1 1. Ders ¼ I·STATI·STI·KLER VE DAGILIMLARI Örneklem ve I·statistikler Bir yaş¬ndaki (12 ayl¬k) çocuklar¬n a¼ g¬rl¬klar¬n¬araşt¬rmak isteyelim. A¼ g¬rl¬k, boy uzunlu¼ gu, cinsiyet, göz rengi gibi bir özellik ve ölçülmesi sonucu bir say¬ olmak üzere, I·statistik dilinde bir rasgele de¼ gişkendir. Her rasgele de¼ gişken için oldu¼ gu gibi, bu rasgele de¼ gişken için de bir olas¬l¬k da¼ g¬l¬m¬ söz konusudur. Araşt¬rman¬n amac¬ bu da¼ g¬l¬m¬ ortaya ç¬karmak olabilir. Böyle bir da¼ g¬l¬m¬n bilinmesi durumunda, belli bir aral¬g¼¬n olas¬l¬g¼¬ bu aral¬g¼a düşen çocuklar¬n oran¬n¬, da¼ g¬l¬m¬n beklenen de¼ geri ise çocuklar¬n a¼ g¬rl¬k ortalamas¬n¬anlatacakt¬r. Çocuklar¬n a¼ g¬rl¬g¼¬n¬anlatan da¼ g¬l¬m nas¬l ortaya ç¬kart¬labilir? Belli parametrelere ba¼ gl¬ da¼ g¬l¬mlar aras¬ndan birinin seçimi veya önerilen bir da¼ g¬l¬m¬n geçerlili¼ ginin s¬nanmas¬ sonucu belli bir da¼ g¬l¬m üzerinde karar k¬l¬nabilir. Baz¬ durumlarda, olgudaki dinamikler kendi da¼ g¬l¬m¬n¬önermektedir. Da¼ g¬l¬m¬n ortaya ç¬kar¬lmas¬, araşt¬rma konusu olan özellik (rasgele de¼ gişken) ile ilgili tüm sorular¬n yan¬tlanmas¬ demektir. Ancak, bu her zaman mümkün olmamaktad¬r, bu sebeple, da¼ g¬l¬m¬n ortalamas¬, varyans, momentleri, çeyreklikleri gibi baz¬ karakteristikleri ile yetinilmektedir.. Da¼ g¬l¬m¬n ortaya ç¬kar¬lmas¬veya bu da¼ g¬l¬m ile ilgili beklenen de¼ ger, varyans, ortanca gibi baz¬karakteristiklerin tahmin edilmesi ya da bu da¼ g¬l¬m ile ilgili baz¬hipotezlerin test edilmesi (önermelerin s¬nanmas¬) · Istatistik Biliminin çekirde¼ gi I·statistiksel Sonuç Ǭkar¬m’¬n konular¬d¬r. Bu konular "Parametre Tahmini (Paremetre Kestirimi)-Nokta Tahmin ve Aral¬k Tahmini" ile "Hipotez Testi" başl¬klar¬alt¬nda toplanabilir. "I·statistik demek, I·statistiksel Sonuç Ǭkar¬m demek, o da Parametre Tahmini ve Hipotez Testi demektir" diyebiliriz. Bu ders döneminde bu konulara giriş yapaca¼ g¬z. Parametre Tahmini ve Hipotez Testi ile ilgili temel kavramlar¬, özlerinden taviz vermeden ele al¬p, teorik bilgilerimizi oluşturmaya başlayaca¼ g¬z. Uygulamal¬örnekler, bilgisayar hesaplamalar¬ve simülasyon çal¬şmalar¬derslerde yer alacakt¬r. Önümüzdeki y¬llarda bu bilgileriniz artacak ve pekişecektir. "Bir yaş¬ndaki çocuklar¬n a¼ g¬rl¬klar¬n¬araşt¬rmak isteyelim" ifadesine dönelim. Bu, her anlama gelebilen yuvarlak bir ifade. A¼ g¬rl¬k ile ilgili araşt¬r¬lmak istenenler aç¬k bir şekilde belirtilmiyor. Neyin araşt¬r¬laca¼ g¬ söylenmemiş. Belirginleştirelim: "Bir yaş¬ndaki çocuklar¬n a¼ g¬rl¬k ortalamas¬n¬ 2 araşt¬rmak isteyelim". Böyle bir araşt¬rmay¬ yapmak için çocuklar¬n (birimlerin) kitlesinden, örnekleme yaparak bir örnek seçer, seçilen örnek’teki