5. Uluslararası İleri Teknolojiler Sempozyumu (IATS’09), 13-15 Mayıs 2009, Karabük, Türkiye SIKIŞTIRILAMAZ BİR AKIŞTA GEÇİRGEN BİR YÜZEYDEN YAPILAN YAYILI ÜFLEMENİN ISI GEÇİŞİ ÜZERİNDEKİ ETKİSİNİN İNCELENMESİ AN ANALYSIS OF THE EFFECT OF UNIFORM INJECTION THROUGH A POROUS SURFACE ON HEAT TRANSFER IN A INCOMPRESSIBLE FLOW a, * a, * Osman TURAN b ve Burhan ÇUHADAROĞLU KTÜ Makine Mühendisliği Bölümü, Trabzon, Türkiye, E-posta: osmanturan@ktu.edu.tr b KTÜ Makine Mühendisliği Bölümü, Trabzon, Türkiye, E-posta: burhan@ktu.edu.tr Özet Bu çalışmada; geçirgen ve sabit yüzey sıcaklığına sahip düzlem levha üzerindeki gelişmiş sınır tabaka akışında hidrodinamik ve ısıl duvar fonksiyonları teorik olarak elde edilmiş, üfleme-emme hızı ve viskoz yutulmanın boyutsuz sıcaklık üzerindeki etkisi analitik olarak incelenmiştir. Çalışmada viskoz yutulmanın etkisi Brinkman sayısının farklı bir şekli olan boyutsuz B = uτ 3 ρ / qw sayısı ile tanımlanmıştır. Sınır tabaka içerisindeki boyutsuz sıcaklık dağılımının, viskoz yutulma ve yüzeyden yapılan üflemeemme uygulamasından önemli ölçüde etkilendiği belirlenmiştir. Çeşitli teknolojik uygulamalarda karşılaşılan viskoz yutulma kaynaklı ısı üretiminin, yüzeyden yapılan üfleme-emme uygulaması ile denetim altına alınabileceği görülmüştür. Anahtar kelimeler: Viskoz yutulma, üfleme, emme, sınır tabaka, duvar fonksiyonu Abstract In the present study; the hydrodynamic and the thermal wall functions on a permeable wall with constant temperature in the boundary layer flow were obtained theoretically and the effect of injection-suction velocity and the viscous dissipation on the dimensionless temperature was investigated. The effect of viscous dissipation was defined as a dimensionless number of B = uτ 3 ρ / qw which is a modified Brinkman number. It was noted that the dimensionless temperature distribution in the thermal boundary layer was substantially influenced by the viscous dissipation and the injection-suction through permeable wall. In addition, It was seen that the viscous heating which appears in some technological applications can be controlled by the injection-suction through permeable wall. Keywords: Viscous dissipation, boundary layer, wall function injection, suction, 1. Giriş Günümüzde; geçirgen bir yüzey üzerindeki türbülanslı akışın incelenmesi akışkanlar mekaniği ve ısı transferinin ilgi çeken konuları arasında yer almaktadır. Bilindiği üzere; cisimler etrafındaki akışta ortaya çıkan sınır tabakanın denetimi için birçok yöntem uygulanmaktadır. Yüzeyden üfleme-emme yapılarak hidrodinamik ve ısıl sınır © IATS’09, Karabük Üniversitesi, Karabük, Türkiye tabakanın denetimi, uçak kanadı etrafındaki akışın kontrolü ve elektronik donanımların soğutulması gibi çeşitli mühendislik uygulamalarında kullanılmaktadır. Sınır tabakaya yüzeyden yapılan üfleme ile akışa momentum ve ısı transferi yapılmakta ve bu sayede akışın istenilen yapıya dönüştürülmesi amaçlanmaktadır. Örneğin; geçirgen yüzeyli bir cisim üzerinden yapılan üfleme ile akışın momentum dengesi değiştirilerek, cisim üzerindeki direnç kuvvetini belirli ölçüde denetim altına alma olanağı vardır. Üfleme uygulaması ayrıca, film soğutma sağlayarak uzay taşıtları ve gaz türbin kanatçıkları gibi yüksek hızlı sistemlerde ortaya çıkan aşırı ısınma problemini belirli ölçüde çözmede kullanılmaktadır. Emme uygulaması ise; cisim üzerinden sınır tabaka ayrılmasını geciktirerek basınç farkı kaynaklı direncin düşürülmesi konusunda yardımcı olmaktadır. Ayrıca yüzeyden yapılan yayılı emme ile küçülen sınır tabaka kalınlığına bağlı olarak ısı geçişinde önemli ölçüde artışlar ortaya çıkmaktadır. Geçirgen bir yüzey üzerinden yapılan üfleme veya emme ile sınır tabakanın denetlenmesi konusundaki temel teknikler ve konunun matematiksel esasları Schlichting ve Gersten’de [1] verilmiştir. Bu kaynakta; geçirgen yüzey üzerindeki üfleme veya emmeli laminer sınır tabakanın belirli sınır koşulları altında yapılmış baz analitik çözümleri verilmiştir. Burada hız ve sıcaklık profilleri formüle edilmiş ve sürekli emme-üflemeli yatay düz levhadan olan ısı geçişi incelenmiştir. Sumitani ve Kasagi [2] karşılıklı üflemeli ve emmeli yüzeylere sahip bir kanal için “Doğrudan Sayısal Benzeşim (DNS)” yöntemi ile yapmış oldukları sayısal incelemede, üflemenin hız ve sıcaklık çalkantılarını, Reynolds kayma gerilmelerini ve türbülanslı ısı akılarını artırmakta olduğunu, emmenin ise azaltmakta olduğunu göstermişlerdir. Bellettre ve diğ. [3] artan üfleme debisine bağlı olarak sürtünme faktörü ve ısı geçişinin önemli ölçüde düşmekte olduğunu gözlemişlerdir. Bu çalışmanın sonuçları deneysel veriler ile kıyaslanmış ve iyi bir uyum elde edilmiştir. Hwang ve Lin [4] geçirgen duvarlı bir kanal akışında belirli bir türbülans modeli kullanarak dinamik ve ısıl alanlar için sayısal bir inceleme yapmışlar ve iyi bir uyum elde etmişlerdir. Meinert ve diğ. [5] geçirgen bir duvardan türbülanslı bir akışa farklı bir gaz ile yapılan üflemenin duvar ve akış arasındaki ıs geçişi üzerinde önemli bir etkisi olduğunu göstermişlerdir. Çuhadaroğlu [6] yüzeyden belirli bir açı ile yapılan üfleme veya emmenin türbülanslı sınır tabaka üzerindeki etkilerini sayısal olarak incelemiştir. Bu çalışmaya göre; yerel sürtünme katsayısı ve ısıl sınır tabaka kalınlığı üfleme hızı ve açısından önemli bir şekilde etkilenmektedir. Turan. O.. ve Çuhadaroğlu. B. Bu çalışmanın amacı; geçirgen yüzeyli düzlem levha üzerindeki türbülanslı sınır tabaka akışında viskoz alt tabakaya ait duvar fonksiyonları üzerinde üfleme-emmenin ve viskoz yutulmanın etkisini analitik olarak incelemektir. v 2. Teorik Çalışma Geçirgen bir yüzey üzerindeki iki boyutlu sıkıştırılamaz ve sıfır basınç gradyanlı sınır tabaka akışında duvar fonksiyonlarını elde etmek üzere momentum denkleminden yola çıkılacak olursa . u sıkıştırılamaz sınır tabaka akışında viskoz etkisinin de dikkate alındığı enerji denklemi ∂u ∂u ∂ ∂u υ +v = ∂x ∂y ∂y ∂y (1) v du d du υ = dy dy dy (2) şekline dönüşür. (2) denkleminin y=0’dan herhangi bir y noktasına kadar aşağıdaki sınır koşulları için integrali alınırsa; v( 0 ) = V w υ du dy = y =0 (3.a) τw = uτ 2 ρ uτ 2 = υ du − uV w dy denklemi elde (3.b) gösteren Φ = ( du / dy )2 olarak dikkate alınmıştır. (7) denkleminin geçirgen yüzey için (3) ile verilen sınır koşulları ve ısıl büyüklükler için aşağıda ifade edilen koşullar altında y=0’dan herhangi bir y mesafesine kadar integrali alınırsa; = Tw dT dy y =0 edilir. Bu denklem V w (T − Tw ) + q w /ρ c p − dT = dy dT + dy + υ Pr (9) y + du + + 1 + Vw T − B ∫ + 0 dy = 1 Pr 2 dy + (10) olarak sınır tabakadaki boyutsuz sıcaklık gradyanı elde edilir. Bu ifadede yer alan B boyutsuz sayısı B= exp( y du 2 ∫ dy dy y =0 Bu denklem T + = ( T − Tw )( ρ c p u z ) / qw boyutsuz sıcaklık boyutsuz hız gradyanı elde edilir. Bu ifadenin y =0’dan + herhangi bir boyutsuz y değerine kadar integrali alınırsa; u+ = υ cp (5) + y V w+ V w+ (8.b) = qw sınır tabaka boyunca sıcaklık gradyanı elde edilir; u + = u / uτ = 1 + u +V w+ + (8.a) tanımı kullanılarak boyutsuzlaştırılırsa; ve y + = yuτ / υ boyutsuzlaştırma parametreleri kullanılarak boyutsuzlaştırılacak olursa: dy + k y =0 (4) V w + = V w / uτ du + (7) şeklinde ifade edilir. Bu denklemde viskoz yutulma etkisini T Duvar yakınında ∂u / ∂x türevi küçük değerler alacağı için göz ardı edilirse momentum denklemi; dT d k dT υ = + Φ dy dy ρ c p dy c p yutulma ) −1 uτ 3 ρ qw (11) (6) yüzeyden üfleme veya emme yapılan sınır tabaka için boyutsuz hız dağılımını veren duvar fonksiyonu elde edilir. Üstel yapıda olan bu bağıntı geçirgen olmayan yüzey için V w+ = 0 yazıldığında laminer sınır tabaka için geçerli olan u + = y + şekline dönüşür. Geçirgen yüzeyden yapılan üfleme veya emmenin ısıl sınır tabaka üzerindeki etkisi hidrodinamik sınır tabaka üzerindeki etkisine oldukça benzerdir [6]. Sabit yüzey sıcaklığına sahip geçirgen bir yüzey üzerindeki iki boyutlu şeklinde tanımlanmış olup, viskoz sürtünmeden kaynaklanan ısı üretiminin bir ölçüsünü ifade etmektedir. Boyutsuz B sayısı viskoz kaynaklı ısı üretiminin yüzeydeki ısı iletimine olan oranını ifade eden ve Br = µu ∞2 /( k∆T ) şeklinde tanımlanan Brinkman sayısının farklı bir formda yazılmış şeklidir. Pr; Prandtl sayısına karşılık gelmekte olup, burada standart koşullardaki hava için 0,7 olarak göz önüne alınmıştır. Bu bağıntıdaki boyutsuz hız gradyanı için verilmiş olan (6) eşitliğinin yerine yazılması ve elde edilen + + bağıntının y =0’dan herhangi bir y değerine kadar integre edilmesi ile; Turan. O.. ve Çuhadaroğlu. B. T+ = ( + exp Pr V w y + Vw + ( )+ B 2V w ) +2 ( ) Pr exp 2V w + y + 2 exp Pr V w + y + × − − 1 Pr − 2 Pr − 2 (12) davranışı; yüzeydeki ısı akısındaki artışın, sıcaklık farkına (T-Tw) oranla daha fazla olmaya başladığını + göstermektedir. Diğer bir deyişle T ‘da ortaya çıkan düşme, yüzey yakınındaki viskoz yutulma nedeniyle akışkandan yüzeye olan qw ısı akısında ortaya çıkan artışın, sıcaklıktaki artıştan daha fazla olmasından kaynaklanmaktadır. ısıl sınır tabaka boyunca boyutsuz sıcaklık için üflemeemme ve viskoz yutulma etkisini içeren duvar fonksiyonu elde edilir. V w+ = 0 özel durumunda bu bağıntı hız için elde edilmiş olan duvar fonksiyonuna benzer şekilde bilinen T + = Pr . y + bağıntısına dönüşür. (12) ile tanımlanmış olan boyutsuz sıcaklık, V w+ , y + boyutsuz parametrelerinin yanı sıra, viskoz yutulmanın bir ölçüsü olan B sayısına da bağlıdır. Bu çalışmada sınır tabaka içerisindeki boyutsuz sıcaklığın V w+ üfleme-emme hızının yanı sıra B ile olan ilişkisi de incelenmiştir. 3. Bulgular Bu çalışmada geçirgen yüzeyli ve sabit yüzey sıcaklığına sahip bir düzlem levha üzerindeki akışta ortaya çıkan sınır tabakada (Şekil 1), üfleme-emmenin ve viskoz yutulmanın sıcaklık dağılımı üzerindeki etkisi analitik olarak incelenmiştir. Viskoz yutulma sıcaklık dağılımını önemli ölçüde etkileyen bir iç ısı kaynağıdır. Bu çalışmada boyutsuz üfleme-emme hızının yanı sıra, viskoz yutulma ile sıcaklık dağılımı arasındaki oransal ilişki için tanımlanmış olan B sayısı da temel parametre olarak göz önüne alınmıştır. Şekil 2. Üflemesiz-emmesiz ( Vw+ = 0 ) durumda viskoz yutulmanın boyutsuz sıcaklık üzerindeki etkisi. Bkr değerinden daha yüksek değere sahip viskoz yutulmanın olduğu durumlarda, yüzeyden belirli uzaklıklarda boyutsuz sıcaklık negatif değerler almaya başlamaktadır (Şekil 2). Yüzeydeki akışkan sıcaklığının, akışkan sıcaklığının üzerine çıkması (Tw,f>T) anlamına gelen bu davranış viskoz yutulmanın yüzeydeki akışkan sıcaklığı üzerindeki etkisinden kaynaklanmaktadır. Bkr değerinin üzerine çıkıldığında viskoz yutulma kaynaklı iç ısı üretimi nedeni ile yüzeydeki akışkan sıcaklığında sıçrama meydana gelerek buradaki akışkan sıcaklığı hem duvar hem de cidardan uzaktaki akışkanın sıcaklığının üzerine çıkmaktadır. Şekil 1. Geçirgen yüzey üzerinde üfleme ve sınır tabakalar Yüzeyden olan boyutsuz uzaklık ve boyutsuz sıcaklık için (12) bağıntısı ile verilmiş olan analitik ilişkiye ait farklı B değerlerindeki değişimler, geçirgen olmayan yüzey ( V w+ = 0 ) durumunda, Şekil 2’de görülmektedir. Burada da görüldüğü gibi; belirli bir Bkr değeri için (şekilde Bkr=0,1 olarak görülmektedir) yüzeyden uzaklaşıldıkça boyutsuz sıcaklıktaki değişim azalmakta ve nihayet yüzeyden itibaren belirli bir y kr+ değerinde değişim durmakta, daha yüksek y + değerlerinde ise boyutsuz sıcaklık düşme davranışı göstermektedir. Yüzey yakınında viskoz yutulma etkisinin artması ile doğal olarak bu bölgede sıcaklık farkı da (T-Tw) artmaktadır. Buna bağlı olarak da akışkandan yüzeye geçen ısı akısı artar. Yüksek B değerlerinde ve + aynı y + mesafelerinde T ’da ortaya çıkan düşme Şekil 3. Yüzeyden yapılan üfleme-emme uygulamasının farklı B değerlerinde boyutsuz sıcaklık üzerindeki etkisi Üfleme-emme uygulamasının farklı B değerlerinde boyutsuz sıcaklık üzerindeki etkisi Şekil 3’te görülmektedir. 5. Uluslararası İleri Teknolojiler Sempozyumu (IATS’09), 13-15 Mayıs 2009, Karabük, Türkiye (a) (b) Şekil 4. Üfleme-emmenin (a) B = 0,03 ve (b) B=0,1 değerlerinde boyutsuz sıcaklık profili üzerindeki etkisi. Düşük viskoz yutulma değerlerinde (şekilde 0,05≤B≤0 aralığındaki değişimler) üfleme uygulamasının viskoz yutulmanın etkisini azalttığı, emme uygulamasının ise akış alanındaki viskoz yutulma etkisini desteklemektedir. Viskoz yutulmanın yüksek değerlerinde (B≥0,1) ise üfleme ile viskoz yutulma etkisi artarken emme ile azalmaktadır. Düşük ve yüksek B değerlerinde üfleme-emmenin viskoz yutulma ve sıcaklık üzerindeki detaylı etkisi Şekil 4’teki grafiklerde görülmektedir. Düşük ve yüksek viskoz yutulma durumlarında üfleme ve emmenin sıcaklık değişimi üzerinde farklı etkiler ortaya çıkarması, üfleme ve emmenin hidrodinamik ve ısıl sınır tabakalar üzerindeki farklı etkilerinden kaynaklanmaktadır. Zira düşük değerli viskoz yutulma; yüzey yakınında düşük hız gradyanı (düşük sürtme hızı) anlamına gelmektedir. Bu durumda yüzeyden yapılan üfleme hız gradyanını daha da düşüreceğinden yüzey yakınındaki viskoz yutulma etkisi azalacak ve dolayısıyla viskoz yutulma kaynaklı ısı üretimi de azalacağından akışkandan yüzeye olan ısı akısı azalacaktır. Bu durumda doğal olarak yüzey yakınında boyutsuz akışkan sıcaklığı az da olsa bir artış gösterecektir. Benzer şekilde yüzeyden emme uygulaması bunun tersi bir etki yaparak (hız gradyanının büyümesi ve yüzeye ısı akısının artması) boyutsuz sıcaklıkta az da olsa bir azalmaya neden olacaktır (Şekil 4.a). Ancak yüksek değerli viskoz yutulma durumlarında yüzey yakınlarında yukarıdakine benzer davranış gözlenmesine rağmen, yüzeyden uzaklaşıldıkça üflemenin viskoz yutulma etkisini artırmakta olduğu ve dolayısıyla boyutsuz sıcaklıkta düşüşe neden olduğu görülmektedir. Burada ise yüzeyden yapılan üflemenin hız gradyanı üzerinde fazla etkili olmadığı ve yüksek viskoz yutulma nedeniyle üretilen ısının arttığı ve dolayısıyla yüzeye ısı akısının da artması nedeniyle boyutsuz sıcaklığın düştüğü anlaşılmaktadır. Viskoz yutulma etkisi ile ortaya çıkan ısının sınır tabaka içerisindeki sıcaklık dağılımını önemli ölçüde etkilediği görülmüştür. Viskoz yutulma akışkandan yüzeye olan ısı geçişini etkilemekte ve yüzey sabit sıcaklıkta tutuluyor olsa bile artan viskoz etkiler nedeniyle ortaya çıkan ısı yüzeydeki akışkanın sıcaklığında bir sıçramanın oluşmasına ve üretilen ısının hem yüzeye doğru hem de akışkana doğru geçmesine neden olmaktadır. 4. Sonuçlar [1] Schlichting, H. and Gersten, K., Boundary-Layer Theory, Springer, Berlin, 2000. [2] Sumitani, Y. Kasagi, N., Direct numerical simulation of turbulent transport with uniform wal injection and suction. AIAA Journal 33, 1220-1228, 1995. [3] Bellettre, J., Bataille, F. and Lallemand A., A new approach for the study of turbulent boundary layers Bu çalışmada; geçirgen yüzeyli ve sabit yüzey sıcaklığına sahip düzlem levha üzerindeki gelişmiş sınır tabaka akışında hidrodinamik ve ısıl duvar fonksiyonları elde edilmiş, boyutsuz sıcaklık üzerinde üfleme-emme hızı ve viskoz yutulmanın etkisi analitik olarak incelenmiştir. © IATS’09, Karabük Üniversitesi, Karabük, Türkiye Elde edilen sonuçlar göstermektedir ki; yüzey yakınlarında ortaya çıkan yüksek gradyanlı akışlarda etkili olan viskoz yutulma, yüzeyden yapılan üfeme-emme uygulaması ile belirli ölçüde denetim altına alınabilir. Semboller uτ ρ qw υ T Vw u,v cp Kayma hızı (m/s) 3 Yoğunluk (kg/m ) 2 Isı akısı (W/m ) 2 Kinematik viskozite (m /s) Sıcaklık (K) Üfleme-emme hızı (m/s) Hız bileşenleri (m/s) Özgül ısı ( kj/(kgK ) Üst indisler + Boyutsuz parametreler Alt indisler w Yüzeyde tanımlı büyüklükler ∞ Serbest akış büyüklükleri Kaynaklar Turan. O.. ve Çuhadaroğlu. B. with blowing, Int. J. Heat and Mass Transfer, 42, 29052920, 1999. [4] Hwang, C.B. and Lin, C.A., Low-Reynolds number k~ε modeling of flows with transpiration, Int. J. for Numerical Methods in Fluids, 32, 495-514, 2000. [5] Meinert, J., Huhn, J., Serbest, E. and Haidn, O.J., Turbulent boundary layers with foreign gas transpiration, J. Spacecraft and Rockets, 38, 191-198, 2001. [6] Çuhadaroğlu, B., Numerical study of turbulent boundary layers with heat transfer and tangential transpiration, Int. J. Numerical Methods for Heat and Fluid Flow, vol. 14, no. 6, 760-782, 2003.