türev ve uygulamaları

TÜREV VE UYGULAMALARI
1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ
a,b  R olmak üzere, f:[a,b]  R fonksiyonu verilmiş olsun.
x0(a,b) için limx X0 f(x)-f( x0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun x0
x- x0
noktasındaki türevi denir.
f fonksiyonunun x0 noktasındaki türevi f ’(x0 ) ile gösterilir.
Eğer f(x)-f( x0 ) , ifadesinin x0 noktasında limiti yoksa ya da limiti gerçel sayı değilse f fonksiyonunun x0
x- x0
noktasında türevi yoktur.
ÖRNEK:
R de f(x)=x2 ile tanımlı f fonksiyonunun X0 noktasındaki türevi bulunuz?
ÇÖZÜM:
f ’(X0 )= limx X0 f(x)-f( x0 )
x- x0
limx x0
x2 – x02
x – x0
limx x0 (x – x0) (x + x0)
x – x0
limx x0 (x + x0 )
x0+ x0
2x0
BİR ARALIKTA TÜREVLİ FONKSİYON
f :(a,b) R fonksiyonunun (a,b) aralığının her noktasında türevi varsa, f fonksiyonu (a,b) aralığında türevlidir
denir.
Örneğin , 1.örnekte verilen f(x)=x2 ile tanımlı f : RR fonksiyonu R kümesinde türevlidir.
Her x0  R için f ’( x0 ) =2x0 olduğundan, her x  R için f ’( x ) =2x’tir.
f ’( x ) =2x ile tanımlı f ‘ : R R fonksiyonuna, f(x)=2x ile tanımlı f : R  R fonksiyonunun türev fonksiyonu
denir.
2-SOLDAN VE SAĞDAN TÜREV
A R , x0  A olmak üzere f : AR fonksiyonunda , limx x0- f(x)-f( x0 )  R ise bu limite, f fonksiyonununa x0
x- x0
noktasındaki soldan türevi denir ve f ’( x0- ) ile gösterilir.
limx x0+ f(x)-f( x0 )  R ise bu limite, f fonksiyonununa x0 noktasındaki sağdan türevi denir. ve f ’( x0+ ) ile
x- x0
gösterilir.
ÖRNEK:
R de f(x) = x-3 ile tanımlı f fonksiyonunun x0 = 3 noktasındaki soldan ve sağdan türevini bulunuz.
ÇÖZÜM:
x < 3 ise x-3 <0  x-3 = -(x-3), x >3 ise x-3 >0  x-3= x-3 tür.
f’(3-) = limx 3- f(x)-f(3)
limx 3- x-3-0
limx 3- -(x-3)
x-3
f’(3+) = limx 3+ f(x)-f(3)
x-3
x-3
limx 3 (-1) = -1
x-3
limx 3+ x-3-0
limx 3+ x-3
x-3
x-3
f’(3-)  f’(3+) olduğundan, f fonksiyonunun x = 3 noktasında türevi yoktur.
1
limx 3 (1) = 1
3-TÜREV HESAPLAMA KURALLARI
c sabit sayı, (c)’ = 0
x değişken, (x)’ = 1
(f+g)’ = f ’+g’ , (f-g)’ = f ’- g’
a) (f .g)’ = f ’.g + f .g’
b) (f .g .h)’ = f ’g.h + g’.f .h + h’.f .g
c) c sabit bir gerçel sayı olmak üzere,
(c.f)’ = c.f ’ (cx)’= c
5. nR , (f n )’ = n.f n-1 .f ’, (xn)’= n.xn-1
6. f ’
f ’. g – g’.f
g’
g2
1.
2.
3.
4.
ÖRNEK:
f(x)=2x4-x3-3x2+5x+7 olduğuna göre f ’(x) türevini
hesaplayınız.
