Logaritma Modül 1 Üstel Fonksiyon + x a>0 ve a≠1 olmak üzere f:R→R , f(x) =a şeklindeki fonksiyonlara üstel fonksiyon denir. Üstel fonksiyonlar birebir ve örtendir. ÖRNEK ÖRNEK + x f:R→R , f(x)=a üstel fonksiyonu için aşağıdaki bilgilerden hangisi veya hangileri doğrudur? I) a>0 II) a≠1 III) f(x)=a birebir ve örtendir. Aşağıdakilerden kaç tanesi üstel fonksiyondur? x () II. f2(x)= 1 4 IV. f4(x)=(–5) ( ) x V. f5(x)= − 1 2 x B) II ve III C) I ve III D) I ve II A) 2 x x III. f3(x)=(ñ5 ) x A) Yalnız I x I. f1(x)=3 VI. f6(x)=1 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 E) I, II ve III Üstel Fonksiyon Grafikleri + x f:R→R , f(x)=a fonksiyonunun grafiği x değişkenine verilen farklı değerler yardımıyla çizilir. ÖRNEK ÖRNEK () f(x)= 1 2 x f(x)=2 üstel fonksiyonunun grafiğini çiziniz. x üstel fonksiyonunun grafiğini çiziniz. x x a>1 olmak üzere, f(x)=a üstel fonksiyonunun grafiğine bakıldığında x in artan değerleri için f(x)=a değerlerininde arttığı görü- ® x lüyor. Buna göre a>1 ise f(x)=a artan fonksiyondur. ® 0<a<1 olmak üzere, f(x)=ax üstel fonksiyonunun grafiğine bakıldığında x in artan değerleri için f(x)=ax x görülüyor. Buna göre 0<a<1 ise f(x)=a azalan fonksiyondur. ÖRNEK Aşağıdaki üstel fonksiyonlardan kaç tanesi artan fonksiyondur, bulunuz. x x I. f1(x)=7 () f (x)= ( 2 ) 5 III. f3(x)= 5 3 V. 5 II. f2(x)=(ñ5 ) x x () f (x)= ( 3 ) 7 IV. f4(x)= 1 2 VI. 6 x −x Logaritma Modül 1 Logaritma Fonksiyonu + x a>0 ve a≠1 olmak üzere f:R→R , f(x) =a üstel fonksiyonu birebir ve örten olduğundan ters fonksiyonu vardır. Üstel fonksiyonunun ters fonksiyonuna logaritma fonksiyonu denir. Üstel Fonksiyon R f:a + R x 1 x=f (y) Buna göre y=f(x) x x logay=x ise y=a dir. y=a ⇔ x=logay 1 f :loga(x) Logaritma Fonksiyonu ÖRNEK ÖRNEK log2x = 5 ® ax=b ise x=logab dir. Yukarýda verilen bilgiye göre, 3x=5 ifadesinde x in deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? A) log 33 B) log5 3 C) log3 D) log35 E) log5 ® log5x = 1 ® log7x = 0 ® log2x = ® log 1 2 ÖRNEK 3 x=4 3x – 1=4 olduðuna göre, x aþaðýdakilerden hangisine eþittir? A) log312 B) log43 D) log43+1 C) log34+2 E) log32 2007 – ÖSS log2(log3(5x + 6)) = 2 olduğuna göre x kaçtır? A) 6 B) 8 C) 9 D) 15 E) 18 Logaritma Modül 1 Üstel Fonksiyonun Ters Fonksiyonunu Bulma İşlemi Bir fonksiyonun tersini bulmak için x yerine y, y yerine x yazılır ve y yalnız başına bırakılır. Üstel fonksiyonun ters fonksiyonu logaritma fonksiyonudur. ÖRNEK ÖRNEK + x f:R→R olmak üzere, y=f(x)=6 fonksiyonunun ters fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? A) logx6 B) log6x C) log66x D) logx6x E) log63x f(x)=32x+1 olduðuna göre, f – 1(x) aþaðýdakilerden hangisidir? A) f –1(x) log3 x B) f –1(x) log3 D) f –1(x) log6 x 9 x 3 C) f –1(x) log9 E) f –1(x) log9 x 3 3 x Logaritma Fonksiyonunun Ters Fonksiyonunu Bulma İşlemi Logaritma fonksiyonunun ters fonksiyonu üstel fonksiyondur. ÖRNEK ÖRNEK f(x) f(x)=2log3(x – 1) fonksiyonunun tersi aþaðýdakilerden hangisidir? A) f –1(x) 3 C) f –1(x) 2x 1 2 x 32 1 B) f –1(x) 32x 1 1 D) f –1(x) E) f –1(x) 32x 1 x 32 1 x – 1 log2 2 2 3 olduðuna göre, f – 1(x) aþaðýdakilerden hangisidir? A) f – 1(x)=22x+1+3 B) f – 1(x)=3x – 1+4 C) f – 1(x)=4x – 1+3 E) D) f – 1(x)=4x+3 f – 1(x)=3 . 4x – 2+1 Logaritma Modül 1 Logaritma Fonksiyonunun Tanım Kümesi a>0 ve a≠1 olmak üzere, O halde –1 + f :R →R, f(x)=logax tanımlı olması için x>0, a>0 ve a≠1 olmalıdır. f(x)=logag(x) fonksiyonunun tanım kümesi için g(x)>0 , a>0 ve a≠1 dir. ÖRNEK ÖRNEK f(x) log f(x)=log(x+5)(4 – x) fonksiyonunun en geniþ taným kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? x–4 (–x 2 8x 9) fonksiyonunun en geniþ taným kümesindeki x tam sayýlarýnýn toplamý kaçtýr? A) 21 B) 26 C) 30 D) 32 E) 36 A) B) (– 5,4)\{– 4} C) (– 5,) D) (– 5,4) E) (– ,4) ÖRNEK ÖRNEK f(x)=logx(16 – x2) fonksiyonunun tanýmlý olduðu kaç farklý x tam sayýsý vardýr? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 x2 1 f(x) log5 2 x ax 4 fonksiyonu tüm reel sayýlar için tanýmlý olduðuna göre, a nýn çözüm aralýðý aþaðýdakilerden hangisidir? A) (– ,– 4) B) (0,4) D) R C) (– 4,4) E) (4,) Logaritma Modül 1 Onluk Logaritma Fonksiyonu Tabanı 10 olan logaritma fonksiyonuna onluk logaritma fonksiyonu veya bayağı logaritma fonksiyonu denir. log10x=logx şeklinde gösterilir. ÖRNEK ÖRNEK log(log(x + 2)) = 0 x 10 =2 olduğuna göre, x kaçtır? A) log210 B) log2 C) log52 D) log25 E) 1 5 oldu¤una göre, x kaçt›r? A) 50 B) 10 C) 8 D) 5 E) 1 Doğal Logaritma Fonksiyonu Tabanı e olan logaritma fonksiyonuna doğal logaritma fonksiyonu denir. logex=lnx şeklinde gösterilir. e sayısının yaklaşık değeri e ≅ 2,71828182845 dir. e irrasyonel sayıdır. ÖRNEK ÖRNEK 3x – 6 f(x) ln x5 In(2x+3)=2 olduğuna göre, x kaçtır? A) e2 - 3 2 B) D) e2 - 3 3 e2 + 3 2 C) E) e2 2 e2 - 2 3 fonksiyonunu tanýmlý yapan x tam sayýlarýnýn toplamý kaçtýr? A) 12 B) 7 C) 6 D) 5 E) 0