İstatistik Temel Kavramlarına Giriş

advertisement
İSTATİSTİK -I (OLASILIK)
Hafta; 01
Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK
tover@sakarya.edu.tr
Konular
İstatistik Temel Kavramlarına Giriş
Verilerin Derlenmesi, Düzenlenmesi ve Analizi
Veri Düzenleme Grafiksel Gösterimler ve Merkezi Eğilim Ölçüleri
Geometrik Ortalama (G)
Sapma (Dağılma) ölçüleri
Asimetri ve Basıklık Ölçüleri
Küme Teorisi Ve Olasılık Hesapları
Olasılık Hesapları
Şartlı Olasılık
Rassal Değişken
Sürekli Olasılık Dağılım (Birikimli-Kümülatif)Fonksiyonu
Bileşik Olasılık Dağılım Fonksiyonu
Beklenen değer ve Momentler
Olasılık Dağılımları
İstatistik Temel Kavramlarına Giriş
1. Hafta
İstatistik Temel Kavramlarına Giriş
Verilerin Derlenmesi, Düzenlenmesi ve Analizi
Veri Düzenleme Grafiksel Gösterimler ve Merkezi Eğilim Ölçüleri
2. Hafta
Geometrik Ortalama (G)
Sapma (Dağılma) ölçüleri
Asimetri ve Basıklık Ölçüleri
(Kısa Sınav 1)
3. Hafta
Küme Teorisi Ve Olasılık Hesapları
Olasılık Hesapları
Şartlı Olasılık)
(Kısa Sınav 2)
4. Hafta
Rassal Değişken
Sürekli Olasılık Dağılım (Birikimli-Kümülatif)Fonksiyonu
Bileşik Olasılık Dağılım Fonksiyonu
(Vize)
5. Hafta
Beklenen değer ve Momentler
Olasılık Dağılımları
İstatistik Temel Kavramlarına Giriş
İstatistik Temel Kavramlarına Giriş
• İstatistik kelimesinin Latincede durum anlamına gelen
“Statüs”
• İtalyancada
devletin siyasal durumunu belirlemede
kullanılan “Stato” kökünden geldiğini kabul etmektedirler.
• Günlük hayatta istatistik ya da istatistikler denildiğinde,
belirli bir olaya ilişkin derlenmiş sayısal bilgiler akla gelir.
• Nüfus,
• fiyat,
• ithalat,
• ihracat,
• gelir,
• turizm,
• sağlık istatistikleri gibi.
İstatistik Temel Kavramlarına Giriş
• Metodoloji açısından istatistik sözcüğü;
• istatistiğe konu olabilen olayların gözlenerek ilgili verilerin
derlenmesi,
• işlenmesi,
• analizi ve yorumlanmasında kullanılan tekniklerin tümünü ifade
eder.
• XX. yüzyılın başlarında istatistik alanındaki gelişmeler,
istatistik sözcüğüne teknik içerikli yeni bir anlam
kazandırmıştır.
• Buna paralel olarak istatistik sözcüğü, hakkında bilgi
edinilmek istenen ve ana kütle olarak isimlendirilen
yığına ilişkin sayısal karakteristikleri (parametreleri)
tahmin etmek amacıyla, ilgili kütleden belirli kurallara
göre seçilen istatistik birimlerinin oluşturduğu örneklem
adı verilen topluluğa ilişkin sayısal karakteristikler
anlamında da kullanılmaktadır.
İstatistik Temel Kavramlarına Giriş
Tipik olay
• İstatistik de tüm diğer bilim dalları gibi olayları konu alır.
Olayları;
• tipik ve
• toplu olaylar olarak ikiye ayırarak incelemek mümkündür.
• Tipik Olaylar az sayıda faktör tarafından etkilenen olaylardır.
• Eğer bir olaylar kümesinde tek bir olay, tüm olaylar kümesini
temsil edebiliyorsa, bu tür olaylara tipik olay denir.
• Ancak istatistik tipik olaylarla ilgilenmez. Örneğin, ideal
koşullar altında ve uygun bir laboratuar ortamında iki hidrojen
ve bir oksijen atomu bir araya getirilirse, su elde edilir.
• Bu
deney aynı koşullar altında kaç kez tekrarlanırsa
tekrarlansın, her deneyin sonucunda su elde edilecektir.
İstatistik Temel Kavramlarına Giriş
Toplu olay
• Toplu olay, bir olaylar kümesinde tek bir örnek ya da deneyin diğer
örnekleri ve deneyleri, bunun sonucu olarak ta ait olduğu kümeyi
temsil edemeyen olaylardır.
• Örneğin;
• firmaların yıllık ciroları,
• trafik kazaları,
• evlenmeler,
• boşanmalar,
• doğumlar,
• ölümler ve benzeri gibi her gün karşılaşılan olaylar, birer toplu olay
niteliğindedir.
• İstatistik, belirli amaç ya da amaçlar doğrultusunda gözlenen toplu
olaylardan derlenen sayısal verilerin işlenerek, ilgili olayların
oluşturduğu yığınların bilimsel olarak incelenmesinde kullanılan
teknik ve yöntemler bilimi olarak ta tanımlanabilir.
İstatistik Temel Kavramlarına Giriş
Betimsel İstatistik
• Verilerin analiz ve sunumu için temel iki istatistik yöntemden
söz edilebilir. Bunlar;
• Betimsel-Tanımlayıcı (Tasviri-Descriptive) istatistik ve
• Çıkarımsal (inferential) istatistik yöntemler şeklinde ifade edilebilir.
• Betimsel istatistik, verilerin organize edilip özetlenip en
uygun şekilde sunuma hazır hale getirilmesidir.
• İstatistik seriler, tablolar, grafikler, merkezi eğilim ölçüleri,
sapma ölçüleri vs. bu grupta yer alır.
• Bir iş yerinde çalışan kişilerin aldıkları ücretlerin dağılımı,
• ortalaması,
• sapması,
• Bir işletmede üretilen mamullerin günlük üretim miktarlarının
dağılışı vs. betimsel istatistiklere örnek verilebilir.
İstatistik Temel Kavramlarına Giriş
Çıkarımsal İstatistik
• Çıkarımsal istatistik ise;
• seçilen örnekten hareketle anakütle parametreleri hakkında tahminlerde
bulunmayı,
• anakütle ile ilgili hipotezler için sorgulama yapmayı ve
• karar vermeyi içerir.
• Parametrik ve parametrik olmayan hipotez testleri, regresyon analizi
vs. bu grupta yer alır.
• Bir malın günlük satışlarının ortalamasının %95 güvenle 15;20 birim
arasında olacağının tahmini çıkarımsal istatistiğe örnek gösterilebilir.
• Hangi
istatistik yöntem kullanılırsa
çalışmanın temeli veriye dayanmaktadır.
kullanılsın
bir
istatistik
• Bu nedenle bir istatistik çalışmanın güvenilir olabilmesi için verinin
doğru bir şekilde elde edilmiş olması gerekir.
İstatistik Temel Kavramlarına Giriş
Birim
• İstatistik analize konu olan ve anakütleyi oluşturan
toplu olay niteliğindeki her olaya birim adı verilir.
• Kolaylıkla anlaşılabileceği gibi tüm canlı ve cansız
varlıklar birer istatistik birimidir.
• Ancak, maddesel bir varlığa sahip olmayan olaylar ve
sosyal durumlar da birer istatistik birimi olabilirler.
• Bir olayın birim olabilmesi için, ölçülmeye ya da
sayılmaya elverişli olması gerekir.
• Ölçülemeyen ya da sayılamayan nesneler ve olaylar
istatistiksel anlamda birim oluşturamazlar.
İstatistik Temel Kavramlarına Giriş
Değişken (özellik) ve şık
• Değişken, istatistik birimlerinin sahip oldukları özellikler
olarak ifade edilir.
• Şık ise, bu özelliklerin farklı ortaya çıkış biçimlerine,
başka bir anlatımla değişkenlerin aldıkları değerlere
denir.
• Öğrenciler
üzerinde yapılan bir
öğrenci olarak tanımlanırken,
araştırmada
birim
• değişken öğrencilerin cinsiyetleri, doğum yerleri,
yaşları, ağırlıkları boy uzunlukları ve notları olur.
• Cinsiyet değişkeninin şıkları ise kız ve erkek olarak
tanımlanır.
• Benzer
şekilde her bir öğrencinin
değişkeninin şıkları olacaktır.
yaşları
da
yaş
İstatistik Temel Kavramlarına Giriş
Ölçeklerine göre değişkenler
• Birim, Değişken ve Şık Örnekleri
İstatistik Temel Kavramlarına Giriş
Ölçeklerine göre değişkenler
• Değişkenler ölçeklerine göre dört grupta incelenir.
• Nominal (İsimsel) değişkenler: Nominal değişkenler sadece
kalitatif (niteliksel) sınıflandırmalarda kullanılırlar.
• Bu
değişkenlerin ölçümü ve sıralanması mümkün değildir.
İnsanların medeni hali, cinsiyeti, mesleği, göz rengi buna örnek
olarak gösterilebilir.
• Ordinal
(Sıralama) değişkenler: Bu değişken ölçülen
değerlerin birbirlerine göre büyüklüklerini belirleyen ancak bir
değişkenin diğerinden ne kadar büyük ya da küçük
olduğunu ifade edemeyen değişkenlerdir.
• Memurların derece ve kademeleri, öğrenim durumu (ilk, orta, lise,
üniversite vs.) büyük, küçük ayrımları, Likert-Semantik ölçekler
(Kesinlikle Katılıyorum, Katılıyorum, Karasızım, Katılmıyorum,
Kesinlikle Katılmıyorum), bu değişkene örnek gösterilebilir.
İstatistik Temel Kavramlarına Giriş
Ölçeklerine göre değişkenler
• Interval
(Aralık) değişkenler: Sıcaklık, başarı,
performans gibi niceliksel değişkenleri ölçmek için
kullanılır.
• Aralık ölçeğinin oran ölçeğinden temel farkı bir başlangıç
noktasının bulunmamasıdır. Diğer bir ifade ile “0” değeri
aralık ölçeğinde yokluk ifade etmez. Örneğin
termometrede görülen “0°C” belirli bir anlam taşır.
• Ratio (Oran) değişkenler: Ratio değişkenler interval
değişkenlere benzerler, interval değişkenlerin özelliklerine
ek olarak, tanımlanabilen bir sıfır noktasına sahiplerdir,