ÖRNEK:
f(x)= (x3-x).(5-2x2) dir. f’(x) türevini
hesaplayınız
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
f ’(x) = (2x4-x3-3x2+5x+7)’
= 8x3-3x2-6x+5
f(x)’= ((x3-x).(5-2x2))’
= (x3-x)’.(5-2x2) + (x3-x).(5-2x2)’
= (3x2-1).(5-2x2) + (x3-x).(-4x)
= -10x4 + 21x2-5
4-TEĞETİN EĞİMİ VE DENKLEMİ
x0 noktasındaki türevi f fonksiyonunun A=(x0,f(x0)) noktasındaki teğetinin eğimi
teğet
y
A
m= tan  = f ’(x0) dır
d
x

A=(x0,f(x0)) noktasındaki teğetin denklemi
x0
y-f(x0)=f ’(x0).(x-x0) olur
Teğete A=(x0,f(x0)) değme noktasında dik olan doğruya f fonksiyonunun A noktasındaki normali denir. Buna
göre A=(x0,f(x0)) noktasındaki normalin eğimi -1
ve normalin denklemi y-f(x0) = -1
(x-x0)
f ’(x0)
f ’(x0)
ÖRNEK:
f(x) = -x2+x+6 ile tanımlı f fonksiyonunun apsisi x0=2 olan teğetinin ve normalinin denklemini yazınız.
ÇÖZÜM:
f fonksiyonunun grafiğine ait ve apsisi x0=2 olan noktanın ordinatı,
y0 = f(x0) = f(2) = -(2)2+2+6 = 4’tür.
Öyleyse teğetin değme noktası (2,4)= noktasıdır.
f ’(x) =-2x + 1 olduğundan teğetin eğimi; m = f ’(x0) = f ’(2) = -2.2+1 = -3’tür.
Bir noktası ve eğimi bilinen teğetin denklemi,
y- f(x0) = f ’(x0).(x-x0)  y – 4 = -3(x – 2)  y = -3x + 10 olur.
Normalin eğimi -1 = 1 = 1 olduğundan, normalin denklemi; y – 4 = 1 (x – 2)  1 x + 10 olur.
f ’(x0)
-3
3
3
3
3
2
olur
5- BİR FONKSİYONUN TERS FONKSİYONUNUN TÜREVİ
f : A  B, xy = f(x) bire-bir örten fonksiyon ise
f –1 : BA, yx = f –1 (y) ters fonksiyonunun türevi
(f –1 )’ (y) =
1 =
1
f ’(x0)
f ’(f –1 (y))
dir
.
6- BİLEŞKE FONKSİYONIN TÜREVİ (ZİNCİR KURALI)
f ve g türevi olan iki fonksiyon olduğuna göre, (gof)’(x) = g ’(f(x)) . f ’(x) ‘dir
ÖRNEK:
R den R’ ye f ve g fonksiyonları f(x) = x3 – x , g(x) = x2 ile tanımlıdır. (gof)’(x) ifadesini bulunuz.,
ÇÖZÜM:
(gof)’(x) = g’(f(x)). f ’(x) dir.
g’(x) = (x2)’ = 2x , f ’(x)= (x3-x)’ = 3x2-1 olduğundan,
(gof)’(x) = g’(f(x)) . f ’(x) = 2(x3 - x) . (3x2 – 1) olur.
7- PARAMETRELİ İFADELERİN TÜREVİ
x = f(t) ve y = g(t) ile verilen f ve g fonksiyonlarının ortak değişkeni (parametre) t olduğuna göre,
dy
dx
=
dy
dt
dx
dt
dir.
Bu türev ifadesi
y’x =
y’t
x’t
biçiminde de yazılır.
8- KAPALI OLARAK TANIMLI FONKSİYONLARIN TÜREVİ
f(x,y) = 0 kapalı ifadesinden y = g(x) denklemi ile bir fonksiyon tanımlanabiliyorsa, bu şekilde tanımlanan
fonksiyona, kapalı olarak tanımlı fonksiyon denir.
f(x,y) = 0 eşitliğinden dy türevi hesaplanırken x değişken, y de x’in görüntüsü olarak düşünülür. Her terimin x
dx
değişkenine göre türevi hesaplanarak yx’= dy bulunur.
dx
ÖRNEK:
x3y2 – xy3 – 5x + y + 2 = 0 kapalı ifadesi veriliyor. y’= dy türevini hesaplayınız.
dx
ÇÖZÜM:
x3y2 – xy3 – 5x + y + 2 = 0 kapalı ifadesinin her teriminin x’e göre türevi hesaplanarak,
(3x2y2 + x3 .2y.y’) – (y3 + x.3y2y’) – 5 + y’ +0 = 0
y’ = -3x2y2 + y3 + 5
2x3 y – 3xy2 +1
bulunur.
