9. bölüm - akademi vizyon

MATEMATİK
www.akademitemellisesi.com
9.
Özel Tanımlı Fonksiyonlar
BÖLÜM
ÇİFT VE TEK FONKSİYONLAR:
olduğundan ne tek nede çifttir.
MUTLAK DEĞER FONKSİYONU:
f:AR (A  R) fonksiyonu için,
f(x),
|f(x)| = 
 f(x),
1) Her xA için f(–x) = f(x)
denir.
f(x)  0 ise
f(x)  0 ise
şeklinde tanımlanan | f | fonksiyonuna f fonksiyonunun
ise f ye çift fonksiyon
mutlak değer fonksiyonu denir.
2) Her xA için f(–x) = – f(x) ise f ye tek fonksiyon
denir.
Mutlak değer fonksiyonunun içini sıfır yapan
noktalar fonksiyonun kritik noktalarıdır. Bu
tür fonksiyonlar incelenirken önce fonksiyon
kritik noktalara göre parçalı biçimde yazılır.
a) Çift fonksiyonların grafikleri y eksenine göre
simetriktir.
b) Tek fonksiyonların grafikleri orjine göre
simetriktir.
ÖRNEK
c) Her fonksiyon tek veya çift değildir.
f(x) = x2 – 4 ise |f(x)| in grafiğini çiziniz.
ÖRNEK
Aşağıdaki fonksiyonların tek veya çift fonksiyon
ÇÖZÜM
olup olmadıklarını inceleyiniz?
f(x) = x2 – 4
x2 – 4 = 0  x1, = –2, x2 = 2
A) f(x) = 3x + 4cosx – 1
2
B) f(x) = 2x5 + 7x3 – sinx
x –
C) f(x) = x3 + 2x2 –3x + 2
f(x)
+
–2
2

x  4,
|f(x)| = 
2

x  4,
ÇÖZÜM
+
+
x  2
veya
2 x 2
x  2 ise
ise
bu fonksiyonun grafiği yukarıdaki şartları sağlayan
A) f(x) = 3x2 + 4cosx –1
parçaların birleşimidir.
f(–x) = 3x + 4cos(–x) – 1 = 3x + 4cosx –1
2
2
0 – 0
2
f(x) = f(–x) olduğundan çifttir.
B) f(x) = 2x5 + 7x3 – sinx
f(–x) = 2.(–x)5 + 7(–x)3 –sin(–x)
f(–x) = –2x5 – 7x3 + sinx
f(–x) = –f(x) olduğundan tektir.
C) f(x) = x3 + 2x2 –3x +2
f(–x) = (–x)3 +2 (–x)2 –3(–x)+2
f(–x) = –x3 + 2x2 +3x+2
ÖZEL ACAR KALİTE DEĞER MİLAT TEMEL LİSESİ
1
www.akademitemellisesi.com
ÖZEL TANIMLI FONKİSYONLAR
www.akademivizyon.com.tr
y
ÖRNEK
f: R  R
2
–2
x
2
x2  1

f(x)  4

2x  3
x2
2x4
x4
olarak tanımlanıyor.
Buna göre, f(1) + f(3) + f(5) toplamı kaçtır?
ÇÖZÜM
f(1) = 12 + 1 = 2
f(3) = 4
f(5) = 2.5+3 = 13
f(1) + f(3) + f(5) = 2 + 4 + 13 = 19
ÖRNEK
f(x) = |x + 2| – x
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Parçalı fonksiyonlarda dört işlem yapılırken,
bileşke bulunurken verilen fonksiyonların
tanım
kümelerinin
alt
aralıklarının
kesişimlerinde bu işlemler yapılır.
ÇÖZÜM
f(x) = |x + 2| – x
x + 2 = 0  x = –2
ÖRNEK
f, g: R  R
x –
f(x)
–2
+
–
5  3x,

f(x)   2

 x  4,
+
,
2
f(x)  
 2x  2 ,
x  2
x  2
x2
x2
3x

g(x)   x  1
 3
3x
x 1
1 x  4
x4
fonksiyonları veriliyor.
Buna göre, (f + 2g) (3) değeri kaçtır?
ise
ise
ÇÖZÜM
2
f(3) = 5 – 3.3 = –4
g(3) = 3 + 1 = 4
(f + 2g)(3) = f(3) + 2g(3)
= –4 + 2.4 = 4
–2
ÖRNEK
–2 –1
f, g: R  R

