37 eşitsizlikler

EŞİTSİZLİKLER
Yardım almaya alışanlar, buyruk almaya da alışırlar.
Adı :
Soyadı :
Zeka, Tecrübe ve Çalıskanlık birlesirse tüm hedeflere ulasılır…
Mat. Müh. BAHTİYAR DAĞDELEN
0532 - 799 92 25
EŞİTSİZLİKLER
f(x) bir fonksiyon olmak üzere,
4. Mutlak Değerli Eşitsizlikler
f(x) ≥ 0, f(x) ≤ 0 , f(x) < 0 , f(x) > 0 ifadelerine
i ) f(x) ≤ a ise,
Fonksiyonların eşitsizliği denir.
- a ≤ f(x) ≤ a dır.
1. Pratik Tablo Yapma
ii ) f(x) ≥ 𝑎𝑖𝑠𝑒,
i ) EŞİTSİZLİĞİN İŞARETİ : Eşitsizliğin her çarpanının
f(x) ≥ 𝑎𝑣𝑒𝑦𝑎f(x) ≤ −adır.
en yüksek dereceli x’lerin işaretler çarpımı belirlenir.
ii ) Eşitsizliğin pay ve paydasını sıfır yapan değerler
iii ) f(x) ≥ g(x)
bulunup sırasıyla tabloda yerleştirilir.
f(x) ≤ g(x)𝑖𝑠𝑒,
veya
Her iki tarafın karesi alınarak çözüme ulaşılır.
iii ) Belirlenen işaret tabloda en sağ bölmeye yazılır ve
v ) f(x) ±g(x)
≤ ℎ(𝑥)𝑖𝑠𝑒,
Sola doğru her TEK katlı kökte işaret değiştirilerek
Her mutlak değerli ifadelerin kritik noktaları
gelinir.
bulunarak tablo yapılır.
ÇİFT katlı köklerde işaret değiştirilmez.
Her aralıkta bulunan çözümler birleştirilir.
iv ) a ≤ f(x)
≤ b ise,
U 1
2
KESİRLİ EŞİTSİZLİKLERDE,
a ≤ f(x) ≤ bveyaa ≤ −f(x) ≤ b
i ) EŞİTLİK YOKSA ; Hiç bir kök çözüme
alınmaz.
5. 𝑘 ∈ R ile
ii ) EŞİTLİK VARSA ; Sadece payın kökleri
çözüme dahil edilir.
II. Derece Denklemin
Köklerinin karşılaştırılması
i ) k ∈ R sayısı kökler arasında ise,
x < k < x
1
2. Eşitsizlik Sitemi
2
⟺
a. f(x) < 0dır.
Birden fazla eşitsizliğin oluşturduğu sistemdir.
f(x) ≥ 0
f(x) ≤ 0
ii ) k ∈ R sayısı kökler dışında ise,
Çözüm kümelerinin kesişimi Eşitsizlik
k < x < x
1
Sisteminin çözüm kümesidir.
2
⟺
a. f(x) > 0
k < r dir.
x < x < k
1
3. Köklü Eşitsizlikler
2
⟺
a. f(x) > 0
k > r dir.
i)
?@
ii )
?@AB
𝑓(𝑥)ise,
𝑓(𝑥)ise,
f(x) ≥ 0
f(x) ∈ R dir.
U 2
2
Sadece bir kök a ile b arasında ise,
Yani
Mat. Müh. BAHTİYAR DAĞDELEN
0532 - 799 92 25
a < x 1 < b ise,
f(a) . f(b) < 0
dır.
