Lineer Cebir - TANITIM

Prof. Dr.
Salim
Yüce
LİNEER
CEBİR
Prof. Dr. Salim Yüce
LİNEER CEBİR
ISBN 978-605-318-030-2
Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir.
© 2015, Pegem Akademi
Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları
Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir.
Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri,
kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt
ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.
Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.
Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında
yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları
satın almamasını diliyoruz.
I. Baskı: Ocak, 2015, Ankara
Yayın-Proje Yönetmeni: Ayşegül Eroğlu
Dizgi-Grafik Tasarım: Didem Kestek
Kapak Tasarımı: Öğr. Gör. Murat Dağıtmaç
Baskı: Ayrıntı Basım Yayın ve Matbaacılık Ltd. Şti.
İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 770. Sokak No: 105/A
Yenimahalle/ANKARA
(0312-394 55 90)
Yayıncı Sertifika No: 14749
Matbaa Sertifika No: 13987
İletişim
Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA
Yayınevi 0312 430 67 50 - 430 67 51
Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60
Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08
Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38
Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60
İnternet:www.pegem.net
E-ileti: pegem@pegem.net
Bu kitabımı; vatan uğruna canlarını feda etmiş aziz şehitlerimize;
hayat kaynağım, canım çocuklarım Kaan ve Barış’a
ithaf ediyorum.
ÖN SÖZ
Bu kitap üniversitelerin Matematik, Matematik Mühendisliği, Matematik
Bilgisayar, İstatistik, Matematik Öğretmenliği ve Mühendislik Bölümlerinde
okutulan Lineer Cebir dersine temel olmasının yanı sıra Lisansüstü düzeyindeki tüm programlarda öğrenim gören öğrencilerin ve akademisyenlerin
faydalanacağı düşüncesiyle kaleme alınmıştır. Ayrıca Lineer Cebir’in Matematik Bölümündeki diğer derslerin temeli olması nedeniyle kitabın tüm
Matematik derslerine iyi bir kaynak oluşturması planlanmıştır.
Bu kitabın en önemli özelliği gerek lisans gerekse lisansüstü hatta servis
dersi olarak okutulan Lineer Cebir Dersinin tüm öğrencilerine hitap edecek
şekilde bölümlere ayrılarak sade bir dille hazırlanmasıdır. Her bölümün içerisinde konuların daha iyi anlaşılması amacıyla konu ile ilgili yeteri kadar
çözümlü sorular ile bölüm sonunda okuyucuların kendilerinin çözmesi için
Alıştırmalar verilmiştir.
Kitabın yazımında yardımcı olan Arş. Gör. Özcan BEKTAŞ nezdinde tüm
geometri grubu asistanlarıma teşekkür ederim.
Son olarak, akademik hayatımın her noktasında yanımda olan Hocam Sayın
Prof. Dr. Nuri KURUOĞLU’na,
Hocamız Sayın Prof. Dr. H. Hilmi
HACISALİHOĞLU’na emekleri için teşekkürlerimi sunarım.
Prof. Dr. Salim YÜCE
Yıldız Teknik Üniversitesi
sayuce@yildiz.edu.tr
İÇİNDEKİLER
BÖLÜM 1
GRUP, HALKA, CİSİM
1.1 Grup .................................................................................................... 1
1.2 Halka ................................................................................................... 6
1.3 Cisim ................................................................................................. 11
Alıştırmalar 1 ........................................................................................... 14
BÖLÜM 2
VEKTÖR UZAYLARI
2.1 Vektör ............................................................................................... 17
2.1.1 Nokta Vektör Eşlemesi ........................................................... 22
2.2 Düzlemdeki Vektörler Üzerine İşlemler ............................................ 22
2.3 Düzlemde Afin Koordinat Sistemi ..................................................... 30
2.3.1 İki Vektörün Lineer Bağımsızlığı .............................................. 30
2.3.2 Afin Koordinat Sistemi ............................................................ 31
2.4 Vektör Uzayları ................................................................................. 34
2.4.1 Vektör Uzayı Aksiyomlarından Çıkan Sonuçlar ........................ 35
2.5 Vektör Uzayı Örnekleri...................................................................... 41
2.5.1 Vektör Uzaylarının Direkt Çarpımı .......................................... 47
2.6  n Vektör Uzayında Geometrik Yapılar ........................................... 49
2.6.1  n de Eğri .............................................................................. 51
2.7 Modül................................................................................................ 52
2.8 Alt Vektör Uzayları ............................................................................ 54
Alıştırmalar 2 ........................................................................................... 63
İçindekiler
BÖLÜM 3
İÇ ÇARPIM UZAYLARI
3.1 İç Çarpım Fonksiyonu........................................................................ 67
3.2  n ve  n üzerinde Standart İç Çarpım Fonksiyonları ................... 69
3.3  n Öklid Uzayının Metrik Özellikleri ............................................... 71
