İTÜ Elektrik-Elektronik Fakültesi Elektronik Mühendisliği Devre ve Sistem Analizi Dersi Proje Çalışması Projenin Adı: Bir Devrenin Durum Denklemlerinin Çözümü İle Sürekli Sinüzoidal Haldeki Çözümünün Karşılaştırılması Projenin Amacı: Sürekli Sinüzoidal Hal’de elde edilen çözüm ile tam çözümün arasındaki farkın belirlenmesi Öğretim Görevlileri: Yrd. Doç. Dr. Neslihan Serap Şengör Müh. Özkan Karabacak Hazırlayanlar: Sadık Sayim Oğuz Yelbey Ali Pala Mustafa Dursun 1 BİR DEVRENİN DURUM DENKLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ İLE SÜREKLİ SİNÜZOİDAL HALDEKİ ÇÖZÜMÜNÜN KARŞILAŞTIRILMASI Amaç: Sürekli Sinüzoidal Hal’de elde edilen çözüm ile tam çözümün arasındaki farkın belirlenmesi Giriş: Bir elektrik devresi için elde edilen durum denklemlerindeki durum değişkenlerinin sayısına o devrenin karmaşıklık mertebesi adı verilir. Durum değişkenleri ise seçilen ağaç yapısına göre dallardaki kondansatörlerin gerilimleri ile kirişlerdeki endüktansların akımlarıdır. n. mertebeden bir devrenin durum denklemlerinin genel yapısı, aşağıdaki diferansiyel denklem sistemi gibidir. x1 (t ) d x2 (t ) dt xn (t ) Burada x1 (t ) x (t ) d 2 x(t ) Ax(t ) Bu(t ) A Bu(t ) dt xn (t ) (1.1) x1 (t ) , x2 (t ) ….… xn (t ) terimleri dal kapasite gerilimleri ve kiriş endüktans akımlarıdır. A ve B matrislerinin elemanları devredeki direnç, kapasite ve endüktans gibi elemanların değerlerinin fonksiyonlarıdır. u(t ) vektörü ise kaynaklara ilişkin değerleri içerir. Durum denklemlerinin çözümleri incelenirken, çözüm ifadelerinde iki ayrı terim bulunmaktadır. Bunlardan ilki, devrede kaynaklar yokken, kapasitelerin ilk gerilimleri ve endüktansların ilk akımları nedeniyle ortaya çıkan, devrenin “öz çözümü”dür. İkinci terim ise, devrede bulunan kaynaklar nedeniyle elde edilen, devrenin “zorlanmış çözümü”dür. “Tam çözüm” öz ve zorlanmış çözümün toplamıdır. x tam (t ) x öz (t ) x zorlanmi ş (t ) (1.2) Elde edilen diferansiyel denklem sisteminin çözümü şu şeklindedir. x(t ) (t )x(0) [xö (t ) (t )xö (0)] Bu çözümde özel çözüm (1.3) t için (t ) 0 oluyorsa, öz çözüm sıfıra, zorlanmış çözüm de x ö (t ) ’ye uzanmaktadır. Bu özelliğe sahip olan devrelere asimptotik kararlı devreler adı verilir. Asimptotik olarak kararlı bir devrenin öz çözümü xh (t ) geçici çözüm; özel çözümü x ö (t ) sürekli çözüm adını almaktadır. Sürekli Sinüzoidal Hal: Lineer zamanla değişmeyen ve asimptotik kararlı olan devreler, herhangi bir başlangıç durumu için bağımsız 2 frekanslı sinüzoidal kaynaklar ile uyarıldıklarında, devredeki elemanların akım ve gerilimleri üstel olarak t için frekanslı sinüzoidal dalga şeklini alırlar. Bu duruma sürekli sinüzoidal hal denir. Sürekli sinüzoidal halde çalışan devredeki akım ve gerilimler başlangıç koşullarından bağımsızdır. Sürekli Sinüzoidal Hal’de çözüm yöntemi mühendislikte yaygın olarak kullanılmaktadır. Bunun