bölüm 5 sürekli olasılık dağılımları

BÖLÜM 5
SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIMLARI
Bu kısımda, gerçek yaşamdan ortaya çıkan pek çok rassal olayın modellenmesinde faydalı
olan, sürekli (tek değişkenli) parametrik olasılık dağılımlarından bazıları incelenecektir. Ele
alınacak dağılımlar, bir hipotetik örnekleme süreci ile ilgili varsayımlar kümesi altında
matematiksel olarak elde edilmiş teorik dağılımlardır. Bu teorik dağılımlar, belirli
parametrelere göre bir olasılık yoğunluk (density) ailesini tanımlayan kurallar kümesi ile ifade
edilirler.
Bir şans değişkeni X ve bir parametre  verilmiş olsun. f ( x, ) ise bir sürekli teorik olasılık
kütle fonksiyonunu tanımlayan kural olsun. Eğer  bir reel sayı ise, bu parametre farklı
olasılık yoğunluk fonksiyonlarının; f ( x,1 ), f ( x, 2 ), bütün bir kümesini belirler. Sonuç
olarak, bu parametrik sürekli dağılım ailesinin değişik elemanlarını içeren küme
   f (X , ) /   elde edilir.
5.1 TEKDÜZE (ÜNİFORM) DAĞILIM
Sürekli şans değişkenleri için kullanılan en basit dağılımlardan biri tekdüze dağılımdır.
Matematiksel hesaplamalara uygunluğuyla özellikle teorik istatistik için oldukça kullanışlı bir
dağılımdır. Bu dağılımın diğer bir önemi istatistik kuramının çeşitli yönlerini açıklamaya,
basitliği nedeniyle, çok yatkın olmasıdır.
Tanım (sürekli tekdüze şans değişkeni): Bir sürekli şans değişkeni X,   x   aralığındaki
her biri değeri eşit olasılıkla alabiliyor ise bu şans değişkeni kesikli tekdüze dağılıma sahiptir
ve tek düzen dağılımın olasılık yoğunluğu şu şekildedir:
f (x; ,  ) 
1
 
Burada  ile  reel sabitlerdir ve         şeklindedirler.
Tek düzen dağılımda    olduğuna göre     0 ’ dır ve f (x) bir olasılık yoğunluk
fonksiyonu olabilmenin ilk koşulunu sağlar. Diğer bir deyişle     0 olduğu için
f ( x)  0 ’dır.

Teorem:
 f ( x; ,  )dx  1 koşulu sağlanır.

1
Şekil: Tekdüzen Dağılış
Teorem: Eğer X şans değişkeni [ ,  ] aralığında tekdüzen dağılış gösteriyorsa;
 
a. E ( X ) 
2
b. V ( X ) 
(   ) 2
12
c. M (t ) 
e t  et
(    )t
şeklindedir.

İspat: E  X    x

1
dx
 
 2  2
2    


 
2
 
V  X   E X 2  E  X 


 x2



2
1
   
dx  

 
 2 
2
 3   3    2

3   
4
   2
12

   e
M x t   E e
xt

xt
1
dx
 
2

e t  et
   t
Tekdüzen dağılış adını [a, b] aralığındaki tekdüzen yoğunluğundan ve grafikteki şeklinden
almaktadır. Bu dağılıma dikdörtgen biçimli dağılım da denmektedir.
Teorem: Tek düzen şans değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonu,
F ( x) 
(x   )
(   )
ile tanımlanmıştır.
İspat:
x
F ( x) 
1
x 
    dt     .
Bu sonuç bazı rassal olgularda araştırıcı için kullanışlı olmaktadır. Örneğin; rassal bir X
değişkeninin değerleri sadece [a, b] gibi bir sınırlı alan içinde dağılıyorsa; [a, b] aralığının
eşit mesafeli iki alt aralığının X şans değişkenini içerme olasılıkları eşitse o zaman X , [a, b]
aralığında tekdüze dağılış göstermektedir. Ya da [0,1] aralığında herhangi bir sayı ele
alındığında, aslında bu aralıkta tekdüzen dağılış gösteren bir şans değişkeninden
bahsedilmektedir.
Teorem: Herhangi bir sürekli X şans değişkeni için tanımlanan yoğunluk fonksiyonu,
uniform yoğunluk fonksiyonuna y  G x  alınarak (burada G(x), X şans değişkeninin
kümülatif dağılım fonksiyonudur) dönüştürülebilir.
f y  1
0<y<1
Bu teorem ile sadece birim aralıktaki uniform dağılım için birçok sürekli dağılımın özellikleri
ispatlanarak gösterilebilir.
Tekdüzen dağılımın belirli kapalı bir [a, b] aralığında dağıldığını tanımlamıştık. Ayrıca (a, b)
açık aralığı ya da (a, b] ve [a, b) yayı açık yarı kapalı aralıklarında da aynı tanımı yapmak
mümkündür. Burada bilinmesi gereken her dört olasılık yoğunluğunun da aynı birikimli
dağılış fonksiyonuna sahip olduğudur.
5.2 GAMA DAĞILIŞI
İstatistikte önemli rol oynayan dağılımlardan ikisi, bir dağılım ailesi olarak görebileceğimiz
gama ve üstel dağılımlardır. Bu iki dağılımın birlikte ele alınmasının sebepleri; üstel
dağılımın, gama dağılımının özel bir durumu olması ve üstel şans değişkenlerinin toplamının
gama dağılımı göstermesidir. Gama dağılışı sık sık bekleme zamanlarının olasılık modeli
olarak kullanılmaktadır. Örneğin yaşam zamanı testinde ölüme kadar geçen süre gama
3
dağılışına uyan bir şans değişkeni göstermektedir. Gama dağılımının Poisson süreci ile ilişkisi
bölüm sonundaki eklerde E.5.3 Kısmında verilmiştir.
Tanım (Gama şans değişkeni): Bir X şans değişkeni aşağıdaki olasılık yoğunluğuna uyuyorsa
(gama dağılımı) gama şans değişkeni olarak adlandırılır.
f x  
1  1  x
x e  0
( )
olasılık yoğunluk fonksiyonu tanımlanabilir. Bu dağılış tek parametreli gama dağılımıdır.
Eğer y  x 
şeklinde bir şans değişkeni tanımlanırsa, iki parametreli gama dağılımı elde
edilir.
Tanım: Bir X şans değişkeni aşağıdaki olasılık yoğunluğuna uyuyorsa (gama dağılımı) gama
şans değişkeni olarak adlandırılır.
f ( x; ,  ) 
1
x 1e  x / 
 ( )

x0
Burada   0,   0 ve ( )  0 şeklindedir. Burada  ölçek,  şekil parametresidir.
Teorem: Eğer X şans değişkeni,  ve  parametreli gama dağılışı gösteriyorsa,
a. E (X )  
b. V ( X )   2
c. M (t )  (1  t ) 
şeklindedir.
İspat: a. Dağılışın beklenen değeri,
EX  

