ve Q(x) polinom fonksiyonu olmak üzere fonksiyonunun paydasını

DİZİLER YARDIMIYLA LİMİT
EPSİLON TEKNİĞİ İLE LİMİT
SOLDAN VE SAĞDAN LİMİT
ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN
LİMİTLERİ
SONSUZ İÇİN LİMİT
SONSUZ LİMİT
FONKSİYONLARIN LİMİTİ İLE İLGİLİ
TEOREMLER
LİMİTTE BELİRSİZLİK DURUMLARI
ÇÖZÜMLÜ TEST
DİZİLER YARDIMIYLA LİMİT
GÖRÜNTÜLER DİZİSİ
Tanım: A  R olmak üzere, f : A  R fonksiyonu verilmiş
olsun. Terimleri A kümesinin elemanı olan bir (x n ) dizisi için
(f(x n )) dizisine; (x n ) dizisinin f fonksiyonuna göre görüntü
dizisi denir.
(x n )  (x1 , x 2 , x 3 ,...., x n ,....) dizisi için, (f(x n )) görüntü dizisi;
(f(x n ))  (f(x 1 ), f(x 2 ), f(x 3 ),.....f(x n ),....)
dir.
BİR FONKSİYONUNUN LİMİTİ
ANA MENÜ
ÖRNEK
ÖRNEK:
 1
(x n )  1   dizisi ve f(x)=2x+3 fonksiyonu veriliyor:
 n
a) (x n ) dizisinin limitini bulalım. (lim n  (x n ))
b) (f(x n )) görüntüler dizisini bulalım.
c) (f(x n )) görüntüler dizisinin limitini bulalım.
(lim n  (x n ))
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM:
a)
 1
lim n  (x n )  lim n  1    1 dir.
 n
  1  
2
b) (f(x n ))  (2(x n )  3)   21    3    5  
n
  n  
bulunur.
2

c) lim n  (f(x n ))  lim n   5    5 bulunur.
n

BİR FONKSİYONUNUN LİMİTİ
Tanım: A  R, a  R, L  R olmak üzere, f : A  R ya da
f : A - a  R fonksiyonu verilmiş olsun. Terimleri A - a
kümesinde bulunan ve a’ya yakınsayan her (x n ) dizisi için,
(f(x n )) dizileri bir L sayısına yakınsıyorsa; x, a’ya giderken
f(x)’in limiti L’dir, denir ve (lim x a f(x)  L biçiminde
gösterilir.
Limitin Olmaması:
Terimleri A - a kümesine ait ve a’ya yakınsayan en az iki
,
,
(x
)
(x
)
x a
ve n dizileri
için
ise
için
(
lim
f(x
)

(
lim
f(x
n
n
n)
f fonksiyonunu limiti yoktur.
ÖRNEK:
f : R  R, f(x)  3x - 4
fonksiyonunun x 1
limitini bulunuz.
için
ÇÖZÜM
ANA MENÜ
ÇÖZÜM:
Terimleri 1’den farklı ve 1’e yakınsayan iki dizi seçelim.
 1 ,
 1
(x n )  1  , (x n )  1   dizilerinin f fonksiyonu ile
 n
 n
elde edilen görüntü dizilerinin limitlerini alalım.
  1 
  1 
,
(f(x n ))   31    4   1, (f(x n ))   31    4   1
  n 
  n 
O halde, limiti 1 olan her (x n ) dizisi için,
(f(x n ))  (3x n  4)  3  4  1
EPSİLON TEKNİĞİ İLE LİMİT
Tanım: A  R, f : A  R bir fonksiyon a  R, L  R,   R
olmak üzere x - a    f(x) - L   önermesine uyan
a

bağlı   R varsa x, a’ya yakınsarken f’nin limiti L’dir
denir ve (lim x a f(x)  L biçiminde yazılır.


