proje 2 - Google Groups

I
ÇOKGENLER VE DÜZLEMDE KAPLAMALAR
PROJE 2
Projenin Konusu: Kaleydeskop yapımı
Projenin Amacı: Farklı desen görüntülerini seyretmek ve çiçek dürbünü
olarak adlandırılan oyuncağı yapmak
Projenin Hazırlık Basamakları
1 . Kaleydeskop hakkında bilgi toplayınız.
2. Elde ettiğiniz bilgileri değerlendirerek taslak çizim yapınız.
3. Kaleydeskop için gerekli malzemeleri temin ediniz.
Projenin İçeriği
a. Ayna işi yapan bir camcıdan kenarları 4 cm ve 20 cm olan dikdörtgensel bölge biçiminde üç
eş düz ayna kestiriniz.
b. Bu aynaları, parlak yüzleri içe gelecek ve üçgen prizma olacak biçimde yapıştırınız.
c. Oluşturduğunuz prizmanın tabanına eş üçgensel bir bölgeyi kartondan kesiniz. Bu üçgensel
bölgenin ortasına kaleminizle bir gözetleme deliği açınız.
ç. Bu üçgensel bölgeyi prizmanın tabanı olacak biçimde prizmaya yapıştırınız.
d. Prizmanın diğer tabanı için de aynı büyüklükte üçgnsel bölgeyi saydam bir kâğıttan ya da
buzlu camdan kesiniz.
e. Bu saydam tabanı prizmaya yapıştırmak için prizma içine renkli küçük cisimler (renkli kâğıt
parçaları, renkli cam parçaları) koyunuz.
f. Saydam tabanı prizmaya yapıştırdıktan sonra, gözetleme deliğinden prizma içine bakınız.
Prizmayı sallayarak tekrar bakınız. Sayısız değişik desenler oluştuğunu göreceksiniz.
g. Kaleydeskopun nerelerde kullanıldığını araştırınız.
Projenin Sunumu
Hazırladığınız kaleydeskopu sınıfta arkadaşlarınıza gösteriniz. Onlarında gözlem yapması­
nı isteyiniz.
Kaleydeskopla ilgili yaptığınız çalışmaları sunum yaparak arkadaşlarınıza anlatınız.
Projenin Değerlendirmesi
Kitabınızın 202. sayfasında yer alan “ÖZ DEĞERLENDİRME FORMU”nu doldurarak kendi­
nizi değerlendiriniz.
NELER ÖĞRENECEĞİZ?
1. Çokgenleri açıklayarak iç ve dış açılarının ölçülerini hesaplayacağız.
2. Çokgenlerin çevre uzunlukları ve çokgensel bölgelerin alanları ile ilg ili
bağıntıları oluşturup uygulamalar yapacağız.
3. Üçgenlerde eşlik teorem lerini açıklayıp uygulamalar yapacağız.
4. Düzlemde dönüşüm leri açıklayacağız, çokgenlerle kaplamalar yapacağız.
5. Üçgenlerde benzerlik teorem lerini açıklayıp uygulamalar yapacağız.
65
ÇOKGENLER, ÇOKGENLERİN İÇ VE DIŞ AÇILARININ ÖLÇÜLERİ
ÇOKGEN KAVRAMI
Aşağıda bazı fotoğraflar verilmiştir. Bunlar arasında çokgen olan geometrik şekillerin olup olma­
dığını tartışınız.
Mimaride kullanılan çokgen olan ve çokgen olmayan geometrik şekillere örnekler veriniz.
- T *ETKİNLİK
Araç ve Gereç: kalem, silgi, cetvel.
Bir kâğıda yandakilere benzer şekiller çiziniz.
Bu şekillerin bazılarının içlerini boyayınız.
Şekillerin içlerinin dolu olması ile boş olması
arasındaki farkı açıklayınız.
Çizdiğiniz bu şekillerin köşegenlerini çiziniz.
Köşegenlerinin tamamı iç bölgede kalan şekiller
ile köşegenlerinden bazıları dışarıda kalan şekil­
leri ayrı ayrı işaretleyiniz.
Bu şekiller arasındaki farkları açıklayınız.
^ İN C E L E Y E L İM
Noktalı kâğıdın noktalarını yandaki gibi birleş­
tirerek çokgenler oluşturalım.
Yandaki şekilde A şekli bir beşgen, B şekli de bir
üçgendir.
66
—
J # AÇIKLAMA ------ — ----------- —
•
----- —
—
------------------------------------- --
n s 3 ve n € N olmak üzere, düzlemde yalnız A ^ A2, A3, ..., An noktalarında kesişen ve
herhangi ardışık üç noktası doğrusal olmayan [AıA2], [A2A3] ......[An.ıA n], [ A ^ ] doğru parçala­
rının birleşim kümesine, çokgen denir.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------j
•
[A-ıA2], [A2A3], ... doğru parçalarına çokgenin kenarları; A-,, A2, A3, ..., An noktalarına da çok­
*
Çokgenin kenarlarına ve köşelerindeki açılarına, çokgenin temel elemanları denir.
genin köşeleri denir.
Yukarıdaki tanıma göre, aşağıdaki şekillerden; 1, 2, 3 ve 4 numaralı şekiller birer çokgenken diğer
SBKiller çokgen değildir. Neden?
5
------B ild i
6
7
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Çokgenin kenarlarını taşıyan doğrular, düzlemi iki yarı düzleme ayırır. Çokgenin bütün elemanarı aynı yarı düzlemde ise böyle çokgenlere, dışbükey (konveks) çokgenler denir. Dışbükey çok­
genlerde kenar doğruları çokgeni kesmez. Dışbükey olmayan ve bazı kenar doğruları tarafından
Kesilen çokgene de içbükey (konkav) çokgen denir. Yukarıdaki 1, 2 ve 3. şekiller dışbükey (kon­
veks),^. şekil de içbükey (konkav) çokgendir.
Bu kitapta dışbükey çokgenler üzerinde duracağız.
—
^
BİLGİ
— --------—
—
------
-- --------------- —
..........
.. .........
Dışbükey çokgenler kenar sayılarına göre ad alır: 3 kenarlı çokgene üçgen, 4 kenarlı çokgene
dörtgen, 5 kenarlı çokgene beşgen, 6 kenarlı çokgene altıgen, n kenarlı çokgene de n gen denir.
Yandaki çokgen bir beşgendir. Bu çok­
E>
T
gende bir köşedeki iç ve dış açılar gösteril­
miştir.
rr /
t--m im
—
—
------------ -
Bir çokgende, ardışık olmayan iki köşe­
^.
yi birleştiren doğru parçası, çokgenin bir
Ç aÇ'
A
köşegenidir.
67
e ü j
dl? aÇ'
B
k
r= T *ETKİNLİK
Araç ve Gereç: A4 kâğıdı, kalem, silgi, cetvel, makas.
Bir A4 kâğıdına bir üçgen çiziniz.
Oluşan üçgensel bölgeyi kenarlarından keserek ayırınız.
Üçgenin köşelerini ve açılarını adlandırınız.
Üçgenin köşelerini koparınız.
Başka bir kâğıda bir doğru çizerek doğru üzerinde bir nokta belirleyiniz.
Kopardığınız üçgenin köşelerini, köşe noktalarını doğru üzerindeki noktaya (Köşelerin tamamı
doğrunun bir tarafında olmasına dikkat ediniz.) birleştiriniz.
Üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamının kaç derece olduğunu açıklayınız.
Aynı etkinliği kâğıtlara; kare, dikdörtgen, paralelkenar, dik yamuk, ikizkenar yamuk ve eşkenar
dörtgen için tekrarlayınız.
Bu dörtgenlerin iç açılarının ölçüleri toplamlarının kaçar derece olduğunu söyleyiniz.
Bir kâğıda kare, dikdörtgen, paralelkenar, dik yamuk, ikizkenar yamuk ve eşkenar dörtgen çiziniz.
Çizdiğiniz bu çokgenlerin birer köşegenlerini cetvel yardımıyla çiziniz.
Her birinde oluşan üçgen sayısını belirleyiniz.
Üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamından yararlanarak bu çokgenlerin iç açılarının ölçüleri top­
lamlarını bulunuz,_________________________ _______________________________________________
ELEYELİM
Aşağıdaki çokgenleri inceleyelim.
-------- ^
d
F
F
a..... ... .
ET
AÇIKLAMA --------------- —
M
3
110
--------- —
Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 180° dir.
Bir dörtgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 360° dir.
■ j[ ETKİNLİK
Araç ve Gereç: kalem, silgi, cetvel.
Kâğıda herhangi bir çokgen çiziniz.
Çizdiğiniz çokgenin dış açılarını belirleyiniz.
Dış açıların oluşturdukları bölgeleri açıların kenarlarından makasla keserek çıkarınız.
Bu bölgelerin köşelerini kâğıtta belirleyeceğiniz bir noktada çakıştırınız.
Çizdiğiniz çokgenin dış açıları ölçüleri toplamının kaç derece olduğunu açıklayınız.
Bu etkinliği farklı çokgenler ile tekrarlayınız.
Her seferinde bulduğunuz sonucu açıklayınız._________ ___________________________
68
— ^ İN C E L E Y E L İM
—
Bir dörtgenin dış açılarının
ölçüleri toplamını bulalım.
Bir ABCD dörtgeni çizerek
yandaki şekilde gösteri>d/ğ'/
gibi dış açıları belirtelim.
Dış açıların ölçüleri sıra ile
x, y, z ve t olsun.
Dörtgenin dış bölgesinde bir E noktası belirleyip E noktasından dörtgenin kenarlarına paraleller
çizelim. Bu durumda kenarları aynı yönde paralel açılar oluşur. Bu açılar bir tam açı meydana getirir.
x + y + z + t = 360° olur.
—
iŞ
AÇIKLAM A ----------------- —
------- --
Bir dörtgenin dış açılarının ölçüleri toplamı 360° dir.
ÖRNEK
Bir ABC üçgeni çizerek iç ve dış açılarını belirtelim.
Üçgenin bir köşesindeki iç açı ile dış açı komşu bütün­
lerdir. Neden?
(p + r + 1) + (x + y + z) = 540°
x + y + z = 3.180° - 180° = 2.180° = 360°
F=
S
AÇIKLAM A ---------------------- —
=
Bir üçgenin dış açılarının ölçüleri toplamı 360° dir.
^ b
ÖRNEK
Şekle göre, m + n + p + q toplamının kaç derece
olduğunu bulalım.
DBF üçgeninde, m + n + a = 360° dir. ®
EFC üçgeninde, p + q + 180° - a = 360° dir. ®
® ve © taraf tarafa toplanırsa,
m + n + p + q = 540° bulunur.
ÖRNEK
Bir ABC üçgeninde iki köşeye ait dış açıların ölçüleri p ve q, üçüncü köşeye ait açının ölçüsü n dir.
p + q + n = 290° olduğuna göre n nin kaç derece olduğunu bulalım.
Ar
A,
A
ABC üçgeninde; m(A') = p, m(C') = q ve m(B) = n olsun.
ABC üçgeninde dış açıların ölçüleri toplamını yazalım:
p + q + (180° - n) = 360° => p + q - n = 180° dir.
p + q + n = 290° 1 ^ 2n _ 11Qo ^ n _ 55<, bu|unur
p + q - n = 180° J
69
DIŞBÜKEY ÇOKGENİN KENAR SAYISI İLE AÇILARININ ÖLÇÜLERİ ARASINDAKİ BAĞINTI
İNCELEYELİM
üçgen
— ---------— — — ------------------------------------- — ----------------------- —
dörtgen
beşgen
altıgen
yedigen
Yukarıdaki çokgenlerin bir köşesinden çizilen köşegenler sonucu oluşan üçgenlerin sayısı ile
çokgenlerin kenar sayıları arasındaki ilişkiyi açıklayalım.
n e N+ ve n > 3 olmak üzere, kenar sayısı n olan bir dışbükey çokgende;
• Bir köşeden çizilen köşegenler ile n - 2 tane üçgen oluşur.
• Çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı, bir köşesinden çizilen köşegenleri ile oluşturulan üçgen­
lerin iç açılarının ölçüleri toplamına eşittir.
• Dışbükey çokgende iç açıların ölçüleri toplamı (n - 2) . 180° dir.
• Bir köşede, bir iç açı ile dış açı komşu bütünler olduğundan çokgenin iç ve dış açılarının ölçüleri
toplamı, n. 180° dir.
• n . 180°- ( n - 2) . 180° = 180°. n - 180° . n + 2 . 180° = 360° dir.
¿M AÇIKLAMA
&
Bir dışbükey çokgende dış açıların ölçüleri toplamı 360° dir
ÖRNEK
11 kenarlı dışbükey çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamını bulalım.
ÇÖZÜM
n = 11 olduğundan, bu dışbükey çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı,
(n - 2 ) . 180° = (11 - 2 ) . 180° = 9 . 180° = 1620° bulunur.
ÖRNEK
Bir dışbükey çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 1440° ise bu çokgenin kenar sayısını bulalım.
ÇÖZÜM
Kenar sayısı n olan dışbükey çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı;
(n - 2) . 180° olduğundan, (n - 2) . 180° = 1440° dir. Buradan,
1800°
180°n - 360° = 1440° => n = -------- = 10 bulunur.
180°
DÜZGÜN ÇOKGENLER
^ İN C E L E Y E L İM
Eşkenar üçgen ve kare, birer düzgün çokgendir. Dikdörtgen ve eşkenar dörtgen, düzgün çokgen
değildir. Neden?