2x,
f(x)   3

 x  1,
PARÇALI FONKSİYON
Tanım kümesinin alt aralıklarında ayrı fonksiyonlarla
tanımlanan fonksiyonlardır.
g(x) ,

f(x)  h(x) ,
t(x) ,

xa
a xb
bx
Buradaki x = a ve x = b noktalarına fonksiyonun kritik
noktaları denir.
x 1
x 1
 x2

g(x)  

x  9
fonksiyonları veriliyor.
Buna göre, (gofog)(7) kaçtır?
ÇÖZÜM
(gofog)(7) = (gof)(g(7))
g(7) = 7  1  3
(gof)(3) = g(f(3))
f(3) = –2.3 = –6
( 7  2 olduğu için
kullanılır.)
(3 > 1 olduğu
kullanılır.)
g(–6) = –6+9 = 3 bulunur.
ÖZEL ACAR KALİTE DEĞER MİLAT TEMEL LİSESİ
x2
x2
için
x2
–2x
www.akademivizyon.com.tr
MATEMATİK
Parçalı
Çizimi
www.akademitemellisesi.com
Fonksiyonlarda
Grafik
Herhangi bir y = f(x) fonksiyonunun grafiği
verilsin.
 y = –f(x) fonksiyonunun grafiği
bulunurken
y = f(x) grafiğinin x eksenine göre
simetriği alınır.
 y = f(–x) fonksiyonunun grafiği
bulunurken
y = f(x) grafiğinin y eksenine göre
simetriği alınır.
 y = f(x+a) (aR+) fonksiyonunun grafiği
bulunurken
y = f(x) grafiği negatif x ekseninde a
birim ötelenir.
 y = f(x – a) (aR+) fonksiyonunun grafiği
bulunurken
y = f(x) grafiği pozitif x ekseninde a birim
ötelenir.
 y = f(x)+a (aR+) fonksiyonunun grafiği
bulunurken
y = f(x) grafiği pozitif y ekseninde a birim
ötelenir.
 y = f(x)–a (aR+) fonksiyonunun grafiği
bulunurken
y = f(x) grafiği negatif y ekseninde a
birim ötelenir.
Parçalı fonksiyonların grafikleri çizilirken her bir alt
fonksiyonun grafiği ayrı ayrı çizilir. Bu grafiklerin ait
olduğu alt aralıktaki parçası alınır.
ÖRNEK
 x  1,

f(x)  1,
 2
x ,
x  1
1  x  1
x 1
fonksiyonun grafiğini çizelim.
ÇÖZÜM
 x < –1 olduğu yerlerde y = x + 1 doğrusunun grafiği
çizilir.
 –1  x < 1 olduğu yerlerde y = 2 doğrusunun grafiği
çizilir.
 x  1 olduğu yerlerde
y = x2 parabolünün grafiği
çizilir.
y
1
–1
1
x
ÖRNEK
ÖRNEK
 x 2  3x

f(x)  0
 2
 x  3x
x0
3  x  0
Yanda
x  3
veriliyor.
y
=
grafiği
fonksiyonunun
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Buna
ÇÖZÜM
fonksiyonun

y = x2 + 3x parabolü çizilir, bu parabolün (0, )
aralığındaki parçası alınır.

y = 0 doğrusu çizilir, bu doğrunun [–3, 0] aralığındaki
parçası alınır.