ÖRNEK
Tanımı aşağıdaki şekiller üzerinde inceleyiniz.
y=f(x)
y=f(x)
L
L
L 
0
L
f(x)
f(x)
L
L 
a -
a
a 
0
y=f(x)
f(a)
L
f(x)
f(x)
f(x)
L
L 
a -
ANA MENÜ
a
a 
0
f(x)
a -
a
a 
ÖRNEK:
f : R  R , f(x)  2x - 1 fonksiyonu veriliyor.
lim x 2f(x)  3
olduğunu epsilon yöntemiyle gösterelim.
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM:
  0 için X - 2    f x   3   önermesine uyan
  0 bulmalıyız.
X-2 
   x - 2  
 -2  2x - 4  2
 2  2x -1- 3  2
 -2  f(x) - 3  2
 f x   3  2


O halde  
alınabilir.   0 İçin,    0
2
2
olduğundan tanıma göre lim x 2 f(x)  3 olur.
SOLDAN VE SAĞDAN LİMİT
f : R  Rya da f : R - a  R şeklinde tanımlı f
fonksiyonunda:
Tanım1: x değerleri a dan küçük değerlerle artarak(soldan)a
ya yaklaşırken, f(x) ler de bir L1reel sayısına,f
fonksiyonunun a noktasındaki soldan limiti denir ve
lim x a -f(x)  L1 biçiminde gösterilir.
Tanım2:x değerleri a dan büyük değerlerle azalarak
(sağdan) a ya yaklaşırken f(x) ler de bir L 2reel sayısına
yaklaşıyorsa; L 2 reel sayısına, f fonksiyonunun a
noktasındaki sağdan limiti denir ve lim xa   L 2
biçiminde gösterilir.
1.x  a yazılışı x lerin a ya soldan yaklaştığını gösterir.yani
daima x<a dır.

x

a
2.
yazılışı x lerin a ya sağdan yaklaştığını
gösterir.yani daima x>a dır.
-
ANA MENÜ
Şekildeki grafiklerde , x in a ya soldan ve sağdan yaklaşması
durumunda soldan ve sağdan limitleri görülmektedir.
y
y
L1
L2
a
X
X
a
Sonuçlar:lim x a -f(x)  L1 ve lim xa   L 2
1. L1  L2  L  R ise, lim x a f(x)  L
2.
L1  L2
ise lim xa f(x) yoktur.
dir.
için;
Aralığının uç noktalarındaki limiti
f : a, b  R, y  f x  fonksiyonunun tanım aralığının uç
noktalarındaki limiti araştırılırken:
1.a noktasındaki limit sadece sağdan limitle belirlenir.
lim x a f x   lim xa  f x   P  f a 
2.b noktasındaki limit, sadece soldan limitle belirlenir.
lim x b f x   lim x b f x   K  f b 
y
K=f(b)
y=f(x)
P=f(a)
x
a
0
b
f : a, b  R, y  f x  fonksiyonunun tanım aralığının
uç noktalarındaki limiti araştırılırken:
1.a noktasındaki limit,sadece sağdan limitle belirlenir.
lim x a f x   lim x a  f x   P
dir.f(a) tanımsızdır.
2.b noktasındaki limit sadece soldan limitle belirlenir.
lim x b f x   lim x b f x   K dir. f(b) tanımsızdır.
y
K
y=f(x)
P
x
a
0
b
ÖRNEK
ÖRNEK:
R  R, y  f x 
fonksiyonunun grafiği aşağıda
verilmiştir. x in –1,1 ve 2 değerleri için fonksiyonun limitinin
olup olmadığını araştırınız.
y
ÇÖZÜM
y=f(x)
3
2
1
-1
1
2
x
ÇÖZÜM:
a. lim
f x   2
x 1

lim x 1 f x   lim x1 f x   2
b. lim x 1 f x   1

lim x 1 f x   lim x 1 f x   1

lim x 2 f x   lim x 2 f x 
lim x 1 f x   2
lim x 1 f x   1
c. lim x 2 f x   3
lim x 2 f x   0
olduğundan
lim x2 f x  yoktur.
ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ
1. PARÇALI FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ
2. MUTLAK DEĞERLİ FONKSİYONLARIN
LİMİTLERİ
3. İŞARET FONKSİYONUNUN LİMİTİ
4. TAM KISIM FONKSİYONUN LİMİTİ
ANA MENÜ
PARÇALI FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ
gx , x  a ise
f x   
h x , x  a ise fonksiyonu verilsin.
Kritik noktada,yani koşuldaki x  a değerinde limit
sorulursa,soldan ve sağdan limit incelenir.
lim x a  f x   lim x a  gx   L1 
 L1ve L2 ye göre cevaplama
lim x a  f x   lim x a  h x   L 2 
yapılır.
Kritik nokta dışında limit sorulursa o noktadaki fonksiyon
dalı belirlenir. O dalın durumuna göre çalışma yapılır.
x1  a için lim x x f x  lim x x g x
1
x2  a
için
lim x x 2
 
