Document

Hatırlatma: ( U  P ) bir olasılık uzayı ve X :   R olmak üzere, X fonksiyonu  aR için
{    X ( )  a}  U özelliğine sahip (Borel ölçülebilir fonksiyon) olduğunda, X fonksiyonuna bir
rasgele değişken denir.
F ( x) = P( X Ј x) , x О R
fonksiyonuna X rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu (birikimli olasılık fonksiyonu) denir.
DX = X ()  {x : x  R ,    için X ( )  x}
kümesine X rasgele değişkenin aldığı değerlerin kümesi denir.
DX sonlu veya sayılabilir sonsuz elemanlı
olduğunda X e kesikli rasgele değişken ve
м1) f ( x) і 0 , x О DX
п
п
п
п
н
п
2) е f ( x) = 1
п
п
п
о xОDX
f ( x) = P( X = x) , x О DX
fonksiyonuna X in olasılık fonksiyonu denir. Bu durumda,
F ( x) = P( X Ј x) =
е f (x )
x ОD , x Ј x
i
i
ve
f ( x ) = P ( X = x ) = F ( x ) - F ( x - ) , x О DX
i
X
dır.
Bir X rasgele değişkenin F : R ® [0,1] dağılım fonksiyonu,
Ґ
1) f ( x) і 0 , x О R
2)
т
f ( x ) dx = 1
- Ґ
özelliklerine sahip bir f fonksiyonu yardımıyla,
x
F ( x) =
т
f ( x)dx , x О R
- Ґ
biçiminde yazılabiliyorsa, X rasgele değişkenine sürekli rasgele değişken (mutlak sürekli rasgele değişken) ve f
fonksiyonuna X rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu denir. Sürekli bir X rasgele değişkeninin F
dağılım fonksiyonu sürekli bir fonksiyondur. Ayrıca, a  b  a b  R için
b
P((a b])  P([a b])  P((a b))  P ([a b))  F (b)  F (a )   f ( x)dx
a
ve F fonksiyonunun türevlenebildiği noktalarda f ( x) =
dF ( x)
dır.
dx
İstatistik teorisinde bir Borel ölçülebilir fonksiyon olan rasgele değişken, uygulamada gerçek dünyadaki
sayısal olarak yapılan ölçmeye karşılık gelmektedir. Bir tavla zarının atılması ve üste gelen yüzeyin gözlenmesi
deneyindeki rasgelelik olgusunu modelleyen olasılık uzayı ( U  P ) olmak üzere,
W=
X
R
0
1
2
3
4
5
6
7
fonksiyonu, sayma ölçüsüne göre gözlenen nokta sayısıdır.
Bazı deneylerde bir özellik bazılarında da çok özellik ile ilgilenip ölçmeler yaparız. Örneğin, bir
çocuğun boy uzunluğu ile birlikte ağırlığını da ölçtüğümüzü düşünelim. Boy uzunluğu tek başına bir rasgele
değişken, ağırlık da öyle. Ayrı ayrı her biri bir normal dağılıma sahip olabilir. İkisi birlikte nasıl incelenecektir?
Bu sorunun cevabını bu ders yılında öğrenemeyeceksiniz. Ancak, iki ve daha çok sayıda rasgele değişkenin
birlikte nasıl ele alındığını basit örnekler üzerinde göreceğiz ve çok değişkenli olasılık dağılımları ile ilgili temel
kavramları öğrenmeye başlayacağız.
Rasgele Vektörler
Bir kavanozda, üzerlerinde 1,2,3 sayıları yazılı sarı, pembe ve yeşil toplar bulunsun.
3
1
2
3
1
1 3 1
3
2
Bir top çekilmesi ve renk ile birlikte üzerindeki sayının gözlenmesi deneyinde örnek
uzay,
W ={ 1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 3 , 1 , 3 }
ve olasılık uzayı,
2/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 2/10
W ={ 1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 3 , 1 , 3 }
,
U = 2W
2/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 2/10
W ={ 1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 3 , 1 , 3 }
,
U = 2W
olmak üzere,
( X1, X 2 )
R 2 (1,0) , (2,0), (3,0), (1,1) ,(2,1) ,(3,1) , (1,2) ,(3,2) О R
2
vektör değerli fonksiyonda, birinci bileşen X1 : W® R çekilen topun üzerindeki sayıyı, ikinci
bileşen X 2 : W® R ise sarı top için 0, yeşil top için 1, pembe top için 2 değerini almaktadır.
( X 1 , X 2 ) : W® R 2
w ® ( X 1 , X 2 )(w) = ( X 1 (w), X 2 (w))
fonksiyonu, tanımı aşağıda verilecek olan bir rasgele vektördür. Bu rasgele vektörün aldığı
değerlerin kümesi,
D( X1 , X 2 ) = {(1, 0), (2, 0), (3, 0), (1,1), (2,1), (3,1), (1, 2), (3, 2)}
olup, buna kesikli rasgele vektör diyeceğiz. Bu rasgele vektörün olasılık fonksiyonu,
м
2
п
п
п
п
10
п
п
f ( x1 , x2 ) = P( X 1 = x1 , X 2 = x2 ) = н
п
п
1
п
п
п
п
п
о10
,
( x1 , x2 ) = (1, 0), (3, 2)
,
( x1 , x2 ) = (2, 0), (3, 0), (1,1) , (2,1) , (3,1) , (1, 2)
dır. Olasılık fonksiyonunun değerleri için olasılık tablosu aşağıdaki gibi hazırlanmaktadır.
