Solutions of Vlasov Equation with Test Particle Method Vlasov Denkleminin Test Parçacık Yöntemiyle Çözümü Summer School VI on Nuclear Collective Dynamics 24-30 Haziran 2012 Serbülent Yıldırım Namık Kemal Üniversitesi Fizik Bölümü, Tekirdağ İÇERİK • Vlasov Denklemi-Boltzman Denklemi • Nükleer Fizikte Vlasov Denklemi • Vlasov Denkleminin Çözümü – Vlasov Denkleminin PIC Çözümü • Vlasov Denkleminin Nükleer Dinamiğe Uygulanması • Psüdo-Parçacıklardan Test-Parçacıklara • Relativistik Vlasov Denklemi – Dev Rezonanslar (Giant Resonances) – Ağır İyon Çarpışmaları 2 Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü 29.06.2012 Vlasov Denklemi • Anatoly Alexandrovich Vlasov (1908-1975) • Vlasov'un 1938 yılında önerdiği bu diferansiyel denklemin amacı yüklü parçacıklarla uzun mesafeli (Coulomb etkileşmesi gibi) etkileşmelerin yer aldığı plazma ortamında dağınım fonksiyonunun zaman içindeki evrimini tarif etmektir. Vlasov'un yeni bir denklem önermesinin nedeni o zamana kadar kullanılan Boltzman Denkleminin plazma fiziğine uygulanmasındaki zorluklardan dolayıdır. A. A. Vlasov (1938). "On Vibration Properties of Electron Gas" (in Russian). J. Exp. Theor. Phys. 8 (3): 291. Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü 29.06.2012 3 Boltzman Denklemi Ludwig Boltzmann (1872) Boltzman Denklemi termodinamik dengeden uzak, çok parçacıklı bir sistemde tek parçacık dağınım fonkiyonu f(r,p,t)'nin zaman içerisindek istatiksel evrimleşmesini verir. 4 Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü 29.06.2012 Boltzman Denklemi Tek parçacık dağınım fonkiyonu f(r,p,t0) px dx dpx Fi Fk x Fj 5 Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü 29.06.2012 Boltzman Denklemi Ludwig Boltzmann (1872) Tek parçacık dağınım fonkiyonu f(r,p,t0) f(r,p,t) px dx dpx x 6 Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü 29.06.2012 Boltzman Denklemi (geçen süre zarfında faz uzay elemanı sabittir) 7 Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü 29.06.2012 Boltzman Denklemi 8 Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü 29.06.2012 Boltzman Denklemi 9 Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü 29.06.2012 Kuantum mekaniksel Tartışma [Ref ]: G.F. Bertsch and S. Das Gupca. A guide to microscopic models for incermediate heavy ion collisions, PHYSICS REPORTS (Review Section of Physics Lellers) 160. NO.4 (1988) 189-233. North Holland Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü 29.06.2012 10 Nükleer Fizikte Vlasov Denklemi 11 Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü 29.06.2012 Vlasov Denkleminin Çözümü • Parçacık yöntemleri – PIC (particle in cell) – Faz uzayı grid yöntemleri • • • • sonlu farklar yöntemi (finite difference methods) sonlu elemanlar yöntemi (finite element method) karekteristik yöntem korunumlu akı denge yöntemi (conservative flux balance methods) • Spektral yöntemler – r-p Fourier – r Fourier-p Hermit – R Fourier-p Chebysev • Hibrit yöntemler – PIC+Faz uzay Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü 29.06.2012 12 Vlasov Denkleminin PIC Çözümü 29.06.2012 Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü 13 Vlasov Denkleminin PIC Çözümü Toplam Homiltonyenin hareket sabiti olduğu korunumlu kuvvetli sistemlerde faz uzayı dağılımı açıkca zamanın fonksiyonu olmadığından Poisson parantezleri bize Hamiltonyenin fonksiyonu olan tüm faz uzayı dağınım fonksiyonlarının f=f(h) çarpışmasız Boltzman denkleminin zamandan bağımsız (stationary) çözümünü vereceğini garanti eder: 29.06.2012 Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü 14 Nükleer Dinamik Vlasov denkleminin nükleer dinamik problemine ilk uygulamas¬1982 yılındaWong tarafından yapımıştır. TDHF yaklaşıklığının tamamen klasik psüdo-parçacık similasyonuna yaklaşık olarak denk olduğunu göstermiştir. Bu similasyonda bir dizi püsüdo-parçacık faz uzayının konum ve momentum koordinat noktalarını kesikleştirmek için verilmiştir. Sistemin dinamiği psüdo-parçacıkların çarpışma yapmadan öz-tutarlı (self consistent) alan içindeki yörüngeleri (izleri) üzerinden belirlenmiştir, bu izler öz-tutarlı alanda hareket eden gerçek parçacıkların izlerine denktir. Ref: Cheuk-Yin Wong, PRC 25, (1982) 1460-1475. 