Bölüm 2 - Dr. Fehmi Bardak

Bölüm 2
Bir boyutta hareket
Kinematik
Dış etkenlere maruz kalması durumunda bir cismin hareketindeki değişimleri
tanımlar
Bir boyutta hareketten kasıt, cismin bir doğru boyunca hareket ettiği durumların
göz önüne alınmasıdır.
Bu hareket cismin konumunda sürekli olarak meydana gelen bir değişimi ifade
eder.
Introduction
Hareket Türleri
Öteleme
 Düz yolda ilerleyen bir arabanın hareketi.
Dönü
 Dünyanın kendi ekseni etrafında tur atması.
Titreşim
 Yaya bağlı bir objenin yaya uygulanan gerip bırakma işlemi sonucu ileri-geri
hareket etmesi
Introduction
Parçacık Modeli
 Parçacık modelinde cisimler nokta şeklinde bir parçacık olarak gözönüne
alınır. Parçacığın bir kütlesi olmakla birlikte, herhangi bir şekli ya da hacmi
yoktur.
 Burada amaç, cismin hareketini etkileyen parametrelerin sayısını
minimumda tutmaktır.
Introduction
Konum
Bir cismin konumu cismin bir referans
noktasına göre uzaydaki yeridir.
 Genel olarak bu referans noktası
koordinat sisteminin orijin noktası
olarak seçilir.
Yandaki resim bir arabanın bir boyutta
konumundaki değişimi göstermektedir.
Burada araba bir noktasal parcacık
(cisim) olarak ele alınır.
Section 2.1
Konum zaman grafiği
Konum zaman grafikleri bir cismin hareketinin zaman içinde değişimini gösterir.
Buradaki eğri cismin farklı noktalar arasında hareketini
ortalama bir fonksiyon ile tasvir eder.
Section 2.1
Arabanın hareketinin farklı yollarla tanımlanması
Farklı ifade yolları:
 Resimler ile
 Grafik olarak
 Tablo verileri ile
 Matematiksel
 Bir çok problemlerde asıl istenen matematiksel olarak ifade edebilmektir.
Farklı gösterimlerin kullanılması, problemin anlaşılması için gerekebilir.
Section 2.1
Yerdeğiştirme
Bir cismin belirli bir zaman aralığında konumundaki değişim olarak ifade edilir. al.
 x ile gösterilir
x ≡ xf - xi
 SI birimi metredir (m)
 x pozitif olabilir negatif te olabilir.
 Mesafe parçacığın izlediği yolun uzunluğudur.
Section 2.1
Mesafe vs. Yerdeğiştirme
Bir oyuncunun sahanın bir ucundan
diğer ucuna ileri geri hareket ettiğini
varsayalım.
Alacağı mesafe yolunun iki katı
olmasına rağmen, Yerdeğiştirme
sıfırdır.
Δx = xf – xi = 0 since xf = xi
Mesafe her zaman için pozitiftir.
Section 2.1
Vektörel ve Skaler Büyüklükler
Vektörel nicelikler hem genlik (şiddet, büyüklük) hem de yön ifadesi içeren
niceliklerdir. Kuvvet, Hız, Elektrik alan gibi
Skaler nicelikler ise yalnızca genlik ile ifade edilirler. Zaman, Enerji, Isı gibi
 Vektörlerin yönlerini ifade edbilmek için + ve – işaretlerini kullanacağız.
 Bir sonraki bölümde vektörlere ait tüm özellikleri ve vektörler ile işlemlere ait
detayları inceleyeceğiz.
Section 2.1
Ortalama Hız
Ortalama hız, yerdeğiştirmenin oranın belirleyen bir niceliktir. Birim zamanda
yerdeğiştirme miktarı olarak ifade edilir.
v x , avg
x x f  x i