Yandaki çokgenler birer düzgün çokgendir.
İnceleyiniz.
n kenarlı düzgün çokgenin bir iç açısının öl­
çüsü (3 ve bir dış açının ölçüsü a ise
(n - 2) . 180°
360°
(3 = ------------------- ve a = ------- dir.
-
$
AÇIKLAMA
---------- --------------------------------—
—
Kenar uzunlukları birbirine eşit ve iç açılarının ölçüleri birbirine eşit olan çokgene, düzgün çokgen denir.
70
v5$>
% ÖRNEK
Bir iç açısının ölçüsü 160° olan düzgün bir çokgenin kenar sayısını bulalım.
ÇÖZÜM
I. yol: n kenarlı bir düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü;
(n - 2 ) . 180°
p = -------- ---------- olduğundan,
p = ( " - 2M
« ? : a 1 6 0 -.
(n - 2 ) . 180° = 160° . n
180° . n -3 6 0 ° = 160° . n
20° . n = 360°
n = 18 bulunur.
II. yol: Düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü 160° olduğundan bir dış açının ölçüsü,
1 8 0 ° - 1 6 0 ° = 20 ° dir.
360° 360°
Kenar sayısı, n = -------= — = 18 bulunur.
a
20 °
%
ÖRNEK
Şekildeki ABCDE düzgün beşgen ise DFE açısının ölçüsünü
bulalım.
ÇÖZÜM
Düzgün beşgende bir iç açının ölçüsü,
( 5 - 2 ) . 180°
B = -------- ---------- = 3 . 36° = 108° dir.
5
CDB ve DEC ikizkenar üçgenler olduğundan;
m(CDF) = m(CBF) = 36°,
m(ECD) = m(DEC) = 36° ve
FDC üçgeninde, x = 36° + 36° = 72° bulunur.
¿»a İ İ T jI
ALIŞTIRMALAR ■
1. Aşağıdaki ifadeler doğruysa “D” yanlışsa “Y” yazınız.
( ) Çokgenin herhangi bir kenarını taşıyan doğru, düzlemi iki ayrı bölgeye ayırır.
( ) Bir üçgenin dış açılarının ölçüleri toplamı 180° dir.
( ) Dışbükey çokgenlerde iç açıların ölçüleri toplamı (n - 3). 180° dir.
( ) Bir çokgende en az üç kenar vardır.
2. Aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz.
a. Çokgenin temel elem anları;.............................. v e ..............................
b. Bütün dışbükey çokgenlerin dış açılarının ölçüleri top la m ı..............................
c. Kenar sayısı “n” olan bir dışbükey çokgenin bir köşesinden çizilen köşegenlerle....................
tane üçgen elde edilir.
ç. Düzgün çokgenlerin kenar uzunlukları ..........................................
71
ve iç açılarının ölçüleri
3. Aşağıdaki tabloyu doldurunuz.
Çokgen
Çizimi
Kenar
Karşılıklı kenarları
Köşe
Bir köşesinden geçen
sayısı
(paralel / farklı)
sayısı
köşegen sayısı
Üçgen
Kare
Dikdörtgen
Dik yamuk
İkizkenar yamuk
Eşkenar dörtgen
Düzgün beşgen
Düzgün altıgen
4.
Şekilde verilenlere göre, p + q + r toplamı
kaç derecedir?
A. 300
D. 380
5.
B. 330
E. 400
C. 360
Şekildeki üçgende, x + y + z = 250° ise x kaç
derecedir?
A. 25
D. 35
B. 28
E. 40
C. 30
6. İç açılarının ölçüleri toplamı 1620° olan dışbükey çokgenin kenar sayısını bulunuz.
K
7.
Şekilde; ABCDE düzgün beşgen, BFGHKC çok­
geni de düzgün altıgendir. m(ABF) nü bulunuz.
8.
Metin uzunluğu a br ve b br olan çıtalarla şekilde
görüldüğü gibi bir uçurtma yapmak istiyor. Metin
bu uçurtma için uzunluğu a br olan çıtalardan kaç
tane kullanır?
72
ÇOKGENSEL BÖLGELERİN ÇEVRELERİNİN UZUNLUKLARI VE ALANLARI
Yandaki çokgen modelleri­
ni inceleyiniz.
Bu çokgenlerin çevre uzun­
luklarını nasıl bir strateji kulla­
narak hesaplarsınız?
Çokgensel bölgelerin alan­
larını birim karelerden yararla­
narak nasıl hesaplayabilece­
ğinizi açıklayınız.
— ^ E T K İN L İK
Araç ve Gereç: kareli kâğıt, ka­
lem,silgi, cetvel.
• Kareli kâğıda, yanda görüldüğü gibi
farklı büyüklüklerde kareler ve dik­
dörtgenler çiziniz.
• Bunların her birinin çevrelerinin uzun­
luklarının kaçar birim olduğunu, birim
uzunlukları sayarak bulunuz.
• Karesel ve dikdörtgensel bölgelerin
alanlarının kaçar br2 olduğunu birim
karaleri sayarak bulunuz.
• Buradan yararlanarak kare ve dik­
dörtgenin çevre uzunlukları ile kare­
sel bölgenin ve dikdörtgensel bölgenin alan bağıntılarını çıkarınız.
f— ^
İNCELEYELİM
—
------------------------------------------------------------------------ -
Aşağıdaki şekillerden A, B ve D nokta kümeleri çokgensel bölge, C nokta kümesi ise çokgensel
bölge değildir.
—
AÇIKLAMA
........ — ----- —
-------
'
'—
Bir çokgenin sınırladığı bölgeye, çokgensel bölge denir.
Bir çokgensel bölgenin alanı, uygun biçimde sonlu sayıda üçgensel bölgelere ayrıldıktan sonra
elde edilen alanların toplamı olarak ifade edilebilir.
D şekli, A şeklinin üçgensel bölgelere ayrılmış biçimlerinden biridir.
73
^İN C E L E Y E L İM
1. Yandaki ABCD dikdörtgenin çevre uzunluğu,
6
+ 4 + 6 + 4 = 2 . 6 + 2 . 4 = 2 (6 + 4) = 2 . 1 0 = 2 0b r dir.
ABCD dikdörtgensel bölgesinde 6 tane 4 br2 lik olan olduğundan
bu dikdörtgensel bölgenin alanı, 6 . 4 = 24 br2 dir.
A(ABCD) = a . b dir.
Ç = a + b + c + d = 2(a + b) dir (a = c, b = d).
B İ L G İ ---------------------------------Bir dikdörtgensel bölgenin alanı, bitişik iki kenarının uzunlukları çarpımına eşittir.
2. Yandaki ABCD karesinin çevre uzunluğu,
3 + 3 + 3 + 3 = 4 . 3 = 12br dir.
ABCD karesel bölgesinde 3 tane 3 br2 lik alan olduğundan bu
karesel bölgenin alanı, 3 . 3 = 9 br2 dir.
Ç = a + a + a + a = 4a dır.
A(ABCD) = a . a = a2 dir.
• *
ÖRNEK
Şekildeki ABCD dörtgeni kare, ICEI = IEBI ve IEFI = {5 cm ise
d
A(ABCD) nın kaç cm2 olduğunu bulalım.
ÇÖZÜM
ICEI = IEBI = — ve
2
ECD = EBF (A.K.A) eşlik teoremi olduğundan,
ICDI = IBFI = a dır.
EBF dik üçgeninde, IEBI2 + IBFI2 = IEFI2 dir.
4
a2 = (V5 )2 => 5a 2 = 20 => a2 = 4 => A(ABCD) = 4 cm2 bulunur.
PARALELKENARSAL BÖLGENİN ÇEVRESİNİN UZUNLUĞU VE ALAN BAĞINTISI
•U **
-----ETKİNLİK
Araç ve Gereç: kareli kâğıt, kalem,
silgi.
Kareli kâğıda farklı büyüklükte paralelkenarsal bölgeler çiziniz.
Bu bölgeleri keserek çıkarınız.
Bu paralelkenarsal bölgeleri yandaki
şekilde görüldüğü gibi keserek dik­
dörtgensel bölge hâline getiriniz ve
alanlarını birim kareleri sayarak bulu­
nuz.
Buradan paralelkenarsal bölgenin
alan bağıntısını bulunuz.
74
— ^ İN C E L E Y E L İM
------------------------ _
—
Yandaki şekilde,
A(AÜH) = A (C İE ) ve A(ABCD) = A(HECD) dir.
A(HECD) = 7.4 = 28 br2 olduğundan, ABCD paralelkenarsal bölgenin alanı, 28 br2 dir.
BİLGİ
Bir paralelkenarsal bölgenin alanı, bir kenarının uzunluğu ile bu kenara ait yüksekliğin çarpı­
mına eşittir.
Aynı yöntemle, A(ABCD) = b . hb bulunur.
Paralelkenarın çevresinin uzunluğu kenar uzunluklarının toplamına eşittir.
Ç = a + b + c + d = 2(a + b) dir (a = c, b = d).
J
n örnek
Şekildeki ABCD bir paralelkenar ve [BE] açıortay-
3 '. İADI = 6 cm, IDEI = 4 cm ise ABCD paralelkenarı­
nın çevresinin uzunluğunu bulalım.
ÇÖZÜM
m(ABE) = m(BEC) = a (iç ters açılar )olduğundan
CEB ikizkenar üçgenidir. ICEI = ICBI = 6 cm dir.
D
4 cm
IDCI = IDEI + IECI = 4 + 6 = 10 cm,
a = c = 1 0 c m v e b = d = 6 cm dir.
Ç = 2(a + b) = 2(10 + 6 ) = 32 cm bulunur.
10 cm
^
ÖRNEK
Şekildeki ABCD paralelkenarında [DF] 1 [AB], IABI =
ve IDFI = 4 cm ise A(ABCD) kaç cm 2 dir?
ÇÖZÜM
A(ABCD) = IABI . ha
A(ABCD) = 6 . 4 = 2 4 cm 2 bulunur.
75
ÜÇGENİN ÇEVRESİNİN UZUNLUĞU
---- ^ E T K İ N L İ K --------------------- -----------------------------------------------------------------------------------Araç ve Gereç: bakır tel, ip, kalem, silgi, cetvel.
•
•
24 cm uzunluğunda bir bakır tel alınız.
Bu telin tamamını kullanarak ikizkenar, eşkenar, çeşitkenar ve dik üçgen modellerini ayrı ayrı
•
oluşturunuz.
Oluşturduğunuz her bir üçgeni defterinize çiziniz.
•
Çizdiğiniz üçgenlerin her birinin kenar uzunluklarını cetvelinizle ölçerek bulunuz.
•
Bu üçgenlerin her birinin çevre uzunluklarını hesaplayınız.
•
Çevre hesaplaması yaparken hangi üçgenler için bir kural çıkarabileceğinizi açıklayınız.
^ İN C E L E Y E L İM
olan ABC üçgeninin çevresinin uzunluğu,
Çevre = Ç = a + b + c dir.
Ç = a + b + c = 7 + 6 + 4 = 1 7 c m dir.
BİLSİ
r
Üçgenin çevresinin uzunluğu kenar uzunluklarının toplamına eşittir.
ÖRNEKLER
1.
Yandaki ABC üçgeninde; a = 8 br, c = 5 br ve be N+ ise
bu üçgenin çevresinin uzunluğunun en çok kaç birim olacağını
bulalım.
8 . sınıftan üçgen eşitsizliğini hatırlayınız,
la - c l < b < a + c = > 8 - 5 < b < 8 + 5
3 < b < 13 sıralaması yazılır.
Çevre uzunluğunun en çok olması istendiğinden b = 12 br olmalıdır. Buna
Ç = a + b + c = 8 + 12 + 5 = 25br bulunur.
2.
Yandaki üçgende, b = 11 cm ve a, ceZ+ ise bu üçgenin çev­
resinin uzunluğunun en az kaç cm olacağını bulalım,
la - c l < b < a + c = > b < a + c
=> 1 1 < a + c olmalıdır.
Üçgenin çevresinin uzunluğunun en az olması için
a + c = 12 cm olmalıdır.
Buna göre, Ç = b + a + c = 11 + 12 = 23 cm olur.
76
ÜÇGENSEL BÖLGENİN ALAN BAĞINTISI
•ra *
— J [ E T K İN LİK ----------- ---------- — ----- —
Araç ve Gereç: kareli kâğıt, kalem, silgi, cetvel.
|•
------ - - -----------1------
-------------- -
-
Kareli kâğıda farklı büyüklüklerde dikdörtgenler, kareler ve paralelkenarlar çiziniz.
•
Çizdiğiniz dikdörtgenlerin, karelerin ve paralelkenarların oluşturduğu bölgelerin alanlarını hesap­
layınız.
•
Her bir bölgeyi kenarlarından keserek ayırınız.
•
Bu bölgelerin her birini bir köşegeni boyunca katlayarak oluşan izler boyunca kesiniz.
•
Oluşan her bir üçgensel bölgenin alanları için ne söyleyebilirsiniz?
•
Dikdörtgensel, karesel ve paralelkenarsal bölgelerin alan bağıntıları ile bunlardan oluşan üçgen­
sel bölgelerin alan bağıntıları arasındaki ilişkiyi kenar uzunlukları cinsinden belirtiniz.
,— 5 » İNCELEYELİM
......................
1. Kareli kâğıda kenar uzunluğu 1 br olan bir kare ile
herhangi ABC üçgeni çizelim.
| ------ ^
BİLGİ
Kenar uzunluğu 1 br olan karesel bölgenin
alanı 1 br2 dir.
