uzay ve zamanda görelilik

FİZİK 4
Ders 3:
Göreli Mekanik
Doppler Olayı
Bir ses dalgasının frekansı, kaynak ve alıcının hareketli
oluşuna göre değişir. Bu etkiye Doppler olayı denir.
Göreli kinematiğin önemli bir sonucu
elektromanyetik dalgalar için Doppler
etkisidir.
Johann C.A. Doppler
( 1803 – 1853)
Avusturyalı matematikçi ,fizikçi
Dalga boyu
Daha büyük
dalga boyu
Daha küçük
dalga boyu
Işığın Doppler olayı 2 açıdan sestekinden farklıdır.
1. Işık c hızı ile gittiği için, zaman genleşme etkisi
nedeni ile göreli Doppler olayı fark gösterir.
2. Hava ortamında ilerleyen ses dalgası için formül
kaynak ve alıcının hareketli oluşuna göre farklıdır.
Ancak, ışık boşlukta ortama gerek duymadan
yayılabilir. Göreli teoride kaynak ve alıcının
hareketli oluşu fiziksel yasalarda bir fark oluşturmaz.
Tren ve hareketsiz gözlemci
örneği
Işıktaki Doppler olayı astronomide önemli bir araçtır.
Yıldızların uzaklık ölçümlerinde kullanışlı bir yöntemdir.
Bir yıldızın ışığı, yapısında bulunan elementlere özgü
frekanslarda yayınlanır. Özgün frekanslarda gözlenen
kaymalar incelenip yıldızın dünyaya veya öteye doğru
olan hareketi belirlenir.
Hubble
uzak
galaksilerdeki
yıldızların
büyük
çoğunluğunda frekansın azalma yönünde, yani kırmızıya
doğru kaydığını gözlemiştir. fgözlemci < fkaynak
SONUÇ: Galaksi bizden uzaklaşıyor.
Hubble ayrıca galaksilerin uzaklaşma hızının uzaklıkla
orantılı olduğunu belirlemiştir. Buna göre;
«Evren düzenli bir şekilde genişler».
SORU (Zafaritos Örnek 2.9): Uzak bir galaksiden gelen ışığın
frekansı 3 kat kırmızıya kaymış olarak ölçülüyor ise,
galaksinin hareket doğrultusunu ve süratini bulun.
𝑓𝑔
𝑓𝑘
=
1
3
,
GÖRELİ MEKANİK
• Klasik
mekanikte
eylemsiz
bir
referans
sisteminden,
diğerine GALILE dönüşümleri ile geçilir.
• Klasik
mekanik
yasaları
GALILE
dönüşümleri
altında
invaryanttır.
• Görelilik teorisinde eylemsiz referans sistemleri arasındaki
doğru ilişki LORENTZ dönüşümü ile yapılır.
AMAÇ: LORENTZ dönüşümü altında değişmez olan yeni bir
göreli mekanik oluşturmaktır.
Göreli mekanikte yeniden tanımlanacak kavramlar:
Kütle (m), Momentum (p) , Enerji (E), Kuvvet (F)
Yeni kavramlar ve yeni yasalar bulurken üç ilke bize yol gösterir:
1-) Doğru bir göreli yasa her eylemsiz referans sisteminde geçerli
olmalıdır.
2-) Göreli kavramlar ve yasalar, ışık hızına göre yavaş hareket
eden sistemler için klasik mekaniğe indirgenebilmelidir.
3-) Göreli yasalar deney ile uyumlu olmalıdır. (En önemlisi bu.)
Göreli Kütle
«En küçük kütle durgun kütledir»
Kütle klasik mekanikte m=F/a dan kolayca hesaplanırdı.
Göreli mekanikte, cisim hareketsiz hale getirilir.
Bu durumu vurgulamak için m0 kütlesine durgun kütle (öz kütle)
denir.
Farklı referans sistemlerindeki gözlemciler için bir cismin durgun
kütlesi aynıdır. (S ve S’ sistemleri için m=m’ olur.)
Göreli kütle artışları?
Sadece ışık hızına yakın hızlarda önemlidir.
Sadece elektron, proton, mezon gibi atomik parçacıklar göreli
etkilerin ölçülebilmesi için yeterli büyüklükte hızlara sahip
olabilirler. Bu parçacıklarla ilgilenirken «olağan» fizik yasaları
kullanılamaz.