t
t
 Altindis x hareketin x-ekseni boyunca olduğunu ifade eder.
 Boyutu uzunluk / zaman [L/T]
 Birimi m/s
 Konum zaman grafiğinin eğimi de ortalama hızı verir.
Section 2.1
Ortalama Sürat
Sürat skaler bir büyüklüktür. Her hangi bir yön atfedilmez.
 Hız ile aynı birimdedir
 Toplam yerdeğiştirmenin toplam geçen süreye oranı olarak tanımlanır.
v avg 
d
t
 Her zaman pozitif sayılar ile ifade edilir.
 Gerek ortalama hız, gerek se sürat, cismin hareketine dair detayları vermez.
Section 2.1
Örnek 2.1: Şekil de verilen araba hareketi için A ve F noktaları arasındaki
yerdeğiştirme, ortalama hız, ve ortalama sürati bulunuz.
Ani Hız
Ortalama hız ifadesinde zaman aralıklarının sıfıra yaklaşması limit durumundaki
ortalama hız ifadesine ani hız denir.
Ani hız hareketin her bir noktasında cismin hareketindeki değişimleri ifade eder.
Ani hız, x-t eğrisinin herhangi bir
noktasındaki teğetinin vereceği
değerdir.
B noktası A noktasına doğru kaydıkça
zaman aralıkları sıfır limitine yaklaşır.
Ani hız için genel denklem:
v x  lim
t 0
x dx

t dt
Section 2.2
Sabit hızda ilerleyen bir cismin hareketi
Sabit hızda hareket cismin anlık hızının hareketin her noktasında aynı olduğu
hareket türüdür. Bu durumda anlık ve ortalama hızlar aynı olur.
vx = vx, avg
Cismin alacağı yolun matematiksel gösterimi
vx 
x xf  xi

t
t
or
xf  xi  v x t
Genel yaklaşımlarda ti = 0 dır. Bu durumda denklem
xf = xi + vx t (sabit vx)
Halini alır.
Section 2.3
Sabit hızda ilerleyen bir cismin hareketinin grafik temsili
Grafiğin eğimi bize sabit hızın değerini verir.
Konum eksenindeki kesişim noktası ise cismin başlangıç konumunu, xi, verir.
Section 2.3
Ortalama İvme
İvme bir cismin hızındaki değişim oranını ifade eder.
ax ,avg
v x v xf  v xi


t
tf  ti
Boyutu: L/T2
SI birimi: m/s²
Bir boyutta hem pozitif hem de negatif değer alabilir.
0–100 km/h ye çıkış hızları
2.2 s
Porsche 918 Spyder
3.0 s
Ferrari 458 Italia

Kağnı
Section 2.4
Ani ivme
Ortalama ivmenin t zaman aralığının sıfıra yaklaşması limitidir.
v x dv x d 2 x
ax  lim