böylece “X Y’den 2 kat daha fazladır” gibi ifadeler de
kullanabiliriz.
• Aylık gelir, ağırlık, uzunluk, hız gibi değişkenleri
ölçmek için kullanılır.
noktasıdır.
Bu
ölçekte
başlangıç
“0”
İstatistik Temel Kavramlarına Giriş
Ölçeklerine göre değişkenler
İstatistik Temel Kavramlarına Giriş
Sürekli ve Kesikli (Süreksiz) değişkenler
• Sürekli Değişken: Değişkenler ölçülerek, sıralanarak ya
da herhangi bir analiz yöntemi kullanılarak elde edilir. İki
ölçüm arası sonsuz sayıda değer alabilir. Aralık biçiminde
ifade edilebilirler. Kesirli sayılar alabilir.
• nicel değişkenler süreklidir diyebiliriz sayı ile ifade
edilir
• nitel değişkenler kesiklidir diyebiliriz sayı yerine
sembolle ifade edilir.
• Kesikli Değişken: Değişkenlerin ölçüleri 0, 1, 2 gibi kesin
değerler alırlar. Ara değerler söz konusu değildir. Nitel
değişkenler sayılarla ifade edilirse kesikli değişken
sınıfına girer (Eğitim durumuna göre, okur-yazar değil=0,
ilkokul=1, ortaokul=2, lise=3, üniversite=4).
İstatistik Temel Kavramlarına Giriş
İstatistik Temel Kavramlarına Giriş
Sürekli ve Kesikli (Süreksiz) değişkenler
Genel olarak ölçümler sürekli, sayımlar kesikli verileri oluşturur.
Örnek sorular;
Aşağıdakilerden hangisi kesikli değişkendir?
• Bir galerinin herhangi bir ayda satmış olduğu otomobil sayısı
• Bir kişinin boy uzunluğu
• Sınavda bir sorunun çözülme süresi
Aşağıdakilerden hangisi sürekli değişkendir?
• Herhangi bir günde bir tiyatroya gelen izleyici sayısı
• Bir ailenin çocuk sayısı
• Bir bebeğin ağırlığı
Örnek sorular;
Aşağıdakilerden hangisi kesikli değişkendir?
• Bir çağrı merkezine gelen telefonların arasındaki geçen süre
• Birinin sahip olduğu ayakkabı sayısı
• Sınavda bir sorunun çözülme süresi
Aşağıdakilerden hangisi sürekli değişkendir?
• Bir aşçının günlük kullandığı yumurta sayısı
• Bir çocuğun azındaki çürük diş sayısı
• Bir mandıranın günlük sattığı süt miktarı
İstatistik Temel Kavramlarına Giriş
Bağımlı (açıklanan) ve Bağımsız (açıklayıcı)
• Bağımlı Değişken: Sebep-sonuç ilişkisinde sonuç olan
değişkendir. Açıklanmak istenen değişkendir.
• Bağımsız değişken: Sebep-sonuç ilişkisinde sebep
durumunda olan değişkendir, ya da bağımlı değişkeni
açıklayan değişkendir.
İstatistik Temel Kavramlarına Giriş
Ana Kütle (İstatistik Kütlesi)
• Toplu
olay niteliğinde ve aynı cins birimlerin
oluşturduğu topluluğa “ana kütle” ya da “istatistik
kütlesi” adı verilir.
• Ancak, bir istatistik kütlesinden söz edebilmek için,
öncelikle kütleyi oluşturan birimlerin, aynı genel
nedenlerin etkisinde olması gereklidir.
• Ayrıca
kütle, istatistik birimlerinin toplamından
farklı bir yapıya da sahip olmamalıdır.
• Bir ülkede yaşayan insanlar,
• belirli bir bölgedeki evler,
• bir yıl süresince belirli bir yerleşim merkezinde gözlenen
doğumlar, ölümler,
• trafik kazaları, istatistik kütlesi için örnekler oluşturur.
İstatistik Temel Kavramlarına Giriş
Kütle Türleri
• Gerçek ya da Varsayımsal Kütleler
• Gerçek birimlerin oluşturdukları kütlelere, “gerçek kütle” adı verilir.
Gerçek Birim: Maddesel bir varlığa sahip olsun ya da olmasın, gerçekte
var olan, ortaya çıkmış birimlere gerçek birim denir. Ev, araba, bina,
masa maddesel varlığa sahip gerçekte var olan birimleri oluştururken,
ölüm, evlenme, doğum, trafik kazası gibi maddesel bir varlığa sahip
olmayan ama gerçekte var olan birimler gerçek birimleri oluşturur.
• Bir üniversitenin öğrencileri, bir yerleşim merkezinde bir yılda gözlenen trafik
kazaları ve doğum olaylarının oluşturdukları kütleler, gerçek kütlelere örnek
oluştururlar.
• Henüz oluşmamış, ancak oluşturulması mümkün olan kütlelere ise
“varsayımsal kütle” adı verilir.
• Kolaylıkla
görülebileceği gibi varsayımsal
birimlerim oluşturduğu kütlelerdir.
kütleler,
varsayımsal
• Örneğin, 25 kişilik bir25işçi grubundan rastgele seçilecek 6 kişilik bir grup için
C 6  177100
farklı
seçim yapılabilir. 177100 farklı 6 kişilik grupların
oluşturduğu kütle varsayımsal bir kütledir. Buradaki gruplar farazi olarak
mevcut olup, fiilen ortada yoktur
İstatistik Temel Kavramlarına Giriş
Ana Kütle (İstatistik Kütlesi)
Sonlu ya da Sonsuz Kütleler
• Eğer bir kütledeki birimler sonlu sayıdaysa, başka bir ifadeyle sayılabilir
sayıda ise, bu tür kütlelere “sonlu (belirli)”, kütleyi oluşturan birim sayısı
sayılamıyorsa, bu tür kütlelere de “sonsuz (belirsiz)” kütle adı verilir.
•
•
Örneğin, bir köyde yaşayan insanların sayısı sayılabileceğinden bu köyde yaşayan
insanların oluşturduğu kütle sonlu bir kütledir.
Bir insanın vücudundaki hücre sayısı sayılamayacak sayıda olduğundan sonsuz
kütledir.
Sürekli ya da Süreksiz Kütleler
• Parçalandıkları ya da birleştirildikleri zaman, niteliklerini kaybettikleri için,
doğal birimlerden oluşan kütleler süreksiz, (Örneğin masa, araba, insan,
kalem doğal birimlerdir. Masa ya da otomobil çeşitli parçalara ayrıldığında,
kendi özelliklerini yani masa ya da araç olma özelliğini yitirirler)
• Parçalandıkları ya da birleştirildiklerinde, niteliklerini kaybetmedikleri için
de doğal olmayan birimlerden oluşan kütlelerse, sürekli kütleleri
oluştururlar, (Mesela kumaş parçalara ayrılırsa özelliğini kaybetmez. Sadece
daha küçük kumaş parçaları elde edilmiş olur. Tarla da aynı şekilde küçük
parçalara bölünebilir)
•
Zaman ve mekan birimleri doğal birimler olmadıkları için, her zaman sürekli
kütleleri oluştururlar.
İstatistik Temel Kavramlarına Giriş
Örnek (örneklem) ve Örnekleme
• Örneklem
• Araştırılmak istenen bir olayla ilgili kütleden,
belli
kurallara göre seçilmiş, kütleyi temsil ettiği varsayılan
küçük bir küme örneklem olarak adlandırılır.
• Örneklem
anakütleyi
parçalarından oluşur.
oluşturan
varlıkların
alt
• Örnekleme
• Anakütle
özelliklerini ortaya koyabilmek amacıyla
anakütleden örnek seçme işlemine örnekleme denir.
• Örnekleme ile yapılacak bir araştırmanın anakütledeki
gerçek durumu ortaya çıkarabilmesi için en önemli koşul
örneklemin anakütleyi temsil edebilir nitelikte olmasıdır.
İstatistik Temel Kavramlarına Giriş
Örnek (örneklem) ve Örnekleme
• Anakütleyi temsil yeteneğine sahip bir örneklemin
temel özellikleri şunlardır.
• Örneklemin büyüklüğü (hacmi, miktarı) yeterli
olmalıdır.
• Örneklem anakütledeki dağılıma çeşit ve oran
yönünden benzer olmalıdır.
• Örneklem olasılıklı örnekleme yöntemlerinden
biriyle seçilmelidir.
• Örneklem seçiminde tarafsız davranılmalıdır.
Anakütledeki bütün birimlerin örneğe girme
şanslarını eşit kılmak gerekir.
Verilerin Derlenmesi, Düzenlenmesi ve
Analizi
• Veri
derleme;
belirlenen
amaçlar
doğrultusunda
gözlemlenecek birimlerin ölçülmesi ya da sayılması, sonra da
bunların, ilgilenilen değişkenlere göre, hangi şıklara sahip
olduğunun belirlenmesi ve kaydedilmesi işlemlerini içerir.
• Birim Seçimi:
Belirlenen amaç ya da amaçlar doğrultusunda, ilgilenilen toplu
olayın tanımlanmasıyla “birim seçme” işlemi gerçekleştirilmiş
olur.
Başka bir anlatımla, kimlerin ya da nelerin gözleneceği
belirlenir. Ancak birim seçilirken, amaca uygunluk ve
uygulanabilirlik özelliklerinin göz önünde bulundurulması
gerekir.
Değişken ve Şıkların Belirlenmesi
• Bir kütleyi oluşturan istatistik birimleri üzerinde
birçok değişken tanımlanabilir.
• Veri
derlenirken
sadece
belirlenen
amaçlar
doğrultusundaki değişkenler göz önünde tutulmalıdır.
• Uygulamalarda çok sayıda değişken hakkında veri
toplamak zor, zaman alıcı ve maliyet yükseltici
olabilir.
• Değişken sayısının artması soru sayısının artmasına,
soru sayısının artması da sorulara gelişigüzel cevap
vermeye yönlendirebilir.
• Bu sebeple seçilen değişkenler araştırmanın amacına
uygun, sayısı da aşırı olmamalıdır.
Değişken ve Şıkların Belirlenmesi
• Uygulamalarda gözlem sayısı sonlu olmalıdır.
• Benzer şekilde gözlemlere bağlı olarak ilgili değişkenlerin
alacakları değerler de (şıklar da) ilgili değişken sürekli ya da
süreksiz olsun, sonlu olacaktır.
• Şıklar belirlenirken, gözden uzak tutulmaması gereken
