1. Hafta

Đst225 Đstatistik I
DERSĐN TÜRÜ
DERSĐN DÖNEMĐ
DERSĐN KREDĐSĐ
DERSĐN VERĐLDĐĞĐ
Zorunlu (Matematik Bölümü
öğrencileri için zorunlu ders.)
Yaz
AKTS: 4
Ulusal Kredi: (2, 2, 0 ) 3
Bölüm: Đstatistik
2012/2013 Öğretim Yılı
DERSĐN AMACI
DERSĐN ÖĞRENĐM HEDEFLERĐ
KAZANILAN BĐLGĐ
KAZANILAN BECERĐ
ÖĞRETĐM YÖNTEMĐ
Sigma-cebir, ölçü, ölçülebilir fonksiyon kavramları ile birlikte
olasılık ve istatistiğin temellerini oluşturmak.
Olasılık ölçüsü ve olasılık dağılımları.
Olasılık uzayları, rasgele değişkenler ve dağılım fonksiyonları,
rasgele değişkenlerin dönüşümleri, üretici fonksiyonlar, bazı
olasılık dağılımları.
Olasılık problemlerini çözebilme, olasılık dağılımlarını anlama
ve kullanabilme.
Teorik ders anlatımı ve problem çözümü, gerçek ve sanal
deneyler.
Kitap, ders notları, bilgisayar vs.
Ara sınav, ödevler ve dönem sonu sınavı.
ARAÇ-GEREÇ
ÖLÇME VE DEĞERLENDĐRME
DERS PLANI VE ĐÇERĐĞĐ
1. Hafta
Giriş.
Kümeler, sigma-cebir, Borel cebiri.
Rasgele sonuçlu deneyler, örnek uzay, olay, olaylar cebiri.
2. Hafta
Olasılık ölçüsü, olasılık uzayları.
Koşullu olasılık, olayların bağımsızlığı.
Olasılık hesapları.
3. Hafta
Rasgele değişkenler, dağılım fonksiyonları.
Kesikli rasgele değişkenler ve olasılık fonksiyonları.
Sürekli rasgele değişkenler ve olasılık yoğunluk fonksiyonları.
Bir rasgele değişkenin beklenen değeri, momentler, moment çıkaran fonksiyon.
4. Hafta
Rasgele vektörler. Kesikli rasgele vektörler ve olasılık fonksiyonları. Sürekli
rasgele vektörler ve olasılık yoğunluk fonksiyonları. Marjinal ve koşullu
dağılımlar. Rasgele değişkenlerin bağımsızlığı. Beklenen değer vektörü,
varyans-kovaryans matrisi, korelasyon matrisi.
Rasgele değişkenlerin dönüşümleri.
5. Hafta
Bazı kesikli dağılımlar: Düzgün, Bernoulli, Binom, Geometrik, Negatif Binom,
Poisson, Hipergeometrik .
6. Hafta
Bazı sürekli dağılımlar; Düzgün, Gamma, Üstel, Ki-Kare, Beta, Normal,
Cauchy, t ve F dağılımları, iki boyutlu normal dağılım.
7. Hafta
Rasgele değişken dizilerinde yakınsamalar, büyük sayılar kanunları ve merkezi
limit teoremleri
DERSĐN VERĐLMESĐNDE YARARLANILACAK KAYNAKLAR
1
Akdeniz, F. (2010) Olasılık ve Đstatistik, Nobel Kitabevi.
2
Öztürk, F. (1993) Matematiksel Đstatistik, Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Yayınları, No:10.
3
Öztürk, F. (2011) Olasılık ve Đstatistiğe Giriş, Gazi Kitabevi.
4
Akdi,Y. (2010) Matematiksel Đstatistiğe Giriş, Gazi Kitabevi.
5
Larson, H. J. (1982). Introduction to Probability Theory and Statistical Inference, John
Wiley&Sons.
Sınavlar Ara sınav ve dönem sonu sınavı yazılı olarak yapılacaktır. Dönem içi verilen ödevler ara sınav
notu ile birlikte değerlendirmeye alınıp vize notunu oluşturacaktır.
Geçme notu=0.4xVize notu+0.60xDönem sonu notu.
Giriş
Đstatistik nedir?
“Đstatistik, rasgelelik içeren olaylar, süreçler, sistemler hakkında modeller kurmada,
gözlemlere dayanarak bu modellerin geçerliliğini sınamada ve bu modellerden sonuç
çıkarmada gerekli bazı bilgi ve yöntemleri sağlayan bir bilim dalıdır” diyebiliriz.
Matematik nedir?
Soyut bir bilim.
Aksiyomatik bir bilim (metodoloji, yöntembilim açısından).
”Matematik, başka bir yönüyle, bir dildir. Eğer bilimin gayesi evreni ve evrende olan
her şeyi anlamak, onlara hükmetmek ve yönlendirmekse, bunun için tabiatın kitabını
okuyabilmemiz gerekir. Tabiatın kitabı ise, Galile’nin çok atıf alan sözleriyle, matematik
dilinde yazılmıştır; onun harfleri geometrinin şekilleridir. Bunları anlamak ve
yorumlayabilmek için matematik dilini bilmemiz gerekir” (Ali Ülger, Matematik Dünyası,
2003 Kış).
Aklımız ile gerçek dünyadaki olguları anlamaya ve anlatmaya çalışırız. Bu anlamaanlatma işine modelleme ve anlatımın kendisine de model denir. Modellemede, dilden sonra,
aklımızın kullandığı ifade araçlarından en önde gelenleri matematik ve istatistiktir.
