4 integral

4
İNTEGRAL
Belirsiz İntegral ..........................................................................................................415
İntegral Alma Yöntemleri .......................................................................................... 425
Değişken Değiştirme Yöntemi ..................................................................... 425
#
dx
ax 2 + bx + c
#
Ax + B
dx
ax 2 + bx + c
Biçimindeki İntegraller ........................................................... 439
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
Biçimindeki integraller ....................................................... 443
Kesirli Fonksiyonların İntegrali ..................................................................... 448
Trigonometrik Fonksiyonların İntegrali ......................................................... 451
Parçalı (Kısmi) İntegral ................................................................................ 460
Riemann Toplamı Olarak Belirli İntegral .................................................................. 466
Belirli İntegral ........................................................................................................... 469
Tek ve Çift Fonksiyonların Simetrik Aralıkta İntegrali ................................... 470
İntegral İşareti Altında Türev (Leibnitz Kuralı) .............................................. 470
Mutlak Değer İçeren İfadelerin İntegrali ....................................................... 473
Düzlemsel Bölgelerin Alanları ...................................................................... 481
Hacim Hesapları .......................................................................................... 487
Hareket Problemleri ..................................................................................... 494
y
y
y
d
y=f(x)
3
2
x=g(y)
1
y=
x
0
a=x0
x1
x2
x3
...
xn–2 xn–1 b=xn
x
1
e
x
0
c
x
x=f(y)
KAVRAMSAL ADIM
ÜNİTE – 4 İNTGERAL
BELİRSİZ İNTEGRAL
Ters Türevler
Bir fonksiyonun türevinin nasıl bulunacağını öğ-
TANIM
rendiniz. Ancak birçok problem türevi bilinen
F(x) türevli bir fonksiyon ve F(x) ile f(x) arasında F'(x) = f(x) ilişkisi varsa,
fonksiyonun kendisinin bulunmasını gerektirir.
f(x) fonksiyonuna F(x) fonksiyonunun türevi denir.
Bir F(x) fonksiyonunu, türevi olan f fonksiyonundan bulmak istiyoruz. Böyle bir F fonksiyonu
F'(x) = f(x) ise
# f (x) dx = F (x) + C yazılır.
varsa F ye f nin ters türevi f nin tüm ters tü-
Burada f(x)'e integrant, F(x)'e f(x) fonksiyonunun integrali, C'ye de integral sabiti
denir. f(x) belli iken F(x)'i bulma işlemine integral alma işlemi, F(x) + C ifadesine
f(x) fonksiyonunun belirsiz integrali denir.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
revlerinin kümesine f nin belirsiz integrali denir.
Aşağıda bazı fonksiyonlar ve integralleri verilmiştir. İntegrallerin doğru olduğunu görmek için sağ taraftaki fonksiyonların türevlerini alarak solda aynı satırda bulunan
fonksiyonla karşılaştırınız.
ETKİNLİK
f(x) = sinx in F(0) = 5 eşitliğini sağlayan bir
‹ntegral
Fonksiyon
ters türevini (belirsiz integralini) bulalım.
2x
x2 + C
x2
x3
+C
3
"Hangi fonksiyonun türevi sinx?" sorusunu sormalıyız.
Cevabımız F(x) = –cosx +C dir.
F(0) = 5 & –cos0 + C = 5
–1 + C = 5
C=6
olup F(x) = –cosx + 6 bulunur.
1
x
lnx + C
cosx
sinx + C
1
x+3
ln(x + 3) + C
x4
+ x3 + C
4
x3 +3x2
ETKİNLİK
A(1, –2) noktasından geçen ve (x, y) noktasın-
x+1
daki eğimi 6x2 olan eğrinin denklemini bulalım.
Problemde verilen eğrinin fonksiyonu f(x) olsun.
2
3
(x + 1)3 + C
x
e
x
2e
x
+C
Problemden
f'(x) = 6x2 ve f(1) = –2
sin2 x.cosx
sin3x
+C
3
tanx
–ln(cosx) + C
eşitliklerini yazabiliriz.
f'(x) = 6x2 & f(x) = 2x3 + C
ve f(1) = –2 ise
2 + C = –2 & C = –4 tür.
x
1 + x2
1
ln(1 + x2) + C
2
O halde f(x) = 2x3 – 4 bulunur.
415
TEMEL İNTEGRAL FORMÜLLERİ
Diferensiyel hesapta, türev almak için genel kurallar vardır. Fakat
integral hesapta, bir ifadenin integralini bulmada genel bir kural
yoktur. Her integral problemi özel bir işlemi gerektirir. İntegralleme
aslında deneme türünden bir işlemdir.
İntegral problemlerinde, sonuca daha çabuk ulaşmak amacıyla bir
dizi integral formülleri hazırlanmıştır. Bu formüllere temel integral
formülleri denir. İntegrallemede kolaylık sağladıklarından bu formüller aşağıda verilmiştir.
a ve c sabit sayılar ve u, x in bir fonksiyonu olmak üzere,
18.
y
du
1
a +u
=
ln a – u + C ; u 2 < a 2
a 2 – u 2 2a
19.
y
du
1
u
= a sec –1 a + C ; u 2 > a 2
2
2
u u –a
20.
y
du
1
u
= tan –1 a + C
a2 + u2 a
21.
y
du
= ln (u + u 2 + a 2 ) + C
u2 + a2
22.
y
du
= ln (u + u 2 – a 2 ) + C ; u 2 > a 2
u2 – a2
23.
y
a 2 – u 2 du =
u
a2
u
a2 – u2 +
sin –1 a + C
2
2
24.
y
u 2 ! a 2 du =
u
a2
u2 ! a2 !
ln (u + u 2 ! a 2 ) + C
2
2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
KAVRAMSAL ADIM
1.
# adu = au + C
2.
# u n du =
3.
y e u du = e u + C
4.
u
y a u du = a + C ; a ! R + \ {0, 1}
ln a
un + 1
+ C ; n ≠ –1
n+1
BELİRSİZ İNTEGRAL ÖZELLİKLERİ
5.
ln u + C ,
y du = *
u
ln (–u) + C ,
6.
y sin udu = – cos u + C
7.
y cos udu = sin u + C
8.
y tan udu = – lncos u + C = lnsec u + C
9.
y cot udu = lnsin u + C = – lncosec u + C
10.
y sec udu = ln (sec u + tan u) + C
11.
y cosec udu = ln (cosec u – cot u) + C
iii.
y dF (x) = y F' (x) dx = F (x) + C dir.
12.
y sec 2 udu = tan u + C
iv.
y ^ f (x) " g (x) " ...h dx = y f (x) dx " y g (x) dx " ... dir.
13.
y cosec 2 udu = – cot u + C
v.
a ! R , y af (x) dx = a y f (x) dx
14.
y sec u. tan udu = sec u + C
vi.
y f (x) dx = F (x) + C ise
15.
y cosec u. cot udu = – cosec u + C
16.
y
17.
y 2du 2 = 1 ln u – a + C ; u 2 > a 2
u+a
2a
u –a
416
u > 0 ise
u < 0 ise
du
u
u
= sin –1 a + C = – cos –1 a + C 1 (a > 0 ve u2 < a2)
a2 – u2
i.
F'(x) = f(x) + y f (x) dx = F (x) + C tanımından
_ y f (x) dxi ' = (F (x) + C) ' & F' (x) = f (x) tir.
ii.
y f (x) dx = F (x) + C eşitliğinin her iki yanının diferansiyeli
alınırsa,
d _ y f (x) dx i = d(F(x) + C) = dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx olup
d 8 y f (x) dx B = f (x) dx elde edilir.
tir.
1
a) y f (ax) dx = a F (ax) + C
b) y f (x + a) dx = F (x + a) + C
1
c) y f (ax + b) dx = a F (ax + b) + C
Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz.
a)
b)
(1 + x ) (1 – x )
1– x
dx = y
dx
m) y
1+ x
(1 + x )
y (x + 3) dx = c x + 3x m + C
2
2
= y (1 – x ) dx = y dx – y x dx
2
= x– y x 1/2 dx = x – x 3/2 + C
3
y x dx = y x 1/2 dx = 2 x 3/2 + C
3
n)
c)
3x
x
3x
x
y e +2x3e dx = y e 2x dx + y 3e2x dx
e
e
e
+1
x
x
dx
y x+ x
dx = y 3 dx + y 3 dx + y 3
x3
x
x
x
= y e x dx + 3 y e –x dx
= e x – 3e –x + C
1
x 1/2
dx
= y 2 dx + y 3 dx + y 3
x
x
x
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
1.
o)
y (2x – 1) 2 dx = y (4x 2 – 4x + 1) dx
= y x –2 dx + y x –5/2 dx + y x –3 dx
=
x –2 + 1
+
–2 + 1
5
x– 2 + 1
5
– +1
2
=4
+
x –3 + 1
+C
–3 + 1
=
1 2 1
1
= – x – . 3/2 –
+C
3 x
2x 2
d)
y 4x (4 – x) dx = y (16x –
p)
x3
x2
–4
+x+C
3
2
4x 3
– 2x 2 + x + C
3
y x (x + a) (x + b) dx = y (x 3 + (a + b) x 2 + abx) dx
= y x 3 dx + (a + b) y x 2 dx + ab y xdx
4x 2) dx
=
= y 16xdx – y 4x 2 dx
= 16 y xdx – 4 y x 2 dx = 16.
= 8x 2
e)
x2
x3
–4
+C
2
3
r)
y _ 2 – y i_ 2 + y i dy = y (4 – y) dy
y (x 2 + x –2 + 2x) dx = y x 2 dx + y x –2 dx + y 2xdx
=
3
(x + 1) (x 2 – x + 1)
y x + 1 dx = y
dx
x +1
(x + 1)
x3
3
–
2.
x2
2
+x+C
2
y b x + 1 l dx = y xdx + y 1 dx = x + ln x + C
x
x
2
l)
y
n –1
n
x n +C
n–1
Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz.
a)
k)
1
dx
dx
x– n + 1
n > 0 olmak üzere, y n = y 1/n = y x –1/n dx =
+C
1
x
x
– n +1
x 3 x –2 + 1
+
+ x2 + C
3
–2 + 1
= y (x 2 – x + 1) dx =
y2
+C
2
UYARI
x3 1
=
– x + x2 + C
3
f)
x 4 (a + b) 3 ab 2
x +
x +C
+
4
3
2
= 4y –
4x 3
–
+C
3
=
ÜNİTE – 4 İNTGERAL
UYGULAMA ADIMI
d y 2
(x + 10x) dx = x 2 + 10x
dx
b) 8 y sin 2 (tan x) dx B' = sin 2 (tan x)
c)
d y sin x 3 dx = sin x 3 dx
d)
y d (ln x) = ln x + C
e)
y : d (x 3 + 2x) Ddx = y (3x 2 + 2) dx = (x 3 + 2x) + C
dx
e 2x dx = y e 2x/2 dx = y e x dx = e x + C
417
3.
y (x 3 – 4x 2 + 3x – 2) dx in eşiti nedir?
7.
f'(x) = 8x3 – 3X2 + 2 ve f(–1) = 3 ise, f(2) kaçtır?
Çözüm
Çözüm
y (x 3 – 4x 2 + 3x – 2) dx = y x 3 dx – 4 y x 2 dx + 3 y xdx – 2 y dx
y f' (x) dx = y (8x 3 – 3x 2 + 2) dx
=
x3 + 1
x2 + 1
x1 + 1
x0 + 1
– 4.
+ 3.
– 2.
+C
3 +1
2+1
1+ 1
0 +1
=
x4 4 3 3 2
– x + x – 2x + C dir.
4 3
2
f (x) + C 1 = 8.
x4
x3
– 3.
+ 2x + C 2
4
3
f(x) = 2x4 – X3 + 2X + C2 – C1
f(x) = 2x4 – x3 + 2x + C olur.
(C2 – C1 = C
diyelim.)
f(–1) = 3 ise f(–1) = 2(–1)4 – (–1)3 + 2(–1) + C
4.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
UYGULAMA ADIMI
y x (5x – x 3) dx in eşiti nedir?
3=2+1–2+C
Çözüm
& C = 2 bulunur.
f(x) = 2x4 – x3 + 2x + 2 olup f(2) = 2.24 – 23 + 2.2 + 2
y x (5x – x 3) dx = y x 1/2 (5x – x 3) dx
=
1
+1
y a 5x 2
–
1
+3
x 2 k dx
3
= 32 – 8 + 6 = 30 olur.
7
= 5 y x 2 dx – y x 2 dx
= 5.
3
+1
x2
3
+1
2
–
7
+1
x2
7
+1
2
8.
+C
3
y x .f' (x) dx = x – 2x 2 + C ve f(–1) = 1 olduğuna göre,
2
3
f(1) kaçtır?
Çözüm
5
2
= 5. .x 2
5
–
= 2.x 2 x –
9
2 2
x
9
+C
2 4
x x +C
9
3
y x.f' (x) dx = x – 2x 2 + C eşitliğinde her iki tarafın türevini
3
alalım.
x.f' (x) = f
5.
y f' (x) dx integralini bulunuz.
x.f'(x) =
Çözüm
d^ f (x)h = f' (x) dx olduğundan
x3
– 2x2 + C p'
3
1
.3x2 – 4x
3
x.f'(x) = x2 – 4x & f'(x) = x – 4
& f(x) = y (x – 4) dx
y f' (x) dx = y d ( f (x) ) = f (x) + C bulunur.
& f(x) =
6.
y f'' (x) dx integralini bulunuz.
f (–1) =
Çözüm
418
(–1) 2
1
1
& f (–1) =
– 4. (–1) + C =
2
2
2
1
1
+4+C=
& C = –4 olur.
2
2
d^ f' (x)h = f'' (x) dx olduğundan
y f'' (x) dx = y d^ f' (x)h = f' (x) + C bulunur.
x2
– 4.x + C
2
f (x) =
x2
1
15
bulunur.
– 4x – 4 ise f (1) = – 4 – 4 = –
2
2
2
f''(x) = x2 – 4 olmak üzere, y = f(x) eğrisi x + 3y – 2 = 0
10. y = f(x) fonksiyonunun herhangi bir T(x, y) noktasındaki
doğrusuna T(–1, 2) noktasında teğet olduğuna göre,
teğetinin eğimi m = 2x ve f(–1) = 3 olduğuna göre,
f(x) fonksiyonunu bulunuz.
f(2) kaçtır?
Çözüm
Çözüm
f''(x) = x2 – 4 ise
d
f' (x) = x 2 – 4 eşitliğinde her iki yanın i
dx
ntegrali alınırsa
T(x, y) noktasındaki teğetin eğimi m = 2x ise f'(x) = 2x dir.
y f' (x) dx = f (x) + C 1 olup y 2xdx = f (x) + C 1
x2 + C2 = f(x) + C1
y b d f' (x) l dx = y ^ x 2 – 4h dx
dx
f' (x) =
f(x) = x2 + C2 – C1
2
f(x) = x + C
x3
– 4x + C 1
3
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
9.
f(–1) = 3 ise f(–1) = (–1)2 + C = 3
Eğrinin T(–1, 2) noktasındaki teğeti x + 3y – 2 = 0 olup
1
teğetin eğimi m = –
tür.
3
O halde f'(–1) = –
f'(–1) =
f(x) = x2 + 2 ise f(2) = 22 + 2 = 6 bulunur.
1
tür.
3
(–1) 3
1
– 4 (–1) + C 1 = –
3
3
–
1
1
+ 4 + C 1 = – & C 1 = –4
3
3
O halde f'(x) =
olur.
x3
– 4x – 4 olup her iki tarafın integrali
3
y f'' (x) dx = y df' (x) = f' (x) + C olup
y f' (x) dx = y c x – 4x – 4 m dx
3
3
x4
12
11. f: R → R, y = f(x) fonksiyonu için f''(x) = 6 ve f(x) in T(0, –2)
noktasındaki teğetinin eğimi –4 olduğuna göre, f(2) kaçtır?
Çözüm
alınırsa
f (x) =
& C = 2 dir.
f'(x) = y 6dx = 6x + C 1 dir. f nin T(0, –2) noktasındaki
– 2x 2 – 4x + C 2 ve eğri T(–1, 2) noktasından
f'(x) = 6x + C1
geçtiğinden
f (–1) = 2 &
teğetinin eğimi –4 ise f'(0) = –4 tür.
(–1) 4
– 2(–1) 2 – 4.(–1) + C 2 = 2
12
1
– 2 + 4 + C2 = 2
12
C2 = –
O halde f(x) =
x4
12
– 2x 2 – 4x –
f'(0) = 6.0 + C1 = –4 & C1 = –4 tür.
y f' (x) dx = f (x) + C 2
y (6x – 4) dx = f (x) + C 2 & 3x 2 – 4x – C 2 = f (x) ve f(x)
1
dir.
12
1
bulunur.
12
eğrisi T(0, –2) noktasından geçtiğinden f(0) = –2 dir.
f(0) = 3.(0)2 – 4.0 – C2 = –2
& C2 = 2
dir.
O halde f(x) = 3x2 – 4x – 2 ise f(2) = 3.22 – 4.2 – 2 = 2
bulunur.
419
ÜNİTE – 4 İNTGERAL
UYGULAMA ADIMI
1.
Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a) y 3xdx
1
d) y 3 dx
x
b) y x 2 dx
e) y x –4 dx
c) y e x dx
f) y 2x –2 dx
4.
y ^ x 3 – 6x 2 + 4x + 5h dx integralinin eşiti nedir?
1 4
x – 2x 3 + 2x 2 + 5x + C
4
2.
Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a) y x dx
b) y 3 x dx
c) y 4 x 3 dx
3.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
PEKİŞTİRME ADIMI
d) y (x – x ) dx
e) y ^ x – 3 x 2 h dx
5.
y
y4 + 3
dy integralinin eşiti nedir?
y
f) y ^ 3 x – xh dx
9
1
2 2
y + 6y 2 + C
9
Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
1 1
a) y y d y – 2 n dy
y
2
1
b) y x x c 2 + 3 m dx
x
x
x3
c) y
dx
x
x –1
d) y 2 dx
x
6.
2
y d x + 2x – 3 n dx integralinin eşiti nedir?
x
5
3
2 2 4 2
x + x –6 x +C
5
3
420
7.
ÜNİTE – 4 İNTGERAL
PEKİŞTİRME ADIMI
10. y d^ ,n 4 xh integralinin eşiti nedir?
2
y x + 1 dx integralinin eşiti nedir?
3 2
x x
13
,n 4 x + C
1
8.
y ^ 2e –x
+ 2 x ,n2h dx
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
6
x 6 + 6.x 6 + C
13
11. y ^ –e x + 3 x ,n3h dx integralinin eşiti nedir?
integralinin eşiti nedir?
–ex + 3x + C
–2e–x + 2x + C
9.
y ^ 4e 4x – cos x + 2 sin xh dx integralinin eşiti nedir?
e4x – sinx – 2cosx + C
4 1
12. y c 4x 2 – 2 + x m dx integralinin eşiti nedir?
x
4 3 4
x + + ,nx + C
3
x
421
13. y (1 – cos x) dx integralinin eşiti nedir?
x 2 + 4x + m
16. f (x) = y
dx olmak üzere f fonksiyonunun grafix+4
ğine x = 2 apsisli noktadan çizilen teğetin denklemi,
x + 2y – 1 = 0 doğrusuna paralel olduğuna göre, m kaçtır?
x – sinx + C
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
PEKİŞTİRME ADIMI
14. f'(x) = 4x2 – 3x + 2 ve f(–1) = –
f(1) kaçtır?
17
olduğuna göre,
6
–15
17. y = f(x) eğrisinin yerel ekstremum noktalarından biri K(–2, 3)
noktasıdır. f''(x) = 4x – 3 olduğuna göre, f(–3) kaçtır?
23
6
19
6
18. f: R → R, y = f(x) fonksiyonunda f'(x) = x2 ve f(1) = 2
f (x)
15. y x dx = x 2 + 3x + 1 olduğuna göre, f(2) kaçtır?
olduğuna göre, f(7) kaçtır?
14
422
–
116
ÜNİTE – 4 İNTGERAL
ALIŞTIRMALAR
y x dx integralinin değeri nedir?
12. y 3 x + 3 dx integralinin değeri nedir?
2.
y ^ 3 x – x h dx integralinin değeri nedir?
13. y (cos 2 x – sin 2 x) dx integralinin değeri nedir?
3.
y x x dx integralinin değeri nedir?
cos 2x + 1
14. y cos x dx integralinin değeri nedir?
4.
y c 12 + 13 m dx integralinin değeri nedir?
x
x
15. y x (x + 1) 2 dx integralinin değeri nedir?
5.
y sin x dx integralinin değeri nedir?
16. y x 2 (x + 1) 3 dx integralinin değeri nedir?
6.
y (x – cos x) dx integralinin değeri nedir?
dx
17. y
integralinin değeri nedir?
1+ x2
7.
y ^ 3 x + x 3h dx integralinin değeri nedir?
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
1.
18. y
8.
1
dx integralinin değeri nedir?
1 – x2
y tan 2 x dx integralinin değeri nedir?
4x 3 dx
19. y
integralinin değeri nedir?
1 – x4
9.
y cot 2 x dx integralinin değeri nedir?
20. y –
10. y c 3 x –
xdx
integralinin değeri nedir?
1 – x4
1
m dx integralinin değeri nedir?
cos 2 x
x 3 dx
21. y
integralinin değeri nedir?
1+ x4
11. y x + 1 dx integralinin değeri nedir?
423
1
22. y c
– e x + ,ne x m dx integralinin değeri nedir?
x
23. y e x dx integralinin değeri nedir?
1
24. y c sin 2x –
m dx integralinin değeri nedir?
sin 2 x
32. y 2 t + 1 dt integralinin değeri nedir?
33. y ^ e –x – e xh dx integralinin değeri nedir?
34. y 3 log 9 x dx integralinin değeri nedir?
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
ALIŞTIRMALAR
35. y 4 1 + log 2 x dx integralinin değeri nedir?
25. y 3e 3x dx integralinin değeri nedir?
36. y ^ 3 log 3 x – 2 log 8 xh dx integralinin değeri nedir?
2
26. y sin (–x) dx integralinin değeri nedir?
27. y sin x. cos x dx integralinin değeri nedir?
t2 – 3 t
37. y f 3
p dt integralinin değeri nedir?
t2 – 3 t
(t – 1) dt
integralinin değeri nedir?
3
t –1
1+ x3
28. y
dx integralinin değeri nedir?
1+ x
38. y
x6 – 1
29. y 2
dx integralinin değeri nedir?
x –1
39. y d 4
x6 – 1
30. y
dx integralinin değeri nedir?
x –1
dz
40. y – z integralinin değeri nedir?
t+ t
31. y
dt integralinin değeri nedir?
1+ t
41. #
424
z –1
n dz integralinin değeri nedir?
z3 – 4 z
x3 – 1
dx integralinin değeri nedir?
x –1
KAVRAMSAL ADIM
DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME YÖNTEMİ
# ff''' ((xx))
integralini bulunuz.
u = f'(x) değişken değiştirmesi yapalım ve her
iki tarafın diferansiyelini alalım.
du = d(f'(x))
Bu yöntem bir bileşke fonksiyonun diferensiyelinin bulunması ilkesine dayanır. Verilen bir I = y f (x) dx integralinde, x = u(t) dönüşümü yapılırsa dx = u'(t)dt olur.
Burada u(t) sürekli bir fonksiyon ve tanımlı olduğu aralıkta u'(t) türevi vardır.
x = u(t) için f(x) = f(u(t)) olup integral,
du = f''(x)dx olur.
E
f'' (x)
dx =
f' (x)
X
I = y f (u (t)) .u' (t) dt biçimini alır. Bu yönteme değişken değiştirme veya yerine koyma
#
#
du
u
u
yöntemi denir. Değişken değiştirme yapılıp integral hesaplandıktan sonra sonuç ilk
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
du
değişken türünden yazılmalıdır. Bu yöntemde önemli olan neyi yeni değişken olarak
= ,n | u | + C
u = f'(x) yerine yazılarak
& ,n | f' (x) | + C bulunur.
göstereceğimizi bilmektir. Dönüşüm uygun yapıldığı sürece verilen bir belirsiz integral kolayca hesaplanacaktır.
ÖRNEK
I = y 6 f (x) @ n .f' (x) dx integralinin değerini bulalım.
ETKİNLİK
ÇÖZÜM
u = f(x) değişken değiştirme işlemi yapılır.
a)
#
dx
integralini hesaplayınız.
1+ x + x
Diferensiyel alınırsa du = f'(x)dx olur.
un + 1
+C
O halde y 6 f (x) @ n .f' (x) dx = y u n du =
n+1
y 6 f (x) @ n .f' (x) dx =
6 f (x ) @ n + 1
n+1
ve u = f(x) yazılarak,
+ C bulunur.
UYARI
b)
#
sin x
dx integralini hesaplayınız.
1+ cos x
Belirsiz integralde değişken değiştirme yöntemi uygulandıktan sonra sonucun
ilk değişken türünden yazılması gerekir.
ÖRNEK
#
dx
1
= ,n | ax + b | olduğunu gösterelim.
ax + b a
ÇÖZÜM
c)
# cos2 x dx
sin x
integralini hesaplayınız.
u = ax + b denilir ve iki tarafın diferansiyelini alırsak
du = d(ax + b)
du
du = a.dx & dx =
olur.
a
dx
1 du 1
#
= #
= ,n | u | + C
ax + b a
u
a
=
1
,n | ax + b | + C bulunur.
a
425
ÜNİTE – 4 İNTGERAL
İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ
ETKİNLİK
1.
I = y (x 2 + 1) 3 .2xdx integralini hesaplayınız.
4.
3
I = y x 2 .e x dx integralini hesaplayınız.
Çözüm
Çözüm
x2
Burada x3 = t denilirse
+ 1 = t denilirse
d(x2 + 1) = dt & 2xdx = dt
d(x3) = dt & 3x2dx = dt
olur.
t4
I = y (x 2 + 1) 3 .2xdx = y t 3 dt = + C
4
x2dx =
t = x2 + 1 yerine yazılırsa,
I = y (x 2 + 1) 3 2xdx =
dt
3
olur.
olup
3
dt 1 y t
I = y x 2 e x dx = y e t
=
e dt
3 3
(x 2 + 1) 4
+ C elde edilir.
4
=
1 t
e +C
3
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
UYGULAMA ADIMI
t = x3 yazılırsa
3
1 3
I = y x 2 e x dx = e x + C olarak bulunur.
3
2.
ln 4 x
I = y x dx integralini hesaplayınız.
Çözüm
,nx = t dönüşümü yapılırsa
dx
d (,nx) = dt & x = dt olur.
,n 4 x
t5
I = y x dx = y t 4 dt = + C
5
t = ,nx yazılırsa,
5.
,n 4 x
,n 5 x
I = y x dx =
+ C olarak bulunur.
5
I= y
dx
ex + 1
integralini hesaplayınız.
Çözüm
Bu integralde pay ve paydayı e–x ile çarparsak değişken
değiştirme daha kolay olacaktır.
1
e –x
= –x
+1 e +1
ex
3.
I= y
ex
1+ e x
I= y
dx integralini hesaplayınız.
dx
e –x
dx integralinde
= y –x
ex + 1
e +1
t = e–x + 1 denilirse dt = d(e–x + 1) & dt = –e–xdx ve
Çözüm
e–xdx = –dt
t = 1 + ex yazılırsa
I= y
x
y e dxx = y dt = ,n | t | + C olup t = 1 + ex yazılıp
t
1+ e
t = e–x + 1
I= y
426
1+ ex
dir.
dx
e –x
dt
= y –x
dx = – y t = –,n | t | + C olup
ex + 1
e +1
dt = d(1 + ex) & dt = exdx olur.
ex
olup
yazıldığında I = y
dx = ,n | 1 + e x | + C
elde edilir.
dx
= –,n | e –x + 1 | + C
ex + 1
elde edilir.
6.
2
I = y e sin x . sin 2xdx integralini hesaplayınız.
9.
ÜNİTE – 4 İNTGERAL
UYGULAMA ADIMI
I = y sin x. cos xdx integralini hesaplayınız.
Çözüm
Çözüm
t = sin2x
t = sinx diyelim.
diyelim.
dt = d(sinx) & dt = cosxdx
dt = d(sin2x) & dt = 2sinx.cosxdx
& dt = sin2xdx
t2
I = y sin x. cos xdx = y tdt = + C
2
olur.
2
I = y e sin x sin 2xdx = y e t dt = e t + C ve
t=
sin2x
olduğundan
2
2x
+ C elde edilir.
I = y cos 2 x. sin xdx integralini hesaplayınız.
Çözüm
Bu integralde t = cosx dönüşümü yapılarak da sonuca
ulaşılabilir.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
I = y e sin x . sin 2xdx = e sin
7.
sin 2 x
t = sinx & I = y sin x. cos xdx =
+C
2
10. I = y
x3
dx integralini hesaplayınız.
+4
x4
Çözüm
t = x4 + 4 diyelim.
t = cosx & dt = d(cosx)
dt = d(x4 + 4) & dt = 4x3dx
& dt = –sinxdx
& x3 dx =
& –dt = sinxdx
3
t
olup I = y cos 2 x. sin xdx = – y t 2 dt = – + C ve
3
I= y
I=
cos 3 x
I = y cos 2 x sin xdx = –
+ C dir.
3
olur.
dt
4
x3
1 y dt 1
dx =
= ,n | t | + C
4 t
4
x4 + 4
1
,n | x 4 + 4 | + C elde edilir.
4
11. I = y
xdx
1+ x4
integralini hesaplayınız.
Çözüm
Verilen integral
8.
I= y
sin x
dx integralini hesaplayınız.
1 + e cos x
I= y
xdx
biçiminde yazılıp x2 = t dönüşümü
1 + (x 2 ) 2
Çözüm
yapılırsa, d(x2) = dt & 2xdx = dt ve xdx =
t = cosx & dt = –sinxdx
–dt = sinx dx olur. Ve integral I = – y
dt
biçimini alır.
1+ et
Bu integrali 5. örnekte çözdüğümüzden
I = – [–,n | e –t + 1 |] + C ve
t = cosx & I = , n |e–cosx + 1| + C elde edilir.
I= y
x
1
dx = y
2
1+ x4
dt
2
olur.
dt
1+ t2
Bu son integral, 21. formülde u = t, a = 1 alınıp
I=
1 ^
,n t + 1 + t 2 h + C
2
I=
1 ^ 2
,n x + 1 + x 4 h + C olarak bulunur.
2
427
12. I = y
I1 integralinde u = 1 – x2 & du = –2xdx
sin –1 x
dx integralini hesaplayınız.
1 – x2
&–
Çözüm
Verilen integrali
I= y
I= y
1 – x2
2
t dt = y t 1/2 dt = t 3/2 + C
3
dx = y
1 – x2
1
dx
olur.
1 – x2
t = sin–1x & dt = d(sin–1x) & dt =
sin –1 x
x dx
I1 = #
sin –1 x
dx biçiminde yazabiliriz.
1 – x2
du
= xdx dir.
2
=–
–
1 du
1
#
= – # u 2 du
2
2
u
=–
1
2 u = – u + C1
2
u = 1 – x 2 & I1 = – 1 – x 2 + C 1
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
UYGULAMA ADIMI
2
I=
(sin –1 x) 3 + C bulunur.
3
cos –1 x
dx integralinde
1 – x2
I2 = – y
(cos –1 x) ' =
–1
dx olduğundan
1 – x2
t = cos –1 x & dt = –
t2
I2 = y tdt = + C 2 , t = cos –1 x
2
sin x
13. I = y
dx integralini hesaplayınız.
x
Çözüm
& I2 =
dx
x = t & d ( x ) = dt &
= dt dir.
2 x
&
1
dx dir.
1 – x2
(cos –1 x) 2
+ C2
2
C1 + C2 = C
ve
olmak üzere,
x – cos –1 x
I = I1 + I2 = y
dx
1 – x2
dx
= 2dt
x
= – 1 – x2 + c
sin x
I= y
dx = y 2 sin tdt = 2 y sin tdt
x
2
cos –1 x m
+ C elde edilir.
2
= –2cost + C
= –2cos x + C olur.
15. I = y x x – 4 dx integralini hesaplayınız.
Çözüm
x – 4 = t dönüşümü yaparsak
x – 4 = t2 & x = t2 + 4 & dx = d(t2 + 4) & dx = 2tdt
x – cos –1 x
14. I = y
dx integralini hesaplayınız.
1 – x2
I = y (t 2 + 4) .t.2.tdt = y (2t 4 + 8t 2) dt
Çözüm
= 2 y t 4 dt + 8 y t 2 dt
Önce integrali iki parçaya ayıralım.
x–
I= y
I1 = y
428
cos –1 x
1 – x2
dx = y
x
dx – y
1 – x2
cos –1 x
1 – x2
x
cos –1 x
dx ve I2 = – y
dx
2
1– x
1 – x2
=2
dx
t5
t3
+8 +C
5
3
t = x – 4 olup I = y x x – 4 dx
5
=
3
2
8
(x – 4) 2 + (x – 4) 2 + C elde edilir.
5
3
dir.
16. I = y
sin t
dt integralini hesaplayınız.
4 + cos 2 t
19. I = y
dx
x.,nx ,n 2 x – 1
Çözüm
Çözüm
u = cost & du = –sintdt & –du = sintdt
1
u = ,nx & du = x dx
I= y
sin t
–du
dt = y
4 + cos 2 t
4 + u2
I= y
du
1
u
= – tan –1 + C
2
2
22 + u2
=–y
ÜNİTE – 4 İNTGERAL
UYGULAMA ADIMI
integralini hesaplayınız.
dx
du
=y
= sec –1 u + C
x,nx ,n 2 x – 1
u u2 – 1
= sec –1 (,nx) + C dir.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
1
cos t
= – tan –1 b
l + C olur.
2
2
20. I = y
dz
z ,nz
integralini hesaplayınız.
Çözüm
1
t = ,nz & dt = z dz
17. I = y
sec 2 x
dx integralini hesaplayınız.
9 – tan 2 x
Çözüm
I= y
dz
dt y –1/2
=y
= t
dt = 2 t + C
z ,nz
t
I = 2 ,nz + C olur.
u = tanx & du = sec2xdx
I= y
sec 2 x
dx = y
9 – tan 2 x
&
du
=y
9 – u2
du
32 – u2
1
u
1
sin –1 + C = sin –1 (tan x) + C dir.
3
3
3
1
1
21. I = y 2 sin x dx integralini hesaplayınız.
x
Çözüm
1
1
1
u = x & du = – 2 dx & – du = 2 dx
x
x
I = – y sin udu = cos u + C
1
I = cos x + C bulunur.
18. I = y
x n–1
dx integralini hesaplayınız. (n ∈ N+)
1 + x 2n
Çözüm
dt
t = x n & dt = nx n–1 dx & n = x n–1 dx
I= y
x n–1
1 + x 2n
1
dx = n y
dt
1+ t2
1
= n ,n^ t + t 2 + 1 h + C
1
= n ,n^ x n + x 2n + 1 h + C olur.
22. I = y x sin x 2 dx integralini hesaplayınız.
Çözüm
u = x 2 & du = 2xdx &
du
= xdx
2
1
1
I = y x sin x 2 dx = y sin udu = – cos u + C
2
2
1
= – cos x 2 + C dir.
2
429
23. I = y ^ tan 4 x + tan 2 xh dx integralini hesaplayınız.
Çözüm
I=
y ^ tan 4 x + tan 2 xh dx
=y
tan 2 x^ tan 2 x + 1h dx
26. I = y tan 3 x. sec 4 x dx integralini hesaplayınız.
Çözüm
I = y tan 3 x. sec 4 x.dx = y tan 3 x (1 + tan 2 x) sec 2 xdx
u = tanx & du = sec2xdx = (tan2x + 1)dx
u = tan x & du = sec 2 xdx I = y u 3 (1 + u 2) du
u3
I = y tan 2 x (tan 2 x + 1) dx = y u 2 du =
+C
3
3
tan x
=
+ C dir.
3
u4 u6
I = y (u 3 + u 5) du =
+
+C
4
6
I=
tan 4 x tan 6 x
+
+ C bulunur.
4
6
24. I = y sin 4 x. cos 3 xdx integralini hesaplayınız.
27. I = y
Çözüm
e 3x
dx integralini hesaplayınız.
ex + 1
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
UYGULAMA ADIMI
I = y sin 4 x. cos 3 xdx = y sin 2 x. sin 2 x. cos 2 x. cos xdx
= y sin 2 x. sin 2 x. (1 – sin 2 x) cos xdx
Çözüm
e 3x
e 2x .e x dx y (e x) 2 .e x dx
dx = y
=
x
e +1
ex + 1
ex + 1
u = sinx & du = cosxdx
I= y
u5 u7
I = y u 2 .u 2 (1 – u 2) du = y (u 4 – u 6) du =
–
+C
5
7
u = eX + 1 & du = exdx ve ex = u – 1
I=
sin 5 x sin 7 x
–
+ C dir.
5
7
I= y
(u – 1) 2
u 2 – 2u + 1
du = y
du
u 1/2
u
1/2
= y u 3/2 du – 2 y u du + y u –1/2 du
25. I = y
cos x
dx integralini hesaplayınız.
1 + cos x
Çözüm
cos x 1 – cos x cos x – cos 2 x
=
.
1 + cos x 1 – cos x
1 – cos 2 x
I= y
=
I=
2 5/2
2
u – 2. u 3/2 + 2 u + C
5
3
2 x
4
(e + 1) 5/2 – (e x + 1) 3/2 + 2 e x + 1 + C dir.
5
3
cos x
cos x – cos 2 x
dx = y
dx
1 + cos x
1 – cos 2 x
cos x – (1 – sin 2 x)
dx
=y
sin 2 x
cos x
1
I= y
dx – y
dx + y dx
sin 2 x
sin 2 x
cos x
=y
2 dx + cot x + x + C 1
sin
\x
I1
tan –1 x
28. I = y
dx integralini hesaplayınız.
1+ x2
Çözüm
u = tan –1 x & du =
1
dx
1+ x2
(tan –1 x) 2
tan –1 x
u2
I= y
+C=
+ C dir.
dx = y udu =
2
2
2
1+ x
cos x
du
1
u = sinx I1 = y
dx = y 2 = – u + C 2
sin 2 x
u
=–
1
+ C2
sin x
du = cosxdx
C1 + C2 = C
I = I1 + cot x + x + C
I=–
430
1
+ cot x + x + C bulunur.
sin x
29. I = y
sin 2x
dx integralini hesaplayınız.
1 + cos 4 x
Çözüm
u = cos 2 x & –du = sin 2xdx
I= y
sin 2x
du
dx = – y
= – tan –1 u + C
1 + (cos 2 x) 2
1+ u2
I = – tan –1 (cos 2 x) + C bulunur.
30. I = y sin (cos 2 x) . sin 2xdx integralini hesaplayınız.
34. I = y
4
ÜNİTE – 4 İNTGERAL
UYGULAMA ADIMI
3 + ,nx
dx integralini hesaplayınız.
4x
Çözüm
Çözüm
u = cos 2 x & du = – sin 2xdx
I = y sin (cos 2 x) sin 2xdx = – y sin udu
= cosu + C = cos(cos2x) + C bulunur.
dx
3 + ,nx = u & x = du
I= y
&=
31. I = y cos (arcsin x) dx integralini hesaplayınız.
4
3 + ,nx
1
1
dx = y 4 u du = y u 1/4 du
4x
4
4
1 4 5/4
1
. u + C = (3 + ,nx) 5/4 + C bulunur.
5
4 5
Çözüm
u = arcsinx & x = sinu
olur.
y cos u. cos udu = y cos 2 udu
1 + cos 2u
cos 2 u =
2
cot x
35. I = y
dx integralini hesaplayınız.
,n sin x
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
dx = cosu du
ve
Çözüm
u = ,n sin x & du =
olduğundan
y cos 2 udu = y 1 du + 1 y cos 2u du
2
2
I=
cot x
du
I= y
dx = y u = ,n | u | + C
,n sin x
u 1 1
+ . sin 2u + C
2 2 2
u = arcsinx & I =
cos x
dx = cot xdx
sin x
I = ,n ,n | sin x | + C bulunur.
1
1
arcsin x + sin (2 arcsin x) + C dir.
2
4
36. I = y x 2 1 – x dx integralini hesaplayınız.
Çözüm
32. I = y e x
2 + 2x
(x + 1) dx integralini hesaplayınız.
I = y x 2 1 – x dx = – y (1 – t 2) 2 .t.2tdt
Çözüm
u = x 2 + 2x & du = (2x + 2) dx &
I = y ex
1 – x = t & 1 – x = t 2 & x = 1 – t 2 & dx = –2tdt
2 + 2x
du
= (x + 1) dx
2
du 1 y u
(x + 1) dx = y e u
=
e du
2
2
1
1 2
& e u + C = e x + 2x + C bulunur.
2
2
= –2 y t 2 (1 – 2t 2 + t 4) dt
= –2 y (t 2 – 2t 4 + t 6) dt
I = –2 c
I = –2 =
33. I = y
3
2x2
37. I = y (1 + cos 6 x) sin 2xdx integralini hesaplayınız.
+ 4x + 1 & du = (4x + 4)dx
du
du = 4 (x + 1) dx &
= (x + 1) dx
4
I= y
3
^ 1 – x h3 2
5
7
1
– ^ 1 – x h + ^ 1 – x h G + C dir.
5
7
3
(x + 1) dx
integralini hesaplayınız.
2x 2 + 4x + 1
Çözüm
u=
t3 2 5 t7 m
– t +
+C
7
3 5
(x + 1) dx
1 du 1 y –1/3
= y
=
u
du
2x 2 + 4x + 1 4 3 u 4
1 3
= . u 2 /3 + C
4 2
3
= (2x 2 + 4x + 1) 2/3 + C olur.
8
Çözüm
3
I = y 8 1 + ^ cos 2 xh B sin 2xdx
= y sin 2xdx + y (cos 2 x) 3 . sin 2xdx
I1 = y sin 2xdx , I 2 = y (cos 2 x) 3 sin 2xdx
I1 için 2x = u & 2dx = du & dx =
du
2
431
1
1
I1 = y sin 2xdx = y sin udu = – cos u + C 1
2
2
1
I 1 = – cos 2x + C 1
2
40. I = y
Çözüm
1
1
x = t & dx = – 2 dt
t
I2 = y (cos 2 x) 3 sin 2xdx için
t = cos2 x & dt = 2cosx.(–sinx)dx
I= y
& dt = – sin 2xdx
3
t
I2 = y ^ cos 2 xh sin 2xdx = – y t 3 dt = – + C 2
4
– (cos 2 x) 4
=
+ C2
4
cos 8 x
I2 = –
+ C2
4
4
C1 + C2 = C
I = I1 + I2 & I = –
u = sin2x & du = 2sinx.cosxdx = sin2xdx
un + 1
I = y sin 2n x. sin 2xdx = y u n .du =
+C
n+1
39. I = y
dx
integralini hesaplayınız.
x –1
Çözüm
x = t 2 & dx = 2tdt
dx
2tdt y (2t – 2 + 2)
=y
=
dt
t–1
t –1
x –1
I= y
1
dt = 2t + 2,n | t – 1| + C
t–1
x
dx integralini hesaplayınız.
x +1
42. I = y
t2
2t 3
u = ,n (cos x) & du = – tan xdx
2t 2
–1
= y 2
=
+C
–
t .2tdt 2 (t – 1) dt
3
2
(x + 1) 3
– (x + 1) + C bulunur.
3
2 tan x
dx integralini hesaplayınız.
4 + ,n 2 (cos x)
Çözüm
& dx = 2tdt
432
41. y
1
1
1
,n | 1 + t 4 | + C = – ,n 1 + 4 + C dir.
4
4
x
= 2 x + 2,n | x – 1 | + C dir.
x + 1 = t & x + 1= t2 & x = t2 – 1
I=2
du
= t 3 dt
4
t3
1 du
1
dt = – y u = – ,n | u | + C
4
4
1+ t4
I = 2 y dt + 2 y
(sin 2 x) n + 1
+ C bulunur.
n+1
Çözüm
I= y
I=–y
1
cos 8 x
cos 2x –
+ C bulunur.
2
4
I = y sin 2n x. sin 2xdx = y (sin 2 x) n . sin 2xdx
& I=
1
– 2
dx
t3
t
y
=
dt = – y
dt
4
1
1
x (1 + x )
1+ t4
+
1
m
c
t
t4
u = 1 + t 4 & du = 4t 3 dt &
I=–
38. I = y sin 2n x . sin 2xdx integralini hesaplayınız. (n ∈ N+)
Çözüm
dx
integralini hesaplayınız.
x (1 + x 4)
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
UYGULAMA ADIMI
I=–y
2du
1
u
= –2. tan –1 + C
2
2
4 + u2
= – tan –1 c
,n | cos x |
m + C dir.
2
2 ,nx – 4 ,nx
43. I = y
dx integralini hesaplayınız.
8x
ÜNİTE – 4 İNTGERAL
UYGULAMA ADIMI
cos x – sin x
dx integralini hesaplayınız.
46. I = y
cos x + sin x
Çözüm
Çözüm
1
u = ,nx & du = x dx
u = cosx + sinx & du = (–sinx + cosx)dx
cos x – sin x
du
I= y
dx = y u = ,n | u | + C
cos x + sin x
2 ,nx – 4 ,nx
1
I= y
dx = y ^ 2 u – 4 uh du
8x
8
I = ,n | cos x + sin x | + C dir.
1 2u
4u l
= .b
+C
–
8 ,n2 ,n4
=
47. I = y x sec x 2 dx integralini hesaplayınız.
1 c ,nx 2 2,nx m
+ C bulunur.
2 –
8,n2
2
Çözüm
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
I=
2 ,nx
2 2,nx
+C
–
8,n2 16,n2
u = x 2 & du = 2xdx &
I=
1 y
1
1
1 cos u
du
sec udu = y cos u du = y
2
2
2 cos 2 u
=
x +1
dx
1 – x 2 dx
44. I = y
x +1
I= y
dx = y
1 – x2
I = I1 + I2
x
dx
1 – x2
x
dx + y
1 – x2
dx
1 – x2
^ ,n 2 x – ,nxh
dx integralinde x = et dönüşümü yapılırsa
x
hangi integral elde edilir?
du
= xdx
2
Çözüm
1 y du
= – u + C1 = – 1 – x2 + C1
2
u
x = e t & dx = e t dt
x = e t & t = ,nx yerine yazılırsa
dx
= sin –1 x + C 2 (C 1 + C 2 = C)
1 – x2
I2 = y
I = – 1–
x2
+ sin –1
1 1
1+ t
1
1 + sin x
. ,n
+ C = ,n
+ C dir.
2 2
1– t
4
1 – sin x
48. y
u = 1 – x2 & du = –2xdx & –
=–
1 y cos u
1
dt
du & I = y
2 1 – sin 2 u
2 1 – t2
t = sin u & dt = cos udu
I=
Çözüm
I1 = y
integralini hesaplayınız.
du
= xdx
2
y
x + C bulunur.
^ t 2 – th e t dt
= y ^ t 2 – th dt bulunur.
et
1+ x
dx integralinde u = x dönüşümü yapılırsa hangi
49. y
1– x
integral elde edilir?
45. I =
dx
integralini hesaplayınız.
x (x + 1)
Çözüm
u = x ise du =
Çözüm
x = t 2 & dx = 2tdt
2tdt
dt
I= y 2
=2y 2
= 2 tan –1 t + C
t (t + 1)
t +1
I = 2 tan –1 x + C
du =
dir.
1
dx
2 x
1
dx & dx = 2udu
2u
olur.
u ( 1 + u)
y 1 + u .2udu = 2 y
du bulunur.
1– u
1– u
433
1.
y f'' (x) .f' (x) dx integralinin eşiti nedir?
5.
y (x + 1)^ x 2 + 2x – 7h 6 dx integralini hesaplayınız.
[f 1 (x)] 2
+C
2
2.
7
1 ^ 2
x + 2x–7h + C
14
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
PEKİŞTİRME ADIMI
6.
f'' (x)
y
dx integralinin eşiti nedir?
f' (x)
y e 6x dx integralini hesaplayınız.
1 6x
e +C
6
n |f'(x)| + C
3.
1/x
y e 2 dx integralini hesaplayınız.
x
7.
y sin (3x – 1) dx integralini hesaplayınız.
–
–e1/x + C
8.
4.
y
dx
4–x
1
cos (3x–1) + C
3
y cos (2x + 3) dx integralini hesaplayınız.
integralini hesaplayınız.
1
sin (2x + 3) + C
2
–2 4–x + C
434
9.
y 3x 3 6x 2 + 1 dx integralini hesaplayınız.
13. y
cos x
dx integralini hesaplayınız.
1 + 2 sin x
3 3
b 16
(6x 2 + 1) 4 + C l
1
,n | 1 + 2 sin x | + C
2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
3x 2 + 2x
dx integralini hesaplayınız.
10. y 3
x + x2 + 1
14. y tan x dx integralini hesaplayınız.
,n x 3 + x 2 + 1 + C
11. y
ÜNİTE – 4 İNTGERAL
PEKİŞTİRME ADIMI
–,n cos x + C
2dx
15. y
integralini hesaplayınız.
x,nx
sin 2x
dx integralini hesaplayınız.
7 – sin 2 x
2,n ,nx + C
–,n 7 – sin 2 x + C
16. y e x . sin e x dx integralini hesaplayınız.
12. y (e x + 2) 3 .e x dx integralini hesaplayınız.
(e x + 2) 4
+C
4
–cosex+C
435
17. y tan 3 x. sec 2 x dx integralini hesaplayınız.
21. y
x2
dx integralini hesaplayınız.
1–x 6
tan 4 x
+C
4
1
sin –1 x 3 + C
3
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
PEKİŞTİRME ADIMI
22. y
e tan x
18. y
dx integralini hesaplayınız.
cos 2 x
4x + 4
dx integralini hesaplayınız.
(x 2 + 2x) 3
–
1
+C
(x 2 + 2x) 2
etanx+C
19. y
dx
integralini hesaplayınız.
x. cos 2 (,nx)
23. y
e 2x
dx integralini hesaplayınız.
e 2x + 1
tan (,nx) + C
20. y
dx
integralini hesaplayınız.
16–x 2
24. y
sin –1
436
1
,n e 2x + 1 + C
2
x
+C
4
,n 3 (sin x)
tan x dx integralini hesaplayınız.
,n 4 (sin x)
+C
4
1.
2
y x.e x dx integralinin değeri nedir?
11. y
x
dx integralinin değeri nedir?
1 + x2
2x
dx integralinin değeri nedir?
1+ x2
12. y
2.
ÜNİTE – 4 İNTGERAL
ALIŞTIRMALAR
y 9x 8 (1 + x 9) 5 dx integralinin değeri nedir?
y 2x 1 + x 2 dx integralinin değeri nedir?
4.
y ^ x 2 3 4 + x 3 h dx integralinin değeri nedir?
5.
y x sin x 2 dx integralinin değeri nedir?
6.
y f (x) .f' (x) dx integralinin değeri nedir?
7.
y ,nx dx integralinin değeri nedir?
x
8.
y sin 3 x. cos x dx integralinin değeri nedir?
9.
y e sin x . cos x dx integralinin değeri nedir?
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
3.
sin x
13. y
dx integralinin değeri nedir?
x
dx
10. y 3 ,nx . x
integralinin değeri nedir?
14. y sin x . cos x dx integralinin değeri nedir?
15. y x x + 1 dx integralinin değeri nedir?
16. y 3 e x .e x dx integralinin değeri nedir?
17. y
sin (,nx)
dx integralinin değeri nedir?
x
18. y e x tan e x dx integralinin değeri nedir?
19. y
3
20. y c
3
,nx
x dx integralinin değeri nedir?
,nx + 5 ,n 2 x m
dx integralinin değeri nedir?
x
437
arctan x
21. y
dx integralinin değeri nedir?
1+ x2
22. y
(arcsin x) 2
dx integralinin değeri nedir?
1–x 2
31. y
dx
x 1 – ,nx
dx
x 1– x
32. y
integralinin değeri nedir?
integralinin değeri nedir?
33. # cot x,n (sin x) dx integralinin değeri nedir?
sin 3 x
dx integralinin değeri nedir?
23. y 3
x2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
ALIŞTIRMALAR
34. # tan x dx integralinin değeri nedir?
e
24. y
x
dx integralinin değeri nedir?
x
35. # tan (sin x) cos x dx değeri nedir?
2
25. y e sin x . sin 2x dx integralinin değeri nedir?
36. #
2
tan2 (,nx)
dx integralinin değeri nedir?
x
26. y e cos x sin 2x dx integralinin değeri nedir?
37. # f
27. y
3
,n2 x – ,n3 x
p dx integralinin değeri nedir?
x
(arc cot x) 3
dx integralinin değeri nedir?
1+ x2
38. #
arctan (sin x) . cos x
1+ sin2 x
dx integralinin değeri nedir?
28. y f' (sin x) .f (sin x) cos x dx integralinin değeri nedir?
39. # –,n3 (cos x) tan x dx integralinin değeri nedir?
,nx + 1
29. y b x l dx integralinin değeri nedir?
30. y
438
x
dx integralinin değeri nedir?
1 – x2
2
40. # 31 + sin x . sin 2x dx integralinin değeri nedir?
41. y cos 5 x. sin x dx integralini hesaplayınız.
dx
BİÇİMİNDEKİ İNTEGRALLER
ax 2 + bx + c
I. y
Δ = b2 – 4ac olmak üzere, bu tür integraller, Δ nın işaretine göre
incelenir.
1. Durum:
y
dx
A
B
= y mx + n + p dx + y mx + n – p dx
(mx + n + p) (mx + n – p)
1 44 2 44 3
1 44 2 44 3
+ bx + c = (mx +
n)2
+
I1 integralinde u = mx + n + p denilirse
p2
gibidir. O halde
dx
dx
1 y
dx
=y
=
ax 2 + bx + c
(mx + n) 2 + p 2 p 2
mx + n 2
b p l +1
1
du = mdx & dx = m du
I2 integralinde v = mx + n – p denilirse
olur. Son integrale dikkat edildiğinde integrant, arctanjant'lı bir
ifadenin türevine benzemektedir. O halde
u=
1
dv = mdx & dx = m dv olup yerine yazılırsa
mx + n
değişken değiştirmesi yapılırsa, arctanjant'lı bir sonuç
p
elde edilir.
y
dx
A y du B y dv
=
+m v
ax 2 + bx + c m u
A
B
= m ,nu + m ,nv + C
2. Durum:
Δ = 0 olsun. Bu durumda
A
B
= m ,n (mx + n + p) – m ,n (mx + n – p) + C
ax2 + bx + c = (mx + n)2 gibidir. O halde integral
I= y
dx
dx
=y
ax 2 + bx + c
(mx + n) 2
= y (mx + n) –2 dx
u = mx + n denilirse
ETKİNLİK
I= #
1
1 u –1
I = y u –2 . m du = m .
+C
–1
x + 1= 3u & dx = 3du olur.
I= #
–1 1
= m .u +C
1
u = mx + n & I = – m .
bulunur.
olup
1
du = mdx & dx = m du olur.
1
+C
(mx + n)
bulunur.
3. Durum
=#
dx
dx
=y
(mx + n + p) (mx + n – p)
ax 2 + bx + c
olup yerine yazılırsa,
1
x2 + 2x – 8
1
9u2 – 9
dx integralini bulunuz.
dx = #
1
(x + 1) 2 – 9
dx
. 3du
1
1
1 1
u–1
#
+C
du = . ,n
3 u2 – 1
3 2
u+1
=
x +1
–1
1
1
x–2
3
,n
+ C = ,n
+ C dir.
6
x +1
6
x+4
+1
3
ax2 + bx + c = (mx + n)2 – p2
= (mx + n + p)(mx + n – p)
1
x2 + 2x – 8
=
Δ > 0 olsun. Bu durumda
y
olur.
I2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
y
biçiminde basit kesirlere ayrılırsa
I1
Δ < 0 olsun. Bu durumda
ax2
1
A
B
=
+
(mx + n + p) (mx + n – p) mx + n + p mx + n – p
olur.
439
ÜNİTE – 4 İNTGERAL
KAVRAMSAL ADIM
1.
I= y
dx
integralini hesaplayınız.
x 2 – 10x + 29
2
1
2
dx
b x + l denilirse du =
2
3
3
u=
Çözüm
dx =
x2
– 10x + 29 ifadesinde
Δ = 100 – 116 = –16 < 0 olup
x2 – 10x + 29 = x2 – 10x + 25 + 4
= (x – 5)2 + 4 tür.
O halde
I= y
=y
u=
1y
4
dx
dx
=y
x 2 – 10x + 29
(x – 5) 2 + 4
dx
1
dx
= y
4
(x – 5) 2
x–5 2
E
1+ b
l
4; 1+
2
4
x–5
2
du =
denilirse
1 2.du 1 y du
dx
= y
=
x – 5 2 4 1+ u 2 2 1+ u 2
1+ b
l
2
2.
x–5
1
x–5
& I = arctan b
l + C bulunur.
