + 5 eğrileri arasında kalan bölgenin, Ox ekseni etrafında 360o
döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmini bulunuz.
10. f (x) = x3 eğrisi ile y = 1 ve x = 0 doğruları arasında kalan bölgenin, Oy ekseni etrafında 360o
döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmini bulunuz.
11.
y = x2 parabolü ile y = 4 doğrusu arasında kalan, şekildeki
taralı bölgenin Ox ekseni etrafında 360o döndürülmesiyle
oluşan dönel cismin hacmini bulunuz.
12.
y = x2 + 1 parabolü ile y = x + 3 doğrusu arasında
kalan, şekildeki taralı bölgenin Ox ekseni etrafında
360o döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmini bulunuz.
13. Şekildeki taralı alanın Oy ekseni etrafında 360o döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmini bulunuz.
261
TEST 5 • A
1. f  (x) = 2x + 1 ve f (1) = 4 ise, f (2) değeri kaçtır?
A) 2
z
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
1
2.
(2x  3) . dx   2 ise, n aşağıdakilerden hangisidir?
n
A) 1
B) 2
C) 3
z
D) 4
E) 5
3
3. f (0) = 2 , f (3) = 4 olduğuna göre,
f (x) . f  (x) . dx değeri kaçtır?
0
A) 8
B) 6
z
C) 3
D)  3
E)  6
C) 3
D) 4
E) 5
C) 3
D) 4
E) 5
2
4.
. x . dx
değeri kaçtır?
1
A) 1
z
B) 2
1
5.
(x  1) . sgnx . dx değeri kaçtır?
1
A) 1
B) 2
z
x
6. f (x) =
2
2
t  1 . dt fonksiyonun grafiğinin,
x = 1 deki teğetinin eğimi kaçtır?
x
A)  2 2
7.
d

dx
FH
z
B)  2
IK
f ( x) . dx
8.
B) f  (x)
F
GG
H
z z
d
dx
0
D) 2
E) 2 2
D) 0
E) 1
işleminin sonucu nedir?
A) f (x)

4
C) 0
C) f  (x)
I
JJ
K
x
tan t . dt . dx aşağıdakilerden hangisine eşittir?
0
A)  1
B) 0
z
C) 1
D) 3
E) 2
D)  2
E) 4
b
9. a2 = 8 + b2 ise,
x . dx sonucu kaçtır?
a
A) 2
z
1
10.
0
B)  4
( x 2  4) 2x
( x 2  4) 2  1
A)
z
 dx
1
26
ln
2
17
C) 0
değeri nedir?
B)
1
25
ln
2
17
C)
1
13
ln
2
17
D) ln
26
17
E) ln
17
26
/ 4
11.
1  cos 2x . dx
değeri nedir?
0
A)
2 1
B)
2 1
C) 2
D)
262
2
2
E) 2 2
12.
ze
j
f ( x)  x . f  ( x) . dx  x  1 ve f (1)  7 ise,
A) 2
z
B) 0
C)  1
6
13.
z
D)  3
E)  5
D) 216
E) 220
40
f (6 x  4) . dx  36 ise,
2
f ( y) . dy
değeri kaçtır?
16
A) 12
B) 36
z
integralinde x = et dönüşümü yapılırsa, aşağıdaki integrallerden hangisi
e
14.
f ( 1) kaçtır?
2
1
C) 196
3
ln x  ln x
 dx
x
elde edilir?
A)
z
3
B)
( t  t ) . dt
0
f ( x) 
z
0
A) 
3
C)
t . dt
0
sin x
15.
z
t2
1  t2
 dt
3
14
z
e2
3
( t  t ). dt
D)
1

3
C) 
16. y = f (x) fonksiyonunun eğrisi
olduğuna göre, f (1) kaçtır?
x=2
B) 1
B)
3
5
D)
5
3
E)
7
6
2
7
D) 
apsisli noktada
3
7
E)
D) 2
E)  2
C)
6
7
x
ile sınırlı bölgenin Ox ekseni etrafında 360o döndürülmesiyle oluşan

 (e 2  1) birimküp olduğuna göre,
2
a nın
değeri kaçtır?
A)
1
2
B) 1
C)
3
2
D) 2
E) e
19. Yanda verilen şekildeki taralı bölgenin Ox ekseni etrafında 360o
döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi kaç birimküptür?
A)
27 
2
B)
17 
2
C)
15 
2
D)
263
27 
5
1
14
eksenine teğettir. f  (x) = 2x  a
Ox
18. Şekildeki gibi; y = e eğrisi x = 0 , x = a doğruları ve Ox ekseni
dönel cismin hacmi
t . dt
0
17. Yanda verilen şekildeki taralı alanın değeri kaçtır?
2
6
E)
apsisli noktadan çizilen teğetin eğimi kaçtır?
C)  1
A)
z
2
ln 3 t . dt
1
fonksiyonu veriliyor. x 
B) 3
14
A) 0
z
e2
2
2
E)
7
2
TEST 5 • B
z
e
1.
1
x1
. dx
x
değeri kaçtır?
A) 1
z
B) 2
C) e  1
D) e + 1
E) e
1
2.
2 . x2 . u2 . dx
ifadesi, aşağıdakilerden hangisine eşittir?
0
A) 1
B) x
2
C)
2u 2
3
2
D) u + 1
2
E) u  1
3. f : R  R fonksiyonunun eğrisi üzerindeki A (1 , 2) noktasından çizilen teğetinin eğimi  1 ve
f  (x) = 6x olduğuna göre, f (3) ün değeri kaçtır?
A) 10
B) 12
C) 16
D) 20
E) 27
4.
z
x4  4
x4
3 x4  3 x3  4
A)
z
B)
3 x3
3 x4  6 x3  4
D)
5.
belirsiz integrali aşağıdakilerden hangisi olamaz?
 dx
E)
3 x3
2x 3  2x  1
x2  1
3 x3
3 x4  5 x3  4 x
3 x3
3 x4  4
3 x3
B) x3 + arctanx + c
1
ln (x2 + 1) + C
2
z
z
C)
 dx belirsiz integrali için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) x2 + arctanx + C
D) x +
3 x4  4 x3  4
C) x2 + ln (x2 + 1) + C
E) x2 + arctan (x2 + 1) + C
1
z
1
6.
0
x
m
x
 dx 
n
A)  1
xm . dx
0
1
eşitliğinde
m  n olduğuna göre,
n nin
değeri kaçtır?
xn . dx
0
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
7. İlk hızı V = 7 m/sn, ivmesi a = 2 m/sn2 olan bir hareketli, harekete başladığı andan 6 sn sonra
0
kaç metre yol gitmiştir?
A) 78
8.
z
B) 80
C) 92
D) 110
E) 120
8 sin x . cos x . cos 2x . dx belirsiz integrali için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) cos4x + C
D) 
cos 8 x
C
2
B)  cos4x + C
E) 
cos 4 x
C
2
264
C)
1
sin4x + C
4
9.
10.
z
dx
belirsiz integrali için,
2
x x
aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) ln
1
C
x 1
B) ln
D) ln
x
C
x 1
E) ln
z
1
2
C) ln x2 + x + C
C
x 1
2
x . 2cos x . dx  x . f ( x) 
z
x
C
x 1
eşitliğini sağlayan
f ( x) . dx
f
f
fonksiyonu için,
FG  IJ
H 3K
aşağı-
dakilerden hangisidir?
A) 0
B) 1
z
e2
11.

1
B) 2

3
f ( x) 
z
sin x
D)
2
E) 2
3
ln x 2
 dx değeri kaçtır?
x
A) 1
12.
C)
1
1 t
2
ile tanımlı
 dt
C) 3
f (x)
D) 4
fonksiyonunun
x
E) e

3
apsisli noktasından çizilen
normalinin eğimi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2
B) 3
C)
7
2
D) 4
E)
9
2
D) 13
E)
27
2
13. Yandaki şekilde,
f (x)
fonksiyonunun grafiği
verilmiştir. f (x) eğrisinin [ 2 , 3 ] kapalı
aralığındaki parçası ile Ox ekseni arasındaki alan
z
5
10
birimkare ve
f ( x) . dx   3
ise,
taralı
2
alanın değeri kaç birimkaredir?
A)
13
2
B) 7
C) 10
14. Şekilde, y = f (x) fonksiyonunun grafiğinin bir kısmı verilmiştir.
Taralı bölgenin alanı 7 br2 olduğuna göre,
z
3
x . f (x) . dx
değeri kaçtır?
0
A) 14
B) 9
C) 6
D) 2
265
E) 1
15. Yandaki grafikte, y =
1
x
eğrisi ile y = 2x ve x = e doğruları
arasında kalan taralı bölgenin alanı
T ise,
T
3
 ln 2
2
değeri kaçtır?
A) 1
e
B) 2
C) 3
D) ln4
E)
16. Herhangi bir noktasındaki eğimi, bu noktadaki apsisinin  2 katına eşit olan ve
noktasından geçen fonksiyonun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y =  x2 + 2x
B) y =  x3 + 2x
D) y =  x2 + 2
E) xy = 1
C) y =  x2 + x + 1
17. Yanda, y = ex eğrisi ile x = 0 , y = 0 ve x = a
doğruları arasında kalan taralı alan A (a) fonksiyonu ile
gösterilmiştir. Buna göre,
lim
a
A)
A (a) değeri aşağıdakilerden hangisidir?
1
2
B) 
D) 1
1
2
C)
2
3
E) e
18. Yanda grafikleri verilen parabol ile doğru, A (4 , 3)
O(0 , 0) noktalarında kesişmektedir.
ve
Buna göre, parabol ile doğru arasında kalan alanın değeri
kaçtır?
A) 18
B) 12
C) 10
D) 9
E) 6
19. Yandaki şekilde, y = x2 parabolünün iç bölgesinde kalan y = 2
doğrusuyla sınırlı bölge, Oy ekseni etrafında 360o döndürülmesiyle elde edilen dönel cismin hacmi kaç birimküptür?
A) 
B) 2
n
20.
n
2
n
lim
e e  e
n
A) 0
B) 1
n
3
n
C) 3
E) 2
D) 4
n
 ...  e
ifadesinin değeri kaçtır?
C) e + 1
266
A (1 , 1)
D) e  1
E) e
TEST 5 • C
f  (x) = 2x  4
1. Bir f (x) fonksiyonunun grafiğinin x = 3 noktasındaki teğetinin eğimi 1 dir.
olduğuna göre, aynı eğrinin x = 1 noktasındaki teğetin eğimi kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D)  1
E)  2
2
2. f (x) fonksiyonunun türevi
f ( x) = 3x + 2x + m dir. f (x) fonksiyonunun eğrisi,
noktasında Ox eksenine teğet olduğuna göre, f (2) değeri kaçtır?
A) 2
B) 4
z
C) 5
D) 8
E) 10
C) 0
D) 1
E) 2
x=1

3.
. sinx . dx değeri kaçtır?
0
A)  2
z
B)  1
/ 2
4.
sin 2x . sin x . dx
değeri kaçtır?
0
A)
z
1
5.
3
2
B) 
d (2x2  1)
x2  1
0
A) 1
z
e4
6.
e
3
2
C)
2
3
D) 
2
3
E) 1
değeri kaçtır?
B) 2
C) arctan4
m . dx
= 2m + 5 ise,
x
m
D) ln4
E) e
D) 4
E) 5
reel sayısı kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
z
 sgn x) . dx değeri kaçtır?
1
7.
( 2x . x 
1
A)  2
B)  1
z
C) 0
D)
2
3
E)
3
2
6
8. Yandaki şekle göre,
f  ( x) . dx
değeri kaçtır?
10
A) 0
B) 1
D) 3
E) 4
z
C) 2
3x
9. f ( x) 
( t 3  9 t) . dt
fonksiyonunun grafiğinin x = 1 noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?
1
A)  2
B)  1
C) 0
D) 1
267
E) 2
f ( x)
10. Yandaki şekilde,
Buna göre,
z
3
e
j
2 . sgn f  ( x) . dx
fonksiyonunun grafiği verilmiştir..
değeri kaçtır?
1
A)  4
D) 6
B)  6
E) 8
C) 4

6
11.
z
(1  cos 2 3 x) . sin 6 x . dx
değeri kaçtır?
0
1
3
A)
B)
1
4
12. Yerel ekstremum noktalarından biri
olduğuna göre,
B)  2
z
2
göre,
2
1
6
1
3
D) 
A (0 , 2) olan
f
fonksiyonu,
f ( 2) değeri kaçtır?
A)  1
13. f : R  R ye
C)
tanımlı ve sürekli bir
f (x) . dx
f (x)  5
A) ln12
C)  3
f (x)
D)  4
fonksiyonu için,
E) 
z
1
6
f ( x)  (3 x 2  2x  m) . dx
E)  5
f ( 2) = 1 ve f (2) = 7 olduğuna
değeri kaçtır?
B) ln6
C) ln2
D) ln
1
2
D) 
5
36
E) ln3
14. Yandaki şekilde, f (x) fonksiyonunun grafiğinin x =  2 ve x = 3 apsisli noktalarından
çizilen teğetleri görülmektedir. Buna göre;
z
3
2 . f (x) . f  (x) . dx
değeri kaçtır?
2
A)
z
13
36
B)
5
36
C)
1
36
E) 
13
36
E) 
1
e

15.
sin x . ecos x . dx
değeri kaçtır?
0
A)
e2  1
e
B)
1  e2
e
C) e2
D)
268
1
e
16. Şekilde görülen f (x) fonksiyonunun eğrisi, x = 5 ve
y = 0 doğrularının sınırladığı alanlardan,
z
5
2
A = 20 br , A = 6 br
1
2
ve
2
f ( x) . dx  36
ise,
2
A
alanı kaç birimkaredir?
3
A) 10
B) 22
C) 50
D) 66
C) 76
17. Yanda verilen şekildeki taralı alanın değeri kaç birimkaredir?
A)
D)
16
3
B)
6 5
E)
5
18. f (x) = (x  2)2 eğrisi,
A)
z
4
19.
3
5
6
B)
3x  2
2
x  x2
3
A) ln4 5
20. f (x) =
ex
 dx
11
3
C)
5
5 5
6
y = x ve y = 0 doğrusu arasında kalan alan kaç birimkaredir?
5
3
C)
7
6
D)
4
3
E)
3
2
değeri kaçtır?
3
B) ln 2
eğrisi,
C) ln2 5
D) 3 3
E)
D) ln5
E) ln6
3
x = a , x = 0 ve y = 0 doğruları
arasında kalan bölgenin,
Ox
ekseni etrafında 360o
döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi 2 birimküp
ise, a nın değeri kaçtır?
A) ln2
B) ln3
C) ln4
269
TEST 5 • D
1.
z
x . f ( x) . dx  x 3  x 2  c
A) 2
olduğuna göre,
B) 4
f (2) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
C) 6
D) 8
E) 12
2. y = f (x) fonksiyonunun eğrisi, apsisleri  1 ve 3 noktalarındaki teğetlerinin eğim açıları sırasıyla
z
3
135o ve 45o ise,
b g
f (x) . d f (x)
değeri aşağıdakilerden hangisidir?
1
A) 2
z
B) 1
ln3
3.
ln2
dx
e 1
A) ln9
B) ln8
z
x
4. f ( x) 
0
5.
1
2
d
dx
F
GG
H
A)
6.
z
t2
2t 3  1
 dt
B)
z
7
3
2x2
3 x3  1
1
3
1
4
I
JJ
K
E)  2
3x  1
C)
D)
9
8
1
5
1
144
E) ln
E)
1
6
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
B) ln (3 x3  1)
3
D) ln
f (1) değeri kaçtır?
 dx
2x2
1
6
C) ln
olduğuna göre,
2
ln ( 3 x 3  1)
3
C)
D) 1
E) 0
 sin (sin 2 x) . sin 2x . dx aşağıdakilerden hangisidir?
B) sin (sin2x) + C
A) cos (sinx) + C
2
D) cos (sin x) + C
z
D)  1
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
x
A)
C) 0
C) cos (sinx) + C
E) cosx + C
b
7.
f (3a  b  x)  dx
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
a
z
A)
z
z
a+b
2a+b
f ( x)  dx
B)
f ( t )  dt
C)
a b
3a
z
b
z
3a+b
f ( y)  dy
2a
3a
D) f ( x)  dx
E)
a
f ( t )  dt
2a

2
8.
z
(sin x  cos x)  dx
değeri nedir?
0
A) 2
B) 1
C) 0
D)  1
270
E)  2
z
1
9. A 
x2  x4  dx ise,
6
2
0
A) 1
z
A2
nin değeri kaçtır?
2
B) 2
C) 3
D) 6
E) 9
C) 2
D) 3
E) 4
1
10.
x  (10 x  3) . dx değeri kaçtır?
0
A) 0
B) 1

6
11.
z FGH
cos 2
A)
1
6
IJ
K
x
x
 sin2
. dx değeri kaçtır?
2
2
0
z
3
12.
B)
12 . dx
A) 0
z
63
13.
B)
15 .
e
3

6
j . dx
D)
1
2
E) 1
C)

4
D)

3
E) 
değeri kaçtır?
x1
A) 8
z
1
3
x 11
32 .
0
C)
değeri kaçtır?
x2  9
0
1
4
B) 9
C) 10
D) 12
E) 24
D) 1
E) 0
1
14.
arctan x . dx
değeri nedir?
0
A)
z
3
15.
2

4
B)
3 . dx
2
x  x2
A) ln
3
5

 ln 2
4
C)

 ln 2
4
değeri kaçtır?
B) ln
1
3
C) ln
2
5
D) ln
2
16. Yandaki grafikte verilen y = 4 x  x parabolünün üzerindeki
A (3 , a) noktasından çizilen teğet ile parabol arasında kalan
y ekseniyle sınırlı, taralı bölgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 9
B) 12
D) 18
E) 27
C) 15
271
8
5
E) 1

