Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi Eyüp Kamil YEŞİLYURT & … Yan yana gelmeyen evli çiftler ile ilgili sıralama sorularını inceleyeceğiz. İnceleyeceğimiz soru tipi: “n tane evli çift bir sıraya hiçbir eş yan yana gelmeyecek şekilde kaç farklı sıralanabilir? n>1” Uygun en küçük n değeriyle başlayalım. Soru 1: “2 evli çift bir sıraya hiçbir eş yan yana gelmeyecek şekilde kaç farklı sıralanabilir?” Çözüm: E1 , K1 birinci eşler ve E2 , K2 ikinci eşler olsun. E1 K1 E2 K2 E1 K1 K2 E2 E1 E2 K1 K2 E1 E2 K2 K1 E1 K2 K1 E2 E1 K2 E2 K1 ____ 6 tane K1E1 E2 K2 K1E1 K2 E2 K1 E2 E1 K2 K1 E2 K2 E1 K1 K2 E1 E2 K1 K2 E2 E1 ____ 6 tane E2 E1 K1 K2 E2 E1 K1 K2 E2 K1 E1 K2 E2 K1 K2 E1 E2 K2 E1 K1 E2 K2 K1 E1 ____ 6 tane K2 E1 K1 E2 K2 E1 E2 K1 K2 K1 E1 E2 K2 K1 E2 E1 K2 E2 E1 K1 K2 E2 K1 E1 ____ 6 tane 24 tane 4 eleman bir sıraya (koşulsuz) 4!= 24 farklı şekilde sıralanacağından eksiğimizin olmadığını gördük. 1. çiftin (E1 K1) yan yana olduğu durumları tablodan saydığımızda 12 olduğunu görüyoruz. Tablo olmasaydı nasıl bulurduk bakalım; (E1 K1),E1,K2 3!.2!=12 tane sıralanış var. Bu soru tipinde E1 K1 çifti ile E2 K2 çifti aynı haklara sahip olduğundan E1 K1 için söz konusu olan şeyler E2 K2 içinde geçerli olacağından E2 K2 nin de yan yana olduğu 12 farklı sıralanış olması gerekir. E1 K1 in yan yana olduğu sıralanış sayısı ile E2 K2 nin yan yana olduğu sıralanış sayısı toplanırsa bazı sıralanışlar iki defa toplanmış oluyor. Bu da bize kümelerdeki s(AuB)=s(A)+s(B)-s(AnB) birleşim kümesinin eleman sayısını çağrıştırıyor. Bu maksatla, A kümesini 1. çiftin yan yana geldiği sıralanışlar olarak, B kümesini de 2. çiftin yan yana geldiği sıralanışlar olarak alalım. s(AuB) ifadesi “1 çiftin yan yana olması veya 2. çiftin yan yana olduğu sıralanışlar”, s(AnB) ifadesi “1. çift yan yana ve 2. çift yan yana olduğu sıralanışlar” olur. s(AnB) :”1. çift ve 2. çift yan yana olduğu sıralanışlar” “E1 K1 yan yana ve E2 K2 yan yana” (E1 K1),( E2 K2) : 2!.2!.2!= 8 tanedir. Burada ki parantezler çiftlerin ayrılmayacağını yani bir kişi gibi düşünülerek işlem yapılması gerektiğini gösteriyor. s(AuB)= s(A) + s(B) – s(AnB) = 12 + 12 – 8 = 16 Tüm durum (E) sayısı 24 olduğuna göre 24 – 16 = 8 tane sıralanış elde edilir ki bu da bizden istenen sıralanış sayısıdır. A 1. çift yan yana B 2. çift yan yana Sadece 1. çift yan yana 4 1. ve 2. çift yan yana 8 E2 E1 K1 K2 E2 K1 E1 K2 K2 E1 K1 E2 K2 K1 E1 E2 E1 K1 E2 K2 E1 K1 K2 E2 K1E1 E2 K2 K1E1 K2 E2 E2 K2 E1 K1 E2 K2 K1 E1 K2 E2 E1 K1 K2 E2 K1 E1 E1 E2 K1 K2 E1 E2 K2 K1 E1 K2 K1 E2 K1 E2 E1 K2 K1 K2 E1 E2 E2 K1 K2 E1 K2 E1 E2 K1 K2 K1 E2 E1 Sadece 2. çift yan yana 4 E1 K2 E2 K1 E1 E2 K2 K1 K1 E2 K2 E1 K1 K2 E2 E1 Hiçbir çift yan yana değil 8 A: 1. çiftin yan yana geldiği sıralanışların kümesi B: 2. çiftin yan yana geldiği sıralanışların kümesi İstenen durum = Tüm durum – istenmeyen durum Tüm durum: İki çiftin koşulsuz sıralanışları sayısı s(E) İstenen durum: Hiçbir çift yan yana değil s(A’nB’) = s(AuB)’ İstenmeyen durum: Herhangi bir çift yan yana s(AuB) Özetleyelim; s(E) = 4! = 24 s(A) = 3!.2!=12 yani (E1 K1),E2,K2 sıralanışları s(B) = 3!.2!=12 yani E1 K1 ,(E2,K2) sıralanışları s(A)=s(B) daima sağlanır. s(AnB) = 2!.2!.2!=8 yani (E1 K1) ,(E2,K2) sıralanışları s(A’nB’) = s(AuB)’ = s[E \ (AuB)] = s(E) – s(AuB) = s(E) – s(A) – s(B) + s(AnB)= s(E) – 2.s(A) + s(AnB) s(A’nB’) = s(E) – 2.s(A) + s(AnB) = 24 – 2.12 +8 =8 elde edildi. Soru tipini n=3 için ele alalım; Soru 2: “3 evli çift bir sıraya hiçbir eş yan yana gelmeyecek şekilde kaç farklı sıralanabilir?” Çözüm: Birinci eşler E1K1, ikinci eşler E2K2, üçüncü eşler E3K3 olsun. A kümesi: 1. eşler yan yana; B kümesi: 2. eşler yan yana C kümesi: 3. eşler yan yana İstenen durum sayısı; s(A’nB’nC’)=s(AuBuC)’=s[E\(AuBuC)]=s(E) – s(AuBuC) =s(E) – s(A) – s(B) – s(C) + s(AnB) + s(AnC) + s(BnC) – s(AnBnC) =s(E) – 3.s(A) +3.s(AnB) – s(AnBnC) Uyarı: 1. çift için geçerli her şey 2. ve 3. çift için de geçerlidir. Yani s(A)=s(B)=s(C), s(AnB)=s(AnC)=s(BnC) s(E)=? E1,K1, E2, K2, E3,K3 s(A)=6! s(A)=? (E1K1), E2, K2, E3,K3 s(A)=5!.2! s(AnB)=? (E1K1), (E2, K2), E3,K3 s(AnB)=4!.2!.2! s(AnBnC)=? (E1K1), (E2, K2), (E3,K3) s(AnB)=3!.2!.2!.2! İstenen durum sayısı; s(A’nB’nC’) = s(E) – 3.s(A) +3.s(AnB) – s(AnBnC) = 6! – 3. 5!.2! + 3. 4!.2!.2! – 3!.2!.2!.2! Soru tipini n=4 için ele alalım, s(AuBuCuD) = s(A) + s(B) + s(C) + s(D) – s(AnB) – s(AnC) – s(AnD) – s(BnC) – s(BnD) – s(CnD) + s(AnBnC) + s(AnBnD) + s(AnCnD) + s(BnCnD) – s(AnBnCnD) Soru 3: “4 evli çift bir sıraya hiçbir eş yan yana gelmeyecek şekilde kaç farklı sıralanabilir?” Çözüm: Birinci eşler E1K1, ikinci eşler E2K2, üçüncü eşler E3K3, dördüncü eşler E4K4 olsun. A kümesi: 1. eşler yan yana; B kümesi: 2. eşler yan yana C kümesi: 3. eşler yan yana D kümesi: 4. eşler yan yana İstenen durum sayısı; s(A’nB’nC’nD’)=s(AuBuCuD)’=s[E\(AuBuCuD)]=s(E) – s(AuBuCuD) =1.s(E) – 4.s(A) +6. s(AnB) – 4.s(AnBnC) + 1.s(AnBnCnD) Katsayılar bir çağrışım yapıyor, 4 4 4 “s(hiçbir eş yan yana değil) = s(tüm durum) – .s(1. eş yan yana) + . s(1. , 2. eş yan yana) 0 1 2 4 4 – .s(1. , 2. , 3. eş yan yana) + s(1. , 2. , 3. ve 4. eş yan yana)” 3 4 s(hiçbir eş yan yana değil) = s(0 çift yan yana) = S0 olsun 4 .s(tüm durum) = s(E) olsun 0 4 .s(1. eş yan yana) = S1 olsun 1 4 . s(1. , 2. eş yan yana) = S2 olsun 2 4 .s(1. , 2. , 3. eş yan yana) = S3 olsun 3 4 s(1. , 2. , 3. ve 4. eş yan yana) = S4 olsun 4 S0 = s(E) – S1 + S2 – S3 + S4 4 s(E) = 8! = (2.4)! 0 4 S1 =4.7!.2! = (2.4-1)!.2! 1 4 S2 = 6.6!.2!.2! = (2.4-2)!.(2!)2 2 4 S3 = 4.5!.2!.2!.2! = (2.4-3)!. (2!)3 3 4 S4 = 4!.2!.2!.2!.2! = (2.4-4)!. (2!)4 4 S0 = s(E) – S1 + S2 – S3 + S4 4 4 4 S0 = (2.4)! - (2.4-1)!.2! + (2.4-2)!.(2!)2 0 1 2 4 3 (2.4-3)!. (2!) + 3 4 4 (2.4-4)!. (2!) 4 Sonuç n tane evli çift bir sıraya hiçbir eş yan yana olmayacak şekilde n S0 = r =0 -1r n r . 2n-r !.2r kadar farklı sıralanır. Burada r =0 değeri tüm durum sayısıdır. Ayrıca r = 0 ve r = 1 değerleri verilerek elde edilen terimlerin toplamı sıfır olduğundan n S0 = -1r n r . 2n-r !.2r r =2 alınabilir. Bu formül ezberlenmemeli fakat araştırma yaparken sonuçların kontrolünde kullanılabilir. Problem çözerken akılda kalması açısından S0 = s(E) – S1 + S2 – S3 + S4 – S5 + S6 – S7 + S8 –… ifadesi kullanılabilir. Burada da daima s(E) – S1 =0 olduğunu dikkate alarak S0 = S2 – S3 + S4 – S5 + S6 – S7 + S8 –… biçiminde işlemi kısaltabiliriz. Burada kullanılan sembollere yüklediğimiz anlam çok önemli. Yazının öncesini incelemeden, bu kısmın anlaşılabilir olacağını söylemek de güç. S0 = hiçbir çiftin yan yana olmadığı dizilişlerin sayısı S1 = (1 çift seçilmesi).(belli 1 çiftin yan yana olduğu dizilişlerin sayısı) S2 = (2 çift seçilmesi).(belli 2 çiftin yan yana olduğu dizilişlerin sayısı) S3 = (3 çift seçilmesi).(belli 3 çiftin yan yana olduğu dizilişlerin sayısı) … Örneğin, 6 çift için S4 değerini hesaplayalım ve ne anlama geldiğini ifade edelim, 1. adım 6 6 çiftten 4 çift seçilir. =15 4 2. adım 4 çift eşiyle yan yana oturacak (bunlar 4 kişi gibi düşünülecek) diğer 2 çiftin eşleri ayrı oturabileceği için (4 kişi olarak düşünülecek) dolayısıyla 8 kişi sıralanacak ve yan yana olacak eşler kendi aralarında yer değiştirebilecekleri dikkate alınacak. 8!.2!.2!.2!.2! = 645120 farklı sıralanabilirler. 3. adım 6 S4= .8!.2!.2!.2!.2! = 9676800 4 Anlamı; A,a, B,b, C,c, D,d, E,e, F,f verilmiş 6 çift olsun. Tüm farklı sıralanışlar 12!= 479001600 tanedir. Rasgele 4 çift seçelim (belirleyelim), A,a, C,c, D,d, E,e olsun bu çiftlerin eşleriyle yan yana olduğu 9676800 farklı sıralanış vardır. Aynı metodu yuvarlak masa etrafına sıralanışta da kullanabiliriz, burada elemanların nerede sıralandıkları değil birbirine göre nasıl sıralandıklarıyla ilgilenmiş olduk. Buradaki çözüm yöntemi tmoz üyeleri için yeni bir yöntem değil. Aynı yöntemi kullanarak çözüm gönderen arkadaşlarımız olmuş, Eray Kanpak hocamız gibi. (Önceden konuyla ilgili emek veren olduysa veya olacaksa bu yazıya çalışmalarını eklemeleri için bu dokümanın word formatında gönderiyorum.) eky – Mayıs 2006
