Fonksiyon Kavramı

Fonksiyon Kavramı
ÜNİTE
3
Yazar
Prof. Dr. Vakıf CAFEROV
Amaçlar
Bu üniteyi çalıştıktan sonra;
• fonksiyon kavramını tanıyacak,
• bir fonksiyonun bire-bir ve örten olup olmadığını araştırabilecek,
• iki fonksiyonun bileşkesini bulabilecek,
• ters fonksiyon kavramını anlayacak,
• fonksiyon grafiği kavramını öğrenip bazı fonksiyonların grafiklerini çizebileceksiniz.
İçindekiler
• Giriş
83
• Fonksiyon Kavramı
83
• Fonksiyon Grafikleri
98
• Değerlendirme Soruları
116
Çalışma Önerileri
• Yazarak çalışınız
• Bir kavramı anlamadan diğerine geçmeyiniz
• Çözümleri size bırakılan soruları mutlaka çözünüz ve cevaplarınızı kontrol ediniz
• Grafikleri doğru çizebilmek için yanınızda kareli kağıt ve cetvel bulundurunuz
• Hesap makinesinden yararlanınız.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
FONKSİYON KAVRAMI
83
1. Giriş
Fonksiyon kavramı matematiğin en temel kavramlarından birisidir. Bu kavramı tanımlamadan önce birkaç örneği ele alalım.
i)
Fiyatı 40 000 TL olan ekmekten x tane aldığımızda ödeyeceğimiz paraya y
dersek
y = 40 000 x
yazabiliriz. Burada ödeyeceğimiz paranın aldığımız ekmeğin miktarına bağlı
olduğu açıktır. Ekmek miktarı değiştikçe ödenecek para da değişecektir. İşte bu
durumda ödenecek para alınan ekmek miktarının bir fonksiyonudur diyoruz.
ii) Bir çemberde, Ç çevre uzunluğu, r yarıçap olmak üzere , Ç = 2πr olduğunu
biliyoruz. Burada da yarıçap değiştikçe çevre uzunluğu değişecek ve her bir yarıçap için çevre uzunluğu olarak tek bir sayı bulunacaktır. Bu durumda da çevre
uzunluğu yarıçapın bir fonksiyonudur diyoruz.
iii) Hava direncinin olmadığı bir ortamda belirli bir yükseklikten serbest bırakılan bir cismin aldığı s yolu ile t zamanı arasında
s = 1 gt2
2
,
g = 9,8 m /sn2
bağıntısının varlığını fizik derslerinden biliyoruz. Burada da s yolu t zamanına bağlıdır. Yani t değiştikçe s de değişmektedir. Bu durumda da s yolu t zamanının bir fonksiyonudur diyoruz.
2. Fonksiyon Kavramı
Yukarıdaki örneklerle sezdirmeye çalıştığımız fonksiyon kavramının kesin tanımını verelim.
Boş kümeden farklı A ve B gibi iki küme verilsin. A kümesindeki her bir elemana B
kümesinden bir ve yalnız bir eleman karşılık getiren bir eşlemeye A kümesinden B
kümesine bir fonksiyon denir.
Bu eşleme genellikle bir kuralla verilir. Bu kural çoğu kez f, g,..., h gibi harflerle gösterilir. A kümesinden B kümesine f kuralı ile verilen fonksiyon f : A→ B şeklinde gösterilir. Bu durumda A kümesine f fonksiyonunun tanım kümesi , B kümesine de değer kümesi denir. A kümesinden alınan bir x elemanına B kümesinden f ile karşı getirilen elemana x in f altında görüntüsü denir ve bu eleman f(x) ile gösterilir. A küAÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
84
FONKSİYON KAVRAMI
mesindeki tüm elemanların f fonksiyonu altındaki görüntülerinin oluşturduğu kümeye f fonksiyonunun görüntü kümesi denir ve f (A) ile gösterilir. Bazen, f : A→ B
fonksiyonuna A üzerinde bir fonksiyon da denir.
Örneğin, A ve B kümeleri olarak Z tamsayılar kümesini alalım ve her tam sayıyı karesi ile eşleyen eşlemeyi düşünelim. Bu eşlemede her tam sayıya karşılık o sayının
karesi olan bir tam sayı vardır ve bu tamsayı tektir. Bu nedenle bu eşlemeye bir fonksiyondur diyebiliriz. Bu fonksiyon,
f : Z → Z, x → x2
veya
f : Z → Z, f (x) = x2
şeklinde gösterilir. Bu fonksiyon altında 0 ın görüntüsünün 0, - 1 ile 1 in görüntüsünün 1, - 4 ile 4 ün görüntüsünün 16 olduğunu şu şekilde ifade ederiz: f (0) = 0,
f (-1) = 1, f (1) = 1, f (- 4) = 16, f (4) = 16. Bu fonksiyonun tanım ve değer kümeleri Z
tam sayılar kümesi iken her tam sayının karesi pozitif tam sayı veya 0 olduğundan
görüntü kümesi, f (Z) = IN ∪ {0} dır. Bu fonksiyonu Venn şeması ile şöyle gösterebiliriz.
Z
.
.
.
-4
.
f
.
-1
0
1
.
.
4
.
.
.
Z
.
.
.
0
1
.
.
16.
.
.
Tanım kümesine ait her bir elemanın bir fonksiyon altındaki görüntüsü tek olmak
zorundadır, ancak tanım kümesine ait farklı iki elemanın görüntüsü aynı olabilir.
Örneğin yukarıdaki f fonksiyonunda f (-1) = f (1) = 1 dir.
Ünitenin başlangıcındaki birinci örneğimizde, alınan ekmek sayısı doğal sayılarla
ifade edildiğinden tanım kümesi IN doğal sayılar kümesi, değer kümesi ise, satın
alınan ekmek sayısı 40 000 katı ile eşlendiğinden o da IN olarak alınabilir. Buna göre
bu fonksiyon şu şekilde ifade edilir:
g: IN→ IN, g (x) = 40 000x.
Burada değer kümesi, 40 000 den büyük doğal sayılar kümesini içeren herhangi bir
küme de olabilir. Örneğin Z, Q veya IR alınabilir:
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
FONKSİYON KAVRAMI
85
h: IN→ Z, h (x) = 40 000x,
k: IN → Q, k (x) = 40 000x,
l: IN → IR, l (x) = 40 000x.
Ancak bu durumlarda fonksiyon doğal sayılar kümesinden doğal sayılar kümesine
değil, doğal sayılar kümesinden sırasıyla tamsayılar, rasyonel sayılar veya gerçel
sayılar kümesine tanımlanmış bir fonksiyon olur. Bu fonksiyonların görüntüleri aynıdır ve hepsinde 40 000 den büyük doğal sayılar kümesidir. İkinci ve üçüncü örneklerimizi bir fonksiyon olarak şöyle ifade edebiliriz:
t: IR + → IR , t (r) = 2πr,
burada yarıçapın herhangi bir pozitif gerçel sayı olabileceğine dikkat ediniz,
s : IR + → IR , s t = 1 gt2 ,
2
burada da her türlü kesirli zamanın ölçülebildiğini varsaymış bulunuyoruz. Bu son
örneklerimizden de görüldüğü gibi, bir fonksiyonda tanım kümesinin elemanları x
den farklı harflerle de gösterilebilir. Örneğin yukarıdaki f fonksiyonu, f : Z → Z,
f (n) = n2, veya f : Z → Z, f (u)= u2 şeklinde de ifade edilebilir. Bir fonksiyonda
önemli olan,tanım ve değer kümelerinin elemanlarının, bunlar farklı harfle gösterilmek koşuluyla, hangi harfle gösterildiği değil, tanım ve değer kümeleri ile bu kümelere ait elemanların nasıl eşlendiği, yani kural önemlidir.
Alanı 10 birim olan dikdörtgeninin yüksekliğini x taban uzunluğunun fonksiyonu olarak yazınız.
Cevabınız f x = 10 olmalıdır.
x
Örnek: Yukarıda verilen g , t, s fonksiyonlarına göre g (10), t (3) ve s (5) görüntülerini bulalım.
Çözüm: g : IN → IN, g (x) = 40 000x olduğundan g (10) = 40 000. 10 = 400 000 ,
buna göre 10 ekmeğin bedelinin 400 000 TL olduğu açıktır.
t: R + → IR , t (r) = 2πr olduğundan t (3) = 2π. 3 = 6 π ≅ 18,84 , buna göre, yarıçapı 3 cm olan bir çemberin çevresi yaklaşık olarak 18,84 cm dir.
s : IR + → IR , s t = 1 gt2 , g = 9,8 m /sn2 olduğundan
2
s 5 = 1 9,8 . 52 = 4,9 . 25 = 122,5 ,
2
buna göre, yeteri kadar yüksek bir yerden serbest düşmeye bırakılan bir cisim 5 saniyede 122,5 m yol alır.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
?
