STATİK

advertisement
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Statik Ders Notları Sınav Soru ve Çözümleri Behcet DAĞHAN
MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ
STATİK
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ
STATİK
İÇİNDEKİLER
1. GİRİŞ
- Skalerler ve Vektörler
- Newton Kanunları
2. KUVVET SİSTEMLERİ
- İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri
- Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri
3. DENGE
- Düzlemde Denge
- Üç Boyutta Denge
4. YAPILAR
- Düzlem Kafes Sistemler
- Çerçeveler ve Makinalar
5. SÜRTÜNME
6. KÜTLE MERKEZLERİ ve GEOMETRİK MERKEZLER
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
2
Behcet DAĞHAN
STATİK
KUVVET SİSTEMLERİ
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
2.1
Behcet DAĞHAN
STATİK
İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri
www.makina.selcuk.edu.tr
Kuvvet Sistemleri
Statik
2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Kuvvet, bir cismin diğer bir cisme yaptığı mekanik etkidir.
1
Behcet DAĞHAN
Kuvvet, vektörel bir büyüklüktür.
F
Statik dersindeki kuvvet vektörü kayan vektördür. Dolayısı ile belirli bir tesir çizgisi vardır.
Kuvvet vektörü, kendi tesir çizgisi üzerinde kaydırılırsa incelenen sisteme etki eden dış kuvvetler değişmez.
A
Fakat sistemin iç kuvvetleri değişir.
B
C
D
Statik dersinde sadece dış kuvvetler göz önüne alındığı için bunun bir önemi yoktur.
F kuvveti, tesir çizgisi üzerinde kaydırılırsa
kafes sisteme etki eden dış kuvvetler değişmez.
Fakat kafes sistemi oluşturan
parçalara gelen kuvvetler değişir.
Dış kuvvet, incelenen sisteme onun dışındaki sistemler tarafından uygulanan kuvvettir.
İç kuvvet, incelenen sistemi oluşturan parçaların birbirine uyguladığı kuvvettir.
F
CD
C
CD
CD BD
D
D
BD
D
BD
A
A
Bir sistemin tamamı için iç kuvvet olan bir kuvvet,
o sistemin bir parçası için dış kuvvet olabilir.
Mesela, kafes sistemi parçalara ayırıp incelerken,
sistemin tamamı için iç kuvvet olan kuvvetler,
sistemin parçaları için dış kuvvet olurlar.
Behcet DAĞHAN
B
B
F
F, A ve B kuvvetleri,
kafes sistemin tamamı için
sisteme dışarıdan uygulanan
kuvvet olduklarından dolayı
dış kuvvetlerdir.
B
Tesir
çizgisi
İncelenen bir sistemin parçalarının birbirlerine uyguladığı iç kuvvetler,
birbirlerini dengelediği için göz önüne alınmazlar.
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Kuvvet Sistemleri
Statik
2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Etki kuvveti →
2
Behcet DAĞHAN
W
Uygulamadaki kuvvetler genellikle yayılı kuvvettir.
m
İşlem yaparken onların yerine geçen tekil kuvvetler kullanılır.
→ Yayılı kuvvet
Tepki kuvveti →
Bazen bir kuvvetin yerine geçecek
iki veya daha fazla kuvvet yerleştirilir.
F1
N
→ Tekil kuvvet
Bazen de tesir çizgileri kesişen iki veya daha fazla kuvvetin
yerine geçecek bir tek kuvvet yerleştirilir.
F1
R
→
R
→
→
R
F2
Bileşen
Bileşke
F2
→
F1
→ → →
R = F1 + F2
→
F2
→
F1
→
→
F2
→
∟
F2
R
Bileşen
F1
→ → →
F1 + F 2 = R
→
R
F1
R
∟
∟
R
F1
R
∟
∟
F1
F2
∟
F2
Behcet DAĞHAN
F2
www.makina.selcuk.edu.tr
!
→ → →
R ≠ F1 + F 2
Behcet DAĞHAN
Kuvvet Sistemleri
Statik
2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
F1
F1
≡
F2
A
→
→
F2
→
R
≡
F2
A
→
F1
R
3
A
→ → →
F1 + F 2 = R
→
R
Bileşkenin tesir çizgisi, bileşenlerin tesir çizgilerinin kesişme noktasından geçer.