*Sözlü modeller: Sözcükler, yazılı veya sözlü her tür düşüncenin en yaygın anlatım
biçimidir.
*Şematik modeller : Çizim, resim, harita, akış diyagramı, organizasyon şeması,
grafik,... gibi anlatım biçimleridir.
*Maket modeller : Belli bir ölçekte fiziki benzer oluşturmakla yapılan anlatım.
*Matematiksel modeller :
**Deterministik (sebep-sonuç ilişkileri kesin) modeller.
**Stokastik (rasgelelik içeren) modeller.
***Lineer ve lineer olmayan modeller.
***Sürekli (diferensiyel denklem) ve kesikli (fark denklemi) modeller.
Model, gerçek dünyadaki bir olgunun ilgili olduğu bilim sahasının (fizik, kimya,
biyoloji, jeoloji, astronomi, ekonomi, sosyoloji,...) kavram ve kanunlarına bağlı olarak ifade
edilmesidir. Model gerçek dünyadaki bir olgunun bir anlatımıdır, bir tasviridir. Gerçek
dünyanın çok karmaşık olması sebebiyle modeller, anlatmak istedikleri olgu ve sistemleri
basitleştirerek belli varsayımlar altında ele almaktadır. Modeller gerçeğin kendileri değildir ve
ne kadar karmaşık görünseler de gerçeğin bir eksik anlatımıdırlar. Model denilen şey model
kurucunun gerçeği anlayışının bir ürünüdür, bir sanıdır. Bazı durumlarda, gerçek dünyadaki
bir olgu ile ilgili farklı modeller kurulmaktadır, örneğin ışık için tanecik ve dalga
modellerinde olduğu gibi.
Olguları modellemede düşünce tarzı aşağıdaki gibidir.
Gerçek Dünya
Olgu
Model
Veri (Data)
Matematik çözümleme
Đstatistik çözümleme
Ölçme
Sonuç çıkarım
Bir modelin yararlı olması için, verilerden sonuçların nasıl çıkarılacağına dair bir
çözüm yönteminin bilinmesi gerekir. Örneğin belli bir olgu bir diferansiyel denklem ile
modellendiğinde bu denklemin çözüm yolunun da bilinmesi gerekir. Bu matematiğin bir
sorunudur. Eğer model stokastik ise çözümleme istatistiğin bir sorunudur. Verilerin nasıl
toplanacağı da istatistiğin bir sorunudur. Kısaca, istatistik yukarıdaki döngünün her safhasında
yer almaktadır. Olguya temas ölçme ile olmaktadır. Ölçme, içinde istatistik de barındıran başlı
başına bir konudur.
Fizik, kimya, biyoloji, jeoloji, astronomi, ekonomi, sosyoloji ve başka birçok bilim
dalının gerçek dünyada ilgilendiği kendi konuları (sahaları) vardır ve çoğunun arakesiti boş
değildir. Matematik ve Đstatistiğin gerçek dünyada bir konusu olmamasına rağmen, gerçek
dünyadaki olguları anlama ve anlatmada, yani modellemede insan aklının en güçlü iki aracı
matematik ve istatistiktir. Đstatistik, rasgelelik içeren olguların modellenmesinde öne
çıkmaktadır.
Đstatistikçiler, gelişigüzelliğin içinde düzen ararlar. Örneğin, düzgün bir tavla zarının
atılması ve üste gelen yüzeydeki nokta sayısının gözlenmesi deneyini göz önüne alalım. Zar
atıldıkça, gelişigüzel (rasgele) olarak 1,2,3,4,5,6 sayılarından birisi gelecektir. Örneğin
aşağıdaki sayılar böyle bir deneyde gözlenmiştir.
4
5
1
3
6
4
6
1
2
3
6
4
1
4
2
4
3
5
2
2
1
4
3
Yatay eksende atış sayısı ve düşey eksende gelen sayı olmak üzere,
6
5
4
3
2
1
0
5
10
15
20
25
20
25
ve ardışık noktaların birer doğru parçası ile birleştirilmesiyle,
6
5
4
3
2
1
0
5
10
15
grafikleri elde edilir. Bir gelişigüzellik göze çarpmaktadır.
1
6
Yatay eksende atış sayısı ve düşey eksende gelen sayıların ortalaması işaretlenirse,
6
5
4
3
2
1
0
5
10
15
20
25
6
5
4
3
2
1
0
5
10
15
20
25
elde edilir. Atış sayısı büyüdükçe gelen sayıların ortalamasında bir yakınsama göze
çarpmaktadır. “Atış sayısı sonsuza gittiğinde” ortalamaların oluşturduğu dizinin 3.5 sayısına
(1,2,3,4,5,6 sayılarının aritmetik ortalaması) yakınsayacağı iddia edilebilirmi? Eğer böyle bir
iddia doğruysa bu rasgelelik ortamında bir düzen, nizam, kanundur. Böyle bir iddianın doğru
olup olmadığı nasıl ortaya çıkarılacaktır? Deney yaparak mı? Deneysel olarak
yanlışlanamadığı müddetçe böyle bir iddiayı (kanunu) geçerli sayabiliriz. Ancak, böyle bir
deney yapamayız, çünkü “sonsuz atış” gerçekleştiremeyiz. Đstatistik dersinde bu iddiayı
ispatlayacağız. Matematikte, Pisagor Teoremini ispatlar gibi.
