ünite 1. ünite 1. ünite 1. ünite 1. ünit

SAYMA ve OLASILIK
. ÜNİTE
1. ÜNİTE
1. ÜNİTE
1. ÜNİTE
Sıralama ve Seçme
1.
Kazanım
: Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar.
2.
Kazanım
: Sınırsız sayıda tekrarlayan nesnelerin dizilişlerini (permütasyonlarını) örneklerle
açıklar.
3.
Kazanım
: n elemanlı bir kümenin r tane elemanının kaç farklı şekilde seçilip sıralanabileceğini
hesaplar.
4.
Kazanım
: n elemanlı bir kümenin r tane elemanının kaç farklı şekilde seçilebileceğini hesaplar.
5.
Kazanım
: Pascal özdeşliğini gösterir ve Pascal üçgenini oluşturur.
6.
Kazanım
: Binom teoremini açıklar ve açılımdaki katsayıları Pascal üçgeni ile ilişkilendirir.
Koşullu Olasılık
1.
Kazanım
: Koşullu olasılığı örneklerle açıklar.
2.
Kazanım
: Bağımlı ve bağımsız olayları örneklerle açıklar; gerçekleşme olasılıklarını hesaplar.
3.
Kazanım
: Bileşik olayların olasılıklarını hesaplar.
1. ÜNİT
SAYMA KURALLARI
Bire Bir Eşleme Yoluyla Sayma
Bir kümenin eleman sayısını, sayma sayıları kümesinin yani N+ = {1, 2, 3, .....} kümesinin elemanları ile bire bir
eşleyerek bulmaya bire bir eşleme yoluyla sayma denir.
Örneğin; bir sınıftaki öğrenci sayısını veya bir kitaptaki yaprakların sayısını bu yolla bulabiliriz.
Toplama Yoluyla Sayma
A ve B ayrık ve sonlu iki küme olmak üzere, A ve B kümelerinin toplam kaç elemanı olduğunu,
s(A ∪ B) = s(A) + s(B) , ( A ∩ B = ∅ ) şeklinde toplama yaparak buluruz.
Örneğin; bir sınıfta 12 kız, 15 erkek öğrenci varsa, toplam kaç öğrenci olduğunu bulmak için öğrencilerin hepsini
saymaya gerek yoktur. Kısaca, sınıfta 12 +15 = 27 öğrenci vardır diyebiliriz. Bu yolla yapılan sayma işlemine
toplama yoluyla sayma denir.
Çarpma Yoluyla Sayma
İkişer ikişer ayrık ve her biri a elemanlı b tane kümenin birleşiminin eleman sayısı a.b dir. Birleşim kümesinin
eleman sayısını bu şekilde bulma işlemine çarpma yoluyla sayma denir.
Örneğin; bir okulda 10 sınıf ve her sınıfta 30 öğrenci varsa, bu okulda 10.30 = 300 öğrenci vardır.
Saymanın Temel İlkesi
Bir olaylar dizisinde birinci olay n1 değişik biçimde, bunu izleyen ikinci olay n2 değişik biçimde ve bu şekilde
işleme devam edildiğinde r. olay nr farklı biçimde oluşuyorsa, olayın tamamı n1.n2. ... nr çarpımı kadar değişik
biçimde oluşur.
Örneğin, 3 farklı gömleği, 2 farklı kravatı olan bir kişi, bir gömlek ve bir kravatı 3.2 = 6 farklı biçimde giyebilir.
Bu durumu ağaç diyagramı adı verilen yandaki
yöntemle de bulabilirdik.
g1
Gömlekler: g1, g2, g3 , Kravatlar: k1, k2, k3
k1
olmak üzere biçiminde 6 farklı durum vardır.
g2
k2
k1
g3
k2
k1
k2
Burada, G = {g1, g2, g3}, K = {k1, k2} olmak üzere, 1 gömlek ve 1 kravattan oluşan gömlek - kravat ikilisinin
seçileceği kartezyen çarpım kümesi ise G x K = {(g1, k1), (g1, k2), (g2, k1), (g2, k2), (g3, k1), (g3, k2)} dir.
G x K kümesi 3.2 = 6 tane ikiliden oluşmaktadır. Yani, 3 gömlek ve 2 kravatı olan bir kişinin, bir gömlek ve bir
kravatı 6 farklı biçimde giyebileceğini bu yolla da bulabiliriz.
ÖRNEK 1
ÖRNEK 2
4 erkek ve 2 kadın arasından 1 erkek ve 1 kadın kaç
3 mektup 5 posta kutusuna kaç değişik şekilde atı-
değişik şekilde seçilebilir?
labilir?
Çözüm
Çözüm
10
Sayma ve Olasılık
Çözüm
ÖRNEK 3
Bir kutuya en çok bir mektup atmak koşulu ile 3 mektup 5 posta kutusuna kaç değişik şekilde atılabilir?
Çözüm
ÖRNEK 4
Birbirinden farklı 3 matematik, 4 fizik ve 2 kimya kitabı
arasından 1 matematik, 1 fizik ve 1 kimya kitabı kaç
farklı şekilde seçilebilir?
ÖRNEK 5
5 kişilik bir komisyondan bir başkan, 1 başkan yar-
ESEN YAYINLARI
Çözüm
dımcısı ve bir sekreter kaç farklı şekilde seçilebilir?
Çözüm
ÖRNEK 6
{ 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanlarını kullanarak;
a.
Üç basamaklı kaç sayı yazılabilir?
b.
Rakamları farklı üç basamaklı kaç sayı yazılabilir?
c.
Üç basamaklı kaç çift sayı yazılabilir?
d.
Üç basamaklı ve rakamları farklı kaç tek sayı
yazılabilir?
11
Sayma ve Olasılık
ÖRNEK 7
{ 0, 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanlarını kullanarak;
a.
Üç basamaklı kaç sayı yazılabilir?
b.
Rakamları farklı üç basamaklı kaç sayı yazılabilir?
c.
Üç basamaklı kaç çift sayı yazılabilir?
d.
Üç basamaklı ve rakamları farklı kaç çift sayı
yazılabilir?
e.
5 ile bölünebilen üç basamaklı kaç farklı sayı
yazılabilir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
12
Sayma ve Olasılık
ÖRNEK 8
ÖRNEK 10
{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin elemanları ile 4000 den
İ, S, T, A, N, B, U, L
büyük, rakamları farklı dört basamaklı kaç farklı sayı
harflerini bir kez kullanmak şartıyla 4 harfli anlamlı ya
yazılabilir?
da anlamsız kelimeler yazılacaktır.
Çözüm
Bu kelimelerin kaç tanesinde A harfi vardır?
ÖRNEK 9
{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin elemanları ile 300 den
büyük 500 den küçük, rakamları farklı kaç çift sayı
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 11
5 kişinin katıldığı bir yarışta ilk üç derece kaç farklı
biçimde oluşabilir?
Çözüm
yazılabilir?
Çözüm
ÖRNEK 12
3 farklı oyuncak 6 çocuğa kaç değişik biçimde dağıtılabilir?
Çözüm
13
Sayma ve Olasılık
ÖRNEK 13
ÖRNEK 15
3 farklı oyuncak 6 çocuğa, bir çocuğa birden fazla
{ 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanlarını kullanarak
oyuncak vermemek koşulu ile kaç değişik biçimde
yazılan, rakamları birbirinden farklı olan tüm beş ba-
dağıtılabilir?
samaklı sayılar küçükten büyüğe doğru sıralanıyor.
Buna göre, 50. sırada hangi sayı vardır?
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 14
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 16
{ 0, 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanlarını kullanarak
yazılan, rakamları birbirinden farklı olan tüm dört
basamaklı sayılar küçükten büyüğe doğru sıralanıyor.
Buna göre, 3214 sayısı kaçıncı sırada yer alır?
{ 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanları ile en az iki rakamı birbirinin aynı olan, üç basamaklı kaç farklı sayı
yazılabilir?
Çözüm
14
Çözüm
Sayma ve Olasılık
ÖRNEK 17
ÖRNEK 18
A
B
Bir toplantıda herkes birbiri ile tokalaşmıştır. Toplam
C
45 tokalaşma olduğuna göre, toplantıda kaç kişi
Şekildeki çizgiler A, B ve C kentleri arasındaki yolları
göstermektedir. Buna göre, A kentinden hareket edip
vardır?
Çözüm
C kentine gidecek olan bir kimse kaç değişik yol izleyebilir?
Çözüm
FAKTÖRİYEL (ÇARPANSAL)
n ∈ N+ olmak üzere, 1 den n ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n faktöriyel (çarpansal) denir ve n! ile
gösterilir. Buna göre, n! = 1.2.3. ......... (n – 1).n olur.
1! = 1 , 2! = 1.2 = 2 , 3! = 1.2.3 = 6 , 4! = 1.2.3.4 = 24 , 5! = 1.2.3.4.5 = 120 , ... , n! = 1.2.3..............n
® n! = (n – 1)!.n
® n! = (n – 2)!.(n – 1).n
ÖRNEK 19
ÖRNEK 20
Aşağıdaki ifadeleri sadeleştiriniz.
a.
10!
8!
Çözüm
® 0! = 1
b.
8! + 9!
10!
c.
(n + 1 ) !
(n – 1) !
0! + 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + ………+19!
d.
5! + 6!
5! – 4!
sayısının birler basamağındaki rakamı kaçtır?
Çözüm
15
Sayma ve Olasılık
ÖRNEK 21
ÖRNEK 24
20! sayısı 19! sayısından kaç fazladır?
78! – 1 sayısının sonunda kaç tane 9 rakamı vardır?
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 22
85! sayısının sondan kaç basamağı 0 (sıfır) dır?
Çözüm
ÖRNEK 25
A ve n doğal sayılar olmak üzere, 26! = 6n.A eşitliESEN YAYINLARI
ğini sağlayan n değeri en çok kaç olabilir?
Çözüm
ÖRNEK 23
23! + 24! toplamının sondan kaç basamağı sıfırdır?
Çözüm
ÖRNEK 26
x ve y birer doğal sayıdır.
x! = 6. y! ise y kaç farklı değer alabilir?
Çözüm
16
ALIŞTIRMALAR -
1.
2 mektup 4 posta kutusuna kaç farklı şekilde
1
6.
2 kişi 6 farklı şehire kaç farklı şekilde gidebilir?
7.
Herkesin birbirine bir fotoğraf verdiği bir topluluk-
atılabilir?
2.
Bir kutuya en çok 1 mektup atmak koşuluyla 2
ta dağıtılan fotoğraf sayısı 56 olduğuna göre bu
mektup 4 posta kutusuna kaç değişik biçimde
toplulukta kaç kişi vardır?
atılabilir?
3.
20 kişilik bir sınıftan bir başkan, bir başkan yardımcısı kaç farklı şekilde seçilebilir?
4.
ESEN YAYINLARI
8.
A kentinden B kentine 3 farklı yol, B kentinden C
kentine 4 farklı yol vardır. B ye uğramak koşuluyla A dan C ye
a.
Kaç türlü gidilebilir?
b.
Kaç türlü gidilip gelinebilir?
10 kişilik bir arkadaş grubunda herkes birbiri ile
tokalaşmıştır. Kaç tokalaşma olmuştur?
c.
Giderken kullanılan yolu dönerken kullanmamak koşuluyla kaç türlü gidilip gelinebilir?
9.
5.
Birbirinden farklı 4 Geometri, 5 Matematik ve x
Beş soruluk bir test sınavında her soru için 5
Türkçe kitabı arasından, 1 Geometri, 1 Matematik
seçenek vardır. Bu sınav için kaç farklı cevap
ve 1 Türkçe kitabı 60 farklı şekilde seçilebildiğine
anahtarı hesaplanabilir?
göre x kaçtır?
17
Sayma ve Olasılık
10. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } olmak üzere A kümesinin
12. Aşağıdakilerden doğru olanlar için boş kutulara
elemanlarını kullanmak koşuluyla aşağıdakiler-
“D” yanlış olanlar için “Y” yazınız.
den doğru olanlar için boş kutulara “D” yanlış
G, İ, Z, E, M harflerini bir kez kullanarak
olanlar için “Y” yazınız.
4 harfli, 120 tane sözcük yazılabilir?
Üç basamaklı 216 sayı yazılabilir.
A, Y, B, E, N, İ, Z harflerini bir kez kulla-
Rakamları farklı üç basamaklı 120 sayı
narak 5 harfli 840 tane sözcük yazılabilir?
yazılabilir.
Ü, Ç, G, E, N harflerini bir kez kullanarak
Rakamları farklı, üç basamaklı 60 çift sayı
yazılabilecek 4 harfli sözcüklerin 98 tane-
yazılabilir.
sinde E harfi vardır?
Rakamları farklı ve 400 den büyük 60
sayı yazılabilir.
En az iki rakamı aynı olan 96 sayı yazıla-
13. Aşağıdaki işlemlerin sonucunu bulunuz.
bilir.
a.
11. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin elemanlarını
kullanarak
a.
Üç basamaklı kaç sayı yazılabilir?
b. Rakamları farklı üç basamaklı kaç sayı yazı-
ESEN YAYINLARI
Üç rakamı aynı olan 6 sayı yazılabilir.
12!
10!
b.
6! + 7!
8!
14. Aşağıdakilerden doğru olanlar için boş kutulara
“D” yanlış olanlar için “Y” yazınız.
0! = 0 dır.
1! = 1 dir.
labilir?
10! sayısı 8! sayısının 90 katıdır.
c.
Rakamları farklı 5 ile bölünebilen üç basa-
(n + 2)! = (n – 2)!.(n – 1)n(n + 1) dir.
maklı kaç sayı yazılabilir?
6!.7! = 10! dir.
d. Rakamları farklı üç basamaklı 300 den büyük
kaç sayı yazılabilir?
e.
Rakamları farklı 500 den küçük 200 den
büyük kaç sayı yazılabilir?
18
(2n) !
= 2 dir.
n!
15. 10! sayısı 8! sayısından kaç fazladır?
Sayma ve Olasılık
PERMÜTASYON (SIRALAMA)
Permütasyonların Sayısı
A sonlu bir küme olmak üzere, A dan A ya tanımlanan
n, r ∈ N+ ve r ≤ n olmak üzere, n elemanlı bir küme-
bire bir ve örten her fonksiyona, A nın bir permütas-
nin birbirinden farklı r tane elemanından oluşmuş sı-
yon fonksiyonu ya da kısaca permütasyonu denir.
ralı r lilerin her birine n nin r li permütasyonu denir.
A = { 1, 2, 3 } olsun.
n elemanlı bir kümenin r li permütasyonlarının sayısı,
A
f
P (n, r) =
A
1
1
2
2
r = n ise n elemanlı bir kümenin permütasyonlarının
3
3
sayısı, P(n, n) = n! olacaktır.
Yukarıdaki şema ile tanımlanan bire bir ve örten f
ÖRNEK 28
fonksiyonu bir permütasyon fonksiyonudur.
A = { a, b, c } kümesinin ikili permütasyonlarının sa-
f fonksiyonunu,
yısını bulunuz.
1 2 3
f = { (1, 2) , (2, 1) , (3, 3) } veya f = c
m
2 1 3
biçiminde gösterebiliriz.
A = { 1, 2, 3 } kümesinde tanımlanan tüm permütasyon fonksiyonlarını gösteriniz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 27
Çözüm
n!
olur.
(n – r) !
ÖRNEK 29
Bir A kümesinin üçlü permütasyonlarının sayısı 60
ise s(A) kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 30
P(n, 1) = P(8, 2) ise n kaçtır?
Çözüm
19
Sayma ve Olasılık
ÖRNEK 31
ÖRNEK 34
A = { a, b, c, d, e, f } kümesinin 3 lü permütasyonları-
Birbirinden farklı 3 matematik, 2 fizik ve 1 kimya kitabı
nın kaç tanesinde a bulunur?
bir rafa kaç farklı şekilde sıralanabilir?
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 35
Birbirinden farklı 3 matematik ve 4 tarih kitabı bir
rafa, matematikler bir arada olmak koşulu ile kaç türlü
sıralanabilir?
ÖRNEK 32
5 kişi, 3 kişilik bir banka kaç farklı şekilde oturabilir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 36
5 farklı matematik, 4 farklı fizik ve 3 farklı kimya kitabı
bir rafa aynı tür kitaplar bir arada bulunmak koşuluyla
kaç değişik biçimde sıralanabilir?
Çözüm
ÖRNEK 33
5 kişi, 5 kişilik banka kaç değişik şekilde oturabilir?
Çözüm
20
Sayma ve Olasılık
ÖRNEK 37
ÖRNEK 39
Ayşe ve Fatma’nın da aralarında bulunduğu 6 kişi,
4 erkek ve 3 bayan, bir erkek – bir bayan düzeninde
Ayşe ile Fatma art arda gelmemek şartıyla bir kuy-
yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilirler?
rukta kaç farklı şekilde dizilebilirler?
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 40
A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin üçlü permütasyonlarının
kaç tanesinde rakamlar küçükten büyüğe doğru
sıralanır?
ÖRNEK 38
ESEN YAYINLARI
Çözüm
6 kız ve 3 erkek öğrenci, erkeklerden herhangi ikisi
yan yana gelmemek şartı ile bir sırada kaç farklı
şekilde dizilerek fotoğraf çektirebilirler?
Çözüm
ÖRNEK 41
“DÜNYA” kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek
yazılabilecek 5 harfli anlamlı ya da anlamsız kelimelerin kaç tanesinde “Ü” harfi “A” harfinin sağındadır?
Çözüm
21
ALIŞTIRMALAR -
1.
5.
A = {1, 2, 3, 4 } kümesinin üçlü permütasyonlarının herbirini yazınız.
Aşağıdaki eşitliklerin her birinde n değerlerini
bulunuz.
a.
2.
P (5, n) 2
=
P (6, n) 3
A = {a, b, c, d, e } kümesinin dörtlü permütasyonlarının kaç tanesinde a bulunur?
3.
2
b. P(n + 1, 2) = 2.P(n, 2)
Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş ku-
c. P(n, 5) = 5.P(n – 1, 3)
tulara “D” yanlış olanlar için “Y” yazınız.
Üçlü permütasyonlarının sayısı 24 olan
küme 4 elemanlıdır.
İkili permütasyonlarının sayısı 20 olan
küme 5 elemanlıdır.
ESEN YAYINLARI
d. P(n, 0) + P(n, 1) + P(n, 2) = 10
P(n, 0) = 120 ise n = 4 tür.
P(4, 2) + P(3, 2) = 18 dir.
6.
4 kişilik bir banka 120 farklı şekilde oturabilen bir
grupta kaç kişi vardır?
4.
Aşağıda sol sütunda verilen ifadelerin eşitini sağ
sütundan bulup eşleştiriniz.
P(n, 0)
n2 – n
P(n, 1)
n
P(n, 2)
n!
P(n, n)
1
22
7.
5 erkek ve 5 bayan, bir erkek - bir bayan düzeninde yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilir?
Sayma ve Olasılık
8.
11. Aybars ile Ecem’in de aralarında bulunduğu 7
Birbirinden farklı 4 Matematik, 3 Fizik ve 2 Türkçe
kitabı bir kütüphanenin rafına,
kişi, Aybars ile Ecem yan yana gelmemek koşuluyla bir sıra halinde kaç farklı şekilde sıralanabi-
a.
lirler?
Kaç farklı şekilde sıralanabilir?
b. Matematikler bir arada olmak üzere kaç türlü
sıralanabilir?
12. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin üçlü permütasyonlarının kaç tanesinde en az bir tek rakam
bulunur?
c.
Türkçelerin biri başta, diğeri sonda olacak
şekilde kaç türlü sıralanabilir?
üzere kaç türlü sıralanabilir?
9.
5 erkek ve 4 bayan, bir erkek - bir bayan düzeninde yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilir?
13. A = {a, b, c, ç, d, e} kümesinin dörtlü permüESEN YAYINLARI
d. Belli iki Matematik kitabı bir arada olmak
tasyonlarının kaç tanesinde alfabetik sıralama
vardır?
14. Üçü aynı boyda olan 5 kişi yan yana ve boy
sırasına göre (kısadan uzuna doğru) kaç farklı
şekilde sıralanabilirler?
10. Bir grup arkadaş, yan yana bulunan iki koltuğa 30
farklı şekilde oturabiliyorsa, yan yana bulunan 4
koltuğa kaç farklı şekilde oturabilirler?
15. A = {2, 3, 5, 7, 11} kümesinin dörtlü permütasyonlarının kaç tanesinde sayılar küçükten büyüğe doğru sıralanır?
23
Sayma ve Olasılık
KOMBİNASYON (SEÇME)
r, n ∈ N ve r ≤ n olmak üzere, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li
kombinasyonu denir ve n elemanlı bir kümenin r li kombinasyonlarının sayısı
n
n!
C (n, r) = c m =
biçiminde ifade edilir.
(n – r) !.r!
r
®
n
n
c m=c
m
r
n–r
® P(n, r) = C(n, r).r!
®
n
n
® c m=c m= 1
n
0
® c
n
n
m=c m= n
n–1
1
® c
n
n
n+1
m+c m = d
n
r –1
r
r
n
n
® c m = d n ⇒ x = y veya x + y = n dir.
x
y
n
n
n
n
® c m + c m + c m + … + c m = 2n
0
1
2
n
Kombinasyonda sıranın önemi yoktur. n elemanın r li seçimleri söz konusudur.
Permütasyonda ise sıralı diziliş vardır.
ÖRNEK 42
ÖRNEK 43
c
A = { a, b, c } kümesinin 2 elemanlı kombinasyonları
ile 2 elemanlı permütasyonlarını karşılaştırınız.
n
n
m = 2. c m olduğuna göre, n kaçtır?
n–1
2
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
24
ÖRNEK 44
n
n
c m = c m ise n kaçtır?
5
7
Çözüm:
Sayma ve Olasılık
ÖRNEK 45
ÖRNEK 48
6
6
d n=d
n ise n nin alabileceği değerlerin toplamı
2
n+1
A = {1, 2, 3, 4} kümesinin 2 elemanlı kaç tane alt
kümesi vardır?
kaçtır?
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 46
6
6
7
8
9
d n + d n + d n + d n + d n toplamının sonucu kaçtır?
2
3
4
5
6
Çözüm
ÖRNEK 49
9 elemanlı bir kümenin en çok 7 elemanlı alt küme
ESEN YAYINLARI
sayısı kaçtır?
ÖRNEK 47
n
n
n+1
19
c m+c m+d
n = d n ise n + r kaç olabilir?
5
6
7
r
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 50
7 elemanlı bir kümenin en az 2 elemanlı alt küme
sayısı kaçtır?
Çözüm
25
Sayma ve Olasılık
ÖRNEK 51
ÖRNEK 54
8 kişilik bir sporcu grubundan, 5 kişilik bir basketbol
Bir öğrenciden 8 soruluk bir sınavda 5 soruyu cevap-
takımı, kaç farklı şekilde oluşturulabilir?
laması isteniyor. İlk 3 sorudan en az ikisinin cevaplanması zorunluluğu olduğuna göre, bu öğrenci bu
Çözüm
soruları kaç farklı biçimde cevaplayabilir?
Çözüm
ÖRNEK 52
7 soruluk bir sınavda öğrencilerden 5 soruyu cevaplamaları istenmiştir.
ÖRNEK 55
Bu sınava giren bir öğrenci bu seçimi kaç farklı şekilA = {3, 5, 7} ve B = {2, 4, 6, 8} kümeleri veriliyor.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
de yapabilir?
Bu kümelerden seçilen 2 tek ve 3 çift rakam ile 5 basamaklı rakamları farklı kaç sayı yazılabilir?
Çözüm
ÖRNEK 53
Bir öğrencinin seçmesi gereken 7 seçmeli dersin
3 ü aynı gün ve aynı saatte okutulmaktadır. 4 ders
seçmek isteyen bu öğrencinin kaç değişik seçeneği
vardır?
Çözüm
ÖRNEK 56
5 erkek, 4 kız arasından 3 kişilik bir grup oluşturulacaktır. Grupta en az 2 erkek olması koşulu varsa, bu
grup kaç farklı şekilde oluşturulabilir?
Çözüm
26
Sayma ve Olasılık
ÖRNEK 57
ÖRNEK 60
15 kişilik bir sporcu grubundan takıma girecek 3 kişi
4 ü subay, 6 sı er olan bir gruptan 3 kişilik bir ekip
bellidir. Buna göre, bu gruptan 11 kişilik futbol takımı
oluşturulacaktır. Ekipte en çok 2 er bulunması istenir-
kaç değişik biçimde seçilebilir?
se, bu seçim kaç farklı biçimde yapılabilir?
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 58
6 sı doktor, 6 sı hemşire olan bir gruptan 4 kişilik bir
sağlık ekibi oluşturulacaktır. Ekipte en az bir doktor
Çözüm
ESEN YAYINLARI
bulunması istenirse, bu seçim kaç farklı biçimde
yapılabilir?
ÖRNEK 61
10 kız öğrenci ve 8 erkek öğrenci arasından 2 kız öğrenci ve 2 erkek öğrenci kaç farklı şekilde seçilebilir?
Çözüm
ÖRNEK 59
Bir otelde 3 yataklı bir oda ve 2 yataklı üç oda boştur.
9 kişi bu odalara kaç farklı biçimde yerleştirilebilir?
Çözüm
27
Sayma ve Olasılık
ÖRNEK 62
ÖRNEK 65
10 kişiden 6 sı Urfa’ya ve 4 kişi Çorum’a gidecektir.
Anne, baba ve 4 çocuktan oluşan bir ailenin elinde 3
Bu iki grup kaç farklı biçimde oluşturulabilir?
kişilik bir davetiye vardır. Anne veya babadan en az
birisinin davete katılması gerektiğine göre, bu davete
Çözüm
3 kişi kaç farklı şekilde katılabilirler?
Çözüm
ÖRNEK 63
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları ile
a < b < c olmak üzere kaç farklı abc üç basamaklı
sayısı yazılabilir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 66
5 farklı oyuncağın 3 ü Özge’ye, 2 si Özlem’e kaç farklı
şekilde dağıtılabilir?
Çözüm
ÖRNEK 64
a, b, c, d birer rakam olmak üzere, a < b < c < d
koşulunu sağlayan kaç farklı abcd dört basamaklı
sayısı yazılabilir?
Çözüm
ÖRNEK 67
Herhangi üçü doğrusal olmayan 6 noktanın ikisinden
geçen en fazla kaç doğru çizilebilir?
Çözüm
28
Sayma ve Olasılık
ÖRNEK 68
ÖRNEK 71
A
Herhangi üçü doğrusal olmayan 7 farklı noktadan,
B
C
d1
köşeleri bu noktalar olan kaç farklı üçgen çizilebilir?
Çözüm
D
E
F
d2
G
Yukarıdaki şekilde d1 // d2 olmak üzere, köşeleri bu
7 noktadan herhangi üçü olan kaç üçgen çizilebilir?
Çözüm
ÖRNEK 69
Aynı düzlemde bulunan 10 farklı doğru en fazla kaç
noktada kesişebilir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 70
A, B, C, D, E, F, G, H noktaları aynı düzlemde olup
herhangi üçü doğrusal değildir.
ÖRNEK 72
Köşeleri bu noktalar olan üçgenlerden kaç tanesinin
C
bir köşesi A noktasıdır?
Çözüm
d1
B
D
A
E
F
G
d2
Yukarıdaki şekilde A noktasında kesişen iki doğru
üzerindeki bazı noktalar verilmiştir. Köşeleri bu 7 noktadan herhangi üçü olan kaç tane üçgen çizilebilir?
29
Sayma ve Olasılık
Çözüm
ÖRNEK 75
6 farklı çemberin kesişmesi ile en çok kaç tane kesişim noktası oluşur?
Çözüm
ÖRNEK 73
Düzlemde verilen 8 noktadan 4 tanesi doğrusaldır.
Köşeleri bu noktalar olan en çok kaç tane üçgen
çizilebilir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 76
E
F
A
B
C
G
d
D
ÖRNEK 74
Birbirine paralel olan 4 doğru ile birbirine paralel olan
Yukarıdaki şekilde verilen A, B, C, D, E, F, G nok-
5 doğru kesiştirilirse oluşan şekilde kaç tane paralel-
talarının herhangi ikisinden geçen kaç farklı doğru
kenar vardır?
çizilebilir?
Çözüm
Çözüm
30
Sayma ve Olasılık
ÖRNEK 77
ÖRNEK 79
A
Bir çember üzerindeki 8 noktayı birleştirerek köşeleri
bu noktalar olan kaç tane üçgen çizilebilir?
Çözüm
D
B
E
F
G
H
C
Yukarıdaki şekilde kaç tane üçgen vardır?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 78
A
F
H
E
B
D
G
C
Köşeleri şekildeki noktalar olan kaç farklı üçgen çizilebilir?
Çözüm
ÖRNEK 80
5 farklı dikdörtgenin herhangi iki kenarının veya kenarlarının bir parçasının çakışmadan kesiştirilmesiyle
en çok kaç kesişim noktası oluşur?
31
Sayma ve Olasılık
Çözüm
ÖRNEK 82
A
L
F
M
D
B
N
E
K
C
Şekilde kaç tane dörtgen vardır?
Çözüm
ÖRNEK 81
rının bir parçasının çakışmadan kesiştirilmesiyle en
çok kaç kesişim noktası oluşur?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
4 farklı üçgenin herhangi iki kenarının veya kenarla-
ÖRNEK 83
C
Yandaki şekilde, bir hareketli
A noktasından sağ veya
B
yukarı yönde ilerleyerek B
noktasından
geçmemek
koşulu ile çizgiler üzerinden
A
C noktasına kaç farklı şekilde gider?
Çözüm
32
ALIŞTIRMALAR -
1.
4.
Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş ku-
3
Aşağıdaki ifadelerin her birinin eşitini bulunuz.
tulara “D” yanlış olanlar için “Y” yazınız.
8
8
8
8
8
8
a. d n + d n + d n + d n + d n + d n
2
3
4
5
6
7
C(n, 0) = 1
C(n, n) = n
9
9
9
b. d n + d n + …… + d n
1
2
9
C(n, 1) = n
C(n, n–1) = 1
4
4
5
6
7
c. d n + d n + d n + d n + d n
1
2
3
4
5
C(n, r) + C(n, r+1) = C(n+1, r+1)
P(n, r) = r!.C(n, r)
5.
A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin
2.
Aşağıdaki eşitliklerin her birinde n değerlerini
bulunuz.
a. C(2n, 1) = 2.C(n, 2)
ESEN YAYINLARI
a.
3 elemanlı kaç alt kümesi vardır?
b. En az 3 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır?
c.
b. P(n, 2) = 2.C(n, 3)
En çok 3 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır?
c. P(n, 2) + C(n, 2) = 30
6.
Herhangi üçü doğrusal olmayan 6 noktanın;
a.
3.
İkisinden geçen kaç tane doğru çizilebilir?
Aşağıdaki eşitliklerin her birinde n değerlerini
bulunuz.
n
n
a. c m = c m
2
5
b. d
2n + 1
2n + 1
n=d
n
n–1
4
b. Köşeleri bu noktalar olan kaç tane üçgen
çizilebilir?
c.
Köşeleri bu noktalar olan kaç tane çokgen
çizilebilir?
33
Sayma ve Olasılık
7.
10 kişilik bir sporcu grubundan 5 kişilik bir basket-
10. Bir sınavda sorulan 10 sorunun ilk dördünden en
bol takımı oluşturulacaktır. Takıma girecek olan 2
az üçünü cevaplandırmak koşuluyla 7 soru kaç
kişi biliniyorsa kaç farklı takım oluşturulabilir?
değişik biçimde seçilebilir?
11. A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin 4 elemanlı alt
8.
6 kız ve 4 erkek öğrencinin bulunduğu bir gruptan
kümelerinin kaç tanesinde,
a.
a.
4 kişilik kaç ekip oluşturulabilir?
3 bulunur?
b. 2 bulunmaz?
b. 3 kız, 1 erkekten oluşan 4 kişilik kaç ekip
oluşturulabilir?
c.
En az 3 ü kız olan 4 kişilik kaç ekip oluşturulabilir?
ESEN YAYINLARI
c.
2 ve 3 bulunur?
d. 2 veya 3 bulunmaz?
d. En çok 3 ü erkek olan 4 kişilik kaç ekip oluşturulabilir?
12. 5 elemanlı alt kümeleri sayısı 4 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit olan kümenin 2 elemanlı
kaç tane alt kümesi vardır?
9.
B
A
K
C
F
D
E
Bir çember üzerindeki 7 farklı noktadan çizilebilecek üçgenlerden kaç tanesinin bir köşesi A dır?
34
13. A = { 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları ile,
a < b < c olmak üzere kaç farklı abc üç basamaklı sayısı yazılabilir?
Sayma ve Olasılık
14. Aynı düzlemde bulunan 8 doğru en fazla kaç
17. 4 farklı çemberin kesişmesiyle en çok kaç tane
noktada kesişebilirler?
15.
kesim noktası oluşur?
A
F
B
18.
K
A
C
K
L
D
E
M
B
Şekildeki 5 nokta doğrusal, diğer 4 nokta bir çember üzerindedir. Köşeleri bu 9 noktadan seçilen
D
E
C
F
Yukarıdaki şekilde kaç tane üçgen vardır?
16.
M
L
K
A
ESEN YAYINLARI
en çok kaç üçgen çizilebilir?
19.
1
B
1
1
1
1
1
1
1
1
C
E
Yukarıdaki şekilde
1
D
B
noktasında kesişen iki
1
doğru üzerinde 8 nokta verilmiştir.
1
1
1
1
1
Bu noktaların,
Yukarıda bir kenar uzunluğu 4 br olan kare çizil-
a.
miştir.
En az ikisinden geçen kaç doğru çizilebilir?
a.
Şekilde kaç tane dikdörtgen vardır?
b. Köşeleri bu noktalardan seçilen kaç üçgen
c.
çizilebilir?
b. Kaç tane kare vardır?
Bir köşesi C olan ve diğer köşeleri öteki nok-
c.
talardan seçilen kaç üçgen çizilebilir?
Karelerden kaç tanesinin kenar uzunluğu
1 den büyüktür?
35
Sayma ve Olasılık
BİNOM AÇILIMI
n pozitif tam sayı olmak üzere, (x + y)n ifadesinin açılımına binom açılımı denir.
n
n
n
n
(x + y)n = c m x n + c m x n–1 y + c m x n–2 y 2 + … + c m y n açılımı;
0
1
2
n
®
x in azalan, y nin artan kuvvetlerine göre yapılmıştır.
®
y nin yerine –y yazılırsa (x – y)n ifadesinin açılımı elde edilir.
®
Her terimdeki dereceler toplamı n dir.
®
n + 1 tane terim vardır.
®
Kat sayılar toplamı x = y = 1 alınarak bulunur.
®
Baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin kat sayıları eşittir.
®
(x + y)2n açılımında, ortadaki terim d
®
n
c m x n – r .y r terimine genel terim denir. Genel terim; baştan (r +1). terim, sondan (n – r + 1). terimdir.
r
2n n n
n x .y
n
dir.
Pascal Üçgeni
(x + y)0 →
1
(x + y)1 →
1
(x + y)2 →
1
(x + y)3 →
1
(x + y)4 →
(x +
y)5
→
.............
®
1
1
1
2
3
4
5
(x + y)0 ⎯→
3
(x + y)2 ⎯→
1
6
10
(x + y)1 ⎯→
1
4
10
1
5
(x + y)3 ⎯→
1
4
(x + y)4 ⎯→ d n
0
.............................................
Kombinasyon konusu işlenirken verilen, c
...........
2
d n
0
1
d n
0
3
d n
0
4
d n
1
0
d n
0
2
d n
1
3
d n
1
4
d n
2
3
d n
2
4
d n
3
3
d n
3
4
d n
4
n
n
n+1
m+c m = d
n bağıntısını, Pascal üçgenini kombinasyon
r –1
r
r
2
2
3
d n + d n = d n gibi
1
2
2
ÖRNEK 84
Aşağıdaki açılımları inceleyiniz.
1.
1
1
(x + y)1 = d n x 1 + d n y 1 = x + y
0
1
2.
2
2
2
(x + y)2 = d n x 2 + d n xy + d n y 2 = x2 + 2xy + y2
0
1
2
3.
3
3
3
3
(x + y)3 = d n x 3 + d n x 2 y + d n xy 2 + d n y 3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
0
1
2
3
4.
4
4
4
4
4
(x + y)4 = d n x 4 + d n x 3 y + d n x 2 y 2 + d n xy 3 + d n y 4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
0
1
2
3
4
36
2
d n
2
...............................................................
biçiminde yukarıdaki gibi yazdığımızda rahatlıkla görebiliriz.
1
1
2
Örneğin, d n + d n = d n ,
0
1
1
1
d n
1
Sayma ve Olasılık
ÖRNEK 85
ÖRNEK 89
(2x – 5y)3 ifadesinin açılımını yapınız.
(3x – 4y)n açılımında 8 tane terim bulunduğuna göre,
bu terimlerin kat sayıları toplamı kaçtır?
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 86
c 2a +
b 2
m ifadesinin açılımını yapınız.
3
ÖRNEK 90
Çözüm
(x3 – 5x + 2)6 açılımında sabit terim kaçtır?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 91
ÖRNEK 87
(2a + 3)4 ifadesinin açılımını yapınız.
(x + 2y)6 açılımında ortadaki terim nedir?
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 92
(2x + y)10 açılımı x in azalan kuvvetlerine göre sıralaÖRNEK 88
2
nırsa baştan 4. terim ne olur?
5
(2a – b + c) açılımında kat sayılar toplamı kaçtır?
Çözüm
Çözüm
37
Sayma ve Olasılık
ÖRNEK 93
ÖRNEK 95
(x – 2y)n = xn + ...... + Ax6y4+.......
c x2 +
biçiminde x in azalan kuvvetlerine göre açılım yapıldı-
1 6
m ifadesinin açılımındaki x6 lı terimin kat sax
yısı kaçtır?
Çözüm
Çözüm
ESEN YAYINLARI
ğına göre A kaçtır?
ÖRNEK 96
3
ca –
1 5
m ifadesinin açılımındaki sabit terim kaçtır?
a2
Çözüm
ÖRNEK 94
(x2 – y)12 açılımı x in azalan kuvvetlerine göre sıralanırsa sondan 4. terim ne olur?
Çözüm
38
Sayma ve Olasılık
ÖRNEK 97
c
3
x+
1 8
m
x
ifadesinin açılımındaki x li terimin kat
sayısı kaçtır?
Çözüm
(ax + by + cz)n ifadesinin açılımında xp.yq.zt li
n!
terimin kat sayısı ap.bq.ct.
dir.
p!.q!.t!
ÖRNEK 98
^3 5 + 5 5 h
11
açılımında rasyonel terim kaça eşittir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 100
(x – 3y + 2z)6 ifadesinin açılımındaki terimlerden biri
A.x3.y2.z olduğuna göre, A kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 101
(x2 + 2y3 – z4)10 açılımı yapıldığında, içinde x6 çarÖRNEK 99
panı olup başka x çarpanı olmayan kaç terim vardır?
n
2
3
5
(x + y + z) açılımındaki terimlerden birisi A.x .y .z
Çözüm
olduğuna göre, A kaçtır?
Çözüm
39
ALIŞTIRMALAR -
1.
4.
Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş ku-
4
Aşağıdaki açılımların her birinde kat sayılar top-
tulara “D” yanlış olanlar için “Y” yazınız.
lamını bulunuz.
(a + b)n açılımında;
a.
(2x – 1)20
n
Baştan r. terim c m a n – r b r dir.
r
n
Sondan (r + 1). terim c m a r b n – r dir.
r
Kat sayılar toplamı 2n dir.
b. (3x + 1)4
n çift olmak üzere ortadaki terim için
r=
n
dir.
2
Baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin kat sayıları eşittir.
(2x – y)6
2.
ifadesi x in azalan kuvvetlerine göre açılırsa
baştan 3. terim ne olur?
3.
ESEN YAYINLARI
c.
(2x – 3y)7
d. (2x – 3y + z)40
Aşağıdaki açılımların her birinde sabit terimleri
bulunuz.
a.
e.
(x – 1)3
(x – 2y + 3z)7
b. (3x – 2)4
5.
(2x2 – y)8
ifadesi x in azalan kuvvetlerine göre açılırsa
c.
40
2
5
(x – x + 2)
sondan 4. terim ne olur?
Sayma ve Olasılık
6.
7.
10.
1 6
m
x2
açılımında ortadaki terim nedir?
c 3x –
(x2 – 3y2)n
açılımında terimlerden biri Ax4y8 ise A kaçtır?
(x – 3y)n = xn + ..... + Ax4y2 + .....
eşitliğine göre A kaçtır?
11.
2
cx –
2 5
m
x3
8.
c x3 –
1 7
m
x
ifadesinin açılımında
kaçtır?
x5
li terimin kat sayısı
ESEN YAYINLARI
açılımında sabit terim baştan kaçıncı terimdir?
12.
(x – y + 3z)6
açılımında terimlerden biri Ax2yz3 ise A kaçtır?
9.
c
6
1
– xm
2
x
ifadesinin açılımında sabit terim kaçtır?
13.
(v2 – 1)6
açılımında elde edilen terimlerden rasyonel olanları bulunuz.
41
Sayma ve Olasılık
KOŞULLU OLASILIK
ÖRNEK 104
E örnek uzay ve A ile B herhangi iki olay olsun. B
İki tavla zarının birlikte atılması deneyinde üst yüze
olayının gerçekleşmiş olması halinde A olayının ger-
gelen sayıların toplamının 8 olduğu bilindiğine göre,
çekleşmesi olasılığına A olayının B ye bağlı koşullu
sayıların ikisinin de çift sayı olma olasılığı kaçtır?
olasılığı denir ve P(A \ B) biçiminde gösterilir.
P(A \ B) =
Çözüm
P (A + B)
dir.
P (B)
Üst yüze gelen sayıların toplamının 8 olması olayı,
B = {(6,2), (5,3), (4,4), (3,5), (2,6)} dır.
® E eş olumlu örnek uzay ise,
P(A \ B) =
Üst yüze gelen sayıların ikisinin de çift sayı olması
s (A + B)
dir.
s (B)
olayı,
A = {(2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (4,4), (4,6), (6,2), (6,4), (6,6)}
® A nın B koşullu olasılığı hesaplanırken B küme-
olur. O halde,
si örnek uzay olarak düşünülüp hesap yapılabilir.
A ∩ B = {(6,2), (4,4), (2,6)} olup istenen olasılık,
ÖRNEK 102
Çözüm
ÖRNEK 105
ESEN YAYINLARI
E örnek uzayının iki olayı A ve B olsun. P(A) = 1
3
1
3
P(B) =
ve P(A ∪ B) =
ise P(A \ B) kaçtır?
2
4
Bir zar atıldığında üst yüze tek sayı geldiği bilindiğine
göre, asal sayı gelme olasılığı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 106
ÖRNEK 103
Üç madeni para birlikte atıldığında üst yüze gelenlerin
Bir madeni paranın iki kez arka arkaya atılması de-
en az ikisinin yazı olduğu bilindiğine göre, üçünün de
neyinde yazı geldiği bilindiğine göre, ikisinin de yazı
yazı gelme olasılığı kaçtır?
gelmesi olasılığı kaçtır?
Çözüm
Çözüm
42
Sayma ve Olasılık
ÖRNEK 107
ÖRNEK 109
Aşağıda bir sınıftaki futbol veya voleybol oynayanlar
E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } kümesinden rastgele iki sayı
ile ikisini de oynamayanların sayısı verilmiştir.
seçiliyor. Seçilen iki sayının çarpımlarının çift sayı
olduğu bilindiğine göre, toplamlarının tek sayı olma
F
V
6
4
olasılığı kaçtır?
3
Çözüm
5
Bu sınıftan rastgele seçilen bir kişinin voleybol oynadığı bilindiğine göre, bu kişinin futbol da oynayan biri
olma olasılığı kaçtır?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 108
E = { 1, 2, 3, 4, ....., 99 } kümesinin elemanları ayrı
ayrı kartlara yazılıp bir torbaya atılıyor. Torbadan
rastgele bir kart çekildiğinde üzerinde yazılı olan sayı-
ÖRNEK 110
nın 5 ile bölünebildiği biliniyor. Buna göre, bu sayının
Bir sınıftaki öğrencilerin % 75 i matematik dersinden,
çift sayı olma olasılığı kaçtır?
% 60 ı Türkçe dersinden, % 50 si ise her iki dersten
Çözüm
geçmiştir. Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin
Türkçe dersinden geçtiği bilindiğine göre, matematik
dersinden kalma olasılığı kaçtır?
Çözüm
43
Sayma ve Olasılık
BAĞIMSIZ OLAYLAR
ÖRNEK 111
İki olaydan birinin gerçekleşmesi veya gerçekleşme-
Bir torbada özdeş 3 sarı, 4 mavi, 5 kırmızı bilye
mesi diğerinin gerçekleşme olasılığını değiştirmiyorsa
vardır. Torbadan rastgele çekilen bir bilyenin sarı
bu iki olaya bağımsız olaylar denir.
olmadığı bilindiğine göre, mavi olma olasılığı kaçtır?
P(A ∩ B) = P(A).P(B)
Çözüm
Eğer iki olay bağımsız değilse bu olaylara bağımlı
olaylar denir.
A ve B olaylarının meydana gelme olasılığı
P(A ∩ B) demektir.
A veya B olaylarının meydana gelme olasılığı
P(A ∪ B) demektir.
ÖRNEK 113
A ve B bağımsız olaylardır.
P(A) = 2
3
ÖRNEK 112
kırmızı top vardır. Torbaların birinden rastgele bir top
çekildiğinde topun kırmızı renkte olduğu bilindiğine
göre, I. torbadan çekilmiş olma olasılığı nedir?
Çözüm
1
6
ise
P(A ∩ B) ve P(A ∪ B) kaçtır?
ESEN YAYINLARI
I. torbada 2 sarı 3 kırmızı top, II. torbada 3 sarı 4
ve P(B) =
Çözüm
®
A ve B bağımsız olaylar olduğundan,
ÖRNEK 114
Bir madeni para ile bir zar birlikte atılıyor. Paranın
tura ve zarın asal sayı gelme olasılığı kaçtır?
Çözüm
44
Sayma ve Olasılık
ÖRNEK 115
ÖRNEK 117
Paranın tura ve zarların üst yüzüne gelen sayıların
5
2
ve
dır.
6
3
Bu atıcıların birer atış yapmaları sonucu hedefin en
çarpımının tek sayı olma olasılığı kaçtır?
az bir kez vurulmuş olma olasılığı kaçtır?
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 116
Bir madeni para ile bir çift zar aynı anda atılıyor.
Paranın yazı veya zarların üst yüzüne gelen sayıların
toplamının 6 dan küçük olma olasılığı kaçtır?
Çözüm
İki atıcının bir hedefi vurma olasılıkları
ESEN YAYINLARI
Bir madeni para ile bir çift zar aynı anda atılıyor.
ÖRNEK 118
Bir torbada 4 kırmızı ve 5 beyaz bilye vardır. Torbadan
arka arkaya 2 bilye çekildiğinde, çekilen birinci bilyenin kırmızı, ikinci bilyenin beyaz olma olasılığı kaçtır?
Çözüm
45
Sayma ve Olasılık
ÖRNEK 119
ÖRNEK 121
tura veya zarın asal sayı gelme olasılığı kaçtır?
Bir sınava giren Ali’nin sınavı geçme olasılığı 3 ve
5
Çözüm
Barış’ın aynı sınavı geçme olasılığı
Bir madeni para ile bir zar birlikte atılıyor. Paranın
a.
Her ikisinin de sınavı geçme olasılığı kaçtır?
b.
Sadece Ali’nin sınavı geçme olasılığı kaçtır?
c.
En az birisinin sınavı geçme olasılığı kaçtır?
d.
İkisinin de sınavı geçememe olasılığı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 120
Bir topluluktaki 12 bayanın 7 si gözlüklü ve 9 erkeğin
6 sı gözlüklüdür. Bu topluluktan seçilen bir kişinin
Çözüm:
46
ESEN YAYINLARI
erkek veya gözlüklü olma olasılığı kaçtır?
1
tür. Buna göre,
3
Sayma ve Olasılık
ÖRNEK 122
ÖRNEK 124
5 doktor ve 6 hemşire arasından 3 kişilik bir ekip
Bir oylama sırasında, birinci sandıkta 4 siyah 5 beyaz
oluşturulacaktır. Bu ekipte en az 2 doktor bulunma
ve ikinci sandıkta, 5 siyah 3 beyaz oy pusulası vardır.
olasılığı kaçtır?
Birinci sandıktan bir oy pusulası alınarak rengine
bakılmadan ikinci sandığa atıldıktan sonra ikinci san-
Çözüm
dıktan alınan bir oy pusulasının beyaz olma olasılığı
kaçtır?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 123
A torbasında 3 kırmızı, 4 mavi bilye, B torbasında
ÖRNEK 125
2 kırmızı, 5 mavi bilye vardır. Torbaların her birinden
İki torbadan her birinde 4 beyaz, 3 siyah bilye vardır.
aynı anda rastgele birer bilye çekiliyor. Çekilen bilye-
Birinciden bir bilye alınıp ikinciye ve sonra da ikinci-
lerin farklı renkte olma olasılığı kaçtır?
den bir bilye alınıp birinci torbaya atılıyor. Renk bakı-
Çözüm
mından ilk durumu elde etme olasılığı kaçtır?
Çözüm
47
Sayma ve Olasılık
SONSUZ ÖRNEK UZAYI
ÖRNEK 128
E örnek uzayı sonsuz çoklukta örnek noktalardan
E = { x : |x| ≤ 3, x ∈ R }
(uzunluk, alan, hacim, ağırlık, açı ölçüsü, ...) oluşuyor-
örnek uzayında seçilen bir noktanın
sa bu örnek uzaya sonsuz örnek uzay denir. A olayı da
[0, 2] aralığına ait olma olasılığı kaçtır?
E örnek uzayında bir olay ise bu A olayının olasılığı,
Çözüm
A nın ölçüsü
P(A) = –––––––––––– olur.
E nin ölçüsü
ÖRNEK 126
Yarıçapı r cm olan bir dairenin içinden seçilen bir noktanın, dairenin merkezine olan uzaklığının, dairenin
çevresine olan uzaklığından daha kısa olma olasılığı
kaçtır?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 129
D
ÖRNEK 127
C
4
N
M
2
K
L
A
Boyutları 20 cm ve 30 cm olan dikdörtgen şeklindeki
5
3
B
bir kağıt üzerinde rastgele işaretlenen bir noktanın,
Şekildeki ABCD dikdörtgeni, K, L, M, N dikdörtgen-
kağıdın ağırlık merkezine en çok 10 cm uzaklıkta
sel bölgelerinin birleşiminden oluşmaktadır ve kenar
olma olasılığı kaçtır?
uzunlukları şekildeki gibidir.
Çözüm
Buna göre, ABCD dikdörtgeni içinde bir nokta rastgele işaretlendiğinde bu noktanın M bölgesinde olma
olasılığı kaçtır?
Çözüm
48
ALIŞTIRMALAR -
1.
6.
A ve B bağımsız iki olaydır.
P(A) =
2
1
ve P(B) =
olduğuna göre,
3
2
P(A ∪ B) kaçtır?
3.
A ve B aynı örnek uzaya ait iki farklı olay olmak
5
1
ve P(A′ ∪ B′) =
ise P(B)
üzere, P(A \ B) =
6
4
kaçtır?
Bir çift zar atıldığında her iki zarın üst yüzüne
gelen sayıların çift sayı olduğu bilindiğine göre,
toplamlarının 8 olma olasılığı kaçtır?
7.
Üç madeni para birlikte atılıyor. Paralardan en az
iki tanesinin yazı geldiği bilindiğine göre, hepsinin
yazı gelme olasılığı kaçtır?
Bir zar ve bir madeni para aynı anda atılıyor.
Buna göre, zarın üst yüzüne asal sayı ve paranın
tura gelme olasılığı kaçtır?
8.
Bir torbada 4 kırmızı ve 3 beyaz bilye vardır.
Geri atılmamak şartıyla art arda torbadan çekilen
iki bilyeden birincisinin kırmızı, ikincisinin beyaz
renkte olma olasılığı kaçtır?
9.
4.
Gizem ve Ecem’in bir sınavda başarılı olma ola2
5
ve
dır. Buna göre, Gizem
sılıkları sırasıyla
3
6
ve Ecem’den en az birinin bu sınavda başarılı
olma olasılığı kaçtır?
ESEN YAYINLARI
2.
5
4 kız ve 3 erkeğin bulunduğu bir gruptan rastgele
iki kişi seçiliyor. Seçilenlerden birinin erkek olduğu bilindiğine göre, diğerinin kız olma olasılığı
kaçtır?
10. Bir sınıftaki öğrencilerin % 60 ı kız öğrencidir.
5.
Aralarında Aybars ve Canberk’in de bulunduğu 8
kişiden rastgele 3 kişi seçiliyor. Seçilen kişilerden
birinin Aybars olduğu bilindiğine göre, diğerinin
Canberk olma olasılığı kaçtır?
Kız öğrencilerin % 80 i, erkek öğrencilerin % 90 ı
matematik dersinden geçmiştir. Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin matematik dersinden
geçtiği bilindiğine göre, kız öğrenci olma olasılığı
kaçtır?
49
Sayma ve Olasılık
11. Bir madeni para iki kez atılıyor. Birinci atışta tura
15. İki torbadan birincisinde 6 kırmızı, 4 mavi; ikinci-
geldiği biliniyorsa, ikinci atışta yazı gelme olasılı-
sinde 5 kırmızı, 3 mavi bilye vardır. Torbalardan
ğı kaç olur?
biri rastgele alınıp, içinden bir bilye çekiliyor. Bu
bilyenin kırmızı olduğu biliniyorsa, birinci torbadan çekilmiş olma olasılığı kaç olur?
16. s(A) = 3 ve s(B) = 4 olmak üzere, A dan B ye
12. Bir çift zar atıldığında zarların üstündeki sayıların
tanımlı bağıntılardan biri rastgele seçilirse bunun
toplamının 10 olduğu biliniyorsa ikisinin de tek
A dan B ye bir fonksiyon olma olasılığı kaç olur?
13. İki torbadan birincisinde 3 kırmızı, 5 beyaz; ikincisinde 4 kırmızı, 3 beyaz bilye vardır. Torbalardan
biri rastgele alınıp içinden bir bilye alınırsa bu
bilyenin kırmızı olma olasılığı kaç olur?
ESEN YAYINLARI
sayı olma olasılığı kaç olur?
17. Şekildeki O merkezli
1 puan
hedef tahtasında
3 puan
|CB| = |BA| = |AO|
C
olmak üzere,
5 puan
B
A
O
alınabilecek puanlar
verilenler gibidir.
Tek atış yapan birisinin tahtayı vurduğu bilindiğine göre, 3 puan alma olasılığı kaçtır?
18. Yandaki şekilde A, B, C, D
fabrikalarının ürettiği malların
14. İki torbadan birincisinde 4 beyaz, 5 yeşil; ikinci-
dairesel grafiği verilmiştir.
sinde 3 beyaz, 4 yeşil bilye vardır. Birinci torba-
Bu fabrikaların ürettiği mal-
dan bir bilye rastgele alınıp, ikinci torbaya konu-
lardan seçilen bir malın C
yor ve ikinci torbadan rastgele bir bilye alınıyor.
veya D fabrikasında üretilmiş
Bu bilyenin yeşil olma olasılığı nedir?
olma olasılığı kaçtır?
50
C
80°
D
120°
50°
A
B
Yazılıya Hazırlık Soruları – 1
1.
4.
{1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları kullanıla-
Aybars ve Canberk’in de aralarında bulundu-
rak yazılabilecek rakamları farklı, üç basamaklı
ğu 5 kişi yan yana sıralanacaktır. Aybars ile
200 den büyük kaç çift sayı vardır?
Canberk’in yan yana olması koşulu ile kaç farklı
şekilde sıralanabilirler?
2.
5.
12345 sayısının rakamları yer değiştirilerek yazılabilecek beş basamaklı sayılar küçükten büyüğe
doğru sıralanırsa baştan 50. sayının onlar basa-
Köşeleri şekildeki üçgenin üzerinde bulunan 12
nokta olan kaç üçgen çizilebilir?
ESEN YAYINLARI
mağında hangi rakam bulunur?
6.
3.
Bir torbada 3 kırmızı, 4 beyaz top vardır. Torbadan
çekilen top geri atılmamak üzere, art arda çekilen
2 topun aynı renkte olma olasılığı kaçtır?
Şekildeki dikdörtgen 20 eş kareden oluşmuştur.
Şekildeki tüm karelerin sayısı kaçtır?
51
Sayma ve Olasılık
7.
9.
24 futbolcu ve 16 basketbolcunun bulunduğu bir
sporcu grubunda futbolcuların 6 sı, basketbol-
(x2 – 3y2)n açılımında terimlerden biri Ax4y4 ise
A kaçtır?
cuların 4 ü yeşil gözlüdür. Bu gruptan rastgele
seçilen birinin futbolcu veya yeşil gözlü olma
8.
Ali ve Barış bir madeni para ile oyun oynuyorlar.
Tura atan oyunu kazanacaktır. Parayı ilk kez Ali
atacağına göre, oyunu Barış’ın kazanma olasılığı
kaçtır?
52
ESEN YAYINLARI
olasılığı kaçtır?
10. c x –
nuz.
2 6
m ifadesinin açılımında sabit terimi bulux2
Yazılıya Hazırlık Soruları – 2
1.
3.
12 farklı doğrudan 3 tanesi bir A noktasından,
narak yazılabilecek iki basamaklı çift sayıların
4 tanesi bir B noktasından geçmektedir.
toplamı kaçtır?
Bu doğruların en fazla kaç kesim noktası vardır?
4 evli çift düz bir sırada yan yana oturacaklardır.
5.
8 televizyon programından 3 tanesi aynı gün ve
Eşlerin yan yana olması koşulu ile kaç farklı şe-
saatte yayınlanmaktadır. Bu programlardan iki
kilde oturabilirler?
tanesini izlemek isteyen biri kaç değişik seçim
ESEN YAYINLARI
2.
4.
{1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanlarını kulla-
Çakışık olmayan 5 farklı çember en çok kaç
noktada kesişir?
yapabilir?
6.
{1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları ile oluşturulabilecek rakamları farklı beş basamaklı sayılardan
kaç tanesinde 1 rakamı 5 ten sonra gelir?
53
Sayma ve Olasılık
7.
9.
İki madeni para ile iki zar birlikte atılıyor. Para-
(ax4 – ax3 + 4x – 2)(2x5 – 3x2 – 1) açılımında,
lardan en az birinin tura ve zarların üst yüzüne
x4 lü terimin kat sayısı 3 ise x5 li terimin kat
gelen sayılarının toplamının 8 olduğu bilindiğine
sayısı kaçtır?
göre, paraların farklı ve zarların ikisinin de çift
8.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } kümesinin elemanlarından
ikisi rastgele seçiliyor. Seçilen bu iki sayının çarpımının çift sayı olma olasılığı kaçtır?
54
ESEN YAYINLARI
sayı olma olasılığı kaçtır?
3 7
m açılımında x8 li terimin kat sayısını
x
bulunuz.
10. c x 2 –
TEST 1.
1
Faktöriyel ve Permütasyon
5.
0! + 2! + 4! + ..... + 400! sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır?
A) 3
2.
B) 4
C) 6
D) 7
E) 8
A) 0
6.
13! + 14! toplamının sonunda kaç tane sıfır vardır?
B) 1
C) 3
D) 12
E) 17
x ve y doğal sayılar olmak üzere 24! = 4x.y
eşitliğini sağlayan x en çok kaçtır?
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
A) 22
B) 20
C) 18
D) 14
E) 11
ESEN YAYINLARI
A) 2
3! + 4! + 5! + ..... + 140! sayısının 30 ile bölümünden kalan kaçtır?
7.
3.
4! + 6! + 8! + ..... + 120! sayısının onlar basama-
y=
ğındaki rakam kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
x ve y doğal sayılar olmak üzere
40!
eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı
24 x
kaçtır?
E) 8
A) 80
4.
40! – 1 sayısının sonunda kaç tane 9 rakamı
vardır?
A) 8
8.
B) 79
C) 78
D) 77
E) 76
x ve y doğal sayılar olmak üzere 32! = 12x.y
eşitliğini sağlayan en büyük x değeri kaçtır?
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
55
Sayma ve Olasılık
9.
5 soruluk bir test sınavında her soru için 5 se-
13. A = {0, 1, 3, 4} kümesinin elemanlarını kullana-
çenek vardır. Ardışık iki sorunun doğru yanıtları
rak rakamları farklı üç basamaklı kaç tek sayı ya-
aynı seçenek olmayacak şekilde kaç farklı cevap
zılabilir?
anahtarı hazırlanabilir?
A) 8
B) 12
C) 18
D) 24
E) 30
A) 1280 B) 1240 C) 1220 D) 1140 E) 1020
14. {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesindeki rakamlar kullanı10. 7 rakamlı telefon numarasının ilk 5 rakamı bilin-
larak, rakamları farklı, 4 basamaklı kaç tane çift
mektedir. Kaç değişik deneme ile bu telefon nu-
sayı yazılabilir?
marası kesin olarak tespit edilebilir?
B) 90
C) 96
D) 98
B) 120
C) 156
D) 180
E) 196
E) 100
ESEN YAYINLARI
A) 80
A) 96
15. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanlarını kul11. 3 öğrenci 5 farklı dersten birer tane seçecektir.
Her birinin seçtiği ders farklı olmak koşuluyla kaç
B) 32
sayı yazılabilir?
A) 46
seçim yapılabilir?
A) 24
lanarak 400 den küçük rakamları farklı kaç çift
C) 48
D) 60
B) 47
C) 48
D) 49
E) 50
E) 72
16. A = {2, 4, 5, 7, 9} kümesinin elemanları ile ra12. 18 takımın bulunduğu süper ligde her takım birbi-
kamları farklı 4 ile bölünebilen 3 basamaklı kaç
riyle 2 maç yapacaktır. Toplam kaç maç oynanır?
sayı yazılabilir?
A) 304
A) 30
56
B) 305
C) 306
D) 308
E) 309
B) 24
C) 18
D) 12
E) 9
TEST 1.
Permütasyon
5.
{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin elemanlarını kul-
lanarak rakamları farklı dört basamaklı 25 ile bö-
küçük kaç sayı yazılabilir?
lünebilen kaç farklı doğal sayı yazılabilir?
B) 90
C) 120
D) 150
E) 180
A) 17
kullanarak 400 den büyük 3 basamaklı kaç sayı
6.
C) 19
D) 20
E) 21
B) 60
A = {0, 3, 5, 6, 8} kümesinin elemanları ile 6000
den büyük, rakamları farklı ve 5 ile tam bölünebi-
C) 72
D) 96
len kaç sayı yazılabilir?
E) 120
A) 48
ESEN YAYINLARI
A) 48
B) 54
C) 66
D) 72
E) 76
D) 8
E) 9
A = { 0, 1, 2, 3, 4 } kümesinin farklı elemanlarını
kullanarak 3 basamaklı kaç tek sayı yazılabilir?
A) 6
4.
B) 18
A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin farklı elemanlarını
yazılabilir?
3.
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanlarını kul-
lanarak rakamları farklı üç basamaklı 400 den
A) 60
2.
2
B) 9
C) 15
D) 18
7.
E) 24
P(n, 2) = 56 ise n nedir?
A) 5
B) 6
C) 7
A = { 0, 1, 2, 3, 4 } kümesinin elemanlarını kullanarak rakamları farklı 2300 den küçük kaç doğal
8.
sayı yazılabilir?
A) 106
B) 105
C) 104
D) 103
E) 102
P(n, 4) = 2P(n, 2) olduğuna göre n kaçtır?
A) 1
B) 4
C) 6
D) 8
E) 12
57
Sayma ve Olasılık
9.
Yanyana bulunan 7 koltuğa, 4 kişi aralarında
13. Eşit sayıda erkek ve kızın bulunduğu bir grup her
boşluk kalmayacak şekilde kaç türlü oturabilirler?
iki kızın arasında 1 erkek olacak şekilde 72 fark-
A) 96
B) 97
C) 98
D) 99
lı şekilde bir sıraya yanyana oturabildiğine göre
E) 100
grupta kaç kişi vardır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
10. A = { Ç, A, R, P, I, M } kümesinin elemanlarını bir
kez kullanarak oluşturulabilecek 6 harfli sözcüklerin kaç tanesinde sesli harfler alfabedeki sırala-
14. 4 kız ve 5 erkek öğrenci kızların tümü bir arada
rına göre yer alır?
A) 180
B) 240
C) 300
D) 360
olmayacak şekilde bir sıraya yan yana kaç türlü
E) 420
oturabilirler?
A) 480.6!
B) 1360.6!
C) 480.5!
E) 120.6!
ESEN YAYINLARI
D) 360.5!
11. 3 kişi, yanyana bulunan 7 koltuğa, her iki kişinin
arasında bir koltuk boş kalacak şekilde kaç türlü
15. A = {a, b, c, d, e} kümesinin üçlü permütasyon-
oturabilirler?
A) 19
B) 18
C) 17
D) 16
E) 15
larının kaç tanesinde a veya b bulunur?
A) 53
12. Suat ile Seçkin’in de bulunduğu 7 kişi bir sırada,
Suat ile Seçkin arasında hep 3 kişi olacak şekilde
58
B) 360
C) 420
D) 600
C) 56
D) 58
E) 60
16. {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanlarını kullanarak üç basamaklı, iki veya üç basamağı aynı olan
kaç tek sayı yazılabilir?
kaç farklı biçimde oturabilirler?
A) 180
B) 54
E) 720
A) 40
B) 42
C) 48
D) 50
E) 52
TEST 1.
3
Kombinasyon
5.
2 kız ve 4 erkek arkadaş yanyana, başta ve
sonda birer erkek bulunacak şekilde kaç türlü sıralanabilir?
A) 288
B) 240
C) 220
D) 144
A) 64
3 öğretmen, 5 öğrenci arasından seçilen 1 öğretmen ve 2 öğrenci yanyana kaç değişik biçimde
fotoğraf çektirebilirler?
B) 136
C) 140
D) 160
C) 89
D) 99
E) 101
C(n + 1, 11 – n) = C(n + 1, 6) eşitliğini gerçekleyen n değerlerinin çarpımı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 8
B) 12
C) 24
D) 40
E) 48
E) 180
ESEN YAYINLARI
A) 120
B) 72
E) 120
6.
2.
Bir çember üzerinde bulunan 7 nokta ile köşeleri
bu noktalar olan kaç çokgen oluşturulabilir?
3.
Murat 6 arkadaşından 2 sini tiyatroya davet edecektir. Belli iki arkadaşı birlikte olmak istemiyorlar. Buna göre Murat 2 arkadaşını kaç değişik
şekilde seçer?
A) 6
4.
B) 10
C) 14
D) 15
B) 62
C) 68
D) 70
E) 72
A = { –3, –2, –1, 0, 1, 2 } kümesinin üç elemanlı
alt kümelerinden kaç tanesinin elemanları çarpımı bir negatif tam sayıya eşittir?
E) 20
9 kişiden belli iki kişi aynı odada kalmamak koşulu ile bir oteldeki 4 ve 5 kişilik iki odaya kaç değişik biçimde yerleşebilir?
A) 60
7.
A) 8
8.
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
21 kişilik bir grupta erkeklerden oluşturulabilecek
ikişerli grupların sayısı kızların sayısına eşittir.
Bu grupta kaç erkek vardır?
A) 6
B) 9
C) 12
D) 14
E) 15
59
Sayma ve Olasılık
9.
13. 6 farklı oyuncak her çocuğa ikişer tane verilmek
10 doğrudan 2 tanesi bir A noktasında kesişmiştir. Diğer doğrulardan 3 tanesi paralel olduğuna
üzere 3 çocuğa kaç farklı şekilde dağıtılabilir?
göre bu 10 doğru en fazla kaç noktada kesişir?
A) 41
B) 42
C) 43
D) 44
A) 90
B) 80
C) 72
D) 60
E) 54
E) 45
14. 6 kişi her birinde en az bir kişi bulunan üç gruba
10.
d5
d6
d7
kaç farklı şekilde ayrılabilirler?
d8
d1
A) 72
B) 80
C) 90
D) 120
E) 180
d2
d3
d4
d1 // d2 // d3 // d4 ve d5 // d6 // d7 // d8 olduğuna göre, yukarıdaki şekilde kaç tane paralelkenar
15.
A) 16
B) 20
C) 36
D) 40
E) 48
A
ESEN YAYINLARI
vardır?
B
C
Şekildeki üçgen üzerinde işaretlenmiş 12 noktadan kaç farklı üçgen çizilebilir?
A) 190
B) 189
C) 188
D) 187
E) 186
11. 8 kenarlı bir konveks çokgenin kaç köşegeni vardır?
A) 16
B) 18
C) 19
D) 20
E) 22
16.
A
12. 6 sı kız olan 11 kişilik bir gruptan 4 kişilik bir ekip
B
oluşturulacaktır. Grupta en az bir kız öğrenci bu-
D
E
F
K
L
M
lunması koşuluyla kaç grup oluşturulabilir?
Yukarıdaki şekilde kaç üçgen vardır?
A) 332
A) 26
60
B) 330
C) 328
D) 326
E) 325
B) 27
C) 28
D) 29
C
E) 30
TEST 1.
4
Binom Açılımı
(ax – 2y2)6 açılımında kat sayılar toplamı 64 ise
5.
a nın alabileceği değerler toplamı kaç olur?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
cx –
1 6
m
x2
ifadesinin açılımında ortadaki terim
nedir?
E) 5
10
x3
A) –
B) –
D)
2.
(3x – 2y)n açılımında 8 terim varsa, bu terimlerin
6.
kat sayılar toplamı kaçtır?
B) –1
C) 0
D) 1
3.
A)
(x – 2y)7 ifadesi, x in azalan kuvvetlerine göre
7.
açılırsa, baştan 4. terim ne olur?
A) –120x3y4
B) –120x4y3
4 3
4.
E) –240x y
c
B) 1
2
C) 9
16
8.
bx –
B) 5
C) 4
A) 32
A) 1
D) 58
E) 60
5
8
E)
11
16
D) 3
E) 2
a 8
l ifadesinin açılımında sabit terim 70 ise
x
a nın pozitif değeri kaçtır?
C) 50
D)
6
1
– x 2 m ifadesinin açılımında sabit terim
x
açılırsa, sondan 3. terimin kat sayısı kaç olur?
B) 48
30
x3
1 8
m ifadesinin açılımında sabit terim kaç2x
7
16
A) 6
(2x – y2)6 ifadesi, x in azalan kuvvetlerine göre
E)
30
x3
baştan kaçıncı terimdir?
C) –280x4y3
3 4
D) –240x y
20
x3
C) –
tır?
E) 2
ESEN YAYINLARI
A) –2
c x3 +
20
x3
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
61
Sayma ve Olasılık
9.
(x + y)16 ifadesinin açılımında kat sayıların en
13. (x2 + vx)8 ifadesinin açılımında terimlerden biri
7ax7 dir. Buna göre a kaçtır?
büyük olanı nedir?
A) d
15
n
9
B) d
16
n
8
C) d
16
n
7
D) d
16
n
9
E) d
15
n
8
A) 8
B) 7
E) 3
eşitliğinde K kaçtır?
10. (vx + x)6 ifadesinin açılımında x5 li terim baştan
kaçıncı terimdir?
A) –240 B) –216 C) –196 D) –172 E) –150
C) 4
D) 3
E) 2
ESEN YAYINLARI
B) 5
D) 4
1 10
10 50
29
m = 2 .x + ..... + K.x + .....
4x 2
14. c 2x 5 –
A) 6
C) 6
15. (2x2 + y2)n açılımı yapıldığında bir terim,
A.x6.y18 olduğuna göre A kaçtır?
11. (x + y)n ifadesinin açılımında x4 lü terimin kat sayısı 5 ise y3 lü terimin kat sayısı kaçtır?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
A kaçtır?
62
12
n
9
B) d
D) 6 d
E) 15
12. (x2 – 2y)n açılımındaki terimlerden biri Ax6y2 ise
A) 112
A) 8 d
16. (1 –
3
12
n
9
12
n
8
C) d
E) d
12
n
8
14
n
12
2 )6 ifadesinin açılımı düzenlenirse oluşan
rasyonel terim kaç olur?
B) 102
C) 80
D) 60
E) 40
A) –35
B) –34
C) –33
D) –32
E) –31
TEST 1.
5
Olasılık
5.
Bir zar atıldığında üst yüze tek sayı geldiği bilindiğine göre, 5 gelme olasılığı kaçtır?
A) 1
2
2.
B) 1
3
C) 1
4
D) 1
5
İki zar aynı anda atılıyor. Zarlardan en az birinin
üst yüzüne 3 geldiği bilindiğine göre, üst yüze
gelen rakamlar toplamının 7 olma olasılığı kaçtır?
E) 1
6
A) 1
6
B) 1
4
C) 3
11
D) 2
11
E) 1
11
40 mevcutlu bir sınıftaki öğrencilerin 14 tanesi
matematikten, 20 tanesi kimyadan başarılı ol-
6.
muştur. 10 öğrenci de hem matematik hem de
kimyadan başarılı ise rastgele seçilen 1 öğren-
gelme olasılığı kaçtır?
cinin matematik veya kimyadan başarılı olması
A) 5
6
olasılığı kaçtır?
B) 7
10
C) 4
5
D) 3
5
E) 2
5
B) 2
3
C) 1
2
D) 1
3
E) 1
4
ESEN YAYINLARI
A) 3
10
Bir madeni para ve bir zar aynı anda atılıyor.
Buna göre, paranın yazı veya zarın 4 ten büyük
3.
A ve B aynı örnek uzaya ait iki farklı olaydır.
7
3
7
, P(B) =
, P(A ∪ B) =
P(A) =
12
4
8
olduğuna göre, P(B \ A) kaçtır?
A) 4
7
B) 5
7
C) 11
14
D) 6
7
7.
nin 4 geldiği bilindiğine göre, toplamlarının 6 dan
büyük olma olasılığı kaçtır?
A) 1
6
E) 13
14
8.
4.
Bir zarın iki yüzü beyaz, bir yüzü mavi, üç yüzü
İki zar birlikte atıldığında zarlardan en az biri-
B) 1
3
C) 7
12
D) 2
3
Bir yarışı A nın kazanma olasılığı
E) 7
11
2
5
sarıya boyanmıştır. Bu zar üç kez atıldığında, bi-
B nin kazanmama olasılığı 1 tür.
3
rinci ve ikinci atışlarda beyaz, üçüncü atışta mavi
A ve B den sadece birinin kazanma olasılığı kaç-
gelme olasılığı nedir?
tır?
A) 1
27
B) 1
48
C) 1
54
D) 1
60
E) 1
72
A) 2
5
B) 7
15
C) 8
15
D) 3
5
E) 2
3
63
Sayma ve Olasılık
9.
Bir torbada üzerinde 1 den 10 a kadar numara-
13. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin 4 elemanlı alt kü-
lar bulunan 10 top vardır. Bu torbadan seçilecek
melerinden biri rastgele seçildiğinde bu kümenin
üç topun üzerindeki sayıların toplamının çift olma
elemanları arasında 5 in bulunma olasılığı kaç
olasılığı nedir?
olur?
A)
2
3
B)
1
2
C)
1
3
D)
1
4
E)
1
5
A) 3
4
rışı A veya B nin kazanma olasılığı kaçtır?
gelme olasılığı kaçtır?
11. Fatih ve Mehmet poligonda aynı hedefe birer kez
ateş etmişlerdir. Fatih’in hedefi vurma olasılığı 2
3
3
ve Mehmet’in hedefi vurma olasılığı
ise hede4
fin yalnız bir kez vurulmuş olma olasılığı kaçtır?
A) 7
12
B) 1
3
C) 5
12
D) 1
2
A) 2
5
E) 1
5
ESEN YAYINLARI
D) 3
10
E) 1
3
katı, C nin kazanma olasılığının yarısı ise bu ya-
atılıyor. Buna göre, topun kırmızı ve paranın yazı
C) 2
5
D) 2
3
kazanma olasılığı B nin kazanma olasılığının 3
badan bir top çekilip, aynı anda bir madeni para
B) 1
2
C) 5
6
14. Bir yarışmada A, B, C kişileri yarışacaktır. A nın
10. Bir torbada 3 kırmızı, 2 beyaz top vardır. Bu tor-
A) 3
5
B) 4
5
B) 1
2
C) 3
5
D) 7
9
E) 4
9
15. İki torbadan birincisinde 2 sarı 4 beyaz, ikincisinde 3 sarı 5 beyaz bilye vardır. Rastgele seçilen
bir torbadan alınan bir bilyenin sarı olduğu biliniyorsa, 2. torbadan alınmış olma olasılığı kaç
olur?
A) 9
17
B) 8
17
C) 6
17
D) 4
17
E) 1
16
E) 12
17
16. Bir torbada 3 tanesi beyaz olan bir miktar beyaz
ve kırmızı bilye vardır. Bu torbadan, çekilen geri
torbaya konmamak koşuluyla art arda iki bilye
12. Üç madeni para birlikte atılıyor. Paralardan en az
birinin yazı geldiği bilindiğine göre, en az ikisinin
yazı gelme olasılığı kaçtır?
A) 2
7
64
B) 3
7
C) 4
7
D) 5
7
E) 6
7
seçildiğinde birincisinin beyaz, ikincisinin kırmızı
1
ise bu torbada kaç tane kırmızı
olma olasılığı
4
bilye olabilir?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
TEST 1.
6
Olasılık
5.
ÖNDER sözcüğündeki harflerin yerleri değiştiri-
Bir zar arka arkaya iki kez atıldığında üst yüzü-
lerek oluşturulan 5 harfli sözcüklerden biri rastge-
ne gelen sayıların toplamının 9 olduğu bilindiğine
le seçildiğinde bu sözcüğün D harfiyle başlama
göre, çarpımlarının çift gelme olasılığı kaçtır?
olasılığı kaçtır?
A) 1
2
B) 2
5
C) 1
5
D) 1
6
A) 1
E) 1
8
6.
2.
28 kişilik bir sınıfta sadece İngilizce konuşabilen
7.
D) 1
6
Bir atıcı hedefe arka arkaya üç atış yapacaktır.
Bu atıcının hedefi üçünde de vurmama olasılığı
9
olduğuna göre x kaçtır?
25
E) 1
7
A) 10
8.
4.
E) 2
35
III. atışında hedefi vurma olasılığı % x
Fransızca konuşamayan biri olma olasılığı nedir?
C) 1
5
D) 3
35
II. atışında hedefi vurma olasılığı % 40
Sınıftan rastgele seçilen birinin İngilizce veya
B) 1
4
C) 4
35
I. atışında hedefi vurma olasılığı % 25
8 kişi, Fransızca konuşabilen 16 kişi bulunuyor.
A) 1
3
B) 1
7
E) 2
3
ESEN YAYINLARI
3.
Üzerinde 1 den 15 e kadar numaralar bulunan 15
A) 6
35
cunun basketbol oynuyor olması olasılığı kaçtır?
D) 1
2
E) 1
3
sayı olma olasılığı nedir?
oyunu oynamaktadır. Rastgele seçilen bir spor-
C) 1
3
D) 1
2
nan 2 kartın üzerindeki sayıların çarpımının asal
basketbol oynuyor. 20 kişi futbol, 4 kişi her iki
B) 1
4
C) 3
4
kart bir torbaya konuyor. Torbadan rastgele alı-
36 kişilik bir sporcu grubunda 25 kişi futbol veya
A) 1
5
B) 2
3
B) 18
A
C) 20
B
C
D) 24
D
E
E) 30
F
Bir torbada 5 siyah, 3 kırmızı, 2 beyaz bilye vardır. Torbadan art arda, geri konmamak üzere 3
K
bilye çekildiğinde birinci ve ikincinin beyaz, üçüncünün kırmızı gelmesi olasılığı a, torbadan rastgele 3 bilye birden çekildiğinde ikisinin beyaz, di-
M
L
Şekildeki yarım çemberin çapı [AF] dir.
Verilen noktalardan rastgele seçilen üç noktanın
ğerinin kırmızı olma olasılığı b olduğuna göre,
a
oranı nedir?
b
bir üçgenin köşeleri olma olasılığı nedir?
A) 1
2
A) 41
42
B) 1
3
C) 1
4
D) 1
5
E) 1
6
B) 37
42
C) 11
14
D) 16
21
E) 29
42
65
Sayma ve Olasılık
9.
Üç çocuklu bir ailenin çocuklarından en büyüğü-
13. Bir yarışma programında yarışmacılar, 6 eş par-
nün erkek olduğu biliniyor. Buna göre, üç çocu-
çaya ayrılmış birinci çarkı iki defa çevirmektedir.
ğun da erkek olma olasılığı kaçtır?
Bu iki çevirişte gelen iki sayının toplamı en az 10
A) 1
2
B) 1
3
C) 1
4
D) 1
5
ise 4 eş parçaya ayrılmış ikinci çarkı çevirerek
E) 1
6
çıkan hediyeyi almaktadır.
1
10.
D
100
E
6
2
5
3
C
Kitap
Silgi
Defter
4
I. çark
F
A
Kalem
II. çark
Buna göre, bir yarışmacının kitap kazanma olası-
B
lığı kaçtır?
Dikdörtgen biçimindeki ABCD arsasının ayrıtları
A) 1
12
80 m ve 100 m, |DE| = |EA| ve |CF| = |FB| dir.
B) 1
16
C) 1
18
D) 1
20
E) 1
24
E den F ye EF doğrultusunda hareket eden birişinin arsanın içindeki bir noktayı görme olasılığı
kaçtır?
A) 5
6
B) 4
5
C) 3
5
D) 3
4
E) 2
5
ESEN YAYINLARI
nin görüş mesafesi 30 m olduğuna göre, bu ki-
14. İki torbadan birincisinde 2 sarı, 5 beyaz, ikincisinde 3 sarı, 4 beyaz bilye vardır. Birinci torbadan
bir bilye rastgele alınıp ikinci torbaya atılıyor ve
ikinci torbadan bir bilye çekiliyor. Bu bilyenin sarı
olma olasılığı kaçtır?
11. İki zar birlikte atılıyor. Zarların üst yüzüne farklı sayılar geldiği bilindiğine göre, ikisinin de asal
sayı gelme olasılığı kaçtır?
A) 1
5
B) 1
6
C) 1
8
D) 1
9
A) 23
56
B) 11
28
C) 3
8
D) 5
14
E) 19
56
E) 1
10
15. 24 kişilik bir sınıfta 10 kız öğrenci vardır. Kızların
12. İki zar birlikte atılıyor. Gelen zarların üzerindeki sayıların toplamının 6 olduğu bilindiğine göre,
zarlardan birinin 2 olma olasılığı kaç olur?
A) 6
7
66
B) 5
6
C) 4
5
D) 3
5
E) 2
5
4 ü erkeklerin 6 sı gözlüklüdür. Bu sınıftan rastgele bir kişi seçildiğinde kız veya gözlüklü olma
olasılığı kaçtır?
A) 3
4
B) 2
3
C) 2
5
D) 1
3
E) 1
4
Üniversiteye Giriş Sınav Soruları
1.
1991 – ÖYS
5.
1996 – ÖSS
n elemanlı bir kümenin r li bütün kombinasA, B, C ∈ d1
gösterildiğine göre, C(n, 2) + C(n, 3) = 4C(n, 1)
D, E, F, G, H ∈ d2
D
eşitliğinde n kaç olmalıdır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
B
A
yonlarının (kombinezonlarının) sayısı C(n, r) ile
E
C
F
d1
G
H
d2
Yukarıdaki şekilde d1 // d2 olduğuna göre, kö-
E) 7
şeleri bu 8 noktadan (A, B, C, D, E, F, G, H) herhangi üçü olan kaç üçgen çizilebilir?
A) 45
2.
B) 48
C) 52
D) 56
E) 72
1992 – ÖYS
Bir torbada 2 beyaz, 4 siyah ve 6 mavi bilye
vardır. Aynı anda çekilen
2
6.
bilyeden birinin
1996 – ÖYS
cx +
A) 1
6
tır?
B) 1
11
C) 2
11
D) 4
33
E) 5
33
ESEN YAYINLARI
beyaz öbürünün siyah olma olasılığı kaçtır?
1 6
m ifadesinin açılımındaki sabit terim kaçx2
A) 15
7.
B) 16
C) 18
D) 20
E) 22
1997 – ÖYS
(x2 – 2y2)n açılımında x4y4 lü terimin kat sayısı
3.
kaçtır?
1995 – ÖYS
A) – 48
8 kişilik bir gruptan 5 kişilik kaç değişik takım ku-
B) –24
C) 12
D) 24
E) 48
rulabilir?
A) 336
B) 224
C) 168
D) 112
E) 56
8.
1997 – ÖYS
A torbasında 3 beyaz, 4 kırmızı; B torbasında
5 beyaz, 2 kırmızı top vardır. Aynı anda her iki
torbadan birer top alınıyor ve öteki torbaya (A tor-
4.
basından alınan B ye, B torbasından alınan A
1995 – ÖYS
ya) atılıyor.
Bir torbada 6 beyaz, 4 siyah bilye vardır.
Bu işlemin sonucunda torbalardaki kırmızı ve
Bu torbadan rasgele çekilen 3 bilyeden birinin
beyaz top sayılarının başlangıçtakiyle aynı olma
beyaz, diğer ikisinin siyah olma olasılığı kaçtır?
olasılığı kaçtır?
A) 3
10
A) 18
49
B) 3
19
C) 4
15
D) 5
14
E) 5
13
B) 19
49
C) 20
49
D) 22
49
E) 23
49
67
Sayma ve Olasılık
9.
1998 – ÖYS
(3x + 2y)
23
13. 2000 – ÖSS
ün açılımında baştan 11. teriminin
kat sayısı kaçtır?
A) 210.313 C(23, 10)
B) 211.312 C(23, 11)
C) 211.312 C(23, 12)
l. fiekil
lI. fiekil
12
11
C(23, 12)
16 küçük kareden oluşan l. şeklin her satır ve her
13
11
C(23, 11)
sütununda bir ve yalnız bir küçük kare karalana-
D) 2 .3
E) 2 .3
rak ll. şekildeki gibi desenler elde edilmektedir.
Bu kurala göre, en çok kaç farklı desen elde edilebilir?
A) 16
10. 1998 – ÖYS
B) 20
C) 24
D) 32
E) 36
Bir torbada 2 tane mavi, 5 tane yeşil mendil vardır. Bu torbadan, geri atılmamak koşulu ile iki kez
14. 2003 – ÖSS
birer mendil çekiliyor. Bu iki çekilişin birincisinde
mavi, ikincisinde de yeşil mendil çekme olasılığı
Yükseköğrenim için A ve B ülkelerine gönderil-
kaçtır?
B) 20
49
C) 10
45
D) 10
21
E) 5
21
ESEN YAYINLARI
A) 70
12
mek üzere 5 öğrenci seçilmiştir. Her iki ülkeye en
az birer öğrenci gideceğine göre, bu 5 öğrenci
kaç farklı gruplama ile gönderilebilir?
A) 10
B) 20
C) 25
D) 30
E) 40
15. 2004 – ÖSS
11. 1999 – ÖSS
A
Bir düzgün dörtyüzlünün (bütün yüzleri eşkenar
üçgen olan üçgen piramit) iki yüzünde A, iki yüzünde de T harfleri yazılıdır. Bu düzgün dörtyüzlü bir kez atıldığında yan yüzlerinde, sırasına ve
yönüne bakılmaksızın A, T, A harflerinin görülme
olasılığı kaçtır?
A) 1
2
B) 1
3
C) 2
3
D) 1
4
E) 3
4
12. 1999 – ÖSS
B
C
Yukarıdaki ABC üçgeninin kenarları üzerinde 9
nokta verilmiştir. Köşeleri bu 9 noktadan üçü olan
kaç üçgen oluşturulabilir?
A) 64
B) 69
C) 74
D) 79
E) 84
16. 2005 – ÖSS
5, 6, 7, 8, 9 rakamları kullanılarak rakamları bir-
3 tane madeni 1 TL, kumbaralara istenen sayıda
birinden farklı olan, üç basamaklı ve 780 den
atılmak suretiyle değişik bankalardan alınmış 5
küçük kaç değişik sayı yazılabilir?
farklı kumbaraya kaç değişik şekilde atılabilir?
A) 46
68
B) 42
C) 36
D) 30
E) 24
A) 10
B) 21
C) 24
D) 35
E) 45
Sayma ve Olasılık
17. 2006 – ÖSS
21. 2009 – ÖSS
Bir mağazadan belirli miktarın üzerinde alışveriş
A = {1, 2, 3, 4} kümesinin elemanlarıyla, en az iki
basamağındaki rakamı aynı olan üç basamaklı
yapan müşteriler, 4 eş parçaya ayrılmış birinci
kaç sayı yazılabilir?
çarkı iki defa çevirmektedir. Bu iki çevirişte gelen
A) 52
B) 40
C) 38
D) 30
iki sayının toplamı 6 ya da 6 dan büyükse 6 eş
E) 24
parçaya ayrılmış ikinci çarkı çevirerek çıkan hediyeyi almaktadır.
ütü
1
2
3
4
18. 2007 – ÖSS
A = {–2, –1, 0, 1}
çamafl›r
makinesi
kahve
makinesi
ütü
ütü
tost
makinesi
B = {–1, 0, 1, 2, 3, 4} kümeleri veriliyor.
A x B kartezyen çarpımından alınan bir elemanın
I. çark
II. çark
(a, a) biçiminde olma olasılığı kaçtır?
A) 1
4
B) 1
6
C) 1
8
D) 1
12
Buna göre, birinci çarkı çevirmeyi hak eden bir
E) 5
24
müşterinin çamaşır makinesi kazanma olasılığı
kaçtır?
ESEN YAYINLARI
A)
19. 2008 – ÖSS
K = { –2,–1, 0, 1, 2, 3 }
kümesinin üç elemanlı alt kümelerinden kaç tanesinin elemanları çarpımı bir negatif tam sayıya
1
14
B) 1
16
C)
5
24
D) 3
28
E)
5
32
22. 2009 – ÖSS
Aynı düzlemde alınan 4 farklı çember en fazla
kaç noktada kesişir?
A) 12
B) 14
C) 15
D) 16
E) 18
eşittir?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
23. 2010 – YGS
Bir torbada 2 kırmızı, 2 beyaz ve 1 sarı bilye
vardır. Torbadan rastgele 4 bilye alındığında torbada kalan bilyenin kırmızı renkte olma olasılığı
kaçtır?
20. 2008 – ÖSS
A)
Aşağıdaki yedi nokta, eş karelerin köşeleri üze-
1
2
B)
2
3
C)
3
4
D)
2
5
E)
3
5
rinde bulunmaktadır.
Bu yedi noktadan rastgele seçilen üç noktanın bir üçgen oluş-
24. 2010 – LYS
turma olasılığı aşağıdakilerden
A = {1, 2, 3, 4} ve B = {–2, –1, 0} olmak üzere
hangisidir? (Aynı doğru üzerin-
A x B kartezyen çarpım kümesinden alınan her-
deki üç noktanın bir üçgen oluşturmadığı kabul
hangi bir (a, b) elemanı için a + b toplamının
edilecektir.)
sıfır olma olasılığı kaçtır?
A) 32
35
B) 27
35
C) 24
35
D) 5
7
E) 3
7
A)
1
4
B)
1
5
C)
1
6
D)
1
7
E)
69
2
7
Sayma ve Olasılık
25. 2011 – YGS
Meriç’in elinde kırmızı ve beyaz renklerde toplam 10 top vardır. Meriç bu topları iki torbaya her
bir torbada en az bir kırmızı ve bir beyaz top olacak şekilde dağıttıktan sonra şunları söylüyor:
29. 2012 – LYS
Bir torbada 5 kırmızı ve 5 beyaz bilye vardır.
Bu torbadan aynı anda rastgele 3 bilye çekildiğinde her bir renkten en fazla 2 bilye olma
olasılığı kaçtır?
“Birinci torbada 3 kırmızı top vardır. Torbalardan
rastgele birer top çekildiğinde topların ikisinin de
1
dir.”
kırmızı olma olasılığı
2
Buna göre, ikinci torbada kaç beyaz top vardır?
A) 3
B) 5
C) 1
D) 2
A)
2
3
B)
3
4
C)
5
6
D)
7
8
E)
8
9
E) 4
30. 2013 – LYS
P(x) = (x – 1)4 + (x – 1)5
26. 2011 – LYS
polinomunda x3 lü terimin katsayısı kaçtır?
6 kız ve 7 erkek öğrencinin bulunduğu bir gruptan 2 temsilci seçiliyor. Seçilen bu iki temsilciden
A) 4
B) 6
C) 9
D) 10
E) 11
birinin kız, diğerinin erkek olma olasılığı kaçtır?
A)
3
4
B)
3
8
C)
2
13
D)
7
13
E)
9
13
27. 2012 – YGS
Boyları farklı dört öğrenci bir çizgi boyunca rastgele sıraya giriyor. Buna göre, en kısa ve en
uzun boylu öğrencilerin uçlarda olma olasılığı
kaçtır?
1
A)
2
1
C)
4
1
D)
6
1
E)
12
Bir çiçekçide 5 farklı renkten çok sayıda gül ve
2 çeşit vazo vardır. Bir müşteri, 2 farklı renkten
toplam 3 gül ve 1 vazo satın almak istiyor. Bu
müşteri alışverişini kaç farklı şekilde yapabilir?
70
Bir torbada 1 den 9 a kadar numaralanmış dokuz
top bulunmaktadır. Ayşe, 1 den 9 a kadar bir sayı
belirleyecek ve daha sonra torbadan rastgele bir
top çekecektir. Topun üzerinde yazılı olan sayı ile
belirlediği sayının toplamı en fazla 9 ve çarpımı
en az 9 olursa Ayşe oyunu kazanacaktır. Ayşe
hangi sayıyı belirlerse oyunu kazanma olasılığı
1
B)
3
28. 2012 – LYS
A) 15
ESEN YAYINLARI
31. 2013 – LYS
B) 20
C) 25
D) 40
E) 50
en yüksek olur?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
FONKSİYONLARLA
İŞLEMLER ve UYGULAMALARI
. ÜNİTE
2. ÜNİTE
2. ÜNİTE
2. ÜNİTE
Fonksiyonların Simetrileri ve Cebirsel Özellikleri
1.
Kazanım
: Bir fonksiyonun grafiğinden, simetri dönüşümleri yardımı ile yeni fonksiyon
grafikleri çizer.
2.
Kazanım
: Gerçek sayılar kümesinde tanımlı f ve g fonksiyonlarını kullanarak
f + g , f – g , f.g ve
f
fonksiyonlarını elde eder.
g
İki Fonksiyonun Bileşkesi ve Bir Fonksiyonun Tersi
1.
Kazanım
: Fonksiyonlarda bileşke işlemini açıklar.
2.
Kazanım
: Bir fonksiyonun bileşke işlemine göre tersinin olması için gerekli ve yeterli
şartları belirleyerek, verilen bir fonksiyonun tersini bulur.
Fonksiyonlarla İlgili Uygulamalar
1.
Kazanım
: İki miktar (nicelik) arasındaki ilişkiyi fonksiyon kavramıyla açıklar;
problem çözümünde fonksiyonun grafik ve tablo temsilini kullanır.
2. ÜNİT
FONKSİYONLARIN SİMETRİLERİ
ÖRNEK 2
y = f(x) + c nin grafiği, y = f(x) fonksiyonunun
y
y=x
grafiğinin y ekseni boyunca c kadar ötelenmişidir.
y
y
y = f(x)
0
x
a+c
a
a
0
y = f(x) + c
x
c
0
x
Yukarıda verilen y = x doğrusunun grafiği yardımı
ile y = x + 1 , y = x + 2 ve y = x – 1 doğrularının
grafiklerini çiziniz.
Çözüm
ÖRNEK 1
y
y = x2
x
Yukarıda verilen y = x2 fonksiyonunun grafiği yardımı
ile y = x2 + 1 ve y = x2 – 1 fonksiyonlarının grafiklerini çiziniz.
Çözüm
72
ESEN YAYINLARI
0
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
ÖRNEK 4
y = f(x – c) nin grafiği, y = f(x) fonksiyonunun
y = x2 fonksiyonunun grafiği yardımı ile y = (x – 1)2
grafiğinin x ekseni boyunca c kadar ötelenmişidir.
y
ve y = (x + 1)2 fonksiyonlarının grafiklerini çiziniz.
y
y = f(x)
Çözüm
y = f(x – c)
y = x2 fonksiyonunun grafiğini x ekseni boyunca
+1 br öteleyerek (sağ yönde) aşağıdaki gibi
0
a
x
0
a
a+c
y = (x – 1)2 fonksiyonunun grafiği çizilebilir.
x
c
ÖRNEK 3
y = 2x doğrusunun grafiği yardımı ile y = 2(x – 1)
ve y = 2(x + 1) doğrularının grafiklerini çiziniz.
Çözüm
y = 2x doğrusunun geçtiği herhangi iki nokta (0, 0)
ESEN YAYINLARI
ve (1, 2) olup grafiği aşağıdaki gibidir.
ÖRNEK 5
y = x2 fonksiyonunun grafiği yardımı ile
y = (x – 2)2 + 3 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm
y = x2 fonksiyonunun grafiğini x ekseni boyunca
+2 br öteleyerek (sağ yönde) ve y ekseni boyunca
+3 br yukarı öteleyerek y = (x – 2)2 + 3 fonksiyonunun grafiği çizilebilir.
73
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
ÖRNEK 7
y = f(x) ile y = k.f(x) fonksiyonlarının grafikleri
y = f(x) = x + 1 ve y = 2.f(x) fonksiyonlarının grafik-
çizildiğinde x eksenini kestiği noktaların değişme-
lerini çiziniz ve aralarındaki ilişkiyi tespit ediniz.
diği görülür.
Çözüm
y
y
y = f(x)
0
a
f(x) = x + 1 olmak üzere,
y = k.f(x)
x
0
b
a
y = 2.f(x) ⇒ y = 2(x + 1)
x
c
ÖRNEK 6
1
x doğrularının grafiklerini
2
çiziniz ve aralarındaki ilişkiyi tespit ediniz.
Çözüm
y = x doğrusu (0, 0) ve (1, 1)
y = 2x doğrusu (0, 0) ve (1, 2)
ESEN YAYINLARI
y = x , y = 2x ve y =
ÖRNEK 8
y
2
–2
y = f(x)
0
1
5
x
y
y = 3f(x)
a
0
b
c
x
Yukarıda verilen y = f(x) ve y = 3f(x) fonksiyonlarının grafiklerine göre, a + b + c toplamı kaçtır?
Çözüm
y = f(x) ve y = 3f(x) fonksiyonlarının grafiklerinde x
eksenini kestiği noktalar ortak olduğundan,
a + b + c = –2 + 1 + 5 = 4 bulunur.
74
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
ÖRNEK 10
y = f(x) ile y = f(k.x) fonksiyonlarının grafikleri
çizildiğinde y eksenini kestiği noktaların değişme-
1
y = f(x) = –3x + 3 ve y = f c xm fonksiyonlarının
3
diği görülür.
grafiklerini çiziniz ve aralarındaki ilişkiyi tespit ediniz.
y
Çözüm
y
f(x) = –3x + 3 olmak üzere,
y = f(x)
y = f(k.x)
0
a
x
b
0
c
x
b
ÖRNEK 9
y = f(x) = x – 2 ve y = f(2x) fonksiyonlarının grafikleÇözüm
f(x) = x – 2 olmak üzere,
y = f(2x) ⇒ y = 2x – 2 dir.
y = x – 2 doğrusu (0, –2) ve (2, 0)
y = 2x – 2 doğrusu (0, –2) ve (1, 0)
ESEN YAYINLARI
rini çiziniz ve aralarındaki ilişkiyi tespit ediniz.