Solda
ve
üstte
‘nin
aldığı
değerler
ve
tablonun
içinde
X 1 ile X 2
f ( x1 , x2 ) = P( X1 = x1 , X 2 = x2 ) olasılıkları yer almaktadır. Alt satırda, satırlardaki olasılıklar
toplamı, sağ sütunda, sütunlardaki olasılıklar toplamı bulunmaktadır.
x1
x2
1
2
3
P( X 2 = x2 )
0
1
2
P( X1 = x1 )
2/10
1/10
1/10
4/10
1/10
1/10
1/10
3/10
1/10
0
2/10
3/10
4/10
2/10
4/10
1
Tablodan, kolayca görüldüğü gibi,
f (1,1) = P( X1 = 1, X 2 = 1) = 2 /10
P( X1 = 1) = 4 /10
P( X 2 = 1) = 4 /10
dır. Alt satır, esasında X 2 : W® R rasgele değişkeninin olasılık tablosunu ve sağ sütun
X1 : W® R rasgele değişkeninin olasılık tablosunu vermektedir.
x2
0
1
2
P( X 2 = x2 )
4/10
3/10
3/10
x1
1
2
3
P( X1 = x1 )
4/10
2/10
4/10
ve
olasılık dağılımlarına ( X 1 , X 2 ) rasgele vektörünün marjinal dağılımları denmektedir. Buraya
kadar sezgisel olarak tanıtmaya çalıştığımız kavramların tanımları aşağıdaki gibidir.
Tanım 1
( U  P ) bir olasılık uzayı ve
( X 1 , X 2 ,..., X n ) :  

m
 ( X 1 , X 2 ,..., X n )( )  ( X 1 ( ), X 2 ( ),..., X n ( ))
olmak üzere,  (a1 , a2 ,..., an )  R n için,
{   X1 ( )  a1 , X 2 ( )  a2 ,..., X n ( )  an }U
oluyorsa, ( X1 , X 2 ,..., X n ) fonksiyonuna (vektör değerli fonksiyona) bir rasgele vektör denir.
( U  P ) bir olasılık uzayı ve
Tanım 2
( X 1 , X 2 ,..., X n ) :  

m
 ( X 1 , X 2 ,..., X n )( )  ( X 1 ( ), X 2 ( ),..., X n ( ))
bir rasgele vektör olmak üzere,
FX
1 , X 2 ,..., X n
:
®
Rn
[0,1]
( x1 , x2 ,..., xn ) ® FX1 , X 2 ,..., X n ( x1 , x2 ,..., xn ) = P( X 1 Ј x1 , X 2 Ј x2 ,..., X n Ј xn )
fonksiyonuna ( X1 , X 2 ,..., X n ) rasgele vektörünün dağılım fonksiyonu denir.
Tanım 3 Bir ( X1 , X 2 ,..., X n ) rasgele vektörünün aldığı değerlerin kümesi D( X1 , X 2 ,..., X n ) sonlu
veya sayılabilir sonsuz elemanlı olduğunda rasgele vektöre kesikli rasgele vektör denir.
Tanım 4 ( X1 , X 2 ,..., X n ) kesikli bir rasgele vektör olmak üzere,
f X , X ,..., X n ( x1 , x2 ,..., xn ) = P( X1 = x1 , X 2 = x2 ,..., X n = xn ) , ( x1, x2 ,..., xn ) О D( X1 , X 2 ,..., X n )
1
2
fonksiyonuna ( X1 , X 2 ,..., X n ) ‘in olasılık fonksiyonu denir.
м1) f X , X ,..., X ( x1 , x2 ,..., xn ) і 0 , ( x1 , x2 ,..., xn ) О D( X , X ,..., X )
п
1
2
n
п
n
1 2
п
п
п
н
п
п
2)
f X1, X 2 ,..., X n ( x1 , x2 ,..., xn ) = 1
е е ...е
п
п
(
x
,
x
,...,
x
)
О
D
n
1 2
( X1, X 2 ,..., X n )
п
п
о
Tanım 5 Bir
rasgele vektörünün
( X1 , X 2 ,..., X n )
FX
1 , X 2 ,..., X n
: R n ® [0,1]
dağılım
fonksiyonu,
м
п
1) f ( x1 , x2 ,..., xn ) і 0 , ( x1 , x2 ,..., xn ) О R n
п
п
п
п
п
н Ґ Ґ
Ґ
п
п
п
2) т т ... т f ( x1 , x2 ,..., xn )dx1dx2 ...dxn = 1
п
п
п
о -Ґ -Ґ -Ґ
özelliklerine sahip bir f fonksiyonu yardımıyla,
xn
FX
1 , X 2 ,..., X n
( x1 , x2 ,..., xn ) =
x2
x1
т ...т т
- Ґ
f ( x1 , x2 ,..., xn )dx1dx2 ...dxn
, ( x1 , x2 ,..., xn ) О R n
- Ґ - Ґ
biçiminde yazılabiliyorsa, ( X1 , X 2 ,..., X n ) rasgele vektörüne sürekli rasgele vektör (mutlak
sürekli rasgele vektör) ve f fonksiyonuna ( X1 , X 2 ,..., X n ) rasgele vektörünün olasılık
yoğunluk fonksiyonu denir. f fonksiyonu f X , X ,..., X n biçiminde de gösterilir.
