x( n 1 1

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol
1
  komşuluğu:
Tanım:  ; istenildiği kadar küçük seçilebilen pozitif bir
sayı olmak üzere ( a   ,a   ) açık aralığına a  R
sayısının   komşuluğu denir.
a
a  a  
Örnek : a  2 ve   0,001 olsun. 2' nin   komşuluğu
( 2  0,001,2  0,001)  ( 1,999,2,001) olur.

Tanım: f : Z  R şeklinde tanımlı her fonksiyona
n f (n)
bir dizi denir ve f ( n )  ( xn ) şeklinde gösterilir.
Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol
2
Örnek :
1  1 1 1 1
1

1. ( xn )  ( )  1, , ,.., ,
,
,...
n  2 3 n n1 n 2 
3
3 3
3
3
3

2. ( xn )  (
)  1, , ,..,
,
,
,...
n 2  4 5 n 2 n 3 n4 
2n  1  3 5 7 2n  1 2n  3 
3. ( xn )  (
)   , , ,...
,
,...
3n  1  2 5 8 3n  1 3n  2 
n1  2 3 4
n1 
4. ( xn )  (
)   , , ,...,
,...
n 2
n 2 
3 4 5
5
5 5 5
5


5. ( xn )  (
)   , , ,...,
,...
2n  1  3 5 7 2n  1 
Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol
3
Tanım: (Dizinin Limiti)
Bir ( xn ) dizisinin baştan sonlu sayıda terimi hariç geri
kalan tüm terimleri ( a   ,a   ) komşuluğunda ise bu
a sayısına ( xn ) dizisini limiti denir ve ( xn )  a ile
gösterilir.
Örnek : 1
3
1
1. an  ( ) ise lim ( )  0
n  n
n
2. lim (
n 
n 2
) 0
2 1
5 1



2n  1 
2
5n  1  
5


n
n


3. 




4
.






1
2

4
n
4

  2  4
 3n  1   3   3
n 

n
 n2 ( 2  5 )   n( 2  5 ) 
2  
2 
 2n 2  5  
2n  3
n
n






6
.
(
) 0
5. 



2

3n  1
 4n  3   n( 4  3 )   4  3 
4
n  
n 

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol
Tanım: (Fonksiyonun Limiti)
y  f ( x ) fonksiyonu verilsin. ( xn )  a için ( f ( xn ))
dizisinin limiti L ise bu L sayısına f(x) fonksiyonunun
limiti denir ve
lim f ( x )  L yazılır.
x a
f ( x)?
Örnek : f ( x )  2 x  3 veriliyor. xlim
1
1
Çözüm : ( xn )  ( 1 ) alalım. ( x )  1 dir.
n
n
1
1
2
( f ( xn ))  f ( 1  )  2( 1  )  3   5 ve ( f ( xn ))  5
n
n
n
dolaysıyla lim( 2 x  3 )  5 olur.
x1
Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol
5
Tanım: (Sol ve Sağ Limit)
x, bir a sayısına soldan (artarak) yaklaşırken f(x) bir L
sayısına yaklaşıyorsa bu L sayısına f(x) in soldan limiti
denir ve
lim f ( x )  L yazılır.

xa
x, bir a sayısına sağdan (azalarak) yaklaşırken f(x) bir L
sayısına yaklaşıyorsa bu L sayısına f(x) in sağdan limiti
denir ve
lim f ( x )  L yazılır.

xa
lim f ( x )  lim f ( x )  L ise lim f ( x )  L yazılır.
xa 
xa 
xa
lim f ( x )  lim f ( x ) ise limit yoktur denir.


xa
xa
Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol
6
Süreklilik:
lim f ( x )  f ( a ) ise f fonksiyonu x = a noktasında

xa
soldan süreklidir denir.
lim f ( x )  f ( a ) ise f fonksiyonu x = a noktasında

