4. Noktasal Cisim Sistemlerinin Kinetiği Daha önceki bölümlerde dinamiğin prensiplerini noktasal cisme uygulamıştık. Bu bölümde bu prensipleri noktasal cisim sistemi için genişleteceğiz. 4.1 Newton’un Đkinci Kanununun Genelleştirilmesi Şekilde izole edilmiş, dış F1, F2, F3 kuvvetleri ve f1, f2, f3 iç kuvvetlerinin etki ettiği mi noktasal cismini göz önüne alalım. NOT: Sistem ayrık maddesel cisimlerden veya sürekli maddesel noktalardan oluşmaktadır. NOT: Σfi = 0 Etki tepki prensibine göre oluşurlar. Eğer sistemin kütle merkezi G noktasında ise m d2r/dt2 = Σ mi d2ri/dt2 (m = Σ mi ). Z ri rG = r Y X 1 Newton’un ikinci kanununu mi noktasal cismine uygularsak: F1 + F2 + ... + Fn + f1 + f 2 + ... + f n = miɺɺ ri = mi ai TÜM SĐSTEM ĐÇĐN: ∑ F + ∑ f = ∑ m ɺrɺ (***) n n i i=1 i i i i=1 ∑ Sistemin G kütle merkezinin tanımından mrG = ∑ miri rG = miɺɺ ri elde edilir (m sabit). Türev alınarak mɺɺ (***) Denkleminde yerine yazılırsa ∑F = ∑F i + 0 = mɺɺ rG veya ∑ F = ma ∑m i = m dir. Bu eşitliği tüm noktasal cisimlere uygulayıp sistem içim toplarsak ve kütle merkezinin tanımını kullanırsak Σ F = m d2rG/dt2 veya Σ F = m aG elde ederiz. Bu eşitlik Newton’un ikinci kanununun noktasal cisimlerden oluşmuş bir sistem için genelleştirilmiş halidir. 2 Bu kanun kütle merkezinin hareket prensibi diye de adlandırılır.Kartezyen x-y-z koordinat siteminde ∑ F = ma G ⇒ ∑ Fx = ma x ∑F y = ma y ∑F z = ma z yazılır. ΣF//ma olup ΣF’nin G den geçme zorunluluğu F2 Yoktur. Sisteme etkiyen toplam dış kuvvet, Sistemin toplam kütlesi ile G kütle merkezinin Đvmesinin çarpımına eşittir. F1 F3 . .. . . . .G . Fn 3 ΣF Fi m aG ΣF//ma G 4.2 Enerji Yeniden daha önce çizdiğimiz şekli göz önüne alalım, mi noktasal cismi için iş enerji bağıntısı (U1-2)i = Ti idi. Bu eşitlikte (U1-2)i, i noktasal cismine Fi = F1 + F2 + F3 +… (tüm dış kuvvetler) ve fi = f1+ f2 + f3 +…(tüm iç kuvvetler) tarafından yapılan iş idi. Ti ise mi noktasal cisminin kinetik enerjisi idi. Tüm sistem için iş-enerji denklemini aşağıdaki gibi yazılabilir, Σ (U1-2)i =i Σ ∆ Ti mi z ∆Ti = T2 -T1 ri 1 Ti = mi Vi2 2 1 y O mi ρi rG = r .G T1 x 4 2 .G T2 Tüm sistem için ∑ (U ∑ (U ) = ∆T = ∑ ∆Ti ⇒ U1-2 = ∆T = T2 − T1 bulunur. n 1-2 i i =1 ) = U1-2 1-2 i işi sisteme etkiyen tüm iç ve dış kuvvetlerin işini temsil eder. Katı cisimler ve katı cisimler sistemleri için (sürtünmesiz bağlı) iç kuvvetler iş yapmazlar ve moment oluşturmazlar. Sadece DIŞ KUVVETLERĐN ĐŞĐ ve momenti söz konusudur. 5 Sürtünmesiz ideal sistemler için iç kuvvetlerin yaptığı işerin toplamı sıfırdır. Böylece U1-2 sisteme dış kuvvetlerin yaptığı iş anlamına gelir. Eğer iş terimine yerçekimi ve elastik kuvvetlerin yaptığı işi dahil etmezsek ' U1-2 = T2 -T1 = ∆E , ∆E mekanik enerjisindeki değişim. Yay ve ağırlık kuvvetlerinin işini de göz önüne alırsak ' ' = ∆T + ∆Vg + ∆Ve = ∆E U1-2 = ∆E U1-2 veya T1 + Vg1 + Ve1 + U1'− 2 = T2 + Vg 2 + Ve 2 elde ederiz. Şimdi sistem için T = Σ (1/2) mi vi2 KE (Kinetik