 
f x   lim xx h x 
1
2
ÖRNEK
ÖRNEK:
f : R  
1 R
 x  1, x  1 ise
f x   
ise
x  1, x  1
Fonksiyonunun x=1, x=-2 ve x=2 noktalarındaki limiti
bulalım.
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM:
lim x 1 f x   lim x 1  x  1  0
 olduğundan
lim x 1 f x   lim x 1 x  1  0 
lim x1 f x   0 dır.
lim x 2 f x   lim x 2  x  1  3
 olduğundan
lim x 2 f x   lim x 2  x  1  3
lim
f x   3 tür.
x 2
lim x 2 f x   lim x 2 x  1  1

lim x 2 f x   lim x 2 x  1  1
olduğundan
lim x2 f x   1 dir.
MUTLAK DEĞERLİ FONKSİYONLARIN LİMİTİ
f : R  R, lim xa f x  in bulunuşunda:
x=a noktası kritik nokta f a   0 ise, soldan ve
sağdan limit incelenmelidir.
Limit sorulan nokta kritik nokta değilse,
limit değeri ile görüntü olacağından
f a   0
lim xa f x   f a  dır.
ÖRNEK:
f : R   2,2  R , f x  
x 4
2
2 x
fonksiyonunun;
x =-2, x =0, x =2 ve x =4 noktalarında limitinin olup
olmadığını araştıralım.
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM: f(x) fonksiyonunu tablo yardımıyla parçalı fonksiyon
şeklinde yazalım
0

x 
-2
2
x2  4
+
+
x
+
+
f x 
x2  4
4  x2
 x2
 x  2
2x
2x
x2  4
4  x2
 x  2
 x  2
2x
2x
ise
x  2, x  2
 x  2,2  x  0 ise

f x   
ise
x  2,0  x  2

ise
 x  2, x  2
a. lim x 2 f x   lim x 2 x  2  4 
 lim x2 f x  yoktur.
lim x 2 f x   lim x 2  x  2   4
b. lim x 0 f x   lim x 0  x  2  2

 lim x0 f x   2 dir.
lim x 0 f x   lim x 0 x  2  2 

c. lim x 2 f x   lim x 2 x  2  4 
 lim x2 f x  yoktur.
lim x 2 f x   lim x 2  x  2   4
x2  4
12
d. lim x 4
 f 4 
 6 bulunur.
2 x
2
İŞARET (sgn) FONKSİYONUNUN LİMİTİ
f : R  R, lim xa sgn f x  nın bulunuşunda:
1. x=a noktası kritik nokta f(a)=0 ise, bu noktalarda soldan
ve sağdan limit incelenmelidir.
lim x a  sgn f x   L1 ve lim x a  sgn f x   L 2 olsun
Eğer L1  L2 ise
lim xa sgn f x   L1  L2 dir.
Eğer L1  L2 ise lim xa sgn f x 
yoktur.
2. Limiti sorulan nokta kritik nokta değilse f a   0
Limit değeri ile görüntü değeri eşit olacağından,
lim xa sgn f x   sgn f a  dır.
ÖRNEK
ÖRNEK:


f : R  R, f x   sgn x  3 fonksiyonunun, x =3 ve x =2
2
noktalarındaki limitinin olup olmadığını araştıralım.
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM:
lim x 3 f x   lim x 3 1  1
 olduğundan, lim x3 f x   1
lim x 3 f x   lim x 3 1  1
lim x2 f x   f 2  lim x2 sgn x  3  1 dir.
2
y
1
0
1
2
3
x
TAM KISIM FONKSİYONUN LİMİTİ
f : R  R, lim xa f x  ın bulunuşunda:
x  a için f a  Z ise, soldan ve sağdan limit incelenir.
Soldan limit incelenirken, x<a yani h    0olmak üzere,
x  a  h yazabiliriz.Sonra h  0 için limitini alabiliriz.
lim xa  f x   lim h0 f a  h   L1
Sağdan limit incelenirken x  aolduğundan,yani
olmak üzere x  a  h yazabiliriz.
Sonra h  0 için limitini alabiliriz.
h 0
lim xa  f x   lim h0 f a  h   L2
Eğer L1  L2  L  lim xa f x   L dir.
Eğer
L1  L2  lim xa f x 
yoktur.
x  a için f a  Z ise, limit değeri ile görüntü değeri eşit
olacağından; lim xa f x   f a  dir.
ÖRNEK
ÖRNEK:
f x   2x  1 fonksiyonunun x  1 ve x  3
2
5
noktalarında limitlerinin olup olmadığını inceleyelim.
ÇÖZÜM
1
1
2
x