ABC üçgensel bölgesini şekildeki gibi [AB] ve
i [AC] kenarlarının orta noktalarından geçen [DE] nı ve
[AF] 1 [DE] olacak biçimde [AF] nı çizelim.
ADF ve AFE üçgensel bölgelerini keselim. Bu üçgensel bölgeleri şekildeki gibi taşıyarak BCKL
dikdörtgensel bölgesini oluşturalım.
Bu durumda ABC üçgensel bölgesinin alanı, BCKL dikdörtgensel bölgenin alanına eşit olur (eş
: değerli şekiller).
r—
$
AÇIKLAMA — —
—
----- —
----- ---------- —
------—
—
—
Geometride, biçimleri farklı ya da benzer ve alanları eşit olan çokgensel bölgelere eş de­
ğerli çokgensel bölgeler denir.
_______ ____
A(ABC) = A(BCKL) = IBCI. IKCI (IKCI = IAFI = IFHI = J îi- dir.)
a . ha , ,
= ------- — bulunur.
2
2
BCKL dikdörtgensel bölgesinin alanını birim karesel bölgeleri sayarak bulunuz.
=a.
ho
2. Kareli kâğıda, yandaki çokgensel bölgeleri
çizelim. Bu çokgensel bölgelerin alanları­
nın kaç birim kare olduğunu bulalım.
A(ABCD) = IABI . IBCI ise
A(CAB) = - L . IABI . IBCI olur. Neden?
------BİLGİ
—
—
------------------ --
Dik üçgensel bölgenin alanı dik kenar uzunluklarının çarpımının yarısına eşittir.
77
3. Kareli kâğıda herhangi bir ABC üçgeni ve [AH] ±[BC] olacak
biçimde [AH] nı çizelim ve AHB ile AHC dik üçgenlerinden
yararlanarak ABC üçgeninin alan bağıntısını çıkaralım.
•
A(A§C) = A(AFİb ) + A(APC)
ha . IBHI
Jıa . IHCI
(IBHI + IHCI) . ha
a.ha
bulunur.
IBHI + IHCI = a
BÎLGİ
Bir üçgensel bölgenin alanı, bir kenarının uzunluğu ile bu kenara ait yüksekliğin çarpımına eşittir.
A(ABC) = - l - . a . h a = - l - . b . h b = - l - . c . h c dir.
VjL ÖRNEK
ABC üçgeninde; b = 18 cm, hb = 4 cm ve ha = 8 cm ise IBCI = a uzunluğunu bulalım.
ÇÖZÜM
A(ABC) = -L. . a . ha =
1
. b . hb
a. 8 = 18 . 4
a = 9 cm
bulunur.
ÖRNEK
Şekildeki ABC üçgeninde; [AD] açıortay,
m(C) = 90°, IABI = 12 cm ve IDCI = 5 cm ise
ABC üçgeninin alanını bulalım.
ÇÖZÜM
[DE]
_L
[AB]
çizelim.
[AD]
açıortay
olduğundan,
IDCI = IDEI = 5 cm dir.
A(ABD) =
IDEI . IABI
5.12
2
= 30 cm 2
bulunur.
70
¡M
2 ! ÖRNEK
Bir ABC üçgeninde, IABI = 10 cm, IACI = 2 VÎO cm ve IBCI = 6 cm ise ha yüksekliğini ve ABC
üçgeninin alanını bulalım.
ÇÖZÜM
BC 1 [AH] çizelim:
AHC nde, ha = (2VÎ0 )2 - x 2 ®
AHB nde, ha = 102 - (6 + x )2 <D
® ve (D den, 40 - x2 = 100 - 36 - 1 2 x - x 2
12x = 24 => x = 2 dir.
ha = 40 - x 2 = 40 - 4 = 36 => ha = 6 cm ve
.
a . hfl
6 .6
A(ABC) =
■ a = —— = 18 cm 2 bulunur.
t- *
İNCELEYELİM
1. Eş üçgenlerin alanları eşittir.
ABC s DEF ise
A(ABC) = A(DEF) dir.
c
E
2. Taban ve bu tabana ait yükseklikleri eşit olan üçgenlerin alanları eşittir.
A
d // [BC] ve
A'
------
IBCI = a ise,
a
h
A(ABC) = A(A'BC) = A(A"BC) = — - dir.
B
H
C
3. Yükseklikleri eşit olan iki üçgenin alanlarının oranı, karşılıklı taban uzunluklarının oranına eşittir.
IBCI . h
A(A§C)
2
A(ACD)
IDCI . h
2
IBCI . h
IDCI . h
IBCI
olur.
IDCI
4. Taban uzunlukları eşit olan iki üçgenin alanlarının oranı, karşılıklı yüksekliklerinin oranına eşittir.
A
A(ABC)
a.h
2
A(DBC)
a . h'
a.h
a .h
h
dür.
79
^
V
D
Ü
ÖRNEK
^ Ş e k ild e ; IAHI = 6 cm, [AH] 1 [BC] , IDCI = 5 cm ve
IECI = 2IAEI ise A(ADE) nın kaç cm 2 olduğunu bulalım.
ÇÖZÜM
A(ADC) =
IAEI
IECI
IAHI . IDCI
2
6 .5
= 15 cm 2 dir.
2
IAEI
1 ..
I â c T = T ,ur'
A(ADE)
IAEI
x
1
— ^
=
=>—— = —-=> x = 5 ve A(ADE) = 5 cm 2 bulunur.
A(ADC)
IACI
15
3
ÖRNEK
Şekilde, [AH] ± [BC] ise boyalı alanın
S= ~
• IBCI ■İADI olduğunu gösterelim.
ÇÖZÜM
S = A(ABC) - A(DBC) dir.
S = 4 - ■ IBCI ■ IAHI - 4 - • IDHI ■ IBCI
2
2
S=
2
■IBCI • [IAHI - IDHI] = 4 * . IBCI • İADI olduğu görülür.
v____ _______ ı
2
İADI
<i
ÖRNEK
*u i
1
1
Şekilde; IBDI = — İADI, IAEI = — IACI ve
3
6
A(ADE) = 24 cm 2 ise A(EDBC) nın kaç cm 2 ol­
duğunu bulalım.
ÇÖZÜM
IBDI = k => İADI = 3k ve
IAEI = p => IECI = 5p dir.
A(DBE) = n ise A(ADE) = 3n ve A(ABE) = 4n dir.
A(EBC) = 5 . 4n = 20 . n olur.
A(ADE) = 3n = 24 cm 2 => n = 8 cm 2 dir.
A(BCED) = 21 . n = 21 . 8 = 168 cm 2 bulunur.
60
. f
ÖRNEK
Şekilde, A(ABE) = A(ADC) ve 3IAEI = 2IECI ise
ICDI
oranını bulalım.
ICBI
ÇÖZÜM
IAEI
3IAEI = 2IECI
IECI
2
2n
IAEI
3
3n
IACI
---- — — ve
h, . IAEI
A(ABE) =
ve A(ADC) =
2
A(ABE) = A(ADC) =>
= — olur.
5
h2 . IACI
2
IAEI
. IAEI = h2 . IACI
IACI " 5 tir
CDK ~ CBL olduğundan,
ICDI
h2
ICDI
2
-------= -rr dır. — — =-=- bulunur.
ICBI
hı
ICBI
5
ÂUŞTİRM ÂLAR
1. Aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz.
a. ABC eşkenar üçgeninde; [AH] X[BC], [HD] X [AC] çiziliyor.
• A(A§C) = x . A(İHDC) ise x = ....... br dir.
• A(AHD) = 6 n ise A(ABC) = ....... n dir.
b. Çevre uzunluğu 23 cm ve kenar uzunlukları birer tam sayı o la n ...........tane ikizkenar üçgen
vardır.
2. Aşağıdaki ifadeler doğruysa “D”, yanlışsa “Y” yazınız.
( ) m(B) = 90° olan ABC üçgeninde; [AN] açıortay, IBNI = k, IACI = 6k ve A(ANC) = 48 cm2 ise k= 4 tür.
( ) ABC üçgeninde, [AB] üzerinde alınan bir D noktasından, [BC] na çizilen paralel doğru, [AC] nı E nok­
tasında kesiyor. IBDI = -1- . İADI ve A(BCED) = 40 cm2 ise A(ADE) = 30 cm2 dir.
( ) Bir ABC üçgeninde; m(A) < 90°, IABI = 15 cm ve IACI = 8 cm ise IBCI = ae N+ en fazla 16 cm
olur.
3.
1
^
Şekilde; IECI = -İ-.IA E I ve 2.A(BCED) = 5,A(ADE) ise
İADI
. . 0
----- oranı kaçtır?
IDBI
1
D. —
B. —
5
E. A
5
S1
4. Şekilde, [AH] ±[BC] ve IAKI = IKLI = ILBI dir. IAHI = 6 cm,
IBDI = 2 cm ise DKA üçgeninin alanını bulunuz.
5. Şekilde; IABI = IACI = 6 cm, [BD] 1 [AC]
A(A§D)
ve IBCI = 2 cm ise
A. 16
D. 19
oranı kaçtır?
A(DBC)
B. 17
E. 20
6. Şekilde; IBCI = 3.IDCI,
C. 18
IAFI
îf b F
A(FBD) kaç cm 2 dir?
A. 10
D. 25
7.
B. 25
E. 30
Şekilde; IAFI = IFEI = 2 IECI ve IBDI = — IDCI dir.
A(DEF) = 36 cm2 ise ABC üçgeninin alanını bulunuz.
8 . Şekilde; [CD] _L [BD], [EA] // [BC] dır. IDCI = 8 cm,
IBEI = 4 cm ise ABC üçgeninin alanının bulunuz.
A. 15
D. 20
B. 16
E. 24
C. 18
02
EŞKENAR DÛRTGENSEL BÖLGENİN ALAN BAĞINTISI
-^ E T K İN L İK
—
------- ------------—
—
... — -----
Araç ve Gereç: kareli kâğıt, kalem, silgi, cetvel.
Kareli kâğıda kenar uzunlukları 6 br ve 8 br olan bir dikdörtgen çiziniz.
Dikdörtgenin kenarlarının orta noktalarını işaretleyiniz.
İşaretlediğiniz bu noktaları art arda birer doğru parçasıyla birleştirip eşkenar dörtgeni oluşturunuz.
Eşkenar dörtgenin köşegenlerini çiziniz.
Eşkenar dörtgenin köşegenleri ile dikdörtgenin kenarları arasındaki ilişkiyi açıklayınız.
Dikdörtgensel bölge içinde oluşan dik üçgenlerden hangilerinin eş olduğunu açıklayınız.
Eşkenar dörtgenin çevre uzunluğunu belirleyiniz.
Dikdörtgensel bölgenin (veya dik üçgenlerin) alanından yararlanarak eşkenar dörtgensel bölge­
nin alan bağıntısını oluşturunuz.
'^|6n
İN
nX C E L E Y E L İM
Şekilde; ABCD eşkenar dörtgen, [AH] 1 [BC], IAHI = h,
IBCI = a, IACI = e ve IBDI = f dir.
Eşkenar dörtgenin çevre uzunluğu, Ç = 4 . a dır.
Eşkenar dörtgen de bir paralelkenar olduğundan,
A(ABCD) = a.h dir.
IKLI = f, İLMİ = e ve A(ABCD) = A(K^MN) olduğundan
A(ABCD) =
&
dir.
ÖRNEK
Şekilde ABCD dörtgeni kare, EFCA
dörtgeni de eşkenar dörtgendir.
A(ABCD) = 25 cm 2 ise AEFC eşkenar
dörtgeninin çevre uzunluğunu ve alanını
bulalım.
ÇÖZÜM
Şekle göre; ICBI = a dir. IACI = ay[2,
AEFC eşkenar dörtgen olduğundan,
IAEI = IACI = a V2 v e
A(ABCD) = a2 = 25 ise
A(AEFC) = IAEI . ICBI = ay[2. a = a2 { 2 = 25^2 cm 2 bulunur
AEFC eşkenar dörtgeninin çevresinin uzunluğu,
4 . 5'Î2 = 20V2om dir.
03
YAMUKSAL BÖLGENİN ALAN BAĞINTISI
- ^ E T K İ N L İ K --------------------------------------------------- —--------------- -----------------------------------------
Araç ve Gereç: kareli kâğıt, kalem,silgi, cetvel.
O
ı................
I
Kareli kâğıda iki tane eş ikizkenar yamuk çiziniz.
Oluşan yamuksal bölgeleri makasla keserek çıkarınız.
Yamuksal bölgelerin tabanlarını ve yüksekliklerini belirleyiniz.
İki yamuksal bölgeyi paralelkenarsal bölge olacak şekilde birleştiriniz.
Paralelkenarsal bölgenin yüksekliğini ve taban uzunluğunu, yamuksal bölgelerin yüksekliği ve
taban uzunlukları cinsinden ifade ediniz.
Paralelkenarsal bölgenin alanından yararlanarak ikizkenar yamuksal bölgenin alan bağıntısını
____________________
oluşturunuz.
^¿İNCELEYELİM
Kareli kâğıttan aynı büyüklükte iki dik ya­
muksal bölge ve bu bölgelerden yanda görül­
düğü gibi dikdörtgensel bölge oluşturalım.
—i ■~T' •“
C
i
l— N
k
b
d
\
Bu yamuksal bölgenin alanını bulalım. Dik­
a
a
dörtgensel bölgenin alanı, A = 8 . 3 = 24 br2 ol­
c
duğundan dik yamuksal bölgenin alanı,
a
m
\
24
A = — = 12 br2 dir.
