KONU 1. PER˙IYOD˙IK D˙IFERENS˙IYEL OPERATÖRLER L1(0,π

KONU 1. PERI·YODI·K DI·FERENSI·YEL OPERATÖRLER
L1 (0; )
=
L2 (0; )
=
8
<
f
:
8
<
g
:
:
Z
jf (x)j dx < 1
9
=
;
;
0
9
Z
=
2
: jg (x)j dx < 1
;
0
Lebesgue uzaylar¬n¬ göz önünde bulundural¬m. L1 (0; ) uzay¬ normlu Banach
uzay¬d¬r ve f 2 L1 (0; ) için f fonksiyonunun L1 (0; ) normu
jjf jj1 :=
Z
jf (x)j dx
0
olarak tan¬mlan¬r. L2 (0; ) bir Hilbert uzay¬d¬r ve f; g 2 L2 (0; ) için
(f; g) :=
Z
f (x) g (x)dx
0
olarak tan¬mlan¬r.
q ile [0; ] aral¬g¼¬nda tan¬ml¬, reel de¼
gerli ve sürekli bir fonksiyonu gösterelim.
l(y) =
00
y + q(x)y;
0
x
diferensiyel ifadesinin yard¬m¬ ile L2 (0; ) uzay¬nda periyodik
P operatörünü tan¬mlayal¬m.
8
00
1: y mevcut
>
>
<
y; y 2 L2 (0; ) 2: l (y) 2 L2 (0; )
D (P ) =
3: y (0) = y ( )
>
>
0
0
:
y (0) = y ( )
Tan¬m 1.1. 8y 2 D(P ) için
Sturm-Liouville
9
>
>
=
>
>
;
P (y) = l(y)
olarak tan¬mlanan operatöre periyodik Sturm-Liouville operatörü denir.
8
9
00
1: y mevcut
>
>
>
>
<
=
y; y 2 L2 (0; ) 2: l (y) 2 L2 (0; )
D (A) =
3: y (0) = y ( ) >
>
>
>
0
0
:
;
y (0) = y ( )
1
olmak üzere, 8y 2 D (A) için
A(y) = l(y)
operatörüne yar¬periyodik (antiperiyodik) Sturm-Liouville operatörü ad¬verilir.
Al¬şt¬rmalar
1. L2 (0; ) uzay¬nda
l0 (y) =
00
y ;
0
x
diferensiyel ifadesinin ve
y (0)
0
y (0)
= y( )
0
= y ( )
s¬n¬r koşullar¬n¬n yard¬m¬ile tan¬mlanan operatör P0 olsun.
a) D (P0 ) tan¬m kümesini yaz¬n¬z.
b) f : [0; ] ! R ve f (x) = cos x fonksiyonu P0 operatörünün tan¬m
kümesinden midir? Neden?
c) g : [0; ] ! R ve g(x) = sin (3x) fonksiyonu P0 operatörünün tan¬m
kümesinden midir? Neden?
2. L2 (0; ) uzay¬nda
l0 (y) =
00
y ;
0
x
diferensiyel ifadesinin ve
y (0)
0
y (0)
=
y( )
=
y ( )
0
s¬n¬r koşullar¬n¬n yard¬m¬ile tan¬mlanan operatör A0 olsun.
a) D (A0 ) tan¬m kümesini bulunuz.
b) f : [0; ] ! R ve f (x) = 2 sin x olmak üzere, f 2 D (A0 ) m¬d¬r? Neden?
c) g : [0; ] ! R ve g(x) = cos 3x
2 olmak üzere, g; D(A0 ) tan¬m kümesinden
midir? Neden?
2