süreksiz olasılık dağılım modelleri

SÜREKSİZ OLASILIK DAĞILIM MODELLERİ Yrd. Doç. Dr. Esra KÜRÜM
16.10.2014 Süreksiz Olasılık Dağılım Modelleri •  Binom •  Hipergeometrik •  Nega0f Binom •  Poisson BİNOM OLASILIK DAĞILIMI •  Benzer bir deneyin n kez tekrarlanması sonucu oluşan dağılımlardır. Bu n deneyde kesin olarak x kez elverişli olay meydana gelmektedir. •  n tane deneyin her birinin sonucu diğerlerinden bağımsızdır. Yani sonuçlar birbirini etkilemez. •  Her bir deneyin sonucu ya başarılı (elverişli-­‐success) hal ya da başarısız(elverişsiz-­‐ failure) hal olabilir. •  Başarılı olmanın olasılığı sabiGr ve p ile gösterilir. •  Binom dağılım şu şekilde gösterilir: Binom olasılık dağılım fonksiyonu • 
• 
• 
• 
p:her bir deneydeki başarı olasılığı q:her bir deneydeki başarısızlık olasılığı = x:toplam deneydeki başarılı hal sayısı n:tekrarlanan deney sayısı •  P(X=x) = •  E(X) = •  V(X) = HİPERGEOMETRİK OLASILIK DAĞILIMI •  Deney sonuçları bağımsız degildir ve birbirlerinin olma olasılıklarını etkilerler (Yerine koymadan seçme) •  Her bir deneyin sonucu ya başarılı (elverişli-­‐success) hal ya da başarısız(elverişsiz-­‐ failure) hal olabilir. •  Başarılı kabul edilen halin gerçekleşme olasılığı deneyden deneye fark gösterdiğinde binom yerine hipergeometrik dağılım kullanılır. •  Hipergeometrik dağılım şu şekilde gösterilir: Hipergeometrik olasılık dağılım fonksiyonu pergeometric distribution function
er
Hypergeometric
• 
• 
• 
• 
Geometric
N= popülasyon büyüklüğü M= popülasyondaki elverişli hal sayısı x= örnekle ilgili elverişli hal sayısı n= örnek ya da deney sayısı f X ⇠ Hypergeometric(N, M, n),
«„
«
8 „
M
N M
>
>
>
>
x
n x
<
„
«
,
P(X = x) =
N
>
>
>
n
>
:
0,
Negative Binomial
max(0, n
otherwise
N + M)  x  min(n, M)
Beklenen d
eğer v
e V
aryans X ⇠Hypergeometric(N, M, n), then
E (X ) =
V (X ) =
M
nN
“
N
N
n
1
”
M
nN
“
1
M
N
”
NEGATİF BİNOM OLASILIK DAĞILIMI •  Her bir deney diğerlerinden bağımsızdır. Yani sonuçlar birbirini etkilemez. •  Her bir deneyin sonucu ya başarılı (elverişli-­‐success) hal ya da başarısız(elverişsiz-­‐ failure) hal olabilir. •  Başarılı olmanın olasılığı sabiGr ve p ile gösterilir. •  Deneyler r adet başarılı sonuç elde edilene kadar devam eder. NEGATİF BİNOM OLASILIK DAĞILIMI •  Nega0f binom dağılımda X = r inci başarıya ulaşmak yapılması gereken deney sayısı •  Örnek: Bir kutuda 5 adet beyaz, 7 adet siyah top vardır. 3 adet beyaz elde edene kadar yapılması gereken deney sayısı nedir? NEGATİF BİNOM OLASILIK DAĞILIMI •  Parametreleri: r ve p •  X ∼ NB (r, p) •  P(X=x) •  E(X) •  V(X) Örnek •  Bir sokak saYcısı 30 tane daire bulunan bir küçük sokağa gelmiş0r. Bu sokakta 5 tane kavun saYncaya kadar sırayla her bir dairenin kapısını çalmaya karar vermiş0r. Her bir dairede tek bir kavun saYşı için olasılığın %40 olduğunu ve tek kavun için saYş yapmama olasılığının %60 olduğunu hayat deneyiminden bilmektedir. 