PDF Örneği için tıklayınız

Bu kitabın bütün yayın hakları saklıdır.
Tüm hakları, yazarlara ve METİN YAYINLARI’na aittir. Kısmen de olsa alıntı yapılamaz. Metin, biçim ve
sorular, yayımlayan şirketin izni olmaksızın, elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemiyle
çoğaltılamaz, yayımlanamaz.
İSBN
978-605-84769-4-3
METİN YAYINLARI
Tel: 0538 395 11 00 – 0533 417 34 86
http://www.metinyayinlari.com
Yazarlar
Gökhan METİN
gokhan.metin@hotmail.com
Müjdat ERCAN
mujoloji@hotmail.com
Doç. Dr. Ayhan TUTAR
atutar44@gmail.com
Bilimsel İnceleme
Hüseyin KIŞ
Hukuk Danışmanı
Hakan DEMİRBAY
Grafik Tasarım
Merve ÖZBAY
merveyildizozbay@hotmail.com
Dizgi
paletreklam06@gmail.com
srkngenc@gmail.com
Genel Dağıtım
Meşrutiyet Caddesi No: 35/3
Kızılay / ANKARA
Tel: 0312 434 24 00 Faks : 0312 434 24 19
demirbogaali@gmail.com
Baskı
Aydan Yayıncılık A.Ş.
www.aydan-ltd.com.tr
Ankara
FASİKÜLE VERİMLİ ÇALIŞMA REHBERİ
Sevgili öğrenciler ve değerli meslektaşlarım,
Bireysel Matematik Fasikülleri, matematik bilmeyene keyifli bir yolculuk, matematik bilene hatasız
soru çözme kabiliyeti kazandıracak şekilde tasarlanmıştır.
� Her fasikül, en temelden adım adım matematiğinizi geliştirip güçlendirecek tekniklerle oluşturul-
muştur.
� Sayfa başlıklarıyla, her ünite, anlamayı kolaylaştırıcı alt başlıklara ayrılmıştır.
�
�
Konu Özeti
: Konu özetlerinde kavramlar madde madde vurgulanmıştır.
: Uyarı ikonlarıyla hatırlatmalar ve dikkat edilmesi gerekenler belirtilmiştir.
� (*) : Dipnotlarla konu dışı kavramlar açıklanmıştır.
�
ÖRNEK
ve
ÇÖZÜM
: Örnekler sayfa başlığını en iyi açıklayacak şekilde özenle kurulmuş ve
çözümleri kolayca anlaşılacak şekilde düzenlenmiştir.
�
: Her başlıkla ilgili el alışkanlığı kazanmanızı sağlayacak bolca soru Sıra Sende kısmında, cevaplarınızı kolayca kontrol edebileceğiniz şekilde sorulmuştur.
�
Uygulama Zamanı : Belirli aralıklarla birikimlerinizi değerlendirme uygulamaları konulmuştur.
�
Tekrar Zamanı : Ünite sonlarında öğrendiklerinizi test tekniğiyle pekiştireceğiniz ve çözüm-
leriyle unuttuklarınızı hatırlayacağınız testler sunulmuştur.
� Anahtar kavramlar ve çözümler renklendirilerek fark etmeniz sağlanmıştır.
� Öğrencilerin sık düştüğü hatalar vurgulanarak belirtilmiştir.
� Pratik ve eğlenceli çözümlerle akılda kalıcılık arttırılmıştır.
� Her konu, özenle oluşturulan
Konu Testi ile pekiştirilirken, "
" ikonuyla belirtilen soruların
çözümünü "SİZİN İÇİN ÇÖZDÜKLERİMİZ" kısmında bulabilirsiniz.
Sonuç olarak, şunu diyebiliriz ki; matematik ayrıntılarda gizlidir. Bundan dolayı sabırla her fasikülü,
üniteyi, başlığı ve maddeyi anlayarak, her örneği ve soruyu çözerek matematiği kolayca öğrenebilir,
sınavlardaki matematik korkunuzdan kurtulabilirsiniz.
Başarılı bir gelecek dileğiyle …
METİN YAYINLARI
http://www.metinyayinlari.com
İÇİNDEKİLER
AÇISAL KAVRAMLAR
Trigonometri Kavramı ve Yönlü Açılar ................................................. 1
Açı Ölçü Birimleri - I ............................................................................. 2
Açı Ölçü Birimleri - II ............................................................................ 3
Birim (Trigonometrik) Çember ............................................................. 4
Esas Ölçü ............................................................................................ 5
Uygulama Zamanı – 1 ................................................................ 6
TRİGONOMETRİK FOKSİYONLAR
Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonları........................................................... 8
Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonları...................................................... 9
Sekant ve Kosekant Fonksiyonları .................................................... 10
Tanım Kümesi ve Değer Aralıkları ..................................................... 11
Uygulama Zamanı – 2 .............................................................. 12
Trigonometrik Özdeşlikler – I ............................................................. 13
Trigonometrik Özdeşlikler – II ............................................................ 14
Trigonometrik Sadeleştirmeler – I ...................................................... 15
Trigonometrik Sadeleştirmeler – II ..................................................... 16
Özel Açıların Trigonometrik Oranları ................................................. 17
Trigonometri Cetveli .......................................................................... 18
Uygulama Zamanı – 3 .............................................................. 19
Tekrar Zamanı
ÇÖZÜMLÜ TEST – 1 ................................................................. 21
ÇÖZÜMLÜ TEST – 2 ................................................................. 23
DİK ÜÇGENDE TRİGONOMETRİK ORANLAR
Dik Üçgenlerde Dar Açıların Trigonometrik Oranları ......................... 27
Trigonometrik Oranlardan Biri Verildiğinde
Diğer Trigonometrik Oranları Bulma .................................................. 28
Trigonometrik Oranlardan Birini Elde Edip ........................................ 29
Diğer Trigonometrik Oranları Bulma .................................................. 29
Tümler Açıların Trigonometrik Oranları Arası İlişki ............................ 30
Trigonometrik Oranlar Yardımıyla
Kenar Uzunluğu Bulma...................................................................... 31
Üçgenlerde Trigonometrik Oranlar .................................................... 32
Trigonometrik Oranlar Cinsinden İfade .............................................. 33
İkizkenar ve Eşkenar Üçgenlerde
Trigonometrik Oranlar ........................................................................ 34
Karelendirilmiş Şekillerde Trigonometrik Oranlar .............................. 35
Dörtgenlerde Trigonometrik Oranlar .................................................. 36
Yamukta ve Çemberde Trigonometrik Oranlar .................................. 37
Geometrik Cisimlerde ve
Koordinat Düzleminde Trigonometrik Oranlar ................................... 38
Uygulama Zamanı – 4 .............................................................. 39
Tekrar Zamanı
ÇÖZÜMLÜ TEST – 1 ................................................................. 41
TRİGONOMETRİK BÖLGELER
Trigonometrik Bölge İşaretleri ............................................................ 44
Bölgesine Göre Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar ........................ 45
Eksen Açıları Yardımıyla Trigonometrik Özdeşlikler .......................... 46
Eksen Açıları Yardımıyla Trigonometrik Eşitlikler .............................. 47
Negatif Açıyla ve Esas Ölçüyle
Trigonometrik Özdeşlikler .................................................................. 48
90° den Büyük Özel Açılar ve
Trigonometrik Sadeleşmeler .............................................................. 49
Trigonometrik İfadelerde Harflendirme .............................................. 50
Trigonometrik İşaretlerin Geometrik Yorumu ..................................... 51
Üçgenin İç Açıları ve
Birim Çemberde Trigonometrik Özdeşlikler ....................................... 52
Trigonometrik Sıralamalar - I ............................................................. 53
Trigonometrik Sıralamalar - II ............................................................ 54
Uygulama Zamanı – 5 .............................................................. 55
Tekrar Zamanı
ÇÖZÜMLÜ TEST – 1 ................................................................. 57
TOPLAM FARK FORMÜLLERİ
sin (a ± b) ve cos (a ± b) Formülleri ................................................... 60
tan (a ± b) ve cot (a ± b) Formülleri ................................................... 61
Özel Açılar ile Toplam ve Fark ........................................................... 62
Toplam - Fark Formüllerinin Geometrik Yorumu ................................ 63
Uygulama Zamanı – 6 .............................................................. 64
Tekrar Zamanı
ÇÖZÜMLÜ TEST – 1 ................................................................. 66
ÇÖZÜMLÜ TEST – 2 ................................................................. 68
YARIM AÇI FORMÜLLERİ
Sinüs Fonksiyonunda Yarım Açı ........................................................ 72
Sinüs Yarım Açı Uygulamaları ........................................................... 73
Kosinüs Fonksiyonunda Yarım Açı .................................................... 74
Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonunda Yarım Açı ................................ 75
Dik Üçgenlerde Yarım Açı ve Özel Yarım Açılar ................................ 76
Yarım Açı İle Tam Kare, İki Kare Farkı ve
1 den Kurtulma .................................................................................. 77
Yarım Açıda Sadeleşme .................................................................... 78
Üç Katlı Açı Formülleri ....................................................................... 79
Uygulama Zamanı – 7 .............................................................. 80
Tekrar Zamanı
ÇÖZÜMLÜ TEST – 1 ................................................................. 82
DÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ
Toplamı Çarpıma Dönüştürme........................................................... 85
Dönüşüm İle Sadeleşmeler ve Ardışık Dönüşümler .......................... 86
Ters Dönüşüm Formülleri .................................................................. 87
Uygulama Zamanı – 8 .............................................................. 88
Tekrar Zamanı
ÇÖZÜMLÜ TEST – 1 ................................................................. 89
TEOREMLER VE PROBLEMLER
Kosinüs Teoremi ................................................................................ 92
Kosinüs Teoremi Uygulamaları .......................................................... 93
Sinüs Teoremi .................................................................................... 94
Sinüs Teoremi Uygulamaları.............................................................. 95
Üçgenin Sinüslü Alanı........................................................................ 96
Diğer Alan Bağıntıları......................................................................... 97
Trigonometrik Problemler .................................................................. 98
Birim Çember Geometrisi .................................................................. 99
Uygulama Zamanı – 9 ............................................................ 100
Tekrar Zamanı
ÇÖZÜMLÜ TEST – 1 ............................................................... 102
TRİGONOMETRİK DENKLEMLER
sin x = a ve cos x = a Denklemlerinin Çözümü................................ 105
tan x = a ve cot x = a Denklemlerinin Çözümü ................................ 106
Çözüm Kümesi Belirleme ................................................................ 107
Özdeşlikler Yardımıyla Denklem Çözme ......................................... 108
Açılımlar Yardımıyla Denklem Çözme ............................................. 109
2. Dereceden Trigonometrik Denklemler ......................................... 110
cos x ve sin x e Göre Doğrusal Denklemler .....................................111
sin x ve cos x e Göre Homojen Denklemler .................................... 112
Belirli Bir Aralıktaki Kökler................................................................ 113
Trigonometrik Eşitsizlikler ................................................................ 114
Uygulama Zamanı – 10 .......................................................... 115
Tekrar Zamanı
ÇÖZÜMLÜ TEST – 1 ............................................................... 117
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİĞİ
Periyod ve Periyodik Fonksiyon ...................................................... 120
Trigonometrik Fonksiyonların Periyodu ........................................... 121
Grafik Çizme ve Sinüs Fonksiyonunun Grafiği ................................ 122
Kosinüs ve Tanjant Fonksiyonunun Grafiği ..................................... 123
Kotanjant Fonksiyonunun Grafiği
Grafik Yardımıyla Kök Sayısı Bulma ................................................ 124
Trigonometrik Fonksiyonların Tekliği - Çiftliği .................................. 125
Uygulama Zamanı – 11........................................................... 126
TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR
Tanım ve Değer Kümeleri ................................................................ 127
Değer Tespiti.................................................................................... 128
Ters Trigonometrik İfadelerin Trigonometrik Değerleri - I................. 129
Ters Trigonometrik İfadelerin Trigonometrik Değerleri - II................ 130
Fonsiyonel İfadeler ve Denklemler .................................................. 131
Ters Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri ................................... 132
Uygulama Zamanı – 12 .......................................................... 133
Tekrar Zamanı
ÇÖZÜMLÜ TEST – 1 ............................................................... 134
KONU TESTLERİ .................................................................... 137
SİZİN İÇİN ÇÖZDÜKLERİMİZ ................................................. 209
Trigonometri Kavramı ve Yönlü Açılar
AÇISAL KAVRAMLAR
ÖRNEK
Konu Özeti
” Trigonometri; "trigon" üçgen, "metri" ölçüm anlamına gelen üçgenin açıları ile kenarları arasında bağıntı
kuran matematik dalıdır.
v Fen bilimleri, mimarlık - mühendislik ve astronomi
gibi birçok bilim alanında kullanılır.
Sinüs ve kosinüs fonksiyonları trigonometrinin
temel yapı taşlarıdır, ileride detaylı değinilicektir.
Öncelikle açısal kavramları detaylı öğrenmeliyiz.
A
O
v Çember yaylarının açı ölçüleri de açılar gibi
yönlü olarak belirtilebilir.
Bir çember "yayının uzunluğu" ile "açı ölçüsü"
birbirinden farklı kavramlardır. DİKKAT EDİNİZ!
1. Şekilde dört eşit parçaya ayrılmış
O merkezli çember için aşağıdaki
açıların ve yayların ölçülerini
yönlü olarak belirtiniz.
B
D
O
)
d) ABC
C
b)
A
+120°
O
c)
C
%
AC nin başlangıç noktası A dır,
–120°
bitim noktası C dir.
A
O
B
d)
X nin başlangıç kenarı [OA] dır,
AOB
bitim kenarı [OB] dir.
C
A
+240°
B
O
C
)
ABC ; A noktasından başlayarak B
noktasından geçip C noktasında
biter.
%
X ) = - 50° olduğuna göre
2. m (AB) = 20° ve m (CDE
%
X ) toplamının yönlü değeri kaç derem ( BA) + m (EDC
cedir?
C
%
a) AB
d) CX
OB
X
b) AOB
X
e) BOD
)
c) ADB
)
f) DBC
1) a) 90°
A
C
X nin başlangıç kenarı [OA] dır,
AOC
bitim kenarı [OC] dir.
–120°
B
B
” Yönlü Açılar: Saatin dönme yönünün tersi ( ) yönünündeki açılar pozitif yönlü açılar, saattin dönme
( ) yönündeki açılar negatif yönlü açılardır.
O
ÇÖZÜM Şekildeki her bir parça 360° ÷ 3 = 120° lik
açı ölçüsüne sahiptir.
a)
” Trigonometri, "yönlendirilmiş açıların" sinüs ve cosinüs adı verilen fonksiyonlar ile hesaplanan değerleri
üzerine inşaa edilir.
A
Şekilde üç eşit parçaya ayrılmış O merkezli çember için aşağıdaki açıların ve
yayların yönü ile birlikte ölçüsünü
B
belirtiniz.
%
X
X
b) AOB
c) AC
a) AOC
b) 90°
c) –270°
d) –90°
e) 180 veya –180°
3. Saatinin 15 dakika ileri olduğunu gören Ali, saatini
düzeltmek için yelkovanı kaç derecelik yönlü açıyla
döndürmelidir?
f) 270°
2) 30°
3) 90°
1
Açı Ölçü Birimleri - I
AÇISAL KAVRAMLAR
Konu Özeti
c) 1° = 3600'' ⇒ 10° = 36000'' dir.
(Derece ve Alt Birimleri)
1' = 60'' ⇒ 10' = 600'' dir.
” Tam bir çember yayının 1/360 ını gören merkez açının ölçüsüne 1° (1 derece) denir.
v 1° nin 1/60 ı 1' (1 dakika) dır: 1° = 60'
O halde, 10° 10' 10'' = 36000'' + 600'' + 10'' = 36610''
bulunur.
d) 1° = 60' ⇒ 30° = 1800' dır.
v 1' nın 1/60 ı 1'' (1 saniye) dir: 1' = 60''
O halde 30° 40' = 1800' + 40' = 1840' bulunur.
1° = 60' = 3600'' dir.
ÖRNEK
ÖRNEK
(Derece, Dakika, Saniye Dönüşümleri)
Aşağıdaki verilen açı ölçülerini istenilen birime çeviriniz.
a) 58000'' = ?° ?' ?''
b) 1500'' = ?° ?' ?''
c) 10° 10' 10'' = ?''
d) 30° 40' = ?'
ÇÖZÜM
Derece, dakika, saniye geçişlerinden modü-
b) 1510 60
120
25'
–
––––––
310
300
–
––––––
10''
1442443
a) 58000 60
540
966 60
–
–––––– 60 16°
0400 –
–––––
360
366
–
–––––– 360
0400 –
360 –––––
6'
–
––––––
40''
14444244443
ler aritmetikten (mod 60) faydalanılır.
m (W
A) = 15° 35' 10'' ve m ( W
B) = 60° 20' 45''
A)
a) 2m (W
58000'' = 16° 6' 40'' dir.
Kalan hesaplamalarında
"SIFIRLAR
SADELEŞTİRİLMEZ"
DİKKAT EDİNİZ!
ÇÖZÜM
A) = 2 (15° 35' 10'') = 30° 70' 20'' dır.
a) 2 m (W
8
70' = 60' + 10' = 1° + 10' olduğundan,
7
O halde, 30° 70' 20'' = 31° 10' 20'' dir.
7
1° 10'
b) m (W
A) = 15° 35' 10''
3m ( W
B) = 180° 60' 135''
+
m (W
A) + 3 ( W
B) = 195° 95' 145'' = 195° 97' 25'' = 196° 37' 25''
7
;
120''+25'' = 2' 25'
c)
1510'' = 25' 10''
1510 '' nin içinde derece
cinsinden açı yoktur.
–
A) = 23° 11' 42'' olduğuna göre;
2. m (W
m (W
A)
nin eşiti nedir?
2
1) 16°
40'
2) a) 11°
35'
51''
b) 156°
48'
18''
60' 37' = 1° 37'
1° = 60'
59° 80' 45''
m (W
B) = 60° 20' 45''
⇒
15° 35' 10''
m (W
A) = 15° 35' 10''
m (W
B) - m (W
A) = 44° 45' 35'' bulunur.
Dünya ekseni
3. Ekvator düzlemi ile
yörünge düzlemi arasında
Yörünge
düzlemi
kalan açıya Dünya'nın
eksen eğikliği denir.
Dünya ekseni ile yörünge
düzlemi arasındaki açı 66°
33' olduğuna göre
Ekvator
Dünya'nın eksen eğikliğidüzlemi
nin açı ölçüsü nedir?
(Dünya ekseni ekvator düzlemine diktir.)
b) A açısının bütünlerinin eşiti nedir?
2
B) - m (W
A)
c) m ( W
b) m (W
A) + 3m ( W
B)
1°
1. 60000'' lik açı derece, dakika ve saniye cinsinden kaça
eşittir?
a)
(Açılarla İşlemler)
3) 23° 27'
Açı Ölçü Birimleri - II
AÇISAL KAVRAMLAR
(Radyan)
Konu Özeti
” Bir çemberde yarıçap uzunluğundaki bir yayı gören
merkez açının ölçüsüne 1 radyan denir.
b)
90°
R
π
= & radyandır.
π
180°
2
c)
180° R
= & R = π radyandır.
π
180°
v Ya da tam bir çember yayının 1/2π sini gören
merkez açının ölçüsüne 1 radyan denir.
” Derece ile radyanı birbirine çevirirken;
180
bağıntısından faydalanılır.
ÇÖZÜM
(Dereceyi Radyana Çevirme)
Aşağıda ölçüleri derece cinsinden verilen açıları radyan
cinsinden ifade edeniz.
a) 0°
b) 90°
ÇÖZÜM
(Radyanı Dereceye Çevirme)
Aşağıda ölçüleri radyan cinsinden verilen açıları derece
cinsinden ifade edeniz.
π
3π
b) 2π
c)
a)
3
2
D
R
D
R
=
&
=
π
360° 1 2 π 180°
ÖRNEK
ÖRNEK
c) 180°
π
D
3
a)
=
& D = 60° bulunur.
π
180°
b)
D
R
=
bağıntısından faydalanılır.
π
180°
0°
R
= & R = 0 radyandır.
a)
π
180°
1. Aşağıda ölçüleri derece cinsinden verilen açıların
radyan cinsinden değerini bulunuz.
D
R
=
bağıntısına göre,
π
180°
D
2π
=
& D = 360° bulunur.
π
180°
3π
D
2
=
& D = 270° bulunur.
c)
π
180°
2. Aşağıda ölçüleri radyan cinsinden verilen açıların
derece cinsinden değerini bulunuz.
a) 15°
e) 75°
a)
π
4
e)
5π
6
b) 30°
f) 120°
b)
2π
9
f)
4π
3
c) 45°
g) 270°
c)
3π
4
g) 1,25π
d) 60°
h) 360°
d)
2π
3
h) 2
1) a)
π
12
b)
f)
2π
3
π
6
c)
g)
π
4
3π
2
d)
π
3
h) 2π
e)
5π
12
2) a) 45°
b) 40°
f) 240°
c) 135°
g) 225°
d) 120°
h)
360
π
e) 150°
3
Sekant ve Kosekant Fonksiyonları
TRİGONOMETRİK FOKSİYONLAR
ÖRNEK
Konu Özeti
” a açısının birim çember
üzerindeki görüntüsü olan
A noktasından çizilen teğetin x eksenini kestiği nokta
D(s, 0) ve y eksenini kestiği
nokta E(0, c) ise:
a açısının birim çember üzerindeki görüntüsü A(0,6; 0,8)
noktası olduğuna göre aşağıdaki ifadelerin değerlerini
bulunuz.
y
E(0, c)
a) sec a
A
α
O
(Birim Çember Üzerindeki Nokta)
D(s, 0)
x
b) cosec a
ÇÖZÜM
a açısının görüntüsü A(0,6; 0,8) ise cos a = 0,6 ve
sin a = 0,8 dir. O halde,
v D (s, 0) ın apsisi, a nın sekantıdır: s = sec a
a) sec a =
v E (0, c) nin ordinatı, a nın kosecantıdır: c = cosec a
1
1
10 5
=
=
= tür.
cos a 0, 6
6
3
b) cosec a =
Sekant ve kosecantın sinüs ve kosinüs
cinsinden ifadesi;
v sec a =
1
cos a
v cosec a =
ÖRNEK
1
sina
Sekant ve cosekantın 3. harflerini, kosinüs ve
sinüs cinsinden yazarken ipucu olarak kullanabilirsiniz.
ve R - " kπ, k ! Z , kümesindeki bir a reel sayısını
cosec a ya dönüştüren fonksiyona kosekant fonksiyonu denir.
1. Aşağıdaki tabloda verilen açıların birim çember
üzerindeki görüntülerini tespit edip, bu görüntüye göre
verilen açıların sekantlarını ve kosekantlarını bulunuz.
Açı
(Derece)
a)
0°
b)
90°
c)
180°
d)
270°
Birim Çember
Üzerindeki
Görüntüsü
Sec
(Birim Çember Geometrisi)
y
A
[AB] şekildeki birim çembere
C noktasında teğet ise taralı alanı
a cinsinden belirtiniz.
ÇÖZÜM
O
3 4
2. A c , - m noktası birim çember üzerinde a açılık
5 5
ölçüye sahip bir nokta olduğuna göre sec a · cosec a
çarpımının değeri kaçtır?
Cosec
y
BD + AC toplamının a
cinsinden eşiti nedir?
D
B
10
b) (0, 1), tanımsız, 1
c) (–1, 0), –1, tanımsız
e) (1, 0), 1, tanımsız
2) -
25
12
α
T
C
O
360°
d) (0, –1), tanımsız, –1
x
A(0, cosec a) ve
A (0, cosec α)
B(sec a, 0) olduğuna
C
cosec α
1
göre AOB dik üçgeninde
B(sec α, 0)
α
x

|OA| = cosec a br ve
O sec α
|OB| = sec a br dir.
O halde,
sec a · cosec a 2
A ^AOBh =
br bulunur.
2
çemberde T noktasında teğettir.
X ) = α olduğuna göre
m (ODC
c) (–1, 0), –1, tanımsız
B
y
3. [CD] şekilde verilen çeyrek birim
1) a) (1, 0), 1, tanımsız
C
α

π
+ kπ, k ! Z 1 kümesindeki bir a reel sayısını
2
sec a ya dönüştüren fonksiyona sekant fonksiyonu
” R-'
1
1
10 5
=
=
= tür.
8
4
sin a 0, 8
3) sec a + cosec a – 2
A
x
Tanım Kümesi ve Değer Aralıkları
ÖRNEK
Konu Özeti
” Fonksiyon:
Tanım kümesi
sin
:
R
cos
:
tan
cot
→ Değer Kümesi
→
[−1, 1]
R
→
π
: R - ' + kπ, k ! Z 1 →
2
[−1, 1]
:
R - " kπ, k ! Z ,
→
(Bağımlı ve Bağımsız Değişkenler)
Aşağıdaki ifadelerin alabileceği en küçük ve en büyük
değeri bulunuz.
a) A = 3 sin x + 4 cos y
b) B = 3 sin x + 4 cos x
R
R
” Sinüs ve kosinüs fonksiyonları [−1, 1] aralığı dışında
değer alamaz. Yani ∀ a ∈ R için;
–1 G sin a G 1 ve –1 G cosa G 1 dir.
” Birim çemberde; bitim kenarı, tanjant eksenine paπ
ralel uzanan açıların c + kπ, k ! Z m tanjantı ve ko2
tanjant eksenine paralel uzanan açıların ^kπ, k ! Zh
kotanjantı tanımsızdır. Tanımlı olduğu aralıklarda
∀ a ∈ R için;
–3 G tana G 3 ve –3 G cota G 3 dur.
ÖRNEK
TRİGONOMETRİK FOKSİYONLAR
ÇÖZÜM
a) –1 ≤ sin x ≤ 1 ⇒ –3 ≤ 3 sin x ≤ 3
–1 ≤ cos y ≤ 1 ⇒ –4 ≤ 4 cos y ≤ 4
+
–––––––––––––––––––––
- 7 ≤ 3 sin x + 4 cos y ≤ 7
1444 2444 3
A
O halde A nın alabileceği en küçük değer –7, en büyük
değer 7 dir.
b) Bağımlı değişkenli eşitsizlikler taraf tarafa TOPLANAMAZ.
Bu tarz durumlar ile karşılaşırsanız.
- a2 + b2 ≤ a sin x + b cos x ≤ a2 + b2
(Değer Aralığı)
bağıntısından faydalanınız. Sebebi ilerde
anlatılacaktır.
a = 2sin x + 1 olduğuna göre a nın değer aralığını
bulunuz.
- 32 + 42 ≤ 3 sin x + 4 cos x ≤ 32 + 42 & - 5 ≤ B ≤ 5
1 44 2 44 3 1 4 4 4 2 4 4 4 3 1 44 2 44 3
ÇÖZÜM
–1 ≤ sin x ≤ 1 ⇒ 2 · (–1 ≤ sin x ≤1)
& - 2 ≤ 2 sin x ≤ 2 & - 2 + 1 ≤ 2 sin x + 1 ≤ 2 + 1
1 44 2
44 3
a
⇒ –1 ≤ a ≤ 3 yani a ∈ [–1, 3] bulunur.
1. A = 3 sina – 1 olduğuna göre A nın değer aralığı nedir?
-5
5
B
O halde
B nin alabileceği en küçük değer –5, en büyük değer 5 tir.
Aşağıdaki ifadelerin alabileceği en büyük ve en küçük
değerleri bulunuz.
3. A = 5 sinx + 3 cosy
2.
5 cos x + 3
ifadesinin alacağı en büyük ve en küçük
2
değer kaçtır?
4. A = 6 sinx – 2 cosy + 1
5. A = 4 sin x + 2 cos x
3) en büyük = 8
1) [–4, 2]
2) en büyük = 4, en küçük = –1
en küçük = –8
4) en büyük = 9
en küçük = –7
5) en büyük = 2 5
en kaçük = –2 5
11
Uygulama Zamanı
Uygulama – 2
1. Aşağıda verilen trigonometrik ifadelerin eşitini bulunuz.
4.
y
B
a) sin 90° + cos 180° + cos 270° =
y=1
x
Şekildeki birim çemberde verilen AO nın a cinsinden
eşiti nedir?
3π
=
2
5. A = 2cos a – 4 olduğuna göre A nın değer aralığı
nedir?
tan π + cos 0
=
3π
π
sin
- cot
2
2
d)
A
O
b) sin 270° + tan 0° + cot 180° =
c) tan 0° + sin 2π + cot
α
1 - 3 cos 3x
ifadesinin değer aralığı nedir?
4
6.
7π
- cos 15π
2
=
e)
25π
m · cos (- 18π)
sin c 2
cos
7. Aşağıda ifadelerin alabileceği en büyük ve en küçük
değerleri bulunuz.
2. A f
a) A = 3sin x + 6 cos y
1 , 2
p birim çember üzerinde a açılık ölçüye
5 5
sahip bir nokta olduğuna göre 2tan a + 3cot a toplamının değeri nedir?
b) B = 5cos x – 3 sin y – 2
c) C =
1 - sin 2x - 4 cos 3y
2
d) D = 5cos x – 12 sin x
3. a açısının birim çember üzerindeki görüntüsü birinci
3 ,
bölgedeki f
y p olduğuna göre cos a + sin a
10
nedir?
e) E = 6sin x + 3 cos x
f) F = sin2 x + cos2 y
4)
1) a) 0
12
b) –1
c) 0
d) –1
e) –1
2)
11
2
3)
2 10
5
b)
1 + cot2 α
EB = 6
EK = –10
5) –6 ≤ A ≤ –2
c)
EB = –2
EK = 3
d)
EB = 13
EK = –13
1
6) ;- , 1E
2
e)
EB = 3 5
EK = - 3 5
7) a)
EB = 9
EK = –9
e)
EB = 2
EK = 0
Trigonometrik Özdeşlikler – I
Konu Özeti
TRİGONOMETRİK FOKSİYONLAR
(sin2 a + cos2 a = 1)
y
C
” a açısının birim çember
üzerindeki görüntüsü
A(x, y) ise
x = cos a = OB ve
Konu Özeti
A (x, y)
1
α
O
B
x
” tanjant, kotanjant, sekant ve kosekant fonksiyonları
sinüs ve kosinüs fonksiyonları ile ifade edilebilir.
y = sin a = OC dir.
AOB dik üçgeninde pisagor bağıntısı ile
2
(tan a, cot a, sec a, cosec a)
2
OB + AB = 12 & (cos α) 2 + (sin α) 2 = 12
v tan a =
cos a
sin a
ve cot a =
dır.
cos a
sin a
v sec a =
1
1
ve cosec a =
dır.
cos a
sin a
⇒ sin2 a + cos2 a = 1 dir.
Buna göre;
v sin2 a + cos2 a = 1 ⇒ sin2 a = 1 – cos2 a dır.
v sin2 a + cos2 a = 1 ⇒ cos2 a = 1 – sin2 a dir.
ÖRNEK
sin a + cos a =
nuz.
ÇÖZÜM
nız.
ÖRNEK
3 sec a = 4 cosec a ise tan a + cot a nın değerini
bulunuz.
ÇÖZÜM
2 ise sin a · cos a nın değerini bulu-
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab olduğunu hatırlayı-
3
4
=
3 sec α = 4 cosec α &
ise
> cos α sin α
<
1 cosα
1 sin α
(sin a + cos a)2 = ( 2 )
(i) 3 sin α = 4 cos α &
sin α
4
4
= & tan α = tür.
cos α 3
3
⇒ sin2 α + cos2 α + 2sin a · cos a = 2
1 444 2 444 3
(ii) 3 sin α = 4 cos α &
3
cos α 3
= & cot α = tür.
4
4
sin α
1
⇒ 1 + 2sin a · cos a = 2 ⇒ 2sin a · cos a = 1
1
⇒ sin α · cos α = bulunur.
2
1. Aşağıda verilenlerin eşitini bulunuz.
O halde tan α + cot α =
4 3 25
+ =
bulunur.
3 4 12
1. 3sin x + 5cos x = sin x + cos x eşitliğine göre cot x
kaçtır?
a) sin2a + cos2a =
b) sin218 + cos218 =
c) cos244 + sin244 + 44 =
2.
2 sin x + cos x cos x - sin x
=
eşitliğine göre tan x
3
2
kaçtır?
2. sin x + cos x =
5
olduğuna göre sin x · cos x kaçtır?
3
1) a)1
b) 1
c) 45
2)
8
9
1) -
1
2
2)
1
7
13
Karelendirilmiş Şekillerde Trigonometrik Oranlar
DİK ÜÇGENDE TRİGONOMETRİK ORANLAR
3 br
ÇÖZÜM
1
Konu Özeti
4
4
4 br
2
a
4
4
5 br
4
a açısını kenarları bilinen
dik üçgene iç ters açı ile
taşıyalım,
4
” Karelendirilmiş şekillerde, trigonometrik oranı sorulan açı, kenar birimleri belli dik üçgene taşınır.
4
4
ÖRNEK
a
Eş karelerden oluşan yandaki şekle
göre sin a + cos a toplamının
dereğerini bulunuz.
sin α =
3
4
ve cos α = olduğundan
5
5
3 4 7
sin α + cos α = + = bulunur.
; < 5 5 5
3 5
1. D
3
O halde
C
4 5
D
3.
C
F
E
Şekil özdeş dört kareden
oluşmuştur. [AC] ∩ [DE] = {F}
W ) kaçtır?
olduğuna göre sin (DFC
F
A
B
A
Şekildeki ABCD dikdörtgeni özdeş 6 kareden oluşmakW ) değeri kaçtır?
tadır. Buna göre tan (AFE
B
E
4.
2. B
C Şekildeki ABCD
dikdörtgeni özdeş
12 kareden
oluşmaktadır.
Buna göre
sin a + cos a
toplamı kaça
D
eşittir?
a
A
1)
3
2
a
2)
7
5
E
B
A
D
1)
C Sekiz özdeş kareden
oluşmuş yandaki
F şekilde B ve E
noktaları [AC]
üzerindedir.
Buna göre
W )· cos (FEC
W )
sin (ABD
çarpımının değeri
kaçtır?
2 13
13
4)
25
41
35
Dörtgenlerde Trigonometrik Oranlar
DİK ÜÇGENDE TRİGONOMETRİK ORANLAR
ÖRNEK
Konu Özeti
” Dörtgenlerde köşegen, benzerlik ve paralel doğrularda açı özellikleri ile oluşturulan dik üçgenlerde trigonometrik oranlar uygulanabilir.
” Özel dörtgenler; paralelkenar, eşkenar dörtgen dikdörtgen, kare, deltoid ve yamuğun özelliklerini kısaca
hatırlayalım.
Kare
v Paralelkenar ve dikdörtgende
köşegenler birbirlerini "ortalar", kare ve eşkenar dörtgende köşegenler birbirini
"dik ortalar".
45°
45°
45°
45°
v Paralel kenara sahip
dörtgenlerde, gerektiğinde "iç ters açılardan
faydalanmayı unutmayınız.
1. A
D
x
E
90 – α
90
–α
α
E
1
B
5
bulunur.
5
=
D
ÖRNEK
E
5 cm
6 cm
A
C
α
α
B
D
E
5 cm
C
α
W ) (iç ters)
m (A W
BE) = m (BEC
3 cm
m
4c
H
EBC ikizkenar üçgende;
5 cm
3 cm
α
6
α
EH = HB = = 3 cm dir.
2
A
B
&
EHC de 3-4-5 özel dik üçgeni ile HC = 4 cm bulunur.
3. A
20
F
x
4
dir.
5
D
ABCD dikdörtgeninde
BF = 20 br
30
DF = DC = 30 br olduğuna göre cot x nedir?
30
C
C
4.
2. A
D
2
E
W )=α
ABCD kare, m (CED
AE = 2 br ve EC = 8 br
olduğuna göre cot a nedir?
α
B
x
E
D
i
C
EC < DE
4
AD = 4 br AB = 10 br
i
A
ABCD dikdörtgeninde
W ) = m (BEC
W ),
m (BAE
B
10
olduğuna göre EC = x
kaç br dir?
C
1)
36
5
α
90°– α
2
A
tısı ile AE = 5 br bulunur. ABE
1
5
α
ABE dik üçgeninde pisagor bağın-
B
B
C
1
AB = 2 br olur.
O halde EHC dik üçgeninde, sin α =
Şekilde ABCD kare ve
DE = 3 EC olduğuna göre
cos x değeri kaçtır?
B
D
BE = EC = 1 br dersek,
ÇÖZÜM
α
α
ÇÖZÜM
Şekildeki paralel kenarda
verilenlere göre sin a yı
bulunuz.
Paralel Kenar
E
A
45°
45°
Dikdörtgen
v Dik köşeli dörtgenlerde
dik üçgen benzerliği ile
"tümler açı aktarımı"
yapılabilir.
Şekildeki ABCD karesinde E
bulunduğu kenarın orta noktası
ise cos a yı bulunuz.
dik üçgeninde, cot α =
45°
45°
C
D
3
5
2)
3
5
3) 2
4) 2
Yamukta ve Çemberde Trigonometrik Oranlar
(Yamukta Trigonometrik Oranlar)
Konu Özeti
Konu Özeti
” Yamukta genellikle aşağıdaki ek çizimler yardımıyla
elde edilen dik üçgenlerde trigonometrik oranlar uygulanır.
D
d
c
c
D
C
d
b
b
a–c B
A
c
a
Çeşitkenar Yamuk
A
D
C
b
α
b
α
α
a–c a–c
–––– ––––
c
2
2

d
B
a
İkizkenar Yamuk
ÖRNEK
c
�
�
t
b
ğe
Te
α
M
Çapı gören
her çevre
açı 90° dir.
M
90-α
α
B
Merkezden teğet
değme noktasına
çizilen doğru parçası
teğete diktir.
C
4 br
Şekildeki O merkezli yarım çembere
[CA] A noktasında teğet,
CD = 4 br ve DB = 9 br olduğuna
göre cot a yı bulunuz.
D
9 br
A
5 br
α
6 br
6 br
2
AD = 4 · 9 & AD = 6 br dir.
A
O halde ABD dik üçgeninde cot α =
3 br α
D
12
B
W )=α
Şekildeki ABCD dik yamuk m (ABC
C
br
A
B
4 br
D
ABC dik üçgeninde öklit bağıntısını
uygularsak
4 br
α
O
C
ÇÖZÜM
1.
C
2α
Merkez açı gördüğü
yaya eşit, çevre açı
gördüğü yayın
yarısı ölçüdedir.
4 br
3 br
2α
α
ÖRNEK
D
C
[CE], [AD] ye paralel olarak
12 br
çizildiğinde oluşan EBC
5 br
üçgeninin kenarları 5 br, 12 br,
4 br
13 br α
A
B
E
13 br ve 132 = 52 + 122

17 br
olduğundan EBC, C açısı 90°
olan bir dik üçgendir.
5
bulunur.
O halde EBC dik üçgeninde sin α =
13
A
T
C
12 br
ÇÖZÜM
D
” Çemberde trigonometrik oran yazılırken genellikle
aşağıdaki diklik durumlarından faydalanılır.
A
c
a–c B
a
Dik Yamuk
17 br
(Çemberde Trigonometrik Oranlar)
C
d
4 br
D
Şekildeki yamukta [DC] // [AB] 5 br
ise verilenlere göre sin a yı
A
bulunuz.
1.
DİK ÜÇGENDE TRİGONOMETRİK ORANLAR
B
O
9 br
α
O
B
9 3
= bulunur.
6 2
Şekildeki O merkezli yarım
çembere B noktasında teğettir.
AD = 12 br, DC = 3 br
olduğuna göre tan a değeri
kaçtır?
DC = 3 br, AD = 4 br, AB = 6 br olduğuna göre sin a
kaçtır?
2.
D
2.
5 br
5 br
A
5 br
α
13 br
A
B
Şekildeki ABCD yamuk [DC] // [AB],
AD = DC = CB = 5 br, AB = 13 br olduğuna göre
cot a kaçtır?
1)
4
5
2)
3
4
d
P
C
α
B
O
C
Şekildeki O merkezli çemberde d doğrusu çembere
P noktasında teğettir. AB = 2 br, OC = 4 br olduğuna
göre sin a değeri kaçtır?
1) 2
2)
2
3
37
DİK ÜÇGENDE TRİGONOMETRİK ORANLAR
Konu Özeti
Geometrik Cisimlerde ve Koordinat Düzleminde Trigonometrik Oranlar
(Geometrik Cisimlerde
Trigonometrik Oranlar)
” Üç boyutlu geometrik cisimlerde dik yüzeyler ve dik
ayrıtlar yardımıyla oluşturulan dik üçgenlerde trigonometrik oranlar uygulanır.
N
ÖRNEK
Yandaki küpte verilenlere göre
cos a yı bulunuz.
D
” Koordinat düzleminde noktaların koordinat düzlemine olan dik uzunlukları ile oluşturulan dik üçgenlerde
istenilen trigonometrik oranlar uygulanır.
M
L
K
C
α
A
ÇÖZÜM
(Koordinat Düzleminde
Trigonometrik Oranlar)
Konu Özeti
ÖRNEK
y
Yandaki şekilde verilenlere
göre tan a yı bulunuz.
A (4, 6)
B
α
[DB] = [DN] olduğundan DBN dik üçgendir.
Küpün bir ayrıtı 1 br ise yüzey köşegen uzunluğu
α
D
1.
N
M
L
K
=
6
bulunur.
3
O
( 3)
B
2
2
3
Şekildeki küpte
W ) = α dır.
m (MAC

cos α =
A (4, 6)
6
6 br
3
AOB dik üçgeninde öklit
bağıntısı uygulanırsa,
y
köşegen uzunluğu BN = 3 br dir (DBN dik üçgeninde
pisagor). O halde DBN dik üçgeninde,
N
x
ÇÖZÜM
BD = 2 br (ADB dik üçgeninde pisagor) ve cisim
1
B
O
62 = 4 · a ⇒ a = 9 br dir.
6 br
α
H

4 br 4
1.
a
B
x
O halde
AHB dik üçgeninde
6 2
tan α = = bulunur.
9 3
y
A (9, 6)
2
Buna göre sin a değeri
kaçtır?
D
A
2.
α
C
α
O
B
C
B
Şekildeki dik koodinat sisteminde OAB dik üçgen
W ) = α , A(9, 6) olduğuna göre sin a kaçtır?
m (ABO
Şekildeki küpte B ve C noktaları
bulunduğu ayrıntıların orta
W )=α
noktalarıdır. m (CAB
olduğuna göre sin a · cos a
çarpımı kaça eşittir?
α
A
38
2.
C
1
3
2)
2 5
9
D
B
Şekildeki dik koodinat
sisteminde; ABCD kare,
A(6, 0), B(0, 8) ve
W ) = α olduğuna göre
m (EAC
tan a nın değeri kaçtır?
α
O
1)
x
B
A
E
1)
3 13
13
2) 7
Uygulama Zamanı
Uygulama – 4
π
5
olmak üzere sin α =
olduğuna göre
2
13
tan a + cot a toplamının değeri kaçtır?
1. 0 < α <
6. sin 25° = x olduğuna göre cos 25° + cot 65° ifadesinin x türünden eşiti nedir?
7.
1
olduğuna göre
3
sin a · cos a çarpımının değeri kaçtır?
2 sin 40° tan 20°
+
ifadesinin değeri kaçtır?
cos 50°
cot 70°
2. 0 < a < 90° olmak üzere cot α =
8. A
ABC dik üçgeninde
[AC] ⊥ [BC], AD = DC
ve tan y =
y
B
x
C
D
3
olduğuna
4
göre sin x kaçtır?
π
olmak üzere tan a = a olduğuna göre
2
sin a + cos a toplamının a cinsinden eşiti nedir?
3. 0 < α <
9.
A
B
C
H
ABC dik üçgen [BA] ⊥ [AC], [BC] ⊥ [AH] dir.
X ) değeri kaçtır?
4 BH = HC olduğuna göre cot (ACB
4. cos 22° = 3 - m2 olduğuna göre cos 68° nin m
türünden eşiti nedir?
A
5.
10.
3 cos x - 2 sin x
= 2 olduğuna göre
sin x - cos x
3
41 · cos2x – 10 · cot x ifadesinin değeri kaçtır?
1)
169
60
2)
3
10
3)
1+a
1 + a2
4)
D
m2 - 2
5) 8
α
B
6)
C
E
1 + x - x2
1 - x2
7) 3
8)
10
10
Şekildeki ABC üçgeninde
verilenlere göre ED
uzunluğunun a türünden
eşiti nedir?
9) 2
10) 3 cos2 a
39
Trigonometrik İşaretlerin Geometrik Yorumu
TRİGONOMETRİK BÖLGELER
ÖRNEK
Konu Özeti
” Geometrik şekillerde, eksen açıları ile dik üçgene aktarılan açı yardımıyla trigonometrik oranlar uygulanır.
ABCD yamuğunda, [DC] // [AB],
4
D
DC = CB = 4 cm,
4
AD = 3 cm ve AB = 9 cm dir. A
ÖRNEK
(Geometrik Şekillerde Trigonometrik Oranlar)
Eş karelerden oluşmuş yandaki
şekilde tan a değerinin bulunuz.
ÇÖZÜM
4
[CE] // [AD] çizilirse AECD
D
α
paralelkenar ve CEB kenar
3
3
uzunlukları 3 cm, 4 cm ve 5 cm
α θ
A
olan dik üçgen olur.
4
E
a = 180° – θ dır.
a
yöndeş
θ
D
5
α
Beş eş kareden
oluşmuş yandaki
şekilde tan i değeri
kaçtır?
10
A
ABCD yamuğunda;
C
[AB] // [CD], AB = 15 br,
12
B
15
3.
4
3
1
5
4
tür.
3
X )=α
m (BDA
α
C
D
4. D
olduğuna göre cot a nın
değeri kaçtır?
ABCD bir kare
3 EB = CE
C
A
B
3) -
W ) = α olduğuna
m (DEB
E
α
AD = 10 br dir.
2)
B
Şekilde ABC eşkenar
üçgen 6 BD = BC ve
A
BC = 12 br, CD = 5 br ve
Buna göre, sin a + cos a toplamının değeri kaçtır?
1) -
5
O halde;
B
2.
4
a + θ = 180° ⇒ a = 180° – θ dır.
X ) = tan α = tan (180 - θ) = – tan θ = tan (CDA
i
C
W ) = α ve m (BEC
W ) = θ iken,
X ) = m (CEA
m (CDA
θ
a + θ = 180° ise
1.
B
9
X ) değerini bulunuz.
Buna göre tan (CDA
a
ÇÖZÜM
tan α = tan (180° - i)
2
= - tan i = - tür.
3
C
3
2 3
9
P
göre tan a nın değeri
kaçtır?
4) -
4
3
51
TRİGONOMETRİK BÖLGELER
Konu Özeti
Üçgenin İç Açıları ve Birim Çemberde Trigonometrik Özdeşlikler
(Üçgenin İç Açılarıyla Trigonometrik
Özdeşlikler)
” Üçgenin iç açılar toplamının 180° olmasından faydalanılarak gerekli trigonometrik özdeşlikler işaretlerine
dikkat edilerek kurulur.
Konu Özeti
(Birim Çemberde Trigonometrik
Özdeşlikler)
” Birim çember üzerinde bir açının bitim noktasının koordinatları tespit edilirken verilen açı pozitif x eksenine göre düzenlenir gerekirse trigonometrik özdeşliklere başvurulur.
ÖRNEK
Bir ABC üçgeninde cos c
eşitini bulunuz.
A+C
B
m - sin c m ifadesinin
2
2
Bir üçgenin iç açıları toplamının 180° oldu-
ÇÖZÜM
ÖRNEK
y
Şekildeki birim çember üzerindeki
P noktasını θ cinsinden belirtiniz.
O
ğunu hatırlayınız.
P
A + B + C = 180° & A + C = 180° - B
A+C
B
&
= 90° 2
2
90° - B 2
ÇÖZÜM
y
a = 270° + θ dır
sin (B 2)
64748
6 444 7 444 8
B
B
B
A+C
m - sin c m = cos c 90° - m - sin
cos c
2
2
2
2
= sin
x
θ
P noktası P(cos a, sin a)
= P(cos (270° + θ), sin (270° + θ)
B
B
- sin = 0 bulunur.
2
2
α
P
= P(sin θ, –cos θ) bulunur.
1. Bir ABC üçgeninde aşağıdaki ifadelerin eşitini bulunuz.
1.
a) cos W
A + cos ( W
B+X
C) =
Şekildeki birim çemberde verilenlere göre çember üzerindeki
P noktasının koordinatlarını bulux nuz.
y
P
x
θ
α
O
b) sin (W
A+ W
B) - sin ( X
C) =
c) cos f
W
W
A+X
Cp
B
- sin f p =
2
2
y
2.
W
W
A
B+X
Cp
=
d) sin2 f p + sin2 f
2
2
O
Şekildeki birim çemberde verilenlere göre K noktasının koordinatını
bulunuz.
x
θ
K
W
W
A
B+X
Cp
=
e) cot · cot f
2
2
52
1) a) 0
b) 0
c) 0
d) 1
e) 1
1) P(–sin a, cos a)
2) K(–sin i, –cos i)
Trigonometrik Sıralamalar - I
TRİGONOMETRİK BÖLGELER
a) e < g ⇒ sin a < sin θ dir.
Konu Özeti
b) a < c ⇒ cos θ < cos a tir.
” Trigonometrik fonksiyonlar birim çemberdeki yerlerine göre karşılaştırılırlar.
c) e < h ⇒ tan a < tan θ dir.
d) b < d ⇒ cot θ < cot a tir.
e) e < f ⇒ sin a < tan a tir.
ÖRNEK
0° < a < 45° < θ < 90° olmak üzere aşağıdaki ifadeleri
karşılaştırınız.
a) sin a, sin θ,
b) cos a, cos θ
c) tan a, tan θ
d) cot a, cot θ
e) sin a, tan a
f) cos θ, cot θ
ÇÖZÜM
y
cot
ekseni
g
f
e
3π
iken,
2
y
Birim çember
ÇÖZÜM
cot c cot b
yardımı ile bölge ve
α θ
a bc
d
x
sin ekseni
işarete dikkat ederek
karşılaştıralım.
cos b
cos a
cos
ekseni
a
b
c
tan ekseni
1. Aşağıdaki harflerin karşılık geldiği trigonometrik oranları a veya θ cinsinden belirtiniz.
a=
b=
c=
d=
e=
f=
g=
h=
cot
ekseni
e
2. Aşağıdaki trigonometrik ifadeleri karşılaştırınız.
f
α
θ
cos
ekseni
a) sin a
sin θ
e) sin a
tan a
g
b) cos a
cos θ
f) cos θ
cot θ
h
c) tan a
tan θ
g) sec a
d) cot a
cot θ
h) cosec a
O
cot
ekseni
cos a < cos b < 0 ve 0 < cot c < cot b ise
cos a < cos b < cot c < cot b dir.
π
< α < θ < π olmak üzere istenilenleri verilen birim çem2
ber yardımıyla bulunuz.
b c d
(Birim Çember ile Sıralama)
ÖRNEK
cos a, cos b, cot b, ve cot c ifadelerini karşılaştırınız.
a = cos θ, b = cot θ, c = cos a, d = cot a
e = sin a, f = tan a, g = sin θ, h = tan θ dir.
a
Görüldüğü üzere I. bölgede sinüs ve tanjant artan, kosinüs ve kotanjant azalan fonksiyonlardır.
π<a<b<c<
tan ekseni
h
0° < a < 45° < θ < 90°
olacak biçimde birim
çemberin eksenleri
üzerinde a ve θ
açılarının tahmini
yerlerini belirleyelim.
f) a < b ⇒ cos θ < cot θ dir.
1) a = cot θ,
g = tan θ,
b = cos θ
h = tan a
c = cot a,
2) a) >
b) >
d = cos a,
c) <
d) >
sec θ
cosec θ
e = sin a,
e) >
f) >
f = sin θ,
g) >
h) <
53
Trigonometrik Sıralamalar - II
TRİGONOMETRİK BÖLGELER
ÇÖZÜM
Konu Özeti
Verilen ifadelerin dar açılı sinüs cinsinden
özdeşlerini yazalım;
a = sin 40°, b = cos 290 = cos (270° + 20°) = sin 20°
” I. Bölgede; sinüs ve tanjant artan,
kosinüs ve kotanjant azalan
fonksiyonlardır.
” Açı değerleri verilmiş trigonometrik ifadeler sıralanırken her
ifadenin dar açılı sinüs ve tanjant
cinsinden özdeşleri yazılıp birim
çemberdeki yerlerine göre,
y
ve c = sin 230° = sin (180° + 50°) = –sin 50° dir.
I. Bölgede sin artan olduğu için;
x
sinüs
ekseni
tanjant
ekseni
İŞARETİNE DİKKAT EDİLEREK sıralanır.
–sin 50° < sin 20° < sin 40° ⇒ c < b < a dır.
ÖRNEK
(sinüs ve tanjant Karşılaştırması)
Aşağıdaki ifadeleri karşılaştırınız.
a) a = sin 35° ve b = tan 35°
b) m = sin 89° ve n = tan 46°
v 45° ≤ x ≤ 90° iken 1 ≤ tan x olduğundan [45°. 90°]
aralığında tanjant fonksiyonu sinüs fonksiyonunun her değerinden büyüktür.
Çünkü ∀ x ∈ R için –1 ≤ sin x ≤ 1 dir.
ÖRNEK
y
ÇÖZÜM
b
a) Birim çemberde görüldüğü üzere
I. bölgede aynı açının sinisü
tanjantından küçüktür. O halde,
a
35°
sin 35° < tan 35° ⇒ a < b dir.
(I. Bölgeden sıralama)
a = sin 40°, b = cos 290° ve c = sin 230° değerlerini
küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
1. a = sin 10°, b = sin 35° ve c = sin 75° olduğuna göre
a, b ve c nin küçükten büyüğe doğru sıralınışı nedir?
π
π
4π
ve c = sin
olduğuna göre a,
2. a = cos , b = cos
9
9
18
b ve c nin büyükten küçüğe doğru sıralanışı nedir?
b) m = sin 89° < 1 ve b = tan 46° > 1 olduğundan,
sin 89° < tan 46° ⇒ m < n dir.
π
5π
10π
ve tan
4. a = tan c - m, b = cot
olduğuna göre a,
9
9
9
b ve c nin büyükten küçüğü doğru sıralanışı nedir?
5. a = sin (–250°) b = – cot 140° ve c = cos (–290°)
olduğuna göre a, b ve c nin küçükten büyüğe sıralanışı
nedir?
6. Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri doğrudur?
3. a = sin 110°, b = cos 130° ve c = sin 240° olduğuna
göre a, b ve c nin küçükten büyüğe sıralanışı nedir?
I. sin 50° < tan 50°
IV. cot 160° < sin 250°
II. cos 100° < cot 100°
V. cot 220° < cos 350°
III. sin 230° > cos 170° VI. sec 290° > cosec 140°
54
1) a) < b < c
2) b = c > a
x
3) c < b < a
4) c > b > a
5) c < a < b
6) I, III, IV, VI
Dik Üçgenlerde Yarım Açı ve Özel Yarım Açılar
YARIM AÇI FORMÜLLERİ
(Dik Üçgende Yarım Açı)
Konu Özeti
Konu Özeti
α/2
” a açısının trigonometrik oranı belli
α
iken şekildeki dik üçgen çizilerek
2
açısının trigonometrik oranları ko-
α/2
α
(Özel Yarım Açılar)
” 15° ; 22,5° ve 67,5° gibi özel açıların yarısı olan
açıların trigonometrik oranları bulunurken yarım açı
formüllerinden ya da dik üçgende yarım açıdan faydalanılır.
layca bulunabilir.
ÖRNEK
Aşağıdaki ifadelerin değerini bulunuz.
ÖRNEK
a) cos 15°
0° < a < 90° olmak üzere
α
3
sin α = ise tan nin değerini dik üçgen çizerek
5
2
bulunuz.
b) tan (22,5°)
ÇÖZÜM
a) cos 30° = cos (2 · 15°) = 2 cos2 15° - 1
> 1 44 2 44 3 1 4 44 2 4 44 3
3 2
ADC dik üçgeninde;
α/2 A
3
sin α = &
5
5
α/2
B
ABC dik üçgeninde tan
b)
22,5° A
3
α
C
5 D 4

9
α 3 1
= = bulunur.
2 9 3
2+ 3
dir.
2
3
& cos 15° =
2
& 2 cos2 15° - 1 =
ÇÖZÜM
3 2
3 2
tan 45° = 1 ⇒
22,5°
B
tan (22, 5) ° =
1
2 +1
45°
1
2
1
D
2

2 +1
C
= 2 - 1 bulunur.
( 2 - 1)
4
1. x dar açısı için tan 2x = olduğuna göre tan x in
3
değeri nedir?
π
2. α d c 0, m olmak üzere
2
cos a =
1
α
olduğuna göre tan kaçtır?
2
5
1)
76
1
2
2)
2
5 +1
1. cot
π
nin değeri nedir?
12
2. cosec (22,5)° · sin (67,5)° çarpımının değeri nedir?
2) 2 + 3
3)
2 +1
Yarım Açı İle Tam Kare, İki Kare Farkı ve 1 den Kurtulma
(Tam Kare – İki Kare Farkı)
Konu Özeti
YARIM AÇI FORMÜLLERİ
(1 den Kurtarma)
Konu Özeti
” Tam kare; (a ± b)2 = a2 + b2 ± 2ab olduğundan
” sin 2a açılımı ile
(sin α ! cos α) 2 = sin2 a + cos2 a ! 2 sin a · cos a
1 444 2 444 3 1 444 2 444 3
1 ± sin 2a = cos2 a + sin2 a ! 2 sin a · cos a
1 4 44 2 4 44 3 1 4 44 2 4 44 3
= 1 ± sin 2a olur.
= (cos a ± sin a)2 olur.
1
” İki kare farkı; (a – b) · (a + b) = a2 – b2 ile
(cos a – sin a) · (cos a + sin a) = cos2 α - sin2 α = cos2 2α
sin 2a
1
sin 2α
” cos 2a açılımı ile
1 - cos 2α = cos2 + sin2 α - (cos2 α - sin2 α)
1 4 44 2 4 44 3 1 4 44 2 4 44 3
1
cos 2α
= cos2 α + sin2 α - cos2 α + sin2 α = 2 sin2 α olur.
ÖRNEK
Aşağıdaki ifadelerde istenilenleri bulunuz.
ÖRNEK
1
a) sin α - cos α = ise sin 2a nı değeri
2
a ∈ (0, 90°) iken aşağıdaki ifadelerin eşitini bulunuz.
3
b) cos4 α - sin4 α = ise cos 2a nın değeri
4
a)
1 2
1
a) ^sin α - cos αh2 = c m & sin2 α + cos2 α - 2sinα · cosα =
2
1 444 2 444 3 1 444 2 44
43 4
1
& 1 - sin 2α =
sin 2α
3
1
& sin 2α = bulunur.
4
4
b) cos4 α - sin4 α =
cos2α
1 + cos α
1
olduğuna göre sin 2a kaçtır?
2
2. x ∈ (0, 45°) için sin x + cos x =
cot 2x kaçtır?
8
olduğuna göre
5
π
π
+ cos4 ifadesinin değeri kaçtır?
8
8
3
4
2)
4
3
3)
1
2
=
(sin α + cos α) = sin α + cos α = sin α + cos α dır.
b)
1 + cos α =
123
cos c 2 ·
=
2 cos2
α
m
2
π
α
α
α
sin2 + cos2 + cos2 - sin2
2
2 1442
2
424443
1442443
1
α
α
α
= 2 cos = 2 cos
2
2
1223
cos c 2 ·
α
m
2
+
1.
2.
3.
3
4
1 + sin 2α = 1442443
sin2 α + cos2 α + 21sin
cos
α
44α2·4
43
1
1
1. sin a + cos a =
1) -
a)
3
3
2
2
& ^cos2 α h - ^sin2 α h =
4
4
3
3
& (cos2 α - sin2 α) (cos2 α + sin2 α) = & cos 2α =
4
4
1 444 2 444 3 1 444 2 444 3
sin4
b)
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
3.
1 + sin 2α
1 - cos 40° ifadesinin eşiti nedir?
1 - cos 64°
+ 1 - sin 116° ifadesinin eşiti nedir?
2
1 - cos 2x
ifadesinin eşiti nedir?
sin 2x
1)
2 sin 20°
2) cos 32°
3) tan x
77
Yarım Açıda Sadeleşme
YARIM AÇI FORMÜLLERİ
” Kesirli trigonometrik ifadelerde payda eşitleyerek ve
yarım açı uygulayarak sadeleşebilicek terimler elde
edilir.
ÖRNEK
(Payda Eşitleme)
ÖRNEK
Konu Özeti
Aşağıdaki ifadelerin eşitini bulunuz.
a)
sin 3α cos 3α
cos α
sin α
b) cot 15° – tan 15°
(Yarım Açı ile Sadeleşme)
sin 2α
ifadesinin en sade halini bulunuz.
cos α
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
sin (3α - α)
6 4 4 4 4 4 44 7 4 4 4 4 4 44 8
sin 3α cos 3α sin 3α · cos α - cos 3α · sin α
a)
=
cos α
sin α
sin α · cos α
sin 2α 2 sin α · cos α
=
= 2 sin α dır.
cos α
cos α
(sinα)
(cosα)
ÖRNEK
(1 den kurtararak Sadeleşme)
=
cos 40° + 1
ifadesinin en sade halini bulunuz.
sin 40°
ÇÖZÜM
cos 40°
1
4 7 4 444
48
6 4444
4 7 4444
4 8 6 4444
2
2
2
2
cos 40° + 1 cos 20° - sin 20° + cos 20° + sin 20°
=
2 sin 20° · cos 20°
sin 40°
1 4444 2 4444 3
sin 40°
=
2 cos 20° · cos 20°
2 cos2 20°
=
2 sin 20° · cos 20°
2 sin 20° · cos 20°
=
cos 20°
= cot 20°
sin 20°
78
σιν2α
b) cot 15° - tan 15° =
cos 15° sin 15°
sin 15° cos 15°
(cos 15°)
(sin 15°)
cos (2 · 15°)
6 4 4 4 4 7 4 4 44 8
2 · cos 30°
2 cos 30°
cos2 15° - sin2 15°
=
=
=
2 · sin 15° · cos 15°
sin 15° · cos 15°
sin 30°
1 4 4 44 2 4 4 44 3
sin (2 · 15°)
= 2 cot 30° = 2 3 bulunur.
1.
sin 40 · cos 80
ifadesinin en sade hali nedir?
sin 20 · sin 10
4.
2.
1 + cos 2x
ifadesinin en sade hali nedir?
1 - cos 2x
5.
3.
cos 6x sin 6x
+
ifadesinin en sade biçimi nedir?
cos 2x sin 2x
6.
1) 2 cos 20°
2 · cos (3α - α) 2 sin 2α
=
=2
2 · sin α · cos α
sin 2α
1 4 44 2 4 44 3
2) cot2 x
3) 4 cos 4x
sin 18° cos 18°
ifadesinin sonucu nedir?
cos 6°
sin 6°
1 + sin x
ifadesinin en sade hali nedir?
x
x
sin + cos
2
2
1
3
ifadesinin değeri kaçtır?
cos 20° cos 70°
4) 2
5) sin
x
x
+ cos
2
2
6) –4
Üç Katlı Açı Formülleri
YARIM AÇI FORMÜLLERİ
ÖRNEK
Konu Özeti
π
1
x d c 0, m için sin x = olduğuna göre sin 3x in değe2
3
” sin 3x = sin (2x + x)
rini bulunuz.
= sin 2x · cos x + cos 2x · sin x
2
cos x
6 44 7 44 8
= 2 sin x · cos x · cos x + (1 – 2 sin2 x) · sin x
= 2 sin x ·(1 – sin2 x) + sin x – 2 sin3 x ise
= 3 sin x – 4 sin3 x
” cos 3x = cos (2x + x)
ÖRNEK
= cos 2x · cos x – sin 2x · sin x
2
= (cos x – sin x) · cos x – 2 sin x · cos x · sin x
= 4 cos3 x – 3 cos x
O halde, cos 3x = 4 cos3 x – 3 cos x tir.
” tan 3x = tan (2x + x)
tan 2x + tan x
3 tan x - tan3 x
=
=
1 - tan 2x · tan x
1 - 3 tan2 x
O halde, tan 3x =
sin 3x = 3 sin x – 4 sin3 x tir. sin x =
sin 3x = 3 ·
O halde, sin 3x = 3 sin x – 4 sin3 x tir.
2
ÇÖZÜM
3 tan x - tan3 x
tir.
1 - 3 tan2 x
1
ise
3
1
1 3
4
23
- 4 ·c m = 1 =
bulunur.
3
3
27 27
(Denklem Kökü Tespiti)
sin 10° nin 8x3 – 6x + 1 = 0 denkleminin bir kökü olduğunu gösteriniz.
ÇÖZÜM
sin 3x = 3 sin x – 4 sin3 x ifadesinden
sin 30° = 3 sin 10° – 4 sin3 10° olur.
1
& = 3 sin 10° - 4 sin3 10° & 1 = 6 sin 10° - 8 sin3 10°
2
⇒ 8 sin3 10° – 6 sin 10° + 1 = 0 bulunur. Buradan
sin 10° = x alınırsa 8x3 – 6x + 1 = 0 bulunur.
π
1
1. x d c 0, m için cos x = olduğuna göre cos 3x in
2
3
4. tan x = 2 olduğuna göre, sin 4x in değeri nedir?
değeri nedir?
2. sin
3θ
θ
= k olduğuna göre sin
nin k türünden eşiti
2
2
5. tan x =
1
olduğuna göre, tan 6x in değeri nedir?
3
nedir?
Ç-3
3. tan 8° = m olduğuna göre tan 24° nin m türünden eşiti
nedir?
1) -
23
27
2) 3k – 4k3
3)
3m - m 3
1 - 3m 2
6. cos 20° nin 8x3 – 6x – 1 = 0 denkleminin bir kökü
olduğunu gösteriniz.
4) -
12
25
5) -
117
44
6) Çözüm sayfasına bakınız
79
Trigonometrik Problemler
TEOREMLER VE PROBLEMLER
” Trigonometrik problemlerde ifadeye uygun şekil çizilerek şimdiye kadar öğrendiğimiz trigonometrik oranlar, özdeşlikler, açılımlar ve bağıntılar uygun üçgenlere uygulanıp oluşturulan denklem çözülür.
A
B
L
KL = 40 m olduğuna göre ipler arasındaki AKB açısının
tanjantını bulunuz.
10
A
α
a = x – y dir.
K
30
10
1
3 4
3
1
11 4 1
4
4
=
= = · = bulunur.
7
3
4 7 7
1 + 1·
4
4
C
2m
B
5
–– m
2
3
–– m
2
2 km
α
α
K
K
4m
Şekiledeki K noktasındaki bir atıcı elindeki silah ile A
noktasındaki balona nişan alıp ateş ediyor. Ancak silah
elinden kaydığı için kurşun a derece saparak B noktasındaki balona isabet edip bolunu patlatıyor.
Buna göre, sapma açısı a nın tanjantı nedir?
1)
98
x km
B
α
L
3 4
2.
A
30
30
M
B
E E
tan x - tan y
tan (AKB) = tan a = tan (x - y) =
1
+ tan x · tan y
5
>
α
x-y
; ;
1
AB = 10 m ve B nin dik izdüşümü olan L noktası için
1.
W ) = α, m (AKL
W )=x
m (AKB
W ) = y ise
ve m (BKL
&
30
AKM de; tan =
= 1ve
30
&
30 3
BKL de; tan y =
= tür.
40 4
ÖRNEK
Yerden 30 m yükseklikte uçan,
A ve B noktalarından bağlı iki
uçurtmanın, iplerinin diğer
uçları K noktasında zemine
K
bağlıdır.
Şekli geometrik olarak çizelim

