Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören çocuklarımızın ana ve babalarına da yavrularının öğreniminin tamamlanması için hiçbir fedakârlıktan çekinmemelerini tavsiye ederim. Bu kitabın her hakkı Çap Yayınları’na aittir. 5846 ve 2936 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Yasası’na göre Çap Yayınları’nın yazılı izni olmaksızın, kitabın tamamı veya bir kısmı herhangi bir yöntemle basılamaz, yayınlanamaz, bilgisayarda depolanamaz, çoğaltılamaz ve dağıtım yapılamaz. BU KİTAP, MİLLİ EĞİTİM BAKANLIĞI TALİM VE TERBİYE KURULU BAŞKANLIĞI’NIN 24.08.2011 TARİH VE 121 SAYILI KARARI İLE BELİRLENEN ORTAÖĞRETİM MATEMATİK DERSİ PROGRAMINA GÖRE HAZIRLANMIŞTIR. Dizgi – Kapak Tasarım Emine İNCE Baskı Tarihi Ağustos 2013 Teşekkür Tevfik GÖRGÜN’e katkılarından dolayı teşekkür ederiz. ISBN 978 – 605 – 5140 – 13 – 7 İLETİŞİM ÇAP YAYINLARI Akpınar Mahallesi 840. Cadde 857. Sokak 2 / 19 Çankaya / Ankara Tel: 312 - 476 30 93 www.capyayinlari.com.tr ii ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, Matematikteki birçok tanımı ve kuralı yeniden keşfetmiyoruz, sadece öğrenme aşamasında ilk kez biz bu yolları, kuralları buluyormuşuz gibi hareket edip öğrenmenin kalıcı olmasını sağlamaya çalışıyoruz. Bu kaynağı sizlere sunmamızdaki asıl hedefimiz, en çok zorlandığınız veya başarmakta problem yaşadığınız kendi kendinize öğrenme becerisini geliştirmektir. Matematikte bir problemi kısa zamanda ve doğru olarak çözmek, ilgili konuların kavranmasına bağlıdır. Bir konuyu iyice öğrendikten sonra ardından gelen konuya geçmek sizin için daha kolay olacağı gibi çalışmanızı da daha verimli kılacaktır. Bilgilerinizin kalıcı olması için çok tekrar yapmalı, bilgileri kullanabilmek için de çok soru çözmelisiniz. Matematikteki birçok kuralın günlük hayatta kullanımı yoktur ancak bu kuralları öğrenirken ve uygularken gösterdiğiniz çaba, yaşamınızda çeşitli problemlere farklı açılardan bakabilme becerisini kazandıracaktır. Sevgili Öğrenciler, Tekrara dayalı ve planlı bir çalışmanın, ezber yerine konunun özünü kavramanın ve bu yolla kazanılan özgüvenin sizleri başarıya ulaştıracağına inanıyor ve sizlere başarılar diliyoruz. Toplam 1022 Soru YAZARLAR iii İÇİNDEKİLER 1. Bir Bağımsız Değişkenin Verilen Bir Sayıya Yaklaşması ....................................................................................... 5 2. Fonksiyonun Bir Noktadaki Limiti (Sağdan - Soldan Limit) .................................................................................... 7 9 Kapalı Aralıkta Limit ........................................................................................................................................... Test - 1 Fonksiyonun Bir Noktadaki Limiti ................................................................................................... 10 3. Limit İle İlgili Özellikler ............................................................................................................................................ 11 Test - 2 Limit İle İlgili Özellikler ................................................................................................................... 15 4. Parçalı Fonksiyonların Limiti ................................................................................................................................... 16 5. Mutlak Değer fonksiyonunun Limiti ......................................................................................................................... 18 Test - 3 Parçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti ............................................................................ 20 6. Genişletilmiş Reel Sayılar Kümesinde Limit ........................................................................................................... 21 Test - 4 Genişletilmiş reel Sayılar Kümesinde Limit .................................................................................... 25 7. Trigonometrik Fonksiyonların Limiti ........................................................................................................................ 26 Test - 5 Trigonometrik Fonksiyonların Limiti ............................................................................................... 28 8. Belirsizlikler ............................................................................................................................................................ 29 0 Belirsizliği ................................................................................................................................................... 0 0 Belirsizliği .................................................................................................................................. Test - 6 0 3 Belirsizliği .................................................................................................................................................. b) 3 3 Belirsizliği .................................................................................................................................. Test - 7 3 a) c) ∞ – ∞ Belirsizliği .............................................................................................................................................. 30 38 39 45 46 Test - 8 ∞ – ∞ Belirsizliği ............................................................................................................................. 48 d) 0 . ∞ Belirsizliği .............................................................................................................................................. 49 Test - 9 0 . ∞ Belirsizliği .............................................................................................................................. 51 9. Dizilerin Limiti ......................................................................................................................................................... 52 Test - 10 Dizilerin Limiti ............................................................................................................................... 55 10. Sonsuz Geometrik Dizi Toplamı ........................................................................................................................... 56 Test - 11 Sonsuz Geometrik Dizi Toplamı ................................................................................................... 63 11. Süreklilik ................................................................................................................................................................ 64 Test - 12 Süreklilik......................................................................................................................................... 69 Karma Testler (1 - 13) ................................................................................................................................... 70 iv 1. BİR BAĞIMSIZ DEĞİŞKENİN VERİLEN BİR SAYIYA YAKLAŞMASI BİLGİ Yandaki tablo incelendiğinde; 1. sütun 2. sütun x x 4,5 5,5 i) 1. sütunda x değerlerinin artan değerler alarak 5 sayısına yaklaştığı söylenebilir. 4,9 5,1 Bu durum, "x in 5 e soldan yaklaşması" olarak ifade edilir 4,99 5,01 ve "x→ 5– " ile gösterilir. 4,999 5,001 4,9999 •• • x 5– 5,0001 •• • + x 5 5 e soldan yaklaşma 4,7 4,8 5 4,9 ii) 2. sütunda x değerlerinin azalan değerler alarak 5 sayısına yaklaştığı söylenebilir. Bu durum "x in 5 e sağdan yaklaşması" olarak ifade edilir ve "x → 5+" ile gösterilir. 5 5 e sağdan yaklaşma 5,1 5,2 5,3 Yukarıda anlatılan durumları genelleyecek olursak; a’ya soldan a’ya sağdan yaklaşma yaklaşma x (x < a) a x (x > a) Æ x değişkeni a ya, a dan küçük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşmaya soldan yaklaşma denir ve x → a– şeklinde gösterilir. Æ x değişkeni a ya, a dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşmaya sağdan yaklaşma denir ve x → a+ şeklinde gösterilir. 5 6. YAKLAŞIM x → 1– olduğuna göre, x in alabileceği değerlerdin biri aşağıdakilerden hangisi olabilir? x → 2+ ifadesi x in 2 ye sağdan yaklaştığını, yani 2 den A) 1,00001 büyük ve 2 ye çok yakın değerler (2, 001; 2,00001 vb.) D) 1 aldığını gösterir. x → 2– ifadesi de x in 2 ye soldan yaklaştığını, yani 2 7. den küçük ve 2 ye çok yakın değerler (1,999; 1,9999 gibi) aldığını gösterir. C) 1,111 E) 0,99 2 x " d n ifadesine göre, x aşağıdakilerden han5 gisi olabilir? A) 0,399 SIRA SİZDE 1. B) 1,001 B) 0,4001 D) 0,41 x in sıfıra soldan yaklaşması aşağıdakilerden C) 0,401 E) 0,4 hangisi ile gösterilir? A) x → 0+ B) x → 0– D) x → 1+ 2. C) x → 0 8. E) x → –1– 3 x " d – n ifadesine göre, x aşağıdakilerden 5 hangisi olabilir? A) –0,5 x in –2 ye soldan yaklaşması hangisi ile ifade D) –0,6 edilir? A) x → –2+ B) x → –2– D) x → 3. 2+ E) x → 9. 4. B) x → 3+ −2 3 C) x → (–3)+ B) x > D) x < E) x → (–4)– x → (–4)– gösterimi için aşağıdakilerden hangisi –2 3 –2 3 C) x ≤ –2 3 E) x → 0– 10. x → 5– ise x sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) x < –4 B) x > –4 D) x ≥ –4 C) x ≤ –4 E) x < –3 x → 5+ olduğuna göre, x in aldığı değerlerden biri A) 5,0001 B) 5 D) 4,99 C) 4,999 2) B 3) C B) 4,9 C) 2 6 D) 5 – 1 10 5 E) 5 olabilir? A) –1,001 E) 4,009 1) B A) 4,5 11. x → (–1)+ ise x sayısı aşağıdakilerden hangisi aşağıdakilerden hangisi olabilir? 6 2 + x " d – n gösterimi için aşağıdakilerden hangi3 A) x ≥ söylenebilir? 5. E) –0,601 si doğrudur? hangisidir? D) x → 3– C) –0,599 C) x → –2 2– "x giderken –3 e sağdan" ifadesinin gösterimi A) x → (–3)– B) –0,59 D) − 4) A 5) A 6) E 7) A 8) E 2 5 9) B B) –1 E) − 3 10) E 11) D 4 3 C) − 5 4 2. FONKSİYONUN BİR NOKTADAKİ LİMİTİ (Sağdan-Soldan Limit) BİRLİKTE ÇÖZELİM YAKLAŞIM a) Soldan Limit L1 y grafiği y=f(x) f(x) Aşağıdaki soruları verilen y = f(x) için çöze- 4 3 lim. 2 a) b) lim +f (x) c) yaklaşırken f(x) değerleri de sabit bir L1 gerçek sayısına yaklaşmaktadır. d) e) Burada L1 sayısına f fonksiyonunun x = a noktasında- f) g) O x a x Grafikte görüldüğü üzere x değerleri a sayısına soldan ki soldan limiti denir ve lim –f (x) = L 1 şeklinde yazılır. y –3 lim −f (x) x"2 O 2 4 x y=f(x) x"2 lim f (x) x"2 lim f (x) x " 0+ lim f (x) x " 0− lim f (x) x"0 lim f (x) x "−3 x"a a) y=f(x) f(x) L2 O a x − şıyor.) b) Sağdan Limit y lim f (x) = 4 (x, 2 ye soldan yaklaşırken y değerleri 4 e yakla- x"2 x x değerleri a sayısına sağdan yaklaşırken f(x) değerleri de sabit bir L2 gerçek sayısına yaklaşmaktadır. Burada L2 sayısına, f fonksiyonunun x = a noktasında- ki sağdan limiti denir ve lim + f (x) = L 2 şeklinde gösterilir. b) lim f (x) = 2 (x, 2 ye sağdan yaklaşırken y değerleri 2 ye yak- x"2 + laşıyor.) c) x"2 d) lim f (x) = Yoktur. a lim f (x) ≠ lim f (x) k x"2 − x"2 + 4 ≠ 2 lim f (x) = 3 (x, 0 a sağdan yaklaşırken y değerleri 3 e yakla- x"0 + şıyor.) e) lim f (x) = 3 (x, 0 a soldan yaklaşırken y değerleri 3 e yaklaşı- x"0 − yor.) f) x"0 g) x "−3 lim f (x) = 3 (sağdan ve soldan limitler eşit ve 3) lim f (x) = 0 (sağdan ve soldan limitler eşit ve 0) x"a c) Yukarıda anlatılan her iki durumda elde edilen L1 ve L2 sayıları aynı ise (L1 = L2) bu sayıya f fonksiyonunun x = a noktasındaki limiti denir ve lim f (x) = L 1 = L 2 yazılır. x"a Eğer L1 ≠ L2 ise "f fonksiyonunun x = a noktasında limi- Not:Fonksiyonun x = a da tanımlı olmasının ya da olmamasının bu noktadaki limite hiç bir etkisi yoktur. Tanımlı olmadığı bir noktada da limiti olabilir. ti yoktur." denir. 7 SIRA SİZDE 1. 2. y 4 3 2 –2 O 1 –1 y=f(x) 2 4 O 1 –5 –4 –3 –2 –1 y=f(x) 1 –4 y x x 2 3 4 5 –2 Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun [–5, 5] aralığında kaç noktada limiti yoktur? Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonuna göre, aşağı- A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 daki ifadelerin eşitini bulunuz. a) b) c) d) y 3. lim f (x) x " − 2+ lim f (x) x " − 2− f f(x) = 2 fonksiyonunun grafiği verilmiştir. 2 lim f (x) x "−2 e) lim f (x) + lim + f (x) kaçtır? x " − 3− A) –4 C) 2 D) 4 E) Bulunamaz lim + f (x) x"2 y 4. f) g) lim f (x) y=f(x) 3 2 lim f (x) x " 2− x"5 B) 0 Buna göre x O –5 lim f (x) x"2 1 –4 O x 1 Grafiği verilen f(x) fonksiyonunun [–6, 3) aralığında apsisi tam sayı olan kaç noktada limiti var- x"4 dır? h) lim f (x) i) 5. x"0 j) k) lim f (x) x " − 4− B) 7 C) 6 y lim f (x) x " − 4+ a lim f (x) x "−4 1. a) 2 b) 2 c) 2 d) 2 h) 1 i) 0 j) 0 k) 0 e) –1 f) Yok O lim f (x) = 2 ve A) –4 B) –2 E) 4 fiği verilmiştir. x 3 x " 3+ D) 5 y = f(x) fonksiyonunun gra- y=f(x) b 8 A) 8 lim f (x) = 0 ise a + b kaçtır? x " − 2− C) 0 D) 2 E) 4 g) 4 2) B 3) D 4) B 5) C SIRA SİZDE KAPALI ARALIKTA LİMİT 1 y (a, b] gibi sınırlı bir ara- O –2 nun uç noktalardaki limitleri bulunurken sadece x b tanımlı olduğu tarafın L1 y=f(x) –3 –1 y=g(x) O x 3 –2 limitine bakılır. lim f (x) 6. lim f (x) 7. lim g (x) 8. lim g (x) 9. x"3 lim (fog) (x) x " 0– lim f (x) = lim f (x) = L 1 x " a+ x"a Fonksiyon b noktasının sağında tanımlı olmadığı için, x = b deki soldan limiti, fonksiyonun bu noktadaki limitidir. 2. x "−3 lim (f (x) + g (x)) x"3 lim f (x) = lim f (x) = L 2 x " b− x"b BİRLİKTE ÇÖZELİM y f O x"3 lim (f − g) (x) x "−3 y = f(x) fonksiyonunun 3 –2 3. [–2, 4] aralığında tanımlı bu aralıktaki tam sayılar 1 4 x için limitini inceleyelim. –2 x Grafiği verilen y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonlarına Fonksiyon a noktasının solunda tanımlı olmadığı ii) ii) 3 için, x = a daki sağdan limit, fonksiyonun bu noktadaki limitidir. 3 2 2 1 göre, aşağıdaki soruları cevaplayınız. 1. i) 3/2 –1 O –3 lıkta tanımlı bir fonksiyo- y=f(x) L2 i) 4 3 3 YAKLAŞIM a y y 4. x "−3 lim (f 2 − 2g) (x) x"0 x = –2 nin solunda tanımlı değildir. lim f (x) = 3 olduğu için fonksiyonun x = –2 deki limiti 3 tür. x "−2 + x = 4 ün sağında tanımlı değildir. 5. 10. lim g (x) x "−1 g 1 lim c log 9 f − c m m(x) 2 x "−3 lim f (x) = − 2 olduğundan fonksiyonun x = 4 teki limitinin değe- x"4 – ri de –2 dir. iii) Fonksiyonun [–2, 4] aralığındaki –1, 0, 1, 2, 3 tam sayıları için limiti vardır ancak grafikte belirtilmediği için limit değerleri bulu- 1) –2 2) 3 3) 4 4) –2 namaz. Ancak (–2, 3] aralığında olduğu söylenebilir. 6) –2 8) 5 9) –5 10) 7) 2 5) Yoktur −7 2 9 TEST – 1 FONKSİYONUN BİR NOKTADAKİ LİMİTİ 1. 3 − x " c − m ise x sayısı aşağıdakilerden hangisi 5 5. olamaz? A) − 1 13 4 B) − 20 5 C) –0,601 D) − 14 25 –3 E) –0,61 y y 2 1 y=f(x) x O y=g(x) –1 O –1 –2 –3 x 1 Grafiği verilen f(x) ve g(x) fonksiyonları için aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? 