y = –x2 – 3x parabolü çizilir, bu parabolün (–, –3)
aralığındaki parçası alınır.
göre,
y
f(x)
y
=
3
–f(x)
1
çizelim.
y
ÇÖZÜM
y
y = –f(x) grafiği çizilirken
–3
0
x
2
grafiğini
y = f(x) in x eksenine
x
1
göre simetriği alınmalıdır.
2
x
3
ÖZEL ACAR KALİTE DEĞER MİLAT TEMEL LİSESİ
3
www.akademitemellisesi.com
ÖZEL TANIMLI FONKİSYONLAR
www.akademivizyon.com.tr
E) R
3.
ÖRNEK
y
y = f(x)
5
y
–2
y = f(x)
1
–2
–1
x
1
x
1
2
3
2
–5
–3
Yukarıda grafiği verilen f(x) fonksiyonunun
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
Yukarıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği veriliyor.
A)
B)
C)
D)
E)
y = f(x–2) fonksiyonunun grafiğini çizelim.
f(x) = x + 1 – x – 2
f(x) = x + 1 + x – 4
f(x) = x + 2 – x – 3
f(x) = x + 2 + x – 3
f(x) = x – 2 – x + 3
ÇÖZÜM
y = f(x) grafiğini 2 birim pozitif x eksenine öteleyelim.
y
4.
y = f(x–2)
1
2
3
x3
x3
fonksiyonu veriliyor.
(g–1of–1)(0) + (fog)(a) + 2 = 0
olduğuna göre, a kaçtır?
x
1
7x  5

fog(x)   x 2  16

 10
4
–3
A) 6
5.
B) 2
C) 0
f(x) =x+2 + x – 3
fonksiyonunun
grafiği
hangisidir?
D) –2
E) –6
aşağıdakilerden
ÇÖZÜMLÜ TEST
1.
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi ne tek ne
de çift fonksiyondur?
A)
B)
C)
D)
E)
f(x) = 7x5 – 3x3
f(x) = 5x4 + 2x2 – 3
f(x) = 2 cosx – 1
f(x) = 2x3 – x2 + 7x + 1
f(x) = x3 – sinx
f(x)  5  3x  1
2.
fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?
A)
 5,5
 1 
C)   ,0 
 3 
 4 
B)   ,2
 3 
1

D)  ,  
3

ÖZEL ACAR KALİTE DEĞER MİLAT TEMEL LİSESİ
www.akademivizyon.com.tr
MATEMATİK
www.akademitemellisesi.com
A)
B)
ÇÖZÜMLER
5
–2
1
2
–2
1.
f(x) = 2x3 –x2 + 7x + 1 fonksiyonunda
f(–x) = 2.(–x)3 –(–x)2 + 7(–x) + 1 = –2x3 –x2 –7x + 1
olduğundan ne tek ne de çift fonksiyondur.
Cevap D’dir.
2.
5 – 3x–1  0 için tanımlıdır.
3x–1  5  –5  3x – 1  5
–5
C)
D)
5
2
–2
 –4  3x  6  
2
4
x2
3
 4 
Tanıma kümesi   ,2 aralığıdır.
 3 
–5
Cevap B’dir.
E)
3.
Grafikte görülen (0, –1) noktasının sağlamayan B
ve D seçenekleri, (3, 5) noktasını sağlamayan A
ve E seçenekleri elenir. Geriye C seçeneği doğru
olur.
Cevap C’dir
4.
(g–1of–1)(0) + (fog)(a) + 2 = 0
(fog)–1(0) + (fog)(a)+2 = 0 önce (fog)–1(0) bulalım.
(fog)–1(0) = m  (fog)(m) = 0
I. 7m – 5 = 0
5
m
7
5
5
 3 olduğu için m 
7
7
–5
6.
x0
2