3.3.1  n de Bir Vektörün Uzunluğu ................................................ 71
3.3.2  n de İki Nokta Arasındaki Uzaklık ........................................ 72
3.3.3 Bir Skalar ile Bir Vektörün Çarpımı ......................................... 72
3.3.4 İki Vektör Arasındaki Açı ......................................................... 73
3.3.5  n de İki Vektörün Dikliği ..................................................... 74
3.4 İç Çarpımın Geometrik Yorumu ....................................................... 75
3.4.1 İzdüşüm Vektörü .................................................................... 77
3.4.2 Doğru ve Düzlem .................................................................... 78
3.5 İç Çarpım Uzayında Schwartz Eşitsizliği ............................................ 80
3.6 Ortonormal Vektör Sistemi .............................................................. 91
Alıştırmalar 3 ........................................................................................... 96
BÖLÜM 4
VEKTÖR UZAYLARINDA BAZ VE BOYUT
4.1 Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık ............................................. 99
4.2 Vektör Uzaylarında Baz ve Boyut.................................................... 104
4.3 Gram – Schmidt Ortogonalleştirme Metodu
(Ortonormalleştirme Metodu) .............................................................. 114
4.4 Alt Uzayların Boyutları .................................................................... 118
Alıştırmalar 4 ......................................................................................... 124
viii
Lineer Cebir
BÖLÜM 5
ÖZEL VEKTÖR UZAYLARI
5.1 Direkt Toplam Uzayı........................................................................ 127
5.2 İç Çarpım Uzaylarının Alt Uzayları: Ortogonal Kompleman ............ 129
Alıştırmalar 5 ......................................................................................... 134
BÖLÜM 6
MATRİSLER
6.1 Matrisler ......................................................................................... 137
6.2 Matris Uzayı: Matrislerde İşlemler ................................................. 141
6.2.1 Toplama İşleminin Özellikleri ............................................... 143
6.2.2 Dış İşlemin Özellikleri ........................................................... 144
6.2.3 Matris Çarpımı ...................................................................... 146
6.2.4 Çarpma İşleminin Özellikleri ................................................. 148
6.3 Özel Matrisler ................................................................................. 154
6.4 Bir Matrisin Eşelon Formu .............................................................. 163
6.5 Elemanter Operasyonlar ................................................................. 165
6.5.1 Matrisler İçin Elemanter Operasyonlar ................................ 166
6.6 Elemanter Operasyonların Uygulamaları: Çarpanlara Ayırma,
Bir Matrisin Tersinin ve Rankının Bulunması, Lineer Bağımsızlık .......... 171
6.6.1 Çarpanlara Ayırma ................................................................ 171
6.6.2 Bir Matrisin Tersinin Bulunması........................................... 172
6.6.3 Lineer Bağımsızlık-Bağımlılık................................................ 174
6.6.4 Bir Matrisin Rankı ................................................................ 175
6.7 Bir Matrisin İzi ve Özellikleri ........................................................... 179
6.8 Koordinatlar .................................................................................... 182
Alıştırmalar 6 ......................................................................................... 187
ix
İçindekiler
BÖLÜM 7
LİNEER DÖNÜŞÜMLER
7.1 Lineer Dönüşüm, Çekirdek, Rank .................................................... 193
7.1.1 Bilineer Dönüşüm ................................................................. 209
7.2 Boyut Teoremi ................................................................................ 210
7.3 Lineer İzomorfizm ............................................................................ 213
7.4 Hom (V ,W ) Uzayı ............................................................................. 222
7.5 Dual Vektör Uzayı ........................................................................... 229
7.6 Ortogonal İzdüşüm ......................................................................... 231
7.7 Bir Lineer Dönüşümün Direkt Toplamı ........................................... 234
7.8 Bölüm Uzayı .................................................................................... 235
Alıştırmalar 7 ......................................................................................... 238
BÖLÜM 8
LİNEER DÖNÜŞÜM VE MATRİS
8.1 Her Matrise Bir Lineer Dönüşüm Karşılık Gelir ............................... 241
8.2 Her Lineer Dönüşüme Bir Matris Karşılık Gelir ............................... 243
8.2.1 Standart Vektör Uzayları Üzerinde Tanımlanan Her Lineer
Dönüşüme Bir Matris Karşılık Gelir ................................................ 243