xa
sağdan süreklidir denir.
lim f ( x )  f ( a ) ise f fonksiyonu x = a noktasında
xa
süreklidir denir.
y  f ( x ) fonksiyonu x ( a ,b ) noktasında sürekli ise
f fonksiyonu (a,b) aralığında süreklidir denir.
Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol
7
Bir fonksiyon bir (a,b) aralığında sürekli ise bu
aralıktaki grafiğini elimizi kaldırmadan çizebiliriz.
Örnek : f ( x )  3 x  2 veriliyor. x  1 için sağ ve sol
limitlerini bulunuz.
Çözüm : Sağdan limiti bulmak için 1’e sağdan yaklaşan
1
( xn )  ( 1  ) dizisini alalım.
n
1
1
3
( f ( xn ))  ( f ( 1  ))  ( 3( 1  )  2 )  (  1 )ve
n
n
n
3
(  1 )  1olur. lim ( 3 x  2 )  1 bulunur.
n
x1
Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol
8
Soldan limiti bulmak için 1’e soldan yaklaşan
1
( xn )  ( 1  ) dizisini alalım.
n
1
1
3
( f ( xn ))  ( f ( 1  ))  ( 3( 1  )  2 )  (   1 )ve
n
n
n
3
(   1 )  1 olur. lim ( 3 x  2 )  1 bulunur.
n
x1
lim ( 3 x  2 )  lim ( 3 x  2 )  1  lim( 3 x  2 )  1olur.
x1
x1
x1
Ayrıca lim( 3 x  2 )  1  f ( 1 ) olduğundan
x1
f ( x )  2 x  3 fonksiyonu x = 1 noktasında süreklidir.
Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol
9
Örnek:
1. f(x) 24  x xx  33veriliyor. x  3 için limitini araştırını z.

x

3
için f(x) 2 ve lim - f(x) 2
Çözüm:
x 3
x  3  için f(x) x ve lim f(x) 1
x 3 
lim - f(x) lim f(x)olduğundan x  3 için f(x)in limiti yoktur.
x 3
x 3 
2
1
3
4
Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol
10
Örnek:
x 1;
x 5
2. f(x) 
veriliyor.
- 2x 14; x  5
x  5 için limitini araştırını z.
Çözüm: x  5 - için f(x) 4 ve lim - f(x) 4
x 5
x  5  için f(x) 4 ve lim f(x) 4
x 5 
lim - f(x) lim f(x) 4 olduğundan lim f(x) 4 olur.
x 5
x 5
x 5
Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol
11
f(x) in grafiği:
y
x 1;
x 5

f(x) 
- 2x 14; x  5
lim f(x) f(5) 4 olur.
x 5
(5,4)
4
2
1
5
Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol
6
x
12
Kritik Nokta:
Bir fonksiyonu n değer(veya durum)değiştirdi ği ya da tanımsız
olduğu noktalara kritik noktalar denir. Kritik noktalarda ki
limitler aranırken sağ ve sol limitlere bakılır.
Örnek:
x  1 fonksiyonu veriliyor.Kritik noktalardaki
y
x  1 limitlerini bulunuz ve grafiğini çiziniz.
Çözüm: Bu fonksiyonda x = 1 kritik noktadır.
x 1 x 1
lim

1
y
x 1
x 1 x  1
(1,1)
x 1
x 1
lim

 1 1
( x 1)
x 1 x  1
-1
1
Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol
x
(1,-1)
13
Örnek:
2 x  1

f ( x )  2
2  x
Çözüm: 
x  1 fonksiyonunun kritik
x  1 noktalardaki limitlerini
x  1 bulunuz ve grafiğini çiziniz.
2
y
(1,1)
1
-1
2
1
Bu fonsiyon x 1 noktasında süreksiz diğer tüm
noktalarda süreklidir .
Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol
x
14
Belli Fonksiyonlar ve Sürekli Oldukları Aralıklar:
D (- , )
1. f(x) c sabit fonksiyon
2. f(x) x r , r N kuvvet fonksiyonu
D (- , )
D (- , )
3. f(x) a1 xn  a 2 x n-1  ...  an , polinom fnks.
h(x)
4. f(x)
rasyonel fnks.
D  R - x : g(x) 0 
g(x)
5. f(x) n g(x), n  Z; n tek
D  x : g(x)sürekli 
6. f(x) n g(x), n  Z; n çift D  x : g(x) 0 ve g(x)sürekli 
Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol
15
Limit Teoremleri:
lim f(x) m ve lim g(x) n olsun.
x a
x a
1. lim(f(x) g(x)) m  n
2. lim cf(x) cm
3. lim(f(x).g(x)) m .n
4. lim [f(x)]
x a
x a
x a
x a
p
c f(x) c
5. lim p f(x) p lim f(x);  m 6. lim
x a
x a
x a
7. lim f(x)  lim f(x)  m
x a
x a
p
 mp
limf(x)
x a
cm
f(x) m
8. lim(
) ; n  0
x a g(x)
n
Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol
16
Sabit
 
u0
1
1
1
,
 10 ,
Gerçekten
 100 ,
x 0 ,1
0 ,01
1
1
1
 
 100 ,
 1000000,
x0
0 ,001
0 ,000001
Örnek:
12 12
lim 
 
0
x  0 x
23 23
lim

 
0
x  0 x
x
1
lim

 
0
x 1 x  1
x
1
lim

 
0
x 1 x  1
x2
4
lim 2

 
0
x  2 x  4
x2
4
lim 2

 
0
x  2 x  4
Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol
17
x 1  3
lim 2