1
  

x e

x

dx
0
y  x  ile tanımlanan değişken dönüşümü uygulanarak, dx  dy ,
E X  

1
  
  y 
 y
e  dy
0



y e y dy
  0

  1
 
 
elde edilir.
b. Gama dağılışının varyansı da benzer şekilde,
4

      x
EX
1
2


 1
e
x

dx
0


  y 
1
  
 1  y
e  dy
0



2
y 1e  y dy
  0
 2  2
 
    1 2
ve
 
V  X   E X 2  E  X 
2
  2
bulunur.
c. Gama dağılışının moment türeten fonksiyonu ise;

E (etX ) 
x

1
etx x 1e  dx

( )  0

1

( )  

x
 1
e
1 
 x   t 
 
dx
0
burada x  y dönüşümü ile, dx  dy ,

1
E (e ) 
y 1e  y (1 t ) dy
( ) 0
tX

burada z  y(1  t ) dönüşümü ile, dy  dz 1  t 
1
E (e ) 

( )1  t 
tX

z
 1  z
e dz
0

 1 

 
 1  t 
olup bu fonksiyon, t  1  için geçerlidir. Sonuç olarak gama dağılımı için,

 1 

M x t   
 1  t 
bulunur.
Teorem: Gama dağılımının orijine göre r-inci momenti,
5
 r 
 r (  r )
( )
eşitliğinden elde edilir.
İspat: Gama dağılışının r-inci momenti,
 
E Xr 

1
  

x r  1e

x

dx
0
y  x  ile tanımlanan değişken dönüşümü uygulanarak, dx  dy ,
 

E Xr 
r
y r  1e y dy
  0
Gama fonksiyonun tanımı gereği sağ tarafın integrali (r   ) olduğuna göre,

 r r   
 
ispat tamamlanmış olur.
Gamma dağılımının kümülatif dağılım fonksiyonu,
F x  
x
1
t  1e t /  dt

 ( ) 0

olup α pozitif tamsayı olduğunda bu integral nümerik metotlarla elde edilir.

 x 1  x  2 1  x 3
1  x   x 
F x   1  1             e
!    
  2!    3!   
x >0
Bu F fonksiyonuna incomplete gamma fonksiyonu denir.
İki parametreli gama dağılımı   1  alınarak poisson dağılımının parametresine göre de
ifade edilebilir, bkz. Kısım E5.3.
5.3 ÜSTEL DAĞILIM
Üstel dağılım yaşam sürelerinin modelleşmesinde kullanılabilir ve kesikli durumlarda
kullanılan geometrik dağılışın benzeridir. Gama dağılışında   1 olması durumunda ortaya
çıkar.
Tanım (Üstel şans değişkeni): Bir X şans değişkeninin olasılık yoğunluğu aşağıdaki tanıma
uyuyorsa üstel dağılış gösterir ve üstel şans değişkeni adını alır.
f ( x;  ) 
1

e x / 
x0
Burada   0 olup ölçek parametresidir.
6
Teorem: Eğer X şans değişkeni üstel dağılış gösteriyorsa beklenen değeri, varyansı ve
moment türeten fonksiyonu şu şekildedir:
a. E  X   
b. V  X    2
c. M x t   1  t 1
İspat: a.Üstel dağılımın beklenen değeri,
E( X ) 
1


 xe
x / 
dx
0
kısmi integrasyonunda x  y alınarak, dx  dy ,


E ( X )   ye  y dy
0
integrali kısmi integral ile çözülebilir, bununla birlikte integral bir gama integrali olup,
2  1 değerini verir ve sonuç olarak
EX   
bulunur.
b. Üstel dağılışın varyansı da benzer şekilde,
1
E( X 2 ) 


x e
2 x / 
dx
0


  2 y 2e  y dy
0
  23
ve
V  X   2 2   2
 2
olarak elde edilir.
c.Üstel dağılımın moment türeten fonksiyonu da,
 
E e xt 
1



e xte

x

dx
0
burada x  y dönüşümü uygulanarak,

  
E e xt  e  y 1t dy
0
7
 1 

 
 1  t 
olup, 1   t için,
M x t  
1
1  t
bulunur.
Üstel dağılımın önemli bir özelliği hafızasızlık özelliğidir.
Teorem: Eğer X şans değişkeni  parametreli üstel dağılıma sahip ise, s  t  0 olmak üzere,
Prx  s / x  t   Prx  s  t 
eşitliği geçerlidir.
İspat: Prx  s / x  t  
Prx  s, x  t 
Prx  t 
burada s  t olduğundan,
Prx  s 
Prx  t 
Prx  s / x  t  
1


