Document

İş ve Enerji
1. GİRİŞ
2. Sabit kuvvetlerin yaptığı iş
3. İki Vektörün Çarpımı
4. Değişken Bir kuvvetin Yaptığı İş
5. İş ve Kinetik Enerji
6. Güç
7. Enerji ve Otomobil
8. Rölativistik Enerji
Sabit Kuvvetin Yaptığı İş
Enerji: Bir cismin iş yapma yeteneği olarak bilinir.
Sabit bir F kuvvetinin etkisi altında bir
F
doğrusal yol boyunca hareket eden cismin
θ
Fcos θ
yerdeğiştirmesi s dir.
s
θ: F nin s ile yaptığı açı
Sabit kuvvet tarafından yapılan iş, kuvvetin yerdeğiştirme doğrultusundaki
bileşeni ile yerdeğiştirmenin büyüklüğünün çarpımına eşittir.
W=(Fcosθ)s (1)
Sabit bir kuvvetin işi
F kuvvetinin cisim üzerinde iş yapabilmesi için
1. Cisim yerdeğiştirmeli
Bir cisim hareket etmezse (s=0), cisim üzerinde kuvvetin yaptığı iş sıfırdır.
2. F nin s doğrultusundaki bileşeni sıfırdan farklı olmalıdır.
İşin işareti F nin s ye göre yönüne bağlıdır. θ=900, cos900=0
F nin cos bileşeni s ile aynı yönde ise iş pozitiftir.
Sabit Kuvvetin Yaptığı İş
W yı negatif yapan örnek,
Bir cisim pürüzlü bir yüzey üzerinde kaydırıldığında
sürtünme kuvvetinin yaptığı iştir. Sürtünme kuvveti f
ile gösterildiğinde; kuvvet, kayan cisme bir s
yerdeğiştirmesi yaptırılmışsa sürtünme kuvvetinin
yaptığı iş
Wf = - f s
(2)
F kuvveti s boyunca ise
W= F s
(3)
İş skaler bir niceliktir
birimi
kuvvet. uzunluk
S.I
Newton. Metre (N. m)
Joule (J)
c.g.s
dyne.santimetre
erg
1 J= 107 erg
N
F
θ
f
mg
Sabit Kuvvetin Yaptığı İş
Soru 4. Tuğla dolu bir el arabası, 18 kg lık bir toplam kütleye sahip olup bir halat
yardımıyla sabit hızla çekilmektedir. Halat, yatayın üzerinde 200 açıda ve araba
yatay düzlemde hareket etmektedir. Yer ile el arabası arasındaki kinetik
sürtünme katsayısı 0,5 dir.
N
F
(a) İpteki gerilme nedir?
(b) Araba 20m hareket ettiği zaman halatın araba üzerinde
θ
f
yaptığı iş ne kadardır?
(a) Sürtünme kuvvetinin yaptığı iş ne kadardır?
(a)
 F  F sin   N  mg  0
 F  F cos 20   N  0
y
N  mg  F sin 
0
x
k
N 
F cos 

mg
mg  F sin  
(b)WF = Fdcosθ = (79.4N)(20m)cos200 = 1.49kJ
fk = F cosθ =79.4x cos20= 74.6 N
Wf = fk d cosθ = (74.6 N) (20m) cos 180 0= -1.49 kJ

 cos

F 
 sin    mg
 

F
(c)
F cos 
176.4 N
 79.4 N
0
cos 20
 sin 200
0.5
Soru 7. 150N luk yatay bir kuvvet, 40 kg lık bir kutuyu pürüzlü, yatay bir yüzeyde
6m uzaklığa itmek için kullanılmaktadır. Kutu sabit hızla hareket ederse
(a) 150N’luk kuvvetin yaptığı işi
(b) sürtünme kuvvetinin
(c) Kinetik sürtünme katsayısını bulunuz.
(a) W=(150N) (6m)= 900 J
(b) sabit süratte Wnet=0 veya Wf = Wuy = -900J
(c) Wf= f s cos θ = µ m g s cos 1800
Wf
900 J


 0.383
0
2
mgs cos180
(40kg) 9.80m / s 6m 1


İki vektörün Skaler Çarpımı
A ve B gibi iki vektörün skaler çarpımı, skaler bir nicelik olup, bu iki vektörün
büyüklükleri ile arasındaki açının kosinüsünün çarpımına eşittir.
A ve B nin skaler (veya nokta) çarpımı
A .B = A. B. cosθ
(7.4)
burada
B
θ: A ile B arasındaki açı
A: A nın büyüklüğü
B: B nin büyüklüğü
θ
A.B=A.B cosθ
A ve B nin birimleri farklı olabilir.
B.cosθ
A.B
B nin A üzerindeki izdüşümü
A
B. Cosθ
A nın büyüklüğüyle, B nin A üzerindeki izdüşümü ile çarpımı
(7.4) eşitliği yerdeğiştirebilir (komutatif)
A.B = B.A
(7.5)
İki vektörün Skaler Çarpımı
Skaler çarpım, çarpmanın dağılma özelliğine uyar.
A. (B+C) = A.B + A.C
(7.6)
i, j ve k birim vektörleri, bir sağ koordinat sisteminin sırasıyla pozitif x, y ve z
eksenlerinde yer alır.

ˆi .iˆ  j . j k.k=1
(7.7a)

ˆi . ˆj  j .k  i.k=0
(7.7b)
olur. A ve B vektörleri, bileşenleri cinsinden
A = Axi + Ayj+ Azk
B=Bxi +Byj +Bzk
(7.8)
olarak ifade edilir. A ve B skaler çarpımı
A.B = AxBx + AyBy+ AzBz
ifadesine indirger. A=B özel durumunda
A . A = Ax2 + Ay2 + Az2 = A2
olur.
A.B=0 (θ=900) A.B=A.B (θ=0)
A.B=-A.B (θ=1800)
900< θ<1800 olduğunda
skaler çarpım negatiftir.
Örnek 7.2 Skaler Çarpım
A and B vektörleri A=2i+3j ve B=-i+2j olarak veriliyor.
a) A.B skaler çarpımını bulunuz.
b) A ve B arasındaki θ açısını bulunuz.
0
0
a) A.B= (2i+3j). (-i+2j) = -2i.i + 2i.2j - 3j.i + 3j.2j = -2+6=4
b) A  Ax2  Ay2 
B  Bx2  By2 
22  32
 12  22
 13
 5
A .B = A. B. Cosθ den
 
4
A.B
4
4
  cos 1
 60,30
cos 


8.06
AB
13 5
65
Örnek 7.3 Sabit bir kuvvet tarafından yapılan iş
xy-düzleminde hareket eden bir parçacık F=(5i+2j) N luk sabit bir kuvvetin
etkisi ile d=(2i+3j)m lik yerdeğiştirme yapıyor.
(a) Yerdeğiştirme ve kuvvetin büyüklüklerini hesaplayınız.
(b) F tarafından yapılan işi hesaplayınız.
Soru 12. A=3i+j-k, B=-i+2j+5k ve C=2j-3k olarak verilen üç vektör için C.(A-B) yi
bulunuz.

 

 
A  B  3iˆ  ˆj  kˆ   iˆ  2 ˆj  5kˆ  4iˆ  ˆj  6kˆ



  
C.( A  B)  2 ˆj  3kˆ . 4iˆ  ˆj  6kˆ  0  (2)  (18)  16.0
Soru 13. Skaler çarpımın tanımını kullanarak, aşağıdaki vektör çiftleri arasındaki
açıları bulunuz.




Ödev b) A =-2i+4j ve B =3i-4j+2k


c) A =i-2j+2k ve, B = 3j+ 4k
Ödev a) A =3i-2j ve, B = 4i-4j
c)
 
