Yüksek Matematik 2. Makina mühendisliği Bölümü. Prof. Dr. Ramazan Taşaltın Eğrisel ve Yüzeysel İntegraller (3 hafta) Gerekli konuların özeti, parametrik denklemler, vektor alanları, uzayda doğru denklemi, Cizgisel (eğrisel) integraller, Vektör alanının bir eğri üzerinde integrali Green Teoremi, Bir fonksiyonun bir yüzey uzerinde integrali Bir vektör alanının bir yüzey üzerinde integrali. Stokes Teoremi, Diverjans teoremi. Diferansiyel Denklemler (9 hafta) I)Diferansiyel denklemlerde genel tanımlar, dif denklemein mertebesi, derecesi, lineer ve nonlineer denklemler II)Birinci Mertebeden ve birinci dereceden denklemler Degiskenlerine ayrilabilen diff denklemlerin cozumu Homojen Denklemler, homojen hale getirilebilen denklemler Tam diferansiyel denklemler Integral Çarpanı ile tam diff haline getirilebilen denklemler Lineer diferansiyel denklemler, Bernoelli denklemi, Riccati denklemi III)Yuksek mertebeden Sabit katsayılı Lineer diff denklemlerin Çözümü IV)Diff denklemlerin kuvvet serileri ile çözümü V)Diff denklemlerin Laplas dönüşümü ile cozumu VI)Diff denklem sistemlerinin Çözümü Vize Final Odevler ve quizler Toplam 30 60 25 115 Takip Edilecek Kaynaklar Genel Matematik 2. Beşinci Baskı. Mustafa Balcı. 2010. www.balciyayinlari.com.tr Thonas Calculus 2. Onbirinci baskı. Cev. Recep Korkmaz. 2007 , www.betayayincilik.com Diferansiyel Denklemler, Mustafa Bayram, BirsenYayinlari, 2009 Cozumlu Diferansiyel Denklem Problemleri, Cevdet Cerit. 2006 Dokuman sayfasi http://eng.harran.edu.tr/~rtasaltin Elime değil içindekine bak (MEVLANA CELALEDDIN) (Kabukla degil öz ile meşgul ol) (ayrıntılarla uğraşıp vakit kaybetme, dersten maximum istifadeye çalış ) Vaktinde teslim edilmeyen odevler gecersiz sayilir. Uzayda Dogru denklemi A(x1, y1, z1) ve B(x2, y2, z2) noktalarindan gecen dogru denklemi x - x1 y - y1 z - z1 = = x1 - x 2 y1 - y 2 z1 - z 2 Dogru denklemi ha liyle x - x1 y - y1 z - z1 = = x 2 - x1 y 2 - y1 z 2 - z1 olarak da yazilabilir. Ornek 231 A(1,2,3) ve B(5,3, 7) noktalarindan gecen dogru denklemini yazin. x -1 y - 2 z - 3 = = 1- 5 2 - 3 3 - 7 z= t+2 r(t)=t i+ (0.25t+1.75) j + (t+2) k Not: Ayni denklemi degisik parametrik denklemlerle de ifade edebiliriz. x -1 y - 2 z - 3 = = 4 1 4 Burada x=4t+1 konulursa 4t + 1 - 1 y - 2 4t = , => y=2+ = t+ 2 4 1 4 4t + 1 - 1 z - 3 4t z - 3 = = , , z-3=4t, z=4t+3 4 4 4 4 r(t)=(4t+1) i+ (t+2) j + (4t+3) k --------------------------- ------------Ornek 321 r(t) = (at+b) i+ (ct+d) j + (et+f) k denklemini kartezyen koordinatlarda ifade edin. Cozum: r(t) = x i+ y j + z k x = at+b, y= ct+d, z=et+f x -1 y - 2 z - 3 = = -4 -1 -4 x -1 y - 2 z - 3 = = 4 1 4 Ornek 232 A(0,0,0) ve B(1,1, 1) noktalarindan gecen dogru denklemini yazin. x -0 y-0 z-0 = = 0 -1 0 -1 0 -1 x y z = = , -1 -1 -1 t -1 z - 3 = , z-3=t-1 4 4 x=y=z, Ornek 241 A(1,2,3) ve B(5,3, 7) noktalarindan gecen dogrunun parametrik denklemini yazin. Ornek 231 den dogrunun kartezyen denklemi x -1 y - 2 z - 3 = = 4 1 4 seklinde verilmisti. Burada x=t konulursa t -1 y - 2 t -1 = , => y=2+ =0.25t+1.75 4 1 4 x-b y-d , t= , a c x-b y-d z-f = = a c e t= t= z-f e Egrisel integraller, Bir fonksiyonun bir egri uzerinde integrali. y A y=g(x) B x f(x,y) fonksiyonunun g(x) uzerindeki integralini A noktasindan B noktasina kadar hesaplayinhesaplayin. Bazi durumlarda egri y=g(x) seklinde degilde g(x,y)=0 seklinde de verilebilir. Uc boyutlu uzayda. f(x,y,z) fonksiyonunun g(x,y,z)=0 uzerindeki integralini A noktasindan B noktasina kadar hesaplayin. Parametrik denklemlerle. f(x,y,z) fonksiyonunun r(t)=a(t)i+b(t)j+c(t)k egrisi uzerindeki integrali t=a dan t=b ye kadar hesaplayin. ∫ t =b t =a f (x(t), y(t), z(t)) | r' (t) | dt F11 ------------------------------------------------------------x-y duzleminde y=g(x) seklinde verilmisse ∫ x =b x =a 2 ⎛ dy ⎞ f (x, g(x)) 1 + ⎜ ⎟ dx ⎝ dx ⎠ F12 ------------------------------------------------------------y=g(x) z=h(x) seklinde verilmisse ∫ x =b x=a f (x, g(x), h(x)) 1 + ( y' ) 2 + (z' ) 2 dx ------------------------------------------------------------r=g(θ) seklinde Kutupsal koordinatlarda verilmisse ∫ θ =b f (x, y)dl = ∫ F14 θ =a f (r cosθ ,r sinθ ) r 2 + r '2 dθ F13 44) P(6,10) noktasindaki degeri F=-3i-8j olan vektoru cizin. vektor alanlari 34)C=3i+4j, D=-3i+4j, x-y duzleminde birer vektoru ifade ederler. y 3 10 8 y 4 y D 4 C 3 x 6 x -3 x Vektorun. baslangic noktasi, yonu, siddeti verildiginde o vektor cizilebilir. 45) P(6,10) noktasindaki degeri F=3i+8j olan vektoru cizin. 35)F=P(x,y)i+Q(x,y)j, x-y duzleminde her noktada degisen vektor alanini ifade ederler. y y 3 10 8 x 6 41)Vektorun. baslangic noktasi, yonu, siddeti verildiginde o vektor cizilebilir. Ornek: P(3,4) noktasindan yonu x ekseni ile 60 derecelik aci yapan 10 siddetindeki vektoru cizin x 51) F=(y-x)i+(x-y)j vektor alaninin P(6,10) noktasindaki degerini x-y duzleminde gosterin Cevap: F=(y-x)i+(x-y)j =(10-6)i+(6-10)j=4i-4j 4 y 10 4 y 4 10 600 6 3 x x 52) F=(y-x)i+(y-x)j vektor alaninin P(6,10) noktasindaki degerini x-y duzleminde gosterin Cevap: F=(y-x)i+(y-x)j =(10-6)i+(10-6)j=4i+4j 43) P(6,10) noktasindaki degeri F=3i-8j olan vektoru cizin. 3 y y 10 8 6 x 4 10 4 6 x 53) Sekildeki vektorun x ekseni ile yaptigi aciyi ve vektorun siddetini(genligini)hesaplayin. y 64)F=yi, x yonunde, ve y arttikca siddetde artiyor y 4 θ 10 x 3 6 x Vektorun genligi (siddeti) aci θ=arg tan(4/3)=53.10 32 + 4 2 = 5 71)F=yj, x,y,z duzleminde z 61)F=j, y yonunde sabit siddetde y y x x oklarin siddetleri ayni oldugunu varsayin. 72) F(x,y)= -y i + x j 62)F=xi, x yonunde, ve x arttikca siddetde artiyor y x 63) F=yj y yonunde, ve y arttikca siddetde artiyor y x x y Pi Qj x 1 0 0 -1 0 0 -1 2 2 -2 2 -2 -2 2 -2 3 0 0 -3 0 0 -3 0 1 -1 0 0 -1 1 0 -2 2 -2 -2 2 -2 2 2 0 -3 0 0 -3 3 0 3 1 3 y Pi Qj F= ‒ yi+xj F= yi+sin(x) j Vektor alaninin bir egri uzerinde integrali F= P(x,y,z)i+ Q(x,y,z)j+ R(x,y,z)k Curl F=(Ry ‒ Qz )i + (Pz ‒ Rx ) j + (Qx ‒ Py )k div F = ∇ • F = Px+ Qy+ Rz F21 F22 --------------------- --------------------------------F= P(x,y,z)i+ Q(x,y,z)j+ R(x,y,z)k vektor alaninin r(t)=a(t)i+b(t)j+c(t)k egrisi uzerindeki integralini t=a dan t=b ye kadar hesaplayin. ∫ t =b t =a ∫ t =b F r' dt (P t =a F24 da db dc +Q +R )dt dt dt dt F25 r(t)=a(t)i+b(t)j+c(t)k egrisi uzerinde ∫ t =b (P dx + Q dy + R dz )dt t =a integralini t=a dan t=b ye kadar hesaplayin. ∫ t =b (P t =a da db dc +Q +R )dt dt dt dt F26 Tutarli (korumali) Vektor alani. f(x,y,z) fonksiyonunun gradienti grad f = ∇ f = F = fx i + fy j + fz k F27. f(x,y,z) nin turevleri varsa F her zaman vardir hesaplanabilir. F’i saglayan (olusturan) f(x,y,z) her zaman olmaz. F’i saglayan (olusturan) f(x,y,z) varsa F ye tutarli (korunmali, konservatif, conservative) vektor alani denir. F tutarli ise F nin r(t) uzerindeki integrali (F nin r(t) boyunca yaptigi is) yoldan bagimsizdir. y r1(t) B r3(t) r2(t) x A A noktasindan B noktasina degisik yollar boyunca gidilebilir. F tutarli (korumali) ise F nin r(t) uzerindeki integrali (F nin r(t) yolu boyunca yaptigi is yoldan bagimsizdir. ) ∫ t =B t= A t =B t =B F r dt = ∫ F r dt = ∫ F r3' dt ' 1 t= A ' 2 t=A F28 F=Pi+Qj, (iki boyutlu) Py=Qx ise F tutarlidir. F31 F=Pi+Qj+Rk Ry=Qz , Pz= Rx, Qx = Py ise F tutarli (uc sartin ucu de saglanirsa tutarlidir,korumalidir) F32 ∫ t =B t= A F rX' dt = f(B) - f(A) F33 A dan B ye herhangibir yol boyunca integralin degeri f fonksiyonunun B deki degeri eksi ve A daki degeridir. thomas 1168 de Bolum 16.3 soru 17-23 de bahsedilen ornek 4 Green Teoremi ∫ C (P dx + Q dy) = ∫∫ ( B dQ dP − ) dx dy dx dy F41 C: Kapali bir egri. B: bu kapali egrinin icindeki alan. C egrisi uzerindeki integral C nin cevreledigi alan uzerindeki iki katli integrale donusturulebilir. F yi C egrisi uzerinde integre etmek zor ise iki katli integrali hesapla. Veya Iki katli integral zor olursa (P dx+Qdy) ifadesini C uzerinde integre et. Bir fonksiyonun bir yuzey uzerinde integrali yuzey denklemi. z=f(x,y) seklinde ifade edilebiliyorsa ve B yuzeyin x-y duzlemindeki izdusumu ise. ∫∫ S g(x,y,z)ds= ∫∫ g(x,y,f(x,y)) 1+ fx + fy dx dy 2 2 B F51 ------------------------------------------------ -----------------yuzey denklemi. y=f(x,z) seklinde ifade edilebiliyorsa ve B yuzeyin x-z duzlemindeki izdusumu ise. ∫∫ g(x,y,z)ds= ∫∫ g(x,f(x,z),z) 1+ f 2 x S + fz dx dz 2 B F52 ---------------------------------------------------- ----------------yuzey denklemi. x=f(y,z) seklinde ifade edilebiliyorsa ve B yuzeyin y-z duzlemindeki izdusumu ise. ∫∫ S g(x,y,z)ds= ∫∫ g(f(y,z),y,z) 1 + fy + fz dydz 2 2 B F53 -------------------------------------------------- ---------------------. Uzaydaki yuzey intgegrali duzlemdeki alan integraline donusturulebilir. Bir vektor alaninin bir yuzey uzerinde integrali. F= P(x,y,z)i+ Q(x,y,z)j+ R(x,y,z)k vektor alaninin S yuzeyi uzerindeki integrali. Tanim: pozitif z yonunde normal denklemi n= − f xi − f y j + k 1 + f x2 + f y2 , pozitif y yonunde normal denklemi n= − f xi + j − f z k 1 + f x2 + f y2 , F vektor, n vektor. Iki vektorun scalar carpimi scalardir. (ai+bj).(ci+dj)=ac+bd (2i+3j).(4i+7j)=8+21=29. F n=g(x,y,z) ( F vektor, n vektor, ∫∫ S ikisinin carpimi g(x,y,z) bir fonksiyon vektor degil) F n ds = ∫∫ g(x, y, z) dx dy B F61 ∫∫ S F n ds = ∫∫ (−P B df df − Q + R) dx dy dx dy F62 B bolgesi S yuzeyinin x-y duzlemindeki izdusumudur. Uzaydaki yuzey intgegrali duzlemdeki alan integraline donusturulebilir. -------------------------------------------------- -------------grad f = ∇ f = F = fx i + fy j + fz k xy F26. 2 f(x,y,z)=xyz+ e +z grad f=? xy xy fx =yz+y e fy =xz+x e fz =xy+ 2z xy xy grad f = ∇ f= (yz+y e )i + (xz+x e )j + (xy+ 2z)k Stokes Teoremi ∫∫ C F dr = ∫∫ Curl F n ds F71 S (Curl F n) nin S yuzeyi uzerindeki integrali, S yuzeyini cevreleyen C egrisi uzerindeki F nin integraline esittir. Ozetle: Yuzey integrali egri integraline donusturulebilir. Diverjans teoremi. ∫∫ S F n ds = ∫∫∫ ∇f dx dy dz F81 D (F n) nin S yuzeyi uzerindeki integrali ∇ F nin S nin kapladigi hacim uzerindeki integraline esittir. OZET NOT Egrisel integraller, Bir fonksiyonun bir egri uzerinde integrali. y A y=g(x) B div F = ∇ • F = Px+ Qy+ Rz F22 x f(x,y) fonksiyonunun g(x) uzerindeki integralini A noktasindan B noktasina kadar hesaplayinhesaplayin. Bazi durumlarda egri y=g(x) seklinde degilde g(x,y)=0 seklinde de verilebilir. Uc boyutlu uzayda. f(x,y,z) fonksiyonunun g(x,y,z)=0 uzerindeki integralini A noktasindan B noktasina kadar hesaplayin. Parametrik denklemlerle. f(x,y,z) fonksiyonunun r(t)=a(t)i+b(t)j+c(t)k egrisi uzerindeki integrali t=a dan t=b ye kadar hesaplayin. ∫ t =b t =a ∫ x =a f (x(t), y(t), z(t)) | r' (t) | dt F11 2 ⎛ dy ⎞ f (x, g(x)) 1 + ⎜ ⎟ dx ⎝ dx ⎠ F12 ------------------------------------------------------------y=g(x) z=h(x) seklinde verilmisse ∫ F= P(x,y,z)i+ Q(x,y,z)j+ R(x,y,z)k vektor alaninin r(t)=a(t)i+b(t)j+c(t)k egrisi uzerindeki integralini t=a dan t=b ye kadar hesaplayin. ∫ t =b t =a ------------------------------------------------------------x-y duzleminde y=g(x) seklinde verilmisse x =b --------------------- --------------------------------- x =b f (x, g(x), h(x)) 1 + ( y' ) 2 + (z' ) 2 dx x=a ∫ t =b t =a F r' dt (P F24 dc db da )dt +Q +R dt dt dt r(t)=a(t)i+b(t)j+c(t)k egrisi uzerinde ∫ t =b t =a (P dx + Q dy + R dz )dt integralini t=a dan t=b ye kadar hesaplayin. ∫ t =b t =a (P da db dc +Q +R )dt dt dt dt ∫ θ =b θ =a f (r cosθ ,r sinθ ) r 2 + r '2 dθ F14 -------------------------------------------------------------- r(t)=a(t)i+b(t)j+c(t)k egri uzunlugu b L = ∫ || r' (t) || dt = a ∫ b a a' (t)2 + b' (t)2 + c' (t)2 dt F15 ---------------------------------- --------------------------- -------- Vektor alaninin bir egri uzerinde integrali F= P(x,y,z)i+ Q(x,y,z)j+ R(x,y,z)k Curl F=(Ry ‒ Qz )i + (Pz ‒ Rx ) j + (Qx ‒ Py )k F21 F26 Yukaridaki Formullerin degisik yazim sekilleri F13 ------------------------------------------------------------r=g(θ) seklinde Kutupsal koordinatlarda verilmisse f (x, y)dl = ∫ F25 Tutarli (korumali) Vektor alani. f(x,y,z) fonksiyonunun gradienti grad f = ∇ f = F = fx i + fy j + fz k F yi C egrisi uzerinde integre etmek zor ise iki katli integrali hesapla. Veya Iki katli integral zor olursa (P dx+Qdy) ifadesini C uzerinde integre et. F27. (F=Pi+Qj+Rk veya F =Mi+Nj+Pk seklinde de yazilir.) grad f= ∇ f=F ifadesine f nin gradyani denir. Bazi kitaplarda gradyan yerine gradient, gradyan alani ifadeleri de kullanilir. f(x,y,z) nin turevleri varsa F her zaman vardir hesaplanabilir. Bir fonksiyonun bir yuzey uzerinde integrali yuzey denklemi. z=f(x,y) seklinde ifade edilebiliyorsa ve B yuzeyin x-y duzlemindeki izdusumu ise. ∫∫ F’i saglayan (olusturan) f(x,y,z) her zaman olmaz. S F’i saglayan (olusturan) f(x,y,z) varsa F ye tutarli F51 (korunmali, konservatif, conservative) vektor alani denir. F tutarli ise F nin r(t) uzerindeki integrali (F nin r(t) boyunca yaptigi is) yoldan bagimsizdir. g(x,y,z)ds= ∫∫ g(x,y,f(x,y)) 1+ fx + fy dx dy 2 B ------------------------------------------------ -----------------yuzey denklemi. y=f(x,z) seklinde ifade edilebiliyorsa ve B yuzeyin x-z duzlemindeki izdusumu ise. ∫∫ g(x,y,z)ds= ∫∫ g(x,f(x,z),z) 1+ f y 2 2 x S r1(t) B B F52 ---------------------------------------------------- ----------------yuzey denklemi. x=f(y,z) seklinde ifade edilebiliyorsa ve B yuzeyin y-z duzlemindeki izdusumu ise. r3(t) r2(t) x A 2 + fz dx dz ∫∫ g(x,y,z)ds= ∫∫ g(f(y,z),y,z) 1+ f S 2 y 2 + fz dydz B A noktasindan B noktasina degisik yollar boyunca gidilebilir. F53 F tutarli (korumali) ise F nin r(t) uzerindeki integrali (F nin -------------------------------------------------- ---------------------r(t) yolu boyunca yaptigi is yoldan bagimsizdir. ) . Uzaydaki yuzey intgegrali duzlemdeki alan integraline t =B t =B t =B ' ' ' F r1 dt = F r2 dt = F r3 dt F28 donusturulebilir. t= A t= A t=A ∫ ∫ ∫ F=Pi+Qj, (iki boyutlu) Py=Qx ise F tutarlidir. F31 F=Pi+Qj+Rk Ry=Qz , Pz= Rx, Qx = Py ise F tutarli (uc sartin ucu de saglanirsa tutarlidir,korumalidir) F32 ∫ t =B t= A F rX' dt = f(B) - f(A) F33 A dan B ye herhangibir yol boyunca integralin degeri f fonksiyonunun B deki degeri eksi ve A daki degeridir. Green Teoremi ∫ C (P dx + Q dy) = ∫∫ B dQ dP ( − ) dx dy dx dy Bir vektor alaninin bir yuzey uzerinde integrali. F= P(x,y,z)i+ Q(x,y,z)j+ R(x,y,z)k vektor alaninin S yuzeyi uzerindeki integrali. Tanim: pozitif z yonunde normal denklemi n= − f xi − f y j + k 1 + f x2 + f y2 , pozitif y yonunde normal denklemi n= − f xi + j − f z k 1 + f x2 + f y2 , F vektor, n vektor. Iki vektorun scalar carpimi scalardir. (ai+bj).(ci+dj)=ac+bd (2i+3j).(4i+7j)=8+21=29. F41 C: Kapali bir egri. B: bu kapali egrinin icindeki alan. F n=g(x,y,z) ( F vektor, n vektor, ikisinin carpimi C egrisi uzerindeki integral C nin cevreledigi alan uzerindeki g(x,y,z) bir fonksiyon vektor degil) iki katli integrale donusturulebilir. ∫∫ S F n ds = ∫∫ g(x, y, z) dx dy B F61 ∫∫ S F n ds = ∫∫ (−P B df df − Q + R) dx dy dx dy F62 B bolgesi S yuzeyinin x-y duzlemindeki izdusumudur. Uzaydaki yuzey intgegrali duzlemdeki alan integraline donusturulebilir. -------------------------------------------------- -------------grad f = ∇ f = F = fx i + fy j + fz k xy F26. 2 f(x,y,z)=xyz+ e +z grad f=? xy xy fy =xz+x e fz =xy+ 2z fx =yz+y e xy xy grad f = ∇ f= (yz+y e )i + (xz+x e )j + (xy+ 2z)k Stokes Teoremi ∫∫ C F dr = ∫∫ Curl F n ds F71 S (Curl F n) nin S yuzeyi uzerindeki integrali, S yuzeyini cevreleyen C egrisi uzerindeki F nin integraline esittir. Ozetle: Yuzey integrali egri integraline donusturulebilir. Diverjans teoremi. ∫∫ S F n ds = ∫∫∫ ∇f dx dy dz F81 D (F n) nin S yuzeyi uzerindeki integrali ∇ F nin S nin kapladigi hacim uzerindeki integraline esittir. (Harran Univ. Makina Muh) Yuksek Matematik II I vize Vize Sinavi Sinavda dikkat edilecek Hususlar : A) “..... integrali hesaplayin”, “ .... diff denklemi Cozun” seklindeki sorularda istenen sey integralin veya diff denklemin hesabidir. Bu tip sorularda sadece sonuc yazmaniz yetmez. Adim adim yaptiginiz hesabi kagidinizda gostermeniz grekir. B)“Gerekli integralleri yazin” “Diff denklemi elde edin” seklindeki sorularda istenen sey, integralin veya diff denklemin elde edilmesidir. Cozumu degil. Istenen integral, integral sinirlari ile beraber net olarak belirtilmelidir. Ornek olarak t =3 ∫ t =2 (t 2 + 4t) dt istenen integraldir. Tam not alir. t6 + 5 Burada integral sinirlari ve integrali alinacak fonksiyon dogru olarak yazilmis. Ancak t =3 (t 2 + 4t) ∫t t 6 + 5 dt , t ∫=2 f(t) r' (t) dt , ∫C f(t) r' (t) dt , ∫S f(t) r' (t) dt 7) F(x,y,z) vektorunun yaptigi is yoldan bagimsiz oldugunu gosterin. F vektorunun A(...) noktasindan B(....) noktasina kadar integralini hesaplamak icin gerekli integralleri yazin. (2 soru 261-298 arasi) 8) C eğrisi ....... denklemli eğri olduğuna göre ................... integralini hesaplamak icin gerekli integrali Green teoreminden faydalanarak yazin. (integrali cift katli integrale donusturun) ( 311-333) 9) S yuzeyi ....... denklemli yuzey olduğuna göre ................... integralini hesaplamak icin gerekl integrali Green teoreminden faydalanarak yazin. (integrali egrisel integrale donusturun ( 311-333) 10) S yüzeyi ......... olduğuna göre ∫∫ g(x,y,z)ds S integralini hesaplamak icin gerekli integralleri yazin. ( 410440) 11) F= P(x,y,z)i+ Q(x,y,z)j+ R(x,y,z)k vektor alaninin S yuzeyi uzerindeki integralini hesaplamak icin gerekli integralleri hesaplayin. ( 450-490) 12)F(x. y. z) = Pi + Qj+R k ve S de .......... olsun. Bu yüzeyin normali yuzeyin dışına doğru yönlendirildiğine göre ∫ Curl F n ds integralini hesaplamak icin gerekli seklindeki ifadeler sifir not alir. Cunku sinirlar veya integre edilecek fonksiyon eksik yazilmis veya yazilmamis. integralleri Stokes teoremini kullanarak yazin. (521, 534) Sorularla ilgili aciklama (122-125): Soru tiplerinde verilen sorulardan soru numarasi 122 ile 125 arasindan bir soru gelecek demektir. (521, 534): Soru tiplerinde verilen sorulardan soru numarasi 521 ile 534 arasindan bir soru gelecek demektir. 13) S yüzeyi .......... olduğuna göre F{x, y, z) = Pi + Qj+R k, vektör alanının S nin sınır eğrisi üzerindeki integralini hesaplamak icin gerekli integralleri Stokes teoremini kullanarak yazin. n normali yuzeyin dışına doğru yönlendirilmiştir. (521, 534) (521, 534): bir sonraki sayfadaki sorulardan soru numarasi 521 ve 534den bir soru demektir. Ornek Sorular 1) Asagidaki islemleri yapin (122-125 arasindan ) 2) Asagida istenen grafikleri cizin (131-136 arasindan) 3)r(t)=... egrisi uzerinde t=.. dan t=.. re kadar f(x,y,z)=... integralini hesaplamak icin gerekli integralleri yazin. ( 141161 arasindan) 4) denklemi ....... olan eğri parçasının ..<x<.. icin uzunluğunu bulunuz. 181 5)F(x,y,z)=..... vektor alaninin grafigini cizin. (211-224 arasindan) 6) C eğrisi ....... seklinde verildigine gore F(x,y,z) vektorunun C egrisi uzerindeki integralini hesaplamak icin gerekli integralleri yazin. (231-256 arasi) S SORU TIPLERI ile ilgili aciklama 146) z=1 duzleminde x2+y2 =4 cemberi uzerinde ilk bolgede (x>0, y>0) f(x,y,z)=x2+y2+z2 integralini hesaplamak icin gerekli integrali yazin. F11, , x= rcos(t), y=rsin(t), z=1, F: Ozet not’daki formul numarasidir. Problemin cozulmesi icin gereken formulu gosterir. F11: formul 11, F12:formul 12. b182: kaynak kitap (Mustafa Balci)182.inci sayfada ornek var 147) f(x,y,z) fonksiyonunun r(t)=3 cos(t) i + 3 sin(t) j +tk b183: kaynak kitap 183.uncu sayfada ornek var egrisi uzerindeki integrali 0<t<2π araliginda hesaplayin. TH1148 soru 9: Thomas Calculus kitabinin 1148 inci sayfasindaki 9.uncu soru. SORU TIPLERI Vektorler •: Scalar carpim. X:kartezyen (vektorel) carpim 122) (3i+4j ) • (5i+6j )=? 123) (3i+4j +5k) • (6i+7j+8k )=? 124) (3i+4j ) X (5i+6j )=? 125) (3i+4j +5k) X (6i+7j+8k )=? 131) 3ti+4tj vektorunu x-y duzleminde cizin 132) ti+ t2j vektorunu x-y duzleminde cizin 133) ti+ t2j+k vektorunu uzayda cizin 134) ti+ t2j+10k vektorunu uzayda cizin 135) ti+ tj+tk vektorunu uzayda cizin 136) ti+ t2j+tk vektorunu uzayda cizin F11 148- TH1148 soru 9 149- TH1148 soru 10 150- TH1148 soru 11 ....... .......... soru 12,13,14,15,16,17,18,19 161- TH1148 soru 22 141-161 arasi icin F11 . 181) Parametrik denklemi r(t)=2ti+t j + 3t k olan eğri parçasının 0<t<3 icin uzunluğunu bulunuz. F15,el5, 137) F=z i + x 2 + y 2 j + xy k ise ∇ f, Curl F i hesaplayin Vektor alanlari Bir fonksiyonun bir egri boyunce integrali 141)r(t)=2ti+t2j + 3 t3k egrisi uzerinde t=0 dan t=1 re kadar f(x,y,z)=x2+y2+z2 integralini hesaplamak icin gerekli integralleri yazin. . F11-b182-184 142)r(t)=2ti+t2j egrisi uzerinde t=0 dan t=1 re kadar f(x,y,z)=x2+y2+z2 integralini hesaplamak icin gerekli integralleri yazin. . F11-b182-184 143)r(t)=2ti+t2j egrisi uzerinde t=0 dan t=1 re kadar f(x,y,z)=x2+y2 integralini hesaplamak icin gerekli integralleri yazin. . F11-b182-184 211)Iki boyutlu uzayda (duzlemde )verilen vector alanlarinin grafigini cizin. F=i F=10j F=xi F=xj F=yi F=xi+yj F=yi+xj F=2i+yj F=xi+3j 212)Uc boyutlu uzayda (duzlemde )verilen vector alanlarinin grafigini cizin. F=i F=k F=xi F=xj F=yi F=xi+yj F=yi+xj+zk F=zk F=2j+zk 221 222 223 224 TH1158 TH1158 TH1158 TH1158 soru 1 soru 2 soru 3 soru 4 Vektor alaninin bir egri uzerinde integrali 231)F(x,y,z)=(x2-2xz)i+(y2+xz)j+(z2-3xy)k vektör alanının eğrisel İntegralini, (0,0,0) noktasını (1,1,1) noktasına birleştiren aşağıdaki egri parçalari üzerinde 144)A(1,2,3) den B(5,2,1) dogrusu uzerinde 2 2 2 hesaplayınız. f(x,y,z)=x +y +z integralini hesaplamak icin gerekli integrali C1... r(t)=ti+tj+tk 0≤t≤1 yazin. 2j+t3k C ... r(t)=ti+t 0≤t≤1 2 F11-b182-184 F25, b192, 145) z=0 (x-y) duzleminde x2+y2 =4 cemberi uzerinde ilk bolgede (x>0, y>0) f(x,y,z)=x2+y2 integralini hesaplamak icin gerekli integrali yazin. F11, x= rcos(t), y=rsin(t), 232) C eğrisi, parametrik gösterimi r(t)=(1+t)i+2tj+3tk 0≤t≤1 olan doğru parçası olduğuna göre I = ∫ yz dx + xz dy + xy dz integralini hesaplayınız. C F26, b193 233)C eğrisi y = x 2 parabolünün (0,0) noktasını (2,4) noktasına birleştiren parçası olduğuna göre I = ∫ (y 2 − 2xy )dx + x 3 dy integralini hesaplayınız. C F26, b193 241) TH1158 soru 7 242) TH1158 soru 8 243) TH1158 soru 9 ....... .... .......... ....... soru 10,11,12,13,14,15,16 251) TH1158 soru 17 252) TH1159 soru 37 253) TH1159 soru 38 254) TH1159 soru 39 255) TH1159 soru 40 256) TH1159 soru 41 F26 312)C eğrisi, y = 1 − x 2 yan çemberi île (1.0) ve (-1,0) noktalarını birleştiren doğru parçasının oluşturduğu kapah eğri olup bunun yönü saat yönünün tersidir. integralini hesaplayınız. F41,b201 313) C eğrisi, birinci bölgede x2 + y2 - 2y = 0 , x2 + y2 - 4y = 0 çemberleri ile y = 3 x , y = 1 3 x doğrulan tarafmdan sınırlanan B bölgesinin çevre eğrisi olduğuna göre integralini Green formülünden yararlanarak hesaplayınız. F41,b20 Yoldan Bagimsizlik 314) TH1179 soru 1 261)C eğrisi, parametrik gösterimi r(t)=cos t i+ sin t j+tk 0 ≤ t ≤ 2π, olan helis parçası 315)TH1179 soru 2 olduğuna göre F(x,y,z)=y2z i+2xyzj+xy2k, üzerindeki .................................... soru 3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19. integralini hesaplayınız. 2 333)TH1179 soru 20 Yol gosterme : f(x,y,z) = xy z fonksiyonunun gradyenidir F31, F33, b195 -------------------------------------- ----------------------- Bir fonksiyonun bir yuzey uzerinde integrali 262) 1, 2 I= ∫ (y 2 - 6x)dx + (2xy + 2)dy integralini hesaplayınız. I = ∫ x + y + z ds integralini hesaplayınız. 0,0 Çözüm : P(x,y)=y2-6x, Q(x,y)=2xy+2, olduğundan Py(x,y)=2y, Qx (x,y)=2y, Py=Qx Dolayısıyla integralin degeri yoldan bagimsiz F32,F33, b198 ----------------------- ----------------------------------------271) TH1168 soru 1 272) TH1168 soru 2 ...... ........................... .. soru 3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,2 5,26,27 297) TH1168 soru 27 298) TH1168 soru 28 F31, F32,F33 ----------------------- ---------------------------------------- Green Teoremi 6 2 311)C eğrisi X + Y =1 denklemli eğri olduğuna göre 3 x y ∫ (cos x + e ) dx + e dy İntegralini hesaplayınız. C F41,b201 411) S yüzeyi z = x2+2y2 paraboloidinin z=2 ve z= 6 düzlemleri arasında kalan parçası olduğuna göre S F51, b215 412) S yüzeyi y = x2+2z2 paraboloidinin y=2 ve y= 6 düzlemleri arasında kalan parçası olduğuna göre I = ∫ x + y + z ds integralini hesaplayınız. S F52, b215 413)S , x + 2y ‒ z = 2 düzleminin birinci bölgedeki parçası olsun. g(x, y, z) =2x + 3y + 4z fonksiyonunun S üzerindeki integralini hesaplayınız. F51,b215,el15_521, Bir vektor alaninin bir yuzey uzerinde integrali. 454) S yüzeyi x2 + y2+ z2 = 1 yüzeyi olsun. S yüzeyini, yönü dışari doğru olan normalle yönlendirelim. F(x, y,z) = yi- xj + zk vektör alanı için I = ∫ F n ds S integralıni hesaplayınız. F61,F62,b218,219,el15_521, 542) F = x2i - y2j+z2k vektör alanının, x2 +y2 = 4 silindirinin z = 0 ve z = 4 düzlemleri arasında kalan parçası üzerindeki 455) S yüzeyi y= x 2 + z 2 yüzeyi ile y=1 düzlemi tarafından sınırlanan bölgenin sınır yüzeyidir. F = z i + 2xzj + yüzey integralini hesaplayınız. Yüzeyin n normali silindirin dışına doğru yönlendirilmiştir. (x+y) k alaninin S üzerindeki integralini hesaplayınız. F81, b225 F61,F62,b220, 545) TH1220 soru 5 2 2 2 2 456) F(.v. y. z) = 4xy i + xyzj + 2z k ve S de x + y + z =1 546) TH1220 soru 6 küresinin üst yarisı olsun. Bu yüzeyin normali kürenin dışına Soru 7,8,9,10, 11, 12,13,14,15 556) TH1220 soru 16 doğru yönlendirildiğine göre I = ∫ Curl F n ds integralıni S hesaplayınız. F71, b222. 457) S yüzeyi z = 1 - x 2 + y 2 konisinin xOy düzleminin üst tarafında kalan parçası olduğuna göre F(x, y, z) = (e5x sin y) i + (e3x cos y - z)j + y k vektör alanının S nin sımr eğrisi üzerindeki integratini hesaplayınız, n normali koninin dışına doğru yönlendirilmiştir. F71, b223 458) F =x2 i - y2j + z2 k vektör alanının, x2 + y2 = 4 silindirinin z = 0 ve z = 4 düzlemleri arasında kalan parçası üzerindeki yüzey integralini hesaplayın. Yüzeyin n normali silindirin dışına doğru yönlendirilmiştir. F81, b225 --------------------- ------------------- ----------------------- ---- Stokes Teoremi 521) F(x. y. z) = 4yi + x j + 2z k ve S de x2 + y2 + z2 = 1 küresinin üst yarisi olsun. Bu yüzeyin normali kürenin dışına doğru yönlendirildiğine göre ∫ Curl F n ds integral ini hesaplayınız. S F71, b222 522) S yüzeyi z = 1 − x + y konisinin x O y düzleminin üst tarafın¬da kalan parçası olduğuna göre x x F{x, y, z) = (e sin y) i + (e cos y - z)j + y k vektör alanının S nin sınır eğrisi üzerindeki integralini hesaplayınız, n normali koninin dışına doğru yönlendirilmiş olup dS nin yönü S den indirgenen yöndür. F71, b223 525) TH1209 soru 1 526) TH1209 soru 2 Soru 3,4,5,6, 9, 10,20 534) TH1209 soru 20 2 2 Diverjans teoremi. 541)ÖRNEK : F =xi + 2yj +3zk vektör alanının x 2 y2 z2 + + = 1 elipsoidi üzerindeki integralini a 2 b2 c2 hesaplayınız. F81, b225 NOT: Cevaplarinizin sonuclarini sorularin hemen altindaki dikdortgene yazin. Yaptiginiz hesabi daha sonraki boslukta acikca yazin. okunakli olmayan yazilar degerlendirilmeyecektir.