ÖRNEK 11
y
noktalarının geçtiğinden grafikleri aşağıdaki gibidir.
–3
0
2
–2
x
5
y = f(x)
Yukarıda verilen y = f(x) fonksiyonunun grafiğine
göre, y = f(2x) ve y = f(4x) fonksiyonlarının grafiklerinin y eksenini kestiği noktaların ordinatları toplamı kaçtır?
Çözüm
y = f(x), y = f(2x) ve y = f(4x) fonksiyonlarının grafiklerinin y eksenini kestiği noktalar aynıdır.
y = f(x) fonksiyonu y eksenini (0, –2) noktasında
kestiğinden, y = f(2x) ve y = f(4x) fonksiyonlarının
grafikleri de y eksenini (0, –2) noktasında keser.
Dolayısıyla y eksenini kestiği noktaların ordinatları
toplamı –2 + (–2) = – 4 tür.
75
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
ÖRNEK 14
y = f(x) ile y = – f(x) fonksiyonlarının grafikleri
y
x eksenine göre simetriktir.
y
y
–2
y = f(x)
c
a
c
x
3
–a
x
7
–1
x
b
b
0
y = f(x)
Yukarıda verilen y = f(x) fonksiyonunun grafiğine
göre, y = – f(x) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
y = – f(x)
Çözüm
y = f(x) ve y = – f(x) fonksiyonlarının grafikleri x eksenine göre simetrik olduğundan y = – f(x) in grafiği aşa-
ÖRNEK 12
ğıdaki gibidir.
Aşağıdaki grafik çiftlerini inceleyip birbiriyle karşılaş-
ESEN YAYINLARI
tırınız.
ÖRNEK 15
y
y = f(x)
1
–2
0
x
ÖRNEK 13
Aşağıdaki grafik çiftlerini inceleyip birbiriyle karşılaş-
Yukarıda verilen y = f(x) fonksiyonunun grafiğine
tırınız.
göre, y = – f(x) + 1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm
y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin x eksenine göre,
simetriği alınarak y = – f(x) fonksiyonunun grafiği
çizilir. y = – f(x) in grafiğini y ekseni boyunca +1 br
öteleyerek y = – f(x) + 1 fonksiyonunun grafiği çizilir.
76
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
ÖRNEK 18
y = f(x) ile y = f(– x) fonksiyonlarının grafikleri
y
y eksenine göre simetriktir.
2
y
y
–4
a
a
c
1
x
5
y = f(–x)
y = f(x)
b
0
y = f(x)
x
–c
–b
Yukarıda verilen y = f(x) fonksiyonunun grafiğine
göre, y = f(–x) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
x
Çözüm
y = f(x) ve y = f(–x) fonksiyonlarının grafikleri y eksenine göre simetrik olduğundan y = f(–x) in grafiği aşağıdaki gibidir.
ÖRNEK 16
Aşağıdaki grafik çiftlerini inceleyip birbiriyle karşılaş-
ESEN YAYINLARI
tırınız.
ÖRNEK 19
y
2
4
–1
0
x
y = f(x)
ÖRNEK 17
Aşağıdaki grafik çiftlerini inceleyip birbiriyle karşılaş-
Yukarıda verilen y = f(x) fonksiyonunun grafiğine
tırınız.
göre, y = f(–x) – 2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm
y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin y eksenine göre,
simetriği alınarak y = f(–x) fonksiyonunun grafiği
çizilir. y = f(–x) in grafiğini y ekseni boyunca –2 br
öteleyerek y = f(–x) – 2 fonksiyonunun grafiği çizilir.
77
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
Çözüm
ÖRNEK 20
y
y = f(x)
2
–3
0
1
5
x
Yukarıda verilen y = f(x) fonksiyonunun grafiğine
göre, y = – f(–x) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
TEK ve ÇİFT FONKSİYONLAR
f : A → B , y = f(x) fonksiyonunda ∀x ∈ A için f(–x) = – f(x) ise f fonksiyonu tek fonksiyondur.
∀x ∈ A için f(–x) = f(x) ise f fonksiyonu çift fonksiyondur.
® Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.
® Çift fonksiyonların grafikleri y eksenine göre simetriktir.
ÖRNEK 21
Aşağıdaki fonksiyonların tek veya çift fonksiyon olup olmadıklarını tespit ediniz.
a.
f:R→R
,
f(x) = x2 + 1
b.
g:R→R
,
g(x) = x3 – x
c.
h:R→R
,
h(x) = x + 2
Çözüm
78
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
ÖRNEK 22
ÖRNEK 24
f(x) = x2 ve g(x) = x3 fonksiyonlarının tek veya çift
f(x) çift fonksiyondur.
fonksiyon olup olmadıklarını grafiklerini çizerek belir-
f(x) – 2f(–x) = 3x2 – 6 olduğuna göre,
leyiniz.
f(x + 1) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 25
f(x) fonksiyonunun grafiği y eksenine göre simetriktir. f(x) = (a + 2)x3 + (a – 1)x2 + (b – 2)x + b ise
f(a.b) kaçtır?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
f(x) fonksiyonunun grafiği y eksenine göre simetrik
ise f(x) çift fonksiyondur. Bu durumda tek dereceli
terimlerin kat sayıları sıfır olmalıdır.
a + 2 = 0 ⇒ a = –2 ,
b – 2 = 0 ⇒ b = 2 olur.
3
f(x) = (–2 + 2)x + (–2 – 1)x2 + (2 – 2)x + 2
f(a.b) = f(–2.2) = f(– 4) olacağından
f(x) = –3x2 + 2 ⇒ f(– 4) = –3.(– 4)2 + 2 = – 46 olur.
ÖRNEK 23
ÖRNEK 26
f(x) fonksiyonu tek fonksiyondur.
4
3
2
f(x) fonksiyonunun grafiği orijine göre simetriktir.
f(x) + xf(–x) = –x + x – x + x ise
f(x) = (k – 2)x6 + (n + 3)x4 + (k + n)x3 + kx ise
f(3) kaçtır?
f(2) kaçtır?
Çözüm
Çözüm
f(x) tek fonksiyon ise f(– x) = – f(x) olur.
f(x) in grafiği orijine göre simetrik ise f(x) tek fonksiyondur. Bu durumda çift dereceli terimlerin kat
sayıları sıfırdır.
79
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
ÖRNEK 28
FONKSİYONLARDA DÖRT İŞLEM
f : R → R, f(x) = x + 2
f: A → R ve g: B → R verilsin. (A ∩ B ≠ Ø)
g : R → R, g(x) = x2 + 1 ise aşağıdakileri bulunuz.
® f + g : A ∩ B → R, (f + g)(x) = f(x) + g(x)
a. (f + g)(x)
b. (f – g)(x)
® f – g : A ∩ B → R, (f – g)(x) = f(x) – g(x)
c. (3f – 2g)(x)
d. (f.g)(x)
® f.g : A ∩ B → R, (f.g)(x) = f(x).g(x)
f
e. d n (x)
g
Çözüm
f (x)
f
f
, ( g(x) ≠ 0 )
: A + B " R, d n (x) =
g
g
g (x)
®
® c ∈ R olmak üzere,
c.f : A → R, (c.f)(x) = c.f(x)
ÖRNEK 27
g = {(1, 3), (3, 5), (5, 7) }
fonksiyonlarına göre aşağıdakileri bulunuz.
a. 2 . f
b. f + 4
c. f + g
d. f – g
e. f . g
f.
ESEN YAYINLARI
f = {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 5) }
f
g
Çözüm
ÖRNEK 29
f : R → R , f(x) = x2 – x
g : R → R , g(x) = 3x – 2
olduğuna göre, (f2 – f.g + 5.g)(2) kaçtır?
Çözüm
f(x) = x2 – x ⇒ f(2) = 22 – 2 = 2
g(x) = 3x – 2 ⇒ g(2) = 3.2 – 2 = 4
(f2 – f.g + 5.g)(2) = f2(2) – f(2).g(2) + 5.g(2)
80
ALIŞTIRMALAR -
1.
R → R ye tanımlı f(x) = 2x + 1 ve g(x) =
5.
x+1
2
fonksiyonlarına göre aşağıdakileri bulunuz.
a. (f + g)(1)
Aşağıdaki tabloyu uygun bir şekilde doldurunuz.
Fonksiyon
f
g (x)
(f + g) (x) (f – g) (x) (f.g) (x)
f(x) = x – 1
f
c. d n (1)
g
b. (f – g)(2)
1
g(x) = x
f(x) = x2 – 1
g(x) = x – 1
2.
y
f(x) = x2 + x
y = f(x)
g(x) = x3 + 1
1
x
2
0
6.
f(x) çift fonksiyondur.
2f(x) + f(–x) = x4 – 2x2 + 1 ise f(–1) kaçtır?
Yukarıda y = f(x) in grafiği verilmiştir.
3.
ESEN YAYINLARI
y = f(x + 2) – 1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
y
7.
f(x) fonksiyonunun grafiği y eksenine göre simetriktir.
f(x) = (m – 2)x5 + (m – 1)x4 + (n + 2)x3 + nx2 + 1
ise f(2) kaçtır?
2
x
0
y = f(x)
8.
f(x) fonksiyonunun grafiği orijine göre simetriktir.
f(x) = (a + 1)x4 + (b – 2)x3 + b + 3 ise
Yukarıda y = f(x) in grafiği verilmiştir.
f(2) kaçtır?
y = 1 – f(x) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
9.
4.
f(x) tek fonksiyondur.
f(x) – 3f(–x) = x3 – 5x ise f(1) kaçtır?
f(x) tek g(x) çift fonksiyondur.
f(x) – xf(–x) + g(x) – 2g(–x) = x2 + x – 2 ise
g(–1) kaçtır?
81
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
ÖRNEK 31
BİR FONKSİYONUN TERSİ
f : A → B , A = {1, 2, 3} , B = {0, 3, 8} ve f(x) = x2 – 1
ise f –1 fonksiyonunu liste yöntemiyle yazınız.
f : A → B , y = f(x) fonksiyonu 1–1 ve örten ise
tersi de bir fonksiyondur ve f –1 : B → A dır.
Çözüm
f(x) = x2 – 1 ⇒ f(1) = 12 – 1 = 0
® f(x) = y ⇔ x = f –1(y)
® (f –1)–1 = f
® f ile f –1 in grafikleri y = x e göre simetriktir.
® f(x) = ax + b ⇔ f –1(x) =
ÖRNEK 32
ÖRNEK 30
Aşağıdaki tabloda bazı fonksiyonlar ve tersleri ifade
edilmiştir. İnceleyiniz.
82
f : R → R, f(x) = 2x – 3 ise f –1(x) nedir?
ax + b
– dx + b
+ f –1 (x) =
cx + d
cx – a
f(x)
f –1(x)
3x – 5
x+5
3
3x – 2
4
4x + 2
3
–x + 3
–x + 3
2x
x
2
3x + 1
4x + 2
–2x + 1
4x – 3
4
2x – 1
x+4
2x
2x + 1
x
1
x–2
Çözüm
ESEN YAYINLARI
® f (x) =
x–b
a
f(x) = y ⇒ x = f –1(y) dir.
ÖRNEK 33
f : R → R, f(x) = 3x – 5 ise f –1(x + 1) fonksiyonunun
kuralını bulunuz.
Çözüm
y = f(x) ⇒ y = 3x – 5 ⇒ 3x = y + 5
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
ÖRNEK 34
ÖRNEK 37
f : R – {3 } → R – {1 } , f(x) =
x+2
olduğuna göre,
x–3
f : R → R , f(2 – x) = x – 1 ise f –1(–2) kaçtır?
Çözüm
f –1(2) kaçtır?
f(2 – x) = x – 1 ⇒ 2 – x = f –1(x – 1) dir.
Çözüm:
x – 1 = –2 ⇒ x = –1 dir.
f –1(x – 1) = 2 – x ifadesinde x = –1 alınırsa,
f –1(–1 – 1) = 2 – (–1) ⇒ f –1(–2) = 3 olur.
ÖRNEK 38
f : R → R , f(2x – 3) = x + 2 ise f(x) nedir?
Çözüm
f : R – {2 } → R – {1 } , f(x) =
ax + 2
fonksiyonu bire
x–b
bir ve örten ise f –1(2) nedir?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 35
ÖRNEK 39
f : (– ∞, 2] → [4, ∞) , f(x) = x2 – 4x + 8 ise f –1(x)
fonksiyonunun kuralını bulunuz.
Çözüm
y = x2 – 4x + 8 ⇒ y = x2 – 4x + 4 + 4
ÖRNEK 36
f : R – {1 } → R – {2 } , x =
f (x) + 1
ise f –1(x) nedir?
2 – f (x)
Çözüm
83
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
ÖRNEK 40
ÖRNEK 43
x–2
fonksiyonlarının gra2
fiklerini çizerek aralarındaki ilişkiyi tespit ediniz.
f : [–1, ∞) → [2, ∞) , f(x) = x2 + 2x + 3 ise f –1(x)
f(x) = 2x + 2 ve f –1(x) =
nedir?
Çözüm
2
Çözüm
2
y = x + 2x + 3 ⇒ y = x + 2x + 1 + 2
f : [2, ∞) → [–1, ∞), f(x) = x2 – 4x + 3 ise f –1(3) kaçtır?
Çözüm
–1
f (3) = a ⇒ f(a) = 3
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 41
ÖRNEK 44
y
f(x)
1
0
x
Yukarıda grafiği verilmiş olan f(x) fonksiyonunun tersinin grafiğini çiziniz.
Çözüm
ÖRNEK 42
f : R – {2} → R – {–2} , f c
f(x) ve f –1(x) fonksiyonlarının grafikleri y = x doğ2x – 1
m= x+1
x+3
olduğuna göre f(x) fonksiyonunun kuralını bulunuz.
Çözüm
84
rusuna göre simetrik olduğundan f –1(x) in grafiği
aşağıdaki gibidir.
ALIŞTIRMALAR -
1.
6.
Aşağıda sol sütunda verilen fonksiyonların terslerini sağ sütunda bulup eşleştiriniz.
2
f : R → R, f(x) = a x + 1 ve f(x) = f –1(x) ise f(a)
nedir?
a.
f(x) = 3x – 5
1.
7x + 4
x
b.
f(x) =
2x + 1
3
2.
–2
x –1
c.
f(x) =
x+2
3x + 4
3.
–2x + 3
x +1
d.
f(x) =
3–x
x+2
4.
–4x + 2
3x – 1
e.
f(x) =
x–2
x
5.
3x – 1
2
f.
f(x) =
4
x–7
6.
x+5
3
7.
f(x2 – 2x) = 5x2 – 10 x – 3 ise f –1(3) kaçtır?
8.
f(x) =
ax + b
fonksiyonu R – {3 } → R – {3 } ye
b – 2x
tanımlı bire bir ve örten bir fonksiyon ise f(2)
2.
f : R → R , f(x + 2) = 2x – 1 ise f –1(x) fonksiyonunun eşiti nedir?
3.
ESEN YAYINLARI
kaçtır?
9.
f : [1, ∞) → [2, ∞)
f(x) = x2 – 2x + 3 fonksiyonu için f –1(3) kaçtır?
f : R → R , f(x – 3) = 3x – 2 ise f –1(1) kaçtır?
10. f : A → [– 4 , 6] , f(x) = 2x + 4 fonksiyonu bire
4.
x+2
ise f(x) nedir?
f : R → R , f (x) =
3
5.
f : R – {2 } → R – {3 } , f –1(x) =
bir ve örten ise A kümesini bulunuz.
–1
nedir?
2x + 1
ise f(x)
x–3
11. f c
1
–2x – 3
ise f –1(x) nedir?
m=
x –1
x –1
85
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
ÖRNEK 47
FONKSİYONLARIN BİLEŞKESİ
f : R → R , f(x) = 2x + 1 ve (gof)(x) = 3x + 2 ise g(x)
f : A → B , x → y = f(x)
fonksiyonunu bulunuz.
g : B → C , y → z = g(y)
Çözüm
fonksiyonları verilmiş olsun.
gof : A → C ,
x → (gof)(x) = g(f(x))
fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir.
A
f
x
B
y = f(x)
g
C
z = g(y)
gof
® fog ≠ gof
® fo(goh) = (fog)oh
® (fog) –1 = g –1of –1
ÖRNEK 48
fof –1 = f –1of = I ( I: birim fonksiyon )
ÖRNEK 45
f : R → R , f(x) = 2x + 1 ve g : R → R , g(x) = 3x – 1
f : R → R , f(x) = 2x – 1
ESEN YAYINLARI
® fog = h ⇒ f = hog –1 ve g = f –1 oh
g : R → R , g(x) =
x+1
ise (gof –1)(2) kaçtır?
2
Çözüm
ise (fog)(x) ve (gof)(x) fonksiyonlarını bulunuz.
Çözüm
(fog)(x) = f(g(x)) = f(3x – 1) = 2(3x – 1) + 1
ÖRNEK 46
f : R → R , f(x) = 3x – 4 ve (fog)(x) = 2x + 1 ise g(x)
fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm
(fog)(x) = 2x + 1 ⇒ f(g(x)) = 2x + 1
ÖRNEK 49
f : R → R , f(x) = 3x – 1 ve g(x) = )
x+2 , x > 2
2x
, x≤2
ise (fog) (3) ve (gof)(1) ifadelerinin eşitini bulunuz.
Çözüm
(fog)(3) = f(g(3)) = f(3 + 2) = f(5) = 3.5 – 1 = 14
86
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
ÖRNEK 50
ÖRNEK 54
R → R ye tanımlı
f, g : R → R , f(x) = x – 2 ve (fog –1)–1(x) = 2x + 1
f(x) = x + 1 , g(x) = 2x + 1 , h(x) = x – 2 fonksiyonları
olduğuna göre, g(5) kaçtır?
için (fogoh)(x) fonksiyonu neye eşittir?
Çözüm
Çözüm
(fog –1)–1(x) = 2x + 1 ⇒ ((g –1)–1of –1)(x) = 2x + 1
(fogoh)(x) = f(g(h(x))) = f(g(x – 2))
ÖRNEK 51
ÖRNEK 55
Tanımlı olduğu bölgelerde,
f : R → R, (fof)(x) = 4x + 5
f(x) = x2 + 2x ve (gof)(x) = 2x2 + 4x + 1 ise g(x)
olduğuna göre, f(x) fonksiyonunu bulunuz.
fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm
(gof)(x) = 2x2 + 4x + 1 ⇒ g(f(x)) = 2(x2 + 2x) + 1
ESEN YAYINLARI
Çözüm
(fof)(x) = 4x + 5 ⇒ f(x) = ax + b biçimindedir.
ÖRNEK 52
f : R → R , f ( 3 x – 1) = x ise f(x) nedir?
Çözüm
3
x – 1 → x ise x → (x + 1)3 olacağından
ÖRNEK 56
ÖRNEK 53
y
y = f(x)
Tanımlı olduğu bölgelerde,
5
f(x2 – x + 1) = 5x2 – 5x + 1 ise f(x) fonksiyonu nedir?
3
Çözüm
f(x2 – x + 1) = 5x2 – 5x + 1 ⇒ f(x2 – x + 1) = 5x2 – 5x + 5 – 5 + 1
2
–5
0
4
x
Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonuna göre,
f –1(0) + f(0) + f(4) toplamının değeri kaçtır?
87
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
Çözüm
ÖRNEK 59
y
5
4
3
ÖRNEK 57
2
8
y
–2
3
0
2
3
4 5
6
7
y = f(x)
2
1
–4
3
–1 0
–1
x
4
Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonuna göre,
x
(fof)(x – 3) = 5 eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözüm
y = f(x)
Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonuna göre,
(fofof)(–1) ifadesinin eşiti kaçtır?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 60
ÖRNEK 58
y
y
y = f(x)
3
2
3
–3
–2
0
–3
0
3
x
–3
Yukarıda grafiği verilen y = f(x + 1) fonksiyonuna
göre, f –1(3) + f –1(2) + f –1(0) kaçtır?
Çözüm
Yukarıda grafiği verilen bire bir ve örten f fonksiyonuna göre,
Çözüm
88
x
y = f(x + 1)
f (– 3) + f –1 (0)
ifadesinin değeri nedir?
f (f (–2))
ALIŞTIRMALAR -
1.
R → R ye tanımlı f(x) = 3x
–
4.
1 ve g(x) = x + 1
b. (g o f)(x)
c. (f o f)(x)
d. (f o g –1 )(x)
e. (f o g)–1(x)
f. (f –1 o g –1 )(x)
5.
2.
f(x) = 4x – 1 ve (gof)(x) = 2x ise g(x) neye
eşittir?
fonksiyonlarına göre aşağıdakileri bulunuz.
a. (f o g)(x)
3
Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş ku-
f(x) = x + 1 ve (fog)(x) = 2x – 1 ise g(x) neye
eşittir?
tuya “ D “ yanlış olanlar için “ Y ” yazınız.
fog = gof
fo(goh) = (fog)oh
(fog)–1 = g –1 o f –1
ESEN YAYINLARI
fog = h ⇒ f = g –1oh
fog = h ⇒ f = hog –1
–1
fog = h ⇒ g = f oh
3.
6.
f(x) = 2x – 1 ve g(x) = *
x2
, x≥5
ise
2–x , x<5
(fog)(2) + (gof)(4) toplamı kaça eşittir?
x+1
olmak üzere,
2
sol sütunda verilen ifadelerin eşitini sağ sütunda
f(x) = 2x + 3 ve g(x) =
bulup eşleştiriniz.
y
7.
a.
(f o g)(1)
1.
–1
b.
(g o f)(2)
2.
4
c.
(f –1 o g)(1)
3.
5
d.
(f o g) –1(2)
4.
–4
e.
(g –1of –1 )(0)
5.
–2
f(x)
4
3
–1
0
–2
x
3 5 6
g(x)
Grafiği verilen f ve g fonksiyonlarına göre,
f (–1) + (fog) (5)
ifadesinin değeri nedir?
g –1 (0)
89
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
8.
12.
f:R→R, g:R→R
y
x+3
, g(x) = 2x – 5 ve (f o g–1)(a) = 1 ise
f(x) =
4
3
2
a kaçtır?
–1
x
3
0
y = f(x)
Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonuna göre,
(f o f)(–1) + (f –1 o f)(2) kaçtır?
9.
f(x) doğrusal fonksiyonu için f(3) = 5 ve
f –1(3) = 1 olduğuna göre, (f o f)(2) kaçtır?
13.
y
4
3
5
–1
(f o g)(x + 2) = 6x + 3
–1
ESEN YAYINLARI
10. g(x) = 2x + 1
x
4
0
y = f(x)
Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonuna göre,
(f o f o f)(–1) kaçtır?
olduğuna göre, f(2) kaçtır?
14.
y
4
–5
–3
0
11. f(x) = 4x olduğuna göre,
x
2
y = f(x)
(f o f o f o ..... o f)(2) kaçtır?
10 tane
Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonuna göre,
(f o f)(x + 2) = 4 ise x in alabileceği değerler toplamı kaçtır?
90
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
FONKSİYONLARLA İLGİLİ UYGULAMALAR
ÖRNEK 63
ÖRNEK 61
4m
Aşağıdaki tabloda doğrusal y = f(x) fonksiyonunun
6m
bazı x ve y değerleri verilmiştir.
15 m
x
2
4
y = f(x)
–1
5
Yukarıda ayrıtları verilmiş olan dikdörtgenler prizması
şeklindeki bir havuz sabit miktarda su akıtan bir musluk ile doldurulmaktadır. Buna göre, havuzdaki suyun
Tabloya göre, y nin x e göre değişim hızını bulunuz.
hacminin yüksekliğe bağlı olarak değişim oranını
Çözüm
(hızını) bulunuz ve bu fonksiyonun grafiğini çiziniz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 62
Yakıt (litre)
45
30
0
2
6
Zaman (saat)
Yukarıda bir aracın deposunda bulunan yakıt miktarının zamana göre değişim grafiği verilmiştir. Buna
göre, kalan yakıt miktarının zamana göre değişim
hızını bulunuz.
Çözüm
(Zaman, Yakıt) ikilileri (6, 0) , (2, 30) , (0, 45) olup
bunlardan rastgele iki tanesini aldığımızda,
91
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
ÖRNEK 64
ÖRNEK 66
y
y
f(x) = x2 + 2x – 3
f(x) = x2 – 4x + 3
a
0
1
0
x
b
x
3
c
Yukarıda grafiği verilen f(x) = x2 + 2x – 3 fonksiyonunun x eksenini kestiği noktaların apsisleri a ve b, y ek-
0 ≤ x ≤ 3 için ortalama değişim hızı nedir?
senini kestiği noktanın ordinatı c ise a + b + c kaçtır?
Çözüm
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Yukarıda grafiği verilmiş olan y = f(x) fonksiyonunun
ÖRNEK 67
y
b
ÖRNEK 65
y
y = f(x)
0
5
a
x
y = f(x)
2
x + 4 fonksiyonu3
nun x eksenini kestiği noktanın apsisi a ve y eksenini
Yukarıda grafiği verilen f(x) = –
3
0
kestiği noktanın ordinatı b ise a + b kaçtır?
2
5
x
Çözüm
f(x) = 0 ⇒ –
Yukarıda grafiği verilmiş olan y = f(x) fonksiyonunun
2 ≤ x ≤ 5 için ortalama değişim hızı nedir?
Çözüm
92
2
x+4=0
3
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
Çözüm
Artan ve Azalan Fonksiyonlar
f : A → B fonksiyonu için
® x1 < x2 için f(x1) < f(x2) ise f fonksiyonu artan
fonksiyondur.
y
y
f(x2)
f(x2)
f(x1)
f(x1)
a x1
0
x2
b
a x1
0
x
x2
b
x
® x1 < x2 için f(x1) > f(x2) ise f fonksiyonu azalan fonksiyondur.
y
y
f(x1)
f(x2)
0
a
x1
x2
b
x
0
a
x1
x2
b
x
® x1 < x2 için f(x1) = f(x2) ise f fonksiyonu sabit
ESEN YAYINLARI
f(x1)
f(x2)
fonksiyondur.
ÖRNEK 68
Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çizerek artan
veya azalan olup olmadıklarını tespit ediniz.
a.
f:R→R
,
f(x) = x – 1
b.
f:R→R
,
f(x) = 1 – x
c.
f:R→R
,
f(x) = x2
d.
f : R – {0} → R – {0} , f(x) =
e.
f:R→R
,
f(x) = x3
f.
f:R→R
,
f(x) = 2
1
x
93
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
Fonksiyonun Maksimum ve Minimum Noktaları
®
değer 2 dir. F noktası yerel minimum noktası-
y
dır.
f(v)
®
f(u)
0
a p u q
b
m v n
sıdır.
®
[2, 16 ] aralığında f(x) in alabileceği en küçük
değer 1 olduğundan A noktası mutlak minimum
u ∈ (p, q) ve ∀x ∈ (p, q) için f(u) ≤ f(x) ise f
noktasıdır. Yine bu aralıkta f(x) in alabileceği en
fonksiyonu u noktasında bir yerel minimuma
sahiptir denir.
®
(12, 16) aralığında f(x) in alabileceği en büyük
değer 6 dır. G noktası yerel maksimum nokta-
x
f: A → R, A ⊂ R, u ∈ A ve v ∈ A olsun.
®
(10, 14) aralığında f(x) in alabileceği en küçük
büyük değer 7 olduğundan D noktası mutlak
maksimum noktasıdır.
v ∈ (m, n) ve ∀x ∈ (m, n) için f(v) ≥ f(x) ise f
fonksiyonu v noktasında bir yerel maksimuma
sahiptir denir.
ÖRNEK 69
y
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangilerinin x = c apsisli
D
G
B
6
ESEN YAYINLARI
7
4
3
C
2
1
0
E
F
A
2
K
4
6
8
10
12
14
16
noktasında maksimumu veya minimumu vardır?
I.
0
x
II.
y
x
c
y
0
g
x
c
f
Yukarıdaki şekilde bir f fonksiyonunun [2, 16 ]
aralığındaki grafiği görülmektedir.
III.
IV.
y
y
k
h
®
(2, 6) aralığında f(x) in alabileceği en büyük
c
0
değer 6 dır. B noktası yerel maksimum noktasıdır.
®
(4, 8) aralığında f(x) in alabileceği en küçük
değer 3 tür. C noktası yerel minimum noktasıdır.
®
(6, 10) aralığında f(x) in alabileceği en büyük
değer 7 dir. D noktası yerel maksimum noktasıdır.
®
(8, 12) aralığında f(x) in alabileceği en büyük
veya en küçük değer yoktur.
94
Çözüm
x
0
c
x
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
ÖRNEK 70
ÖRNEK 72
y
y
y = f(x)
0
–1
5
y = f(x)
x
3
2
1
–4
–2
–2
3
0
6
x
7
–3
Şekildeki grafik y = f(x) fonksiyonuna aittir. Buna
göre, f(x) ≤ 0 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının
f : [– 4, 7] → [–3, 5] olmak üzere, yukarıda grafiği ve-
toplamı kaçtır?
rilen y = f(x) fonksiyonuna göre,
Çözüm
a.
f(x) in yerel maksimum ve yerel minimum değerlerini bulunuz.
b. f(x) in artan ve azalan olduğu bölgeleri bulunuz.
c.
f(x) in pozitif veya negatif olduğu bölgeleri bulunuz.
d. f(x) in [– 4, –2] aralığındaki ortalama değişim
ESEN YAYINLARI
hızını bulunuz.
ÖRNEK 71
Çözüm
y
y = f(x)
–3
–1
0
5
x
–2
Şekildeki grafik y = f(x) fonksiyonuna aittir. Buna göre,
f(x) > 0 eşitsizliğini sağlayan x değerleri nelerdir?
Çözüm
95
ALIŞTIRMALAR -
1.
3.
y
f(x) = x2 – 3x + 1 fonksiyonunun 0 ≤ x ≤ 2 için
ortalama değişim hızı kaçtır?
y = f(x)
6
4
4
2
2
–5
–2
0
–1
–2
3
4
1
x
5
4.
f: [–5, 5 ] → [–2, 6 ] olmak üzere, yukarıda grafiği
(2, –1) ve (3, 2) noktalarından geçen doğru için
y nin x e göre değişim hızı kaçtır?
verilen y = f(x) fonksiyonuna göre, aşağıdakileri
bulunuz.
a. f(x) in yerel maksimum değerlerinin toplamı
kaçtır?
b. f(x) in mutlak maksimum değeri kaçtır?
5.
y
c. f(x) in yerel minimum değerlerinin toplamı
y = f(x)
kaçtır?
–2
ESEN YAYINLARI
d. f(x) in mutlak minimum değeri kaçtır?
5
0
–4
2
4
x
6
y = f(x) fonksiyonunun grafiğine göre, f(x) ≤ 0
eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tam sayısı vardır?
2.
y
6.
y
3
y = f(x)
y = f(x)
–2
–1
0
1
3
4
x
–2
4
0
2
6
x
–1
Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun
yerel maksimum veya yerel minimum noktaları-
Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun
nın apsisleri toplamı kaçtır?
azalan olduğu en geniş aralık nedir?
96
Yazılıya Hazırlık Soruları
y
1.
y
4.
2
3
y = f(x)
1
–3
–3
0
2
2
0
x
y = f(x)
3
x
4
–2
Yukarıda verilen y = f(x) fonksiyonunun grafiği-
f : [–3, 4] → [–2, 2] olmak üzere, yukarıda grafiği
ne göre, y = – f(–x) fonksiyonunun grafiğini çizi-
verilen y = f(x) fonksiyonuna göre, aşağıdakileri
niz.
bulunuz.
a. f(x) in yerel maksimum değerlerini bulunuz.
b. f(x) in yerel minimum değerlerini bulunuz.
c. f(x) in negatif olduğu en geniş aralığı bulunuz.
d. f(x) in [–3, 0] daki ortalama değişim hızını
ESEN YAYINLARI
bulunuz.
2.
3.
f = {(0, 2), (1, 3), (2, 5) }
5.
f(x) fonksiyonunun grafiği orijine göre simetriktir.
g = {(x, x + 1) : x ∈ {1, 2, 3 } }
f(x) – f(–x) = ax3 + (b – 1)x2 + x ve f(1) = 2 ise
olduğuna göre, f + 2g fonksiyonunu bulunuz.
a kaçtır?
x+3
ve f(2) = 8 ise
x–2
g(7) kaça eşittir?
f –1(3x – g(x)) =
6.
f: R – {2 } → R – {–1 }
ax + 2
fonksiyonu bire bir ve örten bir
bx + 3
fonksiyon ise f(1) kaçtır?
f(x) =
97
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
7.
9.
f(x) = ax + 8, g(x) = 2x – 6 ve
(fog)(x) = (gof)(x) olduğuna göre (fof)(0) ın
(f3of2)(1) = 23 ise k kaçtır?
f(2x + 3) = 3x + 4 ve g–1(4x – 6) = 5x + 9
–1 –1
olduğuna göre (fog ) (–2) nin değeri kaçtır?
ESEN YAYINLARI
değeri kaçtır?
8.
fn(x) = n2x – 3n + k olmak üzere,
10.
y
5
3
–1
0
x
2
y = f(3 – 2x)
Grafiği verilen y = f(3 – 2x) fonksiyonuna göre,
f(–1) + f(3) + f –1(5) ifadesinin değeri kaçtır?
98
1
TEST –
Fonksiyonlar
1.
y
4.
f(x) = *
2
x +1 ,
x ≤ 0 ise
x – 2 , x > 0 ise
olduğuna göre, (f o f)(1) kaçtır?
A) –3
x
1
0
B) –2
C) –1
D) 0
E) 1
y = f(x)
Yukarıda verilen y = f(x) fonksiyonunun grafiğine göre, aşağıdaki fonksiyonlardan hangisinin
grafiği orijinden geçer?
A) y = – f(x) + 1
B) y = – f(x) + 2
C) y = f(–x) – 1
D) y = f(–x) + 2
5.
E) y = – f(–x)
f(x + 2) = 3x + 1 ve g(x) = x + 2 olduğuna göre,
(f o g –1 )(3) kaçtır?
2.
f : R → R, f(x) = x + 2
g : R → R, g(x) = x2 + 1
ise aşağıdakilerden hangisi 2f + g fonksiyonu-
B) –1
C) 0
D) 2
E) 4
ESEN YAYINLARI
A) –2
nun elemanı değildir?
A) (2, 13)
B) (1, 8)
D) (–1, 4)
C) (0, 5)
6.
E) (–2, –3)
(f o f)(x) = 9x – 4 olduğuna göre, f(x) fonksiyonu
aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 3x – 2
B) 3x – 1
D) –3x – 2
3.
C) 3x + 1
E) –3x – 1
y
3
2
2
–3
0
x
1
7.
Yukarıdaki grafik f(x) fonksiyonuna aittir.
Buna göre (fofof)(1) nedir?
A) 3
B) 2
C) 1
x < –1 olmak üzere,
f(x) = x2 + 2x – 3 fonksiyonuna göre,
f –1(–3) kaçtır?
D) 0
E) –3
A) –2
B) –3
C) – 4
D) –5
E) –6
99
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
8.
12.
y
y
2
y = f(x)
1
–4
0
–1
0
1
x
3
x
1
Şekildeki grafik y = f(x) fonksiyonuna aittir.
Şekilde y = f(x) in grafiği verilmiştir. Buna göre
Buna göre (fof)(3x – 1) = 2 ise x kaçtır?
f(x) ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
A) 1
B)
1
2
C)
1
3
D)
1
4
E)
1
6
A) (– ∞, – 4 ]
B) [– 4, 3 ]
C) [– 4, 0 ] ∪ [1, 3]
D) (–∞, – 4 ] ∪ [0, 1 ]
E) (– ∞, – 4 ] ∪ [1, 3 ]
(fofof)(x) = –8x + 6 olduğuna göre, f(3) kaçtır?
A) – 4
B) –
1
2
C) 0
D)
1
2
13. f(x) fonksiyonu çift fonksiyondur.
E) 4
ESEN YAYINLARI
9.
(x2 – 1)f(x) + f(–x) = x4 + x2 ise f(1) kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
10. f(x + 1) = 3x – 1 ve g(x – 1) = 4x – 2 ise
14. f : R – {a } → R – {b } , f(x) =
(g–1of )(2) değeri nedir?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
bire bir ve örten bir fonksiyon ise a + b kaçtır?
A) –5
100
C) –12
D) 14
C) 1
D) 3
E) 5
daki ortalama değişim hızı kaçtır?
olduğuna göre, (gof)(–2) kaçtır?
B) –21
B) –1
15. f(x) = –x2 + 4x – 5 fonksiyonunun [0, 2] aralığın-
11. f(3x + 1) = 5x + 6 ve g(x + 4) = 7x – 1
A) –22
2x – 1
fonksiyonu
3–x
E) 16
A) 1
B)
3
2
C) 2
D)
5
2
E) 3
2
TEST –
Fonksiyonlar
y
1.
4.
3
–2
ax – 1
fonksiyonu veriliyor. Buna göre, ab
x–b
kaçtır?
f(x) =
y = f(x)
0
x
7
4
f : R – { 2 } → R – { 3 } de tanımlı bire bir ve örten
A)
1
9
B)
1
8
C) 4
D) 8
E) 9
Yukarıda verilen y = f(x) fonksiyonunun grafiğine göre, y = f(–x) fonksiyonunun grafiğinin
x eksenini kestiği noktalarının apsisleri toplamı
kaçtır?
A) –9
B) –5
C) 5
D) 7
5.
E) 9
f(x) = 2x + 3 ve g(x) = 2x – 1 ise
(fog–1)(x) aşağıdakilerden hangisidir?
A) x – 2
B) x – 1
D) x + 3
f = {(–2, 2), (–1, 1), (0, 0), (1, –1) }
g = {(–1, 2), (0, 1), (1, 3), (2, 5) }
fonksiyonlarına göre, f – 2g fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
A) {(–1, –3), (0, –2), (1, –11) }
ESEN YAYINLARI
2.
C) x + 2
E) x + 4
6.
B) {(–1, –3), (0, –2), (1, –7) }
f–1(1) kaçtır?
C) {(–2, 2), (–1, 3), (0, –2), (1, –11), (2, –10) }
D) {(–2, 2), (2, –10) }
A) –
E) {(–1, 3), (0, –2), (1, –7) }
3.
xf(x) + 2x = 2f(x) – 3 olduğuna göre,
1
3
B) –
1
2
C)
1
2
D)
1
3
E) 1
y
f(x)
7.
(4, 3)
(3, 2)
x
0
A) {(1, 2), (2, 3), (3, 3) }
f(x) in grafiği şekilde gösterildiği gibidir.
B) {(1, 2), (2, 3), (3, 1) }
g(x) = (2x – 5).f(x – 1) olduğuna göre,
C) {(1, 1), (2, 2), (3, 1) }
(gof –1)(3) kaçtır?
A) 2
B) 3
A = {1, 2, 3 } kümesi üzerinde tanımlı aşağıdaki
fonksiyonlardan hangisinin tersi de bir fonkiyondur?
D) {(1, 1), (2, 1), (3, 2) }
C) 4
D) 5
E) 6
E) {(1, 3), (2, 1), (3, 1) }
101
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
8.
y
12.
f(x)
5
y
4
2
3
–4
2
–2
2
0
–4
x
3
–4
–3
x
0
f(x + 1)
Şekilde verilen y = f(x + 1) fonksiyonunun grafiYukarıda grafiği verilen f fonksiyonuna göre
ğine göre,
(fof) (–2) + f (2)
kaçtır?
f –1 (–3)
A) –3
9.
B) –2
C) –1
D) 1
A) –2
E) 2
Tanımlı olduğu bölgelerde,
f(x) = 3x – 2 ve f (x) + x . g(x + 1) = 3x – 2
C) 3
D) 4
E) 5
10. f : R → R , f(x + 3) = 2x + 5 ve
f –1(2k – 3) = 4 olduğuna göre, k nedir?
A) 4
B) 5
C) 6
C) –
1
2
D)
1
2
E)
1
4
D) 8
E) 9
(gof)(–3) kaça eşittir?
ESEN YAYINLARI
olduğuna göre, g(5) kaçtır?
B) 2
B) –1
13. f(x – 1) = 2x2 ve g(x + 2) = x2 + 1 olduğuna göre,
–1
A) 1
f –1 (0) + f –1 (2)
kaçtır?
f (4) – f (3)
A) 36
B) 37
C) 38
D) 39
E) 40
14. f fonksiyonu sabit fonksiyondur.
g(x) = 2x + 6 ve (fog)(x) = (gof)(x) ise
f(3) kaçtır?
A) –6
B) –3
C) 0
D) 3
E) 6
11. Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi artandır?
A) f : R– → R
, f(x) = x2
B) f : R → R
, f(x) = x2 + 1
C) f : R → R
1
, f(x) =
x
D) f : R+ → R
, f(x) = x2
E) f : R+ → R– , f(x) = –x2
102
15. f(x) =
x
– 1 fonksiyonunun koordinat eksenlerini
3
kestiği noktaların koordinatları toplamı kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
5
TEST –
Fonksiyonlar
y
1.
4.
A = {a, b, c, d } kümesinde tanımlı
f = {(a, c), (b, d), (c, b), (d, a) }
y = f(x)
g = {(a, b), (b, c), (c, d), (d, a) }
fonksiyonlarına göre, fog fonksiyonu aşağıdaki-
1
0
lerden hangisidir?
x
2
A) {(a, d), (b, c), (c, a), (d, b) }
Yukarıda verilen y = f(x) parabolünün tepe nok-
B) {(a, c), (b, d), (c, a), (d, b) }
tasının koordinatları (2, 1) olduğuna göre,
C) {(a, d), (b, c), (c, b), (d, a) }
y = f(x – 2) + 3 parabolünün tepe noktası aşağı-
D) {(a, d), (b, b), (c, a), (d, c) }
dakilerden hangisidir?
A) (4, 4)
E) {(a, d), (b, a), (c, c), (d, b) }
B) (4, 3)
D) (0, 4)
C) (3, 4)
E) (0, 3)
2.
ESEN YAYINLARI
5.
y
5
4
f : R – {3 } → R – {2 } , f(x) =
ax + 1
fonksiyonu
x–b
bire bir ve örten bir fonksiyon ise a + b kaçtır?
A) –5
B) –1
C) 1
D) 3
E) 5
3
2
1
0
1
2
3 4
5 6
7
x
–2
6.
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
3.
f(x) =
B) 3
C) 4
D) 5
f(x) = f –1(x) ise a kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
A) 5
E) 6
ax + 3
fonksiyonu bire bir ve örtendir.
x+2
ax + 3
m = x – 2 ve f –1(0) = 5 ise
2
a kaçtır?
(fof)(x) = 2 ise x kaçtır?
A) 2
f : R → R , fc
7.
B)
9
2
C) 4
D)
7
2
E) 3
Bire bir ve örten olan bir f fonksiyonu A(–2, 3)
noktasından geçmektedir.
f –1(x + 2n) = x + 5 ise n kaçtır?
D) 1
E) 2
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
107
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
8.
y
11. f : R → R , g : R → R
y = f(x)
f(x) = x3 ,
g(x) = 2x + 1 ve
(g –1 of –1 )(a) = 1 ise a kaçtır?
0
–2
1
x
3
A) 9
B) 18
C) 24
D) 27
E) 36
Şekilde y = f(x) in grafiği verilmiştir. Buna göre
f(x) ≥ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
A) [–2, 1)
B) (–∞, –2 ]
C) [–2, ∞) – {1 }
D) (–∞, – 2 ] ∪ [1, ∞)
12. f : R – {3 } → R – {1 } , f(x) =
E) (– ∞, – 2 ] ∪ [1, 3]
ax – 7
x–3
fonksiyonunun tersinin grafiği üzerindeki koordinatları tam sayı olan kaç tane nokta vardır?
A) 8
C) 4
D) 3
E) 2
f(x) fonksiyonunun grafiği orijine göre simetriktir.
ESEN YAYINLARI
9.
B) 6
f(x) = x5 + (n + 1)x4 + (m – 3)x3 + m + n – 5
olduğuna göre f(n) kaçtır?
A) –5
B) –4
C) –3
D) –2
E) –1
13. f : R – {1 } → R – {2 } , f(x) =
2x + 3
x –1
ve f(g(x)) = x olduğuna göre, g(7) kaçtır?
A) 0
10.
y
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
y
f(x)
2
1
–2
0
2
x
–1
1
2
x
–1 0
–1
g(x)
Yukarıdaki şekillerde f ve g fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.
108
B) 1
C) 0
D) –1
aralık aşağıdakilerden hangisidir?
A) (– ∞, 0]
Buna göre, (g –1ofog)(–1) değeri nedir?
A) 2
14. f(x) = x2 fonksiyonunun artan olduğu en geniş
E) –2
B) (–1, 0]
D) [0, ∞)
C) [0, 1)
E) [1, ∞)
Üniversiteye Giriş Sınav Soruları
1.
1988 – ÖYS
(fog) (x) =
4.
x
ve g(x) = x + 1 olduğuna göre,
x2 + 1
f (x) =
x+1
x 2 + 2x + 2
D)
B)
x –1
x 2 – 2x + 2
x2 + 1
x
E)
C)
2x + u
x–9
ve (fof) (x) =
olduğuna
x+1
3x – 2
göre, u kaçtır?
f(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
A)
1990 – ÖYS
A) –3
x2 + 1
x+1
x
x+1
5.
B) –2
C) –1
D) 0
E) 1
1990 – ÖYS
Z 1
,
x<0
]
–1 , x < 0
f(x) = )
g(x) = [ x + 1 , 0 ≤ x < 1
x –1 , x≥ 0
] 0
,
1≤ x
\
olduğuna göre (f + g)(x) in grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
y
y
2
0
1989 – ÖYS
(fog) (x) =
x
ve f(x) = x + 1 olduğuna göre,
x2 + 1
g(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
A) –
x2
x2 + x + 1
D)
B)
x –1
x 2 – 2x + 2
x
x+1
E)
C)
x
1
–1
ESEN YAYINLARI
2.
0
C)
D)
y
x
1
y
1
x
0
1
x+1
E)
0
1
x
y
–x 2 + x – 1
x2 + 1
0
1
x
–1
6.
3.
1989 – ÖYS
fc
x+1
x–2
m=
ise uygun koşullar altında
x–2
x+1
1992 – ÖSS
f(2x + 1) =
lerden hangisidir?
f(x) aşağıdakilerden hangisidir?
A)
x+1
x
D)
B)
1
x+1
x
x –1
C)
E)
1
x –1
1
x
x2 + 3
olduğuna göre, f(x) aşağıdaki5
A)
4 2
(x – x + 1)
5
C)
x2 + 3
5
E)
x 2 – 2x + 13
20
B)
D)
4 2
(x + x + 1)
5
x 2 + 2x + 13
12
111
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
7.
1994 – ÖSS
10. 1996 – ÖYS
2
f(x) = x + 2x
f(x) = ax + b, f –1(3) = 4, f –1(2) = 5 olduğuna göre,
(fog)(x) = x2 + 6x + 8 olduğuna göre, g(x) aşa-
a.b çarpımı kaçtır?
ğıdakilerden hangisi olabilir?
A) –7
A) x2 + x
B) x2 – 2
D) x – 2
B) –6
C) –5
D) 3
E) 6
C) x2 + 2
E) x + 2
11. 1997 – ÖSS
f(x) : R – {1 } → R – {3 } , x =
f ( x) + 2
olduğuna
3 – f (x)
göre f –1(x) aşağıdakilerden hangisidir?
A)
8.
1995 – ÖSS
x
olduğuna göre, f(x – 1) in f(x) türünx+1
den değeri aşağıdakilerden hangisidir?
x–3
x+1
D)
A)
f (x) + 1
2f (x)
B)
f (x) + 2
2f (x)
C)
D)
2f (x) + 1
f (x)
E)
2f (x) – 1
f (x)
2f (x) + 1
2f (x)
2x + 1
3–x
C)
E)
x+2
3–x
2x + 3
3–x
ESEN YAYINLARI
f(x) =
x+3
x–2
B)
12. 1997 – ÖYS
y
2
2
0
x
1
–3
f(x)
9.
Yukarıda grafiği verilen f(x) fonksiyonu [0, 2] de
1995 – ÖYS
f(x) = 2x + 1, g(x) =
2x – 1
, (g–1of)(x) = –16
x+5
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 1
112
B) 2
C) 3
D) 4
E) 8
bire bir ve örtendir.
Buna göre,
A) –
5
2
f (2) + f –1 (2)
ifadesinin değeri kaçtır?
f (f (1))
B) –
3
2
C) 0
D)
1
2
E)
3
2
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
13. 1997 – ÖYS
16. 1998 – ÖYS
ax – 4
f : R – {2 } → R – {3 } , f(x) =
veriliyor.
3x – b
x < –3, f(x) = x2 + 6x – 2 olduğuna göre
f –1(x) aşağıdakilerden hangisidir?
f(x) fonksiyonu bire bir ve örten olduğuna göre,
(a, b) sıralı ikilisi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (5, 4)
B) (2, 3)
D) (6, 6)
C) (2, 6)
A) –9 –
x+9
B) –3 –
x+9
C) –3 –
x + 11
D) 6 –
x + 11
E) 3 +
E) (9, 6)
11x
17. 1999 – ÖSS
y
3
14. 1998 – ÖSS
2x + 1
R – {1 } de tanımlanan f(x) =
fonksiyonux –1
nun değer kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
B) R – {3 }
D) R – {1 }
x
6
4
g(x)
–2
C) R – {2 }
E) R – {0 }
2
0
ESEN YAYINLARI
A) R
f(x)
Yukarıda f doğrusal fonksiyonu ile g fonksiyonunun grafikleri verilmiştir. Buna göre,
(f –1og)(6) + (gof –1)(–1) değeri kaçtır?
A)
3
2
B)
5
2
C) 0
D) 3
E) 9
15. 1998 – ÖSS
y
18. 2000 – ÖSS
g(x)
y
3
g(x) = x3
2
8
0
1
2
3
4
–2
f(x)
x
0
f(x)
2
x
4
Yukarıda f(x) ve g(x) fonksiyonlarının grafiği
verilmiştir. Grafikteki bilgilere göre,
Yukarıdaki şekilde, f(x) fonksiyonu ile g(x) = x3
g (1) + (fog) (2)
değeri kaçtır?
f (4)
fonksiyonunun grafikleri verilmiştir. Buna göre
A) –
1
2
B) –1
C) 0
D) 1
(fog–1of)(0) değeri kaçtır?
E)
1
2
A) – 4
B) –2
C) 0
D) 4
E) 8
113
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
19. 2007 – ÖSS
21. 2011 – LYS
f(x) = ||x – 3| – 2| fonksiyonunun grafiği ile
f : R → R parçalı fonksiyonu
g(x) = 4 fonksiyonunun grafiğinin kesim noktala-
f(x) = *
rının apsisleri toplamı kaçtır?
A) 16
B) 14
C) 10
D) 8
3x + 1 , x rasyonelse
x2
, x rasyonel değilse
biçiminde tanımlanıyor.
E) 6
Buna göre, (fof) d
2
n aşağıdakilerden hangi2
sidir?
B) v2 + 2
A) 3v2 + 2
D)
20. 2011 – YGS
f(x) = 3x – 6
g(x) = (x – 2)2
fonksiyonları veriliyor.
Buna göre, (gof –1)(x) aşağıdakilerden hangisine
A)
3x 2
–1
2
D)
114
B) (3x + 4)2
x2
9
C) x2 – 4x + 2
E) (3x – 8)2
ESEN YAYINLARI
eşittir?
5
2
E)
C)
7
2
1
4
DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELENMESİ
. ÜNİTE
3. ÜNİTE
3. ÜNİTE
3. ÜNİTE
Doğrunun Analitik İncelenmesi
1.
Kazanım
: Analitik düzlemde iki nokta arasındaki uzaklığı veren bağıntıyı oluşturur ve
uygulamalar yapar.
2.
Kazanım
: Bir doğru parçasını belli bir oranda (içten veya dıştan) bölen noktanın
koordinatlarını hesaplar.
3.
Kazanım
: Analitik düzlemde doğru denklemini oluşturur ve denklemi verilen iki doğrunun
birbirine göre durumlarını inceler.
4.
Kazanım
: Bir noktanın bir doğruya uzaklığını açıklar ve uygulamalar yapar.
3. ÜNİT
Doğrunun Analitik İncelenmesi
ANALİTİK DÜZLEM
0 (sıfır) sayısına karşılık gelen O noktasında birbirine dik olan biri yatay diğeri düşey iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme, dik koordinat sistemi; bu sayı doğrularının belirttiği düzleme de analitik düzlem denir.
y
Dik koordinat sistemini oluşturan sayı eksenlerinden;
4 (ordinat)
3
® Yatay olanına (xx′) apsisler ekseni
2
1
x′
O
–4 –3 –2 –1 0
–1
1
2
3
x
(apsis)
4
® Düşey olanına (yy′) ordinatlar ekseni
® Eksenlerin kesiştiği noktaya orijin (başlangıç noktası)
–2
® Apsis ve ordinat eksenlerinin oluşturduğu sisteme,
–3
koordinat sistemi denir.
–4
y′
y
(a, b) sıralı ikilisine karşılık gelen noktayı A ile gösterirsek
A(a, b)
b
A noktası A(a, b) biçiminde yazılır.
apsis ordinat
0
a
x
a ya A noktasının apsisi, b ye A noktasının ordinatı,
(a, b) sıralı ikilisine A noktasının koordinatları denir.
Koordinat sisteminde, x ekseni üzerindeki noktaların ordinatları sıfırdır. y ekseni üzerindeki noktaların apsisleri
sıfırdır.
ÖRNEK 1
ÖRNEK 2
A(2, 3) , B(– 4, 2) , C(–1, – 5) ve D(6, –2) noktalarını
A(2, 0) , B(– 4, 0) , C(0, 3) ve D(0, –5) noktalarını
analitik düzlemde gösteriniz.
analitik düzlemde gösteriniz.
Çözüm
Çözüm
116
Doğrunun Analitik İncelenmesi
ÖRNEK 3
A(– 4, 3) noktasının eksenlere olan uzaklıkları toplamını bulunuz.
Çözüm
A(a, b) noktasının eksenlere olan uzaklıkları toplamı: | a | + | b | dir.
y
ÖRNEK 4
A(a – 2, 3) noktasının y eksenine olan uzaklığı 3
birim ise a nın alabileceği değerleri bulunuz.
Çözüm
Koordinat sistemini oluşturan eksenler, analitik düzlemi dört bölgeye ayırır.
y
II. BÖLGE
x<0
y>0
I. BÖLGE
x>0
y>0
A(x, y) noktasının koordinatları için,
x > 0 ve y > 0 ise nokta I. bölgededir.
x
x < 0 ve y > 0 ise nokta II. bölgededir.
x<0
y<0
x>0
y<0
x < 0 ve y < 0 ise nokta III. bölgededir.
III. BÖLGE
IV. BÖLGE
x > 0 ve y < 0 ise nokta IV. bölgededir.
ÖRNEK 5
ÖRNEK 6
A(2a – 8, a + 4) noktası analitik düzlemin II. bölgesin-
A(a – 2, 3) ve B(–3, 1 – b) noktaları analitik düzlemin
de ise a nın alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz.
aynı bölgesinde ise a + b hangi aralıkta değer alır?
Çözüm
Çözüm
117
Doğrunun Analitik İncelenmesi
İKİ NOKTA ARASINDAKİ UZAKLIK
ÖRNEK 8
Analitik düzlemde A(x1, y1) ve B(x2, y2) ise
|AB| =
A(m, 2) ve B(3, –2) olmak üzere, |AB| = 5 birim ise
m nin alabileceği değerleri bulunuz.
(x 2 – x 1) 2 + (y 2 – y 1) 2 dir.
Çözüm
y
B
y2
y2 – y1
y1
0
A
x2 – x1
x1
C
x2
x
BAC dik üçgeninde,
ÖRNEK 9
|AC| = x2 – x1 ve |BC| = y2 – y1 olacağından
A(2, –3) ve B(–2, 1) noktalarına eşit uzaklıkta bulu-
|AB|2 = |AC|2 + |BC|2
nan x ekseni üzerindeki C noktasının apsisi nedir?
|AB|2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
(x 2 – x 1) 2 + (y 2 – y 1) 2 bulunur.
ESEN YAYINLARI
|AB| =
Çözüm
ÖRNEK 7
Aşağıdaki nokta çiftleri arasındaki uzaklıklar bulunmuştur. İnceleyiniz.
a.
A(5, 1) , B(4, 6)
|AB| =
b.
A(–2, 3) ve B(1, 2) noktalarına eşit uzaklıkta bu-
(5 – 4) 2 + (1 – 6) 2 = 26
(2 + 1) 2 + (1 + 3) 2 = 5
E(–3, 2) , F(4, –1)
|EF| =
118
(– 3 – 4) 2 + (2 + 1) 2 =
lunan y ekseni üzerindeki C noktasının ordinatı
nedir?
Çözüm
C(2, 1) , D(–1, –3)
|CD| =
c.
ÖRNEK 10
58
Doğrunun Analitik İncelenmesi
ÖRNEK 11
ÖRNEK 12
Ardışık olmayan iki köşesinin koordinatları A(–1, 2)
A(2, 3) , B(4, 3) ve C(a, b) olmak üzere A, B, C
2
ve C(3, 4) olan ABCD karesinin alanı kaç br dir?
noktaları doğrusaldır.
Çözüm
|AC| = |BC| ise a kaçtır?
Çözüm
Uç noktaları, A(x1, y1) ve B(x2, y2) olan [AB] nın
orta noktası C(x0, y0) ise
y + y2
dir.
x 0 = x 1 + x 2 ve y 0 = 1
2
2
ESEN YAYINLARI
ORTA NOKTA
ÖRNEK 13
A(2, 4) , B(0, 2) ve C(–1, 3) olmak üzere ABC
üçgeninin AB kenarına ait kenarortay uzunluğu kaç
birimdir?
y
Çözüm
B
y2
y0
y1
C
A
0
x1
x0
x2
x
|AC| = |CB| ⇒ |A′C′| = |C′B′| olur.
|A′C′| = x0 – x1 ve |C′B′| = x2 – x0 olduğundan
|A′C′| = |C′B′| ⇒ x0 – x1 = x2 – x0
⇒ x0 = x 1 + x 2 olur.
2
Benzer yöntemle, y0 =
y1 + y2
bulunur.
2
119
Doğrunun Analitik İncelenmesi
ÖRNEK 14
ÖRNEK 16
A
D(k, p)
C(x, y)
E(5, 2)
F(1, 0)
A(a, b)
B
B(c, d)
C
D(3, –1)
ABC üçgeninde kenar orta noktaları
ABCD paralelkenarında, a + x = k + c ve
D(3, –1) , E(5, 2) ve F(1, 0) dır.
b + y = p + d olduğunu gösteriniz.
Buna göre C noktasının koordinatlarını bulunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 17
K
D
C
F
L
ÖRNEK 15
D(5, 0)
C(x, y)
A
E
B
ABCD dörtgeninin kenar orta noktaları E(2, 3)
F(–1, 4) , K(3, –2) , L(a, b) olduğuna göre
a + b nedir?
A(2, 3)
B(–1, 2)
Çözüm
ABCD paralelkenarında verilenlere göre
x + y kaçtır?
Çözüm
120
Doğrunun Analitik İncelenmesi
ÜÇGENİN AĞIRLIK MERKEZİ
BİR DOĞRU PARÇASINI VERİLEN BİR ORANDA
BÖLEN NOKTALARIN KOORDİNATLARI
Köşelerinin koordinatları A(x1, y1) , B(x2, y2) ve
C(x3, y3) olan ABC üçgeninin ağırlık merkezi
Gb
A(x1, y1) , B(x2, y2) noktaları ve [AB] üzerinde
x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y3
,
l tür.
3
3
CA
= k eşitliğini sağlayan k ∈ R+ verildiğinde;
CB
A(x1, y1)
I. AB doğru parçasını, k oranında içten bölen
nokta C(x0, y0) ise
y + ky 2
x0 = x 1 + kx 2 , y0 = 1
1+k
1+k
G(a, b)
B(x2, y2)
C(x3, y3)
dir.
y
B
y2
C
y0
D
y1
ÖRNEK 18
Köşelerinin koordinatları A(–1, 2), B(2, 4) ve
y2 – y1
y0 – y1
A
E
x0 – x1 x2 – x0
x1
0
x0
x
x2
koordinatlarını bulunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
C(– 4, 3) olan ABC üçgeninin ağırlık merkezinin
AEB üçgeninde [DC] // [EB] olacağından,
&
&
CAD + BAE olur. Bu durumda,
CA
DA
x – x1
⇒k= 0
⇒ x 0 = x 1 + kx 2 olur.
=
1+k
x2 – x0
CB
DE
AC
DC
y + ky 2
y – y1
k
⇒
⇒ y0 = 1
dir.
=
= 0
1+k
k + 1 y2 – y1
AB
BE
II. AB doğru parçasını, k oranında dıştan bölen
nokta C(x0, y0) ise
ÖRNEK 19
Bir ABC üçgeninde A(2, x) , B(1, 4) , C(y, –1) dir.
y – ky 2
dir.
x0 = x 1 – kx 2 , y0 = 1
1– k
1– k
Bu üçgenin ağırlık merkezi G(3, 4) olduğuna göre
x ve y değerlerini bulunuz.
Çözüm
y
C
y0
y0 – y2
B
y2
y1
0
F
D
A
E
x2 – x1 x0 – x2
x1
x2
x0
x
Bu kuralın ispatını yukarıdaki şekil yardımıyla siz
yapınız.
121
Doğrunun Analitik İncelenmesi
ÖRNEK 20
ÖRNEK 21
A(1, 4) , B(5, –2) ve B ∈ [AC] olmak üzere,
Aşağıda
AB
doğru parçalarını içten veya dıştan
bölen C noktalarının koordinatları bulunmuştur. İn-
CA
5
eşitliğini sağlayan C noktasını bulunuz.
=
3
CB
celeyiniz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 22
A(1, 3) , B(–5, 6) ve C ∈ [AB] olmak üzere,
2|AC| = |CB| eşitliğini sağlayan C noktasını bulunuz.
Çözüm
122
ALIŞTIRMALAR -
1.
7.
Aşağıdaki noktaları analitik düzlemde gösteriniz.
A(2, 3)
E(3, – 5)
B(4, 0)
F(0, –2)
C(–2, 3)
D(0, 0)
G(–3, –1)
3
H c 4, – m
2
A(a4b3, ab2) noktası analitik düzlemin IV. bölgesinde ise B(a3b5, a5b4) noktası hangi bölgededir?
8.
2.
1
Aşağıda verilen A ve B noktaları için |AB| değerlerini bulunuz.
A(a – 3, a + 2) noktası analitik düzlemin II. bölgesinde ise a nın alabileceği tam sayı değerlerini
a. A(0, 0) , B(3, 4)
bulunuz.
b. A(–2, 3) , B(2, 0)
c. A(–1, –2) , B(3, 1)
d. A(v2, v3 ) , B(2v2, 0)
A(2a + 4, 3a – 9) noktası analitik düzlemin IV.
bölgesinde ise a nın alabileceği değer aralığını
bulunuz.
ESEN YAYINLARI
3.
9.
A(a, 2) , B(4, 7) ve |AB| = 13 birim ise a değerini bulunuz.
4.
A(–2, a – 2) ve B(b + 1, 3) noktaları aynı bölgede ise C(a, b) noktası kaçıncı bölgededir?
10. A(3, –2) , B(0, a) ve |AB| = 5 birim ise a değerini bulunuz.
5.
A(2a + b, 5) ve B(b – 4, 7) noktaları ordinat
ekseni üzerinde ise C(a, –b) hangi bölgededir?
11. Köşelerinin koordinatları A(2, 0) , B(–2, 3)
6.
A(–a, b) noktası analitik düzlemin III. bölgesinde
ise B(–b, a) noktası hangi bölgededir?
C(0, 0) olan ABC üçgeninin çevresinin uzunluğunu bulunuz.
123
Doğrunun Analitik İncelenmesi
12. Aşağıda verilen A ve B noktaları için [AB] nın
17. A(1, –2) , C(7, 10) ve 3|AB| = 2|BC| dir.
orta noktasını bulunuz.
B ∈ [AC] koşulunu sağlayan B noktasının koor-
a. A(4, 2) , B(–2, 0)
dinatlarını bulunuz.
b. A(–2, 3) , B(–1, 1)
c. A(0, 0) , B(4, –2)
18. B(1, 2) , C(4, – 4) ve
AB
4
tür.
=
3
BC
B ∈ [AC] koşulunu sağlayan A noktasının koordinatlarını bulunuz.
13. A(2, a) , B(b, 1) ve [AB] nın orta noktası
C(1, 3) ise a + b kaçtır?
19.
T(12, – 6)
M
14. A(4, 5) , B(2, –3) , C(–1, 3) olmak üzere ABC
üçgeninde [AB] kenarına ait kenarortay uzunlu-
A(5, 2) B
C
ğu kaç birimdir?
D
E
F
K
L
N
15.
ESEN YAYINLARI
R
A
E
D
B
F
P(2, –1)
Şekilde, [PT] beş ve [AL] yedi eşit parçaya
bölünmüştür. Verilenlere göre L noktasının koordinatlarını bulunuz.
C
ABC üçgeninin kenarlarının orta noktaları
20. Köşelerinin koordinatları A(2, 5) , B(0, 2) ve
C(4, 2) olan ABC üçgeni için,
D(–1, 0) , E(2, 0) , F(3, –2) ise A köşesinin
koordinatlarını bulunuz.
a. G ağırlık merkezinin koordinatlarını bulunuz.
b. Va kaç birimdir?
16. A(1, 3) , B(7, –9) ve |BC| = 3|AC| dir.
C ∈ [AB] koşulunu sağlayan C noktasının koordinatlarını bulunuz.
124
c. |BG| kaç birimdir?
Doğrunun Analitik İncelenmesi
BİR DOĞRUNUN EĞİM AÇISI VE EĞİMİ
y
Bir doğrunun x ekseniyle pozitif yönde yaptığı açı
k
doğrunun eğim açısı, bu açının tanjantı da doğrunun
α
α
0
eğimidir.
x
3
–2
y
d1
d2
β
α
x
y
C
3
Eğim açısı; [0°, 180°] aralığında bulunur. Şekilde,
β
α
d1 doğrusunun eğim açısının ölçüsü α
0
x
2
d2 doğrusunun eğim açısının ölçüsü β dır.
Bir doğrunun eğimi genellikle m ile gösterilir.
d1 doğrusunun eğimi, m1 = tanα
y
d2 doğrusunun eğimi, m2 = tanβ dır.
Bir doğrunun eğimini bulurken kullanacağımız özel
açıların tanjantları aşağıdaki tabloda verilmiştir.
İnceleyiniz.
α
0°
30°
45°
tanα
0
v3
3
1
60°
ESEN YAYINLARI
n
x
0
120° 135° 150° 180°
90°
v3 tan›ms›z – v3
–1
v3
3
y
0
r
0
x
ÖRNEK 23
Aşağıdaki şekillerin her birinde verilen doğruların
eğimleri bulunmuştur. İnceleyiniz.
y
negatiftir.
® x eksenine paralel olan doğruların (eğim açıları
2
–4
zitiftir.
® Eğim açısı geniş açı olan doğruların eğimleri
d
α
® Eğim açısı dar açı olan doğruların eğimleri po-
x
sıfır olan) eğimleri sıfırdır.
® x eksenine dik olan doğruların (eğim açıları 90°
olan) eğimleri tanımsızdır.
125
Doğrunun Analitik İncelenmesi
® y = mx doğrusunun eğimi m dir.
A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktalarından geçen
® y = mx + n doğrusunun eğimi m dir.
doğrunun eğimi m =
® y = a doğrularının eğimi sıfırdır.
® x = a doğrularının eğimi tanımsızdır.
y2 – y1
dir.
x2 – x1
ÖRNEK 27
®
ÖRNEK 24
A(4, 2) ve B(1, 3) noktalarından geçen doğrunun eğimi m =
3–2
1
tür.
=
1– 4 – 3
y = 3x – 2 doğrusunun eğimi m = 3 tür.
®
y = x + 3 doğrusunun eğimi m = 1 dir.
A(2, –3) ve B(–1, 4) noktalarından geçen doğrunun eğimi m =
y = 1 – x doğrusunun eğimi m = –1 dir.
4 – (– 3)
7
=–
tür.
–1 – 2
3
y = 3 doğrusunun eğimi m = 0 dır. (y = 0x + 3)
®
x + 2 = 0 doğrusunun eğimi tanımsızdır.
A(2, 5) ve B(2, 3) noktalarından geçen doğru-
ÖRNEK 25
Denklemi y = (k – 2)x – 4 olan doğrunun eğim açısı
geniş açı ise k hangi aralıkta değer alır?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
nun eğimi m =
3 – 5 –2
= tanımsızdır.
=
2–2
0
ÖRNEK 28
A(2, 1) ve B(–1, a) noktalarından geçen doğru, x
ekseniyle pozitif yönlü 135° lik açı yaptığına göre a
kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 26
A(2, 1) ve B(4, 5) noktalarından geçen doğrunun
eğimini bulunuz.
Çözüm
126
Doğrunun Analitik İncelenmesi
II. Dik iki doğrunun eğimleri çarpımı –1 dir.
I. Paralel iki doğrunun eğimleri eşittir.
y
y
C
A
α
0
B
A
α
C
C
k
k
D
β
x
E
0
α
γ
B
l ⊥ k olsun. ml = tanβ =
a
a
l // k ⇒ m( ABE) = m( DCE) = α dır.
a
ml = tanm( ABE) = tanα
1 ⇒ m1 = m2 bulunur.
a
mk = tanm( DCE) = tanα
mk = tanα = –tanγ = –
mk.ml =
EĞİMİ VE BİR NOKTASI VERİLEN
x
C
AC
AB
AB
AC
olur.
AC
AB
·f –
p ⇒ mk.ml = –1 bulunur.
AB
AC
ÖRNEK 29
DOĞRUNUN DENKLEMİ
A(2, 3) noktasından geçen ve eğimi 4 olan doğrunun
Eğimi m olan ve A(x1, y1) noktasından geçen doğ-
denklemini bulalım.
runun denklemini bulalım:
Çözüm
y
C
B
y
y – y1
A
y1
C
α
x1
x
x
x – x1
l doğrusu üzerinde ikinci bir B(x, y) noktası alınırsa,
BAC dik üçgeninde;
BC
y – y1
=m⇒
=m
tanα =
x – x1
AC
ESEN YAYINLARI
0
α
ÖRNEK 30
Denklemi y = (a – 4)x – 3 olan doğrunun eğim açısı
geniş açı ise a hangi aralıkta değer alır?
Çözüm
⇒ y – y1 = m(x – x1) bulunur.
Yani, eğimi m olan ve A(x1, y1) noktasından geçen
doğrunun denklemi,
y – y1 = m(x – x1)
dir.
127
Doğrunun Analitik İncelenmesi
İKİ NOKTASI VERİLEN DOĞRUNUN DENKLEMİ
y
ÖRNEK 32
C
A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktalarından geçen doğrunun
b
B
denklemini bulalım:
y
A
y
C
y2
y1
0
x
a
0
Yukarıdaki grafikte eksenleri
B
ve
B(0, b)
noktalarında kesen doğru verilmiştir. Bu doğrunun
A
x1
A(a, 0)
denklemini bulalım.
x2
x
x
Çözüm
Bu doğrunun üzerinde bir C(x, y) noktası alalım.
Doğrunun eğimi;
m=
y2 – y1
y – y1
ve m =
x2 – x1
x – x1
y – y1
y – y1 y2 – y1
x – x1
=
⇒
bulunur.
=
x – x1 x2 – x1
y1 – y2 x1 – x2
Yani; A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktalarından geçen
y – y1
x – x1
=
doğrunun denklemi
dir.
y1 – y2 x1 – x2
ESEN YAYINLARI
olarak ifade edilebileceğinden,
Eksenleri; A(a, 0) ve
y
B(0, b)
b
noktalarında
kesen doğrunun denklemi;
x
a
0
x y
+ = 1 dir.
a b
ÖZEL DOĞRU DENKLEMLERİ
Başlangıç Noktasından Geçen Doğruların Denklemi
O(0, 0) dan geçen ve
ÖRNEK 31
A(2, 3) ve B(–1, 0) noktalarından geçen doğrunun
denklemini bulunuz.
Çözüm
y
eğimi m olan doğrunun
y = mx
denklemi,
x
0
y – y1 = m(x – x1)
y – 0 = m(x – 0)
⇒ y = mx tir.
y
y
y = –x
y=x
45°
45°
0
x
1. açıortay doğrusu
128
45°
45°
0
2. açıortay doğrusu
x
Doğrunun Analitik İncelenmesi
x Eksenine Paralel Doğruların Denklemleri
y Eksenine Paralel Doğruların Denklemleri
y
y
x=a
b
A
y=b
b
x
a
0
A
x eksenine paralel doğruların eğimlerinin 0 (sıfır) ol-
x
a
0
y eksenine paralel doğruların eğimlerinin tanımsız ol-
duğunu hatırlayalım.
duğunu hatırlayalım.
Doğrunun üzerindeki bir nokta A(a, b) olsun.
Doğrunun üzerindeki bir nokta A(a, b) olsun.
Bu durumda doğrunun denklemi
y – y1 = m(x – x1) ⇒ y – b = m(x – a)
y – y1 = m(x – x1) ⇒ y – b = 0.(x – a)
⇒ y = b bulunur.
⇒ m=
y
y–b
x–a
olur.
y=2
Eğimin tanımsız olması için payda sıfır olmalıdır.
1
y=1
Bu durumda, x – a = 0 ⇒ x = a bulunur.
y=0
0
–1
x
y = –1
y = –2
–2
ESEN YAYINLARI
2
y
x = –2 x = –1
x=1 x=2
x=0
y = –2, y = –1, y = 0, y = 1, y = 2, ...
doğruları x eksenine paralel doğrulardır.
y = 0 doğrusu x ekseninin denklemidir.
–2
–1
0
1
2
x
ÖRNEK 33
A(–3, 2) noktasından geçen ve x ekseni ile ortak noktası olmayan doğrunun denklemini bulunuz.
Çözüm
x = –2, x = –1, x = 0, x = 1, x = 2, ......
doğruları y eksenine paralel doğrulardır.
x = 0 doğrusu y ekseninin denklemidir.
129
Doğrunun Analitik İncelenmesi
BİR DOĞRUNUN GRAFİĞİ
ÖRNEK 36
Denklemi verilen bir doğrunun grafiğini çizmek için,
y = 3x doğrusunun grafiğini çiziniz.
doğru üzerindeki farklı iki noktanın bilinmesi yeterlidir.
Çözüm
Kolay bulunması açısından bu iki noktayı, doğrunun
koordinat eksenlerini kestiği noktalar olarak alabiliriz.
Yani; x = 0 için y ve y = 0 için x değerlerini bulup
düzlemde işaretledikten sonra bu noktaları birleştirerek doğrunun grafiğini elde ederiz.
ÖRNEK 34
2x – y + 4 = 0 doğrusunun grafiğini çiziniz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 37
a > 0 olmak üzere,
2x – ay + 4 = 0 doğrusunun koordinat eksenleriyle
oluşturduğu bölgenin alanı 6 br2 ise a kaçtır?
ÖRNEK 35
x y
+ = 1 doğrusunun grafiğini çiziniz.
2 3
Çözüm
130
Çözüm
Doğrunun Analitik İncelenmesi
ETKiNLiK
y
y
2
2
–2
0
x
0
y=2
2
180°–β
β
α
y
y
x = –1
y=x+2
x
1
–1
0
x
x
0
y = –2x + 2
y = x + 2 doğrusunun
y = –2x + 2 doğrusunun
x = –1 doğrusunun
y = 2 doğrusunun
eğimi (m = 1) pozitif olup
eğimi (m = –2) negatif olup
eğimi tanımsız olup
eğimi 0 olup
eğim açısı dar açıdır.
eğim açısı geniş açıdır.
eğim açısı 90° dir.
eğim açısı 0° dir.
ÖRNEK 38
Aşağıdaki tabloda bazı doğrulara ait bilgiler ve bu doğruların y = 2x doğrusu ile ilişkileri ifade edilmiştir. İnceleyiniz.
E¤im
y eksenini kesti¤i
noktan›n ordinat›
y = 2x
2
0
kendisi
y = 2x + 1
2
1
y ekseni do¤rultusunda 1 br yukar› ötelenmifli
y = 2x + 3
2
3
y ekseni do¤rultusunda 3 br yukar› ötelenmifli
y = 2x – 1
2
–1
y ekseni do¤rultusunda 1 br afla¤› ötelenmifli
y = 2x – 4
2
–4
y ekseni do¤rultusunda 4 br afla¤› ötelenmifli
Denklem
y = 2x do¤rusu ile aras›ndaki iliflki
ÖRNEK 39
Denklemleri y = x , y = x + 2 ve y = x – 1 olan doğruların grafiklerini çizip bu grafikler arasındaki ilişkiyi inceleyiniz.
Çözüm
131
Doğrunun Analitik İncelenmesi
İKİ DOĞRUNUN BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI
ÖRNEK 40
d1 … a1x + b1y + c1 = 0
y
d2 … a2x + b2y + c2 = 0 doğruları için
4
C
®
B
a1 b1 c1
ise d1 ile d2 çakışıktır.
=
=
a2 b2 c2
y
8
O
A
d1
x
d2
C
x
Şekildeki OABC dikdörtgeninin çevresi 12 cm ise
alanı kaç cm2 dir?
Çözüm
®
a1 b1 c1
ise d1 ile d2 paraleldir.
=
!
a2 b2 c2
y
d1
d2
ESEN YAYINLARI
x
®
a1 b1
ise d1 ile d2 bir noktada kesişir.
!
a2 b2
Bu nokta; doğru denklemlerinin ortak çözümü
ile bulunur.
y
d1
A
x
d2
ÖRNEK 41
2x – 3y + 4 = 0 doğrusu ile ax + by + 1 = 0
doğruları çakışık ise a ve b değerlerini bulunuz.
Çözüm
132
Doğrunun Analitik İncelenmesi
ÖRNEK 42
ÖRNEK 45
4x + ay + 2 = 0 ve 2x + y – 1 = 0 doğrularının ortak
(m + 2)x + y + 4 = 0 ve 4x + (m – 1)y – 1 = 0
noktalarının bulunmaması için a ne olmalıdır?
doğruları paralel ise m nin alabileceği değerleri bulu-
Çözüm
nuz.
Çözüm
ÖRNEK 43
x – 2y + 4 = 0 ve 2x + y – 2 = 0 doğrularının kesim
noktasını bulunuz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 46
x – y = 3 ve x + y = –1 doğrularının kesim noktasından geçen ve y = 2x + n doğrusuna paralel olan
doğrunun denklemi nedir?
Çözüm
ÖRNEK 44
3x + (m – 1)y + 2 = 0 ve x – y + n = 0 denklemleri
aynı doğruyu gösterdiğine göre m.n kaçtır?
Çözüm
133
Doğrunun Analitik İncelenmesi
ÖRNEK 47
ÖRNEK 49
3x – 2y + 12 = 0 doğrusunun eksenlerle oluşturduğu
a ∈ R olmak üzere,
2
bölgenin alanı kaç br dir?
(a2 – a – 2)x + y + 3a = 0 doğrularından x eksenine
Çözüm
paralel olanlar arasındaki uzaklık kaç birimdir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 48
3x + 2y + 7 = 0 ve 4x – y + 5 = 0 doğrularının kesim
noktasından geçen ve x eksenine dik olan doğrunun
denklemi nedir?
Çözüm
134
ÖRNEK 50
y = 2x doğrusu üzerinde bulunan ve A(–1, 2) ile
B(3, 1) noktalarından eşit uzaklıktaki noktayı bulunuz.
Çözüm
Doğrunun Analitik İncelenmesi
Çözüm
ÖRNEK 51
y
A
C(4, 2)
O
x
B
Dik koordinat sisteminde [OC] ⊥ AB ve C(4, 2) ise
A(AOB) kaç br2 dir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 52
y
2
C
A
1D
B
–2
C
O
x
2
k
Şekilde l ve k doğrularının eksenleri kesen noktaları verilmiştir. Verilenlere göre taralı alanı bulunuz.
135
Doğrunun Analitik İncelenmesi
ÖRNEK 53
y Sat›fl
3
A(2, 3)
x
O
2
Al›fl
Şekildeki grafik bir malın alış ve satış fiyatları arasındaki bağıntıyı göstermektedir. Buna göre 30 liraya
satılan bir maldan kaç lira kâr elde edilmiştir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 54
Yandaki
doğ ru sal
grafik bir sıvının ısıtıldığında
zamana
s›cakl›k (°C)
y
50
göre sıcaklığındaki
artışı vermektedir.
Buna göre kaçıncı
5
dakikada sıvının sı-
O
caklığı 80°C olur?
Çözüm
136
15
x
dakika
Doğrunun Analitik İncelenmesi
ÖRNEK 55
ÖRNEK 56
y
y Boy (cm)
Fiyat
(TL)
A
k (sat›fl)
B
C (maliyet)
6
5
6
A(4, 6)
4
3
3
2
x
O
4
1
Miktar
(kg)
0
Yukarıdaki grafikte, bir malın miktarına bağlı olarak
1
2
3
4
x
(ay)
Yukarıdaki grafikte, A ve B bitkilerinin boylarının ay-
satış ve maliyet tutarları sırasıyla k ve l doğruları
lara göre değişimi gösterilmiştir. Buna göre, 9. ayda
ile gösterilmiştir. 20 kg mal satıldığında elde edilen
bitkilerin boyları arasındaki fark kaç cm olur?
kâr kaç TL olur?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
137
ALIŞTIRMALAR -
1.
4.
Aşağıda iki noktası verilen doğruların eğimlerini
Aşağıda iki noktası verilmiş olan doğruların denk-
bulunuz.
lemlerini bulunuz.
a. A(–2, 3) , B(4, 2)
a. A(2, 7) , B(–3, 1)
b. A(1, 3) , B(1, –5)
b. A(–2, 0) , B(4, –1)
c. A(1, 3) , B(–3, 3)
c. A(2, 4) , B(–3, 4)
d. A(2, 7) , B(2, –1)
d. A(0, 3) , B(– 4, –2)
2.
2
Aşağıda bir noktası ve eğimi verilmiş olan doğru-
5.
ların denklemlerini yazınız.
a. A(–3, 2) , m = –2
c. A(2, 1) , m = tanımsız
nuz.
ESEN YAYINLARI
b. A(0, 0) , m = 1
3
Şekilde verilen d doğrusunun denklemini bulu-
y
d
150°
0
2
x
d. A(–3, –1) , m = 0
6.
3.
A(2, 3) noktasından geçen ve 3x – 4y + 1 = 0
Aşağıda bir noktası ve eğim açıları verilmiş olan
doğrusuna paralel olan doğrunun denklemini bu-
doğruların denklemlerini yazınız.
lunuz.
a. A(0, 3) , α = 45°
b. A(–2, 1) , α = 150°
c. A(2, –3) , α = 90°
7.
A(– 4, 1) noktasından geçen ve 2x + y – 1 = 0
doğrusuna dik olan doğrunun denklemini bulu-
d. A(4, 2) , α = 0°
138
nuz.
Doğrunun Analitik İncelenmesi
8.
b.
3x + 4y – 2 = 0 doğrusu ile ax – by + 4 = 0 doğ-
y
ruları çakışık ise a ve b değerlerini bulunuz.
3
2
9.
2x + my – 4 = 0 ve 3x + 2y + 1 = 0 doğruları
–4
–1
x
O
paralel ise m kaçtır?
c.
y
10. Aşağıdaki doğru çiftlerinin kesim noktalarını bulunuz.
3
a. x – y + 2 = 0
2
2x + y + 7 = 0
–3
x
3
O
b. 2x – 3y + 1 = 0
11. a < 0 olmak üzere 3x + ay – 4 = 0 doğrusunun
ESEN YAYINLARI
x + 2y – 3 = 0
d.
y
2
–1
koordinat eksenleriyle oluşturduğu üçgenin alanı
–4
x
O
2
6 br ise a kaçtır?
–2
12. Aşağıdaki grafiklerin herbirinde ifade edilmiş tae.
ralı bölgelerin alanlarını bulunuz.
a.
y
x=1
y
x=3
y = 2x
2
O
O
3
5
x
x
139
Doğrunun Analitik İncelenmesi
13. Aşağıdaki sistemlerin herbirinin analitik düzlem-
15.
y Boy (m)
A
de oluşturduğu kapalı bölgelerin alanlarını bulu-
B
nuz.
5
3
_
y – x = 1b
b
a. y = 2x `
b
y=0
a
x–y=2
x=3
b.
x=4
y=0
1
x
0
3
y›l
Grafikte, A ve B ağaçlarının boylarının yıllara
_
b
b
`
b
b
a
göre değişimi ifade edilmiştir. Bu iki ağaç dikildikten kaç yıl sonra boyları arasındaki fark
4 m
olur?
_
x y
+ = 1b
2 1
bb
x y
c. + = 1 `b
6 4
b
x.y > 0 b
a
16.
y
Hacim (litre)
ESEN YAYINLARI
80
y=x_
b
y=4b
d.
`
y=1b
b
x=0a
0
2
x
Zaman
(dakika)
4
Grafikte, boşalmakta olan bir havuzun içinde
kalan suyun zamana bağlı olarak değişimi ifade
edilmiştir. Buna göre, havuzun 3 ü kaç dakikada
4
boşalır?
14.
y
Sat›fl
(bin TL)
17.
y
H›z (km/sa)
80
A
B
3
0
2
4
x
Al›fl
(bin TL)
10
0
2
6
x
Zaman
(saat)
Grafikte, bir malın alış ve satış fiyatları arasında-
Şekilde A ve B araçlarının hız-zaman grafiği
ki bağıntı gösterilmiştir. Buna göre 18 bin TL ye
ifade edilmiştir. Bu iki aracın başlangıçtan kaç
satılan bir maldan kaç bin TL kâr edilmiştir?
saat sonra hızları eşit olur?
140
Doğrunun Analitik İncelenmesi
BİR NOKTANIN BİR DOĞRUYA OLAN UZAKLIĞI
ÖRNEK 57
A(x1, y1) noktasının ax + by + c = 0 doğrusuna
olan en kısa uzaklığı d ise, d =
ax 1 + by 1 + c
a2 + b2
A(3, 5) noktasının 4x + 5y – 12 = 0 doğrusuna olan
uzaklığını bulunuz.
dir.
Çözüm
y
A(x1, y1)
y1
ax + by + c = 0
α d
y2
C
D
x1
α
0
x
B
Şekilde görüldüğü gibi C(x1, y2) noktası
ÖRNEK 58
ax + by + c = 0 doğrusu üzerinde ise,
ax1 + by2 + c = 0 ⇒ y2 =
– c – ax 1
ve
b
A(1, 0), B(–2, 3) ve C(–1, 1) olmak üzere, ABC
üçgeninde [BC] kenarına ait yüksekliğin uzunluğunu
|AC| = y1 – y2
|AC| =
by 1 + ax 1 + c
..... (I)
b
ax + by + c = 0 doğrusunun eğimi m = – a = tanα
b
ESEN YAYINLARI
bulunuz.
– c – ax 1
= y1 –
b
Çözüm
olduğundan,
yardımcı üçgeninden
2
2
a
+b
a
yararlanarak
cosα =
α
b
a2 + b2
..... (II)
b
ACD dik üçgeninde,
cosα =
AD
⇒ |AD| = |AC|.cosα olur. Bu eşitlikte
AC
I ve II değerlerini yerine yazarsak,
|AD| =
ax 1 + by 1 + c
ax 1 + by 1 + c
b
⇒
·
2
2
b
a +b
a2 + b2
olur.
d ≥ 0 olduğundan,
d=
ax 1 + by 1 + c
a2 + b2
bulunur.
141
Doğrunun Analitik İncelenmesi
ÖRNEK 59
ÖRNEK 60
y – 2x + 5 = 0 doğrusu üzerindeki noktalardan, orijine
en yakın olanını bulunuz.
A(20, 5)
Çözüm
53°
d
B
C(r, s)
Bir uçak belli bir mesafe uçtuktan sonra iniş takımlarının konumu A(20, 5) iken, denklemi
5x + 12y + 100 = 0 olan ve kesik çizgilerle belirlenen
bir pist üzerindeki d doğrusu boyunca inişe geçiyor. Uçak; pistin C(r, s) konumlu noktasına 53° lik açı
ile iniş yapıyor.
ESEN YAYINLARI
Buna göre,
a.
Uçağın ilk konumu ile pistin arasındaki uzaklığı
bulunuz.
b.
Uçağın iniş esnasında aldığı doğrusal yolun
4
alınız.)
uzunluğunu bulunuz. (sin53° =
5
Çözüm
142
Doğrunun Analitik İncelenmesi
ÖRNEK 61
ÖRNEK 63
ABC üçgeninin [BC] kenarı 4x – 3y + 3 = 0 doğrusu
Karşılıklı iki kenarı 3x + 4y – 1 = 0 ve
üzerindedir. A(1, –1) ve |BC| = 4 br ise A(ABC)
3x + 4y + 9 = 0 doğruları üzerinde bulunan karenin
2
kaç br dir?
alanını bulunuz.
Çözüm
Çözüm
)
, y1
A(x 1
d
ax + by + c1 = 0
ax + by + c2 = 0
ESEN YAYINLARI
PARALEL İKİ DOĞRU ARASINDAKİ UZAKLIK
ÖRNEK 64
İki kenarı 3x + 4y + 10 = 0 ve 6x + 8y – 10 = 0
doğruları üzerinde bulunan dikdörtgenin alanı 6 br2
ise köşegen uzunluğu kaç birimdir?
Denklemleri ax + by + c1 = 0 ve ax + by + c2 = 0
Çözüm
olan paralel doğrular arasındaki uzaklık d ise,
d=
c1 – c2
a2 + b2
dir.
ÖRNEK 62
3x – 4y + 2 = 0 doğrusu ile 8y – 6x + 6 = 0 doğruları
arasındaki uzaklığı bulunuz.
Çözüm
143
Doğrunun Analitik İncelenmesi
ÖRNEK 65
ÖRNEK 68
|3x – 4y| = 10 denkleminin belirttiği doğrular arasın-
A(2, 1) ve B(–1, 3) noktalarına eşit uzaklıkta bulu-
daki uzaklık kaç birimdir?
nan noktaların geometrik yerinin denklemini bulunuz.
Çözüm
Çözüm
GEOMETRİK YER
Verilen bir koşulu sağlayan bütün noktaların kümesine, bu noktaların geometrik yeri denir.
ÖRNEK 66
A(n – 1, 2n + 1) noktalarının geometrik yerinin denk-
Çözüm
ESEN YAYINLARI
lemi nedir?
ÖRNEK 69
x = 2 doğrusu ile A(3, –1) noktasına eşit uzaklıkta
ÖRNEK 67
bulunan noktaların geometrik yerinin denklemini bulunuz.
A(m – 1, 2m + 1) ve B(m + 3, 4m – 7) olmak üzere,
[AB] nın orta noktalarının geometrik yerinin denklemini bulunuz.
Çözüm
144
Çözüm
Doğrunun Analitik İncelenmesi
ÖRNEK 70
ÖRNEK 72
ABCD karesinin A köşesi 3x – 4y + 3 = 0 doğrusu
A(–1, 4) ve B(5, 1) olmak üzere [AB] nin y ekseni
üzerinde olup C(2, 1) dir. Buna göre, ABCD karesi-
üzerindeki dik izdüşümünün uzunluğu kaç birimdir?
nin alanı en az kaç br2 olabilir?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 73
A(2, 0) noktasının y = x + 1 doğrusu üzerindeki dik
izdüşümünün koordinatlarını bulunuz.
ÖRNEK 71
Çözüm
A(–2, 1) ve B(3, 5) olmak üzere [AB] nin x ekseni
üzerindeki dik izdüşümünün uzunluğu kaç birimdir?
Çözüm
145
ALIŞTIRMALAR -
1.
2.
6.
A(m + 1, 3m + 2) ve B(m + 5, m – 4) olmak
3
y = 2 doğrusuna olan uzaklığı A(1, 0) noktası-
üzere, [AB] nın orta noktalarının geometrik yer
na olan uzaklığının 2 katına eşit olan noktaların
denklemini bulunuz.
geometrik yerinin denklemini bulunuz.
7.
A(m + 1, m – 1), B(2m – 1, 3m + 2),
3x + 4y – 4 = 0 , 8y + 6x – 2 = 0 doğruları arasındaki uzaklığı bulunuz.
C(6m + 3, 2m + 2) olmak üzere, ABC üçgenlerinin ağırlık merkezlerinin geometrik yerinin denklemini bulunuz.
8.
2x – y + 4 = 0 , 2y – 4x + 10 = 0 doğruları arasındaki uzaklığı bulunuz.
A(3, –1) ve B(2, 3) noktalarına eşit uzaklıkta
bulunan noktaların geometrik yerinin denklemini
bulunuz.
ESEN YAYINLARI
3.
9.
A(2, –1) noktasının 3x – 4y + 5 = 0 doğrusuna
olan uzaklığını bulunuz.
4.
x = 3 doğrusu ile A(2, 1) noktasına eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yerinin denklemini bulunuz.
10. A(4, 1) noktasının 5x + 12y – k = 0 doğrusuna
olan uzaklığı 1 birim ise k nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
5.
x – 2y + 4 = 0 doğrusu ile x – 2y + 1 = 0 doğru-
11. A(2, 0) , B(–1, 4) , C(1, 1) olmak üzere,
suna eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik
ABC üçgeninde [BC] kenarına ait yüksekliğin
yerinin denklemini bulunuz.
uzunluğunu bulunuz.
146
Yazılıya Hazırlık Soruları – 1
1.
4.
A(2, 1) ve B(–1, a) noktalarından geçen doğru,
3x – y = 4 doğrusunun koordinatları birbirine eşit
x ekseniyle pozitif yönlü 135° lik açı yaptığına
olan noktasından bu doğruya dik çizilen doğru-
göre a kaçtır?
nun denklemi nedir?
2.
5.
y
y = –x
y
(Sat›fl)
C
50
B
D
A
Yukarıdaki şekilde ABCD kare ve B(0, 6) ise C
köşesinin koordinatları nedir?
3.
10
x
Bir ABC üçgeninin ağırlık merkezi G(0, –3) ve
O
ESEN YAYINLARI
O
30
x
(Al›fl)
Yukarıdaki doğrusal grafik bir malın alış ve satışına aittir. Buna göre 60 lira kâr edilebilmesi için
alış fiyatı kaç lira olmalıdır?
6.
A, B, C doğrusal olmak üzere, A(– 4, 6), B(–2, 5)
[BC] kenarının orta noktası D(–2, 3) ise A kö-
C ∉ [AB] ve 2|AC| = 3|BC| ise C noktasının
şesinin koordinatları nedir?
koordinatları toplamı kaçtır?
147
Doğrunun Analitik İncelenmesi
7.
9.
y
A
5
A
C
k
1
–3
x
O
C
B
Şekildeki k ve l doğruları, apsisi 2 olan A noktasında kesişmektedir. Buna göre l doğrusunun
Şekildeki 1 br2 lik karelerden oluşan koordinat
x eksenini kestiği noktanın apsisi kaçtır?
sistemine göre A(–1, 2) ise [BC] nin orta nok-
ESEN YAYINLARI
tasının koordinatları nedir?
8.
Karşılıklı iki kenarı
10. A(–4, 1) noktasından geçen ve 2x + y – 1 = 0
x – y + 2 = 0 ve 2x – 2y + 6 = 0 doğruları üzerin-
doğrusuna dik olan doğrunun denklemini bulu-
de bulunan karenin bir köşegeninin uzunluğunu
nuz.
bulunuz.
148
Yazılıya Hazırlık Soruları – 2
1.
4.
A(5 – a, a – 2) noktasının analitik düzlemin II. bölgesinde olması için a nın alabileceği en küçük
x – 3y + 4 = 0 ve 2x – 6y + 12 = 0 doğruları
arasındaki uzaklığı bulunuz.
tam sayı değeri kaçtır?
5.
a < 0 olmak üzere 3x + ay – 4 = 0 doğrusunun
x + 3y – 1 = 0 doğrusu ile 3x + y – 4 = 0 doğru-
koordinat eksenleriyle oluşturduğu üçgenin alanı
suna eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik
6 br2 ise a kaçtır?
yerinin denklemini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
2.
3.
6.
y
2
y
C
2
A
1D
B
–2
B
C
O
A
x
2
k
Şekilde l ve k doğrularının eksenleri kesen
–6
C
O
x
noktaları verilmiştir. Verilenlere göre taralı alanı
Şekildeki OABC dikdörtgeninin çevresi 8 cm ise
bulunuz.
alanı kaç cm2 dir?
149
Doğrunun Analitik İncelenmesi
8.
9.
İki köşesi A(–2, 0) ve B(3, 0) olan üçgenin
A(2, 0) , B(–1, 4) ve C(1, 1) olmak üzere,
üçüncü köşesi y = 4 doğrusu üzerinde olduğuna
ABC üçgeninde [BC] kenarına ait yüksekliğin
göre bu üçgenin alanı kaç br2 dir?
uzunluğu kaç br dir?
y + x – 4 = 0 doğrusu üzerindeki noktalardan
A(1, 0) noktasına en yakın olanını bulunuz.
150
ESEN YAYINLARI
7.
10. y = x – 1 ve 2y = –mx + 4 doğruları dik kesiştiklerine göre, kesiştikleri noktanın x eksenine olan
uzaklığı kaç br dir?
TEST -
1.
1
Analitik Düzlemde Nokta
5.
A(2, –3) noktasının x eksenine olan uzaklığı
kaç birimdir?
A) 1
B) 2
A(a, b) noktası analitik düzlemin III. bölgesinde
ise B(b, –a) noktası hangi bölgededir?
C) 3
D) 4
E) 5
A) I. bölgede
B) II. bölgede
C) III. bölgede
D) IV. bölgede
E) x ekseni üzerinde
2.
A(2, a – 1) noktasının eksenlere olan uzaklıkları
toplamı 5 br ise a nın alabileceği değerler toplamı
6.
kaçtır?
A(a, –2) ve B(3, 4) noktaları arasındaki uzaklık
10 br ise a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
A) 7
ESEN YAYINLARI
A) –2
3.
A(1 – a, 5 – a) noktası analitik düzlemin ikinci böl-
C) 5
D) 4
E) 3
y ekseni üzerindeki noktalardan A(4, –1) nokta-
gesinde ise a nın alabileceği tam sayı değerleri
sına uzaklığı 5 br olanının ordinatı aşağıdakiler-
toplamı kaçtır?
den hangisi olabilir?
A) 7
4.
7.
B) 6
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
A) –2
8.
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
ABC üçgeninin kenar orta noktaları D(0, 2)
A(3, m), B(4, –2), C(n, 8) olmak üzere,
E(0, 5) ve F(4, 2) ise ABC üçgeninin çevresi kaç
[AC] nın orta noktası B ise m + n kaçtır?
birimdir?
A) –5
A) 12
B) – 6
C) –7
D) –8
E) –9
B) 16
C) 18
D) 20
E) 24
151
Doğrunun Analitik İncelenmesi
9.
13. A(1, –3), B(–1, 3) ve B ∈ [AC] olmak üzere
Köşelerinin koordinatları A(2, 0), B(–1, 4) ve
C(3, 2) olan ABC üçgeninin [BC] kenarına ait
3|AB| = 2|BC| eşitliğini sağlayan C noktası aşa-
kenarortay uzunluğu kaç birimdir?
ğıdakilerden hangisidir?
A) 2v2
C) c10
B) 3
A) (– 4, 12)
E) c13
D) 2v3
B) (1, 11)
D) (–2, 10)
14.
