Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları

4.Ders
Rasgele Vektörler
Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları
Tanım: Ω, U, P bir olasılık uzayı ve
X 1, X 2 , … , X n  : Ω  R n
ω  X 1, X 2 , … , X n ω = X 1 ω, X 2 ω, … , X n ω
olmak üzere, her a 1 , a 2 , … , a n  ∈ R n için
ω : X i ω ≤ a i , i = 1, 2, 3, … , n
∈U
özelliği sağlanıyor ise X 1 , X 2 , … , X n  fonksiyonuna n −boyutlu rasgele vektör denir.
Rasgele değişkenleri 1 −boyutlu rasgele vektör olarak görebiliriz. Bir boyutlu rasgele
değişkenlerde olduğu gibi
ω : X 1 , X 2 , … , X n ω ∈ A
kümesini kısaca X 1 , X 2 , … , X n  ∈ A biçiminde göstereceğiz.
Ω, U, P bir olasılık uzayı ve X 1 , X 2 , … , X n  n −boyutlu bir rasgele vektör ise
P X 1 ,...,X n  : BR n   R
B
 P X 1 ,…,X n  B = Pω : X 1 , … , X n ω ∈ B
fonksiyonu bir olasılık ölçüsüdür. BR n  üzerinde tanımlı P X 1 ,X 2 ,…,X n  olasılık ölçüsüne
X 1 , X 2 , … , X n  rasgele vektörünün olasılık dağılımı denir.
Şimdi izdüşüm fonksiyonu kavramını hatırlayalım.
Ij : Rn = R1 × R2 × ⋯ × Rj × ⋯ × Rn  Rj
x 1 , x 2 , … x j , … , x n 
 xj
fonksiyonu j. bileşeni x j olan tüm elemanları, R n deki 0, . . . , 0, x j , 0, . . . , 0 veya R j deki x j
elmanına dönüştürmektedir. B ⊂ R j olmak üzere
SB = x 1 , x 2 , … , x n  ∈ R n : I j x 1 , x 2 , … , x n  ∈ B
SB = R 1 × R 2 × ⋯ × R j−1 × B × R j+1 × ⋯ × R n
dır. Burada SB, B tabanlı silindirdir.
Tanım: Ω, U, P bir olasılık uzayı, X 1 , X 2 , … X n  n −boyutlu bir rasgele vektör olmak
üzere:
Xj : Ω  Rj
ω  X j ω = I j ∘ X 1 , X 2 , … , X n ω
fonksiyonuna X 1 , X 2 , … , X n  n-boyutlu rasgele vektörünün j. bileşen fonksiyonu denir.
X j = I j ∘ X 1 , X 2 , … , X n , j = 1, 2, … , n fonksiyonuna kısaca X 1 , X 2 , … , X n  rasgele
vektörünün j. bileşeni diyeceğiz. Bir n −boyutlu rasgele vektörün her bileşeni bir rasgele
değişkendir.
Tanım: X j , X 1 , X 2 , … , X n  rasgele vektörün j. bileşeni j = 1, 2, … , n olmak üzere
P X j : BR j   R
 P X j B = Pω : X j ω ∈ B
B
olasılık ölçüsüne X j nin bileşen (marjinal) dağılımı denir.
P X j , X j nin bileşen dağılımı olmak üzere, B ∈ BR j  için
P X j B = Pω : I j ∘ X 1 , … , X n ω ∈ B
= Pω : X 1 , . . . , X n ω ∈ R 1 ×. . . ×R j−1 × B × R j+1 ×. . . ×R n 
yazılır.
P X 1 ,…,X n  R 1 ×. . . ×R j−1 × B × R j+1 ×. . . ×R n  = P X 1 ,…,X n  SB
dir. Genellikle P X 1 ,X 2 ,…,X n  olasılık dağılımına X 1 , X 2 , … , X n rasgele değişkenlerin ortak
olasılık dağılımı denir. Hemen şunu belirtelim: Ortak olasılık dağılımı tek biçimde bileşen
∗
dağılımlarını belirlemektedir. Ancak tersi doğru değildir. Farklı P X 1 ,X 2 ,…,X n  ve P X
1 ,X 2 ,…,X n 
gibi olasılık ölçüleri örneğin R 1 üzerinde aynı P X 1 bileşen dağılımı verebilir.
k ≤ n için;
I 1,2,…,k :
 Rk = R1 × R2 × ⋯ × Rk
Rn
x 1 , x 2 , … , x n   I 1,2,…,k x 1 , x 2 , … , x n  = x 1 , x 2 , … , x k 
ve
X 1 , X 2 , … , X k  = I 1,2…,k ∘ X 1 , X 2 , … , X n 
P X 1 ,X 2 ,…,X k  : BR k   R
B
 P X 1 ,X 2 ,…,X k  B
= P X 1 ,X 2 ,…,X n  B × R k+1 × ⋯ × R n 
olmak üzere X 1 , X 2 , … , X k  k −boyutlu bir rasgele vektördür. Bu rasgele vektörün
doğurduğu P X 1 ,X 2 ,…,X k  olasılık dağılımına X 1 , X 2 , … , X k  nın marjinal olasılık dağılımı
denir. X 1 , X 2 , … , X k  k −boyutlu rasgele vektörün X 1 , X 2 , … , X k bileşenleri ile
X 1 , X 2 , … , X n  n −boyutlu rasgele vektörünün ilk k bileşeninin bileşen dağılımları aynıdır.
Böylece P X 1 ,X 2 ,…,X k  marjinal olasılık dağılımına X 1 , X 2 , … , X k rasgele değişkenlerinin
ortak olasılık dağılımı da diyeceğiz. Benzer düşüncelerle X 1 , X 2 , … , X n  n −boyutlu
rasgele vektörünün bileşenlerinin herhangi bir altkümesinin ortak olasılık dağılımından
söz edebiliriz.
Tanım: X 1 , X 2 , … , X n  n −boyutlu bir rasgele vektör olsun.
 0, 1
Rn
F X 1 ,X 2 ,…,X n :
x 1 , x 2 , … , x n   F X 1 ,X 2 ,…,X n x 1 , x 2 , … , x n 
n
= P ∩ X i ≤ x i 
i=1
fonksiyonuna X 1 , X 2 , … , X n  rasgele vektörünün dağılım fonksiyonu denir.
Karışıklığa yol açmadığı taktirde F X 1 ,X 2 ,…,X n gösterimi yerine kısaca F yazacağız. F
fonksiyonu R n de dağılım fonksiyonu olma özelliklerine sahiptir.
Tanım: n −boyutlu bir rasgele değişkenin D ⊂ R n değer kümesi sayılabilir olduğunda
X 1 , X 2 , … , X n  rasgele vektörüne kesikli denir.
Tanım: X 1 , X 2 , … , X n , kesikli n −boyutlu bir rasgele vektör olmak üzere,
f:
D
 R
x 1 , x 2 , . . . , x n   fx 1 , x 2 , . . . , x n  = PX 1 = x 1 , X 2 = x 2 , . . . , X n = x n 
fonksiyonuna X 1 , X 2 , … , X n  nin olasılık fonksiyonu denir.
Kesikli bir X 1 , X 2 , … , X n  rasgele vektörünün olasılık fonksiyonu f ise,
1) fx 1 , x 2 , … , x n  ≥ 0, x 1, x 2 , … , x n  ∈ D
2)
∑
fx 1 , x 2 , … , x n  = 1
x 1 ,x 2 ,…,x n ∈D
3) Fx 1 , x 2 , . . . , x n  = ∑ . . . ∑ fa 1 , a 2 , . . . , a n  , a 1, a 2 , . . . , a n  ∈ D
a 1 ≤x 1
a n ≤x n
dir.
f olasılık fonksiyonu X 1 , X 2 , … , X n  nin olasılık dağılımının bilinmesi için yeterlidir.
Genelde sayılabilir bir D kümesinde tanımlı 1) ve 2) özelliğini sağlayan bir fonksiyon, bir
çok değişkenli olasılık dağılımı belirler.
Bundan sonra x 1 , x 2 , … , x n  ∉ D için fx 1 , x 2 , … , x n  değerleri söz konusu olduğunda
bunları 0 olarak düşüneceğiz.
Tanım: Bir X 1 , X 2 , … , X n  n −boyutlu rasgele vektörün F dağılım fonksiyonu,
1) fx 1 , x 2 , … , x n  ≥ 0,
∞ ∞
∞
−∞−∞
−∞
x 1 , x 2 , … , x n  ∈ R n
2) ∫ ∫ ⋯ ∫ fx 1 , x 2 , … , x n dx 1 dx 2 ⋯dx n = 1
özelliklerini sağlayan bir f : R n  R fonksiyonu yardımıyla
x1 x2
Fx 1 , x 2 , … , x n  = ∫
∫
−∞−∞
xn
⋯
∫
fx 1 , x 2 , … , x n dx n ⋯dx 2 dx 1
−∞
olarak yazılabiliyorsa X 1 , X 2 , … , X n  e sürekli rasgele vektör ve f fonksiyonuna
X 1 , X 2 , … , X n  vektörünün olasılık yoğunluk fonksiyonu denir.
Bir boyutlu rasgele değişkenlerde de belirttiğimiz gibi, n −boyutlu sürekli rasgele
vektörün F dağılım fonksiyonu birden çok sayıda 1 ve 2 şartlarına uygun f fonksiyonu
belirleyebilir. Dağılım fonksiyonu F olan bir rasgele vektörün bir olasılık yoğunluk
fonksiyonu olarak
fx 1 , x 2 , . . . , x n  =
∂ n Fx 1 , x 2 , . . . , x n 
∂x 1 ∂x 2 . . . ∂x n
,
F in türevlenebildiği noktalarda
0
,
d.y.
olasılık yoğunluk fonksiyonunu alacağımızı belirtelim.
Örnek:
U = PΩ, PA = nA/8 olmak üzere X 1 , X 2  2 −boyutlu rasgele vektörün aldığı
değerlerin kümesi
D = 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 2 ⊂ R 2
dır. R 2 = R 1 × R 2 olmak üzere
X 1 : Ω  R 1 , D X 1 = I 1 D = 0, 1, 2, 3 ⊂ R 1
ve
X 2 : Ω  R 2 , D X 2 = I 2 D = 0, 1, 2 ⊂ R 2
dır.
A=
x 1 , x 2  ∈ R 2 : x 1 ≤ 1, x 2 ≤ 1
= −∞, 1 × −∞, 1 ⊂ R 2
B=
x 1 , x 2  ∈ R 2 : x 1 ≤ 1, x 2 ≤ 1
= 1 × −∞, 1 ⊂ R 2
C = x 1 , x 2  ∈ R 2 : x 1 ≤ 1 = −∞, 1 × R 2 ⊂ R 2
D = x 1 , x 2  ∈ R 2 : x 1 = 1 = 1 × R 2 ⊂ R 2
E = x 1 ∈ R 1 : x 1 ≤ 1 = −∞, 1 ⊂ R 1
F = x 1 ∈ R 1 : x 1 = 1 = 1 ⊂ R 1
G = x 2 ∈ R 2 : x 2 ≤ 1 = −∞, 1 ⊂ R 2
H = x 2 ∈ R 2 : x 2 = 1 = 1 ⊂ R 2
olmak üzere, bu kümelerin ilgili olasılık uzaylarında olasılıklarını hesaplayalım.
A, B, C, D ∈ BR 2 , E, F ∈ BR 1 , G, H ∈ BR 2  için,
P X 1 ,X 2  A = Pω : X 1 , X 2 ω ∈ A
= PX 1 ≤ 1, X 2 ≤ 1 = Pω 1 , ω 2 , ω 3 , ω 4  = 4
8
P X 1 ,X 2  B = PX 1 = 1, X 2 ≤ 1 = Pω 2 , ω 3 , ω 4  = 3
8
P X 1 ,X 2  C = PX 1 ≤ 1, −∞ < X 2 < ∞ = Pω 1 , ω 2 , ω 3 , ω 4  = 4
8
P X 1 ,X 2  D = PX 1 = 1, −∞ < X 2 < ∞ = Pω 2 , ω 3 , ω 4  = 3
8
P X 1 E = PX 1 ≤ 1 = Pω 1 , ω 2 , ω 3 , ω 4  = 4
8
P X 1 F = PX 1 = 1 = Pω 2 , ω 3 , ω 4  = 3
8
P X 2 G = PX 2 ≤ 1 = Pω 1 , ω 2 , ω 3 , ω 4 , ω 5 , ω 6  = 6
8
P X 2 H = PX 2 = 1 = Pω 3 , ω 4 , ω 5 , ω 6  = 4
8
2
dır. BR 1  ve BR 2  deki kümelerin olasılık ölçülerini BR  de P X 1 ,X 2  yardımıyla da
hesaplayabiliriz. Örneğin,
P X 2 H = P X 1 ,X 2  R 1 × H
= Pω : X 1 , X 2 ω ∈ R 1 × H
= Pω : X 1 ω ∈ R, X 2 ω ∈ H
= P−∞ < X 1 < ∞, X 2 = 1
= Pω 3 , ω 4 , ω 5 , ω 6  = 4
8
P X 1 E = P X 1 ,X 2  E × R 2  = Pω : X 1 ω ≤ 1, X 2 ω ∈ R
= PX 1 ≤ 1, −∞ < X 2 < ∞ = 4
8
dır.