EŞİTSİZLİKLER
iv ) Bir kökü sıfır ise,
U 3
2
f(x) = a x
2
+ bx + c
a)Δ>0
parabolünün
b)x. 𝑥 = 0
i ) Daima POZİTİF değer alması için,
1
2
c ) x + 𝑥
f(x)
1
f(x) > 0 ise, a > 0 ve
Δ< 0
dır.
x + 𝑥 < 0
x + 𝑥 > 0
𝑥 < x = 0
𝑥 = 0 < x
1
ii ) Daima NEGATİF değer alması için,
2
1
1
2
2
2
1
2
f(x) < 0 ise, a < 0 ve
f(x)
Δ< 0
7. Eşitsizlik Grafikleri
dır.
i)
6. II. Derece Denklemin köklerinin
işaret incelemesi
i ) Zıt işaretli iki kök varsa ;
Taralı Bölge
f(x) > 0
(x < 0 < x )
2
1
f(x) = mx + n
a)Δ>0
b)x. 𝑥 < 0
1
2
c ) x + 𝑥
1
2
ii )
x + 𝑥 < 0
1
2
x + 𝑥 = 0
x + 𝑥 > 0
𝑥 = x
𝑥 < x
1
𝑥 > x
1
2
1
ii ) Pozitif iki kökü varsa ;
1
2
2
f(x) = ax 2 + bx + c
2
1
2
(0 < x < x )
1
2
a)Δ>0
Taralı Bölge
f(x) < 0
b)x.
1 𝑥 > 0
2
c ) x + 𝑥 > 0
2
1
iii ) Negatif iki kökü varsa ;
(x < x < 0 )
1
2
a)Δ>0
b)x.
1 𝑥 > 0
2
c ) x + 𝑥< 0
1
2
Mat. Müh. BAHTİYAR DAĞDELEN
0532 - 799 92 25
EŞİTSİZLİKLER
Mat. Müh. BAHTİYAR DAĞDELEN
0532 - 799 92 25
Kavrama
Soruları
EŞİTSİZLİKLER
37
Zeka, Tecrübe ve Çalıskanlık
birlesirse
tüm hedeflere ulasılır…
.
.
.
Örnek 01
Karesinden 6 katı çıkarıldığı zaman, 40 dan küçük olan
tamsayıların toplamı nedir?
39
Örnek 02
x 2 - (a - 5) x + 9 = 0 denkleminin gerçel kökünün olmaması
için a’ nın alması gereken tamsayı değeri kaç tanedir?
11
Örnek 03
x 3 - 6x 2 - x + 6 ≤ 0 eşitsizliğini sağlayan
kaç tane x pozitif tamsayısı vardır?
6
Örnek 04
2
4
a - 10
< 8
a
eşitsizliğini sağlayan a tamsayılarının toplamı nedir?
3
Örnek 05
x >
20 − 𝑥
eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
Mat. Müh. BAHTİYAR DAĞDELEN
0532 - 799 92 25
(4,20]
1
37
EŞİTSİZLİKLER
Örnek 06
Bir malın alış fiyatı a TL ve satış fiyatı b TL
dir. Satış fiyatı, alış fiyatının karesinden 6
eksiktir. Bu malın satışından kâr edilebilmesi
için b en az kaç TL olmalıdır? (b Є Z )
4
Örnek 07
( 1 – x ) . ( x2 - 36 )
x 2 + 6x
≥ 0
eşitsizliğini sağlayan pozitif
tamsayılar toplamı nedir?
21
Örnek 08
x≤
2
+1
x
eşitsizliğinin çözüm kümesini
bulunuz.
(−∞, −1] ∪ (0,2]
Örnek 09
12
>6+ 8
x
2
x
x+
eşitsizliğinin çözüm
kümesini bulunuz.
(2, ∞)
Örnek 10
(x 2- x - 6) . (x -1)17 ≤ 0
8
2 55
x . (1 – x )
eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
[-2,-1) ∪ [3, ∞)
2
EŞİTSİZLİKLER
37
Örnek 11
a-x
> 0 eşitsizliğinde 4 tane tamsayı varsa
x-2
a nın alabileceği değerler toplamı nedir?
4
Örnek 12
x
5 - 10
x
> 0 eşitsizliğinin en geniş
x-2
çözüm kümesini bulunuz
(0,2)
Örnek 13
2
(x–2)
> ( x 2 -2x )
2
eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi nedir?
(-1,1)
Örnek 14
x+1
1
<
x-1
x+2
Eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
A) (-2,-1)
B) (1,2)
D) (-2,1)
C) (3, ∞)
E) (1,3)
D
Örnek 15
1
1
+
1
< 0 Eşitsizliğinin
2
3
x
x
en geniş çözüm kümesi nedir?
x
+
A) (- ∞,0)
D) { }
B) (0, ∞)
C) R
E) { 0}
A
3
37
EŞİTSİZLİKLER
Örnek 16
x -3 <
x +2
eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi nedir?