C) (–1, 9)
E) (–2, 12)
A(4, – 8)
10. y ekseni üzerinde bulunan noktalardan A(1, 2)
ve B(0, 3) noktalarına eşit uzaklıkta olanının or-
C
dinatı kaçtır?
A)
1
2
D
C) 3
2
B) 1
D) 2
E) 5
2
B(– 6, 2)
E(9, –1)
AC
2 DE
= ,
= 2 ise
3 DC
CB
ESEN YAYINLARI
EAB üçgeninde,
D noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
11. ABCD paralelkenarında, A(1, 2), B(0, 3) ve
C(4, –1) ise BD köşegeninin uzunluğu kaç birimdir?
A) 2v2
C) c30
B) 2v7
D) 4v2
15.
A
E) 5v2
F
D
B
C
E
ABC üçgeninde kenar orta noktaları
D(2, 0), E(–1, 3) ve F(1, 2) dir.
12. A(–2, 3)
noktasının eksenlere olan uzaklıkları
toplamı kaç br dir?
A) 2
152
B) 3
C noktası aşağıdakilerden hangisidir?
A) (–1, 4)
C) 4
D) 5
E) 6
B) (–2, 5)
D) (–1, 5)
C) (1, 4)
E) (2, 6)
TEST -
1.
2
Analitik Düzlemde Nokta
5.
A(3 – k, k + 2) noktası analitik düzlemin I. bölgesinde ise k nın alabileceği tam sayı değerlerinin
C(m, 3) olan ABC üçgeninin ağırlık merkezi baş-
toplamı kaçtır?
langıç noktası ise m + k kaçtır?
A) –1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
A) – 4
6.
2.
Köşelerinin koordinatları; A(1, –2), B(2, k) ve
B) –3
C) –2
D) 3
E) 4
A noktası x ekseni üzerinde bir noktadır. A nok-
ABCD paralelkenarında köşegenlerin kesim nok-
tası B(–2, 1) ve C(1, 3) noktalarına eşit uzaklıkta
tası E(4, –2) dir. B(1, 3) olduğuna göre D nok-
bulunduğuna göre A noktasının apsisi nedir?
tasının koordinatları toplamı kaçtır?
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
C) 3
4
D) 5
6
E) 2
3
ESEN YAYINLARI
A) –2
B) 4
3
A) 6
5
7.
A(a + 3, a – 5) ve B(5, –2) noktaları koordinat
sisteminin aynı bölgesinde olduğuna göre a için
aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
3.
A(–2, 0) ve B(3, – 4) noktalarının orijine olan
uzaklıkları toplamı kaçtır?
A) 8
B) 7
C) 6
D) 5
E) 4
A) –2 < a < 4
B) –2 < a < 5
C) –3 < a < 4
D) –3 < a < 2
E) –3 < a < 5
8.
Koordinat düzleminde bir A noktasının x–eksenine uzaklığı 5 birim y–eksenine uzaklığı 4 birim
4.
A(a – 1, 3) noktası y ekseni, B(–2, b + 4) noktası
ise A noktası aşağıdakilerden hangisi olamaz?
x ekseni üzerinde ise a + b kaçtır?
A) (4, 5)
A) 2
B) 1
C) –1
D) –2
E) –3
B) (– 4, 5)
D) (– 4, – 5)
C) (4, – 5)
E) (5, 4)
153
Doğrunun Analitik İncelenmesi
9.
13.
Koordinat düzleminde
A(–1, 4)
A(– 3, 4), B(– 6, 0), C(– 9, – 4) noktaları için
E
|AB| + |AC| toplamı kaç birimdir?
D
A) 25
B) 20
C) 15
D) 12
E) 10
B(2, –2)
C(5, 6)
Yukarıdaki şekilde [CE] ∩ [AB] = {E}
2|EB| = |AE|, |CD| = |DE| ise D noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) (–2, 3)
10. Koordinat düzleminde
B) (–1, 2)
D) (3, 3)
A(–3, 2), B(k, –2) ve |AB| = 5 birim ise k nın
C) (2, 2)
E) (3, 4)
alacağı değerler toplamı nedir?
A) –9
B) – 6
C) –3
D) 0
E) 3
14. Dik koordinat sisteminde A(– a, b) noktası III. böl-
11. A(–1, 3) ve B(–3, – 5) noktalarının orta noktasının orijine olan uzaklığı kaç br dir?
A) v3
C) v5
B) 2
D) v6
E) 3
ESEN YAYINLARI
gede ise B(b, b – a) noktası hangi bölgededir?
A) I
B) II
D) IV
C) III
E) Orijinde
15. A(3t – 5, 2t – 6) noktası analitik düzlemin IV. böl12.
gesinde ise t kaç farklı tam sayı değeri alır?
A
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
D
E
B
C
F
ABC üçgeninde D, E, F bulundukları kenarların
orta noktalarıdır. E(–3, 2), D(1, 4) ve F(–1, 3)
16. A(5, 6), B(9, 9) noktaları arasındaki uzaklık kaç
ise A noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
birimdir?
A) 3
2
A) 7
154
B) 3
C) 4
D) 6
E) 13
2
B) 6
C) 5
D) 3
E) 2
TEST -
1.
4
Doğrunun Eğimi ve Denklemi
5.
A(3, 4) ve B(–2, 5) noktalarından geçen doğru,
C(a, 3) ve D(3, –2) noktalarından geçen doğru-
v3x – ay + 6 = 0 ise a kaçtır?
ya paralel ise a kaçtır?
A) –19
2.
B) –21
C) –22
D) –23
A) v3
E) –25
A(3, –2) ve B(–2, a) noktalarından geçen doğru
6.
D) –5
E) – v3
A(3a – 1, 2) ve B(2 – a, 1) noktalarından geçen
A) 9
4
E) –7
C) 4
3
B) 2
E) 3
4
D) 1
ESEN YAYINLARI
C) –3
C) 0
doğru x eksenine dik ise a kaçtır?
a kaçtır?
B) 2
B) 1
D) –1
Ox–ekseniyle negatif yönde 45° lik açı yapıyorsa
A) 3
Eğim açısı 120° olan doğrunun denklemi
3.
(b – 3)x + (b + 1)y + 4 = 0 doğrusunun eğimi
y
7.
– 1 ise b kaçtır?
2
A) –5
B) –3
C) 3
D) 5
E) 7
O
x
C
B
A
Şekilde, OA doğrusunun denklemi, y = 2x
AC doğrusunun denklemi, x – 2y = 6 ve
|AB| = |BC| ise OB doğrusunun denklemi aşa4.
2x – (a + 2)y + 8 = 0 doğrusu x = 3 doğrusuna
ğıdakilerden hangisidir?
paralel ise a kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
A) y = – x
2
B) y = –x
D) y = –2x
C) y = – 3x
2
E) y = –3x
157
Doğrunun Analitik İncelenmesi
8.
A) 5
2
9.
12. 3x + y – 14 = 0 doğrusu üzerinde olup apsisi
A(1 – a, a – 2) ve B(a + 3, a) noktalarından
x y
geçen doğru, + = 1 doğrusuna dik olduğuna
2 5
göre a kaçtır?
B) 2
C) 3
2
D) 1
ordinatının iki katı olan noktanın orijine olan
uzaklığı kaç birimdir?
A) 3
E) 2
5
B) 4
D) 5
C) 2v5
E) 5v2
A(3, 4) noktasından geçen ve Oy eksenini M,
Ox eksenini N noktasında kesen bir d doğrusu
13. Köşelerinin koordinatları A(–1, 2), B(3, 4) ve
için |MA| = 2|NA| ise d doğrusunun denklemi
nedir?
C(2, –3) olan ABC üçgeninin [AB] kenarına ait
A) 4x + 2y = 17
B) 3y + x = 15
noktanın ordinatı nedir?
C) 8x + 3y = 36
D) 3y + 4x = 36
yüksekliği taşıyan doğrunun y eksenini kestiği
A) 1
10. Köşeleri A(–1, 0), B(2, 3) ve C olan ABC üçgeninin ağırlık merkezi G(0, –1) dir. C noktası
2x – y + k = 0 doğrusu üzerinde ise k kaçtır?
A) – 4
B) –2
C) 0
D) 2
E) 4
B) 3
2
C) 2
D) 5
2
E) 3
ESEN YAYINLARI
E) 2x + 5y = 36
14. Köşelerinin koordinatları A(–3, 2), B(2, 1) ve
C(1, k) olan ABC üçgeninin ağırlık merkezi
2x – 3y = 6 doğrusu üzerinde olduğuna göre k
kaçtır?
A) 9
B) 6
C) 3
D) – 6
E) – 9
11. Denklemleri 3x + y + 4 = 0 ve x – 3y + 1 = 0
olan doğrulara eşit uzaklıkta bulunan noktaların
geometrik yer denklemlerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2x – 4y – 3 = 0
B) 2x + 4y + 3 = 0
C) 2x – 4y = 0
D) 4x – 2y = 0
E) 2x + 4y – 3 = 0
158
15. x + y = 1, 2x – y = 5 ve ax + 2y + 4 = 0 doğrularının bir noktada kesişmesi için a kaç olmalıdır?
A) –1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
TEST -
1.
5
Doğrunun Eğimi ve Denklemi
5.
A(1, 2) ve B(a, 3) noktaları x + by – 6 = 0
doğrusu üzerinde ise a kaçtır?
A) – 3
2
B) –1
C) – 1
2
D) 1
2
doğruları çakışık ise m.n kaçtır?
A) –18
E) 1
6.
2.
3x – my + 4 = 0 doğrusu ile nx + 4y – 2 = 0
Köşelerinin koordinatları A(2, 0), B(–1, 3) ve
B) –16
C) –12
D) –8
E) –6
x – y + 2 = 0 ve mx – 2y + 4 = 0 doğruları
4x + y + 8 = 0 doğrusu üzerinde kesiştiklerine
C(1, 4) olan ABC üçgeninin [AC] kenarına ait
göre m kaçtır?
yüksekliğinin denklemi nedir?
B) 4y + x = 11
C) 4x + y = 13
D) 4y – x = 13
E) 4x – y = 11
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
ESEN YAYINLARI
A) –2
A) 4x – y = 13
7.
y x
– = 1 doğrusunun eksenlerle oluşturduğu
6 4
dik üçgenin hipotenüsüne ait kenarortayının
3.
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A(3, –1) ve B(2, n) noktalarından geçen doğru
x ekseni ile pozitif yönde 135° lik açı yapıyorsa n
kaçtır?
A) –1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
B) 2x – 3y = 0
C) 2y + 3x = 0
D) 2y – 3x = 0
E) 2y – x = 0
8.
4.
A) 2x + 3y = 0
2y – 3x – 6 = 0 ve y + 3x = 6 doğrularının ek-
ax + by + 2 = 0 ve bx – ay – 6 = 0 doğruları
senlerle oluşturduğu dörtgensel bölgenin alanı
A(2, 1) noktasında kesiştiğine göre a.b kaçtır?
kaç br2 dir?
A) 4
A) 3
B) 2
C) –1
D) –2
E) – 4
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
159
Doğrunun Analitik İncelenmesi
9.
13. A(1, 2) noktasının 3x + 4y – 1 = 0 doğrusuna
4x + 3y = 24 doğrusunun eksenleri kesen noktaları A ve B olmak üzere, [AB] nın orta noktasının
olan uzaklığı kaç birimdir?
orijine olan uzaklığı kaç birimdir?
A) 2
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
B) 5
2
D) 7
2
C) 3
E) 4
14. A(–2, 1) noktasının 2x – y + k = 0 doğrusuna
olan uzaklığı 2v5 br ise k nın pozitif değeri kaç10. A(–2, 3), B(n, 2) ve C(–4, 1) olmak üzere,
tır?
[AB] ⊥ [AC] ise n kaçtır?
A) 5
A) –1
B) – 1
2
D) 1
2
C) 0
B) 9
C) 10
D) 12
E) 15
E) 1
15.
y
y–x+6=0
x = 0 doğrularının sınırladığı bölgenin alanı kaç
2
br dir?
A) 7
B) 10
C) 13
D) 13,5
E) 14
ESEN YAYINLARI
A
11. y + 2x – 3 = 0
B
C
x
O
%
%
Şekilde m( BAC ) = m( CAO ), B(– 4, 0) ve
C(–1, 0) olduğuna göre, AB doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
12.
y
5
A
–4
–2
A) v2y – x = 4
B) 2v2y + x = – 4
C) 2v2y + x = 4
D) v2y + x = – 4
E) 2v2y – x = 4
3
16. (m – n – 2)x + (2m + n – 1)y – 4 = 0 doğrusu
x
x eksenine paraleldir. Bu doğrunun y eksenini
Şekilde verilenlere göre A noktasının apsisi aşa-
A(0, –2) noktasında kesmesi için m kaç olmalı-
ğıdakilerden hangisidir?
dır?
A) – 8
7
160
B) – 27
16
C) – 30
13
D) – 32
17
E) –
15
8
A) 1
6
B)
1
5
C) 1
4
D) 1
3
E) 1
2
Üniversiteye Giriş Sınav Soruları
1.
1990 – ÖSS
5.
2x + 3y – 4 = 0 ve x – 2y + 6 = 0 doğrularının
Denklemi –12x + 16y – 11 = 0 olan doğrunun
kesim noktasından geçen ve x–eksenine paralel
A(1, 3) noktasına en yakın olan noktasının ordi-
olan doğrunun denklemi hangisidir?
natı aşağıdakilerden hangisidir?
A) y =
16
7
B) y = 8
7
D) y = –1
2.
1994 – ÖSS
A) –8
C) y = –2
B) –7
C) 2
D) 4
E) 6
E) y = 0
1991 – ÖYS
Denklemi x – 2y = 0 ve x – 2y + 5 = 0 olan
doğrular arasındaki uzaklık kaç birimdir?
A) 3
B) 4
D) v3
C) 5
6.
E) v5
1995 – ÖSS
Denklemleri 2x + 3y – 8 = 0 ve 7x + 2y + 16 = 0
olan doğruların kesim noktasından ve koordi-
ESEN YAYINLARI
3.
1992 – ÖSS
y
f(x)
Yanda grafiği verilen
nat başlangıcından geçen doğrunun denklemi
1
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 11x + 8y = 0
B) 8x + 11y = 0
C) x – 6y = 0
D) 6x – y = 0
E) 9x + 5y = 0
y = f(x) doğrusal
fonksiyonu aşağıda-
–1
O
x
kilerden hangisidir?
A) y = x
B) y = –x
D) y = –x + 1
C) y = x + 1
E) y = x – 1
7.
4.
1998 – ÖSS
1992 – ÖYS
y
Köşeleri O(0, 0), A(8, 0) ve B(8, 6) olan üçge-
D(0, 3 )
2
nin A köşesine ait kenarortay doğrusunun denk-
Şekildeki OABC
lemi aşağıdakilerden hangisidir?
kare olduğuna
x y
A) – = 1
8 6
x y
C) + = 1
8 6
x y
E) + = 1
6 4
x y
B) + = 1
6 8
x y
D) + = 1
8 4
C
B
E( 5 , 0)
2
göre, C noktasının
ordinatı kaçtır?
A) 16
17
B) 15
16
O
C) 14
15
A
D) 13
14
E) 12
13
167
x
Doğrunun Analitik İncelenmesi
8.
1998 – ÖSS
11. 2001 – ÖSS
y
y
C(2, 8)
A
A(0,3)
B(2,0)
0
C(3,0)
x
B
x
O
D
Şekilde, |OB| = |OA| ve C(2, 8) noktası AB doğrusu üzerinde olduğuna göre, AOB dik üçgeni-
Yukarıdaki verilere göre, CD doğrusunun denk-
nin alanı kaç br2 dir?
lemi aşağıdakilerden hangisidir? (AB ⊥ CD)
A) 3x – 2y + 6 = 0
B) 3x + 2y – 6 = 0
C) 2x – 3y – 6 = 0
D) 2x – 3y + 6 = 0
A) 12
E) 2x + 3y – 6 = 0
B) 15
C) 18
D) 21
E) 24
12. 2002 – ÖSS
x + 4y = 4 , mx + y = 9 doğruları y = x doğrusu
5
üzerinde kesiştiklerine göre m kaçtır?
9.
1999 – ÖSS
A) 1
4
ESEN YAYINLARI
y
A(6, 8)
O
H
B
x
B) 3
4
D) – 1
4
C) 5
4
E) – 1
2
13. 2005 – ÖSS
A(m, 2) , B(0, 1) ve C(3, 4) bir doğrunun üç
noktası olduğuna göre m kaçtır?
Yukarıdaki koordinat düzleminde verilen AOB dik
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
üçgeninin dik köşesinin (A) koordinatları (6, 8) ve
B köşesi x–ekseni üzerindedir.
Buna göre, AOB dik üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
A)
200
3
14. 2005 – ÖSS
y
B)
130
3
C)
110
3
D) 50
d2
d1
E) 60
A(x, y)
1
45°
–2
10. 2001 – ÖSS
x
O
–3
ax – y = 6
4x + (a + 4)y = – 6
denklemleriyle verilen doğrular paralel olduğuna
göre a kaçtır?
A) –2
168
B) –1
Şekilde d1 doğrusuyla d2 doğrusunun kesim
noktası A(x, y) olduğuna göre x + y toplamı
kaçtır?
C) 0
D) 1
E) 2
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
Doğrunun Analitik İncelenmesi
15. 2006 – ÖSS
18. 2010 – YGS
Aşağıdaki doğru f(x) fonksiyonunun grafiğidir.
Köşeleri A(3, 1), B(5, 3), C(2, 5) ve D(a,b)
köşegenleri [AC] ve [BD] olan paralelkenarın
y
[BD] köşegeninin uzunluğu kaç birimdir?
f(x)
A) 1
1
C) 3
D) 4
E) 5
x
2
O
B) 2
19. 2011 – LYS
Buna göre aşağıdakilerden hangisi
A(–1, a) noktasının 12x + 5y – 7 = 0 doğrusuna
2f(x + 1)
olan uzaklığı 2 birim olduğuna göre, a nın alabi-
fonksiyonunun grafiğidir?
leceği değerlerin çarpımı kaçtır?
y
A)
y
B)
A)
1
– 61
5
1
O
–2
y
C)
–1
x
D)
x
O
– 63
5
– 53
6
C)
E)
– 57
6
– 49
8
20. 2011 – LYS
y
D)
B)
Analitik düzlemde A(–3, 0) ve B(1, 2) noktaları
1
1
O
1
y
1
O
2
lemi aşağıdakilerden hangisidir?
x
ESEN YAYINLARI
O
E)
için [AB] doğru parçasının orta dikmesinin denk-
1
x
A) y + 2x + 1 = 0
B) y + 2x – 1 = 0
C) y – 2x + 2 = 0
D) 2y + x – 1 = 0
E) 2y + 2x – 1 = 0
x
21. 2012 – LYS
x + 2y – 4 = 0
x – 2y + 4 = 0
16. 2008 – ÖSS
doğruları ile
Dik koordinat düzlemi üzerinde A(0, –1), B(2, 0)
ve C(k, 4) noktaları veriliyor.
x
ekseni arasında kalan sınırlı
bölgenin alanı kaç birim karedir?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
Bu noktaların üçü de aynı doğru üzerinde olduğuna göre, k kaçtır?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
22. 2012 – LYS
Dik koordinat düzleminde (1, 2) noktasında bulunan bir hareketlinin t-inci saniyede bulunduğu
noktanın koordinatları (1 + 3t, 2 + 4t) olarak
17. 2010 – YGS
Dik koordinat düzleminde, y + 2x – 1 = 0 doğru-
veriliyor.
suna A(1, 0) noktasından çizilen dikme, Y ekse-
Bu hareketli 2. saniyede A noktasında ve 4.
nini hangi noktada keser?
saniyede B noktasında bulunduğuna göre, A ile
–1
A)
2
–1
B)
3
–1
C)
4
–1
D)
5
–1
E)
6
B arasındaki uzaklık kaç birimdir?
A) 10
B) 12
C) 14
D) 15
E) 16
169
Doğrunun Analitik İncelenmesi
25. 2013 – LYS
23. 2012 – LYS
ax – y – 2 = 0
R gerçel sayılar kümesi olmak üzere,
x + 2y + 6 = 0
K = { (x, y) : x > 0, y < 0 } ⊆ R x R
3x – 2y + 10 = 0
kümesi veriliyor.
doğrularının kesim noktalarını köşe kabul eden
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi (R x R) \ K
üçgen bir dik üçgen ise a sayısının alabileceği
fark kümesinin bir alt kümesidir?
değerlerin toplamı kaçtır?
A) 0
B)
1
3
C) 1
D)
4
3
A) {(x, y) : x – 2y – 1 = 0}
E) 2
B) {(x, y) : 2x + y + 3 = 0}
C) {(x, y) : 3x + y – 2 = 0}
D) {(x, y) : 2x – 3y + 1 = 0}
E) {(x, y) : –x + y + 2 = 0}
24. 2013 – LYS
Kenar uzunlukları 10 birim ve 15 birim olan
ABCD dikdörtgeni biçimindeki bir karton, şekilde-
D
C
D
D1 2
C
B
A
B
B1 2
15
A
10
Daha sonra, elde edilen iki üçgenin A ve C köşeleri orijinde olacak biçimde üçgenler dik koordinat
ESEN YAYINLARI
ki gibi DB köşegeni boyunca kesiliyor.
26. 2013 – LYS
•
düzlemi üzerine aşağıdaki gibi yerleştiriliyor.
y
D1
Dik koordinat düzleminde, d1 : y = x ve
d2 : y = –2x + 6 doğruları çiziliyor.
•
Bu iki doğrunun K kesim noktası belirleniyor.
•
Orijin noktası O olmak üzere, bir köşegeni
[OK] olan kare oluşturuluyor.
D2
•
K(a, b)
A ve B noktası d2 üzerinde olmak üzere,
bir AOB üçgeni çiziliyor.
Çizilen bu üçgenin alanı, karenin alanına eşit
O
B1
B2
x
olduğuna göre, |AB| uzunluğu kaç birimdir?
A)
Bu üçgenlerin K(a, b) kesim noktası için a + b
toplamı kaç birimdir?
A) 10
170
B) 11
C) 12
3 5
2
D)
D) 13
E) 14
B)
3 10
5
4 5
3
C)
E)
4 10
5
5 5
3
DÖRTGENLER ve ÇOKGENLER
. ÜNİTE
4. ÜNİTE
4. ÜNİTE
4. ÜNİTE
Dörtgenler ve Özellikleri
1.
Kazanım
: Dörtgenin temel elemanlarını ve özelliklerini açıklar.
Özel Dörtgenler
1.
Kazanım
: Yamuk, paralelkenar, eşkenar dörtgen, dikdörtgen, kare ve deltoid ile ilgili açı, kenar ve köşegen özelliklerini açıklar.
2.
Kazanım
: Yamuk, paralelkenar, eşkenar dörtgen, dikdörtgen, kare ve deltoidin alan bağıntılarını oluşturur.
3.
Kazanım
: Dörtgenlerin alan bağıntılarını modelleme ve problem çözmede kullanır.
Çokgenler
1.
Kazanım
: Çokgenleri açıklar, iç ve dış açılarının ölçülerini hesaplar.
4. ÜNİT
Dörtgenler ve Özellikleri
DÖRTGEN
D
C
D
C
E
A
B
F
A
B
Herhangi üçü doğrusal olmayan dört noktayı birleştiren dört doğru parçasından oluşan kapalı şekle dörtgen
denir. Yukarıdaki şekillerde ABCD dörtgenleri çizilmiştir.
®
Dörtgenin temel elemanları açı, köşe ve kenardır.
®
A, B, C, D noktaları, dörtgenin köşeleridir.
®
[AB], [BC], [CD], [DA] dörtgenin kenarlarıdır.
®
a a a
a
ABC, BCD, CDA ve DAB dörtgenin açılarıdır.
®
[AC] ve [BD] dörtgenin köşegenleridir.
Köşegen uzunluklarını |AC| = e ve |BD| = f biçiminde göstereceğiz.
®
Bir dörtgenin komşu olmayan iki kenarının orta noktalarını birleştiren doğru parçası dörtgenin orta tabanıdır.
Yukarıdaki şekilde [EF] orta tabandır.
®
A
A
D
α
C
B
C
d›flbükey dörtgen
D
B
içbükey dörtgen
α > 180°
Her bir iç açısının ölçüsü 180° den küçük olan dörtgene dışbükey dörtgen, herhangi bir iç açısının ölçüsü
180° den büyük olan dörtgene içbükey dörtgen denir. Bu bölümde aksi ifade edilmediği sürece dörtgen
denildiğinde dışbükey dörtgen anlaşılacaktır.
® Dörtgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 360° dir.
® Dörtgenin dış açılarının ölçüleri toplamı 360° dir.
172
Dörtgenler ve Çokgenler
F
ÖRNEK 1
D
E
110°
65°
x
D
C
C
E
100°
B
A
A
a
a
ABCD dörtgeninde, m( FCE) = 65° , m( FDA) = 110°
a
a
m( ABE) = 100° ise m( DAB) = x kaç derecedir?
B
ABCD dörtgeninde A ve B açılarının açıortayları
sırasıyla [AE] ve [BE] ise
a
m (X
C) + m ( X
D)
m( AEB) =
2
Çözüm
dir.
D
C
E
x
β
α
β
α
ESEN YAYINLARI
A
F
ÖRNEK 2
D
A
70°
C
x
K
ABE üçgeninde, α + β = 180° – x olur.
a
a
a
a
m( A) + m( B) + m( C) + m( D) = 360°
a
a
2α + 2β + m( C) + m( D) = 360°
a
a
2(α + β) + m( C) + m( D) = 360°
a
a
2(180° – x) + m( C) + m( D) = 360°
a
a
360° – 2x + m( C) + m( D) = 360°
B
E
B
x=
m (X
C) + m ( X
D)
bulunur.
2
ABCD dörtgeninde, [BK] ve [DK] açıortaylar
a
a
a
m( BCD) = 90° , m( EAF) = 70° ise m( BKD) = x
kaç derecedir?
ÖRNEK 3
C
D
Çözüm
120°
110°
E
x
A
B
ABCD dörtgeninde, [AE] ve [BE] açıortaylardır.
a
Verilenlere göre, m( AEB) = x kaç derecedir?
Çözüm
173
Dörtgenler ve Çokgenler
ÖRNEK 4
D
x
F
C
D
C
E
F
y
E
A
A
B
B
ABCD dörtgeninde A ve C açılarının açıortayları
ABCD dörtgeninde, [AF ve [DE açıortay
a
a
m( B) + m( C) = 150° ise x + y kaç derecedir?
sırasıyla [AE] ve [CF olmak üzere,
a
m (X
D) – m ( W
B)
m( AEF) =
2
Çözüm
dir.
C
D
β
180°–x
x
E
β
F
α
α
ESEN YAYINLARI
A
AECD dörtgeninde,
a
a
a
a
m( DAE) + m( AEC) + m( ECD) + m( D) = 360°
a
α + 180° – x + β + m( D) = 360°
a
α + β = 180° – m( D) + x olur.
a
a
a
a
m( A) + m( B) + m( C) + m( D) = 360°
a
a
2α + m( B) + 2β + m( D) = 360°
a
a
2(α + β) + m( B) + m( D) = 360°
a
a
a
2(180° – m( D) + x) + m( B) + m( D) = 360°
a
a
a
360° – 2m( D) + 2x + m( B) + m( D) = 360°
ÖRNEK 5
x=
F
B
m (X
D) – m ( W
B)
bulunur.
2
x
D
C
ÖRNEK 6
110°
E
A
C
D
B
130°
ABCD dörtgeninde verilenlere göre x kaç derecedir?
x
F
Çözüm
E
72°
A
B
ABCD dörtgeninde verilenlere göre x kaç derecedir?
Çözüm
174
Dörtgenler ve Çokgenler
d
A
ÖRNEK 8
D
A
5
3
c
E
a
B
x
b
B
E
C
6
ABCD dörtgeninde, [AC] ⊥ [BD] ise
2
2
2
2
a +c =b +d
D
K
C
dir.
ABCD dörtgeninde, [AC] ⊥ [BD] , |BE| = |EC|
ABE ve CDE dik üçgenlerinde Pisagor teoremi-
|AB| = 3 br , |AD| = 5 br , |CD| = 6 br ise |KE| = x
ne göre,
kaç birimdir?
Çözüm
a2 = |BE|2 + |AE|2
2
2
2
+ c = |CE| + |ED|
–––––––––––––––––––––
a2 + c2 = |BE|2 + |CE|2 + |AE|2 + |ED|2 .....I
BCE ve AED dik üçgenlerinde Pisagor teoremine göre,
2
2
2
+ d = |AE| + |ED|
–––––––––––––––––––––
b2 + d2 = |BE|2 + |CE|2 + |AE|2 + |ED|2 .....II
I ve II den a2 + c2 = b2 + d2 bulunur.
ESEN YAYINLARI
b2 = |BE|2 + |CE|2
ÖRNEK 9
A
8
K
2
B
3
D
E
ÖRNEK 7
x
F
A
C
x
2
ABCD dörtgeninde, [AC] ⊥ [BD] , |AK| = |KB|
B
D
E
3
4
|BF| = |FC| , |KE| = 2 br , |EF| = 3 br , |AD| = 8 br
ise |CD| = x kaç birimdir?
Çözüm
C
ABCD dörtgeninde, [AC] ⊥ [BD] , |AB| = 2 br
|BC| = 3 br , |CD| = 4 br ise |AD| = x kaç birimdir?
Çözüm
ABCD dörtgeninde [AC] ⊥ [BD] ise
|AB|2 + |CD|2 = |BC|2 + |AD|2 olacağından
22 + 42 = 32 + x2 ⇒ x = c11 birim olur.
175
Dörtgenler ve Çokgenler
ÖRNEK 10
ETKİNLİK
y
A
A
a
7
B
x
D
O
B
1
c
E
b
d
D
C
ABC üçgeninde, [AD] ⊥ [BC] ise
C
a2 – b2 = c2 – d2 olduğunu gösteriniz.
ABCD dörtgeninde, |AB| = |CD|, |AD| = 7 br
Çözüm
|BC| = 1 br ise Çevre(ABCD) kaç birimdir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 11
D
7
x
E
A
10
3
C
ÖRNEK 12
y
4
A
B
5
ABCD dörtgeninde, [DB] ⊥ [AC] , |AB| = 10 br
E
x
|EB| = 4 br , |EC| = 3 br , |DC| = 7 br ise |AD| = x
B
O
7
6
C
kaç birimdir?
Çözüm
ABC üçgeninde, |AB| = 5 br, |AC| = 7 br
|EC| = 6 br ise |BE| = x kaç br dir?
Çözüm
176
x
Dörtgenler ve Çokgenler
ÖRNEK 13
ETKİNLİK
D
K
C
K
D
C
F
L
F
L
A
A
E
B
E
B
ABCD dörtgeninde L, E, F ve K kenar orta noktala-
ABCD dörtgeninde L, E, F ve K kenar orta
rıdır. |AC| = 16 br , |BD| = 18 br ise Çevre(EFKL)
noktaları ise
kaç birimdir?
® EFKL paralelkenardır.
Çözüm
® Çevre(EFKL) = |AC| + |BD| dir.
Çözüm
ÖRNEK 14
D
ESEN YAYINLARI
8
A
K
L
C
F
E
6
B
ABCD dörtgeninde E, F, K ve L noktaları sırasıyla
[AB], [BD], [DC] ve [AC] nin orta noktalarıdır.
|AD| = 8 br , |CB| = 6 br ise Çevre(EFKL) kaç
birimdir?
Çözüm
Çevre(EFKL) = |AD| + |BC|
olduğunu fark ettiniz mi?
177
Dörtgenler ve Çokgenler
ÖRNEK 15
ÖRNEK 17
D
K
C
L
D
x
C
F
3
2
A
B
E
A
ABCD dörtgeninde E, F, K ve L noktaları sırasıyla
5
B
[AB], [BD], [DC] ve [AC] nin orta noktalarıdır.
ABCD dörtgeninde, [AD] ⊥ [AB] , [DC] ⊥ [CB]
Çevre(EFKL) = 14 br ise |AD| + |BC| kaç birimdir?
|AD| = 3 br , |AB| = 5 br , |CB| = 2 br ise |DC| = x
kaç birimdir?
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 16
C
D
A
K
F
B
ABCD dörtgen, [DB] ⊥ [AC], |DE| = |EA|, |CF| = |FB|
|AC| = 8 cm , |DB| = 6 cm ise |EF| kaç cm dir?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
E
ÖRNEK 18
A
6
8
B
D
E
2
x
C
ABCD dörtgeninde, |AB| = 8 br , |AD| = 6 br
|CD| = 2 br , |BE| = |AE| = |ED| = |EC| ise |BC| = x
kaç birimdir?
Çözüm
a
ABD üçgeninde, |BE| = |ED| = |AE| ⇒ m( BAD) = 90°
a
BCD üçgeninde, |BE| = |ED| = |EC| ⇒ m( BCD) = 90°
olup ABD ve BCD dik üçgenler olacağından,
Pisagor teoremine göre,
|BD|2 = 82 + 62
|BD|2 = x2 + 22
2
2
2
2
4⇒8 +6 =x +2
64 + 36 = x2 + 4 ⇒ x = 4v6 br bulunur.
178
Dörtgenler ve Çokgenler
ÖRNEK 19
ÖRNEK 21
D
2
C
4
E
ABCD dörtgeninde
x
C
D
F
|DE| = |EB| , |AF| = |FC|
4
x
|DC| = 4 br , |AB| = 6 br
E
ise |EF| = x in alabileceği
A
tam sayı değerlerini bulunuz.
B
6
A
B
Çözüm
ABCD dörtgeninde, verilenlere göre x kaç cm dir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 22
D
ABCD dörtgeninde
verilenlere göre
E
C
6
x
F
10
B
|EF| = x in alabileceği tam
sayı değerlerini bulunuz.
ÖRNEK 20
C
A
Çözüm
60°
D
x
70°
A
B
ABCD dörtgeninde verilenlere göre x kaç derecedir?
Çözüm
179
ALIŞTIRMALAR –
Dörtgenler ve Çokgenler
1
Aşağıdaki dörtgenlerin her birinde verilenlere göre α
Aşağıdaki dörtgenlerin her birinde verilenlere göre m
değerlerini bulunuz.
değerlerini bulunuz.
6.
1.
y
70°
110°
5
4
60°
x
O
α
3
m
2.
140°
7.
4
m
α
60°
6
ESEN YAYINLARI
70°
3.
8
8.
m
3
100°
α
4
10
70°
y
9.
4.
5
100°
α
6
O
5.
m
x
4
10.
105°
180
α
m
6
4
5
Dörtgenler ve Çokgenler
11.
15.
C
L
D
D
C
120°
E
K
E
A
A
B
F
F
B
ABCD dörtgeninde, |DE| = |EA| , |FB| = |FC|
ABCD dörtgeninde, E, F, K ve L kenar orta nok-
|AC| = |DB| = 8 cm ise |EF| kaç cm dir?
talarıdır. |AC| = 20 cm , |DB| = 24 cm ise
Çevre(EFKL) kaç cm dir?
A
16.
12.
C
K
D
E
B
F
L
D
x
F
C
B
E
ABCD dörtgeninde, |DK| = |KC| , |AE| = |EB|
|AL| = |LC| , |DF| = |FB| , Çevre(EFKL) = 20 cm
ise |AD| + |BC| kaç cm dir?
D
13.
K
ABCD dörtgeninde, |BE| = |ED| = 10 cm
ESEN YAYINLARI
A
|AF| = |FC| = 8 cm ise |FE| = x kaç cm dir?
17.
C
D
C
6
E
x
F
L
F
8
A
A
E
B
B
ABCD dörtgeninde, |DF| = |FB|, |AE| = |EC| ise
ABCD dörtgeninde, |DK| = |KC| , |AE| = |EB|
x in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı
|AL| = |LC| , |DF| = |FB| , |AD| = 24 – |BC|
kaçtır?
Çevre(EFKL) kaç cm dir?
14.
18.
C
D
D
|AC| = 18 cm
E
A
F
x
|DB| = 24 cm
B
ABCD dörtgeninde, verilenlere göre |EF| kaç cm
dir?
C
4
A
6
B
ABCD dörtgeninde, verilenlere göre x in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
181
Dörtgenler ve Çokgenler
DÖRTGENİN ÇEVRESİ ve ALANI
C
D
E
α
B
A
a
1
ABCD dörtgeninde, |AC| = e , |BD| = f ve m( CEB) = α olmak üzere A(ABCD) = .e.f.sinα dir.
2
C
D
x
t
θ
α
E
α
z
y
B
A
α + θ = 180° ⇒ sinα = sinθ dır.
A(AEB) + A(BEC) + A(DEC) + A(AED) =
A(ABCD) =
1
1
1
1
.y.z.sinθ + .z.t.sinα + .t.x.sinθ + .x.y.sinα
2
2
2
2
1
1
1
(y.z + z.t + t.x + x.y).sinα = (z (y + t) + x(t + y)).sinα = (y + t).(z + x).sinα
2
2
2
A(ABCD) =
ÖRNEK 23
1
.e.f.sinα bulunur.
2
ÖRNEK 24
A
C
D
4
A
B
B
a
ABCD dörtgeninde, m( CEB) = 60° , |AC| = 12 cm
|BD| = 9 cm ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
Çözüm
A(ABCD) =
182
1
.e.f.sinα
2
3
E
3
4
C
ABCD dörtgeninde, [AC] ∩ [BD] = {E} , [AC] ⊥ [AB]
ESEN YAYINLARI
E
60°
D
|CE| = |AB| = 4 cm , |DE| = |EA| = 3 cm ise A(ABCD)
kaç cm2 dir?
Çözüm
Dörtgenler ve Çokgenler
ETKİNLİK
D
ABCD dörtgen
C
D
|AC| = e, |BD| = f
[AC] ⊥ [BD] ise
B
A
C
S3
e.f
dir.
A(ABCD) =
2
S4
E
S2
S1
Köşegenler arasındaki açı α ise
[AC] ve [BD] köşegen , A(AEB) = S1
A(BEC) = S2 , A(CED) = S3 , A(AED) = S4 ise
D
ÖRNEK 25
B
A
1
1
e.f
A(ABCD) = .e.f.sinα = .e.f.sin90° =
dir.
2
2
2
S1.S3 = S2.S4 dir.
Çözüm
C
A
B
|BD| = 8 cm ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
ABCD dörtgeninde, [AC] ⊥ [BD], |AC| = 12 cm
C
ÖRNEK 26
13
ÖRNEK 27
12
D
C
3
A
D
4
B
S1
Şekildeki ABCD dörtgeninin alanı kaç br2 dir?
Çözüm
S4
E
S3
S2
C
A
B
ABCD dörtgeninde, [AC] ∩ [BD] = {E}
S1, S2, S3, S4 içinde bulundukları bölgelerin alanları
olmak üzere, S1 = 2 cm2, S2 = 6 cm2, S3 = 9 cm2
ise S4 kaç cm2 dir?
Çözüm
183
Dörtgenler ve Çokgenler
ÖRNEK 28
ÖRNEK 29
D
C
M
C
L
N
D
E
2
4
A
K
A
B
ABCD dörtgeninde, K, L, M, N orta noktalardır.
B
A(NDM) = 5 cm2 , A(KBL) = 10 cm2 , ise A(KLMN)
ABCD dörtgeninde, [AC] ∩ [BD] = {E} , [DA] ⊥ [AB]
kaç cm2 dir?
|CE| = 2|AE| , |AD| = 2 cm , |AB| = 4 cm ise
Çözüm
A(ABCD) kaç cm2 dir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 30
D
K
C
L
F
E
A
B
ABCD dörtgeninde, E, F, K, L orta noktalardır.
A(AEFCKL) = 30 cm2 ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
Çözüm
D
C
M
S3
S4
L
N
S2
S1
A
K
B
ABCD dörtgeninde, K, L, M, N orta noktalar ise
S1 + S3 = S2 + S4 ve A(KLMN) =
184
A (ABCD)
dir.
2
D
ALIŞTIRMALAR –
1.
5.
Köşegen uzunlukları 6 cm ve 8 cm olan dış
2
D
5
2
bükey bir çokgenin alanı en çok kaç cm olabilir?
C
5
6
2.
D
K
B
ABCD dörtgeninde verilenlere göre A(ABCD)
C
8
30°
10
A
F
kaç cm2 dir?
6
B
E
A
6.
ABCD dörtgeninde E, F, K orta noktalardır.
D
Verilenlere göre A(ABCD) kaç cm2 dir?
C
3
x
x–1
4
A
3.
K
D
C
B
ABCD dörtgeninde verilenlere göre
ESEN YAYINLARI
a. Çevre(ABCD) kaç br dir?
F
L
E
A
B
b. A(ABCD) kaç br2 dir?
7.
C
D
ABCD dörtgeninde E, F, K, L orta noktalardır.
E
A(ALE) = 9 cm2 , A(EBF) = 8 cm2
15°
A(CKF) = 5 cm2 ise A(LDK) kaç cm2 dir?
30°
A
B
ABCD dörtgeninde, |AC| = 6 cm , |DB| = 4 cm
a
a
m( CAB) = 15° ve m( DBA) = 30° ise A(ABCD)
kaç cm2 dir?
y
4.
8.
B
C
D
C(0, 4)
D
K
O
A(8, 0)
30°
x
A
OABC dörtgeninde, [OB] ∩ [AC] = {D}
C(0, 4), A(8, 0) ve |OD| = |DB| ise A(OABC)
kaç br2 dir?
B
ABCD dörtgeninde, |AD| = 4 cm , |AC| = 6 cm
a
m( DAC) = 30° ve |KB| = 3|DK| ise A(ABCD)
kaç cm2 dir?
185
Yamuk
Karşılıklı kenarlarından sadece ikisi paralel olan bir dörtgene yamuk denir.
üst taban C
n
r
na
ke
A
ya
yan
ken
ar
D
alt taban
B
®
Şekildeki ABCD dörtgeninde [AB] // [DC] olup bu dörtgen bir yamuktur.
®
Yamuğun paralel kenarına tabanlar denir. [AB] kenarı alt taban ve [DC] kenarı üst tabandır.
®
Paralel olmayan [AD] ve [BC] kenarlarına ayaklar (yan kenarlar) denir.
®
Bir yamukta bir yan kenarla tabanların oluşturduğu iç açıların ölçüleri toplamı 180° dir.
D
ABCD yamuğunda
a
a
m( A) + m( D) = 180° ve
a
a
m( B) + m( C) = 180° dir.
180°– α
α
C
180°– θ
θ
A
B
İspat:
D
K
C
β
a
a
m( ABC) = θ ve m( DCB) = β olsun.
a
a
m( KCB) = m( CBA) = θ olacağından
a
a
m( DCB) + m( BCK) = 180° ⇒ θ + β = 180° olur.
θ
θ
A
B
Çözüm
ÖRNEK 31
D
C
α
120° E
A
B
a
a
a
ABCD yamuk, m( ADE) = m( EDB), m( AED) = 120°
a
a
a
m( DAE) = m( EAB) ise m( BDC) = α kaç derecedir?
186
Dörtgenler ve Çokgenler
ÖRNEK 32
D
ÖRNEK 34
C
4
D
C
6
70°
4
40°
x
A
B
A
a
a
ABCD yamuğunda, m( DAB) = 70°, m( CBA) = 40°
B
9
Çözüm
Çözüm
ESEN YAYINLARI
|DC| = 4 br ve |CB| = 6 br ise |AB| = x kaç br dir?
ABCD yamuğunda, |AB| = 9 cm, |CB| = 4 cm
a
a
m( DCB) = 2m( DAB) ise |DC| kaç cm dir?
ÖRNEK 33
D
C
4
ÖRNEK 35
100°
ABCD yamuğunda
5
x
A
9
D
c
C
[AC] ⊥ [DB]
B
a
ABCD yamuğunda, m( ADC) = 100°, |DC| = 4 cm
a
|AD| = 5 cm ve |AB| = 9 cm ise m( CBA) = x kaç
derecedir?
|AC| = 6 br
|DB| = 8 br ise
a + c kaç birimdir?
A
B
a
Çözüm
Çözüm
187
Dörtgenler ve Çokgenler
Yamuğun Orta Tabanı
c
D
Bir yamukta paralel olmayan kenarların orta nokta-
C
larını birleştiren doğru parçasına orta taban denir.
E
ABCD yamuğunda, E ve F
c
D
A
C
kenar orta noktaları ise
[EF] orta taban olup
F
A
a
ACD üçgeninde
B
c
D
olduğundan
C
c
2
E
E
F
a
2
K
A
a
c
B
ESEN YAYINLARI
AB
a
dir.
=
[KF] orta taban olduğundan |KF| =
2
2
c a a+c
olur.
+ =
2 2
2
C
c
2
c
2
K
A
ABC üçgeninde
|EF| = |EK| + |KF| ⇒ |EF| =
B
a–c
dir.
2
D
[EK] orta taban
DC
c
|EK| =
=
2
2
a
köşegenler ise |KL| =
a+c
dir.
2
F
L
ABCD yamuğunda, [EF] orta taban, [DB] ve [AC]
E
[DC] // [EF] // [AB]
ve |EF| =
K
L
F
a
B
ACD üçgeninde [EK] orta taban olup, |EK| =
c
dir.
2
DBC üçgeninde [LF] orta taban olup, |LF| =
c
dir.
2
|EF| = |EK| + |KL| + |LF|
a+c c
c
a–c
⇒ |KL| =
bulunur.
= + |KL| +
2
2
2
2
ÖRNEK 36
D
ABCD yamuğunda
c
C
ÖRNEK 37
K
4
E
|AB| = a br
6
E
F
|DC| = c br
A
|EF| = 6 br ise a + c kaç br dir?
Çözüm
a
A
B
K
L
6
F
B
ABCD yamuğunda, [EF] orta taban, |AB| = 6 cm
|DC| = 2 cm ise |EK|, |KL| ve |LF| değerlerini
bulunuz.
Çözüm
188
C
L
|CL| = |LF| = |FB|
|KL| = 4 br
2
D
|DK| = |KE| = |EA|
Dörtgenler ve Çokgenler
ÖRNEK 38
ÖRNEK 40
D
C
2
D
ABCD yamuğunda
C
[DE], [CF], [BF] ve
E
K
F
L
x
4
[AE] açıortaylar
6
F
E
|AD| = 4 cm
A
|AB| = 10 cm
B
10
A
B
ABCD yamuğunda, [EF] orta taban, [AC] ve [BD]
|CB| = 6 cm, |DC| = 2 cm ise |EF| = x kaç cm dir?
köşegenlerdir. |DC| = 2|KL|, |AB| = 12 br ise |EF|
Çözüm
kaç birimdir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 39
6
D
E
4
F
C
x
ÖRNEK 41
D
4
F
E
A
12
C
K
B
x
ABCD yamuğunda, [EF] // [DC] // [AB], [CF] ve [BF]
A
12
B
açıortaylar, |DC| = 6 br, |AB| = 12 br, |EF| = 4 br ise
ABCD yamuğunda, E ve F orta noktalar
|CB| = x kaç birimdir?
[EB] ∩ [AF] = {K}, |CF| = |FB|, |AB| = 12 cm
Çözüm
|DC| = 4 cm, |AF| = 10 cm ise |AK| = x kaç cm dir?
Çözüm
189
Dörtgenler ve Çokgenler
ÖRNEK 42
ABCD yamuğunda
D
E
4
C
x
D
[AC] ve [BD]
K
L
N
köşegenlerinin
F
C
c
kesim noktası N
olmak üzere;
A
10
B
ABCD yamuğunda, [DC] // [EF] // [AB], |EA| = 2|ED|
a
A
|AB| = a
B
|DC| = c ve [DC] // [KL] // [AB] ise
2.a.c
dir.
|KN| = |NL| ve |KL| =
a+c
|DC| = 4 br ve |AB| = 10 br ise |EF| = x kaç br dir?
Çözüm
DN
CN
&
&
c
DCN + BAN ⇒
=
=
a
NB
NA
⇒
DN
DB
CN
=
CA
=
c
a+c
DN
KN
&
&
DKN + DAB ⇒
=
a
DB
ESEN YAYINLARI
⇒
ÖRNEK 43
KN
c
a.c
⇒ |KN| =
=
a+c
a
a+c
CN
NL
&
&
CNL + CAB ⇒
=
a
CA
⇒
NL
a.c
c
⇒ |NL| =
=
a+c
a+c
a
O halde, |KL| = |KN| + |NL| =
ABCD yamuğunda
D
[EF] // [AB] // [DC]
E
C
2
x
2.a.c
elde edilir.
a+c
F
|DC| = 2 br
|AB| = 6 br ise
|EF| = x kaç birimdir?
ÖRNEK 44
A
6
B
D
Çözüm
K
A
C
1
L
N
4
B
ABCD yamuğunda, [AC] ∩ [BD] = {N}
[DC] // [KL] // [AB], |DC| = 1 cm ve |AB| = 4 cm
ise |KL| kaç cm dir?
Çözüm
190
Dörtgenler ve Çokgenler
ÖRNEK 45
ÖRNEK 46
D
2 F
1
C
15
20
K
x
A
5
D
C
E
A
30
B
ABCD yamuğunda, |AB| = 30 cm, |AD| = 20 cm
B
|BC| = 15 cm ve |DC| = 5 cm ise yamuğun yüksek-
ABCD yamuğunda, [DB] ve [AC] köşegen
liği kaç cm dir?
[CE] ∩ [DB] = {K}, 2|EB| = 3|AE|, |DF| = 2 br ve
Çözüm
|FK| = 1 br ise |KB| = x kaç birimdir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 47
ABCD yamuğunda
D
2
C
[AD] ⊥ [DE]
|CE| = |EB|
a
m( DAB) = 75°
|DC| = 2 br
E
75°
A
6
B
|AB| = 6 br ise yamuğun yüksekliği kaç birimdir?
Çözüm
Yamuğun Yüksekliği
Bir yamuğun tabanları (paralel kenarları) arasındaki uzaklığa, yamuğun yüksekliği denir.
D
C
h
A
H
B
Şekilde [DH] ⊥ [AB] olduğundan, |DH| = h
ABCD yamuğunun yüksekliğidir.
191
Dörtgenler ve Çokgenler
İKİZKENAR YAMUK
L
D
C
Paralel olmayan kenarları eşit uzunlukta olan yamuğa
ikizkenar yamuk denir.
O
D
K
A
B
ABCD yamuğunda, [AC] ∩ [BD] = {O}
A
|KL| = h |AB| = a, |DC| = c ise
|OL| =
OL
DC
&
&
c
DCO + BAO ⇒
=
=
a
OK
BA
⇒ |OL| = c.k, |OK| = a.k
|AD| = |BC|
®
®
Köşegen uzunlukları eşittir. |AC| = |BD|
a
a
a
a
m( A) = m( B) , m( D) = m( C)
®
ABCD ikizkenar
D
c
C
c
K
[DH] ⊥ [AB]
⇒ h = k(c + a)
[CK] ⊥ [AB] ise
h
olur.
a+c
|AH| = |KB| =
c.h
a+c
a.h
elde edilir.
a+c
ESEN YAYINLARI
|OK| = a.k =
®
yamuğunda
h = |OL| + |OK| ⇒ h = c.k + a.k
O halde, |OL| = c.k =
B
ABCD ikizkenar yamuk ise;
c.h
a.h
ve |OK| =
dir.
a+c
a+c
⇒k=
C
a–c
2
H
A
B
a
olur.
ÖRNEK 49
D
3
5
A
C
5
11
B
ÖRNEK 48
D
ABCD yamuğunda, |AD| = |BC| = 5 br, |DC| = 3 br
C
L
|AB| = 11 br ise yamuğun yüksekliği kaç birimdir?
O
A
K
Çözüm
B
ABCD yamuğunda, [AC] ∩ [BD] = {O}, [LK] ⊥ [AB]
|AB| = 12 cm, |DC| = 4 cm ve |LK| = 8 cm ise |OL|
kaç cm dir?
Çözüm
192
Dörtgenler ve Çokgenler
ÖRNEK 50
D
ABCD yamuğunda
D
|AD| = |BC| = c13 br
2
c
C
h
|DC| = 2 br
c13
5
L
c13
|DB| = 5 br ise
a
A
|AB| = x kaç birimdir?
A
x
C
B
B
ABCD ikizkenar yamuğunda, [AC] ⊥ [DB] ise
Çözüm
h=
a+c
dir.
2
c
D 2
c
K 2 C
L
a
2
A
H
a
2
B
[KH] ⊥ [AB] çizersek, DLC ikizkenar dik üçgen olur.
ESEN YAYINLARI
Bu durumda, |KL| = |DK| = |KC| =
ÖRNEK 51
D
c
dir.
2
Yine, ABL ikizkenar dik üçgeninde,
a
olacağından
2
c a a+c
h = |KH| = |KL| + |LH| = + =
bulunur.
2 2
2
|LH| = |AH| = |HB| =
C
x
H
4
ÖRNEK 52
D
A
6
4
C
B
ABCD yamuğunda, |AD| = |CB| = 4 br, [HB] ⊥ [AD]
a
a
m( ABH) = m( HBC), |AB| = 6 br ise |HD| = x kaç br dir?
Çözüm
A
10
B
ABCD yamuğunda, |AD| = |CB|, [AC] ⊥ [DB]
|DC| = 4 br, |AB| = 10 br ise yamuğun yüksekliği
kaç birimdir?
Çözüm
193
Dörtgenler ve Çokgenler
DİK YAMUK
ÖRNEK 53
D
2
C
Yan kenarlarından biri tabanlara dik olan yamuk dik
yamuktur. Aşağıdaki yamuklar birer dik yamuktur.
x
x
D
A
8
C
D
C
B
ABCD yamuğunda, |AD| = |CB| = x, [AC] ⊥ [DB]
|AB| = 8 br ve |DC| = 2 br ise x kaç br dir?
A
B
A
B
Çözüm
ABCD dik yamuğunda
D
c
C
[CH] ⊥ [AB] ise
|CH| = |DA| = h
h
h
|AH| = |DC| = c
ESEN YAYINLARI
|HB| = a – c dir.
A
c
H
a–c
B
ÖRNEK 55
D
4
C
6
ÖRNEK 54
60°
D
2
C
A
B
a
ABCD dik yamuğunda, m( DAB) = 60°, |DC| = 4 br
|AD| = 6 br ise |AB| kaç birimdir?
Çözüm
45°
A
4
B
a
ABCD yamuk, |AD| = |CB|, m( CAB) = 45°, |AB| = 4 br
|DC| = 2 br ise yamuğun yüksekliği kaç br dir?
Çözüm
194
Dörtgenler ve Çokgenler
ÖRNEK 56
ÖRNEK 58
D
C
v5
y
2
C
D
E
x
O
B
A
x
B
ABCD dik yamuğunda, [AE] açıortay, |DC| = v5 br
OBCD dik yamuğunda, [OC] ⊥ [CB], C(4, m), B(13, 0)
|CE| = 2 br ve |AD| = |AB| ise |EB| = x kaç br dir?
ise m kaçtır?
Çözüm
Çözüm
ESEN YAYINLARI
y
ÖRNEK 57
ÖRNEK 59
y
D
y
D
C
C
α
A
A
O
O
x
x
AOCD dik yamuğunda, A(–5, 0), D(–3, 2) ise
a
m( ADC) = α kaç derecedir?
AOCD dik yamuğunda, [AC] açıortay, D(–4, m)
A(–6, 0) ise m kaçtır?
Çözüm
Çözüm
195
Dörtgenler ve Çokgenler
D
c
ÖRNEK 61
C
D
ABCD dik yamuğunda
C
3
[AC] ⊥ [BD]
h
x
|DC| = 3 cm
a
A
|AB| = 12 cm ise
B
|CB| = x kaç cm dir?
ABCD dik yamuğunda köşegenler birbirine dik ise,
A
12
B
Çözüm
2
h = a.c dir.
I. Yol
[DK] // [CA]
D
C
c
çizilirse,
h
KACD paralelkenarında
|KA| = |DC| = c
K
a
A
c
B
olur. Ayrıca [DK] // [AC] olduğundan,
a
m( KDB) = 90° olur.
KBD dik üçgeninde Öklid teoremine göre,
II. Yol
&
&
ADC + BAD
AD
BA
=
DC
AD
D
θ
ise
h c
= ⇒ h2 = a.c olur.
a h
C
c
α
ESEN YAYINLARI
|DA|2 = |KA|.|AB| ⇒ h2 = a.c bulunur.
θ
ÖRNEK 62
C
D
h
α
3
α
a
A
7
F
2
B
A
E
B
a
a
ABCD dik yamuğunda [FE] ⊥ [AB], m( ADF) = m( FDC)
a
a
m( DCF) = m( FCB), |AD| = 3 cm, |FE| = 2 cm
|CB| = 7 cm ise |DC| kaç cm dir?
ÖRNEK 60
ABCD dik yamuğunda
D
4
C
Çözüm
[DB] ⊥ [AC]
|DC| = 4 cm
x
|AB| = 9 cm ise
|AD| = x kaç cm dir?
Çözüm
196
A
9
B
Dörtgenler ve Çokgenler
YAMUKSAL BÖLGENİN ALANI
ÖRNEK 63
ABCD dik yamuğunda
D
D
C
c C
|AD| = |AE|
|CE| = |EB| ise
a
m( EAB) = α
h
E
A
kaç derecedir?
H
α
A
B
a
B
Çözüm
[CH] ⊥ [AB], |AB| = a cm, |CD| = c cm, |CH| = h cm
A(ABCD) =
(a + c) .h
2
D
c C
h
A
H
B
a
ESEN YAYINLARI
A(ABCD) = A(ACB) + A(ADC)
ÖRNEK 64
D
C
=
a.h c.h
a.h + c.h
=
+
2
2
2
=
(a + c) .h
bulunur.
2
α
ÖRNEK 65
15°
A
B
D
a
ABCD dik yamuğunda m( ABD) = 15°, |DC| = 2|AD|
a
ise m( DCB) = α kaç derecedir?
4
C
6
Çözüm
A
H
B
8
ABCD yamuğunda, [DH] ⊥ [AB], |AB| = 8 cm
|CD| = 4 cm, |DH| = 6 cm ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
Çözüm
197
Dörtgenler ve Çokgenler
ÖRNEK 66
ÖRNEK 68
y
D
y
C
C
D
F
E
A
O
x
B
O
OBCD dik yamuğunda, [OC] ⊥ [BC], B(13, 0)
ABCD yamuğunda, [EF] orta taban ve E(–8, 3)
C(4, m) ise A(OBCD) kaç br2 dir?
ise A(ABCD) kaç br2 dir?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 69
D
ÖRNEK 67
D
9
13
C
8
E
13
5
A
19
|DC| = 9 cm ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
198
A
B
ABCD yamuğunda, |AB| = 19 cm, |AD| = |BC| = 13 cm
Çözüm
x
B
6
C
10
13
B
ABCD dik yamuğunda, |DE| = 8 cm, |EA| = 5 cm
|CE| = 10 cm, |EB| = 13 cm ise A(CEB) kaç cm2 dir?
Çözüm
Dörtgenler ve Çokgenler
D
C
D
C
S4
S1
E
E
S3
S2
A
A
B
B
ABCD yamuğunda |AE| = |ED| ise
ABCD yamuğunda, [AC] ∩ [BD] = {E}
A(BEC) =
A(ADE) = S1 , A(AEB) = S2 , A(EBC) = S3 ve
A (ABCD)
dir.
2
A(DEC) = S4 ise
D
S 2 .S 4
® S1 = S3 =
® A(ABCD) = ^ S 2 + S 4 h
2
c
C
h
2
E
dir.
F
H
K
h
2
A(ADC) = A(BDC) ⇒ S1 + S4 = S3 + S4
A
⇒ S1 = S3 bulunur.
[EF] orta taban ise |EF| =
[AC] ve [BD] köşegen ise, oluşan üçgenlerin kar-
S 2 .S 4 olur.
A(ABCD) = S1 + S2 + S3 + S4
S 2 .S 4 + S2 +
S 2 .S 4 + S4
2
=
=
h
h
EF .
2 +
2
2
2
EF .
EF .h
2
a + c .h
= 2
2
= S2 + 2 S 2 .S 4 + S4
= ^ S2 + S4 h
ESEN YAYINLARI
S1.S3 = S2.S4 tür. Ayrıca S1 = S3 olduğundan,
=
a+c
2
A(BEC) = A(BEF) + A(CEF)
şılıklı alanları çarpımı eşit olduğundan
S1.S1 = S3.S3 = S2.S4 ⇒ S1 = S3 =
B
a
elde edilir.
=
A (ABCD)
bulunur.
2
ÖRNEK 70
ABCD yamuk
D
[AC] ∩ [BD] = {E}
D
A(DEC) = 4 cm
A(ABE) = 9 cm2 ise
C
H
E
2
A(ABCD) kaç cm2 dir?
C
4
E
h
b
9
A
B
A
B
Çözüm
Yukarıdaki özelliğin sonucu olarak,
A(ADE) = A(CEB) = A olsun.
ABCD yamuğunda |AE| = |ED| ve [EH] ⊥ [BC]
A(ADE).A(CEB) = A(DEC).A(ABE)
ise A(ABCD) = |BC|.|EH| dir.
A.A = 4.9 ⇒ A = 6 cm2 dir. Bu durumda,
Yani, A(ABCD) = b.h elde edilir.
2
A(ABCD) = A + A + 4 + 9 = 6 + 6 + 4 + 9 = 25 cm dir.
199
Dörtgenler ve Çokgenler
ÖRNEK 71
ÖRNEK 72
D
C
D
C
H
E
E
8
30°
A
B
A
ABCD yamuğunda, [EH] ⊥ [BC], |AE| = |ED|
B
a
ABCD yamuk, |BE| = |EC|, m( DAE) = 30°
ESEN YAYINLARI
|EH| = 6 cm, |BC| = 8 cm ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
Çözüm
12
|AD| = 8 cm ve |AE| = 12 cm ise A(ABCD) kaç
cm2 dir?
Çözüm
ETKİNLİK
L
D
C
ABCD yamuksal bölgesinde; E, F, K, L birer orta noktaları ise
E
K
a. EFKL dörtgeni paralelkenardır.
F
A
a.
D
b. A(EFKL) =
B
L
DAC üçgeninde [EL] ve BAC üçgeninde [FK] orta taban olup,
AC
[EL] // [AC] // [FK] ve |EL| = |FK| =
dir.
2
Benzer şekilde CDB üçgeninde [LK] ve ABD üçgeninde [EF]
C
O
E
K
α
α
A
F
A (ABCD)
dir.
2
B
orta taban olup, [EF] // [BD] // [LK] ve |EF| = |LK| =
BD
2
dir.
O halde, EFKL dörtgeninin karşılıklı kenarları paralel ve uzunlukları eşit olduğundan, EFKL paralelkenardır.
b. A(ABCD) =
1
|AC|.|BD|.sinα
2
A(EFKL) = |EF|.|FK|.sinα =
I ve II den A(EFKL) =
200
…I
BD . AC .
1
sin α = |AC|.|BD|.sinα
2
2
4
A (ABCD)
bulunur.
2
…II
Dörtgenler ve Çokgenler
Çözüm
ÖRNEK 73
y
C
D
O
x
B
OBCD dik yamuk C(4, m), B(9, 0) ise A(OBCD)
kaç br2 dir?
Çözüm
ÖRNEK 75
D
5
C
ESEN YAYINLARI
E
75°
A
11
B
a
ABCD yamuk, [EC] ⊥ [BC], |AE| = |ED|, m( ABC) = 75°
|DC| = 5 cm ve |AB| = 11 cm ise A(ABCD) kaç
cm2 dir?
Çözüm
ÖRNEK 74
D
C
K
E
F
L
A
B
ABCD yamuk, [AC] ∩ [BD] = {F}, C, K, E doğrusal
E, L, B doğrusal, [EF] // [AB], A(CFB) = 6 cm2
ise A(CEB) kaç cm2 dir?
201
Dörtgenler ve Çokgenler
ETKİNLİK
Dik üçgensel bölge şeklindeki bir tarlayı iki kardeş eşit alanlı iki
parçaya bölerek paylaşacaktır. Küçük kardeş tabana paralel
50 m
30 m
bir çit ile tarlanın aslına benzer bir üçgensel bölge oluşturmak
istediğine göre farklı tabanlar için çitlerin uzunluklarını bulalım.
40 m
Çözüm
Tarla, istenen koşullara uygun çitle bölündüğünde, bir dik üçgen ve bir dik yamuk oluşmaktadır.
A
&
&
AD 1 E 1 + ABC ve alanları oranı
50 m
30 m
S
E1
D1 E1
S
40 m
B
1
dir. O halde,
2
benzerlik oranı
D1
C
BC
=
S
1
ise
=
2S 2
D1 E1
1
1
⇒
⇒ |D1E1| = 20v2 m dir.
=
40
2
2
A
D2
&
&
CD 2 E 2 + CAB olup,
D2 E2
AB
30 m
D2 E2
1
1
⇒
=
=
30
2
2
50 m
S
S
E2
B
⇒ |D2E2| = 15v2 m bulunur.
C
40 m
A
30 m
&
&
BD 3 E 3 + BAC olup,
D3
S
50 m
D3 E3
AC
S
B
E3
C
=
D3 E3
1
=
50
2
1
⇒
2
⇒ |D3E3| = 25v2 m bulunur.
40 m
O halde, çitin uzunluğu en az 15v2 m olmalıdır.
Çitin uzunluğu yandaki gibi |DE| = 15 m olursa;
&
&
15 1
olup
CDE + CAB ve benzerlik oranı
=
30 2
2
1
1
tür.
alanları oranı c m =
2
4
A
25 m
30 m
202
3S
15 m
Bu durumda, A(CDE) = S ise A(ABED) = 3S
olduğuna dikkat ediniz.
D
B
20 m
E
S
25 m
20 m
C
ALIŞTIRMALAR –
3
Aşağıdaki yamukların her birinde verilenlere göre x
Aşağıdaki yamukların her birinde verilenlere göre
değerlerini bulunuz.
istenenleri bulunuz.
6.
1.
4
x
120°
x
125°
x=?
8
2.
7.
a
x
3
a
x+y=?
4
x
70°
3.
ESEN YAYINLARI
2a
a
x
y
x
8.
1
b
b
x=?
3
a+b
9.
4.
x
2
130°
3
3
80°
4
10.
2k
α
x
x+y+z=?
z
x
5.
y
2
x
6
x=?
3k
180° – α
9
203
Dörtgenler ve Çokgenler
Aşağıda verilen yamukların yüksekliklerini bulunuz.
Aşağıdaki yamukların her birinde verilenlere göre x
11.
değerlerini bulunuz.
4
16.
4
8
6
x
12.
4
17.
4
3
x
ESEN YAYINLARI
9
13.
2
18.
x
3
4
14.
5
19.
6
5
x
5
1
10
15.
5
20.
13
5v2
8
204
x
Dörtgenler ve Çokgenler
21.
D
2
25.
C
D
4v2
45°
B
ABCD yamuk, [CF] ve [BF] açıortaylar
a
ABCD dik yamuk, m( ABC) = 45°, |DC| = 2 cm
[EF] // [AB], |EF| = 6 cm, |BC| = 8 cm ve
|BC| = 4v2 cm ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
A(BFC) = 16 cm2 ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
C
5
F
A
B
D
D
26.
4
B
A
D
C
6
A
E 2 B
ABCD dik yamuk, [AC] ⊥ [DE], |AE| = 9 cm
ESEN YAYINLARI
|DC| = |CB| = 5 cm ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
9
A
a
a
ABCD yamuk, m( C) = 2.m( A), |AD| = 6 cm
23.
C
F
5
6
8
6
E
A
22.
C
|DC| = 4 cm, |EB| = 2 cm ise A(ABCD) kaç cm2
dir?
27.
D
3
C
A 2 E
B
8
B
a
a
ABCD yamuk, |AD| = |BC|, m( ABD) = m( DBC)
ABCD yamuk, |AE| = 2 cm, |EB| = 8 cm
|AB| = 6 cm ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
|DC| = 3 cm ise
24.
D
2
28.
C
A (AECD)
kaçtır?
A (EBC)
D
C
2
E
4
18
30°
A
45°
B
a
a
ABCD yamuk, m( A) = 30°, m( B) = 45°,
|AD| = 4 cm, |DC| = 2 cm ise A(ABCD) kaç cm2
dir?
A
B
ABCD yamuk, [AC] ∩ [BD] = {E},
A(DCE) = 2 cm2, A(AEB) = 18 cm2 ise
A(ABCD) kaç cm2 dir?
205
Dörtgenler ve Çokgenler
29.
D
33.
C
y
D
E
B
A
E
C
O
A
B
x
ABCD yamuk, |AE| = 2|EC|, |AB| = 3|DC|
ABCD ikizkenar yamuğunda, D(–1, 4), C(2, 4)
A(CEB) = 6 cm2 ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
B(5, 0), |AD| = |BC| ise A(AOED) kaç br2 dir?
30.
D
C
F
18
34.
6
D
E
A
31.
ise A(ABCD) kaç cm dir?
D
E
A
2
ESEN YAYINLARI
A(CFB) = 18 cm
C
F
E
B
ABCD yamuk, [AD] // [EC], A(AEFD) = 6 cm2
2
y
C
B
O
x
ABCD yamuk, [EF] orta taban F(4, 1) ise
A(ABCD) kaç br2 dir?
2
4
35. 2x + 4y – 4 = 0 ve x + 2y – 6 = 0 doğrularının
eksenlerle oluşturduğu yamuksal bölgenin alanı
kaç br2 dir?
B
A
ABCD yamuk, |AB| = |AE|, |DE| = |DC|
|EC| = 2 cm, |CB| = 4 cm ise A(CEB) kaç cm2 dir?
y
36.
32.
D
4
C
A
E
C
6
B
30°
A
E 2B
a
ABCD yamuk, [AB] // [DC], m( DAB) = 30°
|AD| = 6 cm, |DC| = 4 cm ve |EB| = 6 cm ise
A(EBCD) kaç cm2 dir?
206
O
x
AOBC yamuğunda, [AO] // [CB], |AE| = |EC|
E(2, 4) ve B(m, 1) ise A(AOBC) kaç br2 dir?
Paralelkenar
Karşılıklı kenarları paralel olan dörtgenlere paralelkenar denir.
Şekildeki ABCD paralelkenarında
D
C
a
α
θ
® [AB] // [DC] ve [AD] // [BC] dir.
b
® Bir paralelkenarda karşılıklı kenarların uzunlukları
b
θ
α
ve karşılıklı açıların ölçüleri eşittir.
A
B
a
İspat:
D
C
&
&
ADB , CBD (A.K.A. eşlik teoremi) olduğundan,
a
a
a
a
m( A) = m( C), m( B) = m( D)
A
|AB| = |DC|, |AD| = |BC| bulunur.
B
Çözüm
ÖRNEK 76
D
C
α
37°
A
H
B
a
ABCD paralelkenar, [DH] ⊥ [AB], m( ADH) = 37° ise
a
m( C) = α kaç derecedir?
ÖRNEK 78
D
ESEN YAYINLARI
Çözüm
AHD üçgeninde,
a
a
m( A) + 37° + 90° = 180° ⇒ m( A) = 53° dir.
a
a
m( A) = m( C) ⇒ α = 53° bulunur.
C
50°
F
70°
α
A
E
B
a
a
ABCD paralelkenar, m( AFE) = 70°, m( BCD) = 50°
a
ise m( FEB) = α kaç derecedir?
ÖRNEK 77
ABCD paralelkenar
a
a
m( ADE) = m( EDC)
D
C
|EB| = 2 cm
6
|BC| = 6 cm ise
|DC| kaç cm dir?
A
E 2
Çözüm
Paralelkenarda karşılıklı açılar eşit olduğundan,
a
a
m( A) = m( C) = 50° dir.
a
a
α = m( A) + m( F) ⇒ α = 50° + 70°
B
207
Dörtgenler ve Çokgenler
ÖRNEK 79
ÖRNEK 80
D
D
C
C
20°
E
α + 30°
α
2α – 10°
30°
A
B
A
B
a
ABCD paralelkenar, m( A) = 2α – 10°
a
a
m( C) = α + 30° ise m( B) kaç derecedir?
a
a
ABCD paralelkenar, m( DCE) = 20°, m( ABE) = 30°
a
ise m( CEB) = α kaç derecedir?
Çözüm
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Paralelkenarda karşılıklı açılar eş olduğundan,
a
a
m( A) = m( C) ⇒ 2α – 10° = α + 30°
ÖRNEK 81
E
80°
D
5°
C
20°
Paralelkenarda komşu açılar bütünlerdir.
D
C
A
α
B
a
a
ABCD paralelkenar, m( AEC) = 80°, m( EAD) = 20°
a
a
m( ECD) = 5° ise m( DAB) = α kaç derecedir?
α
A
θ
α
B
E
a
a
m( DAE) = m( CBE) = α (yöndeş açılar)
a
a
m( ABC) + m( CBE) = 180° ⇒ α + θ = 180°
Çözüm
a
m( ADC) = 20° + 80° + 5° = 105° dir.
olduğundan paralelkenarda komşu açılar bütünlerdir. Yani,
a
a
m( A) + m( B) = 180°
a
a
m( B) + m( C) = 180°
a
a
m( C) + m( D) = 180°
a
a
m( A) + m( D) = 180° olur.
208
ÖRNEK 82
ABCD paralelkenar
D
C
|AD| = |DE|
|CD| = |CE|
a
m( ECB) = 12° ise
a
m( A) kaç derecedir?
12°
A
E
B
Dörtgenler ve Çokgenler
Çözüm
ÖRNEK 84
D
C
10
5
9
E
A
B
x
ABCD paralelkenar, [AC] ∩ [BD] = {E}, |DE| = 5 cm
|BC| = 9 cm, |CE| = 10 cm ise |AB| = x kaç cm dir?
Çözüm
D
Paralelkenarda
C
köşegenler
E
birbirini ortalar.
A
B
&
&
ABE , CDE (A.K.A. eşlik teoremi) olduğundan,
ESEN YAYINLARI
|AE| = |EC| ve |BE| = |ED| dir.
ÖRNEK 83
y
B
C
ÖRNEK 85
E
ABCD paralelkenar
O
A
x
D
[AC] ∩ [BD] = {F}
B, K, E doğrusal
OABC paralelkenarında, [AC] köşegendir.
|KF| = 2 cm ise
|CE| = |EA|, E(0, 2), A(3, 0) ise |AB| kaç br dir?
|AC| kaç cm dir?
Çözüm
Çözüm
C
E
2
F
K
A
B
209
Dörtgenler ve Çokgenler
ÖRNEK 86
Paralelkenarda komşu açıların açıortayları birbirine
y
diktir.
D
E
3
A
D
C
[AE] ve [DE]
O
açıortay ise
x
C
E
[AE] ⊥ [DE] dir.
K
A
B
ABCD paralelkenarında, |AO| = |OC|, E(0, 6)
B
D
A(–8, 0), |DE| = 3 br ise |AB| kaç br dir?
θ
C
θ
E
Çözüm
α
α
A
B
a
a
m( A) + m( D) = 180°
2α + 2θ = 180°
α + θ = 90° dir.
ESEN YAYINLARI
ADE üçgeninde,
a
a
α + θ + m( E) = 180° ⇒ m( E) = 90° dir.
ÖRNEK 88
ÖRNEK 87
D
D
A
F
8
x
C
2
F
B
A
E
12
B
E
ABCD paralelkenar, [FA] // [BD] // [EC], |EC| = 2 cm
|BD| = 8 cm ise |FA| = x kaç cm dir?
ABCD paralelkenar, [AE] ve [DE] açıortaylar
[FE] // [AB], |BC| = 12 cm ise |FE| = x kaç cm dir?
Çözüm
Çözüm
A
210
x
C
Dörtgenler ve Çokgenler
ÖRNEK 89
ÖRNEK 91
D
C
D
C
16
x
E
A
F
6
10
B
E
A
ABCD paralelkenar, [AE], [BF], [CF], [DE] açıortaylar
B
ABCD paralelkenar, [DE] açıortay, [DE] ⊥ [CE]
|AB| = 10 cm , |BC| = 6 cm ise |EF| = x kaç cm dir?
|DC| = 16 cm ise Çevre(ABCD) kaç cm dir?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 90
D
C
ÖRNEK 92
E 3 C
D
A
F
B
α
E
8
F
A
x
B
ABCD paralelkenar, [DE] iç açıortay, [BE] dış açıortay
a
ise m( DEB) = α kaç derecedir?
ABCD paralelkenar, [BF] açıortay, [AE] ⊥ [BF]
Çözüm
|AD| = 8 cm, |EC| = 3 cm ise |AB| = x kaç cm dir?
Çözüm
211
Dörtgenler ve Çokgenler
ÖRNEK 93
ABCD paralelkenar
D
D
C
C
[DE] ve [CE]
açıortaylar
5
|AD| = 5 cm
|DE| = 6 cm ise
|CE| = x kaç cm dir?
E
A
L
x
6
F
K
A
B
E
B
ABCD paralelkenar, |AE| = |EB|, |BF| = |FC|
Çözüm
[AC] köşegen ise |AK| = |KL| = |LC| olur.
D
C
2n
2n
A
n
n
N
K
L
F
E
B
[BD] köşegeni çizilirse |BN| = |ND| olduğundan,
K noktası ABD üçgeninin ve L noktası BCD üçgeni-
ESEN YAYINLARI
nin ağırlık merkezidir. O halde,
|AK| = 2|KN| ve |LC| = 2|NL| olduğundan,
|AK| = |KL| = |LC| dir.
ÖRNEK 94
D
ABCD paralelkenar
E
4
F
C
[AF] ve [BE]
açıortaylar
ÖRNEK 95
|EF| = 4 cm
|AB| = 9 cm ise
A
9
D
B
C
6
Çevre(ABCD) kaç cm dir?
L
Çözüm
K
A
E
F
x
B
ABCD paralelkenar, [AC] köşegen, |AE| = |EB|
|BF| = |FC|, |CL| = 6 cm ise |EF| = x kaç cm dir?
Çözüm
212
Dörtgenler ve Çokgenler
D
C
F
D
A
L
F
E
K
E
A
ABCD paralelkenar, [BD] köşegen; A, E, F, K doğ-
ABCD paralelkenar, [AC] köşegen, |AE| = |EB|
rusal; B, C, K doğrusal ise |AE|2 = |EF|.|EK| olur.
|DF| = |FC| ise |AK| = |KL| = |LC| olur.
D
n
N
n
&
&
[DF] // [AB] ⇒ DFE + BAE
C
F
2n
L
K
C
B
B
⇒
DE
FE
=
EB
EA
..... I
K
2n
E
A
&
&
[AD] // [BK] ⇒ ADE + KBE
B
[BD] köşegeni çizilirse |BN| = |ND| olduğundan,
⇒
DE
AE
=
EB
EK
..... II
K noktası ABD üçgeninin ve L noktası BCD üçgeninin ağırlık merkezidir. O halde,
|AK| = 2|KN| ve |LC| = 2|NL| olduğundan,
|AK| = |KL| = |LC| dir.
ESEN YAYINLARI
I ve II den
FE
AE
=
EA
EK
|AE|2 = |EF|.|EK| olur.
ÖRNEK 97
D
A
ÖRNEK 96
x
D
K
x
B
L
A
E
C
F
E
3
F
9
C
K
ABCD paralelkenar, [AK] ∩ [BD] = {E}; B, C, K doğB
rusal, |EF| = 3 cm ve |FK| = 9 cm ise |AE| = x kaç
ABCD paralelkenar, [BD] köşegen, |AE| = |EB|
cm dir?
|DF| = |FC|, |BD| = 12 cm ise |KL| = x kaç cm dir?
Çözüm
Çözüm
|DK| = |KL| = |LB| = x olduğundan,
3x = 12 ⇒ x = 4 cm bulunur.
213
Dörtgenler ve Çokgenler
ÖRNEK 98
ÖRNEK 100
D
C
D
C
α
E
4
A
10
H
F
4
A
B
50°
B
E
[EH] ⊥ [AB], |AH| = 10 cm ve |HB| = |EH| = 4 cm ise
ABCD paralelkenarında |AE| = |EB| = |BC|
a
a
m( CFB) = 50° ise m( EDB) = α kaç derecedir?
|AD| kaç cm dir?
Çözüm
ABCD paralelkenar, [DE] ve [CE] açıortaylar
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 101
y
D
ÖRNEK 99
D
20°
C
C
F
x
F
K
1
A
E
B
ABCD paralelkenar, [DE] ∩ [AF] = {K}; |AE| = |EB|
|BF| = |FC|, |EK| = 1 cm ise |DK| = x kaç cm dir?
Çözüm
214
A
O
B
x
ABCD paralelkenarında [AC] köşegen, |FC| = 2|BC|
a
a
m( DCA) = 20° ise m( ADC) kaç derecedir?
Çözüm
Dörtgenler ve Çokgenler
PARALELKENARSAL BÖLGENİN ALANI
ÖRNEK 103
D
C
Paralelkenarın alanı, bir kenar uzunluğu ile bu
kenara ait yüksekliğin çarpımına eşittir.
D
C
D
C
H
B
A
α
a
A
hb
ha
A
b
H
b
B
ABCD paralelkenar, |AB| = a cm, |AD| = b cm
a
m( A) = α ise A(ABCD) = a.b.sinα olduğunu göste-
B
riniz.
a
A(ABCD) = a.ha
A(ABCD) = b.hb
D
Çözüm
C
ha
A
H
B
a
O halde, A(ABCD) = 2.A(ABD) = 2.
AB . DH
2
= |AB|.|DH|
= a.ha bulunur.
ESEN YAYINLARI
&
&
ABD + CDB ⇒ A(ABD) = A(CDB) dir.
ÖRNEK 104
D
C
F
ÖRNEK 102
D
C
A
E
B
ABCD paralelkenar, |EB| = 5|AE|, 3|BF| = 2|FC| ise
F
A
E
A (EBF)
oranı nedir?
A (ABCD)
B
ABCD paralelkenar, [DE] ⊥ [AB], [BC] ⊥ [DF]
Çözüm
|AB| = 4 cm, |BC| = 3 cm, |DE| = 9 cm ise |DF| kaç
cm dir?
Çözüm
215
Dörtgenler ve Çokgenler
ÖRNEK 105
D
E
A
E
D
C
C
A
B
B
ABCD paralelkenar, E ∈ [DC] ise
ABCD paralelkenar, |AE| = 2|EB|, A(ADE) = 12 cm2
A(ABE) =
ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
A (ABCD)
dir.
2
Çözüm
E
D
H
A
C
B
[EH] ⊥ [AB] olsun.
ESEN YAYINLARI
A(ABE) =
ÖRNEK 106
D
AB . EH
A (ABCD)
=
bulunur.
2
2
ÖRNEK 107
D
C
C
K
2
E
H
3
A
B
ABCD paralelkenar, [BD] köşegen, |DE| = |EB|
a
[EK] ⊥ [DC], [EF] ⊥ [BC], m( DAB) = 60°, |EK| = 2 cm
|EF| = 3 cm ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
Çözüm
216
A
F
60°
E
B
ABCD paralelkenar, [DH] ⊥ [EC], |DH| = 8 cm
|EC| = 12 cm ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
Çözüm
Dörtgenler ve Çokgenler
ÖRNEK 108
D
12
D
C
E
C
E noktası, ABCD para-
S3
lelkenarının içinde her-
6
S4
S1
B
A
S2
E
hangi bir nokta ise
B
A
ABCD paralelkenar, [AE] ve [BE] açıortaylar
A(EAB) + A(EDC) = A(EBC) + A(EAD) dir.
|AE| = 12 cm, |BE| = 6 cm ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
Yani, S1 + S3 = S2 + S4 olur.
Çözüm
D
C
K
L
E
B
A
[KL] // [AB] ve E ∈ [KL] olsun.
ÖRNEK 109
D
C
E
ESEN YAYINLARI
A(AEB) = A(AKE) + A(BEL)
A(EDC) = A(EDK) + A(ELC)
+
–––––––––––––––––––––––––
S1 + S3 = S2 + S4 bulunur.
® E, köşegenlerin orta noktası olduğunda,
S1 = S2 = S3 = S4 elde edilir.
10
A
16
B
a
a
ABCD paralelkenar, m( AED) = m( BEC), |AE| = 10 cm
ÖRNEK 110
D
C
|AB| = 16 cm ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
Çözüm
15
A
E
6
B
ABCD paralelkenar, A(BEC) = 6 cm2
A(AED) = 15 cm2 ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
Çözüm
217
Dörtgenler ve Çokgenler
ÖRNEK 111
ÖRNEK 113
F
D
C
D
E
C
F
E
A
B
A
B
ABCD paralelkenar, |DF| = |FC|, |CE| = 3|EB| ise
ABCD paralelkenar, C, D, E doğrusal, B, F, E doğ-
A (ADF)
oranı nedir?
A (AECF)
rusal, A(CDF) = 18 cm2 ise A(AEF) kaç cm2 dir?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 112
D
C
ETKİNLİK
ABCD paralelkena-
K
F
E
F
C
K
noktalar ise oluşan
12
A
D
rında E ve F orta
B
ABCD paralelkenar, [AC] ∩ [BD] = {K}; D, F, E doğrusal, |AE| = |EB|, A(EFKB) = 12 cm2 ise A(ABCD)
üçgensel
L
bölgeler
ile dörtgensel böl-
A
E
B
genin alanı arasındaki ilişkiyi sorgulayalım.
kaç cm2 dir?
[EF] çizilirse oluşan
Çözüm
AEFD
ve
D
EBCF
S
paralelkenarsal bölgeleri eş olur.
F
C
S
K
S
S
A
S
S
L
S
S
E
B
Köşegenler paralelkenarsal bölgeleri 4 eşit alana
böldüğünden, AEFD ve EBCF paralelkenarsal
bölgeleri de şekildeki gibi eşit alanlara bölünürler.
Yukarıdaki şekilde AECF ve EBFD dörtgenlerinin
de paralelkenarsal bölge olduklarına dikkat ediniz.
218
Dörtgenler ve Çokgenler
Çözüm
ÖRNEK 114
D
C
E
F
K
A
B
ABCD paralelkenar, [AC] köşegen, [EF] // [AB]
A(CKF) = 2 cm2, A(AEK) = 18 cm2 ise A(ABCD) kaç
cm2 dir?
Çözüm
ÖRNEK 116
ESEN YAYINLARI
D
C
F
A
E
B
ABCD paralelkenar, [BD] ∩ [CE] = {F}, |AE| = |EB|
A(DEF) = 6 cm2 ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
Çözüm
ÖRNEK 115
K
D
C
N
L
F
6
A
E
B
ABCD paralelkenar, [BD] köşegen, [LF] // [AB]
[EK] // [BC], A(AENL) = 6 cm2 ise A(NFCK) kaç
cm2 dir?
219
ALIŞTIRMALAR –
Dörtgenler ve Çokgenler
4
6.
Aşağıdaki ABCD paralelkenarlarında verilenlere göre
D
α kaç derecedir?
C
E
120°
1.
D
C
2α – 20°
α
A
B
α – 10°
A
B
E
7.
D
C
E
100°
2.
E
D
C
α
α
A
20°
3.
B
D
ESEN YAYINLARI
A
B
C
α
D
8.
α
F
40°
40°
A
H
A
C
E
85°
B
B
E
9.
α
D
4.
C
D
F
C
50°
α
80°
A
A
B
E
B
E
10.
5.
D
E
C
α
220
°
A
20
40°
C
D
α
B
A
B
Dörtgenler ve Çokgenler
Aşağıdaki ABCD paralelkenarlarında verilenlere göre
16.
F
D
C
x kaç birimdir?
D
11.
L
6
E x C
x
K
6
A
A
E
B
8
17.
D
12.
B
10
D
C
C
x
6
6
A
H
E
13.
2
D
C
x
K
B
D
C
6
K
3
A
B
F
x
E
E
14.
18.
F
12
A
F
B
ESEN YAYINLARI
A
x
E
B
D
C
19.
D
C
x
F 6
A
E
15.
3
5
K
A
B
D
C
20.
E
x
B
D F
6
4
F
C
6
x
A
x
F
E
B
A
4
E
2
B
221
Dörtgenler ve Çokgenler
21.
D
25.
C
D
E
F
E
B
A
F
D
B
A
A (EFB)
ABCD paralelkenar, |BF| = |FC| ise
A (ABCD)
kaçtır?
22.
C
ABCD paralelkenar, [AE] ve [DE] açıortay
A(ABCD) = 24 cm2 ise A(EAB) kaç cm2 dir?
D
26.
C
C
F
K
E
E
B
A
B
A
ABCD paralelkenar, [AF] ∩ [DE] = {K}
ABCD paralelkenar, |DF| = |FC|, |BE| = |EC| ise
D
23.
E
|DF| = |FC|, |BE| = |EC], A(ABCD) = 120 cm2
ESEN YAYINLARI
A (CFE)
kaçtır?
A (ABCD)
C
ise A(ABEK) kaç cm2 dir?
E
D
27.
F
C
K
F
B
A
B
A
ABCD paralelkenar, [FB] ⊥ [AE], |AE| = 6 cm
ABCD paralelkenar, [AF] ve [BE] açıortaydır.
|BF| = 4 cm ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
|EF| = |FC| ise
28.
D
24.
A (AKB)
kaçtır?
A (ABCD)
E
D
C
C
F
E
A
B
A
ABCD paralelkenar, A(EAB) + A(EDC) = 12 cm
2
ise A(ABCD) kaç cm dir?
222
B
ABCD paralelkenar, [AE] ∩ [BD] = {F}
2
A(EBC) = 5 cm2, A(AFB) = 9 cm2 ise
A(ABCD) kaç cm2 dir?
Eşkenar Dörtgen
Dörtgenler ve Çokgenler
Bütün kenar uzunlukları birbirine eşit olan paralelkenara eşkenar dörtgen denir.
Eşkenar dörtgen bir paralelkenar olduğundan, paralelkenarın bütün özelliklerini taşır.
®
D
a
A
[AB] // [DC] , [AD] // [BC]
C
a
®
Karşılıklı açıların ölçüleri eşittir.
a
a
a
a
m( A) = m( C) , m( B) = m( D)
®
Komşu açılar birbirinin bütünleridir.
a
a
a
a
m( A) + m( B) = 180° , m( B) + m( C) = 180°
a
a
a
a
m( C) + m( D) = 180° , m( A) + m( D) = 180°
a
a
Karşılıklı kenarlar paraleldir.
B
ÖRNEK 117
ÖRNEK 118
D
D
C
α
80°
E
18
120°
x
E
A
ABCD eşkenar dörtgen, ABE eşkenar üçgen
a
a
m( BCD) = 80° ise m( AED) = α kaç derecedir?
Çözüm
B
B
a
ABCD eşkenar dörtgen, [BE] ⊥ [DC], m( ADC) = 120°
ESEN YAYINLARI
A
C
|AD| = 18 cm ise |DE| = x kaç cm dir?
Çözüm
223
Dörtgenler ve Çokgenler
ÖRNEK 120
Bir eşkenar dörtgende, köşegenler birbirini ortalar,
a
D
A
ABCD eşkenar dörtgen
açıortaydır ve birbirine diktir.
B
B, D, E doğrusal
C
|ED| = 1 cm
4
|DB| = 4 cm
a
a
E
|EC| = 3v2 cm ise
1
|DC| = a kaç cm dir?
a
A
B
D
a
E
3v2
Çözüm
Eşkenar dörtgen bir paralelkenar olduğundan,
paralelkenarın bütün özelliklerini taşır. Dolayısıyla
eşkenar dörtgende de köşegenler birbirini ortalar.
|AB| = |AD| olduğundan ABD ikizkenar üçgeninde,
[AE] kenarortayı hem açıortay hem de yüksekliktir.
a
a
O halde, m( DAE) = m( EAB) ve [AB] ⊥ [BD] dir.
Aynı durum ABC, BCD ve ADC üçgenleri için de
ÖRNEK 119
D
C
5
8
2
A
ESEN YAYINLARI
geçerlidir.
E
a
B
ÖRNEK 121
D
C
ABCD eşkenar dörtgen, [AC] köşegen, |AE| = 2 cm
|DE| = 5 cm, |EC| = 8 cm ise |AB| = a kaç cm dir?
7
Çözüm
x
E
A
F
3
B
a
a
ABCD eşkenar dörtgen, m( ADE) = m( BAF)
a
a
m( DEA) = m( AFB), |DE| = 7 cm, |FB| = 3 cm ise
|EF| = x kaç cm dir?
Çözüm
224
C
Dörtgenler ve Çokgenler
ÖRNEK 122
ÖRNEK 124
A
E
D
ABCD eşkenar dörtgen
D
C
[AC] ∩ [BD] = {E}
x
F
1
3
K
E
D, K, F doğrusal
B
L
K
|BF| = |FC|
F
x
|EK| = 2 cm ise
C
2
A
B
|AE| = x kaç cm dir?
ABCD eşkenar dörtgeninde, [BD] ∩ [CE] = {K}
a
a
m( ABE) = m( EBL), |FK| = 1 cm ve |KC| = 3 cm ise
Çözüm
|EF| = x kaç cm dir?
Çözüm
Eşkenar dörtgende köşegenler açıortay olduğundan;
a
a
m( ABD) = m( DBC) dir.
ÖRNEK 123
D
C
F
8
ESEN YAYINLARI
BFC üçgeninde [BK] iç açıortay olduğundan,
ÖRNEK 125
y
A
F
D
K
O
E
C
x
6
E
A
ADEF eşkenar dörtgen, E(3, 0), C(8, 0) ise |EF|
B
kaç br dir?
ABCD eşkenar dörtgen, [AC] ∩ [BD] = {K}
|AE| = |EB| , |DF| = |FK|, |KB| = 6 cm, |KC| = 8 cm ise
Çözüm
y
|EF| kaç cm dir?
Çözüm
D
C
225
Dörtgenler ve Çokgenler
a
D
y
e/2
a
ÖRNEK 127
C
f/2
E
D
A
a
e/2
f/2
A
a
B
B
ABCD eşkenar dörtgeninde, |BD| = e, |AC| = f
O
x
C
ABCD eşkenar dörtgeninde, C(1, 0), B(–2, 0) ise
|AB| = a ise e2 + f2 = 4a2 olur.
|AC| kaç br dir?
Eşkenar dörtgende köşegenler birbirini dik olarak
Çözüm
ortaladığından;
|AE| = |EC| =
f
e
, |BE| = |ED| =
2
2
[AC] ⊥ [BD]
&
ABE de Pisagor teoremine göre,
|BE|2 + |AE|2 = |AB|2
e2 f2
= a2 ⇒ e2 + f2 = 4a2 olur.
+
4
4
ESEN YAYINLARI
e 2
f 2
b l + c m = a2
2
2
ÖRNEK 126
Bir eşkenar dörtgende köşegen uzunluklarının kareleri toplamı 144 cm2 ise bu eşkenar dörtgenin çevresi
kaç cm dir?
Çözüm
ÖRNEK 128
D
C
x
E
A
2 H
8
B
ABCD eşkenar dörtgen, [AC] ∩ [BD] = {E}
[EH] ⊥ [AB], |AH| = 2 cm, |HB| = 8 cm ise |DE| = x
kaç cm dir?
226
Dörtgenler ve Çokgenler
Çözüm
ÖRNEK 130
x
D
F
4
C
2
E
A
B
ABCD eşkenar dörtgeninde, [EF] ⊥ [DC], |AC| = 4|EC|
|FE| = 2 cm, |FC| = 4 cm ise |DF| = x kaç cm dir?
Çözüm
ÖRNEK 129
D
x
C
F
A
15
B
ABCD eşkenar dörtgen, [AC] köşegen, [EF] ⊥ [DC]
|AE| = |EC|, |AB| = 15 cm ise |DF| = x in alabileceği
değerler toplamı kaç cm dir?
ESEN YAYINLARI
E
Çözüm
ÖRNEK 131
D
1F
6
A
x
60°
E
2
C
B
a
ABCD eşkenar dörtgen, m( DAB) = 60°, |AD| = 6 cm
|DF| = 1 cm, |EB| = 2 cm ise |EF| = x kaç cm dir?
227
Dörtgenler ve Çokgenler
Çözüm
ÖRNEK 133
y
D
C
O
x
E
h
B
A
ABCD eşkenar dörtgen, [BE] ⊥ [AD] , D(–4, 0)
C(4, 0) ise |BE| = h kaç br dir?
Çözüm
ÖRNEK 132
D
O
A
C
E
B
ABCD eşkenar dörtgeninde, E ve F kenar orta nokta-
ESEN YAYINLARI
F
lar, |AC| = 16 cm, |BD| = 12 cm ise |EF| kaç cm dir?
Çözüm
ÖRNEK 134
D
C
L
3
E
2
M
x
F
5
A
K
B
ABCD eşkenar dörtgeninde, [LK] ⊥ [AB], [EF] ⊥ [BC]
|EM| = 2 cm, |LM| = 3 cm, |MK| = 5 cm ise
|MF| = x kaç cm dir?
Çözüm
228
Dörtgenler ve Çokgenler
EŞKENAR DÖRTGENSEL BÖLGENİN ALANI
ÖRNEK 136
Köşegen uzunlukları 8 cm ve 12 cm olan eşkenar
a
D
ABCD eşkenar
Çözüm
h
dörtgen ise
a
A(ABCD) = a.h
dır.
A
dörtgenin alanı kaç cm2 dir?
C
E
h
H
B
ÖRNEK 135
D
C
K
4
8
E
A
2
F
B
ABCD eşkenar dörtgen, [BD] köşegen, [EF] ⊥ [BC]
|EK| = 4 cm ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
[EK] ⊥ [DC], |AD| = 8 cm, |EF| = 2 cm ve
ÖRNEK 137
D
C
E
10
4
A
H
B
ABCD eşkenar dörtgen, [AC] ∩ [BD] = {E}
[EH] ⊥ [AB], |EH| = 4 cm, |BC| = 10 cm ise
A(ABCD) kaç cm2 dir?
Çözüm
D
A
C
B
ABCD eşkenar dörtgeninde,
|AC| = e, |BD| = f, [AC] ⊥ [BD] olduğundan
A(ABCD) =
AC . BD
e.f
dir.
=
2
2
229
ALIŞTIRMALAR –
5
Aşağıdaki ABCD eşkenar dörtgenlerinde verilenlere
Aşağıdaki ABCD eşkenar dörtgenlerinde verilenlere
göre α kaç derecedir?
göre m kaç birimdir?
1.
D
5.
C
D
C
CBE
eşkenar
α
A
m
üçgen
B
E
y
6.
A
2.
H
B
6
A
A
100°
D(0, 6)
25°
E
ESEN YAYINLARI
D
B
α
C
3.
D
O
B
C(0, – 4)
7.
C
E(m, 0)
D
C
35°
α
A
4.
B
A
E
8.
D
A
3
m
E
B
230
E
F
üçgen
C
C
m
eşkenar
α
B
D
ABE
E
2
4
2
A
H
B
x
Dörtgenler ve Çokgenler
9.
D
13.
F 2 C
K
D
C
8
E
7
E
17
3
A
a
A
B
H
B
ABCD eşkenar dörtgeninde verilenlere göre
ABCD eşkenar dörtgeninde verilenlere göre
EK
KF
|AB| = a kaç cm dir?
oranı nedir?
14.
10.
D
F
5
D
C
6
K
6
C
K
F
9
m
E
B
E
A
m
ABCD eşkenar dörtgeninde, [BD] köşegen
B
ABCD eşkenar dörtgeninde,
EK
3
ise
=
2
KF
|AE| = m kaç cm dir?
ESEN YAYINLARI
A
[KF] // [AB], [EF] // [AD], |KF| = 6 cm, |BC| = 9 cm
ise |EF| = m kaç cm dir?
15.
D
C
11.
A
α
D
2α
m
m
6
H
A
m
6
m
H
B
B
ABCD eşkenar dörtgeninde verilenlere göre m
C
kaç birimdir?