x  1
f(x)   2
g(x)  5
2
x0
 x

 x

fonksiyonları veriliyor.
Buna göre, (f.g)(x) fonksiyonunun
aşağıdakilerden hangisidir?
A)
y
x0
x0
grafiği
y
B)
x
x
–2
C)
y
II.
y
D)
m  4 olup
m = –4 bulunur.
Şimdi; –4 + (fog)(a)+2 = 0 denklemini inceleyelim.
(fog)(a) = 2 ise
ya 7a – 5 = 2 dır.
1
1
x
–2
m2  16
0
10
m  4 m  3 olacağı için
x
–2
a = 1 bulunur, ancak 1  3 olduğu için
E)
a1
y
a2  16
 2 dir.
10
a2 = 36
ya da
1
x
a=
–2
6 Bulunur. Anacak 6  3 olduğu için
a  6 dır.
o zaman a = –6
Cevap E’dir
ÖZEL ACAR KALİTE DEĞER MİLAT TEMEL LİSESİ
5
www.akademitemellisesi.com
ÖZEL TANIMLI FONKİSYONLAR
www.akademivizyon.com.tr
5.
x = –2 kritik noktadır.
3.
2x  1, x  2 ise
f(x)  
x  2 ise
 5 ,
x – 3 + 2 = 5
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) {–6, 0}
C) {0, 3, 6}
E) {–3, 0, 3, 6}
–2
1
2
B) {0, 6}
D) {–3, 0, 6}
–5
Cevap A’dır.
6.
Alt tanım aralıklarında f ve g fonksiyonları
çarpılırsa,

2x  2,
(f  g)(x)   2

2x ,
x0
x0
4.
y
f(x) =
1
|x-6|
1
eşitsizliğini sağlayan
2
kaç tane tamsayı değeri vardır?
olduğuna göre, f(x) >
1
x
–2
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
Cevap E’dir
KONU TEKRAR TESTİ 1
5.
1.
f(x) =
5- | x + 3 |
fonksiyonunun tanım aralığı aşağıdakilerden
hangisidir?
A) –4  x  3
D) –8  x  2
B) –9  x  –1
E) 1  x  8
C) 1  x  3
 2x  5 , x  -1

f(x)  
x , -1  x  2

x2 , x  2

olduğuna göre, f(x)’in grafiği aşağıdakilerden
hangisidir?
y
A)
y
B)
4
3
3
2
2
–1

5
2
2
x
–1
2
y
C)
y
D)
4
2.
3
2
fonksiyonunun en geniş
aşağıdakilerden hangisidir?
A) IR
D) (–, 2)
4
3
1 1
f(x) =
x-2 x
B) (2, )
E) R - [0, 2]
tanım
aralığı
1
–1

5
2
x
–1
–1
2
C) (0, 2)
E)
x
–1
2
x
y
1
–1
1
x
–1
ÖZEL ACAR KALİTE DEĞER MİLAT TEMEL LİSESİ
www.akademivizyon.com.tr
MATEMATİK
6.
www.akademitemellisesi.com
f(x) = x – 2 – x
fonksiyonun grafiği
aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A)
B)
y
8.
y
y
1
2
2
2
2
x
D)
y
2
y
Yukarıdaki şekilde verilen grafik aşağıdaki
fonksiyonlardan hangisine ait olabilir?
2
2
x
1
–1
–2
–2
C)
–1
x
x
2
x
A) x – y = –1
C) x + 1 = y
E) x + y = 1
–2
–2
B) x = y + 1
D) y = x + –x
E)
2
9.
| x  3 | 2  4
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
2
A) {–3, 1}
D) {–3, 1, 5, 9}
7.
x – y  0 bağıntısını sağlayan düzlemsel taralı
bölge aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
y
y
x
C)
C) {–3, 1, 5}
|2 x| | x 2|
| 2x  4 |
A) (2, )
D) R – {2}
B) (–, 2)
E) IR
tanım
aralığı
C) [2, 4)
y
11.
x
E)
f(x) =
fonksiyonunun en geniş
aşağıdakilerden hangisidir?
x
D)
y
10.
B) {1, 9}
E) {1, 5}
x
x – y = 4
bağıntısının grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
y
x
ÖZEL ACAR KALİTE DEĞER MİLAT TEMEL LİSESİ
7
www.akademitemellisesi.com
ÖZEL TANIMLI FONKİSYONLAR
www.akademivizyon.com.tr
A)
B)
y
y
3.
–4
x
4
–4
x
4
f: R  R olmak üzere,
f(x) = x – 5+ x + 3
olduğuna göre, f fonksiyonunun
kümesinin en küçük elemanı kaçtır?
A) 3
y
C)
4.
y
D)
4
x
–4
–4
D) 10
Yandaki şekilde
y
=
f(x)
fonksiyonunun
grafiği verilmiştir.
y
Buna göre, y = f(–x) fonksiyonunun grafiği
aşağıdakilerden hangisidir?
A)
4
B)
y
x
y
x
C)
12. Şekilde
grafiği
verilen
bağıntı
aşağıdakilerden
hangisidir?
x
D)
y
y
y
x
x
1
1
x
–1
A) y = x – 1 
C) y + x = 1
E) y = x – 1
E)
y
B) y = x + 1
D) y = –x + 1
x
5.
KONU TEKRAR TESTİ 2
Yandaki
şekilde
y
=
f(x)
fonksiyonunun
grafiği verilmiştir.
y
2
1.
f : R  R, g: R  R
–2
 x2 , x  2

