AST416 Astronomide Sayısal Çözümleme
advertisement
AST416 Astronomide Sayısal Çözümleme - II 2. Temel İstatistik Kavramlar ve Dağılımlar Bu derste neler öğreneceksiniz? • Sıklık Dağılımı ve Olasılık Dağılımı • Olasılık ve Kümüatif Dağılım Fonksiyonları • Dağılım Fonksiyonu Elemanları • Örnek Dağılım ve Ana Dağılım (Sample Dist. & Parent Dist.) • Tekdüze Dağılım (Uniform Dist.) • Normal/Gauss Dağılım (Normal/Gaussian Dist.) • Log-Normal Dağılım • Pareto Dağılımı • Binom ve Bernoulli Dağılımları • Poisson Dağılımı • Üstel Dağılım (Exponential Dist.) • Gamma Dağılımı • Lorentz Dağılımı (Cauchy Dağılımı) • Ki-kare Dağılımı (Chi-squared Dist.) • Öğrencinin t Dağılımı (Student’s t Dist.) • F Dağılımı • Beta Dağılımı Dağılım? Olasılık teorisi terminolojisi henüz tam olarak yerleşmiş sayılmaz. Aşağıdaki terimlerin birbirleri yerine kullanıldığını görebilirsiniz. • • • • • • • Sıklık dağılımı (Frequency distribution) Olasılık dağılımı (Probability dist.) Dağılım fonksiyonu (Distribution function) Olasılık dağılım fonksiyonu (Probability distribution func.) Olasılık kütle fonksiyonu (Probability mass func.) Olasılık yoğunluk fonksiyonu (Probability density func.) Olasılık fonksiyonu (Probability func) Sıklık Dağılımı ve Olasılık Dağılımı Sıklık dağılımı (frequency distribution), bir örnek grubunda (Örn. ölçümler) sonuçların ne miktarda olduğunun gösterilmesidir. Boy (m) Öğrenci Sayısı Kümülatif Sayı < 1.6 6 6 1.6 – 1.8 12 18 1.8 – 2.0 10 28 2.0 < 3 31 Olasılık dağılımı (probability dist.), bir deney sonucunun gerçekleşme ihtimalinin gösterilmesidir. Para Fırlatma Sayısı Yazı Gelme Sayısı Yazı Gelme İhtimali 4 1 %25 100 66 %66 1000 589 %58.9 10000 4882 %48.82 Öğrenci Boyları Dağılımı 14 12 10 8 6 4 2 0 Yazı Gelme Olasılığı Dağılımı 70 60 50 40 30 20 10 0 Para Fırlatma Sayısı Boy < 1.6 1.6 - 1.8 1.8 - 2.0 2.0 < 4 100 1000 10000 Olasılık Yoğunluğu Fonksiyonu (Probability Dens. Func.) Bir deney sonucunun gerçekleşme olasılığını veren fonksiyondur. Herhangi bir olguya ilişkin ölçümlerin dağılımı, olgunun sahip olabileceği değerlerin gerçek olma ihtimali olarak da düşünülebilir. Normalize olasılık dağılım fonksiyonlarında her bir ölçüme ilişkin olasılık değerlerinin toplamı 1 değerine normalize edilir. Bir kablosuz haberleşme hattındaki sinyalin zayıflama profili ve matematiksel ifadesi. (Gamma dağılımı) 200 defa fırlatılan bir parada yazı gelmesinin olasılık kütle fonksiyonu grafiği ve matematiksel ifadesi. (Binom dağılımı) Kümülatif / Birikimli Dağılım Fonksiyonu (Cumulative Dist. Func.) Olasılık dağılım fonksiyonunun sahip olduğu değerlerin toplanarak temsil edildiği fonksiyonlardır. Olasılık değerlerinin tamamı 1 ya da %100 ihtimale sahip olduğu için 1 değerine yakınsamaktadır. Dağılım Fonksiyonu Elemanları Dağılım fonksiyonlarının yapısını belirleyen elemanlar bulunmaktadır. Bu elemanlar: • Ortalama değer (Average/Weighted Average/Mean) • Varyans (Variance) • Çarpıklık (Skewness) • Basıklık (Kurtosis) Ortalama Değer / Beklenen Değer Bir dağılımın ortalama değeri, bu dağılımı oluşturan ölçümlerin doğruluğunu belirlemektedir. Beklenen değerden farklılık gösteren ortalama değerler sistematik hatalardan kaynaklanabileceği gibi, beklenen değerin gerçek değer olmamasından (örn. Teorik hesapların eksik/yanlış olmasından) ya da yeterli ölçümün yapılmamasından kaynaklanabilir. Doğruluk Ortalama Değer / Beklenen Değer X değeri için yapılan farklı sayıda ölçümlerin histogramları. Sırasıyla 5, 50, 100, 1000 defa ölçüm yapılmıştır. Ölçüm sayısı arttıkça, dağılımın