önemli bir nokta da gözlemlerde kullanılan ölçü biriminin
araştırmanın doğasına uygun olması gereğidir.
• Yani ölçü biriminin ilgili değişkenin büyüklüğü ile orantılı
olmalıdır.
• Örneğin bir işletmede aylık elektrik giderlerini bin TL cinsinden
ifade ederken, işletmenin yıllık cirosu için milyon TL kullanmak
uygun olacaktır. Peynir üreten bir işletme için kilo, teneke, ton
uygun ölçülerken, süt üretimi için litre, şişe, paket uygun ölçü
birimleri olacaktır.
Kütlenin Sınırlandırılması
• Bir istatistiksel araştırma planlanırken, araştırmanın
nerede, kimlerle ve nelerle gerçekleştirileceği, ne
kadar zamanda tamamlanacağı ve araştırma için
ayrılan kaynaklar, ayrıca gözlem sayısının sonlu
olması, kütlenin mekan ve zaman açısından
sınırlandırılmasını zorunlu kılar.
• Başarılı
bir sınırlandırma uygulamacılara büyük
kolaylık sağlar.
• Böylece araştırmanın çerçevesi net bir şekilde ortaya
konmuş olacak, araştırma bu sınırlar içerisindeki
alana odaklanacaktır.
Verilerin Taşıması Gereken
Özellikleri
Verilerin doğruluğu, geçerliliği ve güvenilirliğini
sağlayabilmek için verilerin bazı özellikleri taşıması
gerekir. Böylece veri kalitesi yükseltilmiş olacaktır.
Veriler Araştırma Konusu ile İlgili Olmalıdır
• Veriler belirli bir alanla ilgili olarak toplanıyorsa
kendi içinde tutarlı olmalıdır.
• Bu alana başka bir konuyla ilgili veri ve bilgiler
alınmamalıdır.
• Pazarlama konusundan söz edilirken satın almayla
ilgili veriler veya başka bir işletmeye ilişkin bilgiler
işin içine karıştırılmamalıdır.
Verilerin Taşıması Gereken Özellikleri
• Doğruluk
o Veriler tekrarlanan gözlemlere dayanmalı, yöneticilerin kendi ağızlarından
ifade edilmiş olmalı ve şirket kayıtlarıyla da teyit edilmiş bulunmalıdır.
o Araştırmacı kendi tahminlerini, izlenimlerini ve hislerini veri olarak sunamaz.
o Eğer bu şekilde bir yorum yapıyorsa bu yorumun kendisine ait olduğunu açık
bir şekilde belirtmelidir.
• Kalite
o Verilerin kalitesi amacı uygunluktur.
o Veriler işe yarıyorsa, sonuç çıkarıla biliniyorsa ve bir karara varmak mümkün
ise kalitelidir.
o Pratik değeri olmayan veriler kalitesizdir.
o Araştırmacı araştırma kapsamına aldığı her veriyi amaca hizmet etme
derecesi açısından değerlendirmelidir.
o Amaca hizmet yönü zayıf olan veri ve bilgiler büyük ölçüde araştırma
kapsamından çıkarılmalıdır.
Verilerin Taşıması Gereken Özellikleri
• Zamanındalık
o Verilerin zamanında elde edilmesi anlamına gelir.
o Araştırma
sürecinde
bazı
verilere
istendiği
anda
ulaşılamayabilir.
o Ancak verilerin toplanması, organizasyonu ve analizli belirli
sürelerle kısıtlıdır.
o Zamanında ulaşmayan veya elde edilmeyen veri değersizdir.
o Çünkü veri ihtiyaç olduğu yer ve zamanda kıymetlidir.
Modası geçmiş verinin bir değeri olmaz.
• Tamlık
o Verilerin tam olması, incelenen alanla ilgili olarak gerekli
olan hiçbir bilgiyi/veriyi dışarıda bırakmamasıdır.
o Örneğin, insan kaynaklarıyla ilgili olarak personelin
işletmeye seçilmesinde takip edilen yöntemler araştırılıyorsa
personel seçim sistemlerinden hangilerinin uygulandığı, ne
sıklıkta uygulandığı, niçin uygulanamadığı, işletmeye ne gibi
yükler getirdiği tam olarak raporlanmalıdır.
Veri Derleme Türleri
Veri derleme süreci kabaca, sürekli ve ani ve kısmi ve genel olmak üzere iki
başlık altında toplanabilir.
• Sürekli Birim; Belirli bir süre içerisinde istenildiği anda gözlemlenebilen
birimlerdir. Mesela insan, ticari kuruluş, konut, araçlar sürekli birimlerdir.
Sürekli birimler maddesel varlığa sahip birimlerdir.
• Ani Birim: Belirli bir anda ortaya çıkan ve ancak ortaya çıktıkları anda
incelenebilen, maddesel varlığa sahip olmayan birimlerdir. Evlenme, boşanma,
trafik kazası, ölüm ani birimlerdir.
• Ani ve Sürekli Veri Derleme
Ani Veri Derleme
 Eğer gözlemlenecek kütledeki birimler sürekli karakterdeyse, istenilen bir
anda gözlenmeye hazır olan bu tür birimlerin gözlenmesi ya da kaydedilmesi
işlemlerine “ani veri derleme” denir.
 Sürekli olayların kısa veya uzun bir zaman aralığı içinde herhangi bir anda
sayılabilme, ölçülebilme imkanı vardır.
 Nüfus sayımları ve iş yeri sayımları bu tür veri derlemeye örnek gösterilebilir.
ÖRNEK SORU
• Aşağıdakilerden hangisi sürekli birimdir?
A) Evlenme
B) Doğum
C) Ölüm
D) Boşanma
E) Ticari kuruluş
• ÇÖZÜM: Sürekli birimler, maddesel bir varlığa sahip, istenilen herhangi bir zamanda
gözlenebilen, bir anda ortaya çıkmayan ve belirli bir süre devam eden birimlerdir.
Seçeneklerde verilen evlenme, boşanma, ölüm ve doğum, belirli bir anda ortaya çıkan,
ancak ortaya çıktığı anda gözlemlenebilen ve maddesel bir varlığa sahip olmayan
birimlerdir. Ticari kuruluş ise maddi varlığı olan, istenilen bir zamanda gözlemlenebilen ve
belirli bir süre varlığı devam eden birim olduğu için sürekli birim olarak adlandırılır. Ancak
unutulmaması gereken bir nokta, ticari kuruluşlarla ilgili iflaslar aniden ortaya çıkan ve
belirli bir anda gözlemlenebilen birim olduğu için ani birimdir.
• Doğru cevap (E) seçeneğidir.
Veri Derleme Türleri
• Sürekli Veri Derleme
Bazı olaylar bir anda olup biterler.
Bu tür olayların tekrarlanması ve belli bir zaman aralığında bir
arada bulunması mümkün değildir.
Eğer ilgilenilen kütle bu tür birimlerden oluşmuşsa (bu tür birimler
zamana yayıldığından), belli bir zaman aralığında gözlenmeleri ve
kaydedilmeleri gerekir.
Bu tür işlemlere “sürekli veri derleme” denir.
Bir iş yerinde belli bir zaman aralığında meydana gelen iş kazaları,
makine arızalanmaları, üretim durmaları, belirli bir bölgede ve
zaman aralığında evlenmeler, boşanmalar, trafik kazaları, doğumlar
ve ölümlere ilişkin derlenen veriler, bu tür veri derlemeye örnek
oluşturur.
Veri Derleme Türleri
• Genel ve Kısmi Veri Derleme
• Genel Veri Derleme (Tam sayım)
Hakkında bilgi edinilmek istenen kütlenin tamamının
gözlenmesine “genel veri derleme” ya da “tam sayım” adı
verilir.
Genel nüfus ve tarım sayımları birer genel veri derlemedir.
Açıktır ki, bu tür veri derleme hem pahalı hem de güçtür. Öte
yandan deneylerin tahribatlı olması, üzerinde araştırma
yapılan anakütlenin araştırma zamanı içerisinde değişime
uğruyor olması veya kısa sürede bilgiye ulaşılmak istenmesi
genel veri derleme yöntemini kullanmayı olumsuz yönde
etkileyen faktörlerdir.
Ancak güvenilirliğin çok yüksek tutulduğu deneylerde,
anakütle hacminin az olduğu durumlarda genel veri derleme
yöntemi tercih edilir.
Veri Derleme Türleri
• Kısmi Veri Derleme
Hakkında
bilgi edinilmek istenen kütleyi oluşturan
birimler arasından, belirlenen amaçlar doğrultusunda
yalnızca bir kısmının seçilip gözlenmesine, “kısmi veri
derleme” adı verilir.
Kısmi veri derleme, genel veri derlemenin pahalı oluşu,
zaman alışı, gözlem birimlerinin fiziksel zarara uğraması
gibi nedenlerle yapılmak istenmediği durumlarda
uygulanır.
Seçimlerden önce araştırma şirketlerinin seçilmiş
belli noktalarda ve sınırlı sayıda seçmenle yaptığı
seçmen eğiliminin belirlenmesine yönelik çalışmalar
kısmi veri derlemeye örnek verilebilir.
Veri Derleme Yöntemleri
Birincil ve ikincil veri kaynakları
• İşletmelerde veriler birincil ve ikincil kaynaklardan elde
edilir.
• Birincil kaynaklar incelenmek istenen ana kütleye ait birimler
üzerinde yapılan araştırma ve incelemelerden oluşur. İşletmenin
kendi iç kaynakları ile gözlem, deney veya alan taraması
yöntemlerini kullanarak elde ettiği verilere birincil kaynak
verisidir.
• İkincil veri kaynakları ise işletme dışı kaynaklardan elde
edilen çeşitli kurum ve kuruluşların (Türkiye İstatistik Kurumu,
Devlet Planlama Teşkilatı, Hazine müsteşarlığı, Merkez bankası
vs.) yayınlarından oluşur. Kitaplar, dergilerdeki makaleler,
ansiklopedi maddeleri, istatistikler, tezler, gazeteler, yayımlanmış
raporlar, el kitapları, broşürler, kataloglar ikincil veri kaynakları
olarak sayılabilir.
Birincil Kaynaktan Veri Derleme Yöntemleri
• Birincil kaynaklardan veri derlemede deney, gözlem ve
alan taraması yöntemleri kullanılmaktadır.
1. Deney Yöntemi