F1
R
F1
≡
A
Behcet DAĞHAN
F2
A
→
R
→
→
R
→
F1
→
F2
≡
A
F2
→ → →
R = F1 + F2
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Kuvvet Sistemleri
Statik
2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri
4
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Aynı yönde olan paralel iki kuvvetin bileşkesi onlara paraleldir, tesir çizgisi bileşenlerin arasındadır ve büyük bileşene
yakındır.
F1
F1
≡
F2
→
−F
R
R
≡
→
F
+
F2
→ → →
F1 + F 2 = R
F1 + F 2 = R
Zıt yönde olan paralel iki kuvvetin bileşkesi de onlara paraleldir, tesir çizgisi dışarıdadır ve yine büyük bileşene yakındır.
R
F1
≡
R
F1
→
−F
F2
F2
Behcet DAĞHAN
→ → →
F1 + F 2 = R
Özel durum:
+
F2 < 0
→
→
→
| F1 | > | F 2 |
≡
→
F
F1 + F 2 = R
→
→
| F1 | = | F 2 |
www.makina.selcuk.edu.tr
→
R=0
Behcet DAĞHAN
Kuvvet Sistemleri
Statik
2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Dik Bileşenler
Behcet DAĞHAN
→ → →
F = Fx + Fy
→
→
→
F = Fx i + Fy j
→
→
j
y
Fx ve Fy pozitif veya negatif olabilir.
→
F
→
Fy
F 2 = F x 2+ F y 2
Ama F daima pozitiftir.
Fx = F cosθ
F
Fy
→
i
→
θ>0
O
5
θ<0
→
Fx
Fx
x
Fy = F sinθ
θ açısı yönlü bir açıdır.
Fy
tanθ = –––
Fx
Pozitif yönü şekilde gösterilmiştir.
Fx = F cosθ
y
→
F
Fx < 0
→
Fy
→
cosθ < 0 olduğundan dolayı kendiliğinden Fx < 0 olur.
Fy = F sinθ
Fy > 0
veya
!
θ
β
→
Fx
Behcet DAĞHAN
O
Fx = −F cosβ
x
Fx < 0 olabilmesi için bu işareti biz yerleştirmeliyiz.
Fy = F sinβ
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Kuvvet Sistemleri
Statik
2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
6
Behcet DAĞHAN
İki kuvvetin bileşkesinin dik bileşenler kullanılarak bulunması
→
→
j
y
→ → →
R = F1 + F2
F2y
→
→
→
→
→
→
Rx i + Ry j = (F1x i + F1y j ) + (F2x i + F2y j )
F2
F1
F1y
→
→
→
→
Rx i + Ry j = (F1x + F2x ) i + (F1y + F2y ) j
R
O
F1x
F2x
x
→
i
→
}
θ
}
Ry
= ΣFx
= ΣFy
Bileşkenin yönünü ve şiddetini bulmak için:
Rx
→ → →
F1 = F1x + F1y
→ → →
F2 = F2x + F1y
→ → →
R = Rx + Ry
→
→
→
F1 = F1x i + F1y j
→
→
→
F2 = F2x i + F2y j
→
→
→
R = Rx i + Ry j
Rx = ΣFx
Ry = ΣFy
R 2 = R x 2+ R y 2
Ry
tanθ = –––
Rx
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Kuvvet Sistemleri
Statik
2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri
7
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
2/1
Şekildeki mesnede A noktasından uygulanan 600 N luk kuvvetin yerine geçecek iki tane
kuvvet yerleştirilecektir. Bu iki kuvvetten Fa nın tesir çizgisi a-a doğrultusu ve Fb nin
tesir çizgisi b-b doğrultusu olacaktır. Fa yı ve Fb yi bulunuz.
Çözüm
Verilenler:
F = 600 N
b
30o
F
Fa
60o
∟
a
∟
60o
30o
Fb
A
a
b
İstenenler:
Fa = ?
Fb = ?
Behcet DAĞHAN
→ → →
F = Fa + Fb
Fa
tan30o = –––
F
Fa = 693 N
F
cos30o = –––
Fb
Fb = 346 N
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Kuvvet Sistemleri
Statik
2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri
8
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
2/2
N
Şekildeki iki kuvvetin bileşkesinin şiddetinin 2000 N olması için 800 N luk kuvvetin açısı θ ne olmalıdır?
Bu şartlarda R ile düşey doğrultu arasındaki açı β yı bulunuz.
Verilenler:
N
Çözüm
F1 = 1400 N
F2 = 800 N
R = 2000 N
düşey
→ → →
R = F1 + F2
θ
R
F1
R 2 = F12 + F22 + 2 F1 F2 cosθ
θ=?