X 1 , X 2 , X 1 , X 2 rasgele vektörleri kesikli olup,
f:
D
 R
x 1 , x 2   fx 1 , x 2  = PX 1 = x 1 , X 2 = x 2 
f X1 : DX1  R
x1
 f X 1 x 1  = PX 1 = x 1 
f X2 : DX2  R
x2
 f X 2 x 2  = PX 2 = x 2 
dır. Đki boyutlu rasgele vektörlerde değer kümesinde eleman sayısı az olduğunda olasılık
fonksiyonunun değerleri çapraz tablolarla verilmektedir. Bu örnekteki olasılık
fonksiyonunun tablosu aşağıdadır.
X1 ╲
0
1
2
f X 1 ⋅
0
1/8
0
0
1/8
1
1/8 2/8
0
3/8
X2
2
0
3
0
2/8 1/8
0
1/8
3/8
1/8
f X 2 ⋅ 2/8 4/8 2/8
Şimdi A, B, C, D, E, F, G, H kümelerinin olasılıklarını yeniden f, f X 1 , f X 2 fonksiyonları
yardımıyla hesaplalım.
P X 1 ,X 2  A = PX 1 ≤ 1, X 2 ≤ 1
= ∑ ∑ fx 1 , x 2 
x 1 ≤1 x 2 ≤1
= f0, 0 + f0, 1 + f1, 0 + f1, 1 = 4
8
P X 1 ,X 2  B = PX 1 = 1, X 2 ≤ 1
= ∑ f1, x 2 
x 2 ≤1
= f1, 0 + f1, 1 = 3
8
P X 1 ,X 2  C = PX 1 ≤ 1, −∞ < X 2 < ∞
= ∑ ∑ fx 1, x 2 
x 1 ≤1 x 2
= f0, 0 + f0, 1 + f0, 2 + f1, 0 + f1, 1 + f1, 2 = 4
8
P X 1 ,X 2  D = PX 1 = 1, −∞ < X 2 < ∞
= ∑ f1, x 2 
x2
= f1, 0 + f1, 1 + f1, 2 = 3
8
P X 1 E = PX 1 ≤ 1
= ∑ f X 1 x 1 
x 1 ≤1
= f X 1 0 + f X 1 1 = 1 + 3 = 4
8
8
8
P X 1 F = PX 1 = 1 = f X 1 1 = 3
8
P X 2 G = PX 2 ≤ 1
= ∑ f X 2 x 2 
x 2 ≤1
f X 2 0 + f X 2 1 = 2 + 4 = 6
8
8
8
P X 2 H = PX 2 = 1 = f X 2 1 = 4
8
X 1 , X 2  rasgele vektörünün X 1 , X 2 bileşenlerinin bileşen (marjinal) dağılımlarının olasılık
fonksiyonları,
f X 1 x 1  =∑ fx 1 , x 2 , x 1 ∈ D X 1
x2
f X 2 x 2  =∑ fx 1 , x 2 , x 2 ∈ D X 2
x1
olarak yazılabilir. f, f X 1 ve f X 2 fonksiyonlarının grafikleri aşağıda gösterilmiştir.
Bu örnekteki olasılık uzayını düzgün bir paranın üç kez atılması deneyinde model
olarak kullanırsak X 1 rasgele değişkeni üç atışta gelen turaların sayısı , X 2 ise ilk iki
atışta gelen turaların sayısı olacaktır.
Örnek: Ω = x, y : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1 ⊂ R 2 , U = BR 2  Ω ,
"A nın alan ölçüsü"
PA =
olmak üzere Ω, U, P olasılık uzayını ele alalım.
2
X 1 , X 2  : Ω  R 2 = R 1 × R 2
ω  X 1 , X 2 ω = X 1 ω, X 2 ω = x + 1, y + 1
olarak tanımlanan X 1 , X 2  fonksiyonu bir 2 −boyutlu rasgele vektördür.
X 1 , X 2  nin değer kümesi
D=
dir.
x 1 , x 2  : 1 ≤ x 1 ≤ 3, 1 ≤ x 2 ≤ 2
X 1 , X 2  rasgele vektörü BR 2  üzerinde P X 1 ,X 2  olasılık dağılımını belirlemektedir.
B ∈ BR 2  için
P X 1 ,X 2  B = Pω : X 1 , X 2 ω ∈ B
olmak üzere, örneğin
B=
x 1 , x 2  : x 1 ≤ 2, x 2 ≤ 2
için
P X 1 ,X 2  B = P
=P
x, y ∈ Ω : x + 1 ≤ 2, y + 1 ≤ 2
x, y : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1
= 1 − 0 × 1 − 0/2 = 1/2
dir.
D x 1 , x 2  : x 1 ≤ 1, x 2 = 1
için
P X 1 ,X 2  D = 0
dır.
X 1 , X 2  rasgele vektörünün I 1 ∘ X 1 , X 2  = X 1 : Ω  R 1 bileşeninin BR 1  üzerinde
belirlediği bileşen (marjinal) olasılık dağılımı P X 1 olmak üzere,
P X 1 A = Pω : X 1 ω ∈ A
= P X 1 ,X 2  A × R 2 
dir. Örneğin A = x 1 : 1. 1 < x 1 < 1. 6 ⊂ R 1 için
P X 1 A = Px, y ∈ Ω : 1. 1 < x + 1 < 1. 6
=P
x, y : 0. 1 < x < 0. 6, 0 < y < 1
= 0. 6 − 0. 1 × 1/2
= 0. 25
Şimdi X 1 , X 2  nin F dağılım fonksiyonunu bulmaya çalışalım.
F:
ℝ2
 0, 1
x 1 , x 2   Fx 1 , x 2  = PX 1 ≤ x 1 , X 2 ≤ x 2 
olmak üzere , örneğin x 1 , x 2  ∈ D için
Fx 1 , x 2  = P
ω : X 1 ω ≤ x 1 , X 2 ω ≤ x 2
=P
x, y ∈ Ω : x + 1 ≤ x 1 , y + 1 ≤ x 2
=P
x, y : 0 ≤ x ≤ x 1 − 1, 0 ≤ y ≤ x 2 − 1
= x 1 − 1x 2 − 1/2
dır.
D1 =
x 1 , x 2  : x 1 < 1 veya x 2 < 1
olmak üzere x 1 , x 2  ∈ D 1 için Fx 1 , x 2  = 0
D2 =
x 1 , x 2  : x 1 ≥ 3, x 2 ≥ 2
olmak üzere x 1 , x 2  ∈ D 2 için Fx 1 , x 2  = 1 dir.
D 3 = x 1 , x 2  : x 1 ≥ 3, 1 ≤ x 2 ≤ 2
bölgesindeki bir x 1 , x 2  noktası için
Fx 1 , x 2  = P
=P
ω : X 1 ω ≤ x 1 , X 2 ω ≤ x 2
x, y ∈ Ω : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x 2 − 1
= 2 × x 2 − 1/2 = x 2 − 1
dir ve D 4 =
x 1 , x 2  : 1 ≤ x 1 ≤ 3, x 2 ≥ 2
Fx 1 , x 2  = P
bölgesindeki bir x 1 , x 2 noktası için
ω : X 1 ω ≤ x 1 , X 2 ω ≤ x 2
= P x, y ∈ Ω : 0 ≤ x ≤ x 1 − 1, 0 ≤ y ≤ 1
= x 1 − 1/2
dir. Bu bölgeler ve dağılım fonksiyonunun bu bölgelerde aldığı değerler aşağıda
gösterilmiştir.
Diğer taraftan,
F:
R2
 0, 1
x 1 < 1 veya x 2 < 1
0
,
x 1 − 1x 2 − 1
2
,
x1 − 1
2
,
1 ≤ x 1 < 3, x 2 ≥ 2
x2 − 1
,
x 1 ≥ 3, 1 ≤ x 2 < 2
1
,
x 1 ≥ 3, x 2 ≥ 2
x 1 , x 2   Fx 1 , x 2  =
1 ≤ x1 < 3
1 ≤ x2 < 2
dağılım fonksiyonu aşağıdaki,
f:
R2
 R
x 1 , x 2   fx 1 , x 2  =
1
2
,
0 ≤ x 1 ≤ 1, 1 ≤ x 2 ≤ 2
0
,
diğer yerlerde
fonksiyonu yardımıyla
x1 x2
Fx 1 , x 2  = ∫
∫
fx 1 , x 2 dx 2 dx 1
−∞−∞
olarak yazılabilir. Dolayısıyla buradaki X 1 , X 2  rasgele vektörü süreklidir. Bir boyutlu
rasgele değişkenlerde olduğu gibi f olasılık yoğunluk fonksiyonu birtek değildir.
Örnek: Ω = x, y : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1 ⊂ R 2 , U = BR 2  Ω ,
"A nın alan ölçüsü"
PA =
olmak üzere Ω, U, P olasılık uzayını yeniden ele alalım.
2
X 1 , X 2  : Ω  R 2 = R 1 × R 2
ω  X 1 , X 2 ω = x + 1, 1
fonksiyonu bir 2 −boyutlu rasgele vektördür. X 1 , X 2  nin değer kümesi
D=
x 1 , x 2  : 1 ≤ x 1 ≤ 3, x 2 = 1
dır.
X 1 , X 2  rasgele vektörünün BR 2  üzerinde belirlediği olasılık dağılımı P X 1 ,X 2  olmak
üzere
B=
x 1 , x 2  : x 1 ≤ 2, x 2 ≤ 2
için
P X 1 ,X 2  B = Pω ∈ Ω : X 1 , X 2 ω ∈ B
= Px, y ∈ Ω : x + 1 ≤ 2
=P
x, y : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1
= 1 − 0 × 1 − 0/2 = 1/2
dir.
C=
x 1 , x 2  : x 1 ≤ 2, x 2 < 0
için
P X 1 ,X 2  C = 0
ve
D=
x 1 , x 2  : x 1 ≤ 2, x 2 = 1
için P X 1 ,X 2  D = 1/2 dir.
X 1 in marjinal olasılık dağılımı P X 1 olmak üzere,
A = x 1 ∈ R 1 : 1. 1 ≤ x 1 ≤ 1. 6
için
P X 1 A = 0. 25
dir.
X 2 nin marjinal olasılık dağılımı P X 2 olmak üzere, bu dağılım x 2 = 1 noktasında
yoğunlaşmış dağılımdır.
X 1 , X 2  nin dağılım fonksiyonu,
F:
R2
 0, 1
x 1 , x 2   Fx 1 , x 2  =
0
,
x 1 < 1 veya x 2 < 1
x1 − 1
2
,
1 ≤ x 1 < 2, x 2 ≥ 1
1
,
x 1 ≥ 2, x 2 ≥ 1
dır.
Şimdi F fonksiyonunun bir f fonksiyonu yardımıyla,
x1 x2
Fx 1 , x 2  = ∫
∫
fx 1 , x 2 dx 2 dx 1
−∞−∞
biçiminde yazılabileceğini varsayalım. O zaman F ’in türevlenebildiği noktalarda,
fx 1 , x 2  =
∂ 2 Fx 1 , x 2 
∂x 1 ∂x 2
olmalı. Buna göre f = 0 olmaktadır. Dolayısıyla X 1 , X 2  sürekli bir rasgele vektör olamaz.
Bundan sonraki kısımlarda sadece kesikli yada sürekli olan rasgele vektörlerle
ilgileneceğiz. X 1 , X 1 , … , X n  kesikli bir rasgele vektör olduğunda X j bileşenin marjinal
dağılımının olasılık fonksiyonu,
f X j x j  =∑ ⋯ ∑∑ ⋯ ∑ fx 1 , x 2 , … , x n ,
x j−1 x j+1
x1
j = 1, 2, … , n
xn
dır.