2
I
d
d= h
V
\
a
]
-
Şekildeki dikdörtgensel bölgenin alanı: A = (a + c ) . h dir.
Şekildeki dik yamuksal bölgenin alanı: A =
0|ur
D
c = 4 cm
ÖRNEK
Şekildeki ABCD ikizkenar yamuğunda; IDCI = 4 cm, IABI = 10 cm ve
[AC] ± [BD] ise ABCD yamuğunun alanının kaç cm 2 olduğunu bulalım.
ÇÖZÜM ^
^
Şekilde, OAB ve ODC ikizkenar dik üçgendir.
a = 10 cm
D 2 cm
m
2 cm ç
IOEI = — = 5 ve IONI = — = 2 dir.
2
2
a
c
h= — + —
2
2
.
a +c
A(ABCD) = a- t f -
10 + 4
= 7 cm bulunur.
. h = h . h = h2 = 7 . 7 = 49 cm 2 dir.
DÜZGÜN ALTIGENSEL VE BEŞGENSEL BÖLGELERİN ALANLARI
'^ E T K İ N L İ K
----------------- ------------------------------------------------------------------------
Kareli kâğıda düzgün altıgensel bir bölge çiziniz.
Bu altıgensel bölgeyi, köşeleri altıgensel bölgenin merkezinde olacak şekilde üçgensel bölgele­
re ayırınız.
Bu üçgensel bölgelerin birbirine eş olduğunu gösteriniz.
Bu üçgensel bölgelerin alanından yararlanarak düzgün altıngensel bölgenin alan bağıntısını bulunuz.
04
^ İN C E L E Y E L İM
Yandaki şekilde IABI = a = 6 cm ise düzgün altıgensel böl­
genin çevre uzunluğunu ve alanını bulalım:
Her düzgün çokgenin köşeleri bir çember üzerindedir.
Yandaki düzgün altıgende, IOAI = r = a dır.
•
m(AOB) = 60° olduğundan OAB üçgeni eşkenar üçgendir.
2.
A ( ° AB)
4
4
ve
4
A(ABCDEF) = 6 . A (O Â İ) = 6 . 9^3 = 54V3cm 2 bulunur.
A-’*S>
%
ÖRNEK
Bir kenar uzunluğu 9 cm olan düzgün altıgensel bölgenin çevre uzunluğunu ve alanını bulalım.
ÇÖZÜM
Ç = 6 . a = 6 . 9 = 54 cm ve
A=
-
6
3
. a2 ı/3
jT. 92 .{3
243 { S
-— = ----------'— = ------ —2— cm 2 dır.
ETKİNLİK
Araç ve Gereç: kareli kâğıt, kalem, silgi, cetvel.
Kareli kâğıda düzgün beşgen çiziniz. Bu düzgün beşgenin çevre uzunluğunu bulunuz.
Düzgün beşgensel bir bölgeyi, köşeleri beşgensel bölgenin merkezinde olacak şekilde üçgensel
bölgelere ayırınız. Bu üçgensel bölgelerin birbirine eş olduğunu gösteriniz. Bu üçgensel bölgelerin
alanlarından yararlanarak düzgün beşgensel bölgenin alanını bulunuz.
fe İNCELEYELİM
A(ABCDE) = 5 . A(OAB) dir. IOAI = r dir.
Düzgün beşgensel bölgenin alanı aşağıdaki gibi bulunabilir.
A(OAB) = y
. r.r.sin 72°
A(ABCDE) = 6 . — . r2 . sin 72° = 3 . r2 . sin72° dir.
ÖRNEK
Bir kenar uzunluğu 6 cm olan düzgün beşgenin çevresinin uzunluğunu bulalım.
ÇÖZÜM
Ç = 5 . a = 5 . 6 = 3 0 c m dir.
05
^
ÖRNEK
Şekildeki ABCD paralelkenar, E ve F, [DC] kenarı
üzerinde herhangi iki noktadır. A(KAB) = 10 cm2 ise ta­
ralı alanlar toplamını bulalım.
ÇÖZÜM
Taralı alanları x, y ve z ile harflendirelim.
A(AFE) = A(BEF) dir (taban yükseklikleri eşit).
A(ARE) = m => A(BKF) = m dir. Neden?
A(AEB) = m + p = - L . A(ABCD) (D
m + x + y + z = - l - . A(ABCD) ®
(D ve <D den, x + y + z + m = m + p olur. Buradan tara­
lı alanların toplamı, x + y + z = p = 10 cm2 bulunur.
ÖRNEK
Şekilde; ABCD dikdörtgen, [DE] JL [AC], IDEI = 6 cm,
IAEI = 4 cm ve IECI = 9 cm ise A(ABCD) nın kaç cm 2
olduğunu bulalım.
ÇÖZÜM
A(DAC) = —
J P f!. =
2
2
= 39 cm 2 => A(ABCD) = 2 . 39 = 78 cm 2 bulunur.
Şekildeki ABCD paralelkenarında, IDFI =-^- . IFCI ve
A(KAB)
IBEI = 3 . IECI ise —
oranını bulalım.
A(ABCD)
ÇÖZÜM
IDFI = k => IFCI = 2k ve IECI = p => IBEI = 3p dir.
[EN] // [AB] çizelim.
BEL ~ BCF olduğundan,
IBEI
IELI
3
x
IBCI
IFCI
4
2k
4x = 6 k => x = 1,5 k dir.
^
IELI
1,5 k
1
ELK ~ ABK => —— = ’ , ■ = — dır.
IABI
3k
2
A(KLE) = n ise A(EKB) = 2n dir.
A(KAB) = 4n, A(ABEN) = 12 n, A(ECDN) = ^ - . 12n = 4n ve
J
* / an A n ı
_
A(KAB)
4n
1
A(ABCD) = 12n + 4n = 1 6 n = > = -------- = — bulunur.
v
'
A(ABCD)
16 n
4
06
J
-
ÖRNEKLER
1. Şekilde, ABCD bir kare ve C(2, 5), D(0, 1) dir.
a. B ve A köşelerinin koordinatlarını bulalım.
b. ABCD karesinin çevresinin uzunluğunu ve alanını bulalım.
ÇÖZÜM
a. A(4, -1 ) ve B(6 , 3) tür.
b. IDCI =l/(0 - 2 )2 + (1 - 5 )2 = i/4 + 16=V20 = 2^5 br dir.
Ç = 4 . a = 4 . 2V5 = 8V5 br dir.
A = a2 = (2V5 )2 = 4 . 5 = 20 br2 dir.
2 Köşelerinin koordinatları; A(1, -5), B(7, 1), C(5, 3) ve
D (-1, -3 ) olan ABCD dikdörtgeni veriliyor. Bu dört­
genin;
■
a. Kenar uzunluklarını,
iL
3
b. Çevresinin uzunluğunu,
C(5,3)
/ /
/
-----— 7—/
c. Köşegen uzunluklarını,
1
1
0
ç. Alanını bulalım.
/
/
ÇÖZÜM
>
IABI = - ^ 7 j 2 T ( ^ ^ = A / 3 6 T ^ = ^ = 6 \ r2br,
D (-
1,-2 ı \
..-7
/
X
•/
A(1, -5 )
---
ADI = IBCI = 2^2^br dir.
! Ç = IABI + IBCI + ICDI + İADI = 6 ^ 2 + 2^2 + 6 ^ 2 + 2^2 = 16^2 br dir.
*.
,ıACI = V(1 “ 5)2 + (-5 - 3 )2 = V l 6 + 64' = ^8 0 = ^ b r ve
8 0 i =V(-1 -7)2 + (-3 - 1 )2' =^64 + 16' = ^80 = 4 ^ br dir.
« >A1ABCD) = IABI . IBCI = (6\Î2) . (2 \2 )
= 24 br2
bulunur.
67
B(7 ,t)
X
/
B C I = ıj(7 - 5 )2 + ( 1 - 3 ) 2 =^l4 + 4 = ^ = 2 V ^br,
IDCI = IABI = 6yf?br ve
XX
/
/
sl
\
7
3. Köşelerinin koordinatları; A(-2, 7), B(2, 3), C(5, 4) olan ABC üçgeninin çevresinin uzunluğunu ve
alanını bulalım.
• Verilen üçgeni analitik düzlemde gösterelim.
• ABC üçgeninin çevresinin uzunluğu, kenar uzunlukları­
nın toplamıdır.
IABI = ^(-2 -2 )2 + (7 - 3)2 =yjl6 + 16 =^32 = 4 ^ 2 br,
IBCI = ^(2 -5 )2 + ( 3 - 4 ) 2 = ^ 9 + 1 =V?0 br,
IACI = ^(-2 - 5)2 + (7 - 4)2 =^49 + 9 = Vö8 br ve
Ç = IABI + IBCI + IACI
Ç = (4a/2 +VT0 +V ö8) br bulunur.
Şekilde; ADEB, BEFC ve ADFC birer dik yamuktur. ABC
üçgeninin alanı, ADFC dik yamuğunun alanından, ADEB
ile BEFC yamuklarının alanları toplamı çıkarılarak bulunur.
A(ADFC) - 'AD' + !ÇFj
A(ADEB) =
ia d u ib e i
IDFI = 7
- ± ± . 7 = Ş - br2,
. I D E I = L ± 3 . 4 = 20br2>
.3
A(BEFC) = IBEI + ICFI- ■ IEFI =
=-|L br2 ve
A(ABC) = A(ADFC) - [A(ADEB) + A(BEFC)] = ~
- (20+ - Ş - ) =
^
- -^ -=
= 8 b l2 dir.
4. Köşelerinin koordinatları A(-2, 1), B(4, 3), C(7, 7), D(1, 5) olan dörtgenin paralelkenar olduğunu
gösterelim ve alanını bulalım.
ÇÖZÜM
• ÂB = (4 + 2, 3 - 1 ) = (6, 2),
DC = (7 - 1, 7 - 5) = (6, 2),
ÂD = (1 +2, 5 - 1 ) = (3, 4),
BC = (7 - 4, 7 - 3) = (3, 4) olduğundan,
• ÂB // DC, ÂD // BC dür. Öyleyse, ABCD bir
paralelkenardır.
• [AC] nı çizelim. A(ABCD = 2. A(ABC) dir.
A (Â İC ) = A(AEGC) - [A(AEFB) + A(BFGC)]
-
1 + 7 . 9 _ f l ± l . 6+ 3 ^ 1 .3
2
[
2
2
= 36 - (12 + 15) = 36 - 27 = 9 br2 ve
A(ABCD) = 2 . 9 = 18 br2 bulunur.
&&
1. Aşağıdaki ifadeler doğruysa “D”, yanlışsa “Y” yazınız.
( )
Paralelkenarsal bölgenin alanı, ardışık iki kenar uzunlukları çarpımına eşittir.
( )
Bir çokgenin sınırladığı bölge, çokgensel bölgedir.
( )
a2 -JS
Düzgün beşgensel bölgenin alanı 5. -------- tür.
4
( )
Alanları eşit olan iki üçgensel bölge eş değerli çokgensel bölgelerdir.
2. Aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz.
a. Çokgenlerin çevre uzunluğu.............................. toplamına eşittir.
b. Eşkenar dörtgensel bölgenin a la n ı..............................
c. Bir ABC üçgeninde a = 7 cm, b = 12 cm ve c e Z + ise bu üçgenin çevre uzunluğu en fazla
olur.
ç. Bir kenar uzunluğu “a” olan düzgün altıngensel bölgenin a la n ı..............................
3.
Şekilde; ABCD paralelkenar, E, F orta noktalar ve A(ABCD) = 96
ise A(CFK) kaç cm2 dir?
A
4.
E
B
Bir ABCD paralelkenarında, A(ABCD) = 72 cm2, a = 9ı/2"cm ve hb = 12 cm ise ha ve b uzun­
luklarını bulunuz.
5.
Köşegenleri birbirine dik olan bir dik yamuğun taban uzunlukları; a = 12 cm, c = 3 cm ise alanı
kaç cm2 dir?
6. Aşağıda köşelerinin koordinatları verilen;
a. üçgenin,
b. karenin,
c. dikdörtgenin,
ç. eşkenar dörtgenin, d. dik yamuğun
çevre uzunluklarını bulunuz.
a. A(1, 2), B(1, 6), C(4, 5)
b. A(2, 2), B(5, 2), C(2, 5), D(5, 5)
c. A(-2, -1 ), B(-2, -6), C(-5, -1), D(-5, -6 )
ç. A(2, 1), B(5, -6), C(8, 1), D(5, 6)
d. A(-3, 1), B. (-7, 1), C(-3, 6), D(-5, 6)
7.
Şekildeki ABCD paralelkenar, ICEI = 3 cm ve IFKI = 8 cm
ise IEFI kaç cm dir?
8.
Bir ABCD karesinde, AB uzantısında IBKI = 6 İ2 cm olacak biçimde bir K noktası alınıyor.
m(DKB) = 22,5° ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
9.
Herhangi bir ABCD dörtgeninin kenarlarının orta noktaları sıra ile K, L, M, N dir.
A(AKN) = 12 cm2 ve A(CML) = 16 cm2 ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
69
10. Şekilde, ABCD kare ve EBC dik üçgendir.
A(ABCD) = 289 cm2, A(EBC) = 38 cm2 ise
EBC üçgeninin çevresi kaç cm dir?
A. 36
D. 44
B. 38
C. 40
E. 48
11. Şekilde, ABCD dik yamuk ve m(A) = 45° dir.
IABI = 7 x - 5, IBCI = 2 x + 1, ICDI = 3x - 2
ise A(ABCD) kaç birimkaredir?
55
2
A ή
B.
D. 34
E. 44
2
c . f
12. Şekilde, ABCD paralelkenardır. [BE] ve [CE] açıor­
taydır. IECI = 8 birim, IEBI = 6 birim, IABI = 15 birim
ise A(ABCD) kaç birim karedir?
A. 72
D. 124
B. 96
E. 144
C. 108
15
13. Şekilde, ABCD paralelkenardır. İADI = 6 birim,
İDCI = 10 birim ve [CE] açıortaydır. IAEI = IEFI ve
[EF] _L [FB] ise paralelkenarın alanı kaç birimka­
redir?
A 20
D. 40
B. 30
E. 60
C. 36
14. Şekilde; ABCD eşkenar dörtgen, m(D) = 120°,
IABI = 16 cm ve [BH] _L [DC] ise IBHI kaç cm dir?
A. 4^/3'
B. 6 ^
D. 8^2
E. 8^3
C. 8
15. Şekilde, ABCD karedir. İANI = 20 cm, IDEI = IECI
IBFI
2 .
v e -------= — ise IFNI kaç cm dır?
IBCI
5
A. 4
D. 6
B. 5
E. 8
C. 2 a/5
90
ÜÇGENLERDE EŞLİK TEOREMLERİ
Koordinat düzleminde verilen üçgenleri inceleyiniz. ABC üç­
genine hangi dönüşümler uygulanarak DEF, KLM ve PRS üç­
genleri elde edilmiştir? Siz de bu üçgenleri kareli kâğıda çizerek
oluşan üçgensel bölgeleri kenarlarından keserek kareli kâğıttan
ayırınız. Oluşan üçgenlerin birbirine eş olduğunu görünüz.
= ^ E T K İN L İK —
—
------
Araç ve Gereç: kareli kâğıt, kalem,
silgi, cetvel.
•
Kareii kâğıda koordinat sistemi oiuşturunuz.
• Bu düzlemde, köşelerinin koordinat­
ları; A(- 6 , 2), B(-3, -2), C(2, -1) olan
ABC üçgenini ve D(4, 5), E(1, 1),
F(9, 4) olan DEF üçgenini çiziniz.
• Açıölçer (iletki) ve iki nokta arasında­
ki uzaklık bağıntısını kullanarak;
a. ABC üçgeninin açılarının ölçülerini
ve kenarlarının uzunluklarını bulunuz.
b. DEF üçgeninin açılarının ölçülerini ve kenarlarının uzunluklarını bulunuz.
c. İki üçgenin karşılıklı açılarının ölçülerini karşılaştırınız,
ç. İki üçgenin karşılıklı kenar uzunluklarını karşılaştırınız.
d. Elde edilen sonuçları sorgulayarak tartışınız.
Yukarıdaki ABC ve DEF üçgenlerinin köşeleri arasında bire bir eşleme yapılmıştır. Bu eşleme,
A
D,
B
E,
C <-> F
seKlinde yazılır. Buna göre üçgenlerin kenarları arasındaki eşleme,
[AB] «-> [DE],
[AC]
[DF],
[BC]
[EF]
^
^
secinde yazılır. İki üçgen arasındaki eşleme kısaca ABC <-> DEF olarak gösterilir. Yukarıdaki eşle­
meye göre karşılıklı köşelerdeki A ile D, B ile E, C ile F karşılıklı açılar, [AB] ile [DE], [AC] ile [DF],
BC] ile [EF] karşılıklı kenarlardır.
91
Bu iki üçgende, karşılıklı açıların ölçüleri eşittir. Karşılıklı kenar uzunlukları da a = d, b = e ve
c = f olacak biçimde çizilmiştir. ABC üçgeni makasla kesilip A köşesi D köşesi ile, B köşesi E köşe­
si ile, C köşesi F köşesi ile üst üste gelecek şekilde DEF üçgeni üzerine yerleştirilirse, [AB] kenarı
[DE] kenarı ile , [AC] kenarı [DF] kenarı ı)e, ]BC] kenarı p F ) kenarı Vıe üst üste geVtr. Yanı WBC üç­
geni ile DEF üçgeni çakışır. Böyle üçgenlere eş üçgenler denir.
ABC <->DEF eşlemesinde;
s(Â) = s(D) veya  = 6
IABI = IDEI veya [AB] s [DE]
ve
s(B) = s(E) veya B = E
IACI = IDFI veya [AC] s [DF]
s(C) = s(E) veya C = F
IBCI = IEFI veya [BC] = [EF]
L XV
XX
ise, bu iki üçgen eştir denir ve bu eşlik, ABC s DEF şeklinde gösterilir. “ABC üçgeni, DEF üçgenine
eştir.” diye okunur.
Eşlemelerde köşelerin yazılış sırası önemlidir.
2. Kenar Açı Kenar (K.A.K.) Eşlik Teoremi
Yukarıdaki üçgenler arasında ABC <-» DEF eşlemesi yapılmıştır.
IABI = IDEI = 3cm =» [AB] s [DE]
^
^
IBCI = IEFI = 5 cm => [BC] s [EF]
=>ABC = DEF dir (K.A.K. eşlik teoremi).
s(B) = s(E) = 60° => B s E
— — ----------- '
-----------AÇIKLAMA -----------------------—
İki üçgen arasında yapılan bire bir eşleme de üçgenlerin karşılıklı ikişer kenarları ile bu ke­
narların oluşturduğu açılar eş ise bu iki üçgen birbirine eştir. Bu eşliğe, kenar açı kenar (K.A.K.)
eşlik teoremi denin_________ _____ __
__ ___ __
_________
—
3. Açı Kenar Açı (A.K.A.) Eşlik Teoremi
Yukarıdaki üçgenler arasında ABC <-> DEF eşlemesi yapılmıştır.
/S /v
B=E
s(B) = s(E) = 40°
s(C) = s(F) = 50° =>C = F
IBCI = IEFI = 5 cm =*[BC] s [EF]
A AÇIKLAMA
>ABC = DEF dir (A.K.A. eşlik teoremi).
İki üçgen arasında yapılan bire bir eşleme de üçgenlerin ikişer açıları ile bu açıların köşe­
lerini birleştiren kenarları karşılıklı eş ise bu iki üçgen birbirine eştir. Bu eşliğe, açı kenar açı
(A.K.A.) eşlik teoremi denir.
92
r
4. Kenar Kenar Kenar (K.K.K.) Eşlik Teoremi
Yukarıdaki üçgenler arasında ABC <-> DEF eşlemesi yapılmıştır.
IABI = IDEI = 2 c m ^ [AB] =[DE]
IACI = IDFI = 3,5 cm => [AC] =[DF]
IBCI = IEFI = 4 cm => [BC] =[EF]
I
>ABC =DEF dir (K.K.K. eşlik teoremi).
----- -------— -----— ---- ------------- ----------------^
AÇIKLAMA —----------—
İki üçgen arasında yapılan bire bir eşleme de karşılıklı kenarlarının uzunlukları eşit ise bu
iki üçgen birbirine eştir. Bu eşliğe, kenar kenar kenar (K.K.K.) eşlik teoremi denir.
-
^
ÖRNEK
Yandaki şekilde, ABH =ACH ise ABH ile ACH üçgenlerinin
eşlik kuralını bulalım.
ÇÖZÜM
BHI = IHCI = 2cm => [BH] s [HC]
AHİ = IAHI = 6 cm => [AH] s [AH]
s(AHB) = s(ÂHC) = 90° =>ÂHB =ÂHC
: duğundan, ABH ile ACH üçgenleri K.A.K. eşlik teoremine
2 cm
H
2 cm
[¡pr= eştir.
¿ t_L ÖRNEK
Yanda AOB ı)e COT) nde;
IOBI = IOCI = 3 cm,
s (ö - ,
) = s ( 6 2) = ıoo°,
s(B) = 30° ve s(C) = 25° dir. Birer kenarları eş fa­
kat eş kenarların uç noktalarında köşeleri olan açıla­
rın ölçüleri farklı olduğundan, AOB üçgeni ile DOC
üçgeni birbirine eş değildir.
• KLM ile PRS nde karşılıklı açılar eştir. Fakat
[LM], [RS] na eş değildir. KLM üçgeni ile PRS
Lçgeni birbirine eş değildir.
5 cm
AÇIKLAMA
İki üçgenin sadece karşılıklı üçer açısının eş olması (A.A.A. teoremi) üçgenlerin eş olması için
.eterli değildir.
^
ÖRNEK
olmadıklarını gösterelim:
Bu üçgenler arasındaki ABC
DEF eşlemesine göre;
• s(Ğ) = s(F) = 90° => C = F dır.
• IBCI = IEFI = 2,5 cm => [BC] = [EF] dır.
DEF üçgeninde;
s(E) = 180° - (90°+ 30°) = 180°-120° = 60° dir.
s(B) = s(E) = 60° =>B s E olduğundan; A.K.A. eşlik kuralına göre,
ABC = DEF olduğu görülür.
□
f Ş AÇIKLAMA
İki
i kenarı ve bu kenarlar arasında bulunmayan bir açısı verilen üçgenin eşi tek değildir.
vî|\
^
ÖRNEK
ABC s KLM eşliği veriliyor. Bu iki üçgende birbirine eş olan açıları yazalım.
ÇÖZÜM
Eş üçgenlerde karşılıklı elemanlar birbirine eştir.
^
^
As K
ABC s KLM => B s L
Cs M
XX
ve
XX
[AB] = [KL]
[AC] s [KM]
[BC] s [LM] dir.
ABC s KLM eşliği BCAsLMK biçiminde de yazılabilir fakat bu eşlik ABC s LMK biçiminde yazı­
lamaz. Köşeler arasındaki bire bir eşlemeye dikkat ediniz.
M Ç V m N M ----------- ------------------ ------------1. ABC =DEF için aşağıdaki ifadeler doğruysa “D” yanlışsa “Y” yazınız.
XX
a ABC s EDF (
ç. [AC] =[EF] (
XX
b. BCA s EFD (
)
d. [AB] s [DE] (
)
XX
XX
XX
XX
c. CAB s FDE (
)
e. IBCI = IEFI (
)
)
)
Z i.
2. XYZ =KLM ve KLM s ABC ise XYZ s ABC olduğunu gösteriniz.
3.
ABC s DEF ise aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz,
a. [DE] s ......
b. CAB s ......
c. IACI = ......
/\
ç. C s .
d. [BA] ........
e. BCA s ......
f. m(B) = ......
g. ABC s ......
/ \
XX
XX
z\
XX
4. ABC sXYZ eşliği veriliyor. Bu üçgenlerin eş olan açılarını ve kenarlarını yazınız.
/\
ğ. b =
^^ ^ D Ü Z L E M D E D Ö N Ü Ş Ü M L E R V E ÇOKGENLERLE YAPILAN KAPLAMALAR
^
A
DÜZGÜN ÇOKGENLERİN SİMETRİ EKSENLERİ VE DÖNME SİMETRİSİ SAYISI
Karo döşenmiş bazı kaldırımlarda görünüm güzelliği vardır.
En-nun nedeni parkeye bir dönüşüm verilmesidir.
Yandaki şekli A noktası etrafında kaç derece döndürürsek
■yun şekli elde ederiz?
V
-----^ ¡ ^ T K İ N L İ K ------------------- -------------------------------------
Araç ve Gereç: A4 kâğıdı, simetri aynası, kalem, silgi, cetvel.
A4 kâğıdına; eşkenar üçgen, kare, düzgün beşgen ve düzgün altıgen çi­
ziniz.
Düzgün çokgenlerin, simetri eksenlerini cetvel veya simetri aynası kulla­
narak çiziniz.
Çizdiğiniz düzgün çokgenlerin sahip oldukları simetri eksen sayılarını bu­
lunuz.
Simetri aynası çizilen noktalı çizgiler üzerine konulduğunda nasıl bir şekil oluştuğunu açıklayınız.
İNCELEYELİM
•
Yukarıdaki
düzgün
çokgenleri ve eşlerini
yağlı kâğıt üzerine çi­
zelim ve keserek çıka­
ralım.
• Keserek çıkardığımız
çokgenleri ve eşlerini üst üste koyarak çakıştıralım ve üsttekileri sırayla döndürelim. Döndürme
esnasında iki şeklin kaç kez çakıştığınızı gözlemleyelim ve kaç tane dönme simetrisine sahip ol­
duğunu belirleyelim.
Üstteki eşkenar üçgeni merkezi etrafında 120° döndürdüğümüzde alttaki eşi ile çakışır.
Benzer şekilde üstte bulunan kare 90°, düzgün beşgen 72° ve düzgün altıgen 60° döndürüldü­
ğünde her biri altta bulunan eşleri ile çakışır. Döndürme esnasında eşkenar üçgenler 3, kareler 4,
düzgün beşgenler 5 ve düzgün altıgenler 6 kez çakışır.
Eşkenar üçgenin 3, karenin 4 , düzgün beşgenin 5 ve düzgün altıgenin 6 dönme simetrisi vardır.
• Yukarıdaki sayısal değerleri aşağıdaki tablo üzerinde gösterelim:
Düzgün çokgenin kenar sayısı
3
4
5
6
Yansıma eksenlerinin sayısı
3
4
5
6
Sahip olduğu dönme simetrisi sayısı
3
4
5
6
AÇIKLAMA
Üst üste çakıştırılmış iki eş şekilden biri merkezi etrafında döndürül­
düğünde, 360° den küçük açılı dönmelerde en az bir defa eşi ile çakı­
şıyorsa bu şekil dönme simetrisine sahiptir. Yandaki şekil dönme si­
metrisine sahiptir. Neden?