↕
β
İstenenler:
θ
θ = 51.3o
F2
F22 = R2 + F12 − 2 R F1 cosβ
β = 18.2o
β=?
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Kuvvet Sistemleri
Statik
2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri
9
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
2/3
Şekildeki mekanizmanın AB koluna etki eden P kuvvetinin x ve y bileşenlerini bulunuz.
Çözüm
Verilenler:
P = 260 N
13
5
12
P
Py
A
Px
B
y
Veya üçgenlerin benzerliğinden:
30o
Px = − 240 N
|Py|
|Px|
P
––– = ––– = –––
12
13
5
→
12
Px = − P –––
13
İstenenler:
Py = ?
C
x
5
Py = − P –––
13
Py = − 100 N
→
Px = ?
Bu işaretleri biz yerleştirmeliyiz.
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Kuvvet Sistemleri
Statik
2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
2/4
10
Behcet DAĞHAN
Şekildeki mesnedin A noktasına uygulanmış olan iki kuvvetin bileşkesinin yönünü ve şiddetini bulunuz.
Çözüm
Verilenler:
y
F1 = 800 N
F2 = 900 N
A
105o
10o
θ<0
F1
x
25o β
F2
Rx = ΣFx
Rx = F1x + F2x = F1 cos10o − F2 sin25o
o
75
Rx = 407 N
R
Ry = ΣFy
Ry = F1y + F2y = − F1 sin10o − F2 cos25o
İstenenler:
R=?
→ → →
R = F1 + F2
R 2 = F12 + F22 + 2 F1 F2 cos105o
sin75o
sin(25o +β)
––––––––– = ––––––
R
F1
θ=?
R = 1038 N
Behcet DAĞHAN
β = 23.1o
www.makina.selcuk.edu.tr
Ry = − 954 N
R 2 = R x 2+ R y 2
R = 1038 N
Ry
tanθ = –––
Rx
θ = − 66.9o
Behcet DAĞHAN
Statik
Behcet DAĞHAN
Kuvvet Sistemleri
2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri
Behcet DAĞHAN
11
Behcet DAĞHAN
Moment
Moment, bir kuvvetin herhangi bir eksene göre döndürme etkisidir.
Bir kuvvetin kendi tesir çizgisi ile kesişen bir eksene göre momenti yoktur,
Moment
alınan
eksen
tesir çizgisine paralel olan bir eksene göre de momenti yoktur.
Moment vektörel bir büyüklüktür.
→
Moment vektörünü M ile göstereceğiz.
MA
Moment vektörünün yönü sağ el kuralı ile bulunur.
F
d
Mom
e
kolu nt
∟
Moment
alınan A
nokta
∟
Sağ elimizin dört parmağını kuvvet yönünde tutup avucumuzun içini moment alınan eksene
döndürüp avucumuzu kapattığımız zaman baş parmağımız moment vektörünün yönünü gösterir.
Bir noktaya göre moment
Bir kuvvetin bir noktaya göre momenti, kuvvet ile noktanın içinde bulunduğu düzleme dik olan ve
moment alınan noktadan geçen bir eksene göre döndürme etkisidir.
Herhangi bir A noktasına göre alınan momentin şiddeti:
Behcet DAĞHAN
MA = F d
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Kuvvet Sistemleri
Statik
2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri
12
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
İki boyutlu kuvvet
sistemini oluşturan kuvvetlerin, içinde bulundukları düzlemde yer alan bir noktaya göre momentleri düzleme
diktir.
Eğer kuvvetlerin içinde bulunduğu düzlem x-y düzlemi ile çakıştırılırsa, moment vektörleri de düzleme dik olan z-eksenine paralel olur.
→ →
M = Mz
Moment vektörlerinin tamamı birbirine paralel olduğu için sadece şiddetleri ile ilgilenmek yeterli olur.
Yönlerini belirtmek için de şiddetleri pozitif veya negatif alınır.
Saat ibrelerinin dönme yönünün tersi pozitif yön olarak alınacaktır.
y
pozitif z-yönünde
M<0
→
negatif z-yönünde
F
d
M = − 12 N·m
→
→
A
∟
M>0
MA
Yön belirtir
O
x
Herhangi bir kuvvetin, kendi tesir çizgisi üzerindeki noktalar hariç,
bütün noktalara göre döndürme etkisi vardır.