Önemli Not: Değişken kütle kavramı klasik mekaniğe tam
paralellik
sağlamaz. Kinetik enerji korunumunda bu durum
kendini net olarak gösterir.
Göreli Momentum
Kalsik mekanikte, 𝑝 = 𝑚𝑣
Momentumun klasikteki en önemli uygulaması , momentum
korunumu yasasıdır.
Bunu göreli momentumda da geçerli kılmak gerekmektedir.
Göreli momentum tanımının iki özelliği olmalıdır:
1-) 𝑣 << c olduğunda , 𝑝 = 𝑚𝑣 olmalıdır.
2-) Yalıtılmış bir sistemin 𝑝
sistemlerinde sabit olmalıdır.
si tüm eylemsiz referans
Klasik olarak lineer momentum tanımı,
𝑝=
𝑑𝑟
𝑚
𝑑𝑡
şeklinde yazar𝚤z.
Bu ifadeden göreli tanıma ulaşabiliriz. S den S’ ne
geçen bir sistem olunca hem 𝑑𝑟 hem de dt değişir ve
hız daha karmaşık olur. Böylece momentum korunumu
bozulur.
Bunun yerine göreli olarak hareketli cismin kendi
referans sistemindeki öz zamanına göre türev alınır:
𝑝=𝑚
𝑑𝑟
𝑑𝑡0
= 𝑚𝛾
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= 𝛾m𝑣
Düşük hızlarda dt-> dt0
olduğundan momentum tan𝚤m𝚤 klasik momentuma indirgenir. Göreli
momentum formülü her 3 koşulu da sağlamaktadır. Yani deneylerle uyumludur.
𝑝=
𝑚𝑣
1−𝑣
2
𝑐2
şeklinde tanımlanırsa, özel görelilikte de klasik fizikte olduğu gibi momentum
korunur.
Buradaki  faktörünün en önemli katkısı cismin hızının ışık hızından daha
fazla olmasını önlemektir.
Not: Bazı kitaplarda m = m’ yani değişken kütle ile gösterilir.
Göreli Enerji
Momentumdan sonra göreli enerjiyi tanımlamak gerekir.
Enerji tanımı da aynı iki koşulu sağlamalıdır.
1-) 𝑣 << c olduğunda , E tanımı klasik enerjiye inirgenmelidir.
2-) Yalıtılmış bir sistemin 𝐸 si tüm eylemsiz referans sistemlerinde sabit
olmalıdır.
Bu koşullara uyan enerji tanımı:
E=
𝑚𝑐2
𝑣2
1−
= 𝛾 𝑚𝑐2
𝑐2
Bir cisme 𝑑𝑟 yolu boyunca toplam 𝐹 kuvveti etkiyorsa
𝑑𝐸 = 𝐹 . 𝑑𝑟
Klasik mekanikte iş-enerji teoremi : Bir cismin enerjisindeki artış cisim üzerine
yapılan işe eşittir.
𝑣 << c olduğunda ,  faktöründe Binom yaklaşıklığı kullanılırsa:
−1/2
𝑣2
1 𝑣2
𝛾 = 1− 2
≈1+
𝑐
2 𝑐2
2
1
𝑣
1
2
2
𝐸 = 𝛾𝑚𝑐 2 ≈ 1 +
𝑚𝑐
=
𝑚𝑐
+
𝑚𝑣 2
2
2𝑐
2
yazılır.
Bu denkleme göre hızı küçük olan cisimlerin enerjisi iki terimden oluşur.
Durgun bir cismin göreli enerji ifadesi (durgun enerjisi) meşhur denklemle
verilir:
𝐸 = 𝑚𝑐 2
(v=0 olduğunda)
𝐸 = 𝑚𝑐 2 + 𝐾
𝐾 = 𝐸 − 𝑚𝑐 2 = (-1) 𝑚𝑐 2
K : kinetik enerji
1
Küçük hızlarda 𝐾 ≈ 2m𝑣 2 olduğunu görmüştük, fakat genelde göreli kinetik enerji
de bu farklıdır.
Hızı c ye yaklaştıkça kinetik enerji sonsuza gider.
𝛾 ≥ 1 olduğundan göreli kinetik enerji de daima pozitiftir.