Düzgün bir zarın 25 ‘inci atılışında ne geleceğini kesin olarak söyleyemeyiz. Eşit
olasılıkla 1,2,3,4,5,6 sayılarından biri gelecektir diyebiliriz. 25 atışta gelen sayıların
ortalaması ne olur? Bu soruya dönem sonuna doğru cevap verebileceksiniz.Düzgün bir zarın
25 kez atılışında gelen sayıların ortalaması %90 olasılıkla 2.94 ile 4.06 arasında olacaktır
diyebileceksiniz. Şimdilik, deney yaparak kontrol edebilirsiniz. Bir tavla zarı alıp, 25 kez
atınız, gelen sayıları toplayıp 25 e bölün. Çıkan sayının (2.94 , 4.06) aralığında olup
olmadığına bakın.
“Bana ne, zar da beni ilgilendirmiyor, çıkan sayı da” diyebilirsiniz, ancak rasgelelik
(gelişigüzellik) ortamında hesap yapmayı öğrenmezseniz, ileride “gelişi-güzel” olan olaylar
birer felâket olabilir. Depremlerde binaları yıkılan inşaat mühendisleri arasında risk hesabı
yapmayı bilmeyenler mi vardı acaba?
Kümeler Cebiri
σ-Cebir
Küme kavramı matematiğin bir temel kavramıdır. Kümeler A,B,C,D,…
gibi büyük harflerle gösterilir. Üzerinde çalıştığımız kümeyi genellikle Ω harfi
ile gösterip, boş olmadığını varsayacağız. Kuvvet kümesi için kullandığımız
P( Ω ) gösterimi ile birlikte 2Ω gösterimini de kullanacağız.
Birleşim: A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}
n
A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = ∪Ai = {x : x ∈ A1 ∨ x ∈ A2 ∨ ... ∨ x ∈ An }
i =1
∞
A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ∪ ... = ∪ An = { x : en az bir n için x ∈ An , n = 1, 2,3,...}
n=1
Birleşiminin etkisiz elemanı ∅ olmak üzere, A ∪ ∅ = ∅ ∪ A = A dır.
Kesişim: A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}
n
A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An = ∩Ai = {x : x ∈ A1 ∧ x ∈ A2 ∧ ... ∧ x ∈ An }
i =1
∞
A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ∪ ... = ∩ An = { x : her n için x ∈ An , n = 1, 2, 3,...}
n=1
Kesişimin etkisiz elemanı Ω olmak üzere, A ∩ Ω = Ω ∩ A = A dır
Birleşim ve Kesişimin Bazı Özellikleri:
A ∪ B = B ∪ A , A ∩ B = B ∩ A (değişme özelliği)
( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) = A ∪ B ∪ C (birleşme özelliği)
( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) = A ∩ B ∩ C
““
A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) ( ∩ ’in ∪ üzerine dağılma özelliği)
A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) ( ∪ ’in ∩ üzerine dağılma özelliği)
∞
∞
A ∩ (∪Bi ) = ∪( A ∩ Bi )
i =1
∞
∞
i =1
i =1
A ∪ (∩Bi ) = ∩( A ∪ Bi )
,
i =1
Tümleme: A,B ⊂ Ω olsun. B\A, A’nın B’ye göre tümleyenini göstermek üzere,
B\A= {x : x ∈ B ve x ∉ A}
dır. Ω \A kümesi A nın Ω ya göre tümleyeni olmak üzere bu kümeyi A şeklinde
göstereceğiz ve kısaca A ‘nın tümleyeni diyeceğiz.
De’Morgan Kuralları:
A∪ B = A∪ B
,
∞
∞
∪ An = ∩ An
n=1
n=1
,
A∩ B = A∩ B
∞
∞
n=1
n=1
∩ An = ∪ An
Ω
B
A
A∩ B
Ω = A∪ A
A = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ B )
A∩ B
A∩B
A ∩ B = A\(A ∩ B)
B = ( B ∩ A) ∪ ( B ∩ A)
A ∪ B = A ∪ ( A ∩ B ) = B ∪ ( B ∩ A) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ B )
olmak üzere, son eşitlikte iki kümenin birleşimi üç farklı şekilde ayrık kümelerin
birleşimi olarak yazılmıştır.
Ω
B
A
C
A ∪ B ∪ C = A ∪ ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ B ∩ C )
Ω
B
A
A∩B
A∩ B ∩C
C
A ∪ B ∪ C ∪ D = A ∪ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ B ∩ C ) ∪ (( A ∩ B ∩ C ∩ D )
ve sayılabilir sonsuz tane kümenin birleşimi ayrık kümeler cinsinden
∞
A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ∪ ... = ∪ An = A1 ∪ ( A1 ∩ A2 ) ∪ ( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) ∪ ...
n=1
olarak yazılabilir (olarak ispatlayınız). Sezgisel olarak, A1 , A2 ,..., An ,... kümelerinin
birleşimindeki elemanlar; A1 dekiler, A1 de olmayıp da A2 dekiler, A1 de olmayıp
ve A2 olmayıp A3 dekiler, ... ‘den oluşmaktadır diyebiliriz.
I bir indis kümesi olmak üzere,
∪ Ai = { ω : ∃i ∈ I için ω ∈ Ai }
i∈I
∩ A = { ω : ∀i ∈ I için ω ∈ A }
i
i
i∈I
olduğunu hatırlatalım ( I = ∅ için
∪A =∩A =∅
i
i∈I
i
kabul edilmektedir).
i∈I
Ω ‘nın altkümelerinin bir ( An ) dizisi için lim sup An (üst limit) ve lim inf An
(alt limit) kavramları aşağıdaki gibi tanımlanır.