8.2.2 Herhangi Vektör Uzayları Üzerinde Tanımlanan Her Lineer
Dönüşüme Bir Matris Karşılık Gelir ................................................ 246
8.3  2 Üzerinde Lineer Dönüşümler ve Matrislerin Geometrisi ......... 252
8.4  3 Üzerinde Lineer Dönüşümler ve Matrislerin Geometrisi .......... 254
Alıştırmalar 8 ......................................................................................... 257
x
Lineer Cebir
BÖLÜM 9
LİNEER DÖNÜŞÜM VE MATRİS İLİŞKİLERİNİN UYGULAMALARI
9.1 Bir Lineer Dönüşümün Rankı .......................................................... 261
9.2 Bazların Değişimi............................................................................. 265
9.2.1 Baz Değişiminin Bir Diğer Anlamı ......................................... 271
9.2.2 Baz Değişiminin En Genel Hali .............................................. 274
9.3 Benzerlik ......................................................................................... 278
Alıştırmalar 9 ......................................................................................... 282
BÖLÜM 10
DETERMİNANTLAR
10.1 Permütasyon Kavramı................................................................... 283
10.2 Vektör Uzayları Üzerinde n-Lineer Fonksiyonlar .......................... 288
10.2.1 Determinant Fonksiyonu ve Özellikleri .............................. 293
10.2.2 Determinant Fonksiyonunun Temel Özellikleri .................. 295
10.3 Determinat Hesaplamaları............................................................ 303
10.3.1 Determinant Açılımları ........................................................ 305
10.4 Bir Matrisin Eki ve Ek Matris Yardımıyla Matrisin Tersi ................ 313
10.5 Determinant Uygulamaları ........................................................... 321
10.6 Bir Lineer Dönüşümün Determinantı ve İzi .................................. 329
Alıştırmalar 10 ....................................................................................... 334
BÖLÜM 11
LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ
11.1 Lineer Denklem Sistemleri ............................................................ 339
11.2 Katsayılar Matrisinin Tersi Yardımıyla Lineer Denklem
Sisteminin Çözümü ................................................................................ 341
xi
İçindekiler
11.3 Elemanter Operasyonlar Yardımıyla Lineer Denklem
Sisteminin Çözümü ............................................................................... 342
11.3.1 Homojen Lineer Denklem Sistemi ...................................... 346
11.4 Determinant Yardımıyla Lineer Denklem Sisteminin
Çözümü: Cramer ve Cramer Olmayan denklem sistemi........................ 348
11.5 Cramer Olmayan Lineer Denklem Sistemleri................................ 351
11.6 Lineer Denklem Sistemlerinin Analitik Geometri
Uygulamaları.......................................................................................... 356
Alıştırmalar 11 ....................................................................................... 362
BÖLÜM 12
İÇ ÇARPIM UZAYLARINDA LİNEER DÖNÜŞÜMLER
12.1 Dual Uzay ...................................................................................... 367
12.2 Sıfırlayan (Annihilatör) ................................................................. 373
12.3 Bir Lineer Dönüşümün Eki ............................................................ 374
12.4 Bir Lineer Dönüşümün Transpozu ............................................... 378
12.5 İç Çarpım Uzayları Üzerinde Lineer Dönüşüm ............................. 380
12.6 İç Çarpım Uzaylarında Bazı Özel Dönüşümler ............................... 390
12.6.1 Hermit Dönüşümleri ve Matrisleri...................................... 390
12.6.2 Simetrik Dönüşümler ve Matrisleri .................................... 393
12.6.3 İzometri, İç Çarpımı Koruyan Dönüşümler ......................... 394
12.6.4 Üniter Dönüşümler ve Matrisler......................................... 398
12.6.5 Ortogonal Dönüşümler ve Matrisler .................................. 401
12.6.6 Normal Dönüşümler ve Matrisler ...................................... 403
12.7 Modüllerin Lineer Dönüşümü ....................................................... 406
Alıştırmalar 12 ....................................................................................... 407
xii
Lineer Cebir
BÖLÜM 13
LİNEER DÖNÜŞÜMLERDE ÖZDEĞER, ÖZVEKTÖR
VE KÖŞEGENLEŞTİRME
13.1 Lineer Dönüşümün Karakteristik Değerleri, Karakteristik
Vektörleri ve Karakteristik Uzay ............................................................ 411
13.2 Özel Lineer Dönüşümlerin Karakteristik Değeri ve
Karakteristik Vektörleri .......................................................................... 417
13.3 Lineer Dönüşümlerde Köşegenleştirme ....................................... 422
Alıştırmalar 13 ....................................................................................... 425
BÖLÜM 14
MATRİSLERDE ÖZDEĞER, ÖZVEKTÖR VE KÖŞEGENLEŞTİRME
14.1 Bir Matrisin Karakteristik Değerleri,
