3. dereceden f(x)=ax +bx +cx+d fonksiyonunun dönüm noktası b (r,f

3. dereceden f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d fonksiyonunun dönüm noktası
b
ve f(r)=ar 3 +br 2 +cr+d
3a
olmak üzere, f in tanım kümesinde ki her x için
f(r-x)+f(r+x) toplamını inceleyelim.
(r,f(r)) olsun. r=-
f(r-x)=a(r-x)3 +b(r-x)2 +c(r-x)+d
f(r+x)=a(r+x)3 +b(r+x) 2 +c(r+x)+d
ifadelerini toplarsak,
f(r-x)+f(r+x) =a(r-x)3 +b(r-x) 2 +c(r-x)+d +a(r+x)3 +b(r+x) 2 +c(r+x)+d
f(r-x)+f(r+x) =2a(r 3 +3rx 2 )+2b(r 2 +x 2 )+2cr+2d
b
olduğunu kullanalım.
3a
b
f(r-x)+f(r+x) =2a(r 3 +3.- .x 2 )+2b(r 2 +x 2 )+2cr+2d
3a
f(r-x)+f(r+x) =2ar 3 -2bx 2 +2br 2 +2bx 2 +2cr+2d
elde ederiz, r=-
f(r-x)+f(r+x) =2  ar 3 +br 2 +cr+d 
f(r-x)+f(r+x) =2f(r)
Bulunan bu eşitliğe göre 3. dereceden her fonksiyon
dönüm noktasına göre simetriktir.