BEKLENEN DEĞER ve VARYANS Tanım 1 i) X bir rasgele değişken ve g : R ® R bir fonksiyon olmak üzere, X kesikli ve g x f x olduğunda, xDX E g X g x f x xDX ii) X sürekli ve g x f x dx olduğunda, E g X g x f x dx sayısına g X in beklenen değeri denir. Tanım 2 X bir rasgele değişken, c R ve k bir doğal sayı olmak üzere: k a) E X c değerine X ‘in c ye göre k ‘inci momenti, k b) E X değerine X ‘in k ‘inci momenti, c) d) e) E X değerine X ‘in beklenen değeri, 2 E X EX değerine X ‘in varyansı, E X X 1 X 2 X k 1 değerine X ‘in k ‘inci çarpımsal momenti denir. Alışagelmiş olarak bir X rasgele değişkenin beklenen değeri X veya sadece varyansı ise Var X X2 veya sadece 2 ile de gösterilmektedir. Varyansın kareköküne standart sapma denir ve bir X rasgele değişkenin standart sapması X veya sadece ile gösterilmektedir. Örnek 1 X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu, 3x 4 x 1 f x 0 d y olsun. 3 x 2 x f ( x)dx 1 x3x dx 2 olduğundan, X in beklenen değeri vardır ve 4 1 3 2 3x 2 E X xf ( x)dx x3x dx 2 1 4 1 3 2 dır. 3 için x 3x 4 dx integrali ıraksak olduğundan X rasgele değişkenin 3 ve 3 den büyük olan momentleri yoktur. Teorem 1 a b R olmak üzere, a ) E aX b aE X b b) Var aX b a 2Var X c) Var X E X 2 E ( X ) 2 İspat: a) Kesikli halde, E (a + bX ) = å x (a + bx) f ( x) = a å f ( x) + b å xf ( x) = a + bE ( X ) x 42 44 x 42 4443 144 43 144 1 E( X ) sürekli halde, ¥ E (a + bX ) = ¥ ¥ ò (a + bx) f ( x)dx = a ò f ( x)dx + b ò xf ( x)dx = a + bE ( X ) -14442 ¥ -1444 ¥ 42 44443 4443 - ¥ 1 E( X ) dır. b) 2 2 Var (aX + b) = E (aX + b - E (aX + b)) = E (aX + b - aE ( X ) - b ) 2 2 = E (aX - aE ( X )) = a 2 E (X - E ( X )) = a 2Var ( X ) c) Var X E X E ( X ) E X 2 2 XE ( X ) E ( X ) 2 E X 2 E ( X ) Örnek 2 2 E 2 X 2E ( X ) E ( X ) E ( X ) 2 X rasgele değişkenin olasılık fonksiyonu f x 1 x 2 1 01 2 3 6 olsun. 3 EX 1 1 1 1 1 1 1 xf x (2) 6 (1) 6 0 6 1 6 2 6 3 6 2 x 2 EX2 EX3 3 x f x (2) 2 2 x 2 3 x f x (2) 3 x 2 3 1 1 1 1 1 1 19 (1) 2 02 12 22 32 6 6 6 6 6 6 6 1 1 1 1 1 1 27 (1)3 03 13 23 33 6 6 6 6 6 6 6 Var ( X ) = E ( X 2 ) - ( E ( X )) 2 = dır. 19 1 2 35 - ( ) = 6 2 12 2 Örnek 3 X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu, 3x 4 x 1 f x 0 d y olsun. 3 x 2 x f ( x)dx 1 x3x dx 2 olduğundan, X in beklenen değeri vardır ve 4 1 3 2 3x 2 E X xf ( x)dx x3x dx 2 1 dır. 3 için 4 1 3 2 x 3x 4 dx integrali ıraksak olduğundan X rasgele değişkenin 3 ve 3 den büyük olan momentleri yoktur. 3x 1 E X x f ( x)dx x 3x dx 3 1 1 1 olmak üzere, X rasgele değişkenin varyansı, 3 25 Var ( X ) = E ( X 2 ) - ( E ( X )) 2 = 32 - ( ) 2 = 2 36 dır. Bir rasgele değişkenin varyansının ve olması için ikinci momentinin var olması yeterlidir. 2 Örnek 4 2 2 4 X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu, 2 x 3 x 1 f x 0 d y olduğunda X in birinci momenti (beklenen değeri) var ve 2 x 1 E X xf ( x)dx x 2 x dx 2 1 1 1 3 olup, ikinci momenti, dolayısı ile varyansı yoktur. Örnek 5 X rasgele değişkenin olasılık fonksiyonu, f x ¥ olsun. å x= 0 x e x x 01 2… ( 0) x e- l l x < ¥ olduğundan X in bütün momentleri vardır. x! X in beklenen değeri, ¥ ¥ e- l l x e- l l x E( X ) = å x =å x = l e- l x ! x ! x= 0 x= 1 2 dır. X X X 1 X ifadesinden faydalanarak, ¥ l x- 1 åx= 1 ( x - 1)! = l e- l ¥ ln ån= 0 n! = l E X 2 E X X 1 E X x x 1 e x x x 0 x x 1 e x x x2 2e x2 x2 x 2 2 elde edilir. Buradan, Var X E X 2 EX 2 bulunur. Örnek 6 X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu, 1 x/5 x0 5 e f x 0 d y olsun. 1 x E X xf ( x)dx x e 5 dx uv 0 vdu 5 0 0 u dv ¥ x ¥ 5 = - xe ¥ - E X 2 x - x 5 )dx = ò e dx = 0 e - x 5 1 5 =5 0 x 5 1 f ( x)dx x 2 e dx uv 0 vdu 5 0 0 u x ¥ 2 5 =- xe 0 ve ò (- e ¥ 0 0 x 5 ¥ - dv ¥ ¥ x x 1 - 5x 5 5 ( e )2 xdx = 2 e xdx = 10 ò ò ò 5 e xdx = 50 0 0 0 Var X E X 2 EX 50 52 25 2 elde edilir. Demek ki, 7.Ders Örnek 7 deki elektronik parçalar için dayanma süresinin ortalaması (dayanma süresinin beklenen değeri) 5 yıl, varyansı 25 ve standart sapması 5 yıl dır. Örnek 7 Bir günde 5 parça işleyen bir torna makinası için kusursuz olarak işlediği parçaların sayısı X olsun. X in olasılık fonksiyonunun x 5 x 5 4 1 f x x 01 2 3 4 5 x 5 5 x 5 4 1 f x x 5 5 x 0 1 3125 5 x 1 20 3125 2 160 3125 3 640 3125 4 1280 3125 5 1024 3125 olduğu bilinsin. 5 E( X ) = å xf ( x) = 0´ x= 0 1 20 160 640 1280 1024 + 1´ + 2´ + 3´ + 4´ + 5´ = 4 3125 3125 3125 3125 3125 3125 5 Var ( X ) = E (( X - 4) 2 ) = å ( x - 4) 2 f ( x) x= 0 2 = (0 - 4) ´ 1 3125 2 + (1 - 4) ´ 20 2 + (2 - 4) ´ 3125 160 2 + (3 - 4) ´ 3125 640 3125 2 + (4 - 4) ´ 1280 3125 2 + (5 - 4) ´ 1024 3125 = 4 = 0.8 5 İşlenmemiş parçanın alış değeri a , işleme masrafı b , kusurlu işlenmiş parçanın hurda değeri c ve kusursuz işlenmiş parçanın satış değeri d olmak üzere günlük kazancın beklenen değeri nedir? K rasgele değişkeni günlük kazancı göstermek üzere, K 5 a b 5 X c Xd 5(c a b) (d c) X olarak ifade edilebilir. E ( K ) E 5(c a b) (d c) X 5(c a b) (d c) E ( X ) Var ( X ) Var 5(c a b) (d c) X (d c) 2Var ( X ) olmak üzere, örneğin işlenmemiş parçanın alış değeri a =100 TL, işleme masrafı b =100 TL, kusurlu işlenmiş parçanın hurda değeri c =10 TL ve kusursuz işlenmiş parçanın satış değeri d =310 TL olduğunda, K 5(c a b) (d c) X 950 300 X E ( K ) 950 300 E ( X ) 950 300 4 250 Var ( X ) 3002Var ( X ) 3002 4 72000 5 X 72000 268.3 Günlük kazancın beklenen değeri, başka bir ifade ile ortalama günlük kazanç 250 TL dir. Günlük kazancın olasılık dağılımı, x P( X x) k 950 300x P( K k ) 0 1 3125 -950 1 3125 1 20 3125 -650 20 3125 2 160 3125 -350 160 3125 3 640 3125 -50 640 3125 4 1280 3125 250 1280 3125 5 1024 3125 550 1024 3125 olmak üzere, bazı günlerde 550 TL kazanç olduğu gibi, 950, 650 ya da 350 TL kayıp söz konusu olabilir. Tanım 3 X bir rasgele değişken olmak üzere (var olması halinde), M X (t ) E (etX ) h t h (h 0) fonksiyonuna X in moment üreten fonksiyonu denir. Örnek 8 X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu, e x x 0 f ( x) 0 d y olsun. 0 e tx e dx e(t 1) x dx x 0 integrali t 1 için yakınsak olduğundan, X in moment üreten (moment çıkaran) fonksiyonu vardır ve 0 0 M X (t ) etx e x dx e(t 1) x dx e( t 1) x t 1 x 0 1 (1 t ) 1 , t 1 1 t dır. X rasgele değişkenin olasılık fonksiyonu, e x f ( x) x 01 2… x olsun. t R için Örnek 9 etx x 0 ( 0) e x x! serisi yakınsak olduğundan, X in moment üreten (moment çıkaran) fonksiyonu vardır ve M X (t ) etx x 0 t e x e (e t ) x (et ) x e e ee x! x! x! x 0 x 0 e ( e 1) t R dır. Bir X rasgele değişkenin moment üreten fonksiyonu, t etx M X (t ) e(e 1) x 0 x ise X in olasılık fonksiyonu e1 f ( x) x 01 2… x dır. t Teorem 2 Bir X rasgele değişkenin moment üreten fonksiyonu varsa, dn M X (t ) E ( X n ) n 1 2… n dt t 0 dır. İspat: E ile t ye göre türev alma işlemlerinin yer değiştirebileceği varsayımı altında, d d d tX M X (t ) E (etX ) E e E XetX dt dt dt d 2 tX d2 d2 tX M ( t ) E ( e ) E 2e X dt 2 dt 2 dt 2 tX EX e d 3 tX d3 d3 tX M X (t ) 3 E (e ) E 3 e E X 3etX 3 dt dt dt ve genel olarak, d k tX dk dk tX k tX M ( t ) E ( e ) E k e E X e , k=1,2,3,... X k k dt dt dt olmak üzere, dk M X (t ) E X k etX E ( X k ) , k=1,2,3,... k t 0 dt t 0 dır. Örnek 10 M X (t ) e ( e 1) t R olmak üzere t E( X ) dM X (t ) t 0 et e (t 1) t 0 dt d 2 M X (t ) E( X ) t 0 dt 2 2 [ et e (e 1) ( et )2 e (e 1) ] t 0 t t 2 elde edilir. Not: Bir rasgele değişkenin beklenen değeri (ortalaması) dağılımın merkezi, varyansı ya da standart sapması beklenen değer etrafında yayılımın büyüklüğü hakkında fikir vermektedir. PROBLEMLER 1. Olasılık fonksiyonları aşağıda verilen dağılımların birinci, ikinci, üçüncü momentlerini, beklenen değerlerini ve varyanslarını bulunuz. a) f x 15 x 2 1 0 1 2 b) f x 15 x 01 2 3 4 c) f x 1 4 x 01 2 3 4 16 x x 4 x e) 1 3 f x x 01 2 3 4 4 4 f x 1 6 x 1, 2,3, 4,5,6 f) f x 110 x 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10 d) 4 x g) f x 1n x 1,2,3,..., n 2. Olasılık yoğunluk fonksiyonları aşağıda verilen dağılımların birinci, ikinci, üçüncü momentlerini, beklenen değerlerini ve varyanslarını bulunuz. 1 4 2 x 2 a) f x 0 d y 1 4 0 x 4 b) f x 0 d y c) 1 4 2 x f x 0 2 x 2 d y 1 4 2 x 2 0 x 4 d) f x 0 d y 1 4 x 2 x 2 e) f x 0 d y 1 8 x 2 2 x 2 f) f x 0 d y 1 8 x 2 2 x 2 g) f x 0 d y 3. 1 2 3 4 5 rakamları birer kağıt parçasına yazılıp bir kavanoza atılsın. Kavanozdan aynı anda üç tane kağıt parçası alındığında: X gelen sayılar arasında en küçüğü, Y gelen sayılar arasında en büyüğü, U gelen sayılar arasında ortancası, V gelen sayıların toplamı, W gelen sayıların en büyüğü ile en küçüğü arasındaki fark olmak üzere, E X E Y E U E V E W değerlerini bulunuz. 4. Olasılık (yoğunluk) fonksiyonları aşağıda verilen dağılımlar için M X (t ) fonksiyonunu bulunuz ve ilk iki dereceden momentleri hesaplayınız. x a) 1 f ( x) x 1 2… 2 n x x 1 x 01 2… n 2 b) f ( x) c) xe x f ( x) 0 x0 d y 5. Bir X rasgele değişkenin moment üreten fonksiyonu M X (t ) olmak üzere a) M X (0) 1 b) M aX (t ) M X (at ) a 0 c) M aX b (t ) ebt M X (at ) olduğunu gösteriniz. 6. X rasgele değişkenin moment üreten fonksiyonu 4 1 1 M X (t ) et 2 2 olsun. X in olasılık fonksiyonunu bulunuz. (Problem 4 ün b şıkkından faydalanınız.) 7. 1 1 ve P ( X m) olan m 2 2 ’in olasılık dağılımının medyanı (ortancası) denir. P( X x ) ve Sürekli bir X rasgele değişkeni için P ( X m) sayısına X P( X x ) 1 olan xa sayısına X ’in olasılık dağılımının (1- a ) ‘inci yüzdeliği denir. Buna göre m = x0.50 dır. x0.25 , x0.50 , x0.75 sayılarına dağılımın 1.Çeyrekliği, 2.Çeyrekliği ve 3.Çeyrekliği denir. Olasılık yoğunluk fonksiyonları aşağıda verilen dağılımların çeyrekliklerini bulunuz. a) 1 4 f x 0 2 x 2 d y 1 4 2 x 2 x 2 b) f x 0 d y 1 8 x 2 2 x 2 c) f x 0 d y x e , x 0 d) f ( x) 0 , d . y. 8. Her sabah aynı büyüklükte 5 adet doğum günü pastası hazır bulunduran bir tatlıcının günlük satışlarının sayısının olasılık fonksiyonu f x 1 2 x 01 2 3 4 5 30 x x 140 dır. Bir pastanın maliyeti 8 TL olmak ve satılmayan pastalar imha edilmek üzere, pasta satışından beklenen günlük kazancın 20 TL olması için bir pastanın satış fiyatı ne olmalıdır? Kazancın olasılık dağılımı nedir? 9. Belli bir şehrin günlük su tüketimi (milyon litre olarak) olasılık yoğunluk fonksiyonu, 2 xe x2 x 0 f x 0 d y olan bir rasgele değişkendir. Günlük su tüketiminin beklenen değeri (ortalaması) ve varyansı nedir? Belli bir gün için tüketilen su miktarının ortalamanın üstünde olması olasılığı nedir? 10. Bir atıcı yarıçapı 10 birim olan dairesel bir hedefe atışlar yapmaktadır. Atış sonucunun dairenin merkezine uzaklığı X olsun. X in olasılık yoğunluk fonksiyonunun, 10 x 0 x 10 50 f x 0 diger yerlerde olduğu bilinsin. a) E ( X ) ve Var ( X ) değerlerini hesaplayınız. b) Y = 10 - §X ¨ olmak üzere, E (Y ) ve Var (Y ) değerlerini hesaplayınız. Atıcının hedefe yaptığı atışların “hedefsizce", “öylesine rasgele” olması durumunda ne olur?