ABCD eşkenar dörtgeninde verilenlere göre
|BD| = m kaç cm dir?
16.
D
C
K
y
12.
A
m
D(0, m)
F
E
L
B
O
C
x
A
B
ABCD eşkenar dörtgeninde, [AC] ∩ [BD] = {F}
ABCD eşkenar dörtgeninde, |BO| = |OC|
|FK| = |KC|, |FL| = |LB|, |AE| = 16 cm
D(0, m) ve Çevre(ABCD) = 24 br ise m kaçtır?
|DE| = 12 cm ise |AD| = m kaç cm dir?
231
Dörtgenler ve Çokgenler
17.
D
A
21.
C
12
B
2
120°
D
3
E
B
A
a
ABCD eşkenar dörtgen, m( B) = 120° ve
C
ABCD eşkenar dörtgen, B, D, E doğrusal
|AC| = 12 cm ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
[BA] ⊥ [AE], |BD| = 2 cm, |DE| = 3 cm ise
A(ADE) kaç cm2 dir?
18.
D
F
C
K
3
2
y
22.
D
E
6
A
C
B
ABCD eşkenar dörtgen, [AC] köşegen
C
ESEN YAYINLARI
|AB| = 6 cm ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
D
O
A
[EF] ⊥ [AD], [EK] ⊥ [DC], |EF| = 2 cm, |EK| = 3 cm
19.
F
x
B
ABCD eşkenar dörtgen, A(–13, 0), B(4, 0) ve
C(12, m) ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
23.
D
C
E
150°
12
A
B
A
9
H
4
B
a
ABCD eşkenar dörtgen, m( ABC) = 150°
ABCD eşkenar dörtgen, [AC] ∩ [BD] = {E}
|AB| = 12 cm ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
[EH] ⊥ [AB], |AH| = 9 cm ve |HB| = 4 cm ise
taralı AHED bölgesinin alanı kaç cm2 dir?
20.
D
C
D
24.
C
2
3
F
E
4
6
A
E
B
A
ABCD eşkenar dörtgen, [AE] ve [DE] açıortaydır.
2
B
ABCD eşkenar dörtgen, [AC] köşegen
|AE| = 6 cm, |DE| = 3 cm ise A(ABCD) kaç cm
[BE] ⊥ [DC], |EF| = 2 cm ve |FB| = 4 cm ise
dir?
A(AFED) kaç cm2 dir?
232
Dikdörtgen
Dörtgenler ve Çokgenler
Açıları dik açı olan paralelkenar dikdörtgendir.
®
Şekildeki ABCD dikdörtgeninde,
D
C
a
|AB| = |DC| = a, |AD| = |BC| = b dir.
E
b
®
taşır.
®
b
Dikdörtgen, paralelkenarın tüm özelliklerini
A
a
B
Köşegen uzunlukları eşit olup, birbirini
ortalar. |DE| = |EB| = |AE| = |EC|
K
®
D
K noktası, dikdörtgenin içinde veya dışında
C
D
herhangi bir nokta olmak üzere,
C
K
|KD|2 + |KB|2 = |KA|2 + |KC|2 dir.
A
ÖRNEK 138
B
A
B
ÖRNEK 139
D
C
D
E
3x+1
C
2
4
10
2x+5
K
x
A
5
B
A
Verilenlere göre |AB| kaç birimdir?
Çözüm
Dikdörtgende köşegenler birbirini ortaladığından
|AE| = |EB| ⇒ 3x + 1 = 2x + 5 ⇒ x = 4 br
ESEN YAYINLARI
ABCD dikdörtgeninde [AC] ve [DB] köşegenlerdir.
B
ABCD dikdörtgeninde, |KD| = 2 cm, |KC| = 4 cm
|KB| = 5 cm ise |KA| = x kaç cm dir?
Çözüm
|KD|2 + |KB|2 = |KA|2 + |KC|2 olduğundan
|AE| = 3x + 1 = 3.4 + 1 = 13 br olur. O halde,
22 + 52 = x2 + 42
|AC| = 2|AE| = 2.13 = 26 br dir.
4 + 25 = x2 + 16 ⇒ x2 = 13
ABC dik üçgeninde,
|AC|2 = |AB|2 + |BC|2 ⇒ 262 = |AB|2 + 102
233
Dörtgenler ve Çokgenler
ÖRNEK 140
ÖRNEK 142
D
C
40°
C
D
E
E
x
A
x
5
24°
B
A
F
B
8
ABCD dikdörtgeninde, [AC] ∩ [DB] = {E}, |EB| = |AF|
a
a
a
m( BAF) = 24°, m( DCA) = 40° ise m( AEF) = x kaç
ABCD dikdörtgeninde, [AC] ve [DB] köşegenler
derecedir?
Çözüm
|AE| = 5 br, |AB| = 8 br ise |BC| = x kaç birimdir?
Çözüm
ÖRNEK 143
ESEN YAYINLARI
E
80°
D
x
C
F
20°
A
ÖRNEK 141
D
C
E
F
A
B
ABCD dikdörtgeninde, [DB] ∩ [AC] = {F}, |DE| = |EF|
a
|EC| = |FC| ise m( DBA) = α kaç derecedir?
Çözüm
234
a
ABCD dikdörtgeninde, |AE| = |DB|, m( AEC) = 80°
a
a
m( DBA) = 20° ise m( ECD) = x kaç derecedir?
Çözüm
α
B
Dörtgenler ve Çokgenler
ÖRNEK 144
ÖRNEK 146
K
D
F
x
C
D
C
°
24
E
A
B
A
B
ABCD dikdörtgeninde, [DB] ∩ [AC] = {E}, |FC| = |EC|
a
a
m( DEF) = 24° ise m( DCA) = x kaç derecedir?
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 145
D
A
C
E
x
5
5
ESEN YAYINLARI
ABCD dikdörtgeninde, |KB| = 3|KD|, |KA| = 2|KC|
KC
kaçtır?
ise
KD
3
B
ÖRNEK 147
D
C
ABCD dikdörtgeninde, |AE| = |AB| = 5 cm ve
E
|CB| = 3 cm ise |EB| = x kaç cm dir?
4
9
Çözüm
A
B
ABCD dikdörtgeninde, [BE] ⊥ [AC], |AE| = 9 cm
|EC| = 4 cm ise Çevre(ABCD) kaç cm dir?
Çözüm
ABC dik üçgeninde Öklid teoremine göre,
|AB|2 = |AE|.|AC| ⇒ |AB|2 = 9.13 ⇒ |AB| = 3c13 cm
|CB|2 = |CE|.|AC| ⇒ |CB|2 = 4.13 ⇒ |CB| = 2c13 cm
Çevre(ABCD) = 2.(|AB| + |CB|) = 2.(3c13 + 2c13)
235
Dörtgenler ve Çokgenler
ÖRNEK 148
ÖRNEK 150
D
D
C
C
9
F
K
A
x
12
E
4
x
E
A
B
B
ABCD dikdörtgeninde, [AC] ∩ [DB] = {F}, |AE| = |EB|
ABCD dikdörtgeninde, [DE] ⊥ [AC], |AE| = 4 cm
D, K, E doğrusal ve |FB| = 12 cm ise |KF| = x kaç
|EC| = 9 cm ise |EB| = x kaç cm dir?
cm dir?
Çözüm
Çözüm
ABD dik üçgeninde,
ÖRNEK 151
E
ÖRNEK 149
D
C
E
9
x
K
12
B
ABCD dikdörtgeninde, [AC] ve [DB] köşegenler
A, F, K doğrusal, |CK| = |KB|, |AD| = 9 cm ve
|AB| = 12 cm ise |EF| = x kaç cm dir?
Çözüm
236
5
A
x
C
3
6
B
ABCD dikdörtgeninde, |AB| = 6 cm, |AE| = 5 cm
|EB| = 3 cm ise |EC| = x kaç cm dir?
F
A
ESEN YAYINLARI
D
Çözüm
Dörtgenler ve Çokgenler
ÖRNEK 152
ÖRNEK 154
y
y
O
E
D
A
D
x
O
x
B
A
B
E
ABCD dikdörtgeninde, [AE] ⊥ [BE], E(–1, 0), B(0, –2)
ABOD dikdörtgeninde, [DE] açıortay, B(0, –6)
ise |DE| kaç br dir?
D(–8, 0) ise |DE| kaç br dir?
Çözüm
ÖRNEK 153
D
4
F
2
C
x
A
ESEN YAYINLARI
Çözüm
E
B
ABCD dikdörtgeninde, [AF] ⊥ [EF], |CE| = |EB|
|DF| = 4 cm, |FC| = 2 cm ise |AD| = x kaç cm dir?
Çözüm
ÖRNEK 155
D
C
2
F
3v2
A
E
B
ABCD dikdörtgeninde, [DE] açıortay, [DE] ⊥ [EF]
|CF| = 2 cm, |EF| = 3v2 cm ise Çevre(ABCD) kaç
cm dir?
237
Dörtgenler ve Çokgenler
Çözüm
ÖRNEK 157
8
D
6
C
F
x
E
A
B
ABCD dikdörtgeninde, [DB] ⊥ [EC], |DC| = 8 cm
|AD| = 6 cm ise |EB| = x kaç cm dir?
Çözüm
ÖRNEK 156
15
C
ESEN YAYINLARI
D
A
x
E
ÖRNEK 158
D
B
ABCD dikdörtgeninde, [DE] açıortay, |DE| = |EB|
4
E
11
C
6
|DC| = 15 cm ise |AE| = x kaç cm dir?
A
Çözüm
F x B
ABCD dikdörtgeninde, [AE] ⊥ [EF], |DE| = 4 cm
|EC| = 11 cm, |CB| = 6 cm ise |FB| = x kaç cm dir?
Çözüm
238
Dörtgenler ve Çokgenler
DİKDÖRTGENSEL BÖLGENİN ALANI
ÖRNEK 159
D
C
Bir dikdörtgenin alanı, ardışık iki kenarının uzunlukları
çarpımına eşittir.
x
1
A
8
F
D
|AB| = a br
E
2
|AD| = b br olduğundan
B
C
b
2
A(ABCD) = a.b br dir.
ABCD dikdörtgeninde, [DE] ⊥ [EC], [EF] ⊥ [AB]
A
a
B
|AF| = 8 cm, |FB| = 2 cm, |EF| = 1 cm ise |AD| = x
kaç cm dir?
Çözüm
ÖRNEK 161
D
9
E
A
4
C
B
ABCD dikdörtgen, [AE] ⊥ [BE], |DE| = 9 cm
ESEN YAYINLARI
|EC| = 4 cm ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
ÖRNEK 160
D
2
F
x
A
Çözüm
C
E
2v6
B
ABCD dikdörtgeninde, [EF] ⊥ [DA], [CE] ⊥ [EB]
|DF| = 2 cm, |EB| = 2v6 cm ise |AF| = x kaç cm dir?
Çözüm
ÖRNEK 162
D
C
K
F
A
E
B
ABCD dikdörtgen, [AC] ∩ [BD] = {K}
D, F, E doğrusal, |AE| = |EB| ise
A (EBKF)
kaçtır?
A (ABCD)
239
Dörtgenler ve Çokgenler
Çözüm
ÖRNEK 164
D
4
E
C
6
A
B
ABCD dikdörtgen, [BD] ⊥ [AE], |AD| = 6 cm ve
|DE| = 4 cm ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
Çözüm
ÖRNEK 163
D
12
C
10
A
E
B
ABCD dikdörtgen, [DB] ∩ [CE] = {F}, |AE| = |EB|
|DC| = 12 cm, |DF| = 10 cm ise A(AEFD) kaç cm2 dir?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
F
ÖRNEK 165
D
C
6
E
4
A
B
ABCD dikdörtgen, [DE] ⊥ [AC], |AE| = 4 cm ve
|DE| = 6 cm ise A(CEB) kaç cm2 dir?
Çözüm
240
Dörtgenler ve Çokgenler
ÖRNEK 166
ÖRNEK 168
ABCD dikdörtgen
L
D
12
D
C
C
[AC] köşegen
[HK] ∩ [LF] = {O}
F
H
|AH| = 4 cm
O
4
|LC| = 12 cm ise
K
A
A
B
F
2
E
B
HOLD dikdörtgensel bölgesinin alanı kaç cm dir?
ABCD dikdörtgen, [AC] ∩ [DE] = {F}, |AE| = |EB|
Çözüm
A(AFE) = 2 cm2 ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
ÖRNEK 167
D
C
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 169
A
6
E
4
D
B
a
a
ABCD dikdörtgen, m( DCA) = m( ECB), |AE| = 6 cm
F
|EB| = 4 cm ise A(AEC) kaç cm2 dir?
C
3
E
2
Çözüm
A
K
B
ABCD dikdörtgen, [AC] ∩ [BD] = {E}, [EK] ⊥ [AB]
[EF] ⊥ [AD], |EK| = 2 cm, |EF| = 3 cm ise A(EBC)
kaç cm2 dir?
Çözüm
241
Dörtgenler ve Çokgenler
Çözüm
ÖRNEK 170
D
C
E
4
A
F
x
B
ABCD dikdörtgen, [AC] ∩ [BD] = {E}, [AC] ⊥ [FE]
|BC| = 4 cm ve A(AFE) = 5 cm2 ise |FB| = x kaç
cm dir?
ETKİNLİK
1,2 m x 1,6 m boyutlarında olan dikdörtgensel bölge şekildeki
bir kilim üzerine 5 tane eşkenar dörtgensel bölge şeklinde
motif dokunmuştur.
a. Bu motiflerin her birinin çevresi farklı renkte bir ip ile dokunacaktır. 1 cm dokuma için 2 cm ip kullanıldığına
göre, motiflerin her birinin çevresinde kullanılacak ipin uzunluğunu hesaplayalım.
Eşkenar dörtgenlerden
160 cm
birisinin bir kenar
uzunluğu yandaki
gibi 50 cm olarak
hesaplandığından,
120 cm
30 cm
4.50 = 200 cm dir.
60 cm
50
80 cm
birisinin çevresi
40 cm
40 cm
30 cm
O halde, birisinin çevresi
2.200 = 400 cm = 4 m
ip ile dokunur.
b. Motiflerden her birinin kilim üzerinde kapladığı alanı bulalım.
Motiflerden birisinin alanı içinde bulunduğu dikdörtgenin
60 cm
80 cm
242
alanının yarısına eşit olup
60.80 4800
= 2400 cm2 dir.
=
2
2
ALIŞTIRMALAR –
6
Dörtgenler ve Çokgenler
Aşağıdaki dikdörtgenlerin her birinde verilenlere göre m değerlerini bulunuz.
1.
D
2m
–1
3m
6.
C
–6
8
D
2
E
C
2
m
A
B
D
C
A
7.
2.
B
D
E
10
C
2
6
12
A
3.
D
C
6
9
D
E
1
B
E
m
D
2
A
A
9.
C
E
E
D
B
m
D
6
4
B
A
C
B
8
E
10.
y
5.
C
m
m
A
4.
8.
B
m
B
m
ESEN YAYINLARI
A
y
D
B(0, 5)
m
C(8, 0)
A(–2, 0)
x
m
A(–12, 0)
O
x
B
243
Dörtgenler ve Çokgenler
Aşağıdaki dikdörtgenlerin her birinde verilenlere göre m değerlerini bulunuz.
11.
16.
5
2
D
C
30°
|AC| = |DE|
4v2
m
B
40°
A
m
E
12.
m+1
2m
17.
v3m
13.
E
30°
4
2
C
D
m
5
A
ESEN YAYINLARI
3
m
18.
20°
m
B
40°
14.
10
m
19.
D
6
m
C
|BD| = |EA|
10
25°
E
15.
A
B
m
20.
80°
6
4
m
8
244
Dörtgenler ve Çokgenler
Aşağıdaki dikdörtgenlerin her birinde verilenlere göre m değerlerini bulunuz.
21.
26.
2
9
m
6
3
m
27.
2v6
y
22.
8
2v3
m
6
x
m
O
23.
ESEN YAYINLARI
28.
m
8
m
4
7
2
6
29.
2
24.
1
m
m
6
8
y
30.
m
m
25.
15°
4
m
v5
O
2
x
245
Dörtgenler ve Çokgenler
31.
D
35.
C
y
D
E
9
O
E
x
6
A
B
B
A
ABCD dikdörtgen, [AC] ⊥ [BE], |AE| = 9 cm
a
a
ABOD dikdörtgen, m( EAO) = m( OAB), E(–10, 0)
|BE| = 6 cm ise A(DEC) kaç cm2 dir?
B(0, –8) ise A(ABOD) kaç br2 dir?
D
32.
C
D
36.
6
E
2
C
12
15°
A
B
a
ABCD dikdörtgen, m( BAC) = 15°, |AC| = 12 cm
A
ABCD dikdörtgen, [AE] ⊥ [BD], |DE| = 6 cm
D
ESEN YAYINLARI
ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
33.
C
B
|EC| = 2 cm ise A(BCE) kaç cm2 dir?
37.
D
C
E
12
6
22,5°
A
B
A
a
ABCD dikdörtgen, m( BAC) = 22,5°, |AC| = 12 cm
F
B
ABCD dikdörtgen, [AE] ⊥ [EB], [EF] ⊥ [AB]
2
ise A(ABCD) kaç cm dir?
|FB| = |BC|, |EB| = 6 cm ise A(ABCD) kaç cm2
dir?
34.
y
C
38.
D
D 3 F
C
B
A
O
x
A
E
4
B
ABCD dikdörtgeninde, A(–1, 0), B(0, 2) dir.
ABCD dikdörtgen, |DF| = 3 cm, |EB| = 4 cm
A(ABCD) = 10 br2 ise C noktasının koordinat-
A (AEFD) 4
ise |AE| + |FC| kaç cm dir?
=
A (EBCF) 5
ları aşağıdakilerden hangisidir?
246
Kare
Kenar uzunlukları eşit ve kenarları birbirine dik olan dörtgene kare denir.
Kareyi, kenar uzunlukları birbirine eşit olan dikdörtgen şeklinde de tanımlayabiliriz.
D
a
a
A
C
a
a
|AB| = |BC| = |CD| = |DA| = a
a
a
a
a
m( A) = m( B) = m( C) = m( D) = 90°
B
D
® Köşegen uzunlukları birbirine eşittir. |AC| = |BD| = av2
® Köşegenler birbirini ortalar. |AO| = |OC| = |BO| = |OD| =
a
a 2
2
45°
45°
O
a
® Köşegenler birbirine diktir. [AC] ⊥ [BD]
a
A
a
45°
45°
45°
45°
® Köşegenler açıortaydır.
ÖRNEK 171
C
45°
45°
B
ÖRNEK 172
D
C
D
C
α
5
A
E
E
1
B
A
ABCD kare, |BE| = 1 cm, |DE| = 5 cm ise |AB| kaç
B
a
ABCD kare, BEC eşkenar üçgen ise m( CDE) = α
Çözüm
kaç derecedir?
ESEN YAYINLARI
cm dir?
Çözüm
247
Dörtgenler ve Çokgenler
ÖRNEK 173
ÖRNEK 175
D
y
C
E
F
α
B
C
A
x
A
O
B
x + 3y = 12
ABCD kare, ABE eşkenar üçgen ve [BD] köşegen
a
ise m( AFB) = α kaç derecedir?
Analitik düzlemdeki OABC karesinin B köşesi
x + 3y = 12 doğrusu üzerinde bulunmaktadır.
Çözüm
Buna göre, OABC karesinin çevresi kaç birimdir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 174
D
α
ÖRNEK 176
D
C
v2
E
C
E
v5
A
B
ABCD kare, [AC] köşegen, |CE| = v2 cm
A
B
a
ABCD kare, ABE eşkenar üçgen ise m( ADE) = α
kaç derecedir?
Çözüm
248
|BE| = v5 cm ise |AB| kaç cm dir?
Çözüm
Dörtgenler ve Çokgenler
ÖRNEK 177
ÖRNEK 179
E
ABCD kare
D
x
A, C, E doğrusal
C
F
1
D
4
C
K
|AC| = 2 cm
|CE| = 1 cm ise
E
2
|DE| = x kaç cm dir?
A
A
Çözüm
B
B
ABCD kare; E ve F orta noktalar, [DE] ∩ [BF] = {K}
|CK| = 4 cm ise |AB| kaç cm dir?
ÖRNEK 178
D
15°
C
6
E
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 180
F
D
C
x
E
A
B
A
|CE| = 6 cm ise |AB| kaç cm dir?
Çözüm
x
x
a
ABCD karesinde, [DB] köşegen, m( DCE) = 15°
6
B
ABCD kare, [EF] ⊥ [DC], |AB| = 6 cm ise
|AE| = |EB| = |EF| = x kaç cm dir?
Çözüm
249
Dörtgenler ve Çokgenler
ÖRNEK 181
ÖRNEK 183
D
K
C
y
B
F
F
C
70°
A
A
B
E
O
α
x
E
a
a
ABCO karesinde, m( OFC) = 70° ise m( FEB) = α
ABCD kare, AEFK dikdörtgen, F ∈ [BD]
Çevre(AEFK) = 24 cm ise |BD| kaç cm dir?
kaç derecedir?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 182
D
C
ÖRNEK 184
D
3
4
C
F
F
E
A
E
x
ABCD kare, [CE] ⊥ [DF], |DF| = 4 cm, |CF| = 3 cm ise
|EB| = x kaç cm dir?
3
B
A
B
ABCD kare, [CE] ⊥ [BE], [AF] ⊥ [CE], |AB| = 5 cm
|BE| = 3 cm ise |AF| kaç cm dir?
Çözüm
Çözüm
250
5
Dörtgenler ve Çokgenler
Çözüm
ÖRNEK 185
y
D
5
C
E
x
O
A
ACDE kare, A(–3, 0) ve |DC| = 5 br ise |OD| kaç
br dir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 187
D
10
C
F
E
x
A
B
ABCD karesinde, [DE] ⊥ [BE], |DC| = 10 cm
|CF| = |FB| ise |BE| = x kaç cm dir?
Çözüm
ÖRNEK 186
D
C
2v2
4
E
4
A
a
B
ABCD kare, |DE| = |BE| = 4 cm, |CE| = 2v2 cm ise
|AB| = a kaç cm dir?
251
Dörtgenler ve Çokgenler
KARESEL BÖLGENİN ALANI
ÖRNEK 190
D
ABCD karesinde,
C
D
C
|AB| = |BC| = a br ise
K
a
A(ABCD) = a.a
F
12
A(ABCD) = a2 dir.
a
A
B
A
E
B
ABCD ve BEFK birer karedir. |AK| = 12 cm ise
ÖRNEK 188
karelerin alanları toplamı kaç cm2 dir?
2
Çevresi 12 cm olan karenin alanı kaç cm dir?
Çözüm
a
D
Çözüm
C
|AB| = a ve |BE| = |BK| = b olsun.
ABK dik üçgeninden,
ÖRNEK 189
D
C
4
F
2
ESEN YAYINLARI
|AB|2 + |BK|2 = |AK|2 ⇒ a2 + b2 = 122
ÖRNEK 191
D
E
K
A
A
E
B
ABCD kare, [AC] köşegen, |AF| = 2 cm, |FC| = 4 cm
ise EBKF dikdörtgeninin alanı kaç cm2 dir?
Çözüm
252
C
B
ABCD kare, ABE eşkenar üçgen, A(BCE) = 6 cm2 ise
A(ABCD) kaç cm2 dir?
Çözüm
Dörtgenler ve Çokgenler
Çözüm
ÖRNEK 192
D
C
F
A
B
E
ABCD dikdörtgeninin çevresi 14 cm ve alanı 12 cm2
olduğuna göre, AEFC karesinin alanı kaç cm2 dir?
Çözüm
ÖRNEK 194
ESEN YAYINLARI
D
E
C
F
K
A
B
ABCD kare, [AF] ∩ [BE] = {K}, |BF| = |FC|
A(BKF) = 2 cm2, A(EAK) = 12 cm2 ise A(ABCD) kaç
cm2 dir?
Çözüm
ÖRNEK 193
D
C
F
6v5
E
A
B
ABCD kare, |AE| = |CF|, |BF| = 3|FC|
|EF| = 6v5 cm ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
253
ALIŞTIRMALAR –
1.
D
5.
C
7
D
C
60°
6
E
α
A
A
B
a
ABCD kare, DEC eşkenar üçgen ise m( AEB) = α
kaç derecedir?
|AB| kaç cm dir?
2.
A
E
B
E
a
ABCD kare, m( CDE) = 60°, |DE| = 6 cm ise
6.
D
D
C
α
120°
C
a
ABCD kare, ABE eşkenar üçgen ise m( DEC) = α
kaç derecedir?
3.
A
D
ESEN YAYINLARI
B
A
6
E
B
x
a
ABCD kare, m( AEC) = 120°, |AE| = 6 cm ise
|EB| = x kaç cm dir?
7.
D
C
α
x
4
E
E
B
A
C
a
ABCD kare, ABE eşkenar üçgen ise m( BDE) = α
B
ABCD kare, [DB] köşegen, |DE| = 4 cm
|EB| = 2 cm ise |CE| = x kaç cm dir?
kaç derecedir?
4.
2
D
8.
C
D
C
4v2
F
α
A
F
B
E
ABCD kare; A, B, E doğrusal, |DF| = |BE| ise
a
m( CFE) = α kaç derecedir?
254
A
x
E
4
B
ABCD kare, [DB] ⊥ [EF], |DF| = 4v2 cm
|EB| = 4 cm ise |AE| = x kaç cm dir?
Dörtgenler ve Çokgenler
9.
13.
C
D
C
15°
D
3
4
E
E
x
A
12
B
2
A
B
a
ABCD kare, [DE] ⊥ [EB], m( EDA) = 15°
ABCD kare, |BE| = 2 cm, |CE| = 3 cm
|AB| = 12 cm ise |DE| kaç cm dir?
|DE| = 4 cm ise |AE| = x kaç cm dir?
10.
D
E
14.
C
D
C
4
F
F
K
x
2
AD
EF
ABCD kare, [FE] ⊥ [DC] ise
11.
A
B
D
C
oranı nedir?
E
E
B
ABCD kare, [DE] ⊥ [AF], |DK| = 4 cm
ESEN YAYINLARI
A
|EK| = 2 cm ise |BF| = x kaç cm dir?
D
15.
C
F
6
A
2
F
B
1
A
ABCD kare, |AE| = 4|FE|, |BF| = 6 cm ise
E
B
ABCD kare, [FE] ⊥ [CE], |FE| = 1 cm
|DE| kaç cm dir?
|CE| = 2 cm ise |AB| kaç cm dir?
12.
D
C
16.
D
K
x
L
A
α
4
B
T
7
E
ABCD kare; D, B, E doğrusal, |DB| = |AE| ise
a
m( BAE) = α kaç derecedir?
A
C
E
6
F
B
ABCD kare, [LF] ⊥ [KE], |LT| = 4 cm, |TE| = 7 cm
|TF| = 6 cm ise |LK| = x kaç cm dir?
255
Dörtgenler ve Çokgenler
17.
D
21.
C
D
C
E
5
A
E
A
B
B
ABCD kare, |AE| = |EB|, |CE| = 5 cm ise
ABCD kare, AED eşkenar üçgen
A(ABCD) kaç cm2 dir?
A(ABE) = 8 cm2 ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
18.
22.
C
C
30
D
D
°
E
E
12
2
75°
a
ABCD kare, m( AEB) = 30°, |BE| = 12 cm ise
A(ABCD) kaç cm2 dir?
y
19.
F
A
B
B
a
ABCD kare, m( DAE) = 75°, [AE] ⊥ [EB]
ESEN YAYINLARI
A
[EF] ⊥ [AB], |EF| = 2 cm ise taralı bölgenin alanı
kaç cm2 dir?
D
23.
C
C
K
E
B
3
D
A
O
x
F
1
B
F
ABCD ve EFKD birer karedir. |EA| = 3 cm
A
|AF| = 1 cm ise A(DCK) kaç cm2 dir?
ABCD kare, F(6, 0), C(0, 12) ise A(ABCD) kaç
cm2 dir?
24.
D
20.
D
C
F
C
K
E
E
F
A
A
B
ABCD kare, [DE] ⊥ [EB], |DF| = |FA| ise
A (DEF)
oranı nedir?
A (ABCD)
256
B
ABCD kare, [DE] ∩ [BF] = {K}, |BE| = |EC|
|DF| = |FC|, A(BEK) = 6 cm2 ise A(ABCD) kaç
cm2 dir?
Deltoid
Dörtgenler ve Çokgenler
Köşegenlerinden biri, iki ikizkenar üçgenin tabanı olan dörtgene deltoid denir.
Şekilde ABC ve DAC ikizkenar üçgenlerinin oluşturduğu ABCD deltoidi çizilmiştir. ABCD deltoidinde;
® |AB| = |BC| ve |AD| = |DC|
A
® [BD] ⊥ [AC]
B
E
D
® |AE| = |EC|
a
a
® m( DAB) = m( DCB)
® [DB] köşegeni açıortaydır.
C
® Kenar orta noktaları birleştirilerek elde edilen dörtgen, bir dikdörtgendir.
ÖRNEK 195
ÖRNEK 196
A
B
c13
A
E
8
D
B
6
24°
50°
C
D
C
ABCD deltoidinde, |AD| = |DC|, |AB| = |BC|
ABCD deltoidinde, |AD| = |DC|, |AB| = |BC|
a
a
a
a
m( ADB) = 24°, m( DBC) = 50° ise m( A) ve m( C)
|DE| = 8 cm, |EC| = 6 cm, |EB| = c13 cm ise
Çevre(ABCD) kaç cm dir?
değerlerini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
Çözüm
257
Dörtgenler ve Çokgenler
Çözüm
ÖRNEK 197
A
6v3
B
60°
E
30°
D
6v3
C
ABCD deltoidinde, |AB| = |BC|, |AD| = |DC| = 6v3 cm
a
a
m( BDC) = 30°, m( ABD) = 60° ise |DB| kaç cm dir?
Çözüm
ÖRNEK 199
A
E
ESEN YAYINLARI
B
F
C
ABCD deltoidinde, |AD| = |DC|, |AB| = |BC|, E ve F
kenar orta noktalarıdır. |DB| = 16 cm, |AC| = 12 cm
ise |EF| kaç cm dir?
Çözüm
ÖRNEK 198
y
D
a
A
a
105°
O
C
x
a
AOCD deltoidinde, A(0, 4), C(4, 0), m( DCO) = 105°
ise |AD| = |DC| = a kaç br dir?
258
D
Dörtgenler ve Çokgenler
Çözüm
ÖRNEK 200
A
x
v3
B
120°
60°
v3
D
x
C
a
a
ABCD deltoidinde, m( ADC) = 60°, m( ABC) = 120°
|AB| = |BC| = v3 cm ise |AD| = |DC| = x kaç cm dir?
Çözüm
ÖRNEK 202
A
5
ESEN YAYINLARI
B
E
D
5
C
ABCD deltoidinde, |AD| = |DC| = 5 cm, |AB| = |BC|
a
|AC| = 6 cm, |DB| = 7 cm ise m( ABC) kaç derecedir?
Çözüm
ÖRNEK 201
A
F
N
B
2
K
4
2
1
M
D
L
T
C
ABCD deltoidinde, |AD| = |DC|, |AB| = |BC|
[FK] // [DC], [KL] // [AD], [MN] // [BC], [MT] // [AB]
|NM| = |FK| = 2 cm, |KL| = 4 cm , |MT| = 1 cm ise
Çevre(ABCD) kaç cm dir?
259
Dörtgenler ve Çokgenler
Çözüm
ÖRNEK 203
A
F
3
x
B
D
E
2
C
ABCD deltoidinde, |AD| = |DC|, |AB| = |BC|
[EF] ⊥ [AB], |EC| = 2 cm, |FB| = 3 cm ise
|EF| = x kaç cm dir?
Çözüm
ÖRNEK 205
A
10
ESEN YAYINLARI
B
E
D
10
C
ABCD deltoidinde, |AD| = |DC| = 10 cm, |AB| = |BC|
[AB] ⊥ [BC], |AC| = 12 cm ise |DB| kaç cm dir?
Çözüm
ÖRNEK 204
A
K
B
3
E
D
4
L
C
ABCD deltoidinde, |AD| = |DC|, |AB| = |BC|
L ve K kenar orta noktalarıdır. |EL| = 4 cm
|EK| = 3 cm ise Çevre(ABCD) kaç cm dir?
260
Dörtgenler ve Çokgenler
Çözüm
ÖRNEK 206
A
2
E
F
x
B
x
D
5
C
ABC üçgeninde, |EC| = 2|AE|, |FE| = |DE|, |AF| = 2 cm
|DC| = 5 cm ise |FB| = |BD| = x kaç cm dir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
DELTOİDSEL BÖLGENİN ALANI
A
B
D
C
ABCD deltoid ise köşegenleri dik kesişir.
[AC] ⊥ [BD], |AC| = e, |BD| = f ise
A(ABCD) =
e.f
olur.
2
ÖRNEK 207
A
ÖRNEK 208
A
K
L
B
F
D
17
B
E
KL
DB
kaçtır?
D
10
C
ABCD deltoidinde, |AD| = |DC|, |AB| = |BC|, E ve F
kenar orta noktalardır. [AE] ∩ [DB] = {K} ve
10
E
17
C
[AF] ∩ [DB] = {L} ise
8
ABCD deltoid, [AC] ∩ [BD] = {E}, |AD| = |DC| = 10 cm
|AB| = |BC| = 17 cm, |AE| = 8 cm ise A(ABCD) kaç
cm2 dir?
261
Dörtgenler ve Çokgenler
Çözüm
A
ÖRNEK 210
K
E
D
B
F
C
ABCD deltoid, |AK| = |KD|, |AE| = |EB| = |BF|
|EF| = 5 cm, |EK| = 10 cm ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
Çözüm
ÖRNEK 209
y
A
D
x
C
a
a
ABCD deltoid, m( ACB) = m( BDC), D(1, 0), B(–4, 0)
ESEN YAYINLARI
O
B
D
ÖRNEK 211
8
4
A
C
4
ise A(ABCD) kaç br2 dir?
120°
8
B
Çözüm
ABCD deltoidinde, |AB| = |AD| = 4 cm
a
|BC| = |CD| = 8 cm ve m( ABC) = 120° ise
A(ABCD) kaç cm2 dir?
Çözüm
262
ALIŞTIRMALAR –
8
Aşağıdaki deltoidlerin her birinde verilenlere göre x
Aşağıdaki deltoidlerin her birinde verilenlere göre
değerlerini bulunuz.
deltoidlerin çevre uzunluklarını bulunuz.
1.
6.
y+40°
15
6
x
8
2y–20°
7.
2.
x
a
30°
3
2a
40°
b
b
ESEN YAYINLARI
3.
2b
2
a
x
2v2
y
8.
2
30°
45°
2y
2v2
x
9.
60°
4.
2v3
10
x
45°
6
4
10.
5.
x
12
1
B
60°
30°
x
A
12
4
3
D
2
C
|AB| = |BC| ve |AD| = |DC|
263
Dörtgenler ve Çokgenler
Aşağıdaki soruların her birinde verilenlere göre
x
Aşağıdaki soruların her birinde verilenlere göre
değerlerini bulunuz.
istenenleri bulunuz.
11.
16.
v6
D
|AD| = |AB|
v6
F
|DC| = |BC|
75°
A
x
|AC| = 24
C
x
|BD| = 10
E
|EF| = ?
B
12.
17.
x
A
5
|AB| = |BC|
B
2
3y
|AD| = |DC|
E
x
|DF| = 3|FC|
D
|EB| = 3|AE|
2y
|BD| = 12, |AC| = 8
F
13.
x
9–x
y
3y
ESEN YAYINLARI
C
|EF| = ?
A
18.
12
B
D
E
12
9
C
a
a
m( BAD) + m( BCD) = 180°, |DE| = 2|EB|, |DC| = ?
14.
9
19.
xv3
x
x
9
120°
x
α=?
α
xv3
15.
20.
x
x
xv2
1
α
2
264
x
xv2
α=?
Dörtgenler ve Çokgenler
21.
A
25.
3v2
D
D
A 4
5
3v2
|CB| = |CD| = 8 cm ise A(AECD) kaç cm2 dir?
|CB| = |CD| = 5 cm ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
D
26.
L
D
5
A
A
5
2
6
K
E
3v5
E
3
B
C
3v5
B
C
[AD] ⊥ [DC], |AE| = |EB| = 2 cm, |AD| = 4 cm
Şekilde, [AB] ⊥ [AD], |AB| = |AD| = 3v2 cm
22.
8
B
C
5
B
8
2
E
2
F
C
EFKL dikdörtgen, |DL| = 2|AL|, |DK| = 2|KC|
|AD| = |AB|, |CB| = |CD|, |EL| = 2 cm, |LK| = 6 cm
|BC| = |CD| = 3v5 cm, |BE| = 3 cm ise A(ABCD)
ise taralı bölgelerin alanları toplamı kaç cm2 dir?
kaç cm2 dir?
y
23.
ESEN YAYINLARI
Şekilde, [AC] ∩ [BD] = {E}, |AB| = |AD| = 5 cm
y
27.
D
C
B
D
K
A
C
B
x
O
A
x
F
O
Şekilde, [AO] // [DC], |AB| = |AD|, |CB| = |CD|
B(0, 4), A(–6, 0) ise A(ABCD) kaç br2 dir?
ABCD deltoid, |AO| = |OB| = |AK| = |KD|
|BF| = |FC|, K(0, 3), F(5, 0) ise A(ABCD) kaç
br2 dir?
A
28.
24.
5
A
2
D
B
30°
E
D
6
5
C
60°
C
a
Şekilde, m( BCD) = 60°, |AB| = |AD| = 5 cm
Şekilde, [AD] ⊥ [DC], |AD| = |DC|, |AB| = |BC|
a
m( ABD) = 30° ve |AE| = 2 cm ise A(ABCD) kaç
|BC| = |CD| = 6 cm, ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
cm2 dir?
B
6
265
Dörtgenler ve Çokgenler
DÖRTGENLERİN SINIFLANDIRILMASI
Aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi ok yönünde ilerlediğimizde geride kalan her dörtgenin tüm özellikleri ondan sonra gelen tüm dörtgenler için geçerlidir.
Örneğin, paralelkenarda köşegenler birbirini ortalar. Paralelkenardan sonra ok yönünde ilerlediğimizde rastladığımız dikdörtgen, eşkenar dörtgen ve karede de bu özellik vardır (köşegenlerin birbirini ortalama özelliği).
Dörtgen
[AB] // [DC]
D
D
C
D
C
[AB] // [DC]
[AD] // [BC]
|AB| = |DC|
Paralelkenar
A
Deltoid
m(A) + m(D) = 180°
Yamuk
C
m(B) + m(C) = 180°
|AD| = |BC|
m(A) = m(C)
A
B
D
C
m(B) = m(D)
D
C
Eflkenar
dörtgen
A
A
B
Aç›lar› dik aç› olan
paralelkenar
dikdörtgendir.
C
Kenar uzunluklar› eflit ve
kenarlar› birbirine dik
olan dörtgen karedir.
Kare
A
B
Bütün kenar uzunluklar›
birbirine eflit olan paralelkenar eflkenar dörtgendir.
D
B
B
Sadece iki kenar› birbirine paralel
olan dörtgen yamuktur.
|AB| = |AD|, |CB| = |CD|
D
Dikdörtgen
266
B
Karfl›l›kl› kenarlar›
paralel olan dörtgen
paralelkenardır.
m(B) = m(D)
A
C
D
‹kizkenar
yamuk
A
C
Dik yamuk
B
A
B
Dörtgenler ve Çokgenler
DÖRTGENLER‹N ÖZELL‹KLER‹
Yamuk
Özellikler
Paralelkenar
Dikdörtgen
Eflkenar
dörtgen
Kare
Karfl›l›kl› kenar uzunluklar› eflittir.
Bütün kenar uzunluklar› eflittir.
Karfl›l›kl› kenarlar› paraleldir.
Karfl›l›kl› aç›lar› efltir.
Her bir aç›s› diktir.
Köflegenler birbirini ortalar.
Köflegenler efltir.
Köflegenler dik kesiflir.
Ard›fl›k aç›lar› bütünlerdir.
Sadece iki kenar› paraleldir.
‹ç aç›lar›n›n ölçüleri toplam› 360° dir.
Köflegenler aç›ortayd›r.
Deltoid
Herhangi bir dörtgenin kenar orta noktaları, bir paralelkenarın köşeleridir.
C
K
D
F
L
A
®
E
B
Bir dörtgende köşegenler eşit uzunlukta ise kenar orta noktalarının birleşimi bir eşkenar dörtgendir.
|AC| = |BD| ⇒ EFKL eşkenar dörtgendir.
®
Bir dörtgende köşegenler dik kesişiyorsa kenar orta noktalarının birleşimi bir dikdörtgendir.
[AC] ⊥ [BD] ⇒ EFKL dikdörtgendir.
®
Bir dörtgende köşegenler hem dik kesişiyor hem de eşit uzunlukta ise kenar orta noktalarının birleşimi bir
karedir. [AC] ⊥ [BD] ve |AC| = |BD| ⇒ EFKL karedir.
D
K
C
L
L
A
F
E
B
ABCD dikdörtgen ise
EFKL eşkenar dörtgendir.
L
K
C
A
E
F
B
D
D
D
K
C
K
C
A
E
L
F
F
B
Eşkenar dörtgen ve deltoidin kenarlarının orta
noktaları birleştirilirse bir dikdörtgen elde edilir.
A
E
B
Karenin kenar orta
noktaları birleştirilirse
yine kare elde edilir.
267
Çokgenler
DÜZGÜN ÇOKGENLER
Kenarları aynı uzunlukta ve iç açılarının ölçüleri birbirine eşit olan çokgenlere düzgün çokgenler denir.
Düzgün çokgenler; düzgün üçgen (eşkenar üçgen), düzgün dörtgen (kare), düzgün beşgen, düzgün altıgen,
…, düzgün n – gen olarak adlandırılır. n kenarlı bir düzgün çokgenin;
360°
360°
, bir iç açısının ölçüsü = 180° –
n
n
bir dış açısının ölçüsü =
Düzgün çokgenin
kenar say›s›
3
4
5
6
…
360°
= 120°
3
360°
= 90°
4
360°
= 72°
5
360°
= 60°
6
…
180° – 120° = 60°
180° – 90° = 90°
180° – 72° = 108°
180° – 60° = 120°
…
Bir d›fl aç›s›n›n
ölçüsü
Bir iç aç›s›n›n
ölçüsü
120° A
D
60°
D
72°
C
108°
E
108°
72°
108° C
72°
B
60° 120°
60°
A
C
120°
A
B
düzgün dörtgen
(kare)
düzgün üçgen
(eflkenar üçgen)
60°
E
60°
120°
108°
108° 72°
72°
B
düzgün beflgen
D
120°
60°
F
120°
120°
C
60°
120°
A
60°
120°
60°
B
kenar uzunluklar› eflit olan ilk
altı düzgün çokgen
düzgün alt›gen
Bir çokgenin düzgün çokgen olabilmesi için hem kenarları aynı uzunlukta olmalı hem de açılarının ölçüleri
birbirine eşit olmalıdır.
D
a
Dikdörtgenin açıları birbiri-
C
D
ne eş ve 90° dir.
b
268
a
B
değildir.
Eşkenar dörtgenin tüm
kenarları birbirine eş olduğu halde, açılarının ölçü-
hepsi birbirine eşit olmadığından bir düzgün çokgen
A
α
θ
Fakat kenar uzunluklarının
b
C
leri birbirine eşit olmadıα
A
θ
B
ğından, bir düzgün çokgen değildir.
Dörtgenler ve Çokgenler
ÖRNEK 212
ÖRNEK 215
Bir dış açısının ölçüsü 40° olan düzgün çokgen kaç
E
D
kenarlıdır?
Çözüm
K
60° C
B
A
a
ABCDE... düzgün çokgeninde, m( AKE) = 60° ise
düzgün çokgenin kenar sayısı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 213
12 kenarlı bir düzgün çokgenin bir dış açısının ve bir
iç açısının ölçüsünü bulunuz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 214
Bir dış açısının ölçüsünün, bir iç açısının ölçüsüne
oranı
1
olan düzgün çokgenin kenar sayısı kaçtır?
9
ÖRNEK 216
Çözüm
F
E
K
D
L
C
A
B
ABCDEFKL düzgün sekizgeninde
LD
nedir?
LF
269
Dörtgenler ve Çokgenler
DÜZGÜN ÇOKGENSEL BÖLGENİN ALANI
Çözüm
Herhangi bir düzgün çokgenin köşeleri bir çember
üzerindedir. Bu çembere, o düzgün çokgenin çevrel çemberi denir. Her düzgün çokgenin kenarlarına
teğet olan bir iç teğet çemberi de vardır.
A
D
C
O
O
B
C
A
D
E
E
F
E
B
120°
ESEN YAYINLARI
A
A
A
E
R
O
R
R
α
R
r
C
a
R
H
C
ise düzgün çokgenin kenar sayısı kaçtır?
B
D
R
F
C
O
B
D
a
ABCDE... düzgün çokgeninde m( ACE) = 120°
D
C
O
ÖRNEK 217
B
A
®
B
O noktası, düzgün çokgenin kenar orta dikmelerinin kesim noktası olup düzgün çokgenin merkezidir.
Çözüm
®
|OA| = |OB| = |OC| = |OD| = |OE| = |OF| = R
uzaklığına düzgün çokgenin yarıçapı denir.
®
Düzgün çokgenin bir kenarını gören merkez açıya, düzgün çokgenin merkez açısı denir.
®
Düzgün çokgenin merkezinin, herhangi bir kenarına olan uzaklığına düzgün çokgenin iç teğet
çemberinin yarıçapı veya apotemi denir.
|OH| = r, çokgenin apotemidir.
270
Dörtgenler ve Çokgenler
ÖRNEK 219
Bir düzgün sekizgenin çevrel çemberinin yarıçapı 6 cm
O
A
ise alanı kaç cm2 dir?
D
r
a
B
H
Çözüm
a
C
a
n kenarlı bir düzgün çokgenin bir kenar uzunluğu a
ve iç teğet çemberinin yarıçapı r olsun.
O noktası ile düzgün çokgenin köşeleri birleştirilirse OBC üçgenine eş olan n tane üçgen oluşur.
Bu durumda düzgün çokgenin alanı
Alan = n.A(OBC)
a.r n.a.r
bulunur.
=
2
2
ÖRNEK 218
Çevrel çemberinin yarıçapı 4 cm olan bir düzgün
ESEN YAYINLARI
= n.
ÖRNEK 220
F
onikigenin alanı kaç cm2 dir?
E
D
G
O
Çözüm
H
C
K
A
B
Şekildeki düzgün sekizgenin merkezi O olup
[OK] ⊥ [HA] ise
A (ABCOK)
kaçtır?
A (CDEFO)
Çözüm
271
Dörtgenler ve Çokgenler
DÜZGÜN BEŞGEN
ÖRNEK 221
D
İç açılarının ölçüleri ve kenar uzunlukları eşit olan
beşgene düzgün beşgen denir.
F
E
ABCDE düzgün beşgeninin;
® bir dış açısı =
C
α
360°
= 72°
5
A
® bir iç açısı = 180° – 72° = 108°
ABCDE düzgün beşgeninde, [AD] ∩ [EC] = {F}
a
ise m( AFC) = α kaç derecedir?
D
108°
E
108°
A
® Köşegenleri sayısı,
C
108°
108°
108°
B
Çözüm
72°
B
n (n – 3) 5 (5 – 3)
=
= 5 olup
2
2
köşegen uzunlukları birbirine eşittir.
|AC| = |BD| = |CE| = |DA| = |EB| dir.
D
D
36°
E
E
36°
T
36°
36°
N
36°
C
ESEN YAYINLARI
&
&
&
&
&
ABC , BCD , CDE , DEA , EAB olduğundan,
108° 108°
C
K
108° 108°
108°
M
L
A
A
B
B
KLMNT beşgeni de düzgün beşgendir.
D
D
E
C
O
C
E
O
ÖRNEK 222
72°
54°
54°
D
54°
54°
A
B
A
B
E
C
® O noktası hem çevrel çemberinin hem de iç teğet
F
çemberinin merkezidir.
® Düzgün beşgenin her bir köşesinin açıortayı merkezden geçer.
® Düzgün beşgenin merkez açısının ölçüsü bir dış
açısının ölçüsüne eşit olup 72° dir.
272
K
α
A
B
ABCDE düzgün beşgeninde, |AF| = |FE| ise
a
m( CKB) = α kaç derecedir?
Dörtgenler ve Çokgenler
Çözüm
ÖRNEK 224
Bir kenar uzunluğu 10 cm olan düzgün beşgenin
alanı kaç cm2 dir? (tan54° ≅ 1,376)
Çözüm
D
α
E
F
C
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 223
ÖRNEK 225
D
ABCDE düzgün beşge-
F
ninin ağırlık merkezi
A
B
ABCDE düzgün beşgeninde, |AC| = |DF| ise
a
m( AFD) = α kaç derecedir?
Çözüm
O noktasıdır.
III
E
C
O
[OH] ⊥ [AB]
I
II
[OF] ⊥ [DC] ise
I, II, III bölgelerinin
A
H
B
alanları sırasıyla hangi sayılarla orantılıdır.
Çözüm
273
Dörtgenler ve Çokgenler
DÜZGÜN ALTIGEN
ÖRNEK 226
İç açılarının ölçüleri ve kenar uzunlukları eşit olan
D
altıgene düzgün altıgen denir.
E
F
E
D
120°
120°
120°
C
L
F
ABCDEF düzgün altıgen ve BKLMC düzgün beşgen
60°
B
E
a
ise m( CMD) kaç derecedir?
Çözüm
D
a
a
F
C
a
C
av3
a
A
B
a
30°
a
30° 120° 60°
B
a
A
|AC| = |BD| = |CE| = |DF| = |EA| = |FB| = av3
E
a
D
E
a
a
F
a
C
F
A
a
a
D
a
a
O
a
a
C
a 60° a
a 60°
60° a
60° 60°
A
a
B
a
a
a
ESEN YAYINLARI
a
®
K
A
® Düzgün altıgende karşılıklı kenarlar paraleldir.
®
B
bir iç açısı = 180° – 60°
= 120°
120°
A
360°
= 60°
6
bir dış açısı =
120°
120°
M
C
B
|AD| = |BE| = |CF| = 2a
E
D
a
F
D
ÖRNEK 227
E
a
O
a
E
a
a
C
F
O
a
C
60°
30°
®
B
Çevrel çemberinin
İç teğet çemberinin
yarıçapı,
uzunluğuna eşittir.
|OH| = r =
274
L
C
A a H a B
2
2
yarıçapı bir kenar
|OA| = a dır.
α
F
a
A
M
K
r
D
a 3
dir.
2
A
B
ABCDEF düzgün altıgen ve ABLK kare ise
a
m( KLM) = α kaç derecedir?
Dörtgenler ve Çokgenler
Çözüm
ÖRNEK 229
E
D
F
C
6
K
x
A
B
ABCDEF düzgün altıgeninde, [AC] ∩ [BF] = {K}
|KC| = 6 cm ise |AK| = x kaç cm dir?
Çözüm
ÖRNEK 228
E
K
D
G
F
C
A
B
ABCDEF düzgün altıgen, [AG] ∩ [FK] = {L} ve
a
|FG| = |EK| ise m( ALK) = α kaç derecedir?
ESEN YAYINLARI
L
α
Çözüm
ÖRNEK 230
E
D
F
C
A
2
B
x
K
ABCDEF düzgün altıgeninde; A, B, K doğrusal
|FB| = |BK| ve |AB| = 2 cm ise |DK| = x kaç cm dir?
275
Dörtgenler ve Çokgenler
Çözüm
ÖRNEK 232
Bir kenarının uzunluğu 2 cm olan düzgün altıgenin
alanı kaç cm2 dir?
Çözüm
E
F
D
C
x
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 231
ÖRNEK 233
y
F
A 2 K
3
|KB| = 3 cm ise |DK| = x kaç cm dir?
276
C
K
B
O
ABCDEF düzgün altıgeninde, |AK| = 2 cm ve
Çözüm
D
E
B
x
OBCDEF düzgün altıgeninde, |OK| = |KE| ve
B noktasının apsisi 4 ise A(DEK) kaç br2 dir?
Çözüm
ALIŞTIRMALAR –
1.
5.
Düzgün onbeşgenin bir dış açısının ölçüsü kaç
derecedir?
9
Aşağıdaki düzgün altıgenlerde verilenlere göre,
α değerlerini bulunuz.
a.
α
2.
Düzgün onikigenin bir iç açısının ölçüsü kaç
derecedir?
3.
b.
Bir iç açısının ölçüsü 162° olan düzgün çokgen
α
4.
Aşağıdaki düzgün beşgenlerde verilenlere göre,
α kaç derecedir?
a.
ESEN YAYINLARI
kaç kenarlıdır?
α
c.
α
b.
α
6.
D
c.
K
30°
α
A
C
B
Yukarıdaki şekilde,
α
E
ABCDE
40°
düzgün beşgen
olmak üzere, verilenlere göre α kaç derecedir?
277
Dörtgenler ve Çokgenler
7.
E
11.
D
C
F
E
6
L
K
F
D
C
K
6
A
B
A
B
ABCDEF düzgün altıgen, [AD] ∩ [FB] = {K}
ABCDEF düzgün altıgen, ABLK kare
|AF| = 6 cm ise A(AKB) kaç cm2 dir?
|ED| = 6 cm ise A(DKA) kaç cm2 dir?
E
8.
D
12.
y
C
F
C
A
6
B
B
D
A
E
ESEN YAYINLARI
A(ACDF) kaç cm2 dir?
9.
D
3
E
C
F
B
K
Şekilde, C(0, 6) ise ABCDEO düzgün altıgeninin çevresi kaç br dir?
F
B
ABCDEF düzgün altıgeninde |AB| = 6 cm ise
D
O
E
14.
C
D
F
B
C
A
O merkezli ABCDEF düzgün altıgeninde
B
DFB üçgeninin alanı 12v3 cm2 olduğuna göre,
2
A(ABCO) = 12 cm ise A(ADEF) kaç cm dir?
278
6
A(ACDE) kaç cm2 dir?
E
2
C
A
A(DKL) kaç cm2 dir?
A
D
L
A
F
E
13.
ABCDEF düzgün altıgen, |ED| = 3 cm ise
10.
x
O
ABCDEF düzgün altıgen, |AB| = 6 cm ise
ABCDEF düzgün altıgeninin alanı kaç cm2 dir?
Yazılıya Hazırlık Soruları – 1
1.
4.
A
y
C
D
D
E
B
C
O
ABCD dörtgeninde, |AB| = |BD| = |BC|
a
a
m( ABC) = 80° ise m( ADC) kaç derecedir?
2.
D
OBCD dik yamuk, [EC] ⊥ [EB], |EC| = |EB|
C(4, m), B(8, 0) ise A(OBCD) kaç br2 dir?
5.
C
L
D
ABCD dörtgeninde, |AK| = |KD| , |DL| = |LC|
ESEN YAYINLARI
B
E
A
C
E
3
F
K
y
B
B
A
ABCD paralelkenarının çevresi 22 cm
a
a
|AD| = 3 cm, m( DAE) = m( EAB) ise
|EC| kaç cm dir?
|AE| = |EB| , |CF| = |FB| ve A(ABCD) = 20 br2
ise taralı bölgelerin alanları toplamı kaç br2 dir?
3.
D
6.
C
D
E
1
3
C
F
4
60°
A
45°
B
a
ABCD yamuğunda, m( DAB) = 60°
a
AB
m( CBA) = 45°, |AD| = |DC| ise
kaçtır?
DC
A
B
ABCD dikdörtgeninde, [DB] ∩ [AE] = {F}
|DF| = 1 cm, |FB| = 4 cm, |EC| = 3 cm ise
Çevre(ABCD) kaç cm dir?
279
Dörtgenler ve Çokgenler
7.
9.
A
D
F
E
80°
E
A
ABCD deltoidinde E ve F orta noktalardır.
B
ABCDE düzgün beşgeninde E, F, H doğrusal,
a
a
|BH| = |HC| , m( AFH) = 80° ise m( EAF) = α
|AD| = |DC|, |AB| = |BC|, |EF| = 13 cm ise
|AC|2 + |DB|2 kaç cm2 dir?
F
ESEN YAYINLARI
kaç derecedir?
K
D
H
α
C
8.
C
F
D
B
10.
E
C
D
F
L
4
2
A
C
9
4
B
E
A
K
B
ABCD ve BEFK birer karedir.
ABCDEF düzgün altıgeninde A, K, C doğrusal,
|AL| = 4 br, |LE| = 9 br ise A(BEFK) – A(ABCD)
|AK| = 2 cm ve |KC| = 4 cm ise A(AKDF) kaç
2
kaç br dir?
280
cm2 dir?
Yazılıya Hazırlık Soruları – 2
1.
4.
D
60°
D
C
10
K
x
60°
C
F
2
2
A
c10
x
B
E v5
A
B
a
a
ABCD dörtgeninde, m( D) = m( C) = 60°
ABCD dikdörtgeninde, [EC] ∩ [BE] = {E}
[DA] ⊥ [AB] , |DC| = 10 cm , |BC| = 2 cm ise
D, K, B doğrusal, |KC| = c10 cm, |FA| = 2 cm
|AD| = x kaç cm dir?
|EA| = v5 cm ise |FK| = x kaç cm dir?
2.
5.
D
C
6
x
K
A
C
2
4
B
ABCD dörtgeninde, [DB] ⊥ [AC] , |AF| = |FD|
ESEN YAYINLARI
F
E
D
F
A
B
ABCD paralelkenarında, |DE| = |EC|, |AF| = 3|FB|
A(EFBC) = 12 br2 ise A(ABCD) kaç br2 dir?1
|AB| = 2 cm , |BC| = 4 cm , |DC| = 6 cm ise
|FK| = x kaç cm dir?
3.
A
6.
D
9
D
16
B
L
F
E
C
4
M
E
C
A
ABCD dik yamuğunda, [CE] ⊥ [BD], |AB| = |EB|
2
|EC| = 16 br, |AD| = 9 br ise A(DEC) kaç br dir?
B
ABCD karesinin kenar uzunluğu 4 birimdir.
[FE] ⊥ [AC], [ML] ⊥ [AC] ise |FE| + |EL| + |LM|
toplamı kaç br dir?
281
Dörtgenler ve Çokgenler
7.
D
9.
C
E
H
D
F
F
C
K
A
α
G
B
E
A
ABCD paralelkenarında, |FB| = 2|FC| ve
KF
|EB| = 3|AE| ise
kaçtır?
AK
D
E
C
ABCDEF düzgün altıgeninde, [AC] ∩ [FB] = {G}
a
[GH] ⊥ [ED] ise m( FGH) = α kaç derecedir?
ESEN YAYINLARI
8.
B
10.
E
D
L
K
F
A
B
C
A
B
ABCD karesinde, |AB| = 2v2 cm ise |EC| kaç
ABCDEF düzgün altıgen, ABKL kare ve taralı
cm dir?
bölgenin çevresi 16 cm ise alanı kaç cm2 dir?
282
1
TEST -
1.
Dörtgenler
4.
A
D
D
70°
6
130°
C
x
60°
x
80°
B
C
150°
E
A
2
B
a
a
ABCD dörtgeninde, m( A) = 70° , m( B) = 80°
a
a
m( D) = 130° ise m( DCE) = x kaç derecedir?
ABCD dörtgeninde, [DA] ⊥ [AB] , |DC| = 6 cm
a
a
|CB| = 2 cm , m( ABC) = 150° , m( DCB) = 60°
A) 80
ise |AD| = x kaç cm dir?
B) 90
C) 100
D) 110
E) 120
A) 2
E) 6
D
120°
x
A
B
ABCD dörtgeninde, [AE] ve [BE] açıortay
a
a
a
m( ADC) = 80°, m( DCB) = 120° ise m( AEB) = x
ESEN YAYINLARI
E
K
E
A
F
B
ABCD dörtgeninde E, F, K orta noktalardır.
|AC| = |BD| , |EF| = 10 cm , |EK| = 16 cm ise
kaç derecedir?
A(ABCD) kaç cm2 dir?
B) 95
3.
D) 5
C
C
80°
A) 90
C) 4
5.
D
2.
B) 3
C) 100
D) 105
E) 110
A) 216
B) 208
C) 200
6.
D
D) 192
E) 180
C
C
D
6
160°
K
100°
A
B
A
B
a
a
ABCD dörtgeninde, m( DAC) = m( CAB)
ABCD dörtgeninde, [DK] ve [BK] açıortaylardır.
a
a
a
m( A) = 100° , m( DKB) = 160° ise m( C) kaç
[AB] ⊥ [BC] , |BC| = 6 cm , |AD| + |AB| = 12 cm
derecedir?
ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
A) 140
B) 130
C) 120
D) 110
E) 100
A) 36
B) 40
C) 45
D) 48
E) 54
283
Dörtgenler ve Çokgenler
7.
10.
D
C
D
9
C
A
12
35°
B
a
ABCD dörtgeninde, m( ABD) = 25°
a
m( CAB) = 35° , |AC| = 6 cm , |BD| = 4 cm ise
ABCD dörtgeninde, [AC] ⊥ [DB] , |DC| = v2 |AB|
|AD| = 9 cm , |BC| = 12 cm ise |AB| kaç cm dir?
A) 4v3
25°
A
B
B) 5v3
D) 8v2
A(ABCD) kaç cm2 dir?
C) 6v2
A) 6v2
E) 7v3
B) 10
C) 6v3
D) 12
8.
E) 8v3
C
11.
K
D
F
10
8
E
A
B
ABCD dörtgeninde L, E, F, K kenar orta noktalarıdır. |AC| = 18 br , |DB| = 16 br ise EFKL
ESEN YAYINLARI
L
A
B) 21
C) 24
12
B
ABCD dörtgeninde, [DA] ⊥ [DC] , |AD| = 8 cm
|AB| = 12 cm , |DC| = 6 cm , |CB| = 10 cm ise
dörtgeninin çevresi kaç birimdir?
A) 17
C
6
D
A(ABCD) kaç cm2 dir?
D) 34
E) 37
A) 56
B) 64
C) 68
D) 72
E) 76
y
9.
12.
C
y
A
3v2
3
D
O
B
x
B
D
O
x
5
A
C
ABCD dörtgeninde, |AB| = 5 br, |BC| = 3v2 br
|CD| = 3 br ise |AD| kaç br dir?
A) 5
284
B) 4
C) c10
D) 3
ABCD dörtgeninde A(0, 2), B(–4, 0), C(0, –4)
ve [DA] ⊥ [AB] ise A(ABCD) kaç br2 dir?
E) v5
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
TEST -
1.
4
Yamuk
D
x
4.
C
y
D
C
E 100°
10
A
B
B) 15
C) 20
D) 25
E(–2, 0), D(m, 8), |AD| = 10 br ise m kaçtır?
D
9
2
5
D) –4
E) –
40°
A
B
C
E
A
3
F
B
ABCD yamuğunda, |DC| = |BC| , |AB| = 2|BC|
a
a
m( B) = 40° ise m( D) kaç derecedir?
ABCD yamuğunda, [EF] // [CB], |DE| = |EA|
A) 110
A) 10
B) 115
3.
C) 120
A
D) 125
10
D
E
7
2
C
ESEN YAYINLARI
D
C) –
B) –5
E) 30
5.
2.
x
O
AOCD dik yamuğunda, [DE] açıortay
A) –6
A) 10
E
A
a
a
ABCD yamuğunda, m( ACE) = m( ECB)
a
a
a
m( CBE) = m( EBA), m( CEB) = 100° ise
a
m( DCA) = x kaç derecedir?
E) 130
C
8
|DC| = 5 cm, |AF| = 3 cm ise |FB| kaç cm dir?
B) 9
C) 8
6.
D
5
F
K
x
E
18
D) 7
E) 6
C
F
B
ABCD dörtgeninde A ve D açılarının açıortayla-
12
A
B
rının kesim noktası K dir. [AB] // [EF] // [DC]
ABCD yamuğunda, [EF] // [AB], 3|FB| = 4|CF|
|AB| = 18 br , |DC| = 10 br , |KF| = 8 br ise
|DC| = 5 cm, |AB| = 12 cm ise |EF| = x kaç
|EK| kaç br dir?
cm dir?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
A) 6
B) 7
C)
15
2
D) 8
E)
17
2
289
Dörtgenler ve Çokgenler
7.
2v2
D
10.
C
D
C
E
4
E
x
4
F
45°
A
uzunluğu kaç cm dir?
A) 7
kaç cm dir?
D) c34
8.
B
|AB| = 6 cm ise ABCD yamuğunun orta taban
ABCD dik yamuğunda, |AE| = |ED| = 4 cm
a
|DC| = 2v2 cm, m( DAB) = 45° ise |EB| = x
B) c30
6
ABCD yamuğunda, |FC| = 3|EC| , |AF| = 4 cm
B
A) 2v5
A
4
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
C) 4v2
E) 2c10
D
4
C
D
11.
3
C
x
30°
A
B
ABCD yamuğunda, |AD| = |CB|, [AD] ⊥ [DB]
a
m( DBA) = 30°, |DC| = 4 cm ise Çevre(ABCD)
kaç cm dir?
A) 22
B) 21
C) 20
9.
D) 19
ESEN YAYINLARI
E
A
8
B
ABCD yamuğunda, |AD| = |CB|, [AE] ⊥ [CB]
a
a
m( DAE) = m( EAB), |DC| = 3 cm, |AB| = 8 cm
ise |CE| = x kaç cm dir?
A)
E) 18
1
2
B) 1
C)
3
2
D) 2
D
C
E)
5
2
y
A(0, 9)
12.
D
O
x
F
B
E
C(m, –4)
ABCD dik yamuğunda, [AD] ⊥ [BD], [DC] ⊥
[BC]
A
B
ABCD dik yamuk [EF] ⊥ [AD], |AF| = |FD| = |EF|
A(0, 9) ve C(m, –4) ise A(ABCD) kaç br2 dir?
|AB| + |DC| = 12 cm ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
A) 51
A) 36
290
B) 52
C) 53
D) 54
E) 55
B) 48
C) 72
D) 108
E) 144
TEST -
1.
7
Paralelkenar
D
4.
C
E
E
3
α
4
F
D
C
140°
A
B
a
ABCD paralelkenar, [AE] açıortay, m( B) = 140°
a
ise m( AEC) = α kaç derecedir?
A) 140
B) 145
C) 150
D) 155
A
ABCD paralelkenar, A, D, E doğrusal
[BE] açıortay, |ED| = 3 cm, |FC| = 4 cm ise
E) 160
Çevre(ABCD) kaç cm dir?
A) 24
2.
D
C
B
E
a
ABCD paralelkenar, m( ADC) = 2x + 10°
a
a
m( CBE) = x + 20° ise m( DAE) = α
D) 18
x
6
A
C
K
E
4
F
B
ABCD paralelkenarında, [DF] ve [CE] açıor|DC| = x kaç cm dir?
B) 50
C) 60
D) 70
A) 8
E) 80
B) 9
C) 10
D) 11
D
C
α
O
D
C
9°
A
E
B
A
a
a
ABCD paralelkenar, m( DEC) = m( CEB)
a
a
|AE| = |BC|, m( ECB) = 9° ise m( CDE) = α
kaç derecedir?
A) 48
B) 50
E) 12
y
6.
3.
E) 16
taylardır. |EF| = 4 cm ve |AD| = 6 cm ise
kaç derecedir?
A) 40
C) 20
D
ESEN YAYINLARI
x+20°
α
B) 22
5.
2x+10°
A
B
D) 54
E) 56
B
ABCD paralelkenar, [AO] açıortay, D(–5, 0) ve
C(3, 0) ise |AO| kaç br dir?
A) 8
C) 52
x
B) 4v5
D) 10
C) 3c10
E) 13
295
Dörtgenler ve Çokgenler
7.
6 E
D
10.
C
F
x
3
F
E
D
A
C
4
B
ABCD paralelkenarında, [BE] açıortay
A
B
[BE] ⊥ [EF] , |DE| = 6 cm ise |DF| = x kaç cm
ABCD paralelkenar, [BF] açıortay
dir?
A, D, F doğrusal, |EC| = 4 cm ve |DF| = 3 cm
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
ise Çevre(ABCD) kaç cm dir?
E) 6
A) 22
8.
C
D
B) 20
C) 18
11.
D) 16
E) 14
y
B
F
C
B
ABCD paralelkenar, 2|AE| = 5|EB|, |DA| = 5|FA|
A(ABCD) = 84 cm2 ise A(AFE) + A(CEB)
kaç cm2 dir?
A) 32
B) 30
C) 24
D) 18
x
ESEN YAYINLARI
E
A
A
D
OABC paralelkenarında, [CH] ⊥ OB dir. C(–4, 9)
E) 16
ve |OA| = 5 br ise |AH| = x kaç br dir?
B) 2c13
C) 8
D
E
12.
F
4
genlerdir. |FK| = 1 cm ve |KC| = 4 cm ise
AE
oranı nedir?
EB
296
4
3
C
B
ABCD paralelkenarında, [AC] ve [BD] köşe-
B)
E) 9
F
1
E
A
3
2
D) 4v5
C
K
A)
x
O
A) 7
9.
H
B
A
ABCD paralelkenar, |AE| = 3|FE| ise
A (BEF)
nedir?
A (ABCD)
C)
5
3
D)
5
4
E)
5
2
A)
1
3
B)
1
4
C)
1
6
D)
1
8
E)
1
9
10
TEST -
Eşkenar Dörtgen
1.
4.
E
D
C
D
A
6
E
F
64°
75°
A
α
B
B
a
a
ABCD eşkenar dörtgen, m( ABD) = 75°
C
ABCD eşkenar dörtgeninde B, D, E doğrusal
a
a
|AD| = |DE|, m( DAB) = 64° ise m( ECD) = α
[EF] ⊥ [BC], |DE| = |EB|, |EF| = 6 cm ise
kaç derecedir?
A) 24
B) 30
C) 31
D) 32
D
2.
F
α
A
C) 18
5.
C
E
B) 20
D) 15
E) 12
E) 33
B
H
D
C
4
120°
ESEN YAYINLARI
A) 29
|AB| = a kaç cm dir?
K
B
A
ABCD eşkenar dörtgeninde, [DF] ⊥ [BC], [AC]
a
köşegen, |DE| = |EC| ise m( ABC) = α kaç dere-
ABCD eşkenar dörtgeninde, [BH] ⊥ [DC]
a
m( AKH) = 120°, |KH| = 4 cm ise |AC| kaç
cedir?
cm dir?
A) 105
B) 120
C) 135
3.
D) 150
A) 16
E) 165
B) 18
C) 20
D) 24
E) 28
y
6.
D
C
D
C
64°
E
a
A
O
x
B
A
ABCD eşkenar dörtgen, |AD| = |BE|
a
a
m( ADC) = 64° ise m( AEC) kaç derecedir?
ABCD eşkenar dörtgeninde, [DE] ⊥ [AB]
B(3, 0), D(0, 4) ise |AD| = a kaç br dir?
A) 5
B)
14
3
C)
9
2
D)
13
3
E)
B
25
6
A) 144
B) 146
C) 148
D) 152
E) 154
301
Dörtgenler ve Çokgenler
7.
D
10.
C
D
C
E
a
150°
A
6
2
B
A
a
ABCD eşkenar dörtgeninde, m( ABC) = 150°
[AC] ∩ [BD] = {E}, [EF] ⊥ [AB], |AF| = 1 cm
|AB| = 6 cm ise A(ABCD) kaç cm dir?
B) 15
C) 18
D) 9
|EF| = 2 cm ise |AD| = a kaç cm dir?
E) 12v3
A) 3
B) 4
C) 5
8.
D) 6
L
D
11.
D
B
ABCD eşkenar dörtgeninde
2
A) 12
1 F
4
E) 8
C
C
3
ESEN YAYINLARI
x
A
B
10
ABCD eşkenar dörtgen, |AB| = 10 cm
|BD| = 12 cm ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
A) 96
B) 92
C) 84
D) 78
9.
A
B
ABCD eşkenar dörtgeninde, [AC] köşegen
[EF] ⊥ [AB], [KL] ⊥ [DC], |EF| = 2 cm
|KL| = 3 cm, |LC| = 4 cm ise |AE| = x kaç
cm dir?
E) 72
B)
14
3
C) 4
12.
y
10
3
E) 3
D
A
B
x
O
D)
y
C
E
2
F
A
A) 5
D
K
E
12
O
x
C
AOCD eşkenar dörtgen, D(–2, 4) ise A(AOCD)
a
a
ABCD eşkenar dörtgeninde, m( BDO) = m( ODC)
kaç br2 dir?
D(0, 3) ise A(ABCD) kaç br2 dir?
A) 12
302
B) 15
C) 16
D) 18
E) 20
A) 9
B) 3c10
C) 4v6
D) 10
E) 6v3
TEST -
1.
12
Dikdörtgen
D
4.
C
D
C
4
x
E
1
E
6
4
x
A
B
A
B
ABCD dikdörtgeninde, [AC] ve [DB] köşegenler-
ABCD dikdörtgeninde, [BE] ⊥ [AC], |EC| = 1 cm
dir. |DE| = 4 cm, |CB| = 6 cm ise |AB| = x kaç
|AE| = 4 cm ise |DE| = x kaç cm dir?
cm dir?
A) c13
A) 5
B) 2v7
D) 6
B) c14
D) c17
E) c19
C) 4v2
E) 2c10
5.
2.
C) c15
D
D
C
x
C
30°
E
x
46°
F
A
B
ABCD dikdörtgeninde, [AC] ∩ [DB] = {E}
a
a
|AE| = |AF|, m( EAB) = 46° ise m( FEB) = x
ESEN YAYINLARI
4
A
cm dir?
A) 8v3
B) 22
C) 23
D) 24
E) 25
B) 12v3
D) 2 + 4v3
D
y
C
A
K
B
|KB| = 3 cm ise |KC| = x kaç cm dir?
B) c13
C) c15
E) 2v5
x
O
B
ABCD dikdörtgeninde, |AK| = 1 cm, |KD| = 2 cm
D) 3v2
F
E
3
A
A) 2v3
D
x
2
1
C) 4 + 4v3
E) 2 + 2v3
6.
3.
B
ABCD dikdörtgeninde, [DE] açıortay
a
m( ECB) = 30°, |EC| = 4 cm ise |DC| = x kaç
kaç derecedir?
A) 21
E
ABOD dikdörtgeninde, [DE] ∩ [AO] = {F}
|AE| = |EB|, A(–9, 12) ise |AF| kaç br dir?
A) 3
B)
7
2
C) 4
D)
9
2
E) 5
305
Dörtgenler ve Çokgenler
7.
D
10.
C
D
C
E
x
E
A
1
F
12
2
A
B
9
5
B
ABCD dikdörtgeninde, [EF] ⊥ [FC], |DE| = |EA|
ABCD dikdörtgen, [AE] ⊥ [BE], |AE| = 12 cm
|AF| = 1 cm, |FB| = 2 cm ise |FC| = x kaç
|EB| = 5 cm, |BC| = 9 cm ise taralı AEBCD beşgeninin alanı kaç cm2 dir?
cm dir?
A) 2v2
A) 87
C) c10
B) 3
D) 2v3
B) 90
D) 96
E) 98
E) 3v2
11.
8.
C) 93
D
D
C
C
2
E
x
B
E
Birim karelerden oluşmuş düzlemde ABCD dikdörtgeni çizilmiştir. [DE] açıortay ise |DE| = x kaç
br dir?
A)
3 5
2
B) 2v5
D) 3v5
9.
C)
E)
ESEN YAYINLARI
A
45°
F
A
x
B
a
ABCD dikdörtgeninde, [DF] ⊥ [FE], m( FEB) = 45°
|CE| = 2 cm, Çevre(ABCD) = 14 cm ise |FB|
kaç cm dir?
5 5
2
A) 1
B)
3
2
C) 2
D)
5
2
E) 3
7 5
2
D
C
12.
D
C
E
x
2
E
A
1
B
F
1
A
B
ABCD dikdörtgeninde, [CE] açıortay, |AE| = |EC|
ABCD dikdörtgeninde, [AE] ⊥ [DB], [FC] ⊥ [DB]
|EB| = 1 cm ise |AC| kaç cm dir?
|AE| = 2 cm, |FB| = 1 cm ise |EF| = x kaç
A) 3
B) 2v3
D) 3v2
306
C) 4
E) 2v5
cm dir?
A) 2
B)
5
2
C) 3
D)
7
2
E) 4
TEST -
15
1.
Kare
A
4.
D
y
E
C
α
F
O
ABCD karesinde, BCE ve BFA eşkenar üçgena
ler ise m( BEF) = α kaç derecedir?
B) 30
C) 45
D) 60
A
OABC karesinde, |DB| = 2 br, |OB| = 6v2 br ise
|OD| kaç br dir?
E) 75
A) 6
2.
D
x
B
C
B
A) 15
D
B) 2
5.
C
C) 2c13
D) 8
D
E) 2c15
C
2
α
A
E
v6
B
ABCD karesinde, |AE| = |CE| = 2 cm
a
|AB| = v6 cm ise m( EAB) = α kaç derecedir?
A) 10
B) 15
C) 20
D) 22,5
ESEN YAYINLARI
2
15°
A
D
|AE| = 2v3 cm ise Çevre(ABCD) kaç cm dir?
E) 30
C
A) 8
B) 12
E
6.
3
D
4
2
L
x
4
A
C) 8v2
E) 12v2
K
E
B
a
ABCD karesinde, [BD] köşegen, m( EAB) = 15°
D) 8v3
3.
E
2v3
F
C
6
B
A
ABCD karesinde, [EK] ⊥ [DB], [FL] ⊥ [DB]
B
|EK| = 2 cm, |KL| = |LF| = 4 cm ise |AB| kaç
ABCD karesinde, B, D, E doğrusal, |ED| = 3 cm
cm dir?
|DB| = 6 cm ise |AE| = x kaç cm dir?
A) 5v2
B) 3v5
D) 6
C) 2c10
E) 5
A) 5v3
B) 8
D) 3v5
C) 5v2
E) 2c10
311
Dörtgenler ve Çokgenler
7.
10.
y
E
12v2
y = 2x
O
A
15°
D
C
D
C
x
B(9, 0)
B
A
y = 2x doğrusu üzerinde ve B(9, 0) olduğuna
ABCD karesinde A, C, E doğrusaldır.
a
m( EDC) = 15°, |DE| = 12v2 cm ise |AB| kaç
göre, A(ABCD) kaç br2 dir?
cm dir?
Analitik düzlemdeki ABCD karesinin D köşesi
A) 16
8.
B) 25
C) 36
D) 64
D
A) 12
E) 81
C
B) 11
C) 10
D) 9
D 1 E
11.
E) 8
C
E
6
A
75°
B
a
ABCD karesinde, [AC] köşegen, m( CBE) = 75°
ESEN YAYINLARI
5
A
ABCD karesinde, |DE| = 1 cm, |EB| = 5 cm ise
A(ABE) kaç cm2 dir?
|EB| = 6 cm ise |AB| kaç cm dir?
A) 7
9.
B) 3v6
C) 8
D
D) 4v5
A) 5
E) 9
C
B
B) 6
12.
C) 8
D
E) 12
C
8
x
H1 F
E
6
E
A
D) 9
2v5
B
A
x
B
ABCD karesinde, [DE] ⊥ [AF], [BH] ⊥ [AF]
ABCD karesinde, [DE] ⊥ [AE], |DE| = 8 cm
|AB| = 2v5 cm, |HF| = 1 cm ise |DE| = x kaç
|AE| = 6 cm ise |EB| = x kaç cm dir?
cm dir?
A) 2
312
A) 6
B) 2v2
C) 3
D) 4
E) 3v2
B) 2c10
D) 4v2
C) 3v5
E) 5v2
TEST -
17
1.
Deltoid
4.
A
3v3
F
30°
B
A
x
D
60°
3v3
13
5
B
D
K
x
E
C
C
a
a
ABCD deltoidinde, m( ADB) = 30°, m( DBC) = 60°
ABCD deltoidinde; E, F, K kenar orta noktalar
|AB| = 3v3 cm , |BC| = 3v3 cm ise
|AD| = |DC|, |AB| = |BC|, |EF| = 13 cm
|AD| = |DC| = x kaç cm dir?
|FK| = 5 cm ise ABCD deltoidinin köşegen uzun-
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
lukları toplamı kaç cm dir?
E) 10
A) 30
2.
A
C) 32
5.
3v5
5
B) 31
D) 33
E) 34
D
A
5
4
ESEN YAYINLARI
D
B
3v5
C
105°
4
B
C
a
ABCD deltoidinde, [AD] ⊥ [AB], m( B) = 105°
ABCD deltoidinde, |AD| = 3v5 cm
|CD| = 4 cm, |CB| = 4 cm ise A(ABCD) kaç cm2
|DC| = 3v5 cm, |AB| = 5 cm, |BC| = 5 cm ve
dir?
|AC| = 6 cm ise |DB| kaç cm dir?
A) 6 + 4v3
A) 12
B) 11
C) 10
D) 9
D) 6 + 6v3
E) 8
C) 4 + 6 v3
B) 4 + 4v3
6.
E) 8 + 4v3
A
D
3.
D
E
3
C
3
60°
A
B
ABCD paralelkenarında |AE| = |AF|, |FB| = 1 cm
|EC| = |CF| = 3 cm ise Çevre(ABCD) kaç cm dir?
A) 17
B) 16
C) 15
D) 14
C
B
F
1
E) 13
ABCD deltoidinde, [AD] ⊥ [DC], |AD| = |DC|
a
DC
|AB| = |BC|, m( ABC) = 60° ise
kaçtır?
AB
A) v2
B)
2 2
3
C)
2
2
D)
2
3
E)
315
2
4
Dörtgenler ve Çokgenler
7.
10.
A
A
D
D
12
E
E
15°
B
C
12
B
ABCD deltoidinde, |AB| = |BC| = 12 cm
a
m( ABD) = 15° ve |BE| = 2|DE| ise A(ABCD) kaç
ABCD deltoidinde, |AD| = |DC|, |AB| = |BC|
a
a
m( ADC) = 120°, m( ABC) = 60°, |DB| = 12 cm
cm2 dir?
A) 54
C
ise |EB| kaç cm dir?
B) 48
C) 42
8.
D) 36
E) 30
A) 7
B)
4
D)
17
2
E) 9
A
8
2
B
D
4
E
B
D
2
C
ABCD deltoidinde, |AD| = |DC| = 2 cm
a
a
|AB| = |BC| = 4 cm, m( B) + m( D) = 120° ise
2
A(ABCD) kaç cm dir?
B) 6v3
D) 10v3
8
ESEN YAYINLARI
4
C
ABCD deltoidinde, |AD| = |DC| = 8 cm
a
a
|AB| = |BC|, m( ECD) = m( ABD), |DE| = 4 cm ise
|EB| kaç cm dir?
C) 8v3
A) 10
E) 12v3
B) 11
C) 12
12.
D
9.
C) 8
11.
A
A) 4v3
15
2
D) 13
E) 14
C
C
2
E
3
B
A
A
K
2
D
B
ABCD deltoidinde, |AB| = |AD|, |BC| = |CD|
ABC üçgeninde, |DB| = |BC|, |AE| = 3 cm
|AC| + |BD| = 12 cm, |AC|2 + |BD|2 = 64 cm2
|EC| = |ED| = 2 cm ise
2
ise A(ABCD) kaç cm dir?
A) 40
316
B) 32
C) 28
D) 24
E) 20
A)
1
2
B)
1
3
C)
1
4
EK
KB
kaçtır?
D)
1
5
E)
1
6
19
TEST -
1.
Çokgenler
4
D
E
K
F
E
C
D
F
C
x
α
A
A
B
4
K 2 B
Yukarıdaki şekilde, ABCDE düzgün beşgen ve
a
ABFK karedir. Buna göre, m( KBD) = α kaç
ABCDEF düzgün altıgen, |AK| = 4 cm
derecedir?
A) 3c10
A) 30
B) 27
C) 24
D) 21
|KB| = 2 cm ise |EK| = x kaç cm dir?
110
B)
D) 2c31
E) 18
C) 2c30
E) 5v5
5.
D
6
D
E
60°
C
α
F
40°
A
B) 60
D) 68
A)
E) 72
5
2
B)
5
3
C) 2
15°
4
3
E)
3
2
D
C
α
K
C
30°
A
A
D)
D
H
α
oranı
L
F
F
EF
FK
kaçtır?
E
E
C
B
|ED| = 6 cm , |KC| = 2 cm ise
6.
3.
H
2
ABCDE düzgün beşgen, [DH] ⊥ [AB]
B
C) 64
F
A
a
ABCDE düzgün beşgeninde m( DEF) = 60°
a
a
m( BAF) = 40° ise m( AFE) = α kaç derecedir?
A) 56
K
E
ESEN YAYINLARI
2.
B
N
B
ABCDEF düzgün altıgeninde [FH] ⊥ [BD] ise
a
m( BFH) = α kaç derecedir?
a
ABCDEF düzgün altıgeninde, m( LDE) = 15°
a
a
m( ABN) = 30° ise m( LKN) = α kaç derecedir?
A) 15
A) 36
B) 20
C) 25
D) 30
E) 35
B) 40
C) 45
D) 48
E) 50
319
Dörtgenler ve Çokgenler
7.
10.
F
E
D
D
K
E
60°
C
C
O
K
B
A
F
A
B
ABCDEF... düzgün çokgeninde,
a
m( AKF) = 60° olduğuna göre, düzgün çokgenin
[OF] ⊥ [AB], [OK] ⊥ [AE] ve A(AFOK) = 6 cm2
kenar sayısı kaçtır?
ise A(ABCDE) kaç cm2 dir?
B) 12
C) 14
D) 16
E
8.
F
D
H
|HC| = 12 cm ise altıgenin çevresi kaç cm dir?
E
9.
D) 60
D) 24
E) 18
D
O
F
B
C) 54
C) 27
E
C
ABCDEF düzgün altıgeninde, [EH] ⊥ [FC]
B) 48
B) 30
11.
12
A
A) 42
A) 36
E) 18
C
K
ESEN YAYINLARI
A) 10
O merkezli ABCDE düzgün beşgeninde
A
H
B
O merkezli ABCDEF düzgün altıgeninde
[OH] ⊥ [AB], [OK] ⊥ [AF] ve A(OKAH) = 12 cm2
ise A(ABCDEF) kaç cm2 dir?
E) 66
A) 48
B) 54
C) 60
D) 66
E) 72
D
12.
y
D
F
C
C
E
B(3, v3)
15°
A
B
12
K
a
ABCDEF düzgün altıgeninde m( AKF) = 15° ve
O
x
A
|BK| = 12 cm ise |AB| kaç cm dir?
Analitik düzlemde B(3, v3) olduğuna göre,
A) 2v6
OABCDE düzgün altıgeninin alanı kaç br2 dir?
B) 6
D) 4v3
320
C) 3v5
E) 6v2
A) 5v3 B) 4v5
C) 4v6
D) 10
E) 6v3
Üniversiteye Giriş Sınav Soruları
1.
2008 - ÖSS
4.
E
x
C
F
D
ABCD bir
Aşağıdaki şekilde, eni 40 m ve boyu 100 m olan
dikdörtgen
a
a
m( ABE) = m( EBC)
dikdörtgen biçiminde bir park, parkın içinden
geçen paralelkenar biçiminde iki yol ve bu yollar
dışında kalan yamuksal K, L ve üçgensel M yeşil
|AB| = 8 cm
5
alanları gösterilmiştir.
|BC| = 5 cm
8
A
2008 - ÖSS
100
|EF| = x
B
Yukarıdaki verilere göre, x kaç cm dir?
A) 2v2
B) 3v2
D) c13
M
K
40
L
C) 3v3
E) c15
35
55
Parkın K ve L bölgelerinin alt kenar uzunlukları
sırasıyla 35 m ve 55 m olduğuna göre, toplam
2008 - ÖSS
A
yeşil alan kaç m2 dir?
D
[DE] ⊥ [HF]
F
C
Şekilde birim karelerden oluşan ABCD dikdört-
B) 3400
D) 3600
dikdörtgen
E
B
A) 3200
ABCD bir
H
ESEN YAYINLARI
2.
5.
E) 3800
2008 - ÖSS
D
F
E
geni ve bu dikdörtgenin içine yerleştirilmiş olan
C
DHF dik üçgeni verilmiştir.
Buna göre,
HF
HD
3
3
3
2
A)
B)
x
oranı kaçtır?
C)
1
2
D)
A
1
3
E)
B
ABCDE bir düzgün beşgen, |EC| = |DF| = |FB|
a
ise m( CBF) = x kaç derecedir?
1
4
A) 24
3.
C) 3500
B) 30
C) 32
D) 36
E) 40
2008 - ÖSS
D
C
ABCD bir kare
10
F
A
E
6.
12
C
ABCD bir
dikdörtgen
|FC| = 10 cm
|DA| = 5 cm
5
B
A
E
B
|DC| = 12 cm
a
a
m( ADE)=m( EDB)
Verilenlere göre, A(DEB) kaç cm2 dir?
kaç cm2 dir?
B) 30
D
|AE| = |EB|
Yukarıdaki verilere göre, EBC üçgeninin alanı
A) 25
2009 - ÖSS
C) 40
D) 45
E) 50
A)
83
4
B)
65
3
C)
61
3
D)
45
2
E)
41
2
325
Dörtgenler ve Çokgenler
7.
2010 - YGS
D
C
1
F
x
2
A
ABCD bir
ABCD bir kare
dikdörtgen
DF ⊥ FE
|AD| = 1 cm
FE ⊥ EB
|AE| = |EB| = 2 cm
E
2
3
2
B)
5
2
C)
3
3
D)
C
F
4
4
4
E
|DF| = |FE| = |EB| = 4 cm
|FE| = x
B
A
5
3
B
Verilenlere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir?
Yukarıdaki verilere göre, x kaç cm dir?
A)
D
10. 2011 - LYS
E)
A) 32
7
3
B) 36
C) 40
D) 48
E) 50
11. 2011 - LYS
ABCD bir
2011 - YGS
D
C
kenar dörtgen
A
B
9.
B) 12
C) 14
x
D) 9
A
|AE| = x
6
E) 15
E
x
4
B
Şekildeki AEFD ve EBCF yamuklarının alanları
F
Yukarıdaki verilere göre, x kaç cm dir?
A) 10
C
|EB| = 4 cm
E
|CE| = 4 cm
|BF| = x
F
|DF| = 3 cm
4
DAF bir üçgen
|EB| = 6 cm
D 3
dikdörtgen
ABCD bir eş-
ESEN YAYINLARI
8.
A (AEFD) 5
= ilişkisi olduğuna göre,
A (EBCF) 6
x kaç cm dir?
arasında
A) 6
B) 7
C) 8
D)
15
2
E)
22
3
2011 - YGS
Aşağıda verilen ABCD dikdörtgeni biçimindeki
bir kağıt, B ve D köşeleri çakışacak şekilde katlanıyor. [AB] kenarı üzerindeki katlanma noktası
12. 2011 - LYS
E
E olmak üzere |AE| = 1 birim oluyor.
D
C
F
D
C
D
ABCD bir kare
C
EDC bir üçgen
A
B
A
1 E
Katlanma sonucunda, kağıdın üst üste gelen
kısımları koyu renkli DEF eşkenar üçgensel bölgesini oluşturuyor. Buna göre, kağıdın alanı kaç
birim karedir?
A) 6v2
B) 2v2
D) 3v3
326
A
B
Şekildeki EDC ve EAB üçgenlerinin alanları ara2
sında A(EDC) = .A(EAB) ilişkisi olduğuna
5
A (EDC)
oranı kaçtır?
göre,
A (ABCD)
C) 4v3
E) 4v2
B
A)
1
3
B)
1
4
C)
3
5
D)
3
4
E)
3
2
Dörtgenler ve Çokgenler
13. 2012 – LYS
D
15. 2012 – LYS
G
C
H
A
Ayşe uzunluğu 58 cm olan telin bir kısmı ile
F
E
ABCD bir dikdörtgen
ABCD karesini, kalan kısmı ile de EF doğru par-
GA ve ECD birer
çasını oluşturup kareyi şekildeki gibi iki bölgeye
eşkenar üçgen
ayırmıştır.
D
C
B
A (EFGH)
A (ABCD)
Yukarıdaki verilere göre,
oranı kaçtır?
1
1
B)
A)
3
4
C)
2
7
D)
2
9
ABCD bir kare
alanlar
E)
E
|AE| = |ED|
|FB| = x
4
9
A
F x
B
Büyük bölgenin alanı küçük bölgenin alanının
5 katı olduğuna göre, x kaç cm dir?
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
ESEN YAYINLARI
A) 1
14. 2012 – LYS
Kenar uzunlukları 3 cm ve 4 cm olan ABCD
dikdörtgeni biçimindeki bir kâğıt, AB ve CD
kenarları AC köşegeni ile çakışacak biçimde
katlanıyor.
D
16. 2012 – LYS
C
Aşağıdaki düzlemsel şekilde, ABCD paralelkenarının C köşesi d doğrusu üzerindedir. B ve
3
D köşelerinden d doğrusuna inilen dikmelerin
A
4
ayakları sırasıyla E ve F dir.
B
F
C
ABCD bir
7
B′
paralelkenar
C
D
D′
|AD| = 5 cm
3
E
5
A
Katlama sonunda, B ve D noktalarına köşegen
üzerinde karşılık gelen
B′
ve
arasındaki uzaklık kaç cm dir?
5
7
8
B)
C)
D) 2
A)
2
2
3
D′
noktaları
E) 3
A
|DF| = 7 cm
|CE| = 3 cm
d
B
Buna göre, A noktasının
d
doğrusuna olan
uzaklığı kaç cm dir?
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
327
Dörtgenler ve Çokgenler
17. 2012 – LYS
20. 2013 – LYS
Bir düzgün beşgende, bir köşegen uzunluğunun
Kenar uzunlukları 8 cm ve 10 cm olan ABCD ve
1+ 5
bir kenar uzunluğuna oranı
dir.
2
EFGA eş dikdörtgenleri, şekildeki gibi yerleştiriliyor.
D
x
E
D
C
|EF| = |FC|
A
|AB| = 4 cm
4
x
F
B
10
|DF| = x cm
B
E
Yukarıdaki verilere göre, x2 kaçtır?
A) 8 – v5
K
8
düzgün beşgen
C
F
A
G
ABCDE bir
B) 9 – 2v5
D) 4 + v5
Bu dikdörtgenlerin BC ve FG kenarları, K noktasın-
C) 10 – 2v5
da kesişmektedir. Buna göre, |KF| = x kaç cm dir?
9
12
A) 2
B) 3
C) 4
D)
E)
5
2
E) 1 + 2v5
21. 2013 – LYS
y
A
18. 2013 – LYS
B
Dik koordinat sisteminde verilen bir karenin iki
üzerindedir. Bu karenin diğer iki köşesinin orijine
olan uzaklıkları eşit ve 5 birim olduğuna göre,
alanı kaç birim karedir?
A) 16
B) 20
C) 25
D) 30
E) 36
D
ESEN YAYINLARI
köşesi ve bu köşeleri birleştiren kenar, x ekseni
O
x
C
ABCD bir yamuk, A(4, 8), B(0, 6), C(6, 0)
D(8, 4) olduğuna göre, ABCD yamuğunun alanı
kaç birim karedir?
A) 28
B) 30
C) 32
D) 34
E) 36
22. 2013 – LYS
19. 2013 – LYS
D
Bir kenar uzunluğu 1 birim
C
olan düzgün sekizgen biçi-
x
minde bir kartonun şekildeki dört köşegeni çizildikE
A
75°
50°
F
ten sonra ortadaki parça
kesilip atılıyor.
B
ABC bir paralelkenar, [CE açıortay
a
a
a
m( AFE) = 50°, m( CEF) = 75° ve m( ADC) = x
olduğuna göre, x kaç derecedir?
A) 115
328
B) 120
C) 125
D) 130
E) 135
1
Buna göre, kalan kartonun
alanı kaç birim karedir?
A) 1 + 2v2
B) 1 + 4v2
D) 2 + 2v2
C) 2 + v2
E) 2 + 4v2
İKİNCİ DERECEDEN
DENKLEM ve FONKSİYONLAR
. ÜNİTE
5. ÜNİTE
5. ÜNİTE
5. ÜNİTE
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
1.
Kazanım
: İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri çözer.
2.
Kazanım
: i=
–1 sanal birim olmak üzere bir karmaşık sayının a + bi (a, b ∈ R) biçiminde
ifade edildiğini açıklar.
3.
Kazanım
: İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin kökleri ile katsayıları arasındaki ilişkileri
belirler.
İkinci Dereceden Fonksiyonlar ve Grafikleri
1.
Kazanım
: İkinci dereceden bir değişkenli fonksiyonu açıklar ve grafiğini çizer.
2.
Kazanım
: İkinci derece denklem ve fonksiyonlarla modellenebilen problemleri çözer.
5. ÜNİT
İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
a, b, c ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere ax2 + bx + c = 0 biçimindeki açık önermelere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.
Bu açık önermeyi doğrulayan (eğer varsa) x reel sayılarına denklemin kökleri ve köklerin oluşturduğu kümeye
de denklemin çözüm kümesi denir. Denklemin kökü yoksa, çözüm kümesi Ø dir. a, b, c reel sayılarına ise
denklemin kat sayıları denir.
Buna göre aşağıdaki tabloda verilen denklem ve kat sayılarını inceleyiniz.
Denklem
a
b
c
4x2 + 3x + 2 = 0
4
3
2
Ðx2 + 2x = 0
Ð1
2
0
3x2 = 0
3
0
0
4x Ð x2 = 0
Ð1
4
0
x2 x
Ð +1=0
3
2
1
3
1
2
1
v2x2 Ð v3 = 0
v2
0
Ð v3
DENKLEMİN ÇÖZÜMÜ
Çarpanlarına Ayırarak Denklem Çözme
f(x).g(x) = 0 ⇒ f(x) = 0 ∨ g(x) = 0 dır.
ÖRNEK 2
x2 – 3x + 2 = 0
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
Ð
İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ
Çözüm
ÖRNEK 1
(m + n – 2)xn+3 + 3x – 1 = 0
denkleminin ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir
ÖRNEK 3
x2 – 4x = 0
denklem olması için m kaç olamaz?
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
Çözüm
330
İkinci Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
ÖRNEK 4
ÖRNEK 7
2x2 – 18 = 0
m ∈ R olmak üzere, x2 – mx – 2m2 = 0 denkleminin
denkleminin çözüm kümesi nedir?
çözüm kümesi nedir?
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 8
ÖRNEK 5
2x2 + 3x – 5 = 0
x2 + 3 = 0
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm
Çözüm
ESEN YAYINLARI
denkleminin reel sayılarda çözüm kümesi nedir?
ÖRNEK 6
4x2 + 1 = 4x
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm
ÖRNEK 9
6x2 – 13x + 6 = 0
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm
331
İkinci Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
Diskriminantı (Δ yı ) Bularak Denklem Çözme
ÖRNEK 12
İkinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklem
x2 – 2x – 1 = 0
ax2 + bx + c = 0 olsun.
denkleminin çözüm kümesi nedir?
2
Δ = b – 4ac olmak üzere, denklemin kökleri
x1 =
®
–b+ T
2a
veya
x2 =
Çözüm
–b– T
dır.
2a
Δ < 0 ise denklemin reel kökü yoktur.
Çözüm kümesi, ∅ dir.
®
Δ = 0 ise denklemin eşit (çakışık) iki kökü vardır.
Bu durumda denklem bir tam karedir.
Çözüm kümesi bir elemanlıdır.
®
Δ > 0 ise denklemin farklı iki reel kökü vardır.
Çözüm kümesi iki elemanlıdır.
