Aktif Filtre Tasarımı
Ders II
Pasif Filtreler
Transfer Fonksiyonu
• Filtreler çalışma karakteristikleri frekansa bağımlı
olan kapasitör ve indüktör gibi elemanlar
kullanılarak tasarlanır.
• Bu elemanlar aynı zamanda üzerlerine uygulanan
akım voltaj arasında 90o’lik bir faz kaymasına
neden olmaktadır.
• Karmaşık (complex) empedanslar sırasıyla bobin
için ZL=sL olurken, kapasitör için ZC=1/sC
olmaktadır.
• Burada karmaşık frekans s=σ+jw ile verilmektedir.
Transfer Fonksiyonu
• s=σ+jw ifadesinde:
σ=sönümleme sabiti (neper frekansı- Np/s)
w=açısal frekans (rad / s)
• Transfer fonksiyonu, başlangıç şartları sıfır
alınmak şartıyla, s-ortamında, bir dinamik
sistemin giriş ve çıkışı arasındaki dinamik
ilişkiyi veren denklemdir.
• Transfer fonksiyonu H(s) ile tanımlanabilir.
Transfer Fonksiyonu
• Xo elektronik bir sistemin çıkışındaki akım ya
da voltajı temsil etsin.
• Benzer şekilde Xi de aynı sistemin girişini
temsil etsin.
• O halde böyle bir sistemin transfer fonksiyonu:
• H(s)=Xo/Xi ile tanımlanır.
• Burada Xo(t)=L-1[H(s)Xi(s)] ile bulunabilir. L-1
(Laplace transformunu) Xi(s) ise Xi(t)’nin s
domenindeki karşılığını verir.
Transfer Fonksiyonu
• Genelleştirilmiş transfer fonksiyonu tanımı:
• Burada N(s) ve D(s) m’inci ve n’inci dereceden
gerçel değerlere sahip s domenindeki
polinomlar olarak ifade edilmiştir.
• Ayrıca paydanın derecesi filtrenin derecesini
belirlemektedir.
Transfer Fonksiyonu
• Pay ve paydanın kökleri yani N(s)=0, ve D(s)=0,
sırasıyla sıfırlar ve kutuplar olarak adlandırılır ve
z1,z2,…,zm ve p1,p2,…,pn ile tanımlanır.
• Böylece transfer fonksiyonu H(s):
haline gelir. Burada Ho=am/bm (ölçeklendirme
faktörü olarak adlandırılır.
Transfer Fonksiyonu
• Transfer fonksiyonunun kökleri aynı zamanda
filtrenin kritik (köşe) frekanslarını da
tanımlamaktadır.
• Kökler gerçel ya da karmaşık olabilir. Transfer
fonksiyonunun sıfır ve kutupları karmaşık ise
aynı zamanda eşleniktir (conjugate).
– Örnek olarak pk= σk+jwk ve pk= σk-jwk gibi.
Transfer Fonksiyonu
• Transfer fonksiyonunun
kökleri gerçel ve sanal
düzlemde noktalar halinde
temsil edilirler.
• Gerçel katsayılar σk yatay olan
gerçel düzlemde gösterilirken,
karmaşık katsayılar ise wk ise
yatay olan sanal (imaginer)
düzlemde gösterilirler.
• Kökler gösterilirken sıfırlar
“o” ile tanımlanırken, kutuplar
ise “x” ile gösterilirler.
Transfer Fonksiyonu
• Örnek:Aşağıda görülen devrenin transfer
fonksiyonunu elde ederek, kutup ve sıfırlarının
yerlerini grafik düzlemde belirleyiniz.
Transfer Fonksiyonu
• Örnek: Devrede Vo=[R.Vi/(sL+1/sC+R)] ile elde
edilebilir. Buradan devrenin transfer
fonksiyonunu yazmak istersek:
H(s)=Vo/Vi=RCs/[LCs2+RCs+1] elde edilir.
Transfer fonksiyonu düzenlendiğinde:
H(s)=R/L x s/[s2+(R/L)s+1/LC] haline
getirilir. Böylece genelleştirilmiş ifadeye benzetilir.
Transfer Fonksiyonu
• Örnek: Eleman değerleri yerine yazıldığında transfer
fonksiyonu:
H(s)=2 x 103 x s/{[s-(-1+j2) x 103] x [s-(-1-j2) x 103]}
• Yani bu devrenin transfer fonksiyonu orijinde 2 x 103
değerine sahip bir sıfıra ve -1 + j2 eşlenik karmaşık kutup
değerlerine sahiptir. Diğer bir değişle pasif filtrenin köşe
frekans değerleri elde edilmiştir.
Transfer Fonksiyonu ve Kararlılık
• Bir elektronik sistem sınırlı bir girişe karşı sınırlı
bir çıkış üretiyorsa kararlı olarak adlandırılır.
• Bir elektronik devrenin kararlı olup olmadığını
anlayabilmek için devrede herhangi bir kaynak
aktif değilken, devrenin enerji depolayan
elemanları bir miktar enerjilendirilir ve devrenin
bu duruma karşı davranışı incelenir.
• Bu durumda elde edilen devre cevabı kaynak
bağımsız ya da doğal devre cevabı olarak
adlandırılır.
Transfer Fonksiyonu ve Kararlılık
• Enerji depolayan devre elemanlarının
enerjilendirilmesi en basit şekliyle devreye bir
darbe girişinin (impulsive input) uygulanması
ile olabilir.
• Darbe girişinin laplace dönüşümü 1’e eşittir.
• Böylece H(t)=L-1[H(s)] olmaktadır.
• Burada dikkat çekmesi gereken nokta bu
durumun transfer fonksiyonunun kutuplarınca
belirlenmesidir.
Filtre Cevabı Karakteristikleri
• Filtre cevabı karakteristikleri Butterworth, Bessel ve Chebyshev
yaklaşımları kullanılarak modellenebilmektedir.
• Şekilde bir alçak geçiren filtre için üç farklı yaklaşım
gösterilmektedir.
Butterworth filtre
• Butterworth filtre passband içinde mümkün
olduğu kadar düz bir frekans responsa (frekans
tepkisi) sahip olabilmek için dizayn edilmiş bir
Sinyal işleme filtre tipidir.
• Ayrıca maksimum düz magnitüd filtre olarak da
tarif edilir.
• İlk defa 1930 yılında ingiliz mühendis ve fizikçi
Stephen Butterworth tarafından "On the Theory
of Filter Amplifiers“ makalesinde tarif edilmiştir.
–
In Wireless Engineer (also called Experimental Wireless and the Wireless Engineer), vol. 7, 1930, pp. 536–541
Butterworth filtre
• Durdurma bandında ve geçiş
bandında dalgalanma olmaz.
Geçiş bandı içinde
maksimum düz bir frekans
tepkisine sahiptir, durdurma
bandı içinde ise sıfıra doğru
yaklaşır.
• Butterworth filtre derecesi
arttığında diğer filtrelerden
farklı olarak durma bandında
sert düşüş dışında frekans
genlik eğrisinde şeklini korur.
Butterworth filtre
• Butterworth filtre,
Chebyshev filtrelere göre
daha geniş geçiş
bölgesine sahip
olduğundan, durma bandı
özelliklerinin doğru olarak
uygulanabilmesi için
yüksek derecelere ihtiyaç
duyar.
• Chebyshev filtreye göre
daha doğrusal bir frekans
tepkisine sahiptir.
Chebyshev Filtre
• Chebyshev filtreleri bir çeşit yüksek-Q filtreleridir. Bu
filtreler; söndürme bandında dik iniş istenildiğinde,
geçiş bandının düz olmasının gerekli olmadığı
durumlarda kullanılır.
• Bu filtre cevabında, geçiş bandı dalgalanmasına izin
verilir. Butterworth cevabına oranla söndürme
bandındaki başlangıç inişleri daha keskindir.
Chebyshev Filtre
• Bu karşılaştırma Şekilde
eğriler n=3 derecesindeki
filtreler içindir. Chebyshev
filtresi, geçişbandında 3
dB’lik dalgalanma yapar.
• Butterworth filtresinden
10 dB kadar söndürme
bandında daha fazla
zayıflama yapar.
•
Chebyshev Filtre Parametrelerinin Yapay Sinir Ağları. Kullanılarak
Hesaplanması. Oğuzhan Yavuz, M. Can Bayram, Tülay Yıldırım,
Bessel Filtre
• Buttenworth ve Chebyshev filtreleri,
daha önce gösterildiği gibi sıçrama
davranışlarında önemli bir salınma
göstermektedirler.
• Optimal kare biçimi davranışı,
frekansa bağımlı olmayan gecikme
zamanlı, yani frekansla orantılı faz
kaymalı filtreler göstermektedir.
• Bessel filtresi -Thomson filtresi diye
de adlandırılır.