çocuklar¬n a¼ g¬rl¬klar¬n¬bir yaş¬na bast¬klar¬gün ölçer ve elde edilen gözlem de¼ gerlerinin (verinin) aritmetik ortalamas¬n¬alabiliriz. Kolay gibi görünüyor. Böyle bir araşt¬rmay¬, gerçekten yapmaya kalk¬şt¬g¼¬n¬z¬düşünün. Bir yaş¬ndaki çocuklar kimler? Dikkat ettiyseniz "bir yaş¬ndaki çocuklar¬n kitlesi" denmişti. Bu kitle nedir? Nerededir? Hadi kitleyi belirledik (örne¼ gin Ankara do¼ gumlu çocuklar), örnek seçimi, yani örnekleme nas¬l yap¬lacak? Gözlemler nas¬l al¬nacak? Bu sorular¬n cevaplar¬n¬, önümüzdeki ders y¬l¬nda görece¼ giniz, Örnkleme dersine b¬rakal¬m. Bunlar¬n ötesinde, her çocuk sadece bir anl¬k, bir günlük, hadi diyelim bir hafta boyunca "bir yaş¬nda" olsa gerek, ne dersiniz? Ayr¬ca, 2010 y¬l¬nda do¼ gan çocuklar¬n bir yaş¬ndaki a¼ g¬rl¬k ortalamas¬ ile bu y¬l do¼ gan çocuklar¬n bir yaş¬ndaki a¼ g¬rl¬k ortalamas¬ayn¬m¬d¬r? Bir araşt¬rman¬n ad¬ ve amaçlar¬ ile birlikte ortaya at¬l¬p planlanms¬, varsa kitle ve birimlerin belirlenmesi, örnekleme ve veri toplanmas¬, veri analizi ve sonuçlar¬n ç¬kar¬lmas¬, rapor yaz¬l¬p araşt¬rman¬n bitirilmesi Araşt¬rma Yöntemleri dersinin (önümüzdeki y¬l seçmeli ders) konusudur. Bu ders döneminde görece¼ giniz konular¬anlayabilmeniz için I·ST101, I·ST102 ve I·ST201 derslerinde anlat¬lanlar¬yeniden gözden geçiriniz. Özellikle, I·ST102 Olas¬l¬k ve I·statisri¼ ge Giriş II dersinde yer alan "10. Ders-Örneklem ve I·statistikler", "11. Ders-Parametre Tahminine Giriş" ve "12. Ders-Hipotez Testine Giriş" konular¬n¬tekrar çal¬ş¬n¬z. Olas¬l¬k uzay¬ve rasgele de¼ gişken kavramlar¬ile birinci s¬n¬fta tan¬şt¬n¬z. Bir rasgele de¼ gişken ( ; U; P ) olas¬l¬k uzay¬n¬reel say¬lardaki Borel cebirine taş¬yan X : ! R biçiminde Borel ölçülebilir bir fonksiyon olmak üzere, uygulamadaki karş¬l¬g¼¬ ölçülen bir özelliktir. Belli bir özellik ile ilgili rasgeleli¼ gi anlatan (modelleyen) olas¬l¬k uzay¬( ; U; P ) ve bu özelli¼ gin ölçülmesiyle, ölçmeye karş¬l¬k gelen rasgele de¼ gişken X olmak üzere, bu rasgele de¼ gişkenin belli de¼ gere eşit olmas¬ olay¬ veya belli bir aral¬kta de¼ ger almas¬ olay¬, bu özellik ile ilgili olaylar¬ içeren U sigma cebirinde bulunmaktad¬r. Bazen birden çok özellik ve birden çok rasgele de¼ gişken ile ilgileniriz. Örne¼ gin, bir yaş¬ndaki bir çocu¼ gun kg cinsinden ölçülen a¼ g¬rl¬g¼¬bir X rasgele de¼ gişkeni, cm cinsinden ölçülen boy uzunlu¼ gu bir Y rasgele de¼ gişkeni olarak ele al¬nabilir. Bu rasgele de¼ gişkenler birlikte (X; Y ) rasgele vektörünü oluşturmaktad¬r. Rasgele vektörlerin da¼ g¬l¬mlar¬, başka bir ifade ile çok de¼ gişkenli · · olas¬l¬k da¼ g¬l¬mlar¬ile IST102 ve IST201 derslerinde tan¬şt¬n¬z. Çok de¼ gişkenli da¼ g¬l¬mlar¬ I·ST301 ve I·ST302 derslerinde, önümüzdeki y¬l göreceksiniz. Çok de¼ gişkenli da¼ g¬l¬m, marjinal da¼ g¬l¬m, koşullu da¼ g¬l¬m, rasgele de¼ gişkenlerin 3 ba¼ g¬ms¬zl¬g¼¬gibi kavramlar¬kullanaca¼ g¬m¬z¬belirtir, ancak bu dönem sadece bir boyutlu da¼ g¬l¬mlarda, yani rasgele de¼ gişkenlerin da¼ g¬l¬mlar¬ile ilgili Parametre Tahmini ve Hipotez Testi konular¬n¬ görece¼ giz. Derslerde anlat¬lanlar¬daha kolay anlamak ve teori ile uygulama aras¬ndaki ba¼ g¬kurmak için bir rasgele de¼ gişkenin, ölçülen bir özelli¼ gin karş¬l¬g¼¬ oldu¼ gunu göz önünden kaç¬rmay¬n. Teorik olarak anlat¬lanlar¬, somut örneklerle ba¼ gdaşt¬rarak sezgi düzeyine indirip, kendi bilgi hazinenize ekleyiniz. Belli bir özellik (örne¼ gin boy uzunlu¼ gu) ile ilgili rasgele de¼ gişken X olmak üzere, bu özelli¼ gin n kez ölçülmesine karş¬l¬k gelen rasgele de¼ gişkenler X1 ; X2 ; :::; Xn olarak gösterilsin. Baz¬durumlarda bu rasgele de¼ gişkenler ba¼ g¬ms¬z ve ayn¬ da¼ g¬l¬ml¬ rasgele de¼ gişkenler olmaktadir. Örne¼ gin, sonlu elemanl¬bir kitlede iadeli olarak birer birer rasgele seçilen birimler üzerinde yap¬lan ölçümler veya ayn¬şartlar alt¬nda tekrar edilen bir laboratuvar deneyinde al¬nan gözlemler böyle de¼ gerlendirilebilir. Kitledeki birim say¬s¬az oldu¼ gunda iadesiz yap¬lan çekimler veya laboratuvar deneyinde bir önceki deneyin sonucu daha sonra yap¬lan deneylerin sonuçlar¬n¬ etkiliyorsa, elde edilen gözlemler ile ilgili X1 ; X2 ; :::; Xn rasgele de¼ gişkenleri ba¼ g¬ms¬z olarak düşünülemez. Bir bitkinin her gün bir kez ölçülen boy uzunlu¼ gu, n = 10 gün boyunca X1 ; X2 ; :::; X10 olmak üzere, bu rasgele de¼ gişkenler ba¼ g¬ms¬z de¼ gildir, ayn¬ da¼ g¬l¬ml¬da de¼ gildir. Tan¬m: Belli bir özelli¼ ge karş¬l¬k gelen rasgele de¼ gişken X olmak üzere, herbiri X gibi da¼ g¬lm¬ş ve ba¼ g¬ms¬z olan X1 ; X2 ; :::; Xn rasgele de¼ gişkenlerine n birimlik örneklem veya k¬saca örneklem denir. Buradaki n say¬s¬na örneklem hacmi denir. X = (X1 ; X2 ; :::; Xn )0 olmak üzere, X1 ; X2 ; :::; Xn örneklemi k¬saca X vektörü ile de gösterilmektedir. Tan¬m: Ölçme sonucunda X1 ; X2 ; :::; Xn örneklemindeki rasgele de¼ gişkenlerin ald¬g¼¬ x1 ; x2 ; :::; xn de¼ gerlerine gözlem de¼ gerleri (data, veri, örnek) denir. Tan¬m: X1 ; X2 ; :::; Xn ‘lerin olabilecek tüm (x1 ; x2 ; :::; xn ) gözlem noktalar¬n¬n kümesine örneklem uzay¬denir. Belli bir özelli¼ ge karş¬l¬k gelen bir X rasgele de¼ gişkenin ald¬g¼¬de¼ gerlerin kümesi DX olmak üzere, X1 ; X2 ; :::; Xn örneklemi ile ilgili örneklem uzay¬X ile gösterilsin. X1 ; X2 ; :::; Xn örneklemindeki rasgele de¼ gişkenlerin gözlenen de¼ gerleri x1 , x2 , ...,xn olmak üzere, 4 n (x1 ; x2 ; :::; xn ) 2 X = DX Rn