Örnek 3.3 : Zafaritos, s. 40
İki Yararlı Bağıntı
1) Boyutsuz bir ifade olan β yı yazmak için :
𝒖 𝒑𝒄
𝜷≡ =
𝒄
𝑬
2) Enerji - Momentum Bağıntısı
Çoğu durumda hızdan daha fazla momentum ve enerji bilindiğinden ikisini
birbirine bağlayan bir ifadenin olması kullanışlıdır.
𝐸 2 = 𝑝2 𝑐 2 + (𝑚𝑐 2 )2
p = 0 durumunda toplam enerji
E = E0=mc2
durgun enerjiye eşit olacaktır.
Diğer taraftan foton gibi sıfır kütleli parçacıkların olduğu bilinmektedir.
𝐸 2 = 𝑝2 𝑐 2 + (𝑚𝑐 2 )2
ifadesinde m=0 ise
E= pc
olacaktır. Bu eşitlik daima ışık hızı ile hareket eden fotonlar ve nötrinolar
için enerjiyi ve momentumu birbirine bağlayan tam ifadedir. Bu denklem
Göreli mekanikte kullanılır.
Birim: SI birim sisteminde enerji birimi joule (J) dür. Fakat göreli
mekanik çekirdek ve parçacık fiziği ile ilgilendiğinden joule çok büyük kalır.
Onun yerine enerjilerini elektronvolt (eV) ile ifade etmek uygundur.
eV: Bir q = -1,6x10-19 C yüke sahip bir elektron üzerine ∆V= -1 voltluk
potansiyel farkı altında yapılan iştir.
1 eV = 1,602.10-19 Joule
Kütle için ise atomik parçacıklarda kilogram kullanışsız bir birimdir.
Göreli mekanik uygulamalarında m kütlesi yerine mc2 çarpımı tercih edilir.
Buna göre, kütle değeri verilirken mc2 birimi eV olacak şekilde veya kütle c2
ile bölünecek şekilde ifade edilir. (Elektronun kütlesinden durgun enerjisi :
0,511 MeV hesaplanır. Durgun kütlesi m= 0,511 MeV/c2 olur.)
Kütle gibi momentum da göreli mekanikte yalnız başına kullanılmaz pc
çarpımı kullanılır. Bu ifade enerji boyutundadır. O zaman momentum için
uygun birim eV/c veya MeV/c olur.
Kütlenin Enerjiye Dönüşümü
İki ayrı m1 ve m2 kütleli blok göz önüne alalım. Bloklar birbirinden çok
uzaktayken aralarındaki kuvvet sıfır alınabilir.
Fakat yaklaştıklarında iki türlü kuvvet oluşabilir.
1-) İtici Kuvvet - Blokları yaklaştırmak için dışarıdan bir iş yapmak gerekir.
2-) Çekici Kuvvet – Cisimler birbirine yaklaştığında dışarı enerji verir.
Önce itici durumu düşünelim: Bunun için bloklardan birine yay diğerine
çengel takılı olsun. Böyle bağlı durum oluşabilir.
Verilen iş yayın potansiyel enerjisi olarak depolanır.
Depolanan bu enerjisi sistemin kütlesinde bir artış gibi gözlenir.
Bağlı sistemin kütlesi M olsun.
Cisim hareketsiz ise göreli toplam enerji = Mc2
Çengeli yavaşça açalım, iki blok birbirinden uzaklaşır ve ayrı m1 ve m2 kütleleri
oluşur.
Bu iki kütlenin toplam enerjisi
𝐸1 + 𝐸2 = 𝐾1 + 𝑚1 𝑐 2 + 𝐾2 + 𝑚2 𝑐 2
Enerji korunumuna göre
Mc2=(𝐾1 + 𝐾2 ) + (𝑚1 +𝑚2 ) 𝑐 2
M > (𝑚1 +𝑚2 )
Kütledeki azalma
∆𝑀 = 𝑀 − (𝑚1 +𝑚2 )
Ve yukarıdaki bağıntıdan
∆𝑀c2=𝐾1 + 𝐾2 = cisim ikiye ayrıldığında çıkan enerji
Kütle farkı kinetik enerjiye dönüşmüş oldu.
Bu enerji iki cismi bir araya getirmek için yapılan işe eşittir.
Şimdi aralarında çekici bir etkileşme olan iki cisim düşünelim.
Cisimleri birbirinden ayırmak için bir iş yapılması gerekir.