2
17.
z

3
dx
sin x
değeri kaçtır?
A) ln3
B) ln2
C) 0
D)
1
ln 2
3
E)
1
ln 3
2
18. Yandaki şekilde verilen y = ax2 parabolü ile x = 1 doğrusu ve x
ekseni arasında kalan S , parabolün iç bölgesinde
1
niyle sınırlı alan
A) 14
S dir. S = S + 6
2
2
1
B) 16
ise,
a
y ekse-
değeri kaçtır?
C) 18
D) 20
E) 22
19. Yanda, y = lnx2 eğrisi ile y = 0 , y = ln3 ve x = 0 doğruları
arasındaki kapalı bölgenin Oy ekseni etrafında 360o döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi kaç birimküptür?
A) 
B) 2
D) 4
E) e
C) 3
20. Yandaki şekilde verilen y = 4x  x2 parabolü ile y = 3
doğruları arasında kalan kapalı bölgenin Ox ekseni etrafında
360o döndürülmesi ile oluşan dönel cismin hacmi, aşağıdaki
belirli integrallerden hangisi ile bulunabilir?
z
4
A)
z
4
2
(4 x  x )  3 . dx
0
B)
(4 x  x )  9 . dx
0
z
3
D)  .
1
E)  .
C)  .
0
z
3
(4 x  x2 )  3 . dx
z
3
2
(4 x  x2 )2  9 . dx
1
272
(4 x  x2 )  3 . dx
BÖLÜM
LİNEER CEBİR
6
MATRİSLER
Tanım : m , n  N+ için, (i = 1 , 2 , 3 , ... , m ; j = 1 , 2 , 3 , ... , n) olmak üzere, a i j reel
sayılarından oluşturulan;
LM a
MMa
MM
MMa
MNa
11
a12 ... a1 j ... a1n
21
a22 ... a2 j ... a 2 n
i1
ai 2 ... ai j ... ain
m1
am 2 ... am j ... amn
B
OP
PP
PP
PP
PQ
 i. satır
j. sütun
tablosuna, m x n
biçiminde (tipinde) bir matris denir.
A matrisindeki her sayıya, matrisin elemanı ya da bileşeni ve a i j elemanındaki i sayısına birinci
indis, j sayısına da ikinci indis denir. a i j elemanı, A matrisinin i. satır ile j. sütununun kesim
noktasında bulunur. Tablo biçiminde gösterilen A matrisi kısaca A = [a i j ] m x n
şeklinde gösterilir.
Burada, m matrisin satır sayısını, n de sütun sayısını gösterir.
A matrisinin, a i1
a
,
1j ,
a i2 , ... , a i j , ... , a in elemanlarına i. satır elemanları;
a
2j
, ... , a
ij
, ... , a
mj
elemanlarına da j. sütun elemanları denir.
Örnek : Aşağıdaki matrislerin biçimlerini belirtelim.
a.
LM 1
N0
2
3
4 1
OP
Q
b.
LM 2
MM 0
N4
1
2
2
3
5
7
OP
PP
Q
c.
LM  1OP
N 4Q
d.
3
2
3
e.  5
Çözüm : a. Matriste 2 satır, 3 sütun bulunduğundan 2 x 3 biçiminde bir matristir. Aynı nedenle;
b. 3 x 3 biçiminde,
c. 2 x 1 biçiminde,
d. 1 x 3 biçiminde,
e. 1 x 1 biçiminde matrislerdir.
273
Tanım : A = [a i j ] m x n matrisinin her satırına, satır matrisi (satır vektörü) denir.
B1 = [a11
a12 ... a1n ]
(1. satır matrisi)
B = [a
a
(2. satır matrisi)
2
21
22
... a
2n
]
A matrisi satır matrislerine bağlı olarak,
1
A = [a ]
ij mxn
B = [a
m
a
m1
m2
... a
mn
Tanım : A = [a i j ] m x
LMa
MMa
MM 
Na
11
A =
1
21
m1
OP
PP
PP
Q
]
(m. satır matrisi)
2
=
2
m
OP
PP
PPQ
şeklinde gösterilir..
matrisinin her sütununa, sütun matrisi (sütun vektörü) denir.
n
LMa
MMa
MM 
Na
12
, A =
LMB
MMB
MMNB
22
m2
OP
PP
PP
Q
LMa
MMa
MM 
Na
1n
, ... , A =
n
2n
mn
OP
PP
PP
Q
A1 : Birinci sütun matrisi
A2 : İkinci sütun matrisi
An : n.
sütun matrisi
A matrisi sütun matrislerine bağlı olarak, A = [ai j ] m x n = [A1 A2 A 3 ... An] şeklinde gösterilir.
Örneğin;
1.
2.
[ 2 ] 1 x1
[ 5 ] 1 x1
Örnek :
,
[7
8 ] 1 x2
,
LM 3OP
N 4 Q 2 x 1
A = [aij ] 3x4
elemanını belirtelim.
Çözüm : B 3 = [ 6
A2
LM1OP
= M 7P
MN 9PQ
,
,
[4
LM 1 OP
MM 0PP
N 4 Q
2
5] 1x4
birer satır matrisidir.
birer sütun matrisidir..
3 x1
LM 2
= 3
MM6
N
1 0 5
7 4 8
9 4 5
9 4
 5]
(2. sütun matrisi)
3
OP
PP
Q
matrisinin,
3. satırını,
2. sütununu ve
a 32
(3. satır matrisi)
a 32 = 9
(3. satır 2. sütun elemanı) olur.
Kare Matris
Tanım : n x n tipindeki [a i j ] n x n matrisine, n. sıradan (basamaktan ya da mertebeden)
kare matris denir.
Örneğin;
LM3
N1
4
5
OP
Q
matrisi, 2. sıradan bir kare matristir..
Sıfır Matrisi
Tanım : Bütün elemanları sıfır olan matrise, sıfır matrisi denir ve O harfi ile gösterilir.
Örneğin; O =
LM0
N0
0
0
0
0
OP
Q
matrisi,
2 x 3 tipinde bir sıfır matristir..
2 x3
274
Tanım :
[ a ij ] n xn
kare matrisinde
oluşturduğu köşegene, asal köşegen;
a 11
a n1
,
a 22
, a (n 1) 2
, a 33
, ... , a nn
, ... , a 1n
elemanlarının
terimlerinin oluşturduğu
köşegene, yedek köşegen denir.
LMa
MMa
Na
Örneğin;
11
a12
a13
21
a 22
a 23
31
a 32
a 33
yedek köşegen
Tanım :
A = [ a ij ] n xn
OP
PP
Q
asal köşegen
a11
,
a22
,
a33 :
a
,
a
,
a
31
22
13
Asal köşegen
: Yedek köşegen
kare matrisinde asal köşegen üzerindeki elemanların dışında, diğer
elemanları sıfır ise, bu tip kare matrise, köşegen matris denir.
Örneğin;
LM3
MM00
N
0
4
0
0
0
0
Tanım : A = [ a i j ] n x n
OP
PP
Q
matrisi, 3. sıradan bir köşegen matristir..
köşegen matrisinde a 11 = a 22 = a 33 = . . . = a nn = k ise, (k R)
bu matrise, skalar matris denir.
LM5
N0
Örneğin;
0
5
OP
Q
matrisi, 2. sıradan bir skalar matristir..
Birim Matris
Tanım : Asal köşegen üzerindeki elemanları bir, diğer elemanları sıfır olan kare matrise, birim
matris denir.
nxn
Örneğin; 4
tipindeki bir birim matris
LM1
0
=M
MM0
N0
0
0
1
0
0
1
0
0
OP
PP
P
1Q
 n ile gösterilir.
0
0
0
matrisi, 4. sıradan bir birim matristir. 4 ile gösterilir..
İKİ MATRİSİN EŞİTLİĞİ
Tanım : Tipleri aynı ve karşılıklı elemanları eşit olan matrislere, eşit matrisler denir.
(i , j)  M x N
Örnek : A 
için,
LM5a
MNa  2 b
a ij = b ij
OP
PQ
3a  2 b
5
b

ve
[ a ij ] m xn = [ b ij ] mxn
B
275
LM4 xOP
N y 2Q
olmak üzere, A = B ise,
x
y
kaçtır?
Çözüm :
LM5 a
MNa  2 b
A  B 
OP L4 xO
PQ  MNy 2PQ
3a  2 b
5
b
5a = 4 , 5b = 2 , 3a + 2b = x , a + 2b = y
a
5 2
U|
V
 2 W|
2
b
5 2 
5
2b
matrislerin eşitliğinden,
olduğundan,
5 a = 5 2b den, a = 2b olur. Bulunan değer
2
x
3a  2b 3 (2b)  2b 8b



2
y
a  2b
2b  2b
4b
x
de yerine yazılırsa;
y
bulunur..
MATRİSLERDE TOPLAMA İŞLEMİ
Tanım : A = [ a i j ] m x n ve B = [ b i j ] m x n
A+B =[a ]
ij m xn
+[b ]
ij m xn
= [a
ij
matrisleri verilmiş olsun.
+b ]
ij m xn
matrisine, A ve B matrislerinin toplamı
denir.
O hâlde, matrisleri toplarken, sadece karşılıklı elemanlar toplanır.
Örnek : A matrisi, (m + 1) x 2 ; B matrisi, (n + 1) x (p  2) ve A + B matrisi 3 x k biçiminde
ise,
(m + p + k)
kaçtır?
Çözüm : İki matrisin toplanabilmesi için tipleri aynı olmalı idi. Buna göre;
m+1=n+1
p2=2

3xk = (m + 1) x 2 den
m+1=3
m=n=2 , p=4
k=2
Örnek :
LMa
N3
,
m=n


OP LM
Q N
p=4
k=2
olmalıdır.
2 1
3b

b 4
1

m + p + k = 2 + 4 + 2 = 8 dir.
OP LM
Q N
1
2
11 3

2a  4
4 1
1
8
OP
Q
olması için,
(a , b)
ikilisi ne
olmalıdır?
Çözüm : Verilen eşitliğin birinci yanındaki matrisleri toplarsak,
LMa  3b
N4
3
2a  b
a  3b   11
2a  b   1
UV
W
OP LM
Q N
1
11

8
4
3
1
1
8
OP
Q
elde edilir. Bu eşitlikten,
denklemleri yazılır. Bu denklemler çözülürse,
(a , b) = ( 2 , 3)
bulunur..
Bir Matrisin Toplama İşlemine Göre Tersi
Tanım : A = [ a i j ] m x n matrisi verilmiş olsun.  A = [  a i j ] m x n matrisine, A = [ a i j ] m x n
matrisinin toplama işlemine göre tersi denir.
Örneğin; A =
LM2
N4
1 3
5 6
OP
Q
matrisinin toplama işlemine göre tersi,
276
LM 2
N4
1
5
3
6
OP
Q
matrisidir..
Toplama İşleminin Özelikleri
1.
Matrisler kümesinde toplama işleminin değişme özeliği vardır.
A = [ a ij ] m xn
ve
A+ B = [a ]
B = [ b ij ] m xn
matrisleri için,
+ [b ]
ij m xn
ij mxn
= [ a ij + b ij ] m xn = [ b ij + a ij ] mxn
= [b ]
+ [a ]
ij m xn
ij mxn
= B + A dır.
2.
Matrisler kümesinde toplama işleminin birleşme özeliği vardır.
A = [ a ij ] m xn
,
B = [ b ij ] m xn
,
C = [ c ij ] m xn
matrisleri için,
A + (B + C) = [ a i j ] m x n + ([ b i j ] m x n + [ c i j ] m x n )
= [ a ij ] m xn + [ b ij + c ij ] m xn = [ a ij + ( b ij + c ij ) ] mxn
= [( a i j + b i j ) + c i j ] m x n = [ a i j + b i j ] m x n + [ c i j ] m x n
= ([ a i j ] m x n + [ b i j ] m x n ) + [ c i j ] m x n
= (A + B) + C
3.
olur.
Sıfır matrisi, toplama işleminin etkisiz elemanıdır.
A = [ a ij ] m xn
,
O = [ 0 ] m xn
matrisleri için,
A + O = [ a ij ] m xn + [ 0 ] m xn = [ a ij + 0 ] m xn = [ a ij ] m xn = A
O + A = [ 0 ] m x n + [ a i j ] m x n = [0 + a i j ] m x n = [ a i j ] m x n = A
4.
dır.
A = [ a i j ] m x n matrisinin toplama işlemine göre ters matrisi,  A = [  a i j ] m x n
matrisidir.
A + ( A) = [ a i j ] m x n + [  a i j ] m x n = [ a i j  a i j ] m x n = [ 0 i j ] m x n
( A) + A = [  a i j ] m x n + [ a i j ] m x n = [  a i j + a i j ] m x n = [ 0 ] m x n dir.
Matrislerin toplama işlemi yukarıdaki özeliklerden dolayı, aynı tip matrislerin oluşturduğu küme ile
birlikte toplama işlemi bir değişmeli grup oluşturur.
İki Matrisin Farkı
Tanım : A = [ a i j ] m x n , B = [ b i j ] m x n
A  B = A + ( B) = [ a ]
ij m xn
+ [ b ]
ij m xn
matrislerinin farkı,
= [a
277
ij
 b ]
ij m xn
dir.
MATRİSLERİN SKALARLA ÇARPIMI
C bir cisim olmak üzere, bu cismin elemanlarına, skalar denir.
Örneğin; k = 5 bir reel skalardır.
Tanım : k skalar sayısı ve A = [ a i j ] m x n
k . A= k [ a ]
= [k . a ]
ij mxn
ij mxn
matrisi verilmiş olsun.
matrisine, k skalar sayısı ile A matrisinin çarpımı
denir.
LM2
N4
Örnek :
3
1
OP
Q
matrisi ve
Çözüm : k . A = 2 .
LM2
N4
3
1
k=2
sayısı için,
OP  LM2 . (2)
Q N4 . (2)
k.A
OP  LM4
Q N8
 3 . (2)
1 . (2)
matrisini bulalım.
6
2
OP
Q
bulunur..
Skalarla Çarpmanın Özelikleri
Teorem :
Bir
B = [ b ij ] m xn
C
cismindeki üç skalar sayı;
olsun. Her
A = [ a ij ] m xn
matrisleri için;
1.
k . (A + B) = k . A + k . B
2.
(k1 + k2) . A = k1 . A + k2 . A
3.
k1 . (k2 . A) = (k1 . k2) . A dır.
İspat :
k , k 1 , k2
1. k . (A + B) = k . ([ a i j ] m x n + [ b i j ] m x n )
k [ a i j + b i j ] m x n = [k . ( a i j + b i j ) ] m x n = [k . a i j + k . b i j ] m x n
= [k . a i j ] m x n + [k . b i j ] m x n = k . [ a i j ] m x n + k. [ b i j ] m x n
=k.A+k.B
2. (k + k ) . A = (k + k ) . [ a ]
1
2
1
2
= [(k + k ) . a
1
2
ij mxn
]
ij m xn
= [(k a
1 ij
+k a
]
2 ij m xn
= [k a ]
1 ij m xn
+ [k a ]
= k1 . [ a i j ] m x n + k2 . [ a i j ] m x n = k1A + k2A
3. k1 (k2 . A) = k1 [k2 . a i j ] m x n = k1 . (k2 . [ a i j ] m x n ) = (k1 . k2) . [ a i j ] m x n
= (k1 . k2) . A
278
2
ij mxn
ve
LM1
N1
OP , B  LM1 0 1 OP olduğuna göre, 2A  3B matrisini hesaplayalım.
Q
N 2  5 6Q
L1 2  3OP  (3) LM1 0 1 OP
Çözüm : 2A  3B  2 . M
N1 0 4Q
N 2  5 6Q
L2 4  6OP  LM 3 0  3 OP  LM2  3 4  0  6  3OP  LM 5 4  9 OP dir..
M
N2 0 8 Q N 6 15  18Q N2  6 0  15 8  18 Q N4 15  10Q
Lxy xzOP , B  LMz yOP , C  LM22 26OP matrisleri için, A + B = 1 C ise, x kaçtır?
Örnek : A  M
2
N y  1Q
Nz 1Q
N16 0 Q
Lxy xzOP  LMz yOP  LMxy  z xz  yOP
Çözüm : A  B  M
N y  1Q Nz 1Q N y  z 0 Q LMxy  z xz  yOP  LM11 13OP olur.
1
1 L22 26 O L11 13O
N yz 0 Q N 8 0Q
C
M
M
P
P
0Q N 8 0 Q
2
2 N16
Örnek : A 
2 3
0 4
İki matrisin eşitliğinden;
I. xy  z  11
II. xz  y  13
III. y  z  8
U|
V|
W
I. ve II. denklemleri taraf tarafa toplayalım.
xy  xz  y  z  24
x ( y  z)  y  z  24
8 x  8  24  x  2
olur.
MATRİSLERDE ÇARPMA İŞLEMİ
Tanım :
İki matrisin çarpılabilmesi için; 1. matrisin sütun sayısı, 2. matrisin satır sayısına eşit
olmalıdır. A = [ a i j ] m x n
B = [ b jk ] n xp
olmak üzere;
n
elemanları c ik 
a
ij
. b j k  a i 1 . b 1k  a i 2 . b 2 k  ...  a i n . b n k toplamıyla bulunan C = [ c ]
ik mxp
j1
matrisine, A ve B matrislerinin çarpımı denir ve C m x p = A m x n . B n x p
biçiminde gösterilir.
Buna göre, A . B matrisinin i. satır j. sütun elemanı c i k ise, bu eleman
ile
B i satır vektörü
A j sütun vektörünün skalar çarpımıdır. O hâlde, birinci matrisin her satırı, ikincinin her sütununa
karşılık gelen elemanları ile çarpılıp toplanır.
Bu tanıma göre C = A . B matrisini, aşağıdaki biçimde gösterebiliriz.
LMa
MMa
C  A .B  M
MM
MNa
LMda
MMda
M
MM
MM da
N
11
a12
 a1n
21
a 22
 a2 n
am2
m1
 amn
OP
PP
PP
PP
Q
.
m xn
LMb
MMb
MM
MMb
N
11
b12
 b1p
21
b22
 b2 p
n1
bn 2
 bnp
i d
b i ... da
OP
PP
PP
PP
Q
n xp
11
b11  a12 b 21  ...  a1n bn1 ... a11 b1p  a12 b2 p  ...  a1n bnp
21
b11  a 22 b 21  ...  a 2 n
m1
n1
21
i d
b1p  a22 b2 p  ...  a2 n bnp
i
i
b11  am2 b 21  ...  am n bn1 ... am1 b1p  am2 b 2 p  ...  amn bnp
279
OP
PP
PP
PP
i PQ
m xp
Örnek :
L1  2 0OP
AM
N3 4  1Q
,
2 x3
L 1 2
A .B  M
N3 4
Çözüm :
LM 1  4 3 OP
B  M 2 5  1P
MN 4 2 0PQ
0
1
OP
Q
LM1 . 1  ( 2) (2)  0 .( 4)
N3 . (1)  4 . (2)  (1).( 4)
 4  10
L1  4
A .B  M
3

8

4
 12  20  2
N
L2 1 O
L4
Örnek : A  MM1 3 PP
, BM
N1
MN6 0PQ
Çözüm :
LM 2
MM 16
N
32
9  ( 4)
OP  LM3
Q N 15
1 3 4
3 1 5
OP
L4
 M
P
N1
0 PQ 3 x 2
1
3
1
3
OP
Q
 14
6
5
5
OP
Q
OP
Q
bulunur.
matrisleri veriliyor. A . B matrisini bulalım.
OP
Q
3 4
1 5 2x4
2 . 1  1. 3
2. 3  1 .1
LM
1
.
1

3
.
3
1. 3  3 . 1
MM
N6 . 4  0 . 1 6 . 1  0 . 3 6 . 3  0 . 1
LM 9 5 7 13 OP
A . B  7 10
6 19
MM
PP bulunur.
N24 6 18 24Q
,
1 . 3  (  2).(  1)  0 . 0
3 . 3  4 . (  1)  (  1) . 0
2 x4
2. 4  1 .1
A .B  1 .4  3.1
Örnek : A = [ a i j ] ( m + 1 ) x 2
3 x3
1 . (  4)  (  2) . 5  0 . 2
3 . (  4)  4 . 5  (  1) . 2
3 x2
A .B 
3 x3
LM 1  4 3 OP
 2 5 1
MM  4 2 0 PP
N
Q
2 x3
A .B 
matrisleri için, A . B çarpım matrisini bulalım.
OP
P
6 . 4  0 . 5 PQ
2 . 4  1. 5
1.4  3.5
B = [ b j k] ( n + 1 ) x ( p  2 )
,
C = [ c i k] 3 x 4
matrisleri için,
A . B = C ise, m + n + p kaçtır?
Çözüm : A . B işleminin yapılabilmesi için, n + 1 = 2 olmalıdır. Buradan, n = 1 bulunur.
(A . B )
bulunur. O hâlde,
Örnek :
A.B
m+n+p=9
A
LM2
MN3
OP
0 PQ
1
matrisinin,
Çözüm :
B.A 
= (C)
(m+1)x(p2)
LM 3
MN 0
A .B 
OP
PQ
4

1
LM 2
N3
LM 2
MN 3
m+1=3

m = 2 ve p  2 = 4
 p=6
olur.
B
B.A
olması için,
3 x4
LM3
MN0
OP
1PQ
4
olduğuna göre,
A . B ve B . A yı hesaplayalım.
matrisine eşit olup olmadığını gösterelim.
OP LM 3 4 OP  LM2 . 3  1 . 0 2 . 4  1 . 1OP  LM6
Q N 0 1 Q N3 . 3  0 . 0 3 . 4  0 . 1Q N9
L3 . 2  4 . 3 3 . 1  4 . 0OP  LM18 3OP
1O
 M
P
0 PQ
MN0 . 2  1 . 3 0 . 1  1 . 0 PQ MN 3 0 PQ
1

0
OP
Q
9
12
Buna göre, A . B  B . A olduğundan, matrislerin çarpma işleminde değişme özeliği yoktur.
280
Matrislerde Çarpma İşleminin Özelikleri
1. Çarpma işleminin değişme özeliği yoktur.
2. A  O
ve
B  O
Örneğin;
A
LM 2
MN2
olduğu hâlde,
OP
1PQ
1
3. A . O = O . A = O dır.
Örnek : A 
relim.
Çözüm :
LM 3 5 OP
N 4 6 Q
ve B 
LM1
MN2
A. B  B.A
A. B = O
OP
2PQ
1
olabilir.
olup, A . B 
LM 2  2
MN2  2
OP  LM0
 2  2PQ MN0
22
OP
0 PQ
0
dır.
Buna göre, sıfır matrisi, çarpma işleminde yutan elemandır.
ve O 
LM0 0OP
N0 0 Q
LM 3 5OP  LM0 0OP  LM0 0OP
N  4 6 Q N0 0 Q N0 0 Q
olduğuna göre, A . O = O . A = O
ve
2 x2
LM0 0OP  LM 3 5OP  LM0 0OP
N0 0 Q N  4 6 Q N0 0 Q
olduğunu göste-
bulunur.
4. Birim matris çarpma işleminin etkisiz elemanıdır.
 birim matris olmak üzere,
Örnek :
A
LM2
MN3
relim.
OP
5PQ
1
ve

LM1
MN0
OP
1 PQ
0
olduğuna göre,
OP LM 0OP  LM2  1OP
Q N 1 Q N3 5 Q
L1 0OP  LM2  1OP  LM2  1OP dır. O hâlde,
.A M
MN0 1 PQ MN3 5QP NM3 5PQ
Çözüm :
A. 
LM2
N3
A .  =  . A = A dır.
A.=.A=A
olduğunu göste-
1
1

5
0
A .  =  . A = A dır..
5. Matrislerde çarpma işleminin birleşme özeliği vardır.
A = [ a i j ] m x n , B = [ b j k] n x p , C = [ c i k] p x r
olmak üzere; A . (B . C) = (A . B) . C dir.
6.
Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özeliği vardır.
a.
Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine soldan dağılma özeliği;
A = [aij]mxn , B = [bjk]nxp , C = [cjk]nxp olmak üzere,
A . (B + C) = A . B + A . C dir.
b. Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine sağdan dağılma özeliği;
A ve B matrisleri m x n türünde, C matrisi n x p türünde iseler,
(A + B) . C = A . C + B . C olur.
7. A = [ a i j ] m x n , B = [ b j k ] n x p ve k  R sayı ise, k . (A . B) = A . (k . B) = (k . A) . B dir.
8.
A 0
ve A . B = A . C
iken,
B = C olmayabilir.
281
Örnek :
a.
L1
A B M
MN3
1
2
4 5
OP
PQ
LM 2
C  M 1
MN3
ve
OP
PP
Q
olduğuna göre:
b.
C.A+C.B
3
4
0
A . C + B . C matrisini hesaplayalım.
matrisini hesaplayalım.
Çözüm : A . C + B . C = (A + B) . C olduğundan;
L1
A.C  B.C  M
MN3
OP
PQ
LM
MM
N
LM 2
C . A  C . B  C . ( A  B )  M 1
MN3
Örnek :
A
OP
PP
Q
2
1
2
 1
4 5
3
LM3
MN6
OP
4 PQ
2
LM
MN
OP
PP
Q
LM
MN
LM1
MN4
OP
1 PQ
3
1
4 
3
0
, B
OP
PQ
3
3
4 
17
0
3
1
25
OP  LM11
MM11
 5 PQ
N 3
1
4
,
C
LM3
MN1
OP
4 PQ
1
OP
P
 6 PQ
10
17
2
 11
 22
3
bulunur..
matrisleri veriliyor.
A.B=A.C
olduğunu gösterelim.
Çözüm :
O hâlde,
LM3
N6
L3
A.C  M
N6
OP LM 3OP  LM11
Q N 1 Q N22
2 O L3 1 O
P4Q  MN1 4PQ  LMN11
22
OP
LM
Q
N
11 O
L1
 11  M
P
22Q
N2
2
1