FONKSİYON KAVRAMI
86
Örnek: A = {x| x Türkiye’de bir il}, B = IN olmak üzere, her ili trafikteki plaka numarasına gönderen bir fonksiyondan söz edebiliriz. Bu fonksiyona göre Eskişehir’ in
görüntüsü 26, İstanbul’un görüntüsü 34 dür. Bu fonksiyona p dersek, p(Eskişehir) =
26, p(İstanbul) = 34 yazabiliriz.(Bu fonksiyonda 1 i 01, 2 yi 02,..., 9 u 09 şeklinde gösteriyoruz.)
Örnek: f:IR→ IR, f(x)= x2-2x fonksiyonu veriliyor. f(1) + f(-1) i bulunuz.
Çözüm: Fonksiyon tanım kümesinin her bir x elemanını bu elemanın karesi ile 2 katının farkına göndermektedir. Yani x → x2-2x dir. Buna göre f(1)= 12 - 2.1= -1, f(1)= (-1)2 - 2.(-1)= 3 olduğundan f(1) + f(-1)= -1 + 3= 2 dir.
Örnek: f : IR → IR, f (x) = x3- 4x2 + 2x + 1 fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyon kuralına
göre her x gerçel sayısı x3 - 4x2 + 2x + 1 gerçel sayısı ile eşlenmektedir. Şimdi
f (0), f (1), f (-3), f 2 görüntülerini bulalım. Bunun için fonksiyonun kuralında x
yerine ilgili sayıyı yazıp gerekli işlemleri yapacağız.
f (0) = 03- 4.02 + 2.0 + 1 = 1 , f (1) = 13 – 4.12 + 2.1 +1 = 1- 4 + 2 + 1 = 0 ,
f (-3) = (-3)3 – 4.(-3)2 + 2.(-3) + 1 = -27 – 36 – 6 + 1 = - 68 ,
f
?
2 =
2
3
-4.
2
2
+ 2 . 2 + 1 = 2 2 - 8 + 2 2 + 1 = 4 2 - 7 ≅ - 1,343 .
f:IR → IR, f(x)= x2 - 2x fonksiyonu için f(π) ve f(-2) sayılarını bulunuz.
Cevaplarınız ≅ 3,58 ve 8 olmalıdır.
f : A → B fonksiyonu verildiğinde tanım kümesine ait bir x elemanının bu fonksiyon
altındaki görüntüsünün f (x) şeklinde gösterildiğini yukarıda ifade etmiştik.
f (x) de bazen y,z ..gibi harflerle gösterilir. Bir fonksiyonun tanım ve değer kümeleri
açıkça biliniyor ve eşleme f (x) gibi bir kuralla ifade edilebiliyorsa, fonksiyon kısaca,
y = f (x) şeklinde de gösterilir. Örneğin her gerçel sayıyı 2 katı ile eşleyen fonksiyon, f
: IR → IR, f (x) = 2x gösterimi yerine, kısaca y = 2x biçiminde de gösterilmektedir. Ancak bu tür gösterimlerde tanım ve değer kümelerinin çok açık olarak biliniyor olması gerekir. Burada x tanım kümesindeki tüm elemanları tararken y de x e
bağlı olarak değişecektir. Bu nedenle x e bağımsız değişken y ye de bağımlı değişken denir. Bir fonksiyonda tanım kümesi, IR gerçel sayılar kümesinin alt kümesi
ise fonksiyona gerçel değişkenli fonksiyon denir.
f : A →A, f (x) = x fonksiyonuna A kümesinin birim fonksiyonu denir ve IA şeklinde gösterilir. Sözle ifade edersek, bir kümenin her bir elemanını kendisiyle eşleyen fonksiyona bu kümenin birim fonksiyonu denir.
f : A → B , f (x) = c , yani A kümesinin tüm elemanlarını B kümesinin tek bir c
elemanı ile eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
FONKSİYON KAVRAMI
87
f : A → B, g : C → D fonksiyonları verilsin. Eğer aşağıdaki koşullar sağlanırsa bu iki
fonksiyona eşittir denir ve f = g şeklinde gösterilir.
i) A = C,
ii) B = D,
iii) her x ∈ A (= C ) için f (x ) = g (x).
Bir fonksiyonda asıl olanın tanım kümesi ve tanım kümesindeki her bir elemanın ne ile eşlendiği diyorsanız, o zaman iki fonksiyonun eşitliği için değer kümelerinin eşitliği koşulunu aramayabilirsiniz.
Örnek : A = {0,2}, B = {0,4} olmak üzere, f : A → B, f (x) = 2x, g: A → B , g (x) = x2
fonksiyonları yukarıdaki koşulları sağladığından bu iki fonksiyon eşittir.
Gerçel değişkenli bir fonksiyon, y = f (x) biçiminde verilip tanım kümesi açıkça
verilmemişse, bu durumda tanım kümesi olarak fonksiyonun kuralının anlamlı
olduğu en geniş gerçel sayılar kümesi fonksiyonun tanım kümesi olarak alınır.
1
fonksiyonunun tanım kümesi açıkça verilmemiştir. Bu
x-3
ün anlamlı olduğu (yani bir gerçel sayı olduğu) en geniş gerçel
Örnek: y = f (x) =
1
x-3
sayılar kümesini bu fonksiyonun tanım kümesi olarak alacağız.
durumda
1 ifadesinde x
x-3
yerine 3 den farklı hangi sayıyı yazarsak yazalım bir gerçel sayı bulabiliriz. Ancak
x = 3 için payda sıfır olur, bir sayının sıfıra bölümü ise tanımsızdır. Bu nedenle bu fonksiyonun tanım kümesi olarak IR – {3} kümesini alacağız. Yani y =
nunu, f : IR – {3} → IR, f (x) =
1
x-3
1
fonksiyox-3
fonksiyonunun kısaca ifade edilmiş biçimi
olarak kabul edeceğiz.
Örnek: y =
4 + x fonksiyonunun tanım kümesini bulalım.
Çözüm: Bu fonksiyonun kuralı x → 4 + x dir. Bu kuralın anlamlı olabilmesi
için 4 + x ≥ 0 olmalıdır. Bu eşitsizliğin çözüm kümesi, [- 4, ∞) olduğundan fonksiyonun tanım kümesi [- 4, ∞) dır. Bu fonksiyonu da g : [- 4, ∞) → IR, g (x) = 4 + x
fonksiyonu olarak anlayacağız.
y = g (x) =
y = h (x) =
3
4 - x2
fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz.
4 - x2
fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz.
Birinci soruda cevabınız [-2,2] aralığı , ikinci soruda ise IR olmalıydı. Nedenlerini
düşününüz.
Sayılarla yapılan bazı işlemler , fonksiyonlarla da yapılabilir.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
?
?
88
FONKSİYON KAVRAMI
f : A→ IR, g : A → IR fonksiyonları verilsin. Her x ∈ A için x i f(x) + g (x) ile eşleyen fonksiyona f ile g nin toplamı denir ve f+g ile gösterilir. Buna göre,
f + g : A → IR, (f + g) (x ) = f (x) + g (x).
Benzer şekilde ,
f - g : A → IR, (f - g) (x ) = f(x) - g(x)
fonksiyonuna f ile g nin farkı ,
f.g: A → IR, (f.g) (x) = f (x) .g (x)
fonksiyonuna f ile g nin çarpımı,
f : A → IR , f
g
g
x =
f x
g x
( her x ∈ A için g x ≠ 0 )
fonksiyonuna da f ile g nin bölümü denir.
Örnek: f: IR → IR, f (x) = -2 x2 + 3x - 4,
g: IR → IR, g (x) = x2 +1
fonksiyonları veriliyor.
i)
(f + g) (2), (f - g) (2), (f . g) (2), f (2) ,
g
ii) (f + g) (x), (f- g) (x), (f . g) (x), f (x)
g
değerlerini bulalım.