2. x " ^ 2 h ise x sayısı aşağıdakilerden hangisi + olabilir? A) 1,4 B) 1,404 C) 1,45 D) 1,401 E) 1,35 y 3. A) B) C) D) E) 6. Aşağıda grafikleri verilen fonksiyonlardan kaç lim (f (x) + g (x)) = 0 x"0 lim (f (x) ·g (x)) = 0 x " − 3+ lim (f − g) (x) = 3 x " 1− lim (f 2 − 3g) (x) = − 3 x " − 3− lim (fog) (x) = 1 x " 1+ 2 –2 1 O 1 –1 –2 Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonuna göre, aşağı- daki ifadelerden kaç tanesi doğrudur? i) lim f (x) = 1 ii) x "−2 iii) lim − f (x) = 2 v) lim +f (x) = − 1 A) 2 x"1 tanesinin x = 1 noktasında limiti bir gerçek sayı- lim f (x) = − 2 x " − 2+ dır? iv) lim f (x) = 3 x"1 y x"3 vi) lim −f (x) = − 3 B) 3 C) 4 4. x"3 D) 5 O E) 6 –1 3 2 1 1 –1 –2 3 4 x 10 B) 2 C) 3 x 2 1 O 1 D) 4 1) D x E) 6 2) C 3) C 4) B A) 1 x y x B) 3 5) A 1 O y 2 1 O 1 –1 x y –2 Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun (–4, 5] araA) 1 1 O1 lığında kaç noktada limiti yoktur? y y y –2 x 2 3 C) 4 6) B 1 O 1 D) 5 x E) 6 3. LİMİT İLE İLGİLİ ÖZELLİKLER BİLGİ f(x) = an · xn + an–1 · xn–1 + … + a1 · x + a0 polinomu için lim f (x) = f (a) dır. x"a Yani, polinom fonksiyonların herhangi bir noktadaki limitini hesaplamak için bu değer fonksiyonda x yerine yazılır. Sağdan – soldan limite bakmaya gerek yoktur. BİRLİKTE ÇÖZELİM lim (x 4 − 3x 3 − 5x 2 + 4x − 2) x"2 limitinin değeri kaçtır? lim (x − 3x − 5x + 4x − 2) = 24 – 3 · 23 – 5 · 22 + 4 · 2 – 2 4 3 2 x"2 = 16 – 24 – 20 + 8 – 2 = –22 dir. SIRA SİZDE 1. 2. 3. lim (3x 2 − 5x + 4) limitinin değeri kaçtır? 6. x"1 lim 9x 2 limitinin değeri kaçtır? x "− 7. 2 3 lim (5x 7 − 8x 3 + 9x 2 − 6x + 5) limitinin değeri kaçtır? x"0 8. lim (3 − 2x) 2 · (5x + 4) 3 limitinin değeri kaçtır? x "−1 lim 6(3x − 4) 2 − x + 3@ limitinin değeri kaçtır? x"2 f(x) = x2 – 2x + 3 ise lim f (x) kaçtır? x"4 4. 5. lim x" 3 2 1 limitinin değeri kaçtır? 3 9. lim (3x − 2) 5 · (5x + 4) 2 limitinin değeri kaçtır? 10. x"1 1) 2 2) 4 3) 5 4) 1 3 5) 81 6) –25 lim (2x − 3) = 5 ise a kaçtır? x"a lim (− x 2 − 3x + k − 4) = 7 ise k kaçtır? x "−2 7) 5 8) 11 9) 4 10) 9 11 SIRA SİZDE BİLGİ 1. 2. 3. 4. f ve g, x = a noktasında limitleri olan iki fonksiyon 1. f(x) = 2x + 3 ve g(x) = x2 – 1 olsun. fonksiyonları için aşağıdaki limit değerlerini a) lim (2f (x) + 3g (x)) c) lim c ∀ x ∈ R için lim c = c (c ∈ R) x"a lim [f (x) " g (x)] = lim f (x) " lim g (x) x"a x"a x"a lim [f (x) ·g (x)] = lim f (x) · lim g (x) x"a x"a x"a lim f (x) f (x) E= x"a lim g (x) g (x) x"a 2. BİRLİKTE ÇÖZELİM f(x) = x2 – 3x + 1 ve g(x) = 5 – 2x fonksiyonları için lim x"2 x"1 a) 3f – 4g + h c) 3f + 4 2g − h b) f · g – 2 · g + 3 · h d) h 2 − g ·h 4f − 3g 2 lim f (x) = lim (x − 3x + 1) x"2 x"2 = 22 – 3 · 2 + 1 = –1 lim g (x) = lim (5 − 2x) x"2 x"2 12 =1 lim 3. x"2 =5–2·2 3 f ( x) − 2 g ( x ) f (x) ·g (x) = = lim (f (x) + 2x − 3) = 10 ise x"1 lim (5f (x) − x 2 + 4x − 1) limitinin değeri kaçtır? x"1 3·limf (x) − 2·limg (x) x"2 x"2 limf (x) · limg (x) x"2 x"1 olduğuna göre, aşağıdaki fonksiyonların x = 1 limitini bulalım. lim f (x) = 3, lim g (x) = − 4 ve lim h (x) = 5 x"1 noktasındaki limitlerini (varsa) bulunuz. 3f (x) − 2g (x) f (x) ·g (x) x "−1 3f + g m(x) f − 2g x"a d) lim c x"a lim ; x"2 lim [c·f (x)] = c· lim f (x) x"a x"0 f (x) m g (x) b) lim (f (x) ·g (x)) 6c ! R için g(x) ≠ 0 ve lim g (x) ≠ 0 için x"1 x"a 5. bulunuz. x"2 3· (–1) − 2·1 − 1·1 = 5 bulunur. 1) a) 10 b) 21 c) –3 d) 3 2) a) 30 b) 11 c) –1 d) 15/8 3) 57 BİLGİ 1. 2. 3. lim f (x) = lim f (x) (f fonksiyonunun x = a da limiti varsa) x"a lim f (x) = n lim f (x) (x → a için f(x) ≥ 0 ise) x"a lim (fog) (x) = f 9 lim g (x)C (f polinom fonksiyon ise) x"a x"a lim f (x ) x "b 5. x"a n x"a 4. 6. x"a lim a f (x ) = a x " b (a d R + ve a ≠ 1 ise) lim log b (f (x)) = log b 9 lim f (x)C x"a (f (x) > 0 ise) lim f (x) = lim g (x) = L ve x in a sayısına yakın tüm değerleri için x"a x"a f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) ise lim h (x) = L dir. (L ∈ R) x"a BİRLİKTE ÇÖZELİM 1. 2. 3. lim x 2 + 4x − 5 x "−2 limitinin değerini bulalım. 2 2 lim x + 4x − 5 = lim (x + 4x − 5) x "−2 x "−2 = |4 – 8 – 5| = |–9| = 9 dur. lim x"1 x 2 + 2x + 3 lim 2 = x + 2x + 3 = 1+2+3 = 6 dır. 2 lim (x + 2x + 3) x"1 limitinin değerini bulalım. lim (lnx + 4) = lim lnx + lim4 x"e x"e = ln = lne + 4 = 1 + 4 = 5 tir. x"e x +4 a xlim k "e 4. limitinin değerini bulalım. x"1 lim (lnx + 4) x"e lim (2 x 2 − 2x + 3) x"0 limitinin değerini bulalım. lim (2 x"0 lim (x 2 − 2x + 3) x 2 − 2x + 3 x"0 )=2 = 20–0 + 3 = 23 = 8 dir. 13 SIRA SİZDE 1. 2. 3. 4. 10. f(x) = 3x – 5 ve g(x) = x2 – 2x + 2 ise Aşağıdaki limitleri hesaplayınız. 2x 2 + 7 lim x "−1 lim 2 2x 2 a) b) lim (gof) (x) lim (fog) (x) x"0 x"1 − 30 x"4 lim (log 3 x 2) 11) x"9 lim x 2 − 2x + 3 x"5 lim f (x) = − 1 ve lim g (x) = 4 ise x"3 x"3 a) lim 6f (x) + g (x)@ b) lim 6f (x) − g (x)@ c) lim (3f + 2g) (x) d) lim (f·g) (x) x"3 x"3 5. 6. 7. 8. 9. lim x −| x − 5 | x"3 lim x "−2 lim x "−3 3 x3 + 7 x"3 x"3 x 2 + 3x − 4 4f m(x) 3g e) lim c g) lim ^ g − 2· 3 f h(x) x"3 f) lim (f 2 − g 3) (x) x"3 lim 9log 2 (x + 3) − 5 x + 4C x "−2 lim 6| x + 4 | · x + 6 − 3 x + 6@ x"3 x "−5 14 1) 3 2) 4 3) 4 4) 18 5) 1 −1 10) a) 1 b) 10 11) a) 3 b) –5 c) 5 d) –4 e) f) –63 g) 4 h) 3/2 3 6) –1 7) Yoktur 8) –25 9) –2 h) lim a log 2 g (x) − 2 f (x) k x"3 TEST – 2 LİMİT İLE İLGİLİ ÖZELLİKLER 1. 2. 3. 4. lim 5x limitinin değeri kaçtır? 9. x"3 A) 15 B) 5 3 lim x "−4 C) 3 D) –3 E) –15 B) − 3 3 C) 0 D) 3 3 E) 4 B) –6 C) 0 D) 4 E) 12 C) 0 D) lim c x"5 1 3 B) –1 C) 0 D) 1 A) C) 0 lim f (x) = − 1 ve x"4 x"3 7 lim g (x) = 3 ise B) –39 C) –1 B) 16 7 C) 20 7 lim B) 3 C) 5 D) 2 lim (gof) (x) x " 99 A) –4 x−4 limitinin değeri kaçtır? |x − 4 | D) 2 E) –3 − lim (fog) (x) kaçtır? B) –3 x "−1 C) –2 B) 1 8. 3) D 4) E D) –1 5) A 6) B E) 0 lim (2f (x ) + g (x )) = − 2 ise x "3 lim (f (x) ·g (x)) değeri kaçtır? 2x − 3x + 1 limitinin değeri kaçtır? lim 5x − 1 x"0 1 −2 A) –10 B) − C) D) –5 E) –2 5 5 2) D C) 0 D) –1 x"3 A) 2 1) A E) 39 E) 2 D) 33 x+1 ve g (x) = − 3 ise 2 x "3 x"3 E) 2 x"4 1 4 . lim (f (x ) − 2g (x )) = 5 ve 7. D) 1 2f − g m(x) kaçtır? f+g A) 3 13. f (x) = E) 3 x 2 − x + 7 limitinin değeri kaçtır? lim B) –1 x+4 m limitinin değeri kaçtır? 2−x A) –3 x"2 r 2 lim c E) 2 6. lim (sinx − cos2x) limitinin değeri kaçtır? x" A) –51 5. E) –1 12. f(x) = x2 ve g(x) = 1–x ise x"a 1 B) − 3 D) 0 x"4 lim (5 − 6x) = − 7 ise a kaçtır? A) –2 C) 1 lim (3f (x) − 4g 2 (x)) kaçtır? x "−1 B) 2 A) –2 11. lim (3x 2 − 5x − 4) limitinin değeri kaçtır? A) –12 A) 3 10. 3 limitinin değeri kaçtır? A) –4 lim log 3 (x 2 + 2) limitinin değeri kaçtır? x"5 E) –2 7) D A) 15. − 12 −9 B) 5 10 C) −5 12 D) lim (5f (x) − x 2 + 4x) = 15 ise 8) A 9) A A) 15 10) E 11) B B) 9 12) C C) 8 13) C E) − 12 25 lim (f 2 (x) − 3 + 4x) x "−1 x "−1 kaçtır? −4 9 D) 7 14) E 15) B E) 6 15 4. PARÇALI FONKSİYONLARIN LİMİTİ BİLGİ f (x) = ' g (x), x ≥ a h (x), x < a parçalı fonksiyonunda x = a ya f(x) in "kritik nok- SIRA SİZDE 1. tası" denir. Æ f(x) in x = a da limiti bulunurken sağdan ve soldan limitleri incelenir. x → a+ ve x → a– limitleri eşit ise f(x) in x = a da limiti vardır. Aksi halde limit yoktur. Æ f(x) in x = a dışında kritik olmayan herhangi bir noktada limitini bulmak için ilgili fonksiyonda (g(x) ya da h(x)) limitine bakılır. 3. 4. BİRLİKTE ÇÖZELİM 3x + 1 , x < 2 f (x) = * 1 − 4x 2 , 2 ≤ x < 4 1 − x3 , x ≥ 4 fonksiyonunun x = 2, x = 3, x = 4 ve x = 5 nokta- 5. larındaki limitlerini araştıralım. i) 2. 6. 2 Aşağıdaki soruları 3x − 4 , x ≥1 f (x) = * x 2 − x − 1 , − 1 ≤ x < 1 5−x , x<−1 fonksiyonuna göre cevaplayınız. lim f (x) x " − 1− lim f (x) x " − 1+ lim f (x) x "−1 lim f (x) x " 1+ lim f (x) x " 1− lim f (x) x"1 2 x = 2 kritik nokta olduğundan lim (1 − 4x ) = 1 − 4·2 = − 15 ve x"2 + lim (3x + 1) = 3·2 + 1 = 7 bulunur. x"2 − Soldan ve sağdan limit değerleri farklı olduğu için f(x) in x = 2 de 7. limiti yoktur. ii) lim f (x) x"0 x = 3 kritik nokta olmadığı için fonksiyonun ikinci parçasında x yerine yazılır. 2 lim (1 − 4x ) = 1 − 4·9 = − 35 olur. 8. lim f (x) x"5 x"3 iii) x = 4 kritik noktadır. 2 2 lim (1 − 4x ) = 1 − 4·4 = − 63 x"4 3 9. − lim f (x) x "−3 3 lim (1 − x ) = 1 − 4 = − 63 tür. x"4 + Soldan ve sağdan limitleri eşit olduğu için lim f (x) = –63 olur. iv) 10. lim f (x) − lim f (x) x "−2 x"3 x"4 x = 5 kritik nokta olmadığı için fonksiyonun üçüncü parçasında x yerine yazılır. 3 3 lim (1 − x ) = 1 − 5 = − 124 olur. x"5 16 1) 6 2) 1 3) Yoktur 4) –1 6) –1 7) –1 8) 11 9) 8 5) –1 10) 2 YAKLAŞIM "Bir fonksiyonun x = a noktasındaki soldan ve sağdan limit değerleri eşit ise fonksiyonun bu noktada limiti vardır." önermesinin karşıtı da doğrudur. Yani, "Fonksiyonun x = a da limiti varsa, bu noktadaki soldan ve sağdan limitleri eşittir." BİRLİKTE ÇÖZELİM 3−x , x≥5 f (x) = * x − 2x + a , − 2 ≤ x < 5 5x − b , x<−2 2 f(x), tüm reel sayılarda limitli ise kritik noktalarda da (x = 5 ve x = –2) limitlidir. lim (3 − x) = x"5 fonksiyonu tüm reel sayılarda limitli ise a + b kaçtır? + 2 lim (x − 2x + a) & 3 − 5 = 25 − 10 + a x"5 − a = –17 dir. 2 lim (x − 2x + a) = x "−2 + lim (5x − b) & 4 + 4 + a = − 10 − b x "−2 − 8 – 17 = –10 – b b = –1 dir. a + b = –17 – 1 = –18 olur. SIRA SİZDE 1. f (x) = ' fonksiyonunun x = 1 de limiti varsa k kaçtır? 2x + 4, x ≥ 1 3x + k, x < 1 4. 2. f (x) = ' fonksiyonunun x = a da limitinin olması için a 3 − 5x, x ≥ a 2x + 7, x < a 3. fonksiyonu için lim f (x) = 7 ise m · n kaçtır? 5. x2 + k , x ≥ 1 f (x) = * x − k , − 1 ≤ x < 1 m − 2x , x < − 1 fonksiyonunun x = 1 ve x = –1 noktalarında limiti aynı ise m kaçtır? 6. x "−2 2x − k , x ≥ 3 − 2x + k , x < 3 fonksiyonunun x = 3 te limitinin olması için k kaç olmalıdır? kaç olmalıdır? 3x + m, x ≥ − 2 f (x) = ' nx + 5, x < − 2 f (x) = ' x2 − 2 , x ≥ 2 f (x) = * mx + n , 0 ≤ x < 2 x3 − 1 , x < 0 fonksiyonu bütün reel sayılarda limitli olduğuna göre, m + n kaçtır? 1) 3 4 2) − 3) –13 7 4) 6 5) –3 6) 1 2 17 5. MUTLAK DEĞER FONKSİYONUNUN LİMİTİ SIRA SİZDE 1. Aşağıdaki limitlerin değerini (varsa) hesaplayı- a) lim YAKLAŞIM Mutlak değerli fonksiyonların kritik noktası, mutlak değerin içindeki ifadeyi 0 yapan sayıdır. i) Kritik noktalarda limit araştırılırken sağdan ve soldan limit değerlerine bakılır. ii) nız. x"3 |x + 2 | x−1 b) lim x2 − 5 |x − 3 | d) lim |x − 2 |+ 3 4 −| x + 1 | x"2 c) x "−1 | x2 + x − 4 | x+3 2. a) lim + |x − 3 | x+4 c) lim |x + 1 | x+1 d) lim − e) lim − x"3 | x2 − 9 | x−3 f) lim + 3. a) lim |x | x b) lim c) lim | x2 − 9 | x−3 d) e) lim x"0 Kritik olmayan bir noktadaki limit için de nokta fonksiyonda yerine yazılır. x"3 b) lim x2 − 4 x " (− 2) − | x + 2 | BİRLİKTE ÇÖZELİM 1. | x2 − 4 | limitinin değerini bulalım. x−2 lim x"2 i) x –2 x 2 –4 + – 2 lim x"2 |x − 4 | x−2 + + lim x"2 (x − 2) (x + 2) ii) x → 2– için x2 – 4 > 0 dır. x−2 + lim x"2 x−2 − lim (x + 2) = 4 olur. = 2 |x − 4 | x"2 + 2 = lim x"2 − (x − 4) − − (x − 2 ) ( x + 2 ) = Soldan ve sağdan limitler eşit olmadığı için limit yoktur. − x−2 = − x = 2 sayısı |x + 3| ün kritik noktası olmadığı için doğrudan yerine yazılabilir. lim x"2 |x + 3 | x−4 = |2 + 3 | 2−4 = x"3 −5 olur. 2 lim x "−1 x3 + x2 |x + 1 | lim x "−2 f) lim x"2 x3 − 8 | x2 − 4 | | x2 − x − 2 | x−2 1) a) 5/2 b) –1 c) 2 d) 5/3 2) a) 0 b) 4 c) 1 d) 1 e) –6 f) 7/10 3) a) Yok b) Yok c) Yok d) Yok e) Yok f) Yok 18 x−1 |x − 1 | x"1 lim (− x − 2) = –4 tür. x"2 |x + 3 | lim limitini bulunuz. x"2 x−4 2. lim x"0 x−2 x"2 x"5 x 2 − 3x − 10 | x 2 − 25 | x −4 x−2 + = lim |x | x2 − x 2 = x"2 x"0 2 x → 2+ için x2 – 4 > 0 dır. x " (− 1) + YAKLAŞIM SIRA SİZDE Bazen lim f (x) limiti olmadığı halde lim |f (x )| limiti x"a BİRLİKTE ÇÖZELİM f (x) = ' −3 , x ≥1 3 , x <1 1. f (x) = ' a) lim f (x) b) lim | f (x) | 2. f (x) = * a) lim f (x) b) lim | f (x) | 3. 3−x , x > 0 f (x) = * 0 , x=0 x−3 , x < 0 a) lim f (x) b) lim | f (x) | nen limit değerlerini (varsa) bulunuz. 5 , x≥0 −5 , x < 0 x"0 x"0 fonksiyonu için lim f (x) ve lim | f (x) | değerlerix"1 ni (varsa) bulalım. i) Aşağıdaki parçalı tanımlı fonksiyonlar için iste- x "a olabilir. x"1 lim f (x) ifadesinde x = 1 kritik nokta olduğu için sağdan ve sol- x"1 dan limite bakmak gerekir. lim f (x) = x"1 lim (− 3) = − 3 ve + x"1 lim f (x) = x"1 + lim 3 = 3 tür. − x"1 − Yani, lim f (x) ≠ lim f (x) olduğundan f(x) in x = 1 de limiti yoktur. ii) iii) x"1 + x"1 − x"0 lim | f (x) | için x"1 lim | − 3 | = x"1 lim | 3 | = x"1 lim 3 = 3 ve + x"1 + x"0 lim 3 = 3 olur. − x"1 − Sağdan ve soldan limitler eşit olduğundan lim | f (x) | = 3 tür. x"1 İki durum arasındaki farkı daha iyi anlamak için f(x) ve |f(x)| grafiklerini inceleyiniz. y 3 O 1 –3 x2 − 4 , x ≥ 0 x2 + 4 , x < 0 y=f(x) y x 3 O 1 y=|f(x)| x"0 x x"0 1) a) Yok b) 5 2) a) Yok b) 4 3) a) Yok b) 3 19 TEST – 3 PARÇALI VE MUTLAK DEĞER FONKSİYONLARININ LİMİTLERİ Z 2 ] x − 2x + a , x > 1 ] f (x) = [ −4 , x=1 ] ] 3x + b − 1 , x < 1 \ fonksiyonu tüm reel sayılarda limitli olduğuna 5x − 2, x ≥ 3 1. f (x) = * fonksiyonu için lim −f (x) değeri kaçtır? A) 13 3 − 4x, x < 3 5. x"3 B) 9 C) –9 D) –13 E) Yoktur. göre, a – b kaçtır? 2. Z4+x ] ]] 2 f (x) = [ − 7 ]6−x ]] 2 \ fonksiyonu , x>1 6. , x=1 B) –6 x"1 5 2 B) 3 2 C) x "−2 B) 2 D) –2 7 2 7. E) Limit yoktur. lim x " 5− A) 3. 8. tır? E) 6 C) 0 E) Limit yoktur. |5 − x | limitinin değeri kaçtır? x 2 − 25 −1 10 1 B) − 8 D) Z log x , x > 2 2 ] ] f (x) = [ x − 2 , x = 2 ] ] 22 − x , x < 2 \ fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi yanlış- D) 3 | x2 − 4 | limitinin değeri kaçtır? x+3 lim için lim f (x) değeri kaçtır? D) C) –3 A) 4 , x<1 A) –7 A) –9 1 8 C) 0 E) Limit yoktur. | x2 − 9 | limitinin değeri kaçtır? x " − 3 x2 + x − 6 6 1 2 −6 A) B) C) 0 D) − E) 5 5 5 5 lim − A) lim f (x) = 3 B) lim +f (x) = 1 x"2 x"8 9. C) lim −f (x) = 1 D) lim f (x) = 0 x"2 x"2 E) A) 6 lim f (x) = 8 5x − k + 3, x ≥ k 10. f (x) = * fonksiyonu x = k de limitli ise k kaçtır? A) 20 B) −1 4 1) C x <k C) −3 5 2) B B) 0 D) –4 f (x) = * 7 6 x"4 | x 2 − 2x − 8 | limitinin değeri kaçtır? x−4 x "−1 4. 4 − 2x, lim D) −7 6 3) D E) Limit yoktur. x 2 − 2x − 3 , x ≥ 1 7 − 3x C) –6 , x<1 ise lim | f (x) | limitinin x"1 değeri kaçtır? E) A) Limit yoktur. 1 6 4) E 5) D 6) C B) 4 D) –1 7) A C) 0 E) –4 8) A 9) E 10) B 6. GENİŞLETİLMİŞ REEL SAYILAR KÜMESİNDE LİMİT BİLGİ y Tanım: –∞ ile +∞ kavramlarının reel(gerçek) sayılar kümesine eklenmesiyle genişletilmiş reel sayılar kümesi elde edilir. R ile gösterilir. x O R = R∪{–∞, +∞} f(x) = 1 fonksiyonunun grafiği üzerinde x → +∞, x → –∞, x → 0+ ve x → 0– durumlax rını inceleyelim. a. x → 0+ ve x → 0– durumları: i) x değişkenine, sıfıra yaklaşan negatif değerler verildiğinde fonksiyonun aldığı değerlerin sınırsız olarak küçüldüğü görülmektedir. ii) lim x " − 0, 1 1 1 1 1 1 1 = = − 10; lim = = − 100; lim = = − 1000; … − − x − 0, 1 x 0 , 01 x 0 , 001 x " − 0, 01 x " − 0, 001 x değişkenine, sıfıra yaklaşan pozitif değerler verildiğinde fonksiyonun aldığı değerlerin sınırsız olarak büyüdüğü görülmektedir. 