4
4
A .B 
A . B = A . C dir.
Dikkat edilirse,
OP
Q
1O
P
2Q
11
1
 11 
22
2
A.B=A.C
1
2
iken,
B  C dir.
Kare Matrisin Kuvveti
Tanım : n. sıradan bir A kare matrisi verilmiş olsun. k  N+ olmak üzere;
A0 = 
n
, A1 = A , A2 = A . A , A3 = A . A2 , ... , Ak = A . Ak  1 dir.
Örnek :
n. sıradan
olmayabilir. Açıklayalım.
Çözüm :
A2  B2 = (A  B) (A + B)
A ve B kare matrisleri için,
eşitliği doğru
(A  B) (A + B) = A . A + A . B  B . A  B . B
= A2 + A . B  B . A  B2 dir.
Matrislerde çarpma işleminin değişme özeliği olmadığından, A . B = B . A olmayabilir. Buna göre,
A . B  B . A yerine O yazılamaz. Bu nedenle A2  B2 = (A + B) (A  B) ifadesi doğru olmayabilir. Aynı
şekilde,
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
Örnek :
A
LM1
MN0
OP
1 PQ
3
eşitliği de doğru olmayabilir (Gösteriniz.).
+
matrisi verilmiştir.
nN
için,
An 
LM1
MN0
3.n
1
OP
PQ
olduğunu,
tümevarım yöntemiyle gösterelim.
Çözüm : i. n = 1 için,
1
A 
LM1
N0
OP
Q
3.1
1
 A
282
LM1
N0
3
1
OP
Q
olduğundan, önerme doğrudur..
ii.
n = k için A k 
A k 1 
A . Ak
LM1
MN0
L1
M
MN0
OP
PQ
3 O L1
PM
1 PQ MN0
3 (k  1)
1
+
O hâlde,
nN
LM1
MN0
OP
PQ
3.k
1
eşitliğinin doğru olduğunu kabul edelim.
ifadesinin doğruluğunu gösterelim.
3.k
1
OP
PQ
LM1
MN0
An 
için
A 
Çözüm :
LM1 3 (k  1)OP
MN0 1 PQ
3 . nO
P dir..
1 PQ
 A k 1 
LM1 3OP ise,
MN 0 1 PQ
L1 3OP LM1
2
A M
N 0 1Q N 0
Örnek :
n = k + 1 için,
n  N+
için
OP LM
Q N
0
 2
1
A3 = A . A2 = A .  = A
An matrisini bulalım.
OP
Q
3
1

1
0
( A)n 
O hâlde,
dir..
RS 
TA
, n  0 (mod 2)
, n  1 (mod 2)
ise
ise
9
olur.
6
Örnek : f , 2 x 2 tipindeki matrisler kümesinde tanımlı bir fonksiyon f (x) = x  2x + 4 olmak
üzere,
A
LM2
MN 3
OP
 2PQ
 1
ise,
Çözüm : A2 = A . A 
f (A) yı
LM2
N3
hesaplayalım.
OP LM2
Q N3
OP LM
Q N
 1
2
A3 = A . A2 = A . 2 = A dır.
f (A) = A9  2A6 + 42
Örnek :
LM2
MN 3
(A9 = A
OP  LM2 0OP  LM4
 2PQ MN0 2PQ MN3
L1  1OP matrisi verilmiştir.
AM
MN3 1PQ
 1
0
 2
1
O hâlde,
= A  22 + 42 = A + 22

OP
Q
 1
1

2
0
,
OP
0 PQ
1
k  N için,
A2k = 2 ,
A2 k  1 = A
dır.
A6 = 2)
bulunur..
n  N+ için, An , A40 , A53 , A60 matrislerini
bulalım.
Çözüm :
A2 
3
LM1
MN3
2
OP LM
PQ MN
OP LM
PQ MN
OP
LM
PQ
MN
1O L1  1O
P1Q MN3 1PQ  (2) . LMN40
 1 1  1
2

1 3
1
6
A  A . A  ( 2) .
LM 1
N 3
2
1
 ( 2) .
2
3
A4 = A3 . A = ( 2)3 2 . A = ( 2)3 . A
5
4
3
3
2
4
A = A . A = ( 2) . A . A = ( 2) . A = ( 2) .
A6 = A3 . A3 = ( 2)3  . ( 2)3  = ( 2)6 
2
2
283
2
OP
PQ
0O
P4Q  (2)3 . LMN10 10OPQ  (2)3  2
1
1
LM 1 1OP
MN3 1PQ
(2)n .  2
Buna göre,
n
( 2)
A =
n 1
.A
( 2)n 1 .
LM 1 1OP
N3 1Q
, n  0 (mod 3)
ise
,
n  1 (mod 3)
ise
, n  2 (mod 3)
ise
40  1
(mod 3) için;
A40 = ( 2)39 . A .A = ( 2)39 .
53  2
(mod 3) için;
A
60  0
(mod 3) için;
A60 = ( 2)60 . 2 bulunur.
LMa
MN
OP
PQ
b
d
Örnek : M = c
53
= ( 2)
52
.
LM 1
MN3
OP
1PQ
1
LM 1
N3
OP
Q
1
1
bulunur..
bulunur..
matrisinde her satırın terimleri toplamı 5 olduğuna göre, M2 matrisinin
birinci satır terimleri toplamı nedir?
Çözüm : a + b = 5 ve c + d = 5 olup, M2 
LMa
MNc
OP  LMa
dPQ
MN
OP . LMa
dPQ MNc
b
b
2
 bc
.
M2 matrisinin birinci satır terimleri toplamı;
T = (a2 + bc) + (ab + bd)
T = (a2 + ab) + (bc + bd) = a (a + b) + b (c + d)
T = 5a + 5b = 5 (a + b) = 5 . 5 = 25
Örnek : A =
sin x
cos x
A2  A . A 
Çözüm :
LMcos x  sin x
MN 2 sin x cos x
2
A2 
LMcos x
N sin x
2
OP
Q
olur.
A3
ise,
LMcos x
N sin x
OP LM
Q N
sin x
cos x

cos x
 sin x
2 sin x cos x
2
matrisini hesaplayalım.
cos x  sin
2
OP  Lcos 2x
MN sin 2x
xPQ
sin x
cos x
OP
Q
OP
Q
sin 2x
cos 2 x
olur..
LMcos 2x sin 2x OP  LMcos x sin x OP
N sin 2x cos 2x Q N sin x cos xQ
L cos 2x . cos x  sin 2x . sin x cos 2x . sin x  sin 2x . cos xOP
 M
N sin 2x . cos x  cos 2x . sin x  sin 2x . sin x  cos 2x . cos xQ
L cos(2x  x) sin(2x  x) OP  LM cos 3 x sin 3x OP bulunur..
 M
N sin(2x  x) cos(2x  x)Q N sin 3x cos 3xQ
A3  A2 . A 
284
OP
PQ
ab  bd
.
bulunur..
BİR MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ
Tanım : n. sıradan bir A kare matrisi için, A . B = B . A = n koşulunu sağlayan n. sıradan
B kare matrisi varsa; B matrisine, A matrisinin çarpma işlemine göre tersi denir.
A matrisinin çarpma işlemine göre ters matrisi, A 1 ile gösterilir.
LM 3  1OP
N2 1Q
La bOP
 M
Nc d Q
Örnek : A 
Çözüm : A 1
A . A 1 = A 1 . A = n dir.
matrisinin, çarpma işlemine göre ters matrisini bulalım.
olsun. A . A 1 = A 1 . A = 2 olduğundan,
LM 3  1OP LMa bOP  LM1 0OP
N2 1Q Nc dQ N0 1Q
yazalım:
LM 3a  c
N2a  c
OP LM
Q N
3b  d
1

 2b  d
0
3a  c  1
2a  c  0
a1
c2
3b  d  0
2b  d  1
b1
d3
OP
Q
0
1
elde edilir. Matrislerin eşitliğinden,
A 1 
bulunur. O hâlde,
LM1 1 OP
N2 3 Q
olur..
Çarpma İşlemine Göre Ters Matrislerin Özelikleri
1. kR  {0} olmak üzere, n. sıradan bir A kare matrisinin çarpma işlemine göre tersi varsa,
(k . A)
2.
1
1
1
A
dir..
k

n. sıradan A ve B kare matrislerinin çarpma işlemine göre tersleri, A 1 ve B 1 ise;
(A . B) 1 = B 1 . A 1 dir.
3.
A
LMa bOP
Nc dQ
Eğer, ad  bc = 0 ise,
İspat : 1.
A. A
1
= A
(k . A ) 1 
1
1
ad  bc
ise, A 1 
. A = n
1
A
1
 A 1
k
LM d  bOP
N c a Q
dır..
yoktur.
olduğunu gösterelim:
tanımından faydalanarak,
(k . A ) 
FG 1 A IJ  FG 1 A IJ  (k . A)  
Hk K Hk K
1
1
olduğunu göstermeliyiz.
(k . A ) 
FG 1 A IJ  k . 1  A . A
Hk K k
1
1
  n dir.
FG 1 A IJ (k . A)  1  k . A
Hk K
k
1
285
1
. A  n
dir..
n
2. (A . B) 1 = B 1 . A 1
(A . B) . (B
( A . B) . (B
1
1
olduğunu gösterelim:
1
. A ) = (B
1
LM( A . B) . B
N
LMA . (B . B)
N
1
.A ) 

A . n . A

 A.A
1
. A 1 ) . (A . B) = 
OP . A
Q
OP . A
Q
1
1
1
1
olduğunu göstermemiz gerekir.
n
(B
1
1
. A ) ( A . B)
 B
 B
1
 B
bulunur.
 n
 B
LM
N
. L( A
MN
1
1
1
1
. A
1
OP
Q
. A) . BO
PQ
.( A . B)
1
. n . B
. B  n
bulunur.
O hâlde, (A . B) 1 = B 1 . A 1 dir.
Örnek : A , B , C kare matrisleri n. sıradan olmak üzere, A kare matrisinin çarpma işlemine göre
tersi varsa;
a.
A.B=O
B=O

b.
A.B=A.C
B=C

olduğunu gösterelim.
Çözüm : a. A . B = O eşitliğinin her iki yanını soldan A1 ile çarpalım:
A 1 . A . B = A 1 . O
b.
(A 1 . A) . B = O

A . B = A . C eşitliğinin her iki yanını,
A 1 . A . B = A 1 . A . C

A 1
n . B = O
B=O
bulunur.
ile çarpalım:
(A 1 . A) . B = (A 1 . A) . C



n . B = n . C

B=C
bulunur.
BİR MATRİSİN TRANSPOZU (DEVRİĞİ)
Tanım :
edilen
A = [ a ij ] m xn
matrisinin sütunları satır ya da satırları sütun hâline getirmekle elde
A matrisinin transpozu (devriği) denir ve AT veya Ad
[ a j i ] n x m matrisine,
ile
gösterilir.
Örneğin; A =
LM3
N2
4
1
5
6
OP
Q
matrisinin transpozu,
A T  Ad 
LM3
MM 4
N5
OP
PP
Q
2
1
6
dır..
Teorem : A ve B matrisleri m x n türünden iki matris ve k bir skalar ise;
1.
(AT)T = A
,
2.
(A + B)T = AT + BT
İspat : 1. A = [ a i j ] m x n
(AT)T = ([ a ]
ji n xm
olsun. AT =
)T = [ a i j ] m x n
2. A = [ a ]
ij m xn
ve
=A
B = [b ]
,
3.
[a ]
ji n xm
(k . A)T = k . AT
dir.
olur. Buradan tekrar transpozu alınırsa,
elde edilir.
j k m xn
olsun.
(A + B)T = ( [ a i j ] m x n + [ b j k] m x n )T = ( [ a i j + b j k ] m x n )T= [ a j i + b k j ] n x m = [ a j i ] n x m + [ b k j ] n x m
= AT + BT
elde edilir.
3. A = [ a ]
ij m xn
(k . A)T = (k . [ a ]
olsun.
ij m xn
)T = ( [k . a i j ] m x n )T = [k . a j i ]n x m
286
= k . [a ]
ji n xm
= k . AT
elde edilir.
Teorem : A = [ a i j ] m x n
A
(A . B) = B . A
OP
3 PQ
B = [ b j k] n x p
(A . B)T = BT . AT
matrisleri için,
dir.
LM 0 OP ise, (A . B)T = BT . AT olduğunu gösterelim.
MN 4 PQ
L 1 2OP  LM 0 OP  LM 8 OP  (A . B)T = [8 12] dir..
Çözüm : A . B  M
MN1 3 PQ NM 4 QP NM12QP
L1  1OP  BT . A T  [0 4] . LM1  1OP  [8 12] olur. O hâlde,
T
T
B  [0 4 ]
A M
N2 3 Q
N2 3 Q
T
T
T
Örnek :
LM 1
MN1
ve
2
, B
dir.
Teorem : A tersi olan bir matris ise, (AT) 1 = (A 1 )T dir.
İspat : A . A1 =  eşitliğin her iki tarafının transpozunu alalım.
(A . A1)T = T = 
(A1)T . AT = ((A . B)T = BT . AT
(AT)1 = (A1)T = (A . A1 = 
O hâlde, AT ile (A1)T
Örnek : A . B =
LM1
MN3
2
5
T
OP
PQ
T
Çözüm : (A . B) = B . A
Örnek :
A
LM1 3OP
N2 4 Q
için,

LM1
MN2
3
4
OP
PQ

A 1  

L1
BM
MN2

B
bulunur.
T
1
2
T
B .A
matrislerini bulalım.
L1
=M
MN3
1
4
B1 . A = AT
OP T  LM11
MM
5PQ
N2
2
OP
P
5 PQ
3
4
eşitliğini sağlayan
dir..
B
matrisini bulalım.
(B1 . A)1 = (AT)1

A1 . B = (AT)1

A . A1 . B = A . (AT)1
2 . B = A . (AT)1

B = A . (A1)T

A
BT . AT
ise,
olmak üzere,
B1 . A = AT
Çözüm :
olduğundan)
matrisleri, birbirinin ters matrisleridir. Yani, (AT)1 = (A1)T dir.
1
4
T
olduğundan)
1
2
LM 4
MN2
3
1
OP
PQ
F L
GG M
H MN
LM1 3OP LM 4
N2 4 Q N  3
bulunur.
OP
PQ
3
1 4 3
 
4
1
2 2
OP
Q
, B de yerine yazılırsa;
OP IJ T
PQ JK
2
1

1
2
287
1
A ve A
LM5
N 4
OP LM
Q N
OP
Q
1
5 / 2  1/ 2

0
2
0
bulunur..
Örnek : A matrisi n. sıradan bir kare matris olmak üzere, B = AT + A ise, BT  B yi bulalım.
Çözüm : B = AT + A  BT = (AT + A)T yazalım.
T
T
B =A+A =B
Örnek :
A
LM4
MN2
A . AT
Çözüm :
T
olur. O hâlde,
OP
5 PQ
L4
M
MN2
3
ise,
B  B = B  B = Onxn
T
Z / 6 da
OP LM4
5 PQ MN3
3
OP
5 PQ
2
A.A

LM1
MN5
bulunur.
matrisini bulalım.
OP
5PQ
5
bulunur..
Tanım : A, n x n tipinde bir kare matris olsun:
1.
AT = A
ise,
A
matrisine, simetrik matris denir.
2.
AT =  A
ise,
A
matrisine, antisimetrik matris denir.
3.
AT = A1
ise,
A
matrisine,
Örnek :
L2
AM
MN3
3
5
OP
PQ
,
simetrik olduğunu gösterelim.
Çözüm :
LM 0
B  M 3
MN4
LM2
MN3
4O
P
 6P
0 PQ
A
3
0
6
OP
5PQ
3
LM 0
B  M 3
MN4
ortogonal matris
3
0
6
4
6
0
OP
PP
Q
denir.
matrislerinin hangisinin simetrik, hangisinin anti-
matrisi, simetrik bir matristir. Çünkü,
A = AT
dir.
matrisi, antisimetrik bir matristir. Çünkü, AT =  A dır.
Antisimetrik matrislerde, birinci köşegen üzerindeki elemanlar sıfırdır. Birinci köşegene göre simetrik
elemanların toplamı sıfırdır.
Örnek : A 
LM1
N0
0
1
OP
Q
matrisinin ortogonal matris olduğunu gösterelim.
Çözüm : AT = A1 ise, A matrisi ortogonaldır.
T
A 
LM1
N0
OP LM
Q N
0
1

1
0
OP
Q
0
1
 A
1
olduğundan,
288
A ortogonaldır..
ALIŞTIRMALAR
1.
A
LM1
MN 1
2
3
OP
1PQ
0
matrisi veriliyor:
a. [ a ]
ise, m + n değerini bulunuz.
ij m xn
b. a12 + a13 . a21 değerini bulunuz.
c. Satırlarını oluşturan satır matrislerini bulunuz.
d. Sütunlarını oluşturan sütun matrislerini bulunuz.
2.
3.
LMx  y 1 OP  LM2 t  zOP
N 5 x  2 y Q N2 t  z 5 Q
L1  2 0OP ve B  LM1
AM
MN3 1 0PQ
MN 0
A
ise,
x+y+z+t
OP
 3PQ
1
2
3
4. Karmaşık sayılar kümesinde tanımlı olan
(a11 + a12)2  a21 . a22
LM 1
MN1
5. 2A  B 
OP
2 PQ
7
ise,
2A  3B
LM2 i  1
N1  i
A
değerini bulunuz.
matrisini bulunuz.
OP
Q
1
1 i
matrisi veriliyor. Buna göre,
değerini bulunuz.
, A B 
LM 2
MN  2
OP
 2PQ
1
matrislerin verildiğine göre, A ve B matrislerini
bulunuz.
6.
LM1
AM 2
MN 3
7.
OP
P
 3 PQ
LM
MM
N
2
1
0  3
=
1
LMsgn (1  y)OP
MN  1 PQ
OP
P
0 PQ
2
4
eşitliği ile verilen A matrisinin devriğini bulunuz.
eşitliğini sağlayan
(x , y)
ikililerinin oluşturduğu kümeyi koordinat
düzleminde gösteriniz.
8. A = [ a i j ] 2 x 3
aij 
RS i  j
T i j
243 O
P
b
3 PQ
LM3 x 3 x1OP LM3a
MN3 y1 3 y PQ  MN93
LM1 2OP
L 1
A M 0
3P , B  M
MN 2
MNx  y 3 PQ
9. 9 .
10.
,
ij
ji
ise
ise
matrisini bulunuz.
olduğuna göre,
0
5
3x  y 3
OP
PQ
x.y+a.b
matrisleri veriliyor.
değeri kaçtır?
A = BT
ise,
y2  x2
değeri
kaçtır?
11.
12.
LM 1
N 1
Lx
AM
MNz
3
OP LM OP LM
OP eşitliğinde, a + b + c + d değeri kaçtır?
Q N Q N
Q
L O
yO
Pt P matrisi için, x + y + z + t = 3 tür. (A  A )  MMac bdPP ise, a + b + c + d
N Q
Q
3
1 3
a
b


2
4
0
c 1 d
T T
289
kaçtır?
13. Aşağıdaki matrislerin çarpımlarını bulunuz.
LM 2 OP
2] . M 2 P
NM 1 PQ
a. [1  1
14.
15.
La
d. M
MN3
L5
AM
MN5
L2
AM
MN5
b.
OP . LM11
M
 1 PQ M
N0
2a
OP
P
b  aPQ
ab
2
ab
2b
OP
5 PQ
5
OP
4 PQ
3
LM 3 OP
MM 1 PP . [2
N 2 Q
 2]
LM1
MN2
c.
OP . LM1
2 PQ MN0
1
1
1
OP
2 PQ
3
e.
2
ise,
A  5A matrisini bulunuz.
, B
LM7OP
MN 1PQ
matrisleri veriliyor.
B + C = A. C
eşitliğine uyan
C
matrisini
bulunuz.
16.
17.
18.
LM1  2OP
MN3 0PQ
L 1  1OP
AM
MN1 1PQ
A
a.
A2
A
LM 19
MN18
matrisi için,
A2  2A + 2 matrisini bulunuz.
matrisi için, aşağıdaki matrisleri bulunuz.
A3
b.
OP
1PQ
1
A1998
c.
matrisi veriliyor.
A . B = 2
d.
n  N+
olduğuna göre, A + B
19. A , n. mertebeden bir kare matris olmak üzere, A2  3A = 5n
göre,
20.
A
1
A
matrisini,
LM2 2OP
MN2 2PQ
A ve n
matrisi için,
için
An
matrisini bulunuz.
bağıntısını sağlamaktadır. Buna
matrisine bağlı bulunuz.
S = A + A2 + A3 + ... + A1998
ve S = k . A
ise,
kR sayısını
bulunuz.
21.
LM 1
MM 2
N 1
OP L
PP MMN
Q
1
1
1 
2
2
22. Aşağıdaki
a.
23.
24.
1
OP
Q
2O
P
0Q
1
0
OP
1PQ
1
,
b
e
4
A ve B
L1
AM
MN0
LM1
N1
L1
AM
N 1
A
OP  LMad
MM
5 PQ
Ni
2
matrisleri için,
L1
B  M
MN1
ve B 
j
OP
P
k PQ
c
f
A.C=B
OP
2PQ
1
LMa bOP
Nc dQ
matrisi için,
eşitliğinde,
b.
olmak üzere,
3
3
(A 2)  A
a+e+k
eşitliğine uyan C
LM1
A  M0
MN0
2
1
0
A . B = A  B ise,
matrisini bulunuz.
290
kaçtır?
matrislerini bulunuz.
OP
PP
Q
3
2
1
B
,
LM1
B  M 3
MN 0
0
3
2
2
1
3
matrisini bulunuz.
OP
PP
Q
DETERMİNANTLAR
Bu kısımda, elemanları gerçek sayılar olan kare matrislere ait determinant kavramını vereceğiz.
A kare matris olmak üzere, A matrisinin determinantı A veya det (A) biçiminde gösterilir.
A matrisi n x n biçiminde ise, A nın determinantı n. mertebedendir, denir.
Tanım : 1 x 1 biçimindeki A = [a11] matrisinin determinantı, A= a11 dir.
Örneğin; A = [7] matrisi için, A7 ,
B=[ 3
]
matrisi için, B 3
Tanım : 2 x 2 biçimindeki A 
A 
a11
a12
a 21
a22
LM a
MN a
11
a12
21
a22
OP
PQ
tür..
matrisinin determinantı,
a111 . a22  a12 . a21 dir.
LM 3  6OP olduğuna göre, Ayı hesaplayalım.
N2 8 Q
x O
için, B =  13 olduğuna göre, x i hesaplayalım.
x  3 PQ
Örnek : a. A 
b. B 
LM x  1
N x
Çözüm : a.
b.
B 
A 
3
2
6
= 3 . 8  ( 2) . ( 6) = 24  12 = 12 bulunur..
8
x1 x
= (x + 1) . (x  3)  x . x = x2  2x  3  x2 =  2x  3
x x3
B=  13 olduğundan,  2x  3 =  13
Tanım : 3 x 3 biçimindeki
LM a
A  Ma
MM a
N