1

  1  0  Z
ÇÖZÜM: a. x 
için,
2
2
olduğundan fonksiyonun soldan ve sağdan limitini inceleyelim.
1
Soldan limit incelerken, x 
olduğundan, yani h    0 olmak
2
1
üzere x   h yazalım ve h  0 için limitini alalım.

lim  1  f x   lim h0 
x  

2 
2
1
 
2  h   1  lim h0  1  2h  1  0  1  1
2
 
Sağdan limit incelenirken, x  1 olduğundan, yani
h 0
2
1
Olmak üzere, x 
yazalım ve h  0 için limitini alalım.
2h
 1


lim  1  f x   lim h0  2  h   1  lim h0  1  2h  1  1  1  0
x  
 
 2
2 
1
x  noktasında soldan ve sağdan limitler farklı olduğundan;
2
lim 1 f x 
yoktur.
x
2
1
3
b.
için, 2x  1  2   1   Z
5
5
değeri ile görüntü değeri eşit olur.
3
x
5
O halde,
3


lim 3 f x  f   
x
5
5
olduğundan, limit
6
3
2   1 
1  1 1  0
5
5
SONSUZ İÇİN LİMİT
bir fonksiyon olsun.Terimleri x 0 , 
aralığında bulunan ve   a ıraksayan her x n  dizisi
için, lim n f x n   L ise; x   için, f nin limiti L
dir denir ve lim n f x   L biçiminde gösterilir.
f : x 0 ,  R
Aynı şekilde f :  , x 0   R bir fonksiyon olsun.
Terimleri  , x 0  aralığında bulunan ve   a ıraksayan
x n   K
lim n f ise;
her
dizisi
x n için
x  
için, f nin limiti K dır, denir ve lim n f x   K biçiminde
gösterilir.
ÖRNEK
ANA MENÜ
ÖRNEK:
1
 , x  0 ise
f : R  R , f x    x

3, x  0 ise
a.
lim x f x 
b.
fonksiyonu veriliyor.
lim x f x 
ifadelerinin eşitini bulalım.
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM:
a. x n  dizisi için,
lim x n   
olsun.
 1 
1


lim x f x   lim n f x n   lim n   
 0 dır.
 xn   
b.
x n 
dizisi için, lim x n    olsun.
 1 
1
lim x f x   lim n f x n   lim n   
0
 xn   
dır.
SONSUZ LİMİT
A  R ve a  A olmak üzere, f : A  R ya da
fonksiyonu için , terimleri; A  a kümesine
ait ve a sayısına yakınsayan x n  dizisi için, x n  0 :
1. f x    ise, lim xa f x   
f : A  a  R
n
2. f x n    ise,
y
a
0
lim xa f x   
x
ANA MENÜ
dur.
Px 
P(x) ve Q(x) polinom fonksiyonu olmak üzeref x  
fonksiyonunun paydasını sıfır yapan x değerlerinde Qx 
limit sorulursa, soldan ve sağdan limit incelemesi yapılmalıdır.
ÖRNEK:
lim x 3
 3x  1
x 3
değerini bulalım.
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM:
 33  h   1
 8  3h
  3x  1 
lim x 3 
 lim h 0
 
  lim h 0
3 h 3
h
 x 3 
 33  h   1
 8  3h
  3x  1 
lim x 3 
 lim h 0
 
  lim h 0
3 h 3
h
 x 3 
x=3 noktasında soldan ve sağdan limitler farklı olduğundan,
lim x 3
 3x  1
x 3
yoktur.
FONKSİYONLARIN LİMİTİ İLE İLGİLİ
TEOREMLER
Teorem: A  R, a  A, b, c  Rolmak üzere,A  R ye
ya da A  a  R ye tanımlı f ve g fonksiyonları için;
lim x a f x   b ve lim x a gx   c ise,
1. lim x a f x   gx   b  c
2.
lim x a f x .gx   lim x a f x .lim x a gx   b.c
 f x   lim x a f x  b
 