1


e
s

e
x / 
dx

x / 
dx
e s / 
 e  s  t  
t / 
e
t
 Prx  s  t 
X bir makine parçasının çalışma ömrü olarak kabul edilsin. Bu parçanın t birim zamanda
bozulmaması şartıyla s birim zamanda bozulmama şartlı olasılığı s  t birim zamanda
bozulmama olasılığına eşittir. Diğer bir deyişle eski çalışan bir parçanın çalışma ömrünün
dağılışı ile yeni çalışan parçanın çalışma ömrünün dağılımı aynıdır.
5.4 BETA DAĞILIMI
1895 yılında Karl Pearson tarafından tanıtılan beta dağılımını açıklamak için bir beta
fonksiyonu tanımlanır ve bu fonksiyon sayesinde beta dağılımı bulunur. Beta fonksiyonu
Eularian integralinin birinci tipidir ve bölüm sonu eklerde Kısım E.5.2’de açıklanmıştır.
Eğer bir süreç Gamma dağılışı gösteren değişkenlerin oranlarını göz önüne alan tipte ise Beta
dağılımı çok yararlı bir dağılıştır. Beta dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu
0,1
aralığında belirlenmiş olduğundan birçok deneysel dağılış Beta dağılışına uyabilir.
Tanım (Beta şans değişkeni): Bir X şans değişkeninin olasılık yoğunluğu aşağıdaki tanıma
uyuyorsa beta dağılışı gösterir ve beta şans değişkeni adını alır.
8
f ( x; ,  ) 
(   )  1
x (1  x)  1
( ).(  )
0  x 1
Burada  ,   1 olup şekil parametreleridir.
Teorem: X şans değişkeni Beta dağılımına sahip ise,
a. E X r  
b. E ( X ) 
c. V ( X ) 
(   ) (  r )
(    r ) ( )

(   )

(   ) 2 (    1)
İspat: a. Bir beta dağılımının r-incı momenti, beta fonksiyonunun özellikleri kullanılarak,
(   )
x r  1 (1  x)  1 dx
( )(  ) 0
1
E( X k ) 


(   ) (r   )(  )
( )(  ) (r     )

(   ) (  r )
(r     ) ( )
bulunur.
b. Eğer r  1 alınır ise
E( X ) 
(   ) (  1)
(    1)!
 (  1)!

(    1) ( )
(   )(    1)! (  1)!


(   )
bulunur.
c. Eğer r  2 alınır ise
E( X 2 ) 

(   ) (  2)
(    1)!
(  1) (  1)!

(    2) ( )
(    1)(   )(    1)!
(  1)!
(  1)
(    1)(   )
ve sonuç olarak varyans,
V (X ) 

(  1)
2

(    1)(   ) (   ) 2

(   ) (    1)
2
bulunur.
9
Bu dağılımın moment türeten fonksiyonu basit bir yapıda olmadığı için kullanışlı değildir.
Beta dağılımının özel durumu: Eğer   1 ve   1 ise Beta dağılımı sürekli üniform dağılımı
tanımlar.
(2) 0
x (1  x)0
(1)(1)
1
f ( x;1;1) 
0  x 1
Beta dağılımı    için 1 2 noktasında simetrik olup ortalaması da 1 2 değerine eşittir.
5.5 NORMAL DAĞILIM
Uygulamalı istatistikte kullanılan tekniklerin çoğu Normal dağılıma dayanmaktadır. Bu
dağılım ilk kez 1733’te Abraham de Moivre (1667–1745), tarafından Binom dağılımı
gösteren değişkenlerin toplamının yakınsadığı bir dağılım olarak keşfedilmiştir. Birçok
bakımdan istatistik kuramının temel taşı sayılan normal dağılış, daha sonra ölçme hatalarının
şaşılacak derecede düzenlilik göstermesini gözlemleyen bilim adamlarınca, Pierre Laplace
(1749–1827) ve Karl Gauss (1777–1855) tarafından incelenmiştir.
Gözlenen dağılımların, normal hata eğrileri adı verilen ve şans kurallarına bağlanan sürekli
eğrilere çok yakın olduğu bulunmuştur. İlk olarak bu tür normal eğrileri tanımlayan
h z   e
1
 z2
2
fonksiyonunun matematiksel özellikleri araştırılmıştır. İlk aşamada integralin mevcut olup
olmadığı ele alınsın,


I
e
1
 z2
2 dz

bu integralin integrandı pozitif sürekli bir fonksiyon olduğundan ve integrali alınabilir bir
fonksiyonla sınırlı olduğu,
0e

için

e
1
 z2
2
 z 1

e
 z 1
0

dz  e
  z 


 z 1
dz  e

 z 1
dz
0
0


0


 e z 1dz  e z 1dz
0

k

 e lim e z dz  e lim e  z dz
t 
t
k 
0
 2e
mevcuttur.
10
Teorem: I integralinin değeri sonlu olup


1
 z2
e 2 dz 
2

değerine eşittir.
İspat: I integralinin kendisi ile çarpımı I 2 ise
 
I 
2
 e

y2 z2
2
dydz
 
bu integralin çözümü için kutupsal koordinatlara dönüşüm y  r cos  ve z  r sin yapılarak
ve jakobian determinantı;
dy
J  dr
dy
d
dz
dr  cos
dz  r sin
d
sin
r cos
 rdrd
hesaplanarak,
2 
I 
2

1
 r2
e 2 rdrd

0 0
bulunur. Bu integralde, u  r 2 2 dönüşümünü yapılarak, du  rdr
2 
I 
2
 e
u
dud
0 0
2

   e  u d
0

0

2

 d
0
 2
ve I  2 elde edilerek ispat tamamlanır.
Tanım (Normal Dağılım): Eğer ortalaması µ ve varyansı σ2 olan bir X şans değişkeninin
olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibiyse bu şans değişkeni Normal dağılım
göstermektedir.
f x;  ,   
2
1
e x   
 2
2 2
  x 
Burada parametreler için sınırlar       , 0     eşitsizlikleri ile tanımlanmıştır. Bu
dağılım X  N  ,  2  ile gösterilir. Normal dağılım aynı zamanda Gauss dağılımı ya da hata
11
(error) dağılımı olarak da bilinir. Öncelikle normal dağılıma ait fonksiyonun oyf olma
koşullarını sağladığı ispatlansın.
Teorem: f x;  ,  bir olasılık yoğunluk fonksiyonudur.
İspat: z  x     ve dx  dz dönüşümü yapılarak,