Enerji) terimini inceleyelim. Not: Bir cismin kütle merkezi ile ilgili bir büyüklük gösterilirken ya o büyüklügün üstü çizilir veya G indisi kullanılır. Örneğin kütle merkezinin hızı vG veya 6 v ile gösterilir. Bir noktasal cismin hızını vi = v + ρɺi z ri = rG + ρi Z mi ri rG O =r ρi G y x Y X dri drG dρi = + dt dt dt v i = v G + ρɺ i şeklinde yazabiliriz. Burada vG sistemin kütle merkezinin hızı ve ρi, G ile beraber hareket eden (ötelenen) eksen takımına göre noktasal cismin bağıl hızı idi, 1 1 1 1 2 T=Σ m i vi vi = Σ m i (v + ρɺ i ) ⋅ (v + ρɺ i ) = Σ m i v 2 + Σ m i ρɺ i + Σm i v.ρɺ i 2 2 2 2 3. terim 1.terim Σm i v.ρɺ i = v.Σm iρɺ i = v. 2. terim d ( Σmiρi ) olur. ρi kütle merkezinden ölçülüyor. dt Yukarıdaki formülde 3. Terim sıfıra eşittir dolayısıyla toplam kinetik enerji; 7 1 1 T= mv 2 + Σ m i |ρɺ i |2 2 2 şeklindedir. Bu formül sistemin toplam kinetik enerjisinin, kütle merkezinin bir bütün olarak öteleme kinetik enerjisi artı tüm noktasal cisimlerin kütle merkezine göre bağıl hareketinin kinetik enerjisi olduğunu söyler. ρG = Σm iρi Σm iρi = idi. Eksen takımı G de olduğu için ρ G = 0 , Σm iρ i = 0 Σm i m olmalı. Vi z O Gi = mi Vi . mi y .G x 8 4.3 IMPALS-MOMENTUM a) Liner Momentum Bir noktasal cismin liner momentumu Gi = mivi olarak tanımlanır. Sistemin liner momentumu onu oluşturan tüm noktasal cisimlerin liner momentumlarının vektörel toplamıdır. G = Σ mi vi Vi Burada vi = vG + dρi/dt ve Σ mi ρi = m ρG = 0 Z ρi yazarsak G = Σmi (v + ρɺ i ) = Σmi v + ri d Σm i ρ i dt O d = vΣmi + (0) dt X 9 z rG VG G x Y y G = Σmv G = mv G = mv = Σmi v i elde ederiz. Bu eşitlik sabit kütleli bir sistemin liner momentumunun sistemin kütlesi ile kütle merkezinin hızının çarpımına eşit olduğunu söyler. Yukarıdaki eştliğin zamana göre türevini alırsak dG d dG = (mv G ) = ma G ⇒ ΣF = bulunur. dt dt dt ɺ ile aynıdır. Bu ifade bir tek maddesel cisim için daha önce elde ettiğimiz ΣF = G Newton’un hareket denkleminin değişik bir ifadesidir. Kütle sabittir. b) Açısal Momentum Şimdi bir noktasal cisim sisteminin açısal momentumunu sabit bir O noktasına, kütle merkezine (G) ve herhangibir P noktasına göre belirleyeceğiz. 10 z = ρG r = rG x O (sabit) y O noktasına göre: Noktasal cisim sisteminin açısal momentumunun sabit bir O noktasına göre (sabit Newton referans sistemine göre) yazarsak, H O = Σ(ri × m i v i ) Bu ifadenin zamana göre türevini alırsak, 11 0 ɺ = Σ(rɺ × m v ) + Σ(r × m vɺ ) = Σ(rɺ × m v ) + Σ(r × m a ) = Σr × F = ΣM H 0 i i i i i i i i i i i i i i 0 Yukarıdaki formülde ilk ifade yok olur ve ɺ ΣM 0 = H 0 elde ederiz. Bu eşitlik sabit bir noktaya göre sisteme etki eden tüm dış kuvvetlerin momentinin, sistemin açısal momentumunun zamana göre değişme oranına (türevine) eşit olduğunu söyler. Eğer sistemin kütlesi zamanla değişiyorsa bu eşitliği uygulayamayız. G noktasına göre: Noktasal cisim sisteminin kütle merkezi G’ye göre açısal momentumu her bir noktasal cismin liner momentumunun G