tc trakya üniversitesi fen bilimleri enstitüsü iki boyutlu eğri uzayda

T.C.
TRAKYA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
İKİ BOYUTLU EĞRİ UZAYDA KUANTUM DİNAMİĞİ
MÜSLÜM GÜZEL
YÜKSEK LİSANS TEZİ
FİZİK ANABİLİM DALI
Tez Yöneticisi : Doç. Dr. Mustafa ÖZCAN
2011
EDİRNE
T.C.
TRAKYA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
İKİ BOYUTLU EĞRİ UZAYDA KUANTUM DİNAMİĞİ
MÜSLÜM GÜZEL
YÜKSEK LİSANS TEZİ
FİZİK ANABİLİM DALI
Bu Tez 01 / 07/ 2011 Tarihinde Aşağıdaki Jüri Tarafından Kabul Edilmiştir.
Doç. Dr. Selim KARA
Üye
Yrd. Doç. Dr. Deniz AĞIRSEVEN
Üye
Doç. Dr. Mustafa ÖZCAN
Danışman
i
ÖZET
Bu çalışmada, farklı eğriselliklere sahip yüzeyler üzerinde iki boyutlu
hidrojen benzeri atomu tekrar göz önüne aldık. İki boyutlu hidrojen benzeri atom
problemi göreli olmayan durumda analitik olarak tekrar çözüldü. Farklı yüzeyler
üzerinde göreli olmayan durum için farklı metodlar kullanarak çözümleri yeniden
sunmuş bulunuyoruz. Düz yüzey üzerindeki hidrojen benzeri atom için enerji
özdeğeri polar ve parabolik koordinatlarda ve faktorizasyon metodu ile göz önüne
alınarak yeniden üretildi. Ayrıca, momentum uzayında Schrödinger denklemi tekrar
yazıldı. Schrödinger denklemi iki boyutlu momentum uzayını üç boyutlu küre yüzeyi
üzerine izdüşürülerek çözüldü. Son olarak, düzgün bir magnetik alan içerisinde iki
boyutlu hidrojen benzeri atom için Schrödinger denkleminin analitik çözümleri
bulundu.
ii
ABSTRACT
We reconsider the two-dimensional hydrogen like atomon the surface have a
different curvature constants. The two dimensional hydrogen atom problem is
resolved analytical non-relativistically case. We have represented the solutions to the
non-relativitically case on the different surface with the different method. The energy
eigenvalue for two dimensional hydrogen like atom on flat surface reproduced by
considering the polar and parabolic coordinates, and the factorization method.
Moreover we formulated the Schrödinger equation in momentum space. The
Schrödinger equation is solved by projecting the two dimensional momentum space
onto the surface of a tree-dimensional sphere. Finally, we found that the analytical
solutions of the Schrödinger equation for two-dimensional hydrogen like atom in a
homogeneous magnetic field.
iii
TEŞEKKÜR
Bu tez çalışmasının her adımında desteğini aldığım, bu çalışmanın her
sayfasında tecrübe ve bilgileri ile bana yol gösteren değerli hocam Doç. Dr. Mustafa
ÖZCAN’a ve manevi desteklerini esirgemeden her zaman yanımda olan aileme ve
Gözde YILMAZGÜÇ’ e sonsuz teşekkürlerimi sunarım.
iv
İÇİNDEKİLER
ÖZET
i
ABSTRACT
ii
TEŞEKKÜRLER
iii
1. GİRİŞ
1
2. İKİ BOYUTLU DÜZLEMDE HİDROJEN BENZERİ ATOM
4
2.1 Polar Koordinatlarda Çözüm
6
2.2 Parabolik koordinatlarda Çözüm
14
2.3 Momentum Uzayı
18
3. İKİ BOYUTLU EĞRİ YÜZEYLERDE HİDROJEN BENZERİ ATOM
33
3.1 İki Boyutlu Küresel Yüzey Üzerinde Çözüm
33
3.2 İki Boyutlu Hiperbolik Yüzey Üzerinde Çözüm
38
4. MAGNETİK ALAN İÇİNDE HİDROJEN BENZERİ ATOM
43
SONUÇ
49
KAYNAKLAR
51
EK-A
52
EK-B
66
ÖZGEÇMİŞ
1
BÖLÜM 1. GİRİŞ
Bu çalışmada, günümüzde yüksek enerji ve nano yapılar fiziğinde oldukça
önemli bir yere sahip olan kuantum dinamik sistemi, eğriselliğe sahip iki boyutlu
yüzeylerde göz önüne alınacaktır.
Nanoteknolojik yapıların temel oluşumu: çok küçük boyutlarda ve hızı
yüksek olan etkileşimleri içermektedir. Örneğin çok sayıdaki atomun bir araya
gelerek oluşturdukları bir yapının saklayabileceği bilginin nano yapılar için daha az
sayıda atom ve daha küçük bir hacim içinde saklanabileceği söylenebilir. Bu noktada
nanoteknolojinin temelini; etkileşimler küçültülünce onların dinamiklerinde ortaya
çıkan değişimleri anlamak oluşturur.
Yüksek enerji ve nanoteknolojide ortaya çıkan en basit kuantum sistemi,
merkezcil etkileşimi göz önüne alınarak, hidrojen benzeri atom modelidir. Özellikle
yarı iletkenler fiziğinde oldukça geniş uygulama alanına sahip olan kuantum dinamik
yapı iki boyutlu hidrojen benzeri atom modelidir. Üç boyutlu hidrojen benzeri atom
modeli enerji spektrumu ve enerji özfonksiyonu kuantum kitaplarında detaylı bir
şekilde analitik olarak incelenmiştir [Gottfried ve Yan, Quantum Mechanics
Fundamentals]. Fakat, bununla beraber iki boyutlu hidrojen benzeri atom modeli
hem matematiksel açıdan hem de fiziksel bakışımda orijinal bir yere sahiptir. İki
boyutlu hidrojen benzeri atom modeli, düzlem üzerinde çekirdek ve ona bağlı aynı
düzlemde aralarında Coulomb çekim kuvveti etkisi ile hareket eden bir elektrondan
oluşmaktadır. Bu çalışmada düzlem: eğriselliğe sahip iki boyutlu yüzeyler olarak göz
önüne alınacaktır.
Günümüzde, Euclidean düzleminde yani eğrisellik katsayısının sıfır olduğu
yerde iki boyutlu hidrojen benzeri atomun dinamik yapısı detaylı bir şekilde
bilinmektedir [Parfitt, 2002]. Üç boyutlu hidrojen benzeri atom modeli ile
karşılaştırdığımızda [Leonard Schiff, Quantum Mechanics] daha küçük taban durum
kuantum enerji aralıklarına sahiptir. Kuantum enerji aralıklarının sıklığı ve alt limiti
sistemin küçükleri içeren yapılar için taşıdığı bilgi anlamında önemlidir. Örneğin üç
2
boyutlu hidrojen benzeri atom modelinde taban durum enerjisi −γ
γ=
µ Z 2α 2c 2
2
(Burada
) [Leonard Schiff] iken iki boyutlu hidrojen benzeri atom modelinde
taban durum enerjisi −4γ ’ dan [Parfitt, 2002] oluşmaktadır. Diğer enerji durumları
da bu enerji düzeyi üzerinde sıralanmaktadır.
Enerji spektrumlarının sıklığı dinamik sistemlerin taşıyacağı bilgiyi
artırmaktadır. Bu noktada iki boyutlu dinamik yapı, eğrilik katsayısı +1 ve eğrilik
katsayısı −1 olan geometriler de göz önüne alındığında, dinamik sistemimizin enerji
spektrumuna geometrinin getireceği katkıların nasıl yapılanacağı önemli bir konudur
[Peter W. Higgs, 1978]. Ayrıca iki boyutlu hidrojen benzeri atomun bulunduğu
düzleme dik ve sabit bir büyüklükte olan bir biçim magnetik alan söz konusu
olduğunda, magnetik alan enerji spektrumunun değişmesine sebep olur; tıpkı
geometrideki eğriselliğin enerjide değişikliğe sebep olduğu gibi.
Bu çalışmanın 2. bölümünde; eğrisellik katsayısı sıfır olan iki boyutlu bir
düzlemde hidrojen benzeri atom modeli için genel koordinatlarda Hamilton
işlemcisinden gelen özdeğer denklemi yazılacaktır. Daha sonra bu özdeğer denklemi
polar koordinatlar kullanılarak değişkenlerine ayrıştırarak incelenecektir. Ayrıca,
yine polar koordinatlarda Hamilton işlemcisinden hareketle özdeğer denklemi
çarpanlarına ayırma işlemi yapılarak çözümleri tartışılacaktır. Sonra parabolik
koordinatlara dönüşüm yaparak özdeğer denklemi çözülecektir. Bildiğimiz kadarıyla
iki boyutlu parabolik koordinatlarda hidrojen benzeri atom ilk olarak bu çalışmada
incelenecektir. Son olarak, Fock’ un 1935 te simetrilerini incelemek için geliştirdiği
yöntem ile iki boyutlu hidrojen benzeri atomun momentum uzayındaki özdeğer
denklemini yazarak integral denklemini elde edeceğiz. Daha sonra iki boyutlu
momentum uzayını üç boyutlu momentum uzayına izdüşüreceğiz. İzdüşürme
işlemini Stereographic Projection ile gerçekleştireceğiz. İntegral denkleminden elde
ettiğimiz sonuçlar bu bölümde tartıştığımız sonuçlarla bire bir örtüşmektedir.
3. bölümde iki boyutlu eğrisel yüzeylerde hidrojen benzeri atom yapısını
tartışacağız. Bu bölümde hidrojen benzeri atomu eğrisellik katsayısı +1 ve eğrisellik
katsayısı
−1
olan
bir
geometriye
yerleştirerek
dinamik
yapının
enerji
3
spektrumlarındaki değişmelerini inceleyeceğiz. Matematiksel olarak eğrisellik
katsayısı +1 ve −1 olan geometrilerde iki boyutlu hidrojen benzeri atomun ürettiği
Hamilton işlemcilerini çarpanlarına ayırma yöntemi ile iki işlemcinin çarpımı
şeklinde ifade ederek çözümü tartışacağız ve eğriselliğin enerji spektrumunda sebep
olduğu değişiklikleri belirleyeceğiz.
4. bölümde düzleme kısıtlanmış iki boyutlu hidrojen benzeri atomu düzleme
dik yönde bir biçim ve sabit magnetik alan üzerine etki ettirdiğimizde iki boyutlu
hidrojen benzeri atomun enerji spektrumundaki yapılanmayı yaklaşıklıklar yöntemi
ile belirlemeye çalışacağız. Son olarak bu farklı geometrilerde ürettiğimiz farklı
çözümlerin taşıdığı bilgileri karşılaştıracağız. Ayrıca bu çalışmada kullandığımız
matematiksel yapıların özetlerini ekte özetleyeceğiz.
4
BÖLÜM 2. İKİ BOYUTLU DÜZLEMDE HİDROJEN BENZERİ ATOM
Bu bölümde hidrojen benzeri atomu eğrisellik katsayısı sıfır olan iki boyutlu
düzlemde kütle merkezi koordinatlarını göz önüne alarak detaylı bir biçimde
inceleyeceğiz. Dinamik sistemin Hamilton işlemcisi içinde parçacıklar arasındaki
etkileşim terimi parçacıklar arasındaki uzaklığa bağlıdır. Yani, parçacıkların koordinatlarının her ikisine birden bağlıdır. Bu da fizikte problem çözümlerinde sıkça
kullandığımız değişkenlerine ayrıştırma işlemini yapmamıza imkan vermemektedir.
Bu nedenle ilk olarak kütle merkezi koordinatlarını kullanarak Hamilton işlemcisini
yeniden düzenleyeceğiz. Daha sonra bu dinamik sistemi,
1. Polar Koordinatlarda ve polar koordinatlarda Faktorizasyon (Operatörleri
çarpanlarına ayırma) yöntemi
2. Parabolik koordinatlarda
3. Momentum uzayında
olmak üzere üç farklı şekilde inceleyeceğiz. Bunun için genel olarak iki boyutlu
düzlemde hidrojen benzeri atom için Hamilton işlemcisini yazalım. Şekil 2.1’ de
görüleceği gibi
→
→
→
r = r1 − r2
→
→
m r + m2 r2
R= 1 1
m1 + m2
→
2 → 2 2 → 2  → → 
ˆ
H =−
∇1 −
∇2 + V  r1 − r2  , (2.1)
2m1
2m2


Şekil 2.1
şeklindedir. Hamiltonu kullanarak elde edeceğimiz özdeğer denkleminin çözülebilmesi için değişkenlerin ayrışabilmesi gerekir. Bu potansiyel terimi değişkenlerin
5
ayrışmasına imkan vermemektedir. ( Burada r1 = r1 ( x1 , y1 ) , r2 = r2 ( x2 , y2 ) ve
r = r ( x, y ) ). Bu nedenle kütle merkezi koordinatları dönüşümü yaparak Hamilton
işlemcisini yeniden yazarız. (2.1) ve (2.2) eşitliklerini kullanarak
→
∇1 =
→
→
→
m1 →
m →
∇ R + ∇ r ve ∇ 2 = 2 ∇ R − ∇ r ,
M
M
eşitliklerini
elde
ederiz.
(2.2)
eşitliklerini
(2.2)
(2.1)’
de
yerine
2 → 2 2 → 2
Hˆ = −
∇R −
∇ r + V (r ) ,
2M
2µ
(2.3)
elde ederiz. Burada m1 + m2 = M ve
1
µ
=
1
1
şeklinde tanımlıdır. Böylelikle
+
m1 m2
ˆ
ΗΨ
r , R = ΕΨ r , R ,
(
)
(
yazarak
)
(2.4)
özdeğer denkleminden Ψ r , R = V (r )U ( R) değişken ayrıştırma işlemi ile
(
)
2 2 µ
{∇ R + 2 ER }U ( R) = 0 ,
(2.5)
ve
{−
2 2
∇ r + V (r )}V(r ) = Er V(r ) ,
2µ
(2.6)
denklemlerine ulaşırız. (2.5) denklemi M kütleli serbest bir parçacığın Hamiltonunu
temsil eden özdeğer denklemidir ve çözümü; U ( R ) = N R ei k .R ’ dir. Burada k dalga
sayısı vektörüdür ve serbest parçacığı temsil eder. Bu çözüm R doğrultusunda
hareket eden bir düzlem dalgadır. Problemde başka sınır koşulu yoksa enerji
özdeğeri sürekli olur. Sisteme dışarıdan bir etki yoksa hem taşınma hem de dönme
olur. Bu durumda (2.6) denklemi incelenmelidir. Sistemin asıl önemli davranışları
çözümü daha zor olan bu bağıl hareket denklemi tarafından belirlenir. Bu nedenle
artık bağıl Hamiltonun sağladığı (2.6) denklemini tartışacağız.
6
2.1. Polar Koordinatlarda Çözüm
2
Öncelikle iki boyutlu polar koordinatlarda ∇ operatörünü (2.6) denkleminde
yerine yazar ve özfonksiyon çözümünü değişken ayrıştırma yöntemine göre
V(r , φ ) = Rnm ( r ) Φ(φ ) ,
(2.1.1)
şeklinde yazarak baktığımızda iki boyutlu düzlemde bağlı koordinatların sağladığı
radyal denklem
(
∂ 2 1 ∂ m2 2µ ze 2 2µ E
+
−
+
− 2 ) Rnm ( r ) = 0 ,
∂r 2 r ∂r r 2
r2
olur.
ρ = βr
(2.1.2)
gibi boyutsuz bir değişken tanımlayarak radyal denklemi
d2
1 d m2 λ 1
+
−
+ − ) R (ρ ) = 0 ,
(
d ρ 2 ρ d ρ ρ 2 ρ 4 nm
(2.1.3)
2µ ze 2
8µ E
olarak yazarız (Burada λ =
ve β =
şeklinde tanımlanmıştır). Bu
2
β
2
denklemin ρ → ∞ ve ρ → 0 asimptotik çözümleri gerekli işlemler yapılarak
Rn m ( ρ ) = ρ e
m
−ρ
2
L( ρ ) ,
(2.1.4)
şeklinde bulunur. Burada L( ρ ) , 0 < ρ < ∞ aralığındaki çözümleri içermektedir.
(2.1.4)’ ü (2.1.3)’ te yerine yazarak
1
2
ρ L ''( ρ ) + (2 m − ρ + 1) L '( ρ ) + (− m + λ − ) L( ρ ) = 0 ,
(2.1.5)
denklemi elde ederiz. Bu denklemi ρ = 0 düzgün tekil noktası civarında Frobenius
yöntemi ile çözelim.
∞
L ( ρ ) = ∑ an ρ n + s
n=0
,
(2.1.6)
7
a0 ≠ 0 olmak şartı ile bir çözüm olsun. (2.1.6) ve türevlerini (2.1.5)’ de yerine yazar
ve gerekli indis düzenleme işlemlerini yaparsak
∞
1
[s(s −1) + (2 m +1)s]a0ρs−1 + ∑{[(n + s + 2 m +1)(n + s +1)]an+1 +[(− m + λ − − n − s)an ]}ρn+s = 0
2
n=0
eşitliğini elde ederiz. Bu da
a0 ≠ 0 için, s ( s + 2 m ) = 0
ve
1
( m − λ + + n)
2
an+1 =
an
(n + 2 m + 1)(n + 1)
tekrarlama bağıntısını verir.
; n≥0,
ρ→0
(2.1.7)
iken radyal denklemin sonlu kalması gerekir.
Bundan dolayı s = 0 alınır çünkü, s = −2 m alınırsa çözüm ıraksak olur. Çok
büyük n ’ lerde ρ
ne olursa olsun çözümün sonlu kalabilmesi için katsayılar
arasındaki ilişki yakınsak olmalıdır. Bunu kontrol etmek için tekrarlama bağıntısı
yakınsak mı? Iraksak mı? Test edeceğiz.
n → ∞ limitinde
a n +1
1
→
şeklinde davranır. Bu davranış biçimi e ρ
an
n
çözümünü üretir, bu da genel çözümü ıraksak yapar. Biz sonlu çözüm aradığımıza
göre bu serinin bir yerde kesilmesi gerekir. Burada an ≠ 0 ve a n +1 = 0 olacak
şekilde bir kesme işlemi yapmalıyız.
1
m − λ + + n = 0 seçimi seriyi kesmeyi sağlar,bu durumda çözüm düzenli
2
olur. ( n = 0,1, 2,3,...; m = 0, ±1, ±2, ±3,... ) Burada ilk olarak n → k ve daha sonra
1
2
λ − = n dersek
8
k + m = n ⇒ k = n− m
olur. Çözümün sonlu olması için yaptığımız seçim L ( ρ ) fonksiyonunu L2n −mm ( ρ )
Associated Laguerre polinomuna taşır. Böylece radyal denklem
Rn m ( ρ ) = N n e
−ρ
2
ρ m L2n −mm ( ρ ) ,
(2.1.8)
olur. Enerji özdeğeri
En = −
µ z 2α 2c 2
2
1
; n = 0,1, 2,3,... ve m=0, ± 1, ± 2, ± 3,... ,
1 2
(n + )
2
(2.1.9)
e2
: İnce yapı sabitidir). Üç boyutlu hidrojen atomu
olarak bulunur (Burada α =
c
ile iki boyutlu hidrojen atomunun enerji özdeğerlerini Şekil 2.2’ deki gibi
karşılaştırılabilir.
9
Şekil 2.2
Aynı enerji seviyesinin farklı fonksiyonlarla ifade edilmesine dejenerelik
denir. Burada sıfırdan farklı her m degeri iki defa sayılır. Örneğin m = ±1 değerleri
için m = 1' dir. Buradan da anlaşılacağı gibi 2n + 1 dejenerelik vardır.
P ( r ) = rRn2, m ( r ) olasılık yoğunluğunu göz önüne alalım. n − m + 1 tane
maksimumu vardır. Bunu görebilmek için Rn , m ( β r ) ve Pn , m ( r ) ’ in ilk bir kaç n ve
m değeri için grafikleri Şekil 2.3’ teki gibidir.
10
11
Şekil 2.3
12
Şimdi de (2.6)’ deki işlemciyi işlemcilerin çarpanlarını oluşturarak
inceleyeceğiz [ Bayın S. , 2006].
 1 ∂  ∂  1 ∂ 2 2α

 r ∂r  r ∂r  + r 2 ∂φ 2 + r + λ  V ( r , φ ) = 0 ,




Burada α =
µ ze 2
2
ve λ =
(2.1.10)
2µ E
şeklinde tanımlıdır. Denklem (2.1.10)’ da
2
V ( r , φ ) = R ( r ) Φ (φ ) ; Φ (φ ) ∼ e ± imφ ; m = 0, ±1, ±2, ±3,.... ,
(2.1.11)
değişkenlerine ayrıştırma işlemini yaparak


 2 1
m − 
1


d

4  2α  2

y
r
r
+
−
+
λ
(
)

 y (r ) = 0 ,
dr 2
r2
r 



2
(2.1.12)
1
denklemini elde ederiz (Burada y ( r ) = r 2 R ( r ) dir). q = −α dersek (EK-A),
 2 1
 m −  2α
4
r ( z, m ) = − 
+
2
r
r
1

m− 
α
2
k (, m) = 
−
1
r

m− 
2

µ (m) = −
α2
1

m− 
2

2
,
(2.1.13)
eşitliklerine ulaşırız. m ’ in pozitif ve ya negatif olma durumuna göre m > 0 için
λ = µ ( mmax + 1) ve m < 0 için λ = ( mmin + 1) şeklindedir .
13
⇒ mmin = mmax = n ∴ λ = −
α2
1

n+ 
2

2
,
(2.1.14)
1 α 22 µ
En = −
,
2
2
1
n+ 
2

(2.1.15)
Görüldüğü gibi daha önce bulduğumuz sonuçla aynıdır. Şimdi (EK-A)’ dan
yararlanarak basamak işlemcilerini yazalım.
1

m− 

d
α
2
O± ( r , m ) = ± − 
+
,
1
dr
r

m− 
2

(2.1.16)
m > n durumuna karşı gelen özdeğerlerin olmadığı bilgisine sahibiz. Bu bilgi ile
ynn ( r ) = N n r
 1
 n+ 
 2
−
Rnn ( r ) = N n r n e
−
e
α
 1
 n+ 
 2
α
 1
 n+ 
 2
r
,
(2.1.17)
r
,
(2.1.18)
Çözümlerini elde ederiz. Burada bulduğumuz m = n ’ deki çözümdür. Şimdi bu
çözümden yararlanarak genel çözümleri elde edebiliriz.
−
1
ynm −1 ( r ) =  µ ( n + 1) − µ ( r )  2 O− ( r , m ) ynm ( r ) ,
(2.1.19)
m ’ in n ’ den başlayarak birkaç değeri için (2.1.19) tekrarlanırsa
Rn , m ( r ) = Bn ,m β
( n− m)
( 2n ) ! r −( n +1)e β2 r  r 2 d  n −m r 2 m+1e− β r
 dr 
( n + m )!
özfonksiyonunu buluruz.
,
(2.1.20)
14
2.2. Parabolik Koordinatlarda Çözüm
Radyal denklemin çözümleri sadece polar koordinatlarda değişkenlerine
ayırma yöntemi ile bulunmuyor. Aynı zamanda parabolik koordinat dönüşümü ile de
değişkenlerine ayırma yöntemi kullanılarak radyal denklem çözülebiliyor [Schiff,
1949]. Burada bağıl koordinatlardan gelen özdeğer denkleminin parabolik
koordinatları göz önüne alarak çözümlerini inceleyeceğiz.
2
Parabolik koordinatlarda koordinat dönüşümleri, ∇ operatörü ve Coulomb
potansiyeli
x=
1 2
(η − ξ 2 ) , y = ηξ
2
2
∇ =
 ∂2
∂2 
+ 2
2 
2
(η 2 + ξ 2 )  ∂η ∂ξ 
1
V (η , ξ ) = −
2Ze 2
,
(η 2 + ξ 2 )
(2.2.1)
şeklindedir. Bu durumda bağıl Hamiltondan gelen (2.6) özdeğer denklemi
 ∂2

∂ 2 4µ Ze 2 2µ E 2
+
+
− 2 (η + ξ 2 ) ψ (η , ξ ) = 0 ,
 2
2
2
∂ξ
 ∂η

(2.2.2)
denklemine dönüşür. Bu denklemde
ψ (η , ξ ) = f (η ) g (ξ ) ,
(2.2.3)
değişken ayırma işlemini yapar ve denklemi düzenlersek
 d 2 4 µ Ze2 2µ E 2 
− 2 η  f (η ) = α f (η ) ,
 2+
2
d
η


ve
(2.2.4)
15
 d 2 2µ E 2 
 2 − 2 ξ  g ( ξ ) = −α g ( ξ ) ,
 dξ

(2.2.5)
denklemlerini elde ederiz. (2.2.4) denklemini ρ = βη gibi bir boyutsuz değişken
tanımlayarak düzenlersek
 d2
2
 2 + λ1 − ρ  f ( ρ ) = 0 ;
 dρ

2µ E
4µ Ze 2 − α 2
= λ1 (sabit) ,
β = 2 ve
β 2 2
4
(2.2.6)
olur. Denklemi ρ → ∞ limitinde incelediğimizde
f (ρ ) = e
−ρ2
2
H (ρ) ,
(2.2.7)
elde ederiz. Burada eksponansiyel terim asimptotik çözümleri temsil eder ve H ( ρ ) ’
nun sağladığı diferansiyel denklem
H '' ( ρ ) − 2 ρ H ' ( ρ ) + ( λ1 − 1) H ( ρ ) = 0 ,
(2.2.8)
dir. H ( ρ ) ’ in sağladığı bu diferansiyel denklemi ρ = 0 düzenli tekil noktası
civarında a0 ≠ 0 olmak şartı ile incelersek s = 0 ve s = 1 gibi iki indis kök bulunur.
s = 0 alırız çünkü a0 ≠ 0 ve a1 ≠ 0 dır. Bu durumda katsayılar arasındaki bağıntı
an1 + 2 =
( 2n1 − λ1 + 1) a
( n1 + 1)( n1 + 2 ) n
1
; n1 ≥ 0 ,
olur. Görüldüğü gibi katsayılar, n1 → ∞
(2.2.9)
limitinde
an1 + 2
an1
→
2
( n1 + 2 )
şeklinde
davranır. Bu, katsayıların ıraksak davrandığını söyler. Ancak a0 ≠ 0 ve a1 ≠ 0 olacak
şekilde bir kesme işlemi çözümü düzenli kılar. Kesme işlemini
seçimi ile yaparsak
( 2n1 − λ1 + 1) = 0
16
n1 =
λ1 − 1
2
λ1 + λ2
2
λ2 =
(2.2.8) denkleminden n2 =
, benzer şekilde
λ2 − 1
2
bulunur ve
e2
dersek n2 = 2n − n1 olur (Burada
= α : ince yapı sabiti ve
c
− 1 = 2n
α
dir). Bu durumda enerji özdeğeri
β2
En =
µ Z 2α 2c 2
1
2
1

n + 
2

2
,
(2.2.10)
olur. Kesme işlemi H ( ρ ) ’ yu Hermite polinomu yapar. Böylece görüldüğü gibi
enerji özdeğeri polar koordinatlardaki sonuçla örtüşür.
Özfonksiyon ise 2β 2 r = σ dönüşümü ile
−ρ
2
φ
φ


ψ n ,n (σ , φ ) = e H n  σ cos  H 2 n − n  σ sin  ,
2
2


1
2
1
1
(2.2.11)
şeklinde bulunur. Dejenere durumlar ile ilgili bilgiyi Şekil 2.4’ teki tablo ile gösteri-
lebiliriz.
17
n
n1
0
0
1
0
→ 1 = 2.0 + 1
→ 3 = 2.1 + 1
1
2
0
2
1
→ 5 = 2.2 + 1
2
3
4
n
0
1
→ 2n + 1
2
2n
Şekil 2.4
Tablodan görüleceği gibi dejenerelik 2n + 1 şeklindedir. Ayrıca,
φ
φ
n
H n1 ( ρ cos ) H 2 n−n1 ( ρ sin ) = ∑ L2n−mm ( ρ )eimφ (2 ρ ) m Bmnn1 ,
2
2 m=− n
(2.2.12)
eşitliği vardır [Duru, I. H. , ve H. Kleinert, 1982]. Bu eşitliği kullanırsak çözümümüz
ψ n,m ( ρ , φ ) = e
−ρ
2
n
∑L
m =− n
2m
n− m
( ρ ) ρ m 2 m Bmnn1 eimφ
olur. Buradan da dejenereliğin 2n + 1 olduğu görülür.
,
(2.2.13)
18
2.3. Momentum Uzayı
Eğrisellik katsayısı sıfır olan iki boyutlu düzlemde tanımlı hidrojen benzeri
atomun dinamik yapısını ifade eden özdeğer denklemini momentum uzayında
yazarak, mometum uzayında Schrödinger denkleminin integral temsilini elde
edeceğiz. Daha sonra bu integral denklemi Stereographic Projection yöntemi ile iki
boyuttan üç boyuta iz düşüreceğiz. Matematiksel yöntem için, Fock’ un geliştirdiği
yolu izleyeceğiz. Bunun için ilk olarak
ψ r =
()
1
( 2π )
2
−i p ⋅r ∫Φ p e dr ,
( )
(2.3.1)
ve
i p ⋅r Φ p = ∫ψ r e d p ,
( )
()
(2.3.2)
şeklindeki Fourier dönüşümlerini kullanarak (2.6) özdeğer denklemini momentum
uzayında yazarız. Burada ψ r konum uzayında ve Φ p momentum uzayındaki
()
( )
dalga fonksiyonlarıdır.
Konum uzayında özdeğer denklemi;
 2 2

∇ r + V ( r ) ψ ( r ) = Eψ ( r )
−
 2µ

2 2
−
∇ rψ ( r ) + Eψ ( r ) = V ( r )ψ ( r ) ,
2µ
(2.3.3)
şeklindedir. (2.3.3) denkleminin her iki tarafını soldan e
p
i ⋅r
integralini alalım.
i p ⋅r i p ⋅r 2 i p ⋅r 2 e
ψ
r
d
r
E
ψ
r
e
d
r
V
r
ψ
r
∇
+
=
r
∫
∫ ( ) e dr
2µ ∫
()
()
()
ile çarpıp p üzerinden
19
i p ⋅r 2 i p ⋅r 2 e ∇ rψ r d r + EΦ p = ∫ V ( r )ψ r e d r ,
2µ ∫
()
( )
()
(2.3.4)
(2.3.4)denkleminin sol tarafındaki ilk terimi;
ˆ
∫ v ( F ∇ G − G∇ F ) dv =∫ ( F ∇G − G∇F ) ⋅ nds
2
2
v
s
şeklinde verilen Green teoremi ile düzenleyelim.
2 i p ⋅r  i p ⋅r 
 i p ⋅r 2  i p ⋅r ˆ
∫v e ∇ ψ r −ψ r ∇ e d r = ∫s e ∇ψ r −ψ r ∇e  ⋅ nds




() ()
() ()
İntegral bölgesi yarıçapı R olan bir küre olarak düşünülürse, nˆ = eˆr ve
ds = R 2 d Ω dır. O halde denklemin sağ tarafı R → ∞ limitinde;
  i p ⋅r d
i p ⋅r 
d i p ⋅r 
 i p ⋅r 
2
ˆ
e
∇
ψ
r
−
ψ
r
∇
e
⋅
nds
=
lim
R
e
ψ
r
−
ψ
r
e
d
Ω






∫s 
∫∫
R→∞
dr
dr

 



() ()
() ()
1
olur. Eğer ψ r fonksiyonu → 0 limitinde yeteri kadar hızlı sıfıra giderse, bu
r
()
yüzey alan integrali sıfır olur. Bu durumda (2.3.4) denklemi
i p ⋅r p2
− 2 Φ p + EΦ p = ∫ V ( r )ψ r e d r
( )
E=−
p02
2µ
( )
()
dersek, µ = Z = e = 1 için
( )
Φ
p ' 1
( p 2 + p02 ) Φ p = π ∫ ' d p ' ,
p− p
( )
(2.3.5)
denklemine dönüşür. Böylece iki boyutlu konum uzayındaki özdeğer denklemini iki
boyutlu momentum uzayında yazmış oluruz.
20
Bir noktası delinmiş küre ile düzlem topolojik olarak eş yapılıdır. Yani
düzlem ile küre yüzeyi arasında birebir eşlemeyi sağlayan bir projection dönüşümü
vardır. Bu Şekil 2.5’ teki gibi resmedilebilir. Biz de burada bu bilgiden yaralanarak,
iki boyutlu momentum uzayındaki bu denklemi üç boyutlu ve merkezi orijinde olan
birim küre üzerine taşıyacağız.
Şekil 2.5
sin φ =
Py
cos φ =
Px
P
P
sin θ = Px , y ve cos θ = Pz
şeklindedir. Burada Px , y ve Pz terimlerini ne olduğunu hesaplamalıyız. Bunun için
sistemi Şekil 2.6 ve Şekil 2.7’ deki gibi görelim.
21
Şekil 2.6
Burada da görülebileceği gibi her P noktasına küre yüzeyi üzerinde farklı bir
u noktası karşı gelmektedir (Kutup noktası hariç). Bunun nedeni ise P noktası
değiştikçe değişen θ açısıdır. Tüm u noktaları birim küre yüzeyi üzerinde
olduğundan,
p
u1 = u2 = = un = ilişkisi vardır. Burada p1 = p ve p2 =
α
θ = 0 ‘da u noktasına karşı gelen bir p noktası yoktur. θ =
π
2
noktasına düşer. O halde α terimi, 1 ≤ α < ∞ aralığında olmalıdır.
diyelim.
ise u noktası p
22
Şekil 2.7
p
α
− px , y
p
= pz
ve
( p ) +( p )
2
x, y
z
2
=1
α
px , y =
2
p
(p
α
 p2 
 2 + 1
α

x, y
≠ 0)
α = p0 dersek,
px , y =
pz =
2 p0 p
p 2 + p0 2
bulunur. Benzer şekilde
p 2 − p02
olarak bulunur. Böylece
p 2 + p02
sin θ =
2 p0 p
p 2 + p0 2
ve cos θ =
p 2 − p02
p 2 + p02
olduğu görülür.
23
Bu durumda u ’nün bileşenleri aşağıdaki gibidir:
u x = sin θ cos φ =
2 p0 px
p 2 + p02
u y = sin θ sin φ =
2 p0 p y
p 2 + p02
p 2 − p02
,
p 2 + p02
u z = cos θ =
(2.3.6)
Birim kürenin yüzey elemanı;
sin θ cos φ =
2 p0 px
p 2 + p02
sin θ cos φ =
2 p0 px
,
p + p y2 + p02
sin θ sin φ =
2
x
2 p0 p y
p + p y2 + p02
2
x
,
sin φ p y
=
,
cos φ px
(2.3.7)
(2.3.8)
(2.3.9)
(2.3.9)’dan yararlanıp px ve p y ’yi birbiri cinsinden yazarak (2.3.7) ve (2.3.8)
eşitliklerinden px ve p y ’yi hesaplayabiliriz. (2.3.7)’ yi inceleyelim.
sin θ cos φ =
sin θ cos φ =
px = p0 cos φ
2 p0 px
sin 2 φ 2
px2 +
px + p02
cos 2 φ
2 p0 px cos 2 φ
px2 + cos 2 φ p02
(1 ± cos θ )
2sin θ
24
px θ = 0 ’daki durumu sağlamalıdır.
∴ px = p0 cos φ
(1 + cosθ )
2sin θ
,
(2.3.10)
(2.3.8)’ i inceleyelim.
2 p0 p y
sin θ sin φ =
p y2
p y = p0 sin φ
p y = p0 sin φ
cos 2 φ
+ p y2 + p02
sin 2 φ
(1 ± cosθ )
sin θ
(1 + cosθ )
sin θ
,
(2.3.11)
dp = dpx dp y = J dθ dφ
J =
∂px
∂θ
∂px
∂θ
∂px
∂φ
∂p y
J = − p cos
2
0
∂φ
2
(1 + cos θ )
φ
sin 3 θ
1 (1 + cos θ )
J = − p02
sin θ (1 − cos θ )
2
− p sin
2
0
2
(1 + cos θ )
φ
2
sin 3 θ
Eşitliğin sağ tarafını (1 − cos θ ) ile çarpıp bölelim.
2
1 (1 − cos θ )
J = −p
sin θ (1 − cos θ ) 2
2
0
2
 p 2 + p02 
J =
 sin θ
2
p

0

25
2
 p 2 + p02 
dp = 
 sin θ dθ dφ
 2 p0 
2
 p 2 + p02  ∴ d Ω = sin θ dθ dφ = 
 dp ,
 2 p0 
(2.3.12)
olur.
İki nokta arasındaki uzaklık;
{
2
2
2
u − u ' = ( u x − u x' ) + ( u y − u y' ) + ( uz − uz' )
}
1
2
u x − u′x =
2 p0 p x
2 p p′
− 2 0 x2
2
2
p + p0 p′ + p0
u x − u ′x =
2 p0
 p p′2 + p02 ) − px′ ( p 2 + p02 ) 
2
2  x(

( p + p )( p′ + p0 )
u y − u′y =
2
2
0
2 p0 p y
−
p +p
2
2
0
2 p0 p′y
p′2 + p02
u y − u ′y =
2 p0
 p p′2 + p02 ) − p′y ( p 2 + p02 ) 
2
2  y(

( p + p )( p′ + p0 )
u z − u′z =
p 2 − p02 p′2 − p02
−
p 2 + p02 p 2 + p02
u z − u z′ =
2 p0
 p p 2 − p ′2 ) 
2
2  0(

′
p
+
p
p
+
p
(
)(
0)
2
2
0
2
2
0
Bu eşitlikler ile
u −u' =
olur.
(p
p − p' ,
2 p0
2
+p
2
0
) ( p' + p )
1
2
2
2
0
1
2
(2.3.13)
26
ve küre üzerindeki dalga fonksiyonu;
3
1  p 2 + p02  2
χ u =

 Φ p
p0  2 p0 
()
( )
,
(2.3.14)
şeklindedir. (2.3.14) eşitliğini (2.3.5) denkleminde yerine yazarak düzenlersek
( )
()
χ u =
1
2 p0π
χ u'
∫ u − u d Ω
'
'
,
(2.3.15)
denklemini elde ederiz.
Küre üzerindeki herhangi bir fonksiyon Küresel Harmonikler ile ifade
edilebilir.
()
∞
l
χ u = ∑ ∑ AlmYl m (θ ,φ ) ,
(2.3.16)
l =0 m =− l
Küresel Harmonikler Associated Legendre polinomları ile aşağıdaki gibi
ifade edilirler.
Yl m (θ ,φ ) = Alm Pl m ( cos θ ) eimφ ,
Küresel Harmonikleri
2π
π
0
0
∗
∫ dφ ∫ sin θ dθ Ylm (θ ,φ )Ylm (θ ,φ ) = 1
boylandırma işlemi ile Al katsayısı
Al =
2l + 1 ( l − m ) !
4π ( l + m ) !
olarak hesaplanır. Böylece
(2.3.17)
27
2l + 1 ( l − m )! m
Pl ( cos θ ) eimφ ,
4π ( l + m )!
Ylm (θ ,φ ) =
(2.3.18)
olduğu görülür.
Ayrıca
1
u −u'
1
terimi de küresel harmonikler cinsinden yazılabilir.
1
=
1
u − u ' (u 2 + u '2 − 2uu 'cos θ ) 2

1  u '2
u'
= 1 + 2 − 2 cos θ 
u
u
u

−1
2
u ' ’ nün 3. kuvvetine kadar olan kısmı düzenlersek,
u 'λ
= ∑ λ +1 Pλ (cos θ ) ,
u − u ' λ =0 u
1
∞
(2.3.19)
u 'λ
buluruz. λ +1 ≅ 1 alınırsa,
u
1
∞
= ∑ Pλ (cos θ ) ,
u − u ' λ =0
(2.3.20)
eşitliği bulunur.
Pλ (cos θ ) =
λ
4π
∑ Yλm (θ ,φ )Yλm* (θ ',φ ')
2λ + 1 m=− λ
olduğunu biliyoruz. Böylece (2.3.20)
∞
λ
1
4π
Yλm (θ , φ )Yλm* (θ ', φ ') ,
= ∑ ∑
u − u ' λ =0 m=− λ 2λ + 1
(2.3.21)
olarak yazılır. (2.3.18) ve (2.3.21) eşitlikleri (2.3.15) integralinde yerine yazılırsa
∞
l
∑∑ AlmYlm(θ,φ) =
l =0 m=−l
∞ l1
1 ∞ l2 4π m2
m2*
θ
φ
θ
φ
Y
(
,
)
Y
(
',
')
Al1m1Yl1m1 (θ ',φ ')dΩ' , (2.3.22)
∑∑
∑∑
l2
l2
∫
2πq0 l2=0 m=−l2 2l2 +1
l1=0 m1=−l1
bulunur. Küresel harmoniklerin
28
2π
π
0
0
m '*
m
∫ dφ ∫ sin θ dθYl ' (θ ,φ )Yl (θ ,φ ) = δ ll 'δ mm ' ,
(2.3.23)
şeklindeki diklik bağıntısını kullanarak (2.3.12) eşitliği
∞
l
∑∑
l =0 m =− l
AlmYl m (θ , φ ) =
2 ∞ l1
1
Al1m1Yl1m1 (θ , φ ) ,
∑
∑
p0 l1 =0 m1 =− l1 2l1 + 1
(2.3.24)
haline indirgenir.
(2.3.24)‘te eşitliğin her iki tarafını Ynm '* (θ , φ ) ile çarpıp dΩ üzerinden integral
alalım.
2π
π
0
0
∞
l
2π
π
0
0
m
m'*
∫ dφ∫sinθdθ ∑∑ AlmYl (θ,φ)Yn (θ,φ) = ∫ dφ∫sinθdθ
∞
l =0 m=−l
l
∞
∑∑ A
δ δ
⇒ Anm ' =
2
Anm '
p0 (2n + 1)
lm ln mm '
l =0 m =− l
∴ E=−
1
1

n+ 
2

2
=∑
l1
∑
l1 = 0 m1 =− l1
2 ∞ l1 Al1m1 m1
Yl1 (θ ,φ)Ynm'*(θ ,φ)
∑∑
p0 l1=0 m=−l1 2l1 +1
2
Al m δ l nδ m m '
p0 (2l1 + 1) 1 1 1 1
; n = 0,1, 2, 3,... ,
(2.3.25)
olur. n ’nin kesikli değerleri için (2.3.15) denkleminin genel çözümü,
χ n (u ) =
n
∑
m =− n
AnmYnm (θ , φ ) ,
(2.3.26)
olur.
(2.3.26) denklemindeki toplamda girilen fonksiyonların her biri denklem
(2.3.15)’ i ayrı ayrı sağlar. Bu yüzden n ’ nin her bir değeri için 2 n + 1 tane lineer
bağımsız çözüm elde edilir. Bu 2 n + 1 tane dejenerelik gözlemlendiğini açıklar.
29
Öz fonksiyonlarımız için küresel harmoniklerin her doğrusal kombinasyonunu seçmekte özgürüz, fakat kolaylık için
χ nm (u ) = AnmYnm (θ ,φ ) ,
(2.3.27)
eşitliğini seçelim. Eğer öz fonksiyonlarımızı normalize edersek,
3
∫ χ (u )
dΩ = ∫
2
2
2  2 p0  1  ρ 2 + ρ 02 
dp

 Φ( p)  2
2
2 
p0  2 p0 
 p + p0 
 p 2 + p02 
2 = ∫
 Φ( p) dp
2
 2 p0 
ve
∫ χ (u )
2
d Ω = ∫ Anm Ynm* (θ , φ )Ynm (θ ,φ )d Ω
2
= Anm
⇒
1
Anm
2
∫ χ (u )
2
2
dΩ =
=
1
Anm
2
(2π ) 2
Anm
2
 p 2 + p02 
2 ∫  2 p02  Φ ( p) dp
∫ ψ (r ) dr = 1
⇒ Anm = 2π
m
∴ χ (u ) = 2π Yn (θ , φ ) ,
bulunur. (2.3.28) eşitliğini kullanarak,
χ (u ) = 2π
2n + 1 =
2n + 1 (n − m )! m
Pn (cos θ )eimφ
4π ( n + m )!
2
olmak üzere,
q0
(2.3.28)
30
π (n − m )!
χ (u ) =
p0 ( n + m )!
Pnm (cos θ )eimφ ,
(2.3.29)
bulunur. (2.3.29) eşitliğini (2.3.14)’ de yerine yazarsak,
π (n − m )!
p0 (n + m )!
3
Pn (cos θ )eimφ
m
1  p 2 + p02  2
=

 Φ ( p)
p0  2 p0 
3
( n − m )!  2 p0  2 m
Φ ( p ) = 2π
Pn (cos θ )eimφ ,
 2
2 
( n + m )!  p + p0 
(2.3.30)
eşitliği bulunur. ψ (r ) reel uzay fonksiyonlarını elde etmek için denklem (2.3.2)’ yi
inceleyelim.
ψ (r ) =
ψ (r ) =
1
(2π ) 2
2π ∞
1
(2π )
−i p⋅r Φ
(
p
∫ )e d p
∫ ∫ Φ( p)e
2
− ipr cos φ '
pdpdφ ' ,
(2.3.31)
0 0
bulunur.Burada φ ' , p ile r arasındaki azimuthal açıdır. (2.3.30)’ u (2.3.31)’ de
yerine yazalım.
( n − m )!  2 p
2π
()
∫
∫
( n + m )!  p + p
( 2π )
ψ r =
2π ∞
1
0
3
2
3
 2 m
i( mφ − pr cosφ ' )
P
cos
θ
e
pdpdφ
(
)

n
2
0 
2
0 0
φ = φ ' + φr
φr , r ’ nin azimuthal açısıdır ve integralimiz için sabit gibi düşünülebir.
ψ r =
()
1
( 2π )
3
eimφr
2
( n − m )!  2 p
∫ ∫ ( n + m )!  p + p
2π ∞
0
2
0 0
3
 2 m
i( mφ ' − pr cos φ ' )
P
cos
θ
e
pdpdφ '
(
)
n
2 
0 
31
Pn
 2 p0 
2
2 
 p + p0 
( cos θ ) = Pnm 
m
ψ r =
()
∞
∫e
im
( 2π )
(
( n − m )!e φ  2 p
( n + m )! ∫  p + p
3
i mφ ' − pr cos φ '
2
0
r
3
 2 m  p2 − p02  2π i( mφ' − pr cosφ' ) ' 
Pn  2 2  ∫ e
dφ  pdp , (2.3.32)
2
0 
 p + p0  0

∞
1
2
0
) dφ ' = −i m 2π J pr ,
( )
)
m(
(2.3.33)
0
(2.3.33)’ ü (2.3.32)’ de yerine yazalım.
ψ (r ) =
Cnm ( −i )
( n − m )!e φ P
( n + m )! ∫
m
im
2π
m
n
x = p0 r ve y =
dp =
r
 p 2 − p02 
J pr ) dp ,
 2
2  m(
 p + p0 
(2.3.34)
p2
dersek,
p02
p02
dy olur.
2
( n − m )!e φ P
( n + m )! ∫
Cnm ( −i )m
⇒ψ r =
2π
∞
()
im
r
m
n
0
 y −1 
1
dy

 Jm x y
3
 y +1 
(1 + y ) 2
(
)
 y −1 
n+m
m  1− y 
Pnm 
 = ( −1) Pn 

 y +1 
 1+ y 
n+ m
m
⇒ ψ r = Cnm ( −1) ( −i )
()
(
)
p0 ( n − m )! imφr ∞ m  1 − y  J m x y
e ∫ Pn 
dy ,

3
π ( n + m )!
 1 + y  (1 + y ) 2
0
(2.3.35)
Burada,
Cnm ( −1)
n+m
( −i )
m
(
)
m
2x) −x 2 m
 1− y  Jm x y
(
∫0 Pn  1 + y  1 + y 3 2 dy = 1 e Ln− m ( 2 x ) ,
( )
n+
2
∞
m
(2.3.36)
32
olur. Burada Cnm denklem (2.3.36)’ nın her iki tarafını nümerik olarak sağlar. m ≥ 0
alırsak,
(
)
n
m
J x y
( −1) ( 2 x ) e− x L2 m 2 x ,
m  1− y  m
=
P
dy
)
n −m (
∫0 n  1 + y  1 + y 3 2
1
( )
n+
2
∞
n = m = 0 için;
∞
(
J0 x y
∫ (1 + y )
3
2
) dy = 2e
(2.3.37)
−x
0
dir. Bu durumda ψ r çözümü
()
ψ r =
()
p0 ( n − m ) ! imφr ( 2 p0 r ) − p0 r 2 m
e
e Ln − m ( 2 p0 r ) ,
1
π ( n + m )!
n+
2
m
(2.3.38)
olarak bulunur. Burada bulduğumuz çözüm daha önceki tartışmalarımızla tutarlıdır
[D. G. W. Parfitt and M. E. Portnoi, 2002].
33
BÖLÜM 3. İKİ BOYUTLU EĞRİSEL YÜZEYDE HİDROJEN BENZERİ
ATOM
İki boyutlu düzlemde dinamik yapının nasıl çalıştığını detaylı olarak
inceledik. Burada ise eğrisellik katsayısı 1 ve -1 olan yüzeyler üzerinde
öngördüğümüz dinamik sistemi ( iki parçacıklı kuantum sisteminin üreteceği özdeğer
ve özfonksiyonları ) inceleyeceğiz.
3.1. İki Boyutlu Küresel Yüzey Üzerinde Çözüm
Bu bölümde, iki doyutlu hidrojen benzeri atomu R yarıçaplı küre yüzeyi
üzerine yerleştireceğiz. Bunun için, çekirdek ile yörüngesindeki elektron arasındaki
2
radyal uzaklık r = R tan θ olmak üzere küre yüzeyi üzerinde ∇ operatörünü
2
yazacağız. Daha sonra ∇ operatörünü kullanarak (2.6) bağıl özdeğer denklemini
2
küresel yüzey üzerinde inceleyeceğiz. R yarıçaplı küre yüzeyi üzerinde ∇
operatörü
2
∇ =
1
∂ 
∂
 sin θ
2
R sin θ ∂θ 
∂θ
1
∂2

+
,

2
2
2
 R sin θ ∂φ
(3.1.1)
Şeklindedir. ((EK- B)’ de gösterilmiştir). (3.1.1)’ i (2.6) denkleminde yerine yazar ve
V (θ , φ ) = Θ (θ ) Φ (φ ) ,
(3.1.2)
değişken ayrıştırma işlemini yaparak
sin 2 θ  1 ∂ 
∂ 

2
 sin θ
 + 2α 'cot θ + λ  Θ (θ ) = m ,

Θ (θ )  sin θ ∂θ 
∂θ 

ve
(3.1.3)
34
d2
Φ (φ ) = − m 2 ,
Φ (φ ) d φ 2
1
(3.1.4)
1 µ Ze 2 1
2µ R2
denklemlerini elde ederiz ( Burada κ = 2 ,
= α ' ve
Ε = λ şeklinR
2
2
κ
dedir). (3.1.4) denkleminin çözümleri
Φ (φ ) = Αe ± imφ ; m = 0, ±1, ±2,....
(3.1.5)
dir. (3.1.3) denklemini çözelim.
1
2
y (θ ) = Θ (θ ) sin θ ,
(3.1.6)
dönüşümü yaparsak

 2 1 
m − 

d
1
4


 y (θ ) = 0 ,
y (θ ) +  λ +  + 2α 'cot θ − 
2
2
dθ
4
sin




2
(3.1.7)
denklemini elde ederiz. Bu diferansiyel denklem için a = 1, p = 0, q = −α ' dersek
(EK-A),
 2 1
m − 
4
r (θ , m ) = − 
+ 2α 'cot θ ,
2
sin θ
1
α'

k (θ , m ) =  m −  cot θ −
,
1
2


m− 
2

1
α '2

,
µ (m) =  m −  −
2
2 

1
m− 
2

(3.1.8)
(3.1.9)
2
eşitliklerini elde ederiz.
(3.1.10)
35
1
1


m > 0 için;  λ +  = µ ( mmax + 1) ve m < 0 için;  λ +  = µ ( mmin + 1) eşitlikleri
4
4


vardır ( Burada mmax = mmin = n ; m = 0, ±1, ±2,...., ± n ). Bu bilgiyi kullanır ve
e2
: İnce yapı sabiti olmak üzere
κ = λ şeklinde tanımlarsak ve α =
c
µ
2
'
1 µ Z 2α 2 c 2 λ '
Εn = −
+ n ( n + 1) ,
2
2
2
1
n+ 
2

(3.1.11)
şekilindeki özdeğer denklemi elde ederiz. Ayrıca Basamak işlemcileri de
O± (θ , m ) = ±
d 
1
α'
−  m −  cot θ +
,
1
2
dθ 

m− 
2

(3.1.12)
şeklindedir. m > n iken özdeğerler olmadığından
O+ (θ , n + 1) ynn (θ ) = 0 ,
(3.1.13)
eşitliği vardır. Buradan

ynn (θ ) = Ν n ( sin θ )
1
n+ 
2
β
e
− θ
2
;
α'
1

n+ 
2

=
β
2
,
(3.1.14)
ve
Θnn (θ ) = Ν n sin n θ e
β
− θ
2
,
(3.1.15)
olarak buluruz. m = n de bulduğumuz bu çözümü ve Ladder operatörleri kullanarak
Θmn (θ ) genel çözümlerini bulalım.
−
1
ynm −1 (θ ) =  µ ( n + 1) − µ ( m )  2 O− (θ , m ) ynm (θ ) ,
(3.1.16)
36
 µ ( n + 1) − µ ( m ) 
−
1
2
2


1

n
+
2
2

2
2 


1 β 
1
2 β 

=  n +  −
−m −  + 
2

2
4 
2 
1 4 


m− 
2



−
1
2
1

2
1

= ( 2m − 1) 
 ( n + m )( n − m + 1) ( 2m − 1)2 + β 2  



1
2


1


m
ynm−1 (θ ) = ( 2m − 1) 
 O− (θ , m ) yn (θ ) ,
2
2
 ( n + m )( n − m + 1) ( 2m − 1) + β  
m=n
(3.1.17)
için
1

 1 

2 
 n +  β  n+ 1 − β θ
1

  d  1
 2  sin 2 θ e 2
n−1
yn (θ ) = ( 2n −1) 
 − −  n −  cot θ +

2
2
 1 2
( 2n)(1) ( 2n −1) + β    dθ  2 
n− 

 2  
1

2
 1
β
− n + 
θ
1


n −1
 2
2
yn (θ ) = ( −1) Ν n 
2
n
sin
θ
e

2
2
 ( 2n )(1) ( 2n − 1) + β  
 2 d  2 n −1 − βθ
sin θ dθ  sin e
m = n − 1 için
1
2


1


ynn−2 (θ ) = ( 2n − 3) 

2
2
( 2n −1)( 2) ( 2n − 3) + β  
1

 1 
n+  β 
 d  3 
 2   yn−1 θ
− −  n −  cot θ +
 n ( )
 3 2
 dθ  2 
n
−


 2  

1

2 
2
1
1
2

 

n− 2
yn (θ ) = ( −1) Νn 



2
2
2
2
( 2n)(1) ( 2n −1) + β   ( 2n −1)( 2) ( 2n − 2) + β  
× 2n ( 2n −1)( sinθ )
 1
− n+ 
 2
β
θ 
d
e 2 sin2 θ  {( 2n − 3) sin2n−2 θ e−βθ β sin2n−1 θ e−βθ }
dθ 

37
1
1

2 
2
1
1
2

 

n −2
yn (θ ) = ( −1) Νn 
 

2
2
2
2
( 2n)(1) ( 2n −1) + β   ( 2n −1)( 2) ( 2n − 2) + β  
×2n ( 2n −1)( sinθ )
 1
− n+ 
 2
β
θ 
d 
e 2 sin2 θ  sin2n−3 θ e− βθ
dθ 

2
n − m kere tekrarlarsak
1
1

2 
2
1
1
n −m

 

m
yn (θ ) = ( −1) Νn 
 .... 

2
2
2
2
( 2n)(1) ( 2n −1) + β   ( n − m)( n + m −1) ( 2m +1) + β  
× 2n ( 2n −1) ...( n + m +1)( sinθ )
y
m
n
 1
− n+ 
 2
β
θ 
d 
e 2 sin2 θ 
dθ 

n −m
sin2m+1 θ e−βθ
n−m
 1 βθ
2n ) !
(
d 
− n + 

2
2
2
(θ ) = Cn ,m
( sin θ )   e sin θ  sin 2 m+1 θ e− βθ
dθ 
( n + m )!

,
(3.1.26)
( 2n ) ! sin θ −( n +1) e β2 θ sin 2 θ d  n−m sin 2 m+1 θ e− βθ
(
)

dθ 
( n + m )!
,
(3.1.27)
ve
Θmn (θ ) = Cn ,m
çözümlerini elde ederiz. Genelleştirdiğimiz bu çözümlerde m ’nin tüm değerleri
( m = − n, − n + 1,..., 0,..., n − 1, n ) için 2n + 1 tane farklı dalga fonksiyonu vardır. Yani,
2n+1 dejenerelik vardır.
38
3.2. İki Boyutlu Hiperbolik Yüzey Üzerinde Çözüm
Bu bölümde, küresel yüzey üzerinde incelediğimiz iki boyutlu hidrojen
benzeri atomu hiperbol yüzeyi üzerine taşıyarak dinamik yapısındaki değişiklikleri
tartışacağız. Bunun için bölüm 3.1’ de
θ yerine iθ ve R yerine iR yazarak
problemi hiperbol yüzeyine taşırız.
rH = R tanh θ ,
(3.2.1)
ve
∇2 =
1
∂  2
∂ 
1
∂2
,
 R sinh θ
+
∂θ  R 2 sinh 2 θ ∂φ 2
R 2 sinh θ ∂θ 
(3.2.2)
olur. Bu dumda (2.6) özdeğer denklemini
V(θ , φ ) = Θ(θ )Φ(φ ) ,
(3.2.3)
değişken ayırma işlemi ile


d 
d 
m2
+
2
α
'coth
θ
 sinh θ Θ(θ ) = 0 ,
 sinh θ
 Θ(θ ) + λ −
dθ 
dθ 
sinh 2 θ


olarak yazarız (Burada κ =
(3.2.4)
1 2µ 1
µ ze 2 1
,
E
=
λ
ve
= α ' dır)
R 2 2 κ
2
κ
1
y (θ ) = Θ(θ ) sinh 2 θ ,
(3.2.5)
dersek (3.2.4) denklemi


 2 1
m − 


d2
1  
4
y
(
θ
)
+
λ
−
−
+
2
α
'coth
θ

 y (θ ) = 0 ,

2
dθ 2
4
sinh
θ






denklemine dönüşür. a = i , p = 0 , z = θ , q = −α ' için
(3.2.6)
39
 2 1
m − 
4
r (θ , m) = − 
+ 2α coth θ ,
2
sinh θ
1
α'

k (θ , m) = −  m −  coth θ −
,
1
2


m− 
2

1
α '2

,
µ ( m) = −  m −  −
2
2 

1
m− 
2

(3.2.7)
(3.2.8)
2
(3.2.9)
olur. m > 0 için
λn = µ (mmax + 1) ,
(3.2.12)
ve m < 0 için
λn = µ ( mmin + 1) ,
(3.2.13)
⇒ mmax = mmin = n
m = 0, ±1, ±2,..., ± n
Bu bilgiler doğrultusunda
2
µ
κ =λ' ,
(3.2.13)
olarak yazarsak enerji özdeğerini α ince yapı sabiti olmak üzere
En = −
1 µ Z 2α 2 c 2 λ '
− n(n + 1) ,
2
2
2
1
n + 
2

şeklinde buluruz. Basamak işlemcileri ise
(3.2.14)
40
O± (θ , m) = ±
d 
1
α'
+  m −  coth θ −
,
1
dθ 
2

m− 
2

(3.2.15)
şeklindedir. m > n iken özdeğerler olmadığından,
O+ (θ , n + 1) ynn (θ ) = 0 ,
(3.2.16)
eşitliğini kullanarak
y (θ ) = N sinh
n
n


− n +
1

2
θ e
−
β
2
θ
,
(3.2.17)
ve
Θnn (θ ) = N sinh − n θ e
olarak buluruz (Burada
−
β
2
θ
,
α'
1

n+ 
2

(3.2.18)
=
β
2
dır). Burada bulduğumuz çözümler sadece
m = n durumuna karşı gelen çözümdür. Çözümleri genelleştirebilmek için
−
1
ynm −1 (θ ) =  µ ( n + 1) − µ ( m )  2 O− (θ , m ) ynm (θ ) ,
(3.2.19)
eşitliğini kullanırız.
 µ ( n + 1) − µ ( m ) 
−
1
2
2


1

n
+
2
2

2


2
1 β 
1
2 β 

=  n +  −
−m −  − 
2

2
4 
2 
1 4 


m− 
2



−
1
2
1

2
1

= ( 2m − 1) 
 ( n + m )( n − m + 1) ( 2m − 1)2 − β 2  



41
1

2
1


m−1
m
⇒ yn (θ ) = i ( 2m − 1) 
 O− (θ , m ) yn (θ ) , (3.2.20)
2
2
 ( n + m )( n − m + 1) ( 2m − 1) − β  
Artık m ’ nin tüm değerleri için normalize özfonksiyonları genelleştirebiliriz.
Bunun içi (3.2.20)’ de (3.2.17)’ yi yerine yazalım.
m = n için
1

2
1


n −1
yn (θ ) = i ( 2n − 1) 

2
2
 ( 2n )(1) ( 2n − 1) − β  
1 


n+  
 1
β

d 
− n + 
− θ
1
2 β
 Ν n sinh  2  cos −1 θ e 2
× ( −1)  −  n −  coth θ − 
1 2
2

 dθ 
n−  

2 

1

2
 1
β
θ
 n+ 
1


n −1
 2
2
2
sinh
yn (θ ) = ( −1) Ν n 
i
n
θ
e
(
)

2
2
 ( 2n )(1) ( 2n − 1) − β  
×  − ( 2n − 1) sinh −( 2 n −1) θ e − βθ − β sinh −( 2 n +1) θ e− βθ 
1
2


 1
β
θ
 n+ 
1
d 


−2
 2
2 
ynn−1 (θ ) = ( −1) Νn 
i
2
n
sinh
θ
e
sinh
θ
sinh −( 2n−1) θ e−βθ

2


2
dθ 

( 2n)(1) ( 2n −1) − β  
m = n − 1 için
42
1
1

2 
2
1
1
2
2

 

n−1
yn (θ ) = ( −1) ( i ) Νn 
 
 2n ( 2n −1)
2
2
2
2
( 2n)(1) ( 2n −1) − β   ( 2n −1)( 2) ( 2n − 3) − β  
 1
 n+ 
2
× sinh
β
θ


θe 2 sinh−2 θ
d 

−( 2n − 3) sinh−2n θ coshθe−βθ − β sinh−( 2n−1) θe−βθ 

dθ

1
1

2 
2
1
1
2
2

 

n−1
yn (θ ) = ( −1) ( i ) Νn 
 
 2n ( 2n −1)
2
2
2
2
( 2n)(1) ( 2n −1) − β   ( 2n −1)( 2) ( 2n − 3) − β  
 1
 n+ 
2
× sinh
β
θ


2
θ e 2 sinh−2 θ
d
sinh−( 2n−3) θe−βθ

dθ 
Bu işlem n − m kere tekrarlanırsa
1
1

2 
2
1
1
n−m

 

m
yn (θ ) = ( −i) Νn 
 ...
 2n...( n + m+1)
2
2
2
2
( 2n)(1) ( 2n −1) − β   ( n −m)( n + m−1) ( 2m+1) − β  
 1
 n+ 
2
×sinh
y (θ ) = ( −i )
m
n
n −m
β
θ


θe2 sinh−2 θ
n−m
d
dθ 
sinh−( 2m+1) θe−βθ
n−m
 1
β
θ
2n ) !
 n+ 
(
d 
−2
 2
2 
Αn , m
sinh
θ e sinh θ  sinh −( 2m+1) θ e− βθ
dθ 
( n + m) !

, (3.2.21)
n−m
β
θ
2n ) !
(
d 
( n +1)
−2
2 
Αn , m
sinh θ e sinh θ
sinh −( 2n+1) θ e− βθ

dθ 
( n + m)!

, (3.2.22)
ve
Θ (θ ) = ( −i )
m
n
n −m
şeklindeki genel çözüm elde edilir. Ayrıca (3.1.11) ve (3.2.14) enerji özdeğerlerine
bakılacak olursa κ = 0 da (2.1.9) enerji özdeğerine dönüşürler. O halde κ = 0 ,
κ = +1 ve κ = −1 için enerji özdeğerini
Εn = −
1 µ Z 2α 2c 2 2
+ κ n ( n + 1) ,
2
2
µ
1
n+ 
2

şeklinde genelleştirebiliriz.
(3.2.23)
43
BÖLÜM 4. MAGNETİK ALAN İÇİNDE HİDROJEN BENZERİ ATOM
Bu bölümde elektromagnetik alan içindeki yüklü parçacıkları ik boyutlu
düzlem geometriyi göz önüne alarak inceleyeceğiz. Elektromagnetik alan söz konusu
olduğunda ayar seçimini kullanmalıyız. Çünkü ayar seçimi elektromagnetik alanın
doğasında ortaya çıkan bir olgudur. Biz de düzleme dik ve sabit bir Β = Βk̂
magnetik alanı içinde iki parçacık problemini yani hidrojen benzeri atom modelini
tartışacağız. Bunun için ilk olarak simetrik ayara göre tanımlanmış
1
Α = Β − yiˆ + xjˆ ,
2
(
)
(4.1)
vektör potansiyelini göz önüne alarak sistemin iki boyutlu özdeğer denklemini
yazalım.
2
1  q 
ˆ
Η=
Ρ + Α  + qφ ,
2m 
c 
m = = e = 1 , q = −1 ve φ =
(4.2)
z
olacak şekilde
r
ˆ = − 1 ∇ 2 + Β Lˆ + 1 Β2 ( x 2 + y 2 ) − z ,
Η
z
2
2c
8
r
(4.3)
elde ederiz. Özdeğer denklemi polar koordinatlarda yeniden yazarsak
1 2 2 z
 1 2 Β ˆ
 − ∇ r + Lz + 2 Β r −  Ψ ( r , φ ) = ΕΨ ( r , φ ) ,
2c
8c
r
 2
(4.4)
şeklinde gelir. Burada
Lˆz Ψ ( r , φ ) = mΨ ( r , φ ) ; m = 0, ±1, ±2 ± 3,....
şeklindedir çünkü sıra değiştirme bağıntısına uyar. (4.4) deki laplasyeni polar
koordinatlarda yeniden yazar ve
44
Ψ ( r,φ ) =
R ( r ) Φ (φ )
2π
r
,
(4.5)
değişken ayrıştırma işlemini ile düzenleyerek radyal denklemi
 1 d 2 1  2 1  1 Β2 r 2 z 
Βm 

+  m −  2 + 2 −  R (r ) =  Ε −
−
 R (r ) ,
2
r
2
4r
8c
2c 

 2 dr
(4.6)
Β
1
ve ωL = ωc olarak yazar ve
c
2
ρ = ωL r
olarak elde ederiz. Burada ωc =
şeklinde boyutsuz değişken tanımlayarak
 d2  2 1  1

2z 
2Ε 
2
 2 −m −  2 − ρ +
 R ( ρ ) =  2m −
 R(ρ ) ,
4 ρ
ωL 
ωL ρ 
 d ρ 

(4.7)
denklemini elde ederiz. Şimdi (4.18) denkleminin ρ → ∞ ve ρ → 0 asimptotik
çözümlerini inceleyelim.
ρ → ∞ limitinde (4.7) denkleminin çözümü
R ( ρ ) ∼ e− ρ
2
2
,
(4.8)
ve
ρ → 0 limitinde
R ( ρ ) ∼ ρ ± ( m ±1 2) ,
(4.9)
şeklindedir. ρ → 0 limitinde R ( ρ ) ’ nun sonlu olması m ’ nin pozitif olmasıyla
mümkündür. Bu durumda çözüm
R(ρ ) = ρ
1

ρ2
 m+  −
2

2
e
∑a ρ
v+ s
v
,
(4.10)
v
olur. Artık R ( ρ ) ’ nun kendisini ve türevlerini (4.7) denkleminde yerine yazarak ara
bölge çözümlerini inceleyebiliriz.
45
2Ε
ωL
− 2m = ε ,
(4.11)
olarak tanımlar ve gerekli düzenlemeleri yaparsak
2s m a0 ρ s−2 + ( s +1) ( 2 m +1) a1ρ s−1 +
2z
ωL
a0 ρ s−1
∞ 
2z  v+s−1

+ ∑ ( v + s +1) ( 2 m + v + s +1) av+1 + 2 ( v + m + s ) − ε  av−1 +
av  ρ
=0
ω
v=1 

L


eşitliğini elde ederiz. a0 ≠ 0 olmak üzere
2s m a0 = 0 ⇒ s = 0 ,
(4.12)
olur. Böylece
a1 =
−1
2z
a ,
( 2 m + 1) ωL 0
(4.13)
ve
av +1 =
 2 z

1
av +  2 ( m + v ) − ε  av −1  ; v ≥ 1 ,
−
( v + 1) ( 2 m + v + 1)  ωL

(4.14)
şeklindeki katsayılar arasındaki ilişkiyi veren bağıntılar elde edilir.
av ve av +1 ’ ler sıfır seçilirse,
ε = 2( m + v)
ε=
2Ε
ωL
− 2m
Ε = ωL ( m + m + v ) ,
elde edilir. Şimdi tekrarlama bağıntısında v → v − 1 yazarsak,
(4.15)
46
 2 z

1
av −1 +  2 ( m + v − 1) − ε  av − 2  ; v ≥ 2 ,
−
v ( 2 m + v )  ωL

av =
(4.16)
olur.
av = 0 ve ε = 2 ( m + v )
⇒
2z
ωL
av −1 =  2 ( m + v − 1) − 2 ( m + v )  av − 2
ωL
av −1 = −
z
av − 2 ; v ≥ 2 ,
(4.17)
v = 2 için;
ωL
a1 = −
a1 =
z
a0
1
2z
a olduğunu görmüştük. Bu durumda
( 2 m + 1) ωL 0
ωL =
1
z2
,
1
m+
2
(4.18)
olur. Enerji özfonksiyon ve enerji özdeğerleri ise
R(ρ) = ρ
m+
R(ρ ) = ρ
m+
1
ρ2
−
2
2
e
(a ρ
0
1
ρ2
−
2
2
e
ρ = ωL r
1
0
+ a1 ρ 1 ) ; a0 = 1

ωL 
ρ
1 −

z


47
R (r ) =
(
ωL r
R (r ) =
(
)
1
ωL
1
)
m+
m+
1
2
1
2






z2
z
exp  −
r 2  1 −
r
 ( 2 m + 1) 
1



m+

2 

 m
z2
r2  r
exp  −
 ( 2 m + 1) 






z
r
1 −
1


m+

2 



 m

eimφ
z2
z
2
⇒ Ψ ( r,φ ) ∼
exp  −
r  r 1 −
r ,
 ( 2 m + 1) 
1
2π


 
m+

2 
(4.19)
ve
Ε=
2z 2
( m + m + 2) ,
( 2 m + 1)
(4.20)
0lur.
v = 3 için;
Tekrarlama bağıntısında v → v − 2 yazalım.
av −1 =
 2 z

1
av − 2 +  2 ( m + v − 2 ) − ε  av −3  ; v ≥ 3 ,
−
( v − 1) ( 2 m + v − 1)  ωL

(4.21)
ε = 2( m + v)
a2 =
 2 z
1

a1 − 4a0  ,
−
( 2 ) ( 2 m + 2 )  ωL

a2 =
ve
ωL
z
a1
(4.22)
48
a0 = −
( 2 m + 1)
ωL
2
z
a1
ise
ωL =
2
z2
,
4 m +3
(4.23)
olur. Enerji özdeğeri ve enerji özfonksiyonu ise
Ε=
z2
( m + m + 3) ,
( 4 m + 3)
(4.24)
ve
 ωL

eimφ m
Ψ ( r,φ ) ∼
r exp  − 2 r 2   a0 + a1 ωL1 r + a2ωL2 r 2 
2π
 2

a0 = 1
⇒ a1 = −
Ψ ( r,φ ) ∼
ωL
1
z
ve a2 =
ωL
1
z2

  ωL
ωL ωL 
eimφ m
z2
r exp  −
r 2  1 − 1 r + 1 2 2 r 2 
 2 ( 4 m + 3)  
z
z
2π






eimφ m
z2
2z
2z 2
2
Ψ ( r,φ ) ∼
r exp  −
r  1 −
r+
r2  ,
 2 ( 4 m + 3)   2 m + 1 ( 2 m +1)( 4 m + 3) 
2π



(4.25)
olur. Bu metotla enerji özdeğerleri pozitif çıkmaktadır. Β = 0 yani magnetik alanı
kaldırırsak enerji özdeğerimiz
Εnm (Β = 0) = −
Z2
1

2 n + m − 
2

2
olur. Çok küçük Β söz konusu olduğunda bütün enerji özdeğerleri negatif olur.
49
SONUÇ
Bu çalışmada analitik olarak çözümü çok iyi bilinen hidrojen benzeri atom
modeli, kuantum mekaniksel dinamik sistem olarak düz, kapalı eğriliğe ve açık
eğriliğe sahip iki boyutlu yüzeylerde incelendi.
Günümüz kozmolojisinde, yüksek enerji fiziğinde ve nano malzeme
yapımında oldukça önemli bir yere sahip olan iki boyutlu kuantum temel dinamiğini
oluşturan hidrojen benzeri atom modeli, hem matematiksel olarak hem de fiziksel
olarak orijinal bir yapıya sahiptir. Matematiksel olarak analiz bize karmaşık yapıda
olan benzer sistemleri anlamamıza olanak sağlayacaktır. Bu çalışmada özellikle,
farklı yöntemler kullanılarak çözümlerin yegane olduğu bir daha gösterilmiştir.
Öncelikle düz uzayda iki boyutlu hidrojen benzeri atomun dinamiği göz önüne
alınmıştır. Hamilton işlemcisinin ürettiği özdeğer denklemi, polar koordinatlar
kullanılarak çarpanlarına ayırma tekniği ile analitik olarak çözülmüştür. Sonra sadece
polar koordinatlarda değil, tıpkı üç boyutlu hidrojen benzeri atom da olduğu gibi
parabolik koordinatlar kullanılarak ta Hamilton işlemcisinden elde edilen özdeğer
denklemi değişkenlerine ayırma yöntemi ile çözümlere olanak sağlamıştır. Her iki
koordinat sisteminde özdeğer denklemimizi çözdüğümüzde aynı enerji özdeğerlerini
elde ederiz. Her iki çözüm birbirleri ile tutarlıdır. Fakat düz uzaydaki hidrojen
benzeri atomun enerji özfonksiyonları polar koordinatlarda elde ettiğimiz enerji
özfonksiyonlarından farklıdır. Polar koordinatlarda enerji özdeğerlerini veren
özfonksiyonumuz associated Laguerre polinomları ile ifade edilirken parabolik
koordinatlarda elde ettiğimiz enerji özfonksiyonumuz Hermite polinomlarından
oluşmaktadır. Grup temsilleri ve işlemcileri çarpanlarına ayırma yöntemi kullanılarak
her iki çözümün özfonksiyonlarının özdeş olduğunu gösterebiliriz [Duru I. H. ,1982].
Yine düz yüzeyde kuantum dinamiğimizin Hamilton işlemcisini çarpanlarına
ayırarak elde ettiğimiz özdeğer denkleminin çözümleri yukarda bahsettiğimiz iki ayrı
koordinat sistemi ile elde ettiğimiz çözümlerle büyük bir uyum içerisindedir.
Düzlemdeki iki boyutlu hidrojen benzeri atom kuantum sistemimiz parçacıklar
arasında bir bağlılık içerdiği için enerjimiz her zaman negatiftir. Fakat iki boyutlu
hidrojen benzeri atomumuzun bulunduğu düzleme dik doğrultuda sabit bir magnetik
50
alan ( Β = Βk̂ , Β = sabit ) ile birlikte göz önüne aldığımızda enerji özdeğerleri pozitif
olarak bulunmuştur. Bulduğumuz çözümlerde Β = 0 ve Β yeterince küçük olduğu
durumlarda enerji özdeğerimiz negatiftir [Taut M. , 1995]. Alan etkileşimi ile ilgili
matematiksel olarak geliştirdiğimiz yöntemler fiziksel yapının detayları ile ilgili
yeteri kadar bilgi vermemektedir. Gelecekte bu problem için daha fazla bilgi içeren
bir analitik çözüme ihtiyaç vardır.
Aralarında merkezcil etkiye sahip olan sistemin ürettiği negatif enerji
kuantum sisteminin geometrisine eğrisellik kattığımızda nasıl değişimler göstereceği
küçükler dünyasında üreteceğimiz teknolojide önemli bir yer oluşturur. 3. bölümde
hidrojen benzeri atomu düz olmayan iki boyutlu kapalı ve açık eğriselliğe sahip
yüzey üzerinde kuantum mekaniksel olarak inceledik. Bağımlı bir sistem oluşturan
iki cisimli hidrojen benzeri atom modelimizin enerji özdeğeri
Εn = −
1 µ Z 2α 2 c 2 2
+ κ n ( n + 1)
2
µ
2
1
n+ 
2

olarak elde edilmiştir. Bu sonuçtan anlaşılacağı gibi ilk terim eğriselliğin olmadığı
yani düz yüzeydeki enerji özdeğerini vermektedir. Eğrisellik katsayısı +1 olduğu
zaman enerji özdeğerimize pozitif bir terim gelmektedir. Eğrisellik katsayısı −1
olduğunda ise geometrinin getirdiği terim negatif olmaktadır. İki boyutlu hidrojen
benzeri atomunun üç durumda da taban durum enerjisi aynıdır.
Matematiksel olarak önemli bir yapıya sahip olan projection yöntemini alt
başlık 2.3 te detaylı olarak inceledik. Özdeğer denklemimizi momentum uzayına
taşıyarak özdeğerin diferansiyel denklemini integral denklemine dönüştürmüş olduk.
Sonra bu denklemin özdeğer ve özfonksiyonlarını stereographic projection ile
hesapladık. Daha sonra diğer bulduğumuz sonuçlarla büyük bir uyum içinde
olduğunu gördük.
51
KAYNAKLAR
Schiff Leonard I. , Quantum Mechanics, 1949
Gottfried Kurt and Yan Tung-Mow, Quantum Mechanics Fundamentals, Springer,
2004
Brannan Davıd A. and Esplen Matthew J. , and Gray Jeremy J. ,Gambridge, 2000
Bayın S. , Mathematical Methods In Science and Engineering A John Wiley & Sons,
Inc., Publication, 2006
Arfken , G.B. , and H. J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, Academic
Press, 2005
Bell W. W. , Special Function for Sciencist and Engineers, Dover Publications, 2004
Parfitt D. G. , and M. E. Portnoi, The two-dimensional hydrogen atom revisited,
Journel of Mathematical Physics, 30, 4681-4691, 2002
Duru, I. H. , and H. Kleinert, Quantum Mechanics of H-Atom from Path Integrals,
Fortschritte der Physic, 30, 401-435, 1982
Bander, M. , and C. Itzykson, Group Theory and the Hydrogen Atom (I), 38, 330-
345, 1966
Higgs, P. W. , Dynamical symmetries in a spherical geometry I, J. Pyhs. A: Math.
Gen., Vol. 12, No. 3, 1979
Leemon, H. I. , Dynamical symmetries in a spherical geometry II, J. Pyhs. A: Math.
Gen., Vol. 12, No. 4, 1979
Infeld, L. , On a New Treatment of Some Eigenvalue Problems, Physical Review,
Vol. 59, 737-747, 1941
Taut, M. , Two-dimensional hydrogen in a magnetic field:analytical solutions, J.
Pyhs. A: Math. Gen., 28, 2081-2085, 1995
52
EK-A. FAKTORİZASYON YÖNTEMİ
d2 m
y z + λ + r ( z , m )} yλml ( z ) = 0 ,
2 λl ( ) {
dz
(Ek.A.1)
(Ek.A.1) denklemini operatör biçiminde yazabiliriz.
£( z , m) yλml ( z ) = −λl yλml ( z ) ,
(Ek.A.2)
d2
£( z , m) = ± 2 + r ( z , m ) ,
dz
(Ek.A.3)
Burada
dir.Şimdi
£( z , m) = O+ ( z , m ) O− ( z , m ) ,
(Ek.B.4)
olacak şekilde
O± ( z , m ) = ±
d
− k ( z, m ) ,
dz
(Ek.A.5)
gibi iki operatör tanımlayalım. Eğer,
O+ ( z , m ) O− ( z , m ) yλml ( z ) = λ − µ ( m )  yλml ( z ) ,
(Ek.A.6)
O− ( z , m + 1) O+ ( z , m + 1) yλml ( z ) = λ − µ ( m + 1)  yλml ( z ) ,
(Ek.A.7)
ya da
denklemlerinden biri (Ek.A.1) denkleminin yerine geçerse, (Ek.A.1) denklemini
foktorize ettiğimizi söyleyebiliriz.
53
Denklem (Ek.A.6) ve denklem (Ek.A.7)’ de O+ ( z , m ) ve O− ( z , m )
tanımlamalarını yerine yazarak, k ( z , m ) ve µ ( m ) ’ i aynı anda sağlayan iki denklem
elde edriz.
d
 d
 m
m
 − k ( z , m )  − − k ( z , m )  yλl ( z ) = λ − µ ( m )  yλl ( z )
dz
dz



m

d
  dyλl ( z )
m
m
−
k
z
,
m
−
−
k
z
,
m
y
z
(
)
(
)
(
)

 = λ − µ ( m )  yλl ( z )
λ


l
dz
 dz


d2 m
d

− 2 yλl ( z ) −  k ( z , m )  yλml ( z ) + k 2 ( z , m ) yλml ( z ) = λ − µ ( m )  yλml ( z )
dz
 dz

(Ek.A.1)’ den,
d2 m
y z = − {λ − r ( z , m )} yλml ( z )
2 λl ( )
dz
olduğunu biliyoruz.
∴ −
d
k ( z, m ) + k 2 ( z, m ) = −r ( z, m ) − µ ( m ) ,
dz
(Ek.A.8)
Benzer şekilde
−
d
k ( z , m + 1) + k 2 ( z , m + 1) = − r ( z , m + 1) − µ ( m + 1) ,
dz
(Ek.A.9)
54
Ladder Operatörler ve Faktorizasyon Teorisi
Şimdi faktorizasyon yönteminin temel düşüncesini beş ana teoremle
özetleyeceğiz. İlk
Teorem, verilen yλml ( z ) ’ nin farklı m ’ ler ile nasıl çözümler ürettiğini söyler.
Teorem I : Eğer yλml ( z ) denklem (Ek.A.2)’ nin λ ve m özdeğerlerine karşı gelen
bir çözümü ise,
O+ ( z , m + 1) yλml ( z ) = yλml +1 ( z ) ,
(Ek.A.10)
O− ( z , m ) yλml ( z ) = yλml −1 ( z ) ,
(Ek.A.11)
ve
aynı λ ’ lar fakat farklı m ’ lere karşı gelen çözümleri gösterir.
Teorm II : Eğer y1 ( z ) ve y2 ( z )
y1∗ ( z ) y2 ( z ) = y1∗ ( z ) y2 ( z ) ,
b
(Ek.A.12)
a
sınır koşulunu sağlayan iki çözüm ise
b
b
a
a
∗
∗
∗
∫ dzy1 ( z ) O− ( z, m ) y2 ( z ) = ∫ dzy2 ( z ) O+ ( z, m ) y1 ( z ) ,
(Ek.A.13)
O+ ve O− Hermitseldir deriz, ki y1 ( z ) ve y2 ( z ) ’ ye göre O− = O+ dır.Not etmek
gerekir ki, faktorizasyon yöntemi için gereken (Ek.A.12) sınır koşulu,uç noktalarda
çözümlerin kayıp olduğu durum gibi periyodik sınır koşulları içerir.
Teorem III : Eğer
b
∫ dz  yλ ( z )
m
l
a
2
,
(Ek.A.14)
55
varsa ve µ ( m ) m ’ nin artan bir fonksiyonu ise, ( m > 0 )
b
∫ dz O ( z, m + 1) yλ ( z )
+
m
2
l
,
(Ek.A.15)
a
vardır. Eğer µ ( m ) m ’ lerin azalan bir fonksiyonu ise, ( m > 0 )
b
∫ dz O ( z, m − 1) yλ ( z )
−
m
l
2
,
(Ek.A.16)
a
vardır. O+ ( z , m + 1) yλml ( z ) ve O− ( z , m − 1) yλml ( z ) , yλml ( z ) ile aynı sınır koşulunu
sağlar.
Teorem IV : Eğer m > 0 ve µ ( m ) artan bir fonksiyon ise λ , λ = µ ( l + 1) olarak
verilir ve m için mmax = l maksimum değeri vardır. Eğer m > 0 ve µ ( m ) azalan bir
fonksiyon ise λ = µ ( l ' ) ve m için mmin = l ' minimum değeri vardır.
Teorem V : Teorem III geçerli iken,sadece kare integrallenebilirlik değil aynı
zamanda özfonksiyonların normallenebilirliğini de garantilemek için Ladder
operatörleri düzenleyebiliriz. µ ( m ) m ’ nin artan bir fonksiyonu iken, normallenmiş
Ladder operatörleri yeniden tanımlayabiliriz.
−
1
£ ± ( z , l , m ) =  µ ( l + 1) − µ ( m )  2 O± ( z , m ) ,
(Ek.A.17)
µ ( m ) azalan bir fonksiyon ise,
£ ± ( z , l , m ) =  µ ( l ) − µ ( m ) 
−
1
2
O± ( z , m ) ,
(Ek.A.19)
Faktorizasyon Yöntemi ile Çözümler
Şimdi bir denklemin özdeğer ve özfonksiyonlarını, onu bir kez faktorize
ederek elde edebiliriz, ki verilen bir r ( z , m ) ’ ye karşı gelen k ( z , m ) ve µ ( m )
56
fonksiyonlarını daha önceden biliyoruz. m > 0 için, µ ( m ) ’nin artan ya da azalan bir
fonksiyon olup olmamasına bağlı iki durum vardır.
Durum I( m > 0 ve µ ( m ) artan bir fonksiyondur.) :
Bu durumda, Teorem IV gereği m için bir maksimum vardır.
m = 0,1, 2,...., l ,
(Ek.A.20)
ve λl özdeğerleri
λ = λl = µ ( l + 1) ,
(Ek.A.21)
gibi verilir.
m > l iken özdeğerler olmadığından,
O+ ( z , l + 1) yll ( z ) ≡ 0 ,
(Ek.A.22)
yazabiliriz. Böylece
d
 l
 − k ( z , l + 1)  yl ( z ) = 0 ,
 dz

(Ek.A.23)
denklemini elde ederiz.
yλl l ( z ) = yll ( z ) yazdığımızı belirtelim.
dyll ( z ) z
= k ( z , l + 1) dz ,
yll ( z ) ∫
(Ek.A.24)
denklem (E.A.24)’ ün integralini alalım.
z
ln yll ( z ) = ∫ k ( z , l + 1) dz ,
ya da
(Ek.A.25)
57
z

yll ( z ) = C exp  ∫ k ( z , l + 1) dz  ,


(Ek.A.26)
C normalizasyon koşulundan elde edeceğimiz bir sabit.
b
l
∫ dz  yl ( z ) = 1 ,
2
(Ek.A.27)
a
Verilen bir l için, ylm =l ( z ) daha önce bulundu, m = −l , −l + 1,...., −2, −1, 0 ile
diğer tüm normalize olmuş özfonksiyonlar
−
1
ylm −1 ( z ) =  µ ( l + 1) − µ ( m )  2 O− ( z , m ) ylm ( z )
= £ − ( z , l , m ) ylm ( z ) ,
(Ek.A.28)
gibi £ − ( z , l , m ) operatörünün tekrar eden uygulaması tarafından inşa edilir.
Durum II ( m > o ve µ ( m ) azalan bir fonksiyon) :
Bu durumda, Teorem IV gereği m ’ nin minimum değeri vardır.
m == l , l + 1, l + 2,.... ,
(Ek.A.29)
Bu durum için
O− ( z , m ) ylm ( z ) = 0
 d
 l
− − k ( z , l )  yl ( z ) = 0 ,
 dz

(Ek.A.30)
yazabiliriz. Böylece
 z

ylm =l ( z ) = C exp − ∫ k ( z , l ) dz  ,


olur. C yine normalizasyon koşulundan elde edilir.
(Ek.A.31)
58
b
∫ dz  y ( z )
l
l
2
= 1.
a
şimdi m = l , l + 1, l + 2,...... için diğer tüm normalize özfonksiyonlar
−
1
ylm +1 ( z ) =  µ ( l ) − µ ( m + 1)  2 O+ ( z , m + 1) ylm ( z )
= £ + ( z , l , m ) ylm ( z )
formülünü tekrar uygulayarak yll ( z ) ’ den elde edilir. m < 0 için durumlar benzer
şekilde ele alınır.
Faktorizasyon Yöntemi ve Kategorileri
İlk kısımda gördüğümüz gibi faktorizasyonu tanımlamak için
d
k ( z , m + 1) + k 2 ( z , m + 1) = − r ( z , m ) − µ ( m + 1) ,
dz
−
d
k ( z , m ) + k 2 ( z, m ) = −r ( z, m ) − µ ( m ) ,
dz
(Ek.A.32)
(Ek.A.33)
Denklemini sağlayan k ( z , m ) ve fonksiyonlarını belirlemeye ihtiyacımız var.
Denklem (Ek.A.33)’ den (Ek.A.32)’yi çıkartırsak
−k 2 ( z, m ) + k 2 ( z, m + 1) +
d
d
k ( z, m ) + k ( z, m + 1) = µ ( m ) − µ ( m + 1) ,
dz
dz
(Ek.A.34)
elde edilir. Bu k ( z , m ) ve µ ( m ) ’ nin sağlaması gereken denklemdir. Bu yeterli
koşuldur çünkü, k ( z , m ) ve µ ( m ) (Ek.A.32) ya da (Ek.A.33)’ te bir tek r ( z , m )
verir, bu denklemi sağlar. Şimdi (Ek.A.34) denklemini sağlayan k ( z , m ) ve µ ( m ) ’
nin tüm olası formlarını katekorize edeceğiz.
59
k ( z , m ) İçin Olası Formlar :
i) m ’ nin pozitif kuvvetleri :
ilk olarak
k ( z , m ) = k0 ( z ) + mk1 ( z ) ,
(Ek.A.35)
şeklinde verilen m ’ ye bağlı k ( z , m ) ’ yi göz önüne alalım.
µ ( m ) ’ yi bulmak için aşağıdaki şekilde m ’ nin peşpeşe gelen değerleri için
(Ek.A.35) denklemini yazalım.( k ( z , m ) ’ nin z ’ ye bağlılığını göz önüne almıyoruz.)
k 2 ( m ) − k 2 ( m − 1) + k ' ( m ) + k ' ( m − 1) = µ ( m − 1) − µ ( m )
k 2 ( m − 1) − k 2 ( m − 2 ) + k ' ( m − 1) + k ' ( m − 2 ) = µ ( m − 2 ) − µ ( m − 1)
k 2 ( m − 2 ) − k 2 ( m − 3) + k ' ( m − 2 ) + k ' ( m − 3) = µ ( m − 3) − µ ( m − 2 )
k 2 (1) − k 2 ( 2 ) + k ' (1) + k ' ( 2 ) = µ ( 2 ) − µ (1) ,
(Ek.A.36)
bu denklemlerin toplamı bize
 m ' m −1 ' 
k ( m ) − k ( 0 ) + 2mk + k  ∑ m + ∑ m  = µ ( 0 ) − µ ( m ) ,
 m' =1

m' == 0
2
2
'
0
'
1
(Ek.A.37)
denklemini verir.
k ' ( z , m ) = k0' ( z ) + mk1' ( z )
eşitliğini kullanmıştık. Ayrıca
m −1
m
∑m + ∑m =
'
m' =1
'
m' = 0
m ( m + 1) m ( m − 1)
+
= m2 ,
2
2
eşitliğini kullanarak ve denklem (Ek.A.35)’ den
(Ek.A.37)
60
k 2 ( m ) − k 2 ( 0 ) = [ k0 + mk1 ] − k02 ,
2
(Ek.A.38)
yazabiliriz. Son olarak
µ ( m ) − µ ( 0 ) = − m 2  k12 + k1'  − 2m ( k0 k1 + k0' ) ,
(Ek.A.39)
elde ederiz.
µ ( m ) sadece m ’ nin bir fonksiyonu olduğundan bu sadece m ’ nin
katsayıları sabitken sağlanabilir.
k12 + k1' = sbt = −a 2 ,
(Ek.A.40)
k0 k1 + k0' = sbt = −a 2 c , a ≠ 0 ise ,
(Ek.A.41)
k0 k1 + k0' = sbt = b , a = 0 ise ,
(Ek.A.42)
ve
Bu µ ( m ) ’ yi aşağıdaki gibi belirler ;
a ≠ 0 için, µ ( m ) = µ ( 0 ) + a 2 ( m 2 + 2mc ) ,
(Ek.A.43)
a = 0 için, µ ( m ) = µ ( 0 ) − 2mb ,
(Ek.A.44)
ve
Bu denklemlerde genelliği bozmaksızın µ ( 0 ) = 0 alabiliriz. Bu sonuçları
kullanarak şimdi aşağıdaki kategorileri elde edeceğiz.
A) a ≠ 0 için ;
k ( z , m ) = a ( c + m ) cot a ( z + p ) +
d
,
sin a ( z + p )
µ ( 0) = a2c2 ⇒ µ ( m ) = a2 ( c + m ) ,
2
(Ek.A.45)
(Ek.A.46)
61
ve
1

− a 2 ( c + m )( c + m + 1) − d 2 − 2ad  c + m +  cos a ( z + p )
2

r ( z, m ) =
,
2
sin a ( z + p )
(Ek.A.48)
B) a ≠ 0 ve k1' = 0 ise;
k ( z , m ) = − a ' ( m + c ) + de a z ,
'
(Ek.A.49)
µ ( 0) = − ( a' ) c2 ⇒ µ ( m) = − ( a' ) ( m + c ) ,
(Ek.A.50)
'
1 '

r ( z , m ) = − d 2 e2 a z + 2a '  m + c +  e a z ,
2

(Ek.A.51)
2
2
2
C) a = 0 ise ;
k ( z, m ) =
µ ( 0) =
b
c m
z+ +
,
2
z z
(Ek.A.52)
b
b
⇒ µ ( m ) = − 2mb ,
2
2
r ( z, m ) = −
(Ek.A.53)
( c + m )( c + m + 1) − b2 z 2 + b
z2
4
(m − c) ,
(Ek.A.54)
D) k1 = 0 ise ;
k ( z , m ) = bz + d ,
(Ek.A.56)
Bu durumda O± operatörleri m ’den bağımsızdır.
µ ( m ) = µ ( 0 ) − 2mb ; µ ( 0 ) = 0 ⇒ µ ( m ) = −2mb ,
(Ek.A.57)
r ( z , m ) = − ( bz + d ) + b (1 + 2m ) ,
(Ek.A.58)
2
62
m ’ nin negatif kuvvetleri
k ( z, m ) =
k −1 ( z )
+ k0 ( z ) + mk1 ( z )
m
k 2 ( m ) − k 2 ( m − 1) + k ' ( m ) + k ' ( m − 1) = µ ( m − 1) − µ ( m )
k 2 ( m − 1) − k 2 ( m − 2 ) + k ' ( m − 1) + k ' ( m − 2 ) = µ ( m − 2 ) − µ ( m − 1)
k 2 ( m − 2 ) − k 2 ( m − 3) + k ' ( m − 2 ) + k ' ( m − 3) = µ ( m − 3) − µ ( m − 2 )
k 2 ( 2 ) − k 2 (1) + k ' ( 2 ) + k ' (1) = µ (1) − µ ( 2 )
taraf tarafa toplarsak ve
k ( z, m ) =
k −1 ( z )
+ k0 ( z ) + mk1 ( z )
m
eşitliğini kullanarak
k 2 ( m ) − k 2 (1) + k ' ( m ) + k ' (1) + 2 {k ' ( m − 1) − k ' ( m − 2 ) + ..... + k ' ( 2 )} = µ (1) − µ ( m )
k ' (m) =
k−' 1
+ k0' + mk1'
m
k ' (1) = k−' 1 + k0' + k1'
k−' 1
k ( m − 1) =
+ k0' + ( m − 1) k1'
m −1
'
k ' ( m − 2) =
k−' 1
+ k0' + ( m − 2 ) k1'
m−2
63
k ' ( 2) =
k−' 1
+ k0' + 2k1'
2
m
m
1
+ ( m − 1) k0' + k1' ∑ m'
m' = 2 m
m' = 2
'
kToplam
= k−' 1 ∑
1
benzer şekilde
m −1
m −1
1
'
'
'
+
m
−
1
k
+
k
(
)
0
1∑ m
'
'
'
m
m =1
m =1
'
kToplam
= k−' 1 ∑
2
m
m
 m −1 1
 m −1

1
'
⇒ kToplam
= ( 2m − 2 ) k0' + k−' 1  ∑ ' + ∑ '  + k1'  ∑ m' + ∑ m' 
 m' =1 m m' = 2 m 
 m' =1
m' = 2

m −1
m
m2 =1
m' = 2
∑ m' + ∑ m' =
( m − 1) m + ( m + 1) m − 1 = m2 − 1
2
2
k−1 = q ≠ 0 olacak şekilde bir sabit ise k1' = 0 ’ dır.
'
∴ kToplam
= ( 2m − 2 ) k0' + ( m 2 − 1) k1'
⇒ k 2 ( m ) − k 2 (1) + ( 2m − 2 ) k0' + ( m 2 − 1) k1' = µ (1) − µ ( m )
burada
2
2
k

k ( m ) − k (1) =  −1 + k0 + mk1  − [ k−1 + k0 + k1 ]
m

2
=
2
k−21 2
2
+ k0 + m2k12 − k−21 − k02 − k12 + k−1k0 + 2k−1k1 + 2mk0k1 − 2k−1k0 − 2k−1k1 − 2k0k1
2
m
m
=
⇒
k−21
2
+ m 2 k12 + k1k0 + 2mk0 k1 − k−21 − k12 − 2k−1k0 − 2k0 k1
2
m
m
k−21
2
+ m 2 k12 + k−1k0 + 2mk0 k1 − k−21 − k12 − 2k−1k0 − 2k0 k1 + ( 2m − 2 ) k0' + ( m 2 − 1) k1'
2
m
m
64
= µ (1) − µ ( m )
k−21 2
⇒ 2 + k−1k0 + m 2 ( k12 + k1' ) + m ( 2k0 k1 + 2k0' ) −  k−21 + 2k−1k0 + ( k12 + k1' ) + ( 2k0 k1 + 2k0' ) 
m m
= µ (1) − µ ( m )
dikkat edilirse
k−21 + 2k−1k0 + ( k12 + k1' ) + ( 2k0 k1 + 2k0' )
terimi µ (1) ’ e karşı gelir. Yani
µ (1) = −  k−21 + 2k−1k0 + ( k12 + k1' ) + ( 2k0 k1 + 2k0' ) 
k−21 2
µ ( m ) = 2 + k−1k0 + m 2 ( k12 + k1' ) + m ( 2k0 k1 + 2k0' )
m m
k−1 = q
k0 = 0
k12 + k1' = −a 2
Bu durumda a ≠ 0 ve a = 0 ’ da iki kategori daha karşımıza çıkar,
E) a ≠ 0 ise;
k1 = a cot a ( z + p ) , k0 = 0 , k−1 = q
q2
µ (m) = a m − 2 ,
m
2
2
k ( z , m ) = am cot a ( z + p ) +
(Ek.A.59)
q
,
m
(Ek.A.60)
65
r ( z, m ) = −
m ( m + 1) a 2
− 2aq cot a ( z + p ) ,
sin 2 a ( z + p )
(Ek.A.61)
F) a = 0 ise;
k1 =
1
, k0 = 0 , k−1 = q
z
q2
µ (m) = − 2 ,
m
k ( z, m ) =
q m
+
,
m z
r ( z, m ) = −
2q m ( m + 1)
−
,
z
z2
(Ek.A.62)
(Ek.A.63)
(Ek.A.64)
66
Ek- B. Küre Yüzeyi Üzerinde Metrik ve Laplasyan
Şekil Ek.B.1
Şekil Ek.B.1’ den görüleceği gibi
67
r = R sin θ ve r + dr = R sin (θ + dθ )
eşitlikleri vardır. Buradan
dr = R {sin (θ + dθ ) − sin θ }
= R {sin θ cos dθ + cos θ sin dθ − sin θ }
= R {− sin (1 − cos dθ ) + cos θ sin dθ }
2
 1

dr
 dθ 
= R − sin θ 
+
cos
θ
θ
d
(
)
 ; dθ =

R
 2 
 2

2
 1
 dr 
 dr  
⇒ dr = R − sin θ   + cos θ   
R
 R  
 2
2
 1
 dr 
 dr  
− sin θ   + cos θ   
R
 R  
 2
=
dr
dr
R
2
 1
 dr 
 dr  
sin
−
θ

  + cos θ   
R
 R  
 2
lim 
dr = cos θ
dr
dr
→0
R
R
⇒ dr = cos θ dr
her iki tarafın integralini alırsak
r = r cos θ
R sin θ = r cos θ
⇒ r = R tan θ ,
olarak bulunur.
(Ek.B.1)
68
Şekil Ek.B.2
Şekil Ek.B.1’ de görüleceği gibi
ds 2 = R 2 dθ 2 + R 2 sin 2 θ dφ 2 ,
(Ek.B.2)
şeklindedir.
ds 2 = g µ v dx µ dy v ,
(Ek.B.3)
ds 2 = gθθ dθ 2 + gθφ dθ dφ + gφθ dφ dθ + gφφ dφ 2
gθθ = R 2
, gθφ = 0
gφφ = R 2 sin 2 θ , gφθ = 0
 R2
gµv = 
 0

0
,
2
R sin θ 
2
g µv = ( g µv ) =
−1
1
Adj ( g µv )
det g µ v
det g µv = g = R 4 sin 2 θ
(Ek.B.4)
69
⇒ g µv =
 R 2 sin 2 θ
1

R 4 sin 2 θ 
0
g µ v = g µv
 1
 R2
=
 0


0 

R2 



1


R 2 sin 2 θ 
0
2
1 ∂ 
∂ 
∇ =
g g µv v  ,
µ 
∂x 
g ∂x 
(Ek.B.5)
2
∇ =
1
∂  2
1 ∂
 R sin θ 2
2
R sin θ ∂θ 
R ∂θ
2
∇ =
1
∂ 
∂ 
1
∂2
,
 sin θ
+
R 2 sin θ ∂θ 
∂θ  R 2 sin 2 θ ∂φ 2
2
1
∂  2
1
∂ 

R sin θ 2 2
+ 2 2

R sin θ ∂φ 
 R sin θ ∂φ 
(Ek.B.6)
70
ÖZGEÇMİŞ
1985 yılında Malatya’ da doğdum. İlköğrenimimi İnönü İlköğretim
Okulu’nda tamamladım. 2003 yılında Bağlar Lisesi’nden mezun oldum. 2005 yılında
Trakya Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Fizik Bölümü’nü kazandım ve 2009
yılında mezun oldum. Aynı yıl Trakya Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü’nün
Yüksek Enerji ve Plazma Fiziği programında yüksek lisansa başlayarak 2011 yılında
da bu programı tamamlamış oldum. Akademik hayatımı doktora programı ile devam
ettirmek istiyorum.