ÖRNEK 13
ÖRNEK 10
2x2 + x – 1 = 0
x2 + 2x + 3 = 0
Çözüm
ESEN YAYINLARI
denkleminin gerçel sayılarda çözüm kümesi nedir?
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm
ÖRNEK 11
x2 – 6x + 9 = 0
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm
ÖRNEK 14
x2 + 2x + k – 1 = 0
denkleminin eşit iki reel kökünün olması için k kaç
olmalıdır?
Çözüm
332
İkinci Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
ÖRNEK 15
ÖRNEK 17
2x2 – x + m – 1 = 0
x2 + (m + 1)x + 4 = 0
denkleminin farklı iki reel kökünün olması için m ne
denkleminin çakışık iki kökü varsa m kaçtır?
olmalıdır?
Çözüm
ÖRNEK 16
x2 – (m – 1)x – 3m = 0
denkleminin köklerinden biri –2 ise diğer kökü nedir?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 18
x2 – kx + 3 = 0 ve x2 – 3x + k = 0
denklemlerinin birer kökleri ortak ise k kaçtır?
Çözüm
333
ALIŞTIRMALAR -
1.
f.
Aşağıda verilen tablodaki boşlukları doldurunuz.
Denklem
(ax2 + bx + c = 0)
a
b
1
x2 – 2x + 4 = 0
c
3x2 Ð 4x Ð 1 = 0
g. 2x2 + 5x – 3 = 0
4x2 + 2x Ð 3 = 0
x2 Ð 4x = 0
x2 + 5 = 0
x2 Ð v2x + x Ð 2 = 0
Aşağıdaki denklemlerin reel sayılarda çözüm
kümelerini bulunuz.
a. x2 – 5x = 0
ESEN YAYINLARI
2.
h. 12x2 – 17x + 6 = 0
3.
x2 – 2x + m – 1 = 0
denkleminin eşit iki gerçel kökü varsa m kaçtır?
b. 2x2 – 8 = 0
4.
2
c. 2x + 2 = 0
2x2 – x + m + 1 = 0
denkleminin farklı iki gerçel kökü varsa m hangi
aralıkta değer alır?
d. x2 – 3x + 2 = 0
5.
e. x2 – 6x + 9 = 0
334
2x2 – mx + 4m – 1 = 0
denkleminin bir kökü 2 ise m kaçtır?
KARMAŞIK SAYILAR
SANAL SAYI BİRİMİ
x – 2 = 0 , 3x + 1 = 0 , x2 – 4 = 0 , x2 – 5 = 0 denkleminin her birinin çözüm kümelerini bulmayı hatırlayalım.
®
x – 2 = 0 ⇒ x = 2 ⇒ Ç = {2}
®
3x + 1 = 0 ⇒ x = –
®
x2 – 4 = 0 ⇒ x2 = 4 ⇒ x = 2 ∨ x = –2 ⇒ Ç = {–2, 2}
®
x2 – 5 = 0 ⇒ x2 = 5 ⇒ x = – v5 ∨ x = v5 ⇒ Ç = {– v5, v5 }
1
1
⇒ Ç = '– 1
3
3
Yukarıdaki çözümlerde de görüldüğü gibi verilen denklemlerin her birinin gerçek sayılardaki (gerçek sayılar
kümesindeki) çözüm kümeleri boş kümeden farklı birer kümedir.
Şimdi de x2 + 1 = 0 denkleminin gerçek sayılar kümesindeki çözüm kümesini bulmaya çalışalım.
x2 + 1 = 0 ⇒ x2 = –1 olur.
Gerçek sayılar kümesinde karesi –1 e eşit olan bir sayı bulunmadığından x2 + 1 = 0 denkleminin gerçek sayılar
kümesindeki çözüm kümesi boş kümedir.
Ünlü matematikçi Euler aşağıdaki tanımı yaparak bu tür denklemlerin çözülmesini sağlamıştır.
Karesi –1 olan sayıya sanal (imajiner) sayı birimi denir ve i ile gösterilir. Yani i2 = –1 veya i = c–1 dir.
Bu tanımdan yararlanarak, x2 + 1 = 0 , x2 + 4 = 0 gibi denklemleri çözebiliriz.
®
x2 + 1 = 0 ⇒ x2 – (–1) = 0 ⇒ x2 – i2 = 0 ⇒ (x – i)(x + i) = 0 ⇒ x = i ∨ x = –i dir.
®
x2 + 4 = 0 ⇒ x2 – (– 4) = 0 ⇒ x2 – 4i2 = 0 ⇒ (x – 2i)(x + 2i) = 0 ⇒ x = 2i ∨ x = –2i dir.
m pozitif bir gerçek sayı olmak üzere,
– 4 = 2i ,
– 9 = 3i ,
–12 = 2 3 i ,
i nin (Sanal Birimin) Kuvvetleri
i1 = c–1
i2 = –1
i3 = i2.i = –1.i = – i
i4 = (i2)2 = (–1)2 = 1
i5 = i4.i = i
i6 = i4.i2 = –1
i7 = i4.i3 = – i
i8 = (i4)2 = 1
– m = i m dir.
–16 = 4i dir.
Yanda elde ettiğimiz sonuçlara göre,
i nin tam sayı kuvvetlerinde i, –1, – i, 1 dörtlüsünün
tekrarlandığını görürüz. Bu durumu,
n ∈ N olmak üzere,
Z 1 , k = 4n
]
]
] i , k = 4n + 1
k
i = [
] –1 , k = 4n + 2
]
] – i , k = 4n + 3
\
biçiminde, ya da kısaca
m, n ∈ N olmak üzere,
i4n+m = im biçiminde gösterebiliriz.
.....................
335
İkinci Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
ÖRNEK 19
ÖRNEK 22
Aşağıdaki sayıların her birinin eşitini bulunuz.
c–2.c–3.c–6 işleminin sonucunu bulunuz.
a. i23
Çözüm
b. i121
c. i2008
d. i–3
e. i– 41
Çözüm
m ve n ∈ R+ ⇒
m . n = sm.n
m ve n ∈ R– ⇒
m . n ≠ sm.n
ÖRNEK 23
c–4 . c–9 . s–16 . c–1 işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm
c–4 = 2i , c–9 = 3i
ESEN YAYINLARI
s–16 = 4i , c–1 = i olduğundan
ÖRNEK 20
1
1
ve 3 sayılarının eşitlerini bulunuz.
i
i
Çözüm
c–4 . c–9 . s–16 . c–1 = 2i.3i.4i.i
ÖRNEK 24
i6 + i7 + i8 + i9 ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 21
n ∈ N olmak üzere, aşağıdaki sayıların her birinin
eşitini bulunuz.
4n+3
a. i
b. i
i nin ardışık 4 kuvvetinin toplamı 0 dır.
8n+5
8n–1
c. i
d. i
2–12n
Çözüm
ÖRNEK 25
i1 + i2 + i3 + ... + i81 + i82 ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm
336
İkinci Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
KARMAŞIK SAYILAR
i2 = –1 ve a, b ∈ R olmak üzere,
a + bi biçiminde ifade edilen sayılara karmaşık (kompleks) sayı denir.
Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir ve C = {z: z = a + bi , a, b ∈ R} dir.
z = a + bi yazılışına karmaşık sayının standart yazılışı denir.
a ya karmaşık sayının reel kısmı denir ve Re(z) = a olarak gösterilir.
b ye karmaşık sayının sanal (imajiner) kısmı denir ve Im(z) = b biçiminde gösterilir.
ÖRNEK 26
ÖRNEK 28
Aşağıdaki tabloda bazı karmaşık sayıların reel ve
z = c–2.c–8 + c–9 + c–4 ise Re(z) ve Im(z)
sanal kısımları belirtilmiştir. İnceleyiniz.
değerlerini bulunuz.
Re(z)
Im(z)
3 + 4i
3
4
2 Ð 5i
2
Ð5
2Ði
2
Ð1
v3 + i
v3
1
2i
0
2
Ð4
Ð4
0
0
0
0
v2 + 3
v2 + 3
0
Çözüm
ESEN YAYINLARI
z
ÖRNEK 29
z=
1 1 1
ise Re(z) ve Im(z) değerlerini
+ +
i i2 i3
bulunuz.
ÖRNEK 27
2
3
Çözüm
6
7
z=i +i +i +i
ise Re(z) ve Im(z) değerlerini
bulunuz.
Çözüm
337
İkinci Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ
KARMAŞIK DÜZLEM
İki karmaşık sayının eşit olabilmesi için reel ve sanal
Karmaşık sayıların, analitik düzlemin noktalarıyla
kısımlarının ayrı ayrı birbirine eşit olması gerekir.
bire bir eşlenmesi ile oluşturulan düzleme karmaşık
z1 = a + bi
z2 = c + di
düzlem denir.
1 verildiğinde
y sanal
eksen
z1 = z2 ⇒ a = c ve b = d dir.
z = a + bi
b
x
0
a
ÖRNEK 30
z1 = m – 3 + 4i , z2 = 5 + (n – 1)i
reel
eksen
x eksenine karmaşık düzlemin reel ekseni,
ve z1 = z2 olduğuna göre m ve n değerlerini
y eksenine de karmaşık düzlemin sanal ekseni denir.
bulunuz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 31
a < b < 0 < c olmak üzere,
b (c – a) + ab = 3 + 4i ise b.c kaçtır?
Çözüm
b < 0 ve c – a > 0 olduğundan,
b(c – a) < 0 olur. Bu durumda,
338
ÖRNEK 32
Aşağıdaki sayıları karmaşık düzlemde gösteriniz.
z1 = 2 + 4i
,
z2 = – 4 + 2i
z3 = –3 – 5i
,
z4 = 6 – 2i
z5 = 4
,
z6 = –1
z7 = 6i
,
z8 = – 4i
Çözüm
İkinci Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
BİR KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ
ÖRNEK 35
Z = a + bi nin reel eksene göre simetriği olan a – bi
(z) = z olduğunu gösteriniz.
sayısına Z nin eşleniği denir.
–
Z = a – bi biçiminde gösterilir.
Çözüm
y
b
z
0
a
Ðb
z
x
Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir.
ÖRNEK 33
İKİNCİ DERECEDEN BİR DENKLEMİN
Aşağıdaki tabloda bazı karmaşık sayılarla eşlenikleri
SANAL KÖKLERİNİ BULMAK
verilmiştir. İnceleyiniz.
a, b, c ∈ R ve a ≠ 0 için ax2 + bx + c = 0 denklemini
çözerken
z
a + bi
a Ð bi
2 + 3i
2 Ð 3i
4Ði
4+i
2i + 3
Ð2i + 3
4
4
2i
Ð2i
1 + v2
1 + v2
∆ = b2 – 4ac ve x1,2 =
ESEN YAYINLARI
z
–b ! 3
olmak üzere
2a
®
∆ > 0 ise denklemin farkı iki gerçel kökünün
®
∆ = 0 ise denklemin eşit iki gerçel kökünün
®
∆ < 0 ise denklemin gerçel kökünün bulunmadığını biliyoruz. İşte, ∆ < 0 durumunda denklemin
sanal iki kökü vardır.
ÖRNEK 36
x2 – 2x + 2 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm
ÖRNEK 34
z = 1 + 2i karmaşık sayısı ile eşleniğini karmaşık
düzlemde gösteriniz.
Çözüm
y
Grafikte de görüldüğü gibi, bir karmaşık sayı ile
eşleniği reel eksene göre simetriktir.
339
İkinci Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
ÖRNEK 37
ÖRNEK 40
x2 – 2x + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulup
Toplamları 4 ve çarpımları 8 olan iki karmaşık sa-
köklerin arasındaki ilişkiyi tespit ediniz.
yıyı bulunuz.
Çözüm
Çözüm
2
x – 2x + 5 = 0 denkleminde,
Toplamları 4, çarpımları 8 olan iki sayı x1 ve x2 olsun.
a = 1 , b = –2 ve c = 5 olduğundan
x1 + x2 = 4 ve x1.x2 = 8 koşullarını sağlayan ikinci
∆ = b2 – 4ac = 4 – 4.1.5 = –16 olur.
dereceden denklem
x2 – (x1 + x2)x + (x1.x2) = 0 şeklinde yazılırsa,
x2 – 4x + 8 = 0 olur.
Bu denklemin kökleri x1 ve x2 sayılarıdır.
∆ = b2 – 4ac = (– 4)2 – 4.1.8
Reel kat sayılı, ikinci dereceden bir denklemde
∆ < 0 iken kökler birbirinin eşleniğidir.
Reel kat sayılı ikinci dereceden bir denklemin köklerinden biri 3 – 2i ise bu denklemi bulunuz.
Çözüm
x1 = 3 – 2i ise x2 = 3 + 2i olacağından
x1 + x2 = 3 – 2i + 3 + 2i = 6
ÖRNEK 41
Köklerinden biri 2, diğer ikisi 2 + i ve 2 – i komp-
x1.x2 = (3 – 2i)(3 + 2i) = 9 + 4 = 13 tür.
2
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 38
2
x – (x1 + x2)x + (x1.x2) = 0 ⇒ x – 6x + 13 = 0 olur.
leks sayıları olan üçüncü dereceden reel kat sayılı
denklem nedir?
Çözüm
ÖRNEK 39
m ve n reel sayılar olmak üzere, x2 + mx + n = 0
denkleminin köklerinden biri x1 = 2 – 3i ise m ve n
değerlerini bulunuz.
Çözüm
Köklerden biri, x1 = 2 – 3i ise diğeri x2 = 2 + 3i dir.
x2 + mx + n = 0 denkleminde;
340
ALIŞTIRMALAR -
1.
2.
4.
Aşağıdaki sayıların eşitini i cinsinden bulunuz.
a. c–8
b. s–25
c. s– 49
d. s–50
2
Aşağıdaki işlemleri sonuçlandırınız.
a. i5 + i6 + i7 + i8
b. i–2 + i–3 + i–4 + i–5
c. i1 + i2 + i3 + ... + i60
Aşağıdaki sayıların eşitini bulunuz.
a. i27
b. i41
c. i105
d. i2 + i4 + i6 + ... + i80
d. i– 4
e. i–17
f. i–341
g. i4n+1
j. i16n–3
h. i8n+2
k. i–16n–7
i. i3–12n
l. i26–24n
ESEN YAYINLARI
e. i1 + i3 + i5 + ... + i27
f. i4 + i8 + i12 + ... + i40
5.
3.
Aşağıdaki tabloda bulunan boşlukları uygun bir
şekilde doldurunuz.
Aşağıdaki işlemleri sonuçlandırınız.
a. c–2 . c–4
z
Re(z)
Im(z)
4
Ð3
3
0
0
Ð1
2 Ð 3i
b. c–3 . c–6 . c–9
4Ði
2i
c. c–2 . c–8 . s–10
1 + v2
d. c–1 . c–3 . c–6 . c–8
341
İkinci Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
6.
9.
Aşağıdaki eşitliklerden a ve b değerlerini bulunuz.
z = 3 – 2i karmaşık sayısı ile eşleniğini karmaşık
düzlemde gösteriniz.
a. (a – 1) + (b – 2)i = 4 + 3i
b. 2a – 1 + i = 4 – bi + i
10. Aşağıdaki 2. dereceden denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
a. x2 – x + 1 = 0
c. 2ai + b = 3
d. 4 + a + 2i – bi = 4i
b. x2 – 2x + 4 = 0
7.
Aşağıdaki karmaşık sayıları karmaşık düzlemde
c. x2 + 4 = 0
gösteriniz.
8.
b. 2 – 3i
c. –3 + i
d. –1 – i
e. 3i
f. –2i
g. 4
h. –3
11. Reel kat sayılı ikinci dereceden bir denklemin
köklerinden biri 2 + i ise bu denklemi bulunuz.
Aşağıdaki tabloda bulunan boşlukları uygun bir
şekilde doldurunuz.
z
d. x2 + 4x + 6 = 0
ESEN YAYINLARI
a. 3 + 4i
z
2Ði
12. a ve b gerçek sayılar olmak üzere,
x2 + ax + b = 0 denkleminin köklerinden biri
x1 = 3 + 4i ise a.b kaçtır?
3 + 4i
6Ði
3
Ð5i
v3 Ð 1
342
13. Toplamları –2 ve çarpımları 4 olan iki karmaşık
sayıyı bulunuz.
İkinci Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM
Karmaşık Sayılarda Çıkarma İşlemi
Karmaşık Sayılarda Toplama İşlemi
z1 = (a1, b1) ve z2 = (a2, b2)
z1 = a1 + b1i ve z2 = a2 + b2i ise
z1 – z2 = z1 + (– z2) = a1 + b1i + (–a2 – b2i)
z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i dir.
y
z2
= (a1 – a2) + (b1 – b2)i dir.
z = z1 + z2
ÖRNEK 45
z1 = 2 – 6i ve z2 = 5 + 4i olduğuna göre,
z2 – z1 işleminin sonucunu bulunuz.
z1
O
Çözüm
x
z 1 = (a 1, b 1)
4 ⇒ z = (a1 + a2 , b1 + b2) ve
z 2 = (a 2, b 2)
Oz1zz2 paralelkenardır.
ÖRNEK 46
z1 = 5 + 3i ve z2 = 2 – i olduğuna göre,
ÖRNEK 42
ÖRNEK 43
ESEN YAYINLARI
z 1 = 2 + 5i
3 ise z1 + z2 = 5 + i dir.
z 2 = 3 – 4i
a. z1 + 2z2
b. 3z1 – 4z2
işlemlerini sonuçlandırınız.
Çözüm
z1 = 3 + pi , z2 = k + 2i ve z1 + z2 = –3 + 4i
olduğuna göre p ve k değerlerini bulunuz.
Çözüm
z1 + z2 = (3 + k) + (p + 2)i
(3 + k) + (p + 2)i = –3 + 4i olduğundan,
3 + k = –3 ⇒ k = –6
p + 2 = 4 ⇒ p = 2 bulunur.
Karmaşık Sayılarda Çarpma İşlemi
z1 = a + bi ve z2 = c + di ise
z1.z2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2
= ac + i(ad + bc) – bd
= (ac – bd) + (ad + bc)i dir.
z = a + bi karmaşık sayısının toplama işlemine
göre tersi,
–z = – (a + bi) = – a – bi dir.
ÖRNEK 47
z1 = 4 – 7i ve z2 = 5 + 2i olduğuna göre,
z1.z2 ifadesinin eşitini bulunuz.
ÖRNEK 44
®
3 – 5i nin toplama işlemine göre tersi –3 + 5i dir.
®
4i nin toplama işlemine göre tersi – 4i dir.
®
5 in toplama işlemine göre tersi –5 tir.
Çözüm
343
İkinci Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
ÖRNEK 48
ÖRNEK 50
z1 = 2 + i ve z2 = –3 + i olduğuna göre,
z = 3 – 2i nin çarpmaya göre tersini bulunuz.
z1.z2 ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm
Çözüm
z = a + bi olmak üzere,
–
z.z = (a + bi)(a – bi) = a2 + b2 dir.
ÖRNEK 51
z = – 4 + 3i ise Re(z–1) değerini bulunuz.
Çözüm
1
ÖRNEK 49
–
–
Aşağıdaki tabloda z , z ve z. z arasındaki ilişkiler
z
z
z. z
a + bi
a Ð bi
a2 + b2
3 + 4i
3 Ð 4i
32 + 42 = 25
1Ði
1+i
12 + 12 = 2
2Ði
2+i
22 + 12 = 5
i+3
Ði + 3
12 + 32 = 10
Ð2i
2i
02 + 22 = 4
3
3
32 + 02 = 9
v2 Ð 1
v2 Ð 1
(v2 Ð 1)2
ESEN YAYINLARI
sonuçlandırılmıştır. İnceleyiniz.
Karmaşık Sayılarda Bölme İşlemi
z1 = a + bi ve z2 = c + di , (z2 ≠ 0) olmak üzere,
z1
a + bi
= z1.z2–1 =
z2
c + di
olur. Bu durumda,
(a + bi) (c – di)
z1
z
=
işlemi sonuçlandırılarak 1
(c + di) (c – di)
z2
z2
bulunur.
ÖRNEK 52
z1 = 5 + i ve z2 = 3 – 2i ise
z = a + bi nin çarpma işlemine göre tersi
1
dir.
z–1 =
a + bi
z–1 =
1
nin pay ve paydasını a + bi nin
a + bi
eşleniği olan a – bi ile çarpalım.
z–1 =
1. (a – bi)
a – bi
=
(a + bi) (a – bi) a 2 + b 2
z–1 =
a
b i olur.
–
a2 + b2 a2 + b2
344
z1
ifadesinin eşitini bulunuz.
z2
Çözüm
İkinci Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
ÖRNEK 53
z1 = 2 + i ve z2 = 1 + 3i ise
ÖRNEK 56
z 21
z2
z=
ifadesinin eşitini bulunuz.
2i – x
karmaşık sayısının reel kısmı 3 ise sanal
2
i–1
kısmı kaçtır?
Çözüm
Çözüm
(1 + i)2 = 12 + 2.1.i + i2 = 1 + 2i – 1 = 2i dir.
Benzer şekilde,
ÖRNEK 54
(1 – i)2 = –2i ve (–1 – i)2 = 2i olur.
2–i
ise Re(z) ifadesinin eşitini bulunuz.
3+i
Çözüm
ESEN YAYINLARI
z=
ÖRNEK 57
(1 + i)20 ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm
(1 + i)20 = [(1 + i)2]10 = (2i)10
ÖRNEK 55
1
karmaşık sayısının eşleniğinin sanal kıs2–i
mını bulunuz.
z=
Çözüm
ÖRNEK 58
(1 – i)21 ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm
(1 – i)21 = (1 – i)20.(1 – i)
345
İkinci Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
ÖRNEK 59
ÖRNEK 62
(–2 + 2i)31 ifadesinin eşitini bulunuz.
–
z(2 + i) = 5 + i + z eşitliğini sağlayan z karmaşık
Çözüm
sayısını bulunuz.
(–2 + 2i)
31
Çözüm
31
= [2(–1 + i)]
ÖRNEK 60
(1 + i)40(1 – i)41 ifadesinin eşitini bulunuz.
ÖRNEK 63
(1 + i)40(1 – i)41 = (1 + i)40(1 – i)40(1 – i)
ESEN YAYINLARI
Çözüm
z3 + z2 + mz + 6 = 0 denkleminin bir kökü 1 + i ise
m değerini bulunuz.
Çözüm
Denklemin bir kökü 1 + i ise bu kök denklemi sağlar.
(1 + i)3 + (1 + i)2 + m(1 + i) + 6 = 0
ÖRNEK 61
(1– i) 18
ifadesinin eşitini bulunuz.
(1 + i) 17
(1 + i)2.(1 + i + 1) + m(1 + i) + 6 = 0
(1 + 2i – 1)(2 + i) + m(1 + i) + 6 = 0
2i(2 + i) + m(1 + i) + 6 = 0
4i – 2 + m + mi + 6 = 0
Çözüm
(m + 4) + i(m + 4) = 0
m = – 4 bulunur.
Karmaşık Sayının Eşleniği İle İlgili Özellikler
® ^zh= z
® z1 + z2 = z1 + z2
® z1 – z2 = z1 – z2
® z1 . z2 = z1 . z2
® z 1: z 2 = z 1: z 2
346
ALIŞTIRMALAR -
1.
3.
z1 = 3 + 2i ve z2 = 4 – 3i olmak üzere aşağıda-
3
Aşağıdaki karmaşık sayıların çarpma işlemine
kilerin eşitini bulunuz.
göre terslerini bulunuz.
a. z1 + z2
a. 4 – 2i
b. 3 + i
b. z1 – z2
c. 2 – i
c. 2z1 + 3z2
d. 2i
d. 3z1 – 5z2
4.
e. z1.z2
a. 2 + i
3–i
ESEN YAYINLARI
f. i.z1
g. 2i.z1 + 3z2
h. (z1 + 1)(z2 – i)
2.
Aşağıdaki tablodaki boşlukları doldurunuz.
z
Aşağıdaki işlemleri sonuçlandırınız.
z
3 + 2i
3Ði
3i
z. z
b. 4 + 2i
3i
c.
1+i
1– i
d.
( 1 + i) ( 2 – i )
3+i
e. (1 + i)10
f. (2 – 2i)13
g. (2 + i)10(2 – i)10
h. (4 – 4i)6(4 + 4i)7
v2i Ð 3
v3 + i
v3 Ð 1
i.
(1– i) 6
(1 + i) 7
347
İkinci Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
5.
z=
–
3–i
ise Im(z) nedir?
2+i
9.
Aşağıdaki eşitlikleri sağlayan z karmaşık sayılarını bulunuz.
a. z.i + 3z = 2 + i
6.
2
sayısının eşleniğinin reel kısmı kaçtır?
1+i
b. (1 + i)2.z + z = 2
7.
z = 3 + 2i ve w = 1 – 2i olmak üzere aşağıdakilerin eşitini bulunuz.
–
c. 3z + 3 = z – 2i
a. z. w
b. z + 2w
–
d. 1 – 3z = z + 4i
c. i.z – 3w
2
e. w
z
f. (z + 1)(w + i)
8.
Aşağıdaki eşitliklerden doğru olanlar için boş
kutuya “D” yanlış olanlar için “Y” yazınız.
–
z.z = z2
ESEN YAYINLARI
d. z.w2
–
e. 2z – z = 3i5
10. Aşağıdaki işlemleri sonuçlandırınız.
a. c
1 – 2i 10
2 – i 10
m + ic
m
2+i
1 + 2i
^zh = z
z+w = z – w
b. (1 + i)2 + (1 + i)3 + (1 + i)4 + (1 + i)5
z.w = z.w
z: w = z: w
348
c. (1 + i) (1 + i2) (1 + i3) ...... (1 + i41)
İkinci Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
KÖKLER İLE KAT SAYILAR ARASINDAKİ BAĞINTILAR
ax2 + bx + c = 0 denkleminde Δ = b2 – 4ac > 0 olmak üzere,
x1 =
–b+ T
2a
ve x 2 =
–b– T
2a
olduğunu biliyoruz. Şimdi de bu kökler ile a, b, c kat sayıları arasında bazı bağıntılar kuralım.
®
x1 + x2 = –
®
x 1 .x 2 =
b
;
a
c
;
a
x1 + x2 =
x 1 .x 2 =
– b + T – b – T – 2b
b
olur.
+
=
=–
2a
2a
2a
a
b 2 – (b 2 – 4ac) 4ac c
– b + T – b – T (– b) 2 – ( T ) 2
=
=
=
·
=
olur.
2a
2a
4a 2
4a 2 a
4a 2
ÖRNEK 64
ÖRNEK 66
x2 + 4x – 1 = 0
Aşağıdaki tabloyu inceleyiniz.
denkleminin kökleri x1 ve x2 olmak üzere,
x 1 + x2
x1 . x2
ax2 + bx + c = 0
b
a
c
a
2x2 – x – 1 = 0
1
2
1
2
3x2 – 2x – 2 = 0
2
3
2
3
x2 – 4x + 1 = 0
4
1
–x2 – x + 4 = 0
–1
–4
ÖRNEK 65
2
2x – 4x – 1 = 0
x1.x22 + x12.x2 ifadesinin eşiti kaçtır?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Denklem
ÖRNEK 67
x2 + 6x + k – 1 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 olmak üzere,
denkleminin kökleri x1 ve x2 olmak üzere,
x1 – x2 = 2 ise k kaçtır?
x1 + x2 ve x1.x2 değerlerini bulunuz.
Çözüm
Çözüm
349
İkinci Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
ÖRNEK 68
ÖRNEK 71
2x2 – x – 3 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olmak
x2 + mx – 27 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 olmak üzere,
üzere, x 1 + x 2 ifadesinin eşiti kaçtır?
x1 = x22 ise m kaçtır?
Çözüm
2
2
Çözüm
ÖRNEK 69
x2 – 4mx + 1 = 0
ÖRNEK 72
denkleminin köklerinin geometrik ortalaması aritmetik
Çözüm
ÖRNEK 70
x2 + 3x – 1 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olmak
üzere,
1
1
ifadesinin eşiti kaçtır?
+
x1 x2
Çözüm
350
x2 – 2(m + 1)x + m – 1 = 0
ESEN YAYINLARI
ortalamasına eşit ise m kaçtır?
denkleminin köklerinin birer eksiğinin çarpımı 2 ise
köklerinin birer fazlasının toplamı kaçtır?
Çözüm
İkinci Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
ÖRNEK 73
ÖRNEK 75
x2 – 6x + m = 0 denkleminin kökleri
(m – 1)x2 + 2mx + 4 = 0
x2 – 2x – m + 1 = 0 denkleminin köklerinin 2 şer katı
denkleminin simetrik iki kökü varsa m kaçtır?
ise m kaçtır?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 74
x2 + 2x – 4 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 ise
kaçtır?
Çözüm
1
1
+
x1 – 1 x2 – 1
ÖRNEK 76
x2 + 2mx + m – 2 = 0
denkleminin kökleri arasında
m ye bağlı olmayan
bir bağıntı bulunuz.
Çözüm
351
İkinci Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
ÖRNEK 77
ÖRNEK 78
2x2 – 6x + 1 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olmak
x2 – mx + n = 0 denkleminin bir kökü 2 ,
üzere, |x1 – x2| ifadesinin eşiti kaçtır?
x2 + px + r = 0 denkleminin bir kökü 3 tür.
Bu iki denklemin diğer kökleri ortak ise m + p kaçtır?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN YAZILMASI
Kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden denklem
(x – x1).(x – x2) = 0
biçiminde yazılabilir. Çarpma işlemini yaparsak,
(x − x 1).(x − x 2 ) = 0
⇒ x2 – x2x – x1x + x1.x2 = 0 ⇒ x2 – (x1 + x2).x + x1.x2 = 0 olur.
Bu eşitlikte x1 + x2 = T ve x1.x2 = Ç yazılırsa x2 – Tx + Ç = 0 bulunur.
Aşağıdaki tabloda kökler toplamı ve kökler çarpımı verilen denklemler yazılmıştır. İnceleyiniz.
Kökler Toplamı (x1 + x2)
Kökler Çarpımı (x1.x2)
Denklem
2
–3
x2 – 2x – 3 = 0
–1
4
x2 + x + 4 = 0
0
–2
x2 – 2 = 0
352
İkinci Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
ÖRNEK 79
Rasyonel kat sayılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin bir kökü a + vb ise diğeri a – vb
Aşağıda çözüm kümeleri verilen ikinci dereceden
denklemleri yazınız.
dir.
a) { 3, –1 }
5
b) ' 1
2
c) { 1 + v2, 1 – v2 }
ÖRNEK 80
Köklerinden biri 2 + v5 olan rasyonel kat sayılı ikinci
Çözüm
dereceden denklemi yazınız.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 81
Köklerinden biri
1
2 –1
olan rasyonel kat sayılı
ikinci dereceden denklemi yazınız.
Çözüm
353
İkinci Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
ÖRNEK 82
x2 + 2x – 2 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. Kökleri 2x1 + 1 ve 2x2 + 1 olan ikinci dereceden denklemi yazınız.
Çözüm
ETKİNLİK
D
C
x
E
x+2
A
2x + 4
B
F
x+3
K
Şekildeki ABCD dikdörtgeninde |AB| = (2x + 4) br ve |AD| = x br, FKE dik üçgeninde,
|EF| = (x + 2) br ve |FK| = (x + 3) br dir. Dikdörtgenin alanı, üçgenin alanına eşit olduğuna göre |EK| kaç br dir?
Çözüm
A(ABCD) = A(EFK) ise
x(2x + 4) =
(x + 3) (x + 2)
x 2 + 5x + 6
⇒ 2x2 + 4x =
2
2
⇒ 4x2 + 8x = x2 + 5x + 6
⇒ x2 + x – 2 = 0
⇒ (x + 2) (x – 1) = 0
⇒ x = 1 dir. (x > 0 olmalı)
2
O halde, |EK| = |EF| + |FK|2 ⇒ |EK|2 = 32 + 42 ⇒ |EK| = 5 br dir.
354
2
ALIŞTIRMALAR -
1.
Denklem
x1 + x2
x 1 . x2
x2 – (m + 10)x + 8 = 0
6.
Aşağıdaki tabloyu uygun değerlerle doldurunuz.
4
denkleminin köklerinden biri diğerinin 2 katı ise
1
1
+
x1 x 2
bu kökleri bulunuz.
2x2 – x – 4 = 0
x2 – 5x + 2 = 0
mx2 – (m + 1)x + 9m – 2 = 0
7.
denkleminin köklerinin aritmetik ortalaması 2 ise
–x2 + 2x + 3 = 0
geometrik ortalaması kaçtır?
3x2 – 2x – 1 = 0
x2 – x = 0
x2 + mx + n = 0
8.
denkleminin köklerinden biri 3,
2x2 – 4 = 0
x2 + kx + p = 0
denkleminin köklerinden biri –4 tür.
2x2 – 3x – 1 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 ise (x1 – 2)(x2 – 2)
kaçtır?
3.
Bu iki denklemin diğer kökleri ortak ise
ESEN YAYINLARI
2.
a. m – k kaçtır?
b.
n
p
kaçtır?
x2 – mx + m – 2 = 0
denkleminin kökler toplamı kökler çarpımının 3
katı ise m kaçtır?
9.
Aşağıdakilerden doğru olanların için boş kutulara
“D” yanlış olanlar için boş kutulara “Y” yazınız.
2. dereceden bir denklemde ∆ = 0 ise
4.
x2 – 3x + 1 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. Buna göre,
x13 x22 + x12 x23 kaçtır?
denklemin eşit iki kökü vardır.
ax2 + bx + c = 0 denkleminin simetrik iki
kökü varsa b = 0 dır.
2. dereceden bir denklemin köklerinin
aritmetik ortalaması geometrik ortala-
5.
2x2 – 3x – 2 = 0
1
1
denkleminin kökleri x1 ve x2 ise
+
x1 + 2 x2 + 2
kaçtır?
masına eşit ise ∆ = 0 dır.
ax2 + bx + c = 0 denkleminde x1.x2 < 0
ise ∆ > 0 dır.
355
İkinci Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
x2 + (1 – m)x + 2 + m = 0
10.
15.
x1 x2
+
= 2 bağınx2 x1
tısı varsa m nin alacağı değerler toplamı kaçtır?
x2 – 4x – 2 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 ise, kökleri 2x1 – 1
denkleminin kökleri arasında
ve 2x2 – 1 olan 2. dereceden denklemi bulunuz.
16.
mx2 – (1 – m)x – 1 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
11. Aşağıda çözüm kümeleri verilen 2. dereceden
Kökleri x1–2 ve x2–2 olan 2. dereceden denklemi
denklemleri bulunuz.
a. {–2, 3}
b. {–1, –2}
c. {1, 4}
d. {–2}
bulunuz.
17.
(mx)2 + (2 – m)x – 1 = 0
12. Köklerinden biri 2 – v3 olan 2. dereceden rasyonel kat sayılı denklemi bulunuz.
ESEN YAYINLARI
denkleminin simetrik iki kökü varsa m kaçtır?
18.
x2 – x – 4m + 2 = 0
denkleminin x1 ve x2 kökleri için x13 + x23 = 7
ise m kaçtır?
1
olan rasyonel kat sayılı,
13. Köklerinden biri
2– 3
2. dereceden denklemi bulunuz.
19.
x2 + mx + n = 0
denkleminin kökleri x2 + px + k = 0 denkleminin
köklerinden 2 şer fazla ise m – p kaçtır?
20. Kökleri x1 ve x2 olan 2. dereceden bir denklemde
14. Kökleri x2 – 3x + 1 = 0 denkleminin köklerinden
ikişer eksik olan 2. dereceden denklemi bulunuz.
356
x1(3 – x2) + 3x2 = 5
x2(x1 – 2) – 2x1 = 3
bağıntıları sağlanıyorsa bu denklemi bulunuz.
İKİNCİ DERECEDEN FONKSİYONLAR
İKİNCİ DERECEDEN FONKSİYONLAR ve GRAFİKLERİ
a, b, c ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere
f: R → R , f(x) = ax2 + bx + c
biçiminde tanımlanan f fonksiyonlarına ikinci dereceden bir bilinmeyenli fonksiyonlar denir. Bu fonksiyonların
grafiklerine ise parabol adı verilir.
y = f(x) = ax2 Fonksiyonunun Grafiği
a < 0 ise değişim tablosu;
a > 0 ise değişim tablosu;
x
2
y = ax
Ð∞
Ð2
Ð1
0
1
2
+∞
+∞
4a
a
0
a
4a
+∞
x
Ð∞
Ð2
Ð1
0
1
2
+∞
y = ax2 Ð ∞
4a
a
0
a
4a
Ð∞
şeklinde olup ∀x ∈ R için y = ax2 ≥ 0 dır.
şeklinde olup ∀x ∈ R için y = ax2 ≤ 0 dır.
Parabolün kolları yukarı doğru olup, tepe noktası da
Parabolün kolları aşağı doğru olup, tepe noktası da
O(0, 0) dır.
O(0, 0) dır.
y
y
2
y = ax
(a > 0)
4a
Ð2 Ð1
0
1
2
x
a
a
Ð2 Ð1
0
1
2
x
4a
ÖRNEK 83
y = a x2
( a < 0)
ÖRNEK 84
f(x) = 2x2 fonksiyonun grafiklerini çiziniz.
f(x) = –3x2 fonksiyonun grafiklerini çiziniz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
357
İkinci Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
ÖRNEK 85
y
ÖRNEK 86
y
y = bx2
Yanda verilen para-
y = 1 x2
3
C
y = cx2
y = ax2
bol grafiklerine göre
B
a, b ve c yi sıralayınız.
O
A
O
x
x
Çözüm
1 2
x parabolünün grafiği verilmiştir.
3
OABC bir kare ise A(OABC) kaç br2 dir?
Şekilde y =
Çözüm
y = ax2 + c Fonksiyonunu Grafiği
y = ax2 fonksiyonunun grafiğini y ekseni üzerinde c kadar kaydırırsak y = ax2 + c fonksiyonunun grafiğini elde
ederiz. O halde, y = ax2 + c fonksiyonunun grafiğinin tepe noktası T(0, c) dir.
y
y = ax 2 +c
y = ax 2
c
x
0
ÖRNEK 87
y = 2x2 + 1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm
358
ÖRNEK 88
y = –x2 + 4 fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm
İkinci Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
y = f(x) = ax2 + bx + c Fonksiyonunun Grafiği
f: R → R, y = f(x) = ax2 + bx + c
fonksiyonunun grafiğini (parabol) çizebilmek için aşağıdaki işlemler yapılmalıdır.
®
Parabolün kollarının yönü tesbit edilir.
a > 0 ise kolları yukarı doğrudur.
a < 0 ise kolları aşağı doğrudur.
®
Parabolün tepe noktası bulunur.
y = ax2 + bx + c parabolünün tepe noktası T(r, k) olmak üzere,
r=–
®
b
4ac – b 2
ve k = f(r) =
dır.
4a
2a
Parabolün eksenleri kestiği noktalar bulunur.
x = 0 ⇒ f(0) = c olup parabol y eksenini (0, c) noktasında keser.
y = 0 ⇒ ax2 + bx + c = 0 olur. Burada,
Δ < 0 ise parabol x eksenini kesmez.
Δ = 0 ise parabol x eksenine teğettir.
Δ > 0 ise parabol x eksenini farklı iki noktada keser.
Bulunan bu noktalar birleştirilirse parabol çizilmiş olur.
Parabolün en büyük ya da en küçük değerini aldığı noktaya parabolün tepe noktası denir ve
T(r, k) ile gösterilir.
y
y
T
x
x
T
a < 0 iken kollar aşağı doğru olur.
a > 0 iken kollar yukarı doğru olur.
x = r için k = f(r) parabolün en büyük değeridir.
x = r için k = f(r) parabolün en küçük değeridir.
® Parabol
x = r yani x = –
b
doğrusuna göre simetriktir. Yani, x = r doğrusu parabolün simetri eksenidir.
2a
359
İkinci Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
ÖRNEK 89
ÖRNEK 90
f(x) = x2 – 2x – 3
f(x) = –x2 + 4x – 4
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm
Çözüm
ESEN YAYINLARI
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
ÖRNEK 91
f(x) = 2x2 – 3x + m – 1
fonksiyonunun grafiği x eksenine teğet ise m kaçtır?
Çözüm
360
İkinci Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
ÖRNEK 92
ÖRNEK 94
f(x) = x2 – 2x + 3
f(x) = –x2 + 2x + m – 4
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
parabolünün alabildiği en büyük değer 4 ise m kaçtır?
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 95
ESEN YAYINLARI
y
x
0
A(Ð2, Ð2)
B(4, Ð2)
f(x)
Grafiği verilen f(x) parabolü A(–2, –2) ve B(4, –2)
noktalarından geçtiğine göre, x eksenini kestiği noktaların apsisleri toplamı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 93
f(x) = 3x2 – (2m + 1)x + 2
parabolünün simetri ekseni x = –2 doğrusu olduğuna
göre, m kaçtır?
Çözüm
361
İkinci Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
y = a(x – r)2 + k Fonksiyonunun Grafiği
y = a(x – r)2 + k fonksiyonunun tepe noktası T(r, k) olup grafiği aşağıdaki gibidir.
y
y = a(x – r) 2 + k
a>0
k
0
x
r
Yukarıdaki grafik a > 0 durumu için çizilmiştir. a < 0 iken tepe noktası yine T(r, k) dır.
Ayrıca x = 0 için y, y = 0 için x değerleri bulunarak (varsa) eksenleri kesen noktalar da işaretlenir.
ÖRNEK 96
ÖRNEK 97
y = – (x + 1)2 + 4
y = 2(x – 1)2 + 2
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm
Çözüm
Grafiğin tepe noktası T(1, 2) dir.
a = 2 > 0 olduğundan kollar yukarı doğrudur.
x = 0 ⇒ y = 2(0 – 1)2 + 2 = 4 olduğundan,
grafik y eksenini (0, 4) noktasında keser.
362
ESEN YAYINLARI
Ayrıca,
İkinci Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
Grafiği Verilen Bir Parabolün Denklemini Bulma
1.
ÖRNEK 99
y
Yanda grafiği verilen pa-
y
rabolün denklemini bulunuz.
c
x1
0
x
x2
2
x
0
T(3, –1)
Eksenleri kestiği noktaları verilen parabolün
Çözüm
denklemini bulmak için,
f(x) = a.(x – x1)(x – x2) yazılır. (0, c) noktası
bu denklemde sağlatılarak a kat sayısı da bulunur.
2.
y
T(r, k)
c
Tepe noktası ile herhangi bir noktası verilen parabolün denklemi, y = a.(x – r)2 + k şeklindedir.
Verilen (0, c) noktası da sağlatılarak a kat sayısı
bulunur.
ESEN YAYINLARI
x
0
ÖRNEK 100
ÖRNEK 98
y
Yanda grafiği verilen pa-
Yanda grafiği verilen pa-
rabolün denklemini bu-
y
rabolün denklemini bu-
lunuz.
lunuz.
1
Ð1
0
2
x
0
–4
3
x
Çözüm
Çözüm
363
ALIŞTIRMALAR -
g. y = x2 – 2x + 1
Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
a. y =
x2
2
h. y = x2 – 2x + 4
b. y = –2x2 + 2
ı.
y = 2(x – 1)2 + 4
j.
y = –3(x + 1)2 – 3
c. y = 3x2 – 3
ESEN YAYINLARI
1.
5
d. y = x2 – 4x + 3
e. y = x2 – 2x
f.
y = 3x – x2
364
k. y = –2(x – 1)2
l.
y = (x + 3)2
İkinci Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
3.
Aşağıdaki fonksiyonların simetri eksenlerini ve
Aşağıdaki ifadeler doğru ise boş kutulara “D”
yanlış ise “Y” yazınız.
varsa en büyük ya da en küçük değerlerini bulunuz.
y = ax2 parabolünde |a| büyüdükçe
a. y = 2x2
parabolün kolları y eksenine yaklaşır.
y = ax2 + c parabolünün simetri ekseni
x = 0 doğrusudur.
b. y = –4x2 + 1
y = ax2 + bx + c fonksiyonunda a > 0
ise y nin en büyük değeri vardır.
c. y = x2 – 4x + 1
∀x ∈ R için ax2 + bx + c > 0 ise
a > 0 ve ∆ > 0 dır.
d. y = –x2 + 4x – 2
ESEN YAYINLARI
2.
4.
parabolünün simetri ekseni x + 1 = 0 doğrusu
ise m kaçtır?
e. y = 2x2 – 4x
f.
y = (m – 1)x2 – mx + 2
y = –x2 + x
5.
f(x) = x2 – 2mx + m + 3
fonksiyonunun en küçük değeri 2 ise m nin
alabileceği değerler toplamı kaçtır?
g. y = –3(x – 2)2 + 1
6.
h. y = 2(x + 1)2 – 4
y = –2x2 + 2x + m + 2
fonksiyonunun en büyük değeri 2 ise m kaçtır?
365
İkinci Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
Aşağıda grafikleri verilen parabollerin denklemle-
d.
y
rini bulunuz.
a.
y
2
T(1,1)
2
x
0
0
x
3
1
e.
y
4
2
0
b.
y
x
¥ A(6,Ð2)
2
Ð1
4
0
ESEN YAYINLARI
7.
x
f.
y
1
0
c.
4
x
y
2
Ð1 0
4
x
8.
y = x2 – 2x + 4
parabolü ile y = x + 2 doğrusunun varsa kesim
noktalarını bulunuz.
366
Yazılıya Hazırlık Soruları – 1
1.
x2 + (m + 2)x – 2n = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 ise kökleri x1 – 1
denkleminin kökleri sıfırdan farklı m ve n sayıları ise m2 + n2 kaçtır?
2.
x2 + mx + n = 0
4.
ve x2 – 1 olan 2. dereceden denklemi bulunuz.
1 1 1
1
+ – =
m n x m+n– x
5.
denkleminin kökler toplamının kökler çarpımına
–
i.z + 2 z = 1 – 4i eşitliğini sağlayan z karmaşık
sayısını bulunuz.
ESEN YAYINLARI
oranı nedir?
3.
x1 ve x2 pozitif gerçek sayılar olmak üzere,
6.
z=
2+i
3–i
–
ise Im( z) ifadesinin eşitini bulunuz.
x2 – 6x + 4 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 ise
kökleri cx1 ve cx2 olan 2. dereceden denklemi bulunuz.
367
İkinci Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
7.
i2 + i3 + i4 + ..... + i54 + i55
y
9.
f(x)
ifadesinin eşitini bulunuz.
A(–4, 4)
0
x
–3
g(x)
Şekilde f(x) parabolü ile g(x) doğrusunun grafikleri çizilmiştir.
8.
ESEN YAYINLARI
Buna göre
y
(fof) (1)
kaçtır?
(fog) (2)
10.
y
B
O
A
C
x
T
Bir tanktan fırlatılan topun t. saniyedeki yüksekliği
(metre cinsinden) f(t) = –t2 + 16t – 23 fonksiyonu
Grafiği verilen parabolün tepe noktası T dir.
y = x2 – 8x + 3m – 2, |AB| = 3|OA| ise m kaçtır?
368
ile modellenmiştir. Buna göre bu cismin yerden
yüksekliği kaçıncı saniyelerde 5 metre olur?
Yazılıya Hazırlık Soruları – 2
2x2 + 4x + m2 + n2 = 0
1.
4.
denkleminin kökleri m ve n ise diskriminantı
nedir?
2.
x2 – ax + b = 0 denkleminin bir kökü 2,
5.
2
3.
2+i
ise
( 1 + i) ( 1 – i )
bulunuz.
z=
Re(z–1)
ifadesinin eşitini
(x – m)2 + 4(x – m) + n = 0
denkleminin iki farklı gerçel kökü varsa n nin
Bu iki denklemin diğer kökleri eşit olduğuna göre
b
kaçtır?
a–c+
d
değer aralığını bulunuz.
a, b ∈ R olmak üzere,
2x2 + ax + b = 0 denkleminin köklerinden biri
1
ise a + b kaçtır?
1+i
ESEN YAYINLARI
x – cx + d = 0 denkleminin bir kökü 4 tür.
6.
(a – ai)20 = –230 eşitliğini sağlayan a değerini
bulunuz.
369
İkinci Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
y = x2 – 4x + 2m + 4
7.
9.
A = –m2 + 6m + 2 ve B = n2 + 12n + 3 olmak
üzere, A nın en büyük tam sayı değeri ile B nin
de ise m kaçtır?
en küçük tam sayı değerinin toplamı kaçtır?
8.
y
2
y = x – 5x + 2m + 1
A
B
O
y = x2 – 5x + 2m + 1
parabolünün grafiği yukarıdaki gibidir.
|OB| = 4|OA| ise m kaçtır?
370
x
ESEN YAYINLARI
parabolünün tepe noktası y = 3 doğrusu üzerin-
10. x2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri ABCD dikdörtgeninin kenar uzunluklarıdır.
A(ABCD) = 12 br2 ve |AC| = 5 br ise b + c kaçtır?
TEST -
1
İkinci Dereceden Denklemler
5.
x+1
1
+
=3
x –a x+1
1.
x2 = 4x
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
denkleminin köklerinden biri x = 1 ise a reel
gisidir?
sayısı kaçtır?
A) 1
B)
1
2
C)
1
4
D) 1
5
A) {0}
E) 1
6
x2 – (a + 3)x + 2a – 1 = 0
2.
denkleminin köklerinden biri
3
C) {– 4}
E) {– 4, 4}
x2 – (n + 2)x + 2n – 5 = 0
6.
ise diğer kök
denkleminin kökler çarpımı –1 ise kökler topla-
kaçtır?
mı kaçtır?
B) –1
C) –2
D) –3
E) –4
A) 4
B) 3
C) 2
D) 1
E) 0
ESEN YAYINLARI
A) 0
B) {4}
D) {0, 4 }
2
m
3
+
=
x 2 – 4 x x 2 – 3x
3.
denklemi veriliyor. A = { –2, 1, 0, 2, 3 } olmak
denkleminin reel kökleri x1 ve x2 dir.
üzere A kümesindeki elemanlardan biri bu denk-
x1 = x
lemin kökü olduğuna göre, m kaçtır?
A) 5
6
B) –
13
6
C) – 1
6
D) –
2
3
E) –
x 2 + mx – 3
=0
x+2
4.
1
2
B) –
5
3
C) –
A) –
5
6
7
3
D)
7
3
2
2
1
2
ise, k kaçtır?
B)
1
2
C) 2
D) –
3
2
E) 5
2
x2 – 5x + n – 2 = 0
8.
denkleminin kökleri arasında x1 + 2x2 = 6
denkleminin bir kökü varsa, m nedir?
A)
x2 + (2k + 1)x – 8 = 0
7.
bağıntısı varsa, n kaçtır?
E) –2
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
E) 8
371
İkinci Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
x2 + 5x + a – 1 = 0
9.
x2 – 5x + 1 = 0
13.
denkleminin kökleri 2 ve 3 ile orantılı olduğuna
denkleminin kökleri x1 ve x2 ise
göre, a kaçtır?
1
1
ifa+
x1
x2
desinin eşiti nedir?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
A) v3
14.
x2 – 2m(m – 1)x + m + 3 = 0
10.
denkleminin kökleri arasında
C) v5
D)v6
E) v7
x2 + 3x – 2 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun.
x1 + 4
nedir?
1
1
+
= x 1 .x 2
x1 x2
B) 2
ve x2 + 4 ü kök kabul eden denklem
bağıntısı olduğuna göre, m nin alacağı değerler
aşağıdakilerden hangisidir?
A) x2 – 5x + 2 = 0
B) x2 + 5x + 2 = 0
C) x2 – 5x – 2 = 0
D) x2 + 5x – 2 = 0
A) 1 ve 9
E) x2 – 6x – 1 = 0
B) – 1 ve 9
E) – 1 ve – 5
ESEN YAYINLARI
D) –1 ve 5
C) –9 ve 1
15. Rasyonel kat sayılı x2 – (3m – 5)x + n – 2 = 0
denkleminde köklerin birisi 2 – v3 ise, m + n
x2 – 3x + 2m = 0
11.
kaçtır?
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
2
1
2
2
x – x = 27 ise m kaçtır?
A) 6
B) 3
C) – 6
A) 3
D) –9
x2 – (2a – 3)x + 3a + 1 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. Kenar uzunlukları x1 ve x2 olan bir dikdörtgenin çevresi 26 birim
ise bu dikdörtgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 20
372
B) 24
C) 25
D) 30
C) 5
D) 6
E) 7
E) –12
16.
12.
B) 4
E) 32
x2 – 2x – 7 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
Kökleri 2x1 + 1 ve 2x2 + 1 olan ikinci dereceden
denklem aşağıdakilerden hangisidir?
A) x2 + 6x – 23 = 0
B) x2 + 6x + 23 = 0
C) x2 – 6x – 21 = 0
D) x2 – 6x – 23 = 0
E) x2 – 4x – 23 = 0
TEST 1.
2
İkinci Dereceden Denklemler
x2 – mx – 3m + 1 = 0
5.
Çözüm kümesi {–2, 3} olan 2. dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir?
denkleminin kökler toplamı 2 ise kökler çarpımı
kaçtır?
A) x2 + x – 6 = 0
B) x2 – 5x – 6 = 0
C) x2 + 5x – 6 = 0
D) x2 – x – 6 = 0
A) –5
B) – 4
C) –2
D) 4
E) 5
2
E) x – x + 6 = 0
6.
(a – b + 2) xb–1 – 3x + 1 = 0
2.
denklemi 2. dereceden bir denklem gösteriyorsa
a aşağıdakilerden hangisi olamaz?
B) 0
C) 1
D) 2
A) 5
E) 3
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
ESEN YAYINLARI
A) –1
Rasyonel kat sayılı ax2 + bx + c = 0 denkleminin
a–b
köklerinden birisi 2 – v3 olduğuna göre
c
kaçtır?
7.
2
3.
x – 6x + 2 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
A) –2
Buna göre x12x2 + x1x22 kaçtır?
A) –12
B) –8
C) 6
D) 8
denkleminin köklerinden biri diğerinin 3 katı ise
m kaçtır?
B) 10
C) 11
C) –6
D) 2
E) 3
x+1 x –1 3
–
=
x –1 x+1 2
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
x2 – 8x + m + 1 = 0
A) 9
B) –3
E) 12
8.
4.
|3x + |x2 + 1|| – 2 = 0
denkleminin farklı reel kökleri toplamı kaçtır?
D) 12
E) 13
1
A) ' – , 3 1
3
B) ' – 3,
1
D) ' , 1 1
3
1
1
3
C) ' – 1,
1
E) ' – , 1 1
3
373
1
1
3
İkinci Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
13.
x
x+1 x –2 x+3
–
=
+
x –1 x+2 x –1 x+2
9.
x2 – 3mx + 6m + 1 = 0
denkleminin kökleri arasında m ye bağlı olma-
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
yan bir bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?
gisidir?
A) x1.x2 + x1 + x2 = 1
A) {1, 2}
B) {1}
D) {2}
C) {–1, 2}
B) x1.x2 – x1 – x2 = 1
E) {–1, –2}
C) x1.x2 – 2(x1 + x2) = 1
D) x1.x2 = x1 + x2
E) x1.x2 + 2(x1 + x2) = 1
10. 2. dereceden bir denklemin farklı x1 ve x2 gerçel kökleri arasında,
x1(x2 + 1) + x2 = m + 2
x2(2x1 – 1) – x1 = 1 – m
bağıntıları bulunduğuna göre m nin değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
D) (1, 4)
B) (–3, ∞)
C) (–3, 1)
E) R – [–3, 1]
ESEN YAYINLARI
A) (–∞, 1)
14.
1
10
= –1
–
x 2 + 2x + 1 3x + 3
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) ' – 2,
2
1
3
D) ' –
2
C) ' – , 2 1
3
B) {–2}
2
1
3
2
E) ' 1
3
x2 – 3nx + 2m = 0
11.
denkleminin kökleri sıfırdan farklı m ve n reel
sayılarıdır.
Buna göre, n – m farkı kaçtır?
A) – 4
B) –2
C) 0
D) 2
E) 4
15. Kökleri, x2 + mx + 1 = 0 denkleminin köklerinden
birer eksik olan 2. dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir?
A) x2 + x(m + 2) + m + 2 = 0
2
12.
x – kx + k + 3 = 0
denkleminin köklerinden biri k ise diğer kök kaçtır?
B) x2 + x(m + 2) + m + 1 = 0
C) x2 + x(m – 2) + 2 – m = 0
D) x2 + x(2 – m) + m – 2 = 0
A) 3
374
B) 2
C) 0
D) –2
E) –3
E) x2 + x(m + 2) + m – 2 = 0
TEST 1.
5
Karmaşık Sayılar
5.
a + 3 – 4bi = 2 + 8i ise a + b kaçtır?
A) – 4
B) –3
C) –2
D) 0
(1 – i) (1 – i5) (1 + i9)2 (i12 + i7)
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
E) 2
A) 2 – 6i
B) 4 – 4i
D) – 4
2.
1 + 2i karmaşık sayısının reel kısmı aşağıdaki2–i
6.
lerden hangisidir?
A) –2
B) –1
C) – 1
5
E) 1
5
D) 0
C) –2 + 2i
E) –2
–
1
1
ise z aşağıdakilerden hangisine
+
2–i 2+i
eşittir?
z=
A) – 4
5
B)
4i
5
C)
E)
4 + 2i
5
4
5
ESEN YAYINLARI
D)
4 – 2i
5
3.
2 – –9
işleminin sonucu kaçtır?
1– – 4
5 i
A)
+
4 4
5 i
B) –
4 4
D)
8 i
+
5 5
7.
i
C)
5
E)
hangisidir?
A) –2
8
5
8.
4.
i 14 – i 16
işleminin sonucu kaçtır?
1+i
A) 1 – i
B) i – 1
D) 2i
B) –1
C) –i
D) i
E) 2i
(1– i) 40
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisi(1 + i) 41
dir?
C) i
E) 2
(i–2 + i–3 + i–5)3 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden
A) 1– i
2
B)
D) –
1
2
1+i
2
C)
E)
–1 + i
2
1
2
379
İkinci Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
9.
x2 – 2x + 2 = 0 denkleminin çözüm kümesi aşa-
13. i5 + i6 + i7 + ..... + i83
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
ğıdakilerden hangisidir?
A) { 1–i, i}
D) { 1 + i }
B) { 1 + i, i }
A) 1
C) { 1 –i }
B) i
C) 0
D) –i
E) –1
E) { 1 – i, 1 + i }
14. P(x, y) = x5.y6 + 1 olmak üzere
P(1 + i, 1 – i) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
10. a ve b gerçek sayılar olmak üzere,
A) 33 – 32i
x2 + ax + b = 0 denkleminin köklerinden biri
D) 63 – 63i
2 – i ise diğer kökü nedir?
A) –2 + i
B) –2 – i
B) 32 – 32i
C) 64 – 63i
E) 65 – 64i
C) 2 + i
E) 2i
ESEN YAYINLARI
D) –2i
–
– 4 ise ( z)–1 aşağıdakilerden hangisi-
15. z = 1 –
dir?
–
11. (z – i) (1 – i) = 1 + i ise z nedir?
A) 1 – i
D)
E) 0
16. i +
2
12. z – 4z + 6 = 0 denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2 + v2i
D) 1 + 2i
380
1
(1 – 2i)
5
C) –2i
B) 1 + i
D) 2i
A)
B) 1 + v2i
C) v2 – i
E) 2 – 3i
1
i+
1
i–
B)
1
(1 + 2i)
5
1
(2 – i)
5
E)
C)
1
(1 – i)
5
1
(1 + i)
5
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden
1
i
hangisidir?
A) –3i
B) –2i
C) –i
D) i
E) 2i
TEST -
8
Parabol
f(x) = x2 – 4x + 2
1.
5.
parabolünün tepe noktasının koordinatları aşağı-
f(x) = x2 – 6x + m – 1
fonksiyonunun en küçük değeri 5 ise m nedir?
dakilerden hangisidir?
A) 5
A) (2, –2 )
B) (–2, 2)
D) (–2, –2)
E) 18
C) 8
D) 9
y = x2 – (3m – 5)x + 2
fonksiyonu en küçük değerini x = – 1 noktasında almaktadır. Buna göre, fonksiyonun en küçük
değeri nedir?
A) – 2
B) – 1
C) 1
D) 2
E) 3
E) 10
ESEN YAYINLARI
B) 7
D) 15
C) (2, 2)
f(x) = x2 – 4x + p – 2
fonksiyonunun minimum değeri 6 ise, fonksiyonun y eksenini kestiği noktanın ordinatı nedir?
A) 6
C) 12
E) (2, 0)
6.
2.
B) 10
3.
f(x) = x2 – 4mx + n
parabolünün tepe noktasının (–2, 3) olması halinde y eksenini hangi noktada keser?
A) 4
4.
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
f(x) = mx2 – 2x + 3
parabolünün x eksenine göre simetriği (1, –2)
noktasından geçtiğine göre, m nedir?
A) 2
B) 1
C) 0
D) –1
7.
E) –2
f(x) = a(x – 2)2 + k
fonksiyonunun en büyük değeri –2 dir. Bu fonksiyonun geçtiği noktalardan biri A(1, – 3) ise f(0)
kaçtır?
A) 0
8.
B) –2
C) –3
D) –4
E) –6
y = 2mx2 – mx + 2
parabolünün tepe noktasının y = 1 doğrusu
üzerinde olması için m kaç olmalıdır?
A) –4
B) 2
C) 4
D) 6
E) 8
385
İkinci Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
9.
f(x) = mx2 + (2m – 1)x + m + 3
12.
y
fonksiyonu T(2, k) noktasında en büyük değerini
5
aldığına göre, m kaçtır?
–1
0
A) 1
6
x
5
B) 1
5
C) 1
4
D) 1
3
E) 1
2
Yukarıdaki şekilde verilen parabolün tepe noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
13.
10.
y
y
x
0
0
A
B
T
x
Yukarıdaki şekilde verilen y = ax2 + bx + c pa-
Yukarıdaki şekilde grafiği verilen y = –x2 + bx – 2
parabolü x eksenini A ve B noktalarında kesmektedir. |AB| = 4 birim olduğuna göre, b nin pozitif
değeri kaçtır?
A) 3v2
B) v3
rabolünün tepe noktası T dir. Buna göre, a, b, c
ESEN YAYINLARI
y = –x2 + bx – 2
kat sayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden
hangisidir?
A) +, +, +
B) +, +, –
D) +, –, –
C) 2v3
11.
y
0
D) v6
E) –, +, –
E) 2v6
14.
y = (fog)(x)
y
A
1
C) +, –, +
B
x
5
–1
–1
–2
O
C
x
Yukarıdaki şekilde y = (fog)(x) fonksiyonunun
Yukarıdaki şekilde verilen y = ax2 + bx + 2 para-
grafiği verilmiştir. f(x) = x + 1 olduğuna göre g(2)
bolüne göre, OABC dikdörtgeninin alanı kaç br2
kaçtır?
dir?
A) –4
386
B) –2
C) 0
D) 2
E) 4
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
Üniversiteye Giriş Sınav Soruları
1.
1993 – ÖYS
5.
x2 + (x1 + 4)x – 3x2 = 0
i = c–1 ve n pozitif tam sayı olmak üzere,
denkleminin kökleri, sıfırdan farklı olan x1 ve x2
i 8n – 1 + i 4n
ifadesinin kısaltılmış biçimi, aşağıdai 4n – 1
kilerden hangisidir?
sayılarıdır. Buna göre, büyük kök kaçtır?
A) –3
2.
B) –2
1995 – ÖYS
C) –1
D) 0
E) 2
A) i
B) i + 1
C) i – 1
E) 2
1993 – ÖYS
6.
y
f(x)
1996 – ÖYS
g(x)
T(−
(5, 5)
x
rabolü ile g(x) doğrusunun ortak noktaları (5, 5)
Şekilde grafiği verilen parabolün tepe noktası,
ve (0, 0) dır.
C) 4
3
B) 2
D)
5
3
E)
3
4
Tc–
ESEN YAYINLARI
(fog) (8)
değeri kaçtır?
Buna göre,
(fof) (2)
x
0
Şekilde, ekseni y eksenine paralel olan f(x) pa-
A) 1
y
5
, 5)
2
(0, 4)
(4, 0)
0
3.
D) 1
5
, 5 m ve y eksenini kestiği nokta, A(0, 4)
2
tür. Bu parabolün denklemi, y = ax2 + bx + c
olduğuna göre, b kaçtır?
A) –
1993 – ÖYS
5
4
B) –
4
5
C) –
3
2
D) 1
2
E) 3
5
[–1, 3] kapalı aralığında tanımlı, f(x) = 4 – x2
fonksiyonunun en küçük değeri kaçtır?
A) – 6
B) –5
C) – 4
D) 2
E) 3
7.
1997 – ÖYS
4x2 – 5x – 1 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
4.
1993 – ÖYS
Buna göre,
y
1
1
toplamı kaçtır?
+
2 – x1 2 – x2
H
A) 1
P
Q
B) 2
C) 9
4
D)
11
5
E)
13
5
x
O
Şekildeki parabolün denklemi y = x2 dir.
Bir köşesi O(0, 0) da, P ve Q köşeleri de parabol
8.
1997 – ÖYS
y = ax2 – 8x + 2a – 4
üzerinde olan OPHQ karesinin alanı kaç birim
eğrisi, x eksenine teğet olduğuna göre, a aşağı-
karedir?
dakilerden hangisi olabilir?
A) v5
B) v3
C) v2
D) 3
E) 2
A) –5
B) –3
C) –2
D) 3
E) 6
393
İkinci Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
9.
1997 – ÖYS
13. 1999 – ÖSS
a pozitif bir gerçek (reel) sayı olmak üzere, ke-
y
narları a cm ve (8 – 2a) cm olan dikdörtgenin
alanı en çok kaç cm2 olur?
0
K
x
L
A) 64
B) 32
C) 24
D) 16
E) 8
f(x) = Ðx2 + 5x Ð 3m Ð 1
Yukarıdaki şekilde, denklemi
y = –x2 + 5x – 3m – 1 olan fonksiyonun grafiği ve14. 2006 – ÖSS
rilmiştir. |OL| = 4.|OK| olduğuna göre m kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 1
D) 2
y
E) 3
f(x)
10. 1997 – ÖYS
z = 2 + 4i ve u = 3i karmaşık sayılar olduğuna
3
z. u
göre,
değeri aşağıdakilerden hangisidir?
6 + 3i
B) –1
D)
x
1
C) 2
1 + 2i
3
E)
1 – 2i
3
f(x) fonksiyonunun grafiği, şekildeki gibi Ox ekse-
11. 1998 – ÖYS
a ≠ –1
olmak üzere, (a + 1)x2 – 2(a + 7)x + 27 = 0
ESEN YAYINLARI
A) –2
0
nine (1, 0) noktasında teğet olan ve (0, 3) noktasından geçen paraboldür. Buna göre, f(3) kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 6
D) 7
E) 12
denkleminin kökleri eşit olduğuna göre, a nın
alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A) 15
B) 13
C) 11
D) 10
15. 2007 – ÖSS
E) 9
(x – 2)(x + 2)(x + 5) = (x – 1)(x + 1)(x + 4)
denklemiyle aşağıdaki denklemlerden hangisinin
12. 1998 – ÖYS
çözüm kümesi aynıdır?
y
A
B(4, 0)
A) x3 + 5x2 + 4x = 0
B) x2 – 3x – 16 = 0
C) x2 – 4x + 24 = 0
D) 3x + 16 = 0
E) 5x – 4 = 0
x
C(0, Ð 4)
Şekilde verilen parabolün denklemi
16. 2007 – ÖSS
y = x2 + bx + c olduğuna göre, A(x, 0) noktasının apsisi ( x ) kaçtır?
A) –1
394
B) –2
C) –
(x2 – x – 2)(x + 5) = 0
denkleminin köklerinin toplamı kaçtır?
1
2
D) –
3
2
E) –
5
2
A) 3
B) 1
C) –2
D) – 4
E) –6
İkinci Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
17. 2008 – ÖSS
21. 2010 – LYS
x2 – ax + 16 = 0
b ve c gerçel sayılar olmak üzere,
P(x) = x2 + bx + c polinomunun bir kökü 3 – 2i
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
karmaşık sayısıdır.
1
+ x 2 = 5 olduğuna göre, a kaçtır?
x1
A) 10
B) 12
C) 14
D) 15
Buna göre, P(–1) kaçtır?
A) 5
E) 17
B) 10
C) 20
D) 25
E) 30
22. 2011 – LYS
18. 2009 – ÖSS
2
3
1+ – 2 = 0
x x
f(x) = x2 – 2x + 3
fonksiyonunun grafiği a birim sağa ve b birim
denklemini sağlayan x gerçel sayılarının toplamı
aşağı ötelenerek g(x) = x2 – 8x + 14 fonksiyo-
kaçtır?
nunun grafiği elde ediliyor. Buna göre, |a| + |b|
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
ifadesinin değeri kaçtır?
E) 2
19. 2009 – ÖSS
x2 – 2x – 4 = 0
denkleminin kökleri m1 ve m2 dir.
Buna göre, aşağıdaki denklemlerden hangisinin
kökleri
ESEN YAYINLARI
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
23. 2011 – LYS
Baş katsayısı 1 olan, – i ve 2i karmaşık sayılarını kök kabul eden dördüncü dereceden gerçel
1
1
dir?
ve
m1
m2
katsayılı P(x) polinomu için P(0) kaçtır?
A) 2x2 – x + 4 = 0
B) 2x2 + x + 1 = 0
C) 4x2 + 2x – 1 = 0
D) 4x2 + 3x – 4 = 0
A) 2
B) 4
C) 6
D) 7
E) 8
E) 8x2 – 3x + 4 = 0
24. 2011 – LYS
z = a + bi (b ≠ 0) ve w = c + di karmaşık sayıları için z + w toplamı ve z.w çarpımı birer
20. 2010 – LYS
z ile z nin eşleniği gösterildiğine göre,
gerçel sayı olduğuna göre,
z = 2 + i karmaşık sayısı için,
z
z –1
I.
z ve w birbirinin eşleniğidir.
II.
z – w gerçeldir.
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
ifadelerinden hangileri doğrudur?
1 3
+ i
A)
2 2
A) Yalnız I
2 3
B) – i
3 2
D) 2 – 3i
III. z2 + w2 gerçeldir.
C) 1 + 3i
E) 3 + i
B) Yalnız II
D) II ve III
C) I ve III
E) I, II ve III
395
İkinci Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
25. 2012 – LYS
27. 2013 – LYS
y
2
P(x) = x – 2x + m
f(x) = x2 – 2x + 1
2
Q(x) = x + 3x + n
9
polinomları veriliyor.
Bu iki polinom ortak bir köke sahip ve P(x) polinomunun kökleri eşit olduğuna göre, m + n top-
A) –5
x
O
lamı kaçtır?
g(x) = –x2 + bx + c
B) –3
C) 2
D) 4
E) 5
Yukarıda grafiği verilen f(x) ve g(x) parabolleri
birbirlerini tepe noktalarında kesmektedir.
Buna göre, g(0) değeri kaçtır?
26. 2013 – LYS
k bir pozitif gerçel sayı olmak üzere,
2x2 + kx – 1 = 0
denkleminin kökleri farkı 2 olduğuna göre, k kaçtır?
A) 1
396
B) 2
C)
2
D) 2 2
E)
3
ESEN YAYINLARI
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
28. 2013 – LYS
z bir karmaşık sayı, Im(z) ≠ 0 ve z3 = –1 olduğuna göre,
(z – 1)10
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) z + 1
B) z – 1
D) –z
E) –z – 1
C) z
POLİNOMLAR
. ÜNİTE
6. ÜNİTE
6. ÜNİTE
6. ÜNİTE
Polinom Kavramı ve Polinomlarla İşlemler
1.
Kazanım
: Gerçek katsayılı ve bir değişkenli polinom kavramını açıklar.
2.
Kazanım
: Polinomlarla toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini yapar.
3.
Kazanım
: Bir P(x) polinomunun Q(x) polinomuna bölümünden kalanı bulur.
4.
Kazanım
: Katsayıları tam sayı ve en yüksek dereceli terimin katsayısı 1 olan polinomların tam
sayı sıfırlarının, sabit terimin çarpanları arasından olacağını örneklerle gösterir.
6. ÜNİT
POLİNOMLAR
POLİNOM
x değişken (belirsiz eleman), n ∈ N ve a0, a1, a2, ......, an reel sayılar olmak üzere,
P(x) = anxn + an–1xn–1 + ...... + a2x2 + a1x + a0
ifadesine reel kat sayılı ve bir değişkenli polinom (çok terimli) denir.
Bu polinomda;
®
anxn , an–1xn–1 , ...... , a2x2 , a1x , a0
®
an , an–1 , ...... , a2 , a1 , a0
®
an polinomun baş kat sayısıdır.
®
a0 polinomun sabit terimidir.
®
P(x) polinomunu oluşturan terimlerden, derecesi en büyük olanının derecesine polinomun derecesi denir
ifadeleri polinomun terimleridir.
ifadeleri polinomun kat sayılarıdır.
ve der[P(x)] ile gösterilir.
®
P(x, y) biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir.
Bu polinomların derecesi, aynı terimdeki değişkenlerin üslerinin toplamının en büyük olanıdır.
Sabit Polinom
P(x) = a0 sabit polinomdur. Sabit polinomun derecesi sıfırdır.
Sıfır Polinom
P(x) = 0 sıfır polinomudur. Sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır.
Polinom mu?
(E/H)
Derecesi
Bafl kat say›s›
Sabit terimi
f(x) = x3 – x2 + 2
E
3
1
2
2
E
3
–3
1
2
3
2
1
+2
x
H
—
—
—
—
f(x) = x + x2 – vx
H
—
—
—
—
E
0
2
3
2
3
2
3
f(x) = x2 – 3x3 +
f(x) =
f(x) =
398
Kat say›lar
toplam›
Fonksiyon
2
3
1
2
Polinomlar
ÖRNEK 1
ÖRNEK 3
Aşağıdaki bağıntıların polinom olup olmadıklarını
P(x) = 4x
araştırınız.
24
n
n
+ 2x 6 + x + 1
a. P(x) = 3x2 + 5x –1
ifadesi bir polinom olduğuna göre, bu polinomun de-
b. Q(x) = 1 x3 + x–1 + 2
2
recesi en çok kaç olabilir? (n ∈ N)
Çözüm
c. R(x) = 5
d. K(x) = 2x4 +
1
+5
x2
e. T(x) = x2 + vx + 1
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 2
x in azalan kuvvetlerine göre düzenlenmiş
P(x) = –2x3 + 4x + 6
polinomunun terim, kat sayı ve derecesini inceleyiniz.
ÖRNEK 4
P(x) = (a – 3)x3 + (b + 1)x + a.b + 1
polinomu sabit polinom olduğuna göre, P(5) kaçtır?
Çözüm
Çözüm
399
Polinomlar
P(x) Verildiğinde P[Q(x)] i Bulma
ÖRNEK 8
P(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1
P(x) verildiğinde, P[Q(x)] ifadesini elde etmek için,
P(x) polinomundaki x lerin yerine Q(x) yazılır.
olduğuna göre, P^ 3 2 – 1h değerini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 5
P(x) = 2x2 – x + 1
olduğuna göre, P(2) kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 9
P(x) = x2 + ax + b
polinomunda P(1) = 2 ve P(–2) = 11 ise
P(2) kaçtır?
ÖRNEK 6
P(x) = x6 – x4 + 2x2 + 1
olduğuna göre, P(– v3) değerini bulunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 7
P(x, y) = 2x2y – 3xy2 + x – y + 1
olduğuna göre, P(–2, 1) değerini bulunuz.
Çözüm
400
ÖRNEK 10
P(x + 1) + Q(x – 1) = 2x2 – 2
olmak üzere P(3) = 4 ise Q(1) kaçtır?
Çözüm
Polinomlar
P[Q(x)] Verildiğinde P(x) i Bulma
ÖRNEK 12
–1
Fonksiyon konusunda (f o f )(x) = x olduğunu öğrenmiştiniz.
P(4x – 1) = 16x2 – 8x + 4
olduğuna göre, P(x) i bulunuz.
P[Q(x)] ifadesinde x yerine Q–1(x) yazarsak,
Çözüm
P[Q(Q–1(x))] = P(x) bulunur.
ÖRNEK 11
P(x + 2) = x2 – x + 1
olduğuna göre, P(1), P(5), P(x – 1) ve P(x) değerlerini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 13
ESEN YAYINLARI
P(3x – 1) = 6x2 – x + 1
olduğuna göre, P(5) kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 14
P(x3 – x + 1) = x – x3 + 4
olduğuna göre, P(x) i bulunuz.
Çözüm
401
Polinomlar
ÖRNEK 17
Bir polinomda değişkenlerin yerine sıfır yazılarak
sabit terim bulunabilir.
P(x) = (x3 + 4x2 + kx – 5)3
polinomunun kat sayılar toplamı 64 ise k kaçtır?
P(x) polinomunda P(0) sabit terimdir.
Çözüm
P(x, y) polinomunda P(0, 0) sabit terimdir.
P(x + 2) polinomunda P(2) sabit terimdir.
ÖRNEK 15
P(x) = (4x3 – 3x2 + 7x + 2)5
polinomunun sabit terimi kaçtır?
ÖRNEK 18
Çözüm
P(x, y) = (3x – 5y + 4)5
polinomunun kat sayılar toplamı kaçtır?
ÖRNEK 16
P(x – 1) = 3x2 + 4x – 5
olmak üzere, P(x + 1) polinomunun sabit terimi kaçtır?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 19
P(x + 1) = x2 – (a + 1)x + 2a – 1
polinomu veriliyor. P(x) polinomunun kat sayılar toplamı 3 ise sabit terimi kaçtır?
Çözüm
Bir polinomda değişkenlerin yerine 1 yazılarak kat
sayılar toplamı bulunabilir.
P(x) polinomunda P(1) kat sayılar toplamıdır.
P(x, y) polinomunda P(1, 1) kat sayılar toplamıdır.
P(x + 2) polinomunda P(3) kat sayılar toplamıdır.
402
Polinomlar
Polinomlarda Eşitlik
P(x) polinomunda çift dereceli terimlerin kat sayı-
Dereceleri aynı ve aynı dereceli terimlerin kat sayıları
ları toplamı;
eşit olan en az iki polinoma, eşit polinomlar denir.
PÇ =
P (1) + P (–1)
2
Bu tanıma göre,
dir.
P(x) = anxn + an–1xn–1 + ..... + a1x + a0
P(x) polinomunda tek dereceli terimlerin kat sayı-
Q(x) = bnxn + bn–1xn–1 + ..... + b1x + b0
ları toplamı;
polinomları için
PT =
P (1) – P (–1)
2
P(x) = Q(x) ⇔ [ an = bn , ..... , a1 = b1 , a0 = b0 ]
dir.
olmalıdır.
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ..... olsun
P(1) = a0 + a1 + a2 + a3 + .....
..... I
P(–1) = a0 – a1 + a2 – a3 + .....
..... II
ÖRNEK 21
P(x) = (a + 1)x3 + bx2 + (c – 2)x + 1
Q(x) = 3x2 + 2x + d
I ve II yi taraf tarafa toplarsak,
polinomları eşit ise a + b + c + d kaçtır?
P(1) + P(–1) = 2a0 + 2a2 + 2a4 + .....
P (1) + P (–1)
dir.
2
I ve II yi taraf tarafa çıkarırsak,
P(1) – P(–1) = 2a1 + 2a3 + 2a5 + .....
⇒ PT = a1 + a3 + a5 + ..... =
P (1) – P (–1)
dir.
2
Çözüm
ESEN YAYINLARI
⇒ PÇ = a0 + a2 + a4 + ..... =
ÖRNEK 22
ÖRNEK 20
P(x) = (x2 + x – 3)2 polinomunun,
a. Çift dereceli terimlerinin
4x + 2
A
B
=
+
x2 – 1 x – 1 x + 1
eşitliğini sağlayan A.B kaçtır?
Çözüm
b. Tek dereceli terimlerinin kat sayıları toplamını
bulunuz.
Çözüm
403
ALIŞTIRMALAR -
1.
5.
Aşağıdaki ifadelerin polinom olup olmadıklarını
araştırınız. Polinom olanların derecelerini, baş
kat sayılarını ve sabit terimlerini bulunuz.
a.
1
P(x) = 4x3 – 5x2 + 2x – 1
polinomu için aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar
için boş kutulara “D” yanlış olanlar için “Y” yazınız.
P(x) = 3x4 – x5 + x2 – 1
P(x) in baş kat sayısı 4 tür.
b.
Q(x) =
2 x2 –
2
x+1
3
P(x) in kat sayılar toplamı 0 dır.
2
x2 + 1
c.
R(x) =
d.
T(x) = c4x + 5x2 – 1
P(x) in sabit terimi 1 dir.
P(x), 3. dereceden bir polinomdur.
P(x) = xn – 4 + x6 – n + 2
2.
ifadesi bir polinom gösterdiğine göre, n nin alabileceği değerler kümesini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
P(–1) = –12 dir.
6.
P(x) = x3 – 3x2 + 2x – 1
polinomu için aşağıdakilerin herbirini bulunuz.
a. P(0)
b. P(–1)
3.
P(x) =
n
x3
24
+x n
+1
ifadesi bir polinom gösterdiğine göre, n nin alabileceği değerler kümesini bulunuz.
c. P(1)
d. P(2)
16
e. P(x + 1)
P(x) = 2x 10 – m + 2x m – 1 + 1
4.
ifadesi bir polinom gösteriyorsa m nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
404
f. P(1 – x)
Polinomlar
7.
P(x, y) = 4x2y3 – 2xy2 – 4x + y
P(x + 4) = x2 + 2x – 1
10.
polinomu için aşağıdakilerden herbirini bulunuz.
olmak üzere P(x + 2) polinomunun kat sayılar
toplamı kaçtır?
a. P(1, –1)
b. P(0, 2)
c. P(–2, 1)
P(x – 1) = x3 – x + 1
11.
olmak üzere P(x + 1) polinomunun sabit terimi
kaçtır?
8.
P(x) = x2 + ax + b – 1
polinomunda P(1) = 0 ve P(–2) = –3 ise P(2)
kaçtır?
9.
ESEN YAYINLARI
d. P(x+1, 0)
P(x) = (3x2 – 2x + 1)4
12.
polinomunun kat sayılar toplamını ve sabit terimini bulunuz.
P(2x – 1) = 4x2 + 2x – 3
polinomu için aşağıdakilerden herbirini bulunuz.
a. P(x)
P(x + 1) = x2 – 4x + 1
13.
b. P(x + 1)
c. P(–5)
d. P(3)
olmak üzere, sol sütundaki ifadelerin eşitini sağ
sütundan bulup eşleştiriniz.
1.
P(x) in kat sayÝlar toplamÝ
a.
6
2.
P(x) in sabit terimi
b. 13
3.
P(x + 2) nin kat sayÝlar toplamÝ
c. Ð3
4.
P(x Ð 1) in sabit terimi
d.
1
405
Polinomlar
P(x2 – 2x + 3) = 4x – 2x2 + 3
14.
20.
olduğuna göre, P(x) nedir?
P(x) = (x – x2 + 2)3
polinomunun çift dereceli terimlerinin kat sayılar
toplamı kaçtır?
P(x, y) = (2x – 4y + 1)3
15.
polinomunun kat sayılar toplamı kaçtır?
21. (a – 1)x3 + bx2 – 4 = 2x3 + (a + 1)x2 + (c – 1)x + d – 2
olduğuna göre, a + b + c + d kaçtır?
P(x – 1) = x2 – ax + a – 1
16.
olmak üzere, P(x) in kat sayılar toplamı 3 ise
sabit terimi kaçtır?
22.
P(x) = (a – 1)x3 + bx2 + (c + 1)x + 2
P(x) = (1 + x + x2 + x3 + x4 + x5)2
17.
polinomunun kat sayılar toplamı kaçtır?
P(x) + P(–x) = 2x2
18.
ESEN YAYINLARI
Q(x) = 4x2 + 4x + d
olmak üzere, P(x) = Q(x) ise a + b + c + d kaçtır?
23.
eşitliğini sağlayan a + b + c kaçtır?
olmak üzere P(x) polinomunun çift dereceli terimlerinin kat sayılar toplamı kaçtır?
P(x) = (x2 + x)10
19.
polinomunun tek dereceli terimlerinin kat sayılar
toplamı kaçtır?
406
(x2 – 1)a + (x – 1)b + c = x2 + x + 2
24.
5x – 2
A
B
=
+
x2 – 4 x – 2 x + 2
eşitliğini sağlayan A + B kaçtır?
Polinomlar
POLİNOMLARDA DÖRT İŞLEM
Bölme İşlemi
Toplama – Çıkarma İşlemi
der[P(x)] ≥ der[Q(x)] ≥ 1 ve
Polinomlarda toplama – çıkarma yapılırken aynı dere-
der[K(x)] < der[Q(x)] olmak üzere,
celi terimlerin kat sayıları toplanır – çıkarılır.
P(x)
Q(x)
B(x)
K(x)
ÖRNEK 23
P(x) = 3x4 – 2x3 + x2 + 1
Q(x): Bölen polinom
K(x): Kalan polinom
B(x): Bölüm polinomu
P(x) = Q(x).B(x) + K(x)
Q(x) = x3 + 2x2 + 4
K(x) = 0 ise P(x) polinomu Q(x) polinomuna tam
polinomları için aşağıdakileri bulunuz.
a. P(x) + Q(x)
P(x): Bölünen polinom
bölünüyor denir.
b. P(x) – Q(x)
Polinomlarda bölme işlemi yapılırken aşağıdaki sıra
Çözüm
takip edilir.
ESEN YAYINLARI
® Bölünen ve bölen polinomlar, değişkenin azalan
kuvvetlerine göre yazılır.
Çarpma İşlemi
® Bölünenin en büyük dereceli terimi, bölenin en
büyük dereceli terimine bölünür ve çıkan sonuç
bölümün ilk terimi olarak yazılır.
® Bulunan bu bölüm, bölenle çarpılır. Bu çarpım
bölünenden çıkarılır.
® Çıkan sonuçla yukarıdaki işlemler tekrarlanır.
Kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük
olana kadar işleme devam edilir.
İki polinom çarpılırken birinci polinomun her terimi,
ikinci polinomun her terimi ile ayrı ayrı çarpılır ve bu
çarpımdan elde edilen terimler toplanır.
ÖRNEK 25
x5 + x3 – x2 – 1
bölümünü bulunuz.
x3 – 1
ÖRNEK 24
Çözüm
2
P(x) = x + 2x ve Q(x) = 3x + 1
olduğuna göre, P(x).Q(x) çarpımını bulunuz.
Çözüm
407
Polinomlar
ÖRNEK 26
P(x) = 2x3 + x2 – 2
polinomunun Q(x) = x2 + 1 polinomu ile bölümündeki
bölüm ve kalanı bulunuz.
Çözüm
Horner Metodu İle Bölme İşlemi
deki birinci dereceden bir polinoma bölünmesinden
elde edilen bölüm ve kalanı bulmada kolaylık sağlar.
Bu metodu bir örnekle açıklayalım.
ÖRNEK 27
P(x) = 3x4 – 5x2 + 3x + 2
polinomunun x – 2 ile bölünmesinden elde edilen
bölüm ve kalanı bulunuz.
Çözüm
408
ESEN YAYINLARI
Horner metodu, bir P(x) polinomunun ax + b biçiminÖRNEK 28
P(x) = x4 – 2x3 + 3x2 + ax + b
polinomunun (x – 1)2 ile tam bölünebilmesi için a ve
b kaç olmalıdır?
Çözüm
Polinomlar
Polinomların Dereceleri
der[ P(x) ] = m , der[ Q(x) ] = n olmak üzere,
®
der[ P(x) ± Q(x) ] = m , ( m > n ise )
®
der[ P(x) ± Q(x) ] ≤ m , ( m = n ise )
®
der[ P(x).Q(x) ] = m + n
®
der =
®
der[ P(xa) ] = m.a , ( a ∈ N )
®
der[ P(a.x) ] = m , ( a ∈ R )
®
der[ P( Q(x) ) ] = m.n dir.
P (x)
P (x)
G = m – n , ( m ≥ n ve =
G polinom ise)
Q (x)
Q (x)
Aşağıdaki iki tabloda P(x) ve Q(x) polinomlarının dereceleri ile ilgili bazı sonuçlar elde edilmiştir. İnceleyiniz.
Polinom
der[P(x)]
P(x) = 3x6 + 5x4 Ð 1
2
Q(x) = (x3 + 1)(1 Ð x4)
Q(x) = x6 Ð x3 + x Ð 1
3x9 + 9x8 + É
6
9
Ðx7 Ð x4 + É
Ðx9 + 2x8 + É
7
9
7
der[P(x2)]
der[P2(xÊÐ 1)]
5
6
6
18
15
4
4
4
22
20
der[P(x)] der[Q(x)] der[x2P(x)]
der[P2(x).Q3(x)]
der[P(2x).Q(x3)]
3
Q(x) = x4 Ð x3 Ð 1
P(x) = x2 + 3x + 4
3x6 + 5x4 + É
3
P(x) = x2 Ð 2x Ð 1
P(x) = 5x3 Ð 2x2 + 3
der[P(x)+Q(x)] der[P(x).Q(x)]
6
Q(x) = x3 + 3x2 Ð 1
Polinom
P(x).Q(x)
P(x)+Q(x)
der[Q(x)]
4
2
6
409
Polinomlar
ÖRNEK 29
ÖRNEK 32
der[P(x)] = 3 olduğuna göre,
P(x) ve Q(x) birer polinom ve a ∈ N dir.
2der[P(x)] + der[2P(x)] kaçtır?
der[ P(x) ] = 2a + 3
der[ Q(x) ] = 3a + 3
Çözüm
der[ P(x) + Q(x) ] = 15
olduğuna göre, a kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 30
P(x) ve Q(x) polinomları için
der[ P(x).Q(x) ] = 6 ve der =
P (x)
G = 2 ise
Q (x)
der[ P(x) + Q(x) ] kaçtır?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 33
P(x) ve Q(x) birer polinomdur.
der[P2(x).Q(x)] = 10
der 6P (x) @
=2
der 6Q (x) @
olduğuna göre, der[Q(x)] kaçtır?
ÖRNEK 31
P(x) bir polinom olmak üzere,
2
Çözüm
3
der[ P(x) ] = 6 ise der[ x .P(x ) ] kaçtır?
Çözüm
410
Polinomlar
BÖLME İŞLEMİ YAPMADAN KALAN BULMA
ÖRNEK 36
ax + b İle Bölümünden Kalan
P(x) = x4 – x3 + ax + 1
P(x) polinomunun, ax + b ile bölümünden elde edilen
polinomu x + 1 ile tam bölünebildiğine göre, x – 1
kalanı bulmak için, ax + b = 0 denkleminin kökü
b
olan x = – değeri P(x) polinomunda x yerine yaa
ile bölümünden elde edilen kalan kaçtır?
zılır. Yani, kalan P c –
P(x)
Çözüm
b
m dır.
a
ax+b
B(x)
⇒
P(x) = (ax + b).B(x) + k
Pc–
b
–b
b
+ b m ·B c – m + k
m = c a·
a
a
a
Pc–
b
b
m = 0.B c – m + k
a
a
Pc–
b
m=k
a
ÖRNEK 34
P(x) = x3 + 2x2 – 3x + 4
polinomunun x + 2 ile bölümünden elde edilen kalan
ESEN YAYINLARI
k
kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 37
P(x) = 2x3 – x2 + 4x + 1
olmak üzere, P(2x + 1) polinomunun x – 1 ile bölümünden elde edilen kalan kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 35
P(x) = 8x2 – x + 1
polinomunun
2x – 1
ile bölümünden elde edilen
kalan kaçtır?
Çözüm
411
Polinomlar
xn + a İle Bölümünden Kalan
ÖRNEK 38
P(x) polinomunun, xn + a ile bölümünden elde edilen
P(x – 1) – Q(x + 2) = x4 – 2x3 + x2 + 4
kalanı bulmak için, xn + a = 0 ⇒ xn = –a
eşitliğini sağlayan P(x) ve Q(x) polinomları için, P(x)
olduğundan, P(x) de xn yerine –a yazılır.
in x – 1 ile bölümünden kalan 5 ise Q(x) in x – 4
P(x)
ile bölümünden kalan kaçtır?
xn+a
B(x)
Çözüm
K(x)
P(x) = (xn + a).B(x) + K(x)
xn yerine –a yazarsak,
ESEN YAYINLARI
Kalan = (–a + a).B(x) + K(x)
ÖRNEK 39
= 0.B(x) + K(x) = K(x) olur.
ÖRNEK 40
P(x) = x4 + 2x3 – 3x2 + x – 1
P(x) polinomunun x2 – 1 ile bölümünden elde edilen
polinomunun
kalan 3x + 5 ise, P(x) in x + 1 ile bölümünden elde
kalan nedir?
edilen kalan nedir?
Çözüm
x2 – 2
ile bölümünden elde edilen
Çözüm
ETKİNLİK
DURAK
34
A
B
C
x > 0 olmak üzere, A ile B kentleri arası x3 + 4x2 + 15 km, B ile C kentleri arası 2x3 + 10x2 + 24x km dir.
B kentine uğrayarak, A kentinden C kentine giden bir araç A dan B ye x + 4 saatte, B den C ye 2x + 1
saatte gidiyor. Bu aracın tüm yoldaki ortalama hızının x cinsinden değerini bulunuz.
Çözüm
412
Polinomlar
ÖRNEK 41
ÖRNEK 43
P(x) = x20 + 2x15 – 3x10 – x6 + 1
polinomunun x5 – v2
Bir P(x) polinomunun x2 – 5x + 6 ile bölümünden
kalan 2x – 8 ise P(x) polinomunun x – 3 ile bölü-
ile bölümünden elde edilen
kalan nedir?
münden kalan kaçtır?
Çözüm
Çözüm
a(x – b)(x – c) İle Bölümünden Kalan
ÖRNEK 42
P(x) = x5 + ax4 – bx3 + 4
polinomunun
x3 – 1
ile bölümünden elde edilen
kalan x2 + 2x + 2 ise a.b kaçtır?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
P(x)
a(x Ð b).(x Ð c)
B(x)
mx + n
P(x) = a(x – b)(x – c).B(x) + mx + n
P(b) = mb + n
.....I
P(c) = mc + n
.....II
I ve II nin ortak çözümünden m ve n bulunur.
Burada bölen 2. dereceden bir polinom olduğundan,
kalanı mx + n gibi 1. dereceden bir polinom seçtik.
ÖRNEK 44
P(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 2 ve
x + 2 ile bölümünden kalan –5 tir. Buna göre,
P(x) in (x – 1).(x + 2) ile bölümünden kalan nedir?
Çözüm
413
Polinomlar
ÖRNEK 46
P(x) = 16x4 + 2ax2 + 1
polinomunun çarpanlarından biri 2x2 – 1 ise a kaçtır?
ÖRNEK 45
P(x) bir polinom olmak üzere,
(x – 2).P(x) = x3 + ax2 – 4x + 4 ise P(2) kaçtır?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 47
P(x) = x3 + 2x2 + x + 1
polinomunun, x2 + x + 1 polinomuna bölümünden
elde edilen kalan nedir?
Çözüm
414
Polinomlar
ÖRNEK 48
ÖRNEK 50
P(x) bir polinom olmak üzere,
Üçüncü dereceden bir P(x) polinomu x2 + 4 ile tam
P(x) + P(x + 1) = 2x + 4 ise P(2) kaçtır?
bölünebiliyor. P(x) polinomunun x2 – 1 ile bölümünden kalan 2x + 1 ise P(1) kaçtır?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 49
İkinci dereceden bir P(x) polinomu x + 2 ve x – 3 ile
tam bölünebildiğine göre,
Çözüm
P (1)
kaçtır?
P (2)
ÖRNEK 51
Bir P(x) polinomunun x3 + 1 ile bölümünden kalan
x2 + x + 3 ise P(x) in x2 – x + 1 ile bölümünden
kalan nedir?
Çözüm
415
Polinomlar
ÖRNEK 52
P(x) polinomunun sabit terimi 3, kat sayılar toplamı 5
ise, P(x) polinomunun x2 – x ile bölümünden kalan
ne olur?
Çözüm
ÖRNEK 55
P(x) polinomunun x2 – x ile bölümünden bölüm
Q(x) ve kalan x + 2 ise P(x) in x – 1 ile bölümünden bölüm nedir?
Çözüm
ÖRNEK 53
ile tam bölünebiliyorsa ve P(x) in x + 1 ile bölümünden kalan 16 ise P(x) in sabit terimi kaçtır?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
3. dereceden bir P(x) polinomu x – 1, x + 2 ve x – 3
ETKİNLİK
C
O
A
B
Yukarıdaki şekilde üstü açık, iç içe, içi boş iki dik siÖRNEK 54
Bir P(x) polinomu için, P(x) + 3P(–x) = 4x2 – 4x ise
P(–1) kaçtır?
Çözüm
lindirden oluşan bir kap bulunmaktadır. Silindirlerin
taban merkezleri (O) çakışık olup,
|OA| = (x + 3) br , |AB| = 1 br ve
|CB| = (x + 2) br dir.
Kabın üzerindeki musluk açılarak kap tamamen
doldurulduğunda küçük silindirin içindeki suyun
hacminin, silindirlerin arasındaki suyun hacmine
oranı x cinsinden nedir?
416
Polinomlar
Bir Polinomun Çarpanları
Bir polinomu iki ya da daha çok polinomun çarpımı biçiminde yazmak bu polinomu çarpanlarına ayırmak demektir.
P(x) = x(x2 + 1) polinomuna göre, x ve x2 + 1 polinomları, P(x) polinomunun birer çarpanıdır.
İndirgenemeyen Polinomlar
Sabit olmayan ve birden fazla polinomun çarpımı biçiminde yazılamayan polinomlara indirgenemeyen polinomlar denir.
P(x) = x2 + 1 , Q(x) = x – 2 , R(x) = 3x4 + 4
polinomları birer indirgenemeyen polinomdur.
Asal Polinom
Baş kat sayısı 1 olan, indirgenemeyen polinomlara asal polinom denir.
P(x) = x2 + 1 ve Q(x) = x + 3 polinomları birer asal polinomdur.
P(x) = Q(x).R(x) biçiminde yazıldığında Q(x) ve R(x) asal polinomlar ise, Q(x) ve R(x) e P(x) polinomunun asal
çarpanları denir.
Q(x) ve R(x) polinomları asal ya da indirgenemeyen polinomlar ise, Q(x) ve P(x) polinomlarına P(x) polinomunun çarpanları denir.
®
x.(x – 1) polinomunun asal çarpanları x ve x – 1 dir.
®
(x – 2).(x + 3) polinomunun asal çarpanları x – 2 ve x + 3 tür.
®
3x.(x4 + 1) polinomunun asal çarpanları 3x ve x4 + 1 dir.
®
(x + 1).(x – 1).(3x + 1) polinomunun asal çarpanları x + 1, x – 1 ve 3x + 1 dir.
ÖRNEK 56
P(x) = x3 – 4x
ÖRNEK 57
P(x) = 4x2 – 6x
polinomunun asal çarpanlarını bulalım.
polinomunun çarpanlarını bulalım.
Çözüm
Çözüm
417
ALIŞTIRMALAR -
1.
4.
P(x) ve Q(x) polinomları için der[P(x)] = 2 ve
der[Q(x)] = 3 olmak üzere, aşağıdaki ifadelerden
doğru olanlar için boş kutulara “D” yanlış olanlar
için “Y” yazınız.
2
P(x) = x4 – 3x2 + 2x – 1
polinomunun Q(x) = x2 + 1 ile bölümünden elde
edilen bölüm ve kalanı bulunuz.
der[P2(x3 + 1)] = 12
der[Q3(2x2 – 1).P(x3)] = 24
5.
P(x) = x3 – 5x2 + ax + 2
polinomunun x – 1 ile tam bölünebilmesi için
a kaç olmalıdır?