 Deneyler, bağımlı değişken ile bu bağımlı değişkenin değişimi
üzerinde etkide bulunduğu varsayılan bağımsız (açıklayıcı,
faktör) değişkenlerin sebep - sonuç ilişkilerini ortaya
koymak amacıyla düzenlenmiş yapay düzenlerdir.
 Bu yapay düzeneklerden veri toplama yöntemine deney
yöntemi adı verilmektedir.
 Deney yöntemi, diğer araştırma yöntemleri içinde en fazla
güvenilir doğru sonuçlar veren bir uygulamadır. Bu
yöntem, insan hatasını en alt düzeye düşürecek şekilde
geliştirilmiştir.
 Deneyler aracılığı ile veri toplama yöntemine çoğunlukla
deneysel çalışma, deneysel araştırma adı da verilmektedir.
Birincil Kaynaktan Veri Derleme Yöntemleri
2. Gözlem Yöntemi
 Gözlem bir kimsenin diğer canlı ve cansız varlıklar hakkında
duyu organları ile bilgi edinme yolu veya varlıkların
değişik ortamlarda, çeşitli davranışları hakkında
onları gözleme yolu ile bilgi toplamasıdır.
 Gözlem yöntemi araştırmacının uygun bulduğu her tür sosyal
ve kurumsal ortamda bir veri toplama aracı olarak
kullanılabilir.
 Gözlem tekniğinde işletmelerde personelin, yöneticilerin,
müşterilerin veya bir çalışma grubunun davranışları,
doğrudan veya dolaylı olarak gözlenmek suretiyle önceden
oluşturulmuş, belli bir sistematiğe göre veri toplanır.
 Bu
yöntemle
yapılandırılmış
(müdahaleli)
veya
yapılandırılmamış (müdahalesiz - doğal) yollarla veri
toplanır.
Birincil Kaynaktan Veri Derleme Yöntemleri
3. Alan Taraması Yöntemi
Alan taraması yöntemiyle veri toplama işlemi de kendi içinde üç
alt başlıkta incelenir. Bunlar mülakat, anket ve belge
incelemesi yöntemleri olarak ifade edilebilir.
3.1. Mülakat Yöntemi
 İşletmelerde mülakat işletme sahipleriyle, profesyonel yöneticilerle
müşterilerle ve çalışanlarla yapılabilir.
 İşletme sahibinden veya üst düzey yöneticilerden izin alınmadan
çalışanlarla mülakat yapmak doğru değildir.
 Mülakat yönteminin etkililiği randevu alınarak yapılmasıdır.
 Randevu
alınmadığı
durumda
konular
yeterli
ayrıntıda
görüşülemeyebilir.
 Etkili bir mülakat için işletme yöneticisine sorulması düşünülen
sorular önceden verilebilir.
Üç farklı mülakat yöntemi vardır. Bunlar, biçimsel, yarı
biçimsel ve biçimsel olmayan mülakat yöntemleridir.
Birincil Kaynaktan Veri Derleme Yöntemleri
3.2 Anket Yöntemi
Alan taraması içinde ikinci yöntem anket yöntemidir.
Bireylerin bazı davranışları ve bazı düşünsel, duygusal,
inançsal, güdüsel, algısal özellikleri vardır ki, yapısı gereği
gözlenmesi olanaksızdır.
Bu tür konuları incelemek için yapılacak araştırmalarda
anket yöntemi kullanılır.
Anket en basit tanımıyla Soru-cevap tekniğiyle
uygulanan sistematik bir veri toplama yöntemidir.
Önceden belirlenmiş insanlara bir takım sorular sorularak
uygulanır.
Bir çeşit yazılı iletişim tekniği ile uygulanan veri toplama
yöntemidir.
Uygulama alanı genellikle toplum olduğu için uygulama
aşaması da oldukça güç koşullar altında yürütülür.
Birincil Kaynaktan Veri Derleme Yöntemleri
Anket Yöntemi
• Anket İçin Soru Kağıdının Hazırlanması
Anket yöntemiyle yapılacak bir araştırmadan
istenilen sonuçların elde edilebilmesi için konuya
uygun soruların seçilmesi ve bunların soru kağıdı
üzerinde uygun biçimde düzenlenmesi çok önemlidir.
Bir ankette olabilecek soru türleri şunlardır:
• Standart Soru
Önceden hazırlanan, aynı sözcüklerle ve aynı sırada
deneklere yöneltilen sorulardır. Amaç tüm deneklerin aynı
soruyu aynı biçimde anlaması, yorumlaması ve kendi
görüşüne göre cevaplamasıdır.
Birincil Kaynaktan Veri Derleme Yöntemleri
Anket Yöntemi
• Serbest Soru
Katılımcıya yöneltilen bir soruya alınan yanıtlara göre
görüşmeci tarafından o anda sorulması gerekli görülen
sorulardır.
Standart biçim, sayı ve sırada hazırlanmadığı için
değişik deneklere değişik sorular yöneltilebilir.
Bu nedenle alınan yanıtların değerlendirilmesi ve
karşılaştırmaların yapılabilmesi oldukça güçtür.
Ayrıca serbest sorularla görüşmeyi yürütmek çok güç ve
çok deneyim isteyen bir iştir.
Özel bilgi, beceri ve eğitim gerektirir.
Birincil Kaynaktan Veri Derleme Yöntemleri
Anket Yöntemi
Kapalı Uçlu Soru: Kapalı uçlu soruda deneğe yöneltilen sorunun
karşılığı sorunun içindedir.
• Genellikle evet-hayır, sıralama, bir dizi yanıt içinden istediğini
seçme biçimlerinde olabilir.
• Kapalı uçlu soruda, cevap seçenekleri önceden geliştirilip sorularla
birlikte verilmektedir. Bu konuyla ilgili şöyle bir örnek verilebilir.
• “Eğitim durumunuz nedir?” sorusuna
( ) İlkokul
( ) Ortaokul
( ) Lise ( ) Üniversite ( ) Y. Lisans
• “Okulda başarı düzeyiniz nasıldır?“ sorusu için
( ) Zayıf
( ) Orta
( ) İyi ( ) Pekiyi
gibi cevaplar verilecektir.
• Kapalı uçlu soruların katılımcı kişi için cevaplama kolaylığı sağlaması
ve araştırmacı için değerlendirme kolaylığı vermesidir avantajlı
taraflarıdır.
Birincil Kaynaktan Veri Derleme Yöntemleri
Anket Yöntemi
• Açık Uçlu Soru:
Kendisine yöneltilen soruya denek istediği yanıtı verir.
Kapalı uçlu soruda olduğu gibi, önceden düzenlenen yanıtlardan
birini seçmesi istenmez.
Katılımcı, genel sınırlar içinde, soruyu, istediği kapsam ve
derinlikte ve kendi anlatımı ile cevaplama hakkına sahiptir.
“İşletmede
ıskarta
düşünüyorsunuz?”,
oranının
düşürülmesi
için
ne
“İşletmenin ücret politikası ile ilgili ne düşünüyorsunuz?” gibi
sorulara katılımcının istediği şekilde cevap vermesi istenir.
• Açık uçlu ve kapalı uçlu soru türlerinden her ikisinin de iyi ve
sakıncalı yanları vardır. Bir soru kağıdına yalnız kapalı uçlu ya
da açık uçlu sorular konabileceği gibi ikisi birlikte de konabilir.
Birincil Kaynaktan Veri Derleme Yöntemleri
• Belge İnceleme Yöntemi
İşletme kayıtları (belgeler) yönetim merkezinde, üretim ve
hizmet sunum birimlerinde bulunabilir.
Burada önemli olan nokta araştırmacının sektörü, ürünü
veya hizmeti tanıyarak hangi tür kayıtlara ihtiyacı
olacağını bilmesidir.
Sektörü, iş grubunu tanımadan işletme kayıtları
araştırılamaz.
Öte yandan işletme kayıtları aynı sektörde faaliyet
gösteren işletmeler arasında dahi büyük ölçüde farklılık
gösterir.
 Kayıtların isimleri, formatı, içeriği farklı olabilir.
 Araştırmacı bu nedenle işletme kayıtları olgusunu geniş
bir açıdan ele almalı, beklediği kayıtlara ulaşamamışsa bu
kayıtların yerini tutabilecek diğer kayıtları incelemelidir.
İkincil Veriler
Farklı amaçlarla değişik kurum ve kuruluşlar tarafından geçmiş
dönemlerde derlenmiş veriler ikincil veri adı verilmektedir.
• Bu veriler yurt içi ve yurtdışı kaynaklardan elde edilebilirler.
• Veriler ham ve işlenmiş şekilde de bulunabilir.
• Eğer bir alanda ikincil veriler mevcutsa birincil veri toplamak
hem zaman, kaynak israfına sebep olur, hem de konuya ilişkin
yeterince kaynak taraması yapılmadığı anlamına gelir.
• Özellikle
uluslar arası karşılaştırmaların konu edildiği
çalışmalarda genellikle ikincil verilere ihtiyaç duyulmaktadır.
• Bu alanda Birleşmiş Milletler Teşkilatı, Dünya Bankası,
Uluslararası Para Fonu gibi kuruluşlar geniş veri tabanına
sahiptir.
• Bunun yanında resmi olmayan bir kısım kuruluşlar da ülke ve
bölge raporları yayımlamaktadır.
Veri Düzenleme Grafiksel Gösterimler
ve Merkezi Eğilim Ölçüleri
Verilerin İşlenmesi
• Yapılan bir araştırmada elde edilen veriler dağınık,
düzensiz ve karmaşık bir hal içerir.
• Bu şekliyle veriden anlamlı bir sonuca ulaşmak mümkün
değildir.
• İstatistik analizin hammaddesi niteliğinde olan bu ham
verinin işlenerek düzenli ve anlaşılır hale getirilmesi
gerekir.
• Çeşitli kaynaklardan derlenmiş ya da bizim tarafımızdan
anket, deney ya da gözlem gibi tekniklerle toplanmış olan
ham verilerin anlaşılır ve düzenli hale getirilebilmesi için
istatistik seriler, tablolar ve grafiklerden faydalanılır.
VERİLERİN DÜZENLENMESİ VE SUNUMU
Seriler;
 Zaman serileri
 Mekan serileri
 Dağılım serileri
 Basit Seri: Derlenmiş olan sayısal verilerin küçükten
büyüğe doğru sıralanması ile elde edilen serilerdir.
 Tasnif edilmiş seri/Frekanslı seri: Bu tür serilerde
tekrarlanan elemanlar bir araya getirilerek frekanslar
şeklinde ifade edilen seridir.
 Gruplanmış seri: Belli değer aralıklarına düşen birimler
bir
araya
getirilerek
oluşturulan
frekanslı
serilere
gruplanmış seri adı verilir.
52
Zaman serisi
Verileri gün, hafta, ay, yıl gibi zaman vasfının şıklarına göre
düzenlenmiş olarak gösteren serilerdir.
Zaman serisi iki sütundan oluşur. Birinci sütunda zaman vasfının
şıkları, ikinci sütunda ise olaya ait değerler bulunur.
Örnek: Yıllara göre Türkiye nüfusu
Yıllar
1950
1955
1960
1965
1970
Nüfus(milyon)
20,9
24,1
27,8
31,4
35,6
53
Veri Düzenleme
Zaman Serileri
• Bir
değişkenin değerlerinin
zamanın şıklarına göre (gün,
ay, mevsim, yıl vb.) değişimini
gösteren serilere zaman serisi
denir.
• Zaman
serisi verileri eşit
zaman aralıkları ile derlenmiş
verilerden oluşur.
Yıllar
X malı fiyatı
2000
12
2001
18
2002
15
2003
20
2004
27
2005
24
Mekan serisi
Toplanan verileri mekan vasfının şıklarına göre sıralanmış olarak
gösteren seriler mekan serileri adını alır.
Mekan vasfının şıkları ülke, bölge, il, ilçe, köy gibi şıklar olabilir. Seri
iki sütundan oluşur. İlk sütunda mekan vasfının şıkları, ikici sütunda
değerler bulunur.
Örnek: İllere göre 1970 yılı nüfus değerleri
İller
Nüfus(bin kişi)
İstanbul
3.019
Ankara
2.042
İzmir
1.427
Adana
1.035
Bursa
848
55
Dağılım serileri
Zaman ve mekan vasfının dışında kalan maddi değişken olarak
tanınan değişkenlerin şıklarına göre düzenlenmiş seriler dağılım
serileridir.
Bir sınıftaki öğrencilerin aldığı notlar, boy uzunluğu, ağırlık , işçi
sayısı gibi özellikler örnek verilebilir.
Dağılım serileri sayısal olmayan özelliklere göre de düzenlenebilir.
Ancak sayısal özelliklere göre düzenlenmiş dağılım serileri daha çok
kullanılmaktadır. Bu tür dağılım serileri 3 sınıfta toplanabilir.
 Basit seriler
 Frekanslı/Sınıflanmış (tasnif edilmiş) seriler
 Gruplanmış seriler
56
Veri Düzenleme
Niceliksel (Kantitatif- Ölçülebilen) Verilerin İstatistik
Bölünme Serileriyle Gösterilmesi
• Niceliksel olarak ifade edilen sayısal olarak ifade edilen
ya da ölçülebilir özellik taşıyan değişkenlere ait
verilerin istatistik bölünme serileri ile gösterilmesinde
basit, tasnif edilmiş ve gruplanmış seriler kullanılır.
• Basit Seri: Derlenmiş olan sayısal verilerin küçükten
büyüğe doğru sıralanması ile elde edilen serilerdir.
• Tasnif
edilmiş seri: Tasnif edilmiş serilerde
tekrarlayan elemanlar bir araya getirilerek frekanslar
şeklinde ifade edilen seridir.
• Gruplanmış
seri: Belli değer aralıklarına düşen
birimler bir araya getirilerek oluşturulan frekanslı
serilere gruplanmış seri adı verilir.
Dağılım Serileri
Basit seri
Tasnif edilmiş/Frekanslı seri
Gruplu seri
58
Basit Seri
• Araştırma veya analizlerde kullanılmak üzere elde edilen veri
sayısı az ise bu tür veri yapılarına BASİT SERİ adı verilir.
• Verilerin büyükten küçüğe
sıralanmasıyla oluşturulan seridir.
veya
küçükten
büyüğe
Örnek:
7 öğrencinin bir dersten devamsızlık sayıları 3,4,6,1,5,2,4
olsun.
Verileri küçükten büyüğe doğru sıraladığımızda;
basit seri; 1,2,3,4,4,5,6 elde edilir.
59
Basit Seri
Örnek: Bir işletmede çalışan 25 işçiye verilecek çocuk
paraları ile ilgili bir araştırma yapılmaktadır. İşçilerin çocuk
sayıları aşağıda verilmiştir.
1,3,2,2,3,1,4,5,3,6,0,5,2,3,2,4,8,0,1,2,3,3,1,0,4
Verilen değerleri basit seri şeklinde düzenleyelim.
0,0,0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,4,4,4,5,5,6,8
60
Veri Düzenleme
Niceliksel (Kantitatif- Ölçülebilen) Verilerin İstatistik Bölünme
Serileriyle Gösterilmesi
• Basit seri örnekleri
Notlar
Uzunluklar
Satışlar
10
143
3
22
147
4
30
155
6
43
160
7
50
167
7
55
170
7
63
176
8
70
185
8
90
191
9
Basit Seri
62
Basit Seri
Örnek: 12 öğrencinin bir dersten aldığı notlar;
50, 65, 0, 30, 25, 50, 30, 45, 90, 70, 50, 75
Notlar(xi )
0
25
30
30
45
50
50
50
65
70
75
90
63
Frekanslı seri
Basit
seriler
bazı
dönüştürülebilir
küçük
düzenlemelerle
frekanslı
seriye
Gözlem sonuçlarının düzenlenerek birinci sütunda olaya ait değerleri, ikinci
sütunda frekansları gösterecek şekilde hazırlanırsa sınıflanmış seri elde edilir.
Örnek: 12 öğrencinin bir derse ait notları (basit seri için verilen örnek) ve
frekansları
Notlar(xi) Frekanslar(ni)
0
1
25
1
Not; frekans
30
2
değerlerinin
45
1
toplamının
50
3
gözlem sayısına
65
1
70
1
eşit olması
75
1
gerekir.
90
1
Frekanslı Seri
Değişkenlerin çeşitli şıklarının kütlede kaç defa tekrarlandığını
gösteren sayılar frekans adını alır.
İncelenecek birim sayısının artması ile basit seriler yan yana veya alt
alta yazılmış uzun sayı dizileri oluşturulacaktır.
Bu durumda çalışma kolaylığı sağlaması için frekans serileri
düzenlenir.
Örnek: Daha önce basit seri olarak
düzenlenen seriyi frekans serisi olarak
düzenleyiniz.
Basit seri; 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3,
3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 8
xi
fi
0
3
1
4
2
5
3
6
4
3
5
2
6
1
8
1
Toplam
25
65
Veri Düzenleme
Niceliksel (Kantitatif- Ölçülebilen) Verilerin İstatistik Bölünme
Serileriyle Gösterilmesi
• Tasnif edilmiş seri örnekleri
Notlar
(Xi)
1
2
3
4
5
Toplam
Öğr.say
(fi)
3
5
8
4
1
21
Uzunluk Fert say
(Xi)
(fi)
160
3
165
5
170
4
180
2
190
1
Toplam
15
Satışlar Gün say
(Xi)
(fi)
4
1
5
3
6
6
7
4
8
2
Toplam
16
Frekans Serilerinin
Grafikle
Gösterilmesi
Xi
2
4
6
8
10
fi
1
5
7
4
2
67
Basit seri
18, 20, 21, 22,
23, 23, 23, 24,
24, 24, 24, 25,
25, 25, 26, 26,
26, 27, 27, 27,
27, 28, 29, 29,
30, 31, 32, 32
Ele alınan değişkenin şıkları
çok sayıda ise sınıflamada
sorun çıkabilir. Bu durumda
gruplamaya başvurulur.
Frekanslı seri
X (satış adedi)
18
1
20
1
21
1
22
1
23
3
24
4
25
3
26
5
27
4
28
1
29
2
30
1
31
1
32
2
toplam
30
68
Gruplama
 Bir değişkenin birbirine yakın olan şıklarını bir araya getirmeye
gruplama denir.
 Örneğin meslek istatistikleri yapılırken serbest çalışan doktor, avukat,
dişçi, tüccar gibi meslekler “serbest meslekler” grubuna alınmaktadır.
 Gruplama ile toplanan veriler hakkında daha geniş ve açık bilgiler
alınabileceği gibi, her gruba düşen frekans sayısı da büyür.
 Gruplamanın bu yararları yanında bazı sakıncaları da vardır.
 Örneğin grup sınırlarının belirtilmesi önemli bir sorundur.
69
Veri Düzenleme
Niceliksel (Kantitatif- Ölçülebilen) Verilerin İstatistik Bölünme
Serileriyle Gösterilmesi
• Gruplanmış seri örnekleri
Notlar
Öğrenci
sayısı
0 - 20
Uzunluk
Fert
sayısı
Satışlar
Gün
sayısı
4
140 – 150
2
10 – 30
1
20 – 40
10
150 – 160
5
30 – 40
4
40 – 60
20
160 – 170
12
40 – 50
7
60 – 80
13
170 – 180
10
50 – 70
6
80 –100
3
180 – 190
6
70 – 100
3
Veri Düzenleme
Niceliksel (Kantitatif- Ölçülebilen) Verilerin İstatistik Bölünme
Serileriyle Gösterilmesi
• Kesikli
karakterdeki
niceliksel
verileri
gruplarken
sınıf
aralıklarında boşluklar
oluşur.
• Yandaki
seride
KOBİ’lerde çalışan işçi
sayısı değişkeni kesikli
bir özelliğe sahiptir.
• Bu
değişken tamsayı
dışında değerler almaz.
• Bu sebeple sınıflar arası
boşluklar oluşur.
Çalışan İşçi KOBİ Sayısı
Sayısı
5 – 14
10
15 – 24
20
25 – 34
25
35 – 44
15
45 – 54
5
Basit ve tasnif edilmiş serinin
Gruplanmış seriye dönüştürülmesi
• Basit ve tasnif edilmiş serilerle verinin anlaşılır hale
gelmesi mümkün olmuyorsa böyle durumlarda veriyi
sınıflara ayırarak gruplanmış seriye dönüştürmek
gerekebilir.
• Veriyi gruplamak için aşağıdaki Sturges sınıf aralığı
formülü kullanılabilir.
X max  X min
S
1  3,3  log N
• S: Sınıf aralığı
• Xmax: Verinin en büyük değeri
• Xmin: Verinin en küçük değeri
• N: Veri sayısı
Bir verinin gruplanmış seriye dönüştürülmesi
• Xmin: 25
Öğrencilerin ağırlıkları
37 67 79 58 51 33
53 95 60 64 43 66
81 58 65 50 64 50
70
25
56
46
40
56
59
51
89
57 77
60 57
63 80
77
59
73
Xmax: 95
95  25
S
 11,37  11
1  3,322 log 36
• Serinin sınıf aralıkları 11 birim
olacak şekilde
uygun olacaktır.
gruplanması
Bir verinin gruplanmış seriye dönüştürülmesi
Ağırlıklar
Öğrenci sayısı
25 - 36 dan az
2
36 - 47
“
“
4
47 - 58
“
“
9
58 - 69
“
“
12
69 - 80
“
“
5
80 - 91
“
“
3
91 - 100 “
“
1
Kesikli değişkenlerde gruplu seri