11
a12
a13
21
a 22
a 23
31
a 32
a 33
x=5
OP
PP
PQ
bulunur.
matrisinin determinantı,
a11 a12 a13
A  a21 a22 a 23 = (a .a .a +a .a .a +a .a .a )  (a .a .a +a .a .a +a .a .a )
11
1 22 33 21 32 13 31 12 23
13 22 31 23 32 11 33 12 21
a31 a32 a 33
dir.
Örnek :
LM1
A 2
MM 0
N
Çözüm :
A 
0
3
1
0
5 4
OP
PP
Q
olduğuna göre, Ayı hesaplayalım.
1 0
3
2 1
0  (1) . 1 . (4)  2 . 5 . 3  0 . 0 . 0  3 . 1 . 0  0 . 5 . (1)  (4) . 0 . 2
0 5 4
= (4 + 30 + 0)  (0 + 0 + 0) = 34 bulunur.
291
MİNÖR VE KOFAKTÖR (EŞ ÇARPAN)
Tanım : n. sıradan bir A kare matrisinin i. satır ve j. sütun atıldıktan sonra geriye kalan
matrisin determinantına,
A i j = ( 1)
i+j
a ij
elemanının Minörü (küçüğü) denir ve M i j
ile gösterilir.
. M i j ifadesine, a i j elemanının kofaktörü (eş çarpanı) ya da işaretli minörü
denir.
LMa
MM
Na
11
a12
a13
A  a21
a22
a23
31
a32
a33
olup,
OP
PP
Q
matrisinde
a
teriminin minörü; M23 
23
a11 a12
=a
a
11
a12
a13
21
a22
a23
31
a32
a33
a31 a32
11
1
32
a
a
12 31
A23 = ( 1)2+3 . M23 =  (a11 a32  a12 a31) dir.
a23 elemanının kofaktörü;
Tanım : 3 x 3 türünden bütün matrislerin kümesi M3 olsun.
olmak üzere, det(A) = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13
ile tanımlı
LMa
A  Ma
MNa
D : M3  R
OP
PP  M
Q
3
fonksiyonuna,
determinant fonksiyonu denir.
det(A) = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 şeklindeki açılıma da A determinantının 1. satırına göre
açılımı adı verilir.
determinantı satır ya da sütunlardan hangisine göre açılırsa açılsın, aynı gerçek sayı bu-
A
lunur.
Örnek :
LM1
AM 2
MN7
3
4
5
8
6 2
OP
PP
Q
matrisi için;
a. a
elemanının minörünü bulalım.
b. a21
elemanının kofaktörünü bulalım.
21
c. A
determinantının 2. satıra göre açılımını yapalım.
Çözüm : a. a21 elamanının minörü M21 ise, A matrisinde 2. satır ve 1. sütun atıldıktan
sonra geriye kalan matrisin determinantı;
LM1
MM 2
N7
A
b. a
21
A
21
3
5
6
OP
P
 2 PQ
4
8
 M21 
elemanının kofaktörü
= ( 1)2+1 M
21
den,
A
21
A
21
3
6
4
 2 = 6  24 =  18
olup,
=  1 . ( 18) = 18
292
bulunur.
bulunur..
c. A
determinantının 2. satıra göre açılımı,
A = a21 . A21 + a22 . A22 + a23 . A23
A  2 . ( 1)
21
3
4
6
2
 5 . ( 1)
şeklindedir. Buna göre;
2 2
.
1
4
7
2
 8 . ( 1)
2 3
.
1  3
7
6
A =  2 . (6  24) + 5 . (2 + 28)  8 . ( 6  21)
A =  2 . ( 18) + 5 . 30  8 . ( 27)
1
A  3
2
Örnek :
2
0
1
3
4
1
A = 36 + 150 + 216 = 402

bulunur.
determinantını, 3. satıra ve 2. sütuna göre açalım. Bulduğumuz
değerleri karşılaştıralım.
Çözüm : A determinantının 3. satıra göre açılımı,
A = a31 . A31 + a32 . A32 + a33 . A33
2
0
A  2 . ( 1)4 .
3
1
 1 . ( 1)5 .
4
3
şeklindedir. Buna göre;
3
1
 1 . ( 1)6 .
4
3
A = 2 . (8)  1 . (4  9) + 1 . (0  6)
2
0
A = 16 + 5  6 = 15

bulunur.
A determinantının 2. sütuna göre açılımı,
A = a12 . A12 + a22 . A22 + a32 . A32
3
2
3
A  2 . ( 1) .
4
1
4
 0 . ( 1) .
1
2
A =  2 . (3  8) + 0  1 . (4  9)
Görülüyor ki,
şeklindedir. Buna göre;
3
1
5
 1 . ( 1) .
1
3

3
4
A 10 + 5 = 15
bulunur.
determinantının 3. satıra göre açılımında bulunan değer, 2. sütuna göre
A
açılımında bulunan değere eşittir.
Üçüncü mertebeden bir matrisin determinantı Sarrus (Sarus) kuralına göre de hesaplanır. Bu kural
A nın alt tarafına iki satır ya da sağ tarafına iki sütun yazılarak aşağıdaki gibi hesaplanır:
i.
İlk iki satır tekrar edilerek açılırsa,
A =
A = (a
11
a
22
a
33
+a
21
a
32
a
13
+a
31
a
12
a
)  (a13 a22 a31 + a23 a32 a11 + a33 a12 a21)
23
293
dir.
ii. İlk iki sütun tekrar edilerek açılırsa,
A =
A = (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32)  (a13 a22 a31 + a11 a23 a32 + a12 a21 a33) tür.
Her iki hesaplama yapılırken, (+)
işaretli köşegenler üzerindeki elemanlar çarpılıp toplanır.
(+) işaretli köşegenlerden elde edilen sayıdan, () işaretli köşegenlerdeki elemanların çarpımlarının
toplamından elde edilen sayı çıkarılarak A hesaplanır.
Bir matrisin determinantının bu şekilde hesaplanış biçimine, Sarrus kuralı denir.
Örnek :
A  [ 3 ]
,
L1
BM
N2
4
8
OP
Q
LM4
C  M0
MN1
,
5
1
0
OP
PP
Q
1
2
1
matrislerinin determinantlarını
bulalım.
Çözüm : det(A) = A=  3 bulunur.
det(B) =
1 4
= 1 . 8  2 . ( 4) = 16
2
8
bulunur..
det (C) = C =  4  10 + 0  1 + 0 + 0 = 15
bulunur.
det(C) =
Örnek :
A 
3001
2997
3003
2999
Çözüm : 3000 = a dersek,
determinantını hesaplayalım.
A 
3001
2997
3003
a1 a3

2999
a3 a1
olur..
Buna göre, açılımını yapalım: A= (a + 1) . (a  1)  (a  3) (a + 3) = (a2  1)  (a2  9) = 8 bulunur.
DETERMİNANT FONKSİYONU
Tanım : n. mertebeden kare matrislerin kümesi Mn olsun.
LMa
MMa
MMNa
11
a12 ... a1n
21
a 22 ... a 2n
n1

... 
an2 ... ann
OP
PP
PPQ
 Mn olmak üzere,
det(A) = A = a11 . A11 + a12 . A12 + ... + a1n . A1n ile tanımlı D : Mn  R fonksiyonuna,
determinant fonksiyonu;
D(A) = A
ifadesine de A matrisinin determinantı denir.
294
Mertebesi 3 ten büyük olan; örneğin 5. mertebeden bir determinantı hesaplamak için, bu determinant herhangi bir satıra veya sütuna göre açılarak determinantın derecesi bir derece küçültülür. Böylece
determinant 4. mertebeden determinantların doğrusal bileşimi olarak yazılır.
Tekrar 4. mertebeden determinantlar, bir satır veya sütuna göre açılarak, verilen determinant 3.
mertebeden determinantların doğrusal bileşimine dönüştürülür. 3. mertebeden determinantlar; ya açılımları yapılarak ya da Sarrus (Sarus) kuralı ile hesaplanarak verilen determinant hesaplanmış olur.
A 
Örnek :
1 0
1 1
2
0
0
1
0
1
2
2
1
4
1
3
değerini bulalım.
Çözüm : Adeterminantının 1. satıra göre açılımı,
A = a
11
.A
11
A =  1 . A
11
+a
12
.A
+0.A
12
12
+a
13
+2.A
.A
13
13
+a
14
+0.A
14
1
A   1 . ( 1) . 1
0
2
1
1  2 . ( 1)4 .
3
2
4
2
.A
14
şeklindedir. Buna göre;
=1.A
11
1 1
0
1
1
A =  1 . ( 8 + 2 + 2  6) + 2 . (4 + 1 + 1  3)
3
+2.A
13
1
1
4

A =  1 . ( 10) + 2 . (3) = 16
bulunur.
DETERMİNANTLARIN ÖZELİKLERİ
1. Bir kare matrisin, determinant değeriyle devriğinin determinant değeri eşittir.
A karesel matris ise,
a11
a12
a13
A  a 21
a 31
a 22
a 23
a 32
a 33
A=AT
,
A
dir.
T
a11
a21
a 31
 a12
a22
a32
a13
a23
a33
A nın 1. satıra göre açılımı, AT olduğu görülür.
2.
Bir kare matrisin iki satır veya sütun elemanları orantılı ise, bu matrisin determinantının
değeri sıfırdır (ya da iki satır veya sütun aynı ise, determinantın değeri sıfırdır.).
Örneğin;
2a
A  a
1
2b
b
1
2c
c
1
a , b , cR  {0} determinantı verilmiş olsun. Bu determinan-
tın birinci satırındaki terimlerle ikinci satırındaki terimler, karşılıklı olarak orantılı olduğu için, A = 0 dır.
Örneğin;
4
A  2
4
3
1
3
1
4
1
determinantı verilmiş olsun. Bu determinantın birinci ve üçüncü
satırı aynı olduğuna göre, determinantın değeri sıfırdır.
3. Bir kare matrisin herhangi bir satır veya sütununda bulunan tüm terimler sıfır ise, determinantın değeri sıfırdır.
Örneğin,
4
A  4
3
2
1
4
0
0  0 dır..
0
295
4. Bir kare matriste bir köşegenin üstündeki ya da altındaki tüm elemanlar sıfır ise, determinantın
değeri köşegen üzerindeki elemanlarının çarpımı ya da bu çarpımın ters işaretlisine eşittir.
a11
Örneğin; A  0
B 
a12
a13
a 22
a 23 = a . a . a tür. (Asal köşegen altındaki elemanlar sıfırdır.)
11
1
22
33
a 33
0
0
0
0
0
a13
a 22 a 23
=  a31 . a22 . a13 (Yedek köşegen üstündeki elemanlar sıfırdır.)
a31 a 32 a33
4 0
A  B  2 1
3
1
Örnek :
0
1
0  1
2
1
2
4
0
3
0
0
değeri kaçtır?
Çözüm : A determinantının asal köşegen üzerindeki terimleri sıfır olduğundan; değeri,
A= 4 . ( 1) . 2 =  8 dir.
B determinantının yedek köşegenin altındaki terimleri sıfır olduğundan; değeri,
B=  (3 . 4 . 1) =  12 dir.
A+ B = ( 8) + ( 12) =  20
bulunur.
5. Bir determinantın iki satırı veya sütunu aralarında yer değiştirilirse, determinant işaret değiştirir.
a
c
Örneğin;
b
6
d
ise,
c
a
d
  6 dır.
b
(1. satır ile 2. satır yer değiştirmiştir.)
6. Bir determinantın bir satır veya sütunu kR sayısı ile çarpılırsa, determinantın değeri de
k
katına çıkar.
A 
a
c
b
d
Determinant
Örnek :
ise,
k. A 
ka
c
kb
d
olur..
kR sayısı ile çarpılırken, sadece bir sırası
5
A  4
3
15
8
1
30
12
0
3
2
1
6
3
0
3. sütundaki 3 sayısını ortak çarpana alalım:
1
A  5.4.3. 1
3
3
2
1
ile çarpılır.
determinantının değerini hesaplayalım.
Çözüm : 1. ve 2. satırdaki ortak çarpanları dışarı alalım:
1
A  5.4. 1
3
k
2
1
= 60 . ( 4) =  240
0
296
olur..
7. Bir determinantın herhangi bir satırında veya sütununda bulunan tüm terimlerin k katı
alınarak, başka bir satırın veya sütunun elemanlarıyla toplanarak elde edilen yeni determinantın değeri
değişmez.
Örneğin;
a
c
b
a

d
c  ka
xa
A  na
a
Örnek :
b
d  kb
xa
2n  a
a
a
a
a
dir. (1. satırın
k katı 2. satıra eklenmiştir.)
determinantının değerini hesaplayalım.
Çözüm : 3. sütunun ( 1) katı 1. sütuna ve 3. sütun 2. sütuna eklenirse,
x
A  n
0
Sonra, bulunan determinantta 1. sütunun ( 1) katı 2. sütune eklendiğinde,
x
2n
0
x
A  n
0
a
a olur..
a
0
n
0
a
a
a
elde edilir.
Şimdi,
A yı
3. satıra göre açalım:
x
n
A= a . ( 1)3+3 .
0
=a.n.x
n
A= 0 . A31 + 0 . A32 + a . A33
bulunur..
8. Bir determinantın herhangi bir satırında veya sütunundaki her eleman iki terimin toplamından
oluşuyorsa, bu determinant aynı sıradan iki determinantın toplamı biçiminde yazılabilir.
a1  x
Örneğin;
A 
biçiminde yazılırsa;
Örnek :
b1  y
c1  z
a2
b2
c2
a3
b3
c3
determinantı, aynı sıradan iki determinantın toplamı
a1
b1
c1
x
y
z
A  a2
b2
c 2  a2
b2
c2
a3
b3
c3
a3
b3
c3
OP
PP
Q
,
LM 1
MM3b
N
4 3
1 5
a 4
LM
MM
N
1
A 3
a
4 3
1 5
b 3
B
OP
PP
Q
olur..
,
LM
MM
N
1
C 3
7
OP
PP
Q
4 3
1 5
3
1
matrisleri için,
A+ B = C ise, a ve b kaçtır?
Çözüm : Bu üç matrisin ilk ikişer satırları aynıdır. A ve B nin üçüncü satırları toplamı, C nin
üçüncü satır elemanlarıyla karşılıklı eşit olmalıdır. O hâlde,
ab  7
ab  3
UV
W
 a5
ve
b   2 bulunur..
9. Bir determinantın herhangi bir satır veya sütununa ait terimler, bir başka satır veya sütununun
terimlerine ait eş çarpanlar ile karşılıklı çarpılır ve çarpımlar toplanırsa, toplam sıfır olur.
Örneğin;
3. sıradan bir determinantta
a11 . A21 + a12 . A22 + a13 . A23 = 0 dır.
297
10. n. mertebeden A ve B matrisleri için, A . B= A . B dir.
Örneğin;
a
c
A 
b
4
d
Örnek :
Çözüm :
2. sütunu 3. sütuna eklersek;
a
b
c
abc
abc
abc
bc
ac
ab
x
z
B 
1
A  1
1
1
A  1
1
a
b
c
ve
y
 7 ise, A . B= A . B = 4 . 7 = 28 dir..
t
determinantının değerini bulalım.
1
 (a  b  c) . 1
1
a
b
c
1
1
1
1. ve 3. sütun aynı olduğu için determinantın değeri,
x3
7
6
Örnek :
1
x5
6
1
1
x2
 0
A= 0 olur.
denklemini gerçekleyen x lerin kümesini bulalım.
Çözüm : 3. sütunu 2. sütuna ve 2. sütunu da 1. sütuna ekleyelim:
x3
7
6
1
x5
6
1
1

x2
x2
x2
0
0
x4
x4
(1. satırı
1
 ( x  2) ( x  4) 1
0
1
1
1
0
1
x2
1
 ( x  2) ( x  4) 0
0
0
1
1
1
0
x2
= (x + 2) (x  4)

1
1
0
x2
x =x =2,x =4
1
2
=0

3
1
1
x2
(1. sütundan ( x  2) ve 2. sütundan
( x  4) çarpanını ortak paranteze alalım.)
( 1)
ile çarpıp, 2. satıra ekleye lim.)
(1. sütuna göre açalım.)
(x + 2) (x  4) (x + 2) = 0