3
9- TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ
1. (sin x)’ = cos x , (sinf(x))’ = cos f(x) . f ’(x)
2. (cos x)’ = -sin x , (cosf(x))’ = -sin f(x) . f ’(x)
3. (tan x)’ = 1 + tan2 x = 1
= sec2 x
2
cos x
4. (cot x)’ = -(1+cot2x) = -
1
sin2x
= - cosec2x
ÖRNEK:
f(x) = sin2 3x olduğuna göre, f ’(x) türevini hesaplayınız.
ÇÖZÜM:
f ’(x) = (sin2 3x)’ = 2 sin 3x . (sin 3x)’
= 2 sin 3x cos3x
= 3. sin 6x
ÖRNEK:
f ’(x) = cos (x2+1) olduğuna göre f ’(x) türevini hesaplayınız.
ÇÖZÜM:
f ’(x) = (cos (x2+1))’ = - sin(x2+1) . (x2+1)’
= -2x . sin(x2+1)
10- LOGARİTMA FONKSİYONUNUN TÜREVİ
1. (ln x)’ = 1
x
2. (log ax)’ =
, (ln f(x))’ = f ’(x)
f(x)
1 .1 , (log a f(x))’ = 1
ln a x
ln a
f ’(x)
f(x)
ÖRNEK:
y = ln (x2+5) olduğuna göre, dy türevini hesaplayınız.
dx
ÇÖZÜM:
dy
dx
(ln (x2+5))’ = (x2+5) = 2x
x2+5
x2+5
ÖRNEK:
f(x) = log10(x2+1) olduğuna göre f ’(x) türevini hesaplayınız.
ÇÖZÜM:
f ’(x) = (log10(x2+1))’ =
1
ln 10
(x2+1)’ = 1
x2+1
ln 10
2x
x2+1
4
= log10 e 2x
x2+1
11-ÜSTEL FONKSİYONUN TÜREVİ
1. (ex)’ = ex , (e f(x) )’ = e f(x) .(f(x))’
2. (ax)’ = ax . ln a , (a f(x) )’ = a f(x) . f ’(x) . ln a
ÖRNEK:
f(x) = e tan x olduğuna göre f ’() değerini hesaplayınız.
ÇÖZÜM:
f ’(x) = (e tan x )’ = (tan x)’ . e tan x = (1+tan2x) . e tan x olduğundan
f ’() = (1+tan2) . e tan  = (1+02) . e0 = 1.1 = 1’dir
ÖRNEK:
a) (3 x)’
b) (32x+1 )’
türevlerini hesaplayınız.
ÇÖZÜM:
a) (3x)’ = 3x . ln3
b) (32x+1 )’ = (2x+1)’ . 32x+1 . ln 3 = 2 . 32x+1 .ln3
11- YÜKSEK SIRADAN TÜREVLER (ARDIŞIK TÜREVLER)
f : A  R , xy = f(x) fonksiyonunun
1. türevi, y’ = f ’(x)
2. türevi, y” = (f ’(x))’ = f ”(x)
3. türevi, y’” = (f ”(x))’ = f ’”(x)
4. türevi, y(4) = (f ’”(x))’ = f (4) (x)
...........................................................
n. türevi, y(n) = (f ( n-1) (x))’ = f ( n) (x)
ÖRNEK:
f(x) = 2x3 – x2 + 5x – 8 olduğuna göre f ”(x) türevini hesaplayınız
ÇÖZÜM:
f ’(x) = (2x3 – x2 + 5x – 8)’ = 6x2 – 2x + 5
f ”(x) = (6x2 – 2x + 5)’ = 12x –2
12- TÜREVİN LİMİT HESABINA UYGULANMASI (L’ HOSPİTAL KURALI)
limx X0 f(x)
g(x)
limitinde 0 ya da
0
 belirsizliği varsa, genellikle limx X0 f ’(x) dir. (L’Hospital Kuralı)

g ’(x)
ÖRNEK:
limx2 x2 + x – 6 limitini hesaplayınız
x5 – 32
ÇÖZÜM:
0
0
belirsizliği var.  limx2 (x2 + x – 6)’ = limx2
(x5 – 32)’
5
2x + 1 = 2 . 2 + 1 = 1
5x4
5 . 24
16
13- BİR ARALIKTA ARTAN YADA AZALAN FONKSİYONLAR
TANIM:
A  B olmak üzere f : AR fonksiyonunda
1)  x1, x2  [a,b] için x1 < x2  f(x1) < f(x2) ise f fonksiyonu [a,b] aralığında artan fonksiyondur.
2)  x1, x2  [b,c] için x1 < x2  f(x1) > f(x2) ise f fonksiyonu [b,c] aralığında azalan fonksiyondur.
3)  x  [c,d] için f(x) = k (sabit) ise f fonksiyonu [c,d] aralığında sabit fonksiyondur.
TEOREM:
f fonksiyonu (a,b) , (b,c) , (c,d) arlıklarında türevli olduğuna göre,
1)  x  (a,b) için f ’(x) > 0  f , (a,b) aralığında artan
2)  x  (b,c) için f ’(x) < 0  f , (b,c) aralığında azalan
3)  x  (c,d) için f ’(x) = 0  f , (c,d) aralığında sabit
ÖRNEK:
f(x) = -x3 + 12x ile tanımlı f : R  R fonksiyonunun artan yada azalan olduğu aralıkları belirtiniz.
ÇÖZÜM:
f ’(x) = -3x2 + 12 olduğundan f ’(x) = 0  -3x2 + 12 = 0
x = -2 V x = 2
x
f’
-
-2
-
2
+
+
-
f
azalan
artan
azalan
f ’ türev fonksiyonunun işaret durumu yukarıdaki tabloda gösterilmiştir.
(- , -2) aralığında f ’ < 0 olduğundan, f fonksiyonu azalandır.
(-2 , 2) aralığında f ’ > 0 olduğundan f fonksiyonu artandır.
(2 , +) aralığında f ’ < 0 olduğundan f fonksiyonu azalandır.
14 – TÜREV VE YEREL EKSTREMUM NOKTALARI
TANIM:
f : [a,b]  R fonksiyonunda,
1) x1  (a,b) ; f(x1) < f(x) olacak biçimde en az bir  pozitif gerçel sayısı varsa, (x1, f(x1)) noktası f
fonksiyonunun bir yerel minimum noktasıdır. f(x1) değeri, f fonksiyonunun bir yerel minimum değeridir.
2) x2  (a,b) ; f(x2) > f(x) olacak biçimde en az bir  pozitif gerçel sayısı varsa, (x2, f(x2)) noktası f
fonksiyonunun bir yerel maksimum noktasıdır. f(x2) değeri, f fonksiyonunun bir yerel maksimum
değeridir.
Bir fonksiyonun yerel minimum ve yerel maksimum noktalarına, yerel ekstremum noktaları denir.
TEOREM:
f fonksiyonu (a,b) aralığında türevli ve x0  (a,b) olmak üzere x0 noktasında bir yerel ekstremum değeri varsa
f ’(x0) = 0’dır.
6
BİRİNCİ TÜREVLE YEREL EKSTREMUMUN BELİRTİLMESİ
1. aA ve f ’(a) = 0 olmak üzere:
 x  (a-,a) için f ’(x) > 0 ise f fonksiyonu (a-,a) aralığında artandır.
 x  (a,a+) için f ’(x) < 0 ise f fonksiyonu (a,a+) aralığında azalandır.
a noktasında fonksiyonun yerel maksimumu vardır.
2. bA ve f ’(b) = 0 olmak üzere:
 x  (b-,b) için f ’(x) < 0 ise f fonksiyonu (b-,b) aralığında azalandır.
 x  (b,b+) için f ’(x) > 0 ise f fonksiyonu (b,b+) aralığında artandır.
b noktasında fonksiyonun yerel minimumu vardır.
ÖRNEK:
f(x) = x3 + 3x2 – 1 ile tanımlı f: RR fonksiyonunun yerel ekstremum değerlerini bulunuz.
ÇÖZÜM:
f ’(x) = (x3 + 3x2 –1)’ = 3x2 + 6x
f ’(x) = 0  3x2 + 6x = 0
 x = -2 V x = 0
buna göre f ’(-2) = 0 ve f ’(0) = 0 dır.
f ’(x) = 3x2 + 6x birinci türev ifadesinin işareti aşağıdaki tabloda gösterilmiştir.
x -
f ’(x)=3x2 + 6
-2
+
0
-
+
+
f
artan
azalan
f ’(-2)=3
artan
f(0)= -1
f fonksiyonu (- , -2) aralığında artan, (-2 , 0) aralığında azalan, (0,+) aralığında artandır.
x = -2 için fonksiyon yerel maksimum değerini alır.