3. lim x a 
 lim x a gx   0
 gx   lim x a gx  c
4.
lim x a n f x   n lim x a f x   n b
ANA MENÜ
ÖRNEK
gx   x 2  1 fonksiyonları veriliyor:
ÖRNEK : f x   2x  1
3 gx 
a. lim
b.


lim
2.f
x





3.f
x
x 1
x2

 f x  
c. lim x 2 
değerlerini gösteriniz.
 gx  



ÇÖZÜM
ÇÖZÜM 1.
a.
lim x 2 3.2x  1  3.lim x 2 2x  1  3.5  15
b.
lim x 1 22x  1  3 x 2  1  lim x 1 22x  1  lim x 1 3 x 2  1


 2  0  2
2x  1   lim x 2 2x  1  3

c. lim x 2 
 
  
2
2
 x  1   lim x2 x  1  5


LİMİTTE BELİRSİZLİK DURUMLARI
0
1. BELİRSİZLİĞİ
0
2.TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ
3.


BELİRSİZLİĞİ:
4.   
5. 0.
BELİRSİZLİĞİ
BELİRSİZLİĞİ
ANA MENÜ
LİMİTTE BELİRSİZLİK DURUMLARI
0 
, ,   , ve 0. belirsizliklerini
Bu bölümde
inceleyeceğiz.
0 
0 BELİRSİZLİĞİ
0
f x  lim x a f x 
lim x a

limiti hesaplanırken; lim x a f x   lim x a gx   0
gx  lim x a gx 
0
ise belirsizliği oluşur.Bu durumda; f x  ve g x ifadeleri x  a 

0
çarpanına sahiptir.Yani f x   x  a f1 x  ve gx   x  a g1 x 
x  a .f1 x   lim f1 x 
f x 
lim

lim
olacağından,
olur.
x a
x a
x a








x  a .g1 x
g1 x
0 gx
Bu limitte yine
belirsizliği varsa, aynı işlemler tekrarlanır.
0
ÖRNEK:
lim x 2
x 2  4x  4
x 2  5x  6
değerini bulunuz.
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM:
x 2  4x  4 2 2  4.2  4 4  8  4 0
lim x 2 2
 2


x  5x  6 2  5.2  6 4  10  6 0
2
(x  2)
x2
 lim x 2
 lim x 2
0
(x  2).(x  3)
x 3
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ
Sinüs ve cosinüs fonksiyonları her noktada süreklidir.
a  R olmak üzere,
lim x a sinx  sina, lim x a cosx  cosa dır.
sinx
olduğundan, tanjant fonksiyonu cosx  0 için
tanx 
cosx süreksizdir. lim
tanx  tana
x a
cosx
cotx 
sinx
ÖRNEK:
olduğundan, cotanjant fonksiyonu sinx  0 için
süreksizdir. lim x a cotx  cota
lim x3
9  x2
?
tan( 3  x)
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM:
9  x2
0
B.H
lim x 3

tan( 3  x) 0
(3  x)(3  x)
3 x
lim x 3
 lim x 3
. lim x 3 (3  x) 
tan( 3  x)
tan( 3  x)
1.6  6
 BELİRSİZLİĞİ:

f x 
ise, lim x  
gx 
   
limitinin hesabında;
belirsizliklerinden
,
,
,
lim x   f x     ve lim x   gx   
   

biri ile karşılaşılır.Bu durumdaki belirsizlik
belirsizliğidir.

Bu belirsizliği yok etmek için, pay ve payda en yüksek dereceli x
parantezine alınıp kısaltmalar yapılarak limit hesabına geçilir.
ÖRNEK:
lim x 
x 4  5x
2  x3
değerini hesaplayalım.
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM:
lim x 
x 4  5x     5.    