nedenleri, birçok devrenin Sürekli Sinüzoidal Hal’de çalışması ve yöntemin sadece elektrik devrelerinin çözümünde değil; kontrol sistemleri, kuantum elektroniği ve elektromanyetik gibi diğer alanlarda da kullanılmasıdır. Sürekli Sinüzoidal Hal’de çözüm, elektrik devrelerindeki değişken gerilim ve akım değerlerinin; uygun genliği, frekansı ve fazı olan sinüzoidal bileşenlerin toplamı olarak ifade edilmesi fikrine dayanır. Durum Denklemleri’nin Analitik Olarak Çözümü Lineer zamanla değişmeyen elektrik devrelerinin durum denklemlerinin elde edilmesi zaman tanım bölgesinde yapılır. İçinde lineer elemanlar bulunan devrelerin çözümünde, belirli yöntemlerin izlenmesiyle devre denklemleri birinci mertebeden diferansiyel denklem sistemi biçiminde yazılabilir. Bu denklem sistemine devrenin durum denklemleri ve içindeki bilinmeyen büyüklüklere durum değişkenleri denir. Durum denklemlerinin elde edilmesinde en önemli husus denklem kurma ağacının uygun seçilmesidir. Buna göre denklem kurma ağacı; — Gerilim kaynaklarına ilişkin bütün graf elemanlarını içermeli, — Kapasitelere ilişkin en çok sayıda graf elemanını içermeli, — Endüktanslara ilişkin en az sayıda graf elemanını içermeli, — Akım kaynaklarına ilişkin hiçbir graf elemanını içermemelidir. Uygun olarak seçilen denklem kurma ağacı ile kurulan n. mertebeden devrelere ilişkin durum denklemleri genel halde d x(t ) Ax(t ) Bu(t ) dt biçimindedir. Burada (1.4) x(t ) vektörü içinde durum değişkenleri olarak kapasite gerilimleri ve endüktans akımları vardır. Eğer devrede kaynak yoksa (1.4) denklemi homojen denklem denilen d x(t ) Ax(t ) dt şeklini alır. Homojen denklemin (1.5) [t 0 , t ) aralığındaki çözümü xh (t ) ile gösterilirse, devrede kaynak olmadığından bu çözüm devredeki durum değişkenlerinin genel olarak sıfırdan farklı olduğu varsayılan başlangıç anındaki değerlerin nedeniyle 3 ortaya çıkar. Daha açıkçası, homojen denklemin çözümü devrenin kendine özgü davranışını belirler. (1.5) ifadesinde iki tarafında entegrali alınırsa denklemin çözümünün xh (t ) = e At C (1.6) biçiminde olduğu görülür. Burada C vektörü entegrasyon sabitlerinden oluşmaktadır. Eğer çözüm [0,t) aralığında aranıyorsa, çözümün tek olarak belirlenebilmesi için xh (t ) ’nin t 0 başlangıç anındaki xh (t ) x0 değerinin de verilmiş olması gerekir. x0 değerine başlangıç değeri ya da ilk koşul denir. Çözümün bu ilk koşulu sağlaması gerektiğinden, x h (0) x 0 e A0C C (1.7) bağıntısından C= x0 olduğu görülür. Sonuçta (1.5) homojen denkleminin çözümü x h (t ) e At x0 biçimini alır. Bulunan (1.8) xh (t ) fonksiyonuna devrenin öz çözümü denir. Bundan sonra genel çözümün bulunabilmesi için parametrelerin değişimi yöntemi kullanılabilir. Bu yöntemde (1.6) ile verilmiş çözüm ifadesindeki sabit katsayılardan oluştuğunu varsaydığımız C vektörünün, zamana bağlı bir fonksiyon olduğu varsayılır. Bu durumda x h (t ) e At C (t ) fonksiyonu (1.4) denkleminde yerine konulursa e At [ d C (t )] Ae At C (t ) Ae At C (t ) Bu(t ) dt d C (t ) Be At u(t ) dt t C (t ) e A Bu( )d C (0) (1.9) 0 ifadesi elde edilir. Bulunan (1.9) ve (1.7) ifadeleri denklemde yerine konulursa diferansiyel denklemin ilk koşulu da sağlayan çözümü aşağıdaki biçimde elde edilir. t x(t ) e At x(0) e A(t ) Bu( )d , x(0) x 0 (1.10) 0 Bu ifadede ilk terim, homojen kısmın ilk koşulu da sağlayan çözümü (öz çözüm) olur. Devredeki kaynak fonksiyonu nedeniyle ortaya çıkan ikinci terim ise devrenin zorlanmış çözümü adını alır. 4 Başka bir yöntemle bu diferansiyel denklem takımı şu şekilde de çözülebilir. Homojen kısmın çözümü ile diferansiyel denklemin bir xö (t ) özel çözümünün toplamı tam çözümü vermektedir. x tam (t ) xh (t ) xö (t ) x tam (0) xh (0) xö (0) , xh (0) C ifadelerinden C x0 xö (0) elde edilir. Bu durumda x tam (t ) x h (t ) x ö (t ) Ce At x ö (t ) [x 0 x ö (0)]e At x ö (t ) x tam (t ) x 0 e At x ö (t ) x ö (0)e At (1.11) ifadesi elde edilir. Burada ilk terim öz çözüm; ikinci terim zorlanmış çözümdür. Lineer zamanla değişmeyen devrelerde e At matrisi (t ) durum geçiş matrisine karşı düşer. e At matrisinin özdeğerlerinin değerlerine göre devre kararlı, asimptotik kararlı veya karasızdır. t durumunda xö (t ) xkalıcı (t ) xö (t ) K1cos( w1t ) K 2sin( w1t ) , i 0 devre asimptotik kararlı , i 0 devre kararlı , i 0 devre kararsız olur. Durum Denklemlerinin Sürekli Sinüzoidal Haldeki Çözümü Durum denklemleri (1.1) ifadesiyle verilmiş bulunan bir devrede bütün akım ve gerilim kaynaklarının aynı frekanslı sinüzoidal fonksiyonlar olduklarını varsayalım. Bu nedenle devredeki herhangi bir akım veya gerilim kaynağı zamanın fonksiyonu olarak, ik (t ) 2 I k cos( wt k ) v r (t ) 2Vr cos( wt r ) (1.12) biçiminde değiştirilebilir. Bu ifadelerde gerilim kaynağının efektif değerini k I k ve E r sırasıyla k. akım kaynağının ve r. ve r de, sırasıyla yine bu kaynakların, belirli bir referansa göre sahip oldukları faz açılarını göstermektedir. Durum denklemlerinin genel ifadesi (1.1)’deki gibidir. Sinüzoidal bir akım ya da gerilim fonksiyonunun genel ifadesi, r (t ) 2 R cos( wt ) olduğundan Euler formülleri yardımıyla bu fonksiyon, r (t ) 2 2 R[e j ( wt ) e j ( wt ) ] = Re j 2 2 5 jwt 2 jw e 2 Re jwt e (1.13) biçiminde r(t)= e jwt yazılabilir. Burada 2 Re j 2 yazılırsa ifade e jwt =f(t)+ f (t) şeklini alır. Bu ifadede f(t)=ρ.e jwt kompleks değerli ve t’ye bağlı bir fonksiyondur. u1 (t ) 2U 1 cos( wt 1 ) u (t ) 2 U cos( wt ) 2 2 2 U (t ) u k (t ) 2U k cos( wt k ) (1.14) şeklindeki U (t ) kaynak vektörü aşağıdaki şekilde yazılabilir. a1 a1 a _ 2 jwt a 2 jwt U (t ) e e ae jwt a e jwt a k a k (1.15) Bu durumda özel çözüm; x1 (t ) 2 X 1 cos( wt 1 ) x (t ) 2 2 X 2 cos( wt 2 ) x(t ) x k (t ) 2 X k cos( wt k ) şeklinde alınabilir. Durum vektörünün ifadesi (1.16) cp 2X p 2 