f(x)   3 , x  2
x  3 , x  2

2.
B) 2
C) 3
D) 4
3
x
Buna göre f fonksiyonunun grafiği tanım
kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
x 1
ve g(x) =
olduğuna göre, (fog)(3) kaçtır?
2
A) 1
E) 12
x
4
–4
C) 8
x
4
y
E)
B) 5
görüntü
A) IR – {–2, 0, 2, 3}
C) IR
E) IR – {–2, 2}
E) 5
B) IR – [–2, 2]
D) IR – {–2}
f: R  R olmak üzere,
 2x  3 , x  2
f(x)  
 3x  4 , x  2
6.
olduğuna göre, f–1(–5) kaçtır?
A) –11
B) –7
C) –4
D) –3
y – x = 2
bağıntısının grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
E) –2
ÖZEL ACAR KALİTE DEĞER MİLAT TEMEL LİSESİ
www.akademivizyon.com.tr
MATEMATİK
www.akademitemellisesi.com
y
A)
A)
y
B)
B)
y
x
2
–2
x
2
x
x
–2
C)
y
C)
y
D)
y
y
D)
y
x
x
2
2
–2
2
x
–2
E)
x
2
y
–2
x
y
E)
10.
–2
2
x + y = 3
bağıntısının grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
y
A)
x
y
B)
3
x
–3
–3
7.
f(x) =
x2
 x
x2
y
tanım
D)
3
aralığı
3
–3
B) –2 < x < 0
D) x  2
x
y
C)
fonksiyonunun en geniş
aşağıdakilerden hangisidir?
A) –2 < x  2
C) 0 < x < 2
E) –2 < x < 2
3
x
3
–3
3
x
–3
y
E)
8.
a.x + 1 – 5 = 4
denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı –1
olduğuna göre, a kaçtır?
A) –4
9.
B) –2
Yandaki şekilde
y
=
f(x)
fonksiyonunun
grafiği verilmiştir.
C) –1
D) 2
–3
3
x
–3
E) 4
11.
y
 3x

f(x)    3
  3x

olduğuna göre,
hangisidir?
, x  1
, 1 x  1
, x 1
f(x) in grafiği aşağıdakilerden
x
Buna göre, y = –f(–x) fonksiyonunun grafiği
aşağıdakilerden hangisidir?
ÖZEL ACAR KALİTE DEĞER MİLAT TEMEL LİSESİ
9
www.akademitemellisesi.com
ÖZEL TANIMLI FONKİSYONLAR
www.akademivizyon.com.tr
A)
B)
y
y
3
3
–1
x
1
–1
1
x
–3
C)
D)
y
y
3
–1
1
x
–1
1
x
–3
E)
y
–1
1
x
–3
12.
y
y = f(x)
1
–2
0
4
x
Şekilde y = f(x) fonksiyonun grafiği verilmiştir.
g(x) =
f(x) olduğuna göre, g(x)’in tanımlı
olduğu aralıklardan
hangisidir?
A) x < –2
D) –2  x  –1
13.
f ( x) 
birisi
B) –2  x < 2
E) 1  x  4
aşağıdakilerden
C) x  0
x 1
| x  1|  | x  1|
fonksiyonunun en geniş tanım aralığı nedir?
A) x > 1
D) x < 0
B) x < 1
E) –1 < x < 1
C) x > 0
ÖZEL ACAR KALİTE DEĞER MİLAT TEMEL LİSESİ
www.akademivizyon.com.tr