ÇÖZÜM
Konu Özeti
8
19
4 km
A
Şekilde K noktasındaki bir tank a derecelik açı ile A noktasına 2 km uzaklıktaki B noktasına atış yapıyor. Daha
sonra bu tank K noktasından 2a derecelik açı ile de C
noktasına atış yapıyor.
AK = 4 km ve AB = 2 km olduğuna göre
BC = x kaç km dir?
2)
10
3
Birim Çember Geometrisi
TEOREMLER VE PROBLEMLER
ÇÖZÜM
Konu Özeti
” Birim çemberde;
y (x = 0)
y = 0 doğrusunun kosinüs,
x = 0 doğrusunun sinüs
1
A
–1
y = 1 doğrusunun kotanjant
y=1
α
x (y = 0)
1
y
1
A noktasının orjine göre simetrisi
olan A' noktası 180° + a lık
açının birim çember üzerindeki
bitim noktasıdır. O halde;
A
–1
α
ÖRNEK
v a açısının birim çember üzerindeki bitim noktası
A(cos a, sin a) dır.
x
–1
= A'(–cos a, –sin a) dır.
x = 1 doğrusunun tanjant
eksenleri olduğunu hatırlayınız.
1
AI
A'(cos(180 – a), sin (180 – a)
x=1
–1
α
y
(Açılımlar)
A
1
Şekildeki birim çembere AB
doğrusu T noktasında teğettir
verilenlere göre A(AOB) yi
a cinsinden bulunuz.
T
–1
α
O
1
B
x
–1
ÇÖZÜM
1.
OB = sec α olduğundan
1
Şekildeki birim çember üzerinde
bulunan A noktası orjine göre
–1
simetrisinin koordinatlarını a
cinsinden belirtiniz.
A
α
1
x
–1
Şekildeki O merkezli birim
çemberde A noktasının koordinatları θ cinsinden nedir?
y
O
A
OA = cosec α
y
=
3.
y
B
E
α
Şekildeki O merkezli çeyrek
X ) = θ dır.
birim çemberde m (AOB
y
B
AB = (1 + cos θ) br olduğuna
A
x
göre AB kaç br dir?
1) (–sin θ, –cos θ)
2)
5 -1
x
A
O
θ
x
1
1
=
= cosec 2a bulunur.
2 sin α · cos α sin 2α
x
A
O
T
B
α

O sec α
AOB dik üçgende;
cosec α · sec α
A (AOB) =
2
θ
2.
cosec α

(Simetri)
ÖRNEK
y
1
Şekildeki birim çemberin E noktasının ordinatı
ve
4
X ) = α dır.
m (BOE
Buna göre, O noktasından doğrusal bir yol boyunca
önce A noktasına sonra da E noktasına gelecek olan bir
karıncanın alacağı yol kaç br olur?
3)
2+ 5 - 3
2
99
Uygulama Zamanı
1.
ABC üçgeninde
W ) = 120°, AB = 4 br,
m (BAC
A
120°
4 br
B
Uygulama – 9
2 br
5. Bir ABC üçgeninin kenarları arasında
A) kaç derecedir?
a2 = (b + c)2 – bc bağıntısı varsa m (W
ve AC = 2 br olduğuna göre
C
x
BC = x kaç br dir?
6.
A
2.
Şekilde AB = 5 br,
x
5
B
3.
D
4 br
A
Şekilde ABCD yamuk,
C
[DC] // [AB],
6 br
5 br
B
α
11 br
7.
BC = 6 br,
B
D
A
5 br
7 br
3br
Şekilde AB = 7 br,
x
DE = 8 br ve
C
EC = 7 br olduğuna
göre DC = x kaç br
dir?
1) 2 7
100
2)
2
8.
D
AE = 4 br,
7 br
B
C
12
BE = 3 br,
8 br
E
AC = 8 br,
DA = 5 br dir.
Buna göre cos a kaçtır?
3)
19
35
4) 13
5 br
B
2 br
2 br
olduğuna göre AB kaç
br dir?
Şekilde
m (W
A) = 90° + m ( W
B)
8 br
DC = 4 br,
4.
C
A
AB = 11br,
B
sin A + sin B = 3sin C
a
Buna göre, AC = x kaç br
dir?
C
3
b
c
1
BC = 3 br ve tan W
B = dir.
2
Şekildeki ABC üçgenini
çevresi 24 br dir.
A
BC = 12 br olduğuna
B) kaçtır?
göre tan ( W
ABC üçgeninde
AD = 2 br,
A
BD = 5 br,
x
BE = 2 br,
4 br
E
C
8 br
EC = 8 br ve
DE = 4 br dir.
Buna göre AC = x kaç br dir?
5) 120°
6) 6
7)
2
3
8)
58
9.
Şekilde
AD = DE = 4 br,
A
2 br
4 br
D
4 br
2 br
BD = AE = EC = 2 br
dir. Buna göre A(ABC)
kaç br2 dir?
E
2 br
C
B
10.
E
10 br
A
8 br
C
D
6 br
Şekilde
[AD] ∩ [BE] = {C}
AC = 8 br,
13. Kenar uzunlukları 2 br, 3 br ve 4 br olan bir üçgenin
iç teğet çemberinin yarıçapı ile çevrel çemberinin
yarıçapının çarpımı kaçtır?
14.
L
24
Kule
CD = 6 br,
8
BC = 15 br ve
15 br
α
CE = 10 br dir.
B
K
Buna göre, şeklin tamamının alanı kaç br2 dir?
Pist
A
B
32
A noktasındaki kontrol kulesi K noktasında yere paralel olarak uçan uçağa L noktasına geldiğinde iniş izni
veriyor ve uçak L noktasından alçalmaya başlıyor.
K noktasının yerdeki dik izdüşümü B noktası ve
11.
2 br
E
F
B
D
x
W ) = α dır.
[LK] // [AB] ve m (LAK
DC = 3 br ve
A(AEF)
= A(BFD)
2 br
olduğuna göre
C
3 br
AB = 32 km, KB = 8 km, LK = 24 km, [AB] ⊥ [KB],
Şekilde
AE = EC = 2 br,
A
Buna göre tan a kaçtır?
BD = x kaç br dir?
15.
12.
ABC üçgeninde
W ) = 30°.
m (BAD
A
4 br
B
30°
α
C
D
XA) = 30°
m (BC
C
A
W ) = α, BA = 4 br
m (DAC
6 br
W ) = 45°
m (CAB
B
AC = 6 br, BD = DC
dir. Buna göre, sin a kaçtır?
45°
30°
Şekildeki dağa kurulu teleferik sistemi sabit hızla devirdaim yapmaktadır. A dan teleferiğe binen bir kişinin
B ye ulaşma süresi, B den teleferiğe binen bir kişinin C
ye uluşma süresinden 10 dakika daha azdır.
Buna göre, A dan teleferiğe binen bir kişi ne kadar
sürede C ye ulaşır?
9) 3 15
10) 72
11) 3
12)
1
3
13)
4
3
14)
3
5
15) 20 2 + 30
101
sin x ve cos x e Göre Homojen Denklemler
TRİGONOMETRİK DENKLEMLER
Konu Özeti
(1. Derece Homajen Denklemler)
” a ve b sıfırdan farklı birer reel sayı olmak üzere
a · cos x + b · sin x = 0 biçimindeki denklemler
1. dereceden homojen denklemlerdir.
a
sin x
a
= - & tan x = cos x
b
b
homojen denklem çözülür.
v &
biçimine
Konu Özeti
(2. Derece Homajen Denklemler)
” a, b ve c sıfırdan farklı birer reel sayı olmak üzere
a · cos2 x + b · cos x · sin x + c · sin2 x = 0 biçimindeki denklemler 2. dereceden homojen denklemlerdir.
v a · cos2 x + b cos x · sin x + c · sin2 x = 0 denkleminde eşitliğin her iki tarfafı "cos2 x" e bölünerek"
a + b tan x + c tan2 x = 0 biçimine çevrilen homojen denklem çözülür.
çevrilen
ÖRNEK
sin2 x + sin x · cos x – 2cos2 x = 0 denkleminin çözüm
kümesini bulunuz.
ÖRNEK
sin x + cos x = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
ÇÖZÜM
sin2 x + sin x · cos x – 2 cos2 x = 0
ÇÖZÜM
&
0
sin2 x + sin x · cos x - 2 cos2 x
=
cos2
cos2 x
&
sin2 x sin x · cos x 2 cos2 x
+
=0
cos2 x
cos2 x
cos2 x
sin x + cos x = 0 ⇒ sin x = –cos x
&
sin x
=-1
cos x
& tan2 x + tan x - 2 = 0
⇒ (tan x + 2) · (tan x – 1) 0 ⇒ tan x = –2 veya tan x = 1
⇒ tan x = – 1
(i) tan x = –2 eşitliğini sağlayan açı a olsun
⇒ tan x = tan 135°
tan x = tan a ⇒ x = a + k · π
π
π
(ii) tan x ⇒ tan x = tan & x = + k · π dir.
4
4
π
Ç = ' x: x = α + k · π V x = + k · π 1
4
⇒ x = 135° + k · 180°
Ç = {x: x = 135° + k · 180°, k ∈ Z}
1. sin x - 3 cos x = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
2. 3 cos 2x + 3 sin 2x = 0 denkleminin çözüm kümesi
nedir?
112
1) ' x: x =
π
+ kπ , k d Z 1
3
2) ' x: x =
π kπ
+
, k d Z1
3
2
1. sin2x – 2 sin x · cos x – 3 cos2x = 0 denkleminin çözüm
kümesi nedir?
2. 3 sin2x + sin x · cos x – 2 cos2x = 1 denkleminin çözüm
kümesi nedir?
1) ' x: x =
3π
+ kπ V x = α + kπ , k d Z 1
4
2) ' x: x =
π
+ kπ V x = α + kπ , k d Z 1
4
Belirli Bir Aralıktaki Kökler
TRİGONOMETRİK DENKLEMLER
ÖRNEK
Konu Özeti
” Bir trigonometrik denklemin herhangi bir aralıktaki
kökü istendiğinde;
(Verilen Aralıkta Kök Sayısı)
x ∈ (0, 180°) olmak üzere, tan 10x = tan 20° olduğuna
göre, x in alabileceği kaç farklı değer vardır?
I. Adım: Denklemin çözüm kümesi bulunur.
II. Adım: k yerine ..., – 2, –1, 0, 1, 2,... tam sayıları
yazılarak olabilecek tüm kökler tespit edilir.
III. Adım: Bu köklerden verilen aralıkta olanlar alınır.
ÖRNEK
ÇÖZÜM
Ardışık tam sayılarda,
son terim – ilk terim
"terim sayısı = –––––––––––––––– + 1"
artış miktar
olduğunu hatırlayınız.
(Belirli Aralıktaki Kökler)
3
olduğuna göre
0° < x < 360° olmak üzere, sin 2x =
2
x in alabileceği değerleri bulunuz.
H
3
ÇÖZÜM sin 2x =
& sin 2x = sin 60° ve k ∈ Z
2
olmak üzere;
180° - 60°
E
2x = 60° + k · 360° V 2x = 120° + k · 360°
3 2
⇒ x = 30° + k · 180° V x = 60° + k · 180°

k = –1 için

x = –150°

V
x = –120° dir.
k = 0 için
x = 30°
V
x = 60° dir.
k = 1 için
x = 210°
V
x = 240° dir.
k = 2 için

x = 390°

V

x = 420 dir.
Buna göre, verilen denklemin 0° < x < 360° için çözüm
kümesi, Ç = {30°, 60°, 210°, 240°} dir.
tan 10x = tan 20° ve k ∈ Z olmak üzere
10x = 20° + k · 180° ⇒ x = 2° + k · 18° dir.
k = 0 için
x = 2°
∈ (0°, 180°)
k = 1 için