d¬r. Örneklem uzay¬ndaki (x1 ; x2 ; :::; xn ) noktas¬, Rn vektör uzay¬nda bir x = (x1 ; x2 ; :::; xn )0 vektörü olarak ele al¬nd¬g¼¬nda X = (X1 ; X2 ; :::; Xn )0 vektörünün gözlenen de¼ geri olarak düşünülebilir. Belli bir rasgelelik olgusunu modelleyen olas¬l¬k uzay¬, olas¬l¬k uzaylar¬n¬n P = f( ; U; P ) : 2 g gibi parametrelenmiş bir ailesinin bir eleman¬oldu¼ gunda, rasgelelik olgusunu modelleyen olas¬l¬k uzay¬n¬belirlemek parametreyi belirlemek demektir. Bu problem parametre tahmini olarak isimlendirilmektedir. Parametrenin, parametre kümesinin bir altkümesinde olup olmamas¬na dair ortaya at¬lan bir iddian¬n do¼ grulu¼ gunun ortaya ç¬kar¬lmas¬çabas¬parametreler için hipotez testi olarak isimlendirilmektedir. Rasgelelik olgusunu modelleyen olas¬l¬k uzay¬P = f( ; U; P ) : 2 g ailesinin bir eleman¬oldu¼ gunda, ölçmeye karş¬l¬k gelen X rasgele de¼ gişkeni bu aileyi, PX = f( ; U; PX; ) : 2 g ailesine ve var olduklar¬nda, fX ( ; ) olas¬l¬k (yo¼ gunluk) fonksiyonlar¬n¬n, F = ffX ( ; ) : 2 g ailesine taş¬maktad¬r. Burada fX ( ; ) olas¬l¬k (yo¼ gunluk) fonksiyonu biçimsel olarak bilinmekte olup bilinmeyen, parametresidir. Tan¬m: X1 ; X2 ; :::; Xn olas¬l¬k (yo¼ gunluk) fonksiyonu fX ( ; ); 2 olan da¼ g¬l¬mdan bir örneklem ve T :X ! Rk Borel ölçülebilir ( bilinmeyen parametresine ba¼ gl¬ olmayan) bir fonksiyon olmak üzere T(X1 ; X2 ; :::; Xn ) rasgele vektörüne istatistik denir. n P X1 ; X2 ; :::; Xn bir örneklem olmak üzere, T (X1 ; X2 ; :::; Xn ) = Xi isi=1 tatisti¼ gi bir rasgele de¼ gişkendir. I·statistik bir boyutlu oldu¼ gunda bir rasgele de¼ gişkendir. Rasgele de¼ gişken olan istatistikler aç¬k renkli har‡erle göster3 2 P n Xi 6 i=1 7 ilecektir. T(X1 ; X2 ; :::; Xn ) =4 P gi iki bileşenli bir rasgele 5 istatisti¼ n 2 Xi i=1 5 vektördür. Rasgele vektör olen istatistikler koyu renkli har‡erle gösterilecektir. Rasgele vektör olan, k boyutlu bir 2 3 T1 (X1 ; X2 ; :::; Xn ) 6 T2 (X1 ; X2 ; :::; Xn ) 7 6 7 T (X1 ; X2 ; :::; Xn ) = 6 7 .. 4 5 . Tk (X1 ; X2 ; :::; Xn ) istatisti¼ ginin, her bileşeni bir rasgele de¼ gişkendir. Bir T (X1 ; X2 ; :::; Xn ) istatisti¼ gi k¬saca T har… ve bu istatisti¼ gin gözlenen de¼ geri T (x1 ; x2 ; :::; xn ) veya k¬saca t har… ile gösterilecektir. Bir X1 ; X2 ; :::; Xn örneklemi ile ilgili sonsuz tane istatistik (fonksiyon) tan¬mlanabilir. Baz¬istatistiklerin özel isimleri söz konusudur. n Xn = P Xi i=1 n n P : örneklem ortalamas¬ (Xi i=1 = 1 n n P Mk = Xik Sn2 2 Xn ) 1 : örneklem varyans¬ : k. örneklem momenti (k =1,2,3,...) i=1 örneklem genişli¼ gi Rn = maxfX1 ; X2 ; :::; Xn g n P minfX1 ; X2 ; :::; Xn g : I(Xi x) Fn (x) = i=1 n , x 2 R : örneklem da¼ g¬l¬m fonksiyonu