1 1 1 1 1 1 = = 10; lim = = 100; lim = = 1000; … x 0, 1 0, 01 0, 001 x " 0, 01 x x " 0, 001 x lim x " 0, 1 1 1 = = − 3 ve x 0− 1 1 = = + 3 şeklinde ifade edebiliriz. x 0+ Bu iki durumu lim − Bir genelleme yapacak olursak; a ∈ R+ olmak üzere; b. x → +∞ ve x → –∞ durumları: i) x değişkenine, istenildiği kadar büyük pozitif değerler verildiğinde, fonksiyonun aldığı değerlerin sıfıra yaklaştığı görülmektedir. ii) x"0 lim x " 10 lim x " 0+ a a = + 3 ve − = − 3 olduğu söylenebilir. 0+ 0 1 1 1 1 1 1 = = 0, 1; lim = = 0, 01; lim = = 0, 001; … x 10 100 1000 x " 100 x x " 1000 x x değişkenine, istenildiği kadar küçük negatif değerler verildiğinde, fonksiyonun aldığı değerlerin sıfıra yaklaştığı görülmektedir. lim x " − 10 1 1 1 1 1 1 = = − 0, 1; lim = = − 0, 01; lim = = − 0, 001; … x − 10 − 100 − 1000 x " − 100 x x " − 1000 x 1 = 0 ve x Bu iki duruma lim Bir genelleme yapacak olursak; a ∈ R+ olmak üzere; x"3 lim x "−3 1 = 0 olarak ifade edebiliriz. x a a = 0 ve = 0 eşitliklerini söyleyebiliriz. +3 −3 21 YAKLAŞIM SIRA SİZDE Genişletilmiş reel sayılar kümesinde R∪(–∞, +∞) limit işlemleri yapılırken Aşağıda verilen limitlerin değerini bulunuz. 1. a) lim + 7 x b) lim + −9 x c) lim + 12 x d) lim − − 15 x 2. a) lim + 3 x−1 b) lim − 7 x−1 c) lim + −2 2−x d) lim − 3 2−x 3. a) lim 10 x b) lim −6 x−2 c) lim −4 5−x d) lim 7 x−7 4. a) lim + x−2 x2 − 9 b) lim − 3−x (x − 4) 2 c) lim + 2x + 1 (x − 5) 2 d) lim − 3−x (x − 7) 2 e) lim x+2 x2 − 1 f) lim g) lim + x+1 1 − ex h) lim − sayı sıfır ifadesinde paydaki "sayı"nın işareti ile paydadaki x"0 x"0 x"0 x"0 "sonsuz"un işaretine dikkat edilmelidir. + + − − =+; =−; =−; = +k + − + − a x"1 x"1 BİRLİKTE ÇÖZELİM Aşağıdaki limitlerin değerini bulalım. 1. lim 3 = x " 0+ x 5 lim x " 0− x 2. 3. lim x " 0+ 4. 5. = −4 x lim 5 x−3 x " 3+ 6. 3 =+3 + lim x " 0− = 5 lim x " 3− x − 3 −2 =−3 + 0 8. = = lim 1 x2 − 4 lim x+3 (x − 2) 2 x " 2− 9. x"2 5 + 3 −3 5 − 3 −3 = = 5 0 + 5 0 − =+3 1 1 = = =+3 + 4, … − 4 0 = 1 1 = =−3 − 3, 99… − 4 0 x+3 2+3 5 lim = = =+3 + 2 + x " 2 + (x − 2 ) (0 ) 0 ii) x+3 2+3 5 lim = = =+3 − 2 + x " 2 − (x − 2 ) 2 (0 ) 0 O halde, 22 x"5 x"2 x"7 x"3 x"4 =−3 i) x"0 −4 − =+3 0 1 lim x " 2+ x 2 − 4 7. x"2 0 5 = =−3 − 0 −2 x x"2 x+3 lim = + 3 olur. 2 x " 2 (x − 2) x"5 x"1 x"0 x"7 x"6 x"0 3−x x 2 − 36 x−1 1 − ex 1) a) ∞ b) –∞ c) ∞ d) ∞ 2) a) ∞ b) –∞ c) ∞ d) ∞ 4) a) ∞ b) –∞ c) ∞ d) –∞ 3) a) Yok b) Yok c) Yok d) Yok e) Yok f) Yok g) –∞ h) –∞ YAKLAŞIM SIRA SİZDE 1. a ∈ R için i) a + (+∞) = +∞ b) a + (–∞) = –∞ ii) a > 0 ise a·(+∞) = +∞, a(–∞) = –∞ a < 0 ise a·(+∞) = –∞, a·(–∞) = +∞ iii) a a = 0, =0 +3 −3 Aşağıdaki limitlerin değerini hesaplayınız. 1. a) lim (4 − x) c) 2. a) lim 7x b) lim (3 − 6x) c) d) 3. a) lim 7x 2 b) lim 8x 3 c) lim 6x 4 d) e) lim − 2x 5 f) 4. a) lim (x 2 − 2x − 1000) b) c) b) lim (x − 3) d) x"3 x "−3 lim (x + 4) x "−3 lim (2 − x) x "−3 2. (+∞) + (+∞) = +∞; (–∞) + (–∞) = –∞ (+∞) · (+∞) = +∞; (–∞) · (–∞) = +∞ (+∞) · (–∞) = –∞ dur. x"3 x"3 3. lim (a n ·x n + a n − 1 ·x n − 1 + ... + a 1 x + a 0) = lim (a n ·x n) x ""3 x ""3 lim (5x + 4) x "−3 lim (3 − 4x) x "−3 (x → " ∞ için polinom fonksiyonlarda limit hesabı yapılırken sadece en yüksek dereceli terime bakılır.) BİRLİKTE ÇÖZELİM x"3 Aşağıdaki örnekleri inceleyelim. 1. lim (3 + x) = 3 + 3 = 3 x "+3 2. x"3 x "−3 lim 10x 3 x "−3 lim (5 + x) = 5 − 3 = − 3 x "−3 3. lim 3x = 3· (3) = 3 x "+3 4. x "−3 lim (5 − x 5) x "−3 lim 5x = 5· (− 3) = − 3 x "−3 5. lim 5x 2 = 5· (3) 2 = 5.3 = 3 x"3 6. lim 3x 2 = 3· (− 3) 2 = 3· (3) = 3 x "−3 7. lim − 2x 2 = − 2· (3) 2 = − 2· (3) = − 3 x"3 x"3 8. lim (x 5 − 5x 3 + 8x + 7) x "−3 lim 4x 3 = 4· (− 3) 3 = 4· (− 3) = − 3 x "−3 9. lim (2x 3 1−454 x42 2 + 44x 4−443) = x"3 ihmal edilebilir 10. 3 lim (2x ) lim (5x − 4 + 7x 2) x "−3 =2·∞=∞ ihmal edilebilir d) x"3 lim (− 2x 3 1+444 x42 2 − 24x 4+413) = x "−3 lim (3 − 3x − x 2) x "−3 3 lim (− 2x ) x "−3 e) lim (x 3 − 5x 2 − 7x 5) f) x "−3 lim (1 − x − x 2 + x 7) x "−3 = –2(–∞)3 = –2(–∞) 1) a) –∞ b) –∞ c) –∞ d) ∞ = +∞ 3) a) ∞ b) ∞ c) ∞ d) –∞ e) ∞ f) ∞ 4) a) ∞ b) –∞ c) –∞ d) ∞ e) ∞ f) –∞ 2) a) ∞ b) –∞ c) –∞ d) ∞ 23 YAKLAŞIM SIRA SİZDE a ∈ R – {0} olmak üzere 1. a > 1 ise i) lim a x = a 3 = 3 x"3 ii) lim log a x = 3 iii) lim a x = a − 3 = iv) lim +log a x = − 3 dur. 2. x "−3 1 1 = =0 a3 3 lim a x = 0 iii) lim log a x = − 3 iv) lim +log a x = 3 dur. 5. 6. 7. 8. 3 x c) lim c m x"3 5 d) 3 x lim c m x "−3 5 r x e) lim a k x"3 e f) 5 −x lim c m x "−3 4 2. a) lim log 2 (x + 3) b) lim log 1/2 (x + 5) c) lim 7 x x "−3 lim a x = 3 x"3 x"3 x"0 Aşağıdaki örnek çözümlerini inceleyelim. 4. b) x"3 x "−3 BİRLİKTE ÇÖZELİM 3. a) lim 7 x x"3 ii) 2. 1. x"0 1. Aşağıda verilen limitlerin değerini hesaplayınız. x"3 0 < a < 1 ise i) lim log 3 (x + 7) x " − 7+ e) lim ln (x + 3) 3. a) lim + 3 x − 2 2 x−1 c) lim + c m x"1 5 7 x−5 e) lim + c m x"5 3 g) lim + 2 x − 3 3 x−2 i) lim + c m x"2 5 x"3 x"3 d) lim log 2 (x + 3) x " − 3+ f) lim + ln (4x − 5) x" 5 4 lim 3 x = 3 3 = 3 x"3 lim 3 x = 3 − 3 = x "−3 1 3 3 1 x 1 3 lim c m = a k = 3 x"3 3 x 1 lim c m x "−3 3 =a = 1 3 3 1 =0 3 =0 1 x"2 x"2 1 1 −3 3 3 k = a k = 33 = 3 3 1 lim log 3 x = 3 1 b) lim − 3 x − 2 1 2 x−1 d) lim − c m x"1 5 1 1 7 x−5 f) lim − c m x"5 3 x"3 lim + log 3 x = − 3 x"0 lim log 1/3 x = − 3 x"3 lim log 1/3 x = 3 x " 0+ x+1 x"3 x−1 x+1 h) lim − 2 x − 3 x"3 x−1 3 x−2 j) lim − c m x"2 5 1) a) ∞ b) 0 c) 0 d) ∞ e) ∞ f) ∞ 2) a) ∞ b) –∞ c) –∞ d) ∞ e) ∞ f) –∞ 3) a) ∞ b) 0 c) 0 d) ∞ e) ∞ f) 0 g) ∞ h) 0 i) 0 j) ∞ 24 5 TEST – 4 GENİŞLETİLMİŞ REEL SAYILAR KÜMESİNDE LİMİT 1. lim x " 0+ 9. −7 limitinin değeri kaçtır? x A) –∞ B) –7 C) 0 D) 7 E) ∞ lim log 5 (x + 4) limitinin değeri kaçtır? x"3 A) ∞ B) 1 C) 0 D) –1 E) –∞ 10. 2. lim − x"5 16 limitinin değeri kaçtır? 5−x A) ∞ B) 5 C) 0 D) –5 E) –∞ lim x " − 4− 5−x limitinin değeri kaçtır? 16 − x 2 A) ∞ B) 9 C) 0 D) 1 B) 1 2 C) 0 D) –1 E) –∞ 1 lim + 5 x − 2 limitinin değeri kaçtır? x"2 1 5 E) –∞ 2 3−x lim −c m limitinin değeri kaçtır? x"3 3 3 2 A) ∞ B) C) 0 D) 2 3 E) –∞ A) ∞ B) 5 C) 0 D) 4 x+4 lim x " − 5 + (x + 5) 2 A) ∞ 12. limitinin değeri kaçtır? B) 1 C) 0 D) –1 E) –∞ 5. A) ∞ E) –∞ 4. 2 11. 3. lim log 1 (3 − x) limitinin değeri kaçtır? x "−3 13. lim (3 − 2x − x ) limitinin değeri kaçtır? 2 B) 3 C) 0 D) –1 sinx limitinin değeri kaçtır? x+4 A) ∞ x"3 A) ∞ lim x"3 E) –∞ D) –∞ B) 1 C) 0 E) Limit Yoktur. 6. 14. lim (x 5 − x 3 − 2x 7) limitinin değeri kaçtır? x "−3 A) ∞ B) 1 C) 0 D) –2 E) –∞ 15. lim 5 − x limitinin değeri kaçtır? x"3 A) ∞ B) 5 C) 0 D) –5 E) –∞ 8. A) ∞ 5x − 4 m limitinin değeri kaçtır? 1 − logx B) 1 C) 0 D) –1 E) –∞ 7. lim c x " 10 + lim c 2 x − 2 x m limitinin değeri kaçtır? 1 x "−3 A) 4 B) 2 C) 1 D) 0 E) –1 3 x lim c m limitinin değeri kaçtır? x "−3 2 3 2 A) ∞ B) C) 0 D) − 2 3 1) A 2) A 3) E 4) E 5) E 6) A 16. E) –∞ 7) C 8) C 9) A 10) E lim x "−3 A) ∞ 11) A cos3x limitinin değeri kaçtır? x+3 B) 1 12) C 13) C C) 0 14) E D) –1 15) E 16) C E) –∞ 25 7. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN LİMİTİ BİLGİ a ∈ R için lim sinx = sina; lim cosx = cosa ; lim tanx = tana ve lim cotx = cota dır. (a ≠ 0) x"a x"a x"a x"a Not: Trigonometrik fonksiyonlarla ilgili limit hesaplamalarında x in ölçüsü hep radyan olarak düşünülür. BİRLİKTE ÇÖZELİM lim r x" 3 cosx − 1 sinx − 3 limitinin değeri kaçtır? SIRA SİZDE 1. 2. lim x"0 lim x"r sinx − 3 cosx + 4 6. tanx − 1 2cos2x + 3 7. 8. 3. lim r x" 4 3tanx − 1 2 − cotx 9. 4. 5. lim 3r x" 2 lim r x" 6 3cosx − cotx 2sinx − cosx 26 r 4 sinx + cosx r−x lim + r x" 4 lim r x" 6 lim tanx + 1 cos2x sinx − 3 cosx + 1 3r x" 2 cos2x − cotx sinx − 3 r k− 1 2 10. lim x " 5r cos a 2x + r k + 1 3 sin a x + 2sinx − 3 r −x 2 3 1) − 5 lim x" 1 2) − 3) 2 5 4) 0 5) −6 r 6) 4 2 7) –∞ 3r 8) 8 − 5 3 9) 1 −4 10) 4 3 YAKLAŞIM SIRA SİZDE Trigonometrik fonksiyonların grafiklerini bilmek, ilgili soruların çözümünde büyük kolaylık sağlar. y Aşağıdaki limitlerin değerini hesaplayınız. 1. y x O π/2 – –1 f(x)=sinx x π O π 2 2 –1 2. O x π 2 –π –π/2 O π/2 π f(x)=cotx 5. BİRLİKTE ÇÖZELİM 2. 3. 4. 5. cosx lim x " 0+ x lim x" r− 2 lim x " 0+ lim r+ x" 2 = cos0 0 cos2x 1 − sinx x+3 tanx = + 0 x " 0+ lim 1 + cosx 1 − cosx lim + sinx + 1 cosx r x" 2 lim − tanx x" r 2 1 − sin 0+3 + sin = 0 + + r 2 3 tanx 3 tan lim − c m =a k 5 r 5 x" = r− 2 = 3 cotx 3 cotr lim − c m =a k 2 x"r 2 −1 1−1 − = −1 0 + =−3 =+3 r +3 2 cot = − r 2 3 = lim + tanx x" r 2 =+3 + cosr = tan0 sinx + 3 cotx = 1 2 6. x+r sinx + 1 Aşağıdaki soruların çözümlerini inceleyelim. 6. 1. r+ x "− 2 x 4. f(x)=tanx lim y 3. π 2 cosx + 3 sinx f(x)=cosx y – lim x " 0− 1 1 –π/2 8. 1+3 0 − +3 =a r+ 2 sinx + cosx tanx lim cos5x + 3 tanx lim sinx − cosx tanx + cotx lim − cos2x − sinx cotx − tanx x " 0− x " 0+ =0 10. − lim x "− =−3 9. a k 3 5 7. 3 −3 2 3 k =a k =0 2 3 r x" 2 1) –∞ 2) ∞ 3) ∞ 4) –∞ 5) ∞ 6) –∞ 7) 0 8) –∞ 9) 0 10) 0 27 TEST – 5 TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN LİMİTİ 1. 2. 3. lim (sin2x + cos3x) limitinin değeri kaçtır? 9. x"0 A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2 lim (cos2x − 3sinx) limitinin değeri kaçtır? x" A) r 6 −1 − 3 B) 2 2 lim c r x" 4 3 A) 2 C) –1 D) 1 2 E) 3 2 1 B) 2 −1 D) 2 C) 1 5. 6. 7. 8. r x" 3 lim 3r x" 2 r x" 4 A) lim A) ∞ r+ 2 A) ∞ 28 cos2x limitinin değeri kaçtır? cotx lim x" C) 0 B) 1 −r+ 2 C) 0 D) –1 E) –∞ 2 tanx limitinin değeri kaçtır? c m 3 B) D) –∞ 13. E) –∞ −2 3 C) 0 E) Limit yoktur. 5 sinx limitinin değeri kaçtır? lim + c m 4 r x" 2 −2 B) r 7r 2 lim lim x " r− − 3 E) 2 2 D) r C) 0 E) p 2r − x limitinin değeri kaçtır? cosx x " 0− x" −1 D) 2 sinx limitinin değeri kaçtır? r−x A) –p lim 1 B) 2 E) –∞ lim A) ∞ 3 A) 2 D) x " 0− A) ∞ lim (tanx − sinx) limitinin değeri kaçtır? C) 0 −r 2 cosx limitinin değeri kaçtır? cotx A) ∞ B) 1 C) 0 D) –1 B) r 2 10. 12. 4. limitinin değeri kaçtır? A) ∞ 11. − 3 E) 2 r − tanx x" 2 cosx·sinx m limitinin değeri kaçtır? tanx x−r lim B) r 2 C) 5r 2 D) 6r 2 14. E) 7r 2 2 cosx limitinin değeri kaçtır? x B) 1 C) 0 D) –1 E) –∞ 1) D 2) C C) 0 3) B D) –1 4) A 5) D E) –∞ 6) E 7) E 8) A lim x" r+ 2 C) 0 D) 4 5 E) –∞ B) –p C) 0 D) p E) 1 sinx + cosx limitinin değeri kaçtır? cotx − tanx B) 1 C) 0 D) –1 E) –∞ lim tanx·cotx limitinin değeri kaçtır? x " 0− A) ∞ 9) C 5 4 r 2 A) ∞ 16. B) lim − ^e − tanx − rcotx h limitinin değeri kaçtır? x" A) –1 15. cos4x limitinin değeri kaçtır? 1 − sinx B) 1 A) ∞ 10) C B) 1 11) C C) 0 12) A 13) B D) –1 14) A 15) C E) –∞ 16) B 8. BELİRSİZLİKLER YAKLAŞIM Tanımı olmayan, işlemi yapılamayan ifadelere "tanımsız" ifadeler denir. 3 7 Örneğin (–5)!, c m!, , gibi işlemler tanımlı değildir. 2 0 (Yani, x ≠ 1 olduğundan y = x 2 − 1 (x − 1) (x + 1) = = x+1 x−1 x−1 işlemini yapabiliyoruz.) f (x) = Sonucu belli olmayan ifadelere "belirsiz" ifadeler denir. 1 fonksiyonunun grafiğine tekrar dönelim. x y 0 3 Örneğin, , , 3 − 3, 0·3, 0 0, 3 0, 0 3 gibi ifadeler belir0 3 sizdir. x O Ancak limit yardımıyla böyle ifadeler için bazı sonuçlar hesaplayabiliriz. Limit işlemleri sonucunda elde edeceğimiz ∞, 0 ya da 1 gibi ifadeler, bu tür belirsizliklerin eşiti ya da sonucu değil limitleridir. Fonksiyonun davranışı ile ilgili yorum yapmamızı sağlar. Her türden belirsizliği limit işlemleriyle ortadan kaldırma0 nın değişik yöntemleri vardır. Örneğin belirsizliğini yok 0 etmek için özdeşlikler ve çarpanlara ayırma yöntemleri kullanılır. Ancak daha sonra Türev konusunda öğreneceğimiz L'HOSPİTAL yöntemi de devreye girecektir. x2 − 1 fonksiyonunu ele alalım. x = 1 x−1 değeri paydayı sıfır yaptığı için f(1) değeri hesaplanaÖrneğin, f (x) = maz. Yani, f(1) tanımsızdır. f (x) = y y=x+1 1 –1 O 1 = − 3 olduğunu daha önce söylemiştik. (–∞) bir reel sayı olmadığı için bu ifadenin anlamı "limit vardır ve 1 –∞ sayısına eşittir." demek değildir. " f (x) = fonksiyonu x x sayıları sıfıra soldan yaklaştıkça çok çok küçük negatif değerler aldığı için limiti yoktur." anlamına gelir. 1 1 = + 3 eşitliğinin anlamı da " f (x) = x x fonksiyonu x sayıları sıfıra sağdan yaklaştıkça çok çok Aynı şekilde lim + x"0 büyük pozitif değerler aldığından limiti yoktur." anlamın1 dadır. Yani, x sayıları sıfıra çok çok yaklaştıkça, f (x) = x değerleri de sınırsız bir şekilde arttığının ya da azaldığı- Bir başka duruma daha bakacak olursak; x2 − 1 grafiklerini karşılaştıralım. x−1 2 1 nın sembolik bir gösteriminden ibarettir. 2 x − 1 (x − 1) (x + 1) = = x+1 x−1 x−1 y = x + 1 ve y = lim x " 0− x y= 2 i) lim (x 2 + x) = lim x 2 + lim x = 3 + 3 x2–1 x–1 1 x –1 O 1 x x"3 x"3 x"3 = ∞ dur. ii) lim (x 2 − x) = lim x 2 − lim x = 3 − 3 x"3 x"3 x"3 = Belirsizdir. Ancak, lim (x 2 − x) = lim x· (x − 1) = lim x· lim (x − 1) lim (x + 1) = 1 + 1 = 2 x"1 ve 2 x −1 0 lim = 0 x"1 x−1 eşitliklerindeki "x → 1" in anlamı x = 1 değildir. "x sayısı 1 e yaklaşırken" demektir. x"3 x"3 x"3 x"3 = ∞·∞ = ∞ dur. Özet olarak şunu söyleyebiliriz: belirsizlik giderilebilir ancak tanımsızlık giderilemez. 29 a) 0 Belirsizliği 0 YAKLAŞIM a ∈ R olmak üzere, lim x"a f (x) 0 ifadesinde f(x) ve g(x) fonksiyonlarında x = a değeri yerine yazılır. Sonuç oluyorsa, f(x) g (x) 0 ve g(x) çarpanlarına ayrılarak gerekli sadeleştirmeler yapılır ve belirsizlik durumu ortadan kaldırılır. Pay ve paydası polinom olan bu tarz fonksiyonlarda sadeleşen çarpan her zaman (x – a) dır. BİRLİKTE ÇÖZELİM lim x "−3 x2 + x − 6 x + 8x + 15 2 limitinin değeri kaçtır? SIRA SİZDE 1. 2. 3. 4. Aşağıdaki limitlerin değerini bulunuz. lim x +x−2 x 2 + 2x − 3 lim x2 + x − 6 x2 − 4 x"1 x"2 6. 2 7. 8. x 3 − 4x lim 3 x"2 x −8 lim a "−2 9. 2 a + 3a + 2 a2 + a − 2 lim m (2m − 7) − 4 m (3m − 14) + 8 lim − 2x 2 − 7x + 4 8 − 10x − 3x 2 m"4 x "−4 lim 1 − u4 1 − u3 lim y3 − 8 y 4 − 16 u"1 y"2 10. lim 5. lim m "−3 1) 30 k"0 m (m − 1) − 12 m (m − 2) − 15 3 4 2) 5 4 3) 2 3 4) 1 3 5) 7 8 6) 9 10 7) 5k 3 + 8k 2 3k 4 − 24k 2 9 14 8) 4 3 7) 3 8 8) − 1 3 YAKLAŞIM x → 3 ifadesi "x değişkeni 3 sayısına yaklaşırken" şeklinde anlaşıldığına göre, x → y ifadesi "x değişkeni y sayısına yaklaşırken", m → n ifadesi "m değişkeni n sayısına yaklaşırken" şeklinde anlaşılmalıdır. BİRLİKTE ÇÖZELİM lim y"x y2 − x2 y3 − x3 limitinin değeri kaçtır? SIRA SİZDE 1. Aşağıdaki limitlerin değerini bulunuz. lim x"y x 2 − xy x2 − y2 7. 2. x2 − a2 lim 3 3 x"a x −a 3. x−m lim 3 3 x"m x −m 4. 5. lim a"b lim 6. 