Ç = { 2 , 4}
olur.
EK MATRİS
Tanım : n. mertebeden A = [ a i j ] n x n kare matrisi verilmiş olsun. a i j elemanının kofaktörü
Ai j ise; [ A i j ] T
Örneğin;
matrisine,
LM a
A  Ma
MN a
A matrisinin ek matrisi denir ve Ek(A) ile gösterilir.
11
a12
a13
21
a22
a 23
31
a32
a 33
OP
PP
Q
matrisinin ek matrisi bulunurken, tanıma göre matriste her
elemanın yerine kofaktörü yazılır ve elde edilen matrisin transpozu alınır.
LM A
Ek( A )  M A
MN A
11
A 12
A 13
21
A 22
A 23
31
A 32
A 33
OP T LM A
PP  MM A
Q NA
11
A 21
A 31
12
A 22
A 32
13
A 23
A 33
298
OP
PP
Q
BÖLÜM
LİNEER CEBİR
6
MATRİSLER
Tanım : m , n  N+ için, (i = 1 , 2 , 3 , ... , m ; j = 1 , 2 , 3 , ... , n) olmak üzere, a i j reel
sayılarından oluşturulan;
LM a
MMa
MM
MMa
MNa
11
a12 ... a1 j ... a1n
21
a22 ... a2 j ... a 2 n
i1
ai 2 ... ai j ... ain
m1
am 2 ... am j ... amn
B
OP
PP
PP
PP
PQ
 i. satır
j. sütun
tablosuna, m x n
biçiminde (tipinde) bir matris denir.
A matrisindeki her sayıya, matrisin elemanı ya da bileşeni ve a i j elemanındaki i sayısına birinci
indis, j sayısına da ikinci indis denir. a i j elemanı, A matrisinin i. satır ile j. sütununun kesim
noktasında bulunur. Tablo biçiminde gösterilen A matrisi kısaca A = [a i j ] m x n
şeklinde gösterilir.
Burada, m matrisin satır sayısını, n de sütun sayısını gösterir.
A matrisinin, a i1
a
,
1j ,
a i2 , ... , a i j , ... , a in elemanlarına i. satır elemanları;
a
2j
, ... , a
ij
, ... , a
mj
elemanlarına da j. sütun elemanları denir.
Örnek : Aşağıdaki matrislerin biçimlerini belirtelim.
a.
LM 1
N0
2
3
4 1
OP
Q
b.
LM 2
MM 0
N4
1
2
2
3
5
7
OP
PP
Q
c.
LM  1OP
N 4Q
d.
3
2
3
e.  5
Çözüm : a. Matriste 2 satır, 3 sütun bulunduğundan 2 x 3 biçiminde bir matristir. Aynı nedenle;
b. 3 x 3 biçiminde,
c. 2 x 1 biçiminde,
d. 1 x 3 biçiminde,
e. 1 x 1 biçiminde matrislerdir.
273
Tanım : A = [a i j ] m x n matrisinin her satırına, satır matrisi (satır vektörü) denir.
B1 = [a11
a12 ... a1n ]
(1. satır matrisi)
B = [a
a
(2. satır matrisi)
2
21
22
... a
2n
]
A matrisi satır matrislerine bağlı olarak,
1
A = [a ]
ij mxn
B = [a
m
a
m1
m2
... a
mn
Tanım : A = [a i j ] m x
LMa
MMa
MM 
Na
11
A =
1
21
m1
OP
PP
PP
Q
]
(m. satır matrisi)
2
=
2
m
OP
PP
PPQ
şeklinde gösterilir..
matrisinin her sütununa, sütun matrisi (sütun vektörü) denir.
n
LMa
MMa
MM 
Na
12
, A =
LMB
MMB
MMNB
22
m2
OP
PP
PP
Q
LMa
MMa
MM 
Na
1n
, ... , A =
n
2n
mn
OP
PP
PP
Q
A1 : Birinci sütun matrisi
A2 : İkinci sütun matrisi
An : n.
sütun matrisi
A matrisi sütun matrislerine bağlı olarak, A = [ai j ] m x n = [A1 A2 A 3 ... An] şeklinde gösterilir.
Örneğin;
1.
2.
[ 2 ] 1 x1
[ 5 ] 1 x1
Örnek :
,
[7
8 ] 1 x2
,
LM 3OP
N 4 Q 2 x 1
A = [aij ] 3x4
elemanını belirtelim.
Çözüm : B 3 = [ 6
A2
LM1OP
= M 7P
MN 9PQ
,
,
[4
LM 1 OP
MM 0PP
N 4 Q
2
5] 1x4
birer satır matrisidir.
birer sütun matrisidir..
3 x1
LM 2
= 3
MM6
N
1 0 5
7 4 8
9 4 5
9 4
 5]
(2. sütun matrisi)
3
OP
PP
Q
matrisinin,
3. satırını,
2. sütununu ve
a 32
(3. satır matrisi)
a 32 = 9
(3. satır 2. sütun elemanı) olur.
Kare Matris
Tanım : n x n tipindeki [a i j ] n x n matrisine, n. sıradan (basamaktan ya da mertebeden)
kare matris denir.
Örneğin;
LM3
N1
4
5
OP
Q
matrisi, 2. sıradan bir kare matristir..
Sıfır Matrisi
Tanım : Bütün elemanları sıfır olan matrise, sıfır matrisi denir ve O harfi ile gösterilir.
Örneğin; O =
LM0
N0
0
0
0
0
OP
Q
matrisi,
2 x 3 tipinde bir sıfır matristir..
2 x3
274
Tanım :
[ a ij ] n xn
kare matrisinde
oluşturduğu köşegene, asal köşegen;
a 11
a n1
,
a 22
, a (n 1) 2
, a 33
, ... , a nn
, ... , a 1n
elemanlarının
terimlerinin oluşturduğu
köşegene, yedek köşegen denir.
LMa
MMa
Na
Örneğin;
11
a12
a13
21
a 22
a 23
31
a 32
a 33
yedek köşegen
Tanım :
A = [ a ij ] n xn
OP
PP
Q
asal köşegen
a11
,
a22
,
a33 :
a
,
a
,
a
31
22
13
Asal köşegen
: Yedek köşegen
kare matrisinde asal köşegen üzerindeki elemanların dışında, diğer
elemanları sıfır ise, bu tip kare matrise, köşegen matris denir.
Örneğin;
LM3
MM00
N
0
4
0
0
0
0
Tanım : A = [ a i j ] n x n
OP
PP
Q
matrisi, 3. sıradan bir köşegen matristir..
köşegen matrisinde a 11 = a 22 = a 33 = . . . = a nn = k ise, (k R)
bu matrise, skalar matris denir.
LM5
N0
Örneğin;
0
5
OP
Q
matrisi, 2. sıradan bir skalar matristir..
Birim Matris
Tanım : Asal köşegen üzerindeki elemanları bir, diğer elemanları sıfır olan kare matrise, birim
matris denir.
nxn
Örneğin; 4
tipindeki bir birim matris
LM1
0
=M
MM0
N0
0
0
1
0
0
1
0
0
OP
PP
P
1Q
 n ile gösterilir.
0
0
0
matrisi, 4. sıradan bir birim matristir. 4 ile gösterilir..
İKİ MATRİSİN EŞİTLİĞİ
Tanım : Tipleri aynı ve karşılıklı elemanları eşit olan matrislere, eşit matrisler denir.
(i , j)  M x N
Örnek : A 
için,
LM5a
MNa  2 b
a ij = b ij
OP
PQ
3a  2 b
5
b

ve
[ a ij ] m xn = [ b ij ] mxn
B
275
LM4 xOP
N y 2Q
olmak üzere, A = B ise,
x
y
kaçtır?
Çözüm :
LM5 a
MNa  2 b
A  B 
OP L4 xO
PQ  MNy 2PQ
3a  2 b
5
b
5a = 4 , 5b = 2 , 3a + 2b = x , a + 2b = y
a
5 2
U|
V
 2 W|
2
b
5 2 
5
2b
matrislerin eşitliğinden,
olduğundan,
5 a = 5 2b den, a = 2b olur. Bulunan değer
2
x
3a  2b 3 (2b)  2b 8b



2
y
a  2b
2b  2b
4b
x
de yerine yazılırsa;
y
bulunur..
MATRİSLERDE TOPLAMA İŞLEMİ
Tanım : A = [ a i j ] m x n ve B = [ b i j ] m x n
A+B =[a ]
ij m xn
+[b ]
ij m xn
= [a
ij
matrisleri verilmiş olsun.
+b ]
ij m xn
matrisine, A ve B matrislerinin toplamı
denir.
O hâlde, matrisleri toplarken, sadece karşılıklı elemanlar toplanır.
Örnek : A matrisi, (m + 1) x 2 ; B matrisi, (n + 1) x (p  2) ve A + B matrisi 3 x k biçiminde
ise,
(m + p + k)
kaçtır?
Çözüm : İki matrisin toplanabilmesi için tipleri aynı olmalı idi. Buna göre;
m+1=n+1
p2=2

3xk = (m + 1) x 2 den
m+1=3
m=n=2 , p=4
k=2
Örnek :
LMa
N3
,
m=n


OP LM
Q N
p=4
k=2
olmalıdır.
2 1
3b

b 4
1

m + p + k = 2 + 4 + 2 = 8 dir.
OP LM
Q N
1
2
11 3

2a  4
4 1
1
8
OP
Q
olması için,
(a , b)
ikilisi ne
olmalıdır?
Çözüm : Verilen eşitliğin birinci yanındaki matrisleri toplarsak,
LMa  3b
N4
3
2a  b
a  3b   11
2a  b   1
UV
W
OP LM
Q N
1
11

8
4
3
1
1
8
OP
Q
elde edilir. Bu eşitlikten,
denklemleri yazılır. Bu denklemler çözülürse,
(a , b) = ( 2 , 3)
bulunur..
Bir Matrisin Toplama İşlemine Göre Tersi
Tanım : A = [ a i j ] m x n matrisi verilmiş olsun.  A = [  a i j ] m x n matrisine, A = [ a i j ] m x n
matrisinin toplama işlemine göre tersi denir.
Örneğin; A =
LM2
N4
1 3
5 6
OP
Q
matrisinin toplama işlemine göre tersi,
276
LM 2
N4
1
5
3
6
OP
Q
matrisidir..
Toplama İşleminin Özelikleri
1.
Matrisler kümesinde toplama işleminin değişme özeliği vardır.
A = [ a ij ] m xn
ve
A+ B = [a ]
B = [ b ij ] m xn
matrisleri için,
+ [b ]
ij m xn
ij mxn
= [ a ij + b ij ] m xn = [ b ij + a ij ] mxn
= [b ]
+ [a ]
ij m xn
ij mxn
= B + A dır.
2.
Matrisler kümesinde toplama işleminin birleşme özeliği vardır.
A = [ a ij ] m xn
,
B = [ b ij ] m xn
,
C = [ c ij ] m xn
matrisleri için,
A + (B + C) = [ a i j ] m x n + ([ b i j ] m x n + [ c i j ] m x n )
= [ a ij ] m xn + [ b ij + c ij ] m xn = [ a ij + ( b ij + c ij ) ] mxn
= [( a i j + b i j ) + c i j ] m x n = [ a i j + b i j ] m x n + [ c i j ] m x n
= ([ a i j ] m x n + [ b i j ] m x n ) + [ c i j ] m x n
= (A + B) + C
3.
olur.
Sıfır matrisi, toplama işleminin etkisiz elemanıdır.
A = [ a ij ] m xn
,
O = [ 0 ] m xn
matrisleri için,
A + O = [ a ij ] m xn + [ 0 ] m xn = [ a ij + 0 ] m xn = [ a ij ] m xn = A
O + A = [ 0 ] m x n + [ a i j ] m x n = [0 + a i j ] m x n = [ a i j ] m x n = A
4.
dır.
A = [ a i j ] m x n matrisinin toplama işlemine göre ters matrisi,  A = [  a i j ] m x n
matrisidir.
A + ( A) = [ a i j ] m x n + [  a i j ] m x n = [ a i j  a i j ] m x n = [ 0 i j ] m x n
( A) + A = [  a i j ] m x n + [ a i j ] m x n = [  a i j + a i j ] m x n = [ 0 ] m x n dir.
Matrislerin toplama işlemi yukarıdaki özeliklerden dolayı, aynı tip matrislerin oluşturduğu küme ile
birlikte toplama işlemi bir değişmeli grup oluşturur.
İki Matrisin Farkı
Tanım : A = [ a i j ] m x n , B = [ b i j ] m x n
A  B = A + ( B) = [ a ]
ij m xn
+ [ b ]
ij m xn
matrislerinin farkı,
= [a
277
ij
 b ]
ij m xn
dir.
MATRİSLERİN SKALARLA ÇARPIMI
C bir cisim olmak üzere, bu cismin elemanlarına, skalar denir.
Örneğin; k = 5 bir reel skalardır.
Tanım : k skalar sayısı ve A = [ a i j ] m x n
k . A= k [ a ]
= [k . a ]
ij mxn
ij mxn
matrisi verilmiş olsun.
matrisine, k skalar sayısı ile A matrisinin çarpımı
denir.
LM2
N4
Örnek :
3
1
OP
Q
matrisi ve
Çözüm : k . A = 2 .
LM2
N4
3
1
k=2
sayısı için,
OP  LM2 . (2)
Q N4 . (2)
k.A
OP  LM4
Q N8
 3 . (2)
1 . (2)
matrisini bulalım.
6
2
OP
Q
bulunur..
Skalarla Çarpmanın Özelikleri
Teorem :
Bir
B = [ b ij ] m xn
C
cismindeki üç skalar sayı;
olsun. Her
A = [ a ij ] m xn
matrisleri için;
1.
k . (A + B) = k . A + k . B
2.
(k1 + k2) . A = k1 . A + k2 . A
3.
k1 . (k2 . A) = (k1 . k2) . A dır.
İspat :
k , k 1 , k2
1. k . (A + B) = k . ([ a i j ] m x n + [ b i j ] m x n )
k [ a i j + b i j ] m x n = [k . ( a i j + b i j ) ] m x n = [k . a i j + k . b i j ] m x n
= [k . a i j ] m x n + [k . b i j ] m x n = k . [ a i j ] m x n + k. [ b i j ] m x n
=k.A+k.B
2. (k + k ) . A = (k + k ) . [ a ]
1
2
1
2
= [(k + k ) . a
1
2
ij mxn
]
ij m xn
= [(k a
1 ij
+k a
]
2 ij m xn
= [k a ]
1 ij m xn
+ [k a ]
= k1 . [ a i j ] m x n + k2 . [ a i j ] m x n = k1A + k2A
3. k1 (k2 . A) = k1 [k2 . a i j ] m x n = k1 . (k2 . [ a i j ] m x n ) = (k1 . k2) . [ a i j ] m x n
= (k1 . k2) . A
278
2
ij mxn
ve
LM1
N1
OP , B  LM1 0 1 OP olduğuna göre, 2A  3B matrisini hesaplayalım.
Q
N 2  5 6Q
L1 2  3OP  (3) LM1 0 1 OP
Çözüm : 2A  3B  2 . M
N1 0 4Q
N 2  5 6Q
L2 4  6OP  LM 3 0  3 OP  LM2  3 4  0  6  3OP  LM 5 4  9 OP dir..
M
N2 0 8 Q N 6 15  18Q N2  6 0  15 8  18 Q N4 15  10Q
Lxy xzOP , B  LMz yOP , C  LM22 26OP matrisleri için, A + B = 1 C ise, x kaçtır?
Örnek : A  M
2
N y  1Q
Nz 1Q
N16 0 Q
Lxy xzOP  LMz yOP  LMxy  z xz  yOP
Çözüm : A  B  M
N y  1Q Nz 1Q N y  z 0 Q LMxy  z xz  yOP  LM11 13OP olur.
1
1 L22 26 O L11 13O
N yz 0 Q N 8 0Q
C
M
M
P
P
0Q N 8 0 Q
2
2 N16
Örnek : A 
2 3
0 4
İki matrisin eşitliğinden;
I. xy  z  11
II. xz  y  13
III. y  z  8
U|
V|
W
I. ve II. denklemleri taraf tarafa toplayalım.
xy  xz  y  z  24
x ( y  z)  y  z  24
8 x  8  24  x  2
olur.
MATRİSLERDE ÇARPMA İŞLEMİ
Tanım :
İki matrisin çarpılabilmesi için; 1. matrisin sütun sayısı, 2. matrisin satır sayısına eşit
olmalıdır. A = [ a i j ] m x n
B = [ b jk ] n xp
olmak üzere;
n
elemanları c ik 
a
ij
. b j k  a i 1 . b 1k  a i 2 . b 2 k  ...  a i n . b n k toplamıyla bulunan C = [ c ]
ik mxp
j1
matrisine, A ve B matrislerinin çarpımı denir ve C m x p = A m x n . B n x p
biçiminde gösterilir.
Buna göre, A . B matrisinin i. satır j. sütun elemanı c i k ise, bu eleman
ile
B i satır vektörü
A j sütun vektörünün skalar çarpımıdır. O hâlde, birinci matrisin her satırı, ikincinin her sütununa
karşılık gelen elemanları ile çarpılıp toplanır.
Bu tanıma göre C = A . B matrisini, aşağıdaki biçimde gösterebiliriz.
LMa
MMa
C  A .B  M
MM
MNa
LMda
MMda
M
MM
MM da
N
11
a12
 a1n
21
a 22
 a2 n
am2
m1
 amn
OP
PP
PP
PP
Q
.
m xn
LMb
MMb
MM
MMb
N
11
b12
 b1p
21
b22
 b2 p
n1
bn 2
 bnp
i d
b i ... da
OP
PP
PP
PP
Q
n xp
11
b11  a12 b 21  ...  a1n bn1 ... a11 b1p  a12 b2 p  ...  a1n bnp
21
b11  a 22 b 21  ...  a 2 n
m1
n1
21
i d
b1p  a22 b2 p  ...  a2 n bnp
i
i
b11  am2 b 21  ...  am n bn1 ... am1 b1p  am2 b 2 p  ...  amn bnp
279
OP
PP
PP
PP
i PQ
m xp
Örnek :
L1  2 0OP
AM
N3 4  1Q
,
2 x3
L 1 2
A .B  M
N3 4
Çözüm :
LM 1  4 3 OP
B  M 2 5  1P
MN 4 2 0PQ
0
1
OP
Q
LM1 . 1  ( 2) (2)  0 .( 4)
N3 . (1)  4 . (2)  (1).( 4)
 4  10
L1  4
A .B  M
3

8

4
 12  20  2
N
L2 1 O
L4
Örnek : A  MM1 3 PP
, BM
N1
MN6 0PQ
Çözüm :
LM 2
MM 16
N
32
9  ( 4)
OP  LM3
Q N 15
1 3 4
3 1 5
OP
L4
 M
P
N1
0 PQ 3 x 2
1
3
1
3
OP
Q
 14
6
5
5
OP
Q
OP
Q
bulunur.
matrisleri veriliyor. A . B matrisini bulalım.
OP
Q
3 4
1 5 2x4
2 . 1  1. 3
2. 3  1 .1
LM
1
.
1

3
.
3
1. 3  3 . 1
MM
N6 . 4  0 . 1 6 . 1  0 . 3 6 . 3  0 . 1
LM 9 5 7 13 OP
A . B  7 10
6 19
MM
PP bulunur.
N24 6 18 24Q
,
1 . 3  (  2).(  1)  0 . 0
3 . 3  4 . (  1)  (  1) . 0
2 x4
2. 4  1 .1
A .B  1 .4  3.1
Örnek : A = [ a i j ] ( m + 1 ) x 2
3 x3
1 . (  4)  (  2) . 5  0 . 2
3 . (  4)  4 . 5  (  1) . 2
3 x2
A .B 
3 x3
LM 1  4 3 OP
 2 5 1
MM  4 2 0 PP
N
Q
2 x3
A .B 
matrisleri için, A . B çarpım matrisini bulalım.
OP
P
6 . 4  0 . 5 PQ
2 . 4  1. 5
1.4  3.5
B = [ b j k] ( n + 1 ) x ( p  2 )
,
C = [ c i k] 3 x 4
matrisleri için,
A . B = C ise, m + n + p kaçtır?
Çözüm : A . B işleminin yapılabilmesi için, n + 1 = 2 olmalıdır. Buradan, n = 1 bulunur.
(A . B )
bulunur. O hâlde,
Örnek :
A.B
m+n+p=9
A
LM2
MN3
OP
0 PQ
1
matrisinin,
Çözüm :
B.A 
= (C)
(m+1)x(p2)
LM 3
MN 0
A .B 
OP
PQ
4

1
LM 2
N3
LM 2
MN 3
m+1=3

m = 2 ve p  2 = 4
 p=6
olur.
B
B.A
olması için,
3 x4
LM3
MN0
OP
1PQ
4
olduğuna göre,
A . B ve B . A yı hesaplayalım.
matrisine eşit olup olmadığını gösterelim.
OP LM 3 4 OP  LM2 . 3  1 . 0 2 . 4  1 . 1OP  LM6
Q N 0 1 Q N3 . 3  0 . 0 3 . 4  0 . 1Q N9
L3 . 2  4 . 3 3 . 1  4 . 0OP  LM18 3OP
1O
 M
P
0 PQ
MN0 . 2  1 . 3 0 . 1  1 . 0 PQ MN 3 0 PQ
1

0
OP
Q
9
12
Buna göre, A . B  B . A olduğundan, matrislerin çarpma işleminde değişme özeliği yoktur.
280
Matrislerde Çarpma İşleminin Özelikleri
1. Çarpma işleminin değişme özeliği yoktur.
2. A  O
ve
B  O
Örneğin;
A
LM 2
MN2
olduğu hâlde,
OP
1PQ
1
3. A . O = O . A = O dır.
Örnek : A 
relim.
Çözüm :
LM 3 5 OP
N 4 6 Q
ve B 
LM1
MN2
A. B  B.A
A. B = O
OP
2PQ
1
olabilir.
olup, A . B 
LM 2  2
MN2  2
OP  LM0
 2  2PQ MN0
22
OP
0 PQ
0
dır.
Buna göre, sıfır matrisi, çarpma işleminde yutan elemandır.
ve O 
LM0 0OP
N0 0 Q
LM 3 5OP  LM0 0OP  LM0 0OP
N  4 6 Q N0 0 Q N0 0 Q
olduğuna göre, A . O = O . A = O
ve
2 x2
LM0 0OP  LM 3 5OP  LM0 0OP
N0 0 Q N  4 6 Q N0 0 Q
olduğunu göste-
bulunur.
4. Birim matris çarpma işleminin etkisiz elemanıdır.
 birim matris olmak üzere,
Örnek :
A
LM2
MN3
relim.
OP
5PQ
1
ve

LM1
MN0
OP
1 PQ
0
olduğuna göre,
OP LM 0OP  LM2  1OP
Q N 1 Q N3 5 Q
L1 0OP  LM2  1OP  LM2  1OP dır. O hâlde,
.A M
MN0 1 PQ MN3 5QP NM3 5PQ
Çözüm :
A. 
LM2
N3
A .  =  . A = A dır.
A.=.A=A
olduğunu göste-
1
1

5
0
A .  =  . A = A dır..
5. Matrislerde çarpma işleminin birleşme özeliği vardır.
A = [ a i j ] m x n , B = [ b j k] n x p , C = [ c i k] p x r
olmak üzere; A . (B . C) = (A . B) . C dir.
6.
Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özeliği vardır.
a.
Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine soldan dağılma özeliği;
A = [aij]mxn , B = [bjk]nxp , C = [cjk]nxp olmak üzere,
A . (B + C) = A . B + A . C dir.
b. Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine sağdan dağılma özeliği;
A ve B matrisleri m x n türünde, C matrisi n x p türünde iseler,
(A + B) . C = A . C + B . C olur.
7. A = [ a i j ] m x n , B = [ b j k ] n x p ve k  R sayı ise, k . (A . B) = A . (k . B) = (k . A) . B dir.
8.
A 0
ve A . B = A . C
iken,
B = C olmayabilir.
281
Örnek :
a.
L1
A B M
MN3
1
2
4 5
OP
PQ
LM 2
C  M 1
MN3
ve
OP
PP
Q
olduğuna göre:
b.
C.A+C.B
3
4
0
A . C + B . C matrisini hesaplayalım.
matrisini hesaplayalım.
Çözüm : A . C + B . C = (A + B) . C olduğundan;
L1
A.C  B.C  M
MN3
OP
PQ
LM
MM
N
LM 2
C . A  C . B  C . ( A  B )  M 1
MN3
Örnek :
A
OP
PP
Q
2
1
2
 1
4 5
3
LM3
MN6
OP
4 PQ
2
LM
MN
OP
PP
Q
LM
MN
LM1
MN4
OP
1 PQ
3
1
4 
3
0
, B
OP
PQ
3
3
4 
17
0
3
1
25
OP  LM11
MM11
 5 PQ
N 3
1
4
,
C
LM3
MN1
OP
4 PQ
1
OP
P
 6 PQ
10
17
2
 11
 22
3
bulunur..
matrisleri veriliyor.
A.B=A.C
olduğunu gösterelim.
Çözüm :
O hâlde,
LM3
N6
L3
A.C  M
N6
OP LM 3OP  LM11
Q N 1 Q N22
2 O L3 1 O
P4Q  MN1 4PQ  LMN11
22
OP
LM
Q
N
11 O
L1
 11  M
P
22Q
N2
2
1