Düzgün çokgenlerde en küçük dönme simetri açısı düzgün çokgenin bir dış açısının ölçüsüne eşit
uçuğundan bir düzgün çokgenin dönme simetri sayısı bulunurken; 360°, çokgenin bir dış açısının öl­
çüsüne bölünür.
95
DÜZGÜN ÇOKGENSEL BÖLGELERDEN BİRİ VEYA BİRKAÇINI KULLANARAK KAPLAMA YAPMA
ETKİNLİK
Yanda her birinin kenar uzunluğu birbirine eşit
ve 1 br olan düzgün çokgensel bölgeler veril­
miştir. Bu çokgensel bölgelerden birini veya
birkaçını kullanarak kaplamalar oluşturunuz.
Kaplamayı çokgensel bölgeler arasında boş­
luk kalmayacak ve çakışmayacak şekilde ya­
pınız.
Yanda birer kenar uzunlukları birbirine eşit eş­
kenar üçgensel ve karesel bölgeler kullanıla­
rak yapılmak istenen bir kaplama yarım bıra­
kılmıştır. Bu kaplamayı tamamlayınız ve ben­
zerini A4 kâğıdına çiziniz.
Bu kaplama içindeki herhangi bir köşe etrafın­
da oluşan açıların ölçülerini sıra ile yazınız.
Bu açıların ölçüleri toplamı kaç derecedir?
rar"?
k
\A A A A A A 7
90‘ 90°
60O60«60°
V v v v V v
DÖNÜŞÜMLER YARDIMIYLA YAPILAN KAPLAMA
^İN C ELE YE LİM
Bir düzlemsel bölgeyi, verilen bir modeli kullanarak yansıma, öteleme ve dönme hareketleri
yardımıyla kaplayalım.
• A4 kâğıdına, yanda verilen modeli çizelim.
• Bu modelin eşleri kullanılarak yansıma, öteleme ve dönme hareketleri yardımıyla
yapılan ve yarım bırakılan aşağıdaki kaplamaları yapalım.
• Bu kaplamaların benzerlerini A4 kâğıdına çizelim.
n
yansıma
= V
öteleme
/ AÇIKLAMA --------------- --------------
--------- ------------------------------- —
Bir düzlemsel bölgenin, bir figür kullanılarak boşluk kalmayacak ve figürler çakışmayacak şe­
kilde dönüşümler (yansıma, dönme, öteleme ve ötelemeli yansıma) yardımıyla örtülmesine düz­
gün kaplama denir.
96
ÖRNEK
60°, 60°, 60°, 60°, 120°
Yandaki kaplama iki figür kullanılarak yapıl­
mıştır. Bu kaplama yarı düzgün bir kaplamadır.
Bu kaplamayı inceleyiniz ve A köşesindeki açıla­
rın ölçülerini sıra ile yazalım.
S
AÇIKLAMA
Bir düzlemsel bölgenin, birden fazla figür kullanılarak boşluk kalmayacak ve figürler çakışma. acak şekilde dönüşümler (yansıma, dönme, öteleme ve ötelemeli yansıma) yardımıyla örtülme­
sine yarı düzgün kaplama denir.
3İR MOTİF OLUŞTURMA VE OLUŞTURULAN MOTİFLE KAPLAMA YAPMA
Motif kaplama bir zeminin aynı desenle hiç boşluk kalmayacak şekilde kaplanmasıdır.
^İN C ELEYELİM
—
------------- ------ ---------
Motif kaplama için önce paralelkenarsaI böl­
geyi oluşturalım (şekil - 1).
<S>
•
Paralelkenarsal bölgenin bir kenarına belli bir
hareket verelim.
Aynı hareketi yandaki şekilde olduğu gibi kar­
şı kenarda da verelim (şekil - 2 ).
Paralelkenarsal bölgenin diğer kenarları için
de başka bir hareket seçelim (şekil - 3).
Noktalı çizgileri ve taralı bölgelerin içini silelim
(şekil 4).
Böylece elde edilen dönüşümle ilk seçilen pa­
ralelkenarsal bölgeye eş değerli (alanları eşit)
bir motif üretmiş oluruz.
Benzer biçimde oluşturulan motiflerden birka­
çını yan yana getirerek bir desen oluşturalım
(şekil 5).
Görünümü güzelleştirmek için motifleri farklı
boyayalım.
Siz de benzer motifler yapınız (kuş, balık vb.).
97
FTe
ETKİNLİKLER
Araç ve Gereç: kalem, silgi, cetvel.
1. İsminizin baş harfini yandaki boş kare içinde bir logo şeklinde gösteriniz.
<£
Oluşturduğunuz bu logo ile ya da 2. modeli kullanarak dönüşümler yardımı ile
aşağıda bölgelerde kaplamalar yapınız.
yansıma
öteleme
dönme
A4 kâğıdına bir ABC eşkenar üçgeni çiziniz.
• Bu üçgenin [AB] üzerine aşağıdaki gibi bir kırık çizgi çiziniz.
• Bu çizgiyi sıra ile B ve C köşelerinden 60° saat yönünde döndürünüz.
• Elde ettiğiniz şekli B etrafında saat yönünde ardışık olarak 60° lik açılarla 6 kez döndürere-*
düzgün altıgen oluşturunuz.
A4 kâğıdına, eşkenar üçgen çiziniz ve bu üçgensel bölgeyi keserek çıkarınız.
• Bu üçgen ABC üçgeni olsun. Bu üçgenden aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi İADI = IDBI, IAEI = IEHI
[AH] _L [BC]) ADE üçgensel bölgesini keserek çıkarınız (şekil - 1).
• ADE üçgensel bölgesini aşağıdaki gibi yapıştırarak 2. üçgeni (modeli) oluşturunuz.
• Elde ettiğiniz modeli A4 kâğıdı üzerine koyarak eş modeller kesiniz.
• Bu modelleri farklı renkte boyayınız. Sonra aşağıdaki 3. şekilde görülen düzgün altıgeni oluş­
turunuz.
A_____________ .
model
9&
A4 kâğıdına bir kare çiziniz.
Aşağıdaki adımları izleyerek kaplama oluşturunuz.
• A köşesini B köşesine birleştiren aşağıdaki gibi kırık ya da eğri bir çizgi çiziniz.
• A ve B köşelerini bağlayan eğriyi, B köşesinden 90° saat yönünde döndürerek [BC] kenarı
boyunca yerleştiriniz.
• [BC] kenarı üzerindeki eğriyi C köşesinden 90° saat yönünde döndürerek [CD] kenarı boyun­
ca yerleştiriniz.
• [CD] üzerindeki eğriyi D köşesinden 90° saat yönünde döndürerek [DA] kenarı boyunca
yerleştiriniz.
(D
A
®
B
D
C
B
C
B
C
B
U
5. şekilde oluşturduğunuz motifi C köşesi etrafında dört kez saat yönünde 90° döndürerek 6 .
şekli oluşturunuz, fazla çizgileri silerek şekildeki gibi boyayınız.
Karenin kenar uzunluğunun iki katı kadar yatay ve dikey doğrultularda öteleyerek kaplama ya-
„ »
İ H
, A L IŞ T IR M A L A R
......... ........... — .......... ................................................... .......................... -■
1. Motif kaplamada birim, şekil olarak çember veya beşgen olur mu?
2. Logo, rozet vb. özgün tasarım projeleri hazırlayınız.
3.
İnternetten, M. C. Escher (Eşher) (1898-1972)’in eserlerini araştırınız. Benzer şekilde kuş, balık de­
senli kaplamalar yapınız.
4. A4 kâğıdına, bir kare çiziniz. Karenin
komşu iki kenarında eğriler oluşturu­
nuz. Bu eğrileri yatay ve dikey doğrulşan motifi yatay ve dikey doğrultuda
öteleyerek yandaki şekilde olduğu gibi
kaplama yapınız.
99
p
ÜÇGENLERDE BENZERLİK TEOREMLERİ
Yandaki ABC dik üçgenini ve diğer
dik üçgenleri inceleyiniz. Herhangi iki
üçgen seçerek bu üçgenlerin benzer
olup olmadığını söyleyiniz.
Benzer üçgenlere günlük hayatta
nerelerde rastladığınızı açıklayınız.
= y * E T K İN L İK = ---------Kareli kâğıda koordinat
sistemini oluşturunuz.
Bu sistemde köşelerinin ko­
ordinatları A(-3,3), B(-6 , 0),
C(-2, 0) olan ABC üçgeni
ile D(9, 6 ), E(3, 0), F(11,0)
olan DEF üçgenini çiziniz.
Açı ölçer ile üçgenlerin
açılarını ölçünüz ve bu öl- —
çüleri karşılaştırınız.
Üçgenlerin kenar uzunluklarını bulunuz.
Eş olan açıların karşılarındaki kenarların uzunluklarının oranını bulunuz.
Bu oranlar ile bir orantı oluşur mu?
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığın açıklayınız.
İNCELEYELİM
ı»
KLM ve PRS üçgenleri için aşağıdaki iki koşul sağlanıyorsa bu iki üçgene benzer üçgen
denir ve KLM - PRS biçiminde ifade edilir.
1. K s P veya m(K) = m(P), L = R veya m(L) = m(R), M = S veya m(M) = m(S)
2. k. IKLI = IPRI, k . İLMİ = İRSİ, k . IKMI = İPSİ
m(K) = m(P) « 104°, m(L) = m(R) 29°, m(M) = m(S) * 47° ve
IKMI 2
IKLI
3
2
İLMİ 4
2
------= — olduğundan
İPSİ 3
9
IPRI
3
IK
M
I
P
IKLI
—— = — tür. Öyleyse KLM ~ PRS olur.
IP R I" İRSİ İPSİ 3
ti
BİLGİ
Benzer üçgenlerin karşılıklı iki kenarının oranına benzerlik oranı denir.
Benzer iki üçgenin benzerlik oranı k = 1 ise bu iki üçgen birbirine eştir.
100
tâ
ÖRNEK
Şekilde ABC ~ KLM ise verilenfera göre;
a. Benzerlik oranını,
a x ve y değerlerini,
c. Çevrelerinin uzunlukları oranını
bulalım.
s. ABC-KLM
4
6
% — =—
6
x
M
IABI IBCI
IACI
=k
IKLI İLMİ IKMI
4
6
5
4
2
=> — = — = — = k => k = —- = — tür.
6
x
y
6
3
4
5
x = 9 cm, — = — =>y = 7,5 cm dır.
6
y
c. ABC üçgeninin çevresinin uzunluğu; 6 + 5 + 4 = 15 cm,
KLM üçgeninin çevresinin uzunluğu; 9 + 7,5 + 6 = 22,5 cm ve
çevrelerinin uzunluklarının oranı;
15
22,5
2
2
,= — tür.
3
3
%
BİLGİ
Benzer üçgenlerin çevrelerinin uzunluklarının oranı benzerlik oranına eşittir.
ÜÇGENLERDE BENZERLİK TEOREMLERİ
iua
İNCELEYELİM
1. Yandaki üçgenler arasında,
ABC
DEF eşlemesi yapıl­
mıştır.
IABI
4
IDEI
2
IBCI
6
IEFI
3
IACI
6,5
IDFI
3,25
IABI
IDEI
IEFI
IDFI
=2
ABC ile DEF nin karşılıklı kenarları orantılıdır. Bu üçgenlerin açılarını ölçtüğümüzde;
s(A) = s(D), s(B) = s(E), s(C) = s(F) olduğunu görürüz.
O hâlde, ABC ~ DEF dir.
—
BİLGİ
— — —
—
--------- — ----------------- — -------------- -----------------
İki üçgen arasında yapılan bire bir eşlemede, karşılıklı kenarlar orantılı ise bu iki üçgen
benzerdir. Bu benzerliğe, kenar kenar kenar (K.K.K.) benzerlik teoremi denir.
101
!. ABC ile DEF arasında ABC <-» DEF
eşlemesi yapılmıştır.
s(Â) = s(D) = 60°
s(B) = s(E) = 70°
s(C) = s(F) = 50°
olduğu için ABC ile DEF nin karşılıklı
açılarının ölçüleri eşittir.
Bu üçgenlerin karşılıklı kenarlarının uzunluklarını ölçüp karşılaştırdığımızda,
IABI
=
IACI
IBCI
^
= jppj- =
olduğunu görürüz. O hâlde, ABC ~ DEF olur.
BİLGİ
— ------------------- —
..........
..— --- -------------------------- --
İki üçgen arasında yapılan bire bir eşlemede, karşılıklı açıların ölçüleri eşit ise bu iki üçgen
benzerdir. Bu benzerliğe açı açı açı (A.A.A.) benzerlik teoremi denir.
İki üçgenin karşılıklı ikişer açılarının ölçüleri eşit olduğunda, üçüncü açıların da ölçüleri eşit ola­
cağından (A.A.A.) benzerlik özeliğini, (A.A.) benzerlik özeliği olarak da ifade edebiliriz.
3. ABC ile DEF arasında ABC
eşlemesi yapılmıştır.
IABI
IDEI
3 cm
4,5 cm
IBCI
IEFI
4 cm
6 cm
2
3
F
_
2
IABI
IDEI
3
s(B) = s(E) = 70°
Bu üçgenlerin diğer açılarını ve kenarlarını ölçtüğümüzde;
/\
/\
/X
A
IABI
2
s(A) = s(D), s(C) = s(F) ve -jppj- = -ğ~ olduğunu görürürüz.
O hâlde ABC ~ DEF olur.
=
BİLGİ
.. .......
..... .......