8. a 2 − ab ab − b 2 a "−b 9. a2 − b2 a3 + b3 1) 2x 2 − kx − k 2 x 2 + kx − 2k 2 lim x"k lim m3 − n3 m4 − n4 lim 2x 2 − xy − 3y 2 3x 2 + xy − 2y 2 m"n x "−y lim c lim x"2 y"x 10. lim f lim a"3 1 2 2) 2 3a 3) 1 3m 2 4) 1 5) −2 3b 6) 1 7) y−x m x2 − y2 b"a 3 4n b2 − a2 p 2b − ab − a 2 8) 1 2 9) – 1 4 10) 2 3 31 YAKLAŞIM Üslü ifade içeren kullanılabilir. 0 belirsizliklerinde ifadeleri daha kolay çarpanlarına ayırabilmek için "değişken değiştirme yöntemi" 0 BİRLİKTE ÇÖZELİM lim x"2 4 x − 16 4 − 2 x − 12 x limitinin değeri kaçtır? SIRA SİZDE Aşağıdaki limitlerin değerini bulunuz. 1. 4x − 4 lim x x"1 2 −2 2. 3. 4. 5. 7. lim 9x − 9 3 − 3x lim 2x − 2 8x − 8 lim 16 − 4 x x − 4 + 9·2 x − 20 x"1 x"1 x"2 6. 8. 9. 32 1) 4 4 − x − 16 4 − 2− x lim 5x − 5 125 x − 125 lim 25 x − 5 x + 1 + 4 25 x + 2·5 x − 3 lim 16 x − 16 8 − 8x x "−2 x"1 x"0 x"1 10. lim 2− a − 2 lim − a − 2− a − 2 a "−1 4 lim x"0 2) –6 3) 1 12 4) –8 5) 1 3 6) –8 7) 27 x − 1 81 x − 1 1 75 8) – 3 4 9) −8 3 10) 3 4 YAKLAŞIM 0 belirsizliklerinde, pay ve paydayı köklü ifadenin eşleniği ile çarparak belirsizlik durumu giderilir. 0 2 2 ^ f + g h ifadesinin eşleniği ^ f − g h ve ^ f + g h^ f − g h = ^ f h − ^ g h = ^f − g h dir. Köklü ifade içeren BİRLİKTE ÇÖZELİM lim x"3 x+1 −2 x2 − 9 limitinin değeri kaçtır? SIRA SİZDE 1. 2. Aşağıdaki limitlerin değerini bulunuz. lim x"2 6. x+2 −2 x 2 + 3x − 10 7. 2x 2 + x − 3 lim x+8 −3 x"1 8. 3. 4. 5. lim x"0 lim x "−3 lim x"4 2 − x2 − 5 x+3 4x − x 2 2− x lim x"1 3 x −1 x−1 x+4 −2 x 3 + x 2 − 6x 9. x 2 − 81 lim x"9 x −3 x"4 lim 10. x−4 5 − x2 + 9 1) 1 2) 30 28 3) −1 24 4) 108 5) −5 4 6) 3 2 lim x3 + 8 x + 12 − 4 lim x2 + 7 − 4 x 3 + 27 x "−2 x "−3 7) 16 2 8) 1 3 9) –24 1 10) − 36 33 YAKLAŞIM Bir reel sayıya eşit olduğu bilinen limit içindeki rasyonel ifadenin x in yaklaştığı değer için paydası 0 oluyorsa payınında 0 olması; payı 0 ise paydasında 0 olması gerekir. BİRLİKTE ÇÖZELİM lim x"2 x 2 − 5x + k + 2 =m x−2 olduğuna göre, k + m kaçtır? (k, m ∈ R) SIRA SİZDE 1. (a − 2) x + 4 limitinin değeri bir gerçek sayı x−2 lim x"2 6. ise a kaçtır? 2. 3. 4. lim x"3 lim x 2 − kx + 6 = m ! R olduğuna göre, m kaçtır? x−3 x "−2 x 2 − 4x + m + 1 =n x+2 lim x− x+k limitinin değeri bir reel sayı ise k x2 − 4 kaçtır? 8. −x − x + m ifadesi hangi reel sayıya eşit x2 − 4 olabilir? 9. x+a −3 = b ise a · b kaçtır? x−2 x "−3 x2 − 9 = 2 ise m kaçtır? x + 3x + m + 1 2 7. ise m – n kaçtır? x"2 lim lim x"2 lim x "−2 lim 3 x"2 bilir? 10. lim 5. lim x"2 34 x"1 x2 − 4 = − 4 ise a kaçtır? x 2 − 5x + a 1) 0 2) 1 3) –5 x −3 a ifadesi hangi reel sayıya eşit olax−2 4) 7 6 5) 6 6) –1 7) 2 x+k −2 1 = ise k kaçtır? 2 x −1 8) 5 16 9) 1 3 3 4 10) 3 BİLGİ lim x"0 sinax ax sinax a = lim = lim = dir. bx b x " 0 sinbx x " 0 sinbx lim x"0 tanax ax tanax tanax a = lim = lim = lim = dir. bx b x " 0 tanbx x " 0 tanbx x " 0 sinbx Not: x → 0 iken x ≅ sinx ≅ tanx olur. BİRLİKTE ÇÖZELİM lim x"0 tan3x sin4x limitinin değeri kaçtır? SIRA SİZDE 1. Aşağıdaki limitlerin değerini bulunuz. lim x"0 6. sin5x 4x 7. 2. − 14x lim sin 7x x"0 3. 3x 2 lim x " 0 tan c 5x m 2 8. 9. 4. lim x"0 lim c x"0 lim sin 2 2x 3x 2 lim sin3x·cot5x 2x·cot4x lim cotx cot2x x"0 x"0 r x" 2 tan6x sin3x 10. lim x"0 5. lim x"0 sin5x 4x − m 3x tan2x 1) 5 4 2) –2 3) 3 5 lim bx·cotax kaçtır? sin6x 3 = ise a kaçtır? tan (a + 1) x 5 4) 2 5) 9 6) sinax 3 = ise tanbx 5 x"0 −1 3 7) 4 3 8) 6 5 9) 2 10) 5 3 35 YAKLAŞIM Değişken değiştirme yöntemi kullanılarak x → a ifadesi x – a = h ve x = h + a elde edilir. Böylece x → a ifadesi de h → 0 ifadesine dönüştürülerek bir önceki yaklaşımda anlatılan özellikler kullanılır. Not: lim x"a sin (x − a) tan (x − a) = lim = 1 dir. x−a x−a x"a BİRLİKTE ÇÖZELİM lim x"1 sinrx x−1 limitinin değeri kaçtır? SIRA SİZDE 1. 2. Aşağıdaki limitlerin değerini bulunuz. lim x"3 lim x"2 sin (3x − 9) 5x − 15 sin (rx) x−2 6. 3 sin c m x lim 5 x"3 x a ipucu: h = 7. 8. 3. 4. 5. lim x−3 sinrx lim sinrx x2 − 1 x"3 x"1 9. r 2 lim r cotx x− x" 10. 1 lim x·sin c m x x"3 5 lim 3x·sin c m x x"3 lim x"3 2x 3 cot c m x 2 lim 3x·tan c m x x"3 2 1) 36 1 olsun. k x 3 5 2) p 3) −1 r 4) −r 2 5) –1 6) 3 5 7) 1 8) 15 9) 6 10) 6 YAKLAŞIM Trigonometrik özdeşlikler yardımıyla tanx = 1 1 ; cotx = ; cotx tanx 0 belirsizliği ortadan kaldırılabilir. 0 sin 2 x + cos 2 x = 1; sin2x = 2sinx cosx; cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2 x – 1 = 1 – 2sin2x BİRLİKTE ÇÖZELİM lim x" r 2 1 − sinx cos 2 x limitinin değeri kaçtır? SIRA SİZDE 1. 2. 3. 4. Aşağıdaki limitlerin değerini bulunuz. lim x "− r 2 lim x " 2r 1 + sinx cos 2 x 5. sin 2 x 1 − cosx 6. lim 1 + cosx sin 2 x lim 1 − cosx x·sinx x"r x"0 7. 8. 1) 1 2 2) 2 3) 1 2 4) 1 2 5) ∞ lim sinx 1 − cosx lim 1 − cosx sinx x " 0+ x " 0+ lim x " r/4 lim x"0 6) 0 cosx − sinx cos2x 1 − cos2x tan 2 2x 7) 2 2 8) 1 2 37 0 BELİRSİZLİĞİ 0 TEST – 6 1. 2. x "−3 9 A) 2 3 B) 2 C) 0 −3 D) 2 −9 E) 2 2x 2 − xh − h 2 limitinin değeri kaçtır? x 2 − 4xh + 3h 2 lim x"h −3 2 B) −1 2 C) 0 D) 1 2 A) 3. 4 x − 16 limitinin değeri kaçtır? x x " 2 8 − 64 −1 1 1 A) 0 B) C) D) 6 4 6 7. x 3 + 27 limitinin değeri kaçtır? x2 − 9 lim E) 3 2 1 E) 3 sin2x 2x − m limitinin değeri kaçtır? 3x cos5x 2 3 8. A) lim x"0 A) B) 1 4 C) 1 3 D) −2 5 3x lim 2 limitinin değeri kaçtır? x " 0 sin6x 1 2 C) 4 15 A) B) 2 5 9. lim lim c x"0 D) E) 0 9 2 E) 4 tan 2 3x limitinin değeri kaçtır? 5x 2 9 25 B) 3 5 C) 3 25 D) 9 5 E) 0 4. 5. 5 − x 2 + 16 limitinin değeri kaçtır? x−3 lim x"3 −3 B) 5 A) –∞ lim x"5 C) 0 3 D) 5 10. E) ∞ A) 12 11. sinrx limitinin değeri kaçtır? 3−x r r A) p B) C) 0 D) − 2 2 A) 32 lim B) 14 C) 0 D) –14 E) –32 x "−4 A) 0 38 3 2 lim x"3 2x + x + a limitinin değeri bir reel sayı ise x+4 a kaçtır? E) x2 − x + a + 3 = b ise a + b kaçtır? x−5 6. 2 limitinin değeri kaçtır? x 2 B) 6 C) 3 D) 3 lim 3x·sin x"3 12. B) 12 1) E 2) A C) 20 3) D D) 62 4) B E) 68 5) D 6) E lim x " 0− cos2x − 3 limitinin değeri kaçtır? sinx A) ∞ 7) A E) –p B) 2 8) B 9) D C) 0 10) B D) –2 11) A E) –∞ 12) A b) 3 3 Belirsizliği BİLGİ Z0 , n<m ] ] an a n ·x n + … + a 1 x + a 0 , n=m n, m ∈ N olmak üzere, lim =] m [ bm x " 3 b m ·x + … + b 1 x + b 0 ] ]" 3 , n > m ] \ Not: lim (a n ·x n + … + a 1 x + a 0) = lim a n ·x n dir. x ""3 x ""3 BİRLİKTE ÇÖZELİM lim x"3 5x 3 − 4x 2 + x − 1 2x 3 + 5x 2 − 9 limitinin değeri kaçtır? SIRA SİZDE 1. 2. 3. 4. 5. Aşağıdaki limitlerin değerini bulunuz. lim x"3 6. 3x 3 − 8 3 2x + x 2 + x + 1 lim 3x 2 − 7x + 19 8x − 4 8. lim x 3 − 5x + 4 4x + 8x 3 + 7x − 5 9. x"3 x"3 lim x "−3 4 3 − 5x 4x + 6 1) 2) −1 3 3) ∞ 4) 0 5) −5 4 lim 15x 5 + x 4 + 45 x6 x "−3 lim a log 2 16x 2 − 4x − log 2 4x 2 − 3 k x"3 lim ^ln ex + 5 − ln x − 4 h x"3 10. 3 2 3x 2 − 2x − 4 3 − 4x + 5x 2 x "−3 7. 3 − 5x + x 2 lim 2 x " − 3 4x − 3x + 12 lim 6) lim a log x 2 − 5x + 4 − log 3x − 5x k x "−3 3 5 7) 0 8) 1 9) 1 2 10) ∞ 39 YAKLAŞIM Pay ve paydada çarpanlara ayrılmış şekilde bulunan ifadelerdeki her çarpanın en yüksek dereceli terimi dışındaki terimler yok sayılarak gerekli işlemler yapılır. BİRLİKTE ÇÖZELİM lim x"3 (2x − 1) 3 · (4x − 2 − 3x 2) 2 (5x 3 − 8x 2 + 1) 2 · (12x + 9) limitinin değeri kaçtır? SIRA SİZDE 1. 2. 3. 4. Aşağıdaki limitlerin değerini bulunuz. (5x − 1) 2 · (2x + 1) 3 (x 2 − 3x − 5) 2 lim x"3 lim 5. x "−3 6. (2 − x) 3 · (5x 2 + 4) 2 (2x + 1) · (− x 3 + 3x + 4) 2 (4x − 3) 2 · (3x + 4) 4 lim 3 2 2 x " 3 (2x − 5x + 4x − 7) lim x"3 (4 − 3x) 3 · (x + 1) (3x − 2) 2 · (1 − 5x) 2 8. 1) ∞ 40 7. 2) − 25 3) 324 2 4) −3 25 5) 0 lim (2x − 3) 4 · (5 − x) 3 (x 2 − 3) 2 · (x 4 − x + 3) lim (15x 2 − 4x ) 3 (6 − x ) (x 3 − x 2 + 1) 2 lim (1 − 4x + 4x 2) (x 2 − 25) (2x − 1) 2 (9 − x 2) x"3 x "−3 x "−3 ^(x + 1) 2 − 3h (x + 4) (5 − (3 − x) 4) 2 x"3 3 lim 6) ∞ 7) –1 8) 0 SIRA SİZDE YAKLAŞIM 3 belirsizliklerinde de en yüksek 3 dereceli terim dışında kalanlar yok sayılabilir. Köklü ifade içeren x → ∞ ve x → –∞ ifadelerine dikkat edilmelidir. x2 = | x | ; 3 Aşağıdaki limitlerin değerini bulunuz. 1. lim 9x 2 − 5x + 4 4x − 7 lim 3 − 5x 8 − 12x + 25x 2 x"3 x3 = x x → ∞ için |x| = x ve x → –∞ için |x| = –x tir. 2. 3. x"3 3 lim x"3 8x 3 − 5x 2 + 4x − 7 + 2x − 3 16x 2 − 25x + 19 BİRLİKTE ÇÖZELİM 1. lim x"3 3x + 5 + 4x 2 − 8x + 15 9x 2 + 18x + 1 + x 2 − 2x − 7 4. 6. 16x 2 − x + 45 3 − 2x lim 9x + 100000 36x 2 − 40x + 18 x "−3 limitinin değeri kaçtır. 5. 2. lim lim x "−3 5x + 3 − 4x 2 − 8x + 15 25x 2 − 16x + 4 − 7x + 16 7. x "−3 4x + 5 − 16x 2 − 7x − 45 125x 3 − 1923x + 1453 lim x "−3 3 3 lim x "−3 64x 3 − 8x 2 + 9x − 5 + 12x − 5 x 2 − 6x + 9 − 15x + 15 limitinin değeri kaçtır? 8. 9. 10. 1) lim 7x − 15 x 25x 2 − x + 3 lim x 4x 2 − 5x + 3 8x + 9 lim x4 + x3 + x2 + x + 1 5x + 7 + x x 2 − x − 3 x "−3 x"3 x"3 3 4 2) –1 3) 1 4) 2 5) −3 2 6) 8 5 7) –1 8) 0 9) ∞ 10) 1 41 YAKLAŞIM Sonucunun 0 dan farklı bir reel sayı olduğu verilen olması gerekir. 3 belirsizliklerinde pay ve paydadaki ifadelerin derecelerinin eşit 3 BİRLİKTE ÇÖZELİM (m + 2) x 3 + 5x 2 − 8x + 4 =−2 nx 2 − 3x − 1 lim x"3 olduğuna göre, m · n kaçtır? SIRA SİZDE 1. 2. 3. lim x "−3 lim x"3 (m − 1) x + 3 = − 2 ise m kaçtır? 4 − 5x 6. 7. 4x 2 − 3x + 2 − ax 2 1 = ise a kaçtır? 2 (2x − 3) 2 (a − 4) x 3 − 6x 2 + 2x − 1 = − 1 ise a + b kaçtır? lim bx 2 − x + 16 x"3 8. lim x"3 lim x "−3 (a + 3) x 3 − 5x 2 + 7 = 0 ise a kaçtır? (4 − a) x 3 + 7x − 8 x3 = − 1 ise a kaçtır? (1 − x) (2 − x) (3 + ax) 3 − x 3a − 5 12 − a x"3 5+x limitinin değeri bir reel sayı ise a nın alabileceği lim kaç farklı doğal sayı vardır? 4. lim x"3 5x k − 4 =0 3x 3 − 5x + 4 ise k'nin alabileceği kaç farklı doğal sayı değeri 9. vardır? 5. lim x"3 (m − 2) x 2 − 5x + 3 = 3 ise m kaçtır? ( 5 − m) x 2 + 6 x − 7 1) 11 42 2) 2 3) 10 4) 3 10. 5) 5 6) –3 lim x "3 lim x"3 7) –1 3x + 4 (kx ) 4 + 3 –4x + 3 (mx ) 3 + 2 = 1 ise m – k kaçtır? a ax 2 − 2x + 1 + 2x = 2 ise kaçtır? b bx 2 + 3 + x 8) 5 9) 7 10) 4 YAKLAŞIM Üslü ifade içeren 3 belirsizliklerinde 3 i) x → +∞ ise pay ve paydadaki tabanı en büyük terimler alınır. ii) x → –∞ ise pay ve paydadaki tabanı en küçük terimler alınır. Not: x in negatif değerleri için 3x < 2x; pozitif değerleri için 3x > 2x tir. BİRLİKTE ÇÖZELİM lim x"3 rx + 2e x − 3·5 x 2rx − 3e x + 5 x + 1 limitinin değeri kaçtır? SIRA SİZDE 1. 2. Aşağıdaki limitlerin değerini bulunuz. lim x"3 lim x"3 6. 2x − 5x 2x + 5x 7. 3x − 1 − 2x + 1 3x + 1 + 2x − 1 8. 3. 4. 5. lim x"3 2·7 x + 5·3 x 4·rx + 2 3x lim 3 2x − 1 − 7 x + 7 2 3x + 1 + 5 x lim 3x + 2x + 2 2 x + 1 + 5·3 x x"3 x "−3 1) –1 2) 9. lim rx + 1 − e x + 2 2rx + 3e x lim 2 3x + 1 − 3 2x − 1 5x − 1 + 4x + 1 lim 3a ax + bx = 1 ve a < b ise kaçtır? x 5c c x "−3 x "−3 x "−3 lim x"3 e − x − 3r− x + 6 2 2 x c m + rx+1 + 3 3 10. f(x) = 5·3x+1 ise 1 9 3) 0 4) ∞ 5) 2 6) 2 −e 3 7) 0 8) 3 5 lim x "−3 9) 3 2 f (x + 2) kaçtır? f (1 − x) 10) 0 43 SIRA SİZDE YAKLAŞIM lim ^n ax + b − n cx + d h limitini hesaplarken kök Aşağıdaki limitleri hesaplayınız. x"3 içindeki b ve d sayılarını atalabiliriz. (ihmal edilebilir.) i) a = c ise limit değeri 0 dır. ii) a < c ise limit değeri –∞ olur. iii) a > c ise limit değeri ∞ olur. BİRLİKTE ÇÖZELİM 1. 2. 3. lim ^ x − x + 1 h x"3 lim ^ 3x + 4 − x − 3 h x"3 lim ^ 2x + 4 − 3x − 5 h x"3 Aşağıdaki örnekleri inceleyelim. 1. lim ^ 5x − 2 − 3x + 1 h = lim ^ 5x − 3x h = 3 x"3 4. x"3 lim ^ 5x − 5x + 1 h x"3 2. lim ^ 2x + 8 − 5x − 1 h = lim ^ 2x − 5x h = − 3 x"3 x"3 olur. 5. 3. lim ^ 3x + 4 − 3x − 5 h = lim ^ 3x − 3x h = 0 x"3 lim ^ 5x − 4x h x"3 x"3 Aslında bu tür problemleri çözerken ifadenin eşleniği ile çarpıp bölmemiz gerekir. 6. 7. 8. 9. 10. lim ^ x − 2x + 1 h x"3 lim ^3 x − 3 x − 1 h x"3 lim ^3 x + 2 − 3 x + 1 h x"3 lim ^ ax + 3 − 5x − 4 h = 0 ise a kaçtır? +" 3 lim ^ 2x − 1 − mx + 4 h = − 3 ise m'nin alabilece- x"3 ği en küçük tam sayı değeri kaçtır? 1) 0 2) ∞ 3) –∞ 4) 0 44 5) ∞ 6) –∞ 7) 0 8) 0 9) 5 10) 3 3 TEST – 7 3 BELİRSİZLİĞİ 1. lim x"3 5x + 4 limitinin değeri kaçtır? 7x − 8 1 A) − 2 5 B) 7 C) 0 1 D) 2 7. −5 E) 7 2. 3 − 5x + 4x 2 limitinin değeri kaçtır? lim 8x − 15 x"3 A) ∞ 3. lim x"3 B) 1 2 C) −5 8 D) 0 4x 2 − 8x + 19 limitinin değeri kaçtır? − 2x 3 + 5x − 10 8 B) − 5 A) ∞ C) 0 D) –2 limitinin değeri kaçtır? A) –1 lim x"3 5. lim x"3 limitinin değeri kaçtır? A) 3 4 lim x "−3 A) ∞ lim x"3 B) 0 C) –∞ D) –2 x "−3 A) 2 1) B 3 2 C) –1 E) 1 D) –2 E) − 1 6 2x − 1 − 3x + 1 3x + 2 − 2x + 1 limitinin değeri kaçtır? A) –1 10. E) 2 4x 2 − 3x + 3 8x 3 + 1 limitinin değeri kaç25x 2 − 16x + 4 4 B) 5 A) 1 lim B) 2 B) − 3 1 C) − 4 3 C) 5 2 D) 3 D) −3 2 E) 0 A) 2 16x + 10x − 15 limitinin değeri kaçtır? 8x 3 − 16x + 1 3 B) 1 2) A C) 0 3) C D) –1 4) E 5) B E) –2 6) E 7) A x"3 D) −r 3 E) rx + 1 − e x − 2 2·rx − 3·e x limitinin değeri kaçtır? 11. 1 E) 2 lim 12. 6. D) 3 (− 2x + 3) 3 · (x 2 + 1) 3 limitinin değeri kaçtır? (5 − x 2) 4 · (3 − 4x) tır? C) 0 3·2 x − 4·5 x 4·3 x + 2·5 x 4. B) –3 9. E) –∞ x "−3 3x + 2 − 9x 2 − 2x + 4 4x 2 − 2x − 3 − 4x − 5 8. E) –∞ lim 1 2 lim x"3 A) 7 lim x "−3 B) r 2 C) 1 3 3x 2 − 5x + 4 − 3 = ise a kaçtır? 5 (a − 2) x 2 − 1 B) 5 C) 3 D) –3 E) –5 D) –4 E) –8 (a + 1) x 2 − 5x + 4 1 = (b − 2) x − 1 2 olduğuna göre, a·b kaçtır? A) 8 8) D −r 2 B) 4 9) C 1 C) − 2 10) B 11) D 12) A 45 c) ∞ – ∞ Belirsizliği YAKLAŞIM İki rasyonel ifadenin farkı şeklinde verilen (∞ – ∞) belirsizliklerinde payda eşitleyip gerekli sadeleştirme işlemleri yapılarak belirsizlik ortadan kaldırılır. BİRLİKTE ÇÖZELİM lim c x"3 6 1 − m x2 − 9 x − 3 limitinin değeri kaçtır? SIRA SİZDE Aşağıdaki limitlerin değerini bulunuz. 1. 1 4 lim c − 2 m x"2 x−2 x −4 2. 3. 4. 5. 6. 2 1 + m x2 − 1 x + 1 7. 1 2a lim c − 2 2m x"a x−a x −a 8. lim c x "−1 lim c x "−3 9. −3 1 − m x 2 + 3x x + 3 10. x2 2x − 1 m lim c − x 2 +3 x"3 1) 46 1 4 2) −1 2 3) 1 2a 4) 1 3 5) −5 2 6) –2 lim c x − x"3 x 2 + 5x − 4 m x+3 lim 2 cx + 3 − x − 1 m x−1 lim 2 c 2x + 2x − 3 − 2x + 1 m x+2 x "−3 x "−3 lim c ax + 3 − x"3 lim c x"3 7) 2 2x 2 − bx + 1 m = − 3 ise b kaçtır? x+2 3x 2 − 2x + 1 − ax + b m = − 12 ise a·b kaçtır? x+3 8) –1 9) –10 10) –3 YAKLAŞIM İkinci dereceden polinom içeren köklü ifadelerde (∞ – ∞) belirsizliğini gidermek için eşlenikle çarpıp bölme işlemi yapıb lır. Ya da lim kuralı kullanılır. Ayrıca aşağıdaki özellikte kullanışlıdır. ax 2 + bx + c = lim a·x+ 2a x ""3 x ""3 Z , a>d ]3 ]b−e lim ^ ax 2 + bx + c − dx 2 + ex + f h = [ , a=d x"3 ]2 a ]− 3 , a < d \ BİRLİKTE ÇÖZELİM lim ^ 9x 2 − 3x + 1 − 3x h x"3 limitinin değeri kaçtır? SIRA SİZDE 1. Aşağıdaki limitlerin değerini hesaplayınız. 6. lim ^ 4x 2 − 3x + 1 − 2x h 4. 5. lim ^x + k − x 2 + 4x h = 4 ise k kaçtır? x"3 lim ^x − x 2 − 2x + 3 h x"3 8. 3. ^2x + 3 + 4x 2 + 5 h x"3 7. 2. lim x "−3 lim ^x + 2 − x 2 + 4x − 6 h lim x "−3 ^ x 2 − 4x + 5 + x + m h = − 3 ise m kaçtır? x"3 9. lim ^ 4x 2 − 5 − 2x + 1 h lim ^ 9x 2 − 3x + 1 − 16x 2 − 8x + 5 h x"3 x"3 lim x "−3 ^ x 2 + 5x − 4 + xh 1) –3/4 2) 1 10. 