A

f x;  ,  dx 

1
2
2
2


e
z2 2
dz


e
z2 2
dz
0

ve w  z 2 2 alınarak, z  2 w ve dz  w1 2

2 dw olur ve gama fonksiyonunun özelikleri
kullanılarak,
A

1
w
 
1 2  w
e dw 
1 2
0
1

ispat tamamlanır.
Alternatif bir yaklaşım kutupsal koordinatların kullanılmasıdır,


e
1
 z2
2 dz 
2

olduğu hatırlanarak,
1
2


e
1
 z2
2 dz  1

elde edilir.
Teorem: Eğer X şans değişkeni X  N  ,  2  dağılışı gösteriyorsa;
a. E  X   
b. V  X    2
2 2
c. M x t   et  t  2
İspat: İlk olarak a şıkkı incelenmiştir.
1
EX  
 2

  x   2 2 2
 xe
dx

Değişken değiştirme tekniği ile z  x     ise x  z   ve dx  dz olur,
1
EX  
 2

1
2


 z   e
dz

 ze

z2 2
z2 2
dz  
1
2

e
z2 2
dz

Eşitliğin sağındaki ilk integral Z değişkeninin tek bir fonksiyonudur ve yarı integral sonucu
12


ze  z 2 dz  1  
2
0
sonlu olduğundan integral sonucu sıfıra eşittir. İkinci integral ise ortalaması sıfır varyansı bir
olan standart normal değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu olduğundan integral sonucu
bire eşittir. Sonuç olarak,
EX    .

b. Var  X   E  X   2



 x    e
1
 2


2
 2


2   x   2 2 2
x   2 e x   


2
dx
2 2
2
dx
z  x     dönüşümü ile, dx  dz olur,
V X    2

1
2
z e
2 z2 2
dz



ve w  z 2 2 alınarak, z  2w1 2 ve dz  w1 2
2 dw olur, integral içindeki fonksiyon çift
fonksiyon olduğundan,
V X    2
2
2

1 2  w
2
 2w2w e dw  
0
2


w
1 2 w
e dw
0
ve gama fonksiyonunun özelikleri, 3 2   2 kullanılarak,
V X    2
3
 
 2
2
2
elde edilir.
c. M x t   E etx   et E et  x    
1
e
 2
t
e
t
1
 2


e
t  x   
e
 1
 x   2 

 2 2

dx

 1
 exp  2 x   

2
2



 2 2t x    dx

üstel fonksiyonunun üs kısmı ele alınsın.
x   2  2 2t x     x   2  2 2t x      4t 2   4t 2


2
 x     2t   4t 2
Bu bilgi integralde yerine konulursa,
13
M x t   et e
2 2
t
2
1
 2

 1

 exp  2 x     t  dx
2 2
2

En son elde edilen eşitlikteki integral, ortalaması    2t ve varyansı  2 olan bir Normal
dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonudur. Dolayısıyla bu eğrinin altında kalan alan 1’e
eşittir. Böylece ispat tamamlanır.
Normal dağılımın kümülatif dağılım fonksiyonu,
F x  
1
 2
x
e
 t   2 2 2
dt

integrali ile elde edilir. Eğer z  x     dönüşümü yapılırsa,
1
F x  
 2
 x  
e
t   2 2 2
dt

şeklinde elde edilir.
Yukarıdaki kullanılan z  x     dönüşümü özel bir durumdur ve standart normal şans
değişkeni olarak adlandırılır. Standart normal şans değişkeni ortalaması sıfır, varyansı ise bir
olan dağılıma sahiptir. Bu şans değişkenine ait olasılık fonksiyonu ise
f z  
1 z2 2
e
2
 z 
şeklindedir. Eğer Z  N 0,1 ise standart normal kümülatif dağılım fonksiyonu,
 z  
z
 f t dt

şeklinde elde edilir.
Standart normal olasılık fonksiyonunda
f z   f  z 
eşitliği tüm reel Z değerleri için geçerlidir. Çünkü f z  çift fonksiyonudur. Bir başka deyişle,
standart normal dağılım z  0 etrafında simetriktir. f z  ’nin özel yapısı nedeniyle,
f z    zf z 
ve


f z   z 2  1 f z 
elde edilir. Sonuç olarak f z  , z  0 noktasında eşsiz bir maksimuma ve z  1 noktalarında
ise
büküm
f z    z

noktalarına

sahiptir.
Ayrıca
z  
için
f z   0
ve

2 exp z 2 2  0 ’dır.
14
Aşağıda normal dağılımın örnekleme dağılımları olarak adlandırılan ve istatistik
uygulamalarında ve teorisinde önemli yer tutan Student t, ki-kare  2  ve F Dağılımları
incelenecektir.
5.6 CAUCHY DAĞILIMI
Cauchy dağılımı, istatistik teorileri içerisinde özel bir rol oynar. Tahminler için aşırı bir
durum simgeler. Örneğin gözlemlerin oranlarını hesaplamada alışılmış bir uygulamadır. İlginç
olan bir durum da iki standart normalin bir Cauchy dağılımına sahip olmasıdır.
Cauchy dağılımı simetrik bir dağılımdır ve  ,   aralığında çan biçiminde bir dağılış
gösterir. Cauchy dağılımı normal dağılımdan çok farklı görünmemesine rağmen normal
dağılıma göre büyük farklar içerir. Bunlardan biri Cauchy dağılımının ortalamasının mevcut
olmamasıdır.
Tanım(Cauchy Dağılımı): Bir X şans değişkeninin olasılık yoğunluğu aşağıdaki gibiyse
standart Cauchy dağılımına uyar ve Cauchy şans değişkeni adını alır,
f ( x;  0;  1) 
1
 (1  x 2 )
 x
tek parametreli (yer parametresi) Cauchy olasılık yoğunluk fonksiyonu:
f ( x; ;  1) 
1
1
 1  (x   )2
 x
ve iki parametreli (yer ve ölçek) Cauchy olasılık yoğunluk fonksiyonu:
f ( x; ; ) 
1
2

  x   

 1  



    

 x
olarak tanımlanmıştır.
Cauchy dağılımı  etrafında simetrik olmasına rağmen ortalaması ve daha büyük momentleri
mevcut değildir. Diğer bir deyişle moment türeten fonksiyonu mevcut değildir.
Teorem: X şans değişkeni standart Cauchy dağılımına sahip ise
a. E( X )  belirsiz
b. V ( X )  belirsiz
İspat: a. E  X  

1

x
 (1  x )dx
2

Eğer u  x 2 ise du  2xdx
E( X ) 
1


du
 2u  1

15

1
ln(1  x 2 )
k  2
 Lim

k
k

belirsizliği bulunur.
b. E X  
2
1



x2
dx
   (1  x 2 )
1


1
 1  (1  x )dx
2




1
1
dx 
 dx 
2
  
(1  x ) 



 Lim
k 
1


k
k
x
 Lim
k 

1
ln(1  x 2 )
2

k
k
      
belirsizliği bulunur.
Teorem: f ( x;  0;  1) fonksiyonu bir olasılık yoğunluk fonksiyonudur.