Çözüm:
i)
(f + g) (2) = f (2) + g (2) = (-2.22 + 3.2 - 4) + (22 +1) = - 6 + 5 = -1,
(f – g) (2) = f (2) - g (2) = (-2.22 + 3.2 - 4) - (22 +1) = - 6 - 5 = -11,
(f.g) (2) = f (2).g (2) = (-2.22 + 3.2 - 4) . (22 +1) = - 6.5 = -30,
f
g
2 =
2
f 2
= - 2 . 2 + 3 . 2 - 4 = -6
g 2
5
22 + 1
bulunur . Benzer şekilde,
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
FONKSİYON KAVRAMI
89
ii) (f + g) (x) = f (x) + g (x) = (-2x2 +3x - 4) + (x2 + 1) = -x2 +3x -3,
(f - g) (x) = f (x) – g (x) = (-2x2 +3x - 4) - (x2 + 1) = - 3x2 +3x -5,
(f.g) (x) = f (x) .g (x) = (-2x2 + 3x - 4) (x2 +1 ) = -2 x4 + 3x3 - 6x2 + 3x - 4,
f x = f x = -2x2 + 3x - 4 .
g
g x
x2 + 1
(f + g) (2), (f – g) (2), (f . g) (2),
f ( 2)
g
sayılarını son bulduğumuz kurallara
?
göre bulup, yukarıda bulunan değerlerle karşılaştırınız.
f(x)= x2 + 3x -5 ve g(x)= -x2 + 3x + 4 fonksiyonlarının toplamını ve farkını bulunuz.
Cevaplarınız 6x -1 ve 2x2 -9 olmalıdır.
Bire – bir fonksiyon
f: A → B fonksiyonu verilsin. Eğer her x1, x2 ∈ A ve x1 ≠ x2 için f (x1) ≠ f (x2) ise
f fonksiyonuna bire – bir (1-1) fonksiyon denir. Sözle ifade edersek, tanım kümesinin herhangi farklı iki elemanının görüntüleri farklı ise, fonksiyona bire – bir fonksiyon denir.
Örnek: f : IN → IN , f (x) = 40 000 x fonksiyonu bire – birdir. Çünkü x1, x2 ∈ IN
ve x1 ≠ x2 için 40 000 x1 ≠ 40 000 x2 olduğundan f (x1) ≠ f (x2) dir.
Örnek: f: IR → IR , f (x) = x2 fonksiyonu bire – bir değildir. Örneğin -2 ≠ 2 olduğu halde f (-2) = f (2) = 4 dür. Farklı iki elemanın görüntüsü eşit olduğundan bu fonksiyon bire – bir olamaz.
Örnek: f : IR → IR , f (x) = x2 - 6x + 7 fonksiyonunun bire – bir olup olmadığını
araştırınız.
Çözüm: Her x1 , x2 ∈ IR ve x1 ≠ x2 için f (x1) ≠ f (x2) olup olmadığını görmek
kolay görünmemektedir. Bu örnekte f(1) = 1- 6 + 7 = 2, f (5) = 25 - 30 +7 = 2 dir. Farklı
iki elemanın görüntüleri eşit olduğundan bu fonksiyon bire - bir değildir. Sizde bu
örnek için görüntüleri eşit başka sayılar bulabilirsiniz. Ancak her zaman bu kadar
şanslı olmayabiliriz. Aşağıdaki önermeyi ispatladıktan sonra, fonksiyonların bire –
bir olup olmadıklarını biraz daha kolay araştırabiliriz.
Önerme: f : A → B fonksiyonu verilsin. Eğer her x1, x2 ∈A ve f (x1) = f (x2) iken
x1= x2 oluyorsa, f fonksiyonu bire – birdir.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
?
90
FONKSİYON KAVRAMI
İspat: Bire – birliğin tanımına göre, her x1, x2 ∈ A ve x1 ≠ x2 için f (x1) ≠ f (x2)
olduğunu göstermeliyiz. En az bir x1 , x2 ∈ A , x1 ≠ x2 için f (x1) = f (x2) olamaz.
Çünkü, f (x1) = f (x2) olsaydı, hipoteze göre, x1= x2 olurdu. Bu ise x1 ≠ x2 ile
çelişirdi.
Bu önerme bire – birliğin ikinci tanımı olarak alınabilir. Buna göre,
her x1, x2 ∈ A ve f (x1) = f (x2) iken x1= x2 oluyorsa, f fonksiyonu bire – birdir
diyebiliriz.
Örnek : Yukarıda en son verdiğimiz örneğin bire – bir olmadığını bir de bu
önermeyi kullanarak görmeye çalışalım.
f: IR → IR , f (x) = x2 – 6x + 7 olduğundan f (x1) = f (x2) ise x12 - 6x1 + 7 = x22 – 6x2 + 7
dır. Buradan
x12 - 6x1 - x22 + 6x2 = 0,
(x1 - x2) (x1 + x2 - 6) = 0,
x1 = x2 veya x1 + x2 = 6
bulunur. Bu eşitliklerin manası tanım kümesi olan IR den alınan iki sayının f altında
görüntüleri eşitse ya bu sayılar eşittir, ya da bu sayıların toplamı 6 dır. Tanım kümesi olan IR deki sayıların toplamı 6 ise bu sayılar eşit olmak zorunda olmadığından
(örneğin 1 ile 5, 2 ile 4 ... gibi) fonksiyon bire – bir değildir.
Örnek: f: IR → IR, f (x) = 2x + 1 fonksiyonunun bire – bir olduğunu gösteriniz.
Çözüm: Herhangi x1 , x2 gerçel sayıları için f (x1) = f (x2) ise x1 = x2 olduğunu
göstermeliyiz.
f (x1) = f (x2) ise 2x1 + 1= 2x2 +1 dir. Buradan 2x1 = 2x2, x1 = x2 elde edilir. Dolayısıyla fonksiyon bire – birdir.
Örnek: f: IR+ ∪ {0} → IR , f (x) = x2 fonksiyonunun bire – bir olup olmadığını araştırınız.
Çözüm: Herhangi x1 , x2 ∈ IR + ∪ {0} için f (x1) = f (x2) ise x12 = x22 dir.
Buradan x12 – x22 = 0, (x1 – x2) (x1 + x2) = 0 buradan da x1 - x2 = 0 veya x1 + x2 = 0
olmalıdır. Bu eşitliklerin birincisinden x1 = x2 , ikincisinden x1 = - x2 elde edilir. İkinci
eşitlik sadece x1= x2= 0 için doğrudur (x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 olduğunu hatırlayınız).
Bu nedenle x1 = x2 olmak zorundadır. Dolayısıyla fonksiyon bire – birdir.
IR üzerinde tanımlı f(x)= x2 fonksiyonunun bire – bir olmadığını göstermiştik. Bu
örnekle, fonksiyonun bire – birliğinin, fonksiyonun kuralı kadar tanım kümesine de
bağlı olduğunu görmüş olduk.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
FONKSİYON KAVRAMI
91
f:IR → IR, f(x)= x3 -x fonksiyonunun bire-bir olmadığını gösteriniz.
(f (0) ve f (1) değerlerini karşılaştırınız).
Bir fonksiyonun sadece kuralına bakarak bire – birliğine karar veremeyiz. Kuralla birlikte tanım kümesini de göz önüne almamız gerekir.
Örten fonksiyon
f : A → B fonksiyonu verilsin. Eğer f (A) = B ise yani değer kümesindeki herhangi bir
eleman tanım kümesindeki en az bir elemanın görüntüsü ise, f fonksiyonuna örten fonksiyon denir. Fonksiyonun örtenliğini şöyle de ifade edebiliriz. B değer kümesinden alınan herhangi bir b elemanına karşılık, f (a) = b olacak şekilde A tanım
kümesinden en az bir a elemanı bulunabiliyorsa , f fonksiyonu örtendir denir.
Örnek: f : IR → IR , f (x) = 2x +1 fonksiyonunun örten olup olmadığını araştıralım.
Çözüm: Fonksiyonun örten olduğunu görmek için her bir b ∈ IR için f (a ) = b
olacak şekilde en az bir a ∈ IR nin varlığını görmeliyiz.
f (a) = b ise 2a + 1 = b
dir. Buradan a = b - 1 bulunur. b gerçel sayısı için
2
a = b - 1 de bir gerçel sayıdır
2
ve fonksiyonun tanım kümesinin elemanıdır. Böylece herhangi bir b sayısına karşılık
f (a) = b koşulunu sağlayan bir a sayısı bulabildiğimizden fonksiyon örtendir.
Örnek: g: IR → IR, g (x) = x2 fonksiyonunun örten olmadığı açıktır. Çünkü değer kümesinden alacağımız herhangi bir negatif sayı, örneğin - 1 , hiçbir gerçel sayının karesine eşit olamaz, dolayısıyla tanım kümesine ait hiçbir elemanın görüntüsü
değildir.
Buna karşılık f : IR → IR + ∪ {0}, f (x) = x2 fonksiyonu örtendir. Çünkü değer kümesinden alınacak herhangi bir b değeri, hem - b hem de b nin görüntüsüdür.
Bir fonksiyonun sadece kuralına bakarak örten olup olmadığına karar veremeyiz. Kuralla birlikte değer kümesini de göz önüne almamız gerekir.