Veri betimlenmesinde (I·ST102) gördü¼ günüz ortanca, çeyreklikler, kutu çiziti, histogram ve di¼ gerleri de birer istatistiktir. Bu dersin, bundan sonraki k¬s¬mlar¬nda önemli oldu¼ gu düşünülen baz¬ istatistikler ve bunlar¬n küçük örneklem ile büyük örneklem özellikleri ele al¬nacakt¬r. 6 Örneklem Ortalamas¬ Belli bir rasgelelik olgusunun modellenmesinde rasgele de¼ gişken X ve kitle da¼ g¬l¬m¬denen ilgili da¼ g¬l¬m¬n olas¬l¬k (yo¼ gunluk) fonksiyonu fX (:; ) ; 2 olsun. Var olmas¬halinde, X rasgele de¼ gişkenin beklenen de¼ geri, = E (X) kitle ortalamas¬olarak adland¬r¬l¬r. X1 ; X2 ; :::; Xn bir örneklem olmak üzere, n P Xi i=1 Xn = n istatisti¼ gine örneklem ortalamas¬denir. Örneklem ortalamas¬bir rasgele de¼ gişken olmak üzere, örne¼ gin 2 2 mal¬ve varyansl¬N ( ; ) normal da¼ g¬l¬ml¬kitleler için, 2 Xn N ; n d¬r. Kitle da¼ g¬l¬m¬n¬n olas¬l¬k yo¼ gunluk fonksiyonu, 1 2 ve moment ç¬karan fonksiyonu, fX (x; ; 2 )= p (x )2 2 2 e MX (t) = e 2 t2 2 t+ ; 1<x<1 ; t2R olmak üzere, Xnt MX n (t) = E(e ) = E(e t t n n P Xi i=1 t t t = E(e n X1 )E(e n X2 ):::E(e n Xn ) = e t=n+ 2 (t=n)2 n 2 MX n (t) = e t+ t t ) = E(e n X1 e n X2 :::e n Xn ) 2 2 n t 2 ortala- 7 olup, 2 Xn N ; n d¬r. Baz¬durumlarda örneklem ortalamas¬n¬n da¼ g¬l¬m¬n¬bulmak kolay olmamaktad¬r. Örne¼ gin, kitle da¼ g¬l¬m¬U (a; b) düzgün da¼ g¬l¬m oldu¼ gunda örneklem ortalamas¬n¬n da¼ g¬l¬m¬n¬elde etmek pek kolay de¼ gildir. Kitle da¼ g¬l¬m¬na ba¼ gl¬olarak örneklem ortalamas¬n¬n kendi da¼ g¬l¬m¬söz konusudur. Örnek: X1 ; X2 ; :::; Xn örneklemi, olas¬l¬k yo¼ gunluk fonksiyonu, 1 fX (x; ) = e olan da¼ g¬l¬mdan al¬nm¬ş olsun. x n P x>0 ; 2 = (0; 1) Xi istatisti¼ ginin da¼ g¬l¬m¬, i=1 n X Xi (n; ) i=1 olmak üzere örneklem ortalamas¬, Xn (n; =n) da¼ g¬l¬ml¬d¬r. Örnek: Bilindi¼ gi gibi Cauchy da¼ g¬l¬m¬n¬n beklenen de¼ geri yoktur (Cauchy da¼ g¬l¬m¬nda beklenen de¼ gerden söz edilemez, beklenen de¼ geri mevcut de¼ gildir). Cauchy da¼ g¬l¬m¬nda örneklem ortalamas¬n¬n da¼ g¬l¬m¬nedir? Cauchy da¼ g¬l¬m¬n¬n olas¬l¬k yo¼ gunluk fonksiyonu, fX (x) = 1 ; x2R (1 + x2 ) olmak üzere, karakteristik fonksiyonu, 'X (t) = Z1 eitx 1 dx (1 + x2 ) 1 = e jtj ; t2R 8 d¬r. X1 ; X2 ; :::; Xn Cauchy da¼ g¬l¬m¬ndan bir örneklem olsun. Örneklem ortalamas¬X n nin karakteristik fonksiyonu, 'X_ (t) = t 'X ( ) n n t = e jnj n =e j tj oldu¼ gundan, X n de Cauchy da¼ g¬l¬ m¬na sahiptir. Örnekleme sonucunda elde _ edilen gözlemlerden hesaplanan xn de¼ geri, sanki Cauchy da¼ g¬l¬m¬n¬n kendisinden gözlenen bir de¼ ger gibidir. Cauchy da¼ g¬l¬m¬na sahip X n örneklem ortalamas¬n¬n beklenen de¼ geri ve varyans¬yoktur. Genel hali ile, Cauchy da¼ g¬l¬m¬n¬n olas¬l¬k yo¼ gunluk