İki üçgen arasında yapılan bire bir eşlemede, karşılıklı ikişer kenarları orantılı ve bu kenar­
ları arasındaki açılarının ölçüleri eşit ise bu iki üçgen benzerdir. Bu benzerliğe, kenar açı ke­
nar (K A.K.) benzerlik özeliği denir.
ÖRNEK
Şekilde, [DE] // [AC] ve [KL] // [AB] ise
BDE ~ BAC ve KLC ~ BAC dir.
BDE ~ BAC ~ KLC yazılır.
BİLGİ
-------------
Açıları eş olacak şekilde birden fazla benzer üçgen vardır,
102
A'
W İNCELEYELİM
Kareli kâğıda, yukarıdaki gibi ABC ve DBE üçgenlerini çizelim. Şekle göre;
IBDI = ^(3 - 1)2 + (4 - O)2 = ^4 + 16 =^20 = 2^5
IBEI = 17 - 1i = 6 br
•
IBAI = ^ (4 -1 )2 + ( 6 -O )2' = ^9 + 36 =>/45 = 3a/5
IBCI = 110 - 11 = 9 br dir.
•
IDEI = V(3 - 7)2 + (4 - O)2' = V l 6 + 16' =^32 = ^ b r
•
IACI = V (4 ^ lÖ ) 2T ( 6 ^ Ö ^ = ^36736^=772 = 6 ^ ^
•
Bu iki üçgenin karşılıklı kenar uzunlukları oranı;
IBDI
2>/5
2
IBEI 6 2 IDEI
4^2
2
TbÂI = 3^5 = 3 ’ IBCI= 9 = 3 ’ TÂcT= 6 a/2 = 3 0 ,du9undanIBDI IBEI
IBAI_ IBCI
IDEI 2
= — tur.
IACI 3
ABC ile DBE üçgenlerinin karşılıklı kenarları orantılı olduğundan bu üçgenler benzerdir. Benzer2
^
^
lik oranı k = — tür ve BDE ~ BAC yazılır.
O
___
9 .6
0
^
6 .4
A(ABC) = —— = 27 br2, A(DBE) = —
= 12 br2 ve
A(DBE)
alanlarının oranı, — ^
A(ABC)
12
4
= — = -¿"dur.
y
4
/ 2 \2 4
Bu üçgenlerin alanlarının oranı — ve benzerlik oranının karesil ~^ j = ~q olduğundan,
İ - I F - " '* .
BİLGİ
Benzer üçgenlerin alanlarının oranı benzerlik oranının karesine eşittir.
^
ÖRNEK
ABC ~ DEF, k = — ve A(ABC) = 45 br2 ise DEF üçgeninin alanını bulalım.
4
ÇÖZÜM
^ Î ^ L = k 2 = > - ^ - = ( | - ) 2= > — ^ - =
A(DEF)
A(DEF)
A(DEF)
103
=» 9 . A(DEF) = 45 . 16 =
A(DEF) = 80 br2 djr.
*■$>
ÖRNEKLER
1.
Şekilde; m(A) = m(E), IBDI = 3 cm, IDEI = 2 cm,
IECI = 5 cm, IACI = 6 cm, İADI = x ve IBEI = y ise
x ve y değerlerini bulalım.
ÇÖZÜM
Şekildeki BDE ile BCA üçgenlerinin birer açıları
ortak ve birer açıları eştir. Bu durumda üçgenlerin
üçüncü açıları da eş olur.
BDE ~ BCA (A.A.A. benzerlik teoremi)
2
1
IBEI
IBDI
IEDI
y
3
IBAI " IBCI- IACI
3+x
y + 5 = T “ T *ür3
1
------ — = — =>y + 5 = 9 = > y = IBEI = 4 cm ve
y+5
3
1
=>3 + x = 12= > x = İADI = 9 cm dir.
3+x
3+x
2. Şekilde; ABC eşkenar üçgen, x + y = 60°,
IBDI = 4 cm, ICEI = 9 cn
bulalım.
ÇÖZÜM
Şekilden, a + x = 60°
y + x = 60°
=>oc = y ve
y + P = 60c
^ =>x = (3 dır.
y + x = 60°
ABD ~ ECA dir (A.A.A. benzerlik teoremi).
IABI
IBDI
a
4
IECI = İCÂİ ^ 9" = a
=> a2 = 36 => a = 6 cm dir.
3. Şekilde; m(ACD) = m(B), İADI = 4 cm, IDCI = 5 cm ve
IACI = 8 cm ise IBCI ve IBDI nun kaç cm olduğunu bulalım.
8 cm
ÇÖZÜM
IBCI = x, IBDI = y olsun.
ACD ~ ABC olduğundan (A.A.A. benzerlik teoremi),
IACI
IABI
8
4+y
İADI
ICDI
8
4+y
4
8 "
5
x
b
4x = 40 => x = IBCI = 10 cm ve
= —r—=> 64 = 16 + 4y => y = IBDI = 12 cm dir.
8
7
104
4. Şekilde, verilenlere göre [AB] // [EF] // [CD] ise — + — = —
x
y
z
olduğunu gösterelim.
A
ÇÖZÜM
[AB] // [EF] // [CD] olduğundan, A.A.A. benzerlik leoremine göre;
IBEI
IEFI
a
z
(D
IBCI " ICDI w a + b ” y
BEF ~ BCD
CEF ~ C BA :
1
IEFI
X
II
1
1 => —
z ı— + —
x
y
b
z
-0)
ICBİ ~ IBM ^ a + b ~ x
:
z
b
a
a+b
~+ " =
= 1 ise
a
+
b
+
a
+
b
a
+by
H 2*
+
1
ICEI
1
— bulunur,
z
5. Şekilde, [DE] // [AB], IDEI = — IABI ve A(CDE) = 36 cm2 ise
5
A(ABED) kaç cm2 dlr?
ÇÖZÜM
[DE] // [AB] olduğundan, CDE ~ CAB dir.
IDEI
3
Benzerlik oranı k = 77777= — tır.
IABI
5
A(CDE)
.2
~
"
A(CAB)
36
36 + x
/ 3 \2
\ 5 /
9
25
9 (36 + x) = 25 . 36
324 + 9x = 900 => 9 x = 900 - 324 = 576
x=
576
ALIŞTIRMALAR
t
ise IAEI kaç cm dir?
A 4
B. 5
D. 7
E.8
C.6
2. Şekilde; [AB]/ / [EF], [BF]/ / [ED] dir. IBFI = 12 cm,
IFEI = 10 cm ve IEDI = 8 cm ise IABI nu bulunuz.
105
= 64 => A(ABED) = 64 cm2 dir.
3. Şekilde, [DE]/ / [KL]/ / [BC] ve
IDEI
- y
IKLI
IBCI
.. A/^ v
tur. A(ADE) = s1f A(KLED) = s2,
A(BCLK) = s3 ise aşağıdaki oranları bulunuz.
İADI
‘ IAKI
h İADI
' IKBI
_S j_
' s2
d. _________
s2 + S2 + S2
ç. _§2_
S3
4. Şekilde; m(A) = 90°, m(E) = 90°, İADI = IDCI,
IBEI = 6 cm ve IECI = 4 cm ise IABI kaç cm dir?
B
6 cm
E
4 cm
C
5. Şekilde; [AD]= - 1 IDCI, [ED] // [BC] ve [EF] // [AG]
dir. IBFI = 6 cm ise IFGI kaç cm dir?
A 1
B. 2
D. 4
E.5
C.3
B
TEMEL ORANTI TEOREMİ
Yükseklikleri eşit olan iki üçgensel bölgenin alanlarının oranı, taban uzunluklarınının oranına eşittir.
A(ABC) = IBCI h^ ve A(DEF) = IEFI^
2
2
IBCI.hı
h1 - h2 =»
A(ABC)
lEFI.h?
A(DEF)
IBCI.hı
IEFI.h2
İNCELEYELİM
IEFI
—— — —
—— "
—
ABC üçgeninde, [DE] // [BC] çizelim.
[EK], ADE ve DEB üçgenlerinin her ikisinin de yüksekliğidir.
A(A5E) = IADId|r p
A(DEB)
IDBI
[DL] da, ADE ve EDC üçgenlerinin her ikisinin yüksekliğidir.
A(ADE) = IAEIdir.
A(DEC)
IECI
106
Taban ve aynı tabana ait yükseklikleri eşit olduğundan A(DEB) = A(EDC) dir.
İADI
IAEI
® ve ® den, i 5 § i = İ ç i yazll,r-
Orantı özelliğinden,
IABI
İADI
IDBI
IAEI
IECI
İADI + IDBI
IDBI
IDBI
İADI
IECI
IAEI
IDBI + İADI
İADI
IACI
IAEI + IECI
IABI
IECI
V6 IDBI
IACI
ve
IECI
IECI + IAEI
IABI
IACI
ve
olur.
İADI = IÂEÎ
IAEI
BİLGİ
Bir üçgenin bir kenarına paralel olan ve öteki iki kenarı kesen doğru, bu iki kenar üzerinde
karşılıklı olarak orantılı doğru parçaları ayırır.
%
ÖRNEK
Şekilde; [AB] // [DE], IBCI = 18 cm, IDCI = 10 cm ve
ADI = 5 cm ise IBEI nun kaç cm olduğunu bulalım:
[DE] // [AB] olduğundan,
ICEI
ICDI
ICEI
10
—s ------— ----ICBI ~ ICAI
18
15
15. ICEI = 10.18
=>
ICEI = 12 cm ve
IBEI = IBCI - IECI = 18 - 12 = 6 cm bulunur.
TALES TEOREMLERİ
^İN C E L E Y E L İM
fflA
TEOREM
d-, // d2 // d3 ve IABI = IBCI = n ise
^ ---------—
j -----------
IDEI = IEFI = m dir.
<
B/
f
~ —
n
---- /---------------- /
c/
Birtakım paralel doğrular, bir kesen üze­
rinde eş parçalar ayırırsa her kesen üzerinde
de eş parçalar ayırır.
TEOREM (1. Tales teoremi)
d-| // d2 // d3 ve k ile d doğruları kesen ise
IABI
IBCI ‘
—►
n \
IDEI
IEFI
ir'
Birbirine paralel üç doğru, herhangi iki ke­
sen üzerinde, uzunlukları orantılı doğru parça­
ları ayırır.
107
\
e
—^
m \
\F
—►
H
ÖRNEK
Şekilde; d-| // d2 // d3,
IABI = 4 cm, IBCI = 6 cm ve IDEI = 5 cm ise
IEFI = x değerini bulalım.
ÇÖZÜM
d-, // d2 // d3 olduğundan,
I.Tales teoremine göre,
IABI
IDEI
4
5
•4 x = 30
x = 7,5 cm bulunur.
^İN C E L E Y E L İM
TEOREM (2. Taies teoremi)
k ve d kesişen iki doğru ve d 1 // d2 // d3 ise
IEFI
IBCI
IAEI
IABI
IAFİ
IEFI
ve
IACI
IKLI
IAFI
IAKI
IAEI
IALI
olur.
Kesişen iki doğru, paralel doğrularla kesildiğinde
oluşan üçgenlerin karşılıklı kenar uzunlukları orantılıdır.
i^
___
^
d
ÖRNEK
Şekilde; d 1 // d2, IAOI = 2 cm,
IACI = 4 cm ve IABI = 5 cm ise ICDI nu bulalım.
ÇÖZÜM
d-, // d2 olduğundan 2. Tales teoremine göre,
IOAI
IABI
2
5
^
_
— —- =
— => — = — => 2x = 30
IOCI
&
ICDI
6
X
x = 15 cm dir.
ÖRNEK
Şekilde verilenlere göre [BK] // [CL] ve [DK] // [EL] ise
x + y değerini bulalım.
ÇÖZÜM
1. Tales teoreminden,
IAKI
İADI _
IAKI
(D ve
IAEI ~ " IALI
IALI
(D
ve
(D
den,
IABI
dir.
IACI
İADI
IAEI
8
IABI
IACI
6
6+x
12
48 + 8x = 72
x = 3 birimdir.
x + y = 3 + 8 = 11 birim bulunur.
(D
IABI
IACI “ İCLİ
— =
9
J 12
9y = 6 . 12 = 72
y = 8 birimdir.
106
Ör n e k
Şekilde; [FG] // [AB], [DC] // [EF], IEFI = 3 cm, IDCI = 9 cm
ve IFGI = 6 cm ise IABI nun kaç cm olduğunu bulalım.
ÇÖZÜM
[EF] // [DC] olduğundan 2. Tales teoremine göre,
IAFI
IEFI
3
1
'îKl,') " VüC/S ~
tur‘
IAFI = k => IACI = 3k ve IFCI = 2k dir.
[FG] // [AB] olduğundan
ICFI IFGI
TcÂT ■ IÂbT ^
2k 6
3k~ x
=>2 x = 18 = > x = 9cm bulunur.
*
^
f
ÖRNEK
Şekilde, d-, // d2 // d3 // d4 ve eş aralıklıdır. Bu pa­
ralel doğrular k ve d kesenleri ile kesildiğinde meyda­
na gelen paralel doğru parçalarından IABI = a ise;
•
IDCI = x = a + r br,
•
IEFI = y = a + 2r br,
•
IGHI = z = a + 3r br olduğunu gösterelim
(a, r e R+).
ÇÖZÜM
B noktasından k doğrusuna çizilen paralel doğru­
nun d2, d3, d4 doğrularını kestiği noktalar sıra ile K,
L, N ve IKDI = r olsun. Bu nedenle IDCI = x = a + r
olur.