yapısı belirginleşmiş, ortalama değeri ve ortalama değer etrafındaki saçılma belirginleşmiştir. Ortalama Değer / Beklenen Değer Özellikle simetrik olmayan dağılımlar söz konusu olduğunda, tercihe göre beklenen değer olarak ortalama değer yerine mod ya da medyan değeri kullanılabilmektedir. Bu tercih gözlenen/ölçülen olgunun türüne göre yapılabilmektedir. Örneğin gelir dağılımı, az sayıda yüksek gelirli bir grubun olması sebebiyle, yüksek gelir bölgesine doğru kaymış bir ortalama değer verecektir. Bu sebeple insanların büyük bir kısmı ortalama gelirden daha düşük gelire sahip olmaktadır. Varyans ve Standart Sapma (Variance & Standard Deviation) Varyans ve standart sapma (σ), dağılım değerlerinin ortalama değer etrafında ne kadar çok saçılmış olduğunu belirler. Dolayısıyla yapılan ölçümlerin ne kadar hassas olduğunu belirlemektedir. Varyans ve Standart Sapma (Variance & Standard Deviation) Varyansın bazı özellikleri • Varyans ve standart sapma değerleri negatif olamaz. • Tüm ölçümler aynı değere sahip ise varyans sıfır değerini alır. • Varyans değeri, dağılımın konumundan bağımsızdır. Tüm değerler aynı miktarda kaydırıldığında varyans değişmez. • Varyansın birimi, ölçülen değerin biriminin karesidir. Standart sapmanın birimi ise ölçülen değerin birimidir. Varyans ve Standart Sapma (Variance & Standard Deviation) Çarpıklık (Skewness) Bir dağılımın asimetrisinin ölçütüdür. Bu ölçütün basit ve standart bir matematiksel ifadesi yoktur. Temel olarak iki tür çarpıklık vardır. Negatif Çarpıklık: dağılımın sol kuyruğu uzundur; dağılımın önemli bir çoğunluğu sağ tarafta toplanmıştır. Pozitif Çarpıklık: dağılımın sağ kuyruğu uzundur; dağılımın önemli bir çoğunluğu sol tarafta toplanmıştır. Çarpıklık (Skewness) Farklı çarpıklıklara sahip iki adet log-normal dağılımdaki mod, medyan ve ortalama değerlerin karşılaştırması. Basıklık (Kurtosis) Bir dağılımın ne kadar geniş olduğunun ya da ‘kuyruklu’ olmasının ölçütüdür. Çarpıklık gibi basit ve standart bir matematiksel ifadesi yoktur. Örnek Dağılımı ve Ana Dağılım (Sample Dist. & Parent Dist.) Yapılan gözlemlerin sayısının arttırılması, gözlemlerin oluşturduğu dağılımı, ilgili olgunun gerçek dağılımına daha fazla yaklaştıracaktır. Ancak sonsuz adet gözlem yapmanın mümkün olmaması sebebiyle yapılan gözlemler gerçek dağılımın bir örneği niteliğini taşımaktadır. Bir dağılımı oluşturmak için mümkün olan sonsuz sayıdaki tüm değerlerin kullanılması kabulu, elde edilen dağılımın ana dağılım olarak kabul edilmesi anlamına gelmektedir. Gerçekte herhangi bir olayın tam olarak ne tür bir dağılım gösterdiğini bilemeyiz. Ancak bu dağılımı yeterli hassasiyette temsil ettiği kabul edilen matematiksel bir fonksiyonu, olgunun ana dağılımı olarak kabul ederiz. Bu kabulden sonra, yapılan gözlemlerin oluşturduğu ve sonlu sayıdaki değerler ile üretilen örnek dağılımı kullanarak ana dağılıma ilişkin parametreleri elde edebilir ya da ana dağılımın geçerliliğini sorgulayabiliriz. Örnek Dağılımı ve Ana Dağılım (Sample Dist. & Parent Dist.) Bir grup öğrenci, bir top ile serbest düşme deneyi yapıp, topun 2 metrelik mesafeyi kaç saniyede kat ettiğini ölçmüşlerdir. 