3) 0 4) 1 5) −5 2 6) 3 lim x "−3 7) 6 ^ 9x 2 + 2x + 3 − 9x 2 − 5x + 7 h 8) –5 9) –∞ 10) −7 6 47 TEST – 8 1. 1 6 lim c − 2 m limitinin değeri kaçtır? x 3 − x −9 x"3 A) 2. x 2 − 2x + 1 lim c − x + 4 m limitinin değeri kaçtır? x+1 x"3 A) –1 3. 1 6 B) 2 3 B) –3 C) 1 2 D) C) 0 −2 3 D) 3 E) ∞ – ∞ BELİRSİZLİĞİ −1 6 C) 0 D) 1 limitinin değeri kaçtır? A) –9 C) –7 D) –6 E) 8 lim ^ 4x 2 + 8x − 1 − 4x 2 − 18x + 3 h limitinin değeri kaçtır? 13 A) B) 1 C) –1 2 D) –3 E) − 13 2 lim ^3 − 2x − 4x 2 − 16x + 5 h 9. E) –∞ B) –8 x"3 E) 1 lim ^ x + 5 − x − 4 h limitinin değeri kaçtır? B) 9 x"3 8. x"3 A) ∞ lim ^ 4x 2 − 32x + 25 − 2x + 1 h 7. x "−3 limitinin değeri kaçtır? A) –1 B) –7 C) –4 D) 4 E) 7 4. 5. 6. lim x "−3 A) ∞ ^ 5 − 2x − 1 − 2x h limitinin değeri kaçtır? B) 4 C) 0 D) –6 10. E) –∞ lim ^3 x + 1 − 3 x − 5 h limitinin değeri kaçtır? A) ∞ B) 6 C) 0 D) –4 E) –∞ lim ^2x + 3 − x 2 − 6x + 10 h limitinin değeri kaçtır? 48 B) 1 1) A C) 0 2) E D) 2 3) C 5) C A) 7 6) A B) 1 C) 2 D) –1 E) –7 lim (cotx − cosecx) limitinin değeri kaçtır? x"0 A) ∞ 12. E) –1 4) C olduğuna göre, a kaçtır? x"3 A) ∞ 11. x"3 lim ^ x 2 − 6x + 3 + x + a h = − 4 x "−3 B) 2 C) 0 D) –1 E) –∞ lim (tanx − secx) limitinin değeri kaçtır? x" r 2 A) ∞ 7) C B) 1 8) A C) 0 9) A D) –1 10) E 11) C E) –∞ 12) C SIRA SİZDE d) 0 · ∞ Belirsizliği YAKLAŞIM Aşağıdaki limitlerin değerini bulunuz. 1. lim f (x) ·g (x) = 0·3 ise lim 1 (3x + 5) 7x lim 1 (4x − 7) 2x + 1 lim 1 (3x 2 − 5x + 4) x 2 − 3x + 1 lim 1 · (x 2 − 25) 3 − 2x x"3 x"3 i) f (x) ·g (x) = f (x) g (x) 0 3 ya da yapılarak ya da 1/g (x) 1/f (x) 0 3 elde edilir. 2. x"3 0 0 3 3 ii) 0·3 = = ve 0·3 = = dır. 1/0 3 1/3 0 BİRLİKTE ÇÖZELİM 1. lim x"3 1 (5x + 4) limitinin değeri kaçtır? 3x 3. 4. 5. 2. lim + 7x·cotx limitinin değeri kaçtır? x"0 6. 7. 8. 3. lim x"3 1 · (3x 2 − 2x + 1) limitinin değeri kaçtır? 5x + 4 9. 10. 1) x"3 x"3 lim x "−3 −2 · (x 2 − 4x + 7) x 3 − 5x + 1 lim 2x·cotx x " 0+ lim sin 3x ·cosec 5x x "0 lim sin5x·cot7x x"0 lim 1 ·tanx x lim 1 ·tan (3x − 12) 2x − 8 x"0 x"4 3 7 6) 2 2) 2 7) 3 5 3) 3 8) 5 7 4) –∞ 5) 0 9) 1 10) 3 2 49 YAKLAŞIM 0 · ∞ belirsizliğindeki fonksiyonlardan biri polinom, diğeri de trigonometrik fonksiyon ise değişken değiştirme yöntemi kullanılır. b Ya da kısaca, lim (ax) ·sin c m = a·b veya lim x x"3 x"3 a sin a k x = a dir. b b x BİRLİKTE ÇÖZELİM lim 5x·sin x"3 3 x limitinin değeri kaçtır? SIRA SİZDE 1. 2. 3. 4. 5. Aşağıdaki limitlerin değerini bulunuz. lim 2x·sin x"3 6. 3 x 7. 2 lim 7x·sin c m x x"3 lim ^2x + 3h·sin 5 x 8. lim (5x − 4) ·sin 2 x 9. x"3 x"3 lim 3x·tan x"3 1) 6 50 10. 4 x 2) 14 3) 10 4) 10 5) 12 6) 60 lim 6x·tan x"3 lim x"3 lim x"3 lim x"3 lim x"3 10 x 12x 4 cosec c m x 5x 3 cot c m x 6x cosec c 2x m 3 3x − 2 4x cosec 3 7) 48 8) 15 9) 4 10) 4 TEST – 9 1. lim x"3 A) 0 · ∞ BELİRSİZLİĞİ 3 · (2x + 4) limitinin değeri kaçtır? 5x 3 5 B) 6 5 C) 2 5 D) 4 5 7. E) 1 5 8. 2. 3. 4. lim x "−3 A) 8 −2 · (5 − 4x 2) limitinin değeri kaçtır? x2 − 2 B) 5 C) –4 D) –2 E) –8 C) 5 C) 3 D) 5 3 E) 3 5 A) 28 B) 7 C) 4 D) 4 7 E) 7 4 5. 6. lim 3x·sin x"3 A) 12 4 limitinin değeri kaçtır? x B) 4 lim 5xsin a x "−3 A) 5p 1) B B) C) 3 3 D) 4 11. 4 E) 3 12. −r k limitinin değeri kaçtır? x 5 r 2) A C) 3) D r 5 D) –5p 4) E 5) A E) −r 5 6) D 7) B lim (x − 2) ·tan c x"2 C) –3 −2 r B) lim a x − r x" 3 E) 1 3 −4 3r C) −r 2 D) − 3r 4 E) 3r 2 r 3x k ·tan c m limitinin değeri kaçtır? 3 2 −2 3 D) −3 2 E) −4 3 limitinin değeri kaçtır? −5 −4 −3 A) B) C) r r r D) −2 r E) −1 r A) 2 3 D) 3 3rx m 4 A) 10. x"0 B) –12 lim −7x·cosec4x limitinin değeri kaçtır? 1 A) − 3 limitinin değeri kaçtır? x"0 A) 15 − 2x limitinin değeri kaçtır? 6 x cot 9. lim +5x·cot3x limitinin değeri kaçtır? lim x"3 B) 1 3 lim (x + 1) ·tan x "−1 C) rx 2 lim cot3x·tan2x limitinin değeri kaçtır? x"0 A) 2 3 lim a r x" 2 A) –1 8) B B) 3 C) 2 D) 6 E) 3 2 r − x k tanx limitinin değeri kaçtır? 2 1 B) − 2 9) C C) 0 10) D D) 11) A 1 2 12) E E) 1 51 SIRA SİZDE 9. DİZİLERİN LİMİTİ BİLGİ (an) bir dizi olmak üzere, n → ∞ için an bir a sayısına yaklaşıyorsa "(an) dizisinin limiti a dır." denir ve lim a n = a ile gösterilir. Aşağıda genel terimi verilen dizilerin limitlerini bulunuz. a) (a n) = c 5n + 8 m 7n − 4 b) (b n) = c c) (a n) = f n2 − 4 p n −n+5 d) (b n) = c 5 − 2. 3 n a) (a n) = c 2 + c m m 5 b) (b n) = f c) (a n) = (− 5 − n) d) (b n) = (2·3 − 2n + 3) 3. a) (a n) = c 3 c) (a n) = c 2n·sin m n 4. a) (a n) = ^ n + 2 − n − 1 h n"3 Dizinin genel terimi olan (an) aynı zamanda bir fonksiyon olduğu için fonksiyonların (x → ∞ için) limit özellik- n 2 − 3n + 5 m 4n − 1 1. 3 3 m n 2n + 3n + 1 p 2 n − 1 + 5·3 n lerinden yararlanılır. Bir dizinin limiti n → ∞ için hesaplanır. BİRLİKTE ÇÖZELİM Aşağıda genel terimi verilen dizilerin limitlerini bulalım. 1. (a n) = c 3n − 4 m 5n + 2 2. (b n) = c n2 + 2 m 5n − 7 n 3. (c n) = c 3 − 8n m n 2 + 2n + 5 3 4. (d n) = c m 7 5. (k n) = c sin2n m 3n 2 6. (l n) = ^ n − n − 1 h sin3n m 5n b) (b n) = c cos2n m n2 2 d) (b n) = c (3n − 5) tan m n b) (b n) = ^ n + 3 − n + 5 h c) (a n) = ^ 4n 2 + 8n − 2n h d) (b n) = ^2n + 1 − 4n 2 − 4 h 5. a) (an) = (2n) b) (b n) = c 3 n + 1 m e n c) (a n) = ca k m r d) (b n) = ^^− 1 hnh e) (an) = (–2) f) (b n) = f 6. (a n) = c a) (an + bn) dizisinin limiti kaçtır? b) (6an – 2bn) dizisinin limiti kaçtır? c) (an · bn) dizisinin limiti kaçtır? d) f n−1 1 n 3 + 7·5 p n 5 3n − 5 4n + 5 m ve (b n) = c log 2 c mm ise n+7 2n + 4 2a n p dizisinin limiti kaçtır? 3b n 1) a) 5/7 b) ∞ c) 0 d) 5 2) a) 2 b) 3/5 c) 0 d) 0 3) a) 0 b) 0 c) 6 d) 6 4) a) 0 b) 0 c) 2 d) 1 5) a) ∞ b) 3 c) 0 d) Yok e) –2 f) 7 6) a) 7/2 b) 5 c) 3 d) 1/2 52 YAKLAŞIM SIRA SİZDE Dizilerde öğrendiğimiz formülleri hatırlayalım. n (n + 1) 2 n (n + 1) (2n + 1) 2 2 2 2 1 +2 +3 +…+n = 6 1+2+3+…+n= n (n + 1) 2 m 2 1 1 1 1 n + + +…+ = 1·2 2·3 3·4 n (n + 1) n + 1 13 + 23 + 33 + … +n3 = c 1 + r + r 2 + r 3 + …r n − 1 = 1 − rn (r ≠ 1) 1−r Aşağıda verilen limitlerin değerini bulunuz. 1. 2. 3. lim 1+2+3+…+n 3 − 5n 2 lim 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) 2 + 4 + 6 + … + (2n) lim c 1 1 1 1 + + +…+ m 2·3 3·4 4·5 n ( n + 1) n"3 n"3 n"3 BİRLİKTE ÇÖZELİM 1. lim n"3 12 + 22 + 32 + … + n2 13 + 23 + 33 + … + n3 4. limitinin değerini bulalım. 2. 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) lim 5n 2 − 4 n"3 limitinin değerini bulalım. lim n"3 5. 2 4 8 2 n lim c + + + … +c m m 3 9 27 3 n"3 6. J n N K (k + 2) O O lim K O n"3 Kk=1 K O 2 L n +3 P 7. 8. / / / lim 2 2 + 4 2 + 6 2 + … + (2n) 2 5n 3 + 4n 2 − 8 lim 1 + 3 + 32 + … + 3n − 1 1 + 5 + 52 + … + 5n − 1 n"3 n"3 x 3 2. lim n"3 1 1 1 1 + + +…+ n 2 22 23 2 3n + 1 1+ (5n − 1) limitinin eşitini bulalım. k=1 n 9. lim x"3 (4n + 3) / / (2k − 3) k=1 x (3k + 1) k=1 k=1 n 10. lim n"3 / / (k 2 + 1) k=1 n (2k 2 − 1) k=1 1) −1 2) 1 10 3) 1 2 4) 0 5) 2 6) 1 2 7) 4 2 8) 0 9) 15 3 10) 1 2 53 SIRA SİZDE BİLGİ Aşağıdaki limitlerin değerini bulunuz. 1. a) lim 3n n3 b) lim n! nn c) lim n5 7n d) lim (n!) n nn 2. a) lim (2 n − n!) b) lim (7 n − n 7) c) lim ^n! − n nh d) lim (10 n − n n) lim (n! − 5 n) = 3 dur. (n! > 5 n) 3. a) lim f 3n + n3 p n! + 2 n lim (n 7 − 3 n) = − 3 dur. (n 7 < 3 n) b) lim f n n + n 2n p 3·n 2 + (2n) 3n c) lim (n!) n (n) n! d) lim 5·n! + 2 n (5n) ! + 5 n n → ∞ ve a > 1 ise nn > n! > an > na dır. (n ∈ N+) Bu eşitsizlikteki büyüklük-küçüklük durumuna göre n → ∞ için limit hesabı yapılır. n"3 n"3 n"3 n"3 BİRLİKTE ÇÖZELİM Aşağıdaki işlemleri inceleyelim. 1. 2. 3. 4. 5. 6. lim x"3 lim n"3 lim n"3 nn n! n3 3n 2n nn = 3 dur. (n > n!) n = 0 dır. (n3 < 3n) n"3 n"3 n"3 n3 + 5n p= n! + 7 n 5 lim n"3 n c n 3 5 n n! c 1 + + 1m n 7 n! n"3 n"3 n"3 n"3 m n = 5 = 0 dır. (n! > 5n) n " 3 n! lim n"3 1) a) ∞ 54 n"3 = 0 dır. (2n < nn) n"3 lim f n"3 b) 0 c) 0 d) ∞ 3) a) 0 b) 0 c) 0 d) 0 2) a) –∞ b) ∞ c) –∞ d) –∞ TEST – 10 DİZİLERİN LİMİTİ 2n 2 − 3n + 5 p dizisinin limiti kaçtır? 5n 2 + n + 4 1. (a n) = f A) 2. 7 − 9n 2 m dizisinin limiti kaçtır? (a n) = c 8n + 16 A) 2 5 −9 8 B) –3 B) 7 8 C) C) 5 4 D) ∞ 7 16 7. 8. E) –∞ 9. 3. (2n − 3) 2 (5n) (a n) = f 5 p dizisinin limiti kaçtır? n + 3n + 1 A) 20 B) 10 C) 0 D) ∞ 10. n"3 5 m limitinin değeri kaçtır? n A) 3 B) 0 lim c 3 − C) –2 sin2n cosn − m limitinin değeri kaçtır? 5n 4n 3 20 lim f n"3 A) –4 lim c x"3 −1 D) 4 B) 2 5 C) 0 E) Limit Yoktur. 3·2 3n − 2·5 n p limitinin değeri kaçtır? 2 2n + 1 + 2 3n − 1 B) –6 C) 6 D) 8 E) 16 3n 2 − 5n + 4 m limitinin değeri kaçtır? 1+2+3+…+n A) 3 B) 3 2 C) 6 D) 1 3 E) 1 6 E) –∞ 4. x"3 A) E) –∞ D) ∞ lim c D) –3 J 3 − 4n 2 N O limitinin değeri kaçtır? lim K n O n"3K (3k + 1) O K Kk = 2 O L P / A) −8 3 B) −4 3 C) −1 3 D) 0 E) 4 3 E) –5 11. 5. lim ^ 5n + 9 − 3n + 5 h limitinin değeri kaçtır? n"3 A) ∞ B) 2 C) 0 D) –2 lim c n"3 A) ∞ 5 n − n! m limitinin değeri kaçtır? n4 + nn B) 5 C) 0 D) –1 E) –∞ E) –∞ 12. (a n) = ^ 4n 2 + 3n − 5 − 2n h ve 6. lim ^ 9n 2 + 36n − 1 − 3n + 4 h n"3 limitinin değeri kaçtır? A) –10 1) A B) –6 2) E C) 6 3) C D) 10 4) A 5) A E) ∞ 6) D 7) C (b n) = c log 9 c 6n + 2 mm ise 2n − 1 lim (2a n − 3b n) limitinin değeri kaçtır? n"3 A) –9 8) C B) 9) C − 15 C) 0 2 10) A D) 11) C 3 5 12) C E) 7 9 55 10. SONSUZ GEOMETRİK DİZİ TOPLAMI YAKLAŞIM BİRLİKTE ÇÖZELİM (an) = (a1 · rn–1) geometrik dizisinde a1 birinci terim ve r ortak çarpandır. 1. 1 n−1 / c 35 m k+1 sonsuz toplamını bulalım. k=1 3 / a ·r 3 ifadesine sonsuz geometrik dizinin topla- k=1 mı denir. a) |r| > 1 ise bu toplam sonsuza yaklaşacağı için hesaplanamaz. b) |r| < 1 ise toplamın değeri bir reel sayıya yaklaşır ve bulunabilir. 3 / a ·r 1 k−1 = a 1 ·r 0 + a 1 ·r 1 + a 1 ·r 2 + … k=1 = a1 + a1 · r + … = a1 dir. 1−r 2) 3 / 4·c 56 m k−1 sonsuz toplamını bulalım. k=2 Toplam sembolü ile verilen bir sonsuz geometrik dizi toplamının bulunabilmesi için sadece baştan ilk iki terimini açmak yeterlidir. İlk elde edilen sayı a1 ve ikinci sayının birinci sayıya oranı r dir. a1 ilk terim = 1 − r 1 − (ortak çarpan) 3) 3 %3 k=1 56 4 k 5 c m sonsuz çarpımını bulalım. SIRA SİZDE Aşağıda verilen toplamların değerini bulunuz. 1. / c 25 m 3 / 3k + 1 4k / 2k − 1 3k + 1 / 3 5a + 1 / 1 2 2k 3 11. k k=1 k=1 3 2. 3 12. / c 23 m k+1 k=1 k =−2 3 3. 3 / 13. 4 k−1 c m 5 k=3 a=2 3 4. 14. k+1 / 3 −3 f p 5 k=2 k=1 /f 3 / 3 5. k =−1 / 3 6. k=0 / 15. k+1 6 (− 1) k · f p 7 n=1 0 −k 16. 5 f p 3 8. 17. 3− k 9. 18. / 3 k+1 5· c m 5 19. k=1 / 3 10. n=2 1) ek 2 3 k f p 2 k=1 % 3 2 f kp 3 5 k=1 % 3 (− 2) n 3n 20. 8 (5 − k) k=2 2 9 2) 3 2 11) 9 12) % 3 k+1 2 3· f p 7 3 / k =−3 / k=2 3− n 2 k=2 3 / n =−3 3 7. − 2n 3 p 2 1 3 3) 16 5 13) 3 100 4) − 27 200 14) 1 3 5) −7 13 15) 4 5 5 2 7) 16) ∞ 17) 6) 1 6 8) 3 e e−1 24 245 18) 4 9) 9 2 19) 3 10) 4 15 20) 23/20 57 YAKLAŞIM / SIRA SİZDE sembolünün içinde toplam ya da fark durumun- da terimler bulunduğunda, bunları ayırarak ayrı ayrı Aşağıdaki sonsuz toplamları hesaplayınız. 1. / 3 + 2k 5k / 2k − 3k 4k / 3·2 k − 2·3 k + 1 5k − 1 3 k=1 sonsuz toplamlar bulunur. 3 BİRLİKTE ÇÖZELİM 2. k=2 3 / 3 1. k =−1 3. 3 + 2k − 1 5k + 1 k=3 toplamını bulalım. /f 3 4. k=1 / 3n − 5 4n + 1 / 2 3k + 3 2k 6 2k 3 5. n=1 3 6. 2 k − 2 3·2 k + k p 3k + 1 4 k=1 J N K 1 k+1 O 15 1−k ise x kaçtır? (x > 1) +x Kf − p O= 3 K O 4 k=0L P 7. / 8. /f 3 / 3 2. 1 < x < 3 ise k=1 1 + xk 3k 3 n=1 2 + an p = 2 ise a kaçtır? (a < 5) 5n sonsuz toplamını x türünden bulalım. 9. 1 < a < b olmak üzere /d 3 n=1 n a 2a + b oranı kaçtır? n = 2 ise b a − 3b 10. 1 < a < b olmak üzere, / 3 k=2 58 f k−1 3a p 4b 1) 17 12 2) 6) 13 21 7) 2 toplamını a ve b cinsinden bulunuz. −7 4 3) − 73 5 8) 3 4) 19 6 9) –1 5) 1 3 10) 3a 4b − 3a YAKLAŞIM SIRA SİZDE Sonsuz geometrik dizinin açık halinin verildiği durumlarda ilk iki terime bakarak a1 ve r belirlenir. f r = BİRLİKTE ÇÖZELİM 3 9 27 + + +… 5 25 125 1. 1+ sonsuz toplamının değeri kaçtır? a2 dir. p a1 Aşağıdaki sonsuz toplamları bulunuz. 1. 1+ 2. 1 + 5–1 + 5–2 + 5–3 +… 3. 1− 4. − 2 4 8 16 + − + −… 3 9 27 81 3 9 27 + + +… 4 16 64 1 1 1 + − + … 2 4 8 2. 2 2 2 + + +… 32 33 34 sonsuz toplamının değeri kaçtır? 3. 1 1 1 1 1 1 − + − + − +… 2 3 4 9 8 27 sonsuz toplamının değeri kaçtır? 5. 16 + 4 + 1 + … 6. 2 2 2 4 2 6 c m + c m + c m + … 3 3 3 7. c 8. 5 2 2 2 5 2 8 +c m +c m +c m + … 2 5 5 5 9. |m| < 1 ise m–2 + m–1 + 1 + m + m2 +… −1 3 −1 6 −1 9 m +c m +c m +… 2 2 2 10. |k| < 1 ise k2 – k3 + k4 – k5 +… 1) 4 2) 5 4 3) 2 3 4) 4 5 7) −1 9 8) 625 234 9) 6) −2 5 5) 8 1 2 m −m 3 10) 2 k 1+k 59 YAKLAŞIM SIRA SİZDE Çeşitli geometrik şekiller kullanılarak yapılan ek çizimlerle sonsuz geometrik diziler oluşturulabilir. Genelde alanlar toplamı ya da çevreleri toplamı sorulan bu tür problemlerde ilk iki şekil kullanılarak yapılan a1 hesaplamayla a1 ve r elde edilir ve bağıntısı ile 1−r sonsuz toplam bulunur. 1. Bir kenarı 10 cm olan karenin kenarlarının orta noktaları birleştirilerek yeni bir kare elde ediliyor. Bu işlem sonsuza kadar devam ettirildiğinde elde edilen karelerin a) Alanları toplamı kaç cm2 dir? b) Çevreleri toplam kaç cm dir? 2. BİRLİKTE ÇÖZELİM 16 O1 O2 12 O3 9 … Bir kenarı 4 cm olan eşkenar üçgenin kenarlarının orta noktaları birleştirilerek yeni bir eşkenar üçgen elde ediliyor. Bu işlem sonsuza kadar devam etti- Şekildeki gibi yarıçapları sırayla 16 cm, 12 cm, 9 cm, … olan daireler çiziliyor. Bu çizim sonsuza kadar devam ettirildiğinde elde edilen rildiğinde elde edilen eşkenar üçgenlerin a) Alanları toplamı kaç cm2 olur? b) Çevreleri toplamı kaç cm olur? a) Dairelerin alanları toplamı kaç cm2 dir? b) Dairelerin çevreleri toplamı kaç cm dir? 3. D L F C Bir kenarı 40 cm olan ABCD karesinin iki kenarının orta noktaları alınarak M E DEKF karesi elde ediliyor K ve aynı işlem bu kareye de uygulanıyor. A 40 B Bu işlem sonsuza kadar devam ettirildiğinde elde edilen karelerin çevreleri toplamı kaç cm olur? 4. m (W A) = 60° A 60° ABC dik üçgeninde E |AB| = 12 cm dir. F 12 Buna göre, |BE| + |DF|+… yükB 1) a) 200 60 olan D b) 40 ^2 + K 2 h 2) a) C sekliklerinin toplamı kaç cm olur? 3 16 r b) 128p 3) 320 4) 24 7 3 SIRA SİZDE BİRLİKTE ÇÖZELİM 1. 30 cm yükseklikten bırakılan bir top yere değdik- ten sonra dikey olarak her defasında düştüğü 3 yüksekliğin i kadar yükseliyor. 5 Buna göre, topun duruncaya kadar aldığı top- 1. 150 m yükseklikten bırakılan bir top yere değdikten sonra dikey olarak her seferinde düştüğü yüksekliğin 4 i kadar yükseliyor. 5 Buna göre, topun duruncaya kadar aldığı toplam yol kaç m dir? lam yol kaç metredir? 