M>0
Bu momentlerin bir kısmı pozitif, bir kısmı da negatif yöndedir.
F
M<0
!
Bu momentler, kuvvet uygulandığı zaman ortaya çıkan döndürme etkileridir.
Yani kuvvetin yanında ayrıca uygulanmış değillerdir.
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Kuvvet Sistemleri
Statik
2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri
Behcet DAĞHAN
Behcet
Bir noktaya DAĞHAN
göre momentin vektörel çarpımla bulunması
13
Behcet DAĞHAN
F
MA = r F sinα
MA = F r sinα
MA
→
A
MA = F d
d
→ → →
MA ≠ F × r
α
r
α
∟
!
d = r sinα
→
→ → →
MA = r × F
r vektörü, moment alınan noktadan başlar,
kuvvetin tesir çizgisi üzerinde herhangi bir noktada biter.
Varignon Teoremi
→ → →
R = F1 + F2
→ → → → → → → → →
r × R = r × (F1 + F2) = r × F1 + r × F2
→
→ →
MA R = r × R
→
→ →
MA F1 = r × F1
→
→ →
MA F2 = r × F2
Behcet DAĞHAN
İki boyutlu kuvvet sisteminde
moment vektörlerinin hepsi
birbirine paralel olduğu için
bu eşitlik skaler olarak da
geçerlidir.
→
→
→
MA R = MAF1 + MAF2
↔
MAR = MAF1 + MAF2
MAF2
MAF1
A
MAR
r
F1
B
R
F2
Bileşkenin bir noktaya göre momenti, bileşenlerinin o noktaya göre momentleri toplamına eşittir.
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Kuvvet Sistemleri
Statik
2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri
Behcet DAĞHAN
14
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Bir kuvvetin bir noktaya göre momenti alınırken takip edilebilecek yollar:
R
MAR = ?
A
R
R
R
∟
∟
∟
≡
≡
d2
A
d1 ∟
R
A
F1
d2
≡
A
∟
∟
F2
∟
F2
d
A
d1
∟
F1
F1
F2
MAR = R d
Behcet DAĞHAN
MAR = F1 d1 + F2 d2
MAR = F1 d1 + 0
www.makina.selcuk.edu.tr
MAR = 0 + F2 d2
Behcet DAĞHAN
Kuvvet Sistemleri
Statik
2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri
15
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
2/5
30 N luk P kuvveti şekildeki çubuğun BC kısmına dik olarak uygulanmıştır. P nin B noktasına ve A noktasına göre
momentini bulunuz.
Çözüm
Verilenler:
P = 30 N
P
∟
∟
MB
∟
d
P
B
d
45o
MA
A
İstenenler:
MB = ?
MA = ?
Behcet DAĞHAN
d = 1.6 m
d = 1.6 + 1.6 cos45o
MB = P d
MA = P d
MB = 48 N·m
MB = 81.9 N·m
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Kuvvet Sistemleri
Statik
2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri
16
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
2/6
(a) θ = 15o ise 90 N luk kuvvetin O noktasına göre momentini hesaplayınız. Ayrıca O ya göre momenti (b) sıfır ve
(c) maksimum yapan θ değerlerini bulunuz.
Çözüm
Verilenler:
O
O
F = 90 N
(b)
d1 = 800 mm
F
d2 = 600 mm
F2
d1
F1
θ
MO = 0 ise:
d1
F
1
1
0 = − F sinθ d1 + F cosθ d2
θ
M>0
d2
θ
d2
θ = 36.9o
M<0
F
veya θ + 180o
Varignon teoreminden:
MO = − F1 d1 + F2 d2
θ = 15o ise:
MO = − F sinθ d1 + F cosθ d2
MO = ?
MO = 0 ise:
θ=?
MO = MOmax ise:
(c)
O
MO = MOmax ise:
dMO
–––– = 0
dθ
(a)
θ = 15o ise:
θ=?
Behcet DAĞHAN
MO = 33.5 N·m
dMO
–––– = F (− cosθ d1 − sinθ d2)
dθ
www.makina.selcuk.edu.tr
}
d1
F
θ<0
d2
θ = − 53.1o
veya θ + 180o
∟
İstenenler:
F
Behcet DAĞHAN
Kuvvet Sistemleri
Statik
2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri
17
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
2/7
Bir direk ucu bağlantı parçası, iki tane kuvveti şekildeki gibi taşımaktadır. Bu iki kuvvetin O noktasına göre
→
momentleri toplamının sıfır olabilmesi için T nin şiddeti ne olmalıdır?