∞
∞
lim sup An = ∩ ∪ Ak
n =1 k = n
∞
∞
lim inf An = ∪ ∩ Ak
n =1 k = n
Eğer lim sup An = lim inf An = A ise ( An ) dizisine yakınsak ve A kümesine bu
dizinin limiti denir ve bu limit kısaca lim An olarak gösterilir.
Kümelerin bir ( An ) dizisi için A1 ⊂ A2 ⊂ ... ⊂ An ⊂ ... olduğunda, bu diziye
artan ve A1 ⊃ A2 ⊃ ... ⊃ An ⊃ ... olduğunda azalan diyelim (altküme-öz altküme,
artan-azalmayan, azalan-artmayan ayrımlarını yapmayalım). Her iki durumda
diziye monoton diyelim. Artan diziler için
∞
lim An = ∪ An
i =1
ve azalan diziler için
∞
lim An = ∩ An
n =1
dır.
Boş olmayan bir kümenin altkümelerinden oluşan kümeye sınıf denir.
Sınıfları U , B gibi el yazısı harflerle göstereceğiz.
Örnek: Ω ={a,b,c,d} olsun
U1 ={ ∅ ,{a},{b,c,d}, Ω }
U 2 ={{a},{b},{c},{d}}
U 3 ={ ∅ , Ω }
kümeleri Ω üzerinde birer sınıftır.
Örnek: R reel sayıların kümesi olmak üzere,
( a, b ) = {x ∈ R : a < x < b} olmak üzere
[ a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} olmak üzere
( a, b ] = { x ∈ R : a < x ∈ b} olmak üzere
[ a, b ) = { x ∈ R : a ≤ x < b} olmak üzere
( −∞, a ) = {x ∈ R : x < a} olmak üzere
( −∞, a ] = [ x ∈ R : x ≤ a} olmak üzere
( a, ∞ ) = {x ∈ R : x > a} olmak üzere
[ a, ∞ ) = { x ∈ R : x ≥ a} olmak üzere
B₁ = {( a, b ) : a < b, a, b ∈ R}
B₂ = {[ a, b ] : a ≤ b, a, b ∈ R}
B₃ = {( a, b ] : a < b, a, b ∈ R}
B₄ = {[ a, b ) : a < b, a, b ∈ R}
B5 = {( −∞, a ) : a ∈ R}
B6 = {( −∞, a ] : a ∈ R}
B7 = {( a, ∞ ) : a ∈ R}
B8 = {[ a, ∞ ) : a ∈ R}
kümeleri R üzerinde birer sınıftır. R ‘nin kendisi de (−∞, +∞) aralığı olarak

8

düşünülürse, R ‘deki bütün aralıkların kümesi olan  ∪ Bi  ∪ {R} kümesi, R
 i =1
üzerinde bir sınıftır.

Tanım: Bir Ω kümesinin altkümelerinden oluşan bir C sınıfı,
i) Ω ∈ C ,
ii) ∀A ∈ C kümesi için A ∈ C ,
iii) ∀A, B ∈ C ⇒ A ∪ B ∈ C
özelliklerine sahipse C sınıfına Ω da bir cebir denir.
Tanım: Bir Ω kümesinin altkümelerinden oluşan bir U sınıfı,
i) Ω ∈ U ,
ii) ∀A ∈ U kümesi için A ∈ C ,
∞
iii) U de her ( An ) dizisi için ∪ An ∈ U ,
n =1
özelliklerine sahipse U sınıfına Ω da bir σ-cebir denir.
Örnek: Ω ={a,b,c,d} olsun
U1 ={ ∅ ,{a},{b,c,d}, Ω }
U 2 ={{a},{b},{c},{d}}
U 3 ={ ∅ , Ω }
olmak üzere, bu sınıflardan hangisi σ -cebirdir?
U1 sınıfı σ -cebirdir
U 2 sınıfı σ -cebir değildir
U 3 sınıfı σ -cebirdir.
Cebirler, elemanları kümeler olan sınıflar olmak üzere, birleşim, kesişim
ve tümleme işlemlerinin sonlu kez uygulanmasına göre kapalıdırlar. Bir σ-cebir
birleşim, kesişim ve tümleme işlemlerinin sonlu veya sayılabilir sonsuz kez
uygulanmasına göre kapalıdır. Her σ-cebir bir cebirdir, ancak tersi doğru
değildir. Bir cebir artan dizilerin limiti altında kapalı ise bir σ-cebirdir. Azalan
dizilerin limiti altında kapalı olan cebir de bir σ-cebirdir. Kısaca, monoton
dizilerin limiti altında kapalı olan cebirler aynı zamanda birer σ-cebirdir (Đst201Ders1’e bakınız).
Teorem: U , Ω ’da bir σ -cebir ise
a) ∅ ∈ U
b) A1 , A2 ∈ U ⇒ A1 ∪ A2 ∈ U
c) A1 , A2 ∈ U ⇒ A1 ∩ A2 ∈ U
n
A1 , A2 ,..., An ∈ U ⇒ ∩ Ai ∈ U
i =1
∞
A1 , A2 ,..., An ,... ∈ U ⇒ ∩ An ∈ U
n =1
d) A1 , A2 ∈ U ⇒ A1 \A2 ∈ U
dır.