Kesikli karakterdeki niceliksel verileri
gruplarken sınıf aralıklarında boşluklar
oluşur.

Yandaki seride işçi sayısı değişkeni
kesikli bir özelliğe sahiptir.

Bu değişken tamsayı dışında değerler
almaz.

Bu sebeple sınıflar arası boşluklar oluşur.
sınıflar
18-20
2
21-23
5
24-26
12
27-29
7
30-32
4
toplam
30
k=5
(32-18)/5=2.8
Gruplanmış seri
Paketlerin
gramajları
992
993
994
995
996
997
998
999
1000
1001
1002
1003
1004
1005
frekanslar
1
1
1
2
2
2
3
5
3
2
4
1
2
1
Oluşturulan
frekanslı seri
sınıflar
992-994 den az
2
994-996 dan az
5
996-998 den az
4
998-1000 den az
8
1000-1002 den az
5
1002-1004 den az
5
1004-1006 dan az
3
toplam
30
Sürekli değişkene ait gruplu seri
Mühendislik fakültesi dekanı öğrencilerin haftalık kaç
saat çalıştıklarıyla ilgili bir çalışma yapıyor. 30
öğrenciyi tesadüfi olarak seçiyor ve onların geçen
hafta kaç saat çalıştıklarını kaydediyor.
15.0, 23.7, 19.7, 15.4, 18.3, 23.0, 14.2, 20.8, 13.5, 20.7,
17.4, 18.6, 12.9, 20.3, 13.7, 21.4, 18.3, 29.8, 17.1, 18.9,
10.3, 26.1, 15.7, 14.0, 17.8, 33.8, 23.2, 12.9, 27.1, 16.6.
Veriyi gruplandırıp frekans tablosunu
oluşturunuz.
kaç tane grup kullanacağına aşağıdaki formülle
belirle
2k > n
k=sınıf sayısı
n=gözlem sayısı
sınıf aralığını aşağıdaki formülü kullanarak
bul
C>
R=H – L = 33.8 – 10.3
= 4.7
5
k
H=verideki en büyük değer, L=verideki en küçük
değer, k=grup/sınıf sayısı
Çıkan sonucu 5’e yuvarla
İlk sınıfın alt sınırını 10 olarak belirle ve 5 sınıf
oluştur.
Gruplanmış Seri Tabloları
80
Çapraz Tablolar
• Bazı durumlarda değişkenin iki farklı özelliğinin aynı
tabloda eşleştirilmiş olarak gösterilmesi istenebilir.
• Böyle durumlarda çapraz tablo kullanılır.
• Tabloda satıra istatistik birimlerin bir özelliği, sütuna
diğer özelliği yazılarak ortak eleman sayıları hücrelere
yazılmak suretiyle çapraz tablolar oluşturulur.
• Çapraz tablolar hem niteliksel, hem de niceliksel veriler
için oluşturulabilir.
• Aşağıda MYO öğrencilerinin mezun oldukları lise türü
ve öğrenim
verilmiştir.
gördükleri
bölümlere
göre
dağılışı
• Bu tablo niteliksel veriler için düzenlenmiş bir tablodur.
Çapraz Tablo Örneği
Lise Lise
Türü
Bölümler
Çevre
Bilgisayar Kalıpçılık Lojistik Makine Mekatronik
Düz lise
27
11
16
8
17
9
Anadolu
Fen
2
0
0
0
1
0
Ticaret
0
3
5
3
0
2
End.
Meslek
0
9
3
5
5
2
Diğer
3
0
3
0
6
3
Toplam
32
23
27
16
29
16
Verilerin Grafiklerle Gösterilmesi
•Niteliksel seriler ve Tasnif edilmiş seriler için çubuk diyagramı
1
2
3
Öğrenci sayısı
3
7
10
4
6
5
2
Öğrenci sayısı
Notlar
Öğrenci sayısının dağılımı
12
10
8
6
4
2
0
1
2
3
Notlar
4
5
Verilen sınıflandırılmış serinin histogramını çiziniz ?
Histogram
Genellikle sınıflandırılmış serilerde kullanılan bir grafik türüdür. Frekans serileri de içinde
kullanılabilmektedir. Birbirine bitişik dikdörtgenlerden oluşur. Bir sınıfa ait dikdörtgenin alanı
ile sınıfın frekansı eşit hale gelir. Bunun içinde her bir sınıfın ayarlanmış frekansları bulunur,
sınıfların ayarlanmış frekansları bulunurken ilgili sınıfın frekansını sınıf alanına böleriz.
Böylece sınıfları yatay ayarlanmış frekansları düşey eksende göstererek histogramı çizeriz.
Gruplanmış serinin Histogram grafiği
Bu grafiğin diğer bir ismi sütun grafiğidir. Grafiğin özelliği
sürekli karakterde verilerin grafiği olması sebebiyle
histogram sütunların birbirine bitişik olmasıdır
Gruplanmış serinin Histogram grafiği
• Sınıf aralıkları eşit olmadığı
durumda da histogram grafiği
yine önceki örnekte olduğu
gibi çizilir, yani histogram
sütunlarının alanını frekansa
eşit yapacak şekilde
frekansların yeniden
hesaplanması gerekir.
• Yanda öğrenci notları serisi
farklı sınıf aralıkları ile
verilmiştir
0 – 5 den az
Öğrenci
sayısı
10
5 – 7 den az
20
7 – 9 dan az
14
9 - 10
5
Notlar
Gruplanmış serinin Histogram grafiği
Notlar
Öğrenci
sayısı
Sınıf
Genişliği
Ayarlanmış
frekans
0–5
10
5
10/5 = 2
5–7
20
2
20/2 = 10
7–9
14
2
14/2 = 7
9 - 10
5
1
5/1 = 5
Eğer seri açık sınıflı ise histogramı çizilemez.
Birinci sınıfın alt limiti veya son sınıfın üst
limiti veya ortadaki gruplardan birisi yoksa bu
seri açık sınıflı seri olur (20-25 sınıfında 20
veya 25 den birisi yoksa)
Frekans Eğrisi (Poligonu)
Histogram sütunlarının üst orta noktalarından geçen grafiktir.
Bu grafik dağılımın şeklini ortaya koymada kullanılan bir grafiktir.
Not sınıfları
Öğrenci
sayısı
25 – 36 den az
2
36 – 47
47 – 58
58 – 69
69 – 80
80 – 91
“
“
“
“
“
“
“
“
“
“
4
9
12
5
3
91 – 100 “ “
1
Dairesel Grafikler
• Özellikle
niteliksel (sayısal olmayan) değişken
değerlerinin grafikle gösterilmesinde kullanılırlar.
Dairenin frekanslara açısal olarak paylaştırılması ile
elde edilir. Bir birimin açısal karşılığı şöyle bulunur.
•
Açısal değer
360
360