ESEN YAYINLARI
der[P2(x)].der[Q(x3)] = 36
der[P4(x) + Q3(x)] = 9
2.
6.
P(x) = x4 – x3 + 2x2 + ax + b
polinomunun (x – 1)2 ile tam bölünebilmesi için
a ve b ne olmalıdır?
P(x) ve Q(x) polinomları için
der[P2(x).Q(x)] = 8 ve der >
P 3 (x )
H = 7 ise
Q (x)
der[P(x) + Q(x)] kaçtır?
7.
P(x) = x4 – 3x2 – x + 2
polinomunun x + 1 ile bölümünden elde edilen
kalan kaçtır?
3.
P(x) polinomu x2 – 2 ile bölündüğünde bölüm x2
+ 2 ve kalan x + 4 ise P(x) polinomunu bulunuz.
418
8.
P(x) = 4x2 – 2x + 3
polinomunun 2x + 1 ile bölümünden kalan kaçtır?
Polinomlar
9.
P(x + 1) = x3 – x2 + 4
14.
olmak üzere P(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan kaçtır?
P(x) = x8 + 4x6 + x4 + 2x2 – 1
polinomunun aşağıdakilerin herbiri ile bölümlerinden elde edilen kalanları bulunuz.
a. x – 1
b. x2 + 1
10.
P(x) = x3 – x2 + x + 2
olmak üzere P(x + 2) polinomunun x – 1 ile
bölümünden kalan kaçtır?
c. x4 + 2
d. x6 – 2
12. P(x) ve Q(x) polinomlarının x – 2 ile
bölümlerinden kalanlar sırasıyla 3 ve 4 ise
xP(x) + Q(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden
kalan nedir?
13.
P(2x – 1) = x2 + x – 1
olmak üzere, P(x – 1) polinomunun x + 2 ile
bölümünden kalan nedir?
15.
ESEN YAYINLARI
11. P(x) polinomunun x2 – x ile bölümünden kalan
4x + 1 ise P(x) in x ile bölümünden kalan kaçtır?
P(x) = x4 – 2ax3 + bx + 2
polinomunun bir çarpanı x3 – 1 ise a + b kaçtır?
16. P(x) polinomunun x ile bölümünden kalan 1,
x + 3 ile bölümünden kalan 13 ise P(x) in
x2 + 3x ile bölümünden kalan nedir?
17. P(x + 1) polinomunun x – 1 ile bölümünden
kalan 4 , P(x – 1) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan 2 ise P(x) in x2 – 4 ile bölümünden kalan nedir?
419
Polinomlar
22.
18. Aşağıdaki tabloyu doldurunuz.
P(x) = x3 + ax2 – bx + 2
der[P2(x).Q3(x)]
der[P(x).Q(x)]
der[P(x)+Q(x)]
der[Q(x)]
Polinom
der[P(x)]
polinomu x2 + x + 2 ile tam bölünebiliyorsa
a + b kaçtır?
P(x) = x2 Ð x + 1
Q(x) = x3 + 1
23.
P(x) = x4 Ð x + 2
(x – 1) P(x) = x3 – x2 + ax + 2
eşitliğini sağlayan P(x) polinomu için P(1) kaçtır?
19. Sabit terimi 8 olan 3. dereceden bir P(x) polinomunun, x – 1, x + 1 ve x – 2 ile ayrı ayrı bölümlerinden kalan hep 4 oluyorsa P(3) kaçtır?
ESEN YAYINLARI
Q(x) = x2 Ð x + 1
24.
x.P(x – 1) = x3 – x + a + 2
olmak üzere, P(x) polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır?
P(x) = x3 + ax2 – bx – 1
20.
polinomu x2 – 3x + 2 ile tam bölünebiliyorsa
a.b kaçtır?
25. P(x) polinomu için P(x + 2) + P(x) = 8x + 4 ise
P(3) kaçtır?
P(x) = x3 + 4x2 + x – 2
21.
polinomunun x2 + x – 1 ile bölümünden elde
edilen kalan nedir?
49
420
26. P(x) polinomu için
P(x) + P(x2 + 1) = 2x2 + 2x + 8
ise P(0) kaçtır?
Yazılıya Hazırlık Soruları
4.
18
1.
P(x) = 3x n – 2 + 4x 8 – n + 2
P(x) = x3 – x2 + 3x – 1
polinomundan hangi polinom çıkarılmalıdır ki
elde edilen polinom x2 + 2 ile tam bölünebilsin?
ifadesi bir polinom gösterdiğine göre n nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
P(x) = 2x3 – ax2 + x – 1
5.
(x – 2) P(x) = x3 + ax – 1
polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan 3 ise
olmak üzere P(x) polinomunun x – 2 ile bölü-
P(x) polinomunun kat sayılar toplamı kaçtır?
münden kalan kaçtır?
ESEN YAYINLARI
2.
3.
(x + y)m – x1 + m + y1 + m
6.
P(x) = x3 + x2 + ax + b – 1
polinomu x + y ile tam bölünebiliyorsa m nasıl
polinomunun x2 – x + 1 ile bölümünden kalan
bir sayı olmalıdır?
4x + 2 ise a + b kaçtır?
421
Polinomlar
7.
P(x) polinomunun derecesi 2, Q(x) polinomu-
9.
nun derecesi 3 ise P2(x3 + 1).Q3(x2 – 1) polinomunun derecesi kaçtır?
P(x)
polinomunun kat sayılar toplamı sıfırdan
farklıdır.
x+1
4x 2 – 3x – 1
P(2x – 1).P(x) – P c
m=
2
2
eşitliğini sağlayan P(x) polinomunun x – 1 ile
bölümünden kalan nedir?
422
eşitliğini sağlayan A, B, C değerlerini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
8.
3x 2 – 2x + 1
A
Bx + C
=
+
(x – 1) (x 2 + 1) x – 1 x 2 + 1
10.
P(x) = (x2 + x + 1)4
polinomunun çift dereceli terimlerinin kat sayıları
toplamı kaçtır?
TEST -
1.
1
Polinomlar
2x3 + 3x2 – 4x + 1 = (2x2 – 3x + 1)(x+m) + nx + p
eşitliği veriliyor. Buna göre, n – m – p kaçtır?
A) 8
B) 7
C) 5
D) 3
5.
P(x) = (2x5 + 3x4 + x + 2)n
polinomunun kat sayıları toplamı 512 ise sabit
terimi nedir?
E) 2
A) 16
Pc
6.
2.
P(x) = 3x3m–2 + (m – 1)x2 + 2x – 5
polinomu dördüncü dereceden bir polinom ise,
bu polinomun kat sayıları toplamı kaçtır?
B) 4
C) 3
D) 2
C) 6
D) 4
E) 2
2x – 3
m = x3 – x2
4
olduğuna göre, P(–1) kaçtır?
A) 0
B) 1
C) –
3
8
D) –
7
8
E) –
1
8
E) 1
ESEN YAYINLARI
A) 5
B) 8
7.
3.
P(x) = (m +1)xm–2 + (m – 4)x2m–1 + (m – 2)x – 7
polinomunun kat sayıları toplamı 3 ise,
P(x) polinomunun derecesi kaçtır?
P(x) bir polinom olmak üzere,
P(x2) = x6 + (a + 1) x5 – 2x4 – (b – 3)x3 + 1
ise a + b kaçtır?
A) 0
A) 9
B) 7
C) 5
D) 4
C) 2
D) 3
E) 4
(x5 – 2x4 + 3x3 + 5).(4x3 – 5x2 + 2x – 4)
çarpımı yapıldığında x6 lı terimin kat sayısı
nedir?
P(x3 – 1) = x15 – 9m – 13
polinomu veriliyor.
P(x) polinomunun derecesi 20 ise, m nin değeri
kaçtır?
A) 10
A) – 6
8.
4.
B) 1
E) 3
B) 12
C) 14
D) 22
E) 24
B) – 5
C) – 4
D) –3
E) –2
423
Polinomlar
9.
P(x) = x3 + 3x · Q(2x + 1) + 3x – 2 veriliyor.
Q(x) in (x + 3) ile bölümünden kalan – 4 ise,
P(x) in (x + 2) ile bölümünden kalan nedir?
A) 10
B) 8
C) –10
D) –24
P(x) = 2mx2 + 3x – 5
13.
polinomunun (x + 1) ile bölümünden kalan K1 ve
(x –1) ile bölümünden kalan K2 dir.
K1 + K2 = – 2 ise, P(–2) değeri nedir?
E) – 40
A) 5
10.
C) –13
D) 12
D) 17
E) 20
E) 13
A) –12
B) –10
C) – 5
D) 7
E) 9
ESEN YAYINLARI
B) –12
C) 11
14. P(x) ve Q(x) polinomları için
P(x – 3) = (x2 – 3) · Q(x + 2) veriliyor.
Q(x) in kat sayıları toplamı 5 ise,
P(x) in (x + 4) ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?
P(x – 2) = x3 – x2 + 4m
polinomu veriliyor.
P(x + 1) in (x – 1) ile bölümünden kalan 4 ise,
m nedir?
A) –11
B) 7
11.
P(x) = x4 – 3x3 + 4x2 + 1
polinomunun (x – 1) ile bölümü Q(x) ve kalan 3
ise, Q(x) in (x – 2) ye bölümünden kalan nedir?
A) –8
12.
B) 6
C) 8
D) 10
1. D
424
2. E
B) 4
3. A
C) 2
4. E
D) –3
5. B
6. C
A) 3
E) 22
P(x – 2) = x3 – 3x2 + 5m
polinomu veriliyor.
P(x + 1) in (x – 1) ile bölümünden kalan 1 ise,
m kaçtır?
A) 5
15. P(x), (x3 + 3) ile bölünebilen 3. dereceden bir
polinomdur. P(x) in (x + 1) ile bölümünden kalan
4 ise, (x + 2) ile bölümünden kalan nedir?
8. B
C) –2
D) – 6
E) –10
16. P(x) = (x2 – 2x + 1)·B(x) + kx + 3
polinomu (x – 1) ile tam bölündüğüne göre,
B(x) = x3 – kx2 + 3x + 4 polinomunun (x + 1) ile
bölümünden kalan nedir?
E) – 6
7. C
B) 2
A) 8
9. B
10. A
B) 7
11. B
C) 5
12. D
13. A
D) 3
14. B
E) 2
15. E
16. D
TEST -
1.
Polinomlar
P(x) = 3x3 + mx + n
polinomunun (x2 + x – 1) ile tam bölünebilmesi
için m.n değeri kaç olmalıdır?
A) –18
2.
2
B) – 6
C) –3
D) 6
5.
A) –1
E) 18
P(x) = x3 + ax
Q(x) = x3 + x – b
polinomlarının ortak bölenlerinin en büyüğü
(x – 3) ise, a + b nedir?
B) –3
C) 0
D) 3
6.
E) 21
B) –2
C) –3
D) – 4
E) – 5
(x + 1) · P(x) = x2 + a x – 2
eşitliğindeki P(x) polinomunun (x + 1) ile bölümünden kalan nedir?
A) –3
B) –2
C) –1
D) 0
E) 1
ESEN YAYINLARI
A) –21
P(x + 3) = 3x4 + x3 – 3x2 + x – 5
olduğuna göre, P(x + 2) polinomunun (x – 1 ) ile
bölümünden kalan nedir?
3.
P(x) = x3 – 3x2 – 2x + 1
polinomunun (x + 1) ile bölünmesinden elde
edilen bölüm B(x) ve kalan K(x) olduğuna göre,
B(x) + K(x) aşağıdakilerden hangisine eşit olur?
A) x2 – 3x + 2
C) x2 – 2x – 1
E) x2 – 4x + 2
4.
7.
olduğuna göre, (A, B) sayı ikilisi aşağıdakilerden
hangisidir?
B) x2 – 4x + 1
D) x2 – x + 1
P(x) polinomunun (x2 – 4) ile bölümünden kalan
(2x + 1) ve (x2 + x) ile bölümünden kalan (3x + 2)
dir. P(x) polinomunun (x2 – x – 2) ile bölümünden
kalan nedir?
3x – B
A
1
=
+
x (x + 3) x + 3 x
A) (1, 3)
B) (2, – 3)
C) (1, – 2)
D) (– 3, 1)
E) (1, – 3)
8.
3x + 2 = A + B
x 2 – 5x + 6 x – 3 x – 2
olduğuna göre, 2A + B nedir?
A) 2x
B) 3x
D) 3x + 1
C) 2x + 1
E) x + 5
A) 19
B) 14
C) 12
D) 7
E) 3
425
Polinomlar
P(x) = 3x3 – 5x2 + mx + n
9.
13. P(x) polinomunun x2 – 2x – 3 ile bölümünden
kalan (5x + 9) ise, bu polinomun (x – 3) ile
bölümünden kalan kaçtır?
polinomu (x – 2)2 ile bölünebildiğine göre,
n
oranı kaçtır?
m
A) 25
B) – 5
4
A) – 2
D) –
7
4
E) –
D) 3
E) 0
14
5
10. P(1 – x) = 4x3 – mx2 – 3x + 2 olmak üzere,
P(x) polinomunun (x + 1) ile bölümünden kalan
4 ise, m kaçtır?
C) 5
D) 4
P(x) = ax21 + bx15 + 4
polinomunun (x + 3) ile bölümünden kalan 19
ise, (x – 3) ile bölümünden kalan kaçtır?
A) –18
B) –15
C) –11
D) 6
E) 23
E) 3
ESEN YAYINLARI
B) 6
C) 15
C) – 4
7
14.
A) 8
B) 24
15.
11.
P(x, y) = (2xy2 – 3x2y + 4)m+2
polinomunun kat sayıları toplamı 243 ise, m
nedir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
P(x) = 2x10 – 3x7 + ax + b
polinomunun (x2 – 1) ile bölümünden kalan
(2x + 5) ise, a + b kaçtır?
A) 8
B) 7
C) –5
16. Bir P(x) polinomunun (x – 3) ile bölümünden
kalan 5 ve (x + 2) ile bölümünden kalan 0 ise,
x2 – x – 6 ile bölümünden kalan nedir?
A) 0
1. A
426
2. E
B) –1
3. B
C) 1
4. C
D) 4
5. E
6. A
E) –8
E) 5
12. P(x) polinomunun x2 – 5x + 4 ile bölümünden
kalan (5 – x) ise, (x – 4) ile bölümünden kalan
kaçtır?
A) –2
D) –6
E) 9
7. B
B) x – 2
D) x – 1
8. B
9. D
10. B
11. C
12. C
C) x + 2
E) x + 1
13. B
14. C
15. A
16. C
TEST -
1.
3
Polinomlar
P(x) polinomunun (x2 – 4) ile bölümünden kalan
(3x – 5) ise, bu polinomun (2x + 4) ile bölümünden kalan kaçtır?
A) 6
B) 4
C) –8
D) –9
5.
P(x) = x5 + 4x3 – 3x2 + 2x
Q(2x–1) = 4ax2 – 5x + 2
olmak üzere P(x) in (x2 + 1) ile bölümünden elde
edilen kalan Q(x) in bir çarpanı ise, a reel sayısı
nedir?
E) –11
A) 2
3
2.
P(x – 2) = (x2 – 4x + 5).Q(x + 1) + 3x + 5 ve
Q(x + 1) polinomunun (x – 2) ye bölümünden
kalan 3 ise, P(0) nedir?
A) 15
B) 14
C) 12
D) 10
6.
E) 8
B) 1
2
C) 1
3
D) 2
E) 3
P(x) = (x2 + ax – 8)3
polinomunun kat sayılar toplamı –125 ise, P(x) in
(x – 1) ile bölümünden elde edilen kalan nedir?
B) 64
C) –32
D) –64
E) –125
ESEN YAYINLARI
A) 125
3.
7.
P(x) ve Q(x) polinomları için
P (x + 1)
= x+4
Q (x + 2) + x 2
bağıntısı veriliyor.
P(x) in kat sayılar toplamı 4 ise, Q(x) polinomunun (x – 2) ye bölümünden kalan nedir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
A) 72
B) 128
C) 140
D) 142
E) 280
E) 5
8.
4.
P(x) = (2x3 + 3x – 1)3
açılımındaki tek kuvvetli terimlerin kat sayılar
toplamı nedir?
P(x) = (x – 5)2m+1 + (x + 1)m + 22n
polinomu (x – 3) ile kalansız bölündüğüne göre,
m ile n arasındaki bağıntı nedir?
A) m = 1 – n
B) m = n
C) m + 2n = 1
D) 2m = n
E) 2n = m
P(x) ve Q(x) polinomları için
P(x) x Ð 2
¥ Q(x)
¥
¥
Q(x) x + 1
¥ T(x)
¥
¥
5
1
ise, P(x) polinomunun (x + 1) ile bölümünden
kalan nedir?
A) –3
B) –1
C) 2
D) 12
E) 14
427
Polinomlar
9.
P(x) = 3x3 + mx + n
polinomu (x2 – x – 1) ile tam bölünebilmesi için
m.n aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?
A) –9
B) –6
C) 6
D) 12
13.
E) 18
A) –2
10. P(x) ve Q(x) polinomlarının (x – 2) ye bölü-
14.
münden kalanlar sıra ile 5 ve 3 ise, P(x)·Q(x)
polinomunun (x – 2) ye bölümünden kalan nedir?
A) 3
B) 5
C) 8
D) 12
P(x) = (x3 – 2x2 + x – 5)·(mx2 + x – 4)
olduğuna göre, P(x) polinomunun x4 lü teriminin
kat sayısının 5 olması için, m ne olmalıdır?
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
x3 + P(2 – x).(x + 2) – 2x = –4
eşitliğini sağlayan P(x) polinomunun sabit terimi
nedir?
E) 15
B) –1
C) –
1
2
D) 2
E) 8
ESEN YAYINLARI
A) –2
11. P(x) ve Q(x) polinomları için
ile bölümünden kalandan 4 fazla ise m nedir?
P(x) = a·(x + 1)2n–1 + (x + 1)2n
polinomu (x + 2) ile tam bölünebildiğine göre,
x ile bölümünden kalan nedir?
A) – 4
A) –2
15.
P(x + 2) = Q(x) + m + 2 eşitliği veriliyor.
Q(x) in (x + 2) ye bölümünden kalan P(x) in x
B) –6
C) –8
D) –10
E) –12
16.
12. P(x) polinomunun (x3 – 2x + 1) ile bölümünden
kalan 3x2 + ax + 4 ve P(x) in bir çarpanı (1 – x)
olduğuna göre, a kaçtır?
A) – 4
1. E
428
2. B
B) –6
3. A
C) –7
4. B
5. B
D) –10
6. E
7. C
8. C
9. E
C) 1
D) 2
E) 4
P[Q(x – 1)] = x2 – 3x + 2
polinomu veriliyor. Q(x) polinomunun (x – 3) ile
bölümünden kalan 2 ise, P(x + 1) polinomunun
(x – 1) ile bölümünden kalan nedir?
A) 6
E) –12
B) –1
10. E
B) 4
11. B
C) 2
12. C
13. A
D) –2
14. A
15. D
E) –4
16. A
TEST -
4
Polinomlar
P(x) = x3 – 3x2 + ax + b
1.
P(x) = x21 – 7x9 + 6x3 + 12
5.
polinomunun x2 – 1 ile bölümünden kalan
polinomunun x3 + 2 ile bölümünden kalan kaçtır?
2x – 3 ise a.b kaçtır?
A) –72
A) –2
2.
B) –1
C) 0
D) 1
6.
2
der[P(3x).Q (2x)] = 15 ve der[P(x)] = 3.der[Q(x)]
ise der[P(x2)] kaçtır?
B) 12
C) 16
D) 18
C) –40
D) –36
E) –18
E) 2
P(x) ve Q(x) polinomları için
A) 9
B) –60
P(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 5,
x + 2 ile bölümünden kalan –1 ise x2 + x – 2
ile bölümünden kalan nedir?
A) 3x + 2
E) 21
B) 2x + 3
E) 3x – 2
ESEN YAYINLARI
D) 2x – 3
C) x + 3
3.
7.
P(x) = x4 + 3x2 + ax + b
ise
polinomu x2 – 1 ile tam bölünebiliyorsa a + b
kaçtır?
A) –5
B) – 4
C) –2
D) 2
P(x) = x3 + x2 – x – 1 ve Q(x) = x3 + 2x2 + x
A)
E) 4
P (x)
aşağıdakilerden hangisidir?
Q (x)
x
x –1
B)
D)
4.
P(x – 1) = (x2 – 4x + 3)Q(x)
x
x+1
1
x
C)
x –1
x
E) x
eşitliğini sağlayan P(x) ve Q(x) polinomları için
Q(4) = 6 ise P(3) kaçtır?
P(x) polinomunun x2 + 2x – 3 ile bölümünden
kalan 6 – 2x ise x + 3 ile bölümünden kalan
kaçtır?
A) 12
A) –6
B) 15
C) 16
D) 18
8.
E) 20
B) –3
C) 3
D) 6
E) 12
429
Polinomlar
P(x) = 2x3 + x2 – 2ax + b
9.
13.
polinomu (x + 1)2 ile tam bölünebiliyorsa a.b
kaçtır?
A) –3
B) – 4
C) –6
D) –9
P(x – 2) = (x2 + 2x + 3)Q(x + 1)
eşitliğini sağlayan P(x) ve Q(x) polinomları için
Q(x + 1) in x – 3 ile bölümünden kalan 5 ise
P(x + 1) in sabit terimi kaçtır?
E) –12
A) 90
10. P(3x2 – x) = 2x2 –
14.
hangisidir?
D) 95
E) 100
P(x) = (x + 1)7
polinomunun çift dereceli terimlerinin kat sayıları
toplamı kaçtır?
B)
1
(x + 2)
3
C)
2
(x – 2)
3
E)
2
(x – 1)
3
1
(x – 2)
3
11. P(x) polinomunun x2 – 2x ile bölümünden bölüm
Q(x) kalan 1 – 6x ise, P(x) in x – 2 ile bölümünden elde edilen bölüm nedir?
A) xQ(x) + 6
B) xQ(x) – 4
D) xQ(x) – 6
A) 128
ESEN YAYINLARI
2
(x + 2)
3
D)
C) 94
2x 4
+
3 3
olduğuna göre, P(x) polinomu aşağıdakilerden
A)
B) 92
15.
B) 120
C) 80
E) 0
P(x) = 2x4 – 4x2 – 3
polinomunun x2 + x + 1 ile bölümünden kalan
nedir?
C) xQ(x) – 1
A) 6x + 5
E) xQ(x) + 4
B) 6x + 4
D) 6x + 2
16.
12. P(x + 1) polinomunun sabit terimi 7,
D) 64
C) 6x + 3
E) 6x + 1
P(x – 1) + P(x + 1) = 4x2 + 10x + 4
P(x) in x – 1 ile bölümünden kalan nedir?
eşitliğini sağlayan P(x) polinomu aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 5x + 2
A) 2x2 + 5x
P(x – 2) polinomunun kat sayılar toplamı 3 ise
2
B) 5x – 2
D) 2x – 5
1. C
430
2. D
3. B
C) 2x + 5
D) x2 – 5x
E) 4x + 3
4. D
5. A
6. B
B) 2x2 – 5x
7. C
8. E
9. C
10. A
11. D
12. C
C) x2 + 5x
E) 2x2 + x
13. A
14. D
15. E
16. A
TEST -
1.
5
Polinomlar
P(x) = (a – 2)x3 + (b – 3)x2 + (c + 2)x + abc
5.
polinomu sabit polinom ise P(1) kaçtır?
A) –12
B) –8
C) –6
D) 6
P(1 – 2x) = 4x2 – 8x – 5
olmak üzere, P(x) polinomu aşağıdakilerden hangisine tam bölünür?
E) 12
A) x + 2
B) x – 4
D) x + 1
2.
P(x) = x6 – 4(x3 – 2x)4
polinomunun
nedir?
A) 4x2
x3 – 2x
B) 2x2
6.
ile bölümünden kalan
C) 2x
D) 4x
polinomu x2 – 4 ile tam bölünüyorsa bölüm polinomu aşağıdakilerden hangisidir?
E) 0
ise P(x) polinomunun kat sayılar toplamı kaçtır?
B) –17
C) –18
D) –19
7.
C) x – 3
E) x + 3
P(x) = (x2 + 1)4.(x3 + x2 – 2)7
olduğuna göre, P(x2) polinomu kaçıncı derecedendir?
E) –20
A) 29
4.
B) x – 1
D) x
ESEN YAYINLARI
P(2x – 1) = x3 + ax2 – 12x – 16 ve P(3) = 8
A) –16
E) x – 1
P(x) = x3 + mx2 + nx + 4
A) x + 1
3.
C) x + 4
B) 34
C) 39
D) 48
E) 58
P(x) = x4 + ax3 + 6x2 + bx + 10
olmak üzere, P(x – 1) polinomunun x – 2 ile
bölümünden kalan 12 ise, P(x + 1) polinomunun
x + 2 ile bölümünden kalan kaçtır?
A) 20
B) 21
C) 22
D) 23
E) 24
8.
P(x) = (x4 – 7x3 + 4x2 + 1)6
polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
431
Polinomlar
P(x) = x3 + ax – 5b
9.
polinomunun bir çarpanı x2 – x – 6 ise a kaçtır?
A) –5
B) – 6
P(x) = x3 + 2x2 – 5x + 3
13.
C) –7
D) – 8
polinomunun x2 – x + 1 ile bölümünden bölüm
Q(x) kalan –3x ise Q(x) in kat sayılar toplamı
kaçtır?
E) – 9
A) 5
14.
P(x) = 3x8 – ax4 + 2
10.
B) 9
C) 6
D) 3
C) 3
D) 2
E) 1
P(x) = (x + 5) Q(x) + 1 – 3x
Q(x) = (x – 3).R(x) + 1
polinomunun x2 + v3 ile bölümünden kalan 2
ise a kaçtır?
A) 27
B) 4
olduğuna göre, P(x) polinomunun x – 3 ile bölümünden kalan kaçtır?
E) 1
B) –2
C) 0
D) 2
E) 4
ESEN YAYINLARI
A) –4
P(x) = x3 – 6x2 + 12x – 5
11.
polinomunun x – 2 +
kaçtır?
A) – 6
B) – 4
3
3
15.
ile bölümünden kalan
C) –3
D) –2
x2 – mx – 2 = (x – 2)P(x)
eşitliğini sağlayan P(x) polinomu için P(m) kaçtır?
E) 0
A) –2
12. P(x) polinomunun derecesi a ve Q(x) polinomunun derecesi b ise P[Q(x)] polinomunun
derecesi nedir?
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
16. P(x) ve Q(x) polinomları için
der 6P 3 (x 2) @
= 15 ve der[P2(x).Q3(x)] = 36 ise
der 6Q (x 3) @
der[P(x)] kaçtır?
A) ba
B) ab
D) a + b
1. A
432
2. A
3. B
C) ab
E) a – b
4. C
5. C
6. B
A) 15
7. E
8. D
9. C
10. B
B) 14
11. E
C) 13
12. C
13. B
D) 12
14. C
E) 10
15. E
16. A
TEST -
1.
6
Polinomlar
P(x) polinomunun x4 – 1 ile bölümünden kalan
3
2
5.
2
x + x + x + 1 ise, x – 1 bölümünden kalan
nedir?
A) 2x
B) 2x + 1
D) 2x – 1
x3P(x) – 2xQ(x) polinomunun x – 3 ile bölümünden kalan kaçtır?
C) 2x + 2
A) 46
E) 2x – 2
6.
P(x) polinomunun x2 – 9 ile bölümünden kalan
B) 47
D) 49
E) 50
6x – 10 ise, P(3x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan kaçtır?
koşulunu sağlayan P(x) polinomu aşağıdakilerden hangisidir?
A) – 4
A) x2 – 2x + 2
B) –2
C) 2
D) 4
E) 8
B) x2 – 2x – 2
D) x2 + 2x – 2
C) x2 – 2x – 1
E) x2 + 2x – 1
P(x – 3) = x3 + 3x2 – 2x
3.
olmak üzere, P(x + 1) polinomunun x + 2 ile
bölümünden kalan kaçtır?
A) 16
B) 15
C) 14
D) 13
7.
Sabit terimi –7 olan 3. dereceden P(x) polinomunun x – 1 , x + 2 ve x – 3 ile bölümlerinden
kalan 5 ise P(–1) kaçtır?
E) 12
A) –12
4.
C) 48
P(x) + P(2x) = 5x2 + 6x – 4
ESEN YAYINLARI
2.
P(x) ve Q(x) polinomlarının x – 3 ile bölümlerinden kalanlar sırasıyla 2 ve 1 ise
P(x) ve Q(x) polinomları için,
8.
der[P2(x3).Q(x)] = 29
B) –11
C) –10
D) –9
E) –8
P(x) polinomunun x2 + 1 ile bölümünden kalan
x + 2 ise P2(x) polinomunun x2 + 1 ile bölümünden kalan nedir?
der[P(x)] + der[Q(x)] = 9
olduğuna göre, der[P(x)] kaçtır?
A) 4x + 3
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
D) 4x – 1
B) 4x + 2
C) 4x + 1
E) 4x – 3
433
Polinomlar
(x2 – 1)P(x) = x5 – 5x4 + ax + b
9.
13. P(x + 1) ve Q(x + 1) polinomlarının x – 2 ile bölümlerinden kalanlar sırasıyla 2 ve 3 ise P(x).Q(x)
polinomunun x – 3 ile bölümünden kalan kaçtır?
olmak üzere, P(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan kaçtır?
A) –8
B) –9
C) –12
D) –14
A) 12
E) –15
P(x) + xP(–x) = –x2 – 4x – 5
10.
C) – 4
D) –3
D) 6
E) 3
A) 9
E) –2
B) 10
C) 11
D) 12
E) 14
ESEN YAYINLARI
B) –5
C) 8
14. P(x) polinomunun x3 + 4 ile bölümünden bölüm
x2 + 1 kalan x + 3 ise P(1) kaçtır?
koşulunu sağlayan P(x) polinomu için P(3) kaçtır?
A) –6
B) 9
(x + 1) P(x) = x3 + 3x2 + ax
15.
11. Baş kat sayısı 3 olan 2. dereceden P(x) polinomun sabit terimi 4 ve kat sayılar toplamı 15 ise
P(–1) kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
A) x + 1
E) 2
B) x – 1
D) x + 3
C) x – 3
E) x + 2
P(x – 1) = x2.Q(x + 2) + 2x – 1
16.
x4 + x3 – 4x2 + ax + b
12.
koşulunu sağlayan P(x) polinomunun bir çarpanı
aşağıdakilerden hangisidir?
polinomunun x2 – 3x + 2 ile bölümünden kalan
5 ise b kaçtır?
olmak üzere, P(x) in x + 3 ile bölümünden kalan
11 ise Q(x) in sabit terimi nedir?
A) 16
A) 3
1. C
434
2. E
B) 17
3. A
C) 18
4. B
D) 19
5. C
6. D
E) 20
7. B
8. A
9. E
10. E
B) 4
11. B
C) 5
12. B
13. D
D) 6
14. E
E) 7
15. E
16. B
TEST -
7
Polinomlar
n + 10
1.
A) 3
2.
B) 4
C) 5
D) 6
eşitliğini sağlayan A.B kaçtır?
A) 2
E) 7
P(x – 2) = x2 + 2x – 3
olmak üzere, P(x + 1) polinomunun sabit terimi
ile P(x – 1) polinomunun kat sayılar toplamı
kaçtır?
B) 14
C) 15
D) 16
3.
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
A) (0, 1)
A) x + 4
B) x + 3
D) x + 1
C) x + 2
E) x – 1
B) (–1, 1)
D) (1, –1)
7.
E) 8
P(x) = x3 + x2 – x + 4
polinomunun x2 – x ile bölümünden kalan nedir?
D) –1
E) –2
(a, b) nedir?
8.
C) (1, 0)
E) (–1, 0)
P(x) bir polinom olmak üzere,
P(2x + 1) = 2x2 – x + 1 ise P(2) kaçtır?
A) 1
4.
C) 0
polinomu (x – 1)2 ile tam bölünebiliyorsa
E) 17
P(x – 1) polinomunun x2 – 4 ile bölümünden
kalan 2x + 1 ise P(x) in kat sayılar toplamı kaçtır?
B) 1
P(x) = x3 + ax2 – bx + 1
6.
ESEN YAYINLARI
A) 13
x+3
A
B
=
+
x2 – 1 x – 1 x + 1
5.
P(x) = x n + 2 + 2x2 – 1
ifadesi bir polinom gösteriyorsa n nin alabileceği
kaç tam sayı değeri vardır?
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
P(x – 3) = 2x2 – 3x + 6
polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
435
Polinomlar
9.
P(x) = a(x – 2)7 + b(x – 2)5 – 2
polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 6 ise
x – 3 ile bölümünden kalan kaçtır?
A) –18
10.
B) –15
C) –12
D) –10
13.
A) 7
E) –9
C) 24
D) 25
11.
(x – 2).P(x + 1) = 4x – 3x + c
olmak üzere, P(x) polinomunun x – 3 ile bölümünden kalan kaçtır?
B) 12
C) 11
D) 10
B) 3x + 1
D) 4x + 1
1. C
436
2. E
3. B
C) 3x + 4
5. E
6. B
A) 5
7. A
8. B
E) x + 4
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
16. P(x) bir polinom olmak üzere,
P(x + 2) + P(–x) + P(2x + 3) = 6x2 + 16x + 19
eşitliği veriliyor. Buna göre, P(x + 4) polinomunun x + 3 ile bölümünden kalan kaçtır?
E) 4x + 3
4. A
C) x + 1
eşitliğini sağlayan P(x) polinomunun sabit terimi
7 ise Q(x) polinomunun kat sayıları toplamı
kaçtır?
A) 1
A) 3x + 2
E) 11
P (x – 2) + x 2 – 1
= x2 + 1
Q (x – 1)
15.
E) 9
12. P(x) polinomunun x2 + x ile bölümünden kalan
2x + 1, x2 + x – 2 ile bölümünden kalan 3x + 4
ise P(x) polinomunun x2 – 1 ile bölümünden
kalan nedir?
D) 10
B) x – 1
D) x + 3
E) 26
2
A) 13
C) 9
A) x – 3
ESEN YAYINLARI
B) 23
B) 8
14. P(x – 1) polinomunun x ile bölümünden kalan 2,
P(x + 1) in sabit terimi 4 ise P(x) in x2 – 1
ile bölümünden kalan nedir?
P(x – 2) = 2x2 – 3x + 4
olmak üzere, P(x + 1) polinomunun x – 1 ile
bölümünden kalan kaçtır?
A) 22
P(x) = x3 + ax2 – bx + 2
polinomunun x2 – x + 1 ile bölümünden kalan
2x + 3 ise a.b kaçtır?
9. D
10. C
B) 4
11. A
C) 3
12. E
13. B
D) 2
14. D
E) 1
15. B
16. C
Üniversiteye Giriş Sınav Soruları
1.
1981 – ÖYS
P(x) polinomunda,
P(x + 2) = 2x3 + 10x2 – 3x + 15 olduğuna göre,
P(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan
nedir?
5.
1984 – ÖYS
P(x) = 2x17 + ax11 – 4
olduğuna göre, a nın hangi değeri için, P(x) in
çarpanlarından biri (x – 1) dir?
A) –2
A) 0
2.
B) 2
C) 10
D) 15
1982 – ÖYS
P(x) = 3x36 – 5x18 – 4
polinomunun, ( x9 + v3 ) ile bölümündeki kalan
nedir?
B) 5
C) 6
D) 7
6.
E) 8
ESEN YAYINLARI
A) 4
3.
1983 – ÖSS
(3x4 – 5x3 + 2x – 1).(5x3 + 7x2 – 8x + 6)
çarpımı yapıldığında x5 in kat sayısı kaç olur?
A) 35
B) 32
C) 24
D) –32
C) 2
D) 1
E) 0
1984 – ÖYS
P(x) = (x3 + 2x2 – 3x + 1).Q(x) + x + 1
bağıntısında, Q(x) bir polinomdur. P(x) in x – 1
ile bölümündeki kalan 5 olduğuna göre, Q(x) in
x – 1 ile bölümündeki kalan nedir?
A) 6
7.
E) –59
1983 – ÖYS
P (x – 2)
= x2 – x – 2
Q (x)
C) 4
D) 3
E) 2
B) –2
C) –3
D) 1
E) 3
bağıntısı veriliyor.
Q(x) polinomunun, (x – 3) ile bölümündeki
kalan 3 olduğuna göre, P(1) in değeri kaçtır?
1987 – ÖYS
Bir polinomun (x – 2)2 ile bölümünden kalan
3x + 8 olduğuna göre, bu polinomun x – 2 ile
bölümünden kalan nedir?
A) 3
A) 15
B) 6
C) 9
8.
B) 5
1985 – ÖYS
Q(x) = x3 + 3x2 – 2x – 3
çokterimlisi, P(x) gibi bir çokterimli ile bölünüyor.
Bölüm x olduğuna göre, kalan ne olur?
A) –1
4.
B) –1
E) –3
D) 12
E) 15
B) 14
C) 12
D) 10
E) 8
437
Polinomlar
9.
1988 – ÖYS
P(x) ve Q(x) gibi iki polinomun, x – 5 ile bölümünden kalan sırasıyla 2 ve 3 ise P(x).Q(x)
çarpımının x – 5 ile bölümünden kalan ne olur?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
13. 1992 – ÖYS
a 8 + 4a 2 – 8
a2 + 2
işleminin sonucu, aşağıdakilerden hangisidir?
E) 6
A) a6 – a5 + a4 – 4
B) a6 – a5 – 4a4 – 4
C) a6 – 2a4 + 4a2 – 4
D) a6 – a5 – 4
E) a6 + 4a2 – 4
10. 1989 – ÖYS
P(x) = ax4 + 4x3 – 3x2 + bx + c
nin iki katlı bir kökü x = 2 olduğuna göre, a ile
b arasındaki bağıntı nedir?
A) 16a + 2b + 24 = 0
B) 16a + b – 32 = 0
C) 16a + b – 24 = 0
D) 32a + b + 36 = 0
14. 1993 – ÖYS
P(x) = x3 + 5x2 + 5x + 27
polinomu, Q(x) polinomu ile bölündüğünde,
bölüm x + 5 olduğuna göre, kalan kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 2
D) 3
E) 4
11. 1990 – ÖYS
P(x) ve Q(x) polinomlarının,
x – 1 ile bölümlerinden kalanlar sırası ile –4 ve
6 olduğuna göre, t nin hangi değeri için,
3P(x) + tQ(x) polinomu, x – 1 ile tam olarak
bölünür?
A) –3
B) –2
C) 1
D) 2
E) 3
ESEN YAYINLARI
E) 32a + b + 10 = 0
15. 1994 – ÖYS
P(x – 2) = (x2 + 1).Q(x – 1) – x – 1
eşitliği verilmiştir. P(x) polinomunun (x – 3) ile
bölümünden kalan 20 olduğuna göre, Q(x) polinomunun (x – 4) ile bölümünden kalan kaçtır?
A) 0
A) 2x2 – x – 3
B) 2x2 + x – 3
C) 2x2 – x + 3
D) 4x2 + x – 1
2
E) 4x – x + 1
438
C) 2
D) 3
E) 4
16. 1995 – ÖSS
Q(x – 2) = x3 – 5x + a
çokterimlisi veriliyor. Q(x) çokterimlisinin sabit
terimi 7 olduğuna göre, Q(x) çokterimlisinin kat
sayıları toplamı kaçtır?
A) 11
12. 1991 – ÖYS
P(x – 1) + P(x + 1) = 4x2 – 2x + 10
olduğuna göre, P(x) polinomu aşağıdakilerden
hangisidir?
B) 1
B) 18
C) 21
D) 39
E) 47
17. 1996 – ÖSS
Q(3x) = 18x + 6
olduğuna göre, Q(x) polinomunun x – 5 ile
bölümünden kalan kaçtır?
A) 32
B) 36
C) 54
D) 86
E) 96
Polinomlar
18. 1996 – ÖYS
23. 1999 – ÖSS
P(x) ve Q(x) polinomları için,
P(x + 2) = (x3 – 2x – 3).Q(x) + x2 + x + 1
bağıntısı sağlanmaktadır. Q(x) in sabit terimi 5
olduğuna göre, P(x) polinomu (x – 2) ile bölündüğünde kalan kaçtır?
P(x) = x4 + 1 x3 + x2 + ax
2
polinomunun, x2 + 1 ile kalansız bölünebilmesi
için a kaç olmalıdır?
A) 1
B)
1
2
C)
1
3
D) –
1
3
E) –1
A) –16
19. 1997 – ÖSS
Q(x) = x3 + 5x2 + px – 8
polinomunun çarpanlarından biri (x – 2) olduğuna göre, p nin değeri kaçtır?
A) –15
B) –10
C) 5
D) 13
B) 2x2 – x + 3
C) 4x2 + 2x – 3
D) 4x2 + 4x – 3
21. 1998 – ÖYS
Bir P(x) polinomunun x(x + 3) ile bölümünden
kalan 9 – 9x olduğuna göre, x + 3 ile bölümünden kalan kaçtır?
B) 33
C) 36
D) 39
E) 42
22. 1999 – ÖSS
Kat sayılarının toplamı –2 olan bir P(x) polinomunun (x + 3) ile bölümünden kalan –10 dur.
Buna göre, P(x) polinomunun x2 + 2x – 3 ile
bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2x – 4
B) 2x – 1
D) 20
B) 3
D) 0
E) 11
C) 4
D) 6
E) 8
25. 2000 – ÖSS
P(x) bir polinom ve x3 + ax – 8 = (x – 2).P(x)
olduğuna göre, P(2) nin değeri kaçtır?
A) 36
E) 4x2 + 4x – 2
A) 30
ESEN YAYINLARI
A) 2
A) 2x2 – x – 3
C) –14
24. 2000 – ÖSS
P(x) bir polinom,
P(x – 1) + x2.P(x + 1) = x3 + 3x2 + x + 1 ve
P(2) = 4 olduğuna göre, P(x) polinomunun sabit
terimi kaçtır?
E) 6
20. 1997 – ÖYS
P(x – 2) = x2 – x – 3
olduğuna göre, P(2x – 1) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
B) –15
B) 32
C) 24
D) 12
E) 0
26. 2002 – ÖSS
10x – 5
A
B
=
+
x 2 – 4x – 5 x – 5 x + 1
olduğuna göre, A – B farkı kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
27. 2002 – ÖSS
Her x gerçel sayısı için,
x2 + ax – 5 = (x + 1).(bx + c) olduğuna göre,
a + b + c toplamı kaçtır?
C) 3x + 1
E) –12
A) –9
B) –8
C) 0
D) 8
E) 9
439
Polinomlar
28. 2003 – ÖSS
Her x gerçel sayısı için,
32. 2010 – LYS
P(x) üçüncü dereceden bir polinom fonksiyonu
olmak üzere,
P(–4) = P(–3) = P(5) = 0
P(0) = 2
olduğuna göre, P(1) kaçtır?
2x – 4 = ax(x – 1) + bx(x + 1) + c(x2 – 1)
olduğuna göre, a.b.c çarpımı kaçtır?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 16
A)
29. 2004 – ÖSS
8
3
C)
7
4
D)
9
4
E)
8
5
Gerçel katsayılı P(x), Q(x) ve R(x) polinomları
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = (x2 – 1)(px2 + qx + r) + 2x – 1
olduğuna göre, a + c + e toplamı kaçtır?
B) –1
B)
33. 2011 – LYS
Her x gerçel sayısı için,
A) –2
7
3
C) 0
D) 1
veriliyor. Sabit terimi sıfırdan farklı P(x) polinomu
için P(x) = Q(x).R(x + 1) eşitliği sağlanıyor.
P nin sabit terimi Q nun sabit teriminin iki katı ol-
E) 2
duğuna göre, R nin kat sayılarının toplamı kaçtır?
30. 2009 – ÖSS
(1 – x + x2)10 = a0 + a1x + a2x2 + ... + a20x20
olduğuna göre, çift indisli kat sayıların toplamı
olan a0 + a2 + a4 + a6 + ... + a20 kaçtır?
A) 210 + 1
D)
B) 310 – 1
3 10 + 1
2
E)
ESEN YAYINLARI
A)
2
3
440
B)
–1
2
C)
3
2
3
4
D) 1
E) 2
P(x) = ( x + a ).( x + b )
polinomunun katsayılarının toplamı 15 olduğuna
4 10 + 1
2
D) 2
C)
a ve b birer pozitif tam sayı olmak üzere,
C) 410 – 1
göre, a + b toplamı kaçtır?
31. 2010 – LYS
P(x) = 2x3 – (m + 1)x2 – nx + 3m – 1
polinomu x2 – x ile tam bölünebildiğine göre,
m – n kaçtır?
–1
3
1
4
34. 2012 – LYS
A) 10
A)
B)
E) 3
B) 9
C) 8
D) 7
E) 6
35. 2013 – LYS
Baş katsayısı 3 olan ikinci dereceden bir P(x)
polinomu için
P(1) – P(0) = 2
olduğuna göre, P(2) – P(1) değeri kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
POLİNOMLAR
. ÜNİTE
6. ÜNİTE
6. ÜNİTE
6. ÜNİTE
ÇARPANLARA AYIRMA
Polinomlarda Çarpanlara Ayırma
1.
Kazanım
: Gerçek katsayılı bir polinomu çarpanlarına ayırır.
Polinom ve Rasyonel Denklemlerin Çözüm Kümeleri
1.
Kazanım
: Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve rasyonel ifadelerin sadeleştirilmesi
ile ilgili uygulamalar yapar.
2.
Kazanım
: Polinom ve rasyonel denklemlerle ilgili uygulamalar yapar.
6. ÜNİT
Çarpanlara Ayırma
ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA
Verilen ifadelerin her teriminde ortak bir çarpan varsa, ifade bu çarpan parantezine alınır.
P(x).Q(x) ± P(x).R(x) = P(x).[ Q(x) ± R(x) ]
Ortak Çarpan Parantezine Almanın Geometrik Yorumu
a
a2
a
a.b a
a
a
a.(a+b)
a
b
Þekil - I
b
Þekil - II
I. şekildeki kare ile dikdörtgenin alanları toplamı a2 + ab dir.
I. şekildeki alanların toplamını ifade eden II. şekildeki dikdörtgenin alanı a(a + b) dir.
O halde, a2 + ab = a(a + b) olur.
ÖRNEK 3
Aşağıdaki ifadeler ortak çarpan parantezine alınarak çarpanlarına ayrılmıştır. İnceleyiniz.
®
2xy2 + 4x2yz = 2xy(y + 2xz)
®
3ax – 6ay + 9az = 3a(x – 2y + 3z)
®
(x + 1)y – (x + 1)z = (x + 1)(y – z)
®
(x – y)2 + 3(y – x) = (x – y)2 – 3(x – y) = (x – y)(x – y – 3)
GRUPLANDIRMA
Verilen ifadelerde ortak çarpanı olan terimler bir araya getirilerek gruplanır ve ortak çarpan parantezine alınır.
Gruplandırarak Çarpanlara Ayırmanın Geometrik Yorumu
x
a
ax
a
a(x+y)
b
b(x+y)
y
ay
x
I
x
bx
by
II
a
a
(a+b)(x+y)
b
(a+b)x
b
y
y
(a+b)y
x
y
b
Şekilde görüldüğü gibi ax + ay + bx + by ifadesine karşılık gelen alanlar 2 ayrı şekilde birleştirilebilir.
I. ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b).(x + y)
II. ax + ay + bx + by = (a + b)x + (a + b)y = (a + b).(x + y)
442
Çarpanlara Ayırma
ÖRNEK 4
Aşağıdaki ifadeler gruplandırılarak çarpanlarına ayrılmıştır. İnceleyiniz.
®
a3 + a2 + a + 1 = a2(a + 1) + (a + 1) = (a + 1)(a2 +1)
®
ax + bx – ay – by = x(a + b) – y(a + b) = (a + b)(x – y)
®
m(n2 + 3) – n(m2 + 3) = mn2 + 3m – nm2 – 3n = mn2 – nm2 + 3m – 3n = mn(n – m) – 3(n – m)
= (n – m)(mn – 3)
ÖZDEŞLİKLER
İçindeki değişkenlere verilen her değer için doğru olan eşitliklere özdeşlik denir. Bu bölümde kullanacağımız
özdeşlikler, iki kare farkı, tam kare ve iki küp toplamı veya farkı gibi özdeşliklerdir.
İKİ KARE FARKI ÖZDEŞLİĞİ
x2 – y2 = (x – y)(x + y)
x2 – y2 = (x – y)(x + y) Özdeşliğinin Geometrik Yorumu
y
xÐy
y
y
y
I
x
x
x
II
III
xÐy
x
Şekilde görüldüğü gibi, kenar uzunluğu x birim olan bir karenin bir köşesinden, kenar uzunluğu y birim olan bir
kare çıkarılmıştır. Geriye kalan şeklin alanı, I, II ve III numaralı alanların toplamına eşit olacağından
x2 – y2 = I + II + III = (x – y)y + (x – y)(x – y) + (x – y)y
= (x – y) (y + x – y + y)
= (x – y)(x + y) bulunur.
ÖRNEK 5
Aşağıdaki ifadeler iki kare farkı özdeşliğinden yararlanılarak çarpanlarına ayrılmıştır. İnceleyiniz.
®
x2 – 1 = x2 – 12 = (x – 1)(x + 1)
®
x2 – 9 = x2 – 32 = (x – 3)(x + 3)
®
x2 – 4y2 = x2 – (2y)2 = (x – 2y)(x + 2y)
®
4a2 – 9b2 = (2a)2 – (3b)2 = (2a – 3b)(2a + 3b)
®
2a2 – 8b2 = 2(a2 – 4b2) = 2(a – 2b)(a + 2b)
®
542 – 462 = (54 – 46)(54 + 46) = 8.100 = 800
443
Çarpanlara Ayırma
ÖRNEK 6
ÖRNEK 7
Aşağıdaki ifadeler iki kare farkı özdeşliğinden yararlanılarak çarpanlarına ayrılmıştır. İnceleyiniz.
Aşağıdaki çarpma işlemlerini inceleyiniz.
®
(x – 3y)(x + 3y) = x2 – (3y)2 = x2 – 9y2
®
1
1
1 2
1 2
1 1 1 1
– 2 = c m – c m = c – mc + m
2
x
y
x y x y
x
y
®
(a2 – b3)(a2 + b3) = (a2)2 – (b3)2 = a4 – b6
®
a6 – b4 = (a3)2 – (b2)2 = (a3 – b2)(a3 + b2)
®
(a – 1)(a + 1) = a2 – 12 = a2 – 1
®
x4 – y4 = (x2)2 – (y2)2 = (x2 – y2)(x2 + y2)
®
(2a – 3b)(2a + 3b) = (2a)2 – (3b)2 = 4a2 – 9b2
®
(a4 – b3)(a4 + b3) = (a4)2 – (b3)2 = a8 – b6
= (x – y)(x + y)(x2 + y2)
TAM KARE ÖZDEŞLİĞİ
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(x – y)2 = x2 – 2xy + y2
(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + xz + yz)
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2 Özdeşliğinin Geometrik Yorumu
y
x
y
y
x
x
x
x+y
x
x
y
xy
y2 y
x2
xy x
x
x+y
Şekilde görüldüğü gibi, kenar uzunluğu x birim olan bir karenin iki kenarı y birim uzatılmıştır. Oluşan karenin
alanı, üzerinde bulunan parçaların alanları toplamına eşit olacağından
(x + y)2 = x2 + xy + xy + y2 ⇒ (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 elde edilir.
(x – y)2 = x2 – 2xy + y2 Özdeşliğinin Geometrik Yorumu
x
y
x
x
y
(x Ð y)y
y2
xÐy
(x Ð y)2
(x Ð y)y
y
xÐy
y
x
Şekilde görüldüğü gibi, kenar uzunluğu x birim olan karenin bir köşesinden kenar uzunluğu y birim olan bir kare
çizilmiştir. Büyük karenin alanı, üzerindeki parçaların alanları toplamına eşit olacağından
(x – y)2 + y(x – y) + y(x – y) + y2 = x2 ⇒ (x – y)2 + xy – y2 + xy – y2 + y2 = x2
⇒ (x – y)2 = x2 – 2xy + y2 bulunur.
444
Çarpanlara Ayırma
a+b+c
a+b+c
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) Özdeşliğinin Geometrik Yorumu
a
b
a2
ba ca a
ab
b2 cb b
ac
bc c2 c
a+b+c
c
a+b+c
Şekilde görüldüğü gibi kenar uzunluğu a + b + c olan karenin alanı üzerindeki parçaların alanları toplamına
eşit olacağından
(a + b + c)2 = a2 + ab + ac + ba + b2 + bc + ca + cb + c2
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
= a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) olur.
ÖRNEK 8
ÖRNEK 9
Aşağıda açılımı yapılan ifadeleri inceleyiniz.
®
(x + 1)2 = x2 + 2.x.1 + 12 = x2 + 2x + 1
®
(2x + y)2 = (2x)2 + 2.2x.y + y2
Aşağıda çarpanlarına ayrılmış olan ifadeleri inceleyiniz.
= 4x2 + 4xy + y2
®
(2a – 3b)2 = (2a)2 – 2.2a.3b + (3b)2
= 4a2 – 12ab + 9b2
2
(–a – b) = (–a) + 2.(–a)(–b) + (–b)
2
2
2
= a + 2ab + b
®
®
ca –
3 2
3
3 2
m = a 2 – 2.a. + c m
a
a
a
9
= a2 – 6 + 2
a
(x + y – z)2 = x2 + y2 + (–z)2 + 2(x.y + x(–z) + y(–z))
= x2 + y2 + z2 + 2(xy – xz – yz)
®
x2 – 4x + 4 = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2
®
a2 + 4ab + 4b2 = a2 + 2.a.2b + (2b)2 = (a + 2b)2
®
9x2 – 6xy + y2 = (3x – y)2
®
–m2 + 8m – 16 = – (m2 – 8m + 16) = – (m – 4)2
®
x7 – 6x4 + 9x = x(x6 – 6x3 + 9) = x(x3 – 3)2
®
x2 – y2 + 2y – 1 = x2 – (y2 – 2y + 1)
= x2 – (y – 1)2
ESEN YAYINLARI
®
2
®
= [x – (y – 1)].[x + (y – 1)]
= (x – y + 1)(x + y – 1)
ÖRNEK 10
a4 + 4
ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Çözüm
(a – b + 3)2 = a2 + (–b)2 + 32 + 2(a.(–b) + a.3 + (–b).3)
= a2 + b2 + 9 + 2(–a.b + 3a – 3b)
®
(x2–x–1)2=(x2)2+(–x)2+(–1)2+2[x2(–x)+x2(–1)+(–x)(–1)]
= x4 + x2 + 1 + 2(–x3 – x2 +x)
= x4 + x2 + 1 – 2x3 – 2x2 + 2x
= x4 – 2x3 – x2 + 2x + 1
445
Çarpanlara Ayırma
ÖRNEK 11
ÖRNEK 12
x2 – 24x + a – 2
a2 + b2 + 2a – 4b + 5 = 0
üç terimlisi bir tam kare olduğuna göre a kaçtır?
eşitliğini sağlayan a + b kaçtır?
Çözüm
Çözüm
İKİ KÜP TOPLAMI VEYA FARKI
x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2)
x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2)
x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2) Özdeşliğinin Geometrik Yorumu
x
x
x
x
xÐy
I
x
x
y y
y
II
y
y
III
xÐy
y
xÐy
Şekilde görüldüğü gibi bir ayrıtının uzunluğu x birim olan bir küpün köşesinden, bir ayrıtının uzunluğu y birim
olan küp çıkarılmıştır.
Geriye kalan katı cismin hacmi I, II ve III numaralı cisimlerin hacimleri toplamına eşit olacağından
x3 – y3 = I + II + III = x2(x – y) + x(x – y)y + (x – y)y2 = (x – y)(x2 + xy + y2) bulunur.
ÖRNEK 13
Aşağıdaki ifadeler iki küp farkı veya toplamından yararlanılarak çarpanlarına ayrılmıştır. İnceleyiniz.
®
x3+1 = x3+13 = (x+1)(x2–x.1+12) = (x+1)(x2–x+1)
®
x3–1 = x3–13 = (x–1)(x2+x.1+12) = (x–1)(x2+x+1)
®
x3+8= x3+23 = (x+2)(x2–x.2+22) = (x+2)(x2–2x+4)
®
a3–27b3 = a3 – (3b)3 = (a – 3b)(a2 + 3ab + 9b2)
®
x3 +
1
1 3
1
1
1 2
1
1
= x 3 + c m = c x + md x 2 – x. + c m n = c x + mc x 2 – 1 + 2 m
3
x
x
x
x
x
x
x
446
ALIŞTIRMALAR -
1.
1
c. 8x2 – 2y2
Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
a. 2x3y2 – 6x2y
d. (a – b)2 – (b + 2a)2
b. 2a(x – y) – b(y – x)
e. (a + b – c)2 – (a – b + c)2
c. (a + 2)(1 – 2x) + b(2x – 1)
f.
1
– x4
81
h.
a2 b2 c2
–
4
9
e. ab(x2 + y2) – xy(a2 + b2)
ESEN YAYINLARI
d. a2 – 9a + a – 9
3.
Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
a. x3 – 27
f.
abc – abd – c + d
b. 64a3 + 27
g. a4 + a3 – a – 1
2.
Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
c.
x3
– 125
8
a. 9x2 – 4
b. a6b2 – c4
d. (x + 1)3 + 8
447
Çarpanlara Ayırma
ax2 + bx + c BİÇİMİNDEKİ İFADELERİ ÇARPANLARINA AYIRMA
®a=1
olması durumunda aşağıda ifade edildiği gibi çarpanlarına ayırırız.
x2 + bx + c = (x + m)(x + n)
(m + n = b , m.n = c oluyorsa)
®a≠1
olması durumunda aşağıda ifade edildiği gibi çarpanlarına ayırırız.
ax2 + bx + c = (mx + d)(nx + e)
a
b
c
m
d
n
e
m.n = a
d.e = c
m.e + n.d = b oluyorsa.
Yukarıdaki açıklamalar doğrultusunda aşağıdaki tablolar doldurulmuştur. İnceleyiniz.
a=1
a­1
x2 + bx + c
c = m.n
b=m+n
(x + m)(x + n)
x2 + 3x Ð 10
c = 5.(Ð2)
b=5Ð2
(x + 5)(x Ð 2)
x2 Ð 4x+3
c = Ð1.(Ð3)
b = Ð1 + (Ð3)
(x Ð 1)(x Ð 3)
x2 + 10x + 21
c = 3.7
b=3+7
(x + 3)(x + 7)
ax2 + bx + c
c = d.e
a = m.n
b = d.n + m.e
(mx + d)(nx + e)
6x2 Ð 11x + 3
c = (Ð1)(Ð3)
a = 3.2
b = 3.(Ð3) + 2.(Ð1)
(3x Ð 1)(2x Ð 3)
3x2 Ð 11x Ð 20
c = 4(Ð5)
a = 3.1
b = 3(Ð5) + 1.4
(3x + 4)(x Ð 5)
14x2 Ð 17x Ð 6
c = 2(Ð3)
a = 7.2
b = 7(Ð3) + 2.2
(7x + 2)(2x Ð 3)
ÖRNEK 14
x2 + 10x + 21
ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Çözüm
ÖRNEK 15
Aşağıda çarpanlarına ayrılan ifadeleri inceleyiniz.
® x2 + 8x + 7 = x2 + (7 + 1)x + 7.1 = (x + 7)(x + 1)
7
®
x2 Ð x Ð 6 = x2 + (Ð3 + 2)x + (Ð3).2 = (x Ð 3)(x + 2)
Ð3
®
1
2
Ðx2 + 15x Ð 26 = Ð(x2 Ð 15x + 26)
Ð13 Ð2
= Ð(x Ð 13)(x Ð 2)
448
Çarpanlara Ayırma
ÖRNEK 16
ÖRNEK 18
3x2 + x – 2
6y2 – 7y – 20
ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Çözüm
Çözüm
ESEN YAYINLARI
ifadesini çarpanlarına ayırınız.
ÖRNEK 19
6a2b2 – 11ab – 10
ÖRNEK 17
ifadesini çarpanlarına ayırınız.
5a2 + 9a – 2
ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Çözüm
Çözüm
(x + y)n İFADESİNİN AÇILIMI
(x + y)n ifadesinin açılımında kat sayılar, Paskal üçgeni denilen sayı tablosu ile bulunur. Paskal üçgeninde her
satırın ilk ve son sayıları 1 dir. Bir satırdaki ardışık iki sayının toplamı, alt satırda bu iki sayının arasında yazılan
sayıyı verir.
1
n = 0 iin kat sayÝ
1
n = 1 iin kat sayÝlar
n = 2 iin kat sayÝlar
1
n = 3 iin kat sayÝlar
1 3
1 4
n = 4 iin kat sayÝlar
1
n = 5 iin kat sayÝlar
n = 6 iin kat sayÝlar
1
1
2
1
3
6
1
4
1
5 10 10 5
6 15 20 15 6
1
1
(x + y)n açılımında:
®
®
®
n + 1 tane terim vardır.
Her terimin derecesi n dir ve x in üsleri birer azalırken y nin üsleri birer artmaktadır.
(x – y)n açılımındaki kat sayıların işaretleri + , – , + , – , ........ şeklindedir.
449
Çarpanlara Ayırma
(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 Özdeşliğinin Geometrik Yorumu
y
x
x+y
y
x
x
x+y
x
x
x
x+y
y
Şekilde görüldüğü gibi bir ayrıtının uzunluğu x birim olan bir küpün bütün ayrıtları y birim uzatılarak, bir ayrıtının
uzunluğu x + y birim olan yeni bir küp oluşturulmuştur.
Oluşan yeni küpün hacmi, içinde bulunan parçaların hacimleri toplamına eşit olacağından
(x + y)3 = x3 + x2y + x2y +xy2 + xy2 + y3+ x2y +xy2 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 bulunur.
ÖRNEK 20
ÖRNEK 22
x + y = 5 ve x2 + y2 = 19
Aşağıda açılımı yapılan ifadeleri inceleyiniz.
®
olduğuna göre, x.y kaçtır?
(x + y)2 = 1.x2 + 2.x1.y1 + 1.y2
Çözüm
= x2 + 2xy + y2
®
(x + y)3 = 1.x3 + 3.x2.y1 + 3.x1.y2 + 1.y3
®
(x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
®
(x + y)4 = 1.x4 + 4.x3y1 + 6.x2y2 + 4.x1y3 + 1.y4
= x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
®
(x – 1)5 = x5 – 5x4 + 10x3 – 10x2 + 5x – 1
ESEN YAYINLARI
= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
ÖRNEK 23
x – y = 3 ve x.y = 10
ÖRNEK 21
(x – 2y)6
ifadesi x in azalan kuvvetlerine göre düzenlenerek
açılırsa baştan 3. terimin kat sayısı kaç olur?
Çözüm
450
olduğuna göre, x2 + y2 kaçtır?
Çözüm
Çarpanlara Ayırma
ÖRNEK 24
a–
ÖRNEK 27
2
=4
a
olduğuna göre, a 2 +
a–
4
kaçtır?
a2
1
=4
a
olduğuna göre, a 3 –
Çözüm
1
kaçtır?
a3
Çözüm
ÖRNEK 25
x + y = 6 ve x.y = 3
olduğuna göre, x3 + y3 kaçtır?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 28
x2 – 3x – 5 = 0
olduğuna göre, x 2 +
25
kaçtır?
x2
Çözüm
ÖRNEK 26
x + y = 4 ve x2 + y2 = 6
olduğuna göre, x3 + y3 kaçtır?
Çözüm
451
Çarpanlara Ayırma
ÖRNEK 29
ÖRNEK 32
a – b – c = 6 ve a2 + b2 + c2 = 20
1013 – 3.1012 + 3.101 – 1
olduğuna göre, ab + ac – bc ifadesinin eşiti kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 30
ÖRNEK 33
x3 + y3 = 80 ve xy(x + y) = 15
x2 + y2 + 4x – 6y + 13 = 0
olduğuna göre, x.y kaçtır?
olduğuna göre, x + y kaçtır?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 31
2002.2004 + 1
işleminin sonucu nedir?
Çözüm
ÖRNEK 34
9x – 3x + 1 – 4
ifadesini çarpanlarına ayıralım.
Çözüm
452
Çarpanlara Ayırma
ÖRNEK 35
ÖRNEK 36
x4 – 5x2 + 4
(x2 – x)2 – 8(x2 – x) + 12
ifadesini çarpanlarına ayıralım.
ifadesini çarpanlarına ayıralım.
Çözüm
Çözüm
Verilen ifadede x2 – x = t alırsak
(x2 – x)2 – 8(x2 – x) + 12 = t2 – 8t + 12
xn ± yn BİÇİMİNDEKİ POLİNOMLARI ÇARPANLARINA AYIRMA
x5 – y5 polinomunu x – y polinomuna bölüp sonucu yorumlayalım.
+
+
x5 Ð y5
xÐy
x5 ± x4y
x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4
x4y Ð y5
4
3 2
+ +x y±x y
x3y2 Ð y5
3 2
2 3
+ +x y ±x y
x2y3 Ð y5
+
+ x2y3 ± xy4
xy4 Ð y5
+
+ xy4 ± y5
0
Bölme işlemine göre, x 5 – y 5 = ( x – y ) ( x 4 + x 3 y + x 2 y 2 + xy 3 + y 4 ) eşitliğini yazabiliriz.
Z 144444424444443
1. çarpan
2. çarpan
Bu eşitliği incelediğimizde,
® 1. çarpanın ilk terimi (x) ile 2. çarpanın ilk teriminin (x4) çarpımı, ifadenin ilk terimi olan x5 i verir.
® 1. çarpanın 2. terimi (–y) ile 2. çarpanın son teriminin (y4) çarpımı, ifadenin ikinci terimi olan –y5 i verir.
® 2. çarpanın terimlerinde x lerin üsleri birer azalırken (x4, x3, x2, x1, x0) y lerin üsleri birer artar (y0, y1, y2, y3, y4)
® 2. çarpanın tüm terimleri pozitif işaretlidir.
Bu açıklamalara göre, genel olarak n tek sayı olmak üzere,
xn – yn = (x – y)(xn–1 + yxn–2 + y2xn–3 + ..... + yn–1)
eşitliğini oluşturabiliriz.
Benzer şekilde; n tek sayı olmak üzere,
xn + yn = (x + y)(xn–1 – yxn–2 + y2xn–3 – ..... + yn–1)
eşitliği de yazılabilir.
453
Çarpanlara Ayırma
ÖRNEK 37
ÖRNEK 39
x5 + 32
x6 + y6
ifadesini çarpanlarına ayıralım.
ifadesini çarpanlarına ayıralım.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 38
x6 – 64
ÖRNEK 40
ifadesini çarpanlarına ayıralım.
x5 – 1
Çözüm
ifadesini çarpanlarına ayıralım.
x6 – 64 = (x3)2 – (8)2
Çözüm
ETKİNLİK
A1
A2
B1
B3
B2
A3
A4
A5
B4
Dikdörtgen biçimindeki bir çerçeveye, şekildeki gibi fotoğraflar yerleştirilmiştir.
Fotoğraflardan B2 kare; B1, B3 ve B4 dikdörtgen biçimindedir.
A1, A2, A3, A4 ve A5 çerçevedeki boş alanlardır.
B1 in kısa kenarı (x + 1) br, B2 nin bir kenarı x br, B4 ün uzun kenarı (x + 2) br dir. A1 in alanı A5 in alanına eşit,
A2 nin alanı A1 in alanının x + 1 katıdır.
A3 = k.B4 ve A2 = t.(B3 + A5) ise k + t nin x cinsinden değeri nedir?
454
ALIŞTIRMALAR -
1.
Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
2
5.
a–
1
1
= 3 ⇒ a 2 + 2 kaçtır?
a
a
6.
a–
1
1
= 2 ⇒ a 4 + 4 kaçtır?
a
a
7.
a2 – 3a + 1 = 0 ⇒ a 2 +
a. 4x2 – 12x + 9
b. a2 – 12ab + 36b2
c. 4x2 – 4x + 1 – y2
d. (a – 1)2 – 2(a – 1) + 1
e. 9x2 – 6x + 1 – y2
1
kaçtır?
a2
2.
a + b = 3 ve a.b = 2
ESEN YAYINLARI
f. x2 – 2x – y2 + 4y – 3
8.
Aşağıdaki eşitliklerden doğru olanlar için boş
kutulara “D” yanlış olanlar için “Y” yazınız.
x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy
olduğuna göre, a2 + b2 kaçtır?
(x + y)2 = (x – y)2 + 4xy
x2 + y2 = (x – y)2 – 2xy
3.
x4 + y4 = (x2 + y2)2 + 2x2y2
a – b = 2 ve a.b = 4
olduğuna göre, a2 + b2 kaçtır?
4.
(a + b – 2)2 = a2 + b2 + 4 – 2(ab – 2a – 2b)
a – b = 3 ve a.b = 5
olduğuna göre, a + b nin alabileceği değerleri
bulunuz.
9.
a + b – c = 3 ve ab – ac – bc = 2
olduğuna göre, a2 + b2 + c2 kaçtır?
455
Çarpanlara Ayırma
10.
g. a4 – 8a2b2 + 4b4
a + b = 7 ve a.b = 1
olduğuna göre, a3 + b3 kaçtır?
h. 16x4 + 4x2y2 + y4
ı. a4 + 4
a3 – b3 = 30 ve a – b = 2
11.
olduğuna göre, ab kaçtır?
14. Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
a. x5 – 1
1
=3
a
⇒ a3 +
1
kaçtır?
a3
13. Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
a. x2 – 5x – 6
b. x7 + 1
ESEN YAYINLARI
a+
12.
c. x6 – 1
d. x10 + 1
b. –x2 + 2x – 3
15. Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
c. x2 – 6x – 27
a. 22x – 2x + 2 – 5
d. 2x2 – 3x – 2
b. x6 – 9x3 + 8
2
e. 3a – ab – 2b
f. 6a2 – ab – b2
456
2
c. (x2 – 2x)2 – 11(x2 – 2x) + 24
Çarpanlara Ayırma
POLİNOMLARDA OKEK - OBEB
®
Çözüm
P(x) ve Q(x) polinomlarının ikisini de bölen en
büyük dereceli polinom, P(x) ve Q(x) polinomlarının OBEB’i dir.
OBEB[P(x), Q(x)] biçiminde gösterilir.
®
P(x) ve Q(x) polinomlarının ikisine de tam bölünen en küçük dereceli polinom, P(x) ve Q(x)
polinomlarının OKEK’i dir.
OKEK[P(x), Q(x)] biçiminde gösterilir.
ÖRNEK 43
c
ÖRNEK 41
P(x) = x3 – x2 ve Q(x) = x2 + x – 2
a – b 2 (a 2 – ab) 2
m : 2
a+b
(a + ab) 2
rasyonel ifadesinin sadeleşmiş biçimi nedir?
polinomlarının OKEK ve OBEB ini bulunuz.
Çözüm
P(x) = x2(x – 1)
Q(x) = (x + 2)(x – 1) olduğundan
OBEB[P(x), Q(x)] = x – 1
OKEK[P(x), Q(x)] = x2(x – 1)(x + 2) dir.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
RASYONEL İFADELERİN SADELEŞTİRİLMESİ
B(x) ≠ 0 olmak üzere,
A (x)
şeklindeki ifadelere rasB (x)
yonel ifadeler denir. A(x) ve B(x) çarpanlarına ayrılıp
A (x)
ortak çarpanlar sadeleştirilerek
rasyonel ifadeB (x)
sinin sadeleşmiş biçimi bulunur.
ÖRNEK 44
x 2 + 5x + 6 x 2 – 3x – 10
:
x 3 + 3x – 4 x 2 – 6x + 5
rasyonel ifadesinin sadeleşmiş biçimi nedir?
Çözüm
ÖRNEK 42
a2 – b2 a – b
:
a2 – c2 a + c
rasyonel ifadesinin sadeleşmiş biçimi nedir?
457
Çarpanlara Ayırma
ÖRNEK 45
ÖRNEK 47
a
b
x 3 – ax + 4
x 2 – 5x + 6
a
1+
–
a b–a
1–
b
ifadesi sadeleşebilir bir kesir ise a nın alabileceği
değerler toplamı kaçtır?
rasyonel ifadesinin sadeleşmiş biçimi nedir?
Çözüm
Çözüm
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 48
A = x3 – x ve B = x3 + x2 – 2x
olduğuna göre, OBEB(A, B) ve OKEK(A, B) nedir?
Çözüm
ÖRNEK 46
x 2 + ax – 12
x 2 – 2x – 3
ifadesi sadeleşebilir bir kesir ise a nın alabileceği
değerler toplamı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 49
a2 – 6a + 4
ifadesinin en küçük değerini alması için a kaç olmalıdır?
Çözüm
458
Çarpanlara Ayırma
POLİNOM DENKLEMLER
ÖRNEK 53
P(x) bir polinom olmak üzere,
Ayrıtlarından biri diğerinin 2 katından 1 cm fazla olan
P(x) = 0 biçimindeki denklemlere polinom denklemler
dikdörtgenin alanı 210 cm2 ise çevresi kaç cm dir?
denir.
Çözüm
ÖRNEK 50
4(x – 1) + 3x = 2 – 2(x + 1)
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
ÖRNEK 51
2(x – 2) + 3x = 2 – 5(1 – x)
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
2(x – 2) + 3x = 2 – 5(1 – x)
2x – 4 + 3x = 2 – 5 + 5x
5x – 4 = 5x – 3 ⇒ – 4 = – 3 olur.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
RASYONEL DENKLEMLER
P(x) ve Q(x) birer polinom olmak üzere,
P (x)
= 0 denklemine, rasyonel denklem denir.
Q (x)
P (x)
= 0 ⇒ P(x) = 0 ∧ Q(x) ≠ 0 dır.
Q (x)
ÖRNEK 54
3 (x – 1) + 1 1
=
2x – 1
3
ÖRNEK 52
4(x + 3) + 2x – 5 = 6x + 7
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
459
Çarpanlara Ayırma
RASYONEL BİR İFADEYİ BASİT KESİRLERİN
ÖRNEK 55
TOPLAMI BİÇİMİNDE YAZMA
x 2 – 4x
3
+1 = 0
–
x –1
1– x
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
3x – 4
(x – 1) (x – 2)
Çözüm
yazmak, ifadeyi basit kesirlerin toplamı biçimine
ifadesini
1
2
+
x –1 x – 2
biçiminde
getirmektir.
ÖRNEK 57
3x – 4
A
B
=
+
(x – 1) (x – 2) x – 1 x – 2
ESEN YAYINLARI
eşitliğini sağlayan A ve B değerlerini bulalım.
ÖRNEK 56
2
3
x–4
+
=
x + 2 x + 1 x 2 + 3x + 2
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
460
Çözüm
Çarpanlara Ayırma
ÖRNEK 60
x+2
A Bx + C
= +
x (x 2 + 1) x x 2 + 1
eşitliğini sağlayan A, B ve C değerlerini bulalım.
Çözüm
ÖRNEK 58
x+2
A
B
C
= +
+
x (x – 1) (x – 3) x x – 1 x – 3
eşitliğini sağlayan A, B, C değerlerini bulunuz.
Çözüm
ETKİNLİK
ESEN YAYINLARI
R1
R1
R2
1
RP
=
R2
RS = R1 + R2
1
1
+
R1 R2
Bir elektrik devresinde R1 ve R2 dirençleri paralel
bağlanırsa eşdeğer direnç (RP),
ÖRNEK 59
x+1
A
B
=
+
2
x
–
1
( x – 1)
(x – 1) 2
eşitliğini sağlayan A ve B değerlerini bulalım.
1
1
1
=
+
RP R1 R2
seri bağlanırsa, eşdeğer direnç (RS)
RS = R1 + R2
bağıntıları ile bulunur.
Çözüm
x > 0 ve R1 > R2 olmak üzere R1 ve R2 dirençleri
paralel bağlanırsa, R P =
x 2 + 3x + 2
ohm,
2x + 3
seri bağlanırsa, RS = 2x + 3 ohm oluyor.
Buna göre R1 ve R2 dirençlerini bulunuz.
461
Çarpanlara Ayırma
2.
Aşağıdaki ifadeleri en sade biçimde yazınız.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
Aşağıdaki rasyonel ifadeleri basit kesirlerin topla-
a.
x+1
x2 – 4
b.
x+2
x3 – x
c.
x+1
x3 + x
d.
x2 + 2
x (x – 1) (x + 2)
e.
2x + 1
x (x 2 + 1)
f.
3x + 1
(x + 1) (x – 1) 2
g.
2x + 3
(x – 1) (x + 1) 2
h.
3x + 2
(x + 1) (x 2 + x + 1)
a+b a–b
–
a–b a+b
b
a
a2
+
– 2
a–b a+b
a – b2
1
4
1
2
+
–
–
2 – x x 2 – 4 x 2 + 2x x – 2
a 2 – 9a a 2 – 4
·
a + 2 a 2 – 81
a2
a2 – 4
a2 – 1
· 2
– 3a + 2 a + 3a + 2
a 2 – 2a + 4 a 3 + 8
:
a 2 – 4a + 4 a 2 – 4
h. c
ı.
3
mı biçiminde ifade ediniz.
1
1
–
x x –1
ESEN YAYINLARI
1.
ALIŞTIRMALAR -
1
1
a
+
m:
a+b a–b a–b
x2 + x + 1
x3 – 1 x2 – 1
: 2
·
3
x +1
x – x+1 x+2
462
Yazılıya Hazırlık Soruları
64
a2
4 8
1– + 2
a a
a2 +
1.
4.
ifadesi sadeleşebilir bir kesir olduğuna göre sadeleşmiş biçimini bulunuz. (a ∈ Z)
ifadesinin sadeleşmiş biçimini bulunuz.
x 2 – 3x + 9 x 2 – 2x – 3
1
·
=–
4
(x 2 – 1) (x – 3)
x 3 + 27
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
3.
(x – z) 2 (y – x) – (x – y) 2 (z – x)
zy – zx – xy + x 2
ifadesinin sadeleşmiş biçimini bulunuz.
5.
3 x – 3 –x 3 2x + 3 –2x – 1 8
=
:
3
3 x + 3 –x
3 3x + 3 –3x
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
2.
x 2 – ax + 18
(x – 2) (x + 7)
6.
a = 2,413 ve b = 3,587
olduğuna göre, (a – b)2 + 4ab ifadesinin eşitini
bulunuz.
463
Çarpanlara Ayırma
9.
3
=5
x–2
9
olduğuna göre, (x – 2) +
(x – 2) 2
eşitini bulunuz.
2
8.
2x 2 + y 2 – z 2 = 10
x 2 + 2y 2 + 4z 2 = 29
xy + yz + xz = 6
ifadesinin
_
bb
`
b
a
eşitliklerini sağlayan x, y, z için x + y + z ifadesinin pozitif değeri kaçtır?
464
x2 – 4x + 2 = 0
olduğuna göre, x2 + 42
x
nuz.
ESEN YAYINLARI
x–
7.
ifadesinin eşitini bulu-
1
10.
2 16 – 2 = x
1
olduğuna göre
1
24 – 1
1
a 2 16 + 1 ka 2 8 + 1 k
cinsinden değerini bulunuz.
ifadesinin x
TEST 1.
1
Çarpanlara Ayırma
5.
(2a + b) (b – c) – (c – b) (b – a)
ifadesinin çarpanlara ayrılmış şekli nedir?
A) 3a (b – c)
C) (2a – c) (b – a)
E) (a + b) (a – c)
nin bir çarpanı değildir?
B) (a + b) (b + c)
D) (a + 2b) (b – c)
A) a + 1
6.
E) a2 – 2a + 1
x, y ∈ R ve x > y ise
x2 – 3xy = 4
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden
y2 + xy = 5
hangisidir?
A) a + 1
C) a2 – 1
B) a – 1
D) a2 +2a + 1
a3b – ab3 – a2 + b2
2.
Aşağıdakilerden hangisi a3 + a2 – a – 1 ifadesi-
olduğuna göre, x – y kaçtır?
B) a – 1
C) ab – 1
A) 1
E) a2 + b2
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
ESEN YAYINLARI
D) ab + 1
3.
x3 – x2 – 4x + 4
ifadesi aşağıdakilerden hangisi ile tam bölünemez?
a4 – 1
7.
a3 + a2 + a + 1
ifadesinin sadeleşmiş biçimi nedir?
B) a2 – 1
A) a
A) x + 1
D) x + 2
B) x – 1
C) x – 2
E) x2 – 3x + 2
ifadesinin sadeleşmiş biçimi nedir?
olduğuna göre, x + y kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 6
D) 8
E) a + 1
x
–1
y
x
:
x–y y
8.
x = y + 3 ve x2 = y2 + 24
4.
D) a – 1
C) a2 + 1
E) 12
A)
y
x
B)
1
x
C)
1
y
D) x
E) y
465
Çarpanlara Ayırma
a = v3 + 1 ve b = v3 – 1
9.
3
3
olduğuna göre, a – b
c
13.
kaça eşittir?
x2 + 1
1
– 2m : cx – m
x
x
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 24
B) 20
C) 18
D) 16
E) 12
A)
x –1
x+1
B)
1
x –1
C) x + 1
D) x – 1
E) x
_
b
10.
1 1 2 `
+ =
x y 5 b
a
olduğuna göre, x2 + y2 kaça eşittir?
x+y = 8
A) 24
B) 20
C) 16
D) 12
14. a + b = 12 olduğuna göre,
E) 10
a 2 – b 2 – 2a – 2b ifadesinin eşiti kaçtır?
a 2 – b 2 – 4a + 4
A) 5
2
a + b = 4 ve c – a = 3
olduğuna göre,
eşittir?
a 2 + ab – ac – bc
ifadesi kaça
2a + b – c
15.
A) – 4
B) – 6
C) – 8
D) –10
E) –12
C) 3
2
D) 6
5
E) 1
ESEN YAYINLARI
11.
B) 2
x2 – y2 1 1
:c – m
xy
y x
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) x – y
C) 1
xy
B) y – x
D) x2 – y2
E) x + y
1 1
–
x y
x y
–
y x
12.
ifadesinin sadeleşmiş biçimi aşağıdakilerden
(a2 – 3a).(a2 – 3a – 8) – 20 ifadesinin bir çarpanı
hangisidir?
A)
1
y–x
xy
D)
x–y
466
16. Aşağıdakilerden hangisi
B)
–1
x+y
y
E)
x–y
C)
x–y
xy
değildir?
A) a – 5
D) a + 1
B) a – 2
C) a – 1
E) a + 2
TEST -
2
Çarpanlara Ayırma
5.
2003 2 – 1999 2
335 2 – 332 2
1.
x2 + x + 1 = 0 ise x5 aşağıdakilerden hangisine
eşittir?
ifadesinin eşiti nedir?
A) 1
A) 8
3
2.
B) 14
3
36
C) 2
D) 4
D) x + 1
E) 8
39 + 1
–1
– 33 + 1
C) 9
a–b
+
a+ b
a–b
a– b
C) –x – 1
E) x – 1
1
=3
x
olduğuna göre, x4 – 7x2 ifadesinin eşiti kaçtır?
D) 27
A) –3
E) 81
B) –2
C) –1
D) 0
E) 1
ESEN YAYINLARI
B) 3
x+
6.
ifadesinin eşiti nedir?
A) 1
B) x
3.
7.
olduğuna göre, a3 – b3 ifadesinin değeri kaçtır?
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
A) 40
A) 2va
B) 2va – 2vb
D) 2va + 2vb
x–
B) 2
C) 50
D) 55
E) 60
E) a – b
1
1
= 2 ise x 2 + 2 kaçtır?
x
x
A) 1
B) 45
C) 2vb
8.
4.
a – b = 3 ve a.b = 2
C) 4
D) 6
a < 0 olmak üzere,
a2 +
E) 8
1
1
= 2 ise a 3 + 3 kaça eşittir?
a2
a
A) –2
B) –3
C) –4
D) –5
E) –6
467
Çarpanlara Ayırma
(a – b + c)2 – (a + b – c)2
9.
1
=–2
a
a–
13.
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
1
ifadesi kaça eşittir?
a3
olduğuna göre, a 3 –
A) 2c(b – a)
B) 4b(a – c)
D) 4a(c – b)
C) 2a(a – c)
E) 4c(b – a)
A) –14
3x 2 y – 3y 3
(2x – y) 2 – (x – 2y) 2
C) –10
D) –8
E) –6
3x – 2yz = 11
4
3y – 2xz = 14
14.
10.
B) –12
denklem sistemine göre, x + y = 5 ise z kaçtır?
ifadesinin sadeleşmiş şekli nedir?
A) –2
B) 3x
C) y
D) 3y
2x 2 – xy + 2y 2
=3
y2
11.
B) –1
C) 1
ifadesinin sadeleşmiş biçimi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) x
toplamı nedir?
B) –
y
2
C)
y
2
D) y
E) 2y
468
C) 17
C) x + y
E)
x
x+y
x 2 – ax + 6
(x – 2) . (x – 4)
sadeleşmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
a9 – a6 b3 – a3 + b3
ifadesinin sonucu kaçtır?
a 6 –1
B) 16
1
x+y
1
x
rasyonel ifadesi sadeleşebilir olduğuna göre,
a = 3 ve b = 2 için
A) 15
B)
D)
16.
12.
E) 3
^ x 2 + xyh2 x + y
:
x
x3 + x2 y
15.
eşitliğini sağlayan x in y cinsinden değerleri
A) –y
D) 2
E) x – y
ESEN YAYINLARI
A) x
D) 18
E) 19
A)
x–3
x–2
D)
B)
x–2
x–4
x–4
x–2
C)
E)
x–3
x–4
x –1
x–4
TEST d
1.
5
Çarpanlara Ayırma
5.
a3 – 1 a2 + a + 1
a
:
n·
a –1
a –1
a2 – 1
olduğuna göre, a3 + b3 kaçtır?
ifadesinin sadeleşmiş biçimi aşağıdakilerden
hangisidir?
A)
a
a+1
B) a2 + a
D) a2 – a
E)
a + b = 4 ve a.b = 5
C)
A) 2
c
C) 4
D) 5
E) 6
a
a –1
a+1
a
x3 – 5x2y – xy2 = 135
6.
2.
B) 3
2x2y + 4xy2 – y3 = –108
1 1 b2 – a2
– m:
b a 2a + 2b
eşitliklerine göre x – y kaçtır?
ifadesinin sadeleşmiş biçimi aşağıdakilerden
hangisidir?
2
ab
B)
1
ab
C) –
1
2
1
D) –
E) –
ab
ab
b
a + b 2a + 2b
:
1 1
a–b
–
a b
3.
B) –3
C) 2
D) 3
E) 4
ESEN YAYINLARI
A)
A) –4
cx –
7.
1 2
m =6
x
olduğuna göre, c x +
ifadesinin sadeleşmiş biçimi aşağıdakilerden
1 2
m kaçtır?
x
hangisidir?
A) 40
A)
4.
ab
2
B)
2
ab
C) –
1
2
B) 1
C) 3
2
C) 24
D) 14
E) 10
2
1
ab
D) –
E) –
ab
ab
2
(xy) 2
x y
+ – xy = 0 ise 2
kaçtır?
y x
x + y2
A)
B) 32
D) 2
8.
E)
5
2
x+
1
1
= 6 ise x – in pozitif değeri kaçtır?
x
x
A) 2v2
B) 3v2
C) 4v2
D) 5v2
E) 6v2
473
Çarpanlara Ayırma
9.
a + b = 5 ve a2 + b2 – c2 + 2ab = 9 ise
x3 + y3 = 18 ve xy(x + y) = 3
13.
a + b + c aşağıdakilerden hangisi olabilir?
olduğuna göre, x + y kaçtır?
A) 12
A) 6
B) 11
C) 10
D) 9
E) 8
10. 4x2 – x4 = 1
olduğuna göre, x 3 +
D) 3
E) 2
olduğuna göre, 2x + 3y nin pozitif değeri kaç-
kaçtır?
tır?
B) 2v6
C) 3v6
D) 4v6
E) 6v6
A) 1
B)
3
2
C) 2
D) 5
2
E) 3
ESEN YAYINLARI
A) v6
C) 4
x 9y
ve 4x2 + xz + 12xy = 1
=
y
z
14.
1
ifadesinin pozitif değeri
x3
B) 5
a = 3 3 –1
11.
2
olduğuna göre, 6a + 6a + 2a
3
ifadesinin eşiti
15.
kaçtır?
A) 2
1 x
1 x
1 x 2
+ – 1 mc + + 1 m – c + m
x 4
x 4
x 4
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
A) –2
16.
2x2 + 2y2 – 12x + 8y + 30
12.
c
A) 3
A) –10
474
D) 6
D) 1
E) 2
olduğuna göre, x(z – y) – x2 + yz ifadesinin eşiti
kaçtır?
C) 5
C) 0
x + y = 5 ve x – z = 2
ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
B) 4
B) –1
E) 7
B) –8
C) –6
D) 8
E) 10
Üniversiteye Giriş Sınav Soruları
1.
2006 – ÖSS
5.
2006 – ÖSS
1 4
+ +4 = 0
a2 a
y 3 + 27
(y – 3) (y 2 – 1)
·
y 2 – 2y – 3 y 2 – 3y + 9
olduğuna göre, a kaçtır?
A) 1
2
B) 1
C) –2
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden
D) –1
hangisidir?
E) – 1
2
A) (y + 3)(y – 1)
B) (y + 3)(y – 2)
C) (y + 1)(y – 3)
D) (y – 1)(y – 2)
E) (y – 1)(y – 3)
2.
2006 – ÖSS
6.
a pozitif bir gerçel sayı ve
a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere,
a4 – 2a2 = 8
a2 – 2ab – 3b2 = 0
olduğuna göre, a kaçtır?
3.
B) 1
4
C) 1
2
olduğuna göre, a + b toplamının en küçük değeri kaçtır?
D) 1
E) 2
ESEN YAYINLARI
A) 1
8
2007 – ÖSS
A) 7
7.
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
2007 – ÖSS
3 2x – 2.3 x + y + 3 2y
3 2x – 3 x + y
2006 – ÖSS
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
3 20 – 3 10
– 1)
(3 5 + 1) (3 5
A) 3x – 3y
işleminin sonucu kaçtır?
A) 1
B) 9
C) 35
D) 1 – 3x+y
D) 310
E) 1 – 3y–x
2007 – ÖSS
1
–x
x2
x
·
2
x + x 1 – 2x + x 2
2006 – ÖSS
c
C) 1 + 3y–x
E) 315
8.
4.
B) 3x + 3y
x
1
1
x
–
+
m: c
m
1 + x 1– x
1 + x 1– x
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden
hangisidir?
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1
B) –1
D) 1 – x
C) x
E) 1 + x
A) 12
x
B)
D)
1
1+x
x
1– x
E)
C)
1
1– x
1– x
1+x
479
Çarpanlara Ayırma
9.
2007 – ÖSS
13. 2009 – ÖSS
x2 + x + 1
2x 2 + 5x
:
x3
a 2 – 2a – 3
1
3
c + 1 mc – 1 m
a
a
–1
–5
2x 2 + 3x
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden
hangisidir?
hangisidir?
1
A)
x
1
B)
2–x
D) x
2
C)
1+x
A) –3a2
D) a – 2
E) x + 1
E) a + 1
a+b+c=A
a, b ve p birer pozitif tam sayı ve p asal olmak
a–b–c=B
üzere,
olduğuna göre, A2 – B2 ifadesi aşağıdakilerden
a2 – b2 = p
hangisine eşittir?
olduğuna göre, a nın p türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
B)
A) 4a(b + c)
p+1
3
p–1
3
C)
E)
p–2
3
11. 2008 – ÖSS
1
1–
x =3
1
1+
x
B) 4b(a + c)
D) 2a(b – c)
p–1
2
ESEN YAYINLARI
p+1
2
D)
C) 2a2
14. 2009 – ÖSS
10. 2008 – ÖSS
A)
B) –a2
C) 2c(a + b)
E) 2b(a – c)
15. 2009 – ÖSS
x pozitif gerçel sayısı için x – 2vx – 2 = 0 oldux
ifadesinin değeri kaçtır?
(x – 2) 2
ğuna göre,
A)
1
2
B) 1
4
C)
3
4
D)
1
6
E)
5
6
olduğuna göre, x kaçtır?
A) –3
B) –2
D) –
1
2
C) –1
E) –
3
2
16. 2010 – YGS
(a + 1)2 – (a – 1)2
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) a
12. 2008 – ÖSS
c
B) 2a
C) 3a
D) 4a
E) 5a
D) 9
E) 11
x–y
x+y
x
x
–
–
m: c
m
x+y
x
x–y
x
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden
hangisidir?
17. 2010 – YGS
x3 – 2y = 7
x4 – 2xy = 21
A) 1
B) x
D)
480
x+y
x–y
C) y
E)
x–y
x+y
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 3
B) 5
C) 7
Çarpanlara Ayırma
18. 2010 – LYS
f(x) =
22. 2011 – LYS
(1 + x + x 2 + x 3) (1 –
t3 – 2 = 0
x) 2
1 – x – x2 + x3
olduğuna göre,
olduğuna göre, f(v2) değeri kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
1
ifadesinin t türünden
t2 + t + 1
eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
D) 4
E) 5
A) t + 1
B) t – 2
2
C) t – 1
2
D) t + 1
E) t + 3
19. 2011 – YGS
2x
2 – y2
=
2
4 x + xy
1
2
23. 2011 – LYS
x – 2y = 3
olduğuna göre, (x + y)2 ifadesinin değeri kaçtır?
A) 2
B) 4
1
D)
2
C) 1
olduğuna göre, x2 + 4y2 – 4xy – 2y + x – 3
1
E)
4
ifadesinin değeri kaçtır?
ESEN YAYINLARI
A) 4
20. 2011 – YGS
1
1
+x –1 =
x +1
x2
B) 5
C) 8
D) 9
E) 15
24. 2011 – LYS
x ve y birer gerçel sayı olmak üzere,
olduğuna göre, x3 – 1 ifadesi aşağıdakilerden
hangisine eşittir?
x3 – 3x2y = 3
y3 – 3xy2 = 11
eşitlikleri veriliyor.
2
A)
x –1
x –1
C)
x
1
B)
x
D) –x
E)
Buna göre, x – y farkı kaçtır?
A) 3
1
x +1
B) 2
C) 1
D) –2
E) –3
25. 2011 – LYS
a4 – a3 . a2 + 1
a4 + a2 a2 – a
21. 2011 – YGS
Birbirinden farklı a ve b sayıları için,
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden
a2 – b2 = b – a
a
b
olduğuna göre,
A) –2
hangisidir?
a b
ifadesinin değeri kaçtır?
+
b a
B) –1
C) 0
D) 1
E) 4
A) a – 1
B) a
D) a + 1
C) 1
2
E) a + 1
481
Çarpanlara Ayırma
26. 2011 – LYS
29. 2012 – LYS
2 (x – y) x – y – 1
+
=3
x – y –1 x – y – 2
x ve y birer gerçel sayı olmak üzere,
x2 – 4y = –7
olduğuna göre, x – y farkı kaçtır?
y2 – 2x = 2
A)
–1
2
B)
–2
3
C)
4
3
D)
5
3
E)
5
4
olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?
A) 3
27. 2012 – LYS
B) 4
C) 5
D)
4
3
E)
5
3
30. 2013 – LYS
x (y + z) + z (y – x)
a, b pozitif tam sayılar, p bir asal sayı ve
2
x + xy + xz + yz
a3 – b3 = p
olduğuna göre, a2 + b2 toplamının p türünden
hangisidir?
eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
x
x+y
B)
D)
y
x+y
y
x+z
C)
E)
z
x+z
y
y+z
ESEN YAYINLARI
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden
A)
p+1
2
B)
D)
p+3
2
2p – 1
2
C)
E)
p+2
3
2p + 1
3
31. 2013 – LYS
a, b, c sıfırdan farklı gerçel sayılar ve
28. 2012 – LYS
a + b + c = ab olduğuna göre,
x ve y pozitif gerçel sayıları için
ab + ac + bc + c 2
abc
x.y = 5
x2 + y2 = 15
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
3
3
olduğuna göre, x + y ifadesinin değeri kaçtır?
A) 40
B) 45
C) 50
D) 60
E) 75
A)
a +1
a
B)
D)
482
b
a
b+1
b
C)
E)
b
c
c +1
c
ÇEMBER ve DAİRE
. ÜNİTE
7. ÜNİTE
7. ÜNİTE
7. ÜNİTE
Çemberin Temel Elemanları
1.
Kazanım
: Çemberde teğet, kiriş, çap ve yay kavramlarını açıklar.
2.
Kazanım
: Çemberde kirişin özelliklerini gösterir.
Çemberde Açılar
1.
Kazanım
: Bir çemberde merkez, çevre, iç, dış ve teğet-kiriş açılarını açıklar; bu açıların ölçüleri ile gördükleri yayların ölçülerini ilişkilendirir.
Çemberde Teğet
1.
Kazanım
: Çemberde teğetin özelliklerini gösterir.
Dairenin Çevresi ve Alanı
1.
Kazanım
: Dairenin çevresini ve alanını veren bağıntıları oluşturur ve uygulamalar yapar.
7. ÜNİT
Çemberin Temel Elemanları
Çember: Düzlemde sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesine çember denir.
Sabit noktaya çemberin merkezi , sabit uzaklığa ise çemberin yarıçapı denir.
|OA| = r çemberin yarıçapıdır.
A
r
O
O merkezli ve r yarıçaplı çember, Ç(O, r) biçiminde gösterilir.
Merkez ve yarıçap çemberin temel elemanlarıdır.
Çemberin yardımcı elemanları kiriş, kesen ve yaydır.
Kiriş: Bir çemberin farklı iki noktasını birleştiren doğru parçasına, çemberin kirişi denir.
B
kirifl
A
[AB] bir kiriştir.
O
çap
N
O merkezli çemberde O ∈ [MN] ise [MN] bir çaptır.
M
Çap: Merkezden geçen kirişe çap denir. Bir çemberde en büyük kiriş çaptır.
Kesen: Çemberi farklı iki noktada kesen doğruya çemberin bir keseni denir.
kesen
O
A
B
Şekildeki d ve t doğruları, çemberi farklı iki noktada kestikleri için
d
çemberin birer kesenleridir.
t
kesen
D
C
Yay: Çemberin bir parçasına yay denir.
X
B
AB keseni, çemberi iki yaya ayırmıştır.
(
(
Bunlardan AXB yayına küçük yay, AYB yayına büyük yay denir.
A
Y
Eş Çemberler: Yarıçap uzunlukları eşit olan çemberlere eş çemberler denir.
484
Çember ve Daire
Teğet: Çember ile yalnız bir ortak noktası olan doğ-
Bir çemberin merkezinden herhangi bir kirişine in-
ruya teğet denir.
dirilen dikme, kirişi ortalar.
d
A
te¤et
[OH] ⊥ [AB] ise
O
|AH| = |HB| dir.
A
H
B
Şekilde, d doğrusu A noktasında çembere teğettir.
O
Normal: Bir çemberin herhangi bir teğetine, değme
r
noktasında dik olan doğruya çemberin o noktasındaki
A
normali denir.
|AO| = |BO| = r
normal
r
H
olduğundan,
B
OAB
ikizkenar
üçgendir. İkizkenar üçgende tepe açısından indi-
A
rilen dikme aynı zamanda kenarortay olduğundan,
O
|AH| = |HB| dir.
ÖRNEK 1
d
A
t
ESEN YAYINLARI
te¤et
Bir çemberde herhangi bir kirişin orta dikmesi,
çemberin merkezinden geçer.
L
K
B
C
O
k
D
F
E
Şekildeki O merkezli çemberin verilen bütün elemanlarını isimlendiriniz.