Đspat: U , Ω ’da bir σ -cebir olsun.
a) Ω ∈ U (tanımdaki (i) şıkkından)
Ω ∈ U (tanımdaki (ii) şıkkından)
Ω =∅ ∈ U
dır. Boş küme σ -cebirin elemanıdır.
b) A1 , A2 ∈ U olsun. Yukarıdaki (a) ve (iii) şıklarından,
∞
A1 , A2 , ∅,..., ∅,... ∈ U ⇒ ∪ An = A1 ∪ A2 ∈ U
n =1
dır. Kolayca,
∞
A1 , A2 ,..., An ∈ U ⇒ ∪ An ∈ U
n =1
olduğu görülmektedir. σ -cebir sonlu birleşime göre kapalıdır.
c) A1 , A2 ∈ U olsun. Yukarıdaki (ii) şıkkından,
A1 , A2 ∈ U ⇒ A1 ∪ A2 ∈ U ⇒ A1 ∪ A2 ∈ U ⇒ A1 ∩ A2 ∈ U
dır. Benzer şekilde,
n
A1 , A2 ,..., An ∈ U ⇒ ∩ Ai ∈ U
i =1
ve
∞
A1 , A2 ,..., An ,... ∈ U ⇒ ∩ An ∈ U
n =1
olduğu gösterilebilir. σ -cebir olan sınıflar sonlu kesişime göre ve sayılabilir
sonsuz kesişime göre kapalıdır.
d) A1 , A2 ∈ U ⇒ A1 , A2 ∈ U ⇒ A1 ∩ A2 ∈ U ⇒ A1 \A2 ∈ U
dır.
Not: σ -cebirler ∪, ∩ , \ işlemlerinin sonlu veya sayılabilir sonsuz kez
uygulanmasına göre kapalı sınıflardır.
n
Ω ‘nın eleman sayısı n olduğunda Ω üzerinde 22 − 1 tane sınıf
oluşturulabilir. Bunlardan bazıları σ -cebir, bazıları σ -cebir değildir. Ω sonsuz
elemanlı olduğunda, Ω üzerinde sonsuz tane sınıf ve sonsuz tane σ-cebir
oluşturulabilir ( a ∈ Ω için ∅, {a} , {a}, Ω sınıfı bir σ-cebirdir). Bir Ω kümesi
{
}
üzerinde oluşturulan {∅, Ω} ve { A : A ⊂ Ω} sınıfları birer σ-cebir, dolayısıyla
cebirdir. U sınıfı Ω üzerinde herhangi bir σ-cebir olmak üzere,
{∅, Ω} ⊂ U ⊂ { A : A ⊂ Ω}
dır. Bir Ω kümesi üzerinde oluşturulabilecek en küçük σ-cebir {∅, Ω} ve en
büyük σ-cebir Ω ‘nın kuvvet kümesidir. Buradaki sıralama altküme ( ⊂ )
bağıntısına göredir ve bir kısmi sıralamadır (bütün σ-cebirler küçükten büyüğe
doğru dizilemez).
Teorem: U1 ve U2 , Ω kümesi üzerinde iki σ-cebir ise U1 ∩ U2 de Ω kümesi
üzerinde bir σ-cebirdir.
Đspat: i) Ω ∈ U1 ve Ω ∈ ∩U2 ⇒ Ω ∈ U1 ∩ U2
ii) A ∈ U1 ∩ U2 ⇒ A ∈ U1 ve A ∈ ∩U2 ⇒ A ∈ U1 ve A ∈ ∩U2 ⇒ A ∈ U1 ∩ U2
iii) ( An ) , U1 ∩ U2 ‘de bir dizi olsun.
An ∈ U1 ∩ U2 , n = 1, 2,3,... ⇒ An ∈ U1 ve An ∈ U2 , n = 1, 2,3,...
∞
∞
n =1
n =1
⇒ ∪ An ∈ U1 ve ∪ An ∈ U2
∞
⇒ ∪ An ∈ U1 ∩ U2
n =1
Teorem: A , Ω kümesi üzerindeki bir sınıf olmak üzere, A sınıfını kapsayan
bir en-küçük σ-cebir vardır.
Đspat: A ⊂ P( Ω ) olmak üzere, A sınıfını kapsayan en az bir σ-cebir vardır. A
sınıfını kapsayan σ-cebirlerin arakesitini σ ( A ) ile gösterelim. σ ( A ) bir σcebirdir ve A sınıfını kapsayan σ-cebirler arasında en küçüktür.
Borel Cebiri
Ω = R (veya Ω ⊂ R ) olsun. R, reel sayıların kümesinde
( a, b ) = {x ∈ R : a < x < b} olmak üzere
[ a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} olmak üzere
( a, b ] = { x ∈ R : a < x ∈ b} olmak üzere
[ a, b ) = { x ∈ R : a ≤ x < b} olmak üzere
( −∞, a ) = {x ∈ R : x < a} olmak üzere
( −∞, a ] = [ x ∈ R : x ≤ a} olmak üzere
( a, ∞ ) = {x ∈ R : x > a} olmak üzere
[ a, ∞ ) = { x ∈ R : x ≥ a} olmak üzere
B₁ = {( a, b ) : a < b, a, b ∈ R}
B₂ = {[ a, b ] : a ≤ b, a, b ∈ R}
B₃ = {( a, b ] : a < b, a, b ∈ R}
B₄ = {[ a, b ) : a < b, a, b ∈ R}
B5 = {( −∞, a ) : a ∈ R}
B6 = {( −∞, a ] : a ∈ R}
B7 = {( a, ∞ ) : a ∈ R}
B8 = {[ a, ∞ ) : a ∈ R}
sınıfları birer σ -cebir değildir.
reel sayılar kümesindeki ( a, b ) = {x ∈ R : a < x < b} açık aralıkların
oluşturduğu
R
B₁ = {( a, b ) : a < b, a, b ∈ R}
sınıfı bir σ-cebir değildir. Açık aralıkların sınıfını kapsayan (açık aralıkların
doğurduğu) en küçük σ-cebire Borel cebiri denir ve B veya B(R ) ile gösterilir.