4
4
A .B 
A . B = A . C dir.
Dikkat edilirse,
OP
Q
1O
P
2Q
11
1
 11 
22
2
A.B=A.C
1
2
iken,
B  C dir.
Kare Matrisin Kuvveti
Tanım : n. sıradan bir A kare matrisi verilmiş olsun. k  N+ olmak üzere;
A0 = 
n
, A1 = A , A2 = A . A , A3 = A . A2 , ... , Ak = A . Ak  1 dir.
Örnek :
n. sıradan
olmayabilir. Açıklayalım.
Çözüm :
A2  B2 = (A  B) (A + B)
A ve B kare matrisleri için,
eşitliği doğru
(A  B) (A + B) = A . A + A . B  B . A  B . B
= A2 + A . B  B . A  B2 dir.
Matrislerde çarpma işleminin değişme özeliği olmadığından, A . B = B . A olmayabilir. Buna göre,
A . B  B . A yerine O yazılamaz. Bu nedenle A2  B2 = (A + B) (A  B) ifadesi doğru olmayabilir. Aynı
şekilde,
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
Örnek :
A
LM1
MN0
OP
1 PQ
3
eşitliği de doğru olmayabilir (Gösteriniz.).
+
matrisi verilmiştir.
nN
için,
An 
LM1
MN0
3.n
1
OP
PQ
olduğunu,
tümevarım yöntemiyle gösterelim.
Çözüm : i. n = 1 için,
1
A 
LM1
N0
OP
Q
3.1
1
 A
282
LM1
N0
3
1
OP
Q
olduğundan, önerme doğrudur..
ii.
n = k için A k 
A k 1 
A . Ak
LM1
MN0
L1
M
MN0
OP
PQ
3 O L1
PM
1 PQ MN0
3 (k  1)
1
+
O hâlde,
nN
LM1
MN0
OP
PQ
3.k
1
eşitliğinin doğru olduğunu kabul edelim.
ifadesinin doğruluğunu gösterelim.
3.k
1
OP
PQ
LM1
MN0
An 
için
A 
Çözüm :
LM1 3 (k  1)OP
MN0 1 PQ
3 . nO
P dir..
1 PQ
 A k 1 
LM1 3OP ise,
MN 0 1 PQ
L1 3OP LM1
2
A M
N 0 1Q N 0
Örnek :
n = k + 1 için,
n  N+
için
OP LM
Q N
0
 2
1
A3 = A . A2 = A .  = A
An matrisini bulalım.
OP
Q
3
1

1
0
( A)n 
O hâlde,
dir..
RS 
TA
, n  0 (mod 2)
, n  1 (mod 2)
ise
ise
9
olur.
6
Örnek : f , 2 x 2 tipindeki matrisler kümesinde tanımlı bir fonksiyon f (x) = x  2x + 4 olmak
üzere,
A
LM2
MN 3
OP
 2PQ
 1
ise,
Çözüm : A2 = A . A 
f (A) yı
LM2
N3
hesaplayalım.
OP LM2
Q N3
OP LM
Q N
 1
2
A3 = A . A2 = A . 2 = A dır.
f (A) = A9  2A6 + 42
Örnek :
LM2
MN 3
(A9 = A
OP  LM2 0OP  LM4
 2PQ MN0 2PQ MN3
L1  1OP matrisi verilmiştir.
AM
MN3 1PQ
 1
0
 2
1
O hâlde,
= A  22 + 42 = A + 22

OP
Q
 1
1

2
0
,
OP
0 PQ
1
k  N için,
A2k = 2 ,
A2 k  1 = A
dır.
A6 = 2)
bulunur..
n  N+ için, An , A40 , A53 , A60 matrislerini
bulalım.
Çözüm :
A2 
3
LM1
MN3
2
OP LM
PQ MN
OP LM
PQ MN
OP
LM
PQ
MN
1O L1  1O
P1Q MN3 1PQ  (2) . LMN40
 1 1  1
2

1 3
1
6
A  A . A  ( 2) .
LM 1
N 3
2
1
 ( 2) .
2
3
A4 = A3 . A = ( 2)3 2 . A = ( 2)3 . A
5
4
3
3
2
4
A = A . A = ( 2) . A . A = ( 2) . A = ( 2) .
A6 = A3 . A3 = ( 2)3  . ( 2)3  = ( 2)6 
2
2
283
2
OP
PQ
0O
P4Q  (2)3 . LMN10 10OPQ  (2)3  2
1
1
LM 1 1OP
MN3 1PQ
(2)n .  2
Buna göre,
n
( 2)
A =
n 1
.A
( 2)n 1 .
LM 1 1OP
N3 1Q
, n  0 (mod 3)
ise
,
n  1 (mod 3)
ise
, n  2 (mod 3)
ise
40  1
(mod 3) için;
A40 = ( 2)39 . A .A = ( 2)39 .
53  2
(mod 3) için;
A
60  0
(mod 3) için;
A60 = ( 2)60 . 2 bulunur.
LMa
MN
OP
PQ
b
d
Örnek : M = c
53
= ( 2)
52
.
LM 1
MN3
OP
1PQ
1
LM 1
N3
OP
Q
1
1
bulunur..
bulunur..
matrisinde her satırın terimleri toplamı 5 olduğuna göre, M2 matrisinin
birinci satır terimleri toplamı nedir?
Çözüm : a + b = 5 ve c + d = 5 olup, M2 
LMa
MNc
OP  LMa
dPQ
MN
OP . LMa
dPQ MNc
b
b
2
 bc
.
M2 matrisinin birinci satır terimleri toplamı;
T = (a2 + bc) + (ab + bd)
T = (a2 + ab) + (bc + bd) = a (a + b) + b (c + d)
T = 5a + 5b = 5 (a + b) = 5 . 5 = 25
Örnek : A =
sin x
cos x
A2  A . A 
Çözüm :
LMcos x  sin x
MN 2 sin x cos x
2
A2 
LMcos x
N sin x
2
OP
Q
olur.
A3
ise,
LMcos x
N sin x
OP LM
Q N
sin x
cos x

cos x
 sin x
2 sin x cos x
2
matrisini hesaplayalım.
cos x  sin
2
OP  Lcos 2x
MN sin 2x
xPQ
sin x
cos x
OP
Q
OP
Q
sin 2x
cos 2 x
olur..
LMcos 2x sin 2x OP  LMcos x sin x OP
N sin 2x cos 2x Q N sin x cos xQ
L cos 2x . cos x  sin 2x . sin x cos 2x . sin x  sin 2x . cos xOP
 M
N sin 2x . cos x  cos 2x . sin x  sin 2x . sin x  cos 2x . cos xQ
L cos(2x  x) sin(2x  x) OP  LM cos 3 x sin 3x OP bulunur..
 M
N sin(2x  x) cos(2x  x)Q N sin 3x cos 3xQ
A3  A2 . A 
284
OP
PQ
ab  bd
.
bulunur..
BİR MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ
Tanım : n. sıradan bir A kare matrisi için, A . B = B . A = n koşulunu sağlayan n. sıradan
B kare matrisi varsa; B matrisine, A matrisinin çarpma işlemine göre tersi denir.
A matrisinin çarpma işlemine göre ters matrisi, A 1 ile gösterilir.
LM 3  1OP
N2 1Q
La bOP
 M
Nc d Q
Örnek : A 
Çözüm : A 1
A . A 1 = A 1 . A = n dir.
matrisinin, çarpma işlemine göre ters matrisini bulalım.
olsun. A . A 1 = A 1 . A = 2 olduğundan,
LM 3  1OP LMa bOP  LM1 0OP
N2 1Q Nc dQ N0 1Q
yazalım:
LM 3a  c
N2a  c
OP LM
Q N
3b  d
1

 2b  d
0
3a  c  1
2a  c  0
a1
c2
3b  d  0
2b  d  1
b1
d3
OP
Q
0
1
elde edilir. Matrislerin eşitliğinden,
A 1 
bulunur. O hâlde,
LM1 1 OP
N2 3 Q
olur..
Çarpma İşlemine Göre Ters Matrislerin Özelikleri
1. kR  {0} olmak üzere, n. sıradan bir A kare matrisinin çarpma işlemine göre tersi varsa,
(k . A)
2.
1
1
1
A
dir..
k

n. sıradan A ve B kare matrislerinin çarpma işlemine göre tersleri, A 1 ve B 1 ise;
(A . B) 1 = B 1 . A 1 dir.
3.
A
LMa bOP
Nc dQ
Eğer, ad  bc = 0 ise,
İspat : 1.
A. A
1
= A
(k . A ) 1 
1
1
ad  bc
ise, A 1 
. A = n
1
A
1
 A 1
k
LM d  bOP
N c a Q
dır..
yoktur.
olduğunu gösterelim:
tanımından faydalanarak,
(k . A ) 
FG 1 A IJ  FG 1 A IJ  (k . A)  
Hk K Hk K
1
1
olduğunu göstermeliyiz.
(k . A ) 
FG 1 A IJ  k . 1  A . A
Hk K k
1
1
  n dir.
FG 1 A IJ (k . A)  1  k . A
Hk K
k
1
285
1
. A  n
dir..
n
2. (A . B) 1 = B 1 . A 1
(A . B) . (B
( A . B) . (B
1
1
olduğunu gösterelim:
1
. A ) = (B
1
LM( A . B) . B
N
LMA . (B . B)
N
1
.A ) 

A . n . A

 A.A
1
. A 1 ) . (A . B) = 
OP . A
Q
OP . A
Q
1
1
1
1
olduğunu göstermemiz gerekir.
n
(B
1
1
. A ) ( A . B)
 B
 B
1
 B
bulunur.
 n
 B
LM
N
. L( A
MN
1
1
1
1
. A
1
OP
Q
. A) . BO
PQ
.( A . B)
1
. n . B
. B  n
bulunur.
O hâlde, (A . B) 1 = B 1 . A 1 dir.
Örnek : A , B , C kare matrisleri n. sıradan olmak üzere, A kare matrisinin çarpma işlemine göre
tersi varsa;
a.
A.B=O
B=O

b.
A.B=A.C
B=C

olduğunu gösterelim.
Çözüm : a. A . B = O eşitliğinin her iki yanını soldan A1 ile çarpalım:
A 1 . A . B = A 1 . O
b.
(A 1 . A) . B = O

A . B = A . C eşitliğinin her iki yanını,
A 1 . A . B = A 1 . A . C

A 1
n . B = O
B=O
bulunur.
ile çarpalım:
(A 1 . A) . B = (A 1 . A) . C



n . B = n . C

B=C
bulunur.
BİR MATRİSİN TRANSPOZU (DEVRİĞİ)
Tanım :
edilen
A = [ a ij ] m xn
matrisinin sütunları satır ya da satırları sütun hâline getirmekle elde
A matrisinin transpozu (devriği) denir ve AT veya Ad
[ a j i ] n x m matrisine,
ile
gösterilir.
Örneğin; A =
LM3
N2
4
1
5
6
OP
Q
matrisinin transpozu,
A T  Ad 
LM3
MM 4
N5
OP
PP
Q
2
1
6
dır..
Teorem : A ve B matrisleri m x n türünden iki matris ve k bir skalar ise;
1.
(AT)T = A
,
2.
(A + B)T = AT + BT
İspat : 1. A = [ a i j ] m x n
(AT)T = ([ a ]
ji n xm
olsun. AT =
)T = [ a i j ] m x n
2. A = [ a ]
ij m xn
ve
=A
B = [b ]
,
3.
[a ]
ji n xm
(k . A)T = k . AT
dir.
olur. Buradan tekrar transpozu alınırsa,
elde edilir.
j k m xn
olsun.
(A + B)T = ( [ a i j ] m x n + [ b j k] m x n )T = ( [ a i j + b j k ] m x n )T= [ a j i + b k j ] n x m = [ a j i ] n x m + [ b k j ] n x m
= AT + BT
elde edilir.
3. A = [ a ]
ij m xn
(k . A)T = (k . [ a ]
olsun.
ij m xn
)T = ( [k . a i j ] m x n )T = [k . a j i ]n x m
286
= k . [a ]
ji n xm
= k . AT
elde edilir.
Teorem : A = [ a i j ] m x n
A
(A . B) = B . A
OP
3 PQ
B = [ b j k] n x p
(A . B)T = BT . AT
matrisleri için,
dir.
LM 0 OP ise, (A . B)T = BT . AT olduğunu gösterelim.
MN 4 PQ
L 1 2OP  LM 0 OP  LM 8 OP  (A . B)T = [8 12] dir..
Çözüm : A . B  M
MN1 3 PQ NM 4 QP NM12QP
L1  1OP  BT . A T  [0 4] . LM1  1OP  [8 12] olur. O hâlde,
T
T
B  [0 4 ]
A M
N2 3 Q
N2 3 Q
T
T
T
Örnek :
LM 1
MN1
ve
2
, B
dir.
Teorem : A tersi olan bir matris ise, (AT) 1 = (A 1 )T dir.
İspat : A . A1 =  eşitliğin her iki tarafının transpozunu alalım.
(A . A1)T = T = 
(A1)T . AT = ((A . B)T = BT . AT
(AT)1 = (A1)T = (A . A1 = 
O hâlde, AT ile (A1)T
Örnek : A . B =
LM1
MN3
2
5
T
OP
PQ
T
Çözüm : (A . B) = B . A
Örnek :
A
LM1 3OP
N2 4 Q
için,

LM1
MN2
3
4
OP
PQ

A 1  

L1
BM
MN2

B
bulunur.
T
1
2
T
B .A
matrislerini bulalım.
L1
=M
MN3
1
4
B1 . A = AT
OP T  LM11
MM
5PQ
N2
2
OP
P
5 PQ
3
4
eşitliğini sağlayan
dir..
B
matrisini bulalım.
(B1 . A)1 = (AT)1

A1 . B = (AT)1

A . A1 . B = A . (AT)1
2 . B = A . (AT)1

B = A . (A1)T

A
BT . AT
ise,
olmak üzere,
B1 . A = AT
Çözüm :
olduğundan)
matrisleri, birbirinin ters matrisleridir. Yani, (AT)1 = (A1)T dir.
1
4
T
olduğundan)
1
2
LM 4
MN2
3
1
OP
PQ
F L
GG M
H MN
LM1 3OP LM 4
N2 4 Q N  3
bulunur.
OP
PQ
3
1 4 3
 
4
1
2 2
OP
Q
, B de yerine yazılırsa;
OP IJ T
PQ JK
2
1

1
2
287
1
A ve A
LM5
N 4
OP LM
Q N
OP
Q
1
5 / 2  1/ 2

0
2
0
bulunur..
Örnek : A matrisi n. sıradan bir kare matris olmak üzere, B = AT + A ise, BT  B yi bulalım.
Çözüm : B = AT + A  BT = (AT + A)T yazalım.
T
T
B =A+A =B
Örnek :
A
LM4
MN2
A . AT
Çözüm :
T
olur. O hâlde,
OP
5 PQ
L4
M
MN2
3
ise,
B  B = B  B = Onxn
T
Z / 6 da
OP LM4
5 PQ MN3
3
OP
5 PQ
2
A.A

LM1
MN5
bulunur.
matrisini bulalım.
OP
5PQ
5
bulunur..
Tanım : A, n x n tipinde bir kare matris olsun:
1.
AT = A
ise,
A
matrisine, simetrik matris denir.
2.
AT =  A
ise,
A
matrisine, antisimetrik matris denir.
3.
AT = A1
ise,
A
matrisine,
Örnek :
L2
AM
MN3
3
5
OP
PQ
,
simetrik olduğunu gösterelim.
Çözüm :
LM 0
B  M 3
MN4
LM2
MN3
4O
P
 6P
0 PQ
A
3
0
6
OP
5PQ
3
LM 0
B  M 3
MN4
ortogonal matris
3
0
6
4
6
0
OP
PP
Q
denir.
matrislerinin hangisinin simetrik, hangisinin anti-
matrisi, simetrik bir matristir. Çünkü,
A = AT
dir.
matrisi, antisimetrik bir matristir. Çünkü, AT =  A dır.
Antisimetrik matrislerde, birinci köşegen üzerindeki elemanlar sıfırdır. Birinci köşegene göre simetrik
elemanların toplamı sıfırdır.
Örnek : A 
LM1
N0
0
1
OP
Q
matrisinin ortogonal matris olduğunu gösterelim.
Çözüm : AT = A1 ise, A matrisi ortogonaldır.
T
A 
LM1
N0
OP LM
Q N
0
1

1
0
OP
Q
0
1
 A
1
olduğundan,
288
A ortogonaldır..
ALIŞTIRMALAR
1.
A
LM1
MN 1
2
3
OP
1PQ
0
matrisi veriliyor:
a. [ a ]
ise, m + n değerini bulunuz.
ij m xn
b. a12 + a13 . a21 değerini bulunuz.
c. Satırlarını oluşturan satır matrislerini bulunuz.
d. Sütunlarını oluşturan sütun matrislerini bulunuz.
2.
3.
LMx  y 1 OP  LM2 t  zOP
N 5 x  2 y Q N2 t  z 5 Q
L1  2 0OP ve B  LM1
AM
MN3 1 0PQ
MN 0
A
ise,
x+y+z+t
OP
 3PQ
1
2
3
4. Karmaşık sayılar kümesinde tanımlı olan
(a11 + a12)2  a21 . a22
LM 1
MN1
5. 2A  B 
OP
2 PQ
7
ise,
2A  3B
LM2 i  1
N1  i
A
değerini bulunuz.
matrisini bulunuz.
OP
Q
1
1 i
matrisi veriliyor. Buna göre,
değerini bulunuz.
, A B 
LM 2
MN  2
OP
 2PQ
1
matrislerin verildiğine göre, A ve B matrislerini
bulunuz.
6.
LM1
AM 2
MN 3
7.
OP
P
 3 PQ
LM
MM
N
2
1
0  3
=
1
LMsgn (1  y)OP
MN  1 PQ
OP
P
0 PQ
2
4
eşitliği ile verilen A matrisinin devriğini bulunuz.
eşitliğini sağlayan
(x , y)
ikililerinin oluşturduğu kümeyi koordinat
düzleminde gösteriniz.
8. A = [ a i j ] 2 x 3
aij 
RS i  j
T i j
243 O
P
b
3 PQ
LM3 x 3 x1OP LM3a
MN3 y1 3 y PQ  MN93
LM1 2OP
L 1
A M 0
3P , B  M
MN 2
MNx  y 3 PQ
9. 9 .
10.
,
ij
ji
ise
ise
matrisini bulunuz.
olduğuna göre,
0
5
3x  y 3
OP
PQ
x.y+a.b
matrisleri veriliyor.
değeri kaçtır?
A = BT
ise,
y2  x2
değeri
kaçtır?
11.
12.
LM 1
N 1
Lx
AM
MNz
3
OP LM OP LM
OP eşitliğinde, a + b + c + d değeri kaçtır?
Q N Q N
Q
L O
yO
Pt P matrisi için, x + y + z + t = 3 tür. (A  A )  MMac bdPP ise, a + b + c + d
N Q
Q
3
1 3
a
b


2
4
0
c 1 d
T T
289
kaçtır?
13. Aşağıdaki matrislerin çarpımlarını bulunuz.
LM 2 OP
2] . M 2 P
NM 1 PQ
a. [1  1
14.
15.
La
d. M
MN3
L5
AM
MN5
L2
AM
MN5
b.
OP . LM11
M
 1 PQ M
N0
2a
OP
P
b  aPQ
ab
2
ab
2b
OP
5 PQ
5
OP
4 PQ
3
LM 3 OP
MM 1 PP . [2
N 2 Q
 2]
LM1
MN2
c.
OP . LM1
2 PQ MN0
1
1
1
OP
2 PQ
3
e.
2
ise,
A  5A matrisini bulunuz.
, B
LM7OP
MN 1PQ
matrisleri veriliyor.
B + C = A. C
eşitliğine uyan
C
matrisini
bulunuz.
16.
17.
18.
LM1  2OP
MN3 0PQ
L 1  1OP
AM
MN1 1PQ
A
a.
A2
A
LM 19
MN18
matrisi için,
A2  2A + 2 matrisini bulunuz.
matrisi için, aşağıdaki matrisleri bulunuz.
A3
b.
OP
1PQ
1
A1998
c.
matrisi veriliyor.
A . B = 2
d.
n  N+
olduğuna göre, A + B
19. A , n. mertebeden bir kare matris olmak üzere, A2  3A = 5n
göre,
20.
A
1
A
matrisini,
LM2 2OP
MN2 2PQ
A ve n
matrisi için,
için
An
matrisini bulunuz.
bağıntısını sağlamaktadır. Buna
matrisine bağlı bulunuz.
S = A + A2 + A3 + ... + A1998
ve S = k . A
ise,
kR sayısını
bulunuz.
21.
LM 1
MM 2
N 1
OP L
PP MMN
Q
1
1
1 
2
2
22. Aşağıdaki
a.
23.
24.
1
OP
Q
2O
P
0Q
1
0
OP
1PQ
1
,
b
e
4
A ve B
L1
AM
MN0
LM1
N1
L1
AM
N 1
A
OP  LMad
MM
5 PQ
Ni
2
matrisleri için,
L1
B  M
MN1
ve B 
j
OP
P
k PQ
c
f
A.C=B
OP
2PQ
1
LMa bOP
Nc dQ
matrisi için,
eşitliğinde,
b.
olmak üzere,
3
3
(A 2)  A
a+e+k
eşitliğine uyan C
LM1
A  M0
MN0
2
1
0
A . B = A  B ise,
matrisini bulunuz.
290
kaçtır?
matrislerini bulunuz.
OP
PP
Q
3
2
1
B
,
LM1
B  M 3
MN 0
0
3
2
2
1
3
matrisini bulunuz.
OP
PP
Q
DETERMİNANTLAR
Bu kısımda, elemanları gerçek sayılar olan kare matrislere ait determinant kavramını vereceğiz.
A kare matris olmak üzere, A matrisinin determinantı A veya det (A) biçiminde gösterilir.
A matrisi n x n biçiminde ise, A nın determinantı n. mertebedendir, denir.
Tanım : 1 x 1 biçimindeki A = [a11] matrisinin determinantı, A= a11 dir.
Örneğin; A = [7] matrisi için, A7 ,
B=[ 3
]
matrisi için, B 3
Tanım : 2 x 2 biçimindeki A 
A 
a11
a12
a 21
a22
LM a
MN a
11
a12
21
a22
OP
PQ
tür..
matrisinin determinantı,
a111 . a22  a12 . a21 dir.
LM 3  6OP olduğuna göre, Ayı hesaplayalım.
N2 8 Q
x O
için, B =  13 olduğuna göre, x i hesaplayalım.
x  3 PQ
Örnek : a. A 
b. B 
LM x  1
N x
Çözüm : a.
b.
B 
A 
3
2
6
= 3 . 8  ( 2) . ( 6) = 24  12 = 12 bulunur..
8
x1 x
= (x + 1) . (x  3)  x . x = x2  2x  3  x2 =  2x  3
x x3
B=  13 olduğundan,  2x  3 =  13
Tanım : 3 x 3 biçimindeki
LM a
A  Ma
MM a
N