Bir fonksiyonun tanım kümesi ve kuralı değiştirilmeden, fonksiyon örten bir fonksiyona dönüştürülebilir. Bunun için değer kümesi olarak görüntü kümesini almak
yeterlidir. Yani, f : A → f (A) fonksiyonu daima örten fonksiyondur.
Bir fonksiyonun bire-bir veya örten olmadığını göstermek için tanımlarla uyuşmayan elemanlar (sayılar) bulmak yeterli iken bu özelliklerin varlığını görmek
için genel ispat yapmamız gerektiğine dikkat ediniz.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
?
FONKSİYON KAVRAMI
92
?
f:[-2, 3] → B, f(x)= x2 fonksiyonunun örten olması için B kümesi ne olmalıdır?
Cevabınız B= [0, 9] aralığı olmalıdır.
Bileşke Fonksiyon
f :A → B, g : B → C fonksiyonları verilsin. Herhangi bir x∈A elemanını g (f (x))
ile eşleyen, yani x i f (x) in g altındaki görüntüsü ile eşleyen fonksiyona f ile g nin bileşkesi denir ve gof ile gösterilir.
f
A
g
B
C
f(x)
x
gof
g(f(x))
Buna göre, gof : A → C , (gof) (x) = g (f (x)) dir.
gof fonksiyonunun tanım kümesinin f nin tanım kümesi olan A, değer kümesinin
ise g nin değer kümesi olan C olduğuna dikkat ediniz.
Örnek : A = {-1, 2, 3}, B = {0,1,4,5}, C = {1,2} kümeleri veriliyor. Bu kümeler üzerinde,
f : A → B , f (- 1) = 5, f (2) = 0, f (3) = 1,
g : B → C , g (0) = 1, g (1) = 1, g (4) = 2, g (5) = 2
fonksiyonları tanımlanıyor.
A
f
-1
2
B
1
1
4
5
gof fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm: gof : A → C,
(gof) (-1) = g (f (- 1)) = g (5) = 2,
(gof) (3) = g (f(3)) = g (1) = 1
dir.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
C
0
3
(gof) (2) = g (f (2)) = g (0) = 1,
g
2
FONKSİYON KAVRAMI
93
Örnek: f: IR → IR, f (x) = 3x + 1, g : IR → IR , g (x ) = x2 – 4
fonksiyonları veriliyor. (gof) (1), (gof) (2), (gof) (x), (fog) (1), (fog) (2) ve (fog) (x) görüntülerini bulalım.
Çözüm: (gof) (1) = g (f (1)) = g (3.1+1) = g (4) = 16 - 4 = 12,
(gof) (2) = g (f (2)) = g (3.2 +1) = g (7) = 49 - 4 = 45,
(gof) (x) = g (f (x)) = g ( 3x+1) = (3x +1 )2 - 4 = 9x2 + 6x -3.
Bu son eşitlikle gof fonksiyonunun kuralını bulmuş olduk. (gof) (1) ve (gof) (2) görüntülerini bu kural yardımıyla da bulabileceğinizi görünüz. Diğer sorulara cevap
vermeden önce şunu ifade edelim: gof tanımlı iken fog tanımlı olmayabilir. fog nin
tanımlı olabilmesi için g nin görüntü kümesinin f nin tanım kümesinin bir alt kümesi
olması gerektiğini görmeye çalışınız. Bu soruda bu koşul sağlanmaktadır. Bu nedenle soru anlamlıdır.
(fog) (1) = f (g (1)) = f (12 - 4) = f (-3) = 3.(-3) +1 = - 8,
(fog) (2) = f ( g(2)) = f (22 -4) = f (0) = 3.0 +1 = 1,
(fog) (x) = f (g (x)) = f (x2 - 4) = 3 (x2 – 4) + 1 = 3x2 –11.
Bu örnekten de görüldüğü gibi, genel olarak
gof ≠ fog
dir.
f : A → B, g: B → C, h : C → D fonksiyonları verildiğinde
fo (goh) = (fog) oh
dir.
f : IR+∪ 0 → IR , f x = x ve g : IR → IR , g x = -x2 - 1
gof ve fog bileşke fonksiyonlarını bulunuz.
fonksiyonları verilsin.
Cevaplarınız gof: IR+ ∪ { 0 } → IR , (gof) (x) = - x - 1 , fog ise "tanımsızdır" olmalıdır.
Örnek: f: IR→ IR, f (x) = x2 +1 olduğuna göre f (x - 2) yi bulunuz.
Çözüm: g (x) = f (x - 2) dersek, g fonksiyonu h (x) = x - 2 fonksiyonu ile f (x) =
x2 + 1 fonksiyonunun bileşkesidir. Bu nedenle g (x) i bulmak için x2 + 1 ifadesinde x yerine x – 2 yazmak yeterlidir. Buna göre,
f (x - 2) = (x - 2)2 + 1 = x2 - 4x + 5
bulunur.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
?
FONKSİYON KAVRAMI
94
?
g: IR → IR, g (x) = x3 – 4x + 2 olduğuna göre , g (x + 1) i bulunuz.
Cevabınız x3 + 3x2 - x -1 olmalıdır.
Ters fonksiyon
f: A → B fonksiyonu verildiğinde tanım kümesine ait herhangi bir elemanın görüntüsünü, diğer bir deyişle x in resmini f(x) kuralı ile bulabiliyoruz. Acaba resmi
bilirsek aslı bulabilir miyiz? Şimdi bu soruya cevap vermeye çalışacağız. f (A) görüntü kümesinden alınan herhangi bir eleman, görüntü kümesinin tanımı gereği, tanım kümesinden en az bir elemanın görüntüsüdür. Bu nedenle herhangi
bir b ∈ f (A) elemanına karşılık f (a) = b olacak şekilde en az bir a ∈ A elemanı
bulabiliriz. Ancak fonksiyon bire – bir değilse b ye karşılık bulunan a birden fazla
olabilir. Eğer f fonksiyonu bire – bir olursa, herhangi bir b ∈ f( A) için f (a) = b
olacak şekilde tek bir a ∈ A bulunur ve dolayısıyla ters yönde bir eşlemeyle, yani f
(A) dan A ya tanımlanan yeni bir fonksiyonla b ye karşı gelen a yı bulabiliriz. İşte
bu eşlemeye f nin ters fonksiyonu denir.
f: A → B bire – bir fonksiyonu verilsin. f (A) görüntü kümesinden alınan herhangi bir görüntüyü (resmi) A daki aslına gönderen fonksiyona f nin ters fonksiyonu
denir ve f -1 ile gösterilir.
Buna göre,
f -1: f (A) → A, f-1 (b) = a ⇔ f (a) = b.
Örnek: A ={1,2,3,4}, B ={- 1, - 4, - 7, -10, - 15 } olmak üzere A dan B ye aşağıdaki
Venn şeması ile verilen f fonksiyonu tanımlanıyor.
A
f
B
1
-1
2
-4
3
-7
4
-10
-15
Bu f fonksiyonunun varsa ters fonksiyonunu bulalım.
f nin bire – bir olduğu açıkça görülmektedir. Bu nedenle f (A) = {- 1, - 4, - 7, - 10 } kümesinden A kümesine f -1 tersi fonksiyonu vardır.
f -1 : {- 1, - 4, - 7, - 10 } → {1, 2, 3,4}
ve
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
FONKSİYON KAVRAMI
95
f (1) = -1
olduğundan
f -1 (-1) = 1,
f (2) = - 4
“
f -1 (- 4) = 2,
f (3) = -7
“
f -1 (-7) = 3,
f (4) = -10
“
f -1 (- 10) = 4
dir. f–1 fonksiyonunun Venn şeması ile gösterimi aşağıdaki gibidir.
f(A)
f -1
A
-1
1
-4
2
-7
3
-10
4
i) f: A → B fonksiyonunun ters fonksiyonu varsa, f -1: f (A) → A ters
fonksiyonunun bire – bir ve örten olduğuna dikkat ediniz.
ii) f fonksiyonu bire – bir ve örten ise, ters fonksiyonun değer kümesinden tanım
kümesine tanımlandığına dikkat ediniz.
Örnek: f : IR+ ∪ {0} → IR, f (x) = x2 +1
fonksiyonunun varsa ters fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm: Ters fonksiyonun olması için f nin bire – bir olması gerekir. Şimdi bunu
araştıralım.
x1 , x2 ∈ IR+ ∪ {0} için f (x1) = f (x2) ise x1 = x 2 olduğunu görmeliyiz.
f (x1) = f (x2) ⇒ x12 +1 = x22 +1 ⇒ x21 - x22 = 0,
(x1 – x2) (x1 + x2) = 0,
buradan da x1 = x2 veya x1 = - x2 bulunur. x1, x2 ∈ IR + ∪ {0} olduğundan x1 = - x2
eşitliği ancak x1= x2= 0 ise mümkündür, bunun dışında x1= -x2 olamaz. Bu nedenle
x1 = x2 olmalıdır, dolayısıyla fonksiyon bire – birdir. Fonksiyon bire – bir olduğundan
ters fonksiyonu vardır. Ters fonksiyonun tanım kümesi, f nin f ( IR + ∪ {0}) görüntü
kümesi olduğundan, bu görüntü kümesini bulalım (fonksiyon örten ise görüntü
kümesinin değer kümesi olduğunu hatırlayınız).
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
96
FONKSİYON KAVRAMI
Her x ∈ IR + ∪ (0} için x2 ≥ 0 olduğundan x2 + 1 ≥ 1 dır. Buna göre görüntü kümesi
[1, ∞ ) aralığı olabilir. Bu aralığın görüntü kümesi olduğunu görmek için, bu aralıktan alacağımız herhangi bir b sayısına karşılık f (a) = b olacak şekilde tanım
kümesinde bir a elemanının varlığını görmeliyiz. a2 + 1 = b ise a2 = b – 1 dir .
b ∈ [1, ∞) olduğundan b–1 ≥ 0 dır. Buradan a = - b - 1 veya a = b - 1 bulunur.
b - 1∈ IR + ∪ 0 dır. Dolayısıyla aradığımız a
- b - 1∉ IR + olmasına karşılık
sayısı b - 1 dir. Böylece [1, ∞ ) aralığına ait herhangi bir sayının tanım kümesine
ait bir sayının görüntüsü olduğunu, yani [1, ∞ ) aralığının fonksiyonun görüntü
kümesine eşit olduğunu göstermiş olduk. Buna göre,
f -1 : [1, ∞ ) → IR+ ∪ {0}
dır. Şimdi de ters fonksiyonun kuralını bulalım.
x2 + 1= y
f:x
olduğundan
f -1 : y = x2 + 1
x
dir. f -1 fonksiyonu altında y değişkeni, x değişkenine dönüştüğünden x i y türünden ifade edersek, y ye karşı gelen x görüntülerini daha kolay bulabiliriz.
y = x2 + 1 , x2 = y – 1 buradan da x = y - 1 , x = - y - 1
y >1 için - y - 1 ∉ R+ ∪ 0 dır. O halde,
f -1 : [1, ∞ ) → IR + ∪ {0}, y
f -1 : [1, ∞ ) → IR + ∪ {0}
,
x= y-1
bulunur. Burada
,
f -1 y = y - 1
dir.
Genellikle fonksiyonlarda bağımsız değişkeni x ile gösterdiğimizden ve ileride grafik çiziminde de sorun yaratmamak amacıyla bu ters fonksiyonu şu şekilde ifade
edeceğiz:
f -1 : [1, ∞ ) → IR + ∪ {0},
f -1 (x ) =
x-1 .
y = f (x) fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulmak için, önce y = f (x) eşitliğinden
x değişkeni y türünden hesaplanır daha sonra x yerine y , y yerine x yazılır.
Örnek: f: R → R , f (x) = 3x + 5 fonksiyonunun varsa ters fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm: f fonksiyonunun bire-bir olduğunu kolayca görebiliriz. Bu nedenle fonksiyonun ters fonksiyonu vardır. Ayrıca f örten olduğundan, f -1: IR → IR dir. Ters
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
FONKSİYON KAVRAMI
97
fonksiyonun kuralını bulmak için, y = 3x + 5 ifadesinde x i y cinsinden çözüp x yerine
y , y yerine x yazalım.
y = 3x + 5 , 3x = y – 5 buradan da x =
y-5
bulunur. Şimdi x yerine y, y yerine x ya3
zarsak, y = x - 5 elde ederiz. Buna göre ters fonksiyon
3
f -1: IR → IR, y = f -1 (x) = x - 5
3
dir.
f : A → B bire – bir ve örten fonksiyon ise, aşağıdaki Venn şemasından görüldüğü gibi x ∈A için (f -1of) (x) = x dir. Dolayısıyla f -1of = IA dir.
A
-1
f
f
B
A
f(x)
x
f -1of
-1
f (f(x)) = x
Benzer bir şema ile fof -1 = IB olduğunu da siz gösteriniz.
Örnek: f : IR → IR , f (x) = x2 fonksiyonu bire – bir olmadığından ters fonksiyonu
yoktur. Buna karşılık,
g : IR + ∪ { 0} → IR , g (x) = x2 fonksiyonunun ters fonksiyonu vardır ve
g (IR + ∪ {0}) = R+ ∪ {0} olduğundan
g -1 : IR + ∪ {0} → IR+ ∪ {0} ,
g -1 (x) = x
dir.
a ve b gerçel sayılar ve a≠ 0 olmak üzere f: IR → IR , f(x) = ax + b fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulunuz.
?
Cevabınız f -1: IR → IR , f -1(x) = x - b olmalıdır.
a
h : IR → IR, h (x) = x3 fonksiyonunun ters fonksiyonunun var ve
h -1 : IR → IR , h -1(x) =
olduğunu gösteriniz.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
3
x
?
98
FONKSİYON KAVRAMI
3. Fonksiyon Grafikleri
A ve B boş kümeden farklı iki küme olmak üzere, f : A → B fonksiyonu verildiğinde bu fonksiyonu
f = {(x , y)| y = f (x) , x ∈ A }
şeklinde bir ikililer kümesi olarak düşünebiliriz. Bu düşünce, analitik geometri bilgilerimizle, fonksiyonları geometrik olarak temsil etme , fonksiyonun" resmini" çizme olanağı sağlamıştır. İnsanoğlu resmini çizebildiği soyut kavramları daha iyi anlayabilmekte ve bu tür kavramlar arasında daha kolay ilişki kurabilmektedir. Bu nedenle resmini çizebildiğimiz ( bu resme fonksiyonun grafiği denir) fonksiyonların
davranışlarını daha kolay anlayabilmekteyiz. Bir fonksiyonun grafiği konusuna
geçmeden önce düzlemdeki kartezyen koordinat sistemini tanıtmaya çalışalım.
Düzlemde, sıfıra karşı gelen noktalarında birbirini dik olarak kesen yatay ve düşey
doğrultuda iki sayı ekseni alalım. Bu sayı eksenlerinde yatay olanı soldan sağa , düşey olanı da aşağıdan yukarı doğru yönlendirelim. Yani, pozitif yön, yatay doğru
üzerinde soldan – sağa, düşey doğru üzerinde ise aşağıdan – yukarıya doğru olsun.
Böylece oluşturulan yatay eksene apsisler ekseni (x-ekseni), düşey eksene ordinatlar ekseni (y-ekseni), bu iki eksenin oluşturduğu sisteme kartezyen koordinat sistemi veya dik koordinat sistemi veya kısaca koordinat sistemi , eksenlerin kesiştikleri noktaya da başlangıç noktası veya orijin denir. Düzlemde böyle bir koordinat
sistemi belirlendikten sonra, düzlemin noktaları aşağıda açıklayacağımız şekilde
adreslenebilmekte ve bu sayede birçok geometri problemleri cebirsel yöntemlerle
çözülebilmektedir. Bu tür geometriye de analitik geometri denilmektedir. Bu düşünceyi ilk kez ünlü filozof Descartes ortaya attığından bu koordinat sistemine Descartes'in sistemi anlamında kartezyen koordinat sistemi denilmektedir.
y
0
x
Düzlemde bir kartezyen koordinat sistemi seçelim. Bu koordinat sistemi yardımıyla düzlemin noktaları ile IR x IR = {(x,y): x,y ∈ IR } kartezyen çarpım kümesinin elemanları arasında bire – bir eşleme kurmaya çalışacağız. Bunun için düzlemde bir P
noktası alalım ve bu noktadan yatay ve düşey eksenlere birer dikme çizelim. Bu dikmelerin birer tane olduğunu Euclid (Öklid) geometrisi derslerinden bilmekteyiz.
Yatay eksene çizilen dikmenin bu ekseni kestiği noktaya karşı gelen sayıya x, düşey
eksene çizilen dikmenin bu ekseni kestiği noktaya karşı gelen sayıya ise y diyelim.
Yatay ve düşey eksenler sayı doğrusu olduklarından her noktaya karşılık bir ve yalnız bir gerçel sayı vardır. Bu nedenle böyle x ve y sayıları vardır ve bunlar tektir.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
FONKSİYON KAVRAMI
99
•P = (x, y)
y
x
Böylece elde ettiğimiz x ve y sayıları ile sıraya da dikkat ederek, yani yatay eksenden
bulduğumuz sayıyı birinci, düşey eksenden bulduğumuz sayıyı ikinci bileşen alarak, (x, y) sıralı ikilisini elde ederiz. Bu yolla düzlemdeki her bir P noktasına karşılık
(x,y) gibi bir tek gerçel sayı ikilisi bulmuş oluruz. Tersine, (x,y) gibi bir gerçel sayı
ikilisi verildiğinde, x sayısına yatay eksen üzerinde , y sayısına ise düşey eksen üzerinde karşı gelen noktaları belirledikten sonra, bu noktalardan üzerinde bulundukları eksenlere birer dik çizersek bu dikmeler P gibi bir noktada kesişirler. Bu P noktasını (x,y) gerçel sayı ikilisine düzlemde karşı gelen nokta olarak aldığımızda, gerçel
sayı ikilileri ile düzlemin noktaları arasında bire-bir bir eşleme kurmuş oluruz. Bu
eşleme nedeniyle düzlemdeki herhangi bir noktaya bir gerçel sayı ikilisi, tersine herhangi bir gerçel sayı ikilisine de düzlemde bir nokta gözüyle bakabiliriz.
Düzlemde alınan herhangi bir P noktasına yukarıdaki eşleme ile karşı gelen gerçel
sayı ikilisi (x, y) ise x e P noktasının apsisi, y ye P noktasının ordinatı, (x,y) ikilisine
de P noktasının koordinatları denir ve P noktası, P = (x,y) veya P(x,y) şeklinde
gösterilir.
Örnek: Düzlemde A (2,1); B (-1,3) ; C (0,-3); D (-3,-2); E (- 0,5 , 2); F
sayı ikililerine karşı gelen noktaları işaretleyiniz.
5 , 3 gerçel
Çözüm: Birinci bileşenlere yatay eksen üzerinde , ikinci bileşenlere düşey eksen
üzerinde karşı gelen noktaları bulduktan sonra her bir noktadan üzerinde bulunduğu eksene birer dik çizersek, karşılıklı dikmelerin kesiştikleri noktalar aradığımız
noktalar olacaktır.
F
3
B
2
E
A
1
-3
5
-1 0,5
D
2
-2
C
-3
Şimdi fonksiyonun grafiği konusuna dönelim.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
100
FONKSİYON KAVRAMI
A ⊂ IR ve B ⊂ IR olmak üzere f: A → B fonksiyonu verildiğinde, bu fonksiyonu
f = {(x,y)| y = f (x), x ∈ A} şeklinde bir ikililer kümesi olarak düşünebileceğimizi yukarıda ifade etmiştik. Bu ikililer kümesinin elemanı olan her bir ikili düzlemin bir
noktası ile geometrik olarak temsil edilebilir. Böylece f kümesinin elemanı olan herhangi bir (x,y) ikilisine düzlemin tek bir noktası karşılık getirilebilir. İşte f kümesinin elemanı olan (x,f (x)) ikililerine düzlemde karşı gelen noktaların kümesine f
fonksiyonunun grafiği denir.
f : A → B fonksiyonu verilsin. f = {(x,y)| y = f (x), x ∈ A} kümesinin elemanlarına düzlemde karşı gelen noktaların kümesine f fonksiyonunun grafiği denir.
Örnek: A = {-2, -1, - 0, 5, 0, 0, 5, 1, 2 , 2} olmak üzere, f: A → IR , f (x) = 2x + 1
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm: f = {(-2, - 3),(-1, -1),(-0,5 , 0),(0,1),(0,5 , 2),(1,3), ( 2 , 2 2 + 1 ),(2,5)} dir.
Bu ikililere düzlemde karşı gelen noktaların kümesi fonksiyonun grafiği olacaktır.
f:{-2, -1, -0,5, 0, 0,5, 1, 2 , 2} → IR, f(x )= 2x + 1
Şekil 3.1:
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
FONKSİYON KAVRAMI
101
Fonksiyonun grafiği olarak bulduğumuz bu noktaların bir doğru üzerinde olduğunu bir cetvel yardımıyla kontrol edebiliriz. Burada tanım kümesinde az sayıda eleman bulunduğundan grafiği oluşturan noktaları tek tek bulmak mümkündür. Tanım kümesinde eleman sayısı çok sayıda hatta sayılamaz sayıda olabilir, bu durumlarda grafiği, fonksiyonu oluşturan tüm ikilileri yazıp daha sonra bunlara karşı gelen noktaları işaretleyerek bulamayız. Ancak tanım kümesine ait sonlu tane x1,
x2,...,xn değerleri seçilir ve fonksiyonun bu noktalardaki değerleri olan y1 = f
(x1), y2 = f (x2),...,yn= f (xn) bulunduktan sonra düzlemde (x1, y1),(x2, y2),....,(xn, yn)
ikililerine karşı gelen noktalar “düzgün” bir eğri ile birleştirilerek y = f (x) fonksiyonunun grafiği denilen eğri bulunur. Tanım kümesinden ne kadar çok ve ne kadar
yaygın eleman seçilirse fonksiyonun gerçek grafiğine o kadar yakın bir eğri bulunur. Daha sonraki ünitelerde inceleyeceğimiz türev kavramından sonra fonksiyonun grafiği daha hassas ve gerçeğe yakın çizilebilecektir. Bazı durumlarda da grafik
bilinen bir eğri olabilir, bu durumda bu eğriyi daha kolay çizebiliriz. Örneğin eğer
fonksiyon
g : IR → IR , g (x) = 2x + 1
ise, bu fonksiyonun grafiğinin bir doğru olduğu ünite 4 de görülecektir. Bu doğru
yukarıda bulduğumuz noktaları taşıyan doğrudur.
g:IR → IR , g(x)= 2x + 1
Şekil 3.2:
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
FONKSİYON KAVRAMI
102
?
f: IR → IR , f (x) = x fonksiyonunun grafiğinin aşağıdaki doğru olduğunu görünüz.
f: IR → IR , f(x)= x
Şekil 3.3:
Örnek: A = {-2
- 3, , - 2 , -1, - 0,5, 0, 0,5, 1, 2 , 3 , 2} olmak üzere, f:
A → IR, f (x) = x 2 fonksiyonunun grafi ğ ini çizelim.
Çözüm: f = {(-2, 4), - 3 , 3 , - 2 , 2 , (-1,1), (- 0,5, 0,25) , (0,0) , (0,5, 0,25) , (1,1),
2 , 2 , 3 , 3 , (2,4)} dir. Fonksiyonu oluşturan ikililerde birinci bileşen x bağımsız değişkenini gösterirken ikinci bileşen x in f altındaki görüntüsünü, diğer bir deyişle x e karşı gelen y değerini ifade ettiğinden fonksiyonu oluşturan ikililer aşağıdaki tablodaki gibi de verilebilir.
x
-2
- 3
- 2
-1
- 0,5
0
0,5
1
2
3
2
y
4
3
2
1
0,25
0
0,25
1
2
3
4
Bu ikililere düzlemde karşı gelen noktalar ve dolayısıyla fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibidir.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
FONKSİYON KAVRAMI
103
f: -2 , - 3 , - 2 , -1 , -0,5 , 0, 0,5 , 1, 2 , 3 , 2 → IR , f x = x2
Şekil 3.4:
Eğer fonksiyon g: IR → IR, g (x) = x2 olsaydı onun grafiği yukarıda bulduğumuz
noktalardan geçen “düzgün” bir eğri olurdu. Bu eğriye parabol denir.
g: IR → IR , g(x)= x2
Şekil 3.5:
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
104
FONKSİYON KAVRAMI
Eğer fonksiyon h : IR → IR , h (x) = - x2 olsaydı bu fonksiyonun grafiği bir önceki
g fonksiyonunun grafiğinin x-eksenine göre simetriği olurdu. Çünkü (x,y) ∈ g iken
(x, -y) ∈ h dir.
h:IR → IR , h(x)= -x2
Şekil 3.6:
Örnek : f: IR+∪ {0} →IR, f (x) = x fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm: Tanım kümesine ait bazı noktaların görüntülerini bulalım (tanım kümesi
negatif olmayan sayılar kümesidir).
x
0
0,25
0,5
1
1,44
2
3
4
5
y
0
0,5
0,707
1
1,2
1,41
1,73
2
2,24
Bu tabloya göre, (0, 0), (0,25, 0,5), (0,5, 0, 707), (1, 1), (1,44, 2), (2, 1,41), (3, 1,73), (4, 2),
(5, 2,24) ikililerine karşı gelen noktalar f nin grafiğine aittir (burada irrasyonel sayıların yaklaşık değerlerini aldığımıza dikkat ediniz).
Bu ikililere karşı gelen noktalar işaretlendikten sonra bu noktalar “düzgün” bir eğri
ile birleştirilirse, bu fonksiyonun grafiği olan aşağıdaki eğri elde edilir.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
FONKSİYON KAVRAMI
105
f: IR+ ∪ {0} → IR , f(x)= x
Şekil 3.7:
Örnek: f: IR → IR , f (x) = 3 sabit fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm:Bu fonksiyonun grafiğini çizmek için tablo hazırlamaya gerek yoktur.
Çünkü tüm x gerçel sayılarının görüntüsü 3 tür. Yani f = {(x,3): x ∈ IR} dir. Bu nedenle fonksiyonun grafiği, şekilde görüldüğü gibi x- eksenine paralel bir doğrudur.
y
3
x
NOT:
i)
Bazı fonksiyonların grafiğini çizmek mümkün değildir. Örneğin Dirichlet
fonksiyonu dediğimiz, rasyonel sayıları 1 ile irrasyonel sayıları 0 ile eşleyen
fonksiyonun grafiğini çizmek mümkün değildir.
ii) Bir fonksiyonun grafiği verildiğinde herhangi bir x0 değerinin bu fonksiyon
altındaki görüntüsünü bulabiliriz. Bunun için, x0 noktasından x-eksenine dik
bir doğru çizilirse bu doğrunun grafiği kestiği noktanın y0 ordinatı, x0 ın f altındaki görüntüsü olur.
y
y
0
x
x00
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
x
FONKSİYON KAVRAMI
106
?
Düzlemdeki herhangi bir eğri her zaman bir fonksiyon grafiği midir?
Eğer x-eksenine çizilen her dik doğru eğriyi en çok bir noktada kesiyorsa, bu eğri,
uygun bir küme üzerinde tanımlanmış bir fonksiyon grafiği olarak düşünülebilir.
Eğer x- eksenine çizilen dik doğrulardan bir tanesi dahi eğriyi iki veya daha çok noktada kesiyorsa bu eğri bir fonksiyon grafiği olamaz. Örneğin aşağıdaki şekildeki eğri bir fonksiyon grafiği değildir.
y
x
Bir fonksiyonun grafiğini bilirsek , o fonksiyonun bire – bir olup olmadığına kolayca
karar verebiliriz. Eğer apsisler eksenine paralel olarak çizilen her doğru grafiği en
çok bir noktada keserse fonksiyon bire – birdir. Eğer apsisler eksenine paralel olarak
çizilen doğrulardan bir tanesi dahi grafiği birden fazla noktada keserse fonksiyon
bire – bir değildir.
y
y
y0
x
Bire - bir fonksiyon
a
b
c
x
Bire - bir olmayan fonksiyon
f: A → B fonksiyonu bire – bir ise bu fonksiyonun, f -1: f (A) → A ters fonksiyonunun varlığını biliyoruz. Bu durumda, x ∈ A, y ∈ f (A) olmak üzere, (x,y) ∈
f iken
(y,x) ∈f -1 dir. Yani (x,y) ikilisine düzlemde karşı gelen nokta f nin grafiğine ait bir nokta iken, (y,x) ikilisine karşı gelen nokta f-1 in grafiğine ait bir noktadır. Bu iki nokta birinci ile üçüncü bölgenin açıortay doğrusuna göre simetrik olduğundan f -1 in grafiği, f nin grafiğinin bu açıortay doğrusuna göre simetriğidir. Bu açıortay doğrusu h : IR → IR , h (x) = x fonksiyonunun grafiği olduğundan, bu doğru, y = x doğrusu olur. O halde,
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
FONKSİYON KAVRAMI
107
Aynı koordinat sisteminde f -1 ters fonksiyonunun grafiği, f fonksiyonunun grafiğinin y = x doğrusuna göre simetriğidir diyebiliriz.
y
(x, y)
x
(y, x)
x
y
Örnek: f: IR → IR , f (x) = 2x fonksiyonunun ters fonksiyonunun
f -1: IR → IR , f -1 (x) = x olduğunu biliyoruz. Şimdi bu iki fonksiyonun grafiklerini
2
aynı koordinat sisteminde çizelim.
f (x) = 2x fonksiyonunun grafiğine ait bazı noktaları bulalım.
x
y = 2x
-3
-6
-2
-4
-1,5
-3
-1
-2
0
0
0,5
1
1
2
1,5
3
2
4
3
6
y = 2x fonksiyonunun grafiği çizildikten sonra bu grafiğin y = x doğrusuna göre simetriği de y= x ters fonksiyonunun grafiğidir.
2
Şekil 3.8:
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
108
FONKSİYON KAVRAMI
Örnek : f: IR → IR , f (x) = x3 fonksiyonunun ters fonksiyonunun
3
f -1: IR → IR , f -1 (x) =
x olduğunu yukarıda ifade etmiştik. Şimdi bu iki fonksiyonun grafiğini aynı koordinat siteminde görelim.
Şekil 3.9:
A ⊂ IR olmak üzere, f: A → IR fonksiyonu verilsin. f fonksiyonunun grafiği bilindiğinde bu fonksiyon yardımıyla tanımlanan g: A → IR, g (x) = f (x) + a , (a ∈ IR),
fonksiyonunun grafiği de bulunabilir. Bunun için f nin grafiğini y-ekseni doğrultusunda, a pozitif ise yukarı doğru, a negatif ise aşağı doğru|a| birim kaydırmak yeterlidir.
Çünkü, (x0 , y0) noktası f nin grafiğine ait bir nokta ise, (x0 , y0 + a) noktası da g nin
grafiğine ait bir noktadır. (x0 , y0 + a) noktası (x0 , y0) noktasının y-ekseni doğrultusunda, a nın işaretine göre |a| birim kaydırılmışı olduğundan g nin grafiği f nin grafiğinin y-ekseni doğrultusunda |a| birim kaydırılmışıdır.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
FONKSİYON KAVRAMI
109
Şekil 3.10:
Örnek: g: IR → IR g (x) = x2 + 2 fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm: Bu fonksiyonda f (x) = x2 ve a = 2 alabiliriz. Buna göre, g nin grafiği f nin
grafiğinin y ekseninin pozitif yönünde (yukarı doğru) 2 birim kaydırılmışıdır.
Şekil 3.11:
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
FONKSİYON KAVRAMI
110
?
y = x3 - 1
fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Cevabınız şu şekilde olmalıydı.
Şekil 3.12:
f fonksiyonunun grafiği bilindiğinde bu fonksiyon yardımıyla tanımlanan
g (x) = f (x – a) , (a ∈ IR) fonksiyonunun grafiği bulunabilir. g nin grafiği, f nin
grafiğinin x ekseni doğrultusunda |a| birim , a pozitif ise sağa doğru, a negatif ise
sola doğru kaydırılmışıdır. Çünkü bir (x0 , y0) noktası f nin grafiğine ait ise y0 = f
(x0) demektir. Yani f nin x0 daki değeri y0 dır. g fonksiyonu aynı y0 değerini x0 +
a noktasında alır, çünkü g (x0 + a) = f (x0 + a – a ) = f(x0) dır. Buna göre, (x0 + a,
y0) noktası g nin grafiğine aittir. (x0 + a, y0) noktası (x0 , y0) noktasının x - ekseni
doğrultusunda a nın işaretine göre |a| birim kaydırılmışı olduğundan, g nin grafiği
f nin grafiğinin x ekseni doğrultusunda |a| birim kaydırılmışıdır.
Örnek: a) y = (x-1)3
b) y = (x + 2)2
fonksiyonlarının grafiklerini çiziniz.
Çözüm: a) f (x) = x3 ve a = 1 alınabilir. Buna göre, y = (x-1)3 fonksiyonunun grafiği,
y = x3 fonksiyonunun grafiğinin x-ekseni doğrultusunda ve pozitif yönde (sağa
doğru) 1 birim kaydırılmışıdır.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
FONKSİYON KAVRAMI
111
Şekil 3.13:
b) f (x) = x2 ve a = -2 alınabilir. Buna göre y = (x + 2 )2 fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir.
Şekil 3.14:
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
FONKSİYON KAVRAMI
112
f fonksiyonunun grafiği bilindiğinde bu fonksiyon yardımıyla tanımlanan
g (x) = f (x -a) + b, ( a,b ∈ IR) fonksiyonunun grafiğini bulabiliriz. g fonksiyonunun grafiği, yukarıdaki iki kaydırma işlemi yardımıyla kolayca bulunabilir. Bunun
için f nin grafiği önce x-ekseni doğrultusunda, yöne de dikkat ederek, |a| birim kaydırılır, daha sonra elde edilen yeni grafik y- ekseni doğrultusunda yine yöne dikkat
ederek |b| birim kaydırılır.
Örnek: g(x) = (x + 1)2 + 3 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm: Burada f (x) = x2 , a = -1 , b = 3 alabiliriz. Bu nedenle y = x2 fonksiyonunun grafiği önce x-ekseni doğrultusunda sola doğru 1 birim kaydırılır, daha sonra
yeni grafik y-ekseni doğrultusunda yukarı doğru 3 birim kaydırılırsa g nin grafiği
elde edilir.
Şekil 3.15:
?
y = (x-2)2 - 1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
FONKSİYON KAVRAMI
113
Cevabınız aşağıdaki gibi olmalıdır.
Şekil 3.16:
f1: IR → IR ve f2 : IR → IR fonksiyonları verilsin.
f x =
f1 x
f2 x
,
,
x ≤ a ise
x > a ise
veya
f x =
f1 x
f2 x
,
,
x < a ise
x ≥ a ise
gibi tanımlanan f: IR → IR fonksiyonuna parçalı tanımlı fonksiyon denir. Tanımdan görüldüğü gibi f(x), x ın a ya kadar olan değerlerinde f1 (x) e, a dan sonraki değerlerinde ise f2(x) e eşittir. Parçalı tanımlı fonksiyonun grafiğini çizmek için x in
a ya kadar olan değerleri için y= f1 (x) in, x in a dan sonraki değerleri için ise y= f2
(x) in grafiğini çizmek gerekiyor.
Benzer yolla iki tane yerine, sonlu tane fonksiyonlarla belirlenen parçalı fonksiyonlar tanımlanabilir.
Aşağıda tanımlarını vereceğimiz mutlak değer, tam değer ve işaret fonksiyonları
parçalı fonksiyonlardır.
f: IR → IR , f(x)= |x| fonksiyonuna mutlak değer fonksiyonu denir.
Şimdi mutlak değer fonksiyonunun grafiğini çizelim.
f : IR → IR , f x = x =
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
x , x ≥ 0 ise,
-x , x < 0 ise,
FONKSİYON KAVRAMI
114
yazılabilir. Bu yazıma göre, grafik, x ≥ 0 için y= x olduğundan y= x doğrusunun I.
bölgedeki parçası ile, x < 0 için y= -x olduğundan y= -x doğrusunun ikinci bölgedeki parçasından oluşur.
f: IR → IR , f(x)= |x|
Şekil 3.17:
?
f: IR → IR , f(x)= |x - 2|,
g: IR → IR , g(x)= - |x| + 2
fonksiyonlarının grafiklerinin aşağıdaki biçimde olduğunu görmeye çalışınız.
f: IR → IR , f(x)= |x - 2|
Şekil 3.18:
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
FONKSİYON KAVRAMI
115
g: IR → IR , g(x)= -|x| + 2
Şekil 3.19:
Bir x ∈ IR sayısı verilsin. x den büyük olmayan (yani küçük veya eşit) en büyük tam
sayıya x in tam değeri denir ve [x] biçiminde gösterilir. Örneğin [ 1, 5 ]= 1,
[ 0, 9 ]= 0, [ π ]= 3, [ - π ]= - 4, - 1 = - 1 , [ 0 ]= 0, [ - 2 ]= - 2, [ 100 ]= 100.
2
f: IR → IR , f(x)= [ x ] fonksiyonuna tam değer fonksiyonu denir. Bu fonksiyonunun grafiği sonsuz basamaklı bir merdivene benzer. Bunun hakkında bir fikir vermek için, g: [- 1, 2] → IR , g(x)= [ x ] fonksiyonunun grafiğini çizelim.
-1 ≤ x < 0
0≤x<1
1≤x<2
x= 2
ise
ise
ise
ise
[ x ]= -1
[ x ]= 0
[ x ]= 1
[ x ]= 2
olduğundan
olduğundan
olduğundan
olduğundan
g(x)= -1
g(x)= 0
g(x)= 1
g(x)= 2
dir. Buna göre g nin grafiği aşağıdaki gibidir.
y
2
1
-1
1
2
-1
g: [-1, 2] → IR , g(x)= [ x ]
Şekil 3.20:
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
x
116
FONKSİYON KAVRAMI
1,
f : IR → IR , f x = 0 ,
-1 ,
x > 0 ise
x = 0 ise
x < 0 ise
fonksiyonuna işaret fonksiyonu denir. Bu fonksiyonun grafiğinin aşağıdaki biçimde olduğu kolayca görülebilir.
y
1
x
-1
İşaret fonksiyonu f(x)= sgnx gibi de gösterilir.
Değerlendirme Soruları
1. Alanı 10 birim kare, bir taban uzunluğu 4 birim olan bir yamuğun yüksekliğini
diğer tabanının x uzunluğunun bir fonksiyonu olarak yazımı aşağıdakilerden
hangisidir?
A.
20
4-x
B. 4 + x
20
20
4+x
D. x
5
C.
E.
5
x
2. Kenar uzunluğu x cm (x > 4) olan bir karenin her köşesinden, kenar uzunlukları 2 cm olan küçük kareler kesilip çıkarılmış ve sonra kenarlar kıvrılarak
üstü açık bir kutu yapılmıştır. Bu kutunun hacminin (cm3) x in fonksiyonu
olarak yazımı aşağıdakilerden hangisidir?
A. 2x2 + 16x + 32
B. 2x2 + 32
C. 2x2 + 16x - 32
D. x2 + 16
E. 2x2 - 16x + 32
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
FONKSİYON KAVRAMI
3.
f x = - 3x2 + 4x - 1
fonksiyonunun tanım kümesi hangisidir?
A. IR
B.
1 ,1
3
C. IR+
D.
1 ,1
3
E. (- ∞, 1]
4.
fx =
1
1 - x2
fonksiyonunun tanım kümesi hangisidir?
A. [-1, 1]
B. [0, 1]
C. - 1 , 1
2 2
D. (-1, 1)
E. (-1, 0)
5. f: IR → IR , f(x) = x2 - 2x + 2 fonksiyonunun görüntü kümesi hangisidir?
A. IR
B. [1, ∞)
C. IR+ ∪ {0}
D. (- ∞, 1]
E. (- ∞, 0]
6. f: IR → IR , f(x) = 2 - |x| fonksiyonu görüntü kümesi hangisidir?
A. (- ∞, 2]
B. (- ∞, 2)
C. IR
D. IR+ ∪ {0}
E. IR- ∪ {0}
7. f: IR → IR , f(x) = x2 + x için f(x - 1) - f(-x) aşağıdakilerden hangisidir?
A. x
B. 2
C. 2x
D. 0
E. x - 1
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
117
118
FONKSİYON KAVRAMI
8.
f : IR - 0 → IR , f x = x +1 için f x - f 1 hangisidir?
x
x
A. x
B. 1
C. - x
D. 0
E. x + 1
9. f: A → IR , f(x) = x2 - 2x fonksiyonu verilsin. A kümesi aşağıdakilerden hangisi olduğunda bu fonksiyon A üzerinde bire-birdir?
A. [1/2, ∞)
B. IR+ ∪ {0}
C. [-1, ∞)
D. [1, ∞)
E. (- ∞, 2]
10. f: [-1, 2) → B, f(x)= x2 fonksiyonu verilsin. B kümesi aşağıdakilerden hangisi
olduğunda bu fonksiyon örtendir?
A. [1, 4]
B. [0, 4]
C. (1, 4)
D. [0, 4)
E. (0, ∞)
11. f: IR → IR , f(x) = x2 + 1 , g: IR → IR , g(x) = sgn x (işaret fonksiyonu) verilsin. (gof) (x) hangisidir?
A. x
B. 1
C. 0
D. x2 + 1
E. x2
12. f(x) = x2 - 1 fonksiyonu için (fof) (-2) = ?
A. 0
B. 1
C. 3
D. 8
E. 9
13. f x = x
x
A.
B.
C.
D.
E.
fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
IR
[1, ∞)
(- ∞, 0) ∪ [1, ∞)
(1, ∞)
(0, ∞)
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
FONKSİYON KAVRAMI
119
14. f: (- ∞, a] → IR , f(x) = (x - 1)2 fonksiyonu verilsin. f fonksiyonunun (- ∞, a]
üzerinde bire-bir olmasını sağlayacak en büyük a değeri hangisidir?
A. - 2
B. - 1
C. 0
D. 1
E. 2
15. f : IR - 0 → IR , f x = - 1
x2
A.
B.
C.
D.
E.
fonksiyonunun görüntü kümesi hangisidir?
(- ∞, 0)
IR- {0}
IR
[-1, ∞)
(- ∞, -1]
Değerlendirme Sorularının Yanıtları
1. C 2. E 3. B 4. D 5. B 6. A 7. D 8. D 9. D 10. D 11. B 12. D 13. C 14. D 15. A
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