ÖRNEK 2
Bir çemberde 8 cm uzunluğundaki kirişin merkeze
olan uzaklığı 3 cm ise bu çemberin yarıçap uzunluğu
kaç cm dir?
Çözüm
Çözüm
485
Çember ve Daire
ÖRNEK 3
B
Bir çemberde veya eş çemberlerde, eş kirişlerin
merkeze uzaklıkları eşittir.
8
O
4
D
A
D
8
O merkez
C
E
|AB| = |CD| ise
O
|OH| = |OE| dir.
O merkezli çemberde, [OA] ∩ [BC] = {D}
C
|BD| = |DC| = 8 cm, |DA| = 4 cm ise çemberin yarı-
A
H
B
çapı kaç cm dir?
Çözüm
D
E
h
O
C
r
r
h
A
B
H
ESEN YAYINLARI
|AH| = |HB| = |CE| = |ED| , |OB| = |OC| = r
a
a
m( OHB) = m( OEC) olduğundan,
ÖRNEK 4
O
13
A
8 C
&
&
OHB , OEC ⇒ |OH| = |OE| = h bulunur.
ÖRNEK 5
16
B
A
E
C
O merkezli çemberde, [AB] kiriş, |AO| = 13 cm
6
|AC| = 8 cm, |CB| = 16 cm ise |OC| kaç cm dir?
x
F
Çözüm
B
O
D
O merkezli çemberde, [OE] ⊥ [AB] , [OF] ⊥ [CD]
|AE| = |CF| , |OE| = 6 cm ise |OF| = x kaç cm dir?
Çözüm
486
Çember ve Daire
Çözüm
ÖRNEK 6
O merkezli çemberde
A
C
[OE] ⊥ [AB]
[OF] ⊥ [CD]
E
F
|AB| = |CD| = 8 cm
O
|OE| = 2x – 1 cm
B
|OF| = x + 1 cm ise
D
çemberin yarıçapı kaç cm dir?
Bir çember içindeki herhangi bir A noktasından
Çözüm
geçen kirişler içinde en kısa olanı, A noktasından
geçen yarıçapa bu noktada dik olan kiriştir.
E
O merkez
O
[ED] ⊥ [BC]
B
A
C
D
Bir çemberde veya eş çemberlerde, merkezden
eşit uzaklıktaki kirişlerin uzunlukları eşittir.
O merkez
B
[OE] ⊥ [AB]
E
ESEN YAYINLARI
A noktasından geçen en kısa kiriş [BC] dir.
A noktasından geçen en uzun kiriş [ED] çapıdır.
ÖRNEK 8
[OF] ⊥ [CD]
|OE| = |OF| ise
|AB| = |CD| dir.
O
A
O
4
C
F
D
A
Bir çemberin iki kirişi merkezden eşit uzaklıkta
değilse, uzun olan kiriş merkeze daha yakındır.
O merkezli çemberin yarıçapı 5 cm ve |OA| = 4 cm
ise A noktasından geçen en kısa kirişin uzunluğu kaç
cm dir?
Çözüm
ÖRNEK 7
[OB] ⊥ [CD] ise
Yarıçapı 5 cm olan
A
şekildeki çemberin
x+2
B
[AB] kirişi merkezden
D
[CD] kirişine göre
2x – 2
daha uzaktadır.
|AB| = x + 2 cm ve
C
|CD| = 2x – 2 cm ise
x hangi aralıkta değer alır?
487
ALIŞTIRMALAR -
1
Aşağıdaki O merkezli çemberlerde verilenlere göre,
Aşağıdaki O merkezli çemberlerde verilenlere göre,
yarıçapları bulunuz.
x uzunluklarını bulunuz.
1.
6.
A
3
D
C
2
O
B
D
A
x
O
3
B
C
2.
7.
C
D
O
A
3.
2
A
4
B
[AB] // [CD]
O
C
D
12
4.
F
8.
O
A
6
H
C
2
D
9.
D
O
3
B
x
E
F
O
B
B
5.
C
2
A
1
O
10.
B
A
4
5
O
x
D
C
488
x
5
A
C
1
A
B
6
O
B
C
18
A
E
x
ESEN YAYINLARI
4
E
2
6
2 D
B
6
Çember ve Daire
Aşağıdaki O merkezli çeyrek çemberlerde verilenle-
Aşağıdaki O merkezli çemberlerde verilenlere göre,
re göre, x uzunluklarını bulunuz.
istenenleri bulunuz.
11.
16.
E
C
1
D
C
6
A
O
|CD| = ?
B
4
x
D
A
2
O
B
12.
D
2
B x E
17.
C
O
3
1
A
13.
D
A
C
B
T
ESEN YAYINLARI
O
A
|AB| = ?
4
x
18.
C
2
B
3
O
A
C
O
5
14.
D
B
CDEO
B
dikdörtgen
3
|BE| = ?
E
3
O
A 1 C
x
19.
A
B
C
D
E
15.
O
4
C
D
10
O merkezli çemberlerin yarıçapları 4 cm ve 6 cm
O
A xB
dir. |AD| = 10 cm ise |AB| kaç cm dir?
489
Çemberde Açılar
MERKEZ AÇI
Bir çemberde veya eş çemberlerde, eş kirişlerin
Başlangıç noktası, çemberin merkezi olan iki ışının
yayları eştir.
oluşturduğu açıya merkez açı denir.
A
C
r
A
D
r
O
r
r
O
B
B
Şekildeki AOB açısı bir merkez açıdır. AB yayı ise
[AB] ≅ [CD] olsun.
merkez açının gördüğü yaydır.
|OC| = |OD| = |OA| = |OB| = r ve |AB| = |CD|
&
&
olduğundan AOB , COD olur.
İki eş üçgenin karşılıklı açıları da eş olacağından
h h
%
%
AOB , COD ⇒ AB ≅ CD bulunur.
Bir çemberde, merkez açının ölçüsü gördüğü
ESEN YAYINLARI
yayın ölçüsüne eşittir.
ÖRNEK 10
A
O
B
ABC eşkenar üçgeninin köşeleri O merkezli çember
a
üzerinde ise m( BOA) kaç derecedir?
ÖRNEK 9
A
O
B
a
O merkezli çemberde, m( AOB) = 2x + 10°
h
m(AB) = 3x – 20° ise x kaç derecedir?
Çözüm
490
C
Çözüm
Çember ve Daire
ÇEVRE AÇI
Bir çemberin merkezinden herhangi bir kirişine in-
Köşesi çember üzerinde olan ve kenarları çemberi
dirilen dikme, bu kirişin gördüğü yayları ortalar.
kesen açıya çevre açı denir.
B
A
O
r
r
A
D
C
B
Şekildeki çemberde BAC açısı bir çevre açıdır.
C
Şekilde görüldüğü gibi OAB ikizkenar üçgeninde, [AB] tabanına ait yükseklik aynı zamanda
Bir çevre açının ölçüsü, aynı yayı gören merkez
açıortay olacağından,
a
a
m( AOC) = m( COB) olur.
açının ölçüsünün yarısına eşittir.
h
h
a
a
m( AOC) = m( COB) ⇒ m(AC) = m(CB) bulunur.
C
ÖRNEK 11
ESEN YAYINLARI
x
A
x
y
O
2x
2y
D
y
B
Şekilde görüldüğü gibi O merkezli çemberde,
|AO| = |OC| = r
olduğundan
AOC
ikizkenar
üçgendir.
a
a
m( CAD) = m( ACO) = x alınırsa,
a
m( COD) = 2x olur. (Dış açı özelliği)
|AO| = |OB| = r ise AOB ikizkenar üçgendir.
a
a
m( DAB) = m( ABO) = y alınırsa,
a
m( DOB) = 2y olur. (Dış açı özelliğinden)
Bu durumda,
a
a
a
m( COB) = m( COD) + m( DOB)
a
m( COB) = 2x + 2y = 2(x + y)
a
a
a
a
1
m( COB) = 2m( CAB) ⇒ m( CAB) = m( COB) olur.
2
491
Çember ve Daire
Çözüm
x
2x
Çevre açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsünün
yarısına eşittir.
ÖRNEK 12
A
x
ÖRNEK 14
O
B
140°
C
Çözüm
a
m( BAC) =
a
m( BOC) olduğundan,
O
x
C
K
A
D
x
110°
C
B
a
Şekildeki çemberde, m( ABC) = 110° ve |AD| = |AC|
a
ise m( DAC) = x kaç derecedir?
492
D
a
a
O merkezli çemberde, m( AOB) = 80°, m( BDE) = 20°
a
ise m( ACE) = x kaç derecedir?
Çözüm
ÖRNEK 13
E
80°
20°
a
O merkezli çemberde, m( BOC) = 140° ise
a
m( BAC) = x kaç derecedir?
A
ESEN YAYINLARI
B
Çember ve Daire
Çevre Açı İle İlgili Sonuçlar
Çözüm
® Aynı yayı gören çevre açıların ölçüleri eşittir.
A
α
C
B
α
D
a
a
m( ABC) = m( CDA)
® Çapı gören çevre açının ölçüsü 90° dir.
A
B
C
O
ÖRNEK 16
ri eşittir.
A
B
C
D
x
ESEN YAYINLARI
® Paralel iki kirişin arasında kalan yayların ölçüle-
C
D
25°
%
a
m ( BC) 180°
m( BAC) =
= 90°
=
2
2
A
B
E
ABCD karesinin köşeleri çember üzerindedir.
a
a
m( ECB) = 25° ise m( ADE) = x kaç derecedir?
h
h
[AB] // [CD] ⇒ m(AC) = m(BD)
Çözüm
ÖRNEK 15
C
25°
A
O
B
x
D
a
O merkezli çemberde, m( CBA) = 25° ise
a
m( CDB) = x kaç derecedir?
493
Çember ve Daire
Çözüm
ÖRNEK 17
D
x
C
40°
B
A
a
a
|AB| = |CB| ve m( ABC) = 40° ise m( CDB) = x kaç
derecedir?
Çözüm
ÖRNEK 19
ESEN YAYINLARI
D
E
110°
A
A
x
B
C
ABC üçgeninin köşeleri çember üzerindedir.
[BC] nin uzunluğu çemberin yarıçapına eşit
a
olduğuna göre, m( BAC) = x kaç derecedir?
494
O
C
B
a
O merkezli yarım çemberde m( AED) = 110°
a
ise m( DCB) = x kaç derecedir?
Çözüm
ÖRNEK 18
x
Çember ve Daire
ÖRNEK 20
O merkezli çemberde
a
m( ACB) = 110° ise
a
m( AOB) = x
C
110°
A
K
B
O
B
C
A
x
L
O
kaç derecedir?
O, K, L merkezli çemberler A, C, B noktalarında
h
h
h
birbirine teğet ise m(AB) + m(AC) + m(BC) = 180°
Çözüm
dir.
B
O
A
K
β
α
C
x
ESEN YAYINLARI
L
OKL üçgeni oluşturulduğunda
h
h
a
m( LOK) = m(AB) ⇒ m(AB) = α
h
h
a
m( OLK) = m(AC) ⇒ m(AC) = x
h
h
a
m( OKL) = m(BC) ⇒ m(BC) = β olup
h
h
h
m(AB) + m(AC) + m(BC) = α + x + β = 180° dir.
ÖRNEK 21
ÖRNEK 22
A
D
O
C
°
45°
O
2
|BC| = 2 cm ise çemberin
30
O merkezli çemberde
a
m( BAC) = 45°
A
K
50°
C
yarıçapı kaç cm dir?
B
B
L
x
Çözüm
E
Şekildeki verilenlere göre x kaç derecedir?
Çözüm
495
Çember ve Daire
TEĞET - KİRİŞ AÇI
Köşesi çember üzerinde bulunan ve kenarlarından
O
C
biri çemberin teğeti, diğeri de kirişi olan açıya teğet-
K
kiriş açı denir.
A
B
A
C
O ve K merkezli çemberler C noktasında teğettir.
AB, çemberlere A ve B noktalarında teğet ise
h
h
m(AC) + m(CB) = 180° dir.
B
Şekildeki çemberde CAB açısı bir teğet-kiriş açıdır.
O
C
α
Bu açının gördüğü yay AB yayıdır.
K
β
A
Teğet-kiriş açının ölçüsü, aynı yayı gören merkez
B
açının ölçüsünün yarısına eşittir.
[OA] ⊥ AB ve [KB] ⊥ AB olduğundan,
OABK dörtgeninde,
ÖRNEK 23
A
B
K
C
C
A
x
α r
180°–2α
O
ESEN YAYINLARI
α + β + 90° + 90° = 360° ⇒ α + β = 180° olur.
h
h
a
m( AOC) = m(AC) ⇒ α = m(AC)
h
h
a
m( CKB) = m(CB) ⇒ β = m(CB) olacağından,
h
h
m(AC) + m(CB) = α + β = 180° bulunur.
α r
B
AOB ikizkenar üçgeninde,
a
m( AOB) = 180° – 2α olduğundan,
h
a
m(AB) = m( AOB) = 180° – 2α ..... I olur.
[OA] ⊥ AC olduğundan,
x + α = 90° ⇒ α = 90° – x olur.
x
O
40°
D
O ve K merkezli çemberler, C noktasında teğettir.
Bu değeri I eşitliğinde yerine yazarsak
h
m(AB) = 180° – 2α = 180° – 2(90° – x)
%
h
m (AB)
bulunur.
m(AB) = 2x ⇒ x =
2
AB, çembere A ve B noktalarında teğettir.
a
a
m( ADC) = 40° ise m( COB) = x kaç derecedir?
Çözüm
Teğet-kiriş açının ölçüsü,
gördüğü yayın ölçüsünün
yarısına eşittir.
%
m (AB)
x=
2
496
A
x
B
Çember ve Daire
ÖRNEK 24
ÖRNEK 25
B
B
A
A
x
40°
D
50°
C
O
D
O
C
E
x
F
AB, O merkezli çembere B noktasında teğettir.
a
a
m( BCD) = 50° ise m( ABC) = x kaç derecedir?
AB, O merkezli çembere A noktasında teğettir.
a
a
m( BAC) = 40° , [AC] // [DE] ise m( CFE) = x kaç
Çözüm
derecedir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 26
B
C
α
A
x
85°
C
35°
A
α
D
B
D
Aynı yayı gören teğet-kiriş açı ile çevre açının
ölçüleri eşittir.
%
a
a
m (AB)
m( DAB) = m( ACB) =
2
AB, çembere A noktasında teğettir.
a
a
a
m( DAC) = 85° , m( ACD) = 35° ise m( BAC) = x kaç
derecedir?
497
Çember ve Daire
Çözüm
Y
C
B
A
X
Şekildeki iki çember B noktasında teğettir.
(
)
A, B, C doğrusal ise m( AXB ) = m( BYC ) dir.
Y
E
C
B
A
D
X
ÖRNEK 27
B noktasından geçen ED ortak teğeti çizilirse
a
a
m( ABD) = m( EBC) olur. Bu durumda
(
)
m( AXB ) = m( BYC ) bulunur.
B
130°
A
C
D
[BA ve [BC çembere A ve C noktalarında, iki
çember de birbirine D noktasında teğettir.
a
a
m( ABC) = 130° ise m( ADC) = x kaç derecedir?
ESEN YAYINLARI
x
ÖRNEK 28
D
Çözüm
L
108°
A
B
C
x
E
K
Şekildeki iki çember B noktasında teğettir.
a
A, B, C doğrusal, m( ADB) = 108° ise
a
m( BEC) = x kaç derecedir?
Çözüm
498
Çember ve Daire
ÇEMBERDE İÇ AÇI
Şekildeki iki çember
Çemberin içindeki bir noktada kesişen iki kirişin oluş-
A noktasında teğettir.
turduğu açıların her birine çemberin iç açısı denir.
A
C, B, A doğrusal ise
h
h
m(CLA) = m(BKA) dır.
B
C
C
A
K
E
L
D
A noktasından geçen
B
AD ortak teğeti
Şekilde [AD] ve [BC] kirişlerinin oluşturduğu
çizilirse, CAD açısı
A
iki çemberde de
B
C
K
teğet-kiriş açı olur.
AEB, BED, DEC ve CEA açılarının her biri bir iç
D
açıdır. Birbirine eş olan AEB ve CED iç açılarının
gördüğü yaylar AB ve CD yaylarıdır.
L
Bu açıyı gören yayların
h
h
ölçüleri eşit olacağından m(CLA) = m(BKA) olur.
Çemberde, bir iç açının ölçüsü, gördüğü yayların
ölçüleri toplamının yarısına eşittir.
D
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 29
P
B
A
70°
C
E
K
x
D
Şekildeki iki çember A noktasında teğettir.
a
a
A, C, E doğrusal , m( ABC) = 70° ise m( ADE) = x
kaç derecedir?
Çözüm
A
E
C
B
%
&
a
a
m (AB)
m ( DC)
m( ACB) =
ve m( DBC) =
dir.
2
2
AEB açısı, EBC üçgeninin bir dış açısı olduğundan
a
a
a
m( AEB) = m( EBC) + m( ECB)
%
&
a
m (AB) m ( DC)
m( AEB) =
+
2
2
%
&
a
a
m (AB) + m ( DC)
m( AEB) = m( DEC) =
bulunur.
2
ÖRNEK 30
Şekildeki çemberde
[AC] ∩ [BD] = {K}
a
m( ADB) = 50°
a
m( DBC) = 30° ise
a
m( AKB) = x kaç derecedir?
D
A
50°
x
K
C
30°
B
499
Çember ve Daire
ÇEMBERDE DIŞ AÇI
Çözüm
Köşesi çemberin dış bölgesinde, kenarları çembere
teğet veya çemberin keseni olan açıya çemberin dış
açısı denir.
CKD açısı bir dış açıdır.
Bu açının gördüğü yay-
C
A
K
lar AB ve CD yayları-
B
D
dır.
AKC açısı bir dış açıdır.
A
Bu açının gördüğü yaylar AB ve AC yayları-
K
C
B
dır.
A
ESEN YAYINLARI
AKB açısı bir dış açıdır.
ÖRNEK 31
60
°
B
A
Bu açının gördüğü yayC
K
lar AB ve ACB yaylarıdır.
B
E
x
D
F
Çemberde, bir dış açının ölçüsü, gördüğü yaylar-
40°
C
AB, çembere B noktasında teğettir.
a
a
[BC] ∩ [DE] = {F} , m( ABD) = 60° , m( EDC) = 40°
a
ise m( BFD) = x kaç derecedir?
Çözüm
dan büyük olanı ile küçük olanının farkının yarısına
eşittir.
CBD ve KCB çevre açıları için
%
a
m (AB)
m( KCB) =
2
&
a
m ( CD)
m( CBD) =
dir.
2
A
C
K
B
D
CBD açısı KBC üçgeninin bir dış açısı olduğundan,
a
a
a
m( CBD) = m( KCB) + m( CKB)
%
&
a
m (AB)
m ( CD)
=
+ m( CKB)
2
2
&
%
a
m ( CD) – m (AB)
m( CKB) =
bulunur.
2
500
Çember ve Daire
ÖRNEK 32
ÖRNEK 34
C
[KB, çembere
A
K
x
50°
B noktasında teğettir.
a
m( AKB) = 30°
a
m( CBA) = 50° ise
K
a
m( ACB) = x kaç derecedir?
80°
B
A
D
h
h
Şekildeki çemberde m(CD) = 80° , m(AB) = 50° ise
a
m( CKD) = x kaç derecedir?
C
x
50°
30°
B
Çözüm
Çözüm
A
K
x
40°
B
O
C
[KA, O merkezli yarım çembere A noktasında teğeta
a
tir. m( ACK) = 40° ise m( AKC) = x kaç derecedir?
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 33
ÖRNEK 35
Çözüm
C
K
x
A
O
B
[KC, çembere C noktasında teğettir.
a
|CK| = |OB| ise m( CKB) = x kaç derecedir?
Çözüm
501
Çember ve Daire
ÖRNEK 36
ÖRNEK 37
D
A
C
x
22°
K
O
A
K
70°
x
C
B
a
O merkezli çemberde, m( DKB) = 22° , |OB| = |KC|
a
ise m( DOB) = x kaç derecedir?
B
[KA ve [KB çembere A ve B noktalarında teğettir.
a
a
m( AKB) = 70° ise m( ACB) = x kaç derecedir?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 38
A
K
x
C
120°
D
B
[KA ve [KB çembere A ve B noktalarında teğettir.
a
a
m( ACB) = 120° ise m( AKB) = x kaç derecedir?
A
B
K
Çözüm
C
[KA ve [KC çembere A ve C noktalarında teğet
h
a
ise m( AKC) + m(AC) = 180° dir.
h
h
h
h
m(ABC) + m(AC) = 360° ⇒ m(ABC) = 360° – m(AC)
)
%
a
m(ABC) – m(AC)
m( AKC) =
2
%
%
h
a
360°– m(AC) – m(AC)
m( AKC) =
= 180° – m(AC)
2
h
a
m( AKC) + m(AC) = 180° bulunur.
502
Çember ve Daire
ÖRNEK 39
A
K
D
x
A
C
K
50°
B
B
C
O
[KA, O merkezli çembere A noktasında teğet ise
h
a
m( AKC) + m(AB) = 90° dir.
70°
E
[KA ve [KB çembere, A ve B noktalarında teğettir.
a
Verilenlere göre m( DAC) = x kaç derecedir?
A
K
Çözüm
α
α
β
B
C
O
β
D
h
a
m( AKD) + m(AD) = 180° ⇒ 2α + 2β = 180°
⇒ α + β = 90° bulunur.
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 41
A
D
x
K
B
O
C
[KA, O merkezli çembere A noktasında teğettir.
a
a
a
m( AKD) = m( DKC) ise m( ADK) = x kaç derecedir?
Çözüm
ÖRNEK 40
ABC üçgeninin kenarları
A
çembere F, D ve E
noktalarında teğettir.
Verilenlere göre
a
m( FDE) = x kaç derecedir?
E
F
50°
B
x
D
60°
C
Çözüm
503
Çember ve Daire
ÖRNEK 43
Bazı üçgen sorularını çözerken çemberden yarar-
A
lanırız. Bu durum aşağıda ifade edilmiştir.
50°
Aynı doğru parçasını gören, bir veya birden fazla
dik açı varsa, bu dik açıların köşeleri ile gördükleri
F
E
ortak doğru parçasının uçları aynı çember üzerindedir ve ortak doğru parçası çemberin çapıdır.
B
C
A
x
C
D
B
O
A
O
B
derecedir?
Çözüm
ÖRNEK 42
E
x
D
C
ABC üçgeninde [AD] ⊥ [BC] , [BE] ⊥ [AC]
a
a
m( ABE) = 40° ise m( ADE) = x kaç derecedir?
Çözüm
504
ESEN YAYINLARI
A
B
C
ABC üçgeninde [BE] ⊥ [AC] , [CF] ⊥ [AB]
a
a
|BD| = |DC| , m( A) = 50° ise m( FDE) = x kaç
E
40°
D
ALIŞTIRMALAR -
2
6.
Aşağıdaki O merkezli çemberlerin her birinde verilenlere göre x değerlerini bulunuz.
1.
O
x
130°
x
O
110°
7.
x
2.
70°
O
O
3.
x
O
40°
ESEN YAYINLARI
x
8.
x
O
25°
9.
4.
O
40°
x
30°
x
10.
72°
5.
O
x
40°
x
505
Çember ve Daire
Aşağıdaki çemberlerin her birinde verilenlere göre x
16.
20°
değerlerini bulunuz.
x
11.
40°
O
44°
x
17.
50°
x
12.
40°
x
30°
18.
45°
ESEN YAYINLARI
13.
x
O
x
O
20°
14.
19.
x
E
D
70°
140°
x
|CD| = |OA|
45°
C
B
A
O
15.
x
20.
E
x
D
60°
80°
506
|CD| = |OA|
54°
C
B
O
A
Çember ve Daire
26.
Aşağıdaki verilenlere göre x değerlerini bulunuz.
x
70°
21.
x
70°
O
27.
22.
150°
x
20°
120°
x
28.
23.
ESEN YAYINLARI
50°
O
20°
x
24.
x
50°
29.
x
70°
70°
x
25.
30.
70°
x
28°
x
48°
507
Çemberde Teğet
ÖRNEK 45
Çemberin herhangi bir teğeti, değme noktasındaki
C
E
yarıçapa diktir.
D
O
A
r
[DC], O merkezli yarım çembere E de teğettir.
a
a
m( ADC) = m( DCB) = 90° , |AD| = 4 cm , |BC| = 6 cm
d
H
B
O
H, teğet değme noktası ise [OH] ⊥ d dir.
ise çemberin yarıçapı kaç cm dir?
Çözüm
O
A
H
d
[OH] nin değil de [OA] nın d doğrusuna dik olduğunu varsayalım.
Oluşan OAH dik üçgeninde, dik kenar, hipotenüs..... (I) olur.
H noktası çemberin üzerinde, A noktası çemberin dışında olduğundan, |OA| > |OH|
..... (II) olur.
I ve II sonuçları birbiri ile çeliştiği için üçüncü
durum olan |OH| = |OA| doğrudur.
O halde, [OH] ⊥ d olduğu görülür.
ESEN YAYINLARI
ten kısa olacağından, |OA| < |OH|
ÖRNEK 46
ÖRNEK 44
O
C
B
3
12
A
8
B
C
O
D
O merkezli çemberde [AB teğettir. |AB| = 12 cm
|AC| = 8 cm ise çemberin yarıçapı kaç cm dir?
Çözüm
508
A
O merkezli çemberde [AB teğet, |AC| = |CO|
|AB| = 3 cm ise çemberin yarıçapı kaç cm dir?
Çözüm
Çember ve Daire
Çözüm
Bir çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğet
parçalarının uzunlukları eşittir.
B
A
C
[AB ve [AC çembere B ve C noktalarında teğet
ise |AB| = |AC| dir.
B
ÖRNEK 48
r
B
O
A
3
r
A
C
60°
|AB|2 + |BO|2 = |AO|2 ⇒ |AB|2 + r2 = |AO|2 ......I
2
2
2
2
C
2
|AC| + |CO| = |AO| ⇒ |AC| + r = |AO| ......II
I ve II den |AB| = |AC| bulunur.
ESEN YAYINLARI
2
Şekilde [AB ve [AC çembere B ve C noktalarında
a
teğettir. m( BAC) = 60° ve |AB| = 3 cm ise çemberin
yarıçapı kaç cm dir?
Çözüm
B
r
O
A
r
C
&
&
ABO , ACO olduğundan ABOC deltoiddir.
ÖRNEK 47
E
3 C
4
A
C
[AB] çaplı çembere
F
[DA], [CB] ve [DC]
5
D
B
Şekilde B, F, C teğet değme noktalarıdır.
|AD| = 5 cm , |AE| = 4 cm , |EC| = 3 cm ise |DE|
kaç cm dir?
ÖRNEK 49
sırasıyla A, B ve E
noktalarında teğettir.
|DA| = 4 cm
E
D
9
4
A
B
|CB| = 9 cm ise |AB| kaç cm dir?
509
Çember ve Daire
İKİ ÇEMBERİN ORTAK TEĞETLERİ
Çözüm
Aynı düzlemde bulunan iki çembere de teğet olan
doğrulara, bu çemberlerin ortak teğetleri denir.
O
M
d
A
B
d: Ortak d›fl te¤et
[AB]: Ortak d›fl te¤et parças›
C
O
M
D
t
t: Ortak iç te¤et
[CD]: Ortak iç te¤et parças›
D
E
C
A
O
B
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 50
ÖRNEK 51
Aşağıda verilen ortak teğetlerden hangilerinin ortak
dış teğet, hangilerinin ortak iç teğet olduğunu tespit
ediniz.
O merkezli çemberde E teğet değme noktası
[AD] ⊥ [DC] , [BC] ⊥ [DC] , |AD| = 8 cm
|AB| = 12 cm ise |BC| kaç cm dir?
a
Çözüm
b
c
f
d
e
k
n
l
m
Çözüm
510
Çember ve Daire
ÖRNEK 52
İki çemberin ortak dış teğet parçalarının uzunluk-
Ortak dış teğet parçasının uzunluğu 8 cm olan iki
ları eşittir.
çemberin yarıçapları 1 cm ve 7 cm ise merkezleri
arasındaki uzaklık kaç cm dir?
B
Çözüm
A
P
C
D
|AB| = |CD|
Bir çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğet
parçalarının uzunlukları eşit olduğundan;
|PB| = |PD| ..... I
|PA| = |PC| ..... II
I ve II yi taraf tarafa çıkarırsak,
ÖRNEK 53
|PB| – |PA| = |PD| – |PC| ⇒ |AB| = |CD| bulunur.
Yarıçapları 4 cm ve 9 cm olan dıştan teğet iki çem-
Yarıçapları r1 ve r2 olan iki çemberin merkezleri
arasındaki uzaklık d ve ortak dış teğet parçasının
ESEN YAYINLARI
berin ortak dış teğet parçasının uzunluğu kaç cm dir?
Çözüm
uzunluğu |AB| ise
|AB| =
d 2 – (r1 – r2) 2 dir.
B
A
r2
O
r2
H
r1 – r2
M
B
A
O
|OM| = d ve |AB| = |OH| olacağından,
OHM dik üçgeninde,
|OH|2 + |HM|2 = |OM|2
|AB|2 + (r1 – r2)2 = d2
|AB| =
d 2 – (r1 – r2) 2 bulunur.
r1
E
r2
M
C
D
Dıştan teğet çemberlerde ortak dış teğet parçasının uzunluğunu |AB| = |CD| = 2 r1 .r2 eşitliğinden de bulabiliriz.
511
Çember ve Daire
ÖRNEK 55
İki çemberin ortak dış teğetlerinin kesim noktası ile
merkezleri doğrusaldır.
4v2
A
B
5
3
A
E
B
O
M
O
C D
M
Yarıçapları 3 cm ve 5 cm olan şekildeki O ve M mer-
C
kezli çemberlerin ortak dış teğet parçasının uzunluğu
D
|AB| = 4v2 cm ise |CD| kaç cm dir?
E, O, M doğrusaldır.
Çözüm
ÖRNEK 54
C
B
O1
F
12
O2
60°
A
E
F noktasında dıştan teğet çemberlerin merkezleri O1
ve O2 dir. B, C, D, E teğet değme noktaları,
a
m( CAE) = 60° ve |O1E| = 12 cm ise |ED| kaç cm
ESEN YAYINLARI
D
ÖRNEK 56
A
dir?
B
Çözüm
D
C
Dıştan teğet iki çemberin ortak dış teğet parçaları
[AB] ve [CD] dir. Çevre(ABCD) = 36 cm ise |AB|
kaç cm dir?
Çözüm
512
Çember ve Daire
İki çemberin ortak iç teğet parçalarının uzunlukları
Yarıçapları r1 ve r2 olan iki çemberin merkezleri
eşittir.
arasındaki uzaklık d ve ortak iç teğet parçasının
uzunluğu |AB| ise |AB| =
C
d 2 – (r1 + r2) 2 dir.
A
E
r1
B
A
D
d
O
M
|AD| = |BC|
r2
C
r1
B
|EA| = |EB|
+ |ED| = |EC|
––––––––––––
|EA| + |ED| = |EB| + |EC| ise
OCM dik üçgeninde,
|OC|2 + |CM|2 = |OM|2 ⇒ |AB|2 + (r1 + r2)2 = d2
ÖRNEK 57
A
7
|AD| = |BC| elde edilir.
d 2 – (r1 + r2) 2 olur.
ESEN YAYINLARI
⇒ |AB| =
16
O
ÖRNEK 58
C
A
M
B
B
D
5
A ve B merkezli çemberlerin yarıçapları sırasıyla
Yarıçapları 7 cm ve 5 cm olan O ve M merkezli iki
çemberin ortak iç teğet parçasının uzunluğu
|AB| = 16 cm ise |OM| kaç cm dir?
4 cm ve 2 cm dir. |AB| = 10 cm ise |CD| kaç cm dir?
Çözüm
Çözüm
513
Çember ve Daire
Çözüm
ÖRNEK 59
C
A
B
A, B, C merkezli çemberler, ikişer ikişer dıştan teğettir. |AB| = 5 cm, |AC| = 4 cm, |BC| = 3 cm ise çemberlerin yarıçapları kaçar cm dir?
Çözüm
ÖRNEK 61
L
ESEN YAYINLARI
K
O
M
T
O merkezli çember, M merkezli çeyrek çembere K
noktasında ve [MT] ile [ML] yarıçaplarına da şekildeki gibi teğettir. O merkezli çemberin yarıçapı 1 cm
ise M merkezli çemberin yarıçapı kaç cm dir?
Çözüm
ÖRNEK 60
D x F
C
K
E
4
A
10
B
ABCD dikdörtgen olmak üzere, [AB]
çaplı yarım
çember ile C merkezli çeyrek çember K noktasında
birbirine dıştan teğettir. |AB| = 10 cm ve |BE| = 4 cm
ise |DF| = x kaç cm dir?
514
Çember ve Daire
ÖRNEK 62
ÖRNEK 64
A
F
2 E
2
D
L
A
O
K
C
B
B
C
A, B, C merkezli çemberler ikişer ikişer teğettir.
O merkezli çember ABCD dikdörtgeninin üç kenarına
ve D merkezli çeyrek çembere L noktasında şekildeki
|AB| = 5 cm , |BC| = 5 cm , |AC| = 6 cm ise A mer-
gibi teğettir. |DE| = |EF| = 2 cm ise |AB| kaç cm dir?
kezli çemberin yarıçapı kaç cm dir?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 63
D
O
A
4
C
8
B
O merkezli çember, [AB] çaplı yarım çembere D noktasında ve [AB] ye C noktasında teğettir. |AC| = 4 cm
ve |CB| = 8 cm ise O merkezli çemberin yarıçapı
kaç cm dir?
ÖRNEK 65
Çözüm
K
A
6
O
C
B
M
3
D
Şekildeki O ve M merkezli yarım çemberler dik kesişmektedir. |AO| = 6 cm ve |MD| = 3 cm ise |BM|
kaç cm dir?
515
Çember ve Daire
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 68
ÖRNEK 66
r
M
D
A
B
O
O ve M merkezli yarım çemberlerde, O teğet değme
noktası ve |CM| = 2 cm ise |AO| = r kaç cm dir?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
A
M
2
C
B
A
C
M
O
D
B ve D noktalarında kesişen O ve M merkezli çemberlerde , [AC] // [OM] , |AB| = 5 cm ve |BC| = 7 cm
ise |OM| kaç cm dir?
516
B
O merkezli [AO] ve [OB] çaplı yarım çemberler ile
M merkezli çember birbirine şekildeki gibi teğettir.
|AB| = 8 cm ise M merkezli çemberin yarıçapı kaç
cm dir?
Çözüm
ÖRNEK 67
O
Çember ve Daire
Çözüm
ÖRNEK 69
D
x
C
2
A
4
E
O
B
Şekildeki [AB] çaplı yarım çember, O merkezli
yarım çembere B noktasında teğettir.
[DO] ⊥ [AB], |AE| = 4 cm, |CO| = 2 cm ise
|CD| = x cm dir?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 71
D
L
C
A
O
K
B
O merkezli çemberlerden küçük olanı [AB] ve [CD]
ye K ve L noktalarında teğettir.
|AB| = (3x+2) cm, |CD| = (2x+4) cm ve küçük çemberin yarıçapı 3 cm ise büyük çemberin yarıçapı kaç
cm dir?
Çözüm
ÖRNEK 70
E
5
D
3
A
O
C
B
O merkezli yarım çemberde [EO] ⊥ [DO], |ED| = 5 cm
|DC| = 3 cm ise A(ODE) kaç cm2 dir?
517
Çember ve Daire
ÖRNEK 72
Bir çember ile bu çemberin düzleminde bir P noktası verilsin. P noktasından geçen herhangi bir
A
4
kesen, çemberi A ve B gibi iki noktada kesiyor-
B
x
P
sa, |PA|.|PB| sabitine, P noktasının bu çembere
3
C
göre kuvveti denir.
5
D
B
A
[PB ∩ [PD = {P} olmak üzere,
kuvvet = |PA|.|PB|
P
(d›fl kuvvet)
|PA| = 4 cm, |PC| = 3 cm, |CD| = 5 cm ise
|AB| = x kaç cm dir?
B
Çözüm
kuvvet = |PA|.|PB|
P
(iç kuvvet)
B
A
P
C
D
ESEN YAYINLARI
A
ÖRNEK 73
10
[PB ve [PD birer kesen olmak üzere,
|PA|.|PB| = |PC|.|PD| dir.
r
O
B
C
4
A
6
D
O merkezli çemberde A, B, O doğrusal, [AD kesen
|AB| = 4 cm , |AC| = 6 cm , |CD| = 10 cm ise
B
A
Çözüm
P
C
D
Aynı yayı gördüklerinden,
a
a
m( PBC) = m( PDA) dır. Ayrıca BPD açısı ortak
&
&
açı olduğundan, PBC + PDA dir.
PB
PC
&
&
PBC + PDA ⇒
=
PD
PA
⇒ |PA|.|PB| = |PC|.|PD| olur.
518
|BO| = r kaç cm dir?
Çember ve Daire
ÖRNEK 75
T
T
x
P
A
P
B
A
3
O
4,5
[PT çembere T noktasında teğet ve [PB çemberin keseni olmak üzere,
O merkezli çemberde [PT teğet; P, A, O doğrusal
|PT|2 = |PA|.|PB| dir.
|PA| = 3 cm , |AO| = 4,5 cm ise |PT| = x cm dir?
Çözüm
T
P
A
B
ESEN YAYINLARI
Aynı yayı gördüklerinden,
a
a
m( PBT) = m( PTA) dır. Ayrıca BPT açısı ortak açı
&
&
olduğundan, PTA + PBT dir.
PT
PA
&
&
PTA + PBT ⇒
=
PB
PT
⇒ |PT|2 = |PA|.|PB| olur.
ÖRNEK 76
D
4
C
ÖRNEK 74
2
B
x
P
D
A
x
C
4
A
6
B
Şekildeki çemberler A noktasında içten teğettir.
[PA ve [PD küçük çembere A ve C noktalarında
teğettir. |BC| = 2 cm, |CD| = 4 cm ise |PB| = x kaç
[AB teğet , [AD kesen , |AB| = 6 cm , |AC| = 4 cm
cm dir?
ise |CD| = x kaç cm dir?
Çözüm
Çözüm
|AB|2 = |AC|.|AD|
62 = 4(4 + x) ⇒ 36 = 16 + 4x ⇒ 4x = 20
519
Çember ve Daire
ÖRNEK 78
D
B
C
A
D
3
2
2
P
A
C
E
x
O
B
[AB] çaplı yarım çemberde, O merkez
[AC] ∩ [OD] = {E} , |OE| = |EC| = 2 cm
[AB] ∩ [CD] = {P} olmak üzere,
|AO| = 3 cm ise |AE| = x kaç cm dir?
|PA|.|PB| = |PC|.|PD| dir.
Çözüm
B
C
P
A
D
Aynı yayı gördükleri için,
a
a
a
a
m( CAB) = m( CDB) ve m( ACD) = m( ABD) dir.
⇒ |PA|.|PB| = |PC|.|PD| dir.
ÖRNEK 77
ESEN YAYINLARI
PA
PC
&
&
PAC + PDB ⇒
=
PD
PB
ÖRNEK 79
T
C
4
6
B
D
F
3
P
A
A
4
4
B
2
C
x
E
D
Şekildeki çemberde [AT teğet , [AC] ∩ [DE] = {F}
Şekildeki çemberde [AB] ∩ [CD] = {P} , |CP| = 3 cm
|AT| = 6 cm , |AB| = 4 cm , |DF| = 4 cm ve
|PD| = 4 cm , |AB| = 8 cm ise |AP| nin alabileceği
|FC| = 2 cm ise |EF| = x kaç cm dir?
değerler toplamı kaç cm dir?
Çözüm
Çözüm
Çembere A noktasından dış kuvvet uygulanırsa,
|AT|2 = |AB|.|AC| ⇒ 62 = 4.|AC|
520
Çember ve Daire
ÖRNEK 80
ÖRNEK 82
F
D
9
O
x
3
4
C
2
A
D
r
M
E
A
B
6 C
B
O ve M merkezli çemberler D noktasında dıştan
C ve F noktalarında kesişen şekildeki iki çemberin
teğettir. A ve B noktaları ise ortak dış teğetin değme
ortak dış teğeti AB doğrusudur. [AE] ∩ [BD] = {C}
noktalarıdır. |OD| = 9 cm ve |AC| = 6 cm ise
|AC| = 3 cm, |CE| = 4 cm, |CB| = 2 cm ise |DC| = x
|DM| = r kaç cm dir?
kaç cm dir?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 81
E
D
A
C
B
d
D ve E noktalarında kesişen çemberlerin ortak dış
teğeti d doğrusudur. |AB| = 12 cm ve |CE| = 9 cm
ÖRNEK 83
ise |DE| kaç cm dir?
Çözüm
D x
25
A
E
C
B
[AB] ve [CB] çaplı yarım çemberlerde
D teğet değme noktasıdır.
|AC| = 2|CB| ve |AD| = 25 cm ise
|DE| = x kaç cm dir?
521
Çember ve Daire
Çözüm
ÖRNEK 85
A
B
12
5
D
C
[AB] çaplı çemberde, [AB] // [CD], |AC| = 5 cm
|AD| = 12 cm ise |AB| kaç cm dir?
Çözüm
ÖRNEK 84
B
A
6
C
18
D
[AB çembere B noktasında teğettir.
A, C, D doğrusal, |AC| = 6 cm, |BC| = 8 cm
ESEN YAYINLARI
x
8
ÖRNEK 86
C
|CD| = 18 cm ise |BD| = x kaç cm dir?
2
Çözüm
A
AB
1
B
ortak dış teğet ve çemberler
C
noktasında
dıştan teğettir. |AC| = 2 cm , |CB| = 1 cm ise |AB|
kaç cm dir?
Çözüm
522
Çember ve Daire
ÖRNEK 87
ÖRNEK 89
P
x
A
B
6
C
5
12
E
B
A
C
8
D
E
D
C ve D noktalarında kesişen iki çemberin kuvvet
[CE] çaplı çember küçük çembere B de teğettir.
ekseni CD doğrusudur. E teğet değme noktası,
[AE] ise D noktasında teğettir. |AB| = 12 cm
|PE| = 6 cm, |AB| = 5 cm ise |PA| = x kaç cm dir?
|CD| = 8 cm ise küçük çemberin yarıçapı kaç cm dir?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 88
[AB ve [AC çembere
B
B ve C de teğettir.
[AF] kesen
A
4 D 2
E
F
|BE| = |EC|
|AD| = 4 cm
C
|DE| = 2 cm ise |EF| kaç cm dir?
Çözüm
523
Çember ve Daire
Teğetler dörtgenini tanımlamadan önce üçgenin iç
Üçgenin Dış Teğet Çemberi
teğet çemberi ile dış teğet çemberini ve özelliklerini
Bir üçgenin dış bölgesinde bulunan ve üçgenin bir
hatırlayalım.
kenarı ile diğer iki kenarının uzantılarına teğet olan
Üçgenin İç Teğet Çemberi
çembere, bu üçgenin dış teğet çemberi denir.
Merkezi üçgenin içinde bulunan ve üçgenin üç kenaE
rına da teğet olan çembere, bu üçgenin iç teğet
C
çemberi denir.
D
O
A
Üçgenin iç teğet çemberinin merkezi, üçgenin
F
D
A
iç açıortaylarının kesim
B
F
O
noktasıdır.
B
E
Şekildeki ABC üçgeninde [AO] iç açıortay, [BO] ile
C
[CO] ise dış açıortaydır. Yani, bir üçgenin bir iç açıortayı ile diğer açılarının dış açıortaylarının kesiştiği
A
x
nokta, dış teğet çemberlerinden birisinin merkezidir.
x
F
D
z
B
E
y
z
ÖRNEK 91
C
|AD| = |AF| = x , |BD| = |BE| = y , |CE| = |CF| = z
ÖRNEK 90
x
B
x+2
A
3
A
x
F
2
C
E
|CF| = 2 cm ise |AC| = x kaç cm dir?
x–1
E
C
ABC üçgeninin iç teğet çemberinin teğet değme noktaları D, E, F dir. |BD| = 4 cm , |AD| = x cm
|BE| = x + 2 cm , |CF| = x – 1 cm ise Çevre(ABC)
524
D
verilmiştir. Çevre(ABC) = 18 cm , |BF| = 3 cm
F
4
Çözüm
B
Şekilde, ABC üçgeninin dış teğet çemberlerinden biri
D
kaç cm dir?
ESEN YAYINLARI
y
Çözüm
Çember ve Daire
TEĞETLER DÖRTGENİ
ÖRNEK 92
Bütün kenarları bir çembere teğet olan dörtgene,
D
C
teğetler dörtgeni denir.
C
D
A
O
B
ABCD dik yamuğu teğetler dörtgenidir. |AB| = 10 cm
|AD| = 6 cm ise |DC| kaç cm dir?
A
B
Çözüm
Şekildeki ABCD dörtgeninin bütün kenarları, O merkezli çembere teğet olduğundan, ABCD bir teğetler
dörtgenidir.
Teğetler dörtgeninde karşılıklı kenarların uzunlukları toplamı birbirine eşittir.
A
B
|AB| + |DC| = |AD| + |BC|
D
t
K
z
ESEN YAYINLARI
C
D
ÖRNEK 93
D
C
E
C
z
t
A
F
L
ABCD paralelkenar ve ABED teğetler dörtgeni olmak
y
x
A
B
x
E
y
B
üzere, |AB| = 14 cm, |DE| = 9 cm ise Çevre(BEC)
kaç cm dir?
Çözüm
E, F, K, L teğetlerin değme noktaları olsun.
|AE| = |AL| = x ,
|BE| = |BF| = y
|CF| = |CK| = z ,
|DK| = |DL| = t
|AB| + |DC| = x + y + z + t
|AD| + |BC| = x + y + z + t
}
ise
|AB| + |DC| = |AD| + |BC| bulunur.
525
Çember ve Daire
Üçgenin Çevrel Çemberi
Çözüm
Bir üçgenin köşelerinden geçen çembere, bu üçgenin
çevrel çemberi denir.
A
C
A
B
O
O
B
C
A
Bir üçgenin çevrel çemF
berinin merkezi, üçgenin
E
kenar orta dikmelerinin
O
B
kesim noktasıdır.
C
ESEN YAYINLARI
D
Sinüs Teoremi
A
c
O
R
B
a
b
c
=
=
= 2R
sin A sin b sin C
b
a
ÖRNEK 95
A
5
C
B
E
4
x
C
D
Şekilde A, B, C, D noktaları çember üzerindedir.
a
a
m( BAD) = m( DAC) , |AE| = 5 cm , |ED| = 4 cm ise
ÖRNEK 94
A
4
B
3
H
|DC| = x kaç cm dir?
6
Çözüm
C
ABC üçgeninde, [AH] ⊥ [BC] , |AB| = 4 cm
|AH| = 3 cm , |AC| = 6 cm ise çevrel çemberin yarıçapı kaç cm dir?
526
Çember ve Daire
KİRİŞLER DÖRTGENİ
Çözüm
Köşeleri aynı çemberin üzerinde olan dörtgene kirişler dörtgeni denir.
D
A
C
B
Şekildeki ABCD dörtgeni bir kirişler dörtgenidir.
Kirişler dörtgeninde, karşılıklı açılar bütünlerdir.
ÖRNEK 97
D
ADC ve ABC birer
F
α
A
80°
C
çevre açı olduklarından
E
β
C
B
)
)
a
m (ADC)
m (ADC)
m( ABC) =
⇒β=
2
2
h
⇒ m(ADC) = 2β olur.
h
h
m(ABC) + m(ADC) = 360° olduğundan
ESEN YAYINLARI
)
)
a
m (ABC)
m (ABC)
⇒α=
m( ADC) =
2
2
h
⇒ m(ABC) = 2α
D
x
A
B
İki çember, E ve B noktalarında kesişmiştir.
a
a
ACDF dörtgeninde, m( AFD) = 80° ise m( FDC) = x
kaç derecedir?
Çözüm
2α + 2β + = 360° ⇒ α + β = 180° bulunur.
ÖRNEK 96
D
x + 10°
A
x + 20°
x
C
y
B
ABCD kirişler dörtgeninde verilenlere göre y kaç
derecedir?
527
Çember ve Daire
Çözüm
ÖRNEK 98
B
A
x
40°
O
D
C
O merkezli çember diğer çemberi B ve C noktaa
a
larında kesmiştir. m( BDC) = 40° ise m( BAC) = x
kaç derecedir?
Çözüm
ÖRNEK 100
ESEN YAYINLARI
A
O
40°
B
x
C
D
O merkezli çember ile diğer çember A ve C noktalaa
a
rında kesişmiştir. m( ABD) = 40° ise m( ADB) = x
kaç derecedir?
Çözüm
ÖRNEK 99
A
60°
D
F
40°
B
E
x
C
a
a
Şekilde m( BAC) = 60° , m( ABD) = 40° ise
a
m( FCA) = x kaç derecedir?
528
A
ALIŞTIRMALAR -
1.
A
5.
8
7
O
3
Yarıçap uzunlukları 3 cm ve 9 cm olan iki çem-
B
berin merkezleri arasındaki uzaklık 4 cm dir. Bu
r
iki çembere de teğet olan çemberin yarıçapı en
M
az kaç cm olabilir?
O ve M merkezli çemberler [AB] ye A ve B de
teğettir. |OA| = 7 cm , |OM| = 10 cm , |AB| = 8 cm
6.
ise |BM| = r kaç cm dir?
B
2.
B
A
2
O
6
C
[AB ve [AC çembere B ve C noktalarında
M
3
teğettir. [AB ⊥ [AC , |AC| = 6 cm ise çemberin
A
yarıçapı kaç cm dir?
AB, O ve M merkezli çemberlerin ortak iç teğe|BM| = 2 cm ise |OM| kaç cm dir?
3.
A
10
B
ESEN YAYINLARI
tidir. |AB| = 12 cm , |OA| = 3 cm ve
7.
A
B
E
C
F
Şekilde C noktasında birbirine dıştan teğet E ve
F merkezli çemberlerin yarıçapları sırasıyla 6 cm
ve 2 cm dir. Çemberlerin ortak dış teğetlerinden
Dıştan teğet olan r1 ve r2 yarıçaplı çemberlerin
biri AB olduğuna göre |BC| kaç cm dir?
ortak teğeti AB dir. |AB| = 10 cm ise r1.r2 kaç
cm2 dir?
8.
4.
B
C
D
E
6
5
3
A 120°
A
6
C
O
B
Şekildeki yarım çember ABCD dik yamuğunun
[AB ve [AC çembere sırasıyla B ve C noktala-
kenarlarına A, E ve B noktalarında teğettir.
rında teğet ise çemberin yarıçapı kaç br dir?
|AD| = 3 cm , |BC| = 5 cm ise |DC| kaç cm dir?
529
Çember ve Daire
9.
10. Aşağıdaki çemberlerde verilenlere göre istenen-
Aşağıdaki çemberlerde verilenlere göre x kaç
birimdir?
leri bulunuz.
a.
a.
D
A
8
E
x
A
B
r
O merkez
r =?
O
B
4
3
2
D
5
C
3
C
b.
b.
A
x
6
C
3
B
E
B
3
C
x=?
A
x
2
D
E
c.
D
T
c.
A
2
B
6
ESEN YAYINLARI
x
C
d.
C
A
12
16
C
B
|BC| = ?
d.
C
5
B
r=?
x
A
6
e.
B
2
A
T
T
E
530
T
A
C
3
4
e.
x
4
D
[BC] çap
2
B
4
O
A
D
2
C
r=?
4
B
Çember ve Daire
11.
15.
A
C
3
4
D
h
B
A
5
6
D 2 B
x
C
Şekilde, [AB] çap, [CD] ⊥ [AB], |AD| = 6 cm
|DB| = 2 cm ise |CD| = h kaç cm dir?
E
A noktası kuvvet ekseni üzerinde ise verilenlere
göre, x kaç birimdir?
16.
C
D
12.
13
4
B
2
A
6
P
A
B
P, A, B doğrusal, |PA| = 2 cm, |AB| = 4 cm ise
Şekilde, |AD| = 6 cm, |BC| = 13 cm ise ABCD
P noktasına göre kuvvet kaç cm2 dir?
ESEN YAYINLARI
13.
B
6
E
x
C
D
teğetler dörtgeninin çevresi kaç cm dir?
3
17.
D
C
3
E
4
A
A
B noktasında içten teğet iki çember için
B
ABCD teğetler dörtgeni ve ABED dikdörtgendir.
|AB| = 6 cm , |AC| = 3 cm ise x kaç cm dir?
|CE| = 3 cm , |BE| = 4 cm ise |DC| kaç cm dir?
A
14.
18.
D
D
C
E
6
B
F
C
A
E
3c10
B
ABC eşkenar üçgen, [DC] çap, E teğet değme
ABCD dik yamuğu bir teğetler dörtgenidir.
noktası, |BE| = 3v5 cm, |BF| = 5 cm ise |AD|
|CE| = |EB|, |AD| = 6 cm, |AE| = 3c10 cm ise
kaç cm dir?
|CB| kaç cm dir?
531
Çember ve Daire
D
19.
N
F
23.
C
M
D
E
P
T
K
x
O
A
E
K
A
ABCD yamuğunun içinde, birbirine K da teğet
Şekildeki O merkezli çember diğer çember ile E
a
ve B noktalarında kesişmiştir. m( DAC) = 40°
a
ise m( DCA) = x kaç derecedir?
olan iki eş çember çizilmiştir. T, K, L, P, M, N ve K
değme noktaları |FK| = |KE|, |AD| + |BC| = 12 cm
|DC| + |AB| = 30 cm ise |NM| kaç cm dir?
D
20.
B
40°
B
L
F
24.
x
E
D
70°
C
A
C
B
A
Şekildeki ACDF dörtgeninin köşeleri, B ve E
B
de kesişen çemberlerin üzerindedir.
a
a
m( AFD) = 70° ise m( FDC) kaç derecedir?
D
21.
x
70°
O
C
ESEN YAYINLARI
Şekildeki ABCD kirişler dörtgeninde |AD| = |AB|,
a
|DC| = |BC| ise m( ADC) = x kaç derecedir?
A
C
A
25.
O
50°
B
B
Şekildeki O merkezli çember diğer çember ile B
a
ve D noktalarında kesişmiştir. m( DCB) = 70°
a
ise m( DAB) = x kaç derecedir?
C
22.
30°
E
O merkezli çember ile diğer çember A ve C
a
noktalarında kesişmiştir. m( ABD) = 50° ise
a
m( OCD) kaç derecedir?
26.
K
C
D
A
70°
D
C
2x + 50°
D
x + 40°
B
A
F
x
B
Şekilde A, F, D, E noktaları çember üzerindedir.
a
a
a
m( CAB) = 70°, m( ACF) = 30° ise m( ABE) = x
kaç derecedir?
532
[KC ve [KA çembere C ve A noktalarında
a
a
teğettir. m( CDA) = 2x + 50° , m( ABC) = x + 40°
a
ise m( CKA) kaç derecedir?
Dairenin Çevresi ve Alanı
ÇEMBERİN UZUNLUĞU (ÇEVRESİ)
Çemberin tamamını gören merkez açının ölçüsü
360° olduğundan, aşağıdaki orantı yazılabilir.
360° lik merkez açının gördüğü yayın uzunluğu 2 r r ise
h
r
α° lik merkez açının gördüğü yayın uzunluğu |AB| dir.
O
h
h
a
|AB|.360° = 2 r r.α ⇒ |AB| = 2 r r.
olur.
360°
r yarıçaplı bir çemberin uzunluğunu, çap uzunluğuna
O halde, α° lik merkez açının gördüğü, AB yayının
h
a
dir.
uzunluğu, |AB| = 2 r r.
360°
bölersek yaklaşık olarak 3,14 e eşit olan bir sayı
buluruz.
Bu sayı pi sayısıdır ve r sembolü ile gösterilir.
Çevresi Ç, yarıçapı r olan bir çemberde,
ÖRNEK 103
Ç
= r olacağından
2r
B
çemberin uzunluğu (çevresi), Ç = 2 r r bulunur.
A
5
100° 5
O
Yarıçapı 3 cm olan bir çemberin uzunluğu (çevresi)
kaç cm dir?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 101
Yarıçapı 5 cm olan, O merkezli çemberde,
h
a
m( AOB) = 100° ise |AB| kaç cm dir?
Çözüm
ÖRNEK 102
Çevresi (uzunluğu) 16 r cm olan bir çemberin, yarıçapı kaç cm dir?
ÖRNEK 104
Çözüm
O
2
α
2
A
Bir Çember Yayının Uzunluğu
B
A
r
O
α
r
Yarıçapı 2 cm olan, O merkezli çemberde,
h
4r
|AB| =
cm ise α kaç derecedir?
3
Çözüm
B
α° lik bir merkez açının gördüğü AB yayının uzunluğu
h
|AB| biçiminde gösterilir.
533
Çember ve Daire
Çözüm
ÖRNEK 105
Şekildeki 2 cm yarıçaplı iki çember dıştan teğettir.
Bu çemberleri dıştan saran gergin ipin uzunluğu kaç
cm dir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 106
O
M
Şekildeki O ve M merkezli iki çemberin yarıçapları
3 cm ve 1 cm dir. Bu iki çember dıştan teğet ise çemberleri saran gergin ipin uzunluğu kaç cm dir?
534
Çember ve Daire
DAİRENİN ALANI
Daire Diliminin Alanı
Bir çemberin kendisi ile iç bölgesinin birleşimine daire
denir.
O
O
r
α
r
r
A
A
B
Taralı AOB daire diliminin alanı; A =
a
. r r2 dir.
360°
Şekilde, O merkezli ve r yarıçaplı daire verilmiştir.
Bu dairenin alanı: A = r r2 dir.
ÖRNEK 110
A
ÖRNEK 107
Çevresi 6 r cm olan dairenin alanı kaç cm2 dir?
O
6
B
Çözüm
Dairenin çevresi,
Şekildeki taralı alan kaç br2 dir?
Ç = 2 r r ⇒ 2 r r = 6 r ⇒ r = 3 cm dir.
Çözüm
A = r r2 = r 32 = 9 r cm2 bulunur.
ÖRNEK 108
Alanı 36 r cm2 olan dairenin yarıçapı kaç cm dir?
ESEN YAYINLARI
Dairenin alanı,
a
m( AOB) = 90° olduğundan,
ÖRNEK 111
Çözüm
C
r r2 = 36 r ⇒ r2 = 36 ⇒ r = 6 cm dir.
A
O
45°
2
B
ÖRNEK 109
O
Şekildeki taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
Çözüm
M
2
T
T noktasında teğet olan O ve M merkezli dairelerin
arasında kalan taralı bölgenin alanı kaç cm2 dir?
Çözüm
535
Çember ve Daire
Daire Parçasının Alanı
ÖRNEK 112
A
O
r
O
α
r
A
4
B
B
Taralı daire parçasının alanı;
h
O merkezli dairede, |OB| = 4 cm , |AB| = 3 r cm ise
Taralı alan =
a
. r r2 – A(AOB)
360°
Taralı alan =
a
1
. r r2 – .r2.sinα dır.
360°
2
taralı daire diliminin alanı kaç cm2 dir?
Çözüm
ÖRNEK 113
O
ESEN YAYINLARI
4
60°
4
A
B
Şekildeki taralı daire parçasının alanı kaç cm2 dir?
Çözüm
A
r
O
r
B
Taralı alan =
%
AB .r
dir.
2
ÖRNEK 114
C
A
15°
12
B
[AB] çaplı dairedeki taralı alan kaç cm2 dir?
536
Çember ve Daire
Çözüm
ÖRNEK 116
O
A
T
B
O merkezli dairelerde [AB], küçük daireye T noktasında teğettir. |AB| = 10 cm ise taralı daire halkasının alanı kaç cm2 dir?
Çözüm
Daire Halkasının Alanı
Merkezleri aynı, yarıçapları farklı iki dairenin arasında
O
r
R
A
B
ESEN YAYINLARI
kalan bölgeye daire halkası denir.
Daire halkasının alanı;
A = r R2 – r r2 ⇒ A = r (R2 – r2)
A
C
B
O
ÖRNEK 115
Yarıçap uzunlukları 3 cm ve 4 cm olan, aynı merkezli
iki dairenin oluşturduğu daire halkasının alanı kaç
cm2 dir?
Çözüm
O merkezli dairelerde [AB] küçük çembere teğet
ise
Taralı alan = r d
AB 2
n dir.
2
537
Çember ve Daire
ÖRNEK 117
ÖRNEK 119
C
T
T
D
O
B
C
A
P
A
6
B
O
ABCD dik yamuk A, B, T teğet değme noktalarıdır.
O merkezli dairelerde [PT ve [PC teğettir. Taralı
O merkez, |AO| = 6 cm ise taralı bölgenin alanı kaç
alan 16 r cm2 ve |PA| = 8 cm ise |PT| kaç cm dir?
cm2 dir?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 120
B
D
ÖRNEK 118
C
D
O
4
C
4
A
Şekildeki O merkezli çeyrek dairede verilenlere göre
A
6
B
[AB] çaplı dairede [CD ve [CA teğet [CD // [AB]
|AB| = 6 cm ise taralı bölgenin alanı kaç cm2 dir?
Çözüm
538
taralı alan kaç br2 dir?
Çözüm
B
Çember ve Daire
Çember ve Dairede Benzerlik
ÖRNEK 121
Bütün çemberler ve daireler birbirine benzerdir.
Benzerlik oranı ise yarıçapları oranına eşittir.
A
A1
3
Yarıçapları r ve R olan iki dairenin;
B
6
Ç1
2rr
r
dir.
=
=
Çevreleri oranı;
Ç 2 2rR R
Alanları oranı;
A1
rr 2
r 2
=
=b l
A 2 rR 2
R
A2
C
Şekildeki iki çember B noktasında dıştan teğettir.
dir.
A, B, C doğrusal, |AB| = 3 cm , |BC| = 6 cm ve taralı
bölgenin alanı A1 + A2 = 75r cm2 ise A1 kaç cm2
dir?
®
Çözüm
E
R
O
r
A
A1
B
A2
C
D
®
Y
C
A2
r O
A1
A
B
M
ESEN YAYINLARI
%
AB
A1
r
r 2
& = R ve A + A = b R l
1
2
CD
ÖRNEK 122
A
R
B
X
C
A, B, C doğrusal
(
A1
AB
AB 2
AXB
r
r 2
,
=b l =f
p
) =R=
A2
R
BC
BC
BYC
A1
A2
İki daire A noktasında içten teğettir.
|AC| = 3|BC| ve A1 ile A2 içinde bulundukları bölgelerin alanlarını gösterdiğine göre
A1
oranı nedir?
A2
Çözüm
®
Y
X
A1
A
C
A2
B
O
r
M
R
(
A1
AB
AB 2
AXB
r
r 2
,
=b l =f
p
) =R=
A1 + A2
R
AC
AC
AYC
539
ALIŞTIRMALAR -
1.
6.
Yarıçapı 5 cm olan bir çemberin uzunluğu (çevresi) kaç r cm dir?
4
Yarıçapı 4 cm olan bir çemberde α° lik bir
merkez açının gördüğü yayın uzunluğu 2 r cm
ise α kaç derecedir?
7.
2.
E
5
Çevresi 20 r cm olan bir çemberin yarıçapı kaç
D
cm dir?
3
A
O
C
B
A, B ve C merkezli eş çemberlerin yarıçapları
2 cm dir. Çemberleri saran gergin ipin uzunluğu
kaç cm dir?
3.
Yarıçapı 2 cm olan bir çemberde, 150° lik merkez açının gördüğü yayın uzunluğu kaç r cm
ESEN YAYINLARI
dir?
8.
E
H 1
D
C
3
A
4.
4
Bir çemberin 120° lik merkez açısının gördüğü
O
B
Yarıçapları 2 cm olan dört eş çember birbirine ve
yayın uzunluğu 2 r cm ise çemberin yarıçapı
dıştaki büyük çembere teğet ise büyük çemberin
kaç cm dir?
çevresi kaç cm dir?
9.
5.
D
L
çemberin
iç bölgesi
C
çemberin
d›fl bölgesi
A ve B merkezli çemberler [AC ve [BC ye
A
O
K
B
Şekildeki üç çember aynı merkezlidir.
teğettir. |DE| = |EB| = 2|AD| , |AC| = 6 cm ise
|OA| = |AB| = |BC| ise en dıştaki çemberin çev-
çemberlerin çevreleri toplamı kaç r cm dir?
resi en içteki çemberin çevresinin kaç katıdır?
540
Çember ve Daire
10. Alanı 36 r cm2 olan dairenin çevresi kaç cm dir?
Aşağıdaki soruların her birinde verilenlere göre taralı
alanları bulunuz.
15.
E
D
A merkez
11. Çevresi 16r cm olan dairenin alanı kaç r cm2 dir?
A
1
16.
B
1
C
C
B
A merkez
ABCD dikdörtgen
12. Alanları toplamı 13 r cm2 olan iki dairenin yarıçapları çarpımı 6 cm2 ise bu iki dairenin çevreleri
E
2
D
2
A
toplamı kaç r cm dir?
13. Alanının sayısal değeri çevresinin sayısal değeri-
ESEN YAYINLARI
17.
[AB], [BC] ve
[AC] çap
A
4
B
4
C
nin 2 katına eşit olan dairenin alanı kaç r cm2 dir?
18.
D
C
ABCD kare
14.
D
A
L
C
A
2
2
B
3 O
3
K
B
19.
C
ABCD karesinin içine [AB], [BC], [CD], [DA]
[AB] çap
çaplı yarım çemberler çizilmiştir. |AB| = 4 cm
ise taralı alan kaç cm2 dir?
15°
A
12
B
541
Çember ve Daire
Aşağıdaki soruların her birinde verilenlere göre taralı
25.
D
C
alanları bulunuz.
20.
A
ABCD kare
O
O merkez
A
40°
B
B
D
C
26.
21.
2
x
D
C
A
ABCD kare
140° O
40°
B
x
A
x
4
B
D
C
27.
45°
ESEN YAYINLARI
22.
4
D
C
ABCD kare
A
28.
6
D
B
C
2
23.
C
ABCD kare
[AB] çap
15°
A
12
B
A
29.
24.
B
D
C
6v3
ABCD
6
60°
dikdörtgen
4
A
542
B
Yazılıya Hazırlık Soruları – 1
1.
4.
C
D
E
O
x
A
O
A
B
O merkezli çemberde, [OC] ⊥ [AB]
a
2|DB| = v3|AB| ise m( AEB) = x kaç derecedir?
B
C
D
O merkezli iki çemberden küçük olanı [AB] na
C noktasında teğettir. |CD| = 2 cm , |AB| = 6 cm
ise |OC| kaç cm dir?
C
O
5.
A
y
x
A
B
E
[BC ve [BA , O merkezli çembere C ve A noka
a
talarında teğettir. m( CBA) = y , m( DOE) = x ise
E
Yarıçapı
5 cm
olan bir çemberin merkezine
F
C
Şekildeki E ve F merkezli çemberler birbirlerine
C de dıştan teğettirler. |EC| = 1 cm
|CF| = 4 cm ise |AB| kaç cm dir?
y nin x cinsinden değeri nedir?
3.
B
D
ESEN YAYINLARI
2.
6.
D
4 cm uzaklıkta bulunan herhangi bir noktasından
geçen en kısa kirişinin uzunluğu kaç cm dir?
x
A
O
B
C
[CD, O merkezli çembere D noktasında teğeta
tir. |AB| = 2|BC| ise m( DCA) = x kaç derecedir?
543
Çember ve Daire
7.
9.
D
C
6
B
C
A
B
[AC], [CB] ve [AB] çaplı yarım çemberler ikişer
A
ikişer teğettir. [DC] ⊥ [AB] , |DC| = 6 cm ise
T
[AT çembere T de teğettir. |AB| = 2|BC|
taralı alan kaç cm2 dir?
|BC| = |BT| , |TC| = 4 cm ise |AT| kaç cm dir?
ESEN YAYINLARI
8.
4
10.
D
B
C
x
O
A
D
6
B
2
[CD, O merkezli çembere D noktasında teğeta
tir. |AB| = 6 br , |BC| = 2 br ise m( BDC) = x kaç
derecedir?
544
A
C
E
Şekildeki birbirine içten teğet çemberlerin kuvvet
ekseni AB dir. |AB| = 6 cm , |BC| = 2 cm ise
|DE| kaç cm dir?
Yazılıya Hazırlık Soruları – 2
1.
4.
D
E
T
x
6
3
A
C
B
O
P
[CD, O merkezli yarım çembere D noktasında
a
a
a
teğettir. m( DCE) = m( ECA) ise m( DEC) = x kaç
2
B
A
Şekildeki çembere [PT, T noktasında teğettir.
|PA| = 2 cm , |AT| = 3 cm , |TB| = 6 cm ise |AB|
derecedir?
kaç cm dir?
2.
5.
A
D
B
A
50°
O
x
20°
B
C
DA, O merkezli çembere A noktasında teğettir.
a
a
a
m( DAB) = 50° , m( OCB) = 20° ise m( ABC) = x
ESEN YAYINLARI
3
C
4
9
E
D
Şekilde kesişen iki çemberin ortak dış teğeti [AB]
dir. |AC| = 3 br , |BC| = 4 br , |CE| = 9 br ise
|AB| + |DC| kaç br dir?
kaç derecedir?
3.
A
6.
K
D
3v2
C
F
D
2
B
E
C
A
B
DEFK karesinin köşeleri A merkezli çeyrek çem-
A merkezli çeyrek çemberde, |DC| = 3v2 cm
ber üzerindedir. |BC| = 2c10 cm ise |EF| kaç
|CB| = 2 cm ise |AB| kaç cm dir?
cm dir?
545
Çember ve Daire
7.
9.
C
D
x
C
S1
D
S2
O
O
B
A
C
eşit ise çemberin yarıçapı kaç cm dir?
10.
C
B
6
O
B
|AB| = 2 cm, taralı S1 ve S2 bölgelerinin alanları
ESEN YAYINLARI
B
8
2
O merkezli çeyrek çemberde, [CB] ∩ [OB] = {B}
O merkezli çeyrek çemberde, [DB] ⊥ [OA]
a
|OB| = |BA| ise m( DCO) = x kaç derecedir?
8.
A
4
D
A
O
D
A
[AB, O merkezli çembere B de teğettir.
O ve A merkezli çemberler D noktasında
|BC| = 8 cm , |AB| = 6 cm ve |BD| = 4 cm ise
teğet olup CB ortak teğetleridir. Çemberlerin
|CD| kaç cm dir?
yarıçapları 2 cm ve 6 cm ise taralı bölgenin alanı
kaç cm2 dir?
546
1
TEST -
Çemberin Temel Elemanları
1.
4.
O
O
A
B
1C 4
3
A
B
H
O merkezli çemberde [AB] çap, |AC| = 1 cm
O merkezli çemberde, [OH] ⊥ [AB]
|AH| = x + 3 cm , |HB| = 3x + 1 cm
|CO| = 4 cm ise C den geçen en kısa kirişin
|OH| = 3 cm ise çemberin yarıçapı kaç cm dir?
uzunluğu kaç cm dir?
A) 4
A) 8
B) 5
2.
C) 3v3
D) 6
A
E) 3v5
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
C
5 O 5
F
E
D
O merkezli çemberde, [AB] ⊥ [OE] , [CD] ⊥ [OF]
|OE| = |OF| = 5 cm , |AE| = x – 1 cm
|CD| = x + 2 cm ise çemberin yarıçapı kaç cm
ESEN YAYINLARI
5.
B
E
12
F
10
6
A C
D B
[AB] çaplı yarım çemberde, [CF] ⊥ [FE]
dir?
[DE] ⊥ [FE] , |CF| = 6 cm , |DE| = 10 cm
B) c30
A) 2v7
|FE| = 12 cm ise |AB| kaç cm dir?
C) 4v2
D) c34
E) 6
A) 20
B) 22
C) 24
D) 30
E) 36
3.
6.
O
D
C
v3
A
2C
4
B
E
O merkezli çemberde, [AB] kiriş , |AC| = 2 cm
|CB| = 4 cm , |OC| = v3 cm ise çemberin yarıçapı kaç cm dir?
B) c10
A) 3
D) 2v3
C) c11
E) c15
A
B
ABCD karesi çembere E noktasında teğettir.
|AD| = 24 cm ise çemberin yarıçapı kaç cm dir?
A) 20
B) 18
C) 16
D) 15
E) 12
547
Çember ve Daire
7.
A
C
10.
B
D
D
B
O
C
a
a
[AC] çaplı çemberde, m( BAC) = m( CAD)
O merkezli çeyrek çemberin yarıçapı 10 cm ise
ABCD karesinin bir kenar uzunluğu kaç cm dir?
|AB| = x + 2 cm , |AD| = 2x – 3 cm ise x kaç
A) c10
cm dir?
A) 2
B) 3
C) 4
8.
D) 5
A
B) 2v5
D) 5v2
E) 6
D
E) 10
11.
4
B1
E
B
6
O
C
Şekildeki [AB] çaplı yarım çember, O merkezli
yarım çembere A noktasında teğettir.
[DO] ⊥ [AC] , |DE| = 4 cm ve |BC| = 6 cm ise
|EO| = x kaç cm dir?
A) 4
B) 2v5
C
D
O merkezli çember yayında ABCD dikdörtgen
|OA| = |AB| , |BE| = 1 cm , |AD| = 3 cm ise
|OD| = x kaç cm dir?
C) 5
D) c30
3
x
ESEN YAYINLARI
O
A) c10
E) 6
B) c13
D) c19
9.
C
E
A
x
A
C) 2c10
C) 4
E) 5
F
8
12.
E
D
A
A
D
15
B
E
A merkezli çeyrek çemberde, [CE] ⊥ [AF]
O
6
B 2 C
[BD] ⊥ [AF] , |CE| = 8 cm , |BD| = 15 cm ise
O merkezli yarım çemberde , [AO] ⊥ [EC]
|FE| kaç cm dir?
[AB] // [DC] , |OB| = 6 cm , |BC| = 2 cm ise |DC|
kaç cm dir?
3
A)
2
548
B) 2
5
C)
2
D) 3
E) 4
A) 7,2
B) 7,6
C) 8,4
D) 9,2
E) 9,6
3
TEST -
Çemberde Açılar
1.
4.
A
E
D
50°
x
C
O
70°
A
C
B
a
O merkezli çemberde m( ACO) = 25°
a
a
m( OBA) = 35° ise m( BAC) kaç derecedir?
A) 50
B) 55
C) 60
D) 65
DE, [AB] çaplı yarım çembere D noktasında
a
a
teğettir. m( EDC) = 50° , m( DAB) = 70 ise
a
m( CDB) = x kaç derecedir?
E) 70
A) 10
2.
C
AB, O merkezli çembere B noktasında teğettir.
a
a
m( ABC) = 50° ise m( BOC) kaç derecedir?
B) 95
C) 20
5.
50°
O
A) 90
B) 15
D) 25
E) 30
B
C) 100
D) 105
A
x
ESEN YAYINLARI
A
B
80°
B
L
K
Şekilde, [BA çembere A noktasında teğettir.
a
a
m( AKL) = 80° , |AB| = |AL| , ise m( KAL) = x kaç
E) 110
derecedir?
A) 60
B) 65
C) 70
D) 75
E) 80
A
3.
6.
B
D
K
3x – 50°
C
40°
A
O
P
B
C
a
Şekildeki çemberde, m( ABC) = 3x – 50°
a
CKA yayının ölçüsü 4x olduğuna göre m( ABC)
kaç derecedir?
A) 90
B) 100
C) 110
D) 120
E) 130
Şekildeki O merkezli çembere [PC, C noktaa
sında teğettir. m( BDC) = 40° olduğuna göre
a
m( APC) kaç derecedir?
A) 10
B) 15
C) 20
D) 25
E) 30
551
Çember ve Daire
7.
10.
A
P
C
P
55°
z
x
A
K
T
B
y
[PA ve [PB çembere A ve B de teğettir.
h
a
a
m(AB) = 5m( P) , m( ABC) = 55° olduğuna göre
a
m( BAC) kaç derecedir?
A) 50
B) 60
C) 70
D) 80
B
Şekilde P, T, K; noktalarında ikişer ikişer dışh
h
h
tan teğet üç çember çizilmiştir. PT , TK ve KP
yaylarını gören üç çevre açısının ölçüleri sıra ile
E) 90
x, y, z ise x + y + z toplamı kaç derecedir?
A) 90
8.
C
B) 120
C) 135
D) 180
E) 225
A
20°
11.
B
C
D
a
a
Şekilde m( CAP) = 20°, m( APD) = 40° ise
AKD açısının ölçüsü kaç derecedir?
A) 60
B) 70
C) 75
B
P
D) 80
ESEN YAYINLARI
40°
K
80°
D
C
Şekildeki çemberde [AB ve [AC teğettir.
a
a
m( BAC) = 80° ise m( BDC) = α kaç derecedir?
E) 85
A) 10
9.
α
A
B) 20
C) 30
D) 40
E) 50
A
12.
L
K
B
60°
40°
B
x
20°
M
D
C
20°
α
C
A
ABC üçgeninin iç teğet çemberi çizilmiştir.
a
a
m( ABC) = 40° , m( ACB) = 20° ise
a
m( KML) = x kaç derecedir?
a
Şekildeki çemberde [AB teğet, m( BAD) = 20°
a
a
m( DBC) = 60° ise m( BDA) = α kaç derecedir?
A) 20
A) 30
552
B) 25
C) 30
D) 35
E) 40
B) 35
C) 40
D) 45
E) 50
TEST -
6
Çemberde Teğet
1.
B
4.
C
E
[AB] çaplı çemberde D teğet değme noktasıdır.
|CD| = 6 cm , |AC| = 12 cm ise çemberin yarıça-
|AC| = 12 cm ise Çevre(ABE) kaç cm dir?
B) 18
C) 20
C
D
F
Şekilde C, D, F teğet değme noktalarıdır.
A) 12
B
A
D
A
D) 24
pı kaç cm dir?
E) 30
A) 4,5
2.
B) 5
C) 5,5
D) 6
E) 6,5
5.
B
2v3
O
60°
C
Şekilde [AB ve [AC çembere B ve C noktaa
larında teğettir. m( BAC) = 60° , |AB| = 2v3 cm
ESEN YAYINLARI
A
A
3.
C) v3
D
D)
5
2
|OA| = |AB| = 8 cm ise |MB| = r kaç cm dir?
A
x
E
B
α
K
O
|DE| = x kaç cm dir?
D) 9
1
M
C
[EK] ⊥ [AC] , |DF| = 5 cm ve |EK| = 3 cm ise
C) 8
E) 5
B
5
tir. [DE] ortak dış teğet, [DF] ⊥ [AC]
B) 7
D) 4
A
3
F
C) 3
E) 2
[AB] ve [BC] çaplı yarım çemberler dıştan teğet-
A) 6
B) 2
6.
5
B
C noktasında dıştan teğet olan O ve M merkezli
A) 1
3
2
8
çemberlerin ortak dış teğeti AB doğrusudur.
ise A noktasının çembere olan en kısa uzaklığı
B)
M
r
8
kaç cm dir?
A) 1
C
E) 10
O ve M merkezli çemberlerin ortak dış teğeti
AB doğrusudur. |OA| = 5 cm, |MB| = 1 cm ve
a
|OM| = 8 cm ise m( AOM) = α kaç derecedir?
A) 30
B) 45
C) 60
D) 75
E) 90
557
Çember ve Daire
10.
7.
A
A
E
F
3
O
2
M
B
D
2
B
3
C
Yarıçapları 3 cm ve 2 cm olan O ve M mer-
ABC dik üçgeninde, [AB] ⊥ [AC] , |BD| = 2 cm
kezli iki çemberin ortak iç teğet parçası [AB] dir.
|DC| = 3 cm ise iç teğet çemberin yarıçapı kaç
|OM| = 13 cm ise |AB| kaç cm dir?
cm dir?
B) 9
C) 10
8.
D) 12
11.
C
D)
3
2
E) 1
dir?
C) 5
D) 6
C
B
F
ABC üçgenine şekildeki gibi teğettir.
|DE| = 12 cm ise Çevre(ABC) kaç cm dir?
B) 18
C) 24
12.
3
K
Yukarıdaki çemberler d1 ve d2 doğruları ile
E) 7
A
d2
N
L
A) 12
F
E
d1
|FC| = 1 cm ve |AC| = 3 cm ise |AD| kaç cm
9.
C) 2
E
merkezi O noktasıdır.
B) 4
5
2
A
ABC üçgeninin dış teğet çemberlerinden birisinin
A) 3
B)
D
O
F
1
3
A) 3
D
B
A
E) 13
ESEN YAYINLARI
A) 6
C
E
D) 30
E) 36
E
7
7
F
A
9
B
x
C
D
B
ABC dik üçgeni ve iç teğet çemberinde
[AB] ⊥ [AC] , |AE| = 3 cm , |EC| = 7 cm ise
|BD| = x kaç cm dir?
A) 7,5
558
B) 8
C) 9
D
ABC üçgeni ve dış teğet çemberinde
|AB| = 9 cm , |AC| = 7 cm , |BC| = 8 cm ise
|CE| kaç cm dir?
D) 10
E) 10,5
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
TEST -
9
Dairenin Çevresi ve Alanı
1.
4.
D
C
O
8
A
A
B
A merkezli yarım dairede ABCD kare, |AC| = 8 cm
x
h
O merkezli dairede yarıçap 2 cm ve |AxB| = 6 cm
ise taralı bölgelerin alanları toplamı kaç r cm2
dir?
ise taralı daire diliminin alanı kaç cm2 dir?
A) 6
B) 7
C) 8
B
D) 9
A) 6
E) 10
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
5.
2.
A
18°
C
a
Şekildeki dairede, m( ABC) = 18° ve
h
|AC| = 6 r cm ise dairenin alanı kaç r cm2 dir?
A) 700
B) 750
C) 800
D) 850
ESEN YAYINLARI
B
Şekildeki taralı alan, birim karelerden oluşan
kağıda çizilmiştir. Buna göre, taralı alan kaç br2
E) 900
dir?
A) 3 r + 6
B) 16
D) 17
3.
E
C) 3 r + 8
E) 4 r + 8
D
F
C
6.
A
6
A
B
|AB| = 6 cm olmak üzere, ABCDEF düzgün altıgeni ile çevrel çemberi arasında kalan şekildeki
taralı bölgelerin alanları toplamı kaç cm2 dir?
A) 36 r – 48v3
B) 36 r – 50v3
C) 32 r – 48v3
D) 36 r – 54v3
E) 32 r – 54v3
B
4
T
9
C
A merkezli çeyrek daire T noktasında ABC üçgenine teğettir. |BT| = 4 cm , |TC| = 9 cm ise
taralı bölgelerin alanları toplamı kaç cm2 dir?
A) 38 – 9 r
B) 39 – 9 r
D) 36 – 8 r
C) 40 – 9 r
E) 38 – 8 r
563
Çember ve Daire
7.
10.
A
B
4
A
3
C
D
O
C
B
D
[AB] çaplı dairede [DA teğet, |DC| = |CB|
O merkezli dairenin yarıçapı
|DA| = 4 cm ise taralı bölgenin alanı kaç cm2 dir?
A) 4
5
cm olup,
2
|AB| = 3 cm , |CD| = 4 cm ise taralı bölgelerin
( r = 3 alınız.)
9
B)
2
4
11
D)
2
C) 5
8.
alanları toplamı kaç cm2 dir? ( r = 3 alınız.)
E) 6
A)
15
4
B)
17
4
C)
9
2
D)
13
4
E)
27
8
C
E
11.
D
C
E
S1
S2
D
B
A merkezli daire dilimlerinde S1 ve S2 ile gösterih
len bölgelerin alanları eşit ve |DE| = 12 cm ise
h
|BC| kaç cm dir?
A) 12v2
B) 11v2
D) 9v2
ESEN YAYINLARI
A
A
ABCD karesinde A ve B merkezli çeyrek dairetaralı bölgelerin alanları toplamı kaç r cm2 dir?
A) 3
E) 8v2
B) 4
12.
C
6
C) 5
D) 6
O
B
B
C
[AB], [BC ve [AC çaplı yarım daireler ikişer ikişer
O merkezli dairede [AB teğet, [CO] // [AB
teğettir. [AC] ⊥ [DB] , |DB| = 6 cm ise taralı
|OC| = 6 cm ise A(ACO) kaç cm dir?
bölgenin alanı kaç r cm2 dir?
A) 15
A) 10
2
564
B) 16
C) 17
E) 7
D
A
A
B
ler E noktasında kesişmektedir. |AB| = 6 cm ise
C) 10v2
9.
6
D) 18
E) 19
B) 9
C) 8
D) 7
E) 6
Üniversiteye Giriş Sınav Soruları
1.
2008 - ÖSS
4.
B
Bir ABC dik üçgeni için CA ⊥ AB, |CA| = 3 cm ve
a
A
2008 - ÖSS
a
C
O
A, B ve C noktaları
|AB| = 4 cm olarak veriliyor. Merkezi A, yarıçapı
O merkezli çember
[AC] olan bir çember, üçgenin BC kenarını C ve E
üzerinde
a
a
m( ABC) = m( AOC) = a
noktalarında kesiyor. Buna göre, |BE| kaç cm dir?
A)
5
2
B)
7
3
C)
8
3
D)
7
5
E)
9
5
Yukarıdaki verilere göre, a kaç derecedir?
A) 105
2.
B) 110
C) 115
D) 120
E) 135
2008 - ÖSS
Şekilde, O ve M mer-
A
B
b
O
2008 - ÖSS
B
sında teğet ve M mer-
T
M
5.
kezli çemberler T nokta-
a
H
A
kezli çember O dan geçmektedir. O dan geçen
O1
[O2H] ⊥ [AB]
O2
T
A da, küçük çemberi ise B de kesmektedir.
h
h
Oluşan AT ve BT yaylarının uzunlukları sırasıyla
a cm ve b cm olduğuna göre, a ile b arasındaki
bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?
3b
B) a =
2
A) a = b
D) a =
3.
5b
4
4b
C) a =
3
E) a =
ESEN YAYINLARI
bir doğru, büyük çemberi
Şekildeki O1 ve O2 merkezli çemberler T noktasında dıştan teğettir. O1 den geçen bir doğru O2
merkezli çemberi A ve B noktalarında kesmektedir. |O1A| = 5 cm, |O1B| = 9 cm ve |O1T| = 3 cm
olduğuna göre, HO1O2 üçgeninin alanı kaç cm2
5b
3
dir?
A) 20v3
D) 14v2
2008 - ÖSS
O
r
B) 23v3
D
S1
r
C
H
S2
A
2r
C) 12v2
E) 17v2
G
S3
B E
2r
F
Yukarıda, aralarındaki uzaklık r cm olan paralel
iki doğru arasına çizilen O merkezli yarım daire,
6.
2009 - ÖSS
T
ABCD yamuğu ve EFGH dikdörtgeni verilmiştir.
A
|DC| = r, |AB| = |EF| = 2r ve yarım dairenin ala-
x
100°
B
nı S1, yamuğun alanı S2 , dikdörtgenin alanı S3
O
C
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
A) S1 < S2 < S3
B) S1 < S3 < S2
O merkez, AT çembere T noktasında teğet A, B,
a
a
O, C doğrusal, m( ABT) = 100° , m( CAT) = x
C) S2 < S1 < S3
D) S3 < S1 < S2
Yukarıdaki verilere göre, x kaç derecedir?
E) S3 < S2 < S1
A) 30
B) 40
C) 50
D) 60
E) 70
569
Çember ve Daire
7.
2009 - ÖSS
10. 2010 - LYS
[AD] çap, O merkez
A
T
çemberin çapı B ve C
30°
O
2
B
2
H
v3
çember üzerinde H
A
noktası AC ve BD nin
120°
kesim noktası
D
K
|BH| = |HD| = 2 cm
a
m( BAH) = 30°
C
AT ve AK doğruları O merkezli çembere teğet
a
m( TAK) = 120° , |AT| = v3 cm ise çemberin
Yukarıdaki verilere göre, |AC| kaç cm dir?
A)
13
2
B)
O
14
3
C) 5
D) 6
çevre uzunluğu kaç cm dir?
E) 7
A) 4 π
B) 5 π
D) 2 π v3
C) 6 π
E) 3 π v3
11. 2010 - YGS
D
2009 - ÖSS
O
B
x
70°
T′
A
A
K
C
AT, AT′ ve BC O merkezli çembere teğet
a
a
m( BOC) = 70° ise m( BAC) = x kaç derecedir?
A) 25
B) 30
8
4
T
C) 35
D) 40
ESEN YAYINLARI
8.
C
B
yayı, |DA| = 4 cm , |AC| = 8 cm
Yukarıdaki verilere göre, taralı daire diliminin
alanı kaç cm2 dir?
A)
E) 45
16r
3
B)
D)
20r
3
C)
28r
3
E)
12. 2011 - YGS
9.
T
3
A
45°
32r
3
D
A
c
a
|DC| = c birim
B
25r
3
O
h
|AD| = a birim
h
|BC| = b birim
2010 - YGS
E
h
ABCD bir dikdörtgen, CE, A merkezli çember
C
B
O
b
Yukarıda O merkezli OAD ve OBC daire dilimleri
verilmiştir. Buna göre, taralı bölgenin alanı a, b
O noktası çemberin merkezi AT, çembere T noka
tasında teğet, |AT| = 3 cm , m( OAT) = 45° ise
ve c türünden aşağıdakilerin hangisine eşittir?
BT yayının uzunluğu kaç cm dir?
A)
A)
r
2
570
B)
2r
3
C)
3r
4
D)
4r
5
E)
5r
6
(a + b) .c
2
D)
B)
2 (b – a)
c
(b – a) .c
2
E)
C)
a.b.c
2
2 (a + b)
c
Çember ve Daire
13. 2011 - LYS
16. 2011 - LYS
Aşağıda ABCDEFGHK düzgün dokuzgeni veril-
Aşağıdaki şekilde ABC üçgeninin [AD] yüksekli-
miştir.
ğini çap kabul eden çember verilmiştir. Bu çember ile üçgenin [AB] kenarının kesim noktası E,
F
G
E
[AC] kenarının kesim noktası F dir.
A
H
a
m( ABC) = 48°
a
m( ACB) = 70°
a
m( AKF) = x
D
O
K
C
A
E
x
F
K
B
48°
O noktası dokuzgenin köşesinden geçen çem-
70°
D
B
C
berin merkezi olduğuna göre, EOC açısının
Yukarıdaki verilere göre, x kaç derecedir?
ölçüsü kaç derecedir?
A) 112
A) 60
B) 72
C) 75
D) 80
B) 114
C) 116
D) 118
E) 120
E) 90
17. 2011 - LYS
Aşağıda merkez açısının ölçüsü 120° olan O
merkezli daire dilimiyle bu daire dilimine içten
teğet olan M merkezli 2v3 cm yarıçaplı çember
14. 2011 - LYS
D
E
x
40°
25°
A
C
B
O
Şekildeki A, B, D ve E noktaları O merkezli [AB]
çaplı çember üzerindedir. Buna göre, x kaç
B) 30
C) 35
D) 40
120°
M
2v3
Buna göre, O merkezli dairenin yarıçapı kaç cm dir?
A) v6 + 2
B) v6 + 4
D) 2v3 + 2
derecedir?
A) 25
O
ESEN YAYINLARI
a
m( DCB) = 25°
a
m( DAB) = 40°
a
m( DBE) = x
verilmiştir.
C) 2v3 + 1
E) 2v3 + 4
E) 45
18. 2011 - LYS
A
O
ABC bir ikizkenar
üçgen
15. 2011 - LYS
A
a
m( BAC) = 60°
60°
|BC| = 3 cm
O
|OC| = r
B
3
M
|AB| = |AC|
B
C
Şekildeki O ve M merkezli çemberlerin yarıçap-
r
C
ları sırasıyla 2 cm ve 8 cm dir. Bu iki çember
ABC ikizkenar üçgenine içten, birbirlerine ise
Şekildeki O merkezli cember ABC üçgeninin
dıştan teğettir. Buna göre, ABC üçgeninin [BC]
çevrel çemberidir. Buna göre, r kaç cm dir?
kenarına ait yüksekliği kaç cm dir?
A)
3
2
B)
6
2
C)
10
3
D) v2
E) v3
A)
64
3
B)
68
3
C)
70
3
D)
81
4
E)
85
4
571
Çember ve Daire
19. 2012 – LYS
22. 2012 – LYS
A
A
E
B
O
2
ABC bir üçgen
AD ⊥ BC
H
C
Yarıçapı 2 cm olan O merkezli yarım çember
BE ⊥ AC
B
üzerinde bir A noktası B den C ye doğru hareket
D
C
ettirilerek ABC üçgenleri oluşturuluyor.
Buna göre, yarım çember ile ABC üçgeni ara-
Şekildeki ABC üçgeninde; AD ve BE yükseklik-
sında kalan boyalı bölgenin alanı en küçük
lerinin kesim noktası H dir.
olduğunda |AB| + |AC| toplamı kaç cm olur?
A) 4v2
B) 4v2
C) 3v3
D) 5
Buna göre,
E) 6
I.
D, H ve E noktalarından geçen çember C
noktasından da geçer.
II. ABC üçgeninde, AB kenarına ait yükseklik H
20. 2012 – LYS
noktasından geçer.
A
D
E
O
ifadelerinden hangileri doğrudur?
|AB| = 6 cm
4
B
III. |CA| = |CB| ise |HE| = |HD| dir.
A) Yalnız I
|DC| = 4 cm
C
Şekildeki ABC üçgeninin AC kenarı D noktasında, AB kenarı da B noktasında O merkezli yarım
çembere teğettir.
B) Yalnız II
D) II ve III
ESEN YAYINLARI
6
ABC bir dik üçgen
AB ⊥ BC
C) I ve III
E) I, II ve III
Buna göre, yarım çemberin çevresi kaç cm dir?
7r
9r
B) 4r
C) 5r
D)
E)
A) 3r
2
2
21. 2012 – LYS
Aşağıda, ABC eşkenar üçgeni ve bu üçgenin iç
teğet çemberi ile çevrel çemberi verilmiştir.
23. 2012 – LYS
A
O merkezli çember
A
O
160°
D
B
C
x
C
|AO| = |CD|
a
m( AOD) = 160°
a
m( ABD) = x
B
İç teğet çemberinin yarıçapı 2 cm olduğuna
Yukarıdaki şekilde, A, C ve D noktaları O
göre, boyalı bölgenin alanı kaç cm2 dir?
merkezli çember üzerindedir ve AB doğrusu
A) 16 π – 12v3
B) 16 π – 18v3
çembere A noktasında teğettir.
C) 25 π – 15v3
D) 25 π – 18v3
Buna göre, x kaç derecedir?
E) 25 π – 24v3
572
A) 40
B) 45
C) 50
D) 60
E) 70
Çember ve Daire
24. 2012 – LYS
27. 2013 – LYS
B
C
3
x
O
A
D
O merkezli
O merkezli r yarıçaplı dairenin içine alanı en
çeyrek çember
büyük kare, dışına ise alanı en küçük kare çizilip
OABC bir dikdörtgen
dairenin ve karelerin alanları kıyaslanarak
|OB| = 3 cm
a
m( AOB) = x
sayısının 2 ile 4 arasında olduğu gösteriliyor.
π
Küçük karenin alanı : 2r2
Şekildeki OABC dikdörtgeninin alanı 2a cm2 ve
Dairenin alanı : πr2
O
Büyük karenin alanı : 4r2
r
boyalı bölgenin alanı π – a cm2 olduğuna göre,
Eşitsizlik : 2 < π < 4
x in radyan cinsinden ölçüsü kaçtır?
A)
r
3
B)
r
5
C)
r
6
D)
3r
8
E)
2r
9
Eşitsizlik : ? < π < ?
O
r
25. 2013 – LYS
Uzun kenarı, kısa kenarının v3 katı olan bir
Benzer biçimde, dairenin içine ve dışına düzgün
ABCD dikdörtgeninin AD kısa kenarını çap kabul
altıgenler çizilirse aşağıdaki eşitsizliklerden han-
eden O merkezli çember çiziliyor. Dikdörtgenin
gisine ulaşılır?
ve F olmak üzere OEF üçgeni oluşturuluyor.
Buna göre, ABCD dikdörtgeninin alanı, OEF
üçgeninin alanının kaç katıdır?
A) 8
B) 12
C) 15
D) 16
E) 18
ESEN YAYINLARI
köşegenlerinin çemberi kestiği noktalar A, D, E
A)
3 3
<r<2 3
2
B)
3 3
10
<r<
2
3
C)
4 3
<r<2 3
3
D)
4 3
10
<r<
3
3
E)
4 3
9 3
<r<
3
4
26. 2013 – LYS
Aşağıda; bir kenar uzunluğu 20 cm olan ABCD
karesi, karenin her bir köşesini merkez kabul
28. 2013 – LYS
eden 10 cm yarıçaplı dört çeyrek çember ve
D
kareye içten teğet olan çember verilmiştir.
D
C
A
10
F
O
C
x
15
E
A
20
B
Buna göre, taralı bölgenin alanı kaç cm2 dir?
A) 100π – 100
B) 100π – 200
C) 200π – 400
D) 400 – 100π
E) 400 – 50π
B
O merkezli yarım çember, ABC bir dik üçgen
AB // DE, |DF| = |FE|, |AB| = 15 cm
|OC| = 10 cm olduğuna göre, |EC| = x kaç cm
dir?
A) 15
B) 16
C) 18
D) 20
E) 21
573
Çember ve Daire
29. 2013 – LYS
31. 2013 – LYS
K
D
A
B
C
D
8
C
M
E
x
45°
A
L
E
B
Birim karelerin bulunduğu şekildeki kağıt üzerine
%
m( BAD ) = 45°, AB ⊥ BC, AD ⊥ DC
K, L ve M noktalarından geçen çember çizilecek-
|AD| = 8 cm, |BC| = x dir. Şekildeki A merkezli
tir. Bu çemberin merkezi hangi kare içinde yer
DE çember yayı ile DC doğru parçasının uzun-
alır?
lukları eşittir. Buna göre, x kaç cm dir?
A) A
B) B
C) C
D) D
E) E
A) r –
B) 4 – r
2 (r – 2)
C)
E) 2 (r –
ESEN YAYINLARI
2
D)
2 (4 – r)
2)
32. 2013 – LYS
B
C
O
30. 2013 – LYS
D
C
8
E
O
A
Yukarıda verilen O merkezli üç çemberle ilgili
M
olarak aşağıdakiler bilinmektedir.
•
A
4
D
B
En büyük çemberin AB kirişi, en küçük çembere; CD kirişi ise ortanca çembere teğettir.
ABCD bir dikdörtgen, |AB| = 4 cm, |BC| = 8 cm
•
En büyük çemberin yarıçapı 6 cm, AB kirişi-
Birbirine E noktasında teğet olan şekildeki O ve
nin uzunluğu 8 cm, CD kirişinin uzunluğu ise
M merkezli çemberlerin yarıçapları eşittir. Buna
4 cm dir.
göre, çemberin merkezleri arasındaki uzaklık
Buna göre, en küçük dairenin alanının ortanca
kaç cm dir?
dairenin alanına oranı kaçtır?
A) 8
574
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
A)
5
8
B)
4
9
C)
5
12
D)
7
12
E)
9
16
GEOMETRİK CİSİMLER
. ÜNİTE
8. ÜNİTE
8. ÜNİTE
8. ÜNİTE
Katı Cisimlerin Yüzey Alanları ve Hacimleri
1.
Kazanım
: Dik prizma ve dik piramitlerin yüzey alan ve hacim bağıntılarını oluşturur.
2.
Kazanım
: Dik dairesel silindirin ve dik dairesel koniyi açıklar, yüzey alan ve hacim bağıntılarını
oluşturur.