fonksiyonu, 1 fX (x; ; ) = 1+ ; x 2 R; 2 x 2 R; 2 (0; 1) biçimindedir. Cauchy da¼ g¬l¬m¬n¬n gösterimi C( ; ) olup, yukar¬da ele al¬nan Cauchy da¼ g¬l¬m¬C(0; 1) dir. Bir X rasgele de¼ gişkeninin da¼ g¬l¬m¬C(0; 1) ise Y = X + rasgele de¼ gişkeninin da¼ g¬l¬m¬C( ; ) d¬r. Buna göre, C( ; ) da¼ g¬l¬m¬n¬n karakteristik fonksiyonu ' (t) = ei t e j tj dir. C( ; ) da¼ g¬l¬m¬ndan al¬nan örneklemler için örneklem ortalamas¬n¬n da¼ g¬l¬m¬yine C( ; ) d¬r. Örnek: b(1; p) ; p 2 (0; 1) Bernoulli da¼ g¬l¬m¬ndan bir örneklem X1 ; X2 ; :::; Xn n P olsun. T = Xi istatisti¼ gi, ba¼ g¬ms¬z olarak yap¬lan n tane Bernoulli deni=1 emesindeki toplam başar¬say¬s¬olmak üzere, T = n X Xi b(n; p) i=1 d¬r. T ’nin olas¬l¬k fonksiyonu, 0 T =t P (T = t) = fT (t) (1 p)n d¬r. Örneklem ortalamas¬, 1 np(1 n 1 p) n 2 2 p (1 p)n 2 2 ::: ::: n pn 9 n P Xi i=1 Xn = n olmak üzere, bu istatistik n denemedeki başar¬oran¬d¬r. Xn = n P Xi i=1 = n T n olup, olas¬l¬k fonksiyonu, X n = xn fXn (xn ) 0 (1 n p) 1=n np(1 p)n 1 n 2 2=n p (1 p)n 2 2 ::: 1 ::: pn d¬r. Bernoulli da¼ g¬l¬m¬, başar¬ve başar¬s¬zl¬k diye nitelendirilen iki tür sonuçlu, örne¼ gin zar at¬ş¬nda tek say¬(başar¬) yada çift say¬(başar¬s¬zl¬k) gelmesi gibi deneyleri (Bernoulli denemelerini) anlatmaktad¬r. Başar¬olas¬l¬g¼¬p olan iki sonuçlu bir Bernoulli denemesi, biribirinden ba¼ g¬ms¬z olarak n kez tekrarn P land¬g¼¬nda, elde edilen başar¬ say¬s¬ Xi olmak üzere, Bernoulli Büyük i=1 Say¬lar Kanunu, n P Xi n denemede elde edilen başar¬say¬s¬ i=1 P = !p n n oldu¼ gunu ifade etmektedir. Ayr¬ca, Merkezi Limit Teoreminden p n(X p) d p n ! N (0; 1) p(1 p) d¬r. Bernoulli Büyük Say¬lar Kanunu ile Merkezi Limit Teoremi ile ilgili sonuçlar örneklem hacmi n ! 1 iken geçerli olup, büyük örneklem hacimlerinde kullan¬şl¬d¬r. Bu gibi özelliklere büyük örneklem özellikleri denmektedir. Genel olarak (kitle da¼ g¬l¬m¬ndan ba¼ g¬ms¬z olarak), örneklem ortalamas¬ ile ilgili büyük örneklem özelliklerinden baz¬lar¬, 10 hhhy Xn ! (Güçlü Büyük Say¬lar Kanunu) P Xn ! p n(X n ) (Zay¬f Büyük Say¬lar Kanunu) d !Z N (0; 1) (Merkezi Limit Teoremi) d¬r. Bu özellikleri I·ST102 ve I·ST201 derslerinde gördünüz. I·kinci momenti var olan da¼ g¬l¬mlar için Zay¬f Büyük Say¬lar Kanunu ile Merkezi Limit Teoremi’nin ispat¬n¬yapt¬n¬z. Büyük n ler için, Xn p = n P t P (Z t) dir. Örnek: X1 ; X2 ; :::; Xn örneklemi, olas¬l¬k yo¼ gunluk fonksiyonu, fX (x; ) = 2( x) 2 ;0<x< 2 ; = (0; 1) olan da¼ g¬l¬mdan (kitleden) al¬nm¬ş olsun. Kitle da¼ g¬l¬m¬n¬n ortalamas¬ ve varyans¬, = E (X) = 1 3 ; 2 = V ar (X) = 1 6 1 9 2 2 2 = 18 d¬r. X n ’nin da¼ g¬l¬m¬n¬bulmak zor olmas¬na karş¬l¬k ortalamas¬ve varyans¬ s¬ras¬yla, 2 E Xn = 3 ; V ar