μ ε ε μ

Elektromanyetik Teori Bahar 2005-2006 Dönemi
MAXWELL DENKLEMLERİ VE ELEKTROMANYETİK DALGALAR
Giriş
Teori alanındaki katkılarıyla 19. yüzyıl fiziğinin en büyük adlarından biri olan
Maxwell’in en önemli çalışması elektromanyetizma hakkındadır. Maxwell, o güne kadar
bulunmuş olan elektrik ve manyetik yasalarını bir bütünlük içerisinde matematiksel bir
yapıya kavuşturmuştur. Değişken elektrik alan ve manyetik alanların birbirlerinden ayrı
olarak var olamayacağını göstermiştir ve elektromanyetik dalga kavramını ortaya
koymuştur. Işığın da elektromanyetik bir dalga olduğunu söyleyerek elektrik,
manyetizma ve optiği tek bir temel üzerine oturtmuştur. Maxwell, enerjinin boşlukta
elektrik ve manyetik dalgalar şeklinde iletildiğini matematiksel olarak göstermiştir.
Elektromanyetik Teori’nin temelini oluşturan ve dört denklemden oluşan Maxwell
Denklemleri, elektrik ve manyetik alanın zamana bağlı değişimlerinin birbirleri ile ilişkili
olduğunu ve elektromanyetik dalgaların boş uzayda ışık hızına eşit bir hızda yol
aldıklarını göstermiştir.
Maxwell’in varlığını matematiksel olarak kanıtladığı elektromanyetik dalgalar, ancak
ölümünden 9 yıl sonra, 1888 yılında Alman fizikçi Hertz tarafından ve 1873’te teorik
olarak kanıtladığı, bir elektromanyetik dalganın çarptığı yüzeyde basınç oluşturacağı
gerçeği de 1900’de Rus fizikçi Lebedev tarafından deneysel olarak gösterildi. Einstein’ın
Görelilik Teorisi hemen hemen tüm fiziği temelinden sarsarken, Maxwell Denklemlerini
etkileyemedi. Nitekim Maxwell Denklemleri geçerliliğini halen tümüyle korumaktadır
Elektromanyetik dalgalar, dalga boyu ve frekansın geniş bir spektrumunu kaplar. Radyo
ve televizyon yayını, görünür ışık, kızıl ve mor ötesi ışıklar, x ışınları ve gamma
ışınlarının hepsi elektromanyetik spektrumun içinde yer almaktadır. Elektromanyetik
dalgaların frekansları çok büyük bir değişim göstermektedir. Bütün elektromanyetik
dalgaların
genel
özelliği
boşlukta
yayılma
hızlarının
sabit
ve
c= 1
ε 0 μ0
= 300000 km/s ye eşit olmasıdır. Burada ε 0 = 8,85 × 10 −12 F/m ve
μ 0 = 4π × 10 −7 H/m. Biz, sadece elektromanyetik spektrumun 400 nm -700 nm dalga
boyu aralığını gözlerimizle görebiliriz (Balkan ve Erol, 2003).
Bu ana kadar gördüğümüz elektrik alan ve manyetik alanlar zamana bağlı değişmiyordu.
Elektrik alan E(x,y,z), zamandan bağımsız olarak ele aldık ve durgun yüklerle ilgilendik.
Manyetik alan için H(x,y,z) yi yine doğru akım için inceledik. Durgun elektromanyetik
alanlarda ne kadar da elektrik alan ve manyetik alan birbirlerinden bağımsız gibi görünse
de gerçekte elektrik alan ve manyetik alan zamana bağlıdır ve birbirlerinden bağımsız
değildir. Dinamik yani zamanla değişen durumlarda elektrik alan ve manyetik alan
birbirlerine bağlıdır E(x,y,z,t), H(x,y,z,t) (Sadiku, 1995). Bu söylediklerimizi şu şekilde
özetleyebiliriz:
Durgun yükler Æ elektrostatik alan,
Doğru akım Æ manyetostatik alan ,
KOÜ, Mühendislik Fakültesi, Jeofizik Mühendisliği Bölümü, İzmit
1
Elektromanyetik Teori Bahar 2005-2006 Dönemi
Değişken akım Æ elektromanyetik alanlar ( veya dalgalar) .
Bu bölümde ilk önce Faraday yasasını ve daha sonra yer değiştirme (dispacement
current)
akımlarını inceleyeceğiz. Daha sonra değişken akımlar için Maxwell
denklemlerini yazacağız.