k = 9 için
x = 2° + 2 · 18

x = 2° + 9 · 18°
∈ (0°, 180°)
k = 10 için
x = 2° + 10 · 18° ∉ (0, 180°)
∈ (0°, 180°)
0° < x < 180° olduğu için k nın değeri 0, 1, 2,...,9 olabilir.
Terim sayısı =
9-0
+ 1 = 10 ise x in alabileceği 10
1
farklı değer vardır.
1. sin 2x = 3 cos 2x denkleminin [0, 2π] aralığında kaç
tane kökü vardır?
3. sin2x + sin 3x = cos2x denkleminin [0, π] aralığındaki
kökleri nelerdir?
2. tan x + cot x = 2 denkleminin [0, 2π] aralığındaki kökler
toplamı kaçtır?
4. 2 sin2 x = 3 cos x denkleminin (0, 2π) aralığındaki
çözüm kümesi nedir?
1) 4
2)
3π
2
3)
9π
π π
, ve
10 2
10
4) '
π 5π
,
1
3
3
113
Trigonometrik Eşitsizlikler
TRİGONOMETRİK DENKLEMLER
” Trigonometrik eşitsizliklerin çözüm kümeleri tespit
edilirken, "birim çember" üzerinde eşitsizliği sağlayan
yayların açı ölçülerinin aralıkları tespit edilir.
π
––
4
2
nin [0, 2π] aralı2
7π
π
ğındaki kökleri ve
tür.
4
4
cos x =
2
2
O
2π
x
7π
––
4
cos ≥
Aşağıdaki eşitsizliklerin [0, 2π] aralığındaki çözüm aralıklarını bulunuz.
2
1
b) cos x ≥
c) tan x < 3
a) sin x >
2
2
c)
y
ÇÖZÜM
5π
––
6
1
nin [0, 2π] aralığın2
π
5π
dır.
daki kökleri ve
6
6
sin x =
1/2
π
––
6
O
x
1
eşitsizliğini sağlayan yay ölçüleri birim çem2
π
5π
aralığındadır.
berde görüldüğü üzere, < x <
6
6
π , 5π
m dır.
O halde Ç = c
6 6
π
––
2
tan x = 3 ün [0, 2π] aralığınπ
4π
ve
tür.
daki kökleri
3
3
tan x < 3 eşitliğini sağlayan yay
ölçüleri birim çemberde görüldüğü
sin x >
üzere,
0<x<
y
π
––
3
O
4π
––
3
(1, 3 )
2π
3π
––
2
3π
π π
4π
; <x<
< x < 2π aralığındadır.
ve
2
3 2
3
π
π 4π
3π
m , c , 2π m dir.
O halde Ç = c 0, m , c ,
3
2 3
2
1
3
eşitsizliğinin [0, 2π] aralığındaki çözüm
2
kümesi nedir?
3. tan x ≥
1
eşitsizliğinin [0, 2π] aralığındaki çözüm
2
kümesi nedir?
4. - 1 ≤ cot x < 3 eşitsizliğinin (0, 360°) aralığında
1. sin x >
2. cos x ≤
114
b)
2
eşitsizliğini sağlayan yay ölçüleri birim
2
7π
π
çemberde görüldüğü üzere 0 ≤ x ≤ ve
≤ x ≤ 2π
4
4
aralığındadır.
7π
π
O halde Ç = ;0, E , ; , 2πE dir.
4
4
ÖRNEK
a)
y
ÖRNEK
Konu Özeti
1) c
π 2π
,
m
3 3
2) ;
π 5π
,
E
3
3
eşitsizliğinin [0, 2π] aralığındaki çözüm
3
kümesi nedir?
çözüm kümesi nedir?
π π
7π 3 π
1) ; , m , ; ,
m
6 2
6
2
2) ^ 30°, 135@ ° , ^ 210°, 315°@
x
Kosinüs ve Tanjant Fonksiyonunun Grafiği
Konu Özeti
(Kosinüs Fonksiyonunun Grafiği)
” f(x) = a cos (bx + c) + k türündeki fonksiyonların grafiklerini ve katsayılarının grafik üzerindeki etkilerini
örneklerle inceleyelim.
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİĞİ
” f(x) = a tan (bx + c) + k türündeki fonksiyonların grafiklerini ve katsayılarının grafik üzerindeki etkilerini
örneklerle inceleyelim.
ÖRNEK
ÖRNEK
Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
a) f(x) = cos x
f(x) = tan x fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
b) f(x) = 1 – cos 3x
ÇÖZÜM
"cos: x → [–1, 1]" olduğunu hatırlayınız
2π
= 2π dir.
a) f(x) = cos x fonksiyonunun periyodu, T =
1
0
π/2
π
3π/2 2π
x
ÇÖZÜM
cos x
1 0
–1 
0
...
2π
–2π
π
––
2 π
o
3π 2π
––
2
–1
x
b) f(x) = 1 – cos 3x fonksiyonunun periyodu T =
x
0
π/6
π/3
π/2
3x
0
π/2
π
3π/2
1 – cos 3x
0
y
2
1
2
sin x
olduğundan cos x = 0 ın
cos x
2π 2π
=
3
3
x
tan x
0
π/4
π/2
3π/4
0
...
1
–π
–1
4π
––
3
x
2π
1. f: [0, π] → R, f(x) = 2 cos 2x fonksiyonunun grafiğini
çiziniz.
...
o π π
–– ––
4 2
3π
––
4 π
2π
3π
––
2
π
π
x
...
π
2. f(x) = 1 + tan x fonksiyonunun [0, 2π] aralığında grafiğini çiziniz.
y
y
x
O
x
O
y
y
2
1)
–2
0
y
1
O
π
= π dir.
1
π
0 1
 –1 
+∞ –∞
2π
2π
––
3
–2π o π π π 2π
–– –– –– ––
6 3 2 3
π
+ k · π, k d Z " değerinde
2
f(x) = tan x fonksiyonun periyodu, T =
2π/3
1
2π
––
3
2π
––
3
f (x) = tan x =
π
+ k · π, k ! Z 1 " R " olduğunu
2
π
f(x) = tan x tanımsızdır ve grafiği x = + k · π
2
doğrularını kesmez.
...
2π
1
hatırlayınız.
"tan: R - '
kökleri olan " x =
1
y
...
(Tanjant Fonksiyonunun Grafiği)
Konu Özeti
π
––
4
π
––
2
3π
––
4
π
x
2)
2
1
O
π
––
4
π
––
2
3π
––
4
π
3π
––
2
2π
x
123
Kotanjant Fonksiyonunun Grafiği/Grafik Yardımıyla Kök Sayısı Bulma
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİĞİ
(Kotanjant Fonksiyonun Grafiği)
Konu Özeti
” f(x) = a cot (bx + c) + k türündeki fonksiyonların grafiklerini ve katsayılarının grafik üzerindeki etkilerini
örneklerle inceleyelim.
ÖRNEK
hatırlayınız.
π
= π dir.
f(x) = cot x fonksiyonunun periyodu, T =
1
π/2
3π/4
1
3
y = ––
4
3/4
o x1
π
x2
x3
2π
x4
x
y = sin2x
b) sin x = x denklemi için y = sin x ve y = x fonksiyonlarının grafiğini çizip kesim noktalarını görelim.
1
...
y = sin 2x fonksiyonunun
2π
= π dir.
periyodu, T =
2
3
sin 2x = eşitliğini sağlayan [0, 2π] aralığında 4 adet x
4
değeri vardır.
y
–1
y
–1
π
 1  0  –1 
–∞ +∞
–∞ +∞
–π
––
2
b) sin x = x
3
3
denklemi için y = sin 2x ve y = fonksi4
4
yonlarının grafiğini çizip kesim noktalarını görelim.
f(x) = cot x tanımsızdır ve grafiği x = k · π doğrularını kesmez.
π/4
3
4
a) sin 2x =
kökleri olan " x = k · π, k d Z " değerinde
0
a) x ∈ [0, 2π] için sin 2x =
ÇÖZÜM
cos x
f (x) = cot x =
olduğundan sin x = 0 ın
sin x
–π
” Trigonometrik bir fonksiyon ile doğrusal bir fonksiyonun eşitliğinden oluşan denklemlerin kök sayısı grafiklerindeki kesim noktaları ile tespit edilebilir.
Aşağıdaki denklemlerin kök sayılarını bulunuz.
"cot: R – {k · π, k ∈ Z} → R" olduğunu
ÇÖZÜM
cot x
(Grafik Yardımıyla Kök Sayısı Bulma)
ÖRNEK
f(x) = cot x fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
x
Konu Özeti
o π π
–– ––
4 2
3π
––
4
y
2π
π
3π
––
2
π
π
x
y = sin x fonksiyonunun
periyodu, T = 2π dir.
...
π
y=x
1
–2π
x1
o
y = sin2x
x2
x3
2π
x
–1
sin x = x eşitliğini sağlayan 3 adet x değeri vardır.
1. f: [0, π] → R, f(x) = 1 + cot 2x fonksiyonunun grafiğini
çiziniz.
y
2
1. x ∈ [0, 2π] için cos 3x = denkleminin kaç tane kökü
5
vardır?
x
O
2. [–π, π] aralığında 3 sin 4x = cot 2x denklemini sağlayan kaç tane x değeri vardır?
y
2
1)
1
O
124
π
––
8
π
––
4
3π
––
8
π
–– 5π
2 ––
8
3π
––
4
7π
––
8
π
x
1) 6
2) 12
Trigonometrik Fonksiyonların Tekliği - Çiftliği
ÖRNEK
Konu Özeti
Aşağıdaki fonksiyonların tekliğini - çiftliğini belirtiniz.
” f: R → R, ∀x ∈ R için,
v f(–x) = f(x) ise f fonksiyonu çitftir.
v f(–x) = –f(x) ise f fonksiyonu tektir.
” Geometrik olarak,
a) f(x) = cos x + 15
b) g(x) = sin x + tan x + x3
c) h(x) = cos x + sin x
d) k(x) = cos x · sin x
ÇÖZÜM
Tek fonksiyon
Çift fonksiyon
y
�
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİĞİ
y
�
y = x2
x
o
a) f(–x) = cos (–x) + 5 = cos x + 5 = f(x)
y=x
⇒ f(–x) = f(x) olduğundan f çifttir ve grafiği y eksenine
göre simetriktir.
x
simetri merkezi
simetri ekseni
b) g(–x) = sin(–x) + tan(–x) + (–x)3 = –sin x – tan x – x3
= - (sin x + tan x + x3) = - g (x)
1 4 4 44 2 4 4 44 3
” Trigonometrik fonksiyonlar için,
g (x)
v Kosinüs fonksiyonu açısının eksiliğini yutan
(cos (–x) = cos x) ve y eksenine göre simetrik
olan çift bir fonksiyondur.
v Sinüs, tanjant ve kotanjant fonksiyonları
açısının eksiliğinin çıkaran (sin (–x) = –sin x,
tan (–x) = –tan x ve cot (–x) = –cot x) ve orjine
göre simetrik olan tek fonksiyonlardır.
Bir fonksiyon tek ya da çift olmak zorunda
değildir!
1. Aşağıda verilen fonksiyonların tekliğini (T), çiftliğini (Ç)
ile belirtiniz.
⇒ g(–x) = –g(x) olduğundan g tektir ve grafiği orjine
göre simetriktir.
cos x
- sin x
64
474
48 H
c) h (- x) = cos (- x) + sin (- x) = cos x - sin x
h(–x) ≠ h(x) ve h(–x) ≠ –h(x) olduğundan h tek ya da çift
değildir.
64
474
48 H
d) k (- x) = cos (- x) · sin (- x) = - cos x · sin x = - k (x)
cos x
- sin x
⇒ k(–x) = –k(x) oldğundan k tektir ve grafiği orjine göre
simetriktir.
2. f(x) = (m – 2) sin x + cos3 x + (n + 1)x + 2 fonksiyonunu çift fonksiyon ise m + n toplamı kaçtır?
a) f(x) = x2 + cos x + 1
b) f (x) =
sin x + x
x2 + 1
3. f fonksiyonunun grafiği orjine göre simetriktir.
f(x) + 3f(–x) = (a – 4) cos x + a tan x olduğuna göre,
π
f c m değeri kaçtır?
4
c) f(x) = sin x · cos x + 3x
d) f (x) =
tan2 x + 3x2
cos x + x4
1) a) Ç
b) T
c) T
d) Ç
2) 1
3) –2
125
Açısal Kavramlar
KONU TESTİ - 1
1. Şekilde verilen açı için aşağıdakilerden
5. 34° 15' 21'' lik açının üçte biri aşağıdakilerden hangisine eşittir?
B
hangisi yanlıştır?
C
A
A) B noktası CBA açısının köşesidir.
A) 11° 5' 7''
B) 10° 7' 5''
D) 11° 25' 7''
E) 25° 11' 7''
C) 7° 25' 11''
B) [BA ve [BC ışınları ABC açısının sırasıyla başlangıç ve bitim kollarıdır.
W saatin dönme yönünde bir açıdır.
C) ABC
A) = 45c 50' 30'' ve m ( W
B) = 3c 40' 15'' dir.
6. m (W
W negatif yönlü bir açıdır.
D) CBA
A) - 3m ( W
B) işlemi aşağıdakilerden
Buna göre m (W
hangisine eşittir?
W = [BC , [BA dir.
E) CBA
A) 29° 45' 49''
B) 29° 50' 45''
D) 34° 49' 45''
E) 35° 49' 40''
C) 34° 39' 35''
2. A ve B bir çember üzerindeki farklı iki noktadır.
Minor AB yayının açı ölçüsünün yönlü değeri 155°
olduğuna göre major AB yayının açı ölçüsünün
yönlü değeri kaç derecedir?
A) –315° B) –205° C) 155°
D) 205°
E) 315°
E
7. Şekilde;
X ) = m (DOE
X ) = 5c 30' 40'' ,
m (AOB
C
OC) = 3c 40' 15'' dir.
ve m (BX
B
O
3. 1785'' lik açı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 13° 5'
B) 13° 5''
D) 45' 29''
E) 48' 29''
C) 29' 45''
4. Aşağıdakilerden hangisi 10° 50' lık açıya eşittir?
A) 650''
B) 650'
D) 36000''
E) 60° 10''
C) 30900''
D
A
X dik açı olduğuna göre COD açısının ölçüsü
AOE
nedir?
A) 75° 18' 25''
B) 73° 25' 35''
D) 65° 38' 23''
E) 60° 40' 50''
C) 70° 32' 42''
8. Bir ABC üçgeninde;
AB = AC ve m ( W
B) = 55c 45' 15'' dir.
Buna göre, A açısının ölçüsü nedir?
A) 68° 29' 30''
B) 68° 30' 29''
D) 69° 29' 30''
E) 69° 30' 30''
C) 67° 29' 30''
137
9. (15,33)° = 15° x' y'' olduğuna göre y – x farkı kaça
eşittir?
A) 19
B) 29
C) 38
D) 48
13. Aşağıda radyan cinsinden ölçüleri verilen açılardan
hangisinin esas ölçüsü
E) 52
A) –
D)
10. Aşağıdaki eşitliklerden hangisi yanlıştır?
A) 0° = 0 rad.
D) 90° =
π
rad
2
23π
4
11. Aşağıdakilerden hangisinin esas ölçüsü 10° dir?
B) 780°
C) 1070°
B) 160°
C) 180°
C)
15π
4
31π
4
E)
D) 240°
B) 140
C) 200°
D) 230°
E) 320°
15. 1,57 radyanlık açı kaç derecedir? ^π , 3, 14h
D) 2000° E) 2020°
A) 30
12. Birim çemberde aşağıda ölçüleri verilen yaylardan
hangisinin bitim noktası –100° lik yayın bitim noktası ile çakışır?
A) 140°
45π
4
ğıdakilerden hangisi olamaz?
E) 360° = 2π rad
A) 50°
A) 370°
B) –
14. x açısının esas ölçüsü 200° dir.
x
açısının esas ölçülerinden biri aşaBuna göre,
4
3π
C)
rad = 270°
2
π
B) rad = 30°
3
73π
4
7π
değildir?
4
B) 60
C) 90
D) 100
E) 120
16. 2 radyanlık merkez açısının gördüğü yayının uzunluğu 6 cm olan bir çemberin çevresi kaç cm dir?
A) π
B) 2π
C) 3π
D) 4π
E) 6π
E) 260°
138
1. D
2. B
3. C
4. B
5. D
6. D
7. A
8. A
9. B
10. B
11. A
12. E
13. B
14. C
15. C
16. E
Trigonometrik Çember
KONU TESTİ - 2
1. Aşağıdaki noktalardan hangisi birim çember üzerinde bir noktadır?
A) (0, 1)
B) (1, 1)
D) (–1, 1)
E) (–1, 2)
C) (1, –1)
1 3
m noktası kaç dere2. Birim çember üzerindeki T c ,
2 2
celik merkez açıyı görür?
A) 30°
B) 60°
C) 90°
D) 120°
E) 150°
3
olan II. bölgedeki açının
5. Birim çemberde ordinatı
2
apsisi nedir?
6. K ;–
A) y = x2 + 1
B) x = y2 + 1
C) x · y = 1
x + y = 1 E) x2 + y2 = 1
D)
3
2
C) –
2
2
D) –
1
2
E) –
1
4
2
, ^m - 1hE noktası birim çember üzerinde
2
olduğuna göre m nin alabileceği değerlerin toplamı
kaçtır?
A)
3. Dik koordinat düzleminde orjine uzaklığı 1 birim
olan noktaların geometrik yeri aşağıdakilerden
hangisidir?
B) –
A) –1
1
2
B) 1
C)
3
2
D) 2
E) 3
7. Aşağıdakilerden hangisi trigonometrik çember için
doğrudur?
A) x = 0 doğrusu kosinüs eksenidir.
B) y = 0 doğrusu sinüs eksenidir.
C) x = 1 doğrusu sekant eksenidir.
D) y = 1 doğrusu kotanjant eksenidir.
E) x + y = 1 doğrusu kosekant eksenidir.
y
B
4.
E(a,b)
C
α
O
a
A) sin a =
b
D) cot a =
b
a
A x
D
Şekildeki birim çemberX ) = α ve
de m (AOE
çember üzerindeki E
noktasının koordinatları
(a, b) olduğuna göre
aşağıdakilerden hangisi
doğru olarak verilmiştir?
B) cos a = b
E) sec a =
1
a
C) tan a = a
8. A f
1
5
,
2
5
p birim çember üzerinde q açıklık ölçüye
sahip bir nokta olduğuna göre tan i + cot i toplamı
kaçtır?
A) 2
B)
5
2
C) 3
D)
7
2
E) 4
139
13. 4x2 + 4y2 + ^m - 3h xy = n ifadesinin birim çember
belirtmesi için m + n toplamı kaç olmalıdır?
9. Aşağıda açı ölçüleri verilen yayların trigonometrik
çember üzerindeki bitim noktaları verilmiştir.
Buna göre verilenlerden hangisi yanlıştır?
AÇI
NOKTA
A)
0°
(1, 0)
B)
90°
(1, 1)
C)
180°
(–1, 0)
D)
270°
(0, –1)
E)
360°
(1, 0)
10.
B
C
α
O
A) 10
B)
C)
aπ
tan a
360°
2
D)
^90° - ah π cot a
360°
2
y
B
12.
C) 11
^90° - ah π cos a
360°
2
θ
C
α
O
A x
D
140
E) 9
E) 6
Şekilde iki köşesi birim
çember üzerinde bir köşesi
orijinde olan OBC üçgeni
verilmiştir.
A x
α
D
X ) = a olduğuna göre OBC üçgenin alanı
m (AOB
aşağıdakilerden hangisidir?
A) – cos \
B)
cos \
2
D) 1
E)
sin \
2
1
-1
X h = i olduğuna
m ^POB
göre P'nin koordinatları
aşağıdakilerden hangisine
eşittir?
C)
1
2
y
16.
Şekildeki birim çemberde
m ^AX
OPh = \ ve
P
E) 4
D) 7
B
aπ
cos a
360°
2
D) 10
C) 8
O
11. ^a - 2h x2 + ^b + 1h y2 = 6 ifadesinin birim çember
belirtmesi için a + b toplamı kaç olmalıdır?
B) 12
D) 5
y
C
aπ
sin a
360°
2
C) 6
B) 9
15.
A
A) 13
B) 7
14. ^a - 3h x2 + ^4 - bh y2 + c = 3 denklemi birim çember
denklemi olduğuna göre a + b + c toplamı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
Şekildeki çeyrek birim çemberX ) = a olduğuna göre
de m (COB
taralı alan aşağıdakilerden
hangisine eşittir?
A)
E)
A) 8
y=1
d
c
α
O
-1
a 1
x
b
x=1
Şekilde verilen birim çemberde a açısı için verilen
aşağıdaki eşitliklerden hangisi yanlıştır?
A) (cosq, sinq)
B) (sinq, cosq)
A) cos α = a
C) (sina, cosa)
D) (1, 0)
D) tan α =
a
b
B) b =
a
c
C) b · d = 1
E) sin α = c
E) (0, 1)
1. A
2. B
3. E
4. E
5. D
6. D
7. D
8. B
9. B
10. A
11. A
12. B
13. B
14. A
15. E
16. D
Trigonometrik Oranlar
D
1.
C
α
KONU TESTİ - 11
ABCD dikdörtgeni 12 eşkenardan
oluşmuştur.
π
5. x ! c 0, m olmak üzere 3 cos2 x + 7 sin x = 5 olduğu2
na göre cot x kaça eşittir?
Buna göre, sec a değeri kaçtır?
A
A)
3
4
A)
B
B)
4
3
C)
3
5
D)
5
3
E)
2
4
B)
2
2
C) 1
E
C
D
Şekilde ABCD kare,
2 CE = AB ve
W ) = α dır.
m (AEB
α
Buna göre, cosec a değeri kaçtır?
2. Bir ABC üçgeninde; AB = 6 cm , BC = 7 cm ve
AC = 5 cm dir.
A + 7cos W
B ifadesi kaça eşittir?
Buna göre, 5 cos W
B) 4
C) 6
D) 8
A
Eş karelerden oluşan yandaki
şekle göre, cot a değeri kaçtır?
α
B
2
A)
E) 10
7.
3.
D
3
B)
4
3
4
B)
4
3
C)
3
5
D)
D
4.
5
3
E)
6
5
12
A)
8.
C
C) 2
C
α
A
A)
1
3
D
B)
1
5
C
y
1
2
B) 1
C)
6
E)
Şekilde ABCD dik yamuk,
DC = 4 br , AD = 6 br ve
Alan(ABCD) = 33 br2 ve
W ) = α dır.
m (CBA
Buna göre, cos a kaçtır?
1
2
D)
2
5
E)
2
3
Şekilde ABCD dikdörtgeni 7 eş
dikdörtgenden oluşmuştur.
B
Şekildeki ABCD kare ve 5 EB = DE olduğuna göre,
W ) kaçtır?
tan (AED
A)
B
5
D)
Buna göre tan x · cot y çarpımı
kaça eşittir?
E
A
E) 2 2
5
12
6.
A) 2
2
D)
C)
3
2
D) 2
E)
x
A
5
2