e c1 c1 c 2 jwt c 2 jwt x(t ) e e ce jwt ce jwt c k c k biçiminde olur. Bu ifadenin zamana göre türevi alınarak bağıntısı elde edilir. Yukarıdaki bağıntılardan faydalanarak; 6 j p şeklinde yazılırsa; (1.17) d x(t ) e jwt jwe jwt dt jwce jwt jwce jwt A(ce jwt ce jwt ) B(ae jwt ae jwt ) [( jwI A)c Ba]e jwt [( jwI A)c Ba]e jwt 0 (1.18) şeklini alır. Bağıntıda bilinmeyen c vektörüdür ve bütün t değerlerinde geçerli olması için gerek ve yeter koşul ( jwI A)c Ba 0 ve ( jwI A)c Ba 0 şartlarının sağlanmasıdır. Wq Wq e j q Böylece c vektörü, c ( jwI A) 1 Ba X p X pe olur. j p ve yerlerine konursa, elemanları fazör büyüklükleri olan, X 1 X 1e j 1 X j 2 2 X 2e X j n X n X n e U 1 U 1e j1 U U 2 e j 2 2 U j n U k U k e (1.19) sütun matrisleri elde edilir. Sütun matrislerinin yerlerine konulmasıyla, X ( jwI A) 1 BU (1.20) denklemi elde edilir. Bu ifadenin, t tanım bölgesine geçildiğinde, özel çözüme eşit olduğu görülür. Asimptotik Kararlılık Koşulu ve Rezonans Lineer zamanla değişmeyen bir elektrik devresinin herhangi bir elemanının akım veya gerilim ifadesi, çeşitli yöntemlerle elde edilebilir. Durum değişkenleri dal kapasitelerinin gerilimleri ve kiriş endüktanslarının akımlarıdır. t tanım bölgesinde izlenilecek olan diferansiyel denklem çözüm yönteminde, devrenin özdeğerlerine bağlı olarak birden fazla genel çözüm ifadesi elde edileceğinden s tanım bölgesine geçilecektir. Bu ifadenin Laplace Dönüşümü alınıp x(s ) yerine (1.10) ifadesindeki çözüm konulursa ve L1 (t ) ( sI A) 1 alınırsa; x(s ) ( sI A) 1[ Bu ( s) x(0)] ifadesi elde edilir. Ayrıca matrisinin indirgenmiş (1.21) ( sI A) 1 ’nın ifadesi ek matrisidir. 7 K (s) şeklinde olup, K (s ) ; ( sI A) M (s) M (s ) ise genel halde M (s) (s 1 ) k1 ( s 2 ) k 2 ( s m ) km biçimindedir ve i (i=1,2,….m)ler A matrisinin özdeğerleridir. Sonuçta (1.19) ifadesi x( s ) K (s) Bu (s) x(0) M ( s) (1.22) olarak yazılabilir. Bu bağıntıda, parantez içindeki matrisin bütün elemanları s’nin çokterimlileri biçimindedir. Demek ki, durum değişkenlerinin genel ifadesi I ( s ) P( s ) P( s ) V ( s) Q( s) M ( s)U p ( s) biçiminde verilebilir. Buradaki U p (s ) (1.23) çokterimlisi, u( s ) kaynak vektöründeki elemanların paydaları nedeniyle ortaya çıkmaktadır. A, B, C, D katsayılar matrisleri reel olduklarından, P(s) Q(s) rasyonel fonksiyonu reel katsayılıdır. ( sI A) 1 matrisi kutuplarına ilişkin rezidü matrislerinin toplamı olarak yazılırsa, Ri , j (i=1, 2, ... , m; j=1, 2, ... k) matrisleri sağdan B matrisiyle çarpılarak ve ayrıca bu ifadeye D sabit matrisini ekleyerek, denklemler aşağıdaki gibi elde edilir. m k1 Ri, l x( s ) l i 1 l 1 ( s i ) [ Bu( s) x(0)] (1.24) Bu ifade şu şekilde tekrar düzenlenebilir. u (s ) kaynak vektörü nedeniyle ortaya çıkan U p (s ) polinomunun özellikleri bellidir. Devreyi uyaran kaynaklara ilişkin fonksiyonlar sınırlı türdendir. Bu nedenle bunların Laplace