11
a12
a13
21
a 22
a 23
31
a 32
a 33
x=5
OP
PP
PQ
bulunur.
matrisinin determinantı,
a11 a12 a13
A  a21 a22 a 23 = (a .a .a +a .a .a +a .a .a )  (a .a .a +a .a .a +a .a .a )
11
1 22 33 21 32 13 31 12 23
13 22 31 23 32 11 33 12 21
a31 a32 a 33
dir.
Örnek :
LM1
A 2
MM 0
N
Çözüm :
A 
0
3
1
0
5 4
OP
PP
Q
olduğuna göre, Ayı hesaplayalım.
1 0
3
2 1
0  (1) . 1 . (4)  2 . 5 . 3  0 . 0 . 0  3 . 1 . 0  0 . 5 . (1)  (4) . 0 . 2
0 5 4
= (4 + 30 + 0)  (0 + 0 + 0) = 34 bulunur.
291
MİNÖR VE KOFAKTÖR (EŞ ÇARPAN)
Tanım : n. sıradan bir A kare matrisinin i. satır ve j. sütun atıldıktan sonra geriye kalan
matrisin determinantına,
A i j = ( 1)
i+j
a ij
elemanının Minörü (küçüğü) denir ve M i j
ile gösterilir.
. M i j ifadesine, a i j elemanının kofaktörü (eş çarpanı) ya da işaretli minörü
denir.
LMa
MM
Na
11
a12
a13
A  a21
a22
a23
31
a32
a33
olup,
OP
PP
Q
matrisinde
a
teriminin minörü; M23 
23
a11 a12
=a
a
11
a12
a13
21
a22
a23
31
a32
a33
a31 a32
11
1
32
a
a
12 31
A23 = ( 1)2+3 . M23 =  (a11 a32  a12 a31) dir.
a23 elemanının kofaktörü;
Tanım : 3 x 3 türünden bütün matrislerin kümesi M3 olsun.
olmak üzere, det(A) = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13
ile tanımlı
LMa
A  Ma
MNa
D : M3  R
OP
PP  M
Q
3
fonksiyonuna,
determinant fonksiyonu denir.
det(A) = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 şeklindeki açılıma da A determinantının 1. satırına göre
açılımı adı verilir.
determinantı satır ya da sütunlardan hangisine göre açılırsa açılsın, aynı gerçek sayı bu-
A
lunur.
Örnek :
LM1
AM 2
MN7
3
4
5
8
6 2
OP
PP
Q
matrisi için;
a. a
elemanının minörünü bulalım.
b. a21
elemanının kofaktörünü bulalım.
21
c. A
determinantının 2. satıra göre açılımını yapalım.
Çözüm : a. a21 elamanının minörü M21 ise, A matrisinde 2. satır ve 1. sütun atıldıktan
sonra geriye kalan matrisin determinantı;
LM1
MM 2
N7
A
b. a
21
A
21
3
5
6
OP
P
 2 PQ
4
8
 M21 
elemanının kofaktörü
= ( 1)2+1 M
21
den,
A
21
A
21
3
6
4
 2 = 6  24 =  18
olup,
=  1 . ( 18) = 18
292
bulunur.
bulunur..
c. A
determinantının 2. satıra göre açılımı,
A = a21 . A21 + a22 . A22 + a23 . A23
A  2 . ( 1)
21
3
4
6
2
 5 . ( 1)
şeklindedir. Buna göre;
2 2
.
1
4
7
2
 8 . ( 1)
2 3
.
1  3
7
6
A =  2 . (6  24) + 5 . (2 + 28)  8 . ( 6  21)
A =  2 . ( 18) + 5 . 30  8 . ( 27)
1
A  3
2
Örnek :
2
0
1
3
4
1
A = 36 + 150 + 216 = 402

bulunur.
determinantını, 3. satıra ve 2. sütuna göre açalım. Bulduğumuz
değerleri karşılaştıralım.
Çözüm : A determinantının 3. satıra göre açılımı,
A = a31 . A31 + a32 . A32 + a33 . A33
2
0
A  2 . ( 1)4 .
3
1
 1 . ( 1)5 .
4
3
şeklindedir. Buna göre;
3
1
 1 . ( 1)6 .
4
3
A = 2 . (8)  1 . (4  9) + 1 . (0  6)
2
0
A = 16 + 5  6 = 15

bulunur.
A determinantının 2. sütuna göre açılımı,
A = a12 . A12 + a22 . A22 + a32 . A32
3
2
3
A  2 . ( 1) .
4
1
4
 0 . ( 1) .
1
2
A =  2 . (3  8) + 0  1 . (4  9)
Görülüyor ki,
şeklindedir. Buna göre;
3
1
5
 1 . ( 1) .
1
3

3
4
A 10 + 5 = 15
bulunur.
determinantının 3. satıra göre açılımında bulunan değer, 2. sütuna göre
A
açılımında bulunan değere eşittir.
Üçüncü mertebeden bir matrisin determinantı Sarrus (Sarus) kuralına göre de hesaplanır. Bu kural
A nın alt tarafına iki satır ya da sağ tarafına iki sütun yazılarak aşağıdaki gibi hesaplanır:
i.
İlk iki satır tekrar edilerek açılırsa,
A =
A = (a
11
a
22
a
33
+a
21
a
32
a
13
+a
31
a
12
a
)  (a13 a22 a31 + a23 a32 a11 + a33 a12 a21)
23
293
dir.
ii. İlk iki sütun tekrar edilerek açılırsa,
A =
A = (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32)  (a13 a22 a31 + a11 a23 a32 + a12 a21 a33) tür.
Her iki hesaplama yapılırken, (+)
işaretli köşegenler üzerindeki elemanlar çarpılıp toplanır.
(+) işaretli köşegenlerden elde edilen sayıdan, () işaretli köşegenlerdeki elemanların çarpımlarının
toplamından elde edilen sayı çıkarılarak A hesaplanır.
Bir matrisin determinantının bu şekilde hesaplanış biçimine, Sarrus kuralı denir.
Örnek :
A  [ 3 ]
,
L1
BM
N2
4
8
OP
Q
LM4
C  M0
MN1
,
5
1
0
OP
PP
Q
1
2
1
matrislerinin determinantlarını
bulalım.
Çözüm : det(A) = A=  3 bulunur.
det(B) =
1 4
= 1 . 8  2 . ( 4) = 16
2
8
bulunur..
det (C) = C =  4  10 + 0  1 + 0 + 0 = 15
bulunur.
det(C) =
Örnek :
A 
3001
2997
3003
2999
Çözüm : 3000 = a dersek,
determinantını hesaplayalım.
A 
3001
2997
3003
a1 a3

2999
a3 a1
olur..
Buna göre, açılımını yapalım: A= (a + 1) . (a  1)  (a  3) (a + 3) = (a2  1)  (a2  9) = 8 bulunur.
DETERMİNANT FONKSİYONU
Tanım : n. mertebeden kare matrislerin kümesi Mn olsun.
LMa
MMa
MMNa
11
a12 ... a1n
21
a 22 ... a 2n
n1

... 
an2 ... ann
OP
PP
PPQ
 Mn olmak üzere,
det(A) = A = a11 . A11 + a12 . A12 + ... + a1n . A1n ile tanımlı D : Mn  R fonksiyonuna,
determinant fonksiyonu;
D(A) = A
ifadesine de A matrisinin determinantı denir.
294
Mertebesi 3 ten büyük olan; örneğin 5. mertebeden bir determinantı hesaplamak için, bu determinant herhangi bir satıra veya sütuna göre açılarak determinantın derecesi bir derece küçültülür. Böylece
determinant 4. mertebeden determinantların doğrusal bileşimi olarak yazılır.
Tekrar 4. mertebeden determinantlar, bir satır veya sütuna göre açılarak, verilen determinant 3.
mertebeden determinantların doğrusal bileşimine dönüştürülür. 3. mertebeden determinantlar; ya açılımları yapılarak ya da Sarrus (Sarus) kuralı ile hesaplanarak verilen determinant hesaplanmış olur.
A 
Örnek :
1 0
1 1
2
0
0
1
0
1
2
2
1
4
1
3
değerini bulalım.
Çözüm : Adeterminantının 1. satıra göre açılımı,
A = a
11
.A
11
A =  1 . A
11
+a
12
.A
+0.A
12
12
+a
13
+2.A
.A
13
13
+a
14
+0.A
14
1
A   1 . ( 1) . 1
0
2
1
1  2 . ( 1)4 .
3
2
4
2
.A
14
şeklindedir. Buna göre;
=1.A
11
1 1
0
1
1
A =  1 . ( 8 + 2 + 2  6) + 2 . (4 + 1 + 1  3)
3
+2.A
13
1
1
4

A =  1 . ( 10) + 2 . (3) = 16
bulunur.
DETERMİNANTLARIN ÖZELİKLERİ
1. Bir kare matrisin, determinant değeriyle devriğinin determinant değeri eşittir.
A karesel matris ise,
a11
a12
a13
A  a 21
a 31
a 22
a 23
a 32
a 33
A=AT
,
A
dir.
T
a11
a21
a 31
 a12
a22
a32
a13
a23
a33
A nın 1. satıra göre açılımı, AT olduğu görülür.
2.
Bir kare matrisin iki satır veya sütun elemanları orantılı ise, bu matrisin determinantının
değeri sıfırdır (ya da iki satır veya sütun aynı ise, determinantın değeri sıfırdır.).
Örneğin;
2a
A  a
1
2b
b
1
2c
c
1
a , b , cR  {0} determinantı verilmiş olsun. Bu determinan-
tın birinci satırındaki terimlerle ikinci satırındaki terimler, karşılıklı olarak orantılı olduğu için, A = 0 dır.
Örneğin;
4
A  2
4
3
1
3
1
4
1
determinantı verilmiş olsun. Bu determinantın birinci ve üçüncü
satırı aynı olduğuna göre, determinantın değeri sıfırdır.
3. Bir kare matrisin herhangi bir satır veya sütununda bulunan tüm terimler sıfır ise, determinantın değeri sıfırdır.
Örneğin,
4
A  4
3
2
1
4
0
0  0 dır..
0
295
4. Bir kare matriste bir köşegenin üstündeki ya da altındaki tüm elemanlar sıfır ise, determinantın
değeri köşegen üzerindeki elemanlarının çarpımı ya da bu çarpımın ters işaretlisine eşittir.
a11
Örneğin; A  0
B 
a12
a13
a 22
a 23 = a . a . a tür. (Asal köşegen altındaki elemanlar sıfırdır.)
11
1
22
33
a 33
0
0
0
0
0
a13
a 22 a 23
=  a31 . a22 . a13 (Yedek köşegen üstündeki elemanlar sıfırdır.)
a31 a 32 a33
4 0
A  B  2 1
3
1
Örnek :
0
1
0  1
2
1
2
4
0
3
0
0
değeri kaçtır?
Çözüm : A determinantının asal köşegen üzerindeki terimleri sıfır olduğundan; değeri,
A= 4 . ( 1) . 2 =  8 dir.
B determinantının yedek köşegenin altındaki terimleri sıfır olduğundan; değeri,
B=  (3 . 4 . 1) =  12 dir.
A+ B = ( 8) + ( 12) =  20
bulunur.
5. Bir determinantın iki satırı veya sütunu aralarında yer değiştirilirse, determinant işaret değiştirir.
a
c
Örneğin;
b
6
d
ise,
c
a
d
  6 dır.
b
(1. satır ile 2. satır yer değiştirmiştir.)
6. Bir determinantın bir satır veya sütunu kR sayısı ile çarpılırsa, determinantın değeri de
k
katına çıkar.
A 
a
c
b
d
Determinant
Örnek :
ise,
k. A 
ka
c
kb
d
olur..
kR sayısı ile çarpılırken, sadece bir sırası
5
A  4
3
15
8
1
30
12
0
3
2
1
6
3
0
3. sütundaki 3 sayısını ortak çarpana alalım:
1
A  5.4.3. 1
3
3
2
1
ile çarpılır.
determinantının değerini hesaplayalım.
Çözüm : 1. ve 2. satırdaki ortak çarpanları dışarı alalım:
1
A  5.4. 1
3
k
2
1
= 60 . ( 4) =  240
0
296
olur..
7. Bir determinantın herhangi bir satırında veya sütununda bulunan tüm terimlerin k katı
alınarak, başka bir satırın veya sütunun elemanlarıyla toplanarak elde edilen yeni determinantın değeri
değişmez.
Örneğin;
a
c
b
a

d
c  ka
xa
A  na
a
Örnek :
b
d  kb
xa
2n  a
a
a
a
a
dir. (1. satırın
k katı 2. satıra eklenmiştir.)
determinantının değerini hesaplayalım.
Çözüm : 3. sütunun ( 1) katı 1. sütuna ve 3. sütun 2. sütuna eklenirse,
x
A  n
0
Sonra, bulunan determinantta 1. sütunun ( 1) katı 2. sütune eklendiğinde,
x
2n
0
x
A  n
0
a
a olur..
a
0
n
0
a
a
a
elde edilir.
Şimdi,
A yı
3. satıra göre açalım:
x
n
A= a . ( 1)3+3 .
0
=a.n.x
n
A= 0 . A31 + 0 . A32 + a . A33
bulunur..
8. Bir determinantın herhangi bir satırında veya sütunundaki her eleman iki terimin toplamından
oluşuyorsa, bu determinant aynı sıradan iki determinantın toplamı biçiminde yazılabilir.
a1  x
Örneğin;
A 
biçiminde yazılırsa;
Örnek :
b1  y
c1  z
a2
b2
c2
a3
b3
c3
determinantı, aynı sıradan iki determinantın toplamı
a1
b1
c1
x
y
z
A  a2
b2
c 2  a2
b2
c2
a3
b3
c3
a3
b3
c3
OP
PP
Q
,
LM 1
MM3b
N
4 3
1 5
a 4
LM
MM
N
1
A 3
a
4 3
1 5
b 3
B
OP
PP
Q
olur..
,
LM
MM
N
1
C 3
7
OP
PP
Q
4 3
1 5
3
1
matrisleri için,
A+ B = C ise, a ve b kaçtır?
Çözüm : Bu üç matrisin ilk ikişer satırları aynıdır. A ve B nin üçüncü satırları toplamı, C nin
üçüncü satır elemanlarıyla karşılıklı eşit olmalıdır. O hâlde,
ab  7
ab  3
UV
W
 a5
ve
b   2 bulunur..
9. Bir determinantın herhangi bir satır veya sütununa ait terimler, bir başka satır veya sütununun
terimlerine ait eş çarpanlar ile karşılıklı çarpılır ve çarpımlar toplanırsa, toplam sıfır olur.
Örneğin;
3. sıradan bir determinantta
a11 . A21 + a12 . A22 + a13 . A23 = 0 dır.
297
10. n. mertebeden A ve B matrisleri için, A . B= A . B dir.
Örneğin;
a
c
A 
b
4
d
Örnek :
Çözüm :
2. sütunu 3. sütuna eklersek;
a
b
c
abc
abc
abc
bc
ac
ab
x
z
B 
1
A  1
1
1
A  1
1
a
b
c
ve
y
 7 ise, A . B= A . B = 4 . 7 = 28 dir..
t
determinantının değerini bulalım.
1
 (a  b  c) . 1
1
a
b
c
1
1
1
1. ve 3. sütun aynı olduğu için determinantın değeri,
x3
7
6
Örnek :
1
x5
6
1
1
x2
 0
A= 0 olur.
denklemini gerçekleyen x lerin kümesini bulalım.
Çözüm : 3. sütunu 2. sütuna ve 2. sütunu da 1. sütuna ekleyelim:
x3
7
6
1
x5
6
1
1

x2
x2
x2
0
0
x4
x4
(1. satırı
1
 ( x  2) ( x  4) 1
0
1
1
1
0
1
x2
1
 ( x  2) ( x  4) 0
0
0
1
1
1
0
x2
= (x + 2) (x  4)

1
1
0
x2
x =x =2,x =4
1
2
=0

3
1
1
x2
(1. sütundan ( x  2) ve 2. sütundan
( x  4) çarpanını ortak paranteze alalım.)
( 1)
ile çarpıp, 2. satıra ekleye lim.)
(1. sütuna göre açalım.)
(x + 2) (x  4) (x + 2) = 0

Ç = { 2 , 4}
olur.
EK MATRİS
Tanım : n. mertebeden A = [ a i j ] n x n kare matrisi verilmiş olsun. a i j elemanının kofaktörü
Ai j ise; [ A i j ] T
Örneğin;
matrisine,
LM a
A  Ma
MN a
A matrisinin ek matrisi denir ve Ek(A) ile gösterilir.
11
a12
a13
21
a22
a 23
31
a32
a 33
OP
PP
Q
matrisinin ek matrisi bulunurken, tanıma göre matriste her
elemanın yerine kofaktörü yazılır ve elde edilen matrisin transpozu alınır.
LM A
Ek( A )  M A
MN A
11
A 12
A 13
21
A 22
A 23
31
A 32
A 33
OP T LM A
PP  MM A
Q NA
11
A 21
A 31
12
A 22
A 32
13
A 23
A 33
298
OP
PP
Q
Örnek :
A
LM4
N6
5
7
OP
Q
matrisinin ek matrisini bulalım.
Çözüm : Önce, her elemanın kofaktörlerini hesaplayalım:
A =7
=  (5) =  5
,
LM 7  6 OP T  LM 7  5 OP bulunur..
N 5  4 Q N 6  4 Q
La bOP matrisi için ek matris, Ek( A)  LM d
A M
Nc dQ
N c
b
a
11
,
A
12
=  (6) =  6
,
A
21
A
22
=  4 olur.
Ek( A) 
OP
Q
dir..
Ek Matris Özeliği
A . Ek(A) = Ek(A) . A = A . 
Yukarıdaki özeliği, A 

LMad  bc
N 0
OP
Q
LMa bOP
Nc dQ
matrisi için gösterelim:
LM
N
LMa bOP  LM d
Nc dQ Nc
OP LM
Q N
b
ad  bc

a
cd  cd
OP
Q
 ab  ab
 bd  ad
OP
Q
0
1
 (ad  bc)
 bc  ad
0
0
= A . 2 dır..
1
A1 Matrisinin Ek Matris Yardımıyla Bulunuşu
Teorem : A matrisi A  0 olan bir matris olmak üzere,
A 1 
Ek( A)
A
dır..
İspat : A . Ek(A) = A .  eşitliğinin her iki tarafını, soldan A1 ile çarpalım:
1
A
1
1
1
. A . Ek(A) = A . A .   Ek(A) = A .A .   Ek(A) = A . A
A 1 
Ek ( A )
A
dır..
Örnek :
LM1
A  M2
MN4
0
1
1
Çözüm :
A 1 
Ek( A)
det( A)
1 0
det( A)  2  1
4
O hâlde,
1
.   Ek(A) = A . A
A
1
1
2
3
8
OP
PP
Q
matrisinin tersini bulalım.
olduğu için, det(A) yı ve Ek(A) yı
bulalım:
LM
MM
N
2
11
3 = 1  0 olduğundan, A1 vardır. Ek( A )   4
8
6
Ek( A)


det( A)
LM11
MM  4
N 6
2
0
1
OP
P
 1PQ
2
1
olur..
299
2
0
1
OP
PP
Q
2
1 olarak bulunur..
1
LMa bOP
Nc dQ
Sonuç :
matrisinde, det(A) = ad  bc  0 ise; A 1 
Ek( A)
1

det( A) ad  bc
LM d
Nc
LM2 3 OP LMa bOP  LM1 0OP ise, a + b + c + d kaçtır?
N4 5Q Nc dQ N0 1Q
La bOP matrisi A  LM2 3 OP matrisinin tersi olan
Çözüm : A . A =  için, M
Nc dQ
N4 5 Q
1 L 5  3O
L5 / 2 3 / 2OP  LMa bOP
det(A) = 10  12 =  2
A 
 M
M
P
2Q
2 N4
N 2  1 Q Nc dQ
OP
Q
b
dir..
a
Örnek :
1
1
A
dir..
1
5
3