2. Dikildiğinde boyu 12 m olan bir bitki ilk yıl dikildiğin3 deki boyunun ü kadar uzuyor. Sonraki her yıl bir 4 3 önceki yılda uzadığı miktarın ü kadar uzamaya 4 devam ediyor. Bu bitkinin boyu en çok kaç m olur? 3. Bir sporcu ilk gün 20 km yol koşuyor. Bu sporcu her 3 gün bir önceki koştuğu yolun i kadar tekrar koşu5 yor. Bu sporcunun koşusunu sonsuza kadar sürdürdüğünü varsayarsak en fazla kaç km yol kateder? 2. Dikildiğinde boyu 14 m olan bir bitki ilk yıl 2 m uzuyor. Bu bitki her yıl, bir önceki yılda uzadığı 2 miktarın ü kadar uzuyor. 3 Bu bitkinin boyu en fazla kaç m olur? 4. Yatayla 30°lik bir eğim açısıyla hareket eden bir oyuncağın her 10 metrede bir öncekinin %50 si kadar daha fazla eğimle hareket edecek şekilde tasarlanması isteniyor. Buna göre, bu oyuncak yatayla en çok kaç dere- 5. Bir fare 10 m uzaklıkta bulunan peynire ulaşmak isti- Bir saatte peynirle arasındaki mesafenin yarısını celik açıyla hareket edebilir? yor. katedan fare kaç saat sonra peynire ulaşır? 1) 1350 2) 48 3) 50 4) 60° 5) Ulaşamaz. 61 YAKLAŞIM SIRA SİZDE Geometrik biçimde artmayan sonsuz terimli diziler için / % ve konularında öğrendiğimiz özellikler kullanı- lır. Aşağıdaki sonsuz toplamları hesaplayınız. 1. / 16 4k 2 − 1 /c 5 5 − m k+3 k+4 3 k=1 Not: 1 + 2r + 3r2 + 4r3 +… = 1 (1 − r) 2 dir. BİRLİKTE ÇÖZELİM / 3 1. k=4 5 sonsuz toplamını bulalım. k 2 + 5k + 6 3 2. k=1 /c 3 3. 1 − k+4 k=5 / 3 3k − 1 + k+1 p f 2 k +k 4 / 1 16n 2 + 8n − 3 3 / 3 2. k=1 2 k−1 sonsuz toplamını bulalım. k· c m 5 4. k=1 3 5. n=1 4 2 2 2 3 + 3· c m + 4 c m + … 3 3 3 6. 1+ 7. / 3 k=1 1) 8 2) 62 1 m k+3 3 k−1 k· c m 4 5 4 3) 2 − 4 4) 13 4 5) 1 12 6) 9 7) 16 TEST – 11 SONSUZ DİZİLERİN TOPLAMI 1. 1+ 2 4 8 + + + … sonsuz toplamı kaçtır? 3 9 27 3 B) 2 2 C) 3 1 E) 3 A) 3 2. 2 2 2 2 + + + + … sonsuz toplamı kaçtır? 5 52 53 54 2 A) 3 3. 1 B) 4 D) 1 1 C) 5 2 D) 5 k=1 A) 10. / k=2 0,01 + 0,001 + 0,0001+… sonsuz toplamı kaçtır? 1 1 1 1 1 A) B) C) D) E) 3 9 90 99 900 0,2 + 0,3 + 0,03 + 0,003 +… sonsuz toplamı kaçtır? 3 3 8 A) B) C) 7 5 15 D) 16 31 E) A) 11. / 3 24 25 A) 12. / 3 A) 3 3 −1 D) 6. B) 6 3 −1 9 3 −1 E) C) A) 13. % 3 3 +1 E) −5 16 toplamı kaçtır? 8 25 C) 16 125 D) 32 625 E) 64 125 B) 9 9 C) 125 250 D) 81 125 E) 243 625 D) 1 2 E) 3 5 2 − 3k + 1 toplamı kaçtır? 4k 64 (3 −k ) çarpımı kaçtır? k=2 1 1 − + … sonsuz toplamı kaçtır? 4 16 4 5 16 9 A) B) C) D) 4 E) 5 4 5 4 A) 1 14. / B) 2 C) 4 D) 8 E) 16 4−1+ 3 k=1 3 8. |a| < 1 olmak üzere, 1 – a + a2 – a3 + a4 – … sonsuz toplamı hangisine eşittir? A) 1) A A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 0 15. Bir kenarının uzunluğu 16 cm olan karenin ağırlık merkezinden karenin ardışık iki kenarına dikler çizilerek yeni bir kare elde ediliyor ve aynı işlem yeni kare içinde tekrarlanıyor. 3 1 1 2 2 B) C) D) E) a+5 1−a 1+a a−5 5−a 2) E ak − 4 = 3 ise a kaçtır? (1 < a < 5) 5k 5 3 3 3 c m + c m + c m + … sonsuz toplamı kaçtır? 5 5 5 3 25 15 15 25 A) B) C) D) E) 16 4 4 16 16 7. 3 D) − 8 3k − 1 toplamı kaçtır? 5k + 1 3 9 3 +1 B) 1 C) − 4 − 25 − 16 −7 B) C) 3 5 2 27 + 9 + 3 + … sonsuz toplamı kaçtır? 3 8 k+1 2 3· f p 5 3 25 k=1 5. B) 4 5 k=3 4. k 3 (− 1) k f p toplamı kaçtır? 5 5 16 3 1 E) 2 / 3 9. 3) C 4) C 5) B 6) C 7) D 8) C 9) D Bu işlem sonsuza kadar devam ettirilirse elde edilen karelerin çevreleri toplamı kaç cm olur? A) 64 10) B 11) C B) 98 12) A C) 128 13) B 14) D D) 256 15) C E) 512 63 11. SÜREKLİLİK BİLGİ Bir fonksiyonun x = a noktasında sürekli olması için i) f nin x = a da tanımlı olması gerekir. (f(a) değeri bulunmalıdır.) ii) f nin x = a da limiti olmalıdır. f (x) = lim −f (x) k a xlim " a+ x"a y b y Eğer bu koşullardan herhangi biri sağlanmazsa f fonksiyonu x = a noktasında "süreksizdir" denir. A 1 R, a d A olmak üzere f: A → R lim f (x) = f (a) ise ''f fonksiyonu x = a noktasında x"a Yani, x = a da limitsiz olduğundan süreksizdir. b x a y=f(x) x = a da limitsiz olduğundan süreksizdir. c a O f(a) değeri bir reel sayı olmalıdır. malar yoksa) fonksiyon süreklidir. lim f (x) ≠ lim − f (x) dir. x " a+ c b süreklidir.'' şeklinde de ifade edebiliriz. Buradaki çizebiliyorsak (yani grafikte atlamalar ya da kop- y=f(x) y x"a Not:Fonksiyonun grafiğini kalemimizi hiç kaldırmadan x a y O x = a da tanımlı ve limitli olduğu halde limiti ile görüntüsü farklı olduğu için süreksizdir. c Not: Yukarıdaki koşulları y=f(x) b iii) f nin x = a daki değeri ile bu noktadaki limiti eşit olmalıdır. f (x) = lim −f (x) = f (a) k a xlim " a+ x"a (x = a da limiti vardır.) x a O O x = a da tanımlı olmadığından süreksizdir. y=f(x) x d y=f(x) y Aşağıdaki grafiklerde verilen fonksiyonların x = a x = a da limitsiz olduğundan süreksizdir. O da sürekli olup olmadıkları ve nedenleri yanların- x a da belirtilmiştir. İnceleyiniz. y x = a daki görüntüsü ile limiti aynı olduğundan süreklidir. y=f(x) b O a x y b O 64 x = a da limitsiz olduğundan süreksizdir. y=f(x) a x SIRA SİZDE BİRLİKTE ÇÖZELİM y 3 2 –6 –3 –1 O y 1. y=f(x) 1 2 3 5 –2 –1 x Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun 1. –3, –1, 3 ve 5 noktalarındaki sürekliliğini incele- 2. (–6, 7) aralığında kaç tam sayı değeri için sürekli 3. y = f(x) in sürekli olduğu en geniş aralığı bulalım. 1 x 3 –1 Grafiği verilen f(x) fonksiyonu –3 2 1 x = –3, x = –2, x = 0, x = 1, x = 3 ve x = 5 noktala- rından kaç tanesinde süreklidir? y 2. –2 olduğunu bulalım. y=f(x) 2 1 yim. –1 O 1 2 –1 x 3 Grafiği verilen f(x) fonksiyonu (–10, 10) aralığında kaç tam sayı değeri için süreksizdir? 3. Grafiği verilen f(x) y fonksiyonu (–5, 5) y=f(x) 2 1 aralığında x tam sayı değeri 3 için süreklidir? y 4. y=f(x) e Grafiği verilen f(x) fonksiyonu- b d f O c nun limiti oldu- k l x ğu halde sürek- a siz olduğu kaç g 5. kaç nokta vardır? y y=f(x) –3 O 1 x 5 f(x) fonksiyonunun grafiği veriliyor. 3x + 5 olduğuna göre, g(x) in süreksiz f (x) olduğu x değerleri toplamı kaçtır? g (x) = 1) 2 2) 3 3) 8 4) 2 5) 3 65 YAKLAŞIM SIRA SİZDE Parçalı tanımlı fonksiyonlarda süreklilik incelenirken kritik noktalara ve varsa fonksiyonun tanımsız olduğu 1. noktalara bakılır. Z x≥5 ] 2x − 10 , ] x 2 − 25 , 3 ≤ x < 5 f (x) = [ ] 3 − 5x , − 1 < x < 3 ] x2 + 7 , x < − 1 \ fonksiyonu kaç noktada süreksizdir? BİRLİKTE ÇÖZELİM Z 35 ] ] ] 3x + 5 ] f=[ 2 ] x −5 ] ] 2 − 5x ] x 2 − 16 \ 1. , 10 < x , 5 ≤ x < 10 , –2 ≤ x < 5 , 2. x 2 − 2x + 3 , x ≥ 1 , 0 ≤ x <1 f (x) = * 5x − 3 , x<0 7 − 5x fonksiyonu hangi noktalarda süreksizdir? 3. bx + 5 , x > 2 f (x) = * a + 1 , x = 2 3x − 4 , x < 2 x<−2 fonksiyonun hangi nokta(lar) da süreksiz olduğunu bulalım. 2. f (x) = ' fonksiyonu tüm reel sayılarda sürekli ise k fonksiyonunun x = 2 de sürekli olması için a + b kaç olmalıdır? 2x + m , x < 3 5 , x=3 x+n , x > 3 4. f (x) = * fonksiyonu ∀ x ∈ R için sürekli ise m · n kaçtır? 5. 2cosx + k , x ≥ r f (x) = * 1 − 2sin x , x < r 2 fonksiyonu x = p de sürekli ise k kaçtır? 6. Z 3x + 1 , x ≥1 ] 2 ]x −4 ] f (x) = [ 1 − 2x , − 1 ≤ x < 1 ] ] − 24x , x < − 1 ] 2 \x −9 fonksiyonunun 5x − k , x ≥ 1 k − 3x , x < 1 kaçtır? süreksiz olduğu noktaların apsisleri toplamı kaçtır? 1) 2 66 2) x = 0 3) −1 2 4) –2 5) 1 6) –1 Süreklilik İle İlgili Özellikler BİRLİKTE ÇÖZELİM BİLGİ I) f ve g fonksiyonları x = a noktasında sürekli ise 1. f + g ve f – g fonksiyonları da x = a da süreklidir. 2. k ∈ R olmak üzere, k · f fonksiyonu x = a da süreklidir. 3. f · g fonksiyonu x = a da süreklidir. 4. n ∈ N+ olmak üzere fn fonksiyonu x = a da sürek- Aşağıdaki fonksiyonların sürekli oldukları aralıkları bulalım. 1. f(x) = x3 – 5x2 + 4 3. f (x) = 3 5. f (x) = 5 − x x+5 x−1 2. f (x) = 3x − 5 x2 − 9 4. f(x) = log2(x – 4) lidir. 5. g(a) ≠ 0 olmak üzere lidir. f fonksiyonu x = a da sürekg 6. |f| fonksiyonu x = a da süreklidir. 7. a) n tek ise b) n çift ve f ≥ 0 ise n f fonksiyonu x = a da sürek- n 6. f(x) = tanx f fonksiyonu, lidir. 8. f fonksiyonu x = a da sürekli ve g fonksiyonu da f(a) noktasında sürekli ise gof bileşke fonksiyonu x = a da süreklidir. II) f: A → R fonksiyonu A kümesinin her noktasında sürekli ise f fonksiyonu "A kümesinde süreklidir" denir. Not: 1. Polinom fonksiyonlar tüm reel sayılarda süreklidir. 2. Rasyonel fonsiyonlar, trigonometrik fonksiyonlar, logaritmik ve üslü fonksiyonlar tanımlı oldukları aralıklarda süreklidir. 67 SIRA SİZDE I) Aşağıdaki fonksiyonların sürekli olduğu kümeyi bulunuz. 2. f (x) = x+5 x2 − 1 4x − 8 x2 + 4 4. f (x) = x2 − 1 x − 5x + 6 1. f(x) = 3 – 5x 3. f (x) = II) 1. 2 6. f (x) = 3 25 − x 2 x−4 9. f (x) = 11. f (x) = 4 −| x | 13. f(x) = cosx 15. f(x) = log2x 17. f(x) = log(x–3)(16 – x) 19. f(x) = 1) R 2x+5 12 fonksiyonu tüm reel sayılar için x 2 + 5x + k nedir? (İpucu: paydanın sıfır olmaması gerekir. D = b2 – 4ac yi düşününüz.) x 2 − 3x − 4 10. f (x) = | x | − 5 3. f (x) = x−3 fonksiyonu yalnız bir noktada x 2 − 2x + a − 3 süreksiz olduğuna göre, a kaçtır? (İpucu: Paydanın tek kökü olmalı) 4. f (x) = 12. f(x) = sinx 16. f(x) = ln(x + 3) 18. f (x) = log 2 c 4) R– {3,2} 5) R 8) R – (–1, 4) 9) [–5, 5] – {4} x+5 m 4−x 1 x 4 − x2 fonksiyonu iki noktada (a − 3) x 2 − 2x + 3 süreksiz olduğuna göre, a kaç olabilir? 14. f(x) = cotx 20. f (x) = e 2) R – {–1,1} 3) R 7) [6, ∞) 8. f (x) = f (x) = sürekli olduğuna göre, k'nin bulunduğu aralık −5 x − 16 2 7. f (x) = x − 6 −4 fonksiyonu x = –1 noktax 2 + (2k + 3) x − 4 sında süreksiz ise k kaçtır? 2. 5. f (x) = 3 5 − x f (x) = 5. f (x) = x 2 − mx + 4 fonksiyonu tüm reel sayılarda sürekli ise m'nin aralığı nedir? 1 (m + 2) x 2 − 4x + m − 1 6. f (x) = fonksiyonu ∀ x ∈ R için sürekli ise m'nin aralığı nedir? 6) R– {–4, 4} 10) (–∞, –5] ∪ [5, ∞) 2) a 25 , 3 k 3) 4 4 11) [–4, 4] 12) R 13) R 14) R– {kp, k∈Z} 15) (0, ∞) 16) (–3, ∞) 1) –3 17) (3, 16) – {4} 5) R–(–4, 4) 6) (–∞, –3) ∪ (2, ∞) 68 18) (–5, 4) 19) R 20) R – {0} 4) a − 3 , 10 k 3 TEST – 12 SÜREKLİLİK 1. y 3 2 1 –6 –2 O –1 –2 1 3 4 x f (x) = fonksiyonu bir noktada süreksiz ise a kaçtır? A) 6. Aşağıdaki fonksiyonlardan kaç tanesi tüm reel −7 4 B) − 13 C) 0 4 D) 7 4 E) 13 4 Grafiği verilen f(x) fonksiyonu [–6, 10] aralığında kaç noktada süreksizdir? 3x + 2 x 2 − 5x − a + 3 5. A) 6 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 2. Z 4 , x≥2 ]] 2 f (x) = [ x − 16 ] −2 ,x < 2 \ x+4 fonksiyonu kaç noktada sürekli değildir? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 sayılarda süreklidir? I. f (x) = 3 2 − x II. f (x) = x + 3 III. f(x) = log2x2 IV. f (x) = V. f(x) = |x – 3| VI. f(x) = 2sinx + 3 A) 6 7. f (x) = e x fonksiyonunun süreksiz olduğu nokta- B) 5 C) 4 x+3 x2 + 1 D) 3 E) 2 E) 1 2 nın apsisi kaçtır? 3. Z ax − 3 , x >− 1 ] ] f (x) = [ − 10 , x =−1 ] 2 ]x − x + b , x < − 1 \ fonksiyonu tüm reel sayılarda sürekli ise a – b kaçtır? A) –12 B) –5 C) 7 D) 12 B) 1 C) 0 D) –1 E) −1 2 A) 2 8. f (x) = | x − 2 | − 3 fonksiyonunun süreksiz olduğu aralıklardan biri hangisidir? E) 19 A) (–1, 5) B) [–1, 5] D) (–∞, –1] C) [5, ∞] E) R 16 − x 2 x + 4x − 5 4. f (x) = fonksiyonunun sürekli olduğu aralık hangisidir? 2 A) [–4, 4] B) (–4, 4) D) [–4, 4] – {1} 1) C 2) D 4) D f (x) = cos2x − 1 fonksiyonunun süreksiz olduğu 2sinx + 1 noktalardan biri hangisidir? C) [–4, 4) – {1} E) (–4, 4) – {1) 3) E 9. 5) B A) 6) C 2r 3 B) 7r 6 7) C C) p 8) A D) r 3 9) B E) r 6 69 KARMA TEST – 1 1. 1 − x " c − m gösterimi için aşağıdakilerden hangisi 2 söylenebilir? 1 1 1 A) x > – B) x < − C) x ≤ − 2 2 2 1 D) x ≥ − E) x < 0 2 y 2. A) 5 x 1 nun [–10, 5] aralığında kaç noktada limiti C) 3 D) 2 y lim c k"3 A) 1 1 − m limitinin değeri kaçtır? k 1+k k −1 2 B) –2 C) 0 D) 1 E) ∞ E) 1 y 2 1 –1 7. yoktur? B) 4 3. y = f(x) fonksiyonu- y=f(x) –3 2 3 1 + 3x limitinin değeri kaçtır? 2 4m x " 1 1 + 4x + 3x 1 1 1 1 1 A) B) C) D) E) 2 4 6 8 16 lim c Grafiği verilen 2 1 –2 –1 O 6. y=f(x) x O 1 –1 –1 2 1 8. y=g(x) x O 1 –1 lim x"0 A) (3 + x) − 1 − 3 − 1 limitinin değeri kaçtır? x 1 9 B) 1 3 C) 0 D) −1 −1 E) 3 9 Grafiği verilen y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonları için 4. 5. lim (2f − 3g 3) (x) limitinin değeri kaçtır? x " 1+ A) –7 lim x"3 A) ∞ B) –5 C) –1 D) 1 2x + 3x − 5 limitinin değeri kaçtır? 3x + 1 B) 2 3 C) 2 3 D) 1 x"3 olduğuna göre, lim x"3 A) 70 3 4 9. 2 lim f (x) = − 3, lim g (x) = 0 ve x"3 E) 7 E) 0 C) −8 3 x"0 (1 + x) 4 − 1 limitinin değeri kaçtır? x A) 8 B) 4 C) 2 D) 1 E) –1 lim h (x) = 8 x"3 2f (x) değeri kaçtır? h (x) − g (x) B) 11 lim D) –11 10. E) −3 4 lim x " − 4− A) 1 |x + 4 | limitinin değeri kaçtır? x+4 B) 1 2 C) 0 D) −1 2 E) –1 11. lim x "− 2 A) + 2 3 limitinin değeri kaçtır? 5 B) 3 5 C) 9 25 D) −3 5 E) − 2 lim f (1 − x) limitinin değeri kaçtır? A) 1 B) 2 fonksiyonun süreksiz olduğu kaç nokta vardır? A) 4 x "−2 17. 12. f(x) = 3x – 5 ise x2 − x , x ≠1 16. f (x) = * x 2 − 1 1 , x =1 C) 4 D) –2 C) 2 D) 1 E) Yoktur. lim ^ x 2 + 1 − x h limitinin değeri kaçtır? x"3 A) ∞ B) 1 C) 0 D) –1 E) –∞ E) –8 18. 13. B) 3 1 lim − e x limitinin değeri kaçtır? x"0 A) ∞ B) e C) 0 D) –e E) –∞ lim (3 − 5f (x) − 2x) = 10 ise x "−1 lim (2xf (x) − x 2 + 4) limitinin değeri kaçtır? x "−1 A) 10 B) 5 C) 0 D) –5 E) –10 19. lim sinx limitinin değeri kaçtır? x"3 A) 14. lim a log 9 (1 − x) − 3 x + 3 k limitinin değeri kaçtır? x "−2 −3 A) 2 15. lim c x "−3 A) –4 1) B 2) D −1 B) 2 C) 0 1 D) 2 3 E) 2 |x − 2 | 4 − x + 4 m limitinin değeri kaçtır? x+4 B) –3 3) B 4) C C) 3 5) E 6) D D) 4 7) C 8) E E) 5 3 2 20. (a n) = c 3 7 B) D) 0 1 2 C) 1 E) Limit yoktur. 3 − 5n m dizisi için liman değeri kaçtır? 10n + 7 21. 2 4 8 16 − + − +… 3 9 27 81 sonsuz toplamının eşiti kaçtır? A) B) 2 5 C) −1 2 A) 2 3 B) 1 2 C) 3 5 D) D) 3 10 E) −5 7 2 7 E) 3 4 9) B 10) E 11) B 12) C 13) B 14) B 15) D 16) C 17) C 18) C 19) E 20) C 21) B 71 KARMA TEST – 2 1. y y=f(x) 2 –2 –1 y 1 –1 2 O1 2 y=g(x) 1 x –1 5. O1 2 Grafikleri verilen y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonları için a) lim (f (x) + g (x)) = 2 b) lim (f + g) (x) = 2 c) lim ^f (x) ·g (x) h = 0 f (x) yoktur d) lim x " 1 g (x) e) f) eşitliklerinden kaç tanesi doğrudur? A) 5 2. x"2 x"0 lim x 3 ·f (x) = − 1 x "−1 lim c x " 0+ B) 4 x"1 C) 3 lim 3 x "−1 2 − g (x) = 3 2 D) 2 E) 1 A) 2,6 x 5+ ise x sayısı aşağıdakilerden hangisi ola2 maz? x" D) 3 − 6. 7. lim 3 x"4 A) 3 lim x"0 2 3 10 B) 2,5001 E) C) 2,499 63 25 x 3 − 16 limitinin değeri kaçtır? x+2 B) 1 C) 2 D) 4 E) 64 1− x+1 limitinin değeri kaçtır? x 1 2 B) 1 C) 0 D) –1 E) −1 2 A) 8. f (x) = * fonksiyonunun tüm reel sayılarda sürekli olması 1 1 − m limitinin değeri kaçtır? x |x | A) ∞ B) –∞ D) 2 C) 0 E) Limit yoktur. x+2 , x≠0 a 2 , x=0 için a kaç olmalıdır? B) 1 2 C) 0 D) −1 2 E) –1 4 − x2 , x ≤ 2 x−1 , x > 2 3. f (x) = * fonksiyonu için lim f (x) değeri kaçtır? x"2 A) 1 B) 0 D) –2 4. A) 1 lim x "−3 E) Limit yoktur. 