 3 derece
Toplam frekans 120
• Her kategorinin frekansı bu 3 ile çarpılarak dairedeki
açısal değeri bulunur.
Dairesel Grafikler
Mezun old.
Lise
Öğr.
sayısı
Açısal
değer
End. Meslek
Lis.
50
150
Düz Lise
40
120
20
60
10
30
120
360
Ticaret
Lisesi
Diğer
Liseler
Toplam
Zaman Serisi Grafiği (Çizgi
Grafiği)
• Zamana bağlı olarak sabit aralıklarla toplanmış olan
verilerin eğilimini ve değişimini izleyebilmek için çizgi
grafiklerinden faydalanılır.
• Grafikte yatay eksen zamanı, dikey eksen ise zaman serisi
değerlerini göstermektedir. Zaman serileri artan, azalan,
durağan ya da periyodik değişen veya bu özelliklerin bir
kısmını içeren verilerden oluşur.
• Nüfus, gelir, enerji tüketimi, konut sayısı vs. artan zaman
serilerine örnek gösterilebilir.
• Modası geçen, teknolojisi eskiyen ürünlerin satışı azalan
zaman serisi niteliğindedir. Konutlarda tüketilen doğalgaz
miktarı, meşrubat tüketimi vb. hem eğilimli hem de
periyodik değişim gösteren bir özelliğe sahiptir.
Artan bir zaman serisi ve grafiği
Yıllar
X malı fiyatı
2000
12
2001
18
2002
15
2003
20
2004
27
2005
24
Dağılım Grafiği
• Aralarında ilişki olduğu düşünülen iki değişkenin
birbirine göre nasıl bir değişim gösterdiğini, nasıl bir
ilişki içinde olduğunu gösteren grafiklerdir.
• Genellikle bu değişkenlerden bir etkileyen (bağımsız,
açıklayan), diğeri etkilenen (bağımlı, açıklanan)
değişken olarak ortaya çıkar.
• Bir malın fiyatı ile onun talebi arasında ters bir ilişki
olduğu düşünülür.
• Kişilerin gelirleri ile tüketim harcamaları arasında
pozitif bir ilişkinin olduğu kabul edilir.
• Aşağıda öğrencilerin matematik notları ile istatistik
notları arasındaki
gösterilmiştir.
ilişki
dağılım
grafiği
ile
Dağılım Grafiği
Matematik
notu
70
25
40
55
90
15
70
Dağılım Grafiği
İstatistik notu
İstatistik
notu
60
30
50
40
80
20
80
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
20
40
60
80
Matematik notu
100
Üç boyutlu grafikler
Çapraz tablo şeklindeki verilerin grafikle gösteriminde kullanılır.
Bu grafikte dikey eksen frekansları, yatay eksenler ise
değişkenin iki özelliğini gösterecek şekilde dizayn edilir.
Lise
Çevre
Bilgisa
yar
Kalıp
çılık
Lojis
tik
Düz lise
17
11
6
8
Ticaret
2
0
0
0
Anadolu
0
3
5
13
EML
0
9
15
5
Diğer
3
0
6
0
Merkezi Eğilim Ölçüleri (Ortalamalar)
• Analitik Ortalamalar
• Aritmetik
• Geometrik
• Harmonik
• Kareli ortalama
• Analitik olmayan ortalamalar
• Mod
• Medyan
• Kartil, Desil ve Santiller
I. Merkezi Eğilim Ölçüleri (Ortalamalar)
•
Bir veri setinin merkez noktasını gösteren, serinin
normal değerinin bir göstergesi olan ve veriyi tek bir
değerle ifade eden değerlere merkezi eğilim ölçüleri adı
verilir. Bir verinin ortalaması onun en küçük ve en
büyük değeri arasında yer alır.
Ortalamaların Faydaları:
kısaca şöyle özetlenebilir.
X min Ortalama  X max
Ortalamaların faydaları
1. Ortalamalar
çoğu zaman serinin normal değerini
gösterir. Tabi bunun için serinin dağılımının da aşırı
çarpık olmaması gerekir.
2. İstatistik analiz işleminin temel elemanlarından biridir.
3. Aynı
birimle
ölçmek
kaydıyla
karşılaştırmaya imkan tanır.
farklı
serileri
4. Tek bir sayı olması sebebiyle hatırda tutulması kolaydır.
Ortalamalar verinin tamamını kapsayıp kapsamamasına göre
analitik ve analitik olmayan ortalamalar şeklinde iki grupta
incelenir.
1.
Analitik (Hassas ortalamalar)
Verideki
bütün
değerleri
dikkate
alarak
hesaplanan
ortalamalardır. Analitik ortalamalar verinin özelliğine ve hesap
tarzına göre dört farklı şekilde elde edilir.
1.1. Aritmetik ortalama ( X )
1.2. Geometrik ortalama (G)
1.3. Harmonik ortalama (H)
1.4. Kareli ortalama (K).
1.1. Aritmetik ortalama
• Aritmetik ortalama serideki gözlem değerleri toplamının toplam gözlem
sayısına oranıdır.
X 1  X 2  ...........  XN  X i

• Basit seride X 
N
N
f 1 X 1  f 2 X 2  ....  fkXk  f i X i

• Tasnif edilmiş seride X 
f 1  f 2  ....  fk
 fi
• Gruplanmış seride
Xi : i. gözlem değeri
f m  f 2 m2 ....  f k mk
X  1 1

f1  f 2  ....  f k
fm
f
fi : i. değerin frekansı
mi : i. sınıfın orta noktası N : toplam gözlem sayısı
i
i
i
Aritmetik ortalamanın hesaplanışında veri setindeki tüm
veri değerleri kullanılır.
Bir veri setinin yalnızca bir aritmetik ortalaması vardır.
Aritmetik ortalamanın önemli bir sakıncası, data setindeki
aşırı değerlerden kolay etkilenmesidir. Bir data setinde
verilerden bir kaçı çok yüksek yada küçük değerler içeriyor
ise, aritmetik ortalama, data setinin merkezi eğilim ölçümünü
temsil etmek için uygun olmayabilir.
Örnek: 5 öğrencinin bir sınavda almış olduğu notlar 70, 70, 70,
70, ve 100`dir. Aritmetik ortalama 76 olacaktır. Bu aritmetik
ortalama veri setinin iyi bir şekilde temsil etmemektedir.
Dezavantajları
Aritmetik ortalama çok popüler olarak hesaplanıp kullanılmakla beraber bazı önemli
dezavantajları bulunmaktadır.
 Aritmetik ortalama aşırı değerlere duyarlı (yani güçsüz) bir merkezsel konum ölçüsüdür.
Eğer veri dizisi için asimetrik olarak sadece bir uçsal değer ya aşırı küçük ya aşırı büyük
ise aritmetik ortalama o aşırı değere yaklaşma gösterir.
 Aritmetik ortalama her türlü ölçülme ölçekli sayısal veri için kullanılamaz. İsimsel ölçekli
sayısal veriler için aritmetik ortalama anlamsızdır. Sırasal ölçekli sayısal veriler için
aritmetik ortalama kullanılması büyük tartışmalara açıktır.
 Birçok kişi değişik kişilerin sıralamalarının aynı olduğunu kabul etmedikleri için elde
edilen verilerin toplamının ve bu toplamdan çıkartılan aritmetik ortalamanın anlamsız
olacağını kabul etmektedirler. Ancak işletme alanı, davranışsal bilimler ve sosyal
bilimlerde, özellikle anket verileri, sırasal ölçekli olmakta, ve buna rağmen bu verilerin
aritmetik ortalamaları pratikte önemli alanlarda kullanılmaktadır.
 Aralıksal ölçekli ve oransal ölçekli sayısal veriler için aritmetik ortalama anlamlıdır
• Örnek: Adapazarı'nda nisan ayı ortalama yağışlarını tahmin etmek için geçmiş nisan
ayı yağış rakamlarından rasgele 7 tanesi seçilmiş ve aşağıdaki sonuçlar elde
edilmiştir.
• Bu verilerden hareketle Adapazarı'nda nisan ayı yağışlarının aritmetik ortalamasını
hesaplayınız.
Nisan ayı yağışları (Kg)
(Xi)
60
75
80
100
120
130
155
∑Xi=720
X 1  X 2  ...........  XN
X
N
X i 720