A)
1
3
B
B)
1
2
C)
2
3
D)
3
2
E) 2
157
9.
Şekildeki aşırı rüzgardan
kırılmış sokak lambasının zemine değdiği A ve
B noktaları arası mesafe
2,8 m dir.
53°
A
2,8 m
B
B) 3,6
C) 4
D) 4,8
B)
y
C) 54
D)60
E) 108
13
3
5
5
6
X )
Buna göre, tan (AOD
değeri kaçtır?
3
4
D)
A
E
x
4
3
E)
5
3
D
D) 3 2
A
K
B
5
A)
3
Şekildeki ABCDA'B'C'D'
küpünde; BK = KC ve
m (B'Y
A'K) = α olduğuna
göre, cos \ nın değeri
kaçtır?
B'
α
B
W ),
X ) = m (BEC
ABCD dikdörtgeninde m (ADE
EB < AE , AB = 6 br ve DC = 13 br olduğuna
göre, EB = x kaç br dir?
C) 4
C'
D'
A'
1
B)
3
E) 2 5
C)
C
5
4
1
D)
5
E)
2
3
d
16.
12.
E)
Şekildeki dik koordinat
sisteminde ABCD kare,
A(3,0) ve B(0,4) dir.
x
C)
5
5
D)
C
6
B) 3
5
4
C)
A(3,0)
B)
15.
A) 2
5
3
B
D
3
7
A)
D
R
C
O
B) 42
Buna göre, cos \ değeri kaçtır?
C
B(0,4)
br2 dir?
11.
P
2
3
14.
B A) = 0,6 olduğuna göre, Alan(ABCD) kaç
sin(C W
A) 36
L
A
A)
Şekildeki küpte P ve R
orta noktalar ve
X ) = α dır.
m (PMR
α
D
E) 5,6
10. Bir ABCD yamuğunda; 6AB@ ' 6CD@, 6AB@ = 6AD@ ,
BC = 15 br ve CD = 6 br dir.
M
K
Sokak lambasının kırık parçaları arasındaki açı 53°
olduğuna göre, sokak lambasının kırılmadan önceki boyu kaç m dir? ^sin 53° , 0, 8 dir. h
A) 3,2
N
13.
C
T
A
A
B
C
O
[AD] çaplı yarım çembere d doğrusu C noktasında
teğettir.
Şekilde O merkezli yarım çemberde, [AT, O merkezli
çembere T noktasında teğettir.
AD = 8 cm, DB = 6 cm ve m (D W
CB) = a olduğuna göre, cos 2a nın değeri kaçtır?
W ) kaçtır?
AB = 3 OC olduğuna göre, cos (BAT
A)
1
4
B)
1
2
C)
3. C
4. C
15
4
D)
B
D
2 5
2 6
E)
5
5
A)
1
5
B)
2
5
C)
3
5
4
5
E)
14. A
15. E
D)
5
6
158
1. D
2. C
5. E
6. D
7. B
8. D
9. E
10. E
11. C
12. C
13. B
16. B
Trigonometrik Bölge İşaretleri ve Özdeşlikler
1. sin55° aşağıdakilerden hangisine eşit olamaz?
2.
A) –sin235°
B) sin125°
B) cos35°
E) cos325°
C) –cos305°
sin 5π · cos 4π + 5 tan 3π - cot c
kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
7π
m işleminin sonucu
2
D) 1
KONU TESTİ - 12
6.
sin 300° + tan 120°
işleminin sonucu kaçtır?
cos 330° - cot 210°
A) 3
B)
C)
1
2
D) –
3
E) –3
2
7. cos2105° + cos2120° + cos2135° + cos2150° + cos2165°
işleminin sonucu kaçtır?
A) 0
B)
1
2
C) 1
D)
3
2
E)
5
2
E) 2
3π
+ i m = sin i
2
III. sin ^π - ih = cos i
π
- i m = cot i
2
IV. cot c
8. I. cos c
II. tan c
3. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
3π
- i m = – tan i
2
A) sin ^π - ih = sin i
B) cos ^π - ih = – cos i
Yukarıdakilerden hangisi veya hangileri yanlıştır?
C) tan ^π - ih = – tan i
D) cot ^π - ih = cot i
A) Yalnız I
B) I ve II
D) I ve IV
E) III ve IV
E) cosec ^π - ih = cosec i
4. Aşağıdakilerden hangisi cos c
5.
3
2
π
- α m ya eşit değildir?
2
3π
+ α m C) sin ^2π + αh
2
A) sin α
B) cos c
D) sin ^π - α h
E) sin ^– α h
sin ^180° - xh - tan ^360° + xh
tan ^180° + xh
ifadesinin eşiti aşağı-
dakilerden hangisidir?
A) –1
B) 0
D) cos2 x – 1
E) cosx + 1
C) cosx – 1
C) II ve III
9. Aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) sin 125π = 1
C) tan c –
23π
3
m=
6
3
E) sin c –
11π
m= 0
2
10. f (x) = sin ^x + π h - cos c x fc
43π
m nın değeri kaçtır?
17
A) –
3
2
B) –1
C) 0
B) cos
109π
=0
6
D) cot
127π
3
=
2
2
3π
m olduğuna göre,
2
D)
3
2
E) 1
159
3π
- αm
2
11.
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisin ^2π + α h
sin c
sidir?
15. I. cos 330c =
3
2
III. cot 340c = – tan 70c
3
II. sin ^–210ch = –
2
IV. tan ^–135ch = –1
Yukarıda verilen eşitliklerden hangileri doğrudur?
A) sin α
π
B) cot c + α m
2
D) cot ^π - α h
3π
- αm
E) tan c
2
C) tan ^π + α h
A) I ve IV
B) II ve III
D) III ve IV
E) I ve II
C) I ve III
π
16. f (x) = sin 2x - tan 3x olmak üzere f c + x m in eşiti
2
aşağdakilerden hangisidir?
12.
tan 70° + sin 50° + sin 230°
ifadesinin eşiti kaçtır?
tan 290°
A)sin 2x - cot 3x
B) cos 2x - tan 3x
A) –2
C) – sin 2x + cot 3x
D) sin 2x + tan 3x
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
E) tan 3x - cos 2x
13. I. cos c
17. 2x = tan ^π + ih
π
- i m = sin ^π - ih
2
3y = cot ^2π + ih
II. tan ^3π - ih = – tan i
5π
- i m = cos i
III. sin c
2
IV. cot ^- ih = cot ^π - ih
π
V. cos c i - m = – sin ^- ih
2
VI. sin ^4π + ih = – cos c i -
olduğuna göre, x ile y arasındaki bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2x = 3y
3π
m
2
D) x · y =
B) 2x + 3y = 1
1
6
C) 2x + 3y = 0
E) 4x2 = 9y2
Yukarıda verilen eşitliklerden kaç tanesi doğrudur?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
18. sin40° = a olmak üzere
sin(–140°) + cos400° + cos140° – tan220° · cos320°
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
14.
cos2 210°· tan 135°
cos2 225°· sin 210°
işleminin
+
cosec 150°· cos 300°
tan2 240°
sonucu kaçtır?
A) –1
B) –
2
3
C) –
3
4
D) –
5
6
E)
3
4
A) –2a
B) –a
D) 1
E) 2 1 - a2
C) 0
Ç - 10
π
3
ve tan ^3a + 2bh + cot ^a + 2bh = olduğu2
2
na göre, sina · sinb çarpımı aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
19. a + b =
A) –
5
2
B) –1
C) 0
D)
2
5
E) 1
160
1. C
2. C
3. D
4. E
5. C
6. A
7. E
8. E
9. C 10. C 11. D 12. B 13. E 14. D 15. C 16. C 17. D 18. A 19. D
Toplam Fark Formüllerinin Geometrik Yorumu
A
1.
5
KONU TESTİ - 20
3
B
A
5.
20
ABCD dörtgeninde 6AB@ = 6BC@ ,
AB = 20 br , BC = 15 br ,
AD = 24 br ve DC = 7 br dir.
24
B
D
C
6
D
15
7
W ) kaçtır?
Buna göre, sin (BAD
C
Şekildeki ABC üçgeninde 6AD@ = 6BC@ , AB = 5 br ,
7
25
A)
AD = 3 br , DC = 6 br dir.
B)
3
5
C)
4
5
D)
24
25
E) 1
W ) kaçtır?
Buna göre, cos (BAC
A) –
D)
1
B) –
5
3 5
70
E)
4
C) –
5
7 5
75
11 5
75
A
6.
ABC eşkenar
üçgeninde
2 DC = AD olduğuna göre tan x kaçtır?
D
2. A, B ve C bir üçgenin iç açıları olmak üzere,
cos A - tan B· sin A
ifadesi aşağıdakilerden hangisicos C - tan B· sin C
D)
3.
cos A
cos B
tan A
tan C
sin A
E)
sin C
B) –
cos C
cos A
D
C
A
A)
B) 1
BC
Şekilde ABCD kare, EB =
4
ve m ^DEAh = x dir.
A
4.
D
1
_
2√5
D)
15
13
E)
θ
Buna göre, cot i kaçtır?
A)
13
2
B)
11
2
C)
9
2
3
6
D)
2
5
E)
3
5
D)
2
7
E)
W ) = x kaç dereBuna göre m (ABC
cedir?
C
x
B
B) 30°
C) 45°
D) 60°
E) 75°
16
13
Şekildeki ABC dik
üçgeninde BD = 1 br ,
DC = 2 5 br ,
C AC = 4 br ve
X ) = i dir.
m (BCD
4
B
14
13
C)
Yandaki şekil eş karelerden
meydana gelmiştir.
A) 15°
C)
2
6
B)
A
7.
B
12
13
C
C) 1
E Buna göre tan x kaçtır?
x
3
8
A)
dine eşittir?
A) –
x
B
2
5
A
8.
Şekilde ABC dik
X ) = 45c ,
üçgen m (ACB
BD = 3 br ,
DC = 2 br ve
C
W ) = x dir.
m (DAC
x
B
D
3
45°
2
Buna göre, tan x kaçtır?
A)
1
2
B)
1
3
C)
1
4
D)
1
6
E)
1
8
175
A
9.
13. D
Birim kareler üzerine
çizilmiş yandaki ABC
üçgeninin A açısının
tanjantı kaçtır?
B
10.
C) –
B) –21
D
F
G
A
35
9
D)
25
3
E
A
E
1
A) –
4
E) 27
Şekilde ABCD dikdörtgen, AB = 5 br ,
F
AD = 4 br , BF = 3 br
W ) = α dir.
3 ve m (BEF
α
B
5
12
A)
35
14.
1
B) –
2
B
C) –
3
4
A
4
olduğuna göre
D)
C
Buna göre, cot a değeri kaçtır?
2
C)
5
13
B)
35
3
2
E)
4
3
3
D)
7
B
16
E)
35
A)
13
65
13
60
B)
E
Buna göre, sin x değeri kaçtır?
A
E
A
B
10 17
A)
17
8 17
B)
17
4 17
17
E)
A)
6 17
C)
17
1
4
1
2
B)
4
2 17
17
C
P
A
14
B
C) –12
1
9
E)
5
4
L
N
G
B
C
F
E
D
W ) kaçtır?
cot (ALE
A) –
D) –
4
3
H
4 AB = 4 DE = 2 BC = CD
W ) kaçtır?
Buna göre, tan (ACB
B) –16
13
13
Yukarıdaki şekilde ABNP, BCLM, CDHK ve DEFG birer karedir.
Şekilde ABCD dik yamuk 6AD@ = 6DC@ , 6AD@ = 6AB@ ,
AB = 14 br , AD = 6 br ve DC = 4 br dir.
A) –21
D)
K
6
A
3
4
C)
M
D
E)
B
16.
12.
13
20
D)
bulundukları kenarların orta
noktalarıdır. AB = 4 br
α F olduğuna göre tan a değeri
kaçtır?
W )=x
2 AE = 3 EB ve m (AFE
dir.
F
13
45
C)
C Şekilde ABCD karedir. E ve F
C Şekilde ABCD kare,
x
Yukarıdaki şekil 8
özdeş kareden
oluşmaktadır.
Buna göre cos a
kaçtır?
α
15. D
D
D)
AB
C
4
11.
EB =
cot (DFB) kaçtır?
C
A) –35
C Şekilde ABCD ve AEFG karedir.
E) –
1
15
2
11
B) –
5
11
olduğuna
13
11
D) –
13. C
14. A
C) –
14
11
göre
E) –
16
11
176
1. A
2. D
3. E
4. B
5. C
6. E
7. C
8. C
9. B
10. B
11. D
12. A
15. C
16. E
Toplam Fark Formüllerinin Geometrik Yorumu
D
C
1.
Şekildeki ABCD dikdört-
KONU TESTİ - 21
5. Dik koordinat sisteminde A, B ve C noktalarının koordinatları sırası ile (2, 5), (–3, 7) ve (–4, –5) dir.
geninde
α
A
Buna göre, BAC açısının tanjantı kaçtır?
3 AE = 2 EB = 6 BC
A)
dir.
B
E
4
5
B)
12
5
C)
24
5
D)
31
5
E)
34
5
Buna göre, sin a kaçtır?
2
5
A)
2
4
B)
C)
2
3
D)
2
2
2
E)
A
6.
Yandaki şekil 6 özdeş kareden
oluşmaktadır.
Buna göre, cot a kaçtır?
2.
A
B
C
D
1
3
α
W ) = 5 dir.
sin (BAD
13
x
A)
C
ABC üçgeninde
AD = DC ,
B)
2
3
C) 1
B
A)
Buna göre, tan x kaçtır?
D)
4
3
E)
3
8
B)
4
9
C)
12
D
C
5
C
D
θ
A
4.
X ) = i dir.
m (BDE
E
B
A) 9
B) 8
E
D
C) 6
C
B
1
B)
10
2
C)
11
x
A)
8.
2
26
B)
5 2
26
D
3
D)
11
2
E)
5
C)
13 2
26
E)
7
9
ABCD dik
yamuğunda
6EC@ = 6CB@ ,
6AD@ = 6AB@ ,
ED = 5 br ,
B DC = 12 br ,
BC = 13 br ve
W ) = x dir.
m (AEB
D)
17 2
25 2
E)
26
26
Şekildeki ABCD dörtgeninD=2
de 6DA@ = 6AB@ , tan X
C
ve tan X
C=–
A)
1
olduğuna
2
W
B göre cos B aşağıdakiler-
A
Buna göre, tan a aşağıdakilerden hangisidir?
1
A)
11
11
10
Buna göre, sin x kaçtır?
1
E)
6
Şekilde ABCD dikdörtgen E ∈ [DC],
3 EC = AB = 6 br ,
BC = 3 br dir.
13
A
Buna göre, cot i değeri kaçtır?
1
D)
4
α
A
E
Şekilde ABCD kare,
5 BE = AE ve
F
D)
5
3
7.
3.
5
9
den hangisidir?
2
5
B)
3
5
C)
4
5
D)
5
6
E)
3
7
177
A
9.
ABC dik üçgen
6AC@ = 6BC@ ,
E
BD = 4 br ,
2 DC = 3 br ,
EC = 2 br ,
C
AE = 1 br ve
K
B
D
4
x
3
5
9
B) –
C) 1
D)
10. D
a
A
E
c
B
2 2- 3
6
B)
3- 2
3
W ) = c,
m (CEB
D)
3 +2 2
6
E)
3 +4 2
3
C)
4
D
3+ 2
6
15.
C
8
Şekilde ADC ikizkenar dik üçgen, AD = DC ,
6AD@ = 6AC@ , BD = 4 br , DC = 8 br ve
3
2
D
C)
C
G
F
α
A
D)
2
3
E)
B)
16.
ABCD kare, AEFG dikdörtgen,
2 AE = AG , AG = GD ve
W ) = α dır.
m (FAC
2
5
1
3
C)
3. A
4. C
D)
2
3
Şekildeki yarı
çemberde [AB] çap,
AC = 24 br ,
CB = 7 br ve
B
AD = 20 br dir.
B)
17
25
C)
36
125
D)
44
125
E)
52
125
A
Şekildeki ABC dik
üçgeninde
1
6AB@ = 6BC@ ,
F
AF = FB = DE = 1 br
1
y
z
x
C BD = 3 br ,
B
3 D 1 E
5
EC = 5 br ,
W ) = y ve m (ACB
X ) = x , m (FEB
X ) = z dir.
m (FDB
3
4
E)
B) 45°
H
E
G
F
K
A
3
A)
5
3
5
C) 60°
L
D
Buna göre, tan a değeri kaçB tır?
E
1
5
1
3
9
25
A) 30°
Buna göre, tan a kaçtır?
B) –
3
2
E)
Buna göre x + y + z toplamı kaç derecedir?
W ) = α dır.
m (BAD
A) –2
3
3
D)
Buna göre, CAD açısının sinüsü kaçtır?
1
1
ve sin c =
3
2
α
B
3
5
A
A
11.
C)
C
A)
A)
3
6
D
14.
W ) = a,
m (AED
W ) = b,
m (DEC
sin a =
olduğuna göre sin b kaçtır?
A)
B)
Şekilde ABCD dik
6AB@ = 6BC@ dir.
12.
3
9
9
5
E)
C yamuk, 6AD@ = 6AB@ ,
b
Buna göre, tan a kaçtır?
C
B
A)
9
7
W ) = α dır.
m (BAE
E
Buna göre, tan x değeri kaçtır?
7
9
Şekilde ABC eşkenar
üçgen, 6BD@ = 6AC@ ,
2 BE = ED ve
D
W ) = x dir.
m (DKE
A) –
A
13.
1
B
2 3
B)
5
C)
D) 120°
E) 150°
ABCDEFGH küpünde
6HF@ + 6EG@ = L dir.
3 BK = KF olduğuna
göre, [DL] ve [DK] araC sındaki açının tanjantı
kaçtır?
3 2
5
D)
4 2
5 2
E)
5
7
13. A
14. D
178
1. D
2. B
5. D
6. D
7. D
8. B
9. B
10. D
11. C
12. B
15. B
16. E
Trigonometrik Problemler
KONU TESTİ - 31
4.
1.
y
B
K
a
A
O
1
Şekildeki birim çemberin K noktasının ordinatı
ve
6
X ) = α dır.
m (BOK
Şekilde düzgün sekizgen biçimindeki kitaplığın arka
tarafı kontraplak ile kapatılacaktır. Kitaplığın simetri
Buna göre, O noktasından doğrusal bir yol boyunca önce K noktasına, sonra da B noktasına gidecek olan bir örümceğin alacağı yol kaç br dir?
merkezinin bir köşesine uzaklığı 2 m olduğuna göre,
kitaplığın arka tarafı için marangozdan kaç m2 lik
kontraplak kestirilmelidir?
A) 8
B) 8 2
C) 8 3
E) 12 6
D) 12
C
2.
x
A) 1 + 15
B) 1 +
3
5
15
5
E) 1 +
5
3
D) 1 +
5.
Perde
A
60°
Ali
Betül
A
B
El Feneri
B
Şekilde K noktasındaki bir ışık kaynağının perde üzerinde oluşturduğu aydınlanmış bölge A ile B arasındaki dairesel bölgedir.
Aydınlanmış bölgenin yarıçapı 4 br, ışık kaynağıW ) = a olduğunın perdeye uzaklığı 6 br ve m (AKB
na göre, cota değeri kaçtır?
Telefonlar ile baz istasyonunu birleştiren doğrular
arasındaki açı 60˚ olduğuna göre Ali ile Betül arasındaki uzaklık kaç km dir?
42
B) 3 7
C) 5 5
D) 2 31
O
K
Buluşmak için birbirleri ile telefon görüşmesi yapan A
noktasındaki Ali'nin ve B noktasındaki Betül'ün telefonlarının sinyal aldığı C noktasındaki baz istasyonuna uzaklıkları sırasıyla 12 km ve 10 km dir.
A)
15
3
C) 1 +
A)
E) 3 62
5
12
B)
1
2
C)
2
3
D)
3
4
E)
12
5
6.
3.
Kuzey
12°
Batı
a
V1 = √ 3 m/sn
o
A
Doğu
18°
Güney
V2 = 2 m/sn
Şekildeki gibi O noktasından belirtilen yönlerde ve
hızlarda aynı anda yola çıkan iki aracın 6 sn sonra
aralarındaki uzaklık kaç m olur?
A) 6 13
B) 6 15
D) 10 15
E)12 13
C) 8 13
B
Şekilde yerden 4 km yükseklikte bulunan bir polis helikopteri hızları sabit ve birbirine eşit olan A ve B araçlarını aydınlanma mesafesi sabit AB arası olacak şekilde
aydınlatarak sabit hızla takip ediyor. Helikopterlerin A
ve B araçlarına uzaklıkları sırasıyla 2 5 ve 5 km dir.
Buna göre, a açısının sinüsü kaçtır?
A)
3 5
5
B)
2 5
5
C)
5
5
D)
4 5
2 5
E)
25
25
197
7.
A
A
10.
B
2 km
a
a
4 km
K
L
K
Şekilde K noktasındaki bir tank zemin ile α derecelik açı yaparak A noktaısındaki hedefi vurabiliyor.
KL = 4 km , AL = 2 km olduğuna göre, bu tank zemin ile 2a derecelik açı yaparsa A dan kaç km uzaklıktaki hedefi vurabilir? (Tankın boyu ihmal edilcek.)
10
B)
3
A) 3
C) 4
A
B
L
M
M
W ) = α ve tan α = 1 tür.
m (AKB
4
Buna göre, atış yapıldığı anda bu iki uçak arasındaki uzaklık kaç km dir?
A) 4
8.
L
Şekilde yerden 15 km uzaklıktaki A ve B savaş
uçakları K noktasındaki hedefe şekildeki konumda
iken atış yapıyorlar. Atış yapıldığı anda KL = 9 km ,
16
E)
3
14
D)
3
9 km
B) 6
C) 8
D) 10
a
Spor Salonu
K
K
11.
Okul
Yerden 18 m yükseklikte uçan A ve B uçurtmalarının
ipleri K noktasında zemine bağlıdır. AB = 12 m ve B
uçurtmasının dik izdüşümü M için KM = 24 m olduğuna göre, ipler arasındaki a açısı için tana değeri
kaçtır?
A)
4
17
B)
5
17
C)
6
17
D)
7
17
E)
Ev
A
2m
L
Buna göre, t1 + t2 nin a cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Şekilde K noktasındaki el feneri duvarın A ve B noktaları arasını aydınlatıyor. AB = 4 m , BL = 2 m ,
W ) = α dır.
KL = 6 m ve m (AKB
Buna göre, cota nın değeri kaçtır?
A) 3
B) 2
1. B
2. D
1
C)
2
1
D)
3
Sinema
V m/dk hızla saat 8:00 da evden çıkan Çağan saat
8:16 da okula varmıştır. Okuldaki dersi bittikten sonra okuldan ayrılıp aynı hızla t1 sürede spor salonuna
gitmiş ve bir süre spor yaptıktan sonra aynı hızla t2
sürede sinemaya gitmiştir.
B
6m
C
Yukarıdaki şekilde Çağan'nın evi, okulu ve gittiği spor
salonunun yerlerini ve yolunu gösteren kroki verilmiştir. Krokiye göre ABC üçgen, KXC B merkezli çember
W ) = α ve m (BCA
X ) = 2α dır.
yayı, 6BK@ = 6BC@ , m (BAC
4m
K
2a
a
8
17
A
a
x
B
Duvar
9.
El Feneri
E) 12
1
E)
4
A)
8
cos α
B)
16 2
cos α
D)
8+8 2
cos α
E)
4+4 2
sinα
C)
4+8 2
sin α
198
3. A
4. C
5. A
6. E
7. B
8. C
9. B
10. B
11. D
Sizin İçin Çözdüklerimiz
Ç-1
Ç-3
ABC üçgeninde A dan [BC] ye dik indirilerek ABD ve ADC
dik üçgenlerini oluşturalım.
A
H
1
& = cos 40° · cos 20° - sin 40° · sin 20°
2
6 br
a
7–a
D

