emalan3

3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Coulomb Yasası ve Elektrik Alan Şiddeti
Coulomb Yasası : 1785 de Charles Coulomb tarafından formüle edilmiş
deneysel bir yasadır. Bir noktasal yükün diğer bir noktasal yük üzerine
etkidiği kuvvetle ilgilenir.
Q1Q2
F k 2
R
k
1
4
Q1, Q2 : (C)
(N)
: sabit
R : (m)
=ro : ortamın yalıtkanlık sabiti (F/m)
Boş uzayda =o , r(bağıl yalıtkanlık sabiti)=1 dir.
ko 
1
4o
 9.10 9
(m/F)
1
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Coulomb Yasası ve Elektrik Alan Şiddeti
Coulomb Yasası :

F21

r1
â R1 2

Q1Q2
F12 
â
2 R12
4o R

 
R12  r2  r1
â R2 1

r2

F12

R  R12

R12
â R1 2 
R
âR21  âR12
 


Q1Q2
Q1Q2 r2  r1 
F12 
R12 
 3
3
4o R
4o r2  r1



F21  F12 âR21   F12 âR12
2
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Coulomb Yasası ve Elektrik Alan Şiddeti
Coulomb Yasası :
Birden çok noktasal yük için,






 QQ1 r  r1  QQ2 r  r2 
QQN r  rN 
F
 3
  3  ....... 
  3
4o r  r1
4o r  r2
4o r  rN
Q2
Q1

r2

r1

rN
 
  r  r2
r  r1

Q
r
 
r  rN



Qk r  rk 
Q
F

  3
4o k 1 r  rk
N
QN
3
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Coulomb Yasası ve Elektrik Alan Şiddeti
Elektrik Alan Şiddeti : Elektrik alanının var olduğu bir bölgeye
yerleştirilmiş çok küçük durağan bir test yükü üzerine etki eden birim
yük başına düşen kuvvet olarak tanımlanır.


F
E  lim
Q 0 Q
veya basitçe

 F
E
Q
(N/C)  (V/m)
Elektrik alanına konan test yükü ölçülmek istenen alanı bozmayacak
büyüklükte olmalıdır. Sonsuz küçük olması gerekmez, yeter ki ölçülen
alanı bozmasın.

r ye yerleştirilmiş bir noktasal yükün
r de yarattığı elektrik alanı :
 

Q
Qr  r 
E
â 
  3
2 R
4o R
4o r  r 
N tane noktasal yükün alanı :

E
 
Qk r  rk 
1

 
4o k 1 r  rk 3
N
4
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Coulomb Yasası ve Elektrik Alan Şiddeti
Örnek 1: P1(3,2,-1) noktasına 1 mC, P2(-1,-1,4) noktasına -2 mC yükleri
konmuştur. P(0,3,1) noktasındaki 10 nC’luk yüke etkiyen kuvveti ve bu
noktadaki elektrik alan şiddetini bulunuz.
5
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Coulomb Yasası ve Elektrik Alan Şiddeti
Örnek 2: (x,y,z) eksen takımında O(0,0,0) noktasına +1 nC, (0,1,0)
noktasına ise -2 nC noktasal yükleri konmuştur. (2,0,0) noktasındaki
elektrik alanını bulunuz.
6
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Coulomb Yasası ve Elektrik Alan Şiddeti
Örnek 3: x-y düzleminde O(0,0) noktasına QO=5 nC, A(3 m,0) noktasına
QA=10 nC ve B(0,4 m) noktasına QB=-30 nC noktasal yükleri konmuştur.
C(3 m,4 m) noktasındaki elektrik alanını bulunuz.
7
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Coulomb Yasası ve Elektrik Alan Şiddeti
Örnek 4: Florid fosfat maden cevheri kuartz ve fosfat taşının küçük
partiküllerinden oluşmaktadır. Bu partiküller düzgün bir elektrik alanı
kullanarak bileşenlerine ayrılabilir. Başlangıç hızı ve yer değiştirmeyi
sıfır kabul ederek 80 cm’lik düşüşten sonra partiküller arasındaki yatay
mesafeyi belirleyiniz. E=500 kV/m, Q/m=9 C/kg
8
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Sürekli Yük Dağılımları
Yükler bir ortamda noktasal olarak bulunabilecekleri gibi, şekildeki bir
çizgi boyunca, bir yüzey üzerinde veya bir hacim içerisinde sürekli bir
dağılım şeklinde de olabilirler.
Noktasal yük Çizgisel yük Yüzeysel yük
Hacimsel yük
Çizgisel yük yoğunluğu : L (C/m)
Yüzeysel yük yoğunluğu : S (C/m2)
Hacimsel yük yoğunluğu : v (C/m3)
9
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Sürekli Yük Dağılımları
Bu yük dağılımlarının her birinin herhangi bir R uzaklıkta yarattığı
elektrik alanı aşağıdaki bağıntılardan hesaplanabilir.

dE 

E

E

E
1
4o
1
4o
1
4o



dQ
â
2 R
4o R
 L d
R
2
 S dS
R
2
v dv
R
2
âR : çizgisel yük dağılımı için dQ=Ldl
âR : yüzeysel yük dağılımı için dQ=SdS
âR : hacimsel yük dağılımı için dQ=vdv
10
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Sürekli Yük Dağılımları
1. Çizgisel yük :
Şekildeki gibi z-ekseni boyunca A ve B noktaları arasında düzgün yük
yoğunluğu L olan bir çizgisel yükün herhangi bir P(x,y,z) noktasında
yarattığı elektrik alanını bulalım.
dQ   L d
d  dz 

R  ( x , y , z )  ( 0 ,0 , z  )
 xâ x  yâ y  ( z  z  )â z

R  â  ( z  z )âz
2
2
R  R   2  ( z  z  )2
11
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Sürekli Yük Dağılımları
1. Çizgisel yük :

â   ( z  z  )â z
â R
R
 3 
2
2
2 3/ 2
R
  ( z  z )
R


L
E
4o

â  ( z  z )â z
 
2
 ( z  z )

2 3/ 2
dz
R   2  ( z  z )2   / cos 
z  OT   tan
dz   d / cos 2 
12
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Sürekli Yük Dağılımları
1. Çizgisel yük :
2

 L

E
cos â   sin â z d

4o   1

E
L

 (sin  2  sin  1 )â  (cos  2  cos  1 )âz 
4o 
Özel durum : Sonsuz çizgisel yük için B noktası +’a, A noktası -’a
götürülürse, 1=/2 ve 2=-/2 olur. Bu durumda z-ekseninden bir 
uzaklıktaki elektrik alanı,

E
L
â
2o 
L
E 
2o 
13
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Sürekli Yük Dağılımları
1. Çizgisel yük :
Örnek : x-y düzlemine yerleştirilmiş, ekseni z ekseniyle aynı olan a
yarıçaplı dairesel bir halka L (C/m) düzgün yükü taşımaktadır.
a) (0,0,h) noktasındaki elektrik alan ifadesini
bulunuz. b) Elektrik alanının maksimum olduğu
h değerlerini bulunuz. c) Halkadaki toplam yük
Q ise, a0 iken elektrik alanını bulunuz.
d) (a) da bulduğunuz denklemi kullanarak
Q=10 pC, a=5 cm için h=5 cm’deki elektrik
alanını hesaplayınız.
y
x
14
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Sürekli Yük Dağılımları
2. Yüzeysel yük :
Şekildeki gibi x-y düzleminde düzgün yük yoğunluğu S olan a yarıçaplı
bir yük levhasının orjinden h uzaklıkta yarattığı elektrik alanını bulalım.

dE
 yarıçaplı ve d genişlikli
halkanın yüzey alanı

dE
dS  2d
h R
dQ  2S d
Bu halkadaki yük
dQ  S dS  2S d

d
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
Bu yükün z-ekseni üzerinde
R uzaklıkta yaratacağı alan

dE 
dQ
â
2 R
4o R
15
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Sürekli Yük Dağılımları
2. Yüzeysel yük :

R  â   hâ z
â R  
R
 2  h2

 dE 
2S d

4o  2  h

2 3/ 2
 â

 hâ z 
Simetriden dolayı yatay bileşenler birbirini yok eder, yani E=0 olur.
Elektrik alanının sadece z-bileşeni kalır.
 h S
E
2 o
d 
a
 
0
2
h

2 3/ 2
 S 
h
E
1 
2 o 
a2  h2
â z 

 â z

S
Ez 
2 o


h
1 

2
2
a h 

16
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Sürekli Yük Dağılımları
2. Yüzeysel yük :
Levhanın alt tarafında (–z yönünde) orjinden h uzaklıktaki elektrik alanı


S 
h
E
1 
 â z
2
2
2 o 
a h 
Özel durum : a= yapılırsa yani levha sonsuz bir düzlem ise, levhadaki
düzgün yük yoğunluğu S in yarattığı elektrik alanı,

S
E
â z
2 o
Düzgün yüklü sonsuz bir levhanın alanı düzgün alandır, değeri ve
doğrultusu değişmez.
 S
E
ân
2 o
â n : levhaya dik bir birim vektör
17
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Sürekli Yük Dağılımları
2. Yüzeysel yük :
Paralel iki sonsuz levha arasındaki elektrik alanı :
+S
- S
z>a bölgesinde :

E

E

E

E

E

E
z=0
z=a
0<z<a bölgesinde :


S

E 
âz E  S âz
2 o
2 o
 


E  E  E  S â z
o


E  S âz
2 o


E   S â z
2 o
 

E  E  E  0
z<0 bölgesinde :


S

E  
â z E   S âz
2 o
2 o
 

E  E  E  0
18
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Sürekli Yük Dağılımları
2. Yüzeysel yük :
Örnek : Boş uzayda z=-4, z=1 ve z=4 sonsuz düzlem levhalarında
sırasıyla, 3 nC/m2, 6 nC/m2 ve -8 nC/m2 olan düzgün yükler
bulunmaktadır. Aşağıdaki noktaların her birinde elektrik alanını bulunuz.
a) PA(2,5,-5) b) PB(4,2,-3) c) PC(-1,-5,2) d) PD(-2,4,5)
19
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Sürekli Yük Dağılımları
3. Hacimsel yük :
Şekildeki gibi düzgün yük yoğunluğu v olan hacimsel yük dağılımının
P noktasında yarattığı elektrik alanını bulalım.
dQ  v dv
Q    v dv   v  dv
4a 3
Q  v
3
dQ elemanter hacimsel yükünün
P noktasında yaratacağı alan

v dv
dE 
â
2 R
4o R
Simetriden dolayı alanın Ex ve Ey bileşenleri
sıfırdır, sadece Ez bileşeni vardır.
20
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Sürekli Yük Dağılımları
3. Hacimsel yük :
v cos dv
Ez   dE cos  
4o  R 2
dv  r2 sin  drd d 
Kosinüs kuralından,
2
2
2

z

R

r
r 2  z 2  R 2  2 zR cos   cos  
2 zR
2
2
2

z

r

R
R 2  z 2  r  2  2 zr  cos    cos   
2 zr 
Son ifadede z ve r sabit tutulup  ne göre türev alınırsa,
RdR
sin  d  
zr 
21
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Sürekli Yük Dağılımları
3. Hacimsel yük :

a
zr
 z 2  r 2 
 v 2
Ez 
d    r 1 
 dRd r 
2 
2
4o z  0 r 0 R  z  r  
R

z r

 v
z  r 

r  R 
 dr 
2 
4o z 0 
R  z r
a
2
2
 v

4 r dr 
2 
4o z 0
a


1 4 3 
 a  v 

2
4o z  
3
 
 
Q


22
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Sürekli Yük Dağılımları
3. Hacimsel yük :
Sonuç olarak P(0,0,z) noktasındaki E alanı,

E
Q
4o z
2
âz
Yük dağılımı simetrik olduğundan P(r,,) noktasındaki elektrik alanı,
yukarıdaki bağıntıdan,

E
Q
4o r
2
âr
Bu alan, küresel yük dağılımının orijini veya merkezinde bulunan bir
noktasal Q yükünün aynı P noktasında yarattığı elektrik alanına özdeştir.
23
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Sürekli Yük Dağılımları
Örnek 1: Boş uzayda hacimsel yük yoğunluğu aşağıdaki gibi veriliyor.
a) r=4 cm b) r=6 cm’deki elektrik alanını bulunuz.
10 nC/m 3 , 0  r  3 cm

 v  20 nC/m 3 , 3  r  5 cm

0,
r  5 cm

24
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Sürekli Yük Dağılımları
Örnek 2: Şekildeki gibi verilen 2 cm uzunluğundaki elektron hüzmesinin
içerdiği toplam yükü bulunuz.
25
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektrik Akısı ve Elektrik Akı Yoğunluğu
Ortamdan bağımsız yeni bir vektör alan,


D  E
Boş uzayda :
(C/m2 ) : Yerdeğiştirme alanı (Elektrik akı yoğunluğu)


D  oE
E ile D aynı alan çizgilerine sahiptir.
Noktasal yük için,
r
+Q

D

Q
2)
(C/m
D
â
2 r
4r

E
Q
4o r
2
âr (V/m )
26
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektrik Akısı ve Elektrik Akı Yoğunluğu
Bir düzgün alan (yönü ve değeri noktadan noktaya değişmeyen alan)
içinde;
Elektrik akısı :
S

D
  DS
(C)
Elektrik akı yoğunluğu :
 (C/m2 )
D
S
S
â n


D
  DS cos 
27
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektrik Akısı ve Elektrik Akı Yoğunluğu
Alan düzgün olmayıp yüzey de düzlem değilse;
S yüzeyi
dS

â n

D
 
d  D  dS
 
   D  dS
S
Örnek : =2 m, z=0,
z=5 m ile sınırlanan silindirik bir hacim içerisindeki

akı yoğunluğu D  30e  â  2 zâz C/m2 dir. Silindirin yüzeyinden
çıkan toplam elektrik akısını bulunuz.
28
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Gauss Yasası ve Uygulamaları
Herhangi bir kapalı yüzeyden geçen toplam elektrik akısı, o yüzey
tarafından kapsanan toplam yüke eşittir.
 
   D  dS  Qtop (C)
S
a yarıçaplı kapalı bir küre yüzeyinden geçen akının bu kürenin içindeki
yüke eşit olduğunu gösterelim.
Bunun için noktasal bir Q yükünün, şekilde gösterildiği gibi küresel
koordinat sisteminin orjinine yerleştirildiğini varsayalım.
Bu Q yükünün kürenin yüzeyindeki yerdeğiştirme alanı,

Q
DS 
â
2 r
4a
(C/m2 )
29
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Gauss Yasası ve Uygulamaları

dS  a 2 sin ddâr
 
Q
2
D  dS  (
â
)

(
a
sin ddâr )
2 r
4a
  Q
D  dS 
sin dd
4
Kapalı küre yüzeyi üzerinden integrali,
 
   D  dS 
S
2

Q
 0 0 4 sin dd  Q    Q
30
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Gauss Yasası ve Uygulamaları
Gauss yasası, özellikle kapalı yüzey üzerinde D alanının dik bileşeninin
sabit olduğu bazı simetri durumlarında, yük dağılımının yarattığı alanın
(D veya E) belirlenmesinde kolaylık sağlar. Simetri durumu yok ise
Gauss yasasının çok faydası olmaz.
Yukarıdaki küre yüzeyinin her noktasında D alanı sabit ve yüzeye diktir.
a yarıçaplı kürenin yüzey alanı S=4a2 dir.
Q
2
  DS 
4

a
Q
2
4a
Gauss yasasının uygulanmasında, öncelikle simetrinin olması ve
sonrasında verilen bir yük dağılımının yarattığı alanın dik bileşeninin
sabit olacağı uygun bir yüzeyin seçilmesi önemlidir. Bu tip yüzeyler
Gauss yüzeyi olarak adlandırılır.
31
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Gauss Yasası ve Uygulamaları
Gauss yüzeyi örnekleri :
Küresel Gauss
yüzeyi

D

D

D

D
Silindirik Gauss yüzeyi

D

D
Kübik Gauss yüzeyi
32
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Gauss Yasası ve Uygulamaları
Hacimsel yük dağılımı v kullanılırsa,
Q    v dv
 
   D  dS
v
S
 
 D  dS    v dv : Genelleştirilmiş Gauss yasası
 Q
S
v
 

 D  dS   divDdv Diverjans teoreminden,
S
v

 divDdv    v dv 
v
v

divD   v : Maxwell denklemlerinin ilki
33
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Gauss Yasası ve Uygulamaları
Uygulama 1 : Sonsuz çizgisel düzgün yük dağılımın alanı
Çizgisel yük L (C/m)
Gauss yüzeyi

D
Şekildeki uzunluğu l ve yarıçapı  olan
silindirik Gauss yüzeyinin alt ve üst
yüzeyleri D alanına paralel olduğundan
bu yüzeylerden geçen akı sıfırdır.
Silindirin yan yüzeyinden geçen akı :
  DS  D2l
Silindirin içindeki toplam yük : Q   L l
  Q  D 2l   L l

 D
L
E

â  (V/m)
 o 2o 
Gauss yasasından :

L
D
â 
2
(C/m2)
34
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Gauss Yasası ve Uygulamaları
Uygulama 2 : Düzgün yük dağılımlı sonsuz düzlem levhanın alanı
Yük dağılımı S
olan sonsuz levha

D
S yüzeyi

D
Gauss yüzeyi
Şekildeki Gauss yüzeyinin yan
yüzeyleri D alanına paralel
olduğundan bu yüzeylerden
geçen akı sıfırdır. Alt ve üst
yüzeylerden çıkan toplam akı :
  DS  DS  2 DS
S yüzeyindeki toplam yük :
Gauss yasasından :   Q  2 DS   S S
 S
D
â z
2
(C/m2)
Q  S S
 S
E
â z
2 o
(V/m)
35
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Gauss Yasası ve Uygulamaları
Uygulama 3 : İçinde düzgün yük dağılımı bulunan kürenin alanı
Yarıçapı a, düzgün yük dağılımı v=o C/m3 olan bir kürenin içinde ve
dışındaki alanları (D ve E) Gauss yasasından yararlanarak bulalım.
Gauss yüzeyi
Küre içerisindeki alanı bulmak için, kürenin
içinde şekildeki gibi r<a olan bir küresel Gauss
yüzeyi seçelim. Bu yüzeyden çıkan akı :
  DS  D4r
2
r yarıçaplı bu kürenin içindeki toplam yük :
4r 3
Q  vv  o
Gauss yasasından :
3
 o r
 o r
âr (V/m) (0 < r  a)
D
âr (C/m2) E 
3 o
3
36
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Gauss Yasası ve Uygulamaları
Uygulama 3 : İçinde düzgün yük dağılımı bulunan kürenin alanı
Küre dışındaki alanı bulmak için, kürenin dışında şekildeki gibi r>a olan
bir küresel Gauss yüzeyi seçelim. Bu yüzeyden çıkan akı :
Gauss yüzeyi
  DS  D4r 2
a yarıçaplı kürenin içindeki toplam yük :
4a 3
Q  vv  o
3
 oa 3
2)
(C/m
D
â
r
3r 2
 oa
E
â
(r  a)
2 r (V/m)
3 o r
3
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
o a
3
oa3
3r 2
r o
3
37
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Gauss Yasası ve Uygulamaları

Örnek 1: D  z cos 2 âz C/m 2 veriliyor. (1,/4,3) noktasındaki
yük yoğunluğunu ve yarıçapı 1m olan -2  z  2 aralığındaki silindirin
kapsadığı toplam yükü hesaplayınız.
38
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Gauss Yasası ve Uygulamaları
Örnek 2: (x,y,z) eksen takımında şekildeki gibi yerleştirilmiş küpün her
bir kenarı 2 m dir. Yerdeğiştirme alanının aşağıdaki değişimleri için
küpün
 içindeki toplam elektrik yükünü bulunuz. 2
a) D  ( x  3 )âx  ( y  4 )â y  ( z  5 )âz C/m

2 2 2
3 3 3
2
b) D  xyzâx  x y z â y  x y z âz C/m
z
0
y
x
39
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektriksel Potansiyel ve Gerilim
Elektrik devrelerinde gerilim ve akımlarla çalışılır.
Elektrik devresinde A ve B gibi iki nokta arasındaki VAB gerilimi
(potansiyel farkı), bu iki nokta arasında bir birim yükü hareket ettirmek
için gerekli enerji miktarı veya potansiyel enerjiyi gösterir.
Bir elektrik devresi problemi çözülürken devrede var olan elektrik
alanları genellikle dikkate alınmaz. Bununla birlikte, bir direnç veya bir
kondansatör uçları arasındaki potansiyel farkının (gerilimin) kaynağı
yine bu uçlar arasındaki bir elektrik alanının varlığıdır.
Bu bölümde elektrik alanı E ile elektriksel potansiyel V arasındaki
bağlantı incelenecektir.
Bu amaçla, önce, bir noktasal yükün düzgün bir E alanında alana karşı
yönde bir noktadan başka bir noktaya hareketi ele alınacaktır.
40
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektriksel Potansiyel ve Gerilim
Şekildeki gibi –y yönündeki düzgün bir E alanında pozitif bir noktasal Q
yükü bulunsun. Bu yüke etkiyen elektriksel kuvvet –y yönünde (alan
yönünde) olacaktır.


Fe  QE  QEâ y
y

E

E
d
y +Q

E
x
Yük pozitif y-ekseni boyunca (Fe
kuvvetine karşı) hareket ettirilirse, bu
hareketi enerji harcanması karşılığında
sağlayacak Fe ye karşı koyan bir Fd dış
kuvvete ihtiyaç vardır.
Q yükünü sabit hızla hareket ettirmek için yük üzerine etkiyen net
kuvvetin sıfır olması, yani,


Fd  Fe  0
41
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektriksel Potansiyel ve Gerilim



Fd   Fe  QE
Herhangi bir nesnenin bir dış kuvvetin etkisi altında bir diferansiyel
yerdeğiştirme uzaklığında hareket ettirilmesiyle yapılan iş veya harcanan
enerji,
 
 
dW  Fd  dl  QE  dl (Joule, J)
Q yükü y-ekseni boyunca dy kadar hareket ettirilirse,
dW  Q( â y E )  ( â y dy )  QEdy
Birim yük başına diferansiyel elektriksel potansiyel enerji (dW),
diferansiyel elektriksel potansiyel (dV) olarak adlandırılır.

dW
dV 
  E  dl (V)
Q
42
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektriksel Potansiyel ve Gerilim
Şekilde gösterilen A ve B gibi herhangi iki nokta arasında bir Q yükünün
A dan B ye mevcut alana karşı hareketle taşınması sırasında yapılan
toplam iş veya gerekli potansiyel enerji,
 
W  Q  E  dl
B
(J)
A
Bu noktalar arasındaki potansiyel farkı,
 
W
A dV  Q  A E  dl 
B
B
 
W
 VB  VA     E  dl
Q
A
B
VAB
(V)
43
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektriksel Potansiyel ve Gerilim
Burada;
 VAB belirlenirken A başlangıç, B bitiş noktası olarak alınır.
 VAB<0 ise, Q yükünün A dan B ye hareketinde potansiyel enerjide bir
kayıp vardır ve bu da işin alan tarafından yapıldığını gösterir.
 VAB>0 ise, potansiyel enerjide bir kazanç vardır, işi dış kuvvet
yapmıştır.
 VAB seçilen yoldan bağımsızdır.
44
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektriksel Potansiyel ve Gerilim
Bir noktasal yükün elektrik alanında potansiyel farkı :
Şekildeki gibi (x,y,z) eksen takımının orjinine yerleştirilmiş bir noktasal
Q yükünün yarattığı alandaki mutlak potansiyeli belirleyelim.
Bu yükün elektrik alanı,

E
Q
4o r
2
âr
  B
   E  dl   dV VB  VA
B
VAB
Q
rB
A
A

dl  drâr
rA
45
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektriksel Potansiyel ve Gerilim
Bir noktasal yükün elektrik alanında potansiyel farkı :
 Q

Q
   
â   drâr   
2 r 
4o r
4o

rA 
rB
VAB
VAB
rB
dr
r r 2
A
Q 1 1
    VB  VA

4o  rB rA 
VB B noktasındaki, VA ise A noktasındaki potansiyel (veya mutlak
potansiyel) olarak tanımlanır. Böylece, VAB potansiyel farkı yani gerilim,
A referans noktasına göre B noktasındaki potansiyel olur.
46
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektriksel Potansiyel ve Gerilim
Bir noktasal yükün elektrik alanında potansiyel farkı :
B noktasındaki mutlak potansiyel rA sonsuza yaklaştırılarak (VA=0)
bulunur.
VB  lim VAB
rA 
1 1
Q

lim    
4o rA  rB rA  4o rB
Q
Orjine yerleşmiş bir noktasal yükün mutlak potansiyeli rB=r alınarak
aşağıdaki gibi genelleştirilebilir.
V
Q
4o r
(V)
47
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektriksel Potansiyel ve Gerilim
 Noktasal yükün potansiyel dağılımı elektrik alanınki gibi küresel
simetriye sahiptir.
 Bir noktasal yükün alanı 1/r2 ile değişirken noktasal yükün potansiyeli
1/r olarak değişir.
 Potansiyelin sabit olduğu yüzeyler (veya çizgiler) eşpotansiyel
yüzeyler (veya çizgiler) olarak tanımlanır. Noktasal yük için eşpotansiyel
yüzeyler yük etrafında iç içe kürelerdir.
 Eşpotansiyel yüzeyler (çizgiler) her zaman elektrik alanına diktirler.
Bir yük elektrik alanına dik doğrultuda hareket ettirilirse yapılan iş sıfır
olur.
Eşpotansiyel çizgi üzerindeki her noktada potansiyel eşit olduğundan,
dV=0 olur.

 

dV   E  dl  0  E  dl
48
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektriksel Potansiyel ve Gerilim
Q noktasal yükü orjin yerine konum vektörü r olan bir noktaya
yerleşmiş ise, bu durumda potansiyel;
Q
V
 
4o r  r 
N adet noktasal yük için, elektrik alanlarına uygulanan toplamsallık
ilkesi potansiyellere de uygulanarak ;
QN
Q1
Q2
V
  
   ....... 
 
4o r  r1 4o r  r2
4o r  rN
V
1
4o
N

k 1
Qk
 
r  rk
49
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektriksel Potansiyel ve Gerilim
Sürekli yük dağılımları için;
V
V
V
1
 L dl 
4o
 r  r
1
 S dS 
4o
1
4o
(Çizgisel yük)
L
 r  r
(Yüzeysel yük)
S
 v dv 
 r  r
(Hacimsel yük)
v
50
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektriksel Potansiyel ve Gerilim
Örnek 1: Şekildeki kare yapının kenarları 1 m’dir. Karenin merkezindeki
(O) potansiyeli bulunuz.
y
L=10 pC/m
Q1=1 pC
O
L
x
Q2=-10 pC
51
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektriksel Potansiyel ve Gerilim
Örnek 2: Yarıçapı a=10 cm olan iletken bir yarım küre kabuğunun
yüzeyinde düzgün bir yük dağılımı vardır. Yüzeydeki toplam yük 0,1 nC
olduğuna göre, yarım kürenin merkezindeki elektrik alanını ve
potansiyeli bulunuz.
52
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektriksel Potansiyel ve Gerilim
Örnek 3: -4 C ve 5 C iki noktasal yük sırasıyla (2,-1,3) ve (0,4,-2)
noktalarına konmuştur. Sonsuzdaki potansiyeli sıfır varsayarak (1,0,1)
noktasındaki potansiyeli bulunuz.
53
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektriksel Potansiyel ve Gerilim
Örnek 4: Q1=10 pC ve Q2=-20 pC noktasal yükleri arasındaki uzaklık
40 cm dir. İki yükü birleştiren doğrunun orta noktasında alan ve
potansiyel ne olur?
54
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektrik Alanının Potansiyelden Türetilmesi :
Şekilde A ve B noktaları arasındaki potansiyel farkı alınan yoldan
bağımsızdır. Bu nedenle;
VBA  V AB
 
VBA  VAB   E  dl  0
 
 E  dl  0
Bu sonuç, şekildeki gibi kapalı bir yol boyunca E nin çizgi integralinin
sıfır olduğunu gösterir. Fiziksel olarak bu, bir elektrostatik alanda bir
yükün kapalı bir yol boyunca hareketi sonucu net iş yapılmadığı
anlamına gelir.
55
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektrik Alanının Potansiyelden Türetilmesi :
Stokes teoremi uygulanırsa;

 

 E  dl   ( xE )  dS 0


xE  rotE  0
olur. Yani, elektrik alanının rotasyoneli sıfır ise bu alan bir statik alandır
ve bir potansiyelden türetilebilir.
 
dV  E  dl  Ex dx  E y dy  Ez dz
V
V
V
dV 
dx 
dy 
dz
x
y
z
56
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektrik Alanının Potansiyelden Türetilmesi :
İki ifade karşılaştırılırsa;
V
Ex  
x
V
Ey  
y
V
Ez  
z
Sonuçta;

E  V
elde edilir. Elektrik alanı V nin gradyanıdır. (-) işareti, elektrik alanının
yönünün V nin artış yönüne ters olduğunu gösterir. Elektrik alanı V nin
yüksek seviyelerinden alçak seviyelerine doğru yönelir.
57
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektrik Alanının Potansiyelden Türetilmesi :

E  6 x 2 yâx  2 x 3 â y
Örnek 1:
V/m veriliyor. Bu alanın skaler
potansiyelden türetilebileceğini gösteriniz.
58
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektrik Alanının Potansiyelden Türetilmesi :

Örnek 2: E  7 âx  3â y  6 âz V/m olan bir dış elektrik alanı içinde
1 µC luk bir yükün orjinden (3,1,4) noktasına taşınması sonucunda iş
yapılmadığını gösteriniz
59
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektrik Alanının Potansiyelden Türetilmesi :
Örnek 3: Serbest uzayda V=10(+1)z2cos veriliyor.
a) Eşpotansiyel yüzeyi V=20 V olan iletken bir yüzey tanımlansın.
İletken yüzeyin denklemini bulunuz.
b) İletken yüzey üzerinde =0,2 ve z=1,5 olan noktada  ve elektrik
alanını bulunuz.
c) O noktadaki S i bulunuz.
60
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektrik Alanının Potansiyelden Türetilmesi :

Örnek 4: E  e  x (  y 2 âx  2 yâ y ) V/m veriliyor. 1 nC luk yükü (0,0,0)
noktasından (1,1,0) noktasına taşımak için gerekli enerjiyi aşağıdaki
yollar için belirleyiniz.
a) (0,0,0)(1,0,0)(1,1,0) b) y=x c) y=x2
61
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektriksel Dipol :
Aralarındaki d uzaklığı çok küçük olan eşit genlikli ve zıt yüklü iki
noktasal yükün oluşturduğu sisteme dipol denir. Yüklerin bulunduğu
eksen dipol eksenidir.
Şekilde P noktasındaki potansiyel;
Q 1 1
  
V
4o  r1 r2 
Q  r2  r1 



4o  r1r2 
62
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektriksel Dipol :
r  d ise, r2  r1  dcos ve
r2 r1  r 2
yaklaşıklıkları yapılırsa;
Qd cos 
(V) olarak elde edilir.
V
2
4o r


dcos  d  âr d  dâ z


p  Qd : -Q dan +Q ya yönelen dipol momenti (Cm)

p  âr
V
4o r 2
63
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektriksel Dipol :
Dipol momenti orjin yerine bir r noktasında ise ;
  
p  ( r  r )
V
 3
4o r  r 
P noktasındaki elektrik alanı ;

1 V 
 V
E  V   
âr 
â  
r  
 r
 Qd cos 
Qd sin 
E
âr 
â
3
3
2o r
4o r
64
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektriksel Dipol :

E
p
4o r
2 cos âr  sin â 
3

p  p  Qd
Bir dipolün elektrik alanının ve potansiyelinin değişimi :
alan çizgisi
eşpotansiyel yüzey
65
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektriksel Dipol :
Örnek 1: Dipol momentleri  5 â z nC.m ve 9 â z nC.m olan iki dipol
(0,0,-2) ve (0,0,3) noktalarına yerleştirilmiştir. Orjindeki potansiyeli
bulunuz.
66
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektriksel Dipol :
Örnek 2: 100 â z pC.m momentli bir elektriksel dipol orjine
yerleştirilmiştir. Aşağıdaki noktalarda potansiyeli ve elektrik alanını
bulunuz. a) (0,0,10) b) (1,/3,/2)
67
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektrostatik Enerji ve Kuvvet
Ayrık yük durumunda elektrostatik enerji :
Ayrık yüklerden oluşan bir sistemde mevcut olan enerjiyi belirlemek
için, ilk olarak bu yüklerin bir araya getirilmesi için gerekli iş miktarı
hesaplanmalıdır. Bu amaçla, üç noktasal Q1, Q2 ve Q3 yükleri şekilde
gölgeli olarak gösterilen başlangıçta boş bir uzayda konumlandırılmak
istensin.
Uzay başlangıçta yüksüz olduğundan,
Q1 in sonsuzdan P1 e taşınmasında iş
yapılmaz (W=0 ). Q2 nin sonsuzdan
P2 ye taşınmasında yapılan iş, Q1 in
P2 deki V21 potansiyeli ile Q2 nin
çarpımına eşittir.
Benzer şekilde, Q3 ün P3 de konumlandırılmasında yapılan iş
Q3(V32+V31) olur.
68
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektrostatik Enerji ve Kuvvet
Ayrık yük durumunda elektrostatik enerji :
Böylece, üç yükün konumlandırılmasında yapılan toplam iş;
We  W1  W2  W3  0  Q2V21  Q3 ( V31  V32 ) (1)
Yükler ters sırada konumlandırılmışsa;
We  W3  W2  W1  0  Q2V23  Q1( V12  V13 ) (2)
Bu ifadede;
V23 : Q3 yükünün P2 noktasında oluşturduğu potansiyel
V12 : Q2 yükünün P1 noktasında oluşturduğu potansiyel
V13 : Q3 yükünün P1 noktasında oluşturduğu potansiyel
(1) ve (2) denklemleri toplanırsa;
69
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektrostatik Enerji ve Kuvvet
Ayrık yük durumunda elektrostatik enerji :
2We  Q1 ( V12  V13 )  Q2 ( V21  V23 )  Q3 ( V31  V32 )
 Q1V1  Q2V2  Q3V3
Veya;
1
We  ( Q1V1  Q2V2  Q3V3 )
2
V1, V2, V3 : P1, P2, P3 noktalarındaki toplam potansiyeller
Sistemde N adet noktasal yük varsa ;
1 N
We   QkVk (J)
2 k 1
1 eV = 1,6.10-19 J
Vk : Qk noktasında diğer bütün yüklerin oluşturduğu potansiyel
70
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektrostatik Enerji ve Kuvvet
Ayrık yük durumunda elektrostatik enerji :
Örnek 1: -1 C, 2 C ve 3 C’luk üç noktasal yükü bir kenarı 10 cm
olan eşkenar üçgenin köşelerine yerleştirmek için gerekli enerjiyi bulun.
71
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektrostatik Enerji ve Kuvvet
Ayrık yük durumunda elektrostatik enerji :
Örnek 2: -1 nC, 4 nC ve 3 nC’luk üç noktasal yük sırasıyla (0,0,0),
(0,0,1) ve (1,0,0) noktalarına yerleştirilmiştir. Sistemdeki enerjiyi bulun.
72
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektrostatik Enerji ve Kuvvet
Sürekli yük dağılımı durumunda elektrostatik enerji :
Çizgisel, yüzeysel ve hacimsel yük dağılımları için;
1
We    LVdl
2L
(Çizgisel yük)
1
We    SVdS
2S
(Yüzeysel yük)
1
We    vVdv
2v
(Hacimsel yük)
73
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektrostatik Enerji ve Kuvvet
Alan büyüklükleri cinsinden elektrostatik enerji :
Hacimsel yük dağılımı için enerji ifadesinde


 v  divD    D kullanarak

1
We   (   D )Vdv yazılabilir.
2v
 

 VD  D  V  V (   D ) özdeşliğinden

 
(   D )V   VD  D  V enerji ifadesinde kullanılırsa,


1
1
We   (  VD )dv   ( D  V )dv
2v
2v
74
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektrostatik Enerji ve Kuvvet
Alan büyüklükleri cinsinden elektrostatik enerji :
Denklemin sağ yanındaki ilk terime Diverjans teoremi uygulanırsa,
 1


1
We   ( VD )  dS   ( D  V )dv
2S
2v
R yarıçaplı çok büyük bir küre için yüzey integrali, R iken sıfıra
gider. Böylece,

1
We    ( D  V )dv olur.
2v

E  V
koyularak,
 
1
We   ( D  E )dv
2v
elde edilir.
75
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektrostatik Enerji ve Kuvvet
Alan büyüklükleri cinsinden elektrostatik enerji :


D  E 
1
1
2
2
We 
D
dv


E
dv


2 v
2v
(J)
Elektrostatik enerji yoğunluğu,
dWe 1  
we 
 DE 
dv
2
1 2
We   we dv
we  E
(J/m3)
2
v
76
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektrostatik Enerji ve Kuvvet
Alan büyüklükleri cinsinden elektrostatik enerji :
Örnek 1: Küresel simetrili bir yük dağılımı
o , 0  r  a
v  
ra
 0,
olarak veriliyor. V potansiyelini ve r<a
bölgesinde depolanan enerjiyi belirleyiniz.
D ve E alanları daha önce Gauss yasasından bulunmuştu.
a) r > a için ;
 o a 3
 
oa 3
E
â  V    E  dl  
2 r
3 o
3 o r
o a 3
V
 C1 , r  a
3 o r
1
 r 2 dr
V(r=)=0 olduğundan C1=0 bulunur.
77
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektrostatik Enerji ve Kuvvet
Alan büyüklükleri cinsinden elektrostatik enerji :
Örnek 1:
 
 o r
b) r < a için ;
E
âr  V   E  dl  
or
V 
 C2
6 o
2
3 o

o
rdr

3 o
oa 2
a)’ dan V ( r  a ) 
3 o
o a 2
oa 2
o a 2

 C2  C2 
3 o
6 o
2 o
o
olarak bulunur.
V
( 3a 2  r 2 ), r  a
6 o
78
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektrostatik Enerji ve Kuvvet
Alan büyüklükleri cinsinden elektrostatik enerji :
Örnek 1:

o a 3
,
ra

3 o r
V 
  o ( 3a 2  r 2 ), r  a
 6  o
oa
2 o
2
V
o
( 3a 2  r 2 )
6 o
oa3
3 o r
ra
r
79
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektrostatik Enerji ve Kuvvet
Alan büyüklükleri cinsinden elektrostatik enerji :
Örnek 1: c) r < a bölgesinde depolanan enerji;
o
1  
We   D  Edv   E 2 dv
2v
2 v
 o r
E
âr
3 o
2 a  2
2
o
2
o r 0  0  0
o 
We 
2 9
 
2o2 a 5
We 
45 o
2
r
.
r
sin dddr

(J)
80
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektrostatik Enerji ve Kuvvet
Alan büyüklükleri cinsinden elektrostatik enerji :

Örnek 2: D  yzâx  xzâ y  xyâz nC/m2 veriliyor. (0  x, y, z  1)
bölgesinde depolanan toplam enerjiyi hesaplayınız.
81
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektrostatik Enerji ve Kuvvet
Alan büyüklükleri cinsinden elektrostatik enerji :
Örnek 3: Yalıtkan bir kürenin yarıçapı a, yalıtkanlık katsayısı  dur. Küre
boşluktadır ve içinde v=oa/r olan bir yük dağılımı bulunmaktadır.
Sistemde depolanan elektriksel enerjiyi bulunuz.
82
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektrostatik Enerji ve Kuvvet
Elektrostatik kuvvet :
Birbirinden ayrı hem yüklü iletken hem de dielektrik cisimlerden oluşan
bir izole sistemde, elektriksel kuvvetler cisimlerden birinin yerini bir dl
diferansiyel uzaklığı (hayali yer değiştirme) kadar değiştirsin. Bu
durumda sistem tarafından yapılan mekanik iş,
 
dW  Fe  dl

Fe : Sabit yük koşulu altında cisme etkiyen toplam elektriksel kuvvet
Bir dış enerji kaynağı olmayan bu izole sistemde, mekanik iş depolanan
elektrostatik enerjinin harcanmasıyla yapılmış olmalıdır.
 
dW  dWe  Fe  dl (a)

(b)
dWe  ( We )  dl
83
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektrostatik Enerji ve Kuvvet
Elektrostatik kuvvet :
(a) ve (b) karşılaştırılırsa,

Fe  We
(N)
Yani, elektriksel kuvvet enerjinin gradyanıdır.
Üç boyutlu uzayda üç eşitlikten oluşur. Kartezyen koordinatlarda
x-yönündeki kuvvet,

We
( Fe )x  
x
olarak yazılabilir.
84
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Malzeme Uzayında Elektrik Alanları
Malzemelerin elektriksel özellikleri :
 Bir malzeme ortamının elektromanyetik parametreleri, elektriksel
geçirgenliği , manyetik geçirgenliği  ve iletkenliği  dır.
 Bir malzemenin parametreleri noktadan noktaya değişmiyorsa o
malzemenin homojen, yönden bağımsız iseler bu durumda izotropik
olduğu söylenir.
 Bazı kristaller dışında çoğu malzemeler izotropik özellikler gösterir.
 Bu bölümde tüm malzemelerin homojen ve izotropik olduğu
varsayılacak ve yalnızca  ve  parametreleriyle ilgilenilecektir.
 Bir malzemenin iletkenliği, bir dış alanın etkisi altında malzemeden
elektronların ne kolaylıkta ilerleyebildiğin bir ölçüsüdür.
 Malzemeler, iletkenliklerinin büyüklüklerine göre iletkenler (metaller)
veya dielektrikler (yalıtkanlar) olarak sınıflandırılır.
85
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Malzeme Uzayında Elektrik Alanları
Malzemelerin elektriksel özellikleri :
  =0 olan bir malzeme mükemmel bir dielektriktir.  = olan bir
malzeme ise mükemmel bir iletkendir.
 Çoğu metallerin iletkenliği 106 ila 107 S/m aralığında, iyi yalıtkanların
ise 10-10 ila 10-17 S/m aralığındadır.
Bazı malzemelerin 20oC deki iletkenliği
İletken
İletkenlik,  (S/m)
Yalıtkan
İletkenlik,  (S/m)
Gümüş
6,2.107
Cam
10-12
Bakır
5,8.107
Parafin
10-15
Altın
4,1.107
Mika
10-15
Alüminyum
3,5.107
Kuartz
10-17
86
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Malzeme Uzayında Elektrik Alanları
İletkenlerin elektrik alanı içindeki davranışı :
İletkenler, içlerinde çok sayıda serbest elektron bulunan maddelerdir.
Normal koşullarda bu elektronlar iletkenin yüzeyini terk edemezler ve
iletkenin içinde yük bulunmaz. Bu nedenle iletkenin içinde alan sıfır olur
ve iletkenin her noktası eşit potansiyelde bulunur. İletken bir elektrik
alanı içine sokulduğunda, bu dış alanın etkisiyle, serbest yükler hareket
etmeye başlar. Artı yükler alan yönünde, eksi yükler ise alan karşı yönde
hareket ederler. Ancak, bu hareket sonsuza dek sürmez. İletkenin içinde,
yüklerin hareketi sonucu bir elektrik alanı oluşur. Bu alan, dış alana karşı
koyacak biçimdedir ve dış alana tam eşit olduğunda iletken içindeki
yüklerin hareketi durur. Bu, denge durumudur. Bu durumda, iletkenin
içindeki alan sıfır olur ve tüm yükler iletkenin yüzeyinde toplanırlar.
87
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Malzeme Uzayında Elektrik Alanları
İletkenlerin elektrik alanı içindeki davranışı :
Bir iletken içinde elektrik alanının sıfır olmasının önemli bir uygulaması
elektrostatik ekranlama’ dır. Şekildeki gibi B iletkenini çevreleyen A
iletkeni sıfır potansiyelde tutulursa; B nin A tarafından, dışarıdaki C
iletkeni gibi başka elektrik sistemlerinden, elektriksel olarak ekranlanmış
olduğu söylenir. Benzer şekilde, A iletkeni dışarıdaki C iletkenini de B
iletkenine karşı ekranlamaktadır. Sonuçta, A iletkeni bir ekran olarak
görev yapar ve ekran içinde ve dışındaki elektriksel koşullar birbirinden
tamamen bağımsız olur.
88
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Malzeme Uzayında Elektrik Alanları
Bir iletkenle bir yalıtkanın ayırma yüzeyinde sınır koşulları :
Şekildeki gibi bir mükemmel iletken () ile bir yalıtkan ortamın
ayırma yüzeyinde alanların arayüze teğet ve dik bileşenleri bulunacaktır.
Mükemmel iletken içinde E ve D alanları sıfırdır.
Yalıtkan
S
Yalıtkan
S
İletken (E=0)
İletken (E=0)
89
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Malzeme Uzayında Elektrik Alanları
Bir iletkenle bir yalıtkanın ayırma yüzeyinde sınır koşulları :
Şekil (a)’daki kapalı abcda yolu boyunca,
 
 E  dl  0 olduğundan, h0 için;
0  0  Et w 0  0 
a b
b c
c d
d a
Et  0
Dt  0
Şekil (b)’deki silindirik yüzeye Gauss yasası uygulanırsa,
 
 D  dS  Q olduğundan, h0 için : DnS  S S
S
İletken yüzeyinde alanların dik bileşenleri :
Dn   S
S
En 

90
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Malzeme Uzayında Elektrik Alanları
Bir iletkenle bir yalıtkanın ayırma yüzeyinde sınır koşulları :
Örnek : y0 bölgesi mükemmel bir iletken, y0 bölgesi ise bir yalıtkan
(r=2) ortamdır. İletken üzerinde yüzey yük yoğunluğu 2 nC/m2
olduğuna göre; (a) A(3,-2,2) (b) B(-4,1,5) noktalarında E ve D alanlarını
bulunuz.
91
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Malzeme Uzayında Elektrik Alanları
Yalıtkanlar ve elektrik alanı içindeki davranışları :
İletken bir ortamda atomun dış halkasındaki elektronlar atomu kolaylıkla
terk edebilirler ve başka bir atoma geçebilirler.
Yalıtkanlarda ise bir dış alan uygulandığında, yükler atomu kolaylıkla
terk edemezler.
Çünkü, yalıtkanlarda serbest yük yoktur ve yükler atoma sıkı sıkıya
bağlıdırlar.
Bununla birlikte, bir dış alan içine sokulan yalıtkan, bu alanda değişiklik
yaratır.
Normal koşularda, yani dış alan uygulanmadan, yalıtkan içinde rasgele
yönelmiş birçok dipol (iki-kutuplu) bulunur.
Atom ölçeğinden daha büyük uzaklıklarda bunların yarattığı alan sıfırdır.
92
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Malzeme Uzayında Elektrik Alanları
Yalıtkanlar ve elektrik alanı içindeki davranışları :
Şekildeki gibi, eğer yalıtkan bir Ed dış alanı içine sokulursa, tüm dipoller
alan yönünde yönelirler. Bu olaya polarizasyon (kutuplaşma) denir. Alan
içine sokulan böyle bir yalıtkandaki dipoller bir ikincil alan
(polarizasyon alanı) yaratırlar. Sonuç olarak, bir dış alan içine sokulan
tüm yalıtkanların çok sayıda dipole eşdeğer olduğu söylenebilir.
Pozitif yüzey yükü
Kutuplanmış
molekül
Ed
Ed
Negatif yüzey yükü
93
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Malzeme Uzayında Elektrik Alanları
Yalıtkanlar ve elektrik alanı içindeki davranışları :
Dipollerin etkisi, birim hacimdeki dipol momenti ile tanımlanabilir.
Dipol momenti p ise, bunun v hacmine bölümü,
p
P
v
birim hacimdeki dipol momentini verir. Buna polarizasyon alanı denir.
P, eksi yüklerden artı yüklere doğru yönelen bir vektördür. Önceki
sayfada verilen yalıtkanın uzunluğu L, yüzey alanı S ise, hacmi v=SL
olacağından, polarizasyon alanı,
p QP L QP
P 

  SP (C/m2)
v
SL
S
olarak bulunur. SP , polarizasyon sonucu yalıtkan tabakanın yüzeyinde
beliren yük yoğunluğudur.
94
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Malzeme Uzayında Elektrik Alanları
Yalıtkanlar ve elektrik alanı içindeki davranışları :
Böylece, yalıtkan içindeki yerdeğiştirme alanı,

 
D  oE  P
olur. Homojen ve izotropik bir yalıtkan ortamda P ile E orantılıdır.


P   e o E
e yalıtkanın elektriksel hassasiyeti olarak tanımlanır ve boyutsuz bir
büyüklüktür. P için verilen ifade yerdeğiştirme alanı ifadesinde yerine
koyulursa,


D   o ( 1   e )E
elde edilir.
95
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Malzeme Uzayında Elektrik Alanları
Yalıtkanlar ve elektrik alanı içindeki davranışları :
1  e   r
olarak tanımlanırsa, yalıtkan içindeki yerdeğiştirme alanı



D   o  r E  E
olur. r bağıl yalıtkanlık katsayısı adını alır. Boşlukta e=0 (polarizasyon
alanı P=0) ve r=1 dir. Bazı yalıtkanlar için r tabloda verilmiştir.
Ortam
r
Ortam
r
Boşluk
1
Pleksiglas
3,4
Hava
1,006
Cam
6
Parafin
2,1
Mika
6
Kauçuk
3
Damıtık su
81
96
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Malzeme Uzayında Elektrik Alanları
Yalıtkanlar ve elektrik alanı içindeki davranışları :
Örnek 1: r=4 olan bir yalıtkan tabaka düzgün bir elektrik alanı içine
yerleştirilmiştir. Tabaka yüzeyinde SP=0,5 C/m2 olduğuna göre
tabakadaki P, D ve E alanlarını bulunuz
97
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Malzeme Uzayında Elektrik Alanları
Yalıtkanlar ve elektrik alanı içindeki davranışları :
Örnek 2: Bir dielektrik malzeme, her birinin dipol momenti 1,8.10-27 Cm
olan 2.1019 polar molekül/m3 içermektedir. Tüm dipollerin E  10 5 â x V/m
elektrik alanı yönünde dizildiğini varsayarak P alanını ve r yi bulunuz.
98
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Malzeme Uzayında Elektrik Alanları
Yalıtkanlar ve elektrik alanı içindeki davranışları :
Örnek 3: Lineer, homojen ve izotropik dielektrik içindeki elektrik alan
2 dir.
şiddeti
V/m,
polarizasyonun
genliği
ise
235,2
pC/m
3
â

2
â

6
â
y
z
 x

P ve D alanlarını bulunuz.
99
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Malzeme Uzayında Elektrik Alanları
İki yalıtkanın ayırma yüzeyinde sınır koşulları :
Şekildeki gibi iki mükemmel yalıtkan (0) ortamın ayırma yüzeyinde
alanların arayüze teğet ve dik bileşenleri bulunacaktır.
yalıtkan ortam 1
h
ân 2
h
w
yalıtkan ortam 2
ân1
100
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Malzeme Uzayında Elektrik Alanları
İki yalıtkanın ayırma yüzeyinde sınır koşulları :
Şekildeki kapalı abcda yolu boyunca,
 
 E  dl  0 olduğundan, h0 için;
E2t w  0  E1t w  0  0  E1t  E2t
a b
bc
c d
d a
 2 D1t   1 D2t
Silindirik yüzeye Gauss yasası uygulanırsa,
 
 D  dS  Q olduğundan, h0 için :
S
D1n S  D2 n S   S S
101
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Malzeme Uzayında Elektrik Alanları
İki yalıtkanın ayırma yüzeyinde sınır koşulları :
Arayüzde alanların dik bileşenleri :
D1n  D2 n   S
 1 E1n   2 E2 n   S
Arayüzde yük yoksa, yani S=0 ise;
D1n  D2 n
 1 E1n   2 E2 n
Böylece, her bir yalıtkan ortamdaki elektrik alanı :



E1  E1t  E1n



E2  E2 t  E2 n
102
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Malzeme Uzayında Elektrik Alanları
İki yalıtkanın ayırma yüzeyinde sınır koşulları :
Ortamlardan birindeki alanın doğrultusu ve her iki ortamın parametreleri
kullanılarak, diğer ortamdaki alanın doğrultusu belirlenebilir. Şekilden,
E1t
tan1 
E1n
E2 t
tan 2 
E2 n
tan1 E2 n D2 n  1


tan 2 E1n D1n  2
S=0 ise : D1n  D2 n 
tan1  r 1

tan 2  r 2
103
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Malzeme Uzayında Elektrik Alanları
İki yalıtkanın ayırma yüzeyinde sınır koşulları :
Örnek 1: İki homojen, izotropik yalıtkan ortamı z=0 düzlemi
ayırmaktadır.
z≥0 için r1=4, z≤0 için r2=3 verilmektedir. 1.ortamda

E1  5âx  2â y  3âz kV/m düzgün elektrik alanı bulunduğuna göre;
a) 2.ortamdaki E2 alanını bulunuz.
b) E1 ve E2 alanlarının arayüzle yaptığı açıları bulunuz.
104
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Malzeme Uzayında Elektrik Alanları
İki yalıtkanın ayırma yüzeyinde sınır koşulları :
Örnek 2: İki homojen, izotropik yalıtkan ortamı z=0 düzlemi
ayırmaktadır.
z≥0 için r1=2, z≤0 için r2=7,5 verilmektedir. 1.ortamda

D1  20âx  60â y  30âz nC/m2 olan düzgün alan bulunduğuna göre;
a) 1.ortamdaki E1 ve 2. ortamdaki P2 alanını bulunuz.
b) E1 ve E2 alanlarının arayüz normaliyle yaptığı açıları bulunuz.
c) Her iki ortamdaki enerji yoğunluklarını bulunuz.
105
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Kondansatörler
Bir kondansatör, bir elektrik alanında enerji depolayan, bir enerji
depolama düzeneğidir. Kondansatör, aralarında yalıtkan bir malzeme
bulunan iki iletkenden oluşur. Kondansatör iletkenlerinin başlangıçta
yüksüz (nötr) olduğu varsayılarak iletkenleri arasına şekildeki gibi bir V
gerilimi uygulanırsa, bir iletkende +Q ve karşı iletkende –Q şeklinde bir
yük ayrışması olur.
Toplam yük
Toplam yük
106
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Kondansatörler
Bu yük ayrışması, iki iletken arasındaki yalıtkan ortamda kondansatörde
enerjinin depolanmasını sağlayan bir elektrik alanı yaratır. Her iki
iletkende depolanan yük miktarı iletkenler arasına uygulanan gerilimle
orantılıdır. Her iki iletkendeki toplam yük miktarının iletkenler
arasındaki gerilime oranı kondansatörün kapasitesini (sığasını) tanımlar.
Q
(Farad, F)
C
V
Bir kondansatörün kapasitesi, yalnızca iletkenlerin geometrisi
(iletkenlerin şekli, aralarındaki mesafe, v.s) ve aralarındaki yalıtkan
ortamın dielektrik sabitine () bağlıdır. Kapasitenin tanımına göre, bir
kondansatör iletkeni üzerindeki yük kondansatör gerilimiyle aynı oranda
artar. Örneğin, kondansatör gerilimi iki katına çıkarılırsa yük de iki
katına çıkar. Dolayısıyla C kapasitesi sabit kalır.
107
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Kondansatörler
Yarıçapı a olan yalıtılmış (izole) bir iletken küre yüzeyindeki toplam
yük Q ise, bu kürenin kapasitesi
Q
Q
C 

V Q / 4a
C  4a
(F)
olarak elde edilir. Burada V kürenin sonsuza göre potansiyelidir.
Dolayısıyla C de kürenin sonsuza göre kapasitesi olur.
108
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Kondansatörler
Paralel levhalı kondansatörler :
Sıklıkla karşılaşılan bir kondansatör geometrisi paralel levhalı
kondansatördür. Şekilde gösterildiği gibi, aralarında küçük bir d uzaklığı
bulunan S yüzey alanlı iki büyük düz iletken levhadan oluşur. Levhalar
arasında dielektrik sabiti  olan homojen bir yalıtkan malzeme vardır.
Üst levhadaki toplam yük = +Q
Levha yüzey alanı = S
Alt levhadaki toplam yük = -Q
Dielektrik
sabiti = 
109
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Kondansatörler
Paralel levhalı kondansatörler :
Gerçek bir paralel levhalı kondansatörde yük ve alan karakteristikleri
ideal paralel levhalı kondansatör modeli kullanılarak yaklaştırılabilir. Bu
modelde; levhalardaki yüzey yük yoğunluklarının düzgün olduğu
(S=±Q/S), levhalar arasındaki elektrik alanın düzgün olduğu (E=V/d) ve
dışarıda elektrik alanının sıfır olduğu kabul edilir.
Gerçek bir paralel levhalı kondansatörde ise, yük yoğunluğu levhaların
kenarlarında arttığı için dağılım düzgün değildir. İletkenin kenarlarındaki
bu yük fazlalığı, şekilde gösterildiği gibi, elektrik alan saçaklanması
(düzgün olmayan elektrik alanı) olarak bilinen bir etkiye neden olur.
elektrik alan saçaklanması
110
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Kondansatörler
Paralel levhalı kondansatörler :
Kondansatör levhalarının yüzeyleri büyük ve birbirlerine yakın oldukları
için levhaların kenarlarına yakın yerlerde elektrik alanındaki saçaklanma
miktarı küçüktür. Bu nedenle, ideal paralel levhalı kondansatör modeli
çoğu kondansatörler için doğrudur.
Paralel düzlem levhalar arasındaki elektrik alanı,
S
E

olarak daha önce bulunmuştu. E=V/d ve S=Q/S olduğuna göre, paralel
levhalı kondansatörün kapasitesi :
Q  S S ES
S
C 

 C
V
V
Ed
d
(F)
111
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Kondansatörler
Paralel levhalı kondansatörler :
Kondansatörde depolanan toplam enerji, kondansatör elektrik alanıyla
ilişkili enerji yoğunluğunun integralinden bulunabilir.
We   we dv
v
1 2
we  E
2
İdeal paralel levhalı kondansatörde, levhalar arasındaki elektrik alanı
düzgün olduğundan enerji yoğunluğu da düzgündür.
1 2
1

We   we dv  we v   E ( Sd )   ES ( Ed ) 
2

2

v
2
QV Q
CV
We 


2
2C
2
2
(J) Bu denklem, herhangi bir
kondansatör için geçerlidir.
112
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Kondansatörler
Örnek : Şekildeki her bir kondansatörde depolanan elektrik enerjisini
hesaplayınız.
3 F
2 F 4 F

2 F
1 F
80 V
+ V=120 V
40 V
V
4
CT  F
3
4
WT  0 ,5( CT V )  0 ,5( .10 6 .120 2 )  9 ,6 mJ
3
We ( 2 F )  0 ,5( 2.10 6 .80 2 )  6 ,4 mJ
2
We ( 1F )  0 ,5( 10 6 .40 2 )  0 ,8 mJ
We ( 3F )  0 ,5( 3.10 6 .40 2 )  2 ,4 mJ
113
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Kondansatörler
İki yalıtkanlı paralel levhalı kondansatörler :
A. Ayırma yüzeyi alan çizgilerine dik ise;
Şekilde, iki paralel düzlem levha arasında dielektrik sabitleri 1 ve 2
olan iki yalıtkandan oluşan kondansatör ve eşdeğeri verilmiştir. İki
yalıtkanı ayıran arayüzde D1=D2 dir.
C1

S
1
2
V
Her bir kondansatörün kapasitesi :
C1 
 1S
d1
C2 
C2
 2S
d2
Eşdeğer kapasite :
C1C2
 1 2 S
C

C1  C2  1d 2   2 d1
114
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Kondansatörler
İki yalıtkanlı paralel levhalı kondansatörler :
B. Ayırma yüzeyi alan çizgilerine paralel ise;
İki yalıtkanı ayıran arayüzde E1=E2 dir.
S2
1
2
C2

S1
C1
V
Her bir kondansatörün kapasitesi :
C1 
 1 S1
d
C2 
 2 S2
d
Eşdeğer kapasite :
C  C1  C2 
 1 S1   2 S 2
d
S(  1   2 )
Levhaların yüzey alanları S1=S2=S/2 ise : C 
2d
115
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Kondansatörler
İki yalıtkanlı paralel levhalı kondansatörler :
Örnek : Şekildeki paralel levhalı kondansatörün levhaları arasına
uygulanan gerilim V=100 V, d=1 cm, 1=o (hava) ve 2=3o dır. Her iki
bölgedeki E, D ve P alanlarını bulunuz.
1. bölgede (1=o) :
+
V
Eh  E y  E  
Dy
Dh
V
d
2
1 d
100
Ey
Eh
Eh 
 10 kV/m
0 ,01
Dh   o Eh  8 ,85.10 8 C/m 2 Ph  0
2. bölgede (2=3o) : E y  10 kV/m
8
2
D y  3 o E y  3 Dh  26 ,5.10 C/m
Py   o (  r  1 )E y  2 o E y  2 Dh  17 ,7.10 8 C/m 2
116
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Kondansatörler
Koaksiyel (Eş-eksenli) kondansatör :
Şekil-(a)’da gösterildiği gibi bir koaksiyel kondansatör; aralarında bir
yalıtkan bulunan (), içtekinin yarıçapı a, dıştakinin yarıçapı b ve
uzunlukları L olan iç içe iki silindirik iletkenden oluşur.
L
(a)
(b)
117
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Kondansatörler
Koaksiyel (Eş-eksenli) kondansatör :
Çizgisel yük yoğunluğu L olan iletkenden bir  uzaklıktaki (şekil-(b))
elektrik alanı,
L
olarak daha önce hesaplanmıştı.
E 
2
Bu bağıntı kullanılarak, iletkenler arasındaki V gerilimi
 L b d  L
V   E d 

ln( b / a )

2 a 
2
a
b
bulunur.
Q
olduğuna göre;
L 
L
118
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Kondansatörler
Koaksiyel (Eş-eksenli) kondansatör :
L uzunluğundaki koaksiyel kondansatörün kapasitesi,
Q
Q
C 

V Q ln( b / a ) / 2L
2L
C
ln( b / a )
(F) olarak elde edilir.
Birim uzunluğun kapasitesi ise,
C
2
C  
(F/m)
L ln( b / a )
119
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Kondansatörler
Koaksiyel (Eş-eksenli) kondansatör :
Örnek : Koaksiyel kablonun iletkenleri arasındaki gerilimin belirli bir
değeri için iç iletkenin yüzeyindeki alanı minimum yapan a yarıçapı ne
olmalıdır ? Bu durumda birim uzunluğun kapasitesi nedir? (r=1)
L
E 
2
V
L
V
ln( b / a )  E  
 ln( b / a )
2
V
=a için Ei 
a ln( b / a )
dEi
 0  ln( b / a )  1 b / a  e  2,718
da
2r  o
C 
 55 ,6 pF/m
ln( b / a )
120
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Kondansatörler
Paralel iletkenli hattın kapasitesi :
2a

E

E
M
L

2a
-L
d
V
Şekildeki gibi; yarıçapları a, aralarındaki uzaklık d ve düzgün çizgisel
yük yoğunlukları L olan iki iletkenin merkezlerini birleştiren doğru
üzerinde bir M noktasındaki toplam elektrik alanı,
 

L
L
E  E  E 
â  
â 
2
2( d   )
121
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Kondansatörler
Paralel iletkenli hattın kapasitesi :
İletkenler arasındaki gerilim,
d a
  d a 
 L d a  1
1 
 
d 
V   E  dl   E  dâ 

2 a   d   
a
a
L  d  a 
V
ln

  a 
olarak bulunur.
Birim uzunluğun kapasitesi : C  
L
V


ln( d  a ) / a 
(F/m)
İletkenlerin yarıçapı aralarındaki uzaklığa göre çok küçük ise (d>>a),
C 

ln( d / a )
(F/m)
122
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Kondansatörler
Küresel kondansatörün kapasitesi :
Şekildeki gibi a ve b yarıçaplı iç içe yerleştirilmiş eş-merkezli iki iletken
kürenin oluşturduğu yapı küresel kondansatör olarak tanımlanır.
Q
Er 
4r 2
b
b
Q dr
V   Er dr 

2

4 a r
a
Q  1 1
V
  
4  a b 
Q
 ab 
C   4
 (F)
V
ba
123
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Kondansatörler
Küresel kondansatörün kapasitesi :
Örnek 1: Şekildeki küresel kondansatörde; a=1 mm, b=3 mm, c=2 mm,
r1=2,5 ve r2=3,5 olarak veriliyor. Kondansatörün kapasitesini bulunuz.
İki küre arasında peş peşe iki farklı yalıtkan ortam
vardır. Alanlar yalıtkan ortamların ayırma yüzeyine
diktir. Dolayısıyla seri bağlı iki kondansatör
durumu söz konusudur.
Her bir kondansatörün kapasitesi,
6
bc
12 6.10
C1  41
 4 .2 ,5.8 ,85.10
 1,668 pF
3
bc
10
6
ac
2
.
10
C2  42
 4 .3 ,5.8 ,85.10 12
 0 ,778 pF
3
ca
10
C1C2
1,668.0 ,778
C


 0 ,53 pF
Eşdeğer kapasite :
C1  C2 1,668  0 ,778
124
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Kondansatörler
Küresel kondansatörün kapasitesi :
Örnek 2: Şekildeki küresel kondansatörde; a=1 mm, b=3 mm, r1=2,5
ve r2=3,5 olarak veriliyor. Kondansatörün kapasitesini bulunuz.
İki küre arasındaki her bir yarı bölgede farklı
yalıtkan vardır. Alanlar yalıtkan ortamların ayırma
yüzeyine paraleldir. Dolayısıyla paralel bağlı iki
kondansatör durumu söz konusudur. Küreler
arasındaki bölgenin yalnız bir yalıtkanla dolu
olması durumunda her biri için kapasite,
C1  41ab /( b  a )  4 .2,5.8 ,85.10 12.1,5.10 3  0 ,417 pF
C2  C1 (  r 2 /  r 1 )  0 ,583 pF
Eşdeğer kapasite : C  ( C1  C2 ) / 2  0 ,5 pF
125
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Kondansatörler
Yalıtkanlık dayanımı :
Bir yalıtkan içindeki elektrik alanı istenildiği kadar artırılamaz. Alan
belirli bir değeri aşınca yalıtkan iletken duruma geçer. Buna yalıtkanın
delinmesi denir. Yalıtkanın delinmeden dayanabildiği en büyük alana bu
yalıtkanın dayanımı denir.
Bir kondansatör yapılırken, yalıtkan delinmeden uygulanabilecek en
büyük gerilim değerinin bilinmesi gerekir. İletken düzlemler arasındaki
belirli bir uzaklık için delinme gerilimi ile yalıtkanlık dayanımı
orantılıdır. Aşağıda bazı yalıtkanların dayanabildiği en büyük alan
değerleri Mega volt/metre (MV/m) olarak verilmiştir.
Yalıtkan
Yalıtkanlık dayanımı (MV/m)
Yalıtkan
Yalıtkanlık dayanımı (MV/m)
Hava
3
Cam
30
Kağıt
15
Kuartz
30
Kauçuk
21
Mika
200
126
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektrostatik Sınır-Değer Problemleri
İletken-boş uzay (veya dielektrik) sınırlarındaki koşulları verilen
problemler sınır-değer problemleri olarak adlandırılır.
Poisson ve Laplace Denklemleri :
Elektrostatik alanlar için,




divD    D   v rotE  xE  0


rotE  0  E  V
Doğrusal ve yönden bağımsız ortamlarda,




D  E    E   v olur. Bu ifadede E  V konursa,
  V   v
elde edilir.     
v
 V 

2
2
olduğundan,
: Poisson denklemi
127
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektrostatik Sınır-Değer Problemleri
Poisson ve Laplace Denklemleri :
Kartezyen koordinatlarda,
v
 2V  2V  2V
 2  2 
2
x
y
z

(V/m2)
Serbest yüklerin bulunmadığı (v=0) ortamlarda,
 2V  0
: Laplace denklemi
Kartezyen koordinatlarda,
 2V  2V  2V
 2  2 0
2
x
y
z
128
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektrostatik Sınır-Değer Problemleri
Poisson ve Laplace Denklemleri :
Örnek : Şekilde; aralarındaki uzaklık d ve potansiyelleri 0 ve Vo olan
paralel büyük iletken levhalar arasındaki bölge, hacimsel yük yoğunluğu
v=-oy/d olan sürekli bir elektron dağılımı ile doldurulmuştur.
Kenarlardaki saçaklanma etkisini ihmal ederek,
a) Levhalar arasında herhangi bir noktadaki potansiyeli,
b) Levhalar üzerindeki yüzey yük yoğunluğunu bulunuz.
a) Poisson denkleminden,
o
 2V

y
2
y
 od
İki kez integre edilirse,
o 3
V
y  C1 y  C2
6 o d
bulunur.
129
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektrostatik Sınır-Değer Problemleri
Poisson ve Laplace Denklemleri :
Örnek :
a) İletken levhalardaki sınır koşullarından,
y=0 da : V=0  C2=0
y=d de :
o d 2
Vo  o d
V  Vo 
 C1d  C1  
6 o
d 6 o
C1 ve C2 yerine koyularak,
 o 3  Vo  o d 
 y
V
y   
6 o d
 d 6 o 
(V) elde edilir.
130
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektrostatik Sınır-Değer Problemleri
Poisson ve Laplace Denklemleri :
Örnek :
a) 
 
V
V
2
 o d 

E
â y   
y   
y
 d 6  o 
 2 o d
o
o
(V/m)
b) Sınır koşullarından;
ân  â y
 oVo o d
(C/m2)
 Sl   o E yl  

d
6
Üstteki plakada y=d, ân  â y
 oVo o d
(C/m2)
 Su   o E yu 

d
3
Alttaki plakada y=0,
131
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektrostatik Sınır-Değer Problemleri
Elektriksel Görüntü Alma Yöntemi :
Bazı elektrostatik problemlerin, ilgili Poisson ve Laplace denklemlerinin
çözümünde sınır değerlerinin sınır değerlerinin sağlanmasının zor olduğu
durumlarda, sınır yüzeylerdeki koşullar uygun hayali görüntü yüklerle
oluşturulabilir ve daha basit bir yolla potansiyel dağılımları belirlenebilir.
Poisson ve Laplace denklemlerinin doğrudan çözümü yerine sınır
yüzeylerin uygun hayali yüklerle değiştirildiği bu yönteme görüntü
yöntemi denir.
Q
+Q
-Q
Toprak düzleminden yukarda
yük dağılımları
Eşdeğer dağılımlar
132
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektrostatik Sınır-Değer Problemleri
Elektriksel Görüntü Alma Yöntemi :
Görüntü yöntemi, geometrik yapıları basit olan, örneğin düzlemsel,
silindirik veya küresel iletken durumunda kolaylık sağlar. Karmaşık
yapılı iletkenlerde bu yöntem kolaylık sağlamaz.
Örnek : Bir pozitif noktasal Q yükü, topraklanmış (sıfır potansiyel) çok
geniş bir levhadan d kadar yukarıya yerleştirilmiştir.
a) y>0 bölgesindeki herhangi bir P(x,y,z) noktasındaki potansiyeli,
b) İletken düzlem yüzeyinde indüklenen yük yoğunluğunu bulunuz.
Topraklanmış
İletken düzlem
Fiziksel yapı
y=0 düzlemi
Görüntü yükü
Görüntü yükü ve alan çizgileri
133
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektrostatik Sınır-Değer Problemleri
Elektriksel Görüntü Alma Yöntemi :
Örnek :
a) İki yük nedeniyle P(x,y,z) noktasındaki potansiyel için,
Q  1
1 

V ( x, y, z ) 
  yazılabilir.
4o  R R 
Q 
1
1
V ( x, y , z ) 

2
2
2
2
2
2
4o  x  ( y  d )  z
x

(
y

d
)

z


, y  0


V ( x, y , z )  0, y  0
134
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
3.Statik Elektrik Alanlar
Elektromanyetik Alanlar
Elektrostatik Sınır-Değer Problemleri
Elektriksel Görüntü Alma Yöntemi :
Örnek :
b) P(x,y,z) noktasındaki elektrik alanı,

E  V 

xâ x  ( y  d )â y  zâ z 
Q  xâ x  ( y  d )â y  zâ z
 2
, y  0
E
 2
2
2 3/ 2
2
2 3/ 2 
4o  ( x  ( y  d )  z )
( x ( y  d )  z ) 
İndüklenen yüzey yük yoğunluğu,
S   o Ey
y 0
Qd

2 ( x 2  d 2  z 2 )3 / 2
135
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği