fizik 4

FİZİK 4
Ders 10:
Bir Boyutlu Schrödinger Denklemi
Bir Boyutlu Schrödinger Denklemi
• Beklenen Değer
• Kuyu İçindeki Parçacık
• Zamandan Bağımsız Schrödinger Denklemi
• Kare Kuyu
• Tünel Olayı
• Basit Harmonik Salınıcı
• Klasik mekanikte bir parçacığın hareket durumu,
parçacığın x ve v ile belirlenir.
• Kuantum mekaniğinde ise parçacığın hareket
durumu dalga fonksiyonuyla belirlenir.
• Her iki mekanikte amaç parçacığın durumunun
zaman içinde nasıl değişeceğini öngörmektedir.
• Cevap her iki mekanikte de bir hareket denklemi
ile verilir.
• Klasik hareket denklemi Newton’un ikinci
yasası 𝐹 = 𝑚𝑎 dır.
• t=0 anında parçacığın x ve v si biliniyorsa, daha
sonraki t anında x ve v Newton yasasıyla
bulunur.
• Kuantum mekaniğinde hareket denklemi
zamana bağlı Schrödinger denklemidir.
• Parçacığın dalga fonksiyonu t=0 anında biliniyorsa,
zamana bağlı Schrödinger denklemi çözülür ve
diğer zamanlardaki dalga fonksiyonu bulunur.
• Zamana bağlı Schrödinger denklemi bir kısmi
diferansiyel denklemdir.
• Kuantum sistemler arasında toplam enerjisi sabit
olan sistemler en ilginç olanlarıdır.
• Bu sistemler için dalga fonksiyonu kararlı dalga
yapısındadır.
• İki ucu sabit bir teldeki dalgalara benzer.
• Zamana bağlı Schrödinger denklemi bu kararlı
dalgalara uygulandığında zamandan bağımsız
Schrödinger denklemine dönüşür.
• Bu derste kararlı dalga fonksiyonlarıyla çalışıp
enerjinin alabileceği değerleri bulacağız.
Klasik Kararlı Dalga
• Dalga fonksiyonu : (𝑥, 𝑡)
• x doğrultusunda iki sinüsel dalga gözönüne
alalım.
• +x yönündeki dalga:
1 𝑥, 𝑡 = 𝐵 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
• Diğer dalga aynı genlikle –x yönünde ilerler:
2 𝑥, 𝑡 = 𝐵 sin(𝑘𝑥 + 𝜔𝑡)
• İki dalga aynı tel üzerinde birlikte ilerliyorsa,
oluşan bileşke dalga:
 𝑥, 𝑡 = 𝐵 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) + sin(𝑘𝑥 + 𝜔𝑡)
• Trigonometrik bir özdeşlik kullanılarak
 𝑥, 𝑡 = 2B sin𝑘𝑥 cos𝜔𝑡
A=2B alınırsa
 𝑥, 𝑡 = A sin𝑘𝑥 cos𝜔𝑡
• Bu dalganın değişik zamanlardaki fotoğrafları
bir sonraki slaytta gösterilmektedir.
• Dalganın sağa veya sola ilerlemediği göze
çarpmaktadır.
• Kararlı dalganın ardışık zamanlarda beş profili.
• Telin durgun olduğu düğüm noktaları arasındaki uzaklık /2.
• Düğüm noktası, sinkx=0 olan sabit noktalarda
 𝑥, 𝑡 = 0 ve tel durgundur.
• Diğer noktalarda tel yukarı-aşağı cos𝜔𝑡 şeklinde
titreşim yapar, genliği A sin𝑘𝑥 .
• İlerleyen iki dalganın toplamını alarak bir kararlı
dalga oluşturmuş olduk.
• Düğüm noktalarında tel hareket etmiyor.
• İki düğüm noktasında teli bağlayıp dış kısımları
keselim. Sonlu uzunlukta bir telde kararlı dalga
olur.
Aralarında 𝑎 uzaklığı olan iki nokta arasına gerili bir
telde ne tür kararlı dalgalar oluşabilir?
𝑎
2𝑎
Kararlı Kuantum Dalgası ; Kararlı
Durumlar
• Kararlı dalga:
 𝑥, 𝑡 = A sin𝑘𝑥 cos𝜔𝑡
Bu ifadeyi şöyle de yazabiliriz:
 𝑥, 𝑡 =  x cos𝜔𝑡
• x’e bağlı fonksiyon ile sadece t ye bağlı diğer
bir fonksiyonun çarpımı.
• Dalga fonksiyonunun uzay kısmı  x ile
gösterilen bir sinüs fonksiyonudur.
• En genel sinüsel kararlı dalga ifadesi:
 𝑥, 𝑡 =  x (𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + 𝑏 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡)
• Yapı olarak sinüs veya kosinüs aynı
fonksiyondur.
• Bir kuantum sistemin kararlı dalgası bu şekilde
yazılır.
• Klasik bir dalga fonksiyonunda 𝑎 ve 𝑏
katsayıları daima reeldir.
• Fakat kuantum mekaniğinde dalga fonksiyonu
kompleks olabilir.
• Dalganın zamana bağımlı kısmı daima
𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 − 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡
şeklinde olur.
𝑖 = −1 sanal sayısıdır.
Buna göre kuantum parçacığının kararlı dalgası:
 𝑥, 𝑡 =  x (𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 − 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡)
Zamana bağlı kısım komplekstir.
• Kompleks sayılar teorisinden bilinen Euler
formülünü kullanırız:
𝑐𝑜𝑠 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 = 𝑒 𝑖𝜃
Bu formül Argand diyagramında gösterilir.
𝑒 𝑖𝜃 =
𝑐𝑜𝑠𝜃
2
+ 𝑠𝑖𝑛𝜃
2
=1
𝑐𝑜𝑠 − 𝑖 𝑠𝑖𝑛 = 𝑒 −𝑖𝜃
Bundan dalga fonksiyonu
 𝑥, 𝑡 =  x 𝑒 −𝑖𝜔𝑡
• 𝜔 belli bir değer aldığı için, 𝐸 = ħω de Broglie
bağıntısına göre bu dalga fonksiyonuna sahip
bir kuantum sistemin enerjisi de belirli bir
değerde olur.
• Bunun tersi de doğrudur: E si belli bir kuantum
sistemin dalga fonksiyonu
 𝑥, 𝑡 =  x 𝑒 −𝑖𝜔𝑡
yapısındadır.
•  𝑥, 𝑡 gibi bir kuantum dalga fonksiyonuna bağlı
olarak tanımlanan olasılık yoğunluğu
 𝑥, 𝑡 2
ile verilir.
• Kompleks dalga fonksiyonu için
 𝑥, 𝑡 2 = |(𝑥)|2 |𝑒 −𝑖𝜔𝑡 |2
 𝑥, 𝑡
2
= |(𝑥)|2 (kararlı kuantum dalgası için)
• Kararlı kuantum dalgası için olasılık yoğunluğu
zamandan bağımsızdır.
• Bu nasıl olur?
• Dalganın zamana bağımlı kısmı:
𝑒 −𝑖𝜔𝑡 = 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 − 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡
• Bu kompleks sayının reel ve sanal kısımları 900
faz farkıyla salınım yaparlar.
• Biri artarken diğeri azalır ve kareleri toplamı
sabit kalır.
• Madde dağılımı zamandan bağımsız veya kararlı
olur. (Örn. Atomdaki elektron dağılımı vb.)
• Kararlı kuantum dalgasına kararlı durum denir.
• Kararlı durumlar Bohr teorisindeki kararlı
yörüngelere karşılık gelirler yani belli enerjiye
sahip durumlardır.
• Kararlı bir atomdaki yük dağılımı durgun
olduğundan kararlı durumdaki atom ışıma
yapmaz.
•  𝑥, 𝑡 dalga fonksiyonunun fiziksel içeriği
 x uzay kısmında bulunur.
• Kuantum mekaniğinin önemli bir bölümünde
 x fonksiyonu ve buna karşılık gelen
enerjilerin bulunmasıyla uğraşılır.
• Bu uğraş sırasında başlıca aracımız zamandan
bağımsız Schrödinger denklemidir.
Kuyu İçindeki Parçacık
• x-ekseni üzerinde sonlu bir aralığın dışına
çıkamayan, fakat bu aralıkta serbest hareket
edebilen bir parçacık göz önüne alalım.
• Tek-boyutlu kuyu olarak bilinir.
• Klasik mekanikte bir ip üzerinde iki düğüm
arasında sürtünmesiz kayabilen bir bilezik
düşünelim. Bilezik dışarı çıkamaz.
• Kuantum mekaniğinde ince bir iletken çubuk
içinde bir elektron düşünelim. Elektron dışarı
çıkamaz.
• Genişliği 𝑎 olan tek boyutlu kuyu içinde
hareket eden m kütleli bir parçacık ele alalım.
• x=0 ile x=𝑎 arasında parçacığa hiçbir kuvvet
etki etmez.
• Kuvvet sıfır demek kuyu içinde potansiyel sabit
demektir ve bu sabit değeri «0» seçeriz.
• Parçacığın toplam enerjisi sadece kinetik
enerjiden oluşur.
• Serbest parçacığın enerjisi
𝑝2
𝐸=𝐾=
2𝑚
• Belli enerjiye sahip durumları kararlı dalgalarla
temsil ederiz.
• Parçacığın  𝑥, 𝑡 dalga fonksiyonu için kararlı
dalga çözümlerini bulmamız gerekir.
• Kararlı dalga
 𝑥, 𝑡 =  x 𝑒 −𝑖𝜔𝑡
• Teldeki dalgalara benzetirsek, dalganın uzay kısmı
kuyu içinde sinüsel bir fonksiyon olarak
düşünürüz.
•  x fonksiyonu ikisinin karışımı olarak
 x = 𝐴𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥 + 𝐵𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥 ( 0 ≤ x ≤ 𝑎 )
• Parçacık kuyudan dışarı çıkamayacağı için kuyu
dışında  x = 0.
•  x ’in sürekli bir fonksiyon olacağını varsayalım,
bu durumda x=0 ile x=𝑎 da  x = 0.
 0 = 𝑎 =0
• Dalga fonksiyonunun sağlaması gereken sınır
koşulları.
• x=0 alınırsa  0 = 𝐵.
• Dalga fonksiyonu bu sınırdaki koşulu
sağlayabilmesi için B=0 olmalıdır.
•  0 = 0 koşulu dalga fonksiyonu ifadesinin
 x = 𝐴𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥
olmasını gerektirir.
•  𝑎 = 0 koşulu uygulanırsa
𝐴𝑠𝑖𝑛𝑘𝑎 = 0
𝑘𝑎 = , 2, 3 …
𝑘=
𝑛
𝑎
2
=
𝑘
=
(n=1,2,3,…)
2𝑎
𝑛
(n=1,2,3,…)
• x=0 ile x=𝑎 da  x = 0 olma koşulu nedeniyle
dalgaboyu kuantalanmış olur.
• Dalgaboyunun kuantalanması p ve E nin
kuantalanması demek.
• 𝑝=
ℎ

de Broglie bağıntısında
𝑝=
𝑛ℎ
2𝑎
=
𝐸𝑛 = 𝑛2
𝑛ħ
𝑎
2 ħ2
2𝑚𝑎2
(n=1,2,3,…)
(n=1,2,3,…)
• Parçacığın bulunabileceği en düşük enerjili
durum (taban durum) n=1 ;
2 ħ2
𝐸1 =
2
2𝑚𝑎
• n. durum enerjisini yazarsak
𝐸𝑛 = 𝑛2 𝐸1
(n=2,3,…)
E

x
• n arttıkça enerji
düzeylerinin arası
açılmakta.
• E arttıkça  deki düğüm
noktaları artar.
• Düğüm noktası çokluğu 
daha kısa demektir,
dolayısıyla p ve K daha
büyük olur.
• Kararlı dalgalardan her biri için tüm dalga
fonksiyonu
 𝑥, 𝑡 =  x 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 = 𝐴 𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥 𝑒 −𝑖𝜔𝑡
• Kompleks özdeşlik
𝑒 𝑖𝜃 − 𝑒 −𝑖𝜃
𝑠𝑖𝑛𝜃 =
2𝑖
kullanılırsa
𝐴 𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡)
 𝑥, 𝑡 =
𝑒
− 𝑒 −𝑖(𝑘𝑥+𝜔𝑡)
2𝑖
• Tıpki klasik kararlı dalga gibi kararlı kuantum
dalgası da karşıt yönlerde ilerleyen iki dalganın
toplamı olarak yazılabilir.
• +x yönünde ilerleyen dalga p si +ħk olan bir
parçacığı, -x yönünde ilerleyen dalga ise p si –ħk
olan parçacığı temsil eder.
• Kuyudaki parçacığın momentumunun
büyüklüğü ħk olur. Ancak yönü yarı yarıya
olasılıkla iki yönde de olabilir.
Zamandan Bağımsız Schrödinger
Denklemi
• Kuyudaki parçacık için  x için bir tahminde
bulunup çözüme gittik.
• Her problem için  x yi bulmamızı sağlayan
bir denkleme ihtiyaç vardır.
• Bu, zamandan bağımsız Schrödinger
denklemidir.
• Bu denklem Newton’un 2. yasası gibi bir
aksiyom olup doğruluğu deneysel gözlemlerle
kanıtlanır.
• Fizik yasalarının büyük çoğunluğu diferansiyel
denklemler şeklinde ifade edilir.
• Bu denklemlerde fiziksel büyüklüğün türevleri
yer alır.
• Örn. Newton’un 2. yasası
𝑑2 𝑥
𝑚 2=
𝐹
𝑑𝑡
• Örn. Viskoz bir sıvı içinde −𝑏𝑣 iç sürtünme
kuvveti ve bir yaya bağlı olarak −𝑘𝑥 kuvveti
etkisi altında hareket eden bir parçacık için
𝑑2 𝑥
𝑑𝑥
𝑚 2 = −𝑏
− 𝑘𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑡
diferansiyel denklemi yazılır.
• İkinci dereceden diferansiyel denklem denir.
• Klasik dalga hareketi de bir diferansiyel
denklemle belirlenir.
• Kararlı kuantum dalgasının da bir diferansiyel
denklemle belirleneceğini bekleriz.
• Kuyudaki parçacığın dalga fonksiyonunun uzay
kısmı
 x = 𝐴𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥
𝑑
= 𝑘𝐴 𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥
𝑑𝑥
𝑑2 
2
=
−𝑘
𝐴 𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥
2
𝑑𝑥
𝑑2 
2
=
−𝑘

2
𝑑𝑥
• p = ħk olduğuna göre
𝐾=
𝑝2 ħ2 𝑘 2
=
2𝑚 2𝑚
2𝑚𝐾
𝑘 = 2
ħ
2
𝑑2 
2𝑚𝐾
=− 2 
2
𝑑𝑥
ħ
• Bir kuyudaki bir parçacığın dalga fonksiyonunun
sağladığı diferansiyel denklem.
• Kuyudaki parçacık problemi kuyu içinde U=0
olan basit bir sistemdir.
• U(x)  0 olduğu durumlara genelleştirelim.
𝐾 =𝐸−𝑈 𝑥
• Yeni diferansiyel denklem
𝑑2  2𝑚
= 2 𝑈 𝑥 −𝐸 
2
𝑑𝑥
ħ
• Bu denklem 1926 da bunu ilk yazan
Schrödinger denklemi (zamandan bağımsız)
olarak bilinir.
• Schrödinger bu denklemin H atomu enerji
düzeylerini doğru olarak verdiğini gösterdi.
• Günümüzde, Schrödinger denklemi göreli
olmayan kuantum mekaniğinin temeli olduğu
kabul edilmektedir.
• Bu denklem tek boyutta hareket eden bir
parçacık içindir.
𝑑2  2𝑚
= 2 𝑈 𝑥 −𝐸 
2
𝑑𝑥
ħ
• Bu denklem çok sayıda parçacık ve üç boyutlu
hareket için genelleştirilir.
• Önce U(x) bulunur sonra Schrödinger
denkleminin çözümüne geçilir.
• Schrödinger’in kabul edilebilir çözümleri olması
için  x ;
 bir kuyu duvarlarında sıfır olmalıdır.
 sürekli bir fonksiyon olmalıdır.
 birinci türevi de sürekli olmalıdır.
Kuyuda parçacık problemine yeniden
bakış
• Önce bu problem için U(x)’i belirleyelim.
• Parçacığın kuyu içinde potansiyeli sıfır, kuyu dışındaysa
sonsuz.
• Bu ideal bir sonsuz kuyu potansiyelidir.
• Hiçbir enerji parçacığı kuyudan çıkaramaz.
0 (0 < 𝑥 < 𝑎)
𝑈 𝑥 =
∞ (𝑥 < 0 𝑣𝑒 𝑥 > 𝑎)
• Kuyu dışında 𝑈 𝑥 = ∞ yani parçacık hiçbir şekilde
dışarıda olamaz.
• O zaman 𝑥 < 0 𝑣𝑒 𝑥 > 𝑎 da  x =0.
• (𝑥) ‘in sürekli olma koşulu
 0 =  a =0
• Kuyu içinde U(x)=0
𝑑2 
2𝑚𝐸
=− 2 
2
𝑑𝑥
ħ
• Bu diferansiyel denklemin çözümü aranır.
• Bu denklemin her E değeri için çözümü olup
olmadığını araştırmak üzere önce –E den başlanır.
• E negatif
−2𝑚𝐸
∝=
ħ
′′ 𝑥 =∝2  𝑥
• Denklemin çözümü
 𝑥 = 𝐴𝑒 ∝𝑥 + 𝐵𝑒 −∝𝑥
A ve B reel veya kompleks keyfi sabitler.
• İki bağımsız çözümün lineer kombinasyonu
şeklinde
 𝑥 = 𝐴1 (𝑥) + 𝐵2 (𝑥)
• Schrödinger denkleminin negatif E için tüm
çözümlerini verir ama sınır koşullarını
sağlamaz.
• Şimdi E>0 için çözümleri arayalım.
2𝑚𝐸
k=
ħ
′′ 𝑥 = −𝑘 2  𝑥
 x = 𝐴𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥 + 𝐵𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥
•  0 = 0 sınır koşulu B=0 olmasını gerektirir.
•  a = 0 sınır koşulu ise
𝑛
𝑘=
𝑎
2 ħ2

𝐸𝑛 = 𝑛2
2𝑚𝑎2
• Kuyu potansiyelindeki parçacık probleminde A sabitini
bulmak için yapılması gerekenler:
𝑛𝑥
 x = 𝐴𝑠𝑖𝑛
𝑎
• Parçacığın x ile x+dx arasında bulunma olasılığı
𝑃 =  x 2 𝑑𝑥
• Parçacığın tüm uzayda bulunma olasılıkları toplamı
∞
−∞
 x
2
𝑑𝑥 = 1
• Bu bağıntıya normlama koşulu ve bunu
sağlayan A sabitine normlama sabiti denir.
• Bu özelliğe sahip dalga fonksiyonu
normlanmıştır denir.
• Kuyu potansiyelinde dalga fonksiyonu dışarda
sıfır
𝑎
0
 x
2
𝑑𝑥 = 1
𝑎
2
𝐴
𝑠𝑖𝑛
0
2
𝑛𝜋𝑥
𝑑𝑥 = 1
𝑎
𝐴2 𝑎
=1
2
𝐴=
2
𝑎
• Kuyu içindeki bir parçacığın normlanmış dalga
fonksiyonları
 x =
2
𝑛𝑥
𝑠𝑖𝑛
𝑎
𝑎
Beklenen Değer
• Çok sayıda ölçüm sonucu parçacığın ortalama
konumu
𝑎
𝑥𝑚 =
𝑥  x
2
𝑑𝑥
0
• Bu ortalama değer bazen 𝑥 veya 𝑥 ile
gösterilir.
• Kuantum mekaniğinde x’in Beklenen Değeri
denir.