Karakteristik Vektörleri .......................................................................... 427
14.2 Özel Matrisin Karakteristik Değerleri,
Karakteristik Vektörleri .......................................................................... 437
14.3 Cayley Hamilton Teoremi ............................................................. 445
14.4 Matrislerde Köşegenleştirme ....................................................... 452
14.5 Özel Matrislerde Köşegenleştirme ............................................... 459
Alıştırmalar 14 ....................................................................................... 462
BÖLÜM 15
ORTOGONAL MATRİSLERİN GEOMETRİSİ
15.1 Ortogonal Matrisler ve Dönme..................................................... 470
Alıştırmalar 15 ....................................................................................... 474
xiii
İçindekiler
BÖLÜM 16
ORTOGONAL KÖŞEGENLEŞTİRME
16.1 Spektral Teoremi .......................................................................... 476
Alıştırmalar 16 ....................................................................................... 481
BÖLÜM 17
POZİTİF TANIMLI MATRİSLER
17.1 Kompleks Pozitif Tanımlı Matrisler ............................................... 494
Alıştırmalar 17 ....................................................................................... 496
BÖLÜM 18
KUADRATİK FORMLAR
18.1 Bilineer Fonksiyonlar .................................................................... 497
18.2 Kuadratik Formlar ......................................................................... 501
18.3 Kompleks Kuadratik Formlar ........................................................ 513
18.4 Geometrik Uygulama ................................................................... 516
18.4.1 Koniklere Uygulama............................................................ 517
18.4.2 Kuadrik Yüzeylere Uygulama .............................................. 521
Alıştırmalar 18 ....................................................................................... 523
BÖLÜM 19
MATRİS TEORİSİ
19.1 Matris Fonksiyonları ve Matris Normları ...................................... 527
19.1.1 Matris Fonksiyonları ........................................................... 527
19.1.2 Matris Normları ................................................................. 529
19.2 Blok Matrisler ............................................................................... 532
19.3 Özel Matrisler .............................................................................. 538
xiv
Lineer Cebir
19.4 Kronecker ve Hadamard Çarpım................................................... 541
19.5 Vektörlerde Diyadik Çarpım.......................................................... 544
19.6 Bir Matrisin Ayrışımları ................................................................. 548
19.6.1 Bir Matrisin Özdeğer Ayrışımı
(eigenvalue decemposition=EVD) .................................................. 548
19.6.2 Bir Matrisin Hessenberg Ayrışımı ....................................... 548
19.6.3 Bir Matrisin Schur Ayrışımı ................................................. 549
19.6.4 Bir Matrisin LU − Ayrışımı ................................................ 549
19.6.5 Bir Matrisin LDU − Ayrışımı ............................................. 550
19.6.6 Bir Matrisin Polar Ayrışımı .................................................. 550
19.6.7 Bir Matrisin Singüler Değer Ayrışımı
(Singular value decomposition=SVD) ............................................. 551
19.6.8 Matrisler için QR -Ayrışımı ................................................ 560
19.7 Üstel Matrisler .............................................................................. 564
19. 7. 1 Kompleks Üstel Matris ...................................................... 577
19.8 Dual Matrisler ............................................................................... 584
Alıştırmalar 19 ....................................................................................... 588
BÖLÜM 20
MİNKOWSKİ UZAYINDA LİNEER CEBİR
20.1  nv Minkowski Uzayı .................................................................... 593
3
20.2  1 Lorentz-Minkowski Uzayı ....................................................... 599
20.3 Lorentz İç-Çarpımının Geometrik Özellikleri................................. 610
20.4 Semi – Ortogonal Grup ................................................................. 612
20.5 Lorentz Matris Çarpımı ............................................................... 615
Alıştırmalar 20 ....................................................................................... 620
KAYNAKLAR............................................................................................ 622
DİZİN ...................................................................................................... 623
xv
BÖLÜM 1
GRUP, HALKA, CİSİM
1.1 Grup
Tanım 1.1
G boştan farklı bir küme ve T ’de G üzerinde bir işlem
olsun. Eğer
T :G×G → G
(a, b) → aTb ∈ G
işlemi aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa (G, T ) ikilisine bir grup denir.