1
2
Sürekli bir ( X1 , X 2 ,..., X n ) rasgele vektörü için,
bn
P(a1 < X 1 < b1 , a2 < X 2 < b2 ,..., an < X n < bn ) =
т ...т т f X1, X 2 ,..., X n ( x1, x2 ,..., xn )dx1dx2 ...dxn
an
dır.
b2 b1
a2 a1
Tanım 6 Kesikli bir ( X1 , X 2 ,..., X n ) rasgele vektörü için,
f X ( x j ) = P( X j = x j ) =
j
еx ...еx еx ...еx
1
j- 1
j+ 1
f X1, X 2 ,..., X n ( x1 , x2 ,..., xn ) , x j О DX j , j=1,2,...,n
n
bir olasılık fonksiyonu olup, bu fonksiyona X j ‘nin marjinal olasılık fonksiyonu denir.
Tanım 7 Sürekli bir ( X1 , X 2 ,..., X n ) rasgele vektörü için,
Ґ
f X (x j ) =
j
Ґ
т ...т
- Ґ
- Ґ
f X1, X 2 ,..., X n ( x1 , x2 ,..., xn )dx1...dx j- 1dx j+ 1...dxn
,
j=1,2,...,n
bir olasılık yoğunluk fonksiyonu olup, bu fonksiyona X j ‘nin marjinal olasılık yoğunluk
fonksiyonu denir.
( X1 , X 2 ,..., X n ) rasgele vektörünün olasılık (yoğunluk) fonksiyonu olan f X
1 , X 2 ,..., X n
olasılık (yoğunluk) fonksiyonuna
(yoğunluk) fonksiyonu da denir.
Örnek 1
X1 , X 2 ,..., X n rasgele değişkenlerinin ortak olasılık
Düzgün bir paranın üç kez atılışını anlatan (modelleyen) olasılık uzayı,
  {YYY  YYT  YTY  TYY  YTT  TYT  TTY  TTT } , U  2 , P ( A) 
n( A)
8
olmak üzere,
1/8
1/8
1/8
1/8 1/8 1/8
1/8
1/8
  {YYY  YYT  YTY  TYY  YTT  TYT  TTY  TTT } , U  2 , P ( A)  n( A)
8
( X1, X 2 )
R2
2
(0,0) , (1,0) , (1,1) , (2,1) , (2,2) , (3,2) О R
olarak tanımlanan ( X 1 , X 2 ) : W® R 2 rasgele vektöründe, X1 bileşeni üç atışta gelen tura
sayısını, X 2 bileşeni ilk iki atışta gelen tura sayısını göstermektedir. Bu rasgele vektörün
aldığı değerlerin kümesi,
D( X1 , X 2 ) = {(0,),(1,0), (1,1),(2,1),(2, 2), (3, 2)}
dır. ( X 1 , X 2 ) rasgele vektörünün olasılık fonksiyonu,
м
1/ 8
п
п
п
п
1/ 8
п
п
п
п2 / 8
f X1 , X 2 ( x1 , x2 ) = P( X 1 = x1 , X 2 = x2 ) = п
н
п
2/8
п
п
п
1/ 8
п
п
п
п
п
о1/ 8
ve olasılık tablosu,
x1
x2
0
1
2
3
P( X 2 = x2 )
, ( x1 , x2 ) = (0, 0)
,
( x1 , x2 ) = (1, 0)
,
( x1 , x2 ) = (1,1)
, ( x1 , x2 ) = (2,1)
, ( x1 , x2 ) = (2, 2)
, ( x1 , x2 ) = (3, 2)
0
1
2
P( X1 = x1 )
1/8
1/8
0
0
2/8
0
2/8
2/8
0
4/8
0
0
1/8
1/8
2/8
1/8
3/8
3/8
1/8
1
dır. X1 ‘in marjinal olasılık fonksiyonu,
f X1 ( x1 ) = P ( X 1 = x1 ) =
м1/ 8
п
п
п
п3 / 8
f X1, X 2 ( x1 , x2 ) = пн
п
3/8
п
п
п
п
о1/ 8
еx
2
,
x1 = 0
,
x1 = 1
, x1 = 2
,
x1 = 3
ж3 ч
цж1 ц3
з
з ч
f X1 ( x1 ) = з ч
ч
ч
ч , x1 = 0,1, 2,3
з 2ш
чзи
зиx1 ш
ve olasılık tablosu,
x1
0
1
2
3
f X1 ( x1 )
1/8
3/8
3/8
1/8
dır.