3
3
2x

2    
lim x 
5 

x 4 1  3 
 x 

3 2
x  3  1
x

4
x 4  5x
 lim x 
3
2x
 lim x 
belirsizliği vardır.
5 

x 1  3 
 x     1  0      

0  1
1
 2

 3  1
x


BELİRSİZLİĞİ
lim xa f x   gx      veya lim x  f x   gx     
belirsizliği genellikle; 0 yada  belirsizliklerinden birine

0
dönüştürülür.
ÖRNEK:
1 
 2
lim x 1  2 

 x 1 x 1 
değerini hesaplayalım.
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM:
1 
2
1
2 1
 2
lim x 1  2


   
 2
 x 1 x 1  1 1 1 1 0 0
B.H
 2  x 1 

 0
1 
1 x
 2
  lim x1 
 
lim x 1  2

  lim x1 
 x 1 x 1 
 x  1x  1 
 x  1x  1  0
belirsizliğine dönüşür.


1 x
1
1


lim x 1 
 lim x 1


x 1
2
 x  1x  1 
bulunur.
0.
BELİRSİZLİĞİ
lim x a f x .gx   0.
veya
lim x   f x .gx   0.
belirsizliğinin oluşması durumunda;
lim x a f x .gx   lim x a
f x  0

1
0
gx 
lim x a f x .gx   lim x a
gx  

1

f x 
ya da
biçimine
dönüştürülerek limit
hesaplanır.
ÖRNEK:
lim x 
1
3x  1
x4
değerini hesaplayalım.
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM:
1
lim x  3x  1
 0. belirsizliği vardır.
x4
lim x 
3x  1 

x4 
belirsizliğine dönüşür.
lim x 
3x  1
3
x4
bulunur.
ÇÖZÜMLÜ TEST
SORU 1.


f x   sgn x 2  3x  4  x 2  2 dir.
ÇÖZÜM
lim x 4  f x  in değeri nedir?
SORU 2.
f x   2x  7
lim x 2 f x 
SORU 3.
SORU 4.
dir.
ÇÖZÜM
in değeri nedir?
f x   x 2  4x  4
dür.
x  2 için limit değeri ne olabilir?
ÇÖZÜM
lim x 3
ÇÖZÜM
sgn 9  x 2  ın değeri nedir?
2
x 9
SORU 5. f x   2x 3  3x 2  4x  2 ise,
ÇÖZÜM
lim x  f x  ve lim x  f x  in değeri nedir?
ANA MENÜ
sin 2  x 
SORU 6. lim
nedir?
x 2
2
ÇÖZÜM
x 4
x 2  3x  5
1 x3
değerini hesaplayalım.
ÇÖZÜM
SORU 8.
1 
 1
lim x 0 


 tanx sinx 
değerini hesaplayalım.
ÇÖZÜM
SORU 9.
4
x
lim x   .sin 
x
2
SORU 7.
SORU 10.
lim x 
lim x 1
değerini hesaplayalım.
x  3  2.sgn x  1  x
x2
ANA MENÜ
ÇÖZÜM
limitini bulunuz.
ÇÖZÜM
SORU 11.
SORU 12.
lim x 2
2x  x  2
x2
lim x 2 x  2x  3
sin 2 x  sin 2a
?
2
2
x a
SORU 13.
lim x a
SORU 14.
 2x  1
lim x -
?
3x  2
SORU 15.
3x  5
lim x 3
?
2
(x  3)
ANA MENÜ
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM 1
x
x 2  3x - 4

-1
+

4
-
+
x 2  3x - 4  0
sgn(x 2  3x - 4)  -1
lim x 4- f(x)  1  16  2  17
ÇÖZÜM 2
1.Yol
x  2   x  2  2x  4  2x  7  4  7
 2x  7  3  2x  7  4
lim x 2- 2x  7  4
2. Yol
h  0  lim x 2- f(x)  lim h 0 f(2  h)
lim x 2- 2x  7  lim h 0 2(2 - h) - 7  lim h 0  2h  3
lim h 0 - 2h  3  1  3  4
ÇÖZÜM 3
f(x)  x 2  4x  4  (x  2) 2
lim x 2 f(x)  lim h 0 f(2  h)  lim h 0 (2  h  2) 2  h 2  0
lim x 2 f(x)  lim h 0 f(2  h)  lim h 0 (2  h  2) 2  h 2  0
lim x 2 f(x)  0
ÇÖZÜM 4
x  3  x  3  x  4
x 2  9   x 2  9  9  x 2  0 ve sgn(9 - x 2 )  1
Buna göre
lim x -3-
sgn(9  x 2 )
x 9
2
1
1
1