Borel cebirinde bulunan bazı elemanlar.
Kapalı aralıkların doğurduğu en küçük σ-cebir de Borel cebiri’dir. Esasında
B = σ (Bi ) , i = 1, 2,...,8 ‘dir.
Rasgelelik
Rasgele Sonuçlu Deney
Örnek Uzay
Olaylar
Aklımız ile gerçek dünyadaki olguları anlamak-anlatmak (modellemek)
isteriz. Anlama-anlatma sürecinde ilk önce yapılması gereken, olgudaki
kavramlar ile anlatımda kullanılan dilin (örneğin matematik) kavramları
arasındaki bağı kurmaktır. Fizik derslerinde gördüğümüz gibi, gerçek dünyadaki
hareket olgusundaki hız kavramı anlatımda türev, kuvvet kavramı anlatımda bir
vektör olmaktadır.
Rasgele Sonuçlu Deney: Sonuçlarının kümesi belli olan, ancak hangi
sonucun ortaya çıkacağı önceden söylenemeyen bir işleme Rasgele Sonuçlu
Deney veya kısaca Deney denir.
Örnek Uzay: Bir deneyin tüm olabilir sonuçlarının kümesine Örnek Uzay
denir.
Olay: Örnek uzayın bir altkümesine Olay denir.
Örnek: Bir tavla zarının atılması ve üste gelen yüzeyin gözlenmesi bir Rasgele
Sonuçlu Deney’dir. Olabilir sonuçların kümesi, yani Örnek Uzay,
olarak ifade edilebilir (saymayı bilmeyen iki yaşında bir çocuk üst yüzeyde
bunları gözleyecektir). Örnek uzayı genellikle S harfi veya Ω harfi ile
göstereceğiz. Bu deneyde,
{ }
B ={ i , ∴}
A= i
birer olaydır. S nin kendisi de bir olaydır. Boş kümeyi de bir olay kabul edelim.
Buna göre zar atışında 26 = 64 tane olay söz konusudur.
Bir A ( A ⊂ S ) olayının gerçekleşmesi demek deney sonucunun A
kümesinin elemanı olması demektir. Örneğin zar atıldığında i sonucu gelmişse,
yukarıdaki A = { i } ile B = { i , ∴ } olayları gerçekleşmiş demektir. Sonuç i
olmuşsa, tek sayı noktalı yüzey gelmesi olayı da gerçekleşmiştir. S nin
altkümelerinden i elemanını içeren altkümelere karşılık gelen tüm olaylar
gerçekleşmiştir. Bunların sayısı 32 dir. i elemanını içermeyen altkümelerin
sayısı da 25 = 32 dir. Zar atışı sonucunda i geldiğinde 32 tane olay
gerçekleşmekte ve 32 tane olay da gerçekleşmemektedir. Diğer sonuçlar için de
aynı şey söz konusudur. Zar atıldığında, hangi sonuç gelirse gelsin zar atışı
deneyi ile ilgili 64 tane olaydan yarısı gerçekleşmektedir.
Her ne kadar, tavla zarlarının yüzeylerinde yazılı sayılar bulunmasa da, ki
bunlar noktalar sayma (ölçme) işleminden sonra ortaya çıkıyor olsa da, şimdilik
zar yüzeylerinde nokta yerine sayıların yazılı olduğunu düşünelim (ileride bunu
düzeltiriz, noktalı zarlara döneriz). Buna göre Örnek Uzay,
S = {1,2,3,4,5,6} , n(S)=6
olarak ifade edilebilir. Bu deney ile ilgili olaylardan bazıları,
A = {1}
: bir gelmesi olayı
C = {1,3,5}
: tek sayı gelmesi olayı
D= {1,2,3}
: dörtten küçük bir sayı gelmesi olayı
E = {5,6}
: dörtten büyük bir sayı gelmesi olayı
F = {6}
: altı gelmesi olayı
G = {1,2,3,4,5}: altı gelmemesi olayı
H = A ∪ F={1,6} : bir veya altı gelmesi olayı
I = C ∩ D= {1,3} : tek ve dörtten küçük bir sayı gelmesi olayı
dır. Tüm olayların kümesi S nin kuvvet kümesidir.
P(S) = {A:A ∈ S}
, n(P(S))= 26
kuvvet kümesinde 64 tane küme (olay) vardır. Bunlar arasındaki ∅ boş kümeye
imkânsız olay, S nin kendisine de kesin olay denir. Bazı durumlarda, olayların
sadece bir kısmı ile ilgileniriz. Örneğin zar atışında sadece gelen nokta sayısının
tek veya çift olması ile ilgileniyor olabiliriz. Bu durumda ilgilendiğimiz
olayların kümesi, ∅ ve S ile birlikte,
{ ∅ , S , {1,3,5}{2,4,6}}
dır.
Örnek: Bir madeni paranın tura gelinceye kadar atılması deneyinde Örnek
Uzay,
S = {T , YT , YYT , YYYT, YYYYT , ...}
biçiminde gösterilsin. Bu deney ile ilgili olaylardan bazıları,
A = {T}
: ilk atışta tura gelmesi olayı
B = {T, YT, YYT}
: dördüncü atıştan önce tura gelmesi olayı
C = {YT, YYYYYYT}
: ikinci veya yedinci atışta tura gelmesi olayı
D = {T, YYT, YYYYT, YYYYYYT, ...} : turanın tek sayılı atış sonucu
gelmesi olayı
olmak üzere, bu deney ile ilgili sonsuz tane olay tanımlanabilir. Tüm olayların
kümesi olan kuvvet kümesi oldukça karmaşıktır.