(1/2, ∞)
Örnek 17
x2 + 2
<
6
x-2
3x - 6
eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi nedir?
(-4,4)∖ 2
Örnek 18
2
-x +ax+b
2
>0
eşitsizliğinin
x + x+5
çözüm kümesi (- 7, 5 ) ise,
a + b toplamı nedir?
33
Örnek 19
x+3
x2 - x - 12
< -1
eşitsizliğini sağlayan en küçük pozitif x
tamsayısı kaçtır?
yoktur
Örnek 20
2
x + x -2< 0
Eşitsizliğinin
en geniş çözüm kümesi nedir?
A) (0,2)
D) (0,1)
B) (1,2)
C) (-1,2)
E) (-1,1)
E
4
EŞİTSİZLİKLER
37
Örnek 21
2
x + (m + 1 ) x + m > 0
eşitsizliği bütün reel sayılar için doğru ise,
m nin çözüm aralığını bulunuz.
∅
Örnek 22
2
f(x) = - x - (a + 3) x – 2a = 0
fonksiyonunda her x reel sayısı için f(x) < 6 koşulu
sağlandığına göre, a ‘nin en geniş çözüm aralığı nedir?
(-3,5)
Örnek 23
2
2
(x + x + 1) . (1 – x ) . (x - 2)
2
≥ 0
x -4
eşitsizliğini sağlayan pozitif tamsayı
kaç tanedir?
1
Örnek 24
( a 2 - a – 12 ) x + (a + 3) x + 6 = 0
denkleminin zıt işaretli iki kökünün olması için
a hangi aralıkta değer alır?
(-3,4)
Örnek 25
x + 5 . ( x – 5 ) 20
2
≥ 0
11
( x - 6x + 5 ) . ( x – 1 )
eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesini bulunuz?
(5, ∞ )∪ −5
5
37
EŞİTSİZLİKLER
Örnek 26
5
x+1
.(4–x )
≥0
2
( x + 8x + 16 ) . ( x – 1 )
eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesini bulunuz?
(1,4]
Örnek 27
a < 0 < b < c olmak üzere,
ax.(x – a)
bx - c
≥ 0
eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
(-∞,a] ∪ [0,
Örnek 28
a<b<0
c
)
b
olmak üzere,
abx 2 + (a – b)x - 1
2
3
< 0
abx + b x
eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
(-∞,
Örnek 29
1
1
) ∪ (0, )
a
b
2
x +x-4
<1
x
2
x < 64
sisteminin çözüm kümesi nedir?
(-8,-2) ∪ (0,2)
Örnek 30
2
8 − 𝑎 𝑥 − 𝑎 + 2 𝑥 − 𝑎 + 5 = 0denkleminin
köklertoplam𝚤pozitif, köklerçarp𝚤m𝚤negatifise,
a′n𝚤nalabileceğitamsay𝚤değerleritoplam𝚤nedir?
13
6
EŞİTSİZLİKLER
37
Örnek 31
4x < x 2 < x + 6
Eşitsizliğinin
en geniş çözüm kümesi nedir?
(-2,0)
Örnek 32
x
2
- x -9
> 3
eşitsizliğini sağlamayan
x tam sayılarının toplamı nedir?
4
Örnek 33
a > b > 0 olmak üzere,
(a – b)x2 + (a 2 - ab + 1)x + a ≤ 0
(a – b)x 2 - 2x < 0
sisteminin en geniş çözüm aralığı nedir?
∅
Örnek 34
Yanda verilen şekle göre,
2
(x - 4). f(x) ≤ 0
f(x)
eşitsizliğini sağlayan
en geniş çözüm aralığını bulunuz.
-1
3
[-2,-1] ∪ [2,3]
Örnek 35
y
f(x)
x
a
b
c
d
g(x)
f(x)
≥ 0 eşitsizliğinin en geniş çözüm
g(x)
kümesi nedir?