Yerel maksimum değeri f(-2) = (-2)3 + 3(-2)2 – 1 = 3’tür. x = 0 için fonksiyon yerel minimum değerini alır. Yerel
minimum değeri f(0) = 03+3.02 – 1 = -1’dir.
İKİNCİ TÜREVLE YEREL EKSTREMUMUN BELİRTİLMESİ
f: AR fonksiyonu A kümesinde 1. ve 2. sıradan türevi olan bir fonksiyon olsun. a, bA olmak üzere:
1. f ’(a) = 0 ve f ”(a) < 0 ise a noktasında f fonksiyonunun yerel maksimumu vardır.
2. f ’(b) = 0 ve f ”(b) > 0 ise b noktasında f fonksiyonunun yerel minimumu vardır.
Örneğin, yukarıdaki örnekteki f(x) = x3 + 3x2 – 1 ile tanımlı f fonksiyonunda:
f ’(x) = 3x2 + 6x
f ”(x) = 6x + 6
f ’(x) = 3x2 + 6x = 0  x = -2 V x = 0’dır.
f ’(-2) = 0 ve f ”(-2) = 6.(-2) + 6 < 0 olduğundan, x = -2 noktasında fonksiyonun yerel maksimumu;
f ’(0) = 0 ve f ”(0) = 6.0 + 6 = 6 < 0 olduğundan x = 0 noktasında fonksiyonun yerel minimumu olduğuna dikkat
ediniz.
7
ÖRNEK:
x2 – mx – 3 ile tanımlı f fonksiyonunun x = 1 için yerel minimumu olduğuna göre, m’nin değeri nedir?
f(x) =
x+2
ÇÖZÜM:
x = -1 için f fonksiyonunun yerel minimumu olduğuna göre f ’(-1) = 0 olmalıdır.
(2x-m)(x+2)-1 . (x2-mx-3)
f ’(x) =
olduğundan
(x+2)2
(2.1-m)(1+2) - (1-m.1-3)
f ’(1) =
=0
2
(1+2)
 (2-m) . 3 – (-m – 2) = 0
 m = 4 olur.
15 – FONKSİYONLARIN DEĞİŞİMLERİNİN İNCELENMESİ VE GRAFİKLERİN ÇİZİMİ
GRAFİK ÇİZİMİNDE YAPILACAK İŞLEMLER:
1) Eğer fonksiyonun tanım kümesi belirtilmemişse, fonksiyonun tanımlı olduğu en geniş küme belirtilir.
2) Fonksiyonun türevi hesaplanır. Türevin işaretine göre, fonksiyonun artan ya da azalan olduğu aralıklar ve
ekstremum noktaları belirtilir.
3) x - ve x + için fonksiyonun limiti bulunur.
4) Grafiğin X ve Y eksenlerini kestiği noktalar bulunur.
5) Asimptotlar (varsa) bulunur.
6) Değişim tablosu düzenlenir.
7) Değişim tablosunda özetlenen bilgiler, koordinat sisteminde değerlendirilerek fonksiyonun grafiği çizilir.
ÖRNEK:
3x – 1
ile tanımlı f: AR fonksiyonunun değişimini inceleyiniz ve grafiğini çiziniz.
y = f(x) =
x+2
ÇÖZÜM:
Tanım kümesi ve düşey asimptot:
x + 2 = 0  x = -2 olduğundan, fonksiyon x = -2 için tanımsızdır. Tanım kümesi A=R – {-2} dir.
x = -2 doğrusu düşey asimptottur.
3.(x+2) – 1.(3x-1)
7
Türev: f ’(x) =
=
> 0 ’ dır.
(x + 2)2
(x + 2)2
Limit ve yatay asimptot:
Değişim tablosu:
1
lim f(x) ’den y = 3 doğrusu yatay asimptottur.
x -
-2
0
3
+
Eksenleri kestiği noktalar:
f ’(x)
+
+
+
+
x = 0 için y = - 1
; y = 0 için x = 1
-1
0
2
3
f(x)
2
Grafik:
f
y
y=3
3
0
-2
x = -2
f
x
1
3
8