2
2
2
dx
I= y 2
x + x +1
integralini hesaplayınız.
x2 + x + 1 ifadesinde Δ = 1 – 4 = –3 < 0 olduğundan 1. örnekte olduğu gibi integrantın paydası iki kare biçimine getirilir. Buna göre
1 2 3
x2 + x + 1 = b x + l +
olduğundan
2
4
x2
dx
dx
=y
+ x +1
1 2
3
+ bx + l
4
2
dx
R
V
1 2
S
bx + l W
2 W
3S
1+
4S
W
3
S
W
4
T
X
4
dx
= y
R
V2
3
Sx + 1 W
2
W
1+ S
S 3 W
S 2 W
T
X
4y
dx
=
3
2
1 2
1+ ;
b x + lE
2
3
=y
440
u=
2
1
b x + l yazılırsa
2
3
I= y
dx
2
2
1
arctan ;
=
b x + lE + C bulunur.
2
x2 + x + 1
3
3
3.
cos xdx
2 sin 2 x – 3 sin x + 2
I= y
integralini hesaplayınız.
Çözüm
Önce t = sinx değişken değiştirmesi yapılırsa
dt = cosxdx olur. O halde integral
dt
biçimine dönüşür.
2t 2 – 3t + 2
I= y
2t2 – 3t + 2 ifadesinde Δ = 9 – 16 = –7 < 0 olduğundan
2t2 – 3t + 2 = 2 b t 2 –
3 2 7 E
3
yazılırsa
t + 1 l = 2 ;b t – l +
4
16
2
dt
1
dt
= y
R
V
2
2
7
3 2
3
S
E
2 ;b t – l +
bt – l W
16
4 W
4
7 S
1+
7
W
16 S
S
16 W
T
X
1 . 16 y
dt
=
2 7
J
3 N2
Kt – 4O
1+ K
O
K 7 O
L 4 P
I= y
Çözüm
I= y
3
4 y 2 du
2
=
arctan u + C ve
3 1+ u2
3
olup
1
dx & dx = 2du olur.
2
1
= arctan u + C
2
u=
I=
3
du olup
2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
UYGULAMA ADIMI
=
8y
7
du =
dt
4
3 2
1+ ;
b t – lE
4
7
integralinde u =
4
3
b t – l denilirse
4
7
4
7
dt & dt =
du olur.
4
7
7
8y 4
2
du =
I=
arctanu + C
7 1+ u2
7
u=
4
3
b t – l ve t = sin x olduğundan
4
7
u=
4
3
b sin x – l yazılırsa
4
7
I=
2
4
3
arctan ;
b sin x – lE + C elde edilir.
4
7
7
4.
I= y
dx
x 2 – 4x + 4
1
A
B
den
=
+
(x – 1) (x – 7) x – 1 x – 7
integralini hesaplayınız.
A (x – 7) + B (x – 1)
1
=
(x – 1) (x – 7)
(x – 1) (x – 7)
Çözüm
x2 – 4X + 4 ifadesinde
1 = A(x – 7) + B(x – 1)
Δ = 16 – 16 = 0 olduğundan
x = 7 için
1
1 = 6B & B =
6
x = 1 için
1 = –6A & A = –
x2 – 4x + 4 = (x – 2)2 dir. Yerine yazılırsa
dx
dx
I= y 2
=y
x – 4x + 4
(x – 2) 2
dir.
y
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
dx
A
B
=y
dx + y
dx
x–7
x –1
x 2 – 8x + 7
=–
1 y dx
1 dx
+ y
6 x –1 6 x –7
v=x–2
=–
1
1
,n x – 1 + ,n x – 7 + C
6
6
y
1
+ C bulunur.
x–2
ex
dx integralini hesaplayınız.
2
x
e – 6e x + 9
Önce t = ex değişken değişimi yapılırsa
dt = exdx
y
olduğundan integral
dt
biçimine dönüşür.
t 2 – 6t + 9
t2 – 6t + 9 ifadesinde Δ = 36 – 36 = 0 olduğundan
t2 – 6t + 9 = (t – 3)2 dir. Yerine yazılırsa
y
y
1
x–7
,n
+ C bulunur.
6
x –1
dx
12x 2 – 7x + 1
integralini hesaplayınız.
12x2 – 7x + 1
e 2x
I= y
e x dx
1
=– x
+ C bulunur.
e –3
– 6e x + 9
dx
x 2 – 8x + 7
integralini hesaplayınız.
ifadesinde
Δ = 49 – 48 = 1 > 0
12x2
3x
–1
4x
–1
O halde
1
A
B
=
+
12x 2 – 7x + 1 3x – 1 4x – 1
A (4x – 1) + B (3x – 1)
1
=
12x 2 – 7x + 1
12x 2 – 7x + 1
1 = A(4x – 1) + B(3x – 1)
x=
1
4
x=
1
yazılırsa
3
y
yazılırsa
1
1 = – .B & B = – 4
4
1=
1
.A & A = 3 bulunur. O halde,
3
dx
Adx
Bdx
=y
+y
3x – 1
4x – 1
12x 2 – 7x + 1
3dx
–4dx
=y
+y
3x – 1
4x – 1
Çözüm
x2 – 8x + 7 integralinde
Δ = 64 – 28 = 36 > 0
olduğundan
– 7x + 1 = (3x – 1)(4x – 1) dir.
dt
dt
=y
= y (t – 3) –2 dt
t 2 – 6t + 9
(t – 3) 2
1
=–
+C
t–3
t = ex yazılırsa
y
7.
=
Çözüm
Çözüm
6.
1
olur.
6
dv
v –1
1
I = y 2 = y v –2 dv =
+C=– v +C
–1
v
I=–
5.
olur.
O halde
v = x – 2 denilirse dv = dx olup
yazılırsa
ÜNİTE – 4 İNTGERAL
UYGULAMA ADIMI
= 3.
olduğundan
x2 – 8x + 7 = (x – 1)(x – 7) dir.
y
1
1
,n 3x – 1 –4. ,n 4x – 1 + C
3
4
dx
3x – 1
= ,n
+ C dir.
4x – 1
12x 2 – 7x + 1
441
1.
y
dx
x 2 – 6x + 10
integralini hesaplayınız.
4.
y
dx
(x + 1) 2 + 9
integralini hesaplayınız.
1
x +1
l+C
arctan b
3
3
arctan(x – 3) + C
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
PEKİŞTİRME ADIMI
5.
2.
y
dx
x2 + x +
3
4
y
dx
x 2 + 6x + 25
integralini hesaplayınız.
integralini hesaplayınız.
1
x+3
k+C
arctan a
4
4
1
1
arctan b 2 a x + kl + C
2
2
3.
y 2 dx
x – 14x + 50
6.
integralini hesaplayınız.
y
dx
integralini hesaplayınız.
x 2 – 5x + 4
1
x–4
,n
+C
3
x –1
arctan(x – 7) + C
442
^ Ax + Bh dx
II. y 2
ETKİNLİK
#
#
3x – 1
x2 + 4
3x – 1
x2 + 4
ax + bx + c
dx integralini hesaplayınız.
dx = 3 #
x–
1
3
x2 + 4
Bu tür integrallerde de Δ = b2 – 4ac nin işaretine bakılarak çözüme gidilir.
Δ < 0 olsun. Bu durumda ax2 + bx + c nin türevi olan 2ax + b ifadesi payında
oluşturulur. Bunun için sırasıyla kesrin payı A parantezine alınır, 2a ile çarpılır–bölünür, sonra da b eklenir–çıkarılır.
3
#
dx
2 x2 + 4
=
3
2x
2
1
#
– .
dx
2 f x2 + 4 3 x2 + 4p
=
3
2x
1
#
dx – #
dx
2 x2 + 4
4 + x2
=
3
,n (x2 + 4) – #
2
1
x2
p
4
dx
1
2
dx
x 2
1+ c m
2
2.
Yani;
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
=
3
1
= ,n (x2 + 4) – #
2
4
BİÇİMİNDEKİ İNTEGRALLER
1. Durum:
dx
2
2x –
3
4 f1+
ÜNİTE – 4 İNTGERAL
KAVRAMSAL ADIM
1
3
1
2
= ,n (x2 + 4) – #
dx
2
2
x 2
1+ c m
2
B
x+
Ax
B
+
A
I= y 2
dx = A y 2
dx
ax + bx + c
ax + bx + c
2aB
A y 2ax + A
dx
=
2a ax 2 + bx + c
2aB
A y 2ax + b + A – b
dx
=
2a
ax 2 + bx + c
2aB
–b
A y 2ax + b
A y
A
dx
=
dx +
2
2
2a ax + bx + c
2a ax + bx + c
=
3
1
x
= ,n (x2 + 4) – arctan + C
2
2
2
A
Ab y
dx
,n ax 2 + bx + c + b B –
l
2a
2a
ax 2 + bx + c
olur. Son integral I. grupta incelediğimiz türdendir.
bulunur.
2. Durum:
Δ = 0 olsun. Bu durumda kesrin paydası tamkaredir. Yani,
ax2 + bx + c = (mx + n)2 gibidir. Bu durumda integrant,
ETKİNLİK
#
Ax + B
Ax + B
P
Q
=
=
+
biçiminde basit kesirlere ayrılır.
ax 2 + bx + c (mx + n) 2 mx + n (mx + n) 2
3x + 2
dx integralini hesaplayınız.
x2 + x + 1
3. Durum
Δ > 0 olsun. Bu durumda
ax2 + bx + c = (mx + n)(rx + p) biçiminde çarpanlarına ayrılır. Sonra integrant
Ax + B
Ax + B
P
Q
=
=
+
ax 2 + bx + c (mx + n) (rx + p) mx + n rx + p
biçiminde basit kesirlere ayrılarak integral alınır.
443
1.
I= y
x2
2x + 3
dx integralini hesaplayınız.
– 4x + 6
I=
Çözüm
(x2 – 4x + 6)' = 2X – 4
oluşturmalıyız.
olduğundan kesrin payında 2x – 4
1
9
dx
dır.
,n 2x 2 – 5x + 6 + y
4
4 2x 2 – 5x + 6
Son integraldeki 2x2 – 5x + 6 ifadesinde
Δ = 25 – 48 = –23 < 0 olduğundan
2x + 3
2x – 4 + 3 + 4
dx = y
dx
I= y 2
x – 4x + 6
x 2 – 4x + 6
I= y
Birinci integralde (2x2 – 5x + 6)' = 4x – 5 olduğundan
2x2 – 5x + 6 = 2 b x 2 –
2x – 4
7
dx + y 2
dx
x 2 – 4x + 6
x – 4x + 6
= ,n x 2 – 4x + 6 + 7 y
dx
x 2 – 4x + 6
= 2 ;b x –
=
9y
4
5
x + 3l
2
5 2 23 E
dır.
l +
4
16
dx
9
dx
= y
R
V
2
8
23
5 2
5
S
E
2 ;b x – l +
bx – l W
16
4
4
23 S
W
1+
16 S
23 W
S
16 W
T
X
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
UYGULAMA ADIMI
Son integraldeki x2 – 4x + 6 ifadesinde
Δ = 16 – 24 = –8 < 0 olduğundan
x2 – 4x + 6 = x2 – 4x + 4 + 2
=
9 . 16 y
8 23
=
18 y
23
= (x – 2)2 + 2 dir.
O halde
y
dx
dx
=y
=y
x 2 – 4x + 6
( x – 2) 2 + 2
x–2
denilirse
2
1
du =
dx
2
u=
dx = 2 du
Böylece
olur
dx
x–2 2
2= 1+ c
m G
2
1 y 2 du
2 1+ u 2
2
arctan u + C
=
2
=
2
x–2
arctan c
=
m + C dir.
2
2
I = ,n x 2 – 4x + 6 + 7.
du =
2.
I= y
x +1
dx integralini hesaplayınız.
2x 2 – 5x + 6
Çözüm
=
444
1 y 4x – 5 + 5 + 4
dx
4 2x 2 – 5x + 6
1y
4x – 5
1
9
dx + y
dx
4 2x 2 – 5x + 6
4 2x 2 – 5x + 6
23
du
4
23
18 y 4 du 18 . 23
arctan u
=
23 4
23
1+ u 2
u=
4
5
bx – l
4
23
9
4
5
arctan ;
b x – lE
4
2 23
23
I=
ve
ise
olup
1
9
4
5
,n 2x 2 – 5x + 6 +
arctan ;
b x – lE + C
4
4
2 23
23
bulunur.
x +1
1
4x + 4
dx = y
dx
I= y
4 2x 2 – 5x + 6
2x 2 – 5x + 6
=
4
dx & dx =
23
2
x–2
arctan c
m + C bulunur.
2
2
=
dx
4
5 2
1+ ;
b x – lE
4
23
4
5
b x – l denilirse
4
23
u=
=
dx
J
5 N2
Kx – 4O
1+ K
O
K 23 O
L 4 P
3.
I= y
4x – 1
dx integralini hesaplayınız.
x 2 – 8x + 16
x=–
1
1
1
& – + 1 = A. b – – 1 l + 0
2
2
2
Çözüm
x2
&–
– 8x + 16 = (x –
4)2
ÜNİTE – 4 İNTGERAL
UYGULAMA ADIMI
3
1
1
A=
& A=–
olur.
2
2
3
olduğundan
4x – 1
4x – 1
A
B
=
=
+
x 2 – 8x + 16 (x – 4) 2 x – 4 (x – 4) 2
y
2
1
–
x +1
3 dx + y 3 dx
y
dx
=
2x + 1
x –1
2x 2 – x – 1
A (x – 4) + B
4x – 1
=
(x – 4) 2
(x – 4) 2
1 1
2
= – . ,n 2x + 1 + ,n x – 1 + C
3 2
3
4x – 1 = A(x – 4) + B ise
=–
1
2
,n 2x + 1 + ,n x – 1 + C
6
3
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
4x – 1 = Ax + B – 4A olup
bulunur.
polinom özdeşliğinden
A = 4, B – 4A = –1 & B – 4.4 = –1
B = 15
O halde;
bulunur.
y 4x – 12 dx = y 4 dx + y 15 2 dx
x–4
( x – 4)
(x – 4)
= 4,n x – 4 + 15 y (x – 4) –2 dx
= 4,n x – 4 – 15.
bulunur.
4.
1
+C
x–4
x +1
y
dx integralini hesaplayınız.
2x 2 – x – 1
Çözüm
5.
#
3x + 5
x2 + x – 12
Çözüm
x2 + x – 12 = (x – 3).(x + 4) olduğundan
3x + 5
=
A
B
+
x – 3 x+4
=
A (x + 4) + B (x – 3)
(x – 3) (x + 4)
x2 + x – 12
& 3x + 5 = A(x + 4) + B(x – 3) tür.
Buradan x = 3 için 14 = A.7 + 0
& A = 2,
2x2 – x – 1 ifadesinde
x = –4 için –7 = 0 + B(–7)
Δ = 1 + 8 = 9 > 0 olduğundan
2x2
dx integralini hesaplayınız.
& B=1
– x – 1 = (2x + 1)(x – 1) dir.
x +1
A
B
=
+
(2x + 1) (x – 1) 2x + 1 x – 1
bulunur.
Böylece,
#
3x + 5
x2 + x – 12
dx = # c
2
1
+
m dx
x – 3 x+4
A (x – 1) + B (2x + 1)
x +1
=
(2x + 1) (x – 1)
(2x + 1) (x – 1)
= 2,n | x – 3 | + ,n | x + 4 | + C
x + 1 = A(x – 1) + B(2x + 1) ve
= ,n | (x – 3) 2 . (x + 4) | + C
x = 1 & 1 + 1 = 0 + 3B & B =
2
3
bulunur.
445
1.
y
x+4
dx integralini hesaplayınız.
x 2 + 5x + 6
4.
,n
2.
y
(1 – x) dx
4x 2 – 4x – 3
y
x2
dx
+ 6x + 8
x +1
dx integralini hesaplayınız.
x 2 – 4x + 8
(x + 2) 2
+C
x+3
integralini hesaplayınız.
–
3.
y
1 ^ 2
3
x–2
k+C
,n x – 4x + 8h + arctan a
2
2
2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
PEKİŞTİRME ADIMI
5.
y
dx
2x 2 + 2x + 5
integralini hesaplayınız.
2x – 3
1 ^ 2
1
,n 4x – 4x – 3h + ,n
+C
8
8
2x + 1
6.
integralini hesaplayınız.
y
dx
x 2 + 10x + 30
1
2x + 1
arctan
+C
3
3
integralini hesaplayınız.
5
1
x+2
,n
+C
2
x+4
446
5
arctan c
x+5
m+C
5
7.
y 2x2 – 7 dx integralini hesaplayınız.
x +9
10. y
8.
y
y
x 3 3x 2
+
+ 7x–,n x–1 + 16,n x–2 + C
3
2
7
x
arctan + C
3
3
2x + 3
dx integralini hesaplayınız.
9x 2 – 12x + 8
1 ^ 2
13
3x–2
k+C
,n 9x –12x + 8h +
arctan a
9
18
2
9.
x4
dx integralini hesaplayınız.
x 2 – 3x + 2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
,n ^ x 2 + 9 h –
x–2
dx integralini hesaplayınız.
x 2 – 2x + 5
,n x 2 –2x + 5 –
1
x– 1
k+ C
arctan a
2
2
ÜNİTE – 4 İNTGERAL
PEKİŞTİRME ADIMI
11. y
x
dx integralini hesaplayınız.
x 2 – 5x + 4
–
1
4
,n x–1 + ,n x–4 + C
3
3
3x 3 –4x 2 + 3x
dx integralini hesaplayınız.
12. y
x2 + 1
3x 2
–4x + 4 arctan x + C
2
447
KESİRLİ (RASYONEL) FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ
ETKİNLİK
BASİT KESİRLERE AYIRMA YÖNTEMİ
I= #
2x – 5
x2 – 3x + 2
dx integralini bulunuz.
P(x) ve Q(x) birer polinom ve Q(x) ! 0 olmak üzere
Pay derecesi payda derecesinden küçük olduğundan bölme işlemine gerek yoktur.
x2 – 3x + 2 = 0 da payda kökleri 1 ve 2 olup
rasyonel fonksiyon denir. Burada y
vereceğiz.
Payın derecesinin paydanın derecesinden büyük ya da eşit olması durumu:
payda (x – 1).(x – 2) şeklinde çarpanlara ayrılır.
2x – 5
A
B
=
+
(x – 1) (x – 2) x – 1 x – 2
Bu tür durumlarda pay, paydaya bölünür, tam kısım ayrılır.
P (x)
K (x)
= B (x) +
Q (x)
Q (x)
ise
(x – 2) A + (x – 1) B
(x – 1) . (x – 2)
y
K (x)
K (x)
P (x)
Edx = y B (x) dx + y
dx
dx = y ; B (x) +
Q (x)
Q (x)
Q (x)
2x – 5 = (A + B)x – (2A + B) özdeşliği elde edi-
y
K (x)
dx
Q (x)
lir. Polinomların eşitliğinden (Belirsiz katsayılar
çüktür. Burada da üç durum sözkonusu olabilir.
=
P (x)
biçimindeki ifadelere
Q ( x)
P (x)
dx integralinin nasıl alınacağının kuralını
Q ( x)
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
KAVRAMSAL ADIM
tir.
den 2x – 5 = (x – 2)A + (x – 1)B ve
metodu)
a)
integralinde K(x) in derecesi (K(x) : kalan) Q(x) in derecesinden kü-
Q(x) = (ax + b)(cx + d)(ex + f) ...................... biçiminde çarpanlarına ayrılıyorsa
A + B = 2 ve 2A + B = 5 denklemleri ortak çö-
K (x)
M
N
P
=
+
+
+ ............ şeklinde yazıp M, N, P ................
Q (x) ax + b cx + d ex + f
zülerek A = 3 ve B = –1 bulunur.
3
1
dx – #
dx
Böylece I = #
x –1
x–2
sabitleri bulunur. Sabitler yerine yazılarak integral alınır. y
= 3,n | x – 1 | – ,n | x – 2 | + C elde edilir.
P (x)
dx integralinin
Q ( x)
sonucu logaritmalıdır.
ÖRNEK
y
2x + 1
dx
x 2 – 5x + 6
integralini hesaplayınız.
A, B katsayılarını aşağıdaki gibi iki değişik
ÇÖZÜM
yoldan bulabiliriz.
Payın derecesi paydanın derecesinden küçük olduğundan bölme işlemine gerek
yoktur.
x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3) olduğundan
2x + 1
A
B
yazılır.
=
+
x 2 – 5x + 6 x – 2 x – 3
I) 2x – 5 = (x – 2)A + (x – 1)B idi:
Şimdi payda köklerini bu eşitlikte kullanalım.
x = 1 için 2.1 – 5 = (1 – 2)A + (1 – 1)B &
–3 = –A & A = 3
x = 2 için 2.2 – 5 = (2 – 2)A + (2 – 1)B &
–1 = B & B = –1
x2
A (x – 3) + B (x – 2)
2x + 1
=
– 5x + 6
x 2 – 5x + 6
2x + 1 = A(x – 3) + B(x – 2) de
x = 2 ise 2.2 + 1 = A(2 – 3) + 0 & A = –5
x = 3 ise 2.3 + 1 = 0 + B
& B = 7 dir.
2x + 1
–5
7
2x + 1
–5
7
olup y 2
=
+
dx = y
dx + y
dx
x–2
x–3
x 2 – 5x + 6 x – 2 x – 3
x – 5x + 6
= –5,n x – 2 + 7,n x – 3 + C dir.
448
448
ÜNİTE – 4 İNTGERAL
KAVRAMSAL ADIM
ÖRNEK
II)
P (x)
2x – 5
A
B
=
=
+
Q (x) x2 – 3x + 2 x – 1 x – 2
eşitliğinin birinci tarafının paydasını türevleyelim.
P (1)
A=
Q' (1)
B=
P (2)
dir.
Q' (2)
I= y
x2
x2 + 1
dx
– 3x + 2
integralini hesaplayınız.
ÇÖZÜM
Payın derecesi paydanın derecesine eşit olduğundan bölme işlemi yapılırsa,
x2 + 1
P (x)
2x – 5
=
tür.
Q' (x) 2x – 3
x2! 3x " 2
x2–3x+2
1
3x – 1
2.1 – 5 –3
=
=3
2.1 – 3 –1
B=
2.2 – 5 –1
=
= –1 dir.
2.2 – 3
1
olduğundan
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
A=
y
x2
x2 + 1
3x – 1
dx = y c 1 + 2
m dx
– 3x + 2
x – 3x + 2
= y dx + y
ETKİNLİK
I= #
–4x + 2
x3 – 3x2 + 2x
=x+ y
dx integralini bulunuz.
x3 – 3x2 + 2x = x(x – 1).(x – 2) olup
–4x + 2
A
B
C
= +
+
x (x – 1) (x – 2) x x – 1 x – 2
3x – 1
dx
x 2 – 3x + 2
3x – 1
dx
x 2 – 3x + 2
3x – 1
A
B
=
+
x 2 – 3x + 2 x – 1 x – 2
olur.
yazılır.
A (x – 2) + B (x – 1)
3x – 1
=
x 2 – 3x + 2
x 2 – 3x + 2
–4x + 2 = (x – 1)(x – 2).A + x(x – 2)B+x(x – 1).C
3x – 1 = A(x – 2) + B(x – 1)
x = 0 için 0 + 2 = (0 – 1)(0 – 2)A + 0.B + 0.C
x = 2 & 3.2 – 1 = 0 + B & B = 5
& A=1
x = 1 için
x = 1 & 3.1 – 1 = –A + 0 & A = –2 dir.
–4 + 2 = 0.A + 1.(1 – 2)B + 0.C
& B=2
x = 2 için –8 + 2 = 0.A + 0.B + 2.(2 – 1)C
& C = –3
olup
1
2dx
–3
I = # dx + #
+#
dx
x
x –1
x–2
I = ,n | x | + 2,n | x – 1 | – 3,n | x – 2 | + C
y
3x – 1
–2
5
dx = y
dx + y
dx
x –1
x–2
x 2 – 3x + 2
= –2,n x – 1 + 5,n x – 2 + C
dir.
O halde
I= y
b)
x2
x2 + 1
dx = x – 2,n x – 1 + 5,n x – 2 + C bulunur.
– 3x + 2
Payda Q(x) = (ax + b)n biçiminde ise
elde edilir.
K (x)
A
B
D
=
+
+ .......... +
Q (x) ax + b (ax + b) 2
(ax + b) n
yazılır.
449
ÖRNEK
ETKİNLİK
I= #
x3 – 4x2 + 6x – 7
dx integralini bulunuz.
x2 – 4x + 3
Payın derecesi büyük olduğundan payı pay3x – 7
daya bölerek x +
bulunur.
x2 – 4x + 3
I = # xdx + #
3x – 7
x2 – 4x + 3
x2
3x – 7
dx
+#
2
x2 – 4x + 3
dx
dir. Son integral önceki yöntemle hesaplanarak
I=
x+2
dx
I= y 3
x + x2
integralini hesaplayınız.
ÇÖZÜM
x+2
x+2
A B
C
=
= +
+
x 3 + x 2 x 2 (x + 1) x x 2 x + 1
Ax (x + 1) + B (x + 1) + Cx 2
x+2
=
x3 + x2
x3 + x2
x + 2 = x2(A + C) + x(A + B) + B eşitliğinden
_
B=2
b
A + B = 1 ` & A = –1, C = 1 olur.
b
A + C = 0a
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
KAVRAMSAL ADIM
x2
+ 2,n | x – 1 | + ,n | x – 3 | + C elde edilir.
2
O halde
1 2
1
x+2
dx
I= y 3
dx = y c – x + 2 +
x +1m
x
x + x2
1
1
1
1
I = – y x dx + 2 y 2 dx + y
dx = –,nx + 2 b – x l + ,n x + 1 + C
x +1
x
I = ,n
ETKİNLİK
#
dx
integralini hesaplayınız.
4 + x – x2
c)
x +1
2
x – x + C bulunur.
Kesrin paydasında çarpanlarına ayrılamayan (Δ < 0 olan) ax2 + bx + c gibi bir
ifade varsa paydadaki bu ifadeye karşılık paya Ax + B çarpanı gelir.
ÖRNEK
x 2 + 2x – 1
dx integralini hesaplayınız.
I= y
x (x 2 + 1)
ÇÖZÜM
x 2 + 2x – 1 A Bx + C
= x + 2
x ( x 2 + 1)
x +1
yazılır.
x 2 + 2x – 1 A (x 2 + 1) + Bx 2 + Cx
=
x (x 2 + 1)
x (x 2 + 1)
den
x2 + 2x – 1 = x2 (A + B) + Cx + A eşitliğinden
A + B = 1_
b
C=2
` & B=2
b
A = –1 a
450
dir.
ÜNİTE – 4 İNTGERAL
KAVRAMSAL ADIM
O halde
ETKİNLİK
2
y x + 22x – 1 dx = y c – 1 + 2x2 + 2 m dx
x x +1
x ( x + 1)
dx
integralini hesaplayınız.
sin x
tan
x
= t koyalım.
2
sin x =
dx =
= –,nx + y
1+ t2
2dt
I = ,n
ve
1+ t2
2dt
1+ t2
dt
= ,n | t | + C
t
= ,n | tan
x
| + C dir.
2
Trigonometrik fonksiyonların integralini bulmak için genel bir kural yoktur. Ancak belli
yapıdaki trigonometrik integraller için aşağıdaki değişken değiştirme işlemi yapılır.
1) y Q (sin x, cos x) dx biçimindeki integraller:
Burada integrali alınacak fonksiyon sinx ve cosx in rasyonel bir fonksiyonu ise
tan
x
= t değişken değiştirmesi yapılır.
2
tan
x
x
=t &
= arctan t
2
2
=
2 sin
x
2
Bir dar açısı
x
x
cos
2
2
sin
x
– 1+ 1
2
sin x
x
1 – (1 – 2 sin2 )
=
x
=
2
cos
x
=
2
sin x = 2.
x
olan dik üçgen çizilirse,
2
t
x
2
C
1
B
t
1+ t 2
1
ve
1+ t2
sinx = sin2.
2
sin x
x
x
x
= 2 sin . cos
2
2
2
olduğundan
t
1
2t
.
=
1+ t2
1+ t 2 1+ t2
=
1 – cos x
1
=
– cot x
sin x
sin x
cosx = cos2.
#
dx
1
= ,n
– cot x + C
sin x
sin x
cos x = d
elde edilir.
1
t2 +
2
& dx =
dt olur.
1+ t 2
2 sin2
=
A
& x = 2 arctan t
x
2
x
cos
2
sin
2 sin2
x2 + 1
+ 2 arctan x + C bulunur.
x
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ
Bu sonuç aşağıdaki biçimde de yazılabilir.
x
tan =
2
2x
1
dx + 2 y 2
dx
x2 + 1
x +1
= –,nx + ,n x 2 + 1 + 2 arctan x + C olup
2t
dx
1+ t2
#
=#
2t
sin x
=#
1
x +1
= – y x dx + 2 y 2
dx
x +1
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
#
x
x
x
olduğundan
= cos 2 – sin 2
2
2
2
2
2
1
t
1 – t2
m =
n –c
2
2
1+ t 2
1+ t
1+ t
olur.
Bu değerler verilen integralde sinx ve cosx yerine yazılarak t ye bağlı rasyonel bir
integral elde edilir. Bu integral daha önce verilen yöntemle hesaplandıktan sonra
t = tan
x
yazılarak sonuca ulaşılır.
2
451
ÖRNEK
ETKİNLİK
#
dx
integralini hesaplayınız.
cos x
tan
1 – t2
, dx =
1+ t2
tan
2dt
1+ t2
2dt
dx
=#
cos x
1+ t2
1 – t2
1+ t2
=#
2
1 – t2
= #c
dt
1
1
+
m dt
1+ t 1 – t
x
= t denilirse
2
x
= arctan t & x = 2 arctan t
2
2
2t
olduğundan yerine yazılırsa
dx =
dt ve sin x =
1+ t 2
1+ t 2
olduğundan,
#
1
dx integralini hesaplayınız.
1 + sin x
ÇÖZÜM
x
= t koyalım.
2
cos x =
I= y
2
1 + t 2 dt =
2t
1+
1+ t2
2
1 + t 2 dt =
(1 + t) 2
1+ t2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
KAVRAMSAL ADIM
y
ve t = tan
y
y (1+2t) 2 dt = –2 11+ t + C
x
1
yazılırsa I = –2
x + C bulunur.
2
1 + tan
2
2) y Q (tan x) dx biçimindeki integraller:
= ,n | 1+ t | – ,n | 1 – t | + C
1+ t
= ,n
+C
1– t
Bu integrallerde tanx = t değişken değiştirmesi yapılır.
tan x = t & x = arctan t
dx =
= ,n
x
2
+C
x
1 – tan
2
1+ tan
bulunur.
y Q (t) . dt 2 biçiminde rasyonel bir fonksiyonun integraline dönüşür.
1+ t
Bu sonuç aşağıdaki biçimde de yazılabilir.
x
sin
2
1+
x
x
x
x
1+ tan
cos
cos + sin
2
2
2
2
=
=
x
x
x
x
1 – tan
sin
cos – sin
2
2
2
2
1–
x
cos
2
ÖRNEK
I= y
tan x
dx integralini hesaplayınız.
1 + tan x
ÇÖZÜM
tan x = t & x = arctan t
& dx =
1
x
x 2 6 4 4244x7 4 4244x8
x
x
+ sin m
cos
+ sin
+ 2 sin cos
2
2
2
2
2
2
=
=
x
x
cos x
cos2 – sin2
2
2
c cos
=
1+ sin x
1
=
+ tan x olduğundan,
cos x
cos x
#
dx
1
= ,n
+ tan x + C
cos x
cos x
elde edilir.
452
1
dt olup integral
1+ t 2
I= y
1
dt
1+ t2
t
1
tdt
.
dt = y
olur.
(1 + t) 1 + t 2
(1 + t ) (1 + t 2 )
Burada
t
A
Bt + C
=
+
den
( 1 + t) ( 1 + t 2 ) 1 + t
1+ t 2
^ 1 + t 2 h ( 1 + t)
t
A + At 2 + Bt + Bt 2 + C + Ct
=
2
( 1 + t) ( 1 + t )
( 1 + t) ( 1 + t 2 )
t = t2(A + B) + t(B + C) + A + C eşitliğinden
ETKİNLİK
#
cos x dx
integralini hesaplayınız.
2
4 – cos x
cos x dx
I= #
ÜNİTE – 4 İNTGERAL
KAVRAMSAL ADIM
=
2
cos x dx
#
4 – cos x
2
=
#
cos x dx
4 – (1 – sin x)
2
3 + sin x
A +B=0
1
1
1
B + C =14 C = , B = , A = –
2
2
2
A +C=0
1
1
1
–
t+
tdt
f 2 + 2 2 pdt
=
1+ t
(t + 1) (1 + t 2)
1+ t2
y
bulunur.
y
sint = t koyarsak cosx dx = dt ve
dt
I= #
olur. t = 3 tan u koyarsak,
3 + t2
1
du
2
du
u
cos
= #
=#
2
1
cos
u
3 + 3 tan u
cos u
cos2 u
I= #
= ,n
du
1
+ tan u + C
cos u
= ,n
3+t
3
+
t
3
+C
y 1dt+ t + 12 y 1+t t 2 dt + 12 y 1+dtt 2
1
1 1
= – ,n 1 + t + .
2
2 2
y 1+2tt 2 dt + 12 arctan t + C
1
1
1
,n | 1+ t | + ,n | 1+ t2 | + arctan t + C
2
4
2
t = tanx yazılırsa
=–
A
1
1
1
I = – ,n 1 + tan x + ,n 1 + tan 2 x + arctan (tan x) + C
2
4
2
2
2
1
2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
3
=–
t
3+
t
1
1
1
= – ,n 1 + tan x + ,n sec 2 x + x + C
2
4
2
u
C
3
B
=–
= ,n t + 3 + t2 + C – ,n 3
=
1
1
1
,n | 1+ tan x | + ,n | sec x | + x + C
2
2
2
1
sec x
1
,n
+ x+C
2
1 + tan x
2
olur.
= ,n sin x + 3 + sin2 x + k, (k = C – ,n 3 )
3)
ETKİNLİK
#
1
dx integralini hesaplayınız.
x ^ 1+ x 2 h
y Q (sin 2n x, cos 2n x) dx
(n ! Z +) biçimindeki integraller:
Bu tür integrallerde tanx = t değişken değiştirimi yapılır.
tanx = t & x = arctant
& dx =
1
dt olur.
1+ t 2
Bir açısı x olan dik üçgen çizilirse;
sin x =
cos x =
A
t
1+ t 2
1+
t2
bulunur.
1
1+ t 2
olup verilen integralde yerlerine yazılarak t ye bağlı rasyonel bir fonksiyonun integrali elde edilir. Bu integral hesaplandıktan sonra t = tanx yazılarak sonuca ulaşılır.
t
x
C
1
B
453
ÖRNEK
ETKİNLİK
I=
# sin2 x. cos3 x dx integralini hesaplayınız.
# sin2 x. cos3 x dx = # sin2 x. cos2 x. cosxdx
1
y 1+ cos
2 dx
x
ÇÖZÜM
tanx = t & x = arctan t
= # sin2 x. (1 – sin2 x) . (cos x dx)
dx =
u = sinx olsun.
ve cos x =
du = cosx dx tir.
# sin2 x. cos3 x dx = # u2 (1 – u2) du
= # (u2 – u4) du =
=
3
integralini hesaplayınız.
1
dt
1+ t 2
1
değerleri yerlerine yazılırsa
1+ t 2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
KAVRAMSAL ADIM
I=
y
5
u
u
–
+C
3
5
1
1+ t 2
2 dt =
1
1+ c
m
1+ t 2
1
1
sin3 x – sin5 x + C
3
5
bulunur.
I=
u=
I=
u=
ETKİNLİK
# sin 4 x. cos x dx
integralini hesaplayınız.
IV.
y
y
1
1 + t 2 dt
1
1+
1+ t2
=
y 2 dt
+ t2
=
y
dt
2 c1+
t2 m
2
dt
2> 1+ c
t 2
m H
2
t
1
& du =
dt & dt = 2 du
2
2
2
2
y 1+duu2 =
2
arctan u + C
2
t
tan x
2
tan x
=
& I=
arctan c
m + C bulunur.
2
2
2
2
y sinm x. cosn xdx
BİÇİMİNDEKİ İNTEGRALLER: (m, n ∈ Z)
Burada 3 durum söz konusu olabilir.
1. m çift n tek olsun.
O zaman n = 2p + 1 biçiminde yazılabilir. Buradan
y sin m x. cos n xdx = y sin m x. cos 2p + 1 xdx
=
y sin m x. cos 2p x. cos xdx
=
y sinm x (1 – sin2 x) p cos xdx
olur. Bu son integralde sinx = t denilirse cosxdx = dt olur.
O halde,
y sinm x. (1 – sin2 x) p cos xdx = y t m . (1 – t 2) p dt
454
olur.
ÜNİTE – 4 İNTGERAL
KAVRAMSAL ADIM
ÖRNEK
ETKİNLİK
I=
y sin 4 x. cos 5 xdx
integralini hesaplayınız.
# cos x dx integralini hesaplayınız.
4
ÇÖZÜM
1 + cos 2x 2
= # cos4 xdx = # (cos2 x) 2 dx = # (
) dx
2
1
= # (1 + 2 cos 2x + cos2 2x) dx
4
=
1
1
1 1 + cos 4x
# dx + # cos 2xdx + #
dx
4
2
4
2
y sin 4 x. cos 4 x cos xdx
biçiminde yazalım.
y sin 4 x. (cos 2 x) 2 cos xdx = y sin 4 x^1 – sin 2 xh2 x 2 cos xdx
t = sin x & dt = cos xdx
I=
y t 4 . (1 – t 2) 2 dt = y t 4 (1 – 2t 2 + t 4) dt = y (t 4 – 2t 6 + t 8) dt
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
=
Verilen integrali I =
1
1
1
1
# dx + # cos 2xdx + # dx + # cos 4xdx
4
2
8
8
=
1
1 sin 2x 1
1 sin 4x
x+ .
+ x+ .
+C
4
2
2
8
8
4
=
3x 1
1
+ sin 2x +
sin 4x + C
8
4
32
I=
t5 2 7 t9
– t + + C ve t = sin x ise
5 7
9
I=
sin 5 x 2 sin 7 x sin 9 x
–
+
+ C bulunur.
5
7
9
2. m ve n nin ikisi de negatif olmayan çift sayılar olsun.
Örneğin, m = 2p, n = 2q olsun.
y sin m x. cos n xdx = y sin 2p x. cos 2q xdx
=
y (sin 2 x) p . (cos 2 x) q dx
=c
1 – cos 2x p 1+ cos 2x p
m .c
m dx
2
2
olup parantezler açılarak elde edilen integralde çift ve tek kuvvetlerin birlikte bulunduğu terimlerin integrali 1. deki yoldan, çift kuvvetlerin bulunduğu terimlerin integrali
de
cos 2 2x =
ETKİNLİK
1 + cos 4x
eşitliği yardımı ile hesaplanır.
2
ÖRNEK
# sin2 x. cos x dx
I=
integralini hesaplayınız.
y sin 2 x. cos 2 xdx
integralini hesaplayınız.
ÇÖZÜM
I=
y (sin 2 x) . (cos 2 x) dx
I=
2x 1 + cos 2x
1 – cos
m.c
m dx = y c
y c 1 – cos
2
2
4
1 + cos 4x
2
dx =
4
yazılırsa
y
1–
=
=
1
8
y dx – 18 y cos 4xdx
=
x 1 1
– . sin 4x + C
8 8 4
=
x
1
–
sin 4x + C bulunur.
8 32
2
2x m
dx
4x
dx
y 1 – cos
8
455
3. m ve n nin her ikisi de tek sayı olsun.
Burada mutlak değerce küçük kuvvetli olan fonksiyon parçalanır.
Geriye kalan işlemler 1. deki yoldan sürdürülür.
ETKİNLİK
# sin3 x dx integralini hesaplayınız.
ÖRNEK
# sin3 x dx = # sin2 x. (sin x dx)
I=
= # (1 – cos2 x) . (sin x dx)
u = cosx olsun du = –sinx dx
tir.
= # (–1+ u2) du
u3
+C
3
= – cos x +
bulunur.
integralini hesaplayınız.
ÇÖZÜM
# sin3 x dx = # (1 – u2) . (–du)
= –u +
3
sin x
y cos
5 dx
x
Verilen integralin
y sin 3 x. cos –5 xdx
olduğu düşünülürse
3 < –5
1
cos3 x + C
3
olduğundan
sin3x fonksiyonu parçalanır.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
KAVRAMSAL ADIM
2
2
(1 – cos x) sin x
x
dx
dx = y
y sincosx.5sin
x
cos 5 x
u = cosx & du = –sinxdx olduğundan
2
2
y (1 – u u)5. (–du) = y uu 5 du – y du
u5
=
y u –3 du – y u –5 du
=
u –2 u –4
1
1
–
+C =–
+
+C
–2
–4
2u 2 4u 4
u = cosx yazılırsa
I= –
1
1
+
+C
2 cos 2 x 4 cos 4 x
1
1
= – sec 2 x + sec 4 x + C bulunur.
2
4
ETKİNLİK
V.
y sin mx. cos nxdx, y cos mx. cos nxdx
BİÇİMİNDEKİ İNTEGRALLER
Bu integralleri hesaplamak için
# sin 3x. sin 2x dx
sin mx. cos nx =
integralini hesaplayınız.
cos mx. cos nx =
1
sin (m + n) x + sin (m – n) x @
26
1
cos (m + n) x – cos (m – n) x @
26
1
sin mx. sin nx = – 6 cos (m + n) x – cos (m – n) x @ eşitlikleri kullanılır.
2
ÖRNEK
I=
y sin 4x. cos 6xdx
integralini hesaplayınız.
ÇÖZÜM
sin4x.cos6x =
=
456
1
sin (4 + 6) x + sin (4 – 6) x @
26
1
(sin 10x – sin 2x)
2
olduğundan
ETKİNLİK
I=
1
2
y (sin 10x – sin 2x) dx
=
1
2
y sin 10xdx – 12 y sin 2xdx
=
1 1
1 1
.
(– cos 10x) – . (– cos 2x) + C
2 10
2 2
# cos 4x. cos 2x dx
integralini hesaplayınız.
cos a. cos b =
1
6 cos (a – b) + cos (a + b) @
2
=–
ÜNİTE – 4 İNTGERAL
KAVRAMSAL ADIM
1
1
cos 10x + cos 2x + C bulunur.
20
4
formülü uygulanarak
ÖRNEK
# cos 4x. cos 2x dx =
1
6 cos (4x – 2x) + cos (4x + 2x) @ dx
2
=
1
1
# cos 2x dx + # cos 6x dx
2
2
I=
=
1 1
1 1
. sin 2x + . sin 6x + C
2 2
2 6
=
1
1
sin 2x +
sin 6x + C
4
12
integralini hesaplayınız.
ÇÖZÜM
1
sin6x.sin8x = – 6 cos (6 + 8) x – cos (6 – 8) x @
2
1
= – 6 cos 14x – cos (–2x) @
2
1
= – (cos 14x – cos 2x)
2
I=
bulunur.
y sin 6x. sin 8xdx
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
#
(cos(–α) = cosα)
y sin 6x. sin 8xdx
=–
1
2
y (cos 14x – cos 2x) dx
1 1
1
= – ( sin 14x – sin 2x) + C
2 14
2
=–
ETKİNLİK
1
1
sin 14x + sin 2x + C
28
4
bulunur.
ÖRNEK
# cos x. cos 2x
dx
I=
y cos 6x. cos xdx
integralini hesaplayınız.
integralini hesaplayınız.
ÇÖZÜM
cos6x.cosx =
=
I=
1
cos (6 + 1) x + cos (6 – 1) x @
26
1
(cos 7x + cos 5x) olduğundan yerine yazılırsa
2
y cos 6x. cos x dx
y (cos (7x + cos 5x) dx
=
1
2
=
1 1
1
( sin 7x + sin 5x) + C
5
2 7
=
1
1
sin 7x +
sin 5x + C bulunur.
14
10
457
4
1.
y (x +x 1) 2 dx
4.
integralini hesaplayınız.
(n > 1)
y (axdx
+ b) n
integralini hesaplayınız.
1
1– n
+C
a (ax + b) n–1
3
1 3 2
x –x + 3x–6,n x + 1 –
+C
x+1
3
2.
y x2 +dx
2x + 4
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
PEKİŞTİRME ADIMI
5.
integralini hesaplayınız.
1
1
1
1
1
1
= ;–
+
+
+
E yazılabiliyor.
(x – 1) 2 4 x – 1 (x – 1) 2 x + 1 (x + 1) 2
x3
Ax + B
Cx + D
/
özdeşliğinde
+
(x + 2x + 2) 2 x 2 + 2x + 2 (x 2 + 2x + 2) 2
2
A, B, C, D katsayılarını bulunuz.
3 arctan c
x+1
m+C
3
A = 1, B = –2
C = 4, D = 4
3
3.
y x2 +dx
4x + 4
6.
integralini hesaplayınız.
–
458
1
+C
x+2
y x 3 – xx2 – x + 1 dx
integralini hesaplayınız.
x+
5
1
1
,n x–1 – ,n x + 1 –
+C
4
4
2 (x – 1)
7.
y sin 10 x cos 3 x dx
integralini hesaplayınız.
10.
y sin 2 x. cos 2 x dx
integralini hesaplayınız.
1
1
sin 11 x–
sin 13 x + C
11
13
y cos 2 3x. sin4 3x dx
x
1
–
sin 4x + C
8 32
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
8.
integralini hesaplayınız.
11.
y
dx
x
x
sin . cos 3
2
2
1 x 1
1
( –
sin 12x –
sin 3 6x) + C
8 2 24
18
9.
y sin 2 x. cos 3 x dx
integralini hesaplayınız.
1
1
sin 3 x – sin 5 x + C
3
5
ÜNİTE – 4 İNTGERAL
PEKİŞTİRME ADIMI
12.
y sin 3 x. cos 7 x dx
integralini hesaplayınız.
1
cos 2
x
2
+ 2,n tan
x
+C
2
integralini hesaplayınız.
1
1
cos 10 x – cos 8 x + C
10
8
459
PARÇALI (KISMİ) İNTEGRAL
ETKİNLİK
u ve v x in diferansiyellenebilen fonksiyonu ise u.v fonksiyonunun diferansiyeli
# sec3 x dx integralini hesaplayınız.
sec3x
=
secx.sec2x
secx = u,
sec2xdx
dir.
= dv seçelim.
d(u.v) = udv + vdu olur. Her iki tarafın integrali alınırsa
y d (u.v) = y udv + y vdu
secx.tanxdx = du, tanx = v bulunur.
# sec3 xdx = sec x. tan x – # tan2 x. sec xdx
u.v =
y udv + y vdu
olup böylece
y udv = u.v – y vdu
bulunur. Bu formüle parçalı integral formülü denir. Her integral parçalı integral for= secx.tanx – # sec x (sec2 x – 1) dx
mülü ile hesaplanamaz. Çarpım biçimindeki belli başlı türlerin bu yöntemle integrali
bulunabilir. Burada önemli olan neye u, neye dv diyeceğimizi kestirmektir. Bu seçim
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
KAVRAMSAL ADIM
= sec x. tan x – # (sec x – sec x) dx
3
= sec x. tan x – # (sec3 x – sec x) dx
yapılırken şunlara dikkat edilmelidir:
# dv integralinden
1.
v = v(x) fonksiyonu kolayca bulunabilmeli,
# sec3 xdx = sec x. tan x – # sec3 xdx + # sec xdx
# vdu integralini hesaplamak # u dv integralini hesaplamaktan daha kolay
2.
olmalıdır.
2 # sec3 xdx = sec x tan x + # sec xdx
UYARI
sec3xdx
1
=
[secxtanx + ,n |secx + tanx|] + C
2
bulunur.
Kolaylık sağlaması bakımından aşağıdakiler verilebilir:
P(x) bir polinom olmak üzere;
1.
ETKİNLİK
#
y
a mx
P (x) . * sin mx 4 dx biçimindeki integrallerde
cos mx
u = P (x),
,nx
dx integralini hesaplayınız.
(x + 1) 2
2.
y
a mx
dv = * sin mx 4 dx seçimi yapılır.
cos mx
Zlog a mx _
]
b
] arcsin mx b
]
b
[ arccos mx` .P (x) dx biçimindeki integrallerde
]
b
] arctan mx b
]
b
\ arc cot mxa
Zlog a mx _
]
b
] arcsin mx b
]
b
u = [ arccos mx` dv = P (x) dx seçimi yapılır.
]
b
] arctan mx b
]
b
\ arc cot mxa
n+1
460
n+1
3.
y x n ,nx dx = xn + 1 ,nx – (nx+ 1) 2 + C
4.
y P (x) .e x dx = e x (P (x) – P ' (x) + P'' (x) ... )
1.
I=
y x,nx dx
integralini hesaplayınız.
3.
I=
y arctan xdx
Çözüm
Çözüm
Burada u = ,nx, dv = xdx seçimi yapılırsa
u = arctanx
1
du = x dx , v =
v=
I = u.v –
x2
olur.
2
integralini hesaplayınız.
dv = dx
1
dx
1+ x 2
du =
y xdx
v=x
y v.du
y
= x.arctanx – x.
O halde
y x,nx dx = u.v – y vdu
1
2
1
dx
1+ x2
y 1+2xx2 dx
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
= x.arctan x –
=
x2
1
.,nx –
2
2
y x 2 . 1x dx
=
x2
1
,nx –
2
2
y xdx
ÜNİTE – 4 İNTGERAL
UYGULAMA ADIMI
I = x. arctan x –
1
,n (1 + x 2) + C bulunur.
2
x
2
=
2
x
1 x
,nx – .
+C
2
2 2
4.
I=
dx
y (1xe
+ x) 2
integralini hesaplayınız.
Çözüm
x2
x2
I=
,nx –
+ C bulunur.
2
4
u = xex
dv =
1
dx
(1 + x) 2
du = (1 + x)exdx
v=–
1
1+ x
I = uv –
2.
y x.3 2x dx
=–
y v.du
xe x
+
1+ x
y (11++x)xe
x
dx
integralini hesaplayınız.
I= –
Çözüm
xe x
+ e x + C bulunur.
1+ x
u = x, dv = 32x dx seçimi yapmak uygun olacaktır.
O halde
du = dx,
v=
y
1 3 2x
3 dx = .
olacağından
2 ,n3
2x
x.3 2x
1
–
2,n3 2,n3
I=
y sinx2 x dx
integralini hesaplayınız.
Çözüm
y x3 2x dx = u.v – y v.du
=
5.
y 32x dx
x.3 2x
1
1
=
–
.
.3 2x + C
2,n3 2,n3 2,n3
x.3 2x
1
=
+ C olur.
1–
2,n3 c
2,n3 m
1
dx
sin 2 x
u=x
dv =
du = dx
v = –cotx
I=
y sinx2 x dx = u.v – y v.du
= –x cot x +
y cot xdx
I = –x cot x + ,n sin x + C bulunur.
461
6.
I=
y e x . sin xdx
integralini hesaplayınız.
x
8.
Çözüm
y c ex
ex
m dx integralini hesaplayınız.
x2
–
Çözüm
u = ex
dv = sinxdx
du = exdx
I=
I=
x
I=
v = –cosx
y ex
y
dx –
y e x sin xdx = u.v – y v.du
x
J=
x
= –e cos x +
diyelim.
J
y 1e44cos
2 xdx
44 3
x
ex
dx
xX2
y xe2 dx
integralinde
J
J=
y e x cos xdx
p = ex
dt = cosxdx
exdx
J = p.t –
x
y tdp
y e x sin xdx
y
I = –e x cos x + e x sin x – e x\
sin x
2I = e x (sin x – cos x)
I=
y ex
I=
y ex
=
y ex
I
x
ex
dx – ; – x +
x
ex
dx + x –
x
y ex
dx E + C
x
y ex
dx + C
ex
(sin x – cos x) + C bulunur.
2
y
,nx
dx integralini hesaplayınız.
x 10
dv =
1
du = x dx
I=
ye
x
dx integralini hesaplayınız.
Çözüm
dx = 2tdt
olduğundan
ye
y 2te t dt
I=
y x,nx
10 dx = u.v – y v.du
x
dx =
v = et
du = 2dt
y 1x . x19 dx
1
1
,nx +
9
9x 9
=–
1
1 x –9
9 ,nx + 9 . –9 + C
9x
1
1
c ,nx + 9 m + C bulunur.
9x 9
y vdu
I = uv –
= 2te t –
I = 2. x e
= 2e
dir.
dv = et dt
u = 2t
=–
I= –
9.
Parçalı integral formülünü daha rahat uygulayabilmek için
önce x = t2 değişken değişimi yapalım.
1
dx
x 10
1
v=– 9
9x
u = ,nx
462
dx – J
ex
I = x + C bulunur.
Çözüm
I=
dx olur.
x
I=
olup yukarıda yerine yazılırsa
7.
x
y v.du = – ex + y ex
J = u.v –
t = sinx
= e x sin x –
I=
dv =
du = e x
gulanırsa
dp =
1
dx
x2
1
v=–x
u = ex
integralinde de parçalı integral formülü uy-
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
UYGULAMA ADIMI
x
y
2e t dt = 2te t – 2e t + C
x
– 2e
x
+C
( x – 1) + C bulunur.
10. I =
y sin (,nx) dx
11. I =
integralini hesaplayınız.
y (1+dxx 2) 2
integralini hesaplayınız.
Çözüm
Çözüm
Verilen integrali
Verilen integrali
I=
y
sin (,nx)
dx biçiminde yazalım.
x.
x
dv =
du = dx
v = –cos( , nx)
biçiminde yazalım.
2
J=
y
y (1x+ xdx2) 2
,nx44
) dx3
y 1cos
44(2
J=
y 2x . (1+2xx2) 2 dx
cos (,nx)
dx biçiminde yazarsak
x.
x
u=
x
2
du =
p=x
dp = dx
t = sin( , nx)
J=
nx44
) dx3
y 1sin
44(,2
I
I = –x cos (,nx) + J
I = –x cos (,nx) + x sin (,nx) –
nx44
) dx3
y 1sin
44(,2
I
2I = –x cos (,nx) + x sin (,nx) + C
I=
dx
2
dv =
2x
dx
(1 + x 2 ) 2
v=–
1
1+ x2
2
y x cosx(,nx) dx = pt – y tdp
J = x sin (,nx) –
biçiminde yazıp parçalı integral formülü
uygulanırsa
integralini de
cos (,nx)
dx
dt =
x
J=
integralini
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
J=
2
J
J
y cos (,nx) dx
2
= arctan x –J
y x. sin (x,nx) dx = u.v – y v.du
= –x cos (,nx) +
J=
2
y (1+(1x+ –x 2x) 2) dx = y 1+dxx 2 – y (1x+ xdx2) 2
14
424 3
sin (,nx)
dx
x
u= x
I=
I=
ÜNİTE – 4 İNTGERAL
UYGULAMA ADIMI
I=
=
y (1+x x2) dx = uv – y vdu
y 1+dxx 2
=–
1
x
+
2 (1 + x 2) 2
=–
x
1
+ arctan x
2 (1 + x 2 ) 2
y (1+dxx2) 2 = arctan x + 2 (1+x x2) – 12 arctan x
1
x
arctan x +
+ C bulunur.
2
2 (1 + x 2)
x
sin (,nx) – cos (,nx) @ + C bulunur.
26
ETKİNLİK
3x dx integralini hesaplayınız.
3x dx integralini hesaplayınız.
# x#2xsinsin
2
463
1.
y x cos x dx
integralini hesaplayınız.
4.
y ,n (x2 + 1) dx
integralini hesaplayınız.
x,n (x 2 + 1) –2x + 2Arc tan x + C
xsinx + cosx + C
2.
y x2 e x dx
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
PEKİŞTİRME ADIMI
integralini hesaplayınız.
5.
#
x arcsin x
1 – x2
dx integralini hesaplayınız.
ex(x2 – 2x + 2) + C
3.
y xe 2x dx
integralini hesaplayınız.
6.
1 2x 1 2x
xe – e + C
2
4
464
cos x
dx
y xsin
2
x
x– 1 – x 2 Arc sin x + C
integralini hesaplayınız.
–
x
x
+ ,n tan
+C
sin x
2
7.
y x3 ,nx dx
integralini hesaplayınız.
10.
y x. sin 2 3x dx
integralini hesaplayınız.
x2
x
1
–
sin 6x –
cos 6x + C
4
12
72
y (x 2 – 2x + 5) e –x dx
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
1 4
1 4
x ,nx –
x +C
4
16
8.
integralini hesaplayınız.
11.
y ,n (x +
1 + x 2 ) dx integralini hesaplayınız.
–e–x(x2 + 5) + C
9.
y x 3 e 2x dx
integralini hesaplayınız.
e 2x ;
x3 3 2 3
3
– x + x – E+C
2
4
8
4
ÜNİTE – 4 İNTGERAL
PEKİŞTİRME ADIMI
12.
y e ax cos bx dx
x,n (x +
1 + x2 ) –
1+ x2 + C
integralini hesaplayınız.
1
a2 + b2
e ax (a cos bx + b sin bx) + C
465
KAVRAMSAL ADIM
y = f(x) eğrisi, x = a, x = b doğruları ve x– ekseni arasında
kalan alan A dır denir ve
RİEMANN TOPLAMI OLARAK BELİRLİ İNTEGRAL
y = f(x) fonksiyonu [a, b] aralığında sürekli olsun.
ya
b
a = x0 , b = xn olmak üzere x1 , x2 , .... , xn–1 ile [a, b]
yazılır.
f (x) dx = A
lim A n (T) ! lim Ü n (T)
aralığını n– eşit parçaya bölelim.
n"3
ya
b
y
n"3
ise
f (x) dx integrali yoktur.
y=f(x)
y
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
a2
(n–1)a 2
a
(3a/n)2
a=x0
x1
x2
x3
...
xn–2 xn–1 b=xn
x1 – x0 = x2 – x1 = x3 – x2 = ... = xn–1 – xn–2=xn – xn–1=
(2a/n)2
x
b–a
dir.
n
Bir köşesi y = f(x) eğrisi üzerinde bulunan ve eğrinin altında kalan
şekildeki taralı dikdörtgenlerin alanları toplamına alt toplam denir
ve An(T) ile gösterilir.
(a/n)2
a
n
2a
n
3a
n
...
x
(n–1)a a
n
ÖRNEK
y0a x2 dx
integralini Riemann toplamı yardımıyla hesaplayınız.
ÇÖZÜM
Yani
A n (T) =
=
=
b–a
n
f ( x 0) +
b–a
b–a
f (x 1) + ... + n f (x n–1)
n
b–a /
n k = 0 f (x k) dır.
Bir köşesi y = f(x) eğrisi üzerinde bulunan ve eğrinin üstüne taşan
dikdörtgenlerin alanları toplamına üst toplam denir ve Ün(T) ile
gösterilir. Yani,
a 3 . (n – 1) n (2n – 1)
6
n3
=
a 3 . (n – 1) (2n – 1) a 3 . 2n 2 – 3n + 1
=
6
6
n2
n2
a 2a 2 a 3a 2
a
Ü n (T) = n a n k + n a n k + ... + n a 2
a 3
a 3 n (n + 1) (2n + 1) E
= a n k " 2 2 + 3 2 + ... + n 2 , = 3 . ;
–1
6
n
=
b–a
n " f (x 1) + f (x 2) + ... + f (x n) ,
=
=
n
b–a /
n k = 1 f (x k) dır.
n"3
Alt ve üst toplamlara Riemann toplamı denir.
lim A n (T) = lim Ü n (T) = A
466
=
b–a
b–a
b–a
n f (x 1) + n f (x 2) + ... + n f (x n)
Ü n (T) =
n"3
a 3
= a n k " 1 + 2 2 + ... + (n – 1) 2 ,
b–a
n " f (x 0) + f (x 1) + ... + f (x n–1) ,
n–1
2
a a 2 a 2a 2
a ( n – 1) a
A n (T) = n a n k + n a n k + ... + n ; n E
n"3
ise
a 3 . 2n 2 + 3n – 5
ve
6
n2
lim A n (T) = lim *
a 3 . 2n 2 – 3n + 1
a3 .
a3
2=
4=
2
6
6
3
n
lim Ü n (T) = lim *
a 3 . 2n 2 + 3n – 5
a3 .
a3
2=
4=
2
6
6
3
n
n"3
n"3
n"3
3
olduğundan,
y0a x2 dx = a3
tür.
ÜNİTE – 4 İNTGERAL
KAVRAMSAL ADIM
ETKİNLİK
y = x2 eğrisi, x ekseni ve x = 3 doğrusuyla sınırlanan bölgenin alanını dikdörtgenlerin alanları yardımıyla yaklaşık olarak bulalım.
Eğrinin altında kalan dikdörtgenleri ele alalım.
y
y
y=x2
9
y
y=x2
9
9
8
8
8
6
6
6
4
4
4
2
2
1
2
3
2
0
1
2
3
x
0
1 1 3 2 5 3
2
2
2
x
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
0
x
y=x2
fiekil–1
fiekil–2
fiekil–3
Şekil 2'deki üç dikdörtgenin toplam alanı;
(0)2.1 + (1)2.1 + (2)2.1 = 1.(02 + 12 + 22) = 5 birimkare olur.
Şekil 3'teki altı dikdörtgenin toplam alanı;
(0)2.
=
1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 4 2 1 5 2 1
+( ) . +( ) . +( ) . +( ) . +( ) .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2
55
(0 + 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 ) =
= 6, 875 birimkare olur.
8
8
Toplam alan
Alan hesaplama
Parça sayısı
3
3 [f(0) + f(1) + f(2)] = 1(0 + 1 + 4)
3
6
3
[f(0) + f( 1 ) + f( 2 ) + f( 3 ) + f( 4 ) +f( 5 ) ]
6
2
2
2
2
2
5
6,875
12
7,90625
100
8,86545
1000
8,9865045
10 000
8,998650045
Eğrinin üstünde kalan dikdörtgenleri ele alalım.
y
y
y=x2
7
6
8
5
6
4
4
2
0
y=x2
9
2
1
2
3
x
0
1
2
fiekil–4
1
3
2
2 5
2
3
x
fiekil–5
Şekil–4'te üç dikdörtgenin toplam alanı;
(1)2.1 + (2)2.1 + (3)2.1 = 1.(12 + 22 + 32) = 14 birimkare
olur.
467
Şekil–5'teki altı dikdörtgenin toplam alanı;
1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1
( )2. + ( )2. + ( )2. + ( )2. + ( )2. + ( )2.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
=
1 2
91
. (1 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2) =
= 11, 375
8
8
birimkare olur.
Alan hesaplama
Parça sayısı
3
3 [f(1) + f(2) + f(3)] = 1.(1 + 4 + 9)
3
6
3
[f( 1 ) + f( 2 ) + f( 3 ) + f( 4 ) +f( 5 ) + f(3) ]
6
2
2
2
2
2
Toplam alan
14
11,375
12
10,15625
100
9,13545
1000
9,0135045
10 000
9,001350045
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
KAVRAMSAL ADIM
Her iki tabloya bakıldığında parça sayısı arttıkça alt ve üst dikdörtgenlerin alanları
toplamının 9 değerine yaklaştığı görülmektedir.
Etkinlikteki sayısal işlemler aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir.
Alt ve üst dikdörtgenlerin alanları toplamını bulmak için;
[0,3] kapalı aralığı, 0 = x0 < x1 < x2 < ... < xn–1 < xn = 3
6k ! " 1, 2, 3, ... , n ,
olmak üzere
için [xk–1, xk] biçiminde n tane kapalı alt aralığa bölünmüştür.
n
Δxk = xk – xk–1, f(x) = x2 ve tk ! [xk–1, xk] olmak üzere bu alanlar toplamı / f (t k) Δx k
k=1
biçiminde yazılabilir. Bu toplama Riemann toplamı denir.
n
n " 3 (Δxk → 0) için / f (t k) Δx k toplamına belirli integral denir
k=1
ve
lim
n
/ f (t k) Δx k =
n"3 k=1
y0
3 2
x dx biçiminde gösterilir.
ETKİNLİK
y=
468
1
x , x = 1 , x = 4 doğruları ve x– ekseni ile sınırlanan alanı Riemann toplamı yardımıyla bulunuz.
2
BELİRLİ İNTEGRAL
ETKİNLİK
e
# ,nx dx in değerini hesaplayınız.
1
Belirli integral matematik içinde önemli bir yere sahip olan kavramlardan biridir.
Bir eğrinin bir parçasının uzunluğu, sınırladığı alan, hacim vb. hesaplar belirli
integral yoluyla kolayca yapılabilir.
ya
b
Önce # ,n xdx integralini bulalım.
1
dx ve v = # dx = x
x
olur.
# ,nxdx = u.v – # v.du
f (x) dx
ifadesine f(x) fonksiyonunun a dan b ye
f (x) dx = F (x) + C I a olduğundan
ya
f (x) dx = (F (b) + C) – (F (a) + C)
b
b
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
= F (b) – F (a) dır.
Burada a ya integralin alt sınırı, b ye üst sınırı denir.
e
e
b
ya
b
1
= ,nx.x – # x. dx
x
= x.,nx – # dx
= x,nx – x + C
ya
ise
kadar belirli integrali denir.
u = ,nx ve dv = dx olsun.
du =
f (x) dx = F (x) + C
& #1 ,nxdx = 6 x,nx – x @I 1
= (e.,ne – e) – (1.,n1 – 1)
= (e.1 – e) – (1.0 – 1)
=1
bulunur.
BELİRLİ İNTEGRALİN ÖZELLİKLERİ
1
x9
dx integralini hesaplayınız.
1 + x 14
3.
a, b, c ∈ R için a < c < b dir.
b
[f (x) ! g (x) " ...] dx =
f (x) dx =
ya
b
yac f (x) dx + yc
b
f (x) dx dir.
f (x) dx "
ya
b
g (x) dx " ... dir.
f (x) dx tir.
yaa f (x) dx = 0
5.
ya
6.
a < b olmak üzere [a, b] aralığında f(x) ≤ g(x) ise
b
ya
b
x9
Çünkü f (–x) =
=–
= –f (x) tir.
1 + (–x) 14
1 + x 14
1
Af (x) dx = A
4.
(–x) 9
9
y–1 1+xx14 dx = 0
b
ya
f tek fonksiyondur.
O halde
ya
2.
b
y–1
b
A sabit ise
ya
ETKİNLİK
ya
1.
f (x) dx = –
f (x) dx ≤
dır.
yba f (x) dx
ya
b
g (x) dx dir.
UYARI
dır.
f(x) bir parçalı fonksiyon ve f nin [a, b] aralığındaki kritik noktaları
x1, x2, ..., xn ise integral
ya
b
f (x) dx =
ya 1 f (x) dx + yx 2 f (x) dx + ... + yx
x
x
b
1
n
f (x) dx biçiminde hesaplanır.
469
ÜNİTE – 4 İNTGERAL
KAVRAMSAL ADIM
KAVRAMSAL ADIM
İNTEGRAL İŞARETİ ALTINDA TÜREV (LEİBNİTZ KURALI)
İNTEGRALİ
F (x) =
a ∈ IR+ olmak üzere (–a, a) biçimindeki aralıklara simetrik
aralık denir.
ÖRNEK
I.
F (x) =
yu (x)
v (x)
ise F'(x) = f[v(x)] v'(x) – f[u(x)].u'(x) tir.
f (t) dt
2
f(x) çift fonksiyon ise
y–aa f (x) dx = 2 y0a f (x) dx = 2 y–a f (x) dx
0
y–xx2 sint t dt
r
k nedir?
2
ise F' a
ÇÖZÜM
F'(x) bulalım.
II.
f(x) tek fonksiyon ise
F' (x) =
dır.
=
ÖRNEK
r
4
y– r
r
4. sin
r
2
k=
r =4
2
2
F' a
tan x
dx integralini hesaplayınız.
1+ x2
4
ÇÖZÜM
y1–x
2–x
2
e x dx fonksiyonunun x = 1 apsisli noktasındaki
ÇÖZÜM
x = 1 apsisli noktadaki teğetin eğimi f'(1) dir.
tan (–x)
tan x
=–
1 + (–x) 2
1+ x2
2
2
f' (x) = e (2–x) . (2 – x) ' – e (1–x) . (1 – x) '
2
= f(x) olduğundan f tek fonksiyondur.
2
= e (2–x) . (–1) – e (1–x) . (–1)
2
f' (x) = e (1–x) – e (2–x)
O halde
dir.
teğetinin eğimi kaçtır?
tan x
için
1+ x2
f (–x) =
2
r
ÖRNEK
f (x) =
f (x) =
2 sin x 2 2 sin x 2 4 sin x 2
+
=
x
x
x
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
y–aa f (x) dx = 0
sin (–x 2)
sin x 2 2
. (–x 2) '
2 (x ) ' –
x
(–x 2)
r
4
r
–
4
y
2
f' (1) = e 0 – e = 1 – e
tan x
dx = 0 dır.
1+ x2
dir.
dir.
ÖRNEK
ÖRNEK
f (x) =
–r / 4
x4
dx = P
4 + tan 2 x
y0
ise
r
4
r
–
4
y
x4
dx
4 + tan 2 x
integralinin P türünden eşiti nedir?
ÇÖZÜM
x4
4 + tan 2 x
r
4
r
–
4
y
= –2
–r/4
470
2x + 3
sin t 2 dt
fonksiyonunun x = –1 apsisli noktadaki
teğetinin denklemi nedir?
ÇÖZÜM
x = –1
için f (–1) =
y1
1
sin t 2 dt = 0 olur.
Çünkü bir belirli integralde alt ve üst sınır aynı ise integralin
değeri sıfırdır.
çift fonksiyon olduğundan
Teğetin eğimi m = f'(–1) olduğundan önce f'(x)'i bulalım.
f'(x) = sin(2x + 3)2.(2x + 3)' – sin(–x)2.(–x)'
x4
dx = 2
4 + tan 2 x
y0
y–x
y– r
0
4
x2
dx
4 + tan 2 x
x4
dx = –2P
4 + tan 2 x
= 2sin(2x + 3)2 + sinx2
f'(–1) = 2sin1 + sin1 = 3sin1
O halde teğet denklemi:
dir.
y – f(–1) = m(x – (–1))
y – 0 = 3(sin1).(x + 1)
y = 3(sin1)(x + 1) dir.
ÜNİTE – 4 İNTGERAL
TEK VE ÇİFT FONKSİYONLARIN SİMETRİK ARALIKTA
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
UYGULAMA ADIMI
1.
y0
3 2
belirli integralini Riemann Toplamı yardımıyla
x dx
3.
y–2 (2 + 5x) dx
2
integralinin değerini eğri altında kalan alan
hesaplayalım.
yardımıyla bulunuz.
Çözüm
Çözüm
1
6 0, 3 @ kapalı aralığını her alt kapalı aralığın uzunluğu Δx = n
y–2 (2 + 5x) dx = y–2 2dx + 5 y–2 xdx
2
2
2
olacak şekilde n eşit parçaya bölelim. Bu durumda
Dikkat edilecek olursa eşitliğin ikinci tarafındaki birinci integral
aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi genişliği 4, yüksekliği 2 birim
olan dikdörtgenin alanı olup değeri 8 birimkaredir. İkinci integralde integrant simetrik aralıkta tek fonksiyon olduğundan
değeri sıfır olur. Buradan,
y
0 = x0 < x1 < x2 < ... < xn–1 < xn = 3 olmak üzere,
Alt toplam = / f (x k–1) Δx = / c
n
n
k=1
k=1
3 (k–1) 2 3 27 n
2
/
m
n
n = n 3 k = 1 (k–1)
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
27 c (n–1) .n. (2n–1) m 9 (n–1) . (2n – 1)
=
6
n3
2n 2
=
y–2 (2 + 5x) dx = 8 + 0 = 8
2
n
n
3k 2 3 27 n
Üst toplam = / f (x k) Δx = / a n k . n = 3 / k 2
k=1
k=1
n k=1
27 n. (n + 1) (2n + 1) 9 (n + 1) (2n + 1)
= 3.
=
6
n
2n 2
elde edilir.
4.
9 (n–1) (2n – 1)
9 (n + 1) 2n + 1
≤ Riemann Toplamı ≤
2
2n
2n 2
& lim
n"3
&9≤
9 (n – 1) (2n – 1)
≤
2n 2
y0
3 2
x dx ≤ 9 &
y0
y
3 2
x dx
0
≤ lim
n"3
y0
3
Çözüm
y0
3
(2 + x) dx =
y0
3
2dx +
3
(2 + x) dx = 3.2 +
1
2xdx =
y0
1
1
(x 2) 'dx = x 2 I = 1 2 – 0 2 = 1 bulunur.
0
x dx = 9 bulunur.
y2
5
5
y0
3
x 3 dx integralini hesaplayalım.
Çözüm
y2
x 3 dx =
y2
5
4
4
c x m 'dx = x
4
4
=
x dx
3.3 21
=
bulunur.
2
2
6.
x2
f (x) = #–2
5
I = 41 6(
2
5 ) 4 – ( 2 ) 4@
1^ 2
21
5 – 2 2h =
4
4
bulunur.
dt
biçimindeki f fonksiyonunun grafiğinin
1+ t2
x = –1 deki teğetinin eğimi kaçtır?
Çözüm
1
1
.2x –
(–2)'
4 +1
x4 + 1
2x
f'(x) =
x4 + 1
f'(x) =
y
(3,5)
y=x+2
teğetin eğimi f'(–1) dir.
y=2
f'(–1) =
0
4
3 2
Geometrik olarak yukarıdaki eşitliğin sağındaki birinci integral
şekildeki dikdörtgenin alanı ve ikinci integral ise şekildeki üçgenin alanı olur. Buradan,
y0
x
2
2xdx integralini hesaplayalım.
y0
9 (n + 1) (2n + 1)
2n 2
(2 + x) dx integralinin değerini eğri altında kalan alan
yardımıyla bulunuz.
1
–2
Çözüm
5.
2.
y0
y=2
bulunur.
3
x
2.(–1)
(–1) 4 + 1
= –1
bulunur.
471
r
7.
y02 cos x dx
10.
integralini hesaplayalım.
cos x dx =
(x 2 + sin rx) dx integralini hesaplayınız.
r
2
y0
(sin x) 'dx =
r
2
y0
2
y1
2
Türevi cosx olan fonksiyon sinx olduğundan
y0
2
Çözüm
Çözüm
r
2
y1
x3 1
(x + sin rx) dx = ;
– cos rx E
3 r
1
I
2
d (sin x)
=c
23 1
1 1
– r cos 2r m – c – r cos r m
3
3
r/2
=c
8 1
1 1
– m – c + rm
3 r
3
= sin x
I
0
r
– sin 0
2
= 1– 0
= 1 bulunur.
=
= sin
11.
8.
y5
5
9.
y0
256
x x x dx integralini hesaplayınız.
x x x =
Çözüm
r
4
y1
#55 tan x dx = 0
olduğundan
r
x x.x 1/2 =
x x 3/2
= x.x 3/4 = x 7/8
dır.
(tan 2 x + 2) dx integralini hesaplayalım.
Çözüm
dir.
Çözüm
tan x dx integralinin değerini bulalım.
yaa f (x) dx = 0
7 2
–
3 r
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
UYGULAMA ADIMI
y1
256 7/8
x
8
x 15/8
=
x
15
15
8
15 256
8
1
I
=
8 ^
8 6 8 15/8
256 15/8 – 1h =
(2 )
– 1@
15
15
=
8 15
(2 – 1) bulunur.
15
r
y04 (tan 2 x + 2) dx = y04 6 (1+ tan 2 x) + 1 @dx
dx =
r
12. I =
yr2 cos 2 xdx
integralini hesaplayınız.
4
r
=
r
y04 (1+ tan 2 x) dx + y04 1 dx
r
=
r
y04 d (tan x) + y04 1 dx
r/4
= tan x
= a tan
= 1+
472
r
4
I
0
r/4
+x
Çözüm
cos 2 x =
r
r
r
r
2 1
2 cos 2x
2x
dx = yr dx + yr
dx
yr2 cos 2 xdx = yr2 1+ cos
2
2
2
4
4
I
0
r
r
– tan 0 k + a – 0 k
4
4
1 + cos 2x
eşitliği kullanılırsa
2
r/2
I=
4
r/2
1
1 1
x I + . sin 2x I
2 r/4 2 2
r/4
=
1 r r
1
r
r
a – k + a sin 2. – sin 2 k
2 2 4
4
2
4
=
r 1
r–2
+ . (–1) =
8 4
8
bulunur.
bulunur.
4
13.
y0
1
dx
integralini hesaplayınız.
x +1 – x
16.
Çözüm
du = (ex + xex)dx = (1 + x)exdx
y0
1
olduğundan
x + 1 + x h dx =
y0
=
y0
1
y0
1
1
(x + 1) 2 dx +
1
r
2x
=
2 6^ 3/2
2 + 1 h –1 @
3
=
2 5/2 4 2
=
3
3
ya
b
•
•
olur.
2
e sin sin 2xdx =
2 r/4
e u du = e u = e sin x
0
0
0
y
1/2
I
sin 2 r/4
I
f(x) in (a, b) aralığının alt aralıklarındaki işaretlerine göre
•
Her parçanın belirli integrali bulunur.
17.
y–2 | x | dx
1
integralinin değerini bulalım.
–∞
0
olduğundan
y–2 | x | dx = y–2 | x | dx + y0
0
1
y–2 (–x) dx + y0
0
=–
u = x2 & du = 2xdx
y0
1
| x | dx
1
xdx
dx integralini hesaplayınız.
Çözüm
x2
+∞
x
–x
=
1
bulunur.
– e0
= e – 1 bulunur.
xe
I
0
f(x) in (a, b) aralığındaki işareti incelenir.
x
2
y0
1
| f (x) | dx integralinin değeri bulunurken,
|x|
c 2m
=e 2 –1
15.
= ,n 1 + xe x
Çözüm
1
2
=e
x2
I
1
integral uygun parçalara ayrılır.
& du = sin2xdu
1
1+e
MUTLAK DEĞER İÇEREN İFADELERİN İNTEGRALİ
u = sin2X & du = 2sinx.cosxdx
y0
du
u = ,nu
. sin 2xdx integralini hesaplayınız.
Çözüm
r
4
1+e
olur.
1
x 2 dx
2
2
= c (x + 1) 3/2 + x 3/2 m I
3
3
0
y04 e sin
y1
= ,n (1 + e) – ,n1 = ,n (1 + e)
x dx
y0
(1 + x) e x
dx =
1 + xe x
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
1
x + 1 dx +
1
14.
(1 + x) e x
dx integralini hesaplayınız.
1 + xe x
u = 1 + x.ex denilirse
= x +1 + x
1
1
Çözüm
1
x +1 + x
=
x + 1 – x ^ x + 1 – x h^ x + 1 + x h
y0 ^
y0
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
UYGULAMA ADIMI
xe dx =
1
2
y0
1
x2
2xe dx =
1
2
y0
1
e u du =
1
1 u
e I
2
0
1
1 2
1
= e x I = (e 1 – e 0)
2
2
0
=
1
(e – 1)
2
dir.
x2
2
= –c
0
5
2
1
2
0 2 (–2) m c 1 2 0 2 m
–
+
–
2
2
2
2
= –^ 0 – 2h +
=
2
I –2 + x2 I 0
1
2
bulunur.
473
18.
y1
4
| x – 2 | dx integralinin değerini bulalım.
Çözüm
x
–∞
| x – 2 | dx =
=
y1
2
y1
2
= c–
19.
y2
(–x + 2) dx +
4
integralinin değerini bulalım.
4
+∞
0
x
–x
|x|
y1 ^x2 + | x – 2 |hdx = y1
3
| x – 2 | dx
y2
–∞
x
x
–x
| x – 2 | dx +
+∞
0
|x|
4
3
Çözüm
x–2=0 & x=2
y1
y1 ^x2 + | x – 2 |h dx
20.
(x – 2) dx
y1
3 2
=
x2
+ 2x m
2
2
I + c x2
1
2
4
– 2x m I
x dx +
y1
2
y2
3
| x – 2 | dx +
y1
x dx +
y1
(–x + 2) dx +
22
12
42
22
= ;c –
+ 2.2 m – c –
+ 2.1 mE + ;c
– 2.4 m – c
– 2.2 mE
2
2
2
2
=
x3
3
I 1 + c – x2
+ 2x m I 1 + c
= ^ –2 + 4h – c –
=
1
+ 2 m + ^ 8 – 8h – ^ 2 – 4h
2
=2–
3
+0+2
2
=4–
3 5
=
2 2
y3
5
bulunur.
| x + 2 | dx integralinin değerini bulalım.
Çözüm
21.
3 2
x ∈ (3, 5) & x + 2 > 0
| x + 2 | dx =
=c
=
7
3
+ ; 2 – + (–2) – (2 – 4) E
3
2
=
7 1
+
3 2
=
17
6
(x – 2) dx
3
x2
– 2x m I 2
2
bulunur.
y0
2
9x 2 – 6x + 1 dx integralinin değerini bulalım.
tir.
9x 2 – 6x + 1 = ^ 3x – 1h2 = | 3x – 1 |
olduğundan
y3
5
5
x2
(x + 2) dx = c + 2x m I
2
3
52
32
+ 2.5 m – c
+ 2.2 m
2
2
25
9
=
+ 10 – – 4
2
2
25 – 9
=
+ 6 = 14 bulunur.
2
474
2
3
| x – 2 | dx
1^ 3
22
12
2 – 1 3 h + ;c –
+ 2.2 m – c –
+ 2.1 mE
3
2
2
23
22
+ ;c
– 2.3 m – c
– 2.2 mE
2
2
1
3
–∞
x
y3
2
2
y2
| x – 2 | dx
Çözüm
x + 2 = 0 & x = –2 ve –2 g (3, 5)
5
2
3
x dx +
=
2
y1
3 2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
UYGULAMA ADIMI
|3x–1|
+∞
3x–1
–3x+1
olduğundan
y0
2
6x 2 – 9x + 1 dx =
=
y0
1/3
y0
2
| 3x – 1 | dx
| 3x – 1 | dx +
y1/3 | 3x – 1 | dx
2
1
=
y03 (–3x + 1) dx + y1 (3x – 1) dx
2
3r
23.
3
= c–
3x
+ xm
2
2
y0 2 ^x +
cos x h dx integralinin değerini hesaplayalım.
Çözüm
1
3
I + c 32x
2
0
– xm
2
π
2
r
k için cos x > 0
2
r 3r
x!c ,
m için cos x < 0
2 2
x ! a 0,
I
1
3
3 1 2 1
3
3 1 2 1
= > – c m + – 0 H + >c .2 2 – 2 m – f c m – pH
2 3
3
2
2 3
3
+
π
0
2π
olduğundan
3π
2
3 1 1
3 1 1
=– . + +4– . +
2 9 3
2 9 3
3r
13
3
3r
y02
cos x dx =
cos x dx +
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
1
1
= +4+
6
6
=
r
y0 2
=
bulunur.
r
2
y0
cos xdx +
r
2
= sin x
= a sin
y–2 | x 2 + x | dx
3
22.
–∞
3r
2
–x2–x
y–2 | x2 + x | dx = y–2
3
–1
(x 2 + x) dx +
=c
3r
2
3
I – ^sin xh rI
0
2
r
3r
r
– sin 0 k – ;c sin
– sin mE
2
2
2
2
1 8
1
9
+ – 2+ +9+
6 3
6
2
=3 – 2+9+
9
2
bulunur.
3r
2
I
0
=
1 > 3r 2
9r2
olduğundan
– 0H =
m
c
2 2
8
cos x h dx = 3 +
9r2
8
bulunur.
0
y0
3
(x 2 + x) dx
3
3
2
3
(–2) 2 mH
1 1 c (–2)
+ m–
+
3 2
3
2
–; 0 – c –
29
=
2
3r
2
y–1 (–x2 – x) dx
x
x
x
x
x
x
+ m I –c + m I +c + m I
3
2 –2
3
2 –1
3
2 0
= >c –
=
0
x2
x dx =
2
y0 2 ^x +
x2+x
+
–1
y0
+∞
0
–1
x2+x
3
y
3r
2
– cos xh dx
r ^
2
= 1 + 2 = 3 ve
x2 + x = 0 & x(x + 1) = 0 & x = 0, x = –1
x
cos x dx
2
= 1 – 6^ –1h – 1 @
integralinin değerini bulalım.
Çözüm
|x2+x|
yr 2
1 1
33 32
+ mE + ;c
+
– 0 mE
3 2
3
2
24.
yx
2x
f (x) =
^ t 2 + t – 4h dx biçiminde tanımlı f(x) fonksiyonu-
nun ekstremum noktaları A(x1, y1), B(x2, y2) ise, x1 + x2
kaçtır?
Çözüm
f (x) =
yx
2x
^ t 2 + t – 4h dt ise
f' (x) = 9^ 2xh2 + 2x – 4 C^ 2xh ' – ^ x 2 + x – 4h .^ xh '
= ^ 4x 2 + 2x – 4) .2 – (x 2 – x + 4h
f'^ xh = 7x 2 + 3x – 4 olur.
f(x) in ekstremum noktalarının apsisleri toplamı f'(x) = 0
denkleminin kökleri toplamı olduğundan
b
3
x1 + x2 = – a = –
7
dir.
475
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
UYGULAMA ADIMI
25. Şekilde f' fonksiyonunun grafiği
verilmiştir.
1
Verilen integralde;
f'
Buna göre,
y0
Bu son integralin sınırlarını bulalım.
y
f" (x)
dx
1 + f' (x)
yapılan dönüşüm: x = et
alt sınır: e
1
1
0
üst sınır: e2
x
Son integralde;
integralinin değeri kaçtır?
y0
1
& t=1
alt sınır e = et
Çözüm
üst sınır: e2 = et & t = 2
f" (x)
dx
1 + f' (x)
O halde yeni integral
u = 1 + f' (x) & du = f" (x) dx olup
y0
1
dir.
integralinde
f" (x)
dx =
1 + f' (x)
y2
1
y1
2
e t .,n tdt olur.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
UYGULAMA ADIMI
1
du
u = ,nu 2I
1
u = 1 + f' (x) & ,nu = ,n 1 + f' (x)
27.
I
0
y–1
2
x 2 – 3x dx integralinin değeri kaçtır?
Çözüm
= ,n 1 + f' (1) – ,n 1 + f' (0)
f'(1) = 0 ,
y0
1
0
x
1 + f' (1)
1 + f' (0)
= ,n
dır. Şekilden
x2–3x
3
+
–
f'(0) = 1 olup
y–1
2
f" (x)
1+ 0
1
dx = ,n
= ,n = –,n2 dir.
1+ 1
2
1 + f' (x)
y–1 (x2 – 3x) dx
0
x 2 – 3x dx =
=c
e2
26.
y
e
=
aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?
A)
y0
e t ,nt dt
B)
y0
,n 2 t
t dt
D)
y1
e –t ,nt dx
E)
y1
et
dt
,nt
1
1
2
Çözüm
e2
ye
2
2
,n (,nx) dx integralinde
,n (,nx) dx =
y0
2
(3x – x 2) dx
0
2
1 3
3
23 m
– (–1) 2 E + c .2 2 –
–0
3 2
2
3
11 10 31
+
=
6
3
6
olur.
e t ,nt dx
28. f(0) = 1, g(0) = 2,
1
=
476
y1
y0
x = et & dx = etdt
yee
C)
+
3
x3 3 2m
x3 m
– x I + c x2 –
I
3 2
2
3 0
–1
= 0 – ;–
,n (,nx) dx integralinde x = et dönüşümü yapılırsa
1
+
f' (x) .g (x) dx +
f(1).g(1) = 6 olduğuna göre,
y0
1
f (x) .g' (x) dx integralinin değeri kaçtır?
Çözüm
f(0) = 1, g(0) = 2 , f(1).g(1) = 6
olur.
y ,n (,ne t) .e t dt
y0
y e t ,n tdt
= f(1).g(1) – f(0).g(0)= 6 – 1.2 = 4
olur.
1
f' (x) g (x) dx +
y0
1
1
f (x) .g' (x) dx = f (x) .g (x) I
0
29.
,nx + ,nx
integralinin değeri kaçtır?
x
y1
2
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
UYGULAMA ADIMI
1
32. I =
y12 sin 2 ^rxh. cos rx dx
integralinin değeri kaçtır?
4
Çözüm
u = ,nx
dx
du = x
Çözüm
x = 1 & u = ,n1 = 0
x = e & u = ,ne = 1
dir. Yani
,nx + ,nx
dx =
x
y1
e
u + uh du
y0
1
u du +
y0
1
olur.
x=
1
2
& u=
4
2
du = π.cosπx dx
x=
1
& u=1
2
1
du = cos rx dx
r
1
u du
=I
4
1
2
u2 m
u3 +
=c
I
3
2 0
=c
r
30. I =
y02 sin 2 (cos 2 x) sin 2x dx
Çözüm
du = 2cosx(–sinx)dx
du = –sin2x dx
r
I=
& I=c
bulunur.
integralinin değeri kaçtır?
x=
0
olur.
1 – cos 2x
olduğundan I =
2
y0
1
y0
1
33. I =
y0
2
2 3
I
=
2
2
3
1 > 3 c 2m H
1 –
3r
2
1 + arcsin x
dx integralinin değeri kaçtır?
1 – x2
u = 1 + arcsinx
1
dx
1 – x2
du =
x = 0 & u = 1 + arcsin0 & u = 1
x=
2
2
& u = 1 + arcsin
2
2
u = 1+
sin 2 u du
I=
1 – cos 2x
dx
2
y0
2
2 3
1 + arcsin x
dx =
1 – x2
1+
1 1
x 1
– . sin 2x m I = – sin 2 bulunur.
2 4
2 4
0
,n2
2
2
1
Çözüm
1
y–,n2 (e x + 1 – e 2x) dx
1 u3
u 2 du = r .
3
1
1 c
2m
1–
3r
4
=
r
r
& u = cos 2 = 0
2
2
sin 2 u du =
y
3
4
=
integralinin değeri kaçtır?
34.
r
2
y0
3
u4
I
r
4
1
=
1+
y1
r
43
r
4
u du
3 ;3
r 4
a 1 + k – 3 1 E bulunur.
4
4
dx
integralinin değeri kaçtır?
1 + cos x
2
Çözüm
,n2
,n2
y–,n2 ^e x + 1 – e 2xhdx = c e x + 1 – 12 e 2x m –,In2
= ce
,n2 + 1
u = tan
1
1
– e 2,n2 m – c e –,n2 + 1 – e –2,n2 m
2
2
= ^ 2e – 2h – c
=
Çözüm
e 1
– m
2 8
3e 15 12e – 15
bulunur.
–
=
2
8
8
x
& x = 2 arctan u
2
x=0 & u=0
x=
1+
u
31.
2 1
7
+ m–0=
3 2
6
y02 sin 2 (cos 2 x) sin 2x dx = – y1
sin 2 x =
1
=r
x = 0 & u = cos20 = 1
u = cos2x
y12 sin 2 (rx) . cos rx dx
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
=
y0 ^
1
u = sinπx
r
& u=1
2
x/2
1
dx =
sin
u
2
du
1+ u 2
x
=
2
u
x
, cos =
2
2
1+ u
1
1+ u2
477
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
UYGULAMA ADIMI
x
x
cos x = cos a 2. k = 2 cos 2 – 1 olduğundan
2
2
1 + cos x = 2. cos 2
1
1+ u 2
= 2.
r
2
y0
x
2
dx
=
1 + cos x
y0
=
y0
1
4
du olur.
(1 + u 2 ) 2
dx
integralinde x = cos a dönüşümü yapılırsa
x 1 – x2
hangi integral elde edilir?
x = cosα
x = 0 & cosα = 0 & x =
dx = –sinα dα
x=
r
3
Son integralde u = tan i dönüşümü yapılırsa
y0 2
dx
x 1 – x2
u = 0 & tan i = 0 & i = 0
u = 1 & tan i = 1 & i =
I=
r
4
y0
2
4. sec idi
=
(1 + tan 2 i) 2
=
=
r
ve integral
4
r
4
y0
r
4
y0
r
4
y0
4 sec idi
(sec 2 i) 2
4
di
sec 2 i
4. cos 2 idi
x=e &
= 4.
2i
m di
y04 c 1+ cos
2
O halde
y1
= 4;
r/4
i 1
+ sin 2i E
2 4
0
= 4c
r 1
+ .1 m
8 4
O halde
y3 ^f' (x)h2 .^f' (x)h'dx
5
u = f'(x) & du = f"(x) dx
y3
– 3
integralinde x = et dönüşümü yapılırsa hangi
u 2 du =
u3
3
2
1 – ,n x
dx =
1 + ,n 2 x
y0
1
f
– 3
I
3
=
Z
]] 2
38. f (x) = [ –2
]]
4
\
,
,
,
olduğundan
[f' (x)] 3
2
5
I = 21 9^–
3
3
3
3h – ^ 3h C
bulunur.
–2 ≤ x < 3 ise
3 ≤ x < 4 ise
4 ≤ x < 6 ise
y–2 f (x) dx = ?
6
Çözüm
1
y0
integralinin değeri kaçtır?
tir.
1^
–3 3 – 3 3 h = –3 3
2
fonksiyonu için
= e & t = 1 dir.
=
478
5
f'(5) = tan120° = – 3 tür.
=1 & t=0
e
da
cos a integrali elde edilir.
f' (3) = tan 60° = 3 tür.
x = et & dx = etdt
et
6
sin a
da
cos a. sin 2 a
x2 = 5 apsisli noktasındaki teğetinin eğim açısı 120° ise
Çözüm
x=1 &
y
r
yr2
Çözüm
x1 = 3 apsisli noktasındaki teğetinin eğim açısı 60° ise
integral elde edilir?
et
r
2
r
6
y3 ^f' (x)h2 f" (x) dx
Buna göre,
=
y1e 11+– ,,nn 2 xx dx
6
– sin ada
=–
cos a. 1 – cos 2 a
37. y = f(x) fonksiyonunun x1 = 3 ve x2 = 5 apsisli noktalarındaki teğetlerinin eğim açıları sırasıyla 60° ve 120° dir.
2
r
= a + 1 k bulunur.
2
35.
yr2
=–
r
2
=
r
2
3
3
r
& cos a =
& a=
olup
2
2
6
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
du = sec2 i d i
y0 2
Çözüm
olur.
2.2du
(1 + u 2 ) (1 + u 2 )
1
3
36.
1 – ^ ,ne th
1 + ^ ,ne th
2
y–2 f (x) dx = y–2 2dx + y3
6
2
. e t dt
1 – t2 t
p e dt integrali elde edilir.
1+ t 2
3
4
3
= 2x
4
(–2) dx +
y4
6
4dx
6
I –2x 3I + 4x 4I
–2
= 2[3 – (–2)] –2. (4 – 3) + 4.(6 – 4)
= 10 – 2 + 8 = 16 dır.
1.
y2
5
4.
x – 3 dx integralini hesaplayınız.
f(x) = 2x – 1
y1
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
PEKİŞTİRME ADIMI
olmak üzere,
2 –1
f (x) dx integralini hesaplayınız.
5
2
y–2 x x dx
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
2.
4
5
4
5.
integralini hesaplayınız.
f(x) = x2 + 1 olmak üzere,
y1
3
f (x) .d^ f (x)h integralini hesaplayınız.
56
3
3.
y0
2
dx
x+2
integralini hesaplayınız.
6.
y1e
2
48
,nxd^ ,nxh integralini hesaplayınız.
,n2
2
479
3
7.
yee2
,nx
x d^ ,nxh integralini hesaplayınız.
10.
y0
2
dx
2–x
integralini hesaplayınız.
3
4
–
e2 e3
2 2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
PEKİŞTİRME ADIMI
r
8.
yrr x cos x dx
2
11.
integralini hesaplayınız.
–a1 +
9.
r
2
y0
y–r2 sin x
dx integralini hesaplayınız.
r
k
2
12.
1 + sin x dx integralini hesaplayınız.
y2
3
3
x +1
dx integralini hesaplayınız.
x –1
1 + 2,n2
2
480
KAVRAMSAL ADIM
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
DÜZLEMSEL BÖLGELERİN ALANLARI
ETKİNLİK
x2 + 3x – y – 1 = 0 parabolü ile x – y + 2 = 0
8
doğrusunun sınırladığı bölgenin alanı k
3
birimkare ise, "k" sayısı kaçtır?
1. f: [a, b] → IR fonksiyonu için [a, b] aralığında
y
f(x) ≥ 0 ise y = f(x) eğrisi x = a ve x = b doğru-
y=f(x)
ları ile x– ekseni arasında kalan düzlemsel bölgenin alanı
x2 + 3x – y – 1 = 0 & y = x2 + 3x – 1 ve
x – y + 2 = 0 & y = x + 2'dir.
A
A=
ya
b
f (x) dx
tir.
a
0
x
b
Baradan
x2 + 3x – 1 – (x + 2) = 0
2. [a, b] aralığında f(x) ≤ 0 ise y = f(x) eğrisi
1
S = # (x2 + 2x – 3) = ;
–3
1
x3
+ x2 – 3x E I
3
–3
1
S = + 1 – 3 – (–9 + 9 + 9)
3
1
32
1
–32
=
birimkare
S = – 2 – 9 = – 11=
3
3
3
3
32 8
= k & 32 = 8k & k = 4 bulunur.
3
3
y
x = a ve x = b doğruları ve x– ekseni arasında
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
x1 = –3, x2 = 1 bulunur.
a
kalan düzlemsel bölgenin alanı
A =–
ya
b
f (x) dx
b
x
0
A
tir.
y=f(x)
3. f: [a, b] → IR fonksiyonu [a, b] aralı-
y
ğında işaret değiştiriyorsa, y = f(x) eğrisi,
rafından sınırlanan düzlemsel bölgelerin
y=f(x)
A1
x = a ve x = b doğruları ile x– ekseni ta-
A3
a
A2
x
b
alanları A1 , A2 , A3 ise
A1 + A2 + A3 =
ya
b
ya
b
f (x) dx
tir.
f (x) dx = A 1 – A 2 + A 3 tür.
4. y = f(x) ve y = g(x) eğrileri ile x = a ve x = b
ETKİNLİK
y
doğrularının sınırladığı taralı alana A diyelim. Ta-
K
ralı bölgede üst ucu y = g(x), alt ucu y = f(x) eğri-
y2 = 4ax parabolü ile x = a doğrusu arasında
kalan bölgenin alanını bulunuz.
y=g(x)
leri üzerinde bulunan KL şeridini çizelim. KL şeridi
y=f(x)
kendine paralel olarak kaydırılıp bölgeyi taradıL
ğında üst ucu hep y = g(x) üzerinde, alt ucu hep
y = f(x) üzerinde kalıyorsa bölgenin alanı
A=
ya
b
" g (x) – f (x) , dx
ya
b
x
b
olur.
4. x = f(y), x = g(y) eğrileri ile y = a ve y = b
doğrularının sınırladığı alana A diyelim. Taralı
bölge içinde uçları x = f(y), x = g(y) eğrileri
üzerinde olan ve x– eksenine paralel olan KL
şeridini çizelim. Bu şerit kendisine paralel olarak kaydırıldığında sol ucu hep x = f(y) eğrisi
üzerinde, sağ ucu hep x = g(y) eğrisi üzerinde
kalıyorsa taralı alan
A=
a
0
y
b
x=f(y)
x=g(y)
K
L
x
a
" g (y) – f (y) , dy dir.
481
KAVRAMSAL ADIM
y
Şekilde y =
x=
r
5r
doğruları ile f(x) = sinx
ve x =
4
4
g(x) = cosx eğrileri arasında kalan alanı bulunuz.
y x= π
4
x=
5π
4
x2
y=x2+1
+ 1 parabolünün bir parçası çizil-
miştir. Taralı alan kaç birimkaredir?
1
ÇÖZÜM
x
3
0
Alanı bulunacak bölgede y– eksenine paralel bir şerit çizelim. Bu şerit kendisine paralel olarak kaydırıldığında üst ucu hep y = x2 + 1 parabolü üzerinde, alt ucu da hep
+1
g(x)=cosx
f(x)=sinx
x
0
–1
y = 0 (x– ekseni) üzerinde olur. O halde taralı alan
A=
y0 ^x 2 + 1 – 0h dx = c x3
3
3
+ xmI 0 =
3
27
+ 3 = 9 + 3 = 12
3
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
ÖRNEK
ETKİNLİK
birimkaredir.
ÖRNEK
y
y=ex
Şekilde verilenlere göre, taralı alan kaç
birimkaredir?
5r
4
S = #r (sin x – cos x) dx = 6 – cos x
4
–
5r
4
sin x @ r
4
– 2
– 2
2
2 4 2
p–f
p=
S = –f
+
=
2
2
2
2
2
0
–1
x
1
ÇÖZÜM
y = ex eğrisi y– eksenini x = 0 için y = e0 = 1' de keser. Taralı alanı iki parçaya
ayırırsak
Alan = c
y–1 e x dx m +
0
1.1
c 2 m
(üçgenin alan›)
S = 2 2 bulunur.
0
= ex
I + 12 = e 0 – e –1 + 12 = 1 – 1e + 12
–1
=
3 1
–
br 2 birimkaredir.
2 e
ÖRNEK
y
Şekilde verilenlere göre, taralı alan kaç
birimkaredir?
3
2
y=
ETKİNLİK
e
1
0
1
x
x
ÇÖZÜM
x = y2 ve y = x2 parabolleri arasında kalan
bölgenin alanını bulunuz.
Taralı alanı şekildeki gibi A ve B diye ikiye ayıra1
lım. K noktasının ordinatı y = = 1 olup A böl1
gesinin alanı;
y
3
2
1
3
c 2 + 1 m .1
5 birimkare (yamuğun alanı)
=
A=
4
2
0
K(1,1)
A
1
e
B=
y1e 1x dx = ,nx 1I = ,ne – ,n1= 1 – 0 = 1
A +B=
482
5
9
+ 1=
birimkaredir.
4
4
y=
B
birimkare olup taralı alan
e
1
x
x
1.
x = y2 – 4y eğrisi ile x = 0
doğrusu arasında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?
3.
y
x=y2–4y
4
y0
–2
y–3 –x.f' (x) dx
1
integralinin değeri kaçtır?
Çözüm
x
0
(4y – y 2) dy = c 2y 2 –
Şekildeki taralı alan
x
S2
Parçalı integral formülü kullanılırsa,
3
u = –x
dv = f'(x)dx
du = –dx
v = f(x)
0
y
I1 = u.v – v.du = –x.f (x)
4
y m
I = 32 – 64
3 0
3
=
2.
x=y2–4y
4
6 0 – (y 2 – 4y @ dy
4
–3
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
=
y0
1
olduğuna göre,
y
Taralı alan x = 0, x = y2 – 4y
ile y = 0, y = 4 doğruları
arasında kalan bölge olduğundan
y=f(x)
S1
S2 = 6 birimkare
x
I=
Çözüm
4
y
S1 = 10 birimkare
0
Alan =
f: IR → IR, y = f(x) fonksiyonunun grafiği şekilde verilmiştir.
I + y–3 f (x) dx
–3
0
= 0.f(0) – 3.f(–3) + S1
32
birimkaredir.
3
= S1 = 10
1
y
I2 = u.v – vdu = –x.f (x) I +
0
y0
1
f (x) dx
= –1.f(1) + 0.f(0) + S2
y
= (–1).(–2) + S2 = 2 + 6 = 8 olup
32
birimkare ise a kaçtır?
3
I = I1 + I2 = 10 + 18 olur.
y=x2+1
Çözüm
x
0
–a
y = x2 + 1 parabolünün simetri ekseni x = 0 doğrusu
(y– ekseni) olduğundan
alanlar simetriktir.
4.
Şekildeki taralı alan
y
kaç birimkaredir?
y
x+ y = 1
y=x2+1
Çözüm
y
x = –a için
–a
y = (–a)2 + 1 = a2 + 1
0
y
2
y0 6 (a
2
2
+ 1) – (x + 1) @ dx = 2
= 2ca2 x –
&
3
2
y = 1– x
1
A
&
Taralı alan = A (AOB) –
y0
a
2
2
(a – x ) dx
a
x3 m
a 3 m 32
I
= 2ca3 –
=
3 0
3
3
4a
32
=
& a 3 = 8 & a = 2 dir.
3
3
y= 1 x – 2 x
B
0
y=0 & x=1
6 (a + 1) – (x + 1) @ dx = 32
3
–a
a
x+ y= &
x=0 & y=1
y = a2 + 1 dir. O halde
2
x
& y = 1+ x – 2 x
olduğundan doğrunun denklemi,
a
a
x
0
y=a2+1
y0 ^1+ x – 2
1
3
x
1
x h dx
1
=
1.1
x 2 2x 2
I
– fx +
–
2
2
3 p0
2
=
1
1 4
4
1
birimkaredir.
– c 1+ – m = – 1=
2
2 3
3
3
483
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
UYGULAMA ADIMI
5.
y–4 6
0
Çözüm
16 – x 2 – 4 – x @dx
integralinin değeri nedir?
4
Çözüm
A
=x &
x
y=x3
x=1
–1
B
Taralı Alan = 2
r.4
4.4
–
4
2
1
1
x2 x2 E
–
I
2
4 0
= 2c
= 4π – 8 = 4(π – 2) olur.
1 1
2 1
birimkaredir.
– m = 2. =
2 4
8 2
y
y=x2
8.
1
Çözüm
y
x
y0 ^x – x3hdx
= 2;
Şekilde verilenlere göre, taralı
alan kaç birimkaredir?
1
olup eğri ile doğru bu noktalarda kesişirler. 1. bölgedeki
alan ile 3. bölgedeki alan birbirine eşit (Neden?) olduğundan
&
1
ünden A^ AOBh çıkarılarak bulunur.
4
6.
– 1) = 0
y=x
O halde taralı alan, yarıçapı r = 4 olan dairenin alanının
Taralı alan =
x(x2
x = 0, x = –1
0
Verilen integralin değeri
x2 + y2 = 16 çemberi ile
y = x + 4 doğrusunun sınırladığı şekildeki taralı alandır.
x3
y=x+4
–4
2
y
y
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
UYGULAMA ADIMI
y
x
B
y=2x2
A
y=x2
x
0
K(1,1)
0
A B
L
1
&
A = A^ KLOh – B
=
1.1
–
2
y0
1 2
x dx =
Şekilde y = 2x2 parabolü ile d doğrusunun kesim noktaları
A(–1, 2), B(2, 8) gösterilmiştir. Taralı bölgenin alanı kaç birimkaredir?
x
Çözüm
3 1
1 x
–
2 3
I = 12 – 13 = 16
y
birimkaredir.
0
B(2,8)
A(–1,2)
7.
C(–1,0)
y
0
D(2,0)
x
Şekilde ACDB yamuğunun alanı
y=x3
y=x
0
Şekildeki taralı alan kaç birimkaredir?
x
S=
2+8 .
3 = 15 birimkare
2
2
3 2
16 2
# 2x2 dx = 2x E =
+ =6
3
3
3 –1
–1
Taralı bölgenin alanı ise 15 – 6 = 9 birimkare bulunur.
484
1.
y = x2 parabolü x = 1 ve x = 3 doğruları ve x– ekseni
4.
y
arasında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?
S2
–4
S1
–1
0
x
6
y=f(x)
Şekilde y = f(x) fonksiyonu ile x– ekseni arasında kalan
taralı bölgenin alanları S1 = 4 birimkare ve S2 = 13 birimka-
26
3
redir.
Buna göre, a)
y–4
–1
f (x) dx
b)
y–1
6
f (x) dx
c)
y–4
6
f (x) dx
2.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
integrallerinin değerini bulunuz.
10
y = x eğrisi x = 2 ve x = 4 doğruları ve x– ekseni ile
sınırlanan alan kaç birimkaredir?
10,n2
5.
Analitik düzlemde
y = –2x + 6 ,
a) 4
b) 13
c) 17
x = –2, x = 1
doğruları ve x ekseni arasında kalan bölgenin alanı kaç
birimkaredir?
3.
y
y=f(x)
S1
–3
0
S2
5
x
21
Şekilde y = f(x) fonksiyonu ile x– ekseni arasında kalan
taralı bölgelerin alanları S1 = 6 birimkare ve S2 = 10 birimkaredir.
Buna göre,
a)
y–3 f (x) dx
b)
y0
c)
y–3 f (x) dx
6.
0
5
5
Şekilde taralı bölgenin alanı
y
f(x)=3x2
kaç birimkaredir?
f (x) dx
integrallerinin değerini bulunuz.
O
x
1 3
a) 6
b) –10
c) –4
26
485
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
UYGULAMA ADIMI
7.
9.
y
Analitik düzlemde y = 2x2 – 3 ve y = x2 + 1
parabolleri arasında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?
–1
0
x
2
32
3
10. Analitik düzlemde y = x2 ve x = y2
x=2
x=–1
parabolleri arasında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?
Şekilde y = x3 eğrisi ile x = –1, x = 2 doğruları ve x ekse-
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
UYGULAMA ADIMI
ninin sınırladığı bölgeler veriliyor.
Buna göre, taralı bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir?
1
3
17
4
11. Şekildeki S1 ve S2 içinde
bulunduğu bölgenin alanını
y
y2=x
göstermektedir. S1 = S2 ise
8.
S2
S1
a kaçtır?
0
x
1
y
0
x=a
x=4
x
y=–x3 y=–x
2. 3 2
Analitik düzlemde y = –x3 eğrisi ile y = –x doğrusunun sınırladığı alanların toplamı kaç birimkaredir?
12.
y0 ^
3
36 – x 2 – 3 xh dx integralinin değerini bulunuz.
1
2
3π
486
KAVRAMSAL ADIM
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
HACİM HESAPLARI
ETKİNLİK
1) x2 + y2 = R2 çemberinin oluşturduğu küre-
DÖNEL CİSİMLERİN HACİMLERİ
nin hacmini bulunuz.
1. y = f(x) eğrisi, x = a, x = b doğruları ve x– ekseni ile sınırlanan şekildeki taralı bölgenin x– ekseni etrafında 360°
döndürülmesi ile
oluşan dönel cismin hacmi şöyle
bulunur.
y
R
–R
R
O
x
y=f(x)
a
0
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
Cismin x– eksenine dik düzlemlerle
kesiti daima bir çember olduğundan
kesitin alanı
y
x
b
Birinci bölgedeki çember yayının Ox etrafında
döndürülmesi ile yarım küre hacmi elde edilir.
A = πy2 = r 6 f (x) @2
v
R
R
= r #0 y2 dx = r #0 (R2 – x2) dx
2
olup dönel cismin hacmi V =
R
= r ; R2 x –
x3
E
3 0
= r > (R2 .R –
R3
2rR3
) – (0 – 0) H =
3
3
v
=
2
2rR3
3
& v=
4rR 3
3
ya
b
ry 2 dx = r
ya
b
6 f (x) @2 dx olarak bulunur.
2. x = f(y) eğrisi, y = c ve y = d
doğruları ile y– ekseni arasında
kalan şekildeki taralı bölgenin y–
ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi
bulunur.
2) y = , nx eğrisi Oy ekseni, y = 0 ve y = 1
V=r
doğruları arasında kalan bölgenin sınırladığı
yc
d 2
x dy = r
yc
d
y
x=f(y)
6 f (y) @2 dy dir.
x
0
alanın Oy ekseni etrafında dönmesi ile elde
edilen cismin hacmini bulunuz.
y
y=nx
1
0
x
1
y = ,nx & x = ey dir.
1
1
vy = r #0 x2 dy = r #0 e2y .dy
= r;
1
3. y = f(x) ve y = g(x) eğrileri ile
x = a ve x = b doğruları tarafından
sınırlanan şekildeki bölgenin x– ekseni etrafında döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi
V=r
ya
b
y
y=f(x)
%6 f (x) @2 – 6 g (x) @2 / dx tir.
y=g(x)
0
a
x
b
2
r (e – 1)
e2 1
e2y
bulunur.
E = r> – H =
2
2
2
2 0
487
1.
y = ex eğrisi, x = –1 ve x = 0 doğruları ile x– ekseninin sınırladığı bölgenin x– ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile
oluşan cismin hacmi kaç birimküptür?
y
x = f(y), x = g(y) eğrileri ile
y = c ve y = d doğrularının sınırladığı şekildeki
alanın y– ekseni etrafında
360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi
Çözüm
d
y
y=ex
x=g(y)
x
1
x
0
–1
0
c
x=f(y)
yc
d
V=r
V=r
y–1 y
0
2
dx
%6 f (y) @2 – 6 g (y) @2 / dy
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
UYGULAMA ADIMI
dir.
0
=r
=
0
0
y–1 (e x) 2 dx = r y–1 e 2x dx = r2 e 2x –I1
3.
r
(1 – e –2) birimküptür.
2
y = x2 eğrisi ile y = x doğrusunun sınırladığı bölgenin y– ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi
nedir?
Çözüm
V=r
2.
x = y2 – 4y eğrisinin y– ekseni ile sınırladığı bölgenin y– ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi
nedir?
Çözüm
y
4
1
%6 f (y) @2 – 6 g (y) @2 / dy
=r
y0 9^
=r
y0 ^y – y
1
= r;
4.
x = y2–4y
y0
–4
4
0
x
(1,1)
y h – (y) 2 C dy
2
1
2h
y2 y3 E
–
2
3
4
0
x
y=x
dy
1
I = x c 12 – 13 m = r6
0
birimküptür.
x y
a > 0, b > 0 olmak üzere a + = 1 doğrusu ile x– eksenib
nin sınırladığı bölgenin y– ekseni etrafında 360° döndürül-
mesi ile oluşan cismin hacmi
2
y
y=x2
r
birimküp ise b nin a türünden
3
eşiti nedir?
Çözüm
V=r
y0
x dy = r
=r
y0
(y 4 – 8y 3 + 16y 2) dy
4 2
4
= r. c
= rc
y0
4
(y 2 – 4y) 2 dy
x y
+ =1
a b
4
b
–a
y5
16 3 m
– 2y 4 +
y I
5
3
0
45
16.64 m 512r
– 2.4 4 +
=
birimküp olur.
5
3
15
a
0
V=
r.r 2 .h r.a 2 .b r
=
=
3
3
3
& a 2 .b = 1 & b =
488
Taralı bölgenin y– ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile
oluşan cisim; taban; yarıçapı
a, yüksekliği b olan konidir.
y
1
a2
olur.
x
O halde
5.
y = |x| doğrularının y– ekseni ve y = 1 doğruları ile sınırladığı
bölgenin y– ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi nedir?
Çözüm
8.
Çözüm
y
Taralı bölgenin y– ekseni
etrafında 360° döndürülmesiyle taban yarıçapı r = 1
birim, yüksekliği h = 1 birim
olan koni oluşur. O halde
y
y=x
1
1
0
r.r 2 .h r.1.1 r
=
=
3
3
3
1
x
birimküp olur.
x
1
0
Oluşan cismin hacmi
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
V=
y=–x
y = ex eğrisi x = 0 ve x = 1 doğruları ve x– ekseni tarafından sınırlanan bölgenin x– ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi nedir?
V=r
y0
1 2
y dx = x
y0
1
(e –x) 2 dx = r
y0
1
e –2x dx
1
6.
y
y=kx2
oluşan cismin hacmi
0
1
Çözüm
y
y=kx2
r
=r
20
y0
1
=
(kx 2) 2 dx
1
x
= k2 .
5
20
0
r
birim20
r^
1 – e –2h birimküp olur.
2
küp ise, k sayısı kaçtır?
x
4 1
1
1
r
V = r c – e –2x m I = – ^ e –2 – 1h
2
2
0
Şekildeki taralı alanın x– ekseni
etrafında 360° döndürülmesi ile
I
0
x
&
9.
1
k2
=
5
20
1
2
vy
len hacimler vx ve vy ise,
oranının değeri nedir?
vx
1
& k2 =
4
& k=
y = x2 parabolünün x = 0 ve x = 2 apsisli noktaları arasında
kalan yayının Ox ve Oy etrafında döndürülmeleri ile elde edi-
bulunur.
Çözüm
2
2
vx = r #0 y2 dx = r #0 x4 dx = r ;
7.
y = x doğrusu, x = 0 ve x = 1 doğruları ile x– ekseninin
sınırladığı bölgenin x– ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile
oluşan cismin hacmi nedir?
32r
x5 2
EI =
5
5 0
y
y=x2
4
Çözüm
Taralı bölgenin x– ekseni etrafında 360° döndürülmesi
ile oluşan cisim yarıçapı
r = 1 birim, yüksekliği h = 1
birim olan bir konidir.
1
x
4
4
vy = r #0 x2 dy = r #0 ydy = r >
O halde;
Vkoni =
r.r 2 .h
olduğundan
3
r
r
Vkoni = .1 2 .1 =
3
3
birimküp olur.
–1
x
4
y=x
1
0
2
0
y
y2 4
H I
2 0
= π [8 – 0] = 8π
vy
vx
=
8r
5
=
32r 4
5
bulunur.
489
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
UYGULAMA ADIMI
10. y = x2 eğrisi x = 0 ve x = 1 doğruları ile x– ekseninin sınırladığı bölgenin x– ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi kaç birimküptür?
3
12. y = x eğrisi, x = 2 ve x = 4 doğruları ile x– ekseni tarafından sınırlanan bölgenin y– ekseni etrafında döndürülmesi ile
oluşan cismin hacmi nedir?
Çözüm
y
y=x2
x
1
0
V=r
y
y
y
y
2
–2
–4
1 2
1
1
2
y dx = r ^ x 2h dx = r x 4 dx
0
0
0
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
UYGULAMA ADIMI
=r
x5
5
4
x
1
I = r5
0
Çözüm
birimküptür.
Oluşan dönel cismin hacmi
y
y=f(x)
a
V = 2r
ya
b
x
b
xydx = 2r
ya
b
V = 2r
y2
= 2r
y2
4
4
y = f(x) eğrisi, x = a, x = b
doğruları ve x– ekseni ile sınırlanan şekildeki taralı bölgenin y– ekseni etrafında
360° döndürülmesi ile oluşan
cismin hacmi
x.f (x) dx
4
3
x x dx = 2r (3x) I = 6r (4 – 2)
2
= 12r
birimküptür.
xf (x) dx tir.
x
doğrusu, x = 0 ve
3
x = 2 doğruları ile x– ekseni tarafından sınırlanan
bölgenin y– ekseni etrafında 360° döndürülmesi
ile oluşan cismin hacmi
kaç birimküptür?
13. y =
11. y = x2 + 1 eğrisi, x = 0 ve x = 1 doğruları ile x– ekseninin
sınırladığı bölgenin y– ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile
oluşan cismin hacmi nedir?
y
2
3
–2
Çözüm
Çözüm
Oluşan dönel cismin hacmi
V = 2r
y0
V = 2r ;
1
xf (x) dx = 2r
y0
1
Oluşan dönel cismin hacmi
y=x2+1
2
x. (x 2 + 1) dx
V = 2r
1
1
x4 x2 E
+
I = 2r c 14 + 12 – 0 m
4
2 0
= 2r.
490
y
3 3r
=
4
2
–1
birimküptür.
1
y0
2
x f (x) dx = 2r
x
y0
2
x.
x
dx
3
2
=
2r x 3
.
3 3
=
16r
b birimküp olur.
9
I = 29r (8 – 0)
0
y=
2
x
3
x
r
doğruları ile x– ekseninin sı2
nırladığı bölgenin y– ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile
oluşan cismin hacmi nedir?
14. y = cosx eğrisi, x = 0 ve x =
15. f(x) = , nx eğrisi, x = 1 ve x = e doğruları ile x– ekseninin
sınırladığı bölgenin y– ekseni etrafında 360° döndürülmesi
ile oluşan cismin hacmi kaç birimküptür?
Çözüm
Çözüm
y
f(x)=lnx
1
π
2
π
2
0
x
–e
1
–1
x
e
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
–1
Oluşan dönel cismin hacmi
V = 2r
r
2
y0
x.f (x) dx = 2r
r
2
y0
V = 2r
x. cos xdx
Parçalı integral formülüne göre
u = , nx
Parçalı integral formülü ile
u=x
dv = cosxdx
du = dx
v = sinx
V = 2r ; uv –
dv = xdx
1
du = x dx
r/2
r/2
y vdu E = 2r> x. sin x 0I – y0
= 2r 6 x sin x + cos x @
y1e xf (x) dx = 2r y1e x.,nxdx
sin xcdx H
V = 2r ; uv –
v=
x2
2
2
y vdu E = 2r> x2
1
y1e 1x
x2 H
dx
2
r/2
I
= π2 – 2π birimküptür.
x2
1 x2
ln x – . E I
2
2 2 1
= 2r >c
e2 e2 m
1
–
– c 0 – mH
2
4
4
= 2r c
yarıçaplı üstü açık bir yarım kürede h cm derinliğinde su vardır. Suyun hacmi kaç cm
sin 3x dx integralini hesaplayınız.
# xr 2cm
3
e
= 2r ;
0
r
r
= 2r 9a .1 + 0 k – ^ 0 + 1hC = 2r a – 1 k
2
2
ETKİNLİK
e
,nx I –
e 2 + 1 m r^ e 2 + 1h
=
birimküptür.
4
2
tür?
491
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
UYGULAMA ADIMI
1.
y = x3 eğrisi, x = 2 doğrusu ve x ekseni ile sınırlanan bölge
4.
x– ekseni etrafında 360° döndürülüyor. Oluşan cismin hacmi
kaç birimküptür?
1
y = x eğrisi, x = 2 ve x = 4 doğruları ve x– ekseni arasında kalan bölgenin y– ekseni etrafında 360° döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmini bulunuz.
128
r
7
2.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
PEKİŞTİRME ADIMI
4π
y = sinx eğrisi x = 0, x = π doğruları ve x ekseni arasında
kalan alanın Ox ekseni etrafında 360° döndürülmesiyle
oluşan cismin hacmi kaç birimküptür?
5.
y2 = 4x eğrisi ile x = 1 doğrusu arasındaki bölge x ekseni etrafında 360° döndürüldüğünde oluşan cismin
hacmi kaç birimküptür?
r2
2
3.
y = cosx ve y = sinx eğri-
2π
y
leri ile x = 0 doğrusu arasındaki bölgenin Ox ekseni etrafında 360°
döndürülmesiyle oluşan
cismin hacmi kaç birim-
0
π
2
x
y=sinx
y=cosx
6.
y2 = x ve x2 = y parabollerinin sınırladığı düzlemsel
bölge y– ekseni etrafında 360° döndürüldüğünde oluşan
küptür?
cismin hacmi kaç birimküptür?
r
2
492
3r
10
2
7.
x2 y
+
= 1 elipsi x– ekseni etrafında 180° döndürüldü9
4
ğünde oluşan cismin hacmi kaç birimküptür?
10.
y
y=e–x
y=ex
y=e
0
x
Şekilde y = ex ve y = e–x eğrileri ve y = e doğrusunun grafiği
veriliyor.
Taralı bölgenin y ekseni etrafında 180°döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi kaç
birimküptür?
8.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
16π
r
4
doğrusu ve x– ekseni arasınŞekilde y = cotx eğrisi x =
y
π(e – 2)
daki taralı bölge x– ekseni etrafında
0
π
4
π
2
x
π
360°
döndürülüyor.
Oluşan dönel cismin hacmi kaç
birimküptür?
y=cotx
11. y = lnx eğrisi Ox ekseni ve x = e doğrularının sınırladığı
alanın Ox etrafında 360° dönmesi ile elde edilen hacim
kaç birimküptür?
r–
8.
r2
4
π(e – 2)
Şekilde y = x2 parabolü ve
y
y = –x + 2 doğrusunun grafiği
y=x2
veriliyor. Taralı bölgenin x ekseni etrafında 360° döndürülx
0
y=–x+2
mesiyle oluşan dönel cismin
hacmi kaç birimküptür?
8r
15
12. y = lnx eğrisine orijinden çizilen teğetin, orijin ile değme
noktası arasında kalan parçasının Ox etrafında 360° dönmesi ile elde edilen hacim kaç birimküptür?
re
3
493
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
PEKİŞTİRME ADIMI
HAREKET PROBLEMLERİ
ÖRNEK
Bir parçacığın hız fonksiyonu t zamanına bağlı olarak V = f(t)
İvme denklemi a = 1 – 2cost m/sn2 olan bir hareketlinin t = 0
olsun. a ≤ t ≤ b için f(t) nin pozitif ve sürekli olduğunu varsaya-
anındaki hızı V0 = 0 dır. t = 0 dan t = 3'e kadar alınan toplam
lım. Yalnız bir yönde hareket eden bu parçacığın [a, b] zaman ara-
yol kaç metredir?
lığında aldığı yol
ds
= f (t) & ds = f (t) dt
dt
V=
s=
ya
b
ÇÖZÜM
V=
f (t) dt
y
^ 1 – 2 cos th dt = t – 2 sin t + C dir.
dir. f(t) hız fonksiyonu (a, b) aralığında işaret değiştiriyorsa alınan
t = 0 için V = 0 olacağından
toplam yol
0 = 0 – 2.sin0 + C & C = 0 olur.
s=
ya
b
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
KAVRAMSAL ADIM
f (t) dt
ile bulunur.
V = t – 2sint ve
Örneğin, bir hareketli 16 km ileri 7 km geri gelmiş ise toplam 16 +
7 = 23 km yol almıştır. Ancak ilk formül ile bu yol bulunmak isten-
S=
y0 ^t – 2 sin thdt
3
3
=c
t2
+ 2 cos t m I
2
0
=c
9
+ 2 cos 3 m – ^ 0 + 2. cos 0h
2
seydi, 16 – 7 = 9 km elde edilirdi.
=
9
+ 2 cos 3 – 2
2
Hareketlinin (a, b) aralğındaki ortalama hızı
=
5
+ 2 cos 3 metredir.
2
ya
b
V=
ÖRNEK
f (t) dt
dır.
b–a
Bir parçacığın hız denklemi V = 2.cos2t m/sn ise 0 ≤ t ≤ π aralı-
Benzer şekilde hareketlinin ivmesi a(t) = g(t) gibi zamanın bir
ğında aldığı toplam yol kaç metredir?
fonksiyonu olsaydı herhangi bir andaki hız
ÇÖZÜM
dv
= g (t) & dv = g (t) dt
a(t) =
dt
V = 2.cos2t hız fonksiyonu 0 ≤ t ≤ π aralığındaki
V=
ya
b
t=
g (t) dt + V0
r
3r
değerlerinde sıfır olmaktadır. Yani hız işaret deve t =
4
4
Burada V0 hareketlinin ilk hızıdır.
ğiştirmektedir.
r
3r
0<t<
ve
< t < r için cos2t > 0
4
4
ÖRNEK
r
< t için cos2t < 0 olduğundan, alınan toplam yol
4
Hız denklemi V = 3t + 2 olan bir hareketlinin 0 ≤ t ≤ 3 aralığında
r
S = #0 | 2 cos 2t | dt
aldığı toplam yol kaç birimdir?
r/4
= 2 9 #0
ÇÖZÜM
0 ≤ t ≤ 3 için V = 3t + 2 > 0 olduğundan
S=
y0
3
Vdt =
y0
3
=
494
1
= 2 > sin 2t
2
3
3t 2
^ 3t + 2h dt = c 2 + 2t m I
0
3 2
39
.3 + 2.3 =
birimdir.
2
2
= ; sin
3r/4
cos 2t dt + #r/4
r /4
r
cos 2t dt + #3r/4 cos 2t dt C
3 r /4
I – 12 sin 2t I
0
r /4
r
+
1
sin 2t I H
2
3 r /4
r
r
3r
3r
+ sin – sin
– sin
E
2
2
2
2
= 6 1+ 1 – (–1) – (–1) @ = 4 metre bulunur.
SINAMA ADIMI
# 6f (
4x + 1 ) @ dx = x + 1 ise, f(3) değeri kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 12
D) 13
5.
E) 16
1
#
3
3
x dx
integralinin değeri nedir?
8
x +1
0
r
16
A)
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
1.
1
B)
r
12
C)
r
8
D)
r
4
E)
r
3
x
# In53e+ e x dx
A)
ifadesinin eşiti nedir?
3
x
In (In5 + e )
In5
3
B) 3 In(In5 + ex) + C
C)
3
x
In (e ) + C
In5
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
2.
# da 2xx ++21 k
6.
integralinin değeri kaçtır?
–1
A)
3
x
In (e ) + In5 + C
D)
In5
5
2
B)
5
3
C)
12
7
D)
7
3
E)
4
3
E) 3 (In5 + ex)–2 + C
3.
# arctanxdx
ifadesinin eşiti hangisidir?
7.
#
dx
A) x arctanx + In (x2 + 1) + C
B) x arctanx – In (x2) + C
C) x arctanx – In
4.
(x2
+ 1) + C
D) x arctanx –
E) xarctanx –
1
In (1 + x2) + C
2
f (x) = *
–1
#
C) –
3–x +C
E) – 3
x
2
#
olarak tanımlanıyor.
8.
3
A) 10
lim
x " 0
f (x) dx integralinin değeri kaçtır?
B) 12
1. C
B) 2
3–x +C
D) – 2
3–x +C
– 1| + C
, x≥1
4x – 1 , x < 1
3x
3– x +C
A)
In|x2
integralinin sonucu nedir?
3–x
C) 18
2. B
D) 24
3. E
4. D
E) 36
A) 0
0
t
3–x +C
2
4
dt
t +1
x
3
integralinin değeri kaçtır?
B) 1
5. A
C)
6. C
1
2
7. D
D)
8. D
1
3
E)
1
6
495
SINAMA ADIMI
13.
fonksiyonunun A(2, 1) noktasındaki eğimi 1 dir.
# (cos3x – sin2x) dx
fll (x) = 6x – 2 olduğuna göre,
A)
a + b + c + d toplamı kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
integralinin sonucu nedir?
1
1
sin3x + cos2x + C
3
2
B) –
C) – 3sin3x + 2cos2x + C
E) –
1
1
sin3x + cos2x + C
3
2
D) 3sin3x – 2cos2x + C
1
1
sin3x – cos2x + C
3
2
10. f : R → R, y = f(x) fonksiyonunda,
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
9.
1
f(–2) = –1 ve f(4) = 2 olduğuna göre,
14.
4
# f 2 (x) . d ( f (x) )
–2
B)
A) 24
29
3
A) 1
integralinin değeri kaçtır?
C) 12
D)
7
3
# x 2 .f (x) dx = x 3 + 4x – 1 olduğuna göre, f(2) kaçtır?
B) 2
C) 3
D) 4
E) 3
15.
y
A=(a,a2)
B=(–a,a2)
11.
x
dx
# x 2 – 3x
+2
E) 5
integralinin sonucu nedir?
A) In |x – 1| – In |x – 2| + C
x
0
B) 2In|x – 2| – In|x + 1| + C
C) In|x – 2| + In|x – 1| + C
y = x2 parabolü ile [AB] doğru parçasının sınırladığı bölgenin
D) 2In|x – 1| – In|x – 2| + C
S2
alanı S 1 , AOB üçgeninin alanı S 2 ise alim
kaçtır?
" 0 S1
E) 2In|x – 2| – In|x – 1| + C
A) 1
12.
dx
# cos (Inx)
x
B)
1
2
C)
2
3
D)
3
4
E)
4
5
integralinin sonucu nedir?
B)
A) sin(Inx) + C
sin (Inx)
+C
x
16. y = x2 ve y = 3x
eğrileri ile sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?
C)
sin (Inx)
x
2
sin (Inx)
+C
D)
e
+C
A)
17
6
B)
9
2
C)
7
3
D)
E) sin(Inx) + x + C
496
9. C
10. E
11. E
12. A
13. A
14. D
15. D
16. B
23
6
E) 6
SINAMA ADIMI
dx
– # (tanx – 1) dx
# cotx
A) x + C
5.
B) –x + C
D) In|cotx| + C
Şekilde y = x2 + 1 parabolü ve
y=x2+1
y
ifadesinin eşiti nedir?
10
A
C) In|tanx| + C
parabolün üzerinde ordinatı 10
B
olan A noktası ile başka bir B
E) In|sinx| + C
S1 S2
x
x1 x2
0
noktası verilmiştir. S 1 ve S 2
taralı alanları için 8S 1 = S 2
In13
#
0
integralinin değeri kaçtır?
B) In3
A) In9
D)
1
In21
2
A)
1
C) In15
2
1
3
B)
2
3
C) 1
D)
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
2.
bağıntısı olduğuna göre, B noktasının apsisi x 1 kaçtır?
x
e dx
x
1 + 2e
E)
4
3
E)
5
3
1
In25
2
6.
f(x) = 2x19 + 3x9 – 1 ise,
1
3.
#
# f (1 – x) dx
r2
4
cos x
r2
36
x
dx integrali neye eşittir?
A)
3
2
B)
A) 2
C) 1
D)
1
2
E) –
8
5
B) 4
In 3
#
0
#x
2
4 – x dx
integralinin sonucu nedir?
A) –
1
3
(4 – x ) + C
B) –
1
2
4–x +C
e
D)
1
2
1+ e
2x
E) –
7
5
dx integralinin değeri kaçtır?
A) π
2 3
C)
B) In3
D)
r
12
E)
1
In3
2
r
6
2
2 2
(4 – x )
# f (x) dx = –7, # f (x) dx = 4 ve
8.
+C
8
0
3
8
2
8
# g (x) dx = –5 ise, # [ 2f (x) – 3g (x) ] dx neye eşittir?
4–x +C
0
1
E)
2
3
5
x
3
1
C) –
2
D) –
C) –1
1
2
7.
4.
integralinin değeri kaçtır?
0
0
2 2
(4 – x ) + C
1. A
A) 10
2. B
3. C
4. A
B) 9
5. C
C) 7
6. D
7. D
D) 3
8. B
E) 1
497
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
1.
2
SINAMA ADIMI
ex
y = f(x) eğrisinin yerel ekstremum noktalarından biri A(1, 2)
olduğuna göre, f(–1) kaçtır?
A) 4
B)
10
3
C) 3
D)
8
3
E)
13.
#
e 2x
2
dt
= 3 denklemini sağlayan x sayılarının çarpımı
t
kaçtır?
14
3
B) 3
A) 6
C) –2
D) –3
E) –6
14. fll (x) = x – 3 olmak üzere;
10.
# 9 +dx4x 2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
fll (x) = 4x olmak üzere,
9.
2
1
2x
A) arctan ( ) + C
2
3
1
2x
arctan ( )
3
3
C)
y = f(x) fonksiyonunun (0, 1) noktasındaki teğetinin eğimi 1
olduğuna göre, f(–1) değeri kaçtır?
integralinin eşiti hangisidir?
E)
B) –
A) –1
1
2x
B) arctan ( ) + C
6
3
4
3
C) –
r/3
y
B) 0
D)
3
4
A) 2
C) 1
E) 3
12.
sin (ln x)
dx integralinin değeri kaçtır?
x
B) 1
A) 2
D) –cos1
498
9. E
B)
3
2
C) 1
# 1 +dxcosx
A) tanx + C
B) cotx + C
1
C) tanx + C
2
D)
C) cos1
11. B
2
3
integralinin sonucu nedir?
E)
E) –2
10. B
D)
3
16.
er
Şekilde y = –x2 parabolü, A(2, –4)
noktasından çizilen teğet ve x
ekseni arasında kalan bölgex
nin alanı kaç birimkaredir?
sinx
dx ifadesi neye eşittir?
cosx + 2
A) –1
#1
E) –3
1
2x
arctan ( ) + C
12
3
0
#–r/3
D) –2
2
2x
arctan ( ) + C
3
3
D)
15.
11.
5
3
12. A
13. D
14. C
1
x
tan + C
2
2
15. D
16. E
1
x
cot + C
2
2
E)
1
3
SINAMA ADIMI
# f (2x) dx
1.
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
5.
a
2b
#
A) 2
# f (x) dx
2a
A)
a
b
2
r
3
B)
r
4
C)
arc sin
1
3
b
2
# f (x) dx
C)
göre c = ?
b
1
B)
2
f (x) dx
r
doğruları arasında
2
kalan alan x = c doğrusu ile iki eşdeğer kısma ayrıldığına
y = sinx eğrisi, Ox ekseni, x = 0 ve x =
# f (x) dx
D) 2
a
2
D) arc cos
a
2
1
3
E)
r
6
2b
#
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
1
E)
2
f (x) dx
2a
3
2.
# | x – 2 | dx
integralinin sonucu kaçtır?
–1
6.
r
2
#–r sin | x | dx
A) –1
A) 2
3.
#
B) 3
C) 4
r
r
2
D) 5
7.
C) 0
C) 2
D) 3
E) 4
y = x2 parabolü ile y = mx doğrusu arasında kalan alanın 36
birimkare olması için m kaç olmalıdır?
A) –2
B) –1
B) 1
E) 6
(| sinx | + | cosx |) dx integralinin sonucu kaçtır?
A) –2
integralinin sonucu kaçtır?
D) 1
B) 3
C) 4
D) 6
E) 8
D) 7
E) 9
E) 2
0
4.
#
4
3
dx integralinin değeri kaçtır?
2 – 3x
# (| x–1 | – | x – 3 | + | x |) dx
8.
–1
2
integralinin sonucu kaçtır?
A) 1 – In2
5
B) In
2
1. E
2
D) In
5
C) In4
2. D
3. E
4. B
E) In10
A) –5
B) –3
5. A
C) 1
6. D
7. D
8. E
499
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
b
3
SINAMA ADIMI
3
ifadesinin eşiti hangisidir?
#
13.
dx
2
x –2x + 5
1
+C
B)
3
–5x + 4
.3
+C
5In3
1 –5x + 4
3
+C
In5
D)
–3 –5x
e
+C
5In3
A) –
C)
81
5.In3.3
5x
E)
3
r
3
A)
B)
integralinin değeri kaçtır?
r
2 3
C)
r
6
D) 3 3 r
E)
r
8
–5x + 4
+C
In3
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
# 3 –5x + 4 dx
9.
3
2
# x Inx dx
14.
integralinin değeri kaçtır?
1
B) –
A) In2
10. f (x) = *
3, x < 0
olduğuna göre,
2x–3, x ≥ 0
3
# f (x – 2) dx
D) –1 + In4
C) –
1
+ In4
4
E) In4
integralinin değeri kaçtır?
–1
B) 7
A) 9
3
+ In4
4
C) 6
D) 5
E) 3
r
15. fl ( ) = 4 ve fl (r) = 2 ise,
3
r
# 6 fll (x) .cosx – fl (x) . sinx @dx
4
#
11.
1
A)
12.
dx
r
2
2r
#0
2
x –2x + 4
B)
r
4
C)
3r
4
D)
r
3
integralinin değeri kaçtır?
r/3
integralinin değeri kaçtır?
E)
A) –6
r
3 3
B) –4
C) –2
D) 2
E) 3
r
cosx
dx integralinin değeri kaçtır?
2 + sinx
# sin 2 x dx
16.
integralinin değeri kaçtır?
0
A)
500
3
2
B) 1
C)
9. A
1
2
10. B
D) 0
11. E
E) –1
12. D
A) 0
B) 1
13. E
C)
14. B
r
2
15. B
D) π
16. C
E)
2r – 1
4
SINAMA ADIMI
#
1.
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
r/2
4
x
2
5.
cos 2x dx integralinin neye eşittir?
# 1 +ee 2x dx
integralinin sonucu nedir?
0
A) 2r
B) r
C)
r
2
D)
r
4
E)
r
–1
2
A) arctan e2x + C
B) arctan ex + C
C) arccot ex + C
D) arcsin ex + C
E) arccot e2x + C
# 5 +dxx 2
integralinin sonucu nedir?
1
A) arctan x + C
5
C) arctan
1
x
B) arctan + C
5
5
x
+C
5
# 1 + x4
6.
1
1
arctan
x
| x – 1 | dx integralinin sonucu kaçtır?
–1
arctan x + c
A)
5
5
3.
1
D)
E)
4xdx
#
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
2.
–1
2
B)
1
2
C) 1
D) 2
+C
7.
# x 2 . Inxdx
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
3
A) 2
+C
B)
C) 4 arctan(x2) + C
4.
# x 2dx– 4
+C
A)
x
Inx + C
3
C)
x
1
(Inx – ) + C
3
3
3
B)
x
2
(Inx) + C
6
D)
x
(Inx + 1) + C
3
3
x
+C
2
3
3
1
2
arctan (x ) + C
4
E)
x
(Inx – 1) + C
3
integralinin sonucu nedir?
x–2
+C
A) In
x+2
C)
arctan(x2)
D) arctan
E)
3
2
5
integralinin sonucu nedir?
arctan(x2)
E)
1
x–2
+C
B) In
2
x+2
1
x–2
In
+C
3
x+2
E)
1. D
D)
1
x–2
In
+C
4
x+2
8.
2
dx = x + 3x + C
# f (x)
x
A) 2x2 + 3x
B) x2 + 2x
C) x + 3
D) x2 + 3x + 1
1
x–2
In
+C
8
x+2
2. E
3. A
ise, f(x) in eşiti nedir?
E) x2 + 3x
4. D
5. B
6. D
7. C
8. A
501
SINAMA ADIMI
x
2
B) e
2
integralinin sonucu nedir?
B) ex + x + C
–x+C
(x 2 –2x – 2) + C
x
x
C) e (x – x + 2) + C
x
ex
C) x.ex + ex + C
x
x
+ xk + C
A) e a –
3
2
3
# e x + Inx dx
A)
sine eşittir?
x
13.
D) x.ex –ex + C
2
E)
x x x
e –e + C
2
2
D) e (x + 2x + 2) + C
2
E) e (x –2x + 2) + C
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
# x 2 e x dx integralinin sonucu aşağıdakilerden hangi-
9.
4
10. a > 0 olup y2 = ax parabolü y = 1, y = 2 doğruları ve Oy ile
sınırlı alanın 14 birimkare olması için a kaç olmalıdır?
A) 1
1
2
B)
C)
1
3
D)
1
4
E)
1
6
14. y2 = x parabolü ile x = |y| arasında kalan alan kaç birimkaredir?
A)
11.
y
1
2
B)
1
3
C)
1
4
D) 1
E)
3
2
Şekilde
y=ax5
S 2 = 27.S 1 ise, b kaçtır?
0
–1
S2
S1
15. A = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 1 ≤ x + y, x, y ∈ R}
x
b
bölgesinin alanı kaç birimkaredir?
A)
B)
A) 3
12.
# x 2 . e –x dx
4
3
C)
5
27
D)
3
E)
3
r
1
–
8 16
B)
D)
9
3r 1
–
8
2
r 1
–
2 8
C)
E)
r 1
–
4 8
r 1
–
4 2
ifadesinin eşiti hangisidir?
A) e–x (x2 + 2x + 2) + C
B) –e–x (x2 + x + 1) + C
–x
C) –
e
2
(x + 2x + 2) + C
2
16. f fonksiyonunun eğrisi A(1, 4) noktasında yerel ekstremum
yapmaktadır.
fll (x) = 12x + 8 olduğuna göre, f(2) kaçtır?
D) –e–x (x2 + 2x + 2) + C
–x
E)
502
e
2
(x + 2x + 1) + C
2
9. E
A) 10
10. E
11. D
12. D
B) 12
13. D
C) 14
14. B
15. E
D) 16
16. D
E) 18
SINAMA ADIMI
dx
2–x
2
integralinin eşiti nedir?
5.
#
f (x) =
x2 + 1
(3t + 4) dt ise, fl (1) in eşiti kaçtır?
2
x
1
A)
arcsin
x
2
C) arcsin
+C
B) arcsin
2
x
+C
A) 18
2
x
+C
2
D)
B) 20
C) 24
D) 25
E) 32
1
x
arcsin + C
2
2
2
2 1/2
(2 – x )
+C
3
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
E)
6.
y=2–
16 – x
2
eğrisi ile Ox ekseni arasında kalan alan nedir?
1
# ^x +
2.
x h dx integralinin sonucu kaçtır?
0
6
A)
5
7
B)
3
5
C)
3
7
D)
4
7
E)
6
A)
2r –
4
C)
16r
–4
3
3
3
E) 2
3r
2
#
3.
14r
–2
3
3
D)
8r
+3
3
3
3–r
| cosx | dx integralinin sonucu kaçtır?
e3
0
A) –2
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
7.
#
e2
dx
integralinin sonucu nedir?
x ,nx
C) In
B) In3
A) In2
4.
B)
3
2
D) In
2
3
E) 1
# 1x–2 x dx ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) –
1
–Inx + C
x
r
2
B) x–1 + Inx + C
#
8.
C) x–1 – Inx + C
D)
E)
1. B
3
x – Inx + C
2
2. E
3. E
1 + Inx
+C
x
4. A
0
A) 1
cosx
2
1 + sin x
dx integralinin değeri nedir?
B) –1
5. D
C) 0
6. C
7. C
D)
8. E
r
2
E)
r
4
503
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
#
1.
5
SINAMA ADIMI
integralinin sonucu nedir?
A) sinx + cosx + C
C) sinx – xcosx + C
13.
B) sinx – cosx + C
D) cosx – xsinx + C
# (4x – 7) 6
dx ifadesinin eşiti nedir?
A)
1
(4x – 7)2 + C
8
B)
1
(4x – 7)7 + C
4
C)
1
(4x – 7)7 + C
28
D)
3
(4x – 7)5 + C
2
E) sinx + xcosx + C
E)
10.
# x –x 2 dx
1
(4x – 7)7 + C
24
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
# x.sinxdx
9.
5
integralinin sonucu nedir?
14.
A) x + 2In|x – 2| + C
C) 2x + In|x – 2| + C
B) x + In|x – 2| + C
D) x2 + In|x – 2| + C
E) 2x2 + In|x – 2| + C
# sin 2 (2x) sin (4x) dx
integralinin sonucu kaçtır?
3
A)
sin 2x
+C
3
C)
cos 2x
+C
3
4
B)
sin 2x
+C
4
D)
cos 2x
+C
4
3
4
E) sin32xcosx + C
0
11.
#x
2
1 – x dx integrali neye eşittir?
–1
1
A)
2
1
B)
4
1
C)
6
1
D) –
4
1
E) –
3
15. f (x) = '
,
kx
x < 1 ise
2x – 1 , 1 < x ise
fonksiyonu x = 1 de sürekli olduğuna göre,
2
# f (x) dx integralinin değeri nedir?
0
A)
7
2
B)
5
2
C)
1
2
D) 0
E) –
1
2
12. y2 = x + 4 parabolü ile x – 2y + 1 = 0
doğrusu arasında kalan alan birimkaredir?
A) 9
504
B) 10
9. C
C)
32
3
10. A
D)
11. E
35
3
12. C
16. f(x) fonksiyonu için xdf(x) – 2x = 1, f(1) = 2 ise, f(e) nedir?
A) 2e – 1
B) 2e + 1
E) 12
D) 3e
13. C
14. B
C) 2e
E) e
15. B
16. B
SINAMA ADIMI
# cos 2 5x dx
m
belirsiz integralinin eşiti hangisidir?
x 1
B) + sin10x + C
2 5
C) 2x + 10 sin5x + C
D) 2x + 10 cos5x + C
E)
m
# f (x) dx = A ise # f (m – x) . dx
5.
x
1
sin10x + C
A) +
2 20
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
1.
6
0
0
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 0
3
sin5x + C
5
B) m – A
C) m + A
D) A
E) –A
3
# x.Inx dx
2
6.
integralinin sonucu nedir?
a Inx– 1 k + C
A)
x
2
C)
x
a Inx– 1 k + C
2
2
# | x – 2 | dx integralinin sonucu kaçtır?
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
2.
0
2
2
2
E)
x
2
B)
x
(Inx – 1) + C
2
D)
x
(Inx – 1) + C
2
A)
3
2
B)
5
2
C) 3
D)
7
2
E) 4
a Inx + 1 k + C
2
1
3.
# 4x
3
4
4
sin (x + 5) cos (x + 5) dx ifadesinin eşiti nedir?
A) cos2 (x4 + 5) + C
7.
# ( dxd e
x2
) dx integralinin sonucu nedir?
0
A) e2 – 1
1
B)
sin2 (x4 + 5) + C
4
B) e + 1
D) e – 2
C) e –1
E)
e2
+1
1
cos2 (x4 + 5) + C
4
D) –3cos2 (x4 + 5) + C
C) –
E)
1
cos2 (x4 + 5) + C
2
x2
# (3t –1) dt
2
4.
#
2
8.
2
| x – x | dx integralinin sonucu kaçtır?
lim
x "
2
2
x –2
2
ifadesinin eşiti kaçtır?
–2
A)
17
3
B)
16
3
1. A
C)
14
3
2. A
11
D)
3
3. C
4. A
E)
8
3
A) 11
B) 12
5. D
C) 13
6. B
7. C
D) 14
8. A
E) 15
505
SINAMA ADIMI
A) 4
B)
14
3
C)
16
3
D) 6
E)
13.
28
3
# d a 2xx ++21 k integralinin sonucu nedir?
A) –
3
+C
x+2
B) –
2x + 1
+C
x+2
C)
E)
In6
#
10.
e
–2x
1
+C
2x + 1
1
+C
2x + 1
D)
3
+C
2x + 1
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
y = x2 parabolü y = 1, y = 4 doğruları ve Oy ile sınırlı alan kaç
birim karedir?
9.
6
dx integralinin değeri kaçtır?
In2
1
1
A)
6
1
B)
4
1
C)
3
1
D)
8
1
E)
9
# arccosxdx
14.
B) 0
A) 1
e 12
#
11.
15.
dx
x Inx
e2
integralinin değeri nedir?
0
integrali neye eşittir?
# 12–dxx 2
C) –1
B) In8
C) In6
D) In4
E) In3
E) 2 In
#
12.
r/3
0
2
D) In
x +1
+C
x–1
x–1
+C
x +1
2x
In5
sint dt] dx ifadesinin eşiti nedir?
16.
5
A) –1
506
#
d
[
dx
E) π
B) –,n | x – 1 | n + C
x–1
+C
x +1
C) In
r
2
aşağıdakilerden hangisidir?
A) In |x2 – 1| + C
A) In9
D)
1
B) –
2
9. E
1
C)
2
10. E
2r
E)
3
3
D)
2
11. C
12. D
#
In2
A) 3
e
dx
integralinin değeri kaçtır?
+1
–x
B) 2
13. A
C) In3
14. A
15. D
D) In2
16. D
E) In7
SINAMA ADIMI
# 2xx ++11 dx integralinin sonucu nedir?
0
#[
5.
4–x
2
– (x + 2)] dx
ifadesinin eşiti nedir?
–2
A) In|x + 1| + C
B) InI2x + 1| + C
C) 2x – InIx + 1I + C
D) x + InIx + 1I + C
1
2.
x
+ InIx + 1I + C
2
D)
6.
1
# f (x) dx = 4 ise # f (
0
0
x)
B) 16
x2
#
3.
E) 2r +
2r – 1
2
1
2
eğrileri arasında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?
dx integralinin değeri nedir?
x
C) 8
D) 4
2
E) 2
B)
3
64
3
C)
80
3
D)
62
3
E) 17
r
f (t) dt = x . cos rx ise,, f(4) kaçtır?
0
C)
y = 6x – x2 ve y = x2 – 2x
A) 16
A) 2
r+3
2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
E)
B) π – 2
A) π + 2
# (sinx + IcosxI ) dx
7.
integralinin değeri nedir?
0
A)
1
8
B)
1
6
C)
1
4
D)
1
3
E)
1
2
A) 4
B) 2
C) 0
D) –2
E) –4
e
4.
# (Inx) 2 dx değeri kaçtır?
8.
1
2
B) e2 – 1
A) 4 – e
D) e – 2
1. C
C)
e
–2
2
#
2
| x | dx integralinin sonucu kaçtır?
–2
A) 4
B) 3
C) 2
D) 1
E) –2
E) e
2. C
3. C
4. D
5. B
6. B
7. A
8. A
507
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
1.
7
SINAMA ADIMI
13. xy = x2 + 1
ifadesinin eşiti hangisidir?
A) sin (e–x) + C
B) (x – sine–x) + C
C) –sine–x + C
D)
# ydx – # xdx
x
1
x cose + C
e
3
B) 2x2 + C
#
A)
integralinin sonucu kaçtır?
A) –
4
3
B) –1
#
3
E) x + C
x
1+3
x
dx
C)
4
3
D) 1
E)
2
3
2
In3
x
1+ 3 + C
B)
x
C) 3In3
x
15.
#
11.
2
A) 1 +
r
2
B)
D)
r+1
3
r
4
C) r +
E) 2r +
1
2
#
12.
3
x –x–2
dx in değeri kaçtır?
Ix + 1I
–2
A) –1
508
B) –
1
2
9. C
C) 0
10. C
D) 1
11. C
A)
sin x
+C
3
B) –
C)
1
sin2x + C
2
D)
E) x–
2
E)
12. B
x
integralinin sonucu nedir?
1
2
16.
#
2x
3
3
x
1+ 3 + C
1+ 3 + C
3
(tan 2x + 9) dx integralinin değeri neye eşittir?
0
# sin 2 xdx
1
In3
D) 3xInx(1 + 3x) + C
1+ 3 + C
E) 3 In3
r/8
x
+C
3
integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
sin2x (cosx + sinx) dx
0
C)
D) lnx + C
14.
10.
integralinin sonucu nedir?
A) x + C
E) –cosex + C
r
2
olduğuna göre,
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
# e –x cose –x dx
9.
7
1
sin2x + C
4
x sin2x
+C
–
2
4
sin2x
+C
2
2
dx integralinin sonucu nedir?
x +1
A)
53
3
2
(x + 1) + C
3
B)
C)
23
3
2
(x + 1) + C
3
D)
1
2
3
3
3
33
3
2
(x + 1) + C
2
2
E) 2 3 (x + 1) + C
13. D
14. A
15. D
2
(x + 1) + C
16. B
SINAMA ADIMI
#x e
2
x3
dx
5.
integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A)
3
3x2ex
3
# (x 2 + 2) 3 xdx
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
1 2 x3
B) x e + C
2
+C
2
(x + 2)
+C
4
C)
(x + 2)
+C
4
D) 3ex + C
2
1 x3
e +C
3
E)
4
A)
3
C) x2ex + C
2
6.
integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 14e7x + sinx + C
4
2
4
(x + 2)
+C
8
D)
(x + 2)
+C
2
2
(x + 2)
+C
4
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
# (2e 7x + cosx) dx
2
B)
3
E)
2.
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
1.
8
f tek fonksiyondur.
5
# 6 f (x) + 2 f (x) @ dx = 16
B) 14.e7x – sinx + C
–5
2 7x
C) e + sinx + C
7
2 7x
D) e – sinx + C
7
5
#
Inx
dx
x
integralinin sonucu kaçtır?
0
B) 2
A) 0
3.
# | f (x) | dx
olduğuna göre,
E) ex + sinx + C
7.
integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
C) 3
D) 4
x > 0 olmak üzere, f(x) = x2 ve g(x) =
E) 8
x
eğrileri ile sınırlanan bölgenin alanı kaç birimkaredir?
A)
1
Inx + C
2
C)
2
3
3
(Inx) + C
E)
B)
1
2
(Inx) + C
2
D)
2
3
A)
d
;
dx
#
log 2 (sinx) dx +
#
x
0
tdt E
B) 1
C)
1. E
C) 1
D)
3
2
E) 2
2
x
2
2. C
y = 1 – x2
eğrisinin I. Bölgede kalan yayı ile koordinat eksenlerinin
sınırladığı bölgenin y–ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi kaç birimküptür?
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 0
1
2
2
Inx + C
3
r/12
r/6
B)
Inx + C
8.
4.
1
3
D) x
3. C
4. D
E)
x
2
A) 2π
B)
5. B
3r
2
6. D
C) π
7. A
D)
8. D
r
2
E)
r
4
509
SINAMA ADIMI
y = tanx eğrisinin 0 ≤ x ≤
13.
# 6 fl (x 3 + 1)@ x 2 dx
integralininn sonucu nedir?
A) 2x2 + C
B) x3 + 2
şan cismin hacmi kaç π birimküptür?
r
A) 1 –
4
r
B) 4 –
3
3–
D)
C)
r
3
r
3–
2
C)
#
1 + sin2x dx
D)
integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisi olabilir?
# sin3xcosxdx
integralininn sonucu nedir?
A) –
1
1
cos 4x– cos2x + C
4
2
B) –
C) –
1
1
cos4x– cos2x + C
8
4
D)
B) cos2x + sinx + C
A) cosx + sinx + C
C) –cosx + sinx + C
1
1
cos4x + sin2x + C
4
2
1
1
sin4x + sin2x + C
4
2
1
1
cos4x + cos2x + C
8
2
E)
D) sin2x – 1 + C
f (x + 1)
+C
6
1
3
f (x + 1) + C
8
E)
E) 4 – π
14.
10.
3
1
3
f (x + 1) + C
3
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
r
aralığında x ekseni ile sınırla3
dığı bölgenin x–ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile olu-
9.
8
E) cos2x – 1 + C
15.
11.
d
[
dx
# Inxdx]
integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
+ sinx
kdx
# a 1 + 1cosx
+ cosx
integralininn sonucu nedir?
A) 1 – InI1 + sinx| + C
B) x – In|1 + sinx| + C
C) x – In|1 + cosx| + C
D) tanx + 1 + C
E) tanx + x + C
1
A) + C
x
1
C) x
B) lnx
D) Inx + C
E)
Inx
+C
x
16.
# 2 – dxsin 2 x
integralinde tanx = u dönüşümü yapılırsa aşağıdaki
integrallerden hangisi elde edilir?
e2
#
12.
(Inx)
x
2
A)
dx integralinin değeri kaçtır?
# du
u
B)
2
# u2du
2
+1
C)
e
7
A)
3
510
2
B)
3
9. D
7
C)
5
10. C
5
D)
3
11. B
3
E)
4
12. A
D)
13. C
# u2 + 2
du
14. C
E)
15. C
#
1
du
2
u+1
16. D
# udu+2
SINAMA ADIMI
Şekilde f(x) = e2x eğrisinin
grafiği görülüyor.
y
1^ 4 h
e –1
2
B)
A)
0
–1
1 e 4 –1
f
p
2 e2
e4 – e
2
r
doğruları ile
2
E)
1
6
B)
1
4
C)
1
3
1
2
D)
E) 1
x
1
1 c e 2 –1 m
e
4
C)
1^ 4
e – 1h
2
5.
2.
y = sinx eğrisinin x– ekseni, x =0 ve x =
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
D)
4.
sınırladığı alan kaç birimkaredir?
Bu eğrinin x = –1, x = 1 ve
x– ekseni ile sınırladığı alan
kaç birimkaredir?
A)
e2x=f(x)
y = cosx ve y = sinx eğrilerinin x– ekseni x = 0, ve x =
y
r
2
doğruları ile sınırladığı alan kaç birimkaredir?
y=f(x)
A) 2 2 – 2
B) 2 –
10 birimkare
–4
0
x
3
8 birimkare
D)
2
2
2
2
C) 1 –
E)
2
4
2
4
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun x– ekseni ile sınırladığı böl3
# f (x) dx integralinin
geler ve alanlar veriliyor. Buna göre,
–4
değeri kaçtır?
A) –2
3.
B) 1
C) 2
D) 4
E) 18
6.
Şekilde y = x2 + 3,
y = 0, x = –1 ve x = 2
ile sınırlanan bölge
gösteriliyor.
y
Buna göre taralı bölgenin
alanı kaç birimkaredir?
–1
0
y=x2+3
x
2
Şekilde
y = x2 parabolü ve
y = –2x + 3 doğrusunu
y = 0 doğrusu ile sınırladığı
alan gösteriliyor.
Buna göre taralı alanın
ölçüsü kaç birimkaredir?
A)
A) 12
B)
34
3
1. B
C)
32
3
2. C
D) 10
3. A
E)
3
5
B)
2
5
C)
1
3
y
y=x2
x
0
y=–2x+3
D)
7
12
E)
5
12
28
3
4. E
5. A
6. D
511
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
1.
9
SINAMA ADIMI
y = , nx eğrisinin x = e ve x = e3 doğruları ve y = 0 doğrusu arasında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 2e4
B) e4
C) 2e3
D) 2e 3
3
E)
e3
3
10. Şekildeki
y = (x + 1)2 ve
y = 1 – x2 parabolleri arasında kalan taralı bölgenin
alanı kaç birimkaredir?
y
y=(x+1)2
x
0
y=1–x2
A) 2
8.
3
2
3
4
C)
D)
2
3
E)
1
3
y = x2 + 1 parabolü x = 1 doğrusu ve eksenlerle arasında
kalan bölgenin x– ekseni etrafında 360° döndürülmesiyle
oluşan cismin hacmi kaç birimküptür?
A)
28
r
11
B)
28
r
15
C)
26
r
15
D)
23
r
15
E)
19
r
15
11. y2 = x eğrisi A(1, 1) noktasındaki teğeti ve x ekseni
arasında kalan taralı alan kaç
birimkaredir?
A)
9.
B)
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
7.
9
Şekildeki taralı bölgenin alanı
kaç birimkaredir?
1
4
B)
1
3
y
A(1,1)
y2=x
B
x
0
C)
2
3
D) 1
E)
3
2
y
y=e–x
y=ex
x
0
x=1
A)
12. y = x2 parabolü ile y = mx doğrusu arasında kalan alanın 36 birimkare olması için m kaç olmalıdır?
^e – 1h2
e
B) ^ e – 1h2
1
D) e + e + 1
512
7. C
C) e + 2
A) –2
B) 3
C) 4
D) 6
E) e 2 + 1
8. B
9. A
10. E
11. B
12. D
E) 8
SINAMA ADIMI
y2 = 4x ve y3 = 8x eğrilerinin sınırladığı bölgenin alanı
kaç birimkaredir?
A)
1
12
1
9
B)
C)
1
6
D)
1
3
E)
4.
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
1.
10
y
1
2
S1
0
g
S2
S3
f
x
6
1
Şekilde f ve g fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. S 1 = 2,
y1
6
S2 = 5, S3 = 3 birimkare ise,
[f (x) – g (x)] dx nin
eşiti kaçtır?
2.
Şekildeki taralı alanın Ox
ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile elde edilen
cismin hacmi kaç birimküptür?
y
4r
3
B)
C) r
D)
Şekilde taranmış
p ve q alanları
toplamı 23 birimkaredir.
y–1 f (x) dx = –3
4
2r
3
E)
r
3
2
y = x eğrisi x = 1, x = 3 doğruları ve x ekseni tarafın-
dan sınırlanan bölgenin x ekseni etrafında 360° döndürülmesiyle oluşan cismin hacmi kaç birimküptür?
r
6
p
–1
0
q
4
x
6.
C)
r
3
D)
r
2
E)
8r
3
y = x2 – 1 eğrisi, y = 0, y = 4 doğruları ve y ekseni ile
sınırlı bölgenin y ekseni etrafında 360° dönmesi ile oluşan cismin hacmi kaç birimküptür?
A) 12π
1. C
r
4
y=f(x)
ise,
B) 9
B)
y
p alanı kaç birimkaredir?
A) 8
E) 10
x
0
A)
3.
D) 7
y=2x
5.
5r
3
C) 5
y=3x
x=1
A)
B) 1
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
A) 0
C) 10
2. A
D) 12
3. C
B) 4π2
D) 3π2
C) 4π + 5
E) 16π
E) 15
4. A
5. E
6. A
513
SINAMA ADIMI
a > 0 koşulu ile y = x3 + ax eğrisi, x ekseni ve x = 2 doğrusu tarafından sınırlanan bölgenin alanı 8 birimkare ise,
a nın değeri kaçtır?
1
A)
2
2
B)
3
3
D)
2
C) 1
10. Şekildeki taralı alanın değeri
y
2 , n2 birimkare ise,
k kaçtır?
E) 2
y= k
x
y= 2
x
0
A) 1
8.
Şekilde y = –x2 – 2x parabolü
ve y = x + 2 doğrusunun grafiği verilmiştir.
Eğri, doğru ve y– ekseni
arasında kalan düzlemsel
bölgenin alanı kaç birimkaredir?
A)
1
2
B)
2
3
B) 2
2
C) 3
C)
11. Şekilde y = x2 parabolü ve
x = a doğrusunun grafiği
verilmiştir. Taralı düzlemsel bölgenin alanı 9 birimkare ise, a kaçtır?
y
y=x+2
–2
E) 5
y
y=x2
x
0
x
4
D) 4
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
7.
10
x
0
x=a
y=–x2–2x
5
6
D) 1
E)
7
6
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
12. Şekildeki taralı bölgenin
alanı kaç birimkaredir?
E) 5
y
y=x
2
0
9.
x
1
y2 = x + 1 eğrisi ile y ekseni arasında kalan bölgenin alanı
kaç birimkaredir?
A)
514
2
3
B)
3
4
7. E
C) 1
8. C
D)
9. E
3
2
E)
4
3
A)
19
25
B)
8
5
9
8
D)
11. C
12. C
C)
10. D
12
7
E)
5
3
SINAMA ADIMI
Şekilde
y = f(x) parabolünün
grafiği veriliyor.
Buna göre taralı alan
kaç birimkaredir?
B) 36
9
A) ,n5
y=f(x)
0
–3
C) 27
D) 18
2.
B) ,n3
C) ,n2
D) 2,n3
Şekilde y = 6x –
parabolünün x– ekseni ile
sınırladığı alanın ölçüsü
kaç birimkaredir?
E)
1
,n3
2
x
3
E) 9
5.
x2
x.y = 1 eğrisi; y = 1 ve y = 3 doğruları arasındaki alan
kaç birimkaredir?
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
A) 38
4.
y
y
y = 4x ve x = 3 y eğrilerinin sınırladığı alan kaç birimkaredir?
A) 12
0
B) 10
C) 8
D) 6
E) 4
x
y=6x–x2
A) 18
3.
B) 27
C) 32
D) 36
E) 40
y2 = x parabolü ile y = 2 – x doğrusunun sınırladığı alan
kaç birimkaredir?
A) 6,5
B) 6
1. B
C) 5
2. D
D) 4,5
3. D
E) 4
6.
y0
1
2
e x dx +
A) e2
y1e
,nx dx toplamının değeri kaçtır?
B) e2 – 1
C) e
4. B
5. C
D) e – 1
6. C
E) e3 – 1
515
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
1.
11
SINAMA ADIMI
A)
1
3
B)
1
2
10. Şekildeki y = x3 fonksiyonunun grafiği üzerindeki B
noktasından Ox ve Oy eksenlerine [BA] ve [BC] dikmeleri iniliyor. Eğri ile [OB]
doğru parçasının sınırladığı alanın 4 birimkare olması için |OA| uzunluğu
kaç birim olmalıdır?
y
Şekildeki taralı alanın
x– ekseni etrafında 360°
dönmesiyle oluşan cismin hacmi 2π birimküp
olduğuna göre |OH| kaç
birimdir?
A
y2=4x
0
x
H
C) 1
D)
2
3
E) 2
A) 2
y
C
8.
Şekilde y =
y=
x
3
x3
eğrisi ile
3
y=x3
B) 3
y= x
3
doğrusunun sınırla-
C) 2
9.
1
8
B)
1
6
E) 2 3
x
0
11. f(x) = cosx eğrisi x = 0, x = π doğruları ve Ox ile sınırlanan alanın Ox etrafında 360 derece dönmesi ile oluşan
cismin hacmi kaç birimküptür?
A) r2
A)
C)
1
4
1
3
D)
E)
B)
r2
2
C)
r2
3
D) 2r
E) r
1
2
12. Şekilde y = x3
Şekildeki O merkezli kürenin yarıçapı 6 birimdir. Bu
küre şekildeki gibi merkezden 3 birim uzaklıktan bir
düzlemle kesilmiştir. Taranmış kısmın hacmi kaç
birimküptür?
x
A
3
y= x
3
y
dığı alanlar görülüyor.
Taralı alanların toplamı kaç
birimkaredir?
B
O
C) 2 2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
7.
11
y
y
y=x3
eğrisi çizilmiştir.
F
|OA| = k,
E
|AB| = 2k birimdir.
3
O
6
x
S1 E
[AE] ⊥ OX ve
S2
x
O k A 2k B
[FB] ⊥ OX tir.
S2 alanı S1 alanının kaç
katıdır?
A) 20π
516
B) 30π
7. C
C) 36π
8. B
D) 45π
9. D
E) 81π
A) 8
B) 15
10. C
C) 26
11. B
D) 27
12. B
E) 80
SINAMA ADIMI
f(x) = tanx eğrisi x =
r
doğrusu ve Ox ekseni ile sınır4
4.
lanan alanın Ox ekseni etrafında 360 derece dönmesi ile
oluşan cismin hacmi kaç birimküptür?
A) 1
B)
4r + r2
3
C) r –
E)
A) 1
3.
C) 3
D) 4
3r
B)
4
1. C
D)
3r
C)
10
2. B
1
4
E)
1
6
r
D)
6
3. C
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
E) 5
y2 = x, y = x2 parabolleri arasında kalan alanın Ox etrafında 360 derece dönmesi ile oluşan cismin hacmi kaç birimküptür?
2r
A)
3
1
3
m > 0 olup y = mx + 2
y = 0, y = 3 doğruları ve Oy ekseni ile sınırlı alanın 1/2
birimkare olması için m ne olmalıdır?
A) 1
B) 2
C)
r2 + r
3
a > 0 olup x = a ve y = 3x doğruları ve Ox ekseni ile sınırlı alanın Ox ekseni etrafında 360° dönmesi ile oluşan
hacmin 24π birimküp olması için a kaç olmalıdır?
A) 1
1
2
r2
4
5.
2.
B)
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
D)
r2
2
a > 0 olup y2 = ax parabolü y = 1, y = 2 doğruları ve Oy
ile sınırlı alanın 14 birimkare olması için a kaç olmalıdır?
5r
E)
3
6.
f(x) = x2 ve g(x) = x3 eğrileri arasındaki kapalı alan kaç
birimkaredir?
A) 1
B)
1
2
C)
4. E
1
3
5. E
D)
6. E
1
6
E)
1
12
517
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
1.
12
SINAMA ADIMI
1
y = x , y = 1,
y = 2 doğruları ve Oy ile sınırlı alanın
Oy etrafında 360 derece dönmesi ile oluşan cismin hacmi
kaç birimküptür?
A)
r
2
B) r
C)
3r
2
D) 2r
E) 3r
10. Şekilde y = x3
eğrisi ile y = a
doğrusu ve Oy
ile sınırlı taralı
alan 12 birimkare
ise a kaçtır?
A) 2
8.
y=2–
2r – 3
4
B)
D)
14r
–2 3
3
8r
+4 3
3
16r
–4 3
3
C)
E) 2 3 – r
Şekilde f(x) fonksiyonunun
grafiği görülmektedir.
r/2
y0
C) 6
D) 8
E) 10
f(x)
B) 2
7. A
1
3
B)
1
2
y
A
x
2
O
y2=2x
C) 1
D)
3
2
E) 2
3
cos x f'(sinx)dx
0
518
x
y
ifadesinin eşiti kaçtır?
A) 3
A
0
11. Şekilde y2 = 2x
eğrisi ve onun
x0 = 2 apsisli
noktadaki teğeti
ve Oy ekseni
arasında kalan
alan kaç birimkaredir?
A)
9.
y=x3
a
16 – x 2 eğrisi ile Ox ekseni arasında kalan alan
nedir?
A)
B) 4
y
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 4 İNTEGRAL
7.
12
C) 0
8. D
1
x
–2
D) 1
9. B
2
12. |y| = 4 – x2 eğrisinin sınırladığı kapalı alan kaç birimkaredir?
A)
32
3
B)
38
3
C)
56
3
D)
E) –2
10. D
11. A
12. D
64
3
E) 21