Çözüm
Verilenler:
F = 5 kN
2
F
!
İstenenler:
MO = 0 ise:
T =?
√29
T
Moment alırken,
bir kuvveti bu şekilde bileşenlere ayırmak tavsiye edilmez.
Çünkü bileşenlerin tesir çizgilerinin
nereden geçtiği açıkça belli olmalıdır.
Kuvveti, tesir çizgisi üzerinde
uygun bir yere kaydırdıktan sonra
bileşenlere ayırmak gerekir.
Behcet DAĞHAN
F
5
T
Varignon teoreminden:
5
2
MO = F cos30o (90) + F sin30o (60) − T –––– (120) − T –––– (60) = 0
√29
√29
www.makina.selcuk.edu.tr
T = 4.04 kN
Behcet DAĞHAN
Kuvvet Sistemleri
Statik
2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Paralel iki kuvvetin
bileşkesinin tesir çizgisinin yerinin varignon teoremi yardımıyla bulunması
F1
a
18
MAR = MAF1 + MAF2
R
A
b
R (0) = − F1 (a) + F2 (b)
+
F2
→ → →
F1 + F 2 = R
F1
a
–––
= –––
F2
b
F1 + F 2 = R
Özel durum:
A R
a
→
a=b
MAR = MAF1 + MAF2
F1
b
R (0) = F1 (a) − F2 (b)
F2
+
→ → →
F1 + F 2 = R
F1 = F 2
F1
a
–––
= –––
F2
b
F1 + F 2 = R
→
→
→
| F1 | > | F 2 |
Behcet DAĞHAN
F2 < 0
Özel durum:
www.makina.selcuk.edu.tr
→
→
| F1 | = | F 2 |
→
R=0
Behcet DAĞHAN
Kuvvet Sistemleri
Statik
2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Kuvvet çifti
19
Behcet DAĞHAN
MA
a
→ →
→
R = F + (− F )
∟
A
→
→
Bu kuvvetlerden birisine F dersek diğeri de − F olur.
d
∟
∟
Kuvvet çifti, birbirine paralel, eşit şiddette ve zıt yönde olan iki kuvvetten oluşan bir sistemdir (d ≠ 0).
F
F
→ →
R=0
Kuvvet çiftinin bileşkesi sıfırdır.
Kuvvet çiftinin sadece döndürme etkisi vardır.
Kuvvet çiftinin herhangi bir A noktasına göre momentini alalım.
MA = F (a + d) − F a = F d
M=Fd
Elde edilen sonuç göstermektedir ki, kuvvet çiftinin momenti, moment alınan noktadan bağımsızdır.
Kuvvet çiftinin momenti serbest vektördür.
Kuvvet çiftinin nereye uygulandığı önemli değildir.
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Kuvvet Sistemleri
Statik
20
Behcet DAĞHAN
d
∟
∟
Behcet DAĞHAN
2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri
Behcet DAĞHAN
M=Fd
F
F
A
M=Fd
M=Fd
d
∟
≡
Kuvvet çifti
A
F
!
Bir tek kuvvet, kuvvet çiftinin yerine geçmez.
Kuvvet çiftinin bütün noktalara göre döndürme etkisi aynıdır.
Kuvvet çiftini oluşturan kuvvetler veya aralarındaki uzaklık tek başına önemli değildir. Önemli olan kuvvet çiftinin momentidir.
∟
∟
∟
∟
F1
d1
≡
F1
d2
F2
F2
Kuvvet çifti
M
Kuvvet çiftini sadece bu işaret ile de gösteririz.
M = F1 d1 = F2 d2
Momenti eşit olan bütün kuvvet çiftleri denktir.
Behcet DAĞHAN
≡
www.makina.selcuk.edu.tr
veya
Behcet DAĞHAN
Kuvvet Sistemleri
Statik
2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Kuvvet çiftinin
bütün noktalara göre momentinin aynı olduğunun bir açıklaması
z
M
F
x
d
––
2
+
M
=
F
d
––
2
x
d
––
2
F
d
––
2
d
+
=
Bakış yönü
Behcet DAĞHAN
d
F
x
x
→
→
→
x
x
F
d
––
2
F
F
F
z
∟
∟
∟
d
∟
∟
d
––
2
z
∟
M
21
Bakış yönü
www.makina.selcuk.edu.tr
Bakış yönü
Behcet DAĞHAN
Kuvvet Sistemleri
Statik
2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri
Behcet DAĞHAN
Bir kuvvetin
tesir çizgisinin değiştirilmesi
Behcet
DAĞHAN
22
Behcet DAĞHAN
Bir kuvvet, tesir çizgisi üzerinde kaydırıldığı zaman etkisi değişmez. Ama tesir çizgisinin dışına çıkarılırsa etkisi değişir.