Faraday Yasası
Bir tele doğru akım uygulandığında tel etrafında manyetik alan oluşturur, Oersted in
deneyinden biliyoruz (Biot-Savart yasası ve Amper yasası). Acaba manyetik alanda
elektrik alan oluşturur mu? Bu sorunun cevabı, yaklaşık olarak Oersted in elektrik alanın
manyetik alan oluşturması deneyinden yaklaşık olarak 11 yıl sonra, 1831 yılında Michael
Faraday ve Joseph Henry tarafından düşünülmüş ve değişken manyetik alanın elektrik
akımı üretebildiğini göstermişlerdir.
Galvanometre
veya
ampermetre
Çubuk
mıknatıs
v
S
N
İletken tel
Şekil 1. Faraday deney düzeneği.
Elektromanyetizmanın temel denklemlerinden biri olan Faraday indüksiyon yasası,
Michael Faraday ve Joseph Henry’nin deney sonuçlarına bir anlatım getirir. Şimdi Şekil
1.deki deney düzeneğini inceleyelim. Halka şeklindeki iletken telin uçları akım ölçen bir
alete, galvanometreye bağlanmıştır. Halka biçimindeki iletkende bir elektromotor kuvveti
olmadığından, ölçü aletinde bir sapma olmaz. Ancak bir çubuk mıknatısın N kutbu halka
şeklindeki devreye yaklaşılırsa galvanometre ibresi sapar. Bu sapma devreden bir akım
geçtiğini kanıtlar. Şayet galvanometre devreye göre hareketsiz kalırsa, ibre sapmaz.
Şayet mıknatıs çubuk devreden uzaklaştırılırsa galvanometre ibresi ters yönde sapar. Bu
ise devreden birincisine zıt olan bir yönde akım geçtiğini kanıtlar. Şayet mıknatısın
kutupları değiştirilip deney tekrarlanırsa, sadece devreden geçen akımın yönü değişir.
Böyle bir devreden akım geçmesinin sebebi, mıknatıs çubuğun devreye göre olan
harekedir. Bu deneyde gözlenen akıma indükleme akımı denir. Bu akımı doğuran
elektromotor kuvvete de indükleme elektromotor kuvveti denir. İndükleme akımında
devre elemanıyla çubuk mıknatıs arasında bir temas yoktur. Bu basit gibi görünen
düzenek yardımıyla, günümüzde aydınlatmada kullanılan elektrik enerjisi üretilir
KOÜ, Mühendislik Fakültesi, Jeofizik Mühendisliği Bölümü, İzmit
2
Elektromanyetik Teori Bahar 2005-2006 Dönemi
(hidroelektrik barajlar, rüzgar pervanelerinden elde edilen elektrik enerjisi gibi) (Halliday
ve Resnick, 1990).
Herhangi bir yüzeyden geçen manyetik alan çizgilerinin sayısı, aynı yüzey için
tanımlanan manyetik akı ile ölçüldüğünü öğrenmiştik ve
ψ = ∫ B ⋅ dS (1)
ile verilmişti. Faraday yasası, bir devrede oluşan indüklenmiş emk (elektro motor
kuvveti) nin devreden geçen manyetik akı değişimine eşit olduğunu ifade eder. Başka bir
değişle durgun manyetik alanlar akım üretmezler. Şayet manyetik akıdaki değişim
weber/saniye ölçülürse, emk gösteren Vemk volt ile ölçülür. Faraday yasası
Vemk = −
dΨ
(2)
dt
ile ifade edilir. Eğer (2) nolu eşitlik N sarımlı bir bobine uygulanırsa, her bir sarım için
aynı bir emk oluşur. Toplam emk her bir sarım için oluşan emk ların toplamına eşittir. Bu
durumda (2) eşitliği
Vemk = − N
dΨ
(3)
dt
şeklinde yazılabilir.
Lenz yasası: Bu ana kadar indüksiyon emk nın yönü hakkında hiçbir söylenmedi.
İndüksiyon akımı, kendisini doğuran nedene karşı gelecek şekilde yönelir. Bu yasa Lenz
yasası olarak bilinir. Bu yasa 1834 yılında Heinrich Friedrick Lenz tarafından
bulunmuştur. Faraday kanundaki eksi işareti, bu karşı koymayı ifade eder.
Lenz yasası indüksiyon akımının yönünü belirler. Bu yasa sadece kapalı devrelere
uygulanabilir. Şayet devre açık ise indüksiyon emk nın yönü, devreyi kapalı olarak
düşünmek suretiyle yaklaşık olarak saptanabilir.
İçinden akım geçen halka şeklinde bir devre, bir manyetik dipol gibi davranır.
Dolayısıyla halkanın bir yüzü kuzey, diğer kutbu güney gibidir (Şekil 2). Şekilde olduğu
gibi halkanın kuzey kutbundan aynen mıknatısta olduğu gibi manyetik alan kuvvet
çizgileri çıkar. İki kuzey kutup, mıknatıs çubuğun kuzey kutbu ve halka şeklindeki
devrenin çubuğa bakan yüzü, birbirlerini iterler. Dolayısıyla bu itme, akımı oluşturan
nedene yani mıknatısın halkaya yaklaşmasına karşı koyacak yöndedir. Bu durumda akım
halka üzerinden saat ibreleri yönünde geçer.
Mıknatıs halkaya yaklaştırıldığında (veya halka mıknatısa yaklaştırıldığında) devreden
bir indüksiyon akımı geçer. Lenz kanuna göre halkada akımı oluşturan neden, mıknatısın
çubuğa yaklaştırılmasıdır. Bu yaklaşma süresi içinde devrede oluşan akım, yaklaştırma
KOÜ, Mühendislik Fakültesi, Jeofizik Mühendisliği Bölümü, İzmit
3
Elektromanyetik Teori Bahar 2005-2006 Dönemi
işlemine karşı koyacak biçimde yönelir. Diğer bir değişle çubuk itilecektir. Şayet çubuk
halkadan uzaklaştırılırsa, halkadan geçen akım, mıknatıs çubuğu kendisine çekecek
şekilde yönelecektir. Halkanın mıknatıs çubuğa bakan yüzü güney kutup gibi
davranacaktır. Mıknatıs çubuğu, halkaya doğru itelim veya çekelim, halkadan geçen
akım buna karşı koyacak yönde olacaktır (Halliday ve Resnick, 1990).
tel
Mıknatıs
N
S
S
N
i
i
Şekil 2. Lenz yasası.
Şimdi Faraday yasasına göre elektrik ve manyetik alan arasında bir bağlantı kurmaya
çalışalım. (2) denklemi
Vemk = ∫ E ⋅ dl = −
L
şelinde yazılabilir. Burada Ψ akısı
d
∫ B ⋅ dS (4)
dt S
∫ B ⋅ dS
ile yer değiştirmiştir. Bu ifade, L ile
S
sınırlanmış bir çizgisel uzunluğun sınırladığı S alanından geçen toplam akıdır. (4)
denklemine Stokes teoremi uygulanırsa
∂B
∫ (∇ × E ) ⋅ dS = − ∫ ∂t
S
⋅ dS (5)
S
elde edilir. (4) ve (5) denklemlerinden
KOÜ, Mühendislik Fakültesi, Jeofizik Mühendisliği Bölümü, İzmit
4
Elektromanyetik Teori Bahar 2005-2006 Dönemi
∇×E = −
∂B
(6)
∂t
elde edilir. (6) denklemi değişken manyetik alan için Maxwell denklemidir.
Yer Değiştirme Akımları ( Displacement Current)
Bir önceki alt başlıkta Maxwell denklemi (6 denklemi) değişken manyetik alan için
yazıldı. Daha önce biz bu denklemi elektrostatikte ∇ × E = 0 şeklinde görmüştük.
Burada yapılan işlem, statik elektrik alan için yazılan bağıntı değişken manyetik alan için
yazılmasından ibarettir. Benzer şekilde doğru akım için manyetik alan denklemi
∇ × H = J (7)
ile göstermiştik. Fakat vektör işlemlerini hatırlarsak herhangi bir vektör çarpımın
diverjansı sıfıra eşit olmalıdır.
∇ ⋅ (∇ × H ) = 0 = ∇ ⋅ J (8)
Akımın süreklilik denklemi gereğince ∇ ⋅ J sıfırdan farklı olmalıdır.
∇⋅J =−
∂ρ v
≠ 0 (9)
∂t
Bu durumda değişken alanlarda denklemlerde bir uyumsuzluk olmaktadır. Bu
denklemleri uyumlu hale getirmek için (7) denkleminde şu değişiklik
∇ × H = J + J d (10)
yapılırsa, diverjans teoremine göre
∇ ⋅ (∇ × H ) = 0 = ∇ ⋅ J + ∇ ⋅ J d (11)
yazılır. J d nin tanımlanması gerekiyor. ∇ ⋅ D = ρ v Maxwell denklemini kullanarak (11)
denkleminden
∇ ⋅ J d = −∇ ⋅ J =
∂ρ v ∂
∂D
(12)
= (∇ ⋅ D ) = ∇ ⋅
∂t ∂t
∂t
şeklinde yazılır. Buradan
KOÜ, Mühendislik Fakültesi, Jeofizik Mühendisliği Bölümü, İzmit
5
Elektromanyetik Teori Bahar 2005-2006 Dönemi
Jd =
∂D
(13)
∂t
olduğu açıktır. (13) ifadesi (10) denkleminde yerine yazılırsa
∇×H = J +
∂D
(14)
∂t
∂D
ifadesine yer
∂t
değiştirme akım yoğunluğu (displacement current density) denir. J = σE iletkenlik akımı
ile J d nin birbirlerinden farklı olduğu unutulmamalıdır.
zamanla değişen alanlar için Maxwell denklemi yazılmış olur. J d =
Maxwell’in en büyük katkılarından birisi yer değiştirme akımlarını denklem sistemine
ilave etmesidir ( J d ).
J d terimi olmadan radyo, TV dalgaları olamaz. Küçük
frekanslarda J d genellikle ihmal edilebilir, eğer J ile karşılaştırılırsa. Fakat radyo
frekanslarında bu iki terim birbirlerine yaklaşırlar (yer değiştirme akımlarını ihmal
edemeyiz). Maxwell in zamanında yüksek frekanslı cihazlar henüz gelişmemişti.
Maxwell bu katkısını tamamen matematiksel olarak ispatladı. Yıllarca sonra Hertz,
deneysel olarak Maxwell in haklı olduğunu gösterdi.
Maxwell Denklemlerinin Genel Biçimi
Şu ana kadar, dönem boyunca gördüğümüz kanunları Tablo 1 de görmekteyiz. Tablo 1 de
zamanla değişen elektromanyetik alanlar için Maxwell denklemleri olarak bilinir. Bu
denklemler elektromanyetik alanların temelidir.
Maxwell Denklemlerinin Genel Biçimi
Türev biçimi
∇ ⋅ D = ρv
İntegral biçimi
İsmi
∫ D ⋅ dS = ∫ ρ dv
Gauss yasası
∫ B ⋅ dS = 0
Tek manyetik kutup
yoktur
Faraday yasası
v
S
∇⋅B=0
v
S
∂B
∂t
∂D
∇×H = J +
∂t
∇×E = −
∂
∫ E ⋅ dl = − ∂t ∫ B ⋅ dS
L
S
Amper yasası
∂D ⎞
⎛
H
⋅
d
l
=
J
+
⋅
d
S
⎜
⎟
∫L
∫S ⎝ ∂t ⎠
Tablo 1. Zamanla değişen elektromanyetik alanlar için Maxwell denklemleri.
Ayrıca bu denklemlerle birlikte
KOÜ, Mühendislik Fakültesi, Jeofizik Mühendisliği Bölümü, İzmit
6
Elektromanyetik Teori Bahar 2005-2006 Dönemi
D = εE (15)
B = μH (16)
J = σE (17)
daha önceki derlerimizde görmüştük, bunlara bağlantı katsayıları ‘constitutive relation’
denir. Yer bilimci olarak bizim amacımız elektrik ve manyetik alanları kullanarak (15),
(16) ve (17) de bulunan σ , ε ve μ parametrelerini hesaplamaktır. Bunun nedeni
açıktır, çünkü bu parametreler bizim için yer parametreleridir ve yer hakkında bize bilgi
verir. (15), (16), (17) ve Tablo 1 in birinci sütununda yer alan Maxwell denklemlerinin
türev şeklini öğrenmek elektromanyetik teori dersinin temelidir. Bu denklemler önemli
olduğu için tekrar yazalım.
∇ ⋅ D = ρ v (18)
∇ ⋅ B = 0 (19)
∂B
(20)
∇×E = −
∂t
∂D
∇×H = J +
(21)
∂t
(18)—(21) denklemleri, Maxwell denklemlerinin zaman bölgesinde yazılmış biçimidir.
KAYNAKLAR
Balkan, N. ve Erol, A., 2003, Çevremizdeki Fizik, Tübitak Popüler Bilim Kitapları.
Halliday, D ve Resnick, R., 1990, Çeviri: Yalçın, C., Fiziğin Temelleri, Elektrik, ODTÜ
Fizik Bölümü, Arkadaş Yayınevi.
Sadiku, M. N. O., 1995, Elements of Electromagnetics, Oxford University Press.
KOÜ, Mühendislik Fakültesi, Jeofizik Mühendisliği Bölümü, İzmit
7