2
(4)  9 16  9 7
ÇÖZÜM 5
3 4
2
f(x)  x (2   2  3 )
x x
x
3 4 2
x   için , 2 , 3 ifadeleri 0’a yaklaştığından
x x x
lim x  f(x)  lim x  (2x 3 )  2()3  
3
lim x  f(x)  lim x  (2x )  2()  
3
3
ÇÖZÜM 6
x  2 için (2  x)  0 olduğundan
sin(2  x)
lim x 2
 1 dir. Buna göre
2x
sin(2  x)
sin(2  x)
lim x 2
 lim x 2

2
x 4
(x  2).(x  2)
sin(2  x)  1
1
1
lim x 2
.
 1.

2x
x2
22
4
ÇÖZÜM 7
lim x 
x 2  3x  5 

3
1 x

belirsizliği vardır.
 3 5
x 1   2 
 x x 

3 1
x  3  1
x

2
lim x 
x 2  3x  5
 lim x 
3
1 x
 3 5
1   2 
x x 

lim x 
0
1 
x  3  1
x

ÇÖZÜM 8
1 
 1
lim x 0 

  
 tanx sinx 
B.H
1 
 1
 cosx  1  0
lim x 0 

  lim x 0 

 tanx sinx 
 sinx  0
2 x
1  2sin
1
cosx

1


2
lim x 0 

  lim x 0
x
x
 sinx 
2sin .cos
2
2
x
 sin
0
2
lim x 0
 0
x
1
cos
2
belirsizliğine
dönüştürülür.
ÇÖZÜM 9
4 
4
x
lim x   .sin  
.sin
 .sin0  0.
x
2

2
4
sin
0
x
lim x 

belirsizliğine dönüşür.
2
0
x
x  
lim x 
için,
belirsizliği
vardır.
1
 0 olduğundan;
x
4
4
sin
sin
x  lim
x .2  1.2  2
1
0
2
4
x
x
x
bulunur.
ÇÖZÜM 10
lim x 1
lim h 0
lim h 0
x  3  2.sgn x  1  x
x2

1  h  3  2.sgn 1  h  1  1  h 
1 h  2
 2  h  2.sgn  h   1  h
1 h

2  2 1

 1
1
bulunur.
ÇÖZÜM 11
2x  x  2
lim x 2
x2
lim x 2
lim h 0
lim h 0
2x  x  2
x2

 lim h 0
4  2h  2  h  2
h
422
0
h
22  h   2  h  2
 lim h 0
2h 2
422

h
ÇÖZÜM 12
lim x 2 x  2x  3  lim x 2  x  2x  3
lim x 2  x  2x  3  lim h 0  2  h  4  2h  3 
1 3  3  1
lim x 2  x  2x  3  lim h 0  2  h  4  2h  3 
2 43 1
lim x 2 x  2x  3  1
ÇÖZÜM 13
sin 2 x  sin 2 a 0
lim x a
 BH
2
2
x a
0
(sinx  sina)(sinx  sina)
lim x a

(x  a)(x  a)
sinx  sina
sinx  sina
lim x a
.lim x a

x a
xa
xa
x a
2.cos
.sin
 sina  sina 
2
2
lim x a
.

x a
2a


1 2sina
1
2.cosa

sin2a
2 2a
2a
ÇÖZÜM 14
x   iken 3x  2  0
olduğundan
3x  2  3x  2
lim x 
 2x  1
 2x  1
 lim x 

3x  2
 3x  2
lim x 
1

x  2  
x  20 2



2  30 3

 x 3  
x

ÇÖZÜM 15
 3x  5 
3(3  h)  5
  lim h 0
lim x 3 

2 
2
(3  h  3)
 (x  3) 
4  3h
lim h 0
 
2
h
 3x  5 
3(3  h)  5
  lim h 0
lim x 3 

2 
2
(3  h  3)
 (x  3) 
4  3h
lim h 0
 
2
h
3x  5
lim x 3
 
2
(x  3)