Örnek: Yarın saat 12 de Fen Fakültesinde, havuzların yanında hava
sıcaklığının (derece santigrat olarak) gözlenmesi deneyi ile ilgili Örnek Uzay,
S = {t : -50<t<50}
biçiminde yazılabilir. Bu deney ile ilgili olaylardan bazıları,
A = {t : 15<t<35}
B = {t : 0 ≤ t ≤ 50}
C = {t : t=10}
: sıcaklığın 15 ile 25 derece arasında olması olayı
: sıcaklığın sıfırın üzerinde olması olayı
: sıcaklığın 10 derece olması olayı
olmak üzere bu deney ile ilgili sonsuz tane olay tanımlanabilir. Tüm olayların
kümesi olan kuvvet kümesi Örnek 2’ dekine göre daha karmaşıktır.
Örnek: Bu gece saat 0 ‘dan yarın akşam saat 24 ‘e kadar aynı yerde hava
sıcaklığı sürekli gözlense, deney sonucu
f :[0, 24] → (−50, 50)
t → f (t )
gibi bir fonksiyon, hattâ sürekli bir fonksiyon olur diyebiliriz. Örnek Uzay,
S = {f : f :[0, 24] → (−50, 50) ve f fonksiyonu sürekli}
biçiminde yazılabilir. Örneğin,
A={f : f :[0, 24] → (−50, 50) , f fonksiyonu sürekli ve f(t)>0 , t ∈ [0, 24] } ⊂ S
olayı, 24 saat boyunca hava sıcaklığının sıfırın üstünde olması olayıdır.
Bir S Örnek Uzayında A ile B iki olay (A,B ⊂ S) olmak üzere:
A ∪ B olayına “A veya B olayı”
A ∩ B olayına “A ve B olayı”
A = S\A olayına “A değil olayı”
denir.
A veya B olayının gerçekleşmesi demek en az birinin gerçekleşmesi
demektir.
A ve B olayının gerçekleşmesi demek her ikisinin de gerçekleşmesi
demektir.
olayının gerçekleşmesi demek A nın gerçekleşmemesi demektir.
Dikkat edilirse, olgular dünyasında olaylardan, matematik karşılıklarında ise
kümelerden bahsetmekteyiz. Olayları “ve” , “veya” bağlaçları ile bağlayıp ya da
değilleme yaparak yeni olaylardan bahsetmekteyiz. Bu olayların karşılıkları olan
kümelere gelince, “birleşim”,”kesişim” işlemleri yaparak ve tümleyen alarak
yeni kümeler elde etmekteyiz.
Bir deney ile ilgili iki olaydan ikisi de deney sonucunda aynı anda
gerçekleşemiyorsa, yani Örnek Uzayda bu iki deneye karşılık gelen kümelerin
arakesiti boş küme ise bu olaylara ayrık olaylar denir. Bir zar atışında, çift sayı
gelmesi olayı ile tek sayı gelmesi olayı ayrık olaylardır.
A
Gerçek dünyadaki rasgele sonuçlu bir deneyle ilgili olabilecek sonuçların
kümesi Örnek Uzay, olaylar Örnek uzayın altkümeleri ve ilgilendiğimiz
olayların kümesi ise bir σ -cebir oluşturmaktadır. Örneğin, 4 farklı renkten
toplar bulunduran bir torbadan rasgele bir top çekilmesi ve renginin gözlenmesi
deneyindeki Örnek Uzay 4 elemanlı bir kümedir. Bu deneydeki tüm olaylar bizi
ilgilendiriyor olsun. Tüm olayların sınıfı Örnek Uzayın kuvvet kümesidir ve bu
bir σ -cebirdir. Deney ile ilgili söz konusu olabilecek olaylardan yarısı deney
sonucunda gerçekleşmektedir. Bu “olayların olasılıkları” aynı mıdır? Örneğin,
torbada 1 beyaz, 2 siyah, 3 sarı, 4 kırmızı top bulunsa, koyu renkli top çekilmesi
olayının olasılığı ne olurdu? Beyaz top gelmesi olasılığı nedir? Kırmızı topun
gelmemesi olasılığı nedir?
Olasılık kavramı bir sonraki derste...
PROBLEMLER
1. Ω = {a, b, c, d } olsun. 2Ω kuvvet kümesinin elemanlarını yazınız. 2Ω bir σ -cebir midir?
{{a}} sınıfını kapsayan iki tane σ -cebir bulunuz.
2.
U , Ω da σ -cebir ve B ≠ ∅, B ⊂ Ω olsun.
U B = { A : A = B ∩ C, C ∈U }
olmak üzere U B nin B de bir σ -cebir olduğunu gösteriniz. B ⊂ Ω ve B ∈ U ise U B ⊂ U
olduğunu ispatlayınız.
∞
3.
Aşağıdaki durumlar için
a)
An = (
∩A
n
yi bulunuz.
n =1
−1 1
, )
n n
b) An = (
−1
, 3]
n
c)
1
1
An = (a − , b + ) ,
n
n
a<b
1
d) An = {( x, y ) : 0 ≤ x 2 + y 2 ≤ , ( x, y ) ∈ R × R}
n
1
1
e) An = {( x, y ) : 4 − ≤ x 2 + y 2 < 9 + , ( x, y ) ∈ R × R}
n
n
∞
4.