Kuvvetin tesir çizgisini değiştirmek istediğimiz zaman, etkisinin değişmemesi için kuvvete ilaveten bir de kuvvet çifti uygulamamız gerekir.
d
F
F
d
∟
∟
F
≡
∟
∟
F
F
≡
M=Fd
↑
!
Bir kuvveti, başka bir tesir çizgisine taşırken kuvvetin yönünü ve şiddetini bozmadan aynen taşırız.
Ayrıca yanına bir de kuvvet çifti ilave etmemiz gerekir.
Bu kuvvet çiftinin momenti, kuvvetin, yeni tesir çizgisi üzerindeki herhangi bir noktaya göre momentine eşittir.
Bu moment, kuvvetin momenti değildir.
Kuvvete ilaveten dışarıdan uygulanan
bir kuvvet çiftidir.
Bazen de bir kuvvet ile kuvvet çiftinden oluşan bir sistemin yerine geçecek bir tek kuvvet yerleştiririz.
d
F
www.makina.selcuk.edu.tr
≡
∟
F
d
∟
Behcet DAĞHAN
≡
∟
M=Fd
F
∟
F
F
Behcet DAĞHAN
Kuvvet Sistemleri
Statik
2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri
23
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
2/8
OA çubuğu, iki makara ve ince bir bandın bir bölümünden oluşan sisteme şekildeki gibi 180 N luk iki
kuvvet uygulanmıştır. Bu kuvvetlerin (a) A noktasına göre ve (b) O noktasına göre momentleri
toplamını bulunuz.
Çözüm
Verilenler:
F = 180 N
r = 25 mm
Bu kuvvet sistemi, eşit şiddette, zıt yönde ve birbirine paralel iki kuvvetten oluşan
bir sistem olduğu için kuvvet çiftidir.
180 N
∟
d
Kuvvet çiftinin bütün noktalara göre momenti aynıdır.
İstenenler:
MA = ?
∟
180 N
MA = M O = M = F d
d = 100 sin45o + 2 r
MO = ?
Behcet DAĞHAN
}
M = 180 (120.7)
M = 21 728 N·mm = 21.7 N·m
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Kuvvet Sistemleri
Statik
2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri
24
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
2/9
Bir sürücü sağa dönerken otomobilin direksiyonuna şekildeki gibi 8 N luk iki kuvvet uygulamaktadır.
Bu kuvvetlerin oluşturduğu momenti hesaplayınız.
Çözüm
Verilenler:
F=8N
Bu kuvvet sistemi, eşit şiddette, zıt yönde ve birbirine paralel iki kuvvetten oluşan
bir sistem olduğu için kuvvet çiftidir.
Kuvvet çiftinin bütün noktalara göre momenti aynıdır.
İstenenler:
M=?
Behcet DAĞHAN
M = MO = −2 F cos30o (375/2)
M = − 2598 N·mm
↑
Yön belirtir
Saat ibrelerinin dönme yönündedir.
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Kuvvet Sistemleri
Statik
2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri
25
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
2/10
Şekildeki 1200 N luk kuvvetin, dirseğin A pimine göre momentini hesaplayınız.
Bunu yaparken, kuvveti önce C noktasından geçen bir tesir çizgisine taşıyınız.
Çözüm
Verilenler:
F = 1200 N
r = 200 mm
2
∟r
1
√5
MC
F
F
1
F –––
√5
1
MA = MC + F ––– 600
√5
İstenenler:
MA = ?
1
MA = 1200 (200 + ––– 600)
√5
MC = F r
Kuvveti önce C noktasına taşımak
A noktasına göre moment almayı kolaylaştırır.
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
MA = 562 N·m
Behcet DAĞHAN
Kuvvet Sistemleri
Statik
2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri
26
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
2/11
Birbirine tutturulmuş olan iki dişliye gelen iki kuvvet şekilde gösterilmiştir. Bu iki kuvveti O noktasına
taşıyıp bir R kuvvetine ve bir M kuvvet çiftine indirgeyiniz ve şiddetlerini bulunuz.