noktasına göre momentlerinin toplamıdır. H G = Σρi × mirɺi ......................... (A) 12 yukarıdaki eşitlikte rɺi yerine ( rɺ + ρɺ i ) yazarsak, H G = Σρi × m i ( rɺ + ρɺ i ) = Σρi × m i rɺ + Σρi × m iρɺ i 0 elde ederiz. Yukarıdaki eşitliklerdeki birinci ifade kütle merkezinin tanımından dolayı sıfıra eşittir. Böylece H G = Σρi × miρɺ i ……………………………(B) (NOT: Σρi × mi rɺ = − rɺ × Σmi ρi yazılır. Σm i ρi = 0 olur. Kütle merkezi tanımından) elde edilir. (A) eşitliği mutlak açısal momentum eşitliğidir (çünkü mutlak hız kullanıldı). (B) eşitliği bağıl açısal momentum eşitliğidir (çünkü bağıl hız kullanıldı). Kütle merkezi G’ye göre sistemin mutlak ve bağıl açısal momentumu aynıdır, bu herhangi bir P noktası için geçerli değildir. (A) eşitliğinin zamana göre türevini alırsak; rɺi = rɺ + ρɺ i kullanılarak ( ri = rG + ρi idi ) , rG = r idi 13 Σmiɺɺ ri ɺ = Σρɺ × m (rɺ + ρɺ ) + Σρ × m ɺɺr = Σρ × (F + f ) = Σρ × F = ΣM H G i i i i i i i i i i i G 0 Burada Fi noktasal cisme etki eden dış kuvvetleri fi ise noktasal cisme etki eden iç kuvvetleri temsil ediyor. Böylece Σ ρi × Σ Fi = Σ MG elde ederiz. Buradan Σ MG = dHG/dt olduğu görülür. ɺ Denklemleri Dinamiğin önemli denklemleri olup, sabit ɺ ve ΣM = H NOT: ΣM 0 = H G G 0 kütleli rijid veya rijid olmayan belirli maddesel sistemlere uygulanır. P noktasına göre: Herhangi bir P noktasına göre sistemin açısal momentumu, ρ′i = ρ + ρi kullanılarak; H p = Σρ′i × mi rɺi = Σ ( ρ + ρi ) × mi rɺi = Σ ρ × mirɺi + Σρi × miri (ilk terim: Σ ρ × mi rɺi = ρ × Σmi rɺi = ρ × Σmi v i = ρ × mv 14 ÖTELEME YAPAN EKSENLERDE Σm i v i = mv idi ) diye tanımlarız. Burada ilk terimi ρ × mv şeklinde ve ikinci terimi Σρi × m i rɺi = H G şeklinde yazarsak aşağıdaki eşitliği elde ederiz. H p = H G + ρ × mv Bu eşitlik herhangi bir P noktasına göre açısal mutlak momentumun, kütle merkezi G noktasına göre açısal momentumu artı kütle merkezinin Liner momentumunun P noktasına göre momenti diye de okunabilir. Şimdi Statikte elde ettiğimiz (bildiğimiz) moment prensibini kullanacağız. 15 mi z ρ ri ' i ρi .G rG x ρG y O rp .P . A Denklemine benzer bir momentum bağıntısını, P’ye göre MOMENTUM’u kullanarak yazalım: ( H p ) b = Σρ′i × m i ρɺ ′i , ρɺ ′i : m i 'nin P'ye göre hızıdır. ρ′i = ρG + ρi ⇒ ρɺ ′i = ρɺ G + ρɺ i kullanılarak ( H p ) bağıl = ΣρG × m iρɺ G + ΣρG × m iρɺ i + Σρ i × m iρɺ G + Σρ i × m iρɺ i Birinci terim: ΣρG × m iρɺ G = ρG × mv b 16 Đkinci terim: ΣρG × miρɺ i = ρG × mvb Üçüncü terim: Σρ i × m iρɺ G = −ρɺ G × Σm iρ i = 0 Σρi × miρɺ i = (H G ) b Dördüncü terim: (H ) = (H ) p b G b + ρG × mv b P noktasına göre Moment, P noktasına göre AÇISAL MOMENTUM cinsinden yazılabilir. (H p ) b = Σρ′i × m iρɺ ′i tanımından türev alarak ɺ ) = Σρɺ ′ × m ρɺ ′ + Σρ′ × m ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ′ (H i i i ρ i ; ri = rp + ρ i kullanılarak p b i i 0 ɺ ) = Σρ′ × m (ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ ′ ′ (H p b i i ri − rp ) = Σρ i × m i ri − Σρ i × m i rp ΣM p 17 ɺ ) − a × Σm ρ′ ⇒ ΣM = (H ɺ ) − a × mρ ΣM p = (H p b p i i p p b p G Σm i ρ i ρG = Σm i mρG = Σmiρ′i ɺ ) + ρ × ma = (H ɺ ) + ρ × ma ΣM p = (H p b G p p b p NOT: Moment merkezi olarak seçilen p noktasının yararlıdır. 