X

N
7
X  102,86 Kg
Örnek
Bir işletmede aynı parçayı üreten işçilerin bu parçayı üretim
sürelerinin
dağılımı
aşağıdaki
gibi
gözlenmiştir.
Parça üretim süresinin aritmetik ortalamasını bulunuz.
5
Parça üretim İşçi
süresi(dk)(Xi) sayısı (f )
i
fi.Xi
12
2
24
13
5
65
14
10
140
X 

f i Xi

i 1
5

fi
398
28
i 1
X  14,21 dk .
12
10
15
16
7
4
105
64
8
6
4
2
0
Toplam
28
398
12
13
14
15
16
Örnek Bir işyerinde yapılan telefon görüşmelerinin süresinin dağılımı için
aşağıdaki
gruplanmış
seri
verilmiştir.
Buna göre görüşme süresinin aritmetik ortalamasını bulunuz.
k
Görüşme Görüşme
süresi
sayısı (fi)
mi fimi
0 - 2
1
5
X 
5

f i mi
i 1
k

fi
670

110
i 1
2 - 4
10
3
30
4 - 6
40
5
200
X  6,09 dak ik a
45
40
6 -8
30
7
210
35
30
25
8 - 10
Toplam
25
110
9
225
670
20
15
10
5
0
1
3
5
7
9
Aritmetik Ortalamanın Avantaj ve Dezavantajları
•
Aritmetik Ortalamanın Avantajları:
•
Belirli bir değer etrafında toplanma eğilimi
yüksekse aritmetik ortalama seriyi en iyi temsil
eden tek bir değer verir.
•
Serideki değerlerin aritmetik ortalamadan
sapmalarının (farklarının) toplamı sıfırdır.
( Xi − X ) = 0
•
Bu özelliğinden dolayı aritmetik ortalamalar
standart sapmanın hesaplanmasında kullanılır.
•
Serideki değerlerin aritmetik ortalamadan
sapmalarının (farklarının) toplamının sonucu
minimumdur.
( Xi − X )2 = min.
•
Aritmetik ortalamanın hesaplanmasında
kullanılan gözlem sayısı arttıkça, aritmetik
ortalamanın dağılımı normal dağılıma yaklaşır.
•
Hesaplanması ve anlaşılması kolaydır. Bundan
dolayı en yaygın kullanılan ortalama çeşididir.
• Aritmetik ortalamalar standart sapma,
ortalama sapma vb. istatistiki ölçümlerde
kullanılacağından avantajlı ve
dezavantajlı özelliklerinin bilinmesinde
bundan sonraki çalışmalar için faydası
olacaktır.
•
Aritmetik Ortalamanın Dezavantajları:
•
Aritmetik ortalamanın hesaplamasında serideki bütün değerler
hesaplamaya dâhil edilmektedir. Aritmetik ortalama serideki
uç (sapan, aşırı) değerlere karşı hassastır. Seride bir veya
birden fazla çok küçük veya çok büyük değer (uç değer)
mevcutsa bu değerler aritmetik ortalamayı kendi yönlerine
doğru sürüklerler. Bundan dolayı aritmetik ortalama normal
değerinden çok uzaklaşarak seriyi temsil yeteneğini
kaybedebilir.
•
Açık uçlu frekans dağılımının olduğu durumlarda aritmetik
ortalama hesaplamak doğru olmaz.
Ağırlıklı Aritmetik Ortalama
• Ağırlıklı Aritmetik Ortalama:
Bazı durumlarda serideki verilerin
önem dereceleri (ağırlıkları) farklı
olabilir.
• Böyle durumlarda aritmetik
ortalama hesaplanırken bu
ağırlıklarında ( wi ) dikkate
alınarak hesaplamaya katılması
daha uygun olur.
• Çeşitli seriler için ağırlıklı
aritmetik ortalama ( 𝑋𝐴 )
aşağıdaki formüller yardımıyla
hesaplanabilir.
Tartılı Aritmetik Ortalama
• Bir serideki gözlem değerlerlerinin önem dereceleri farklı olursa, bu
tür serilerin aritmetik ortalaması tartılı olarak hesaplanır.
• Bunun için önem derecesini gösteren katsayılar (tartılar) kullanılır.
•
Örnek olarak öğrencilerin ortalama notlarını hesaplarken derslerin
kredileri tartı olarak düşünülürken, ücretlerin belirlenmesinde
kıdem tartı olarak kabul edilebilir.
ti X i

Basit seride
XT 
 ti
• Tasnif edilmiş seride
XT
t f X


t f
t fm


t f
i
i
i
• Gruplanmış seride
XT
i
i
i
i
i
i
i
Örnek Aşağıda bir öğrencinin almış olduğu dersler, notları ve
kredileri verilmiştir. Not ortalamasını tartılı aritmetik
ortalama cinsinden hesaplayınız.
Dersler
Notlar
(Xi)
Kredi
(ti)
tiXi
İstatistik
70
3
210
Matematik
60
4
240
Fizik
50
3
150
Kimya
80
2
160
Toplam
260
ti=12
tiXi=760
XT
tX


t
i
i
i
760

12
X T  63,33 puan
Örnek Bir işletmede işçilerin saat ücretleri çalıştıkları süre (kıdem) dikkate alınarak
belirlenmektedir. Veriler aşağıdaki gibi olduğuna göre bu işletmede ortalama saat ücretini
tartılı aritmetik ortalama cinsinden hesaplayınız.
Saat ücreti
(TL)
İşçi sayısı
(fi)
Ortalama
kıdem
(ti)
mi
f it i
fitimi
f imi
1.00 – 1.40
10
2.5
1.20
25
30.0
12.00
1.40 – 1.60
30
5.0
1.50
150
225.0
45.00
1.60 – 1.80
50
9.5
1.70
475
807.5
85.00
1.80 – 2.00
15
13.0
1.90
195
370.5
16.90
2.00 – 2.50
5
18.0
2.25
90
202.5
11.25
Toplam
110
935
1635.5
170.15
ftm

X
 ft
i i
i i
i
1635,5

 X  1,75 TL / saat
935
Tartılı aritmetik ortalamanın kullanıldığı yerler
- Veriler arasında önem farkı bulunması halinde kullanılır.
- Oranların ve ortalamaların ortalaması hesaplanırken kullanılır.
- Ortalama maliyet ve satış fiyatı, bileşik fiyat ve miktar indekslerinin
hesaplanmasında da tartılı ortalama kullanılır.
Örnek Bir işletmede bulunan üç tezgahın belli bir günde ürettikleri
malların sayısı ve üretimlerindeki kusurlu oranları aşağıdaki tabloda
verilmiştir. Buna göre bu tezgahların ürettiği mamul kütlesinin kusurlu
oranını bulunuz.
Tezgah
lar
Üretim
miktarı
(ti)
Kusurlu
oranı
(Xi)
tiXi
A
100
0.03
3
B
200
0.05
10
C
50
0.01
0.5
 ti = 350
Xi = 0.09
tiXi = 13.5
XT
tX


t
i
i
i
13,5

350
X T  0,03857
Aritmetik ortalamanın özellikleri
Aritmetik ortalama hassas bir ortalama olup serideki aşırı
değerlerden etkilenir ve aşırı değere doğru kayma gösterir.
1 -
2 - Serinin gözlem sayısı ile aritmetik ortalaması çarpılırsa
serinin toplam değeri elde edilir.
NX 
3- Serideki gözlem değerlerinin aritmetik ortalamadan sapmaları
toplamı sıfır olur.
 ( X i  X )   X i  NX
X


N
i

NX
 X X 0
N
4Serideki değerlerin aritmetik ortalamadan sapmalarının
kareleri toplamı minimum olur.
 ( X i  X ) 2  Minimum
5- Aritmetik ortalama özellikle normal dağılıma yakın serilerin
ortalaması için elverişlidir.
6- Bir serinin değerleri, diğer iki serinin değerleri toplamından
oluşuyorsa bu serinin aritmetik ortalaması da diğer iki serinin
aritmetik ortalamaları toplamına eşit olur. 
X =Y +Z
X
i
Aritmetik ortalamanın alıştırmaları
Download