 2
t 0 t
dt
dt
Hız zaman grafiğinin eğimi
İvmeyi verir.
Section 2.4
Konum-Zaman, Hız-Zaman, ve İvme-Zaman grafikleri
Section 2.4
Hareketin Grafiksel Tanımlanması: Konum-Zaman
Eğrinin eğimi hızı verir.
Eğim değiştiğine göre hız
değişmektedir
Dolayısı ile ivmeli bir hareket söz
konusudur.
Section 2.6
Hareketin Grafiksel Tanımlanması: Hız-Zaman
Eğim hızı verir.
Doğrusal çizgi sabit ivmeyi yani düzgün
hızlanan hareketi gösterir.
Section 2.6
Hareketin Grafiksel Tanımlanması: İvme-Zaman
Sıfır eğim ivmenin sabit olduğunu
gösterir.
İvmenin değişken olduğu hareketin
analizi oldukça karmaşıktır. En basit
durumlarda dahi problemlerin çözümü
nümerik analizler ve yaklaşıklıklar
gerektirecek matematiksel
hesaplamalar gerektirebilir.
Section 2.6
İvme ve Hız hakkında dikkat edilmesi gereken noktalar
Eğer bir cismin hızı ve ivmesi aynı yönde ise, cisim hızlanmaktadır.
Eğer hız ve ivme zıt yönlerde ise cisim yavaşlamaktadır.
İvmenin büyüklüğü ve yönü cisme etki eden net kuvvete bağlıdır. F a
Hız ve ivmenin işaretinin negatif olması cismin yavaşladığını göstermek zorunda
değildir. Negatif hız ters yönde hareketi, ve negatif ivme ters yönde hızlanmayı
da ifade edebilir.
Section 2.4
Kinematik Denklemleri,
Sabit ivmeli harekette cismin herhangi bir t anındaki hızı,
(ti = 0 and tf = t kabul edilmesi durumunda)
v xf  v xi  ax t
Cismin ortalama hızı
v x,avg 
v xi  v xf
2
Cismin t anındaki konumu
1
xf  xi  v x,avg t  xi  v xi  v fx  t
2
1 2
x f  x i  v xi t  a x t
2
Cismin t anındaki hızı da zamansız hız fomülü kullanılarak
v xf2  v xi2  2ax  xf  xi 
olarak verilir
Örnek 2.6: Akan trafiğe giren bir arabanın durumunu göz önüne alınız.
Otoyola bir tali yoldan giren arabanın ivmesini tahmin ediniz.
Otoyolun akış hızına ulaşıncaya kadar alınması gereken yolu
hesaplayınız.
Tahminlerimiz :
Otoyolda ortalama hız 100 km/h
Bir arabanın 100 km/h hıza ulaşma süresi 10 s.
Tali yoldaki hızı 50 km/h civarında ve dönerken
bu hız 30 km/h e kadar düşer.
Serbest Düşen Cisimler - Galileo Galilei 1564 – 1642
Bir cismin yalnızca yerçekiminin etkisinde hareket etmesi
durumua serbest düşme denir.
 Bu harekette üç farklı durum söz konusudur.
 Durgun halden bırakılan cisimlerin hareketi
 Aşağı doğru atış
 Yukarı doğru atış
•Her durumda cismin ivmesi aşağı yöndedir.
•İvmenin büyüklüğü cismin bulunduğu yere bağlıdır.
•Dünya yüzeyinde ortalama yerçekimi ivmesi
g = 9.80 m/s2 dir.
Serbest düşmede hareket yönü genel olarak y-ekseni
boyunca alınır ve ivme negatif yöndedir (aşağı doğru)
ay = -g = -9.80 m/s2
Section 2.7
Serbest düşme türleri
v=0
vo= 0
a = -g
vo≠ 0
a = -g
vo≠ 0
a = -g
Section 2.7
Yukarı atış hareketi
Hareketin simetrik olması durumunda
 tup = tdown
 v = -vo
Hareketin simetrik olmaması durumunda, hareket farklı kısımlara ayrılarak
çözümler üretilir.
Section 2.7
Serbest düşmeye örnek
A noktasında başlangıç hızı yukarı
yönde (+)
ivme -g (-9.8 m/s2).
B noktasında, hız 0 ve
ivme -g (-9.8 m/s2).
C noktasında, hız A noktasındaki hız ile
aynı büyüklükte ancak zıt yönlü
ivme -g (-9.8 m/s2).
Yerdeğiştirme –50.0 m (Başlangıç
noktasının sıfır noktası kabul edilmesi
durumunda).
Örnek 2.12: 50 yüksekliğindeki bir binanın
tepesinden yukarı doğru düşey olarak 20 m/s
lik ilk hızla bir taş atılmıştır.
a) Taşın maksimum yüksekliğe ulaştığı
zamanı,
b) Çıkabileceği maximum yüksekliği
c) Taşın atıldığı noktaya geri dönüş zamanını
ve t=5 s deki taşın konumunu ve hızını
bulunuz.
Kinematik denlemlerinin analizi
Yerdeğiştirme hız-zaman grafiklerinin altında kalan alandır.
lim
tn 0
 v xn tn   v x (t )dt
tf
n
ti
Benzer olarak ivme-zaman altında kalan alan cismin hızındaki değişim miktarı verir
Section 2.8
Kinematik Denklemler
dv x
ax 
dt
t
v xf  v xi   ax dt
0
v xf  v xi  ax t
dx
vx 
dt
t
xf  xi   v x dt
0
1
xf  xi  v xi t  a x t 2
2
Ödev Problemler
Bölüm 2:
Problemler: 3, 4, 7, 12, 14, 17, 22, 25, 36, 44, 46, 52.