 
0
x  2  x  4
x 1  3
lim 2

 

0
x  2 x  4
ex
1
lim x

 

0
x 0 e  1
Not:
e
x
1
lim x

 
0
x  0 e  1
1
1

x R  e  1 x R  e  x ,x R  x  1
e
e


x
sin x  1 1
lim

 

0
x  0 cos x  1
Not:
x
six  1
1
lim

 
0
x  0 cos x  1
cos(  x )  cos x  1
Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol
18
Sabit
 0 Gerçekten 1 , 1  0 ,1, 1  0 ,01,
u  
x  10
 100
1
1
1
0
 0 ,001,
 0 ,000001,
x  
 1000
 100000
12 12
23 23
lim

0
lim

0
x   x
x   x

2
2 
x
(
1

)
1

x2
1
x
x
lim 2  lim
 lim

0
2
x   x
x  
x   x

x
  ; n  m

ao x n  a1 x n1  ...  an  ao
lim
  ;n  m
m
m

1
x   b x  b x
 ...  bm  bo
o
1
 0 ; n  m
Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol
19
Örnek:
1
1. f ( x )  fonksiyonun kritik noktalardaki limitlerini
x
bularak grafiğini çiziniz.
Çözüm: Bu fonksiyonun bir tek kritik noktası vardır o da
paydayı sıfır yapan x = 0 dır. Bu fonksiyon x = 0 noktası
dışında her yerde süreklidir.
x = 0 da sağ ve sol limitlere bakalım.
1 1
lim   
x 0 x 0
1 1
lim   
x 0 x 0
1
1
lim 
0
x   x

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol
20
x 
1
x 0
1
1

1    1
0
0
Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol
21
Örnek:
2
fonksiyonunun kritik noktalardaki
2. f ( x ) 
x3
Limitlerini bularak grafiğini çiziniz.
Çözüm: Bu fonksiyonun bir tek kritik noktası vardır o da
paydayı sıfır yapan x = 3 tür. Bu fonksiyon x = 3 noktası
dışında her yerde süreklidir.
x = 3 noktasında sağ ve sol limitlere bakalım.
2
2
lim
  
x  3 x  3  0
2
2
lim
  
x  3  3  0
2
2
lim

0
x   x  3

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol
22
2
y
fonksiyonunun grafiği,
y 
x3
Bir eğriye sonsuzda teğet
olan doğruya asimptot denir.
x  3 doğrusu düşey asimptot olur.
paydayı sıfır yapan x değerleri
o eğrinin düşey asimptodu olur.
x
3
lim f  x   b  y  b doğoğru
x  
yatayasimp totolur .
2
f(x)
fonksiyonu
3-x
y Akkol
 0 doğrusu yatay asimptot23olur.
x  3 hariç her yerde süreklidirYrd.Doç.
. Dr. Mustafa

Örnek:
1
x
5. f(x) 2 fonksiyonu nun x  0 için limitini araştırını z.
1
Çözüm: f(x) 2 x fonksiyonu x  0 için tanımsızdı r.
Sağ ve limitlere bakalım.
lim - lim2
x 0
1
x
1
x
2
lim 2  2
1
x 0 - x
lim
1
lim
x 0  x
x 0 
lim
x  
1
2x
2 1
0
2

1
   0
2
x  0 için limit yoktur.
 2   
x  0 doğrusu
düşey asimptottu r.
y 1 doğrusu
yatay asimptottu r.
Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol
24
1
f(x) 2 x
fonksiyonu nun grafiği,
2
1
-1
Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol
1
25
ÖDEV
1. Aşağıdaki fonksiyonların kritik noktalardaki
limitlerini bulunuz ve grafiklerini çiziniz.
x 1
2. y 
x 1
1 x
4. y 
x 1
x
6. y 
x
2
1. y 
x2
x2
3. y 
2x  4
3x
5. y 
x 1
7. y 
x
8. y 
x 1
x
x2  4
Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol
26
2. Aşağıdaki fonksiyonların
a) tanım kümelerini bulunuz ve sayı doğrusu üzerinde
gösteriniz.
b) kritik noktalardaki limitlerini, düşey ve yatay
asimptotlarını bulunuz.
c) grafiklerini çiziniz..
3
1. f ( x) 
x2
4. f ( x)  ln( x  1)
2
2. f ( x)  log 2
x2
5. f ( x)  ln
x
x2  4
7. f ( x)  log 4 (4  x 2 ) 8. f ( x)  ln( x 2  e 2 )
Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol
2
3. f ( x)  log 2
x2
6. f ( x)  e
1
x
9. f ( x)  e1 ln(1 x )
27