+ 2  1 = 0 dır..
2
2
a+b+c+d= 
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıdaki determinantların değerlerini hesaplayınız.
a.
e.
7
b.
2
1
0
1
1
1
4
0
4
0
2
1
1
1
2
2
1
3
2
4
c.
1
1
2
1
0
1
2
3
4
1
0
2
5
3
6
4
7
0
0
0
0
8
0
9
10
f.
1
999
2
1000
3
1001
1000
1001
1002
d.
g.
1
0
3
1
1
2
4
7
0
0
3
7
3
8
9
5
2. Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
a.
1
x
x
0
9
b.
1
0
1
x1  x
x2
3  3
0
a
b
c
c.
3
0 x
x b 0
c c
d.
x
x
a
x
b
d
c
e
x
x
x
x
x
x
f
x
0
3. Aşağıdaki determinantları açmadan, sıfıra eşit olduklarını gösteriniz.
a.
3
4
304
5
6
506
8
9
809
b.
3
a
3
b
3
c
bc
ac
ab
c.
1
cos x
cos 2x
cos x
cos 2 x
cos 3 x
cos 2x
cos 3 x
cos 4 x
4. Aşağıdaki determinantların açılımlarını yaparak, çarpanlarına ayırınız.
a.
d.
ac
bc
bc
ac
1 a b
a 1 b
a
a
b
b
b.
1
a
a2
1
b
b2
c
2
1
c
c
d
d
1 c d
c 1 d
a
e.
c
bc
c.
b2  c2
2
2
b
ca
c a
c
ab
a 2  b2
300
a
a
a
b
a
b
a
b
a
a
b
b
c
c
c
d
a
f.
a
bc
2
a3
2
ca
2
c 2  a2
b3  c 3
c 3  a3
b c
5.
1
a
a2
a3
1
5
25
125
1
b
2
3b
4
9b
8
27b
2
= 6b (a + x  y) (a  5) ise,
x+y
değeri kaçtır?
6. Aşağıdaki denklemleri çözünüz.
4 cos 2 x
0
1
1
2
3
a.
1
7.
0
11
4
1
6
1  x1
sin 2 x 
x2  x

x
5
3
2x
c.
1
1
1  x2
1
1
1
1
1
1
1
1
1  x3
1
1
 x1 x 2 x 3 x 4
b.
4
x
x
1
3
2
d.
cos x
0
0
sin x
sec x  1
F1  1  1  1  1 I
GH x x x x JK
1
2
3
2x
0 0
4
1
tan x = 0
2
olduğunu gösteriniz.
4
1  x4
8. Aşağıdaki matrislerin varsa, çarpmaya göre ters matrislerini bulunuz.
a.
LM
MM
N
1
A  1
0
0
1
1
OP
PP
Q
0
0
1
b.
B
LM1
MM 1
N1
OP
PP
Q
1
1
1
1
1 1
c.
9. Aşağıdaki matrislerin çarpmaya göre ters matrislerinin varlığını,
inceleyiniz.
LM1 x 10 OP
N 1 1  xQ
L1 2OP olmak üzere,
AM
MN 1 0 PQ
a.
10.
b.
LMx  2
MM 0
N1
1
x3
1
x
C
LM2
MM 1
N0
1
2
4
değerine bağlı olarak
OP
PP
Q
2
4x
3
A = [ a i j ] n x n matrisi için, A i j sayısı a i j elemanının kofaktörü
olduğuna göre, aşağıdaki matrisleri bulunuz.
a.
[A ]
i j n xn
OP
P
1PQ
0
1
b.
[A ]
j i n xn
301
c.
[a ]
i j n xn
. [A ]
j i n xn
TEST 6 • A
LM2y  1
N3 x  y
2
1.
xy
1
OP  L 3
Q MN 7
A)  4
2.
A
3x  5y
1
B)  2
LM1
MN 2
LM1
MN 4
eşitliğinde,
5x + 8y
C)  1
OP
 1PQ
, B
OP
PQ
B)
LM1
MN3
,
LM1
BM 3
MN 4
2
1
0
B)
LM1
MN0
1
3
2
OP
Q
OP
1PQ
3
kaçtır?
D) 2
matrisleri veriliyor.
E) 4
2A  3B
matrisi aşağıdakilerden hangi-
sidir?
LM 1
MN8
5
5
L1
AM
MN3
2
0
LM 1
MN1
4
3
A)
3.
A)
OP
PQ
1
1
OP
PQ
5
10
2
1
OP
PQ
C)
LM1
MN1
OP
PP
Q
ise,
OP
PQ
C)
2
3
OP
PQ
A.B
LM1
N1
4
6
D)
LM 1
MN2
2
3
OP
PQ
E)
LM1
MN 3
1
4
OP
PQ
matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
OP
Q
D)
LM1
MN7
4
3
OP
PQ
E)
LM1
MN7
3
6
OP
PQ
4. A , B , C matrislerinin birbiriyle çarpımları tanımlı ve kR olmak üzere aşağıdakilerden kaç
tanesi kesinlikle doğrudur?
I.
(kA ) . B = A . (kB ) = k (A .B)
IV.
A. B= B.A
II.
A . B = 0 ise, A = 0 veya B = 0 dır.
V.
A . (B . C) = (A . B) . C
III.
A.B =A. C
ise,
A) 1
5.
A
B) 2
LMcos x
MN sin x
OP
cos x PQ
sin x O
P
cos xPQ
 sin xO
P
cos xPQ
 sin x
LM2 sin x
MN2 sin x
Lcos x
D) M
MNsin x
A)
2
6.
LM1
A  M2
MN 3
A)  7
2
1
4
0
OP
P
5 PQ
2
1
C) 3
D) 4
E) 5
matrisi veriliyor. A2 matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
2
2
B = C dir.
LMcos 2x
MNsin 2x
Lsin x
E) M
MNcos x
B)
2
2
OP
cos 2x PQ
 cos xO
P
sin x PQ
 sin 2x
C)
LMcos x
MNsin x
OP
cos x PQ
 sin x
2
2
matrisinin, 3. satır 2. sütununda bulunan elemanının kofaktörü kaçtır?
B)  3
C) 3
D) 5
302
E) 7
7.
LM1
A  M0
MN 1
OP
PP
Q
2
4
3
4
1
2
A) 16
8.
LM2
MN3
matrisinin, 2. satırındaki elemanlarının minörleri toplamı kaçtır?
B) 14
OP
 4 PQ
1
C) 13
D) 12
E) 9
matrisinin her bir elemanının kofaktörünü, bulunduğu satır ve sütundaki yere yazarak
oluşturulan matris aşağıdakilerden hangisidir?
LM 2 1OP
N 3 4 Q
L2 1OP
AM
MN3 4PQ
L 4  3OP
A) M
MN1 2PQ
A)
9.
10.
11.
LM 3
AM4
MN1
B)
LM4
N1
3
2
OP
Q
C)
LM4
N 1
3
2
OP
Q
B)
OP
P
1 PQ
2
0
1
5
3
LM2
MN 4
1
3
OP
PQ
C)
LM4
MN 1
3
2
OP
PQ
D) ( 15 ,  9 , 12)
E) (1 , 10 , 15)
3
4
OP
Q
E)
LM4
N1
3
2
OP
PQ
E)
LM1
MN3
2
4
3
1
OP
Q
D)
LM 4
MN3
1
2
OP
PQ
matrisinin, Ek(A) matrisinin 1. satır elemanları aşağıdakilerden hangisidir?
B) ( 15 , 1 , 10)
LM 2
MN1
LM4
N2
matrisinin ek matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (15 , 1 , 10)
A
D)
OP
6 PQ
0
, B
LM 2
MN 3
1
2
OP
5PQ
3
C) (15 ,  9 , 12)
A . BT = C
matrisleri için,
ise,
C
matrisinin
elemanları toplamı kaçtır?
A) 30
12.
A
LM1
MN0
B) 40
OP
2PQ
1
ve
,
C) 50
D) 60
2. mertebeden birim matris olmak üzere,
E) 80
A2  2A + 2
matrisi için
aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) A
13.
A
B) A + 
LM13
MN 1
OP
 1PQ
 12
C) 2A + 
2
D) 2A  
matrisinin, çarpma işlemine göre
E) A
A1 ters matrisi aşağıdakilerden hangi-
sidir?
A)
LM 1
MN13
OP
12PQ
1
B)
LM  1
MN13
OP
12PQ
1
C)
LM1
MN1
OP
 13PQ
12
303
D)
LM 1
MN12
OP
13 PQ
12
E)
LM1
MN1
OP
 13PQ
 12
14.
A
LM3
MNn
OP
1 PQ
m
, B
LM1OP
MN 2PQ
T
matrisleri için, A . B =
LMn  mOP
N 3 Q
LMmOP
NnQ
ise,
matrisi aşağıdakilerden
hangisidir?
A)
LM 1 OP
MN 4PQ
15. A 
B)
LM1
MN0
OP
1 PQ
2
, B
LM1 OP
MN 4PQ
LM1
MN1
OP
1PQ
1
C)
LM 1 OP
MN 4PQ
D)
12
matrisleri için,
A
4
.B
LM1OP
MN 4PQ
E)
LM0OP
MN0PQ
çarpım matrisinin ikinci satır terimleri
toplamı kaçtır?
A) 8
16.
B) 14
LM2x  1
MN x  4
OP
x  3 PQ
3x
C) 16
D) 18
E) 48
matrisinin çarpma işlemine göre tersini tanımsız yapan x reel sayılarının
toplamı kaçtır?
A) 6
17.
B) 5
LM4
MM 3
N2
2
4
1
0
5
6
OP
PP
Q
18.
LM3
MM
N4
D) 3
E) 2
matrisi veriliyor. Ek(A) matrisinin 3. satır 2. sütun elemanı kaçtır?
A)  8
A 2
C) 4
B)  12
OP
P
1 PQ
LM3
MM
N4
1
5
C) 14
ve
OP
P
 3 PQ
D) 15
E) 20
1 4
B 2
5 3
1
matrisleri veriliyor. A . C = B
eşitliğini sağlayan C
matrisinin üçüncü sütun elemanlarının toplamı kaçtır?
A)  3
19.
A
LM1
MN3
B)  2
OP
1 PQ
1
ise,
A) 224 . 
20.
A
LMa
MNc
24
A
B) 2 24 
OP
dPQ
b
D) 0
E) 1
matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
LM1
MN3
a , b , c , d Z
x , y , z , t Z
A) bd  ac = 1
C)  1
olması için;
OP
0PQ
0
C) 2 24 
LM1 1OP
MN1 1PQ
D) 212 
LM1  1OP
MN3 1PQ
matrisinin çarpma işlemine göre tersi,
a,b,c,d
B) ad + bc = 1
E) 2 24 
A 1 
LMx
MNz
LM1  1OP
MN3 1PQ
OP
t PQ
y
dir..
arasındaki bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?
C) ad  bc = 1
304
D) ac  bd = 1
E) ab + cd = 1
TEST 6 • B
1. A matrisinin transpozesi (devriği) AT ise, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) (AT )T = A
D) (A . B)T = AT . BT
2.
LM4
A  M0
MN 1
(k . A)T = k . AT dir.
B) kR için,
2
1
2
1
3
3
OP
PP
Q
C) (A + B)T = AT + BT
E) A simetrik matris ise, AT = A dır.
matrisinde, 3. satır 3. sütununda bulunan elemanın kofaktörü (eş çarpanı)
kaçtır?
A)  3
3. Z / 5 te
A)
B)  2
A
LM 2
MN1
LM4 2OP
MN 1 2PQ
OP
4 PQ
3
B)
C) 3
D) 4
E) 6
matrisinin çarpmaya göre tersi aşağıdakilerden hangisidir?
LM4
MN2
OP
2PQ
1
C)
LM4
MN3
OP
2PQ
4
D)
LM2
MN4
LM
MN
OP
1 PQ
1
E) 4
3
2
1
OP
PQ
4. A matrisinin çarpmaya göre tersi A1 olmak üzere, aşağıdakilerden hangisi yanlış olabilir?
A) kR için (k . A)1 = k1 . A1 dir.
B) A . A1 = A1 . A = 
E) A 1  A
D) (A . B)1 = B1 . A1
LM2
N1
0
0
L2
A) M
MN 1
0
0
5. A =
n
6. n  N +
OP
Q
C) (A1)T = (AT )1
matrisi veriliyor. n  N + olmak üzere, An matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
L2
B) M
MN2
OP
PQ
n
OP
0 PQ
0
n1
olmak üzere,
C)
LM2
MN0
OP
PQ
n
1
0
A  n = (A  1 ) n dir. Buna göre,
D)
LM2
MN0
LM 3
N4
n
2
3
0
1
OP
PQ
OP
Q
LM2
MN 1
n
E)
matrisi için,
0
1
OP
PQ
A15 matrisi
aşağıdakilerden hangisidir?
LM3 2OP
N 4 3 Q
L2 3OP
AM
MN 1  5PQ
A)
7.
LM2
MN6
L xO
BM P
MNyPQ
B)
,
OP
PQ
1
3
ve C 
C)
LM3OP
MN 5PQ
LM3
N4
OP
 3Q
2
D)
LM3
MN 2
OP
PQ
1
0
E)
LM1
MN 2
B)  2
OP
PQ
matrisleri veriliyor. A . B = C olduğuna göre, x + y
kaçtır?
A)  3
3
4
C)  1
305
D) 1
E) 5
8. A =
A)
LM2
MN 1
OP
 3PQ
0O
P
0PQ
5
LM0
MN0
ve A . B = 
B)
LM5
MN 0
olduğuna göre,
OP
5 PQ
1
C)
LM1
MN1
A + B matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
OP
1PQ
1
D)
LM5
MN 0
OP
 5PQ
0
E)
LM1
MN0
OP
1PQ
0
9. A matrisi, n. mertebeden bir kare matris;  matrisi , n. mertebeden birim matris olmak üzere;
A2  3A +  = 0 ise, A4  A3 + 5 matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2A + 
10. 2
LM2
MM5
N4
B) 15A  3
OP
P
2 PQ
LM
MM
N4
3
8
 1  4A  3 6
A)  5
OP
P
 12PQ
2
2
B)  3

A)  3
OP
4 PQ
3
, B
D) 2
OP
2PQ
1
eşitliğinde,
C) 5
LM7OP
MN 1 PQ
E) 6A + 2
eşitliğindeki A matrisinin tüm elemanları toplamı kaçtır?
LM 1
MN15
B)  2
LM2
MN5
A
D) A + 7
C) 0
11.
12.
C) 13A
E) 8
xR kaçtır?
D) 6
E) 7
matrisleri veriliyor. B + C = A . C eşitliğini sağlayan C matrisi
aşağıdakilerden hangisidir?
A)
LM 2OP
MN1PQ
B)
13. f(x) = 2x2 + 3
LM 3 OP
MN 2 PQ
C)
fonksiyonu ile
A
LM1
MN3
LM1OP
MN 2PQ
D)
OP
PQ
1
0
LM 4OP
MN3PQ
E)
LM1OP
MN 5PQ
matrisi veriliyor. Buna göre,
f (A)
matrisi
aşağıdakilerden hangisidir?
A)
14.
LM 1
MN6
2
3
OP
PQ
B)
LM1
MN 6
1
0
OP
PQ
C)
A matrisi, mxn türünde bir matristir.
LM1
MN 6
2
3
mn
OP
PQ
D)
LM6
MN0
OP
PQ
1
2
E)
LM1
MN6
2
3
OP
PQ
olmak üzere, aşağıdakilerden hangisi doğru-
dur?
2
A) A
T
matrisi, mxn türündedir.
T
C) A . A
matrisi,
B) A + A
T
nxn türündedir.
matrisi,
mxn türündedir.
D) A . A matrisi, nxn türündedir.
E) AT . A = A . AT dir.
306
15.
LM 1
MN1
A
OP
1PQ
1
matrisinin n. kuvveti için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) 2n . A
16.
A
LM4
MN4
B) 22n1 . A
OP
4PQ
4
matrisi için,
A) 3
17.
LM1
MN0
OP
1 PQ
2
17
A n5 
B) 4
LM 5
MN12
A
OP
 5 PQ
x
A)  8
LM1
N1
OP
Q
1
1
LM1
MN0
D) 6
OP
1 PQ
24
E) 2n . AT
olduğuna göre, n kaçtır?
C) 5
matrisi için,
A) 3
18.
n
A  2
B) 4
A
D) 2n1 . A
C) 2n . A
ise, n
C) 5
E) 7
kaçtır?
D) 6
E) 7
matrisi çarpma işlemine göre tersine eşitse,
xR kaçtır?
B)  6
C)  2
D) 6
E) 8
19. A matrisi n. dereceden bir kare matris ve  da n. dereceden birim matristir.
A2  5A + 2 = 0
A)
20.
1
(A  5)
2
LM1
MN1
A
OP
1PQ
1
eşitliği varsa,
B) 2A
A1 ters matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
C)
1
(A + 2)
5
D)
1
(5  A)
2
E)
1
(A2  5A)
5
olduğuna göre, S = A + A2 + A3 + ... + An matrisi için aşağıdakilerden hangisi
doğrudur?
n
A) 2 A
n1
B) 2
A
n+1
C) 2
A
307
n
D) (2  1) A
E) n A
TEST 6 • C
1.
1
111
11
1111
determinantının değeri kaçtır?
A) 11
2.
B) 10
a b
2a 0

b a
1 b
x
A) (a  b)2
3.
x
3
0
2
x
4
4
x
x
1
2
x
0 
x
x
2
C) (a + b)2
denkleminde,
x
2x
0  0
4
A) { 4 , 1}
E)  111
D) a2 + b2
x
sayısı kaçtır?
C)  1
D) 2
E) a2  b2
E) 5
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
B) { 6 , 4}
2 sin x  1
D)  110
x  a2  b2 ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
B)  3
1
3
2
5.
ise,
B)  2ab
A)  5
4.
C)  11
7
C) {6}
D) { 4 , 6}
E) { 2 , 3}
8
0
cos 2x  1
0
0
denklemini sağlayan kaç tane
9  0
x  [0 , 360)
1
vardır?
A) 4
6.
0
3
1
2
4
2
A)
7.
B) 5
8.
1
 4
log8 6
B)
0
y
3x  3 y
3y
x
A) 15
2a
 2a
a
A)  3
denklemini sağlayan
2
3
C) 2
determinantının
B) 75
a
 3a
a
D) 7
E) 8
log4 x
1
3
x
y
3x
C) 6
a
2a  40
a
B)  2
3
3
xy=5
C) 375
ise,
a
x
değeri kaçtır?
D)
8
3
E)
11
3
için değeri kaçtır?
D)  15
E)  375
D) 3
E) 4
kaçtır?
C) 2
308
sayısı
9.
x
2
y
0
4
a
b
ve
x
0
y
determinantları ile verilen doğrular birbirine dik ise,
a
b
kaçtır?
A)  2
B) 2
1
2
10.
x
z
y
t
x  yz
xy  yt
2
x  2y
A) 0
11.
1997
1998
1999
1998 1999
1999 2000
2000 2001
a
a2
1
b
b2
c
2
1
13.
c
1
2
C) (1  a  b  c) (a + b + c)
2x 2
2x 2  0
2x
A) { 3 , 0}
n
2
8
E) 0
determinantının değeri aşağıdakilerden hangisidir?
E) (a a2) (b  b2) (c  c2)
x2
E) 1
D) 1997 . 1998 . 1999
D) abc
2
14.
C) 1999
B) (a  b) (b  c) (c  a)
x2
E)  1
D) x2 + yz + ty
C) x + 2y + zt
A) (a  b) (a  c)
x2
1
2
determinantının değeri kaçtır?
B) 1998
1
D)
determinantının değeri aşağıdakilerden hangisidir?
B) x + y + z
A) 1997
12.
C) 1
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
2
B) { 3}
m
k
2  6  4p
0
2
C) {0}
olmak üzere,
D) {3}
n2
1
4
m2
1
0
k2
3
1
E) {0 , 3}
determinantının değeri aşağı-
dakilerden hangisidir?
A) p + 12
2
15. ax + bx + c = 0
B) 4p  12
ve
2
C) 4p + 28
ex + fx + g = 0
D) p + 28
E) 28  p
denkleminin kökleri aynı ise,
1
3
4
e1
f3
g 4
determinantının değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) a + b + c
B) e + f +g
C) a + b + c + e + f + g
309
D) 0
E) 1
a1
b3
c4
16.
x
ay
a
x
by
3
ab
x
cy
2
= (a  b) (b  c) (a  c) ise,
ac
A)  2
B)  1
17. A = [ a ]
i j 4 x4
a.x.y
değeri aşağıdakilerden hangisidir?
2
matrisi,
D) b2
C) 0
a ij 
RS j  i ,
Ti j ,
ij
ise
ji
ise
E) c2
şeklinde tanımlıdır. Buna göre, A deter-
minantının değeri kaçtır?
a) 12
18.
B)  4
a2 x
abx2
ax3
ac
bcy
cy 2
a3 z
a 2bz2
a 2 z3
19.  +  = 
ise,
A) 1
D) 0
E) 4
det er min antı ile
x, y,z
birbirinden farklı sayılar olmak
1
üzere, k 
bx   2 ve cz  3 ise,
( x  z) ( z  y) ( y  x)
k.det(A) ifadesi
B)  2a3
A) a
20.
C)  2
C)  3a2
sin 2 
cos 2 
sin 2 
cos 2 
B) sin2
aşağıdakilerden hangisidir?
D)  6a4
E) 6a4
determinantının değeri aşağıdakilerden hangisidir?
C) cos2
D) cos2  sin2
E) 0
a
b
0
x
x
b  0 , c  0 olmak üzere, denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangi-
c
c
c
sidir?
A) {a}
B) {b}
C) {a , b}
310
D) {b , c}
E) {a , b , c}