9. lim x"0 sin (sinx) limitinin değeri kaçtır? x A) –∞ B) –1 C) 0 D) 1 E) ∞ (x − 2) 4 (x + 1) 3 (1 − x) 5 limitinin değeri kaçtır? A) ∞ 72 C) –1 B) 16 C) 0 10. D) –16 E) –∞ lim ^x x 2 + 1 − x 2h limitinin değeri kaçtır? x"3 A) −1 B) –1 2 C) 0 D) 1 E) 1 2 x 2 − x − 12 , x ≠ –3 11. f (x) = * x + 3 a+4 , x =−3 16. fonksiyonu x = –3 noktasında sürekli ise a kaç- x (x + 1) − 6 limitinin değeri kaçtır? x (3x − 2) − 8 −1 1 3 A) –1 B) C) D) 1 E) 2 2 2 lim x"2 tır? A) –11 B) –7 C) –4 D) 0 E) 7 y 12. 17. 1 O –1 1 x 2 lim x"3 (2x − 1) 2 · (3 − x) 3 (5 − x) 3 · (4x 2 − 8x + 1) limitinin değeri kaçtır? A) 1 B) 3 10 C) 0 D) −3 10 E) –1 Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu için a) lim f (x) = − 1 b) c) lim +f (x) = − 3 d) lim −f (x) = 3 e) lim +f (x) + lim −f (x) = 0 ifadelerinden kaç tanesi doğrudur? A) 5 x"3 x"2 x"0 lim f (x) = 1 x "−3 x"0 x"2 B) 4 C) 3 18. D) 2 E) 1 lim ^ x + 3 − x − 2 h x"3 limitinin değeri kaçtır? A) ∞ B) 5 C) 0 D) 1 E) –∞ 13. Aşağıdaki eşitliklerden hangisi yanlıştır? 1 A) lim +3 x − 5 = 3 B) 5 −x C) lim c m = 0 x"3 3 D) x"5 E) lim x"1 2 lim 7 x = 1 x "−3 r x lim a k = 3 e x "−3 19. x x x x =1 14. lim x "−3 A) 15. 1 2 lim r− x" 2 A) ∞ 1) B 2) C lim (x 2 − 2x − 3) = − 4 ise a kaçtır? x"a A) 2 B) 1 C) 0 D) –1 E) –2 1 − x − x2 limitinin değeri kaçtır? 2x 2 − 7 B) 1 7 C) 0 1 D) − 7 E) −1 2 sinx − 3 limitinin değeri kaçtır? cotx B) 2 3) E 4) E C) 0 5) C 6) C D) –2 7) E 8) A 20. E) –∞ lim x "−5 a−2 3 = ise a kaçtır? 2a + 4 5 A) –15 B) –18 C) –20 D) –22 9) D 10) E 11) A 12) C 13) D 14) E 15) A 16) C 17) A 18) C 19) B 20) D E) –25 73 KARMA TEST – 3 Z x−1 ] ] f (x) = [ x 2 + 1 ] ] 8−x \ fonksiyonuna i) lim + f (x) = 1 ii) lim f (x) = − 1 iii) lim f (x) = 2 iv) lim − f (x) = 6 v) lim + f (x) = 6 vi) lim f (x) = 5 ifadelerinden kaç tanesi doğrudur? A) 6 2. 3x 2 + ax + a + 3 =bdR x2 + x − 2 x "−2 ise b kaçtır? A) 1 1. , x<0 6. , 0<x≤2 , x>2 x"0 x"2 5. B) 1 x"3 C) 4 D) 3 7. E) 2 C) 0 D) –1 E) −1 2 x3 + 1 limitinin değeri kaçtır? 9x 6 − x 1 −1 B) 0 C) D) E) –3 3 3 lim x "−3 A) ∞ lim B) 3 2 C) 15 D) −3 2 E) –1 8. lim x"3 A) x2 − 9 limitinin değeri kaçtır? 27 − x 3 −2 9 B) −9 2 C) 0 D) 2 9 E) 9 2 lim (1 − 2x − 3x 3) limitinin değeri kaçtır? x "−3 A) ∞ B) –4 C) 0 D) 2 E) –∞ 2 x−5 lim − c m limitinin değeri kaçtır? x"5 3 2 4 A) ∞ B) C) 0 D) − 3 9 lim r x" 6 A) x "−3 | x2 − 9 | limitinin değeri kaçtır? | x2 + x − 6 | −5 6 B) 6 D) 5 −6 5 C) 0 E) Limit yoktur. E) –∞ sinx − cos2x limitinin değeri kaçtır? tanx + cot2x 3 3 B) D) 74 lim A) x−2 1 2 x"2 x"1 B) 5 6−x −2 limitinin değeri kaçtır? 1− 3−x x"0 9. 4. A) göre, 3. lim x"2 3 +1 3 3 2 C) 0 E) 3 −1 3 10. lim x"0 arctan1 limitinin değeri kaçtır? x A) ∞ B) 1 D) –1 C) Limit yoktur. E) –∞ 11. lim 1 x2 − x x − 1 limitinin değeri kaçtır? 1 2x − x 1 B) 1 C) D) 0 E) –1 2 3x + x"3 A) ∞ x−1 x 2 + 5x + 4 + k fonksiyonu tüm reel sayılarda sürekli ise k'nin 16. f (x) = alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 y 12. 3 2 1 –5 –2 –1 O –1 x 2 3 17. lim +e tanx limitinin değeri kaçtır? r 2 x" A) ∞ 18. / B) 1 C) 0 D) –1 E) –∞ Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu [–6, 6] aralığında kaç noktada sürekli değildir? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 3 k=0 13. lim − c 3 x − 5 + x 3 m limitinin değeri kaçtır? 1 x x"0 A) − 14 B) –2 3 C) 1 D) 14 5 1 3 B) 3 5 C) 9 25 D) 25 12 E) 36 25 E) 8 19. 14. f(x) = 2x – 5 ise lim (fofof) (x) limitinin değeri kaçtır? A) 3 − 2k limitinin değeri kaçtır? 5k lim x " 0+ A) 3 3x limitinin değeri kaçtır? 1 − cosx B) 2 C) 1 D) 2 E) 3 2 x"2 A) –1 B) –7 C) –11 D) –15 E) –19 15. f (x) = 2 − 3 3x + 4 ise 20. lim f − 1 (x) limitinin değeri kaçtır? x"3 A) 1) C −3 5 2) E B) 3) A −5 3 4) A C) –1 5) C 6) E D) 7) D 3 5 8) A E) 9)D 5 3 lim x"3 4x 2 − 2x + 1 + 3 8x 3 + 5x − 1 4 16x 4 + 5 32x 5 − 8x 2 + 5 limitinin değeri kaçtır? A) ∞ B) 2 C) 1 D) 1 2 10) C 11) B 12) C 13) C 14) E 15) B 16) C 17) C 18) D 19) E 20) C E) 1 4 75 KARMA TEST – 4 2 − x 2 , x rasyonel sayl ise 5. 1. f (x) = * fonksiyonuna göre, lim f (x) değeri kaçtır? 0 , x irrasyonel sayl ise x"0 A) Limit yoktur. B) 0 D) –2 limitinin değeri kaçtır? A) a·b 2 B) a−b a C) 2 2 D) b 2 E) b−a 2 C) 1 E) 2 6. 2. 1 − cos2x limitinin değeri kaçtır? lim x2 x"0 A) 2 B) 1 lim ^ x 2 + ax − x 2 + bx h x"3 C) 0 D) –1 lim − x"0 A) | 5x | − 4x 2 limitinin değeri kaçtır? 3x 3 −| − 2x | 5 2 B) 9 5 C) 1 2 D) −1 2 E) −5 2 E) –2 n y 3. y=f(x) –1 y y=g(x) 1 x O 2 7. 2 O lim n"3 / (3k − 1) k=1 n / (4 + 2k) k=1 x 1 2 limitinin değeri kaçtır? A) 3 2 B) 2 3 C) 0 D) –∞ E) ∞ Grafiği verilen f ve g fonksiyonlarına göre i) lim + (f + g) (x) = 3 ii) lim (f·g) (x) = 2 f 1 iii) lim + c m(x) = 2 x"0 g iv) lim − ^ f − g 3h(x) = 3 v) lim (fog) (x) = 1 vi) lim (gof) (x) = 2 eşitliklerinden kaç tanesi doğrudur? A) 5 4. x"2 x"1 B) 4 lim arcsin c x"1 A) 76 r 2 B) x"0 x"2 x"0 C) 3 D) 2 C) r 3 D) 1 2 5 x − log 2 x limitinin değeri kaçtır? lim + c m x"0 3 5 3 A) ∞ B) C) 0 D) E) –∞ 3 5 E) 1 1− x m limitinin değeri kaçtır? 1−x r 4 8. E) r 6 9. x2 limitinin değeri kaçtır? x"0 1 − cosx −1 1 A) –1 B) C) 0 D) E) 1 2 2 lim − 10. f(x) = ln(x4 – 1) fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir? A) [–1, 1] B) (–1, 1) D) R– (–1, 1) 11. 12. C) R–[1, 1] E) R–{–1, 1} x 5 − 32 limitinin değeri kaçtır? 3 x"2 x −8 5 20 16 A) 4 B) C) D) 3 3 3 lim lim f (x) = − 1 ve x"2 E) 4 3 x 10 − 1 9 8 7 x"5 x +x +x +…+x+1 limitinin değeri kaçtır? A) 5 16. 17. lim B) 4 C) 3 D) 1 E) ∞ lim 9log 2 64n 2 − 8 − log 2 16n 2 + n + 1 C n"3 limitinin değeri kaçtır? A) 1 2 B) 1 C) 2 D) 4 E) 8 lim g (x) = 3 ise x"2 lim (2f (x) − 3g (x) − 2x + 3) limitinin değeri kaçtır? x"2 A) 7 B) 2 C) 0 D) –15 E) –12 18. 13. lim c 2x − 3 + x " 0− A) –4 a−1 limitinin değeri kaçtır? a + 3 − 3a + 1 lim a " 1+ A) ∞ B) lim x "−3 B) –3 C) 2 D) –1 A) ∞ 15. 1 22 32 n2 + 3 + 3 +…+ 3p 3 n n n n"3 n limitinin değeri kaçtır? A) 1) E B) 1 C) 0 D) –1 2) A 3) B 1 3 4) E C) 1 5) B 6) E 7) A 8) A 1 5 − 2x −1 3 E) –∞ fonksiyonunun x = 0– noktasındaki limiti kaçtır? A) 1 B) 3 2 C) 3 5 D) −3 2 E) 0 E) –∞ 20. D) 2 3 lim f B) D) E) 0 x 2 − 2x + 5 limitinin değeri kaçtır? 3 3 x +2 1 2 C) 0 | sinx | m limitinin değeri kaçtır? sinx 19. f (x) = 14. 1 3 E) 3 5 lim i"1 A) sinri limitinin değeri kaçtır? 1 − i2 r 2 B) r 4 C) p D) 2r 3 9) C 10) C 11) C 12) E 13) A 14) D 15) B 16) B 17) B 18) E 19) C 20) A E) 3r 2 77 KARMA TEST – 5 1. lim ^ 3x 2 + 8x + 6 − 3x 2 + 3x + 1 h limitinin değeri kaçtır? A) 3 6 2. lim x"5 B) 3 3 C) 3 2 D) 2 3 5 3 E) 3 6 sin (x − 5) limitinin değeri kaçtır? 25 − x 2 −1 10 B) −1 5 A) 3. 2x limitinin değeri kaçtır? lim x x"1 −1 A) ∞ C) 0 D) 1 5 B) –∞ D) 0 − 2x 2 − 7ax + 4a 2 2 2 x " a 8a − 10ax − 3x limitinin değeri kaçtır? A) 5a 7. ∀ n ∈ N+ ve (an) bir dizidir. liman = –2 ise lim(an+3 – 2a3n+1) limitinin değeri kaçtır? A) 4 8. Z (a − 1) x + 2 , x > 2 ] ] f (x) = [ −3 , x=2 ] ] 2x + 3 , x<2 \ fonksiyonun x = 2 noktasında limiti varsa a kaç- 6. x"3 E) 1 10 C) 2 E) Limit yoktur. lim B) 5 a B) 3 C) a 5 C) 2 D) 1 D) –2 E) –1 E) –4 tır? 4. C) 0 D) 3 2 E) 7 2 9. 34 − x − 2x + 2 = − 4 olduğuna göre, k kaçtır? 5− x + kx x"3 1 A) 8 B) 4 C) 2 D) 1 E) 2 | x − 2 | −| 6 − 3x | limitinin değeri kaçtır? | 4x − 8 | −1 1 A) –2 B) –1 C) D) 0 E) 2 2 B) −7 2 A) lim x " 2+ 5. −3 2 lim x " 0− 2sinx + 3cosx cotx limitinin değeri kaçtır? A) –∞ 78 B) –3 C) 0 10. D) 3 E) ∞ lim lim x "−3 A) –∞ |x |− 3 limitinin değeri kaçtır? x 2 −| x − 3 | B) –3 C) 0 D) 3 E) ∞ 11. lim x "−3 16. f (x) = sin ^e x 9x 2 − 8x + 7 5x − 4 − x 4x 2 + 1 limitinin değeri kaçtır? −3 A) 7 −3 B) 2 C) 0 A) 3 4 B) 4 3 C) 2 3 fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir? 3 D) 7 E) ∞ n 12. f p ifadesi n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt r kümelerinin sayısını göstermektedir. n n c m· c m 1 3 lim limitinin değeri kaçtır? n n"3 n c m· c m 2 n−2 x−1h D) 3 2 A) R B) R+ C) (1, ∞) D) [1, ∞) E) R – {1} 2 x −5 17. f (x) = c m olduğuna göre, lim f (x) + lim 3 x"3 x " − 3 f (x) toplamı kaçtır? A) ∞ E) 1 18. B) 5 C) 0 D) –5 E) –∞ 3 limitinin değeri kaçtır? x 5 3 B) 3 C) D) 3 5 E) 15 3 limitinin değeri kaçtır? x 5 3 B) 3 C) D) 3 5 E) 15 lim 5x·sin x"0 A) 0 |x − 2 | , x≠2 13. f (x) = * x − 2 , x=2 5 fonksiyonu için 19. lim +f (x) − lim −f (x) kaçtır? x"2 A) –2 x"2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2 lim 5x·tan x"3 A) 5 20. A) 3 4 B) 3 5 C) 1 2 D) 2 3 y=f(x) x 20 − 1 14. lim 15 limitinin değeri kaçtır? x"1 x −1 y 1 E) 4 3 –3 x O Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? 15. 3 %^ k =−2 A) 264 1) E 2) A 2h 2 − k+3 B) C) lim +f (x) = 1 D) lim f − 1 (x) = 0 x"3 sonsuz çarpımının değeri kaçtır? B) 232 3) E A) lim f (x) = 3 4) C C) 216 5) C 6) D D) 24 7) C 8) E E) 2 x"0 lim f (x) = − 3 x "−3 x"1 E) lim f (x + 3) = 1 x"0 9) C 10) C 11) B 12) C 13) E 14) E 15) B 16) D 17) C 18) A 19) E 20) E 79 KARMA TEST – 6 1. Z 2 ] 1+x , x≤0 ] f (x) = [ 2 − x , 0 < x ≤ 2 ] ] (x − 2) 2 , x > 2 \ 6. 6·9 x − 3 x − 1 limitinin değeri kaçtır? 2·9 x + 7·3 x − 4 lim 3x " A) 1 2 1 2 1 3 B) C) 2. A) 0 B) 1 1 lim c − x"0 x C) 2 D) 3 E) 4 B) –∞ D) 1 –4 E) 3 5 –2 O1 2 3 4 x C) 0 E) Limit yoktur. Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun limitinin olduğu ancak sürekli olmadığı noktaların apsis- lim x " − 3− −1 6 leri toplamı kaçtır? x+3 limitinin değeri kaçtır? | 9 − x2 | B) −1 3 C) −1 2 A) 4. 25 − x − 5 x"0 x limitinin değeri kaçtır? A) D) 1 3 E) 1 6 lim + 1 10 B) 1 5 A) –4 8. f(x) = –3x3 – 5x2 + 4x – 7 ise C) –1 D) −1 5 E) −1 10 9. A) ∞ –3 –1 O 3 6 lim B) 1 3r 3 y=f(x) y = f(x) fonksiyonunun grafiği veriliyor. x−4 olduğuna göre, g(x) in süreksiz (x − 5) f (x) olduğu noktaların apsisleri toplamı kaçtır? g(x)= A) 10 80 B) 9 C) 7 D) 5 E) 3 10. lim x "−3 A) 2 D) 2 E) 4 C) 0 D) –1 E) –∞ rx k 3 limitinin değeri kaçtır? sin (rx) B) D) C) 0 1 − 2cos a x"1 A) x B) –2 f (1 − x) limitinin değeri kaçtır? f ( 2 + x) lim x"3 y 5. 5 3 y 7. 1 − 1 m limitinin değeri kaçtır? x2 A) ∞ 3. D) fonksiyonunun süreksiz olduğu kaç farklı nokta vardır? 5 9 3 3 − 3 3 C) E) − 3r 3 − 3 3r 12x 3 − 5x + 2 limitinin değeri kaçtır? 1 + 4x 2 + 3x 3 B) 1 C) 0 D) –1 E) –2 11. 2a – 3b = 6 ve (a − 2b) x − 5x + 3 − 1 = 3 3x 2 − 4 x"3 olduğuna göre, b kaçtır? A) –15 16. 2 lim B) –8 C) –1 D) 8 2·5 x − 5 − x limitinin değeri kaçtır? 5 x + 3·5 − x lim x"3 −1 3 B) –2 C) 0 D) 1 3 A) E) 2 17. 4·3 x − 3 –x limitinin değeri kaçtır? x −x x " − 3 3 + 2·3 −1 −1 A) 4 B) 2 C) D) E) –2 3 2 E) 15 12. a ∈ N+ olmak üzere, 2x 5a − 1 + x + 3 4a + 7 −5 x " 3 3x limitinin değeri bir reel sayı ise a'nın alabileceği lim değerler toplamı kaçtır? A) 45 B) 36 C) 28 D) 21 lim E) 15 18. f(x) doğrusal fonksiyon olmak üzere, 13. f(x) = 3 – 2x – x2 ise lim h"0 f (h + 3) − f (3) h limitinin değeri kaçtır? A) 8 14. / A) 1 3 k=1 B) 6 C) 4 D) –4 f(1) = –2 ve f –1(2) ise f (x + 2) lim f x"3 −1 A) –4 (1 − x) B) limitinin değeri kaçtır? −1 2 C) −4 5 D) 4 5 E) 4 E) –8 3 − x k + 1 − 15 = ise x kaçtır? 4 5k B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 19. lim x"5 x x −5 5 limitinin değeri kaçtır? x− 5 A) –15 B) –5 C) 3 D) 5 E) 15 Zx + 2 , x < 0 ] ] 15. f (x) = [ e x , 0 ≤ x ≤ 1 ] ]2 − x , x > 1 \ fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş aralık hangisidir? 20. A) R B) {0, 1} D) R – {0, 1} 1) B 2) E 3) A 4) E 5) A C) [0, 1] E) R – [0, 1] 6) C 7) D 8) D lim a x x x − x k limitinin değeri kaçtır? x"3 A) ∞ B) –∞ D) 1 C) 0 E) Limit yoktur. 9) D 10) A 11) D 12) B 13) E 14) C 15) D 16) E 17) D 18) A 19) E 20) A 81 KARMA TEST – 7 5. lim f (x) = 0; lim f (x) = − 3 1. x ""3 x"0 lim f (x) = 3; x " 3− çarptıktan sonra 16 m yükseklik kazanıyor. lim f (x) = − 3 x " 3+ si olabilir? x−2 x (x − 3) C) f (x) = x−2 x−3 2. lim x " 16 E) f (x) = 2−x 3−x 6. 16 − x limitinin değeri kaçtır? 4− x A) 0 B) 2 yol kaç metredir? (2 − x) x 2 (x − 3) x−2 D) f (x) = 3−x B) f (x) = C) 4 D) 8 3. 2·3 x − 3·2 x − 1 lim x + 2 limitinin değeri kaçtır? − 5·3 x − 1 x"3 2 A) B) −3 8 −2 5 D) 1 2 lim x"0 B) 140 C) 160 D) 180 E) 200 arcsinx limitinin değeri kaçtır? x A) –∞ B) –1 C) 0 D) 1 E) ∞ E) lim x"5 A) |5 − x | limitinin değeri kaçtır? x − 3x − 10 2 1 7 B) D) 9 10 −1 2 1 2 C) Limit yoktur. −1 7 E) y 4. 4 –5 –4 C) A) 100 E) 16 7. −6 5 Dikey olarak yere çarptıktan sonra aynı oranda yükselen topun duruncaya kadar aldığı toplam ve f(2) = 0 koşullarını sağlayan fonksiyon hangiA) f (x) = 20 m yükseklikten düşey olarak bırakılan bir top yere 8. 3 2 1 –3 –2 –1 O 1 3 x (a − 3) x + 4 , x ≥1 f (x) = * 5x − a + 3 , − 1 ≤ x < 1 bx 2 + 2x − 1 , x < − 1 fonksiyonu tüm reel sayılarda limitli ise a · b kaçtır? − 35 −7 B) 4 2 D) 7 2 E) 35 4 A) 9. Aşağıdaki limitlerin hangisinin sonucu bir ger- Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu için aşağıdaki- C) 5 2 lerden hangisi yanlıştır? A) (–∞, 3] – {–5, –3, –1} için tanımlıdır. B) x = 3 noktasında süreklidir. çek sayıdır? C) (–∞, 0) aralığında 3 noktada süreksizdir. A) lim lnx B) D) x = –5 noktasında tanımlı olsaydı bu noktada sürekli olurdu. E) [0, 3] aralığında bir noktada süreksizdir. 82 x"3 C) lim x "−3 lim 5 x x "−3 5 − x D) lim x"2 E) lim −tanx x" r 2 |x − 2 | x+5 10. lim x "−2 A) 15. Aşağıda verilen fonksiyonlardan hangilerinin x2 − x − 6 limitinin değeri kaçtır? x2 + x − 2 −5 3 B) −3 5 C) –1 D) 3 5 E) 5 3 x = 2'de limiti yoktur? y I) O 11. lim (secx − tanx) limitinin değeri kaçtır? x 2 O y III) y II) x 2 y IV) x"0 A) –1 B) 0 C) 1 D) 1 2 E) 3 2 O x 2 A) I, III O B) II, III, IV D) III, IV x 2 C) Yalnız III E) I, II, III, IV lim ^ 2x − x + 1 h 12. x"3 limitinin değeri kaçtır? A) ∞ B) 2 C) 0 D) 1 2 E) –∞ 13. an: {n| n ≥ 2 ve n ∈ N} → R n n n n ^a nh = ^ 5 − 2·3 + 7·2 h dizisinin limiti kaçtır? A) 5 B) 4 D) 0 y 16. C) 3 2 E) Limit yoktur. –2 1 O x 2 Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? 14. f(x) = x4 – 5x2 + 8x – 1 olmak üzere, A) lim f (x) = 1 B) f (x) − f (1) lim limitinin değeri kaçtır? x−1 x"1 A) 0 1) B 2) D B) 1 3) A C) 2 4) D 5) D D) 3 6) D x"3 C) lim +f (x) = 3 D) x"2 E) 4 7) C 8) A 9) B 10) E 11) C 12) A E) 13) A lim f (x) = 1 x "−3 lim f (x) = 3 x " − 2− lim f (x) = 3 x " − 2+ 14) C 15) C 16) C 83 KARMA TEST – 8 1. lim x"0 cos2x − sinx tan3x + 2x − 1 6. limitinin değeri kaçtır? A) –2 2. B) –1 C) 0 D) 1 7. limitinin değeri kaçtır? A) –3 C) 0 D) 3 2 5−x , x > 2 f (x) = * − 4 , x = 2 x−5 , x < 2 ise lim f (x) kaçtır? B) 3 D) –3 B) 3 /k A) 2 1 5 1 10 C) 0 D) −1 5 E) −1 10 3 sonsuz toplamının değeri kaçtır? + 9k + 20 B) 1 4 C) 1 3 D) 1 2 E) 3 2 3 lim (2x + 3) ·sin c m x x"3 limitinin değeri kaçtır? A) 9 B) 6 C) 3 D) 2 E) 0 D) –3 E) –6 C) 0 E) Limit yoktur. 9. lim x"3 lnx limitinin değeri kaçtır? log 2 x A) loge2 B) log2 D) ln10 E) loge 5·2 x + 1 − 4·3 x − 2 x+1 − 7·2 x − 1 x "−3 3 limitinin değeri kaçtır? A) 5. 