50 defa tekrarlanan bu deneyin sonunda ölçümleri yandaki histograma yerleştirmişlerdir. Bu dağılımın ölçümlerdeki rastgele hatalardan kaynaklandığı kabulü ile ortalama değer ve standart sapmasını hesaplamışlar ve bir Gauss dağılımı üretip düz çizgi ile histogramın üzerine çizmişlerdir. Bu eğrinin, ana dağılımı temsil etmesi beklenmektedir. Kesikli çizgi ile çizilen eğri ise aynı deneye ilişkin teorik hesaplamalar ile elde edilen dağılımı göstermektedir. Bu iki dağılım arasındaki farklar nelerdir? Aralarındaki farklar nasıl giderilebilir? Örnek Dağılımı ve Ana Dağılım (Sample Dist. & Parent Dist.) Ana dağılımın ξi olası değeleri için hesaplanabilen standart sapması yanda verilmiştir. Ana dağılımın varlığının kabulu ile artık bir ortalama değer belirlenmiş olduğundan, örnek uzayın standart sapmasının hesabında karekök içerisindeki payda ölçüm sayısından 1 çıkararak hesaplanmalıdır. Bu hesabın gerekçesi, bir ana dağılımın varlığı durumunda ortalama değerin belirlenmiş olmasıdır. Dolayısıyla standart sapma hesaplanırken olası değerlerin bulunabileceği serbestlik derecesi 1 eksik olmaktadır. Tekdüze Dağılım (Uniform Dist.) Tekdüze dağılım, bir aralık içerisindeki değerlerin tamamının aynı olasılıkla bulunabileceği bir dağılım türüdür. Bu dağılım türü bir ön bilgiye sahip olunmayan (uninformative) ya da belirli değerlerde farklılık göstermesi beklenmeyen olguların dağılımlarını temsil etmek için kullanılır. Normal (Gauss) Dağılım Ölçümlerde rastgele hataların varlığı sebebiyle oluşan dağılıma normal dağılım ya da Gauss dağılımı adı verilir. Doğada gözlenen bir çok olguya ilişkin ölçümlerin dağılımı Gauss dağılımı ile temsil edilebilmektedir. Bu sebeple Gauss dağılımına ‘normal’ adı verilmiştir. Matematiksel olarak iki parametreye bağlı bir dağılım fonksiyonudur. Bu parametreler, ortalama değer ve standart sapmadır. Ortalama değerin sıfır ve standart sapmanın 1 alındığı durumda ‘standart normal dağılım’ elde edilmektedir. Merkezi Limit Teoremi (Central Limit Theorem) Çoğu durumda, bağımsız rastgele sonlu değişkenlerin eklenmesi durumunda, toplamın dağılımı normal dağılıma yaklaşmaktadır. Buna merkezi limit teoremi adı verilmektedir. Toplanan bu değişkenlerin başlangıçtaki dağılımlarının türü önemsizdir. Yandaki örnekte 6 yüzlü adil bir zarın n defa atılması ile gelen sayıların toplamlarının dağılımı görülmektedir. Başlangıçta tekdüze dağılım gösteren bu deney, n sayısı büyüdükçe normal dağılıma yaklaşmaktadır. Teorem, farklı bir çok istatistiksel yöntemde, başka tür dağılımların söz konusu olduğu durumlarda bile normal dağılım kullanarak yaklaşım yapılabileceği sonucunu çıkarmaktadır. Merkezi Limit Teoremi (Central Limit Theorem) Bazı dağılımlar için merkezi limit teoremi örnekleri: • Binom dağılımı B(n,p), ortalama değer np ve varyans np(1-p) durumlarında, eğer n ve p yeterince büyük rakamlar ve sıfır ya da bire yakın değillerse normal dağılıma yakınsar. • Poisson dağılımı λ parametresinin ortalama değer ve varyans olduğu ve yeterince büyük olduğu durumlar için normal dağılıma yakınsar. • Ki-kare dağılımı, ortalama değer k ve varyansın 2k olduğu ve k’nin yeterince büyük olduğu durumlarda normal dağılıma yakınsar. • Öğrencinin t-dağılımı, ortalamanın sıfır, varyansın 1 olduğu ve v değerinin yeterince büyük olduğu durumlarda normal dağılıma yakınsar. Log-Normal Dağılım Bir değişimin logaritmasının normal dağılım göstermesi durumunda olasılık yoğunluk fonksiyonu log-normal dağılım fonksiyonu ile temsil edilir. Doğada gözlenen olayların önemli bir kısmı log-normal dağılım gösterir. Örneğin, büyüyen canlı doku alanı, Internet tartışma forumlarında yapılan yorumların uzunlukları, parçacık boyutu dağılımları, satranç oyununun süre dağılımı vs. Pareto Dağılımı Üstel değişim gösteren bir dağılımdır. Jeolojik, sosyal ve bilimsel bir çok farklı alanda kullanılmaktadır. Örneğin, harddisk sürücü hata