3.
Kazanım
: Küreyi açıklar, yüzey alan ve hacim bağıntılarını oluşturur.
4.
Kazanım
: Katı cisimlerin yüzey alan ve hacim bağıntılarını modelleme ve problem çözmede
kullanır.
8. ÜNİT
PRİZMALAR
Prizmatik Yüzey
Uzayda düzlemsel bir çokgen ve çokgen düzlemine paralel olmayan bir d doğrusu verildiğinde, d doğrusuna
paralel olarak çokgenin çevresinde hareket eden d′ doğrusunun oluşturduğu yüzeye prizmatik yüzey denir.
Yandaki şekilde bir prizmatik yüzey ifade edilmiştir.
®
d′ doğrusu prizmatik yüzeyin ana doğrusudur.
®
Tabanda bulunan çokgenin kenar sayısı kadar yan yüzü vardır.
d′
d
A′
(ABB′A′ , BCC′B′ , DCC′D′ , ADD′A′)
®
D′
C′
B′
Ardışık iki yan yüzün ara kesiti prizmatik yüzeyin yan ayrıtıdır.
( [AA′] , [BB′] , [CC′] , [DD′])
D
®
Prizmatik yüzeyin bir düzlemle ara kesitine prizmatik yüzeyin bir kesiti denir.
®
Kesit düzlemi yan ayrıtlara dikse, ara kesite prizmatik yüzeyin dik kesiti denir.
®
Bir prizmatik yüzeyin paralel iki kesiti eştir.
®
Bir prizmatik yüzeyin dik kesitleri eştir.
A
C
B
Prizma
Bir prizmatik yüzey paralel iki düzlemle kesildiğinde bu düzlemler arasında kalan kapalı cisme prizma denir.
D′
Bu düzlem parçaları prizmanın tabanlarıdır.
A′
C′
Yanda, tabanları ABCD ve A′B′C′D′ olan bir prizma çizilmiştir. Bu prizmada,
®
[AA′] , [BB′] , [CC′] ve [DD′] yan ayrıtlar
®
[AB] , [BC] , [A′B′] , [B′C′] , ..... taban ayrıtları
®
ABB′A′ , BCC′B′ , CDD′C′ , ADD′A′ yan yüzleridir.
B′
D
A
C
B
Prizmalar tabanlarını oluşturan çokgenlere ve yan ayrıtlarının taban düzlemi ile konumlarına göre adlandırılırlar.
Dik Prizma: Yan ayrıtları taban düzlemine dik olan prizmaya dik prizma denir.
Eğik Prizma: Yan ayrıtları taban düzlemine dik olmayan prizmaya eğik prizma denir.
Düzgün Prizma: Tabanı düzgün çokgen olan dik prizmaya düzgün prizma denir.
Üçgen dik prizma
576
Üçgen e¤ik prizma
Düzgün beflgen prizma
Geometrik Cisimler
DİK PRİZMALARIN ALANI
L
K
E
F
d
c
D
A
h
C
h
b
a
B
a
b
c
d
Yukarıda bir dik prizma ile bu prizmanın açınımı verilmiştir. Şekilde de görüldüğü gibi tabandaki şekil ne olursa
olsun yanal yüzey bir dikdörtgendir ve bu dikdörtgenin bir kenarı prizmanın yüksekliği kadar, diğeri ise taban
çevresi kadardır. Dolayısıyla,
Yanal alan = Taban Çevresi x Yükseklik
ÖRNEK 1
Tüm alan = Yanal Alan + 2.Taban Alanı
Çözüm
D
F
E
6
A
3
4
B
C
ÖRNEK 3
Şekildeki üçgen dik prizmanın alanını bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 2
Şekildeki kare
L
ESEN YAYINLARI
Bir dik prizmanın tabanı kenar uzunluğu 6 br olan bir
ABC dik üçgeninde (3 - 4 - 5 üçgeni) |BC| = 5 br olur.
eşkenar üçgendir. Bu prizmanın yüksekliği 8 br ise
yanal alanını bulunuz.
Çözüm
K
E
F
dik prizmada
8
|KC| = 8 br
|AB| = 2 br ise
D
prizmanın alanını
bulunuz.
A
C
2
B
577
Geometrik Cisimler
DİK PRİZMALARIN HACMİ
L
ÖRNEK 6
K
L
E
F
K
F
E
h
D
C
A
A
B
B
Dik prizmanın hacmi ( V )
yüzleri birer karedir. Taban köşegenleri 6 br ve 8 br
V = Taban alanı x Yükseklik
ise prizmanın hacmini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 4
Eşkenar üçgen dik prizmanın taban ayrıtı 4 br, yüksekliği 5 br ise hacmini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
Taban alanı 20 br2 olan bir dik prizmanın hacmi 120 br3
tür. Bu prizmanın yüksekliği kaç br dir?
Çözüm
Prizmanın hacmi = Taban alanı.Yükseklik
578
C
Şekildeki prizmanın tabanı eşkenar dörtgen, yanal
Taban alanı ile yüksekliğin çarpımı kadardır.
ÖRNEK 5
D
Geometrik Cisimler
DİKDÖRTGENLER PRİZMASI
ÖRNEK 8
L
Tabanı dikdörtgen olan dik prizmaya dikdörtgen-
K
2
ler prizması denir.
E
M
L
F
2
K
C
D
E
F
D
A
B
B
6
Şekildeki dikdörtgenler prizmasında |AD| = 3 br
C
a
A
3
c
b
|ML| = |MD| = 2 br ve |AB| = 6 br ise |BM| kaç br dir?
Çözüm
Şekilde görüldüğü gibi yan yüzleri karşılıklı ikişer
ikişer eş olan altı tane dikdörtgenden oluşmuştur.
Dikdörtgenler prizmasının en uzak iki noktasını
birleştiren doğru parçasına cisim köşegeni denir.
Cisim köşegenleri eş olup birbirini ortalar. Şekildeki
prizmanın cisim köşegenlerinden biri [LB] dir.
ABD dik üçgeninde
|DB|2 = |AD|2 + |AB|2 = b2 + a2
ESEN YAYINLARI
LDB dik üçgeninde
|LB|2 = |LD|2 + |DB|2 = c2 + b2 + a2
|LB| =
a2 + b2 + c2
bulunur.
ÖRNEK 9
L
ÖRNEK 7
L
8
K
F
E
E
F
D
4
D
C
C
3
A
A
K
B
Şekildeki dikdörtgenler prizmasında
M
B
Şekildeki dikdörtgenler prizmasında |BC| = 3 br
|KC| = 4 br ve |LK| = 8 br ise A(LMK) kaç br2 dir?
|AL| = 9 br, |AK| = 15 br ise |LK| kaç birimdir?
Çözüm
Çözüm
579
Geometrik Cisimler
ÖRNEK 10
ÖRNEK 11
L
L
F
E
F
E
3
2
D
D
C
C
1
4
A
K
K
6
A
B
3
B
Şekildeki dikdörtgenler prizmasının A köşesinden
Şekildeki dikdörtgenler prizmasının A köşesinde
hareket eden bir karınca yan yüzeylerde yol alarak E
bulunan bir hareketli yüzeyde ilerleyerek K noktasına
noktasına ulaşacaktır. Karıncanın alabileceği en kısa
varacaktır. Hareketlinin alabileceği en kısa yol kaç
yol kaç cm dir?
br dir?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
DİKDÖRTGENLER PRİZMASININ
ALANI ve HACMİ
c
b
a
Yanal alan = Taban çevresi x yükseklik
= 2(a + b).c
Bütün alan = Yanal alan + 2.Taban alanı
= 2(a + b).c + 2.a.b
= 2(ab + ac + bc)
Hacim = Taban alanı . Yükseklik
V = a.b.c
580
Geometrik Cisimler
ÖRNEK 12
ÖRNEK 14
K
6
F
N 2 P
8
Ayrıtları 2, 3 ve 4 ile orantılı olan dikdörtgenler prizmasının hacmi 192 br3 ise alanı kaç br2 dir?
5
3
M
L
Çözüm
E
C
Prizmanın ayrıtları a, b, c ise
a = 2k , b = 3k , c = 4k
D
V = 192 ⇒ a.b.c = 192 ⇒ 2k.3k.4k = 192
A
B
Ayrıtları 5 br, 6 br ve 8 br olan dikdörtgenler prizması
biçimindeki bir mermerden şekilde görüldüğü gibi dikdörtgenler prizması biçimindeki bir parçası kesilerek
çıkarılmıştır. |MN| = 3 br , |NP| = 2 br ise prizmanın
alanının ne kadar değiştiğini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 15
Bir dikdörtgenler prizmasının tüm ayrıtları 1 er br uzatılırsa hacmi 60 br3 artıyor. Ayrıtları uzatılmadan önce
prizmanın alanı 52 br2 olduğuna göre farklı ayrıtları
toplamı kaç br dir?
Çözüm
ÖRNEK 13
Bir dikdörtgenler prizmasının üç farklı yüzünün alanları 8 br2 , 10 br2 ve 20 br2 olduğuna göre hacmini
bulunuz.
Çözüm
581
Geometrik Cisimler
ÖRNEK 16
ÖRNEK 18
L
Kenarları 4 br ve 6 br olan dikdörtgen biçimindeki
F
E
bir sacın 4 köşesinden kenarları 1 er br olan kareler
K
kesiliyor. Kalan kısım katlanarak üstü açık bir dikdörtC
D
genler prizması elde ediliyor. Bu prizmanın hacmi
kaç br3 tür?
A
Çözüm
B
Şekildeki dikdörtgenler prizmasının
2
ü su ile dolu3
dur. |AB| = 10 br , |BC| = 4 br , |FB| = 6 br olmak
üzere, prizma BCKF yüzeyi üzerine yatırılırsa içindeki
suyun yüksekliği kaç br olur?
Çözüm
I. Yol
ESEN YAYINLARI
Verilen prizmanın hacmi
ÖRNEK 17
K
5
F
N 1 P
4
3
2
M
L
E
C
A
D
B
Ayrıtları 3 br, 4 br ve 5 br olan dikdörtgenler prizması
biçimindeki bir mermerden şekilde görüldüğü gibi
dikdörtgenler prizması biçimindeki bir parçası kesilerek çıkarılmıştır. |MN| = 2 br , |NP| = 1 br ise kalan
kısmın hacmini bulunuz.
Çözüm
Dikdörtgenler prizmasının hacmi,
V1 = 3.4.5 = 60 br3 tür.
Çıkarılan kısmın hacmi,
V2 = 1.2.3 = 6 br3 olacağından kalan kısmın hacmi,
V = V1 – V2 = 60 – 6 = 54 br3 olur.
582
V = a.b.c = 10.4.6 = 240 br3 tür.
2
ü su dolu olduğundan içindeki su mikPrizmanın
3
tarı:
2
240. = 160 br3 olur.
3
ALIŞTIRMALAR - 1
1.
4.
Aşağıdaki dikdörtgenler prizmalarının herbirinde
Aşağıdaki dikdörtgenler prizmalarının herbirinde
verilenlere göre x değerlerini bulunuz.
verilenlere göre taralı alanları bulunuz.
a.
a.
x
7
3
2
2
3
4
b.
b.
L
x
8
2
12
18
M
K
4
c.
6
x
ESEN YAYINLARI
K, L, M kenar orta noktalarıdır.
9
12
2.
2
B
c.
1
2
2
5
4
d.
A
4
3
4
Şekildeki dikdörtgenler prizmasında verilenlere
göre A dan B ye yüzeyden hareketle gidecek
3
3
olan bir cismin alabileceği en kısa yol kaç br dir?
3.
C
5
K
D
C
E
2
2
A
5.
10
A
B
3
5
Şekildeki dikdörtgenler prizmasında verilenlere
Şekildeki dikdörtgenler prizmasında verilenlere
göre |AK| + |KC| nin en küçük değeri kaç birim-
göre |AB| + |BC| + |CD| + |DE| nin en küçük de-
dir?
ğeri kaç birimdir?
583
Geometrik Cisimler
6.
1
11. Ayrıtları a, b, c olan dikdörtgenler prizmasında,
3
a.b = 6 , b.c = 18 , a.c = 12 ise prizmanın hacmi
2
kaç br3 tür?
6
4
8
Dikdörtgenler prizması biçimindeki tahta bloktan
12. a, b, c ayrıtları arasında
dikdörtgenler prizması biçiminde bir parça çıkarılmıştır. Kalan cismin alanını bulunuz.
1 1 1 1
bağıntısı bulunan dikdörtgenler
+ + =
a b c 6
prizmasının alanı 60 br2 ise hacmi kaç br3 tür?
7.
13. Bir dikdörtgenler prizmasının hacmini 8 katına
çıkarmak için ayrıtlarını kaç katına çıkarmalıyız?
Şekildeki üçgen dik
lunuz.
v6
5
6
7
ESEN YAYINLARI
prizmanın alanını bu-
14. Ayrıtları 2 br, 3 br ve 5 br olan dikdörtgenler prizması biçimindeki kutucuklardan en az kaç tanesi
ile bir küp elde edilir?
8.
Yüzey köşegen uzunlukları c13 br , 2c10 br
3v5 br olan dik prizmanın alanı kaç br2 dir?
15. Yüksekliği taban ayrıtının 2 katına eşit olan kare
prizmanın alanı 90 br2 ise hacmi kaç br3 tür?
9.
Ayrıtları 3, 4 ve 5 ile orantılı olan dikdörtgenler
prizmasının hacmi 480 cm3 ise alanı kaç cm2 dir?
16.
x
45°
60°
10. Ayrıtları a, b, c olan dikdörtgenler prizmasında,
a + b = 5 , b + c = 7 , a + c = 6 ise prizmanın
3
hacmi kaç br tür?
584
Şekildeki dikdörtgenler prizmasının hacmi
16v3 br3 ise x kaç birimdir?
Geometrik Cisimler
KÜP
ÖRNEK 21
Bütün ayrıtları eşit uzunlukta olan prizmaya küp
K
E
denir.
L
L
F
K
D
E
F
a
A
av2
C
B
kaç br2 dir?
a
a
2
Şekildeki küpün bir ayrıtı 2 br olduğuna göre, A(ACL)
a
D
a
A
C
Çözüm
B
Yüzey köşegeni = av2 dir.
Cisim köşegenlerinden biri |LB| dir.
LDB dik üçgeninde,
|LB|2 = |LD|2 + |DB|2 ⇒ |LB|2 = a2 + (av2)2
⇒
|LB| = av3
olur.
Bir ayrıtı 2 br olan küpün yüzey köşegenini ve cisim
köşegenini bulunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 19
ÖRNEK 22
L
K
E
x
D
A
F
2
M
2
C
B
Şekildeki küpte |FM| = |MB| = 2 br ise |LM| = x kaç
br dir?
Çözüm
ÖRNEK 20
Cisim köşegenlerinden biri ile yüzey köşegenlerinden
birinin uzunlukları toplamı (3 + v6) br olan küpün bir
ayrıtının uzunluğu kaç br dir?
Çözüm
av2 + av3 = 3 + v6 ⇒ a(v2 + v3) = v3(v3 + v2)
585
Geometrik Cisimler
ÖRNEK 23
ÖRNEK 25
L
Tek sıra halinde yan yana konan 4 birim küpün oluş-
K
P
turduğu dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeni kaç
E
F
br olur?
Çözüm
C
D
A
2
B
Şekildeki küpün bir ayrıtı 2 br dir. P noktası, EFKL
üzerinde herhangi bir noktadır. Buna göre A(APC)
nin en büyük ve en küçük değerini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 24
L 1M
E
3
K
x
D
A
C
3
N 1 B
Şekildeki küpte, |LM| = |NB| = 1 br, |AN| = |MK| = 3 br
ise |MN| = x kaç br dir?
Çözüm
586
ESEN YAYINLARI
F
Geometrik Cisimler
ÖRNEK 26
ÖRNEK 27
Birim küpü izometrik kağıda ve açınımını da kareli
Yüzey köşegeni ile cisim köşegeninin uzunlukları
kağıda çizelim.
toplamı 1 br olan küpün alanı kaç br2 dir?
Çözüm
Çözüm
av2 + av3 = 1 ⇒ a(v2 + v3) = 1
ÖRNEK 28
L
K
H
2
F
E
N
O
ESEN YAYINLARI
R
P
D
A
C
5
B
Bir ayrıtı 5 br olan küpün köşesinden bir ayrıtı 2 br
olan küp biçiminde bir parça kesilip atılmıştır. Kalan
parçanın alanını bulunuz.
Çözüm
KÜPÜN ALANI
L
K
E
F
a
ÖRNEK 29
D
A
C
a
a
B
Küpün yüzeyi 6 eş kareden oluştuğundan bu karelerin alanları toplamı küpün yüzey alanıdır.
Alan = 6.a2 ⇒ A = 6a2
Şekildeki cisim üst üste ve yan yana konmuş 6 tane
birim küpten oluşmuştur. Cismin alanını bulunuz.
587
Geometrik Cisimler
Çözüm
ÖRNEK 31
L
K
H
2
F
E
N
O
R
P
D
C
A
5
B
Bir ayrıtı 5 br olan küpün köşesinden bir ayrıtı 2 br
olan küp biçiminde bir parça kesilip atılmıştır. Kalan
parçanın hacmini bulunuz.
Çözüm
Bir ayrıtı 5 br olan küpün hacmi : 53 = 125 br3
Bir ayrıtı 2 br olan küpün hacmi : 23 = 8 br3
olduğundan, kalan parçanın hacmi
125 – 8 = 117 br3 bulunur.
KÜPÜN HACMİ
L
K
ÖRNEK 32
E
F
D
C
a
A
a
B
ESEN YAYINLARI
a
L
E
3
V = a .a = a tür.
A
Çözüm
Alanının sayısal değeri hacminin sayısal değerine
eşit olan küpün cisim köşegeni kaç birimdir?
Çözüm
Küpün bir ayrıtı a olsun.
V = A ⇒ a3 = 6a2 ⇒ a = 6 br olur.
Küpün cisim köşegeni:
av3 = 6v3 br bulunur.
588
C
B
Şekildeki küpte A(EBCL) = 16v2 br2 ise küpün hacmi
kaç br3 tür?
ÖRNEK 30
F
D
V = Taban alanı x Yükseklik
2
K
ALIŞTIRMALAR -
1.
3.
Bir ayrıtı 2 birim olan bir küpün herhangi bir köşe-
2
???
Aşağıdaki küplerin herbirinde verilenlere göre
sinin diğer tüm köşelere olan uzaklıkları toplamı
taralı bölgelerin alanlarını bulunuz.
kaç birimdir?
a.
2
b.
Aşağıdaki küplerin herbirinde verilenlere göre
|KL| değerlerini bulunuz.
3
a.
2
K
2
L
b.
c.
ESEN YAYINLARI
2.
L
K
F
E
6
C
D
2
P
L
2
A
2
K
2
B
P noktası ABCD yüzeyinin ağırlık merkezidir.
c.
1
L
4.
3
Şekildeki
küpün
yüzeyinden
gidecek
olan
E
2
L
K
2
D
C
ceği en kısa yol kaç
br dir?
2
5.
2
F
bir
hareketlinin alabiled.
K
hare-
ketle, A dan K ya
K
L
A
2
B
Cisim köşegeni 3v3 br olan küpün yüzey köşegeni kaç birimdir?
589
Geometrik Cisimler
6.
L
10.
K
4
L
2
Şekildeki küpte B ile
L arasındaki yüzey-
E
F
Şekildeki küpte veri-
den alınan en kısa
yol 10 br ise a kaç br
lenlere göre |KL| kaç
D
birimdir?
C
dir?
A
2 K
B
a
4
11.
Şekilde, bir ayrıtı 6 br
7.
Şekildeki küpte
2 br olan küp çıkarılmıştır. |KL| kaç br
L
|KL| + |LM| ifadesi-
L
olan küpten bir ayrıtı
M
K
dir?
nin en küçük değeri
kaç birimdir?
8.
K
L
2
ESEN YAYINLARI
2
tahta bloktan bir
K
kenarı 2 br olan
küp biçiminde bir
|AK| = 10 br ise
F
büyük küpün bir
Şekildeki küpte
kaçtır?
biçimindeki
10
parça çıkarılmıştır.
K
E
DB
BL
12. Küp
A
kenarı kaç br dir?
D
C
A
B
13. Bir ayrıtının uzunluğu 2 br olan küpün alanı kaç
br2 dir?
9.
L
E
Şekildeki küpte P
ise |KP| kaç br dir?
F
C
D
A
590
rimdir?
P
noktası DAEL yüzeyinin ağırlık merkezi
14. Alanı 54 br2 olan küpün yüzey köşegeni kaç bi-
K
4
15. Hacmi 64 br3 olan küpün cisim köşegeni kaç
B
birimdir?
PİRAMİTLER
Piramit
P
Bir çokgen ile bu çokgenin düzlemi dışında bir nokta verildiğinde,
çokgenin bütün noktalarını dışındaki noktaya birleştirerek elde edilen
cisme piramit denir.
Piramitler tabanlarındaki çokgenin türüne göre adlandırılırlar.
Yandaki piramit, bir dörtgen piramittir.
C
D
®
P, piramidin tepe noktasıdır.
®
ABCD piramidin tabanıdır.
®
[PA], [PB], [PC], [PD] doğru parçaları piramidin yan ayrıtlarıdır.
®
PDA, PAB, PBC, PDC üçgensel bölgeleri piramidin yan yüzleridir.
®
Tepe noktasının taban düzlemine olan uzaklığı piramidin yüksekliğidir. (|PH| = h)
®
[PR] piramidin yan yüz yüksekliğidir.
R
H
A
B
Düzgün Piramit
Tabanı düzgün çokgen olan ve yükseklik ayağı taban merkezinde bulunan piramide düzgün piramit denir.
Aşağıdaki piramitler düzgün piramide birer örnektir. Düzgün piramitlerde;
®
Yan ayrıt uzunlukları eşittir.
®
Yan yüz yükseklikleri eşittir.
®
Yan yüzler birbirine eş ikizkenar üçgenlerdir.
®
Bir yan yüz yüksekliğine düzgün piramidin
apotemi denir.
Kare piramit
Eşkenar üçgen piramit
Düzgün altıgen piramit
Kesik Piramit
P
Bir piramit tabana paralel bir düzlemle kesildiğinde kesit düzlemi ile
piramidin tabanı arasında kalan cisme kesik piramit denir.
M
Yandaki şekilde ABC ile KLM arasındaki cisim bir kesik piramittir.
T
K
[PH], ABC üçgensel bölgesine dik olmak üzere,
L
C
KLM kesit düzlemi ile ABC taban düzlemi benzerdir. ABC ~ KLM
H
A
B
Düzgün Kesik Piramit
F
Şekilde düzgün bir piramidin tabana paralel bir düzlemle kesilmesi sonucu
E
D
oluşan düzgün kesik piramit görülmektedir.
Düzgün kesik piramitte
®
Tabanlar birbirlerine paralel birer düzgün çokgendir.
®
Yan yüzler eş ikizkenar yamuklardır.
®
Tabanların ağırlık merkezlerini birleştiren doğru, kesik piramidin yüksekliğidir.
C
A
B
591
Geometrik Cisimler
ÖRNEK 33
ÖRNEK 34
P
Şekildeki düzgün kare
piramidin
yan
T
ayrıt
c41
uzunluğu c41 br, taban
ayrıtının uzunluğu 8 br
C
D
ise piramidin yüksekliği
8
kaç br dir?
10
A
8
B
Şekilde düzgün kare piramidin yüksekliği 12 br,
|AB| = 10 br ise piramidin yan yüz yüksekliği kaç br
dir?
ESEN YAYINLARI
A
Çözüm
Çözüm
DÜZGÜN PİRAMİDİN ALANI
B
P
P
h1
D
C
a
B
a
A
h1
B
a
a
A
a
a
C
a
a
D
a
a
Yukarıdaki şekilde bir kare piramit ve açınımı verilmiştir.
Bu düzgün piramidin yanal alanı, taban çevresi ile yan yüz yüksekliğinin çarpımına eşit olacağından
Yanal alanı = 4.
a.h 1
4a.h 1
=
2
2
=
Taban çevresi x Yan yüz yüksekli¤i
2
Bir düzgün piramidin alanı yanal alanı ile taban alanının toplamına eşittir.
592
C
D
B
Geometrik Cisimler
ÖRNEK 35
ÖRNEK 36
Taban alanı 20 cm2, yüksekliği 6 cm olan piramidin
P
hacmi kaç cm3 tür?
Çözüm
C
D
A
6
B
ÖRNEK 37
Şekilde düzgün kare piramidin yüksekliği 4 br,
T
|AB| = 6 br ise piramidin yüzey alanı kaç br2 dir?
Şekildeki düzgün kare pi-
Çözüm
ramidin yan ayrıt uzunlu-
c34
ğu c34 br, taban ayrıtının
uzunluğu 6 br ise pirami-
C
D
3
6
din hacmi kaç br tür?
6
A
B
ESEN YAYINLARI
Çözüm
PİRAMİDİN HACMİ
h
ÖRNEK 38
P
Şekildeki piramitte
[PC] taban düzlemine
diktir. [AC] ⊥ [CB]
Piramidin hacmi
1
V = .Taban Alanı x Yükseklik
3
|CB| = 4 br
|AB| = 5 br
%
m( PAC ) = 45° ise
C
4
45°
A
B
5
piramidin hacmini bulunuz.
593
Geometrik Cisimler
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 39
P
ÖRNEK 41
4
A
P
D
C
Şekildeki düzgün altıgen
4
B
Şekildeki dikdörtgen piramitte [PD] taban düzlemine
diktir. |AD| = 3 br, |AB| = 4 br, |PD| = 4 br ise
|PB| = x kaç br dir?
Çözüm
P
ÖRNEK 40
Bir düzgün kare piramidin yan yüzeyi taban düzlemi
ile 45° lik açı yapmaktadır. Piramidin hacmi 288 br3
ise taban ayrıtı kaç birimdir?
594
ESEN YAYINLARI
3
x
13
piramitte , |AB| = 5 br
|PD| = 13 br ise piramidin
hacmi kaç br3 tür?
F
E
D
A
5
B
Çözüm
C
Geometrik Cisimler
Çözüm
ÖRNEK 42
Şekildeki piramitte
P
2
A(KLM) = 4 br
A(ABC) = 9 br2 dir.
K
Piramit, tabana
paralel bir düzlemle
iki parçaya ayrılmıştır.
M
L
C
A
B
Üstteki parçanın hacminin, alttaki parçanın hacmine oranı kaçtır?
Çözüm
DÜZGÜN DÖRTYÜZLÜ
Dört yüzü de eşkenar
A
ESEN YAYINLARI
üçgen olan piramite düzgün dörtyüzlü
a
denir.
Piramidin
yükseklik
a
ayağı (H) tabandaki
DBC üçgeninin ağırlık
a
a
D
a
H
a
B
C
merkezidir.
Düzgün Dörtyüzlünün Yüksekliği
[BK], BCD eşkenar
A
üçgeninin yüksekliği olduğundan,
a
a 3
dir.
|BK| =
2
H
noktası
üçgeninin
a
D
K
BCD
ağırlık
H
a
B
C
merkezi olduğundan
ÖRNEK 43
|BH| =
a 3
2
|BK| ⇒ |BH| =
dir.
3
3
Bir piramit tabana paralel iki düzlemle, yüksekliği üç
ABH dik üçgeninde,
eşit parçaya ayıracak şekilde kesilmiştir. En üstteki
|AB|2 = |BH|2 + |AH|2 ⇒ a2 = d
parçanın hacminin en alttaki parçanın hacmine oranı
kaçtır?
⇒h=
2
a 3
n + h2
3
a 6
br dir.
3
595
Geometrik Cisimler
Çözüm
ÖRNEK 44
Bir ayrıtının uzunluğu 3 br olan düzgün dörtyüzlünün
yüksekliği kaç br dir?
Çözüm
ÖRNEK 45
D
2
E
2
A
C
B
ABCD düzgün dörtyüzlüsünde
|DE| = |EC| = 2 br ise A(ABE) kaç br2 dir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 47
Bir ayrıtının uzunluğu
D
3 br olan düzgün dörtyüzlünün yüzeyinden
hareketle B den A ya
gidecek olan bir karın-
A
C
canın alabileceği en
kısa yol kaç br dir?
Çözüm
ÖRNEK 46
D
2
E
4
C
A
F
B
ABCD düzgün dörtyüzlüsünde |AE| = 4 br
|ED| = 2 br , |BF| = |FC| ise |EF| kaç br dir?
596
3
B
Geometrik Cisimler
Düzgün Dörtyüzlünün Alanı
Düzgün Dörtyüzlünün Hacmi
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
D
K
a
a
a
H
B
a
C
Şekilde kenar uzunluğu a olan düzgün dörtyüzlü
ile bu dörtyüzlünün açınımı verilmiştir.
Bir ayrıtının uzunluğu a br olan düzgün dörtyüzlü-
Bu durumda bir kenarı a olan 4 eşkenar üçgenin
nün yüksekliğinin h =
a 6
br olduğunu biliyoruz.
3
Düzgün dörtyüzlü bir piramit olup hacmi
oluşturduğu bölgenin alanı
4.
a2 3
= a 2 3 br2 dir.
4
ÖRNEK 48
V=
1
.Taban alanı x Yükseklik
3
V=
a3 2
1 a2 3 a 6
⇒ V=
·
·
12
3
4
3
bulunur.
Bir ayrıtının uzunluğu 4 br olan düzgün dörtyüzlünün
Çözüm
ESEN YAYINLARI
alanını bulunuz.
ÖRNEK 51
Yüksekliği 2v6 br olan düzgün dörtyüzlünün hacmi
kaç br3 tür?
Çözüm
ÖRNEK 49
Alanı 64v3 br2 olan düzgün dörtyüzlünün bir ayrıtının
uzunluğunu bulunuz.
Çözüm
A = a2v3 ⇒ 64v3 = a2v3 ⇒ a2 = 64
ÖRNEK 52
ÖRNEK 50
İki farklı düzgün dörtyüzlünün birer ayrıtlarının uzun-
Hacmi
9 2
br3 olan düzgün dörtyüzlünün yüksekli4
lukları toplamı 5 birim, alanları toplamı 20 3 br2 ise
ğini ve alanını bulunuz.
birer ayrıtlarının çarpımını bulunuz.
Çözüm
Çözüm
Ayrıtlar a br ve b br olsun.
a+b=5
a2 3 + b2 3 = 20 3 ⇒ a2 + b2 = 20 olur.
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab ⇒ 52 = 20 + 2ab
597
ALIŞTIRMALAR -
1.
4.
E
C
x
4
E
F
D
A
3
4
F
C
D
B
Şekildeki düzgün kare piramidin yüksekliği 3 cm
A
ise |EF| = x kaç cm dir?
4
B
Şekildeki kare piramidin yan yüzleri eşkenar
üçgen ise |AF| kaç br dir?
E
2.
C
A
6
ESEN YAYINLARI
9
D
E
5.
F
D
C
B
A
Şekildeki düzgün kare piramitte |FC| = 2|EF| ise
B
Şekildeki kare piramidin yan yüzleri eşkenar
|AF| kaç br dir?
%
üçgendir. Buna göre, m( CEA ) kaç derecedir?
6.
E
3.
E
F
C
D
A
6
düzlemi ile 45° lik açı yapmaktadır. A(EBC) kaç
br2 dir?
598
A
B
Şekildeki düzgün kare piramitte yan yüzey taban
C
D
4
B
Şekildeki kare piramidin yan yüzleri eşkenar
üçgendir. |AF| + |FC| nin en küçük değeri kaç br
dir?
Geometrik Cisimler
7.
12.
Taban ayrıtı 10 br, yüksekliği 12 br olan dik kare
A
piramidin yan yüz yüksekliği kaç br dir?
E
4
x
D
8.
Yüksekliği 4v6 cm olan düzgün dörtyüzlünün
K
B
bir ayrıtı kaç cm dir?
C
ABCD düzgün dörtyüzlüsünün bir ayrıtının uzunluğu 4 br , |AE| = |ED| , |BK| = |KC| ise
|KE| = x kaç br dir?
9.
Bir kenarının uzunluğu 9 br olan düzgün dört-
13.
yüzlünün yüksekliği kaç br dir?
5
D
A
C
4
4v2
ESEN YAYINLARI
10.
Şekildeki düzgün kare piramidin yanal alanı kaç
br2 dir?
14.
B
Yukarıdaki düzgün dörtyüzlünün ABC tabanını
5
kullanmadan şekildeki gibi B den A ya gidecek
olan bir hareketlinin alabileceği en kısa yol kaç
br dir?
6
Şekildeki düzgün kare piramidin tüm alanını bulunuz.
C
11.
15.
3
13
E
3
D
A
B
ABCD düzgün dörtyüzlüsünde
|AE| = |EC| = 3 br ise A(EDB) kaç br2 dir?
10
Şekildeki düzgün altıgen piramidin yanal alanı
kaç br2 dir?
599
Geometrik Cisimler
16. Yanal alanı 36 br2, taban çevresi 24 br olan düz-
22.
gün kare piramidin yan ayrıtı kaç br dir?
4v3
6
17. Taban ayrıtı 10 br, bütün alanı 360 br2 olan düz-
Şekildeki eşkenar üçgen dik piramidin hacmi kaç
gün kare piramidinin yüksekliği kaç br dir?
br3 tür?
18. Taban ayrıtı 8 br, yüksekliği 3 br olan dik kare
piramidin alanı kaç br2 dir?
23.
ESEN YAYINLARI
19.
13
8
2
Şekildeki eşkenar üçgen dik piramidin hacmi
3v3 br3 ise yüksekliği kaç br dir?
6
Şekildeki dikdörtgen dik piramidin hacmini bulunuz.
20.
24.
M
L
K
E
F
2
D
8
C
T
Şekildeki dik kare piramidin yan yüz yüksekliği
A
5 br ise hacmi kaç br3 tür?
N
B
Şekildeki küpte, |AN| = |NB| , |BT| = |TC|
|LC| = 2 br dir. K noktası EFLM yüzeyinin her2
21. Taban ayrıtı 12 br, tüm alanı 384 br olan dik kare
3
piramidin hacmi kaç br tür?
600
hangi bir noktası ise taralı piramidin hacmi kaç
br3 tür?
Geometrik Cisimler
25.
28.
5
3
4
Şekildeki dikdörtgenler prizması içindeki taralı
Şekildeki piramitte taban düzlemine paralel iki
3
piramidin hacmi kaç br tür?
düzlem yan ayrıtları üç eşit parçaya ayıracak
şekilde kesmiştir. En üstteki parçanın hacminin
en alttaki parçanın hacmine oranı kaçtır?
29. Bir ayrıtının uzunluğu 2v6 br olan düzgün dörtyüzlünün hacmi kaç br3 tür?
4
6
8
Şekildeki dikdörtgenler prizması içindeki taralı
ESEN YAYINLARI
26.
30. Alanı 36v3 br2 olan bir düzgün dörtyüzlünün
hacmi kaç br3 tür?
31. Yüksekliği 6 cm olan düzgün dörtyüzlünün hacmi
kaç cm3 tür?
3
piramidin hacmi kaç br tür?
32.
K
F
D
E
27.
L
K
E
C
A
F
B
D
A
C
N
B
Şekilde, |DN| = |NC| dir. Verilenlere göre taralı piramidin hacminin dikdörtgenler prizmasının
hacmine oranı kaçtır?
Şekildeki dik piramit
KF
1
=
2
FC
olacak şekilde
tabana paralel bir düzlemle kesiliyor. Alttaki kesik
piramidin hacmi 78 br3 ise üstteki küçük piramidin
hacmi kaç br3 tür?
601
Geometrik Cisimler
SİLİNDİR
dayanak e¤risi
Uzayda bir eğri ile bu eğrinin düzlemine paralel olmayan
bir l doğrusu verildiğinde, eğriye dayanarak hareket eden
ve l doğrusuna paralel olan doğruların oluşturduğu yüzeye
silindirik yüzey, hareket eden doğruya ana doğru denir.
Dayanak eğrisi kapalı bir eğri olan silindirik bir yüzeyin ana
ana do¤ru
doğrularını kesen ve birbirine paralel olan iki düzlemle,
silindirik yüzey arasında kalan cisme silindir denir.
®
Paralel düzlemlerin silindirik yüzey içinde kalan parçalarına silindirin tabanları denir.
®
Tabanların çevrelerini birleştiren eğri yüzeyine silindirin yanal yüzeyi denir.
®
Tabanlar arasındaki uzaklığa silindirin yüksekliği denir.
®
Silindirler tabanlarına göre adlandırılırlar. Biz bu bölümde sadece dairesel silindiri inceleyeceğimizden
silindirden söz ettiğimizde dairesel silindir olduğu anlah
şılmalıdır.
®
h
Ana doğruları tabanlarına dik olan silindirlere dik silindir veya dönel silindir, dik olmayan silindirlere eğik
silindir denir.
Dik silindir
ÖRNEK 53
Taban merkezleri O ve K olan
ÖRNEK 54
Şekildeki silindirde [DC]
K
D
C
silindirin tabanı üzerindeki bir
12
yarıçapı 5 br , |CB| = 12 br ise
O
B
602
x
15
|CB| = 15 br
|DC| = 10 br ise
A
C
ve [AB] taban çaplarıdır.
|EC| = x kaç br dir?
E
Çözüm
10
D
|AE| = 6 br
nokta E dir. Silindirin taban
|KE| kaç br dir?
E¤ik silindir
Çözüm
A
B
6
E
Geometrik Cisimler
ÖRNEK 55
ÖRNEK 57
Şekildeki dik silindirde K
D
K
Taban yarıçapı 2 br
C
4
[KL] ⊥ [OL]
|DL| = 4 br
A
B
silindirin yüzeyinden
iki kez dolanarak gi-
2
silindirin yarıçapını
C
silindirde, A dan D ye
L
|AL| = 2 br ise
D
yüksekliği 6 r br olan
ve O taban merkezleridir.
A
O
B
decek olan bir hare-
bulunuz.
ketlinin alabileceği en
Çözüm
kısa yol kaç br dir?
Çözüm
En kısa yol yandaki
şekilde görüldüğü gibi
|AK| + |LD′| = 2x tir.
|AA′| = 2rr = 2r.2 = 4r
olacağından
AA′K dik üçgeninde
Taban yarıçapı
5
br
2
D
C
yüksekliği 12 r br olan
silindirde, A dan D ye
silindirin yüzeyinden
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 56
|AK| = 5r ⇒ x = 5r
2x = 10 r bulunur.
bir kez dolanarak gidecek olan bir hare-
A
B
ÖRNEK 58
ketlinin alabileceği en
kısa yol kaç br dir?
Çözüm
A ile D arasındaki
en kısa yol silindirin
D
L
C
K
4
A
x
10
yan yüzü olan dikdörtgenin köşegenidir.
A
B
B
Soldaki silindir eğilerek sağdaki duruma getirilmiştir.
Buna göre |BK| = x kaç birimdir?
Çözüm
İki durumda da su miktarı aynı olacağından
|AD| + |BC| = |AL| + |BK|
10 + 10 = 4 + x ⇒ x = 16 br bulunur.
603
Geometrik Cisimler
SİLİNDİRİN ALANI
ÖRNEK 60
D
C
r
5
A
O
2
B
h
Yandaki dik silindirde O taban merkezidir.
2πr
|OB| = 2 br, |BC| = 5 br ise silindirin alanı kaç br2 dir?
r
Çözüm
r = 2 br , h = 5 br olduğundan
Bir dik silindirin açık biçimi şekilde ifade edilmiştir.
A = 2rr(h + r) = 2r.2(5 + 2) = 28r br2 bulunur.
Silindirin yan yüzeyi bir dikdörtgen olup bu dikdörtgenin kenarlarından birinin uzunluğu taban
ÖRNEK 61
çevresine diğeri ise yüksekliğe eşittir.
Yanal alanı 24r br2 olan dik silindirin taban yarıçapı
3 br ise yüksekliği kaç birimdir?
Ay = Taban çevresi x Yükseklik = 2 rr h bulunur.
Çözüm
Taban alanı: rr 2 olduğundan silindirin tüm alanı (A)
Ay = 2rrh ⇒ 24 r = 2r.3.h ⇒ 24 r = 6r.h
A = Yanal alan + 2.Taban alanı = 2rr h + 2.rr 2
= 2 rr (h + r) olur.
ESEN YAYINLARI
O halde silindirin yanal alanı (Ay)
ÖRNEK 62
Taban yarıçapı ile yüksekliğinin toplamı 8 cm ve alanı
32r cm2 olan dik silindirin yarıçapı kaç cm dir?
Çözüm
ÖRNEK 59
h+r=8⇒h=8–r
D
C
A = 32 r ⇒ 2 rr 2 + 2rrh = 32 r ⇒ r2 + r.h = 16
7
A
O
B
ÖRNEK 63
Yukarıdaki dik silindirde O taban merkezidir.
Bir dik silindirin yanal alanını 2 katına çıkarmak için
|AB| = 6 br, |BC| = 7 br ise silindirin yanal alanı kaç
taban yarıçapını kaç katına çıkarmak gerekir?
2
br dir?
Çözüm
Çözüm
Yarıçapı r olan silindirin yanal alanı : 2rrh
|AB| = 2r ⇒ 6 = 2r ⇒ r = 3 br
Yarıçapı xr olan silindirin yanal alanı : 2rxr.h
|CB| = h ⇒ h = 7 br olacağından
Ay = 2rr h = 2 r.3.7 = 42 r br2 olur.
604
2rxr.h = 2.2rrh ⇒ x = 2 bulunur.
Yani, silindirin yarıçapı 2 katına çıkarılmalıdır.
Geometrik Cisimler
ÖRNEK 64
ÖRNEK 65
8
Şekildeki demir borunun iç çapı 4 br, dış çapı 10 br
Asfalt düzgünleştirmede kullanılan bir silindir resmi
dir. Borunun alanını bulunuz.
yukarıda verilmiştir.
Çözüm
a.
Silindirin uzunluğu 2 m ve yükseklik uzunluğu
1 m ise yüzey alanını bulunuz.
Borunun üst ve alt yüzeyleri aşağıdaki şekilde görüb.
len bir daire halkası olduğundan
1 km uzunluğunda ve 6 m genişliğinde bir yolun
asfaltının düzgünleştirilmesi için silindirin kaç
devir dönmesi gerektiğini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
605
Geometrik Cisimler
SİLİNDİRİN HACMİ
ÖRNEK 69
x
8
8
2
8
Taban yarıçapı 2 cm, yüksekliği 8 cm olan dik silindir
Dairesel silindir, taban ayrıtlarının sayısı sonsuza
su ile doludur. Silindirdeki su, bir kenarının uzunluğu
yaklaşan bir prizma olarak düşünülebileceğinden
8 cm olan küpe boşaltılırsa suyun yüksekliği olan x
Hacmi = Taban alanı x Yükseklik
kaç cm dir?
V = rr 2 h olur.
Çözüm
ÖRNEK 66
Taban yarıçapı 2 cm, yüksekliği 4 cm olan silindirin
hacmini bulunuz.
V = rr 2 h = r22.4 = 16r br3 bulunur.
ÖRNEK 67
Yanal alanı 32 r br2, hacmi 64 r br3 olan dik silindirin
yüksekliği kaç br dir?
Çözüm
Yanal alan : Ay = 2rrh ⇒ 32 r = 2rrh ⇒ r.h = 16
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 70
Şekildeki mumun taban
yarıçapı 1 cm, yüksekliği
10 cm dir. Buna göre,
Mumun alanını ve hacmini bulunuz.
b.
Mum yaklaşık olarak 30 dakikada tamamen
yandığına göre, 18 dakika yandıktan sonra kalan
kısmın alanını ve hacmini bulunuz.
Yüksekliği taban yarıçapının 2 katı olan dik silindirin
hacmi 54 r br3 ise taban yarıçapı kaç br dir?
Çözüm
V = 54 r ⇒ rr 2 h = 54 r ⇒ rr 2.2r = 54r
606
1
a.
Çözüm
ÖRNEK 68
10
Geometrik Cisimler
ÖRNEK 71
ÖRNEK 73
D
C
D
L
C
3
2
A
5
B
A
ABCD dikdörtgeni [AB] etrafında 360° döndürülürse
oluşan cismin hacmi kaç br3 olur?
3
K
1
B
ABCD dikdörtgeni l doğrusu etrafında 180° döndürü-
Çözüm
lüyor. Oluşan cismin hacmi kaç br3 tür?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 72
D
C
3
A
5
B
ABCD dikdörtgeni [AD] etrafında 360° döndürülürse
oluşan cismin hacmi kaç br3 tür?
Çözüm
607
Geometrik Cisimler
ÖRNEK 74
ÖRNEK 76
F
D
2
3
4
E
C
E
3
1
2
D
F
A
A
B
C
1
B
ABCDEF çokgeni [BC] etrafında 360° döndürülüyor.
Oluşan cismin hacmi kaç br3 tür?
ABCD dikdörtgeni l doğrusu etrafında 360° döndürü-
Çözüm
lüyor. Oluşan cismin hacmi kaç br3 tür?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 77
Bir dik silindirin içine en büyük hacimli kare prizma
ÖRNEK 75
Bir ayrıtı a br olan küpün içine en büyük hacimli bir
silindir yerleştirilmiştir. Silindirin hacmini bulunuz.
Çözüm
608
yerleştirilmiştir. Silindirin hacminin prizmanın hacmine
oranı kaçtır?
Çözüm
Geometrik Cisimler
ÖRNEK 78
ÖRNEK 80
16
45°
Taban çapı 6 br olan soldaki silindir su ile doludur. Bu
K
silindir taban düzlemi ile 45° lik açı yapacak şekilde
eğilerek sağdaki duruma getirilirse içindeki suyun ne
O
2
A
2
B
Şekilde taban merkezleri aynı olan iki silindirden
kadarı dökülür?
içteki su ile doludur. İçteki silindirin tabanına yakın
Çözüm
K noktasında bir delik açılırsa silindirin içindeki su
seviyesi kaç br olur?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 79
Şekilde taban yarıçapı 2
br yüksekliği 6 br olan dik
silindirin üst kısmından bir
parça kesilerek alınmış-
6
tır. Kalan kısmın hacmini
bulunuz.
3
2
Çözüm
609
ALIŞTIRMALAR -
1.
D
4.
C
K
15
17
4
B
r = 4 br
h = 3r br
O
A
B
A
Taban merkezi O olan silindirin üst tabanı üzerindeki bir nota K dır. |OK| = 17 cm, |CB| = 15 cm
Yüzeyden hareketle A dan B ye gidecek olan
ise silindirin yarıçapı kaç cm dir?
cismin alabileceği en kısa yol kaç birimdir?
3
7
x
I
II
ESEN YAYINLARI
2.
5.
B
r = 2 br
h = 3r br
A
I. şekildeki silindir düzeltilerek II. şekildeki hale
getirilmiştir. Buna göre x kaç br dir?
A ile B arasına gergin bir ip sarılmıştır. İpin uzunluğu en az kaç br dir?
6.
3.
B
x
9
br
2
h = 24 r br
6
I
II
I. şekildeki silindir eğilerek II. şekildeki hale getirilmiştir. Buna göre x kaç br dir?
610
r=
A
A ile B arasına silindirin etrafında 2 kez dolanan
bir ip sarılmıştır. İpin uzunluğu en az kaç br dir?
Geometrik Cisimler
7.
13. Yüksekliği taban çapının 2 katı olan silindirin
Taban yarıçapı 2 br, yüksekliği 4 br olan silindirin
2
hacmi 4 r br3 ise taban alanı kaç br2 dir?
yanal alanı kaç br dir?
14. Bir dik silindirin içine en büyük hacimli kare priz8.
ma yerleştiriliyor. Kare prizmanın taban ayrıtı
Yanal alanı 40r br2 olan silindirin taban yarıçapı
4 br, yüksekliği 6 br ise silindirin yanal alanı kaç
4 br ise yüksekliği kaç br dir?
br2 dir?
15. Bir ayrıtı 6 br olan küpün içine yerleştirilebilecek
en büyük hacimli silindirin hacmi kaç br3 tür?
9.
Bir dik silindirin yanal alanını 2 katına çıkarmak
için taban yarıçapını kaç katına çıkarmak gereESEN YAYINLARI
kir?
16.
10.
4
Hacmi 216 br3 olan küpün içine şekilde görüldü-
6
ğü gibi birbirine ve küpün yüzeylerine teğet olan
Şekildeki yarım silindirin alanı kaç br2 dir?
4 eş silindir yerleştirilmiştir. Silindirlerden birinin
hacmi kaç br3 tür?
11. Taban çevresi 8 r br, yüksekliği 5 br olan silindirin hacmi kaç br3 tür?
17.
D
C
2
A
12. Hacmi 36 r br3 olan silindirin yüksekliği 4 br ise
taban yarıçapı kaç birimdir?
5
B
ABCD dikdörtgeni [BC] etrafında 360° döndürülüyor. Oluşan cismin hacmini bulunuz.
611
Geometrik Cisimler
18.
D
F
2
22.
C
x
3
A
E
4
2
4x
B
ABCD dikdörtgeni [EF] etrafında 180° döndüŞekildeki silindir dik konuma getirilirse içindeki
rülüyor. Oluşan cismin hacmini bulunuz.
suyun yüksekliği x cinsinden neye eşit olur?
19.
F
D
C
2
2
23.
4
A
B
E
rülüyor. Oluşan cismin hacmini bulunuz.
F
20.
3
45°
ESEN YAYINLARI
ABCD dikdörtgeni [EF] etrafında 360° döndü-
I
II
İçi su dolu olan I. şekildeki silindirin taban yarıçapı 2 br dir. Bu silindir, II. şekildeki gibi 45° lik
açıyla eğilirse içindeki suyun kaç br3 ü dökülür?
E
2
4
C
2
D
A
B
Yukarıdaki çokgen [CB] etrafında 360° döndü-
24.
rülüyor. Oluşan cismin hacmini bulunuz.
30°
I
21. Şekildeki silindirin ABCD
Yüksekliği 24 br taban yarıçapı 3v3 br olan I.
D
C
kesit alanı 16 br2 olan bir
612
şekildeki silindir su ile doludur. Bu silindir II. şekildeki gibi 30° lik açı ile eğiliyor. Dökülen suyun
karedir. Silindirin hacmi
kaç br3 tür?
II
hacminin kalan suyun hacmine oranı kaçtır?
A
B
Geometrik Cisimler
KONİ
Uzayda kapalı bir E eğrisi ile sabit bir P noktası verilsin. P noktası
ile E eğrisinin her noktasından geçen doğruların oluşturduğu yüzeye
P
konik yüzey denir. Yandaki bir konik yüzey olup,
®
P noktasına, tepe noktası
®
E eğrisine taban eğrisi veya dayanak eğrisi
®
P noktasından geçen ve konik yüzeyi oluşturan doğrulara, konik
yüzeyin ana doğrusu denir.
P
Konik yüzeyin tüm ana doğrularını kesen bir düzlemle tepe
noktası arasında kalan cisme koni denir.
Ana do¤ru
Koninin tepe noktası ve eksenini içine alan her düzlem ile kesi-
Yükseklik
şimi bir üçgensel bölgedir.
A
Şekildeki PAB bu üçgenlerden biridir.
B
H
Taban e¤risi
Yükseklik ayağı taban merkezinde olan koniye, dik koni; tabanı daire olan dik koniye dik dairesel koni denir.
P
P
P
α
h
h
A
A
O
B
A
Dik dairesel koni
O
O
B H
Eğik dairesel koni
A′
r
Dik koninin açılımında;
r
a
dir.
=
, 360°
Dik dairesel konide;
®
Ana doğruların uzunlukları eşittir.
®
Yükseklik, simetri eksenidir.
®
Simetri ekseninden geçen düzlemlerle koninin arakesitleri eş ikizkenar
P
C
üçgensel bölgelerdir.
®
Bir dairesel koninin tabanına paralel bir düzlemle kesiti yine bir dairedir.
®
|PE| = h1 ve |PH| = h ise
®
r1 h 1
=
dir.
r
h
A
r1
E
D
r
H
Kesik koninin üst ve alt kesit alanları sırasıyla A1 ve A2 ise
A1
r 2
h 2
= c 1 m = c 1 m dir.
A2
r
h
613
B
Geometrik Cisimler
Çözüm
ÖRNEK 81
Taban merkezi
P
O olan dik konide
|PB| = 9 br
|OB| = 3 br dir.
9
Koninin ön yüzünden hareket ederek A dan B ye gidecek olan bir hareketlinin
3
A
O
alabileceği en kısa yol kaç
B
br dir?
Çözüm
ÖRNEK 83
ESEN YAYINLARI
Taban merkezi O
olan dik konide
aldığı en kısa yol kaç br dir?
Çözüm
P
|AP| = 3 br dir.
A dan harekete
3
başlayıp koni yüzeyi
üzerinden bir kez
dönerek A ya gelen
A
bir hareketlinin alabileceği en kısa yol kaç br dir?
614
B
4
A dan harekete başla-
geliyor. Hareketlinin
taban yarıçapı 1 br
R
|AR| = |RP| = 4 br dir.
den dolanarak R ye
Şekildeki dik koninin
4
|OB| = 2 br
yan bir hareketli yüzey-
ÖRNEK 82
P
A
2
O
B
Geometrik Cisimler
DİK DAİRESEL KONİNİN ALANI
Yandaki şekilde bir koni ile bu koninin açınımı verilmiştir.
a.
r
a
olduğunu gösterelim.
=
,
360°
b.
Koninin alanının: rr l + rr 2 olduğunu gösterelim.
P
P
α
Çözüm
a.
b.
%
_
AB = 2rr
b
a
%
a ` ⇒ 2 rr = 2r.l. 360°
AB = 2r.,.
b
360° a
r
a
olacağından bu eşitlikten
bulunur.
=
, 360°
r
A
O
B
B
A
r
O
Koninin açınımında oluşan yanal alan; P merkezli l yarıçaplı daire dilimi olduğundan
Ay = r.l2.
r
a
= r.l2. = rrl bulunur. O halde, Ay = rrl dir.
,
360°
Koninin taban alanı rr 2 olduğundan tüm alanı A = rrl + rr 2 bulunur.
ÖRNEK 84
ÖRNEK 86
Yarıçapı 6 br ve merkez açısının ölçüsü 60° olan
Yarıçapı 4 br, ana doğrusunun uzunluğu 6 br olan dik
daire dilimi kıvrılarak bir dik koni elde ediliyor. Koninin
dairesel koninin yanal alanını bulunuz.
taban yarıçapı kaç br dir?
Çözüm
Çözüm
Ay = rrl = r.4.6 = 24r br2 bulunur.
Yarıçapı 3 br, yüksekliği 4 br olan dik dairesel koninin
tüm alanını bulunuz.
Çözüm
P
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 85
ÖRNEK 87
Yanal alanı taban alanının 2 katına eşit olan dik koninin yüksekliği
3 br ise yarıçapı kaç br dir?
Çözüm
rr l = 2 . rr2 ⇒ l = 2 r olur.
P
615
Geometrik Cisimler
DAİRESEL KONİNİN HACMİ
ÖRNEK 88
Yanal alanı taban alanının 3 katı olan dik koninin yük-
P
sekliği 4v2 cm ise ana doğrusu kaç cm dir?
Çözüm
P
h
A
r
O
B
Dairesel koni taban kenar sayısı sonsuza yaklaşan
bir piramit olarak düşünülebilir. Bu durumda
1
Taban alanı x Yükseklik
V=
3
V=
1 2
rr h
3
bulunur.
ÖRNEK 90
Taban yarıçapı 9 br, ana doğrusunun uzunluğu 15 br
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 89
A
2
4
B
olan dik koninin hacmini bulunuz.
Çözüm
C
ABC dik üçgeni [BC] etrafında 360° döndürülüyor.
Oluşan cismin alanını bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 91
Hacminin sayısal değeri taban alanının sayısal değerine eşit olan koninin yüksekliği kaç br dir?
Çözüm
616
Geometrik Cisimler
ÖRNEK 92
ÖRNEK 94
P
D
2
C
60°
60°
6
3
6
A
5
B
ABCD dik yamuğu [AB] etrafında 360° döndürülüyor.
Şekildeki P merkezli daire dilimi kıvrılarak koni oluştu-
Oluşan cismin hacmi kaç br3 tür?
ruluyor. Koninin hacmini bulunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 93
Yarıçapı 3 br, hacmi 12 r br3 olan koninin ana doğrusunun uzunluğunu bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 95
Taban yarıçapı 3 br, yüksekliği 4 br olan koni su ile
doludur. Bu su taban yarıçapı 2 br olan yeteri kadar
yüksek bir silindirin içine boşaltılırsa suyun yüksekliği
kaç br olur?
Çözüm
617
Geometrik Cisimler
ÖRNEK 96
ÖRNEK 97
1
A
C
A
4
v5
2v5
3
O
B
C
B
Şekildeki kesik koninin taban merkezleri O ve A dır.
ABC dik üçgeni [BC] etrafında 360° döndürülüyor.
|AC| = 1 br, |OB| = 3 br ve |AO| = 4 br ise kesik
Oluşan cismin hacmini bulunuz.
koninin hacmi kaç br3 tür?
Çözüm
Çözüm
ABC dik üçge-
A
ESEN YAYINLARI
ninde Pisagor
ÖRNEK 98
P
Şekildeki koni
yüksekliğini eşit
iki parçaya bölecek
C
şekilde tabana
R
D
paralel bir düzlemle
kesiliyor. Koninin
hacmi 32 br3 ise
A
O
oluşacak kesik koninin hacmi kaç br3 olur?
Çözüm
618
B
ALIŞTIRMALAR -
a.
???
2.
Şekildeki konilerin yan yüzeyleri açılarak daire
dilimleri elde edilmiştir. Verilenlere göre istenenleri bulunuz.
O
120°
6
B
A
C
α
Şekildeki O merkezli daire dilimi kıvrılarak koni
12
oluşturulursa yüksekliği kaç br olur?
4
O
A
B
α=?
3.
b.
C
C
120°
x
A
2v2
ESEN YAYINLARI
1.
5
B
O
x=?
A
B
D
Taban yarıçapı 2 br, yüksekliği 4 br olan dik
konide A dan C ye gidip D ye dönecek olan bir
hareketlinin gidebileceği en kısa yol kaç br dir?
c.
C
α
4.
B
A
C
α=?
3r
d.
A
α
O
r
B
Şekildeki dik konide A dan harekete başlayıp
2r
koni yüzeyi üzerinden bir kez dönerek A ya
gelen bir hareketlinin alabileceği en kısa yol kaç
r
α=?
br dir?
619
Geometrik Cisimler
5.
C
8.
C
2r
4
D
2r
A
r
A
2
B
Yukarıdaki dik koninin taban merkezi O dur.
B
O
O
|OB| = 2 cm, |CB| = 4 cm ise koninin alanını bu-
Şekildeki dik konide A dan harekete başlayan bir
lunuz.
hareketli yüzeyden dolanarak D ye geliyor. Bu
hareketlinin aldığı yol en az kaç br dir?
6.
C
9.
Taban yarıçapı 4 br, yanal alanı 20r br2 olan dik
O
A
B
Yukarıdaki dik koninin taban merkezi O dur.
|AB| = 12 br, |BC| = 10 br ise koninin yanal ala-
ESEN YAYINLARI
koninin yüksekliği kaç br dir?
nını bulunuz.
10. Yanal alanı taban alanının 2 katına eşit olan dik
koninin yüksekliğinin ana doğrusuna oranı kaçtır?
7.
D
1
E
11. Yanal alanı 15r br2, yüksekliği 4 br olan dik ko-
2
ninin ana doğrusunun uzunluğu kaç br dir?
B
A
C
Taban yarıçapı 1 br olan konide
%
%
m( AC ) = m( CB ) dir.
C noktasından yola çıkan bir hareketli yüzeyden
12. Bir kenar uzunluğu 2 br olan eşkenar üçgen bir
dolanarak E ye gidecektir. Bu hareketlinin alabi-
kenarı etrafında tam döndürülüyor. Oluşan cis-
leceği en kısa yol kaç br dir?
min alanı kaç r br2 dir?
620
Geometrik Cisimler
17.
13. Yarıçapı 2v3 br olan dik koninin ana doğrusu
taban düzlemi ile 60° lik açı yapmaktadır. Bu
koninin hacmi kaç br3 tür?
A
O
6
B
Şekildeki O merkezli yarım daire kıvrılarak koni
oluşturuluyor. Koninin hacmini bulunuz.
14. Yandaki dik konide
A
18. Yarıçapı 2 cm, hacmi 8r cm3 olan dik koninin
ana doğrusunun uzunluğunu bulunuz.
ABC kesiti eşkenar
6
üçgendir.
|AC| = 6 br ise koninin
hacmi kaç br3 tür?
B
C
O
19. Hacmi 24 br3 olan dik koni
yüksekliğinin ortasından
tabana paralel bir düzlem-
15.
ESEN YAYINLARI
le kesiliyor. Oluşan kesik
2
koninin hacmi kaç br3 tür?
Yarıçapı 2 br, yüksekliği
6 br olan silindirin içine
6
yerleştirilen iki koninin
20. |OA| = |AB|
hacimleri toplamı kaç br3
olmak üzere
tür?
silindirin hacmi V1
koninin hacmi V2
ise
V1
kaçtır?
V2
O
A
21.
16. Şekildeki O merkezli
O
Taralı koninin hacmi V1
daire dilimi kıvrılarak
koni
oluşturuluyor.
Koninin hacmini bulunuz.
8
8
büyük koninin hacmi V2
ise
V1
kaçtır?
V2
O
621
B
Geometrik Cisimler
23.
22. Aşağıdaki taralı bölgeler l doğrusu etrafında
360° döndürülüyor. Oluşan cisimlerin hacimlerini
C
ABC üçgeni l doğrusu
bulunuz.
etrafında 180° döndü3
rülüyor. Oluşan cismin
a.
3
hacmi kaç br tür?
2
A
2
B
3
2
b.
24.
Şekildeki koninin hacmi
2
V1 içine çizilen silindirin
V
hacmi V2 ise 2 kaçV1
tır?
2
5
c.
2
25.
ESEN YAYINLARI
3
5
3
x
2
d.
1. şekildeki koni ters çevrilerek 2. şekildeki duruma getirilirse içindeki suyun yüksekliği kaç br
4
olur?
60°
2
e.
3
26.
5
A
r2
5
9
O
f.
r1
Kesik koni biçimindeki tahta parçasının içinden
koni biçiminde bir parça çıkarılmıştır.
3
r1 = 2r2 ise kalan kısmın hacmi, çıkarılan kısmı2
622
2
nın hacminin kaç katıdır?
KÜRE
Uzayda sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktalar kümesine küre
yüzeyi, küre yüzeyi ile sınırlanan cisme ise küre denir. Sabit nokta kürenin
A
merkezi, sabit uzaklık kürenin yarıçapıdır.
r
O
B
Şekildeki kürede, O merkez, [AB] çap olup kürenin yarıçapı |OB| = r dir.
Bir Küre İle Bir Düzlemin Durumları
r yarıçaplı bir küre ile bu kürenin merkezine d br uzaklıkta bir E düzlemi verilsin.
O
O
r
d=r
d
O
d
r
K
E
d = r ise düzlem küreye teğettir.
d < r ise düzlem küreyi keser.
Küre ile düzlemin arakesiti bir
Küre ile düzlemin arakesiti bir
noktadır. (Değme noktası)
d=r
dairedir.
d > r ise düzlem küreyi kesmez.
d>r
d<r
Küresel do¤ru
C
A
Küresel do¤ru parçası
Küresel üçgen
B
D
ÖRNEK 99
ÖRNEK 100
Yarıçapı 13 br olan bir küre merkezden 5 br uzaklıkta
Bir kenarı 4 br olan küpün içine çizilebilecek en büyük
bir düzlem ile kesiliyor. Oluşan kesitin alanı kaç br2
hacimli kürenin yarıçapı kaç br dir?
dir?
Çözüm
Çözüm
Şekilde
görüldüğü
gibi
oluşan kesit [KB] yarıçaplı
O
623
Geometrik Cisimler
ÖRNEK 101
ÖRNEK 104
P
P
O merkezli kürenin A merB
kezli kesitinin alanı 7r dir.
A
[PA] ⊥ [BC], |PA| = 1 br ise
Şekildeki O merkezli küreC
nin alanı 64 r br2 dir.
O
A
Tepesi P olan koninin
kürenin yarıçapını bulunuz.
O
B
yanal alanı kaç br2 dir?
Çözüm
Çözüm
Kürenin alanı
A
O
r
B
Yarıçapının uzunluğu r br olan kürenin;
4
Hacmi = rr 3
Alanı = 4 rr 2
3
ESEN YAYINLARI
KÜRENİN ALANI ve HACMİ
ÖRNEK 105
A
O
4
B
O merkezli |OB| = 4 br yarıçaplı yarım daire [AB]
etrafında 360° döndürülüyor. Oluşan cismin alanını
ÖRNEK 102
Yarıçapı 2 br olan kürenin alanı kaç br2 dir?
Çözüm
ÖRNEK 103
Alanı 100 r br2 olan kürenin çapı kaç br dir?
Çözüm
A = 100r ⇒ 4rr 2 = 100 r ⇒ r2 = 25 ⇒ r = 5 br olur.
624
bulunuz.
Çözüm
Geometrik Cisimler
ÖRNEK 106
ÖRNEK 110
3 br yarıçaplı eş iki kürenin biri sarıya boyanıyor.
Diğeri ise tam ortasından iki eş parçaya ayrılıp yeşile
boyanıyor. Kullanılan yeşil boya, sarı boyadan kaç
A
br2 fazladır?
O
B
Şekildeki yarım kürenin alanı 27 r br2 ise hacmi kaç
Çözüm
br3 tür?
Çözüm
Yarım kürenin alanı; küre yüzeyinin alanının yarısı
ile tabandaki dairenin alanları toplamına eşit olaca-
ÖRNEK 107
Yarıçapı 3 br olan kürenin hacmi kaç br3 tür?
Çözüm
r = 3 olduğundan
ESEN YAYINLARI
ğından
ÖRNEK 111
|AB| = 4 br olmak üzere uzayda [AB] ye uzaklığı
2 br olan noktaların oluşturduğu yüzey ile sınırlanmış
cismin hacmini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 108
Alanı 36 r br2 olan kürenin hacmi kaç br3 tür?
Çözüm
A = 36 r ⇒ 4 rr 2 = 36 r ⇒ r = 3 br olur.
ÖRNEK 109
Yarıçapı 1 cm arttırıldığında alanı 20 r artan kürenin
hacmi kaç cm3 tür?
Çözüm
625
Geometrik Cisimler
ÖRNEK 112
ÖRNEK 114
Taban yarıçapı 3 br, ana doğrusu 5 br olan koninin
Hacmi 36 r br3 olan bir küreyi içine alabilecek en
içine yerleştirilebilecek en büyük hacimli kürenin
küçük hacimli silindirin yüksekliğini bulunuz.
3
hacmi kaç br tür?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 113
ÖRNEK 115
Yarıçapı 5 br olan kürenin içine yüksekliği 8 br olan
Metal bir küre eritilip 4 eş küre oluşturuluyor.
en büyük hacimli koni yerleştiriliyor. Koninin hacmini
Başlangıçtaki kürenin alanının, elde edilen 4 kürenin
bulunuz.
alanları toplamına oranı kaçtır?
Çözüm
Çözüm
626
ALIŞTIRMALAR -
1.
6
???
5.
Yarıçapı 10 br olan bir küre merkezinden 6 br
uzaklıkta bir düzlemle kesiliyor. Oluşan kesitin
alanını bulunuz.
Şekildeki eş küreler birbirlerine ve silindir yüzeyine teğettir. Silindirin yüksekliği, taban yarıçapı-
2.
nın kaç katıdır?
O
C
B
D
A
O merkezli kürenin, B merkezli kesitinin alanı
6.
12r br2, |AB| = 2 br ise kürenin yarıçapı kaç br
Yarıçapı 20 br olan küre merkezinden 12 br
uzaklıkta bir düzlemle kesiliyor. Kesit alanının,
dir?
ESEN YAYINLARI
kürenin alanına oranı kaçtır?
C
3.
A
K
B
O
7.
Çapı 6 cm olan küre içine çizilebilecek olan en
büyük hacimli küpün hacmi kaç cm3 tür?
O merkezli kürenin K merkezli kesitinin alanı
900r cm2 dir. [OC] ⊥ [AB] , |OK| = 4|KC| ise
kürenin yarıçapı kaç cm dir?
8.
C
4.
Çapı 15 cm olan bir kürenin içine yüksekliği 9 cm
olan en büyük hacimli dik silindir yerleştiriliyor.
Silindirin hacmi kaç cm3 tür?
O
A
B
Şekildeki O merkezli r = 2 br yarıçaplı küre
9.
Yarıçapı 2 cm olan yarım kürenin içine yerleştiri-
koninin tabanına ve yan yüzüne teğettir. Koninin
len en büyük hacimli dik koninin ana doğrusu kaç
yüksekliği 8 br ise taban yarıçapı kaç br dir?
cm dir?
627
Geometrik Cisimler
10.
13. Bir dik silindirin içine, silindirin yüzeyine ve alt
ile üst tabanlarına teğet olacak biçimde bir küre
çiziliyor. Silindirin hacmi, kürenin hacminin kaç
O
katıdır?
r
r
O
Şekildeki dik silindir ile kürenin yarıçapları r dir.
Bu iki cismin alanları eşit ise hacimleri oranını
bulunuz.
14. Yarıçapı 4 cm olan bir silindirin içinde bir miktar
su vardır. Bu kaba, yarıçapı 3 cm olan bir metal
11.
A
B
O
C
ESEN YAYINLARI
bilye atılırsa su kaç cm yükselir?
Şekildeki koninin tabanı, kürenin merkezinden
geçen bir kesitidir. Koninin hacmi 32 r cm3 ise
kürenin hacmi kaç cm3 tür?
15. Bir kenar uzunluğu 4 br olan demir küp eritilerek
küre yapılıyor. Oluşan kürenin yarıçapı kaç br
dir? ( r = 3 alınız.)
12.
O
K
16. Küp biçimindeki bir kabın içinde 3 cm yüksekliğinde su vardır. Küpün içine yarıçapı 6 cm olan
Şekildeki iç içe çizilmiş O ve K merkezli yarım
küre atıldığında suyun yüksekliği kürenin merke-
kürelerin hacimleri oranı kaçtır?
zine gelmektedir. Küpün bir ayrıtı kaç cm dir?
628
Yazılıya Hazırlık Soruları – 1
1.
4.
Ayrıtları a, b, c olan bir dikdörtgenler prizmasında
Bir ayrıtının uzunluğu 2 br olan düzgün dörtyüzlünün hacmi kaç br3 tür?
1 1 1
+ + = 3 ise prizmanın alanının sayısal
a b c
değeri, hacminin sayısal değerinin kaç katıdır?
2.
L
E
5.
K
Şekilde tabanları aynı
C
düzlemde bulunan koni
F
ile silindir çizilmiştir.
M
|CO| = 18 cm
D
B
Şekildeki küpte |LM| = |MD|, |BP| = |PC|
|FP| = v5 br ise |MF| kaç br dir?
3.
Taban alanı 25 r br2 olan silindirin yüksekliği
taban yarıçapının 2 katına eşittir. Bu silindirin
hacmi kaç br3 tür?
|AO| = |OB| = 9 cm
ESEN YAYINLARI
A
C
P
silindirin yarıçapı 3 br
ise silindirin hacmi
kaç br3 tür?
6.
A
B
O
Bir piramit birbirine paralel üç düzlemle kesilerek
yüksekliği dört eşit parçaya ayrılıyor. Üstten ilk
parçanın hacminin en alttaki parçanın hacmine
oranı kaçtır?
629
Geometrik Cisimler
C
7.
D
9.
4
C
5
A
A
B
O
8.
|DC| = 4 br , |BC| = 5 br , |AB| = 8 br dir.
kaçtır?
Yamuk [AD] etrafında 360° döndürülüyor.
Oluşan cismin hacmi kaç br3 tür?
Şekildeki piramit
ESEN YAYINLARI
olduğuna göre
B
ABCD dik yamuğunda
Şekildeki dik koni ile yarım kürenin hacimleri eşit
CO
AB
8
N
tabana paralel
10.
O
120°
bir düzlemle ke-
A
B
silmiştir.
Kesik piramidin
hacmi 104 cm3 ise
(N, KLM) piramidinin
hacmi kaç cm3 tür?
630
M
K
NM
1
=
2
MC
L
Şekildeki daire diliminden A ile B noktaları çakıA
C
B
şacak şekilde bir koni elde ediliyor.
%
m( AOB ) = 120° ve |OA| = 6 cm ise koninin
hacmi kaç cm3 tür?
Yazılıya Hazırlık Soruları – 2
1.
Ayrıtları ardışık üç çift sayı olan dikdörtgenler
4.
Bir kenarının uzunluğu 6v2 cm olan kare, kö-
prizmasının cisim köşegen uzunluğu 2c29 br ise
şegenlerinden biri etrafında 360° döndürülüyor.
prizmanın alanı kaç br2 dir?
Oluşan cismin hacmi kaç cm3 tür?
2.
5.
E
C
E
D
D
A
B
Şekildeki piramitte ABCD kare ve [ED] , ABCD
düzlemine diktir. |AB| = 4v2 br , |EB| = 10 br ise
3
piramidin hacmi kaç br tür?
ESEN YAYINLARI
C
A
O
B
Şekildeki dik konilerden içtekinin taban çevresi
büyük koninin yüzeyi üzerindedir.
|AD| = 2|DC|
ise büyük koninin hacmi, taralı
küçük koninin hacminin kaç katıdır?
3.
Taban yarıçapı 4 m olan silindir biçimindeki bir
3
havuzda 64 r m su vardır. Bu havuzun altında-
6.
Taban alanı 4v3 br2 olan düzgün dörtyüzlünün
hacmi kaç br3 tür?
ki boşaltma vanası açıldığında 1 dakika sonra
havuzdaki suyun yüksekliği 3 m ye düşüyor.
Havuzdaki suyun tamamı kaç dakikada boşalır?
631
Geometrik Cisimler
7.
9.
x
6
8
Şekilde bir ayrıtı 4 br olan küpün içine, küpün tüm
Şekildeki dikdörtgen prizmanın taban ayrıtları
yüzeylerine teğet olan küre çizilmiştir.
6 br ve 8 br, içindeki suyun yüksekliği x br dir.
Küpün herhangi bir köşesinin, kürenin yüzeyine
Prizmanın içine bir ayrıtı 3 br olan su dolu bir küp
en kısa uzaklığı kaç br dir?
atıldığında suyun yüksekliği 2 br oluyor.
ESEN YAYINLARI
Buna göre, x kaç birimdir?
8.
Şekildeki dik kare
10. Şekilde
E
piramitte
dikdörtgenler prizmasının
|AB| = 6 br
ayrıtları 2 br, 3 br ve 6 br
piramidin
dir. Prizma alanı en büyük
D
yanal alanı
C
60 br2 ise
hacmi kaç br3 tür?
632
2
ü su dolu
3
A
B
olan yüzeyi üzerine yatırılırsa içindeki suyun yüksekliği kaç br olur?
TEST -
1
1.
Prizmalar
E
4.
D
F
L
K
E
K
F
D
C
C
6
A
A
L 2 B
Şekildeki küpte A(ABL) = 8v2 br2 ise küpün cisim
Şekildeki küpte |AL| = 6 br, |LB| = 2 br ise
köşegeni kaç br dir?
|EL| kaç birimdir?
A) 2c41
B) 9v2
A) 4v3
C) 2c42
D) 10v2
B
B) 5v3
D) 7v3
E) 3c41
E) 8v3
5.
2.
L
F
D
ESEN YAYINLARI
C
K
B
F
4
D
C
2
A
B
8
Şekildeki dikdörtgenler prizmasında |AB| = 8 cm
Şekildeki eşkenar üçgen dik prizmada
|BC| = 2 cm , |KC| = 4 cm dir. A ile K arasında
|AK| = |KB| = 3 br, |EB| = c37 br ise |FK| kaç
yüzeyden hareket edecek bir cismin alabileceği
birimdir?
A) 6
K
E
E
A
C) 6v3
en kısa yol kaç cm dir?
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
A) 4v7
B) 2c29
D) 8
3.
L
K
E
F
6.
D
C
A
Şekildeki dikdörtgenler
prizmasında
L
E
F
10v3
|BC| = 6 br
B
Şekildeki küpün bir kenarı 2 br ise A(LMF) kaç
|KC| = 10v3 br ise
D
%
m( FDB ) = α kaç
br2 dir?
D) 4v2
K
|AB| = 8 br
M
A) 2v2
C) 10
E) 4v5
B) 4
C) 3v2
E) 6
A
B) 45
C
6
derecedir?
A) 30
α
C) 60
8
D) 75
B
E) 90
633
Geometrik Cisimler
7.
10.
E
L
K
M
E
F
A
D
D
B
C
A
kaç br2 dir?
A, B, C, D, E harfleri ile gösterilen bölgelerden
biri daha katılırsa bir küp açınımı oluşacaktır.
A) 16v5
Buna göre, taranacak bölge aşağıdakilerden
C) C
D) D
B) 18v5
D) 26v5
hangisi olamaz?
B) B
B
Şekildeki küpte |EM| = |ML| = 4 br ise A(KMC)
Birim karelerden oluşan kâğıttaki taralı bölgeye
A) A
C
C) 24v5
E) 32v5
E) E
11.
F
D
8.
Yüzey köşegen uzunlukları 2v7 br, 6 br ve 8 br
olan dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeni
kaç br uzunluktadır?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
ESEN YAYINLARI
K
E
L
C
A
B
Şekildeki küpün bir kenar uzunluğu 4 br dir.
A(KBF) kaç br2 dir?
A) 7v2
B) 8v2
D) 10v2
9.
L
E) 11v2
K
E
12.
F
E
3
F
3
C
A
K
L
C
B
A
Şekildeki küpte |AP| = |PE| = 3 br ise |KP| kaç
634
B
%
Şekildeki küpte m( AEK ) = α kaç derecedir?
br dir?
A) 6
D
α
P
D
C) 9v2
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
A) 30
B) 45
C) 60
D) 75
E) 90
TEST -
1.
4
Piramitler
5.
Taban ayrıtı 10 cm olan kare dik piramidin yük-
E
2
sekliği 12 cm ise alanı kaç cm dir?
A) 260
B) 280
C) 300
D) 320
E) 360
D
C
6
A
B
Şekildeki dik kare piramitle BCE yüzeyi ile ABCD
2.
Tüm ayrıtlarının uzunluğu 4 br olan kare piramitte
yüzeyi arasındaki açı 60° dir. |AB| = 6 br ise
yan yüzeylerin taban düzlemi ile yaptığı açı x ise
piramidin alanı kaç br2 dir?
tanx kaçtır?
B) v2
A) 1
D) 2v2
A) 96
C) v3
B) 100
C) 108
D) 112
E) 120
E) 2v3
ESEN YAYINLARI
3.
6.
Tabanının bir kenarı 8 br olan düzgün kare piramidin yanal alanı 80 br2 ise yüksekliği kaç br dir?
A)
9
2
B) 4
C)
7
2
D) 3
E)
5
2
Şekilde tabanları aynı düzlemde bulunan küp
ile kare piramit çizilmiştir. Küpün üst yüzeyinin
köşeleri piramidin üzerinde olup, piramidin taban
ayrıtı 5 br, yüksekliği 6 br ise küpün bir ayrıtı kaç
7.
br dir?
A) 28
11
4.
Bir ayrıtının uzunluğu 4 br olan düzgün dörtyüzlünün alanı kaç br2 dir?
B) 30
11
C) 32
11
D) 46
11
E) 60
11
A) 12v3
B) 13v3
D) 15v3
C) 14v3
E) 16v3
Bir ayrıtının uzunluğu 2 br olan düzgün dörtyüzlünün yüksekliği kaç br dir?
2 6
A)
3
D)
6
B)
3
3
2
C) 6
2
E)
3
3
8.
Taban alanı 144 br2 olan düzgün kare piramidin
yüksekliği 8 br ise yan yüzünün yüksekliği kaç br
dir?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
639
Geometrik Cisimler
9.
L
13.
E
K
E
D
C
D
F
C
A
A
B
Şekildeki kare dik kesik piramitte |AB| = 6 cm
Şekildeki dik kare piramidin yüksekliği 12 br ve
|EF| = 2 cm dir. Kesik piramidin yüksekliği
|AB| = 10 br ise piramidin alanı kaç br2 dir?
A) 360
B) 350
C) 340
B
D) 320
2c14 cm ise kesik piramidin yanal alanı kaç cm2
E) 300
dir?
A) 16c15
B) 18c15
D) 32c15
10. Alanı 36v3 cm2 olan bir düzgün dörtyüzlünün
C) 24c15
E) 36c15
14.
E
yüzeylerinden herhangi birinin yüksekliği kaç cm
dir?
D) 5
C) 2v6
ESEN YAYINLARI
B) 3v2
A) 3
E) 3v3
C
D
6
A
B
Şekildeki dik kare piramitte yan yüzeyler taban
düzlemi ile 45° lik açı yapmaktadır. |AB| = 6 cm
ise piramidin hacmi kaç cm3 tür?
11. Taban alanı 60 cm2, yüksekliği 10 cm olan bir
A) 28
piramit tabandan 5 cm uzakta, tabana paralel bir
B) 30
C) 32
D) 34
E) 36
2
düzlemle kesiliyor. Oluşan kesitin alanı kaç cm
dir?
A) 15
B) 20
C) 25
D) 30
E) 35
15.
L
K
M
E
F
D
A
12. Tüm alanı 36v3 cm2 olan düzgün dörtyüzlünün
hacmi kaç cm3 tür?
A) 12v2
D) 20v2
640
C
N
B
Şekildeki küpte [MN] // [LD], |AB| = 6 cm dir.
B) 15v2
E) 24v2
C) 18v2
Taralı piramidin hacmi kaç cm3 tür?
A) 18
B) 24
C) 32
D) 36
E) 40
TEST -
1.
5
Prizmalar ve Piramitler
4.
Yüksekliği 2v3 br olan düzgün dörtyüzlünün
L
3
hacmi kaç br tür?
A) 10
B) 9
K
P
E
C) 8
D) 7
F
E) 6
D
N
T
C
M
R
A
B
Şekildeki dikdörtgen prizmanın ABCD yüzeyinin
kenar orta noktaları N, R, M, T
EFKL yüzeyinin ağırlık merkezi P dir.
2.
Bir ayrıtının uzunluğu 6 br olan düzgün dörtyüzlü
Prizmanın hacmi içerde oluşan NRMT tabanlı
tepe noktasından v6 br uzaklıkta tabana paralel
piramidin hacminin kaç katıdır?
bir düzlemle kesiliyor. Oluşan kesik piramidin
A) 3
hacmi kaç r br3 olur?
63 2
4
D)
B)
189 3
4
2 3
3
E)
C) 5
D) 6
E) 8
C) 191 3
4
4 3
3
5.
E
ESEN YAYINLARI
A)
B) 4
D
F
K
L
C
M
A
B
Şekildeki dikdörtgenler prizmasında, |AL| = 4 br
|AF| = 3 br , |FK| = 6 br , |BM| = |MC| ise taralı
3.
piramidin hacmi kaç br3 tür?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
6.
Şekildeki cisim ortak tabanlı bir küple kare piramitten oluşmuştur. Piramitin yan yüzleri eşkenar
üçgen, küpün bir ayrıtı
6 br ise oluşan cismin
3
hacmi kaç br tür?
A) 216 + 40v2
B) 216 + 36v2
C) 216 + 32v2
D) 216 + 30v2
E) 216 + 24v2
Şekildeki kesik kare piramidin üst yüzey alanı
4 br2, alt yüzey alanı 64 br2 ve yüksekliği 3 br ise
kesik piramidin hacmi kaç br3 tür?
A) 90
B) 84
C) 80
D) 72
E) 69
641
Geometrik Cisimler
7.
10.
E
15
D
C
Bir ayrıtı 8 br olan küp biçimindeki bir mermer
A
9v2
B
bloktan kare prizma biçiminde bir parça kesilip
atılıyor. Kalan cismin hacmi 480 br3 ise alanı kaç
Şekildeki dik kare piramitte |AE| = 15 cm
br2 dir?
|AB| = 9v2 cm ise piramidin hacmi kaç cm3 tür?
A) 590
B) 630
C) 636
D) 642
A) 392
E) 648
8.
B) 396
C) 400
D) 402
11.
E) 408
1
2
II
I. şekildeki alanı 64 br2 olan kare biçimindeki
karton katlanarak II. şekildeki gibi alt ve üst ka-
ESEN YAYINLARI
I
4
6
Şekildeki dikdörtgen prizmasının bir kısmı su
ile doludur. Bu prizma en küçük alanlı tabanı
üzerine yatırılırsa suyun yüksekliği kaç br olur?
pakları bulunmayan kare prizma elde ediliyor. Bu
A) 2
kare prizmanın hacmi kaç br3 olur?
A) 30
B) 32
C) 36
D) 48
B)
5
2
C) 3
D)
7
2
E) 4
E) 64
12.
6
4
9.
12
1
2
3
1
18
Şekildeki ayrıtları 1 br , 12 br ve 18 br olan
dikdörtgen prizma biçimindeki kurşun levha eritilerek küp biçimine getiriliyor. Oluşan küpün alanı
kaç br2 dir?
A) 108
642
B) 124
C) 144
D) 192
E) 216
Dikdörtgenler prizması biçimindeki tahta parçasının bir köşesinden dikdörtgen prizma biçiminde bir parça çıkarılmıştır. Kalan cismin alanı kaç
br2 dir?
A) 98
B) 100
C) 102
D) 104
E) 106
TEST -
1.
6
Silindir, Koni ve Küre
K
D
C
4.
C
4
4
D
4
B
O
A
P
Taban merkezleri O ve K olan silindirin tabanı
Şekildeki dik koninin taban yarıçapı 2 br
üzerindeki bir nokta P dir. Silindirin taban yarıça-
|DC| = |DA| = 4 br dir. A dan yola çıkan bir hare-
pı 3 br, |CB| = 4 br ise |KP| kaç br dir?
2.
11
D)
2
C) 5
ketli yüzeyden dolaşarak D ye ulaşıyor.
Bu hareketlinin alabileceği en kısa yol kaç br dir?
E) 6
A) 7
Yarıçapı v6 br olan kürenin içine çizilen küpün
köşeleri kürenin üzerindedir. Küpün alanı kaç br
2
dir?
A) 24
B) 32
C) 36
D) 42
ESEN YAYINLARI
A) 4
9
B)
2
5.
B) 8
C) 4v5
D
E) 5v5
Yarıçapı 4 br olan çeyrek daire dilimi kıvrılarak bir
olur?
A) c13
E) 48
B) c14
C) c15
D
K
D) c17
E) c19
C
C
8π
A
A
D) 9
dik koni oluşturulursa bu koninin yüksekliği kaç br
6.
3.
B
A
O
3
O
B
Şekildeki kesik konide O ve K merkezli tabanların
B
yarıçapları sırasıyla 2 br ve 1 br, |BC| = 6 br dir.
Taban yarıçapı 3 br yüksekliği 8 r br olan silindir-
A dan yola çıkan bir hareketli yüzeyden hareketle
de A dan harekete başlayan bir cisim yüzeyi bir
D ye gidecektir. Hareketlinin alabileceği en kısa
kez dolanarak D ye varıyor. Cismin alabileceği en
yol kaç br dir?
kısa yol kaç br dir?
A) 8 r
B) 9r
A) 2v6
C) 10 r
D) 11 r
E) 12r
D) 6v2
B) 3v3
C) 6
E) 6v3
643
Geometrik Cisimler
7.
D
10.
C
O
120°
12
B
A
A
Şekilde yanal alanının açık biçimi verilen dik ko%
nide m( AOB ) = 120° , |AO| = 12 br ise koninin
B
taban alanı kaç br2 olur?
Taban yarıçapı 5 br, yüksekliği 24 r br olan
2
silindirin A köşesinden hareket eden bir cisim
A) 4 r
B) 8r
C) 12r
D) 16 r
E) 18r
yüzeyde 2 kez dönerek D ye ulaşacaktır. Cismin
alabileceği en kısa yol kaç r br dir?
A) 13
B) 15
C) 18
D) 25
E) 26
11. Şekildeki dik koninin
C
içine, yüzeye ve taTaban yarıçapı
bana teğet olacak
C
şekilde bir küre yer-
4 cm olan konide
h
h
m(AD) = m(DB)
leştirilmiştir.
9
|EC| = 9 cm
E
|EA| = 3 cm dir.
3
D den yola çıkan bir
hareketli yüzeyden
B
A
D
dolaşarak E ye ula-
|BC| = 10 br
ESEN YAYINLARI
8.
|OB| = 6 br ise
kürenin alanı kaç
A
B
O
r br2 dir?
A) 30
B) 32
C) 34
D) 36
E) 38
şacaktır. Hareketlinin alabileceği en kısa yol kaç
cm dir?
A) 6
B) 8
C) 9
D) 12
E) 15
12.
9.
Şekildeki silindirin
D
C
A
B
O
ABCD kesitinin köşegeni 10 br dir.
Silindirin
yüksekliği
taban çapından 2 br
Şekilde görüldüğü gibi O merkezli 6 br yarıçaplı
küre merkezinden 2 br ve 3 br uzaklıkta iki düz-
daha fazla ise silindi-
lem ile kesiliyor. Oluşan kesit alanlarından büyü-
rin alanı kaç r br2 dir?
ğü küçüğünün kaç katıdır?
A) 54
644
B) 60
C) 62
D) 64
E) 66
A) 7
3
B) 27
16
C) 29
18
D) 3
2
E) 32
27
Üniversiteye Giriş Sınav Soruları
1.
2004 – ÖSS
4.
Şekildeki dik koni tabana
2006 – ÖSS
‰
‰
‰
‰
paralel bir düzlemle kesiliyor. Meydana gelen
kesik koninin yüksekliği
Bir kenar uzunluğu 16 cm olan kare şeklindeki
başlangıçtaki dik koninin
kartonun köşelerinden bir kenar uzunluğu 3 cm
2
katı ol3
duğuna göre başlangıç-
olan birer kare kesilerek çıkartılıyor ve kalan kar-
yüksekliğinin
ton parçası kıvrılarak şekildeki gibi üstü açık bir
kutu yapılıyor. Bu kutunun hacmi kaç cm3 tür?
taki dik koninin hacmi kesik koninin hacminin kaç
A) 200
B) 240
C) 250
D) 300
E) 360
katıdır?
A)
64
27
B)
27
26
C)
27
8
D)
9
4
E)
3
2
5.
2006 – ÖSS
1
2005 – ÖSS
Yüksekliği 10 cm olan dik silindir biçimindeki bir
su bardağı tümüyle su ile doludur. Suyun 25 cm
3
ü boşaltıldığında su yüksekliği 2 cm azalmaktadır. Buna göre tümüyle dolu bardakta kaç cm3 su
ESEN YAYINLARI
2.
2
x
Şekildeki gibi taban yarıçapı 1 metre, yüksekliği 2
bulunur?
A) 125
B) 135
C) 150
D) 225
metre olan dik koni biçimindeki bir su deposuna
E) 250
bir musluktan sabit hızla su akıtılıyor. Depoda
biriken suyun derinliği x metre olduğunda depoda
biriken suyun hacmi x türünden kaç m3 olur?
A)
3.
2005 – ÖSS
rx 3
12
B)
rx 3
rx 3
C)
9
6
D)
rx 3
4
E)
rx 3
3
Kenar uzunlukları 1 er birim olan 6 küple oluşturulan aşağıdaki kürsünün tabanı hariç tüm yüzeyi
bir madalya töreni için kumaşla kaplanacaktır.
6.
2007 – ÖSS
35
30
42
Şekildeki dikdörtgenler prizmasının üç farklı yüBu kaplama işi için kaç birim kare kumaş gereklidir?
A) 18
B) 20
C) 21
D) 25
E) 32
zünün alanları cm2 türünden üzerlerine yazılmıştır. Bu prizmanın hacmi kaç cm3 tür?
A) 200
B) 210
C) 240
D) 260
E) 280
653
Geometrik Cisimler
7.
2008 – ÖSS
10. 2010 – YGS
Yarıçapı 3 cm olan
O
a
merkezli küre içine ekseni
küre merkezinden geçen
b
c
O
1 cm yarıçaplı dik dairesel
d
silindir yandaki gibi yerleştiriliyor. Bu silindirin hacmi
Yukarıda bir küpün açınımı verilmiştir.
kaç cm3 tür?
3r
2
A)
Küpün üst yüzeyinde siyah kare bulunduğunda
B) 3r
C) 3v3 r
D) 4v2 r E) 9r
alt yüzeyindeki karede hangi harf bulunur?
A) a
8.
e
B) b
C) c
D) d
E) e
2009 – ÖSS
11. 2010 – LYS
A2
A1
A1
6
A2
O
A
C
3
D
15
Yarıçap uzunluğu 6 cm olan yarım daire biçimindeki kâğıt parçası, A1 ve A2 noktaları şekildeki
gibi çakışacak biçimde bükülerek tepesi O noktası olan bir dik koni oluşturuluyor.
Bu koninin taban alanı kaç cm2 dir?
A) 6r
B) 7r
C) 8 r
D) 9 r
E) 10r
ESEN YAYINLARI
O
30°
B
Yatay düzlem
E
%
m( DBE ) = 30° , |AC| = 3 cm , |BD| = 15 cm
Dik dairesel silindir biçiminde tamamı suyla dou
olan bir bardak, yatay düzlemle 30° lik açı yapaacak biçimde şekildeki gibi eğildiğinde bardaktan
bir miktar su dökülüyor. Bardakta kalan su C ve
D noktalarında dengeleniyor.
Buna göre, bardaktan kaç cm3 su dökülmüştür?
9.
2009 – ÖSS
Yanda
A) 66r
verilen
yarıçapı 6 cm ve yüksekliği 4 cm olan kesik koni
biçimindeki A parçası ile
?
h=4
K1 ve K2 dairesel konilerinin taban yarıçapları
r=6
biçimindeki B parçasının
şekildeki gibi birleştirilmesiyle oluşturulmuştur.
Kahve makinesi boşken B nin üstünden A kısmının hacminin 3 katı su konulduğunda B kısmında
su kaç cm yükselir?
654
45
2
E) 7r
12. 2010 – LYS
A
yeterince yüksek silindir
B)
D) 74 r
r=3
taban yarıçapı 3 cm olan
35
2
C) 72 r
B
yapma makinesi, taban
A)
B) 68r
kahve
C)
19
3
D)
40
3
E)
56
3
sırasıyla r1, r2 birim, yükseklikleri h1, h2 birim ve
hacimleri V1, V2 birim küptür.
r1
h1
V1
= b olduğuna göre,
oranı
= a ve
r2
h2
V2
kaçtır?
A)
a
b
B)
a2
b
C) ab2
D) a2b
E) a2b2
Geometrik Cisimler
13. 2011 – LYS
16. 2012 – LYS
5x5 lik bir kareli kâğıdın beş karesi, şekildeki gibi
Bir dik dairesel koni tabana paralel bir düzlemle
kesiliyor.
boyanmıştır.
T
A
B
C
r1 = 3
D
12
A
E
r2 = 12
B
Bu kâğıtta A, B, C, D, E ile belirtilen karelerden
Elde edilen kesik koninin yüksekliği 12 cm, taban
biri daha boyanacak ve boyanmış kareler bir küp
yarıçapları ise 3 cm ve 12 cm dir. Buna göre, ko-
açınımı olacaktır.
ninin [TA] yanal ayrıntının uzunluğu kaç cm dir?
A) 15
B) 16
C) 18
D) 20
Buna göre, boyanacak kare aşağıdakilerden
hangisi olamaz?
E) 22
A) A
B) B
C) C
D) D
E) E
17. 2012 – LYS
Yarıçapı 3v3 cm olan bir kürenin içine yerleştirilebilecek en büyük hacimli küpün hacmi kaç cm3
tür?
A) 125
B) 216
D) 81v3
C) 512
doludur. Bu ayranın tamamı, taban yarıçapları
3 cm ve 6 cm olan kesik koni biçimindeki 6 adet
özdeş boş bardağa konuluyor.
dakların yüksekliği kaç cm dir?
25
27
40
44
B)
C)
D)
A)
2
2
3
3
E)
55
4
18. 2012 – LYS
Yarıçapı r olan bir küre ile taban yarıçapları
y
OABC bir dikdörtgen
r olan bir dik dairesel silindir ve bir dik dairesel
B
C
|OA| = 6 birim
koni veriliyor.
3
|AB| = 3 birim
O
6
A
Bu üç cismin hacimleri eşit olduğuna göre,
x
Dik koordinat düzleminde verilen şekildeki OABC
dikdörtgeninin x ekseni etrafında 360° döndürülmesiyle elde edilen silindirin hacmi Vx, y ekseni
etrafında 360° döndürülmesiyle elde edilen silindiV
rin hacmi de Vy olduğuna göre, x oranı kaçtır?
Vy
1
B)
3
Yüksekliği 21 cm, yarıçapı 9 cm olan dik dairesel
silindir biçimindeki bir sürahi tümüyle ayranla
Bardaklar tam olarak dolduğuna göre, bu bar-
E) 108v6
15. 2011 – LYS
1
A)
2
ESEN YAYINLARI
14. 2011 – LYS
2
C)
3
D) 2
E) 3
I.
Koninin yüksekliği, silindirin yüksekliğinin
3 katıdır.
2r
tür.
3
III. Koninin yüksekliği 4r dir.
II. Silindirin yüksekliği
ifadelerinden hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve III
C) I ve II
E) II ve III
655
Geometrik Cisimler
19. 2012 – LYS
22. 2013 – LYS
Tabanının bir kenar uzunluğu a birim ve yük-
Aşağıda, taban yarıçapı 3 cm ve yüksekliği 6 cm
sekliği h birim olan bir kare dik piramit, taban
olan bir dik dairesel silindir verilmiştir. Silindirin
köşegeninden geçen, tabana dik bir düzlemle
taban düzlemlerinde şekildeki gibi merkezlerden
kesiliyor.
1 cm uzaklıkta AD ve BC paralel doğru parçaları
Buna göre, oluşan arakesitin alanının a ve h
çiziliyor.
türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
a 2 .h
2
D)
a 2 .h 2
2
B)
a.h 2
C)
E)
2
D
1
a 2 .h 2
2
A
a.h
2
6
C
3
1
B
20. 2013 – LYS
Buna göre, ABCD dikdörtgeninin alanı kaç cm2
dir?
Bütün ayrıtları eşit uzunlukta olan bir üçgen dik
prizmanın hacmi 18 birim küptür.
A) 15 2
Bu prizmanın yanal alanı kaç birim karedir?
B) 27
C) 36
D) 45
D) 16 3
E) 54
ESEN YAYINLARI
A) 24
21. 2013 – LYS
Ayrıt uzunluğu 4 birim olan tahta bir küpün bazı
parçaları kesilip çıkarılarak üç boyutlu yeni bir
cisim oluşturuluyor. Bu yeni cismin her bir yüzüne
dik bir doğrultuda bakıldığında ortasında boşluk
B) 18 2
C) 12 3
E) 16 5
23. 2013 – LYS
Tabanları kare, yan yüzleri yamuk olan bir kesik
dik piramidin açınımı aşağıda verilmiştir. Şekil
üzerinde verilen uzunluklar cm türündendir.
4
bulunan aşağıdaki görünüm elde ediliyor.
v5
1
v5
6
1
1
1
1
1
1
1
Buna göre, kesik piramidin hacmi kaç cm3 tir?
Bu üç boyutlu yeni cismin hacmi en fazla kaç
birim küptür?
A) 24
656
B) 28
C) 32
D) 36
E) 40
A) 24 3
D)
B) 26 3
76 3
3
E)
C) 32 3
80 3
3