A.B
68
cos  1 
 cos 1 (
)
AB
9 25
Soru 14.
32,8N
17,3cm/s
1180
Ф
y
θ=82,30
Şekildeki vektörlerin skaler çarpımını bulunuz.
x
1320
İki vektör arasında açı bulunur.
θ=1180 -900=280
Ф =90-70=200
α=1320 -900 =420
F.v= FvcosФ=5.33N.m/s
DEĞİŞKEN BİR KUVVETİN YAPTIĞI İŞ
BİR-BOYUTLU DURUM
Fx
Değişken bir kuvvetin etkisi altında ve x-ekseni
boyunca x=xi den x=xs ye bir cisim yerdeğiştiriyor.
(a)
Burada kuvvetin yaptığı iş, sadece F büyüklük ve
yönce sabit olduğunda
xi
Δx
Şekila
W=(F cosθ)s
xj
kullanılır. Fakat, cisim Şekil a da tanımlanan küçük bir Δx yerdeğiştirmesi yaptığında
kuvvetin x bileşeni (Fx) bu aralıkta yaklaşık olarak sabit olur. Bu durumda bu küçük
yerdeğiştirme için kuvvetin yaptığı iş
ΔW=FxΔx
Fx
olarak ifade edilir. Bu, tam olarak Şekil a daki gölgeli
dikdörtgenin alanıdır. Fx in x ile değişen eğrisini
Şekil a daki gibi çok sayıda bu tip aralıklara bölündüğü
düşünülürse, xi den xs ye olan yerdeğiştirme için
yapılan toplam iş, yaklaşık olarak çok sayıdaki
bu terimlerin toplamına eşit olur:
xs
W   Fx x
xi
(b)
iş
xi
xj
DEĞİŞKEN BİR KUVVETİN YAPTIĞI İŞ
BİR-BOYUTLU DURUM
Yerdeğiştirmeler sıfıra yaklaştırılırsa, toplamdaki terimlerin sayısı sonsuza
gider. Fakat toplamın değeri, Fx ile x ekseninin sınırladığı gerçek alana eşit ve
sonlu bir değere yaklaşır. Matematikte, bu toplamın limitine integral denir ve
xs
xs
lim
x  0
 F x   F dx
x
xi
x
(7.8)
xi
ile gösterilir.
İntegraldeki x=xi den x=xs ye kadar olan sınırlar, integralin belirli integral
olduğunu gösterir. Bu belirli integral, sayısal olarak xi ile xs arasındaki x’e karşı
Fx eğrisi altındaki alana eşittir. Dolayısıyla, cismin xi den xs ye yerdeğiştirmesi
halinde Fx in yaptığı iş
xs
W   Fx dx
(7.9)
xi
olarak ifade edilir. Fx=Fcosθ sabit olduğunda, bu eşitlik (1) denklemine
indirgenir.
DEĞİŞKEN BİR KUVVETİN YAPTIĞI İŞ
BİR-BOYUTLU DURUM
Cisim üzerine birden fazla kuvvet etkirse, yapılan toplam iş, tam olarak
bileşke kuvvetin yaptığı iştir. x doğrultusundaki bileşke kuvvetin  Fx
olarak ifade edersek, cismin xi den xs ye hareket etmesi halinde yapılan
net iş
xs
W  Wnet    Fx dx
olur.
(7.10)
xi

F  (4 xiˆ  3 yˆj )
Soru 18
N luk bir kuvvet bir cisme etki ederek onu orjinden x
yönünde x=5m noktasına hreket ettiriyor. Kuvvetin cisme yaptığı işi bulunuz.
  5m
W   F .ds   (4 xiˆ  3 yˆj ) N .dxiˆ
s
i
5m
0
2
5m
(
4
N
/
m
)
x
.
dx

0

(
4
N
/
m
)
x
/
2
 50 J
0

0
Soru 22. 100g lık bir mermi, 0.6m uzunluğunda bir namluya sahip tüfekten
ateşleniyor. Başlangıç noktası merminin harekete başladığı yer kabul
edildiğinde, gazın genleşmesiyle mermiye uygulanan kuvvet (Newton olarak)
15000+10000x-25000x2 dir. Burada x metre birimindedir.
a) Mermi namlu uzunluğu boyunca giderken gazın mermi üzerine yaptığı işi bulunuz.
b) Namlu 1m uzunluğunda ise ne kadarlık iş yapılır ve bu değeri(a) şıkkında
hesaplanan işle kıyaslayınız.
  0.6 m
W   F .ds   (15000 N  10000 xN / m  25000 x 2 N / m 2 ).dx. cos 0 0
s
i
0
10000 x 2 25000 x 3
W  15000 x 

2
3
0.6
0
W  9kJ  1.8kJ  1.8kJ  9kJ
b)
Aynı şekilde W=11,7kJ %29.6 daha büyük
BİR YAYIN YAPTIĞI İŞ
Kuvvetin konumla değiştiği genel bir fiziksel
sistemdir.
s
Pürüzsüz, yatay bir yüzey üzerindeki bir
cisim, sarmal bir yayla denge konumundan
gerilir ve sıkıştırılırsa
Fs=-kx
(7.11) Hooke Kanunu
s
ile verilen kuvvet uygular.
Xm
x: Cismin gerilmemiş (x=0) konumuna göre
yerdeğiştirmesi
k:yayın kuvvet sabiti olan pozitif bir sabit
Hooke kanunu sadece küçük yerdeğiştirmeler
durumunda geçerli
k yayın sertliğinin bir ölçüsü
sert yay- k değeri büyük yumuşak yay- k değeri
küçük
Eşitlik (7.11) deki eksi işaret yayın etkidiği
kuvvetin daima yerdeğiştirme ile zıt yönlü
olduğunu ifade eder.
s
-Xm
x = xf Fs
- xi ==3 -
Kuvvetin konumla değiştiği
genel fiziksel sistem.
3k
BİR YAYIN YAPTIĞI İŞ
Yay kuvveti daima denge konumuna doğru etkidiği için geri çağrıcı kuvvet
Şekildeki, xi = -xm den xs=O a hareket ederken yay kuvvetinin yaptığı iş
xs
W   Fx dx 
xi
0