Bağlı bir sistemi parçalarına ayırmak için yapılması gereken iş ; B (Bağlanma
Enerjisi) denir.
Bağlı sistemin kütlesi M, onu oluşturan iki cismin kütleleri m1 ve m2 olsun.
Enerji korunumuna göre
Mc2+B=𝑚1 𝑐 2 + 𝑚2 𝑐 2
M < (𝑚1 +𝑚2 )
Aradaki fark
∆𝑀 = 𝑚1 +𝑚2 −M
∆𝑀c2 = B
Örnek 3.8 : Zafaritos , s.45
Göreli Kuvvet
Momentumdaki değişikliğin kaynağı kuvvettir.
Klasik mekanikte birbirine etkiyen kuvvet için iki ayrı denklem yazılır:
𝐹 = 𝑚𝑎
𝐹=
𝑑𝑝
𝑑𝑡
Bu iki tanım 𝑝 = 𝑚𝑣 olduğundan eşdeğerdir.
𝑑𝑝
Fakat göreli mekanikte 𝑝 = 𝛾m𝑣 olduğundan 𝑑𝑡 ≠ 𝑚𝑎. O zaman göreli
mekanikte sadece ikinci kuvvet denklemi geçerlidir.
𝑑𝑝
𝐹 = 𝑑𝑡 (Göreli Kuvvet)
𝑣<<c olduğunda klasik kuvvet tanımına indirgenir.
Bu kuvvet tanımı iş-enerji teoremini de sağlar.
Örnek 3.9 : Zafaritos , s. 46
Göreli kinematik uygulamalarında karşılaşılan en önemli kuvvet :
elektromagnetik kuvvettir.
Bir q yükü 𝐸 ve 𝐵 içinde hareket ettiğinde momentumundaki değişim
𝑑𝑝
𝐹=
𝑑𝑡
Bu Lorentz kuvveti
𝐹 = 𝑞(𝐸 + 𝑣𝑥𝐵)
Kolay çözüm için düzgün 𝐵 alanında hareket göz önüne alınır.
Bu durumda 𝐹 = 𝑞𝑣𝑥𝐵 ve kuvvet 𝑣 ye diktir. Cismin hızı sabit kalır yönü
değişir.
Cisim başlangıçta 𝐵 ye dik doğrultuda atılmışsa dairesel bir yörünge çizer.
Daire yarıçapını bulmak için :
𝑑𝑝
𝑑𝑣
= 𝛾𝑚
= 𝑞𝑣𝑥𝐵
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝛾𝑚𝑎 = 𝑞𝑣𝐵
Dairesel harekette ivme
𝑣2
𝑅
olduğuna göre
𝑣2
𝛾𝑚 𝑅 =𝑞𝑣𝐵
𝑝
R = 𝑞𝐵
Örnek 3.10: Zafaritos , s. 47
Kütlesiz Parçacıklar : Foton
Klasik mekanikte kütlesiz parçacık yok sayılır.
Göreli mekanikte m=0 yani kütlesiz parçacık olur mu?
𝑝 = 𝛾𝑚𝑣
𝐸 = 𝛾𝑚𝑐 2
Bu iki denklemden olmazmış gibi duruyor ama öyle değil.
Bu iki denklemden türettiğimiz iki denklem vardı:
𝐸 2 = 𝑝2 𝑐 2 + (𝑚𝑐 2 )2
𝑢 𝑝𝑐
𝛽≡ =
𝑐
𝐸
m=0 için bu iki denkleme bakarsak şu sonuç çıkar; kütlesiz parçacığın hızı
daima v=c olmalıdır.
Bunun tersi de geçerlidir yani ışık hızıyla giden bir parçacık bulunsaydı
pc=E ve m=0 olması gerekirdi.
Kütlesiz parçacıkların hem teorik hem de deneysel olarak var olabileceği
kanıtlandı.
Bunlar arasında en bilineni ışık parçacığı foton dur.
Fotonlar küçük dalga paketleridir, enerji ve momentum taşırlar.
Kütleleri sıfır olup, c hızıyla giderler.
Fotonun enerji ve momentumunu ölçmek için bir örnek :
𝛾+𝐻 →𝑒+𝑝
Fotoiyonlaşma olayıdır.
Foton için p ve E hesaplanabilir.
Fotonlar dışında başka parçacıklarda bu özelliğe sahiptir. (Nötrino,
graviton)