(c,d]
7
37
EŞİTSİZLİKLER
Örnek 36
3
2
√x -1 -
< 0 eşitsizliğini
2
√x -1
sağlayan en geniş çözüm kümesi nedir?
(-2,-1) ∪ (1,2)
Örnek 37
x 2 - (1 - a) x - a = 0 denkleminin kökleri x ve x dir.
2
1
x <0< x
1
2
ve
x
1
< x
2
ise,
a nın çözüm aralığı nedir?
(0,1)
Örnek 38
2
x - 6x + 2m + 1 = 0 denkleminin kökleri x ve x dir.
2
1
x <2< x
1
2
olduğuna göre,
m ‘nin alabileceği sayma sayısı kaç tanedir?
3
Örnek 39
2
x2 - 3kx + k + 1 = 0 ve
x < 1 < x
1
2
olması için, k sayısı en geniş
hangi aralıkta olmalıdır?
(1,2)
Örnek 40
mx 2 + 3x – m - 1 = 0 denkleminin kökleri x ve x dir.
x <x < 3
1
2
olduğuna göre,
1
2
m‘nin en geniş çözüm aralığı nedir?
m < - 1 veya m > 0
8
EŞİTSİZLİKLER
Örnek 41
f(x) = x 2+ ax + b
B) -1 < x < 2 < x
D) -1 < x < x < 2
E) x < - 1 < 2 < x
2
denkleminin.
kökleri x ve x ve x < x
1
A) x1 < - 1 < x < 2
2
1
2
1
2
1
1
2
37
C) -1 < 2 < x < x
1
2
2
dir.
f(2) < 0 ve
f(- 1) . f(2) < 0 olduğuna göre,
yandakilerden hangisi doğrudur?
B
Örnek 42
2x – 3y + 6 < 0
eşitsizliğinin sağlandığı bölgeyi
analitik düzlemde tarayınız
Örnek 43
y≤4-x
2
y > x + 2 sisteminin sağlandığı
bölgeyi analitik düzlemde
tarayınız
Örnek 44
2
y≥-x +3
2
y < x + 2x + 1
sisteminin çözüm kümesini
analitik düzlemde gösteriniz.
.
B I R A Z D A
37
Z E K A N I Z I
C O S
. T U R U N
KAĞIDI KATLAYALIM
1 mm kalınlığında bir kağıt alalım. Once bu kağıdı makasla ortadan ikiye keselim sonra
üst üste koyalım, sonra yine ortadan ikiye keselim, üst üste koyalım. Bu işlemi 50 defa
yapalım. Sonunda kağıdımızın kalınlığı ne kadar olmuş olabilir?
9
DÜNDEN HIZLI MISINIZ ?
Her Sabah bir ceylan uyanır Afrikada.
Kafasında tek bir düşünce vardır.
En hızlı koşan aslandan daha hızlı koşabilmek.
Yoksa aslana yem olacaktır.
Her sabah bir aslan uyanır Afrika’da.
Kafasında tek bir düşünce vardır.
En yavaş koşan ceylandan daha hızlı koşabilmek.
Yoksa açlıktan ölecektir.
İster aslan olun, ister ceylan olun hiç önemi yok.
Yeter ki güneş doğduğunda koşuyor olmanız gerektiğini
Hem de bir önceki günden daha hızlı koşuyor olmanız gerektiğini bilin.
Yaşam adlı koşuyu ne kadar güzel anlatan bir Afrika hikayesi…
Bir önceki günden daha hızlı koşmak gerekmektedir.
Çünkü eğer aslansanız.
En yavaş koşan ceylanı bir önceki gün yakalamışsanız,
Ve bugün bir ceylan yakalamak niyetindeyseniz,
Artık bilmelisiniz ki en yavaş ceylan sizden daha hızlıdır,
O halde düne göre hızınızı artırmanız gerekmektedir.
Yok eğer ceylansanız
Ve henüz aslana yem olmamışsanız,
Hızınızı düne göre mutlaka artırmalısınız.
Çünkü sıra size gelmiş demektir.
CEVAP : DÜNYA İLE GÜNEŞ ARASINDAKİ MESAFEYİ GEÇER