oranları, yerleşim yeri boyutları, kum tanelerinin boyutları, meteorit boyutları, orman yangınlarında yanan bölgelerin büyüklükleri vs. Binom (Binomial) ve Bernoulli Dağılımları Binom dağılımı (binomial dist.), n defa yapılan bir deneyin sonuçlarının evet/hayır benzeri bir cevabı olması durumunda başarılı ya da başarısız deneylerin gerçekleşme ihtimalini veren dağılımdır. Deneyin sadece 1 defa yapılmış olması durumunda olasılık dağılımına Bernoulli dağılımı adı verilir. Para atma deneyi birden çok kez yapılması durumunda binom dağılımı, sadece 1 kez yapılması durumunda Bernoulli dağılımı gösterir. Poisson Dağılımı Süreksizlik gösteren olayların modellenmesi için uygun bir dağılım fonksiyonudur. Görece nadir gerçekleşen ve birbirinden zaman bağımsız olan olayların olasılığı için kullanılmaktadır. Poisson dağılımının kullanılması için 3 gerekli koşul bulunmaktadır. 1. Ölçümler sayısıdır. nadir görülen olayların 2. Tüm ölçümler birbirinden bağımsızdır. 3. Ölçümlerin görülme sıklığı ilgili zaman aralığında değişim göstermemektedir. Radyoaktif bozulma süreçleri ya da foton sayımı süreçleri Poisson dağılımı göstermektedir. Poisson Dağılımı Poisson dağılımının, ortalama değeri değişmesi (sırasıyla 1, 3, 10, 50) durumundaki değişimi. Büyük λ değerleri söz konusu olduğunda (λ > 1000) Poisson dağılımı, λ ortalamalı ve λ standart sapmalı bir Gauss profili ile temsil edilebilmektedir. Bunun için süreklilik düzeltmesi gerekmektedir. Poisson Dağılımı Poisson dağılımı gösteren bir olayda ortalama değere (λ) ilişkin en iyi tahminin hatası √λ olur. Poisson dağılımının ortalama değerinin değişimi ile birlikte değişen asimetriye dikkat edilmelidir. Üstel Dağılım Üstel değişim gösteren dağılımlar için kullanılmaktadır. Poisson dağılımı gösteren olayların bir sonrakinin gerçekleşmesinin dağılımı için sıklıkla kullanılmaktadır. Örneğin bir sonraki radyoaktif bozunmaya kadar geçen süre, bir sonraki telefon aramanıza kadar geçen süre vs. Lorentz Dağılımı Cauchy dağılımı olarak da bilinmektedir. Daha çok fizikçilerin kullandığı bir dağılımdır. Tayf çizgilerindeki basınç genişlemesi gibi homojen çizgi genişleme mekanizmaları Lorentz dağılımı göstermektedir. Olasılık yoğunluğu fonksiyonunda x0 konum parametresi ve γ ölçek parametresidir (HWHM). Sağ üstte görülen Lorentz dağılımının ölçek parametre değeri, 2γ = 2.354σ’dır. Gamma Dağılımı İki parametreli sürekli bir dağılım fonksiyonudur. Üç farklı parametre ikilisiyle gösterimi yapılabilir: 1. Şekil parametresi k ve ölçek parametresi θ 2. Şekil parametresi α = k ve ters ölçek parametresi β = 1/θ 3. Şekil parametresi k ve ortalama parametresi μ = k/ β Doğrudan modelleme amacıyla bekleme sürelerinin modellenmesi temelinde, yağmur birikimi modellerinde, sigortacılıkta, ölüme kadar geçen bekleme süresinde, kablosuz iletişim sinyal zayıflamasında vs. kullanılmaktadır. Modelleme amacıyla kullanımda genellikle k ve θ parametreleri, istatistiksel çıkarımda (özellikle Bayes istatistiği) α ve β parametreleri ile gösterimi yaygındır. Ki-Kare Dağılımı (Chi-Squared Dist.) Serbestlik derecesi, k, kadar bağımsız standart normal rastgele değişkenin toplamının dağılımıdır. Gamma dağılımının özel bir halidir. Hipotez testi, güven aralığı (confidence interval), uyum iyiliği (goodness of fit) gibi bir çok istatistiksel çıkarımda kullanılmaktadır. Doğal olayların modellenmesinde nadir olarak kullanılmaktadır. Nadiren Helmert dağılımı olarak da isimlendirilir. Çoğu dağılım durumu merkezi limit teoremi gereği, asimptotik olarak normal dağılıma yakınsar. Standart normal dağılımın karesi basit bir ki-kare dağılımı olduğu için, normal dağılımın kabul edildiği durumlarda ki-kare dağılımı da kabul edilebilir. Ki-kare olasılık yoğunluğu fonksiyonunda k, serbestlik derecesidir! Ki-Kare Dağılımı (Chi-Squared Dist.) Test istatistiği parametresi olarak ki-kare değerleri aşağıdaki şekilde hesaplanmaktadır. Burada 𝜒 2 , Pearson test istatistiği parametresidir ve asimptotik olarak bir ki-kare dağılımına yaklaşmaktadır. Oi, i türünden yapılan gözlemlerin değeri; Ei, aynı türden beklenen değerleri; n ise toplam gözlem sayısını vermektedir. Öğrencinin t Dağılımı (Student’s tdistribution) Standart sapmanın bilinmediği bir normal dağılım gösteren ana dağılımdan seçilen örnek bir dağılımın ortalama değerinin dağılımıdır. İki örnek dağılımın istatistiksel anlamlılık seviyesi (statistikal significance) belirlemesinde kullanılan Öğrencinin t dağılımı testinde, lineer regresyon analizinde, iki örnek uzay ortalamaları farkının güven aralığı (confidence interval) oluşturulmasında kullanılmaktadır. Normal bir dağılımdan alınan n elemanlı bir örnek grubu alınması durumunda, n-1 serbestlik derecesine sahip olan t-istatistiği aşağıdaki şekilde hesaplanabilir. Öğrencinin t Dağılımı (Student’s tdistribution) Yandaki görselde, serbestlik derecesinin değişmesi ile t-dağılımının değişimi görülmektedir. Mavi ile gösterilen eğri standart normal dağılımdır. 1 serbestlik derecesine sahip olan t-dağılımında görüleceği üzere, t-dağılımı, daha geniş kanatlara sahiptir. Bu normal dağılımın ortalama değerinden daha uzakta ortalama değerlerin bulunma olasılığının normal dağılıma göre daha fazla olduğunu göstermektedir. Serbestlik derecesi arttıkça ya da başka bir değişle örnek elemanı sayısı arttıkça, t-dağılımı normal dağılıma yakınsamaktadır. Bunun sonucu olarak, örnek elemanı sayısının az olması durumunda Öğrencinin t-dağılımının kullanılması, normal dağılımın kullanılmasından daha uygun olmaktadır. F Dağılımı F dağılımı, iki dağılımın karşılaştırılması temelindeki Ftestinde kullanılır. Aynı ana da iki örnek dağılımın standart sapmasının karşılaştırılması ve bu şekilde güven aralığı hesaplanmasında kullanılır. Örneğin bir olayın modellenmesinde kullanılan iki farklı modelin güven aralığının hesaplanması durumunda F-test kullanılabilir. Bu test istatistikleri F dağılımına sahiptir. Aşağıdaki X değerleri birer F istatistiğidir. Bu değerler F dağılımı göstermektedir. i) Ui değerleri birer ki-kare dağılımı ve di değeleri bu dağılımların serbestlik dereceleri, ii) 𝑠𝑖2 değerleri normal birer sürecin kare toplam değerlerinin serbestlik derecesin bölümü, 𝜎𝑖2 ise ilgili normal süreçlerin standart sapmalarıdır. Beta Dağılımı Yüzde veya oran ile ifade edilebilen rastgele olayların modellenmesi için kullanılan bir dağılım fonksiyornudur. 0 ile 1 değerleri arasında tanımlıdır. α ve β parametreleri sıfırdan büyük değere sahip şekil parametreleridir. Dalga analizinde, proje yönetiminde, öznel mantıkta modelleme dağılımı olarak kullanılmaktadır. 0 ile 1 arasında tanımlı olması, Bayes istatistiğinde olasılılık değerlerinin dağılımı olarak Bernoulli, binom dağılımlarının öncül dağılımı (prior dist.) şeklinde kullanılabilmesini sağlamaktadır. Kaynaklar • Measurements and their Uncertainties, Ifan G. Hughes & Thomas P.A. Hase, Oxford University Press, 2010 • Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences, Philip R. Bevington & D. Keith Robinson, MC Graw Hill, 2003 • Görseller; www.stat.uiowa.edu/~mbognar/applets