Xn = d¬r. Merkezi Limit Teoreminden p n(X n =3) D p !Z = 18 d¬r. 18 n N (0; 1) 11 Örneklem Momentleri X bir rasgele de¼ gişken olmak üzere, var olmas¬halinde, k = 1; 2; ::: için k = E X say¬ s¬ na X in (veya kitle da¼ g¬l¬m¬n¬n) k. momenti ve k = k k E (X ) say¬s¬na X in (veya kitle da¼ g¬l¬m¬n¬n) k: merkezsel momenti denir. Buna göre kitle da¼ g¬l¬m¬n beklenen de¼ geri = 1 ve varyans¬ 2 = 2 2 = 2 1 d¬r. Merkezsel momentler, momentler cinsinden, k k X k = ( 1)k j j=0 k = E (X ) j k j j biçiminde ifade edilebilir. 1 = E (X 2 = E(X 2 ) )=0 2 X 2 = ( 1)2 j j=0 = 0 2 2 1 + 2= 2 2 = E(X 2 ) (EX)2 = V ar(X) 3 4 3 = E (X = E (X ) 4 ) 3 X 3 = ( 1)3 j j=0 4 X 4 = ( 1)4 j j=0 j j j 3 j 4 j j = 2 4 2 j j + E(X 2 ) 3 = j 4 3 1 1 3 +6 X1 ; X2 ; :::; Xn bir örneklem olmak üzere, k = 1; 2; ::: için ^k = istatisti¼ gine k: örneklem momenti, n P i=1 Xik n 2 +3 2 2 2 3 4 3 + 4 12 ^ = k n P Xi Xn k i=1 n istatisti¼ gine k: merkezi örneklem momenti denir. Örneklem momentlerinin beklenen de¼ gerleri ve varyanslar¬, 0 n P B i=1 E (^ k ) = E B @ n 0 1 Xik C n P X C= 1 E(Xik ) = A n i=1 n k 1 Xik C n X C= 1 V ar(Xik ) = A n2 i=1 B i=1 V ar (^ k ) = V ar B @ n olup lim V ar (^ k ) = 0 d¬r. 2 k 2k n n!1 X1 ; X2 ; :::; Xn örnekleminde X1k ; X2k ; :::; Xnk ba¼ g¬ms¬z ve ayn¬da¼ g¬l¬ml¬rasgele de¼ gişkenler olmak üzere, Zay¬f Büyük Say¬lar Kanunundan, ^k = n P i=1 Xik n P ! k ve Merkezi Limit Teoreminden, n P Xik i=1 s V ar d¬r. E n P i=1 n P i=1 Xik Xik ^k =q k 2k n 2 k d ! N (0; 1) 13 Merkezsel örneklem momentlerinin beklenen de¼ gerleri ve varyanslar¬n¬ hesaplamak kolay de¼ gildir. 0 n 1 1 0 n P P 2 2 2 X X ) (X ) n(X n n i B i=1 i C C B n 1 2 C = E B i=1 C= 2 E( ^ 2 ) = E B = @ A A @ n n n n Sn2 = 1 n 1 n X i=1 E(Sn2 ) = E( ^ 2 ) = Sn2 1 = E(Sn2 1 ) = 1 n 1 2 X)2 = ^ 2 (Xi n n X 1 n (Xi 2 = n 1 2 n n X)2 = n i=1 ^ 1 2 Şimdi, V ar(Sn2 1 ) = 1 n 4 n n 3 1 2 2 oldu¼ gunu ispatlamaya çal¬şal¬m. I·spata geçmeden önce, 1 n 1 n X X)2 = i=1 oldu¼ gunu gösterelim. Gerçekten, XX 1 (Xi 2n(n 1) i=1 j=1 n XX 1 (Xi 2n(n 1) i=1 j=1 n (Xi n n XX 1 Xj ) = (Xi 2n(n 1) i=1 j=1 n 2 Xj )2 n X +X XX 1 (Xi X)2 + 2(X Xi )(X Xj ) + (X 2n(n 1) i=1 j=1 " n # n X X 1 = n (Xj X)2 + n (Xi X)2 2n(n 1) j=1 i=1 n n = = 1 n 1 n X i=1 (Xi Xj )2 X)2 Xj )2 2 2 14 dir. I·spat s¬ras¬nda işlemleri basitleştirmek için yöntemi kullan¬ls¬n. 1) Önermenin n = 3 için do¼ gru, yani, 1 3 V ar(S32 1 ) = 1 = 0 al¬nabilir. Tümevar¬m 4 oldu¼ gunu gösterelim. 1 XX = (Xi 12 i=1 j=1 3 S32 1 E(S32 1 ) = 3 Xj )2 2 ve E S32 2 1 " 1 XX (Xi = E 12 i=1 j=1 = = = = = = 3 3 Xj )2 #2 1 2 E 2(X1 X2 )2 + 2(X1 X3 )2 + 2(X2 X3 )2 144 1 2 E (X1 X2 )2 + (X1 X3 )2 + (X2 X3 )2 36 1 E 3(X1 X2 )4 + 6(X1 X3 )2 (X1 X3 )2 36 1 1 E(2X14 ) + E(6 X12 X22 ) + E(2X14 )E(3 X12 X22 ) 12 6 1 1 2 4 + 6 22 + + 3 22 12 6 4 1 + 3 22 3 4 ve buradan, V ar(S32 1 ) = E S32 2 1 E S32 2 1 = 1 3 4 +3 2 2 olmak üzere, önerme n = 3 için do¼ grudur. 2) Önermenin n için do¼ gru oldu¼ gunu kabul edip, yani, V ar(Sn2 1 ) = 1 n 4 n n 3 1 2 2 2 2 = 1 3 4 15 oldu¼ gunu kabul edip, n + 1 için do¼ grulu¼ gunu, yani, 2 V ar(Sn+1 1) = 1 n+1 n+1 n+1 4 3 1 2 2 oldu¼ gunu gösterelim. XX 1 (Xi Xj )2 2n(n + 1) i=1 j=1 " n n n XX X 1 2 = (Xi Xj ) + 2 (Xk 2n(n + 1) i=1 j=1 k=1 n+1 n+1 2 Sn+1 1 = Xn+1 )2 # olmak üzere, A = B = n X n X (Xi i=1 j=1 n X (Xk Xj )2 Xn+1 )2 k=1 gösterimleri alt¬nda, 2 Sn+1 1 = 1 (A + 2B) 2n(n + 1) olup, V 2 ar(Sn+1 1) 1 = 2n(n + 1) 2 [V ar(A) + 4V ar(B) + 4Cov(A; B)] dir. V ar(A) = V ar n X n X (Xi i=1 j=1 1)Sn2 1 1 = 4n2 (n 1)2 n 4 n = 4n(n 1)2 4 n Xj )2 ! = V ar 2n(n n 3 n 1 3 2 1 2 2 2 16 B= n X (Xk Xn+1 )2 = k=1 n X (Xk2 2 2Xk Xn+1 + Xn+1 k=1 olmak üzere E(B) = 2n 2 ve 2 E(B ) = E " n X n X (Xl 2 2 Xn+1 ) (Xk Xn+1 ) l=1 k=1 = E n(X1 Xn+1 )4 + n(n = n 2 2 2 4 +6 + n(n 1) 1)(X1 4 +3 = (2n + n(n 1)) 4 + [6n + 3n(n = n(n + 1) 4 + 3n(n + 1) 22 # Xn+1 )(X2 2 2 1)] 2 2 olup, V ar(B) = n(n + 1) = n(n + 1) bulunur. + 3n(n + 1) 22 n(n 3) 22 4 4 4n2 2 2 Xn+1 ) 17 " Cov(A; B) = Cov = n X n X Xj )2 ; (Xi (Xk Xn+1 )2 Xj )2 ; (Xk Xn+1 )2 i=1 j=1 n X n X n X n X k=1 Cov (Xi # i=1 j=1 k=1 = 2 1 = 2 1 n X n X i<j Cov (Xi i<j 1 Xj )2 ; (Xi Xn+1 )2 n n X Cov (Xi i<j n X Xn+1 )2 n k=1 n X +2 Xj )2 ; (Xk Cov (Xi Xj )2 ; (Xj Xn+1 )2 n Cov (Xi Xj )2 ; (Xi Xn+1 )2 = 2n(n 1) Cov (Xi Xj )2 ; (Xi Xn+1 )2 = 2n(n 1) = 4 1 i<j n 4 2 2 dir. Burada, E (X1 Cov((X1 E(X1 X2 )2 = 2 2 E(X1 Xn+1 )2 = 2 2 X2 )2 (X1 Xn+1 )2 = 4 + 3 X2 )2 ; (X1 Xn+1 )2 ) = = 4 4 2 2 2 2 3 2 2 (2 2 )(2 2) 18 dir. Buradan, 2 V ar Sn+1 1 = = 1 4n(n 1) + 1)2 + 4 n(n + 1) 22 + 2n(n 4n2 (n n n 4 1) 3 1 2 2 2 2 4 1 (n 1)2 4 (n 1)(n 3) n(n + 1)2 (n 3) 22 + 2(n 1) 4 2(n 1) 22 = 1 n(n + 1) n(n + 1) 4 = 1 n+1 2 2 n 4 2 n (n2 n 2) 2 2 2 2 olup, n + 1 için iddia geçerlidir. Böylece iddia ispatlanm¬şt¬r. Özetlersek, Sn2 1 = 1 n X 1 n 4 1 n (Xi X)2 i=1 olmak üzere, V ar(Sn2 1 ) = dir. n n 3 1 2 2 + (n + 1) 4 19 Yeri gelmişken Cov(X; S 2 ) de¼ gerini de hesaplayal¬m. XX 1X 1 (Xi Xk ; n k=1 2n(n 1) i=1 j=1 n 2 Cov(X; S ) = Cov 1 = 2 2n (n 1) 1 = 2 2n (n Cov 1) 2 = 2 2n (n = n 1) 1 n X n X n X n X n X Xj ) Xj )2 i=1 j=1 Xj )2 Cov Xk ; (Xi n X n X i <j n X i <j Cov Xk ; (Xi Xj )2 n k=1 Cov Xi ; (Xi Xj )2 n Xj )2 = n(n 1) 1 2Cov(X1 ; (X1 n2 (n 1) 2 = 1 E(X1 (X1 n = 1 E(X13 ) n = 1 n 3 (Xi 2 k=1 i=1 j=1 + Cov Xj ; (Xi dir. Xk ; k=1 1) 1 1 n2 (n n X n X2 )2 ) X2 )2 ! !