Matematik A Şubesi KÜMELER KÜME:Nesnelerin iyi tanımlanmış bir listesidir.Kümeyi oluşturan nesnelere Kümenin Elemanları denir. Kümeler;A,B,C,D,...gibi büyük harflerle gösterilir. Kümede bir eleman birden fazla yazılamaz.Elemanların, kümenin içerisinde yer değiştirmesi kümeyi değiştirmez A kümesinin eleman sayısı s(A) ile gösterilir.1 KONULAR Kümenin Gösterilişi Eşit Küme Boş KÜME Alt KÜME Öz Alt KÜME KÜMELERİN KESİŞİMİ İKİ KÜMENİN FARKI Evrensel KÜME,Tümleme Kümelerin Birleşimi Sonlu ve Sonsuz Küme A KÜMENİN GÖSTERİLİŞİ 10 Tabanında,elemanları 5 ten büyük rakamlardan oluşan kümeyi 3 ayrı yöntemle gösterilir. 1)Liste yöntemi: Elemanları küme parantezi({ })içerisine alıp,her bir eleman arasına virgül ( , ) gelecek şekilde yazılılır ve kümeler adları büyük harfle yazılır. 2)Ven Şeması: Düzgün kapalı şekil içerisine eleman yazılarak küme oluşturulur. .3 .5 3)Ortak Özellik yöntemi: A={ x I x,10 tabanındaki beşten büyük rakamlar}veya A={ x I x 5ve x 10 tabanındaki rakamlar } EŞİT KÜME Aynı elemanlardan oluşan iki kümeye Eşit Küme denir ÖRNEK:A={ 1,2,5,10} B={x I x,10 sayısının pozitif tam bölenleri}kümelerinin eşit olduğunu gösterelim. ÇÖZÜM: eşit küme Aynı elemanlardan oluşan iki kümeye Eşit Küme denir ÖRNEK:A={ 1,2,5,10} B={x I x,10 sayısının pozitif tam bölenleri}kümelerinin eşit olduğunu gösterelim. ÇÖZÜM:10 sayısının pozitif tam bölenleri 1,2,5,10 dur O halde, B={1,2,5,10} dur Aile B kümeleri eşittir.A=B şeklinde gösterilir Sonlu ve Sonsuz Küme SONLU KÜME: Elemanlarının sayısı bir doğal sayı olan kümeye sonlu küme denir. SONSUZ KÜME:Sayılamayacak kadar çok elemanlı olan kümeye sonsuz küme denir. ÖRNEK:A={xI x 2,-3 X 5} S(A)=8 A kümesi Sonlu küme B={x I x R,-3 X 5} B kümesi sonsuz küme olur. BOŞ KÜME Hiçbir elemanı olmayan kümeye BOŞ KÜME denir.Boş küme {} sembolüyle gösterilir.Boş kümenin eleman sayısı sıfır dır. öz ALT KÜME Bir kümenin kendisinden başka bütün Alt kümelerine bu kümenin ÖZ ALT KÜMESİ denir. N elemanlı bir kümenin “ALT küme-1”sayıda Öz altküme sayısı var. A={x,y}kümesinin öz alt kümeleri { } ,{x} ,{y} dır Alt küme Bir A kümesinin bütün elemanları B kümesinin de elemanı ise A kümesine B kümesinin ALT KÜMESİ denir ve A B şeklinde gösterilir.Eğer A,B nin alt kümesi değil ise bu A B şeklinde gösterilir. A B,A kümesi B kümesinin Alt kümesidir. B A,B kümesi A kümesini kapsar. S(a) Not:A kümesinin tüm alt kümelerinin sayısı 2 dır ÖZELLİKLER 1) Boş küme her kümenin Alt kümesidir. 2) A B ve B A ise A=B 3) A B ve B C ise A B C ALT KÜMEYE AİT ÖZELLİKLER 1)A A (Her küme kendisinin alt kümesidir.) 2) { } A ( Boş küme her elemanın Alt kümesidir) 3) (A B ve B A) ise A=B dir. 4) (A B ve B C) ise A C dir. 5) n r olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısı: n n! r n r !.r ! Alt kümeye dönüş Evrensel küme VE Tümleyen Üzerinde işlem yapılan tüm kümeleri kapsayan kümeye,evrensel küme denir. Evrensel küme genellikle E harfiyle gösterilir. Evrensel kümenin, A kümesinin dışındaki elemanlarının kümesine A kümesinin tümleyeni denir. A kümesinin tümleyeni A’ şeklinde gösterilir. A’ A E TÜMLEYENİN ÖZELLİKLERİ 1) (A’)’=A 2)s(A)+ s(A’)= s(E) 3) ' E 5) A B B ' A ' 4) E ' 6) A A ' TÜMLEYENE Dönüş DE MORGAN Kuralı KÜMELERİN BİRLEŞİMİ A ve B herhangi iki küme olmak üzere; A ile B kümelerinin bütün elemanlarından oluşan kümeye, bu iki kümenin birleşimi denir. .a .d .b ..c .e .f @A={a,b,c,d}, B={b,c,e,f} kümeleri veriliyor AUB kümesini liste biçiminde yazalım. AUB={a,b,c,d,e,f} dir AUB AUB BİRLEŞİM İŞLEMİNİN Özellikleri BİRLEŞİM İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ 1)TEK KUVVET Özelliği : AUA=A 2)DEĞİŞME Özeliği : AUB=BUA 3) BİRLEŞME Özeliği : her A,B,C kümesi için AU(BUC)=(AUB)UC 4) BİRİM (ETKİSİZ) ELEMAN Özeliği : her küme için AU{ }={ }UA ALIŞTIRMA BİRLEŞİM İŞLEMİNE Dönüş KÜMELERİN KESİŞİMİ A ve B herhangi iki küme olmak üzere, A ve B nin ortak elemanlarından oluşan kümeye bu kümenin kesişimi denir. kümelerinin kesişimi A B şeklinde A gösterilir.Aile B {xIx B A x} nin kesişimi. Biçiminde tanımlanır. ÖRNEK: A={1,2,3,4,5}ve B={3,4,6,7} kümeleri veriliyor. A liste biçiminde yazalım ve Ven şemasında gösterelim: ÇÖZÜM: A B={3,4} A Konuyla İlgili Sorular B kümesini B .1 .3 .6 .2 .4 .7 .5 KESİŞİM İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ KESİŞİM İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ 1)Tek kuvvet özelliği:Her eleman için A A {xIx A x A} A A dır A {xIx A} A 2)Değişme özelliği: her A ve B kümeleri için A B B dir. A A B {xIx a x B} {xIx B x A} B A KESİŞİM İŞLEMİNE DÖNÜŞ DEVAMI 3) Birleşme özelliği:Her A;B;C kümeleri için A B A (B C) A B C C xIx A x B C xIx A x B x C xI x A x B x C A B C 4)Yutan eleman özelliği: Her A kümesi için (Bu işlemde yutan eleman dir) A A dir İKİ KÜMENİN FARKI Tanım:A ve B herhangi iki küme olsun.A da olup B de olmayan elemanların oluşturduğu kümeye “A”nın”B”den farkı denir ve A\B veya A-B Biçiminde gösterilir. A B xIx A x B ÖRNEK:A={1,2,3,4,5},B{3,5,6,7}kümeleri veriliyor.A-B ve B-A kümelerini bulunuz. ÇÖZÜM:A-B={1,2,4},B-A={6,7}dir. A A-B B .1 .2 .3 .3 .6 .5 .7 B-A