KONU 12. ÇARPMA OPERATÖRLERI·NI·N REZOLVENTI· VE SPEKTRUMU B ile L2 (R) uzay¬nda ' fonksiyonuna çarpma operatörünü gösterelim, yani Bf (x) = '(x)f (x); f 2 D(B) ve D(B) = ff : f 2 L2 (R); 'f 2 L2 (R)g olsun. Teorem 12.1. B operatörünün spektrumu çarpma fonksiyonunun de¼ ger kümesi ile çak¬ş¬r, yani (B) = R('): I·spat. f 2 D(B) olmak üzere, Bf f =g (12.1) denklemini çözerek B operatörünün rezolvent kümesini ve rezolvent operatörünü bulal¬m. (12:1) denkleminden 'f (' ['(x) f = g )f = g ] f (x) = g(x) 1 f (x) = '(x) g(x) elde edilir. Sonuncu eşitlikten (B) = f : bulunur. 6= '(x)g = CnR(') 2 (B) için R (B)f (x) = olur, yani B operatörünün rezolventi 1 '(x) 1 '(x) g(x) fonksiyonuna çarpma operatörüdür. Di¼ ger taraftan (B) = Cn (B) = R(') bulunur. Ayr¬ca 2 (B) için R (B) mevcut, s¬n¬rs¬z ve D[R (B)] = L2 (R) oldu¼ gundan (B) = 1 c (B) elde edilir. Al¬şt¬rmalar. 1) L2 (R) uzay¬nda T f (x) = x2 f (x); f 2 D(T ) operatörünün spektrumunu, sürekli spektrumunu, rezolvent kümesini ve rezolvent operatörünü bulunuz. 2). L2 (R) uzay¬nda Kf (x) = sin xf (x); f 2 D(K) operatörünün a) D(K) tan¬m kümesini bulunuz. b) K operatörünün spektrumunu,rezolvent kümesini ve rezolvent operatörünü elde ediniz. 2