1 5 x"2 A) 4 4. 2 E) 3 8. 3. A) x2 − 4 limitinin değeri kaçtır? 4x + 5x − 6 k=2 x "−3 −3 2 x"2 E) 2 lim ^x + x 2 − 3x h B) lim 84 C) −5 7 −x 9 − −x − 3 limitinin değeri kaçtır? A) 6 B) 3 Z ] 2sinx + a , ]] 10. f (x) = [ , −4 ] ]] b − 3cosx , \ −r fonksiyonu x = 2 tır? D) 10 3 C) 0 C) log2e lim − 20 −4 B) 7 27 lim x " 0− E) 8 63 A) –6 B) –4 r 2 −r x= 2 −r x< 2 x >− noktasında sürekli ise a + b kaç- C) –2 D) 0 E) 2 11. Bir f fonksiyonu için 15. i) ii) iii) koşulları sağlandığına göre, f(x) in grafiği hangi- lim f (x) = 2 x"3 lim f (x) = − 2 lim x"6 x 2 − 5x − 6 limitinin değeri kaçtır? sin (x − 6) A) –7 B) –6 C) –5 D) 6 E) 7 x "−3 lim f (x) = 0 x"0 si olabilir? y A) 16. y B) 2 lim x"0 sinx limitinin değeri kaçtır? arctanx A) ∞ x O –2 O B) –∞ D) 1 x 2 C) 0 E) Limit yoktur. –2 y C) y D) 2 17. 2 x O O –2 x –2 1 –2 3 x"1 6 limitinin değeri kaçtır? A) 2 14. A) −1 2 B) –1 C) 0 1 2 D) 1 E) lim x"3 D) –1 E) –∞ D) 1 E) 0 1 2 E) 0 x − x+ x x − x− x limitinin değeri kaçtır? A) ∞ B) 1 C) 0 B) 1 C) 0 D) –1 E) –2 x −x limitinin değeri kaçtır? 1−x 1 −1 A) 1 B) C) 0 D) E) –1 2 2 lim 19. lim x"0 2x + 3sinx x·cosx limitinin değeri kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 x"1 lim x " 10 A) 1) B limitinin değeri kaçtır? x− x x −3 x 13. 18. x O lim x"0 1 − x2 3 3 − x p x2 y E) 12. lim − f x· 5 2 2) D 20. x−5 − 5 limitinin değeri kaçtır? x − 10 B) 3) B 5 5 4) A C) 5) A 5 10 D) 2 5 E) 6) C 7) D 8) B 9) E 2 10 lim x"0 x·cosx 2x + 3sinx limitinin değeri kaçtır? A) 5 B) 1 5 C) 1 3 D) 10) A 11) C 12) B 13) B 14) C 15) E 16) D 17) B 18) D 19) A 20) B 85 KARMA TEST – 9 1. 2. lim x"0 3 6. x limitinin değeri kaçtır? x 1 A) − 3 B) –1 lim c x·sin x"0 A) ∞ C) 0 D) 1 E) B) 1 C) 0 D) –1 limitinin değeri kaçtır? A) 7. Z 2x + 6 , x ≥1 ] 2 ]x −9 ] f (x) = [ 2x − 3 , 0 < x < 1 ] ] x ] x2 − 1 , x < 0 \ 2 2 B) 1 A) 6 lim x "−2 B) 5 C) 4 3 2x − 1 − 5·2 3x + 1 x+3 − 9x + 1 x " 3 7·5 limitinin değeri kaçtır? A) D) 2 E) –2 D) − 2 E) –1 2 fonksiyonu kaç noktada süreksizdir? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 lim −1 27 B) −1 9 C) –1 D) –9 E) –81 8. lim x"3 cosx limitinin değeri kaçtır? 4 x A) ∞ 5. O r O r O r O r B) –∞ D) 1 9. lim x "−3 C) 0 E) Limit yoktur. sinx limitinin değeri kaçtır? 3 x A) ∞ C) 0 E) –∞ 4. r 4 1 m limitinin değeri kaçtır? x2 x+ x+a 4 − x2 limitinin değeri bir reel sayı ise a kaçtır? 3. 1 3 lim (cosec2x − cot2x) x" B) –∞ D) 1 Yarıçapları eş olan çemberlerin içine kare, düzgün C) 0 E) Limit yoktur. beşgen, düzgün altıgen, düzgün sekizgen çiziliyor. Bu işleme n kenarlı bir düzgün çokgen çizilene kadar devam edildiğinde lim 6Çevre (n − gen)@ n"3 10. D) 86 nr2 B) / 4n n=3 limitinin değeri ne olur? A) 2pr 3 pr2 C) nr E) ∞ 2 1 − 8n + 3 sonsuz toplamının değeri kaçtır? A) −1 10 B) −6 35 C) 1 15 D) 1 6 E) 4 15 11. y y y=g(x) 2 2 x –2 O 1 –2 15. y=f(x) lim (cosecx − cotx) limitinin değeri kaçtır? x"0 A) ∞ B) –∞ D) 2 x O 1 2 C) 0 E) Limit yoktur. Grafiği verilen fonksiyonlara göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) lim x"3 g (x) = 0 f (x) B) lim + (f (x) − g (x)) = 3 x"1 C) lim − ^f + g h(x) = 3 D) x"1 E) lim + x"0 lim x " − 2+ f (x) =−3 g (x) − 2 16. g (x) + 5 =3 f (x) lim 3 log (sinx) limitinin değeri kaçtır? x " 0+ A) ∞ B) –∞ D) 3 C) 0 E) Limit yoktur. 12. Aşağıdaki ifadelerin hangisinde x → 0– için limit –∞ olur? A) sinx x B) D) cosx tanx 1 x tanx C) 2 x E) 3 |x | 17. f (x) = * 13. Aşağıdaki eşitliklerden hangisi yanlıştır? A) lim x"3 x 2 + 5x + 4 = |x + k | , x <− 2 fonksiyonunun x = –2'de limiti olduğuna göre, k'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? lim (x 2 + 5x + 4) x"3 B) lim log 2 (3x + 4) = log 2 a lim (3x + 4) k x"3 2x + 5 , x ≥ –2 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 18. a x a k =0 x "−3 5 olduğuna göre, a'nın alabileceği en küçük tam x"3 C) lim (5x − 4) = a lim (5x − 4) k2 x "−1 x "−1 2 D) lim sinx·cosx = lim sinx· lim cosx x"0 x"0 x"0 x x = E) lim 2 lim (x 2 − 1) x"1 x −1 x"1 14. lim x + sinx limitinin değeri kaçtır? x + cosx A) ∞ B) –∞ x"3 D) 0 1) C 2) C 3) A sayı değeri kaçtır? C) 1 E) Limit yoktur. 4) A 5) A 6) B 7) D 8) C lim 9) C 10) D A) 7 11) D 12) D B) 6 13) E 14) C C) 5 15) C 16) C D) 4 17) D E) 3 18) B 87 KARMA TEST – 10 −x − x + a =bdR x2 − 1 x "−1 ise b kaçtır? A) 1. 2. lim −3 4 lim x "−3 B) −3 2 C) –1 D) 3 2 E) 6. 1 lim c x 2 ·cos m x x"0 limitinin değeri kaçtır? A) ∞ 3 4 B) 1 D) –1 limitinin değeri kaçtır? A) −3 5 B) 5 −3 C) 3e 3 5e 3 D) − 3e 3 5e 3 E) 5 3 7. lim x"3 x3 limitinin değeri kaçtır? (1, 01) x A) ∞ B) 100 D) 101 lim (secx − tanx) x" r 2 limitinin değeri kaçtır? A) –1 E) Limit yoktur. 2·rx + 1 − 3·e x − 2 5·e x + 1 − 4·rx − 1 3. C) 0 −1 B) 2 1 D) 2 C) 0 8. ^a n h = c A) 3 2 101 100 C) 0 E) Limit yoktur. 3n m dizisinin limiti kaçtır? n·2 + 3 n − 1 n B) 1 3 C) 3 D) 1 2 E) 2 E) 1 4. 3 −| x − 2 | x2 − 4 fonksiyonunun sürekli olduğu aralık hangisidir? f (x) = A) (–1, 5) B) [–1, 5] D) R – {–2, 2} C) R – [–1, 5] 9. 1 1 lim c − 2 m x x x " 0+ limitinin değeri kaçtır? A) ∞ B) 1 C) 0 D) –1 E) –∞ E) [–1, 5] – {2} 10. x değerleri sınırsız azaldığında aşağıdakilerden 5. lim 7 hangisi sınırsız artar? ln (− cosx + 1) x " 0− limitinin değeri kaçtır? A) ∞ 88 B) 7 C) 0 D) 1 7 A) e–x E) –∞ B) 3x D) sinx C) E) lnx 1 x 11. Grafiği y verilen y = f(x) fonksiyonu için aşağıda- 1 –1 –1 x O 1 kilerden hangisi 4 = 3 B) lim +f (x) = 3 1 − f (x) x"1 C) lim −4 = − 3 D) lim f (x) = − 1 1 − f (x) x"0 x "−3 x"3 16. E) lim −(x + 2) ·f (x) = − 3 x"1 x 2 − 3x − 4 x2 − 4 fonksiyonunun süreksiz A) 9 B) 6 C) 4 B) 1 C) 1 3 D) –1 E) –∞ D) 3 E) 2 lim ^ 9x 2 + 1 − ax + 2 h = b x"3 ise a + b kaçtır? (a, b ∈ R) A) 6 olduğu B) 5 C) 4 sürekli ise aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? noktaların apsisleri toplamı kaçtır? A) ∞ 17. f: A → R, A ⊂ R fonksiyonu x = 5 noktasında 12. f (x) = n"3 limitinin değeri kaçtır? yanlıştır? lim A) 15. lim 9log 3 (n + 2) − log 3 9n 2 + 2 C A) lim f (x) = f (5) B) lim +f (x) vardır. x"5 x"5 D) 3 C) lim −f (x) vardır. E) 2 D) f(5) tanımlıdır. x"5 7 olmak üzere 2 rx + 3 − 3e 2x + k x + 1 lim x + 1 − 2k x + 1 + 3r2x x"3 e E) lim +f (x) ≠ lim −f (x) tir. x"5 x"5 13. k > limitinin değeri kaçtır? A) 14. 3 r B) r 3 C) 18. 2 r 3 D) −1 2 lim f (x) = a ve f (x) tek fonksiyon ise x"2 E) −3 e lim f (x) x "−2 aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 2a 1) E 2) C B) a 3) C 4) E C) 0 5) C D) –a 6) C 7) C E) –2a 8) C 9) E 19. lim x"0 sin 4 4x limitinin değeri kaçtır? 2x 4 A) 256 lim x"3 B) 128 C) 64 D) 32 E) 16 100 limitinin değeri kaçtır? 5x − cosx 2 A) ∞ B) –∞ D) 20 C) 0 E) Limit yoktur. 10) A 11) C 12) C 13) D 14) D 15) D 16) B 17) E 18) B 19) C 89 KARMA TEST – 11 1. f(x) = log(3–x)(x2 – 25) fonksiyonunun sürekli olduğu küme hangisidir? A) (–∞, –5) B) (–∞, 3) D) R – (–5, 5) C) (5, ∞) y 2 y=f(x) 1 O x 1 2 lim x"3 xx limitinin değeri kaçtır? x! A) ∞ B) 1 6. ^a n h = c C) 1 2 D) 2 E) 0 E) (–5, 5) y 2. 5. O tır? y=g(x) A) 0 x 1 sinn + cosn m dizisi için liman değeri kaçn B) 1 C) 2 D) ∞ E) Limit yoktur. y 2 y=h(x) 1 O x 1 Grafiği verilen y = f(x), y = g(x) ve y = h(x) fonksiyonlarına göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) lim + (f·h) (x) = 1 B) lim − (f + g) (x) = 3 h (x) = 0 C) lim − x " 1 g (x) D) lim (f − h) (x) = 0 x"1 7. lim x"0 x·sin 1 x 3 + sin 3 1 x limitinin değeri kaçtır? A) –∞ x"1 D) ∞ lim x"3 A) ∞ E) Limit yoktur. x"1 x"1 y 5 2 C) 0 D) 7 3 f g 5x 3 − x 2 + 10 limitinin değeri kaçtır? 2x 4 + x + 3 B) C) 0 E) lim (2g − 3h) (x) yoktur. 8. 3. B) –1 –3 –1 O x E) –1 Grafiği verilen y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonları için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? 4. 3x 4 + 100x 3 + 40 lim 8x 4 + 1 x "−3 limitinin değeri kaçtır? A) ∞ 90 B) 0 C) 3 A) C) D) 100 8 E) 3 8 lim x "−3 lim f (x) = 3 g (x) B) g (x) D) lim − (f (x) + g (x)) = 0 x " − 1 + f (x) = − 3 lim x "−3 x"0 g (x) =3 E) lim − x " − 1 f (x) f (x) =1 g (x) 9. 14. x −1 x2 − 1 lim x"1 3 limitinin değeri kaçtır? A) ∞ 10. B) 3 2 C) 3 4 D) 2 3 E) 0 sin9x sin x lim x " 0+ limitinin değeri kaçtır? A) 9 B) 3 D) y 11. 1 3 E) 1 9 grafiği verilmiştir. lim − x"0 A) 2 –1 O x 2 12. lim x "−3 B) B) lim c x "−3 3 4 C) 3 8 D) 3 16 E) 3 32 3x 2 3x 2 m − x−1 x+1 limitinin değeri kaçtır? A) –6 2 3 C) −4 3 D) −2 3 E) B) –3 C) 0 D) 3 E) 6 fonksiyonu R de sürekli ise k'nin alabileceği limitinin değeri kaçtır? A) − 7 C) 0 4 D) 7 4 E) A) 8 3 B) 4 3 C) 4 D) 3 4 E) 3 8 −1 3 17. Genel terimi Z an − 2 ] , n / 0 (mod2) ] 5n − 1 an = [ ] (a + 4) n − 1 , n / 1 (mod2) ] 3n + 4 \ olan (an) dizisinin limiti varsa a kaçtır? 4x 2 − 1 + 9x 4 − 5x + 3 5 − 4x B) 3 2 değerler çarpımı kaçtır? −1 4 A) f (x − 1) − f 2 (x) limitinin değeri kaçtır? (fof) (x) 4 3 Z 3kx + 4 , x > k ] ] 16. f (x) = [ 8k , x=k ] ] 3x 2 + m , x < k \ –2 limitinin değeri kaçtır? y = f(x) fonksiyonunun 3 –3 15. C) 1 lim ^4x + 16x 2 − 3x h x "−3 1 4 A) –10 B) –5 C) 0 D) 5 E) 10 13. 0,1 + 0,02 + 0,002 + 0,0002 +… sonsuz toplamı kaçtır? A) 1) A 1 45 2) E B) 3) C 1 9 4) E C) 18. 10 99 5) A D) 6) A 11 90 7) C E) 8) D 11 99 9) C 10) B 11) C lim x"0 sin3x − sin2x limitinin değeri kaçtır? tan2x + tan5x A) –1 12) D B) 13) D 3 5 C) 14) C 15) E 3 2 16) B D) 2 5 17) A E) 18) E 1 7 91 KARMA TEST – 12 1. lim f x"3 2x 7 + 3 x p limitinin değeri kaçtır? x2 + 4x A) ∞ B) D) 3 4 1 2 C) 0 Grafiği verilen sin 3 x ·sin (x + 5)H x2 x"0 limitinin değeri kaçtır? lim > A) ∞ B) –∞ D) 1 y 7. 2 yonu için aşa- x ğıdakilerden O C) 0 E) Limit yoktur. y = f(x) fonksi- y=f(x) –1 E) Limit yoktur. y 2. 6. y=f(x) hangisi doğru- x –1 O dur? A) lim f (x) = 3 B) x"3 C) lim f (x) = 0 D) x "−1 nin değeri kaçtır? lim f (x) = − 3 x "−3 lim f (x) = − 3 x " − 1+ A) 2 B) 1 C) 0 lim 6f (x + 3) − 2@ limiti- x"3 D) –1 E) –2 E) lim f (x) = 0 x"0 8. 3. 2x 2 − 3x + 1 m lim c 2x − 3 − x+4 x"3 limitinin değeri kaçtır? A) ∞ 4. Grafiği verilen y = f(x) için B) 12 C) 8 D) 4 E) 0 lim ^x + a − x 2 + 6x − 5 h = 7 ise a kaçtır? A) 10 B) 7 C) 4 D) 3 E) 0 lim f (x) = n ise x " 1− lim f (x 2) ·f (x 3 − x + 1) x " 1− limitinin değeri kaçtır? A) m·n B) m2 C) n2 D) –m·n (x + 1) 5 + (x + 2) 5 + … + (x + 5) 5 x5 + 5 x"3 limitinin değeri kaçtır? A) 6 9. x"3 lim f (x) = m ve x " 1+ E) –n2 lim B) 5 C) 4 D) 0 E) ∞ 10. an: N+ → R pozitif terimli bir dizi ve liman ∈ R dir. 5. lim f (x) = 5 ve f (x) çift fonksiyon ise (a3n+1)2 – 5(a2n) – 6 = 0 lim f (x) değeri kaçtır? ise liman değeri kaçtır? A) –1 x " 3− x "−3 A) 10 92 B) 5 C) 0 D) –5 E) –10 B) 1 C) 2 D) 5 E) 6 11. f (x) = * ax 2 + 5 , x < − 2 x+8 , x >− 2 fonksiyonu için A) 6 12. lim x"1 A) 15. lim f (x) = k ! R ise a kaçtır? 1 4 C) D) 0 E) 1 2 C) 0 D) x+1 −2 limitinin değeri kaçtır? x2 − 9 1 36 B) 1 24 C) 1 16 D) 1 12 E) 1 8 −1 2 x −1 limitinin değeri kaçtır? 1−3 x B) A) x "−2 B) 5 3 2 lim x"3 16. Aşağıdaki eşitliklerden hangisi yanlıştır? −1 2 E) −3 2 A) lim −e x − 2 = lim +e x − 2 x"2 B) x"2 x 2 3 x lim c m = lim c m 3 x "−2 x"2 2 C) lim + x − 5 = lim − x − 5 x"5 x"5 D) lim + x − 3 = lim − 3 − x x"3 13. f (x) = x"3 E) lim +log 2 x = lim log 1/2 x x 2 − (a − 1) x + 4 x"0 x"3 fonksiyonu tüm reel sayılarda sürekli ise a'nın alabileceği değerler kümesi hangisidir? A) [–3, 5] B) (–3, 5) D) (–3, 5] C) [–3, 5) E) R 17. 14. D C [–3, y 3] aralığında tanımlı y = f(x) grafi- Bir kenarı 16 cm olan ği veriliyor. ABCD karesinin içine 3 bir kenarı |AB| nin ü 4 kadar olan yeni bir –3 x 3 kare çiziliyor ve bu işleme sonsuza dek devam ediliyor. A Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) x = –3'te sağdan limiti yoktur. B B) x = 3'te soldan limiti yoktur. En dıştakinden itibaren şekilde görüldüğü gibi iki karenin arasında kalan bölgeler taranıyor. C) [–3, 3] aralığında her noktada limiti vardır. Taralı kısımların çevreleri toplamı kaç cm olur? D) x = –3'te limiti yoktur. A) 204 E) x = 3'te limiti yoktur. 1) C 2) D B) 1024 C) 512 3) C 4) A 5) B D) 256 6) C 7) C E) 128 8) A 9) B 10) E 11) C 12) E 13) A 14) D 15) B 16) C 17) C 93 KARMA TEST – 13 1. Z 2 x ≤1 ]x + 3 , ] f (x) = [ x + 4 , 1 < x < 2 ] ] x3 − 2 , x > 2 \ fonksiyonunun x = –3, x = 1, x = 2 x = 3 ve x = 3 2 noktalarının kaç tanesinde limiti vardır? A) 1 2. x 5 − 2x − 1 3 x " − 1 x − 2x − 1 limitinin değeri kaçtır? B) 2 C) 3 D) 4 6. Z1 ] , n = 2k ]n an = [ ] n , n = 2k − 1, k d N ] 2n + 1 \ dizisinin limiti kaçtır? A) ∞ E) 5 A) 3 B) 2 E) Limit yoktur. C) 1 D) 0 E) –1 7. lim x"8 A) 3 3 x −2 limitinin değeri kaçtır? x + 19 − 3 2 3 B) 1 4 C) 3 4 D) 4 5 E) 9 4 E) −4 r 1 lim ^ 4x 2 + ax − 1 − 4x 2 + bx + 3 h = ise 2 b – a kaçtır? A) 2 C) 0 x"3 4. 2 2 lim 3. 1 D) 2 B) lim f n"3 B) 1 C) 0 D) –1 E) –2 8. 2n + n5 p n! + n 2 limitinin değeri kaçtır? A) ∞ B) 0 5. x → 0 için C) 1 D) 2 x 2 + 4 ≤ f (x) ≤ olduğu biliniyor. Buna göre lim f (x) değeri kaçtır? 1 E) 2 9. B) 2 D) 0 94 x"1 A) 1−x limitinin değeri kaçtır? rx cot a k 2 r 2 B) 2 r C) −2 r D) −r 2 x 2 − 3x + 4 lim f (x) = f (k), kdR ise f(x) aşağıdakilerden han- x"k gisi olamaz? x"0 A) 4 lim C) 1 E) Limit yoktur. A) 2x+3 B) cos(x – p) D) |x − a | x−a C) 3 E) log3(x2 + 5) x−1 13 + 23 + 33 + … + n3 2 n " 3 (2 + 4 + 6 + … + 2n) limitinin değeri kaçtır? A) 10. 11. 15. lim 1 16 lim x"4 A) B) 1 2 C) ∞ D) 0 E) 1 8 x −2 limitinin değeri kaçtır? 3 − x2 − 7 −3 16 B) −2 3 C) −3 7 D) −2 5 E) lim x"2 ifadesi bir reel sayıya eşit ise b kaçtır? A) 12 16. −4 7 x 3 + ax 2 + 2x + b − 1 (x − 2) 2 S1 B) 3 C) 0 A D) −7 2 E) –12 Bir kenarı 4 cm olan B ABCDEF altıgeninin kenar orta noktaları F C birleştirilerek yeni bir altıgen elde ediliyor. 12. f (x) = x 2 − 2x + 3 fonksiyonu tüm reel sayılarda x 2 − kx + 5 A) –3 B) –2 C) 3 D) 4 D S3 Aynı işlem sonsuza kadar devam ettirildiğinde nin alanları toplamı kaç cm2 olur? E) 5 E şekilde görülen S1, S2, S3, … üçgensel bölgeleri- sürekli ise k'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? S2 A) 6 3 B) 5 3 C) 5 3 2 D) 3 3 E) 4 3 lim 9log 3 (9x 2 + 4) + log 1/3 (3x 2 − 5)C 13. x"3 limitinin değeri kaçtır? A) ∞ B) 3 C) 1 D) 1 2 E) 17. f(x) ile g(x), x = m noktasında limitli olan iki fonk- 1 3 siyondur. f tek, g çift fonksiyon olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) lim 6− f (x)@ = lim f (x) x"m x "−m B) lim g (x) = lim g (x) x"m 14. f (x) = C) lim f (x) = lim f (− x) 5x + 1 fonksiyonu R – {–2, 3} kümex − bx + c + 1 x"m 2 D) sinde sürekli olduğuna göre, b + c kaçtır? A) –7 1) D 2) A B) –6 3) E C) –5 4) B 5) B D) 6 6) C 8) B x "−m lim g (− x) = lim g (x) x "−m x"m E) lim (f (x) − g (x)) = 0 E) 7 7) E x "−m x"m 9) D 10) A 11) A 12) D 13) C 14) B 15) B 16) E 17) E 95 96