Çözüm
Verilenler:
F1
F1 = 1.5 kN
F2 = 2.4 kN
F2
MOF1
x
20o
F1
O
M
≡
MOF2
x
50o
F2
MOF1 = F1 cos20o (200)
20o
MOF1 = 282 N·m
R
y
R=?
MOF2 = − F2 cos20o (120)
Rx = ΣFx
Ry = ΣFy
Rx = F1x + F2x
Ry = F1y + F2y
Rx = F1 cos20o+ F2 sin20o
Ry = F1 sin20o+ F2 cos20o
Rx = 2.23 kN
Ry = 2.77 kN
MO = M = ?
R 2 = R x2 + R y2
R = 3.56 kN
Behcet DAĞHAN
y
MOF2 = − 271 N·m
←
İstenenler:
O
veya
←
R2 = F12 + F22 + 2 F1 F2 cos50o
www.makina.selcuk.edu.tr
Yön belirten bu işareti
biz yerleştirmeliyiz.
MO = MOF1 + MOF2
M = 11.3 N·m
Behcet DAĞHAN
Kuvvet Sistemleri
Statik
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
İki boyutlu
bir kuvvet sisteminin bileşkesi
2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri
27
Behcet DAĞHAN
Bileşkenin yönünü ve şiddetini bulmak için:
Bazen göz önüne alınan kuvvet sisteminin yerine geçecek bir tek kuvvet aranır.
Bu bileşke kuvvetin yönü, şiddeti ve tesir çizgisinin nereden geçtiği bulunmalıdır.
Rx = ΣFx
Kuvvetlerin içinde bulunduğu düzlemi x-y düzlemi ile çakıştıralım.
Ry = ΣFy
R 2 = R x 2+ R y 2
→
→
→
Ry
tanθ = –––
Rx
R = F1 + ··· + Fn
→
→
→
→
→
→
→
→
Rx i + Ry j = (F1x i + F1y j ) + ∙∙∙ + (Fnx i + Fny j )
→
→
Rx i + Ry j = (F1x + ··· + Fnx) i + (F1y + ∙∙∙ + Fny) j
}
}
= ΣFx
= ΣFy
Kuvvet çiftleri,
bileşkenin yönünü ve şiddetini etkilemez.
Sadece tesir çizgisinin yerini etkiler.
Fn
F1
Bileşkenin tesir çizgisinin geçtiği yeri bulmak için:
M1
y
R
Mm
y
Bileşkenin herhangi bir noktaya göre momenti,
kuvvet sistemini oluşturan kuvvetlerin
o noktaya göre momentleri toplamına eşittir.
≡
θ
O
x
Behcet DAĞHAN
Genelleştirilmiş Varignon Teoremi
O
x
www.makina.selcuk.edu.tr
MAR = ΣMA
Behcet DAĞHAN
Kuvvet Sistemleri
Statik
2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Bir kuvvet sisteminin keyfi olarak seçilen bir noktaya indirgenmesi
28
Behcet DAĞHAN
Bir kuvvet sistemini herhangi bir noktaya indirgemek istediğimiz zaman bütün kuvvetleri o noktaya taşırız.
Kuvvetleri taşırken de sisteme ilave etmemiz gereken kuvvet çiftlerini ilave ederiz.
Bu kuvvet çiftlerinin momentleri, taşıdığımız kuvvetlerin o noktaya göre momentlerine eşittir.
→
→
R = ΣF
Fn
F1
M1
Mm
F1
≡
MA
M1
Mm
F1
≡
A
Kuvvet çiftlerinin
momentlerinin toplamı
→
Kuvvetlerin
toplamı
→
M = ΣM
A
MA Fn
Fn
→
→
→
ΣF = F1 + ··· + Fn
→
→
→
→
→
ΣM = M1 + ... + Mm + MA F1 + ... + MA Fn
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Kuvvet Sistemleri
Statik
2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri
29
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
2/12
İki kuvvetten ve bir kuvvet çiftinden oluşan şekildeki kuvvet sisteminin bileşkesi
O noktasından geçiyorsa kuvvet çiftinin şiddeti M nedir?
Çözüm
Verilenler:
F1 = 320 N
F2 = 400 N
M
O
F1 = 320 N
F2 = 400 N
R
→
Varignon teoreminden:
Bileşkenin tesir çizgisi
O noktasından geçmektedir.
0
MOR = ΣMO
→
M=?