İspat:

f ( x)dx 

1


1
 (1  x )dx
2

 Lim
k 
t  
1
k
1
dx
  (1  x )
2
t
d
1
olduğundan,
arctan x 
dx
1  x2
Burada,

 f ( x)dx  Lim  arctan x
1
k 
t  


k
t
1   

  2 2 
1
bulunur.
Cauchy dağılımında  parametresi dağılımın merkezi ölçümünü tanımlar ve Pr( x   )  0.5
olduğu için dağılımın medyanıdır.
İki standart normal şans değişkeninin oranı Cauchy dağılımına sahiptir.(ispat için bkz… )
5.7 LOGNORMAL DAĞILIM
16
Eğer X logaritması normal dağılım gösteren log X ~ N (  ,  2 ) bir şans değişkeni ise, X şans
değişkeni bir lognormal dağılıma sahiptir. X şans değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu
normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonuna logaritmik dönüşüm uygulanarak elde
edilebilir.
Tanım(lognormal dağılımı): Bir X şans değişkeninin olasılık yoğunluğu aşağıdaki gibiyse
lognormal dağılımına uyar ve lognormal şans değişkeni adını alır,
f x;  ,   
1 1  log x   2
e
 2 x
2 2
0 x
Teorem: Eğer X bir lognormal dağılıma sahip ise,
a. E ( X )  e   (
2
/ 2)
b. V ( X )  e 2(   )  e 2  
2
2
İspat: X şans değişkenlerinin momentleri Y  log X ~ N (  , 2 ) ilişkisi ile normal dağılımdan,
E ( X )  E[e log X ]
 E[ e Y ]
ile bulunabilir. Bununla birlikte X şans değişkeninin momentleri olasılık yoğunluk fonksiyonu
ile de bulunabilinir.

1
a. E ( X ) 
 2

e
1  log x   

2  

2
dx
0
Burada t  Logx     dönüşümü ile dx  et   dt
E( X ) 

1
2

et   e
1
 t2
2 dt


e

2
e

( t 2  2 t )
2
dt


e

2

 t 2  2t  2  2
2
e
dt

e   / 2

2
2

e

t  2
2
dt

Burada t   z dönüşümü ile dt  dz ,

e

z2
2
dt  2

olur. Sonuç olarak,
E( X )  e

2
2
17
bulunur.

1
b. E ( X ) 
 2
 xe
2
1  log x   
 

2 

2
dx

Burada t  Logx     dönüşümü ile dx  et   dt

1
E( X ) 
2
e
2
t  
1
 t2
e 2 et   dt


e2

2
e
2t
1
 t2
e 2 dt


e2

2

 t 2  4t  4 2  4 2
2
e
dt

e 2   2

2

2
e

t  2 2
2
dt

Burada t  2  z dönüşümü ile dt  dz ,
 
E X 2  e 2   2
2
bulunur ve
V ( X )  e 2   2
 e 2 (  
2
2
)
   2
 e 2


 e 2  




2
2
elde edilir.
Lognormal dağılım sağa çarpık bir dağılımdır.
5.8 LAPLACE (ÇİFT ÜSTEL) DAĞILIMI
Bu dağılım birbirinden bağımsız iki üstel dağılışlı şans değişkeninin aralarındaki farkların
dağılımıdır.
Tanım: Bir X şans değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi ise X değişkeni
laplace şans değişkeni adını alır.
1 
f x; ,   
e
2
x 

  x 
Burada       ve   0 ile tanımlanmıştır.
18
Şekil: Laplace Dağılımı
Teorem: Laplace dağılışının ortalaması ve varyansı şu şekildedir.
a. E(X )  
b. V ( X )  2 2
5.9 İKİ DEĞİŞKENLİ NORMAL DAĞILIM
İki değişkenli normal dağılım, çok değişkenli normal dağılımın en basit şeklidir. Çok
değişkenli normal dağılımı açıklamak için matris cebiri kullanmak gerektiğinden sadece iki
değişkenli normal dağılım ana hatlarıyla anlatılacaktır.
Tanım: X1 ve X2 rassal değişken çiftinin ortak olasılık yoğunlukları aşağıdaki gibiyse iki
değişkenli normal dağılıma uyarlar ve ortak normal dağılmış şans değişkenleri olarak
adlandırılırlar.
ve için;
2

 x    2
 x1  1  x2   2   x2   2   
1


1
1

  2 p

  
  
exp 
2
2(1   )   1 
  1   2    2   




f ( x1 , x2 ) 
2
2 1 2 1  
Burada    x1   ,    x2   ,  1  0 ,  2  0 ve  1    1 olup  korelasyon katsayısıdır.
Yukarıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonda   0 konulduğunda, olasılık yoğunlukları f x1 
ve f x2  olan bağımsız X1 ve X2 tesadüfi değişkenlerinin olasılık yoğunluk fonksiyonlarının
çarpımı elde edilir.
Bu ortak dağılımı inceleyebilmek için önce 1 , 2 ,  1 ,  2 parametrelerinin, X1 ve X2 şans
değişkenlerinin, ortalamalarıyla standart sapmaları olduğu gösterilmelidir.
19
Yoğunluk fonksiyonundan hareketle X2’ ye göre integral alınırsa X1’ in marjinal yoğunluğu
elde edilir:
2

 x1  1  
1


exp 
2 
 

 x    2
 2(1   )   1   
 x1  1  x2   2  
1

2
2 




 dx2
f ( x1 ) 
exp 

2

2


2 1 2 1   2
  1   2  
 2(1   )   2 


Gösterimi basitleştirmek için z1 
x1  1
ve z2 
1
x2  2
2
şeklinde değişken dönüşümü
yapıldığında aşağıdaki ifadeye ulaşılır:


1
exp 
z12 
2
 2(1   )  1
f ( z1 ) 
2
2  1 1   2


1
 exp  2(1  

2

( z22  2 z1 z2 )dz 2
)

Aşağıdaki eşitlik kullanılarak;
z22  2 z1 z2  ( z2  z1 ) 2   2 z12
ve terimler toplanarak şu aşamaya gelinir:
 1 
exp  z12  
 2  1
g ( x) 
 1 2  2

2

 
 1  z 2  z1   
exp 
dz 2 
1   2   2  1   2   

 
1


Burada köşeli parantez içindeki ifade   z1 ve  2  1   2 olan normal şans değişkeninin
 , 
aralığındaki integralidir. Dolayısıyla bu ifadeyi 1 ’ e eşitlersek    x   için şunu
buluruz:
 1 
1  x  
exp  z12 
  1 1 
1
2 
2


f ( x1 ) 

e  1 
 1 2
 1 2
Bu ifade görüldüğü gibi; X1’ in marjinal yoğunluğu, ortalaması μ ve standart sapması σ 
olan bir normal dağılıştır. Simetriden dolayı da X2’ in marjinal yoğunluğu, ortalaması μ  ve
standart sapması σ  olan bir normal dağılış olacaktır.
Teorem: X1 ve X2, iki değişkenli normal dağılıma uyuyorsa X1  x1 verilmişken X2’ nin
koşullu yoğunluğu, ortalaması;
 x 2 / x1   2  
2
x   
1 1 1
varyansı

 x22 / x1   22 1   2

20
olan bir normal dağılımdır.
X 2  x2 verilmişken X1’in koşullu yoğunluğu, ortalaması
 x1 / x 2  1  
1
x   2 
2 2
varyansı

 x21 / x2  12 1   2

olan bir normal dağılımdır.
İspat:
z2 
f x2 / x1  
x2  2
2
f x2 , x1 
f x1 
olduğuna göre; ifadeyi basitleştirmek için
z1 
x1  1
1
ve
yazıldığında şu ifade bulunur:

f ( x2 / x1 ) 
2 1 2





1
exp 
z12  2 z1 z 2  z 22 
2
1  2
 2(1   )

1
 1 
exp   z12 
 1 2
 2 
1
1
2  2
1
2  2




1
exp 
 2 z12  2z1 z2  z22 
2
1 
 2(1   )

2
2


 1  z 2  z1  
exp 

2 

1 2
 2  1   


Bu sonuç ilk değişkenlerin cinsinden yazılırsa şu elde edilir:
2
 

 
  x2    2    2 x1  1   
1
 1
1

 
f ( x2 / x1 ) 
exp  
 
2
2
2  2 1  
 2 1 
 2
 
 
 
 
 
Görüldüğü gibi bu ifade; ortalaması  x 2 / x1   2  

2
x    ve varyansı  x22 / x1   22 1   2
1 1 1

olan bir normal yoğunluktur. X 2  x2 verilmişken X1’ in koşullu yoğunluğuna karşılık gelen
bulgular simetri yoluyla bulunabilir.
Teorem: İki şans değişkeni, iki değişkenli normal dağılıma uyuyorlarsa ve   0 ise
bağımsızdırlar.
İspat:   0 için;
 1  x    2  x    2  

2  
f ( x1 , x2 ) 
exp   1 1    2

2 1 2
2   1    2   




1
21
sonucuna ulaşılır ki bunlar f ( x1 ) ve f ( x2 ) olasılık yoğunluk fonksiyonlarıdır. İstendiği
takdirde çarpım bir şekilde parçalanarak da yazılabilir.
Teorem: İki değişkenli normal dağılımın moment türeten fonksiyonu
1


M x1 , x2  exp t11  t2  2  (t12 12  2 t1t2 1 2  t22 22 )
2


şekildedir.
Bu fonksiyondan hareketle X1 ve X2’ nin beklenen değer, varyans ve kovaryansları
bulunabilir. Bunun için yapılması gereken istenen değişkenin t değerine göre türev alıp sıfıra
eşitlemektir.
1
A  t11  t2 2  (t1212  2t1t21 2  t22 22 )
2
olsun.
E( X1) 
E( X 2 ) 
E ( X12 ) 
E ( X 22 ) 
M x1 , x 2 (t1 , t2 )
t1
t1  t2  0
M x1 , x2 (t1 , t 2 )
t 2
t1  t 2  0
 ( 1  t1 12  2 t 2 1 2  0)e A
 (  2  t 2 22  2 t1 1 2  0)e A
 2 M x1 ,x2 (t1 , t2 )
t12
t1  t2  0
 2 M x1 ,x2 (t1 , t2 )
t22
t1  t2  0
t1  t2  0
 1
t1  t 2  0
 (12e A  (1  t1 12  t2 2 ) 2 e A
 2
t1  t2  0
 (22e A  (2  t2 22  t1 1 ) 2 e A
  12  12
t1  t2  0
  22  22
V ( X 1 )  E ( X 12 )  [ E ( X 1 )]2   12  12  12   12
V ( X 2 )  E ( X 22 )  [ E ( X 2 )]2   22   22   22   22
Cov ( X1 , X 2 )  E[( x1  1 )( x2  2 )]  E( X1 X 2 )  12
E ( X1 X 2 ) 
 2 M x1 , x2 (t1 , t2 )
t1t2
t1  t2  0
 1 2  12
yerine koyulduğunda;
Cov ( X1 , X 2 )  1 2  12  12  1 2
elde edilir.
22
BÖLÜM 5 EKLER
E.5.1 TEK VE ÇİFT FONKSİYONLAR
Her hangi bir f x  fonksiyonu,
f  x   f x 
ise çift fonksiyondur,
f  x    f x 
ise tek fonksiyondur.
Eğer f x  çift fonksiyon ise


f x dx 


0
f x dx  f x dx



0

 2 f x dx .