1o ap = 0 ise ɺ ) 2o ρ = ρ = 0 ise NOT: ΣM p = (H p b G 3o ρ ve a paralel ise p 18 a p ivmesi bilindiği zaman bu bağıntı Moment nakil teoreminden ΣM p = ΣM G + ρ × ΣF yazılır. ɺ konularak ΣM G = H G ɺ + ρ × ΣF veya ΣM = H p G ɺ + ρ × Σma elde edilir. ΣM p = H G G Bu bağıntı bize herhangi bir P moment merkezine göre moment yazma şansını verir. Katı cisim kinetiğinde önemlidir. Şekilde G noktasına etki eden bileşke kuvveti ve onun oluşturduğu moment görülüyor. P noktasına göre momentlerin toplamını ɺ + ρ × ma ΣM p = ΣM G + ρ × ΣF veya ΣMp = H G şeklinde yazabiliriz. 19 4.4 Enerjinin ve Momentumun Korunumu Bir noktasal cisim sisteminde toplam mekanik enerjinin ve toplam momentumum belli bir zaman aralığında değişmediği durumlar hareket problemlerinde sık sık görülür. Şimdi bunları ayrı ayrı inceleyelim: a) Enerjinin Korunumu: Bir noktasal cisim sistemi eğer, iç sürtünmeler ve elastik olmayan elemanlar tarafından sönümlenerek enerji kaybetmiyorsa bu sistemin konservatif (saklayıcı, koruyucu sistem) olduğu söylenir. Eğer bir zaman aralığında dış kuvvetler tarafından sisteme bir iş yapılmamışsa (ağırlık ve elastik kuvvetler hariç) bu sistemde bir enerji kaybı yoktur. ′ = ∆T + ∆VG + ∆Ve = ∆E idi. U1-2 ∆E = 0 veya Eilk = Eson böylece 20 ∆T + ∆Vg + ∆Ve = 0 veya T1 + Vg1 + Ve1 = T2 + Vg2 + Ve2 yazabiliriz. Buna dinamik enerjinin korunumu kanunu denir. b) Momentumun Korunumu Eğer herhangi bir zaman aralığında bir noktasal cisim sistemine etki eden toplam dış ɺ idi ) G1 = G2’dir. kuvvetlerin bileşkesi 0 ise dG/dt = 0 ve bu zaman aralığında ( ΣF = G Buna liner momentumun korunumu prensibi denir. Eğer benzer şekilde herhangi bir noktasal cisim sistemine, herhangi bir sabit O noktasına veya G kütle merkezine göre etki eden dış kuvvetlerin momentlerinin toplamı 0 ise, ɺ veya ΣM = H ɺ bağıntılarından ΣM O = H O G G (H O )1 = (H O ) 2 veya (H G )1 = (H G ) 2 Buna açısal momentumun korunumu prensibi denir. 21 Problem 4/1: m kütlesindeki üç topun herbiri, kütlesi ihmal edilebilen bir açısal kafese kaynak edilmiştir. Eğer ani bir F kuvveti şekilde gösterildiği gibi bir çubuğa uygulanırsa a) O noktasının ivmesini b) Çubuk sisteminin açısal ivmesini hesaplayınız. Sistem sürtünmesiz yatay bir düzlemde bulunuyor. 22 Çözüm 4/1 : 1° Sistemin kütle merkezi O noktasıdır. ΣF = maa = ma ⇒ Fi = 3ma aG = a 0 = a = F i bulunur. 