Aşağıdaki durumlar için
∪A
n
yi bulunuz.
n =1
a)
An = [ 1n , 2]
b)
An = (− n, 2]
c)
An = ( 1n , 4 − 1n ]
d) An = {( x, y ) : 1n ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 − n1 , ( x, y ) ∈ R × R}
e) An = {( x, y ) : 2 + 1n < x 2 + y 2 < 4 − 1n , ( x, y ) ∈ R × R}
5. Bir torbanın içinde 5 beyaz, 4 mavi, 3 kırmızı ve 2 sarı top bulunsun.
a) Bir top çekilmesi ve renginin gözlenmesi deneyinin örnek uzayını yazınız.
b) Đadeli olarak (çekileni geri atarak) iki kez birer top çekilmesi ve renginin
gözlenmesi deneyinin örnek uzayını yazınız.
c) Đadeli olarak üç kez birer top çekilmesi ve renginin gözlenmesi deneyinin örnek
uzayını yazınız.
d) Đadesiz olarak (çekileni geri atmaksızın) iki kez birer top çekilmesi ve renginin
gözlenmesi deneyinin örnek uzayını yazınız.
e) Đadesiz olarak üç kez birer top çekilmesi ve renginin gözlenmesi deneyinin örnek
uzayını yazınız.
f) Aynı anda iki top çekilmesi ve renklerinin gözlenmesi deneyinin örnek uzayını
yazınız.
g) Aynı anda üç top çekilmesi ve renklerinin gözlenmesi deneyinin örnek uzayını
yazınız.
h) Beyaz top gelinceye kadar iadesiz olarak toplar çekilmesi ve renklerinin
gözlenmesi deneyinin örnek uzayını yazınız.
ı) Beyaz top gelinceye kadar iadeli olarak toplar çekilmesi ve renklerinin gözlenmesi
deneyinin örnek uzayını yazınız.
2. Yarıçapı 1 santimetre olan çok ince dairesel madeni bir pul, taban yarıçapı 10 santimetre
olan bir silindirin içine rasgele atılmaktadır. Deney sonuçları gözlemleme (ölçme yapma)
sonucu ortaya çıkacaktır.
a) Tabanın merkez noktası pul tarafından örtüldü-örtülmedi şeklinde gözlem (ölçme)
yaparak,
b)Tabana çizilen bir koordinat sisteminde pulun merkezinin koordinatlarını gözleyerek
ölçerek),
c) Tabanın merkezi ile pulun merkezi arasındaki uzaklığı gözleyerek (ölçerek)
deneyi gerçekleştirebilirsiniz. Her bir durum için örnek uzayı ve bu uzayda örtme olayını
yazınız.
Laboratuar Çalışması
Konu: “rasgelelik (gelişigüzellik)” olgusu.
Araç-gereç: düzgün bir tavla zarı, kalem, defter.
1.Deney: Bir tavla zarını bir kez atınız ve üste gelen yüzeydeki noktaların sayısını (buna
gelen sayı diyelim) yazınız. Zar atışı sonucu gelen sayıya “rasgele (gelişigüzel) gelen sayı”
diyelim.
2.Deney: Zar atışını 25 kez tekrarlayınız ve gelen sayıları bir satıra yazınız. Đkinci bir satıra
1,2,3,4,5,6 sayılarından 25 tane (“kafadan”) yazınız. Đki satır arasında bir fark görünüyor mu?
Bir arkadaşınıza hangi satırın zar atışı sonucu, hangisinin kafadan yazıldığını sorun.
Bilememiş ise, “Bak ben kafadan düzgün zar atışı yapabiliyorum” deyip hızlıca 50
sayı yazın. Arkadaşınıza gösterin. Ne diyor? Đtiraz ettiği bir şeyler mi var? Düzgün bir zar
atışındaki “rasgelelik (gelişigüzellik) anlayışına” ters düşen bir şey mi var?
3.Deney: Kaleminizin (altı yüzlü) yüzeylerine 1,2,3,4,5,6 sayılarını yazıp kalemi tekerleyip
üste gelen yüzeydeki sayıyı gözleyiniz. Bunu 25 kez tekrarlayınız. Zar atmış gibi olur muyuz?
Zar atışı ile kalem tekerlemesi deneylerinde aynı “rasgelelik (gelişigüzellik)” vardır diyebilir
miyiz?
4.Deney: Üzerlerinde 1,2,3,4,5,6 sayıları yazılı, 6 top bulunan bir torbadan bir top çekilmesi
ve gelen sayıya bakılması deneyi ile düzgün zar atışı deneyindeki “rasgelelik (gelişigüzellik)”
aynıdır diyebilir miyiz? Bu toplarla, düzgün bir zarın 25 kez atılması deneyi nasıl yapılabilir?
5.Deney: Üzerlerinde 1,2,3,4,5,6,6,6,6,6 sayıları yazılı, 10 top bulunan bir torbadan bir top
çekilmesi ve gelen sayıya bakılması deneyi ile düzgün zar atışı deneyindeki “rasgelelik
(gelişigüzellik)” aynıdır diyebilir miyiz?
6.Deney: QBASIC de INT(6*RND)+1 deyimini işletiniz ve sonuçlara bakınız. Düzgün zar
atışı gibi mi?
Beyin cimnastiği:
***Düzgün bir tavla zarının arda arda atılışı sonucu oluşan dizide 6 rakamları arasında
bulunan 1,2,3,4,5 rakamlarının sayısı rasgele (gelişigüzel) midir? Ortalama olarak kaç atış
sonrası bir 6 gelmektedir?