0
Eğer f x  tek fonksiyon ise ve

 f xdx  K   ise,
0

0



0
 f xdx   f xdx   f xdx


0
0
  f x dx  f x dx


0
elde edilir.
E5.2 GAMA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ
Gama dağılış ailesi ele alınmadan önce,
  


0
y 1e  y dy
integrali ile tanımlanan gama fonksiyonu incelenecektir. Eğer   1 ise
1 


0
e  y dy  1
Eğer   1 ise,
    y 1e  y

0
   1


0
y 2 e  y dy
   1  2
Ardışık iterasyon ile;
( )    1!
23
bulunur. Değerlendirilmesi gereken özel durumlardan biri de   1 2 değeridir.
1  1

   1    1  1!
2  2

1
  !
2
1 1
   !
2 2

1   12  y
y e dy
2 0
Burada, y  z 2 2 dönüşümü yapılarak,
1 2
1 1  z 
z2 2
zdz
 !  0   e
2 2  2 
2
1 
  2e  z 2 dz
2 0

1 z2 2
  .
.e
dz
2
0
2
Bu integral standart normal dağılımın yarı alanına eşit olduğundan

1
 ! 
2
2
bulunur. Ayrıca gerekli olan diğer bir bilgi 1 2 ’ dir.
1  
    y 2 e  y dy
2 0
1
Burada y  z 2 2 alındığında,
 1  z
    
2 0  2
2


0



1 2
e  z 2 zdz
2
2e  z 2 dz
2
Burada normal dağılıştan,


e  z 2 dz  2 , olduğu hatırlanarak
2



0
e  z 2 dz  2 2 , ve
2
sonuç olarak,
2
1
   2
 
2
2
bulunur.
E.5.3 BETA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ
(a,b) aralığında tanımlanan
24
f  x   C  x  a  b  x 


  1
  1 .
Bu fonksiyondaki C sabit ve  ,  tamsayı olarak ifade ederiz.  ,  >0 olmak üzere ve (a,b)
tanım aralığını beta dağılımının olasılık yogunluk fonskiyonu olarak tanımlayabileceğimiz
(0,1) aralığı alırsak;
1
B  ,     x 1 1  x 
 1
dx
0
beta fonksiyonunu elde ederiz.
Beta fonksiyonu tanımlamak için iki gama fonksiyonunun çarpımından faydalanılır:




(  1)(   1)  (  x e d x )( y e  y d y )
x
0


0
0

Burada u 
0
x

y  e ( x  y ) d x d y
y.d u
x
dönüşümü uygulanarak x  u. y ve d x 
(1  u ) 2
x y
(1  u )
ve u değişkeninin
sınırları 0  x  1 olacaktır,

1
 u. y   (1u )
y
 y e
(  1)(   1)    
du d y
(1  u ) 
(1  u ) 2
0 0
y
Bu integralde y  v(1  u) dönüşümü ile d y  (1  u )d v ve burada v değişkeninin sınırları
0  v   olacaktır,
1
(  1)(   1) 
 (
0 0
1

u.v(1  u ) 
v(1  u )
) (v(1  u ))  e  v
(1  u )d u d v
(1  u )
(1  u ) 2
 u
  
v v (1  u )  e  v vdu d v
0 0
    1  v   1 

 v
e d v   u (1  u )  d u 
 0
  0



 (    2)
1
u
0

.(1  u )  .du 
(  1).(   1)
(    2)
eşitliğinin solundaki ifade Beta fonksiyonudur:
1
 (  1;   1)   u .(1  u ) .du
0
Gama ve Beta fonksiyonları arasındaki ilişki ise;
25
 ( ;  ) 
( ).(  )
(   )
Yukarıda elde edilen Beta fonksiyonu kullanılarak,
( ).(  )
 x 1 (1  x)  1 dx
(   ) 0
1

(   )
x 1 (1  x)  1.dx
( ).(  ) 0
1
1

eşitliği bulunabilir.
E.5.4 GAMA DAĞILIŞININ POİSSON SÜRECİ İLE İLİŞKİSİ
Bazı durumlarda W şans değişkeni k adet olay ortaya çıkıncaya kadar geçen ölçeği tanımlar.
Eğer  sabit olarak kabul edilse, W’ nun dağılım fonksiyonu,
Gw  PrW  w  1  PrW  w
W uzunluğunda k adet olay ortaya çıkıyorsa, W  w durumu için en fazla k 1 adet olay
ortaya çıkar. Başka bir deyişle 0, w aralığında k 1 adet olay mevcuttur:
P(W  w) 
k 1
 (w)
x
x 0
e  w
X!
ve
G ( w)  1 
k 1

x 1
(w) x
e  w
 e w
X!
olup w şans değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu G' (w)  g (w) ;
  ew (w) x X (w) x 1 ew 
 w


  e
x!
x!
x 1 

k 1

g (w)  
   (w) x ew  (w) x 1 ew 
 w


  e
x
!
(
x

1
)!
x 1 

k 1



 (w)1 ew  (w)1 ew  (w) 2 ew
  e w 


 ...
1!
1!
2!

.. 
 (w)k 3 ew
(k  3)!
  e  w  e  w 


 (w) k  2 ew
(k  2)!

 (w) k  2 ew
(k  2)!