3m 2° dr dθ er + r eθ dt dt ɺɺ ɺ moment prensibinden elde edebiliriz. θ ' yi ΣM G = H G v= 23 H G = H 0 = Σρi × mirɺi ⇒ dθ dθ dr H 0 = Σrer × 3m er + r eθ = 3mr 2 e z dt dt dt H 0 = 3mr 2θɺ e z ⇒ H 0 = 3mr 2θɺ elde edilir. ɺ = d (3mr 2θɺ e ) ΣM G = H G ⇒ ΣM 0 = H 0 z dt −Fb ΣM G = ΣM 0 = −Fb e z = 3mr 2ɺɺ θe z ⇒ ɺɺ θ= 3mr 2 Fb - işareti açısal ivmenin yönünü belirtir. Büyüklüğü θɺɺ = dir. 2 3mr 24 Problem 4.2: 4/1 deki sistemde O noktasında kaynak yerine menteşe kullanılırsa ne fark eder ? açıklayınız. Çözüm 4/2: Newton’un hareket kanunu her maddesel sistem için geçerlidir. Yani G kütle merkezinin aG = a ivmesi 4/1 deki gibi olur. a = aG = F i fark yok. 3m Kütleler O etrafında serbestçe dönerken, O menteşesi artık sistemin G kütle merkezi değildir. ΣM G ve Hɺ G ifadeleri her iki problemde aynıdır. Çubukların (parmaklıkların) açısal hızları (hareketleri) birbirinden farklıdır. Kolayca hesaplanamaz. 25 Problem 4/3: 20 kg kütlesindeki bir bomba 0 noktasında x-y düşey düzleminde 300 m/s ilk hızı ile şekilde gösterildiği eğimle fırlatılıyor. Bomba yörüngenin en yüksek noktasına eriştiğinde patlayıp A, B ve C parçalarına bölünüyor. Patlamadan sonra A parçasi dikey olarak 500 m. yükseliyor, B yatay vB hızına sahip ve Q noktasında yere çarpıyor. A, B ve C’nin kütleleri 5kg, 9kg. Ve 6kg. oldukları parçalar bulunduktan sonra tespit ediliyor. C’nin patlamadan hemen sonraki hızını bulunuz. Atmosferik sürtünmeyi ihmal edin. 26 Çözüm 4/3: v z =-gt+v 0 (düşey atış), P noktasında v z =0 (P maksimum nokta) 0 = −gt mak + uz ⇒ t mak uz usinθ = = g g Mz Mz 1 1 z = − gt 2 + (v z )0 t ⇒ P noktasında h = − (9,81). + M z 2 2 g g 2 A'nın hızı v A = 2gh A = 2(9,81)(500) = 99,0 m/s B'nin hızı ise v B = yol 400 m = = 163,5 m/s zaman 24,5 s Patlama kuvveti, bomba ve üç parçadan oluşan sistem için bir iç kuvvet olup patlama anında değişmez. ΣF = Σf i = 0 ⇒ Momentum korunumludur. G1 = G 2 = G ⇒ m v = mA v A + m B v B + mC vC 27 3 20 (300) i = 5(99,0)k + 9(163,5)( cos 45 i + sin 45 j) + 6v C 5 6v C = 2560 i − 1040 j − 495k ⇒ vC = (427i − 173 j − 825k ) m/s v C = (427) 2 + ( −173) 2 + (−82,5) 2 = 468 m/s cos α = cos β = cos β = vCx 427 427 = ⇒ α = arccos = 24,16 vC 468 468 vCy vC = −173 −173 ⇒ β = arccos = 113,96 468 468 vCz −82,5 −82,5 = ⇒ γ = arccos = 100,15 vC 468 468 28 Problem 4/4: 16 kg kütleli A vagonu 1.2 m/s hızı ile kendi yatağında yatay olarak hareketlidir. Vagon, O noktasında mafsallı iki çubuğa tespit edilen dört topu taşıyor. Topların kütleleri 1,6 kg’dır. 1 ve 2 topu verilen yönde 80 dev/dak ; 3 ve 4 topu 100 dev/dak hızı ile dönüyor. Tüm sistem için a) T kinetik enerjiyi b) |G|=G Liner momentumunu c) |HO|=HO açısal momentumunu hesaplayınız. 29 Çözüm 4/4: Kinetik enerji: | ρɺ i |= v bağ ⇒ vi = dri dθ er + ri eθ dt dt 80(2π ) (vi )1−2 = ri θɺ = (0, 450) = 3,77 m/s 60 100(2π ) (vi )3−4 = ri θɺ = (0,300) = 3,14 m/s 60 Sistemin kinetik enerjisi T = 1 1 mv G2 + Σ mi (ρɺ i ) 2 idi 2 2 30 1 1 1 2 2 T = [16 + 4(1,6)](1, 2) + 2[ (1,6)(3,77) ]1−2 + 2[ (1,6)(3,14) 2 ]3−4 2 2 2 T = 54,66 J 20 G = mv G ⇒ G = [16 + 4(1,6)](1, 2)i = (26,88i ) kgm/s 30 + տ H 0 = Σri × mi v i = r1 × m1 v1 + r2 × m 2 v 2 + r3 × m3 v 3 + r4 × m 4 v 4 H 0 = 2[0, 45er + (1,6)(3,77)eθ ]1−2 + 2[0.300er + (1,6)(−3,14)eθ ]3−4 H 0 = (5, 43e z − 3,02e z ) kgm 2 /s H 0 = 2, 41kgm 2 /s 31