(kx)dx 
 xm
1
2
kxm
2
Yay kuvveti yerdeğiştirme ile aynı yönlü olduğu için (herikisi de sağa doğru)
yapılan iş pozitiftir.
xi=0 ve xs=xm ye geren bir dış etkenin yaptığı bir dış etkinin yaptığı işi inceleyelim.
Bu iş, uygulanan kuvvetle Fuy, Fs yay kuvvetinin eşit ve zıt yönlü olduğuna dikkat
ederek hesaplanır.
Fuy = -(-kx) = kx
Kullanılarak dış kuvvetin yaptığı iş
xx 0
WFuy
xm
1
2
  Fuy dx   kx dx  kxm
2
x0
0
BİR YAYIN YAPTIĞI İŞ
x e karşı Fs nin grafiği, kütle x=xi den x=xs ye keyfi bir yerdeğiştirme yaparsa,
yay kuvvetinin yaptığı iş
xs
1
1 2
W   (kx)dx  kxi2  kxs
2
2
xi
Alan=1/2kxm2
kxm
Fx
0
x
xm
Fx=-kx
xi=-xm den xs=0 ye giderken
yay kuvvetinin yaptığı net iş
sıfır
Kinetik Enerji ve İş-Kinetik Enerji Teoremi
Sabit net bir ΣF kuvvetinin etkisi altında sağa
doğru hareket eden m kütleli bir parçacığı
göstermektedir. Kuvvet sabit olduğu için
Newtonun ikinci yasasına göre parçacığın sabit bir
a ivmesiyle hareket edeceğini biliyoruz. Parçacık
bir d uzaklığı kadar yerdeğiştirmişse toplam ΣF
kuvvetinin yaptığı iş
ΣF
m
d
vs
vi
W   F d  mad
(7.12)
olur. Bir parçacık sabit ivme ile gittiğinde aşağıdaki bağıntılar geçerli olur.
d
1
vi  v s t
2
a
v s  vi
t
Burada vi, t=0 daki sürat ve vs t anındaki sürattir. Bu ifadelerle iş
v s  vi 1
) vi  vs t
t
2
1
1
W  2 mvs2  2 mvi2
W  m(
elde edilir.
(7.13)
Kinetik Enerji ve İş-Kinetik Enerji Teoremi
1
mv 2 niceliği parçacığın hareketiyle ilgili enerjiyi temsil eder.
2
Bu nicelik kinetik enerjidir. Bir parçacığa etkileyen net sabit bir
F kuvveti
tarafından parçacık üzerinde yapılan iş onun kinetik enerjisindeki değişime eşittir.

Genel olarak bir v süratiyle hareket eden m kütleli bir parçacığın K kinetik enerjisi:
K
1
mv 2
2
(7.14)
olarak tanımlanır.
Kinetik enerji skaler bir nicelik olup, iş ile aynı birime sahiptir.
Örnek: 4 m/s lik süratle giden 2kg lık bir kütlenin 16J lük bir kinetik enerjisi
vardır.
Genellikle, eşitlik7.13
W  K
s
 Ki
(7.15)
ile verilir. İş-Enerji teoremidir. K i  W  K s
olarak verilebilir.
Tablo 1 Çeşitli cisimler için Kinetik enerjiler
Cisim
Kütle (kg)
Sürat(m/s)
Kinetik enerji(J)
Güneş etrafında dönen dünya
5,89x1024
2,98x104
2,65 x1033
Dünyanın etrafında dönen ay
7,35x1022
1,02x103
3,82x1028
500
1,12x10 4
3,14x1010
Kurtulma hızında hareket eden
roket
10 m den düşen taş
Havadaki bir oksijen molekülü
1
5,3x10-26
14
500
9,8x10 1
6,6x10-21
GÜÇ
Uygulamada sadece cisim üzerinde yapılan işi bilmek ilginç değildir. Aynı
zamanda işin yapıldığı süreye oranı da bilmek gerekir.
GÜÇ, enerji aktarma hızıdır.
Bir cisme bir dış kuvvet uygulandığında, t zaman aralığında bu
kuvvetin yaptığı iş W ise, bu süredeki ortalama güç yapılan işin
zaman aralığına oranı olarak tanımlanır: