Düzgün Dağılım Bir X rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu (o.y.f.), 1 f ( x) = θ 2 − θ1 0 , θ1 < x < θ 2 , d.y biçimine olduğunda, X ‘e düzün dağılıma sahiptir denir ve X ∼ U (θ1 , θ 2 ) biçiminde gösterilir. Düzgün dağılıma X ∼ U (θ1 , θ 2 ) rasgele değişkeninin dağılım fonksiyonu, 0 x − θ1 F ( x) = P( X ≤ x) = θ 2 − θ1 1 x < θ1 , , θ1 ≤ x < θ 2 x ≥ θ2 , beklenen değeri, θ2 1 1 x2 E( X ) = ∫ x dx = θ 2 − θ1 2 θ1 θ 2 − θ1 θ2 = θ1 1 (θ 2 − θ12 ) θ1 + θ 2 × 2 = θ 2 − θ1 2 2 ikinci momenti, θ2 1 1 x3 E( X ) = ∫ x dx = θ 2 − θ1 θ 2 − θ1 3 θ1 2 θ2 = 2 θ1 1 (θ 3 − θ 3 ) θ 2 + θ 2θ1 + θ12 × 2 1 = 2 θ 2 − θ1 3 3 ve varyansı, Var ( X ) = E ( X 2 ) − ( E ( X ) ) = 2 θ 22 + θ 2θ1 + θ12 θ1 + θ 2 3 − 2 2 = (θ 2 − θ1 )2 12 dır. Örnek 1 X ∼ U (0,10) rasgele değişkenin olasılık yoğunluk ve dağılım fonksiyonu, 1 , 0 < x < 10 f ( x) = 10 0 , d.y 0 x F ( x) = P( X ≤ x) = 10 1 olup grafikleri, , x<0 , 0 ≤ x < 10 , x ≥ 10 f ( x) 1/10 4 P (2 < X < 4) = ∫ f ( x ) dx 2 4 2 x 10 F ( x) 1 P (2 < X < 4) = F (4) − F (2) x 4 2 10 dır. X ‘in beklenen değeri, E( X ) = 0 + 10 =5 2 ve varyansı, Var ( X ) = (10 − 0)2 100 = 12 12 dır. Örnek 2 Bir tür böcek 6 gün yaşadıktan sonra iki gün içinde aynı miktarlarda azalıp ölmektedir. X rasgele değişkeni bir bu türden bir böceğin ömrü olmak üzere, X ∼ U (6,8) dır. 1 , 6< x<8 f ( x) = 2 0 , d . y 0 x−6 F ( x) = P( X ≤ x) = 2 1 olup grafikleri, , x<6 , 6≤ x<8 , x≥8 f ( x) 1/2 6 8 x F ( x) 1 6 8 x dır. X ‘in beklenen değeri (ortalaması), E( X ) = 6+8 =7 2 ve varyansı, Var ( X ) = (8 − 6) 2 1 = 12 3 dır. (0,1) Aralığında Düzgün Dağılım (0,1) aralığı üzerinde düzgün dağılıma sahip olan rasgele değişkeni U harfi ile gösterelim. U ~ U (0,1) olmak üzere, 1 , 0 < u < 1 f (u ) = 0 , d . y. 0 , u < 0 F (u ) = u , 0 ≤ u < 1 1 , u ≥ 1 f (u ) 1 u 1 F (u ) 1 u 1 E (U ) = 1 1 , Var (U ) = 2 12 dır. QBASIC programlama dilinde RND, Matlab’da rand fonksiyonu U rasgele değişkenin dağılımından sayı üretmektedir. Bir X rasgele değişkenin dağılımından sayı üretmek için, F − ( RND ) = inf { x : F ( x) ≥ RND , x ∈ R} değerleri alınabilir. Sürekli bir X rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu, değer kümesi üzerinde birebir olduğunda, X in dağılımından sayı üretmede F −1 (U ) , yani F −1 ( RND ) değerleri alınabilir. Örnek 2 ‘deki dağılımdan sayı üretmek için F −1 (U ) = 6 + 2U , U = RND ∈ [0,1) dönüşümü kullanılabilir. F ( x) 1 U=RND x 6 −1 F (U ) 8 Kesikli bir X rasgele değişkeninin dağılımından sayı üretmek için (0,1) aralığı dağılımdaki olasılıklar oranında parçalara ayrılıp U sayısının düştüğü aralığa karşılık gelen değer X olarak alınabilir. Đstatistik amaçlı bilgisayar paket programlarında U (0,1) ve diğer dağılımlardan sayı üreten fonksiyonlar hazır halde bulunmaktadır. Örnek 3 “(0,1) aralığındaki sayılardan restgele biri çekildiğinde” çıkan sayının 0,8 ´den büyük olması olasılığı nedir? “(0,1) aralığından rasgele çekilen” sayı U olsun. U ~ U (0,1) olmak üzere, 1 P (U > 0,8) = ∫ 1du = u 0.8 = 1 − 0.8 = 0.2 1 0.8 dır. >> rand(20,5) ans = 0.95013 0.23114 0.60684 0.48598 0.8913 0.7621 0.45647 0.018504 0.82141 0.4447 0.19343 0.68222 0.30276 0.54167 0.15087 0.6979 0.37837 0.86001 0.85366 0.59356 0.61543 0.79194 0.92181 0.73821 0.17627 0.40571 0.93547 0.9169 0.41027 0.89365 0.49655 0.89977 0.82163 0.64491 0.81797 0.66023 0.34197 0.28973 0.34119 0.53408 0.057891 0.35287 0.81317 0.0098613 0.13889 0.20277 0.19872 0.60379 0.27219 0.19881 0.72711 0.30929 0.8385 0.56807 0.37041 0.70274 0.54657 0.44488 0.69457 0.62131 0.015274 0.74679 0.4451 0.93181 0.46599 0.41865 0.84622 0.52515 0.20265 0.67214 0.79482 0.95684 0.52259 0.88014 0.17296 0.97975 0.27145 0.25233 0.87574 0.73731 0.83812 0.01964 0.68128 0.37948 0.8318 0.50281 0.70947 0.42889 0.30462 0.18965 0.13652 0.011757 0.8939 0.19914 0.29872 0.66144 0.28441 0.46922 0.064781 0.98833 >> sum(sum(ans>0.8)) ans = 24 Üretilen bu 100 tane sayıdan 24 tanesi 0.8 den büyüktür. “(0,1) aralığından rasgele çekilen” bir sayının 0.8 den büyük olması olasılığı p=0.2 olup, çekilen n=100 sayı içinde 0.8 den büyük olanların beklenen sayısı np=100x0.2=20 dir. Üretilen 100 tane sayı ile ilgili histogram, 14 12 10 8 6 4 2 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 dır. Histogramdaki sınıf aralıklarının he biri için beklenen frekans = 100x0.1=10 dur. Beklenen frekanslar ( f i b , i = 1, 2,...10 ) ile gözlenen frekanslar ( f i g , i = 1, 2,...10 ) arasındaki 10 farklılığın bir ölçütü olarak ∑ (f − fi b ) g i fi b i =1 değer, 10 ∑ i =1 (f g i − fi b ) fi b 2 = (7 − 10) 2 10 + + (8 − 10) 2 10 2 değeri alınabilir. Üretilen 100 tane sayı için bu (12 − 10) 2 + 10 + (11 − 10) 2 10 (8 − 10) 2 + 10 + (9 − 10) 2 10 (8 − 10) 2 10 + + (13 − 10) 2 10 (12 − 10) 2 10 + (12 − 10) 2 10 = 4.4 dır. Bu değerin büyüklüğünün yorumlanmasını ileride öğreneceğiz. Örnek 4 U ~ U (0,1) olsun. U sayısını üretip aşağıdaki dönüşümlerden faydalanarak ilgili dağılımlardan sayı üretebiliriz. a) X = 10U dönüşümü ile elde edilen X kesikli bir rasgele değişken olup olasılık fonksiyonu, 1 f ( x) = , x = 0,1, 2,...,9 10 dır. b) X = 10U + 1 dönüşümü ile elde edilen X kesikli bir rasgele değişken olup olasılık fonksiyonu, 1 f ( x) = , x = 1, 2,...,10 10 dır. c) a, b ∈ R , a ≠ 0 için X = aU + b dönüşümü ile elde edilen X sürekli bir rasgele değişken olup, 0 , x<b F ( x) = P( X ≤ x) = P(aU + b ≤ x) , b ≤ x < b + a 1 , x≤b+a 0 , x <b x −b = P(U ≤ ) , b≤ x<b+a a 1 , x ≤b+a 0 x −b = a 1 ve 1 , b< x<b+a f ( x) = a d . y. 0 , olmak üzere, X ∼ U (b, b + a ) dır. , x <b , b≤ x<b+a , x ≤b+a 1 , U < p d) p ∈ (0,1) için X = dönüşümü ile elde edilen X kesikli bir rasgele 0 , U ≥ p değişken olup olasılık fonksiyonu, , x =1 p f ( x) = = p x (1− p )1− x , x = 0,1 1− p , x = 0 dır. X ∼ b(1, p ) Bernoulli dağılımına sahiptir. e) X = − ln U dönüşümü ile elde edilen X rasgele değişkeni için, 0 F ( x ) = P ( X ≤ x) = P (− ln U ≤ x ) , , 0 = x≥0 P (U ≥ e− x ) x<0 , , 0 = x≥0 1 − e− x x<0 , x<0 , x≥0 ve e− x , x > 0 f ( x) = 0 , d . y. dır. X sürekli bir rasgele değişken olup üstel dağılıma sahiptir. Üstel dağılımı önümüzdeki derste göreceğiz.