2. Tales teoreminden;
IBKI
IKDI
IBLI " ILFI
1
r
2 “ ILFI
ILFI = 2r ve
IEFI = IELI + ILFI = a + 2r olur.
IBKI IKDI
1
r
------= ------- => — = -----INHI
3
IBNI INHI
INHI = 3r ve
IGHI = IGNI + INHI
= a + 3r olur.
109
■ ] [ ETKİNLİK
Araç ve Gereç: kalem, silgi, cetvel.
Kenar uzunluğu 8 br olan bir eşkenar üçgen çizelim ve üçgeni kara kalem ile boyayalım.
Kenarlarının orta noktalarını birleştirelim. Ortada oluşan üçgenin içini silelim.
Boyalı diğer üçgenler için de aynı adımları tekrarlayalım ve her adımda oluşan üçgen sayılarını
not edelim.
Oluşturduğumuz fraktal kesitine 5. adıma kadar devam edelim.
Aşağıda her adımın şekli ayrı ayrı çizilmiştir.
Çizimler') inceleyerek aşağıdaki tablolardaki boş yerleri doldurunuz.
1. adım
1. adım:
1
= 1 üçgen
2 . adım:
1 +4
= 5 üçgen
3. adım:
1+4+12
= 17 üçgen
4. adım:
1 + 4 + 12 + 36
= 53 üçgen
5. adım:
1 + 4 + 12 + 36+108 = 161 üçgen
Üçgenlerin boyalı (B) veya
boyasız (S) olması
5. adım
Adımlar
Oluşan üçgenin kenar
2
1
8 br
4br
3
2br
4
1 br
5
1
T br
uzunluğu (a)
Taralı olmayan
üçgenlerin çevrelerinin
-
3 . 4 = 12 br
1 . 3 . 4 = 12 br
1 . 3 . 4 = 12 br
3 . 3 . 2 = 18 br
3 . 3 . 2 = 18 br
9 . 3 . 1 = 27 br
uzunluğu (Ç = 3a)
Adımlar
I
Taralı üçgenlerin
a2 V3
alanları (S=—-— )
4
2
1
64 V3
4
bf2
16
V3 „
3. — — br2
4
110
3
9. —-— br2
4
4
5
DİK ÜÇGENDE METRİK BAĞINTILAR
ÖKLİD (EUKLEIDES) TEOREMLERİ
^İN C E LE Y E LİM
Üçgenin alan bağıntısından yararlanarak
m(Â) = 90° olan ABC üçgeninde c2 = p . a ol­
duğunu gösterelim.
ABC dik üçgenini çizelim. Bu üçgenin [AB] kena­
rı üzerine şekildeki gibi ABFE karesini çizelim. F"
[FD] // [BC] çizelim.
A(FBCD) = IFEI. IDCI = c . c = c2 dir. Neden?
[AH] _L [BC] çizelim.
[AL] // [BK] ve IALI = IBKI = a olacak şekilde
ABKL parelelkenarını çizelim.
ABC dik üçgeninde
hipotenüse ait [AH] yük­
sekliğini çizelim.
IABI = IKLI = c olur.
ABKL = CDFB ve A(ABKL) = A(CDFB) = c2 dir.
Neden?
L
Şekle göre, ABH = LKM => A(ABKL) = A(BKMH)
h
Bu durumda;
ABH ~ CAH,
^
^
ABH ~ CBA ve
c2 = p . a dır.
CAH ~ CBA olur.
M
Aynı yöntemle, b2 = k . a olduğunu gösteriniz.
1. Teorem (yükseklik bağıntısı):
m(Â) = 90° olan ABC dik üçgeninde [AH] _L [BC] çizelim.
ABH ~ CAH ise
IAHI
ICHI
IBHI
IAHI
P\ b
/ a
= - = ^ h 2 = p k dir.
cy
Bir dik üçgende, hipotenüse ait yüksekliğinin uzun­
luğu, yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı doğru
/ B
parçalarının uzunlukları arasında geometrik orta (orta
/ \ ^
orantılı) dır.
B
2. Teorem (dik kenar bağıntısı):
m(Â) = 90° olan ABC dik üçgeninde [AH] -L[BC] çizelim.
h
a\
ABH ~ CBA ise
IABI
ICBI
IBHI
IBAI
c2 = a . p dir.
CAH ~ CBA ise
ICAI
ICBI
ICHI
ICAI
b2 = a . k dir.
Bir dik üçgende, her dik kenar, hipotenüs ile yüksekliğin hipotenüsten kendi tarafında ayırdığı
parçanın geometrik ortasıdır.
¿ab
BİLGİ
Bu bağıntılar Öklid bağıntıları olarak ifade edilir.
111
ÖRNEK
Şekilde; m(Â) = 90°, [AH] 1 [BC], IBHI = p = 3 birim,
IHCI = k = 4 birim olduğuna göre, h, c ve b değerlerini bulalım.
ÇÖZÜM
a = p + k = 3 + 4 = 7 birimdir.
h2 = p . k = > h 2 = 3 . 4 = 12=>h = f i 2 = 2 {3 birim,
c2 = p . a => c2 = 3 . 7 = 21 => c = V2T birim ve
b2 = k . a = > b 2 = 4 . 7 = 28=> b = V 28 = 2 ^ 7 birimdir.
r-U Ü
ALIŞTIRMALAR — —— — — — ^
11. Şekilde; d ! / / d2 / / d3,
iAB i
1
= y dir.
d1 ^
IDFI = 15 cm ise IEFI kaç cm dir?
d2 ^
2. Şekilde; d1 II d2, IABI = x + 1, IBCI = 3 br
İADI = 8 br ve IDEI = x - 1 ise x değerini bu­
lunuz.
A
3. Şekilde; [AB] // [EC] // [FD], IABI = 24 cm
ve IECI = 4 cm ise IFDI kaç cm dir?
A. 9
D. 5
B. 8
E. 4,8
C. 6
4. Şekilde; IABI = 6 cm, ICDI = 8 cm ve IEFI = 11 cm dir.
[AB] //fCDJ l/[EF] olduğuna göre,
A 12
»
2
B. —
3
IBDI
oranı kaçtır?
^ —3
C.
2
e- 4
112
12 cm
Şekilde, [AD] // [BC] dir. IBCI = 6 cm, İADI = 12 cm ve
3EI = 4 cm olduğuna göre IAEI kaç cm dir?
A. 10
D. 6
B. 9
E. 5
C. 8
4 cm
6 cm
E
i
Yandaki makara düzeni ile yükleme işi yapılmaktadır.
Şekildeki makaralardan A hareketli C sabittir. Halatlar da
gergindir. D noktasındaki yük 2 m aşağı indirildiğinde A
makarası B noktasına geliyor. IABI kaç metredir?
12 m
-halat
4m
B-
D
[yük]
?. Aşağıdaki tabloda, yandaki dik üçgene göre bazı elemanlar ve­
rilmiştir. Tablodaki boş yerleri doldurunuz.
a
*
c
P
6
5
2c
1
9
8
8
k
h
A(ABC)
H
k
12
6
4
6
45
8 . Şekilde; m(A) = 90°, [AH] 1 [BC], IAHI = 2,4 br ve IBHI = 1
ise IACI kaç cm dir?
A 2,8
D. 3,5
B. 3
E. 4
C. 3,2
Şekildeki makara düzeni ile bir derenin A bölgesindeki
balyalar B bölgesine taşınacaktır. Makara düzeneğinde­
ki uzunluklar; IDCI = 10 m ICEI = 6 m ve IDEI = 14 m
ise yükün bağlandığı noktanın yere uzaklığı IEYI = x kaç
metredir?
10. Bir dik üçgende, hipotenüse ait yükseklik hipotenüsten ayırdığı parçalardan küçüğünden 4 cm
büyük, büyüğünden 5 cm küçük ise bu yüksekliğin uzunluğu kaç cm dir?
113
% > ÜNİTE SONU DEĞERLENDİRME SORULARI
1. Aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz.
a. Şekilde, A, B, C, D, E... bir düzgün çokgendir. [AB] ve
[ED] kenarlarının uzantıları K noktasında kesişmiştir.
m(K) = 60° ise bu düzgün çokgen........kenarlıdır.
b. İç açılarının ölçüleri toplamı dış açılarının ölçüleri
toplamının 4 katına eşit olan dışbükey çokgenin kenar
sayısı.............
c.
Şekilde, [EF]//[BC] ve
A(AEF)
A(EFD)
ç.
IAEI
IEBI
ise
oranı
Şekilde, ABCD paralelkenardır. B açısının açıortayı
ICFI
1
[BE], —— = — ve paralelkenarın çevresinin uzun­
luğu 40 cm ise IBC I.............. cm dir.
2. Şekildeki ABCD paralelkenarında, IDEI = 3 cm ve İADI = 5 cm
dir. [BE] açıortay, [CH] _L [BH] ve ICHI = 4 cm dir. Buna göre
4 cm
aşağıdaki ifadeler doğruysa “D”, yanlışsa “Y” yazınız.
(
) a. Paralelkenarın çevresinin uzunluğu 32 cm dir.
(
) b. A(ABCD) = 32 cm2 dir.
(
) c. CEB ikizkenar üçgendir.
(
) ç. A(ABED) = 20 cm2
3. Aşağıdaki soruların cevaplarını yandaki tabloda verilen değerlerle eş­
leyiniz.
3 *.
Şekilde; 4 . IBLI = IBCI, IAKI = -İIK C I, İLMİ = ICMI
A(ABC) = 120 cm2 ise A(KLM) kaç cm2dir?
114
I
II
III
60
20 yfâ1
30
"1b. Şekilde, IAEI =
1----- 1
]c .
_L IEBI ve IBFI = JLICFI dir.
2
3
A(ABCD) = 240 cm2 ise A(DKC) kaç cm2 dir?
Şekildeki ABCD paralelkenarında, İADI = IEDI dir.
IBCI = 4 cm, IBEI = 6 cm ve m(B) = 120° ise
A(ABCD) kaç cm2 dir?
120
4. Şekilde, [DC] // [EB] ve [AB] _L [AE] dir.
A(CED)
IAEI = 3 cm, IEDI = 9 cm ise
A(ABE)
oranı kaçtır?
A. 2
B.3
D. 3^3
E. 4
C. 3 {?
5. Şekilde, ABCD kare ve E, F kenarların orta noktaları­
dır. Karenin bir kenarı 12 cm ve [GH] _L [AB] ise IGHI
kaç cm dir?
A. 6
D. 3
B. 5
E. 2
C. 4
6 . Şekilde, ABCD paralelkenar ve IDEI = IEFI = IFCI
dir. Taralı alanlar toplamı 84 cm2 ise A(ABCD) kaç
cm2 dir?
A. 108
D. 180
B. 144
E. 196
C. 160
7. Şekilde, ABCD paralelkenardır. IDCI = 6 cm ve
A(ABCD)
IEBI = 2 cm olduğuna göre
■ oranı kaçtır?
A(CEF)
A. 4
B. 5
D. 8
E.
C. 6
9
115
6 cm
8 . Şekilde, IAFI = IFBI = IBAI ve IAEI = IECI = IACI
ise BDC açısının ölçüsü kaç derecedir?
A. 90
B. 100
D. 120
E. 130
C. 110
9. Şekilde, IEBI = IEDİ, İADI = IDCI ve [DN] // [BC] ve
IDFI = 9 cm ise IBKI kaç cm dir?
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
E. 10
10. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A Her düzgün çokgen dönme simetrisine sahiptir.
B. Düzgün altıgenin dönme simetrisi sayısı 6 dır.
C. Düzgün beşgenin yansfma eksenlerinin sayısi 10’dur.
D. Düzgün kaplamada bir figür kullanılır.
E. Düzgün bir çokgenin dönme simetrisi sayısı ile yansıma simetri sayısı birbirine eşittir.
11. Şekilde; İADI = 4IDBI ve İANI = İNCİ dir. [DE] // [BF] olduğuna gore
IDFI
oranını bulunuz.
A -1
B. -1
3
D. _
5
E. —
C.
—
4
6
ve İADI = 20 cm ise IENI kaç cm dir?
A 10
D. 16
B. 12
E. 18
C. 15
116
13. Şekilde; İADI = 5 cm, IBCI = 3 cm ve [AD] // [EF] // [BC]
dir. IABI = 24 cm olduğuna göre IAEI - IEBI kaç cm dir?
A. 2
D. 5
B. 3
E. 6
C. 4
14. Şekilde, d 1 // d2 // d3 ve IABI = x + 4 tür.
IBCI = 2 birim, IDEI = 6 birim ise x kaçtır?
I
A. 1
D. 4
B. 2
E. 5
C. 2,5
15. Şekilde; m(A) = 90°, [AH] ±[BC], IBCI = 25 cm ve
IAHI = 12 cm ise (b + c) kaçtır?
A. 1225
D. 1325
B. 1250
E. 1600
C . 1300
16. Ayşe, yanda verilen süslemenin bir kısmını keserek çıkarmıştır.
Ayşe’nin keserek çıkardığı kısım aşağıdakilerden hangisidir?
B.
A.
D.
C.
e-
M
17. Şekilde m(A) = 90°, [AH] _L[BC] ve k = 3p ise _
oranını bulunuz.
18. Murat, elindeki eşkenar üçgen levhaları kullanarak
yandaki gibi bazı yerleri boş olan şekiller oluştur­
muştur.
Aynı kurala göre devam ederse 5. adımda kaç ta­
ne eşkenar üçgen levha kullandığını bulunuz.
117
A A A A Â A A/IAA
adım
l.a d ım
2 . adım
3. adım
4.