X 2 ‘nin marjinal olasılık fonksiyonu,
f X 2 ( x2 ) = P( X 2 = x2 ) =
еx
1
м1/ 4 , x2 = 0
п
п
f X1, X 2 ( x1 , x2 ) = пн1/ 2 , x2 = 1
п
п
п
п
о1/ 4 , x2 = 2
ve olasılık tablosu,
x2
0
1
2
f X 2 ( x2 )
1/4
1/2
1/4
dır.
X1 rasgele değişkeni düzgün bir paranın üç kez atılışında gelen turaların sayısı olmak
üzere,
P( X1  1)  P({YYT  YTY  TYY })  38
olup, bu olasılığı f X1 , X 2 veya f X1 fonksiyonu yardımıyla hesaplayabiliriz.
P( X 1  1)  P( X 1  1, X 2  0)  P( X 1  1, X 2  1)  f X1 , X 2 (1, 0)  f X1 , X 2 (1,1)  1/ 8  2 / 8  38
P( X1 = 1) = f X1 (1) = 3/ 8
Üç atışta gelen tura sayısının ilk iki atışta gelen tura sayısına eşit olması olasılığı,
P( X 1  X 2 )  P( X 1  0, X 2  0)  P( X 1  1, X 2  1)  P( X 1  2, X 2  2)
 f X1 , X 2 (0, 0)  f X1 , X 2 (1,1)  f X1 , X 2 (2, 2)
 1/ 8  2 / 8  1/ 8  1 2
dır.
Örnek 2 Bir torbada 5 beyaz, 10 siyah ve15 mavi top bulunsun. Torbadan aynı anda 10 top
çekildiğinde gelen beyaz topların sayısı X1 , siyah topların sayısı X 2 ve mavi topların sayısı
X 3 rasgele değişkeni olsun. X 1 , X 2 , X 3 rasgele değişkenlerinin ortak olasılık fonksiyonu,
ц
ж5 цж
цж15ч
x1 = 0,1, 2,3, 4,5
зз ч
зз ч
зз10ч
ч
ч
ч
ч
ч
чи
чзиx ш
ч
зиx ш
зx ш
x2 = 0,1, 2,...,10
f X1 , X 2 , X 3 ( x1 , x2 , x3 ) = 1 2 3 ,
ж30ч
ц
x3 = 0,1, 2,...,10
зз ч
ч
ч
зи10 ш
x1 + x2 + x3 = 10
dır. Böyle bir dağılıma çok değişkenli hipergeometrik dağılım denir.
X1 ‘in marjinal olasılık fonksiyonu,
ж5 цж
цж15ц
ж5 ч
ц
ж5 ч
ц
зз ч
зз ч
зз10ч
зз ч
зз ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч
10 10
чи
чзиx3 ш
ч и
ч 10 10 ж10цж15ч
ц з чж
ц
зиx1 ш
з x2 ш
зx ш
зз ч= иx1 шзз 25 ч
ч
ч
f X1 ( x1 ) = е е
= 1 е е зз ч
з ч
чзиx3 ч
ч
ч
ж30ц
ж30ц
цззи10 - x1 ч
ш
ш ж
x2 = 1 x3 = 1
x2 = 0 x3 = 0 иx2 ш
зз ч
зз ч
зз30ч
1442
443
144
42
44
4
3
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч x1 + x2 + x3 = 10
ч
x1 + x2 + x3 = 10
зи10 ш
з10 ш
зи10 ш
и
=
ж5 цж
ц
зз ч
зз 25 ч
ч
ч
ч
ч
чи
ч
зиx1 ш
з10 - x1 ш
ж30ц
зз ч
ч
ч
з10 ч
и
ш
, x1 = 0,1, 2,3, 4,5
olup, X1 ‘in marjinal dağılımı bir hipergeometrik dağılımdır. Benzer şekilde X 2 ‘nin marjinal
olasılık fonksiyonu,
ж10цж
ц
зз ч
зз 40 ч
ч
ч
ч
ч
чи
ч
зиx2 ш
з10 - x2 ш
f X 2 ( x2 ) =
, x2 = 0,1, 2,...,10
ж50ц
зз ч
ч
ч
з10 ч
и
ш
ve X 3 ‘ün marjinal olasılık fonksiyonu,
ж15цж
ц
зз ч
зз 35 ч
ч
ч
чи
ч
зиx3 ш
з10 - x3 ш
ч
ч
f X 3 ( x3 ) =
, x3 = 0,1, 2,...,10
ж50ч
ц
зз ч
ч
ч
зи10 ш
dır.
Örnek 3 Bir torbada 5 beyaz, 10 siyah ve 15 mavi top bulunsun. Torbadan iadeli olarak 10
kez birer top çekildiğinde gelen beyaz topların sayısı X1 , siyah topların sayısı X 2 ve mavi
topların sayısı X 3 rasgele değişkeni olsun. X 1 , X 2 , X 3 rasgele değişkenlerinin ortak olasılık
fonksiyonu,
f X1 , X 2 , X 3 ( x1 , x2 , x3 ) =
x
x2
x3
x1 , x2 , x3 = 0,1, ...,10
ц 1 ж10 ц
ж15 ц
10! ж
ч
ч
зз 5 ч
з
з
,
ч
ч
ч
з
з
ч и
ч и
ч
з 30 ш
з 30 ш
x1 + x2 + x3 = 10
x1 ! x2 ! x3 !зи30 ш
dır. Böyle bir dağılıma çok terimli dağılım denir. Bu dağılımdaki olasılıklar,
5 10 15 10
( +
+ ) =
30 30 30
10
10
x
10
е е е
x1 = 0 x2 = 0 x3 = 0
144442
44443
x
x
2
3
ц 1 ж10 ц
ж15 ц
10! ж
ч
ч
зз 5 ч
з
з
ч
ч зз ч
зз ш
ч и
ч
x1 ! x2 ! x3 ! зи30 ш
30 ч и
30 ш
x1 + x2 + x3 = 10
üç terimlinin açılımındaki terimlerdir.
X1 ‘in marjinal olasılık fonksiyonu,
10
f X1 ( x1 ) =
x
10
е е
x2 = 0 x3 = 0
144
42 4443
x
x
x
2
3
ц 1 ж10 ц
ж15 ц
ц1
10! ж
10!ж
зз 5 ч
зз ч
зз ч
зз 5 ч
=
ч
ч
ч
ч
ч и
ч и
ч
ч
з 30 ш
з 30 ш
з 30 ш
x1 ! x2 ! x3 !зи30 ш
x1 ! и
x2 + x3 = 10- x1
x
10
е е
x2 = 0 x3 = 0
144
42 4443
x
3
ц 2 ж15 ц
1 ж
зз10 ч
зз ч
ч
ч
ч и
ч
з 30 ш
з 30 ш
x2 ! x3 !и
x2 + x3 = 10- x1
10! ж5 ц
ч
10
10
ж ц 10! ж5 ч
ц
(10 - x1 )! ж10 ц
1
1
10 15 10- x
зз ч
зз ч
зз15 ч
зз ч
=
( +
ч
ч
е
е
ч
ч
ч
ч
з 50 ш (10 - x )! x = 0 x = 0 x ! x ! и
з 30 ш зи30 ш x ! зи50 ш (10 - x )! 30 30 )
x1 ! и
1
2
3
1
1
1442 443
x1
=
10
x2
x3
x1
1
2
3
x2 + x3 = 10- x1
x
10- x1
1
ж5 ц
ж25 ц
10!
ч
з
зз ч
=
ч
ч
ззи ш
ч
з 30 ш
x1 !(10 - x1 )! 30 ч и
,
x1 = 0,1, 2,...,10
5
) binom dağılımına (iki terimli dağılıma) sahiptir. Benzer şekilde
50
X 2 ‘nin marjinal olasılık fonksiyonu,
olup, X 1 : b(n = 10, p =
x
10- x2
ж10ц
ж10 ч
ц 2 ж40 ц
ч
з
ч
з
з
f X 2 ( x2 ) = з ч
,
ч
з ч
зз ш
зиx2 ч
ч
ши
50 ч
шзи50 ч
x2 = 0,1, 2,...,10
10
) dağılımlıdır ve X 3 ‘ün marjinal olasılık fonksiyonu,
50
ж10ц ж15 цx3 ж35 ц10- x3
зз ч
ч зз ч
f X 3 ( x3 ) = зз ч
, x3 = 0,1, 2,...,10
ч
ч
ч и
ч
з 50 ш
з 50 ш
ч
зиx3 ч
ши
olup, X 2 : b(n = 10, p =
olup, X 3 : b(n = 10, p =
15
) dağılımlıdır.
50
Örnek 4 X 1 , X 2 , X 3 rasgele değişkenlerinin ortak olasılık fonksiyonu,
f X1 , X 2 , X 3 ( x1 , x2 , x3 ) = c x1 ( x2 + x3 )
, x1 , x2 , x3 =
1, 2
olsun. c pozitif bir sabit sayı olup,
c (1ґ
(1 + 1) + 1ґ (1 + 2) + 1ґ (2 + 1) + 1ґ (2 + 2) + 2 ґ (1 + 1) + 2 ґ (1 + 2) + 2 ґ (2 + 1) + 2 ґ (2 + 2)) = 1
1
36
dır. Buna göre X 1 , X 2 , X 3 rasgele değişkenlerinin ortak olasılık fonksiyonu,
1
f X1 , X 2 , X 3 ( x1 , x2 , x3 ) =
x1 ( x2 + x3 )
, x1 , x2 , x3 = 1, 2
36
olmak üzere, X1 ‘in marjinal olasılık fonksiyonu,
c=
2
f X1 ( x1 ) =
2
1
1
x1 ( x2 + x3 ) = x1 , x1 = 1, 2
3
x2 = 1 x3 = 1 36
е е
X 2 ‘nin marjinal olasılık fonksiyonu,
2
f X 2 ( x2 ) =
2
1
1
x1 ( x2 + x3 ) = (2 x2 + 3) , x2 = 1, 2
12
x1 = 1 x3 = 1 36
е е
X 3 ‘ün marjinal olasılık fonksiyonu,
2
f X 3 ( x3 ) =
2
1
1
x1 ( x2 + x3 ) = (3 + 2 x3 ) , x3 = 1, 2
12
x1 = 1 x2 = 1 36
е е
dır.
X 2 , X 3 ‘ün marjinal ortak olasılık fonksiyonu,
2
f X 2 , X 3 ( x2 , x3 ) =
1
1
x1 ( x2 + x3 ) =
( x2 + x3 ) , x2 , x3 = 1, 2
12
x1 = 1 36
е
X1 , X 3 ‘ün marjinal ortak olasılık fonksiyonu,
2
f X1 , X 3 ( x1 , x3 ) =
1
1
x1 ( x2 + x3 ) =
x1 (3 + 2 x3 ) , x1 , x3 = 1, 2
36
x2 = 1 36
е
X1 , X 2 ‘nin marjinal ortak olasılık fonksiyonu,
2
f X1 , X 2 ( x1 , x2 ) =
dır.
1
1
x1 ( x2 + x3 ) =
x1 (2 x2 + 3) , x1 , x2 = 1, 2
36
x3 = 1 36
е
Örnek 5 X 1 , X 2 , X 3 rasgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu,
  12 ( x1  x2  x3 )
, x1  0, x2  0, x3  0
f X1 , X 2 , X 3 ( x1 , x2 , x3 )  ce
0
, d . y.
olsun. c pozitif bir sabit sayı olup,
Ґ
Ґ
Ґ
-
1
( x1 + x2 + x3 )
2
-
1
1
1
x1 - x2 - x2
2
2
2
т т т ce
0
0
Ґ
Ґ
cт
Ґ
ттe
0
Ґ
0
0
-
1
x1
2
cт e
e
Ґ
e
-
dx1 т e
0
1
x2
2
Ґ
1
x2
2
Ґ
1
x1
2
1
2
-
-
)(
dx3 = 1
0
Ґ
e
dx1dx2 dx3 = 1
dx2 т e
0
-
c(
dx1dx2 dx3 = 1
0
e
-
)(
1
2
x1 = 0
Ґ
1
x2
2
x2 = 0
e
1
x3
2
1
2
)= 1
x3 = 0
8c = 1
c=
1
8
dır. Buna göre X 1 , X 2 , X 3 rasgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu,
 1  12 ( x1  x2  x3 )
, x1  0, x2  0, x3  0
 e
f X1 , X 2 , X 3 ( x1 , x2 , x3 )   8
0
, d . y.

dır. X1 , X 2 ‘nin marjinal ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu,
Ґ
f X , X ( x1, x2 ) =
1
2
Ґ
1 e- 12( x1+ x2 + x3 )dx = 1 e- 12( x1+ x2 ) 1 e- 12 x3 dx
3
3
т8
т8
8
0
0
Ґ
=
=
1 e
8
1
(x + x )
2 1 2
1
- ( x1+ x2 )
2
1
e
4
-
e
1
x
2 3
1
2
=
1 e
8
x3 = 0
, x1 > 0, x2 > 0
1
(x + x )
2 1 2
2
dır.
X1 ‘in marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulmaya çalışalım. X1 ‘in marjinal
olasılık yoğunluk fonksiyonunu X 1 , X 2 , X 3 'ün ortak dağılımından elde edebildiğimiz gibi
X1 , X 2 ‘nin ortak marjinal dağılımından da elde edebiliriz.
Ґ
f X ( x1) =
1
т
0
Ґ
1 e- 12( x1+ x2 )dx = 1 e- 12 x1 e- 12 x2 dx = 1 e- 12 x1
2
2 2
т
4
4
0
, x1 > 0
olmak üzere, X1 ‘in marjinal dağılımı q = 2 parametreli üstel dağılımdır. Benzer şekilde X 2
ile X 3 ‘ün marjinal dağılımları da q = 2 parametreli üstel dağılımdır.
Ґ
1
P( X 1 < 1) = т f X ( x1)dx1 =
1
0
т
0
Ґ
1 e- 12 x1dx = 1 e- 12 x1dx = - e- 12 x1
1
1
2
2 т0
1
= 1-
- 1
2
e
0
ve
1 1- x2
1 1- x2
P( X 1 + X 2 < 1) = т т f X , X ( x1, x2 )dx1dx2 = т т
1 2
0
0
=
0
1 ж
зз
т
2 0 ззи т0
1- x2
1
1
=
2
1
=
2
1
=
2
1
=
2
1 ж
1
1- x2
0
ц - 1x
ч
ч
2 2 dx
ч
чe
2
ч
ш
т
ж - 1 (1- x2 ) ц
- 1 x2
ч
зз1- e 2
ч
e 2 dx2
ч
зи
ч
ш
т
1ц
ж - 1 x2
ззe 2 - e- 2 ч
ч
dx
ч
зи
ч
ш 2
0
1
0
1
1
- 1 x2
1
2
e
dx2 2
0
0
т
-
=- e
т
1
1
x2
2
0
= 1-
1
ц
1 - 12 x1
ч - 2 x2
e dx1 ч
e
dx2
ч
ч
2
ч
ш
зз - 12 x1
зз- e
з
0и
т
-
0
1 - 12 ( x1 + x2 )
e
dx1dx2
4
- 1
e 2 dx2
1 - 12
e
2
1
2
3
e
2
dır. Çok değişkenli sürekli dağılımlarda olasılık hesabı çok katlı integral hesabı bilinmesini
gerektirmektedir. Çok değişkenli sürekli dağılımları ikinci sınıfta İST201 ve üçüncü sınıfta
İST301 dersinde göreceksiniz.
Tanım 8 ( X1 , X 2 ,..., X n ) rasgele vektörünün olasılık (yoğunluk) fonksiyonu, başka bir ifade
ile X1 , X 2 ,..., X n rasgele değişkenlerinin ortak olasılık (yoğunluk) fonksiyonu,
f X1 , X 2 ,..., X n ( x1 , x2 ,..., xn ) = f X1 ( x1 ) f X 2 ( x2 )... f X n ( xn ) ,
( x1 , x2 ,..., xn ) О D( X1 , X 2 ,..., X n )
biçiminde X1 , X 2 ,..., X n ‘lerin marjinal olasılık (yoğunluk) fonksiyonlarının çarpımı olarak
yazılabiliyorsa X 1 , X 2, ..., X n rasgele değişkenlerine bağımsızdır denir.
( X1 , X 2 ,..., X n ) rasgele vektörü kesikli olduğunda, X1 , X 2 ,..., X n rasgele değişkenlerinin bağımsız olması demek, her ( x1 , x2 ,..., xn ) О D( X1 , X 2 ,..., X n ) için
P( X1 = x1 , X 2 = x2 ,..., X n = xn ) = P( X1 = x1 ) P( X 2 = x2 )...P( X n = xn )
olması demektir.
Örnek 6 X 1 , X 2 , X 3 rasgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu,
  12 ( x1  x2  x3 )
, x1  0, x2  0, x3  0
f X1 , X 2 , X 3 ( x1 , x2 , x3 )  ce
0
, d . y.
ve
м
п
1 e- 12 x1
п
п
п
f X ( x1) = н2
п
1
п
п
п
о0
, x1 > 0
, d . y.
м
п
1 e- 12 x2
п
п
п
f X ( x2 ) = н2
п
2
п
п
п
о0
, x2 > 0
м
п
1 e- 12 x3
п
п
п
f X ( x3 ) = н2
п
3
п
п
п
о0
, x3 > 0
, d . y.
, d . y.
olmak üzere,
fX
1, X 2 , X 3
( x1 , x2 , x3 ) =
f X ( x1) f X ( x2 ) f X ( x3 )
1
2
3
olup, X 1 , X 2 , X 3 rasgele değişkenleri bağımsızdır.
Örnek 7 Düzgün bir tavla zarının iki kez ard arda atılması deneyinde 1.atışta glen nokta
sayısı X1 , 2. atışta gelen nokta sayısı X 2 olsun.  X1 , X 2  ' nin ortak olasılık fonksiyonu,
f X1 , X 2  x1 , x2   P( X 1  x1 , X 2  x2 ) 
1
, x1 , x2  1, 2,3, 4,5,6
36
X1 ' in marjinal olasılık fonksiyonu,
6 1

36 6
f X1  x1    f x1 , x2  x1 , x2  
x2
x1  1, 2,3, 4,5,6
,
X 2 ' nin marjinal olasılık fonksiyonu,
f X 2  x2    f x1 , x2  x1 , x2  
x1
olmak üzere,
6 1

36 6
,
x2  1, 2,3, 4,5,6
f X1 , X 2  x1 , x2   f X1 ( x1 ) f X 2 ( x2 )
olduğundan, X1 ve X 2 rasgele değişkenleri bağımsızdır.
Örnek 8 X1 , X 2 ‘nin ortak olasılık fonksiyonu.
f X1 , X 2  x1 , x2   cx1x2
,
 x1, x2  1,1 , 1, 2 , 1,3 ,  2,0 ,  2,1 ,  2, 2
olsun.
c =?
c(1ґ 1+1ґ 2+1ґ 3+2ґ 0+2ґ 1+2ґ 2)=1
12c=1
1
c
12
olmak üzere, X1 , X 2 ‘nin ortak olasılık fonksiyonu,
f X1 , X 2  x1 , x2  
1
x1 x2
12
,
 x1 , x2   1,1 , 1, 2  , (1,3),  2, 0  ,  2,1 ,  2, 2 
olasılık tablosu,
x1
x2
1
2
P( X 2 = x2 )
0
1
2
3
P( X1 = x1 )
0
0
0
1/12
2/9
3/12
2/12
4/9
6/12
3/12
0
3/12
6/12
6/12
1
dır. Marjinal dağılımların olasılık tabloları,
x1
1
2
f X1 (x1 )
olup,
6
12
6
x2
f X 2 (x 2 )
12
f X1 , X 2 1,1  f X1 (1). f X 2 (1)
1
12
olduğundan X1 , X 2 bağımsız değildir.

6
12
3
12
1
3
12
2
6
12
3
3
12
Örnek 9 Bir kavanozda 3 kırmızı, 2 siyah ve 2 beyaz top bulunmaktadır. Aynı anda 3 top
çekildiğinde,
X1 - gelen kırmızı topların,
X 2 - gelen siyah topların
sayısı olsun.
 X1 , X 2 
f X1 , X 2
3   2  2 

(x , x ) 
7
 
3
2
3  2 2 = 2
1
0
2
35
35
3  2  2  2


 0, 2  
2
0
1
35
35
f X1 , X 2 1, 0  
 3  2   2  = 3
f X1 , X 2 1,1 
3  2 2  12
f X1 , X 2 1, 2  
 3  2   2   3
f X1 , X 2  2, 0  
 3  2   2   6
0
1
2
35
1
1
35
1
35
35
2
1
0
35
35
0
2
1
35
35
f X1 , X 2  2,1 
 3  2   2   6
f X1 , X 2  3, 0  
3  2 2  1
ve
, ( x1 , x2 )   0,1 ,  0, 2  , 1, 0  , 1,1 , 1, 2  ,  2, 0  ,  2,1 , 3, 0 
3 x1  x2
x2
x1
1
f X1 , X 2  0,1 
f X1 , X 2
nin olasılık fonksiyonu,
2
1
0
35
3
35
0
0
35
35
x1
0
f X1 (x1 )
4
35
1
18
35
2
12
35
3
1
35
x2
f X 2 (x 2 )
f X1 , X 2 (3,0)  f X1  3 f X 2  0
olmak üzere, X1 ile X 2 bağımsız değildir.
0
10
35
1
20
35
2
5
35
Örnek 10 Bir kasabada 4 tane kavşak bulunmaktadır. Bu kavşaklar için bir günde meydana
gelen trafik kazası sayıları X1 , X 2 , X 3 , X 4 olmak üzere her biri l = 2 ortalama ile Poisson
dağılımına sahiptir ve birbirinden bağımsızdır. Bu kasabada bir günde toplam 2 kaza olması
olasılığı nedir.
e- 2 2 x1
f X1 ( x1 ) =
, x1 = 0,1, 2,3,...
x1 !
f X 2 ( x2 ) =
e- 2 2 x2
, x2 = 0,1, 2,3,...
x2 !
f X 3 ( x3 ) =
e- 2 2 x3
, x3 = 0,1, 2,3,...
x3 !
f X 4 ( x3 ) =
e- 2 2 x4
, x4 = 0,1, 2,3,...
x4 !
ve
f X1 , X 2 , X 3 , X 4 ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = f X1 ( x1 ) f X 2 ( x2 ) f X 3 ( x3 ) f X 4 ( x3 )
=
e- 2 2 x1 e- 2 2 x2 e- 2 2 x4 e- 2 2 x4
x1 !
x2 !
x4 !
x4 !
=
e- 8 2( x1 + x2 + x3 + x4 )
, x1 , x2 , x3 , x4 = 0,1, 2,3,...
x1 ! x2 ! x3 ! x4 !
olmak üzere,
P( X 1 + X 2 + X 3 + X 4 = 2) = P( X 1 = 2, X 2 = 0, X 3 = 0, X 4 = 0) + P( X 1 = 0, X 2 = 2, X 3 = 0, X 4 = 0)
+ P( X 1 = 0, X 2 = 0, X 3 = 2, X 4 = 0) + P( X 1 = 0, X 2 = 0, X 3 = 0, X 4 = 2)
+ P( X 1 = 1, X 2 = 1, X 3 = 0, X 4 = 0) + P( X 1 = 1, X 2 = 0, X 3 = 1, X 4 = 0)
+ P( X 1 = 1, X 2 = 0, X 3 = 0, X 4 = 1) + P( X 1 = 0, X 2 = 1, X 3 = 1, X 4 = 0)
+ P( X 1 = 0, X 2 = 1, X 3 = 0, X 4 = 1) + P( X 1 = 0, X 2 = 0, X 3 = 1, X 4 = 1)
e- 8 22
e- 8 22
+ 6ґ
2!0!0!0!
1!1!0!0!
- 8 2
= 8e 2
= 32e- 8
= 0.010735
Önümüzdeki derslerde, her biri Poisson dağılımına sahip rasgele değişkenlerin
toplamlarının da Poisson dağılımına sahip olduğunu göreceğiz. X1 + X 2 + X 3 + X 4 toplamı
l = 8 olan Poisson dağılımına sahip olup,
e- 8 82
P( X 1 + X 2 + X 3 + X 4 = 2) =
= 32e- 8
2!
olduğunu kolayca hesaplayacağız.
= 4ґ