1.  10uncu dairenin kapısını çaldıktan sonra 5 kavun satma hedefine erişme olasılığı nedir? 2.  5inci dairenin kapısını çaldıktan sonra 5 kavun satma hedefine erişme olasılığı nedir? Kaynak:hbp://tr.wikipedia.org/wiki/Nega0f_binom_da%C4%9F%C4%B1l%C4%B1m%C4%B1#.C3.96rnekler POISSON OLASILIK DAĞILIMI •  Bir zaman aralığında ya da birden fazla zaman aralığının birleşiminde gerçeklesen bağımsız olayların sayımıdır. •  Bir zaman aralığı için başarılı olma olasılığı o zaman aralığının genişliği ile oranYlıdır. •  Örnek: •  Bir saat aralığında belli bir internet sitesine gelen bağlanYlar sayısı, •  Yarım saat içinde bir nakliyat deposuna yükleme-­‐boşaYlma için gelen kamyon sayısı. POISSON OLASILIK DAĞILIMI •  Poisson dağılım ortalaması ve varyansı eşit olan tek dağılımdır. Örneğin içinde geçebilecek “ortalama” kelimesi poisson dağılımı için bir ipucu oluşturur. •  ÖRNEĞİN; İç̧ Anadolu Bölgesinde aylık çalınan araba sayısı, öğrenci islerinden bir günde alınan transkript sayısı, acil servise saabe gelen hasta sayısı, vb. •  f(x) •  E(X) •  V(X) Örnek •  Türk petrole her 15 dakikada bir ortalama 3 araç̧ gelmektedir. Gelecek 15 dakika içinde 2 aracın gelmesi olasılığını hesaplayın. Poisson ve Binom İlişkisi •  Eğer elverişli hal olasılığı np<5 ve deney sayısı n>100 ise poisson dağılımı binom dağılımın yerine uygulanabilir. Örnek 1 •  Öğrencilerin konu ile bilgisinin olmadığı 4 tane doğru-­‐yanlış sorusu için en az 1 doğru cevap bulma olasılığı nedir? Örnek 2 •  Saat 09:00dan 09:05e kadar bir operatörün aldığı telefon konuşmalarının sayısı ortalama olarak 2 dir. 1.  Bir sonraki gün operatörün aynı zaman diliminde telefon konuşması almaması ve 2 telefon konuşması alması olasılıklarını hesaplayın. 2.  Operatörün aldığı telefonların sayısının ortalamasını ve varyansını bulun. Örnek 3 •  Bir kutuda 3 kusurlu 7 kusursuz parça vardır. Yerine koymaksızın 3 parça bu kutudan çekiliyor. Buna göre 2 kusurlu parça çekme olasılığını bulunuz. Örnek 4 •  Bir kişinin hilesiz bir zarı 10 kez atması sonucunda 10nuncu aYşında 5ince kez 6 gelmesi olasılığını hesaplayınız. •  Zarın kaçıncı kez aYlması sonucu 5inci kez 6 gelmesini beklersiniz? Örnek 5 •  Yeni açılan bir bankanın ilk 100 müşterisi içinde 60 tanesi mevduat hesabına sahip0r. İadesiz olarak rastgele seçilen 8 müşteriden 5 tanesinin mevduat hesabına sahip olma olasılığı nedir? •  En çok 1 kişinin mevduat hesabına sahip olma olasılığı nedir? Örnek 6 •  Bir mağazaya Cumartesi günleri 5 dakikada ortalama 4 müşteri gelmektedir. Bir Cumartesi günü bu mağazaya 1. 
2. 
3. 
4. 
5 dakika içinde 1 müşteri gelmesi olasılığını, Yarım saabe 2’den fazla müşteri gelmesi olasılığını, 1 saabe en fazla 1 müşteri gelmesi olasılığını hesaplayınız. Bu mağazaya 1 gün içerisinde kaç müşterinin gelmesi beklenir? (Mağaza 8:30 – 18:30 arası acıkYr)