C
7 br
BD = a dersek DC = 7 - a olur.
&
a
ABD de cos B = tir.
5
&
7-a
ADC de cos C =
dır.
6
O halde,
5 cos B + 6 · cos C = 5 ·
1 2
(2 cos2 20° - 1)
5 br
B
H
cos 60° = cos (40° + 20°)
7-a
a
+6·
5
6
&
1
= (2 cos2 20° - 1)· cos 20° - 2 sin 20° · cos 20° · sin 20°
2
H
1
& = 2 cos3 20° - cos 20° - 2 cos 20°· sin2 20°
2
(1 - cos2 20°)
&
1
= 2 cos3 20°· cos 20° - 2 cos 20° (1 - cos2 20°)
2
&
1
= 2 cos3 20° - cos 20° - 2 cos 20° + 2 cos3 20°
2
⇒ 8 cos3 20° – 6 cos 20° – 1 = 0 dır.
cos 20° = x alırsak, 8x3 – 6x – 1 = 0 olur.
= a + 7 - a = 7 bulunur.
Ç-4
Sinüs teoremine göre,
a
b
c
=
=
= 2R olduğundan,
sin A sin B sin C
b = 2R sin B ve c = 2R sin C dir.
b + c 2R sin B + 2R sin C
=
b - c 2R sin B - 2R sin C
Ç-2
Dönüşüm
A + B + C = 180° ⇒ A + B = 180° – C dir.
- tanC
&
6 444 7 444 8
tan (A + B) = tan (180° - C)
&
6 4 44 7 4 44 8
2R ( sin B + sin C)
b+c
=
b - c 2R ( sin B - 2R sin C)
1444
42444
43
Dönüşüm
tan c
tan A + tan B
tan C
=1
1 - tan A · tan B
⇒ tan A + tan B = –tan C (1 – tan A · tan B)
b+c
&
=
b-c
⇒ tan A + tan B = –tan C + tan A · tan B · tan C
B+C
m
2
cot c
B+C
B-C
m · cos c
m
2
2
B+C
B-C
m · sin c
m
2 cos c
2
2
2 sin c
1 tan c
⇒ tan A + tan B + tan C = tan A · tan B · tan C dir.
&
B-C
m
2
B-C
m
2
6 4 4 7 44 8
b+c
B+C
B-C
m · cot c
m
= tan c
2
2
b-c
b+c
&
=
b-c
B-C
m
2
olur.
B-C
m
tan c
2
tan c
209