modern mantık-5-9.hafta - Erzurum Teknik Üniversitesi

1 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU ERZURUM TEKNİK ÜNİVERSİTESİ
EDEBİYAT FAKÜLTESİ
FELSEFE BÖLÜMÜ
MODERN MANTIK
DERS NOTLARI
Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU
ERZURUM-2015
2 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU III. NİCELEME MANTIĞI
1. Doğruluk Fonksiyonu Mantığının Yetersizliği ya da Niçin Niceleme Mantığı?
Niceleme mantığı (yüklemler mantığı) da doğruluk fonksiyonu mantığı (önermeler
mantığı) gibi iki değerli mantıktır. Ancak doğruluk fonksiyonu mantığı önermeleri nitelik
yönünden ele aldığından onların niceliğini göstermede yetersizdir. İşte niceleme mantığı
doğruluk fonksiyonu mantığının yetersizliği sonucu geliştirilen bir mantık sistemidir.
Önermeler mantığı bir önermeyi birçok amaç için yeterli ayrıntıda analiz edebilme sistemine
sahip değildir. Örneğin bu mantık önermeleri nitelik yönünden ele aldığından onların
niceliğini göstermede yetersizdir. Bu yüzden günlük dildeki terimleri, yüklemeleri ve
niceleyicileri büyük ölçüde sembolize edemez. Önermeler mantığının önermelerin iç yapısını,
niceliğini ifade etmedeki yetersizliğinden dolayı yeni bir mantık sistemine ihtiyaç
duyulmuştur. Bu ihtiyacın bir sonucu olarak da niceleme mantığı geliştirilmiştir. Örneğin,
“Her asal sayı bir doğal sayıdır.” ve “Bazı insanlar öğretmendir.” önermelerini ele alalım.
Önermeler mantığında bu önermeler birer basit önerme olup “p”, “q” gibi sembollerle
gösterilir. Bu önermelerden birincisi tümel, ikincisi tikel önermedir. Bir önermeyi “p”, “q”
gibi sembollerle sembolleştirdiğimizde onun tümel mi ya da tikel mi olduğunu anlaşılamaz.
Yani niceliği konusunda bize bilgi veremez. Bir önermenin niceliği konusunda ancak bir
başka mantık sistemi, yani niceleme mantığı bilgi verir. Niceleme mantığı, önermeler
mantığının bu tür eksikliklerini ortadan kaldırarak önermelerin ve çıkarımların daha ayrıntılı
sembolleştirilmesini sağlar. Niceleme mantığında yalnızca bileşik önermelerin değil, basit
önermelerin iç yapısı ve niceliği de sembolleştirilmektedir. Böylece önerme ve çıkarımların
daha kesin ve güvenli denetlemesi imkânı sağlanılmıştır. Bu yüzden niceleme mantığı
önermeler mantığı gibi iki değerli mantık olmasına karşın her çeşit önermeyi özne ve
yüklemleri açısından sembolleştirebildiğinden, ondan daha kapsamlı mantık sistemidir.
Aslında doğruluk fonksiyonu mantığının yetersizliği kendi içinde de fark edilmişti.
Doğruluk tablosunun sınırlı olmasından dolayı onun yerine çözümleyici çizelge geliştirilmişti.
Çözümleyici çizelge doğruluk tablosu ile denetlemeye göre önermeyi en küçük bileşenlerine
kadar ayırıp denetleyebilmesinden dolayı daha kapsamlı bir sistemdi. Ancak önermeleri en
küçük bileşenlerine kadar denetlemesine karşın önermelerin iç yapısını denetlemede yetersiz
kalıyordu. Hatta geçerli olması gereken bazı çıkarımlar çözümleyici çizelgede bile geçersiz
çıkabilmekteydi. Örneğin, Aristoteles’in en kesin kıyas dediği,
Tüm insanlar ölümlüdür.
Sokrates bir insandır.
O halde, Sokrates ölümlüdür.
çıkarımı çözümleyici çizelgede geçersiz çıkmaktadır. Bu tür önerme veya çıkarımlar
önermeler mantığında doğru olarak denetlenip yorumlanamamaktadır. İşte bu türden
yetersizlikleri giderebilmek için niceleme mantığı geliştirilmiştir.
3 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU 2. Niceleme Mantığının Tanımı ve Kapsamı
Niceleme mantığı, önermeler mantığı değişmezlerine, “her” (bütün) anlamına gelen
tümel niceleme sembolü ile (∀), “bazı” (en az bir) anlamına gelen tikel niceleme sembolünü
(∃) katmakla elde edilen genişletilmiş mantık sistemidir. Yani niceleyicileri kapsayan mantık
sistemidir. Başka bir deyişle niceleme mantığı, niceleyici ve nicelenmiş değişkenli deyimleri
inceleyen mantık bölümüdür. Niceleme mantığının önermeleri olan basit önermeler, özne–
yüklem ilişkisine dayandıkları için, niceleme mantığına yüklemler mantığı da denir.
Niceleme mantığı, önermeler mantığından daha kapsamlı olduğundan, önermeler
mantığında geçerli olan tüm çıkarımlar niceleme mantığında da geçerlidir. Ancak tersi doğru
değildir. Yani niceleme mantığında geçerli olan çıkarımlar önermeler mantığında geçerli
değildir.
Niceleme mantığında, önermenin yüklemi tek bir özneye aitse birli yüklem, iki özneye
aitse ikili yüklem, üç özneye aitse üçlü yüklem, n sayıda özneye aitse n’li yüklem adını alır.
Örneğin,
Önerme
Ahmet canlıdır.
Ayşe ve Ali kardeştir.
Sarıçam, sedir ve servi iğne yapraklıdır.
Yüklem Sayısı
Birli Yüklem
İkili Yüklem
Üçlü Yüklem
Sembolleştirilmesi
Fa
Fab
Fabc
3. Niceleme Mantığında Temel Tanımlar ve Sembolleştirme
a) Niceleme Mantığında Temel Tanımlar
1. Tekil Önerme ve Genel Önerme
Tekil önerme, tek bir özneye belli bir yüklemde bulunan önermedir. Örneğin,
“Ali çalışkandır.” Bu basit önermenin içerisinde hiçbir niceleyici deyimi
geçmemesinden dolayı tekil önermedir.
Genel önerme, içerisinde niceleyici geçen önermedir. Örneğin, “Bazı insanlar
öğretmendir.” Bu önermenin içerisinde niceleyici deyimi geçmesinden dolayı genel
önermedir.
2. Açık Önerme ve Kapalı Önerme
Açık önerme, bir önermede geçen bir ya da birden çok adın yerine bağsız
olacak biçimde birer değişken koymakla elde edilen deyimdir. Başka bir deyişle açık
önerme, içinde değişken geçen ve kendisi bir doğruluk değeri taşımayan, ama
değişken yerine belirli bir terim konulduğunda doğru veya yanlış olabilen, yani bir
önerme haline dönüşen ifadedir. Örneğin, “X başarılıdır.”, önermesinde, “X”in yerine
“Ahmet” terimi konulursa, önerme “Ahmet başarılıdır.” halini alır ve bir doğruluk
değerine sahip olmuş olur.
Kapalı önerme ise, içinde hiçbir bağsız değişken geçmeyen tam deyim veya
önermedir. Başka bir deyişle kapalı önerme, belli bir doğruluk değeri taşıyan veya
belli bir doğruluk değeri almış olan önerme, yani açık olmayan önermelerdir. Örneğin
4 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU “Zeynep çalışkandır.” önermesi kapalı önermedir. Çünkü içerisinde hiçbir değişken
geçmemektedir. Ad ve yüklem apaçıktır, herhangi bir şekilde yorumlamaya açık
değildir. Ancak kapalı önermede ad veya yüklem her zaman anlamlı değildir, bazen
anlamlı olmayabilir.
3. Ad Sembolü ve Yüklem Sembolü
Ad sembolü (ad simgesi), bir önermede özneyi temsil eden dil değişkenidir.
Yani herhangi bir önermede özeyi temsil etmek için ona verilen a, b, c, d gibi
sembollerdir.
Yüklem sembolü, bir önermede yüklemi temsil eden dil değişkenidir. Yani
herhangi bir önermede yüklemi temsil etmek için ona verilen F, G, H gibi
sembollerdir.
Niceleme mantığında tekil veya genel önermede özne a, b, c, d gibi küçük
harflerle, yüklem ise F, G, H gibi büyük harflerle gösterilir. Örneğin “Ali çalışkandır.”
tekil önermesi, niceleme mantığında “Ali” öznesi “a”, “çalışkandır” yüklemi ise “F”
ile gösterilerek “Fa” şeklinde sembolize edilir.
4. Evren, Özelleme, Gerçekleme ve Açılım
Evren, yorumlanmış dilin sözünü ettiği tüm nesneleri oluşturmağa yarayan
yapı taşları öbeği; belli bir yorumla verilip, yorumun belirlediği tüm anlamları
oluşturmaya yarayan dildışı nesne öbeğidir. Yani evren, bir değişkenin alabileceği tüm
değerlerin kümesidir. Evren, niceleme mantığında “E: {…..}” şeklinde gösterilir.
Özelleme, evrende bulunan değerlerin değişkenin yerine konulmasıdır. Böyle
elde edilen önermeye de “özelleme önermesi” denir.
Gerçekleme, evrene ait değerlerden birinin veya birden fazlasının özelleme
önermesini doğru kılması halidir. Bu durumda gerçekleme, bir n’li değer dizisinin
belli bir yorumda bir n’li tamdeyimi gerçeklemesi, n’li tamdeyimin bu değerler
dizisine göre oluşturulan özelleme önermesinin söz konusu yorumda doğru olması
demektir.
Örnek 1) “X filozoftur.” önermesini E: {Sokrates, Platon, Ali, Ayşe} dizisine göre tek
tek özelleme ve gerçeklemesini yaparak doğruluk değerini belirleyiniz?
X filozoftur.
E: {Sokrates, Platon, Ali, Ayşe}
Sokrates filozoftur.
Platon filozoftur.
Ali filozoftur.
Ayşe filozoftur.
Özelleme
Özelleme
Özelleme
Özelleme
(D)
(D)
(Y)
(Y)
Sokrates filozoftur.
Platon filozoftur.
Gerçekleme
Gerçekleme
(D)
(D)
5 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU Örnek 2) “3x + 6 = 0” önermesini E: {-2, 3} dizisine göre tek tek özelleme ve
gerçeklemesini yaparak doğruluk değerini belirleyiniz?
3x + 6 = 0
E: {-2, 3}
(3 . -2) + 6 = 0
-6 + 6 = 0
0=0
Özelleme
(D)
(3 . 3) + 6 = 0
9+6=0
15 = 0
Özelleme
(Y)
(3 . -2) + 6 = 0
-6 + 6 = 0
0=0
Gerçekleme
(D)
Örnek 3) “x katıdır.” önermesini E: {Kalem, kitap, oksijen} dizisine göre tek tek
özelleme ve gerçeklemesini yaparak doğruluk değerini belirleyiniz?
X katıdır.
E: {Kalem, kitap, oksijen}
Kalem katıdır.
Kitap katıdır.
Oksijen katıdır.
Özelleme
Özelleme
Özelleme
(D)
(D)
(Y)
Kalem katıdır.
Kitap katıdır.
Gerçekleme
Gerçekleme
(D)
(D)
Açılım ise verilen sonlu evrene göre önermenin özellemesinin yapılmasıdır.
Bir açık önermede, evrendeki her değer için bir özelleme elde edilir. İşte bu
özellemenin toplamına açılım denir.
Örneğin, “x – 8 = 0” önermesi açık önermedir. Bu önermede “x” değişkendir.
Bu açık önermede “x”in yerine konulabilecek “2, 5, 8” sayılarının her biri o
değişkenin değerleri, evren ise E: {2, 5, 8} olacaktır. Bu evrende “x”in yerine konulan
her değer bir özelleme önermesi oluşturacaktır. “2 – 8 = 0”, “5 – 8 = 0” ve “8 – 8 = 0”
önermeleri hem birer özelleme önermesidir hem de açılımdır. “2” ve “5” değerleri
önermeyi yanlış kılarken, “8” değeri önermeyi doğru kılmıştır. Bu açılımda yalnızca
“8” değeri verilen önermeyi gerçeklemiştir.
6 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU b) Sembolleştirme
1. Tekil Önermelerin Sembolleştirilmesi
i.
Basit Önermelerin Sembolleştirilmesi
Basit önermeleri sembolleştirirken ad sembolleri olarak “a, b, c, d, e, ...”; yüklem
sembolleri olarak “F, G, H, K, L, M, ...” kullanılır.
Örnek 1) “Farabi filozoftur.” basit önermesini birli yüklemler mantığında verilen
sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz?
Çözüm: “Farabi filozoftur.” basit önermesini sembolleştirmek için öncelikle “Farabi”
adı “a” küçük harfi ile “filozoftur” yüklemi de büyük “F” harfi ile sembolleştirilir.
Böylelikle “Fa” sembolü elde edilmiş olur. “Fa” gibi bir önermeyi okurken önce özne
olan “a” söylenir. Sonra yüklem olan “F” söylenir. “a, F’dir” şeklinde okunur.
Farabi filozoftur.
a
F
aF
→
Fa
Örnek 2) “2, 3’ten küçüktür.” basit önermesini birli yüklemler mantığında verilen
sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz?
2, 3’ten küçüktür.
a b
G
abG → Gab
Örnek 3) “Zeynep İstanbul’dan dönüyor.” basit önermesini birli yüklemler
mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz?
Zeynep İstanbul’dan dönüyor.
a
F
aF
→
Fa
Örnek 4) “Kar yağıyor.” basit önermesini birli yüklemler mantığında verilen
sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz?
Kar yağıyor.
a
G
→
Ga
7 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU Örnek 5) “Sürat felakettir.” basit önermesini birli yüklemler mantığında verilen
sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz?
Sürat felakettir.
b
H
→
Hb
Örnek 6) “Dünya dönüyor.” basit önermesini birli yüklemler mantığında verilen
sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz?
Dünya dönüyor.
c
ii.
H
→
Hc
Bileşik Önermelerin Sembolleştirilmesi
Bileşik önermeler sembolleştirilirken önce önerme eklemleri tespit edilir. Daha
sonra basit önermelerin sembolleştirilmesinde olduğu gibi ad sembolleri olarak “a, b,
c, d, e, …” gibi küçük harfler; yüklem sembolleri olarak da “F, G, H, K, L, …” gibi
büyük harfler kullanılarak sembolleştirme yapılır.
Örnek 1) “Kar yağmış değil.” bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen
sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz?
Kar yağmış değil.
a
F
∼
∼Fa
Örnek 2) “Ali yurda giderse Ali uyur.” bileşik önermesini birli yüklemler mantığında
verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz?
Ali yurda gider ise Ali uyur.
a
⇒ a G
F
Fa ⇒ Ga
Örnek 3) “Çiğdem akıllıdır ve Çiğdem çalışkan değildir.” bileşik önermesini birli
yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz?
Leyla akıllıdır ve Leyla çalışkan değildir.
a
F
Λ
Fa
Λ
a
G
∼Ga
∼
8 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU Örnek 4) “Platon, Sokrates’in öğrencisi ise Platon büyük bir filozoftur.” bileşik
önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre
sembolleştiriniz?
Platon, Sokrates’in öğrencisi ise Platon büyük bir filozoftur.
a
⇒
F
a
G
Fa ⇒ Ga
Örnek 5) “Mantık bir bilimdir ve felsefe bir bilim değildir.” bileşik önermesini birli
yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz?
Mantık bir bilimdir ise felsefe bir bilim değildir.
a
⇒
F
b
F
∼
Fa ⇒ ∼Fb
Örnek 6) “Dünya dönüyor ise hem güneş bir gezegendir hem de dünya bir
gezegendir.” bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme
biçimine göre sembolleştiriniz?
Dünya dönüyor ise hem güneş bir gezegendir hem de dünya bir gezegendir.
a
⇒
F
b
G
Λ
a
G
Fa ⇒ (Gb Λ Ga)
Örnek 7) “Ahmet çalışıyor ve Zeynep çalışıyor ancak ve ancak Ali çalışmıyor ise
Zeynep çalışmıyor değil.” bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen
sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz?
Ahmet çalışıyor ve Zeynep çalışıyor ancak ve ancak Ahmet çalışmıyor ise Zeynep
a
F
Λ
b
F
⇔
a
∼F
çalışmıyor değil.
F
∼
(Fa Λ Fb) ⇔ (∼Fa ⇒ ∼∼Fb)
Bu bileşik önermede değiller birbirlerini götüreceğinden,
(Fa Λ Fb) ⇔ (∼Fa ⇒ Fb) biçiminde yazılır.
⇒ b
9 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU iii.
Açık Önermelerin Sembolleştirilmesi
Açık önermeler sembolleştirilirken öncelikle değişkenler (x, y, z gibi) olduğu
gibi bırakılır. Sonra önerme içinde geçen nicelemeler ve önerme eklemleri tespit
edilir. Daha sonra da basit ve bileşik önermelerin sembolleştirilmesinde olduğu gibi ad
sembolleri olarak “a, b, c, d, e, …” gibi; yüklem sembolleri olarak da “F, G, H, K, L,
…” gibi semboller kullanılarak sembolleştirme yapılır. Ancak önerme niceleme
açılımıyla verilmemişse öncelikle niceleme mantığındaki açılım biçimine göre
yeniden yazılarak sembolleştirilmesinin yapılmalıdır.
Örnek 1) “Bazı x’ler için x sıvıdır.” basit önermesini birli yüklemler mantığında
verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz?
Bazı x’ler için x sıvıdır.
∃
x
x
F
∃xFx
Örnek 2) “Bütün x’ler için x iletkendir.” basit önermesini birli yüklemler mantığında
verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz?
Bütün x’ler için x iletkendir.
∀
x
x
G
∀xGx
Örnek 3) “Bütün x’ler için x tek sayı ise bazı x’ler için x tek sayıdır.” bileşik
önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre
sembolleştiriniz?
Bütün x’ler için x tek sayı ise bazı x’ler için x tek sayıdır.
∀
x
x
F
⇒ ∃
x
x
F
∀xF x ⇒ ∃xFx
Örnek 4) “Bütün x’ler için x bir insan ise x ölümlüdür.” bileşik önermesini birli
yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz?
Bütün x’ler için x bir insan ise x ölümlüdür.
∀
x
x
F
⇒ x
∀x (F x ⇒ Gx)
F
10 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU Örnek 5) “Bazı x’ler için x omurgalıdır ve x memelidir.” bileşik önermesini birli
yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz?
Bazı x’ler için x omurgalıdır ve x memelidir.
∃
x
x
F
Λ x
G
∃x (Fx Λ Gx)
Örnek 6) “Bütün insanlar ölümlüdür.” bileşik önermesini birli yüklemler mantığında
verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz?
Çözüm: “Bütün insanlar ölümlüdür.” gibi bir bileşik önermeyi sembolleştirebilmek
için önerme önce niceleme mantığındaki açılım ve okunuş biçimine göre yeniden
yazılmalıdır. Sonra da yazılan bu yeni önermeye göre önerme sembolleştirilmelidir.
Buna göre yukarıda verilen önermenin niceleme mantığında açılımı ve
sembolleştirilmesi şudur:
Bütün insanlar ölümlüdür.
Bütün x’ler için, x insan ise x ölümlüdür.
x
∀
x
F
⇒ x
G
∀x (Fx ⇒ Gx)
Örnek 7) “Bazı omurgalılar memelidir.” bileşik önermesini birli yüklemler
mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz?
Bazı omurgalılar memelidir.
Bazı x’ler için, x omurgalı ise x memelidir.
∃
x
x
F
⇒ x
G
∃x (Fx ⇒ Gx)
Örnek 8) “Hiçbir ağaç taş değildir.” bileşik önermesini birli yüklemler mantığında
verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz?
Hiçbir ağaç taş değildir.
Hiçbir x için, x ağaç ise x taş değildir.
∀
x
x
F ⇒ x G
∀x (Fx ⇒ ∼Gx)
∼
11 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU Örnek 9) “Bazı insanlar öğretmendir.” bileşik önermesini birli yüklemler mantığında
verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz?
Bazı insanlar öğretmendir.
Bazı x’ler için, x insan ise x öğretmendir.
∃
x
x
F
⇒ x
G
∃x (Fx ⇒ Gx)
Örnek 10) “Hiçbir at iki ayaklı değildir.” bileşik önermesini birli yüklemler
mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz?
Hiçbir at iki ayaklı değildir.
Hiçbir x için, x at ise x iki ayaklı değildir.
∀
x F⇒ x
x
G
∼
∀x (Fx ⇒ ∼Gx)
iv.
Çıkarımların Sembolleştirilmesi
Niceleme mantığında çıkarımlar da bileşik ve açık önermelerin
sembolleştirilmesinde olduğu gibi sembolleştirilir. Önce varsa nicelemeler ve önerme
eklemleri tespit edilir, sonra adlar ve yüklemler, ad (a, b, c, d, e, …) ve yüklem (F, G,
H, K, L, …) sembolleriyle sembolleştirilerek çıkarım sembolleştirilir. Ancak açık
önermelerin sembolleştirilmesinde de olduğu gibi eğer önerme niceleme açılımıyla
verilmemişse öncelikle niceleme mantığındaki açılım biçimine göre yeniden yazılarak
sembolleştirilmesi yapılmalıdır.
Örnek 1)
Tüm insanlar ölümlüdür.
Sokrates insandır.
O halde, Sokrates ölümlüdür.
Yukarıdaki çıkarımı birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre
sembolleştiriniz?
12 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU Tüm x’ler için, x insan ise x ölümlüdür.
x
∀
F ⇒ x
x
G
∀x (Fx ⇒ Gx)
Sokrates insandır.
a
F
Fa
O halde, Sokrates ölümlüdür.
∴
a
∴ Ga
G
∀x (Fx ⇒ Gx), Fa ∴ Ga
Örnek 2)
İbni Sina İlk Çağ veya Orta Çağ filozofudur.
İbni Sina İlk Çağ filozofu değildir.
O halde, İbni Sina Orta Çağ filozofudur.
Yukarıdaki çıkarımı birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre
sembolleştiriniz?
İbn-i Sina İlk Çağ veya Orta Çağ filozofudur.
a
F
V
G
Fa V Ga
İbn-i Sina İlk Çağ filozofu değildir.
a
F
∼
∼Fa
O halde, İbn-i Sina Orta Çağ filozofudur.
∴
a
G
∴ Ga
Fa V Ga, ∼Fa ∴ Ga
Örnek 3)
Bazı insanlar öğretmendir.
Tüm insanlar canlıdır.
O halde, bazı canlılar öğretmendir.
Yukarıdaki çıkarımı birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre
sembolleştiriniz?
13 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU Bazı x’ler için, x insan ise x öğretmendir.
x
∃
x
F
⇒x
∃x (Fx ⇒ Gx)
G
Tüm x’ler için, x insan ise x canlıdır.
x
∀
x
F
⇒ x
∀x (Fx ⇒ Hx)
H
O halde, bazı x’ler için, x canlı ise x öğretmendir.
∴
∃
x
x
H ⇒ x
G
∴ ∃x (Hx ⇒ Gx)
∃x (Fx ⇒ Gx), ∀x (Fx ⇒ Hx) ∴ ∃x (Hx ⇒ Gx)
Örnek 4)
Her metal genleşir.
Demir metaldir.
O halde, demir genleşir.
Yukarıdaki çıkarımı birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre
sembolleştiriniz?
Tüm x’ler için, x metal ise x genleşir.
x
∀
x
⇒ x
F
G
∀x (Fx ⇒ Gx)
Demir metaldir.
b
F
Fb
O halde, demir genleşir.
∴
b
∴ Gb
G
∀x (Fx ⇒ Gx), Fb ∴ Gb
Örnek 5)
Bazı insanlar öğretmendir.
Ayşe insandır.
O halde, Ayşe öğretmendir.
Yukarıdaki çıkarımı birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre
sembolleştiriniz?
14 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU Bazı x’ler için, x insan ise x öğretmendir.
x
∃
x
F
⇒x
∃x (Fx ⇒ Gx)
G
Ayşe insandır.
a
F
Fa
O halde, Ayşe öğretmendir.
∴
a
∴ Ga
G
∃x (Fx ⇒ Gx), Fa ∴ Ga
Örnek 6)
Öğrenci çalışkan değilse, öğrenci sınıf geçemez.
Öğrenci çalışkan değildir.
O halde, öğrenci sınıf geçemez.
Yukarıdaki çıkarımı birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre
sembolleştiriniz?
Öğrenci çalışkan değilse, öğrenci sınıf geçemez.
a
F
∼ ⇒
a
G
∼
∼Fa ⇒ ∼Ga
Öğrenci çalışkan değildir.
a
F
∼
∼Fa
O halde, öğrenci sınıf geçemez.
∴
a
G
∼
∴ ∼Ga
∼Fa ⇒ ∼Ga, ∼Fa ∴ ∼Ga
Örnek 7)
Bütün insanlar iki ayaklıdır.
Bazı insanlar yeşil gözlüdür.
O halde, bazı iki ayaklılar yeşil gözlüdür.
Yukarıdaki çıkarımı birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre
sembolleştiriniz?
15 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU Bütün x’ler için, x insan ise x iki ayaklıdır.
x
∀
x
⇒ x
F
∀x (Fx ⇒ Gx)
G
Bazı x’ler için, x insan ise x yeşil gözlüdür.
∃
x
x
F
⇒x
∃x (Fx ⇒ Hx)
H
O halde, bazı x’ler için, x iki ayaklı ise x yeşil gözlüdür.
∴
∃
x
x
G
⇒ x
∴ ∃x (Gx ⇒ Hx)
H
∀x (Fx ⇒ Gx), ∃x (Fx ⇒ Hx) ∴ ∃x (Gx ⇒ Hx)
Örnek 8)
Tüm kanser yapan şeyler zararlıdır.
Sigara içmek kanser yapar.
O halde, sigara içmek zararlıdır.
Yukarıdaki çıkarımı birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre
sembolleştiriniz?
Tüm x’ler için, x kanser yapıyor ise x zararlıdır.
x
∀
x
⇒ x
F
G
∀x (Fx ⇒ Gx)
Sigara içmek kanser yapar.
b
F
Fb
O halde, sigara içmek zararlıdır.
∴
b
G
∴ Gb
∀x (Fx ⇒ Gx), Fb ∴ Gb
Örnek 9)
Her insan akıllıdır.
Bazı canlılar akıllı değildir.
O halde, bazı canlılar akıllı değildir.
Yukarıdaki çıkarımı birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre
sembolleştiriniz?
16 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU Her x için, x insan ise x akıllıdır.
∀ x
x
⇒ x
F
∀x (Fx ⇒ Gx)
G
Bazı x’ler için, x canlı ise x akıllı değildir.
x
∃
H ⇒ x G
x
∃x (Hx ⇒ ∼Gx)
∼
O halde, bazı x’ler için, x canlı ise x akıllı değildir.
∴
x
∃
x
H ⇒ x
G
∼
∴ ∃x (Hx ⇒ ∼Gx)
∀x (Fx ⇒ Gx), ∃x (Hx ⇒ ∼Gx) ∴ ∃x (Hx ⇒ ∼Gx)
v.
Genel Önermelerin Sembolleştirilmesi
Genel önerme, içerisinde niceleyici geçen önermelerdir. Tümel niceleyici (∀) ve
tikel niceleyici (∃) olmak üzere iki tür niceleyici vardır.
Genel önermeler, açık önermelerin ve çıkarımların sembolleştirilmesinde olduğu
gibi sembolleştirilir. Verilen önermede önce nicelemeler ve önerme eklemleri tespit
edilir, sonra adlar ve yüklemler, ad (a, b, c, d, e, …) ve yüklem (F, G, H, K, L, …)
işaretleriyle sembolleştirilir. Ancak açık önermelerin ve çıkarımların
sembolleştirilmesinde de olduğu gibi eğer önerme niceleme açılımıyla verilmemişse
öncelikle niceleme mantığındaki açılım biçimine göre yeniden yazılarak
sembolleştirilmesinin yapılması gerekir. Aksi halde sembolleştirme yanlış yapılmış
olur. Bu kurallar öncelik ve sonralık ilişkisine göre uygulanarak genel önermelerin
sembolleştirilmesi yapılmalıdır.
Örnek 1) “Hiçbir kare üçgen değildir.” bileşik önermesini birli yüklemler mantığında
verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz?
Hiçbir kare üçgen değildir.
Hiçbir x için, x kare ise x üçgen değildir.
∀
x
x
F ⇒ x
G
∼
∀x (Fx ⇒ ∼Gx)
Örnek 2) “Bütün kareler dörtgendir.” bileşik önermesini birli yüklemler mantığında
verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz?
Bütün kareler dörtgendir.
Bütün x’ler için, x kare ise x dörtgendir.
∀
x
x
F ⇒ x
∀x (Fx ⇒ Gx)
G
17 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU Örnek 3) “Bazı insanlar avukat değildir.” bileşik önermesini birli yüklemler
mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz?
Bazı insanlar avukat değildir.
Bazı x’ler için, x insan ise x avukat değildir.
∃
x
x
⇒ x
G
H
∼
∃x (Gx ⇒ ∼Hx)
Örnek 4) “Hiçbir balık kuş değildir.” bileşik önermesini birli yüklemler mantığında
verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz?
Hiçbir balık kuş değildir.
Hiçbir x için, x balık ise x kuş değildir.
∀
x
x
⇒ x G
F
∼
∀x (Fx ⇒ ∼Gx)
Örnek 5) “Bütün çiçekler bitkidir.” bileşik önermesini birli yüklemler mantığında
verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz?
Bütün çiçekler bitkidir.
Bütün x’ler için, x çiçek ise x bitkidir.
∀
x
G ⇒ x
x
H
∀x (Gx ⇒ Hx)
Örnek 6) “Bazı kitaplar ciltli değildir.” bileşik önermesini birli yüklemler mantığında
verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz?
Bazı kitaplar ciltli değildir.
Bazı x’ler için, x kitap ise x ciltli değildir.
∃
x
x
F
⇒ x
G
∼
∃x (Fx ⇒ ∼Gx)
Örnek 7) “Bütün insanlar akciğer solunumu yapar.” bileşik önermesini birli
yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz?
Bütün insanlar akciğer solunumu yapar.
18 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU Bütün x’ler için, x insan ise x akciğer solunumu yapar.
x
∀
F ⇒ x
x
G
∀x (Fx ⇒ Gx)
Örnek 8) “Hiçbir cisim iletken değildir.” bileşik önermesini birli yüklemler
mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz?
Hiçbir cisim iletken değildir.
Hiçbir x için, x cisim ise x iletken değildir.
∀ x
x
⇒x
G
H
∼
∀x (Gx ⇒ ∼Hx)
Örnek 9) “Bazı insanlar filozoftur.” bileşik önermesini birli yüklemler mantığında
verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz?
Bazı insanlar filozoftur.
Bazı x’ler için, x insan ise x filozoftur.
∃
x
x
G
⇒ x
H
∃x (Gx ⇒ Hx)
Örnek 10) “Bazı öğrenciler felsefe ya da sosyoloji öğrencisidir.” bileşik önermesini
birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz?
Bazı öğrenciler felsefe ya da sosyoloji öğrencisidir.
Bazı x’ler için, x öğrenci ise x ya felsefe ya da sosyoloji öğrencisidir.
∃
x
x
F
⇒x
G
V
H
∃x [Fx ⇒ (Gx V Hx)]
4. Niceleme Mantığında Doğruluk Değeri Hesabı
a) Tümel Önermelerin Doğruluk Hesabı
∀xFx formundaki bir tümel önermenin doğruluğunu hesaplayabilmek için önce
önermenin verilen evrene göre açılımı, yani özellemesi yapılır. Sonra özellemesi yapılan
önermeler tümel evetleme eklemiyle (Λ) birbirine bağlanarak bileşik tümel evetleme
önermesi oluşturulur. Daha sonra bu yeni önermenin doğruluk değeri doğruluk tablosundan
hareketle hesaplanır. Yapılan hesaplamaya göre eğer tüm özellemeler doğru ise tümel
niceleme önermesi de doğrudur. En az bir yanlışlayıcı değer var ise tümel niceleme önermesi
19 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU yanlıştır. O halde ∀xF x gibi bir tümel önermesinin bütün özellemelerinin doğru olması
demek, tüm bu özellemelerinin tümel evetleme eklemiyle (Λ) birleştirilebilir olması demektir.
Örnek 1) ∀x (x filozoftur.) önermesinin “E: {Sokrates, Platon, Kant}” evrenindeki açılımını
yaparak doğruluk değerini hesaplayınız?
Çözüm: Bu ve buna benzer soruları çözebilmek için aşağıdaki işlem akışı takip edilmelidir.
Birinci aşamada soruda verilenler tespit edilir ve eksiksiz olarak yazılır.
∀x (x filozoftur.)
E: {Sokrates, Platon, Kant}
İkinci aşamada verilen tümel niceleyici önermenin doğruluk değerini hesaplamadan önce
sembolleştirilmesi yapılır.
∀xF x
E: {a, b, c}
Üçüncü aşamada verilen evrene göre sembolleştirilmesi ve açılımı (özellemesi) yapılan
önermeler tümel evetleme eklemiyle (Λ) birbirine bağlanarak bileşik tümel evetleme
önermesi oluşturulur.
Sokrates filozoftur. Λ Platon filozoftur. Λ Kant filozoftur.
Fa
Fb
Fc
Dördüncü aşamada ise oluşturulmuş olan bu yeni tümel evetleme önermesinin doğruluk
değeri doğruluk tablosundan hareketle hesaplanır.
Sokrates filozoftur. Λ Platon filozoftur. Λ Kant filozoftur.
Fa
Fb
Fa
Λ
Fb
D
Λ
D
Fc
Λ
Λ
Fc
D
D
Verilen evrenin önermede hepsinin birden doğrulayıcı yorumlaması vardır.
Örnek 2) ∀x (x tek sayıdır.) önermesinin “E: {1, 2, 4, 5}” evrenindeki açılımını yaparak
doğruluk değerini hesaplayınız?
∀x (x tek sayıdır.)
E: {1, 2, 4, 5}
∀xF x
E: {a, b, c, d}
1 tek sayıdır. Λ 2 tek sayıdır. Λ
Fa
D
Λ
Λ
4 tek sayıdır. Λ 5 tek sayıdır.
Fb
Λ
Fc
Λ
Fd
Y
Λ
Y
Λ
D
Y
Verilen evrenin önermede hepsinin birden doğrulayıcı yorumlaması yoktur.
20 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU Örnek 3) ∀x (x katıdır.) önermesinin “E: { taş, buz, tahta}” evrenindeki açılımını yaparak
doğruluk değerini hesaplayınız?
∀x (x katıdır.)
E: {taş, buz, tahta}
∀xF x
E: {a, b, c}
Taş katıdır. Λ Buz katıdır. Λ
Tahta katıdır.
Fa
Λ
Fb
Λ
Fc
D
Λ
D
Λ
D
D
Verilen evrenin önermede hepsinin birden doğru yorumlayıcısı vardır.
Örnek 4) ∀x (x negatiftir.) önermesinin “E: {Tam sayılar: -2, -1, 1, 2. …}” evrenindeki
açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız?
∀x (x negatiftir.)
E: {Tam sayılar: -2, -1, 1, 2, …}
∀xF x
E: {a, b, c, d, …}
- 1 negatiftir. Λ 1 negatiftir. Λ
Fa
Λ
D
Λ
-2 negatiftir. Λ 2 negatiftir.
Fb
Λ
Fc
Λ
Fd
Y
Λ
D
Λ
Y
Y
Verilen evrenin önermede hepsinin birden doğrulayıcı yorumlaması yoktur.
Örnek 5) ∀x (x özkütlesi ağırdır.) önermesinin “E: {Demir, platin, altın, civa}” evrenindeki
açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız?
∀x (x özkütlesi ağırdır.)
E: {Demir, platin, altın, civa}
∀xG x
E: {a, b, c, d}
Demir ağırdır. Λ Platin ağırdır. Λ
Ga
D
Λ
Λ
Altın ağırdır. Λ Civa ağırdır.
Gb
Λ
Gc
D
Λ
D
Λ
Λ
Gd
D
D
Verilen evrenin önermede hepsinin birden doğrulayıcı yorumlaması vardır.
21 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU Örnek 6) ∀x (x canlıdır.) önermesinin “E: {Güvercin, akasya, bakır, çita}” evrenindeki
açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız?
Örnek 7) ∀x (x beyazdır.) önermesinin “E: {Süt, pamuk, elma, gül}” evrenindeki açılımını
yaparak doğruluk değerini hesaplayınız?
b) Tikel Önermelerin Doğruluk Hesabı
∃xFx formundaki bir tikel önermenin doğruluğunu hesaplayabilmek için önce
önermenin verilen evrene göre açılımı, yani özellemesi yapılır. Sonra özellemesi yapılan
önermeler tikel evetleme eklemiyle (V) birbirine bağlanarak bileşik tikel evetleme önermesi
oluşturulur. Daha sonra da bu yeni önermenin doğruluk değeri doğruluk tablosundan
hareketle hesaplanır. Yapılan hesaplamaya göre tikel niceleme önermesinde en az bir
özelleme gerçekleniyorsa tikel önerme doğru, hiçbir özelleme gerçeklenmiyorsa tikel önerme
yanlıştır. Yani Fx önermesinin tüm özellemeleri yanlış ise tikel önerme de yanlıştır.
Örnek 1) ∃x (x romancıdır.) önermesinin “E: {Newton, Zola, Tolstoy}” evrenindeki açılımını
yaparak doğruluk değerini hesaplayınız?
∃x (x romancıdır.)
E: {Newton, Zola, Tolstoy}
∃xF x
E: {a, b, c}
Newton romancıdır. V Zola romancıdır. V Tolstoy romancıdır.
Fa
V
Y
V
Fb
V
Fc
D
V
Y
D
Verilen evrenin önermede hepsinin birden doğrulayıcı yorumlaması vardır.
Örnek 2) ∃x (x fizikçidir.) önermesinin “E: {Rousseau, Şinasi, Mehmet Akif}” evrenindeki
açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız?
∃x (x fizikçidir.)
E: {Rousseau, Şinasi, Mehmet Akif}
∃xF x
E: {a, b, c}
Rousseau fizikçidir. V Şinasi fizikçidir. V Mehmet Akif fizikçidir.
Fa
V
Y
V
Fb
V
Fc
Y
V
Y
Y
Verilen evrenin önermede hepsinin birden doğrulayıcı yorumlaması yoktur.
22 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU Örnek 3) ∃x (x kanatlıdır.) önermesinin “E: {Serçe, sincap, güvercin}” evrenindeki açılımını
yaparak doğruluk değerini hesaplayınız?
∃x (x kanatlıdır.)
E: {Serçe, sincap, güvercin}
∃xF x
E: {a, b, c}
Serçe kanatlıdır. V Sincap kanatlıdır. V Güvercin kanatlıdır.
Fa
V
D
V
Fb
V
Fc
Y
V
D
D
Verilen evrenin önermede hepsinin birden doğrulayıcı yorumlaması vardır.
Örnek 4) ∃x (x sıvıdır.) önermesinin “E: {Su, zeytin yağı, kolonya}” evrenindeki açılımını
yaparak doğruluk değerini hesaplayınız?
∃x (x sıvıdır.)
E: {Su, zeytin yağı, kolonya}
∃xF x
E: {a, b, c}
Su sıvıdır. V Zeytin yağı sıvıdır. V Kolonya sıvıdır.
Fa
V
D
V
Fb
V
Fc
D
V
D
D
Verilen evrenin önermede hepsinin birden doğrulayıcı yorumlaması vardır.
Örnek 5) ∃x (x şairdir.) önermesinin “E: {Halide Edip Adıvar, Reşat Nuri Güntekin, Peyami
Safa}” evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız?
∃x (x şairdir.)
E: {Halide Edip Adıvar, Reşat Nuri Güntekin, Peyami Safa}
∃xF x
E: {a, b, c}
H. Edip Adıvar şairdir. V R. Nuri Güntekin şairdir. V Peyami Safa şairdir.}
Fa
Y
V
V
Fb
V
Fc
Y
V
Y
Y
Verilen evrenin önermede hepsinin birden doğrulayıcı yorumlaması yoktur.
23 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU Örnek 6) ∃x (x iğne yapraklıdır.) önermesinin “E: {Çam, göknar, kestane, sedir}”
evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız?
Örnek 7) ∃x (x deniz taşıtıdır.) önermesinin “E: {Taka, kağnı, vapur, yaya}” evrenindeki
açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız?
c) Çıkarımların Doğruluk Değeri Hesabı
Niceleme mantığında bir çıkarımın doğruluk değerini hesaplayabilmek için önce
çıkarımın verilen evrene göre bir açılımı, yani özellemesi yapılır. Sonra öncüller birbirlerine
tümel evetleme eklemiyle (Λ) sonuç önermesine ise koşul eklemiyle (⇒) bağlanarak bir koşul
önermesi oluşturulur. Daha sonra bu koşul önermesinin doğruluk değeri verilen evrende
özellemenin gerçeklenip gerçeklenmediğine göre doğruluk değeri hesaplanır. Sonuçta verilen
evrenin hepsi çıkarımda birden doğrulanmışsa çıkarım doğrudur, doğrulanmamışsa çıkarım
yanlıştır. Doğru olan çıkarımlar aynı zamanda geçerli, doğrulanmamış çıkarımlar ise
geçersizdir. Yorumlanmış bir çıkarımın geçerli olması, en az bir sembolik karşılığının geçerli
olması demektir.
Örnek 1) ∀x(Fx ⇒ Gx), Fa ∴ Ga çıkarımını “a: Sokrates; Fx: x insandır; Gx: x ölümlüdür”
yorumlama biçimine göre yorumlayarak, “E: {Ali, Ayşe}” evrenindeki açılımını ve doğruluk
değerini hesaplayınız?
a: Sokrates
E: {Ali, Ayşe}
Fx: x insandır.
Gx: x ölümlüdür.
∀x(x insandır. ⇒ x ölümlüdür.), Sokrates insandır. ∴ Sokrates ölümlüdür.
∀x{[(Ali insandır. ⇒ Ali ölümlüdür.) Λ (Ayşe insandır. ⇒ Ayşe ölümlüdür.)] Λ Sokrates
insandır.} ⇒ Sokrates ölümlüdür.
{[(D ⇒ D) Λ (D ⇒ D)] Λ D} ⇒ D
{[D Λ D] Λ D} ⇒ D
{D Λ D} ⇒ D
D ⇒ D D
Verilen evrenin çıkarımda hepsinin birden doğrulayıcı yorumlaması olduğundan çıkarım
geçerlidir. Yani çıkarımın öncülleri sonucuyla birlikte doğru olduğundan GEÇERLİ’dir.
24 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU Örnek 2) ∃xFx Λ ∃xGx ∴ ∃x(Fx Λ Gx) çıkarımını “Fx: x tektir; Gx: x negatiftir” yorumlama
biçimine göre yorumlayarak, “E: {-2, 1}” evrenindeki açılımını ve doğruluk değerini
hesaplayınız?
Fx: x tektir.
E: {-2, 1}
Gx: x negatiftir.
∃x(x tektir.) Λ ∃x(2 negatiftir.) ∴ ∃x(x tektir. Λ x negatiftir.)
[(-2 tektir.) V (1 tektir.)] Λ [(-2 negatiftir.) V (1 negatiftir.)] ⇒ [(-2 tektir.) Λ (-2 negatiftir.)]
V [(1 tektir.) Λ (1 negatiftir.)]
[(Y V D) Λ (D V Y)] ⇒ [(Y Λ D) V (D Λ Y)]
[D Λ D) ⇒ [Y V Y]
D⇒Y
Y
Verilen evrenin çıkarımda hepsinin birden doğrulayıcı yorumlaması olduğundan çıkarım
geçersizdir. Yani çıkarımın öncülleri sonucuyla birlikte doğru olmadığından GEÇERSİZ’dir.
Örnek 3) ∀x(Fx ⇒ Gx), ∃xGx ∴ ∃xFx çıkarımını “Fx: x tektir; Gx: x pozitiftir” yorumlama
biçimine göre yorumlayarak, “E: {2}” evrenindeki açılımını ve doğruluk değerini
hesaplayınız?
Fx: x tektir.
E: {2}
Gx: x pozitiftir.
∀x(x tektir. ⇒ x pozitiftir.), ∃x(x pozitiftir.) ∴ ∃x(x tektir.)
(2 tektir. ⇒ 2 pozitiftir.) Λ 2 pozitiftir. ⇒ 2 tektir.
[(Y ⇒ D) Λ D] ⇒ Y
[D Λ D] ⇒ Y
D⇒Y
Y
Verilen evrenin çıkarımda hepsinin birden doğrulayıcı yorumlaması olduğundan çıkarım
geçersizdir. Yani çıkarımın öncülleri sonucuyla birlikte doğru olmadığından GEÇERSİZ’dir.
25 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU Örnek 4) ∀x(Fx ⇒ Gx), ∀x∼Gx ∴ ∀x∼Fx çıkarımını “Fx: x elementtir; Gx: x serttir”
yorumlama biçimine göre yorumlayarak, “E: {Kurşun, elmas}” evrenindeki açılımını ve
doğruluk değerini hesaplayınız?
Fx: x elementtir.
E: {Kurşun, elmas}
Gx: x serttir.
∀x(x elementtir. ⇒ x serttir.), ∀x∼(x serttir.) ∴ ∀x∼(x elementtir.)
{[(Kurşun elementtir. ⇒ Kurşun serttir) V (Elmas elementtir. ⇒ Elmas serttir)] Λ ∼(Kurşun
serttir. V Elmas serttir.)} ⇒ ∼(Kurşun elementtir. V Elmas elementtir.)
{[(D ⇒ Y) V (D ⇒ D)] Λ ∼(Y V D)} ⇒ ∼(D V D)
{[Y V D] Λ ∼(D)} ⇒ ∼(D)
{D Λ Y} ⇒ Y
Y⇒Y
D
Verilen evrenin çıkarımda hepsinin birden doğrulayıcı yorumlaması olduğundan çıkarım
geçerlidir. Yani çıkarımın öncülleri sonucuyla birlikte doğru olduğundan GEÇERLİ’dir.
Örnek 5) ∀xFx ⇒ ∃xGx ∴ ∀xFx Λ ∃xGx çıkarımını “Fx: x çiçektir; Gx: x güzel kokuludur”
yorumlama biçimine göre yorumlayarak, “E: {Kurşun, elmas}” evrenindeki açılımını ve
doğruluk değerini hesaplayınız?
Fx: x çiçektir.
E: {Gül, karanfil}
Gx: x güzel kokuludur.
∀x(x çiçektir.) ⇒ ∃x(x güzel kokuludur.) ∴ ∀x(x çiçektir.) Λ ∃x(x güzel kokuludur.)
[(Gül çiçektir. ⇒ Gül güzel kokuludur) V (Karanfil çiçektir. ⇒ Karanfil güzel kokuludur] ⇒
[(Gül çiçektir Λ Karanfil çiçektir.) V (Gül güzel kokuludur. Λ Karanfil güzel kokuludur.)]
[(D ⇒ D) V (D ⇒ D)] ⇒ [(D Λ D) V (D Λ D)]
[D V D] ⇒ [D V D]
D⇒D
D
26 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU Verilen evrenin çıkarımda hepsinin birden doğrulayıcı yorumlaması olduğundan çıkarım
geçerlidir. Yani çıkarımın öncülleri sonucuyla birlikte doğru olduğundan GEÇERLİ’dir.
Örnek 6) ∀x (Fx ⇒ ∼Gx), ∃xGx ∴ ∃x∼Fx sembolik çıkarımını “Fx: x uçucudur; Gx: x
gazdır” yorumlama biçimine göre yorumlayarak, “E: {oksijen, tahta}” evrenindeki açılımını
ve doğruluk değerini hesaplayınız?
Örnek 7) ∃x (Fx V ∼Gx), ∀x∼Gx ∴ ∃x∼Fx sembolik çıkarımını “Fx: x taşıttır; Gx: x
havayolu taşıtıdır” yorumlama biçimine göre yorumlayarak, “E: {uçak, planör}” evrenindeki
açılımını ve doğruluk değerini hesaplayınız?
5. Niceleme Mantığında Çözümleyici Çizelge İle Denetleme
Çözümleyici çizelge ile denetleme yöntemi önermeler mantığında kullanıldığı gibi
niceleme mantığında da kullanılır. Ancak niceleme mantığında çözümleyici çizelgenin
uygulanabilmesi için bazı yeni kurallara da ihtiyaç vardır. Bunlar çözümleme kuralları
(niceleyici değilleme kuralları) ile özelleme kurallarıdır.
a) Çözümleme Kuralları
1. Niceleyici Değilleme Kuralları ve Doğruluk Değeri Hesapları
Niceleyici değilleme kuralları, tümel önermenin tikel önermeye, tikel
önermenin tümel önermeye dönüştürülmesini sağlayan kurallardır. Tümel
niceleyicinin değillemesini tikel niceleyici, tikel niceleyicinin değillemesini tümel
niceleyici kılan bu kurallar ikiye ayrılır.
a) Tümel Niceleyicinin Değilleme Kuralı ve Doğruluk Hesabı
∼∀xFx ≡ ∃x∼Fx
Tümel niceleyicinin değillemesinde ∼∀xFx önermesi
eşdeğerdir.
∼∀xFx
∃x∼Fx önermesiyle
∃x∼Fx diye gösterilir.
Örnek 1) ∼∀x [(x sıvıdır.) ⇒ ∼(x katıdır.)] önermesinin “E: {Su, buz, likit yağı}”
evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız?
27 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU ∼∀x [(x sıvıdır.) ⇒ ∼(x katıdır.)]
∃x∼[(su sıvıdır.) ⇒ ∼(su katıdır.)]
∼[D ⇒ ∼Y]
∼[D ⇒ D]
∼[D]
Y
∃x∼[(buz sıvıdır.) ⇒ ∼(buz katıdır.)]
∼[Y ⇒ ∼D]
∼[D ⇒ D]
∼[D]
Y
∃x∼[(likit yağı sıvıdır.) ⇒ ∼(likit yağı katıdır.)]
∼[D ⇒ ∼Y]
∼[D ⇒ D]
∼[D]
Y
Y
V
Y
Y
V
Y
Verilen evrenin önermede hepsini birden doğrulayıcı yorumlaması yoktur.
Örnek 2) ∼∀x [(x hikayedir.) Λ (x Ömer Seyfettin’in eseridir.)] önermesinin “E:
{Diyet, Kaşağı, Kumpanya}” evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini
hesaplayınız?
∼∀x[(x hikayedir.) Λ (x Ömer Seyfettin’in eseridir.)]
∃x∼[(“Diyet” hikayedir.) Λ (“Diyet”, Ömer Seyfettin’in eseridir.)]
∼[D Λ D]
∼[D]
Y
∃x∼[(“Kaşağı” hikayedir.) Λ (“Kaşağı”, Ömer Seyfettin’in eseridir.)]
∼[D Λ D]
∼[D]
Y
28 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU ∃x∼[(“Yalnız Efe” hikayedir.) Λ (“Kumpanya”, Ömer Seyfettin’in eseridir.)]
∼[D Λ Y]
∼[Y]
D
Y
V
Y
D
V
D
Verilen evrenin önermede hepsini birden doğrulayan yorumlaması vardır.
Örnek 3) ∼∀x [(x Karadeniz’e dökülür.) ⇒ ∼(x Akdeniz’e dökülür.)] önermesinin
“E: {Kızılırmak, Çoruh, Seyhan}” evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini
hesaplayınız?
∼∀x [(x Karadeniz’e dökülür.) ⇒ ∼(x Akdeniz’e dökülür.)]
∃x∼[(Kızılırmak Karadeniz’e dökülür.) ⇒ ∼(Kızılırmak Akdeniz’e dökülür.)]
∼[D ⇒ ∼Y]
∼[D ⇒ D]
∼[D]
Y
∃x∼[(Çoruh Karadeniz’e dökülür.) ⇒ ∼(Çoruh Akdeniz’e dökülür.)]
∼[D ⇒ ∼Y]
∼[D ⇒ D]
∼[D]
Y
∃x∼[(Seyhan Karadeniz’e dökülür.) ⇒ ∼(Seyhan Akdeniz’e dökülür.)]
∼[Y ⇒ ∼D]
∼[Y ⇒ Y]
∼[D]
Y
Y
V
Y V
Y
Y
Verilen evrenin önermede hepsini birden doğrulayıcı yorumlaması yoktur.
29 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU Örnek 4) ∼∀x [(x ovadır.) ⇒ (x Akdeniz Bölgesi’ndedir.)] önermesinin “E:
{Çukurova, Bafra Ovası, Maraş Ovası}” evrenindeki açılımını yaparak doğruluk
değerini hesaplayınız?
∼∀x[(x ovadır.) ⇒ (x Akdeniz Bölgesindedir.)]
∃x∼[(Çukurova ovadır.) ⇒ (Çukurova Akdeniz Bölgesi’ndedir.)]
∼[D ⇒ D]
∼[D]
Y
∃x∼[(Bafra Ovası ovadır.) ⇒ ( Bafra Ovası Akdeniz Bölgesi’ndedir.)]
∼[D ⇒ Y]
∼[Y]
D
∃x∼[(Maraş Ovası ovadır.) ⇒ ( Maraş Ovası Akdeniz Bölgesi’ndedir.)]
∼[D ⇒ D]
∼[D]
Y
Y V D V Y
D
Verilen evrenin önermede hepsini birden doğrulayan yorumlaması vardır.
Örnek 6) ∼∀x ∼[(x enfeksiyon hastalığıdır.) ⇒ (x bulaşıcıdır.)] önermesinin “E:
{AIDS, kanser, verem}” evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini
hesaplayınız?
Örnek 7) ∼∀x [(x ağaçtır.) ⇒ (x geniş yapraklıdır.)] önermesinin “E: {Meşe, kayın,
ladin}” evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız?
b) Tikel Niceleyicinin Değilleme Kuralı ve Doğruluk Hesabı
∼ ∃xFx ≡ ∀x∼Fx
Tikel niceleyicinin değillemesinde de ∃x∼Fx önermesi ∼∀xFx önermesiyle
eşdeğerdir.
∃x∼Fx
∼∀xFx
diye gösterilir.
30 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU Örnek 1) ∼∃x[(x kanatlıdır.) Λ (x siyahtır.)] önermesinin “E: {Kumru, karga, leylek}”
evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız?
∼∃x [(x kanatlıdır.) Λ (x siyahtır.)]
∀x ∼[(kumru kanatlıdır.) Λ (kumru siyahtır.)]
∼[D Λ Y]
∼[Y]
D
∀x ∼[(karga kanatlıdır.) Λ (karga siyahtır.)]
∼[D Λ D]
∼[D]
Y
∀x ∼[(leylek kanatlıdır.) Λ (leylek siyahtır.)]
∼[D Λ Y]
∼[Y]
D
D
Λ
Y Λ D
Y
Verilen evrenin önermede hepsini birden doğrulayıcı yorumlaması yoktur.
Örnek 2) ∼∃x[(x > 1) Λ ∼(x < 6)] önermesinin “E: {2, 3, 5}” evrenindeki açılımını
yaparak doğruluk değerini hesaplayınız
∼∃x [(x > 1) Λ ∼(x < 6)]
∀x ∼[(2 > 1) Λ ∼(2 < 6)]
∼[D Λ ∼D]
∼[D Λ Y]
∼[Y]
D
∀x ∼[(3 > 1) Λ ∼(3 < 6)]
∼[D Λ ∼D]
∼[D Λ Y]
∼[Y]
D
31 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU ∀x ∼[(5 > 1) Λ ∼(5 < 6)]
∼[D Λ ∼D]
∼[D Λ Y]
∼[Y]
D
D
Λ D Λ D
D
Verilen evrenin önermede hepsini birden doğrulayıcı yorumlaması vardır.
Örnek 3) ∼∃x[(x masal kahramanıdır.) Λ (x akıllıdır.)] önermesinin “E: {Dev,
Keloğlan, Köroğlu}” evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız?
∼∃x [(x masal kahramanıdır.) Λ (x akıllıdır.)]
∀x ∼[(Dev masal kahramanıdır.) Λ (Dev akıllıdır.)]
∼[D Λ Y]
∼[Y]
D
∀x ∼[(Keloğlan masal kahramanıdır.) Λ (Keloğlan akıllıdır.)]
∼[D Λ D]
∼[D]
Y
∀x ∼[(Köroğlu masal kahramanıdır.) Λ (Köroğlu akıllıdır.)]
∼[D Λ D]
∼[D]
Y
D
Λ
Y Λ
Y
Y
Verilen evrenin önermede hepsini birden doğrulayıcı yorumlaması yoktur.
Örnek 4) ∼∃x[(x metaldir.) ⇒ (x iletkendir.)] önermesinin “E: {Gümüş, bakır, altın}”
evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız?
32 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU ∼∃x[(x metaldir.) ⇒ (x iletkendir.)]
∀x ∼[(Gümüş metaldir.) ⇒ (Gümüş iletkendir.)]
∼[D Λ D]
∼[D]
Y
∀x ∼[(Bakır metaldir.) ⇒ (Bakır iletkendir.)]
∼[D Λ D]
∼[D]
Y
∀x ∼[(Altın metaldir.) ⇒ (Altın iletkendir.)]
∼[D Λ Y]
∼[Y]
D
Y
Λ
Y
Y
Λ
Y
Verilen evrenin önermede hepsini birden doğrulayıcı yorumlaması yoktur.
Örnek 5) ∼∃x[(x Doğu Anadolu Bölgesindedir.) Λ (x dağdır.)] önermesinin “E:
{Palandöken Dağları, Ağrı Dağı, Kaçkar Dağları, Süphan Dağı}” evrenindeki
açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız?
Örnek 6) ∼∃x[(x genetik hastalıktır.) Λ (x bulaşıcıdır.)] önermesinin “E: {Diyabet,
AIDS, lenfoma, HIV}” evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız?
2. Özelleme Kuralları
a) Tümel Özelleme Kuralı
Niceleme mantığında çözümleyici çizelge ile denetleme yapılırken, açık bir yol
üzerinde ∀xFx gibi bir tümel niceleme önermesi geçiyorsa, bu önermenin özellemesi,
bu yol üzerindeki önermelerin herhangi birinde geçen “a” gibi bir ad sembolü ve “F”
gibi bir yüklem sembolü kullanılarak yapılır. Tümel özelleme kaldırılarak daha önce
yol üzerinde geçmiş olan herhangi bir ad sembolü yoksa özelleme isteğe bağlı olarak
seçilen bir ad sembolü ile yapılır. Daha önce geçmiş bir ad sembolü varsa bilinmezin
yerine daha önce geçen ad sembolü konur. Yol üzerinde birden fazla ad sembolü
bulunuyorsa, tümel özellemenin özellemesi ayrı ayrı yapılır. Tümel özelleme kuralı
aşağıdaki gibi gösterilir.
33 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU ∀xFx
veya
Fa
∀xPx
Pa
Örnek 1) ∀xGx, Fb ∴ Gb çıkarımını özelleyerek çözümleyici çizelge ile denetleyiniz?
1. ∀xGx (Önc.)
Fb (Önc.)
∼Gb (∼Snç.)
Gb (1)
X
Yol kapalıdır.
Örnek 2) ∀x(∼Fx ⇒ ∼Gx), Gc ∴ Fc çıkarımını özelleyerek çözümleyici çizelge ile
denetleyiniz?
1. ∀x(∼Fx ⇒ ∼Gx) (Önc.)
Gc (Önc.)
∼Fc (∼Snç.)
2. ∼Fc ⇒ ∼Gc (1)
(2)
∼∼Fc
∼Gc
X
X
Tüm yollar kapalıdır.
Örnek 3) ∀xFb, ∀x(∼Fx V Gx), ∀xFx önermelerini özelleyerek çözümleyici çizelge
ile denetleyiniz?
1. ∀xFb (Ö.)
3. ∀x(Fx V Gx) (Ö.)
2. ∀xFx (Ö.)
Fb (1)
Fb (2)
4. Fb V Gb (3)
(4)
∼Fb
Gb
X
↓
Bir yol açıktır.
34 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU Örnek 4) ∀x(Fx ⇔ Gx), ∼Gc ∴ ∼Fc V Gc çıkarımını özelleyerek çözümleyici çizelge
ile denetleyiniz?
2. ∀x(Fx ⇔ Gx) (Önc.)
∼Gc (Önc.)
1. ∼(∼Fc V Gc) (∼Snç.)
∼∼Fc
(1)
∼Gc
3. Fx ⇔ Gx (2)
(3)
Fc
Gc
X
∼Fc
∼Gc
X
Tüm yollar kapalıdır.
Örnek 5) ∀xFx, ∀x∼Fx önermelerini özelleyerek çözümleyici çizelge ile
denetleyiniz?
1. ∀xFx (Ö.)
2. ∀x∼Fx (Ö.)
Fa (1)
∼Fa (2)
X
Yol kapalıdır.
Örnek 6) ∀x(∼Fx V Gx), Fx ⇒ ∼Gx ∴ ∀x∼(Fc ⇒ ∼Gc) çıkarımını özelleyerek
çözümleyici çizelge ile denetleyiniz?
Örnek 7) ∀x(Fx Λ Gx), Fx ⇒ Gx ∴ ∀x∼(Fb V Gb) çıkarımını özelleyerek
çözümleyici çizelge ile denetleyiniz?
b) Tikel Özelleme Kuralı
Çözümleyici çizelge üzerindeki açık yol veya yollar üzerinde ∃xFx gibi bir
tikel niceleme önermesi varsa, bu önermeyi özellemek için, açık yol üzerinde daha
önce geçmiş olan herhangi bir ad sembolü bulunup bulunmadığına bakılır. Yol
üzerinde bir ad sembolü geçiyorsa, tikel niceleme önermesinin özellemesi, bu ad
sembolünden farklı bir ad sembolü seçilerek yapılır. Tikel özelleme kuralı şöyle
gösterilir:
35 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU ∃xFx
veya
Fa
∃xPx
Pa
Örnek 1) ∃xFx, ∃x(Fx V ∼Ga) önermelerini özelleyerek çözümleyici çizelge ile
denetleyiniz?
1. ∃xFx (Ö.)
2. ∃x(Fx V ∼Ga) (Ö.)
Fa (1)
3. Fb V ∼Ga (2)
(3)
Fb
∼Ga
↓
↓
Yollar açıktır.
Örnek 2) ∃x(Gx Λ Ga) ∴ Fa çıkarımını özelleyerek çözümleyici çizelge ile
denetleyiniz?
1. ∃x(Gx Λ Ga) (Önc.)
∼Fa (∼Snç.)
2. Gb Λ Ga (1)
Gb
(2)
Ga
Yol açıktır.
Örnek 3) ∃x(Fx Λ Gx), Fa ∴ Ga çıkarımını özelleyerek çözümleyici çizelge ile
denetleyiniz?
1. ∃x(Fx Λ Gx) (Önc.)
Fa (Önc.)
∼Fa (∼Snç.)
2. Fb Λ Gb (1)
Fb
(2)
Gb
↓
Yol açıktır.
36 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU Örnek 4) ∃x(Fx Λ Gx), Fx ⇒ ∼Gx ∴ Fa V Ga çıkarımını özelleyerek çözümleyici
çizelge ile denetleyiniz?
1. ∃x(Fx Λ Gx) (Önc.)
4. Fx ⇒ ∼Gx (Önc.)
3. ∼(Fa V Ga) (∼Snç.)
2. Fb Λ Gb (1)
Fb
(2)
Gb
Fa
(3)
Ga
5. Fc ⇒ ∼Gc (4)
(5)
∼Fc
↓
∼Gc
↓
Tüm yollar açıktır.
Örnek 5) ∃x(Fx Λ Ga) ∴ Ga çıkarımını özelleyerek çözümleyici çizelge ile
denetleyiniz?
1. ∃x(Fx Λ Ga) (Önc.)
∼Ga (∼Snç.)
2. Fb Λ Ga (1)
Fb
(2)
Ga
X
Yol kapalıdır.
Örnek 6) ∃x∼(Fx ⇒ Gx), Fx Λ ∼Gx ∴ ∼Fa ⇒ Ga çıkarımını özelleyerek çözümleyici
çizelge ile denetleyiniz?
Örnek 7) ∃x(∼Fx V Gx), Fx ⇒ Gx ∴ ∼Fb ⇒ ∼Gb çıkarımını özelleyerek çözümleyici
çizelge ile denetleyiniz?
b) Niceleme Mantığında Denetleme
Niceleme mantığında önermelerin tutarlılık, geçerlilik, eşdeğerlik, çıkarımların
geçerlilik denetlemesi yalnızca çözümleyici çizelgeyle yapılabilir. Önermeler mantığında
geçerli olan kurallar niceleme mantığında da geçerlidir. Tekil önermelerin çözümlenip
denetlenmesinde önermeler mantığının çözümleme kuralları yeterlidir. Ancak, genel
önermelerin çözümlenip denetlenmesinde önermeler mantığının çözümleme kuralları yanında
37 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU niceleme mantığına özgü kurallara da ihtiyaç vardır. Bu kurallar uygulanmaksızın niceleme
mantığında denetleme yapılamaz. Bunlar önceki ünitede öğrenmiş olduğumuz niceleyici
değilleme kuralları ve özelleme kurallarıdır.
c) Niceleme Mantığında Denetlemede İşlem Akışı
Niceleme mantığında çözümleyici çizelge ile denetleme yapılırken her adımda takip
edilmesi gereken işlem önceliği vardır. Bu işlem akışı öncelik sırasına göre aşağıdaki gibidir.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Tümel niceleyici değilleme kuralı
Tikel niceleyici değilleme kuralı
Alt alta yazma kuralları
Tikel özelleme kuralı
Çatal açma kuralları
Tümel özelleme kuralı
d) Çözümleyici Çizelge İle Denetleme
1. Tek Bir Önermenin Tutarlılığının Denetlenmesi
Niceleme mantığında çözümleyici çizelge ile tek bir önermenin tutarlığını
denetleyebilmek için önce önerme işlem akışı sırasına göre denetlenir. Denetleme sonucuna
göre bir veya birden fazla yol açık ise önerme tutarlı, tüm yollar kapalı ise önerme tutarsızdır.
Örnek 1) ∼∀xFx Λ ∼∃xFx önermesinin tutarlı olup olmadığını denetleyiniz?
1. ∼∀xFx Λ ∼∃xFx (Ö.)
2. ∼∀xFx
(1)
(1. Adımda alt alta yazma kuralı uygulandı.)
3. ∼∃xFx
4. ∃x∼Fx (2)
(2. Adımda tümel niceleyici değilleme kuralı uygulandı.)
5. ∀x∼Fx (3)
(3. Adımda tikel niceleyici değilleme kuralı uygulandı.)
∼Fa (4)
(4. Adımda tikel özelleme kuralı uygulandı.)
∼Fa (5)
(5. Adımda tümel özelleme kuralı uygulandı.)
↓
Yol açık olduğundan önerme TUTARLI’dır.
Örnek 2) ∀xGx ⇒ ∃xFx önermesinin tutarlı olup olmadığını denetleyiniz?
1. ∀xGx ⇒ ∃xFx (Ö.)
(1)
2. ∼∀xGx
4. ∃xFx
3. ∃x∼Gx (2)
Fa (4)
∼Ga (3)
↓
↓
Yollar açık olduğundan önerme TUTARLI’dır.
38 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU Örnek 3) ∀x(Fx Λ Gx)
denetleyiniz?
⇒
(∀xFx
V
∀xGx) önermesinin tutarlı olup olmadığını
1. ∀x(Fx Λ Gx) ⇒ (∀xFx V ∀xGx) Ö.
(1)
2. ∼∀x(Fx Λ Gx)
3. ∃x∼(Fx Λ Gx) (2)
4. ∼(Fa Λ Ga) (3)
(4)
∼Fa
↓
∼Ga
↓
5. ∀xFx V ∀xGx
6. Fa V Ga (5)
(6)
Fa
↓
Ga
↓
Tüm yollar açık olduğundan önerme TUTARLI’dır.
Örnek 4) ∃x(Fx Λ ∼Fx) önermesinin tutarlı olup olmadığını denetleyiniz?
1. ∃x(Fx Λ ∼Fx) (Ö.)
2. (Fa Λ ∼Fa) (1)
Fa
(2)
∼Fa
X
Yol kapalı olduğundan önerme TUTARSIZ’dır.
Örnek 5) ∃x∼(Fx ⇒ ∼Fx) önermesinin tutarlı olup olmadığını denetleyiniz?
1. ∃x∼(Fx ⇒ ∼Fx) Ö.
2. ∼(Fa ⇒ ∼Fa) (1)
Fa
(2)
Fa
↓
Yol açık olduğundan önerme TUTARLI’dır.
Örnek 6) ∃x(Fx V ∼Gx) Λ ∼∀x(∼Fx ⇒ ∼Gx) önermesinin tutarlı olup olmadığını
denetleyiniz?
39 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU 1. ∃x(Fx V ∼Gx) Λ ∼∀x(∼Fx ⇒ ∼Gx) (Ö.)
5. ∃x(Fx V ∼Gx)
(1)
2. ∼∀x(∼Fx ⇒ ∼Gx)
3. ∃x ∼(∼Fx ⇒ ∼Gx) (2)
4. ∼(∼Fa ⇒ ∼Ga) (3)
∼Fa
(4)
Ga
6. Fa V ∼Ga (5)
(6)
Fa
X
∼Ga
X
Tüm yollar kapalı olduğundan önerme TUTARSIZ’dır.
Örnek 7) ∀xGx V ∃x(Hx ⇒ Hx) önermesinin tutarlı olup olmadığını denetleyiniz?
1. ∀xGx V ∃x(Hx ⇒ Hx) (Ö.)
(1)
2. ∃x(Hx ⇒ Hx)
3. Ha ⇒ Ha (2)
4. ∀xGx
Ga (4)
↓
(3)
∼Ha
↓
Ha
↓
Tüm yollar açık olduğundan önerme TUTARLI’dır.
Örnek 8) ∀x(Fx ⇒ Fx) ⇒ ∃x∼(Fx ⇒ Fx) önermesinin tutarlı olup olmadığını denetleyiniz?
1. ∀x(Fx ⇒ Fx) ⇒ ∃x∼(Fx ⇒ Fx) (Ö.)
(1)
2. ∼∀x(Fx ⇒ Fx)
3. ∃x∼(Fx ⇒ Fx)(2)
4. ∼(Fa ⇒ Fa)(3)
Fa
(4)
∼Fa
X
5. ∃x∼(Fx ⇒ Fx)
6. ∼(Fa ⇒ Fa) (5)
Fa
(6)
∼Fa
X
Tüm yollar kapalı olduğundan önerme TUTARSIZ’dır.
40 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU Örnek 9) ∼∃x(Fx V Gx) ⇒ ∼(∃xFx Λ ∃xGx) önermesinin tutarlı olup olmadığını
denetleyiniz?
Örnek 10) ∼∀x∼(Fx Λ Gx) V (∼∀xFx ⇒ ∼∀xGx) önermesinin tutarlı olup olmadığını
denetleyiniz?
2. Birden Fazla Önermelerin Tutarlılığının Denetlenmesi
Niceleme mantığında çözümleyici çizelge ile birden fazla önermelerin tutarlılığı
denetlenirken önce önermeler alt alta yazılır. Sonra önermeler işlem akışı sırasına göre
denetlenir. Denetleme sonucuna göre bir veya birden çok yol açık ise önermeler tutarlı, tüm
yollar kapalı ise önermeler tutarsızdır.
Örnek 1) ∀xFx , ∼Fa önermelerinin bir arada tutarlı olup olmadığını denetleyiniz?
1. ∀xFx Ö.
∼Fa Ö.
Fa (1)
X
Yol kapalı olduğundan önermeler birbirleriyle TUTARSIZ’dır.
Örnek 2) ∃x(Fx ⇒ ∼Fx), Gb önermelerinin bir arada tutarlı olup olmadığını denetleyiniz?
1. ∃x(Fx ⇒ ∼Fx) (Ö.)
Gb (Ö.)
2. Fa ⇒ ∼Ga (1)
(2)
Fa
↓
∼Ga
↓
Tüm yollar açık olduğundan önermeler birbirleriyle TUTARLI’dır.
Örnek 3) ∼∀x(Gx V Hx), ∃x(∼Gx Λ Hx) önermelerinin bir arada tutarlı olup olmadığını
denetleyiniz?
1. ∼∀x(Gx V Hx) (Ö.)
2. ∃x(∼Gx Λ Hx) (Ö.)
4. ∃x∼(Gx V Hx) (1)
3. ∼Ga Λ Ha (2)
∼Ga
(3)
Ha
5. ∼(Gx V Hx) (4)
∼Ga
(5)
∼Ha
X
Yol kapalı olduğundan önermeler birbirleriyle TUTARSIZ’dır.
41 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU Örnek 4) ∀xFx ⇒ Hc, ∼Hc önermelerinin bir arada tutarlı olup olmadığını denetleyiniz?
1. ∀xFx ⇒ Hc (Ö.)
∼Hc (Ö.)
(1)
∼∀xFx
Hc
∃x∼Fx
X
∼Fa
↓
En az bir yol açık olduğundan önermeler birbirleriyle TUTARLI’dır.
Örnek 5) ∼∃xGx, ∃x∼(Gx ⇒ Fx) önermelerinin bir arada tutarlı olup olmadığını
denetleyiniz?
1. ∼∃xGx (Ö.)
2. ∃x∼(Gx ⇒ Fx) (Ö.)
4. ∀x∼Fx (1)
3. ∼(Ga ⇒ Fa) (2)
Ga
(3)
∼Fa
∼Ga (4)
X
Yol kapalı olduğundan önermeler birbirleriyle TUTARSIZ’dır.
Örnek 6) ∀x∼Fx Λ ∃xGx, ∀x(Fx ⇔ Gx) önermelerinin bir arada tutarlı olup olmadığını
denetleyiniz?
1. ∀x∼Fx Λ ∃xGx (Ö.)
6. 4. ∀x(Fx ⇔ Gx) (Ö.)
2. ∀x∼Fx
(1)
3. ∃xGx
∼Fa (2)
Gb (3)
5. Fa ⇔ Ga (4)
(5)
Fa
Ga
X
∼Fa
∼Ga
7. Fb ⇔ Gb (6)
(7)
Fb
Gb
↓
∼Fb
∼Gb
X
En az bir yol açık olduğundan önermeler birbirleriyle TUTARLI’dır.
42 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU Örnek 7) ∃x(Gx ⇒ ∼Fx), Fa önermelerinin bir arada tutarlı olup olmadığını denetleyiniz?
1. ∃x(Gx ⇒ ∼Fx) (Ö.)
Fa (Ö.)
2. Gb ⇒ ∼Fb (1)
(2)
∼Gb
↓
∼Gb
↓
Tüm yollar açık olduğundan önermeler birbirleriyle TUTARLI’dır.
Örnek 8) ∀x(Gx V Hx), ∃xGx önermelerinin bir arada tutarlı olup olmadığını denetleyiniz?
2. ∀x(Gx V Hx) (Ö.)
1. ∃xGx (Ö.)
Ga (1)
3. Ga V Ha (2)
Ga
↓
Ha
↓
Tüm yollar açık olduğundan önermeler birbirleriyle TUTARLI’dır.
Örnek 9) ∼∀xFx, ∼∃xFx önermelerinin bir arada tutarlı olup olmadığını denetleyiniz?
1. ∼∀xFx (Ö.)
2. ∼∃xFx (Ö.)
3. ∃x∼Fx (1)
4. ∀x∼Fx (2)
∼Fa (3)
∼Fa (4)
↓
Yol açık olduğundan önermeler birbirleriyle TUTARLI’dır.
Örnek 10) ∀x∼(Fx V Gx) Λ Fx, ∼∃xFx V ∀xGx önermelerinin bir arada tutarlı olup
olmadığını denetleyiniz?
Örnek 11) ∼∃x∼(Fx ⇒ Gx) Λ Fx, ∃xFx ⇒ ∼∀xGx önermelerinin bir arada tutarlı olup
olmadığını denetleyiniz?
3. Önermelerin Geçerliliğinin Denetlenmesi
Niceleme mantığında çözümleyici çizelge ile önermelerin geçerliliği denetlenirken
önce önermenin tümünün değili alınır. Sonra işlem akışı sırasına göre önerme denetlenir.
Denetleme sonucuna göre tüm yollar kapalı ise önerme geçerli, en az bir yol bile açıksa
önerme geçersizdir. Buna göre geçerli olan her önerme tutarsız, geçersiz olan her önerme ise
tutarlıdır.
43 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU Örnek 1) ∃x [(Fx Λ Gx) ⇒ Fx] önermesinin geçerli olup olmadığını denetleyiniz?
1. ∼∃x [(Fx Λ Gx) ⇒ Fx] (∼Ö.)
2. ∀x∼ [(Fx Λ Gx) ⇒ Fx] (1)
3. (Fa Λ Ga) ⇒ Fa (2)
4. Fa Λ Ga
(3)
∼Fa
Fa
(4)
Ga
X
Önermenin değillemesi tutarsız olduğundan önerme GEÇERLİ’dir.
Örnek 2) ∀x(Gx ⇒ Hx) V ∃xGx önermesinin geçerli olup olmadığını denetleyiniz?
1. ∼[∀x(Gx ⇒ Hx) V ∃xGx] (∼Ö.)
4. ∀x(Gx ⇒ Hx)
(1)
2. ∼∃xGx
3. ∀x∼Gx (2)
∼Ga (3)
5. Ga Λ Ha (4)
(5)
Ha
↓
∼Ga
↓
Önermenin değillemesi tutarlı olduğundan önerme GEÇERSİZ’dir.
Örnek 3) ∀x[(Fx ⇒ Gx) ⇒ (∀xFx ⇒ ∀xGx) önermesinin geçerli olup olmadığını
denetleyiniz?
1. ∼[∀x[(Fx ⇒ Gx) ⇒ (∀xFx ⇒ ∀xGx)] (∼Ö.)
5. ∀x[(Fx ⇒ Gx)
(1)
2. ∼(∀xFx ⇒ ∀xGx)
7. ∀xFx
(2)
3. ∼∀xFx
4. ∃x∼Fx (3)
∼Fa (4)
6. Fa ⇒ Ga (5)
(6)
∼Fa
Fa (7)
X
Ga
X
Önermenin değillemesi tutarsız olduğundan önerme GEÇERLİ’dir.
44 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU Örnek 4) (∃xFx Λ ∃xGx) ⇒ ∃x(Fx Λ Gx) önermesinin geçerli olup olmadığını denetleyiniz?
1. ∼[(∃xFx Λ ∃xGx) ⇒ ∃x(Fx Λ Gx)] (∼Ö.)
3. ∃xFx Λ ∃xGx
(1)
2. ∼∃x(Fx Λ Gx)
8. 6. ∀x∼(Fx Λ Gx) (2)
4. ∃xFx
(3)
5. ∃xGx
Fa (4)
Gb (5)
7. ∼(Fa Λ Ga) (6)
(7)
∼Fa
X
∼Ga
9. ∼(Fb Λ Gb) (8)
(9)
∼Fb
↓
∼Gb
X
Önermenin değillemesi tutarlı olduğundan önerme GEÇERSİZ’dir.
Örnek 5) ∃x[(Fx Λ Gx) ⇒ (∃xFx Λ ∃xGx) önermesinin geçerli olup olmadığını denetleyiniz?
1. ∼[∃x[(Fx Λ Gx) ⇒ (∃xFx Λ ∃xGx)] (∼Ö.)
2. ∃x[(Fx Λ Gx)
(1)
4. ∼(∃xFx Λ ∃xGx)
3. Fa Λ Ga (2)
Fa
(3)
Ga
(4)
5. ∼∃xFx
7. ∀x∼Fx (5)
∼Fa (7)
X
6. ∼∃xGx
8. ∀x∼Gx (6)
∼Ga (8)
X
Önermenin değillemesi tutarsız olduğundan önerme GEÇERLİ’dir.
Örnek 6) ∀x[(Fx Λ Gx) ⇒ Gx)] önermesinin geçerli olup olmadığını denetleyiniz?
45 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU 1. ∼∀x[(Fx Λ Gx) ⇒ Gx)] (∼Ö.)
2. ∃x∼[(Fx Λ Gx) ⇒ Gx)] (1)
3. ∼[(Fa Λ Ga) ⇒ Ga)] (2)
4. Fa Λ Ga
(3)
∼Ga
Fa
(4)
Ga
X
Önermenin değillemesi tutarsız olduğundan önerme GEÇERLİ’dir.
Örnek 7) (∃xFx ⇒ ∃xGx) ⇒ ∃x(Fx ⇒ Gx) önermesinin geçerli olup olmadığını denetleyiniz?
1. ∼[(∃xFx ⇒ ∃xGx) ⇒ ∃x(Fx ⇒ Gx)] (∼Ö.)
3. ∃xFx ⇒ ∃xGx
(1)
2. ∼∃x(Fx ⇒ Gx)
7. ∀x∼(Fx ⇒ Gx) (2)
(3)
4. ∼∃xFx
6. ∀x∼Fx (4)
∼Fx (6)
8. ∼(Fa ⇒ Ga) (7)
Fa
(8)
∼Ga
X
5. ∃xGx
Ga (5)
9. ∼(Fa ⇒ Ga) (7)
Fa
(9)
∼Ga
X
Önermenin değillemesi tutarsız olduğundan önerme GEÇERLİ’dir.
Örnek 8) ∀x(Fx ⇒ Ga) V ∃x(Fa ⇒ Gx) önermesinin geçerli olup olmadığını denetleyiniz?
4. Çıkarımların Geçerliliğinin Denetlenmesi
Niceleme mantığında çözümleyici çizelge ile çıkarımların geçerliliği denetlenirken
önce sonuç önermesinin değili alınır. Sonra işlem akışı sırasına göre çıkarım denetlenir.
Denetleme sonucuna göre tüm yollar kapalı ise çıkarım geçerli, en az bir yol bile açıksa
çıkarım geçersizdir. Buna göre geçerli olan her çıkarım tutarsız, geçersiz olan her çıkarım ise
tutarlıdır.
Örnek 1) ∃x(Fx Λ Gx), ∀x∼Fx ∴ ∀x(Fx ⇒ Gx) Ga çıkarımının geçerli olup olmadığını
denetleyiniz?
46 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU 2. ∃x (Fx Λ Gx) (Önc.)
6. ∀x∼Fx (Önc.)
1. ∼∀x(Fx ⇒ Gx) (∼Snç.)
4. ∃x∼(Fx Λ Gx) (1)
3. Fa Λ Ga (2)
Fa
(3)
Ga
5. ∼(Fb ⇒ Gb) (4)
Fb
(5)
∼Gb
∼Fa (6)
X
Öncülle sonucun değillemesi bir arada tutarsız olduğundan çıkarım GEÇERLİ’dir.
Örnek 2) ∀xFx, ∃x(Hx Λ Gx) ∴ ∀x(Fx Λ Gx) çıkarımının geçerli olup olmadığını
denetleyiniz?
7. 6. ∀xFx (Önc.)
2. ∃x(Hx Λ Gx) (Önc.)
1. ∼∀x(Fx Λ Gx) (∼Snç.)
4. ∃x∼(Fx Λ Gx) (1)
3. Ha Λ Ga (2)
Ha
(3)
Ga
5. ∼(Fb Λ Gb) (4)
(5)
∼Fb
Fa (6)
Fb (7)
X
∼Gb
Fa (6)
Fb (7)
↓
Öncülle sonucun değillemesi bir arada tutarlı olduğundan çıkarım GEÇERSİZ’dir.
Örnek 3) ∀xFx ∴ ∃xGx çıkarımının geçerli olup olmadığını denetleyiniz?
2. ∀xFx (Önc.)
1. ∼∃xGx (∼Snç.)
3. ∀x∼Fx (1)
Fa (2)
∼Fa (3)
X
Öncülle sonucun değillemesi bir arada tutarsız olduğundan çıkarım GEÇERLİ’dir.
47 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU Örnek 4) ∃x (Gx Λ ∼Fx) ∴ ∃x (Gx Λ ∼Fx) çıkarımın geçerli olup olmadığını denetleyiniz?
2. ∃x (Gx
1. ∼∃x (Gx
4. ∀x∼(Gx
3. Ga
Λ ∼Fx) (Önc.)
Λ ∼Fx) (∼Snç.)
Λ ∼Fx) (1)
Λ ∼Fa (2)
Ga
(3)
∼Fa
5. ∼(Gx Λ ∼Fx) (4)
(5)
Ha
↓
∼Ga
X
Öncülle sonucun değillemesi bir arada tutarlı olduğundan çıkarım GEÇERSİZ’dir.
Örnek 5) Fa V Gb ∴ ∃x (Fx V Gx) çıkarımının geçerli olup olmadığını denetleyiniz?
2. Fa V Gb (Önc.)
1. ∼∃x(Fx V Gx) (∼Snç.)
3. ∀x∼(Fx V Gx) (1)
(2)
Fa
4. ∼(Fx V Gx) (3)
∼Fa
(4)
∼Ga
X
Gb
5. ∼(Fx V Gx) (3)
∼Fb
(5)
∼Gb
X
Öncülle sonucun değillemesi bir arada tutarsız olduğundan çıkarım GEÇERLİ’dir.
Örnek 6) ∃xGx ∴ ∃x(Gx V Fx) çıkarımının geçerli olup olmadığını denetleyiniz?
2. ∃xGx (Önc.)
1. ∼∃x(Gx V Fx) (∼Snç.)
3. ∀x∼(Ga V Fa) (1)
Ga (2)
4. ∼(Ga V Fa) (3)
∼Ga
(4)
∼Fa
X
Öncülle sonucun değillemesi bir arada tutarsız olduğundan çıkarım GEÇERLİ’dir.
48 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU Örnek 7) ∃x (Fx Λ Gx) ∴ ∀x (Fx V Gx) çıkarımının geçerli olup olmadığını denetleyiniz?
2. ∃x(Fx Λ Gx) (Önc.)
1. ∼∀x (Fx V Gx) (∼Snç.)
4. ∃x∼(Fx Λ Gx) (1)
3. Fa Λ Ga (2)
Fa
(3)
Ga
5. ∼(Fb Λ Gb) (4)
∼Fb
(5)
∼Gb
↓
Öncülle sonucun değillemesi bir arada tutarlı olduğundan çıkarım GEÇERSİZ’dir.
Örnek 8) ∃x (Fx V Gx), Fa ∴ Ga çıkarımının geçerli olup olmadığını denetleyiniz?
1. ∃x (Fx V Gx) (Önc.)
Fa (Önc.)
∼Ga (∼Snç.)
2. Fb V Gb (1)
(2)
Fb
↓
Gb
↓
Öncülle sonucun değillemesi bir arada tutarlı olduğundan çıkarım GEÇERSİZ’dir.
Örnek 9) ∀x(Fx V Gx), Fa ∴ ∃x(∼Fx ⇒ Gx) çıkarımının geçerli olup olmadığını
denetleyiniz?
Örnek 10) ∃x(Fx ⇒ Gx), ∀x(∼Fx Λ Gx) ∴ ∃x(∼Fx V Gx) çıkarımının geçerli olup olmadığını
denetleyiniz?
5. Önermelerin Eşdeğerliliğinin Denetlenmesi
Niceleme mantığında çözümleyici çizelge ile önermelerin eşdeğerliliği denetlenirken
önce önermeler birbirlerine karşılıklı koşul eklemiyle (⇔) bağlanarak bir koşul önermesi
oluşturulur. Sonra elde edilmiş olunan bu karşılıklı koşul önermesinin değili alınarak
geçerliliği işlem akışı sırasına göre denetlenir. Denetleme sonucuna göre önerme geçerli
çıkarsa önermeler birbirleriyle eşdeğerdir, geçersiz çıkarsa önermeler birbirleriyle eşdeğer
değildir.
49 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU Örnek 1) ∃x∼(∼Fx V Gx), ∃x(Fx Λ ∼Gx) önermelerinin eşdeğer olup olmadıklarını
denetleyiniz?
1. ∼[∃x∼(∼Fx V Gx) ⇔ ∃x(Fx Λ ∼Gx)] (∼Ö.)
(1)
3. ∃x∼(∼Fx V Gx
2. ∼∃x(Fx Λ ∼Gx)
5. ∀x∼(Fx Λ ∼Gx) (2)
4. ∼(∼Fa V Ga) (3)
Fa
(4)
∼Ga
6. ∼(Fa Λ ∼Ga) (5)
7. ∼∃x(∼Fx V Gx)
8. ∃x(Fx Λ ∼Gx)
10. ∀x(∼Fx V Gx) (7)
9. Fa Λ ∼Ga) (8)
Fa
(9)
∼Ga
11. ∼Fa V Ga (10)
(6)
(11)
Ga
X
∼Fa
X
Ga
X
∼Fa
X
Karşılıklı koşul önermesinin değili geçerli olduğundan önermeler EŞDEĞER’dir.
Örnek 2) ∃x∼(∼Fx ⇒ Gx), ∃x(Fx Λ ∼Gx) önermelerinin eşdeğer olup olmadıklarını
denetleyiniz?
1. ∼[∃x∼(∼Fx ⇒ Gx) ⇔ ∃x(Fx Λ ∼Gx)] (∼Ö.)
(1)
3. ∃x∼(∼Fx ⇒ Gx)
2. ∼∃x(Fx Λ ∼Gx)
5. ∀x∼(Fx Λ ∼Gx) (2)
4. ∼(∼Fa ⇒ Ga) (3)
Fa
(4)
∼Ga
6. ∼(Fx Λ ∼Gx) (5)
7. ∼∃x∼(∼Fx ⇒ Gx)
8. ∃x(Fx Λ ∼Gx)
10. ∀x(∼Fx ⇒ Gx) (7)
9. Fa Λ ∼Ga (8)
Fa
(9)
∼Ga
11. (∼Fx ⇒ Gx) (10)
(6)
∼Fa
X
(11)
Ga
X
∼Fa
X
Ga
X
Karşılıklı koşul önermesinin değili geçerli olduğundan önermeler EŞDEĞER’dir.
Örnek 3) ∀x(Fx ⇒ Gx), ∼∃x∼(Fx V ∼Gx) önermelerinin eşdeğer olup olmadıklarını
denetleyiniz?
50 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU 1. ∼[∀x(Fx ⇒ Gx) ⇔ ∼∃x∼(Fx V ∼Gx)] (∼Ö.)
(1)
4. ∀x(Fx ⇒ Gx)
2. ∃x∼(Fx V ∼G
3. ∼(Fa V ∼Ga) (2)
∼Fa
(3)
Ga
5. Fa ⇒ Ga (4)
6. ∼∀x(Fx ⇒ Gx)
7. ∼∃x∼(Fx V ∼Gx)
8. ∼∃x∼(Fx ⇒ Gx) (6)
10. ∀x∼(Fx V ∼Gx) (7)
9. ∼(Fa ⇒ Ga) (8)
Fa
(9)
∼Ga
11. ∼(Fx V ∼Gx) (10)
∼Fa
(11)
Ga
X
(5)
Ga
↓
∼Fa
↓
Karşılıklı koşul önermesinin değili geçerli olmadığından önermeler EŞDEĞER DEĞİL’dir.
Örnek 4) ∀x(Fx ⇒ Ga),
denetleyiniz?
∼∃x(Fx V Ga)
önermelerinin eşdeğer olup olmadıklarını
1. ∼[∀x(Fx ⇒ Ga) ⇔ ∼∃x(Fx V Ga)] (∼Ö.)
(1)
4. ∀x(Fx ⇒ Ga)
2. ∃x(Fx V Ga)
3. Fa V Ga (2)
(3)
Fa
5. Fa ⇒ Ga (4)
(5)
∼Fa
X
Ga
6. Fa ⇒ Ga (4)
(6)
Ga ∼Fa
↓
↓
Ga
↓
7. ∼∀x(Fx ⇒ Ga)
8. ∼∃x(Fx V Ga)
9. ∃x∼(Fx ⇒ Ga) (7)
13. 11. ∀x∼(Fx V Ga) (8)
10. ∼(Fb ⇒ Ga) (9)
Fb
(10)
∼Ga
12. ∼(Fa V Ga) (11)
∼Fa
(12)
∼Ga
14. ∼(Fb V Ga) (13)
∼Fb
(14)
∼Ga
X
Karşılıklı koşul önermesinin değili geçerli olmadığından önermeler EŞDEĞER DEĞİL’dir.
51 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU Örnek 5) ∃x(Fx Λ Gx), ∼∀x∼(Fx Λ Gx) önermelerinin eşdeğer olup olmadıklarını
denetleyiniz?
1. ∼[∃x(Fx Λ Gx) ⇔ ∼∀x∼(Fx Λ Gx)] (∼Ö.)
(1)
2. ∃x(Fx Λ Gx)
4. ∀x∼(Fx Λ Gx)
3. Fa Λ Ga (2)
Fa
(3)
Ga
5. ∼(Fa Λ Ga) (4)
6. ∼∃x(Fx Λ Gx)
7. ∼∀x∼(Fx Λ Gx)
10. ∀x∼(Fx Λ ∼Gx) (6)
8. ∃x(Fx Λ Gx) (7)
9. Fa Λ Ga (8)
Fa
(9)
Ga
11. ∼(Fa Λ ∼Ga) (10)
(5)
∼Fa
X
∼Ga
X
(11)
∼Fa
X
∼Ga
X
Karşılıklı koşul önermesinin değili geçerli olduğundan önermeler EŞDEĞER’dir.
Örnek 6) ∀x∼(Fx V Gx), ∼∃x(Fx Λ Gx) önermelerinin eşdeğer olup olmadıklarını
denetleyiniz?
1. ∼[∀x∼(Fx V Gx) ⇔ ∼∃x(Fx Λ Gx)] (∼Ö.)
(1)
4. ∀x∼(Fx V Gx)
2. ∃x(Fx V Gx)
3. Fa V Ga (2)
(3)
Fa
5. ∼(Fx V Gx) (4)
∼Fa
(5)
∼Ga
X
Ga
6. ∼(Fx V Gx) (4)
∼Fa
(6)
∼Ga
X
7. ∼∀x(Fx V Gx)
8. ∼∃x(Fx V Gx)
9. ∃x(Fx V Gx) (7)
11. ∀x∼(Fx V Gx) (8)
10. Fa V Ga (9)
(10)
Fa
Ga
12. ∼(Fa V Ga) (11) 13. ∼(Fa V Ga) (11)
∼Fa
∼Fa
(12)
(13)
∼Ga
∼Ga
X
X
Karşılıklı koşul önermesinin değili geçerli olduğundan önermeler EŞDEĞER’dir.
52 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU Örnek 7) ∃x (Fx Λ Gx), ∀x∼Fx önermelerinin eşdeğer olup olmadıklarını denetleyiniz?
1. ∼[∃x (Fx Λ Gx) ⇔ ∀x∼Fx] (∼Ö.)
(1)
3. ∃x(Fx Λ Gx)
2. ∼∀x∼Fx
5. ∃xFx (2)
4. Fa Λ Ga (3)
Fa
(4)
Ga
Fb (5)
↓
6. ∼∃x(Fx Λ Gx)
7. ∀x∼Fx
8. ∀x∼(Fx Λ Gx) (6)
∼Fa (7)
9. ∼(Fa Λ Ga) (8)
(9)
∼Fa
↓
∼Ga
↓
Karşılıklı koşul önermesinin değili geçerli olmadığından önermeler EŞDEĞER DEĞİL’dir.
Örnek 8) ∀xFx, ∼∃x∼Fx önermelerinin eşdeğer olup olmadıklarını denetleyiniz?
1. ∼[∀xFx ⇔ ∼∃x∼Fx] (∼Ö.)
(1)
3. ∀xFx
2. ∃x∼Fx
∼Fa (2)
Fa (3)
X
4. ∼∀xFx
5. ∼∃x∼Fx
6. ∃x∼Fx (4)
7. ∀xFx (5)
∼Fa (6)
Fa (7)
X
Karşılıklı koşul önermesinin değili geçerli olduğundan önermeler EŞDEĞER’dir.
Örnek 9) ∀x(Fx ⇒ Gx), ∀x(∼Fa V Ga) önermelerinin eşdeğer olup olmadıklarını
denetleyiniz?
Örnek 10) ∼∃x(Fx Λ∼Gx), ∀x(∼Fa ⇒ Ga) önermelerinin eşdeğer olup olmadıklarını
denetleyiniz?
Eşdeğerlilikte Niceleyici Değilleme Kalıpları
∼∀xFx
∼∃xFx
∼∀x∼Fx
∼∃x∼Fx
≡
≡
≡
≡
∃x∼Fx
∀x∼Fx
∃xFx
∀xFx
53 MODERN MANTIK Yrd. Doç. Dr. Hüseyin AYDOĞDU Niceleyici Değilleme Kalıpları ile İlgili Eşdeğerlilik Örnekleri
Her insanın çalışkan olduğu doğru değildir. (∼∀xFx)
≡
Bazı insanlar çalışkan değildir. (∃x∼Fx)
Bazı insanların çalışkan olduğu doğru değildir. (∼∃xFx)
≡
Hiçbir insan çalışkan değildir. (∀x∼Fx)
Hiçbir insanın çalışkan olmadığı doğru değildir. (∼∀x∼Fx)
≡
Bazı insanlar çalışkandır. (∃xFx)
Bazı insanların çalışkan olmadığı doğru değildir. (∼∃x∼Fx)
≡
Her insan çalışkandır. (∀xFx)
Bazı öğrencilerin çalışkan veya tembel oldukları doğru değildir. [∼∃x(Fx V Gx)]
≡
Hiçbir öğrenci çalışkan veya tembel değildir. [∀x∼(Fx V Gx)]
Her çocuğun afacan ve sevimli oldukları doğru değildir. [∼∀x(Fx Λ Gx)]
≡
Bazı çocuklar afacan ve sevimli değildir. [∃x∼(Fx Λ Gx)]