( i ) Kapalılık özelliği: ∀ a, b ∈ G için aTb ∈ G ;
( ii ) Birleşme özelliği: ∀ a, b, c ∈ G
( iii )
için (aTb)Tc = aT (bTc) ;
Birim eleman: ∀a ∈ G için aTe
= eTa
= a olacak şekilde e ∈ G
vardır. Burada e ∈ G elemanına G nin T işlemine göre birim elemanı
denir.
( iv )
′Ta e olacak şekilde a′ ∈ G
İnvers eleman: ∀a ∈ G için aTa
=′ a=
vardır. Burada a′ ∈ G elemanına a ∈ G nin T işlemine göre tersi (inversi)
denir.
Lineer Cebir
Tanım 1.2
Eğer (G, T ) grubunda T işlemi değişimli ise, yani
∀a, b ∈ G için aTb = bTa ise (G, T ) grubuna değişimli grup veya Abel
grubu denir. Aksi halde gruba sadece grup veya değişimsiz grup denir. Bir
(G, T ) grubu için G kümesi bir sonlu küme ise (G, T ) grubuna sonlu grup,
aksi halde, sonsuz grup denir.
Örnek1.1
 tam sayılar kümesi ve + toplama işlemi bir
grup oluşturur.
( , + )
grubunun birim elemanı e = 0 dır. Bu grup bir değişimli gruptur.
Bununla beraber  kümesi ile  çarpma işlemi bir grup değildir. Çünkü
( , ) ikilisi
için grup aksiyomlarından ( iii ) birim eleman özelliği,  kü-
mesinin elemanları için sağlanmaz.
Örnek1.2
 reel sayılar kümesi olmak üzere toplama işlemi ile birlikte
bir Abel gruptur.
Örnek1.3
 rasyonel sayılar kümesi olmak üzere, 0 ∈  sayısını 
dan çıkarırsak yani G=  − {0} ise ( G , ) ikilisi bir gruptur. Bu grubun
etkisiz elemanı e = 1 dir. Ayrıca a, b ∈  olmak üzere a ≠ 0, b ≠ 0 için
a
b
∈  nun inversi dır.
b
a
2
Lineer Cebir
{
}
Örnek1.4  =
z=
a + ib a, b ∈ , i 2 =
−1 kompleks sayılar kümesi
üzerinde toplama işlemi z1 =a1 + ib1 , z2 =a2 + ib2 ∈  olmak üzere
z1 + z2 = ( a1 + ib1 ) + ( a2 + ib2 ) = ( a1 + a2 ) + i ( b1 + b2 ) ∈ 
şeklinde tanımlanır. Bu durumda ( , + ) ikilisi bir abel gruptur.
Tanım 1.3
( G, T )
ikilisi bir grup olsun. Eğer
x ∈G
için
2
xTx
= x=
x ise x ∈ G ye idempotent eleman denir. Kısaca idempotent
eleman, karesi kendisine eşit olan elemandır.
Teorem 1.1
( G, T )
ikilisi bir grup olsun. Bu durumda, idempo-
tent eleman birim elemandır.
İspat
Bir ( G , T ) grubunun herhangi bir elemanı x ve birim elemanı da e olsun.
x ∈ G de bir idempotent eleman ise xTx = x yazabilir.
Eşitliğin her iki tarafı x ile işleme tabi tutulursa
xT ( xTx ) = xTx
(1.1)
3
Lineer Cebir
ve T birleşimli olduğundan
( xTx ) Tx = xTx
(1.2)
bulunur. (1.1) ve (1.2) eşitliklerinden xT
=
( xTx )
xTx ) Tx
(=
xTx yazılabi-
lir. Bu durumda, birim eleman tanımından x = e elde edilir.
Teorem 1.2
( G, T )
ikilisi
bir
grup
olsun.
∀a, b ∈ G
için ( aTb )′ = b′Ta′ dir. (Burada a′ ve b′ , sırasıyla, a ve b nin tersidir)
İspat
a, b ∈ G nin tersleri a′ ve b′ olmak üzere, ( iv ) grup aksiyomundan
′Ta e
aTa
=′ a=
′Tb e
bTb
=′ b=
yazılabilir. Kapalılık özelliğine göre, a, b ∈ G olmak üzere aTb ∈ G dir ve
bir grupta her elemanın tersi var olacağından ( aTb )′ ∈ G olacaktır.
Göstereceğiz ki aTb nin tersi b′Ta′ dir. Yani;
aTb ) T ( b′Ta′ ) (=
b′Ta′ ) T ( aTb )
(=
e
dir.
4