 (w) k 1 ew 
(k  1)!
  e w


 (w) k 1 e  w
(k  1)!
( ) k ( w) k 1 e  w
(k  1)!
Burada k   ve ( )  (  1)! alındığında;
26
g ( w) 
  1 w
w e
( )
bulunur ki bu da gama şans değişkeni için olasılık yoğunluk fonksiyonudur.
E.5.5 ÜSTEL DAĞILIMIN POİSSON SÜRECİ İLE İLİŞKİSİ
İlk olay oluşuncaya kadar geçen rasgele uzunluğun W olduğu kabul edilsin. W uzunluğunun
dağılım fonksiyonu:
Gw  PrW  w  1  PrW  w
İlk olayın ortaya çıkmasının uzunluğu W’nun w uzunluğundan büyük olması, w uzunluğunda
hiç olay oluşmaması anlamına gelir. Başka bir deyişle bu olasılık, Pr 0, w değerine eşittir. Bu
durumda,
G w  1  Pr 0, w  1  e  w
g w    e   w
Üstel dağılım olasılık yoğunluk fonksiyonu elde edilir. Burada  , w ’ ya göre bir sabittir ve
  d dw  1  G  w  
g  w
e w



1  G  w
1  G  w  1  1  e  w 
(2)
ya da
lim
P 1, h 
h0
h

olarak tanımlanır. Güvenilirlik analizinde hata oranı (failure rate) olarak bilinir.
Burada  ile  arasındaki ilişkiye bakılacak olursa 1/ , bir olay meydana gelirken geçen
sürelerin dağılımını gösterir. Yani burada  = 1/ olacaktır.
Şüphesiz pek çok durum için, ekipmanların ya da insanların hata oranı, w ’ dan bağımsız
değildir,  ( w) . Eşitlik (2)’ nin en solundaki basit diferansiyel denklem, x  1  G  w için, ve
G  0  0 sınır koşulu için;
w
ln 1  G  w     t  dt
0
G  w için çözüldüğünde,
 w

G  w  1  exp      t  dt 
 0

W ’ nin o.y.f.,
27
 w

g  w     w  exp      t  dt 
 0

bulunur.
Üstel dağılım koşullar arası bekleme sürelerine de uygulanabilir. Örneğin bekleme kuyruğu
problemlerinde üstel dağılım oldukça kullanışlı olmaktadır. Müşteriye hizmet süresinin
belirsiz olduğu durumlarda bu belirsizlik çoğu zaman yakın bir biçimde üstel dağılım
gösterebilir.
E.5.6 BİNOM DAĞILIMININ NORMAL DAĞILIMA YAKLAŞIMI
X, tesadüfi değişkeni binom dağılım gösteren bir kesikli değişken olsun. X değişkeninin
olasılık fonksiyonu,
 n
 x
f(x)=Pr{X=x}=   p x (1  p) n  x dir. n ve x’in stirling formülünün uygulanmasına imkan
verecek kadar büyük olduğunu varsayalım:
n!= 2 n
n
Pr{X=x}=
1
2 e n
x!= 2 x
,
x
1
2 e x
bu durumda;
n!
p x (1  p) n  x
(n  x)! x!
2 n
=
2 (n  x)
n
=
n
2 (n  x)
n x
n
1
2 e n
1
2 e(n  x) x
1
2
n x
1
2
x
x
1
2
2 x
x
1
2 e x
p x (1  p ) n  x her iki tarafı
nn 1
np(1  p) Pr{X=x}=
2 (n  x)
n x
1
2
x
x
1
2
p
x
n n1 p x 2 1  p n x 2
( ) (
)
nx
2 x
1
=
p x (1  p ) n  x
1
2 (1 
p)
n x
np (1  p ) ile çarpalım.
1
2
1
olarak bulunur.
Burada u=
x  np
np(1  p)
dönüşümü yardımıyla,
x=np+u np(1  p)
n-x=n-np-u np(1  p) elde edilir. Bu değerleri yukarıdaki eşitlikte
yerlerine koyalım ve (1-p)=q olarak yazalım.
npq PrX  x 
n n1
p
(
)
2 np  u npq


q

 nq  u npq 


nq u npq 1 / 2
np u npq 1 / 2 
28
=
1
1
2 (1  u q / np )
np u npq 1 / 2
A= (1  u q / np ) npu
npq 1 / 2
1
x
(1  u p / nq ) nqu
x(1  u p / nq ) nqu
npq 1 / 2
npq 1 / 2
elde edilir.
diyelim.
logA= (np  u npq  1/ 2) log(1  u q / np )  (nq  u npq  1/ 2) log(1  u p / nq )
Burada her iki logaritmik fonksiyonu seriler halinde geliştirirsek, n→∞ olduğu da dikkate
alındığında,
logA=
(np  u npq  1/ 2)(u q / np  u 2 q / 2np  ....) (nq  u npq  1/ 2)(u p / nq  u 2 p / 2nq  ...)
= npu q / np  u 2 q  1/ 2u q / np  nqu p / nq  u 2 p  (1/ nq)u p / nq
= npu q / np  nqu p / nq  u 2 q  u 2 p  u 2 q / 2  u 2 p / 2
=[u2/2](p+q)
=u2/2 elde edilir.
logA=u2/2 ,
npq PrX  x 
=
1
2

e
( x  np ) 2
2 npq
eu
2
1
2
/2
A
x
1

A
bulunur. Şimdi bu değerleri dikkate alarak,
1
2
eu
2
/2
, u=
x  np

1
e
Pr{X=x}=
npq 2
npq
olduğundan,
( x  np ) 2
2 npq
Binom dağılımında μ=np σ2=npq olduğundan,
1 x
 (
1
e 2
Pr{X=x}=f(x)=
2 

)2
olarak elde edilir. Şu halde binom dağılım ortalaması np, varyansı npq olmak üzere bir normal
dağılıma yaklaşır.
n’in büyük olduğu durumda Binom olasılık fonksiyonu aracılığıyla ilgilenilen olasılıkların
hesaplanması oldukça güçleşir. Dolayısıyla binom bir dağılım gösteren X kesikli tesadüfi
29
değişkeni için p=q ise, dağılımın simetrik olduğunu biliyoruz. Şu halde n’in büyük olduğu
durumda p ile q birbirlerine yakın iseler binom dağılımı yaklaşık olarak normal dağılıma
benzeyecektir. Bu durumda X tesadüfi değişkeninin sürekli bir değişken halini aldığını
düşünerek ilgilenilen olasılıkların hesaplanmasında normal dağılımdan yararlanırız.
30