29.06.2012 Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü 15 Psüdo Parçacıklar 29.06.2012 Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü 16 Konum Uzayı Taban durum dağılımı 29.06.2012 Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü 17 Momentum Uzayı 1 Fermi seviyesi 29.06.2012 Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü 18 Böylesine bir seçimle faz uzayında tanımlı tüm sürekli fonksiyonları Dirac delta fonksiyonlarının özelliklerini kullanarak 29.06.2012 Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü 19 Verilen bir faz uzayı başlangıç dağılımı f(r₀,p₀,t₀) daha sonraki bir t=t₀+δt anında f(r,p,t) şeklinde güncellenmektedir. Başlangıç dağılımları bir kez seçildikten sonra (initialization) hareket denklemleri yardımıyla test parçacıkları konum uzayında ve momentum uzayında ötelenir. Bu öteleme sırasında i. psüdo-parçacık üzerine etki eden Fi net kuvveti ri noktasındaki U(ri,t) ortalama alan potansiyelinden, bu potansiyel ise 29.06.2012 Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü 20 • Her ne kadar hareket denklemleri klasik olsa da dinamikte kendini gösteren pek çok kuantum mekaniksel etki bulunmaktadır. • Bilindik başlangıç koşulları ve klasik hareket denklemleri bize dinamiği tamamen verir. • Önemli kuantum mekaniksel etkilerin pek çoğu başlangıç koşullarıyla verilebilir. • TDHF yaklaşıklığında Pauli dışarlama ilkesinden dolayı tek-parçacık enerji seviyeleri faz uzayında hemen-hemen düzgün bir faz uzayı dağınımı oluşumuna neden olur. • Klasik psüdo-parçacık simülasyonunda benzer bir faz uzayı dağılımına sahip psüdo-parçacık topluluğu denge durumuna doğru evrilecektir. • Pauli ilkesine bağlılık bizi denge durumunu Hartree-Fock hesaplamalarından elde edilmiş denge durumlarına yakın durumlardan seçmeyi gerektirir. Bir defa böylesine bir denge durumu dağınımı seçildiğinde faz uzayı dağınımının sıkıştırılamazlığı dinamiğin sonraki anlarında Pauli ilkesininin korunacağını garanti edecektir. 29.06.2012 Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü 21 1 NA 2 NA NB NB 3 . . . NA 29.06.2012 NB Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü 2 2 Bu paralel koşturmaların birbirleriyle haberleşmesi için her bir çekirdekteki nükleonları test-parçacık diye adlandırılıp tüm paralel reaksiyonlar toplanıp tek bir reaksiyon koşturulur. Dolayısıyla toplamda (NA+NB)N kadar test parçacık olur. Fiziksel nicelikler koşturma sonucu test parçacık sayısı üzerinden ortalama alınarak (örneğin etki kesiti σnn/ N ) hesaplanır. 29.06.2012 Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü 2 3 Relativistik Ortalama Alan Teorileri Serbest Dirac parçacığı serbest mezon alanları Parametreler: mezon kütleleri: mezon çiftlenim: Foton alanı Etkileşim terimleri mσ, mω, mρ gσ, gω, gρ ﹡B. D. Serot & J. D. Walecka, Adv. Nucl. Phys. 16 (1986) 1; ﹡P-G. Reinhard, Rep. Prog. Phys. 52 (1989) 439; ﹡P. Ring, Prog. Nucl. Phys. 37 (1996) 193. 29.06.2012 Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü 26 Relativistik Ortalama Alan Teorileri L L 0. qk qk Nükleonlar için Dirac denklemi i V m S i 0. Mezonlar için Klein-Gordon denklemi m g s 2 m g j 2 m g j 2 A ej 29.06.2012 (em) s x A x x i i j x x j x x i i x A i i 1 i x A i 1 A 1 x i x 1 3 i x 2 i 1 (em) j i 1 Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü 27 Relativistik Vlasov Denklemi C. Fuchs, H.H. Wolter, Nucl. Phys. A 589 (1995) 732-756. 29.06.2012 Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü 28 Relativistik Vlasov Denklemi C. Fuchs, H.H. Wolter, Nucl. Phys. A 589 (1995) 732-756. 29.06.2012 Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü 29 Relativistik Vlasov Denklemi C. Fuchs, H.H. Wolter, Nucl. Phys. A 589 (1995) 732-756. 29.06.2012 Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü 30 Relativistik Vlasov Denklemi 29.06.2012 Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü 31 Taban Durum 29.06.2012 Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü 32 Taban Durum Dinamiği 29.06.2012 Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü 33 Taban Durum Dinamiği 29.06.2012 Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü 34 Dev Rezonanslar-IVGDR p n 29.06.2012 Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü 35 Dev Rezonanslar-IVGDR S.Y. Theodoros Gaitanos, Massimo Di Toro, Vincenzo Greco, PHYSICAL REVIEW C 72, 064317 (2005) 29.06.2012 Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü 36 Ağır İyon Çarpışmaları 29.06.2012 Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü 37 Ağır İyon Çarpışmaları 29.06.2012 Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü 38 Ağır İyon Çarpışmaları 29.06.2012 Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü 39