X 1 , X 2 , … , X n  sürekli bir rasgele vektör ise
∞
f X j x j  = ∫ ⋯
−∞
∞
∫
fx 1 , x 2 , … , x n dx 1 ⋯dx j−1 dx j+1 ⋯dx n
−∞
dır.
X 1 , X 2 , … , X n rasgele değişkenlerin bir kısmının, örneğin X 1 , X 2 , … , X k , k < n, ortak
olasılık (yoğunluk) fonksiyonunu bulmak için X 1 , X 2 , … , X n  nin olasılık (yoğunluk)
fonksiyonunun diğer değişkenler üzerinden toplamı (integrali) alınacaktır.
A ∈ BR n  için P X 1 ,X 2 ,…,X n  A olasılığını hesaplamak için, kesikli halde,
∑
P X 1 ,X 2 ,…,X n  A =
fx 1 , x 2 , … , x n 
x 1 ,x 2 ,…,x n ∈A
toplamını, sürekli halde ise
P X 1 ,X 2 ,…,X n  A =∫ ⋯ ∫ fx 1 , x 2 , … , x n dx 1 dx 2 ⋯dx n
A
integralini hesaplamamız yeterli olacaktır. Böylece, önceki örneklerde olduğu gibi
Ω, U, P uzayına geri dönmemize gerek kalmayacaktır.
Örnek: X 1 , X 2 , … , X n  3 −boyutlu kesikli rasgele vektörünün olasılık fonksiyonu,
fx 1 , x 2 , x 3  = c x31
2
x2
2
x3
x 1 , x 2 , x 3 ∈ ℕ, 0 ≤ x 1 ≤ 3,
,
0 ≤ x 2 ≤ 2, 0 ≤ x 3 ≤ 2, x 1 + x 2 + x 3 = 4
olsun.
a) c sabitinin değerini bulunuz.
X 1 , X 2 , X 3  rasgele vektörünün değer kümesi
D = 0, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 0, 2, 2, 2, 0, 2, 1, 1, 3, 0, 1, 3, 1, 0
dır.Buna göre
c
3
0
+ 3
2
2
2
2
2
2
2
2
0
+
2
1
3
1
+
3
2
2
1
2
2
2
1
+
2
2
3
1
+
3
3
2
0
2
1
2
1
+
c = 1 + 6 + 6 + 3 + 3 + 1 + 2 + 2 + 2 = 1  c =
3
3
D X 1 = 0, 1, 2, 3
olmak üzere
f X 1 0 = f0, 2, 2 =
2
2
7
4
2
2
= 1
35
f X 1 1 = f1, 1, 2 + f1, 2, 1 = 12
35
f X 1 2 = f2, 0, 2 + f2, 2, 0 + f2, 1, 1 = 18
35
f X 1 3 = f3, 0, 1 + f3, 1, 0 = 4
35
2
2
2
1
1 =
135
b) X 1 in marjinal dağılımının olasılık fonksiyonunu bulunuz.
3
0
2
0
3
2
+
2
0
1
7
4
+
=1
dır. Diğer bir gösterimle
3
x1
f X 1 x 1  =
4
4 − x1
7
4
,
x 1 = 0, 1, 2, 3
veya tablo olarak
X1 = x1
0
f X 1 x 1 
1
2
3
1/35 12/35 18/35 4/35
yazabiliriz.
c) X 1 ve X 2 nin ortak dağılımının olasılık fonksiyonu,
D X 1 ,X 2 = 0, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 0, 2, 2, 2, 1, 3, 0, 3, 1
olmak üzere, çapraz tablo biçiminde
X1 ╲
X2
0
1
2
0
0
0
1/35
1
0
6/35
6/35
2
3/35 12/35 3/35
3
2/35
2/35
0
olarak yazılır. Buradan X 2 nin marjinal olasılık fonksiyonu tablo olarak,
X2 = x2
0
f X 2 x 2 
1
2
5/35 20/35 10/35
dır.
Örnek: X 1 , X 2 , X 3  3 −boyutlu sürekli rasgele vektörünün olasılık yoğunluk fonksiyonu,
ce −3x 1 −2x 2 −x 3
,
x 1 > 0, x 2 > 0, x 3 > 0
0
,
d.y.
fx 1 , x 2 , x 3  =
olsun.
a) c sabitinin değerini bulunuz.
∞∞∞
∫∫∫ ce −3x −2x −x dx 1 dx 2 dx 3 = 1
1
2
3
000
olmalı. Diğer taraftan
∞
∫ e −ax dx = 1/a
0
olduğundan,
c× 1 = 1  c = 6
6
bulunur. Buna göre olasılık yoğunluk fonksiyonunu yeniden yazdığımızda,
6e −3x 1 −2x 2 −x 3
,
x 1 > 0, x 2 > 0, x 3 > 0
0
,
d.y.
fx 1 , x 2 , x 3  =
olur.
b) X 1 in marjinal dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu,
∞ ∞
f X 1 x 1  =
∫∫
fx 1 , x 2 , x 3 dx 2 dx 3
−∞−∞
∞∞
∫ ∫ 6e −3x 1 −2x 2 −x 3 dx 2 dx 3 , x 1 > 0
=
00
0
,
3e −3x 1
,
x1 > 0
0
,
d.y.
d.y.
=
olarak elde edilir.
c) X 1 ve X 2 nin ortak dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu,
∞
∫ 6e −3x 1 −2x 2 −x 3 dx 3 , x 1 > 0, x 2 > 0
f X 1 ,X 2  x 1 , x 2  =
0
0
,
d.y
6e −3x 1 −2x 2
,
x 1 > 0, x 2 > 0
0
,
d.y
=
olarak elde edilir.
Örnek: X 1 , X 2  2 −boyutlu rasgele vektörünün olasılık yoğunluk fonksiyonu,
c10 − x 1 − 2x 2 
,
0 ≤ x 1 ≤ 1, 0 ≤ x 2 ≤ 1
0
,
d. y.
fx 1 , x 2  =
olsun.
a) c sabitinin değerini bulunuz.
11
∫∫ c10 − x 1 − 2x 2 dx 1 dx 2 = 1
00
1
c ×∫
−
10 − x 1 − 2x 2  2
2
0
∫
c
2
1
1
|
dx 2 = 1
x 1 =0
19 − 4x 2 dx 2 = 1
0
c × 17 = 1  c = 2
2
17
b) X 1 in marjinal dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu,
1
f X 1 x 1  =
∫ 2 10 − x 1 − 2x 2 dx 2 , 0 ≤ x 1 ≤ 1
17
0
0
=
,
2 9 − x 1 
17
,
0 ≤ x1 ≤ 1
0
,
d.y.
d.y.
dır.
c) X 2 nin marjinal dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu,
1
f X 2 x 2  =
∫ 2 10 − x 1 − 2x 2 dx 1 , 0 ≤ x 2 ≤ 1
17
0
0
=
,
d.y.
1 19 − 4x 2 
17
,
0 ≤ x2 ≤ 1
0
,
d.y.
dır.
d) f, f X 1 , f X 2 fonksiyonların grafikleri aşağıdadır.
A=
x 1 , x 2  : 0 ≤ x 1 ≤ 0. 5, 0 ≤ x 2 ≤ 0. 5
∈ Bℝ 2 
B = x 1 : 0 ≤ x 1 ≤ 0. 5 ∈ Bℝ 1 
C = x 2 : 0 ≤ x 2 ≤ 0. 5 ∈ Bℝ 2 
kümelerinin olasılıklarını hesaplayalım.
P X 1 ,X 2  A =∫∫ fx 1 , x 2 dx 1 dx 2
A
0.5
=∫
2 10 − x 1 − 2x 2 dx 1 dx 2 = 37
17
136
0
A kümesinin olasılığı, A nın üstünde f fonksiyonunun grafiğinin altında bulunan cismin
hacim ölçüsüne eşittir.
P X 1 B =∫ f X 1 x 1 dx 1
B
0.5
=∫
2 9 − x 1 dx 1 = 35
17
68
0
B kümesinin olasılığı, B nin üstünde f X 1 fonksiyonunun grafiğinin altında bulunan
yamuğun alan ölçüsüne eşittir.
P X 2 C =∫ f X 2 x 2 dx 2
C
0.5
=∫
1 9 − 4x 2 dx 2 = 18
17
34
0
C kümesinin olasılığı, C nin üstünde f X 2 fonksiyonunun grafiğinin altında bulunan kısmın
alan ölçüsüne eşittir.
Örnek:
X 1 ve X 2 rasgele değişkenlerinin ortak dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu,
c
,
0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ 1
0
,
d.y.
fx 1, x 2  =
olsun.
a) c sabitinin değerini bulunuz.
1 x2
1
∫ ∫ cdx 1 dx 2 = 1  c ∫ x 2 dx 2 = 1  c ×
00
1 =1c=2
2
0
b) X 1 ve X 2 nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonlarını bulunuz.
1
∫ 2dx 2 , 0 ≤ x 1 ≤ 1
x1
f X 1 x 1  =
0
d.y.
,
21 − x 1 
,
0 ≤ x1 ≤ 1
0
,
d.y.
=
x2
∫ 2dx 1 , 0 ≤ x 2 ≤ 1
f X 2 x 2  =
0
0
,
d.y.
2x 2
,
0 ≤ x2 ≤ 1
0
,
d.y.
=
c) f, f X 1 , f X 2 fonksiyonlarının grafikleri aşağıdadır.
Şimdi,
A=
x 1 , x 2  : 0 ≤ x 1 ≤ 0. 5, 0 ≤ x 2 ≤ 0. 5
∈ Bℝ 2 
B = x 1 : 0 ≤ x 1 ≤ 0. 5 ∈ Bℝ 1 
C = x 2 : 0 ≤ x 2 ≤ 0. 5 ∈ Bℝ 2 
kümelerinin olasılıklarını hesaplayalım.
0.5 0.5
P X 1 ,X 2  A =∫∫ fx 1 , x 2 dx 1 dx 2 = ∫
∫
2dx 2 dx 1 = 0. 25
0 1−x 1
A
0.5
P X 1 B =∫ f X 1 x 1 dx 1 = ∫ 21 − x 1 dx 1 = 0. 75
B
0
0.5
P X 2 C = ∫ 2x 2 dx 2 = 0. 25
0
d) X 1 , X 2 ve X 1 , X 2  rasgele vektörlerinin dağılım fonksiyonlarını bulunuz.
F X 1 x 1  =
F X 2 x 2  =
0
,
x1 < 0
2x 1 − x 21
,
0 ≤ x1 < 1
1
,
x1 ≥ 1
0
,
x2 < 0
x 22
,
0 ≤ x2 < 1
1
,
x2 ≥ 1
x1 x2
Fx 1 , x 2  =
∫∫
fx 1 , x 2 dx 2 dx 1
−∞−∞
=
0
,
x 1 < 0 veya x 2 < 0
2x 1 x 2 − x 21
,
0 ≤ x1 < x2 < 1
2x 1 − x 21
,
0 ≤ x 1 < 1, x 2 ≥ 1
x 22
,
0 ≤ x 2 < 1, x 1 ≥ x 2
1
,
x 1 ≥ 1, x 2 ≥ 1
Örnek: X 1 , X 2 , 2 −boyutlu rasgele vektörünün dağılım fonksiyonu F olsun.
A=
x 1 , x 2  : a < x 1 ≤ b, c < x 2 ≤ d
kümesinin olasılığını
Fa, c, Fa, d, Fb, c, Fb, d
ile ifade ediniz.
E=
x 1 , x 2  : x 1 ≤ b, x 2 ≤ d
B=
x 1 , x 2  : x 1 ≤ a, x 2 ≤ d
C=
x 1 , x 2  : x 1 ≤ b, x 2 ≤ c
B∩C =
x 1 , x 2  : x 1 ≤ a, x 2 ≤ c
olarak tanımlansın. Buna göre
dır. Ayrıca,
E = A ∪ B ∪ C ve A ∩ B ∪ C = 
dır.
P X 1 ,X 2  E = P X 1 ,X 2  A + P X 1 ,X 2  B ∪ C
= P X 1 ,X 2  A + P X 1 ,X 2  B + P X 1 ,X 2  C − P X 1 ,X 2  B ∩ C
olmak üzere
Fb, d = P X 1 X 2  A + Fa, d + Fb, c − Fa, c
yazılır. Buradan
P X 1 ,X 2  A = P a < X 1 ≤ b, c < X 2 ≤ d
= Fb, d + Fa, c − Fa, d − Fb, c
elde edilir.
Örnek: X 1 ve X 2 rasgele değişkenlerinin ortak dağılım fonksiyonu
1 − e −x 1
1 − e −x 2
2
2
,
x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0
,
d.y.
Fx 1 , x 2  =
0
olsun.
a)
x 1 , x 2  : 1 < x 1 ≤ 2, 1 < x 2 ≤ 2
A=
kümesinin olasılığını hesaplayınız.
P X 1 ,X 2  A = P 1 < X 1 ≤ 2, 1 < X 2 ≤ 2
= F2, 2 + F1, 1 − F1, 2 − F2, 1
= e −8 − 2e −5 + e −2 = 0, 1221
b) X 1 ve X 2 nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz.
fx 1 , x 2  =
∂ 2 Fx 1 , x 2 
∂x 1 ∂x 2
,
x 1 > 0, x 2 > 0
0
,
d.y.
4x 1 x 2 e −
x 21 +x 22
,
x 1 > 0, x 2 > 0
,
d.y.
=
0
dır. Şimdi A kümesinin olasılığını yeniden f fonksiyonu yardımıyla hesap-layalım.
P X 1 ,X 2  A = ∫∫ fx 1 , x 2 dx 1 dx 2
A
22
= ∫∫ 4x 1 x 2 e −
x 21 +x 22
dx 1 dx 2
11
2
= ∫ 2x 1 e
2
−x 1 2
∫ 2x 2 e −x dx 2 = −e −4 + e −1  2
2
2
dx 1
1
1
= e −8 − 2e −5 + e −2 = 0, 1221
c) X 1 ve X 2 nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonlarını bulunuz.
4x 1 x 2 e −
x 21 +x 22
,
x 1 > 0, x 2 > 0
,
d.y.
f X 1 x 1  =
0
2x 1 e −x 1
,
x1 > 0
0
,
d.y.
2
=
∞
∫ 4x 1 x 2 e −
f X 2 x 2  =
x 21 +x 22
dx 1
,
x2 > 0
,
d.y.
0
0
2x 2 e −x 2
,
x2 > 0
0
,
d.y.
2
=
iki ve üç boyutlu rasgele vektörlerde, bileşenler, aynı harfi indislemek yerine, değişik
harflerle de gösterilmektedir.
Örnek: (X, Y, Z rasgele vektörünün olasılık yoğunluk fonksiyonu,
x + ye −z
,
0 < x < 1, 0 < y < 1, z > 0
0
,
d.y.
fx, y, z =
olsun.
I=
x, y, z : x < 0 veya y < 0 veya z < 0
II =
x, y, z : 0 ≤ x < 1, 0 ≤ y < 1, z ≥ 0
III =
x, y, z : 0 ≤ x < 1, y ≥ 1, z ≥ 0
IV =
x, y, z : x ≥ 1, 0 ≤ y < 1, z ≥ 0
V=
x, y, z : x ≥ 1, y ≥ 1, z ≥ 0
bölgelerinin herbiri için Fx, y, z değerlerini bulalım.
I bölge için:
Fx, y, z = 0
II bölge için:
xyz
Fx, y, z = ∫∫∫ x + ye −z dzdydx
000
= 1 x 2 y + xy 2 1 − e −z 
2
III bölge için:
x1z
Fx, y, z = ∫∫∫ x + ye −z dzdydx
000
= 1 x 2 + x1 − e −z 
2
IV bölge için:
1yz
Fx, y, z = ∫∫∫ x + ye −z dzdydx
000
= 1 y + y 2 1 − e −z 
2
V bölge için:
11z
Fx, y, z = ∫∫∫ x + ye −z dzdydx
000
= 1 − e −z
Böylece X, Y ve Z nin ortak dağılım fonksiyonunu bulmuş olduk.
Rasgele Değişkenlerin Bağımsızlığı
Tanım: Ω, U, P bir olasılık uzayı ve X 1 , X 2 , … , X n n ≥ 2 bu uzayda rasgele değişkenler
olmak üzere,
−1
−1
X −1
1 B, X 2 B, … , X n B
sınıfları (σ −cebirleri) bağımsız ise X 1 , X 2 , … , X n rasgele değişkenlerine bağımsızdır
denir.
Örnek: Ω, U, P bir olasılık uzayı,
X1 : Ω  R
ω  X 1 ω = c
c noktasında yoğunlaşmış dağılıma sahip rasgele değişken ve X 2 herhangi bir rasgele
−1
değişken olsun. X −1
1 B = , Ω olmak üzere X 1 B ile U bağımsız ve herhangi bir X 2
−1
−1
rasgele değişkeni için X −1
2 B ⊂ U olduğundan X 1 B ile X 2 B bağımsızdır. Yani bir
noktada yoğunlaşmış dağılıma sahip rasgele değişken başka herhangi bir rasgele
değişkenden bağımsızdır.
Örnek: Ω, U, P bir olasılık uzayı, A 1 , A 2 , … , A n bu uzayda bağımsız olaylar ve
X1 : Ω  R
ai
,
ω ∈ Ai
bi
,
ω ∉ Ai
ω  X i ω =
olsun.
X −1
i B = , Ω, A i , A i , i = 1, 2, … , n olmak üzere X 1 , X 2 , … , X n rasgele değişkenleri
bağımsızdır.
Belli bir olasılık uzayında tanımlı X 1 , X 2 , … , X n rasgele değişkenleri bağımsız
olduğunda X 1 , X 2 , … , X n  kümesinin birden çok elemanlı her alt kümesindeki rasgele
değişkenler de bağımsızdır.
Teorem: Ω, U, P bir olasılık uzayı, X 1 , X 2 , … , X n bu uzayda bağımsız rasgele
değişkenler ve
gi : R 
R
x  g i x
,
i = 1, 2, … , n
fonksiyonları ∀ B ∈ B için x : g i x ∈ B ∈ B özelliğine sahip olmak üzere
g i X i  = g i ∘ X i , i = 1, 2, … , n rasgele değişkenleri de bağımsızdır.
Đspat: g i ∘ X i  −1 B ⊂ X −1
i B, i = 1, 2, … , n olduğunu göstermek teoremin ispatı için
yeterlidir.
A ∈ g i ∘ X i  −1 B  B ∈ B için g i ∘ X i A = B
 g i X i A = B
 X i A = x : g i x ∈ B ∈ B
 A ∈ X −1
i B
Tanım: Ω, U, P bir olasılık uzayı ve X i : i ∈ I bu uzayda tanımlı rasgele dağişkenlerin
bir kümesi olmak üzere, bu kümenin sonlu elemanlı her altkümesindeki rasgele
değişkenler bağımsız ise X i : i ∈ I kümesindeki rasgele değişkenlere bağımsızdır
denir.
X 1 , X 2 , … , X n , … bir olasılık uzayında tanımlı rasgele değişkenlerin bir dizisi olsun.
∀n, n ≥ 2 için X 1 , X 2 , . . . , , X n ler bağımsız ise X n : n ∈ ℕ kümesindeki rasgele
değişkenler bağımsızdır.
Teorem: Bir Ω, U, P olasılık uzayında tanımlı X 1 , … , X n rasgele değişkenlerinin
bağımsız olması için gerek ve yeter şart Borel kümelerinin her B 1 , B 2 , … , B n seçimi için:
n
P ∩ X i ∈ B i 
i=1
n
=∏ PX i ∈ B i 
i=1
olmasıdır.
Đspat: X 1 , X 2 , . . . , X n bağımsız ise tanımdan dolayı teoremdeki eşitlik sağlanmaktadır.
Şimdi B 1 , B 2 , … , B n ∈ B lerin her seçimi için teoremdeki eşitliğin sağlandığını
varsayalım. Bu durumda: k = 2, 3, … , n, için farklı i 1 , i 2 , … , i k sayıları 1, 2, … , n sayılarının
k li bir kombinasyonu ve C i 1 , C i 2 , … , C i k herhangi Borel kümeleri olmak üzere
k
P ∩ X i r ∈ C i r 
r=1
k
=∏ PX i r ∈ C i r 
r=1
olduğunu göstermeliyiz.
Bi =
C i , i ∈ i 1 , i 2 , … , i k 
R , i ∉ i 1 , i 2 , … , i k 
, i = 1, 2, … , n
olmak üzere, X ∈ R = Ω ve PX ∈ R = 1 olduğunu göz önüne alarak
k
P ∩ X i r ∈ C i r 
k
=P
∩ X i r ∈ B i r 
r=1
∩Ω
r=1
n
= P ∩ X i ∈ B i 
i=1
n
= ∏ PX i ∈ B i 
i=1
k
= ∏ PX i r ∈ C i r 
r=1
elde edilir.
Aşağıdaki teoremi ispatsız olarak verelim.
Teorem: Bir Ω, U, P olasılık uzayında tanımlı X 1 , … , X n rasgele değişkenlerinin
bağımsız olması için gerek ve yeter şart, B 6 = −∞, a : a ∈ R sınıfındaki A 1 , A 2 , … , A n
kümelerinin her seçimi için
n
P ∩ X i ∈ A i 
i=1
n
=∏ PX i ∈ A i 
i=1
olmasıdır.
Rasgele vektörler için bağımsızlık tanımı benzer biçimde yapılır. Bir Ω, U, P olasılık
uzayında tanımlı sonlu sayıda rasgele vektörün doğurduğu σ −cebirler bağımsız sınıflar
ise bu rasgele vektörlere bağımsızdır denir. Örneğin, X 1 , X 2 , … , X n  ve Y 1 , Y 2 , … , Y m ,
Ω, U, P de tanımlı iki rasgele vektör olmak üzere
X 1 , X 2 , … , X n  −1 BR n  ve Y 1 , Y 2 , … , Y m  −1 BR m 
sınıfları bağımsız ise bu rasgele vektörlere bağımsızdır denir. Ayrıca, bu vektörlerin
bağımsız olması için gerek ve yeter şart aşağıdaki
A = −∞, a 1  × −∞, a 2  × ⋯ × −∞, a n , a 1 , a 2 , … , a n  ∈ R n
ve
B = −∞, b 1  × −∞, b 2  × ⋯ × −∞, b m , b 1 , b 2 , … , b m  ∈ R m
kümelerinin her seçimi için
PX 1 , X 2 , … , X n  ∈ A ∩ Y 1 , Y 2 , … , Y m  ∈ B
= PX 1 , X 2 , … , X n  ∈ A × PY 1 , Y 2 , … , Y m  ∈ B
olmasıdır
Şimdi bir X 1 , X 2 , … , X n  rasgele vektörünün bileşenlerinin veya başka bir ifadeyle
ortak dağılıma sahip X 1 , … , X n rasgele değişkenlerin bağımsızlığını ele alalım. Bir
rasgele vektörün bileşenlerinin bağımsızlık tanımına denk olan aşağıdaki tanımı verelim.
Tanım: X 1 , X 2 , … , X n rasgele değişkenlerinin ortak dağılım fonksiyonu F ve marjinal
dağılım fonksiyonları F X 1 , F X 2 , … , F X n olmak üzere, her x 1 , x 2 , … , x n  ∈ R n için,
Fx 1 , x 2 , … , x n  = F X 1 x 1 F X 2 x 2 ⋯F X n x n 
oluyor ise bu rasgele değişkenlere bağımsızdır denir. Bağımsız olmayan rasgele
değişkenlere bağımlıdır denir.
Ortak dağılım fonksiyonunun marjinaller cinsinden çarpanlara ayrılması olarak
verilen bağımsızlığın bu tanımlanması ortak olasılık (yoğunluk) fonksiyonları için de
geçerlidir. X 1 , X 2 , … , X n rasgele değişkenlerinin bağımsız olmaları için gerek ve yeter şart
fx 1 , x 2 , … , x n  = f X 1 x 1 f X 2 x 2 ⋯f X n x n 
olmasıdır. Gerçekten, sürekli durum için,
∂ n Fx 1 , x 2 , … , x n 
fx 1 , x 2 , … , x n  =
∂x 1 ∂x 2 ⋯∂x n
=
dF X 1 x 1  dF X 2 x 2 
dF x 
⋯ Xn n
dx 1
dx 2
dx n
= f X 1 x 1 f X 2 x 2 ⋯f X n x n 
ve tersine,
x1 x2
Fx 1 , x 2 , … , x n  =
=
∫∫
xn
⋯
∫
−∞−∞
−∞
x1 x2
xn
∫∫
−∞−∞
⋯
∫
fx 1 , x 2 , … , x n dx n ⋯dx 2 dx 1
f X 1 x 1 f X 2 x 2 ⋯f X n x n dx n ⋯dx 1
−∞
x1
=
∫
x2
f X 1 x 1 dx 1
−∞
∫
xn
f X 2 x 2 dx 2 ⋯
−∞
∫
f X n x n dx n
−∞
= F X 1 x 1 F X 2 x 2 ⋯F X n x n 
dır. Kesikli durum için: Eğer F = F X 1 F X 2 ⋯F X n yani X 1 , X 2 , … , X n bağımsız ise
fx 1 , x 2 , … , x n  = PX 1 = x 1 , X 2 = x 2 , … , X n = x n 
= PX 1 = x 1 PX 2 = x 2 ⋯PX n = x n 
= f X 1 x 1 f X 2 x 2 ⋯f X n x n 
dır ve tersine, eğer f = f X 1 f X 2 ⋯f X n ise
Fx 1 , x 2 , … , x n  = ∑ ∑ ⋯ ∑ fs 1 , s 2 , … , s n 
s 1 ≤x 1 s 2 ≤x 2
s n ≤x n
= ∑ f X 1 s 1  ∑ f X 2 s 2 ⋯ ∑ f X n s n 
s 1 ≤x 1
s 2 ≤x 2
s n ≤x n
= F X 1 x 1 F X 2 x 2 ⋯F X n x n 
dır.
Örnek: X 1 , X 2 , X 3 rasgele değişkenlerinin ortak dağılım fonksiyonu,
1 − e −3x 1 +2x 2 +x 3  + e −3x 1 +2x 2  + e −3x 1 +x 3  +
Fx 1 , x 2 , x 3  =
+e −2x 2 +x 3  − e −3x 1 − e −2x 2 − e −x 3
0
x1 > 0
x2 > 0
,
x3 > 0
,
d.y.
olsun. X 1 , X 2 ve X 3 bağımsız mıdır?
F X 1 x 1  = Fx 1 , ∞, ∞
1 − e −3x 1
,
x1 > 0
0
,
d.y.
1 − e −2x 2
,
x2 > 0
0
,
d.y.
1 − e −x 3
,
x3 > 0
0
,
d. y.
=
F X 2 x 2  = F∞, x 2 , ∞
=
F X 3 x 3  = F∞, ∞, x 3 
=
olmak üzere, ∀x 1 , x 2 , x 3  ∈ R 3 için
Fx 1 , x 2 , x 3  = F X 1 x 1 F X 2 x 2 F X 3 x 3 
olduğundan X 1 , X 2 ve X 3 bağımsızdır. Bu durumu olasılık yoğunluk fonksiyonlarında
gözleyelim.
fx 1 , x 2 , x 3  =
∂ 3 Fx 1 , x 2 , x 3 
∂x 1 ∂x 2 ∂x 3
6e −3x 1 +2x 2 +x 3 
,
x 1 > 0, x 2 > 0, x 3 > 0
0
,
d.y.
=
ve
3e −3x 1
,
x1 > 0
0
,
d.y.
2e −2x 2
,
x2 > 0
0
,
d.y.
f X 1 x 1  =
f X 2 x 2  =
e −x 3
,
x3 > 0
0
,
d.y.
f X 3 x 3  =
olmak üzere, ∀x 1 , x 2 , x 3  ∈ R 3 için,
fx 1 , x 2 , x 3  = f X 1 x 1 f X 2 x 2 f X 3 x 3 
dır.
Örnek: X 1 , X 2  nin olasılık yoğunluk fonksiyonu
24x 1 x 2
,
0 ≤ x1 + x2 ≤ 1
0
,
d.y.
f X 1 x 1  =
olsun. X 1 ve X 2 bağımsız mıdır?
1−x 1
∫ 24x 1 x 2 dx 2 , 0 ≤ x 1 ≤ 1
f X 1 x 1  =
0
0
,
d.y.
2x 1 1 − x 1 
,
0 ≤ x1 ≤ 1
0
,
d.y.
12x 2 1 − x 2 
,
0 ≤ x2 ≤ 1
0
,
d.y.
f X 2 x 2  =
olmak üzere f ≠ f X 1 × f X 2 olduğundan X 1 ve X 2 bağımsız değildir.
Tanım: Bir rasgele değişkenin f olasılık (yoğunluk) fonksiyonunun sıfırdan farklı değerler
aldığı kümeye destek kümesi denir ve D f ile gösterilir.
Yukarıdaki örnek için f fonksiyonunun destek kümesi
D f = x 1 , x 2  : 0 < x 1 + x 2 ≤ 1
ve f X 1 , f X 2 fonksiyonlarının destek kümeleri:
D f X1 = D f X2 = 0, 1 ⊂ ℝ
dır.
X 1 , X 2 , … , X n rasgele değişkenleri bağımsız ve ortak olasılık dağılımı kesikli ise
D f = D f X1 × D f X2 × ⋯ × D f Xn
olacağı açıktır. Ortak olasılık dağılımı sürekli ise,
a i , b i  ⊂ D f Xi , Pa i < X i < b i  > 0, i = 1, 2, … , n
olmak üzere,
a 1 , b 1  × a 2 , b 2  × ⋯ × a n , b n  ∩ D f ≠ 
olmalıdır, çünkü
n
P ∩ a i ≤ X i ≤ b i 
i=1
n
=∏ Pa i < X i < b i 
i=1
dır.
Örnek: X 1 , X 2  2 −boyutlu kesikli rasgele vektörün olasılık fonksiyonu
fx 1 , x 2  = cx 1 x 2 , x 1 , x 2  ∈ 1, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 3, 3
olsun.
D f X1 = 1, 2, 3
D f X2 = 1, 2, 3
olmak üzere D f ≠ D f X1 × D f X2 olmasından dolayı X 1 ve X 2 bağımsız değildir.
Örnek: X 1 ve X 2 nin ortak olasılık fonksiyonu
fx 1 , x 2  = 1 x 1 x 2 , x 1 , x 2  ∈ 1, 2, 3 × 1, 2, 3
36
olsun. Bu durumda X 1 ve X 2 nin bağımsız olup olmadığını hemen söyleyemeyiz.
X2 ╲
X1
1
2
3
f X 2 x 2 
1
1/36 2/36 3/36
1/6
2
2/36 4/36 6/36
2/6
3
3/36 6/36 9/36
3/6
f X 1 x 1 
1/6
2/6
3/6
Ortak dağılım tablosundan görüldüğü gibi f = f X 1 × f X 2 dır. Yani X 1 ve X 2 bağımsızdır.
Örnek: X 1 ve X 2 nin ortak olasılık fonksiyonu
fx 1 , x 2  = 1 x 1 + x 2  , x 1 , x 2  ∈ 1, 2, 3 × 1, 2, 3
36
olsun.
f1, 1 = 2/36
f X 1 1 = PX 1 = 1 = 9/36
f X 2 1 = PX 2 = 1 = 9/36
olmak üzere f1, 1 ≠ f X 1 1 × f X 2 1 olduğundan X 1 ve X 2 bağımsız değildir.
Teorem: X 1 ve X 2 nin ortak olasılık (yoğunluk) fonksiyonunun D f destek kümesi
D f = A × B, A, B ⊂ R olsun. X 1 ve X 2 nin bağımsız olması için gerek ve yeter şart
fx 1 , x 2  = hx 1 gx 2 
olarak yazılmasıdır. Burada h nin ifadesinde x 2 ve g nin ifadesinde x 1 bulunmamaktadır.
Đspat: X 1 ve X 2 bağımsız ise
fx 1 , x 2  = f X 1 x 1 f X 2 x 2 
= hx 1 gx 2 
dır. Tersine,
fx 1, x 2  = hx 1 gx 2 
ise
f X 1 x 1  =∫ fx 1 , x 2 dx 2 =∫ hx 1 gx 2 dx 2 = hx 1  × c 1
B
B
f X 2 x 2  =∫ fx 1 , x 2 dx 1 =∫ hx 1 gx 2 dx 1 = gx 2  × c 2
A
A
ve
1 f X x 1  × f X x 2 
hx 1 gx 2  = c ×
2
c2 1
1
dır. Diğer taraftan
1 = ∫∫ fx 1 , x 2 dx 1 dx 2
Df
1
= c ×
c2
1
∫∫ f X x 1 f X x 2 dx 2 dx 1 =
1
2
1
c1 × c2
AB
olmak üzere c 1 × c 2 = 1 ve böylece fx 1 , x 2  = f X 1 x 1 f X 2 x 2  dır, yani X 1 ve X 2
bağımsızdır. Kesikli durum için de ispat benzer biçimde yapılmaktadır.
Örnek: X 1 ve X 2 nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu,
cx 1 x 2
,
0 ≤ x 1 ≤ 1, 0 ≤ x 2 ≤ 1
0
,
d.y.
fx 1 , x 2  =
olsun. Teorem 3.2.2 den dolayı X 1 ve X 2 bağımsızdır.
Örnek: X 1 ve X 2 nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu,
cx 1 + x 2 
,
0 ≤ x 1 ≤ 1, 0 ≤ x 2 ≤ 1
0
,
d.y.
fx 1 , x 2  =
olsun. Teoreme göre X 1 ve X 2 bağımsız değildir.
Örnek: X 1 , X 2 , … , X n rasgele değişkenleri bağımsız ve i = 1, 2, … , n için
fx i  =
1
bi − ai
,
ai ≤ xi ≤ bi
0
,
d.y.
olsun. O zaman X 1 , X 2 , … , X n  n −boyutlu rasgele vektörünün olasılık yoğunluk
fonksiyonu
n
∏
fx 1 , x 2 , . . . , x n  =
i=1
1
bi − ai
0
,
x 1 , x 2 , . . . , x n  ∈ a 1 , b 1  ×. . . ×a n , b n 
,
d.y.
dır.
Örnek: X 1 , X 2 , … , X n rasgele değişkenleri bağımsız ve aynı,
e −x
,
x>0
0
,
d.y.
fx =
olasılık yoğunluk fonmsiyonuna sahip olsun. X 1 , X 2 , … , X n nin ortak olasılık yoğunluk
fonksiyonu,
n
∑x i
−
e
fx 1 , x 2 , … , x n  =
i=1
,
x 1 > 0, x 2 > 0, … , x n > 0
0
,
d.y.
dır.
Dağılım fonksiyonu F olan bir X 1 , X 2 , … , X n+m  rasgele vektörünün, X 1 , X 2 , … , X n  ve
X n+1 , … , X n+m  altvektörlerinin bağımsız olması için gerek ve yeter şart
∀x 1 , x 2 , … , x n+m  ∈ ℝ n+m için
Fx 1 , x 2 , … , x n+m  = F 1 x 1 , x 2 , … , x n  × F 2 x n+1 , … , x n+m 
olmasıdır. Burada F 1 ve F 2 sırasıyla X 1 , X 2 , … , X n  ile X n+1 , … , X n+m  rasgele vektörlerin
dağılım fonksiyonlarıdır. Eğer iki vektör bağımsız ise bu vektörlerin birindeki alt vektörler
diğerindeki alt vektörlerden bağımsızdır.
Marjinal dağılım fonksiyonların çarpımının ortak dağılım fonksiyonuna eşit olması
olarak verilen bağımsızlık kavramı olasılık (yoğunluk) fonksiyonları yardımıyla da benzer
biçimde ifade edilebilir.
Örnek: X 1 , X 2 , X 3 , X 4  vektörünün olasılık yoğunluk fonksiyonu,
fx 1 , x 2 , x 3 , x 4  =
x1 + x2
e x 3 +x 4
,
0 ≤ x 1 , x 2 ≤ 1, 0 ≤ x 3 , x 4 < ∞
0
,
d.y.
olsun. X 1 , X 2  nin marjinal yoğunluk fonksiyonu,
x1 + x2
,
0 ≤ x1, x2 ≤ 1
0
,
d.y.
f X 1 ,X 2 x 1 , x 2  =
ve X 3 , X 4  un marjinal yoğunluk fonksiyonu,
e −x 3 −x 4
,
0 ≤ x1, x2 < ∞
0
,
d.y.
f X 3 ,X 4 x 3 , x 4  =
olmak üzere, ∀x 1 , x 2 , x 3 , x 4  ∈ R 4 için
fx 1 , x 2 , x 3 , x 4  = f X 1 ,X 2 x 1 , x 2  × f X 3 ,X 4 x 3 , x 4 
dır. X 1 , X 2  ile X 3 , X 4  vektörleri bağımsızdır.
f X 1 x 1  =
x1 + 1
2
,
0 ≤ x1 ≤ 1
0
,
d.y.
x2 + 1
2
,
0 ≤ x2 ≤ 1
0
,
d.y.
ve
f X 2 x 2  =
olmak üzere, f X 1 ,X 2 ≠ f X 1 × f X 2 dır. X 1 ve X 2 bağımsız değildir.
X 1 , X 3 , X 4  ün olasılık yoğunluk fonksiyonu
f X 1 ,X 3 ,X 4 x 1 , x 3 , x 4  =
x1 + 1
2
e x 3 +x 4
,
0 ≤ x 1 ≤ 1, 0 ≤ x 3 , x 4 ≤ ∞
0
,
d.y.
olmak üzere ∀x 1 , x 3 , x 4  ∈ R 3 için
f X 1 ,X 3 ,X 4 x 1 , x 3 , x 4  = f X 1 x 1  × f X 3 ,X 4 x 3 , x 4 
dır. X 1 ile X 3 , X 4  bağımsızdır. Benzer biçimde X 2 ile X 3 , X 4 , X 3 ile X 1 , X 2 , X 4 ile
X 1 , X 2  nin bağımsız olduğu gösterilebilir.
Koşullu Dağılımlar
Ω, U, P bir olasılık uzayı, X : Ω  R bir rasgele değişken, A ∈ B, P X A ≠ 0 olmak
üzere, X ∈ A verilmişken X in koşullu olasılık dağılımı önceki derslerde verilmişti. Şimdi
bu kavramı rasgele vektörler için verelim.
Tanım: Ω, U, P de tanımlı X 1 , X 2 , … , X n  n −boyutlu rasgele vektörünün olasılık
dağılımı P X 1 ,X 2 ,…,X n  ve A ∈ BR n , P X 1 ,X 2 ,…,X n  A > 0 olsun. B ∈ BR n  için,
P X 1 ,X 2 ,…,X n  B/A =
=
P X 1 ,X 2 ,…,X n  B ∩ A
P X 1 ,X 2 ,…,X n  A
PX 1 , X 2 , … , X n  ∈ B ∩ A
PX 1 , X 2 , … , X n  ∈ A
olmak üzere P X 1 ,X 2 ,…,X n  ⋅/A olasılık ölçüsüne X 1 , X 2 , … , X n  ∈ A ve-rilmişken
X 1 , X 2 , … , X n  nin koşullu dağılımı denir.
C = X 1 , X 2 , … , X n  ∈ A = ω : X 1 , X 2 , … , X n ω ∈ A olmak üzere, C, U C , P C  de
tanımlı ve X 1 , X 2 , … , X n  nin C ye kısıtlaması olan X 1 , X 2 , … , X n  /C rasgele vektörünün
olasılık dağılımı
P X 1 ,X 2 ,…,X n  /C = P X 1 ,X 2 ,…,X n  ⋅/A
dır.
X 1 , X 2 , … , X n  /C = X 1 , X 2 , … , X n  X 1 ,X 2 ,…,X n ∈A rasgele vektörü bir n −boyutlu rasgele
vektördür. Burada da marjinal dağılımlar sözkonusudur. Örneğin, P X j /X 1 ,X 2 ,…,X n ∈A ,
X 1 , X 2 , … , X n  ∈ A verilmişken X j nin koşullu marjinal dağılımı olmak üzere, B ∈ BR j 
için 1 ≤ j ≤ n,
P X j /X 1 ,X 2 ,…,X n ∈A B =
PX j ∈I j R 1 ×...×R j−1 ×B×R j+1 ×...×R n 
PX 1 ,X 2 ,...,X n ∈A
dır.
Örneğin A k ∈ BR k  için
A = A k × R k+1 × ⋯ × R n
ve
C = ω : X 1 , X 2 , … , X n  ∈ A k  = ω : X 1 , X 2 , … , X n  ∈ A
olmak üzere, P X 1 ,X 2 ,…,X n /X 1 ,X 2 ,…,X k ∈A k  koşullu dağılımının marjinal dağılımı olan
P X k+1 ,…,X n /X 1 ,X 2 ,…,X k ∈A k  dağılımına X 1 , X 2 , … , X k  ∈ A k verilmişken X k+1 , X k+2 , … , X n 
rasgele vektörünün koşullu marjinal dağılımı denir.
Teorem: X 1 ve X 2 nin ortak dağılım fonksiyonu F ve marjinal dağılım fonksiyonları
sırasıyla F X 1 ve F X 2 olsun. x 2 ∈ R, P X 2 −∞, x 2  ≠ 0 olmak üzere, X 2 ∈ −∞, x 2  verilmişken
X 1 in koşullu dağılımının dağılım fonksiyonu,
Fx 1 , x 2 
F X 1 /X 2 ≤x 2  x 2  =
, x1 ∈ R
F X 2 x 2 
ve x 1 ∈ R, P X 1 −∞, x 1  ≠ 0 olmak üzere, X 1 ∈ −∞, x 1  verilmişken X 2 nin koşullu
dağılımının dağılım fonksiyonu,
Fx 1 , x 2 
, x2 ∈ R
F X 2 /X 1 ≤x 1  x 2  =
F X 1 x 1 
dır.
Đspat: X 2 ∈ −∞, x 2  olsun. x 1 ∈ R için
F X 1 /X 2 ≤x 2  x 1  = PX 1 ≤ x 1 /X 2 ≤ x 2 
=
PX 1 ≤ x 1 , X 2 ≤ x 2 
PX 2 ≤ x 2 
=
Fx 1 , x 2 
Fx 2 
dır.
Teorem: X 1 , X 2  kesikli bir rasgele vektör ise PX 2 = x 2  ≠ 0 olmak üzere X 2 = x 2
verilmişken X 1 in koşullu marjinal dağılımının olasılık fonksiyonu,
fx 1 , x 2 
f X 1 /X 2 =x 2  x 1  =
, x 1 ∈ D X 1 /X 2 =x 2 
f X 2 x 2 
ve PX 1 = x 1  ≠ 0 olmak üzere X 1 = x 1 verilmişken X 2 nin koşullu marjinal dağılımının
olasılık fonksiyonu
fx 1 , x 2 
f X 2 /X 1 =x 1  x 2  =
, x 2 ∈ D X 2 /X 1 =x 1 
f X 1 x 1 
dır.
Đspat: PX 2 = x 2  ≠ 0 olsun, x 1 ∈ D X 1 /X 2 =x 2  için
f X 1 /X 2 =x 2  x 1  = PX 1 = x 1 /X 2 = x 2 
=
PX 1 = x 1 , X 2 = x 2 
fx 1 , x 2 
=
PX 2 = x 2 
f X 2 x 2 
dır.
Örnek:
Ω = ω 1 , ω 2 , ω 3 , ω 4 , U = PΩ, A ∈ U, PA = nA/4 olmak üzere,
X 1 , X 2  : Ω  R 2
0, 0
,
ω = ω1
1, 1
,
ω = ω2
1, 0
,
ω = ω3
2, 1
,
ω = ω4
ω  X 1 , X 2 ω =
olsun. X 1 , X 2  nin belirlediği P X 1 ,X 2  olasılık dağılımının olasılık fonksiyonu
fx 1 , x 2  = 1 ,
4
olmak üzere olasılık tablosu,
x 1 , x 2  ∈ 0, 0, 1, 1, 1, 0, 2, 1
X1 ╲
0
1
f X 1 x 1 
0
1/4
0
1/4
1
1/4 1/4
X2
2
0
1/4
2/4
1/4
f X 2 x 2  2/4 2/4
dır.
A = x 1 , x 2  : x 1 ≤ 1 = R × −∞, 1 ⊂ R 2
olmak üzere, C = ω : X 1 , X 2 ω ∈ A = ω 1 , ω 2 , ω 3 , PC = 3/4 dır.
C, U C , P C  olasılık uzayında
P C ω i  = 1/3 , i = 1, 2, 3
dır. X 1 , X 2  /C rasgele vektörünün olasılık fonksiyonu
f X 1 ,X 2 /X 1 ≤1 x 1 , x 2  = 1 , x 1 , x 2  ∈ 0, 0, 1, 1, 1, 0
4
dır. Böylece X 1 ≤ 1 verilmişken X 1 , X 2  nin koşullu dağılımının olasılık fonksiyonunu
bulmuş olduk. Buradan, X 1 ≤ 1 verilmişken X 2 nin koşullu marjinal dağılımının olasılık
fonksiyonu
2/3
,
x2 = 0
1/3
,
x2 = 1
f X 2 /X 1 ≤x 1  x 2  =∑ f X 1 ,X 2 /X 1 ≤1 x 1 , x 2  =
x1
dır.
Şimdi X 1 = 1 verilmişken X 2 nin koşullu marjinal dağılımının olasılık fonksiyonunu
bulalım.
f1, x 2 
f X 1 1
= 1
2
f X 2 /X 1 =1 x 2  =
, x 2 ∈ D x 2 /X 1 =1 = 0, 1
, x 2 = 0, 1
dır.
X 1 , X 2 , … , X n  n −boyutlu bir rasgele vektör ve PX k+1 = x k+1 , … , X n = x n  ≠ 0 olmak
üzere, örneğin X k+1 = x k+1 , … , X n = x n verilmişken, X 1 , X 2 , … , X k  nın koşullu marjinal
dağılımının olasılık fonksiyonu,
fx 1 , x 2 , … , x n 
f X 1 ,X 2 ,…,X k /X k+1 =x k+1 ,…,X n =x n  x 1 , x 2 , … , x k  =
f X k+1 ,…,X n  x k+1 , … , x n 
dır.
Örnek:
X 1 , X 2 , X 3  3 −boyutlu rasgele vektörünün olasılık fonksiyonu,
x 1 , x 2 , x 3  ∈ 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1,
fx 1 , x 2 , x 3  = x 1 + x 2 + x 3 ,
15
2, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 1, 2, 3
olsun. X 2 , X 3  ün marjinal olasılık fonksiyonu,
3
15
,
x 2 , x 3  = 0, 0
1
15
,
x 2 , x 3  ∈ 1, 0, 0, 1
x2 + x3
15
,
x 2 , x 3  ∈ 2, 0, 0, 2
6
15
,
x 2 , x 3  = 2, 3
f X 2 ,X 3 x 2 , x 3  =
dır. X 2 = 0, X 3 = 0 verilmişken X 1 nin koşullu marjinal olasılık fonksiyonu,
fx 1 , 0, 0
f X 1 X 2 =0,X 3 =0 x 1  =
= x 1 , x 1 ∈ D X 1 X 2 =0,X 3 =0 = 1, 2
3
f X 2 ,X 3  0, 0
dır.
Şimdi X 1 = 0 verilmişken X 2 , X 3  ün koşullu olasılık fonksiyonunu bulalım. X 1 in
marjinal olasılık fonksiyonu,
f X 1 x 1  =
6
15
,
x1 = 0
7
15
,
x1 = 1
2
15
,
x1 = 2
ve D X 2 ,X 3 /X 1 =0 = 1, 0, 0, 1, 2, 0, 0, 2 olmak üzere
f X 2 ,X 3 /X 1 =0 x 2 , x 3  =
f0, x 2 , x 3 
f X 1 0
= x 2 + x 3 , x 2 , x 3  ∈ 1, 0, 0, 1, 2, 0, 0, 2
6
dır.
Tanım: X 1 , X 2 , sürekli bir rasgele vektör olmak üzere, f X 2 x 2  ≠ 0 için
f X 1 /X 2 =x 2  x 1  =
fx 1 , x 2 
f X 2 x 2 
,
x 1 ∈ I 1 D ∩ ℝ 1 × x 2 
0
,
d.y.
fonksiyonuna, X 2 = x 2 verilmişken X 1 in koşullu marjinal olasılık yoğunluk foksiyonu ve
f X 1 x 1  ≠ 0 için
f X 2 /X 1 =x 1  x 2  =
fx 1 , x 2 
f X 1 x 1 
,
x 2 ∈ I 2 D ∩ x 1  × ℝ 2 
0
,
d.y.
fonksiyonuna, X 1 = x 1 verilmişken X 2 nin koşullu marjinal olasılık yoğunluk foksiyonu
denir.
Bu tanımı X 1 , X 2 , … , X n , n −boyutlu kesikli veya sürekli rasgele vektörler için
genişletelim. Fonksiyonların tanım kümelerini bir tarafa bırakarak, 1 ≤ k ≤ n için
fx 1 , x 2 , … , x n 
f X 1 ,X 2 ,…,X k /X k+1 =x k+1 ,…,X n =x n  x 1 , x 2 , … , x k  =
f X k+1 ,…,X n x k+1 , … , x n 
fonksiyonuna, X k+1 = x k+1 , … , X n = x n verilmişken X 1 , X 2 , … , X k  nın koşullu marjinal
olasılık (yoğunluk) fonksiyonu denir.
Örnek: X 1 , X 2 , X 3  ün olasılık yoğunluk fonksiyonu,
x 1 + x 2 e −x 3
,
0 < x 1 < 1, 0 < x 2 < 1, x 3 > 0
0
,
d. y.
fx 1 , x 2 , x 3  =
olsun. X 1 = 1/3 ve X 3 = 3 verilmişken X 2 nin koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonunu
bulalım.
Đlk önce X 1 , X 3  ün marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulmalıyız.
1
∫ x 1 + x 2 e −x 3 dx 2 , 0 < x 1 < 1, x 3 > 0
f X 1 ,X 3 x 1 , x 3  =
0
0
=
olmak üzere, f X 1 ,X 3  1 , 3
2
,
d. y.
x 1 + 1 e −x 3
2
,
0 < x1 < 1 , x3 > 0
0
,
d. y.
= 5/6e −2 ≠ 0 dır. Böylece
fX
2/
X1=
1
,X =2
2 3
f 1 , x2, 3
2
f X 1 ,X 3 1 , 3
2
x 2  =
0
6
5
=
1 + x2
3
0
,
0 < x2 < 1
,
d. y.
,
0 < x2 < 1
,
d. y.
elde edilir.
Şimdi X 1 = 1 verilmişken X 1 , X 3  ün koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulalım.
3
1∞
∫∫ x 1 + x 2 e −x 3 dx 3 dx 2 , 0 < x 1 < 1
f X 1 x 1  =
00
0
,
x 1 + 1/2
,
0 < x1 < 1
0
,
d. y.
d. y.
=
olmak üzere, f X 1
1
3
= 5/6 ≠ 0 dır. Böylece
f X 2 ,X 3 /X 1 =1/3 x 2 , x 3  =
f 1 , x2, x3
3
f X1 1
3
0
=
6
5
,
0 < x 2 < 1, x 3 > 0
,
d. y.
1 + x 2 e −x 3
3
0
elde edilir.
Örnek: X 1 , X 2  nin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
,
0 < x 2 < 1, x 3 > 0
,
d. y.
2
,
0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ 1
0
,
d. y.
fx 1 , x 2  =
olsun.
X 1 = 1/3 verilmişken X 2 nin 1/2, 3/4 aralığında bulunması olasılığını hesaplayalım.
X 1 = 1/3 verilmişken X 2 nin koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonu
f X 2 /X 1 =1/3 x 2  =
f 1 , x2
3
f X1 1
3
0
=
,
1 ≤ x2 ≤ 1
3
,
d. y.
3
2
,
1 ≤ x2 ≤ 1
3
0
,
d. y.
dır. Buradan, istenen olasılık
3/4
P X 2 /X 1 =1/3
= ∫ 3 dx 2 = 3/8
2
1, 3
2 4
1/2
dır.
Şimdi bu olasılığı aşağıdaki şekil üzerinde yorumlayalım.
3/4
f 1 , x2
1, 3
3
P X 2 /X 1 =1/3
=∫
dx 1
2 4
1
f
X1
1/2
3
3/4
3/4
1/2
1/2
1
∫ 2dx 2
=
f X1
1
3
∫ 2dx 2
=
∫ 2dx 2
1/3
=
"EFGH nın alan ölçüsü"
"ABCD nın alan ölçüsü"
Örnek: X ve Y rasgele değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu
e −x−y
,
x ≥ 0, y ≥ 0
0
,
d. y.
fx, y =
olsun.
A=
x, y : 1 < x < 3, 1 < y < 2
∈ Bℝ 2 
kümesinin olasılık ölçüsü,
P X,Y A = P1 < X < 3, 1 < Y < 2
32
= ∫∫ e −x−y dxdy
11
= e −5 − e −4 − e −3 − e −2
dır. Bu olasılık A kümesinin üstünde ve f fonksiyonunun grafiğinin altında kalan cismin
hacim ölçüsüne eşittir.
X, Y ∈ A yani 1 < X < 3 ve 1 < Y < 2 verilmişken X, Y nin koşullu dağılımı,
∀B ∈ BR 2  için
P X,Y B ∩ A
P X,Y A
P X,Y/X,Y∈A B = P X,Y B/A =
olmak üzere, bu dağılıma karşılık gelen olasılık yoğunluk fonksiyonu,
f X,Y/X,Y∈A x, y =
e
−5
e −x−y
− e − e −3 − e −2
−4
0
,
1 < x < 3, 1 < y < 2
,
d. y.
dır.
X, Y ∈ A verilmişken Y nin koşullu marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu,
e −y
e − e −2
,
1<y<2
0
,
d. y.
−1
f Y/X,Y∈A y =
dır. 1 < X < 3 verilmişken, X, Y nin koşullu dağılımı P X,Y/1<X<3 x, y nin olasılık
yoğunluk fonksiyonu,
e −x−y
e − e −3
,
1 < x < 3, y > 0
0
,
d. y.
−1
f X,Y/1<X<3 x, y =
olmak üzere, 1 < X < 3 verilmişken Y nin koşullu marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu,
3
e −x−y dx
e − e −3
∫
f Y/1<X<3 y =
−1
1
0
e −y
,
y>0
0
,
d. y.
,
y>0
,
d. y.
=
dır.
x > 0 olmak üzere X = x verilmişken Y nin koşullu marjinal dağılımının olasılık
yoğunluk fonksiyonu için,
∞
∫ e −x−y dy , x > 0
f X x =
e −x
,
x>0
0
,
d. y.
=
0
0
,
d. y.
olmak üzere
f Y/X=x y =
fx, y
f X x
,
0
,
y>0
e −y
,
y>0
0
,
d. y.
=
d. y.
dır. Bu olasılık yoğunluk fonksiyonu BR 2  de P Y/X=x olasılık dağılımını
tanımlamaktadır. Bu olasılık dağılımı her x > 0 değeri için aynıdır.
Diğer taraftan Y nin P Y marjinal dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu
e −y
,
y>0
0
,
d. y.
f Y y =
olmak üzere,
f Y y = f Y/X=x y, y ∈ R
dır. Buradan ∀x > 0 için,
f Y y =
fx, y
,y∈R
f X x
veya
fx, y = f X x × f Y y
olduğundan X ve Y bağımsızdır.
Genel olarak, X, Y bir rasgele vektör olmak üzere, X = x verilmişken Y nin koşullu
dağılımı x e bağlı değilse X veY bağımsızdır ve tersine, X ve Y bağımsız ise
f Y/X=x y =
fx, y
f x × f Y y
= X
= f Y y
f X x
f X x
dır.
Örnek: X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu
e −x
,
x>0
0
,
d. y.
fx =
ve x > 0 olmak üzere X = x verilmişken Y 1 ve Y 2 bağımsız
xe −xy i
y i > 0,
,
f YĐ y i  =
, i = 1, 2
0
,
d. y.
olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip olsun.
X = x verilmişken Y 1 ve Y 2 nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu,
x 2 e −xy 1 −xy 2
,
y 1 > 0, y 2 > 0
0
,
d. y.
f Y1 ,Y2 /X=x y 1 , y 2  =
dır. Buradan X, Y 1 ve Y 2 nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu
fx, y 1 , y 2  = f X xf Y1 ,Y2 /X=x y 1 , y 2 
x 2 e −x−xy 1 −xy 2
,
x > 0, y 1 > 0, y 2 > 0
0
,
d. y.
=
dır. Y 1 , Y 2  nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu,
∞
f Y1 ,Y2 y 1 , y 2  = ∫ x 2 e −x1+y 1 +y 2  dx
0
=
2
1 + y 1 + y 2  3
,
y 1 > 0, y 2 > 0
0
,
d. y.
olarak bulunur.
y 1 > 0, y 2 > 0, olmak üzere Y 1 = y 1 , Y 2 = y 2 verilmişken X in koşullu olasılık yoğunluk
fonksiyonu,
f X/Y1 =y 1 ,Y2 =y 2  x =
=
fx, y 1 , y 2 
f Y1 ,Y2 y 1 , y 2 
,
x>0
0
,
d. y.
1 1 + y 1 + y 2  3 x 2 e −x1+y 1 +y 2 
2
,
x>0
0
,
d. y.
olarak elde edilir.
PROBLEMLER
1. Teorem 3.1.1 i ispatlayınız.
2. Ω = ω ij : i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, U = PΩ, A ∈ U, PA =
nA
olmak üzere Ω, U, P
36
olasılık uzayı için,
X 1 , X 2  : Ω  ℝ 2
ω ij  X 1 , X 2 ω ij  = i, i − j
2 −boyutlu rasgele vektörünün olasılık fonksiyonunu bulunuz. X 1 ve X 2 nin marjinal
olasılık fonksiyonlarını elde ediniz. PX 1 > 3, X 2 = 1, PX 1 > 3, PX 2 = 1 olasılıklarını
hesaplayınız. Bu olasılık uzayını model olarak kullanabileceğiniz en az iki tane olasılık
deneyi tanımlayınız ve X 1 ile X 2 nin anlamlarını yazınız.
3. Ω =
a, b ∈ ℝ 2 : −1 ≤ a ≤ 1, − 1 ≤ b ≤ 1 , U = B Ω , A ∈ U⇔ PA ="A nın alan
ölçüsü"/4 olmak üzere Ω, U, P olasılık uzayı için,
a)
Ω
X 1 , X 2  :
 ℝ2
1, 1
,
a > 0, b > 0
−1, 1
,
a < 0, b > 0
1, −1
,
a > 0, b < 0
−1, −1
,
a < 0, b < 0
0, 0
,
d.y.
a, b  X 1 , X 2 a, b =
b)
Ω
Y 1 , Y 2  :
 ℝ2
a, b  Y 1 , Y 2 a, b = 0, b
c)
Z 1 , Z 2  :
Ω
 ℝ2
a, b  Z 1 , Z 2 a, b = |a|, |b|
2 −boyutlu rasgele vektörlerinin dağılım fonksiyonlarını bulunuz. Kesikli olanlar için
olasılık, sürekli olanlar için olasılık yoğunluk fonksiyonlarını elde ediniz. X 1 , X 2 , Y 1 , Y 2 ,
Z 1 , Z 2 nin marjinal olasılık (yoğunluk) fonksiyonlarını bulunuz.
4. Bir kavanozda 3kırmızı, 2 siyah ve 1 mavi top bulunmaktadır.
a) Çekileni yine yerine koyarak,
b) Çekileni yerine koymaksızın,
c) Aynı anda,
üç top çekilmektedir. Bu deneylerin örnek uzaylarını yazınız ve her bir topun çekilme
olasılığının aynı olması varsayımıyla birer olasılık uzayı oluşturunuz.
i) X 1 çekilen kırmızı topların sayısı, X 2 çekilen siyah topların sayısı olmak üzere tüm
şıklar için X 1 ve X 2 nin ortak olasılık fonksiyonunu bulunuz.
ii) X 1 ve X 2 i) de olduğu gibi, X 3 ise çekilen mavi topların sayısı olmak üzere X 1 , X 2 ve
X 3 ün ortak olasılık fonksiyonunu tüm şıklar için bulunuz.
iii) a) ve b) şıkları için X 1 ilk iki çekilişte gelen kırmızı topların sayısı olmak üzere X 1
ve X 2 nin ortak olasılık fonksiyonunu bulunuz.
5. X ve Y nin ortak olasılık fonksiyonu
fx, y = c 3x
2
y
4
,
2−x−y
x, y = 0, 1, 2, 0 ≤ x + y ≤ 2
olsun. c sabitinin değerini ve X ile Y nin marjinal olasılık fonksiyonlarını bulunuz.
PX > Y olasılığını hesaplayınız.
6. X ve Y nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu,
c
,
0 < x < 1, x + y < 1
0
,
d.y.
fx, y =
olsun. c sabitinin değerini ve X ile Y nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonlarını
bulunuz. PX > 2Y olasılığını hesaplayınız.
7. X ve Y nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu
fx, y =
1
x
,
0<y<x<1
0
,
d.y.
olsun. X ve Y nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonlarını bulunuz.
8. X ve Y nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu
ce −2x−y
,
x > 0, y > 0
0
,
d.y.
fx, y =
olsun.
a) c sabitinin değerini bulunuz.
b) X ve Y nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonlarını bulunuz.
c) P1 ≤ X ≤ 2, 1 ≤ Y ≤ 3 olasılığını bulunuz ve hacim ölçüsü bu olasılığa karşılık
gelen cismi çiziniz.
d) X ve Y nin ortak dağılım fonksiyonunu bulunuz ve c) şıkkındaki olasılığı yeniden bu
fonksiyon yardımıyla hesaplayınız.
e) PX > 1 olasılığını X in marjinal olasılık yoğunluk, marjinal dağılım ve f fonksiyonu
yardımıylaüç farklı yoldan hesaplayınız.
9. X, Y nin dağılım fonksiyonu F ve X in marjinal dağılım fonksiyonu F X olsun.
F X x = lim Fx, y
y∞
olduğunu ispatlayınız.
10. X ve Y nin ortak dağılım fonksiyonu,
1 − e −2x 1 − e −y 
,
x > 0, y > 0
0
,
d.y.
Fx, y =
olsun. X ve Y nin marjinal dağılım fonksiyonlarını bulunuz.
11. X ve Y nin ortak dağılım fonksiyonu,
Fx, y =
0
,
x < 0 veya y < 0
1 xyx + y
2
,
0 ≤ x < 1, 0 ≤ y < 1
1 yy + 1
2
,
x ≥ 1, 0 ≤ y < 1
1 xx + 1
2
,
0 ≤ x < 1, y ≥ 1
1
,
x ≥ 1, y ≥ 1
olsun.
a) X ve Y nin marjinal dağılım ve buradan marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonlarını
bulunuz.
b) X ve Y nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz ve grafiğini çiziniz.
c) PX ≤ 2, Y ≤ 1/2, PX ≤ 1/2, Y ≤ 1/2 ve PX ≤ 1/2 olasılıklarını F ve f
fonksiyonları yardımıyla hasaplayınız.
12. X ve Y nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu
c
fx, y =
, − ∞ < x < ∞, − ∞ < y < ∞
1 + x 2 1 + y 2 
olsun.
a) c sabitinin değerini bulunuz.
b) P0 < X < 1, 0 < Y < 1 olasılığını hesaplayınız.
c) X ve Y nin ortak dağılım fonksiyonunu bulunuz.
d) X ve Y nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonlarını bulunuz.
13. X ve Y nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu,
cxe −x
2 −y
,
x ≥ 0, y ≥ 0
,
d.y.
fx, y =
0
olsun. c sabitini ve X ile Y nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonlarını bulunuz.
14. X ve Y nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu
c
,
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x 2
0
,
d.y.
c
,
0 ≤ y ≤ x2 ≤ 1
0
,
d.y.
c
,
0 ≤ x2 ≤ y ≤ 1
0
,
d.y.
a) fx, y =
b) fx, y =
c) fx, y =
olsun. c sabitini ve F, F X , F Y , f X , f Y fonksiyonlarını bulunuz.
15. X ve Y nin ortak dağılım fonksiyonu
Fx, y =
0
,
x ≤ 1 veya y ≤ 1
x − 12y − x − 1
,
1≤x<y<2
x − 13 − x
,
1 ≤ x < 2, y ≥ 2
y − 1 2
,
x ≥ y, 1 ≤ y < 2
1
,
x ≥ 2, y ≥ 2
olsun. f, f X , f Y , F X , F Y fonksiyonlarını bulunuz.
16. X, Y nin olasılık dağılımı aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonu ile verilsin.
a)
fx, y =
1 1 + xy
4
,
−1 ≤ x ≤ 1, − 1 ≤ y ≤ 1
0
,
d.y.
b)
fx, y =
1
4
,
−1 ≤ x ≤ 1, − 1 ≤ y ≤ 1
0
,
d.y.
Her iki dağılımın marjinal dağılımlarını bulunuz ve sonucu yorumlayınız.
17. Ω, U, P bir olasılık uzayı, X, D X = x 1 , . . . , x n  ve Y, D Y = y 1 , … , y m  olan iki kesikli
rasgele değişken olsun.
A i = ω : Xω = x i , i = 1, 2, … , n
B j = ω : Yω = y j , j = 1, 2, … , m
olmak üzere X ve Y nin bağımsız olması için gerek ve yeter şartın A 1 , A 2 , … , A n  ve
B 1 , B 2 , … , B m  sınıflarının bağımsız olması olduğunu ispatlayınız.
18. Ω = 0, 1 n =
olasılık ölçüsü ve
a 1 , a 2 , … , a n  ∈ ℝ n : a i ∈ 0, 1, i = 1, 2, … , n , U = PΩ, P bir
Ω
Xi :

ℝ
a 1 , a 2 , … , a n   X i a 1 , a 2 , … , a n  = a i
olmak üzere X 1 , X 2 , … , X n rasgele değişkenlerinin bağımsız olması için gerek ve yeter
şartın P olasılık ölçüsünün
nA
PA =
,A∈U
nΩ
biçiminde olmasıdır. Gösteriniz.
19. Ortak dağılımları aşağıdaki olasılık (yoğunluk) fonksiyonları ile verilen rasgele
değişkenlerin bağımsızlığını araştırınız.
a)
cx 1 + x 2 + x 3 
,
0 ≤ x 1 ≤ 1, i = 1, 2, 3
0
,
d.y.
fx 1 , x 2 , x 3  =
b)
4x1 − y,
,
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1
0
,
d.y.
fx, y =
c)
1
π
,
x2 + y2 ≤ 1
0
,
d.y.
fx, y =
d)
fx 1 , x 2  =
n!
x 1 !x 2 !
1
5
x1
4
5
x2
,
x 1 , x 2 = 0, 1, … , n, x 1 + x 2 = n
e)
fx, y, z = 1 ,
27
x, y, z = 0, 1, 2
20. X 1 , X 2 , X 3  3 −boyutlu rasgele vektörünün olasılık yoğunluk fonksiyonu:
c
,
0 < x 1 < x 2 < 1, 0 < x 3 < 1
0
,
d.y.
fx 1 , x 2 , x 3  =
olsun. X 1 , X 2  ile X 3 , X 1 ile X 3 , X 1 ile X 2 nin bağımsızlığını araştırınız.
21. X 1 , X 2 , X 3  3 −boyutlu rasgele vektörünün olasılık yoğunluk fonksiyonu
x 1 + x 2 e −x 3
,
0 < x < 1, 0 < x 2 < 1, x 3 > 0
0
,
d.y.
fx 1 , x 2 , x 3  =
olsun.
a) X 1 , X 2 , X 3 bağımsız mıdır?
b) X 1 ve X 3 bağımsız mıdır?
22. X 1 , X 2 , … , X n bağımsız ise k < n için X 1 , X 2 , … , X k nın da bağımsız olduğunu
gösteriniz.
23. Belli bir parça için tükeninceye kadar geçen zamanın yıl olarak,
x
1 e− 3 , x > 0
3
fx =
0
d.y.
,
olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip olduğu bilinsin. Bağımsız görev yapan böyle
parçalardan iki tanesi için görev ömürleri sırasıyla X 1 ve X 2 olsun.
PX 1 ≥ 1, X 2 ≥ 1 ve PX 1 + X 2 ≥ 2
olasılıklarını hesaplayınız.
24. X ve Y nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu
cxe −xy
,
x ≥ 0, y ≥ 1
0
,
d.y.
fx, y =
olsun.
a) c sabitinin değerini bulunuz.
b) X ve Y bağımsız mıdır?
25. X ve Y nin ortak dağılım fonksiyonu
0
,
x < 1, y < 2
1 x − 1y − 23x − y + 1
6
,
1 ≤ x < 2, 2 ≤ y < 4
1 y − 27 − y
6
,
x ≥ 2, 2 ≤ y < 4
x − 1 2
,
1 ≤ x < 2, y ≥ 4
1
,
x ≥ 2, y ≥ 4
Fx, y =
olsun. X ve Y bağımsız mıdır?
26. X ve Y bağımsız iki rasgele değişken ve F X x ≤ F Y x, x ∈ ℝ ise PX ≥ Y ≥ 1/2
olduğunu gösteriniz.
27. X 1 , X 2 , X 3  ün olasılık fonksiyonu
fx 1 , x 2 , x 3  = 1 , x 1 , x 2 , x 3  ∈ 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1
4
olsun.
a) X 1 , X 2 , X 3
b) X 1 ile X 2
c) X 1 ile X 3
d) X 2 ile X 3
e) X 1 , X 2  ile X 3
f) X 1 + X 2 ile X 3
bağımsızdır. Gösteriniz.
28. X, Y, Z nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu,
fx, y, z =
1 − sin x sin y sin z
8π 3
,
0 ≤ x, y, z ≤ 2π
0
,
d.y.
olsun. X ile Y nin bağımsız, X ile Z nin bağımsız, Y ile Z nin bağımsız, ancak X, Y, Z nin
bağımsız olmadığını gösteriniz.
29. X 1 , X 2  nin olasılık fonksiyonu
fx 1 , x 2  = x 1 + x 2 , x 1 = 1, 2, 3, x 2 = 1, 2
21
olsun.
a) X 1 + X 2 = 4 verilmişken X 1 , X 2  nin,
b) X 1 + X 2 = 4 verilmişken X 1 in,
c) X 1 = 2 verilmişken X 2 nin,
d) X 2 = 2 verilmişken X 1 in
koşullu dağılımının olasılık fonksiyonunu bulunuz.
30. X 1 , X 2  nin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
x1 + x2
,
0 < x 1 < 1, 0 < x 2 < 1
0
,
d. y.
fx 1 , x 2  =
olsun.
a X 1 + X 2 < 1 verilmişken X 1 , X 2  nin,
2
b X 1 + X 2 < 1 verilmişken X 2 nin,
2
c X 1 = 1 verilmişken X 2 nin
2
koşullu dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz.
31. X, Y nin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
1
π
,
x2 + y2 ≤ 1
0
,
d. y.
fx, y =
olsun.
a) X = 0 verilmişken Y nin,
b) x ∈ −1, 1 olmak üzere X = x verilmişken Y nin koşullu dağılımının olasılık
yoğunluk fonksiyonunu bulunuz.
32. λ > 0 ve p ∈ 0, 1 olmak üzere
f Y/X=x y =
x p x 1 − p x−y , y = 0, 1, 2, … , x
y
ve
−λ x
f X x = e λ , x = 0, 1, 2, …
x!
olsun.
a) X ve Y nin ortak olasılık fonksiyonunu,
b) Y nin marjinal olasılık fonksiyonunu bulunuz.
33.
f X/Y=y = c 1 x2 ,
y
0 < x < y, 0 < y < 1
ve
f Y y = c 2 y 4 ,
0<y<1
olsun.
a) c 1 ve c 2 sabitlerini
b) X ve Y nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu,
c) X in marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunu,
d) P
1 < X < 1 /Y = 5/8 ve P 1 < X < 1
4
4
2
2
olasılıklarını
bulunuz.
34. α, β > 0 olmak üzere,
ye −xy
,
x>0
0
,
d. y.
f X/Y=y x =
f Y y =
β α α−1 −βy
y e
Γα
,
y>0
0
,
d. y.
olsun. X in marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz.
35. X 1 , X 2 , X 3  ün olasılık yoğunluk fonksiyonu
c
,
0 < x1 + x2 + x3 < 2
0
,
d. y.
fx 1 , x 2 , x 3  =
olsun.
a) c sabitinin değerini,
b) X 1 + X 2 < 1 verilmişken X 1 , X 2 , X 3  ün koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonunu,
c) X 1 + X 2 < 1 verilmişken X 3 ün koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonunu,
d) X 1 = 1, X 2 = 1 verilmişken X 3 ün koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonunu
bulunuz.
36. X, Y nin olasılık yoğunluk fonksiyonu
4yx − ye −x+y
,
0 < x < ∞, 0 ≤ y ≤ x
0
,
d. y.
fx, y =
olsun. y > 0 olmak üzere Y = y verilmişken X in koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonunu
bulunuz.
37. Θ rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu
f Θ θ =
Γα + β α−1
θ 1 − θ β−1
ΓαΓβ
,
0<θ<1
0
,
d. y.
olsun α > 0, β > 0. Θ = 0 verilmişken Y nin koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonu,
f Y/Θ=θ y = ny θ y 1 − θ n−y , y = 0, 1, 2, … , n
olmak üzere, Y = y y ∈ 0, 1, 2, … , n verilmişken θ nın koşullu olasılık yoğunluk
fonksiyonunu bulunuz.