Dönüşümleri genellikle U z ( s ) U p ( s ) biçiminde olup U z (s) ’nin derecesi U p (s) ’ninkinden küçüktür. Örneğin, kaynak fonksiyonları arasında bulunuyorsa, U p (s ) sırasıyla 0, a ve u( t ) sabit , u( t ) e at , u( t) A cos( wt ) fonksiyonları de s , ( s a ) , ( s 2 w 2 ) çarpanları bulunacaktır. i ’lerin jw ’dan farklı olmaları halinde, (1.22) ifadesi basit kesirlere ayrılarak; m k1 1 x( s) (s )l i 1l 1 i haline getirilebilir. Burada ve Ri, l x(0) U p ( s) 1, 2 ,, m ’ler, M (s ) (1.25) minimum çokterimlisinin sıfırları k1, k 2 ,, k m ’ler de bunların katlılıklarıdır. Devrede ilgilenilen akım ya da gerilimin zaman tanım bölgesindeki ifadeleri Ters Laplace Dönüşümü alınarak bulunabilir. 8 m k1 m k 1 Ri, l i( t ) x(0) 1 1 x(t ) L L i 1l 1 ( s i ) l U p ( s) i 1l 1 ( s i ) l v(t ) (1.26) Burada ikinci terim kaynaklardan dolayı oluştuğundan, x(t ) ’ye kaynak fonksiyonları cinsinden terimler getirir. İlk terim ise, devrenin yapısı nedeniyle ortaya çıktığından bunun i (t ) ve v (t ) ’ye olan katkısı incelenmelidir. Dönüşümler yapılırsa ilk terim aşağıdaki gibi olur. m k1 Ri, l m k1 Ri, l L t l 1e i t l ( l 1 )! i 1l 1 ( s i ) i 1l 1 1 Sonuçta (1.27) i (t ) ve v (t ) ’nin ifadelerinde t l 1ei t biçimindeki fonksiyonların lineer kombinezonu yer alacaktır. Görüldüğü gibi, fonksiyondur. e i t fonksiyonunun genliği de l 1 ise, t l 1 zamanla artan bir i ’ye bağlıdır. i i jwi biçiminde olduğundan, e i t e i t e jw i t e i t (cos wi t j sin wi t ) yazılabilir. e jw i t (1.28) t ’nin modülü 1'e eşit olduğundan zamanla değişmez. e i , reel ve pozitif bir fonksiyon olduğundan, davranışı, t için i 'nin değerine göre ortaya çıkar. a. i 0 durumu e i t ’nin modülü zamanla artacağından i (t ) ve v (t ) ’nin genlikleri zamanla sınırsız olarak artacaktır. Bu fiziksel durumu belirlemek üzere, bu tür davranışı gösteren devrelere kararsız devreler adı verilir. çokterimlisinin i i 0 durumu, M (s ) minimum sıfırının kompleks düzlemin sağ yarısında olduğunu ifade eder. Yani M (s ) çokterimlisinin kompleks düzlemin sağ yarısında sıfırları varsa, ilgilenilen devre kararsız bir devredir. b. i 0 i durumu sanal eksen üzerindedir. Bu durumda e i t ’nin modülü t den bağımsız olup, 1'e eşittir. i (t ) ve v (t ) ’nin modüllerinin zamanla artıp artmaması artık bağlıdır. Eğer l tam sayısına l 1 ise genlikler zamanla artar ve devrenin kararsız olduğu söylenebilir. Devrenin kararlı olması için 0 l 1 koşulu sağlanmalıdır. Bunun anlamı, ya sanal eksen üzerinde M (s ) ’nin sıfırı yoktur ya da varsa bu sıfır basit bir 9 sıfırdır. M (s ) ’nin sanal eksen üzerinde basit sıfırlarının olması halinde fonksiyonunun genliği zamanla sıfıra gitmeyeceğinden, devre kararlı olmakla birlikte artık asimptotik olarak kararlı değildir. Çözümde kaynakların etkisinin yanı sıra başka sinüzoidal bileşenler de gelecektir. Dolayısıyla c. i 0 t için öz çözüme ulaşılamaz. durumu i i Bu durumda kuvvet serisine açınımı göz önüne alınırsa, t t l 1e i t e i t 1 e yazılabileceğinden, l 1 i t e i t olur. ’nin (1.29) 1 1 2 l 1 i t i t2 i tl 2! l! l 1 ile bölünür ve alınırsa, bu limitin sıfır olduğu görülür. Demek ki fonksiyonlarının modülleri sonlu olup, i t fonksiyonu, t l 1e jw i t biçiminde yazılabilir. Bu ifadenin payı ve paydası t e i 0 t için limiti halinde i (t ) ve v (t ) t için sıfır değerine erişirler. Dolayısıyla, devredeki akım ve gerilimlerin genlikleri sonludur ve t için hepsi sıfıra yaklaşırlar. Bu davranışı gösteren devrelere asimptotik olarak kararlı devreler adı verilir. Asimptotik kararlı devrelerde geçici ve sürekli çözüm bulunur. Başka bir deyişle, M (s ) çokterimlisinin sıfırlarının tümü, katlılıkları ne olursa olsun, kompleks s-düzleminin sol yarısında bulunuyorsa, buna ilişkin devre asimptotik olarak kararlı bir devredir. Özetlemek gerekirse i (t ) veya v (t ) ’nin sonlu genlikte olmaları, Q( s ) M ( s )U p ( s ) çokterimlisinin sıfırlarının kompleks düzlemdeki konumlarına bağlıdır. Yukarıda değinildiği üzere, kaynak fonksiyonları genellikle sonlu değişimler gösteren sinüzoidal, basamak fonksiyonu, üstel fonksiyonlar v.b. türünden olduklarında U p (s ) ’nin sağ yarı-düzlemde sıfırları söz konusu olmaz ve devrenin kararlılığını M (s ) çokterimlisi belirler. Bu nedenle, M (s ) ’nin sıfırları olan i kompleks sayılarına, M (s ) ’nin ilişkin olduğu devrenin öz frekansları adı verilir. Devrede kaynaklar yokken u ( s ) 0 olacağından x( s) ( sI A) 1 x(0) K ( s) x(0) M ( s) (1.30) ifadesi elde edilir. Bu ifade de herhangi bir akım veya gerilimin, bir reel rasyonel fonksiyonla belirlenebileceğini gösterir. Görüldüğü gibi içinde kaynaklar bulunmayan, 10 ancak ilk koşullar nedeniyle davranış gösteren bir devredeki akım ve gerilimlerin biçimleri, sadece M (s ) çokterimlisinin sıfırlarına bağlıdır. Bu nedenle, M (s ) ’nin i ile gösterilen sıfırlarına devrenin öz frekansları denilmektedir. Öte yandan, yukarda görüldüğü üzere, M (s ) çokterimlisi, çarpanı olup, i ’ler D(s) sI A karakteristik çokterimlisinin bir A matrisinin öz değerleridir. Bazı durumlarda kaynaklara ilişkin U p (s ) çokterimlisinin sıfırları, devreye ilişkin (devrenin öz frekansıyla) çakışabilir. i M (s ) çokterimlisinin sol yarı-düzlemde olduğunda, katlılığından bağımsız olarak, devre asimptotik kararlıdır. Ancak üzerinde ise, M (s ) ’nin i i sıfırlarıyla i i ’nin sanal eksen de basit bir sıfırı olmasına rağmen, Q( s ) M ( s )U p ( s ) ’nin de iki katlı bir sıfırı olur ve devre kararsız duruma girer. Bu özel halde, daha açıkçası, sanal eksen üzerinde öz frekansı bulunan bir devrede kaynaklardan bazılarının bu öz frekansa sahip sinüzoidal fonksiyonlar olmaları halinde, devredeki bazı akım ve gerilimlerin genlikleri zamanla sınırsız olarak artacaktır. Bu olay, devrenin rezonans durumuna gelmiş olması biçiminde yorumlanır. Rezonans: Elektrik biliminde 19. yüzyılın son çeyreğinde Nikola Tesla; AC akımı pratikte anlamlı kılmasından sonra yaptığı deneylerde, çalıştığı devrelerin farklı frekans değerlerinde farklı direnç gösterdiğini ve bir frekans değerinde direncin minimum olduğunu görmüştür. Daha sonra elektromanyetik enerji yayınımını toprağın minimum direnç gösterdiği frekans değerinde oluşturduğunda, çok güçlü yerel depremler meydana getirmeyi başarmıştır. Rezonans temel anlamda devrenin sanal direncinin sıfır olduğu frekans değeridir. Bunu pratikte bir salıncak örneği ile açıklayabiliriz. Bir salıncağın itildiğini düşünelim. Eğer salıncağın ve iten kişinin frekansı ve fazı aynı olursa, malzemenin direnci durumunda bir direnç kalmayacak ve iten kişinin bu direnci aşan sağlayacaktır. Örneğin Boğaz her kuvveti, Köprüsü’nün salıncağın rezonans daha da yükselmesini frekansında, bir titreşim yayarsak, malzemenin sabit iç direncinin dışında, kuvvet tamamen köprünün malzemesini bozulmaya zorlayacak, bu biriktikçe bir noktadan sonra köprü çökecektir. Tesla’nın Tesla Makinesi ile yaptığı depremlerin teorisi de bundan ibarettir. Dolayısı ile rezonans frekansı malzeme kavramının olduğu her bilim ve uygulamada karşımıza çıkmaktadır. 11 Örnek Alınan Devrenin Analitik Olarak Çözülmesi Devrede e(t ) E cos( wt ) olarak verilmiştir. İlk olarak uygun ağaç yapısı seçilmelidir. Bu durumda uygun ağaç gerilim kaynağını ve kondansatörü içerecek biçimde seçilebilir. Buradan durum denklemleri aşağıdaki gibi elde edilir. 1 d vC (t ) RC dt iL (t ) 1 L 1 1 C vC (t ) E cos( wt ) R 0 iL (t ) 0 Devre üzerindeki değerler yerlerine konulursa; d dt vC (t ) 2 1 vC (t ) 2 E cos( wt ) elde edilir. i (t ) 1 0 iL (t ) 0 L Devrenin Öz Çözümü Karakteristik denklem I A 2 1 2 2 1 ( 1) 2 0 1 olarak bulunur. Buradan özdeğerler çözülürse 1 2 1 bulunur. Özdeğerler sıfırdan küçük olduğuna göre devre asimptotik kararlıdır. Homojen kısmın çözümü vC (t ) ( A1 B1t )e t x h (t ) t i L (t ) ( A2 B2 t )e biçimindedir. Bu çözüm homojen denklemi sağlayacağından B2 A2 ( A1 B1 ) olmalıdır. Buna göre, vC (t ) vC (0) xh (t ) M (t ) i L (t ) i L (0) elde edilir. Burada 1 t t 1 M (t ) ’dir. Ayrıca M (0) I M (0) olduğundan, t 1 t (t ) durum geçiş matrisine eşittir. Bu yüzden öz çözüm 12 vC (t ) 1 t t vC (0) x h (t ) e t i L (t ) t 1 t i L (0) olur. t için (t ) 0 olduğundan, devre asimptotik olarak kararlıdır ve öz çözüm devrenin geçici çözümüdür. Devrenin Özel ve Zorlanmış Çözümleri Gerilim kaynağına ilişkin fonksiyon e(t ) E cos( wt ) olarak verildiğinden kapasite geriliminin ve endüktans akımının özel çözümleri de genlikleri ve faz açıları farklı sinüzoidal fonksiyonlar biçimindedir. Demek ki; vC (t ) V1 cos wt V2 sin wt xö (t ) iL (t ) I1 cos wt I 2 sin wt olarak yazılabilir. Bu ifade ilk başta elde edilen durum denklemini sağlayacağından V1 16 E 25 V2 12 E 25 I1 6 E 25 I2 8 E 25 olarak bulunurlar. Buna göre devrenin zorlanmış çözümü xzor (t ) xö (t ) (t ) xö (0) E 16 cos wt 12 sin wt (10t 16)et 25 6 cos wt 8 sin wt (10t 6)et ve tam çözümü t 1 t xtam (t ) e t olarak bulunur. t vC (0) E 16 cos wt 12 sin wt (10t 16)et 1 t iL (0) 25 6 cos wt 8 sin wt (10t 6)et t için x zor (t ) xö (t ) ve xh (t ) 0 olacaktır. Sonuçta xtam (t ) xö (t ) olarak bulunur. Sürekli durumda vC (t ) ve i L (t ) aralarında faz farkı bulunan sinüs fonksiyonları olacaklardır. Devredeki öteki bütün akım ve gerilim büyüklükleri durum değişkenlerinin ve kaynak fonksiyonlarının doğrusal kombinezonları olarak yazılabildiklerinden, bunlar da ya sinüs fonksiyonları ya da bir sabit eklenmiş sinüs fonksiyonları şeklinde olacaklardır. Örnek Alınan Devrenin Sürekli Sinüzoidal Hal’de Çözülmesi Verilen devre asimptotik kararlı olduğundan, sürekli halde devrenin zorlanmış çözümü, özel çözümüne eşit olur. Bu çözüm ise 2 cos( wt ) E 16 cos wt 12 sin wt 2 E xö (t ) ’dir. 25 6 cos wt 8 sin wt 5 cos( wt ) 2 13 E katsayısı devredeki sinüzoidal gerilim kaynağının maksimum değerini göstermektedir. Eğer bu sonuç fazör büyüklükleriyle elde edilmek istenirse w=2 olmak üzere, V e j c j 2 e j I l e l 2 1 Ve e j c 0 I l e j l 1 Ve (t ) E cos wt 2 2 E j 0 e 0 2 yazılabilir. Eğer E cos wt 2Ve cos wt ve Ve Ve e j 0 2 Vc Vc e j c 2 j 2 I j l I l e l 1 1 j 2 1 2 2Ve 2(4 j3) 2Ve 0Ve 25 (3 j 4) 5 alınırsa 2e j j ( 2 ) e bulunur. Bu ifadeyi yeniden t tanım bölgesinde yazarsak; vc (t ) E 16 cos wt 12 sin wt i (t ) 25 6 cos wt 8 sin wt L ifadesi elde edilir. Bu ise devrenin özel çözümüdür. Buradan da görüldüğü gibi Sürekli Sinüzoidal Halde elde edilen çözüm devrenin özel çözümüne eşittir. Devrenin parametrelerini i L (0) 2 A , vC (0) 2V , R 0.5 , L 1H , C 1F , w 0.2Hz , E 0.5 olarak alındığında çözümler aşağıdaki şekillerdeki gibi olmaktadır. 14 Tam Çözüm 0.5 Endüktans Ak m 0 -0.5 -1 -1.5 -2 0 50 100 150 Zaman 200 250 300 200 250 300 Tam Çözüm 2 Kapasite Gerilimi 1.5 1 0.5 0 -0.5 0 50 100 150 Zaman 15 Zorlanmis Çözüm 0.5 0.4 0.3 Kapasite Gerilimi 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 0 50 100 150 Zaman 200 250 300 200 250 300 Zorlanmis Çözüm 0.3 0.2 Endüktans Ak m 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 0 50 100 150 Zaman 16 Öz Çözüm 2 1.8 1.6 Kapasite Gerilimi 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 100 200 300 Zaman 400 500 600 400 500 600 Öz Çözüm 0 -0.2 -0.4 Endüktans Ak m -0.6 -0.8 -1 -1.2 -1.4 -1.6 -1.8 -2 0 100 200 300 Zaman 17 Kaynaklar: 1. Devre Analizi Dersleri – Kısım 1, Y. Tokad, İTÜ Yayınları, 1977 2. Devre Analizi Dersleri – Kısım 2, Y. Tokad, Çağlayan Kitabevi, 1987 3. Devre Analizi Dersleri – Kısım 4, Y. Tokad, Çağlayan Kitabevi, 1987 4. Linear and Non-linear Circuits, L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh, McGraw-Hill, 1987 18