M>0
MOR = ΣMO
M<0
Kuvvet çiftinin
bütün noktalara göre →
döndürme etkisi aynıdır.
Behcet DAĞHAN
M + MOF1 + MOF2 = 0
→
→
ΣMO = 0
→
İstenenler:
M − 400 (150 cos30o) − 320 (150 + 150) = 0
M = 148 N·m
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Kuvvet Sistemleri
Statik
2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri
30
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
2/13
Şekildeki üç kuvvetten oluşan sistemin yerine geçecek R kuvvetinin x ve y-bileşenlerini
ve tesir çizgisinin x-eksenini kestiği yerin O noktasına uzaklığını bulunuz.
Çözüm
Verilenler:
→ → → → → →
R = Rx + Ry = F1 + F2 + F3
F1 = 160 N
F2 = 240 N
F3 = 200 N
M>0
M<0
Rx = ΣFx
Ry = ΣFy
Rx = F1x + F2x + F3x
Ry = F1y + F2y + F3y
Rx = 0 + 0 − F 3
Ry = − F 1 + F 2 + 0
Rx = − 200 N
İstenenler:
Rx = ?
R
Ry = 80 N
Rx
Varignon teoreminden:
x
MOR = ΣMO
Ry = ?
x=?
R d = Rx (0) + 80 (x)
R d = − 160 (250) + 240 (250+250) + 200 (250)
Behcet DAĞHAN
Ry
www.makina.selcuk.edu.tr
}
x = 1625 mm
Behcet DAĞHAN
Kuvvet Sistemleri
Statik
2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri
31
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
2/14
→ →
Şekildeki üç kuvvetin oluşturduğu sistemin bileşkesini i ve j birim vektörleri cinsinden ifade ediniz.
Bileşkeyi A noktasına taşıyıp, A noktasına taşırken sisteme ilave edilmesi gereken kuvvet çiftini bulunuz.
Ayrıca bileşkeyi A noktasına taşıdıktan sonra tesir çizgisinin denklemini yazınız.
Çözüm
Verilenler:
→ → → → → →
R = Rx + Ry = F1 + F2 + F3
y
F2 = 60 N
Rx = ΣFx
Ry = ΣFy
F3 = 100 N
Rx = F1x + F2x + F3x
Ry = F1y + F2y + F3y
Rx = F 1 + 0 + F 3
Ry = 0 − F 2 + 0
Rx = 80 + 0 + 100
Ry = 0 − 60 + 0
Rx = 180 N
Ry = − 60 N
M>0
M<0
İstenenler:
→
R=?
M=?
y = f(x) = ?
d
M
→
→
→
R = 180 i − 60 j N
A
R
θ>0
Rx
x
θ<0
Ry
R
Varignon teoreminden:
y=mx
MAR = ΣMA
− R d = ΣMA = F1 (0) − F2 (1.5) − F3 (0.75)
ΣMA = 80 (0) − 60 (1.5) − 100 (0.75)
Ry
tanθ = –––
Rx
m = tanθ
MAR= M = − 165 N·m
Behcet DAĞHAN
∟
F1 = 80 N
www.makina.selcuk.edu.tr
}
1
y = − –– x
3
Behcet DAĞHAN
Kuvvet Sistemleri
Statik
2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri
32
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
2/15
Şekildeki kuvvet sisteminin bileşkesinin tesir çizgisinin x-eksenini kestiği yerin x-koordinatını
bulunuz.
Verilenler:
F1 = 250 N
→ → → → → → → → →
R = Rx + Ry = F1 + F2 + F3 + F4 + F5 + F6
Çözüm
F2 = 400 N
Rx = ΣFx
Ry = ΣFy
F3 = 500 N
Rx = 400 cos30o
Ry = − 250 − 400 sin30o − 500 − 500 − 500 − 250
F4 = 500 N
Rx = 346 N
Ry = − 2200 N
F5 = 500 N
F6 = 250 N
Varignon teoreminden:
MAR = ΣMA
M>0
− R d = |Rx| (0) − |Ry| x = − 400 sin30o (5) − 500 (2.5) − 500 (5) − 500 (7.5) − 250 (10)
→
M<0
d
İstenenler:
∟
Momentin işaretini bozmaması için
Rx ve Ry nin işaretini atmalıyız.
Rx
x=5m
x
x=?
Bileşkenin tesir çizgisi x-eksenini G noktasında keser.
Behcet DAĞHAN
Ry
R
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Download